ecuaciones lineales

Parte I
Método para resolver ecuaciones exacta:
1. Determinar que la ecuación tenga la siguiente forma:
g (x, y) dx + h (x, y) dy = 0
2. Sacar las derivadas de
∂g
∂y
y
∂h
∂x
si son iguales las derivadas se procede al siguiente paso:
∂g
∂h
=
∂y
∂x
3. Integrar y para esto hay dos formas:
f (x, y) =
g (x, y) dx + r (y)
f (x, y) =
h (x, y) dy + r (x)
4. Una vez integrada la función se pasa a derivar con respecto a x o y dada la función r:
a ) con respecto a y
∂f
∂
=
∂y
∂y
b ) con respecto a x
∂
∂f
=
∂x
∂x
g (x, y) dx + r0 (y)
g (x, y) dy + r0 (x)
5. Igualar cada una de las funciones:
a ) con respecto a y, una vez igualada la función r'(y) esta solo debe de depender de y o en
su caso de una constante, pero no de otra variable.
∂f
∂
= h (x, y) =
g (x, y) dx + r0 (y)
∂y
∂y
∂
0
r (y) =
g (x, y) dx − h (x, y)
∂y
b ) con respecto a x, una vez igualada la función r'(x) esta solo debe de depender de x o en
su caso de una constante, pero no de otra variable.
∂f
∂
h (x, y) dy + r0 (x)
= g (x, y) =
∂x
∂x
∂
0
r (x) =
h (x, y) dy − g (x, y)
∂x
6. Integrar r'
a ) con respecto a r'(y)
0
r (y) =
∂
∂x
g (x, y) dx − h (x, y) dy
1
b ) con respecto a r'(x)
0
r (x) =
∂
∂x
h (x, y) dy − g (x, y) dx
7. Sustituir r
8. Colocar la ecuación de la siguiente manera f (x, y) = k donde k es una constante
Ejemplo 1.
2xydx + x2 − 1 dy = 0
1. La función si tiene esta forma g (x, y) dx + h (x, y) dy = 0
2. Sacar las derivadas de
∂g
∂y
y
∂h
∂x
∂g
= 2x
∂y
∂h
= 2x
∂x
∂h
∂g
=
∂y
∂x
3. Integrar
f (x, y) =
=
(2xy) dx + r (y)
2x2 y
+ r(y)
2
4. Derivar con respecta a y
∂
∂f
=
x2 y + r0 (y)
∂y
∂y
2
=x + r0 (y)
5. Igualas la función en este caso con h(x,y)
x2 + r0 (y) = x2 − 1
r0 (y) =x2 − 1 − x2
r0 (y) = −1
6. Integrar
0
r (y) =
−1dy
r (y) = −y
7. Sustituir r
f (x, y) = x2 y − y
8. Colocar la función de la siguiente manera f (x, y) = k
x2 y − y = k
2
Parte II
Método para resolver ecuaciones no exactas por el
método de factor integrante:
1. Dada la siguiente ecuación donde
∂g
∂y
y
∂h
∂x
son diferentes:
g (x, y) dx + h (x, y) dy = 0
∂g
∂h
6=
∂y
∂x
2. Para obtener una forma de resolver tales ecuaciones se utiliza un factor de integración que multiplicara a toda la ecuación de la siguiente manera:
µ(x, y) (g (x, y) dx + h (x, y) dy = 0)
3. Dependiendo del caso de cada ecuación sera el tipo de caso a utilizar. No todas las ecuaciones utilizan
el mismo caso por lo que hay que tratar de resolver caso por caso.
a ) Caso 1 el factor integrante solo dependa de x:
∂g
∂y
∂h
∂x
−
h (x, y)
b ) Caso 2 el factor integrante solo dependa de y:
∂h
∂x
−
∂g
∂y
g (x, y)
c ) Caso 3 con respecto al siguiente cambio de variable x + y = µ (z)
∂h
∂x
−
∂g
∂y
g (x, y) − h (x, y)
d ) Caso 4 con respecto al siguiente cambio de variable xy = µ (z)
∂h
∂x
−
∂g
∂y
x (g (x, y)) − y (h (x, y))
e ) Caso 5 con respecto al siguiente cambio de variable x − y = µ (z)
∂g
∂y
−
∂h
∂x
g (x, y) + h (x, y)
4. Una vez encontrado el caso a utilizar se integra de la siguiente forma:
a ) Caso 1 que dependa de x
µ(x) = e
3
∂g ∂h
−
∂y ∂x
h(x,y)
!
