Fundamentos de Matematica Abstracta

Fundamentos de Matemática Abstracta
Carlos Mario Parra L.
Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellín.
ii
Índice general
I
Nociones básicas
1
1. Lógica Básica
1.1. El Lenguaje de las Proposiciones . . .
1.2. El Lenguaje de los Predicados . . . . .
1.2.1. Fórmulas . . . . . . . . . . . .
1.3. Verdad en la Lógica Proposicional . .
1.3.1. Tablas de Verdad y Tautologías
1.4. Verdad en la Lógica de Predicados . .
1.5. Implicación Lógica . . . . . . . . . . .
1.6. Argumentos Válidos . . . . . . . . . .
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3
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2. Métodos de Demostración
51
2.1. Premisas y Forma Lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.2. Pruebas Directas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.3. Pruebas Indirectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3. Elementos de Conjuntos
61
3.1. Axiomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2. Uniones e Intersecciones Arbitrarias . . . . . . . . . . . . . . 67
3.3. Álgebra de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4. Relaciones y Funciones
4.1. Pares Ordenados . . . . . .
4.2. Relaciones . . . . . . . . . .
4.3. Funciones . . . . . . . . . .
4.4. Relaciones de Equivalencia .
4.5. Relaciones de Orden Lineal
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79
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iv
II
ÍNDICE GENERAL
Sistemas numéricos
107
5. Los
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
Números Naturales
Conjuntos Inductivos . . . . . . . . . . . . .
Los Postulados de Peano . . . . . . . . . . .
Teorema de la Recursión . . . . . . . . . . .
Aritmética y Orden . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1. Adición de números naturales . . . .
5.4.2. Multiplicación de números naturales
5.4.3. Orden en los Naturales . . . . . . . .
5.5. Principio del Buen Orden . . . . . . . . . .
6. Construcción de los Números Reales
6.1. Los Números Enteros . . . . . . . . .
6.2. Los Números Racionales . . . . . . .
6.3. Los Números Reales . . . . . . . . .
6.3.1. Construcción por cortaduras
6.4. Propiedades adicionales de R . . . .
6.5. Propiedades Adicionales de Z: . . . .
6.6. Los Números Complejos . . . . . . .
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. 113
. 120
. 120
. 123
. 125
. 130
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137
. 137
. 151
. 163
. 163
. 180
. 191
. 200
7. Conjuntos Finitos e In…nitos
7.1. Equipotencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2. Conjuntos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3. Conjuntos Contables . . . . . . . . . . . . . . .
7.4. Teorema de Schröder-Bernstein . . . . . . . . .
7.5. Cardinalidad de los Sistemas Numéricos . . . .
7.6. *Algunas equivalencias del Axioma de Elección
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. 213
. 217
. 225
. 227
. 230
8. Tópicos Especiales
8.1. *Operaciones . . . . . . . . . . . .
8.2. *Algunas Estructuras Algebraicas .
8.2.1. Grupos . . . . . . . . . . .
8.2.2. Anillos y Dominios Enteros
8.3. Propiedades Básicas de los Campos
8.4. Unicidad de los Números Reales . .
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Prefacio
El propósito de estas notas es brindar al estudiante de matemáticas de
primeros semestres los fundamentos requeridos para comprender los temas
mas avanzados en las áreas básicas de Análisis y Álgebra, así como el desarrollo de la mal denominada madurez matemática que se requiere para
acceder a conocimientos mas avanzados. La motivación principal para la escritura de las notas es el hecho de que los textos disponibles no brindan un
cubrimiento o tratamiento de los temas obligados acorde con las necesidades
del estudiante típico en nuestro medio. Obviamente, es difícil determinar los
contenidos apropiados, así como los tratamientos y la profundidad, que mejor
se acomoden a la preparación y motivación de los estudiantes. Basta comparar someramente los contenidos de los textos conocidos en nuestro medio
(ver, por ejemplo, [Bloch] y [Krantz] ) y se observa de inmediato que, aunque
parece haber cierto acuerdo en la mayoría de los temas básicos, es innegable
la in‡uencia de la formación e intereses de los autores en el tratamiento de
dichos temas, así como la inclusión de otros tópicos adicionales.
Una de las ideas directrices en el diseño del contenido es la de ofrecer
al estudiante los elementos básicos fundamentales de Lógica y Teoría de
conjuntos, desde el punto de vista intuitivo, que le permitan desenvolverse
con propiedad en los primeros cursos básicos de la carrera de matemáticas.
El texto está concebido como un curso de Fundamentos de Matemáticas
para estudiantes de primer y segundo semestre. La primera parte consta de
los elementos básicos de lógica y teoría de conjuntos y aunque su tratamiento
es intuitivo, en el sentido de que no se estudian lenguajes formales, se busca
desarrollar las herramientas básicas para que el estudiante pueda entender
y escribir pruebas de manera clara y precisa. La segunda parte del texto
construye los denominados sistemas numéricos, a partir de los axiomas de
la teoría de conjuntos, luego se discute la idea de conjunto in…nito y cardinalidad y se prueban algunas de sus propiedades básicas. Por último, se
incluye un capítulo de tópicos especiales en el cual se exploran, entre otros,
algunos temas básicos de Algebra Abstracta y Análisis Real y cuyo propósito
v
vi
PREFACIO
es motivar al estudiante para cuando enfrente sus primeros cursos en dichas
áreas.
Por último, es preciso mencionar que la audiencia esperada para el texto
consta del estudiante de matemáticas típico de primero y segundo semestre
que ha tenido alguna exposición a un primer curso de Cálculo y Geometría.
Aunque no se presupone ningún conocimiento en estas áreas para seguir
el texto, una exposición elemental previa hace mas accesibles algunos de
los ejemplos e ilustraciones. Igualmente es preciso mencionar que en cada
capítulo hay una buena serie de ejercicios cuyo propósito es brindar al lector
la oportunidad de a…anzar las intuiciones adquiridas y mejorar las destrezas
de escritura de pruebas y solución de problemas. Los ejercicios considerados
como más difíciles son señalados con un asterisco y, en la mayoría de los
casos, ofrecen una sugerencia que sirva como posible guía para el estudiante.
Obviamente, en la escritura de un texto de esta naturaleza, es casi que
inprescindible acudir a las fuentes clásicas en los diferentes temas. En lo
concerniente a la parte de Lógica, el texto de [SupHill] constituye una introducción de caracter elemental, apropiada para el estudiante de primer
semestre. Los textos de [Enderton] y [Mendelson] se han convertido en referencias clásicas para un primer curso de lógica formal a un nivel mas avanzado. En lo que se re…ere a Teoría de conjuntos, el texto de [Halmos] es
insuperable por su consición y claridad, algo que hemos tratado de emular
en estas notas. Para un tratamiento mas formal de la teoría de conjuntos,
las referencias [Enderton] y [?] se han convertido en clásicos en el tema. Finalmente, en el tema global de Fundamentos de Matemáticas a nivel básico,
cabe mencionar, aparte de las dos referencias anteriores, los textos un poco
mas avanzados, de [Stoll], [Wilder] y [Feferman].
Parte I
Nociones básicas
1
Capítulo 1
Lógica Básica
Desde la época clásica, la lógica se ha concebido como el arte de razonar
correctamente y su propósito consiste en sistematizar y codi…car de manera
apropiada los principios válidos de razonamiento. Los primeros intentos de
sistematización se remontan a los Griegos, los cuales utilizaron métodos de
argumentación tanto en …losofía como en matemáticas. En el lenguaje moderno se distingue entre lo que algunos denominan Lógica Filosó…ca y Lógica
Simbólica (o Lógica Matemática). La primera rama del saber trata de problemas relacionados con el signi…cado, la noción de verdad y la naturaleza
de la proposición, entre otras. De otro lado, la lógica matemática estudia la
validez de los métodos de razonamiendo utilizados en la práctica matemática. Cabe mencionar que existen varias clases de Lógicas Simbólicas pero aquí
nos ocuparemos de la lógica tradicional, lo que se podría denominar como
lógica simbólica clásica. Nuestro tratamiento será obligatoriamente intuitivo, en el sentido de que no apelaremos a las nociones de lenguaje formal,
interpretaciones, etc, propias de un curso mas avanzado (ver, por ejemplo,
[Mendelson]).
1.1.
El Lenguaje de las Proposiciones
En las diferentes áreas del conocimiento es común encontrar una variedad
de a…rmaciones con la propiedad de que se les pueden asignar alguno de
los atributos verdadero o falso (dichos atributos se denominan valores de
verdad). Dichas a…rmaciones se denominan, usualmente, proposiciones.
Los siguientes son ejemplos sencillos de proposiciones:
1. La nieve es blanca.
3
4
CAPÍTULO 1. LÓGICA BÁSICA
2. El número 2 es el único primo par.
3. O los estudiantes llegan a un acuerdo con las directivas o se cancela el
semestre.
4. Se repite el examen solo si perdió la mayoría.
5. La tierra es plana.
6. La suma de los ángulos interiores de un triángulo plano es de 180
grados.
7. Si Pedro gana el examen se va de vacaciones a Cancún, de lo contrario
se queda en casa.
Algo que notamos, a primera vista, es que ciertas proposiciones se pueden
formar a partir de otras mas simples mediante el uso de las palabras no,
y, o, si...entonces, si, y solo si. Estas palabras se denominan conectivos
lógicos (los …lósofos las denominan constantes lógicas). En términos
generales podemos dividir las proposiciones en simples ( o atómicas )
y compuestas (o moleculares ). Las proposiciones simples son aquellas
que no contienen conectivos lógicos o que, por convención, se consideran
en un contexto dado como irreducibles. Las proposiciones compuestas son
aquellas en las que aparece uno o mas conectivos.
Nuestro propósito es el estudio de la estructura de las proposiciones
compuestas y la forma como sus valores de verdad dependen de los valores correspondientes para sus proposiciones simples constitutivas. En otras
palabras, estamos interesados en estudiar su forma, sin tener en cuenta el
signi…cado implícito de cada a…rmación que la compone. Una manera sencilla y elegante de emprender este estudio, es representar las proposiciones
mediante letras del alfabeto, e introducir símbolos apropiados para los conectivos. Usualmente, las proposiciones se denotan por letras mayúsculas y los
conectivos se representan por los siguientes símbolos:
: para no
^ para y
_ para o
! para si::::entonces
! para si y solo si
Según lo anterior, si la letra P denota una proposicion, entonces la
proposición : P se denomina la negación de P . Por ejemplo, si P representa la proposición “la tierra es plana”, entonces : P simboliza la proposición
1.1. EL LENGUAJE DE LAS PROPOSICIONES
5
“la tierra no es plana” o “no es el caso que la tierra sea plana” o “es falso que la tierra sea plana” y otras frases del lenguaje común con el mismo
signi…cado.
Ahora, sean P y Q proposiciones, entonces la proposición P ^ Q se
denomina la conjunción de P y Q y se lee como “P y Q son verdaderas” o
“es cierto que P y Q” o, simplemente, como “ P y Q”. Por ejemplo si P y Q
denotan las proposiciones “está lloviendo” y “hace frío”, respectivamente,
entonces P ^ Q representa la proposición “está lloviendo y hace frío”. Es
preciso observar que en el lenguaje ordinario se usan equivalentes no del
todo precisos para denotar la conjunción de las proposiciones P y Q. Por
ejemplo “ P pero Q” o “ P pero también Q”, etc.
De manera similar, la proposición P _ Q se denomina la disyunción de
P y Q y se lee como “es cierto que P o Q” o “ P o Q son verdaderas”.
Es necesario aclarar que el uso típico de la disyunción en lógica es en el
sentido inclusivo, esto es, P _ Q a…rma que P es verdadera o Q es verdadera o ambas son verdaderas ( usualmente, esto se denota por el símbolo
o/y ). Algunas veces se usa la disyunción en el lenguaje común en un sentido exclusivo, esto es, se a…rma que alguna de las dos proposiciones es
verdadera, pero no ambas. En este caso, se utiliza usualmente el símbolo Y
para representar tal connotación. Por ejemplo, si P representa “Juan está
de vacaciones en París” y Q representa “Juan está asistiendo a un congreso
en Roma” , entonces la a…rmación “o Juan está de vacaciones en París o
en un congreso en Roma”, se representa por P Y Q.
Dadas las proposiciones P y Q podemos formar la proposición P !
Q, la cual se denomina un condicional ( o implicación ) y que se lee
“ P implica Q”. o “si P entonces Q”. En este caso, P y Q se denominan
el antecedente y el consecuente, respectivamente. Por ejemplo, “si la
maratón se corre mañana, entonces Juan será el ganador”es un condicional
con antecedente “la maratón se corre mañana” y consecuente “Juan será el
ganador”. El condicional tiene importancia especial en matemáticas, pues la
mayoría de las a…rmaciones y conjeturas son condicionales. Por esta razón
hay varias maneras adicionales de describir un condicional en matemáticas
con las cuales el estudiante debe estar familiarizado:
P implica Q,
P solo si Q,
P es condición su…ciente para Q,
Q si P ,
Q es una condición necesaria para P .
6
CAPÍTULO 1. LÓGICA BÁSICA
Por último, la proposición P $ Q se denomina un bicondicional (o
equivalencia) y se lee “ P si y solo si Q” o “ P es equivalente a Q”.
El signi…cado asociado a un bicondicional se deriva del hecho de que se
considera equivalente a la conjunción de P ! Q y Q ! P . Por lo tanto, otra
manera de describir su signi…cado es con la frase “ P es condición necesaria
y su…ciente para Q”.
Ahora ilustramos cómo simbolizar proposiciones complejas mediante el
uso de letras que representan las proposiciones atómicas constituyentes.
Ejemplo 1.1.1 (i) La a…rmación
si estudiamos ganamos el examen
puede ser representada como
P ! Q;
donde P
men”.
“nosotros es tudiamos” y Q
“nosotros ganamos el exa-
(ii) Consideremos la a…rmación
No todos los caballos vuelan, pero hay rumiantes con alas.
Si interpretamos la conjuncion “pero”como una conjunción, entonces
una simbolización apropiada sería
(:R) ^ S;
donde R
alas”.
“todos los caballos vuelan” y S
“hay rumiantes con
Ejemplo 1.1.2 Consideremos la siguiente proposición:
Si la Rectoría o los estudiantes son obstinados, entonces la contienda se
resolverá si y solo si el gobierno obtiene autorización de la corte , pero los
representantes no son enviados a negociar.
Lo primero que hacemos es introducir letras para representar las diferentes proposiciones atómicas. P “La rectoría es obstinada”. Q
“Los
estudiantes son obstinados”. R
“La contienda se resolverá”. S
“El
gobierno obtiene autorización de la corte”. T
“Los representantes son enviados a negociar”. Ahora observamos que la proposición es un condicional
con antecedente “la Rectoría o los estudiantes son obstinados”y consecuente
“la contienda se resolverá si, y solo, si el gobierno obtiene autorización de la
1.1. EL LENGUAJE DE LAS PROPOSICIONES
7
corte , pero los representantes no son enviados a negociar”, de modo que la
proposición original puede simbolizarse de la siguiente manera:
(P _ Q) ! (R $ (S ^ (:T )):
En este punto es preciso mencionar que una expresión como (P _ Q) !
(R $ (S ^ (:T )) se denomina usualmente una fórmula (del cálculo proposicional), pero un nombre mas apropiado sería forma sentencial o forma proposicional, ya que esta expresión se convierte en una proposición genuina cuando
sus letras se reemplazan con proposiciones. De otro lado, es intuitivamente
claro cómo construir formas sentenciales apartir de letras …jas mediante el
uso de los conectivos. De todos modos damos una de…nición formal mediante
el siguiente esquema:
De…nición 1.1.3 Una forma sentencial es cualquier expresion que se construye de acuerdo a las siguientes reglas:
1. Las letras mayúsculas del alfabeto (con o sin índices) son formas sentenciales.
2. Si A y B son formas sentenciales entonces también lo son las siguientes
expresiones: (:A),(A _ B), (A ^ B), (A ! B) y (A $ B).
3. Una expresión cualquiera es una forma sentencial si, y solo si, se construye de acuerdo a las reglas anteriores.
Notemos que si A es una forma sentencial que simboliza cierta proposición P , entonces es común identi…car a A con P y considerar frases como “
..dada la proposición P ..” y “ ..dada la proposición A ..” como sinónimas.
Similarmente, es común decir que A es falsa o contradictoria o verdadera,
etc., cuando estos son, estrictamente hablando, atributos de la proposición
P . Aunque es obvia la diferencia conceptual entre las dos expresiones, el
contexto permite por lo general aclarar cualquier ambiguedad que pudiera
resultar de esta práctica.
De otro lado, si C es una forma sentencial que se construyó de acuerdo a
la regla 2 de la de…nición anterior entonces el último conectivo que aparece
en dicha construcción se denomina el conectivo principal de C. Por ejemplo si C es laforma :A, entonces C se denomina una negación y su conectivo
principal es “:”. Igualmente, si C es (A ! B) entonces se denomina una implicación ( o un condicional) y su conectivo principal es “!”. Similarmente
para las otras formas contempladas en la regla 2:
8
CAPÍTULO 1. LÓGICA BÁSICA
Después de describir los conectivos lógicos y su papel en la formación
de proposiciones complejas a partir de otras mas simples, es necesario mencionar algunas convenciones cuyo propósito es simpli…car la representación
de proposiciones complicadas mediante la disminución del uso de paréntesis.
Una manera de lograr lo anterior es asignar a cada conectivo un peso de
acuerdo a su alcance. Acordamos entonces que $ es el conectivo con mayor
peso (esto es, tiene mas alcance) y luego le sigue ! . Después aparecen,
en dicho orden, los conectivos ^ y _ , los cuales tienen el mismo peso y,
por último, aparece el conectivo mas débil, : . A modo de ilustración, la
proposición del ejemplo anterior se puede representar por
P _ Q ! (R
! S ^ :T ):
Obviamente es claro que, en las proposiciones donde aparecen los conectivos _ o ^, por lo general es necesario agregar paréntesis, para evitar alguna
posible ambiguedad.
Ejercicios
1. Represente simbólicamente las siguientes a…rmaciones, usando letras
mayúsculas para denotar las proposiciones atómicas.
(i) Iré a la …esta en taxi o en bus.
(ii) O está lloviendo o alguien olvidó cerrar la ducha.
(iii) El día es caluroso, de modo que o voy a la piscina o no me pongo
el traje.
(iv) Solo si Marta asiste a la reunión no tengo oportunidad de terminar el trabajo.
(v) Ni la derecha ni la izquierda obtuvieron buenos resultados.
2. Considere la siguiente representación de proposiciones:
P
“Jorge hace mucho ruido”
Q
“Marta llegó tarde”
R
“El profesor está molesto”.
Utilice la representación anterior para simbolizar las proposiciones siguientes.
(i) Si Jorge hace mucho ruido o Marta llegó tarde, entonces el profesor
está molesto.
1.2. EL LENGUAJE DE LOS PREDICADOS
9
(ii) O el profesor está molesto o Marta no llegó tarde.
(iii) Si Jorge no hace mucho ruido ni el profesor está molesto, entonces
Marta no llegó tarde.
(iv) Solo si el profesor está molesto, Marta llegó tarde o Jorge no hace
mucho ruido.
(v) O Marta llegó tarde, o Jorge hace mucho ruido a no ser que el
profesor esté molesto.
3. Señale el conectivo principal en cada una de las fórmulas resultantes
de los ejercicios 1 y 2: También escriba dichas fórmulas con el mínimo
número de paréntesis.
4. Considere la representación de proposiciones en el ejercicio 2 y traduzca de la mejor manera, al español, las expresiones siguientes.
(a)
(b)
(c)
P ! :(Q ^ R):
Q $ R:
(P _ Q) ^ R:
(d)
(e)
(f)
Q ! R _ P:
R $ (:P ^ Q):
(P $ Q) _ (:Q ^ P ):
5. Restablecer los paréntesis para cada una de las siguientes fórmulas
(a)
(b)
(c)
1.2.
C _ :A ^ D:
C ! :::A ^ B:
C ! :(A ^ D) _ A $ B:
(d)
(e)
(f)
C ! A ! A $ :A ^ B:
A $ B $ :(C ^ D):
(B ! :A ^ C):
El Lenguaje de los Predicados
Como hemos visto, las proposiciones están compuestas de otras mas sencillas denominadas proposiciones atómicas. El denominado cálculo proposicional, o cálculo sentencial, es el estudio de la estructura de las proposiciones
en función de sus componentes, bajo la hipótesis de que es posible asignar a
cada proposición atómica un valor de verdad. En esta sección nos ocuparemos de las proposiciones atómicas en mas detalle con el …n de estudiar las
nociones básicas del denominado Calculo de Predicados, el cual se ocupa
de las proposiciones en un sentido mas amplio, tal como se utilizan en la
práctica matemática diaria. Empezaremos por analizar algunos ejemplos:
1. 2 + 3 = 7
2. Shakespeare es el autor del Hamlet.
10
CAPÍTULO 1. LÓGICA BÁSICA
3. x + 7 = 10:
4. La India es un pais musulmán.
5. 45
30:
6. Washington es la capital de los Estados Unidos.
7. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 :
8. Este es un libro muy bien escrito.
9. El fundador de la República Francesa murió durante la Revolución.
10. El primer número primo impar es bastante interesante.
En las frases anteriores se a…rma que ciertos objetos satisfacen ciertas
propiedades. Aunque algunas de ellas tienen sentidos claros, aparecen otras
de las cuales sería impreciso a…rmar que son verdaderas o falsas, ya que los
objetos mencionados no están bien de…nidos. Por ejemplo, en la a…rmación
7; no sabemos qué son los objetos a y b o qué representan. Igualmente, en
la frase 8; no es claro el libro particular que denota el pronombre “Este”.
Similarmente, en la ecuación 3; no sabemos qué representa la letra x: Algo
que es claro es que si sustituimos los objetos x; a; b; por objetos especí…cos de
cierto tipo (en nuestro caso números), entonces las a…rmaciones se convierten
en proposiciones. Por esta razón, a las letras x; a; b y a cualquier letra que
toma el papel de un objeto, sin representar a ninguno en particular, se les
denomina variables.
De otro lado, las propiedades que se atribuyen a los objetos anteriores
no son tampoco claras en todos los casos. Por ejemplo, en la a…rmación 4;
no sabemos si ser un pais musulmán signi…ca que toda la población practica
el Islám, o cierto porcentaje particular o tal vez si el Islám es la religión
o…cial del pais, etc. De todos modos, queda claro de lo anterior que, ciertas
propiedades se predican o a…rman de ciertos objetos.
En la práctica matemática se busca mayor de precisión y con ese …n se
introducen las nociones de término y de predicado, los cuales podríamos
describir, de manera intuitiva, como sigue:
Un termino es una expresión que designa claramente un objeto, o una variable que se puede sustituir por un objeto claramente designado. Un predicado
es una propiedad compartida por uno o mas términos.
A mas de tratar de clari…car la naturaleza de los objetos que aparecen
en los enunciados matemáticos, el propósito principal de la lógica es estudiar y aclarar las reglas que permiten deducir unos enunciados de otros,
1.2. EL LENGUAJE DE LOS PREDICADOS
11
así como determinar las condiciones que determinan la verdad o falsedad
de dichos enunciados. El primer paso en este proyecto consiste en …jar una
notación apropiada, para delimitar claramente el dominio del discurso y facilitar la escritura.Obviamente, un estudio serio en este sentido nos llevaría
a los denominados lenguajes formales y otros conceptos relacionados, sin
embargo, para nuestros propósitos, basta con …jar una notación apropiada
que nos permita representar con claridad los enunciados matemáticos, así
como entender las reglas que gobiernan las prácticas y métodos propios de
dicho discurso. Empezaremos por discutir la representación de términos y
predicados y, luego, imitaremos el tratamiento de la lógica proposicional que
desarrollamos en las secciones anteriores.
Usualmente, los predicados se representan por letras mayúsculas del alfabeto y los términos por letras minúsculas. La práctica usual ha …jado el
uso de las últimas letras minúsculas del alfabeto para las variables. Teniendo en cuenta lo anterior, es relativamente fácil representar las a…rmaciones
anteriores en forma simbólica, lo cual ilustramos en el siguiente
Ejemplo 1.2.1 Introduzcamos una notación apropiada y simbolicemos las
10 a…rmaciones anteriores:
1. Sea R(x; y; z) el predicado “x + y = z”. Entonces la a…rmación “
2 + 3 = 7 ” se representa por
R(2; 3; 7):
2. Sea A(x; y) el predicado “ x es el autor de y ”y sean s Shakespeare
y h Hamlet. Entonces la a…rmación 2 puede representarse como
A(s; h):
3. Si R es el predicado de 1; entonces la a…rmación “ x + 7 = 10 ” se
representa como
R(x; 7; 10):
4. Sea I La India y sea M (x) = “x es un pais musulmán”, entonces la
representación pedida es
M (I):
5. Sea M (x; y)
como
“x
y ”. Entonces la a…rmación \45
M (45; 30):
30 ”se presenta
12
CAPÍTULO 1. LÓGICA BÁSICA
6. Si hacemos w Washington, e Estados Unidos y C(x; y) “ x es
la capital de y ”, entonces la a…rmación “ Washington es la capital de
los Estados Unidos ” se puede representar como
C(w; e):
7. Primero, hagamos B(x; y) “ (x + y)2 = x2 + 2xy + y 2 ”. Entonces
la a…rmación puede representarse como
B(a; b):
Otra manera de representar la misma a…rmación, aunque un poco
menos directa, es la siguiente: Sea I(w; x; y; z) el predicado
w2 = x2 + y + z 2 :
entonces la a…rmación inicial puede representarse como
I(a + b; a; 2ab; b):
8. Sea l
este libro y sea E(x) el predicado “ x es un libro muy bien
escrito ”. Entonces la frase “ este es un libro muy bien escrito ” se
puede representar como
E(l):
9. Si f el lider fundador de la Republica Francesa y M (x) “ x murió
durante la revolución ”, entonces la proposición dada se representa por
M (f ):
10. Sea i el primer número primo impar y sea I(x) “ x es bastante
interesante ”. Entonces la proposición se puede representar como
I(i):
Nota 1.2.2 Notemos que todo predicado P de…ne implícitamente el número
de términos a los que se aplica, junto con el orden correspondiente. Por ejemplo, si P es el predicado “ ser el padre de ”, es claro que dicho predicado se
aplica a dos términos y también es obvio que debe especi…carse el orden. Por
dicha razón, dicho predicado se denota de manera mas clara como P (x; y)
“ x es el padre de y ” y decimos que el predicado P se aplica a los términos
x y y en ese orden.
1.2. EL LENGUAJE DE LOS PREDICADOS
13
Ahora podemos dar una de…nición precisa de lo que usualmente se denomina una fórmula atómica:
Una fórmula atómica es un predicado aplicado a los correspondientes
términos.
Cabe agregar, en este punto, que a pesar de que existe una relación
directa entre las nociones de fórmula atómica y proposición atómica, ellas
no coinciden. Por ejemplo, si volvemos al ejemplo anterior notamos que la
a…rmación 1 es, en realidad, una proposición atómica, ya que sus términos
designan objetos bien de…nidos e igualmente es claro el sentido del predicado
correspondiente. De otro lado, la a…rmación 3 no tiene un sentido claro, pues
la variable x no designa un objeto especí…co. Obviamente, si dicha variable
se remplaza por un objeto apropiado, en este caso un número cualquiera,
entonces la a…rmación se convertiría en una proposición atómica.
En este sentido, la a…rmación 7 merece mención especial. Teniendo en
cuenta el álgebra básica, pareciera que dicha a…rmación corresponde a lo
que usualmente se denomina una identidad (la correspondiente a un trinomio cuadrado perfecto ). Pero en realidad, esa es una imprecisión derivada
de la práctica común. Lo que tenemos en mente cuando analizamos dicha
a…rmación es que para cualquier valor de las variables a y b la igualdad
correspondiente es cierta. Pero ciertamente esto no es lo que a…rma dicha
igualdad como está escrita, pues el modi…cador para todo valor de a y b
no aparece explícitamente (este ejemplo se considerará en mas detalle en la
próxima sección).
Por último, debemos mencionar que no solo los términos son cruciales
a la hora de analizar proposiciones. También los predicados deben tener
un sentido claro, no solo en lo concerniente al número de términos, sino
también en cuanto a su sentido y alcance. Consideremos, por ejemplo, las
a…rmaciones 8 y 10 del ejemplo anterior. Aquí encontramos dos predicados:
E(x)
“ x es un libro muy bien escrito ”
y
I(x)
“ x es bastante interesante ” .
A primera vista parece que estas a…rmaciones son bastante claras, pero
un análisis mas detallado revela que, en realidad, puede surgir controversia
a la hora de determinar sus correspondientes valores de verdad, pues no
hay criterios de…nitivos para juzgar cuando estos predicados se cumplen de
14
CAPÍTULO 1. LÓGICA BÁSICA
un objeto particular. Obviamente son frases bien formadas, de acuerdo a
las reglas de la gramática pero, desde el punto de la lógica, su caracter de
proposiciones es ambiguo.
De otro lado, en matemáticas se busca, en la medida de lo posible, reducir al máximo la ambiguedad de modo que sus a…rmaciones tengan un
sentido claro. Es por esto que, aparte de las nociones antes mencionadas
de término y predicado, también se usan otras nociones nuevas como son:
dominio de referencia ( o universo), interpretación, modelo, etc, las cuales
constituyen los conceptos básicos de la lógica formal de predicados. En la
próxima sección discutiremos intuitivamente estas nociones y mostraremos
cómo su uso contribuye a la claridad usualmente asociada con el discurso
matemático.
Cuanti…cadores
Consideremos ahora las siguiente a…rmaciones:
1. No todo lo que brilla es oro.
2. Todos los hombres son mortales y no hay uno solo que tenga más de
200 años.
3. Se puede engañar a algunos de vez en cuando, pero no se puede engañar
a todo el mundo siempre.
4. O todo efecto tiene una causa o existe algo no causado.
5. Para todo número x existe otro número y; que es mayor.
Algo que es común a estas a…rmaciones, es el hecho de que pueden descomponerse en a…rmaciones mas simples, cuya forma corresponde a alguna
de las siguientes:
Todo objeto de la clase U satisface la propiedad P:
o también
Algún objeto de la clase U satisface la propiedad P:
Con el …n de representar este tipo de a…rmaciones, se introducen usualmente dos símbolos denominados cuanti…cadores: el 8 se denomina cuanti…cador universal y 9 se denomina cuanti…cador existencial. Por medio
1.2. EL LENGUAJE DE LOS PREDICADOS
15
de estos cuanti…cadores podemos simbolizar expresiones de la forma “ todos
los x satisfacen la propiedad R ” de la siguiente forma:
8xR(x)
Donde esta expresión se lee “ para todo x; R(x) ”, o “para todo x; se
cumple R(x) ”. En forma similar la expresión
9xR(x)
se lee “ existe un x que satisface R(x) ”, o expresiones con similar signi…cado. Con estos símbolos a la mano, podemos representar las frases iniciales
como:
8x[U (x) ! P (x)]
(1.1)
que se lee “ para todo x, si x sa…sface la propiedad U entonces x satisface
la propiedad P ”. Similarmente, la segunda frase se puede representar como
9x[U (x) ^ R(x)]
(1.2)
la cual se lee “ existe algún x que satisface U y también satisface R ”.
En muchas ocasiones, el que un objeto x sea de cierta clase U signi…ca,
simplemente, que pertenezca al conjunto de los objetos que satisfacen a U:
De este modo, la expresión 1.1 se puede representar también como
(8x en U )P (x)
(1.3)
y similarmente la expresión 1.2 se puede representar como
(9x en U )P (x):
(1.4)
los cuales se leen “ para todo x en U se cumple P (x) ” y “ existe un x
en U tal que se P (x) ”, respectivamente.
En el lenguaje común existen varias maneras equivalentes de expresar el
sentido de “ para todo x ...”. Por ejemplo, el sentido de la a…rmación
Todos los gatos son pardos
podría transmitirse mediante las siguientes a…rmaciones equivalentes
(entre otras ):
cada gato es pardo
cualquier gato es pardo
todo gato es pardo.
16
CAPÍTULO 1. LÓGICA BÁSICA
Desde el punto de vista de la lógica, estas a…rmaciones tienen un solo
sentido, el cual es capturado de la manera siguiente: Sea G(x) “ x es un
gato ”. y P (x)
“ x es pardo ”. Entonces las a…rmaciones anteriores se
pueden representar como:
(8x)[G(x) ! P (x)]:
O si consideramos a G como la clase o conjunto de los gatos, entonces
también podríamos representar dicho sentido por:
(8x en G)P (x):
Comentarios similares se aplican al cuanti…cador existencial. Por ejemplo, la a…rmación
Hay un gato pardo
se considera equivalente a las siguientes (entre otras ):
algún gato es pardo
hay gatos pardos
al menos un gato es pardo.
las cuales se pueden simbolizar como
9x[G(x) ^ P (x)]
o también como
(9x en G)P (x):
1.2.1.
Fórmulas
Después de introducir las nociones de fórmula atómica y cuanti…cadores,
podemos imaginar que se utilizan los conectivos lógicos para construir fórmulas mas complicadas. Dichas fórmulas cumplirán la función de representar las a…rmaciones típicas de la matemática. De otro lado, aunque parece
intuitivamente claro lo que es una fórmula, daremos a continuación una
de…nición.
De…nición 1.2.3 Las fórmulas bien formadas (del cálculo de predicados )
se de…nen de acuerdo al siguiente esquema:
1.2. EL LENGUAJE DE LOS PREDICADOS
17
1. Las fórmulas atómicas son fórmulas
2. Si A y B son fórmulas y x es una variable, entonces (:A), (A _ B),
(A ^ B), (A ! B), (A $ B), (9x)B y (8x)B son fórmulas.
3. Una expresión es una fórmula si y solo si puede construir a partir de
las dos condiciones anteriores.
Cabe mencionar que en una fórmula del tipo (9x)B o (8x)B; se dice que
B es el alcance del correspondiente cuanti…cador. Aún más, es costumbre
escribir (9x)B(x) o (8x)B(x), donde la expresión B(x) enfatiza el hecho de
que la varible x aparece explícitamente en la fórmula B y, además, está bajo
el alcance del cuanti…cador correspondiente. En dicho caso, decimos que la
ocurrencia de la variable x es ligada. En caso contrario, si la ocurrencia
de una variable no es ligada, decimos que es libre. Por último, si todas
las ocurrencias de las variables en una fórmula son ligadas, decimos que la
fórmula es cerrada.
Ejemplo 1.2.4 En cada una de las siguientes fórmulas, indenti…caremos
las ocurrencias libres y ligadas de las variables, así como los alcances de los
cuanti…cadores.
(i) (8x)[(8y)R(y; z) ! R(x; a)]:
Primero notemos que el alcance del primer cuanti…cador universal es la
fórmula [(8y)R(y; z) ! R(x; a)] y, por lo tanto, la ocurrencia de la
variable x es ligada. De otro lado, el alcance del cuanti…cador (8y)
es la fórmula R(y; z): Luego la ocurrencia de y es ligada. Notemos,
por último, que la ocurrencia de la variable z es libre, pues no está
bajo el alcance de ningún cuanti…cador de la forma (8z) o (9z): En
consecuencia, la fórmula dada no es cerrada.
(ii) (8x)R(y; x) ! (8y)R(x; y):
Como en el caso anterior, el alcance del cuanti…cador (8x) es la fórmula
R(y; x): Similarmente, el alcance de (8y) es R(x; y): Así que la ocurrencia de x en la fórmula R(y; x) es ligada, mientras que su ocurrencia
en R(x; y) es libre. Igualmente, la ocurrencia de y en R(y; x) es libre,
mientras que su ocurrencia en R(x; y) es ligada. Notemos que una
misma variable puede tener ocurrencias libres y ligadas en la misma
fórmula.
18
CAPÍTULO 1. LÓGICA BÁSICA
(iii) (8x)[(9y)R(y; x; t(y; x)) _ :(8y)S(x; u(y))]; donde u y t son términos.
El alcance de (8x) es la fórmula [(9y)R(y; x; t(y; x)) _ :(8y)S(x; u(y))] y,
por lo tanto, las ocurrencias de x son ligadas. De otro lado, el alcance
de (9y) es R(y; x; t(y; x)); mientras que el alcance de (8y) es S(x; u(y)):
De modo que las ocurrencias de la variable y son ligadas también.
Finalmente, como todas las ocurrencias de las variables son ligadas,
la fórmula cerrada.
De otro lado, así como algunos de los conectivos lógicos pueden de…nirse
en términos de otros, es posible mostrar que el 9 puede de…nirse en términos
del 8 (y viceversa) y por esta razón se acostumbra tomar el cuanti…cador
universal como primitivo y de…nir el existencial de acuerdo a la siguiente
expresión:
(9x)P (x) :(8x)(:P (x)):
Es pertinente, entonces, considerar fórmulas de la forma
(8x)(:P (x))
y considerar algunas de las correspondientes lecturas que se hacen de ella
en el lenguaje informal. Consideremos la expresión
Ningún ser es perfecto.
La expresión “ ningún ”tiene un doble caracter de negación y de universalidad, pues a…rma, de cualquier objeto, que dicho objeto no cumple cierta
propiedad. Mas especí…camente, la frase anterior se reduce a
(Para todo x)( x no es perfecto)
Si introducimos el predicado P (x) “ x es perfecto ”, entonces la a…rmación puede representarse simbólicamente como
(8x)(:P (x)):
Algunas otras expresiones que se utilizan, en el lenguaje común, para
expresar un universal, seguido de una negación, son las siguientes:
Para ningún x
Nadie
Nada
1.2. EL LENGUAJE DE LOS PREDICADOS
19
Ejemplo 1.2.5 Simbolizar cada una de las expresiones siguientes:
1. Todos los Leones son cuadrúpedos.
En este caso, basta introducir los predicados L(x)
“ x es un león
” y C(x)
“ x es un cuadrúpedo ”. Entonces la expresión puede
simbolizarse como
(8x)[L(x) ! C(x)];
o, si interpretamos a L como la familia de todos los leones, entonces
también podríamos representarla como
(8x en L)C(x):
2. Cada millonario tiene riquezas.
Primero notamos que la expresión “cada millonario” es equivalente a
“todo millonario” , de modo que, si de…nimos los predicados M (x)
“ x es millonario ” y R(x) “ x tiene riquezas ”. Entonces la representación requerida puede ser la siguiente
(8x)[M (x) ! R(x)]
o como en el numeral anterior, si consideramos a M como una clase,
entonces
(8x en M )R(x):
3. Ningún cocinero es un hombre delgado.
Notemos que la palabra ningún tiene caracter tanto de cuanti…cador
como de negación, de modo que la expresión original podría traducirse
como
(para todo cocinero)(dicho cocinero no es un hombre delgado)
de modo que, dados los predicados C(x)
“ x es un cocinero ” y
D(x) “ x es un hombre delgado ”, tenemos que la expresión original
se simboliza como
(8x)[C(x) ! D(x)]
O, como en los otros casos, se puede representar por
(8x en C)D(x):
20
CAPÍTULO 1. LÓGICA BÁSICA
4. No todo holgazán es buen ciudadano.
Una manera literal de interpretar esta expresión es la siguiente:
:(todo holgazán es buen ciudadano)
de modo que, si hacemos H(x) “ x es un holgazán ” y C(x) “ x
es un buen ciudadano ” , entonces la a…rmación original se reduce a
:(8x)[H(x) ! C(x)]:
Otra manera de ver la expresión es como equivalente a la siguiente:
existe un holgazán que no es buen ciudadano.
De modo que, otra representación equivalente puede ser
(9x)[H(x) ^ (:(C(x)))]
o si consideramos a H como una clase,
(9x en H)(:(C(x)):
5. Solo las mujeres son seres racionales.
En esta a…rmación, la palabra “solo” tiene caracter de cuanti…cador
universal, pues el sentido de la frase es el de que cualquier ser que es
racional necesariamente es una mujer. Esto es,
(para todo x ) (si x es racional entonces x es una mujer),
de modo que si hacemos R(x) “ x es un ser racional ” y M (x) “
x es una mujer ”, tenemos que una representación de la a…rmación es
la siguiente:
(8x)[R(x) ! M (x)]:
Ejemplo 1.2.6 Consideremos el predicado A(x; y) “x admira a y”. Ahora
traduzcamos al español cada una de las expresiones siguientes:
(i) (9x)(8y)A(x; y):
La traducción mas simple de esta expresión es la siguiente:
existen personas que admiran a todo el mundo.
(ii) (8y)(9x)A(x; y):
1.2. EL LENGUAJE DE LOS PREDICADOS
21
Similarmente, podemos traducir esta expresión como
toda persona tiene a alguien que lo admira.
(iii) (9x)(8y)[(8z)A(y; z) ! A(x; y)]:
Como en el caso anterior, podemos traducir la expresión dada como
existe personas que admiran a todo aquel que admira a todo el mundo.
(iv) (9x)(8y):A(x; y):
Finalmente, esta expresión puede traducirse como
existen personas que no admiran a nadie.
Ejemplo 1.2.7 Ahora escribimos la negación de cada una de las expresiones del ejemplo anterior.
(i) La negación de (9x)(8y)A(x; y) es :(9x)(8y)A(x; y); que a su vez equivale a
(8x)(9y):A(x; y);
lo cual puede traducirse al español como
nadie admira a todo el mundo.
(ii) Similarmente, :(8y)(9x)A(x; y) se puede escribir como
(9y)(8x):A(x; y)
y una traducción al español sería
hay personas que no son admiradas por nadie.
(iii) La expresión :(9x)(8y)[(8z)A(y; z) ! A(x; y)] equivale a
(8x)(9y):[(8z)A(y; z) ! A(x; y)]:
Lo cual puede escribirse como
(8x)(9y)[(8z)A(y; z) ^ :A(x; y)]
22
CAPÍTULO 1. LÓGICA BÁSICA
y cuya traducción al español es
nadie admira a todo aquel que admira a todo el mundo.
(iv) Finalmente, :(9x)(8y):A(x; y) equivale a
(8x)(9y)A(x; y):
Lo cual puede traducirse como
toda persona admira a alguien.
Ejercicios
1. Simbolice apropiadamente las a…rmaciones siguientes.
(i) Algunas personas lucen inteligentes solo cuando están ebrios.
(ii) No todos los pájaros pueden volar.
(iii) Cualquiera que sea persistente puede aprender lógica.
(iv) Toda mujer que sea abogada admira a algún juez.
(v) Si cualquiera puede graduarse, Juan puede.
(vi) No existe un conjunto que contenga precisamente los conjuntos
que no se contienen a sí mismos.
(vii) Juan odia a todo aquel que no se odia a sí mismo.
(viii) El presidente puede engañar a algunos por algún tiempo, pero
no puede engañar a todo el mundo siempre.
(ix) Todo el mundo quiere a alguien y nadie quiere a todo el mundo,
o alguien quiere a todo el mundo y alguien no quiere a nadie.
(x) Nadie en la clase de estadística es mas inteligente que alguien en
la clase de lógica.
(xi) Nadie en la clase de lógica es menos inteligente que cualquiera en
la clase de estadística.
(xii) Si hay un barbero que afeita precisamente a los que no se afeitan
a sí mismos entonces, alguien se afeita a sí mismo si, y solo si, no
se afeita a sí mismo.
(xiii) Nadie es o totalmente juicioso o totalmente estúpido.
(xiv) Solo los números positivos son mayores que uno.
1.3. VERDAD EN LA LÓGICA PROPOSICIONAL
23
(xv) No todo hombre tiene el pelo corto.
2. Considere los siguientes predicados. H(x) “x es un hombre”, I(x) “x
es infeliz” y C(x; y) “x está casado con y”. Traduzca al español, de
la mejor manera posible, cada una de las siguientes expresiones.
(i) (8x)[H(x) ^ (8y):C(x; y) ! I(x)]:
(ii) (9x)(9y)[C(x; y) ^ :I(x)]:
(iii) (8z)[(9y)C(y; z) ! I(z)]:
(iv) (9y)[I(y) ^ (8z):C(z; y)]:
(v) (9x)(8y)[C(x; y) ! I(y)]:
3. Escriba la negación de cada una de las expresiones del ejercicio anterior, primero simbólicamente, y luego traducida al español. (Cada una
de las expresiones negadas debe empezar con un cuanti…cador !).
1.3.
Verdad en la Lógica Proposicional
Hasta ahora hemos bosquejado las nociones básicas de cómo representar
o simbolizar proposiciones, desde la perspectiva, tanto de la Lógica Proposicional, como de la Lógica de Predicados. En la Lógica Proposicional, hemos
introducido la noción de fórmula (o mas especí…camente forma sentencial),
cuyo propósito es representar adecuadamente las proposiciones moleculares
(o compuestas), las cuales están formadas de proposiciones simples. Pero
ahora que sabemos simbolizar las proposiciones, el próximo paso debe ser determinar las condiciones bajo las cuales dichas proposiciones son verdaderas
o falsas. Para avanzar en este objetivo, miraremos un poco mas detenidamente los conectivos y …jaremos su signi…cado de manera sistemática.
1.3.1.
Tablas de Verdad y Tautologías
En una sección anterior describimos los usos de los conectivos para formar proposiciones complejas a partir de proposicione simples. De igual modo, se introdujo una manera de simbolizar dichas proposiciones. Sin embargo, uno de los componentes fundamentales de dicha representación, a
saber, los conectivos, requiere una descripción un poco mas precisa. Una
manera de capturar el signi…cado de los cuanti…cadores de un modo claro,
es la introducción de las denominadas tablas de verdad . Estas tablas
24
CAPÍTULO 1. LÓGICA BÁSICA
son arreglos simples en los que se muestra los valores de verdad que corresponden a una proposición compuesta, con base en los valores de verdad
de las proposiciones constituyentes. Estas asignaciones re‡ejan nuestro entendimiento informal del signi…cado de los conectivos. De todas las tablas
de verdad, la mas sencilla es la que corresponde a la negación.
A
T
F
:A
F
T
La tabla de verdad correspondiente a la disyunción, re‡eja la convención
que habíamos mencionado antes, en el sentido de que la “o”en matemáticas
se toma, usualmente, en el sentido inclusivo.
A
T
T
F
F
B
T
F
T
F
A_B
T
T
T
F
En cuanto a la conjunción, la tabla …elmente re‡eja nuestro entendimiento intuitivo, con base en el lenguaje común.
A
T
T
F
F
B
T
F
T
F
A^B
T
F
F
F
La motivación para la tabla correspondiente a la implicación es el hecho
de que, intuitivamente, A ! B es cierto si B se puede deducir de A: Esto
es, si de la verdad de A se sigue, de alguna manera, la verdad de B: De este
modo, si A es verdadero y B es falso, entonces queremos que la implicación
sea falsa. Lo cual explica la segunda linea en la tabla. De otro lado, si B
es verdadera, entonces imaginamos que, independientemente del valor de
verdad de A; la implicación A ! B debe ser cierta, pues la verdad de B; de
algún modo garantiza su deducción automática. Esto explica las asignaciones
en la primera y tercera líneas. Por último, una motivación plausible para la
cuarta línea, podria ser la siguiente: si A es falsa, entonces ciertamente no
podemos a…rmar que la verdad de A no implique la verdad de B: Esto
es, no podemos a…rmar que A ! B sea falsa. Pero, siguiendo el dictado
1.3. VERDAD EN LA LÓGICA PROPOSICIONAL
25
Aristotélico, una a…rmación o es cierta o es falsa. De modo que sólo nos
queda la posibilidad, A ! B verdadera.
A
T
T
F
F
B
T
F
T
F
A!B
T
F
T
T
Por último, la tabla correspondiente al bicondicional re‡eja el hecho de
que, intuitivamente, entendemos A $ B como la conjunción de A ! B y
B ! A:
A B A$B
T T
T
T F
F
F T
F
F F
T
Las explicaciones plausibles para las asignaciones de verdad anteriores no
pretenden, obviamente, ser demostraciones o justi…caciones. De hecho, hay
versiones de la lógica en las que se rechazan algunas de estas asignaciones.
Quizás el mejor enfoque, sea tomar las tablas anteriores como de…niciones
del signi…cado de los conectivos. Esto, por un lado, …ja el sentido de la lógica
tradicional adoptada y por el otro justi…ca la asignación de valores de verdad
para las proposiciones moleculares.
Ahora que hemos …jado claramente el signi…cado de los conectivos, podemos
extender el método de tablas de verdad a cualquier fórmula, por medio de
la noción de interpretación (o también asignación, valoración), el cual
describimos a continuación.
De…nición 1.3.1 Sean A1 ; A2 ; :::::An las letras que aparecen en una proposición B, decimos que una interpretación de B es una asignación de valores de
verdad a cada una de las letras Ai . Si ahora utilizamos las tablas de verdad
correspondientes a cada conectivo de B, entonces B recibe un correspondiente valor de verdad. Si este valor de verdad es verdadero, decimos que la
interpretación satisface a B: En caso contrario, decimos que la interpretación
falsi…ca a B:
Ejemplo 1.3.2 Consideremos la fórmula
((:A) _ B) ! C;
26
CAPÍTULO 1. LÓGICA BÁSICA
o, en su versión simpli…cada,
:A _ B ! C:
Construyamos la tabla de verdad correspondiente de acuerdo a las tablas de
los conectivos involucrados.
A
T
T
T
T
F
F
F
F
B
T
T
F
F
T
T
F
F
C
T
F
T
F
T
F
T
F
:A
F
F
F
F
T
T
T
T
:A _ B
T
T
F
F
T
T
T
T
:A _ B ! C
T
F
T
T
T
F
T
F
Notemos la manera sistemática como se asignan valores de verdad a las
proposiciones A; B; C; de modo que aparezcan todas las posibles combinaciones. En particular, notemos que si a las letras A; B; C se les asignan los
valores F; T; F; respectivamente (…la número seis), entonces el valor correspondiente para la fórmula :A _ B ! C es F: Esto signi…ca que si las
proposiciones A; B; C son falsa, verdadera y falsa, respectivamente, entonces
la proposición :A _ B ! C es falsa.
Nota 1.3.3 En algunas ocasiones es conveniente omitir una o mas …las
en una tabla de verdad, en especial, cuando los valores de verdad de la
fórmula correspondiente se puede deducir fácialmente de las restantes. Por
ejemplo, en la tabla anterior, podría omitirse la cuarte …la, correspondiente
a la fórmula :A sin alterar sustancialmete la asignación de los restantes
valores de verdad.
De…nición 1.3.4 Una proposición se denomina una tautología si siempre
es verdadera independientemente de los valores de verdad asignados a sus
proposiciones constituyentes. Esto es, una proposición es una tautología si
es verdadera para cualquier interpretación. Similarmente, una contradicción
es una proposición que siempre es falsa, para cualquier interpretación.
Se sigue de la de…nición anterior que una proposición A es una contradicción si y solo si :A es una tautología. De otro lado, una manera práctica de
reconocer si una proposición es una tautología es mediante la correspondiente tabla de verdad, lo cual se ilustra en el siguiente ejemplo.
1.3. VERDAD EN LA LÓGICA PROPOSICIONAL
27
Ejemplo 1.3.5 Dada la fórmula (A ^ B) ! (A _ C); determinemos, mediante tablas de verdad, si es una tautología.
A
T
T
T
T
F
F
F
F
B
T
T
F
F
T
T
F
F
C
T
F
T
F
T
F
T
F
A^B
T
T
F
F
F
F
F
F
A_C
T
T
T
T
T
F
T
F
(A ^ B) ! (A _ C)
T
T
T
T
T
T
T
T
Notemos que en la columna correspondiente a la fórmula principal (A^B) !
(A _ C); solo aparece el valor T; lo cual signi…ca que dicha fórmula no puede
ser falsa, esto es, la fórmula es una tautología.
Ejemplo 1.3.6 Consideremos la formula ((A $ (B _ (:C)) ! ((:A) !
C)) y determinemos si es una tautología. Obviamente podríamos calcular su
tabla de verdad y veri…car que solo aparece T en su columna correspondiente,
pero este procedimiento es un poco tedioso (aunque un buen ejercicio de
práctica para el lector !). Como alternativa, ilustraremos un procedimiento
que resulta con frecuencia mas sencillo. Consideremos la siguiente tabla:
(A
$
(B
_
(:
C))
!
F
((:
A)
T
!
C)
F
T
F
F
F
F
F
F
T
1
2
3
4
5
6
7
Ahora, supongamos que la fórmula dada es F ( linea 1). Entonces (A $
(B _ (:C)) es T y (:A) ! C es F ( linea 2 ). Pero si (:A) ! C es F
entonces (:A) es T y C es F ( linea 3 ). Esto a su vez implica que A es F (
linea 4 ). Pero como (A $ (B _ (:C)) es T obtenemos que B _ (:C) es F (
linea 5 ). Se sigue entonces que, tanto B como :C; son F ( linea 6 ). Pero si
:C es F se sigue que C es T ( linea 7 ). Pero tenemos entonces que C es a
la vez F y T ( lineas 3 y 7 ), lo cual es imposible. Concluimos que la fórmula
dada nunca puede ser falsa. Luego es una tautología.
28
CAPÍTULO 1. LÓGICA BÁSICA
Ejemplo 1.3.7 consideremos (C ! B) ! (A_(:C)) y tratemos de averiguar
si es una tautología utilizando el método del ejercicio anterior.
(C
!
B)
!
F
(A
T
_
(:
C))
F
F
F
T
T
1
2
3
4
5
Supongamos que la fórmula dada es F ( linea 1 ). Entonces (C ! B) es
T y (A _ (:C)) es F ( linea 2 ). Se sigue entonces que, tanto A como (:C);
son F ( linea 3 ) y esto, a su vez, implica que C es T ( linea 4 ). Ahora, como
(C ! B) es T, se sigue que B es T ( linea 5 ). Tenemos entonces que si B y
C son T y A es F la fórmula inicial es F. Luego dicha fórmula no puede ser
una tautología.
Se desprende de la discusión anterior que, desde es el punto de vista de
la noción de verdad, el concepto fundamental en la lógica proposicional es el
de tautología, el cual podríamos equiparar al de verdad absoluta (verdad
lógica). La importancia de las tautologías es que representan fórmulas que
son ciertas gracias a su forma, esto es, sin tener en cuenta el contenido de
las proposiciones elementales constituyentes. Aunque este grupo de proposiciones juega un papel importante en las matemáticas, es claro que la mayoría de las proposiciones matemáticas tienen contenido. Precisamente por
esta razón fue necesario introducir los conceptos de término y predicado,
así como los cuanti…cadores, para tratar de capturar dicho contenido. En la
próxima sección ampliaremos el concepto de interpretación para las fórmulas
de la lógica de predicados, con el …n de discutir en mas detalle el concepto de verdad, en el sentido en que se aplica usualmente a las proposiciones
matemáticas.
Ejercicios
1. Suponga que a las proposiciones A; B; C; D; le asignamos los valores
de verdad T, F, F y T, respectivamente. Encuentre el valor de verdad
1.4. VERDAD EN LA LÓGICA DE PREDICADOS
29
de cada una de las siguientes proposiciones.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(A _ B) _ C:
A _ (B _ C):
A ! (B _ C):
B ! (C ! D):
D ! (A ^ C):
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
A _ C $ C ^ :D:
D $ A ! (:A _ D):
B ^ :D ! (A $ D):
C ^ D ! (A ! :B _ D):
(A _ :B) _ C ! (D ^ :D):
2. Construya la tabla de verdad para cada una de las siguientes proposiciones.
(a)
(b)
(c)
(A _ B) ! :C:
A $ (:B _ A):
A ! (B ! C):
(d)
(e)
(f)
A _ C $ C ^ :A:
D $ A ! (:A _ B):
B _ :D ! (A $ D):
3. Determine, para cada una de las proposiciones siguientes, si es una
tautología, una contradicción o ninguna de las dos.
(a)
(b)
(c)
(d)
A $ (A _ A):
((A ! B) ^ B) ! A:
:A ! (A ^ B):
(A ! B) ! ((B ! C) ! (A ! C):
(e)
(f)
(g)
(h)
A ^ :(A _ B):
(A ! B) $ (:A _ B):
(A ! B) $ :(A ^ :B):
(B $ (B ! A)) ! A:
4. Suponga que (A $ B) es falso. Qué valores de verdad se pueden
deducir para las expresiones siguientes?
(a)
(b)
A ^ B:
A _ B:
(c)
(d)
A ! B:
A ^ C $ B ^ C:
5. Repita el ejercicio anterior, suponiendo que (A $ B) es verdadero.
1.4.
Verdad en la Lógica de Predicados
Consideremos la proposición
La nieve es blanca.
Si nos preguntamos por el valor de verdad de esta proposición, obviamente diremos que es verdadera. Pero un análisis mas cuidadoso mostrará
que esto se debe al signi…cado usual asociado a sus componentes: la nieve y
la blancura. De otro lado, si consideramos la proposición
30
CAPÍTULO 1. LÓGICA BÁSICA
La nieve es blanca o la nieve no es blanca,
también diremos de ella que es verdadera, pero obviamente no es posible
imaginar un universo o unas circumstancias en que fuera falsa. Para captar
de una manera mas clara la diferencia entre las dos proposiciones recurrimos
a una simbolización apropiada y notamos que si A representa “ La nieve es
blanca ”, entonces “ La nieve es blanca o la nieve no es blanca ” se representa
por:
A _ :A
la cual, obviamente, es una tautología y, por lo tanto, no puede ser falsa
para ninguna interpretación de la proposición A:
Retomando, entonces, la proposición inicial, notamos que no es mucho lo
que pueda aportar la lógica proposicional a la hora de determinar su valor de
verdad. De hecho, desde esa perspectiva, no es mucho lo que pueda decirse
acerca de una proposición atómica A, excepto que puede ser verdadera o
falsa. La determinación precisa de su valor de verdad correcto es algo que
se logra mediante un análisis preciso de sus elementos constituyentes y de
su universo de referencia, algo que, en principio corresponde a la lógica de
predicados.
Lo primero que hacemos,entonces, con una proposición es simbolizarla
apropiadamente. Esto, en general, requiere del lenguaje de la lógica predicativa, la cual involucra cuanti…cadores, términos y predicados. Pero entonces
es claro que, antes de tratar de determinar la verdad de la proposición, es
preciso primero …jar su sentido. Esto, a su vez, involucra un dominio o universo de referencia para las variables, así como una determinación precisa
del signi…cado de los términos y los predicados.
Ejemplo 1.4.1 Consideremos la a…rmación
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 :
Como ya se había mencionado, hay varias maneras de simbolizar esta a…rmación. Para empezar, podríamos suponer que su sentido es el de una ecuación,
en vez de una identidad, lo cual podría interpretarse como
(9a)(9b)[(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ]:
O quizás es algo intermedio, tal vez representado como
(9a)(8b)[(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ]:
1.4. VERDAD EN LA LÓGICA DE PREDICADOS
31
Quizás la interpretación mas natural sea la usual ( como una identidad),
(8a)(8b)[(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ]:
Pero incluso en este caso, no es claro su sentido, pues es no sabemos el
dominio de referencia (o universo) en el cual las variables a; b; pueden
tomar valores. Si imaginamos que las variables toman valores en un conjunto
de matrices, por ejemplo, entonces, dependiendo del tamaño de dichas matrices, las operaciones de adición y multiplicación pueden no estar de…nidas,
en cuyo caso la a…rmación carece de sentido. Tenemos entonces que la interpretación natural de dicha igualdad se captura con la representación
(8a 2 R)(8b 2 R)[(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ]:
(1)
Donde, implícitamente, estamos interpretando las operaciones indicadas en
el sentido usual. Finalmente, es claro que la expresión en (1) simboliza una
proposición genuina, sobre la cual se puede indagar si es verdadera o falsa.
Ejemplo 1.4.2 Continuando con el ejemplo anterior, es importante mencionar la importancia de interpretar los símbolos + y en la forma usual.
Es claro que si denota una operación sobre R; entonces la expresión
(8a 2 R)(8b 2 R)[(a
b)2 = a2
2ab
b2 ]
carece de sentido hasta que especi…quemos claramente el signi…cado de
:
Ejemplo 1.4.3 Consideremos ahora las siguientes expresiones
(i) (8x)(9y)[(x = 2y) _ (x = 2y + a)]:
(ii) (8x)(8y)[(xy = b) ! (x = b) _ ( y = b)]:
(iii) (9y)[2y = a].
Es claro que, incluso si interpretamos las operaciones que aparecen de
la manera usual, el sentido de estas a…rmaciones se aclarará, solo cuando
especi…quemos el dominio de referencia para las variables y también el valor
de los símbolos a y b: Si …jamos entonces el dominio de referencia como los
números enteros y hacemos a = 1 y b = 0; entonces (i) a…rma que todo entero
es par o impar. Similarmente, (ii) signi…ca que si un producto de enteros es
0; entonces uno de ellos debe ser 0: Finalmente, la expresión en (iii) a…rma
que 1 es un número par. Para terminar, notemos cómo cambia el sentido de
las a…rmaciones resultantes si intercambiamos los valores asignados a a y b;
esto es, si hacemos a = 0 y b = 1:
32
CAPÍTULO 1. LÓGICA BÁSICA
Los ejemplos anteriores ilustran el primer paso que se requiere para investigar el valor de verdad de una proposición. Aunque se puede dar una
de…nición formal de las nociones involucradas, es claro que, al menos desde el
punto de vista intuitivo, para …jar el sentido de una proposición se requiere,
en primer lugar, designar un universo o dominio de referencia y después
asignar a los términos y los predicados, un sentido claro en función de dicho
universo. En general, a cada predicado se le asigna un subconjunto apropiado, en términos de su número de variables o argumentos y a los términos se
les asignan individuos que pertenecen a dicho universo. Una correspondencia
de este tipo se denomina una interpretación de la proposición en cuestión
(o mas precisamente, una interpretación de la fórmula que simboliza dicha
proposición).
Notemos que la palabra interpretación designa tanto una manera de
…jar el sentido de una fórmula de la lógica proposicional como de la lógica
de predicados. Sin embargo, se espera que el contexto en que aparece la
fórmula permita dirimir cualquier ambiguedad potencial.
Después de esta discusión, intuitiva, sobre el sentido de una proposición,
estamos listos para introducir una de las nociones fundamentales del cálculo
de predicados. En lo que sigue supondremos que las fórmulas son cerradas,
pues de este modo simpli…camos un poco mas el tratamiento del tema. Para
un tratamiento general, se pueden consultar las fuentes clásicas, por ejemplo
[Enderton] o [Mendelson].
