04 CDIF-Aplicacion derivada Maximos y minimos

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Universidad Abierta y a Distancia de México
Licenciatura en Matemáticas
Asignatura:
Cálculo diferencial
CDIF
Grado:
1er. Semestre
Competencia general:
Utilizar el concepto de la diferenciación para resolver ejercicios y problemas teóricos y aplicados a diferentes áreas de conocimiento, por medio de las
propiedades de la derivada.
Antología basada en los autores;
Dennis Edwin J. Purcell. Cálculo con geometría analítica.
Universidad Abierta y a Distancia de México. Cálculo diferencial.
William Granville. Cálculo diferncial e integral.
Swokowski Earl. Cálculo con geometría analítica
Facilitador:
Orlando Fabián Echeverría Alonso
Lic. en Cs. Físico - Matématicas
Mtro. en Tecnología Educativa
[email protected]
Entrega de actividades en foro
100 %
Entrega de actividad
100 %
Entrega de evidiencia
100 %
Entrega de autorreflexión
100 %
Promedio
100 %
Purcell (1992), UnADM (SF), Granville (1995), Swokowski (1982),
MTE. y LFM. Orlando F. Echeverría
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MTE. y LFM. Orlando F. Echeverría
Índice general
1. Números reales y funciones
3
2. Límites y continuidad
5
3. Derivación
7
3.0.1. Reglas para encontrar derivadas . . . . . . . . . . . . . .
7
3.0.2. Funciones exponenciales y logaritmos
. . . . . . . . . . .
8
3.0.3. Derivas exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3.0.4. Derivadas de logaritmo natural . . . . . . . . . . . . . . .
9
3.0.5. Derivadas de funciones trigonométricas
. . . . . . . . . .
10
3.0.6. Derivadas de funciones trigonométricas inversas . . . . . .
11
3.0.7. Funciones hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
3.0.8. Regla de derivación hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . .
11
4. Aplicaciones de la derivada
13
4.1. Derivada como razón de cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
4.2. Razones de cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
4.3. Recta tangente a una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
4.4. Máximos y mínimos de las funciones . . . . . . . . . . . . . . . .
13
4.4.1. Criterio de la primera derivada . . . . . . . . . . . . . . .
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4.4.2. Actividad 3. Máximos y mínimos, gráfica de funciones.
Unidad 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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MTE. y LFM. Orlando F. Echeverría
ÍNDICE GENERAL
Capítulo 1
Números reales y funciones
3
4
MTE. y LFM. Orlando F. Echeverría
Capítulo 2
Límites y continuidad
5
6
MTE. y LFM. Orlando F. Echeverría
Capítulo 3
Derivación
3.0.1.
Reglas para encontrar derivadas
1. Si f (x) = k, donde k es un valor constante;
f 0 (x) =
d
k=0
dx
f 0 (x) =
d
x=1
dx
2. Si f (x) = x;
3. Si f (x) = xn ;
f 0 (x) =
d n
x = nxn−1
dx
4. Si f (x) = kxn ;
f 0 (x) = k
d n
x = k · nxn−1
dx
5. Si f (x) y g(x), son derivables, entonces;
d
df (x) dg(x)
(f (x) ± g(x)) =
±
dx
dx
dx
6. Si f (x) y g(x), son derivables, entonces;
d
dg(x)
df (x)
(f (x) · g(x)) = f (x)
+ g(x)
dx
dx
dx
7. Si f (x) y g(x), son derivables, entonces;
f (x)
g(x)
0
=
(x)
g(x) dfdx
− f (x) dg(x)
dx
(g(x))2
7
8
3.0.2.
Funciones exponenciales y logaritmos
En la gráfica de la función f (x) = ln x, se observa el comportamiento de la
función calculando los límites;
lı́m ln x = ∞ y
x→∞
lı́m ln x = −∞
x→0+
por lo anterior se enuncia el siguiente teorema;
Teorema 3.0.1 A cada número real x le corresponde un número real positivo
único y tal que ln y = x
Def 3.0.1 La función exponencial natural denotada por exp se define mediante
exp x = y
si y solo si
ln y = x
para todo x y para todo y > 0.
