Instituto Tecnológico de La Paz B.C.S
Departamento de ingenierías
Carrera:
Ingeniería Bioquímica
Materia:
Álgebra Lineal
Tema:
TRANSFORMACIONES LINEALES
Docente:
M.C. Marco Calzada
Alumna:
Yeratzi Fernanda Araiza Garcia
La Paz B.C.S a 22 de Mayo del 2019.
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Índice
TRANSFORMACIONES LINEALES ........ 1
5.1 Introducción a las transformaciones
lineales. ......................................................... 3
5. 2 Núcleo e imagen de una transformación
lineal. ............................................................ 5
5.3 La matriz de una transformación lineal. . 9
5.4 Aplicación de las transformaciones
lineales: reflexión, expansión, contracción y
rotación. .................................................... 111
Conclusión. ................................................. 15
Bibliografía. ................................................ 15
Fuentes de referencia. ................................. 15
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5.1 Introducción a las transformaciones lineales.
Las transformaciones lineales intervienen en muchas situaciones en Matemáticas y son
algunas de las funciones más importantes. En Geometría modelan las simetrías de un
objeto, en Algebra se pueden usar para representar ecuaciones, en Análisis sirven para
aproximar localmente funciones.
Las transformaciones lineales tratan sobre K-espacios vectoriales que son compatibles con
la estructura (es decir, con la operación y la acción) de estos espacios.
Una trasformación lineal es una función entre espacios vectoriales, es decir, el objetivo es
transformar un espacio vectorial en otro.
Es T: V → W tal que para todos los vectores u y v de V y cualquier escalar k:
1.- T(u+v)=T(u)+T(v)
2.-T(KU)=KT(u) Para todo vector u y todo escalar k
Cuando esto ocurre la transformación T manda combinaciones lineales en combinaciones
lineales. Aquí se presentan las funciones entre espacios vectoriales que preservan las
cualidades de los espacios vectoriales. Es decir, de funciones que preservan la suma y la
multiplicación por escalares.
Ejemplos.
Si A es una matriz m x n y los elementos de Rm y Rn se consideran vectores columna (en
lugar de vectores fila), entonces, T: Rn → Rm definida por T(X)= AX es una transformación
lineal.
Verificación: Si X y Y son vectores columna n x 1, entonces la multiplicación por la
derecha de A por X y Y está definida y
T(X + Y)= A(X + Y)= AX + AY = T(X) + T(Y)
Además,
T(aX)= A(aX)= a(AX)= aT(X)
Demuestre que la transformación T: R2 →R2 definida por
T* +=[
]
Es lineal.
Solución.
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Sea u= * + y v=* +
Entonces:
+
T(u + v)= T (*
=[
(
(
=[
* +)= T*
)
)
(
(
(
(
)
]
)
)
]+[
)
=T* +
]
( )
* +
+
( )
Por otro lado, para todo escalar c,
T(cu) =
*
+
=[
]
=c[
]
=cT * +
= cT (u)
Como se cumplen las dos condiciones:
T( u + v) = T(u) + T(v)
T(cu) = cT(u)
T es lineal.
Una transformación lineal preserva combinaciones lineales. Veremos que, debido a esto,
una transformación lineal queda unívoca-mente determinada por los valores que toma en
los elementos de una base cualquiera de su dominio.
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Ejemplo. Hallar, si es posible, una transformación lineal f: R2 → R2 que verifique f(1,1) =
(0,1) y f (1,0) = (2,3)
Dado (x1, x2) R2 se tiene que (x1, x2) = x2 (1,1) + (x1 - x2) (1, 0). Entonces, si f verifica lo
pedido, debe ser
f (x1, x2) = x2 . f (1,1) + (x1 – x2) . f (1, 0) = x2. (0, 1) + (x1 – x2). (2, 3)
= (2x1 – 2x2, 3x1 – 2x2).
Además, es fácil ver que esta función es una transformación lineal y que vale f (1, 1) =
(0, 1) y f (1, 0)= (2, 3).
Luego, f (x1, x2) = (2x1 - 2x2, 3x1 – 2x2) es la única transformación lineal que satisface lo
pedido.
5. 2 Núcleo e imagen de una transformación lineal.
