TEORÍA GENERAL DE SISTEMAS ING. MARÍA DE LA LUZ FERNÁNDEZ ZURITA UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE ESTUDIOS PROFESIONALES ARAGON Aula Virtual Asignatura Teoría General de Sistemas. TEMA II. Programación Matemática Profesor: Ing. María de la Luz Fernández Zurita 1 TEORÍA GENERAL DE SISTEMAS ING. MARÍA DE LA LUZ FERNÁNDEZ ZURITA TEMA II. PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA Objetivo: Conocer y aplicar el modelo de programación lineal en diversos problemas típicos de la Ingeniería Civil. La programación lineal es una clase de modelos de programación matemática destinados a la asignación eficiente de los recursos limitados en actividades conocidas, con el objetivo de satisfacer las metas deseadas. La programación lineal tiene como propiedades: 1.- El objetivo: que es la maximización o minimización de alguna cantidad. 2.- Tiene limitaciones o restricciones, que obstruyen la medida en que puede tratarse de alcanzar el objetivo. Ejemplos: Aplique las propiedades de la programación lineal. 1.- Un fabricante desea elaborar un programa de producción y una política de inventarios que satisfaga la demanda de ventas en periodos futuros. Idealmente, el programa y la política le permitirán a la compañía satisfacer la demanda, y al mismo tiempo, minimizar los costos totales de producción e inventarios. 2.- Un analista financiero debe seleccionar una cartera de inversiones a partir de diversas alternativas de inversión en bonos y acciones. Al analista le gustaría establecer la cartera que maximice el rendimiento sobre la inversión. 2 TEORÍA GENERAL DE SISTEMAS ING. MARÍA DE LA LUZ FERNÁNDEZ ZURITA Dentro de los modelos de programación lineal tenemos: Dos variables Método Gráfico. Tienen solución inicial factible Método Simplex. Modelos de Programación Lineal Más de dos variables Método de la Gran “M” o Método Penal. No tienen solución inicial factible Método de las Dos Fases. Modelo de programación lineal. Entre las herramientas más útiles para estudiar los sistemas que se presentan en la ingeniería se encuentran los modelos de optimización. Dentro de estos se encuentra la programación matemática, que pretende encontrar el valor óptimo del objetivo del sistema, sujetándose a una serie de restricciones que surgen de las relaciones que existen entre sus entidades. Una de sus técnicas más importantes y utilizadas es la programación matemática, entre las que destaca la programación lineal que recibe este nombre porque todas sus relaciones funcionales se pueden expresar como ecuaciones lineales. La programación lineal trata con sistemas cuyo problema es asignar recursos limitados entre actividades que compiten, de la mejor manera posible, es decir optimizar. Para resolver este tipo de problemas, es necesario estructurarlo de la siguiente forma (modelo de programación lineal en su forma estándar): Máx Z = s. a C1x1 + C2x2 + …+ Cnxn Función objetivo a11x1 + a12x2 + … + a1nxn a21x1 + a22x2 + … + a2nxn b1 b2 am1x1 + am2x2 + … + amnxn bm 0 x1, x2, …, xn 3 Restricciones explícitas Restricciones implícitas TEORÍA GENERAL DE SISTEMAS ING. MARÍA DE LA LUZ FERNÁNDEZ ZURITA Descripción: El objetivo del modelo se expresa como una ecuación matemática lineal que pretende encontrar el valor óptimo del problema, en este caso el máximo. Parámetros del modelo: 1.- Parámetros de la función: son C1, C2, … , Cn, tantos como actividades compartan en el problema y se expresan por unidades de actividad o variable, en general son el beneficio o el costo por unidad de actividad. 2.- Parámetros del lado derecho de las restricciones: son b1, b2, … , bm, tantos como restricciones explícitas tenga el problema, es decir son las cantidades límite del recurso. 3.