dx
b ) Caso 2 que dependa de y
µ(y) = e
∂h − ∂g
∂x ∂y
g(x,y)
!
dy
c ) Caso 3 con respecto al cambio de variable x + y = µ (z)
µ(z) = e
∂h − ∂g
∂x ∂y
g(x,y)−h(x,y)
!
dz
d ) Caso 4 con respecto al cambio de variable xy = µ (z)
∂h − ∂g
∂x ∂y
x(g(x,y))−y(h(x,y))
µ(z) = e
!
dz
e ) Caso 5 con respecto al cambio de variable x − y = µ (z)
µ(z) = e
∂g ∂h
−
∂y ∂x
g(x,y)+h(x,y)
!
dz
5. Se sustituye el factor integrante, se multiplica y se saca las derivadas correspondientes.
µ (x, y) (g (x, y) dx + h (x, y) dy = 0)
∂g
∂h
=
∂y
∂x
6. Después de corroborar que las derivadas son iguales le ecuación se resuelve por el método de exactas:
Ejemplo 2.
y + y 2 x dx + x − yx2 dy = 0
1. Se obtienen las derivadas correspondientes:
∂g
= 1 + 2xy
∂y
∂h
= 1 − 2xy
∂x
a ) Las derivadas no son iguales
∂g
∂h
6=
∂y
∂x
2. Se empieza a evaluar cada uno de los casos:
a ) Caso 1 el factor integrante solo dependa de x :(
1) El resultado de este caso no depende solo de x, si no también de y, así que, este caso
no se puede utilizar para integrar.
4xy
4y
(1 + 2xy) − (1 − 2xy)
=
=
x − yx2
x (1 − xy)
1 − xy
b ) Caso 2 el factor integrante solo dependa de y :(
4
1) El resultado de este caso no depende solo de y, si no también de x, así que, este caso
no se puede utilizar para integrar.
−4xy
−4x
(1 − 2xy) − (1 + 2xy)
=
=
2
y+y x
y (1 − xy)
1 − xy
c ) Caso 3 con respecto al siguiente cambio de variable x + y = µ (z) :(
1) El Resultado de este caso no puede ser utilizado para el cambio de variable propuesto
(1 − 2xy) − (1 + 2xy)
−4xy
=
2
2
2
y + y x − (x − yx )
y − y x − x + yx2
d ) caso 4 con respecto al siguiente cambio de variable xy = µ (z) :)
1) El resultado que observamos es el esperado dado que podemos hacer un cambio de variable
1 − 2xy − (1 + 2xy)
−4xy
−4xy
−2
−2
=
= 2 2 =
=
2
2
2
2
2
2
x (y + y x) − y (x − yx )
xy + y x − xy + y x
2x y
xy
z
3. Integrar la el resultado del caso obtenido en este caso con el cambio de variable xy = µ (z)
µ (z) = e
−2
dz
z
−2
= e−2 ln(z) = eln(z)
= z −2
Donde z = xy
4. Se sustituye el factor integrante:
1
x2 y 2
y + y 2 x dx + x − yx2 dy = 0
Quedando de la siguiente manera:
1
1
+
2
x y x
5. Se obtienen las derivadas
dx +
1
1
+
2
y x y
dy = 0
∂g
1
=− 2 2
∂y
x y
1
∂h
=− 2 2
∂x
y x
por lo tanto se obtiene que las derivadas son iguales
∂g
∂h
=
∂y
∂x
6. Resolver la nueva ecuación por el método de exactas
f (x, y) =
=−
1
1
+
2
y x y
dy + r(x)
1
+ ln (y) + r(x)
xy
∂f
1
= 2 + r0 (x) = g (x, y)
∂x
x y
5
1
1
1
+ r0 (x) = 2 +
2
x y
x y x
1
1
1
r0 (x) = 2 + − 2
x y x x y
1
r0 (x) =
x
1
dx
x
r (x) = ln (x)
0
r (x) =
Solución a la ecuación es:
−
1
+ ln (y) + ln (x) = k
xy
Parte III
Ecuación homogénea
Sea f (x, y) tal que:
f (x, y) = αn f (x, y) nR, entonces se dice que f (x, y) es una función homogénea de grado n
1. Comprobar si es homogénea
2. hacer el respectivo cambio de variable
y = ux
dy = udx + xdu
x = vy
dx = vdy + ydv
3. resolver por variables separables
4. cambio de variable
y
x
x
v=
y
u=
Ejemplo 3.
