Índice general
1. Números Complejos
7
1.1.
Denición y origen de los números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2.
Operaciones fundamentales con números complejos
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.2.1.
1.3.
1.4.
Potencias de i, módulo o valor absoluto de un número complejo
Forma polar y exponencial de un número complejo
1.4.1.
1.5.
Propiedades de los números complejos
. . . . . . . . . .
15
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
Conversión entre representaciones de un número complejo . . . . . . . . . . .
16
Teorema de De Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejo
. .
22
1.5.1.
Teorema de De Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
1.5.2.
Calculo de potencias
1.5.3.
Calculo de raíces
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
1.6.
Ecuaciones polinómicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
1.7.
Ejercicios
25
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Matrices y Determinantes
31
2.1.
Denición de Matriz, Notación y Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
2.2.
Operaciones con Matrices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
2.3.
Clasicación de las Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
2.4.
Transformaciones elementales por renglón. Escalonamiento de una matriz. Rango
de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
2.4.1.
Transformaciones Elementales por renglón
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
2.4.2.
Matriz Escalonada y Matriz Escalonada Reducida . . . . . . . . . . . . . . .
43
2.4.3.
Rango de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
2.5.
Cálculo de la inversa de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
2.6.
Denición de determinante de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
2.7.
Propiedades de los determinantes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
Inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
2.8.1.
Matriz Adjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
Aplicación de matrices y determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
2.8.
2.9.
3. Sistema de Ecuaciones Lineales
75
3.1.
Denición de sistemas de ecuaciones lineales
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
3.2.
Clasicación de los sistemas de ecuaciones lineales y tipos de solución . . . . . . . .
76
3.3.
Interpretación geométrica de las soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
3.3.1.
Sistema de Ecuaciones No Homogéneo
77
3.3.2.
Sistema de Ecuaciones sin solución
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
3.3.3.
Sistema de ecuaciones con un número innito de soluciones . . . . . . . . . .
78
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
3.4.
Guia de Estudio Algebra Lineal
Métodos de solución de un sistema de ecuaciones lineales: Gauss, Gauss-Jordan,
inversa de una matriz y regla de Cramer
3.5.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
3.4.1.
Método de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
3.4.2.
Método de Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
3.4.3.
Método de la Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
3.4.4.
Método de Cramer
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
4. Espacios Vectoriales
101
4.1.
Denición de espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.2.
Denición de subespacio vectorial y sus propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.3.
Combinación lineal e Independencia lineal
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.3.1.
Combinación Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.3.2.
Independencia y Dependencia Lineal
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.4.
Base y dimensión de un espacio vectorial, cambio de base . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.5.
Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades
4.6.
Base ortonormal, proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt
5. Transformaciones lineales
5.1.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Propiedades de las Transformaciones Lineales
. . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.2.
Núcleo e imagen de una transformación lineal
5.3.
La matriz de una transformación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.4.
2
. . . . . . . . . . 115
121
Introducción a las transformaciones lineales
5.1.1.
. . . . . . . . . . . . . . . 115
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Aplicación de las transformaciones lineales: reexión, dilatación, contracción y rotación128
5.4.1.
Reexión
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.4.2.
Dilatación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.4.3.
Contracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.4.4.
Rotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
ÍNDICE GENERAL
Índice de tablas
1.1.
Conversión entre Formatos Rectangular y Polar
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.2.
Conversion I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.3.
Conversión II
18
1.4.
Conversión III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.5.
Resumen I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
1.6.
Resumen II
28
2.1.
Unidades de Materia Prima
2.2.
Precios de las Unidades de Materia Prima
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
72
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
4
Guia de Estudio Algebra Lineal
ÍNDICE DE TABLAS
Índice de guras
1.1.
Clasicación de los números
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2.
Plano Complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.3.
Representación Geométrica de un número complejo
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.1.
Circuito Eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
3.1.
Clasicación de los Sistemas de Ecuaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
3.2.
Representación Geométrica de un sistema de ecuaciones con solución
. . . . . . . .
77
3.3.
Representación Geométrica de un sistema de ecuaciones sin solución . . . . . . . . .
78
3.4.
Representación Geométrica de un sistema de ecuaciones con un número innito de
soluciones
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
5.1.
Reexiones
5.2.
Dilatación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.3.
Rotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
6
Guia de Estudio Algebra Lineal
ÍNDICE DE FIGURAS
Capítulo 1
Números Complejos
1.1.
Denición y origen de los números complejos
Los números imaginarios surgen de las raíces negativas. Aquellas raíces que evalúan un número
negativo, provocan una incongruencia en la aritmética. Por ejemplo
√
−4 6= 2.
Si se evalúa un
número negativo en una raíz, no es posible encontrar un número (positivo o negativo), que al ser
elevado al cuadrado sea negativo. Así que las raíces negativas no tienen una solución dentro de los
números reales. Es decir, no existe un número entero, fraccionario, radical o número transcendental
que solucione una raíz negativa.
e
i
Un número complejo es un número escrito en la forma z = a + bi donde a y b son números reales
2
es el símbolo formal que satisface la relación i = −1. i es entonces un número imaginario.
Figura 1.1: Clasicación de los números
Para gracar un número complejo se requiere un nuevo plano, llamado
gura 1.2)
7
Plano Complejo
(Ver
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
Guia de Estudio Algebra Lineal
Figura 1.2: Plano Complejo
Antecedentes Históricos
Siglo XVI: En esta época se encuentran los trabajos de aritmética y Álgebra. En particular,
en Italia, se dan a conocer los estudios de Paciolo, Cardan, Tartaglia y Bombelli (creador
de los números complejos).
Siglo XVII: Leonard Euler, establece la fórmula: eiθ = cos θ + i sin θ
Siglo XVIII: El matemático J.R. Argand, publica un estudio del método de representación
de los números complejos en un plano (Plano de Argand)
Siglo XIX: Se dene que en el par conjugado a±bi, el término a es la parte real y el segundo
término
1.2.
bi
como la parte imaginaria, donde
b
es un número real.
Operaciones fundamentales con números complejos
Las operaciones aritméticas que se pueden realizar entre número complejos son:
Suma entre números complejos
: Para sumar dos números complejos, se deben sumar de ma-
nera independiente la parte real y la imaginaria. Es decir, sumar solo cantidades comunes
(sumar real con real e imaginario con imaginario).
1. Sume los siguientes números complejos:
a)
8
Sume
a = −3 + 2i
con
b=2+i
−3
2
+ 2i
+ i
−1
+
3i
CAPÍTULO 1. NÚMEROS COMPLEJOS
Guia de Estudio Algebra Lineal
b)
Sume
a = −3 + 2i
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
con
b = 4 − 5i
−3 + 2i
4 − 5i
−
3i
1
2
−
i
−1
+
3
i
4
1
2
−
1
i
4
1
c)
Sume
a=
1
−i
2
con
3
b = −1 + i
4
−
Resta entre números complejos
: Al restar dos números complejos, el
sustraendo
cambia de
signo y la resta se convierte en una suma.
1. Realice las siguientes restas:
a)
Dados
a = −4 + 3i, b = −2 − 3i, calcule a − b.
sustraendo queda: b = 2 + 3i
El
sustraendo
es
b.
Cambiándole el
signo al
b)
+
3i
2
+
3i
−2
+
6i
a = 7 − 5i, b = 4 − 8i, calcule b − a. El sustraendo
sustraendo queda: b = −7 + 5i
Dados
al
c)
−4
Dados
4
−
8i
−7
+
5i
−3 −
3i
21 1
− i, b = 2 + i, calcule a − b.
2
5
sustraendo queda: b = −2 − i
a=
signo al
CAPÍTULO 1.
21
−
2
−2 −
1
i
5
i
17
2
6
i
5
−
El
es
a. Cambiándole el signo
sustraendo
NÚMEROS COMPLEJOS
es
b.
Cambiándole el
9
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
Guia de Estudio Algebra Lineal
Multiplicación entre números complejos
1.
: Para este tipo de operación existen dos casos:
Multiplicación de un número complejo por un escalar: En este caso, el escalar
multiplica a la parte real e imaginaria del número complejo, respetando la ley de los
signos.
a)
Dado:
p = −5 + 6i,
calcule
−3p
−3p = −3(−5 + 6i) = (−3)(−5) + (−3)(6i) = 15 − 18i
1 4
+ i, calcule 6C
3 3
1 4
1
4
6 24
6c = 6
+ i = (6)
+ (6)
i = + i = 2 + 8i
3 3
3
3
3
3
b)
Dado:
c=
c)
Dado:
d = 3 − 3i,
calcule
3
− d
4
3
3
− d = − (3 − 3i) =
4
4
2.
3
3
9 9
−
(3) − −
(3i) = − + i
4
4
4 4
Multiplicación de dos números complejos: La multiplicación se realiza de la misma
manera que se hace una multiplicación entre polinomios. Solo se debe de recordar que
2
i = −1
a)
Dados:
a = −1 + 4i, b = −2 + 5i.
Calcule
ab
ab = (−1 + 4i)(−2 + 5i) = (−1)(−2) + (−1)(5i) + (4i)(−2) + (4i)(5i)
= 2−13i−20 = −18 − 13i
ab = (2)+(−5i)+(−8i)+(20i2 ) = 2 −13i
| {z } +(20) (−1)
| {z }
=−5i−8i
b)
Dados:
hj =
h=
1 2
1
− i, j = 3 − i.
2 3
5
Calcule
i2 =−1
ab
1 2
1
1
1
1
2
2
1
− i
3− i =
(3)+
− i + − i (3)+ − i
− i
2 3
5
2
2
5
3
3
5
3
1
6
2 2
3
21
2
2 21
2
hj =
+ − i + − i +
i =
− i +
(−1) = − i−
2
10
3
15
2 | {z
10}
15 | {z } 3 10 15
i2 =−1
1
=− 10
i− 63 i
10
CAPÍTULO 1.
NÚMEROS COMPLEJOS
Guia de Estudio Algebra Lineal
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
hj =
2 21
8
21
2
−
− i
− i=
15 10
|3 {z15} 10
8
= 15
c)
Dados:
d = 5 − 6i, f = 3 − i.
Calcule
df
df = (5 − 6i)(3 − i) = (5)(3) + (5)(−i) + (−6i)(3) + (−6i)(−i)
df = (15) + (−5i) + (−18i) + (6i2 ) = 15 −23i
= 15 − 23i − 6 = 9 − 23i
| {z } +(6) (−1)
| {z }
=−5i−18i
i2 =−1
División entre números complejos : Para dividir dos números complejos,se debe de multiplicar el divisor y el dividendo por el complejo conjugado del divisor. El Complejo Conjugado
de un número complejo se obtiene, cambiando el signo de la parte imaginaria. Por ejemplo:
El
?
El complejo conjugado de
?
El complejo conjugado de
Complejo Conjugado
5 − 7i es 5 + 7i
1
1
+ i es − i
9
9
de un número complejo cumple la siguiente propiedad:
(a + bi)(a − bi) = a2 + b2
Por ejemplo: Sea
a = 2 − 4i,
el
Complejo Conjugado
es
2 + 4i.
Si los multiplicamos:
(2 − 4i)(2 + 4i) = (2)(2) + (2)(4i) + (−4i)(2) + (−4i)(4i) = 4 + |8i {z
− 8i} −16 |{z}
i2
=0
(2 − 4i)(2 + 4i) = 4 − 16(−1) = 4 + 16 =
20
Hubiéramos obtenido más fácil el resultado si aplicamos la propiedad
(2 − 4i)(2 + 4i) = (2)2 + (−4)2 = 4 + 16 =
=−1
(a+bi)(a−bi) = a2 +b2 .
20
1. Resuelva las siguientes divisiones:
a)
Dados:
f = −3 + 4i, p = −3 − 3i,
calcule
f
p
(−3 + 4i)(−3 + 3i)
f
−3 + 4i −3 + 3i
=
=
p
−3 − 3i −3 + 3i
(−3)2 + (−3)2
f
(−3)(−3) + (−3)(3i) + (4i)(−3) + (4i)(3i)
(9) + (−9i) + (−12i) + (12i2 )
=
=
p
9+9
18
f
9 − 21i − 12
−3 − 21i
3
21
1 7
=
=
=− − i= − − i
p
18
18
18 18
6 6
CAPÍTULO 1.
NÚMEROS COMPLEJOS
11
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
b)
Dados:
Guia de Estudio Algebra Lineal
a = 5 + 10i, b = 2 − 2i,
calcule
b
a
b
2 − 2i
5 − 10i
(2 − 2i)(5 − 10i)
=
=
a
5 + 10i 5 − 10i
(5)2 + (−10)2
b
(2)(5) + (2)(−10i) + (−2i)(5) + (−2i)(−10i)
(10) + (−20i) + (−10i) + (20i2 )
=
=
a
25 + 100
125
10 − 30i + 20(−1)
10 − 30i − 20
−10 − 30i
10 30
2
6
b
=
=
=
=−
−
i= − − i
a
125
125
125
125 125
25 25
c)
Dados:
1
b = 1 + i, d = 2 + i,
4
calcule
d
b
1
1 2 + i (1 − i)
d 2 + 4i 1 − i
4
=
=
2
b
1+i
1−i
(1) + (−1)2
1
1
i (1) +
i (−i)
(2) (1) + (2) (−i) +
d
4
4
=
b
1+1
1 2
1
7
1
9 7
i + − i
(2) + (−2i) +
2− i+
− i
d
4
4
4
4 = 4 4 = 9 − 7i
=
=
b
2
2
2
8 8
12
CAPÍTULO 1.
NÚMEROS COMPLEJOS
Guia de Estudio Algebra Lineal
1. Dados:
a = 4 − 6i,
siguientes resultados:
b = 2 + i,
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
1 2
c = − + i,
2 5
d = 10 − 10i,
3
e = 5 − i.
5
Compruebe los
10 − 11i
14
soln)
−12 + i
5
soln)
−20 − 100i
274 170
soln)
−
−
i
41
41
72 17
soln)
− i
5
5
a) 2a + b
soln)
b) 4c − 2e
c) ad
e
d)
c
e) a(b + c)
CAPÍTULO 1.
NÚMEROS COMPLEJOS
13
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
Guia de Estudio Algebra Lineal
1.2.1. Propiedades de los números complejos
Los números complejos tiene propiedades parecidas a la de los números reales. Sin embargo,
algunas propiedades de los reales no se aplican a los números complejos. Por ejemplo, los números
complejos no tienen orden, los reales si.
Propiedades de la Suma
:
1. Propiedad de cierre o cerradura: Para cualesquiera
2. Propiedad conmutativa: Para cualesquiera
z1 , z2 ∈ C,
z1 , z2 ∈ C,
se tiene:
z1 , z2 , z3 ∈ C,
3. Propiedad Asociativa: Para cualesquiera
se tiene:
z1 + z2 ∈ C.
z1 + z2 = z2 + z1 .
se tiene:
(z1 + z2 ) + z3 = z1 +
(z2 + z3 ).
4. Elemento Neutro de la suma: Existe
z1 + 0 = z1
0, que equivale a 0 + 0i, el cual cumple: 0 + z1 =
5. Inverso aditivo u opuesto: Todo número complejo
Propiedades de la Multiplicación
z1
tiene un único inverso aditivo
:
1. Propiedad de cierre o cerradura: Para cualesquiera
2. Propiedad conmutativa: Para cualesquiera
3. Propiedad Asociativa: Para cualesquiera
z1 , z2 ∈ C,
z1 , z2 ∈ C,
1 · z1 = z1 · 1 = z1
se tiene:
1
=
z1
Propiedades del conjugado
dene como:
z1 · z2 ∈ C.
z1 · z2 = z2 · z1 .
1, que equivale a 1 + 0i, el cual cumple:
5. Inverso multiplicativo o inverso: Todo número complejo
z1−1
se tiene:
z1 , z2 , z3 ∈ C, se tiene: (z1 · z2 ) · z2 = z2 · (z1 · z2 ).
4. Elemento Neutro de la multiplicación: Existe
tiplicativo
−z1
z1
tiene un único inverso mul-
: El conjugado de un número complejo
z = a ± bi,
denotado
z
se
z = a ∓ bi
1. El conjugado de un número real es el mismo número real.
2. El conjugado de un número imaginario puro es el número imaginario opuesto (solo
cambia de signo).
3. El conjugado del conjugado: para
z∈C
se tiene
4. Suma del conjugado: para
z∈C
se tiene
z + z = 2Re(z)
5. Resta del conjugado: para
z∈C
se tiene
z − z = 2Im(z)
6. Producto del conjugado: para cualesquiera
z ∈ C, z = a + bi,
7. El conjugado de una suma: Para cualesquiera
z1 , z2 ∈ C,
8. El conjugado de un producto: Para cualesquiera
14
z=z
CAPÍTULO 1.
se tiene
se tiene:
z1 , z2 ∈ C,
NÚMEROS COMPLEJOS
z · z = a2 + b 2
z1 + z2 = z1 + z2 .
se tiene:
z1 · z2 = z1 · z2 .
Guia de Estudio Algebra Lineal
1.3.
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
Potencias de i, módulo o valor absoluto de un número
complejo
Las potencias de
i
están dadas:
i2 = −1
i3 = i2 i = (−1)i = −i
i4 = i2 i2 = (−1)(−1) = 1
i5 = i2 i2 i = (−1)(−1)i = i
i6 = i2 i2 i2 = (−1)(−1)(−1) = −1
i7 = i2 i2 i2 i = (−1)(−1)(−1)i = −i
i8 = i2 i2 i2 i2 = (−1)(−1)(−1)(−1) = 1
etc.
El valor absoluto de un número complejo
punto
(a, b).
Normalmente se le denomina
a + bi
se dene como la distancia del origen
Módulo. Y se calcula con la fórmula:
√
a2 + b 2
(0, 0)
y el
(1.1)
1. Determine el módulo de los siguientes números complejos:
a ) w = −3 + 4i
|w| =
p
(−3)2 + (4)2 =
√
9 + 16 =
√
25 =
5
b ) s = 2 − 3i
|s| =
p
(2)2 + (−3)2 =
√
4+9=
√
13 = 3 60555127546399
3
2
c) a = 1 − i
r
√
√
2 r
3
9
13
13
13
(1) + −
= 1+ =
= √ =
= 1 80277563773199
2
4
4
2
4
s
|a| =
2
CAPÍTULO 1.
NÚMEROS COMPLEJOS
15
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
1.4.
Guia de Estudio Algebra Lineal
Forma polar y exponencial de un número complejo
Los números complejos se pueden representar de manera
θi
manera
exponencial Ce
rectangular (a + bi), polar (C∠θ) ó de
Figura 1.3: Representación Geométrica de un número complejo
1.4.1. Conversión entre representaciones de un número complejo
En algunos cálculos, se preere que el número esté representado en forma polar, en lugar de
rectangular y viceversa. Por eso cobra importancia que sepamos como convertir un número complejo
polar a rectangular y de rectangular a polar
1. Dado un número en formato
rectangular : a + bi. Para convertirlo en formato Polar
hacemos
los siguientes cálculos:
a)
Cálculo del módulo
C:
|C| =
b)
Cálculo del ángulo
√
2
a2 + b 2
θ:
−1
θ = tan
Ejemplo: Dado el número complejo:
Tenemos:
a = 3, b = −4.
16
θ
3 − 4i,
b
a
(1.3)
obtenga su equivalente en formato
Usando la ecuación 1.2 para calcular el modulo
|C| =
Para calcular el ángulo
(1.2)
p
(3)2 + (−4)2 =
√
9 + 16 =
√
25 = 5
usamos la ecuación 1.3
CAPÍTULO 1.
NÚMEROS COMPLEJOS
C:
polar :
Guia de Estudio Algebra Lineal
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
−1
θ = tan
La conversión es:
5e
b
4
−1 −4
−1
− = −53. 1301◦
= tan
= tan
a
3
3
3 − 4i = 5∠ − 53. 1301◦
. Si lo queremos expresar de manera exponencial:
−53.1301◦ i
polar C∠θ, donde C es el módulo y ∠θ
convertirlo en formato rectangular, hacemos los siguientes cálculos;
2. Dado un número en formato
a)
b)
a:
Cálculo de la parte real
Tenemos:
10∠45◦ ,
a = |C| cos θ
(1.4)
b = |C| sin θ
(1.5)
b:
Cálculo de la parte real
Ejemplo: Dado
calcule su equivalente en formato
|C| = 10, θ = 45◦ .
es el ángulo. Para
rectangular.
Usando la ecuación 1.4 para calcular la parte real
a:
a = |C| cos θ = 10 cos 45◦ = (10)(0 70710678118655) = 7 0710678118655
Para calcular la parte real
b
usamos la ecuación 1.5
b = |C| sin θ = 10 sin 45◦ = (10)(0 70710678118655) = 7 0710678118655
La conversión es:
10∠45◦ = 7 0710678118655 + 7 0710678118655i
Tabla 1.1: Conversión entre Formatos Rectangular y Polar
Formato Rectangular
a ± bi
Conversión a Formato Polar
⇒
Formato Polar
C∠θ
C=
p
(a)2 + (b)2 ,
θ = tan−1
b
a
Conversión a Formato Rectangular
⇒
CAPÍTULO 1.
a = (C) cos θ,
b = (C) sin θ
NÚMEROS COMPLEJOS
17
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
Guia de Estudio Algebra Lineal
Compruebe los siguientes cálculos:
Tabla 1.2: Conversion I
Numero complejo
Módulo
ángulo
√
13 = 3 60555127546399
−56,3099◦
5
= 0 83333333333333
−71,5651◦
√6
500 = 22 3606797749979
63,4349◦
√
5 93 = 2 43515913237718
70 8209◦
√
29 = 5 3851648071345
−21 8014◦
−2 + 3i
1 2
− + i
2 3
10 + 20i
0 8 − 2 3i
5 − 2i
Tabla 1.3: Conversión II
Numero complejo
Parte Real
Parte imaginaria
25∠30◦
21 65063509461097
12 5i
50∠ − 80◦
8 68240888334652
−49 24038765061040i
4∠220◦
−3 06417777247591
−2 57115043874616i
15∠ − 108◦
1
∠22 8◦
4
−4 63525491562421 −14 26584774442731i
0 23046578789713
0 09687889661303i
Tabla 1.4: Conversión III
Formato Rectangular
18
Formato Polar
Formato exponencial
◦i
14 142135∠ − 45◦
14 142135e−45
1 46211∠ − 65 77◦
1 46211e−6577
4 47213∠ − 63 43◦
−4 47213e−6343
0 8 − 1 2i
1,44222∠ − 56 30◦
1,44222e−5630
−1 + 3i
3 16227∠ − 71 56◦
3 16227e−7156
10 − 10i
3 4
− i
5 3
2 − 4i
CAPÍTULO 1.
◦i
◦i
◦
NÚMEROS COMPLEJOS
◦i
Guia de Estudio Algebra Lineal
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
Con ambos formatos se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir números complejos. Pero,
es más fácil sumar y restar en formato
formato
polar.
rectangular,
y la multiplicación y división es más fácil en
Multiplicación de dos números complejos en formato polar
: Para realizar la multiplica-
ción, los módulos se multiplican y los ángulos se suman.
