Pendulo simple Simple pendulum

4​ ​de​ ​septiembre​ ​del​ ​2017
Fundamentos​ ​de​ ​mecánica​ ​básica
Péndulo​ ​simple
Simple​ ​pendulum
Angie​ ​Carolina​ ​Cuervo​ ​Sánchez​1​,​ ​Ana​ ​María​ ​Florián​ ​Pulido​1​,​ ​Laura​ ​Gineth​ ​Forero
Roncancio​1​,​ ​Nicolas​ ​Gomez​ ​Chavez​1​,​ ​Karen​ ​Andrea​ ​Malagon​ ​Rodriguez​1​,​ ​Yesica​ ​Daniela
Roa​1​,​ ​Dairon​ ​Fernando​ ​Tellez​ ​Ruiz​1​,Andres​ ​Rodolfo​ ​Barrera​ ​Gastelbondo​1
1​ ​
Facultad​ ​de​ ​Ciencias​ ​Agrarias.​ ​Universidad​ ​Nacional​ ​De​ ​Colombia​ ​sede​ ​Bogotá.
Resumen.
En este practica de laboratorio se realizó la simulación de un péndulo simple con el objetivo
de determinar la aceleración de la gravedad y su incertidumbre, a través de los datos
obtenidos​ ​en​ ​la​ ​simulación.
En esta se hizo el montaje de un péndulo simple a través de una cuerda, una pesa, graduador y
la base para péndulos, el cual nos permitió obtener mediante los siguientes instrumentos regla
y cronómetro, datos como el tiempo en que se completan 10 oscilaciones y la longitud del
péndulo, teniendo en cuenta las incertidumbres de cada instrumento, estos datos fueron
organizados en tablas y después utilizados en realización de gráficas que expresan el tiempo
en función de la longitud del péndulo, además del cálculo de la aceleración de la gravedad y
su​ ​incertidumbre.
Palabras​ ​clave:​ ​gravedad,​ ​péndulo,​ ​periodo,​ ​oscilación,​ ​incertidumbre,​ ​experimento.
Abstract
In this laboratory practice the simulation of a simple pendulum was carried out with the
objective of determining the acceleration of gravity and its uncertainty, through the data
obtained​ ​in​ ​the​ ​simulation.
In this one was made the assembly of a simple pendulum through a rope, a weight, a grader
and the base for pendulums, which allowed us to obtain through the following instruments
rule and timer, data as the time in which 10 oscillations are completed and the length of the
pendulum, taking into account the uncertainties of each instrument, these data were organized
into tables and then used in the realization of graphs expressing the time as a function of the
length of the pendulum, in addition to calculating the acceleration of gravity and its
uncertainty.
keywords
gravity,​ ​pendulum,​ ​period,​ ​oscillation,​ ​uncertainty,​ ​experiment.
1. Marco​ ​Teórico
1.1. Segunda ley de Newton (péndulo
simple)[1]
Se define el péndulo simple como una
masa​ ​que​ ​pende​ ​de​ ​un​ ​hilo​ ​inextensible.
La simetría de la situación física exige
utilizar un sistema de coordenadas cuyos
ejes tengan las direcciones de la
aceleración tangencial y de la aceleración
centrípeta de la masa. Aplicando la
segunda​ ​ley​ ​de​ ​Newton​ ​se​ ​obtiene:
+↑ ΣF normal = man ⇒ T − mgcosθ = m(θ) 2
​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​(1)
+→ ΣF tangencial = mat ⇒− mgsenθ = mθl
​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​(2)
En estas ecuaciones T corresponde a la
tensión en la cuerda, g es la aceleración
de la gravedad, m es la masa pendular, θ
es la posición (elongación) angular en la
primera ecuación, y en la segunda
ecuación es aceleración angular, y l es la
longitud​ ​pendular.
De​ ​la​ ​ecuación​ ​2​ ​se​ ​concluye​ ​:
θ + gl senθ = 0 ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​(3)
Es decir para pequeñas oscilaciones el
movimiento pendular es armónico. La
frecuencia​ ​angular​ ​propia​ ​del​ ​sistema​ ​es
w=
√
g
l
​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​(4)
1.2. Determinación de la aceleración de
la​ ​gravedad​ ​experimentalmente
El periodo del movimiento armónico de un
péndulo simple está determinado por la
siguiente​ ​ecuación:
​ ​ ​ ​ ​ ​ ​(5)
Dónde:
L:​ ​longitud​ ​del​ ​péndulo.
g:​ ​aceleración​ ​de​ ​la​ ​gravedad.
T:​ ​periodo​ ​del​ ​movimiento.
