TEMA 6

TEMA 6– GRAVITACIÓN.
Mecánica y Ondas
6.1 LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERAL
-
Fuerza gravitatoria
Fuerza electromagnética
Fuerza nuclear débil
Fuerza nuclear fuerte
Dos cuerpos cualesquiera se atraen entre si una fuerza que es proporcional al
producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia
que las separa.
Ejemplo 1: En el eje X tenemos dos masas, m1= 5 kg y m2= 10kg, separadas una
distancia de 2 m. Dibuja y calcula F12 y F21.
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Ejemplo 2: Tenemos dos bloques de masas m1= 3000 kg y m2= 500 kg apoyados
sobre una superficie y separados una distancia 3 m. El coeficiente de rozamiento de
m2 con la superficie es de 0,01. ¿Se moverá el segundo bloque hacia al primero
debido a la atracción gravitatoria?
Ejemplo 3: Tenemos las masas m1=75 kg situada en el punto (2,0), m2=90kg situada
en el punto (12,0) y m3= 10kg situada en el punto (7,0). Calcula la fuerza total que
ejercen las masas m1 y m2 sobre m3.
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Ejemplo 1: Tenemos dos masas puntuales, m1=12 kg situada en el punto (0,3), y m2=
20kg situada en el punto (4,0). Calcula la fuerza gravitatoria que actúa sobre cada una
de ellas. Haz un dibujo representativo.
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Ejemplo 2: Una nave espacial se encuentra situada en un punto entre la Tierra y la Luna, de
manera que la suma de las fuerzas gravitatorias que los dos astros ejercen sobre la nave es
cero. Calcula la distancia de la nave al centro de la Tierra.
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Ejemplo 3: Tenemos tres masas en los vértices de un triangulo equilátero de lado 4 m cuya
base está en el eje X y cuyo vértice superior está sobre el eje Y. Las dos masas de la base son
m1=m2=50kg, y la masa del vértice superior es m3=75kg. Calcula la fuerza que las dos masas
situadas en la base del triangulo ejercen sobre la masa situada en el vértice superior.
6.2 CAMPO GRAVITATORIO
Fuerza gravitatoria: Ley de Gravitación Universal de Newton (1687)
Fuerza eléctrica: Ley de Coulomb (1785)
Para explicar las acciones a distancia se introduce el concepto de campo (Faraday, 1847)
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Un CAMPO es una perturbación en el espacio que rodea a un cuerpo provocada por alguna
propiedad del cuerpo, por ejemplo su masa o su carga.
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Ejemplo 1: Calcula la intensidad del campo gravitatorio creado por una masa de 300kg
que se encuentra en el origen de coordenadas, en un punto situado a 0,53 m de
distancia en el eje OX. Calcula también la fuerza que actuará sobre una masa de 100
kg situada en ese punto.
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Ejemplo 2: Tenemos m1=5kg en el punto (2,0) y m2=30kg situada en el punto (8,0).
Calcula el campo gravitatorio que crean ambas masas en el punto (0,0) y en el punto
(4,0).
Ejemplo 3: Tenemos tres masas m1=5kg, m2=10kg y m3=15kg situadas en los puntos
(0,3), (0,0) y (3,0), respectivamente. Calcula el campo gravitatorio en el punto (3,3).
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Ejemplo 4: Dos partículas idénticas, de masa m cada una, están en los puntos (-d,0) y
(d,0). Calcula el campo gravitatorio en cualquier punto del eje OY.
6.3 CAMPO GRAVITATORIO DE LA TIERRA
Campo gravitatorio:
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Variación del campo gravitatorio terrestre con respecto a la distancia al centro de la
tierra:
Ejemplo 1: Calcula a qué altura sobre la superficie terrestre la intensidad del campo
gravitatorio se reduce a la tercera parte. Dato Rt=6370 km
Ejemplo 2: Calcula la profundidad a partir de la superficie terrestre, en la que el campo
gravitatorio se reduce a la mitad. Expresa el resultado en función del radio terrestre.