1. Dados:
a = 12∠ − 90◦ , b = 5∠125◦ .
calcule
ab:
ab = (12∠ − 90◦ )(5∠125◦ ) = (12)(5)∠[(−90◦ ) + (125◦ )] = 60∠35◦
2. Dados:
c = 8∠40◦ , d = 9∠12 9◦ .
3. Dados:
cd = (8∠40◦ )(9∠12 9◦ ) = (8)(9)∠[(40◦ ) + (12 9◦ )] = 72∠52 9◦
√
√
f = 13∠ − 75◦ , h = 41∠ − 113◦ . calcule f h:
calcule
cd:
√
√
√
√
f h = ( 13∠ − 75◦ )( 41∠ − 113◦ ) = ( 13)( 41)∠[(−75◦ ) + (−113◦ )]
fh =
p
√
(13)(41)∠ − 188◦ = 533∠ − 188◦ = 23 08679276123039∠ − 188◦
División de dos números complejos en formato polar : Para dividir dos números complejos
en formato polar, se dividen los módulos y el ángulo del divisor resta el ángulo del dividendo.
En otras palabras, se debe restar al ángulo del numerador, el ángulo del denominador. Otra
forma de expresarlo es decir que el ángulo del denominador sube con signo contrario para
sumarse con el ángulo del numerador.
1. Dados
c = 20∠60◦ , e = 10∠ − 88◦ .
calcule
e
:
c
10∠ − 88◦
10
1
1
e
=
= ∠[(−88◦ )−(60◦ )] = ∠(−88◦ −60◦ ) = ∠−148◦ = 0 5∠ − 148◦
◦
c
20∠60
20
2
2
2. Dados
a = 16∠ − 100◦ , c = 46∠ − 90◦ .
calcule
a
:
c
a
16
16∠ − 100◦
8
◦
◦
=
=
∠[(−100
)
−
(−90
)]
=
∠(−100◦ + 90◦ )
◦
c
46∠ − 90
46
23
a
8
= ∠ − 10◦ = 0 34782608695652∠ − 10◦
c
23
3. Dados
a=
√
32∠23◦ , f =
√
2∠125◦ .
calcule
a
:
f
r
√
√
√
32∠23◦
32
32
a
◦
◦
=√
= √ ∠[(23 )−(125 )] =
∠(23◦ −125◦ ) = 16∠−102◦ = 4∠ − 102◦
f
2
2∠125◦
2
CAPÍTULO 1.
NÚMEROS COMPLEJOS
19
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
Guia de Estudio Algebra Lineal
La suma y resta de números complejos en formato
polar
se resuelve igual que la suma y resta
de vectores.
20
CAPÍTULO 1.
NÚMEROS COMPLEJOS
Guia de Estudio Algebra Lineal
1. Dados:
a = 2∠21◦ ,
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
b = 4∠−345◦ ,
c=
√
33∠28◦ ,
d = 25∠−376◦ ,
e=
√
88∠66◦ ,
Compruebe:
a) a + b
soln)
b) e − d
soln)
c) 3ade
a
d)
c
b
e)
c+d
5 39096464380887∠ − 16 69710000766323
28 69305538469992∠123 8718611400540
soln)
1407 124727947029∠49 4
soln)
soln)
CAPÍTULO 1.
0 3481553119114∠ − 7
0 14353104945145∠ − 7 71975172917588
NÚMEROS COMPLEJOS
21
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
1.5.
Guia de Estudio Algebra Lineal
Teorema de De Moivre, potencias y extracción de raíces
de un número complejo
1.5.1. Teorema de De Moivre
Dado un número complejo de la forma:
z = r(cos θ + i sin θ):
z = C(cos θ + i sin θ),
donde C es el
n
es el ángulo. Entonces, para calcular la potencia z se tiene:
Si se tiene un número complejo en la forma rectangular
z,
módulo del número complejo
y
θ
z n = C n (cos nθ + i sin nθ) = C n ∠nθ
(1.6)
1.5.2. Calculo de potencias
1. Realice los siguientes cálculos
a)
Dado
d = 22∠ − 24◦ ,
calcule
d3
d3 = (22∠ − 24◦ )3 = (22)3 ∠(3)(−24◦ ) = 10648∠ − 72◦
b)
Dado
a=
√
101∠120◦ ,
calcule
a2
√
√
a2 = ( 101∠120◦ )2 = ( 101)2 ∠(2)(120◦ ) = 101∠240◦
c)
Dado
c = 8∠11◦ ,
calcule
c4
c4 = (8∠11◦ )4 = (8)4 ∠(4)(11◦ ) = 4096∠44◦
1.5.3. Calculo de raíces
Se puede calcular la raíz de un número complejo modicando la ecuación 1.6. La raíz de un
número complejo es más fácil de obtener en la forma polar
m
m
z n = C n (cos
m
m
m
m
θ + i sin θ) = C n ∠ θ
n
n
n
(1.7)
1. Calcule las raíces de los siguientes números complejos:
a)
b)
Dado
a = 20∠30◦ ,
√
√
a=
Dado
calcule
◦
a
1
2
1
2
20∠30◦ = (20∠30 ) = (20) ∠
b = 33∠ − 100◦ ,
√
3
b=
√
3
√
3
22
√
calcule
33∠ −
√
3
1 ◦
30
2
=
√
20∠15◦ = 4 47213595499958∠15◦
a
100◦
◦
1
3
1
3
= (33∠ − 100 ) = (33) ∠
1
(−100◦ )
3
b = 3 20753432999583∠ − 33 333333333333◦
CAPÍTULO 1.
NÚMEROS COMPLEJOS
Guia de Estudio Algebra Lineal
c)
Dado
√
3
1.6.
h2
h = 5∠25◦ ,
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
calcule
√
3
h2
p
2
2
= 3 (5∠25◦ )2 = (5∠25◦ ) 3 = (5) 3 ∠
2 ◦
(25 )
3
= 2 92401773821287∠16 666666667◦
Ecuaciones polinómicas
Los números complejos, normalmente aparecen en pares para la solución de polinomios. En el
2
cálculo de las raíces de un polinomio de segundo orden del tipo: ax + bx + c, utilizamos la formula:
x1,2 =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
(1.8)
Sabemos que:
1. Si
b2 > 4ac,
el sistema tiene dos raíces reales y diferentes.
2. Si
b2 = 4ac,
el sistema tiene una raíz repetida.
3. Si
b2 < 4ac,
el argumento de la raíz es un número negativo.
1. Dado:
a)
x2 − 4x + 4,
determine sus raíces. Use la ecuación 1.8
Para este problema,
a = 1, b = −4
y
c=4
p
√
−(−4) ± (−4)2 − 4(1)(4)
b2 − 4ac
x1,2 =
=
2a
2(1)
√
√
4 ± 16 − 16
4± 0
4
x1,2 =
=
= = 2
2
2
2
Este es el caso de raíces repetidas. x1,2 = 2. Es decir: x1 = 2, x2 = 2.
2
2
del polinomio original es: x − 4x + 4 = (x − 2)(x − 2) = (x − 2)
| {z } | {z }
−b ±
x1 =2
2. Dado:
a)
x2 − 10x + 9,
x2 =2
determine sus raíces.
Para este problema,
x1,2 =
la factorización
−b ±
a = 1, b = −10
√
y
c=9
p
√
(−10)2 − 4(1)(9)
10 ± 100 − 36
=
2(1)
2
√
10 ± 64
10 ± 8
=
=
2
2
−(−10) ±
b2 − 4ac
=
2a
x1,2
Aquí se dan dos posibilidades:
x1 =
10 + 8
18
=
=9
2
2
x2 =
10 − 8
2
= =1
2
2
x1 = 9 , x2 = 1 .
− 1})
| {z } | {z
Este es el caso de raíces diferentes. Es decir:
2
polinomio original es: x − 10x + 9 = (x − 9)(x
x1 =9
CAPÍTULO 1.
la factorización del
x2 =1
NÚMEROS COMPLEJOS
23
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
3. Dado:
a)
x2 + x + 3 ,
Guia de Estudio Algebra Lineal
determine sus raíces.
Para este problema,
x1,2 =
−b ±
a = 1, b = 1
√
y
c=3
−(1) ±
b2 − 4ac
=
2a
p
√
√
(1)2 − 4(1)(3)
−1 ± 1 − 12
1 ± −11
=
=
2(1)
2
2
Apareció un número negativo dentro de la raíz. Recordando que
x1,2 =
1±
i2 = −1.
p
p
√ √
√
√
1 ± (11)(−1)
1 ± (11)(i2 )
1 ± 11 i2
1 ± 11i
−11
=
=
=
=
2
2
2
2
2
De donde:
√
1
11
x1 =
x2 =
= −
i
2
2
2
2
√
√
1
11
1
11
Este es el caso de un par de raíces complejas. Es decir: x1 =
+
i, x2 = −
i.
2
2
2
2
√
√
1
11
1
11
2
−
i)(x − +
i)
la factorización del polinomio original es: x + x + 3 = (x −
| 2 {z√ 2 } | 2 {z√ 2 }
11
11
1
1
i
i
x1 = +
x2 = −
2 2
2 2
1+
24
√
11i
√
1
11
= +
i
2
2
CAPÍTULO 1.
1−
√
11i
NÚMEROS COMPLEJOS
Guia de Estudio Algebra Lineal
1.7.
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
Ejercicios
1. Realice las operaciones indicadas con los siguientes números complejos:
a = 2∠30◦
b = −3 + 4i,
c = 6 − i,
d = 4∠ − 75◦
Convertimos cada número en los formatos rectangular y polar
Para
a = 2∠30◦
tangular :
que está en formato
polar,
obtenemos su equivalente en formato
rec-
a = |C| cos θ = 2 cos 30◦ = 2(0 86602540378444) = 1 73205080756888
b = |C| sin θ = 2 sin 30◦ = 2(0 5) = 1
solución:
Para
a = 2∠30◦ = 1 73205080756888 + i
b = −3 + 4i que está en formato rectangular, obtenemos su equivalente en formato
polar :
|C| =
√
a2 + b 2 =
p
√
√
(−3)2 + (4)2 = 9 + 16 = 25 = 5
4
4
b
= arctan − = −53 13010235415598◦
θ = arctan = arctan
a
−3
3
solución:
Para
b = 3 − 4i = 5∠ − 53 13010235415598◦
c = 6−i
polar :
|C| =
√
que está en formato
a2 + b 2 =
rectangular,
obtenemos su equivalente en formato
p
√
√
(6)2 + (−1)2 = 36 + 1 = 37 = 6 08276253029822
b
−1
1
θ = arctan = arctan
= arctan − = −9 46232220802562◦
a
6
6
√
solución: c = 6 − i =
37∠ − 9 46232220802562◦ = 6 08276253029822∠ − 9 ◦
46232220802562
Para
a = 4∠ − 75◦
rectangular :
que está en formato
polar,
obtenemos su equivalente en formato
d = |C| cos θ = 4 cos −75◦ = 4(0 25881904510252) = 1 03527618041008
b = |C| sin θ = 4 sin −75◦ = 4(−0 96592582628907) = −3 86370330515627
solución:
d = 4∠ − 75◦ = 1 03527618041008 − 3 86370330515627i
CAPÍTULO 1.
NÚMEROS COMPLEJOS
25
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
Guia de Estudio Algebra Lineal
Tabla 1.5: Resumen I
No
a
b
c
d
Formato Rectangular
Formato Polar
1 73205080756888 + i
2∠30◦
−3 + 4i
5∠ − 53 13010235415598◦
6−i
6 08276253029822∠ − 9 46232220802562◦
1 03527618041008 − 3 86370330515627i
4∠ − 75◦
a)
Calcule:
a + b.
La suma es mejor en formato rectangular:
1 73205080756888 + i
−3
+ 4i
−1 26794919243112 + 5i
a + b = −1 26794919243112 + 5i
b)
Calcule:
b
.
c
La división es más fácil en el formato
polar
b
5∠ − 53 13010235415598◦
=
c
6 08276253029822∠ − 9 46232220802562◦
5
b
=
∠(−53 13010235415598◦ ) − (−9 46232220802562◦ )
c
6 08276253029822
b
= 0 82199493652679∠(−53 13010235415598◦ + 9 46232220802562◦ )
c
b
= 0 82199493652679∠ − 43 66778014613036◦
c
c)
Calcule:
c
.
d
La división es más fácil en el formato
polar
c
6 08276253029822∠ − 9 46232220802562◦
=
d
4∠ − 75◦
c
6 08276253029822
=
∠(−9 46232220802562◦ ) − (−75◦ )
d
4
c
= 1 52069063257456∠(−9 46232220802562◦ + 75◦ )
d
c
= 1 52069063257456∠65 53767779197437◦
d
26
CAPÍTULO 1.
NÚMEROS COMPLEJOS
Guia de Estudio Algebra Lineal
d)
Calcule:
ad.
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
La multiplicación es más fácil en el formato
polar
ad = (2∠30◦ )(4∠ − 75◦ ) = (2)(4)∠(30◦ ) + (−75◦ ) = 8∠(30◦ − 75◦ ) = 8∠ − 45◦
ad = 8∠ − 45◦
2. Dados los siguientes números complejos:
a = 10 + 30i, b = 25 − 45i, c = 40 + 120i,
d = −50 − 90i
Realizamos la conversión de
Conversión de
rectangular
a
polar :
a = 10 + 30i
|C| =
√
a2 + b 2 =
p
√
√
(10)2 + (30)2 = 100 + 900 = 1000 = 10
30
b
θ = arctan = arctan
= arctan [3] = 71 56505117707799◦
a
10
Conversión de
b = 25 − 45i
p
√
√
√
a2 + b2 = (25)2 + (−45)2 = 625 + 2025 = 2650 = 51 478150704935
|C| =
−45
9
b
= arctan − = −60 94539590092286◦
θ = arctan = arctan
a
25
5
Conversión de
|C| =
√
c = 40 + 120i
a2 + b 2 =
p
√
√
(40)2 + (120)2 = 1600 + 14400 = 16000 = 126 4911064067352
b
120
θ = arctan = arctan
= arctan [3] = 71 56505117707799◦
a
40
Conversión de
|C| =
√
d = −50 − 90i
a2 + b 2 =
p
√
√
(−50)2 + (−90)2 = 2500 + 8100 = 10600 = 102 95630140987
b
−90
9
θ = arctan = arctan
= arctan
= 60 94539590092286◦
a
−50
5
CAPÍTULO 1.
NÚMEROS COMPLEJOS
27
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
Guia de Estudio Algebra Lineal
Tabla 1.6: Resumen II
a)
No
Formato Rectangular
Formato Polar
a
b
c
d
10 + 30i
25 − 45i
40 + 120i
−50 − 90i
10∠71 56505117707799◦
51 478150704935∠ − 60 94539590092286◦
126 4911064067352∠71 56505117707799◦
102 95630140987∠60 94539590092286◦
Calcular
a − d.
El sustraendo es
d. −d = 50 + 90i.
Trabajamos en formato
rectangular
10 + 30i
50 + 90i
60 + 120i
b)
solución:
60 + 120i = 134 1640786499874∠63 43494882292201◦
Calcular
bc.
Trabajamos en formato
polar
bc = (51478150704935∠−6094539590092286◦ )(1264911064067352∠7156505117707799◦ )
bc = (51478150704935)(1264911064067352)∠(−6094539590092286◦ +7156505117707799◦ )
bc = 6511 528238439883∠10 61965527615513◦
c)
solución:
bc = 6400 + 1200i = 6511 528238439883∠10 61965527615513◦
Calcular
bd.
Trabajamos en formato
polar
bd = (51478150704935∠−6094539590092286◦ )(10295630140987∠6094539590092286◦ )
bd = (51478150704935)(10295630140987)∠(−6094539590092286◦ )+(6094539590092286◦ )
bd = 5300∠0◦
solución:
28
bd = 5300 = 5300∠0◦
CAPÍTULO 1.
NÚMEROS COMPLEJOS
Guia de Estudio Algebra Lineal
d)
Calcular
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
b
a
b
51 478150704935∠ − 60 94539590092286◦
=
a
10∠71 56505117707799◦
b
51 478150704935
=
∠(−60 94539590092286◦ ) − (71 56505117707799◦ )
a
10
b
= 5 1478150704935∠(−60 94539590092286◦ − 71 56505117707799◦ )
a
b
= 5 1478150704935∠ − 132 5104470780009◦
a
b
= −3 47850542618522 − 3 79473319220205i = 5 1478150704935∠ − 132 a
5104470780009◦
solución:
e)
Calcular
a+c
b+d
a+c
calculo de
10
40
50
Conversión a
|a + c| =
polar
p
de
+
+
+
30i
120i
150i
a+c
(50)2 + (150)2 =
√
2500 + 22500 =
√
25000 = 158 1138830084190
150
= arctan [3] = 71 56505117707799◦
θ = arctan
50
Resultado:
158 1138830084190∠71 56505117707799◦
Cálculo de
b+d
25
−50
−25
Conversión a
|b + d| =
polar
de
−
45i
−
90i
+ −135i
b+d
p
√
√
(−25)2 + (−135)2 = 625 + 18225 = 18850 = 137 2953021774598
CAPÍTULO 1.
NÚMEROS COMPLEJOS
29
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
Guia de Estudio Algebra Lineal
−135
27
θ = arctan
= arctan
= 79 50852298766841◦
−25
5
Resultado:
137 2953021774598∠79 50852298766841◦
a+c
158 1138830084190∠71 56505117707799◦
=
b+d
137 2953021774598∠79 50852298766841◦
158 1138830084190
a+c
=
∠(71 56505117707799◦ ) − (79 50852298766841◦ )
b+d
137 2953021774598
a+c
= 1 1516335992622∠(71 56505117707799◦ − 79 50852298766841◦ )
b+d
a+c
= 1 1516335992622∠ − 7 94347181059042◦
b+d
Resultado:
a+c
= 114058355437666−015915119363395i = 11516335992622∠−794347181059◦
b+d
30
CAPÍTULO 1.
NÚMEROS COMPLEJOS
Capítulo 2
Matrices y Determinantes
2.1.
Denición de Matriz, Notación y Orden
Una Matriz A es un arreglo rectangular de números
aij , organizados en m renglones y n columnas
de la forma:
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
A = ..
.
.
..
.
.
.
.
.
.
am1 am2 · · · amn
(2.1)
Las matrices se asignan con una letra en mayúscula; para diferenciarla de un vector, al que se
le asigna una letra minúscula y en negritas. La
dimensión
de la Matriz está dada por el número
mxn. Cada elemento de la matriz A puede denotarse como
aij , donde i es el número de renglón y j el número de columna. También podemos denotar
a un elemento dentro de la Matriz A como: Aij ó Ai,j . En Matlab, un elemento de una Matriz A
lo ubicaríamos con la instrucción: A(i, j). Ejemplo: Dadas las siguientes matrices:
de renglón y de columna y se expresa
elemento
4 −2
1
4 −2 4
1
1 −2
1
1 −4 − 2
−3
1
0
5
−3
,
D
=
,
E
=
A = 12 0 54 , B = 15 −1 , C =
3 56
3
4
2
1
7
−1 8 −3
0 7
−1 −1 3 − 2
2
2
Los términos horizontales son las las de la matriz y los verticales son sus columnas. La matriz
A
dimensión de dicha matriz es 3x3. En el caso de la
matriz B , su dimensión es de 3x2. C , D y E tienen dimensiones de 2x3, 3x4 y 3x1 respectivamente.
tiene tres renglones y tres columnas, así que la
El elemento
b21
es
1
.
5
Es el elemento que está en el segundo renglón, primera columna; es decir:
4
B=
1
5
0
−2
−1
4
7
Para denotar matrices se usarán mayúsculas y para denotar los elementos de la misma con minúsculas; así se escribe:
31
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
Guia de Estudio Algebra Lineal
2
3
A = 1
1
2
3
a b
B=
c d
o
Cuando se desea que la notación sea condensada, la matriz se puede expresar como:
[aij ]mxn
o
[aij ]
La primera notación se usa cuando en el análisis, es importante conocer el tamaño de la matriz
y la segunda cuando esto no es necesario. Por lo general, la letra que se le asigna a una matriz,
corresponde a la letra que denota a sus elementos; así, para una matriz
para denotar un elemento en el renglón
2.2.
i
y la columna
j.
A,
Para una matriz
en general se usará
B
se usará
aij
bij
Operaciones con Matrices
1. Dos matrices
son iguales si tienen la misma dimensión (mismo número de renglones y de
columnas ) y los mismos elementos. Es decir, si se tienen dos matrices A y B , estas son iguales
si tienen la misma dimensión y los elementos que la conforman son iguales. Con un elemento
que sea distinto, las matrices son diferentes.
1 −2
A = 12 0 54
−1 8 −3
2
1 −2
B = 21 0 54
−1 8 −3
En el caso de las Matrices
A
2
y
B,
5
1
C = 20
1
10
−3
6
1
5
4
-3
se cumple que tienen la misma
1
D = 20
1
dimensión
elementos que cada una tiene, son iguales. En el caso de las matrices
son de la misma
dimensión,
el termino
c33 ,
5
C
y
D;
10
−3
6
1
5
4
3
y todos los
aunque ambas
tiene diferente signo que el termino
d33 .
Sólo
dieren en ese término; pero es suciente para que no sean iguales.
2.
Multiplicación por un Escalar: Dada una matriz que tenga cualquier dimensión, al ser
multiplicada por un escalar (Un número real ó complejo cualquiera), el resultado es la multiplicación de este escalar por cada uno de los elementos de dicha matriz. Por ejemplo:
Dada:
1
3 5 − 4
C= 3
,
3
11
8
la multiplicación:
−2C
está dada por:
1
1
1
3 5 − 4 (−2)(3) (−2)(5) (−2) − 4 −6 −10 2
−2C = −2 3
=
=
3
3
3
11
−6 −
−22
(−2)(3) (−2)
(−2)(11)
8
4
8
3.
Suma de Matrices:
La primer condición que se debe cumplir al sumar dos matrices, es
que ambas tengan la misma dimensión. Si tienen la misma dimensión, entonces la suma es
término a término. Cada termino que se encuentre en la misma posición se suma.
32
CAPÍTULO 2.
MATRICES Y DETERMINANTES
Guia de Estudio Algebra Lineal
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
−2 4 13
A = 0 1 −1
5 23 8
0
B = −3
4
3
2
5
1
−1
−2
5
4
"
C=
0
#
1 −1 −5
1
2
− 21
2
3x3. Por su parte, la matriz C es de dimensión 2x3. Es
posible sumar a las matrices A y B . Pero C no se puede sumar ni con A, ni con B . La suma
no está denida si las matrices no tienen la misma dimensión. La suma de A + B se realiza:
Las matrices
AyB
tienen dimensión
1
2
2
1
+ (−2)
−2
0
(−2) + (0) (4) + 5
3
−2 4 3
5
5
5
= (0) + (−3)
0 1 −1 + −3 1
(1)
+
(1)
(−1)
+
A+B =
4
4
2
4
2
4
5
8
−1 0
+ (−1)
(8) + (0)
(5) +
3
3
3
3
22
5
−
5
3
1
A+B =
−3
2
4
19
1
−
8
3
3
−2
4. Propiedades de La suma de matrices:
a ) Propiedad Conmutativa: La suma de matrices es conmutativa; es decir: A + B =
B+A
b ) Propiedad Asociativa: La suma de matrices es asociativa; es decir: A + (B + C) =
(A + B) + C .