Una de sus propiedades es;
ln er = r ln e = r(1) = r
3.0.3.
Derivas exponenciales
A partir de y = ex entonces ln y = x,
Def 3.0.2 La función exponencial es la función que a cada x ∈ R le asigna el
número ex , el cual satisface;
e0 = 1 y
d x
e = ex
dx
Debe tener en cuenta las propiedades de los exponentes, es decir;
ex+y = ex · ey
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CAPÍTULO 3. DERIVACIÓN
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enx = (ex )n
y finalmente;
1
ex
e−x =
Gráfica de ex y ln x.
Derivación exponencial.
Aplicando la definición 3.2.4, calcular;
d x
e = ex
dx
basta aplicar la definición.
3.0.4.
Derivadas de logaritmo natural
Dado x ∈ R el logaritmo natural de x es el número real ln x que satisface la
relación;
ln x = y
⇔
ey = x
Esta relación implica que el dominio de la función ln x es el intervalo (0, ∞), ya
que ey > 0 para toda y ∈ R.
Propiedades de funciones logaritmicas.
1. ln(1) = 0
2. ln(x · y) = ln(x) + ln(y)
3. ln(xn ) = n ln(x)
4. ln
1
x
= − ln(x)
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Def 3.0.3 Para cada x ∈ (0, ∞), se tiene que;
d
1 d
ln(u) = ·
u
dx
u dx
3.0.5.
Derivadas de funciones trigonométricas
Para la derivación de funciones trigonométricas, es necesario revisar el material propuesto por la UnADM.
Del material de la UnADM, se tiene que;
d
sin x = cos x
dx
d
cos x = − sin x
dx
El resto de las funciones trigométricas se definen en términos de senos y cosenos,
mediante;
tan x =
sin x
cos x
cot x =
cos x
sin x
sec x =
1
cos x
csc x =
1
sin x
Con regla del cociente para derivar, permite obtener las derivadas de estas
funciones, para ello se define
dy
dx
= Dx, por ejemplo se considera, la siguiente
derivada;
cos x d
cot x = Dx cot x = Dx
dx
sin x
Aplicando la regla;
Dx
=
cos x sin x
=
sin x · (Dx cos x) − cos x · (Dx sin x)
=
sin2 x
sin x(− sin x) − cos x(cos x)
− sin2 x − cos2 x
=
=
2
sin x
sin2 x
2
1
1
=− 2 =−
sin x
sin x
Dx cot x = − csc2 x
Por lo anterior se definen las derivadas de las funciones trigonométricas;
Dx sin x = cos x
Dx cos x = − sin x
Dx tan x = sec x
Dx cot x = − csc2 x
Dx sec x = cos x tan x
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Dx csc x = − csc x cot x
CAPÍTULO 3. DERIVACIÓN
3.0.6.
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Derivadas de funciones trigonométricas inversas
I.
Dx sin−1 x = √
1
1 − x2
II.
Dx cos−1 x = √
III.
Dx tan−1 x =
IV.
Dx sec−1 x =
3.0.7.
1
1 − x2
1
1 + x2
1
|x| x2 − 1
√
Funciones hiperbólicas
En matemáticas aplicadas, ocurren con tal frecuencia ciertas combinaciones
de ex y e−x que tienen nombre especiales.
Def 3.0.4 Funciones hiperbólicas. El seno hiperbólico, coseno hiperbólico y
las cuatro funciones relacionadas se definen como;
1 x
(e − e−x )
2
sinh x
tanh x =
cosh x
1
sec hx =
cosh x
sinh x =
3.0.8.
1 x
(e − e−x )
2
cosh x
coth x =
sinh x
1
csc hx =
sinh x
cosh x =
Regla de derivación hiperbólicas
Dx sinh x = cosh x
Dx tanh x = sec h2 x
Dx cosh x = sinh x
Dx coth x = − csc h2 x
Dx sec hx = − sec hx tanh x
Dx cosh x = − csc hx coth x
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MTE. y LFM. Orlando F. Echeverría
Capítulo 4
Aplicaciones de la derivada
4.1.
