Conicas y cuadricas

Ingenierı́as: Aeroespacial, Civil y Quı́mica.
Matemáticas I. 2010-2011.
Departamento de Matemática Aplicada II.
Escuela Superior de Ingenieros. Universidad de Sevilla.
Tema 1.- Cónicas y Cuádricas.
1.1.- Las cónicas. Ecuaciones reducidas.
Las secciones cónicas.
Definición métrica y elementos notables.
La propiedad focal.
Ecuación reducida de una cónica no girada.
Ecuaciones paramétricas.
1.2.- Las cuádricas. Ecuaciones reducidas.
Ecuación reducida de una cuádrica no girada.
Los elipsoides.
Los hiperboloides y el cono.
Los paraboloides.
Los cilindros y las cuádricas degeneradas.
1.3.- Ejercicios.
1.4.- Apéndice: MATLAB.
Referente a la geometrı́a del plano, el alumno conoce, de sus estudios de bachillerato,
las curvas que se obtienen como gráfica de una función explı́cita, y = f (x). Además, conoce
la ecuación general (o implı́cita) de la recta ax + by + c = 0, ecuación que salvo casos
excepcionales (b = 0) define a y como función explı́cita de x, y = − 1b (ax + c). Por otra parte,
conoce la circunferencia, curva que no puede obtenerse como gráfica de una función explı́cita.
La relación que establece la ecuación de una circunferencia (x − a)2 + (y − b)2 = r 2 entre
las variables (x, y) es una relación implı́cita. Podemos obtener expresiones explı́citas
de y en
È
función de x si dividimos la circunferencia en dos semi-circunferencias y = b± r 2 − (x − a)2 ,
pero el trabajar con estas expresiones obliga a no poder considerar y hacer cálculos sobre la
curva completa.
En este tema estudiaremos las ecuaciones y los aspectos elementales de las cónicas (curvas planas de segundo grado) y las cuádricas (las superficies de segundo grado). En dicho
tratamiento elemental consideraremos las propiedades intrı́nsecas (propiedades que no dependen del sistema de coordenadas) y estudiaremos las ecuaciones de dichas curvas y superficies
cuando sus elementos de simetrı́a son paralelos a alguno de los ejes o planos coordenados. Más
adelante, en la parte final de la asignatura, con las herramientas correspondientes al cálculo
de autovalores y autovectores y a la diagonalización ortogonal de una matriz simétrica real,
podrá completarse el estudio considerando las cónicas y cuádricas dadas por su ecuación en
forma general.
1
2
Tema 1.- Cónicas y Cuádricas.
1.1.- Las cónicas. Ecuaciones reducidas.
En primer lugar vamos a estudiar los aspectos básicos de las cónicas no degeneradas
(parábola, elipse e hipérbola), considerando la definición de éstas como el lugar geométrico de todos los puntos del plano que verifican una determinada propiedad métrica.
Independientemente de que el resultado sea o no sea una cónica, algunos ejemplos sencillos
de lugares geométricos definidos mediante condiciones métricas son los siguientes:
La circunferencia: lugar geométrico de los puntos de un plano que están a una distancia
prefijada de un punto fijo,
La mediatriz de un segmento: el lugar geométrico de los puntos de un plano que
equidistan de los extremos del segmento,
El lugar geométrico de los puntos que equidistan de dos rectas que se cortan está formado por las dos bisectrices de los ángulos que determinan las rectas dadas,
Una vez definida cada cónica, veremos que, adoptando un sistema de ejes adecuado, ésta
queda caracterizada mediante una ecuación implı́cita en dos variables (x, y) que vendrá dada
por una ecuación polinómica de segundo grado sin término en xy.
Además de las ecuaciones implı́citas de las distintas cónicas (referidas a ejes apropiados)
consideraremos una descripción paramétrica. En términos generales, puede decirse que las
descripciones paramétricas son las herramientas más apropiadas a la hora de representar
gráficamente una curva (plana o tridimensional) o una superficie. Esto se pone de manifiesto
a la hora de obtener las gráficas de curvas y superficies usando MATLAB (o cualquier otro
paquete de programas que permita representar gráficamente curvas y superficies definidas
mediante ecuaciones).
1.1.1.- Las secciones cónicas.
Dejando al margen coordenadas, ecuaciones,...el nombre completo de las cónicas es el
de secciones cónicas pues son las curvas que se obtienen al seccionar un cono mediante
un plano. El tipo de curva que se obtiene al cortar un cono circular recto (más adelante
obtendremos su ecuación) con un plano depende de si el plano pasa o no por el vértice del
cono y de la relación entre el ángulo, 0 ≤ α ≤ π2 , de inclinación del plano respecto al eje del
cono y el ángulo, 0 < β < π2 , de inclinación de la recta generatriz del cono respecto del eje.
Tenemos los siguientes casos:
• Un punto, concretamente el vértice del cono, si cortamos con un plano que pasa por el
vértice y β < α ≤ π2 .
• Dos rectas secantes, si cortamos con un plano que pasa por el vértice y 0 ≤ α < β.
• Una recta doble, si cortamos con un plano que pasa por el vértice y α = β.
• Una elipse, si cortamos con un plano que no pase por el vértice del cono y β < α ≤ π2 . En
particular, si cortamos con un plano perpendicular al eje del cono (α = π2 ), se obtiene
una circunferencia.
• Una parábola, si cortamos con un plano que no pase por el vértice y sea paralelo a una
generatriz, α = β.
• Una hipérbola, si cortamos con un plano que no pase por el vértice y 0 ≤ α < β.
Matemáticas I.
2Ingenierı́as: Aeroespacial, Civil y Quı́mica
1.1- Las cónicas. Ecuaciones reducidas.
Un punto
Elipse
Circunferencia
3
Una recta doble
Dos rectas que se cortan
Parábola
Hipérbola
1.1.2.- Definición métrica y elementos notables.
Vamos a definir (cada una de) las cónicas como el conjunto de puntos del plano que
verifican una determinada propiedad métrica (referida a distancias). Adoptando un sistema
de referencia adecuado, obtendremos la ecuación implı́cita correspondiente y las coordenadas
y ecuaciones de los elementos distintivos (centro, ejes,...) que tenga en cada caso.
• La parábola.
Aunque sea una curva plana conocida por el alumno como la gráfica de una función
polinómica de segundo grado y = f (x) = ax2 + bx + c y como la trayectoria descrita por un
proyectil, adoptaremos ahora otro punto de vista.
Definición. Dada una recta L y un punto F (que no esté en L), se denomina parábola
de foco F y directriz L al lugar geométrico de los puntos P (del plano determinado por
la directriz y el foco) que equidistan de la directriz L y el foco F ,
d (P, L) = d (P, F ).
Ejercicio. ¿Qué sucede si el punto F está en la recta L?
Matemáticas I.
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2010-2011
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Tema 1.- Cónicas y Cuádricas.
En la definición considerada no hay ninguna referencia a sistema de coordenadas alguno.
En el plano determinado por la recta y el punto dados, vamos a considerar un sistema de
referencia adecuado, de forma que la ecuación que caracterice a los puntos de la parábola
sea lo más sencilla posible. Como eje OX, de la variable independiente, vamos a tomar la
recta que pasa por el foco F y es perpendicular a la directriz L. Como origen del sistema de
referencia tomamos el punto O de dicha recta que equidista del foco y de la directriz. Por
último, como eje OY de nuestro sistema de referencia tomamos la recta que pasa por O y
es paralela a la directriz.
En este sistema de ejes perpendiculares tendremos que las coordenadas del foco serán de
la forma F = ( 2p , 0) y la ecuación de la directriz será L ≡ x = − p2 . U n punto P = (x, y)
pertenecerá a la parábola definida si y sólo si
r
p
p
d (P, L) = x + = d (P, F ) = (x − )2 + y 2 .
2
2
De aquı́ es fácil obtener que los puntos
(x, y) que están en la parábola están
caracterizados por la ecuación
y 2 = 2p x
Y
Vértice
O
P = (x, y)
Foco
Eje de simetrı́a
p
X
F = ( , 0)
2
|p| = d (F, L).
La recta y = 0 (el eje OX) es eje de
simetrı́a de la parábola anterior y el
vértice (el punto de corte del eje de
simetrı́a con la parábola) es el origen
de coordenadas O = (x = 0, y = 0).
directriz
x=−
p
2
y 2 = 2p x
El eje de simetrı́a de una parábola también se suele llamar eje focal. La recta que pasa
por el vértice y es perpendicular al eje de simetrı́a se suele llamar eje secundario de la
parábola.
Una ecuación del tipo x2 = 2q y define una parábola con eje de simetrı́a el eje OY y
vértice en el origen de coordenadas.
Si cuando hemos obtenido la ecuación de la
parábola, y 2 = 2p x, hubieramos adoptado
un sistema de ejes paralelo al que hemos
adoptado (o lo que es lo mismo si hacemos
una traslación del sistema de coordenadas),
en el cual el eje OX sea paralelo al eje de
simetrı́a de la parábola (dicho eje de simetrı́a
tendrı́a como ecuación y = β) y el vértice tuviera como coordenadas (α, β), la ecuación
de la parábola en dicho sistema de coordenadas serı́a de la forma
(y − β)2 = 2p (x − α).
Y
Vértice (α, β)
Eje
y=β
O
(y − β)2 = 2p (x − α)
x=α
X
Ejercicio. Determina el vértice, el eje de simetrı́a, el foco y la directriz de las parábolas
(y − β)2 = 2p (x − α),
Matemáticas I.
(x − α)2 = 2q (y − β).
4Ingenierı́as: Aeroespacial, Civil y Quı́mica
1.1- Las cónicas. Ecuaciones reducidas.
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Las ecuaciones anteriores cubren todos los casos en los que el eje de la parábola es paralelo
a uno de los ejes coordenados. No estamos todavı́a en condiciones de estudiar la ecuación
de una parábola cuyo eje de simetrı́a no sea paralelo a ninguno de los ejes del sistema de
referencia que se considere.
Ejercicio. Expresa la ecuación 2y 2 + 4y + 3x + 7 = 0 en la forma
(y − β)2 = 2p (x − α).
Determina el vértice, el foco, la directriz y el eje de simetrı́a de la parábola y haz la representación gráfica.
• La elipse.
Definición. Dados dos puntos F1 y F2 (iguales o distintos) y una constante 2a (mayor que
la distancia entre los focos), se llama elipse de focos F1 y F2 y constante 2a al lugar
geométrico de los puntos, P , cuya suma de distancias a F1 y F2 es 2a,
d (P, F1 ) + d (P, F2 ) = 2a.
Ejercicio. ¿Qué sucede si 2a es igual a la distancia entre los focos? ¿y si es menor?
¿Qué sucede si F1 = F2 ?
Introducimos ahora un sistema de referencia respecto del cual la elipse estará caracterizada por una ecuación lo más simple posible. Tomamos como eje OX la recta que une los
focos F1 y F2 y como eje OY la recta perpendicular en el punto medio de los focos, punto
que será por tanto el origen de coordenadas del sistema de referencia. Respecto de éste de
referencia los focos vendrán dados mediante F1 = (c, 0) y F2 = (−c, 0).