De…nición 1.4.4 Sea A una fórmula cerrada del cálculo de predicados.
Decimos que A es lógicamente válida si A es verdadera para cualquier
interpretación. Similarmente, decimos que A es contradictoria si es falsa
para cualquier interpretación, esto es , si :A es lógicamente válida. De otro
lado, si A es verdadera para una interpretación, decimos que dicha interpretación satisface a A:
Notemos que las fórmulas lógicamente válidas cumplen un papel similar
al de las tautologías en el cálculo proposicional. La gran diferencia es que las
tablas de verdad permiten veri…car en forma sencilla si una fórmula es tautología, mientras que en el calculo de predicados no existe un procedimiento
similar para veri…car la validez lógica.
Ejemplo 1.4.5 (i) Consideremos la siguiente fórmula del cálculo proposicional
(A ^ B) ! (A _ C)
1.4. VERDAD EN LA LÓGICA DE PREDICADOS
33
y sean A; B; C; fórmulas cualesquiera del cálculo de predicados. Entonces, es fácil veri…car que (A ^ B) ! (A _ C) es una tautología (ver
el ejemplo 1.3.5), de modo que la fórmula
(A ^ B) ! (A _ C)
es lógicamente válida.
(ii) De hecho podemos generalizar el numeral anterior como sigue. Sea
(A1 ; A2 ;
; An ) una tautología, donde las Ai son letras que representan proposiciones atómicas. Entonces, si A1 ; A2 ;
; An ; son fórmulas del cálculo de predicados, se tiene que la fórmula
(A1 ; A2 ;
; An )
(1)
es lógicamente válida. Donde la fórmula en (1) se obtiene sustituyendo
cada Ai por la correspondiente letra Ai en la fórmula (A1 ; A2 ;
; An ):
En este caso, decimos que la fórmula (1) es una instancia de la tautología (A1 ; A2 ;
; An ):
Ejemplo 1.4.6 Si apelamos a nuestra intuición respecto al signi…cado de
los cuanti…cadores, es fácil ver que las siguientes fórmulas son logicamente
válidas
(i) (8x)A ! (9x)A:
(ii) (8x)(8y)A ! (8y)(8x)A:
(iii) (8x)A $ :(9x):A:
(iv) (8x)(A ! B) ! [(8x)A ! (8x)B]:
(v) ((8x)A) _ ((8x)B) ! (8x)(A _ B):
Nota 1.4.7 Es común decir que una fórmula A del cálculo de predicados
es válida en vez de lógicamente válida. Otro nómbre común es el de tautológiamente válida. De hecho, a las tautologías se les denomina también
fórmulas válidas. En general, se dice que una fórmula es válida si es cierta
bajo cualquier interpretación o, intuitivamente, en cualquier universo. De
otro lado, una fórmula A no es válida si, y sólo si, su negación :A es satisfacible, esto es, si y sólo si, existe una interpretación bajo la cual :A es
verdadera.
34
CAPÍTULO 1. LÓGICA BÁSICA
Ejemplo 1.4.8 Mostremos, por medio de contraejemplos apropiados, que
las siguientes fórmulas no son válidas:
(i) (8x)(9y)R(x; y) ! (9y)R(y; y):
En este caso, elegimos el universo como el conjunto R de los números reales
y a R le asociamos la relación “menor que”. Esto es, hacemos que
R(x; y) x < y; para x; y 2 R: Entonces la fórmula dada se convierte
en la a…rmación
(8x)(9y)(x < y) ! (9y)(y < y):
Pero esta fórmula es falsa bajo esta interpretación, ya que claramente
su antecedente es verdadero, pero no existe ningún número real y que
satisfaga y < y; de modo que el consecuente es falso.
(ii) (9x)[R(x) ! S(x)] ! [(9x)R(x) ! (9x)S(x)]:
En este caso, tomemos a los enteros como nuestro universo y hagamos
R(x) “x es un número impar” y S(x) “x es un número impar
divisible por 2”. Entonces, claramente, x = 4 satisface las condiciones
del antecedente, esto es,
si 4 es impar, entonces 4 es un número impar divisible por 2:
Luego (9x)[R(x) ! S(x)] es verdadera bajo esta interpretación. Sin embargo, [(9x)R(x) ! (9x)S(x)] es falso, pues claramente existen enteros
que son impares, pero no existen números impares divisibles por 2:
Ejercicios
1. Determine si las siguientes fórmulas son lógicamente válidas.
(i) :(9x)(8y)(R(y; x) $ :R(y; y)):
(ii) [(9x)R(x) ! (9x)S(x)] ! (9x)(R(x) ! S(x)):
(iii) (9x)(R(x) ! (8y)R(y)):
(iv) (8x)(R(x) _ S(x)) ! [(8x)R(x) _ (9x)S(x)]:
2. Muestre que las siguientes fórmulas no son lógicamente válidas.
(i) (9x)(9y)R(x; y) ! (9y)R(y; y):
1.5. IMPLICACIÓN LÓGICA
35
(ii) [(9x)R(x) $ (9x)S(x)] ! (8x)(R(x) $ S(x)):
(iii)
[(8x)(8y)(R(x; y) ! R(y; x)) ^ (8x)(8y)(8z)(R(x; y) ^ R(y; z)
! R(x; z))] ! (8x)R(x; x):
(iv) (9x)(8y)(R(x; y) ^ :R(y; x) ! [R(x; x) $ R(y; y)]):
(v) (9x)(8y)(9z)[(R(y; z) ! R(x; z)) ! (R(x; x) ! R(y; x))]:
1.5.
Implicación Lógica
Uno de los elementos distintivos de la lógica, desde sus comienzos, es el
estudio de los métodos de razonamiento con el …n de determinar y justi…car
los que son correctos. El estudio de estos métodos nos llevan de una manera
natural a la idea de implicación lógica, la cual bosquejamos a continuación. Empezamos por extender la noción de interpretación a mas de una
proposición. En este sentido, si es un conjunto de proposiciones, una interpretación de es simplemente una interpretación de todas las proposiciones
en . Además, dicha interpretación satisface a si satisface a cada una
de sus proposiciones. Una de las razones principales para introducir la noción de interpretación es la facilidad con que se de…ne una de las nociones
fundamentales en la lógica, tanto proposicional como de predicados:
De…nición 1.5.1 Sea un conjunto de proposiciones y sea B una proposición. Decimos que lógicamente implica a B o que B es consecuencia
lógica de , lo cual escribimos
j= B
si toda interpretación que satisface a también satisface a B . Si es el conjunto de proposiciones fA1 ; A2 ; :::; An :g; entonces escribimos A1 ; A2 ; :::; An j=
B en vez de fA1 ; A2 ; :::; An g j= B. De otro lado, si A j= B y B j= A; decimos
que A y B son lógicamente equivalentes y escribimos A , B .
Nota 1.5.2 Algunos textos escriben A =) B como sinónimo de A j= B .
De otro lado, si no es cierto que j= B; entonces escribimos
2 B:
36
CAPÍTULO 1. LÓGICA BÁSICA
En particular, notemos que j= B si y solo si B es verdadera para cualquier
interpretación, esto es, precisamente cuando B es válida. También debemos
mencionar que el símbolo , no es un conectivo lógico, sino una notación
adecuada para relacionar dos proposiciones.
A…rmación 1.5.3 Sean A1 ; A2 ; :::; An ; B proposiciones. Entonces se tiene
que
A1 ; A2 ; :::; An j= B si, y solo si, A1 ^ A2 ^ ::::: ^ An j= B
Prueba. Primero supongamos que A1 ; A2 ; :::; An j= B y veamos que A1 ^
A2 ^ ::::: ^ An j= B . Con tal …n, sea una interpretación que satisface a
A1 ^A2 ^:::::^An . Entonces, de acuerdo a la tabla de verdad de ^, vemos que
satisface a A1 ; A2 ; :::; An : Pero por hipótesis A1 ; A2 ; :::; An j= B, entonces
por de…nición de j= tenemos que satisface a B . Hemos mostrado que
cualquier interpretación que satisface A1 ^ A2 ^ ::::: ^ An también satisface
a B. Esto es, A1 ; A2 ; :::; An j= B. De otro lado, supongamos ahora que A1 ^
A2 ^ ::::: ^ An j= B y mostremos que A1 ; A2 ; :::; An j= B. Con tal propósito,
sea una interpretación que satisface A1 ; A2 ; :::; An : Entonces, por la tabla
de verdad de ^, se sigue que dicha satisface a A1 ^ A2 ^ ::::: ^ An . Pero,
por hipótesis A1 ^ A2 ^ ::::: ^ An j= B, entonces también satisface a B.
Hemos visto entonces que toda interpretación que satisface a A1 ; A2 ; :::; An
también satisface a B. Esto es, A1 ; A2 ; :::; An j= B. De lo anterior se sigue la
equivalencia requerida.
A…rmación 1.5.4 (Prueba Condicional) Sean A1 ; A2 ; :::; An ; A; B proposiciones. Entonces se tiene que
A1 ; A2 ; :::; An ; A j= B si, y solo si, A1 ; A2 ; :::; An j= A ! B
Prueba. =) : Supongamos que A1 ; A2 ; :::; An ; A j= B y sea una interpretación que satisface a fA1 ; A2 ; :::; An g: Entonces se presentan dos casos:
si no satisface a A; se sigue de la tabla de verdad para A ! B; que satisface a A ! B: De otro lado, si satisface a A; entonces satisface el conjunto
fA1 ; A2 ; :::; An ; Ag; de modo que por la hipótesis, se sigue que satisface
a B: Hemos probado entonces que cualquier interpretación que satisface a
fA1 ; A2 ; :::; An g, también satisface a A ! B: Esto es,
A1 ; A2 ; :::; An j= A ! B:
(= : Supongamos ahora que A1 ; A2 ; :::; An j= A ! B y sea
una
interpretación que satisface a fA1 ; A2 ; :::; An ; Ag: Entonces, en particular,
satisface a fA1 ; A2 ; :::; An g y entonces, por la hipótesis, también satisface
1.5. IMPLICACIÓN LÓGICA
a A ! B: Pero como
es,
satisface a A; obtenemos que
37
satisface a B: Esto
A1 ; A2 ; :::; An ; A j= B:
Como un caso particular, obtenemos la siguiente equivalencia.
Corolario 1.5.5 Sean A y B proposiciones, entonces se cumple que
A j= B si y solo si A ! B es válida.
Ejemplo 1.5.6 En lo que sigue, usamos la de…nición de consecuancia lógica
para mostrar que
A ! B, :(B _ C) j= :A.
Con tal propósito, mostraremos que (A ! B) ^ :(B _ C) ! :A es una
fórmula válida, veri…cando que cualquier asignación satisface dicha fórmula.
Si la fórmula es F entonces (A ! B) ^ :(B _ C) es T y :A es F. Lo cual
implica que A, A ! B y :(B _ C) son T. Pero esto, a su vez, implica
que B es T. Por lo tanto B _ C es T y por consiguiente :(B _ C) es F.
Lo cual es imposible, pues ya habíamos concluido que :(B _ C) debía ser
falsa. En conclusión, (A ! B) ^ :(B _ C) ! :A no puede ser F para
ninguna interpretación y, por lo tanto, es una fórmula válida. Luego, de las
a…rmaciones anteriores se tiene lo pedido.
Acontinuación enunciamos algunas de implicaciones lógicas ( o equivalentemente, tautologías) mas conocidas, las cuales se demuestran fácilmente
usando las tablas de verdad de los conectivos correspondientes. Estas tautologías forman la base para las denominadas reglas de inferencia, las cuales
se discutirán en mas detalle en la próxima sección.
A…rmación 1.5.7 Sean A , B, C, D proposiciones. Entonces
(i) (A ! B) ^ A j= B (Modus Ponens).
(ii) (A ! B) ^ :B j= :A (Modus Tollens)
(iii) A ^ B j= B (Regla de Simpli…cación).
(iv) A ^ B j= A (Regla de Simplicación).
(v) A j= A _ B (Ley de Adición).
(vi) B j= A _ B (Ley de Adición).
38
CAPÍTULO 1. LÓGICA BÁSICA
(vii) (A $ B) j= A ! B (Ley del Bicondicional).
(viii) (A $ B) j= B ! A (Ley del Bicondicional).
(ix) (A _ B) ^ :A j= B (Modus Tollendo Ponens).
(x) (A _ B) ^ :B j= A (Modus Tollendo Ponens).
(xi) (A $ B)^(B $ C) j= A ! C (Ley del Silogismo Hipotético).
(xii) (A $ B)^(C $ D) ^ (A _ C) j= B _ D (Ley del Silogismo Disyuntivo).
Prueba. Como se mencionó antes, las demostraciones de estas implicaciones
se siguen fácilmente de la de…nición. Con …nes ilustrativos, mostraremos
algunas y dejamos las restantes como ejercicios.
(ii) Supongamos que es una interpretación que satisface la fórmula (A ! B) ^ :B:
Mostremos que satisface a :A: Por una a…rmación anterior, sabemos
que satisface a fA ! B; :Bg y, en particular, falsi…ca a B: De donde
se sigue que falsi…ca a A; esto es, satisface a :A:
(ix) Sea una interpretación que satisface la fórmula (A _ B) ^ :A y mostremos
que satisface a B: Ahora, utilizando la tabla de verdad de la conjunción, se sigue que satisface a (A _ B) y a :A: Esto es, falsi…ca a
A y satisface a (A _ B): Pero entonces, se sigue de la tabla de verdad
para la disyunción, que satisface a B: Hemos mostrado entonces que
cualquier interpretación que satisface a (A _ B) ^ :A también satisface a B: Luego se concluye que
(A _ B) ^ :A j= B:
(xii) Sea una interpretación que satisface a (A $ B)^(C $ D) ^ (A _ C)
y mostremos que satisface a B _ D: Tenemos entonces que satisface el conjunto fA $ B; C $ D; A _ Cg: Claramente, si satisface
a B entonces satisface a B _ D: De modo que podemos suponer que
no satisface a B: Se sigue entonces, de la tabla de verdad para el
bicondicional, que
tampoco satisface a A: Pero como
satisface
a A _ C; obtenemos que satisface a C: Lo cual implica que satisface a D y, por lo tanto, satisface a B _ D: Hemos mostrado que
cualquier interpretación que satisface a (A $ B)^(C $ D) ^ (A _ C)
también satisface a B _ D: Esto es,
(A $ B)^(C $ D) ^ (A _ C) j= B _ D:
1.5. IMPLICACIÓN LÓGICA
39
A…rmación 1.5.8 Sean A , B, C proposiciones, entonces
(i) :(:A) , A (Doble Negación).
(ii) (A _ A) , A (Simpli…cación disjuntiva)
(iii) (A _ B) ,(B _ A) (Conmutatividad).
(iv) (A ^ B) ,(B ^ A) (Conmutatividad).
(v) (A _ B) _ C , A _ (B _ C) (Asociatividad).
(vi) (A ^ B) ^ C , A ^ (B ^ C) (Asociatividad).
(vii) A^(B _ C) , (A ^ B) _ (A ^ C) (Distributividad).
(viii) A_(B ^ C) , (A _ B) ^ (A _ C) (Distributividad).
(ix) :(A ^ B) , :A _ :B (Ley de DeMorgan).
(x) :(A _ B) , :A ^ :B (Ley de DeMorgan).
(xi) (A ! B) , (:B ! :A) (Contrapositivo).
Prueba.
(ix) Mostremos primero que :(A ^ B) j= :A _ :B: Sea una interpretación
que satisface a :(A ^ B); esto es, falsi…ca a A ^ B y supongamos que
no satisface a :A: Entonces satisface a A y, por lo tanto, falsi…ca a B:
Esto es, satisface a :B: Hemos mostrado que cualquier interpretación
que satisface a :(A ^ B) también satisface a :A _ :B; lo cual implica
la a…rmación. En el otro sentido, mostremos que :A _ :B j= :(A ^ B):
Con tal propósito, sea una interpretación que satisface a :A _ :B
y consideremos dos casos: primero, supongamos que satisface a :A;
esto es, falsi…ca a A: Entonces falsi…ca a A ^ B y, por lo tanto, satisface a :(A ^ B): La otra posibilidad, que satisface a :B; es similar
y concluimos que toda interpretación que satisface a :A _ :B también
satisface a :(A ^ B): Esto es, :A _ :B j= :(A ^ B): De lo anterior se
sigue que
:(A ^ B) , :A _ :B:
40
CAPÍTULO 1. LÓGICA BÁSICA
(xi) Mostremos primero que (A ! B) j= (:B ! :A): Ahora, por un resultado anterior, basta mostrar que
(A ! B); :B j= :A:
Supongamos entonces que es una interpretación que satisface a (A ! B) ^ :B:
Entonces falsi…ca a B y satisface a (A ! B): Lo cual signi…ca que
falsi…ca a A:Esto es, satisface a :A: Hemos mostrado que cualquier
interpretación que satisface a (A ! B) ^ :B también satisface a :A:
Esto es,
(A ! B); :B j= :A:
En la otra dirección, mostremos que (:B ! :A) j= (A ! B): Como
en el caso anterior, basta mostrar que
(:B ! :A) ^ A j= B:
Pero una interpretación que satisface a (:B ! :A) ^ A, necesariamente falsi…ca a :A: Por lo tanto, también falsi…ca a :B; esto es, satisface a B: Concluimos que cualquier interpretación satisface a (A ! B)
si, y sólo si, satisface a (:B ! :A): Esto es,
(A ! B) , (:B ! :A):
Ejercicios
1. Sean A1 ; A2 ; :::; An ; B proposiciones. Muestre que las siguientes a…rmaciones son equivalentes:
(i) A1 ; A2 ; :::; An j= B:
(ii) j= A1 ! (A2 ! (A3 ! (
2. Sean A1 ; A2 ;
lo siguiente:
; An ; B1 ; B2 ;
(An ! B)
):
Bm ; C proposiciones. Entonces muestre
(i) A1 ; A2 ; :::; An j= Ai para i = 1; 2;
; n:
(ii) Si A1 ; A2 ; :::; An j= Bj para j = 1; 2;
; m y además B1 ; B2 ;
C; entonces
A1 ; A2 ; :::; An j= C:
Bm j=
1.6. ARGUMENTOS VÁLIDOS
41
3. Complete la demostración de la a…rmación 1.5.7.
4. Complete la demostración de la a…rmación 1.5.8.
5. Justi…que las siguientes a…rmaciones, donde A y B son proposiciones.
(i) j= A ! B $ :A _ B:
(ii) j= A ! B $ :(A ^ :B):
(iii) j= A _ B $ :A ! B:
(iv) j= A _ B $ :(:A ^ :B):
(v) j= A ^ B $ :(A ! :B):
(vi) j= A ^ B $ :(:A _ :B):
(vii) j= (A $ B) $ (A ! B) ^ (B ! A):
1.6.
Argumentos Válidos
Ahora que disponemos de la noción de consecuencia lógica, junto con los
resultados anteriores, podemos introducir una de las nociones fundamentales
de la lógica. Incluso en el lenguaje cotidiano, las nociones de argumento, razonamiento, demostración tienen un signi…cado similar, sino equivalente, a
saber, una sucesión de a…rmaciones que proceden de forma, mas o menos ordenada y cuyo …n es establecer una conclusión. Se supone, adicionalmente,
que el razonamiento procede de unos supuestos iniciales, las premisas, y
que las a…rmaciones resultantes se siguen lógicamente de las anteriores. Los
razonamientos en matemáticas no están muy alejados de esta descripción
intuitiva y se denominan argumentos válidos. Algo fundamental en un
argumento de este tipo es que las hipótesis iniciales deben ser proposiciones
claramente establecidas, la argumentación procede de forma ordenada y,
por último, cada a…rmación resultante debe ser consecuencia lógica de las
anteriores.
Con el …n de asegurar la validez de los argumentos en matemáticas, se
utilizan desde la antiguedad ciertos procedimientos deductivos denominados
reglas de inferencia. En dichas reglas de inferencia, se especi…ca de manera clara cuales son las premisas y se indican algunas a…rmaciones que se
deducen lógicamente de dichas premisas. Entre las mas conocidas reglas de
inferencia, podemos citar las que aparecen en las a…rmaciones 1.5.7 y 1.5.8,
donde, evidentemente, una implicación lógica de la forma A ! B se interpreta en el sentido de que, si A es una premisa, entonces se puede deducir B
de dicha premisa. A continuación enumeramos las reglas de inferencia mas
42
CAPÍTULO 1. LÓGICA BÁSICA
usadas. Las que aparecen en la parte I, corresponden al cálculo proposicional y son su…cientes para justi…car cualquier razonamiento que involucre
solamente formas sentenciales. Las últimas cuatro reglas de inferencia de la
parte II, complementan a las primeras y se requieren para justi…car las argumentaciones que involucran, en generan, fórmulas del cálculo de predicados.
El papel de las reglas de inferencia está íntimamente relacionado con
las deducciones formales que sirven como representación de los argumentos
válidos. Un argumento típico en matemáticas consiste en mostrar que una
a…rmación B es consecuencia lógica de un conjunto de premisas
fA1 ; A2 ;
; An g:
Donde,usualmente, podemos suponer que las fórmulas involucradas son cerradas y además, las variables que aparecen toman valores en un conjunto
determinado de antemano, ya sea este algún conjunto numérico, o una estructura algebraica o topológica, etc. La idea es entonces mostrar que
fA1 ; A2 ;
; An g j= B:
(1)
Una manera de establecer (1) es generar una lista de fórmulas
C1 ; C2 ; C3 ;
; Cm (
B)
(2)
tal que la presencia de cada fórmula Ci se justi…ca por la aplicación de
una regla de inferencia. Una lista de fórmulas como (2) se denomina una
derivación formal de B; a partir de las premisas A1 ; A2 ;
; An : Aparte de
las reglas de inferencia generadas por tautologías y fórmulas válidas, también
se utilizan otras tres reglas auxiliares denominadas regla de las premisas,
regla de los teoremas y regla de la Prueba Condicional. La primera
permite que una fórmula aparezca en una derivación si dicha fórmula es una
premisa. La segunda, justi…ca la presencia de una fórmula cualquiera en una
derivación, si dicha fórmula es consecuencia lógica de las premisas iniciales
y si, además, esto ya se ha establecido mediante una derivación correspondiente. Finalmente, la regla de la Prueba Condicional permite deducir la
conclusión A ! B de las premisas ; si se ha demostrado que ; A j= B: La
justi…cación de dicha regla (al menos en el cálculo proposicional) es precisamente la a…rmación 1.5.4 y una prueba similar la justi…ca para fórmulas
cerradas del cálculo de predicados.
La justi…cación del procedimiento anterior consiste en mostrar que, dado
un conjunto de premisas fA1 ; A2 ;
; An g; si existe un conjunto de fórmulas B1 ; B2 ; Bm ; C; tal que A1 ; A2 ; :::; An j= Bj ; para j = 1; 2;
; m; y,
1.6. ARGUMENTOS VÁLIDOS
además, B1 ; B2 ;
43
Bm j= C; entonces
A1 ; A2 ; :::; An j= C:
Teniendo en cuenta el enfoque intuitivo que hemos seguido hasta ahora,
dicha justi…cación es un procedimiento relativamente sencillo (ver ejercicio
2 de la sección anterior). Por último, cabe mencionar que en algunas situaciones se requiere mostrar que cierta fórmula B no es consecuencia lógica de
un conjunto de premisas fA1 ; A2 ;
; An g: Esto es, se require probar que
fA1 ; A2 ;
; An g 2 B;
lo cual se logra mediante la exhibición de una interpretación que satisface
a fA1 ; A2 ;
; An g pero que no satisface a B: Esto es, una interpretación
que satisface el conjunto de fórmulas fA1 ; A2 ;
; An ; :Bg:
Teorema 1.6.1 Sea C una contradicción y supongamos que fA1 ; A2 ;
C. Entonces el conjunto fA1 ; A2 ;
; An g no es satisfacible.
; An g j=
Prueba. Si es una interpretación cualquiera, entonces no puede satisfacer a C; pues C siempre es falsa. Por lo tanto no puede satisfacer el
conjunto fA1 ; A2 ;
; An g:
Teorema 1.6.2 Supongamos que el conjunto de fórmulas fA1 ; A2 ;
implica lógicamente una contradicción C: Entonces se tiene que
fA1 ; A2 ;
; An ; :Bg
; An g j= B:
Prueba. Si fA1 ; A2 ;
; An ; :Bg j= C; entonces tenemos que fA1 ; A2 ;
; An g j=
:B ! C: Ahora, si es una interpretación que satisface a fA1 ; A2 ;
; An g;
se sigue que satisface la fórmula :B ! C: Pero C siempre es falsa, de modo
que falsi…ca a :B: Esto es, satisface a B: Hemos mostrado entonces que
cualquier interpretación que satisface a fA1 ; A2 ;
; An g; también satisface
a B: Luego se tiene que
fA1 ; A2 ;
; An g j= B:
A continuación enunciamos algunas de las reglas de inferencia mas usadas
e ilustramos su manejo con algunas derivaciones.
Reglas de Inferencia (Parte I)
44
CAPÍTULO 1. LÓGICA BÁSICA
ModusPonendoPonens(PP)
A!B
A
B
Silogismo Hipotético(SH)
A!B
B!C
A!C
Modus Tollendo
A_B
:A
B
Ponens(TP)
A_B
:B
A
Silogismo Disyuntivo(SD)
A_B
A_B
A!C
A!C
B!D
B!D
C_D
D_C
Regla de Simpli…cación(S)
A^B
A^B
A
B
Bicondicional-Condicional(BC)
A$B
A$B
A!B
B!A
Simpli…cación Disyuntiva(S)
A_A
A
Leyes de DeMorgan
:(A _ B)
:A ^ :B
:A ^ :B
:(A _ B)
ModusTollendoTollens(TT)
A!B
:B
:A
Ley de Adición(LA)
A
B
A_B
A_B
Regla de Adjunción(A)
A
A
B
B
A^B
B^A
Condicional-Bicondicional(CB)
A!B
A
B!A
B
A$B
B^A
Leyes Conmutativas(C)
A^B
A_B
B^A
B_A
Doble Negación(DN)
A
::A
::A
A
Equivalencia Bicondicional(EB)
A$ B
(A ! B)^(B ! A)
Leyes de DeMorgan
:(A ^ B)
:A _ :B
:A _ :B
:(A ^ B)
1.6. ARGUMENTOS VÁLIDOS
45
Ejemplo 1.6.3 Veri…quemos de nuevo que
A ! B, :(B _ C) j= :A;
pero esta vez, usando las anteriores reglas de inferencia y generando una
derivación.
1.
2.
3.
4.
5.
A!B
:(B _ C)
:B ^ :C
:B
:A
Premisa
Premisa
2, DeMorgan
3, Simpli…cación
1, 4, Tollendo Tollens
Ejemplo 1.6.4 Usaremos el método anterior para intentar justi…car la validez
de la siguiente argumentación:
Si el senador gana la nominación, él será feliz. Si él es feliz entonces
no es buen dirigente. Pero si pierde la nominación, perderá la con…anza del
partido. De otro lado, él no es un buen dirigente si pierde la con…anza del
partido. Y si él no es un buen dirigente deberá retirarse del partido. Ahora,
o el senador gana la nominación o la pierde. Por lo tanto, el senador no
debe retirarse del partido.
Solución. Primero simbolizamos el razonamiento mediante la introducción de una notación apropiada. Con este …n hacemos G
“ el senador
gana la nominación ”. F
“ el senador es feliz” . D
“ el senador es
buen dirigente ”. P
“el senador pierde la con…anza del partido”. R
“el senador debe retirarse del partido ”. De modo que la argumentación se
puede representar como:
G!F
F ! :D
:G ! P
P ! :D
:D ! R
G _ :G
:R
Intentemos, entonces, deducir :R de las premisas dadas. Después de
varios intentos infructuosos, tal vez sospechamos que el razonamiento no es
válido. Pero obviamente, una sospecha no es su…ciente. Debemos mostrar
que las premisas se pueden hacer todas verdaderas y la supuesta conclusión
falsa. Esto es, debemos mostrar que el conjunto de proposiciones
= fG ! F , F ! :D, :G ! P , P ! :D, :D ! R , G _ :G, Rg
46
CAPÍTULO 1. LÓGICA BÁSICA
es satisfacible. Luego necesitamos una interpretación que satisfaga a
.
Pero si hacemos a F , G y R verdaderas y D falsa, encontramos que todas
las proposiciones en
son verdaderas (independiente del valor de verdad
asignado a P ! ). Concluimos que la argumentación ofrecida no es correcta.
Ejemplo 1.6.5 Consideremos el siguiente argumento:
Si asisto a mi clase de natación, entonces debo levantarme temprano. Y
si voy al cine hoy por la noche, me iré a dormir muy tarde. Además, si me
acuesto tarde y me levanto temprano, entonces tendré que subsistir con solo
cuatro horas de sueño. Pero me es imposible subsistir con cuatro horas de
sueño. Por lo tanto, o pierdo mi clase de natación o no voy al cine hoy por
la noche.
Utilizaremos el método sugerido por el teorema 1.6.2 para justi…car dicho
razonamiento. Primero, representamos apropiadamente las proposiciones:
N “Asisto a mi clase de natación”. L “Me levanto temprano”. C “Voy
al cine por la noche”. T “Me acuesto muy tarde”. S “Subsisto con cuatro
horas de sueño”. Tenemos entonces que la argumentación anterior puede
representarse como
N !L
C!T
T ^L!S
:S
:N _ :C:
Ahora, mostraremos como deducir una contradicción a partir de las premisas
fN ! L; C ! T; T ^ L ! S; :S; :(:N _ :C)g
y entonces, concluimos del teorema mencionado, que
fN ! L; C ! T; T ^ L ! S; :Sg j= :N _ :C:
1.6. ARGUMENTOS VÁLIDOS
47
Lo anterior se logra mediante la siguiente derivación
1. N ! L
2. C ! T
3. T ^ L ! S
4. :S
5. :(:N _ :C)
6. N ^ C
7. N
8. L
9. C
10. T
11. T ^ L
12. S
13. S ^ :S
Premisa
Premisa
Premisa
Premisa
Premisa
5, Ley de Demorgan y DN
6, Simpli…cación
1, 7, Modus Ponens
6, Simpli…cación
2, 9, Modus Ponens
8, 10, Adjunción
3, 11, Modus Ponens
4, 12, Adjunción
Reglas de inferencia (Parte II)
(8x en D)A(x)
D(a) ! A(a)
Especi…cación Universal (EU)
Donde las ocurrencias resultantes de a no son ligadas:
(9x en D)A(x)
D(b) ^ A(b)
Especi…cación Existencial(EE)
Donde el símbolo “b” no aparece hasta ese momento en el argumento.
D(c) ! A(c)
(8x en D)A(x)
Generalización Universal(GU)
Donde c es un elemento arbitrario
D(d) ^ A(d)
(9x en D)A(x)
Generalización Existencial(GE)
donde d es un elemento arbitrario.
48
CAPÍTULO 1. LÓGICA BÁSICA
Ejemplo 1.6.6 Construyamos una derivación para el siguiente razonamiento.
Ningún humano es un cuadrúpedo. Todas las mujeres son seres humanos.
Luego, ninguna mujer es un cuadrúpedo.
Primero simbolizamos las distintas a…rmaciones, con el …n de facilitar la
aplicación de las reglas de inferencia. Hagamos entonces H(x) “ x es un
ser humano”, M (x) “x es una mujer”y C(x) “x es un cuadrúpedo”, de
modo que el razonamiento anterior se representa como
(8x)[H(x) ! :C(x)]
(8x)[M (x) ! H(x)]
(8x)[M (x) ! :C(x)]:
Procedemos entonces a justi…car el argumento como sigue:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
(8x)[H(x) ! :C(x)]
(8x)[M (x) ! H(x)]
M (y) ! H(y)
H(y) ! :C(y)
M (y) ! :C(y)
(8x)[M (x) ! :C(x)]
Premisa
Premisa
2, EU
1, EU
3, 4, SH
5, GU
Ejemplo 1.6.7 Consideremos el siguiente razonamiento:
Algunos candidatos de la Izquierda simpatizan con todos los candidatos de
la Derecha. Ningún candidato Izquierdista simpatiza con algún Comunista.
Por lo tanto, ningún candidato de la Derecha es Comunista.
Empezamos por representar las a…rmaciones en forma apropiada: I(x) “x
es un candidato de la Izquierda”, D(x) “x es un candidato de la Derecha”,
Sxy “x simpatiza con y” y, …nalmente, C(x) “x es un comunista”,
donde interpretamos, cuando sea necesario, un predicado como una clase.
Entonces, el razonamiento se representa como
(9x en I)[(8y en D)Sxy]
(8x en I)[(8y en C)(:Sxy)]
(8x en D)[:C(x)]:
Para justi…car esta argumentación, procedemos a derivar la conclusión (8x
1.6. ARGUMENTOS VÁLIDOS
49
en D)[:C(x)] de las premisas dadas haciendo uso de las reglas de inferencia.
1. (9x en I)[(8y en D)Sxy]
2. (8x en I)[(8y en C)(:Sxy)]
3. I(a) ^ (8y en D)Say
4. I(a) ! [(8y en C)(:Say)]
5. I(a)
6. [(8y en C)(:Say)]
7. (8y en D)Say
8. D(b) ! Sab
9. C(b) ! :Sab
10. D(b) ! :C(b)
11. (8x en D)[:C(x)]
Premisa
Premisa
1, EE, a
2, EU
3, Simpli…cación
4, 5, Modus Ponens
3, Simpli…cación
7, EU, b
6, EU
8, 9, Tautología
10, GU
Ejercicios
Simbolice los siguientes razonamientos y justi…que, mediante una derivación,
aquellos que son válidos. Para aquellos que no son válidos, halle una interpretación que satisfaga las premisas y que falsi…que la conclusión.
1. Todos los cientí…cos son neuróticos. Ningún vegetariano es neurótico.
Entonces, ningún vegetariano es un cientí…co.
2. Todo …lósofo analítico admira a Russell. Algunos …lósofos alemanes
rechazan a cualquiera que admire a Russell. Por lo tanto algunos …lósofos alemanes rechazan a todos los …lósofos analíticos.
3. Toda persona normal puede entender matemáticas. Ningún hijo de
Hegel puede entender matemáticas. Ningún loco es apto para votar.
Por lo tanto, ninguno de los hijos de Hegel es apto para votar.
4. Si tomo el tren y el tren está retardado, entonces perderé el nombramiento. Si pierdo el nombramiento y me siento triste, entonces debería ir a casa. Si pierdo el trabajo entonces me sentiré triste y no
debería ir a casa. Por lo tanto, si tomo el tren y el tren está retardado,
conseguiré el trabajo.
5. Cualquier barbero en la ciudad afeita precisamente a los que no se
afeitan solos. Por lo tanto, no hay barberos en la ciudad.
6. O la lógica es difícil o pocos estudiantes la entienden. Si la física es fácil,
entonces la lógica no es difícil. Por lo tanto, si no pocos estudiantes
entienden lógica, la física no es fácil.
50
CAPÍTULO 1. LÓGICA BÁSICA
7. Dados números arbitrarios x; y y z; si x > y y y > z; entonces x > z:
Para ningún número x se tiene que x > x: Por lo tanto, para cualesquier números x; y; si y > x entonces es falso que x > y:
8. Si Gana el Nacional, celebrará Medellín y si ganan los Millonarios,
Bogotá celebrará. Ahora, o gana el Nacional o ganan los Millonarios.
Sin embargo, si gana el Nacional, entonces Bogotá no celebrará y si
ganan los Millonarios, Medellín no celebrará. De modo que Medellín
celebrará si, y sólo si, Bogota no celebrará.
9. Para cada conjunto x; existe un conjunto y cuya cardinalidad es mayor
que la de x: Si x está incluido en y; entonces su cardinalidad no es
mayor que la de y: Todo conjunto está incluido en V: Por lo tanto, V
no es un conjunto.
10. Si Carlos no …rmó el acuerdo, o si Carlos revisó dicho acuerdo, entonces Antonio obtendrá el nombramiento. Si Carlos no completó la
investigación, entonces no revisó el acuerdo. El hecho es que Carlos sí
…rmó el acuerdo, aunque no completó la investigación. Por lo tanto,
Antonio no obtendrá el nombramiento.
Capítulo 2
Métodos de Demostración
Como pudimos apreciar en la última sección, los argumentos válidos
pueden justi…carse por medio de derivaciones. De esta manera garantizamos
que las premisas se han establecido con claridad desde el comienzo y que
cada paso de la argumentación procede de acuerdo a las reglas de inferencia
y, por lo tanto, es una consecuencia lógica de las premisas anteriores. Sin
embargo, desde el punto de vista práctico, no es difícil imaginar condiciones
en las cuales el enfoque de las derivaciones se hace bastante complicado, no
solo por el contenido de abstracción implícito en las premisas iniciales, sino
también por las di…cultades sintácticas relacionadas con la representación
de las fórmulas y la justi…cación formal de cada paso mediante reglas de
inferencia.
Por esta razón, es costumbre en la práctica de las matemáticas, abandonar el enfoque sintáctico relacionado con las derivaciónes y adoptar un
método mas resumido, en el cual se enfatice el contenido de las a…rmaciones
matemáticas, en vez de las di…cultades técnicas asociadas con la lógica. Este
enfoque genera las demostraciones usuales, cuyos rasgos generales comunes
describimos en las secciones siguientes.
2.1.
Premisas y Forma Lógica
En cualquier argumentación válida deben estar presentes, desde un principio y con claridad, las premisas sobre las cuales se apoya el razonamiento.
También se espera que sea claro qué es lo que se intenta probar o justi…car,
esto es, la conclusión esperada. La demostración procede en forma ordenada, generando sucesivamente a…rmaciones, mediante el uso de las reglas de
inferencia, aunque no es preciso mencionar dichas reglas en forma explícita.
51
52
CAPÍTULO 2. MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN
Debemos mencionar que, en la práctica usual, las conclusiones …nales después de una demostración se denominan teoremas, aunque otros nombres
familiares son, proposición, lema, corolario y a…rmación.
Una proposición es una a…rmación de cierta importancia que servirá de
apoyo para la demostración de un teorema. Similarmente, un lema es un resultado de apoyo, que se considera de menor importancia que una proposición. Podría pensarse que la demostración de un teorema complicado, se
divide explícitamente en varios pasos. Luego se procede a la demostración
de algunos de esos pasos, los cuales generan los lemas y las proposiciones.
Finalmente, se enuncia el teorema y se utiliza, en su demostración, los resultados ya probados. A continuación ilustraremos estos conceptos con varios
ejemplos de teoremas clásicos. El propósito es identi…car las premisas y la
forma lógica del enunciado que se va a demostrar, sin prestar mucha atención al contenido o signi…cado de las a…rmaciones involucradas. Empezamos
con una de las joyas de la teoría de los números.
Teorema 2.1.1 Todo entero mayor que 1 se puede escribir como producto
de primos en forma única, excepto por el orden de los factores.
Lo primero que notamos en este enunciado es que su forma lógica no
aparece en forma explícita. Sin embargo, si miramos con un poco mas de
atención, notamos que dicho enunciado puede reescribirse de la siguiente
forma:
Para todo entero, si ese entero es mayor que 1; entonces puede escribirse.....
Lo cual nos indica que la a…rmación tiene la forma
(8x)[E(x) ! F (x)];
(1)
donde E(x) denota el predicado “x es un entero mayor que 1 ” y F (x)
signi…ca “x puede escribirse...”. Obviamente, no es necesario que la expresión
en (1) aparezca explícitamente en el enunciado o en la demostración, pero
es útil que desde un principio, se reconozca la forma del teorema, pues esto
sugiere la estrategia a seguir durante su demostración. En este caso, un
primer intento de demostración adopta como premisa principal la fórmula
E(x); la cual expresamos informalmente con la frase “sea x un entero mayor
que 1”.
Continuamos con otro de los resultados memorables de la teoría de
números, cuya demostración se atribuye a Euclides ( siglo III, A.C.).
Teorema 2.1.2 Existen in…nitos primos.
2.1. PREMISAS Y FORMA LÓGICA
53
Notemos que la a…rmación está de…nida por un cuanti…cador existencial,
de modo que esperaríamos capturar su estructura con una fórmula del tipo
(9x)I(x):
(2)
Sin embargo, si miramos con atención, notamos que el teorema parece a…rmar la existencia de in…nitos objetos, lo cual no podemos expresar directamente con una expresión como (2): Una posible solución consiste en
interpretar el enunciado como la existencia de un conjunto o familia de objetos, cuyos elementos son números primos y que, adicionalmente satisface
el atributo de ser in…nito. Formalmente, lo anterior se simboliza como
(9y)[(8x 2 y)P (x) ^ I(y)];
(3)
donde P (x) signi…ca “x es un número primo”y I(y) representa el predicado
“y es in…nito”.
Consideremos ahora un enunciado famoso de la teoría de conjuntos, el
cual se demostrará en un capítulo posterior.
Teorema 2.1.3 Las siguientes a…rmaciones son equivalentes:
(i) El Axioma de Elección.
(ii) El Lema de Zorn.
(iii) El Principio de Buen Orden.
Notemos que, en este caso, se a…rma la equivalencia de tres enunciados,
los cuales representamos por las letras E; Z; B; respectivamente. Entonces,
el teorema tiene la forma
E $ Z $ B;
la cual, utilizando las reglas de inferencia, podemos interpretar como
E ! Z ! B ! E:
Esto último sugiere la estrategia de prueba: Primero muestre que E ! Z;
luego que Z ! B y, …nalmente, pruebe que B ! E: De esto se sigue, por
transitividad de la implicación, la verdad del enunciado.
54
CAPÍTULO 2. MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN
Ejercicios
Para cada uno de los siguientes enunciados, determine su forma lógica y
las premisas a tener en cuenta en una posible demostración.
1. Todo entero es par o impar.
2. Una sucesión de números reales es convergente si, y sólo si, es de
Cauchy.
3. La ecuación x2 + 1 = 0; no tiene solución en los reales.
4. Sea n una potencia de 2: Entonces la ecuación
xn + y n = z n
no tiene solución en los enteros diferentes de cero.
5. Sea f una función diferenciable en el punto x0 : Entonces, si la derivada
f (x0 ) = 0 y f cambia de + a ; el punto x0 determina un máximo,
en caso contrario determina un mínimo.
6. Si dos conjuntos son comparables, entonces son equipotentes.
p
p
7. El número 5 no es el cociente de dos enteros. Esto es, 5 es un
número irracional.
8. La unión contable de una familia contable es contable.
9. Exactamente la mitad de los enteros a que satisfacen 1
son residuos cuadráticos módulo p; donde p es un primo.
a
p
1
10. Si p es un primo impar y (a; b) = 1; entonces
(a=p) = 1
si, y sólo si,
a(p
1)=2
1(mod p):
11. Sean p; q, primos distintos, entonces (p=q) = (q=p); a no ser que p
q 3(mod 4); en cuyo caso se tiene que
(p=q) =
(q=p):
12. Sea X un espacio y fAi g un cubrimiento de X: Entonces, todos los
conjuntos Ai son abiertos, o los conjuntos Ai son cerrados, en cuyo
caso, la familia fAi g es localmente cerrada.
2.2. PRUEBAS DIRECTAS
55
13. Sea fAi g un cubrimiento de un espacio X: Suponga que
(i) Todos los Ai son abiertos, o
(ii) Todos los Ai son cerrados y forman una familia localmente cerrada.
Entonces un B
X es cerrado si, y sólo si, cada B \ Ai es cerrado.
14. La intersección de una familia enumerable de conjuntos, cada uno de
los cuales es abierto y denso en C; es un conjunto de segunda categoría
cuyo complemento es de primera categoría.
15. Si ZF C es una teoría aritméticamente sólida y U es un computador de
Solovay, entonces la a…rmación “el 0-ésimo bit de la expansión binaria
de U es 0” es verdadera pero no demostrable en ZF C:
2.2.
Pruebas Directas
En términos generales, las demostraciones en matemáticas se pueden
dividir en dos grandes clases: pruebas directas y pruebas indirectas. En esta
sección ilustraremos con algunos ejemplos el método de las pruebas directas.
Usualmente, la prueba directa se aplica a una a…rmación de la forma
A ! B:
(1)
Donde A se puede interpretar como la conjunción de las premisas, o hipótesis
del teorema, y B es la conclusión. Ahora, como su nombre lo indica, el método
consiste en proceder de izquierda a derecha en (1); esto es, suponer que A es
cierta y mostra que B es cierta. A continuación de…nimos algunos conceptos
básicos de teoría de números, recurriendo al conocimiento intuitivo, para
poder introducir conceptos que permitan ilustrar lo anterior con algunos
ejemplos.
De…nición 2.2.1 Sea m un número entero. Entonces decimos que m es
par, si m se puede escribir en la forma
m = 2n
para algún entero n: Similarmente, decimos que m es impar si se puede
escribir como m = 2k + 1; para algún entero k:
56
CAPÍTULO 2. MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN
Nota 2.2.2 Una propiedad básica de los enteros, que será demostrada en un
capitulo posterior, a…rma que un entero no puede ser par e impar a la vez.
En lo que sigue, tomaremos esta propiedad como una premisa adicional, con
el …n de facilitar el enunciado de los ejemplos y las demostraciones de los
teoremas. Para una demostración de esta a…rmación, ver el corolario 6.5.2.
Teorema 2.2.3 El cuadrado de un número impar es impar.
Prueba. Estrategia.Empezamos por notar que el enunciado del teorema
se puede interpretar como
(8m 2 Z)[I(m) ! I(m2 )]:
(2)
Donde Z es el dominio de los números enteros y I(m) es el predicado “m es
un entero impar.”. De este modo, si interpretamos a (2) en sentido literal,
tendríamos que el enunciado original equivale a
para todo m en los enteros, si ese m es impar,entonces el cuadrado de m también es impar.
Ahora que tenemos la forma del enunciado, la expresión (2) sugiere el uso de
la regla de inferencia GU (generalización universal). Basta entonces tomar
un m; elemento arbitrario de Z; y probar que I(m) implica I(m2 ): Esto
es, vamos a suponer que m es impar y luego probamos que m2 también es
impar.
Demostración. Supongamos que m es impar y mostremos que m2 es
impar. Como m es impar, entonces, de la de…nición anterior, se sigue que
existe un k 2 Z; tal que
m = 2k + 1:
Pero esto implica que
m2 = (2k + 1)2 = 4k 2 + 4k + 1
= 4(k 2 + k) + 1 = 2[2(k 2 + k)] + 1:
Esto es, m2 = 2n+1; donde n = [2(k 2 +k)]: Luego, de acuerdo a la de…nición
anterior, hemos mostrado que m2 es impar. Pero el entero m era un elemento
arbitrario de Z; de modo que (por Generalización Universal), obtenemos
(Para todo m 2 Z)[si m es impar, entonces m2 es impar ]:
Lo cual termina la demostración.
2.3. PRUEBAS INDIRECTAS
57
De…nición 2.2.4 Si a; b son enteros, decimos que a divide a b; lo cual
escribimos como ajb; si existe un entero c tal que
b = ac:
En este caso, decimos que a es un factor de b y que b es divisible por a:
Teorema 2.2.5 Sean a; b enteros. Entonces, si ajb; se sigue que an jbn ; para
todo entero positivo n:
Prueba. Notemos que el enunciado del teorema se puede escribir como
(8a 2 Z)(8b 2 Z)(8n 2 Z+ )[ajb ! an jbn ];
donde Z denota el conjunto de los enteros y Z+ son los enteros positivos.
Lo anterior sugiere, de nuevo, el uso de la regla de inferencia GU. Fijamos
entonces elementos arbitrarios a; b 2 Z y n 2 Z+ ; suponemos que ajb y
mostramos que an jbn :
Pero si ajb entonces, por la de…nición anterior, tenemos que existe un
c 2 Z tal que b = ac: Pero esto, a su vez, implica que
bn = (ab)n = an bn :
De modo que, de nuevo por la de…nición, obtenemos que an jbn : Pero como
los a; b; n eran arbitrarios, se sigue la a…rmación del teorema.
2.3.
Pruebas Indirectas
Las pruebas inderectas se aplican usualmente en la demostración de implicaciones de la forma
A ! B;
(1)
donde A denota la conjunción de las premisas y B es la conclusión. Típicamente la demostración procede suponiendo :B como una premisa adicional
y demostrando la negación de alguna de las premisas iniciales. Utilizando
las reglas de inferencia, o las tautologías correspondientes, esto equivale a
mostrar
:B ! :A
(2)
Donde la expresión en (2) usualmente se denomina el contrarrecíproco de
la expresión en (1): Otra manera equivalente de describir el método indirecto
es el siguiente. Si queremos demostrar una a…rmación B; entonces suponemos
58
CAPÍTULO 2. MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN
que :B es una premisa adicional y deducimos la negación de otra premisa
o de otra fórmula cualesquiera que haya sido establecida, con anterioridad,
como teorema. Este método de demostración se denomina, usualmente, el
método por el absurdo, o por reducción al absurdo. Ilustramos el
método con algunos ejemplos de la teoría de números.
Teorema 2.3.1 Para cualquier entero n se cumple que, si n2 es par, entoces
n es par.
Prueba. Notemos que el enunciado tiene la forma
(8n 2 Z)[P (n2 ) ! P (n)]:
De modo que, por Generalización Universal, basta …jar un n 2 Z y probar
la implicación
P (n2 ) ! P (n):
(1)
Procedemos por el método indirecto, mas precisamente, probaremos el contrarrecíproco de la expresión (1): Supongamos que n es un entero impar,
entonces por el teorema 2.2.3, concluimos que n2 también es impar. Pero
sabemos que un entero es par precisamente cuando no es impar, de modo
que concluimos que n2 no es par. Esto es, hemos probado
:P (n) ! :P (n2 ):
Lo cual equivale a (1) y esto termina la demostración.
p
p
Teorema 2.3.2 El número 2 es irracional, esto es, 2 no es el cociente
de dos enteros.
Prueba. Este es uno de esos enunciados en los que no es muy claro cuáles
son las premisas. Simplemente nos dan un término y nos piden demostrar
que satisface (o, en este caso, que no satisface) cierta propiedad especí…ca.
Un método apropiado en estos casos es el de negar la conclusión del teorema
y contradecir algún teorema conocido. p
Con este propósito, supongamos que 2 es un número racional, esto es,
supongamos que podemos escribir
p
m
2= ;
(1)
n
para ciertos enteros m; n: Entonces, sin pérdida de generalidad, podemos
suponer que los enteros m; n no tienen ningún factor en común (excepto,
obviamente 1). Se sigue entonces que
p
2n = m
2.3. PRUEBAS INDIRECTAS
59
y elevando al cuadrado obtenemos
2n2 = m2 :
(2)
Esto es, m2 es un entero par. Pero, entonces, por el teorema anterior, se
sigue que m es par, lo cual signi…ca que
m = 2k
para algún k 2 Z: Ahora, si sustituimos en (2) obtenemos que
2n2 = (2k)2 = 4k 2 :
Lo cual implica que n2 = 2k 2 ; esto es, n2 también es par. Pero de nuevo,
por el teorema enterior, concluimos que n es par. En conclusión, hemos
mostrado que m; n son ambos pares, lo cual contradice el supuesto inicial de
que dichos enteros no tenían factores en común. Se siguen entonces, por el
método indirecto, que la a…rmación inicial del teorema es cierta.
Ejercicios
Demostrar los siguientes enunciados.
1. Sean a; b; c, enteros. Muestre que si a no es factor de b; entonces no es
factor de bc:
p
2. 3 no es un número racional.
3. El producto de un racional y de un irracional es irracional.
4. Un entero positivo a es primo si, y sólo, no es divisible por un entero
p
b
a.
5. Si el cuadrado de un entero es impar, entonces dicho entero es impar.
60
CAPÍTULO 2. MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN
Capítulo 3
Elementos de Conjuntos
En este capítulo comenzamos introduciendo algunos de los axiomas que
nos permitirán justi…car, en forma clara, las construcciones típicas de conjuntos y temas a…nes. Es posible que, al principio, parezca innecesaria tal
maquinaria para llevar a cabo las tareas iniciales propuestas. Sin embargo,
a medida que avancemos en el desarrollo del tema, se hará claro que los
principios propuestos permiten desarrollar con claridad las nociones fundamentales de la matemática clásica. Aún mas, con…amos que, eventualmente,
se llegue a apreciar la versatilidad y utilidad de estos principios a la hora
de justi…car tareas mucho mas complicadas. Por supuesto estos axiomas no
son elegidos al azar, sino que buscan re‡ejar nuestras ideas intuitivas sobre
la naturaleza de los conjuntos.
3.1.
Axiomas
Empezamos con el denominado Principio de Extensionalidad
Axioma de Extensionalidad. Dos conjuntos son iguales, precisamente
cuando tienen los mismos elementos. Esto es, dados conjuntos A y B; tenemos que:
A = B: si y sólo si (8x)[x 2 A $ x 2 B]:
A continuación necesitamos algunos axiomas que aseguren la existencia de
algunos conjuntos básicos.
Axioma del Conjunto Vacío. Existe un conjunto que no tiene elemen61
62
CAPÍTULO 3. ELEMENTOS DE CONJUNTOS
tos. Esto es, existe un A tal que
8x (x 2
= A) :
Axioma de Pares. Dados conjuntos arbitrarios u y v, existe un conjunto
cuyos elementos son precisamente u y v: En símbolos,
(8u)(8v)(9B)[8x(x 2 B
si y sólo si x = u o x = v)]:
Axioma de Unión (primera versión). Dados conjuntos arbitrarios a; b;
existe un conjunto que contiene exactamente sus elementos. En símbolos:
8a8b9B[8x(x 2 B
$
(x 2 a o x 2 b)]:
Axioma de Potencia. Para cualquier conjunto a; existe un conjunto
cuyos elementos son exactamente los subconjuntos de a :
8a9B[8x (x 2 B
$
x
a)]:
Aquí, podemos, si lo deseamos, reescribir “x a”en términos de la de…nición
de :
8t (t 2 x ) t 2 a) :
Más tarde expanderemos la lista para incluir
axiomas de subconjuntos,
axioma del in…nito,
axioma de elección.
axiomas de reemplazamiento,
axioma de regularidad,
También el axioma de unión será reenunciado en una forma má fuerte (No
todos estos axiomas son realmente necesarios; algunos se hallarán redundantes).
Los axiomas de existencia de conjuntos se pueden usar ahora para justi…car la de…nición de muchos símbolos conjuntistas que se usan informalmente. Primero que todo, queremos de…nir el símbolo “;”.
De…nición 3.1.1 ; es el conjunto que no tiene elementos.
Con esta de…nición, pretendemos designar un conjunto con el símbolo
“;” . Pero cuando escribimos tal de…nición nos debemos asegurar que se
cumplen dos cosas: Tenemos que saber que existe un conjunto que no tiene
elementos, y tenemos que saber que no puede haber más que un conjunto
que no tenga elementos. El axioma del conjunto vacío proporciona el primer
hecho, y el axioma de extensionalidad proporciona el hecho de que dicho
conjunto es único.
Los otros axiomas de existencia justi…can la de…nición de los siguientes
símbolos.
3.1. AXIOMAS
63
De…nición 3.1.2 (i) Para conjuntos cualesquiera u y v; el conjunto
par fu; vg es el conjunto cuyos únicos elementos son u y v:
(ii) Para conjuntos cualesquiera a y b; la unión a [ b es el conjunto cuyos
elementos son aquellos conjuntos que pertenecen a a ó a b:
(iii) Para cualquier conjunto a; el conjunto de partes P(a) es el conjunto
cuyos elementos son exactamente los subconjuntos de a:
Como con el conjunto vacío, nuestros axiomas de existencia nos aseguran
que los conjuntos nombrados existen, y extensionalidad nos a…rma que son
únicos.
Podemos usar pares y unión juntos para formar conjuntos …nitos. Ante
todo, dado un conjunto x tenemos el singulete fxg ; que se de…ne como
fx; xg : Y dados x1 ; x2 y x3 cualesquiera, podemos de…nir
fx1 ; x2 ; x3 g = fx1 ; x2 g [ fx3 g :
Similarmente, podemos de…nir fx1 ; x2 ; x3 ; x4 g y así sucesivamente.
Habiendo de…nido la operación de unión, deberiamos acompañarla con
la operación de intersección. Pero para justi…car la de…nición de intersección
necesitamos nuevos axiomas, a los cuales ahora regresamos. En los siguientes
parrafos, usaremos informalmente los conjuntos para motivar la formulación
de estos axiomas.
Observemos que nuestros axiomas de existencia contienen expresiones
como “existe un conjunto B cuyos elementos son aquellos conjuntos x que
satisfacen la condición
”, donde el espacio en blanco se llena con alguna condición especi…cando que conjuntos queremos. En símbolos, esto se
convierte en
(9B)(8x)[(x 2 B $
)]:
Si el axioma menciona otros conjuntos t1 ; : : : ; tk ; entonces la versión completa se convierte en
(8t1
8tk )(9B)[8x(x 2 B
,
)]
con el espacio en blanco se llena con alguna expresión que involucra t1 ; : : : ; tk
y x: El axioma del conjunto vacío no está realmente en esta forma, pero se
puede reescribir como
(9B)[8x (x 2 B
$
x 6= x)];
t1 ; : : : ; tk que está en la forma anterior (con k = 0): El conjunto B cuya existencia se asegura por dicho axioma es (por extensionalidad) unívocamente
64
CAPÍTULO 3. ELEMENTOS DE CONJUNTOS
determinado por t1 ; : : : ; tk ; de modo que podemos darle un nombre (en el
cual los símbolos t1 ; : : : ; tk aparecen). Esto es lo que hasta ahora hemos
hecho.
Ahora tratemos de ser más general y consideremos cualquier sentencia
de la forma
8t1
8tk 9B8x(x 2 B ,
);
donde el espacio en blanco se llena con alguna expresión que involucra a lo
sumo t1 ; : : : ; tk y x: Si esta sentencia es cierta, entonces el conjunto B se
puede nombrar mediante la notación de abstracción:
B = fx :
g:
Los conjuntos recientemente de…nidos se pueden nombrar usando la notación
de abstracción:
; = fx : x 6= xg ;
fu; vg = fx : x = u _ x = vg;
a [ b = fx : x 2 a _ x 2 bg;
P(A) = fx : x
ag :
Uno podría estar tentado de pensar que cualquier sentencia ' de la forma
8t1
8tk 9B8x(x 2 B
,
)
debería adoptarse como verdadera. Pero esto es erróneo: algunas sentencias
de esta forma son falsas, dado que conducen a contradicciones. Por ejemplo,
(9B)[8x(x 2 B
,
x = x)]
es falsa, dado que a…rma la existencia de un conjunto B al que pertenecen
todos los conjuntos. A lo sumo podemos decir que existe una clase A (no
necesariamente un conjunto) cuyos elementos son aquellos conjuntos x tales
que
:
A = fx :
g:
Todo esto motiva la adopción de los axiomas de subconjuntos. Estos axiomas dicen, muy informalmente, que cualquier clase A incluida en algún
conjunto c tiene que ser de hecho un conjunto. Pero los axiomas sólo se
pueden referir a conjuntos. Así, en lugar de una referencia directa a la clase
que de…ne a A.
A, nos referimos a la expresión
3.1. AXIOMAS
65
Axiomas de Subconjuntos. Para cada fórmula
B; el siguiente es un axioma:
8t1
8tk 8c9B8x(x 2 B
$
que no contenga a
x2c^
):
En español, el axioma a…rma que (para cualquier t1 ; : : : ; tk y c) la existencia de un conjunto B cuyos elementos son exactamente aquellos conjuntos x
en c tales que
: Luego se sigue automáticamente que B es un subconjunto
de c (de allí el nombre de “axioma de subconjuntos”). El conjunto B está
unívocamente determinado (por t1 ; : : : ; tk y c) y se puede nombrar usando
una variación de la notación de abstracción:
B = fx 2 c :
g:
Ejemplo. Uno de los axiomas de subconjuntos es
8b8a9B8x(x 2 B
$
x 2 a ^ x 2 b):
Este axioma a…rma la existencia del conjunto que de…nimos como la intersección a \ b de a y b:
No estamos atados a ninguna elección particular de letras. Por ejemplo,
tambien podriamos permitir como axioma de subconjuntos:
8A8B9S8t[t 2 S
$
t2A^t2
= B]:
El conjunto S es el complemento relativo de B en A; denotado A n B:
Nota en terminología. El axioma de subconjuntos a veces se conoce por
el nombre que Zermelo les dio, Aussonderung axioms. La palabra Aussonderung es Alemana y está formada de sonderen (separar) y aus (afuera).
Ejemplo. En el capítulo _ construiremos el conjunto N de los números
naturales:
N = f0; 1; 2; : : :g :
Entonces podremos usar el axioma de subconjuntos para formar el conjunto
de los números pares y el conjunto de los números primos:
fx 2 N : x es parg
y
fx 2 N : x es primog
(pero para hacer esto debemos ser capaces de expresar “x es par”por medio
de una fórmula legal, regresaremos a este punto en breve).
Ejemplo. Sea s algún conjunto. Entonces existe un conjunto Q cuyos cuyos
elementos son los subconjuntos de s que tiene un único elemento:
Q = fa 2 P(s) : a tiene un único elementog:
Ahora podemos usar el argumento de la parádoja de Russell para mostrar
que la clase V de todos los conjuntos no es asimismo un conjunto.
66
CAPÍTULO 3. ELEMENTOS DE CONJUNTOS
Teorema 3.1.3 No existe un conjunto al que todos los conjuntos pertenezcan.
Prueba. Sea A un conjunto; construiremos un conjunto que no pertenezca
a A: Sea
B = fx 2 A : x 2
= xg :
A…rmamos que B 2
= A: Tenemos, por la construcción de B;
B2B
$
B 2A^B 2
= B:
Si B 2 A; entonces esto se reduce a
B2B
$
B2
= B;
lo cual es imposible, dado que un lado tiene que ser cierto y el otro falso.
Luego, B 2
= A:
Uno podría preguntar si un conjunto puede ser elemento de sí mismo.
