TECNOLOGICO NACIONAL DE MEXICO
INSTITUTO TECNOLOGICO DE OCOTLAN
INGENIERIA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
PORTAFOLIO DE EVIDENCIAS
PROFESOR: AVALOS OCHOA RAUL
ALUMNO: RODRIGUEZ GONZALEZ BENJAMIN
FECHA: 05/JULIO/2021
CONTENIDO
UNIDAD DOS. FUNDAMENTOS DE PROBABILIDAD
3
2.1. CONJUNTOS Y TÉCNICAS DE CONTEO.
3
2.2. CONCEPTO CLÁSICO Y COMO FRECUENCIA RELATIVA.
5
2.3. ESPACIO MUESTRAL Y EVENTOS.
6
2.4. AXIOMAS Y TEOREMAS.
8
2.5. PROBABILIDAD CLÁSICA: ESPACIO FINITO EQUIPARABLE.
9
2.6. PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA.
11
2.7. TEOREMA DE BAYES
13
UNIDAD TRES. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
15
3.1 DEFINICION DE DISTRIBUCION DE VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
15
3.2. FUNCIÓN DE PROBABILIDAD Y DE DISTRIBUCIÓN, VALOR ESPERADO,
VARIANZA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR.
18
3.3. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.
25
3.4. DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA
27
3.4.1 APROXIMACIÓN DE LA HIPERGEOMÉTRICA POR LA BINOMIAL.
30
3.7. DISTRIBUCIÓN DE POISSON.
34
3.9. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA.
36
UNIDAD CUATRO. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS.
40
4.1 DEFINICIÓN DE VARIABLE ALEATORIA CONTINÚA.
40
4.2. FUNCIÓN DE DENSIDAD Y ACUMULATIVA.
41
4.3. VALOR ESPERADO, VARIANZA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR.
44
4.4. DISTRIBUCIÓN UNIFORME (CONTINUA).
45
4.5 DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL.
46
4.6 DISTRIBUCIÓN GAMMA (ERLANG).
47
4.7. DISTRIBUCIÓN NORMAL.
48
4.7.1 APROXIMACIÓN DE LA BINOMIAL A LA NORMAL.
4.8. TEOREMA DE CHEBYSHEV.
52
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
RODRIGUEZ GONZALEZ BENJAMIN
50
56
2
SISTEMAS “A”
UNIDAD DOS. FUNDAMENTOS DE PROBABILIDAD
2.1. CONJUNTOS Y TÉCNICAS DE CONTEO.
EL TÉRMINO CONJUNTO JUEGA UN PAPEL FUNDAMENTAL EN EL
DESARROLLO
DE
LAS
MATEMÁTICAS
MODERNAS;
ADEMÁS
DE
PROPORCIONAR LAS BASES PARA COMPRENDER CON MAYOR CLARIDAD
ALGUNOS ASPECTOS DE LA TEORÍA
DE LA PROBABILIDAD. SU ORIGEN SE DEBE AL MATEMÁTICO ALEMÁN
GEORGE CANTOR (1845 – 1918). PODEMOS DEFINIR DE MANERA INTUITIVA A
UN CONJUNTO, COMO UNA COLECCIÓN O LISTADO DE OBJETOS CON
CARACTERÍSTICAS BIEN DEFINIDAS QUE LO HACE PERTENECER A UN GRUPO
DETERMINADO.
PARA QUE EXISTA UN CONJUNTO DEBE BASARSE EN LO SIGUIENTE:
o LA COLECCIÓN DE ELEMENTOS DEBE ESTAR BIEN DEFINIDA.
o NINGÚN ELEMENTO DEL CONJUNTO SE DEBE CONTAR MÁS DE
UNA VEZ, GENERALMENTE, ESTOS ELEMENTOS DEBEN SER
DIFERENTES, SI UNO DE ELLOS SE REPITE SE CONTARÁ SÓLO UNA
VEZ.
o EL ORDEN EN QUE SE ENUMERAN LOS ELEMENTOS QUE CARECEN
DE IMPORTANCIA.
NOTACIÓN: A LOS CONJUNTOS SE LES REPRESENTA CON LETRAS
MAYÚSCULAS A, B, C, Y A LOS ELEMENTOS CON LETRAS MINÚSCULAS A, B, C,,
POR EJEMPLO, EL CONJUNTO A CUYOS ELEMENTOS SON LOS NÚMEROS EN EL
LANZAMIENTO DE UN DADO.
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
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3
SISTEMAS “A”
EN BASE A LA CANTIDAD DE ELEMENTOS QUE TENGA UN CONJUNTO,
ESTOS SE PUEDEN CLASIFICAR EN CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS.
FINITOS: TIENEN UN NÚMERO CONOCIDO DE ELEMENTOS, ES DECIR,
SE ENCUENTRAN DETERMINADOS POR SU LONGITUD O CANTIDAD. EJEMPLO:
EL CONJUNTO DE DÍAS DE LA SEMANA.
INFINITOS: SON AQUELLOS EN LOS CUALES NO PODEMOS
DETERMINAR SU LONGITUD. EJEMPLO: EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS
REALES.
EXISTEN DOS FORMAS COMUNES DE EXPRESAR UN CONJUNTO Y LA
SELECCIÓN DE UNA FORMA PARTICULAR DE EXPRESIÓN DEPENDE DE LA
CONVENIENCIA Y DE CIERTAS CIRCUNSTANCIAS SIENDO:
EXTENSIÓN: CUANDO SE DESCRIBE A CADA UNO DE LOS ELEMENTOS.
A = {A, E, I, O, U}
COMPRENSIÓN: CUANDO SE ENUNCIAN LAS PROPIEDADES QUE
DEBEN TENER SUS ELEMENTOS.
A = {X | X ES UNA VOCAL}
PARA DESCRIBIR SI UN ELEMENTO PERTENECE O NO A UN
CONJUNTO, SE UTILIZA EL SÍMBOLO DE PERTENENCIA O ES
ELEMENTO DE, CON EL SÍMBOLO _, EN CASO CONTRARIO _.
A = {1, 2, 3}
2 _ A; 5 _ A
EJEMPLO:
UN GRUPO DE 10 PERSONAS QUIEREN HACER LIMPIEZA EN EL BARRIO
Y SE PREPARAN PARA FORMAR GRUPOS DE 2 MIEMBROS CADA UNO,
¿CUÁNTOS GRUPOS SON POSIBLES?
EN ESTE CASO, N = 10 Y R = 2, ASÍ PUES, APLICANDO LA FÓRMULA:
10C2=10! / (10-2)!2! =180 PAREJAS DISTINTAS.
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SISTEMAS “A”
2.2. CONCEPTO CLÁSICO Y COMO FRECUENCIA RELATIVA.
UNA FRACCIÓN EN LA QUE EL NUMERADOR ES IGUAL AL NÚMERO
DE APARICIONES DEL SUCESO Y EL DENOMINADOR ES IGUAL AL NÚMERO
TOTAL DE CASOS EN LOS QUE ES SUCESO PUEDA O NO PUEDA OCURRIR. TAL
FRACCIÓN EXPRESA LA PROBABILIDAD DE QUE OCURRA EL SUCESO".
EL ENFOQUE CLÁSICO DE LA PROBABILIDAD ESTÁ BASADO EN LA
SUPOSICIÓN DE QUE TODOS LOS RESULTADOS DEL EXPERIMENTO SON
IGUALMENTE POSIBLES. LA PROBABILIDAD SE CALCULA DE LA SIGUIENTE
MANERA:
EJEMPLO:
EL EXPERIMENTO ES LANZAR UN DADO. ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD
DE QUE CAIGA UN DOS HACIA ARRIBA? LAS CARAS EL DADO ESTÁN
NUMERADAS DEL 1 AL 6, ENTONCES HAY UNA POSIBILIDAD DE UN TOTAL DE
SEIS DE QUE EL NÚMERO 2 QUEDE HACIA ARRIBA:
P(cae 2) =
1
= 0.166
6
LA PRINCIPAL DIFICULTAD QUE PRESENTA ESTA INTERPRETACIÓN DE
LA PROBABILIDAD ES QUE SE BASA EN SUCESOS EQUIPROBABLES, SIENDO
FÁCIL PARA PROBLEMAS SENCILLOS, COMO LOS DE CARTAS, DADOS O
URNAS, ES CASI IMPOSIBLE PARA PROBLEMAS MÁS COMPLEJOS.
ES LA RELACIÓN O COCIENTE ENTRE LA FRECUENCIA ABSOLUTA Y EL
NÚMERO TOTAL DE OBSERVACIONES. ES LA PROPORCIÓN ENTRE LA
FRECUENCIA DE UN INTÉRVALO Y EL NÚMERO TOTAL DE DATOS.
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SISTEMAS “A”
2.3. ESPACIO MUESTRAL Y EVENTOS.
ES UN CONJUNTO FORMADO POR TODOS LOS POSIBLES
RESULTADOS DE UN EXPERIMENTO ALEATORIO. A CADA ELEMENTO DEL
ESPACIO MUESTRAL SE CONOCE COMO PUNTO MUESTRAL (ELEMENTO O
MIEMBRO DEL ESPACIO MUESTRAL). NOTACIÓN. EL ESPACIO MUESTRAL DE UN
EXPERIMENTO SE DENOTA POR MEDIO DE LA LETRA S. EN ALGUNAS
REFERENCIAS SE USA LA LETRA GRIEGA MAYÚSCULA OMEGA, PARA
REPRESENTAR EL ESPACIO MUESTRAL.
UN EVENTO ES UN SUBCONJUNTO DEL ESPACIO MUESTRAL
1. AL LANZAR UNA MONEDA, VIMOS QUE S = {A, S}. ENTONCES EL
EVENTO A DE QUE CAIGA “SOL” ES EL SUBCONJUNTO A = {S}. SE
CUMPLE QUE A S.
2. AL LANZAR UN DADO, PUEDE DEFINIRSE EL EVENTO B DE QUE
OCURRA UNA CARA CON NÚMERO PAR. EN ESTE CASO, B= {2,4,6}.
OBSERVEMOS QUE B ES UN SUBCONJUNTO DE S, B S.
EJEMPLOS DE ESPACIO MUESTRAL
o CUANDO SE LANZA UNA MONEDA PUEDE CAER “ÁGUILA” (A) O
“SOL” (S). ASÍ, S = {A, S}.
o AL LANZAR UN DADO, PUEDE CAER CUALQUIERA DE SUS SEIS
CARAS CON 1, 2, 3, 4, 5 O 6 PUNTOS. EN ESTE CASO, S=
{1,2,3,4,5,6}.
o SI SE LANZAN TRES MONEDAS AL MISMO TIEMPO PUEDE OCURRIR
CUALQUIERA DE 8 RESULTADOS POSIBLES. ASÍ QUE, S= {AAA, SSS,
ASS, SSA, SAS, SAA, AAS, ASA}.
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SISTEMAS “A”
o AL REGISTRARSE EL SEXO DE LA SIGUIENTE PERSONA QUE NACE
PUEDE OCURRIR HOMBRE (H) O MUJER (M). EL ESPACIO
MUESTRAL ES S= {H, M}.
EN EL EJEMPLO 5 DE EXPERIMENTO, SI EN EL PRIMER LANZAMIENTO
CAE SOL, ENTONCES SE LANZA OTRA VEZ LA MONEDA, DANDO LUGAR A LAS
SIGUIENTES POSIBILIDADES, SS, SA; PERO SI EN EL PRIMER LANZAMIENTO
OCURRE ÁGUILA, SE LANZA UN DADO, DANDO LUGAR A LOS PUNTOS
MUESTRALES A1, A2, A3, A4, A5, A6.
ENTONCES EL ESPACIO MUESTRAL ES S= {SS, SA, A1, A2, A3, A4, A5, A6}
OBSERVE QUE, EN ESTE EJEMPLO DE ESPACIO MUESTRAL, CADA
ELEMENTO ES UN PAR ORDENADO; EN EL EJEMPLO 3, UNA TERNA ORDENADA.
EN GENERAL, UN PUNTO MUESTRAL PUEDE CONSISTIR DE UN K-TUPLE
ORDENADO. A VECES, LOS ESPACIOS MUESTRALES TIENEN UN NÚMERO
GRANDE O INFINITO DE ELEMENTOS. EN ESTE CASO ES MEJOR USAR UNA
REGLA O DESCRIPCIÓN ANTES QUE ENUMERAR (*) SUS ELEMENTOS. SI LOS
RESULTADOS POSIBLES DE UN EXPERIMENTO SON EL CONJUNTO DE
INDIVIDUOS EN EL MUNDO CON MÁS DE 1.60 M DE ESTATURA QUE ASISTEN A
UNA UNIVERSIDAD, EL ESPACIO MUESTRAL SE ESCRIBE ASÍ: S = {X|X ES UNA
PERSONA CON MÁS DE 1.60 M DE ESTATURA QUE ASISTE A UNA UNIVERSIDAD}
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SISTEMAS “A”
2.4. AXIOMAS Y TEOREMAS.
AXIOMAS:
LA PROBABILIDAD DE QUE OCURRA UN EVENTO A CUALQUIERA SE
ENCUENTRA ENTRE CERO Y UNO. 0 £ P(A) ³ 1
LA PROBABILIDAD DE QUE OCURRA EL ESPACIO MUESTRAL D DEBE
DE SER 1. P(D) = 1
SI A Y B SON EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES, ENTONCES LA
P(AÈB) = P(A) + P(B) GENERALIZANDO: SI SE TIENEN N EVENTOS MUTUAMENTE
EXCLUYENTES O EXCLUSIVOS A1, A2, A3, ..., AN, ENTONCES;
P(A1ÈA2È.........ÈAN) = P(A1) + P(A2) + .......+ P(AN)
TEOREMAS:
TEOREMA 1. SI F ES UN EVENTO NULO O VACÍO, ENTONCES LA
PROBABILIDAD DE QUE OCURRA F DEBE SER CERO.
P(F)=0
DEMOSTRACIÓN: SI SUMAMOS A FUN EVENTO A CUALQUIERA, COMO F Y A
SON DOS EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES, ENTONCES P(AFÈ)=P(A)
+P(F)=P(A). LQQD
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SISTEMAS “A”
2.5. PROBABILIDAD CLÁSICA: ESPACIO FINITO EQUIPARABLE.
SEA D UN ESPACIO MUESTRAL QUE CONTIENE N ELEMENTOS, D = {A1,
A2, A3, …, AN}, SI A CADA UNO DE LOS ELEMENTOS DE D LE ASIGNAMOS UNA
PROBABILIDAD IGUAL DE OCURRENCIA, PI = 1/N POR TENER N ELEMENTOS D,
ENTONCES ESTAMOS TRANSFORMANDO ESTE ESPACIO MUESTRAL EN UN
ESPACIO FINITO EQUIPROBABLE, EL QUE DEBE CUMPLIR CON LAS SIGUIENTES
CONDICIONES: 1. LAS PROBABILIDADES ASOCIADAS A CADA UNO DE LOS
ELEMENTOS DEL ESPACIO MUESTRAL DEBEN SER MAYORES O IGUALES A CERO,
PI ³ 0. 2. LA SUMATORIA DE LAS PROBABILIDADES ASOCIADAS A CADA
ELEMENTO DEL ESPACIO MUESTRAL DEBE DE SER IGUAL A 1.