Un punto P = (x, y) estará en la elipse si y sólo si
d(P, F1) + d(P, F2) =
È
È
(x − c)2 + y 2 +
(x + c)2 + y 2 = 2a.
Sin más que hacer operaciones tenemos
dejando una raı́z cuadrada en cada uno de los miembros de la igualdad,
È
(x − c)2 + y 2 = 2a −
È
(x + c)2 + y 2
elevando al cuadrado los dos miembros de la igualdad,
(x − c)2 + y 2 = 2a −
È
(x + c)2 + y 2
2
desarrollando,
È
(x − c)2 + y 2 = 4a2 + [(x + c)2 + y 2] − 4a (x + c)2 + y 2
È
x2 + c2 − 2cx + y 2 = 4a2 + x2 + c2 + 2cx + y 2 − 4a (x + c)2 + y 2
Matemáticas I.
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Tema 1.- Cónicas y Cuádricas.
simplificando y dejando en uno de los miembros de la igualdad sólo la raı́z cuadrada
È
4a (x + c)2 + y 2 = 4a2 + 4cx
simplificando y elevando al cuadrado cada uno de los dos miembros de la igualdad,
”
—
€
Š2
a2 (x + c)2 + y 2 = a2 + cx
,
desarrollando,
a2 [x2 + c2 + 2cx + y 2] = a4 + c2 x2 + 2a2 cx
a2 x2 + a2 c2 + 2a2 cx + a2 y 2 = a4 + c2 x2 + 2a2 cx,
simplificando, agrupando términos y despejando,
(a2 − c2 )x2 + a2 y 2 = a4 − a2 c2
⇔
(a2 − c2 )x2 + a2 y 2 = a2 (a2 − c2 )
denotando b2 = a2 − c2 (> 0) y dividiendo ambos miembros de la igualdad por a2 b2
tenemos
x2 y 2
+ 2 = 1,
a2
b
siendo b2 = a2 − c2 .
Y
(0, b)
P = (x, y)
a
b
(−a, 0)
F2 = (−c, 0)
c
(a, 0)
X
F1 = (c, 0)
(0, −b)
x2 y 2
+ 2 =1
a2
b
O
Es fácil comprobar que el eje OX (la recta que une los focos) y el eje OY (la perpendicular
en el punto medio de los focos) son ejes de simetrı́a de la elipse y su punto de corte (el
origen de coordenadas) es centro de simetrı́a. Notemos que si un punto (x, y) verifica la
ecuación de la elipse, los puntos
(±x, ±y) :
(x, y), (x, −y), (−x, y), (−x, −y)
también verifican dicha ecuación. El eje de simetrı́a que pasa por los focos suele denominarse
eje focal.
Los puntos en los que los ejes de simetrı́a cortan a la elipse (±a, 0) y (0, ±b) se denominan
vértices. También suelen denominarse ejes de la elipse a los dos segmentos que se determinan
Matemáticas I.
6Ingenierı́as: Aeroespacial, Civil y Quı́mica
1.1- Las cónicas. Ecuaciones reducidas.
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por los vértices en cada eje de simetrı́a. Las distancias a > 0 y b > 0 del centro de la elipse a
los vértices se denominan semiejes. Notemos que dichos semiejes son la mayor y la menor
distancia de un punto de elipse a su centro.
Cuando hay un único foco, F1 = F2 , la definición de elipse corresponde a la circunferencia
de centro F1 = F2 y radio r = a > 0. En este caso tenemos que 2c = d (F1 , F2 ) = 0, b2 = a2
y la ecuación puede escribirse como x2 + y 2 = a2 . En este caso cualquier recta que pase por
el centro es eje de simetrı́a y de la circunferencia hay un único foco que coincide con el
centro y cualquier recta que pase por el centro es eje de simetrı́a.
Si tenemos un sistema de referencia respecto del cual el centro de simetrı́a de la elipse
tiene por coordenadas (α, β) y sus ejes de simetrı́a son paralelos a los ejes coordenados (con
lo cual serán las rectas x = α e y = β) la ecuación de la elipse será de la forma
(x − α)2 (y − β)2
+
=1
a2
b2
Si a = b tendremos una circunferencia y dependiendo de si a > b ó a < b, los focos de la
elipse y el semieje mayor de la elipse estará sobre uno de los ejes de simetrı́a o sobre el otro.
Y
Y
y=β
y=β
(α, β)
(α, β)
a>b
a<b
O
x=α
X
O
x=α
X
• La hipérbola.
Al igual que la parábola, el alumno conoce la hipérbola como representación gráfica de
una función explı́cita y = f (x) = xk , k 6= 0. Todas estas hipérbolas son equiláteras y tienen
como ası́ntotas a los ejes coordenados. Veamos la hipérbola desde otro punto de vista.
Definición. Dados dos puntos distintos, F1 y F2 , y una constante 2a > 0 (menor que la
distancia entre los focos), se llama hipérbola de focos F1 y F2 y constante 2a al lugar
geométrico de los puntos P cuya diferencia de distancias a F1 y F2 es 2a,
|d (P, F1 ) − d (P, F2 )| = 2a.
Ejercicio. ¿Qué sucede si 2a es mayor que la distancia entre los focos? ¿y si es igual? ¿y si
2a = 0?
Al igual que en el caso de la elipse, tomamos como sistema de referencia el que tiene
como eje OX la recta que une los focos y como eje OY la perpendicular en el punto medio
Matemáticas I.
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Tema 1.- Cónicas y Cuádricas.
de los focos. En este sistema de referencia las coordenadas de los focos serán de la forma
F1 = (c, 0), F2 = (−c, 0). Un punto P = (x, y) estará en la hipérbola si y sólo si
|d(P, F1) − d(P, F2)| =
È
(x − c)2 + y 2 −
È
(x + c)2 + y 2 = 2a.
Sin más que hacer operaciones se puede obtener que la anterior ecuación es equivalente a la
ecuación
x2 y 2
− 2 = 1,
b2 = c2 − a2 .
2
a
b
Una hipérbola está formada por dos ramas
Y
(dos curvas sin puntos en común) que vienen
dadas, respectivamente, por los puntos P que
verifican
F2
d(P, F1 ) − d(P, F2) = 2a
F1
X
y por los que verifican
d(P, F1 ) − d(P, F2 ) = −2a.
Es fácil comprobar que el eje OX (la recta que une los focos) y el eje OY (la perpendicular
en el punto medio de los focos) son ejes de simetrı́a de la hipérbola y su punto de corte
(el origen de coordenadas) es centro de simetrı́a. Notemos que si un punto (x, y) verifica la
ecuación de la hipérbola, los puntos
(±x, ±y) :
(x, y), (x, −y), (−x, y), (−x, −y)
también verifican dicha ecuación. El eje de simetrı́a que pasa por los focos suele denominarse
eje focal. Notemos que uno de los ejes de simetrı́a, el que hemos tomado como eje OY , no
corta a la hipérbola mientras que el otro, la recta que une los focos, corta a la hipérbola en
dos puntos (±a, 0) que se denominan vértices. Los valores a > 0 y b > 0 se denominan
semiejes de la hipérbola. Otro elemento caracterı́stico de las hipérbolas son sus ası́ntotas.
b
x2 y 2
Las rectas y = ± x que pasan por el centro de la hipérbola 2 − 2 = 1 y tienen pendiente
a
a
b
b
± son sus ası́ntotas. Se dice que la hipérbola es equilátera si sus dos semiejes son iguales
a
a = b, o lo que es equivalente, si sus ası́ntotas son perpendiculares entre sı́.
b
Y Ası́ntotas y = ± x
a
Vértices (±a, 0)
b
F2
c
a
X
F1
x2 y 2
− 2 =1
a2
b
Centro
Matemáticas I.
Ejes de simetrı́a
8Ingenierı́as: Aeroespacial, Civil y Quı́mica
1.1- Las cónicas. Ecuaciones reducidas.
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Ejercicio. Siendo F1 = (0, c) y F2 = (0, −c), determina la ecuación de la hipérbola formada
por los puntos P que verifican |d(P, F1) − d(P, F2 )| = 2a.
x2 y 2
Si cuando hemos obtenido la ecuación de la hipérbola, 2 − 2 = 1, hubieramos adoptado
a
b
un sistema de ejes paralelo al que hemos adoptado (o lo que es lo mismo si hacemos una
traslación del sistema de coordenadas), en el cual el eje OX fuera paralelo a la recta que
une los focos (y el eje OY fuera la perpendicular en el punto medio de los focos), los ejes
de simetrı́a tendrı́an por ecuaciones respectivas x = α e y = β y la ecuación de la hipérbola
serı́a
Y
(x − α)2 (y − β)2
−
= 1.
a2
b2
y=β
Centro (α, β)
X
x=α
En el caso de que adoptaramos un sistema de ejes en el que los focos estuvieran sobre
una recta paralela al eje OY , tendrı́amos
Y
(x − α)2 (y − β)2
−
= −1
a2
b2
y=β
Centro (α, β)
x=α
X
k
Observación. ¿Qué relación hay entre las gráficas y =
y las hipérbolas? Caundo esx
tudiemos la ecuación de un giro veremos que, si giramos la hipérbola xy = k, con centro en
π
el origen de coordenadas, un ángulo de φ = − radianes obtenemos la hipérbola de ecuación
4
(x)2 (y)2
−
=1
2k
2k
que es una hipérbola equilátera con centro el origen de coordenadas y ejes los ejes coordenados.
Cuando una hipérbola (equilátera) viene dada por una ecuación del tipo xy = k se dice
que la hipérbola está referida a sus ası́ntotas y cuando viene dada por una ecuación del tipo
x2 y 2
− 2 = ±1 se dice que está referida a sus ejes.
a2
b
Matemáticas I.
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Tema 1.- Cónicas y Cuádricas.
1.1.3.- La propiedad focal.
Aunque las tres cónicas (no degeneradas) tienen una propiedad focal, la más conocida es
la propiedad focal de la parábola. Vamos a enunciar la propiedad focal de cada una de las
cónicas en términos geométricos y en términos ópticos.
• Propiedad focal de la parábola.
En cada punto P de la parábola, el ángulo que forma la recta tangente con el segmento
P F , que une el punto con el foco, coincide con el ángulo que forma con la recta paralela al
eje que pasa por el punto considerado.
θ
Foco
Eje de Simetrı́a
Si colocamos una fuente luminosa en el foco de una parábola, los rayos emitidos se reflejan
en la parábola en la dirección del eje. Y viceversa, todos los rayos de luz que incidan en una
parábola en la dirección de su eje se reflejan en el foco.