Más tarde argumentaremos que ese no puede ser el caso. Por tanto, en la
anterior prueba, el conjunto B es realmente el mismo conjunto A:
En este punto necesitamos decir lo que una fórmula es. Despues de todo,
sería desafortunado tener como uno de los axiomas de subconjuntos:
9B8x(x 2 B
$
x 2 N ^ x es un entero de…nible en una línea).
Estamos a salvo de esta parádoja por nuestros símbolos lógicos. Al insistir
que la fórmula sea expresable en el lenguaje formal generado por dichos
símbolos, podemos eliminar “x es un entero de…nible en una línea” de la
posible lista de fórmulas (Moraleja: esos símbolos son nuestros aliados).
Las fórmulas más simples son expresiones tales como
a2B
^
a=b
(y similarmente con otras letras). Fórmulas más complicadas se pueden construir a partir de estas usando las expresiones
8x;
9x;
:;
^,
_,
);
,;
junto con su…cientes paréntesis para evitar ambigüedad. Esto es, de fórmulas
' y podemos construir fórmulas más largas 8x'; 9x' (y similarmente 8y';
etc.), (:'); (' ^ ); (' _ ); (' ) ) y (' , ) : De…nimos una fórmula
como una cadena de símbolos construido desde las fórmulas más simples
usando los métodos arriba mencionados. Por ejemplo,
9x(x 2 A ^ 8t(t 2 x
!
(:t 2 A)))
3.2. UNIONES E INTERSECCIONES ARBITRARIAS
67
es una fórmula. En la práctica, sin embargo, estamos acostumbrados a abreviarla por algo más fácil de leer como
(9x 2 A) (8t 2 x) t 2
= A:
Una cadena de símbolos no gramatical tal como )) ) A no es una fórmula,
ni lo es
x es un entero de…nible en una línea.
Ejemplo. Sea s algún conjunto. En un ejemplo previo formamos el conjunto
de subconjuntos de s con un único elemento:
Q = fa 2 P(s) : a tiene un único elementog:
Ahora, “a es un subconjunto de s con un único elemento”no es una fórmula,
pero puede reescribirse como una fórmula. Como un primer paso, se puede
expresar como
a
S ^ a 6= ; ^ dos elementos cualesquiera de a coinciden.
Esto a su vez se convierte en la fórmula,
8x (x 2 a ) x 2 s) ^ 9y (y 2 a) ^ 8u8v [(u 2 a ^ v 2 a) ) u = v] :
En las aplicaciones de los axiomas de subconjuntos, generalmente no escribiremos la fórmula como tal.
3.2.
Uniones e Intersecciones Arbitrarias
La operación de unión previamente descrita nos permite formar la unión
a [ b de dos conjuntos. Repitiendo la operación, podemos formar la unión de
tres conjuntos o la unión de cuarenta conjuntos. Pero supongamos que queremos la unión de in…nitos conjuntos; supongamos que tenemos una colección
in…nita de conjuntos
A = fb0 ; b1 ; b2 ; : : :g
y queremos tomar la unión de todos los bi : Para esto necesitamos una operación de unión más general:
[
[
A =
bi
i
= fx : x pertenece a algún bi de Ag:
68
CAPÍTULO 3. ELEMENTOS DE CONJUNTOS
Esto nos
S lleva a hacer la siguiente de…nición. Para cualquier conjunto A; la
unión A de A es el conjunto de…nido por
[
A = fx : x pertenece a algún elemento de Ag
= fx : (9b 2 A) x 2 bg :
Por ejemplo, supongamos que A S
es el conjunto de paises que pertenecen
a las Naciones Unidas. Entonces A es el conjunto de personas que son
ciudadanos de algún pais que pertenezca a las Naciones Unidas. Un ejemplo
más pequeño (y que evita conjuntos de personas) es
[
ff2; 4; 6g ; f6; 16; 26g ; f0gg = f0; 2; 4; 6; 16; 26g :
Necesitamos una versión mejorada del axioma de unión para saber que
existe un conjunto conteniendo los elementos de elementos de A:
Axioma de Unión. Para cualquier conjunto A; existe un conjunto B cuyos
elementos son exactamente los elementos de elementos de A :
8x[x 2 B
$
Podemos enunciar la de…nición de
x2
[
S
(9a 2 A) (x 2 a)]:
A en la siguiente forma:
A si y sólo si
(9a 2 A) (x 2 a) :
Por ejemplo,
[
fa; bg = fx : x pertenece a algún elemento de fa; bgg
= fx : x pertenece a a ó a bg
= a [ b:
Este ejemplo muestra que nuestra forma preliminar del axioma de unión
se puede descartar en favor de la nueva forma. Esto es, el conjunto a [ b
producido por la forma preliminar también se puede obtener de pares y la
forma revisada del axioma de unión.
Similarmente tenemos
[
[
fa; b; c; dg = a [ b [ c [ d
y
fag = a:
Un caso extremo es
S
; = ;:
3.2. UNIONES E INTERSECCIONES ARBITRARIAS
69
También queremos una correspondiente generalización de la operación
de intersección. Supongamos que queremos tomar la intersección de in…nitos
conjuntos b0 ; b1 ; : : : : Entonces cuando
A = fb0 ; b1 ; : : :g
la intersección deseada se puede caracterizar informalmente como
\
\
A =
bi
i
= fx : x pertenece a todo bi en Ag:
En general, de…nimos para todo conjunto no vacío A; la intersección
de A por la condición
\
x2
A si y sólo si x pertenece a todo elemento de A:
T
A
En contraste con la operación de unión, ningún axioma especial se necesita
para justi…car la operación de intersección. En lugar de ello, tenemos el
siguiente teorema.
Teorema 3.2.1 Para cualquier conjunto no vacío A; existe un único conjunto B tal que para todo x;
x2B
si y sólo si
(8a 2 A) (x 2 a) :
T
Este teorema permite de…nir A como el único conjunto B:
Prueba. Sea A un conjunto no vacío dado; sea c algún elemento …jo de A:
Entonces por el axioma de subconjuntos, existe un conjunto B tal que para
todo x; se cumple que
x2B
si y sólo si
si y sólo si
x 2 c y (8a 2 A) (x 2 a)
(8a 2 A) (x 2 a) :
La unicidad, como siempre, se sigue de extensionalidad.
Ejemplo 3.2.2 Si aplicamos las de…niciones anteriores podemos calcular lo
siguiente:
\
ff1; 2; 8g ; f2; 8g ; f4; 8gg = f8g
[
ff1; 2; 8g ; f2; 8g ; f4; 8gg = f1; 2; 4; 8g
70
CAPÍTULO 3. ELEMENTOS DE CONJUNTOS
En estos
T últimos ejemplos, podemos notar que a medida que A se vuelve
mayor,
B; entonces
T
T A es menor. Más precisamente: siempre que A
B
A: Existe un caso extremo problemático. ¿Qué pasa cuando A = ;?
Para cualquier x, es vacuamente cierto que x pertenece a todo elemento de ;
(no existe
un elemento de ; al cual x falle en pertenecer). Por tanto, parece
T
que ; debería ser la clase V de todos los conjuntos. Por el teorema 3.1.3,
no existe un conjunto C tal que para todo x;
x2C
si y sólo si 8a 2 ; (x 2 a)
dado que el lado derecho es cierto T
para todo x: Esto presenta un sutil problema notacional: ¿cómo de…nimos ;? La situación es análoga a la división
T
por cero en la aritmética. ¿Cómo se de…ne a 0? Una opción es dejar ;
inde…nido, dado que no hay un modo satisfactorio de de…nirlo. EstaTopción
funciona perfectamente, pero a algunos lógicos no les gusta. Deja ; as a
n untidy loose end, which they may later trip over. La otra opción es seleccionar algún T
chivo expitario arbitrario (el conjunto ; siempre se usa para
esto) yTde…nir ; igual a dicho objeto. En otras palabras, siempre que se
forma A se debe tener cuidado con la posibilidad que quizás A = ;: Dado
que no hay diferencia cuál de las dos opciones se siga, no nos preocuparemos
por elegir entre ellas.
S
Ejemplo. Si b 2 A; entonces b
A:
S
SS
Ejemplo.
Si
ffxg
;
fx;
ygg
2
A;
entonces
fx; yg 2 A; x 2
A y y2
SS
A:
T
Ejemplo. ffag ; fa; bgg = fag \ fa; bg = fag : Luego,
[\
[
ffag ; fa; bgg =
fag = a:
Por otro lado,
\[
ffag ; fa; bgg =
\
fa; bg = a \ b:
Ejercicios
1. Encuente dos conjuntos A 6= B, que satisfagan la condición
[
[
A=
B:
2. Muestre que si A
B; entonces
[
A
[
B:
3.3. ÁLGEBRA DE CONJUNTOS
71
3. Suponga queS todo x 2 A satisface la condición x
muestre que A B:
B: Entonces
4. Sea A un conjunto arbitrario. Entonces muestre que
(i)
S
P(A) = A:
(ii) A
P(A): Bajo cuales condiciones se cumple la igualdad?
5. Muestre que no existe un conjunto al cual pertenezcan todos los singuletes. (Sugerencia: si existe tal conjunto, entonces existe una clase
universal).
6. Encuentre conjuntos A y B tales que A \ B 6= ; y, además,
\
\
\
A \ B 6= (A \ B):
7. Simpli…que el siguiente conjunto
[
ffa; bg; ffag; fbgg; fa; fbgg; ffag; bgg:
8. Simpli…car:
T
fP(P(P(;))); P(P(;)); P(;); ;g:
T
(ii) fP(P(P(f;g))); P(P(f;g)); P(f;g)g:
(i)
9. Sea A el conjunto
A = ff;g; ff;ggg:
Entonces evalue los siguientes conjuntos:
[
[
(a) P(A);
(b)
A; (c) P( A);
(d)
[
P(A):
10. Muestre que A = B si y sólo si P(A) = P(B):
3.3.
Álgebra de Conjuntos
Dos operaciones básicas en conjutos son las operaciones de unión e intersección:
A [ B = fx : x 2 A o x 2 Bg;
A \ B = fx : x 2 A y x 2 Bg:
72
CAPÍTULO 3. ELEMENTOS DE CONJUNTOS
También tenemos para conjuntos cualesquiera A y B el complemento relativo
A B de B en A :
A n B = fx 2 A : x 2
= Bg :
El diagrama usual para A n B se muestra en la …gura 4. En algunos textos
el signo menos se necesita para otros usos y así el complemento relativo se
denota A n B:
Fig. 4. El área sombreada representa A n B:
El axioma de unión se uso para darnos A [ B: Pero A \ B y A n B se
obtuvieron ambos de axiomas de subconjuntos.
No podemos formar (como un conjunto) el “complemento absoluto” de
B; i.e., fx : x 2
= Bg : Esta clase falla en ser un conjunto, porque su unión con
B sería la clase de todos los conjuntos. En cualquier caso, el complemento
absoluto es improbablemente un objeto interesante de estudio.
Por ejemplo, supongamos que uno está estudiando conjuntos de números
reales. Sea R el conjunto de todos los números reales y supongamos que
B R: Entonces el complemento relativo R n B consiste de todos aquellos
números reales que no están en B. Por otro lado, el complemento absoluto
de B sería una clase gigantesca que contiene toda clase de cosas irrelevantes,
contendría cualquier conjunto que no sea un número real.
El estudio de las operaciones de unión ([) ; intersección (\) y complemento relativo (n) ; junto con la relación de inclusión ( ) ; recibe el nombre
de la álgebra de conjuntos. De cierto modo, la álgebra de conjuntos obedece
leyes que recuerdan la álgebra de los números reales (con +; ; ; y ); pero
hay diferencias signi…cativas.
Las siguientes identidades, que se cumplen para conjuntos cualesquiera,
son algunos de los hechos básicos de la álgebra de conjuntos.
Leyes Conmutativas
A[B =B[A
y
A\B =B\A
Leyes Asociativas
A [ (B [ C) = (A [ B) [ C;
A \ (B \ C) = (A \ B) \ C
3.3. ÁLGEBRA DE CONJUNTOS
73
Leyes Distributivas
A \ (B [ C) = (A \ B) [ (A \ C) ;
A [ (B \ C) = (A [ B) \ (A [ C)
Leyes de D’Morgan
C n (A [ B) = (C n A) \ (C n B) ;
C n (A \ B) = (C n A) [ (C n B)
Identidades que involucran ;
A[;=A
y
A \ ; = ;;
A \ (C n A) = ;
Frecuentemente se consideran conjuntos, todos los cuales son subconjuntos de algún conjunto mayor ó “espacio” S. Un ejemplo común es el
estudio de subconjuntos del espacio R de los números reales. Supongamos
entonces que A y B son subconjuntos de S: Luego podemos abreviar S n A
como simplemente Ac ; entendiéndose que el conjunto S está …jo. Con esta
abreviación, las leyes de D’Morgan se convierten en
(A [ B)c = Ac \ B c ;
(A \ B)c = Ac [ B c :
Además, tenemos (todavía bajo la hipótesis que A
A[S
A [ Ac
=
=
S
S
y
y
A\S
A \ Sc
S)
=
=
A;
;:
Ahora deberíamos decir algo sobre como probar todos estos hechos. Tomemos como muestra la ley distributiva:
A \ (B [ C) = (A \ B) [ (A \ C) :
Una forma de veri…car esto es dibujar una grá…ca (Fig. 5).
Fig. 5. Diagrama para tres conjuntos.
74
CAPÍTULO 3. ELEMENTOS DE CONJUNTOS
Después de sombrear la región que representa A \ (B [ C) y la región que
representa (A \ B)[(A \ C) ; uno descubre que estas regiones son la misma.
Para la relació de inclusión, tenemos las siguientes propiedades de monotonía:
A
A
A
B
B
B
)
)
)
y los resultados “anti-monótonos”:
A
A
B
B
)
)
A[C
AS
\C
A
B [ C;
B
S \ C;
B;
CT
nB
B
C
T n A;
A:
En cada caso, la prueba es inmediata. Por ejemplo, en el último caso, suponT
gamos que todo elemento de A también es elemento de B: Luego, si x 2 B;
i.e., si x pertenece a todo elemento de B; entonces a fortiori
T x pertenece a
todo elemento de la colección menor A: Y, por tanto, x 2 A:
A continuación enunciamos más identidades que involcran uniones e intersecciones arbitrarias.
Leyes Distributivas
\
\
A[ B =
fA [ X : X 2 Bg ;
para B 6= ;
[
[
A\ B =
fA \ X : X 2 Bg :
La notación usada en el lado derecho es una extensión de la notación de
abstracción. El conjunto fA [ X : X 2 Bg (leáse “el conjunto de todos los
A [ X tales que X 2 B”) es el único conjunto D cuyos elementos son exactamente los conjuntos de la forma A [ X para algún X en B, i.e.,
t2D
,
t=A[X
para algún X 2 B:
La existencia
S de dicho conjunto D se puede probar observando que A [
X
AS[ B. Luego, el conjunto D que buscamos es un subconjunto de
P(A [ B): Un axioma de subconjuntos produce
S
ft 2 P(A [ B) : (9X 2 B) (t = A [ X)g
y este es exactamente D.
Para otro ejemplo de la anterior notación, supongamos que consideramos
conjuntos A y C. Entonces
fC n X : X 2 Ag
3.3. ÁLGEBRA DE CONJUNTOS
75
es el conjunto de complementos relativos de elemento de A, i.e., para cualquier
t;
t 2 fC n X : X 2 Ag , t = C n X
para algún X 2 A:
Leyes de D’Morgan (para A 6= ;)
Cn
Si
S
Cn
A
[
\
A =
A =
\
[
fC n X : X 2 Ag ;
fC n X : X 2 Ag :
S; entonces estas leyes se pueden escribir como
[
\
A
A
c
c
=
=
\
[
fX c j X 2 Ag ;
fX c j X 2 Ag ;
donde se sobreentiende que X c = S n X:
Para probar, por ejemplo, que para A no vacío la ecuación
[
\
Cn A=
fC n X j X 2 Ag
se cumple, podemos
[
t2Cn A )
)
)
razonar del siguiente modo:
t2C
pero t no pertenece a ningún elemento de A
t2C
n
X
para todo X 2 A
\
t2
fC n X j X 2 Ag :
Además todo paso se devuelve, de modo que “)” se puede convertir en
“,” (una prgunta para el lector inquisitivo: ¿dónde usamos el hecho que
A 6= ;?).
Una observación …nal sobre notación. Hay otro estilo de escribir algunas de las uniones e intersecciones con las cuales hemos estado trabajando.
Podemos escribir, por ejemplo,
\
\
(A [ X)
para
fA [ X : X 2 Bg
X2B
y
[
X2A
(C n X)
para
[
fC n X : X 2 Ag
Pero en la mayoría de los casos nos señiremos a nuestra notación original.
76
CAPÍTULO 3. ELEMENTOS DE CONJUNTOS
Ejercicios
1. Sean A y B conjuntos arbitrarios. Muestre que,
A = (A \ B) [ (A n B) y
A [ (B n A) = A [ B:
2. Veri…que la siguiente indentidad
C n (A \ B) = (C n A) [ (C n B):
3. Muestre que si A
B; entonces
C nB
C n A:
4. Muestre con un ejemplo que, en general, los conjuntos A n (B n C) y
(A n B) n C son diferentes.
5. Dados los conjuntos A y B; de…nimos su diferencia simétrica A 4 B
como el conjunto
(A n B) [ (B n A):
Ahora, veri…que las siguientes igualdades:
(i) A 4 B = (A [ B) n A \ B:
(ii) A \ (B 4 C) = (A \ B) 4 (A \ C):
(iii) A 4 (B 4 C) = (A 4 B) 4 C:
6. Sean A; B conjuntos. Entonces, muestre que
(i) A n B = A \ B c :
(ii) A
B si y sólo si A n B = ;:
7. Pruebe, o encuentre un contraejemplo para la siguiente a…rmación: Si
A; B; C son conjuntos, entonces
(i)
(A n B) [ C = (A [ B [ C) n (A \ B):
(ii)
(A [ C) n B = (A n B) [ (C n B):
3.3. ÁLGEBRA DE CONJUNTOS
77
8. Muestre que
A \ (B n C) = (A \ B) n (A \ C):
9. Muestre que
A\B
(A \ C) [ (B \ C c ):
10. Muestre que
(A [ C) \ (B [ C c )
A [ B:
11. Simpli…car:
[(A [ B [ C) \ (A [ B)] n [(A [ (B n C)) \ A]:
12. Muestre que las siguientes condiciones son equivalentes.
(a)
(c)
A B
A[B =B
(b)
(d)
AnB =;
A \ B = A:
13. Sean A, B y C conjuntos tales que
A[B =A[C
y A \ B = A \ C:
Muestre que B = C:
S
S
S
14. Muestre que (A [ B) = A [ B:
15. Muestre
T
T que si A y B son conjuntos no vacíos, entonces
A \ B:
T
(A [ B) =
16. Sean A; B y C conjuntos arbitrarios. Entonces muestre que C
y sólo si
(A \ B) [ C = A \ (B [ C):
Note que la condición no tiene nada que ver con el conjunto B:
A si
78
CAPÍTULO 3. ELEMENTOS DE CONJUNTOS
Capítulo 4
Relaciones y Funciones
En este capítulo introducimos algunos conceptos que son importantes en
todas las áreas de la matemática. La correcta formulación (y entendimiento) de las de…niciones será una meta fundamental. Los teoremas serán inicialmente aquellos necesarios para justi…car las de…niciones y aquellos que
veri…can algunas propiedades de los objetos de…nidos.
4.1.
Pares Ordenados
El conjunto par f1; 2g se puede considerar como un par no ordenado,
ya que f1; 2g = f2; 1g : Necesitaremos otro objeto (1; 2) que codi…case más
información: que 1 es la primera componente y 2 es la segunda. En particular,
exigiremos que (1; 2) 6= (2; 1):
Con más generalidad, queremos de…nir un conjunto (x; y) que codi…ca
univocamente tanto lo que x y y son y además el orden en que están. En
otras palabras, si un par ordenado se puede representar en dos formas
(x; y) = (u; v);
entonces la representaciones son idénticas en el sentido que x = u y y = v:
Y de hecho cualquier modo de de…nir hx; yi que satisfaga esta propiedad
de descomposición única será su…ciente. Será instructivo considerar primero
algunos ejemplos de de…niciones que fallan en cumplir esta propiedad.
Ejemplo 1. Si de…nimos (x; y1 ) = fx; yg ; entonces (como notamos arriba) (1; 2)1 = (2; 1)1 :
Ejemplo 2. Sea (x; y)2 = fx; fygg : De nuevo la propiedad deseada falla,
dado que
(f;g ; f;g)2 = ff;g ; ff;ggg = fff;gg ; f;gg = (ff;gg ; ;)2 :
79
80
CAPÍTULO 4. RELACIONES Y FUNCIONES
La primera de…nición exitosa fue dada por Nobert Wiener en 1914, quien
propusó hacer
(x; y)3 = f ffxg ; ;g; ffygg g:
Una de…nición más sencilla fue dada por Kazimierz Kuratowski en 1921 y
es la que, en general, se usa hoy en día:
De…nición 4.1.1 (x; y) se de…ne como f fxg ; fx; yg g:
Tenemos que probar que esta de…nición captura exitosamente la propiedad:
el par ordenado (x; y) determina univocamente tanto lo que x y y son y el
orden entre ellos.
Teorema 4.1.2 (u; v) = (x; y) si; y sólo si; u = v y v = y:
Prueba. Una dirección es trivial: si u = x y v = y; entonces (u; v) es la
misma cosa que (x; y):
Para probar la implicación interesante, supongamos que T(u; v) = (x; y);
i.e.,
f fug ; fu; vg g = f fxg ; fx; yg g:
Entonces, tenemos que fug 2 ffxg ; fx; ygg y fu; vg 2 ffxg ; fx; ygg:
De la primera de estas, sabemos que
(a)
fug = fxg
ó
(b)
fug = fx; yg
ó
(d)
fu; vg = fx; yg
y de la segunda sabemos que
(c)
fu; vg = fxg
Primero, supongamos que (b) se cumple; entonces u = x = y: Entonces (c)
y (d) son equivalentes y nos dicen que u = v = x = y: En este caso, la
conclusión del teorema se cumple. Análogamente si (c) se cumple, tenemos
la misma situación.
Basta considerar el caso en que (a) y (d) se cumplen De (a) tenemos
que u = x: De (d) se tiene que ó u = y ó v = y: En el primer caso, (b) se
cumple; dicho caso ya se ha considerado. En el segundo caso tenemos que
v = y como queriamos.
El anterior teorema nos permite de…nir sin ambigüedad la primera coordenada de (x; y) como x y la segunda coordenada como y.
4.1. PARES ORDENADOS
81
Ejemplo. Sea R el conjunto de todos los números reales. El par (x; y)
se puede visualizar como un punto en el plano (Fig. 6), donde los ejes coordenados han sido establecidos. Esta representación de puntos en el plano se
le atribuye a Descartes.
Fig. 6. El par (x; y) como un punto en el plano
Ahora supongamos que tenemos dos conjuntos A y B y formamos pares
ordenados (x; y) con x 2 A y y 2 B: La colección de todos esos pares se
llama el producto Cartesiano A B de A y B :
A
B = f(x; y) j x 2 A y 2 Bg:
Tenemos que veri…car que esta colección es realmente un conjunto para
que la de…nición sea aceptable. Cuando usamos la notación de abstracción
ft :
t g para un conjunto, tenemos que veri…car que existe un conjunto
D tal que
t2D ,
t
para todo t: Por ejemplo, vistas como cadenas de símbolos, la expresiones
fx : x = xg
y
fx : x 6= xg
lucen similares. Pero por el teorema 3.1.3 la primera no nombra un conjunto,
mientras (por el axioma del vacío) la segunda si lo hace.
La estrategia que seguimos para mostrar que A B es un conjunto (y no
una clase propia) es la siguiente. Si podemos hallar un conjunto mayor que
ya contenga todos los pares (x; y) que queremos, entonces podemos usar un
axioma de subconjuntos para generar A B: El siguiente lema proporciona
un conjunto lo adecuadamente grande para empezar.
Lema 4.1.3 Si x 2 C y y 2 C; entonces hx; yi 2 P (P(C)):
Prueba. Dado que x 2 C y y 2 C; tenemos que fxg C y fyg C: Luego,
fxg y fyg pertenecen a PC; lo cual implica que ffxg ; fx; ygg PC:
82
CAPÍTULO 4. RELACIONES Y FUNCIONES
Como la anterior prueba muestra, el hecho que las llaves en “ffxg ; fx; ygg”
esten encajadas a una profundidad de 2 provoca que apliquemos dos veces
la operación de potencia P.
Corolario 4.1.4 Para conjuntos cualesquiera A y B; existe un conjunto
cuyos elementos son exactamente los pares (x; y) con x 2 A y y 2 B:
Prueba. De un axioma de subconjuntos podemos construir
fw 2 P (P (A [ B)) j (9x 2 A) (9y 2 B) [w = (x; y)]g:
Claramente este conjunto sólo contiene pares de la forma deseada, por el
lema previo los contiene a todos.
Este corolario justi…ca nuestra de…nición inicial del producto Cartesiano
A B:
Es probable que se haya notado que nuestra decisión de usar la de…nición
de Kuratowski
(x; y) = f fxg ; fx; yg g
es algo arbitraria. Hay otras de…niciones que podrían funcionar igual de bien.
El hecho esencial es que hay formas satisfactorias de de…nir pares ordenados
en términos de otros conceptos de la teoría de conjuntos.
4.2.
Relaciones
Antés de intentar decir lo qué, en general, una relación es, sería prudente
considerar algunos ejemplos.
La relación de orden < en el conjunto f1; 4; 7g es un ejemplo. Podríamos
decir que < relaciona cada número a cada uno de los números mayores. Por
tanto, 4 < 7; así < relaciona 4 a 7. Grá…camente podemos representar esto
trazando una ‡echa de 4 a 7: Todas juntas obtenemos tres ‡echas de este
modo:
Fig. 7. La relación de orden < en f1; 4; 7g :
4.2. RELACIONES
83
¿Cúal conjunto codi…ca adecuadamente la relación de orden? En lugar de
‡echas, podemos tomar los pares ordenados (1; 4); (1; 7) y (4; 7): El conjunto
de estos pares
R = f(1; 4); (1; 7); (4; 7)g
captura complementamente la información en la …g. 7. Hubo un tiempo en
que era común referirse al conjunto R como el grá…co de la relación, una
terminología que parece particularmente apropiada si pensamos en R como
un subconjunto del plano coordenado. Pero hoy en día, un punto de vista
más sencillo se ha vuelto dominante: R es la relación de orden en f1; 4; 7g :
Consiste de los pares que atan a cada número a sus números mayores; una
relación es la colección de “lazos”.
Un ejemplo más familiar podria ser la relación de matrimonio (ignoremos
por un momento que hemos habiamos descartado la gente de nuestra teoría
de conjuntos). Esta relación es el total agregado de lazos individuales entre
cada persona casada y su pareja. Ó para decirlo más matemáticamente, la
relación es
f(x; y) j x está casado con yg:
Es probable que se haya sospechado que para nosotros una relación será un
conjunto de pares ordenados. Y no habrá más restricciones; cualquier conjunto de pares ordenados es alguna relación, aún si es alguna muy peculiar.
De…nición 4.2.1 Una relación es un conjunto de pares ordenados:
Para una relación R; algunas veces escribimos xRy en lugar de (x; y) 2 R:
Por ejemplo, en el caso de la relación de orden < en el conjunto R de números
reales
< = f(x; y) 2 R R j x < yg ;
la notación “x < y” se pre…ere a “(x; y) 2 <”.
Ejemplos. Sea N el conjunto f0; 1; 2; : : :g ; que será introducido más
formalmente en el capítulo _. Entonces la relación de divisibilidad es
f(m; n) 2 N
N j (9k 2 N) (m k = n)g :
La relación de identidad en N es
IN = f(n; n) j n 2 Ng :
Y cualquier subconjunto de N
tipo de relación.
N (de los cuales hay bastantes) es algún
84
CAPÍTULO 4. RELACIONES Y FUNCIONES
Por supuesto, algunas relaciones son mucho más interesantes que otras.
En las próximas páginas miraremos a las funciones, relaciones de equivalencias y relaciones de orden. Ahora daremos algunas de…niciones muy generales.
De…nición 4.2.2 De…nimos el dominio de R (dom R) ; el rango de R
(ran R) y el campo de R (f ld R) como
x 2 dom R
y 2 ran R
f ld R
,
,
=
(9y) (x; y) 2 R;
(9x) (x; y) 2 R;
dom R [ ran R:
Por ejemplo, supongamos que R R R. Entonces R es un subconjunto
del plano coordenado (Fig. 8). La proyección de R sobre el eje horizontal es
dom R y la proyección sobre el eje vertical es ran R.
Fig. 8. Una relación como un subconjunto del plano.
Para justi…car las anteriores de…niciones, tenemos que asegurarnos que
para cualquier R dado, existe un conjunto conteniendo todas las primeras
coordenadas y segundas coordenadas de pares de R: El problemas aqui es
análogo al reciente problema de justi…car la existencia de A B; lo cual se
llevo a cabo con el corolario 4.1.4. El hecho crucial que se necesita ahora
es que exista un conjunto grande que ya contenga todos los elementos que
buscamos. El siguiente lema, relacionado al lema 4.1.3, proporciona este
hecho (el lema 4.2.3 se enunció como un ejemplo en el capítulo anterior).
Lema 4.2.3 Si (x; y) 2 A; entonces x y y pertenecen a
SS
A:
S
Prueba. Supongamos que ffxg ; fx; ygg 2 A: Por tanto, fx; yg 2 A;Sdado
S
que pertenece
a un elemento de A. De esto podemos concluir que x 2
A
SS
yy2
A:
4.2. RELACIONES
85
Este lema indica cómo podemos usar axiomas de subconjuntos para construir el dominio y el rango de R :
dom R = fx 2
ran R = fy 2
SS
SS
R j (9y) (x; y) 2 Rg ;
R j (9x) (x; y) 2 Rg :
Podemos extender las ideas detrás de los pares ordenados al caso de
tripletas y, más generalmente,a n-tuplas ordenadas. Para tripletas de…nimos
(x; y; z) = ((x; y); z):
Análogamente podemos formar cuadrupletas ordenadas
(x1 ; x2 ; x3 ; x4 ) = ((x1 ; x2 ; x3 ); x4 )
= (((x1 ; x2 ); x3 ); x4 ):
Claramente podemos continuar en esta forma para de…nir quintupletas ó
n-tuplas ordenadas para cualquier n: Es conveniente por razones de uniformidad de…nir también la 1-tupla (x) = x.
De…nimos una relación n-aria en A como un conjunto de n-tuplas ordenadas con todas las componentes en A. Por tanto una relación binaria
(2-aria) en A es simplemente un subconjunto de A A: Y una relación
ternaria (3-aria) en A es un subconjunto de (A A) A: Sin embargo, aquí
hay una extravagancia terminológica. Si n > 1; entonces cualquier relación
n-aria es realmente una relación. Pero una relación unaria (1-aria) en A es
sólo un subconjunto de A; por tanto podría no ser una relación como tal.
Ejercicios
1. Dados los conjuntos A; B; C; justi…que las siguientes a…rmaciones:
(i)
A
(ii) Si A
B=A
(B [ C) = (A
B) [ (A
C):
C; con A 6= ;, entonces B = C:
2. Muestre que
A
[
B=
[
fA
B : B 2 Bg:
3. Muestre que no existe un conjunto al cual pertenezcan todos los pares
ordenados.
86
CAPÍTULO 4. RELACIONES Y FUNCIONES
4. Sean A; B y C conjuntos. Muestre que
A
(B n C) = (A
B) n (A
C):
5. Encuentre las condiciones mas generales bajo las cuales es cierto que
A B = B A:
6. Supongamos que B
(A
A: Muestre que
A) n (B
B) = [(A n B)
A] [ [A
(A n B)]:
7. Muestre que un conjunto A es una relación si y sólo si
A
domA
ranA:
8. Muestre que si R es una relación, entonces f ldR =
SS
R:
9. Supongamos que A = B \C: Pruebe o refute cada una de las siguientes
a…rmaciones:
(i) A
(ii) A
A = (B
A = (B
B) \ (C
C) \ (C
C):
B):
10. Sea A un conjunto arbitrario. Entonces veri…que las siguientes a…rmaciones:
(i) dom
(ii) ran
4.3.
S
S
A=
S
fdomR : R 2 Ag:
S
A = franR : R 2 Ag:
Funciones
Los libros de Cálculo describen a veces una función como una regla que
asigna a cada objeto en un cierto conjunto (su dominio) un único objeto
en un conjunto posiblemente diferente (su rango). Un ejempo típico es la
función cuadrado que asigna a cada número real x su cuadrado x2 : La acción
de esta función en un número particular se puede describir escribiendo
3 7! 9;
2 7! 4;
1 7! 1;
1
2
7! 14 ;
etc.
Cada acción individual se puede representar por un par ordenado:
(3; 9);
( 2; 4);
(1; 1);
( 21 ; 14 i;
etc.
4.3. FUNCIONES
87
El conjunto de todos estos pares (cada uno para cada número real) representa
adecuadamente la función cuadrado. El conjunto de pares ha sido a veces
llamado el grá…co de la función; es un subconjunto del plano coordenado
R R. Pero el procedimiento más sencillo es hacer que este conjunto de
pares ordenados sea la función.
Por tanto, una función es un conjunto de pares ordenados (i.e., una
relación). Pero tiene una propiedad especial: es “univaluada”, i.e., para cada
x en su dominio existe un único y tal que x 7! y: Reunimos estas ideas en
la siguiente de…nición.
De…nición 4.3.1 Una función es una relación F tal que para cada x 2
dom F existe un único y tal que xF y:
Para una función F y un punto x en dom F; el único y tal que xF y
se denomina la imagen de x bajo F y se denota por F (x) : Por tanto,
hx; F (x)i 2 F: Euler introdujó la notación “F (x)” en el siglo XVIII. De
aquí en adelante, decidimos usar esta notación solamente cuando F es una
función y x 2 dom F . Sin embargo, hay algunas formas arti…ciales de de…nir
F (x) que tiene sentido para cualquier F y x. Por ejemplo, el conjunto
[
fy : (x; y) 2 F g
es igual a F (x) siempre que F es una función y x 2 dom F .
Las funciones son objetos básicos que aparecen en todas partes de la
matemática. Como resultado de esto, hay una gran cantidad de terminología
usada en conexión con las funciones. Desafortunadamente, ninguna terminología se ha vuelto uniformemente estándar. Recogemos a continuación
alguna de esta terminología.
Decimos que f es una función de A en B ó que f mapea A en B (se
escribe f : A ! B) sii
f es una función,
dom f = A
y
ran f
B:
Notemos la trato desigual a A y B aquí: sólo pedimos que ran f
B: Si,
además, ran f = B; entonces f es una función de A sobre B (por tanto,
cualquier función mapea su dominio sobre su rango. Y mapea su dominio
en cualquier conjunto que contenga B que incluya ran f . La aplicabilidad
de la palabra “sobre”depende tanto de f y del conjunto B; no sólo de f: La
palabra “sobre” nunca se debe usar como un adjetivo).
Una función es inyectiva (uno a uno) sii para cada y 2 ran F existe un
único x tal que xF y: Por ejemplo, la función de…nida por
f (x) = x3 ;
para cada número real x;
88
CAPÍTULO 4. RELACIONES Y FUNCIONES
es inyectiva, mientras que la función cuadrado no lo es, dado que ( 1)2 = 12 :
Las funciones uno a uno se llaman a veces inyecciones.
Es perfectamente posible que el dominio de una función F consista de
pares ordenados o n-tuplas: Por ejemplo, la suma es una función + : R R !
R. Por tanto, el dominio de la suma consiste de pares ordenados de números
y la función como tal de la suma consiste de tripletas de números. En lugar
de + (hx; yi) escribimos + (x; y) ó x + y:
Las siguientes operaciones se aplican la mayoría de las veces a funciones,
algunas veces a relaciones, pero realmente se pueden de…nir para conjuntos
A; F y G arbitrarios.
De…nición 4.3.2
(a) La inversa de F es el conjunto
F
1
= f(y; x) : xF yg :
(b) La composición de F y G es el conjunto
G F = f(x; y) : (9z) (xF z y zGy)g:
(c) La restricción de F a A es el conjunto
F
A = fx; y) : xF y y x 2 Ag:
(d) La imagen directa de A bajo F es el conjunto
F [A] = ran (F
A
A) = fy : (9x 2 A) xF yg :
f [A] se puede caracterizar más sencillamente cuando f es una función y
dom f ; en este caso,
f [A] = ff (a) : a 2 Ag :
En cada caso podemos aplicar fácilmente un axioma de subconjunto para
establecer la existencia del conjunto deseado. Especi…camente,
F
1
ran F dom F;
G F
dom F ran G;
F
A
F
y F [A]
ran F
(una justi…cación más detallada de la de…nición de F 1 sería del siguiente
modo: Por un axioma de subconjuntos existe un conjunto B tal que para
todo w;
w2B
,
w 2 ran F
dom F ^ 9x9y (w = hy; xi ^ xF y) :
4.3. FUNCIONES
89
Se sigue entonces que
w2B
,
9x9y (w = hy; xi ^ xF y) :
Este único conjunto B lo denotamos como F 1 :
Ejemplo. Sea F : R ! R de…nido por la ecuación F (x) = x2 : Sea A =
fx 2 R j 1 x 2g ; i.e., el intervalo
p p cerrado [1; 2] : Entonces F [A] = [0; 4]
1
(ver Fig. 9) y F [A] = [
2; 2]: Notemos que aunque aquí F es una
función, F 1 no es una función , ya que tanto (4; 2) y (4; 2) están en F 1 :
Las así llamadas “funciones multi-valuadas”son relaciones, no funciones. La
gente escribe F 1 (4) = 2; pero es preferible escribir F 1 [f4g] = f 2; 2g :
Fig. 9. F [A] es la imagen de A bajo F:
Ejemplo. En análisis matemático se necesita con frecuencia considerar
la “imagen inversa” de un conjunto A bajo una función f; i.e., el conjunto
f 1 [A] : Para una función f ,
f
1
[A] = fx 2 dom f j f (x) 2 Ag :
En general, f 1 no será una función.
Ejemplo. Sea g la función seno de la trigonometría. Entonces g 1 no
es una función (¿por qué no?). Pero la restricción de g la intervalo cerrado
[ 2 ; 2 ] es uno a uno y su inversa
g
[
2; 2]
1
es la función arcoseno.
Ejemplo. Sea
f = f(;; a); (f;g ; b)g:
90
CAPÍTULO 4. RELACIONES Y FUNCIONES
Observemos que f es una función. Tenemos que
f
f
1
1
= f(a; ;); (b; f;g)g:
es una función sii a 6= b: La restricción de f a ; es ;; pero
f
f;g = f(;; a)g :
Luego, f [f;g] = fag ; lo cual contrasta con el hecho que f (f;g) = b:
Los siguientes hechos sobre inversas no son di…ciles de mostrar; las pruebas de algunos se dejan como ejercicios.
Teorema 4.3.3 Para un conjunto F;
dom F
1
= ran F
Para una relación F; F
1
1
y
ran F
1
= dom F:
= F:
Teorema 4.3.4 Sea f una función inyectiva: Entonces f
Además
(a) Si x 2 dom f; entonces f
1 (f
(b) Si y 2 ran f; entonces f f
1
es una función:
(x)) = x:
1 (y)
= y:
Prueba. Es fácil mostrar que f 1 es una función. Supongamos que x 2
dom f ; entonces (x; f (x)) 2 f y (f (x) ; x) 2 f 1 : Dado que f 1 es una
función, se sigue que x = f 1 (f (x)) :
1
Si y 2 ran f; entonces y 2 dom f 1 : Por (a), f 1
f 1 (y) = y:
1
Pero, f 1
= f:
En lugar del teorema 4.3.4, pudimos haber de…nido f 1 (para una función inyectiva) como la función cuyo valor en f (x) es x (y cuyo dominio
es ran f ). Pero esto sería demasiado restrictivo; F 1 puede ser una relación
útil aún cuando no sea una función. Luego, preferimos una de…nición de F 1
que sea aplicable a cualquier conjunto.
Teorema 4.3.5 Sean f y g funciones: Entonces g f es una función; cuyo
dominio es
fx 2 dom f : f (x) 2 dom gg
y para x 2 dom (g f ) ; (g f ) (x) = g (f (x)) :
4.3. FUNCIONES
91
Prueba. Para ver que g f es una función, supongamos que x (g f ) y y
x (g f ) y 0 : Entonces para algunos z y z 0 ;
xf z ^ zgy
xf z 0 ^ z 0 gy 0 :
y
Dado que f es función, z = z 0 : Dado que g también es función, y = y 0 :
Luego, g f es una función.
Ahora, supongamos que x 2 dom f y f (x) 2 dom g: Tenemos que
mostrar que x 2 dom (g f ) y que (g f ) (x) = g (f (x)) : Tenemos que
(x; f (x)) 2 f y (f (x) ; g (f (x))) 2 g: Luego, (x; g (f (x))) 2 g f; lo cual
conlleva las a…rmaciones deseadas.
Recíprocamente, si x 2 dom (g f ) ; sabemos que para ciertos y y z :
xf z ^ zgy: Luego, x 2 dom f y f (x) = z 2 dom g:
De nuevo pudimos haber de…nido g f (para funciones f y g) como la
función con las propiedades enunciadas en el teorema anterior. Pero preferimos usar una de…nición también aplicable a objetos distintos de funciones.
Por ejemplo, podríamos querer considerar R R para una relación arbitraria.
Ejemplo. Supongamos que g es alguna función inyectiva. Entonces, por
los teoremas 4.3.4 y 4.3.5, g 1 g es una función, su dominio es
x 2 dom g : g (x) 2 dom g
1
= dom g
y para x en dicho dominio,
g
1
g (x) = g
1
(g (x))
= x
por teorema 4.3.4 (a).
Por tanto, g 1 g es Idomg ; la función identidad en dom g: Análogamente,
se puede mostrar que g g 1 es Irang :
Teorema 4.3.6 Para conjuntos F y G;
(G F )
Prueba. Tanto (G F )
cular
(x; y) 2 (G F )
1
=F
1
como F
1
,
,
,
,
1
1
G
G
1
1
:
son relaciones. Podemos cal-
(y; x) 2 G F
9z (yF z ^ zGx)
9z (xG 1 z ^ zF 1 y)
(x; y) 2 F 1 G 1 :
De un modo menos abstracto, el teorema 4.3.6 expresa un conocimiento
común. Al vestirse, uno primero se pone las medias y luego los zapatos. Pero
en el proceso inverso de desvestirse, uno primero se quita los zapatos y luego
las medias.
92
CAPÍTULO 4. RELACIONES Y FUNCIONES
Teorema 4.3.7 Supongamos que F : A ! B y que A es no vacío:
(a) Existe una función G : B ! A (una “inversa a izquierda”) tal que
G F es la función identidad IA sii F es inyectiva:
(b) Existe una función H : B ! A (una “inversa a derecha”) tal que F H
es la función identidad IB sii F mapea a A sobre B:
Prueba. (a) Primero supongamos que existe una función G para la cual
G F = IA : Si F (x) = F (y) ; entonces aplicando G a ambos lados de la
ecuación tenemos que
x = G (F (x)) = G (F (y)) = y;
así, F es uno a uno.
Para el recíproco, supongamos que F es inyectiva. Entonces F 1 es una
función de ran F sobre A (por los teoremas 4.3.3 y 4.3.4). La idea es extender
F 1 a una función G de…nida en todo B: Por hipótesis, A 6= ;; de modo que
podemos …jar un elemento a 2 A: Entonces de…nimos G asignandole a a a
todo punto en B n ran F :
G (x) =
F
a
1 (x)
si x 2 B n ran F
si x 2 ran F:
En una línea,
G=F
1
[ (B n ran F )
fag
Fig. 10 (a). Hacemos G (x) = a para x 2 B n ran F:
Esta elección de G hace lo que queremos: G es una función que mapea B
en A; dom (G F ) = A y G (F (x)) = F 1 (F (x)) = x para cada x 2 A:
Luego, G F = IA :
(b) A continuación supongamos que existe una función H para la cual
F H = IB : Entonces para cualquier y 2 B tenemos que y = F (H (y)) ; de
modo que y 2 ran F: Por tanto, ran F = B:
4.3. FUNCIONES
93
El recíproco plantea una di…cultad. No podemos tomar H = F 1 ; porque
en general F no será uno a uno y así F 1 no sería una función. Supongamos
que F mapea A sobre B; de modo que ran F = B. La idea es que para cada
y 2 B tenemos que elegir algún x 2 A para el cual F (x) = y y luego de…nir
H (y) como el x elegido. Dado que y 2 ran F; sabemos que dicho x existe,
de modo que no hay problema (ver …g 10b).
Fig. 10 (b). H (y) es el x elegido para el cual F (x) = y:
¿Ó si lo hay? Para cualquier y en particular sabemos que existe un x apropiado. Pero esto no es por sí mismo su…ciente para formar una función H: No
tenemos en general un modo de de…nir cualquier elección particular de x:
Lo que necesitamos es el axioma de elección.
Axioma de Elección (primera forma) Para cualquier relación R existe
una función H R con dom H = dom R:
Con este axioma podemos ahora …nalizar la prueba del teorema 4.3.7 (b): sea
H una función con H F 1 y dom H = dom F 1 = ran F = B: Entonces
H cumple lo que queremos: dado cualquier y 2 B; tenemos hy; H (y)i 2 F 1 ;
luego, hH (y) ; yi 2 F y, así, F (H (y)) = y:
Más adelante daremos una discusión sistemática del axioma de elección.
Teorema 4.3.8 Sea f una función: Lo siguiente se cumple para conjuntos
cualesquiera
(a) La imagen de una unión es la unión de las imagenes:
f [A [ B] = f [A] [ f [B]
y
[
S
f [ A] =
ff [A] : A 2 Ag :
94
CAPÍTULO 4. RELACIONES Y FUNCIONES
(b) La imagen de una intersección está incluida en la intersección de las
imagenes:
\
T
f [A \ B] f [A] \ f [B]
y
f [ A] =
ff [A] : A 2 Ag ;
para A no vacío: La igualdad se cumple si f es uno a uno:
(c) La imagen de una diferencia incluye la diferencia de las imagenes:
f [A] n f [B]
f [A n B] :
La igualdad se cumple si f es uno a uno:
Ejemplo. Sea f : R ! R de…nida por f (x) = x2 : Sean A y B los
intervalos cerrados [ 2; 0] y [1; 2] :
A = fx j
2
x
0g
y
B = fx : 1
x
2g :
Entonces f [A] = [0; 4] y f [B] = [1; 4] : Este ejemplo muestra que la igualdad
no se cumple en las partes (b) y (c) del teorema 4.3.8, ya que
f [A \ B] = f [;] = ;;
mientras que f [A] \ f [B] = [1; 4] :
Además,
f [A] n f [B] = [0; 1) ;
mientras que f [A n B] = f [A] = [0; 4] :
Prueba. Para probar el teorema 4.3.8, razonamos
y 2 f [A [ B]
,
,
,
(9x 2 A [ B) (f (x) = y)
(9x 2 A) (f (x) = y) _ (9x 2 B) (f (x) = y)
y 2 f [A] _ y 2 f [B] :
Esto prueba la primera parte de (a). Para las intersecciones, tenemos el
mismo razonamiento, excepto que en el paso intermedio
y 2 f [A \ B]
)
(9x 2 A) (f (x) = y) ^ (9x 2 B) (f (x) = y)
la otra implicación recíproca no siempre se cumple. Es posible que hallan
x1 2 A con f (x1 ) = y y x2 2 B con f (x2 ) = y y no haber, sin embargo,
ningún x en A \ B con f (x) = y: Pero si f es inyectiva, entonces x1 = x2 y
así ese único elemento está en A \ B: Por tanto, obtenemos la primera parte
de (b).
4.3. FUNCIONES
95
Los segundos enunciados de (a) y (b) generalizan las primeras partes.
Las pruebas siguen las mismas líneas que los anteriores razonamientos y
dejamos los detalles al lector.
Para la parte (c), tenemos que
y 2 f [A] n f [B]
,
)
,
(9a 2 A) (f (a) = y) ^ : (9b 2 B) (f (b) = y)
(9x 2 A n B) (f (x) = y)
y 2 f [A n B] :
De nuevo, si f es uno a uno, entonces existe un único x tal que f (x) = y:
En este caso el paso intermedio se puede revertir.
Las uniones, intersecciones y complementos relativos siempre se preservan bajo las imagenes inversas.
Proposición 4.3.9 Para toda función g y conjuntos A; B y A :
[
S
g 1 [ A] =
g 1 [A] : A 2 A :
\
T
g 1 [ A] =
g 1 [A] : A 2 A
para A 6= ;;
g
1
[A
B] = g
1
[A] n g
1
[B] :
Concluimos nuestra discusión sobre funciones con algunas de…niciones
que pueden ser útiles más adelante. Nuestro próposito es construir un vocabulario de nociones conjuntistas.
S
Una unión in…nita es a menudo “indizada” cuando escribimos i2I Ai :
Podemos dar una de…nición formal de dicha unión del siguiente modo. Sea
I un conjunto denominado el conjunto de índices. Sea F una función cuyo
dominio incluye a I: Entonces de…nimos
[
[
F (i) =
fF (i) : i 2 Ig
i2I
= fx : (9i 2 I) x 2 F (i)g :
Por ejemplo, si I = f0; 1; 2; 3g ; entonces
[
[
F (i) =
fF (0) ; F (1) ; F (2) ; F (3)g
i2I
= F (0) [ F (1) [ F (2) [ F (3) :
Observaciones análogas se aplican a las intersecciones (bajo el supuesto que
I es no vacío):
\
\
F (i) =
fF (i) : i 2 Ig
i2I
= fx : (8i 2 I) x 2 F (i)g :
96
CAPÍTULO 4. RELACIONES Y FUNCIONES
Si usamos la notación alternativa
Fi = F (i) ;
entonces podemos reescribir las ecuaciones anteriores como
[
Fi =
[
fFi : i 2 Ig = fx : (9i 2 I) x 2 Fi g
\
Fi =
\
fFi : i 2 Ig = fx : (8i 2 I) x 2 Fi g
i2I
y
i2I
Para conjuntos A y B podemos formar la colección de funciones de A en
B: Denominemos el conjunto de todas esas funciones A B :
A
B = ff : f es una función de A en Bg:
Si f : A ! B; entonces f
A B; y, así, f 2 P (A B) : Luego podemos
aplicar un axioma de subconjuntos a P (A B) para construir el conjunto
de todas las funciones de A en B:
Algunos autores escriben B A en lugar de A B; esta notación se deriva del
hecho que cuando A y B son conjuntos …nitos y el número de elementos de
A y B es n y m respectivamente, entonces A B tiene mn elementos (para ver
esto, notemos que para cada uno de los n elementos de A; podemos elegir
entre m puntos de B al cual puede ser mapeado. El número de formas de
hacer todas esas n elecciones es m m
m, n veces). Regresaremos a este
punto más adelante.
Ejemplo. Sea N = f0; 1; 2; : : :g : Entonces N f0; 1g es el conjunto de
todas las posibles funciones f : N ! f0; 1g : Tales f se pueden concebir
como sucesiones in…nitas f (0) ; f (1) ; f (2) ; . . . de ceros y unos.
Ejemplo. Para un conjunto no vacío A; tenemos que A ; = ;: Esto se
debe a que ninguna función puede tener un dominio no vacío y un rango
vacío. Por otro lado, ; A = f;g ; para cualquier conjunto A; ya que ; : ; ! A
es la única función con dominio vacío. Como un caso particular, ; ; = f;g :
4.4.
Relaciones de Equivalencia
Consideremos un conjunto A (Fig. 12a). Podemos querer particionar A
en pequeñas cajas (Fig. 12b). Por ejemplo, tomemos A = N : podemos
4.4. RELACIONES DE EQUIVALENCIA
97
particionar N en seis partes:
f0; 6; 12; : : :g ;
f1; 7; 13; : : :g ;
..
.
f5; 11; 17; : : :g :
Por “partición” entendemos que todo elemento de A está en exactamente
una cajita y que cada caja es un subconjunto no vacío de A.
Fig. 12. Particionando un conjunto en seis cajitas.
Ahora necesitamos algo de agilidad mental. Queremos concebir cada cajita como un solo objeto, en lugar de verlo como una pluralidad de objetos
(realmente hemos estado haciendo esta clase de cosas a lo largo del libro,
cuando concebimos un conjunto como un solo objeto. No es tan dí…cil ver
una casa de ladrillos como una sola entidad y no como una multitud de
ladrillos). Esto cambia la grá…ca (Fig. 12c), cada caja es ahora, en nuestra
mente, un solo punto. El conjunto B de cajas es muy diferente del conjunto
A: En nuestro ejemplo, B sólo tiene seis elementos mientrás que A es in…nito
(cuando lleguemos a de…nir “seis” e “in…nito” o…cialmente, tendremos que
hacerlo de modo que la sentencia precedente sea verdadera).
El proceso de transformar una situación como la …gura 12a en la …gura
12c es común en la álgebra abstracta y en otras áreas de la matemática. Y
en el capítulo _ el proceso será aplicado varias veces en la construcción de
los números reales.
Supongamos que ahora de…nimos una relación en A del siguiente modo:
para x; y 2 A,
xRy
,
x y y están en la misma cajita.
Entonces podemos ver fácilmente que R tiene las siguientes tres propiedades.
1. R es re‡exiva en A; por lo cual entendemos que xRx para todo x 2 A:
98
CAPÍTULO 4. RELACIONES Y FUNCIONES
2. R es simétrica; por lo cual entendemos que siempre que xRy; entonces
también yRx:
3. R es transitiva; por lo cual entendemos que siempre que xRy y yRz;
entonces también xRz:
De…nición 4.4.1 R es una relación de equivalencia en A sii R es una
relación binaria en A que es re‡exiva en A; simétrica y transitiva:
Teorema 4.4.2 Si R es una relación simétrica y transitiva; entonces R es
una relación de equivalencia en f ld R:
Prueba. Cualquier relación R es una relación binaria en su campo, dado
que
R dom R ran R f ld R f ld R:
Tenemos que mostrar que R es re‡exiva en f ld R: Tenemos que
x 2 dom R
)
)
)
xRy
xRy ^ yRx
xRx
para algún y
por simetría
por transitividad
y un razonamiento análogo se aplica a los puntos en ran R:
Este teorema merece una nota de precaución: Si R es una relación
simétrica y transitiva en A; no se sigue que R es una relación de equivalencia en A: R es re‡exiva en f ld R; pero f ld R podría ser un subconjunto
menor que A:
Hemos mostrado como una partición en un conjunto A induce una relación
de equivalencia (una versión más formal de esto es el ejercicio _). En lo que
sigue, queremos invertir el proceso y mostrar que de una relación de euqivalencia R en A; obtenemos una partición en A.
De…nición 4.4.3 El conjunto [x]R se de…ne por
[x]R = ft : xRtg :
Si R es una relación de euqivalencia y x 2 f ld R; entonces [x]R se denomina la clase de equivalencia de x (módulo R). Si la relación R está …ja
en el contexto, podemos escribir sólo [x] :
La condición de [x]R como conjunto se garantiza por un axioma de subconjuntos, dado que [x]R ran R: Además podemos construir un conjunto
de clases de equivalencia tal como f[x]R : x 2 Ag ; dado que este conjunto
está incluido en P (ran R) :
4.4. RELACIONES DE EQUIVALENCIA
99
Lema 4.4.4 Sean R una relación de equivalencia en A y x; y 2 A: Entonces
[x]R = [y]R
,
xRy
Prueba. ()) Supongamos que [x]R = [y]R : Sabemos que y 2 [y]R (porque
yRy): Luego, y 2 [x]R : Por de…nición de [x]R ; esto signi…ca que xRy:
(() Ahora supongamos que xRy: Entonces
t 2 [y]R
)
)
)
yRt
xRt
t 2 [x]R ;
porque xRy y R es transitiva
Por tanto, [y]R
[x]R : Dado que R es simétrica, tenemos también que
yRx y podemos invertir los pápeles de x y y en el anterior argumento para
obtener [x]R [y]R :
De…nición 4.4.5 Una partición
de un conjunto A es un conjunto de
subconjuntos no vacíos de A que son disjuntos y exhaustivos; i:e:;
(a) dos conjuntos distintos en
no tienen elementos en común; y
(b) cada elemento de A está en algún conjunto en
:
Teorema 4.4.6 Sea R una relación de equivalencia en A: Entonces el conjunto f[x]R : x 2 Ag de clases de equivalencia es una partición de A:
Prueba. Cada clase de equivalencia [x]R es no vacía (porque x 2 [x]R ) y es
un subconjunto de A (porque R es una relación binaria en A): Lo principal
que debemos probar es que la colección de clases de equivalencia es disjunta,
i.e., que la parte (a) de la anterior de…nición se satisface. Así que supongamos
que [x]R y [y]R tienen un elemento t en común. Por tanto,
xRt
y
yRt:
Pero, entonces xRy y por el lema 4.4.4, [x]R = [y]R :
Si R es una relación de equivalencia en A; entonces podemos de…nir el
conjunto cociente
A=R = f[x]R : x 2 Ag
cuyos elementos son las clases de equivalencia (la expresión A=R se lee “A
partido R”). También tenemos el mapeo natural (ó mapeo canónico) ' :
A ! A=R de…nido por
' (x) = [x]R ;
para x 2 A:
100
CAPÍTULO 4. RELACIONES Y FUNCIONES
Ejemplo. De…namos una relación binaria
m
n
,
m
en N por
n es divisible por 6:
Entonces es una relación de equivalencia en N (como se puede veri…car).
El conjunto cociente N= tiene seis elementos:
[0] ;
[1] ;
[2] ;
[3] ;
[4] ;
[5] ;
correspondientes a los seis posibles residuos despues de dividir por 6.
Ejemplo. Sea f : A ! B y para puntos en A de…namos
x
y
,
f (x) = f (y) :
La relación es una relación de equivalencia en A: Existe una única función
inyectiva fe : A= ! B tal que f = fe ' (donde ' es el mapeo natural tal
como se muestra en la Fig. 13). El valor de fe en una clase de equivalencia
particular es el valor común de f en todos los elementos de la clase de
equivalencia.
Fig. 13. f factoriza en un mapeo natural seguido de una función uno a uno.
Ejemplo. La relación de congruencia de triángulos en el plano es una
relación de equivalencia.
Ejemplo. Los textos en álgebra lineal a menudo de…nen los vectores
en el plano del siguiente modo. Sea A el conjunto de todos los segmentos rectilíneos dirigidos en el plano. Dos de dichos segmentos se consideran
equivalentes sii tienen la misma longitud y dirección. Un vector se de…ne
entonces como una clase de equivalencia de segmentos rectilíneos dirigidos.
Para evitar la necesita de estar tratando explícitamente con relaciones de
equivalencia, los libros usan frases como “vectores equivalentes se consideran
4.4. RELACIONES DE EQUIVALENCIA
101
iguales aún cuando estén en posiciones diferentes”, ó “escribimos P Q = RS
para decir que P Q y RS tienen la misma longitud y dircción aunque sean
conjuntos de puntos no idénticos” ó sencillamente “identi…camos dos segmentos rectilíneos que tengan la misma longitud y dirección”:
El último problema que queremos examinar en esta sección es el problema de de…nir funciones en un conjunto cociente. Especí…camente, supongamos que R es una relación de equivalencia en A y que f : A ! A: Nos
preguntamos si existe ó no una función correspondiente fe : A=R ! A=R tal
que para todo x 2 A;
fe([x]R ) = [f (x)]R
(ver Fig. 14). Aquí estamos tratando de de…nir el valor de fe en una clase
de equivalencia seleccionando un elemento particular x de la clase y luego
formar [f (x)]R : Pero supongamos que x1 y x2 están en la misma clase de
equivalencia. Entonces fe no está bien de…nida a menos que f (x1 ) y f (x2 )
estén en la misma clase de equivalencia.
Fig. 14. Este diagrama se denomina conmutativo si fe ' = ' f:
Ejemplo. Consideremos N= ; donde m n sii m
6: Tres funciones de N en N están de…nidas por
f1 (n) = 2n;
f2 (n) = n2
f3 (n) = 2n :
y
En cada caso nos preguntamos si existe fei : N=
n2N:
fe1 ([n]) = [2n] ;
fe2 ([n]) = n2
n es divisible por
! N=
y
tal que para todo
fe3 ([n]) = [2n ] :
102
CAPÍTULO 4. RELACIONES Y FUNCIONES
Es fácil de ver que si m
n; entonces 2m
2n: Debido a este hecho, fe1
está bien de…nida: esto es, existe una función fe1 que satisface la ecuación
fe1 ([n]) = [2n] : No importa que representante m de la clase de equivalencia
[n] usemos (para más detalles ver la prueba del teorema 4.4.7 más adelante).
Similarmente si m n; entonces m2 n2 ; porque recordemos que m2 n2 =
(m + n) (m n) : Luego, fe2 también está bien de…nida. Por otro lado, fe3 no
está bien de…nida. Por ejemplo,
0
6;
pero 20 = 1
64 = 26 :
Por tanto, aunque [0] = [6] ; tenemos que 20 6= 26 : Luego no puede
existir una función fe3 tal que fe3 ([n]) = [2n ] se cumple para n = 0 y n = 6
al mismo tiempo.
Para formular un teorema general, decimos que f : A ! A es compatible
con R sii para todo x; y 2 A;
xRy
)
f (x) Rf (y) :
Teorema 4.4.7 Sean R una relación de equivalencia en A y f : A ! A: Si
f es compatible con R; entonces existe una única fe : A=R ! A=R tal que
fe([x]R ) = [f (x)]R
para todo x 2 A
(4.1)
Si f no es compatible con R; entonces dicha fe no existe. Resultados análogos
se aplican a funciones de A A en A:
Prueba. Primero supongamos que f no es compatible con R; mostraremos
que no puede existir una función fe que satisfaga (4.1). La incompatibilidad
no dice que para ciertos x; y 2 A tenemos que xRy (y, luego, [x] = [y]) pero
no es el caso que f (x) Rf (y) (, luego, [f (x)] 6= [f (y)]). Para que (4.1) se
satisfaga necesitamos que se cumpla a la vez
fe([x]) = [f (x)]
y
f ([y]) = [f (y)] :
Pero esto es imposible, dado que los lados izquierdos coinciden, pero los
derechos no.