- Parámetros o coeficientes de las restricciones: son a11, a12, … , a1n, tantos como el producto de las actividades que compiten por el número de restricciones. Los parámetros anteriores permanecen constantes en el modelo lineal. Variables del modelo Son las actividades que compiten, es decir, se trata de determinar el modelo indicado que satisfaga el objetivo del problema y las restricciones cambian continuamente al trabajar en el modelo. Relaciones Funcionales. Son ecuaciones matemáticas y son de tres tipos: a) Función objetivo: Cada uno de sus términos indica el beneficio que se obtiene por cada actividad y al sumarse dan el beneficio total del sistema, se trata de encontrar el máximo. b) Restricciones explícitas: Reciben este nombre porque se indica textualmente cada uno de sus términos, indica cuanto recurso está consumiendo la actividad, y su suma cuanto recurso consume el sistema. Son desigualdades del tipo () menor o igual que, e indica que se debe de consumir menos o hasta lo que se tiene, para desigualdades del tipo () mayor o igual que, indica que se 4 TEORÍA GENERAL DE SISTEMAS ING. MARÍA DE LA LUZ FERNÁNDEZ ZURITA debe de consumir lo que se tiene o más, y para cuando es la (=) igualdad indica que se debe de consumir lo que se tiene. c) Restricciones implícitas: indican únicamente que el valor de las variables o actividades debe ser cero o algún valor positivo. EJERCICIOS. Plantear el modelo de programación lineal de los siguientes ejercicios: a.- La Arizona Air Conditioning Inc. (AAI) desea comenzar la producción de dos nuevos tipos de aire acondicionado, utilizando el exceso de tiempo disponible en tres líneas de producción. Esas líneas ejecutan su proceso por pasos secuenciales. Cada uno de los dos aires acondicionados tienen que pasar por las tres líneas para que el producto sea completo. El primer aire acondicionado requiere de 4, 8 y 6 horas para ser procesado en las líneas 1, 2 y 3 respectivamente. El segundo aire acondicionado requiere de 4, 10 y 12 horas para ser procesado en las líneas 1, 2 y 3 respectivamente. El exceso de tiempo disponible para cada mes es de 120, 240 y 360 horas en las líneas 1, 2 y 3 respectivamente. La utilidad esperada del primer aire acondicionado es de $ 100 y para el segundo es de $ 150 por unidad. b.- La New York Auditing Inc. (NYAI) es una firma de contadores públicos especializados en preparar liquidaciones y pagos de impuestos, y también auditan empresas pequeñas del área metropolitana. El interés de NYAI ahora es saber cuántas auditorias y liquidaciones pueden realizar mensualmente, de tal manera que obtengan los máximos ingresos. Se dispone de 800 horas para trabajo directo y dirección y 160 horas para revisión. Una auditoria en promedio requiere de 40 horas de trabajo directo y dirección y de 10 horas de revisión, además, aporta un ingreso de $ 300. Una liquidación de impuestos requiere de 8 horas de trabajo directo y de 2 horas de revisión, y produce un ingreso de $ 100. 5 TEORÍA GENERAL DE SISTEMAS ING. MARÍA DE LA LUZ FERNÁNDEZ ZURITA MÉTODOS DE SOLUCIÓN MÉTODO GRÁFICO. Investigar y se verá en clase Resuelva por el método gráfico los siguientes ejercicios. max z = 200x1 + 240x2 max z = 9x1 + 5x2 s. a s. a 6x1 + 12x2 120 8x1 + 4x2 64 x1,x2 0 2x1 + 2x2 12 x1 + 2x2 8 x1 - 4x2 4 x1,x2 0 max z = 3x1 + 2x2 min z = 3x1 + 2x2 s. a s. a x1 6 x2 6 x1 + x2 9 x1 9 x1 + x2 12 x1,x2 0 x1,x2 0 MÉTODO SIMPLEX. La mayoría de los problemas de programación lineal son demasiado grandes como para solucionarlos en forma gráfica y, para ello debe utilizarse un procedimiento algebraico. El procedimiento algebraico más ampliamente utilizado para resolver problemas de Programación Lineal es el denominado Método Simplex. El Método Simplex es un procedimiento sistemático y eficiente para encontrar y probar soluciones situadas en los vértices de optimalidad. El Método Simplex para o termina una vez que se haya encontrado la solución óptima. Antes de entrar en materia del Método Simplex es necesario saber ciertos conceptos básicos. 