Universidad Abierta y a Distancia de México Licenciatura en Enseñanza de las Matemáticas Estudiante: Hugo Alfredo Benítez Hernández Matricula: ES1822024923 División: Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología (DCEIT). Asignatura: Cálculo y elementos de análisis Grupo: EM-EMCEA-1902-B1-002 Nombre del docente: Silvia Guadalupe López Alonzo Nombre del asesor: Unidad 0. Cuestionario Diagnóstico Dirección del correo institucional: [email protected] 15 de julio de 2019 Evaluación inicial del módulo 3 1. ¿Cuáles son los matemáticos que históricamente participaron en el desarrollo del cálculo, y cuál es la aportación de cada uno? Personaje Arquímedes de Siracusa (212 a.c.- 287 a.c.) Aportación Fue uno de los matemáticos más grandes de la antigüedad. pues uso el método de exhaución para calcular el área bajo el arco de una parábola con la sumatoria de una serie infinita. Dio una de las estimaciones más acercadas del número Pi. Definió la espiral que lleva su nombre, fórmulas para los volúmenes de las superficies de revolución y un maravilloso sistema para expresar números de barias cifras. El mayor genio matemático de la antigüedad. Galileo Galilei (1564 – 1642) Fue un astrónomo, matemático y físico italiano. Calculo el espacio en base a la aceleración con la formula e=1/2 a.t2, verdadera integración del concepto diferencial. Astrónomo y matemático alemán. No hizo aportación específica al cálculo; estableció algunas de las bases para desarrollar el área matemática. Desarrolló un sistema matemático infinitesimal precursor del cálculo. Johannes Kepler (1571-1630) Autor: Hugo Alfredo Benítez Hernández 2 En el área de las Matemáticas, la contribución más notable que hizo Descartes fue la sistematización de la Geometría Analítica. Fue el primer matemático que intentó clasificar las curvas conforme al tipo de ecuaciones que las producen. Fue también el responsable de la utilización de las últimas letras del abecedario para designar cantidades desconocidas y las primeras para las conocidas. Rene Descartes (1596-1650) La principal aportación de Descartes al cálculo fue el intento de unificar la antigua geometría con el álgebra. Junto con su paisano Pierre Fermat, inventó lo que hoy en día conocemos como la Geometría Analítica, que es donde se sientan las bases para el desarrollo del cálculo. Cofundador de la teoría probabilidades junto con Blaise Pascal e independientemente de Descartes. Descubrió el principio fundamental de la geometría analítica. sin embargo, es más conocido por sus aportaciones a la teoría de números. Conocido sobre todo por el "último teorema de Fermat, que preocupo a los matemáticos durante 350 años. Fermat (1601-1665) B. Pascal (1623-1662) Pascal tuvo una aportación al cálculo muy concreta: la invención de la roulette o cicloide, que se define como la curva plana descrita por un punto de una circunferencia cuando esta rueda sobre una línea recta. Su descubrimiento fue registrado y descrito detalladamente en sus obras Traité générale de la roulette (Tratado general de la ruleta) y Dimension des lignes combes de toutes les roulettes (Dimensión de líneas curvas en todas las ruletas) que le fueron comunicadas a Huygliens, junto con otros muchos tratados de geometría que involucran algunos otros conceptos del cálculo. Con su descubrimiento del cicloide Pascal preludiaría el cálculo integral. Autor: Hugo Alfredo Benítez Hernández 3 Fue el primero en calcular las tangentes en la curva de Kappa. Inicio en cierta manera el cálculo moderno. Isaac Barrow (1630-1677) Isaac Newton (1642-1727) Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) La primera obra de Newton fue sobre el cálculo De analyse per aequationes numero terminorum infinitas donde se contempla una foto de la portada de su primera edición donde además admiramos el cálculo del área bajo la parábola x m/n usando el teorema fundamental del cálculo mediante primitivas. La segunda obra de Newton sobre el cálculo fue escrita dos años más tarde en 1671 pero esperaría hasta 1737 para ver la luz se trata de De methodis serierum et fluxionum. En ella Newton describe sus conceptos de fluente -es una variable en función del tiempo- y fluxión de la fluente -la derivada respecto