C.d.l. EMA Microeconomia - A.A. 2014/2015 (Mattia Suardi, Ultima esercitazione, 23 giugno 2015) OLIGOPOLIO Esercizio 1. In un modello di oligopolio à la Cournot, la funzione di domanda di mercato è . Sul mercato operano due imprese le cui funzioni di costo totale sono, rispettivamente, e . i) La funzione di reazione dell’impresa 1 è: a) b) c) d) Soluzione. Nel modello di Cournot le imprese determinano simultaneamente la quantità da produrre. Ciascuna impresa sceglie la quantità che massimizza il suo profitto date le aspettative circa la scelta dell’altra: queste informazioni sono determinabili attraverso la funzione di reazione della singola impresa. Nell’equilibrio le aspettative si realizzano: nessuna delle due imprese ritiene profittevole variare l’output, una volta che sia venuta a conoscenza della scelta dell’altra. Dal momento che sul mercato operano due imprese: È allora possibile riscrivere la funzione di domanda: = Per entrambe le imprese, la condizione di massimizzazione del profitto è Impresa 1: . Per trovare il ricavo marginale, occorre prima esprimere il ricavo totale in funzione della quantità: =( ) = 1 Nel passaggio precedente bisogna fare attenzione al fatto che il prezzo utilizzando la funzione di domanda. Derivando il ricavo totale appena determinato: viene sostituito Uguagliando MR e MC: Poiché si sta cercando la funzione di reazione dell’impresa 1, si esprime in funzione di : La funzione di reazione dell’impresa 1 è: A fini della rappresentazione grafica, è opportuno riscrivere la funzione esprimendo funzione di , posto che viene rappresentata sull’asse delle ordinate: in La funzione di reazione dell’impresa 1 rappresenta la scelta ottima dell’impresa 1 per ogni livello di quantità scelto dall’impresa 2. Ad es., se , allora all’impresa 1 converrà produrre 16. Se , allora all’impresa 1 converrà produrre 24 … 2 ii) La funzione di reazione dell’impresa 2 è: a) b) c) d) Soluzione. Ripetendo lo stesso procedimento per l’impresa 2: Si trova il ricavo totale esprimendo anzitutto il prezzo a partire dalla funzione di domanda: =( ) = Uguagliando MR e MC: Risolvendo rispetto a : Dunque, la funzione di reazione dell’impresa 2 è: iii) L’equilibrio di mercato è: a) b) c) d) Soluzione. Per trovare l’equilibrio di mercato (quanto produce ogni impresa in equilibrio per massimizzare il proprio profitto) si mettono a sistema le due funzioni di reazione: 3 Per risolvere, si può sostituire Sostituendo nella seconda equazione: nella prima equazione: = In blu la funzione di reazione dell’impresa 1, in rosso quella dell’impresa 2. Il punto di equilibrio corrisponde all’intersezione tra le due rette. iv) Nell’equilibrio, il prezzo vale: a) 72,7 b) 71,7 c) 70,7 d) 69,7 Soluzione. Si tratta di trovare il valore del prezzo a partire dalla funzione di domanda. Posto che la quantità totale prodotta dalle due imprese è: è allora possibile sostituire nella funzione di domanda per trovare il prezzo: = 4 v) I profitti totali nell’equilibrio di duopolio sono uguali a: a) 4.286,75 b) 4.086,75 c) 4.186,75 d) 4.786,75 Soluzione. Si calcolano i profitti di ciascuna impresa. Impresa 1: = Impresa 2: = Sommando i profitti, si ottiene . Esercizio 2. In un modello di oligopolio à la Cournot, la funzione di domanda di mercato è . Sul mercato operano due imprese tra loro identiche ( , ciascuna delle quali ha una funzione di costo totale del tipo . i) La funzione di reazione dell’impresa 1 è: a) b) c) d) Soluzione. Nel modello di Cournot le imprese determinano simultaneamente il livello dell’output. Ciascuna impresa sceglie la quantità che massimizza il suo profitto date le aspettative circa la scelta dell’altra: queste