diapos6 MAT1 BCT

Tema 6. Geometria en el pla
Tema 6. Geometria en el pla
Carlos Giménez Cañadas
24 de febrer de 2014
Tema 6. Geometria en el pla
Continguts
1
Definició de vector i operacions
2
Coordenades d’un vector
3
Operacions amb vectors
4
Producte escalar
5
Aplicacions del producte escalar
6
Aplicacions dels vectors
7
Equacions de la recta
8
Posicions relatives
9
Distàncies
10
Angles
Tema 6. Geometria en el pla
Definició de vector i operacions
Un vector és un segment orientat determinat per dos punts, A i B,
i l’ordre dels punts. El primer punt és l’origen i el segon l’extrem, i
~
es denota AB.
Un vector té els elements següents:
~
Mòdul: És la longitud del segment AB. S’escriu |AB|.
Direcció: És la recta sobre la qual està situat el vector. Dos
vectors ténen la mateixa direcció si estan sobre la mateixa
recta o rectes paral·leles.
Sentit: És la manera de recórrer el segment, o sigui, fixar
~ i BA
~ ténen la mateixa direcció i mòdul,
l’origen i l’extrem. AB
però diferent sentit.
Tema 6. Geometria en el pla
Coordenades d’un vector
−→
Les coordenades d’un vector AB són les coordenades del punt
extrem menys les del punt origen:
~ = (b1 − a1 , b2 − a2 ).
A = (a1 , a2 ), B = (b1 , b2 ), AB
Exemple
−→
El vector AB entre els punts A = (2, 3) i B = (1, 4) és el vector
−→
AB = (1 − 2, 4 − 3) = (−1, 1)
q
El mòdul d’un vector ~v = (v1 , v2 ) és |~v | = v12 + v22
Exemple
El mòdul del vector ~v = (3, 4) és |~v | =
p
32 + 4 2 = 5
Tema 6. Geometria en el pla
Definició de vector i operacions
Dos vectors són paral·lels si ténen la mateixa direcció. En
coordenades, si u~ = (u1 , u2 ), ~v = (v1 , v2 ) −→ uv11 = uv22
Exemple
Els vectors u~ = (3, 2), ~v = (−6, −4) són paral·lels.
Tema 6. Geometria en el pla
Operacions amb vectors
Ara anem a aprendre com operar amb els vectors.
La suma de dos vectors u~ = (u1 , u2 ), ~v = (v1 , v2 ) és un altre vector
u~ + ~v = (u1 , u2 ) + (v1 , v2 ) = (u1 + v1 , u2 + v2 )
La resta de dos vectors u~ = (u1 , u2 ), ~v = (v1 , v2 ) és un altre vector
u~ − ~v = (u1 , u2 ) − (v1 , v2 ) = (u1 − v1 , u2 − v2 )
Exemple
Si tenim els vectors u~ = (3, 2), ~v = (1, 5), la seva suma és
u~ + ~v = (3 + 1, 2 + 5) = (4, 7).
La seva resta és u~ − ~v = (3 − 1, 2 − 5) = (2, −3)
Tema 6. Geometria en el pla
Operacions amb vectors
La multiplicació d’un nombre k per un vector ~v = (v1 , v2 ) és un
altre vector k · ~v = (kv1 , kv2 )
Exemple
Donat un vector u~ = (3, 2), el seu producte per 3 és
3 · u~ = (3 · 3, 3 · 2) = (9, 6)
Tema 6. Geometria en el pla
Producte escalar
El producte de dos vectors u~, ~v , és u~ · ~v ,i és el nombre que es
calcula amb la següent expressió:
u~ · ~v = |~
u | · |~v | · cos α
On α és l’angle que formen els dos vectors.
Tema 6. Geometria en el pla
Producte escalar
Exemple
Si u~ = (0, 2), ~v = (3, 3) i sabem que l’angle que formen és de 45
graus, tenim:
|~
u| =
|~v | =
√
22 = 2
p
√
√
32 + 32 = 18 = 3 2
√
√
u~ · ~v = 2 · 18 · cos 45 = 2 · 3 2 ·
√
2
=6
2
Tema 6. Geometria en el pla
Producte escalar
També es pot calcular, en coordenades, amb la següent expressió.
