UNIDAD 8 Elementos máquinas

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UNIDAD 8. ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y SISTEMAS
Un mecanismo es un conjunto de elementos, normalmente rígidos, conectados entre sí por medio de
articulaciones móviles y cuya misión es transformar una velocidad en otra velocidad, una fuerza en otra
fuerza, una trayectoria en otra diferente o un tipo de energía en otro tipo distinto.
Un sistema mecánico o máquina es una combinación de mecanismos que transforma velocidades,
trayectorias, fuerzas o energías mediante un sistema de transformaciones intermedias.
Tipos y clasificación de los mecanismos
Clasificaremos los mecanismos según el tipo de movimiento de entrada y salida del mecanismo. De
acuerdo con esta clasificación, que es la más importante, existen mecanismos que transforman:




Movimientos rectilíneos en movimientos rectilíneos: Poleas, palancas, etc.
Movimientos de rotación en otra rotación: Ruedas y conos de fricción, transmisión por correas,
cables, cadenas, engranajes, leva-seguidor oscilante.....
Movimiento de rotación en movimientos rectilíneos: Leva-seguidor lineal, tornillo-tuerca, piñón –
cremallera, etc.
Movimientos rectilíneos en movimientos de rotación: Biela-manivela.
La aplicación fundamental de estos mecanismos reside en la transformación de fuerzas, de forma que la
fuerza necesaria para realizar una determinada acción sea menor que la que sería si no se utilizase el
mecanismo.
LA PALANCA
Consiste en una barra o eslabón unido al bastidor por un punto, denominado punto de apoyo, que hace
posible que la barra gire.
R
F
Primer género
R
Segundo género
F
F
R
Tercer género
Cuando una palanca se encuentra en equilibrio de rotación, tomando momentos respecto al punto de
apoyo (punto 0) se ha de cumplir:
ΣM0 = 0
Y como el valor del momento de una fuerza respecto a un punto es igual al producto del valor de la
fuerza por su mínima distancia al punto, por lo tanto la anterior condición de equilibrio equivale a
escribir:
F. bF = R.bR
Ley de la palanca
Juan Carlos
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Las palancas se pueden combinar conectando varias de ellas, una a continuación de otra. De esta forma,
se multiplican sus efectos (articulaciones).
Mediante combinaciones adecuadas de palancas se puede conseguir vencer una resistencia muy grande
con un esfuerzo relativamente pequeño.
Actividades:
1.- ¿Cómo conseguirías equilibrar un peso de 5N con otro de 1N, si la única palanca de que dispones
tienen una longitud de 2m y va provista de taladros, situados a intervalos de 25cm, mediante los cuales la
palanca se puede fijar al punto de apoyo y a los pesos?
25cm 25cm
25cm
25cm
25cm
25cm
25cm
25cm
2m
F = 1; R = 5N  Se cumple la relación R / F = 5. Aplicando la ley de la palanca: F .bF = R .bR 
R / F = bF / bR =5. El mínimo brazo de resistencia posible es de 25cm, por lo tanto el brazo de potencia
Será: bF = 5. bR = 5. 25cm = 125cm y el esquema de la palanca será:
R=5N
F=1N
Punto de apoyo
Juan Carlos
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Actividades de articulaciones:
1.-Sobre una articulación de sentido contrario se ejerce una fuerza de 20N. Si la distancia de la fuerza al
centro de giro (x) es igual a 5cm y la distancia y=3cm.Calcula la fuerza ejercida sobre la otra articulación.
F .x = R y  20N 5cm = R .3cm  R = 20N . 5cm / 3cm = 33,33N.
2.-Suponiendo que ahora se disponga de una articulación que permita transmitir el movimiento en el
mismo sentido y que se ejerza la misma fuerza en uno de sus extremos, determina la fuerza transmitida si
las dos piezas que giran sobre el eje tienen las medidas que se indicaban en el ejercicio anterior.
P1
R2
R1
R1 = 33,3N; R1 = P2
P2
P2 .3cm = R2 .5cm  R2 = P2 . 3cm / 5cm = 33,3N .3cm / 5cm = 20N.
3.- Con un remo de 3m de longitud se quiere vencer la resistencia de 400N que ofrece una barca
ejerciendo una potencia de sólo 300N. ¿A qué distancia del extremo donde se aplica la potencia habrá que
apoyar el remo sobre la barca?
F .bF = R .bR 300N .3m = 400N ( 3- d ) 900N.m = 1200N – 400N.d  d = 0,75m.
Palanca de segundo género
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Potencia y par o momento
El momento o par de una fuerza respecto a un punto es igual al producto del valor de la fuerza por su
mínima distancia al punto.