Teorema 1. Sea T: V S W una transformación lineal. Entonces para todos los
vectores u, v, v1, v2,. . ., vn en V y todos los escalares a1, a2,. . ., an:
i. T(0) = 0
ii. T(u - v) = Tu - Tv
iii. T(a1v1 + a2v2 +. . .+ anvn) = a1Tv1 + a2Tv2 +. . .+ anTvn
Nota. En la parte (i) el 0 de la izquierda es el vector cero en V; mientras que el 0 de la
derecha es el vector cero en W.
Teorema 2. Sea V un espacio vectorial de dimensión infinita con base B = {v1, v2,. . ., vn}.
Sean w1, w2,. . ., wn vectores en W. Suponga que T1 y T2 son dos transformaciones lineales
de V en W tales que T1vi = T2vi = wi para i = 1, 2,. . ., n. Entonces para cualquier vector v
V, T1v = T2v; es decir T1 = T2.
Ejemplo. Sea T una transformación lineal de R3 en R2 y suponga que T ( ) = ( ), T ( )
=(
) yT( )=(
Se tiene (
). Calcule T (
).
)= 3( ) -4( ) + 5( ).
Entonces
5
T(
)= 3T( ) -4T ( ) + 5T ( ).
= 3( ) -4 (
)+5(
)=( )+(
)+(
)=(
)
Surge otra pregunta: si w1, w2,…, wn son n vectores en w, ¿existe una transformación lineal
T tal que tv1 = w1 para i = 1,2,…, n? la respuesta es sí, como lo muestra el siguiente
teorema.
Definición 1. Núcleo e imagen de una transformación lineal
Sean V y W dos espacios vectoriales y sea T: V W una transformación lineal. Entonces
i . El núcleo de T, denotado por un, está dado por:
nu T = { v
V: Tv = 0}
ii. Denotado por Im T, está dado por
Im T = {w
W: w = Tv para alguna v
V}
Observación 1. Observe que un T es no vacío porque, de acuerdo al teorema 1, T (0) = 0 de
manera que 0 ϵ un T para cualquier transformación lineal T. Se tiene interés en encontrar
otros vectores en V que “se transformen en 0”. De nuevo, observe que cuando escribimos
T(0) = 0, el 0 de la izquierda está en V y el de la derecha en W.
Observación 2. La imagen de T es simplemente el conjunto de “imágenes” de los vectores
en V bajo la transformación T. De hecho, si w = Tv, se dice que w es la imagen de v bajo
T.
Antes de dar ejemplos de núcleos e imágenes, se demostrará un teorema de gran utilidad.
Teorema 4. Si T: V W es una transformación lineal, entonces
i.Un T es un subespacio de V.
ii.Im T es un subespacio de W.
Demostración.
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i. Sean u y v en un T; Entonces T(u + v) = Tu + Tv =0 + 0 =0 y T( ) = = 0 = 0 de forma
que u + v y ∝u están en un T.
ii. Sean w y x en Im T. Entonces w = Tu y x = Tv para dos vectores u y v en V. Esto
significa que T(u + v)= Tu + Tv = w + x y T(∝u) = ∝Tu =∝w. Por lo tanto, w + x y ∝w
están en Im T.
Ejemplo 3. Núcleo e imagen de la transformación cero
Sea Tv = 0 para todo vϵ V (T es la transformación cero). Por lo tanto un T = v e Im T =
{0}.
Ejemplo 4. Núcleo e imagen de la transformación identidad
Sea Tv = v para vϵ V(T es la transformación identidad). Entonces un T= {0} e Im T = V.
Las transformaciones cero e identidad proporcionan dos extremos. En la primera todo se
encuentra en el núcleo. En la segunda sólo el vector cero se encuentra en el núcleo. Los
casos intermedios son más interesantes.
Ejemplo 5. Núcleo e imagen de un operador de proyección
Sea T: R3 R3 definida por
T( )
( )
T es el operador de proyección de R3 en el plano xy.
Si T ( )
( )
( )
Entonces x = y = 0. Así, nu T = {(x,y,z):x = y = 0, zϵR}, es decir, el eje z, e Im T =
{(x,y,z): z = 0}, es decir el plano xy. Observe que dim un T = 1 y dim Im T = 2.
Ejemplo 2.
Dada la siguiente transformación lineal
F: R3→R2×2 F((x,y,z))= (
)
Buscar el núcleo, la imagen, y determinar sus dimensiones.
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Resolución.