SPI = 1
EN CASO DE QUE NO SE CUMPLA CON LAS CONDICIONES
ANTERIORES, ENTONCES NO SE TRATA DE UN ESPACIO FINITO EQUIPROBABLE.
SOLO EN EL CASO DE ESPACIOS FINITOS EQUIPROBABLES, SI
DESEAMOS DETERMINAR LA PROBABILIDAD DE QUE OCURRA UN EVENTO A
CUALQUIERA, ENTONCES;
P(A) = R*1/N = R/N
P(A) = MANERAS DE OCURRIR EL EVENTO A/ NÚMERO DE ELEMENTOS
DEL ESPACIO MUESTRAL
R = MANERAS DE QUE OCURRA EL EVENTO A
1/N = PROBABILIDAD ASOCIADA A CADA UNO DE LOS ELEMENTOS
DEL ESPACIO MUESTRAL
N = NÚMERO DE ELEMENTOS DEL ESPACIO MUESTRAL
EJEMPLO:
SE LANZA AL AIRE UNA MONEDA NORMAL (UNA MONEDA
PERFECTAMENTE EQUILIBRADA) TRES VECES, DETERMINE LA PROBABILIDAD DE
QUE: A. APAREZCAN PUROS SELLOS, B. APAREZCAN DOS ÁGUILAS, C.
APAREZCAN POR LO MENOS DOS ÁGUILAS.
SOLUCIÓN:
PARA CALCULAR LAS PROBABILIDADES DE ESTE PROBLEMA, HAY QUE
DEFINIR EL ESPACIO MUESTRAL EN CUESTIÓN; SI REPRESENTAMOS LOS TRES
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SISTEMAS “A”
LANZAMIENTOS DE LA MONEDA MEDIANTE UN DIAGRAMA DE ÁRBOL,
ENCONTRAREMOS QUE EL ESPACIO MUESTRAL O EL CONJUNTO DE TODOS
LOS RESULTADOS POSIBLES ES:
D = {AAA, ASS, SAS, SSA, AAS, SAA, ASA, SSS}
A = EVENTO DE QUE APAREZCAN PUROS SELLOS = {SSS}
P(A) = P (APAREZCAN PUROS SELLOS) = P(SSS) = 1/8 = 0.125
¿POR QUÉ UN OCTAVO?, SÍ EL ESPACIO MUESTRAL CONSTA DE 8
ELEMENTOS COMO SE HA OBSERVADO, ENTONCES LA PROBABILIDAD
ASOCIADA A CADA UNO DE LOS ELEMENTOS DEL ESPACIO MUESTRAL ES DE
1/8, POR SER UN ESPACIO FINITO EQUIPROBABLE YA QUE CADA UNO DE LOS
ELEMENTOS MOSTRADOS TIENE LA MISMA PROBABILIDAD DE OCURRENCIA.
B = EVENTO DE QUE APAREZCAN DOS ÁGUILAS = {AAS, SAA, ASA}
P(B) = P (APAREZCAN DOS ÁGUILAS) = P(AAS, SAA, ASA) = 1/8 + 1/8 + 1/8 =
3/8 = 0.375
C = EVENTO DE QUE APAREZCAN POR LO MENOS DOS ÁGUILAS =
{AAS, SAA, ASA, AAA}
P(C) = P (AAS, SAA, ASA, AAA) =P (APAREZCAN DOS ÁGUILAS) + P
(APAREZCAN TRES ÁGUILAS)
P(C) = 4/8 = 1/2 = 0.5
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SISTEMAS “A”
2.6. PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA.
SEA B UN EVENTO ARBITRARIO DE UN ESPACIO MUESTRAL S CON
P(B)>0. LA PROBABILIDAD DE QUE UN EVENTO A SUCEDA UNA VEZ QUE B
HAYA SUCEDIDO, O, EN OTRAS PALABRAS, LA PROBABILIDAD CONDICIONAL
DE A DADO B, SE DEFINE COMO SIGUE:
𝑃(𝐴|𝐵) =
𝑃(𝐴∩𝐵)
𝑃(𝐵)
P(A|B) = NÚMERO DE ELEMENTOS QUE PERTENECEN TANTO A COMO
A B / NÚMERO DE ELEMENTOS DE B.
COMPRENDIENDO LA PROBABILIDAD CONDICIONAL
COMO SE APRECIA EN EL DIAGRAMA DE VENN, P(A|B) EN CIERTO
SENTIDO MIDE LA PROBABILIDAD RELATIVA DE A CON RELACIÓN AL ESPACIO
REDUCIDO B.
𝑃(𝐴|𝐵) =
𝑃(𝐴∩𝐵)
𝑃(𝐵)
EJEMPLO:
SUPONGA QUE SE TIRA UN DADO Y DESEAMOS QUE SALGA EL
NÚMERO 6. SABEMOS QUE P (6) =1/6. SUPONGA QUE NO SABEMOS QUE
NÚMERO SALIÓ, PERO NOS DICEN QUE FUE UN NÚMERO PAR (EVENTO B). ESTA
NUEVA INFORMACIÓN REDUCE NUESTRO ESPACIO MUESTRAL Y CAMBIA LA
PROBABILIDAD DE HALLAR UN 6.
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SISTEMAS “A”
123456
PROBABILIDAD ORIGINAL DE QUE SALGA 6 = 1/6.
PROBABILIDAD DEL ESPACIO MUESTRAL REDUCIDO = 1/3.
𝑃(6 ∩ 𝑃𝐴𝑅) 1⁄6 1
𝑃(6|𝑃𝐴𝑅) =
=
= ⁄3
1⁄
𝑃(𝑃𝐴𝑅)
2
NOTA: LA PROBABILIDAD DE LA INTERSECCIÓN DE 6 Y UN PAR ES 1/6
DEBIDO A QUE LA INTERSECCIÓN DE LOS DOS EVENTOS ES SOLAMENTE EL
EVENTO 6.
OTRAS FORMAS ÚTILES DE PROBABILIDAD CONDICIONAL EXISTEN
OTRAS DOS FORMAS ÚTILES DE LA DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD
CONDICIONAL, QUE SON IGUALES ALGEBRAICAMENTE A LA FÓRMULA
ORIGINAL.
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SISTEMAS “A”
2.7. TEOREMA DE BAYES
EN LA TEORÍA DE LA PROBABILIDAD EL TEOREMA DE BAYES ES UN
RESULTADO ENUNCIADO POR THOMAS BAYES EN 17631 QUE EXPRESA LA
PROBABILIDAD CONDICIONAL DE UN EVENTO ALEATORIO A DADO B EN
TÉRMINOS DE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD CONDICIONAL DEL EVENTO
B DADO A Y LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD MARGINAL DE SÓLO A. EN
TÉRMINOS MÁS GENERALES Y MENOS MATEMÁTICOS, EL TEOREMA DE BAYES
ES DE ENORME RELEVANCIA PUESTO QUE VINCULA LA PROBABILIDAD DE A
DADO B CON LA PROBABILIDAD DE B DADO A. ES DECIR QUE SABIENDO LA
PROBABILIDAD DE TENER UN DOLOR DE CABEZA DADO QUE SE TIENE GRIPE,
SE PODRÍA SABER (SI SE TIENE ALGÚN DATO MÁS), LA PROBABILIDAD DE TENER
GRIPE SI SE TIENE UN DOLOR DE CABEZA, MUESTRA ESTE SENCILLO EJEMPLO LA
ALTA RELEVANCIA DEL TEOREMA EN CUESTIÓN PARA LA CIENCIA EN TODAS
SUS RAMAS, PUESTO QUE TIENE VINCULACIÓN ÍNTIMA CON LA COMPRENSIÓN
DE LA PROBABILIDAD DE ASPECTOS CAUSALES DADOS LOS EFECTOS
OBSERVADOS.
SEA {A1, A2, Ai, An} UN CONJUNTO DE SUCESOS MUTUAMENTE
EXCLUYENTES Y EXHAUSTIVOS, Y TALES QUE LA PROBABILIDAD DE CADA UNO
DE ELLOS ES DISTINTA DE CERO (0). SEA B UN SUCESO CUALQUIERA DEL QUE
SE CONOCEN LAS PROBABILIDADES CONDICIONALES P(B|\ Ai ENTONCES LA
PROBABILIDAD P(Ai|\ B)
VIENE DADA POR LA EXPRESIÓN:
P(Ai) SON LAS PROBABILIDADES A PRIORI
P (B |Ai) ES LA PROBABILIDAD DE B EN LA HIPOTESIS
P (Ai | B) SON LAS PROBABILIDADES A POSTERIORI
EJEMPLO:
UNA EMPRESA TIENE UNA FÁBRICA EN ESTADOS UNIDOS QUE
DISPONE DE TRES MÁQUINAS A, B Y C, QUE PRODUCEN ENVASES PARA
BOTELLAS DE AGUA. SE SABE QUE LA MÁQUINA A PRODUCE UN 40% DE LA
CANTIDAD TOTAL, LA MÁQUINA B UN 30%, Y LA MÁQUINA C UN 30%. TAMBIÉN
SE SABE QUE CADA MÁQUINA PRODUCE ENVASES DEFECTUOSOS. DE TAL
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SISTEMAS “A”
MANERA QUE LA MÁQUINA A PRODUCE UN 2% DE ENVASES DEFECTUOSOS
SOBRE EL TOTAL DE SU PRODUCCIÓN, LA MÁQUINA B UN 3%, Y LA MÁQUINA
C UN 5%. DICHO ESTO, SE PLANTEAN DOS CUESTIONES:
P(A) = 0,40
P(D/A) = 0,02
P(B) = 0,30
P(D/B) = 0,03
P(C) = 0,30
P(D/C) = 0,05
1. SI UN ENVASE HA SIDO FABRICADO POR LA FÁBRICA DE ESTA
EMPRESA EN ESTADOS UNIDOS ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE SEA
DEFECTUOSO?
SE CALCULA LA PROBABILIDAD TOTAL. YA QUE, A PARTIR LOS
DIFERENTES SUCESOS, CALCULAMOS LA PROBABILIDAD DE QUE SEA
DEFECTUOSO.
𝑃(𝐷) = [𝑃(𝐴)𝑋𝑃(𝐷/𝐴)] + [𝑃(𝐵)𝑋𝑃(𝐷/𝐵)] + [𝑃(𝐶)𝑋𝑃(𝐷/𝐶)]
= [0,4𝑋0,02] + [0,3𝑋0,03] + [0,3𝑋0,05] = 0,032
EXPRESADO EN PORCENTAJE, DIRÍAMOS QUE LA PROBABILIDAD DE
QUE UN ENVASE FABRICADO POR LA FÁBRICA DE ESTA EMPRESA EN ESTADOS
UNIDOS SEA DEFECTUOSO ES DEL 3,2%.
2. SIGUIENDO CON LA PREGUNTA ANTERIOR, SI SE ADQUIERE UN
ENVASE Y ESTE ES DEFECTUOSO ¿CUÁLES ES LA PROBABILIDAD DE QUE HAYA
SIDO FABRICADO POR LA MÁQUINA A? ¿Y POR LA MÁQUINA B? ¿Y POR LA
MÁQUINA C?
AQUÍ SE UTILIZA EL TEOREMA DE BAYES. TENEMOS INFORMACIÓN
PREVIA, ES DECIR, SABEMOS QUE EL ENVASE ES DEFECTUOSO. CLARO QUE,
SABIENDO QUE ES DEFECTUOSO, QUEREMOS SABER CUAL ES LA
PROBABILIDAD DE QUE SE HAYA PRODUCIDO POR UNA DE LAS MÁQUINAS.
P(𝐴/𝐷) = [𝑃(𝐴)𝑋𝑃(𝐷/𝐴)]/P(𝐷) = [0,40𝑋0,02]/0,032 = 0,25
𝑃(𝐵/𝐷) = [𝑃(𝐵)𝑋𝑃(𝐷/𝐵)]/𝑃(𝐷) = [0,30𝑋0,03]/0,032 = 0,28
𝑃(𝐶/𝐷) = [𝑃(𝐶)𝑋𝑃(𝐷/𝐶)]/𝑃(𝐷) = [0,30𝑋0,05]/0,032 = 0,47
SABIENDO QUE UN ENVASE ES DEFECTUOSO, LA PROBABILIDAD DE
QUE HAYA SIDO PRODUCIDO POR LA MÁQUINA A ES DEL 25%, DE QUE HAYA
SIDO PRODUCIDO POR LA MÁQUINA B ES DEL 28% Y DE QUE HAYA SIDO
PRODUCIDO POR LA MÁQUINA C ES DEL 47%.
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14
SISTEMAS “A”
UNIDAD TRES. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
3.1 DEFINICION DE DISTRIBUCION DE VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
EN
CUALQUIER
EXPERIMENTO,
EXISTEN
NUMEROSAS
CARACTERÍSTICAS QUE PUEDEN SER OBSERVADAS O MEDIDAS, PERO EN LA
MAYORÍA DE LOS CASOS UN EXPERIMENTADOR SE ENFOCA EN ALGÚN
ASPECTO ESPECÍFICO O ASPECTOS DE UNA MUESTRA. POR EJEMPLO, EN UN
ESTUDIO DE PATRONES DE VIAJE ENTRE LOS SUBURBIOS Y LA CIUDAD EN UN
ÁREA METROPOLITANA, A CADA INDIVIDUO EN UNA MUESTRA SE LE PODRÍA
PREGUNTAR SOBRE LA DISTANCIA QUE RECORRE PARA IR DE SU CASA AL
TRABAJO Y VICEVERSA Y EL NÚMERO DE PERSONAS QUE LO HACEN EN EL
MISMO VEHÍCULO, PERO NO SOBRE SU COEFICIENTE INTELECTUAL, INGRESO,
TAMAÑO DE SU FAMILIA Y OTRAS CARACTERÍSTICAS. POR OTRA PARTE, UN
INVESTIGADOR PUEDE PROBAR UNA MUESTRA DE COMPONENTES Y ANOTAR
SÓLO EL NÚMERO DE LOS QUE HAN FALLADO DENTRO DE 1000 HORAS, EN
LUGAR DE ANOTAR LOS TIEMPOS DE FALLA INDIVIDUALES. EN GENERAL, CADA
RESULTADO DE UN EXPERIMENTO PUEDE SER ASOCIADO CON UN NÚMERO
ESPECIFICANDO UNA REGLA DE ASOCIACIÓN (P. EJ., EL NÚMERO ENTRE LA
MUESTRA DE DIEZ COMPONENTES QUE NO DURAN 1000 HORAS O EL PESO
TOTAL DEL EQUIPAJE EN UNA MUESTRA DE 25 PASAJEROS DE AEROLÍNEA).
