PPT 01

UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO
FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL
Cinemática de una partícula: posición, velocidad y aceleración.
Determinación del movimiento de una partícula.
SESION 01
LIMA - PERÚ
PREGUNTAS PREVIAS
1. ¿Qué es la velocidad?, ¿Qué es la aceleración?
2. ¿Qué diferencia existe entre velocidad promedio y
velocidad instantánea?
logros
Al término de la sesión el
estudiante
conoce
y
comprende la importancia
Velocidad media. Velocidad
instantánea.
Aceleración
media.
Aceleración
instantánea.
Así
mismo,
resuelve
problemas
de
cinemática, utilizando las
definiciones
de
manera
correcta
CINEMATICA
• La cinemática es la rama de la mecánica clásica que estudia las leyes
del movimiento de los cuerpos sin tener en cuenta las causas que lo
producen, limitándose esencialmente, al estudio de la trayectoria en
función del tiempo.
• También se dice que la cinemática estudia la geometría del movimiento.
• En la cinemática se utiliza un sistema de coordenadas para describir las
trayectorias, denominado sistema de referencia.
ELEMENTOS BASICOS DE LA CINEMATICA
•
•
•
•
•
•
•
•
•
MOVIL
TRAYECTORIA
SISTEMA DE REFERENCIA
POSICION, VECTOR POSICION
DESPLAZAMIENTO
TIEMPO
ESPACIO
VELOCIDAD
ACELERACION
VECTOR DE POSICION
z
• Estudiar el movimiento de un cuerpo
quiere decir determinar su posición
en el espacio en función del tiempo,
para ello se necesita un sistema de
referencia.
un origen O, que es un punto del
espacio físico.
R (t)
y
x
El vector de posición
Designa la posición de la partícula
DESPLAZAMIENTO
❑ El desplazamiento se define como el cambio de posición.
❑ Se representa por el símbolo Δr.
∆𝑆 = 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑎𝑟𝑐𝑜
∆𝑟Ԧ = 𝑟Ԧ ` − 𝑟Ԧ
VELOCIDAD MEDIA
La velocidad media es una magnitud vectorial. Si la partícula se mueve de P a P’
experimentando un desplazamiento Δx positivo durante un intervalo de tiempo
Δt, entonces, la velocidad media será
VELOCIDAD INSTANTÁNEA
Es la velocidad de la partícula en cualquier instante de
tiempo se obtiene llevando al límite la velocidad media es
decir, se hace cada vez más pequeño el intervalo de tiempo
y por tanto valores más pequeños de x. Por tanto:
x
dx
v = lim( ) =
t → 0 t
dt
r
dr dx ˆ
v = lim( ) =
= i
t → 0 t
dt dt
La velocidad instantánea es una magnitud vectorial.
ACELERACIÓN MEDIA
Si la velocidad de la partícula al pasar por P es v y cuando pasa
por P’ es v’ durante un intervalo de tiempo Δt, entonces:
ACELERACIÓN INSTANTANEA
La aceleración instantánea se obtiene llevando al límite la
aceleración media cuando t tiende a cero es decir
v
dv
a = lim( ) =
t → 0 t
dt
2
d dx
d x
a= ( )= 2
dt dt
dt
Ejemplo 1
1. La posición de una partícula que se mueve en línea recta está definida por la relación 𝑥 = 6𝑡 2 − 𝑡 3 . Determine:
(a) la posición, velocidad y aceleración en 𝑡1 = 0; 𝑡2 = 2 𝑠 (b) la posición, velocidad y aceleración en 𝑡1 = 0𝑠,
