EJERCICIO 3

Problema 01
Muestre que la suma de las funciones de onda Ψ1 = Aeikx−ωt y Ψ2 = Be−ikx−ωt
es solución de la ecuación de Schrodinger para una partı́cula de masa m en un
potencial V = V0 , y obtenga la relación entre k y ω.
Solución
Como el potencial V = V0 es constante usamos la ecuación de Schrodinger
independiente del tiempo
−
−
h̄2 d2
ψ(x) + V0 ψ(x) = Eψ(x)
2m dx2
h̄2 d2
Aeikx−ωt + Be−ikx−ωt +V0 Aeikx−ωt + Be−ikx−ωt = E Aeikx−ωt + Be−ikx−ωt
2
2m dx
Evaluando primera derivada
−
h̄2 d
ikAeikx−ωt − ikBe−ikx−ωt +V0 Aeikx−ωt + Be−ikx−ωt = E Aeikx−ωt + Be−ikx−ωt
2m dx
Evaluando segunda derivada
−
h̄2 2
2
(ik) Aeikx−ωt + (−ik) Be−ikx−ωt +V0 Aeikx−ωt + Be−ikx−ωt = E Aeikx−ωt + Be−ikx−ωt
2m
−
h̄2 (ik)
2m
2
Aeikx−ωt + Be−ikx−ωt +V0 Aeikx−ωt + Be−ikx−ωt = E Aeikx−ωt + Be−ikx−ωt
h̄2 k 2
+ V0
2m
Aeikx−ωt + Be−ikx−ωt = E Aeikx−ωt + Be−ikx−ωt
h̄2 k 2
+ V0 (Ψ1 + Ψ2 ) = E (Ψ1 + Ψ2 )
2m
Por tanto la suma de Ψ1 + Ψ2 es solución de la ecuación de Schrodinger con
E=
h̄2 k 2
+ V0
2m
Problema 02
Calcule la diferencia de las energı́as, en eV, de los dos estados de menor energı́a
de un electrón en un pozo de potencial infinito de ancho: a) L = 30 Å; b) L = 1
cm.
1
Solución
Los niveles de energı́a para una partı́cula en un pozo infinito es
En =
π 2 h̄2 n2
2mL2
Estados de menor energı́a
Estado fundamental n = 1 (estado con la menor energı́a)
π 2 h̄2 12
π 2 h̄2
=
2mL2
2mL2
Primer estado excitado n = 2 (estado con mayor energı́a que el fundamental,
pero mas próximo)
E1 =
π 2 h̄2 22
π 2 h̄2
=
4
= 4E1
2mL2
2mL2
Diferencia de energı́a entre los estados de menor energı́a
E2 =
∆E = E2 − E1 = 4E1 − E1 = 3E1
∆E = 3
π 2 h̄2
2mL2
a) L = 30Å
∆E = 3
a
a
a
π 2 h̄2
18
= 2 =
2 = 9 × 10
2mL2
L
(30 × 10−10 )
b) L = 1cm
π 2 h̄2
a
a
4
= 2 =
2 = a × 10
2
2mL
L
(1 × 10−2 )
2
π 2 1.054571818 × 10−34
π 2 h̄2
a=3
=3
2m
2(9, 1 × 10−31 )
∆E = 3
Problema 03
Considere un electrón en un pozo de potencial infinito de ancho L, en el primer
estado excitado. Calcule: a) El valor esperado de la posición x del electrón; b)
La desviación cuadrática media de la posición, ∆x2 = h(x − hxi)2 i; c) El valor
esperado del momentum px ; d) La desviación cuadrática media del momentum;
e) El producto de las incertidumbres de x y px .
2
Solución
r
nπ π 2 h̄2 n2
2
En =
,
ψ
(x)
=
sen
x
n
2mL2
L
L
en el primer estado excitado n = 2
r
2π 2 h̄2
2
2π
, ψ2 (x) =
E2 =
sen
x
mL2
L
L
a) El valor esperado de la posición x del electrón
Z +∞
< x >=
ψ ∗ (x)xψ(x)dx
−∞
Z
0
Z
ψ ∗ (x)xψ(x)dx +
< x >=
−∞
Z
L
ψ ∗ (x)xψ(x)dx +
Z
0
Z
∗
(0) x (0) dx +
−∞
L
ψ ∗ (x)xψ(x)dx +
Z
0
Z
L
r
< x >=
0
2
sen
L
ψ ∗ (x)xψ(x)dx
L
0
< x >=
+∞
+∞
∗
(0) x (0) dx
L
2π
x
L
!∗
r
x
L
2
sen
L
2π
x
L
!
dx
2π
x dx
xsen
L
0
!
Z
1 − cos 4π
2 L
L x
< x >=
x
dx
L 0
2
1 L2
L
4π
4π
< x >=
−
sen
L − sen
0
L 2
4π
L
L
Z
2
< x >=
L
2
< x >=
L
2
b) desviación cuadrática media
∆x2 = h(x − hxi)2 i
2
Z
+∞
ψ ∗ (x)(x − hxi)2 ψ(x)dx
∆x =
−∞
Z
0
L
∆x =
(0) (x− )2 (0) dx+
2
−∞
2
∗
Z
0
L
L
ψ (x)(x− )2 ψ(x)dx+
2
∗