También se cumple:
(k1 k2 )A = k1 (k2 A),
para los escalares
k1
y
k2
c ) Propiedad del Elemento neutro de la suma: Para toda matriz A se cumple: A+0 =
0 + A = A.
Donde:
0 0 ··· 0
0 0 · · · 0
0 = .. .. . . ..
. .
.
.
0 0 ··· 0
Matriz Nula de mxn. Cuyos elementos que la conforman son 0.
d ) Propiedad del Elemento opuesto: Dada una matriz A, se cumple: A + (−A) =
Se le conoce como
(−A) + A = 0.
Donde:
−a11 −a12 · · · −a1n
−a21 −a22 · · · −a2n
−A = ..
.
.
..
.
.
.
.
.
.
−am1 −am2 · · · −amn
Lo que implica que cada uno de los elementos de la matriz
A,
cambian de signo. Por
ejemplo, dada la matriz:
CAPÍTULO 2.
MATRICES Y DETERMINANTES
33
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
Guia de Estudio Algebra Lineal
−2 4 13
A = 0 1 −1
5 23 8
La matriz opuesta es:
2 −4 − 13
A = 0 −1 1
−5 − 23 −8
Cada uno de los elementos de la matriz
cada elemento de la matriz
−0,
A
A cambió de signo. También se puede decir que
−1. Note que el 0 no se convierte en
fue multiplicado por
no existe tal expresión.
e ) Propiedad Distributiva para la suma de matrices:
ambas con la misma dimensión. Y sea
k
Dadas las matrices
A
y
B,
un escalar cualquiera. Entonces se cumple que:
k(A + B) = kA + kB
f ) Propiedad Distributiva para la suma de escalares
escalares
5.
k1
y
k2 ,
entonces:
Multiplicación de matrices:
entonces, el producto
AB
Dada una matriz
A,
y los
(k1 + k2 )A = k1 A + k2 A
Si
A
es la matriz
es una matriz de
mxn.
mxp
y
B
es una matriz de
pxn;
Esto nos indica que para que dos matrices se
puedan multiplicar, el número de columnas de la primera matriz debe ser igual al número de
renglones de la segunda matriz. Hay que indicar que el producto matricial no es conmutativo.
Es decir
AB 6= BA.
Para determinar los elementos del producto de dos matrices, realizamos
lo siguiente: Se multiplican los renglones de la primer matriz por todas las columnas de la
segunda matriz. Ejemplo. Dadas:
1 0 −1
A = 2 1 10
5 4 −3
Obtenga el producto
a)
AB
Calculo del primer renglón del producto
término
3 −3 0
B = 2 4 6
9 −1 2
AB .
(ab)11
3
1 0 −1 2 = (1)(3) + (0)(2) + (−1)(9) = 3 + 0 − 9 =
9
término
-6
(ab)12
−3
1 0 −1 4 = (1)(−3) + (0)(4) + (−1)(−1) = −3 + 0 + 1 =
−1
34
CAPÍTULO 2.
MATRICES Y DETERMINANTES
-2
Guia de Estudio Algebra Lineal
término
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
(ab)13
0
1 0 −1 6 = (1)(0) + (0)(6) + (−1)(2) = 0 + 0 − 2 =
2
El primer renglón queda:
b)
[ −6
−2
−2]
Calculo del Segundo renglón del producto
término
AB .
(ab)21
3
2 1 10 2 = (2)(3) + (1)(2) + (10)(9) = 6 + 2 + 90 =
9
término
-2
98
(ab)22
−3
2 1 10 4 = (2)(−3) + (1)(4) + (10)(−1) = −6 + 4 − 10 =
−1
término
(ab)23
0
2 1 10 6 = (2)(0) + (1)(6) + (10)(2) = 0 + 6 + 20 =
2
El segundo renglón queda:
c)
[ 98
26
− 12 26 ]
Calculo del tercer renglón del producto
término
AB .
(ab)31
3
5 4 −3 2 = (5)(3) + (4)(2) + (−3)(9) = 15 + 8 − 27 =
9
término
-12
-4
(ab)32
−3
5 4 −3 4 = (5)(−3) + (4)(4) + (−3)(−1) = −15 + 16 + 3 =
−1
término
4
(ab)33
0
5 4 −3 6 = (5)(0) + (4)(6) + (−3)(2) = 0 + 24 − 6 =
2
El tercer renglón queda:
18
[ −4 4 18 ]
CAPÍTULO 2.
MATRICES Y DETERMINANTES
35
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
El producto
AB
Guia de Estudio Algebra Lineal
es:
−6 −2 −2
AB = 98 −12 26
−4 4
18
dadas:
4
E=
Calcule
EF .
La matriz
E
3 −
0
2x3
E es 3 y
es de
el número de columnas de
5
3
1
3
4
F =
7
1
11
1
y la matriz
F
es de
5
0
2
5
3x2,
EF vemos que
también 3. Esta es la
al multiplicar
el número de renglones de
F
es
condición que se debe cumplir para que se pueda realizar la multiplicación. La multiplicación
EF
matriz de
a)
2x2. Si multiplicamos F E
que EF =
6 F E.
debe generar una matriz de
3x3.
Esto demuestra
Cálculo del primer renglón del producto
Término
obtendremos como resultado una
EF
(ef )11
4
3
4
5
20
13
5
= (3)
+ −
(4) + (1)(7) = 4 −
+7=
3 −
1
4
3
3
3
3
3
7
Término
(ef )12
5
5
2
2
77
5
0
(0) + (1)
= 15 + 0 + =
3 −
1 = (3) (5) + −
3
5
5
5
2
3
5
El primer renglón queda:
b)
13
3
77
5
Cálculo del segundo renglón del producto
Término
EF
(ef )21
4
36
3
1
4 = (0)
0 1
11
7
CAPÍTULO 2.
4
1
7
51
+ (1) (4) +
(7) = 0 + 4 +
=
3
11
11
11
MATRICES Y DETERMINANTES
Guia de Estudio Algebra Lineal
Término
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
(ef )22
5
2
2
2
1
1 0
=0+0+
=
= (0) (5) + (1) (0) +
0 1
11
5
55
55
11 2
5
El segundo renglón queda:
El producto
2
55
51
11
EF :
13
EF = 3
51
11
77
5
2
55
Compruebe que:
25
9
20
F E = 12 −
3
169
21 −
15
CAPÍTULO 2.
4
59
33
4
387
55
MATRICES Y DETERMINANTES
37
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
Guia de Estudio Algebra Lineal
1. Dadas:
1 −2 4
1
1 −2
4 −2
1
1 −4 − 2
1
5
1
5 , E = −3
, D = −3 0
A = 2 0 4 , B = 5 −1 , C =
3 65
3
1
2
4
−1 8 −3
−1 3 − 72
0 7
2
2
Compruebe:
41
43
−
5
7
2
soln) AB = 2
−
7
12
54
−
−
5
7
0
−10 20
35
−13
0
soln) 4D − 2A =
2
40
−2 −
−8
3
31
1
−2
8
3
7
1
65
soln)
D+ A=−
0
8
4
4
16
17 57
105
−
−
8
4
16
9
1
−
soln) DE =
2
19
−
4
51
4
soln) CE =
9
10
a) AB
b) 4D − 2A
c)
7
3
D+ A
8
4
d) DE
e) CE
38
CAPÍTULO 2.
MATRICES Y DETERMINANTES
Guia de Estudio Algebra Lineal
2.3.
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
Clasicación de las Matrices
Las matrices pueden clasicarse:
1.
Matriz Fila:
Es aquella que solo contiene una la (renglón) y un número arbitrario de
columnas.
1
A = 2 −4 −
3
1
3
B = 0 10
−1
6
7
Note que ambas matrices son matrices la. Solo que la matriz
sión
A tiene tres columnas (dimen-
1x3) y la matriz B tiene cinco columnas (dimensión 1x5). Es decir, lo que las dene como
matrices la, es que solo tienen un solo renglón o la, sin importar el número de columnas
que contengan.
2.
Matriz Columna:
Es aquella que solo contiene una columna y un número arbitrario de
renglones o las.
1
10
8 8
A=
−4
7
04
10
3
−5
B=
1
3
−
29
Note que ambas matrices son matrices columna. Solo que la matriz
o las (dimensión
4x1)
y la matriz
B
A
tiene cuatro renglones
tiene cinco renglones o las (dimensión
5x1).
Es decir,
lo que las dene como matrices columna, es que solo tienen un sola columna, sin importar el
número de renglones o las que tengan.
3.
Matriz Transpuesta: Dada una Matriz A de dimensión mxn, se dice que la transpuesta de
A; denotada
AT
Dada la matriz
se obtiene de intercambiar renglones por columnas y tiene dimensión
C,
cuya dimensión es
nxm.
2x3
−1 −5
C = 1
1
−
2
2
2
La matriz transpuesta de
C
es
CT
1
de dimensión
3x2:
1
1
2
T
C = −1 − 1
2
−5 2
CAPÍTULO 2.
MATRICES Y DETERMINANTES
39
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
4.
Guia de Estudio Algebra Lineal
Matriz Rectangular:
nas.Son de dimensión
Son aquellas que tienen distintos números de renglones y colum-
mxn.
4
1
−2 −
4
11
−10 6
7
33
B=
,
1
14
4 100
6
"
A=
5.
6
#
0 −1
−1 1 11
,
Matriz Cuadrada: Son aquellas que tienen el mismo número de renglones que de columnas:
1
0 −6
71
7
3
15 −10
1
11
,
C=
3
1
6
−
20
10
7
π
0
−3π
2
−1 1 1
A = −2 1 0 ,
2
1 3
1
10
B=
3 ,
0 9 −15
Las tres matrices son cuadradas.
A
es una matriz de
3x3, B
es de
2x2
y
C
es de
4x4.
Las
matrices cuadradas tiene muchas aplicaciones.
6. Matrices Cuadradas Especiales:
a ) Matriz Diagonal:
Es aquella Matriz cuyos elementos que no están en la diagonal
principal son 0.
a11 0 · · · 0
0 a22 · · · 0
A = ..
.
.
..
.
.
.
.
.
.
0
0 · · · ann
b ) Matriz Escalar: Es una Matriz Diagonal en la que todos los elementos de la Diagonal Principal son iguales.
k 0 ··· 0
0 k · · · 0
A = .. .. . . ..
. .
.
.
0 0 ··· k
Aij =
k i=j
0 i 6= j
c ) Matriz Identidad: Es aquella que tiene solo unos en la diagonal principal y ceros en
todas las demás posiciones.
1 0 ··· 0
0 1 · · · 0
I = .. .. . . ..
. .
.
.
0 0 ··· 1
40
CAPÍTULO 2.
Iij =
1 i=j
0 i=
6 j
MATRICES Y DETERMINANTES
Guia de Estudio Algebra Lineal
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
d ) Matriz Nula: Es aquella matriz en la que todos sus elementos son cero:
0 0 ··· 0
0 0 · · · 0
A = .. .. . . ..
. .
.
.
0 0 ··· 0
e ) Matriz Triangular Superior: Es aquella cuyos elementos debajo de la diagonal principal son 0:
a11 a12 a13
0 a22 a23
0 a33
A= 0
..
.
.
.
.
.
.
.
0
0
0
f ) Matriz Triangular Inferior:
· · · a1n
· · · a2n
· · · a3n
.
..
.
.
.
· · · ann
Es aquella cuyos elementos por encima de la diagonal
principal son 0:
a11 0
0
a21 a22 0
A = a31 a32 a33
..
.
.
.
.
.
.
.
an1 an2 an3
···
···
···
0
0
0
..
.
.
.
.
· · · ann
g ) Matriz Simétrica: Es una matriz cuadrada que cumple: AT = A. Dada la matriz R:
1 3
6
1
3 −
0
R=
2
1
6 0 −
2
Verique que esta matriz cumple:
RT = R.
Teorema: Si A y B son matrices simétricas del mismo tamaño, y k es cualquier escalar,
entonces:
AT
es
A+B
kA
es
simetrica.
y
A−B
simetrica.
son
simétricas.
h ) Matriz Anti-simétrica:
Es una matriz cuadrada que cumple:
AT = −A.
Dada la
matriz S:
CAPÍTULO 2.
MATRICES Y DETERMINANTES
41
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
Guia de Estudio Algebra Lineal
0
S=
1
−1
−1
0
5
Verique que esta matriz cumple:
1
−5
0
ST =
−1
0
1
1
0
−5
−1
5
= −S
0
S T = −S .
Propiedades básicas de las matrices triangulares
Transpuesta de una Matriz Triangular Inferior es una matriz Triangular Superior.
Transpuesta de una Matriz Triangular Superior es una matriz Triangular Inferior.
1. La
1 −3 4
A = 0 10 −1
0 0 −3
4 0 0
B = −6 10 0
1 5 3
1
T
A = −3
4
4
T
B = 0
0
La
0
0
10 0
−1 −3
−6 1
10 5
0 3
Matrices Triangulares Inferiores da como resultado una Matriz Triangular
Inferior y El producto de Matrices Triangulares Superiores da como resultado una Matriz
Triangular Superior
2. El producto de
1 0
−6 4
1 5
1 2
0 −1
0 0
3. Una
Matriz Triangular
0
4 0
0 −3 10
3
3 5
5
4 −2
7
0 8
3
0 0
0
4
0 0
0 = −36 40 0
3
−2 65 9
9
4 14 36
11 = 0 −8 −4
1
0 0
3
es invertible si y solo si, todos sus elementos en la diagonal principal
son diferentes de cero.
inversa de una Matriz Triangular Inferior invertible es una Matriz Triangular Inferior y
La inversa de una Matriz Triangular Superior invertible es una Matriz Triangular Superior
4. La
1 −3 4
A = 0 10 −1
0 0 −3
4 0 0
B = −6 10 0
1 5 3
42
CAPÍTULO 2.
3
37
1
10 30
1
1
A−1 = 0
−
10
30
1
0 0 −
3
1
0 0
4
3
1
B −1 =
0
20 10
1
1 1
−
−
3
6 3
MATRICES Y DETERMINANTES
Guia de Estudio Algebra Lineal
2.4.
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
Transformaciones elementales por renglón. Escalonamiento de una matriz. Rango de una matriz
2.4.1. Transformaciones Elementales por renglón
Dada una matriz
A,
las operaciones elementales que se pueden realizar entre los renglones de
una matriz son:
k,
1. multiplicar un renglón por cualquier escalar (Real o complejo)
2. Sumar dos renglones.
excepto
0. kRm
Rm + Rn
3. intercambiar dos renglones.
Rm ⇔ Rn
Ejemplo: Dada la matriz P:
7
4
P =
−3 6
1
9
−1 5 12
1. Multiplicar el segundo renglón por
7
4
1
P =
−3 6
−3:
9
− 3R2 ⇒ R2
P =
9
−1 5 12
2. Intercambiar el renglón
7
P =
9
−1
3. Sumar el renglón
1
1
con el renglón
4
−18 −27
5
−1
P =
9
7
5
12
4
12
−1
5
12
R1 ⇔ R3
P =
9
1
−18 −27
4
y el resultado dejarlo en el renglón
−18 −27
−18 −27
5
7
2
1
−1
12
con el renglón
4
3:
1
7
1
1
8 −13 −15
9 −18 −27
R1 + R2 ⇒ R1
7
4
1
2.4.2. Matriz Escalonada y Matriz Escalonada Reducida
Una matriz tiene dos formas canónicas:
Forma Escalonada
: Una matriz está en su forma escalonada; cuando en su diagonal principal
todos los elementos son unos y debajo de la diagonal principal todos los elementos son cero.
CAPÍTULO 2.
MATRICES Y DETERMINANTES
43
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
Guia de Estudio Algebra Lineal
Forma Escalonada Reducida
Forma Escalonada, solo que también tiene ceros
: Es igual que la
arriba de la diagonal principal
Ejemplo:
1. Exprese en su forma Escalonada y Escalonada Reducida la siguiente matriz.
3 −1 5
A = 2 1
6
2
7 8 −4
a)
Forma Escalonada: Debemos colocar ceros debajo de la diagonal principal y todos los
elementos de la diagonal principal deben ser unos.
a11 sea uno.
1
R1 ⇒ R1
3
Hacemos que el término
glones. En este caso:
1
1
R1 = [ 3
3
3
Obtenemos:
Para ello usamos Transformaciones entre ren-
−1 5]=
−2R1 + R2 ⇒ R2 ,
Hacemos:
y
a11,
con las siguientes transformacio-
−2R1
1
−
3
−2R1 = −2 1
44
−7R1 + R3 ⇒ R3 :
Sumamos:
1
5
3
1 5
1
−
3 3
1
A = 2
6
2
7 8 −4
Ahora colocamos ceros debajo del elemento
nes:
1
−
3
5
3
=
−2
2
3
10
−
3
−2R1 + R2 ⇒ R2
−2R1
−2
R2
2
R2 =
0
CAPÍTULO 2.
2
3
1
2
7
6
−
10
3
6
8
3
MATRICES Y DETERMINANTES
Guia de Estudio Algebra Lineal
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
Obtenemos:
Hacemos:
1 5
1 − 3 3
8
7
A=
0
6
3
7 8 −4
−7R1
1
−
3
−7R1 = −7 1
Sumamos:
5
3
−7
=
7
3
35
−
3
−7R1 + R3 ⇒ R3
−7R1
−7
R3
7
R3 =
0
Obtenemos:
35
3
−4
7
3
8
−
31
3
−
47
3
1
5
1 −
3
3
7
8
A = 0
6
3
31
47
0
−
3
3
Ahora ponemos un uno en la posición
6
6
R2 =
7
7
Obtenemos:
0
7
6
a22 ,
8
3
31
− R2 + R3 ⇒ R3
3
CAPÍTULO 2.
haciendo:
=
0 1
6
R2 =⇒ R2
7
16
7
1
5
1 −
3
3
16
A = 0 1
7
31
47
0
−
3
3
Ahora colocamos un cero en la posición
renglones:
a32 .
Realizamos la transformación entre
MATRICES Y DETERMINANTES
45
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
Hacemos:
−
Guia de Estudio Algebra Lineal
31
R2
3
31
31
− R2 = −
3
3
sumamos:
−
16
7
0 1
=
0
496
−
21
31
R2 + R3 ⇒ R3
3
31
R2
3
0
R3
0
R3 =
0
−
Obtenemos:
31
3
31
3
−
0
496
21
47
−
3
−
−
275
7
1
5
1 −
3
3
16
A = 0 1
7
275
0 0 −
7
Por ultimo, colocamos un uno en la posición
formación:
31
−
3
7
R3 ⇒ R3
−
275
7
7
−
R2 = −
275
275
Obtenemos:
0 0
a33 ;
275
−
7
1
1 − 3
A=
0 1
0 0
para lograrlo, hacemos la trans-
=[0 0 1]
5
3
16
7
1
Esta ultima matriz está en Forma Escalonada. Todos los elementos de la Diagonal
principal son
b)
1
y debajo de la diagonal principal todos los elementos son
Matriz Escalonada Reducida: Para obtenerla, debemos de colocar ceros arriba de la
diagonal principal.
46
0.
CAPÍTULO 2.
MATRICES Y DETERMINANTES
Guia de Estudio Algebra Lineal
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
Comenzamos colocando un cero en la posición
1
formación:
R2 + R1 ⇒ R1
3
1
Hacemos:
R2
3
1
1
R2 =
3
3
sumamos:
16
7
0 1
a12 . Para lograrlo, hacemos la trans-
=
0
1
3
16
21
1
R2 + R1 ⇒ R1
3
1
R2
3
R1
R1 =
1
3
1
1 −
3
16
21
5
3
1
17
7
0
0
Obtenemos:
17
1 0 7
16
A=
0 1
7
0 0 1
a33 . Utilizando
17
− R3 + R1 ⇒ R1
7
Colocamos ceros arriba de la posición
16
R3 + R2 ⇒ R2
nes: −
7
16
Hacemos: −
R3
7
y
16
16
− R3 = − [ 0 0 1 ] =
7
7
sumamos:
−
0 0
las siguientes transformacio-
16
−
7
16
R3 + R2 ⇒ R2
7
16
R3
7
0
0
R2
0
1
R2 =
0
1
−
CAPÍTULO 2.
16
7
16
7
−
0
MATRICES Y DETERMINANTES
47
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
Guia de Estudio Algebra Lineal
Obtenemos:
Hacemos:
−
17
1 0
7
A = 0 1 0
0 0 1
17
R3 :
7
17
17
− R3 = − [ 0 0 1 ] =
7
7
sumamos:
−
0 0
17
−
7
17
R3 + R1 ⇒ R1
7
17
R3
7
0
0
R1
1
0
R1 =
1
0
−
17
7
17
7
−
0
Obtenemos:
1 0 0
A=
0 1 0
0 0 1
Esta ultima matriz tiene unos en su diagonal principal y ceros en todos los elementos
que estan arriba y debajo de la diagonal principal.
2.4.3. Rango de una matriz
Rango de una matriz es el número de renglones (o columnas) que son linealmente independientes. El Rango por renglones o El Rango por columnas de cualquier matriz, son iguales. Para
determinar el Rango de una matriz, por renglones ó columnas:
El
Transformaciones Básicas entre renglones, convertimos a la matriz en una
matriz Triangular Superior (ceros debajo de su diagonal).
1. Utilizando
2. El número de renglones no nulos es el rango. Un renglón no nulo es un renglón que contiene
al menos un elemento diferente de cero. Un renglón nulo es aquel cuyos elementos son cero.
1. Dada:
48
CAPÍTULO 2.
MATRICES Y DETERMINANTES
Guia de Estudio Algebra Lineal
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
1
4
3
5 −3
29
−2
3
−
2
−1
A=
0
Determine su
a)
Rango
Transformaciones Elementales entre Renglones
triz Triangular Superior :
Aplicamos
0
2R2
colocamos un
calculamos
en la posición
a21
(término
2R2 = 2 [ −1 5
Realizamos la suma:
−1),
para convertirla en una
usamos:
− 3 ] = [ −2 10
R1 + 2R2 → R2 .
Ma-
Primero
−6]
R1 + 2R2 :
1
3
10
−
R1
2
2R2
−2
R2 =
0
29
3
4
−6
−2
El Resultado se asigna al segundo renglón. Tenemos:
1
2 −
4
3
29
A = 0
−2
3
29
0
−2
3
colocamos un cero en la posición
Primero calculamos
(término
−R2 :
29
3
−R2 = − 0
Realizamos la suma
a32
−2
29
.
3
Hacemos:
0
29
−
3
=
−R2 + R3 → R3 .
2
−R2 + R3 :
−R2
R3
0
R3 =
0
CAPÍTULO 2.
