lOMoARcPSD|9203821 P b) ( ) ( ) x́−μx́ 3150−μ x́ 3150−3500 < =P Z< =P ( Z<−2.05 9 )=P(Z >2.05 9) σ x́ σ x́ 170 ¿ 1−P ( Z <2.058 ) =1−0 . 97982=0.02018 P (2950< x́<3080 )=P ( x́<3080 )−P ( x́ <2950 ) estandarizando : ¿P ( x́−μx́ 3080−μ x́ x́−μ x́ 2950−μ x́ < −P < σ x́ σ x́ σ x́ σ x́ ( 3080−3500 2900−3500 −P Z < 170 170 ¿ P Z< ) ( ) ( ) ) ¿ P ( Z >2.47 1 )−P ( Z >3.529 ) =[ 1−P ( Z <2.471 ) ] − [ 1−P ( Z <3.529 ) ] ¿ 1−0 . 99324−1+0 . 99978=0.00654 7. Las puntuaciones de un examen se distribuyen normalmente con promedio de 70 y una desviación estándar de 16. Se selecciona una muestra aleatoria de 35 puntuaciones. ¿Cuál es la probabilidad de que el promedio muestral sea menor de 75? |Solución: μ=70, σ =16, n=35 X: puntuaciones del examen variable aleatoria X N ( 70,256 ) la distribución de lamedia muestral es : ( ) x́ N μ x́ , σ2 256 =x́ N 70, =x́ N ( 70,7.314 ) n 35 P ( x́ <75 ) estandarizando : P ( ( ) ) ( ) x́−μx́ 75−μ x́ 75−70 < =P Z< =P ( Z< 1.84 9 )=0 .96712 σ x́ σ x́ 2.70 4 8. En BANMEX se autorizó el 35% de las solicitudes de crédito hipotecario para la compra de nuevas casas. Se seleccionó una muestra aleatoria de 400 clientes. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral de las solicitudes autorizadas sea mayor que 0,3? b) ¿Cuál es la probabilidad de que dicha proporción este entre 0.32 y 0.38, inclusive? Solución: P: proporción poblacional de solicitudes de crédito hipotecario para la compra de nuevas casas. p: proporción muestral de solicitudes de crédito hipotecario para la compra de nuevas casas. Teniendo en cuenta que la distribución muestral de una proporción se ajusta a una normal PQ p N P, n P=0.35, n=400 Donde Entonces estaríamos ante una normal ( ) lOMoARcPSD|9203821 ( ) (0.35)(1−0.35) =N ( 0.35, 0.00219 ) 400 P ( p> 0.3 ) estandarizando : p N 0.35, a) P b) ( ) ( ^p −μ ^p 0.3−μ ^p 0.3−0.35 =P Z> =P ( Z <2.083 )=0. 98124 > σ ^p σ ^p 0.0 468 ) P ( 0.32< ^p < 0.38 )=P ( ^p <0.38 ) −P ( ^p < 0.32 ) estandarizando : ^p −μ ^p 0.38−μ ^p ^p −μ ^p 0.32−μ ^p < < ¿P −P σ ^p σ ^p σ ^p σ ^p ( ) ( ( ) ( ) ) 0.38−0.35 0.32−0.35 −P Z< 0.0468 0.0468 ¿ P ( Z <1.25 )−P ( Z←1.25 ) =P ( Z <1.25 )−[ 1−P ( Z<1.25 ) ] ¿ 0 . 89435−1+0 . 89435=0.7887 ¿ P Z< 9. De acuerdo con las estadísticas, 20% de los tarjetahabientes de la compañía Hermanos Vázquez incrementaron sus compras en el mes de agosto, durante la venta promocional “agosto al costo”. Se tomó una muestra aleatoria de 450 clientes. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral de los tarjetahabientes de Hermanos Vázquez que incrementaron sus compras esté entre 0.24 y 0.26 en el mes de agosto? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral de tarjetahabientes de Hermanos Vázquez que incrementaron sus compras en el mes de agosto sea en menor o igual a 0.18? Solución: P: la proporción poblacional de tarjetahabientes de la compañía Hermanos Vázquez que incrementaron sus compras en el mes de agosto, durante la venta promocional “agosto al costo”. P=0.20, n=450(tamaño de lamuestra) p: la proporción muestral de tarjetahabientes de la compañía Hermanos Vázquez que incrementaron sus compras en el mes de agosto, durante la venta promocional “agosto al costo”. Teniendo en cuenta que la distribución muestral de una proporción se ajusta a una normal PQ p N P, n ( ) ( a) ) (0.20)(1−0.20) =N ( 0.20, 0.00036 ) 450 P ( 0.24 < p<0. 