al tiempo de la fluente- como entidades propias, con unas reglas algorítmicas de fácil uso que luego usará para resolver distintos problemas de máximos y mínimos, tangentes, cuadraturas -en relación a este último, estableció el ya mencionado Teorema fundamental del cálculo-. Leibnitz, más conocido como filósofo, fue el otro inventor del cálculo. Su descubrimiento fue posterior al de Newton, aunque Leibnitz fue el primero en publicar el invento. En 1673, luego de estudiar los tratados de Pascal, Leibnitz se convence que los problemas inversos de tangentes y los de cuadraturas eran equivalentes. Autor: Hugo Alfredo Benítez Hernández 4 L´Hopital (1661 – 1704) La regla para calcular las formas indeterminadas funcionales y que se formula así: Sean dos funciones f(x) y g(x) continuas y derivables en un intervalo I que ambas tienden a cero (o a infinito) cuando la variable x tiende a Xo, si el cociente de las derivadas f´(x)/g´(x) tiene un límite A cuando x tiende a Xo entonces: El limite cuando X tiende a Xo de f(x) entre g(x) es igual al A. Posiblemente lo más notable fue la introducción del concepto de función matemática, [1] siendo el primero en escribir f(x) para hacer referencia a la función f aplicada sobre el argumento x. Esta nueva forma de notación ofrecía más comodidad frente a los rudimentarios métodos del cálculo infinitesimal existentes hasta la fecha, iniciados por Newton. Leonhard Euler (1707-1783) Agnesi, María Cayetana (1718-1779) La curva de Agnesi o también llamada Versiera, es el lugar geométrico de puntos M y es obtenida a partir de una circunferencia, su ecuación es: 𝒀𝒀 = 𝒂𝒂𝒂𝒂 / 𝒂𝒂𝒂𝒂 + 𝒙𝒙𝒙𝒙 Es una curva racional de tercer orden con el eje de las x como asíntota y su sólido por revolución generado es igual al cuádruple del área del círculo, dónde a es igual al diámetro de la circunferencia. Sus aportaciones al cálculo son variadas, se pueden mencionar en el siguiente orden: • Ecuación diferencial de LaGrange • Ecuaciones del movimiento de LaGrange. • Fórmula de la interpolación de LaGrange. • Identidad de LaGrange. • Multiplicadores de LaGrange Autor: Hugo Alfredo Benítez Hernández 5 LaGrange (1736-1813) Carl Friedrich Gauss (1777-1855) A. Cauchy (1789-1857) • Principio de LaGrange. Una de las mayores aportaciones al cálculo integral que realizó Gauss, fue la introducción de esta función, conocida más comúnmente como la Campana de Gauss. Esta distribución es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadísticas. Su propio nombre indica su extendida utilización, justificada por la frecuencia o normalidad con la que ciertos fenómenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribución. Muchas variables aleatorias continuas presentan una función de densidad cuya gráfica tiene forma de campana. En 1811, Cauchy resolvió el problema de Poinsot, generalización del teorema de Euler sobre los poliedros. Un año más tarde, publicaría una memoria sobre el cálculo de las funciones simétricas y el número de valores que una función puede adquirir cuando se permutan de todas las maneras posibles las cantidades que encierra. Citado como el «padre del análisis moderno», Weierstrass dio las definiciones actuales de continuidad, límite y derivada de una función, que siguen vigentes hoy en día. Esto le permitió demostrar un conjunto de teoremas que estaban entonces sin demostrar como el teorema del valor medio, el teorema de Bolzano-Weierstrass y el teorema de Heine-Borel. Karl Weierstrass (1815-1897) También realizó aportes en convergencia de series, en teoría de funciones periódicas, funciones elípticas, convergencia de productos infinitos, cálculo de variaciones, análisis complejo, etc. Autor: Hugo Alfredo Benítez Hernández 6 Riemann, Bernhard (1826-1866) La tesis con la cual se doctoró en 1857, Fundamentos de una teoría general de las funciones de una variable compleja, es de trascendental importancia para el cálculo, pues en tal Memoria se señala como una función viene definida por sus puntos singulares y valores en los límites. Sus Memorias sobre representación de una función por serie trigonométrica y sobre funciones abelianas (publicada esta última en el Journal de Crelle), son también de importancia considerable. Su