SEMEJANTE REGLA DE ASOCIACIÓN SE LLAMA VARIABLE ALEATORIA,
VARIABLE PORQUE DIFERENTES VALORES NUMÉRICOS SON POSIBLES Y
ALEATORIA PORQUE EL VALOR OBSERVADO DEPENDE DE CUÁL DE LOS
POSIBLES RESULTADOS EXPERIMENTALES RESULTE.
PARA UN ESPACIO MUESTRAL DADO S DE ALGÚN EXPERIMENTO, UNA
VARIABLE ALEATORIA (VA, ORV, POR SUS SIGLAS EN INGLÉS) ES CUALQUIER
REGLA QUE ASOCIA UN NÚMERO CON CADA RESULTADO EN S. EN LENGUAJE
MATEMÁTICO, UNA VARIABLE ALEATORIA ES UNA FUNCIÓN CUYO DOMINIO
ES EL ESPACIO MUESTRAL Y CUYO RANGO ES EL CONJUNTO DE NÚMEROS
REALES.
RODRIGUEZ GONZALEZ BENJAMIN
15
SISTEMAS “A”
DOS TIPOS DE VARIABLES ALEATORIAS
UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA ES UNA VARIABLE ALEATORIA
CUYOS VALORES POSIBLES O CONSTITUYEN UN CONJUNTO FINITO O BIEN
PUEDEN SER PUESTOS EN LISTA EN UNA SECUENCIA INFINITA EN LA CUAL EXISTE
UN PRIMER ELEMENTO, UN SEGUNDO ELEMENTO, Y ASÍ SUCESIVAMENTE
(“CONTABLEMENTE” INFINITA). UNA VARIABLE ALEATORIA ES CONTINUA SI
AMBAS DE LAS SIGUIENTES CONDICIONES APLICAN: 1. SU CONJUNTO DE
VALORES POSIBLES SE COMPONE DE O TODOS LOS NÚMEROS QUE HAY EN UN
SOLO INTERVALO SOBRE LA LÍNEA DE NUMERACIÓN (POSIBLEMENTE DE
EXTENSIÓN INFINITA, ES DECIR, DESDE MENOS INFINITO HASTA MÁS INFINITO)
O TODOS LOS NÚMEROS EN UNA UNIÓN EXCLUYENTE DE DICHOS INTERVALOS
(P. EJ., [0, 10] [20, 30]). 2. NINGÚN VALOR POSIBLE DE LA VARIABLE ALEATORIA
TIENE PROBABILIDAD POSITIVA, ESTO ES, P (X C) 0 CON CUALQUIER VALOR
POSIBLE DE C.
AUNQUE CUALQUIER INTERVALO SOBRE LA LÍNEA DE NUMERACIÓN
CONTIENE UN NÚMERO INFINITO DE NÚMEROS, SE PUEDE DEMOSTRAR QUE NO
EXISTE NINGUNA FORMA DE CREAR UNA LISTA INFINITA DE TODOS
ESTOS VALORES, EXISTEN SÓLO DEMASIADOS DE ELLOS. LA SEGUNDA
CONDICIÓN QUE DESCRIBE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA ES TAL VEZ
CONTRAINTUITIVA, PUESTO QUE PARECERÍA QUE IMPLICA UNA PROBABILIDAD
TOTAL DE CERO CON TODOS LOS VALORES POSIBLES. PERO EN EL CAPÍTULO
4 SE VERÁ QUE LOS
RODRIGUEZ GONZALEZ BENJAMIN
16
SISTEMAS “A”
INTERVALOS DE VALORES TIENEN PROBABILIDAD POSITIVA; LA
PROBABILIDAD DE UN INTERVALO SE REDUCIRÁ A CERO A MEDIDA QUE SU
ANCHO TIENDA A CERO.
EJEMPLO:
SE VENDEN 5000 BILLETES PARA UNA RIFA A 1 EURO CADA UNO. SI EL
ÚNICO PREMIO DEL SORTEO ES DE 1800 EUROS, CALCULAR EL RESULTADO QUE
DEBE ESPERAR UNA PERSONA QUE COMPRA 3 BILLETES.
RESOLUCIÓN.
CONSIDERAMOS LA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA £ = ‘CANTIDAD
DE DINERO OBTENIDO EN EL JUEGO’.
LOS POSIBLES VALORES DE £ SON DOS: SI SE GANA LA RIFA, SE
OBTIENE UN BENEFICIO DE 1800−3 = 1777 EUROS. POR LA LEY DE LAPLACE, LA
PROBABILIDAD DE QUE OCURRA ESTE HECHO ES DE 3/5000.
SI NO SE GANA LA RIFA, RESULTA UNA PÉRDIDA DE 3 EUROS.
NUEVAMENTE POR LA LEY DE LAPLACE, LA PROBABILIDAD DE QUE ESTO
OCURRA ES DE 4997/5000.
POR LO TANTO, LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD PARA LA
VARIABLE ALEATORIA ξ SERÁ:
EL RESULTADO QUE DEBE ESPERAR UNA PERSONA QUE COMPRA 3
BILLETES ES:
LO QUE INTERPRETAMOS COMO QUE, EN PROMEDIO, CABE ESPERAR
UNA PÉRDIDA DE 1.93 EUROS.
RODRIGUEZ GONZALEZ BENJAMIN
17
SISTEMAS “A”
3.2. FUNCIÓN DE PROBABILIDAD Y DE DISTRIBUCIÓN, VALOR ESPERADO,
VARIANZA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR.
FUNCIÓN DE PROBABILIDAD
LA FUNCIÓN DE PROBABILIDAD ES LA PROBABILIDAD DE QUE LA
VARIABLE ALEATORIA TOME UN VALOR PARTICULAR:
EJEMPLO:
PODEMOS OBTENER LAS FRECUENCIAS RELATIVAS
CALIFICACIONES DE UN CURSO Y DISPONERLAS EN UNA TABLA:
DE
LAS
ASIGNANDO UN NÚMERO A CADA CALIFICACIÓN, Y SUSTITUYENDO
EL SÍMBOLO DE FRECUENCIA RELATIVA POR EL DE PROBABILIDAD:
FINALMENTE TENEMOS LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE LA
VARIABLE "CALIFICACIÓN ACADÉMICA EN LA ASIGNATURA X". LA
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA SE DEFINE
COMO EL CONJUNTO DE VALORES DE LA VARIABLE ACOMPAÑADOS DE SUS
PROBABILIDADES.
FUNCION DE DISTRIBUCION:
LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ES LA PROBABILIDAD DE QUE LA
VARIABLE TOME VALORES IGUALES O INFERIORES A X:
SI AÑADIMOS UNA NUEVA COLUMNA CON LAS PROBABILIDADES
ACUMULADAS, TENEMOS LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE LA V.A.
RODRIGUEZ GONZALEZ BENJAMIN
18
SISTEMAS “A”
EJEMPLO:
TANTO LA FUNCIÓN DE PROBABILIDAD COMO LA DE DISTRIBUCIÓN
PUEDEN SER REPRESENTADAS GRÁFICAMENTE CON EL DIAGRAMA DE
BARRAS:
FUNCION DE PROBABIIDAD:
FUNCION DE DISTRIBUCION:
VALOR ESPERADO:
SEA X UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA CON UN CONJUNTO DE
VALORES POSIBLES D Y UNA FUNCIÓN MASA DE PROBABILIDAD P(X). EL VALOR
ESPERADO O VALOR MEDIO DE X, DENOTADO POR E(X) O X, ES:
𝐸(𝑥) = µ𝑥 = 𝑥 ∈ 𝐷𝑥 ∗ 𝑝(𝑥)
CUANDO ESTÁ CLARO A QUE X SE REFIERE EL VALOR ESPERADO, A
MENUDO SE UTILIZA µ EN LUGAR DE X.
EJEMPLO:
CONSIDÉRESE UNA UNIVERSIDAD QUE TIENE 15 000 ESTUDIANTES Y
SEA X EL NÚMERO DE CURSOS EN LOS CUALES ESTÁ INSCRITO UN ESTUDIANTE
SELECCIONADO AL AZAR. LA FUNCIÓN DE MASA DE PROBABILIDAD DE X SE
DETERMINA COMO SIGUE. COMO P (1) 0.01, SE SABE QUE (0.01) * (15000) 150
DE LOS ESTUDIANTES ESTÁN INSCRITOS EN UN CURSO Y ASIMISMO CON LOS
DEMÁS VALORES DE X.
EL NÚMERO PROMEDIO DE CURSOS POR ESTUDIANTE O EL VALOR
PROMEDIO DE X EN LA POBLACIÓN SE OBTIENE AL CALCULAR EL NÚMERO
TOTAL DE CURSOS TOMADOS POR TODOS LOS ESTUDIANTES Y AL DIVIDIR
ENTRE EL NÚMERO TOTAL DE ESTUDIANTES. COMO CADA UNO DE LOS 150
ESTUDIANTES ESTÁ TOMANDO UN CURSO, ESTOS 150 CONTRIBUYEN CON 150
CURSOS AL TOTAL. ASIMISMO, 450 ESTUDIANTES CONTRIBUYEN CON 2(450)
CURSOS, Y ASÍ SUCESIVAMENTE. EL VALOR PROMEDIO DE LA POBLACIÓN DE
X ES ENTONCES
1(150) + 2(450) + 3(1950) + ⋯ + 7(300)/15000 = 4.57
COMO 150/15 000 0.01 P (1), 450/15000 0.03 P (2), Y ASÍ
SUCESIVAMENTE, UNA EXPRESIÓN ALTERNA PARA (3.7) ES LA EXPRESIÓN (3.8)
MUESTRA QUE, PARA CALCULAR EL VALOR PROMEDIO DE LA POBLACIÓN DE
RODRIGUEZ GONZALEZ BENJAMIN
19
SISTEMAS “A”
X, SÓLO SE NECESITAN LOS VALORES POSIBLES DE X JUNTO CON LAS
PROBABILIDADES (PROPORCIONES). EN PARTICULAR, EL TAMAÑO DE LA
POBLACIÓN NO VIENE AL CASO EN TANTO LA FUNCIÓN MASA DE
PROBABILIDAD ESTÉ DADA POR (3.6). EL VALOR PROMEDIO O MEDIO DE X ES
ENTONCES EL PROMEDIO PONDERADO DE LOS POSIBLES VALORES 1, . . ., 7,
DONDE LAS PONDERACIONES SON LAS PROBABILIDADES DE ESOS VALORES.
VARIANZA:
LA VARIANZA ES UNA MEDIDA DE DISPERSIÓN QUE SE UTILIZA PARA
REPRESENTAR LA VARIABILIDAD DE UN CONJUNTO DE DATOS RESPECTO DE LA
MEDIA ARITMÉTICA DE LOS MISMO. ASÍ, SE CALCULA COMO LA SUMA DE LOS
RESIDUOS ELEVADOS AL CUADRADO Y DIVIDIDOS ENTRE EL TOTAL DE
OBSERVACIONES. NO OBSTANTE, SE TRATA DE UNA MEDIDA QUE TAMBIÉN
PUEDE CALCULARSE COMO LA DESVIACIÓN TÍPICA AL CUADRADO.
¿PARA QUÉ SE USA LA VARIANZA?
ES UNA MEDIDA DE DISPERSIÓN AMPLIAMENTE UTILIZADA EN LOS
SECTORES DE LA ECONOMÍA Y LAS FINANZAS, INTERPRETÁNDOSE COMO EL
RIESGO DE QUE EL RENDIMIENTO DE ALGÚN PROCEDIMIENTO EN CONCRETO
SEA DISTINTO DEL RENDIMIENTO ESPERADO DE DICHO PROCEDIMIENTO.
LA VARIANZA, JUNTO CON LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR -AMBAS
MEDIDAS MUY RELACIONADAS ENTRE SÍ- SON LAS MEDIDAS DE DISPERSIÓN DE
DATOS POR EXCELENCIA, SOBRE TODO EN EL MUNDO DE LAS FINANZAS.
¿CÓMO SE CALCULA LA VARIANZA?
EN PRIMER LUGAR, ES NECESARIO INDICAR QUE LA UNIDAD DE
MEDIDA DE LA VARIANZA ES LA MISMA UNIDAD DE MEDIDA DE LOS DATOS
UTILIZADOS PARA CALCULARLA. ASÍ, SI LOS DATOS INTRODUCIDOS EN LA
FÓRMULA UTILIZAN LOS METROS COMO UNIDAD DE MEDIDA, LA VARIANZA SE
EXPRESARÁ TAMBIÉN EN METROS. EN CUALQUIER CASO, SE HA DE TENER EN
CUENTA QUE LA VARIANZA ADQUIERE SIEMPRE VALORES IGUALES O
MAYORES A 0, SIENDO MATEMÁTICAMENTE IMPOSIBLE QUE ADQUIERA
RODRIGUEZ GONZALEZ BENJAMIN
20
SISTEMAS “A”
VALORES INFERIORES A 0, PUES LOS DATOS INTRODUCIDOS SE ELEVAN AL
CUADRADO.
VAMOS A VER LA FÓRMULA UTILIZADA PARA CALCULAR LA VARIANZA:
𝑉𝐴𝑅(𝑋) = (𝑋1– 𝑋’)2 + (𝑋2– 𝑋’)2 + ⋯ + (𝑋𝑁– 𝑋’)/𝑁
DONDE:
N REPRESENTA EL NÚMERO TOTAL DE OBSERVACIONES O DE DATOS
UTILIZADOS PARA EL CÁLCULO DE LA VARIANZA.
X REPRESENTA LOS DATOS UTILIZADOS PARA EL CÁLCULO DE LA
VARIANZA.
X’ REPRESENTA LA MEDIA ARITMÉTICA CALCULADA CON LOS DATOS
UTILIZADOS PARA EL CÁLCULO DE LA VARIANZA.
EJEMPLO:
SUPONGAMOS QUE TENEMOS 5 PERSONAS DIFERENTES CON
DISTINTOS SUELDOS:
SANTIAGO: 1.500 EUROS.