29
3
29
3
0 −
0
2
−2
0
MATRICES Y DETERMINANTES
49
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
Guia de Estudio Algebra Lineal
El Resultado se asigna al tercer renglón. Tenemos:
1
2 − 3 4
29
A=
0
−2
3
0 0
0
El tercer renglón de la matriz
A
es nulo (todos sus elementos son cero). Así que
solo tiene dos renglones no nulos (el primero y segundo renglón). Podemos concluir
que el
Rango
A
de la matriz
es
2.
Esto se denota:
Rank(A) = 2
2. Dada:
1
1
− 2 1
4
4 −8 −2
B=
1 2
1
−
3 3
6
Determine su
a)
Rango
Transformaciones Elementales entre Renglones
triz Triangular Superior :
Aplicamos
Colocamos un
para convertirla en una
Ma-
0 en la posición b21 (término 4). Hacemos 8R1 +R2 → R2 . Calculamos
8R1 :
1
8R1 = 8 −
2
Sumamos
1
1
4
= [ −4 8 2 ]
8R1 + R2
8R1
−4
R2
4
R2 =
0
8
2
−8 −2
0
0
Este resultado es el nuevo segundo renglón:
1
−
2
0
B=
1
−
3
1
0
2
3
1
4
0
1
6
Aunque el segundo renglón es nulo, lo que estamos haciendo es que la matriz
sea una
50
Matriz Triangular Superior,
CAPÍTULO 2.
debemos colocar ceros en las posiciones
MATRICES Y DETERMINANTES
B
b31
Guia de Estudio Algebra Lineal
(término
−
1
), b32
3
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
(término
2
).
3
de colocar un cero en la posición
2
2
− R1 = −
3
3
sumamos
2
− R1 + R3 → R3 ;
3
2
Calculamos − R1 :
3
Hacemos
b32 .
1
−
2
1
4
1
1
3
1
−
3
0
2
−
3
2
3
0
=
1
3
2
−
3
esto con la intención
1
−
6
2
− R1 + R3
3
2
− R1
3
R3
R3 =
1
−
6
1
6
0
el resultado es el nuevo tercer renglón. Tenemos:
1
1
−
1
2
4
B = 0 0 0
0
El segundo y el tercer renglón de la matriz
0 0
B
son nulos (todos sus elementos son
cero). Así que solo hay un renglón no nulo (el primero renglón). Podemos concluir
que el
Rango
de la matriz
CAPÍTULO 2.
B
es
1.
Esto se denota:
Rank(B) = 1
MATRICES Y DETERMINANTES
51
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
Guia de Estudio Algebra Lineal
Revise los resultados de los rangos de las matrices dadas:
1 −8 −5
10
a) A = −2 16
7 −56 −35
1
b) B =
0
−1
1
2
4
7
−
1
3
soln) Rank(A) = 1
5
7
soln) Rank(B) = 3
9
1 −1 1
1 −1
c) C = 1
−2 2 −2
52
CAPÍTULO 2.
soln) Rank(B) = 2
MATRICES Y DETERMINANTES
Guia de Estudio Algebra Lineal
2.5.
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
Cálculo de la inversa de una matriz
A
Una matriz
de
nxn
se conoce como
no-singular
A−1
cuando existe
y cumple:
AA−1 = A−1 A = I
(2.2)
A−1 se le conoce como la inversa de A. Usando las transformaciones elementales entre renglones,
se puede encontrar la inversa de una matriz. Dada la matriz H:
1 −1
2
H=
1
5
dimensión que
[H | I], donde I
3
10
1
2
Hacemos: la matriz aumentada
0
es la matriz identidad, que debe tener la misma
H
1 −1
2
[H | I] =
1
2
0
1
3
5
10
| 1 0 0
| 0 1 0
| 0 0 1
Aplicamos transformaciones elementales a la matriz aumentada, con la intención de que la matriz
I
aparezca en el lado izquierdo de la matriz aumentada. Esto es, debemos poner unos en la
diagonal de la matriz que se encuentra a la izquierda de la matriz aumentada; las demás posiciones
−1
deben de ser 0. Al nal del proceso, obtendremos: [I | H
]
Colocamos
0
para el tercer renglón hacemos
a)
2 y 3, mediante
1
− R1 + R3 ⇒ R3
2
debajo de los renglones
las transformaciones:
−2R1 + R2 ⇒ R2 ,
y
−2R1
−2 [1
sumamos
− 1 0 | 1 0 0] = [−2 2 0 |
− 2 0 0]
−2R1 + R2 ⇒ R2 :
Obtenemos:
−2R1
R2
−2
2
R2 =
0
1 −1
0
1
2
CAPÍTULO 2.
2 0 |
1 3 |
−2
0
0 0
1 0
3
3 |
−2
1
0
|
3
3
5
10
| −2 1 0
| 0 0 1
1
0 0
0
MATRICES Y DETERMINANTES
53
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
b)
Guia de Estudio Algebra Lineal
1
− R1
2
1
− [1
2
sumamos
1
− 1 0 | 1 0 0] = −
2
0 0
1
−
2
0 |
1
− R1 + R3 ⇒ R3 :
2
1
− R1
2
1
2
1
2
−
R3
R3 =
Obtenemos:
0
1
2
0
|
−
5
10 |
0
11
2
10 |
−
1 −1 0
0 3 3
11
10
0
2
Ahora requerimos que el
3
Para lograrlo hacemos
1
R2
3
0
0
1
0
1
1
22
1:
| 1 0 0
| −2 1 0
1
| −
0 1
2
sea un
− 2 1 0] = 0 1 1 |
1 −1 0
0 1 1
11
0
10
2
54
arriba y debajo del valor
CAPÍTULO 2.
1
|
1
2
3
1
| −
2
| −
0 0
2
−
3
0
1
3
1
0
3
0 1
1 y 3,
11
mediante las transformaciones: R2 + R1 ⇒ R1 , y para el tercer renglón hacemos −
R2 + R3 ⇒ R3
2
Colocamos
0
1
2
0
1
R2 ⇒ R2
3
1
[0 3 3 |
3
Obtenemos:
1
2
0 0
| −2 1 0
1
| −
0 1
2
|
que está en la posición
1 −1 0
0 3 3
11
0
10
2
c)
1
2
que está en la posición
2, 2
de los renglones
MATRICES Y DETERMINANTES
Guia de Estudio Algebra Lineal
d)
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
R2 + R1
0
R1
1 −1
0 |
1
1 |
R1 =
Obtenemos:
e)
−
1
0
2
3
1
1
3
0
1
3
1
3
−
1
|
3
2
| −
3
1
| −
2
1 0 1
0 1 1
11
0
10
2
0
0
0
1
0
3
1
0
3
0 1
11
R2
2
11
−
0 1 1 |
2
sumamos
−
2
−
3
1
3
0 = 0
11
−
2
11
−
2
11
3
|
11
−
6
0
11
R2 + R3 ⇒ R3 :
2
Obtenemos:
11
2
11
2
11
R2
2
0 −
R3
0
R3 =
0
−
transformación:
1 0 1
0 1 1
9
0 0
2
2
R3 ⇒ R3 :
9
−
0
Ahora tenemos que cambiar el valor
f)
1 |
R2
9
,
2
11
2
|
10
|
9
2
|
11
3
1
−
2
19
6
11
6
0
0
1
11
6
1
−
−
1
1
0
3
3
2
1
| −
0
3
3
19
11
|
−
1
6
6
|
que está en la posición
3, 3.
Realizamos la siguiente
2
R3 :
9
CAPÍTULO 2.
MATRICES Y DETERMINANTES
55
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
2
0 0
9
9
2
Guia de Estudio Algebra Lineal
|
19
6
Obtenemos:
11
−
6
1 0 1
0 1 1
0 0 1
1 = 0 0 1 |
1
1
|
3
3
2
1
| −
3
3
19
11
|
−
27
27
Ahora colocamos ceros arriba de la posición
g)
−R3
0
0
R2
0
1
1
|
R2 =
0
1
0
|
1 0 1
0 1 0
0 0 1
−1 |
19
27
2
−
3
11
27
1
3
37
27
20
27
−
−R3 + R2 ⇒ R2
−
2
9
0
−
2
9
1
1
|
0
3
3
37 20
2
| −
−
27 27
9
11 2
19
−
|
27
27 9
−R3
0
0
R1
1
0
1
|
R1 =
1
0
0
|
1 0 0
0 1 0
0 0 1
CAPÍTULO 2.
−1 |
19
27
1
3
11
27
1
3
10
27
20
27
−
−
0
2
9
Hacemos:
−
2
9
−R3 + R1 ⇒ R1
Obtenemos:
56
11
−
27
−R3 + R2 ⇒ R2
Obtenemos:
h)
3, 3.
0
19
27
−
2
9
0
−
2
9
10 20
2
−
27 27
9
37 20
2
| −
−
27 27
9
19
11 2
|
−
27
27 9
| −
MATRICES Y DETERMINANTES
y
−R3 + R1 ⇒ R2
Guia de Estudio Algebra Lineal
Lo que obtuvimos fue:
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
[I | H −1 ],
es decir, la inversa de la matriz
H −1
10
−
27
37
= −
27
19
27
CAPÍTULO 2.
H
está dada por:
20
2
−
27
9
20
2
−
27
9
11 2
−
27 9
MATRICES Y DETERMINANTES
57
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
Guia de Estudio Algebra Lineal
Verique los resultados del cálculo de la inversa en cada inciso (Mediante el método de GaussJordan).
2
1
−
5
4
11
3
1
a) A =
4
−
− 2
2
5
0
4
−
4
0
1
6
10
−
1 12
b) B =
9
1
−1 5 −
5
1
1
1
c) C = −1 2 −2
0 2 3
58
CAPÍTULO 2.
145
22
−
223
223
55
55
soln) A−1 =
892 5352
44
22
223 669
2709
1359
−
1780
1780
55
27
soln) B −1 =
178 − 178
41
9
356
356
10
1
−
11
11
3
3
soln) C −1 =
11
11
2
2
−
−
11
11
MATRICES Y DETERMINANTES
146
223
649
2676
16
−
669
27
−
178
15
89
5
−
178
4
−
11
1
11
3
11
Guia de Estudio Algebra Lineal
2.6.
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
Denición de determinante de una matriz
Determinante de una matriz es una propiedad que tienen las matrices cuadradas. Es un
det o con las barras | |. Explicaremos el cálculo del determinante
de una matriz por medio de los cofactores :
El
escalar y se denota con la expresión
1. se elige un renglón o una columna de la matriz, los elementos del renglón o columna elegida
son los
cofactores.
2. se utiliza una matriz de signos, cuya única condición es que no coincida el mismo signo en
cualquier posición; sea renglón o columna.
− + ··· − +
+ − · · · + −
− + · · · − +
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
+ − ··· + −
+
−
+
..
.
−
3. Cada
cofactor
se multiplica por el signo que le corresponde en la matriz de signos (el renglón
o columna de la matriz de signo es el mismo renglón o columna de la matriz a la que se le
quiere calcular el
determinante ; también se multiplica por el subdeterminante que se forma
cofactor.
al cancelar la ubicación de dicho
1. Dada:
2 4 −1
A = 1 −1 3
2 5 −2
Calcule su
a)
determinante
mediante el método de
cofactores
seleccionamos la tercer columna de la matriz
A
−1
3
−2
b)
elegimos la misma columna en la matriz de signos:
+ − +
− + −
+ − +
+
c)
Multiplicamos cada
cofactor
−
+
con su respectivo signo y el subdeterminante que le corres-
ponda:
2
1
2
4
-1
2
4
-1
−1
5
3
1
-1
3
2
5
-2
-2
CAPÍTULO 2.
2
1
2
4
−1
-1
3
5
-2
MATRICES Y DETERMINANTES
59
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
Guia de Estudio Algebra Lineal
det(A) = (+)(−1)
det(A) = −1
Los subdeterminantes de
(
1, 1
)(
2, 2
1 −1
2 4
2 4
(−)(3)
(+)(−2)
2 5
1 −1
2 5
1 −1
2 4
2 4
−3
−2
2 5
2 5
1 −1
2x2 se desarrollan así: se multiplican los términos de la diagonal
1, 2 )( 2, 1 ).
) y le restamos la multiplicación de los términos (
det(A) = −1((1)(5) − (−1)(2)) − 3((2)(5) − (4)(2)) − 2((2)(−1) − (4)(1))
det(A) = −1((5) − (−2)) − 3((10) − (8)) − 2((−2) − (4))
det(A) = −1(5 + 2) − 3(10 − 8) − 2(−2 − 4) = −1(7) − 3(2) − 2(−6)
det(A) = −7 − 6 + 12 = −13 + 12 =
-1
determinante es un valor único. Si a esta misma matriz le calculamos su determinante
usando como cofactor a un renglón diferente del primer renglón, el resultado es el mismo:
El
a)
seleccionamos el primer renglón de la matriz
b)
2 4 −1
elegimos el mismo renglón en la matriz de signos:
+ − +
− + −
+ − +
c)
A
Multiplicamos cada
cofactor
+ − +
con su respectivo signo y el subdeterminante que le corres-
ponda:
2
1
2
4
-1
−1 3
5 −2
det(A) = (+)(2)
det(A) = 2
60
CAPÍTULO 2.
2
4
1
-1
2
5
-1
3
−2
2
1
2
4
-1
−1
5
3
-2
−1 3
1 3
1 −1
(−)(4)
(+)(−1)
5 −2
2 −2
2 5
−1 3
1 3
1 −1
−4
−1
5 −2
2 −2
2 5
MATRICES Y DETERMINANTES
Guia de Estudio Algebra Lineal
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
Los subdeterminantes de
(
1, 1
)(
2, 2
2x2 se desarrollan así: se multiplican los términos de la diagonal
1, 2 )( 2, 1 ).
) y le restamos la multiplicación de los términos (
det(A) = 2((−1)(−2) − (3)(5)) − 4((1)(−2) − (3)(2)) − 1((1)(5) − (−1)(2))
det(A) = 2((2) − (15)) − 4((−2) − (6)) − 1((5) − (−2))
det(A) = 2(2 − 15) − 4(−2 − 6) − 1(5 + 2) = 2(−13) − 4(−8) − 1(7)
det(A) = −26 + 32 − 7 = −33 + 32 =
CAPÍTULO 2.
-1
MATRICES Y DETERMINANTES
61
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
Guia de Estudio Algebra Lineal
Verique los determinantes en cada inciso que se muestran:
1 −1 0
a) A = 2 2 −5
3 1
1
soln:
1
3 5 1
b) B =
0
−3
2
5 −5 10
det(A) = 24
2
8 0 −
3
6 5 −4
c) C =
1
1 2
5
9
1
−10
6
2
0
d) D = 5 −1
5
10 −3 −
11
soln:
det(B) =
175
3
soln:
det(C) =
202
3
62
CAPÍTULO 2.
soln:
MATRICES Y DETERMINANTES
det(D) = −
80
3
Guia de Estudio Algebra Lineal
2.7.
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
Propiedades de los determinantes
1. Una matriz cuadrada cualquiera que tenga al menos, un renglón (o columna) de puros ceros,
su determinante será
0.
Ejemplo: Dadas las matrices
A
y
B
0
0
0
A = −1 4 5
4
2 8 0 −10
0
B = 0
0
1
11
2
4 −0 02
1
−1
Los determinantes son:
5
5
−1 4
−1
4 −0
4 +0
=0
|A| = 0
28 0
0 −10
2 8 −10
4
|B| = 0
4 −0 02
−1
1
1
1
11
11
−0 2
+0 2
=0
1 −1
4 −0 02
Hay que entender que la matriz puede tener solo un renglón (o solo una columna), cuyos
elementos (todos), sean cero. Y eso es suciente para que el determinante sea
0.
Si hay un
renglón (o una columna) que tenga un solo elemento diferente de cero y todos los demás sean
0; entonces, no se debe de suponer que el determinante es 0. La matriz P tiene dos ceros y el
valor 3 en su tercer renglón. Es decir, no todos los elementos de su tercer renglón son cero.
Por tener un elemento diferente de cero, no es correcto asumir que su determinante es 0.
2 −5
P = −1 4 5
4
3 0 0
Verique que el determinante de la matriz
3
P
es
135
2
2. Si una matriz cuadrada cualquiera tiene dos renglones (o dos columnas) iguales, el determinante es
0.
Ejemplo: Dadas
A
y
B:
3 1 0
9
A = 5 −5
2
3 1 0
El determinante de la matriz
A,
CAPÍTULO 2.
utilizando
1
1 −
1
6
B = −1 7 −1
4
0
4
cofactores
para el tercer renglón:
MATRICES Y DETERMINANTES
63
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
1
Guia de Estudio Algebra Lineal
0
|A| = 3
3 0
3
1
9
27
−0 −1
− 0 + 0 (−15 − 5)
2
2
=3
9 −1
9 +0
5 −5
5
2
2
27
27 27
9
−1
=
−
=
|A| = 3
2
2
2
2
−5
El determinante de la matriz
B,
utilizando
cofactores
0
para el la primer columna:
1
1
1
−
1
1
4
+1 6
−7
+4 6
= 1 (28 − 0) + 1 − − 0 + 4
6
6
4
0 4
7 −1
7 −1
|B| = 1
0
−
2
|B| = 1 (28) + 1 −
3
+4
1 42
−
6
6
2
41
2 82
= 28 − + 4 −
= 28 − −
=
3
6
3
3
| {z }
0
=− 84
=−28
3
3. Dada una matriz cuadrada
A,
se cumple que
1
2
A=
−3
Su transpuesta
AT
|A| = AT
−1 0
1
2
1
. Ejemplo: Dada la matriz
A
3
2
3
está dada por:
2 −3
1
T
1
−1
A =
2
2
0 3
3
Calculamos el determinante de
1
|A| = 1 2
1
A
usando
1
cofactores
(para el primer renglon):
1
3
1
4
2 =1
−3 +1
+9 +0 2+
+1
2 +0
2
3
3
2
−3
−3 1
3
3
1 9
4 27
8
31
8 31
23
−
+1
+
+0=1 −
+1
=− +
=
|A| = 1
3 3
3
3
3
3
3
3
3
3
2
3
2
El determinante de la transpuesta de
A;
usando
cofactores
y el mismo primer renglón está
dado por:
64
CAPÍTULO 2.
MATRICES Y DETERMINANTES
Guia de Estudio Algebra Lineal
A
1
=1 2
3
T
T
A
−1 1
1
2
3
=1
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
−2
1 9
−
3 3
2 −3
0
3
0
1
2
1
2 =1
− 3 − 2 − − 0 − 3 (−3 − 0)
3
3
3
−1
2
−2 −
3
Demostrándose que se cumple:
8 4
8 4 27
23
− 3 (−3) = − + + 9 = − + +
=
3 3
3 3
3
3
|A| = AT
4. Si se intercambian dos renglones (o dos columnas de una matriz cuadrada cualquiera, el
determinante cambia de signo. Ejemplo: Dada la matriz
1
−2 0
A=
−1
0
Calculando el determinante de
|A| = 1
A,
usando
4
1
1
9
cofactores
A:
en el primer renglón:
4 1
−1 1
−1 4
+2
+0
= 1(36−1)+2(−9−0)+0 = 1(35)+2(−9) = 35−18 =
1 9
0 9
0 1
Intercambiamos los renglones
2
y
3
de la matriz
1
A=
0
−1
Comprobemos que el determinante debe ser
17
A:
−2 0
1
9
4
1
-17 . Aplicaremos
cofactores
en el segundo
renglón:
|A| = −0
−2 0
1 0
1 −2
+1
−9
= 0+1(1−0)−9(4−2) = 1−9(2) = 1−18 =
4 1
−1 1
−1 4
-17
Esta propiedad funciona si se intercambias dos renglones o dos columnas de cualquier matriz
cuadrada.
5. Si multiplicamos cualquier renglón (o columna), de una matriz cuadrada
el determinante de la matriz resultante es
Dada la Matriz
k
A, por un escalar k ,
A. Ejemplo:
veces el determinante de la matriz
A
CAPÍTULO 2.
MATRICES Y DETERMINANTES
65
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
Guia de Estudio Algebra Lineal
1
−2
A=
2
5
Cuyo determinante es:
A,
matriz
obtenemos:
−
61
5
[
verifíquelo].
−2
0
1
1
2
4
1
Si multiplicamos por
5
el tercer renglón de la
1
1 −2
2
A = −2 0 4
2
5 5
Calculamos el determinante con la segunda columna:
1
1
1
2 −5
2 = 2(−10−8)−5(4+1) = 2(−18)−5(5) = −36−25 =
+0
5
2 5
−2 4
| {z }
−2 4
|A| = 2
2
1
-61
=0
La matriz original
por
5,
61
. Cuando multiplicamos su tercer renglón
5
61
decir, k = 5, |kA| = k |A| = 5 −
= −61.
5
A, tiene un determinante de −
obtuvimos un determinante de
−61;
es
Esto mismo ocurre si se multiplica cualquier columna o cualquier renglón por un escalar
arbitrario
k.
6. EL determinante de cualquier matriz cuadrada, no se altera si cualquier renglón se multiplica
por un escalar
k
y el resultado se suma a otro renglón. Ejemplo: Dada la matriz
A:
9
7
2
−
9
4
2
1
1
A=
−
1
10
5
3
0 −1 −
10
El determinante de esta matriz es (usando el tercer renglón):
2
|A| = 1 9
1
10
66
7
2
9
−
2 − 3 9
4 = 1 2 − 7 − 3 − 2 + 9 = − 23 − 3 13
1
10 1
9 20
10
45 40
180 10 72
1
−
10
5
CAPÍTULO 2.
MATRICES Y DETERMINANTES
Guia de Estudio Algebra Lineal
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
|A| = −
Multiplicamos el renglón 2 por
en el nuevo renglón
3;
es decir:
23
13
131
−
= −
180 240
720
−5 y le sumamos
−5R2 + R3 → R3
1
−5
10
1
−
5
−
1
2
0
−
1
2
el renglón
1
1 = −
2
1
1
3,
el resultado que se convierta
−5
−5
3
10
53
−
10
−1 −
0
La matriz queda:
2
9
7
−
9
4
2
1
1
A=
−
1
10
5
1
53
−
0 −
2
10
El determinante de esta matriz (usando el tercer renglón) es:
9
1 −4
|A| = −
2 1
−
5
2
9
7
−
53
2 −
9
4 = − 1 − 9 + 7 − 53 − 2 + 9 = − 1 − 31 − 53 13
1
10 1
2
4 10
10
45 40
2
20
10 72
1
−
10
5
|A| =
7. Sean
A
y
B
31 689
131
−
= −
40 720
720
dos matrices cuadradas, entonces
0 −1
1
A=
,
2
1
4
−3 4 0
Calculamos el producto de
2
|AB| = |A| |B|.
Ejemplo: Sean:
5
6
− 3 3
B = 0 −2 5
1
0 −3
AB :
CAPÍTULO 2.