informazioni sono determinabili attraverso la funzione di reazione della singola impresa. Nell’equilibrio le aspettative si realizzano (ossia, nessuna delle due imprese ritiene profittevole variare l’output, una volta che sia venuta a conoscenza della scelta dell’altra). Dal momento che sul mercato operano due imprese: È allora possibile riscrivere la funzione di domanda: = Per entrambe le imprese, la condizione di massimizzazione del profitto è 5 . Impresa 1: Per trovare il ricavo marginale, occorre prima esprimere il ricavo totale in funzione della quantità: =( ) = Nel passaggio precedente bisogna fare attenzione al fatto che il prezzo utilizzando la funzione di domanda. viene sostituito Derivando: Uguagliando MR e MC: Poiché si sta cercando la funzione di reazione dell’impresa 1, si esprime in funzione di : La funzione di reazione dell’impresa 1 è: ii) La funzione di reazione dell’impresa 2 è: a) b) c) d) Soluzione. Andrebbe ripetuto il procedimento visto per l’impresa 1. Tuttavia, considerando che le imprese hanno la stessa struttura di costi (“imprese gemelle”) si può subito dire che l’impresa 2 ha la stessa funzione di reazione dell’impresa 1, basta semplicemente invertire i pedici delle equazioni (1): Attenzione! Questa “scorciatoia” vale se le due imprese hanno la stessa struttura di costi. Se così non è (cfr. Esercizio 1) bisogna svolgere il procedimento per intero e calcolare separatamente le funzioni di reazione dell’impresa 1 e dell’impresa 2. 6 1 iii) L’equilibrio di mercato è: a) b) c) d) Soluzione. Per trovare l’equilibrio di mercato (e, dunque, quanto produce ogni impresa per massimizzare il proprio profitto) si mettono a sistema le due funzioni di reazione: Per risolvere, si può sostituire Sostituendo nella seconda equazione: nella prima equazione: = Le due imprese, in equilibrio, producono la stessa quantità. Il risultato si spiega considerando che non solo le due imprese determinano simultaneamente la quantità da produrre (modello di Cournot) ma hanno anche la stessa struttura di costi (“imprese gemelle”). iv) Nell’equilibrio, il prezzo vale: a) 56,67 b) 46,67 c) 76,67 d) 66,67 Per il caso delle imprese identiche, il libro di testo (pp. 438-439) propone anche un altro procedimento che riguarda le imprese per cui, a partire dalla funzione di domanda, in equilibrio vale che . Questo caso vale però per le imprese identiche i cui costi marginali siano uguali a zero (non è il caso del presente esercizio). 7 Soluzione. Si tratta di trovare il valore del prezzo a partire dalla funzione di domanda. Posto che la quantità totale prodotta dalle due imprese è: è allora possibile sostituire nella funzione di domanda: v) Il profitto di ciascuna impresa nell’equilibrio di duopolio è uguale a: a) 721,28 b) 711,28 c) 701,28 d) 691,28 Soluzione. I profitti di ciascuna impresa: = = Il profitto è uguale per entrambe perché, come osservato, si tratta di “imprese gemelle”. Esercizio 3. Si considerino le due imprese dell’esercizio precedente e si ipotizzi che queste operino in un duopolio à la Bertrand. i) Si determini il prezzo praticato da ciascuna impresa. Soluzione. Nel modello di Bertrand ciascuna impresa decide il prezzo di vendita, assumendo come fisso il prezzo praticato dall’altra. L’omogeneità del prodotto consentirebbe all’impresa che fissa il prezzo più basso di accaparrarsi l’intero mercato: ne deriverebbe un processo di azione e reazione in una sorta di “guerra al ribasso”. Si consideri, ad es., una situazione iniziale in cui entrambe le imprese vendono a un prezzo, , superiore al costo marginale . L’impresa 1 avrebbe incentivo a ridurre di un piccolo ammontare k il proprio prezzo, così