Para determinar el núcleo planteamos: (x,y,z) está en el núcleo ⇔
F(x,y,z)= (
)
F(x,y,z)= (
) =(
)⇒*
⇒x = z = -y
Se trata de un sistema compatible indeterminado. El núcleo queda definido entonces por
vectores con la forma:
(–y, y, –y) = y. (–1,1, –1)
Entonces:
Nu (F)= {(x, y, z)
R3 | x = z = –y} = gen{(–1,1,–1)}
BNu = {(1, –1,1)}
La imagen la podemos obtener aplicando propiedades sobre la expresión que define la
transformación lineal:
(
) = x. (
) + y. (
) + z. (
)
Luego, estas tres matrices generan la imagen, porque cualquier vector de la imagen es
combinación lineal de ellas.
Im (T)= gen { (
),(
), (
)}
La generan, pero ¿son una base de la imagen? Observamos que las dos primeras son
linealmente independientes. Pero la tercera es combinación lineal de las anteriores:
(
)-(
)=(
BIm= {(
),(
)
Entonces una base de la imagen es:
)
Ahora podemos responder sobre las dimensiones:
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dim(Nu)=1
dim(Im)=2
Notemos que la suma de las dimensiones de núcleo e imagen es igual a la dimensión del
dominio de la transformación lineal:
dim (R3) = 3
Definición 2. Nulidad y rango de una transformación lineal
Si T es una transformación lineal de v en w, entonces se define.
Nudalidad de T = v(T) dim un T
Rango de T = p(T) = dim Im T
Toda matriz A de m x n da lugar a una transformación lineal T:R´´ R´´´ definida por Tx =
Ax. Es evidente que un T = N A, Im T = Im A = CA, v(T) = v(A) y p(T) = p(A). Entonces se
ve que las definiciones de núcleo, imagen, nulidad y rango de una transformación lineal son
extensiones del espacio nulo, la imagen, la nulidad y el rango de una matriz.
5.3 La matriz de una transformación lineal.
Si A es una matriz de m x n y T: Rn-Rm está definida por Tx = Ax, entonces, T es una
transformación lineal. Ahora se verá que para toda transformación lineal de R n en Rm existe
una matriz A de m x n tal que Tx = Ax para todo x ϵ Rn. Este hecho es de gran utilidad. Si
Tx = Ax.
Entonces un T = N A e Im T = RA. Más aun, v(T) = dim un T = v(A) y p(T) = dim Im T =
p(A). Así se puede determinar el núcleo, la imagen, la nulidad y el rango de una
transformación lineal de Rn-Rm determinando el espacio nulo y la imagen de la matriz
correspondiente. Adicionalmente, una vez que se sabe que Tx = Ax.
Se puede evaluar Tx para cualquier x en Rn mediante una simple multiplicación de
matrices. Pero esto no es todo. Como se verá, cualquier transformación lineal entre espacios
vectoriales de dimensión infinita se puede representar mediante una matriz.
Teorema 1. Sea T: Rn -Rm una transformación lineal. Existe entonces una matriz única de m
x n, AT tal que
Tx = A1x
para toda x
Rn
Demostración.
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Sea w1 = Te1, w2 = Te2,….,wn = Ten. Sea AT la matriz cuyas columnas son w1, w2,…., wn y
hagamos que AT denote también a la transformación de Rn-Rm, que multiplica un vector en
Rn por AT. Si
Wi = (
) para i
, …, n
i-ésima posición
Entonces
ATei = (
)
=(
) = wi
( )
De esta forma, ATei = wi para i = 1,2,….n., T y la transformación AT son las mismas porque
coinciden en los vectores básicos.
Ahora se puede demostrar que AT es única. Suponga que Tx = AT x y que Tx = BTx para
todo x ϵ Rn. Entonces ATx = BT x, o estableciendo CT= AT – BT, se tiene que CT x = 0 para
todo x ϵ Rn. En particular, CTei es la columna i de CT. Así, cada una de la n columnas de
CT es el m-vector cero, la matriz cero de m x n. Esto muestra que AT = BT y el teorema
queda demostrado.
Definición 1. Matriz de transformación
La matriz AT en el teorema 1 se denomina matriz de transformación correspondiente a T o
representación matricial de T.
Nota. La matriz de transformación AT está definida usando las bases estándar tanto en
Rn como en R3. Si se utilizan otras bases, se obtendrá una matriz de transformación
diferente.
Teorema 2. Sea AT la matriz de transformación correspondiente a la transformación lineal
T. entonces.
i. Im T = Im A = CAT
ii. P(T) = p(AT)
iii. Un T = NAT
iv. v(T) = v(AT
Ejemplo 1. Representación matricial de una transformación de proyección.