Derivada como razón de cambio
4.2.
Razones de cambio
4.3.
Recta tangente a una curva
4.4.
Máximos y mínimos de las funciones
Supongamos que cierto instrumento que mide alguna cantidad física y la
registra, se representa mediante gráfica de función;
para este caso el eje x representa el tiempo y las ordenadas de los puntos de la
gráfica representam magnitudes de la cantidad física medida por el instrumento.
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4.4. MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE LAS FUNCIONES
Por ejemplo, los valores de y pueden representar medición de temperatura,
presión, etc.
Si la figura 4.1 representa la gráfica de una función f , se puede observar y
describir el comportamiento de f (x) cuando x varia.
En las dos definiciones siguiente precisamos lor términos matemáticos que
se emplean.
Def 4.4.1 Si una función f está definida en un intervalo I, entonces;
I. f es creciente en I si f (x1 ) < f (x2 ) siempre que x1 y x2 estén en I y
x1 < x2 .
II. f es decreciente en I si f (x1 ) > f (x2 ) siempre que x1 y x2 estén en I y
x1 < x2 .
III. f es constante en I si f (x1 ) = f (x2 ) para todo x1 y x2 en I.
Def 4.4.2 Si una función está definida en un intervalo I y c es un número en
I, entonces;
I. f (c) es el máximo (o valor máximo) de f en I si f (x) ≤ f (c) para todo
x en I.
II. f (c) es el mínimo (o valor mínimo) de f en I si f (x) ≥ f (c) para todo
x en I.
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CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LA DERIVADA
Ejem 4.4.1 Sea f (x) =
1
x2 .
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Determinar si f es creciente o decreciente, en-
contrar sus máximos y mínimos en los siguientes intervalos; [1, 2], (1, 2], (1, 2),
(−2, −1] y [−1, 2]
Solución. Por inspección de la gráfica de f (x), se tiene;
Intervalo
f
Máximo f
Mínimo f
[1, 2]
Decreciente
f (1) = 1
f (2) =
(1, 2]
Decreciente
No tiene
f (2) =
1
4
1
4
(1, 2)
Decreciente
No tiene
No tiene
(−2, −1]
Creciente
f (−1) = 1
No tiene
[−1, 2]
Ni uno, ni otro
No tiene
f (2) =
1
4
La función no es continua en el intervalo [−1, 2]. Aun que f es creciente en
[−1, 0) y decreciente en (0, 2] no se puede decir de f ninguna de las dos.
Teorema 4.4.1 Si una función f es continua en un intervalo cerrado [a, b],
entonces f alcanza sus valores máximo y mínimo por lo menos una vez en el
intervalo.
Teorema 4.4.2 Si una función f es continua en un intervalo cerrado [a, b]
y toma su máximo o su mínimo en un número c del intervalo abierto (a, b),
entonces f 0 (c) = 0, o bien f 0 (c) no existe.
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4.4. MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE LAS FUNCIONES
Def 4.4.3 Un número c en el dominio de una función f es un número crítico
de f si f 0 (c) = 0, o bien f 0 (c) no existe.
Pasos para determinar el máximo y mínimo absoluto de una fución f en un
intervalo cerrado [a, b];
1. Encontrar todo los números críticos de f
2. Calcular f (c) para cada número crítico c.
3. Calcular f (a) y f (b).
4. Los valores máximo y mínimo de f en [a, b] serán respectivamente el mayor
y el menor de estos valores de la función.
Ejem 4.4.2 Sea f (x) = x3 − 12x. Encuentre los valores máximo y mínimo de
f en el intervalo cerrado [−3, 5]. Dibuje la gráfica de la función f .
Solución. Primeramente se determinan los número críticos de f . Derivando;
f (x) = x3 − 12x
f 0 (x) = 3x2 − 12 = 3(x2 − 4) = 3(x + 2)(x − 2)
f 0 (x) = 3(x + 2)(x − 2)
Se observa que la derivada existe en todas partes, los únicos números críticos
serán en los que la derivada se anula, es decir; en -2 y 2.