MATRICES Y DETERMINANTES
67
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
Guia de Estudio Algebra Lineal
13
0 −1 − 5 3
6
6 − 3
3
13
AB = 1 2 1 0 −2 5 = 7
−
4
4
12
−3 4 0
1
0 −3
5
−17
2
Calculamos los determinantes de
2
|A| = 1
4
A, B
0 −1
2
1
−3 4
0
= −15,
|B| =
17
2
2
AB :
y
−
15
5
3
−
3
6
0
−2
5
1
0
−3
|AB| =
= 17,
Note que si nos piden calcular el determinante del producto de
A
sencillo si conocemos los determinantes de
y de
B.
|AB|,
13
3
6
15
13
4
17 = −255
2
7
12
−
5
−17
2
se vuelve un cálculo
En este ejemplo hariamos:
|AB| = |A| |B| = (−15)(17) = −255
8. El determinante de una matriz diagonal o una matriz triangular superior ó triangular inferior,
es igual a la multiplicación de los elementos de la diagonal.
2 0
|A| = 0 3
0
−
0 = −30,
|B| =
1
3
0
0 0 −5
0
9. El determinante de la matriz identidad es
3
0
2.8.
3
2
5
0
3
2
0
6
0 =5
5
−
5
−17 2
1
10. Si el determinante de cualquier matriz cuadrada es
(no tiene inversa) y se conoce como
|C| =
−1 5 = 1,
1
0
0
0
1 0 0
0 1 0 = 1,
0 0 1
1 0
= 1,
0 1
−
6
0
1
0
0
0
0
1
0
0, entonces,
matriz singular
0
0
=1
0
1
dicha matriz no es invertible
Inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta
Podemos calcular la inversa de cualquier matriz cuadrada utilizando la siguiente fórmula:
A−1 =
1
adj(A)
|A|
Donde:
68
CAPÍTULO 2.
MATRICES Y DETERMINANTES
(2.3)
Guia de Estudio Algebra Lineal
|A|
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
es el determinante de la matriz
adj(A)
es la matriz adjunta de
A
A
2.8.1. Matriz Adjunta
Para calcular la matriz adjunta, cada elemento se calcula, resolviendo los subdetermiantes que
se generan al cancelar la posición de cada elemento de la matriz original. La cancelación de cada
elemento se consigue anulando el renglón, y la columna a la que pertenece el elemento que se
quiere cancelar. Para formar un renglón de la matriz adjunta, se deben cancelar los elementos de
las columnas de la matriz original. Ejemplo: Dada la matriz
A,
calcule su matriz adjunta
1 −1 0
3 −1
A= 4
−3 2 −1
1. subdeterminantes para el primer renglón de la matriz adjunta (cancelamos los elementos de
la primera columna de la matriz
1
-1
4
3
2
-3
A):
1
−1
0
1
−1
−1
4
3
-1
4
-3
2
−1
0
−1 0
3 −1
-3
2
-1
2. subdeterminantes para el segundo renglón de la matriz adjunta (cancelamos los elementos
de la segunda columna de la matriz
1
4
−3
-1
3
2
A):
1
-1
0
−1
−1
4
3
-1
−3
2
−1
0
1
4
-1
-3
2
3
0
−1
-1
3. subdeterminantes para el tercer renglón de la matriz adjunta (cancelamos los elementos de
la tercera columna de la matriz
1
4
−3
Estos
9
A):
-1
0
1
−1
0
3
2
-1
4
3
-1
−3
2
-1
-1
1
4
−1
3
0
-1
2
-1
-3
subdeterminantes se colocan en la nueva matriz adjunta, anexándole los signos que
corresponden a la posición de la matriz de signos
3 −1
+ 2 −1
4 −1
adj(A) =
− −3 −1
4 3
+
−3 2
CAPÍTULO 2.
−1 0
−
2 −1
+
1
0
−3 −1
1 −1
−
−3 2
−1 0
+
3 −1
1 0
−
4 −1
1 −1
+
4 3
+ − +
− + −
|
+ − +
{z
}
matriz de signos
MATRICES Y DETERMINANTES
69
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
Guia de Estudio Algebra Lineal
−1 −1 1
= −(−7) +(−1) −(−1) = 7 −1 1
−(−4
−
3)
+(−1
−
0)
−(−1
−
0)
adj(A) =
+(8 + 9)
−(2 − 3)
+(3 + 4)
+(17) −(−1) +(7)
17 1 7
+(−3 + 2)
−(1 − 0)
+(1 − 0)
Calculamos el determinante de la matriz
un
0
en la posición
|A| = 1
A,
+(−1)
−(1)
+(1)
usando el primer renglón (aprovechando que hay
a1,3 ).
3 −1
4 −1
+1
= 1(−3 + 2) + 1(−4 − 3) = 1(−1) + 1(−7) = −1 − 7 =
2 −1
−3 −1
-8
A:
Usamos la ecuación 2.3 para calcular la matriz inversa de
Para
1
1
1
−
8
8
8
−1 −1 1
1
1
1
1
7
−1
A =
adj(A) =
−
7 −1 1 = −
8
|A|
−8
8
8
17 1 7
17
1
7
−
−
−
8
8
8
−1
comprobar si A
está bien calculada, recurrimos a la propiedad:
A−1 A = AA−1 = I
1
1
1
−
1
−1
0
1
0
0
8
8
8
1
1
7
−1
3 −1 = 0 1 0
A A=−
− 4
8
8
8
17
1
7
−3 2 −1
0 0 1
−
−
−
8
8
8
70
CAPÍTULO 2.
MATRICES Y DETERMINANTES
(2.4)
Guia de Estudio Algebra Lineal
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
1. Verique los cálculos. Dadas las matrices
A, B , C
y
D.
Calcule sus inversas; mediante el
método de la matriz adjunta:
28
2
13
−
9
27
9
2
2
1
soln:
A−1 =
−
−
3
9
3
2
5
1
−
−
9
27 9
1
4
20
−
161
23 161
26
1
27
−1
soln:
B =
−
161
23
161
15
5
3
161 23
161
135
20
53
−
−
1052 263
1052
285
250
5
soln:
C −1 =
−
1052 263
1052
75
555
135
−
2104 526
2104
840
2
9
107
107 107
729
99
36
−1
soln:
D =
−
107
107
107
16
2
9
−
107 107 107
1 −2 8
a) A = 0 3 −9
2 1 10
6
1 1
b) B = −3 0 4
5 −5 2
−7
c) C = 2
1
4
3
2
1 −
5
1 −4
1
5
1
1
0 −
8
8
d) D = 1 −1 3
2
11
0
9
CAPÍTULO 2.
MATRICES Y DETERMINANTES
71
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
2.9.
Guia de Estudio Algebra Lineal
Aplicación de matrices y determinantes
A continuación se dan algunas aplicaciones de las Matrices:
1. En una Panadería se sabe que cantidad de materia prima se requiere para elaborar 50 piezas
de dos tipos de pan (Table 2.1) y también se conoce los precios de cada una de las unidades
de materia prima (Tabla 2.2), compradas para dos sucursales distintas
Tabla 2.1: Unidades de Materia Prima
Tipo de Pan
Harina
Levadura
Huevos
Integral
15
4
7
Francés
12
3
8
Tabla 2.2: Precios de las Unidades de Materia Prima
Insumo
Sucursal A
Sucursal B
Harina
10
13
Levadura
8
9
Huevos
9
9 50
Estas tablas, pueden ser expresadas como dos matrices:
10 13
9
B =8
9 9 50
15 4 7
A=
,
12 3 8
Podemos multiplicar
de
AB , porque el número de columnas de A es igual al número de renglones
B.
595
2
AB =
216 259
Interpretación: El producto de
AB
245
representa el costo de producción de cada tipo de pan de
acuerdo a la sucursal de la empresa.
245 es lo que cuesta producir 50 piezas de pan Integral en la Sucursal A
595
es lo que cuesta producir 50 piezas de pan Integral en la Sucursal B.
2
216 es lo que cuesta producir 50 piezas de pan Francés en la Sucursal A
259
es lo que cuesta producir 50 piezas de pan Francés en la Sucursal B.
2
72
CAPÍTULO 2.
MATRICES Y DETERMINANTES
Guia de Estudio Algebra Lineal
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
2. Dado el circuito que se muestra en la gura 2.1
Figura 2.1: Circuito Eléctrico
a)
Para analizar este circuito eléctrico, debemos emplear la
la
Ley de Voltaje de Kirchho
y
Ley de Ohm. El circuito eléctrico tiene dos mallas y dos corrientes de mallas (I1 , I2 ).
Las ecuaciones de Mallas estan dadas por:
550I1 − 330I2 = 25
−330I1 + 890I2 = −10
b)
Podemos representar estas ecuaciones de mallas de manera matricial:
550 −330 I1
25
=
−330 890
I2
−10
⇒
Ax = b
Este sistema se puede resolver por los métodos explicados en esta unidad. Resolveremos
por el método de Gauss-Jordan:
c)
Formamos la matriz aumentada
[A b]
d)
550 −330 | 25
−330 890 | −10
Aplicamos Transformaciones entre renglones, para encontrar la solución
550 −330 | 25
−330 890 | −10
3
1
|
5
22
−330 890 | −10
1
−
3
1
1 −
|
5
22
0 692 | 5
3
1 − 5 |
0 1 |
1
22
5
692
CAPÍTULO 2.
3
1
|
5
22
−330 890 | −10
⇒
⇒
⇒
⇒
1
R1 ⇒ R1
550
⇒
1
−
3
1
1 −
|
5
22
0 692 | 5
330R1 + R2 ⇒ R2
⇒
1
R2 ⇒ R2
692
3
1
−
|
5
0 1 |
3
R2 + R1 ⇒ R1
5
⇒
⇒
1
22
5
692
225
1 0 | 4519
5
0 1 |
692
MATRICES Y DETERMINANTES
73
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
e)
Guia de Estudio Algebra Lineal
Tenemos la solución:
225
1 0 | 4519
5
0 1 |
692
⇒
225
1 0
I1
= 4519
5
0 1
I2
692
Esto nos da:
225
I1
= 4519 ,
5
I2
692
74
CAPÍTULO 2.
225
A = 0 04978980557015A
4519
5
I2 =
A = 0 00722543352601A
692
I1 =
MATRICES Y DETERMINANTES
Capítulo 3
Sistema de Ecuaciones Lineales
3.1.
Denición de sistemas de ecuaciones lineales
Un Sistema de Ecuaciones Lineales está formado por ecuaciones cuyas variables o incógnitas
tienen como máxima potencia
1;
es decir, en cada ecuación, las incógnitas no tienen radicales, ni
están elevadas a una potencia mayor a
1.
Un sistema de ecuaciones lineales tiene la forma que se
muestra en la ecuación 3.1
a11 x1
a21 x1
a31 x1
+ a12 x2
+ a22 x2
+ a32 x2
.
.
.
+ a13 x3
+ a23 x3
+ a33 x3
.
.
.
+ · · · + a1n xn
+ · · · + a2n xn
+ · · · + a3n xn
.
.
.
.
.
.
= b1
= b2
= b3
(3.1)
.
.
.
···
am1 x1 + am2 x2 + am3 x3 + · · · + amn xn = bm
Donde los términos
y las
bm
aij
representan números reales.
xn
son las incógnitas que se quieren resolver
suelen ser los valores de entrada de sistemas lineales. Por ejemplo:
x+y =3
⇒
3x − 5y + 9z = 2 ⇒
Es una Ecuación Lineal con dos incógnitas
Es una Ecuación Lineal con tres incógnitas
Las siguientes ecuaciones no son lineales:
x+
√
2y = 10
⇒
1
A − 3B 2 + C = 1 ⇒
2
1
−6xy + 5u − w = 2 ⇒
3
No Es una Ecuación Lineal por la raíz cuadrada del termino
No Es una Ecuación Lineal por el cuadrado de la incógnita
No Es una Ecuación Lineal por el producto
75
xy
2y
B
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
3.2.
Guia de Estudio Algebra Lineal
Clasicación de los sistemas de ecuaciones lineales y tipos de solución
Los sistemas de ecuaciones lineales se clasican en:
1.
Sistemas de Ecuaciones Homogéneos: Son aquellos, cuyo valor de bm = 0 (ver ecuación
3.1).
a11 x1
a21 x1
a31 x1
+ a12 x2
+ a22 x2
+ a32 x2
.
.
.
.
.
.
+ a13 x3
+ a23 x3
+ a33 x3
.
.
.
am1 x1 + am2 x2 + am3 x3
+ · · · + a1n xn
+ · · · + a2n xn
+ · · · + a3n xn
.
= 0
= 0
= 0
.
.
.
···
.
.
+ · · · + amn xn = 0
Estos sistemas tienen dos tipos de soluciones:
a ) Solución Trivial:
Es aquella en la que los valores de las incógnitas son
0.
Es decir,
x1 = x2 = x3 = · · · = xn = 0
b ) Un número innito de soluciones: Esto ocurre, cuando el número de ecuaciones es
menor al número de incógnitas. Esto permite que algunas incógnitas queden en función de otras. Al darle valores arbitrarios a las incógnitas libres, podemos resolver el
sistema. Como la solución depende de los valores de algunas incógnitas libres; y estos
valores pueden tomar cualquier valor real, esto genera que hayan un número innito de
soluciones.
2.
Sistemas No Homogéneos:
Son sistemas como el que se muestra en la ecuación 3.1. Es
decir, al menos una bm es diferente de cero. Este tipo de sistema tiene las siguientes soluciones:
a ) Solución única: Es cuando cada una de las incógnitas tiene un valor.
b ) Si solución: En este caso, no es posible resolver el sistema, ninguna incógnita tiene un
valor
c ) Un número innito de soluciones: Esto ocurre cuando el número de ecuaciones es
menor al número de incógnitas o cuando una ecuación es una combinación lineal de
alguna otra o algunas otras ecuaciones.
76
CAPÍTULO 3. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Guia de Estudio Algebra Lineal
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
Figura 3.1: Clasicación de los Sistemas de Ecuaciones Lineales
3.3.
Interpretación geométrica de las soluciones
3.3.1. Sistema de Ecuaciones No Homogéneo
Supongamos que tenemos el sistema de ecuaciones:
2x + y = 0
x − y = −3
Este sistema tiene como solución
x = −1
e
y = 2,
en la gura 3.2 se observa que la solución es
el punto donde se las ecuaciones se intersecan las dos grácas. Observe que esto ocurre en el punto
(x, y) = (−1, 2).
Figura 3.2: Representación Geométrica de un sistema de ecuaciones con solución
CAPÍTULO 3.
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
77
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
Guia de Estudio Algebra Lineal
3.3.2. Sistema de Ecuaciones sin solución
Supongamos que tenemos el sistema de ecuaciones:
2x − 3y = 6
3
x− y =5
2
Este sistema de ecuaciones, no tiene solución. En la gura 3.3 se muestra que no hay un punto
donde las grácas se intersecan. Técnicamente, ambas rectas son paralelas.
Figura 3.3: Representación Geométrica de un sistema de ecuaciones sin solución
3.3.3. Sistema de ecuaciones con un número innito de soluciones
Supongamos que tenemos el sistema de ecuaciones:
9x + 3y = 6
3x + y = 2
Este sistema de ecuaciones, existen un número innito de soluciones. En la gura 3.4 se muestra
que las dos rectas se sobreponen, porque todos los puntos son comunes.
78
CAPÍTULO 3. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Guia de Estudio Algebra Lineal
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
Figura 3.4: Representación Geométrica de un sistema de ecuaciones con un número innito de
soluciones
3.4.
Métodos de solución de un sistema de ecuaciones lineales: Gauss, Gauss-Jordan, inversa de una matriz y regla
de Cramer
Existen muchos problemas donde aparecen sistemas de ecuaciones lineales. Siempre que el número de ecuaciones sea igual al número de incógnitas, el sistema se puede resolver. Un sistema
de ecuaciones lineales puede tener una sola solución, un número innito de soluciones o no tener
solución. Los métodos que se emplean para resolver estos sistemas son:
1.
Método de Igualación: Este método se aprende en Preparatoria
2.
Método de Eliminación: Este método se aprende en Preparatoria
3.
Método de Sustitución: Este método se aprende en Preparatoria
4.
Método de Gauss: Este método se explica en esta unidad
5.
Método de Gauss-Jordan: Este método se explica en esta unidad
6.
Método de Cramer: Este método se explica en esta unidad
7.
Método de la inversa: Este método se explica en esta unidad
8.
Método de Gauss-Seidel: Este método se explicará en la materia de Métodos Numéricos
3.4.1. Método de Gauss
Dado un sistema de ecuaciones, como el que se muestra en la ecuación 3.1, puede representarse
como un sistema
Ax = b,
donde:
CAPÍTULO 3.
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
79
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
a11
a21
a31
..
.
an1
A
Guia de Estudio Algebra Lineal
+ a12 + a13 + · · · + a1n
x1
b1
+ a22 + a23 + · · · + a2n x2 b2
x 3 b3
+ a32 + a33 + · · · + a3n
=
.. ..
.
.
.
.
. .
.
.
···
+ an2 + an3 + · · · + ann
xn
bn
Método de Gauss
es una matriz cuadrada. Para aplicar el
1. Formamos la matriz aumentada
⇒
Ax = b
(3.2)
hacemos:
[A | b]
2. Aplicamos transformaciones elementales entre renglones, para que todos los elementos de la
diagonal principal de la matriz aumentada
principal, todos los elementos sean
[ A | b ],
sean
1
y que debajo de la diagonal
0.
3. La matriz escalonada que se obtiene, nos dará la solución del sistema empleando sustituciones
Ejemplo: Dado el sistema
3x − 4y − z = 10
−x + 2y − 3z = −1
2x − 5y + 6z = 0
Encuentre la solución (los valores de
x, y
1. Formamos la matriz aumentada
y
z ).
[A | b]
3 −4 −1
A = −1 2 −3 ,
2 −5 6
x
x = y ,
z
10
b = −1
0
3 −4 −1 | 10
[ A | b ] = −1 2 −3 | −1
2 −5 6 | 0
2. realizamos transformaciones entre renglones, con la intención de convertir a la matriz aumentada
1
[A | b]
en una matriz en la que todos los elementos de la diagonal principal sean
y debajo de la diagonal principal todos sean
a)
hacemos que el termino
a11
sea
1.
0
Para eso, multiplicamos por el recíproco de
1
4
1
10
3 −4 −1 | 10 = 1 −
−
|
3
3
3
3
Queda:
80
CAPÍTULO 3. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
a11 .
Guia de Estudio Algebra Lineal
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
1
10
4
−
|
−
3
3
3
2 −3 | −1
−5 6 | 0
1
-1
2
b)
a21 ,
colocamos un cero en la posición
Hacemos:
haciendo:
R1 + R2 → R2
R1 + R2
R1
[
1
R2
[
−1
R2 =
[
0
4
3
2
−
2
3
1
3
−3
−
−
|
|
10
3
1
0
2
a31 ,
Hacemos
]
]
]
2:
1
10
4
−
|
−
3
3
3
2
10
7
−
|
3
3
3
−5
6
| 0
colocamos un cero en la posición
7
3
|
el resultado se convierte en el nuevo renglón
c)
10
3
−1
haciendo:
−2R1 + R3 → R3
−2R1
Hacemos
4
1
10
8
−2 1 −
= −2
−
|
3
3
3
3
−2R1 + R3
2
8
3
−5
2
3
6
0
−
7
3
20
3
−2R1
[
−2
R3
[
R3 =
[
|
|
|
el resultado se convierte en el nuevo renglón
20
3
0
−
−
20
3
2
20
| −
3
3
]
]
]
3:
4
1
10
1 − 3 − 3 |
3
7
0 2 − 10 |
3
3
3
7 20
20
0 −
| −
3
3
3
CAPÍTULO 3.
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
81
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
d)
convertimos en
Guia de Estudio Algebra Lineal
1 el valor
2
3
a22 . Esto lo conseguimos multiplicando
3
R2 → R2
2
que tiene la posición
el segundo renglón por el recíproco
3
;
2
es decir
3
2
10
7
7
= 0 1 −5 |
0
−
|
2
3
3
3
2
Queda:
1
0
0
e)
colocamos un
0
en la posición
a32
−
4
3
10
3
7
−5 |
2
20
20
| −
3
3
−
1
−
7
3
(término
R3 → R3 .
Hacemos
1
|
3
−
7
).
3
Esto lo conseguimos haciendo:
7
R2 +
3
7
R2
3
7
7
35
49
7
= 0
−
|
0 1 −5 |
3
2
3
3
6
Hacemos:
7
R2 + R3
3
7
R2
3
[
0
R3
[
0
R3 =
[
0
7
3
7
−
3
0
35
3
20
3
−
−5
|
|
|
el resultado se convierte en el nuevo renglón
49
6
20
−
3
3
2
]
]
]
3:
4
1
10
1 −
−
|
3
3
3
7
0 1 −5 |
2
3
0 0
-5
|
2
f)
82
colocamos un
1
en la posición
a33
(termino
−5).
Para esto hacemos:
CAPÍTULO 3. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
1
− R3 −→ R3
5
Guia de Estudio Algebra Lineal
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
1
3
3
− 0 0 −5 |
= 0 0 1 | −
5
2
10
Queda:
4
1
10
1 −
−
|
3
3
3
7
0 1 −5 |
2
3
0 0
1 | −
10
3. Note que la primera columna de la matriz que obtuvimos, son los coecientes de la variable
x,
la segunda columna son los coecientes de las variable
coecientes de la variable
z
y,
la tercer columna tiene los
y la cuarta columna son los valores del vector columna
b;
es
decir:
4
−
3
10
1
|
3
7
0
1
−5
|
2
3
0
|
−
1
0
|{z} |{z} |{z}
10
|{z}
⇒
z
y
x
1
−
3
b
Note que ya se tiene el valor de
valor de
z
para encontrar a
7
y − 5z = ,
2
1
10
4
x− y− z =
3
3
3
7
y − 5z =
2
3
z=−
10
⇒
. Para encontrar los otros valores, usamos el
y:
x
e
y.
x=
59
, y = 2
10
CAPÍTULO 3.
y
y+
15
7
= ,
10
2
y=
7 15
−
2 10
Ahora determinamos el valor de
4
1
3
10
x − [2] −
−
= ,
3
3
10
3
4
1
10
x− y− z = ,
3
3
3
x=
3
z=−
10
3
7
y−5 −
= ,
10
2
Ya tenemos los valores de
La solución es
z
4
1
10
x− y− z =
3
3
3
7
0x + y − 5z =
2
3
0x + 0y + z = −
10
y=
20
=2
10
z:
x−
8
1
10
+
=
3 10
3
10 8
1
18
1
59
+ −
=
−
=
3
3 10
3
10
10
z=−
3
10
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
83
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
Guia de Estudio Algebra Lineal
Es decir:
59
x
10
2
y =
3
z
−
10
84
CAPÍTULO 3. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Guia de Estudio Algebra Lineal
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
Verique las soluciones de los siguientes sistemas de ecuaciones Lineales, use el
soln)
7
1
16666666666667
x
6
7
7
=
y =
11
−1 83333333333333
z
−
6
soln)
70
−
A
−1 32075471698113
53
180
= 3 39622641509434
B =
53
100
C
−1 88679245283019
53
x + y − z = 10
a)
−2x + 13 y = 0 ,
4x + 2z = 1
−20A + 30B + 15C = 100
b)
40A + 25C = −100
−10A + 10B + 25C = 0
CAPÍTULO 3.
método de Gauss.