Ahora, para el recíproco, supongamos que f es compatible con R; tratemos de de…nir fe como el conjunto de todos los siguientes pares ordenados:
fe = f([x] ; [f (x)]) : x 2 Ag :
4.5. RELACIONES DE ORDEN LINEAL
103
La cuestión crucial es si esta relación sí es una función. Así que consideremos
pares ([x] ; [f (x)]) y ([y] ; [f (y)]) en fe: Entonces,
[x] = [y]
)
)
)
xRy
f (x) Rf (y)
[f (x)] = [f (y)]
por el lema 4.4.4
por hipótesis
por el lema 4.4.4.
Esto muestra que fe es, en efecto, una función. Lo que resta por probar es más
fácil. Claramente, dom fe = A=R y ran fe A=R; luego, fe : A=R ! A=R.
Finalmente (4.1) se satisface porque ([x] ; [f (x)]) 2 fe:
Dejamos como ejercicio explicar por qué fe es única y formular los “resultados análogos” para una operación binaria.
4.5.
Relaciones de Orden Lineal
El primer ejemplo de una relación de orden que dimos en este capítulo
fue la relación de orden
f(1; 4); (1; 7); (4; 7)g
en el conjunto f1; 4; 7g: recordemos Fig. 7. Ahora queremos considerar relaciones de orden en otros conjuntos. En la presente sección estableceremos
los conceptos básicos que serán útiles en el capítulo _. Una discusión más
detallada de las relaciones de orden se puede hallar en el capítulo _.
Lo primero que necesitamos es una de…nición. ¿Qué, en general, debería
entenderse al decir que R es una relación de orden en un conjunto A? Bueno,
la cosa que sea R debería decirnos dados dos elementos distintos x y y de
A cuál es el menor. Ningún x debe ser menor que sí mismo. Y además si x
es menor que y y y es menor que z; entonces x debería ser menor que z: La
siguiente de…nición captura estas ideas.
De…nición 4.5.1 Sea A un conjunto cualquiera: Un orden lineal en A
(también llamado un orden total en A) es una relación binaria en A
(i:e:; R A A) que cumpla las siguientes dos condiciones:
(a) R es una relación transitiva: i:e:; siempre que xRy y yRz; entonces
xRz:
(b) R satisface tricotomía en A; por lo cual entendemos que para cualquier
x y y en A se cumple exactamente una de las tres alternativas:
xRy;
x = y;
yRx:
104
CAPÍTULO 4. RELACIONES Y FUNCIONES
Para clari…car el signi…cado de tricotomía, primero consideramos el caso
particular en que x y y son el mismo elemento de A (con dos nombres).
Entonces la tricotomía exige que exactamente una de
xRx;
x = x;
xRx
se cumpla. Dado que la alternativa del medio siempre se cumple, podemos
conluir que xRx nunca se cumple.
A continuación consideremos el caso donde x y y son dos elementos
distintos de A: Entonces la alternativa del medio x = y falla, de modo que
la tricotomía exige que ó xRy ó yRx (pero no ambas). Por tanto, hemos
probado el siguiente:
Teorema 4.5.2 Sea R un orden lineal en A:
(i) No existe x para el cual xRx:
(ii) Para x; y 2 A distintos; ó xRy ó yRx:
De hecho, para una relación transitiva en A, las condiciones (i) y (ii)
son equivalentes a la tricotomía. Una relación que satisfaga la condición
(i) se denomina irre‡exiva; una que cumpla la condición (ii) se denomina
orden-conexa en A.
Notemos que un orden lineal R nunca nos lleva en círculos, e.g. no puede
existir un círculo tal como
x1 Rx2 ;
x2 Rx3 ;
x3 Rx4 ;
x4 Rx5 ;
x5 Rx1 :
Esto se debe a que si hubiese un círculo tal como el anterior, entonces, por
transitividad, x1 Rx1 contradiciendo la parte (i) del anterior teorema.
Por supuesto, “R” no es nuestro símbolo favorito para un orden lineal;
lo es “<”. Por tanto, podemos escribir “x < y” para signi…car que el par
(x; y) es elemento del conjunto <.
Si < es un orden lineal en A y A no es demasiado grande, entonces
podemos trazar una grá…ca del orden. Representamos los elementos de A
por puntos, ubicando el punto para x debajo del punto para y si x < y:
Enetonces agregamos líneas verticales que conecten a los puntos. La grá…ca
resultante tiene los puntos de A distribuidos en el orden correcto a lo largo
4.5. RELACIONES DE ORDEN LINEAL
105
de una línea (el adjetivo “líneal”re‡eja la posibilidad de trazar esta grá…ca).
Fig. 15. Los ordenes lineales lucen lineales.
La …gura 15 contiene tres de dichas grá…cas. La parte (a) es la grá…ca
para el orden usual en f1; 4; 7g : Las partes (b) y (c) retratan el orden usual
en los números naturales y los números enteros, respectivamente (grá…cas
in…nitas son más dí…ciles de dibujar que grá…cas …nitas).
Además del concepto de orden lineal, existe un concepto más general de
orden parcial. Los ordenes parciales se discuten en . . .
106
CAPÍTULO 4. RELACIONES Y FUNCIONES
Parte II
Sistemas numéricos
107
Capítulo 5
Los Números Naturales
5.1.
Conjuntos Inductivos
Recordemos que el sucesor del conjunto x fue de…nido como s(x) = x+ =
x [ fxg y que usando dicha notación se introdujo uno de los axiomas mas
importantes en la matemática.
Axioma del In…nito. Existe un conjunto que contiene el 0 y el sucesor de
cada uno de sus elementos.
Si acordamos en llamar a un conjunto I inductivo si 0 2 I y además,
para todo x 2 I se tiene que s(x) 2 I , entonces el axioma del in…nito a…rma
simplemente que existe un conjunto inductivo. Ahora nos proponemos de…nir
el conjunto inductivo mas pequeño. Con este propósito, …jamos un conjunto
inductivo A y de…nimos la familia
I =fB
A : B es inductivog:
Claramente, esta es una familia
bien de…nida y no vacía, luego podemos
T
de…nir su intersección N = I.
Proposición 5.1.1 El conjunto N es el menor conjunto inductivo. Esto
es, N es inductivo y además, si I es cualquier conjunto inductivo, entonces
N I .
Prueba. Primero probemos que N es inductivo. Claramente, si B es cualquier
subconjunto inductivo de A , entonces 0 2 B , luego 0 2 \I =N . De otro
lado, si x 2 N entonces, para cualquier subconjunto inductivo B
A se
tiene que x 2 B . Pero como B es inductivo, tenemos que s(x) 2 B. Esto
109
110
CAPÍTULO 5. LOS NÚMEROS NATURALES
es, s(x) 2 N . Luego N es inductivo. Ahora, sea I un conjunto inductivo
arbitrario, entonces se tiene que A \ I también es inductivo y, claramente,
es un subconjunto de A . Entonces, por de…nición de I , se tiene que N =
\I A \ I I , como se quería.
El conjunto N se denomina el conjunto de los números naturales
(algunos textos utilizan el símbolo ! para representar el conjunto de los
números naturales).
Nota 5.1.2 Notemos que la de…nición de N parece depender del conjunto inductivo A que …jamos al inicio. Esto es, parece que una notación mas
apropiada para el conjunto que acabamos de de…nir sería NA , para indicar su
dependencia de A. Pero si B es otro conjunto inductivo y de…nimos el correspondiente conjunto de números naturales NB , entonces, por la proposición
anterior, ambos conjuntos son inductivos y minimales, luego se tiene que
NA
NB y NB
NA . Esto es, NA = NB , luego la de…nición de N es en
realidad independiente del conjunto inicial A.
De otro lado, la minimalidad del conjunto N se puede expresar diciendo
lo siguiente:
Sea S un subconjunto arbitrario de N que cumple lo siguiente:
(i) 0 2 S
(ii) para todo n 2 S se tiene que n+ 2 S.
Entonces S = N .
Esa propiedad se denomina el Principio de Inducción Matemática
y juega un papel fundamental en el desarrollo de las propiedades adicionales
de N relacionadas con la aritmética y el orden.
5.2.
Los Postulados de Peano
(I) 0 2 N
(II) si n 2 N entonces n+ 2 N
(III) si S
N es un conjunto inductivo, entonces S = N .
(IV) para todo n 2 N se cumple que n+ 6= 0 .
(V) si n, m 2 N y si n+ = m+ entonces n = m .
5.2. LOS POSTULADOS DE PEANO
111
La justi…cación de estas propiedades de N no es del todo inmediata y
procederemos pasa a paso:
Las propidades (I) y (II) son simplemente otra manera de decir que el
conjunto N es inductivo. La propiadad (III) es otra manera de enunciar el
principio de inducción matemática y expresa simplemente la minimalidad
de N aludida en la proposición anterior, pues si S
N es un conjunto
inductivo entonces, por dicha proposición, se tiene que N
S , lo cual
implica que S = N . La propiedad (IV) también se sigue en forma sencilla,
pues n+ = s(n) = n [ fng claramente no es ; = 0 , ya que n 2 n+ . Antes
de probar la propiedad (V) enunciamos algunos resultados previos:
De…nición 5.2.1 Un conjunto x se dice que es transitivo si cumple que,
para todo y 2 x, y x . Esto es, si todo elemento de x es también subconjunto de x .
Lema 5.2.2 N es un conjunto transitivo.
Prueba. La prueba procede por inducción matemática. De…nimos entonces
el conjunto
S = fn 2 N : n Ng
y mostramos que S = N:Claramente 0 2 S , pues 0 = ; N . De otro lado,
si n 2 S entonces, por de…nición de S, se tiene que , n 2 N y n N, por lo
tanto n+ = n [ fng N. Lo cual implica que S es un subconjunto inductivo
de N. Por el principio de inducción matemática concluimos que S = N .
Esto es, para todo n 2 N se cumple que n
N. Luego N es un conjunto
transitivo.
Lema 5.2.3 Todo número natural es transitivo.
Prueba. También precedemos por inducción. De…nimos el conjunto
S = fn 2 N : n es transitivog:
Primero notamos que 0 = ; es transitivo y por lo tanto 0 2 S . De otro lado,
supongamos que n 2 S y veamos que n+ 2 S . Supongamos entonces que
m 2 n+ = n [ fng y mostremos que m
n+ . Si m 2 n entonces, como
n 2 S se tiene que n es transitivo y por lo tanto m
n
n+ . Por otra
parte, si m 2 fng entonces m = n y entonces claramente m = n n+ . En
ambos casos hemos mostrado que Concluimos entonces que m n+ luego
n+ es transitivo y por consiguiente n+ 2 S . De lo anterior se concluye que S
es inductivo y por el principio de inducción matemática tenemos que S = N
. Esto es, todo número natural es transitivo.
112
CAPÍTULO 5. LOS NÚMEROS NATURALES
Lema 5.2.4 Ningún número natural es subconjunto de alguno de sus elementos.
Prueba. Sea
S = fn 2 N : n no es subconjunto de ninguno de sus elementosg:
Entonces claramente 0 = ; 2 S , pues ; no contiene elementos. Ahora,
supongamos que n 2 S y mostremos que n+ 2 S . Razonemos por el absurdo
y supongamos que n+ m para algún m 2 n+ = n [ fng . Entonces hay dos
posibilidades: si m 2 n se tiene que n n+ m 2 n , lo cual contradice el
hecho de que n 2 S . Por otro lado, si m 2 fng entonces m = n y entonces
obtenemos n
n+
n 2 n , lo cual contradice también el que n 2 S .
Hemos mostrado entonces que si n 2 S se cumple que n+ 2 S . Esto es, S
es inductivo y por el principio de inducción S = N . Luego ningún natural
es subconjunto de alguno de sus elementos.
Ahora podemos establecer la propidad (V) de los postulados de Peano,
la cual enunciamos como un
Corolario 5.2.5 (Propiedad (V) de N ). si n, m 2 N y si n+ = m+ entonces n = m .
Prueba. Supongamos que n+ = m+ . Entonces se sigue que n 2 n+ = m+ ;
esto es n 2 m [ fmg, lo cual implica que n 2 m o n = m . En forma
similar tenemos que m 2 n o m = n . Ahora, si m 6= n entonces se sigue
que n 2 m y m 2 n lo cual implica que n 2 n (por la transitividad de n ).
Luego n n 2 n, lo cual contradice el lema anterior. Concluimos entonces
que m = n , lo cual termina la demostración.
Ejemplo 5.2.6 Usemos inducción matemática para probar que si n es un
natural entonces:
(i) n 6= n+ :
Sea S = fn 2 N : n 6= n+ g: Claramente 0 2 S; pues, por el postulado (IV)
0 6= n+ para cualquier n 2 N. De otro lado, si n+ = (n+ )+ entonces
por el postulado (V) se tiene que n = n+ ; lo cual implica que n 2
= S:
Esto es, si n 2 S entonces n+ 2 S . Luego el conjunto S es inductivo
y por inducción S = N. Esto es, para todo n se cumple que n 6= n+
(ii) Si n 6= 0 entonces n = m+ para algún natural m:
5.3. TEOREMA DE LA RECURSIÓN
113
Sea T = fn 2 N : (n = 0) _(9m 2 N)(n = m+ )g: Claramente T contiene
al 0 y a todo natural de la forma m+ , luego T es inductivo y por
consiguiente T = N. Esto es, todo natural n 6= 0 es de la forma m+
para algún m 2 N.
5.3.
Teorema de la Recursión
Una situación típica en matemáticas es la siguiente: queremos de…nir una
función f con dominio N y codominio X de acuerdo a una regla H (…ja de
antemano) que nos indica cómo de…nir los valores de f en términos de los
valores ya de…nidos. En el caso mas sencillo, podemos suponer que la regla
dada se representa por una función H : X ! X y además que el primer
valor de f es a , esto es, f (0) = a . El método tradicional consiste en decir
que como f (0) = a , entonces podemos hacer f (1) = H(f (0) = G(a) y luego
f (2) = H(f (1)) y asi sucesivamente.
La situación, analizada en forma mas detenida, involucra dos a…rmaciones que podríamos describir como unicidad y existencia: Por un lado
está la pregunta de si la función buscada es única o si existen varias funciones
que satisfacen las condiciones especi…cadas. Por otra parte, está la situación,
mucho mas delicada, de la existencia de la función f: Recordemos que una
función es un conjunto de pares ordenados. En nuestro caso, f
N X y
no es nada claro que la solución ofrecida establezca claramente la existencia
de f: A lo mas, lo que podemos concluir es que, si la función f existiera,
entonces cumpliría las condiciones ofrecidas y, precisamente por este hecho,
sería única. A continuación utilizamos el principio de inducción para probar tanto la existencia como la unicidad de la función buscada. Primero
probamos la unicidad.
Proposición 5.3.1 Supongamos que a 2 A y sea H : A ! A una función.
Entonces existe a lo mas una función f : N !A que satisface
(i) f (0) = a
(ii) (para todo n 2 N)[f (n+ ) = H(f (n))]:
Prueba. sean f y g dos funciones que satisfacen las condiciones (i) y (ii) y
mostremos que f = g: De…nimos entonces
S = fn 2 N : f (n) = g(n)g:
Primero notamos que de la condición (i) se sigue f (0) = a = g(0) . Esto
es, 0 2 S . De otro lado, si n 2 S entonces la condición (ii) implica que
114
CAPÍTULO 5. LOS NÚMEROS NATURALES
f (n+ ) = H(f (n)) = H(g(n)) = g(n+ ). Esto es, n+ 2 S. Luego el conjunto
S es inductivo y entonces, por el principio de inducción, concluimos que
S = N, lo cual signi…ca que, para todo n se cumple f (n) = g(n). Por lo
tanto f = g.
Teorema 5.3.2 (Teorema de la Recursión). Sean A y a conjuntos tales que
a 2 A y supongamos además que H : A ! A es una función. Entonces existe
una única función f : N !A que satisface
(i) f (0) = a
(ii) (para todo n 2 N)[f (n+ ) = H(f (n))]:
Prueba. El hecho de que existe a lo más una función, esto es, el enunciado de
unicidad, se sigue de la proposición anterior. Nos concentraremos entonces
en probar la existencia. Decimos que un conjunto B
N A es aceptable
si (0; a) 2 B y, además, (n+ ; H(x)) 2 B siempre que (n; x) 2 B: Hagamos
entonces
C = fB N A : B es aceptableg:
Lo primero que notamos es que N A es aceptable, luego C es no vacío.
Podemos formar entonces su intersección f = \C. Nuestro propósito es
mostrar que f es la función pedida. Notemos que f es aceptable y por lo
tanto f 2 C. Lo cual implica que f es el elemento mínimo de C , esto es, para
todo B 2 C se cumple que f
B . Mostremos ahora que f es una función
de N en A, esto es, que para todo n 2 N existe un único x 2 A tal que (n ,
x) 2 f . De…nimos entonces el conjunto
S = fn 2 N : existe un único x 2 A tal que (n; x) 2 f g
y mostramos por inducción que S = N. Veamos primero que 0 2 S. Si esto
es falso, entonces existe y 6= a tal que (0; a), (0, y) 2 f . Consideremos ahora
el conjunto g = f n f(0, y)g: Primero vemos que (0, a) 2 g , pues y 6= a.
Además, si (n; x) 2 g entonces (n+ ; H(x)) 2 g, pues n+ 6= 0 y por lo tanto
(n+ ; H(x)) 6= (0; y). En otras palabras g 2 C y, por la minimalidad de f; se
tiene que f g, lo cual es imposible. Concluimos entonces que 0 2 S.
Supongamos ahora que n 2 S y mostremos que n+ 2 S: Como n 2 S
se tiene que existe un x 2 A (único) tal que (n; x) 2 f , lo cual implica
que (n+ ; H(x)) 2 f: Si n+ 2
= S entonces existe un y 6= H(x) tal que
(n+ ; y) 2 f: Consideremos ahora el conjunto h = f n f(n+ , y)g y mostremos
que h es aceptable, esto es, h 2 C. Claramente (0; a) 2 h, pues 0 6= n+
y (0; a) 2 f: De otro lado, si (m; z) 2 h sabemos que (m+ ; H(z)) 2 f y,
5.3. TEOREMA DE LA RECURSIÓN
115
entonces, (m+ ; H(z)) 2 h; pues en caso contrario obtenemos m+ = n+ y
H(z) = y: Lo cual implica que m = n y por lo tanto z = x: Pero entonces
se sigue que y = H(z) 6= H(x) lo cual es imposible, pues H es una función.
Concluimos que h 2 C lo cual implica que f h, por la minimalidad de f:
Pero esto es imposible y se sigue entonces que n+ 2 S; esto es, S es inductivo
y por el principio de inducción obtenemos que S = N. Pero obviamente esto
signi…ca que f es una función con dominio N y codominio A: Finalmente, el
hecho de que f es aceptable signi…ca que se satisfacen las condiciones (i) y
(ii) del teorema, como se quería.
Una función construida mediante el teorema de la recursión se dice que
ha sido de…nida por inducción.
Como una aplicación del teorema de la recursión probaremos la unicidad de los números naturales, para lo cual debemos empezar con algunas
de…niciones. En primer lugar, dada una función g con dominio P; y un subconjunto A P; decimos que el conjunto A es cerrado bajo g si, para todo
a 2 A; se cumple que g(a) 2 A; o equivalentemente, si g[A] A:
De…nición 5.3.3 Un Sistema de Peano (o Sistema Entero) es una tripleta
hP; g; ei que consiste en un conjunto P; una función g : P ! P y un elemento
e 2 H; tal que se satisfacen las siguientes propiedades:
(i) e 2
= g[P ]
(ii) La función g es inyectiva
(iii) Para todo subconjunto A
A = P:
P; si A es cerrado bajo g y e 2 A, entonces
Si de…nimos la función como la restricción de la operación sucesor s al
conjunto N; esto es, si hacemos
= f(n; s(n)) : n 2 Ng;
entonces tenemos que la tripleta hN; ; 0i es un sistema de Peano. Lo cual
consignamos en el siguiente
Teorema 5.3.4 La tripleta hN; ; 0i es un sistema de Peano.
Prueba. Primero notemos que, por los postudados (I) y (II); 0 2 N y la
función : N ! N está bien de…nida. Además, por el postulado (IV ); si
n 2 N entonces n+ = (n) 6= 0; lo cual implica que 0 2
= (N):
116
CAPÍTULO 5. LOS NÚMEROS NATURALES
De otro lado, si (n) = (m); esto es, si
s(n) = n+ = m+ = s(m);
entonces el postulado (V ) implica que n = m: Por lo tanto la función
es inyectiva.
Por último, notemos que si S N y 0 2 S; entonces S es inductivo si y
sólo si S es cerrado bajo ; de modo que la condición (iii) de la de…nición
anterior es equivalente al postulado (III):
Teorema 5.3.5 (Unicidad de los Números Naturales) Sea hP; g; ei un
sistema de Peano. Entonces existe una biyección h : N ! P que preserva la
operación sucesor y el elemento neutro, esto es,
h(0) = e
h(n+ ) = g(h(n));
(F)
para todo n 2 N: La función h se denomina un isomor…smo de N en P:
Prueba. Aplicando el teorema de la recursión, sabemos que existe una única
función h : N ! P que satisface las condiciones en (F): Mostremos que dicha
función es biyectiva. Empezamos por de…nir el conjunto
A = fh(n) : n 2 Ng
P:
Claramente, e 2 A; pues e = h(0): Además, si h(n) 2 A; entonces, por (F);
se tiene que
g(h(n)) = h(n+ ) 2 A;
esto es, A es cerrado bajo g y entonces, por la condición (iii) de la de…nición
anterior, concluimos que A = P: Por lo tanto, la función h es sobreyectiva.
Ahora, para mostrar que h es inyectiva, de…nimos el conjunto
S = fm 2 N : (8n 2 N)[h(m) = h(n) ! m = n]g:
Notemos que si h(0) = h(n) entonces 0 = n; pues en caso contrario, por el
ejemplo 5.2.6, tendríamos que n = m+ para algún m 2 N y por lo tanto
e = h(0) = h(m+ ) = g(h(m));
lo cual va en contra de que e 2
= g(P ): Se sigue entonces que 0 2 S:
5.3. TEOREMA DE LA RECURSIÓN
117
Supongamos ahora que m 2 S y sea h(m+ ) = h(n): Entonces, como
0 2 S y m+ 6= 0, se tiene que n 6= 0: Por lo tanto, n = p+ para algún p 2 N
y se cumple que
g(h(m)) = h(m+ ) = h(n) = h(p+ ) = g(h(p)):
Pero g es inyectiva, entonces h(m) = h(p) y, como m 2 S; se concluye
m = p; lo cual implica m+ = p+ = n: Hemos probado entonces que m 2 S
implica m+ 2 S; esto es, S es un conjunto inductivo. Se sigue entonces por
el principio de inducción que S = N; lo cual signi…ca que h es inyectiva.
Ejercicios
1. Muestre que 1 6= 3, esto es, que ;+ 6= ;+++ :
2. Muestre que si a es un conjunto transitivo, entonces a+ es un conjunto
transitivo.
3. Muestre que si [(a+ ) = a; entonces a es un conjunto transitivo.
4. Existe una función h : N ! N tal que h(0) = 3 y h(n+ ) = 2h(n):
Calcular h(4):
5. Sea h : N ! N tal que h(0) = 2 y h(n+ ) = h(n) + 4: Encuentre una
expresión explícita para h(n):
6. Sea h : N ! N tal que h(0) = 1y h(n+ ) = h(n) + 3n + 1: Halle una
expresión explícita para h(n):
7. Sea h : N ! N de…nida como h(n) = 4n + 3: Encuentre una expresión
para h(n+ ); en términos de h(n); tan simple como sea posible.
(i) De…na una función : N ! N; diferente de ; tal que hN; ; 0i sea
un Sistema de Peano.
(ii) Muestre que si hN; ; 0i es un Sistema de Peano, entonces existe
una biyección : N ! N; tal que
=
:
(i) Encuentre todas las funciones
es la función sucesor.
: N ! N; tal que
=
; donde
(ii) Muestre que si hN; ; 0i es un Sistema de Peano y, además,
; entonces = :
=
118
CAPÍTULO 5. LOS NÚMEROS NATURALES
8. Sea f : A ! A una función inyectiva y asuma que c 2 A n ran(f ):
De…na h : N ! A por recursión:
h(0) = c
h(n+ ) = f (h(n)):
Muestre que h es inyectiva.
9. Consideremos una función f : B ! B con A B: De…namos
\
C =
fX : A X B y f [X] Xg :
Ahora aplicamos el teorema de la recursión y obtenemos una función
h tal que
h(0) = A
h(n+ ) = h(n) [ f [h(n)]:
De…namos
C =
Muestre que
[
i2N
h(i):
C =C :
(Sugerencia: Para veri…car C
C ; muestre que f [C ]
C . Para
mostrar la otra inclusión establezca por inducción que h(n) C ):
10. Demuestre la siguiente versión del Teorema de la Recursión(Recursión
Primitiva):
Sea A un conjunto con a 2 A y sea H : N A ! A una función. Entonces existe una única función f : N ! A que satisface las siguientes
condiciones
(i) f (0) = a
(ii) f (n+ ) = H(n; f (n));
para todo n 2 N:
(Sugerencia: Considere la función G : N A ! N A; de…nida como
G(n; x) = (n+ ; H(n; x)) y construya la función g : N ! N A dada
por g(0) = (0; a) y g(n+ ) = G(g(n)); para todo n 2 N: Ahora, haga
f (n) = segunda componente de g(n) y muestre, por inducción, que f
satisface (i) y (ii)).
5.3. TEOREMA DE LA RECURSIÓN
119
11. Demuestre la siguiente versión del Teorema de la Recursión:
Sea A un conjunto con a 2 A y sea H : FA ! A una función (donde
FA denota la familia de subconjuntos …nitos de A): Entonces existe
una única función f : N ! A que satisface las siguientes condiciones
(i) f (0) = a:
(ii) f (n+ ) = H(ff (0); f (1); f (2);
; f (n)g);
para todo n 2 N:
(Sugerencia: Considere la función G : FA ! FA de…nida por G(B) =
B[fH(B)g y construya la función g : N ! FA que satisface g(0) = fag
y g(n+ ) = G(g(n)); para todo n 2 N).
12. Demuestre la siguiente versión del Teorema de la Recursión:
Sea A un conjunto con a 2 A y sea H : N FA ! A una función. Entonces existe una única función f : N ! A que satisface las siguientes
condiciones
(i) f (0) = a:
(ii) f (n+ ) = H(n; ff (0); f (1); f (2);
; f (n)g);
para todo n 2 N:
(Sugerencia: Sea G : N FA ! FA de…nida como G(n; B) = B [
fH(n; B)g: Entonces existe una función g : N ! FA tal que g(0) = fag
y g(n + 1) = G(n; g(n)): De…na f (0) = a y f (n+ ) = H(n; g(n)) y
muestre que g(n) = ff (0); f (1);
; f (n)g).
13. Demuestre la siguiente versión del Teorema de la Recursión (Recursión
Doble):
Sea A un conjunto con a; b 2 A y sean G; H : N A A ! A funciones.
Entonces existe un único par de funciones f; g : N ! A; tales que
(i) f (0) = a y g(0) = b:
(ii) f (n+ ) = G(n; f (n); g(n)) y g(n+ ) = H(n; f (n); g(n));
n 2 N:
para todo
120
CAPÍTULO 5. LOS NÚMEROS NATURALES
5.4.
5.4.1.
Aritmética y Orden
Adición de números naturales
Si aplicamos el teorema de la recursión podemos ver que para cualquier
m 2 N existe una función Am : N ! N que satisface
Am (0) = m
Am (n+ ) = Am (n)+ para todo n en N.
Intuitivamente, lo que esta función hace es tomar cualquier natural n y
sumárselo a m . Esto es, Am (n) = m+n (con m …jo !) Pero nuestro propósito
es de…nir la adición de números naturales, esto es, buscamos una función
A : N N ! N que tome una pareja de naturales (m; n) y la envíe en m + n:
En otras palabras, buscamos una función A que satisfaga la igualdad
A(m; n) = m + n
para cualquier par de naturales m y n:
Nota 5.4.1 Una función de la forma f : B B ! B se denomina usualmente una operación binaria en el conjunto B:
Una manera de lograr ese objetivo es simplemente de…nir la función A
como el conjunto apropiado de pares ordenados, esto es, de…nimos explícitamente su grá…co.
De…nición 5.4.2 La operación de adición de números naturales (+) es la
función A : N N ! N cuyo grá…co es el conjunto
A = f((m; n); p) 2 N3 : Am (n) = pg:
Siguiendo la notación convencional, escribimos m + n en vez de A(m; n).
Teorema 5.4.3 (De…nición de la suma). Sean m; n 2 N; entonces se cumple
que
m+0 = m
m + n+ = (m + n)+
Prueba. Basta notar que m + 0 = Am (0) = m y similarmente m + n+ =
Am (n+ ) = Am (n)+ = (m + n)+ :
Nota 5.4.4 Si hacemos 1 = 0+ entonces se sigue del teorema que m + 1 =
m + 0+ = (m + 0)+ = m+ :
5.4. ARITMÉTICA Y ORDEN
121
Teorema 5.4.5 (Asociatividad de la adición). Para todo m; n; p 2 N se
cumple que
(m + n) + p = m + (n + p):
Prueba. La demostración procede por inducción. De…nimos entonces
S = fp 2 N : (m + n) + p = m + (n + p) para todo m; n 2 Ng:
Notemos que por el teorema anteriór se tiene que (m + n) + 0 = m + n =
m + (n + 0); luego 0 2 S: Ahora, supongamos que p 2 S y mostremos que
p+ 2 S: Basta notar que si m; n 2 N entonces
(m + n) + p+ = [(m + n) + p]+
(def. suma)
+
= [m + (n + p)]
(hip. inductiva)
+
= m + (n + p)
(def. suma)
+
(def. suma)
= m + (n + p ).
y por lo tanto p+ 2 S; esto es, S es inductivo. Por el principio de inducción
se tiene que S = N:
Lema 5.4.6 Para todo natural n se tiene que 0 + n = n:
Prueba. Sea S = fn 2 N : 0 + n = ng: Entonces, por propiedades de la
adición, 0 + 0 = 0; esto es, 0 2 S: De otro lado, si n 2 S entonces
0 + n+ = (0 + n)+
+
= n :
(def. suma)
(hip. inductiva)
Esto es, n+ 2 S: Luego S es inductivo y concluimos que S = N.
Lema 5.4.7 Para todo m; n 2 N se tiene que m+ + n = (m + n)+ :
Prueba. Sea S = fn 2 N : m+ + n = (m + n)+ para todo m 2 Ng: Primero
notamos que si m 2 N entonces
m+ + 0 = m+
(def. suma)
+
= (m + 0)
(def. suma)
luego 0 2 S: Supongamos ahora que n 2 S y sea m 2 N, arbitrario. Entonces
se tiene que
m+ + n+ = (m+ + n)+
+ +
(def. suma)
= [(m + n) ]
(hip. inductiva)
+ +
(def. suma)
= (m + n )
122
CAPÍTULO 5. LOS NÚMEROS NATURALES
De modo que n+ 2 S y por lo tanto S es inductivo. Concluimos entonces
que S = N:
Teorema 5.4.8 (Conmutatividad de la adición). Sean m; n 2 N: Entonces
se tiene que m + n = n + m:
Prueba. Sea S = fn 2 N : m + n = n + m para todo m 2 Ng: Notemos que
m + 0 = m = 0 + m; por un lema anterior, luego 0 2 S: Ahora, si n 2 S y
m es un natural arbitrario, se tiene que
m + n+ = (m + n)+
(def. suma)
+
= (n + m)
(hip. inductiva)
+
(lema anterior)
= n +m
concluimos entonces que n+ 2 S y por lo tanto S es inductivo. Luego S = N.
Teorema 5.4.9 (Ley cancelativa de la adición). Sean m; n; p 2 N y supongamos que m + p = n + p: Entonces se cumple que m = n:
Prueba. Sea S = fp 2 N : (8m; n 2 N)[m + p = n + p implica m =
n]g: Claramente, m + 0 = n + 0 implica que m = n, luego 0 2 S: Ahora,
supongamos que p 2 S y sean m; n 2 N tales que m + p+ = n + p+ : Entonces
se tiene que
(m + p)+ = m + p+
= n+p
+
(def. suma)
(hipotesis)
+
= (n + p)
(def. suma)
luego por el postulado (V) obtenemos que m + p = n + p: Pero entonces la
hipótesis inductiva implica que m = n: De modo que p+ 2 S y podemos
concluir que S = N:
Ejemplo 5.4.10 Utilicemos las propiedades anteriores para probar que si
m; n son naturales y m + n = 0; entonces m = n = 0:
Razonemos por el absurdo. Si suponemos que, n 6= 0; entonces por el
ejemplo 5.2.6 obtenemos que existe un p 2 N tal que n = p+ : Pero esto
signi…ca que 0 = m+n = m+p+ = (m+p)+ ; lo cual contradice el postudado
(IV). Por lo tanto n = 0: En forma similar concluimos que m = 0:
5.4. ARITMÉTICA Y ORDEN
5.4.2.
123
Multiplicación de números naturales
En forma similar a como precedimos en el caso de la adición, aplicamos
el teorema de la recursión y obtenemos, para cada natural m; una función
Mm : N N ! N que satisface
Mm (0) = 0
Mm (n+ ) = Mm (n) + m:
De…nición 5.4.11 La operación de multiplicación de números naturales (:)
es la función M : N N ! N de…nida por
M (m; n) = m n
Teorema 5.4.12 (De…nición de la multiplicación). Sean m; n; números naturales, entonces se tiene que
m 0 = 0
m n+ = m n + m:
Prueba. Basta notar que m;0 = Mm (0) = 0 y que además m:n+ =
Mm (n+ ) = Mm (n) + m = m:n + m:
Nota 5.4.13 Notemos que m;1 = m;0+ = m;0 + m = 0 + m = m:
Teorema 5.4.14 (Distributividad) Sean m; n; p números naturales, entonces
m:(n + p) = m:n + m:p
Prueba. Como es usual, procedemos por inducción y de…nimos
S = fp 2 N : m:(n + p) = m:n + m:p para todo m; n 2 Ng:
Primero, veri…camos que 0 2 S como sigue:
m(n + 0) = m:n
(def. suma)
= m:n + 0
(def. suma)
= m:n + m;0
(def. multiplic.)
Ahora, supongamos que p 2 S y sean m; n 2 N: Se tiene entonces que
m:(n + p+ ) = m:(n + p)+
(def. suma)
= m:(n + p) + m
(def. multiplic.)
= (m:n + m:p) + m
(hip. inductiva)
= m:n + (m:p + m)
(asoc. suma)
+
= m:n + m:p
(def. multiplic.)
124
CAPÍTULO 5. LOS NÚMEROS NATURALES
lo cual nos indica que p+ 2 S: Esto es, S es inductivo y por consiguiente
S = N:
Teorema 5.4.15 (Asociatividad del producto) Sean m; n; p 2 N; entonces se tiene que
(m:n):p = m:(n:p)
Prueba. Una vez más aplicamos inducción. Sea
S = fp 2 N : (m:n):p = m:(n:p) para todo m; n 2 Ng:
Entonces veri…camos fácilmente que
(m:n);0 = 0 = m;0 = m:(n;0);
esto es, 0 2 S: Ahora, supongamos que p 2 S y sean m; n 2 N: Entonces
(m:n)p+ = (m:n):p + m:n
(def. multiplic.)
= m:(n:p) + m:n
(hip. inductiva)
= m:(n:p + n)
+
= m:(n:p )
(distributividad)
(def. multiplic.)
lo cual implica que p+ 2 S: Se concluye entonces que S es inductivo y por
lo tanto S = N:
Antes de veri…car la conmutatividad del producto necesitamos dos resultados previos, los cuales consignamos en forma de
Lema 5.4.16 Sean m; n 2 N; entonces se cumple que m:n = 0 si y sólo si
m = 0 o n = 0:
Prueba. =) : Supongamos que m 6= 0 y n 6= 0: Entonces existen p; q 2 N
tales que m = p+ y n = q + : Por lo tanto
m:n = p+ :q + = p+ q + p+ = (p+ :q + p)+ 6= 0:
(= :Ya sabemos que m;0 = 0: Mostremos entonces que 0:n = 0: Sea
S = fp 2 N : 0:p = 0g: Entonces, la de…nición del producto implica que
0;0 = 0; esto es, 0 2 S: Ahora, si p 2 S se tiene que
0:p+ = 0:p + 0
= 0+0
= 0
(distributividad)
(hip. inductiva)
(def. suma)
Luego p+ 2 S y por consiguiente S = N: De donde se sigue que 0:n = 0 para
todo n 2 N:
5.4. ARITMÉTICA Y ORDEN
125
Lema 5.4.17 Sean m; n 2 N; entonces se cumple que m+ :n = m:n + n:
Prueba. Sea S = fn 2 N : m+ :n = m:n + n para todo m 2 Ng: Primero
notamos que 0 2 S; pues m+ ;0 = 0 = 0 + 0 = m;0 + 0: Ahora, supongamos
que n 2 S y sea m 2 N, arbitrario. Entonces
m+ :n+ = m+ :n + m+
(def. multiplic.)
+
= (m:n + n) + m
(hip. inductiva)
+
= m:n + (n + m )
(asociat. suma)
+
(def. suma)
= m:n + (n + m)
+
(def. suma)
+
(conmutat. suma)
= [m:n + (n + m)]
= [(m:n + m) + n]
+
+
= [m:n + n]
+
= m:n + n
+
(def. producto)
(def. suma)
lo cual muestra que n+ 2 S: Por lo tanto S es inductivo y se concluye que
S = N:
Teorema 5.4.18 (Conmutatividad del producto) Sean m; n números
naturales, entonces se cumple que m:n = n:m:
Prueba. Sea S = fm 2 N : m:n = n:m para todo n 2 Ng: Notemos primero
que 0:n = 0 = n;0 para todo n 2 N: Esto es, 0 2 S: De otro lado, si m 2 S
y n es un natural arbitrario, tenemos que
m+ :n = m:n + n
(lema anterior)
= n:m + n
(hip. inductiva)
+
= n:m
(def. producto)
lo cual signi…ca que m+ 2 S: Se concluye, entonces, que S es inductivo y
por lo tanto S = N:
5.4.3.
Orden en los Naturales
De…nición 5.4.19 Dados números naturales m; n; decimos que m es menor
o igual a n; lo cual escribimos m n; si se cumple que
existe un p 2 N tal que n = m + p:
Si m n pero m 6= n; decimos que m es menor que n; lo cual escribimos como m < n: En este caso también podemos escribir n > m; lo cual se
lee n es mayor que m:
126
CAPÍTULO 5. LOS NÚMEROS NATURALES
Notación: es costumbre escribir m < n < p como abreviación de m < n
y n < p: Similarmente, por ejemplo, la notación m n < p signi…ca m n
y n < p:
A continuación probamos que la relación anterior es lo que se denomina
usualmente una relación de orden parcial en N:
Proposición 5.4.20 La relación es un orden parcial en N: Esto es, dicha
relación es re‡exiva, antisimétrica y transitiva.
Prueba.
1.
2. Re‡exividad. Notemos que, dado un natural n; se cumple que n =
n + 0: Luego, por la de…nición de
, obtenemos que n
n: Por lo
tanto, es re‡exiva.
3. Antisimetría. Sean m; n números naturales y supongamos que m
y n m: Entonces existen p; q 2 N tales que
n=m+p
n
y m = n + q:
lo cual implica que m = n + q = (m + p) + q = m + (p + q): Ahora
aplicamos la ley cancelativa de la adición y obtenemos que p + q = 0:
Finalmente, por el ejemplo 5.4.10 , obtenemos que p = q = 0; esto es,
m=n
4. Transitividad. Sean m; n; p 2 N y supongamos que m
sigue entonces que existen naturales q; r tales que
n=m+q
y
n
p: Se
p = n + r:
Por lo tanto, p = n + r = (m + q) + r = m + (q + r): Esto es, m
p:
Nota 5.4.21 Observemos que si m; n son números naturales entonces se
cumple que m < n si y sólo si (9q 2 N)[n = m + q + ] si y sólo si (9p 2
N)[p 6= 0 y n = m + p] (justi…cación ?).
Lema 5.4.22 Sean m; n; p números naturales. Entonces se cumple lo siguiente:
(i) m
m:
5.4. ARITMÉTICA Y ORDEN
(ii) Si m < n entonces n
127
m:
(iii) Si m < n y n < p entonces m < p:
(iv) m
p si y sólo si m < p+ :
(v) m < p si y sólo si m+
p
Prueba.
(i) Si suponemos que m < m; entonces existe q 2 N tal que m = m + q + :
Lo cual implica que 0 = q + : Pero esto contradice el postulado (IV).
(ii) Supongamos que m < n: Entonces, si n < m, ciertamente tendríamos
que m n y n m; lo cual implica que m = n: Pero entonces habría
que concluir que m < m; lo cual contradice (i).
(iii) Supongamos que m < n y n < p: Entonces, por transitividad de ; tenemos que m p: Pero m = p contradice (ii), de modo que concluimos
m < p:
(iv) Supongamos que m
p: Entonces existe q 2 N tal que p = m + q:
Luego p+ = (m + q)+ = m + q + : De donde se sigue m < p+ : Para la
otra implicación, supongamos que m < p+ : Entonces existe q 2 N tal
que
p+ = m + q + = (m + q)+
luego, por el postudado (IV), se tiene p = m + q: Esto es, m
p:
(v) Supongamos que m < p: Entonces existe un q 2 N tal que
p = m + q + = (m + q)+ = (q + m)+ = q + m+ :
Esto es, m+ p: Para la otra implicación, supongamos que m+ p:
Entonces p = m+ + q = m + q + ; para algún q 2 N: Pero esto signi…ca
que m < p:
Teorema 5.4.23 (Tricotomía) Sean m; n números naturales. Entonces se
cumple una y solo una de las siguientes a…rmaciones:
m < n;
m = n;
n < m:
128
CAPÍTULO 5. LOS NÚMEROS NATURALES
Prueba. La prueba consiste en dos partes. Primero, probamos que se cumple
al menos una de las a…rmaciones dadas. Luego, que se cumple a lo mas una
de ellas. De…namos entonces el conjunto
S = fn 2 N : (8m 2 N)[m < n o m = n o n < m]g:
Claramente, si m 2 N se cumple que m = 0 + m: Luego, si m 6= 0 se tiene
que 0 < m; lo cual signi…ca que 0 2 S: Ahora, supongamos que n 2 S y sea
m 2 N, arbitrario. Se presentan dos casos:
(i) n < m: En este caso se tiene, por el lema anterior, que n+
m:
(ii) m
n: En este caso, y aplicando de nuevo el lema anterior, es claro
que m n < n+ ; lo cual implica m < n+ :
Concluimos entonces que n+ 2 S; lo que signi…ca que S es inductivo y
por lo tanto S = N: Esto implica que, dados m; n 2 N; se cumple al menos
una de las a…rmaciones del teorema. Mostremos ahora que se cumple a lo
mas una de ellas:
Ciertamente, si m = n, entonces el numeral (i) del lema anterior prohibe
las posibilidades m < n o n < m: Por otra parte, por el numeral (ii) del
mismo lema, no se puede dar m < n y n < m: Lo anterior muestra que se
da a lo mas una de las a…rmaciones y esto completa la demostración del
teorema.
Teorema 5.4.24 Sean m; n; p 2 N; entonces se cumple lo siguiente:
(i) m + p < n + p si y sólo si m < n:
(ii) Si p 6= 0; entonces [m:p < n:p si y sólo si m < n]:
(iii) Si p 6= 0; entonces [m:p = n:p; si y sólo si m = n]:
Prueba.
(i) =) : Si m
n entonces, por tricotomía, se tiene que m
n; lo cual
signi…ca que m = n + q; para algún q 2 N: Pero esto implica que
m + p = (n + p) + q: Esto es, m + p
n + q; lo cual equivale a
m + p n + p (de nuevo, por tricotomía ).
(= : Si m < n entonces n = m + q + ; para algún q 2 N: Por lo tanto
n + p = (m + p) + q + ; lo cual signi…ca que m + p < n + p:
5.4. ARITMÉTICA Y ORDEN
129
(ii) Supongamos que p 6= 0 y mostremos que [m:p < n:p $ m < n]:
=) : Si m
n entonces m
n y por lo tanto, existe un q 2 N tal
que m = n + q: Pero entonces m:p = n:p + q:p; lo cual signi…ca que
m:p n:p; esto es, m:p n:p:
(= : Supongamos que m < n: Entonces existe q 2 N tal que n = m + q + :
Por lo tanto n:p = m:p + q + :p; con q + :p 6= 0 (por el lema 5.4.16).
Luego obtenemos que m:p < n:p:
(iii) Sea p 6= 0: Entonces, por tricotomía y (ii); tenemos que m 6= n si, y
sólo si, m < n o n < m; si, y sólo si, m:p < n:p o n:p < m:p si, y sólo
si, m:p 6= n:p:
Ejercicios
En los ejercicios siguientes, supongamos que m; n; p; q 2 N:
1. Muestre que m < n si, y sólo si, m 2 n: (Sugerencia: Considere el
conjunto
T = fn 2 N : (8m 2 N)[m < n si y sólo si m 2 n]g).
2. Muestre que n 6= 0 si y sólo si n
1:
3. Muestre que para todo n 2 N se cumple
n = fm 2 N : 0
m < ng:
4. Suponga que m + m = n + n y muestre que m = n:
5. Muestre que si m + n = n+ entonces m = 1:
6. Muestre que mn = 1 si y sólo si m = n = 1:
7. Suponga que m < n: Muestre que hay un único p tal que m + p = n:
8. Supongamos que o m < n y n
m < p:
p ó m
n y n < p: Muestre que
9. Muestre que no existen p; m 2 N tales que m < p < m + 1:
130
CAPÍTULO 5. LOS NÚMEROS NATURALES
10. Suponga que m = n + p y n = m + q:Entonces muestre que m = n:
11. Suponga que m + p = n y n + q = m+ : Entonces muestre que p = 0 o
q = 0:
12. Sea A
N diferente de ; tal que [A = A: Muestre que A = N:
13. Digamos que m es un número par si tiene la forma 2p para algún p:
Similarmente, decimos que n es impar si tiene la forma 2q + 1; para
algún q 2 N: Muestre que un número natural es par o impar, pero no
ambos.
14. Imite la de…nición de la multiplicación en N y de…na una operación de
exponenciación que satisfaga las propiedades
m0 = 1
+
mn
= mn :m
15. Prube que mn+p = mn :mp (ver el ejercicio anterior).
16. Enuncie y demuestre la Ley Cancelativa para la multiplicación, sin
usar las propiedades de orden. (Sugerencia: Considere el conjunto S =
fm 2 N : (8n; p)[mp+ = np+ implica que m = n]g).
17. Utilice alguna versión del teorema de la recursión para justi…car la
construcción de la famosa sucesión de Fibonacci ffn g; de…nida usualmente como
(i) f0 = f1 = 1:
(ii) fn+1 = fn + fn
5.5.
1;
para todo n
1:
Principio del Buen Orden
Teorema 5.5.1 (Principio de Buen Orden, PBO.) Todo subconjunto no
vacío T de números naturales tiene un elemento mínimo. Esto es, existe
un m 2 T (que se denomina el mínimo de T y que abreviamos como
m = m n T ) que satisface, para todo n 2 N; la desigualdad m n:
Prueba. Razonemos por el absurdo y supongamos que T no tiene elemento
mínimo. De…nimos entonces el conjunto
S = fn 2 N : n
t para todo t 2 T g:
5.5. PRINCIPIO DEL BUEN ORDEN
131
Lo primero que notamos es que 0 2 S; pues 0
n para todo natural n:
Ahora, supongamos que n 2 S; esto es, n t para todo t 2 T: Como, por
hipótesis, T no tiene elemento mínimo, se sigue que n < t para todo t 2 T;
luego, por un resultado anterior, obtenemos que n + 1 t para todo t 2 T:
Esto es, n + 1 2 S: Concluimos que S es inductivo y por lo tanto S = N:
Pero esto es imposible, pues T es no vacío y, por ejemplo, si t 2 T se tiene
que t + 1 2
= S:
Antes de proceder con el siguiente teorema, es conveniente considerar en
más detalle el Principio de Inducción Matemática. Recordemos que dicho
principio expresa, simplemente, la minimalidad del conjunto N como conjunto inductivo (ver, por ejemplo, la proposición 5.1.1). Cada vez que hemos
invocado el Principio de Inducción para establecer una proposición, hemos
procedido a de…nir un conjunto S N y luego hemos mostrado que el conjunto es inductivo y, por lo tanto, que S = N: De otro lado, en la práctica
usual se procede de una manera un poco menos formal. Especí…camente, si
queremos probar una a…rmación P (n); que depende de un natural arbitrario
n; entonces dividimos la demostración en dos partes:
(a) Paso base ( o Paso inicial). Mostramos que P (0) es cierta.
(b) Paso inductivo. Mostramos que, para todo n; P (n) implica P (n + 1):
De lo anterior, concluimos que la a…rmación P (n) es cierta para todo n:
El método anterior se denomina Método de Demostración por Inducción (Matemática) y, aunque suene un poco pedante, en sentido estricto no es lo mismo que el Principio de Inducción Matemática, pues este
último es una a…rmación formalizable en la teoría de conjuntos, mientras
que el método de inducción, es un procedimiento para establecer la verdad
de ciertas a…rmaciones. Obviamente, la justi…cación de que el método funciona es el hecho de que el Principio de Inducción es un teorema y, por esta
razón, suelen confundirse en la práctica.
Por otra parte, observemos que en el paso inductivo del método de inducción, …jamos un n 2 N y suponemos que P (n) es verdadera (hipótesis
inductiva) y mostramos que P (n + 1) es verdadera. Esto signi…ca que, para
probar la verdad de P (n + 1); sólo podemos usar la verdad de P (n): Por esta
razón, el principio usual de inducción se denomina algunas veces Principio
de Induccion Simple.
En algunas situaciones, resulta más conveniente suponer que, no sólo
P (n) es cierta, sino que P (m) es verdadera para todos los m con 0 m n
y probar, a partir de esta hipótesis de inducción, que P (n + 1) es verdadera.
132
CAPÍTULO 5. LOS NÚMEROS NATURALES
El principio de inducción que justi…ca este método de demostración, se denomina Principio de Inducción Completa. A continuación enunciamos
dos versiones de dicho principio y dejamos como ejercicio para el lector la
prueba de que, en realidad, estas versiones son equivalentes.
Principio de Inducción Completa (versión 1).
Sea S
N tal que
(i) 0 2 S:
(ii) (8n 2 N)[(8m
n)(m 2 S) ! n + 1 2 S]:
Entonces S = N:
Principio de Inducción Completa (versión 2).
Sea S N tal que
(8n 2 N)[(8m < n)(m 2 S) ! n 2 S]:
Entonces S = N:
Con el …n de ilustrar el método de demostración por inducción introducimos algunas nociones elementales de teoría de números.
De…nición 5.5.2 Dados m; n 2 N; decimos que m divide a n; si n = mp,
para algún p 2 N: Además, m 2 es primo si sus únicos divisores son 1 y
m: En caso contrario, decimos que m es compuesto.
Ejemplo 5.5.3 Usemos los métodos anteriores para mostrar que, si n
entonces n es primo o producto de primos.
2;
(i) Primer método (PBO). Razonemos por el absurdo y supongamos que
m 2 es el menor natural que no es primo ni producto de primos.
Entonces m es compuesto y, por lo tanto, podemos escribir m = ab;
con 1 < a; b < m: Pero esto implica que, tanto a como b; o son primos
o producto de primos, luego m es producto de primos. Absurdo.
(ii) Segundo método( Induccion Completa). Sea P (n) la siguiente a…rmación: n < 2 o n es primo o producto de primos. Ahora, supongamos
que P (m) es cierta para todo m < n y probemos P (n): Si n < 2; no hay
nada que probar, de modo que podemos suponer n 2: Pero entonces,
si n no es primo, podemos escribir n = ab; con 1 < a; b < n: Lo cual
implica que n es producto de primos. Por lo tanto, (8m < n)P (m)
implica P (n): Luego P (n) es verdadera para todo n:
5.5. PRINCIPIO DEL BUEN ORDEN
133
Teorema 5.5.4 Los siguientes principios son equivalentes:
(i) Principio de Inducción Simple.
(ii) Principio de Buen Orden.
(iii) Principio de Inducción Completa.
Prueba. Procederemos a probar lo siguiente: (i) =) (ii) =) (iii) =) (i):
La implicación (i) =) (ii) es el contenido del teorema 5.5.1. Supongamos
ahora el principio de Buen Orden y probemos el Principio de Inducción
Completa. Sea entonces S N tal que 0 2 S y supongamos que
(8n 2 N)[(8m < n)(m 2 S) ! n 2 S]:
Mostremos que S = N: Razonando por el absurdo supongamos que S 6= N
y sea T = N n S: Claramente T no es vacío y, por el PBO, existe t =
m n T 6= 0: Pero entonces se cumple que (8m < t)(m 2 S); lo cual implica
que t = m n T 2 S: Pero esto es imposible y entonces se concluye que S = N.
Hemos establecido (ii) =) (iii):
Veamos, …nalmente, que (iii) =) (i): Supongamos entonces el Principio
de Inducción Completa y sea S N un conjunto inductivo. Mostremos que
S = N. Con tal propósito de…nimos un nuevo conjunto
R = fn 2 N : (8m
n)(m 2 S)g:
Notemos primero que 0 2 R: Sea ahora n = p + 1 y supongamos que (8m <
n)(m 2 R): Entonces, por el lema 5.4.22, tenemos que(8m
p)(m 2 R):
En particular p 2 S y, como S es inductivo, concluimos que p + 1 = n 2 S;
luego se cumple
(8m n)(m 2 S);
esto es, n 2 R: Concluimos entonces que (8n 2 N)[(8m < n)(m 2 R) ! n 2
R]: Aplicando el Principio de Inducción Completa se tiene R = N; lo cual
implica que S = N: Esto completa la demostración.
En este capítulo hemos construido un conjunto N y hemos de…nido dos
operaciones + y , junto con un orden < : Además, hemos mostrado que los
elementos 0 y 1 son los neutros bajo dichas operaciones, respectivamente. Es
usual representar dicha situación diciendo que, el conjunto N; junto con las
operaciones y el orden, lo cual se simboliza como hN; +; ; <; 0; 1i ; forman
una estructura.
134
CAPÍTULO 5. LOS NÚMEROS NATURALES
En general, una estructura es una tupla …nita, compuesta de un conjunto no vacío, operaciones o relaciones de…nidas sobre el conjunto y una lista
de elementos distinguidos. Es usual decir que el conjunto dado cumple cierta propiedad, sin mencionar las operaciones o relaciones involucradas. Por
ejemplo, se acostumbra decir que N es un conjunto bien ordenado, cuando en
realidad deberíamos a…rmar que la estructura hN; <i está bien ordenada, es
decir, satisface el Principio de Buen Orden. En lo que sigue, nos acogeremos
a dicha práctica, cuando no haya peligro de confusión.
Las propiedades fundamentales de los números naturales se pueden resumir en el siguiente teorema, el cual se puede tomar como punto de partida
para la construcción de los números reales.
Teorema 5.5.5 La estructura hN; +; ; <; 0; 1i satisface las siguientes propiedades,
para todo m; n; p 2 N:
(1) m + (n + p) = (m + n) + p:
(2) m + n = n + m:
(3) 0 + m = m:
(4) m + p = n + p implica que m = n:
(5) m(np) = (mn)p
(6) mn = nm
(7) 1:m = m:
(8) mp = np y p 6= 0 implica que m = n:
(9) m(n + p) = mn + mp
(10) Si m < n y n < p entonces m < p:
(11) Para cada par m; n 2 N se cumple exactamente una de las siguientes
a…rmaciones:
m < n; m = n;
n < m:
(12) N es un conjunto bien ordenado.
(13) m < n si y sólo si m + p < n + p:
(14) Si p 6= 0 entonces [m < n si y sólo si mp < np]:
5.5. PRINCIPIO DEL BUEN ORDEN
135
Ejercicios
En los ejercicios 1 al 3 demuestre que la a…rmación es cierta para todo
n 1:
1. 1 + 2 + 3 +
+ n = n(n + 1)=2: (Sugerencia: En sentido estricto, la
a…rmación equivale a mostrar que 2(1 + 2 + 3 +
+ n) = n(n + 1)).
2. 12 + 22 + 32 +
+ n2 = (1=6)n(n + 1)(2n + 1):
3. 13 + 23 + 33 +
+ n3 = (1=4)n2 (n + 1)2 :
4. Consideremos los siguientes números (denominados Números de Fermat),
n
Fn = 22 + 1; para n 0:
Pruebe que F0 F1 F2
Fn
1
+ 2 = Fn ; para todo n
1:
5. Sean m; n 2 N tales que n 6= 0: Muestre que existen q; r 2 N; únicos,
tales que
m = qn + r; con r < n:
6. Use el Principio de Inducción Matemática para justi…car el Método de
Demostración por Inducción (en sus versiones simple y compuesta).
7. Demostrar que el Principio de Inducción Matemática es equivalente a
la siguiente a…rmación:
Sea k 2 N y sea S
(i) k 2 S;
(ii) (8n
fm 2 N : m
kg tal que,
k)[n 2 S implica que n + 1 2 S]:
Entonces S = fm 2 N : m
kg:
8. Use el ejercicio anterior para enunciar y justi…car un método correspondiente de demostración por inducción.
9. Muestre que las dos versiones del Principio de Inducción Completa
mencionadas en el texto son equivalentes.
10. Use el Principio de Inducción Simple para mostrar que todo natural
n 2, o es primo o producto de primos.
136
CAPÍTULO 5. LOS NÚMEROS NATURALES
11. Muestre que las siguientes a…rmaciones son equivalentes:
(i) El Principio de Inducción Matemática
(ii) Toda sucesión decreciente de números naturales se estabiliza. Esto
es, dada una sucesión fxk gk2N
N; tal que xk
xj ; para todo
k j: Entonces existe un l 2 N tal que xk = xl ; para todo k l:
(iii) No existen sucesiones estrictamente decrecientes de números naturales. Esto es, no existe una sucesión fxk gk2N
N tal que
xk < xj ; para todo k j:
12. Utilice el Principio de Buen Orden para mostrar que no hay naturales
entre 0 y 1:
13. Sea m1 ; m2 ;
; mk una lista de números naturales. Muestre que si
sumamos dichos números de dos maneras diferentes, en ese orden, el
resultado es el mismo. (Generalización de la asociatividad).
14. Considere una lista de naturales m1 ; m2 ;
; mk y sea n1 ; n2 ;
; nk
un reordenamiento de los mi . Muestre que si sumamos los números en
cada enumeración, el resultado es el mismo.
15. Muestre que las propiedades aritméticas y de orden que se demostraron
para N en el texto, pueden deducirse de las propiedades enunciadas en
el teorema 5.5.5.
16. Suponga que existe una estructura hA; +A ; A ; <A ; 0A ; 1A i que satisface
las propiedades del teorema 5.5.5. Muestre que dicha estructura es una
copia de hN; +; ; <; 0; 1i ; en el sentido de que existe una biyección
h : N ! A que preserva las operaciones y la relación de orden. Esto
es, tal que h satisface
(i) h(0) = 0A :
(ii) h(1) = 1A :
(iii) h(m + n) = h(m) +A h(n):
(iv) h(mn) = h(m)
A
h(n):
(v) m < n si, y sólo si, h(m) <A h(n):
La función h se denomina un isomor…smo entre N y A:(Sugerencia:
Imite la prueba del teorema 5.3.5).
Capítulo 6
Construcción de los Números
Reales
En el capítulo anterior mostramos que las propiedades básicas de los
números naturales pueden deducirse de los axiomas de la teoría de conjuntos. Ahora continuamos dicho proceso y ofrecemos una construcción de los
sistemas numéricos fundamentales en el análisis clásico. Al igual que con
los Números Naturales, dicha construcción está basada en los axiomas antes
mencionados, lo cual nos permite a…rmar que la matemática clásica puede
fundamentarse en la teoría de conjuntos.
6.1.
Los Números Enteros
De…nición 6.1.1 Sea
(m; n)
Esto es,
la relación de…nida en N
N como sigue:
(p; q) si y sólo si m + q = n + p:
es el subconjunto de (N
N)
(N
N) dado por la igualdad
= f((m; n); (p; q)) : m + q = n + p; tales que m; n; p; q 2 Ng:
Teorema 6.1.2 La relación
junto N N:
es una relación de equivalencia en el con-
Prueba. Primero veamos que es re‡exiva. Esto, en realidad, es inmediato,
pues m + n = n + m; esto es, (m; n) (m; n) para todo m; n 2 N:
Ahora, veri…quemos que la relación es simétrica. Supongamos entonces
que (m; n) (p; q) y mostremos que (p; q) (m; n): Tenemos entonces que
137
138
CAPÍTULO 6. CONSTRUCCIÓN DE LOS NÚMEROS REALES
m + q = n + p y queremos veri…car p + n = q + m; lo cual se sigue por la
conmutatividad de la suma.
Finalmente veri…camos transitividad. Supongamos que (m; n) (p; q) y
(p; q) (r; s); esto es,
m+q =n+p
y
p + s = q + r:
Lo cual implica que m + q + p + s = n + p + q + r: De donde se sigue, por
ley cancelativa, que m + s = n + r; esto es, (m; n) (r; s):
De…nición 6.1.3 El conjunto de enteros Z se de…ne como el conjunto N
N= de las clases de equivalencia correspondientes a la relación :
(m0 ; n0 ) y que, además, m > n:
Lema 6.1.4 Supongamos que (m; n)
Entonces se cumple que m0 > n0 :
Prueba. Como (m; n)
(m0 ; n0 ); sabemos que m + n0 = n + m0 : Ahora,
como m > n; entonces exite p 2 N tal que m = n + p+ : Por lo tanto,
obtenemos n + p+ + n0 = n + m0 y por la ley cancelativa de la adición se
tiene m0 = n0 + p+ : Esto es, m0 > n0 :
Si pensamos informalmente en un par (m; n) como en una diferencia
m n; entonces m n > 0 signi…ca que m > n: Ahora, el lema anterior
nos dice que si dos pares (m; n) y (m0 ; n0 ) pertenecen a la misma clase de
equivalencia, esto es, si (m; n) (m0 ; n0 ); entonces m > n si sólo si m0 > n0 :
Esto signi…ca que la siguiente de…nición tiene sentido
De…nición 6.1.5 Decimos que un entero [(m; n)] es positivo si m > n: El
conjunto de enteros positivos se denota por Z+ :
Lema 6.1.6 Supongamos que (m; n) (m0 ; n0 ) y (p; q)
se cumple que
(m + p; n + q) (m0 + p0 ; n0 + q 0 ):
(p0 ; q 0 ); entonces
Prueba. Por hipótesis tenemos que
m + n0 = n + m0
y
p + q 0 = q + p0 :
De modo que si sumamos las dos ecuaciones dadas, obtenemos que
(m + n0 ) + (p + q 0 ) = (n + m0 ) + (q + p0 ):
Lo cual equivale a
m + p + n0 + q 0 = n + q + m0 + p0 ;
6.1. LOS NÚMEROS ENTEROS
139
esto es, (m + p; n + q) (m0 + p0 ; n0 + q 0 ):
Ahora, queremos de…nir una operación de adición + sobre los enteros.