da conquistare l’intero mercato praticando il prezzo – k. A sua volta, l’impresa 2 avrebbe incentivo a reagire e a ridurre ulteriormente il prezzo, al di sotto di – k. Dal canto suo, l’impresa 1 reagirebbe riducendo nuovamente il prezzo. La “guerra al ribasso” continuerebbe sino a raggiungere l’equilibrio in cui (ossia, il livello del prezzo al di sotto del quale nessuna impresa avrebbe più convenienza a produrre). Dunque, nell’equilibrio di Bertrand vale che . In questo caso, . ii) Si determini la quantità totale venduta dalle due imprese. Soluzione. Come detto, nell’equilibrio di Bertrand vale che . Nel caso dell’esercizio: 8 Da cui l’eguaglianza: Come si nota, si tratta dello stesso equilibrio che si genererebbe in un mercato di concorrenza perfetta, avendo posto la condizione . iii) Si determini la quantità venduta da ciascuna impresa. Nel modello di Bertrand è necessario che le due imprese abbiano la medesima struttura dei costi. Se così non fosse, il mercato si trasformerebbe in monopolistico, in quanto rimarrebbe la sola impresa più efficiente (ossia, quella con costi minori). L’unica soluzione di equilibrio corrisponde pertanto a una spartizione del mercato in quote uguali tra le due imprese: iv) A quanto ammontano i profitti delle due imprese? Soluzione. L’equilibrio di Betrand (in cui ) dà un risultato che è lo stesso della concorrenza perfetta: si azzera il potere di mercato delle imprese e non vi sono extra-profitti. La risposta è verificabile anche algebricamente. Per l’impresa 1: = Lo stesso risultato vale per l’impresa 2. Esercizio 4. In un duopolio la funzione di costo per entrambe le imprese è . La domanda di mercato è , con i) Se le imprese concorrono à la Bertrand, il prezzo di equilibrio di mercato è uguale a: a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 Soluzione. Cfr. esercizio precedente. Nell’equilibrio di Bertrand, analogamente alla concorrenza perfetta, , per cui non vi sono extra-profitti. Nel caso dell’esercizio, per entrambe le imprese: 9 Dovendo essere , allora il prezzo è uguale a . ii) nella competizione à la Bertrand, la quantità prodotta da ciascuna impresa è: a) 115 b) 125 c) 135 d) 145 Soluzione. A partire dalla condizione di equilibrio imprese sul mercato Infatti, essendo: , si trova la quantità totale offerta dalle due eguagliando: Nel modello di Bertrand, la soluzione di equilibrio corrisponde a una spartizione del mercato in quote uguali tra le due imprese, che hanno identiche strutture di costo: iii) A quanto ammontano i profitti delle due imprese? Soluzione. L’equilibrio di Betrand (in cui ) dà un risultato che è lo stesso della concorrenza perfetta: si azzera il potere di mercato delle imprese e non vi sono extra-profitti. La risposta è verificabile anche algebricamente. Per l’impresa 1: = Lo stesso risultato vale per l’impresa 2. Esercizio 5. In un modello di duopolio à la Stackelberg (leadership di quantità), l’impresa 1 si comporta da leader, l’impresa 2 da follower. Le funzioni di costo totale sono, rispettivamente, e . La funzione di domanda di mercato è . i) La funzione di reazione del follower è: a) = 900 – b) = 900 – c) = 450 – 10 d) = 450 – Soluzione. Leadership di quantità (Stackelberg): il gioco è sequenziale, decide per primo il leader (impresa 1). L’impresa 2 (follower) considera perciò come data , la quantità prodotta dal leader. A sua volta, il leader si aspetta che, date le sue scelte, il follower massimizzi il proprio profitto: il leader deve allora considerare il problema di massimizzazione del profitto del follower. Ciascuna impresa sa inoltre che il prezzo di equilibrio p( ) nel mercato dipende dall’output totale, . La