MIGUEL: 1.200 EUROS.
SARA: 1.700 EUROS.
LAURA: 1.300 EUROS.
MARÍA: 1.800 EUROS.
EN PRIMER LUGAR, DEBEMOS CALCULAR LA MEDIA ARITMÉTICA DE
TODOS ESTOS DATOS. VAMOS A ELLO:
(1.500 + 1.200 + 1.700 + 1.300 + 1.800) / 5 = 1.500 EUROS
UNA VEZ CALCULADA LA MEDIA ARITMÉTICA, HEMOS DE APLICAR LA
FÓRMULA DE LA VARIANZA. VAMOS A ELLO:
𝑉𝐴𝑅(𝑋) = (1500– 1500)2 + (1200– 1500)2 + (1700– 1500)2
+ (1300– 1500)2 + (1800– 1500)2/5
UNA VEZ DESARROLLADA LA ECUACIÓN, EL RESULTADO ES DE 52.000
EUROS AL CUADRADO. DEBEMOS RECORDAR QUE, AL CALCULAR LA
VARIANZA, OBTENEMOS LA UNIDAD DE MEDIDA DE LOS DATOS UTILIZADOS
ELEVADA AL CUADRADO. ASÍ, PARA PASAR ESTE RESULTADO A EUROS,
RODRIGUEZ GONZALEZ BENJAMIN
21
SISTEMAS “A”
TENDRÍAMOS QUE REALIZAR EL CÁLCULO DE LA DESVIACIÓN TÍPICA, LA CUAL,
EN ESTE CASO, ADQUIERE UN VALOR DE 228 EUROS. ¿QUÉ QUIERE DECIR ESTE
RESULTADO? ESTE RESULTADO SE DEBE INTERPRETAR COMO QUE, DE MEDIA,
LA DIFERENCIA ENTRE LOS SALARIOS DE LAS 5 PERSONAS CUYOS SALARIOS SE
HAN UTILIZADO PARA CALCULAR LA VARIANZA ES DE 228 EUROS.
DESVIACION ESTANDAR:
LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR ES UN ÍNDICE NUMÉRICO DE LA
DISPERSIÓN DE UN CONJUNTO DE DATOS (O POBLACIÓN). MIENTRAS MAYOR
ES LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR, MAYOR ES LA DISPERSIÓN DE LA POBLACIÓN.
LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR ES UN PROMEDIO DE LAS DESVIACIONES
INDIVIDUALES DE CADA OBSERVACIÓN CON RESPECTO A LA MEDIA DE UNA
DISTRIBUCIÓN. ASÍ, LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR MIDE EL GRADO DE
DISPERSIÓN O VARIABILIDAD. EN PRIMER LUGAR, MIDIENDO LA DIFERENCIA
ENTRE CADA VALOR DEL CONJUNTO DE DATOS Y LA MEDIA DEL CONJUNTO
DE DATOS. LUEGO, SUMANDO TODAS ESTAS DIFERENCIAS INDIVIDUALES PARA
DAR EL TOTAL DE TODAS LAS DIFERENCIAS. POR ÚLTIMO, DIVIDIENDO EL
RESULTADO POR EL NÚMERO TOTAL DE OBSERVACIONES (NORMALMENTE
REPRESENTADO POR LA LETRA “N”) PARA LLEGAR A UN PROMEDIO DE LAS
DISTANCIAS ENTRE CADA OBSERVACIÓN INDIVIDUAL Y LA MEDIA. ESTE
PROMEDIO DE LAS DISTANCIAS ES LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR Y DE ESTA
MANERA REPRESENTA DISPERSIÓN.
LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR ES UN INDICADOR EN EXTREMO VALIOSO
CON MUCHAS APLICACIONES. POR EJEMPLO, LOS ESTADÍSTICOS SABEN QUE
CUANDO UN CONJUNTO DE DATOS SE DISTRIBUYE DE MANERA “NORMAL”, EL
68% DE LAS OBSERVACIONES DE LA DISTRIBUCIÓN TIENE UN VALOR QUE SE
ENCUENTRA A MENOS DE UNA DESVIACIÓN ESTÁNDAR DE LA MEDIA. TAMBIÉN
RODRIGUEZ GONZALEZ BENJAMIN
22
SISTEMAS “A”
SABEN QUE EL 96% DE TODAS LAS OBSERVACIONES TIENE UN VALOR NO ES
MAYOR A LA MEDIA MÁS O MENOS DOS DESVIACIONES ESTÁNDAR (LA
FIGURA 18 GRAFICA ESTA INFORMACIÓN).
EN GENERAL, SE SUPONE QUE LOS RENDIMIENTOS DE UNA INVERSIÓN
SE DISTRIBUYEN DE MANERA NORMAL. LA DISTRIBUCIÓN NORMAL ES AQUELLA
CUYA FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD TOMA LA FORMA CLÁSICA
DE CAMPANA. LA DISTRIBUCIÓN NORMAL SE DEBE DESCRIBIR CON SOLO DOS
PARÁMETROS: LA MEDIA (QUE DEFINE EL VALOR CENTRAL) Y LA DESVIACIÓN
ESTÁNDAR (QUE DESCRIBE EL ANCHO DE LA CAMPANA).
LA MEDIA Μ DEFINE LA UBICACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN. LA
DESVIACIÓN ESTÁNDAR Σ DEFINE SU ANCHO. A MEDIDA QUE EL PROMEDIO
VARÍA, EL CENTRO DE LA DISTRIBUCIÓN SE MUEVE A LO LARGO DEL EJE
HORIZONTAL MIENTRAS QUE LA FORMA CAMBIA DE ACUERDO CON LA
VARIACIÓN DE LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR. LA CURVA SE APLANA CON UNA
VOLATILIDAD CRECIENTE MIENTRAS SE VUELVE MÁS DELGADA Y MÁS ALTA A
MEDIDA QUE DISMINUYE LA VOLATILIDAD.
EJEMPLO:
EL GERENTE DE UNA EMPRESA DE ALIMENTOS DESEA SABER QUE
TANTO VARÍAN LOS PESOS DE LOS EMPAQUES (EN GRAMOS), DE UNO DE SUS
PRODUCTOS; POR LO QUE OPTA POR SELECCIONAR AL AZAR CINCO
UNIDADES DE ELLOS PARA PESARLOS. LOS PRODUCTOS TIENEN LOS SIGUIENTES
PESOS (490, 500, 510, 515 Y 520) GRAMOS RESPECTIVAMENTE.
POR LO QUE SU MEDIA ES:
𝑋=
490 + 500 + 510 + 515 + 520 2535
=
= 507
5
5
LA VARIANZA SERIA:
𝑆2 =
(490 − 507)2 + (500 − 507)2 + (510 − 507)2 + (515 − 507)2 + (520 − 507)2
(5 − 1)
𝑆2 =
(−17)2 + (−7)2 + (3)2 + (8)2 + (13)2 289 + 49 + 9 + 64 + 169 580
=
=
4
4
4
= 145
POR LO TANTO, LA DESVIACION ESTANDAR SERIA:
𝑆 = √145 = 12.04 ≈ 12
RODRIGUEZ GONZALEZ BENJAMIN
23
SISTEMAS “A”
CON LO QUE CONCLUIRÍAMOS QUE EL PESO PROMEDIO DE LOS
EMPAQUES ES DE 507 GRAMOS, CON UNA TENDENCIA A VARIAR POR DEBAJO
O POR ENCIMA DE DICHO PESO EN 12 GRAMOS. ESTA INFORMACIÓN LE
PERMITE AL GERENTE DETERMINAR CUANTO ES EL PROMEDIO DE PERDIDAS
CAUSADO POR EL EXCESO DE PESO EN LOS EMPAQUES Y LE DA LAS BASES
PARA TOMAR LOS CORRECTIVOS NECESARIOS EN EL PROCESO DE
EMPACADO.
RODRIGUEZ GONZALEZ BENJAMIN
24
SISTEMAS “A”
3.3. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.
UN EXPERIMENTO PARA EL QUE SE SATISFACEN LAS CONDICIONES 1–
4 SE LLAMA EXPERIMENTO BINOMIAL.
EXISTEN MUCHOS EXPERIMENTOS QUE SE AJUSTAN EXACTA O
APROXIMADAMENTE A LA SIGUIENTE LISTA DE REQUERIMIENTOS:
EL EXPERIMENTO CONSTA DE UNA SECUENCIA DE N EXPERIMENTOS
MÁS PEQUEÑOS LLAMADOS ENSAYOS, DONDE N SE FIJA ANTES DEL
EXPERIMENTO.
CADA ENSAYO PUEDE DAR POR RESULTADO UNO DE LOS MISMOS
DOS RESULTADOS POSIBLES (ENSAYOS DICOTÓMICOS), LOS CUALES SE
DENOTAN COMO ÉXITO (E) Y FALLA (F).
LOS ENSAYOS SON INDEPENDIENTES, DE MODO QUE EL RESULTADO
EN CUALQUIER ENSAYO PARTICULAR NO INFLUYE EN EL RESULTADO DE
CUALQUIER OTRO ENSAYO.
LA PROBABILIDAD DE ÉXITO ES CONSTANTE DE UN ENSAYO A OTRO;
ESTA PROBABILIDAD SE DENOTA POR P.
RODRIGUEZ GONZALEZ BENJAMIN
25
SISTEMAS “A”
EJEMPLO:
LA MISMA MONEDA SE LANZA AL AIRE SUCESIVA E
INDEPENDIENTEMENTE N VECES. DE MANERA ARBITRARIA SE UTILIZA E PARA
DENOTAR EL RESULTADO H (CARAS) Y F PARA DENOTAR EL RESULTADO T
(CRUCES). ENTONCES ESTE EXPERIMENTO SATISFACE LAS CONDICIONES 1–4.
EL LANZAMIENTO AL AIRE DE UNA TACHUELA N VECES, CON E PUNTA HACIA
ARRIBA Y F PUNTA HACIA ABAJO), TAMBIÉN DA POR RESULTADO UN
EXPERIMENTO BINOMIAL.MUCHOS EXPERIMENTOS IMPLICAN UNA SECUENCIA
DE ENSAYOS INDEPENDIENTES PARA LOS CUALES EXISTEN MÁS DE DOS
RESULTADOS POSIBLES EN CUALQUIER ENSAYO. ENTONCES, UN EXPERIMENTO
BINOMIAL PUEDE CREARSE DIVIDIENDO LOS POSIBLES RESULTADOS EN DOS
GRUPOS.
RODRIGUEZ GONZALEZ BENJAMIN
26
SISTEMAS “A”
3.4. DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA
LAS DISTRIBUCIONES HIPERGEOMÉTRICAS Y BINOMIALES NEGATIVAS
ESTÁN RELACIONADAS CON LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL. EN TANTO QUE LA
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL ES EL MODELO DE PROBABILIDAD APROXIMADA DE
MUESTREO SIN REEMPLAZO DE UNA POBLACIÓN DICOTÓMICA FINITA (E–F), LA
DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA ES EL MODELO DE PROBABILIDAD EXACTA
DEL NÚMERO DE ÉXITOS (E) EN LA MUESTRA. LA VARIABLE ALEATORIA
BINOMIAL X ES EL NÚMERO DE ÉXITOS CUANDO EL NÚMERO N DE ENSAYOS ES
FIJO, MIENTRAS QUE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL SURGE DE FIJAR EL NÚMERO
DE ÉXITOS DESEADOS Y DE PERMITIR QUE EL NÚMERO DE ENSAYOS SEA
ALEATORIO.
DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA
LAS SUPOSICIONES QUE CONDUCEN
HIPERGEOMÉTRICA SON LAS SIGUIENTES:
A
LA
DISTRIBUCIÓN
LA POBLACIÓN O CONJUNTO QUE SE VA A MUESTREAR SE
COMPONE DE N INDIVIDUOS, OBJETOS O ELEMENTOS (UNA POBLACIÓN
FINITA).
CADA INDIVIDUO PUEDE SER CARACTERIZADO COMO ÉXITO (E) O
FALLA (F) Y HAY M ÉXITOS EN LA POBLACIÓN.
SE SELECCIONA UNA MUESTRA DE N INDIVIDUOS SIN REEMPLAZO DE
TAL MODO QUE CADA SUBCONJUNTO DE TAMAÑO N ES IGUALMENTE
PROBABLE DE SER SELECCIONADO.
LA VARIABLE ALEATORIA DE INTERÉS ES X EL NÚMERO DE ÉXITOS EN
LA MUESTRA. LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE X DEPENDE DE LOS
PARÁMETROS N, M Y N, ASÍ QUE SE DESEA OBTENER P (X X) H (X; N, M, N).
RODRIGUEZ GONZALEZ BENJAMIN
27
SISTEMAS “A”
EJEMPLO:
7DURANTE UN PERIODO PARTICULAR UNA OFICINA DE TECNOLOGÍA
DE LA INFORMACIÓN DE UNA UNIVERSIDAD RECIBIÓ 20 SOLICITUDES DE
SERVICIO DE PROBLEMAS CON IMPRESORAS, DE LAS CUALES 8 ERAN
IMPRESORAS LÁSER Y 12 ERAN MODELOS DE INYECCIÓN DE TINTA. SE TIENE
QUE SELECCIONAR UNA MUESTRA DE 5 DE ESTAS SOLICITUDES DE SERVICIO
COMPLETAMENTE AL AZAR, DE MODO QUE CUALQUIER SUBCONJUNTO DE
TAMAÑO 5 TENGA LA MISMA PROBABILIDAD DE SER SELECCIONADO COMO
CUALQUIER OTRO SUBCONJUNTO (PIENSE EN ESCRIBIR LOS NÚMEROS 1, 2, . .
., 20 EN 20 PAPELITOS IDÉNTICOS, MEZCLARLOS Y SELECCIONAR 5 DE ELLOS).
¿CUÁL ES ENTONCES LA PROBABILIDAD DE QUE EXACTAMENTE X (X 0, 1, 2, 3,
4 O 5) DE LAS SOLICITUDES DE SERVICIO FUERAN PARA IMPRESORAS DE
INYECCIÓN DE TINTA? EN ESTE CASO, EL TAMAÑO DE LA POBLACIÓN ES N 20,
EL TAMAÑO DE LA MUESTRA ES N 5 Y EL NÚMERO DE ÉXITOS (INYECCIÓN DE
TINTA E) Y LAS FALLAS (F) EN LA POBLACIÓN SON M 12 y N M 8,
RESPECTIVAMENTE. CONSIDÉRESE EL VALOR X 2. COMO TODOS LOS
RESULTADOS (CADA UNO CONSTA DE 5 SOLICITUDES PARTICULARES) SON
IGUALMENTE PROBABLES.