método de Integración de ecuaciones diferenciales es de gran relevancia, sobre todo por las aplicaciones cotidianas que tiene, como lo es la hidrodinámica. Fue un reconocido matemático el cual se dedicó a los estudios del cálculo vectorial, pero como él se dedicó con mayor dedicación a la física, las herramientas para resolver problemas de cálculo vectorial es su aportación al cálculo. Gibbs (1839-1903) Realizó trabajos sobre las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Kovalevski, Sofía Vasilievna (1850 – 1891) Autor: Hugo Alfredo Benítez Hernández 7 Lebesgue es fundamentalmente conocido por sus aportes a la teoría de la medida y de la integral. Lebesgue realizó importantes contribuciones a la teoría de la medida en 1901 Su principal aportación al cálculo fueros sus estudios meticulosos de las integrales. Su obra principal corresponde a la formulación de su teoría de la medida que dio paso a la definición de la integral que Henri Léon Lebesgue lleva su nombre y que impulsó la ciencia matemática analítica del siglo XX. (1875-1941) 2. ¿Cuál es el tipo de situaciones en donde el cálculo nos resulta de utilidad? El cálculo es usado en cada rama de las ciencias físicas y de informática, estadística, ingeniería, economía, negocios, medicina, demografía y en otras áreas donde un problema pueda ser modelado matemáticamente y una solución óptima sea deseada. Por tanto, las situaciones en donde el cálculo nos resulta de utilidad son difíciles de contar porque toda la matemática moderna, de una u otra forma, ha recibido su influencia; y las diferentes partes del andamiaje matemático interactúan constantemente con las ciencias naturales y la tecnología moderna. Algunas situaciones son las siguientes: En la medicina: Es usado para encontrar el ángulo de ramificación óptimo de vaso sanguíneo para maximizar el flujo. En la química: Se usa el cálculo para determinar los ritmos de las reacciones y el decaimiento radioactivo. En la física: Se hace un particular uso del cálculo; todos los conceptos en la mecánica clásica están interrelacionado a través del cálculo. La masa de un objeto de conocida densidad, el momento de inercia de los objetos, así como la energía total de un objeto dentro de un campo conservativo pueden ser encontrados por el uso del cálculo. En los subcampos de electricidad y magnetismo, el cálculo puede ser usado para encontrar el flujo total de los campos electromagnéticos. Autor: Hugo Alfredo Benítez Hernández 8 En la estadística: Para cálculo de probabilidades, existen funciones de distribución de probabilidad y también funciones de densidad de probabilidad. Estas funciones son útiles para calcular seguros de vida, daños, tasas de interés, etc., de manera resumida, cualquier tipo de riesgo que se comporte de forma continua en el tiempo. En las ciencias exactas: En temas como la velocidad de una partícula en un momento determinado, la pendiente de la recta tangente a una gráfica en un punto dado de ésta. En la ingeniería: Se puede crear un modelo de ecuaciones diferenciales para proponer un modelo de crecimiento poblacional, crecimiento de activos de empresas, comportamiento de partes mecánicas de un automóvil, entre otras. En la geometría analítica: el estudio de los gráficos de funciones, el cálculo es usado para encontrar puntos máximos y mínimos, la tangente, así también como para determinar la concavidad y los puntos de inflexión. En la administración y economía: Sirve para procesos estocásticos, que son modelos muy avanzados. También se aplica para maximizar o minimizar cosas, como el reducir costos en una empresa que se dedica a empacar productos 𝑿𝑿, pero se descubre que se puede seguir empacando la misma cantidad de 𝑿𝑿 con cajas más pequeñas, por ejemplo. Para el análisis de regresión, series de tiempo, etc. La regresión y las series de tiempo son modelos predictivos. Por ejemplo, se puede crear un modelo matemático para predecir que una empresa 𝒀𝒀 va a vender 𝑷𝑷 pesos si gasta 𝑮𝑮 pesos en publicidad. El cálculo permite determinar el beneficio máximo por medio del costo marginal y del ingreso marginal. En la informática y computación: En la fabricación de chips (obleas de microprocesadores); miniaturización de componentes