26 )=P ( p<0. 26 ) −P ( p<0. 24 ) estandarizando : p−μ p 0.26−μ p p−μ p 0.24−μ p ¿P < −P < σp σp σp σp p N 0.20 , ( ( ) ( ) ( 0.26−0.20 0.24−0.20 −P Z< 0.01 9 0.01 9 ¿ P ( Z <3.15 8 )−P ( Z<2.105 ) ¿ P Z< ) ) lOMoARcPSD|9203821 b) ¿ 0 . 99918−0 . 98214=0. 01704 P ( p ≤ 0.18 ) estandarizando : p−μ p 0.18−μ p ¿P ≤ σp σp ( ) ( ) 0.18−0.20 0.01 9 ¿ P ( Z ≤−1.052 )=1−P (Z ≤1.052) ¿ 1−0 . 85313=0.14687 ¿ P Z≤ 10. De una población de 5000 clientes de la empresa Salinas y Rocha, 40% de ellos pagan al contado. Se tomó una muestra aleatoria de 500 clientes. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral de clientes que pagan al contado sea mayor que 0.42? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral de clientes que pagan al contado esté entre 0.35 y 0.37, inclusive? Solución: P: proporción poblacional de clientes de la empresa Salinas y Rocha que pagan al contado. P=0.4, n=500 p: proporción muestral de clientes de la empresa Salinas y Rocha que pagan al contado. Entonces estaríamos ante una normal Teniendo en cuenta que la distribución muestral de una proporción se ajusta a una normal PQ p N P, n ( ) ( ) (0.40)(1−0.40) =N ( 0.40, 0.00048 ) 500 P ( 0. 42< p ) estandarizando : 0.42−P❑ p−P ¿P < PQ PQ n ❑ n ❑ 0.42−0.40 ¿P <Z 0.0 22 ¿ P ( 0.909<Z )=1−P( Z<0.909) ¿ 1−0 . 81594=0. 18406 P ( 0.35< p< 0.37 )=P ( p<0.37 )−P ( p <0. 35 ) estandarizando : p−P 0.37−P p−P 0.35−P ¿P < −P < PQ PQ PQ PQ n ❑ n ❑ n ❑ n ❑ 0.37−0.40 0.35−0.40 ¿ P Z< −P Z< 0.0 22 0.0 22 ¿ P ( Z <−1.36 4 )−P ( Z <−2.273 )=P ( Z >1.36 4 )−P ( Z> 2.273 ) ¿ [ 1−P ( Z <1.36 4 ) ]− [ 1−P ( Z <2.27 3 ) ] p N 0.40, a) (√ √ ( b) (√ ( √ ) ) ) (√ ) ( √ ) ) lOMoARcPSD|9203821 ¿ 1−0 . 91308−1+0 .98840=0.07532 11. Se pretende estimar el número promedio de latidos del corazón por minuto para cierta población utilizando un intervalo de confianza al 95%. Se encontró que el número promedio de latidos por minuto para 49 personas era de 90. Considere que estos 49 pacientes constituyen una muestra aleatoria y que la población sigue una distribución normal, con una desviación estándar de 10. Solución: 1−α : 0.95 X: número de latidos del corazón por minuto. x́=90 , n=49 ( ) 2 σ x́ N μ , n X N ( μ ,10 ) entonces 2 PARÁMETRO < estimador- z DS estimador, estimador +DS estimador> Donde DS es la desviación estándar σ σ μ ∈< x́ −z ; x́+ z >¿ √n √n 100 100 ; 90+1.96 >entonces μ ∈<90−2.8 ; 90+2.8>¿ μ ∈< 90−1.96 49 49 μ ∈<87.2; 92.8> ¿ √ √ 12. En un estudio acerca de la hospitalización dirigido por varios hospitales en cooperación, se extrajo una muestra aleatoria de 69 individuos con ulcera péptica de la lista de todos los pacientes con esa enfermedad internados alguna vez en los hospitales participantes. Se determinó para cada uno de ellos el tiempo de hospitalización. Se encontró que la duración media