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Ejemplo 3: La masa de la luna es 0.0123 veces la masa de la tierra, y su radio es 0,25
el radio terrestre. ¿Cuál es el campo gravitatorio en la superficie de la Luna? ¿Qué
pesaría en la Luna un astronauta de 80 kg de masa? ¿Qué distancia recorrerá en 5
segundos un cuerpo que se deja caer cerca de la superficie lunar?
Ejemplo 4: Supongamos que el radio de un planeta aumenta hasta el doble de su
valor. A) Cómo variaría el peso de los cuerpos en su superficie si la masa del planeta
permanece constante. B) Cómo varia el peso de los cuerpos en su superficie si la
densidad del planeta permanece constante.
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6.4 ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA
CAMPOS CONSERVATIVOS:
El trabajo realizado por las fuerzas del campo para llevar una partícula de un punto a
otro, solo depende de los puntos inicial y final, no de la trayectoria seguida.
El trabajo realizado en un campo conservativo a lo largo de cualquier trayectoria
cerrada es cero.
La fuerza gravitatoria es una fuerza CENTRAL
CAMPO CONSERVATIVO (asociado a FUERZAS CENTRALES):
Campo gravitatorio
Campo electrostático
CAMPO NO CONSERVATIVO:
- Campo magnético
- Campos con fuerza de rozamiento
ENERGIA POTENCIAL GRAVITATORIA
Energía que posee una masa por encontrarse bajo la influencia gravitatoria de otra u
otras masas.
Es un escalar y se mide en Julios
Ejemplo 1: En el espacio interestelar, lejos de cualquier objeto, un astronauta de m=
80kg se separa de su nave de M=5000kg. Calcula la energía potencia gravitatoria del
sistema.
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Ejemplo 2: Tenemos tres masas, m1=5kg, m2=20kg y m3=10kg situadas en los puntos
(0,0), (4,0) y (4,5) respectivamente. Calcula la energía potencial gravitatoria del
sistema.
ENERGIA POTENCIAL GRAVITATORIA TERRESTRE
CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA
ENERGIA POTENCIAL: FUENTE DE ENERGÍA EN PROTOESTRELLAS
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EL CAMPO GRAVITATORIO ES CONSERVATIVO
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ENERGÍA POTENCIAL-DISTANCIA
Ejemplo 1: Calcula la energía potencia de la luna debida a la presencia de la tierra.
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Ejemplo 2: ¿De dónde viene la expresión para la energía potencial =mgh?
Ejemplo 3: Disparamos verticalmente hacia arriba un proyectil desde la superficie de la
Tierra con una velocidad inicial de 5 km/s. Calcula su altura máxima (despreciamos la
resistencia del aire)
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Ejemplo 4: Tenemos un cuerpo, inicialmente en reposo, a una altura de 200000m
sobre la superficie de la tierra. Explica cómo varía su energía cinética, la potencial y la
mecánica durante el descenso. ¿Con qué velocidad llega a la superficie?
6.5 VELOCIDAD DE ESCAPE
Es la velocidad que debe poseer un cuerpo para escapar del campo gravitatorio en el
que se encuentra.
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Ejemplo 1: ¿Qué velocidad tendremos que comunicarle a un objeto para que escape
del campo gravitatorio terrestre?
Ejemplo 2: Calcula la velocidad de escape desde la superficie del sol.
Ejemplo 3: ¿Cuál debería ser el radio de una estrella con la misma masa que el sol,
para que ni siquiera la luz pudiera escapar de su campo gravitatorio?
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6.6 POTENCIAL GRAVITATORIO
Potencial gravitatorio en un punto:
Interpretación física. El potencial en un punto se corresponde con el trabajo que
realizan las fuerzas del campo para llevar la UNIDAD DE MASA desde ese punto
hasta fuera del campo, con velocidad constante. Es un escalar que se mide en J/kg.