F
M = F .R; P = W / t = F .d / t = F v = F .ω .R = M .ω
R
1 vuelta = 2π rad  N vueltas = 2π N rad
N vueltas / min = 2π N (rad / mi) (2π / 60) N (rad / s)
ω = 2π N / 60; ω: velocidad angular o de giro ( rad / s )
Por tanto: P = M .ω = M 2πN /60 
 M = 60.P / 2πN
N: velocidad de giro (r.p.m)
Actividades:
1.- Calcula el par transmitido a las ruedas de un vehículo, cuando giran a 800 y 2000 r.p.m., si la potencia
del motor es de 70 cv y no hay pérdidas de potencia.
a) M = 60.70.735 / 2. 3,14.800 = 614,45 N m
b) M = 60.70.735 / 2.3, 14. 200 = 245,78 N m
2.- Calcula el par transmitido a las ruedas de un coche, cuando giran a 1500 r.p.m., si la potencia del
motor es de 90 cv y no hay pérdidas de potencia.
M = 60.90.735 / 2. 3,14.1500 = 421,33 N m
3.- Calcula el par, la potencia y la velocidad de giro que desarrolla el motor de un ascensor cuando eleva
30m un peso de 3000Kg en 10 segundos, si el radio del tambor es de 25cm.
F = m .a = 300Kg.9, 8 m /s2 = 2940 N
P = F .ω. R = 2940N .ω. R
735N.m
M = F .R =2940 .0, 25m =
W = F .d = 2940N.30m = 88200JP = W / t = 88200J /10s = 8820w
P = M .ω8820 = 735.ωω = 8820 /735 =
P=8,8Kw
12 rad/s
4.-Se quiere transmitir un movimiento desde un engranaje (piñón) de Z1 =60 a una rueda Z2 =80 de
módulo=3.Suponiendo que no se tienen en cuenta las pérdidas de potencia, determina:
a) Momento o par que tendrá el árbol que contiene la rueda si la potencia del motor es 0,3cv y gira a
1200r.p.m.
b) Número de revoluciones con que girará la rueda.
a) Z1 = 60
Z2 = 80
Si no hay perdidas de potencia  P1 = P2
P1 = P2 = M2 .ω2 = M2 .2π /60 .N2
n1 . Z1 = n2 .Z2 Z1 / Z2 = n2 / n1 n2 = Z1 / Z2. n1 = 60 / 80 .1200 = 900 r.p.m.
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P motor = 0,3cv = 220,5w220,5w = M2 .2π / 60. 90M2 =13230 / 2π .900 =
2,34N.m
b) N2 = 900r.p.m
5.- Seguramente sabrás que cuando un vehículo tiene que subir una cuesta se ha de reducir su velocidad
para que no se “cale” el motor. ¿Sabrías explicar, desde el punto de vista tecnológico por qué es necesario
reducir a una marcha más corta?
Si v F
P = F .v 
Si vF
6.-Se dispone de dos ruedas cilíndricas exteriores. Sobre la rueda conductora se aplica un par de 50N.m.
Sabiendo que su radio es de 25mm y que está en contacto con otra de radio 30mm, determina la fuerza
que debe aplicarse sobre la periferia de la rueda conducida( en sentido contrario al movimiento)para
poder frenarla.
M1 = F1 .R1
M2 = F2. R2
F1 = F2
M2 = 50 N.m = F2. 0,03m  F2 = 50 N.m / 0,03m =
M1 = M2
1666,6N
La Polea
El mecanismo de la polea consiste en un disco que puede girar alrededor de su eje y que dispone en el
borde de una acanaladura por la que se hace pasar una cuerda, un cable o una correa. Las poleas pueden
ser:
 Fijas. Si su eje de rotación permanece fijo.
 Móviles. Si su eje de rotación se puede desplazar de forma lineal, paralelamente a sí mismo.
Polea fija
Polea fija
Fm
Ff
Polea
móvil
F
R
F. r = R .r
F=R
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R
F
m
. 2r = F .r
F m = R /2
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Las poleas se pueden combinar para dar lugar a mecanismos más complejos denominados, aparejos o
polipastos. En ellos las poleas forman dos grupos, uno fijo y otro móvil. Como ejemplos de polipastos
citaremos el polipasto potencial y el polipasto exponencial.