Si u~ = (u1 , u2 ), ~v = (v1 , v2 ), tenim que u~ · ~v = u1 · v1 + u2 · v2
Exemple
En l’exemple d’abans, Si u~ = (0, 2), ~v = (3, 3), el calculem:
u~ · ~v = 0 · 3 + 2 · 3 = 6
Tema 6. Geometria en el pla
Producte escalar
Algunes observacions interessants són:
El producte escalar de dos vectors és zero si són
perpendiculars.
El mòdul el quadrat és igual al producte escalar d’un vector
per si mateix.
El producte escalar és commutatiu. u~ · ~v = ~v · u~
~ = u~ · w
~ + ~v · w
~.
El producte escalar és distributiu.(~
u + ~v ) · w
Tema 6. Geometria en el pla
Aplicacions del producte escalar
Si tenim dos vectors u~, ~v , per calcular l’angle de dos vectors n’hi
ha prou en fer-ho amb l’expressió que es dedueix de les dos formes
del producte escalar:
cos α =
u~ · ~v
|~
u | · |~v |
Exemple
Calcular l’angle entre els vectors u~ = (0, 2), ~v = (3, 3)
cos α =
0·3+2·3
6
√
= = 1 −→ α = arccos 1 = 45
6
2 · 18
Tema 6. Geometria en el pla
Aplicacions del producte escalar
D’altra banda, és interessant saber trobar un vector perpendicular
a un altre. Si tenim un vector u~ = (u1 , u2 ), un vector
perpendicular a ell serà ~v = (−u2 , u1 ). Altres vectors es trobaran
multiplicant aquest per qualsevol nombre.
Exemple
Un vector perpendicular del vector ~v = (3, 5) és el vector
~ = (−5, 3)
w
Tema 6. Geometria en el pla
Aplicacions dels vectors
La distància entre dos punts A = (x1 , y1 ), B = (x2 , y2 ), és igual a
~
|AB|:
q
~ = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2
d(A, B) = |AB|
Exemple
Distància entre els punts A = (4, 5), B = (7, 9)
q
~ = (7 − 4)2 + (9 − 5)2 = 5
d(A, B) = |AB|
Tema 6. Geometria en el pla
Aplicacions dels vectors
El punt mitjà d’un segment d’extrems A = (x1 , y1 ), B = (x2 , y2 ) és
igual a:
M=(
x1 + x2 y1 + y2
,
)
2
2
Exemple
Punt mitjà del segment d’extrems A = (4, 5), B = (7, 9)
M=(
4+7 5+9
,
) = (5.5, 7)
2
2
Tema 6. Geometria en el pla
Aplicacions dels vectors
El punt simètric d’un punt A = (x1 , y1 ) respecte d’un punt
B = (x2 , y2 ) és igual a:
A0 = (2x2 − x1 , 2y2 − y1 )
Exemple
Punt simètric del punt A = (4, 5) respecte el punt B = (7, 9)
M = (2 · 7 − 4, 2 · 9 − 5) = (10, 13)
Tema 6. Geometria en el pla
Aplicacions dels vectors
La projecció ortogonal d’un vector u~ sobre un vector ~v és el vector
que té origen comú els dos vectors i extrem la projecció de l’extrem
de u~ sobre la recta de ~v
Proj~v u~ =
u~ · ~v
· ~v
|~v |2
Exemple
La projecció del vector u~ = (0, 2) sobre el vector ~v = (3, 1)
Proj~v u~ =
0·3+2·1
1
3 1
· (3, 1) = · (3, 1) = ( , )
2
2
3 +1
5
5 5
Tema 6. Geometria en el pla
Equacions de la recta
Anem a veure les diferents formes de representar una recta. En
primer lloc, hem de tenir clar que per saber l’equació d’una recta
en tenim prou amb saber:
Un punt i un vector
Dos punts (trobarı́em el vector que va de l’un a l’altre)