Si pensamos informalmente en [(m; n)] como la diferencia m n, entonces,
la igualdad
(m n) + (p q) = (m + p) (n + q)
nos sugiere que la suma de enteros debe satisfacer la ecuación
[(m; n)] + [(p; q)] = [(m + p; n + q)]:
(6.1)
Sin embargo, los enteros [(m; n)] y [(p; q)] son clases de equivalencia, por
lo cual es necesario mostrar primero que su suma no depende de los representantes escogidos. Esto es, necesitamos mostrar que si (m0 ; n0 ) y (p0 ; q 0 )
son otros representantes de las clases [(m; n)] y [(p; q)]; respectivamente, entonces la suma no se altera. En otras palabras, queremos mostrar que si
(m; n) (m0 ; n0 ) y (p; q) (p0 ; q 0 ); entonces
[(m; n)] +Z [(p; q)] = [(m + p; n + q)] = [(m0 + p0 ; n0 + q 0 )]:
O lo que es equivalente, (m + p; n + q)
(m0 + p0 ; n0 + q 0 ): Pero ese es
precisamente el contenido del lema anterior.
Concluimos entonces que la adición de enteros, de…nida según la igualdad
6.1, tiene sentido, lo cual consignamos en la siguiente
De…nición 6.1.7 La adición de enteros es la operación + : Z
de…nida según la igualdad
Z ! Z
[(m; n)] + [(p; q)] = [(m + p; n + q)];
donde seguimos la costumbre común de escribir [(m; n)] + [(p; q)]; en vez
de +([(m; n)]; [(p; q)]):
Nota 6.1.8 Sería mas preciso escribir +Z en vez de +; para diferenciar
esta operación de la correspondiente a los naturales. Sin embargo, el contexto
indicará, cual es el caso y, de ese modo, haremos mas sencilla la notación.
En este sentido, utilizaremos las letras m; n; p; q:::para representar números
naturales y a; b; c; d:::para los enteros.
Teorema 6.1.9 Sean a; b; c 2 Z; entonces la operación de adición satisface
las siguientes propiedades:
(i) a + b = b + a (Conmutatividad)
140
CAPÍTULO 6. CONSTRUCCIÓN DE LOS NÚMEROS REALES
(ii) a + (b + c) = (a + b) + c (Asociatividad)
(iii) Si a + c = b + c entonces a = b: (Ley cancelativa)
(iv) Sean a; b 2 Z+ ; entonces a + b 2 Z+ :
Prueba.
(i) Primero notamos que existen m; n; p; q 2 N tales que a = [(m; n)] y
b = [(p; q)]: Luego se tiene que
a + b = [(m; n)] + [(p; q)]
= [(m + p; n + q)]
(6.2)
(def. de suma)
= [(p + m; q + n)]
= [(p; q)] + [(m; n)]
(def. suma)
= b + a:
(ii) Similar a la anterior y se deja como ejercicio.
(iii) Supongamos que a = [(m; n)], b = [(p; q)] y c = [(r; s)]; con m; n; p; q; r; s 2
N: Entonces, por hipótesis
[(m; n)] + [(r; s)] = [(p; q)] + [(r; s)];
lo cual equivale a [(m + r; n + s)] = [(p + r; q + s)]: Pero esto signi…ca
que
m + r + q + s = n + s + p + r:
Y por la ley cancelativa en N; obtenemos m + q = n + p: Esto es,
(m; n) (p; q) y por lo tanto a = [(m; n)] = [(p; q)] = b:
(iv) Sean a = [(m; n)] y b = [(p; q)] con m > n y p > q; donde m; n; p; q 2 N:
Entonces existen r; s 2 N tales que
m = n + r+
y
p = q + s+ :
Por lo tanto, m + p = n + q + (r+ + s+ ) = n + q + (r+ + s)+ ; lo cual
signi…ca que m + p > n + q: De donde se sigue que
a + b = [(m + p; n + q)] es positivo.
6.1. LOS NÚMEROS ENTEROS
141
Teorema 6.1.10 El elemento [(0; 0)] 2 Z es el neutro bajo la suma de enteros. Esto es, para todo entero a se tiene que
a + [(0; 0)] = a:
Además, dados enteros a; b; existe exactamente un entero c tal que a + c =
b: En particular, para todo entero a existe un único entero, que denotamos
como a y que denominamos el negativo de a;tal que
a + ( a) = [(0; 0)]:
Prueba. Sea a = [(m; n)], con m; n 2 N: Entonces un cálculo directo muestra que a + [(0; 0)] = [(m; n)] + [(0; 0)] = [(m; n)] = a: Mostremos ahora que,
dados a; b 2 Z, la ecuación a + x = b tiene solución única. En cuanto a la
unicidad, notemos que si x y y son soluciones, entonces
a + x = b = a + y:
Y por la ley cancelativa en Z (teorema anterior) se tiene que x = y: En
cuanto a la existencia, sean a = [(m; n)] y b = [(p; q)]; con m; n; p; q 2 N:
Entonces, si hacemos x = [(p + n; q + m)]; obtenemos
a + x = [(m; n)] + [(p + n; q + m)]
= [(m + p + n; n + q + m)]
= [(p; q)] = b;
pues, claramente, (m + p + n; n + q + m)
Nota 6.1.11 Notemos que
anterior se obtuvo como
(p; q):
[(m; n)] = [(n; m)] y que el x de la demostración
x = b + ( a) = [(p; q)] + [(n; m)] = [(p + n; q + m)]:
Además, en general, si a; b 2 Z; entonces escribimos a b en vez de a+( b):
De otro lado, con el …n de simpli…car la notación, escribiremos 0Z para
indicar el entero [(0; 0)]; excepto cuando sea preciso exhibir sus componentes.
Lema 6.1.12 Supongamos que (m; n)
se cumple lo siguiente
(mp + nq; mq + np)
(m0 ; n0 ) y (p; q)
(p; q ); entonces
(m0 p0 + n0 q 0 ; m0 q 0 + n0 p0 ):
142
CAPÍTULO 6. CONSTRUCCIÓN DE LOS NÚMEROS REALES
Prueba. Por hipótesis, tenemos
m + n0 = m0 + n;
p+q
0
(1)
0
= p + q;
(2)
y queremos mostrar
mp + nq + m0 q 0 + n0 p0 = m0 p0 + n0 q 0 + mq + np:
(3)
La idea es multiplicar las ecuaciones (1) y (2) por términos apropiados y
luego sumar las ecuaciones resultantes para que, después de las cancelaciones
de rigor, nos resulte la ecuación (3). Multiplicamos entonces las ecuaciones
(1) y (2) por p y m0 ; respectivamente y obtenemos
mp + n0 p = m0 p + np;
m0 p + m0 q 0 = m0 p0 + m0 q:
Ahora, multiplicamos las ecuaciones (1) y (2); invertidas, por q y n0 ;
respectivamente y obtenemos
m0 q + nq = mq + n0 q
n 0 p0 + n 0 q = n 0 p + n 0 q 0 :
Si sumamos las cuatro ecuaciones resultantes y realizamos las cancelaciones
requeridas, resulta la ecuación (3):
Al igual que con la adición, si identi…camos un par (m; n) con una diferencia m n; entonces el producto de diferencias nos da
(m
n):(p
q) = (mp + nq)
(mq + np):
Lo cual sugiere que el producto de enteros debería regirse por la ecuación
[(m; n)]:[(p; q)] = [(mp + nq; mq + np)]:
(6.3)
Sin embargo, al igual que con la adición, debemos veri…car primero que dicho
producto es compatible con la relación : Esto es, que si (m; n) (m0 ; n0 )
y (p; q) (p; q ); entonces [(m; n)]:[(p; q)] = [(m0 ; n0 )]:[(p0 ; q 0 )]: En otras palabras, que el producto de dos enteros no depende de los representantes de
las clases de equivalencia involucradas. Pero esta última igualdad equivale a
[(mp + nq; mq + np)] = [(m0 p0 + n0 q 0 ; m0 q 0 + n0 p0 )]:
Lo cual, a su vez, signi…ca
(mp + nq; mq + np)
(m0 p0 + n0 q 0 ; m0 q 0 + n0 p0 );
que es lo que a…rma el lema anterior.
6.1. LOS NÚMEROS ENTEROS
143
De…nición 6.1.13 La operación de multiplicación de números enteros es
la función : Z Z ! Z de…nida como
([(m; n)]; [(p; q)]) = [(mp + nq; mq + np)]:
Como es costumbre, escribimos [(m; n)][(p; q)] en vez de ([(m; n)]; [(p; q)]):
Teorema 6.1.14 Sean a; b; c 2 Z; entonces la operación de multiplicación
satisface las siguientes propiedades
(i) ab = ba: (Conmutatividad)
(ii) (ab)c = a(bc): (Asociatividad)
(iii) a(b + c) = ab + ac: (Distributividad)
(iv) Si c 6= 0Z y ac = bc; entences a = b: (Ley Cancelativa)
(v) ab = 0Z si y sólo si a = 0Z o b = 0Z :
(vi) [(1; 0)]a = a: (Existencia de elemento neutro)
(vii) Si a; b 2 Z+ ; entonces ab 2 Z+ :
Prueba. Para empezar, supongamos que a = [(m; n)]; b = [(p; q)] y c =
[(r; s)]; con m; n; p; q; r; s 2 N:
(i) Aplicando la de…nición del producto, tenemos que
ab = [(m; n)][(p; q)]
= [(mp + nq; mq + np)]
(6.4)
(def. producto)
= [(pm + qn; qm + pn)](conm. de naturales)
= [(p; q)][(m; n)] = ba:
(def. producto)
(ii) De nuevo, por la de…nición del producto, (ab)c es igual a
[((mp + nq)r + (mq + np)s; (mp + nq)s + (mq + np)r)]:
Mientras que a(bc) se reduce a la clase
[(m(pr + qs) + n(ps + qr); m(ps + qr) + n(pr + qs))]:
144
CAPÍTULO 6. CONSTRUCCIÓN DE LOS NÚMEROS REALES
Ahora, estas dos clases de equivalencia son iguales si y sólo si el número
natural
(mp + nq)r + (mq + np)s + m(ps + qr) + n(pr + qs)
= (mpr + nqr) + (mqs + nps) + (mps + mqr) + (npr + nqs)
es igual al número natural
m(pr + qs) + n(ps + qr) + (mp + nq)s + (mq + np)r
= (mpr + mqs) + (nps + nqr) + (mps + nqs) + (mqr + npr);
lo cual se sigue de las propiedades de conmutatividad y asociatividad
en N:
(iii) Como en el numeral anterior, vemos que a(b+c) = [(m; n)][(p+r; q+s)]
es igual a
[(m(p + r) + n(q + s); m(q + s) + n(p + r)]:
Similarmente, ab + ac = [(mp + nq; mq + np)] + [(mr + ns; ms + nr)];
lo cual se reduce a
[(mp + nq + mr + ns; mq + np + ms + nr]:
Y la igualdad de estas dos clases de equivalencia se sigue de las propiedades
de asociatividad, conmutatividad y distributividad en N:
(iv) Si c = [(r; s)] 6= 0Z entonces r 6= s: Luego se presentan dos casos:
r > s: En este caso, se sigue que r = s + t; para algún natural t 6= 0; lo
cual implica que c = [(r; s)] = [(s + t; s)] = [(t; 0)]: Por lo tanto ac =
[(m; n)][(r; s)] = [(m; n)][(t; 0)] = [(mt; nt)]: Similarmente, se tiene que
bc = [(pt; qt)]: De modo que si ac = bc; entonces (mt; nt) (pt; qt); lo
cual implica
(m + q)t = mt + qt = nt + pt = (n + p)t:
Pero como t 6= 0; aplicamos la ley cancelativa en N y obtenemos m+q =
n + p: Esto es (m; n) (p; q); luego a = [(m; n)] = [(p; q)] = b:
El otro caso, s < r; es similar.
(v) " (= ": Si a = 0Z = [(0; 0)] entonces ab = [(0; 0)][(p; q)] = [(0:p +
0:q; 0:q + 0:p)] = [(0; 0)]: Similarmente, b = 0Z implica ab = 0Z :
6.1. LOS NÚMEROS ENTEROS
145
" =) ": Supongamos que ab = 0Z (= a0Z ) y a 6= 0Z ; entonces, por el
numeral (iv); podemos concluir que b = 0Z :
(vi) Notemos que [(1; 0)]a = [(1; 0)][(m; n)] = [(m+0; n+0)] = [(m; n)] = a:
(vii) Si a = [(m; n)] y b = [(p; q)] son positivos, entonces m > n y p > q:
Lo cual signi…ca que existen naturales r; s; distintos de cero, tales que
m = n + r y p = q + s: Por lo tanto se tiene que
mp + nq = m(q + s) + nq
= mq + ms + nq
= mq + (n + r)s + nq
= mq + ns + rs + nq
= mq + n(s + q) + rs
= mq + np + rs:
Pero como r; s 6= 0, entonces, por el lema 5.4.16 se tiene que rs 6= 0;
lo cual signi…ca que mp + nq > mq + np: Esto es,
ab = [(m; n)][(p; q)] = [(mp + nq; mq + np)]
es positivo, como queríamos mostrar.
Nota 6.1.15 El entero [(1; 0)] también se representará como 1Z , para diferenciarlo del número natural 1 y simpli…car la notación.
Lema 6.1.16 (Ley de Signos) Sean a; b 2 Z; entonces se cumple que
(i)
a = ( [(1; 0)]):a
(ii) a( b) = ( a)b =
(ab):
(iii) ( a):( b) = ab:
Prueba. Primero, escribimos a = [(m; n)] y b = [(p; q)]; con m; n; p; q 2 N:
(i) ( [(1; 0)]):a = [(0; 1)]:[(m; n)] = [(0:m+1:n; 0:n+1:m)] = [(n; m)] =
a:
146
CAPÍTULO 6. CONSTRUCCIÓN DE LOS NÚMEROS REALES
(ii) Notemos que, por el numeral (i) y las propiedades de asociatividad y
conmutatividad, podemos escribir:
a( b) = af( 1Z ):bg
= ( 1Z :a):b
= ( a):b
= ( 1Z :a):b
= ( 1Z ):(ab)
=
(ab):
(iii) De los numerales (i) y (ii) se sigue que
( a):( b) =
[a:( b)]
=
[ (a:b)]
= ab:
De…nición 6.1.17 Dados dos enteros a = [(m; n)] y b = [(p; q)], decimos
que b es menor que a; lo cual escribimos como b < a si a b = a + ( b)
es positivo. Equivalentemente, b < a si n + p < m + q: También es usual en
este caso, decir que a es mayor que b; lo cual se escribe como a > b:
Teorema 6.1.18 La relación < sobre los enteros, es transitiva y satisface
la ley de tricotomía. En símbolos, esto signi…ca lo siguiente:
(i) Si a; b; c 2 Z; entonces a < b y b < c implica a < c:
(ii) Dados enteros a y b; se tiene que se cumple una y solo una de las
siguientes condiciones
a < b;
a = b;
b < a:
Prueba. Para empezar, podemos suponer que a = [(m; n)]; b = [(p; q)] y
c = [(r; s)]; con m; n; p; q; r; s 2 N:
(i) Supongamos que a < b y b < c: Entonces, por de…nición de <; se tiene
que
p+n>m+q
y
r + q > p + s:
6.1. LOS NÚMEROS ENTEROS
147
Pero esto implica que
r+p+n>r+m+q
y
m + r + q > m + p + s:
Luego, por transitividad de < en N; obtenemos
r + p + n > m + p + s;
lo cual implica que r + n > m + s: Esto es, a < c:
(ii) Aplicando la de…nición de <; vemos que la a…rmación equivale a que se
cumpla una y solo una de las siguientes condiciones
m + q < p + n;
p + n = m + q;
p + n < m + q:
Lo cual es cierto por la ley de tricotomía en N:
Teorema 6.1.19 Sean a; b; c enteros, entonces se cumple lo siguiente
(i) a 2 Z+ si y sólo si a > 0Z :
(ii) a < 0Z si y sólo si 0Z <
a:
(iii) Se cumple exactamente una de las siguientes a…rmaciones
a 2 Z+ ;
a = 0Z ;
a 2 Z+ :
(iv) Si a 2 Z+ ; entonces [ab 2 Z+ si y sólo si b 2 Z+ ]:
(v) a < b si y sólo si a + c < b + c:
(vi) Si c 2 Z+ ; entonces [ a < b si y sólo si ac < bc]:
Prueba. Supongamos que a = [(m; n)]; b = [(p; q)] y c = [(r; s)]:
(i) Notemos que a es positivo si y sólo si m > n si sólo si m + 0 > n + 0 si
y sólo si a > [(0; 0)] = 0Z :
(ii) a < [(0; 0)] si y sólo si 0 + m < 0 + n si y sólo si [(0; 0)] < [(n; m)] =
a:
148
CAPÍTULO 6. CONSTRUCCIÓN DE LOS NÚMEROS REALES
(iii) Por la ley de tricotomía se cumple una y solo una de las siguientes
posibilidades
a > 0Z ; a = 0Z ;
a < 0Z :
Pero entonces, por los numerales (i) y (ii); esto equivale a que se
cumple exactamente una de las a…rmaciones
a 2 Z+ ;
a 2 Z+ :
a = 0Z ;
(iv) Sea a 2 Z+ y mostremos que [ab 2 Z+ $ b 2 Z+ ]:
" =) ": Supongamos que ab 2 Z+ : Entonces b = 0Z implica ab = a0Z =
0Z ; lo cual contradice tricotomía. Además, b 2 Z+ implicaría que
a( b) 2 Z+ y ab = [a( b)] 2 Z+ ; lo cual, de nuevo contradice
tricotomía. Solo nos queda entonces la posibilidad b 2 Z+ :
" (= ": Se sigue del teorema 6.1.14, numeral (vi):
(v) a < b si y sólo si b a 2 Z+ si y sólo si b
si y sólo si a + c < b + c:
a = (b + c)
(a + c) 2 Z+
(vi) Sea c 2 Z+ ; entonces, del numeral (iv) se sigue que
cb
ca = c(b a) 2 Z+ si y sólo si (b
a…rmación pedida.
a) 2 Z+ ; lo cual equivale a la
Aunque el conjunto N no está contenido en Z; podemos de…nir una función inyectiva E : N ! Z que preserva las operaciones (y el orden !). De
modo que el conjunto E(N) Z es una copia de los naturales contenida en
Z: Usualmente, es en este sentido que decimos que N es subconjunto de Z:
La función E se denomina un embebimiento de N en Z:
Teorema 6.1.20 Sea E : N ! Z la función de…nida como
E(n) = [(n; 0)]:
Entonces E es inyectiva y, además, cumple lo siguiente, para m; n 2 N:
(i) E(m + n) = E(m) +Z E(n):
(ii) E(mn) = E(m)
Z
E(n):
(iii) E(0) = 0Z y E(1) = 1Z :
6.1. LOS NÚMEROS ENTEROS
149
(iv) m < n si, y sólo si, E(m) <Z E(n):
Prueba. Primero notamos que si E(m) = E(n); entonces
E(m) = [(m; 0)] = [(n; 0)] = E(n)
y por lo tanto (m; 0)
(n; 0): Lo cual implica que m = n: Luego E es
inyectiva. En cuanto a las otras a…rmaciones, tenemos lo siguiente:
(i) Basta notar que
E(m + n) = [(m + n; 0)]
= [(m; 0)] +Z [(n; 0)]
= E(m) +Z E(n):
(ii) Como en el numeral anterior, tenemos que
E(mn) = [(mn; 0)]
= [(m; 0)]
Z
= E(m)
E(n):
Z
[(n; 0)]
(iii) Basta notar que E(0) = [(0; 0)] = 0Z (por de…nición de E y de 0Z ).
Similarmente, E(1) = [(1; 0)] = 1Z :
(iv) Finalmente, notamos que m < n si, y sólo si, m + 0 < n + 0, lo cual
equivale a
[(m; 0)] <Z [(n; 0)]:
En vista del teorema anterior, seguiremos la costumbre usual de omitir
el subíndice “Z”para indicar que nos referimos al conjunto Z: De este modo,
escribiremos +; ; <; 0; 1; para indicar las operaciones y elementos correspondientes en Z:
Por último, consignamos una lista de propiedades fundamentales de la
estructura hZ; +; ; <; 0; 1i que caracterizan a los enteros. Su demostración
se deja como ejercicio para el lector.
Teorema 6.1.21 La estructura hZ; +; ; <; 0; 1i satisface las siguientes propiedades,
para cualesquier a; b; c 2 Z:
(1) a + (b + c) = (a + b) + c:
150
CAPÍTULO 6. CONSTRUCCIÓN DE LOS NÚMEROS REALES
(2) a + b = b + a:
(3) 0 + a = a:
(4) Existe un entero d tal que d + a = 0:
(5) a(bc) = (ab)c:
(6) ab = ba:
(7) 1a = a:
(8) a(b + c) = ab + ac:
(9) Si c 6= 0 y ac = bc; entonces a = b:
(10) 0 6= 1:
(11) Si a; b 2 Z+ ; entonces a + b 2 Z+ :
(12) Si a; b 2 Z+ ; entonces ab 2 Z+ :
(13) Se cumple exactamente una de las a…rmaciones a 2 Z+ ; a = 0;
a 2 Z+ :
(14) La estructura hZ+ [ f0g; <i es un conjunto bien ordenado.
Ejercicios
1. Existe una función F : Z ! Z que satisfaga la condición
F ([(m; n)]) = [(m + n; n)] ?
2. Existe una función G : Z ! Z que satisfaga la condición
G([(m; n)]) = [(n; m + 2n)] ?
3. Existe una función H : Z ! Z que satisfaga la condición
H([(m; n)]) = [(n; m)] ?
4. Muestre que si m; n son números naturales, entonces
[(m; n)] = E(m)
E(n):
6.2. LOS NÚMEROS RACIONALES
151
5. Muestre que la estructura hE(N); +Z ; Z ; <Z ; 0Z ; 1Z i es isomorfa a hN; +; ; <; 0; 1i :
Es en este sentido que consideramos a los números naturales como un
subconjunto de los enteros.
6. Muestre que existe una estructura hA; +A ; A ; <A ; 0A ; 1A i, isomorfa a
hZ; +; ; <; 0; 1i ; que satisface las siguientes condiciones:
(i) N
A:
(ii) Las operaciones +A ; y A ; restringidas a N; coinciden con las correspondientes operaciones en los naturales.
(iii) La relación <A ; restringida a N; coincide con la correspondiente
relación de orden en los naturales.
7. Demuestre el teorema 6.1.21
8. Muestre que las propiedades del teorema 6.1.21 implican todas las
propiedades de Z; tanto aritméticas como de orden, que se probaron
en el texto.
6.2.
Los Números Racionales
Al igual que con los enteros, la motivación para la construcción de los
números racionales es poder solucionar ecuaciones, en este caso, del tipo
r:x = s: Obviamente, las soluciones son las fracciones, conocidas desde el
colegio y simbolizadas como
1=2;
3=4;
4=16::::
Sin embargo, hay muchas maneras de representar una fracción, por ejemplo,
1=2 y 3=6 deben identi…carse como representantes del mismo "número". Obviamente debemos excluir la división por cero y por esta razón introducimos
la notación Z para el conjunto Z n f0g: Informalmente, podemos considerar un par ordenado (a; b) 2 Z Z como la fracción a=b: De modo que la
igualdad de fracciones, aprendida en el colegio, sugiere la siguiente
De…nición 6.2.1 Sea
la relación binaria de…nida en Z
a lo siguiente
(a; b) (c; d) si y sólo si ad = cb:
Teorema 6.2.2 La relación
junto Z Z :
Z de acuerdo
es una relación de equivalencia en el con-
152
CAPÍTULO 6. CONSTRUCCIÓN DE LOS NÚMEROS REALES
Prueba. Re‡exividad. Sea (a; b) 2 Z Z . Entoces se tiene que ab = ab;
luego (a; b) (a; b) y por lo tanto la relación es re‡exiva.
Simetría. Supongamos que (a; b)
(c; d): Entonces ad = cb; lo cual
equivale a cb = ad: Por lo tanto (c; d) (a; b):
Transitividad. Sean (a; b); (c; d); (e; f ) 2 Z Z ; tales que (a; b) (c; d)
y (c; d) (e; f ): Tenemos entonces que
ad = cb
y
cf = ed:
Ahora, si multiplicamos la primera ecuación por f y la segunda por b; obtenemos
adf = cbf
y
cf b = edb:
De aquí se sigue que adf = edb y, después de cancelar d (que es 6= 0),
obtenemos af = eb; lo cual signi…ca que (a; b) (e; f ):
De…nición 6.2.3 Los números racionales Q se de…nen como el conjunto
Z Z = de las clases de equivalencia correspondientes a la relación :
Nota 6.2.4 Los números racionales 0Q = [(0; 1)] y 1Q = [(1; 1)] denotarán
el cero (neutro bajo la suma) y el uno (neutro bajo el producto); respectivamente. Obviamente 0Q 6= 1Q ; pues (0; 1) (1; 1):
Ahora queremos de…nir la noción de número racional positivo. Informalmente, una fracción a=b es positiva si ab 2 Z+ ; pero obviamente los
racionales son clases de equivalencia y debemos veri…car primero que la noción de positividad es compatible con la relación : Este es el sentido del
siguiente
Lema 6.2.5 Supongamos que (a; b)
sigue que a0 b0 2 Z+ :
(a0 ; b0 ) y que ab 2 Z+ ; entonces se
Prueba. Por hipótesis tenemos que ab0 = a0 b, con b; b0 6= 0: Por lo tanto
(ab0 )(bb0 ) = (a0 b)(bb0 ): Esto es,
ab(b0 )2 = a0 b0 (b)2 :
Pero, por hipótesis, ab 2 Z+ ; de modo que ab(b0 )2 = a0 b0 (b)2 2 Z+ y
entonces, si aplicamos el numeral (iv) del teorema 6.1.19, obtenemos que
a0 b0 2 Z+ :
De…nición 6.2.6 Un número racional [(a; b)] es positivo si ab 2 Z+ : El
conjunto de números racionales positivos se denota por Q+ :
6.2. LOS NÚMEROS RACIONALES
153
Ahora, nos proponemos de…nir las operaciones de adición y multiplicación en Q: Si observamos la forma como sumamos fracciones,
a c
ad + cb
+ =
b d
bd
obtenemos que la operación de adición en Q debería regirse por la ecuación
[(a; b)] + [(c; d)] = [(ad + cb; bd)]:
(1)
Obviamente, bd 6= 0 ya que b 6= 0 y d 6= 0; de modo que el par (ad + cb; bd) 2
Z Z : Como ocurrió con los números enteros, debemos asegurarnos de que
la operación de adición es compatible con la relación
: Esto es, que la
ecuación (1) depende sólo de las clases de equivalencia involucradas y no de
sus respectivos representantes. Este es, precisamente, el sentido del siguiente
Lema 6.2.7 Supongamos que (a; b) (a0 ; b0 ) y (c; d)
tiene que
(ad + cb; bd) (a0 d0 + c0 b0 ; b0 d0 ):
(c0 ; d0 ), entonces se
Prueba. Por hipótesis tenemos que
ab0 = a0 b
y
cd0 = c0 d:
(2)
Necesitamos mostrar
(ad + cb)b0 d0 = (a0 d0 + c0 b0 )bd;
lo cual equivale a
adb0 d0 + cbb0 d0 = a0 d0 bd + c0 b0 bd:
(3)
Pero si multiplicamos la primera igualdad en (1) por dd0 y la segunda por
bb0 y luego sumamos término a termino las igualdades resultantes, obtenemos
la igualdad (3):
De…nición 6.2.8 La operación de adición en Q es la función + : Q
Q de…nida como
Q!
+([(a; b)]; [(c; d)]) = [(ad + cb; bd)]:
Como es usual, escribimos [(a; b)] + [(c; d)] en vez de +([(a; b)]; [(c; d)]).
Utilizaremos, preferiblemente, las letras r; s; t; u:::para representar números
racionales y a; b; c; d:::para representar enteros.
154
CAPÍTULO 6. CONSTRUCCIÓN DE LOS NÚMEROS REALES
Teorema 6.2.9 La operación de adición satisface las siguientes propiedades
(i) r + s = s + r (Conmutatividad)
(ii) r + (s + t) = (r + s) + t (Asociatividad)
(iii) r + 0Q = r (Elemento neutro)
(iv) Para todo r existe un s tal que r + s = 0Q : (Existencia de inversos)
(v) Si r; s 2 Q+ ; entonces r + s 2 Q+ :
Prueba.
(i) Basta notar que, por un lado,
[(a; b)] + [(c; d)] = [(ad + cb; bd)];
mientras que, por el otro,
[(c; d)] + [(a; b)] = [(cb + ad; db)]:
Pero los extremos derechos de estas dos igualdades son iguales (por
propiedades de la suma en Z).
(ii) Primero calculamos
[(a; b)] + ([(c; d)] + [(e; f )]) = [(a; b)] + [(cf + ed; df )]
= [(a(df ) + (cf + ed)b; b(df ))]:
Ahora calculamos
([(a; b)] + [(c; d)]) + [(e; f )] = [(ad + cb; bd)] + [(e; f )]
= [(ad + cb)f + e(bd); (bd)f ]:
Pero a(df )+(cf +ed)b = (ad+cb)f +e(bd); de modo que las dos clases
de equivalencia resultantes son idénticas.
(iii) Basta notar que [(a; b)] + 0Z = [(a; b)] + [(0; 1)] = [(a;1 + 0:b; b;1)] =
[(a; b)]:
6.2. LOS NÚMEROS RACIONALES
155
(iv) Basta notar que si r = [(a; b)]; entonces s = [( a; b)] 2 Q satisface
r + s = [(a; b)] + [( a; b)]
= [(ab + ( a)b; b2 )]
= [(0; b2 )] = [(0; 1)];
pues (0; b2 )
(0; 1):
(v) Sean r = [(a; b)] y s = [(c; d)] tales que ab; cd 2 Z+ : Como sabemos que
r + s = [(ad + cb; bd)]; basta mostrar que
(ad + cb)bd = (ab)d2 + (cd)b2 2 Z+ :
Pero b 6= 0 implica que b2 2 Z+ (por tricotomía en Z y la ley de
los signos), de modo que (ab)d2 2 Z+ : Similarmente, (cd)b2 2 Z+ ; de
donde se sigue la a…rmación.
Ahora nos proponemos de…nir la operación de multiplicación en Q: De
nuevo, la manera informal de multiplicar fracciones nos sugiere que el producto se debe regir por la ecuación
[(a; b)][(c; d)] = [(ac; db)]:
Sin embargo, como ya es costumbre para estos casos, debemos veri…car
la compatibilidad de dicha operación con la relación :
Lema 6.2.10 Supongamos que (a; b)
(ac; db) (a0 c0 ; d0 b0 ):
(a0 ; b0 ) y (c; d)
(c0 ; d0 ): Entonces
Prueba. De la hipótesis se sigue que
ab0 = a0 b
y
cd0 = c0 d:
Entonces, multiplicando estas dos ecuaciones, término a término, obtenemos
(ab0 )(cd0 ) = (a0 b)(c0 d);
lo cual equivale a (ac)(d0 b0 ) = (a0 c0 )(db); es decir, (ac; db)
(a0 c0 ; d0 b0 ):
De…nición 6.2.11 La operación de multiplicación de números racionales
es la función : Q Q ! Q de…nida como
([(a; b)]; [(c; d)]) = [(ac; bd)];
donde, como es usual, escribimos [(a; b)]:[(c; d)] ( o incluso [(a; b)][(c; d)]) en
vez de ([(a; b)]; [(c; d)]):
156
CAPÍTULO 6. CONSTRUCCIÓN DE LOS NÚMEROS REALES
Teorema 6.2.12 La multiplicación de números racionales satisface las siguientes propiedades:
(i) r:s = s:r (Conmutatividad)
(ii) r:(s:t) = (r:s):t (Asociatividad)
(iii) r:(s + t) = r:s + r:t (Distributividad)
(iv) r;1Q = r (Existencia de elemento neutro)
(v) Si r 6= 0Q entonces existe un s 2 Q tal que r:s = 1Q :(Existencia de
inversos)
(vi) r:s = 0Q si y sólo si r = 0 o s = 0:
(vii) Si r; s 2 Q+ entonces r:s 2 Q+ :
Prueba.
(i) Basta notar que
[(a; b)][(c; d)] = [(ac; bd)]
= [(ca; db)]
= [(c; d)][(a; b)]:
(ii) Un cómputo directo nos muestra que
[(a; b)]([(c; d)][(e; f )]) = [(a; b)][(ce; df )]
= [(a(ce); b(df ))]
= [((ac)e; (bd)f )]
= [(ac; bd)][(e; f )]
= ([(a; b)][(c; d)])[(e; f )]:
(iii) Por un lado, tenemos que
[(a; b)]([(c; d)] + [(e; f )]) = [(a; b)][(cf + ed; df )]
= [(a(cf + ed); bdf )]
= [(acf + aed; bdf )]:
6.2. LOS NÚMEROS RACIONALES
157
Por el otro, un cálculo directo nos muestra
[(a; b)][(c; d)] + [(a; b)][(e; f )]) = [(ac; bd)] + [(ae; bf )]
= [(ac)(bf ) + (ae)(bd); (bd)(bf )]
= [(b(acf + aed); b(bdf ))]:
Pero, dados b; g; h 2 Z; es claro que (bg; bh)
(g; h); de modo que
(b(acf + aed); b(bdf )) (acf + aed; bdf ); de donde concluimos que las
dos clases de equivalencia resultantes son iguales.
(iv) [(a; b)];1Q = [(a; b)]:[(1; 0)] = [(a;1; b;0)] = [(a; b)]:
(v) Sea r = [(a; b)] 6= 0Q : Entonces a 6= 0 y podemos de…nir s = [(b; a)] 2 Q:
Ahora, basta notar que r:s = [(ab; ba)] = [(1; 1)] = 1Q :
(vi) Notemos primero que [(a; b)] = 0Q = [(0; 1)] si y sólo si a = 0: De modo
que [(a; b)][(c; d)] = 0Q si y sólo si [(ac; bd)] = 0Q si y sólo si ac = 0 si
y sólo si a = 0 o c = 0 si y sólo si [(a; b)] = 0Q o [(c; d)] = 0Q :
(vii) Si [(a; b)]; [(c; d)] 2 Q+ ; entonces sabemos que ab; cd 2 Z+ ; por lo
tanto (ac)(bd) = (ab)(cd) 2 Z+ : Pero esto signi…ca que [(a; b)][(c; d)] =
[(ac; bd)] 2 Q+ :
Nota 6.2.13 Cabe observar, en este punto, que tanto los elementos neutro,
como los inversos que aparecen en los dos teoremas anteriores son únicos
(demostración ?). En vista de lo anterior, dado r = [(a; b)] 2 Q; su inverso
bajo la suma es [( a; b)] , el cual se denota por r. Además, si r 6= 0; su
inverso bajo el producto es [(b; a)]; el cual se denota por r 1 . También, como
es usual, escribimos r s en vez de r + ( s) y r=s en vez de r(s 1 ):
Ahora, queremos de…nir una relación de orden en los racionales.
De…nición 6.2.14 Dados dos racionales r; s; decimos que r es menor que
s , lo cual escribimos como r < s , si s r 2 Q+ : En este caso, también es
común escribir s > r; lo cual se lee s es mayor que r .
Teorema 6.2.15 La relación < de…nida en Q satisface las siguientes propiedades
(i) Si r < s y s < t; entonces r < t:
158
CAPÍTULO 6. CONSTRUCCIÓN DE LOS NÚMEROS REALES
(ii) Dado r 2 Q; se cumple exactamente una de las siguientes a…rmaciones
r 2 Q+ ;
r = 0;
( r) 2 Q+ :
(iii) Para r; s 2 Q, se cumple exactamente una de las siguientes a…rmaciones
r < s;
r = s;
s < r:
Prueba.
(i) Supongamos que r < s y s < t: Entonces tenemos que (s r); (t
s) 2 Q+ : Luego, por el numeral (v) del teorema 6.2.9, se sigue que
(s r) + (t s) = t r 2 Q+ : Esto es, r < t:
(ii) Dado r = [(a; b)]; sabemos que r = [( a; b)] y ademas (ab) = ( a)b:
De modo que, aplicando tricotomía en Z; obtenemos que se cumple
exactamente una de las siguientes a…rmaciones
ab 2 Z+ ;
ab = 0Z ;
( a)b 2 Z+ :
Pero como b 6= 0Z , se tiene que ab = 0Z si y sólo si a = 0Z (ver
numeral (v) del teorema 6.1.14), luego se cumple exactamente una de
las a…rmaciones
ab 2 Z+ ;
a = 0Z ;
( a)b 2 Z+ :
Lo cual equivale a que se cumpla una y solo una de las siguientes
a…rmaciones
r 2 Q+ ;
r = 0;
( r) 2 Q+ :
(iii) Basta aplicar el numeral anterior al racional s
r:
Teorema 6.2.16 Sean r; s; t 2 Q; entonces se cumplen las siguientes a…rmaciones
(i) r < s si y sólo si r + t < s + t:
(ii) Si t 2 Q+ ; entonces [r:t < s:t si y sólo si r < s:]
Prueba.
6.2. LOS NÚMEROS RACIONALES
159
(i) Notemos que r < s si y sólo si (s r) 2 Q+ si y sólo si (s + t)
(s r) 2 Q+ si y sólo si r + t < s + t:
(r + t) =
(ii) Sea t = [(e; f )] 2 Q+ : Entonces, claramente, t 1 = [(f; e)] 2 Q+ y por
lo tanto, se tiene que rt < st si y sólo si (st rt) = (s r)t 2 Q+ si y
sólo si ((s r)t)t 1 = (s r) 2 Q+ si y sólo si r < s:
Teorema 6.2.17 (Densidad) Dados r; s 2 Q tales que r < s; entonces
existe un t 2 Q tal que r < t < s:
Prueba. Si r < s; entonces tenemos que
r+r <s+r
y
r + s < s + s:
Luego se sigue que (1Q + 1Q )r < r + s < (1Q + 1Q )s: Esto es,
2Q r < r + s < 2Q s:
Pero, claramente, 2Q = (1Q + 1Q ) 6= 0; luego, aplicando el teorema anterior,
se obtiene
r < (r + s)(2Q ) 1 < s:
Teorema 6.2.18 (Propiedad Arquimediana) Sean r; s 2 Q+ ; entonces
existe un n 2 Z+ tal que [(n; 1)]r > s:
Prueba. Primero escribamos r = [(a; b)] y s = [(c; d)]; con a; b; c; d 2 Z+:
Esto es posible por la ley de los signos y tricotomía en Z; pues es obvio
que [(a; b)] = [( a; b)] y [(c; d)] = [( c; d)]: De otro lado, es claro que
si n 2 Z+ entonces [(n; 1)][(a; b)] > [(c; d)] es equivalente a nad > bc: Pero
ad 1 (demostración ?) y, por lo tanto, si tomamos n = 2bc obtenemos
nad = (2bc)(ad)
2bc = bc + bc
> bc:
160
CAPÍTULO 6. CONSTRUCCIÓN DE LOS NÚMEROS REALES
Ahora notamos que el conjunto Z no está contenido en Q pero, al igual
que con N y Z; podemos de…nir un embebimiento de Z en Q: Lo cual nos
permite construir una copia de Z contenida en Q: Los detalles están contenidos en el siguiente teorema, cuya demostración dejamos como ejercicio
para el lector.
Teorema 6.2.19 Sea E : Z ! Q la función de…nida por
E(a) = [(a; 1)]:
Entonces E es inyectiva y, además, se cumple lo siguiente, para a; b 2 Z:
(i) E(a + b) = E(a) +Q E(b):
(ii) E(ab) = E(a)
Q
E(b):
(iii) E(0) = 0Q y E(1) = 1Q :
(iv) a < b si, y sólo si, E(a) <Q E(b):
Nota 6.2.20 Siguiendo con la práctica usual, y teniendo en cuenta el teorema anterior, junto con el correspondiente teorema 6.1.20, omitimos el
subíndice “Q” de los símbolos 0Q ; 1Q ; +Q ; Q y <Q : Lo que esto signi…ca es
que consideramos que se cumplen las inclusiones
N
Z
Q
y que, además, las operaciones de adición y multiplicación sobre N y Z;
son las correspondientes restricciones de las operaciones en Q: Algo similar
ocurre con la relacion de orden < :
El conjunto Q, junto con las operaciones de adición y multiplicación son
un ejemplo típico de una estructura algebraica denominada un campo. En
términos algebraicos, un campo es una estructura
hA; +A ;
A ; 0A ; 1A i ;
donde los símbolos +A y A representan operaciones binarias en A y 0A ; 1A
son dos elementos de A: Además, se requiere que la operaciones +A y A
satisfagan las propiedades (i) (iv) del teorema 6.2.9 y las (i) (v) del
teorema 6.2.12 respectivamente (con 0A y 1A como elementos neutro) . En
el último capítulo haremos un estudio un poco mas detallado de algunas
estructuras algebraicas básicas y en lo que sigue utilizaremos la noción de
campo para simpli…car algunos enunciados. En este orden de ideas, resumiremos las propiedades fundamentales de los racionales en el siguiente teorema,
cuya demostración se deja como ejercicio.
6.2. LOS NÚMEROS RACIONALES
161
Teorema 6.2.21 La estructura hQ; +; ; 0; 1i, satisface las siguientes propiedades,
donde p; q; r son racionales:
(1) p + (q + r) = (p + q) + r:
(2) p + q = q + p:
(3) 0 + p = p:
(4) Existe un s tal que s + p = 0:
(5) p(qr) = (pq)r:
(6) pq = qp:
(7) 1 p = p:
(8) Si p 6= 0; entonces existe un t tal que tp = 1:
(9) p(q + r) = pq + pr:
(10) 1 6= 0:
(11) Si p; q 2 Q+ ; entonces p + q 2 Q+ :
(12) Si p; q 2 Q+ ; entonces pq 2 Q+ :
(13) Se cumple exactamente una de las condiciones p 2 Q+ ; p = 0;
p 2 Q+ :
(14) Si P Q es la intersección de los subconjuntos de Q que contienen a
1 y que son cerrados bajo la suma, entonces, para cada s 2 Q+ ; existen
a; b 2 P tales que sa = b:
Las propiedades del teorema anterior caracterizan los números racionales,
en el sentido de que cualquier campo hA; +A ; A ; 0A ; 1A i que satisfaga dichas
propiedades, para cierto subconjunto A+ A; es básicamente, una copia de
Q: En forma mas precisa, se puede mostrar que dicha estructura es ismorfa
a hQ; +; ; 0; 1i :
162
CAPÍTULO 6. CONSTRUCCIÓN DE LOS NÚMEROS REALES
Ejercicios
1. Pruebe el teorema 6.2.19.
2. Demuestre el teorema 6.2.21.
3. Muestre que el conjunto P
Q se puede describir como
P = fE(a) : a 2 Z+ g:
Donde E es la función del teorema 6.2.19.
4. Muestre que la estructura hE(Z); +Q ; Q ; <Q ; 0Q ; 1Q i es isomorfa a hZ; +; ; <; 0; 1i :
Es en este sentido que consideramos a los números enteros como un
subconjunto de los racionales.
5. Muestre que existe una estructura hA; +A ; A ; <A ; 0A ; 1A i, isomorfa a
hQ; +; ; <; 0; 1i ; que satisface las siguientes condiciones:
(i) Z
A:
(ii) Las operaciones +A ; y A ; restringidas a Z; coinciden con las correspondientes operaciones en los enteros.
(iii) La relación <A ; restringida a Z; coincide con la correspondiente
relación de orden en los enteros.
6. Deduzca todas las propiedades para Q; tanto aritméticas como de orden, que se probaron en el texto, a partir de las propiedades enunciadas en el teorema 6.2.21. En particular, muestre que Q satisface las
propiedades Arquimediana y de Densidad.
7. De…namos el valor absoluto de un p 2 Q; que denotamos como jpj,
como sigue:
p
si p 0
jpj =
p si p < 0:
Muestre que se cumple lo siguiente
(i) jpj
0:
(ii) jpqj = jpj jqj :
(iii) jp + qj
(iv) jjpj
jqjj
jpj + jqj :
jp
qj :
6.3. LOS NÚMEROS REALES
6.3.
163
Los Números Reales
6.3.1.
Construcción por cortaduras
De…nición 6.3.1 Un número real
guientes propiedades:
(i)
(ii)
es un subconjunto de Q con las si-
6= ;:
6= Q:
(iii) Si r 2
y s < r; entonces s 2 :
(iv) Para todo r 2
existe un s 2
tal que r < s:
El conjunto de números reales se denota por R:
En lo que sigue, utilizaremos las letras p; q; r; s; t para denotar números
racionales y ; ; ; para denotar números reales.
De…nición 6.3.2 Sean ; números reales, entonces decimos que
es
menor que ; lo cual escribimos como <R ; si se cumple que $ :
En este caso, también es costumbre decir que es mayor que ; lo cual
se escribe como > : Si se cumple <R o = ; entonces escribimos
R :
Nota 6.3.3 Para simpli…car la notación, es costumbre escribir
vez de <R :
< ; en
Teorema 6.3.4 La relación < de…nida en R; es un orden lineal, esto es, <
es transitiva y satisface la ley de tricotomía.
Prueba. La transitividad es mas bien inmediata, pues es claro que $ $
implica $ ( = implicaría = = ; lo cual es absurdo). De
otro lado, para probar tricotomía, notemos primero que, dados ; 2 R; se
puede cumplir a lo más una de las condiciones siguientes
< ;
= ;
< ;
pues, por la de…nición de <; no se puede dar simultaneamente que <
y
= : Similarmente, tampoco es posible
<
y
< ; pues esto
equivale a
$
$ ; lo cual es absurdo. De otro lado, para demostrar
que se cumple al menos una de las condiciones anteriores, supongamos
164
CAPÍTULO 6. CONSTRUCCIÓN DE LOS NÚMEROS REALES
que
6= : Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que existe un
q 2 n : Sea entonces p 2 . Por la propiedad (iii) y tricotomía en Q; se
sigue que p < q, luego p 2 : Hemos mostrado entonces que $ ; esto es,
< : Similarmente, si existe un q 2 n ; se concluye que < :
Si A es un subconjunto de números reales y 2 R; decimos que es una
cota superior de A si todo elemento 2 A satisface la condición
: Si,
además, se tiene que 2 A; entonces decimos que es el máximo de A: Un
subconjunto de R se dice que está acotado superiormente si tiene al menos
una cota superior. Notemos que un conjunto A puede tener muchas cotas
superiores pero, a lo más, un solo elemento máximo. Finalmente, decimos
que un real es el supremo de un conjunto no vacío A; lo cual escribimos
como = sup A; si es una cota superior de A y, además, cualquier otra cota
superior de A es
: En otras palabras, si A está acotado superiormente,
entonces
= sup A si y sólo si
es la menor de las cotas superiores de
A: Por esta razón, el supremo de A se denomina también la mínima cota
superior de A:
De manera completamente similar, podemos de…nir las nociones de cota inferior de A, conjunto acotado inferiormente, elemento mínimo y
máxima cota inferior del conjunto A (denominado ín…mo de A y representado como nf A ).
Una de las propiedades fundamentales de R; la cual es falsa en Q; es que
cualquier subconjunto no vacío A R acotado superiormente tiene supremo.
Esto se describe diciendo que el conjunto R; junto con la relación de orden
<; satisface la propiedad de completez.
Teorema 6.3.5 Sea A un conjunto no vacío de números reales. Entonces,
si A está acotado superiormente, existe la mínima cota superior de A: Esto
es, existe un 2 R; tal que = sup A:
Prueba. Empezamos por de…nir el elemento = [A = fp 2 Q : (9 2
A)[p 2 ]g: Queremos veri…car primero que 2 R y, …nalmente, mostrar
que, de hecho, = sup A: Veri…camos, entonces, las cuatro propiedades que
caracterizan un número real:
(i) Como, por hipótesis, A 6= ;; existe al menos un
[A = : Esto es, 6= ;:
2 A; luego ; 6=
(ii) Sea 2 R una cota superior de A: Entonces (8 2 A)[
(8 2 A)[
]: Pero esto signi…ca que
= [A
:
]; esto es,
6.3. LOS NÚMEROS REALES
Además,
165
& Q; luego concluimos que
6= Q:
(iii) Supongamos que p < q 2 : Entonces existe un 2 A tal que p < q 2
: Pero entonces se sigue que p 2
[A = : Luego p 2 :
(iv) Sea p 2 = [A: Entonces p 2 para algún 2 A; lo cual implica que
p < q para algún q 2
[A = : Por lo tanto, existe un q 2 tal
que p < q:
Hemos mostrado entonces que 2 R: Veamos ahora que, en realidad,
= sup A:
Claramente, si 2 A se sigue que
[A = ; esto es,
: Por lo
tanto, es una cota superior de A: De otro lado, si es una cota superior
de A; se cumple que
(8 2 A)[
]:
Luego = [A
superior de A:
; esto es,
: En conclusión,
es la mínima cota
De…nición 6.3.6 La adición de números reales es la función +R : R
R de…nida como sigue:
+R
R!
= fs 2 Q : (9q 2 )(9r 2 )[s = q + r]g:
Donde, como ya es costumbre, escribimos +R
+ en vez de +R ( ; ):
Lo primero que notamos en esta de…nición es que, para ; 2 R; no es
obvio que + 2 R: De modo que debemos veri…car las cuatro propiedades
correspondientes y asegurarnos de que la operación + está bien de…nida. Ese
es, precisamente, el sentido del siguiente
Teorema 6.3.7 Sean
;
2 R; entonces
+
2 R:
Prueba. Veri…camos las cuatro propiedades que caracterizan un número
real:
(i) Como ;
6= ;; entonces se tiene que
+
6= ;:
(ii) Por hipótesis, 6= Q y 6= Q de modo que existen racionales p 2 Q n
y q 2 Q n : Ahora, por la propiedad (iii); tenemos que r 2 implica
r < p: Similarmente, s 2 implica s < q; por lo tanto r + s < p + q;
para cualquier r 2
y s 2 : De modo que p + q 2
= + y, por
consiguiente, + 6= Q:
166
CAPÍTULO 6. CONSTRUCCIÓN DE LOS NÚMEROS REALES
(iii) Supongamos que t < s 2 + : Entonces, existen q 2 y r 2 , tal
que s = q + r: Pero esto implica que t q < r 2 ; luego t q 2 :
Pero como q 2 obtenemos que t = q + (t q) 2 + :
(iv) Supongamos que s 2 + : Entonces, existen q 2 y r 2 , tal que
s = q +r: Luego, por la propieadad (iv); existen t; u tales que q < t 2
y r < u 2 : Pero esto implica que
s=q+r <t+u2
De…nición 6.3.8 Si
+ :
2 R; entonces de…nimos
= fq 2 Q : (9r > q)[ r 2
= ]g
y también hacemos 0R = fq 2 Q : q < 0Q g:
Nota 6.3.9 De la de…nición de
se sigue que q 2 ( ) si y sólo si
q 2 Q n y, además, q no es el elemento mínimo de Q n : De otro
lado, como es costumbre, escribimos
en vez de + ( ):
Teorema 6.3.10 0R es un número real y, además, si
R:
2 R; entonces
2
Prueba.
(a) Las propiedades (i) - (iii) se satisfacen trivialmente para 0R y la densidad de Q (teorema 6.2.17) implica que 0R también satisface la propiedad
(iv): Por lo tanto 0R 2 R:
(b) De otro lado, supongamos que 2 R y mostremos que
cuatro propiedades que caracterizan un número real:
satisface las
Propiedad (i): Como
6= Q; sabemos que existe un s 2 Q n : Pero
entonces es claro que s > (s + 1): De modo que si hacemos q =
(s + 1); vemos que existe un r = s tal que r > q y r = s 2
= :
Luego q 2 ( ) y concluimos que
6= ;:
Propiedad (ii): Como 6= ; sabemos que existe un q 2 ; luego, por la
de…nición de
; se tiene que q 2
= ( ): Lo cual implica ( ) 6= Q:
6.3. LOS NÚMEROS REALES
167
Propiedad (iii): Supongamos que q 2 ( ) y además, p < q: Entonces
existe r > q > p tal que r 2
= : Pero esto signi…ca que p 2 ( ):
Propiedad (iv): Sea q 2 ( ) y supongamos que r > q con ( r) 2
= :
Entonces, por la densidad de Q; existe un s 2 Q tal que q < s < r: De
donde se sigue que s 2 ( ):
Lema 6.3.11 Sea un número real y p un racional positivo. Entonces
existe q 2 tal que p + q 2
= :
Prueba. Consideramos dos casos:
Caso I, p 2 : En este caso, como p 2 Q+ ; sabemos por la propiedad
Arquimediana (ver teorema 6.2.18) que para cualquier s 2 Q existe un
n 2 Z+ tal que np > s: Pero esto signi…ca que alguno de los racionales
2p; 3p; 4p; :::::::
no puede ser elemento de (en caso contrario, por la propiedad (iii); tendríamos que todo s 2 Q está en , esto es, Q
; lo cual es imposible).
Aplicando ahora el principio de buen orden, existe un n 2 Z+ tal que
np 2
pero
(n + 1)p 2
= :
Por lo tanto, si tomamos q = np; obtenemos q 2 ; con p + q = (n + 1)p 2
= :
Caso II, p 2
= : De nuevo, por la propiedad arquimediana, sabemos que
para cualquier s 2 Q existe un n 2 Z+ tal que np > ( s): Esto es, ( n)p < s;
lo cual signi…ca que alguno de los racionales
; ( 4)p; ( 3)p; ( 2)p; ( p)
es elemento de (de lo contrario, por la propiedad (iii); obtenemos
). Entonces, por el principio de buen orden, exite un m 2 Z+ tal que
(m + 1)p 2
Luego, si hacemos q =
pero
=;
( m)p 2
= :
(m + 1)p; obtenemos q 2
y p + q = ( m)p 2
= :
Teorema 6.3.12 Sean ; ; números reales. Entonces la operación de adición en R satisface las siguientes propiedades:
168
(i)
(ii)
CAPÍTULO 6. CONSTRUCCIÓN DE LOS NÚMEROS REALES
+
=
+
(Conmutatividad).
+( + )=( + )+
(iii)
+ 0R =
(iv)
+(
(Asociatividad).
(Existencia de elemento neutro).
) = 0R (Existencia de inversos).
Prueba.
(i) Sea s 2 + : Entonces existen p 2 y q 2 tales que s = p + q:
Pero claramente, s = q + p; de modo que también se tiene s 2 + :
Esto es, hemos mostrado +
+ : En forma similar se obtiene
+
+ : De donde se concluye + = + :
(ii) Dados p 2 ; q 2
cumple que
y r 2
, entonces para cualquier racional s se
s = p + (q + r) si y sólo si s = (p + q) + r:
Esto es, s 2 + ( + ) si y sólo si s 2 ( + ) + : Por lo tanto,
+( + )=( + )+ :
(iii) Si p 2 y q 2 0R se tiene que q < 0Q : Luego p + q < q y por lo tanto
p+q 2 : Esto es, +0R
: Ahora mostramos la otra inclusión. Dado
p 2 ; sabemos que existe un q 2 , tal que q > p: Pero, entonces,
podemos escribir p = q + (p q); con (p q) < 0Q ; esto es p q 2 0R :
Concluimos que p 2 + 0R : Hemos mostrado entonces que
+ 0R :
(iv) Sea p + q 2 + ( ) con p 2 y q 2 ( ): Entonces existe r > q tal
que ( r) 2
= : De aquí se sigue que p < ( r) pues, en caso contrario,
tendríamos ( r) p 2 ; lo cual es imposible. Concluimos entonces
que
p + q < ( r) + r = 0:
Esto es, p + q 2 0R : Hemos mostrado que + ( ) 0R : Para mostrar
la otra inclusión, sea p 2 0R ; entonces p < 0 y por lo tanto ( p)=2 2
Q+ : Aplicando el lema anterior obtenemos un q 2 tal que ( p)=2 +
q2
= : Ahora, si hacemos r = p=2 q; obtenemos que r > (p q) y
además r = ( p)=2 + q 2
= : Lo cual implica que (p q) 2 ( ) y
además p = q +(p q): Esto es, p 2 +( ): Hemos probado entonces
que 0R
+ ( ) y concluimos + ( ) = 0R :
6.3. LOS NÚMEROS REALES
169
De…nición 6.3.13 Decimos que un número real es positivo si
El subconjunto de números reales positivos se denota por R+ :
> 0R :
Teorema 6.3.14 La relación <; de…nida en R; satisface las siguientes propiedades:
(i) Si
(ii)
(iii)
;
<
<
2 R+ entonces
+
2 R+ :
si y sólo si
<
+ :
+
si y sólo si 0R < (
):
(iv) Dado 2 R; se cumple exactamente una de las siguientes a…rmaciones
2 R+ ;
= 0R ;
( ) 2 R+ :
Prueba.
(i) Supongamos que ;
2 R+ . Entonces se tiene que
0R
y
0R
:
Lo cual implica que 0Q 2 \ y, por lo tanto, si p 2 0R obtenemos
p = p + 0Q 2 + : Tenemos entonces que 0R
+ : Por otra
parte, como 0R
; existe un q 2 \ Q+ ; de modo que q = q + 0Q 2
( + ) n 0R : Concluimos que 0R
+ : Esto es, 0R < + y por
lo tanto + 2 R+ :
(ii) " =) ": Supongamos que < ; esto es,
: Entonces es claro que
+
+ : Pero la igualdad es imposible, ya que + = +
implicaría
=( + )+(
)=( + )+(
lo cual es absurdo. Concluimos que +
" (= ": Supongamos + <
demostrada, tenemos que
=( + )+(
)= ;
+ ; esto es, + < + :
+ : Entonces por la implicación ya
)<( + )+(
)= :
170
CAPÍTULO 6. CONSTRUCCIÓN DE LOS NÚMEROS REALES
(iii) Utilizando el numeral (ii); tenemos que
<
,
+(
)<
+(
) , 0R < (
):
(iv) Aplicando tricotomía en R (teorema 6.3.4), tenemos que se cumple
exactamente una de las a…rmaciones
> 0R ;
= 0R ;
< 0R :
Pero, según el numeral (iii); < 0R es equivalente a ( ) > 0R : De
modo que se cumple exactamente una de las a…rmaciones
2 R+ ;
= 0R ;
(
) 2 R+ :
De…nición 6.3.15 Sean ; 2 R+ ; entonces de…nimos su producto como
sigue:
: = 0R [ f0Q g [ fpq : p 2 \ Q+ y q 2 \ Q+ g:
Teorema 6.3.16 Sean
;
2 R+ ; entonces se sigue que
: 2 R+ :
Prueba. Como de costumbre, debemos empezar por veri…car las cuatro
propiedades fundamentales de un número real.
(i) Como 0Q 2 : se sigue que : 6= ;:
(ii) Dados r 2 Q n y s 2 Q n ; es claro que r > p; para todo p 2 \ Q+ y
también que s > q; para todo q 2 \ Q+ : Por lo tanto rs > pq, para
todo p 2 \ Q+ y q 2 \ Q+ : Lo cual implica que rs 2
= : ; esto es,
: 6= Q:
(iii) Supongamos que s < r 2 : : Si s 0Q entonces, s 2 : ,de modo
que podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que s 2 Q+ : Pero
esto implica que r 2 Q+ y por lo tanto, existen p 2 \Q+ y q 2 \Q+ ;
tales que r = pq: Entonces se tiene que
s=
sr
sp
s
= ( )q = ( p)q:
r
r
r
Pero es claro que (s=r)p < p; pues s=r < 1; de modo que (s=r)p 2
\ Q+ y concluimos s 2 : :
6.3. LOS NÚMEROS REALES
171
(iv) Sea t 2 : ; con t 0Q :Entonces sabemos que existen p 2 \ Q+ y
q 2 \ Q+ ; de modo que t 0Q < pq 2 : : Supongamos ahora que
t = pq 2 : ; con p 2 \ Q+ y q 2 \ Q+ : Entonces, por la propiedad
(iv); existen r 2 y s 2 ; tales que p < r y q < s: Lo cual implica
que t = pq < r:s 2 : :
Hemos probado entonces que :
modo que, en realidad, : 2 R+ :
2 R: Pero obviamente 0R
: ; de
2 R; entonces de…nimos el valor absoluto de ;
De…nición 6.3.17 Sea
como sigue:
si
si
j j=
0Q
0Q :
De…nición 6.3.18 La operación de multiplicación de números reales es la
función R : R R ! R de…nida como sigue:
8
si
= 0R o = 0R
< 0R ;
j
j
:
j
j
;
si
;
2 R+ o ( ); ( ) 2 R+
=
R
:
(j j : j j); si [ 2 R+ y ( ) 2 R+ ] o [( ) 2 R+ y 2 R+ ]:
Nota 6.3.19 Para simpli…car la notación, escribimos : en vez de
R
: De otro lado, la de…nición del producto implica que, si ; ( ) 2 R+ ;
entonces ( : ) 2 R+ :
Teorema 6.3.20 Sean
;
2 R; entonces
: = : :
Prueba. Primero notamos que si ; 2 R+ entonces, por la de…nición 6.3.15
y la conmutatividad en Q; se obtiene que : = : : Ahora, consideramos
tres casos, de acuerdo a la de…nición anterior.