y 2 + xy dx − x2 dy = 0
1. Comprobar si es homogénea
si es homogénea de grado 2
2. se hace el cambio de variable en este caso ocupando y = ux y dy = udx + xdu
(ux)2 + x (ux) dx − x2 (udx + xdu) = 0
Se agrupa la x2 y se divide
6
3. se resuelve por variables separables
x2 u2 + u dx − x2 (udx + xdu) = 0
u2 + u dx − (udx + xdu) = 0
u2 dx + udx − udx − xdu = 0
u2 dx − xdu = 0
u2 dx = xdu
du
dx
= 2
x
u
dx
du
=
x
u2
1
ln (x) + c = −
u
4. se hace nuevamente el cambio de variable donde u =
y
x
ln (x) + c = −
x
y
se despeja y
y=−
x
ln (x) + c
Parte IV
Ecuaciones lineales de primer orden
dy
Sea la ecuación a1 (x) dx
+ a0 (x) y = g (x) lo que es igual a
1. Escribir la ecuación diferencial de la forma
dy
dx
dy
dx
+ p (x) y = f (x)
+ p (x) y = f (x)
2. Identicar a p (x) y calcular factor integrante µ (x) = e
p(x)dx
3. Multiplicar µ (x) en la ecuación diferencial
4. Hacer el paso de la muerte:
el paso de la muerte consiste en simplicar el lado izquierdo de la igualdad en su derivada
dy h p(x)dx i
e
y = e p(x)dx f (x)
dx
5. integrar
Ejemplo 4.
dy
+ 2xy = x
dx
1. La ecuación ya se encuentra en esta forma
dy
dx
+ p (x) y = f (x)
7
2. Se identica p (x) y se calcula µ (x)
p (x) = 2x
2xdx
µ (x) = e
µ (x) = ex
2
3. Se multiplica µ (x) por la ecuación diferencial
x2
e
ex
4. Hacer el paso de la muerte
5. Se integra y se despeja y
2
dy
+ 2xy = x
dx
dy
2
2
+ 2ex xy = ex x
dx
d h x2 i
2
e y = ex x
dx
d h x2 i
e y =
dx
2
ex x
1 2
2
ex y = ex + c
2
1
2
y = + ce−x
2
Parte V
Ecuación de Bernoulli
dy
Sea la ecuación a1 (x) dx
+ a0 (x) y = g (x) y n lo que es igual a
1. Escribir la ecuación diferencial de la forma
dy
dx
w = y 1−n
d
(w)
dx
dw
d
dy
=
(w)
dx
dy
dx
3. Se despeja
dy
dx
dw
∗
dx
+ p (x) y = f (x) y n
+ p (x) y = f (x) y n
2. Se realiza un cambio de variable de la siguiente manera
Se deriva w:
dy
dx
d
dy
8
1
dy
=
dx
(w)
4. Se sustituye
dy
dx
en la ecuación diferencial
dw
∗
dx
5. Se multiplica por
d
dy
d
dy
1
+ p (x) y = f (x) y n
(w)
(w) en ambos lados de la igualad quedando lo siguiente
dw
∗
dx
1
+ p (x) y = f (x) y n
d
(w)
dy
!
∗
d
(w)
dy
dw
d
+ p (x) ∗ (1 − n)y ∗
(w) = (1 − n)f (x)
dx
dy
Donde y ∗
d
dy
(w) = y 1−n = w
dw
+ p (x) ∗ (1 − n) ∗ w = (1 − n)f (x)
dx
6. Identicar a p (x) y calcular factor integrante µ (x) = e
p(x)dx
7. Multiplicar µ (x) en la ecuación diferencial
8. Hacer el paso de la muerte:
el paso de la muerte consiste en simplicar el lado izquierdo de la igualdad en su derivada
9. se integra y se despeja w
10. Una vez resulta la ecuación para w se sustituye w = y 1−n
Ejemplo 5.