de la hospitalización fue de 8.25 días y se sabe que la desviación estándar de la población es de tres días. Construya un intervalo al 95% para el tiempo de hospitalización promedio para los pacientes con úlcera péptica. Solución: X: número de días de hospitalización de individuos con ulcera péptica en la población. n=69 x́=8.2 5 ( n) σ X ( μ ,3 2 ) entonces x́ N μ , 2 1−α : 0.95 PARÁMETRO < estimador- z DS estimador, estimador +DS estimador> Donde DS es la desviación estándar lOMoARcPSD|9203821 μ ∈< x́ −z σ σ ; x́+ z >¿ √n √n √ √ 9 9 ; 8.25+1.96 >entonces μ ∈<8.25−0.70 8; 8.25+ 0.70 8>¿ 69 69 μ ∈<7.542 ; 8 . 95 8>¿ μ ∈< 8.25−1.96 13. Los puntajes del Test de Razonamiento abstracto, tienen una distribución normal con desviación estándar de 11,20. Se aplica el mencionado test a 225 estudiantes de Psicología y se obtiene un puntaje promedio de 27,26. a. ¿Cómo se distribuye la media muestral? b. Construya un intervalo de confianza al 95% para la media poblacional. Solución: X: Los puntajes del Test de Razonamiento abstracto en la población. variable aleatoria X N ( μ ,125.44 ) x́=27.26, n=225 a ¿ ladistribución de lamedia muestral es : ( ) 2 ( ) σ 125.44 =x́ N μ , = x́ N ( μ , 0.558 ) n 225 b¿ PARÁMETRO < estimador- z DS estimador, estimador + DS estimador> Donde DS es la desviación estándar σ σ μ ∈< x́ −z ; x́+ z >¿ √n √n μ ∈< 27.26−1.96∗0.747 ; 27.26+1.96∗0.747> entonces μ ∈< 27.26−1.463 ; 27.26+1.463>¿ μ ∈< 25.797; 28.723>¿ x́ N μ , 14. Se pretende estimar la concentración media de bilirrubina indirecta en el suero de niños de cuatro meses de nacidos utilizando un intervalo de confianza al 95% . La media para una muestra de 16 niños es de 5.98 mg/100 cc y una desviación estándar de 3.5 mg/100 cc . Considérese que la concentración de bilirrubina en los niños de cuatro días de nacidos sigue una distribución aproximadamente normal. Solución: σ x́ =3.5, n=16, μ x́ =5.98 3.5 3.5 μ ∈<5.98−1.96 ; 5.98+1.96 >entonces μ ∈< 5.98−1.715 ; 5.98+1.715>¿ √16 √ 16 μ ∈< 4.265 ; 7.695>¿ 15. ¿Cuál es la temperatura corporal normal para personas sanas? Una muestra aleatoria de 13 temperaturas corporales en personas sanas proporcionadas por Allen Shoemaker dio 98.25 grados y desviación estándar de 0.73 grados. lOMoARcPSD|9203821 a) Dé un intervalo de confianza de 99% para el promedio de temperatura corporal de personas sanas. b) El intervalo de confianza obtenido en el inciso a) ¿contiene el valor de 98.6 grados, que es el promedio aceptado de temperatura citado por médicos y otros? ¿Qué puede usted concluir? Solución: σ x́ =0.73, n=13, μ x́ =98.25 a ¿ el z cambia a2.33 0.73 0.73 μ ∈< 98.25−2.33 ; 98.25+2.33 > entonces √ 13 √ 13 μ ∈< 98.25−0. 472 ; 98.25+0. 472> ¿ μ ∈< 97.778 ; 98. 722>¿ b ¿ el z cambia a2.2 0.73 0.73 μ ∈< 98.25−2.2 ; 98.25+2.2 > entonces √13 √ 13 μ ∈< 98.25−0. 445 ; 98.25+ 0. 