Caso I, = 0R o = 0R : En este caso, es claro que : = 0R = : :
Caso II, ; 2 R+ o ( ); ( ) 2 R+ : En este caso, basta notar que si
( ); ( ) 2 R+ ; entonces, por la de…nición de producto,
:
= j j:j j
= j j:j j
=
: :
Caso III, [ 2 R+ y ( ) 2 R+ ] o [( ) 2 R+ y 2 R+ ]: Supongamos
primero que
2 R+ y ( ) 2 R+ : Entonces se sigue, de la de…nición
172
CAPÍTULO 6. CONSTRUCCIÓN DE LOS NÚMEROS REALES
anterior, que
:
=
(j j : j j)
=
(j j : j j)
=
[ ( : )]
=
) 2 R+ y
Similarmente, si (
Teorema 6.3.21 Sean ; ;
: :
2 R+ se obtiene que : = : :
2 R; entonces se cumple que :( : ) = ( : ): :
Prueba. Es claro que la igualdad se cumple si al menos uno de los factores,
; ; es igual a 0R : De modo que basta considerar los otros casos:
Caso I, ; ; 2 R+ : Claramente, los números a ambos lados de la
igualdad contienen el conjunto 0R [ f0Q g: Ahora, si p:(q:r) es un elemento
arbitrario de :( : ) \ Q+ ; entonces podemos suponer que p; q; r 2 R+ : Pero
esto implica que
p:(q:r) = (p:q):r 2 ( : ): ;
de donde se sigue que :( : )
( : ): : En forma similar se obtiene que
:( : ) ( : ): :
Caso II, ; ; ( ) 2 R+ : Notamos que
:( : ) =
:[ ( : j j)] =
=
Caso III, ; (
f( : ): j jg =
[ :( : j j)]
f [( : ): ]g = ( : ): : (Caso I)
2 R+ : Se sigue que
);
:( : ) =
:( : ) = ( : ):
= ( : ): = :( : ) = ( : ): .
Caso IV, ; (
); (
(Caso II)
(Caso II)
) 2 R+ : Por un lado tenemos que
:( : ) = :(j j : j j) = ( : j j): j j :
Mientras que por el otro
( : ): = f ( : j j)g: = j ( : j j)j : j j = ( : j j): j j :
Caso V, (
); (
) 2 R+ : Basta notar que
); (
:( : ) =
=
:(j j : j j) =
fj j :(j j : j j)g
f(j j : j j): j jg = (j j : j j):
= ( : ): :
(Caso I)
6.3. LOS NÚMEROS REALES
Caso VI, (
); ;
173
2 R+ : Notemos que
:( : ) = ( : ): = ( : ):
=
Caso VII, (
); (
);
(Caso II)
:( : ) = ( : ): :
2 R+ : Se sigue que
:( : ) = ( : ):
=
:( : )
(Caso IV)
= ( : ): = ( : ): :
Caso VIII, (
); ; (
) 2 R+ : Tenemos
:( : ) =
:( : ) = ( : ):
(Caso VII)
=
:( : ) = ( : ):
(Caso IV)
= ( : ): :
De…nición 6.3.22 1R = fp 2 Q : p < 1Q g:
Es claro, de las propiedades de Q; que el conjunto 1R es un número real
y, además, 1R 2 R+ :
Teorema 6.3.23 Sea
un número real, entonces se cumple que
1R = :
Prueba. Obviamente, si = 0R ; la a…rmación es cierta. De modo que solo
nos quedan dos casos:
Caso I, 2 R+ : Primero notamos que si p 2 \ Q+ y q 2 1R \ Q+ ;
entonces pq < p y por lo tanto pq 2 : Por otra parte, es obvio que si q 0Q ;
entonces q 2 : De modo que
1R
: Para probar la otra inclusión, sea
q 2 : Claramente, si q
0Q ; entonces, por la de…nición del producto, se
tiene que q 2
1R : Por otra parte, si q 2 Q+ ; entonces existe un r 2
tal que q < r: Pero esto implica q = r(q=r); con q=r < 1Q : De modo que
1R ; de donde se sigue
1R = :
q 2 1R : Concluimos entonces que
+
Caso II, ( ) 2 R : Si aplicamos el Caso I, obtenemos
1R =
(j j : j1R j) =
(j j) = :
174
CAPÍTULO 6. CONSTRUCCIÓN DE LOS NÚMEROS REALES
De…nición 6.3.24 Sea 6= 0R un número real. Entonces, si
nimos
1
= 0R [ f0Q g [ fp 2 Q+ : (9r > p)[1=r 2
= ]g:
En caso contrario, hacemos
1
=
(j j
1
2 R+ de…-
):
Nota 6.3.25 Notemos que si 2 R+ ; entonces se tiene que p 2 \ Q+ si
y sólo si 1=p 2
= y 1=p no es el elemento mínimo de Q n . De otro lado,
como es costumbre, se escribe = en vez de : 1 :
Teorema 6.3.26 Supongamos que
es un número real.
6= 0R es un número real. Entonces
1
Prueba. Es su…ciente considerar el caso en que 2 R+ y, como es costumbre, veri…camos las cuantro condiciones que caracterizan un número real.
(i) Es claro que
1
6= ;; pues 0R
(ii) Como 2 R+ ; existe un q 2
1 6= Q:
1:
\ Q+ ; luego 1=q 2
=
1
y por lo tanto,
1 : Si q
(iii) Supongamos que q < p 2
0Q ; entonces, obviamente, q 2
1 : De modo que podemos suponer q 2 Q+ : Pero entonces existe un
1:
r > p > q; tal que 1=r 2
= : Lo cual implica también que q 2
1 : Si p
(iv) Sea p 2
0Q entonces existe un q 2 Q+ tal que q 2
= :
1 : Ahora, si p 2 Q+ ; existe
De modo que q
0Q < 1=(q + 1) 2
un r 2 Q+ tal que r > p y 1=r 2
= : Entonces, por la densidad de
Q; podemos hallar un s tal que 1=r < s < 1=p: Lo cual implica que
1:
r > 1=s > p: Esto es, p < 1=s 2
Lema 6.3.27 Sea 2 R+ y p un racional tal que p > 1Q : Entonces existe
q 2 tal que pq 2
= :
Prueba. Consideremos dos casos.
Caso I, p 2 : En este caso, como p > 1Q ; podemos escribir p = 1 + q;
con q 2 Q+ : Por lo tanto, usando inducción, se puede probar que si n 2 Z+
entonces
pn = (1 + q)n 1 + nq:
(1)
6.3. LOS NÚMEROS REALES
175
Se sigue entonces, por la propiedad arquimediana en Q; que para cualquier
s 2 Q existe un m 2 Z+ tal que pm > s: Pero esto signi…ca que alguno de
los racionales
p2 ; p 3 ; p 4 ;
no puede ser elemento de (en caso contrario, por la propiedad (iii); tendríamos que todo s 2 Q está en , esto es, Q
; lo cual es imposible).
Aplicando ahora el principio de buen orden, existe un n 2 Z+ tal que
pn 2
p(n+1) 2
= :
pero
Por lo tanto, si tomamos q = pn ; obtenemos q 2 pero pq = p(n+1) 2
= :
Caso II, p 2
= : De nuevo, por la desigualdad (1) y la propiedad Arquimediana, sabemos que para cualquier s 2 Q+ existe un m 2 Z+ tal que
pm > (1=s): Esto es, p( m) < s; lo cual signi…ca que alguno de los racionales
;p
4
;p
3
;p
2
;p
1
es elemento de (de lo contrario, por la propiedad (iii); obtenemos
0R ;
+
lo cual es imposible, pues 2 R ). Entonces, por el principio de buen orden,
exite un n 2 Z+ tal que
p
(m+1)
Luego, si hacemos q = p
Teorema 6.3.28 Sea
2
(m+1) ;
pero
p
obtenemos q 2
2 R; con
m
2
= :
y pq = p
6= 0R : Entonces
:
1
m
2
= :
= 1R :
1 2 R+ :
Prueba. Basta considerar 2 R+ ; en cuyo caso se tiene que
1
Empezaremos por mostrar que :
1R : Claramente, 0R [ f0Q g
1R :
1 \ Q+ :
Supongamos entonces que pq 2 : 1 ; con p 2 \ Q+ y q 2
Entonces, como q 1 2
= ; se tiene que p < q 1 ; lo cual implica pq < 1Q ; esto
es pq 2 1R : Hemos mostrado que : 1 1R :
Para mostrar la otra inclusión, supongamos que p 2 1R : Si p
0Q ; es
obvio que p 2 : 1 : De otro lado, si p 2 Q+ ; entonces 0Q < p < 1Q ; lo cual
implica p 1 > 1Q : Ahora, por la densidad de Q; escogemos un r 2 Q tal que
1Q < r < p 1 : Entonces, si aplicamos el lema anterior, existe un q 2 tal que
qr 2
= : Sea entonces s = q 1 r 1 : Claramente, s = q 1 r 1 > q 1 p y, además,
1
1 : Pero obviamente p = q(q 1 p); de
s = qr 2
= ; de modo que q 1 p 2
modo que p 2 : 1 : Hemos mostrado entonces que 1R
: 1 : Lo cual
termina la demostración.
176
CAPÍTULO 6. CONSTRUCCIÓN DE LOS NÚMEROS REALES
Teorema 6.3.29 Sean ; ; números reales. Entonces se cumple que :( +
)= : + : .
Prueba. Notamos que si alguno de los tres números, ; ; es igual a 0R ,
entonces la a…rmación es inmediata. Nos concentramos entonces en las posibilidades restantes, para lo cual consideramos varios casos:
Caso I, ; ; 2 R+ : En primer lugar, los números que aparecen a ambos
lados de la igualdad contienen a 0R [ f0Q g: Por otra parte, si p(q + r) es
un elemento arbitrario de :( + ) \ Q+ ; entonces p 2 Q+ y, sin pérdida
de generalidad, podemos suponer también que q 2 \ Q+ y r 2 \ Q+ .
Por lo tanto, se tiene que p(q + r) = pq + pr 2 : + : . De aquí se sigue
que :( + )
: + : . Para probar la otra inclusión, notemos que un
elemento arbitrario de ( : + : ) \ Q+ se puede escribir, sin pérdida de
generalidad, en la forma pr + qs; con p; q 2 \ Q+ ; r 2 \ Q+ y s 2 \ Q+ :
Ahora, si p q; entonces podemos escribir
pr + qs = p[r + (q=p)s];
donde (q=p)s 2 ; pues (q=p)s s: Lo cual prueba que pr+qs 2 :( + ): El
otro caso, p < q; se trata en forma similiar y se concluye que todo elemento
de ( : + : ) es un elemento de :( + ): Esto es, ( : + : )
:( + ):
Caso II, ; ( ); 2 R+ . Consideremos, a la vez, dos posibilidades:
(i)
+
0R : Entonces tenemos que
:
=
:([ + ] + j j)
=
:( + ) + : j j ;
de donde se sigue
:( + ) =
=
(ii)
+
( : j j) + :
: + : .
< 0R : Notamos que
:j j =
=
:(j + j + )
:j + j + : :
Luego concluimos
:( + ) =
=
( : j + j)
( : j j) + : = : + : .
6.3. LOS NÚMEROS REALES
Caso III, ; (
177
) 2 R+ . Entonces se sigue
); (
:( + ) =
( : j + j) =
=
[ :(j j + j j)] =
=
)+(
)g]
[ : j j + : j j]
( : j j) + f ( : j j)g = : + : .
) 2 R+ . Este caso se sigue del Caso II, intercambiando
Caso IV, ; ; (
y .
Caso V, ( ); (
);
2 R+ . Por los Casos anteriores se sigue que
j j :( + ) = j j : + j j : =
=
Lo cual implica que
+
0R implica que
+
(j j : j j) + j j : )
( : ) + ( ( : )):
fj j :( + )g =
fj j :( + )g =
y similarmente,
[ :f(
: + :
. Pero, claramente,
f [ :( + )]g = :( + )
< 0R implica
fj j :( + )g =
f (j j : j + j)g = j j : j + j = :( + ):
Por lo tanto, concluimos que :( + ) = : + : .
Caso VI, ( ); ; ( ) 2 R+ . Se sigue del anterior, intercambiando
.
Caso VII, ( ); ( ); ( ) 2 R+ . Notemos que
:
=
=
y
:f( + ) + j jg = :( + ) + : j j
:( + ) + ( (j j : j j)):
Lo cual implica que :( + ) = j j : j j + : = : + : .
De manera similar a como procedimos con los anteriores sistemas numéricos, notamos que el conjunto Q no está contenido en R: Sin embargo podemos
de…nir un embebimiento de Q en R: Los detalles están contenidos en el siguiente teorema, cuya demostración dejamos como ejercicio para el lector.
Teorema 6.3.30 Sea E : Q ! R la función de…nida por
E(q) = fr 2 Q : r < qg:
Entonces E es inyectiva y, además, se cumple lo siguiente, para p; q 2 Q:
178
CAPÍTULO 6. CONSTRUCCIÓN DE LOS NÚMEROS REALES
(i) E(p + q) = E(p) +R E(q):
(ii) E(pq) = E(p)
R
E(q):
(iii) E(0) = 0R y E(1) = 1R :
(iv) p < q si, y sólo si, E(p) <R E(q):
Nota 6.3.31 Siguiendo con la práctica usual, y teniendo en cuenta el teorema anterior, junto con los teoremas 6.1.20 y 6.2.19, omitimos el subíndice
“R” de los símbolos 0R ; 1R ; +R ; R y <R : Lo que esto signi…ca es que consideramos válidas las inclusiones
N
Z
Q
R
y que, además, las operaciones de adición y multiplicación sobre N; Z y Q;
son las correspondientes restricciones de las operaciones en R: Algo similar
ocurre con la relacion de orden < :
Por último, resumimos las propiedades más importantes que se han
probado para R; en el siguiente teorema.
Teorema 6.3.32 La estructura hR; +; ; 0; 1i, satisface las siguientes propiedades,
donde ; ; son números reales:
(1)
+( + )=( + )+ :
(2)
+
=
(3) 0 +
+ :
= :
(4) Existe un
(5)
(
)=(
=
(6)
tal que
+
= 0:
) :
:
(7) 1
= :
(8) Si
6= 0; entonces existe un
(9)
( + )=
+
tal que
:
(10) 1 6= 0:
(11) Si
;
2 R+ ; entonces
+
2 R+ :
= 1:
6.3. LOS NÚMEROS REALES
(12) Si
;
2 R+ ; entonces
179
2 R+ :
(13) Se cumple exactamente una de las condiciones
2 R+ :
2 R+ ;
= 0;
(14) Si B
R es no vacío y acotado superiormente, entonces existe un
2 R; tal que = sup B:
Las propiedades del teorema anterior caracterizan a los números reales,
en el sentido de que cualquier campo hA; +A ; A ; 0A ; 1A i que satisfaga dichas
propiedades, para cierto subconjunto A+ A; es básicamente, una copia de
R: (Para una demostración de la unicidad de R; ver la sección 8.4).
Por último, si hA; +A ; A ; 0A ; 1A i es un campo que satisface las propiedades
(11)-(13) del teorema anterior, para cierto subconjujto A+ ; se dice que dicho campo es un campo ordenado. Además, si también satisface la propiedad
(14), dicho campo se denomina ordenado y completo. Podemos entonces resumir las propiedades demostradas en este capítulo en el siguiente resultado,
que es fundamental en el desarrollo del análisis clásico.
Teorema 6.3.33 Existe un campo hR; +; ; 0; 1i ; que es ordenado y completo.
Ejercicios
1. Muestre que el valor absoluto satisface las siguientes propiedades,
donde ; 2 R:
(i) j j
(ii) j
0:
j = j jj j:
(iii) j + j
(iv) jj j
j jj
j j + j j:
j
j:
2. Demuestre el teorema 6.3.30. (Empiece por mostrar que la función E
está bien de…nida).
3. Sean ; 2 R y suponga que < : Muestre que existe un p 2 Q, tal
que < E(p) < ; donde E es la función del teorema 6.3.30.
4. Deduzca todas las propiedades para R; tanto aritméticas como de orden, que se probaron en el texto, a partir de las propiedades enunciadas
en el teorema 6.3.32.
180
CAPÍTULO 6. CONSTRUCCIÓN DE LOS NÚMEROS REALES
5. Muestre que la estructura hE(Q); +R ; R ; <R ; 0R ; 1R i es isomorfa a hQ; +; ; <; 0; 1i :
Es en este sentido que consideramos a los números racionales como un
subconjunto de los números reales.
6. Muestre que existe una estructura hA; +A ; A ; <A ; 0A ; 1A i, isomorfa a
hR; +; ; <; 0; 1i ; que satisface las siguientes condiciones:
(i) Q
A:
(ii) Las operaciones +A ; y A ; restringidas a Q; coinciden con las correspondientes operaciones en los racionales.
(iii) La relación <A ; restringida a Q; coincide con la correspondiente
relación de orden en los racionales.
6.4.
Propiedades adicionales de R
Teorema 6.4.1 Supongamos que x 2 R+ : Entonces existe un único y 2 R+
tal que y 2 = x: Este número y se denomina la raiz cuadrada de x y se
p
denota por y = x:
Prueba. Primero notemos que, dados a; b 2 R+ ; con a < b; se tiene que
a2 < ba < b2 ; de donde se sigue que a2 < b2 : De modo que un x 2 R+ tiene,
a lo más, una raiz cuadrada. De otro lado, para demostrar la existencia,
empezamos por de…nir el conjunto
S = ft 2 R+ : t2 < xg:
Claramente, el conjunto S no es vacío, pues si 0 < x 1; entonces x=2 2 S
y, en caso contrario, 1 2 S: Por otra parte, dado t 2 S; si suponemos que
t x + 1 obtenemos que
x > t2
(x + 1)2 = x2 + 2x + 1;
lo cual es absurdo. De modo que x + 1 es una cota superior de S y entonces, por el teorema 6.3.5, sabemos que existe y = sup S: Obviamente,
y m nfx=2; 1g y así y 2 R+ : Mostraremos que y 2 = x; de modo que y es
la raíz cuadrada que buscamos.
Supongamos que y 2 < x: Entonces, si escogemos un h, con 0 < h < 1;
tal que
x y2
h<
;
2(y + 1)
6.4. PROPIEDADES ADICIONALES DE R
181
obtenemos
(y + h)2
y 2 < 2h(y + h) < 2h(y + 1) < x
y2:
De modo que (y+h)2 < x y concluimos que y+h 2 S: Pero esto es imposible,
pues y + h > y = sup S:
Supongamos ahora que y 2 > x: Entonces, si hacemos k = (y 2 x)=2y;
obtenemos 0 < k < y y, además, para t y k; se cumple que
y2
t2
y2
(y
k)2 < 2ky = y 2
x:
De modo que x < t2 y, por lo tanto, t 2
= S: Se sigue entonces que y k < y es
una cota superior de S; lo cual contradice la de…nición de y = sup S: Como
las desigualdades y 2 < x y y 2 > x generan contradicciones, solo nos queda
la posibilidad y 2 = x: Lo cual termina la demostración.
Nota 6.4.2 Mediante una prueba similar a la anterior es posible mostrar
que, dado un x 2 R+ ; existe un único y 2 R+ que satisface y n = x: Dicho
p
número se denomina la raíz n-ésima de x; lo cual se escribe como y = n x:
Teorema 6.4.3 El conjunto R; junto con su estructura de campo, satisface
la Propiedad Arquimediana. Esto es, dados x 2 R+ , y 2 R, existe un n 2 Z+
tal que nx > y:
Prueba. Razonemos por el absurdo y supongamos que existen x 2 R+ y
y 2 R tales que, para todo m 2 Z+ ; se cumple mx y: Se sigue entonces
que y es una cota superior del conjunto no vacío
S = fmx : m 2 Z+ g:
Sea = sup S: Entonces, para todo m 2 Z+ ; se cumple que (m + 1)x 2 S y,
por lo tanto, (m + 1)x
: Esto es, mx
x; para todo m 2 Z+ : Pero
esto signi…ca que
x < es una cota superior de S; lo cual es imposible.
Esta contradicción prueba el teorema.
Corolario 6.4.4 El conjunto N no está acotado superiormente.
Corolario 6.4.5 Para todo x 2 R existe un n 2 Z; tal que n x < n + 1:
Dicho entero n se denomina la parte entera de x y se denota como bxc :
Prueba. Sea x 2 R y consideremos dos casos:
182
CAPÍTULO 6. CONSTRUCCIÓN DE LOS NÚMEROS REALES
Caso I, x 0: Por el Principio del Buen Orden y el corolario anterior,
existe el entero mínimo m 2 N; tal que x < m: Claramente, m 1 2 N; de
modo que si hacemos n = m 1; obtenemos que
n=m
1
x < m = n + 1:
Caso II, x < 0: Primero, notamos que x > 0; de modo que, como en el
Caso I, existe el entero mínimo p 2 N; tal que x p: Nuevamente, es claro
que p 1 2 N (pues p > 0), de modo que p 1 < x p y, por lo tanto, si
hacemos n = p; obtenemos
n=
p
x<
p + 1 = n + 1:
Teorema 6.4.6 El conjunto Q de los números racionales es denso en R;
esto es, dados x; y 2 R; con x < y; existe un r 2 Q tal que
x < r < y:
Prueba. Claramente, y x 2 R+ , de modo que, por la propiedad Arquimediana, existe un n 2 Z+ tal que n(y x) > 1: Ahora, sea m = bnxc y
notemos que m nx < m + 1: De modo que se tiene
nx < m + 1 < ny:
Lo cual implica que
x<r=
m+1
< y:
n
De…nición 6.4.7 Dada una sucesión (xn ) de números reales y un x 2 R;
decimos que dicha sucesión converge a x; lo cual escribimos como l m xn = x
( o también xn ! x); si para todo " 2 R+ existe un N 2 Z+ ; tal que
(8n
N )(jxn
xj < "):
Una sucesión (xn ) se dice que es convergente si l m xn = x; para algún
x 2 R; en caso contrario se dice que la sucesión es divergente.
Lema 6.4.8 Toda sucesión de números reales (xn ) converge, a lo mas, a un
límite. Esto es, si l m xn = x y l m xn = y; entonces x = y:
6.4. PROPIEDADES ADICIONALES DE R
183
Prueba. Sea " 2 R+ ; arbitrario. Entonces, como l m xn = x; tenemos que
existe un N1 2 Z+ tal que
(8n
N1 )(jxn
xj < "):
(1)
yj < "):
(2)
Similarmente, existe un N2 2 Z+ tal que
(8n
N2 )(jxn
Si hacemos N = maxfN1 ; N2 g; entonces se sigue de (1) y (2) que
jxN
xj < "
y
jxN
yj < ":
y)j
jxN
xj + jxN
Lo cual implica
jx
yj = j(x
xN ) + (xN
yj < 2":
Pero " 2 R+ es arbitrario, de modo que jx yj = 0; pues en caso contrario
tendríamos
0 < jx yj < 2(jx yj =2) = jx yj :
Lo cual es imposible.
De…nición 6.4.9 Dada una sucesión (xn ) de números reales, decimos que
dicha sucesión es de Cauchy si, para todo " 2 R+ ; existe un N 2 Z+ tal
que
(8n; m N )(jxm xn j < "):
Lema 6.4.10 Toda sucesión de Cauchy (xn ) es acotada, esto es, existe un
M 2 R+ tal que
(8n 2 N)(jxn j < M ):
Prueba. Como (xn ) es una sucesión de Cauchy, existe un N 2 Z+ tal que
(8n; m
N )(jxm
xn j < 1);
lo cual implica que
(8m
y por lo tanto (8m
N )(jxm
xN j < 1)
N ) se cumple
jxm j = j(xm
xN ) + xN j
jxm
xN j + jxN j < 1 + jxN j :
(1)
Si ahora de…nimos
M = maxfjx0 j ; jx1 j ; ::::: jxN jg + 1;
(2)
184
CAPÍTULO 6. CONSTRUCCIÓN DE LOS NÚMEROS REALES
se sigue fácilmente de (1) y (2) que
(8n 2 N)(jxn j < M ):
Teorema 6.4.11 Sea (xn ) una sucesión de números reales. Entonces (xn )
es convergente si y sólo si es una sucesión de Cauchy.
Prueba. Mostremos primero que si (xn ) converge a un x 2 R; la sucesión
es de Cauchy. Sea " 2 R+ arbitrario y escojamos un N 2 Z+ tal que
8n
N )(jxn
xj < "=2:
Se sigue entonces que para todo m; n
jxm
N
xn j = j(xm
jxm
x) + (x
xj + jxn
xn j
xj
< "=2 + "=2 = ":
Lo cual muestra que la sucesión (xn ) es de Cauchy.
Para probar la otra dirección, supongamos que la sucesión (xn ) es de
Cauchy y mostremos que dicha sucesión converge. Primero notemos que,
por el lema 6.4.10, existe un M 2 R+ tal que
(8n 2 N)(jxn j < M ):
De modo que la sucesión (yn ) dada por
yn = supfxm : m
ng;
para n
0;
(1)
está bien de…nida y además satisface jyn j
M y yn+1
yn ; para todo
n
0: Se sigue entonces, por la completez de R; que existe un x 2 R tal
que x = nffyn : n 0g: Mostraremos que l m xn = x: Fijemos entonces un
" 2 R+ : Como (xn ) es de Cauchy, existe un N1 2 Z+ que satisface
8m; n
N1 )(jxm
xn j < "=4):
De otro lado, como yn+1 yn para todo n
x que existe un N2 N1 tal que
0
(yN2
(2)
0; se sigue de la de…nición de
x) < "=4:
(3)
6.4. PROPIEDADES ADICIONALES DE R
Pero entonces, como x
N2 N1 tal que
185
"=4 < x < yN2 ; se sigue de (1) que existe un N
x
"=4 < xN
y N2 :
(4)
De modo que, por (3) y (4); tenemos
"=2 < x
Por lo tanto, si n
jxn
y N2
"=4 < xN
y N2
0:
(5)
N , se cumple que
xj =
(xn
jxn
xN ) + (xN
xN j + xN
< "=4 + xN
yN2 ) + (yN2
y N2 + y N2
y N2 + y N2
< "=4 + "=2 + yN2
x
x)
x
(por (2))
x
(por (5))
< "=4 + "=2 + "=4 = ":
(por (3))
Lo cual signi…ca que l m xn = x:
De…nición 6.4.12 Sean a; b 2 R; con a b: Entonces el conjunto [a; b] =
fx 2 R : a
x
bg se denomina el intervalo cerrado determinado por a y b: Similarmente, si a < b; de…nimos el intervalo abierto
(a; b) = fx 2 R : a < x < bg: Los intervalos semiabiertos [a; b); (a; b]
se de…nen de manera similar, por ejemplo, [a; b) = fx 2 R : a
x < bg:
Los intervalos anteriores se denominan intervalos acotados. Ahora, si I
denota cualquiera de estos cuatro intervalos, entonces su longitud se de…ne
como jIj = b a: Los intervalos no acotados son aquellos de la forma
[a; +1); (a; +1); ( 1; a]; ( 1; a); donde, por ejemplo, [a; +1) = fx 2 R :
a xg:
Teorema 6.4.13 Teorema de los Intevalos Encajados. Sea fIn gn2N
una sucesión decreciente de intervalos
cerrados y acotados, esto es, In
T
In+1 ; para todo n 2 N: Entonces In 6= ;.
Prueba. Supongamos que In = [an ; bn ]; para n 2 N y consideremos la
sucesión fan gn2N [a0 ; b0 ]: Por la completez de R; existe a = supfan : n
0g: Mostremos que
\
a2
In :
(F)
186
CAPÍTULO 6. CONSTRUCCIÓN DE LOS NÚMEROS REALES
Primero, notamos que an
a; para todo n 2 N: Ahora, supongamos que
bn < a; para algún n 2 N: Entonces, por la de…nición de a; existe un m 2 N
tal que
bn < am a:
Lo cual implica que bn+m
bn < am
an+m : Pero esto contradice el
hecho de que In+m = [an+m ; bn+m ] es un intervalo. Concluimos entonces
que an a bn ; para todo n 2 N: Esto es, se satisface (F):
Teorema 6.4.14 Sea b 2 un entero y x un número real no negativo. Entonces x determina una única sucesión ha; d1 ; d2; d3 ;
; dn ; i de enteros
que satisface :
(i) a = bxc ; la parte entera de x;
(ii) 0
dn < b; para todo n;
(iii) la sucesión de…nida inductivamente como
y0 = a;
yn+1 = yn + dn+1 =bn+1
es de Cauchy y además satisface l m yn = x:
Prueba. Hagamos a = bxc : Entonces, como x = bxc + (x
(x bxc) < 1; se tiene que
bx = ba + x1
bxc); con 0
para algún real x1 con 0 x1 < b y hacemos d1 = bx1 c :En forma similar,
existe un real x2 que satisface la ecuación
bx1 = bd1 + x2
y además, 0 x2 < b; de modo que hacemos d2 = bx2 c :
En el caso general, si tenemos los números a; x1 ; x2 ;
; xn 1 ; con 0
xn 1 < b y dn 1 = bxn 1 c ; entonces de…nimos xn por la igualdad
bxn = bdn
donde 0
1
+ xn ;
xn < b y hacemos dn = bxn c : Se sigue entonces que
x=a+
d1 d2
+ 2 +
b
b
+
dn xn+1
+ n+1 ;
bn
b
6.4. PROPIEDADES ADICIONALES DE R
donde 0
187
xn+1 < b: Pero esto implica que
0
x
a+
d1 d2
+ 2 +
b
b
+
dn
bn
<
1
:
bn
(1)
Ahora, utilizando inducción matemática y la condición (iii); se puede ver
fácilmente que
dn
d1 d2
+ n;
(2)
yn = a +
+ 2 +
b
b
b
de modo que (1) se puede escribir como
0
x
yn < b
n
;
o equivalentemente 0 jx yn j < b n ; lo cual implica que l m yn = x:
En cuanto a la unicidad, sea a0 ; d01 ; d02; d03 ;
; d0n ;
otra sucesión de
enteros que satisface las condiciones (i)-(iii); entonces, por (i); se tiene que
a0 = bxc = a: De otro lado, como lo habíamos mencionado antes, la condición
(iii) implica que
yn = a +
d01 d02
+ 2 +
b
b
+
d0n
para todo n
bn
1;
(3)
de modo que, comparando (2) y (3); se sigue, por inducción, que
d0n = dn para todo n
1;
lo cual implica la unicidad de la sucesión ha; d1 ; d2; d3 ;
; dn ;
i:
Teorema 6.4.15 Sea b 2 un entero y supongamos que ha; d1 ; d2; d3 ;
; dn ;
es una sucesión de enteros que satisface 0 dn < b; para todo n 1: Entonces existe un único real x 0; tal que la sucesión de…nida como
y0 = a
yn+1 = yn + dn+1 =bn+1 ;
es de Cauchy y satisface l m yn = x:
Prueba. De la de…nición de la sucesión (yn ), se sigue fácilmente, por inducción, que para todo n 1;
yn = a +
d1 d2
+ 2 +
b
b
+
dn
:
bn
i
188
CAPÍTULO 6. CONSTRUCCIÓN DE LOS NÚMEROS REALES
Lo cual implica que, para m > n
jym
yn j =
1; se cumple
dm
dn+1 dn+2
+ n+2 +
+ m
bn+1
b
b
1
1
1
+ n+1 +
+ m 1
n
b
b
b
m
:
bm
Pero l m m=bm = 0 (ver ejercicio 12), de modo que la sucesión (yn ) es de
Cauchy y, por el teorema 6.4.11, concluimos que l m yn = x; para algún
x 2 R: La unicidad de x se sigue del lema 6.4.8.
Nota 6.4.16 Los dos teoremas anteriores muestran que, para un entero
b 2; …jo, todo número real x se puede representar como una sucesión de
enteros, lo cual se escribe usualmente como
x = (a; d1 d2 d3
)b :
En el caso mas familiar de b = 10; obtenemos la acostumbrada representación "decimal"de x: En este último caso, los números reales de la forma
x = j=10k ; donde j; k 2 Z+ ; tienen dos representaciones y la que corresponde a los teoremas anteriores es aquella en la que solo aparecen ceros a partir
de cierto punto en la sucesión.
Ejercicios
1. Suponga que S
Z es diferente de ;: Entonces pruebe lo siguiente:
(a) Si S está acotado inferiormente, entonces S tiene elemento mínimo.
(b) Si S está acotado superiormente, entonces S tiene elemento máximo.
2. Sean a1 ; a2 ; a3 ;
; an números reales. Muestre que si se suman dichos
números introduciendo paréntesis en forma arbitraria, pero preservando el orden, el resultado no cambia. Este valor común de dicha suma
se escribe usualmente como
a1 + a2 +
+ an :
3. Repita el ejercicio anterior con el producto, en vez de la suma.
6.4. PROPIEDADES ADICIONALES DE R
189
4. Sean a1 ; a2 ; a3 ;
; an ;
números reales. Para representar la suma
a1 + a2 +
+ an usualmente se utiliza el símbolo
n
X
ai
i=1
que se de…ne por inducción como sigue:
1
X
ai = a1
i=1
y, suponiendo que ya se conoce
n
P
ai , hacemos
i=1
n+1
X
ai =
i=1
n
X
ai + an+1 :
i=1
Justi…que la de…nición anterior.
5. Repita el ejercicio anterior con el producto en vez de la suma.
6. Se sabe que los números e
2;71828182::: y
3;14159:::son irracionales, pero se desconoce si
e o + e es irracional. Muestre, sin
embargo, que alguno de los dos debe ser irracional.
7. Sean a; b; c; d números racionales y x un número irracional, tales que
cx + d 6= 0: Probar que
ax + b
cx + d
es irracional si y sólo si ad 6= bc:
8. Muestre que no existe un racional cuyo cuadrado sea 12:
9. Sea n un entero positivo que no es un cuadrado perfecto. Muestre que
p
n es un número irracional.
(i) Sean x; y 2 R: Muestre que 2xy
x2 + y 2 y 4xy
(x + y)2 .
Además, pruebe que una condición necesaria y su…ciente para la
igualdad es x = y:
(ii) Si a; b 2 R+ y (a + b) = 1; muestre que
a+1
a
2
+
b+1
b
2
Hallar las condiciones para la igualdad.
25
:
2
190
CAPÍTULO 6. CONSTRUCCIÓN DE LOS NÚMEROS REALES
10. Mostrar que para todo n 2 Z+ se cumple
1 3 5
2 4 6
2n 1
2n
p
1
:
3n + 1
Además, pruebe que se da la igualdad si y sólo si n = 1:
11. Sea n 2 Z+ y x 2 R: Muestre que:
(i) Si
1 < x < 0 entonces (1 + x)n
(ii) Si x > 0 entonces (1 + x)n
1 + nx + (n(n
1 + nx + (n(n
1)=2)x2 :
1)=2)x2 :
(iii) Use (ii) para mostrar que, si b > 1; entonces, l m n=bn = 0:
(Sugerencia: Escriba b = (1 + a); con a > 0 y note que bn =
(1 + a)n n(n 1)a2 ).
12. Sea x0 x1
xn xn+1
una sucesión creciente y acotada
de números reales. Muestre que existe x 2 R, tal que l m xn = x:
Concluya que cualquier sucesión fxn gn2N
R; monótona y acotada,
es convergente.
13. Sea fIn gn2N una sucesión decreciente T
de intervalos cerrados y acotados, tal que l m jIn j = 0: Muestre que In = fag; para algún a 2 R:
14. Sean x; y 2 R tales que x < y y sea n 2 Z+ : Muestre que existe un
racional m=nk ; con m 2 Z y k 2 N; tal que
x<
m
< y:
nk
15. Sea n 2 N: De…namos el factorial de n; denotado n!; como
0! = 1;
(n + 1)! = n!:(n + 1)
y el coe…ciente binomial
n
k
n
k
como
=
n!
:
k!(n k)!
Muestre entonces que si n; k 2 Z+ y k
(i)
(ii)
n
n
n+1
k 1 + k =
k :
n
k es un entero positivo.
n; se cumple que:
6.5. PROPIEDADES ADICIONALES DE Z:
191
16. Sean a; b 2 R: Muestre que, para todo n 2 Z+ ; se tiene que
n
(a + b) =
k=n
X
n n
a
k
k=0
k k
b :
17. Sea q 2 Q: Construya una sucesión (xn ) de números irracionales tal
que, l m xn = q:
18. Muestre que cualquier disco (o rectángulo ) en el plano tiene en su
interior un par de la forma (p; q) 2 Q2 :(Algunas veces, esto se describe
diciendo que el conjunto Q2 es denso en el plano).
19. De…na una biyección f : Q ! Q tal que f (x) < x3 ; para todo x 2 Q:
6.5.
Propiedades Adicionales de Z:
Ahora que tenemos a nuestra disposición los números reales, podemos
desarrollar algunas propiedades adicionales de los enteros. El propósito es
bosquejar las nociones elementales de la denominada teoría de la divisibiliad,
con el …n de probar algunos resultados básicos de la teoría de los números.
Empezamos con un resultado que se remonta a los griegos.
Teorema 6.5.1 (Algoritmo de la División) Sean a; b números enteros,
con b > 0; entonces existen enteros únicos c y d que satisfacen las propiedades
a = bc + r
y
0
r < b:
(1)
Prueba. Empecemos por de…nir el conjunto S = fa bx : x 2 Zg y notemos
que, si x 2 Z satisface x
a=b; entonces a bx
0: De modo que S
contiene elementos de N: Por el principio de Buen Orden, podemos de…nir
r = m n S \ N, con c = (a r)=b 2 Z; de modo que obtemos
a = bc + r:
De otro lado, de la de…nición de r y c, es claro que
r
b = (a
bc)
b=a
b(c + 1) < 0:
Luego se satisface (1): Ahora, para mostrar la unicidad, supongamos que c0
y r0 satisfacen
a = bc0 + r0
y
0 r0 < b:
(2)
192
CAPÍTULO 6. CONSTRUCCIÓN DE LOS NÚMEROS REALES
Entonces, restando las ecuaciones en (1) y (2); obtenemos
b(c
c0 ) = (r
r0 );
con
0
r; r0 < b:
Lo cual implica que
b c
De donde se sigue que c
c0 = r
r0 < b:
c0 = 0; esto es, c = c0 y, por lo tanto, r = r0 :
Corolario 6.5.2 Todo entero a es par o impar, pero no ambos a la vez.
Prueba. Apliquemos el Algoritmo de la División con b = 2: Entonces existen
c; r 2 Z tales que
a = 2c + r; y 0 r < 2:
Si r = 0; tenemos que a = 2c y, por lo tanto, a es par. En caso contrario,
r = 1 y obtenemos a = 2c + 1; luego a es impar. Por último la unicidad
de los enteros c y r; garantiza que no se pueden dar las dos posibilidades
simultáneamente. Esto es, a no puede ser par e impar a la vez.
De…nición 6.5.3 Sean a; b enteros. Entonces decimos que a divide a b; lo
cual escribimos como ajb; si existe un c 2 Z tal que b = ac: En este caso,
decimos que a es un factor de b; o un divisor de b, o que b es un múltiplo
de a: Si a no divide a b; escribimos a - b:
Teorema 6.5.4 Sean a; b; c números enteros . Entonces se cumple lo siguiente:
(i) aj0; ( 1)ja; aj( a):
(ii) 0ja si, y sólo si, a = 0:
(iii) Si b > 0 y ajb; entonces b
a:
(iv) Si ajb y bjc; entonces ajc:
(v) Si ajb y bja; entonces a = b o a =
b:
(vi) Si ajb y ajc; entonces aj(bx + cy); para todo x; y 2 Z:
Prueba. Las propiedades se siguen fácilmente de la de…nición, de modo que
algunas quedan como ejercicio para el lector.
6.5. PROPIEDADES ADICIONALES DE Z:
193
(iii) Si b > 0 y ajb; existe un c 2 Z tal que b = ac: Pero entonces a y c
tienen el mismo signo. De modo que, si a 2 Z+ ;tenemos que c 2 Z+ y,
por lo tanto b = ac a: De otro lado, si a < 0; es obvio que b > a:
(v) Supongamos que ajb y bja: En primer lugar, si a = 0 o b = 0; el resultado
se sigue de (ii): De modo que podemos suponer que a y b son diferentes
de 0: En ese caso, sabemos que
b = ac
y
a = bd;
para ciertos enteros c y d: Lo cual implica que
a = bd = (ac)d = a(cd)
y cancelando el factor a; obtenemos cd = 1: Pero esto signi…ca que
c = 1 o c = 1 y se sigue el resultado.
(vi) Supongamos que ajb y ajc y sean x; y enteros. Entonces
b = ad
y
c = ae;
para ciertos enteros d y e: Pero entonces se sigue que
bx + cy = (ad)x + (ae)y = a[dx + ey]
y por lo tanto aj(bx + cy):
Teorema 6.5.5 Sean a; b enteros, no ambos iguales a cero. Entonces existe
un único d 2 Z+ ; que satisface las condiciones siguientes.
(i) dja; djb:
(ii) Si c 2 Z y cja y cjb; entonces cjd:
El entero d se denomina el Máximo Común Divisor de a y b y se denota
por M CD(a; b) o, simplemente, (a; b):
Prueba. Consideremos el conjunto S = fax + by : x; y 2 Zg: Primero
notemos que siempre es posible escoger x; y 2 Z tales que ax + by 2 Z+ : Por
ejemplo, si a 2 Z+ ; basta tomar x = a y y = 0 y, si a 2 Z , hacemos x = a
y y = 0: Similarmente con b: De modo que S \ Z+ 6= ; y, por el Principio
del Buen Orden, podemos hacer d = m n S \ Z+ : Claramente d 2 Z+ y,
194
CAPÍTULO 6. CONSTRUCCIÓN DE LOS NÚMEROS REALES
además, como d 2 S; podemos escribir d = ax + by; con x; y 2 Z: Pero
esto implica que si cja y cjb; entonces cj(ax + by); esto es, cjd; luego se sigue
(ii): Mostremos ahora que dja: Por el Algoritmo de la División, sabemos que
existen q; r 2 Z tales que
a = dq + r
y
0
r < d:
Entonces obtenemos
a = dq + r = (ax + by)q + r;
lo cual podemos reescribir como
r = a(1
qx) + b( qy) 2 S:
Pero como 0 r < d = m n S \ Z+ ; se sigue que r = 0; lo cual signi…ca que
dja: En forma similar se prueba que djb; luego tenemos (i):
Nota 6.5.6 Para completar la de…nición del M CD; se de…ne usualmente
el M CD(0; 0) como 0; esto es, (0; 0) = 0:
Corolario 6.5.7 Sean a; b enteros. Entonces, (a; b) = 1 si, y sólo si, existen
enteros x; y tales que 1 = ax + by:
Prueba. Si (a; b) = 1; entonces, de la demostración del teorema anterior, se
sigue que podemos escribir 1 = ax + by; con x; y 2 Z: En la otra dirección,
sea d = (a; b) y supongamos que 1 = ax + by; con x; y 2 Z: Entonces, como
dja y djb; se sigue que dj(ax + by); esto es dj1; luego d = 1:
Lema 6.5.8 (Euclides) Sean a; b; c enteros. Entonces, si ajbc y (a; b) = 1;
se sigue que ajc:
Prueba. Supongamos que ajbc y (a; b) = 1: Entonces, por el corolario,
podemos escribir 1 = ax + by; con x; y 2 Z: Luego, multiplicando por c;
obtenemos
c = (ac)x + (bc)y:
Pero entonces tenemos que ajac y ajbc: De modo que aj[(ac)x + (bc)y]: Esto
es, ajc:
De…nición 6.5.9 Un entero p
2 se denomina un número primo, o
simplemente un primo, si sus únicos divisores positivos son 1 y p: Un entero
a 2 se dice que es compuesto si no es un número primo. De otro lado,
decimos que los enteros a; b son coprimos, o primos relativos, si a y b
no tienen factores primos en comun, esto es, si (a; b) = 1:
6.5. PROPIEDADES ADICIONALES DE Z:
195
Nota 6.5.10 Notemos que si p; q son primos, entonces pjq si, y sólo si,
p = q:
Corolario 6.5.11 Sean p un primo y a1 ; a2 ;
pj(a1 a2
an enteros tales que
an ):
Entonces existe un k; con 1 k n, tal que pjak : En particular, si los ai
son números primos, entonces p = ak ; para algún k con 1 k n:
Prueba. Razonemos por inducción sobre n: Claramente, la a…rmación es
cierta para n = 1: Supongamos, entonces, que el enunciado es cierto para n y,
además, que pj(a1 a2
an an+1 ): Entonces tenemos que pj(a1 a2
an )an+1 :
Ahora, si pjan+1 ; no hay nada mas que probar. En caso contrario, tenemos
que (p; an+1 ) = 1 y entonces, por el lema anterior, obtenemos pj(a1 a2
an ):
Luego, por la hipótesis de inducción, se sigue que pjak para algún k; con
1 k
n. Se sigue entonces que la primera parte del enunciado es cierta
para todo n 2 Z+ : Por último, si los ai son primos y pj(a1 a2
an ), entonces
pjak para algún k; de modo que p = ak :
Ejemplo 6.5.12 A continuación mostraremos algunós hechos básicos que
ilustran algunos de los conceptos anteriores y que nos serán útiles mas adelante.
(i) Ningún entero n puede ser de la forma 6m+1 y 6l 1; simultáneamente.
Razonando por el absurdo, supongamos que podemos escribir
n = 6m + 1 = 6l
= 6(l
1
1) + 5;
para ciertos enteros m; l: Entonces notamos que esto contraadice la
unicidad del Algoritmo de la División ( pues al dividir n por 6; resultan
dos cocientes y dos correspondientes residuos). Concluimos entonces
que ningún n puede escribirse de ambas formas.
(ii) Todo primo p 5 es de la forma 6m + 1 o 6m + 5: O equivalentemente,
de la forma 6m+1 o 6l 1: Para veri…car esta a…rmación, basta aplicar
el Algoritmo de la división con a = p y b = 6: Entonces obtenemos que
existen c y r tales que
p = 6c + r
con
0
r < 6:
196
CAPÍTULO 6. CONSTRUCCIÓN DE LOS NÚMEROS REALES
Pero si consideramos, por separado, los casos r = 0; 1; 2; 3; 4; 5; notamos que las únicas opciones posibles son p = 6c + 1 y p = 6c + 5; pues
p es un número primo. En cuanto a la última a…rmación, notemos que
6m + 5 = 6(m + 1) 1:
Teorema 6.5.13 Todo entero n
2 es primo o producto de primos.
Prueba. Razonemos por el absurdo y, usando el Principio del Buen Orden,
sea n el mínimo entero 2 que no es primo ni producto de primos. Entonces,
por de…nición, n es un número compuesto. De modo que podemos escribir
n = ab; donde a y b son enteros que satisfacen
2
a; b < n:
Lo cual signi…ca, por la de…nición de n; que a y b; o son primos, o producto
de primos. Pero esto implica que n es producto de primos, lo cual es absurdo.
Teorema 6.5.14 Teorema Fundamental de la Aritmética.
Todo entero n 2 es primo, o se puede escribir como producto de primos
en forma única, excepto por el orden de los factores.
Prueba. Por el lema anterior, sabemos que n es primo o producto de primos.
Mostremos por inducción que dicha descomposición es única, excepto por
el orden de los factores. Para n = 2 la a…rmación es clara, de modo que
suponemos el enunciado cierto para todos los k; con 2 k < n: Supongamos
entonces que
n = p1 p2 : : : p s
(1)
= q1 q2 : : : q t :
(2)
Donde los pi y los qj son primos (no necesariamente distintos). Entonces es
claro que
p1 j(q1 q2 : : : qt );
de modo que, por el corolario 6.5.11, obtenemos que p1 = qj , para algún
j; con 1 j
n: Ahora, reescribiendo q1 q2 : : : qt ; si es necesario, podemos
suponer que q1 = qj ; de modo que p1 = q1 : Por lo tanto, dividiendo por p1 ;
obtenemos
n=p1 = p2 : : : ps
(3)
= q2 : : : q t :
(4)
6.5. PROPIEDADES ADICIONALES DE Z:
197
Pero entonces, por la hipótesis de inducción, obtenemos que las representaciones en (3) y (4) son las mismas, excepto por el orden, de modo que algo
similar ocurre con (1) y (2): Por el Principio de Inducción (Completa), se
sigue el resultado.
En vista de lo anterior, si n 2 es un entero arbitrario, entonces podemos
escribir
(1)
pk k ;
n = p1 1 p 2 2
donde los pi son primos distintos y los i son enteros positivos. Si además
exigimos que se cumpla p1 < p2 <
< pk ; entonces la igualdad (1) se
denomina usualmente la descomposición canónica del entero n:
p
Ejemplo 6.5.15 Probemos p
que 2 es irracional, esto es, que no existen
enteros m; n 2 Z+ ; tales que 2 = m=n: Razonemos por el absurdo y supongamos que se cumple tal igualdad. Entonces, elevando al cuadrado, obtenemos
2n2 = m2 :
(1)
Claramente, m = 1 es imposible y, por el teorama anterior, tampoco puede
darse n = 1: De modo que, sustituyendo las representaciones canónicas de
m y n en (1); obtenemos
2p21 1 p22
2
p2k
k
2
2
= q1 1 q2
2
2
ql l :
(2)
Pero entonces, es claro que el factor 2 aparece un número impar de veces
en el lado izquierdo de (2); mientras que, en el extremo derecho, aparece un
número par de veces. Esto contradice
p el teorema anterior y concluimos que
la igualdad (1) es imposible. Luego 2 es irracional.
Ejemplo 6.5.16 Notemos que si remplazamos 2 por 3 en el ejemplo
p anterior, entonces, exactamente con la misma prueba, mostramos que 3 es
irracional. De hecho, podríamos repetir el mismo argumento, solo cambianp
do 2 por un primo cualquiera p; y concluir que p es irracional. En realidad, usamos básicamente el mismo método, para probar que, si a 2 Z+
p
no es un cuadrado, entonces a es un número irracional. Supongamos que
p
a = m=n, con m; n 2 Z+ : Entonces resulta la igualdad
an2 = m2 :
Como en los otros casos, no se puede dar n = 1 o m = 1: Entonces, sustituyendo las representaciones canónicas de los enteros a; b; c; obtenemos
r1 1 r2 2
rl l p21 1 p22
2
p2k
k
2
2
= q1 1 q2
2
2
ql l :
(1)
198
CAPÍTULO 6. CONSTRUCCIÓN DE LOS NÚMEROS REALES
Pero, entonces, por el teorema 6.5.14, sabemos que los primos ri aparecen
en ambos extremos de (1) el mismo número de veces. Sin embargo, en el
extremo izquierdo, aparecen un número impar de veces, mientras que en el
derecho, el número de ocurrencias es par. Esto es imposible, de modo que se
sigue la a…rmación.
Teorema 6.5.17 (Euclides) Existen in…nitos primos. O en forma mas
precisa, dada una lista p1 ; p2 ;
; pn de primos, existe un primo q tal que
q2
= fp1 ; p2 ;
Prueba. Dados los primos p1 ; p2 ;
; pn g:
; pn ; consideremos el entero
P = p1 p2
pn + 1:
Por el lema 6.5.13, existen divisores primos de P: Pero si q es un primo tal que
qjP; se sigue que q 2
= fp1 ; p2 ;
; pn g; pues, en caso contrario, tendríamos
que
qj[P (p1 p2
pn )];
esto es, qj1; lo cual es imposible.
Ejemplo 6.5.18 Imitemos la demostración del teorema anterior y probemos que existen in…nitos primos de la forma 6n + 5: Primero notamos que,
como
6n + 5 = 6(n + 1) 1;
basta probar que existen in…nitos primos de la forma 6m
claro que
1: Además, es
(6m + 1)(6l + 1) = 36ml + 6m + 6l + 1
= 6(6ml + m + l) + 1;
de modo que, el producto de primos de la forma 6m + 1; es un entero de
la misma forma. Con estos preliminares, supongamos que p1 ; p2 ;
; pn son
primos de la forma 6m 1 y sea
P = 6(p1 p2
pn )
1:
Entonces, P tiene al menos un factor primo q de la forma 6m 1; pues en
caso contrario, por el ejemplo 6.5.12, todos sus divisores serían de la forma
6l + 1 y entonces, P sería de la misma forma. Pero ningún entero puede
ser simultáneamente de la forma 6m 1 y 6l + 1 (de nuevo, por 6.5.12).
Supongamos entonces que q es primo y qjP: Entonces, q 2
= fp1 ; p2 ;
; pn g;
pues de otro modo, tenemos que qj[6(p1 p2
pn ) P ]: Esto es, qj1; lo cual
es imposible.
6.5. PROPIEDADES ADICIONALES DE Z:
199
Ejercicios
1. Sean a; b; enteros y sea d = (a; b): Muestre que (a=d; b=d) = 1:
2. Muestre que d = (a; b) si, y sólo si, d es un divisor común de a y b y
además, c d; para todo divisor común c; de a y b:
3. Sean a; b; c; enteros tales que (a; b) = 1 y (a; c) = 1; entonces (a; bc) =
1:
4. Muestre que si ajc; bjc y (a; b) = 1; entonces abjc:
5. Muestre que todo cuadrado perfecto es de la forma 4k o 4k + 1; para
algún entero k:
6. Probar que si a y b son impares entonces a2 + b2 no es un cuadrado
perfecto. (Sugerencia: Use el ejercicio anterior y el Algoritmo de la
División).
7. Sea S = 1 + 1=2 +
+ 1=n: Muestre que S no puede ser un entero.
(Sugerencia: Sea k el mayor entero tal que 2k n y sea P el producto
de los números impares n: Ahora, considere 2k 1 P S:).
p
8. Muestre que 3 4 no es un número racional.
9. Sean a; b; c 2 Z+ ; tales que a y b son coprimos y ademas, ab = cn ; para
algún n 2 Z+ : Muestre que existen e; f 2 Z+ ; tales que
a = en
b = f n:
y
10. Suponga que (a; b) = 1: Muestre que (am ; bn ) = 1; para todo n; m 2
Z+ :
11. Pruebe las siguientes a…rmaciones, donde n 2 Z+ :
(i) Si n es impar, entonces 8j(n2
1):
(ii) Si n es impar y 3 - n; entonces 24j(n2
1):
(iii) 30j(n5 n): (Sugerencia: n5 n = n(n
5j(5k + 2)2 + 1 y 5j(5k + 3)2 + 1 ).
1)(n + 1)(n2 + 1) y
12. Suponga que 2n +1 es un número primo. Muestre que n es una potencia
de 2: (Sugerencia: Si k es impar entonces (a + 1)j(ak + 1)).
200
CAPÍTULO 6. CONSTRUCCIÓN DE LOS NÚMEROS REALES
13. Muestre que todo entero de la forma 4k + 3 tiene un factor primo de
la misma forma.
14. Muestre que existen in…nitos primos de la forma 4k + 3:
15. Muestre que 3; 5 y 7 son los únicos primos que satisfacen que p; p + 2
y p + 4 sean todos primos.
6.6.
Los Números Complejos
De…nición 6.6.1 El sistema de los números complejos consiste en el conjunto
C = R2 = f(a; b) : a; b 2 Rg;
junto con las operaciones de adición y multiplicación de…nidas como sigue:
(a; b) + (c; d) = (a + c; b + d)
(a; b) (c; d) = (ac
bd; ad + bc):
Además se distinguen dos elementos, 0C = (0; 0) y 1C = (1; 0):
Claramente las operaciones de adición y multiplicación están bien de…nidas.
Por otra parte, en forma estricta deberíamos escribir (a; b)+C (c; d) y (a; b) C
(c; d) para la suma y el producto de complejos, pero el contexto indica, por lo
general, el sentido de las operaciones y, aun mas, seguimos la práctica usual
de omitir el punto por completo y escribir (a; b)(c; d) cuando sea conveniente.
Teorema 6.6.2 La estructura hC; +; ; 0C ; 1C i forma un campo, donde los
elementos 0C y 1C son los elementos neutros para la suma y el producto,
respectivamente.
Prueba. Simplemente, usamos las propiedades de R para veri…car todos los
axiomas de campo, donde x = (a; b); y = (c; d) y z = (e; f ) son números
complejos arbitrarios.
(A1)
x + (y + z) = (a; b) + [(c; d) + (e; f )]
= (a; b) + (c + e; d + f ) = (a + (c + e); b + (d + f ))
= ((a + c) + e; (b + d) + f ) = (a + c; b + d) + (e; f )
= [(a; b) + (c; d)] + (e; f ) = (x + y) + z:
6.6. LOS NÚMEROS COMPLEJOS
201
(A2)
x + y = (a; b) + (c; d)
= (a + c; b + d) = (c + a; d + b)
= (c; d) + (a; b) = y + x:
(A3)
z + 0C = (e; f ) + (0; 0)
= (e + 0; f + 0) = (e; f ) = z:
(A4) Si hacemos
z
( e; f ); entonces tenemos que
z + ( z) = (e; f ) + ( e; f )
= (0; 0) = 0C :
(M1)
x(yz) = (a; b)[(c; d)(e; f )]
= (a; b)(ce
= (ace
= (ac
df; cf + de)
bde
adf
bcf; acf
bdf + ade + bcd)
bd; ad + bc)(e; f ) = (xy)z:
(M2)
xy = (a; b)(c; d)
= (ac
bd; ad + bc)
= (ca
db; da + cb) = yx:
(M3)
z;1C = (e; f )(1; 0)
= (e;1; f ;0) = (e; f ) = z:
(M4) Si z = (e; f ) 6= 0C = (0; 0); entonces al menos una de las componentes
e; f es distinta de 0: Luego tenemos que e2 + f 2 > 0 y, por lo tanto, el
par ordenado
f
e
; 2
)
z 1=( 2
2
e + f e + f2
202
CAPÍTULO 6. CONSTRUCCIÓN DE LOS NÚMEROS REALES
es un elemento de C: Se sigue entonces que
z:z
1
e
f
; 2
)
2
+ f e + f2
f2
ef
e2
+
; 2
= ( 2
2
2
2
e +f
e + f e + f2
= (1; 0) = 1C :
= (e; f )(
e2
e2
ef
)
+ f2
(D)
x(y + z) = (a; b)(c + e; d + f )
= (ac + ae
= (ac
bd
bf; ad + af + bc + be)
bd; ad + bc) + (ae
bf; af + be)
= xy + xz:
Observemos que la función E : R ! C; de…nida como E(a) = (a; 0)
es un embebimiento, esto es, es una función inyectiva que satisface las
condiciones
(i) E(a + b) = E(a) + E(b)
(ii) E(a:b) = E(a):E(b)
(iii) E(0) = 0C y E(1) = 1C :
Lo que esto sugiere es que C contiene una “copia de R”; a saber, el conjunto E[R]; el cual, junto con las operaciones de adición y multiplicación
cumple las mismas propiedades de R: Esto sugiere que podemos "identi…carün número real a con el correspondiente número complejo (a; 0) y es, en
este sentido, que podemos considerar a R como subconjunto de C:
Teorema 6.6.3 Si hacemos i = (0; 1); entonces se cumple que i2 =
además, si z = (a; b) es un número complejo arbitrario se tiene que
1 y,
z = (a; b) = a + bi:
Donde estamos usando la identi…cación mencionada anteriormente, esto es,
a (a; 0) y b (b; 0):
6.6. LOS NÚMEROS COMPLEJOS
203
Prueba. Un simple cálculo muestra que
i2 = (0; 1)(0; 1) = ( 1; 0)
1:
Además
z = (a; b) = (a; 0) + (b; 0)
= (a; 0) + (b; 0)(0; 1)
= a + bi:
De…nición 6.6.4 Si z = a + bi es un número complejo, entonces z = a bi
se denomina el conjugado de z y los números a y b se denominan la parte
real y la parte imaginaria de z; respectivamente, lo cual escribimos como
a = Re(z) y b = Im(z): De otro lado, el módulo de z ( o el valor absoluto
de z) se de…ne como jzj = (zz)1=2 :
Teorema 6.6.5 Sean z = a + bi y w = c + di números complejos, entonces
se cumple que
(i) z + w = z + w:
(ii) zw = z:w
(iii) z + z = 2 Re(z) y z
z = 2i Im(z):
(iv) z:z es un número real positivo , excepto cuando z = 0:
Prueba.
(i) Notemos que
z + w = (a + c) + (b + d)i
= (a + c)
= (a
(b + d)i
bi) + (c
di)
= z + w:
(ii)
zw = (a + bi)(c + di)
= (ac
bd)
(ad + bc)i
= (a
bi)(c
di) = zw
204
CAPÍTULO 6. CONSTRUCCIÓN DE LOS NÚMEROS REALES
(iii) Simplemente notemos que
z + z = (a + bi) + (a
bi)
= 2a = 2 Re(z)
y, similarmente
z
z = (a + bi)
(a
bi)
= 2bi = 2i Im(z):
(iv) Basta notar que z:z = (a + bi)(a
bi) = a2 + b2 :
Teorema 6.6.6 Sean z = a + bi y w = c + di números complejos. Entonces
se cumple que
(i) jzj = jzj :
(ii) jzwj = jzj jwj :
(iii) jRe(z)j
jzj :
(iv) jz + wj
jzj + jwj (Desigualdad Triangular).
Prueba.
(i)
jzj = ja + bij = (a2 + b2 )1=2
= ja
bij = jzj :
(ii) Notemos que, por el teorema anterior,
jzwj2 = (zw)(zw) = (zw)(zw)
= (zz)(ww) = jzj2 jwj2 :
De modo que, tomando raiz cuadrada a ambos lados de dicha igualdad,
obtenemos jzwj = jzj jwj :
6.6. LOS NÚMEROS COMPLEJOS
(iii) Claramente, a2
205
(a2 + b2 ) = jzj2 : De modo que
q
p
2
jRe(z)j = jaj = a
jzj2 = jzj :
(iv) Notemos primero que zw es el conjugado de zw; de modo que zw+zw =
2 Re(zw): De donde se sigue que
jz + wj2 = (z + w)(z + w) = zz + zw + zw + ww
= jzj2 + 2 Re(zw) + jwj2
jzj2 + 2 jzwj + jwj2
= jzj2 + 2 jzj jwj + jwj2 = (jzj + jwj)2 :
De modo que, tomando raíz cuadrada a ambos lados, obtenemos la
desigualdad pedida.