Si tenemos la superficie que se obtiene al girar una parábola, esta propiedad permite concentrar en el foco de la parábola todo lo que recibe la superficie (ondas, luz,...) paralelamente
al eje. Recı́procamente, permite reflejar paralelamente al eje todo lo que se emite desde el
foco. Ejemplos de utilización de esta propiedad son los faros de los automóviles, las antenas
parabólicas de TV, los grandes reflectores de los telescopios que se usan en Astronomı́a, los
hornos parabólicos,...
• Propiedad focal de la elipse.
En cada punto P de la elipse, la recta tangente forma ángulos iguales con los segmentos
P F1 y P F2 que unen el punto con los focos.
Y
θ
F2
Matemáticas I.
θ
F1
X
10Ingenierı́as: Aeroespacial, Civil y Quı́mica
1.1- Las cónicas. Ecuaciones reducidas.
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Si colocamos una fuente luminosa en uno de los focos de una elipse, los rayos emitidos se
reflejan en la elipse y se concentran en el otro foco.
Ejercicio: ¿Qué dice la propiedad focal de la circunferencia, si es que tiene sentido plantearse
dicha propiedad?
• Propiedad focal de la hipérbola.
En cada punto P de la hipérbola, la recta tangente forma ángulos iguales con los segmentos P F1 y P F2 que unen el punto con los focos.
F2
F1
θ
Si tenemos una fuente luminosa situada en uno de los focos de una hipérbola, los rayos
de luz se reflejan en (la correspondiente rama de) la hipérbola de forma divergente como si
provinieran del otro foco.
1.1.4.- Ecuación reducida de una cónica no girada.
En general, una cónica es una curva formada por todos los puntos del plano cuyas coordenadas (x, y) verifican una ecuación de segundo grado
a11 x2 + a22 y 2 + 2a12 xy + 2a1 x + 2a2 y + a0 = 0.
Notemos que una ecuación de este tipo puede describir, junto a las cónicas previamente
estudiadas, otro tipo de cónicas que se suelen conocer, unas como cónicas degeneradas
y otras como cónicas imaginarias. Los siguientes ejemplos ilustran este tipo de cónicas: una
pareja de rectas (que se corten en punto, x2 − y 2 = 0, que sean paralelas x2 − 4 = 0 o que
sean coincidentes, x2 = 0), o un único punto, x2 + y 2 = 0, o nada, x2 + y 2 + 1 = 0.
En general, cualquier ecuación de segundo grado, en dos variables (x, y), sin término
en xy (a12 = 0) puede reducirse a uno de los siguientes tipos de ecuación
a X 2 + b Y 2 + c = 0,
X 2 + bY = 0,
X2 + c = 0
sin más que completar cuadrados. Estas ecuaciones representan a cónicas cuyos ejes son
paralelos a los ejes coordenados (las cónicas no están giradas respecto al sistema de referencia
considerado). A este tipo de ecuación se le denomina ecuación reducida de la cónica o
ecuación de la cónica referida a sus ejes. Cuando el coeficiente de xy es distinto de cero, la
ecuación también se puede reducir a uno de los tipos de ecuación anteriores, pero para eso
será necesario hacer un giro y esta cuestión tendrá su lugar natural más adelante.
Matemáticas I.
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2010-2011
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Tema 1.- Cónicas y Cuádricas.
Dado un polinomio de segundo grado (en una o varias variables) en el que no aparecen términos cruzados (xy si tenemos dos variables (x, y), o bien xy, xz e yz si tenemos
tres variables (x, y, z),...), completar cuadrados consiste en formar un cuadrado de un
binomio a partir de un cuadrado de un monomio y un término de primer grado. Veamos
algunos ejemplos de cómo completar cuadrados en un polinomio de segundo grado (en 1, 2,
... variables).
Ejemplo. La conocida fórmula
√
b2 − 4ac
x=
,
2a
de las soluciones de una ecuación de segundo ax2 + bx + c = 0 (a 6= 0), se obtiene sin más
que completar cuadrados en x (esto es posible porque el coeficiente de x es distinto de 0),
−b ±
–
™
–
™
b
b
ax + bx + c = a x + x + c = a x2 + 2 x + c
a
2a
"
‚
Œ2
‚
Π#
b
b
b 2
2
−
+c
= a x +2 x+
2a
2a
2a
2
2
"
‚
b
b
= a x2 + 2 x +
2a
2a
–
b
= a x+
2a
™2
−
Œ2 #
‚
b
−a
2a
Œ2
+c
b2
+ c.
4a
Una vez que hemos completado cuadrados en x, basta manipular la expresión obtenida para
obtener la fórmula que nos da las soluciones,
–
b
a x+
2a
™2
b2
−
+c=0
4a
–
™2
–
™2
b
x+
2a
⇐⇒
–
™
1 b2
=
− c ⇐⇒
a 4a
s
b2 − 4ac
b
b2 − 4ac
⇐⇒
⇐⇒
x
+
=
±
=
4a2
2a
4a2
s
√
b
b2 − 4ac
−b ± b2 − 4ac
⇐⇒ x = − ±
=
.
2a
4a2
2a
b
x+
2a
Ejemplo. Consideremos la cónica de ecuación 2x2 + 3x + y 2 − 5y − 1 = 0 y obtengamos su
ecuación reducida. Sin más que completar cuadrados en x y en y tenemos
”
—
3
2
2
2
2x + 3x + y − 5y − 1 = 2 x + x + y 2 − 5y − 1
2
2
2
3 2
5 2
3
5
−2
+ y−
−
− 1 = 0 ⇐⇒
= 2 x+
4
4
2
2
2
2
3 2
5 2
3
5
⇐⇒ 2 x +
+ y−
=2
+
+1
4
2
4
2
3 2
5 2 67
⇐⇒ 2 x +
+ y−
= .
4
2
8
Por tanto, la ecuación original es equivalente a la ecuación
€
x+
67
16
Matemáticas I.
Š
3 2
4
€
+
y−
67
8
Š
5 2
2
=1
12Ingenierı́as: Aeroespacial, Civil y Quı́mica
1.1- Las cónicas. Ecuaciones reducidas.
13
Ê
Ê
3 5
67
67
y b =
.
y la cónica es una elipse con centro el punto − ,
y semiejes a =
4 2
16
8
¿Sobre que recta están los focos de la elipse? ¿Cuáles son los ejes de simetrı́a? Calcula los
focos y los vértices de la elipse y dibújala.
1.1.5.- Ecuaciones paramétricas.
Para describir mediante ecuaciones una curva plana hemos utilizado distintos tipos:
En forma explı́cita mediante la cual una coordenada está expresada como variable
dependiente de la otra que es una variable independiente recorriendo un cierto intervalo
(o semirrecta o toda la recta real). Por ejemplo, la igualdad y = 3x2 define a x como
función explı́cita, y = f (x), de x y la curva está formada por los puntos
(x, f (x)) ∈ R2 : x ∈ I ⊂ R
©
siendo I un determinado intervalo (finito o infinito) de la recta real.
En forma implı́cita mediante la cual la curva está formada por los puntos cuyas coordenadas verifican una determinada ecuación, F (x, y) = 0, en las dos variables (x, y),
llamada ecuación implı́cita de la curva. Por ejemplo, la circunferencia de centro el
origen de coordenadas y radio 1 queda determinada por la ecuación x2 + y 2 = 1.
En forma paramétrica mediante la cual las coordenadas, (x, y), de los puntos de
la curva vienen definidas como funciones explı́citas de una variable independiente t,
denominada parámetro, que recorre un determinado intervalo,
¨
x = f (t),
y = g(t),
t ∈ I ⊂ R.
El ejemplo más simple nos lo proporcionan las ecuaciones paramétricas de una recta
descrita a través de un punto A = (x0 , y0) y un vector director v = (v1 , v2 ),
¨
x = x0 + tv1
y = y0 + tv2
t ∈ R.
Si quisieramos obtener un segmento de la recta, bastarı́a con restringir el recorrido del
parámetro t a un cierto intervalo. Por ejemplo, cuando t recorre el intervalo [0, 1] el
punto (x, y) dado por la anterior parametrización recorre el segmento de extremos A
y A + v.
En general, para una misma curva se pueden dar distintas parametrizaciones mediante
las cuales se puede recorrer la curva de distintas formas: con distinto sentido, con
distinta velocidad (constante o variable), etc. Por ejemplo, para la misma recta anterior,
• la parametrización
¨
x = x0 − λv1
y = y0 − λv2
λ ∈ R.
permite, cuando λ va desde −∞ hasta +∞, recorrer la recta en sentido contrario
al dado por el recorrido que se obtiene cuando t va desde −∞ hasta +∞ en la
primera parametrización
Matemáticas I.
13
2010-2011
14
Tema 1.- Cónicas y Cuádricas.
• la parametrización
¨
x = x0 + µ2 v1
y = y0 + µ2 v2
µ ∈ R.
permite, cuando µ va desde −∞ hasta +∞, recorrer dos veces una de las dos
semirrectas que parten del punto A,
• la parametrización
¨
x = x0 + s3 v1
y = y0 + s3 v2
µ ∈ R.
permite, cuando s va desde −∞ hasta +∞, recorrer la recta completa pero con
velocidad variable: cuando s recorre, por ejemplo, los intervalos [0, 1] y [3, 4] se
obtienen segmentos de recta de distinta longitud,
• si consideramos unas ecuaciones paramétricas tomando otro punto de la recta y
otro vector dirección, la forma de recorrer la recta será distinta.
Toda curva plana que venga dada en forma explı́cita, por ejemplo y = f (x), también
está dada en forma implı́cita, mediante F (x, y) = y − f (x) = 0, y en forma paramétrica,
mediante
¨
x = t,
y = f (t).
Sin embargo, dada una ecuación implı́cita, F (x, y) = 0, no siempre es posible despejar
una variable en función de la otra (como una única función). Por ejemplo, de la ecuación
x2 + y 2 − 1 = 0 no es posible despejar ninguna variable en función de la otra. Para describir
la circunferencia completa necesitarı́amos dos funciones explı́citas. De la misma forma, no
siempre es posible pasar de las ecuaciones paramétricas a una ecuación explı́cita o implı́cita.
El estudio de las condiciones bajo las cuales una ecuación implı́cita, F (x, y) = 0, define a
una de las variables como función explı́cita de la otra, cae dentro del campo de actuación del
cálculo diferencial de varias variables. Desde el punto de vista de la representación gráfica
de una curva, habitualmente se considera a ésta dada por unas ecuaciones paramétricas (o el
caso más simple de una ecuación explı́cita). En la relación de ejercicios se consideran algunos
ejemplos de parametrización de curvas en el espacio. Básicamente, las parametrizaciones
se obtienen a partir de levantar una parametrización de una curva en uno de los planos
coordenados.
