Límites de funciones de varias variables

Límite de
funciones de
varias variables
Límite de funciones de varias variables…
Para una variable, la expresión lim f(x)=L , donde a y L son números reales, signixa
fica que cuando x es próximo a a, entonces f(x) es próximo a L. En este caso x se
puede aproximar a a de dos formas distintas: por la izquierda o por la derecha de
a.
En el caso de dos variables el significado de la expresión lim f(x, y)=L , siendo
(x, y)(a, b)
a, b y L números reales, es análogo, es decir, cuando (x, y) se aproxima a (a, b) entonces
f(x, y) se aproxima a L, pero en este caso dicha aproximación se puede hacer de
infinitas formas.
y
z
x
a-
x
a+
x
y
a
Una variable
Dos variables
x
P(a, b)
Límite de funciones de varias variables…
La definición rigurosa de límite bidimensional es análoga al unidimensional:
Si f es una función de dos variables definida en un disco abierto de centro
(a, b), excepto posiblemente en (a, b), y L es un número real, entonces se
dice que L es el límite de
f(x, y) cuando (x, y) tiende a (a, b) y se escribe
lim f(x, y)=L
(x, y)(a, b)
Si cualquiera que sea el número ε>0 , debe existir otro número δ>0 tal
que
si 0< (x-a)2 +(y-b)2 <δ , entonces |f(x, y)-L|<ε
Notemos que al igual que en el caso de una variable el número δ depende
del número ε .
Límite de funciones de varias variables…
Límite para una función de dos
variables
z = f(x, y)
z
L+¶
L
L-¶
y
(a, b)
Disco de
radio d
x
(x, y)
Límite de funciones de varias variables…
Aun siendo esta definición análoga al caso de una variable, existe una
diferencia fundamental. Para comprobar si una función de una variable
tiene límite solo necesitamos comprobar que ocurre al aproximarnos por
la izquierda o por la derecha. Si los límites por la izquierda y por la derecha coinciden entonces el límite existe. Para una función de dos variables (x, y) se puede aproximar a (a, b) siguiendo infinitos caminos o trayectorias.
Si el valor de lim f(x, y) , no es el mismo para todas las trayectorias,
(x, y)(a, b)
entonces no existe el límite.
Límites parciales o iterados
Observemos que la función f(x,y) se define mediante 2 zonas del plano R2. En
este caso no podemos dar como límite el valor de f(0,0), puesto que la expresión
para el acercamiento al punto (0,0) es diferente a la de evaluar f(0,0).
Evaluaremos el límite presentando la técnica por la trayectoria de los límites
parciales o límites iterados.
Se plantea el acercamiento primero mediante una de las variables x o y,
considerando constante y distinta de 0 la otra, y luego se evalúa el acercamiento
de la otra. Así en realidad el problema consiste en resolver 2 límites de una
variable.
Límites parciales o iterados…
Gráficamente tenemos:
Límites parciales o iterados…
Límite parcial 1:
Límite parcial 2:
En la resolución de cada límite parcial, al sustituir la primera variable por 0, el
cociente que nos queda es del valor 0 dividido por una expresión que aunque
tiende a 0, no tiene ese valor, con lo que el cociente no plantea indeterminación
y su resultado numérico es 0 en ambos casos.
Al ser coincidente el resultado, de momento sólo podemos afirmar que si el
límite existe valdrá 0, pero no podemos afirmar que 0 es el límite, puesto que
de las infinitas trayectorias posibles sólo hemos estudiado 2 concretas.
Límites direccionales
Trayectoria rectilínea
Observemos que la función f(x,y) se define mediante 2 zonas del plano R2. En este caso
no podemos dar como límite el valor de f(0,0), puesto que la expresión para el
acercamiento al punto (0,0) es diferente a la de evaluar f(0,0). Evaluaremos
el límite presentando la técnica por la trayectoria de los límites por rectas.
Se plantea el acercamiento mediante la ecuación de una recta que une el punto
genérico (x,y) con el punto (0,0). En este caso se tratará de una recta de ecuación y=mx.
Posteriormente se sustituye la variable y del límite por su expresión equivalente de la
recta quedándonos un límite de una variable.
Límites direccionales…
Trayectoria rectilínea
Gráficamente tenemos:
Límites direccionales…
Trayectoria rectilínea
En la resolución del límite por rectas, los casos m= ±∞ quedan excluidos de este
cálculo ya que representan el acercamiento final por el eje Y, y ese caso ya ha quedado
estudiado en el límite parcial 2, con lo que para el resto de casos de m el resultado es 0.
Al ser coincidente el resultado con el obtenido en los límites parciales, de momento
sólo podemos afirmar que si el límite existe valdrá 0, pero no podemos afirmar que 0 es
el límite puesto que de las infinitas trayectorias posibles sólo hemos estudiado 3
concretas.
Límites direccionales…
Trayectoria parabólica
Observemos que la función f(x,y) se define mediante 2 zonas del plano R2. En este
caso no podemos dar como límite el valor de f(0,0), puesto que la expresión para el
acercamiento al punto (0,0) es diferente a la de evaluar f(0,0).
Evaluaremos el límite presentando la técnica por la trayectoria de los límites por
parábolas. En este caso se tratará de una parábola de ecuación y=ax2.
Se sustituye la variable y del límite por su expresión equivalente de la parábola
quedándonos un límite de una variable.
Límites direccionales…
Trayectoria parabólica
Gráficamente tenemos:
Límites direccionales…
Trayectoria parabólica
Al ser coincidente el resultado con el obtenido en los límites parciales y por rectas, de
momento sólo podemos afirmar que si el límite existe valdrá 0, pero no podemos
afirmar que 0 es el límite puesto que de las infinitas trayectorias posibles sólo hemos
estudiado 4 concretas.
Límites por coordenadas polares
El cálculo de límites por coordenadas polares consiste en aplicar a las
variables x e y las ecuaciones de equivalencia entre la representación mediante
coordenadas cartesianas y polares, según la gráfica:
Posteriormente, definimos el acercamiento al punto (0,0) mediante la resolución
del límite en la variable r:
Límites por coordenadas polares…
Calcular mediante el cambio a coordenadas polares el límite
donde
Resolvemos el límite aplicando el cambio de las variables cartesianas (x,y) a las
variables en coordenadas polares (r,θ).
Ahora ya podemos decir que
vale 0.
El procedimiento descrito para el cálculo de límites por coordenadas polares puede
no ser concluyente.
Preguntas…???