Para conocer el valor local de la
aceleración
de
la
gravedad
experimentalmente, se hace mediante un
péndulo simple, el cual, debe presentar
oscilaciones
de
pequeña amplitud
(menores a 10°) y así el periodo del
péndulo será independiente del valor de la
masa suspendida, además, mientras las
amplitudes no sean excesivas el periodo
(T) se mantendrá prácticamente constante
con el tiempo, es decir, el tiempo de ida y
vuelta es prácticamente el mismo en la
primera oscilación que en la decimoquinta
[2] y coincidirá o se cumplira la ecuación
(5)​ ​mostrada​ ​anteriormente.
1.2.1.​ ​Linealización​ ​o​ ​regresión​ ​lineal​ ​de
la​ ​aceleración​ ​de​ ​la​ ​gravedad​ ​[3]
Al obtener los resultados del periodo del
movimiento del péndulo según su longitud
no se obtendrá una tendencia totalmente
lineal, es por ello que se recurre al método
de regresión lineal, y acomodar los datos
de tal forma que se puedan asemejar a una
línea para así poder hacer fácil análisis de
los​ ​datos.
Para obtener la linealización de la
ecuación de la aceleración de la gravedad
se eleva al cuadrado ambas partes de la
igualdad​ ​obteniendo​ ​lo​ ​siguiente:
​ ​ ​ ​ ​ ​ ​(6)
En donde el período al cuadrado es
directamente proporcional a la longitud del
péndulo, obteniendo así una relación
lineal. La pendiente de tal recta es la
constante de proporcionalidad entre T​2 y ℓ
teniendo en cuenta la ecuación (6) y la
pendiente​ ​sería​ ​igual​ ​a:
​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​(7)
Para saber si la línea obtenida se ajusta
adecuadamente a los datos se halla el
coeficiente de determinación, el cual es
denominado R​2​, si este valor es cercano a
1 entonces se dice que la recta se ajusta
bien a los datos. Esta linealización y
coeficiente de determinación puede ser
hallado fácilmente por medio de un
programa​ ​de​ ​computadora​ ​llamado​ ​Excel.
Δf est
√
2
2
∂f
∂f
( ∂x
) Δx2 est + ( ∂y
) Δx2 est ​ ​(9)
1.3. Aceleración de la gravedad de
diferentes​ ​ciudades​ ​de​ ​Colombia
El instituto Geográfico Agustín Codazzi ha
determinado la aceleración de la gravedad
de varias ciudades y las reportó en el libro
Valores tomados del libro Gravimetría
1998​, en la tabla siguiente se muestra
aquellos​ ​resultados​ ​en​ ​gales​ ​(cm/s​2​)[3]:
Tabla1. ​Valores de la aceleración de la
gravedad de varias ciudades de Colombia
(IGAC)
1.2.2. Cálculo de la incertidumbre de la
aceleración de la gravedad; propagación
de​ ​errores.​ ​[3]
La incertidumbre de la medida es el valor
de la semi amplitud de intervalo alrededor
del​ ​valor​ ​resultante​ ​de​ ​la​ ​medida.
En este caso se habla de incertidumbre
estadística, y se calculará usando la
expresión:
Δb =
√
1
n−1
n
2
∑ (b − bi )
i=1
donde​ ​ n es​ ​el​ ​número​ ​de​ ​datos
La propagación de la incertidumbre
estadística​ ​se​ ​da​ ​de​ ​la​ ​siguiente​ ​manera:
Si x y y son las variables con
incertidumbres estadísticas Δxest y Δy est ,
la​ ​incertidumbre​ ​en​ ​ f (x, y ) se​ ​calcula​ ​así:
2. Resultados
Gráfica​ ​1.​ ​ ​f(x)​ ​=​ ​x​ ​y​ ​f(x)​ ​=​ ​sen​ ​x,​ ​donde​ ​en
ángulos​ ​pequeños​ ​sen​ ​( θ ) ≈ θ .
Tabla 1. ​Tiempo y período de diferentes
longitudes de cuerda al hacer 10
oscilaciones.
Longitud
(cm)
Tiempo
​ ​(s)
Periodo
T​​ ​( s )
35,0
11,57
1,16
30,0
10,59
1,06
25,0
9,85
0,99
20,0
8,75
0,88
15,0
7,61
0,76
10,0
6,22
0,62
5,0
4,06
0,41
15,0
0,58
0,04
4, 9 × 10−5
10,0
0,38
0,042
1, 0 × 10−6
5,0
0,17
-
-
b = 0,039
Δb = 0,0068
Gráfica​ ​3.​ ​Linealización.
Gráfica​ ​2.​ ​Periodo​ ​en​ ​función​ ​de​ ​la
longitud.
2.1.​ ​Cálculos
● Período
T (l) =
Tabla​ ​2.​ ​Linealización​ ​del​ ​periodo​ ​en
función​ ​de​ ​la​ ​longitud.