Referente a una parametrización de las cónicas no giradas (en el plano) tenemos:
Parábola. Es inmediato parametrizar cualquier parábola con ejes paralelos a los coordenados. Según que el eje de simetrı́a sea horizontal o vertical podremos expresar x como función explı́cita de y o y como función explı́cita de x. La parábola
(y − β)2 = 2p(x − α), (p 6= 0), de vértice (α, β) y eje horizontal, define a x como
función explı́cita de y y tenemos la parametrización asociada,
(
2
(y − β) = 2p(x − α) =⇒
x=α+
y=t
1
2p
(t − β)2 ,
)
(−∞ < t < ∞)
Elipse. La elipse de centro (α, β) y semiejes a y b respectivamente, tiene por ecuación
(x − α)2 (y − β)2
+
= 1.
a2
b2
Matemáticas I.
14Ingenierı́as: Aeroespacial, Civil y Quı́mica
1.2.-Las cuádricas.
15
Teniendo en cuenta que la circunferencia unidad, X 2 +Y 2 = 1, la podemos parametrizar
tomando como parámetro el ángulo polar t,
¨
X = cos(t),
Y = sen(t),
t ∈ [0, 2π];
podemos parametrizar la elipse dada mediante
¨
x − α = a cos(t)
y − β = b sen(t)
t ∈ [0, 2π].
Si quisiéramos obtener un arco de la circunferencia o de la elipse bastarı́a con considerar
un intervalo apropiado de variación de t.
Hipérbola. Para describir mediante ecuaciones paramétricas una hipérbola vamos
a considerar por separado cada una de las ramas y vamos a utilizar las funciones
hiperbólicas: la función coseno hiperbólico y la función seno hiperbólico dadas
por
et + e−t
et − e−t
cosh(t) =
,
senh(t) =
,
t∈R
2
2
que tienen algunas similitudes con las funciones trigonométricas (paridad, derivadas,...)
y algunas diferencias significativas (acotación,...). En particular tendremos en cuenta
que senh(t) recorre toda la recta real cuando t varı́a desde −∞ a +∞ y que
cosh2 (t) − senh2 (t) = 1.
Ejercicio. Obtener la representación gráfica de las funciones hiperbólicas y comprobar
la igualdad anterior.
La rama derecha de la hipérbola x2 −y 2 = 1 puede obtenerse mediante la parametrización
¨
x = cosh(t)
y = senh(t)
t ∈ R.
Ejercicio. Obtener una parametrización de la rama izquierda de la hipérbola anterior
ası́ como de cada una de las ramas de las hipérbolas
(x − α)2 (y − β)2
−
= ±1.
a2
b2
1.2.- Las cuádricas. Ecuaciones reducidas.
1.2.1.- La ecuación reducida de una cuádrica no girada.
En general, una cuádrica es la superficie formada por todos los puntos del espacio cuyas
coordenadas (x, y, z) verifican una ecuación de segundo grado
a11 x2 + a22 y 2 + a33 z 2 + 2a12 xy + 2a13 xz + 2a23 yz + 2a1 x + 2a2 y + 2a3 z + a0 = 0.
Matemáticas I.
15
2010-2011
16
Tema 1.- Cónicas y Cuádricas.
Notemos que una ecuación de este tipo puede describir, además de las superficies que veremos
más adelante, las llamadas cuádricas degeneradas: una pareja de planos (que se corten en
una recta, que sean paralelos o que sean coincidentes),
x2 − y 2 = 0,
x2 − 4 = 0,
x2 = 0
o una recta, x2 + y 2 = 0, o un único punto, x2 + y 2 + z 2 = 0, o nada x2 + y 2 + z 2 + 1 = 0.
Cuando en la ecuación de la cuádrica no aparecen términos cruzados, la ecuación puede
reducirse, sin más que completar cuadrados y términos lineales, a una ecuación en la
que a lo sumo aparece un término en cada variable (y, posiblemente, un término independiente), es decir a uno de los siguientes tipos de ecuación:
ax2 + by 2 + cz 2 + d
ax2 + by 2 + cz
ax2 + by + cz
ax2 + by
ax2 + c
=
=
=
=
=
0
0
0
0
0.
Dependiendo de los signos de los coeficientes involucrados tendremos superficies con diferentes elementos distintivos (planos, ejes y centros de simetrı́a, vértices, cortes con planos
paralelos a los planos coordenados,...).
Aunque todavı́a no estemos en condiciones de abordar el estudio de la ecuación general, la
ecuación de cualquier cuádrica se puede reducir a uno de los tipos anteriores que se denomina
ecuación reducida de la cuádrica correspondiente. A continuación estudiamos las diferentes
cuádricas y sus elementos notables.
1.2.2.- Los elipsoides.
Los elipsoides se obtienen cuando, una vez completados cuadrados, nos quedan tres términos de segundo grado con coeficientes del mismo signo, es decir la ecuación tı́pica es:
8
> 1,
X2 Y 2 Z2 <
+ 2 + 2 = > 0,
a2
b
c
:
−1
siendo a, b, c 6= 0.
• El elipsoide (real).
Los elipsoides propiamente dichos se tienen en el caso
X2 Y 2 Z2
+ 2 + 2 =1
a2
b
c
que es una superficie que es simétrica respecto a cada uno de los planos coordenados. Si
un punto (X, Y, Z) pertenece a dicha superficie (sus coordenadas verifican la ecuación), los
puntos (−X, Y, Z), (X, −Y, Z), (X, Y, −Z) también pertenecen. Por tanto, dicha superficie
también es simétrica respecto a los ejes coordenados (rectas de corte de los planos de simetrı́a)
y respecto del origen de coordenadas (punto de corte de los tres planos de simetrı́a). Por
otra parte, cuando cortamos dicha superficie con un plano paralelo a alguno de los planos
Matemáticas I.
16Ingenierı́as: Aeroespacial, Civil y Quı́mica
1.2.-Las cuádricas.
17
coordenados, por ejemplo Z = k, obtenemos una elipse para ciertos valores de k, o un punto
o nada. La gráfica del elipsoide es la que se ve en la figura adjunta.
Elementos caracterı́sticos de un elipsoide son:
Z
X2
a2
+
Y2
b2
+
Z2
c2
=1
Centro de simetrı́a, (X = 0, Y = 0, Z = 0).
Planos y Ejes de simetrı́a, los coordenados.
c
a
Vértices, puntos de corte del elipsoide con sus
ejes de simetrı́a con , es decir, los puntos
b
Y
(±a, 0, 0), (0, ±b, 0), (0, 0, ±c).
X
Los semiejes a, b, c, distancias del centro a los
vértices.
Elipsoide
Cuando los tres semiejes del elipsoide son iguales, a = b = c, tenemos una esfera
X 2 + Y 2 + Z 2 = a2
de centro el origen de coordenadas (X = 0, Y = 0, Z = 0) y radio r = a. Cuando sólo dos
de los semiejes sean iguales (y el otro distinto) tendremos un elipsoide de revolución (ver el
epı́grafe 3).
• El caso degenerado y el caso imaginario.
Los otros dos casos que pueden aparecer cuando los tres coeficientes de los términos de
segundo grado son (no nulos y) del mismo signo corresponden a situaciones geométricas que
no se deben llamar elipsoides propiamente dichos.
X2 Y 2 Z2
La ecuación 2 + 2 + 2 = 0 tiene como única solución real (X = 0, Y = 0, Z = 0).
a
b
c
Es decir, la cuádrica se reduce a un único punto.
2
2
2
La ecuación Xa2 + Yb2 + Zc2 = −1 no tiene ninguna solución real, es decir, no representa
a ninguna superficie del espacio real tridimensional. A veces se denomina elipsoide
imaginario.
1.2.3.- Los hiperboloides y el cono.
Los hiperboloides y el cono se obtienen cuando, una vez completados cuadrados, nos
quedan tres términos de segundo grado con dos coeficientes del mismo signo (y el otro
distinto), es decir la ecuación tı́pica es:
8
> 1,
X
Y 2 Z2 <
+ 2 − 2 = > 0,
a2
b
c
:
−1
2
siendo a, b, c 6= 0.
• El hiperboloide hiperbólico (o de una hoja).
Una ecuación del tipo
X2 Y 2 Z2
+ 2 − 2 =1
a2
b
c
Matemáticas I.
17
2010-2011
18
Tema 1.- Cónicas y Cuádricas.
corresponde a una superficie denominada hiperboloide hiperbólico o de una hoja. Notemos
que al cortar esta superficie con planos Z = k, paralelos al plano OXY , se obtienen elipses,
al cortar con planos X = k ó Y = k, paralelos a los otros dos planos coordenados, se obtienen
hipérbolas.
Z
Elementos caracterı́sticos de un hiperboloide
de una hoja son su centro y su eje. En el caso
considerado,
2
2
X2
a2
2
X
Y
Z
+ 2 − 2 = 1,
2
a
b
c
el centro es el origen de coordenadas
(X =
¨
X =0
0, Y = 0, Z = 0) y el eje es OZ ≡
Z=0
que es un eje de simetrı́a.
X
(
+
Y2
b2
−
Z2
c2
=1
Y
X2
a2
+
Y2
b2
=1
Z=0
Hiperboloide hiperbólico
Al igual que el elipsoide, el hiperboloide de dos hojas es simétrico respecto a los planos
y ejes coordenados. Si un punto (X, Y, Z) verifica la ecuación, los puntos
(±X, ±Y, ±Z)
también verifican dicha ecuación. Los cortes con los planos coordenados son
con Z = 0, la elipse (llamada elipse de garganta)
con Y = 0, la hipérbola
X2 Z2
− 2 = 1.
a2
c
con X = 0, la hipérbola
Y 2 Z2
− 2 = 1.
b2
c
X2 Y 2
+ 2 = 1.
a2
b
El hiperboloide de una hoja tiene una particularidad que resulta sorprendente (desde un
punto de vista intuitivo), esta particularidad es el ser una superficie reglada. Se dice que
una superficie es reglada si por cada uno de sus puntos pasa una recta totalmente contenida
en la superficie (es decir, puede considerarse formada por rectas). Por cada punto de un
hiperboloide de una hoja pasan dos rectas totalmente contenidas en la superficie.
Se puede comprobar que si tenemos un punto, A = (x0 , y0, z0 ), del hiperboloide de una
hoja de ecuación x2 +y 2 = 1+z 2 , las rectas que pasan por A y tienen como vectores dirección
respectivos
2
3
2
3
x0 z0 + y0
x0 z0 − y0
6
7
6
7
u = 4 y0 z0 − x0 5 y v = 4 y0 z0 + x0 5
1 + z02
1 + z02
están totalmente contenidas en el hiperboloide de una hoja. Para un hiperboloide de una
hoja de ecuación
X2 Y 2 Z2
+ 2 − 2 =1
a2
b
c
Matemáticas I.
18Ingenierı́as: Aeroespacial, Civil y Quı́mica
1.2.-Las cuádricas.
19
basta hacer el cambio de variables
x=
X
Y
Z
, y= , z=
a
b
c
para obtener las rectas contenidas en el hiperboloide y que pasan por uno de sus puntos.
• El hiperboloide elı́ptico (o de dos hojas).