Polipasto potencial F = R / 2n
n : n º de poleas móviles
Polipasto exponencial  F = R / 2n
Actividades:
1.-Hallar la fuerza que es necesario aplicar para vencer una resistencia de 240 Kp, utilizando:
a) Una polea móvil; b) Un polipasto potencial de tres poleas móviles; c)Un polipasto exponencial de tres
poleas móviles.
a) F = R /2 = 240Kp / 2 = 120Kp
b) F = R / 2n = 240Kp / 2.3 = 40Kp
c) F = R / 2n = 240Kp / 23 = 30Kp
2.-Mediante una polea móvil se eleva un bloque de 30 Kg a 3m de altura en 10s.Calcular:
a) La fuerza F que se ha tenido que aplicar.
b) La distancia recorrida por la mano al tirar hacia abajo.
c)
El trabajo realizado.
d) La potencia mecánica desarrollada.
a) F = R / 2  F = m .g / 2 = 30Kg. 10 m/s2 / 2 = 150N
b) Teniendo en cuenta que la cuerda de la polea es inextensible, la mano ha de recorrer una distancia
igual al doble de la altura que sube el bloque
S = 2h = 2. 3m = 6m
c) W = F. s = 150 N. 6m = 900J o también W = R .h = m. g. h = 30Kg. 10m/s2 . 3m = 900J
d) La potencia mecánica desarrollada valdrá:
P = W / t = 900J / 10s = 90w
3.- Calcular la velocidad de giro de una polea de 40 mm de diámetro si es arrastrada por otra de 120mm
de diámetro que gira a 300 r.p.m. Calcular también la relación de transmisión y decir de qué sistema se
trata.
En la transmisión simple con poleas se cumple que: n1.d1 = n2.d2
n2 = n1 . d1 / d2 = 300 r.p.m .120mm / 40mm = 900 r.p.m
La relación de transmisión “i“del sistema será: i = n2 / n1 = d1 / d2 = 900 r.p.m / 300 r.p.m = 120mm /
40mm =3.
Como “i “es mayor que la unidad, se trata de un sistema multiplicador de velocidad.
4.- Calcular el diámetro que ha de tener la polea motriz de un mecanismo de transmisión simple, así como
su velocidad de giro, sabiendo que la polea conducida gira a 250 r.p.m y tiene un diámetro de 80mm y
que la relación de transmisión es de ¼.
i = n2 / n1 n1 = n2 / i = 250 r.p.m / 0, 25 = 1000 r.p.m
i = d1 / d2  d1 = i.d2 =0,25. 80mm = 20mm
Al ser “i” menor que la unidad se trata de un sistema reductor de velocidad
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5.- En el sistema de poleas de la figura, es accionado por un motor eléctrico. En los dos casos A y B los
motores desarrollan la misma potencia, siendo el diámetro de su eje de 0,25 cm. La polea del sistema A
tienen un diámetro d2 = 6 cm y la del sistema B d2 = 10cm. Calcular:
a) La relación de transmisión entre motor y polea en cada caso.
b) La velocidad de giro del eje de cada polea cuando el eje del motor gira a 600r.p.m.
c) ¿En cuál de los dos casos la velocidad de subida del peso es mayor?
motor
Motor
Torno
D= 6cm
a)
La relación de transmisión entre el motor y la polea, para cada uno de los casos, será:
Caso A i = d1 / d2 = 0,25cm / 6cm = 1 / 24
Caso Bi = d1 / d2 = 0,25cm / 10cm = 1 /40
b) La velocidad de giro de cada polea cuando el motor gira a 600 r.p.m. será:
Caso A: n1. d1= n2 .d2 n2 = n1 . d1 / d2 = 600r.p.m x 0,25cm / 6cm = 25r.p.m
Caso B: n1 . d1 = n2 . d2n2 = n1 . d1 / d2 = 600r.p.m x 0,25cm / 10cm =15r.p.m
c) El peso sube con mayor velocidad en el caso A. Sin embargo la polea que ejerce mayor fuerza en
su eje es la del caso B, ya que, si ambos motores desarrollan la misma potencia al ser la velocidad de
giro menor, tendrá que ejercer mayor fuerza, pues no olvidemos que F = P / v.
6.- Un sistema de poleas es accionado por un motor eléctrico que gira a 3200r.p.m. El diámetro de su eje
es de 0,25cm.La polea conducida tiene un diámetro de 8cm.Calcular la velocidad de subida o bajada de la
carga en m/s, sabiendo que la cuerda se enrolla en un cilindro de 2cm de radio solidario a la polea.
Motor
d =0,25cm
N1 = 3200rpm d1 = 0,25cm
r =2cm
d= 8cm
d2 = 8cm
i = d1 / d2 = 0, 25 / 8 = 1 / 32N2 = N1. i = 3200 / 32 = 100rpm
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ω = 2π. N 2 / 60 = 10, 46 rad/sv =ω. r = 10, 46 rad/s. 0,02m = 0,209m/s
-Cono de poleas escalonado –
Es un mecanismo de transmisión por correa que consiste en un grupo de poleas, unidas entre sí y
ordenadas de mayor a menor diámetro, montadas sobre un eje (eje motriz)y enfrentadas a otro grupo de
poleas, colocadas en posición invertida respecto del primer grupo sobre un eje paralelo(eje conducido), tal
como indica la siguiente figura:
La suma de los diámetros de los pares de poleas enfrentadas ha de ser siempre la misma, ya que la
longitud de la correa es invariable.