DIFERENCIA DE POTENCIAL
TRANAJO Y DIFERENCIA DE POTENCIAL
POTENCIAL GRAVITATORIO DE UN SISTEMA DE MASAS
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POTENCIAL GRAVITATORIO TERRESTRE
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Ejemplo 1: Considera la línea que va desde la Tierra hasta la Luna. Calcula el
potencial gravitatorio en el punto de esa línea en el que campo gravitatorio es nulo.
¿Será nulo el potencial gravitatorio en algún punto de esa línea?
6.7 MOVIMIENTO ORVITAL
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ESQUEMA GENERAL
QUE PODEMOS CALCULAR:
- Velocidad orbital
- Periodo de revolución
- Energía total.
- Velocidad para poner un satélite en órbita.
- Energía para pasar de una órbita a otra.
- …
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Ejemplo 1: El telescopio espacial Hubble orbita alrededor de la Tierra a una altura de
unos 593 km sobre la superficie terrestre. Calcula la velocidad a la que se mueve y el
tiempo que tarda en dar una vuelta a la Tierra.
Ejemplo 2: Un satélite geoestacionario describe una circunferencia alrededor de
la Tierra en el plano del ecuador terrestre y permanece siempre sobre el mismo
punto de la Tierra. Calcula a qué altura se encuentra sobre la superficie terrestre.
Calcula también su velocidad orbital.
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Ejemplo 3: Tenemos un satélite de 50kg de masa en una órbita circular a 500 km
sobre la superficie terrestre. Calcula su velocidad orbital y la energía total del satélite
en su órbita alrededor de la Tierra. ¿Cuál sería su energía total si orbitara a 1000 km
sobre la superficie terrestre?
Ejemplo 4: Desde la superficie terrestre queremos lanzar un satélite de masa
100kg para que esté en órbita alrededor de la Tierra. Si el radio de la órbita
circular es el doble del radio terrestre, calcula la energía que hay que comunicar
al satélite para ponerlo en esa órbita.
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6.8 LEYES DE KEPLER
Historia:
Principios del siglo XVII: Kepler determina las órbitas de los planetas utilizando
datos del astrónomo danés Tycho Brahe.
Formula 3 LEYES EMPÍRICAS que describen con exactitud los movimientos de
los planetas alrededor del Sol.
Kepler no explica por qué se mueven los planetas (de eso se encargará Newton),
simplemente describe cómo es su movimiento.
LEYES DE KEPLER
1- Los planetas describen órbitas elípticas planas con el sol situado en uno
de los focos de la elipse.
2- El radio vector que une el Sol con un planeta barre áreas iguales en
tiempo iguales.
3- Los cuadrados de los periodos de revolución de los planetas son
proporcionales al cubo de la distancia media que los separa del sol, es
decir T2=kr3
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Ejemplo 1: Mercurio describe una órbita elíptica alrededor del Sol. En el afelio
su distancia al sol es de 6,99·1010 m, y su velocidad orbital es de 3,88 · 104m/s. Si
su distancia al Sol en el perihelio es de 4,60·1010 m, calcula cuál será en este
punto su velocidad. Calcula también el módulo del momento lineal y del
momento angular de Mercurio en el perihelio. MM=3,18 · 1023Kg
Ejemplo 2: El asteroide Palas tiene un periodo orbital de 4.62 años. Calcula el
semieje mayor de su órbita.
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Ejemplo 3: El cometa Halley se mueve en una órbita elíptica alrededor del Sol. Su
distancia a nuestra estrella en el perihelio es de 8,75 · 107km y en el afelio es de
5,26 · 109km. Calcula el semieje mayor, la excentricidad y el periodo de la órbita.
6.9 DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE MASA
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Pasos a seguir:
1- Elegimos una superficie que pase por el punto en el que vamos a calcular el
campo gravitatorio.
2- Calculamos el FLUJO del campo gravitatorio a través de esa superficie.
3- Una vez que sabemos el flujo a través de la superficie, aplicamos el
TEOREMA DE GAUSS.
Ejemplo: Calcula el campo gravitatorio creado por una esfera maciza de masa M
y radio R, en cualquier punto interior y exterior de la esfera.
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