X2
Y2
Z2
Una ecuación del tipo 2 + 2 − 2 = −1 corresponde a una superficie denominada
a
b
c
hiperboloide elı́ptico o de dos hojas. Notemos que al cortar esta superficie con planos
Z = k, paralelos al plano OXY , se obtienen elipses (o un punto o nada)
k2
X2 Y 2
+
=
− 1.
a2
b2
c2
X = k, paralelos al plano OY Z, se obtienen hipérbolas
k2
Y 2 Z2
−
=
−1
−
.
b2
c2
a2
Y = k, paralelos al plano OXZ, se obtienen hipérbolas
k2
X2 Z2
−
=
−1
−
.
a2
c2
b2
Elementos caracterı́sticos de un hiperboloide de una
hoja son su centro y su eje. En el caso considerado,
Z
X2 Y 2 Z2
+ 2 − 2 = −1.
a2
b
c
X2
a2
el centro es el origen de coordenadas
+
Y2
b2
−
Z2
c2
= −1
Y
(X = 0, Y = 0, Z = 0)
¨
X=0
.
Y =0
Obviamente, teniendo en cuenta la ecuación considerada, el hiperboloide de dos hojas es simétrico respecto
a los planos y ejes coordenados.
y el eje es el eje OZ ≡
X
Hiperboloide elı́ptico
• El cono.
X2 Y 2 Z2
Una ecuación del tipo 2 + 2 − 2 = 0 corresponde a una superficie denominada cono.
a
b
c
Se puede considerar como un caso lı́mite de los dos tipos de hiperboloides que acabamos de
ver. Sin más que despejar, podemos escribir la ecuación anterior de la forma
Z2 =
X2 Y 2
+ 2,
A2
B
A, B 6= 0.
Notemos que al cortar esta superficie con planos Z = k paralelos al plano OXY se obtienen
elipses (salvo en el caso k = 0 que obtenemos un único punto) y al cortar con planos paralelos
Matemáticas I.
19
2010-2011
20
Tema 1.- Cónicas y Cuádricas.
a los otros dos planos coordenados se obtienen hipérbolas. Además, al cortar con planos que
pasan por el origen de coordenadas pueden obtenerse: una pareja de rectas que se cortan,
una recta doble o un único punto. Elementos caracterı́sticos de un cono son su vértice,
en los casos considerados es el origen de coordenadas (0, 0, 0), y su eje, que en los casos
considerados es el eje OZ ≡ X = 0 = Y . ¿Cuáles son el eje y el vértice del cono de ecuación
(x − 3)2 = 2 (y + 1)2 + z 2 ?
Z
Cono
Y
O
Z2 =
X
X2
A2
+
Y2
B2
Notemos que un cono es una superficie que
puede ser descrita fácilmente mediante rectas.
Si tenemos una elipse en el espacio y un punto
V que no está en el plano de la elipse, la superficie formada por (todos los puntos de) las
rectas que pasan por V y por un punto de la
elipse es un cono con vértice V .
1.2.4.- Los paraboloides.
Los paraboloides se obtienen cuando en la ecuación reducida aparecen dos términos de
segundo grado y un término de primer grado. Es decir, dos de las variables aparecen elevadas
al cuadrado y la otra aparece con exponente uno. Para fijar ideas, supongamos que la variable
en la que no aparece ningún término de segundo grado es Z. En este caso, la ecuación se
podrá expresar de una de las dos formas siguientes:
‚
X2 Y 2
Z=±
+ 2
a2
b
• El paraboloide elı́ptico.
Una ecuación del tipo
Œ
‚
X2 Y 2
− 2
ó Z = ±
a2
b
‚
Œ
con a, b 6= 0.
Œ
X2 Y 2
Z=±
+ 2 , a, b 6= 0
a2
b
corresponde a una superficie denominada paraboloide elı́ptico. Notemos que al cortar con
planos paralelos a los planos coordenados, por ejemplo la superficie correspondiente al signo
+ en el segundo miembro, obtenemos:
con X = k, las parábolas dadas por Z −
k2
a2
=
Y2
b2
(en el plano X = k).
con Y = k, las parábolas dadas por Z −
k2
b2
=
X2
a2
(en el plano Y = k).
con Z = k, las elipses (o un punto o nada) dadas por
Matemáticas I.
X2
a2
2
+ Yb2 = k (en el plano Z = k).
20Ingenierı́as: Aeroespacial, Civil y Quı́mica
1.2.-Las cuádricas.
21
Z
Elementos caraterı́sticos de un paraboloide elı́ptico
son su vértice y su eje de simetrı́a, en el caso considerado,
X2 Y 2
Z= 2 + 2,
a
b
el vértice es el origen de coordenadas
(X = 0, Y = 0, Z = 0)
Y
¨
x=0
. Por otra parte, la
y=0
superficie es simétrica respecto a dos de los planos
coordenados, OY Z ≡ X = 0 y OXZ ≡ Y = 0.
y el eje es el eje OZ ≡
Z
X
X2 Y 2
+ 2
a2
b
Paraboloide elı́ptico
Z=
Paraboloide elı́ptico
Z =−
X
O
O
€
X2
a2
+
Y2
b2
Š
Si hubieramos considerado la ecuación
‚
X2 Y 2
Z=−
+ 2
a2
b
Y
Œ
tendrı́amos una superficie de la misma
forma pero abierta hacia los valores negativos de Z.
• El paraboloide hiperbólico.
Una ecuación del tipo
Z =−
X2 Y 2
+ 2 , a, b 6= 0
a2
b
corresponde a una superficie, denominada paraboloide hiperbólico, que se asemeja a una
silla de montar y a veces recibe ese nombre.
Al cortar con planos paralelos a los planos coordenados obtenemos:
con X = k, las parábolas dadas por Z +
Y2
k2
=
(en el plano X = k).
a2
b2
‚
X2
k2
con Y = k, las parábolas dadas por 2 = − Z + 2
b
b
Œ
(en el plano Y = k).
X2 Y 2
+ 2 = k (en el plano Z = k)
a2
b
y para k = 0 las ası́ntotas comunes de (la proyección sobre el plano Z = 0 de) todas
las hipérbolas anteriores.
con Z = k, para k 6= 0 las hipérbolas dadas por −
Matemáticas I.
21
2010-2011
22
Tema 1.- Cónicas y Cuádricas.
Z
Y
O
X
El paraboloide hiperbólico considerado es simétrico
respecto a dos de los planos coordenados, respecto al plano OXZ ≡ Y = 0 y respecto al plano
OY Z ≡ X = 0. Por tanto, es simétrico respecto
al eje coordenado ¨
intersección de los planos anteriX=0
ores, el eje OZ ≡
puesto que si un punY =0
to de coordenadas (X, Y, Z) verifica la ecuación,
el punto de coordenadas (−X, −Y, Z) también la
verfica.
X2 Y 2
Z=− 2 + 2
a
b
Paraboloide hiperbólico
Notemos además que el paraboloide hiperbólico también es una superficie reglada. De
hecho, por cada uno de sus puntos pasan dos rectas totalmente contenidas en él. Se puede
comprobar que si tenemos un punto A = (x0 , y0 , z0 ) del paraboloide hiperbólico de ecuación
z=−
x2 y 2
+ 2
a2
b
las rectas que pasan por dicho punto y tienen como vectores dirección respectivos
u = (a2 b, ab2 , 2(ay0 − bx0 )) y v = (−a2 b, ab2 , 2(ay0 + bx0 ))
están totalmente contenidas en el paraboloide hiperbólico.
1.2.5.- Los cilindros y las cuádricas degeneradas.
Las cuádricas de tipo cilı́ndrico corresponden a los casos restantes, es decir, cuando en
la ecuación reducida en los que en la ecuación reducida no aparece alguna de las variables.
Las posibles ecuaciones tı́picas son:
Tipo elı́ptico: dos cuadrados del mismo signo y la otra variable no aparece,
8
> 1
<
X
Y
0
+
=
>
a2
b2
:
−1
2
• Cilindro elı́ptico:
• Recta (doble):
X2
a2
+
X2
a2
+
Y2
b2
Y2
b2
2
= 1.
= 0 ≡ X = Y = 0.
2
2
• Cilindro elı́ptico imaginario (Nada): Xa2 + Yb2 = −1. No hay ningún punto de R3
cuyas coordenadas verifiquen la ecuación anterior.
Tipo hiperbólico: dos cuadrados de distinto signo y la otra variable no aparece,
X2 Y 2
− 2 =
a2
b
• Cilindro hiperbólico:
Matemáticas I.
X2
a2
−
Y2
b2
¨
±1
0
= ±1.
22Ingenierı́as: Aeroespacial, Civil y Quı́mica
1.2.-Las cuádricas.
23
• Par de planos secantes:
X2
a2
−
Y2
b2
=0 ≡
X
a
−
Y
b
= 0, ó
X
a
+
Y
b
= 0.
Tipo parabólico: Un único cuadrado
Y 2 = aX + bZ + c
• Cilindro parabólico: a ó b distintos de cero. Por ejemplo Y 2 = 2pZ, p 6= 0.
√
• Par de planos paralelos: Y 2 = c > 0 ≡ Y = ± c.
• Plano doble: Y 2 = 0.
• Nada: Y 2 = c < 0.
Z
Z
Y
Y
X2 Y 2
+ 2 =1
a2
b
X
Cilindro Elı́ptico
Z
Y 2 = 2pZ
X
Cilindro parabólico
Y
X
X2 Y 2
− 2 = −1
a2
b
Cilindro hiperbólico
De forma genérica, todos los casos en los que la ecuación de segundo grado representa
planos (secantes, paralelos o coincidendes), rectas, puntos o nada se suelen denominar casos
degenerados.
Obviamente, todos los cilindros (y los casos degenerados en los que hay superficie) son
superficies regladas.
Nota.
Páginas web sobre cónicas, cuádricas y otras curvas y superficies:
http://www.cnice.mec.es/mem2000/superficies
http://www.math.com/tables/algebra/conics.htm
http://www.cnice.mec.es/eos/MaterialesEducativos/mem2000/conicas/portada
http://www.cnice.mec.es/programa/mates.htm
http://platea.pntic.mec.es/~jescuder/
http://www.monografias.com/Matematicas/
En alguna de ellas, como por ejemplo http://www.cnice.mec.es/mem2000/superficies
pueden verse en movimiento las cuádricas y otras superficies (poliedros, superficies de revolución,...) y pueden modificarse los parámetros en el “applet” asociado (subprograma que
genera la superficie) para comprobar cómo afectan a la representación gráfica los cambios en
los coeficientes de las variables.
Matemáticas I.
23
2010-2011
24
Tema 1.- Cónicas y Cuádricas.
A modo de resumén en lo que a cuádricas se refiere:
Completando cuadrados, con cambios de variables de la forma
8
>
<
>
:
X = x − α,
Y = y − β,
Z = z − γ,
podemos reducir una ecuación de segundo grado en tres variables, (x, y, z), en la que
no aparezcan productos cruzados (xy, xz, yz), a una ecuación de los tipos considerados
al inicio, es decir a una ecuación en la que a lo sumo hay un sumando en cada una de
las variables (X, Y, Z).
