Ejercicio 1
Sea la función
𝒶[2𝑥 − 1] , 𝑠𝑖 𝓍 ∈ [−1,3〉
𝓍√𝑏 − 𝓍 , 𝑠𝑖 𝓍 ∈ [3,5〉
𝑓(𝑥) =
12 , 𝑠𝑖 𝓍 = 3
Hallar los valores de a y b de modo que 𝑓 sea continua en 𝓍 = 3
SOLUCION
Como 𝓍 = 3 ∈ Dom (𝑓) es un punto de acumulación, aplicamos las condiciones de continuidad en este punto.
i.
ii.
𝑓(3) = 12 , existe por definición
Para calcular el lim 𝑓(𝑥) examinaremos los limites laterales:
𝑥→3
lim 𝑓(𝑥) = lim 𝒶[2𝓍 − 1] = 𝒶[6 − 1] = 𝒶[5 −] = 4𝒶
𝑥→−3
𝑥→−3
lim 𝑓(𝑥) = lim (𝓍√𝑏 − 𝓍 ) = 3√𝑏 − 3
𝑥→+3
𝑥→+3
𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 lim = 𝑓(𝑥) ⟺ 4𝒶 = 3√𝑏 − 3
𝑥→3
iii.
Para que 𝑓 sea continua en 𝓍 = 3 se debe cumplir que: lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(3)
𝑥→−3
Luego, 4𝒶 = 3√𝑏 − 3 = 12 , 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝒶 = 3 𝑦 𝑏 = 19
Ejercicio 2
Sea la función
𝑥 3 − 𝑥 2 − 4𝑥 + 4
, 𝑠𝑖 𝑥 < −2
𝑥+2
𝑓(𝑥) =
𝒶𝑥 2 − 2𝑏𝑥 + 1 , 𝑠𝑖 − 2 ≤ 𝑥
≤2
𝑥 2 −13𝑥+22
𝑥−2
, 𝑠𝑖 𝑥 >2
Hallar a y b de manera que la función sea continua en todo su dominio
SOLUCION
Analizaremos la <continuidad de la función en los puntos de acumulación 𝓍 = −2 y 𝓍 = 2
1. Continuidad en 𝓍 = −2
i.
𝑓(−2) = 𝒶(−22 ) − 2𝑏(−2) + 1 = 4𝒶 + 4𝑏 + 1
𝑥3 −𝑥2 −4𝑥 +4
lim − 𝑓(𝑥) = lim − (
𝑥→−2
lim
ii.
𝑥→−2+
𝑥→−2
𝑥+2
(𝓍+2)(𝓍−2)(𝓍+1)
𝓍+2
𝑥→−2
2
) = lim −
= (−4)(-1)=4
𝑓(𝑥) = lim +(𝒶𝓍 2 − 2𝑏𝓍 + 1) = 𝒶(−1) − 2𝑏(−2) + 1 = 4𝒶 + 4𝑏 + 1
𝑥→−2
Existe lim 𝑓(𝑥) ⟺ 4 = 4𝒶 + 4𝑏 + 1 ⟹ 4𝒶 + 4𝑏 = 3
iii.
𝑥→−2
2. Continuidad en 𝓍 = 2
i.
𝑓(2) = 𝒶(2)2 − 2𝑏(2) + 1 = 4𝒶 − 4𝑏 + 1
ii.
lim− 𝑓(𝑥) = lim −(𝒶𝓍 2 − 2𝑏𝓍 + 1) = 4𝒶 − 4𝑏 + 1
𝑥→2
𝑥→−2
𝓍 2 − 13𝓍 + 22
lim (𝓍 − 2)(𝓍 − 11)
= 2 − 11 = −9
) =𝓍→2+
𝓍→2
𝓍→2
𝓍−2
𝓍−2
Existe lim 𝑓(𝑥) ⟺ 4𝒶 − 4𝑏 + 1 = 9 ⟹ 4𝒶 − 4𝑏 = −10
lim+ 𝑓(𝓍) = lim+ (
iii.
𝑥→2
La solución común del sistema a= -7/8 y b=13/8
Ejercicio 3
𝑓(𝓍) =
𝓍 2 + 2𝓍
2𝓍 2 + 3𝓍 − 2
Lo primero que tenemos que hacer es simplificar la expresión de la función. Para
ello, factorizamos los polinomios del numerador y del denominador.
Numerador
𝓍 2 + 2𝓍 = 𝓍(𝓍 + 2)
Denominador
2𝓍 2 + 3𝓍 − 2 = 0
𝓍=
−3 ± √9 + 16
4
𝓍=
−3 ± √25
4
𝓍=
−3 ± 5
=
4
Por lo tanto
= 2𝓍 2 + 3𝓍 – 2
-2
1/2
1
= 2(𝓍 + 2)(𝓍 − )
2
Con lo que podemos escribir la función como
𝓍 2 + 2𝓍
𝑓(𝓍) = 2
2𝓍 + 3𝓍 − 2
𝓍(𝓍 + 2)
1
2(𝓍 + 2)(𝓍 − 2)
𝓍
1
2(𝓍 − 2)
Esto nos permite simplificar la expresión de la función y, podemos observar que,
de este modo, para x=−2x=−2 el denominador no se anula.
El dominio es el conjunto de los reales excepto 1/2:
Dom(f)=R−{1/2} Dom(f)=R−{1/2}
La función es continua en todo su dominio por ser racional.
Problema 4
Si el Dom (𝑓)=ℝ y 𝑓(𝓍)=𝓍[𝓍] hallar el conjunto A={𝑛 ∈ ℤ /𝑓 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑛}
Dado que el Dom (𝑓)=ℝ, 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝓍 ∈ Dom (𝑓) es un punto de acumulación. Luego,𝓍 =
𝑛 ∈
ℤ ℝ 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑦 𝑠𝑖 𝑓 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑛, 𝑠𝑒 𝑑𝑏𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒: lim 𝑓(𝑥) =
𝑥→𝑛
𝑓(𝑛)
Entonces redefinamos 𝑓 𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑥 = 𝑛
Si [𝑥] = 𝑛 − 1 ⟺ 𝑛 − 1 ≤ 𝑥 < 𝑛, 𝑦 𝑠𝑖 [𝑥] = 𝑛 ⟺ 𝑛 ≤ 𝑥 < 𝑛 + 1
(n – 1)x, si n – 1 ≤x< 𝑛
⟺ 𝑓(𝑥) = 𝑥[𝑥] =
nx , si n ≤ 𝑥 < 𝑛 + 1
Los limites laterales en x=n deben coincidir, esto es
lim 𝑓(𝑥) = (𝑛 − 1)𝑛 = 𝑛2 − 𝑛𝑦 lim+𝑓(𝑥) = 𝑛. 𝑛 = 𝑛2
𝑥→𝑛
𝑥→𝑛−
Entonces, si : 𝑛2 − 𝑛 = 𝑛2 ⟺ 𝑛 = 0. 𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜, 𝑓 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑛 = 0
A={0]
Problema 5
Los denominadores se anulan cuando x=±1x=±1. El negativo anula el
denominador de la primera fracción y el positivo anula el de la segunda. Por tanto,
el dominio es
Dom(f)=R−{−1,1}Dom(f)=R−{−1,1}
Calculamos los limites laterales en x=0x=0:
lim𝑓 (𝑥) =
𝑥2
=0
𝑥2 − 1
lim𝑓 (𝑥) =
𝑥
=0
𝑥2 − 1
𝑥→0−
𝑥→0+
Los límites coinciden y, además, coinciden con f(0)f(0).
Por tanto, la función es continua en R−{−1,1}R−{−1,1}.