𝑡2 = 4𝑠; (c) el desplazamiento entre t = 0 y t = 6 s;
SOLUCION:
Dato:
𝑥 = 6𝑡 2 − 𝑡 3
a) i) Posición:
𝑡: 0 𝑠
𝑡: 2 𝑠
𝒊𝒊) 𝒗𝒆𝒍𝒐𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅
𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎:
∆𝑥
16 𝑚
𝑣ҧ =
= 8 𝑚/𝑠
=
∆𝑡
2𝑠
𝑥 = 6(0)2 − 0
𝑥 = 6(2)2 − 2
3
3
=0𝑚
= 16 𝑚
∆𝑥 = 𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 = 16 𝑚 − 0 𝑚 = 16 𝑚
∆𝑡 = 𝑡𝑓 − 𝑡𝑖 = 2 𝑠 − 0 𝑠 = 2 𝑠
Velocidad instantánea:
𝑑𝑥
𝑑
𝑣=
= (6𝑡 2 − 𝑡 3 ) = 12𝑡 − 3𝑡 2
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝒊𝒊𝒊) 𝒂𝒄𝒆𝒍𝒆𝒓𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏:
𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎:
12𝑚
− 0 𝑚/𝑠
∆𝑣
𝑠
=
𝑎ത =
= 6 𝑚/𝑠 2
2𝑠 − 0𝑠
∆𝑡
𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎𝑛𝑒𝑎:
𝑑𝑣
𝑑
𝑎=
= (12𝑡 − 3𝑡 2 ) = 12 − 6𝑡
𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝑡1 = 0 𝑠, 𝑡2 = 2 𝑠
𝑣1 = 12 0 − 3(0)2 = 0 𝑚/𝑠
𝑣2 = 12 2 − 3(2)2 = 12 𝑚/𝑠
𝑡1 = 0 𝑠,
𝑡2 = 2 𝑠
𝑎1 = 12 − 6 0 = 12 𝑚/𝑠 2
𝑎2 = 12 − 6 2 = 0 𝑚/𝑠 2
Ejemplo 1
2. La posición de una partícula que se mueve en línea recta está definida por la relación
𝑥 = 8𝑡 3 − 𝑡 2 . Determine: (a) la posición, velocidad y aceleración en t = 0 y t = 2 s; (b) la
posición, velocidad y aceleración en t =0 y t = 4 s ; (d) el desplazamiento entre t = 0 y t = 6 s;
Movimiento en una dimensión
El desplazamiento Δx en el movimiento rectilíneo está dado por el
cambio en la coordenada x en un intervalo de tiempo transcurrido Δt.
Desplazamiento x = x2 – x1
P1
P2
0
x1
x2
partida
llegada
eje x
La posición como función del tiempo
p1
x(t)
x(t1)
Representación
gráfica de la posición
como función del
tiempo
p2
x(t2)
x(t3)
Gráfica x-t
Velocidad media
•La velocidad media es una
magnitud vectorial que se define
como la razón del desplazamiento
por unidad de tiempo
x m
vmed =
t s
2,0 m
m
vmed =
= 0,10
2,0 s
s
t = 2,0 s
0
x (m)
5
7
∆𝑥Ԧ = 2𝑖𝑚
Ƹ
10
Velocidad instantánea
• La velocidad instantánea
se define como el límite
de la velocidad media.
x
t→0 t
v = lim
• Que
a
su
vez,
matemáticamente, es
la derivada de la
posición respecto del
tiempo y se representa
gráficamente como la
pendiente
de
la
tangente a la curva
posición-tiempo.
v=
dx
dt
Aceleración media
La aceleración media es la razón de cambio de la velocidad en un
intervalo de tiempo t.
amed−x
v2– velocidad final
v1 – velocidad inicial
t – intervalo de tiempo
v2x − v1x
=
t2 − t1
v1
v2
0
P1
P2
Aceleración instantánea
• Es el límite de la aceleración media cuando el intervalo de
tiempo se acerca a cero.
v1
x → 0
v2
0
P1
P2
v x dv x
ax = lim
=
t→0 t
dt
Movimiento rectilíneo uniforme
• Es aquel movimiento en el que la
velocidad del móvil en cualquier
instante permanece constante.
• Es decir, el móvil se mueve en
línea recta, en una sola dirección
y con desplazamientos iguales en
intervalos de tiempo iguales.