Las cuádricas regladas son:
•
•
•
•
el cono,
el hiperboloide de una hoja,
el paraboloide hiperbólico y
los cilindros
además de los pares de planos y la recta (doble).
Una ecuación de segundo grado en tres variables puede representar:
Nada
Punto
x2 + 1 = 0
x2 + y 2 + z 2 = 0
Pares de planos,...
Recta doble
Par de planos
Secantes, (x − 3)(y − 2) = 0.
Paralelos, (x − 3)(x − 4) = 0.
Coincidentes, (x − 3)2 = 0.
x2 + y 2 = 0
Cilindros
Z
Z
Z
Y
Y
x2 y 2
+ 2 =1
2
b
X a
Cilindro elı́ptico
Matemáticas I.
y 2 = 2p z
X
Cilindro parabólico
Y
X
y 2 x2
− 2 =1
a2
b
Cilindro hiperbólico
24Ingenierı́as: Aeroespacial, Civil y Quı́mica
1.2.-Las cuádricas.
25
x2 y 2 z 2
+ 2 + 2 = 1.
a2
b
c
Z
c
a
b
Y
X
Secciones con planos paralelos a los coordenados: Elipses.
Simetrı́a respecto a los planos y ejes coordenados.
Centro (de simetrı́a): Origen de coordenadas.
Es de revolución si dos de los coeficientes a, b y c son iguales.
Es una esfera si a = b = c.
x2 y 2 z 2
Hiperboloide hiperbólico
+ 2 − 2 =1
2
(o de una hoja)
a
b
c
Eje del hiperboloide: variable con coeficiente negativo.
Secciones con planos paralelos al plano XY : elipses
Secciones con planos paralelos al plano XZ ó Y Z: hipérbolas
Simetrı́a respecto a los ejes y los planos coordenados.
Centro: Origen de coordenadas.
Es de revolución si a = b.
Z
Y
X
Elipsoide
Z
Y
X
x2 y 2 z 2
Hiperboloide elı́ptico
− 2 − 2 =1
2
(o de dos hojas)
a
b
c
Eje del hiperboloide: variable con coeficiente positivo.
No hay corte con el plano coordenado perpendicular al eje.
Secciones con planos paralelos al plano XY ó XZ: hipérbolas.
Secciones con planos paralelos al Y Z: elipses (o un punto o nada).
Simetrı́a respecto a los ejes y los planos coordenados.
Centro: Origen de coordenadas.
x2 y 2
Cono
+ 2
a2
b
Eje del cono: OZ. Vértice: O.
Secciones con planos paralelos al plano XY : elipses (o un punto).
Secciones con planos paralelos al plano XZ ó Y Z: hipérbolas.
Simetrı́a: respecto a los planos y ejes coordenados.
Centro (de simetrı́a): Origen de coordenadas.
Es de revolución si a = b.
Z
z2 =
Y
X
Z
x2 y 2
+ 2 Paraboloide elı́ptico
a2
b
Eje del paraboloide: OZ variable que aparece con grado uno.
Vértice: Origen de coordenadas.
Secciones con planos paralelos al XY : elipses (o un punto o nada).
Secciones con planos paralelos al plano XZ ó Y Z: parábolas.
Simetrı́a respecto a los planos XZ e Y Z y al eje OZ.
z=
Y
O
X
Z
Y
X
Matemáticas I.
x2 y 2
+ 2 Paraboloide hiperbólico
a2
b
Eje de simetrı́a: OZ.
Simetrı́a respecto a los planos XZ e Y Z.
Secciones con planos paralelos al XY : hipérbolas (o dos rectas).
Secciones con planos paralelos al plano XZ ó Y Z: parábolas.
z=−
25
2010-2011
26
Tema 1.- Cónicas y Cuádricas.
1.3.- Ejercicios.
Ejercicio 1.
(1) Calcula la ecuación de la parábola de eje horizontal que tiene por foco F = (−2, 3) y
pasa por el punto (−1, 3).
(2) Calcula la ecuación de la elipse que pasa por el punto P = (4, 15
) y tiene por focos los
4
puntos F1 = (4, 2) y F2 = (−2, 2). Determina sus elementos notables y dibújala.
(3) Calcula la ecuación de la hipérbola que tiene por vértices los puntos (1, 2) y (1, 6) y
pasa por el punto (3, 8).
Ejercicio 2. Indica la respuesta correcta:
(1) La ecuación y 2 − 6x − 4y − 20 = 0 corresponde a:
Una parábola cuyo vértice es V = (−4, 2).
Una parábola cuyo eje es la recta de ecuación y = −4.
Dos rectas que se cortan en un punto.
(2) La ecuación 5x2 + y 2 = 1 corresponde a:
Una elipse con focos en el eje de abscisas.
Una elipse con focos en el eje de ordenadas.
Una hipérbola.
(3) La cuádrica x2 − y 2 + z 2 + 4y + 6z + 13 = 0 verifica:
Tiene por centro C = (0, 2, −3).
Contiene a la recta x − 1 = y − 2, z = 4.
No tiene centro.
Ejercicio 3. Completa cuadrados en las siguientes ecuaciones y determina: el tipo de cónica
que es, sus elementos notables y su representación gráfica:
(1) 3x2 + 3y 2 + x + 5y + 1 = 0.
(2) 3x2 − 3y 2 + x + 5y + 1 = 0.
(3) 3y 2 + x + 5y + 1 = 0.
Ejercicio 4. Determina, según los valores de α ∈ R, el tipo de cónica que corresponde a
cada una de las ecuaciones siguientes:
(1) 2x2 + (α2 − 1)y 2 − 2x + (α − 1)y − 3 = 0.
(2) x2 + αy 2 + x + 2y + α − 1 = 0.
(3) αx2 + (α2 − α)y 2 − 2x − 4y + 2 = 0.
Matemáticas I.
26Ingenierı́as: Aeroespacial, Civil y Quı́mica
1.3.- Ejercicios.
27
Ejercicio 5. Determina, si existen, los valores de α ∈ R para los que la siguiente ecuación
corresponde a una circunferencia o a una hipérbola equilátera
2x2 + αy 2 − 6x + 3y + α = 0.
Ejercicio 6. Sea L una recta del plano y F un punto que no está en la recta. Tomando como
eje OY la recta L y como eje OX la recta perpendicular a L que pasa por F , determina la
ecuación del lugar geométrico de los puntos P para los que el cociente entre su distancia a
F y su distancia a L es constante e > 0,
d (P, F )
= e.
d (P, L)
Comprueba que:
(a) Si e = 1 dicho lugar geométrico es una parábola.
(b) Si 0 < e < 1 dicho lugar geométrico es una elipse.
(c) Si e > 1 dicho lugar geométrico es una hipérbola.
En cualquiera de los casos se trata de una cónica y se dice que e es su excentricidad y que
L y F son su directriz y su foco respectivamente. En el caso de la parábola, la directriz y
el foco son únicos. Para la elipse y la hipérbola hay dos parejas foco-directriz.
Observación. Notemos que con la definición anterior nunca se obtiene una circunferencia, aunque
ésta pueda obtenerse como un caso lı́mite. Siendo p = d(F, L) la distancia del foco a la directriz,
tomando q = pe constante, cuando e → 0+ (y p = qe → +∞) las elipses correpondientes tienden a
la circunferencia con centro el foco y radio q.
Ejercicio 7. Determinar en coordenadas cartesianas (x, y) la ecuación de la cónica que en
coordenadas polares (r, θ) viene dada por
r=
p
.
1 + e cos(θ)
Determina, en función de e, el tipo de cónica que se obtiene y sus elementos notables.
Ejercicio 8. Completa cuadrados en las siguientes ecuaciones y determina: el tipo de cuádrica que es, sus elementos notables y su representación gráfica:
(1) x2 + 3y 2 + z 2 + 2x + 5y − 2z + 1 = 0.
(2) 3x2 + y 2 − z 2 + x + 2y + 2z + 1 = 0.
(3) x2 + y 2 + x + 4y + 3z − 1 = 0.
(4) x2 + y 2 + x + 4y − z 2 − 1 = 0.
(5) x2 + y 2 + x + 4y − 1 = 0.
Matemáticas I.
27
2010-2011
28
Tema 1.- Cónicas y Cuádricas.
(6) x2 − y 2 + x + 4y − 1 = 0.
(7) x2 + x + 4y + 3z − 1 = 0.
(8) x2 − y 2 + x + 4y + z − 1 = 0.
Ejercicio 9. Determinar la ecuación de las cuádricas siguientes:
z
z
(1, 3, 2)
(1, 3, 2)
(1)
y
(2)
(1, 3, 0)
(1, 3, 0)
x
x
(1, 1, 0)
y
(1, 1, 0)
(2, 3, 0)
(2, 3, 0)
Ejercicio 10. Determina, según los valores de α ∈ R, el tipo de cuádrica que corresponde
a cada una de las ecuaciones siguientes:
(1) 2x2 + (α2 − 1)y 2 + z 2 + 2x + 5y − 2z + 1 = 0.
(2) x2 + αy 2 + x + 2y + (α − 1)z + 1 = 0.
(3) αx2 + (α2 − α)y 2 + α3 z 2 + x + 4y − 1 = 0.
Ejercicio 11. Considera la elipse de ecuación x2 + 4y 2 = 4 en el plano OXY . Determina
las ecuaciones de la parábola del plano OXZ que tiene como vértice el punto (0, 0, 8) y pasa
por los vértices del semieje mayor de la elipse dada.
Ejercicio 12. Esboza y parametriza la curva determinada por la intersección de las siguientes
superficies :
(1) El plano y − z + 2 = 0 con el cilindro x2 + y 2 = 1.
(2) El hemisferio esférico x2 + y 2 + z 2 = 4, z ≥ 0, con el cilindro x2 + (y − 1)2 = 1.
(3) El cono x2 + y 2 = z 2 con el plano 3z = y + 4.
(4) Los paraboloides z = 2x2 + 2y 2 y z = 5 − 3x2 − 3y 2.
Matemáticas I.
28Ingenierı́as: Aeroespacial, Civil y Quı́mica
1.4.- Apéndice: MATLAB.
29
1.4.- Apéndice: MATLAB.
Aunque las posibilidades de las que dispone MATLAB para representar curvas y superficies superan, con mucho, las posibilidades de lo que podemos considerar ahora, no sólo
en cuanto a la extensión, sino también en cuanto a las herramientas técnicas de las que
disponemos, a continuación describimos algunas de las funciones de MATLAB relacionadas
con el contenido del Tema 1. En términos generales, en lo que se refiere a representación
de curvas y superficies, hay esencialmente dos opciones/posibilidades que pueden referirse a
distintos tipos de coordenadas (cartesianas, polares,...):
(i) Comandos/Funciones que parten de datos numéricos y a partir de ellos construyen los
puntos de la curva o superficie
(ii) Comandos/Funciones que parten de expresiones simbólicas. Estos comandos/funciones
comienzan con ez...