internos; administración de las compuertas de los circuitos integrados; compresión y digitalización de imágenes, sonidos y videos; investigación sobre inteligencias artificiales; en simulaciones donde se emulan comportamientos de sistemas mediante la resolución de sistemas de ecuaciones. En la actualidad, el cálculo en su sentido más general, en tanto que cálculo lógico interpretado matemáticamente como sistema binario, y físicamente hecho material mediante la lógica de circuitos electrónicos, ha adquirido una dimensión y desarrollo impresionante por la potencia de cálculo conseguida por los ordenadores, propiamente máquinas computadoras. La capacidad y velocidad de Autor: Hugo Alfredo Benítez Hernández 9 cálculo de estas máquinas hace lo que humanamente sería imposible: millones de operaciones por segundo. El cálculo así utilizado se convierte en un instrumento fundamental de la investigación científica por las posibilidades que ofrece para la modelización de las teorías científicas, adquiriendo especial relevancia en ello el cálculo numérico. Como se ha expuesto, el cálculo se puede aplicar en la economía, la administración, la física, etc. Los principales elementos que se utilizan esta rama de las matemáticas son las funciones, las derivadas, los sistemas de ecuaciones, la pendiente, entre otros; que estos a su vez en conjunto ayudan a realizar grandes cálculos en importantes empresas, o simples operaciones en la economía familiar. De esta forma, se puede mencionar que las principales aplicaciones del cálculo son: • • • El estudio de movimientos, aspectos de velocidad, y aceleración Análisis de ecuaciones con binomios. El cálculo de máximos y mínimos. Por ejemplo: En una agencia de viajes, o en una empresa, saber cuál es la mayor ganancia que se puede obtener en cierto período, o con cierto producto, pero a la vez, igualmente calcular, si existen pérdidas en estos productos, o en un lapso. Si se aplica de manera correcta el cálculo diferencial, se podrán obtener estos resultados, sin ningún problema. 3. ¿Cuáles son los principales conceptos matemáticos que se estudian en el cálculo? • AXIOMA: Es una premisa que, por considerarse evidente, se acepta sin demostración, como punto de partida para demostrar otras fórmulas. • BASES DE LOGARITMOS: Entre los logaritmos más utilizados se encuentra el logaritmo natural, cuya base es e, base 10 (logaritmo común), base 2 (logaritmo binario), o en base indefinida (logaritmo indefinido). La elección de un determinado número como base de los logaritmos no es crucial, ya que todos son proporcionales entre sí. Es útil la siguiente fórmula que define al logaritmo de 𝒙𝒙 en base 𝒃𝒃 (suponiendo que 𝒃𝒃, 𝒙𝒙, y 𝒌𝒌 son números reales positivos y que tanto 𝒃𝒃 como 𝒌𝒌 son diferentes de 1): Autor: Hugo Alfredo Benítez Hernández 10 En la que 𝒌𝒌 es cualquier base válida. Si hacemos 𝒌𝒌 = 𝒙𝒙, obtendremos: El logaritmo más ampliamente utilizado es el natural, ya que tiene multitud de aplicaciones en física, matemáticas, ingeniería y en ciencias en general. También es bastante utilizado el logaritmo decimal, que se indica como , en ciencias que hacen uso de las matemáticas, como la química en la medida de la acidez (denominada pH) y en física en magnitudes como la medida de la luminosidad (candela), de intensidad de sonido (dB), de la energía de un terremoto (escala sismológica de Richter), etc. En informática se usa el logaritmo en base 2 la mayoría de las veces. • CÁLCULO DIFERENCIAL: Es una parte del análisis matemático que consiste en el estudio de cómo cambian las funciones cuando sus variables cambian. El principal objeto de estudio en el cálculo diferencial es la derivada. • CÁLCULO INFINITESIMAL: Rama del cálculo matemático en el que intervienen derivadas o integrales o ambas a la vez. • CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES: • COCIENTE DE NEWTON: Razón promedio de cambio de una función f(x) respecto al cambio que experimenta su variable independiente. Δf(x)/ Δx Autor: Hugo Alfredo Benítez Hernández 11 • CONCAVIDADES DE UNA CURVA: Característica de una curva en el entorno de un punto en el que la tangente no la atraviesa. Se dice que dicha curva, en el punto dado, presenta una concavidad hacia