P (X 2) h (2; 5, 12, 20) = número de resultados con X2número de
posibles resultados
EL NÚMERO DE POSIBLES RESULTADOS EN EL EXPERIMENTO ES EL
NÚMERO DE FORMAS DE SELECCIONAR 5 DE LOS 20 OBJETOS SIN IMPORTAR
EL ORDEN, ES DECIR, (2 5 0). PARA CONTAR EL NÚMERO DE RESULTADOS CON
X 2, OBSÉRVESE QUE EXISTEN (1 2 2) FORMAS DE SELECCIONAR 2 DE LAS
SOLICITUDES PARA IMPRESORAS DE INYECCIÓN DE TINTA, Y POR CADA
FORMA EXISTEN (8 3) FORMAS DE SELECCIONAR LAS 3 SOLICITUDES PARA
IMPRESORAS LÁSER A FIN DE COMPLETAR LA MUESTRA. LA REGLA DE
PRODUCTO DEL CAPÍTULO 2 DA ENTONCES (1 2 2) (8 3) COMO EL NÚMERO
DE RESULTADOS CON X 2, POR LO TANTO:
ℎ(2;\5,\12,\20) =
12 8
( 2 ) (3)
20
)
5
(
=
77
= 0.238
326
EN GENERAL, SI EL TAMAÑO DE LA MUESTRA N ES MÁS PEQUEÑO QUE
EL NÚMERO DE ÉXITOS EN LA POBLACIÓN (M), ENTONCES EL VALOR DE X MÁS
GRANDE POSIBLE ES N. SIN EMBARGO, SI M < N (P. EJ., UN TAMAÑO DE
MUESTRA DE 25 Y SÓLO HAY 15 ÉXITOS EN LA POBLACIÓN), ENTONCES X
RODRIGUEZ GONZALEZ BENJAMIN
28
SISTEMAS “A”
PUEDE SER CUANDO MUCHO M. ASIMISMO, SIEMPRE QUE EL NÚMERO DE
FALLAS EN LA POBLACIÓN (N - M) SOBREPASE EL TAMAÑO DE LA MUESTRA, EL
VALOR MÁS PEQUEÑO DE X ES 0 (PUESTO QUE TODOS LOS INDIVIDUOS
MUESTREADOS PODRÍAN ENTONCES SER FALLAS). SIN EMBARGO, SI N - M < N,
EL VALOR MÁS PEQUEÑO POSIBLE DE X ES N - (N - M). POR LO TANTO, LOS
POSIBLES VALORES DE X SATISFACEN LA RESTRICCIÓN MÁX. (0, N - (N - M)) ≤ X
≤ MÍN. (N, M). UN ARGUMENTO PARALELO AL DEL EJEMPLO PREVIO DA LA
FUNCIÓN MASA DE PROBABILIDAD DE X.
RODRIGUEZ GONZALEZ BENJAMIN
29
SISTEMAS “A”
3.4.1 APROXIMACIÓN DE LA HIPERGEOMÉTRICA POR LA BINOMIAL.
ES UNO DE LOS MODELOS MATEMÁTICOS QUE SE UTILIZA CUANDO
LA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA ES EL NÚMERO DE ÉXITOS EN UNA MUESTRA
COMPUESTA POR N OBSERVACIONES. CADA OBSERVACIÓN SE CLASIFICA EN
UNA DE DOS CATEGORÍAS, MUTUAMENTE EXCLUYENTES Y COLECTIVAMENTE
EXHAUSTIVOS.
A ESTAS CATEGORÍAS SE LE DENOMINA ÉXITO Y FRACASO.
ES UN MÉTODO QUE SE UTILIZA CUANDO EL ESPACIO MUESTRAL, QUE
MANEJAMOS EN EL PROBLEMA, ES MUCHO MAYOR QUE LA MUESTRA.
VARIANZA:
MEDIA:
CARACTERÍSTICAS
UN EXPERIMENTO SIGUE EL MODELO DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL SI:
o EN CADA PRUEBA DEL EXPERIMENTO SÓLO SON POSIBLES DOS
RESULTADOS: EL SUCESO A (ÉXITO) Y SU CONTRARIO SUCESO.
o LA PROBABILIDAD DEL SUCESO A ES CONSTANTE, ES DECIR, QUE
NO VARÍA DE UNA PRUEBA A OTRA. SE REPRESENTA POR P.
o EL RESULTADO OBTENIDO EN CADA PRUEBA ES INDEPENDIENTE
DE LOS RESULTADOS OBTENIDOS ANTERIORMENTE.
EJEMPLO
UN CARGAMENTO DE 100 GRABADORAS CONTIENE 25
DEFECTUOSAS. SI 10 DE ELLAS SON ALEATORIAMENTE ESCOGIDAS PARA
REVISIÓN, ¿CUAL ES LA PROBABILIDAD DE QUE 2 ESTÉN DEFECTUOSAS?
UTILIZANDO
A. LA FORMULA PARA DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA
B. LA FORMULA PARA LA DISTRIBUCIÓN COMO UNA APROXIMACIÓN
MEDIA:
VARIANZA:
CONCLUSIÓN:
RODRIGUEZ GONZALEZ BENJAMIN
30
SISTEMAS “A”
OBSÉRVESE QUE LA DIFERENCIA ENTRE LOS DOS VALORES ES DE
APENAS 0.010. EN GENERAL, PUEDE MOSTRARSE QUE H (X; N, K, N) SE
APROXIMA A B (X; N, P) CON P = K/N CUANDO N SE APROXIMA A INFINITO, Y
BUEN MÉTODO PRACTICO CONSISTE EN EMPLEAR LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
COMO APROXIMACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA CUANDO N
< N/10
ES UNA DISTRIBUCIÓN DISCRETA RELACIONADA CON MUESTREOS
ALEATORIOS Y SIN REEMPLAZO. SUPÓNGASE QUE SE TIENE UNA POBLACIÓN
DE N ELEMENTOS DE LOS CUALES, D PERTENECEN A LA CATEGORÍA A Y N-D A
LA B. LA DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA MIDE LA PROBABILIDAD DE
OBTENER X ELEMENTOS DE LA CATEGORÍA A EN UNA MUESTRA SIN REEMPLAZO
DE N ELEMENTOS DE LA POBLACIÓN ORIGINAL
DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA.
LA DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA ES UN MODELO ADECUADO PARA
AQUELLOS PROCESOS EN LOS QUE SE REPITEN PRUEBAS HASTA LA
CONSECUCIÓN DEL ÉXITO A RESULTADO DESEADO Y TIENE INTERESANTES
APLICACIONES EN LOS MUESTREOS REALIZADOS DE ESTA MANERA. TAMBIÉN
IMPLICA LA EXISTENCIA DE UNA DICOTOMÍA DE POSIBLES RESULTADOS Y LA
INDEPENDENCIA DE LAS PRUEBAS ENTRE SÍ.
PROCESO EXPERIMENTAL DEL QUE SE PUEDE HACER DERIVAR
ESTA DISTRIBUCIÓN SE PUEDE HACER DERIVAR DE UN PROCESO
EXPERIMENTAL PURO O DE BERNOULLI EN EL QUE TENGAMOS LAS SIGUIENTES
CARACTERÍSTICAS:
EL PROCESO CONSTA DE UN NÚMERO NO DEFINIDO DE PRUEBAS O
EXPERIMENTOS SEPARADOS O SEPARABLES. EL PROCESO CONCLUIRÁ
RODRIGUEZ GONZALEZ BENJAMIN
31
SISTEMAS “A”
CUANDO SE OBTENGA POR PRIMERA VEZ EL RESULTADO DESEADO
(ÉXITO).
CADA PRUEBA PUEDE DAR DOS RESULTADOS MUTUAMENTE
EXCLUYENTES: A Y NO A
LA PROBABILIDAD DE OBTENER UN RESULTADO A EN CADA PRUEBA ES
P Y LA DE OBTENER UN RESULTADO NO A ES Q SIENDO (P + Q = 1).
LAS PROBABILIDADES P Y Q SON CONSTANTES EN TODAS LAS
PRUEBAS, POR TANTO, LAS PRUEBAS, SON INDEPENDIENTES (SI SE TRATA DE UN
PROCESO DE "EXTRACCIÓN" ÉSTE SE LLEVARÁ A, CABO CON DEVOLUCIÓN
DEL INDIVIDUO EXTRAÍDO).
DERIVACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN
SI EN ESTAS CIRCUNSTANCIAS ALEATORIZAMOS DE FORMA QUE
TOMEMOS COMO VARIABLE ALEATORIA X = EL NÚMERO DE PRUEBAS
NECESARIAS PARA OBTENER POR PRIMERA VEZ UN ÉXITO O RESULTADO A,
ESTA VARIABLE SE DISTRIBUIRÁ CON UNA DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA DE
PARÁMETRO P.
EJEMPLO:
SUPONGAMOS QUE QUEREMOS HACER UN ESTUDIO SOBRE LA
VARIABLE ALEATORIA REFERENTE AL NÚMERO DE VECES QUE UN JUGADOR
NECESITA PARA PODER EFECTUAR LA SALIDA EN EL JUEGO DEL PARCHÍS. HAY
QUE RECORDAR QUE, EN ESTE JUEGO, UN JUGADOR NO COMIENZA EL
MISMO HASTA OBTENER UN 5 AL LANZAR EL DADO.
PODRÍA OCURRIR QUE SOLAMENTE NECESITARA:
UNA TIRADA X = 1; CON PROBABILIDAD 1/6
DOS TIRADAS X = 2 CON PROBABILIDAD (5/6) (1/6)
TRES TIRADAS X =3 CON PROBABILIDAD (5/6) (5/6) (1/6)
...
"K" TIRADAS X = K CON PROBABILIDAD
LA VARIABLE PUEDE SEGUIR TOMANDO VALORES INDEFINIDAMENTE
PUESTO QUE ES POSIBLE ENCONTRAR A UN JUGADOR CUYA “MALA SUERTE
“HAGA QUE NUNCA OBTENGA EL DICHOSO 5.
RODRIGUEZ GONZALEZ BENJAMIN
32
SISTEMAS “A”
ESTARÍAMOS ANTE EL CASO DE UNA DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA DE
PARÁMETRO 1/6.
DISTRIBUCIÓN MULTINOMIAL.
LA DISTRIBUCIÓN MULTINOMIAL ES UNA DISTRIBUCIÓN DISCRETA
MULTIVARIANTE Y, COMO SU NOMBRE INDICA, ES UNA GENERALIZACIÓN DE
LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL CUANDO EL EXPERIMENTO ALEATORIO
CONSIDERADO NO TIENE SOLO DOS RESULTADOS POSIBLES, ÉXITO O
FRACASO, SINO TRES O MÁS.
EJEMPLO:
SE SABE QUE LAS BOMBAS DE GASOLINA PARA AUTOS EXISTENTES EN
EL MERCADO SE PUEDEN CLASIFICAR EN:
40% DE RENDIMIENTO EXCELENTE (EX)
20% DE RENDIMIENTO BUENO (B)
30% DE RENDIMIENTO REGULAR (R)
10% DE RENDIMIENTO MALO (M)
SE SELECCIONA UNA MUESTRA DE N=9 BOMBAS MEDIANTE UN
PROCESO ALEATORIO. ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE QUEDE
CONFORMADA POR: 3EX,3B, ¿1R Y 2M?
RODRIGUEZ GONZALEZ BENJAMIN
33
SISTEMAS “A”
3.7. DISTRIBUCIÓN DE POISSON.
LAS
DISTRIBUCIONES
BINOMIALES,
HIPERGEOMÉTRICAS
Y
BINOMIALES NEGATIVAS SE DERIVARON PARTIENDO DE UN EXPERIMENTO
COMPUESTO DE ENSAYOS O SORTEOS Y APLICANDO LAS LEYES DE
PROBABILIDAD A VARIOS RESULTADOS DEL EXPERIMENTO. NO EXISTE UN
EXPERIMENTO SIMPLE EN EL CUAL ESTÉ BASADA LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON,
AUN CUANDO EN BREVE SE DESCRIBIRÁ CÓMO PUEDE SER OBTENIDA
MEDIANTE CIERTAS OPERACIONES RESTRICTIVAS.
SE DICE QUE UNA VARIABLE ALEATORIA X TIENE UNA DISTRIBUCIÓN
DE POISSON CON PARÁMETRO ƛ (ƛ0) SI LA FUNCIÓN MASA DE PROBABILIDAD
DE X ES
= 0, 1, 2, …
EJEMPLO:
SEA X EL NÚMERO DE CRIATURAS DE UN TIPO PARTICULAR
CAPTURADAS EN UNA TRAMPA DURANTE UN PERIODO DETERMINADO.
SUPONGA QUE X TIENE UNA DISTRIBUCIÓN DE POISSON CON 4.5, ASÍ QUE EN
PROMEDIO LAS TRAMPAS CONTENDRÁN 4.5 CRIATURAS [EL ARTÍCULO
“DISPERSAL DYNAMICS OF THE BIVALVE GEMMA GEMMA IN A PATCHY
ENVIRONMENT (ECOLOGICAL MONOGRAPHS, 1995: 1–20) SUGIERE ESTE
MODELO: EL MOLUSCO BIVALVO GEMMA ES UNA PEQUEÑA ALMEJA.] LA
PROBABILIDAD DE QUE UNA TRAMPA CONTENGA EXACTAMENTE CINCO
CRIATURAS ES
RODRIGUEZ GONZALEZ BENJAMIN
34
SISTEMAS “A”
LA PROBABILIDAD DE QUE UNA TRAMPA CONTENGA CUANDO
MUCHO CINCO CRIATURAS ES APROXIMACIÓN DE LA BINOMIAL POR LA DE
POISSON.
EN MATEMÁTICAS, ESPECIALMENTE EN TEORÍA DE PROBABILIDAD ES,
LA APROXIMACIÓN DE POISSON DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL SE PUEDE
EMPLEAR, CUANDO HAY UN RESULTADO DIFERENTE SOBRE LA PROBABILIDAD
DE QUE OCURRA UNA CANTIDAD DETERMINADA DE ÉXITOS EN UNA SERIE DE
EXPERIMENTOS INDEPENDIENTES.
ESTA APROXIMACIÓN ES, PARTICULARMENTE, VENTAJOSO EN EL
CASO DE QUE LA PROBABILIDAD DE ÉXITO ES PEQUEÑA Y LA CANTIDAD DE
EXPERIMENTOS ES BASTANTE GRANDE.