Ejercicios
1. Sea z 2 C: Muestre que existen r 0 y w 2 C; con jwj = 1;tales que
z = rw: Pruebe también que si z 6= 0; entonces r y w son únicos.
2. Sean z; w 2 C: Muestre que jz + wj = jzj + jwj si y sólo si z = 0 o
w=z 0:
3. Sean z1 ; z2 ; z3 ;
; zn números complejos. Muestre entonces que
jz1 + z2 + z3 +
+ zn j
jz1 j + jz2 j + jz3 j +
+ jzn j
y que, además, si los zj 6= 0 para j = 1; 2;
; n; entonces se cumple
la igualdad si y sólo si todos los zj pertenecen al conjunto
fz 2 C : z = tz1 con t
4. Sean w; z números complejos tales que 1
z
1
w
< 1 si y sólo si
zw
0g:
zw 6= 0: Muestre que
jzj ; jwj < 1 o jzj ; jwj > 1:
5. Sea n un entero positivo. Simpli…car la expresión (1 + i)n : (Sugerencia:
note que (1 + i)2 = 2i; (1 + i)3 = 2(1 i) y (1 + i)4 = 22 :)
206
CAPÍTULO 6. CONSTRUCCIÓN DE LOS NÚMEROS REALES
6. Sean z = a + bi y w = c + di números complejos tales que
a=
jwj + c
2
1=2
y
jwj c
2
b=
1=2
:
Muestre que si d
0 entonces z 2 = w y, en caso contrario, (z)2 =
w: Concluya que todo complejo z 6= 0; tiene exactamente dos raices
cuadradas.
7. Sean z; w 2 C: Muestre que
jjzj
jwjj
jz
wj :
Cuándo se da la igualdad ?
8. Suponga que z; w 2 C: Muestre que
jz + wj2 + jz
wj2 = 2 jzj2 + 2 jwj2
e interprete la igualdad geométricamente.
9. Sean z; w números complejos tales que Re(zw) = 0: Muestre que
jz
wj2 = jzj2 + jwj2 :
Interprete la igualdad geométricamente.
10. Sean v; w; z números complejos tales que jvj = jwj = jzj y v+w+z = 0:
Entonces muestre que
jv
wj = jw
zj = jv
zj
e interprete el resultado geométricamente. (sugerencia: note que jzj2 =
zz = (v + w)(v + w) implica vw + wv = jzj2 ).
Capítulo 7
Conjuntos Finitos e In…nitos
Introducción
dfjdkj
7.1.
Equipotencia
De…nición 7.1.1 Dados dos conjuntos A y B; decimos que A es equipotente a B (o que A tiene la misma cardinalidad que B), lo cual escribimos
como A B (o también Card(A) = Card(B) ), si existe una biyección f
de A en B: En este sentido, la biyección f se denomina correspondencia
uno-a-uno, o correspondencia biunívoca, entre A y B:
Teorema 7.1.2 Sean A; B; C conjuntos arbitrarios, entonces se cumple que
(i) A
A;
(ii) Si A
(iii) Si A
B entonces B
B yB
De modo que
de conjuntos.
A;
C entonces A
C:
de…ne una relación de equivalencia en cualquier familia
Prueba.
(i) Si A = ; entonces, claramente, la función f = ; es la biyección buscada.
De otro lado, si A 6= ;; entonces la función identidad iA : A ! A es
obviamente una biyección de A en A:
207
208
CAPÍTULO 7. CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS
(ii) Si f : A ! B es una función biyectiva entonces f
es una biyección, de modo que A B implica B
1
: B ! A también
A:
(iii) Supongamos que h : A ! B y g : B ! C son funciones biyectivas.
Entonces es claro que g h : A ! C es otra biyección, de modo que
A C:
Ejemplo 7.1.3 Los conjuntos N N y N son equipontentes. Una manera
de mostrar esto es mediante la función f : N N ! N de…nida como
f (m; n) = 2m (2n + 1)
1:
Lo primero que notamos es que la función f está bien de…nida, pues para
todo m; n 2 N se tiene que 2m (2n+1) 1: De otro lado, si f (m; n) = f (p; q);
entonces se sigue que
2m (2n + 1) = 2p (2q + 1);
de modo que, multiplicando la ecuación por 2
2n + 1 = 2p
m
m;
obtenemos
(2q + 1):
Pero 2n + 1 es claramente impar, de modo que p m = 0 y 2n + 1 = 2q + 1;
lo cual implica p = m y q = n: Luego f es inyectiva. De otro lado, dado
p 2 N; sea 2m la mayor potencia de 2 que divide a p + 1 (si p + 1 es impar
hacemos m = 0), entonces (p + 1)=2m es impar y por lo tanto de la forma
(2n + 1); de modo que p está en ran(f ) y concluimos que f es sobreyectiva.
Ejemplo 7.1.4 Dado un conjunto cualquiera A; mostraremos que P (A)
F(A; f0; 1g): Con tal propósito, de…niremos una función G de P (A) en
F(A; f0; 1g) como sigue: Dado un subconjunto B de A; de…nimos G(B) como
la función característica de B; esto es, G(B) = B ; donde
B (x)
=
1 si
x2B
0 si x 2 A n B:
Primero notamos que G : P (A) ! F(A; f0; 1g) es sobreyectiva, pues dada
una f 2 F(A; f0; 1g); se tiene que
f = G(fx 2 A : f (x) = 1g) = G(f
1
[f1g]):
7.1. EQUIPOTENCIA
209
De otro lado, si suponemos que G(B) = G(C); entonces,
tanto, para todo x 2 A; se tiene que
x 2 B si y sólo si
B (x)
= 1 si y sólo si
C (x)
B
=
C
y por lo
= 1 si y solo si x 2 C;
de modo que B = C y concluimos que G también es inyectiva.
De…nición 7.1.5 Decimos que un conjunto A tiene la potencia del continuo ( o la cardinalidad del continuo ) si A [0; 1]:
Ejemplo 7.1.6 Mostraremos que los intervalos [0; 1]; (0; 1); [0; 1); (0; 1] son
equipontentes entre sí y, por lo tanto, tienen la potencia del continuo.
Notemos primero que podemos escribir
[0; 1] = f0; 1; 1=2; 1=3; 1=4;
(0; 1) = f1=2; 1=3; 1=4;
g[A
(1)
g[A
(2)
donde
A = [0; 1] n f0; 1; 1=2; 1=3; 1=4;
g = (0; 1) n f1=2; 1=3; 1=4;
g:
(3)
Ahora, teniendo en cuenta (1), (2) y (3); de…nimos la función f : [0; 1] !
(0; 1) como sigue:
8
1=2
si
x=0
<
1=(n + 2) si x = 1=n; con n 2 Z+
f (x) =
:
x
si
x 2 A:
Es fácil ver que la función f es una biyección, de modo que [0; 1]
Ahora, notemos que podemos escribir
[0; 1) = f0; 1=2; 1=3; 1=4;
de modo que, como en el caso
(0; 1) ! [0; 1) como sigue:
8
0
<
1=(n + 1)
g(x) =
:
x
(0; 1):
g [ A;
anterior, podemos de…nir una biyección g :
si
si
si
x = 1=2
x = 1=(n + 2); con n 2 Z+
x 2 A:
lo cual implica que (0; 1)
[0; 1): Finalmente, notemos que la función h :
[0; 1) ! (0; 1] dada por h(x) = 1 x; es claramente una biyección, de modo
que [0; 1) (0; 1]: Hemos mostrado entonces que
[0; 1]
(0; 1)
[0; 1)
(0; 1]:
210
CAPÍTULO 7. CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS
Ejemplo 7.1.7 Supongamos que a < b; entonces cada uno de los intervalos
[a; b]; (a; b); [a; b); (a; b] tiene la potencia del continuo y, por consiguiente, son
equipotentes entre sí. Para veri…car esta a…rmación, consideremos la función
f : [0; 1] ! [a; b] de…nida como
f (x) = a + (b
a)x:
(1)
Claramente, esta función es biyectiva y por lo tanto, [0; 1] [a; b]: En forma
similar, podemos utilizar la misma ecuación (1) para de…nir biyecciones f :
(0; 1) ! (a; b); f : [0; 1) ! [a; b) y f : (0; 1] ! (a; b]: Pero entonces, de
acuerdo al ejemplo anterior, se tiene que
[a; b]
(a; b)
[a; b)
(a; b]
[0; 1]:
Teorema 7.1.8
(i) El conjunto N no es equipotente a R:
(ii) Ningún conjunto es equipotente a su conjunto potencia.
Prueba.
(i) Supongamos que existe una biyección f : N ! R y lleguemos a un
absurdo. De acuerdo al teorema 6.4.14 (ver también el comentario
6.4.16), podemos suponer que cada x 2 R tiene una representación
decimal. De modo que podemos imaginar ran(f ) = R como una lista
in…nita:
f (0) = a0 ; d01 d02 d03
f (1) = a1 ; d11 d12 d13
..
.
f (n) = an ; dn1 dn2 dn3
..
.
donde an es la parte entera de f (n) y los dni son los correspondientes
dígitos. A continuación construimos un número real y = (a; d1 d2 d3
)10
como sigue: byc = a = 0 y además, para todo i 0; hacemos
di+1 =
3 si dii+1 6= 3
4 si dii+1 = 3:
7.1. EQUIPOTENCIA
211
Claramente el número real y di…ere de f (n) en el (n+1)-esimo decimal,
por lo tanto y 6= f (n), para todo n 2 N; lo cual contradice el hecho
de que f es sobreyectiva. (El método de demostración utilizado se
denomina el método de la diagonal)
(ii) En este caso mostraremos que si A es un conjunto arbitrario y f : A !
P(A) es una función, entonces existe un B 2 P(A) tal que B 2
= ran(f ):
Consideremos el conjunto
B = fx 2 A : x 2
= f (x)g:
Claramente, B
A y, además, para cada x 2 A se cumple que
x 2 B si y sólo si x 2
= f (x);
de modo que B 6= f (x); esto es, B 2
= ran(f ):Obviamente, esto muestra
que no puede existir una biyección de A en P(A) y por lo tanto, A
P(A):
Ejercicios
1. Sean A; B; C conjuntos arbitrarios. Muestre que
A
(B
C)
(A
B)
C:
2. Sea fAi : i 2 Ig una familia de conjuntos. De…nir una familia de
conjuntos fBi : i 2 Ig tal que
para todo i 2 I; Bi
3. Sean A y B tales que A
Ai
y además, si i 6= j; Bi \ Bj = ;:
B: Muestre que P(A)
P(B):
4. Dado un conjunto A, decimos que f : A ! A es una permutación si
f es biyectiva y usamos la notación P er(A) para denotar el conjunto
de permutaciones de A: Mostrar que si A
B entonces P er(A)
P er(B):
212
CAPÍTULO 7. CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS
5. Representemos el conjunto N N como en la …gura y recorramos sus
elementos como lo indican las ‡echas:
(0; 0) !
.
(1; 0)
.
(2; 0)
.
(3; 0)
.
..
.
(0; 1)
(0; 2)
(0; 3)
(1; 1)
.
(1; 2)
.
(1; 3)
.
(2; 1)
.
(2; 2)
.
(2; 3)
.
(3; 1)
.
(3; 2)
.
(3; 3)
.
..
.
.
..
.
.
..
.
..
.
Según este esquema, y desde un punto de vista intuitivo, a cada par
(m; n) 2 N N le corresponde un único natural f (m; n): Por ejemplo,
f (0; 0) = 0; f (1; 0) = 2; f (1; 1) = 4; etc. Muestre que la función
f : N N ! N correspondiente está dada por la expresión
1
f (m; n) = (m + n)(m + n + 1) + m:
2
(Sugerencia: note que la suma de las componentes de todos los pares
en una misma diagonal es constante.)
6. Muestre que la función f : N N ! N del ejercicio anterior es una
biyección. (Sugerencia: para mostrar que f es inyectiva, suponga que
f (m; n) = f (p; q); haga x = m + n y y = p + q y muestre que los casos
x < y; y < x son imposibles).
7. El conjunto Z se puede poner en correspondencia biunívoca con N de
acuerdo al siguiente esquema:
0 1
# #
0 1
2 3
# #
1 2
4 5
# #
2 3
6
#
3
Hallar una fórmula que de…na una función f : N ! Z que exprese esta
correspondencia entre N y Z:
8. Muestre que R+
R: (Sugerencia: la función f : R+ ! R dada por
f (x) = 1=x x es una biyección).
7.2. CONJUNTOS FINITOS
213
9. Muestre que la función f : R ! (0; 1) dada por
f (x) =
1
2
1+
x
1 + jxj
es una biyección. Concluya que R tiene la potencia del continuo.
10. De…na una biyección entre R y (0; 1) que envíe racionales en racionales
e irracionales en irracionales.
11. Sea A un conjunto que no es equipotente a ningún subconjunto propio.
Muestre que si a 2
= A entonces el conjunto B = A [ fag también
satisface la misma propiedad.
7.2.
Conjuntos Finitos
Con el …n de simpli…car el enunciado de algunos resultados, introducimos
la siguiente notación, para cualquier n 2 N :
J0 = ;
Jn = fm 2 Z+ : 1
ng; para n 2 Z+ :
m
Notemos además que, Jn+1 = Jn [ fn + 1g (justi…cación ?):
De…nición 7.2.1 Un conjunto A es …nito si existe un n 2 N tal que A
Jn ( en particular, ; es un conjunto …nito). Si n 2 Z+ y la función
f : fm 2 Z+ : 1
es una biyección, con f (m) = am para 1
A = fa1 ; a2 ;
m
ng ! A
m
; an g = fai : 1
n; entonces escribimos
i
ng:
De otro lado, un conjunto que no es …nito, se dice que es in…nito.
Teorema 7.2.2 Sea A un conjunto …nito. Entonces todo subconjunto de A
también es …nito.
Prueba. Mostremos primero, por inducción sobre n; que cualquier B que
satisface B
Jn es …nito. El caso n = 0 es claro, de modo que podemos
suponer la a…rmación cierta para n: Ahora, si B
Jn+1 ; consideramos
el conjunto D = B n fn + 1g
Jn : Si D = ;; obviamente no hay nada
que probar, de modo que podemos suponer D 6= ;: Ahora, por hipótesis
214
CAPÍTULO 7. CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS
inductiva, sabemos que D es un conjunto …nito, de modo que existe una
biyección f : D ! Jm , para algún m 2 N: Pero entonces se sigue que B
también es …nito, pues si n + 1 2
= B entonces D = B y si n + 1 2 B; entonces
B = D [ fn + 1g y la función g : B ! Jm+1 , de…nida por
g(x) =
f (x) si
x2D
m + 1 si x = n + 1;
es obviamente una biyección. Se sigue entonces por inducción que cualquier
subconjunto de Jn es …nito. Ahora, si A es cualquier conjunto …nito y B A;
entonces, para algún n 2 N; existe una biyección f : A ! Jn ; y por lo tanto,
f [B] Jn es …nito. Pero esto signi…ca que f [B] Jm ; para algún m 2 N:
De modo que obtenemos B
f [B] Jm ; y se concluye …nalmente que B
también es …nito.
Teorema 7.2.3 (Principio de las Casillas) Supongamos que f : Jn !
Jn es una función inyectiva. Entonces f es sobreyectiva:
Prueba. Procedemos por inducción matemática sobre n: Para n = 0 la
a…rmación es clara, de modo que podemos suponer la a…rmación del teorema
cierta para n y la mostramos para n + 1: Sea entonces f : Jn+1 ! Jn+1 una
función inyectiva y mostremos que f es sobre.
Es conveniente considerar dos casos:
Caso I, f [Jn ]
Jn : En este caso, la hipótesis inductiva implica que
f Jn es una biyección de Jn en Jn y, entonces, solo queda la posibilidad
f (n + 1) = n + 1; de modo que f : Jn+1 ! Jn+1 es una biyección.
Caso II, f [Jn ] Jn : En esta situación, existe un k 2 Jn tal que f (k) =
n + 1; de modo que podemos de…nir una función fb : Jn+1 ! Jn+1 como
sigue:
8
si x 6= k; n + 1
< f (x)
b
f (n + 1) si
x = k:
f (x) =
:
n+1
si x = n + 1:
Claramente, la función fb es inyectiva y satisface la condición fb[Jn ] Jn ; de
modo que, por el Caso I, fb : Jn+1 ! Jn+1 es sobreyectiva. Pero ran(fb) =
ran(f ); lo cual implica que f también es sobreyectiva. En ambos casos hemos
mostrado que f es sobreyectiva y entonces, por el principio de inducción,
obtenemos que la a…rmación del teorema es cierta para todo n 2 N:
Corolario 7.2.4 Sea A un conjunto …nito y f : A ! A una función inyectiva. Entonces f es sobreyectiva.
7.2. CONJUNTOS FINITOS
215
Prueba. Como A es un conjunto …nito, existe un n 2 N y una biyección
g : A ! Jn : Entonces, si consideramos el diagrama
g
1
f
g
Jn ! A ! A ! Jn
obtenemos que la función compuesta
h=g f
g
1
: Jn ! Jn
es inyectiva y , por el teorema anterior, obtenemos que h es sobreyectiva, esto
es, h es una biyección. Pero entonces se sigue que f también es biyección,
pues
f =g 1 h g
y la composicion de biyecciones es una biyección.
Corolario 7.2.5 Sea A un conjunto …nito y supongamos que B
tonces A no es equipotente a B:
A: En-
Prueba. El caso B = ; es trivial, de modo que suponemos B 6= ;: Razonemos por el absurdo y supongamos que
f :A!B
A
es una biyección. Entonces f : A ! A es una función inyectiva con rango
B A: Lo cual contradice el corolario anterior.
Corolario 7.2.6 Sean m; n 2 N y supongamos que Jm
m = n:
Prueba. Consideremos primero el caso m < n: Entonces Jm
tanto, se sigue del teorema anterior que ninguna función
f : Jn ! Jm
Jn : Entonces
Jn y, por lo
Jn
puede ser inyectiva. De modo que Jn
Jm : El caso n < m es similar y
entonces, por la ley de tricotomía, concluimos que m 6= n implica Jn Jm :
Corolario 7.2.7 Para todo conjunto …nito A existe un único n 2 N tal
que A Jn : Dicho n se denomina el número de elementos de A ( o el
cardinal de A).
216
CAPÍTULO 7. CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS
Prueba. Como A es …nito, entonces A
corolario anterior dicho n es único.
Jn ; para algún n 2 N y por el
Nota 7.2.8 Notamos que el teorema 7.2.3 , junto con sus corolarios, son
enunciados equivalentes entre sí y, de hecho, se podría tomar cualquiera de
ellos como el Principio de las Casillas.
Proposición 7.2.9 El conjunto N es in…nito.
Prueba. Consideremos la función f : N ! N n f0g de…nida como: f (n) =
n + 1: Claramente esta función es inyectiva, pues
n + 1 = f (n) = f (m) = m + 1
implica n = m: Por otra parte, sabemos que todo natural diferente de cero
es de la forma n + 1; para algún n 2 N; de modo que f también es sobreyectiva. Tenemos entonces que N N n f0g y entonces, por el corolario 7.2.5,
obtenemos que N es in…nito.
Ejercicios
1. Muestre que la unión de dos conjuntos …nitos es …nita.
2. Pruebe que el producto cartesiano de dos conjuntos …nitos es un conjunto …nito.
3. Sea A un conjunto …nito y sea f : A ! A: Muestre que f es inyectiva
si y sólo si f es sobreyectiva.
4. Muestre que una unión …nita de conjuntos …nitos es …nita. Esto es,
muestre que si B es un conjunto …nito cuyos elementos son conjuntos
…nitos, entonces [B es …nita.
5. Decimos que un conjunto A es T-…nito si para cada familia no vacía
T
P(A) existe un B 2 T tal que no existe un C 2 T con B C: De
otro lado, decimos que A es T-in…nito si no es T-…nito. Ahora pruebe
lo siguiente:
(a) Si A es …nito entonces es T-…nito.
(b) Si A es in…nito entonces es T-in…nito.(Sugerencia: considere T =
fB A : B es …nito g).
7.3. CONJUNTOS CONTABLES
7.3.
217
Conjuntos Contables
De…nición 7.3.1 Un conjunto A es enumerable si A N: Si A es enumerable y f : N ! A es una biyección, con f (n) = an ; para n 0; entonces
escribimos
A = fan : n 0g = fa0 ; a1 ; a2 ;
; an ; g
y decimos que la función f es una enumeración de A: De otro lado, un
conjunto A que es …nito o enumerable, se dice que es contable. A los conjuntos enumerables se les denomina algunas veces conjuntos in…nitos contables.
Por último, un conjunto que no es contable se dice que es no contable.
Teorema 7.3.2 Sean a; b 2 R; con a < b: Entonces el intervalo [a; b] es un
conjunto no contable.
Prueba. Según el ejemplo 7.1.7, cualquier intervalo de la forma [a; b] es
equipotente al intervalo [0; 1]; de modo que basta mostrar que [0; 1] es no
contable. Razonemos por el absurdo y supongamos que [0; 1] es contable.
Como ya sabemos, [0; 1] (0; 1); de modo que, por el corolario 7.2.5, [0; 1]
es un conjunto in…nito y, por consiguiente, enumerable. Sea entonces
[0; 1] = fx0 ; x1 ; x2 ;
g
(1)
una enumeración de [0; 1]: A continuación de…niremos un real y 2 [0; 1] tal
que y 6= xn para todo n 0; lo cual es imposible. El número y es el resultado
de una construcción que procede por pasos:
Inicialmente, dividimos el intervalo [0; 1] en tres subintervalos
[0; 1=3]; [1=3; 2=3]; [2=3; 1]
y escogemos uno de ellos, I0; de modo que x0 2
= I0 (si dos de estos subintervalos no contienen a x0 ; escogemos el que esté mas a la izquierda ). Ahora,
supongamos que hemos escogido los intervalos
I0
I1
I2
In
[0; 1]
de modo que xj 2
= Ij para todo j n:Entonces procedemos a subdividir a
In en tres subintevalos de igual longitud y escogemos uno de ellos, In+1 ; tal
que xn+1 2
= In+1 (si dos de ellos tienen esta propiedad, escogemos el que esté
mas a la izquierda ).
De este modo obtenemos una sucesión decreciente de intervalos fIj g que
satisface las hipótesis del teorema 6.4.13 y además cumple que
xj 2
= Ij ,
para todo n
0:
(2)
218
CAPÍTULO 7. CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS
Pero entonces, dicho teorema implica que existe un y 2 [0; 1] tal que
\
y 2 fIj : j 0g:
Ahora, por (1); sabemos que y = xm , para algún m
que y = xm 2
= Im : Lo cual contradice (3):
(3)
0 y, por (2); obtenemos
Teorema 7.3.3 Todo subconjunto de un conjunto contable es contable.
Prueba. Sea A un conjunto contable y mostremos que cualquier B A es
contable. Si A es …nito, la conclusión se sigue del teorema 7.2.2. Supongamos
ahora que B es in…nito, entonces A es enumerable y podemos …jar una
enumeración
A = fa0 ; a1 ; a2 ; g:
(1)
A continuación de…nimos una función H : N ! N como sigue:
H(m) = m nfn 2 N : n > m y an 2 Bg:
Entonces, por el Teorema de la Recursión, existe una función f : N ! N que
satisface:
f (0) = m nfn 2 N : an 2 Bg = n0 ;
f (k + 1) = H(f (k)) = nk+1 ;
para todo k 2 N:
(2)
(3)
Claramente, el rango de f satisface
n0 < n1 < n2 <
nk <
:
(4)
Notemos ademas que, si recorremos la enumeración (1); entonces an0 es el
primer elemento de B en dicha enumeración, an1 es el segundo elemento
y, en general, para k 2 N, ank es el k + 1-ésimo elemento de B en dicha
enumeración. De hecho, a partir de (2) y (3); se puede ver fácilmente que
B = faf (k) : k 2 Ng;
y por lo tanto el conjunto B es enumerable.
Nota 7.3.4 Usualmente, la demostración típica del teorema anterior procede como sigue :
"..Sea n0 el primer natural tal que an0 2 B: Después de haber escogido
n0 < n1 < n2 <
nk ;
7.3. CONJUNTOS CONTABLES
219
sea nk+1 el primer natural mayor que nk tal que ank+1 2 B: Ahora, si
hacemos g(k) = ank ; para todo k 2 N; obtenemos una enumeración de B:::"
Obviamente, la imprecisión de tal procedimiento es que la sucesión n0 <
n1 < n2 <
nk <
no se ha construido. Es precisamente para construir
tal sucesión que debemos recurrir al Teorema de la Recursión.
Antes de continuar con otros resultados recordemos el enunciado del la
versión o…cial del Axioma de Elección:
Axioma de Elección. Dado un conjunto A;no vacío ;existe una función
F (una función de elección para A); cuyo dominio es P(A); tal que F(B) 2
B; para todo subconjunto no vacío B A:
Notemos que, con la notación anterior, si B = fBi : i 2 Ig es una familia
de subconjuntos no vacíos de A; entonces la función F satisface
F(Bi ) 2 Bi
para todo i 2 I:
De modo que, abusando el lenguaje, decimos que F es una función de elección para la familia B:
Teorema 7.3.5 Todo conjunto in…nito A contiene un subconjunto enumerable.
Prueba. Primer intento. En algunos textos, se procede como sigue:
Como A es no vacío, podemos escoger un elemento a0 2 A: Ahora, si ya
hemos escogido elementos
a0 ; a1 ; a2 ;
an ;
tales que
a0 2 A;
ai+1 2 A n fa0 ; a1 ;
ai g; para 0
i < n;
entonces, como A es in…nito, se tiene que An fa0 ; a1 ;
tanto, podemos escoger un elemento
an+1 2 A n fa0 ; a1 ;
an g =
6 ; y, por lo
an g:
Obtenemos entonces que el conjunto
B = fan : n 2 Ng = fa0 ; a1 ; a2 ;
an ;
g
(1)
220
CAPÍTULO 7. CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS
es un subconjunto in…nito de A:
Pero obviamente hay dos falencias inmediatas. Para empezar, no es claro
como escoger los elementos an : E incluso si ese obstáculo fuera resuelto, la
igualdad en (1) implica una enumeración del conjunto B que no ha sido
construida rigurosamente. Procedemos entonces a enmendar estas falencias.
Segundo intento.Primero …jamos una función de elección F para A:Ahora,
por el teorema de la recursión, existe una función g : N ! F in(A) tal que
g(0) = ;
g(n + 1) = g(n) [ fF(A n g(n))g:
(2)
Notemos que, como A es in…nito, A n g(n) 6= ; y, por lo tanto, la función g
está bien de…nida. Intuitivamente, si hacemos
F(A n g(n)) = an ;
para n 2 N;
(3)
se tiene que g(n + 1) = fa0 ; a1 ; a2 ;
; an g, para n 2 N: Ahora, de…nimos la
función
f (n) = an para n 2 N:
Veamos que dicha función es inyectiva. Sin pérdida de generalidad, supongamos que m < n y
f (m) = am = an = f (n):
Entonces, de (2); se tiene que
g(m + 1) = g(m) [ fam g
g(n):
(4)
Pero, entonces, (3) implica que an 2
= g(n); lo cual contradice (4): Concluimos
que f es inyectiva y por lo tanto el conjunto
B = ff (n) : n 2 Ng = fa0 ; a1 ; a2 ;
an ;
g
es un subconjunto enumerable de A:
Teorema 7.3.6 Un conjunto A es in…nito si y sólo si es equipotente a un
subconjunto propio.
Prueba. La implicación de derecha a izquierda es simplemente el corolario
7.2.5. Para mostrar la otra implicación, sea A un conjunto in…nito. Entonces,
por el teorema anterior, existe un conjunto enumerable B A: Sea
B = fb0 ; b1 ; b2 ;
g
7.3. CONJUNTOS CONTABLES
221
una enumeración de B y de…namos una función f : A ! A n fb0 g como
sigue:
a
si
a2AnB
f (a) =
bi+1 si a = bi ; para algún i 2 N:
Claramente la función f es biyectiva, luego A
A n fb0 g
A:
Nota 7.3.7 Si llamamos un conjunto A D-in…nito si es equipotente a un
subconjunto propio, entonces el teorema anterior a…rma que un conjunto
A es in…nito si y sólo si es D-in…nito. Esto da origen a una de…nición
alternativa de conjunto in…nito, la cual fue propuesta originalmente por R.
Dedekind.
Teorema 7.3.8 Sea A un conjunto no vacío. Entonces A es contable si y
sólo si existe una función sobreyectiva f : N ! A.
Prueba. Primero supongamos que A es contable. Si A es …nito entonces,
para algún n 2 Z+ ; podemos escribir
A = fa1 ; a2 ; a3 ;
; an g:
De modo que la función f : N ! A; de…nida como
f (k) =
ak+1 si 0 k < n;
an si
k n
es obviamente sobreyectiva. De otro lado, si A es in…nito, entonces A es
enumerable y, por lo tanto, existe una biyección g : N ! A; la cual es
obviamente sobreyectiva.
Para establecer la implicación de derecha a izquierda, sea f : N ! A una
función sobreyectiva y consideremos la familia
A = ff
1
[fag] : a 2 Ag:
(1)
Si aplicamos el Axioma de Elección, obtenemos una función de elección
F :A!N
tal que, para todo a 2 A; se cumple que F(f 1 [fag]) 2 f 1 [fag]: Esto es, si
para todo a 2 A; usamos la notación F(f 1 [fag]) = na ; entonces f (na ) = a:
Ahora, la familia A es claramente disyunta, esto es, a 6= b implica
f
1
[fag] \ f
1
[fbg] = ;;
222
CAPÍTULO 7. CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS
de modo que la función F es inyectiva. De modo que la función g : A ! N
de…nida como
g(a) = F(f 1 [fag]) = na
es también inyectiva. Pero, claramente, A
g[A] y por el teorema 7.3.3,
obtenemos que g[A] N es contable, luego A es contable.
Nota 7.3.9 Usualmente, la demostración de la última implicación es la siguiente:
":Sea f : N ! A una función sobreyectiva. Entonces, para cada a 2 A;
escogemos un elemento na tal que f (na ) = a: Ahora de…nimos la función
g : A ! N como g(a) = na , para todo a 2 A y notamos que g[A]
N es
contable. Luego A es contable."
Pero obviamente, para justi…car la escogencia de los na es preciso usar
alguna versión del Axioma de Elección.
Corolario 7.3.10 Sea B un conjunto enumerable y A un conjunto no vacio.
Entonces A es contable si y sólo si existe una función sobreyectiva f : B !
A:
Prueba. Como B es enumerable, podemos …jar una biyección g : N ! B:
Supongamos ahora que A es contable. Entonces por el teorema anterior
existe una funcion sobreyectiva h : N ! A: Pero entonces la función f =
h g 1 : B ! A es claramente sobreyectiva.
Para probar la otra dirección, supongamos que f : B ! A es sobreyectiva. Entonces la función f g : N ! A también es sobreyectiva y así, por el
teorema, se concluye que A es contable.
Teorema 7.3.11 Toda unión contable de conjuntos contables es contable.
Esto es, si fAi : i 2 Ig es una familia de conjuntos tal que Ai es contable
para todo i 2 I; con I contable, entonces
[
A = fAi : i 2 Ig
es un conjunto contable.
Prueba. Claramente, podemos suponer que los Ai no son vacíos. Ahora,
consideremos la familia
B = fBi : i 2 Ig;
donde, para cada i 2 I;
Bi = ff
N
Ai : f : N ! Ai es sobreyectivag:
7.3. CONJUNTOS CONTABLES
223
Como cada Ai es contable, entonces por el teorema 7.3.8, para cada i 2 I se
tiene que Bi 6= ;: Entonces, por el Axioma de Elección, existe una función
de elección F con dominio B: Si ahora hacemos fi = F(Bi ); entonces cada
fi : N ! Ai
es una función sobreyectiva, para cada i 2 I: De…namos ahora la función
H:N
N!A
como H(i; j) = fi (j): Entonces, como cada fi tiene rango Ai , para todo
i 2 I; se tiene que la función H es sobreyectiva. Pero sabemos del ejemplo
7.1.3 que existe una biyección g : N ! N N; de modo que la función
H g : N ! A es sobreyectiva y se deduce del teorema 7.3.8 que A es
contable.
Ejemplo 7.3.12 Usemos los resultados anteriores para mostrar que el conjunto Q es enumerable. Primero notamos que, por el ejemplo 7.1.3, el conjunto N N es enumerable. Consideremos entonces la función f : N N !
Q+ dada por
m+1
f (m; n) =
:
n+1
Claramente, dicha función es sobreyectiva, de modo que, por el corolario
7.3.10, tenemos que Q+ es contable, y por lo tanto, enumerable. Pero es
claro que la función g : Q+ ! Q dada por g(q) = q es biyectiva. De
modo que Q también es enumerable. Finalmente, podemos escribir
Q = Q+ [ f0g [ Q :
De modo que, por el teorema anterior, Q es enumerable.
Ejercicios
1. Muestre que el conjunto de puntos del plano que tienen coordenadas
racionales es enumerable.
2. Sean A un conjunto in…nito y B un conjunto contable. Muestre que
A [ B A:
3. Sea A un conjunto no contable y B un conjunto enumerable. Muestre
que A n B es no contable.
4. Sea fIj : j 2 Jg una familia de subintervalos disjuntos de R: Muestre
que la familia es enumerable.
224
CAPÍTULO 7. CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS
5. Sea A un conjunto enumerable. Muestre que An es enumerable, para
todo n 2 Z+ :
6. Sea A un conjunto enumerable. Muestre que
[
An
n2Z+
es un conjunto enumerable.
7. Sea A un conjunto enumerable. Muestre que el conjunto
B = fs : s es una sucesión …nita sobre Ag
es enumerable.
8. Sea Z[x] el conjunto de los polinomios
p(x) = a0 + a1 x +
+ an xn
con coe…cientes enteros, esto es, con a0 ; a1 ;
Z[x] es un conjunto enumerable.
; an 2 Z: Muestre que
9. Decimos que un número real
es un número algebraico si
solución de una ecuación de la forma
es
p(x) = 0; con p(x) 2 Z[x]:
Muestre que el conjunto de los números algebraicos es enumerable.
10. Se dice que un número real es trascendente si no es algebraico, esto
es, si no es solución de una ecuación polinómica de la forma
p(x) = 0; con p(x) 2 Z[x]:
Los números e y son ejemplos famosos de números trascendentes.
Muestre que el conjunto de los números trascedentes es no contable.
11. Escriba el conjunto N como una unión disjunta enumerable de conjuntos enumerables.
12. Consideremos el conjunto D R tal que x 2 D si y sólo si la expansion
decimal de x termina en una sucesión in…nita de 90 s. Muestre que el
conjunto D es enumerable.
13. Sea A una familia de …guras ocho disjuntas en el plano (esto es, …guras de la forma 1 ). Es A necesariamente un conjunto contable ?
(Sugerencia: Recuerde, de un ejercicio anterior, que Q2 es denso en el
plano).
7.4. TEOREMA DE SCHRÖDER-BERNSTEIN
7.4.
225
Teorema de Schröder-Bernstein
De…nición 7.4.1 Sean A y B conjuntos. Si existe una función inyectiva
f : A ! B escribimos
A-B
y decimos que A es dominado por B (o que B domina a A). También
utilizamos la notación A B para indicar que A - B pero que A B:
Claramente A - A y además, si A - B y B - C; entonces A - C;
pues la composición de dos funciones inyectivas es una función inyectiva.
En cuanto a la otra posibilidad, A - B y B - A; tenemos el siguiente resultado sorprendente, el cual se denomina usualmente el teorema de
Schröder-Bernstein.
Teorema 7.4.2 (Schröder-Bernstein) Sean A y B conjuntos tales que
A - B y B - A; entonces A B:
Prueba. Sean f : A ! B y g : B ! A funciones inyectivas y consideremos
la familia C de subconjuntos D A que satisfacen las siguientes propiedades:
(I) A n g[B]
(II) (g f )[D]
D
D:
Claramente C =
6 ;; pues A 2 C; de modo que podemos de…nir
\
A0 =
C
A.
Ahora, si D 2 C se sigue de (I) que A n g[B] D y por lo tanto
\
A n g[B]
C = A0 :
Esto es, A0 satisface la condición (I): De otro lado,
h\
i
(g f )[A0 ] = (g f )
fD : D 2 Cg
\
\
(g f )[D]
D = A0 :
D2C
(1)
(2)
D2C
Luego A0 también satisface la condición (II) y, por lo tanto, A0 2 C:
Ahora, nos proponemos mostrar que
g[B n f [A0 ]] = A n A0 :
(3)
226
CAPÍTULO 7. CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS
Pero (1) implica que A n A0
g[B] y, además, es claro que
g[B] = g[B n f [A0 ]] [ g[f [A0 ]]:
Por lo tanto, obtenemos de (2) que
A n A0
g[B n f [A0 ]]:
(4)
Para probar la otra inclusión mostremos primero que
A n g[B] [ g[f [A0 ]] = A0 :
(5)
Pero claramente, (1) y (2) implican que A n g[B] [ g[f [A0 ]] A0 :
Además, aplicando g f a ambos lados de esta inclusión obtenemos
(g f )[A n g[B] [ g[f [A0 ]]]
(g f )[A0 ] = g[f [A0 ]]
A n g[B] [ g[f [A0 ]]:
Lo cual muestra que A n g[B] [ g[f [A0 ]] 2 C (pues claramente A n g[B]
A n g[B] [ g[f [A0 ]]). Concluimos entonces que
\
A0 =
C A n g[B] [ g[f [A0 ]];
lo cual prueba (5): Pero entonces, como g es inyectiva, se sigue que A0 y
g[B n f [A0 ]] son disjuntos. Tenemos entonces que
g[B n f [A0 ]]
A n A0 ;
y por lo tanto, de la inclusión (4); se sigue (3): Pero entonces, si de…nimos
la función h : A ! B como
h(x) =
f (x) si
x 2 A0
1
g (x) si x 2 A n A0 ;
se ve fácilmente que h es una biyección, de modo que A
B:
Nota 7.4.3 Para otra demostración de este teorema, denominada usualmente la prueba de los espejos, ver por ejemplo [Enderton], Capítulo
6.
Corolario 7.4.4 Sean A; B; C conjuntos tales que A
A C: Entonces se sigue que A B C:
B
C y, además,
7.5. CARDINALIDAD DE LOS SISTEMAS NUMÉRICOS
227
Prueba. Claramente la función iA : A ! A B es inyectiva, luego A - B:
Similarmente, B - C A y, por lo tanto, B - A: Ahora, por el teorema, se
sigue que A B. Pero ya sabemos que A C; entonces, por transitividad,
obtenemos A B C:
Ejemplo 7.4.5 Utilicemos el teorema anterior para mostrar que R
Primero consideremos la función f : R ! P(Q) de…nida como
P(N):
f (x) = fq 2 Q : q < xg:
Entonces, por la densidad de Q en R; se tiene que f es inyectiva: por ejemplo,
si x < y; entonces x < q < y para algún q 2 Q y, por lo tanto, q 2 f (y)nf (x);
luego f (x) 6= f (y): Tenemos entonces que R - P(Q): Pero ya hemos visto
que Q N, de modo que P(Q) P(N) y concluimos que R - P(N):
De otro lado, consideremos la función G : F(N; f0; 1g) ! [0; 1] de…nida
como
G(h) = 0; h(0) h(1) h(2) : : :
donde G(h) se considera como una representación decimal. Pero entonces,
si g 6= h; se tiene que las correspondientes representaciones decimales son
diferentes (ver teorema 6.4.14) , luego la función G es inyectiva. Por lo
tanto F(N; f0; 1g) - [0; 1]
R: Pero como vimos en el ejemplo 7.1.4,
F(N; f0; 1g) P(N); de modo que obtenemos P(N) - R: Se sigue entonces
del teorema que R P(N):
7.5.
Cardinalidad de los Sistemas Numéricos
Teorema 7.5.1 El conjunto R tiene la potencia del continuo, esto es, R
[0; 1]:
Prueba. Primero notamos que [0; 1] R; de modo que [0; 1] - R: Ahora,
de…nimos una función f : P(N) ! [0; 1] de tal modo que, si A N; entonces
f (A) está dado en términos de su representación decimal
f (A) = 0; a0 a1 a2 a3 : : : ;
donde los an 2 f2; 3g: Ahora, para todo n 2 N; la manera de calcular las
cifras decimales es la siguiente:
an =
2 si n 2 A
3 si n 2
= A:
228
CAPÍTULO 7. CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS
Pero, claramente, si A 6= B entonces f (A) 6= f (B) (ver el teorema 6.4.14);
de modo que la función f es inyectiva y obtenemos que P(N) - [0; 1]: Ahora,
según el ejemplo 7.4.5, tenemos que R P(N) y por lo tanto R - [0; 1]: De
modo que, por el teorema de Schroder-Bernstein, se sigue la a…rmación.
Teorema 7.5.2 El plano cartesiano tiene la potencia del continuo. Esto es,
R R [0; 1]:
Prueba. Ya sabemos que [0; 1]
(0; 1]; de modo que, según el teorema
anterior, basta probar (0; 1] (0; 1]
(0; 1]: Ahora, dados x, y 2 (0; 1];
sabemos por el teorema 6.4.14, que existen representaciones
x = 0; x1 x2 x3 : : : ;
y = 0; y1 y2 y3 : : : ;
tales que las cifras xn , yn son diferentes de 0 para in…nitos valores de n:
Entonces podemos de…nir una función f : (0; 1] (0; 1] ! (0; 1] de acuerdo
a
f (x; y) = 0; x1 y1 x2 y2 x3 y3 : : :
(1)
y notamos que si
f (a; b) = 0; a1 b1 a2 b2 a3 b3 : : :
(2)
es otra representación tal que f (a; b) = f (x; y); entonces las correspondientes
cifras decimales en (1) y (2) coinciden, de modo que a = x y b = y; esto es,
la función f es inyectiva. Por lo tanto (0; 1] (0; 1] - (0; 1]: Pero es claro que
(0; 1] - (0; 1] (0; 1]; pues, por ejemplo, la función g : (0; 1] ! (0; 1] (0; 1]
dada por g(x) = (x; 1=2) es inyectiva. De modo que, por el teorema de
Schroder-Bernstein, concluimos que (0; 1] (0; 1] (0; 1]; lo cual termina la
demostración.
Corolario 7.5.3 Sea n 2 Z+ ; entonces Rn
R: En particular, C
R:
Prueba. Procedemos por inducción. Para n = 1; 2 la a…rmación es clara.
Supongamo entonces que Rn R y mostremos que Rn+1 R: Pero claramente
Rn+1 = Rn
R
R
R
R:
De modo que, por inducción matemática, obtenemos Rn
n 2 Z+ : En particular, C = R R R:
(hip. inductiva)
(teor. anterior)
R para todo
7.5. CARDINALIDAD DE LOS SISTEMAS NUMÉRICOS
229
Ejercicios
1. Hallar la cardinalidad de los siguientes conjuntos:
(a) Q
N
(b) Z
Z
(c) Q
R
(d) P(Q)
(e) R n Q
(f ) La familia de las representaciones decimales (…nitas o in…nitas)
que incluyen solo los dígitos 4 y 8:
(g) La familia de las representaciones decimales …nitas que incluyen
solo los dígitos 4 y 8:
(h) El conjunto de raices de los polinomios de grado 3 con coe…cientes
racionales.
(i) El conjunto de raices de los polinomios de grado 3 con coe…cientes
reales.
(j) La familia de subconjuntos de N que tienen al menos 5, pero no
mas de 9, elementos.
(k) La familia de subconjuntos de Q que tienen al menos 5 elementos.
2. Sea
A=
[
Rn :
n2Z+
Muestre que A R: (Sugerencia: use el corolario 7.5.3 e imite la prueba
del teorema 7.3.11).
3. Utilice el ejercicio anterior para probar que F in(R), la familia de subconjuntos …nitos de R; tiene la potencia del continuo.
4. Recordemos que, para n 2 Z+ ; el conjunto f1; 2;
; ng se denota
como Jn y además, F(A; B) denota el conjunto de funciones de A en
B: Muestre que los conjuntos F(Z+ ; Jn ) y F(Z+ ; J2 ) tienen la potencia
del continuo.
5. Encuentre un conjunto A de intervalos abiertos en R tal que [A Q;
pero sin embargo, [A 6= R:(Sugerencia: limite en forma apropiada la
suma de las longitudes de los intervalos).
230
CAPÍTULO 7. CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS
6. Sea A R+ tal que, para algún b 2 R y cualquier subconjunto …nito
de A; se cumple
X
a b:
a2A
Muestre que el conjunto A es contable.
(a) Sea A una familia de discos disjuntos en el plano. Muestre que A
es contable.
(b) Sea B la familia de todos los círculos disjuntos en el plano.
Muestre que B tiene la potencia del continuo.
7. Sean A; B conjuntos y f : A ! B , g : B ! A funciones arbitrarias.
Muestre que existen conjuntos D A y E B tales que
f [D] = E
y
g[B n E] = A n D:
(Sugerencia: mire la demostración del teorema de Schroder-Bernstein).
8. Dados números reales x; y: Decimos que xRy si y sólo si (x y) 2
Q: Muestre que la relación R es de equivalencia. Cuántas clases de
equivalencia hay? Cuantos elementos hay en cada clase de equivalencia
?
9. Sea E
P(N) la familia de subconjuntos de N que son enumerables.
Muestre que E tiene la potencia del continuo.
7.6.
*Algunas equivalencias del Axioma de Elección
Aunque hemos encontrado antes varias aplicaciones del Axioma de Elección, nos dedicaremos en esta sección a un estudio un poco mas detallado de
dicho axioma, junto con algunas de sus consecuencias más famosas. Con tal
propósito, extenderemos un poco más las nociones básicas de órdenes parciales, de modo que podamos enunciar otros dos principios bastante útiles
en la matemática moderna. Empezaremos por extender la terminología de
los órdenes parciales.
Sea hA; i un conjunto parcialmente ordenado. Decimos que un elemento
m 2 A es el mínimo de A ( o el primer elemento de A), lo cual denotamos
como m = m n(A); si m a; para todo a 2 A: En forma similar, si M 2 A
y además, a
M para todo a 2 A; decimos que M es el máximo de
7.6. *ALGUNAS EQUIVALENCIAS DEL AXIOMA DE ELECCIÓN 231
A (o el último elemento de A); lo cual escribimos como M = max(A):
Obviamente, se sigue de la antisimetría de ; que los elementos m n(A),
max(A); si existen, son únicos. De otro lado, decimos que un m 2 A es un
elemento minimal si no existe un a 2 A tal que a < m: Esto es, si para
todo a 2 A se cumple que a m implica a = m: En forma similar, decimos
que un M 2 A es un elemento maximal de A si para todo a 2 A se cumple
que M a implica a = M:
Dados un subconjunto B A y un elemento c 2 A; decimos que c es una
cota superior de B ( o también un mayorante de B), si b c para todo
b 2 B: En forma similar, si c
b para todo b 2 B; decimos que c es una
cota inferior de B ( o también un minorante de B ). Ahora, si c es un
mayorante de B que satisface c d; para todo d; mayorante de B;decimos
que c es el extremo superior de B (o el supremo de B), lo cual se escribe
como
c = sup(B):
Similarmente, si c es un minorante de B que satisface d
c; para todo
minorante d de B; decimos que c es el extremo inferior de B (o el ín…mo
de B ), lo cual escribimos como
c = nf(B):
Ejemplo 7.6.1 (i) Consideremos el conjunto N con el orden usual . Entonces es claro que 0 es el mínimo de N (también es el único elemento
minimal), pero N no tiene máximo.
(ii) Ahora, de…nimos un orden parcial 0 en N; denominado el orden inverso, como sigue:
m0n
si y sólo si
n
m:
Entonces es claro que hN; 0i es un conjunto parcialmente ordenado y
que además, bajo este orden, 0 es el máximo de N, pero que N carece
de elementos minimales.
Ejemplo 7.6.2 Consideremos ahora el conjunto
B = fq 2 Q : 2 < q 2 < 3g
con el orden usual en R: Entonces es claro que hB; i es un conjunto parcialmente ordenado que no tiene elementos minimales o maximales.
Tampoco
p p
tiene máximo o mínimo, pues claramente los números 2; 3 2
= Q: Obviamente, si consideramos a B como subconjunto de R; con el orden usual,
232
CAPÍTULO 7. CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS
p
entonces cualquier
x 2 R; con 3 xpes un mayorante de B y, aún más,
p
sup(B) = 3: Similarmente, nf(B) = 2:
Continuando con hA; i ;decimos que
es un orden total (o algunas
veces, orden lineal o simple) si para todo a; b 2 A se cumple que a
b
o b
a; esto es, si los elementos de A son comparables. En este caso,
decimos que hA; i es un conjunto totalmente ordenado o una cadena.
Si el orden satisface la condición adicional de que cualquier subconjunto
no vacío B
A tiene elemento mínimo, entonces decimos que hA; i es
un conjunto bien ordenado y que
es un buen orden ( o un buen
ordenamiento) del conjunto A:
Ejemplo 7.6.3 Notemos que, por el Principio de Buen Orden, el conjunto
N está bien ordenado (con la relación usual). Además, cualquier conjunto
enumerable A puede ser bien ordenado, pues una biyección f : N ! A genera
una relación de buen orden, en A; como sigue:
a
b
si y sólo si
f
1
(a)
f
1
(b):
Ejemplo 7.6.4 Dado un conjunto bien ordenado hS; i y un elemento b 2
=
S; podemos extender el orden
al conjunto A = S [ fbg declarando simplemente que s b; para todo s 2 S: De hecho, el conjunto A; junto con el
nuevo orden, es un conjunto bien ordenado. Para veri…car esta a…rmación,
sea B A un conjunto no vacío. Si B = fbg; es claro que b es un elemento
mínimo de B: En caso contrario, S \ B 6= ; tiene un elemento mínimo, el
cual es también elemento mínimo de B:
Ejemplo 7.6.5 Un orden que aparece en muchas aplicaciones es el de extensión de funciones. Mas especí…camente, consideremos una familia de funciones A; junto con el orden , de…nido como sigue:
f
g
si y sólo si
f
g:
Entonces, f
g si y sólo si la función g extiende a la función f: Además,
es fácil veri…car que
de…ne un orden
S parcial en A: Consideremos ahora
S
una cadena B A y mostremos que B es una función. Claramente, B
es un conjunto de pares ordenados, de modo que basta veri…car
S que es una
relación funcional. Supongamos entonces que (x; y); (x; z) 2 B: Entonces,
existen f; g 2 B, tales que (x; y) 2 f y (x; z) 2 g: Pero B es una cadena y,
por lo tanto, los elementos f; g son comparables. Supongamos, sin pérdida
7.6. *ALGUNAS EQUIVALENCIAS DEL AXIOMA DE ELECCIÓN 233
de generalidad, que f
de g, esto es,
g: Tenemos entonces que (x; y); (x; z) son elementos
g(x) = y
y
g(x) = z:
S
Pero g es una función, de modo que y = z y concluimos que h = B es
una función. Mostremos …nalmente que si las funciones en A son inyectivas
entonces h es inyectiva. Supongamos pues que
h(x) = z = h(y):
S
Entonces (x; z); (y; z) son elementos de h = B y, por lo tanto, como ya
hemos visto, existe g 2 B tal que (x; z); (y; z) 2 g: Pero si g es inyectiva,
tenemos que x = y: De modo que h es inyectiva.
Ahora, enunciaremos dos principios fundamentales de la matemática
moderna y mostraremos que, en realidad, son equivalentes al Axioma de
Elección.
Lema de Zorn. Sea hA; i un conjunto parcialmente ordenado tal que
cualquier cadena B A tiene un mayorante. Entonces A tiene un elemento
maximal.
Principio del Buen Ordenamiento. Todo conjunto puede ser bien
ordenado.
Proposición 7.6.6 Sea A un conjunto no vacío y supongamos que A
P(A) es tal que A 6= ; y además:
(a) Todo subconjunto de un elemento de A es elemento de A:
(b) La unión de cualquier cadena de elementos de A pertenece a A:
Entonces A tiene un elemento maximal. Esto es, existe un B 2 A tal
que, para todo D 2 A; B D implica B = D:
Prueba. Notemos primero que, por la condición (a); se tiene que ; 2 A y
…jemos una función de elección F para A: Ahora, para cada D 2 A; usemos
la notación
b = fa 2 A : D [ fag 2 Ag:
D
Entonces podemos de…nir una función g : A ! A como :
(
b nD =;
D
si D
g(D) =
b n D)g si D
b n D 6= ;:
D [ fF(D
234
CAPÍTULO 7. CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS
Se sigue entonces, de las de…niciones anteriores, que un conjunto B 2 A es
b n B = ;; lo cual equivale a g(B) = B: Ahora, para
maximal si y sólo si B
facilitar la exposición, introducimos una de…nición provisional. Decimos que
una subfamilia T
A es una torre si satisface
(i) ; 2 T ;
(ii) Si D 2 T entonces g(D) 2 T ;
(iii) Si C es una cadena en T , entonces [C 2 T :
Claramente, la familia A es una torre. Además, como la intersección de
una familia de torres es una torre, se tiene que la intersección de todas la
torres,T0 ; es la torre mas pequeña. Mostraremos que T0 es una cadena.
Si C 2 T0 ; decimos que C es comparable si es comparable con cada
elemento de T0 : Claramente ; es un conjunto comparable.
A…rmación I. Sea C 2 T0 un conjunto comparable y suponga que
D C: Entonces g(D) C:
Justi…cación. Como C es comparable, entonces C g(D) o g(D) C:
Pero la primera posibilidad implica que
D
C
g(D);
lo cual contradice el hecho de que g(D) n D es, a lo mas, un singulete.
A…rmación II. Para un conjunto comparable C; sea A
T0 tal que,
D 2 A si y sólo si D C o g(C) D: Entonces A es una torre.
Justi…cación. Como claramente ; C; tenemos que ; 2 A y entonces,
se satisface la condición (i): Para veri…car (ii) supongamos que D 2 A y
consideremos tres casos:
D
C. Entonces, se sigue de la A…rmación I, que g(D) C y, por lo
tanto, g(D) 2 A:
D = C: Tenemos que g(D) = g(C) y por lo tanto g(C) g(D); lo cual
implica g(D) 2 A:
g(C) D: En este caso g(C) D g(D); luego g(D) 2 A:
Por último, para veri…car (iii); sea C una cadena en A: Entonces, si algún
D 2 C satisface g(C) D; es obvio que g(C) [C: Luego [C 2 A: En el
otro caso, si D
C para todo D 2 C; es claro también que [C
C y
obtenemos de nuevo que [C 2 A:
A…rmación III. Sea C 2 T0 un conjunto comparable. Entonces g(C)
es comparable.
Justi…cación. Dado C; consideremos la familia A de la A…rmación II.
Como hemos visto, A T0 es una torre y, por la de…nición de T0 ; concluimos
7.6. *ALGUNAS EQUIVALENCIAS DEL AXIOMA DE ELECCIÓN 235
que A = T0 : Lo cual signi…ca que si D 2 T0 entonces D
C
g(C) o
g(C) D:
Hasta ahora, hemos visto que ; es comparable y que g envía conjuntos
comparables en conjuntos comparables. Pero además es claro que la unión
de una cadena de conjuntos comparables es comparable. De modo que la
familia de conjuntos comparables satisface las condiciones (i)-(iii) y, por lo
tanto, es una torre incluida en T0 : Se sigue entonces, por minimalidad, que
todos los elementos de T0 son comparables y, por lo tanto, T0 es una cadena.
Ahora, hacemos
[
B=
D
D2T0
y notamos que, como T0 es una cadena, entonces B 2 T0 : Lo cual implica
que g(B) 2 T0 y, por lo tanto, g(B) B: Pero es claro que B g(B), luego
g(B) = B y concluimos, …nalmente, que B es un elemento maximal de A:
Teorema 7.6.7 Las siguientes a…rmaciones son equivalentes:
(a) El Axioma de Elección.
(b) El Lema de Zorn.
(c) El Principio del Buen Ordenamiento.
Prueba. (a) =) (b): Supongamos que hA; i es un conjunto parcialmente
ordenado en el que toda cadena tiene una cota superior. Mostremos que A
tiene un elemento maximal b:
Sea C la familia de todas las cadenas en A: Consideremos la familia
C como ordenada parcialmente por inclusión y notemos primero que todo
subconjunto de un elemento de C también pertenece a C: Por otra parte,
si C es una cadena de elementos de C; entonces, claramente, [C 2 C: Esto
es, C satisface las hipótesis de la proposición 7.6.6 y, por lo tanto, existe
un elemento maximal C 2 C: Ahora, sea b 2 A una cota superior de C: Si
b a; para algún a 2 A; entonces el conjunto C 0 = C [ fag es una cadena
en A y, por lo tanto, C 0 2 C: Pero C 2 C es maximal, de modo que C = C
y concluimos que a 2 C; esto es, a b y se sigue entonces que a = b: Esto
es, b es un elemento maximal de A:
(b) =) (c): Sea A un conjunto no vacío y mostremos que podemos de…nir
un buen ordenamiento en A: Sea S el conjunto de todos los pares hX; i ;
236
CAPÍTULO 7. CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS
donde X A y es un buen ordenamiento de X: Si hX; i y hX 0 ;
elementos de S; de…nimos
X 0;
hX; i
0i
son
0
si y sólo si X
X 0 y, además, 0 es una extensión de . Esto es, si la
0
restricción de
al conjunto X genera el orden
: Claramente,
es un
orden parcial sobre S. Supongamos ahora que
fhXi ;
ii
: i 2 Ig
(1)
es una cadena en S y sea X = [Xi . Entonces de…nimos un orden parcial
en X como sigue. Dados a; b 2 X; sabemos que a; b 2 Xi ; para algún i 2 I;
de modo que hacemos a b si y sólo si a i b: Claramente el orden
no
depende del índice i; pues la familia en (1) es una cadena. Mostremos que,
en realidad,
es un buen ordenamiento en X: Si Y
X es un conjunto
no vacío, entonces Y \ Xj 6= ;; para algún j 2 I y, por lo tanto, existe un
elemento j -mínimo, c 2 Y \ Xj : Es fácil veri…car que c es un elemento
mínimo de Y: Tenemos entonces que hS; i satisface las hipótesis del Lema
de Zorn y por lo tanto, existe un elemento maximal hM; M i en S: Pero
entonces M = A; pues en caso contrario, y de acuerdo al ejemplo 7.6.4,
M 0 ; lo cual
podríamos extender hM; M i a un orden hM 0 ; 0M i con M
contradice la maximalidad de hM; M i en S: Concluimos entonces que se
puede de…nir un buen ordenamiento en A:
(c) =) (a): Supongamos que A 6= ;: Entonces, por hipótesis, podemos
de…nir un orden parcial tal que hA; i es un conjunto bien ordenado. Por
lo tanto, la función F : P(A) n f;g ! A de…nida como
F(B) = m n B
satisface las condiciones de una función de elección para A:
Como una aplicación del Lema de Zorn, mostraremos que, dados dos
conjuntos, A; B; cualesquiera, entonces se cumple al menos una de las dos
posibilidades: A - B o B - A: Esto es, mostraremos que cualesquier par de
conjuntos es comparable, lo cual consignamos en el siguiente
Ejemplo 7.6.8 Sean A y B conjuntos y usemos el Lema de Zorn para
mostrar que se cumple A - B o B - A: Sea entonces
A = ff : f es una función inyectiva con dom(f )
A y ran(f )
Bg
7.6. *ALGUNAS EQUIVALENCIAS DEL AXIOMA DE ELECCIÓN 237
y de…namos, para f; g 2 A; f
g si y sólo si f
g: Como vimos en el
ejemplo 7.6.5,S es un orden parcial y aún más, si B A es una cadena,
entonces h = B es un elemento de A: Pero claramente, si f 2 B; entonces
[
f
B = h;
esto es, f
h; de modo que h es un mayorante de B: Hemos probado
entonces que hA; i satisface las hipótesis del Lema de Zorn, luego existe
un elemento maximal fb 2 A . A…rmamos que se cumple dom(fb) = A o
ran(fb) = B: Supongamos que esto es falso. Entonces existen a 2 A n dom(fb)
y b 2 B n ran(fb): De modo que podemos de…nir una función f 0 2 A como
f 0 = fb [ f(a; b)g:
Pero claramente fb f: Lo cual contradice la maximalidad de fb: Ahora, si
dom(fb) = A; tenemos que A - B y similarmente, si ran(fb) = B; entonces
fb 1 es una función inyectiva de B en A y se sigue que B - A:
Ejemplo 7.6.9 En esta aplicación típica del Lema de Zorn, mostraremos
que si V es un espacio vectorial, entonces V tiene una base. Supongamos,
sin pérdida de generalidad, que existe un w 2 V; con w 6= 0: Consideremos
la familia
I = fB
V : B es linealmente independiente g;
ordenada por inclusión, y notemos que
sea
S I 6= ;; pues fwg 2 I: Ahora,
S
C
I una cadena y mostremos
que C 2 I: Supongamos que C 2
= I y
S
sea fv1 ; v2 ; v3 ;
; vn g
C un conjunto linealmente dependiente. Pero entonces existen Bi1 ; Bi2 ;
; Bin en C tales que vk 2 Bik ; para k = 1; 2;
; n:
Ahora, como C es una cadena, existe un m 2 f1; 2;
; ng tal que
fv1 ; v2 ; v3 ;
; vn g
Bim :
Lo cual es imposible,
pues Bim es un conjunto linealmente independiente.
S
Concluimos que C 2 I; de modo que I satisface las hipótesis del Lema de
Zorn. Sea entonces B 2 I un elemento maximal y mostremos que B es una
base de V: Si v 2 V satisface que v 2 B ; es claro que v es una combinación
lineal de elementos de B : De otro lado, si v 2
= B ; consideremos el conjunto
B1 = B [ fvg:
Por la maximalidad de B se tiene que B1 debe ser linealmente dependiente,
de modo que existe una combinación lineal
c1 v1 + c2 v2 +
+ cr vr + cv = 0;
238
CAPÍTULO 7. CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS
con fv1 ; v2 ; v3 ;
; vr g B y c 6= 0: Lo cual signi…ca que v es combinación
lineal de elementos de B y, por lo tanto, B es un conjunto linealmente
independiente que genera el espacio V; esto es, B es una base.