445>¿ μ ∈< 97.805; 98.6 95>¿ 16. Una muestra aleatoria de los salarios por hora para nueve mecánicos de automóviles proporcionó los siguientes datos (en dólares): 10.5, 11, 9.5, 12, 10, 11.5, 13, 9, 8.5. bajo la suposición de que el muestreo se llevó a cabo sobre una distribución normal, construir el intervalo de confianza al 90% para los salarios por hora promedio para todos los mecánicos. Solución: Como no nos dan la desviación estándar trabajamos con la cuasi varianza (s) s x́ =1.467,n=9, μ x́ =10.556 1.467 1.467 μ ∈<10.556−1.8 6 ; 10.556+1. 86 >entonces √9 √9 μ ∈<10.556−0. 910 ; 10.556+0. 910>¿ μ ∈< 9.646 ; 11. 466>¿ 17. Los datos que se presentan corresponden a los pesos en gramos del contenido de 16 cajas de cereal que se seleccionaron de un proceso de llenado con el propósito de verificar el peso promedio: 506, 508, 499, 503, 504, 510, 497, 512, 514, 505, 493, 496, 506, 502, 509, 496. Construya los intervalos de confianza al 90, 95 y 99%, para la media de llenado de este proceso. Solución: Como no nos dan la desviación estándar trabajamos con la cuasi varianza (s) s x́ =6.202,n=16, μ x́ =503.75 a) Intervalo de confianza al 90% 6.202 6.202 μ ∈<503.75−1.75 ; 503.75+1. 75 > entonces √ 16 √ 16 μ ∈<503.75−2.713 ; 503.75+2.713>¿ μ ∈<501.037 ; 506.463>¿ b) Intervalo de confianza al 95% lOMoARcPSD|9203821 6.202 6.202 ;503.75+ 2.13 > entonces √16 √ 16 μ ∈<503.75−3.303 ; 503.75+3.303>¿ μ ∈<500.447 ; 507.053>¿ μ ∈<503.75−2.13 c) Intervalo de confianza al 99% 6.202 6.202 μ ∈<503.75−2.95 ;503.75+ 2.95 > entonces √16 √ 16 μ ∈<503.75−4.574 ;503.75+ 4.574> ¿ μ ∈< 499.176 ; 508.324>¿ 18. El calibre de un árbol es el diámetro medido a 6 pulgadas por encima del suelo. Se ha obtenido una muestra de 16 árboles entre 12 y 14 pies de altura cultivados en un vivero particular y se ha determinado el calibre de cada uno de ellos. Se obtuvieron los siguientes datos (en pulgadas). 2,3 1,9 1,7 2,1 1,5 1,8 1,8 1,1 2,1 1,5 2,0 1,6 1,3 1,6 1,5 1,3 Construya un intervalo al 95% de confianza para el calibre medio de los árboles cultivados en el vivero. 19. Los datos siguientes han sido obtenidos de una muestra aleatoria simple de tamaño 30, de la distribución p, porcentaje de aumento del contenido de alcohol en la sangre de una persona, después de ingerir 4 cervezas. � = 0,41 Construir el intervalo de confianza al 90% para el porcentaje de alcohol en la sangre de una persona, después de tomar 4 cervezas. Construya un intervalo de confianza al 95% para �, ¿es de mayor o de menor amplitud que el anterior, al 90%? 20. En una encuesta de opinión a 400 estudiantes, 320 estudiantes entrevistados de la Facultad de Educación declararon estar a favor del candidato de la lista A. Construir un intervalo de confianza al 95% para estimar la proporción del total de estudiantes a favor del candidato A. 21. Cuando se habla de publicidad, los preadolescentes (cuya edad es de 10 a 13 años) no están listos para los crudos mensajes que los anunciantes usan para llegar a los adolescentes. Un estudio encontró que 78% de los preadolescentes entienden y disfrutan los anuncios que son tontos por naturaleza. Este resultado corresponde a una muestra de 1030 preadolescentes. Construya un intervalo al 95% de confianza para la proporción de preadolescentes que entienden y disfrutan anuncios que son de naturaleza tonta.