el lado donde no se encuentra la tangente. Concavidad es un concepto geométrico relacionado con el doblez de la gráfica de una función. La concavidad se toma positiva si el doblez es hacia arriba y negativa si el doblez es hacia abajo, en esto caso se le llama convexidad. CONDICIONES NECESARIAS Y SUFICIENTES PARA DETERMINAR LOS VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN: Si x es un punto en el que f'(x) = 0, se toma un número h suficientemente pequeño y se calculan los valores f(x + h) y f(x - h): a) Si los dos son menores que f(x), hay un máximo en x. b) Si ambos son mayores que f(x), en x hay un mínimo. c) Si uno de ellos es mayor que f(x) y el otro menor, no hay extremo. • • CONSTANTE: Valor que no varía en una expresión o en cálculo, como puede ser un dato de un problema. • CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN: Intuitivamente se puede decir que una función es continua cuando en su gráfica no aparecen saltos o cuando el trazo de la gráfica no tiene “huecos”. • COROLARIO: Es un término que se utiliza en matemáticas y en lógica para designar la evidencia de un teorema o de una definición ya demostrados, sin necesidad de invertir esfuerzo adicional en su demostración. En pocas palabras, es una consecuencia tan evidente que no necesita demostración. • DERIVADA DE UNA FUNCIÓN: La derivada de una función es el límite del cociente o razón entre el incremento de dicha función menos la función original y el incremento de la variable independiente cuando este tiende a cero. • DERIVADA TOTAL DE UNA FUNCIÓN: Derivada de una función continua, de dos o más variables, con respecto a un solo parámetro, que se puede expresar en términos de una serie de derivadas parciales. Autor: Hugo Alfredo Benítez Hernández 12 • DERIVADAS SUCESIVAS DE UNA FUNCIÓN: Son las funciones que se obtienen como resultado de la derivación continua de una función, con respecto a una variable dada. • DIFERENCIAL: El diferencial es un objeto matemático que representa la parte principal del cambio en la linealización de una función 𝒚𝒚 = ƒ(𝒙𝒙) con respecto a cambios en la variable independiente. El diferencial 𝒅𝒅𝒅𝒅 queda definido por la expresión donde 𝒇𝒇′(𝒙𝒙) es la derivada de f con respecto a 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 donde 𝒅𝒅𝒅𝒅 es una variable real adicional (de manera que 𝒅𝒅𝒅𝒅 es una función de dos variables 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 𝒅𝒅𝒙𝒙). La notación es tal que la expresión donde la derivada es representada en la notación 𝒅𝒅𝒅𝒅/𝒅𝒅𝒅𝒅, se mantiene, 𝒚𝒚 es consistente con respecto a la derivada como el cociente de diferenciales. Así se puede escribir • DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN: Es una magnitud finita para cada incremento Dx, y al mismo tiempo proporcional a Dx. La otra propiedad fundamental de la diferencial, el carácter de su diferencia respecto a Dy, sólo puede reconocerse 'en movimiento', por así decirlo: si consideramos un incremento Dx que se aproxima a cero (que sea un infinitésimo), entonces la diferencia entre dy e Dy será tan pequeña como se desee incluso comparada con Dx. • EJE NUMÉRICO: Un gráfico de eje numérico es un diagrama de barras, de líneas o de área que utiliza un campo numérico o un campo de fecha/hora. Los gráficos de eje numérico proporcionan un medio para aplicar una escala a los valores del eje X, creándose de este modo un eje X numérico verdadero o un ejemplo X de fecha/hora verdadera. • FACTORIZACIÓN: Es expresar un objeto o número (por ejemplo, un número compuesto, una matriz o un polinomio como productos de otros objetos más pequeños (factores). Autor: Hugo Alfredo Benítez Hernández 13 • FORMAS INDETERMINADAS: Se llama forma indeterminada a una expresión algebraica que involucra límites del tipo: . • FUNCIÓN DE FUNCIÓN O FUNCIÓN COMPUESTA: Una función compuesta es una función que está formada por la composición de dos funciones, es decir, la función resultante de aplicar a x una función en primer lugar y a continuación a este resultado le aplicamos una nueva función. La forma en que denotamos la función compuesta es un pequeño círculo entre las dos funciones o g(f(x)), que quiere decir que en primer lugar se aplica la función f, y al