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
85
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
Guia de Estudio Algebra Lineal
3.4.2. Método de Gauss-Jordan
Explicaremos un problema con este Método. Primero de manera analítica, posteriormente, con
instrucciones de Matlab. Dado el sistema:
15 −2 0
x
1
1 19 5 y = 1
−3 1 20
z
5
(3.3)
Donde:
15 −2 0
A = 1 19 5 ,
−3 1 20
1. Formamos la matriz aumentada
x
x = y
z
1
b = 1
5
(3.4)
[A | b]
2 0 | 1
[A | b] = 1 19 5 | 1
−3 1 20 | 5
2. Aplicamos el Método: Colocamos un
Hacemos:
1
R1 → R1 :
15
1
15
[15
2
15
1 en la posición a11 del primer renglón, primera columna.
0 | 1]
=
2
15
[1
1
]
15
0 |
1
0 |
1
15
[A | b] = 1 19 5 | 1
−3 1 20 | 5
2
15
Ahora colocamos ceros debajo del pivote (posición
R2 ,
y
a21 . Usamos las instrucciones: −R1 +R2 →
3R1 + R3 → R3
a ) −R1 :
− 1
sumamos
86
2
15
0 |
1
= −1
15
2
−
15
0 |
1
−
15
−R1 + R2 :
CAPÍTULO 3. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Guia de Estudio Algebra Lineal
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
−R1
2
15
19
−1 −
R2
1
R2 =
0
0 |
1
15
1
−
5 |
283
15
14
15
5 |
Obtenemos:
1
0 |
15
283
14
5 |
15
15
1 20 | 5
2
15
1
0
-3
b ) 3R1 :
3 1
Sumamos
2
15
0 |
1
= 3
15
2
5
0 |
1
5
3R1 + R3 :
3R1
3
R3
−3
R3 =
0
2
5
1
7
5
0
|
20 |
20 |
1
5
5
26
5
Obtenemos:
1
0
0
Colocamos un
1
2
15
283
15
7
5
1
0 |
15
14
5 |
15
26
20 |
5
en el segundo renglón, segunda columna. Hacemos:
15
0
283
283
15
5 |
14
= 0 1
15
75
283
|
15
R2 → R2 .
283
14
283
Obtenemos:
CAPÍTULO 3.
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
87
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
Guia de Estudio Algebra Lineal
1
0
0
2
15
1
7
5
1
0 |
15
14
75
|
283
283
26
20 |
5
Ahora colocamos ceros arriba y debajo del pivote. Usamos las instrucciones:
R1 ,
y
−
7
− R2 + R3 → R3
5
2
R2 + R1 →
15
2
15
a ) − R2 :
2
−
0 1
15
Sumamos
−
75
283
14
= 0
283
|
2
−
15
10
−
283
|
28
−
4245
2
R2 + R1 :
15
2
R2
15
0 −
R1
1
R1 =
1
−
2
15
2
15
−
−
0
10
283
|
0
|
10
283
|
−
28
4245
1
15
17
283
Obtenemos:
1
0
0
0
1
7
5
17
10
|
283
283
75
14
|
283
283
26
20
|
5
−
7
5
b ) − R2 :
7
− 0 1
5
Sumamos
88
75
283
|
14
= 0
283
7
−
5
105
−
283
|
98
−
1415
7
− R2 + R3 :
5
CAPÍTULO 3. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Guia de Estudio Algebra Lineal
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
7
− R2
5
7
5
7
5
0 −
R3
0
R3 =
0
105
283
|
20
|
5555
283
|
−
0
−
98
1415
26
5
1452
283
Obtenemos:
10
1
0
−
283
75
0 1
283
5555
0 0
283
Colocamos un
1
7
|
283
14
|
283
1452
|
283
en el tercer renglón, tercer columna. Hacemos:
283
0 0
5555
5555
283
|
283
R3 → R3 .
5555
1452
= 0 0 1 |
283
132
505
Obtenemos:
1 0
0 1
0 0
10
−
283
75
283
1
17
|
283
14
|
283
132
|
505
Ahora colocamos ceros arriba del pivote. Usamos las instrucciones:
−
75
R3 + R2 → R2
283
a)
10
R3 + R1 → R1 ,
283
y
10
R3 :
283
10
0 0 1 |
283
Sumamos
132
= 0 0
505
10
283
|
119
12884
10
R3 + R1 :
283
CAPÍTULO 3.
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
89
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
Guia de Estudio Algebra Lineal
10
R3
283
0
R1
1
R1 =
1
Obtenemos:
b) −
10
283
10
0 −
283
0
0
|
213
23389
17
283
7
101
|
0
1 0
0 1
0 0
|
7
|
101
14
|
283
132
|
505
0
75
283
1
75
R3 :
283
75
0 0 1 |
−
283
Sumamos
−
132
= 0 0
505
75
−
283
|
647
−
9340
75
R3 + R2 :
283
−
75
R3
283
0
0
R2
0
1
R2 =
0
1
75
283
75
283
−
0
|
|
|
647
9340
14
283
−
−
2
101
Obtenemos:
7
1 0 0 | 101
2
0 1 0 | −
,
101
132
0 0 1 |
505
90
⇒
7
x
101
2
y =
,
−
101
132
z
505
x
0 06930693069307
y = −0 01980198019802
z
0 26138613861386
CAPÍTULO 3. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Guia de Estudio Algebra Lineal
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
Verique la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones Lineales, usando Gauss-Jordan.
405
73 A
5 54794520547945A
I1
15
0
20547945205479A
=
I2 = A
73
I3
75
1 02739726027397A
A
73
4I1 − 5I2 − 6I3 = 15
a)
10I2 − 2I3 = 0
,
soln)
−I1 − 3I2 + 6I3 = 0
−3V1 + 4V2 + 2V3 = 1
b)
6V1 + V2 = 0
−12V1 + 4V2 − 9V3 = −1
CAPÍTULO 3.
soln)
1
−
V
45
−0 02222222222222V
V1
2
0
13333333333333V
=
V
V2 =
15
V3
1
0 2V
V
5
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
91
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
Guia de Estudio Algebra Lineal
3.4.3. Método de la Inversa
Suponga que tiene un sistema de ecuaciones lineales de la forma:
Ax = b
(ecuación 3.2). Supo-
nemos:
Que la matriz
A
Asumiendo que
es una
matriz cuadrada.
A es una matriz no singular; lo que implica que su determinante es diferente
de cero y que existe su
inversa
Si todo lo anterior se cumple, podemos multiplicar la expresión:
Ax = b
por la inversa de
A:
A−1 Ax = A−1 b
Sabemos que:
A−1 A = AA−1 = I .
Donde
I
es la
−1
−1
A
| {zA} x = A b
matriz identidad
⇒
Ix = A−1 b
=I
Al multiplicar cualquier matriz o vector por la matriz identidad, es como si se multiplicara por
1
esa matriz o ese vector. En este caso:
Ix = x,
entonces tenemos:
x = A−1 b
(3.5)
La ecuación 3.5 implica que, si tenemos un sistema de ecuaciones de la forma: Ax = b, nos
−1
de A. Después realizamos el producto: A b, lo cual nos dará
basta con calcular la
matriz inversa
la solución del sistema que buscamos.
1. Dado:
6I1
−I2 −5I3 = 30
−3I1 8I2 −2I3 = −20
−4I1 −5I2 12I3 = 0
a)
Calculamos
A
−1
Calculo de
⇒
6 −1 −5 I1
30
−3 8 −2 I2 = −20
−4 −5 12
I3
0
, mediante la matriz adjunta
det(A).
A−1 =
1
adj(A)
det(A)
⇒
Verique que:
det(A) = 237
Cálculo de
adj(A).
Verique que:
86 37 42
adj(A) = 44 52 27
47 34 45
cálculo de la inversa de
A
86
237
86 37 42
1
44
44 52 27 =
=
237
237
47 34 45
47
237
A−1
92
37
237
52
237
34
237
14
79
9
79
15
79
CAPÍTULO 3. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
:
Ax = b
Guia de Estudio Algebra Lineal
b)
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
Solucionamos el sistema calculando
A−1 b
37
14
86
37 14
237 (30) + 237 (−20) + 79 (0)
30
237 79
44
52
9
52
9
(30)
+
(−20)
+
(0)
=
−20
237
237
79
237 79
34 15
0
47
34
15
(30) +
(−20) +
(0)
237 79
237
237
79
860 740
1840
79 − 237 + 0 237
440 1040
280
A−1 b =
=
−
+ 0
79
237
237
470 680
730
−
+0
79
237
237
86
237
44
−1
A b=
237
47
237
Tenemos entonces:
1840
I1
237
280
I2 =
237
730
I3
237
CAPÍTULO 3.
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
93
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
Guia de Estudio Algebra Lineal
Verique los resultados de los siguientes sistemas de ecuaciones Lineales, usando la matriz inversa.
5
4
15
45
−
−
= 0 27439024390244
A=
41
41
41
164
9
83
1
14
=
− 41 − 41 − 41 , B = 164 = 0 50609756097561
4
9
5
12
= 0 21951219512195
C=
−
41
41
41
41
2A − 3B + C = −
a)
−4A + 5C = 0
3
4
−A − B − C = −1
,
soln) A−1
x+y−z =3
b)
soln) A−1
2x − 2y = −3
3x − y + 2z = 0
94
1
1
3
12
1
5
=
3 − 12
1
1
−
−
3
3
1
6
1
,
6
1
3
CAPÍTULO 3. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
3
= 0 75
4
9
y = = 2 25
4
z=0
x=
Guia de Estudio Algebra Lineal
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
3.4.4. Método de Cramer
Este método se basa en el cálculo de determinantes. Se sugiere que se emplee cuando el sistema
tenga dos o tres ecuaciones. Un sistema que tenga cuatro o más ecuaciones, se vuelve muy tedioso
de realizar a mano. Explicaremos el método con un ejemplo. Dado el siguiente sistema:
4I1 −6I2 −3I3 = 20
−2I1 10I2 −I3 = 0
−I1 −2I2 9I3 = −10
4 −6 −3 I1
20
−2 10 −1 I2 = 0
−1 −2 9
I3
−10
⇒
Donde:
4 −6 −3
A = −2 10 −1 ,
−1 −2 9
A
es la matriz del sistema,
x
I1
x = I2 ,
I3
20
b = 0 ,
−10
⇒
Ax = b
es el vector columna de las salidas del sistema. En este caso, las
I3 . b
es el vector columna de las
entradas del sistema. En este caso podemos suponer que los valores de
20, 0 y −10 corresponden a
salidas del sistema son los valores de corrientes de mallas:
I1 , I2
e
fuentes de voltaje. El método de Cramer consiste en formar nuevas matrices. Las cuales cambian
una columna de la matriz del sistema por el vector columna de las entradas del sistema, es decir:
20 −6 −3
AI1 = 0 10 −1 ,
-10 −2 9
4
AI2 = −2
−1
20 −3
0 −1 ,
-10 9
4 −6
AI3 = −2 10
−1 −2
20
0
-10
Note que los subíndices en los nombres de las nuevas matrices, corresponden a la columna que se
sustituyó. Por ejemplo, la nueva matriz
del sistema
A,
AI2
se formó cambiando la segunda columna de la matriz
por el vector columna de las entradas del sistema
se sustituyeron en la matriz
A
b.
Observe que los valores que
corresponden a los coecientes de la incógnita
determinantes de las cuatro matrices:
A, AI1 , AI2
Cálculo del Determinante de la matriz
A,
y
I2 .
Calculamos los
AI3 .
usando el tercer renglón:
4 −6 −3
−6 −3
4 −3
4 −6
|A| = −2 10 −1 = (+)(−1)
(−)(−2)
(+)(9)
10 −1
−2 −1
−2 10
−1 −2 9
|A| = −1[(6) − (−30)] + 2[(−4) − (6)] + 9[(40) − (12)] = −1[6 + 30] + 2[−4 − 6] + 9[40 − 12]
|A| = −1[36] + 2[−10] + 9[28] = −36 − 20 + 252 =
Cálculo del Determinante de la matriz
AI1 ;
196
usamos el segundo renglón:
20 −6 −3
−6 −3
20 −3
20 −6
10 −1 = (−)(0)
|AI1 | = 0
(+)(10)
(−)(−1)
−2 9
−10 9
−10 −2
−10 −2 9
CAPÍTULO 3.
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
95
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
Guia de Estudio Algebra Lineal
|AI1 | = 10[(180) − (30)] + 1[(−40) − (60)] = 10[180 − 30] + 1[−40 − 60]
|AI1 | = 10[150] + [−100] = 1500 − 100 =
Cálculo del Determinante de la matriz
AI2 ;
1400
usamos la segunda columna:
4
20 −3
−2 −1
4 −3
4 −3
|AI2 | = −2 0 −1 = (−)(20)
(+)(0)
(−)(−10)
−1 9
−1 9
−2 −1
−1 −10 9
|AI2 | = −20[(−18) − (1)] + 10[(−4) − (6)] = −20[−18 − 1] + 10[−4 − 6]
|AI2 | = −20[−19] + 10[−10] = 380 − 100 =
Cálculo del Determinante de la matriz
AI3 ;
280
usamos el tercer renglón:
4 −6 20
−2 10
4 −6
4 −6
0 = (+)(20)
|AI3 | = −2 10
(−)(0)
(+)(−10)
−1 −2
−1 −2
−2 10
−1 −2 −10
|AI3 | = 20[(4) − (−10)] − 10[(40) − (12)] = 20[4 + 10] − 10[40 − 12]
|AI3 | = 20[14] − 10[28] = 280 − 280 =
|AI1 | =
20 −6 −3
0 10 −1 = 1400,
-10 −2 9
4
|AI2 | = −2
−1
20 −3
0 −1 = 280,
-10 9
0
4 −6
|AI3 | = −2 10
−1 −2
20
0 =0
-10
Cada determinante se puede desarrollar con cualquier renglón o columna. Se recomienda que
se comprueben los cálculos mostrados, escogiendo un renglón o columna diferente al que se usó en
los cálculos. Con estos determinantes, Cramer soluciona el sistema de la siguiente manera:
I1 =
96
1400
50
|AI1 |
=
= A
|A|
196
7
I2 =
|AI2 |
280
10
=
= A
|A|
196
7
I3 =
|AI3 |
0
=
= 0A
|A|
196
CAPÍTULO 3. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Guia de Estudio Algebra Lineal
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
Verique los resultados de los siguientes sistemas de ecuaciones Lineales, usando El método de
Cramer.
A − B + 5C = 5
a) −2A + 3B + C = −5, soln) A−1
4A − B + 6C = 0
1
16
19
90
−
−
A
=
−
= −1 914893617021
47
47 47
47
16 14
11
, B = − 150 = −3 191489361702
=
−
47 47
47
47
10
35
3
1
C=
= 0 744680851063
−
47
47
47
47
4x + y + 4z = 10
b) −2x + 5y + 10z = 20
soln) A−1
6x + 8y − 2z = 30
CAPÍTULO 3.
17
5
45
244 − 244 244
7
4
6
,
=−
61
61
61
23
13
11
−
−
244 244
244
65
= 1 065573770491
61
190
y=
= 3 11475409836
61
40
z=
= 0 655737704918
61
x=
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
97
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
3.5.
Guia de Estudio Algebra Lineal
Aplicaciones
Los sistemas de Ecuaciones Lineales aparecen en muchos problemas de matemáticas e Ingenie-
Transformada de Laplace,
parciales (Materia: Ecuaciones Diferenciales). Suponga que tiene:
ría. Un problema que aparece al aplicar la
es el método de Fracciones
A
B
C
s+7
= +
+
s(s + 1)(s + 4)
s
s+1 s+4
Lo que se nos pide es encontrar los valores
A, B
y
C.
Multiplicamos por
s(s + 1)(s + 4),
en
ambos lados de la igualdad:
s+7
A
B
C
s(s + 1)(s + 4) = s(s + 1)(s + 4) +
s(s + 1)(s + 4) +
s(s + 1)(s + 4)
s(s + 1)(s + 4)
s
s+1
s+4
eliminando términos comunes queda:
s + 7 = A (s + 1)(s + 4) +B s(s + 4) +C s(s + 1)
| {z }
| {z }
|
{z
}
=s2 +5s+4
=s2 +4s
=s2 +s
s + 7 = A(s2 + 5s + 4) + B(s2 + 4s) + C(s2 + s)
s + 7 = As2 + 5As + 4A + Bs2 + 4Bs + Cs2 + Cs
Agrupamos términos comunes (en función de
s):
s + 7 = [As2 + Bs2 + Cs2 ] + [5As + 4Bs + Cs] + 4A
Factorizamos:
s + 7 = [A + B + C]s2 + [5A + 4B + C]s + 4A
Igualamos coecientes. Por ejemplo, del lado izquierdo de la igualdad tenemos:
coeciente de
s.
s
en el lado izquierdo es
1. 7
Note que en el lado izquierdo no aparece
s + 7.
Es decir, el
representa al término del polinomio que no tiene una
s2 ,
por lo que consideramos a este coeciente como
Así:
A+B+C =0
5A + 4B + C = 1
4A = 7
Acaba de aparecer un sistema de 3 ecuaciones y 3 incógnitas. Verique que la solución es:
7
A= ,
4
98
B = −2,
C=
1
4
CAPÍTULO 3. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
0.
Guia de Estudio Algebra Lineal
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
En algunos problemas de ingeniería requerimos que algunos puntos conocidos sean ajustados a una curva (senoidal, exponencial, cuadrática, cúbica, etc). En estos problemas, conocemos los puntos y proponemos el tipo de curva (tipo de ecuación) en la que los puntos conocidos se deben de ajustar. Por ejemplo: Determine la función cuadrática que pasa por los puntos
P1 (1, 3), P2 (−1, 1), P3 (2, 2).
Nos piden que ajustemos a un modelo cuadrático. Es decir:
ax2 + bx + c
evaluamos cada punto dado en el modelo cuadrático. Recuerde que los puntos dados estan
en la forma:
P (x, y)
1. Para el punto
P1 (1, 3):
ax2 + bx + c = y
a(1)2 + b(1) + c = 3
a+b+c=3
2. Para el punto
P2 (−1, 1):
ax2 + bx + c = y
a(−1)2 + b(−1) + c = 1
a−b+c=1
3. Para el punto
P3 (2, 2):
ax2 + bx + c = y
a(2)2 + b(2) + c = 2
4a + 2b + c = 2
Así tenemos el sistema de ecuaciones lineales:
a+b+c=3
a−b+c=1
4a + 2b + c = 2
Verique la solución:
2
a=− ,
3
b = 1,
c=
8
3
En la solución de una ecuación diferencial, algunas veces nos dan condiciones iniciales. Por ejemplo:
yt = C1 e−t + C2 et + C3 e2t ,
Las incógnitas son
en la solución
C1 , C2
y
C3 .
y(0) = 1,
y 0 (0) = 0,
Usamos las condiciones iniciales:
y 00 (0) = −1
y(0) = 1, y 0 (0) = 0, y 00 (0) = −1,
yt :
CAPÍTULO 3.
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
99
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
Guia de Estudio Algebra Lineal
y(t) = C1 e−t + C2 et + C3 e2t
y(t)0 = −C1 e−t + C2 et + 2C3 e2t
y(t)00 = C1 e−t + C2 et + 4C3 e2t
Usamos las condiciones iniciales. Recuerde que
y(0) = 1
signica que cuando
x = 0, y = 1.
para y(0) ⇒ C1 e0 + C2 e0 + C3 e0 = 1
para y 0 (0) ⇒ −C1 e0 + C2 e0 + 2C3 e0 = 0
para y 00 (0) ⇒ C1 e0 + C2 e0 + 4C3 e0 = −1
Considerando que
e0 = 1:
para y(0) ⇒ C1 + C2 + C3 = 1
para y 0 (0) ⇒ −C1 + C2 + 2C3 = 0
para y 00 (0) ⇒ C1 + C2 + 4C3 = −1
El sistema de ecuaciones lineales que se obtiene:
C1 + C2 + C3 = 1
−C1 + C2 + 2C3 = 0
C1 + C2 + 4C3 = −1
Tiene como solución:
1
C1 = ,
6
3
C2 = ,
2
C3 = −
2
3
Existen otras áreas de la Ingeniería, donde aparecen sistemas de ecuaciones lineales. cualquier
método que se emplee, permitirá encontrar la solución. El método de Cramer se recomienda para
sistemas de dos o tres incógnitas. Para sistemas de 4 o más incógnitas, se recomienda el método
de Gauss-Jordan.
100
CAPÍTULO 3.
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Capítulo 4
Espacios Vectoriales
4.1.
Denición de espacio vectorial
Espacio Vectorial real V es un conjunto de vectores, que cumplen dos operaciones: suma
y multiplicación por un escalar. Es decir, que los objetos matemáticos que forman parte de un
Espacio Vectorial son vectores de <2 , <3 y en general <n . Los Espacios Vectoriales cumplen
Un
los siguientes axiomas:
Cerradura bajo la Suma:
Ley asociativa:
Para todo
v1
y
v2 ∈ V ,
v1 , v2
y
v3
Si
Elemento Neutro de la suma:
en
entonces
v1 + v2 ∈ V
V , (v1 + v2 ) + v3 = v1 + (v2 + v3 )
Existe un vector
0 ∈ V
tal que para todo
v1 ∈ V , 0 + v1 =
v1 + 0 = v1
Inverso Aditivo:
Si
Ley conmutativa:
v1 ∈ V ,
Si
v1
y
−v1 ∈ V ,
existe un vector
v2 ∈ V ,
Multiplicación por un escalar:
entonces
Si
v1 ∈ V
tal que
v1 + (−v1 ) = 0
v1 + v2 = v2 + v1
y
Ley distributiva de la suma de vectores:
k
Si
es un escalar, entonces
v1
y
v2 ∈ V
kv1 ∈ V
y
k
es un escalar, entonces
k(v1 +
y
k2
sean escalares, entonces
v1 ∈ V
y
v2 ) = kv1 + kv2
Ley distributiva de la suma de escalares:
Si
v1 ∈ V
y
k1
(k1 +
k2 )v1 = k1 v1 + k2 v1
Ley asociativa de la multiplicación de escalares:
Si
k1 y k2 sean escalares, entonces
k1 (k2 v1 ) = (k1 k2 )v1
Elemento Neutro de la multiplicación de vectores:
Observación: Cualquier
denomina Espacio Vectorial
conjunto
V
Para cada vector
no vacío, que cumple con los axiomas enunciados, se
y sus elementos se llaman vectores. Las matrices y los polinomios
cumplen con estas propiedades, por lo tanto tienen estructura de
Ejemplos de
v1 ∈ V , 1v1 = v1
Espacios Vectoriales
101
Espacio Vectorial.
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
Guia de Estudio Algebra Lineal
1. se tiene un conjunto de vectores
S,
el cual está formado por vectores de la forma:
x
y
x+y
¾Es
S
un espacio vectorial?. Denimos:
x1
u = y1 ,
x1 + y 1
x2
v = y2
x2 + y 2
como dos vectores arbitrarios que pertenecen a
pertenecen al conjunto
y
S,
S.