En la gráfica;
Como f es continua en [−3, 5], se sigue que el máximo y el mínimo absoluto son
dos de los siguientes números; f (−2), f (2), f (−3) y f (5);
f (−2) = (−2)3 − 12(−2) = −8 + 24 = 16
f (2) = (2)3 − 12(2) = 8 − 24 = −16
f (−3) = (−3)3 − 12(−3) = −27 + 36 = 9
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CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LA DERIVADA
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f (5) = (5)3 − 12(5) = 125 − 60 = 65
Por lo tanto el mínimo es f (2) = −16 y el máximo f (5) = 65 en el intervalo
cerrado [−3, 5]
4.4.1.
Criterio de la primera derivada
El siguiente teorema indica cómo usas la derivada para determinar los intervalos en los que una función es creciente o decreciente;
Teorema 4.4.3 Sea f una función que es continua en un intervalo cerrado
[a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b)
1. Si f 0 (x) > 0 para toda x en (a, b), entonces f es creciente en [a, b].
2. Si f 0 (x) < 0 para toda x en (a, b), entonces f es decreciente en [a, b].
Ejem 4.4.3 Sea f (x) = x3 + x2 − 5x − 5. Encuentre los intervalos en los cuales
f es creciente y en los cuales es decreciente. Dibuje la gráfica de la función.
Solución. Derivando se obtiene;
f (x) = x3 + x2 − 5x − 5
f 0 (x) = 3x2 + 2x − 5 = (3x + 5)(x − 1)
f 0 (x) = (3x + 5)(x − 1)
La gráficas se muestra f (x) y f 0 (x)
Los punto críticos que se muestran en la gráfica de la función derivada son − 53
y 1, por lo que se deben considerarse los intervalos (−∞, − 35 ), (− 53 , 1) y (1, ∞),
por lo tanto;
Intervalo
(3x + 5)
x−1
f 0 (x)
f
(−∞, − 53 )
(− 35 , 1)
-
-
+
Creciente en (−∞, − 53 ]
+
-
-
Decreciente en [− 35 , 1]
(1, ∞)
+
+
+
Creciente en [1, ∞)
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4.4. MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE LAS FUNCIONES
4.4.2.
Actividad 3. Máximos y mínimos, gráfica de funciones. Unidad 4.
1. Sea f (x) = x3 . Demostrar que f no tiene valores extremos.
2. Encuentre los números críticos de f si f (x) = (x + 5)2 ·
√
3
x−4
En cada f , encuentre el máximo y mínimo en el intervalo indicado, realice
la gráfica de la función;
3. f (x) = 5 − 6x2 − 2x3 para [−3, 1]
2
4. f (x) = 1 − x 3 para [−1, 8]
1
5. Sea f (x) = x 3 (8 − x).Encuentre los intervalos en los cuales es creciente
y decreciente, además los máximos y mínimos de f . Dibuje la gráfica de
f (x) y f 0 (x).
2
6. Sea f (x) = x 3 (x2 − 8).Encuentre los intervalos en los cuales es creciente
y decreciente, además los máximos y mínimos de f . Dibuje la gráfica de
f (x) y f 0 (x).
FIN
Un gusto y placer, colaborar con cada uno de ustedes, espero que la materia
fuese de su agrado y la expectativa este lograda.
Reciban un saludo virtual muy afectuoso, felices fiestas de fin de año,
bendiciones a ustedes y seres queridos.
Saludos:
Fabián Echeverría.
MTE. y LFM. Orlando F. Echeverría
Bibliografía
Granville (1995). Cálculo diferencial e integral. México, Limusa.
Purcell, E. (1992). Cálculo con geometrÃa analÃtica. México, PHH.
Swokowski, E. (1982). Cálculo con geometría analítica. California, Wadsworth.
UnADM (S.F.). Cálculo diferencial. México, UnADM.
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