UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICA Y TEXTIL
DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE CIENCIAS BÁSICAS
Algebra Lineal 2020-1
Fecha: Martes 22 de Setiembre
EXAMEN FINAL (BMA-03/A/B)
Tiempo: 1h 50 minutos
- La prueba consta de 5 problemas de 4 puntos cada uno.
- Usar lapicero de tinta azul o negra. Prueba desarrollada con lápiz no será calificada.
- No se permite el uso de ningún material de consulta. El intento de plagio se calificará
con la Nota 0A no sustituible (art.23 RR Nro. 964).
1) Se tiene el triángulo ABC isósceles (AB = BC, sentido horario), A se encuentra en el III
cuadrante y por B se traza una perpendicular al lado AB que corta a la bisectriz L1 : x−y−1 = 0
del ángulo A en D. Además la recta L2 : 5x+y −23 = 0 contiene a la mediana trazada del vértice
−−→ −→
B al lado AC y el incentro I del triángulo ABC es tal que ||AD||||ID|| = 208u2 , encuentre las
coordenadas de los vértices del triángulo ABC.
2) Dadas las rectas:
L1 = {(2t, 3t − 1, t)/t ∈ R}, L2 = {(−t; 2t + 1; −2t + 3)/t ∈ R}
a) Determine las ecuaciones cartesianas de dos planos paralelos π1 y π2 tales que L1 ⊂ π1 y
L2 ⊂ π2
b) Halle la ecuacion vectorial de una recta L3 que sea perpendicular a L1 y a L2 y que pase por
el origen y calcule la minima distancia entre las rectas L1 y L2 .
3) Desde el punto P = (2; 3) exterior a una circunferencia C : (x + 3)2 + (y + 2)2 = r2 se trazan
dos rectsas L1 y L2 con pendientes m1 y m2 (m2 > 1) respectivamente. La recta L1 corta a la
circunferencia C en los puntos M y N (M P > N P ) y la recta L2 corta a la circunferencia C en
−−→
−→
−−→ −−→
los puntos Q y R (QP > RP ). Si ||QR|| = ||RP || y ||N P ||||M P || = 40, determine la ecuacion
general de la recta tangente a la circunferencia C en el punto Q.
0
0
4) El punto A = (4; 5) (dada en XY ), tiene coordenadas (8; −6) en el nuevo sistema X Y . Si el
punto P0 pertenece a la recta L = {(1; 1) + t(−1; 2)} dado en el sistema original XY . Encuentre
−
el vector de rotación →
u y las coordenadas del nuevo origen P0 , que relacionan los dos sistemas
de coordenadas.
5) Demuestre que la ecuación de la recta tangente a la parábola P : (y − k)2 = 4p(x − h) en el
punto de contacto (x0 , y0 ) tiene la siguiente forma:
x0 + x
LT : (y0 − k)(y − k) = 4p
−h
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