Observe que todos los vectores que
se caracterizan por tener dos coordenadas independientes
x,
y la tercera coordenada es la suma de las primeras dos.
Probamos si los vectores del conjunto
entonces
S
pueden sumarse; es decir, Si
u
y
v ∈ V,
u+v ∈ V
x1
x2
x1 + x2
x1 + x2
=
y1 + y2
y1 + y2
u + v = y1 + y2 =
x1 + y 1
x2 + y 2
x1 + y 1 + x2 + y 2
(x1 + y1 ) + (x2 + y2 )
La suma de dos vectores cualesquiera da como resultado un vector que pertenece
al conjunto
S
(porque el resultado sigue siendo un vector de dos coordenadas in-
dependientes (x1
+ x2 )
y (y1
+ y2 )
y la tercera coordenada es la suma de las dos
coordenadas independientes)
Probemos la multiplicación por un escalar: Si
v ∈ V
y
k
es un escalar, entonces
kv ∈ V :
x2
kx2
kx2
= ky2
kv = k y2 = ky2
x2 + y2
k(x2 + y2 )
kx2 + ky2
Se sigue respetando la condición de que la tercera coordenada es la suma de las dos
coordenadas independientes
La existencia del vector
kx2
y
ky2
0 es posible dado que la tercera coordenada es 0 y se puede
justicar que es resultado de las dos primeras coordenadas independientes
0
y
0:
0
0 = 0
0
Cumple las tres principales condiciones, podemos concluir que el conjunto
Espacio Vectorial.
102
CAPÍTULO 4.
ESPACIOS VECTORIALES
S
es un
Guia de Estudio Algebra Lineal
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
W,
2. Se tiene un conjunto
cuyos vectores cumplen:
x
y
1
¾Es
W
un Espacio Vectorial?. Denimos dos vectores arbitrarios:
x1
u = y1 ,
1
x2
v = y2
1
Observe que todos los vectores que pertenecen al conjunto
dos coordenadas independientes
x, y
Probamos si los vectores del conjunto
entonces
W , se caracterizan por tener
1.
y la tercera coordenada es
W
pueden sumarse; es decir, Si
u
y
v ∈ W,
u+v ∈ W
x1
x2
x1 + x2
x1 + x2
u + v = y1 + y2 = y1 + y2 = y1 + y2
1
1
1+1
2
La suma de dos vectores cualesquiera da como resultado un vector que
nece al conjunto
S
NO perte-
(porque el resultado nos da como tercer coordenada un valor de
2, lo correcto es que nos diera 1). Basta conque no cumpla un requisito, para determinar que W No es un Espacio Vectorial. Probemos las otras dos condiciones,
para nes de explicación
Probemos la multiplicación por un escalar: Si
u∈W
y
k
es un escalar, entonces
ku ∈ W :
x1
kx1
kx1
ku = k y1 = ky1 = ky1
1
k(1)
k
Este requisito tampoco se cumple. De nuevo, la tercera coordenada no resultó ser
1,
si no
k
La existencia del vector
siempre
0 no es posible, dado que la tercera coordenada debe ser
1.
3. Consideremos el conjunto de matrices de dimensión
Mnxn
m11
m21
= m31
..
.
mn1
m12 m13 · · · m1n
m22 m23 · · · m2n
m32 m33 · · · m3n
,
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
mn2 mn3 · · · mnn
CAPÍTULO 4.
nxn:
m11 , m12 , . . . , mnn ∈ R
ESPACIOS VECTORIALES
103
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
Es un
Guia de Estudio Algebra Lineal
Espacio Vectorial
real, porque es posible sumar dos matrices de
como resultado, otra matriz de
Mnxn .
Cuando multiplicamos una matriz de
un escalar real obtenemos otra matriz de
las propiedades. El vector
4. consideremos el conjunto
Mnxn
Mnxn .
y obtener
Mnxn
por
Se puede comprobar que se cumplen
0, es la matriz de Mnxn con todos sus términos nulos.
M
de todas las matrices de dimensión
M2x2
a b
=
,
c d
2x2:
a, b, c, d ∈ Z
Este conjunto tiene como característica que todos sus elementos son enteros. Al sumar
dos matrices cualesquiera, obtenemos como resultado una matriz que pertenece al con-
M , porque al sumar dos enteros cualesquiera, obtendremos un entero. El problema
es que al multiplicar una de las matrices del conjunto M por un escalar real; entonces
podremos obtener una matriz que no pertenece al conjunto M . Por ejemplo, so k = 1 5,
junto
entonces los elementos de la matriz ya no serán enteros. Por no cumplir este requisito,
podemos armar que El conjunto
5. EL espacio
Es un
M
no forma un
Espacio Vectorial
Rn , conformado por vectores de n coordenadas de la forma [x1 , x2 , x3 , . . . xn ].
Espacio Vectorial Real,
los vectores pueden sumarse y el resultado sigue perte-
Rn .
Si se multiplica un vector cualquiera por un escalar real k , el
n
resultado tambien se mantiene en el Espacio R . Lo que no se puede es multiplicar cualneciendo al espacio
quier vector por un número complejo; porque el resultado ya no pertenecería al Espacio
Rn . Note que el vector 0, ([0, 0, 0, . . . 0]) pertenece al espacio Rn
6. El conjunto
P2
que incluye a los polinomios de primer y segundo grado. Cumple la
suma (al sumar dos polinomios obtenemos de resultado un polinomio que pertenece al
2
conjunto P2 ). Igual la multiplicación de un escalar; y el polinomio 0 es 0x + 0x + 0
7. El conjunto
C
de los números complejos es un
Espacio Vectorial
real. Se pueden sumar
dos números complejos obteniéndose otro número complejo; y se puede multiplicar un
complejo por un escalar real, obteniéndose otro complejo. También existe el número
complejo
4.2.
Sea
0 (0 + 0i)
Denición de subespacio vectorial y sus propiedades
W
un subconjunto no vacío de un Espacio Vectorial
V
y suponga que
W
es en sí un espacio
vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar denidas en
dice que
W
es un Subespacio de
1. Dados dos vectores
u, v
2. Para cualquier vector
3. El vector
u
V:
del subespacio Vectorial
en
V . Entonces se
W
y cualquier escalar
W,
la suma
k ; ku
u+v
está en
también está en
W.
W.
0 que pertenece a V , también está en W
Nota. Todo Espacio Vectorial V tiene dos Subespacios impropios, el primero es el subespacio
formado por el vector 0 y el propio Espacio Vectorial V .
104
CAPÍTULO 4.
ESPACIOS VECTORIALES
Guia de Estudio Algebra Lineal
4.3.
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
Combinación lineal e Independencia lineal
4.3.1. Combinación Lineal
Combinación Lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores
multiplicados por escalares. Sean v1 , v2 , v3 , . . . vn , vectores de un Espacio Vectorial V , un vector v ,
en V es una Combinación Lineal si existen escalares c1 , c2 , c3 , . . . cn que cumplan:
Una
v = c1 v1 + c2 v2 + c3 v3 + · · · + cn vn
(4.1)
Donde:
v
es el vector que se forma al sumar los vectores
los escalares
c1 , c2 , . . . , cn
v1 , v2 , . . . , vn
son vectores
c1 , c2 , . . . , cn
son escalares
Si en la ecuación 4.1, no existe ningun escalar
ci ,
v1 , v2 , . . . , vn ,
que están multiplicados por
entonces no existe una combinación lineal.
Ejemplo: Dados:
1
v1 = −1 ,
0
Verique si
w
2
v2 = 1 ,
2
−1
v3 = 1 ,
1
4
w = 0
2
v1 , v2 y v3 . Utilizamos la
−1
2
1
4
0 = c1 −1 + c2 1 + c3 1
w = c1 v1 + c2 v2 + c3 v3 ⇒
1
2
0
2
4
c1
2c2
−c3
4
c1 + 2c2 − c3
0 = −c1 + c2 + c3 ⇒ 0 = −c1 + c2 + c3
2
0
2c2
c3
2
2c2 + c3
es una combinación Lineal de los vectores
ecuación 4.1
Tenemos el sistema de ecuaciones:
c1 + 2c2 − c3 = 4
−c1 + c2 + c3 = 0
2c2 + c3
= 2
Este es un
⇒
1 2 −1 c1
4
−1 1 1 c2 = 0
0 2 1
c3
2
Sistema de Ecuaciones Lineales no Homogéneo
⇒
Ax = b
y es compatible (mismo número de
ecuaciones que de incógnitas); por lo tanto tiene dos posibles soluciones: Una sola solución o un
w será una Combinación Lineal de los vectores v1 , v2 y v3 si al menos
c3 es diferente de cero. Este sistema se puede resolver por cualquier
número innito de soluciones.
uno de los escalares
c1 , c2
y
método, visto antes. Verique:
CAPÍTULO 4.
ESPACIOS VECTORIALES
105
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
Guia de Estudio Algebra Lineal
−1 −4 3
1 0
det(A) = 3 adj(A) = 1
−2 −2 3
c1
c2 = A−1 b
c3
Para este ejemplo,
c1 =
⇒
2
4
, c2 =
3
3
y
A−1
4
1
−
1
−
3
3
1
1
1
edj(A) =
=
0
3
det(A)
3
2
2
−
−
1
3
3
⇒
x = A−1 b
4
2
1
− 3 − 3 1 4
c1
3
1
1
4
c2 =
0
=
0
3
3
3
c3
2
2
2 2
−
1
−
−
3
3
3
c3 = −
2
.
3
Comprobemos:
1
2
−1
w = c1 −1 + c2 1 + c3 1
0
2
1
⇒
1
2
−1
2 4 2
−1 +
1 −
1
w=
3
3
3
0
2
1
8 2 2 8 2
12
2
+ +
4
3 3 3 3 3 3 3
4 2 2 4 2
=
0
0
=
+
=
w = − 2 +
−
−
+
−
3 3 3 3
3
3
6
8
2
8 2
2
0
−
0+ −
3
3
3
3 3
c1 v1 + c2 v2 + c3 v3 obtenemos w.
de los vectores c1 v1 , c2 v2 y c3 v3 .
Lo que se acaba de demostrar es que al sumar:
un vector que se forma con la combinación lineal
106
CAPÍTULO 4.
ESPACIOS VECTORIALES
Es decir,
w
es
Guia de Estudio Algebra Lineal
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
Verique el resultado de los problemas que se muestran. ¾Es
v3 ?.
Si es así, Determine los coecientes
c1 , c2
w
una combinación lineal de
v1 , v2
,
c3 .
5
= 1 6666666666667
3
1
soln)
c2 = = 0 333333333333
3
1
c3 = − = −0 3333333333333
3
v1 = (1, 1, 0)
a)
y
c1 =
v2 = (1, −1, 1)
,
v3 = (0, 1, 1)
w = (2, 1, 0)
b)
1
v1 =
, 2, 1
2
1
v2 = −3, 1,
3
v3 = (−3, 0, 3)
c1 = 0
soln)
c2 = 0
c3 = −1
w = (3, 0, −3)
CAPÍTULO 4.
ESPACIOS VECTORIALES
107
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
Guia de Estudio Algebra Lineal
4.3.2. Independencia y Dependencia Lineal
v1 , v2 , v3 , . . . vn de un Espacio Vectorial V , son Linealmente Dependientes
c1 , c2 , c3 , . . . cn , no todas iguales a cero; tales que:
Los vectores
constantes
c1 v1 + c2 v2 + c3 v3 + · · · + cn vn = 0
si existen
(4.2)
Linealmente Independientes ; es decir, que si
v1 , v2 , v3 , . . . vn son Linealmente
Independientes. El procedimiento para determinar si los vectores v1 , v2 , v3 , . . . vn son Linealmente
Independientes o Linealmente Dependientes es:
En caso contrario, se dice que
c1 = c2 = c3 = · · · = cn = 0 ,
v1 , v2 , v3 , . . . vn
son
podemos concluir que los vectores
1. Se forma el sistema homogeneo, usando la ecuación 4.2.
2. Se resuelve el Sistema Homogéneo. Si los valores de los escalares
iguales a cero, entonces los vectores
c1 , c2 , c3 , . . . cn
son todas
v1 , v2 , v3 , . . . vn son Linealmente Independientes. Si existe,
al menos, un escalar diferente de cero, entonces los vectores son
Linealmente Dependientes
Ejemplo: ¾Forman los vectores:
v1 = (2, 1, 0),
v2 = (3, 3, 1),
v3 = (1, −1, 0)
Un conjunto Linealmente Dependiente ó Linealmente Independiente?
1. Formamos el sistema homogéneo:
2 3
1
c1
0
1 3 −1 c2 = 0
0 −1 0
c3
0
⇒
2 3
1 | 0
1 3 −1 | 0
0 −1 0 | 0
2. Solucionamos el sistema homogéneo. Se deben emplear transformaciones entre renglones para
obtener la matriz Escalonada reducida. Verique que se realizan las siguientes transformaciones:
1
R1 ⇒ R1
2
3
1
1
| 0
2
2
1 3 −1 | 0
0 −1 0 | 0
−R1 + R2 ⇒ R2
3
1
|
0
1
2
2
3
3
0
−
| 0
2
2
0 −1 0 | 0
108
CAPÍTULO 4.
ESPACIOS VECTORIALES
Guia de Estudio Algebra Lineal
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
2
R2 ⇒ R2
3
1
3
| 0
1
2
2
0 1 −1 | 0
0 −1 0 | 0
R2 + R3 ⇒ R3
3 1
| 0
2 2
0 1 −1 | 0
0 0 −1 | 0
1
3
− R2 + R1 ⇒ R1
2
1 0 2 | 0
0 1 −1 | 0
0 0 −1 | 0
−R3 ⇒ R3
1 0 2 | 0
0 1 −1 | 0
0 0
1
| 0
R3 + R2 ⇒ R2
1 0 2 | 0
0 1 0 | 0
0 0 1 | 0
−2R3 + R1 ⇒ R1
1 0 0 | 0
0 1 0 | 0
0 0 1 | 0
Obtenemos:
1 0 0 | 0
0 1 0 | 0
0 0 1 | 0
⇒
1 0 0 c1
0
0 1 0 c2 = 0
0 0 1 c3
0
En este ejemplo, tenemos a los tres escalares
vectores
v1 , v2
y
v3
son
c1 , c2
Linealmente Independientes
CAPÍTULO 4.
y
c3
⇒
que valen
ESPACIOS VECTORIALES
0.
c1 = 0
c2 = 0
c3 = 0
Esto signica que los
109
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
Guia de Estudio Algebra Lineal
Ejemplo: ¾Forman los vectores:
w1 = (1, 1, −1),
3
w2 = 0, − , 2 ,
2
1
w3 = 2, , 0
2
Un conjunto Linealmente Dependiente ó Linealmente Independiente?
1. Formamos el sistema homogéneo:
1
0
1 −3
2
−1 2
c1
0
1
c2 = 0
2
c3
0
0
2
⇒
1
0
1 −3
2
−1 2
2 | 0
1
| 0
2
0 | 0
2. Solucionamos el sistema homogéneo. Se deben emplear transformaciones entre renglones para
obtener la matriz Escalonada reducida. Verique que se realizan las siguientes transformaciones:
−R1 + R2 ⇒ R2
| 0
3
3
0 −
−
|
0
2
2
−1 2
0 | 0
1
0
2
R2 + R3 ⇒ R3
1 0
2 | 0
0 − 3 − 3 | 0
2
2
0 2
2 | 0
2
− R2 ⇒ R2
3
1 0 2 | 0
0 1 1 | 0
0 2 2 | 0
−2R2 + R3 ⇒ R3
1 0 2 | 0
0 1 1 | 0
0 0 0 | 0
Obtenemos:
1 0 2 | 0
0 1 1 | 0
0 0 0 | 0
110
⇒
CAPÍTULO 4.
1 0 2 c1
0
0 1 1 c2 = 0
0 0 0 c3
0
⇒
ESPACIOS VECTORIALES
c1 + 2c3 = 0
c2 + c3 = 0
0c3 = 0
Guia de Estudio Algebra Lineal
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
c1 = −2c3
c2 = −c3
0=0
c1 = −2c3
c2 = −c3
⇒
En este ejemplo, tenemos que el sistema tiene un número innito de soluciones. Basta con
proponer un valor arbitrario a
c3
para encontrar los valores de
c1
y de
c2 .
Otra forma de
Sistema
Linealmente
expresarlo es que, dado que obtuvimos dos ecuaciones y tenemos tres incógnitas, es un
Homogéneo Indeterminado.
Dependientes
Por lo tanto el sistema de vectores
w1 , w2 , w3
es
Nota: Sabemos que en una matriz, si hay un renglón o columna que es una Combinación Lineal
de otro renglón (o renglones) o de otra columna (o columnas, el determinante de dicha matriz
será 0. Así que es posible, que si tenemos una matriz cuadrada, formada por vectores, bastaría
con calcular el determinante. Si el determinante da
es
0,
concluiríamos que el sistema de vectores
Linealmente Dependiente. Si el determinante de la matriz es diferente de 0, concluimos que el
Linealmente Independiente. Verique que en el primer problema, la matriz tiene un
sistema es
determinante diferente de cero:
0
2 3
1
c1
1 3 −1 c2 = 0
0
0 −1 0
c3
⇒
2 3
1
1 3 −1 = −3
0 −1 0
Que el determinante nos de un valor diferente de cero (en este caso
concluir que el sistema de vectores
v1 , v2 , v3
son
−3),
es suciente para
Linealmente Independientes. Por otra parte, en el
segundo ejemplo, la matriz:
1
0
1 −3
2
−1 2
Al darnos
0
c1
1
c2 = 0
2
0
c3
0
2
⇒
1
0
2
1
−
3
2
2
1 =0
2
0
−1
0 el determinante de la matriz que tiene los vectores w1 , w2 , w3 , podemos concluir que
estos vectores son
Linealmente Dependientes
CAPÍTULO 4.
ESPACIOS VECTORIALES
111
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
Guia de Estudio Algebra Lineal
Determine si el conjunto de vectores dados en
a y b, son linealmente independientes o linealmente
Dependientes.
a) v1 = [4, 6, 1],
b) u1 = [0, −3, 3],
v2 = [1, 3, 4],
v3 = [−1, −2, −2]
u2 = [5, −2, −2],
soln)
son Linealmente Independientes
u3 = [15, −15, 3]
Dependientes
112
CAPÍTULO 4.
ESPACIOS VECTORIALES
soln)
son Linealmente
Guia de Estudio Algebra Lineal
4.4.
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
Base y dimensión de un espacio vectorial, cambio de
base
S = {v1 , v2 , . . . , vn }, en un Espacio Vectorial V forman una base, si
son Linealmente Independientes y si S Genera a V . Para vectores de dos dimensiones las bases son
de 1 vector o dos vectores, no mas. Es decir, un conjunto de vectores de n dimensiones, forman
bases con n o menos vectores, pero no forman bases con mas de n vectores.
Un conjunto de vectores
La
Dimensión de una Base
es el número de vectores que la conforman. Por tanto, la dimensión
es el máximo número de vectores independientes que podemos tener en el espacio o subespacio.
En otras palabras, es el máximo rango que puede tener un conjunto de vectores de dicho espacio.
Es también el rango de cualquier sistema generador de dicho espacio.
Ejemplos de bases:
La Base Canónica de Rn
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
v1 = 0 , v2 = 0 v3 = 0 · · · vn = 0
..
..
..
..
.
.
.
.
0
0
0
1
Este conjunto de vectores son
ferente de
0.
Linealmente Independientes,
Esta base genera a
R
Combinación Lineal
expresar como
n
porque su determinante es din
, porque todo vector (v1 , v2 , v3 , . . . , vn ) ∈ R se puede
de ellos:
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
(v1 , v2 , v3 , . . . , vn ) = v1 0 + v2 0 + v3 0 + · · · + vn 0
..
..
..
..
.
.
.
.
0
0
0
1
Una Base diferente a la canónica. Por ejemplo, para una base en
R3 ,
con vectores:
1
0
2
u1 = 0 , u2 = 1 u3 = 0
1
2
1
Este conjunto de vectores son
rente de
0.
Linealmente Independientes, porque su determinante es dife-
Son sistema generador de
R3 ,
porque cualquier vector
(u1 , u2 , u3 )
se puede poner
como una Combinación Lineal de esta base. Por ejemplo, dado (a,b,c), buscamos
c1 , c2, c3
que satisfagan:
a
1
0
2
b = c1 0 + c2 1 + c3 0
c
1
2
1
CAPÍTULO 4.
⇒
c1 + 2c3 = a
c2 = b
c11 + 2c2 + c3 = c
ESPACIOS VECTORIALES
113
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
Guia de Estudio Algebra Lineal
Este sistema es Compatible, tiene solución para cualesquiera
(a, b, c)
Ejercicios:
1. Determine el valor de
a)
el vector
y para el vector (1, y, 3) ∈ R3 pertenezca al subespacio S = {(1, 2, 3), (1, 1, 1)}
(1, y, 3)
Combinación Lineal
de los vectores
1
1
1
y = c1 2 + c2 1
3
3
1
b)
S = {(1, 2, 3), (1, 1, 1)}
(1, 2, 3), (1, 1, 1); es decir:
pertenece al subespacio
⇒
c1 + c2 = 1
2c1 + c2 = y
3c1 + c2 = 3
⇒
si y solo si
(1, y, 3)
es
1 1
c1
1
2 1 c2 = y
3 1
c3
3
Solucionamos el sistema aumentado:
1 1 | 1
2 1 | y
3 1 | 3
−2R1 + R2 ⇒ R2
1 1 |
1
0 −1 | y − 2
3 1 |
3
−3R1 + R3 ⇒ R3
1 1 |
1
0 −1 | y − 2
0 −2 |
0
−R2 ⇒ R2
1 1 |
1
0 1 | 2 − y
0 −2 |
0
−R2 + R1 ⇒ R1
1 0 | y−1
0 1 | 2 − y
0 −2 |
0
2R2 + R3 ⇒ R3
1 0 | y−1
0 1 | 2 − y
0 0 | 4 − 2y
La expresión
114
0 = 4 − 2y ,
CAPÍTULO 4.
⇒
c1 = y − 1
c2 = 2 − y
0 = 4 − 2y
nos permite conocer el valor de
ESPACIOS VECTORIALES
y.
Despejando en esta
Guia de Estudio Algebra Lineal
expresión:
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
4 = 2y,
y=
4
= 2.
2
Con este valor resolvemos para
c1 = y − 1 c1 = (2) − 1 = 1,
Tenemos:
c1 = 1, c2 , y = 2.
c2 = 2 − y
c1
y
c2 :
c2 = 2 − (2) = 0
Comprobación:
1
1
1
y = c1 2 + c2 1
3
3
1
⇒
1
1
1
2 = (1) 2 + (0) 1
3
3
1
| {z }
⇒
1
1
2 = 2
3
3
=0
y que permite
S = {(1, 2, 3), (1, 1, 1)} es 2
solución: El valor de
4.5.