x
1
dy
+y = 2
dx
y
Dado que la ecuación no se encuentra en esta forma
entre x
dy
dx +p (x) y
= f (x) y n se dividirá toda la ecuación
dy
1
1
x
+y = 2 ∗
dx
y
x
dy
y
1
+ = 2
dx x
xy
dy
y
y −2
+ =
dx x
x
1. Una vez que la ecuación tiene la forma deseada se empieza a resolver.
2. Se dispone hacer el cambio de variable correspondiente:
n = −2
w =y 1−(−2) = y 3
se deriva la función:
dw
dy
= 3y 2
dx
dx
9
3. Se despeja
dy
dx
dw
1
dy
∗ 2 =
dx 3y
dx
4. Se sustituye
dy
dx
en la ecuación diferencial
1
y
y −2
dw
∗ 2+ =
dx 3y
x
x
5. Se multiplica por
d
dy
(w) en ambos lados de la igualad
dw
y
1
y −2
+ =
∗ 3y 2
∗
dx 3y 2 x
x
dw y
3
+ ∗ 3y 2 =
dx
x
x
dw 3y 3
3
+
=
dx
x
x
Donde w = y 3
dw 3w
3
+
=
dx
x
x
6. Se identica p (x) y se calcula µ (x)
3
x
µ (x) = e
p (x) =
3
dx
x
3
µ (x) = eln(x )
µ (x) = x3
7. Multiplicar µ (x) en la ecuación diferencial
dw 3w
3
+
=
∗ x3
dx
x
x
dw
x3
+ 3wx2 = 3x2
dx
8. Hacer el paso de la muerte:
el paso de la muerte consiste en simplicar el lado izquierdo de la igualdad en su derivada
d
wx3 = 3x2
dx
9. Se integra y se despeja w
wx3 = x3 + c1
x3 + c1
x3
w = 1 + x−3 c1
w=
10
10. Una vez resulta la ecuación para w se sustituye w = y 3
y 3 = 1 + x−3 c1
Parte VI
Ley de newton del enfriamiento
La ley de enfriamiento de newton esta dada por la siguiente ecuación diferencial
dT
= k (T − T m)
dt
Donde:
T m= Temperatura ambiente
k = Constante de enfriamiento
Por lo que resolviendo la ecuación se obtiene:
dT
= kdt
(T − T m)
ln (T − T m) = kt ∗ c1
T − T m = ekt∗c1
T − T m = ekt ec1
T = cekt + T m
Un cuerpo se enfría desde 60°C hasta 50°C en 15 mín y el aire en que se encuentra se conserva
a 30°C. ¾En qué tiempo se enfriará el cuerpo desde 100°C hasta 80°C en el aire que se conserva a 50°C?
Suponga la ley de Newton del enfriamiento.
Datos:
T (0) = 60ºC
T (15) = 50ºC
T m1 = 30ºC
T1 (0) = 100ºC
T2 (?) = 80ºC se desconoce el tiempo
Ejemplo 6.
T m2 = 50ºC
Se sustituye el valor de T m1 en la ecuación
T = cekt + 30ºC
Con la primera condición de T (0) = 60ºCencontramos la constante c
T (0) = cek0 + 30ºC = 60ºC
c + 30ºC =60ºC
c =30ºC
Se sustituye el valor
T = 30ekt + 30ºC
11
Con la segunda condición T (15) = 50ºC se obtiene el valor de k
T (15) = 30ek∗15 + 30ºC = 50ºC
30ek∗15 + 30ºC =50ºC
k=
ln
50−30
30
15
k = − 0.027
Una vez encontrada la k se pasa al siguiente inciso donde se determinara el tiempo en el que el solido
llega a una temperatura dada T2 (?) = 80ºC y T m2 = 50ºC , como es el mismo objeto en el ejercicio
solo se deberá de encontrar una nueva constante y despejar el tiempo
T = ce−0.027t + 50ºC
T (0) = ce−0.027(0) + 50ºC = 100ºC
c = 100ºC − 50ºC = 50ºC
Se sustituye el valor de c
T = 50e−0.027t + 50ºC
Ya teniendo todos lo datos se obtiene el tiempo
T2 (?) = 50e−0.027t + 50ºC = 80ºC
ln 80−50
50
t=
−0.027
t =18.91min
Parte VII
Ecuaciones de segundo orden
sea la ecuación
a
d2 y
dy
+ cy = f (x)
+b
dx2
dx
Este tipo de ecuaciones se resuelve sumando una parte característica u homogénea y parte no homogénea o particular.