Un poco de sintaxis: siendo MATLAB un entorno que trabaja, esenciamente, con matrices, las operaciones se refieren, habitualmente, a operaciones matriciales. Por ejemplo:
x*y
denota la matriz producto de las matrices x e y (cuando sus dimensiones lo permiten),
x^3
denota la potencia 3 de la matriz (cuadrada) x.
Si tenemos que hacer operaciones sobre las entradas de una o varias matrices, cosa habitual a la hora de generar datos, necesitamos anteponer un punto (.) a la operación correspondiente. Por ejemplo:
x.*y
denota la matriz que se obtiene multiplicando cada elemento de la matriz x con el
correspondiente elemento de y (para lo cual es necesario que las matrices x e y tengan
las mismas dimensiones),
x.^3
denota la matriz que se obtiene elevando a 3 cada uno de los elementos de matriz
(cuadrada o no) x.
Para las operaciones que están definidas elemento a elemento (suma, producto por un
número, ...) no es necesario anteponer el punto y, de hecho, si se hace da un mensaje de
error.
Por otra parte, para indicar a MATLAB que una expresión es simbólica, y no se refiere a
expresiones numéricas previamente consideradas, se utilizan comillas simples. Por ejemplo,
para indicar 3x2 − 2 cos(y) + xy se hace mediante ’3*x2 -2*cos(x)+x*y’ y para almacenar
esta expresión como una función f se utiliza inline
f=inline(’3*x^2-2*cos(x)+x*y’).
Matemáticas I.
29
2010-2011
30
Tema 1.- Cónicas y Cuádricas.
Pasamos a describir cómo obtener, usando MATLAB, la representación gráfica de curvas
(en el plano y en el espacio) y superficies.
Curvas Planas.
(a) PLOT. La sintaxis básica es plot(x,y) siendo x e y vectores reales con la misma
longitud. Mediante dicha orden se representa la curva que se obtiene al unir los
puntos que tienen como coordenadas las correspondientes componentes de los
vectores x e y. Comprueba el resultado que se obtiene mediante las siguientes
órdenes:
>>
>>
>>
>>
x = [0:0.1:2];
y = x.^2;
plot(x,y)
plot(x,y,’or’)
y consulta la ayuda sobre dicha orden plot para ver las distintas opciones sobre:
tipo de lı́nea, color, ejes, marcas en los ejes, tı́tulos, datos complejos, distintas
curvas en la misma gráfica,....
Por otra parte, para dibujar usando plot una curva descrita mediante expresiones simbólicas en un cierto intervalo, basta con generar los datos numéricos
correspondientes. Por ejemplo,
para dibujar el arco de la elipse
¨
x = 2 cos(t),
y = sen(t),
que está en el segundo cuadrante basta con obtener una partición del intervalo
[ π2 , π] de variación de t que permite recorrer el arco considerado, por ejemplo
>> t=[pi/2: 0.01 :pi];
generar a continuación los datos numéricos de las coordenadas de los puntos
correspondientes de la curva,
>> x=2*cos(t);
>> y=sin(t);
y dibujar los puntos correspondientes con las opciones deseadas en cuanto a
ejes, tipo de linea para unir los puntos considerados, etc. Por ejemplo,
>> plot(x,y,’b’), axis equal
Notemos que en lo que se refiere a la partición del intervalo de variación de t,
si consideramos muy pocos valores de t, tendremos pocos puntos de la curva
correspondiente y la gráfica que se obtiene al unir los puntos se parecerá poco
a la que pretendemos obtener.
(b) EZPLOT. La función ezplot permite reprsentar gráficamente curvas planas que
pueden venir definidas a través de expresiones simbólicas:
en forma explı́cita mediante una expresión y = f (x). Por ejemplo la orden
>> ezplot(’sqrt(1-x^2)’,[-0.5,1])
√
dibuja la gráfica de y = 1 − x2 cuando la variable independiente x recorre
el intervalo [−0.5, 1]. Es decir, dibuja un arco de la circunferencia x2 + y 2 = 1
de centro el origen de coordenadas y radio 1.
Matemáticas I.
30Ingenierı́as: Aeroespacial, Civil y Quı́mica
1.4.- Apéndice: MATLAB.
31
en forma implı́cita mediante una ecuación f (x, y) = 0. Por ejemplo la orden
>> ezplot(’x^2+y^2-1’,[-0.5,1,-2,1])
dibuja la gráfica dada por la ecuación x2 + y 2 − 1 = 0 en el rectángulo
{(x, y) : −0.5 ≤ x ≤ 1, −2 ≤ y ≤ 1} .
en forma paramétrica mediante expresiones
¨
x = x(t),
y = y(t),
a ≤ t ≤ b.
La orden ezplot(x(t),y(t),[a,b]) dibuja la curva dada por las expresiones
consideradas cuando el parámetro t recorre el intervalo [a, b]. Por ejemplo, la
orden
>> ezplot(’cos(t)’,’sin(t)’,[-pi/3,pi])
dibuja el arco que se obtiene de la circunferencia unidad, sobre la cual están
los puntos (cos(t), sen(t)), cuando el ángulo t recorre el intervalo dado.
(c) Consular la ayuda sobre las órdenes polar, ezpolar referidas a la representación
de curvas planas dadas en forma polar y sobre fplot referida a la representación
gráfica de una función explı́cita y = f (x).
Curvas en el espacio.
(a) PLOT3 Es, para el espacio real tridimensional, la orden análoga a la orden plot.
La sintaxis básica es plot3(x,y,z) siendo x, y, z vectores de la misma longitud.
Consulta la ayuda sobre plot3 para ver las distintas opciones y comprueba el
resultado que se obtiene mediante las órdenes:
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
x = [0:0.1:1];
y = [-1 3 7 2 4 0 -2 3.5 2 -3 6];
z = x-2*y.^2;
plot3(x,y,z)
plot3(x,y,z,’r*’)
plot3(x,y,z,’bo-.’)
plot3(x,y,z,’kd:’)
plot3(x,y,z,’cs’)
Por otra parte, para dibujar, usando plot3, una curva descrita mediante expresiones simbólicas en un cierto intervalo, basta con generar los datos numéricos
correspondientes. Por ejemplo:
para dibujar la hélice cónica dada por las ecuaciones
8
>
<
>
:
x = t sen(t)
y = t cos(t)
z=t
cuando t recorre el intervalo [0, 4π] basta con obtener una partición del intervalo de variación de t, por ejemplo
Matemáticas I.
31
2010-2011
32
Tema 1.- Cónicas y Cuádricas.
>> t=[0:4*pi/100:4*pi];
generar los datos numéricos de las coordenadas de los puntos de la curva,
>> x=t.*sin(t);
>> y=t.*cos(t);
>> z=t;
y dibujar los puntos correspondientes con las opciones deseadas en cuanto a
ejes, tipo de linea, color, ..., por ejemplo
>> plot3(x,y,z,’ro:’), title(’espiral conica’)
para dibujar (el arco de) la parábola que se obtiene al cortar el paraboloide
z = x2 + y 2 con el plano x + y = 0 cuando x recorre el intervalo [−1, 3] basta
con ejecutar las siguientes órdenes:
>>
>>
>>
>>
x=[-1:0.1:3];
y=1-x;
z=x.^2+y.^2;
plot3(x,y,z), axis equal
(b) EZPLOT3. Es, para el espacio real tridimensional, la orden análoga a la orden
ezplot. La sintaxis básica es ezplot3(x,y,z) siendo x, y, z expresiones simbólicas. Consulta la ayuda sobre ezplot3 para ver las distintas opciones y comprueba
el resultado que se obtiene mediante las órdenes:
>> ezplot3(’cos(t)’,’sin(t)’,’t’,[1,8*pi])
>> ezplot3(’t*cos(t)’,’t*sin(t)’,’t’,[1,6*pi])
Superficies. Al igual que para la representación de curvas, la representación de superficies
puede abordarse desde dos puntos de vista:
(a) desde el punto de vista de la representación a partir de datos numéricos, MATLAB
dispone de las siguientes órdenes:
SURFACE, MESH, SURF, MESHC, SURFC, MESHZ, WATERFALL,
que tienen todas una sintaxis básica similar a partir de tres matrices numéricas
X, Y, Z con las mismas dimensiones. Ejecutar las siguientes órdenes y comprobar
los resultados:
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
x=rand(7,4);
y=randn(7,4);
z=2*randn(7,4);
figure(1), surface(x,y,z)
figure(2), mesh(x,y,z)
figure(3), surf(x,y,z)
figure(4), meshc(x,y,z)
figure(5), surfc(x,y,z)
figure(6), meshz(x,y,z)
figure(7), waterfall(x,y,z)
Matemáticas I.
32Ingenierı́as: Aeroespacial, Civil y Quı́mica
1.4.- Apéndice: MATLAB.
33
No obstante, cuando se trata de representar una superficie dada, por ejemplo,
mediante unas ecuciones paramétricas
8
>
<
>
:
x = f (s, t)
y = g(s, t) ,
z = h(s, t)
cuando los parámetros (s, t) recorren un determinado rectángulo [a, b] × [c, d],
podemos usar las órdenes anteriores, con todas las opciones que cada una de ellas
acepta, generando los datos de la siguiente forma:
(1) partición de cada uno de los intervalos de variación de los parámetros s y t.
Dividimos el intervalo [a, b] en (n + 1) subintervalos de longitud (b − a)/n y
el intervalo [c, d] en (m + 1) subintervalos de longitud (d − c)/m mediante
>> s=[a : a+(b-a)/n : b]; t=[c : (d-c)/m : d];
(2) generación de (las matrices asociadas al) mallado que permite obtener las
coordenadas de los puntos de la superficie,
>> [S,T]=meshgrid(s,t)
(3) cálculo de las matrices X, Y, Z asociadas a las coordenadas de los puntos de
la superficie que queremos representar,
>> X=f(S,T);
>> Y=g(S,T);
>> Z=h(S,T);
(4) dibujo de la superficie con alguna de las funciones apropiadas y opciones
posibles,
>> mesh(X,Y,Z), axis square
>> surfc(X,Y,Z),
>> ...
Consideremos, por ejemplo:
El (trozo de) cono de ecuación z 2 = x2 + 2y 2 que se obtiene mediante la
parametrización
8
> x = s cos(t)
<
y = 21 s sen(t)
>
:
z=s
cuando s recorre el intervalo [−1, 2] y t recorre el intervalo [0, π].
>> s=[-1:0.1:2]; t=[0:0.1:pi];
>> [S,T]=meshgrid(s,t);
>> X= S.* cos(T);
>> Y=0.5*S.*sin(T);
>> Z= S;
>> mesh(X,Y,Z), axis square
>> surfc(X,Y,Z),
>> ...
Comprueba los resultados que se obtienen cuando se consideran distintos
intervalos de recorrido de los parámetros s y t o particiones distintas de los
intervalos correspondientes.
Matemáticas I.