6 TEORÍA GENERAL DE SISTEMAS ING. MARÍA DE LA LUZ FERNÁNDEZ ZURITA Conceptos Básicos del Método Simplex. Variables de Holgura (S). En términos de programación lineal es: cualquier capacidad no utilizada u ociosa para una restricción de menor o igual que (), al cual se le denomina holgura que corresponde a la restricción. El valor de esta variable puede por lo general interpretarse como la cantidad que no se utiliza de un recurso. El Método Simplex requiere que las restricciones sean ecuaciones en lugar de inecuaciones. La variable de holgura es una variable que se añade al lado izquierdo de una restricción menor o igual que (≤), para convertirla en una igualdad. Estas variables de holgura tienen coeficiente cero en la función objetivo, porque la capacidad no utilizada no contribuye a las utilidades. Y en las restricciones es de coeficiente uno. Las variables de holgura nunca pueden ser negativas. Variables Básicas y Soluciones Básicas Factibles. Como podemos ver ahora el conjunto de soluciones básicas no puede ser graficado ya que ahora tenemos más variables que ecuaciones. Por lo tanto, tenemos que buscar otra alternativa procedimental para encontrar las soluciones factibles. Determinación de una solución básica. Para determinar una solución básica, se igualan a cero n – m de las variables y se resuelven las m ecuaciones lineales de restricción para encontrar los valores de las n variables restantes. Las variables que se igualan a cero se les denominan variables no básicas. Y a las que se les permite ser diferente de cero se les denomina variables básicas. Soluciones básicas factibles. Una solución básica puede ser factible o no. Una solución básica factible es la solución básica que también satisface las condiciones de no negatividad. 7 TEORÍA GENERAL DE SISTEMAS ING. MARÍA DE LA LUZ FERNÁNDEZ ZURITA Como punto de partida para el método simplex requerimos de una solución básica factible para el sistema de m ecuaciones lineales de restricción y n variables. El método simplex en la forma de los coeficientes separados es el que se utilizará para resolver un problema de programación lineal el cual es conocido como tablero simplex. El propósito de la tabla es ofrecer una solución básica factible inicial, que se requiere para arrancar con el método. El tablero define completamente las restricciones y la función objetivo del problema. La primera columna identifica las variables básicas de la primera solución factible. Y la última columna da el valor de cada una de las variables básicas. Antes de resolver el tablero es necesario entender ciertos términos claves para su solución. Columna pivote. Es la columna de coeficientes que están asociados a la variable no básica que ha sido escogida para convertirse en la variable básica a entrar. Y es la que tiene el coeficiente más negativo en la función objetivo del tablero simplex. Fila pivote. Es la fila de coeficientes que contiene la variable básica actual y que contiene coeficiente +1, es la que se ha escogido como la variable básica a salir. Para decidir cual variable sale, usamos la columna de las variables básicas, la columna pivote, y la columna de las soluciones del tablero y se calculan las razones entre las soluciones y los coeficientes de la columna pivote. Se toma la del valor más pequeño positivo y hacemos caso omiso de las razones cuyo denominador sea cero o un valor negativo. Número pivote. Es el coeficiente que está en la intersección entre la columna y la fila pivote. Para resolver el tablero simplex necesitamos lo siguiente: 1.- La variable básica a entrar remplaza simplemente a la variable básica a salir en la columna de las variables básicas. 8 TEORÍA GENERAL DE SISTEMAS ING. MARÍA DE LA LUZ FERNÁNDEZ ZURITA 2.- El número pivote tiene que ser convertido a +1, recuerde que toda la fila se afecta. 3.- Cada uno de los coeficientes restantes en la columna pivote tienen que ser convertidos a cero Resuelva por el método simplex los siguientes ejercicios. max z = 200x1 + 240x2 max z = 3x1 + 2x2 s. a s. a 6x1 + 12x2 120 8x1 + 4x2 64 x1 x2 x1 + x2 x1,x2 0 6 6 9 x1,x2 0 max z = x1 + x2 – x3 + x4 max z = 2x1 + x2 – 3x3 + 5x4 s. a s. a x1 + 2x2 – 3x3 + x4 4 x1 + 2x2 + x3 + 2x4 4 x1,x2,x3,x4 0 x1 + 7x2 + 3x3 + 7x4 46 3x1 - x2 + x3 + 2x4 8 2x1 + 3x2 - x3 + x4 10 x1,x2,x3,x4 0 max z = 5x1 - 4x2 + 6x3 + 8x4 max z = 2x1 + x2 - 3x3 + 5x4 s. a s. a x1 + 7x2 + 3x3 + 7x4 46 3x1 - x2 + x3 + 2x4 8 2x1 + 3x2 – x3 + x4 10 x1,x2,x3,x4 0 x1 + 2x2 + 4x3 - x4 6 2x1 + 3x2 - x3 + x4 12 x1 + x3 + x4 4 x1,x2,x3,x4 0 MÉTODO PENAL O METODO DE LA GRAN M. Investigar y se verá en clase. METODO DE LAS DOS FASES. Investigar y se verá en clase. 9