funzione di reazione del follower (in questo caso, impresa 2) si costruisce considerando l’usuale condizione di massimizzazione del profitto: Ricavi totali: si utilizza la definizione poi si sostituisce il prezzo, posto che = : = = – Ponendo Da cui la funzione di reazione dell’impresa 2 (ossia, reazione del follower alla scelta del leader): ⇒ = 450 – ii) L’equilibrio di mercato è: a) b) c) d) 11 Soluzione. L’impresa 1 (leader) massimizza il profitto data la funzione di reazione del follower, – = 450 (ossia, il leader sa che le sue azioni influenzano le decisioni del follower). Applicando la condizione di massimizzazione del profitto per il leader, . Per trovare il ricavo marginale, occorre prima determinare la funzione dei ricavi totali: si utilizza la definizione ; si sostituisce il prezzo avvalendosi della funzione di domanda; si sostituisce usando la funzione di reazione del follower trovata in precedenza. = ] ] = ] = ] = Ponendo 550 – = 50 = 500 Sostituendo in = 450 – : = 450 – 500 = 200 Da cui la quantità totale del mercato: = 200 + 500 = 700 Sostituendo nella funzione di domanda, si può trovare anche il prezzo di equilibrio: iii) Il profitto totale delle due imprese nell’equilibrio è: a) 175.000 b) 145.000 c) 155.000 d) 165.000 Soluzione. I profitti di ciascuna impresa: = = 12 = Da cui il totale, 165.000. Esercizio 6. In un modello di duopolio à la Stackelberg (leadership di quantità) l’impresa 1 si comporta da leader, l’impresa 2 da follower. Per ciascuna impresa la funzione di costo totale è , con i = 1, 2. La funzione di domanda di mercato è . Attenzione! Qui le due imprese hanno la stessa funzione di costo totale ma, diversamente, da come avviene con il modello di Cournot (cfr. Esercizio 2) non possiamo dire che siano “gemelle” e che dunque produrranno la stessa quantità allo stesso prezzo … dobbiamo infatti tenere presente che una è leader, l’altra è follower. i) Si ricavi la funzione di reazione del follower. Soluzione. Leadership di quantità (Stackelberg): il gioco è sequenziale, decide per primo il leader (impresa 1). L’impresa 2 (follower) considera perciò come data , la quantità prodotta dal leader. A sua volta, il leader si aspetta che, date le sue scelte, il follower massimizzi il proprio profitto: il leader deve allora considerare il problema di massimizzazione del profitto del follower. Ciascuna impresa sa inoltre che il prezzo di equilibrio p( ) nel mercato dipende dall’output totale, . La funzione di reazione del follower (in questo caso, impresa 2) si costruisce considerando l’usuale condizione di massimizzazione del profitto: Ricavi totali: si utilizza la definizione poi si sostituisce il prezzo, posto che = ] = 400 : –2 Ponendo 13 – Da cui la funzione di reazione dell’impresa 2 (ossia, reazione del follower alla scelta del leader): ⇒ = 95 – ii) Si determini l’equilibrio di mercato. Soluzione. Anzitutto, bisogna determinare la funzione di reazione dell’impresa 1. L’impresa 1 (leader) massimizza il profitto data la funzione di reazione del follower, = 95 – . Occorre applicare la condizione di massimizzazione del profitto per il leader, . Per trovare il ricavo marginale, occorre prima determinare la funzione dei ricavi totali: si utilizza la definizione ; si sostituisce il prezzo avvalendosi della funzione di domanda; si sostituisce usando la funzione di reazione del follower trovata in precedenza. = ]· = 2(95 – 12 1]· 1= [210− 2 1]· 1 = 210 1− 12 ]· = Ponendo 210 – = 20 = 95 Sostituendo in : = 95 – = 95 – 95 = 47,5 Attenzione! Si ricordi la premessa: le due imprese sono identiche per struttura di costi. Tuttavia, il gioco è sequenziale e l’impresa 1 è leader, dunque