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Encuentre la matriz de transformación AT correspondiente a la proyección de un vector en
R3 sobre el plano xy.
Solución.
Aquí T ( )=( ). En particular, T( ) = ( ), T( ) = ( ) y T( ) = ( )
Así,
AT = (
). Observe que AT = ( ) = (
)( )=( )
Teorema 4. Sean V y W espacios vectoriales de dimensión finita con dim V = n. sea T: VW una transformación lineal y sea AT una representación matricial de T respecto a las bases
B1 en V y B2 en W. entonces
i.
p(T) =p(AT)
ii.
V(A) = v(AT)
iii.
V(a) + p(T) = n
Teorema 5. Sea T: Rn-Rm una transformación lineal. Suponga que C es la matriz de
transformación de T respecto a las bases estándar S n y Sm en Rn y Rm, respectivamente. Sea
A1 la matriz de transición de B2 a base Sm en Rm. Si AT denota la matriz de transformación
de T respecto a las bases B1 y B2, entonces.
AT = A2 -1CA1
Aplicación de las transformaciones lineales: reflexión, dilatación, contracción y rotación.
Geometría de las transformaciones lineales de R2 en R2.
Sea T: R2-R2 una transformación lineal con representación matricial AT Ahora de
demostrará que si AT es invertible, entonces T se puede escribir como una sucesión de una
o más transformaciones especiales, denominadas expansiones, compresiones, reflexiones
y cortes.
5.4 Aplicación de las transformaciones lineales: reflexión, expansión, contracción y
rotación.
Rm. Graficar un conjunto de puntos en otro es lo que se conoce como transformación
lineal de un conjunto de puntos. Existen ciertas propiedades básicas de las transformaciones
lineales, las cuales si son tomadas en cuenta y aplicadas al momento de resolver un
problema, pueden reducirlo un problema simple. La notación general utilizada para una
transformación lineal es T: Rn
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1. Reflexión: Cuando un conjunto de puntos dados es graficado desde el espacio euclidiano
de entrada a otro de manera tal que este es isométrico al espacio euclidiano de entrada,
llamamos a la operación realizada la reflexión del conjunto de puntos dado. Esto puede
realizarse también con respecto a la matriz, en tal situación la matriz de salida es llamada la
matriz de reflexión. La reflexión es realizada siempre con respecto a uno de los ejes, sea el
eje x o el eje y. Esto es como producir la imagen espejo de la matriz actual.
2. Expansión: Al igual que en la reflexión, también es posible expandir los puntos dados en
una dirección particular. La expansión se realiza habitualmente para un cierto grado. Es
como realizar una operación de multiplicación de los elementos del conjunto de puntos
dados con un término escalar hacia la dirección donde tiene que ser expandido. Sea para un
punto (2, 3) si el grado de expansión 2 es la dirección de y, entonces el nuevo punto
obtenido es (2, 6).
3. Contracción: La contracción es el procedimiento inverso de la expansión. Aquí el punto
es contraído en un determinado grado hacia una dirección dada. Sea el punto de entrada (4,
8) y este debe ser contraído para el grado dos en la dirección de x entonces el nuevo punto
resulta ser (2, 8).
4. Rotación: El término rotación tiene dos significados, ya la rotación de un objeto puede
ser realizada con respecto al eje dado o al eje mismo. La rotación se realiza para un cierto
grado el cual es expresado en forma de un ángulo. Asimismo, la rotación puede realizarse
en la dirección de las manecillas del reloj, o inverso a las manecillas del reloj.
Como ejemplo, dirijámonos a producir la matriz estándar para la representación de la
transformación lineal reflejando un conjunto de puntos en el plano x-y a través de la recta y
= (−2x / 3).
El primer paso para esto es determinar los vectores base
Reflexión sobre el eje x.
En este caso, queremos averiguar cómo está definida la transformación T de R2 en R2 que
cada vector lo refleja sobre el eje x, para obtener un vector.
u= (u1, u2)
T(u)=(v1, v2)
En una gráfica, vemos la situación como sigue:
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En este caso, la situación es más sencilla ya que claramente tenemos dos triángulos rectángulos que son
congruentes, de donde T queda definida como sigue:
T (u1, u2) = (u1, -u2)
Esta transformación se llama la reflexión sobre el eje x, y es lineal, ya que:
T [( u1. U2) + λ( v1, v2)] = T (u1 + λv1,u2 + λv2)
= (u1 + λv1, -u2 – λv2)
=(u1, -u2) + λ(v1, -v2)
=T(u1,u2) + λT(v1,v2)
Ejemplo dilatación o expansión
Una dilatación es una transformación que incrementa distancias.