PROPOSICION:
PARA CUALQUIER NÚMERO NATURAL N SE TIENE UNA SERIE DE N
EXPERIMENTOS INDEPENDIENTES CON PROBABILIDAD DE ÉXITO IGUAL A Λ/N
EN CADA EXPERIMENTO; LA CONSTANTE Λ ES POSITIVA Y ARBITRARIA.
ASUMAMOS QUE MN ES LA CANTIDAD DE ÉXITOS EN LA SERIE N-ÉSIMA.
ENTONCES SE CUMPLE:
𝑃(𝛭𝑁 = 𝑀) → 𝐸 − 𝛬 × (¡ 𝛬𝑀 ÷ 𝑀!)𝐶𝑈𝐴𝑁𝐷𝑂 𝑁 → ∞
EJEMPLO:
LA PROBABILIDAD DE DAR EN UN BLANCO EN CADA DISPARO ES DE
0.01. HALLAR LA PROBABILIDAD DE QUE SUCEDA, POR LO MENOS, UN
ACIERTO EN 400 DISPAROS.
SOLUCIÓN
SE TIENE P (Μ400 = 0) ≈ E-400(0.019 = E-4 = 0.0183, DE MODO QUE P
(Μ400 ≥ 1) = 1 - P (Μ400 = 0) ≈ 0.9817
RODRIGUEZ GONZALEZ BENJAMIN
35
SISTEMAS “A”
3.9. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA.
UNA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA DE PARÁMETROS “R” Y “P”
SURGE COMO UNA SECUENCIA INFINITA DE INTENTOS DE TIPO BERNOULLI EN
LOS QUE:
CADA SECUENCIA ES INDEPENDIENTE DE LAS OTRAS.
EN CADA INTENTO SOLAMENTE SON POSIBLES DOS RESULTADOS (ÉXITO
O FRACASO).
LA PROBABILIDAD DE ÉXITO ES CONSTANTE EN CADA SECUENCIA.
LOS INTENTOS CONTINÚAN HASTA QUE SE CONSIGAN R ÉXITOS.
SI LLAMAMOS X = “NÚMERO DE EXPERIMENTOS REALIZADOS HASTA
OBTENER EL R-ÉSIMO ÉXITO”, DIREMOS QUE LA VARIABLE X SIGUE UNA
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA DE PARÁMETROS R, P.
ES FÁCIL DEDUCIR QUE LA FUNCIÓN DE PROBABILIDAD DE ESTA
VARIABLE SERÁ:
LA FÓRMULA ANTERIOR NO ES DIFÍCIL DE DEDUCIR. PIENSA QUE PARA
ESTA SITUACIÓN ESTAMOS SEGUROS DE QUE EL K-ÉSIMO INTENTO ES UN
ÉXITO Y QUE EN LOS K-1 INTENTOS ANTERIORES SE DEBEN REDISTRIBUIR
LOS ANTERIORES R-1 ÉXITOS.
LA DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA SERÍA UN CASO PARTICULAR DE
BINOMIAL NEGATIVA CUANDO R = 1.
LOS PARÁMETROS MEDIA, VARIANZA Y DESVIACIÓN TÍPICA
ASOCIADOS A ESTA DISTRIBUCIÓN SERÍAN:
RODRIGUEZ GONZALEZ BENJAMIN
36
SISTEMAS “A”
EJEMPLO:
PARA TRATAR A UN PACIENTE DE UNA AFECCIÓN DE PULMÓN, HAN
DE SER OPERADOS EN OPERACIONES INDEPENDIENTES SUS 5 LÓBULOS
PULMONARES. LA TÉCNICA A UTILIZAR ES TAL QUE, SI TODO VA BIEN, LO QUE
OCURRE CON PROBABILIDAD DE 7/11, EL LÓBULO QUEDA DEFINITIVAMENTE
SANO, PERO SI NO ES ASÍ SE DEBERÁ ESPERAR EL TIEMPO SUFICIENTE PARA
INTENTARLO POSTERIORMENTE DE NUEVO. SE PRACTICARÁ LA CIRUGÍA HASTA
QUE 4 DE SUS 5 LÓBULOS FUNCIONEN CORRECTAMENTE. ¿CUÁL ES EL VALOR
DE INTERVENCIONES QUE SE ESPERA QUE DEBA PADECER EL PACIENTE?
¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE SE NECESITEN 10 INTERVENCIONES?
ESTE ES UN EJEMPLO CLARO DE EXPERIMENTO ALEATORIO REGIDO POR UNA
LEY BINOMIAL NEGATIVA, YA QUE SE REALIZAN INTERVENCIONES HASTA QUE
SE OBTENGAN 4 LÓBULOS SANOS, Y ÉSTE ES EL CRITERIO QUE SE UTILIZA PARA
DETENER EL PROCESO. IDENTIFICANDO LOS PARÁMETROS SE TIENE QUE SI X=
NÚMERO DE OPERACIONES HASTA OBTENER R=4 CON RESULTADO POSITIVO.
RODRIGUEZ GONZALEZ BENJAMIN
37
SISTEMAS “A”
3.10 DISTRIBUCIÓN UNIFORME (DISCRETA)
ESTA DISTRIBUCIÓN ES UNA DE LAS MÁS IMPORTANTES
DISTRIBUCIONES DE VARIABLE DISCRETA. SUS PRINCIPALES APLICACIONES
HACEN REFERENCIA A LA MODELIZACIÓN DE SITUACIONES EN LAS QUE NOS
INTERESA DETERMINAR EL NÚMERO DE HECHOS DE CIERTO TIPO QUE SE
PUEDEN PRODUCIR EN UN INTERVALO DE TIEMPO O DE ESPACIO, BAJO
PRESUPUESTOS DE ALEATORIEDAD Y CIERTAS CIRCUNSTANCIAS RESTRICTIVAS.
OTRO DE SUS USOS FRECUENTES ES LA CONSIDERACIÓN LÍMITE DE PROCESOS
DICOTÓMICOS REITERADOS UN GRAN NÚMERO DE VECES SI LA
PROBABILIDAD DE OBTENER UN ÉXITO ES MUY PEQUEÑA.
ESTA DISTRIBUCIÓN SE PUEDE HACER DERIVAR DE UN PROCESO
EXPERIMENTAL DE OBSERVACIÓN EN EL QUE TENGAMOS LAS SIGUIENTES
CARACTERÍSTICAS
SE OBSERVA LA REALIZACIÓN DE HECHOS DE CIERTO TIPO DURANTE UN
CIERTO PERIODO DE TIEMPO O A LO LARGO DE UN ESPACIO DE
OBSERVACIÓN
LOS HECHOS A OBSERVAR TIENEN NATURALEZA ALEATORIA; PUEDEN
PRODUCIRSE O NO DE UNA MANERA NO DETERMINÍSTICA.
LA PROBABILIDAD DE QUE SE PRODUZCAN UN NÚMERO X DE ÉXITOS EN
UN INTERVALO DE AMPLITUD T NO DEPENDE DEL ORIGEN DEL
INTERVALO (AUNQUE, SÍ DE SU AMPLITUD)
LA PROBABILIDAD DE QUE OCURRA UN HECHO EN UN INTERVALO
INFINITÉSIMO ES PRÁCTICAMENTE PROPORCIONAL A LA AMPLITUD DEL
INTERVALO.
LA PROBABILIDAD DE QUE SE PRODUZCAN 2 O MÁS HECHOS EN UN
INTERVALO INFINITÉSIMO ES UN INFINITÉSIMO DE ORDEN SUPERIOR A
DOS.
EN CONSECUENCIA, EN UN INTERVALO INFINITÉSIMO PODRÁN
PRODUCIRSE 0 O 1 HECHO, PERO NUNCA MÁS DE UNO.
SI EN ESTAS CIRCUNSTANCIAS ALEATORIZAMOS DE FORMA QUE LA
VARIABLE ALEATORIA X SIGNIFIQUE O DESIGNE EL "NÚMERO DE HECHOS QUE
SE PRODUCEN EN UN INTERVALO DE TIEMPO O DE ESPACIO", LA VARIABLE X
SE DISTRIBUYE CON UNA DISTRIBUCIÓN DE PARÁMETRO L. ASÍ:
EL PARÁMETRO DE LA DISTRIBUCIÓN ES, EN PRINCIPIO, EL FACTOR DE
PROPORCIONALIDAD PARA LA PROBABILIDAD DE UN HECHO EN UN
RODRIGUEZ GONZALEZ BENJAMIN
38
SISTEMAS “A”
INTERVALO INFINITÉSIMO. SE LE SUELE DESIGNAR COMO PARÁMETRO DE
INTENSIDAD, AUNQUE MÁS TARDE VEREMOS QUE SE CORRESPONDE CON EL
NÚMERO MEDIO DE HECHOS QUE CABE ESPERAR QUE SE PRODUZCAN EN UN
INTERVALO UNITARIO (MEDIA DE LA DISTRIBUCIÓN); Y QUE TAMBIÉN COINCIDE
CON LA VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN.
POR OTRO LADO, ES EVIDENTE QUE SE TRATA DE UN MODELO
DISCRETO Y QUE EL CAMPO DE VARIACIÓN DE LA VARIABLE SERÁ EL
CONJUNTO DE LOS NÚMERO NATURALES, INCLUIDO EL CERO
EJEMPLO:
EL TEMARIO PARA UN EXAMEN CONSTA DE 35 TEMAS, DE LOS CUALES
SE ELEGIRÁ UNO AL AZAR. SI UN ALUMNO NO HA ESTUDIADO LOS 10 ÚLTIMOS
TEMAS ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE EL ALUMNO SEPA EL TEMA
ELEGIDO PARA EL EXAMEN? HALLAR LA MEDIA Y VARIANZA.
SOLUCIÓN:
SEA X LA VARIABLE ALEATORIA QUE REPRESENTA EL NÚMERO DE
TEMA SELECCIONADO PARA EL EXAMEN, COMO TODOS LOS TEMAS TIENEN
LA MISMA PROBABILIDAD DE SER SELECCIONADO, X SIGUE UNA DISTRIBUCIÓN
UNIFORME DISCRETA DE 35 ELEMENTOS. - LA PROBABILIDAD DE SALIR EL TEMA
1
X ES 𝑃(𝑋 = 𝑥) = 35
EL ALUMNO APRUEBA EL EXAMEN SI LE TOCA UN TEMA DEL 1 AL 25;
ASÍ PUES: LA PROBABILIDAD DE SALIR UN TEMA ESTUDIADO ES:
25
𝑃(𝑋 ≤ 25) = ∑
𝑖=1
1
25
=
≈ 0.7148
35 35
LA MEDIA Y VARIANZA SON LOS VALORES
µ = 1𝑘𝑖 = 1𝑘𝑥¡ = 135𝑖 = 135 = 35 + 12 = 18
RODRIGUEZ GONZALEZ BENJAMIN
39
SISTEMAS “A”
σ2 =
1
𝑖 = 1𝑘(𝑥¡ −µ) = 135𝑖 = 135 = (𝑖 − 18)2 = 18
𝑘
UNIDAD CUATRO. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS.
4.1 DEFINICIÓN DE VARIABLE ALEATORIA CONTINÚA.
UNA VARIABLE CONTINUA ES UN TIPO DE VARIABLE CUANTITATIVA
QUE PUEDE EXPRESAR UNA CANTIDAD INFINITA DE VALORES, SIN IMPORTAR
QUE SEA UN VALOR INTERMEDIO. ES DECIR, ES AQUELLA VARIABLE CUYO
VALOR PUEDE ENCONTRARSE ENTRE DOS VALORES EXACTOS, GENERALMENTE
REPRESENTADOS POR NÚMEROS DECIMALES.
ESTA VARIABLE ESTADÍSTICA SE CONTRAPONE A LA VARIABLE
DISCRETA, QUE SOLO PUEDE ADQUIRIR COMO VALOR UN CONJUNTO DE
NÚMEROS. UNA PERSONA TIENE UN PERRO, 2 CAMAS O 3 HIJOS (VARIABLE
DISCRETA), PERO NUNCA TENDRÁ 2 Y MEDIO.
EJEMPLOS:
PARA ENTENDER MEJOR ESTE CONCEPTO, VEAMOS LOS SIGUIENTES
EJEMPLOS DE VARIABLES CONTINUAS:
LA LONGITUD DE UNA PIEZA: UN METRO Y MEDIO (1,5); DOS METROS Y
CUARTO (2,25): TRES METROS QUINCE (3,15).
LA ALTURA DE CINCO AMIGOS: 1.73, 1.82, 1.77, 1.69, 1.75.
EL TIEMPO QUE DEMORA UN REPARTIDOR DE COMIDA EN ENTREGAR
UN PEDIDO: UNA HORA; UNA HORA Y CUARTO; UNA HORA Y MEDIA;
MEDIA HORA.
EL PRECIO DE UN PRODUCTO: $23,65; $199,99; $290,60.
LA DISTANCIA ENTRE DOS CIUDADES: 235,5 KILÓMETROS, 65
KILÓMETROS.
RODRIGUEZ GONZALEZ BENJAMIN
40
SISTEMAS “A”
4.2. FUNCIÓN DE DENSIDAD Y ACUMULATIVA.
LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULATIVA ES LA FUNCIÓN QUE
PARA UN VALOR X, NOS DA LA PROBABILIDAD DE QUE LA VARIABLE
ALEATORIA SEA MENOR O IGUAL QUE DICHO VALOR X. A LA FUNCIÓN DE
DISTRIBUCIÓN ACUMULATIVA LA DENOMINAMOS F(X).
A CONTINUACIÓN, VIENE LA DEFINICIÓN FORMAL:
SEA X UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA CON FUNCIÓN DE
DENSIDAD DE PROBABILIDAD F(X). LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN
ACUMULATIVA DE X ES LA FUNCIÓN:
𝑥
𝐹(𝑋) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) = ∫ b𝑓(𝑡)𝑑𝑡
∞
DE FORMA GRÁFICA, F(X) ES EL ÁREA BAJO LA CURVA DE DENSIDAD
A LA IZQUIERDA DE X. RECORDEMOS QUE CUANDO TRABAJAMOS CON LA
FUNCIÓN DE DENSIDAD, ÁREA ES PROBABILIDAD.
ADEMÁS, TENEMOS ALGUNAS FÓRMULAS INTERESANTES QUE NOS
SERVIRÁN PARA RESOLVER LOS PROBLEMAS.