• Debido a que la velocidad no
cambia, la aceleración en este
tipo de movimiento es nula.
dx
= vx
dt
x =  v x dt
x = x0 + vx t
𝑣Ԧ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
𝑎Ԧ = 𝑐𝑒𝑟𝑜
ACELERACION EN FUNCION DEL TIEMPO
Movimiento con aceleración constante
En el movimiento rectilíneo uniformemente variado se cumple que la
aceleración es constante.
Ejemplo 2
𝑡3
2. La posición de una partícula que describe una línea recta queda definida mediante la expresión 𝑠 = − 6𝑡 + 1,
2
donde t se mide en segundos y s se mide en metros. Determine:
a) El tiempo que tarda la partícula en adquirir una velocidad a 35 m/s desde el reposo en el instante 𝑡 = 0𝑠
b) Su aceleración cuando 𝑣 = 30𝑚/𝑠
c) Su desplazamiento en el intervalo de 𝑡 = 1𝑠 𝑎 𝑡 = 4𝑠
SOLUCION:
Dato:
𝑡3
𝑠 = − 6𝑡 + 1
2
𝑣 = 35𝑚/𝑠
𝑣 = 30 𝑚/𝑠
𝒂) 𝒕𝒊𝒆𝒎𝒑𝒐:
Derivar la posición:
𝑑 𝑡3
𝑣 = ( − 6𝑡 + 1)
𝑑𝑡 2
35 =
3𝑡 2 −12
2
3𝑡 2
𝑣=
−6
2
70 = 3𝑡 2 − 12
35 =
3𝑡 2
2
−6
82 = 3𝑡 2
𝑡=
82
3
𝑡 = 5.23 𝑠
𝑑 3𝑡 2
6𝑡
= 3𝑡
− 6)
𝒃) 𝒂𝒄𝒆𝒍𝒆𝒓𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏: 𝑎 = (
𝑎=
𝑑𝑡 2
2
3𝑡 2
3𝑡 2
3𝑡 2 −12
30=
−6
𝑣=
−6
30 =
72 = 3𝑡 2
2
2
2
𝑡 = 4.90 𝑠
𝑎 = 3𝑡
𝑎 = 3(4.90) = 14.7 𝑚/𝑠 2
𝑡=
72
3
Ejemplo 2
𝑡3
2. La posición de una partícula que describe una línea recta queda definida mediante la expresión 𝑠 = − 6𝑡 + 1,
2
donde t se mide en segundos y s se mide en metros. Determine:
a) El tiempo que tarda la partícula en adquirir una velocidad a 35 m/s desde el reposo en el instante 𝑡 = 0𝑠
b) Su aceleración cuando 𝑣 = 30𝑚/𝑠
c) Su desplazamiento en el intervalo de 𝑡 = 1𝑠 𝑎 𝑡 = 4𝑠
SOLUCION:
Dato:
𝑡3
𝑠 = − 6𝑡 + 1
2
𝑐) 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜:
∆𝑥 = 𝑥𝑓 − 𝑥𝑖
𝑡 = 1𝑠,
𝑡=4𝑠
(1)3
𝑥1 =
− 6 1 + 1 = −4,5 𝑚
2
(4)3
𝑥1 =
− 6 4 + 1 = 9𝑚
2
∆𝑥 = 9𝑚 −(- 4.5) = 13,5 m
Problema n°3
El auto mostrado en la figura se mueve en línea recta de tal manera que su velocidad
para un período corto de tiempo es definida por v = (0,9t2 + 0,6t) m/s. Donde, t es el
tiempo el cual está en segundos y v es la velocidad en m/s. Calcule su posición y
aceleración cuando t = 3,00 s. Considere que cuando t = 0, x = 0.