resultado la función g. • FUNCIÓN EXPONENCIAL: Función real de la forma f(x)=ax, donde a es un número real mayor que cero y distinto de I (a>0 y a ≠ I). • FUNCIONES CRECIENTES: Es aquella cuyos valores en un intervalo determinado se incrementan, f(x1) < f(x2). En la gráfica nos movemos hacia la derecha y también nos movemos hacia arriba. • FUNCIONES DECRECIENTES: Es aquella cuyos valores en un intervalo determinado disminuyen, f(x1) > f(x2). En la gráfica nos movemos hacia la derecha y también nos movemos hacia abajo. • FUNCIONES INVERSAS: Dada una función f(x), su inversa es otra función, designada por f-1(x), de forma que se verifica: Si f(a) = b, entonces f-1(b) = a Pasos a seguir para determinar la función inversa de una dada: 1.- Despejar la variable independiente x. 2.- Intercambiar la x por la y, y la y por la x. 3.- La función así obtenida es la inversa de la función dada. • FUNCIONES LOGARÍTMICAS: Una función logarítmica es aquella que genéricamente se expresa como f (x) = loga x, siendo a la base de esta función, que ha de ser positiva y distinta de 1. La función logarítmica es la inversa de la función exponencial, dado que: loga x = b ab = x. Autor: Hugo Alfredo Benítez Hernández 14 Propiedades de la función logarítmica Las propiedades generales de la función logarítmica se deducen a partir de las de su inversa, la función exponencial. Así, se tiene que: I.- La función logarítmica sólo existe para valores de x positivos, sin incluir el cero. Por tanto, su dominio es el intervalo (0,+¥). II.- Las imágenes obtenidas de la aplicación de una función logarítmica corresponden a cualquier elemento del conjunto de los números reales, luego el recorrido de esta función es R. III.- En el punto x = 1, la función logarítmica se anula, ya que loga 1 = 0, en cualquier base. IV.- La función logarítmica de la base es siempre igual a 1. V.- Finalmente, la función logarítmica es continua, y es creciente para a > 1 y decreciente para a < 1. • FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS: Una función trigonométrica, también llamada circular, es aquella que se define por la aplicación de una razón trigonométrica a los distintos valores de la variable independiente, que ha de estar expresada en radianes. Existen seis clases de funciones trigonométricas: seno y su inversa, la cosecante; coseno y su inversa, la secante; y tangente y su inversa, la cotangente. Para cada una de ellas pueden también definirse funciones circulares inversas: arco seno, arco coseno, etcétera. • FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS: Se llaman funciones trigonométricas inversas a las que anulan la acción de las funciones trigonométricas. A cada función trigonométrica le corresponde una función inversa, según la relación siguiente: La función inversa del seno es arco seno, simbolizada por f (x) == arcsen x. La función inversa del coseno es arco coseno, expresada por f (x) == arccos x. La función inversa de la tangente es arco tangente, denotada por f (x) == arctg x. • IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS: Son expresiones matemáticas que frecuentan para las funciones trigonométricas que se cumplen con todos los valores del argumento. • INCREMENTO DE UNA FUNCIÓN: Sea f(x) una función donde x una es variable independiente, el incremento de la variable x es Δx, entonces la función incrementada es f(x + Δx) entonces el incremento de la función es... Δf(x) = f(x + Δx) - f(x) • INCREMENTO DE UNA VARIABLE: Cuando una variable x cambia de un valor x 1 a un valor mayor x 2, se dice que se ha incrementado. En matemáticas se utiliza el símbolo ∆ para representar el Autor: Hugo Alfredo Benítez Hernández 15 cambio de una variable. Este símbolo ∆ es la letra delta mayúscula del alfabeto griego. • INFINITO: Cantidad sin límite o final. • INFINITESIMO O INFINITESIMAL: Sucesión convergente que tiene por límite cero. • INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN: Cuando h tiende a 0, el punto Q tiende a confundirse con el P. Entonces la recta secante tiende a ser la recta tangente a la función f(x) en P, y por tanto el ángulo α tiende a ser β. • LEYES DE LOS EXPONENTES. A la operación matemática que representa, en forma abreviada, la