Ejercicios
1. Sean A y B conjuntos arbitrarios. Muestre que B - A si y sólo si
existe una función sobreyectiva f : A ! B:
2. Sea A un conjunto no vacío y suponga que R es una relación que
satisface
(8x 2 A)(9y 2 A)[yRx]:
Muestre que existe una función f : N ! A tal que f (n + 1)Rf (n); para
todo n 2 N:
3. Muestre que el Axioma de Elección es equivalente al siguiente enunciado (conocido como el Postulado de Zermelo):
Sea fAi : i 2 Ig una familia no vacía de conjuntos no vacíos. Entonces
existe un B [Ai ; tal que B \ Ai es un singulete, para todo i 2 I:
4. Considere las siguientes a…rmaciones acerca de un conjunto A :
(a) A es in…nito.
(b) Existe una función inyectiva f : A ! ran(f )
A:
(c) N - A:
Use el Axioma de Elección para mostrar que estas a…rmaciones son
equivalentes entre sí. Cuáles de las seis implicaciones resultantes se
pueden probar sin usar el Axioma de Elección?
5. Sea hA; i un conjunto totalmente ordenado. Muestre que hA; i está
bien ordenado si y sólo si la familia
A = fpred(a) : a 2 Ag
está bien ordenada por inclusión. Donde pred(a) = fb 2 A : b < ag;
para todo a 2 A:
6. Sea hA; i un conjunto parcialmente ordenado. Muestre que
puede extender a un orden total sobre A:
se
7.6. *ALGUNAS EQUIVALENCIAS DEL AXIOMA DE ELECCIÓN 239
7. Muestre que el Axioma de Elección es equivalente a la siguiente a…rmación:
Para cualquier relación R; existe una función f
dom(R):
R tal que dom(f ) =
8. Muestre que el Axioma de Elección es equivalente a la siguiente a…rmación:
Dado un conjunto A cuyos elementos son conjuntos no vacíos, existe
una función f con dominio A tal que f (B) 2 B, para todo B 2 A:
9. Muestre que el Axioma de Elección es equivalente a la siguiente a…rmación:
Toda función sobreyectiva tiene una inversa derecha.
(Sugerencia: Para mostrar AC; sea R A B una relación y considere
la función 1 : R ! dom(R), de…nida por 1 (a; b) = a).
240
CAPÍTULO 7. CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS
Capítulo 8
Tópicos Especiales
8.1.
*Operaciones
En algunos de los capítulos anteriores hemos encontrado las operaciones
de adición y multiplicación de números, unión e intersección de conjuntos,
composición de funciones, etc. y hemos discutido algunas de sus propiedades.
Ahora queremos estudiar con cierto detalle la noción general de operación
sobre un producto cartesiano …nito, con el …n de introducir las estructuras
básicas que nos permitan probar la unicidad de algunos de los sistemas
numéricos introducidos hasta el momento. De otro lado, la noción de operación ha sido fundamental en el desarrollo de la matemática moderna, en
especial del álgebra abstracta, de modo que, antes de emprender un estudio mas serio, resulta bastante útil cierta familiaridad con algunas de sus
propiedades mas básicas.
De…nición 8.1.1 Sean A1 ; A2 ;
; An ; An+1 conjuntos. Entonces una función : A1 A2
An ! An+1 se denomina una operación n-aria.
Si además Ai = A; para i = 1; 2;
; n + 1; entonces decimos que
es
una operación sobre A: En particular, una operación binaria sobre A (o
simplemente una operación sobre A ) es una función : A A ! A:
De…nición 8.1.2 Sea : A A ! A una operación sobre A: Decimos que
es conmutativa si, para todo a; b 2 A
(a; b) = (b; a):
Similarmente,
es asociativa si, dados a; b; c 2 A;
( (a; b); c) = (a; (b; c)):
241
242
CAPÍTULO 8. TÓPICOS ESPECIALES
Por último, dada otra operación sobre A; decimos que es distributiva
respecto a
(o que distribuye respecto a
) si, para todo a; b; c 2 A se
cumple
(a; (b; c)) = ( (a; b); (a; c)):
La manera usual de representar las propiedades anteriores es utilizar
símbolos, digamos y ; para las operaciones , y escribir (a; b) y (a; b)
como a b y a b; respectivamente. De este modo la conmutatividad de
se representa simplemente como
a b = b a;
la asociatividad como
a (b c) = (a b) c
y, …nalmente, el hecho de que distribuye respecto a
se simboliza como
a (b c) = (a b) (a c):
Ejemplo 8.1.3 (i) Las operaciones de adición y multiplicación en R son
conmutativas y asociativas, pues como ya hemos visto, para x; y; z 2 R,
x+y =y+x
y
x:y = y:x
así como también
x + (y + z) = (x + y) + z
y
x:(y:z) = (x:y):z .
(ii) La operación de multiplicación en R distribuye respecto a la suma, pues
como ya sabemos,
x:(y + z) = x:y + x:z:
Sin embargo, en la otra dirección, la suma no distribuye respecto al
producto, pues es claro que
x + (y:z) 6= (x + y):(x + z):
(iii) Finalmente, si de…nimos en R la operación de sustracción como (x; y) =
x y: Entonces no es conmutativa ni asociativa, pues claramente
x
y 6= y
x
y
x
(y
z) 6= (x
y)
z:
8.1. *OPERACIONES
243
Ejemplo 8.1.4 Fijemos ahora un conjunto U , que podemos imaginar como
un conjunto univesal, y consideremos las operaciones usuales de unión e
intersección sobre P(U ) :
(i) La unión y la intersección de conjuntos son operaciones conmutativas y
asociativas, pues es claro que para A; B; C 2 P(U ) se cumple
A[B =B[A
y
A\B =B\A
y
A \ [B \ C] = [A \ B] \ C:
y similarmente
A [ [B [ C] = [A [ B] [ C
(ii) Las operaciones de union e intersección son distributivas, cada una respecto de la otra, pues es claro que
A [ [B \ C] = [A [ B] \ [A [ C]
A \ [B [ C] = [A \ B] [ [A \ C]:
De…nición 8.1.5 Sea
a b:
: A A ! A una operación denotada como (a; b) =
(i) Decimos que un e 2 A es un elemento neutro ( o también elemento
identidad) para si, para todo a 2 A se cumple que
e a = a e = a:
(ii) Si e es un elemento neutro para y a 2 A; decimos que el elemento
a 1 2 A es un inverso de a (bajo la operación ) si se satisface la
igualdad
a a 1 = a 1 a = e:
A; decimos que B es cerrado
) si, para todo b; b0 2 B
(iii) Por último, dado un subconjunto B
bajo (o cerrado con respecto a
(b; b0 ) 2 B;
esto es, si [B
B]
B:
Nota 8.1.6 Generalizando (iii) de la de…nición anterior, si B
una operación n-aria sobre A; decimos que B es cerrado bajo
[B
|
B
{z
(n factores)
B]
}
B:
Ay
si
es
244
CAPÍTULO 8. TÓPICOS ESPECIALES
Ejemplo 8.1.7
(i) Consideremos las operaciones de adición y multiplicación en R: Entonce
0 y 1 son los correspondintes elementos neutros, pues claramente, si
x 2 R;
x+0=0+x=x
y
x;1 = 1:x = x:
De otro lado, notemos que la operación de sustracción
tiene elemento neutro, pues las igualdades
x
e=e
(x; y)
x
y no
x=x
implican que x = e = 0 y así, es imposible que se cumplan, para todo
x 2 R; las igualdades
x
0=0
x = x:
En cuanto a la existencia de inversos, notemos que, si x 2 R; entoces su
inverso bajo la adición es x y, suponiendo que es distinto de 0; su
inverso multiplicativo es 1=x:
(ii) Fijemos ahora un conjunto (universal) U y consideremos las operaciones de unión e intersección sobre P(U ): Empezamos por notar que
; y U son los correspondiente elementos neutros, pues es claro que, si
A U; entonces
A[;=;[A=A
y
A \ U = U \ A = A:
En cuanto a los inversos, notemos que la igualdad
A[A
1
=;
implica que A = A 1 = ;; de modo que el único conjunto que tiene
inveso bajo la unión es ; y, además, ; 1 = ;: Similarmente, la igualdad
A\A
1
=U
implica que A = A 1 = U: De modo que el único A
bajo la intersección es U y su inverso es U 1 = U:
Ejemplo 8.1.8 Consideremos la operación
(x; y)
x y
:R
U con inverso
R ! R de…nida como
x + y + 2xy:
8.1. *OPERACIONES
(i) Mostremos que
245
es conmutativa. Para esto basta notar que, si x; y 2 R;
x y = x + y + 2xy
y x = y + x + 2yx:
Pero entonces, de la conmutatividad de la suma y el producto en R; se
sigue que x y = y x:
(ii) Ahora, queremos veri…car que
siguientes cálculos:
es asociativa, lo cual se ilustra con los
(x y) z = (x + y + 2xy) z
= [(x + y + 2xy) + z] + 2(x + y + 2xy)z
= x + y + z + 2xy + 2xz + 2yz + 4xyz:
Lo cual implica que,
x (y z) = x + (y z) + 2x(y z)
= x + (y + z + 2yz) + 2x(y + z + 2yz)
= x + y + z + 2yz + 2xy + 2xz + +4xyz
= x + y + z + 2xy + 2xz + 2yz + 4xyz = (x y) z:
Luego
es asociativa.
(iii) Busquemos ahora un elemento neutro para : Si e es un elemento neutro, entonces, para todo x 2 R;
x e = x + e + 2xe = x:
Lo cual implica que
e(1 + 2x) = 0:
(1)
Pero (1) se cumple solo si e = 0; pues x 2 R es arbitrario, luego e = 0
es el neutro para :
(iv) Por último, describamos los x 2 R que tienen inverso bajo la operación
: Notemos que x x 1 = e = 0 si y sólo si
1
x+x
+ 2xx
Esto es, si y sólo si
x
1
=
1
= 0:
x
:
(2x + 1)
De modo que un x 2 R tiene inverso bajo si y sólo si (2x + 1) 6= 0,
en cuyo caso, su inverso es x 1 = x=(2x + 1):
246
CAPÍTULO 8. TÓPICOS ESPECIALES
Proposición 8.1.9 Sea : A A ! A una operación sobre A; denotada
como (a; b) = a b: Entonces se cumple lo siguiente:
(i) La operación tiene, a lo más, un elemento neutro. Esto es, si e y e0
son elementos neutros, se sigue que e = e0 :
(ii) Si es asociativa y con elemento neutro e; entonces cualquier a 2 A
tiene, a lo más, un inverso. Esto es, si b; b0 son inversos de a; se sigue
que b = b0 .
Prueba.
(i) Como e; e0 son elementos neutros, tenemos que
e = e e0 = e0 :
(ii) De acuerdo a la hipótesis, tenemos que
b = b e = b (a b0 )
= (b a) b0
= e b0 = b0 :
Teorema 8.1.10 Sea : A A ! A una operación asociativa con elemento
neutro e: Supongamos que B A es el conjunto de los elementos que tienen
inverso. Muestre que B es cerrado bajo la operación :
Prueba. Primero …jemos la notación (a; b) a b y supongamos que a; b 2
B: Entonces a y b tienen inversos a 1 y b 1 ; respectivamente. Queremos
mostrar que a b 2 B: Pero, usando la asociatividad de ; tenemos que
(a b) (b
1
a
1
) = a [b (b
1
= a [(b b
1
= a [e a
1
a
) a
1
)]
1
]
]=a a
1
= e:
En forma similiar se muestra que (b 1 a 1 ) (a b) = e, de modo que, por
(ii) de la proposición anterior, concluimos
(a b)
1
=b
1
a
1
:
Esto es, a b 2 B y por lo tanto, B es cerrado bajo :
8.1. *OPERACIONES
247
Ejercicios
1. Muestre que el conjunto B = f1; 1; i; ig es cerrado bajo la operación
de multiplicación en C:
2. Considere el cojunto F(A; A) de las funciones de A en A y sea
correspondiente operación de composición de funciones.
(i) ¿Es
conmutativa?
(ii) ¿Es
asociativa?
(iii) ¿Tiene
la
elemento neutro?
(iv) ¿Cuáles elementos tienen inverso?
3. Repita el ejercicio anterior con la operación : N
como
(m; n) m n = m:
N ! N de…nida
4. Responda las preguntas del ejercicio 2: si : R R ! R es la operación
de…nida como
(x; y) x y = x + y xy:
5. Sea
la operación de diferencia de conjuntos sobre P(U ):
(i) ¿Es
conmutativa?
(ii) ¿Es
asociativa?
(iii) ¿Tiene
elemento neutro?
(iv) Muestre que la operación de unión no distribuye con respecto a
:
(v) Muestre en cambio que la intersección sí distribuye con respecto
a :
6. Sea
la operación de diferencia simétrica, esto es,
(A; B)
(i) ¿Es
conmutativa?
(ii) ¿Es
asociativa?
A M B = (A n B) [ (B n A):
(iii) ¿Existe elemento neutro para ?
(iv) ¿Cuales elementos tienen inverso?
248
CAPÍTULO 8. TÓPICOS ESPECIALES
(v) Muestre que la unión no distribuye respecto a :
(vi) Muestre que la intersección es distributiva respecto a :
7. De…namos la operación
: Q2
[(p; q); (r; s)]
Q2 ! Q2 como sigue:
(p; q) (r; s) = (pr; ps + q):
Ahora, responda las preguntas del ejercicio 2: para la operación :
8. Sea : A A ! A una operación asociativa con elemento neutro e:
Suponga que, para cierto elemento a 2 A; existe un b 2 A tal que
(a; b)
a b = e:
Es necesariamente cierto que b es un inverso de a ? Justi…que su respuesta.
9. Consideremos las operaciones de unión e intersección de…nidas en
P(R): Establezca, para cada una de las siguientes familias, cuáles de
ellas son cerradas bajo alguna de estas operaciones.
(i) La familia A de subconjuntos …nitos de R:
(ii) La familia B de subconjuntos in…nitos de R:
(iii) La familia C de subintervalos de R:
(iv) La familia D de superconjuntos de [0; 1]:
10. Sea : G G ! G una operación asociativa. Suponga que existe un
e1 2 G que satisface
(g; e1 )
g e1 = g
para todo g 2 G:
Suponga, adicionalmente, que para todo g 2 G existe un g 0 2 G tal
que g g 0 = e1:
Muestre que e1 es el elemento neutro de
inverso es g 0 .
8.2.
y que, dado g 2 G; su
*Algunas Estructuras Algebraicas
Una de las ideas más fértiles de la matemática moderna ha sido la de
estructura, la cual ha servido para conectar muchos conceptos, aparentemente no relacionados, en áreas muy variadas: Álgebra, Anális, Topología,
8.2. *ALGUNAS ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
249
para mencionar las mas obvias. A continuación bosquejaremos las estructuras algebraicas mas conocidas, con el …n de hacer mas fácil la prueba de
la unicidad de algunos de los sistemas numéricos estudiados.
En general, una estructura es un tupla de la forma
hA1 ; A2 ;
; Am ;
1;
1;
;
n;
R1 ; R2 ;
Rp ; e1 ; e1 ;
; eq i
Donde los i son operaciones (no necesariamente binarias) de…nidas sobre
algunos de los Ak , los Ri son relaciones y los ek son elementos distinguidos.
A continuación de…nimos en detalle una de las estructuras fundamentales
del Álgebra Abstracta.
8.2.1.
Grupos
De…nición 8.2.1 Un grupo es una tripleta ordenada hG; ; ei ; donde es
una operación binaria sobre G, e 2 G y, además, se satisfacen las siguientes
a…rmaciones (denominadas axiomas de grupo).
(A1) La operación
es asociativa.
(A2) El elemento e es el neutro de la operación :
(A3) Todo elemento de G tiene un inverso bajo :
Es una práctica usual decir que G es un grupo, sin mencionar especí…camente la operación o el elemento neutro e: Notemos también que, por
la proposición 8.1.9, tanto el neutro e, como los inversos de los elementos de
G; son únicos. De otro lado, si la operación es conmutativa, decimos que
G es un grupo conmutativo ( o abeliano ). Si G tiene …nitos elementos
decimos que G es un grupo …nito, en cuyo caso, se de…ne el orden del
grupo como su cardinalidad. En caso contrario, decimos que es un grupo
in…nito.
Nota 8.2.2 Una estructura de la forma hG; ; ei ; que satisface las condiciones (A1) y (A2); se denomina usualmente un semigrupo (con identidad). Si, adicionalmente, la operación es conmutativa, entonces decimos
que hG; ; ei es un semigrupo conmutativo (con identidad). Utilizando
esta terminología, podemos describir el sentido de la proposición 8.1.9, diciendo que, en todo semigrupo con identidad, el elemento neutro es único y
los inversos, cuando existen, también son únicos.
Teorema 8.2.3 Sea G un conjunto no vacío. Entonces, una estructura
hG; i ; donde es una operación sobre G; de…ne un grupo, si y sólo si
250
(i)
CAPÍTULO 8. TÓPICOS ESPECIALES
es una operación asociativa.
(ii) Cualquier ecuación de la forma a x = b o y a = b tiene solución en
G; donde a; b 2 G:
Prueba. " =) ": Supongamos que G es un grupo. Entonces es claro,
de la de…nición de grupo, que la operación es asociativa, de modo que se
satisface (i): De otro lado, dada una ecuación de la forma a x = b; hacemos
x = a 1 b y notamos que
a x = a (a
1
= (a a
1
b)
) b = e b = b:
De modo que dicha ecuación tiene solución en G: En forma similiar se soluciona la otra ecuación y así, se satisface (ii):
" (= ": Supongamos ahora que G satisface (i) y (ii): Como G 6= ;;
existe un a 2 G: Ahora, por (ii); existe un e 2 G tal que e a = a: Sea
g 2 G un elemento arbitrario. Entonces, de nuevo por (ii); existe un elemento
h 2 G tal que a h = g; lo cual implica
e g = e (a h) = (e a) h = a h = g
(1)
De otro lado, por (ii); existen g 0 y g 00 en G tales que g 0 g = e y g 00 g 0 = e:
De modo que
g g 0 = e (g g 0 ) = (g 00 g 0 ) (g g 0 )
= g 00 [(g 0 g) g 0 ] = g 00 (e g 0 )
= g 00 g 0 = e:
(2)
De donde se sigue
g0 g = e = g g0:
(3)
Por últimos, notemos que (3) implica
g e = g (g 0 g) = (g g 0 ) g = e g = g:
(4)
Pero g 2 G es arbitrario, de modo que, por (1) y (4); e es el neutro bajo
y, de (3); g 0 es el inverso de g: Luego G es un grupo.
De acuerdo al teorema anterior, podemos pensar en un grupo como una
estructura hG; ; ei ; donde es asociativa y las ecuaciones de la forma a x =
b o y a = b tienen solución. De hecho, estas soluciones son únicas, pues
la ecuación a x = b necesariamente implia que x = a 1 b; y algo similar
ocurre con y a = b: Finalmente, mencionamos que todo grupo satisface
las denominadas leyes cancelativas, cuyo sentido lo expresa la siguiente
proposición.
8.2. *ALGUNAS ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
251
Proposición 8.2.4 Sean a; b; c elementos de un grupo hG; ; ei : Entonces,
cualquiera de las igualdades
a b=a c
y
b a=b c
implica que b = c:
Prueba. Supongamos, por ejemplo, que a b = a c: Entonces, se sigue que
b = e b = (a
= a
1
1
a) b = a
(a c) = (a
1
1
(a b)
a) c = e c = c:
Con la otra iguald se procede en forma similiar, lo cual termina la demostración.
Nota 8.2.5 Notemos que, si G es un grupo y g 2 G; entonces
g
1
g=e=g
1
(g
1
)
1
;
de modo que, por las leyes cancelativas, concluimos que g = (g
1) 1:
De…nición 8.2.6 Sea H
G; donde hG; ; ei es un grupo. Entonces decimos que H es un subgrupo de G, si H es cerrado bajo y, además, satisface
los axiomas de grupo. Esto es, si la restricción de a H H es una operación
sobre H; bajo la cual, H satisface los axiomas de grupo.
Teorema 8.2.7 Sea H un subconjunto no vacío de un grupo G: Entonces
H determina un subgrupo de G; si y sólo si,
(i) H es un subconjunto cerrado bajo :
(ii) Para todo h 2 H; el inverso de h (en G) es elemento de H:
Prueba. " =) ": Supongamos que H es un subgrupo de hG; ; ei : Entonces,
como la restricción de a H H es una operación sobre H; se sigue que H
es cerrado bajo ; luego tenemos (i): De otro lado, si e1 es el neutro de en
H; entonces e1 e1 = e1 y además, es claro que, e e1 = e1 : De modo que,
por las leyes cancelativas (en G ), obtenemos e = e1 : Ahora, dado h 2 H;
sabemos que la ecuación x h = e tiene solución en H y, por otra parte,
sabemos que dicha solución (en G ) es x = h 1 : De modo que h 1 2 H y se
satisface (ii):
" (= ": Supongamos ahora que H satisface (i) y (ii): Entonces la
restricción de a H H es una operación sobre H: Además, la asociatividad
se cumple en H, pues ya sabemos que es válida en G: Por último, notemos
que como H 6= ;; existe un a 2 H; de modo que (ii) implica a a 1 = e 2 H:
Concluimos entonces que H es un subgrupo de G.
252
CAPÍTULO 8. TÓPICOS ESPECIALES
Corolario 8.2.8 Sea G un grupo y sea H
G un subconjunto no vacío.
Entonces H es un subgrupo de G; si y sólo si, a b 1 2 H; para todo a; b 2 H:
Prueba. " =) ": Si H es un subgrupo de G; entonce se sigue, del teorema
anterior, que a b 1 2 H; para todo a; b 2 H:
" (= ": Supogamos ahora que se cumple la hipótesis del corolario.
Entonces, como H 6= ;, para algún a 2 H se cumple que a a 1 = e 2 H:
Pero esto implica que h 1 = e h 1 2 H; para todo h 2 H y, por lo tanto,
dados a; b 2 H; tenemos que
a b = a (b
1
)
1
2 H:
Esto es, H es cerrrado bajo y, así, se cumplen (i) y (ii) del teorema anterior.
Concluimos que H es un subgrupo de G:
Ejemplo 8.2.9
(i) Los sistemas numéricos Z; Q; R y C; son claramente grupos. Mas especí…camente, notemos que con las convenciones mencionadas en el
capítulo seis, podemos considerar estos conjuntos ordenados de la forma
Z Q R C:
(1)
Además, la operación de adición, en cada uno de estos subconjuntos, es
simplemente la adición en C; restrengida en forma apropiada. En vista
del teorema 8.2.7, se sigue que las inclusiones en (1) son relaciones
entre subgrupos. Por último, cabe mencionar que la estructura hN; +; 0i
no es un grupo pues, obviamente, excepto el 0; ningún otro elemento
tiene inverso en N:
(ii) Consideremos ahora los conjuntos Z; Q; R y C; pero esta vez con la
operación de multiplicación. Lo primero que notamos es que Z no es un
grupo, pues claramente, sus elementos, en general, no tienen inverso
multiplicativo. De otro lado, si hacemos
Q = Q n f0g;
R = R n f0g
y
C = C n f0g;
es claro que
Q
R
C
y que estas inclusiones son de grupos bajo la multiplicación.
8.2. *ALGUNAS ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
253
Ejemplo 8.2.10 (i) Si A es un conjunto no vacío, sea G(A) el conjunto de
las biyecciones sobre A y consideremos la operación de composición.
Entonces la estructura hG(A); ; iA i es un grupo. La veri…cación de los
axiomas de grupo se reduce a la aplicación de propiedades conocidas
de las funciones biyectivas. De otro lado, este grupo no es abeliano
pues, por ejemplo, si hacemos A = N, podemos de…nir dos biyecciones
f; g : N ! N como sigue:
8
8
n=1
n=1
< 0 si
< 2 si
1 si
n=0
1 si
n=2
f (n) =
y
g(n) =
:
:
n si n 6= 0; 1:
n si n 6= 1; 2:
Entonces se sigue que f (g(1)) = 2 y g(f (1)) = 0: De modo que f g 6=
g f: El grupo hG(A); ; iA i se denomina usualmente el grupo de
permutaciones de A:
(ii) En muchas ocasiones, dado un grupo …nito G; podemos exhibir la operación mediante una tabla. Como ilustración, mostremos que el conjunto G = f1; i; 1; ig es un grupo conmutativo bajo el producto usual
de complejos.
1
i
1
i
1
1
i
1
i
i
i
1
i
1
1
i
1
i
1
i
i
1
i
1
Notemos primero que es una operación sobre G, si y sólo si, todas
las entradas en la tabla son elementos de G: Por otra parte, el que las
ecuaciones a x = b tengan solución única, signi…ca que en cada …la
debe aparecer cada elemento de G exactamente una vez. Similarmente,
las ecuaciones y a = b tienen solución única si en cada columna
aparecen los elementos de G exactamente una vez.
Una tabla que satisface estas condiciones de…ne un grupo, si y sólo si,
la correspondiente operación es asociativa. Sin embargo, no es facil,
en general, veri…car la asociatividad de la operación directamente de
la tabla, excepto en casos especiales, o cuando el número de elementos
es pequeño, como en nuestra ilustración.
Ejercicios
1. Sea G un grupo y sean g; h 2 G:Muestre que (g h)
1
=h
1
g
1:
254
CAPÍTULO 8. TÓPICOS ESPECIALES
2. Muestre que la intersección de cualquier familia no vacía de subgrupos
de un grupo G; es un subgrupo de G:
3. Sea G 6= ; un conjunto …nito y consideremos la estructura hG; i ;
donde es una operación sobre G: Muestre que G es un grupo si y
solo si es asociativa y satisface las leyes cancelativas. (Sugerencia:
Use el teorema 8.2.3 y el Principio de las Casillas).
4. Sea G un grupo …nito y H G un subconjunto no vacío. Muestre que
H determina un subgrupo, si y sólo si, H es cerrado.
5. Muestre que el conjunto
G = f(1 + 2m)=(1 + 2n) : m; n 2 Zg
es un grupo bajo la multiplicación usual.
6. Dados a; b 2 R; con a 6= 0; sea fab : R ! R la función de…nida por
fab (x) = ax + b: Muestre que el conjunto
G = ffab : a; b 2 R; a 6= 0g
es un grupo bajo la operación de composición de funciones.
7. Sean G; H grupos. Describa una forma de de…nir una estructura de
grupo sobre el conjunto G H: Si G y H son abelianos, es G H
necesariamente abeliano?
8. Describa todos los grupos de 2 elementos.
9. Describa todos los grupos de 3 elementos.
10. Describa todos los grupos de 4 elementos
8.2.2.
Anillos y Dominios Enteros
A continuación describiremos otras dos estructuras algebraicas de gran
impotancia. Algo común a estas estructuras es el hecho de que, bajo una
de las operaciones, de…nen grupos conmutativos. Es común que, para dichos grupos, la operación se denote por el signo + y el elemento neutro se
represente por 0;de modo que, en lo que sigue, adoptaremos dicha práctica. También es usual que, si es una operación binaria sobre un conjunto,
entonces se escriba ab en vez de la notación mas formal a b:
8.2. *ALGUNAS ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
255
De…nición 8.2.11 Un anillo con identidad es una estructura hR; +; ; 0; 1i ;
donde + y son operaciones sobre R; 0 y 1 son elementos diferentes en R
y, además, se cumplen las siguientes condiciones (denominadas axiomas
de anillo ).
(R1) hR; +; 0i es un grupo conmutativo (el grupo aditivo del anillo).
(R2) hR; ; 1i es un semigrupo con identidad (el semigrupo multiplicativo del anillo).
(R3) (Distributividad). Para todos los a; b; c 2 R; se cumple que:
a(b+c) = ab+ac
y
(b+c)a = ba+ca:
Dado un anillo cualquiera hR; +; ; 0; 1i y elementos a; b 2 R; decimos
que los elementos a + b y ab de R son la suma y el producto de a y b;
respectivamente. En este sentido, el inverso de a bajo la suma se denota
como a y, si existe un inverso bajo el producto, este se denota como a 1 :
En est sentido, se dice que un elemento a 2 R es una unidad si tiene un
inverso multiplicativo en R; esto es, si existe un b 2 R tal que
ab = a b = 1 = b a = ba:
De acuerdo a la proposición 8.1.9, si a es una unidad, entonces su inverso es
único. De otro lado, es claro que si a es una unidad en R entonces también
lo es su inverso multiplicativo y, entonces, de acuerdo al teorema 8.1.10,
tenemos que el subconjunto S R de unidades es cerrado bajo el producto
y por lo tanto forma un grupo bajo la operación producto. Finalmente, si
existen elementos a; b 2 R; diferentes de 0, tales que ab = 0; decimos que
dichos elementos son divisores de cero. La exigencia de que los divisores
de cero sean diferentes de 0; se debe al hecho de que, en cualquier anillo, se
puede mostrar que a0 = 0a = 0:
De…nición 8.2.12 Sea hR; +; ; 0; 1i un anillo. Entonces decimos que R es
un anillo conmutativo si hR; ; 1i es un semigrupo conmutativo. Ahora, si
R es un anillo conmutativo que carece de divisores de cero, entonces decimos
que R es un dominio entero. En otras palabras, R es un dominio entero
si R = R n f0g es un conjunto cerrado bajo el producto. Similarmente,
decimos que R es un anillo de división si R es cerrado bajo el producto
y la estructura hR ; ; 1i es un grupo. Finalmente, decimos que R es un
campo,si es un anillo de división en el cual el producto es una operación
conmutativa.
256
CAPÍTULO 8. TÓPICOS ESPECIALES
Ejemplo 8.2.13
(i) Entre los sistemas numéricos, el ejemplo típico de un anillo conmutativo con identidad es Z; junto con las operaciones usuales de adición
y multiplicación. Aún más, la estructura hZ; +; :; 0; 1i es un dominio
entero pues, claramente, el producto de dos enteros distintos de cero
debe ser distinto de cero. Por otra parte, también es claro que Z no es
anillo de división, ya que, en general, sus elementos no tienen inversos multiplicativos. En este sentido, el conjunto de unidades de Z es
precisamente el conjunto f 1g:
(ii) Continuando con los sistemas numéricos, tenemos que los conjuntos
Q
R
C;
con las operaciones usuales de adición y multiplicación, adquieren estructura de campos.
(i) Consideremos ahora el conjunto M2 (R) de las matrices 2 2 con entradas en R: Recordemos que los elementos de M2 (R) son arreglos de
la forma
a b
A=
c d
donde a; b; c; d 2 R: Ahora, de…nimos las operacione de adición en
M2 (R) como
a11 a12
b
b
a + b11 a12 + b12
+ 11 12 = 11
a21 a22
b21 b22
a21 + b21 a22 + b22
y similarmente, la multiplicación está dada por
a11 a12
a21 a22
a b + a12 b21 a11 b12 + a12 b22
b11 b12
= 11 11
:
a21 b11 + a22 b21 a21 b12 + a22 b22
b21 b22
Se puede mostrar, después de ciertos cálculos un poco tediosos, que la
estructura hM2 (R); +; ; 0; 1i es un anillo no conmutativo, donde los
elementos neutro 0 y 1 se de…nen como sigue:
0=
0 0
0 0
y
1=
1 0
:
0 1
Para veri…car que M2 (R) no es conmutativo, basta notar que
1 0
0 0
0 1
0 1
0 0
0 1
=
6=
=
0 0
0 0
0 0
0 0
1 0
:
0 0
8.2. *ALGUNAS ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
257
(ii) Generalizando lo anterior, consideramos el conjunto Mn (R) de matrices n n; con entradas en R: Generalizando la de…nición del caso
2 2; se pueden de…nir las operaciones de adición y multiplicación de
matrices y entonces, la estructura hMn (R); +; ; 0; 1i se convierte en
un anillo no conmutativo.
De…nición 8.2.14 Sea hR; +; ; 0; 1i un dominio entero. Entonces un anillo S es un subanillo de R si y sólo si S
R y las restricciones de las
operaciones de suma y producto de R al conjunto S S; generan las correspondientes operaciones en S: Ahora, si R es un campo, entonces otro
campo T es un subcampo de R si y sólo si, T
R y las restricciones de
las operaciones de suma y producto de R al conjunto T T; generan las
correspondientes operaciones en T:
Ejemplo 8.2.15 Consideremos las inclusiones usuales de los sistemas numéricos
Z Q R C:
Entonces, si consideramos estos conjuntos con las operaciones usuales, se
sigue que Z es un subanillo de Q y, por lo tanto de los otros sistemas.
Además, las restantes estructuras son subcampos de las que le siguen. Esto
es, Q es subcampo de R y C y, por último, R es un subcampo de C:
Ejercicios
1. Muestre que en la de…nición de anillo, la condición de que los elementos
0 y 1 sean diferentes, se puede remplazar por la de que R tenga un
elemento distinto de 0:
2. Muestre que el conjunto
p
R = fa + b 5 : a; b 2 Zg
con las operaciones de adición y multiplicación usuales, tiene estructura de anillo.
3. Muestre que un anillo R es un dominio entero, si y sólo si, para todo
a; b; c 2 R; con b 6= 0; se cumple que ba = bc implica a = c:
4. Sea R un anillo que satisface la condición a2 = a: Muestre que R es
un anillo conmutativo y, además, cada elemento de R es igual a su
negativo. (Sugerencia: note que a + b = (a + b)2 implica ab + ba = 0:)
258
CAPÍTULO 8. TÓPICOS ESPECIALES
5. Muestre que todo dominio entero …nito es un anillo de división.
6. Sea F un campo y S = fGi : i 2 Ig una familia de subcampos de F:
Muestre que \S es un subcampo de F:
7. Sea F un campo y sean a; b 2 F; elementos distintos. De…namos dos
operaciones y , en F; como sigue:
x
y =x+y
a
y
x
y = a + (x
a)(y
b)(b
a)
1
:
Muestre que la estructura hF; ; ; a; bi es un campo.
8. Sea R un dominio entero y S R: Muestre que S es un subanillo de
R si y sólo si se satisfacen las siguientes condiciones:
(i) Para todo a; b 2 S; se tiene que (a
(ii) S es cerrado bajo el producto.
b) 2 S:
9. Sea F un campo y sea K F: Muestre que K es un subcampo de F
si y sólo si se satisfacen las siguientes condiciones:
(i) Para todo a; b 2 K, se tiene que (a
b) 2 K:
(ii) Para todo a; b 2 K; con b 6= 0; se cumple que ab
1
2 K:
10. Muestre que existe un campo con cuatro elementos.
8.3.
Propiedades Básicas de los Campos
De…nición 8.3.1 Un campo es una estructura hF; +; ; 0; 1i ; donde los símbolos + y representan operaciones binarias sobre el conjunto F y, además,
0 y 1 son dos elementos de F; con 0 6= 1; que satisface las siguientes
propiedades (denominadas axiomas de campo):
(A1) (Conmutatividad). Para todo x; y 2 F; se tiene que
x + y = y + x:
(A2) (Asociatividad). Para todo x; y; z 2 F se cumple
x + (y + z) = (x + y) + z:
8.3. PROPIEDADES BÁSICAS DE LOS CAMPOS
259
(A3) (Existencia de elemento neutro). Para todo x 2 F
x+0 = x:
(A4) (Existencia de inversos). Dado x 2 F , existe un ( x) 2 F tal que
x + ( x) = 0:
(M1) (Conmutatividad). Para todo x; y 2 F; se tiene que
x y = y x:
(M2) (Asociatividad). Para todo x; y; z 2 F se cumple
x (y z) = (x y) z:
(M3) (Existencia de elemento neutro). Para todo x 2 F
x 1 = x:
(M4) (Existencia de inversos). Para todo x 2 F , con x 6= 0; existe un
x 1 2 F tal que
x x 1 = 1:
(D) (Distributividad). Para todo x; y; z 2 F se tiene que
x (y + z) = x y + x z:
Nota 8.3.2 Dado un campo arbitrario, la práctica usual es escribir
x
x
y; ; x + y + z; xy; xyz; x2 ; 2x; ::::
y
en vez de
x + ( y); x y
1
; (x + y) + z; x y; (x y) z; x x; x + x; ::::
De otro lado, para distinguir las operaciones binarias en un campo arbitrario, de las operaciones familiares de adición y multiplicación, las primeras
se representan por símbolos en negrilla, por ejemplo, +; y algo similar
ocurre con los elementos neutros 0 y 1: Finalmente, cuando las operaciones
se conocen implícitamente, abusamos de la notación y decimos que F es un
campo.
260
CAPÍTULO 8. TÓPICOS ESPECIALES
Proposición 8.3.3 Sea F un campo y supongamos que x; y; z 2 F: Entonces se cumplen las siguientes a…rmaciones:
(i) Si x + y = x + z; entonces y = z:
(ii) Si x + y = x; entonces y = 0:
(iii) Si x + y = 0; entonces y =
(iv)
x:
( x) = x:
Notemos que la a…rmación (i) es la ley cancelativa para la operación +
y los numerales (ii) y (iii) a…rman la unicidad del elemento neutro y de los
inversos bajo +:
Prueba.
(i) Si x+y = x+z, entonces, aplicando los axiomas (A1) (A4 ) obtenemos
y = 0+y = ( x + x) + y
= ( x) + (x + y) = ( x) + (x + z)
= [( x) + x] + z
= 0+z = z:
(ii) Si x + y = x; se sigue del axioma (A3) que x + y = x +0 : Luego, si
aplicamos (i); obtenemos y = 0:
(iii) Supongamos que x + y = 0; entonces, por el axioma (A4); se tiene que
x + y = x + ( x); de modo que si aplicamos (i) obtenemos y = x:
(iv) Notemos que
x = ( x):
x + x = 0; de modo que, si aplicamos (iii); obtenemos
Proposición 8.3.4 Sea F un campo y supongamos que x; y; z 2 F: Entonces se cumplen las siguientes a…rmaciones:
(i) Si x 6= 0 y xy = xz; entonces y = z:
(ii) Si x 6= 0 y xy = x; entonces y = 1:
8.3. PROPIEDADES BÁSICAS DE LOS CAMPOS
(iii) Si x 6= 0 y xy = 1; entonces y = x
(iv) Si x 6= 0; entonces (x
1) 1
261
1:
= x:
Notemos que la a…rmación (i) es la ley cancelativa para la operación y
los numerales (ii) y (iii) a…rman la unicidad del elemento neutro y de los
inversos bajo :
Prueba.
(i) Si x 6= 0 y xy = xz; entonces; aplicando los axiomas (M 1)
obtenemos
y = 1y = (x
= (x
= [(x
1
1
x)y
)(xy) = (x
1
(M 4 );
1
)(xz)
)x]z
= 1z = z:
(ii) Si x 6= 0 y xy = x; se sigue del axioma (M 3) que xy = x1: Luego, si
aplicamos (i); obtenemos y = 1:
(iii) Supongamos que x 6= 0 y xy = 1; entonces, por el axioma (M 4);
se tiene que xy = x(x 1 ); de modo que si aplicamos (i) obtenemos
y = x 1:
(iv) Notemos que x
x = (x 1 ) 1 :
1x
= 1; de modo que, si aplicamos (iii); obtenemos
Proposición 8.3.5 Sea F un campo y supongamos que x; y; z 2 F: Entonces se cumple lo siguiente:
(i) 0x = 0:
(ii) Si x 6= 0 y y 6= 0; entonces xy 6= 0:
(iii) ( x)y =
(xy) = x( y):
(iv) ( x)( y) = xy:
262
CAPÍTULO 8. TÓPICOS ESPECIALES
Prueba.
(i) Por el axioma (D) tenemos que 0x = (0 + 0)x = 0x + 0x: De modo que
si aplicamos (ii) de la proposición 8.3.3, obtenemos 0x = 0:
(ii) Supongamos que x 6= 0 y y 6= 0 pero que, sin embargo, xy = 0: Entonces
se sigue que
1
1 = y
= (y
x
1
x
1
xy =
1
)0 = 0;
lo cual es imposible.
(iii) Primero notemos que
xy + ( x)y = [x + ( x)]y
= 0y = 0:
De modo que si aplicamos (iii) de la proposición 8.3.3, obtenemos que
( x)y = (xy): De otro lado,
xy + x( y) = x[y + ( y)]
= x0 = 0;
lo cual implica similarmente que, x( y) =
la a…rmación.
(xy): De donde se sigue
(iv) Aplicando el numeral (iii) obtenemos
( x)( y) =
[x( y)] =
[ (xy)];
de modo que aplicando (iv) de 8.3.3 se sigue la a…rmación.
De…nición 8.3.6 Si hF; +; ; 0; 1i es un campo, decimos que F es un campo ordenado si existe un subconjunto F + F , que satisface las siguientes
propiedades:
(O1) Dados x; y 2 F + ; se tiene que x + y 2 F + y xy 2 F + :
8.3. PROPIEDADES BÁSICAS DE LOS CAMPOS
263
(O2) Para todo x 2 F se cumple exactamente una de las siguientes
condiciones:
x 2 F +;
x = 0;
( x) 2 F + :
Los elementos de F + se denominan elementos positivos de F:Similarmente,
los x tales que ( x) 2 F + se denominan elementos negativos de F y …nalmente, los elementos del conjunto F + [ f0g se denominan elementos
no negativos de F:
Proposición 8.3.7 Un campo F es bien ordenado si y sólo si se puede
de…nir sobre F un orden lineal < que satisface las siguientes propiedades:
(i) Dados x; y; z 2 F , si x < y entonces x + z < y + z:
(ii) Dados x; y 2 F; si x > 0 y y > 0; entonces xy > 0 :
Prueba. Sea F un campo ordenado y de…namos la relación < para elementos x; y 2 F como sigue:
x < y si y sólo si (y
x) 2 F + :
Primero notemos que si x < y y y < z; entonces (y x) 2 F + y (z y) 2 F + ;
de modo que
(z y) + (y x) = (z x) 2 F + ;
esto es, x < z: De modo que la relación < es transitiva. De otro lado,
x < x es imposible, pues (x
x) = 0 2
= F + por (O2) de la de…nición
8.3.6. Similarmente, dados x; y 2 F , la condición (O2) implica que si x 6= y
entonces (x y) 2 F + o (y x) 2 F + ; esto es, x < y o y < x: Concluimos
que < es un orden lineal. Veamos que < satisface las condiciones (i) y (ii)
de la proposición. En cuanto a la condición (i); supongamos que x < y.
Entonces
[(y + z) (x + z)] = (y x) 2 F + ;
de modo que x + z < y + z: Respecto a la condición (ii); si x > 0 y y > 0;
entonces x; y 2 F + ; de modo que (xy 0) = xy 2 F + ; lo cual signi…ca que
xy > 0 :
Para establecer la otra dirección, sea < un orden lineal que satisface las
condiciones (i) y (ii) de la proposición y mostremos que F es un campo
ordenado, esto es, que se satisfacen las condiciones de la de…nición 8.3.6.
Para empezar, hacemos
F + = fx 2 F : x > 0g:
264
CAPÍTULO 8. TÓPICOS ESPECIALES
Notemos que si x; y 2 F + ; entonces x > 0 y y > 0 y, por (ii); concluimos
xy > 0; esto es, xy 2 F + : Además, se sigue de (i) que
x + y > 0+ y = y > 0;
luego, por la transitividad de <; obtenemos x + y > 0; esto es, x + y 2 F + :
Para establecer (O2); sea x 2 F un elemento arbitrario. Entonces, como
< es un orden lineal, sabemos que los elementos x; 0 son comparables, esto
es, se cumple al menos una de las a…rmaciones siguientes:
x > 0;
x = 0;
0 > x:
Pero la condición (i) implica que 0 > x equivale a
x = 0+( x) > x + ( x) = 0;
de modo que se cumple al menos una de las condiciones
x > 0;
x = 0;
De otro lado, si suponemos x > 0 y
x >0:
x > 0, entonces (i) implica que
0 = x + ( x) > 0+ ( x) > 0;
lo cual es imposible, pues <es irre‡exiva, de modo que, en realidad, se
cumple exactamente una de las condiciones
x 2 F +;
x = 0;
( x) 2 F + :
De donde se sigue que F es un campo ordenado.
Dado un campo ordenado F; con la correspondiente relación de orden <;
es común escribir b > a en vez de a < b: Similarmente, a b signi…ca a < b
o a = b y, por último, a < b < c es una abreviación de las a…rmaciones
a < b y b < c:
Proposición 8.3.8 Sea F un campo ordenado y sean x; y; z 2 F: Entonces,
si < es el orden de la proposición anterior, se sigue que:
(i) x > 0 si y sólo si ( x) < 0 :
(ii) Supongamos que x > 0 y y < z; entonces xy < xz:
(iii) Supongamos que x < 0 y y < z; entonces xy > xz:
8.3. PROPIEDADES BÁSICAS DE LOS CAMPOS
265
(iv) Si x 6= 0 entonces x2 > 0 : En particular 1 > 0:
(v) Si 0 < x < y entonces 0 < 1=y < 1 =x:
Prueba.
(i) Si x > 0 entonces
0 = x + ( x) > 0+ ( x) =
x:
Similarmente, si ( x) < 0; entonces
0 = ( x) + x < 0+ x = x:
(ii) Supongamos que x > 0 y y < z: Entonces z y > y
implica que
xz xy = x(z y) > 0
y = 0;lo cual
y por lo tanto
xz = (xz
xy) + xy > 0+ xy = xy:
(iii) De (i) tenemos que ( x) > 0 y entonces (ii) implica
Por lo tanto,
xy <
xz:
xz = (xz + xy) + ( xy) < (xz + xy) + ( xz) = xy:
(iv) Si x > 0; entonces, por la condición (ii) de la proposición 8.3.7 obtenemos que x2 > 0 : Similarmente, si x < 0; entonces x > 0 y
obtenemos de nuevo, x2 = ( x)( x) > 0 : Por último, notemos que
1 = 12 > 0 :
(v) Sea y > x > 0 : Entonces, si x 1
0; obtenemos 1 = xx 1
0;
1
lo cual es absurdo. Se sigue entonces que x
> 0 : En forma similar obtenemos y 1 > 0 y, por lo tanto, y 1 x 1 > 0 :Pero entonces,
aplicando (ii); obtenemos
0<y
1
= (y
1
x
1
)x < (y
1
x
1
)y = x
1
:
266
8.4.
CAPÍTULO 8. TÓPICOS ESPECIALES
Unicidad de los Números Reales
En lo que sigue, la estructura hF ; ; ; C ;0; 1i denotará un campo con
operaciones binarias y de “suma”y “producto”y con un orden C : Sus
elementos neutros para la suma y el producto son 0 y 1; respectivamente.
Para facilitar el enunciado de las a…rmaciones que siguen, es conveniente
adoptar la siguiente notación, para m; n 2 Z :
n
m
r
(1
|
(1
|
m=n = m
Donde el símbolo
:
1
1)para n > 0
}
{z
jnj veces
1
{z
1) para m < 0.
}
jmj veces
n
1
para r = m=n, con n 6= 0:
m denota el inverso de m con respecto a la operación
Lema 8.4.1 Sea hF ; ; ; C ;0; 1i un campo ordenado y sea g : Z ! F la
función de…nida como
g(0) = 0;
g(n) = n
g(m) =
si n 2 Z+ ;
m
si ( m) 2 Z+ :
Entonces, para todos los enteros m; n se satisface que
g(m + n) = g(m)
g(n);
(1)
g(m:n) = g(m)
g(n):
(2)
Prueba. Probaremos primero, por inducción, que dado un m
entonces, para todo n 2 Z, se cumplen las ecuaciones (1) y (2):
Claramente, si m = 0; tenemos que, para todo n 2 Z;
g(0 + n) = g(n) = 0
g(n) = g(0)
g(n)
g(0:n) = g(0) = 0
g(n) = g(0)
g(n):
De otro lado, para m = 1; consideramos a la vez dos casos:
(i) n
0: En este caso tenemos que
g(1 + n) = 1
n=1
g(1:n) = g(n) = 1
g(n) = g(1)
g(n) = g(1)
g(n)
g(n):
0 (…jo)
8.4. UNICIDAD DE LOS NÚMEROS REALES
(ii) n
1: Notemos que, 1 + n
g(1 + n) =
267
0; luego
g(jnj
1) = 1
g(1:n) = g(n) =
( g(jnj)) = g(1)
g(jnj) = 1
g(n);
( g(jnj)) = g(1)
g(n):
Hemos probado entonces que, para m = 1 (…jo) y para todo n 2 Z; se
cumplen las igualdades (1) y (2): Supongamos ahora que dichas ecuaciones
se cumplen para un m
0 (…jo) y para todo n 2 Z: Mostremos, para
completar la inducción, que también se satisfacen para m + 1 y cualquier
n 2 Z:
g((m + 1) + n) = g(m + (1 + n)) = g(m)
g(1 +(hip.
n) inductiva)
= g(m)
g(n):
g(1)
g(n) = g(m + 1)
Lo cual implica, por el principio de inducción, que para todo m
n 2 Z se cumple
g(m + n) = g(m) g(n):
Pero esto implica que si m
g(m + n) =
0 y todo
1 y n 2 Z; entonces
g( m + ( n)) =
= [ g( m)]
fg( m)
[ g( n)] = g(m)
g( n)g
g(n):
De donde concluimos que la ecuación (1) se satisface para todo m; n 2 Z:
Ahora, podemos veri…car que si (2) se cumple con m 0 (…jo) y cualquier
n 2 Z; entonces lo mismo es cierto para m + 1 :
g((m + 1):n) = g(m:n + n) = g(m:n)
= [g(m)
g(n)]
= [g(m)
1] g(n)
= g(m + 1)
g(n)
g(n)
(hip. inductiva)
g(n):
Concluimos entonces, de nuevo por inducción, que para todo m
n 2 Z se cumple
g(m:n) = g(m) g(n):
Pero esto implica que si m
g(m:n) =
=
0 y todo
1 y n 2 Z; entonces
g( (m:n)) =
[g( m)
= g(m)
g(( m):n)
g(n)] = [ g( m)]
g(n)
g(n):
Lo cual signi…ca que la ecuación (2) se cumple para todo m; n 2 Z:
268
CAPÍTULO 8. TÓPICOS ESPECIALES
Lema 8.4.2 Sea hF ; ; ; C ;0; 1i un campo ordenado y sea h : Q ! F la
función de…nida como
h(m=n) = m=n = m
n
1
:
Entonces, para todos los racionales r; s se satisface que
h(r + s) = h(r)
h(s);
(1)
h(r:s) = h(r)
h(s)
(2)
y además
r<s
implica
h(r) C h(s):
(3)
Prueba. Primero notemos que la función h está bien de…nida, pues si n 2 Z+
entonces n = h(n) = (1 1
1) 6= 0 y además, si m=n = p=q entonces
mq = pn; lo cual implica que m q = p n (por el lema anterior) y por
lo tanto
m n 1 = p q 1:
Ahora, supongamos que r = m=n y s = p=q; entonces
r+s=
m:q + p:n
qn
y por el lema anterior se tiene que
m:q + p:n
)
q:n
= [(m q) (p
f (r + s) = f (
= (m=n)
n)]=(q
(p=q) = f (r)
n) (lema anterior)
f (s):
Lo cual veri…ca (1): Similarmente, para veri…car (2); basta notar que
m:p
) = (m p)=(q
q:n
= (m=n) (p=q) = f (r)
f (r:s) = f (
n)
(lema anterior)
f (s):
Finalmente, notemos que si a; b 2 Z; entonces
a:b > 0 si y sólos si a
b B 0:
Pero, obviamente, r < s si y sólo si (s r) > 0 si y sólo si (np
Por lo tanto, se tiene que r < s si y sólo si
(np
mq)=nq > 0 si y sólo si (n
p
m
q)=(n
mq)=nq > 0:
q) B 0
8.4. UNICIDAD DE LOS NÚMEROS REALES
269
si y solo si
m=n B 0 si y sólo si m=n C p=q:
p=q
Esto es,
f (r) C f (s):
r < s si y sólo si
De…nición 8.4.3 Sea hF ; ; ; C ;0; 1i un campo ordenado, entonces de…nimos
N = fn : n 2 Ng
Z = fm : m 2 Zg
Q = fm=n : m; n 2 Z y n 6= 0g:
El subconjunto Q se denomina, el subcampo racional de F .
De…nición 8.4.4 Sea hF ; ; ; C ;0; 1i un campo ordenado, decimos que
F satisface la propiedad Arquimediana ( o que F es Arquimediano )
si para cada par de elementos a; b 2 F; con a B 0; existe un n 2 Z+ tal que
(n a) B b .
Teorema 8.4.5 Sea hF ; ; ; C ;0; 1i un campo Arquimediano y sean a; b 2
F con a C b: Entonces existe un m=n 2 Q tal que a Cm=n C b: Esto es,
Q es denso en F .
Prueba. Supongamos primero que a B 0. Ya que (b
n 2 Z+ tal que [n (b a)] B 1; de modo que tenemos
(n b) B [(n
a)
1]:
a) B 0, existe un
(1)
En forma similar, existe un m 2 Z+ tal que m = (m 1) B (n a):
Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que m es el mínimo entero
con dicha propiedad, lo cual implica
m B (n a) D (m
1):
Pero entonces, (1) implica que
(n b) B (m
1)
1 = m B (n a):
De donde se sigue que
a Cm=n C b:
270
CAPÍTULO 8. TÓPICOS ESPECIALES
De otro lado, si a E 0, entonces existe un p 2 Z+ tal que p B ( a); lo
cual implica que (a p) B 0. Ahora, si aplicamos la primera parte de la
demostración, tenemos que se cumple
(a
p) Cm=n C (b
p);
por lo tanto
a C (m=n
donde (m=n
p) C b;
p) 2 Q:
Teorema 8.4.6 Todo campo hF ; ; ; C ;0; 1i ; ordenado y completo es un
campo Arquimediano.
Prueba. Razonemos por el absurdo y supongamos que existen a; b 2 F ; con
a > 0; tales que b D (n a) para todo n 2 Z+ : Se sigue entonces que b es
una cota superior del conjunto
A = f(n a) : n 2 Z+ g:
Ahora, por la completez de F ; existe el elemento c = sup A: Pero esto
implica que para todo m 2 Z+ se cumple la relación
[(m + 1)
a] E c;
de donde se sigue que
(m a) E c
a:
Esto es, c a es una cota superior del conjunto A, lo cual es imposible, pues
claramente (c a) C c:
Corolario 8.4.7 Si hF ; ; ; C ;0; 1i es un campo ordenado y completo,
entonces su subcampo racional Q es denso en F :
De…nición 8.4.8 Consideremos dos campos ordenados hF 1 ; +; :; <; 0; 1i y
hF 2 ; ; ; C ;0; 1i : Decimos que dichos campos son isomorfos, si existe
una función f : F 1 ! F 2 que satisface las siguientes propiedades:
(1) f es biyectiva.
(2) Para todo x; y 2 C1 se cumple que
f (x + y) = f (x)
f (x:y) = f (x)
f (y)
f (y) .
8.4. UNICIDAD DE LOS NÚMEROS REALES
271
(3) Para todo x; y 2 C1 se tiene que
x<y
f (x) C f (y) .
si y sólo si
En esta situación decimos que las operaciones (y la relación de orden)
se preservan y que f es un isomor…smo de F 1 en F 2 :
Teorema 8.4.9 Sea F un campo ordenado y completo, entonces F es isomorfo a R:
Prueba. Debemos de…nir una función f : R ! F y mostrar que es un
isomor…smo. La idea es empezar de…niendo la función sobre Z, luego usar
la condición (2) de la de…nición anterior para extenderla a Q y, …nalmente,
haciendo uso de la completez, extenderla a todo R: Empezamos con los
enteros:
f (0) = 0;
f (n) = n; si n 2 Z+ ;
f (m) =
m, si ( m) 2 Z+ :
Claramente, en virtud del lema 8.4.1, tenemos que la función f , así de…nida,
preserva las operaciones. Esto es, si m; n son enteros, entonces se cumple
f (m + n) = f (m)
f (m:n) = f (m)
f (n);
f (n) .
Ahora extendemos la función f a los racionales mediante la igualdad
f (m=n) = m=n = m
n
1
:
(1)
De nuevo, por el lema 8.4.2, tenemos que f preserva las operaciones (y la
relación !). Esto es, si r; s son números racionales, entonces se cumple que
f (r + s) = f (r)
f (s);
(2)
f (r:s) = f (r)
f (s)
(3)
y además
r<s
implica
f (r) C f (s) .
(4)
Ahora, para extender f a R; asociamos con cada x 2 R; el subconjunto de
C de…nido como
Ax = ff (r) : r 2 Q y r < x g:
(5)
272
CAPÍTULO 8. TÓPICOS ESPECIALES
Notemos que, por (4) y la densidad de Q en R; el conjunto Ax es no vacío y
acotado superiormente. De modo que podemos de…nir f (x) como el supremo de Ax , esto es, f (x) = sup Ax . Sin embargo, cuando x 2 Q; tenemos
otra manera de de…nir f (x) : la correspondiente a la igualdad (1): Antes
de proseguir, debemos mostrar que ambas coinciden, esto es, tenemos que
demostrar que para todo racional s se cumple
f (s) = sup As .
Primero notamos que si r < s entonces, por (4); f (r) C f (s); lo cual implica
que f (s) es cota superior de As y por lo tanto
sup As E f (s):
De otro lado, si sup As C f (s); entonces, por la densidad de Q en F (ver
corolario 8.4.7) existe un r = m=n tal que
sup As C r C f (s):
Pero, entonces, se deduce de (4); que r < s; lo cual implicaría f (r) = r E
sup As (absurdo). Concluimos entonces que f (s) = sup As y, por lo tanto, la
función f : R ! F está bien de…nida. Ahora, mostraremos que f satisface
las condiciones que caracterizan un isomor…smo.
Empezamos mostrando que se preserva el orden: Supongamos que x; y 2
R con x < y: Entonces por la densidad de Q; existen r; s 2 Q tales que
x < r < s < y:
Pero entonces, se sigue de (4) y (5) que
f (x) = sup Ax E f (r) C f (s) E sup Ay = f (y):
Mostremos ahora que f es biyectiva. Claramente, como se preserva el
orden, entonces por tricotomía se sigue que f es inyectiva. Veamos que f
también es sobreyectiva. Sea c 2 F un elemento arbitrario y de…namos el
conjunto
Bc = fr 2 Q : f (r) C cg:
Por la densidad de Q en F existen r; s 2 Q tales que
f (r) C c C f (s);
8.4. UNICIDAD DE LOS NÚMEROS REALES
273
lo cual implica que r 2 Bc y que s es una cota superior de Bc : Sea entonces
x = sup Bc y mostremos que f (x) = c: Por el absurdo, supongamos que
f (x) C c: Entonces existe un r 2 Q tal que
f (x) C f (r) C c;
lo cual implica, por un lado, que r 2 Bc y por el otro, que x < r; pero
esto contradice el hecho de que x = sup Bc : Similarmente, si suponemos que
c C f (x) entonces existe un s 2 Q tal que c C f (s) C f (x): Pero esto implica
que s < x = sup Bc y, por lo tanto, s < r < x, para algún r 2 Bc : De donde
se sigue que c C f (s) C f (r) C c; imposible. Solo nos queda entonces la
posibilidad f (x) = c:
Ahora mostraremos que f preserva las operaciones. Mostraremos primero
que si x; y 2 R; entonces
f (x + y) = f (x)
f (y):
Supongamos entonces que r < x + y, con r 2 Q: Entonces r
lo tanto existe un s 2 Q tal que
r
x < y y por
x < s < y;
luego podemos escribir r = s + (r
que
s); donde (r
f (r) = f (s + t) = f (s)
E sup Ay
= f (x)
s) = t < x: Esto implica
f (t)
sup Ax
f (y):
De donde se sigue que
f (x + y) = sup Ax+y E f (x)
Ahora, si f (x + y) C f (x)
f (y):
f (y); existe un r 2 Q tal que
f (x + y) C f (r) C f (x)
f (y);
lo cual implica que x + y < r y entonces existe un t 2 Q tal que
y<t<r
luego podemos escribir r = t + (r
sigue que
f (x) f (y) C f (s)
x;
t); con x < s = (r
t): De donde se
f (t) = f (s + t) = f (r);
274
CAPÍTULO 8. TÓPICOS ESPECIALES
lo cual es imposible. Concluimos entonces que f (x + y) = f (x)
Finalmente, mostremos que si x; y 2 R; entonces se cumple
f (x:y) = f (x)
f (y):
f (y):
Empecemos suponiendo que x; y 2 R+ y sea r < x:y; con r 2 Q+ : Entonces
r=x < y y por lo tanto existe un s 2 Q+ tal que
r=x < s < y;
luego podemos escribir r = s:(r=s); donde (r=s) = t < x:Esto implica que
f (r) = f (s:t) = f (s)
E sup Ay
= f (x)
f (t)
sup Ax
f (y):
Por lo tanto
f (x:y) = sup Ax:y E f (x)
Ahora, si suponemos que f (x:y) C f (x)
f (y):
f (y); existe un r 2 Q+ tal que
f (x:y) C f (r) C f (x)
f (y):
Por consiguiente x:y < r y para algún t 2 Q+ se tiene que
y < t < r=x;
lo cual implica que r = t:(r=t); con x < s = (r=t): De donde se sigue que
f (x)
f (y) C f (s)
f (t) = f (s:t) = f (r);
lo cual es absurdo y concluimos entonces que para x; y 2 R+ se cumple
f (x:y) = f (x)
f (y):
(6)
Ahora, extenderemos (6) a todos los reales x; y: Si x = 0 o y = 0; entonces (6)
se cumple trivialmente. De otro lado, si x; ( y) 2 R+ , entonces aplicamos
(6); junto con las otras propiedades ya demostradas para f; y obtenemos
f (x:y) =
f (x:( y)) =
= f (x)
[f (x)
f ( y)]
[ f ( y)] = f (x)
f (y):
El caso ( x); y 2 R+ se obtiene del anterior intercambiando x por y y,
…nalmente, si ( x); ( y) 2 R+ ; entonces
f (x:y) = f [( x):( y)] = f [( x)]
= [ f (x)]
[ f (y)] = f (x)
f [( y)]
f (y):
De donde se sigue que la igualdad (6) se cumple para todo x; y 2 R. Hemos
probado, entonces, que la función f es un isomor…smo.
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