1.
Parte característica
Esta parte se resuelve sacando la raíz y hay tres casos, se toman los coecientes a, b y c de cada
ecuación y se colocan como si fuera una ecuación cuadrática de la siguiente manera:
ar2 + br + c = 0
Se encuentran las raíces de la ecuación
12
1. Caso 1 r1 , r2 Rno repetidas r1 6= r2
la ecuación que se utilizara sera la siguiente
yc = c1 er1x + c2 er2 x
2. Caso 2 r1 , r2 R repetidas r1 = r2
la ecuación que se utilizara sera la siguiente
yc = c1 er1x + c2 xer2 x
3. Caso 3 imaginarias conjugadas r = α ± βi
la ecuación que se utilizara sera la siguiente
yc = xαx (c1 sin (βx) + c2 cos (βx))
2.
Parte no homogénea o particular
No hay ecuaciones para esta parte ya que nosotros mismos proponemos la ecuación de acuerdo a a
f (x), en estos casos se recurren a tablas donde nosotros encontramos las soluciones particulares propuestas
por alguien mas
después de proponer la solución se calcula si primera y segunda derivada
Se sustituye las respectivas derivadas
Se resuelve las ecuaciones para encontrar las constantes
se sustituyen las constantes y se suma con la solución característica
Ejemplo 7.
y 00 + 8y 0 + 16y = −3 sin (x)
y (0) = −1
y 0 (0) = 8
1. Parte característica
r2 + 8r + 16 = 0
r1 = r2 = −4
13
La solución característica es característica:
yc = c1 e−4x + c2 xe−4x
2. Parte no homogénea
se propone la siguiente solución dado que f (x) = −3 sin (x):
yp = A cos (x) + B sin (x)
Se calcula sus derivadas
yp = A sin (x) + B cos (x)
yp0 = A cos (x) − B sin (x)
yp00 = −A sin (x) − B cos (x)
Se sustituye en la ecuación diferencial
y 00 + 8y 0 + 16y = −3 sin (x)
(−A sin (x) − B cos (x)) + 8 (A cos (x) − B sin (x)) + 16 (A sin (x) + B cos (x)) = −3 sin (x)
Agrupando términos se obtiene lo siguiente:
sin (x) (−A − 8B + 16A) + cos (x) (−B + 8A + 16B) = −3 sin (x)
Una vez agrupadas las constantes se obtiene un sistema de ecuaciones de 2 incógnitas
15A − 8B = −3
8A + 15B = 0
Resolviendo la ecuación se obtiene lo siguiente:
45
289
24
B=
289
A=−
Se sustituyen las constantes
yp = −
45
24
sin (x) +
cos (x)
289
289
3. Se suman las soluciones tanto la característica como la particular
y = yc + yp
y = c1 e−4x + c2 xe−4x +
14
24
45
cos (x) −
sin (x)
289
289
4. Para encontrar las constantes se utilizan las condiciones iniciales
y (0) = −1
y (0) = c1 e−4∗0 + c2 ∗ 0 ∗ e−4∗0 +
24
45
cos (0) −
sin (0) = −1
289
289
24
= −1
289
313
c1 = −
289
c1 +
Se sustituye el valor de c1
y=−
313 −4x
24
45
e
+ c2 xe−4x +
cos (x) −
sin (x)
289
289
289
Para calcular el valor de c2 se derivara la función y se sustituirá la otra condición y 0 (0) = 8
313 −4x
24
45
e
+ c2 (−4) xe−4x + c2 e−4x −
sin (x) −
cos (x)
289
289
289
313 −4∗0
24
45
y 0 (0) = − (−4)
e
+ c2 (−4) (0) e−4∗0 + c2 e−4∗0 −
sin (0) −
cos (0) = 8
289
289
289
45
1252
+ c2 −
=8
289
289
45
1252
c2 = 8 +
−
289
289
65
c2 =
17
y = − (−4)
5. Se sustituye c2 en la ecuación y esta lista
y=−
313 −4x 65 −4x
24
45
e
+ xe
+
cos (x) −
sin (x)
289
17
289
289
15