3
Z
+∞
L
L
∗
(0) (x− )2 (0) dx
2
r
L
Z
2
∆x =
0
2
sen
L
2
∆x =
L
2
∆x2 =
L
Z
0
2π
x
L
!∗
r
L
(x − )2
2
L2
x − xL +
4
2
2
sen
L
4π
L x
1 − cos
2
2π
x
L
!
dx
!
dx
Z L2
1 L3
L2
L2
1 L
4π
x2 − xL +
−L
+
L −
cos
x dx
L 3
2
4
L 0
4
L
∆x2 =
L2
12
c) valor esperado de px
+inf
Z
ψ ∗ (x)px ψ(x)dx
< px >=
−inf
0
Z
< px >=
L
Z
∗
(0) px (0) dx +
0
r
L
< px >=
0
Z
< px >=
0
L
2
sen
L
r
2
sen
L
2π
x
L
+∞
ψ (x)px ψ(x)dx +
−∞
Z
Z
∗
L
!∗ 2π
x
L
L
∗
(0) px (0) dx
d
−ih̄
dx
!
r
r
(−ih̄)
2 2π
cos
L L
4π
L2
Z
2π
x
L
2π
x
L
sen
< px >= 0
d) desviación cuadrática media
∆p2 = h(p − hpi)2 i
∆p2 =
Z
+inf
ψ ∗ (x)(p − hpi)2 ψ(x)dx
−inf
4
!
dx
!
2π
2π
x cos
x
dx
L
L
0
4π L
2π
2π
2
2
< px >= (−ih̄) 2
sen
L − sen
0
L 2π
L
L
< px >= (−ih̄)
2
sen
L
dx
∆p2 =
0
Z
Z
∗
(0) (p−hpi)2 (0) dx+
−∞
2
L
Z
∆p =
0
r
2
sen
L
2π
x
L
Z
2
∆p = (−ih̄)
L
Z
2
ψ ∗ (x)(p−hpi)2 ψ(x)dx+
Z
0
2
∆p = (−ih̄)
L
2
L
2
2
!∗ +∞
∗
(0) (p−hpi)2 (0) dx
L
d
−ih̄
dx
r
!
2
d
2π
dx
−ih̄
sen
x
dx
L
L
L
2π
d
2π
2π
sen
x
cos
x
dx
L
dx
L
L
L
0
sen
0
2π
x
L
−
2π
L
2
sen
2π
x
L
!
dx
!
2 Z L
1 − cos 4π
x
2
2πh̄
L
∆p =
dx
L
L 0
2
2 1
4π
4π
2πh̄
L
L−
sen
L − sen
0
∆p2 =
L
L
4π
L
L
2
2πh̄
∆p2 =
L
2
e) producto de incertidumbres
√
∆x∆p =
∆x2 ∗
p
∆p2
L
2πh̄
πh̄
∆x∆p = √ ∗
=√
L
12
3
Problema 04
La parte espacial de la función de onda para una partı́cula de masa m dentro
de un potencial escalón
V0 si x ≥ 0
V (x) =
0
si x < 0
con k12 =
2mE
2m(V0 − E)
y k22 =
es dado por
h̄2
h̄2
Ae−k2 x
ψ(x) =
ik1 x
Be
+ Ce−ik1 x
si x ≥ 0
si x < 0
Usando las condiciones de continuidad calcule las razones A/B y C/B
5
Solución
Continuidad de la funcion de onda
ψx<0 (0) = ψx>0 (0)
Beik1 (0) + Ce−ik1 (0) = Ae−k2 (0)
B+C =A
(1)
Continuidad de la derivada de la funcion de onda
d
d
ψx<0 (0) =
ψx>0 (0)
dx
dx
d
d
Beik1 x + Ce−ik1 x x=0 =
Ae−k2 x x=0
dx
dx
ik1 Beik1 0 − ik1 Ce−ik1 0 = −k2 Ae−k2 0
ik1 (B − C) = k2 A
B−C =
k2
A
ik1
(2)
Sumamos (1) y (2)
2B =
1+
k2
ik1
A
A
2ik1
=
B
ik1 + k2
Problema 05
Calcule las energı́as en eV, de los estados del átomo de hidrógeno con n = 1, 2
y 3 y obtenga las frecuencias en Hz, de todas las transiciones posibles.
Solución
Problema 06
Muestre que la longitud de onda (en angstrom) del fotón absorbido, o emitido,
en una transición entre los niveles n1 y n2 de un átomo de hidrógeno es
λ(Å) =
911n21 n22
n22 − n21
6
Solución
Problema 07
Calcular hxi y hx2 i cuando n = 1 para un oscilador armónico cuántico con
niveles de energı́a En = h̄ω n + 21 y estados cuánticos permitidos:
r
ψn (x) =
r
mω 1/4
mωx2
1
mω
·
exp
−
·
·
H
x
n
2n n!
πh̄
2h̄
h̄
Hn (x) = (−1)n ex
2
dn −x2
e
dxn
Solución
Problema 08
La parte espacial de la función de onda para una partı́cula de masa m dentro
de un potencial cuadrado es
(
0
si 0 ≤ x ≤ a
V (x) =
V0 si x < 0 ∨ x > a
con k12 =
2m(V0 − E)
2mE
y k22 =
es dado
2
h̄
h̄2

k1 x

Ae
ψ(x) = Beik2 x + Ce−ik2 x

 −k1 x
De
por
si x < 0
si 0 ≤ x ≤ a
si x > a
Usando las condiciones determine una ecuación que permita calcular los niveles
de energı́a.
Solución
7