(1, y, 3) ∈ R3
que el vector
pertenezca al subespacio
Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades
Un producto interno sobre un espacio vectorial
vectores
uyv
V
es una operación que asigna a cada par de
V un número real hu, vi. Un producto interior sobre V es una función que asocia
hu, vi con cada par de vectores u y v cumple las siguientes propiedades:
en
un número real
1.
hu, vi ≥ 0
2.
hu, vi = 0
3.
hu, 0i = h0, vi = 0
4.
hu, v + wi = hu, vi + hu, wi
para todo
u, v
5.
hu + v, wi = hu, wi + hv, wi
para todo
u, v, w
6.
hu, vi = hv, ui
7.
hku, vi = khu, vi
para todo
u, v
que pertenece a
V
y para todo
k
que pertenece a
K
8.
hu, kvi = khu, vi
para todo
u, v
que pertenece a
V
y para todo
k
que pertenece a
K
4.6.
para todo
si y solo si
u, v
que pertenece a
v=0
para todo
para todo
para todo
u, v
u, v
V
u, v
que pertenece a
que pertenece a
V
que pertenece a
que pertenece a
V
V
que pertenece a
V
V
Base ortonormal, proceso de ortonormalización de GramSchmidt
Un conjunto
S = {u1 , u2 , u3 , . . . , un }
en
Rn
es
Ortogonal, si cualesquiera dos vectores distintos
S son Ortogonales, (los vectores que la forman son perpendiculares entre ellos);
ui · uj = 0, para i 6= j . Un conjunto Ortonormal de Vectores es un conjunto Ortogonal
unitarios (vectores cuya norma es 1)
vi · vj = 0 i 6= j
vi · vi = 1 ∀ i
en
CAPÍTULO 4.
ESPACIOS VECTORIALES
es decir, si
de vectores
115
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
Guia de Estudio Algebra Lineal
el proceso de Gram-Schmidt.
proceso de Gram-Schmidt para ortonormalizar un conjunto dado de vectores, que permita
Para Ortonormalizar un conjunto dado de vectores, se emplea
El
T = {w1 , w2 , w3 , . . . , wn },
obtener una base ortonormal
base
S = {u1 , u2 , u3 , . . . , un }
1. Hacer
para un subespacio no nulo
W
de
v1 = u1
vi = ui −
ui · v1
v1 · v1
v1 −
El conjunto de vectores
ui · v2
v2 · v2
wi =
Entonces
v2 , v3 , . . . , vn ,
v2 −
ui · v3
v3 · v3
T ∗ = {v1 , v2 , v3 , . . . , vn }
3. Hacer:
T = {w1 , w2 , w3 , . . . , wn },
1
vi
kvi k
mediante la fórmula:
v3 − · · · −
es un conjunto
ui · vi−1
vi−1 · vi−1
vi−1
Ortogonal
i = 1, 2, 3, . . . n
es una base Ortonormal para
W
Ejemplo: Dados los siguientes vectores:
1
u1 = 1 ,
1
Utilice el proceso de
Gram-Schmidt
−1
u2 = 0 ,
−1
−1
u3 = 2
3
para obtener una base
ortonormal
v1 = u1
1
v1 = 1 ,
1
2. Calcular de manera sucesiva los vectores
calculo de
1
∗
T = 1
1
v2 , v3 , . . . , vn ,
usando la ecuación 4.3.
v2 :
v2 = u2 −
u2 · v1
v1
v1 · v1
−1
1
u2 · v1 = 0 · 1 = (−1)(1) + (0)(1) + (−1)(1) = −1 + 0 − 1 = −2
−1
1
1
1
v1 · v1 = 1 · 1 = (1)(1) + (1)(1) + (1)(1) = 1 + 1 + 1 = 3
1
1
116
con
es el siguiente:
2. Calcular de manera sucesiva los vectores
1. Hacer
Rn ,
CAPÍTULO 4.
ESPACIOS VECTORIALES
(4.3)
Guia de Estudio Algebra Lineal
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
−1
u2 · v1
v2 = u2 −
v1 = 0 −
v1 · v1
−1
1
−
3
2
v2 =
3 ,
1
−
3
Cálculo de
2
−1
3
1
1
−1
−2 2
2
1 = 0 +
1 = 0 +
3
3
3
1
1
−1
2
−1
3
−1
1 3
2
∗
1
T = ,
3
1
1
−
3
v3 :
v3 = u3 −
u3 · v1
u3 · v2
v1 −
v2
v1 · v1
v2 · v2
−1
1
u3 · v1 = 2 · 1 = (−1)(1) + (2)(1) + (3)(1) = −1 + 2 + 3 = 4
3
1
v1 · v1 = 3
−1
−1 3
1
2
2
1
1 4 3
2
= (−1) −
+ (2)
+ (3) −
= + − =
u3 · v2 = 2 ·
3
3
3
3 3 3
3
3
1
3
−
3
1
1
−
−
3 3
2 2
1
1
2
2
1
1
1 4 1
v2 · v2 =
−
+
+ −
−
= + +
3 · 3 = −3
3
3
3
3
3
9 9 9
1 1
−
−
3
3
v2 · v2 =
6
2
=
9
3
1
4
1
−
−
−1
2 3
3 3
−1
1
2 4 2
u3 · v1
u3 · v2
4
= 2 + − + −
v3 = u3 −
v1 −
v2 = 2 − 1 − 3
3 3
2
v1 · v1
v2 · v2
3
3
3
1
1
4 1
3
3
|{z} −
−
=1
3
3
3
CAPÍTULO 4.
ESPACIOS VECTORIALES
117
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
Guia de Estudio Algebra Lineal
4 1
−1 − +
3 3
−2
4 2
v3 = 2 − − = 0
3 3
2
4 1
3− +
3 3
∗
Nota: Verique que T es un conjunto de
v1 · v3 = 0 y v2 · v3 = 0
3. Normalizar la base
1
1 − 3
−2
2
∗
T = 1 , , 0
3
2
1
1
−
3
vectores ortogonales, es decir: v1 · v2 = 0,
T = {v1 , v2 , v3 }:
Normalización de
w1 =
v1
1
v1 ,
kv1 k
kv1 k =
p
(1)2 + (1)2 + (1)2 =
1
√
3
1
1
1
w1 = √ 1 = √
3 1
3
1
√
3
Normalización de
2
3
s r
2 2 r
2
1
1
2
1 4 1
2
kv2 k =
+ + =
−
+
+ −
=
3
3
3
9 9 9
3
√
√
1
3
3
1
1
√
√
√
√
√
√
−
−
−
−
−
3 r 3 3 2
3 3 2
3 2
√ √ √ √ √
2
2 2 3 2 2 3
3
2
=
= √ = √ √ √ = √
3
2 3 3 2 3 3 2
3
√
1 √
1
√ 1√
3
3
−
−
−
− √
−√ √ √
3
3
3 2
3 2
3 3 2
1
1
1
− √
√
− √6
6
3
√
√
1 2
2
w2 = √
T = √ , √
3
3 3
1
1
1
√
−√
−√
3
6
6
Normalización de
w3 =
118
1
√
3
1
T = √
3
1
√
3
v2
1
w2 =
v2 ,
kv2 k
1
w2 = r
√
√
1+1+1= 3
v3
1
v3 ,
kv3 k
kv3 k =
CAPÍTULO 4.
p
√
√
(−2)2 + (0)2 + (2)2 = 4 + 0 + 4 = 8
ESPACIOS VECTORIALES
Guia de Estudio Algebra Lineal
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
2
2
2
2
−p
− √4√2 − 2√2
− √8
(4)(2)
−2
1
0
0 =
0
=
= 0
0 =
w3 = √
8 2
2
2
2
2
p
√
√
√ √
(4)(2)
8
4 2
2 2
1
1
1
1
−√ −√
√
√
−
6
3
√
2
2
1 2
0
0
w3 =
T =
√ ,
√3 ,
3
1 1 1
1
√
√
√
√
−
2
1
2
3
6
T es Ortonormal, los vectores w1 , w2 , w3 son ortogonales; es decir: w1 · w2 = 0,
w1 · w3 = 0 y w2 · w3 = 0 y también, la norma de cada uno de los vectores en T es 1. Es decir:
El conjunto
s
kw1 k =
1
√
3
2
+
v
u
2
u
1
t
kw2 k =
−√
+
6
s
kw3 k =
1
−√
2
1
√
3
2
+
1
√
3
2
r
=
1 1 1
+ + =
3 3 3
r
3 √
= 1=1
3
r
√ !2 2 r
2
1
1 2 1
6 √
√
+ −√
+ + =
= 1=1
=
6 3 6
6
3
6
2
2
+ (0) +
CAPÍTULO 4.
1
√
2
2
r
=
1
1
+0+ =
2
2
ESPACIOS VECTORIALES
r
2 √
= 1=1
2
119
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
120
CAPÍTULO 4.
Guia de Estudio Algebra Lineal
ESPACIOS VECTORIALES
Capítulo 5
Transformaciones lineales
5.1.
Introducción a las transformaciones lineales
Transformación Lineal, es una función que tiene como Dominio y Codominio a una Espacio
Vectorial. Si tenemos dos Espacios Vectoriales V y W , Una función que va de V a W : F : V → W ,
es una regla que toma vectores del Espacio Vectorial V y devuelve vectores del Espacio Vectorial
Una
W.
Denición: Sean V
y
W Espacios Vectoriales. Una Transformación Lineal T : V → W
v en V un único vector L(v) en W tal que:
es una
función que asigna a cada
1.
F (u + v) = F (u) + F (v)
2.
F (ku) = kF (u)
Para todo
Para todo
u
u, v
que pertenecen a
que pertenece a
V,
Para todo
k
V
que pertenece a
R
Para que una Transformación Lineal sea valida, debe cumplir las dos formulas denidas. Una
Transformación Lineal equivale a una Función. Cuando trabajamos con números Reales, usamos
Funciones, al trabajar con vectores, llamamos a esta Función una Transformación Lineal. Esta se
puede ver como un operador que transforma a un vector de un Espacio Vectorial V en otro vector
que pertenece al Espacio Vectorial W .
1. Sea
2
2
f : R →R
denida por:
x
0
f
=
.
y
x
Demostración:
x1
x2
u=
, v =
.
y1
y2
a)
Denimos:
b)
Vericamos si se cumple:
Calculamos
F (u + v) = F (u) + F (v):
F (u + v)
x1
x2
x 1 + x2
u+v =
+
=
y1
y2
y1 + y2
x1 + x 2
0
F (u + v) = F
=
y1 + y2
x1 + x2
121
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
Guia de Estudio Algebra Lineal
F (u) + F (v)
Calculamos
x1
0
x2
0
F (u) = F
=
,
F (v) =
=
y1
x1
y2
x2
0
0
0
F (u) + F (v) =
+
=
x1
x2
x1 + x2
Conclusión: Obtuvimos el mismo resultado. Es decir:
c)
Vericamos si cumple
Calculamos:
F (ku) = kF (u)
F (ku)
x
kx1
ku = k 1 =
y1
ky1
Calculamos:
F (u + v) = F (u) + F (v)
F (ku) = F
kx1
ky1
=
0
kx1
kF (u)
0
0
x1
=k
=
f F (u) = kF
y1
x1
kx1
Conclusión: Obtuvimos el mismo resultado, es decir:
2.
d)
se cumplen las dos formulas:
b)
Vericamos si se cumple:
F (ku) = kF (u)
F (u + v) = F(u) +
F(v) y F (ku) = kF (u). Podemos
x
0
2
2
armar que: f : < → < denida por: f
=
es una Transformación Lineal
y
x
2x
x
2
3
Sea f : R → R denida por: f
= 2y . Verique si es una Transformación Lineal.
y
1
x1
x
a ) Denimos: u = y , v = y 2 .
1
2
Calculamos
F (u + v) = F (u) + F (v):
F (u + v)
x1
x2
x 1 + x2
u+v =
+
=
y1
y2
y1 + y2
2(x1 + x2 )
2x1 + 2x2
x1 + x2
F (u + v) = F
= 2(y1 + y2 ) = 2y1 + 2y2
y1 + y2
1
1
122
CAPÍTULO 5.
TRANSFORMACIONES LINEALES
Guia de Estudio Algebra Lineal
Calculamos
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
F (u) + F (v)
2x1
x1
F (u) = F
= 2y1 ,
y1
1
2x2
x2
F (v) =
= 2y2
y2
1
2x1
2x2
2x1 + 2x2
F (u) + F (v) = 2y1 + 2y2 = 2y1 + 2y2
1
1
2
Conclusión: Obtuvimos un resultado diferente. Note que la tercer coordenada en el
primer cálculo es
1,
mientras que en el segundo cálculo es
condición, podemos decir que
ple que:
2.
Por no cumplir esta
No es una Transformación Lineal. Es decir, no cum-
F (u + v) = F (u) + F (v).
Para nes de aprendizaje, vericamos la segunda
condición
c)
Vericamos si cumple
Calculamos:
F (ku) = kF (u)
F (ku)
kx1
x
ku = k 1 =
ky1
y1
Calculamos:
2kx1
kx1
= 2ky1
F (ku) = F
ky1
1
kF (u)
2x1
2kx1
x1
f F (u) = kF
= k 2y1 = 2ky1
y1
1
k
Conclusión: Tampoco Obtuvimos el mismo resultado, es decir:
F (ku) 6= kF (u)
d ) NO se cumplen ninguna las dos condiciones:
F (u + v) = F (u) + F (v), F (ku) = kF (u)
Podemos armar que:
f : R2 → R3
denida por:
2x
x
f
= 2y
y
1
NO es una Transformación Lineal
CAPÍTULO 5.
TRANSFORMACIONES LINEALES
123
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
Guia de Estudio Algebra Lineal
5.1.1. Propiedades de las Transformaciones Lineales
Transformación Lineal
Si
T :V →W
1.
T (0) = 0
2.
T (−v) = −T (v) ∀ v en V
3.
T (u + v) = T (u) + T (v) ∀ u, v en V
4.
T (a1 v1 + a2 v2 + · · · + an vn = a1 T (v1 ) + a2 T (v2 ) + · · · + an T (vn ) donde ai ∈ k y vi ∈ V
es una
5. Si
S
es un
Subespacio
de
V,
6. Si
P
es un
subespacio
de
W,
5.2.
cumple:
entonces T(S) es un
entonces
T −1 (P )
subespacio
es un
de
W
subespacio
de
V
Núcleo e imagen de una transformación lineal
Nucleo (Kernel)
Transformación Lineal T : V → W ,es el subconjunto de vectores
de V , tales que T (v) = 0w . También se denota como N u(T ), Kernel de T
Si T : V → W , es una Transformación Lineal, entonces, la imagen de T . que se denota imT ,
El
de una
es el conjunto de vectores en
w
está en
imT ,
W
que son imágenes bajo, bajo
si podemos encontrar algún vector
1. Dada la siguiente
v,
tal que
T , de vectores en V .
T (v) = w matriz
Asi, un vector
Transformación Lineal :
x
y
x+y
T =
z
z+w
w
Hallar el
a)
núcleo T (v) = 0w
v . Este vector de entrada (no necesariamente cero), debe
salida sea 0. Utiliando la denición: T (v) = 00
Se busca un vector de entrada
permitir que el vector de
x
y
x
+
y
0
T
z = z + w = 0
w
Como hay
2
ecuaciones con
4
→
x + y = 0
z + w = 0
→
incógnitas. El sistema tiene un número innito de solu-
ciones, por lo tanto:
Sea
y=a
y
w = b.
Entonces
x = −a
y
z = −b.
Por lo tanto:
x
−a
y a
=
z −b
w
b
124
CAPÍTULO 5.
x = −y
z = −w
TRANSFORMACIONES LINEALES
Guia de Estudio Algebra Lineal
2. Dada la siguiente
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
Transformación Lineal :
a1
1 0 1
a1
T a2 = 1 1 2 a2
a3
2 1 3
a3
Hallar una base para la imagen de
a)
Hacemos:
T
imT = 0w
a1
1 0 1
a1
a1 0 a3
0
a2 = a1 a2 2a3 = 0
T a2 = 1 1 2
a3
2 1 3
a3
2a1 a2 3a3
0
→
a1 + a3 = 0
a1 + a2 + 2a3 = 0
2a1 + a2 + 3a3 = 0
La solución del sistema es:
a1 + a3 = 0
a2 + a3 = 0
Sea
→
a1 = −a3
a2 = −a3
→
a3 = k :
a1
−k
a2 = −k
a3
k
5.3.
La matriz de una transformación lineal
x+y
x
2
3
Sea T : < → < | T
= x − y . Buscamos una matriz que al multiplicarla por el vector
y
2y
x+y
x
de entrada
obtengamos el vector de salida: x − y , es decir:
y
2y
x+y
x
[ M atriz desconocida ]
= x − y
y
2y
x
Lo que podemos decir es que el vector de entrada
es de tamaño 2x1 y el vector de salida
y
x+y
x − y , es de tamaño 3x1. Esto signica que tendríamos:
2y
[ M atriz desconocida ]mxn [ V ector de entrada ]2x1 = [ M atriz de salida ]3x1
para que la multiplicación exista se debe cumplir que el número de columnas de la
Transformación
se cumple si
sea igual al número de renglones del vector de entrada
m=3
y
Matriz de
(mxn)(2x1) = 3x1.
Esto
n = 2.
CAPÍTULO 5.
TRANSFORMACIONES LINEALES
125
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
Guia de Estudio Algebra Lineal
− − x+y
− − x = x − y
y
− −
2y
Intuitivamente podemos determinar:
1 1 x+y
1 −1 x = x − y
y
0 2
2y
Con lo cual tendríamos que la
Matriz de Transformación
para este problema es:
1 1
AT = 1 −1
0 2
Hay que destacar que la
de tamaño
Transformación Lineal
es
<2 → <3
y la
Matriz de Transformación
es
3x2.
Ahora supongamos que tenemos una
Transformación Lineal :
x
3x
−
y
3
2
T : < → < | T y =
2z
z
| {z }
| {z }
2x1
3x1
Matriz de Transformación
La
<2 .
debe ser de
2x3,
dado que la
Transformación Lineal
es de
<3 →
x
3x
−
y
AT y =
|{z}
2z
z
2x3
Intuitivamente resolvemos:
x
3 −1 0
3x − y
y =
2z
0 0 2
z
T : V → W,
Transformación Lineal
Espacio Vectorial V
de dimensión n,
S = {v1 , v2 , . . . , vn } y
P = {w1 , w2 , . . . , wm }, bases de V y W , respectivamente. Entonces, la matriz A de mxn, cuya
j-ésima columna es el vector de coordenadas T [(vj )]P de T (vj ), con respecto a P ,está asociado con
T y tiene la siguiente propiedad: Si x está en vj , entonces [T (x)]P = A[x]S .
Sea T : V → W una Transformación Lineal con:
Si
en un
es una
Espacio Vectorial W
dim(V ) = n,
dim(W ) = m,
de dimensión
de un
m (n 6= 0
m 6= 0)
S = {v1 , v2 , . . . , vn }Base de V,
El procedimiento para calcular la matriz de una
respecto a las bases
y
S = {v1 , v2 , . . . , vn }
y
y sean
P = {w1 , w2 , . . . , wm }Base de W
Transformación Lineal T : V → W ,
P = {w1 , w2 , . . . , wm }.Para V
y
W
el siguiente:
126
CAPÍTULO 5.
TRANSFORMACIONES LINEALES
con
respectivamente, es
Guia de Estudio Algebra Lineal
1. Calculamos
T (vj )
para
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
j = 1, 2, . . . n.
T [(vj )]P
2. Determinamos el vector de coordenadas
signica que debemos expresar
3. La matriz
AT
con respecto a
S
T (vj )
y
P
como una
de
T (vj ),
con respecto a la base
Combinación Lineal
se forma al elegir
T [(vj )]P
P.
de los vectores en
Esto
P.
como la j-ésima columna de
A
Ejemplo:
1. Determine La
y
Matriz de Transformación con respecto a S y P , para las bases S = {v1 , v2 , v3 }
P = {w1 , w2 }.
Sean:
x
x
+
y
T y =
,
y−z
z
Note que
a)
1
v1 = 0 ,
1
0
v2 = 1 ,
1
calculamos las
1
−1
T (v1 ) = c1
+c2
2
1
c)
0
1
T (v2 ) = T 1 =
,
0
1
−1
w2 =
1
1
2
T (v3 ) = T 1 =
,
0
1
T (vj ) = c1 w1 + c2 w2 :
1
−1
T (v2 ) = c1
+c2
2
1
1
−1
T (v3 ) = c1
+c2
2
1
1
1
−1
= c1
+c2
0
2
1
2
1
−1
= c1
+c2
0
2
1
1
1
−1
= c1
+c2
−1
2
1
Formamos las matrices :
d)
Transformaciones Lineales T (vj :
formamos las combinaciones lineales
1
w1 =
,
2
n = 3 (j = 1, 2, 3).
1
1
T (v1 ) = T 0 =
,
−1
1
b)
1
v3 = 1 ,
1
1 −1 c1
1
=
,
2 1
c2
−1
1 −1 c1
1
=
,
2 1
c2
0
1 −1 c1
2
=
2 1
c2
0
Solucionamos esta matriz usando Gauss-Jordan
"
1 −1
2
1
.
.
.
.
.
.
1
#
1 2
−1 0 0
(Verique el resultado):
1 0
0 1
CAPÍTULO 5.
.
.
.
.
.
.
2
1
3
3
2
4
−1 −
−
3
3
0
TRANSFORMACIONES LINEALES
127
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
Guia de Estudio Algebra Lineal
Por lo tanto:
(AT )SP
5.4.
2
1
0
3
3
=
2
4
−1 −
−
3
3
Aplicación de las transformaciones lineales: reexión, dilatación, contracción y rotación
5.4.1. Reexión
Esta Transformación permite reejar a un vector con respecto a un eje.
x
−x
L(u) = L
=
y
y
{z
}
|
Rotacin con respect al eje x
x
x
L(u) = L
=
y
−y
{z
}
|
Rotacin con respect al eje y
Figura 5.1: Reexiones
La matriz asociada a esta
Transformación Lineal
−1 0
AT =
0 1
|
{z
}
Rotacin en x
es:
1 0
AT =
0 −1
|
{z
}
Rotacin en y
5.4.2. Dilatación
Esta
Transformación Lineal
dilata o aumenta a un vector.
L(u) = ku
128
CAPÍTULO 5.
k>1
TRANSFORMACIONES LINEALES
Guia de Estudio Algebra Lineal
M. I. Tadeo Urbina Gamboa
Figura 5.2: Dilatación
k 0
AT =
0 k
5.4.3. Contracción
Esta
vector.
Transformación Lineal
es la misma que la anterior, solo que
k
se utiliza para contraer al
k < 1.
5.4.4. Rotación
Dado un vector
v
de coordenadas
en sentido antihorario un ángulo
θ,
v1
v2
y dada la
Transformación Lineal T
que rota el espacio
la matriz asociada es:
cos θ − sin θ
AT =
sin θ cos θ
Figura 5.3: Rotación
CAPÍTULO 5.
TRANSFORMACIONES LINEALES
129