Un punt i el pendent de la recta
Un punt i l’angle respecte l’eix de les x
Tema 6. Geometria en el pla
Equacions de la recta. Forma vectorial
Amb aquestes dades, podem trobar l’equació de la recta en les
diferents formes. D’entrada, partim de la base que tenim un punt
P = (a, b)~v = (v1 , v2 )
La forma vectorial d’una recta és la següent:
(x, y ) = P + t · ~v
En coordenades, queda aixı́:
(x, y ) = (a, b) + t(v1 , v2 )
Tema 6. Geometria en el pla
Equacions de la recta. Forma vectorial
Exemple
Si tenim el punt P = (2, −1) i el vector ~v = (4, 5), aleshores queda
aixı́:
(x, y ) = (2, −1) + t · (4, 5)
Tema 6. Geometria en el pla
Equacions de la recta. Forma paramètrica
La forma paramètrica s’obté, un cop tenim la vectorial, igualant
coordenada a coordenada, i queda aixı́:
x
y
= a + v1 t
= b + v2 t
Tema 6. Geometria en el pla
Equacions de la recta. Forma paramètrica
Exemple
Seguint el mateix exemple d’abans, passarı́em de la forma vectorial
a la paramètrica i quedaria aixı́:
x =
2 + 4t
y = −1 + 5t
Tema 6. Geometria en el pla
Equacions de la recta. Forma contı́nua
La forma contı́nua s’obté a partir de la paramètrica, aı̈llant la t a
les dues equacions i igualant:
)
t = x−a
x = a + v1 t
v1
−→
y = b + v2 t
t = yv−b
2
x −a
y −b
=
v1
v2
Tema 6. Geometria en el pla
Equacions de la recta. Forma contı́nua
Exemple
Seguint amb el mateix exemple, ara tenim l’equació paramètrica, i
passem a la contı́nua.
t = x−2
x =
2 + 4t
4
−→
y = −1 + 5t
t = y +1
5
x −2
y +1
=
4
5
Tema 6. Geometria en el pla
Equacions de la recta. Forma implı́cita
La següent equació que veurem serà l’equació general de la
recta o també anomenada equació implı́cita. Des de la forma
contı́nua, consisteix a agrupar els termes en un sol membre:
x −a
y −b
=
−→ v2 (x−a) = v1 (y −b) −→ v2 x−v1 y −v2 a+v1 b = 0
v1
v2
Per tant, sempre tindrà una expressió del tipus Ax + By + C=0
Si ens donen l’expressió directament des d’aquesta expressió, un
vector director de la recta és (−B, A).
Tema 6. Geometria en el pla
Equacions de la recta. Forma implı́cita
Exemple
En el nostre exemple d’abans:
x −2
y +1
=
−→ 5(x − 2) = 4(y + 1)
4
5
5x − 10 − 4y − 4 = 0 −→ 5x − 4y − 14 = 0
I tal i com dèiem, veiem que el vector director és el (4, 5)
Tema 6. Geometria en el pla
Equacions de la recta. Forma explı́cita
L’equació explı́cita de la recta es troba aı̈llant la y en l’equació
general. És a dir:
C
A
Ax + By + C = 0 −→ y = − x −
B
B
També s’expressa com y = mx + n , on m és el pendent de la
recta, i n és el valor de y quan x és 0.
Tema 6. Geometria en el pla
Equacions de la recta. Forma explı́cita
Exemple
Si l’equació general de la recta és 6x − 2y − 14 = 0, la podem
posar en forma explı́cita de la manera y = 3x − 7. En aquest cas,
3 és el pendent i -7 el valor de y quan x és 0.