𝑃(𝑋 > 𝑎) = 1 − 𝐹(𝑎)
Ⅎv{𝑃}├(Ⅎv{𝑎} ≤ Ⅎv{𝑋} ≤ Ⅎv{𝑏}┤) = Ⅎb{1} − Ⅎv{𝐹}├(Ⅎv{𝑏}┤) −
Ⅎv{𝐹}├(Ⅎv{𝑎}┤); Ⅎv{𝑎} < Ⅎv{𝑏}
LA SIGUIENTE FÓRMULA NOS PERMITE PASAR DE LA FUNCIÓN DE
DISTRIBUCIÓN ACUMULATIVA A LA FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD:
RODRIGUEZ GONZALEZ BENJAMIN
41
SISTEMAS “A”
𝑓(𝑥) =
𝑑𝐹(𝑥)
𝑑𝑥
RECUERDA TAMBIÉN QUE, AL SER UNA FUNCIÓN ACUMULATIVA, ESTA
NO PUEDE SER DECRECIENTE.
EJEMPLO:
LA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA X TIENE LA SIGUIENTE FUNCIÓN
DE DENSIDAD:
𝑓(𝑥) = {
0,25; 𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 4
}
0 ; 𝑛 𝑎𝑠𝑜 𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜
DEFINIR Y GRAFICAR LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULATIVA DE X.
SOLUCIÓN:
INICIAMOS GRAFICANDO LA FUNCIÓN DE DENSIDAD PARA NO
METERNOS EN PROBLEMAS.
COMO SE VE EN LA GRÁFICA, LA CURVA DE DENSIDAD TIENE 3
TRAMOS BIEN MARCADOS. VAMOS A CALCULAR EL VALOR DE F(X) EN CADA
UNO DE LOS TRAMOS EMPLEANDO LA SIGUIENTE FÓRMULA:
𝑥
𝐹(𝑥) = ∫−∞ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
VUELVO A COLOCAR LA COLOCAR LA MISMA FUNCIÓN DE
DENSIDAD F(X), PERO ESTA VEZ COMO F(T), ES LO MISMO, NO TE PREOCUPES.
𝑓(𝑡) = {
0,25;
𝑖0≤ 𝑡 ≤ 4
}
0
; 𝑛 𝑎𝑠𝑜 𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜
PARTIMOS CON EL PRIMER TRAMO:
PARTE 1: SI X > 4
𝑥
𝑥
𝑓(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = ∫ 0 𝑡 = 0
−∞
−∞
PARTE 2: SI 0 ≤ X ≤ 4
𝑥
𝑥
𝑥
𝑓(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 + ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
−∞
−∞
0
0
𝑥
𝑓(𝑥) = ∫ 0 𝑡 + ∫ 0,25 𝑡
−∞
RODRIGUEZ GONZALEZ BENJAMIN
0
42
SISTEMAS “A”
(𝑥) = 0 + 0,25𝑡 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑑𝑜 𝑛 0 = 0,25(𝑥 − 0) = 0,25𝑥
PARTE 3: SI X > 4
FINALMENTE, DEFINIMOS F(X).
TERMINAMOS CON LA GRÁFICA DE F(X).
RODRIGUEZ GONZALEZ BENJAMIN
43
SISTEMAS “A”
4.3. VALOR ESPERADO, VARIANZA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR.
VALOR ESPERADO:
SEA X UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA CON UN CONJUNTO DE
VALORES POSIBLES D Y UNA FUNCIÓN MASA DE PROBABILIDAD P(X). EL VALOR
ESPERADO O VALOR MEDIO DE X, DENOTADO POR E(X) O X, ES:
𝐸(𝑥) = µ𝑥 = 𝑥 ∈ 𝐷𝑥 ∗ 𝑝(𝑥)
CUANDO ESTÁ CLARO A QUE X SE REFIERE EL VALOR ESPERADO, A
MENUDO SE UTILIZA µ EN LUGAR DE X.
VARIANZA:
MEDIDA DEL CUADRADO DE LA DISTANCIA PROMEDIO ENTRE LA
MEDIA Y CADA ELEMENTO DE LA POBLACIÓN. SEA X UNA VARIABLE
ALEATORIA CONTINUA CON DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD F(X) Y MEDIA Μ.
LA VARIANZA DE X ES CALCULADA POR MEDIO DE:
DESVIACION ESTANDAR:
LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR O DESVIACIÓN TÍPICA ES UNA MEDIDA
QUE OFRECE INFORMACIÓN SOBRE LA DISPERSIÓN MEDIA DE UNA VARIABLE.
LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR ES SIEMPRE MAYOR O IGUAL QUE CERO.
RODRIGUEZ GONZALEZ BENJAMIN
44
SISTEMAS “A”
4.4. DISTRIBUCIÓN UNIFORME (CONTINUA).
UNA VARIABLE ALEATORIA TIENE UNA DISTRIBUCIÓN UNIFORME
CONTINUA SI LA PROBABILIDAD DE QUE TOME UN VALOR, DENTRO DE UN
INTERVALO FINITO [A, B], ES LA MISMA PARA CUALQUIER SUB-INTERVALO DE
IGUAL LONGITUD.
ESTA DISTRIBUCIÓN ES ANÁLOGA A LA DISTRIBUCIÓN UNIFORME
DISCRETA, QUE ASIGNABA A CADA RESULTADO DEL EXPERIMENTO
ALEATORIO LA MISMA PROBABILIDAD, PERO EN ESTE CASO LA VARIABLE A
CONSIDERAR ES CONTINUA. POR EJEMPLO, EL EXPERIMENTO QUE CONSISTE
EN SELECCIONAR UN NÚMERO REAL AL AZAR, ENTRE LOS VALORES A Y B,
SIGUE LA DISTRIBUCIÓN UNIFORME.
EJEMPLO:
UNA COMPAÑÍA QUE BRINDA SERVICIO ELÉCTRICO PROVEE NIVELES
DE VOLTAJES UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDOS, ENTRE 123.0 V Y 125.0 V. ESTO
SIGNIFICA QUE EN LA TOMA DOMÉSTICA ES POSIBLE OBTENER CUALQUIER
VALOR DE VOLTAJE QUE PERTENEZCA A DICHO INTERVALO.
ENTONCES, SEGÚN LO VISTO ANTERIORMENTE, LA GRÁFICA DE LA
FUNCIÓN DE DENSIDAD ES EL RECTÁNGULO EN ROJO:
CALCULAR LA PROBABILIDAD DE TENER UN VOLTAJE DENTRO DEL
INTERVALO DADO ES MUY FÁCIL, POR EJEMPLO ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD
DE QUE LA COMPAÑÍA ENVÍE UN VOLTAJE MENOR A 123?5 V?
ESTA PROBABILIDAD
SOMBREADO EN AZUL:
EQUIVALE
AL
ÁREA
DEL
RECTÁNGULO
P(X<123.5) = (123.5 −123.0) X 0.5 = 0.25
Y ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE EL VOLTAJE ENTREGADO SEA
MAYOR QUE 124?0 V?
COMO EL ÁREA TOTAL ES IGUAL A 1, LA PROBABILIDAD BUSCADA ES:
P (X>124.0 V) = 1 – (1×0.5) = 0.5
TIENE SENTIDO, YA QUE 124.0 ES PRECISAMENTE EL VALOR EN EL
CENTRO DEL INTERVALO.
RODRIGUEZ GONZALEZ BENJAMIN
45
SISTEMAS “A”
4.5 DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL.
LA DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL ES EL EQUIVALENTE CONTINUO DE
LA DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA DISCRETA. ESTA LEY DE DISTRIBUCIÓN
DESCRIBE PROCESOS EN LOS QUE:
NOS INTERESA SABER EL TIEMPO HASTA QUE OCURRE DETERMINADO
EVENTO, SABIENDO QUE,
EL TIEMPO QUE PUEDA OCURRIR DESDE CUALQUIER INSTANTE DADO
T, HASTA QUE ELLO OCURRA EN UN INSTANTE TF, NO DEPENDE DEL TIEMPO
TRANSCURRIDO ANTERIORMENTE EN EL QUE NO HA PASADO NADA.
EJEMPLOS DE ESTE TIPO DE DISTRIBUCIONES SON:
EL TIEMPO QUE TARDA UNA PARTÍCULA RADIACTIVA EN
DESINTEGRARSE. EL CONOCIMIENTO DE LA LEY QUE SIGUE ESTE EVENTO
SE UTILIZA EN CIENCIA PARA, POR EJEMPLO, LA DATACIÓN DE FÓSILES
O CUALQUIER MATERIA ORGÁNICA MEDIANTE LA TÉCNICA DEL
CARBONO 14, C1
EL TIEMPO QUE PUEDE TRANSCURRIR EN UN SERVICIO DE URGENCIAS,
PARA LA LLEGADA DE UN PACIENTE.
EN UN PROCESO DE POISSON DONDE SE REPITE SUCESIVAMENTE UN
EXPERIMENTO A INTERVALOS DE TIEMPO IGUALES, EL TIEMPO QUE
TRANSCURRE ENTRE LA OCURRENCIA DE DOS SUCESOS CONSECUTIVOS
SIGUE UN MODELO PROBABILÍSTICO EXPONENCIAL. POR EJEMPLO, EL
TIEMPO QUE TRANSCURRE ENTRE QUE SUFRIMOS DOS VECES UNA
HERIDA IMPORTANTE.
CONCRETANDO, SI UNA V.A. CONTINUA X DISTRIBUIDA A LO LARGO
DE, ES TAL QUE SU FUNCIÓN DE DENSIDAD ES:
SE DICE
PARÁMETRO.
QUE
SIGUE
RODRIGUEZ GONZALEZ BENJAMIN
UNA
46
DISTRIBUCIÓN
EXPONENCIAL
DE
SISTEMAS “A”
4.6 DISTRIBUCIÓN GAMMA (ERLANG).
LA DISTRIBUCIÓN GAMMA, CUANDO A ES UN ENTERO POSITIVO SE
CONOCE CON EL NOMBRE DE ERLANG. EXISTE UNA ASOCIACIÓN ENTRE LOS
MODELOS DE PROBABILIDAD DE POISSON Y DE ERLANG. SI EL NÚMERO DE
EVENTOS ALEATORIOS INDEPENDIENTES QUE OCURREN EN UN LAPSO
ESPECÍFICO ES UNA VARIABLE ALEATORIA DE POISSON CON FRECUENCIA
CONSTANTE DE OCURRENCIA IGUAL A 1/ Q, ENTONCES, PARA UNA A DADA,
EL TIEMPO DE ESPERA HASTA QUE OCURRE EL A-ÉSIMO EVENTO DE POISSON
SIGUE UNA DISTRIBUCIÓN DE ERLANG.
CUANDO A=1, LA DISTRIBUCIÓN DE ERLANG SE REDUCE A UNA
DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL NEGATIVA. NÓTESE QUE LA VARIABLE
ALEATORIA DE UNA DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL NEGATIVA PUEDE PENSARSE
COMO EL LAPSO QUE TRANSCURRE HASTA EL PRIMER EVENTO DE POISSON.
DE ACUERDO CON ESTO, LA VARIABLE ALEATORIA DE ERLANG ES LA SUMA DE
VARIABLES ALEATORIAS INDEPENDIENTES DISTRIBUIDAS EXPONENCIALMENTE.
OTRO CASO ESPECIAL DEL MODELO DE PROBABILIDAD GAMMA ES
LA DISTRIBUCIÓN CHI-CUADRADO.
SI SE HACE A= U /2 Y Q=2, SE OBTIENE:
DONDE U RECIBE EL NOMBRE DE GRADOS DE LIBERTAD.
LA MEDIA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN CHI-CUADRADO SE
OBTIENEN DE LOS DE LA GAMMA.
RODRIGUEZ GONZALEZ BENJAMIN
47
SISTEMAS “A”
4.7. DISTRIBUCIÓN NORMAL.
EN ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD, UNA DISTRIBUCIÓN NORMAL,
TAMBIÉN LLAMADA DISTRIBUCIÓN DE GAUSS, DISTRIBUCIÓN GAUSSIANA O
DISTRIBUCIÓN DE LAPLACE-GAUSS, ES LA MÁS IMPORTANTE DE TODAS LAS
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE VARIABLE CONTINUA Y ES LA QUE
APARECE CON MÁS FRECUENCIA EN ESTADÍSTICA Y EN LA TEORÍA DE
PROBABILIDADES. PERO ¿QUÉ ES EXACTAMENTE?
PUES ES UN MODELO TEÓRICO QUE SIRVE PARA APROXIMAR
SATISFACTORIAMENTE EL VALOR DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA A
UNA SITUACIÓN IDEAL. ¡TE LO EXPLICAMOS MEJOR! LA DISTRIBUCIÓN
NORMAL ADAPTA UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA A UNA FUNCIÓN
QUE DEPENDE DE LA MEDIA Y LA DESVIACIÓN TÍPICA. ES DECIR, LA FUNCIÓN
Y LA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA TENDRÁN LA MISMA REPRESENTACIÓN,
PERO CON LIGERAS DIFERENCIAS.
¿TE SUENA EL CONCEPTO DE CAMPANA DE GAUSS? SE LLAMA ASÍ A
LA GRÁFICA DE SU FUNCIÓN DE DENSIDAD POR TENER UNA FORMA
ACAMPANADA Y ES EL GRÁFICO DE UNA FUNCIÓN GAUSSIANA. ES SIMÉTRICA
RESPECTO A UN DETERMINADO PARÁMETRO ESTADÍSTICO.
¿Y POR QUÉ ESTA DISTRIBUCIÓN ES TAN IMPORTANTE? PORQUE CON
ELLA PODEMOS MODELAR UNA GRAN CANTIDAD DE FENÓMENOS
NATURALES, SOCIALES Y PSICOLÓGICOS. NORMALMENTE, SE DESCONOCEN
LOS MECANISMOS DE LA MAYORÍA DE ESTE TIPO DE FENÓMENOS POR SU
ENORME CANTIDAD DE VARIABLES INCONTROLABLES. SIN EMBARGO, EL USO
DEL MODELO NORMAL PUEDE JUSTIFICARSE ASUMIENDO QUE CADA
OBSERVACIÓN SE OBTIENE COMO LA SUMA DE UNAS POCAS CAUSAS
INDEPENDIENTES.
LA IMPORTANCIA DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL TAMBIÉN RADICA EN
SU RELACIÓN CON LA ESTIMACIÓN POR MÍNIMOS CUADRADOS, UNO DE LOS
MÉTODOS DE ESTIMACIÓN MÁS SIMPLES Y ANTIGUOS.