multiplicación de factores iguales se le llama potenciación. Así se tiene que: ... El producto de potencias con la misma base (distinta de cero) es igual a la base elevada a la suma de los exponentes. Autor: Hugo Alfredo Benítez Hernández 16 Fisimat (2018) • LIMITE DE UNA FUNCIÓN: El límite de una función f(x), cuando x tiende a c es L si y sólo si para todo existe un tal que para todo número real x en el dominio de la función . • LIMITE DE UNA VARIABLE: Sea H una variable independiente cualquiera y K una constante, L,KER, si dentro de un intervalo la variable H adquiere valores cada vez mayores, de izquierda a derecha, de tal manera que cada vez se acerca más al valor de K sin llegar jamás a ser igual a K, de tal manera que la diferencia K-H siempre es mayor Que cero, entonces se dice que la constante K es el límite de la variable H. • LOGARITMO DE UN NÚMERO: El logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número. Se lee “logaritmo de x en base a es igual a y”, pero debe cumplir con la condición general de que a (la base) sea mayor que cero y a la vez distinta de uno: Autor: Hugo Alfredo Benítez Hernández 17 Para aclarar el concepto, podríamos decir que logaritmo es sólo otra forma de expresar la potenciación, como en este ejemplo: Que leeremos: logaritmo de 9 en base 3 es igual a 2 Esto significa que una potencia se puede expresar como logaritmo y un logaritmo se puede expresar como potencia. • NUMERO DE EULER: Son una secuencia En de números enteros definidos por el siguiente desarrollo de la serie de Taylor: Donde t es el ángulo del coseno hiperbólico. Los números de Euler aparecen como un valor especial en los polinomios de Euler. Algunos matemáticos alteran los desarrollos para así poder evitar los ceros derivados de los valores impares y para convertir todos los valores en números positivos. • PENDIENTE DE UNA RECTA: La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas. • PRODUCTOS NOTABLES: Son los que se rigen por reglas fijas y cuyo resultado puede hallarse por simple inspección sus denominados también "identidades algebraicas" son aquellos productos cuyo resultado es clásico y por esto se le conoce fácilmente. • PUNTOS DE INFLEXIÓN: El punto que, en una función continua, separa la parte convexa de la cóncava, se llama punto de inflexión de la función. En ellos la función no es cóncava ni convexa sino que hay cambio de concavidad a convexidad o al revés. • PUNTOS ESTACIONARIOS O VALORES CRÍTICOS DE UNA FUNCIÓN: Sea f una función, recibe el nombre de valores críticos del dominio de f, aquellos en los que es igual a cero o en los que no existe. • RAZÓN ARITMÉTICA: La razón aritmética de dos cantidades es la diferencia (o resta) de dichas cantidades. La razón aritmética se puede escribir colocando entre las dos cantidades el signo. O bien con el signo -. Así, la razón aritmética de 6 a 4 se escribe: 6.4 ó 6-4. Autor: Hugo Alfredo Benítez Hernández 18 • RAZÓN GEOMÉTRICA: Es la comparación de dos cantidades por su cociente, donde se ve cuántas veces contiene una a la otra. Sólo si las magnitudes a comparar tienen la misma unidad de medida la razón es a dimensional. • RECTA SECANTE: Dos rectas son secantes cuando se cortan en un punto. Dos rectas son secantes si los coeficientes de x e y respectivos no son proporcionales. Dos rectas son secantes si tienen distinta pendiente. • RECTA TANGENTE: La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es la derivada de la función en dicho punto. • REGLA DE LA CADENA: La regla de la cadena se usa para derivar funciones compuestas. Una función compuesta se denota por g(f(x)), es decir, suponiendo tres conjuntos de números reales, X, Y, Z. Procedimiento para derivar utilizando la regla de la cadena 1. Identificar u = f(x) 2. Obtener la derivada de g(u) 3. Obtener la derivada de f(x) 4. Obtener el producto de las derivadas, es decir, g’(u), f’(x) 5.- Sustituir u por f(x) • REGLA GENERAL PARA DERIVAR FUNCIONES: 1.- Se atribuye una f(x) rx + ∆x y se calcula el nuevo valor de f(y)+∆y 2. Se resta el valor dado de la función del nuevo valor y se obtiene ∆y (incremento de la función). 3.- Se divide ∆y por ∆x (incremento de la variable independiente) 4.