produce più dell’impresa 2 (follower). Sostituendo e nella funzione di domanda, si trova il prezzo di equilibrio: = 115 iii) Si calcoli il profitto totale nell’equilibrio di duopolio. Soluzione. I profitti di ciascuna impresa: = = 14 = = 13.537,5 CONCORRENZA MONOPOLISTICA Esercizio A. Si consideri un’impresa che opera in un mercato di concorrenza monopolistica con la seguente funzione di costo: (per semplicità, si ipotizzi che le curve di costo totale di breve e di lungo periodo coincidano). Nel breve periodo, questa impresa fronteggia la funzione di domanda .A seguito del comportamento delle imprese concorrenti, nel lungo periodo la funzione di domanda fronteggiata dall’impresa considerata diventa . i) Si determini la scelta ottimale dell’impresa nel breve periodo. Soluzione. Nel modello di concorrenza monopolistica di Chamberlin l’impresa massimizza il profitto economico di breve periodo eguagliando ricavo e costo marginale. Essendo la curva di domanda dell’impresa lineare: Ponendo : Risolvendo: Sostituendo nella curva di domanda, si ottiene il prezzo di equilibrio di breve periodo: 15 Breve periodo, concorrenza monopolistica: l’impresa fronteggia una curva di domanda inclinata negativamente e produce la quantità in corrispondenza della quale MR = MC. ii) Si quantifichi il profitto economico dell’impresa nel breve periodo. Soluzione. Si osservi il grafico precedente: sulla curva di domanda (qui lineare e rappresentata dalla retta blu) si legge il prezzo di equilibrio, corrispondente alla quantità per cui . In corrispondenza di questa quantità, il prezzo è maggiore del costo totale (che si legge sulla curva ATC, in blu). Di conseguenza, e l’impresa realizza un profitto economico positivo, rappresentato dall’area in grigio. iii) Si specifichi come varia il numero di imprese presenti nell’industria nel passare dal breve a lungo periodo. Soluzione. Come in concorrenza perfetta, anche in concorrenza monopolistica la presenza di profitti economici di breve periodo provoca l’entrata di nuove imprese. È proprio quanto accade anche in questo esercizio, dal momento che la singola impresa nel breve periodo realizza un profitto economico positivo, uguale a 44. Il fatto che vi sia uno stimolo all’entrata di nuove imprese è verificabile, oltre che guardando direttamente al profitto economico, considerando che nel breve periodo il prezzo è maggiore del costo medio totale: 16 Nel lungo periodo, l’entrata di nuove imprese aumenta l’offerta di mercato e riduce il prezzo, portando a un equilibrio in cui il profitto economico è zero. iv) Si determini l’equilibrio della singola impresa nel lungo periodo. Soluzione. Nel modello di Chamberlin, la configurazione di equilibrio di lungo periodo si raggiunge quando la curva di domanda della singola impresa diventa tangente alla curva di costo medio di lungo periodo LAC (e anche alla corrispondente curva di costo medio di breve periodo, ATC): ciò fa sì che il profitto economico sia nullo. La tangenza implica che nel punto di equilibrio curva di domanda e curva di costo medio totale abbiano la stessa pendenza. La curva di domanda dell’impresa nel lungo periodo è , la sua pendenza è – 3. La pendenza della curva di costo medio totale è espressa dalla derivata: Uguagliando: Da cui: Sostituendo nella funzione di domanda, si ottiene il prezzo: Con questi dati, si potrebbe poi verificare che il profitto economico è effettivamente nullo … Lungo periodo, concorrenza monopolistica: l’impresa fronteggia una curva di domanda inclinata negativamente e produce la quantità in corrispondenza della quale la curva di domanda e la curva di costo medio totale hanno la stessa pendenza. 17