Tema 6. Geometria en el pla
Equacions de la recta. Forma punt-pendent
Donats un punt qualsevol, P = (a, b), i el pendent de la recta, m,
una recta també es pot expressar segons la següent equació:
y − b = m(x − a)
Aquesta forma és força útil a l’hora de calcular rectes tangents
d’una funció (cosa que veurem al tema 9, aplicacions de la
derivada).
Tema 6. Geometria en el pla
Equacions de la recta. Forma punt-pendent
Exemple
Si l’equació explı́cita de la recta és y = 3x − 7 i el punt és el
P = (2, −1), l’equació seria de la manera:
y + 1 = 3(x − 2)
Tema 6. Geometria en el pla
Posicions relatives de dues rectes
Es poden donar tres casos:
Paral·leles Les rectes no es tallen en cap punt. Es representa
com r k s
Coincidents Les dues rectes són la mateixa, es tallen en tots
els punts. Es representa com r ≡ s
Secants Les dues rectes es tallen en un sol punt. Es
representa com r ∩ s
Tema 6. Geometria en el pla
Posicions relatives de dues rectes
Si tenim dues rectes en forma general:
r:
Ax + By + C = 0
r 0 : A0 x + B 0 y + C 0 = 0
Tema 6. Geometria en el pla
Posicions relatives de dues rectes
Això és un sistema d’equacions de dues incògnites itenim tres
casos:
A
B
C
Sistema incompatible: Es dóna que 0 = 0 6= 0 . Rectes
A
B
C
paral·leles (r k s)
Sistema compatible indeterminat Es dóna que
A
B
C
= 0 = 0 . Rectes coincidents (r ≡ s)
0
A
B
C
A
B
Sistema compatible determinat Es dóna que 0 6= 0 .
A
B
Rectes secants (r ∩ s)
Tema 6. Geometria en el pla
Posicions relatives de dues rectes
Si tenim l’equació en alguna altra forma:
En forma vectorial, paramètrica o contı́nua, podem treure el
vector fàcilment, per tant, n’hi ha prou amb veure si els dos
vectors són proporcionals. Si ho són, llavors les rectes seran
paral·leles o coincidents (depenent de si ténen punts en comú
o no); si no ho són, llavors són secants.
En forma explı́cita, podem saber el pendent de les rectes
fàcilment. Les rectes seran paral·leles si ténen el mateix
pendent però diferent punt de tall amb l’eix de les y; seran
coincidents si ténen mateix pendent i punt de tall; i seran
secants si ténen diferent pendent.
Tema 6. Geometria en el pla
Posicions relatives de dues rectes. Rectes paral·leles
Exemple
Estudiar la posició relativa de:
r : 6x − 8y − 15 = 0
x −2
y
=
4
3
Ho farem de dues maneres: En primer lloc, passem la recta r’ a
forma general, i queda:
r0 :
3x − 4y − 6 = 0
Tema 6. Geometria en el pla
Posicions relatives de dues rectes. Rectes paral·leles
Exemple
Resolem el sistema següent:
6x − 8y
3x − 4y
= 15
= 6
6
−8
15
Veiem que el sistema és incompatible ( =
6= ) i les rectes
3
−4
6
són paral·leles.
Tema 6. Geometria en el pla
Posicions relatives de dues rectes
Exemple
També ho podı́em veure sabent els dos vectors directors, que en
~ = (4, 3). Aquests dos vectors són
aquest cas, eren: ~v = (8, 6) i w
proporcionals. Només queda veure si ténen punts en comú o no (si
en ténen un, els ténen tots).
Però per exemple, el (2, 0) no pertany a r i sı́ a r’. Per tant, les
rectes són paral·leles r k r 0
Tema 6. Geometria en el pla
Posicions relatives de dues rectes. Feix de rectes secants
Ara anem a donar un parell de definicions que ens seran útils en el
futur.
Donat un punt P = (a, b), el feix de rectes secants al punt P és
el conjunt de rectes que passen per aquest punt.
En forma punt-pendent, les rectes seran de la forma
y − b = m(x − a), on només el pendent m les diferencia.