- Se calcula el límite de este cociente cuando x tiende a 0. El límite hallado es la derivación buscada, la operación de la derivada de una función se llama derivación. • REGLAS O TÉCNICAS PARA DERIVACIÓN DE FUNCIONES: I.- Derivada de una constante. II.- Derivada de una función. III.- Derivada de una suma de funciones algebraicas. IV.- Derivada del producto de una constante por una variable. V.- Derivada de un producto de funciones. VI.- Derivada de la potencia de una función de exponente constante. VII.- Derivada del cociente de una función. Autor: Hugo Alfredo Benítez Hernández 19 • SERIES: Una serie es la generalización de la noción de suma a los términos de una sucesión infinita. Informalmente, es el resultado de sumar los términos: lo cual suele escribirse en forma más compacta con el símbolo de sumatorio: . • SUCESIONES: Es un conjunto ordenado de objetos matemáticos, generalmente números. Cada uno de ellos es denominado término (también elemento o miembro) de la sucesión y al número de elementos ordenados (posiblemente infinitos) se le denomina la longitud de la sucesión. • TEOREMA: Es una proposición que afirma una verdad demostrable. En matemáticas, es toda proposición que partiendo de un supuesto (hipótesis), afirma una verdad (tesis) no evidente por sí misma. • TEOREMA DE L. HOPITAL: Si existe , en donde f y g son derivables en un entorno de a y , este límite coincide con . Autor: Hugo Alfredo Benítez Hernández 20 • TEOREMA DE ROLLE: Si f es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b), tal que f(a) = f(b), hay algún punto c pertenece (a, b) en el que f'(c) = 0. La interpretación gráfica del teorema de Rolle nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela al eje de abscisas. • VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN: Los máximos o mínimos de una función, también conocidos como extremos de una función, son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos) que toma una función en un punto situado, ya sea dentro de una región en particular de la curva, o en el dominio de la función en su totalidad. • VARIABLE DEPENDIENTE O FUNCIÓN: Es aquella cuyos valores dependen de los que tomen otra variable. • VARIABLE INDEPENDIENTE: Es un elemento que puede tomar cualquier valor de los comprendidos en un conjunto. 4. Menciona un ejemplo de tu autoría e interés en donde el cálculo te ayude a dar solución. De manera personal, al tener un negocio, considero indispensable el uso del cálculo tanto para la producción como para las ventas, pues se trata de economizar y por supuesto de vender más con las mínimas perdidas de material. También se trata de reducir los gastos utilizados, para este ejemplo, resulta indispensable las nociones básicas del cálculo para darle solución. De igual forma, pudiera mencionar que en estos días los que somos padres de familia, el cálculo nos servirá para saber cuanto hule vamos a ocupar para forrar los libros y libretas de nuestros hijos, calculando la superficie que tienen cada uno de ellos y aprovechando al máximo el material que se dispone, esto se lograra conociendo las dimensiones con las que trabajaremos y haciendo las operaciones correspondientes. Autor: Hugo Alfredo Benítez Hernández 21 FUENTES DE CONSULTA • DIFERENCIAL, C. (2013). CALCULO DIFERENCIAL. [online] Horadeaventura07.blogspot.com. Recuperado de: http://horadeaventura07.blogspot.com/2013/09/calculo-diferencial.html • Hernández, G., Hernández, G. and perfil, V. (2011). PRINCIPALES APORTADORES DEL CÁLCULO. [online] Calculogsh.blogspot.com. Recuperado de: http://calculogsh.blogspot.com/2011/09/principalesaportadores-del-calculo.html • Calculodiferencialpersonajes (2017). Historia del Calculo Diferencial (personajes importantes). [online] Recuperado de: http://calculodiferencialpersonajes.blogspot.com/ • Todoexpertos. (2017). Aplicaciones del Calculo Integral a Informática. [online] Recuperado de: https://www.todoexpertos.com/categorias/ciencias-eingenieria/respuestas/420691/aplicaciones-del-calculo-integral-ainformatica • Fisimat | Blog de Física y Matemáticas. (2018). Ley de los exponentes Ejercicios Resueltos Fisimat. [online] Recuperado de: https://www.fisimat.com.mx/ley-los-exponentes-ejercicios-resueltos/ Autor: Hugo Alfredo Benítez Hernández 22