2
T iempo
N ° de oscilaciones
T (35 cm) =
11,57
10
= 1, 16 s
T (30 cm) =
10,59
10
= 1, 06 s
T (25 cm) =
9,85
10
= 0, 99 s
T (20 cm) =
8,75
10
= 0, 88 s
T (15 cm) =
7,61
10
= 0, 76 s
T (10 cm) =
6,22
10
= 0, 62 s
Longitud
(cm)
T2
( s2 )
bi
( s2 /cm)
( b − bi )
35,0
1,35
0,046
4, 9 × 10−5
30,0
1,12
0,028
1, 21 × 10−4
● Media
25,0
0,98
0,042
9, 0 × 10−6
b=
20,0
0,77
0,038
1, 0 × 10−6
T (5 cm) =
4,06
10
= 0, 41 s
0,046+0,028+0,042+0,038+0,04+0,042
6
= 0, 039
● Incertidumbre​ ​de​ ​la​ ​aceleración​ ​de​ ​la
gravedad
Δb=
√
1
5
Σ (b − bi )2 = 0, 01
● Gravedad
ba ojo =
Δy
Δx
ba ojo =
4π 2
g
4π 2
0,038
​ ​ ​g =
​ ​entonces,​​ ​ g =
4π 2
ba ojo
= 1.038, 90 ± 0, 01 cm/s2
Gravedad​ ​teórica
​ ​g =
4π 2
0,039
2
= 1.012, 27 ± 0, 01 cm/s
● Diferencia
porcentual
entre
g a ojo y​ ​ g IGAC
dif % =
1.038,90 −977,374
977,374
x 100 = 6, 29%
que la proyección de la tendencia de
puntos​ ​es​ ​una​ ​raíz​ ​cuadrada.
Por otra parte, en la tabla 2. se muestra la
linealización de los datos de la gráfica 3;
además se halla el valor de la pendiente
para cada par de puntos (​b​i)​ y se calcula la
media,
permitiendo
estimar
la
incertidumbre de la pendiente apreciable
en la determinación de la gravedad por
propagación​ ​de​ ​errores.
Como resultado final se obtuvo
experimentalmente una aceleración de la
gravedad de 1.038,90 ± 0,01 cm/s​2​, lo cual
si lo comparamos con los datos
proporcionados por el IGAC el valor tiene
un porcentaje de diferencia de 6,29%; esto
se debe al error al medir las longitudes al
punto de masa del péndulo, además de las
mediciones del tiempo de oscilación o de
variaciones​ ​en​ ​los​ ​ángulos​ ​de​ ​inicio.
3. Discusión
4. Conclusiones
Por medio de un péndulo simple se halló el
periodo de oscilación de una cuerpo de
masa X disminuyendo la longitud de a 5
centímetros cada 10 oscilaciones, a partir
de los datos obtenidos en los diferentes
experimentos y con la ayuda de las
gráficas
realizadas
se
determinó
experimentalmente la aceleración de la
gravedad​ ​y​ ​su​ ​incertidumbre.
Lo que se puede concluir de esta práctica
es que los resultados obtenidos de la
aceleración de la gravedad se encuentran
por encima de los datos teóricos, todo esto
pueden estar ocasionados por la
incertidumbre
de los instrumentos
utilizados y habilidad de los operadores en
la​ ​ ​medición​ ​del​ ​tiempo​ ​y​ ​demás.
En la tabla 1 se evidencia el cambio del
periodo con respecto a la variación de la
longitud, en este se demuestra que a mayor
longitud del péndulo mayor el periodo de
oscilación ya que estos se acercan a ser
directamente
proporcionales.
Adicionalmente, en la gráfica 2 se muestra
5. Referencias
[1]​ ​Aristizabal,​ ​D,​ ​Restrepo​ ​R.​ ​Notas​ ​sobre
fundamentos​ ​de​ ​oscilaciones​ ​mecanicas,
Universidad​ ​Nacional​ ​de​ ​Colombia​ ​Sede
Medellin,
[WEB]​http://ludifisica.medellin.unal.edu.c
o/recursos/fisica_basica/laboratorio/fisica_
ondas/pendulo_simple.pdf​,​ ​(ultimo​ ​acceso
2​ ​de​ ​septiembre,​ ​2017)
[2] Ibañez, Jose. Fisica: curso de
orientación universitaria. Universidad de
Murcia.​ ​Madrid,1989.​ ​pg​ ​17,141.
[3] Cristancho, Fernando. Fundamentos de
Física
Experimental
y
Mecánica:
Cuaderno
de
bitácora,
gráficas,
introducción al análisis de datos. Bogotá,
2008.​ ​49,​ ​57​ ​p.