Tema 6. Geometria en el pla
Posicions relatives de dues rectes. Feix de rectes secants
Exemple
Trobar la recta que passa pel punt P = (2, 3) i és paral·lela a la
recta y = −5x + 8
El feix de rectes que passen per P = (2, 3) és y − 3 = m(x − 2). Si
ha de ser paral·lela a la recta, haurà de tenir pendent −5. Per tant,
y − 3 = 5(x − 2)
Tema 6. Geometria en el pla
Posicions relatives de dues rectes. Feix de rectes paral·leles
Donada una recta r, el feix de rectes paral·leles a r és el conjunt
de rectes paral·leles entre sı́ i a r.
En forma explı́cita, si la recta és y = mx + n, el feix de rectes
paral·leles té equació y = mx + α, on α és l’únic que les diferencia.
En forma general, si la recta és Ax + By + C = 0, el feix de rectes
té per equació Ax + By + k, on les rectes es diferencien per la k.
Tema 6. Geometria en el pla
Posicions relatives de dues rectes. Feix de rectes paral·leles
Exemple
Trobar la recta paral·lela a r : 2x − 3y + 8 = 0 que passa pel punt
P = (4, 1)
El feix de rectes paral·leles a r és 2x − 3y + C = 0. Si imposem
que passi per P, 2 · 4 − 3 · 1 + C = 0 i C = −5. D’aquesta manera,
la recta que busquem és:
2x − 3y − 5 = 0
Tema 6. Geometria en el pla
Distàncies
Per acabar, estudiarem algunes expressions per calcular les
distàncies entre un punt i una recta, la distància entre dues rectes,
i l’angle entre dues rectes secants.
Donats un punt P = (x0 , y0 ) i la recta en forma general
r : Ax + By + C = 0, la distància d’un punt a una recta es calcula
de la forma següent:
d(P, r ) =
|Ax0 + By0 + C |
√
A2 + B 2
Tema 6. Geometria en el pla
Distàncies
Exemple
Calcular la distància del punt P = (2, 5) a la recta
r : 3x + 4y − 7 = 0.
d(P, r ) =
|3 · 2 + 4 · 5 − 7|
|19|
19
√
=√ =
= 3.8
2
2
5
25
3 +4
Tema 6. Geometria en el pla
Distàncies
Si volem calcular la distància entre dues rectes, tindrem els casos
següents:
Si les rectes són secants o coincidents, la distància és zero.
Si són paral·leles, prenem un punt d’una de les rectes i
calculem la distància del punt a l’altra recta.
Tema 6. Geometria en el pla
Distàncies
Exemple
Calcular la distància entre la recta r : 3x + 4y − 7 = 0, i la recta
r 0 : 3x + 4y − 26 = 0.
En aquest cas, podem veure que un punt de la recta r’ és
Q = (2, 5). Per tant, tenim que d(r , r 0 ) = d(Q, r ) = 3.8, per
l’apartat anterior.
Tema 6. Geometria en el pla
Angle entre dues rectes
Per calcular l’angle entre dues rectes, n’hi ha prou amb saber trobar
els vectors directors de cadascuna d’elles, i calcular l’angle entre els
vectors tal i com fèiem al tema 3. És a dir, si les rectes són:
r:
Ax + By + C = 0
r 0 : A0 x + B 0 y + C 0 = 0
~ = (−B 0 , A0 ). Per calcular l’angle
Els vectors són ~v = (−B, A) i w
entre els dos vectors, tenı́em que:
cos α = √
|A · A0 + B · B 0 |
√
A2 + B 2 · A02 + B 02
Tema 6. Geometria en el pla
Angle entre dues rectes
Exemple
Calcular l’angle entre les rectes:
r : 2x − y − 3 = 0
r0 :
4x + 3y = 0
~ = (−3, 4)
Els vectors directors són ~v = (1, 2) i w
cos α = √
|1 · −3 + 2 · 4|
|5|
1
√
= √ √ = √ → α = 63o
2
2
2
2
5 · 25
5
1 +2 · 3 +4