𝑺𝑶𝑳𝑼𝑪𝑰𝑶𝑵:
Posición:
𝑑𝑥
𝑑𝑥 = 𝑣𝑑𝑡
𝑣=
𝑑𝑡
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜:
𝐷𝐴𝑇𝑂:
න 𝑑𝑥 = න 𝑣𝑑𝑡
𝑥 = න 0,9𝑡 2 + 0,6𝑡 𝑑𝑡
𝑣 = 0,9𝑡 2 + 0.6𝑡 𝑚/s
0,9𝑡 3 0,6𝑡 2
0,9(0)3
0,6(0)2
𝑡=3𝑠
0=
+
+𝐶
𝑥=
+
+𝐶
3
2
3
2
𝐶𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠:
0,9(3)3 0,6(3)2
𝐶
=
0
𝑥 = 10.8 𝑚
𝑡 = 0𝑠,
𝑥 = 0𝑚
𝑥=
+
3
2
𝑨𝒄𝒆𝒍𝒆𝒓𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏:
𝑑
𝑑𝑣
= (0,9𝑡 2 + 0.6𝑡)
𝑎=
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑎 = 2 ∗ 0,9𝑡 + 0,6
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑡 = 3 𝑠
𝑎 = 2 ∗ 0,9(3) + 0,6 = 6 𝑚/𝑠 2
Problema n°4
El auto mostrado en la figura se mueve en línea recta de tal manera que su velocidad
para un período corto de tiempo es definida por
v = (3t2 + 2t) pies/s. Donde, t es el
tiempo el cual está en segundos. Determine su posición y aceleración cuando t = 3,00 s.
Considere que cuando t = 0, x = 0.
𝑺𝑶𝑳𝑼𝑪𝑰𝑶𝑵:
𝑑𝑥
Posición:
𝑑𝑥 = 𝑣𝑑𝑡
𝑣=
𝑑𝑡
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜:
𝐷𝐴𝑇𝑂:
𝑣 = 3𝑡 2 + 2𝑡 pies/s
𝑡=3𝑠
𝐶𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠:
𝑡 = 0𝑠,
𝑥 = 0𝑚
න 𝑑𝑥 = න 𝑣𝑑𝑡
3𝑡 3 2𝑡 2
𝑥=
+
+𝐶
3
2
𝐶=0
𝑥 = න 3𝑡 2 + 2𝑡 𝑑𝑡
𝑥=
3(0)3
2(0)2
0=
+
3
2
3(3)3 2(3)2
3
+
𝑨𝒄𝒆𝒍𝒆𝒓𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏:
𝑑
𝑑𝑣
=
(3𝑡 2 + 2𝑡)
𝑎=
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑎 = 2 ∗ 3𝑡 + 2
𝑎 = 2 ∗ 3(3) + 2
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑡 = 3 𝑠
= 20 𝑓𝑡/𝑠 2
2
+𝐶
𝑥 =36 ft
Problema n°4
Un proyectil pequeño es disparado verticalmente hacia abajo dentro de un medio fluido con
una velocidad inicial de 60 m/s. Si la resistencia del fluido produce una desaceleración del
proyectil que es igual 𝑎 = 0.4𝑣 3 𝑚/𝑠 2 donde v se mide en m/s. Determine la velocidad v y la
posición s cuatro segundos después que se disparo el proyectil.
𝑺𝑶𝑳𝑼𝑪𝑰𝑶𝑵:
𝑑𝑥
Velocidad: 𝑣 =
𝑑𝑡
𝐷𝐴𝑇𝑂:
a = 0.4𝑣 3 m/s
V = 60 m/s
𝑡 = 4𝑠
Posición:
𝑯𝒂𝒄𝒊𝒆𝒏𝒅𝒐 𝒄𝒂𝒎𝒃𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆:
𝑑𝑥 = 𝑣𝑑𝑡
BIBLIOGRAFIA
1.
Wilson, Buffa. Física. Ed. Pearson. 6°edición. Parte 1, cap.2.
2.
Sears Zemansky. Física Universitaria. Ed. Pearson. 12° ed. Cap 2.
3.
Hibeller , Dinámica para Ingenieros, 8va Edición.
4.
Beer Jhomsop , Dinámica para Ingenieros, 9va Edición.