AQUÍ TIENES ALGUNOS EJEMPLOS DE VARIABLES ASOCIADAS A
FENÓMENOS NATURALES QUE SIGUEN EL MODELO DE LA DISTRIBUCIÓN
NORMAL:
CARACTERES MORFOLÓGICOS DE INDIVIDUOS COMO LA ESTATURA;
CARACTERES FISIOLÓGICOS COMO EL EFECTO DE UN FÁRMACO;
RODRIGUEZ GONZALEZ BENJAMIN
48
SISTEMAS “A”
CARACTERES SOCIOLÓGICOS COMO EL CONSUMO DE CIERTO
PRODUCTO POR UN MISMO GRUPO DE INDIVIDUOS;
CARACTERES PSICOLÓGICOS COMO EL COCIENTE INTELECTUAL;
NIVEL DE RUIDO EN TELECOMUNICACIONES;
ERRORES COMETIDOS AL MEDIR CIERTAS MAGNITUDES;
RODRIGUEZ GONZALEZ BENJAMIN
49
SISTEMAS “A”
4.7.1 APROXIMACIÓN DE LA BINOMIAL A LA NORMAL.
EN ESTE CASO SE ESTARÁN CALCULANDO PROBABILIDADES DE
EXPERIMENTOS BINOMIALES DE UNA FORMA MUY APROXIMADA CON LA
DISTRIBUCIÓN NORMAL, ESTO PUEDE LLEVARSE A CABO SI N¥® Y P = P(ÉXITO)
NO ES MUY CERCANA A 0 Y 1, O CUANDO N ES PEQUEÑO Y P TIENE UN VALOR
MUY CERCANO A ½; ESTO ES,
DONDE:
X = VARIABLE DE TIPO DISCRETO; SOLO TOMA VALORES ENTEROS
M = NP = MEDIA DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
S = DESVIACIÓN ESTÁNDAR DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
CUANDO OCURREN LAS CONDICIONES ANTERIORES, LA GRÁFICA
DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL, ES MUY PARECIDA A LA DISTRIBUCIÓN
NORMAL, POR LO QUE ES ADECUADO CALCULAR PROBABILIDADES CON LA
NORMAL EN LUGAR DE CON LA BINOMIAL Y DE UNA FORMA MÁS RÁPIDA.
EN RESUMEN, SE UTILIZA LA APROXIMACIÓN NORMAL PARA
EVALUAR PROBABILIDADES BINOMIALES SIEMPRE QUE P NO ESTÉ CERCANO A
0 O 1. LA APROXIMACIÓN ES EXCELENTE CUANDO N ES GRANDE Y BASTANTE
BUENA PARA VALORES PEQUEÑOS DE N SI P ESTÁ RAZONABLEMENTE
CERCANA A ½. UNA POSIBLE GUÍA PARA DETERMINAR CUANDO PUEDE
UTILIZARSE LA APROXIMACIÓN NORMAL ES TENER EN CUENTA EL CÁLCULO DE
NP Y NQ. SÍ AMBOS, NP Y NQ SON MAYORES O IGUALES A 5, LA
APROXIMACIÓN SERÁ BUENA.
ANTES DE EMPEZAR A RESOLVER PROBLEMAS CON LA
APROXIMACIÓN NORMAL, ES BUENO ACLARAR QUE SE ESTÁN EVALUANDO
PROBABILIDADES ASOCIADAS A UNA VARIABLE DISCRETA X, CON UNA
DISTRIBUCIÓN QUE EVALÚA VARIABLES DE TIPO CONTINUO COMO ES LA
NORMAL,
POR LO QUE Z SUFRE UN PEQUEÑO CAMBIO COMO SE MUESTRA A
CONTINUACIÓN:
RODRIGUEZ GONZALEZ BENJAMIN
50
SISTEMAS “A”
¿POR QUÉ VAMOS A SUMAR O A RESTAR ½ A X?
ESTE ES UN FACTOR DE CORRECCIÓN DEBIDO A QUE SE ESTÁ
EVALUANDO UNA VARIABLE DISCRETA CON UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA,
POR LO QUE HAY QUE DELIMITAR CLARAMENTE DESDE QUE PUNTO SE VA A
EVALUAR LA VARIABLE, DICHO DE OTRA FORMA, EN QUE LÍMITE DE LA BARRA
(INFERIOR O SUPERIOR) NOS DEBEMOS POSICIONAR PARA DETERMINAR LA
PROBABILIDAD REQUERIDA, CADA BARRA DE PROBABILIDAD A EVALUAR
TIENE COMO BASE LA UNIDAD, ESE ES EL PORQUÉ DEL ± ½.
EJEMPLO:
LA PROBABILIDAD DE QUE UN PACIENTE SE RECUPERE DE UNA RARA
ENFERMEDAD DE LA SANGRE ES DE 0.4. SI SE SABE QUE 100 PERSONAS HAN
CONTRAÍDO ESTA ENFERMEDAD, ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE: ¿A) AL
MENOS 30 SOBREVIVAN?
SOLUCIÓN:
A)
N = 100
P = P (PACIENTE SE RECUPERE) = 0.40
Q = P (PACIENTE NO SE RECUPERE) = 1 – P = 1 – 0.40 = 0.60
µ = NP = (100) (0.40) = 40 PACIENTES SE RECUPEREN
= √𝑛𝑝𝑞 = √100(0.40)(0.60) = 4.899 PACIENTES QUE SE RECUPERAN
X = VARIABLE QUE NOS DEFINE EL NÚMERO DE PACIENTES QUE SE
RECUPERAN
X = 0, 1, 2…,100 PACIENTES QUE SE RECUPERAN
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51
SISTEMAS “A”
4.8. TEOREMA DE CHEBYSHEV.
EL TEOREMA DE CHEBYSHOV (O DESIGUALDAD DE CHEBYSHOV) ES
UNO DE LOS RESULTADOS CLÁSICOS MÁS IMPORTANTES DE LA TEORÍA DE LA
PROBABILIDAD. PERMITE ESTIMAR LA PROBABILIDAD DE UN EVENTO DESCRITO
EN TÉRMINOS DE UNA VARIABLE ALEATORIA X, AL PROVEERNOS DE UNA COTA
QUE NO DEPENDE DE LA DISTRIBUCIÓN DE LA VARIABLE ALEATORIA SINO DE
LA VARIANZA DE X.
EL TEOREMA RECIBE EL NOMBRE EN HONOR AL MATEMÁTICO RUSO
PAFNUTY CHEBYSHOV (TAMBIÉN ESCRITO COMO CHEBYCHEV O
TCHEBYCHEFF) QUIEN, A PESAR DE NO SER EL PRIMERO EN ENUNCIAR DICHO
TEOREMA, FUE EL PRIMERO EN DAR UNA DEMOSTRACIÓN EN EL AÑO 1867.
ESTA DESIGUALDAD, O AQUELLAS QUE POR SUS CARACTERÍSTICAS
SON LLAMADAS DESIGUALDAD DE CHEBYSHOV, SE USA PRINCIPALMENTE
PARA APROXIMAR PROBABILIDADES POR MEDIO DE CÁLCULO DE COTAS.
¿EN QUÉ CONSISTE EL TEOREMA DE CHEBYSHOV?
EN EL ESTUDIO DE LA TEORÍA DE LA PROBABILIDAD OCURRE QUE, SI
SE CONOCE LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE UNA VARIABLE ALEATORIA X,
SE PUEDE CALCULAR SU VALOR ESPERADO —O ESPERANZA MATEMÁTICA
E(X)— Y SU VARIANZA VAR(X), SIEMPRE Y CUANDO DICHAS CANTIDADES
EXISTAN. SIN EMBARGO, EL RECÍPROCO NO ES NECESARIAMENTE CIERTO.
ES DECIR, CONOCIENDO E(X) Y VAR(X) NO NECESARIAMENTE SE
PUEDE OBTENER LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE X, POR LO CUAL
CANTIDADES COMO P(|X|>K) PARA ALGÚN K>0, SON MUY DIFÍCILES DE
OBTENER. PERO GRACIAS A LA DESIGUALDAD DE CHEBYSHOV ES POSIBLE
HACER UNA ESTIMACIÓN DE LA PROBABILIDAD DE LA VARIABLE ALEATORIA.
RODRIGUEZ GONZALEZ BENJAMIN
52
SISTEMAS “A”
EL TEOREMA DE CHEBYSHOV NOS DICE QUE, SI TENEMOS UNA
VARIABLE ALEATORIA X SOBRE UN ESPACIO MUESTRAL S CON UNA FUNCIÓN
DE PROBABILIDAD P, Y SI K>0, ENTONCES:
EJEMPLO:
SUPONGAMOS QUE EL NÚMERO DE PRODUCTOS FABRICADOS EN
UNA EMPRESA DURANTE UNA SEMANA ES UNA VARIABLE ALEATORIA CON
PROMEDIO DE 50.
SI SE SABE QUE LA VARIANZA DE UNA SEMANA DE PRODUCCIÓN ES
IGUAL A 25, ENTONCES ¿QUÉ PODEMOS DECIR ACERCA DE LA PROBABILIDAD
DE QUE EN ESTA SEMANA LA PRODUCCIÓN DIFIERA EN MÁS DE 10 A LA
MEDIA?
SOLUCIÓN
APLICANDO LA DESIGUALDAD DE CHEBYSHOV TENEMOS QUE:
DE ESTO PODEMOS OBTENER QUE LA PROBABILIDAD DE QUE EN LA
SEMANA DE PRODUCCIÓN EL NÚMERO DE ARTÍCULOS EXCEDA EN MÁS DE 10
A LA MEDIA ES A LO MÁS 1/4.
TEOREMA LÍMITE DE CHEBYSHOV
SI X1, X2, …, XN, ES UNA SUCESIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS
INDEPENDIENTES TAL QUE EXISTE ALGÚN C< INFINITO, TAL QUE VAR(XN) ≤ C
PARA TODO N NATURAL, ENTONCES PARA CUALQUIER K>0:
DEMOSTRACIÓN
COMO LA SUCESIÓN DE VARIANZAS ES UNIFORMEMENTE ACOTADA,
TENEMOS QUE VAR (SN)≤ C/N, PARA TODO N NATURAL. PERO SABEMOS QUE:
HACIENDO TENDER N HACIA INFINITO, RESULTA LO SIGUIENTE:
COMO UNA PROBABILIDAD NO PUEDE EXCEDER EL VALOR DE 1, SE
OBTIENE EL RESULTADO DESEADO. COMO CONSECUENCIA DE ESTE TEOREMA
PODRÍAMOS MENCIONAR EL CASO PARTICULAR DE BERNOULLI.
SI UN EXPERIMENTO SE REPITE N VECES DE FORMA INDEPENDIENTE
CON DOS RESULTADOS POSIBLES (FRACASO Y ÉXITO), DONDE P ES LA
PROBABILIDAD DE ÉXITO EN CADA EXPERIMENTO Y X ES LA VARIABLE
ALEATORIA QUE REPRESENTA EL NÚMERO DE ÉXITOS OBTENIDOS, ENTONCES
PARA CADA K>0 SE TIENE QUE:
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SISTEMAS “A”
TAMAÑO DE MUESTRA
EN TÉRMINOS DE LA VARIANZA, LA DESIGUALDAD DE CHEBYSHOV NOS
PERMITE ENCONTRAR UN TAMAÑO DE MUESTRA N QUE ES SUFICIENTE PARA
GARANTIZAR QUE LA PROBABILIDAD DE QUE |SN-Μ|>=K OCURRA SEA TAN
PEQUEÑA COMO SE DESEE, LO CUAL PERMITE TENER UNA APROXIMACIÓN A
LA MEDIA.
DE MANERA PRECISA, SEA X1, X2…XN UNA MUESTRA DE VARIABLES
ALEATORIAS INDEPENDIENTES DE TAMAÑO N Y SUPONGAMOS QUE E(XI)=Μ Y
SU VARIANZA Σ2. ENTONCES, POR LA DESIGUALDAD DE CHEBYSHOV SE TIENE
QUE:
EJEMPLO
SUPÓNGASE QUE X1, X2…XN SON UNA MUESTRA DE VARIABLES
ALEATORIAS INDEPENDIENTES CON DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI, DE TAL
FORMA QUE TOMAN EL VALOR 1 CON PROBABILIDAD P=0.5.
¿CUÁL DEBE SER EL TAMAÑO DE LA MUESTRA PARA PODER
GARANTIZAR QUE LA PROBABILIDAD DE QUE LA DIFERENCIA ENTRE LA MEDIA
ARITMÉTICA SN Y SU VALOR ESPERADO (QUE EXCEDA EN MÁS DE 0,1), SEA
MENOR O IGUAL QUE 0?,01?
SOLUCIÓN
TENEMOS QUE E(X)=Μ=P=0,5 Y QUE VAR(X)=Σ2=P(1-P) =0,25. POR LA
DESIGUALDAD DE CHEBYSHOV, PARA CUALQUIER K>0 TENEMOS QUE:
AHORA, TOMANDO K=0,1 Y Δ=0,01, SE TIENE QUE:
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SISTEMAS “A”
DE ESTA MANERA SE CONCLUYE QUE SE NECESITA UN TAMAÑO DE
MUESTRA DE AL MENOS 2500 PARA GARANTIZAR QUE LA PROBABILIDAD DEL
EVENTO |SN – 0,5|>= 0,1 SEA MENOR QUE 0,01.
DESIGUALDADES TIPO CHEBYSHOV
EXISTEN DIVERSAS DESIGUALDADES RELACIONADAS CON LA
DESIGUALDAD DE CHEBYSHOV. UNA DE LAS MÁS CONOCIDAS ES LA
DESIGUALDAD DE MARKOV:
EN ESTA EXPRESIÓN X ES UNA VARIABLE ALEATORIA NO NEGATIVA
CON K, R>0.
LA DESIGUALDAD DE MARKOV PUEDE TOMAR DISTINTAS FORMAS.
POR EJEMPLO, SEA Y UNA VARIABLE ALEATORIA NO NEGATIVA (POR LO QUE
P(Y>=0) =1) Y SUPONGAMOS QUE E(Y)=Μ EXISTE. SUPONGAMOS TAMBIÉN
QUE (E(Y)) R=ΜR EXISTE PARA ALGÚN ENTERO R>1. ENTONCES:
OTRA DESIGUALDAD ES LA DE GAUSS, LA CUAL NOS DICE QUE DADA
UNA VARIABLE ALEATORIA UNIMODAL X CON MODA EN CERO, ENTONCES
PARA K > 0,
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SISTEMAS “A”
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
J. Obando López y N. Arango Londoño, Probabilidad y estadística.
Fondo
Editorial
EIA,
2019.
[En
Línea]
Disponible
en:
https://elibro.net/es/lc/itocotlan/titulos/125705
DeVore, J. (2005). Probabilidad y Estadística para Ingeniería y
Ciencias. México: Thomson
Hines, W. y Montgomery, D. (2003). Probabilidad y Estadística para
Ingeniería y Administración. México: CECSA
Montgomery, D. C. y Runger, G. C. (1998). Probabilidad y Estadística
aplicadas a la Ingeniería. México: McGraw Hill
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