Sea V= (2 4) encontrara la expansión vertical cuando K=2
Expansión horizontal (k71) o contracción (0<k<1)
Expansión vertical (k71) o contracción (0<k<1)
Ejemplo contracción
Una contracción es una transformación que decrece distancias. Bajo una contracción,
cualquier par de puntos es enviado a otro par a distancia estrictamente menor que la
original.
Sea V= (2 4) encontrara la contracción horizontal cuando K=1/2
Haciendo la gráfica el punto disminuye en el eje horizontal
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Rotación por un ángulo
Sea 0
un ángulo medido en radianes. Queremos averiguar cuál es la
transformación T de R2 en R2 que gira cada vector u= (u1, u2) un ángulo , para obtener
un vector T (u) = (v1, v2)
En una gráfica, vemos la situación como sigue:
Si usamos las funciones trigonométricas, tenemos que:
V1 = ‖ ( )‖ * cos(
)
‖ ‖ * (cos
V2 = ‖ ( )‖ * sen(
)
‖ ‖ * (sen
Distribuyendo y usando el hecho de que u1 =‖ ‖ cos
)
)
u2 = ‖ ‖ sen
y tenemos que:
v1 = u1 cos – u2 sen
v2= u2 cos + u1 sen
Por lo tanto, ya descubrimos cómo debe estar definida la transformación T: R2 → R2 tal
que T (u1, u2) = (u1 cos – u2 sen , u2 cos + u1sen )
Esta transformación se llama la rotación por un ángulo
y es lineal, ya que:
T[ (u1, u2) + λ(v1, v2)] = T (u1 + λv,u2 + λv2)
= ((u1 + λv1) cos
= (u1 cos
– (u2 + λv2) sen , (u2 + λv2) cos
– u2 sen , u2 cos
+ u1 sen ) + λ (v1 cos
+ (u1 + λv1) sen )
– v2 sen , v2 cos
+ v1 sen )
= T (u1, u2) + λT (v1, v2)
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Conclusión.
Con base a la información mencionada puedo concluir que una transformación lineal es un
conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector. Por
esta razón, trabajar con vectores es muy sencillo ya que pueden ser fácilmente
interpretados dentro de un contexto gráfico, sin embargo, no siempre puede ocurrir esto y
es por eso que se necesita convertir a los vectores para poder trabajar con estos más
fácilmente. Por tanto, trabajar con sistemas lineales es mucho más sencillo que con
sistemas no lineales, ya que se puede utilizar una técnica llamada superposición, la cual
simplifica de gran manera gran variedad de cálculos, por lo que es de gran interés
demostrar que un proceso puede ser reducido a un sistema lineal, lo cual solo puede
lograrse demostrando que estas operaciones forman una transformación lineal. Cabe
destacar, que se investigó y analizo detalladamente las distintas propiedades y teoremas que
hilan todos los temas presentes, todo esto con la finalidad de comprender y entender mejor
dicho tema. Entonces, el conocer y entender este tema nos ayuda a tener un amplio criterio
de la utilidad de estos temas y la aplicación que tienen en muchas áreas diferentes, dado
que muchas de las transformaciones lineales que se presentaron, conservan la forma y las
medidas de las figuras u objetos.
Bibliografía.
Florey, F. (2000) Fundamentos de Algebra Lineal y aplicaciones, México: Prentice-Hall.
Kaufman, J. & Schwitter, K. () Álgebra Lineal, Octava edición, México: Cengage Learning
Kleiman, A. & Kleiman, E. (1997) MATRICES, aplicaciones matemáticas en economía y
administración, México: Limusa.
Fuentes de referencia.
Gómez, F. (2017) Álgebra y Geometría analítica [sitio web] recuperado de:
https://aga.frba.utn.edu.ar/nucleo-e-imagen-clasificacion-de-las-transformaciones-lineales/
Méndez, G. (2018)
Transformaciones lineales [sitio web]
http://itpn.mx/recursosisc/2semestre/algebralineal/Unidad%20V.pdf
recuperado
de:
Morales, J. (31/Mayo/2012) Álgebra Lineal [sitio web] recuperado de:
http://itsavbasicas.algebralineal.com/2012/05/51-introduccion-las-transformaciones.html
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