33
2010-2011
34
Tema 1.- Cónicas y Cuádricas.
√
El trozo de cono dado por la ecuación explı́cita z = x2 + 2y 2 cuando (x, y)
recorre el rectángulo [−1, 2]×[−1, 1]. En este caso, tenemos la parametrización
asociada
8
> x = x
<
y=y
,
√
>
:
z = f (x, y) = x2 + 2y 2
y podemos obtener la representación gráfica mediante:
>> x=[-1:0.1:2]; y=[-1:0.1:1];
>> [X,Y]=meshgrid(x,y);
>> Z= sqrt(X.^2+2*Y.^2);
>> mesh(X,Y,Z), axis square
>> surfc(X,Y,Z),
>> ...
(b) Desde el punto de vista de expresiones simbólicas MATLAB cuenta con los comandos/funciones:
EZMESH, EZMESHC, EZSURF, EZSURFC.
Para representar la gráfica de una función explı́cita z = f (x, y) de dos variables
independientes, por ejemplo z = x2 − y 2 , basta con ejecutar
>> ezmesh(’x^2-y^2’)
con las opciones que se deseen en cuanto a dominio de las variables. Para obtener
una gráfica dada por unas ecuaciones paramétricas, por ejemplo
8
>
<
>
:
x = es cos(t)
y = es sen(t)
z = s − log(t2 + 1)
basta con ejecutar
>> ezmesh(’exp(s)*cos(t)’,’exp(s)*sin(t)’,’s-log(1+t^2)’)
o bien
>>
>>
>>
>>
x=inline(’exp(s)*cos(t)’)
y=inline(’exp(s)*sin(t)’)
z=inline(’s-log(1+t^2)’)
ezmesh(x,y,z)
(c) Consultar la ayuda sobre los comandos
CONTOUR, CONTOUR3, CONTOURC, CONTOURF,
EZCONTOUR, EZCONTOURF
referidos a la representación de una superficie a través de sus curvas de nivel.
Superficies particulares.
Elipsoides. Dados el centro (x0, y0, z0) y los semiejes a, b, c de un elipsoide,
(x − x0)2 (y − y0)2 (z − z0)2
+
+
= 1,
a2
b2
c2
la función ELLIPSOID permite
Matemáticas I.
34Ingenierı́as: Aeroespacial, Civil y Quı́mica
1.4.- Apéndice: MATLAB.
35
• representar gráficamente el elipsoide indicado mediante la orden
ellipsoid(x0,y0,z0,a,b,c,N)
mediante la cual se genera la figura pero sin argumentos de salida y
• generar los datos,
[X,Y,Z]=ellipsoid(x0,y0,z0,a,b,c,N)
que permiten representar el elipsoide mediante diferente posibilidades de representación de superficies como
surf(X,Y,Z), mesh(X,Y,Z), ...
con las cuales se pueden utilizar las distintas opciones relativas a ejes, coloreado,...
Ejecutar las siguientes órdenes y comprobar los resultados
>>
>>
>>
>>
ellipsoid(-1,2,1,1,2,3), axis equal
[X,Y,Z]=ellipsoid(-1,2,1,1,2,3); mesh(X,Y,Z), axis equal
ellipsoid(-1,2,1,1,2,3,50), axis equal
[X,Y,Z]=ellipsoid(-1,2,1,1,2,3,50); mesh(X,Y,Z), axis equal
Esferas. MATLAB dispone del comando SPHERE para generar la esfera unidad
(centro en el origen de coordenadas y radio 1) con un número prefijado de caras.
Consultar la ayuda y ejecutar las siguientes órdenes
>>
>>
>>
>>
sphere(6)
[X,Y,Z]=sphere(6); mesh(X,Y,Z)
sphere(36)
[X,Y,Z]=sphere(36); meshc(X,Y,Z)
Superficies de revolución. MATLAB dispone de la función CYLINDER que permite
generar (dibujar directamente y obtener los datos para poder dibujar posteriormente con distintos comandos opciones) superficies de revolución alrededor del eje
OZ en la franja 0 ≤ z ≤ 1. Consultar la ayuda sobre dicha función y comprobar
el resultado que se obtiene mediante las siguientes órdenes
>> cylinder([0 1 0 2])
>> [X,Y,Z]=cylinder([0 1 0 2]), mesh(X,Y,Z)
Sin embargo, no es ésta la forma más versátil de generar una superficie de revolución, sino que podemos utilizar las ecuaciones paramétricas que hemos obtenido
cuando hemos considerado las superficies de revolución. Si, por ejemplo, tenemos
una curva en el plano OY Z que viene dada por los puntos (0, g(s), h(s)) cuando
el parámetro real s recorre un cierto intervalo [a, b], al girar un punto de dicha
curva alrededor del eje OZ obtenemos los puntos de coordenadas (x, y, z) dadas
por
8
> x = |g(s)| cos(θ)
<
y = |g(s)| sin(θ) ,
0 ≤ θ ≤ 2π.
>
:
z = g(s)
es decir la superficie está formada por los puntos de la forma
(x = |g(s)| cos(θ), y = |g(s)| sin(θ), z = g(s))
Matemáticas I.
35
2010-2011
36
Tema 1.- Cónicas y Cuádricas.
cuando s recorre el intervalo [a, b] y θ recorre el intervalo [0, 2π] (o cualquier otro
intervalo de longitud 2π). Utilizando el proceso descrito antes:
(1) partición de cada uno de los inetrvalos de variación de los parámetros s y θ.
Dividimos el intervalo [a, b] en (n + 1) subintervalos de longitud (b − a)/n y
el intervalo [0, 2π] en (m + 1) subintervalos de longitud 2π/m mediante
> s=[a : a+(b-a)/n : b]; theta=[0 : 2*pi/m : 2*pi];
(2) generación de (las matrices asociadas al) mallado que permite obtener las
coordenadas de los puntos de la superficie,
> [S,T]=meshgrid(s,theta)
(3) cálculo de las (matrices asociadas a las) coordenadas de los puntos de la
superficie
> X=abs(g(S)).*cos(T);
> Y=abs(g(S)).*cos(T);
> Z=g(S);
(4) dibujo de la superficie con alguna de las funciones apropiadas y opciones
posibles,
>> mesh(X,Y,Z), axis square
>> surfc((X,Y,Z)
Notemos que si en lugar de considerar un intervalo de amplitud 2π, hacemos que
θ recorra un intervalo de amplitud menor, tendremos la representación gráfica
de una franja de la superficie de revolución. Ejecutar las siguientes órdenes y
comprobar el efecto de considerar el valor absoluto en las variables X e Y :
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
s=[1:0.1:5];
t=[1:0.1:3*pi/2];
[S,T]=meshgrid(s,t);
X= abs(sin(S)).*cos(T);
Y= abs(sin(S)).*sin(T);
Z=S;
mesh(X,Y,Z), axis square
surfc((X,Y,Z)
y ejecutar a continuación
>>
>>
>>
>>
>>
X= sin(S).*cos(T);
Y= sin(S).*sin(T);
Z=S;
mesh(X,Y,Z), axis square
surfc(X,Y,Z)
Ejemplo.En el ejercicio 6 hemos considerado la definición de una cónica definida por un foco y
una directriz. Si adoptamos un sistema de coordenadas en el que el foco F es el origen de
coordenadas y la directriz L es la recta de ecuación x = −p, la ecuación de la cónica que tiene
foco F = (0, 0), como directriz L ≡ x = −p y como excentricidad e > 0 es, en coordenadas
Matemáticas I.
36Ingenierı́as: Aeroespacial, Civil y Quı́mica
1.4.- Apéndice: MATLAB.
37
polares (θ, r),
r = e (p + r cos(θ))
≡
r=
q
, siendo q = pe.
1 − e cos(θ)
Recordemos que, aunque no se pueda obtener de la ecuación original para ningún valor de
e > 0, si tomamos e = 0, q 6= 0, la cónica correspondiente es una circunferencia.
En este ejemplo vamos a definir una función que dibuje, en función de ciertos parámetros
(argumentos de entrada), las cónicas que tienen como ecuaciones, en coordenadas polares
(θ, r)
q
q
r = r(θ) =
y r = r(θ) =
.
1 − e cos(θ)
1 + e cos(θ)
Ya hemos descrito el foco y la directriz de la primera, la segunda cónica tiene por foco el
origen de coordenadas y por directriz la recta x = p (q = pe). Mediante dicha función,
teniendo como argumentos de entrada
e la excentricidad,
q es el parámetro q = pe relacionado con la excentricidad y con la distancia del foco a
la directriz,
n número de subintervalos en los que se divide el intervalo [0, 2π] para obtener las
representaciones gráficas,
dibujaremos cada una de las dos cónicas de dos formas distintas:
primero mediante la orden polar que permite representar una curva con ecuación
r = r(θ) en coordenadas polares
y a continuación mediante la orden plot pasando a las correspondientes coordenadas
cartesianas
¨
x = r(θ) cos(θ)
0 ≤ θ ≤ 2π.
y = r(θ) sen(θ)
Notemos que las anteriores expresiones nos dan una parametrización de la cónica correspondiente, aunque dicha parametrización es en general distinta de la descrita en el
epı́grafe 2.
Guardar el siguiente listado de instrucciones en un fichero con nombre conicafocal.m y
alojado en la carpeta work.
%% Fichero conicafocal.m
function conicafocal(e,q,n)
%
%
%
%
e es la excentricidad es la excentricidad de la conica
q es la excentricidad por la distancia del foco a la directriz
n denota el n\’umero de subintervalos en los que se divide
el intervalo $[0,2\pi]$
Matemáticas I.
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2010-2011
38
Tema 1.- Cónicas y Cuádricas.
if e<1
t1=’elipse, ’;
elseif e==1
t1=’parabola, ’;
else
t1=’hiperbola, ’;
end
t2= ’ e= ’; t3= ’ , q= ’;
theta=[0:2*pi/n:2*pi];
r=q*ones(1,n+1)./(1-e*cos(theta));
subplot(2,2,1)
polar(theta,r)
title([t1 t2 num2str(e) t3 num2str(q) ’, foco (0,0)’ ’, directriz x=-q/e.’ ]);
pause
subplot(2,2,2)
plot(r.*cos(theta),r.*sin(theta)), grid, axis equal
pause
s=q*ones(1,n+1)./(1+e*cos(theta));
subplot(2,2,3)
polar(theta,s)
pause
subplot(2,2,4)
plot(s.*cos(theta),s.*sin(theta)), grid, axis equal
title([t1 t2 num2str(e) t3 num2str(q) ’, foco (0,0)’ ’,
directriz x=q/e.’ ]);
A continuación, en la linea de comandos de MATLAB, teclea, por ejemplo, las siguientes
instrucciones pulsando una tecla cada vez que se genera una gráfica :
>>
>>
>>
>>
conicafocal(0.8,2,100)
conicafocal(0.1,2,100)
conicafocal(1,2,100)
conicafocal(4,2,100)
Matemáticas I.
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