Con este mecanismo se pueden obtener diferentes velocidades en el eje conducido. Es lo que se conoce
con el nombre de cambio de velocidades.
n1. d1 = n2. d2
Actividades:
1.-Calcular las velocidades que se pueden transmitir con el cono de poleas de la figura:
d=20
d=40
d=60
d=60
d=40
d=20
Motor 400rpm
Puesto que hay tres pares de poleas, tendremos tres velocidades A, B y C. La velocidad de rotación de la
polea conducida se obtendrá en cada caso aplicando la expresión:
n1. d1 = n. d2n2 = n1. d1 / d2
En el par de poleas A tendremos: n2 = 400rpm x 60 / 20 = 1200rpm.
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B
: n2 = 400rpm x 40 / 40 = 400rpm.
C
: n2 = 400rpm x 20 / 60 = 133rpm.
-Ruedas de fricción-
Este mecanismo está compuesto por dos discos o ruedas cuyas periferias se encuentran en contacto. A la
rueda impulsora se le comunica una rotación que se transmite por fricción (rozamiento) a la rueda
conducida. La superficie de contacto debe tener un coeficiente de rozamiento alto.
En el punto de contacto entre ambas ruedas no existe deslizamiento, lo que significa que la velocidad de
giro del punto de la rueda 2 que esta haciendo contacto con la rueda 3 es la misma que la velocidad del
punto de la rueda 3 que está haciendo contacto con la rueda 2, por tanto se cumplirá:
VP2 = ω. R2
; VP3 = ω3. R3 ω2. R2 = ω3. R3  ω3 / ω2 = R2 / R3 ; i = ω3 / ω2 relación transmisión.
Los dos ejes de rotación se encuentran separados una distancia C = R2 + R3, por lo tanto este mecanismo
carece de utilidad si la distancia entre los ejes es grande, ya que las velocidades en el punto de contacto
serían muy elevadas y ello provocarían enormes desgastes.
Para ruedas de fricción interiores:
2
R2
i= ω3 / ω2 = R2 / R3
C = R3 – R2
R3
3
El sentido de giro de las dos ruedas es el mismo. La fuerza axial (F) con la que se debe presionar es :
F = 60. P / 2.π.n.r.μ
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n : nº de revoluciones por minuto (rpm) ; r : radio de rueda conductora(m)
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μ : coef rozamiento (entre 0 y 1) ; P : potencia a transmitir(W)
F : Fuerza axial(N) .
Actividades:
1.- A partir de un eje que gira con una velocidad de 4000rpm se quiere obtener una rotación de 1000rpm
en otro eje paralelo situado a una distancia de 30cm del primero.
a) Calcular la relación de transmisión.
b) Si para lograr esta reducción de velocidad se utilizan dos ruedas de fricción exteriores de
masa despreciable, ¿cuáles son los radios de las dos ruedas?
a)
La relación de transmisión es el cociente entre la velocidad de la rueda conducida y la
conductora.
i= ω3 / ω2 = 1000rpm / 4000rpm = 1/4
b) C = R2 + R3
i = R2 / R3 = 1 / 4 R3 = 4R2
C = R2+4R2R2 = C / 5 = 30cm / 5 = 6cm
R3 = 4R2 = 4 x 6cm =24cm
2.-A partir de un eje que gira con una velocidad de 2000rpm se quiere obtener una rotación de 500rpm en
otro eje paralelo situado a una distancia de 20cm del primero.
a) Calcular la relación de transmisión.
b) Si para lograr esta reducción de velocidad se utilizan dos ruedas de fricción interiores, ¿cuáles
son los radios de las dos ruedas?
i = ω3 / ω2 = 500rpm / 2000rpm = 1 /4
a)
b) C=R3-R2 ; i=1 /4 = R2 / R3  R3 = 4R2
C= 4R2- R2 = 3R2R2 = C / 3 = 30cm / 3 = 6,66cm
R3 = 4R2 = 26,64cm
3.-calcula la fuerza axial Fx necesaria para que no se produzca deslizamiento si la potencia a transmitir es
de 0,75cv, el radio de la rueda 100mm, n = 800rpm y el coeficiente de rozamiento μ=0,5.
P = 735w/cv x 0,75cv = 551,25w
r = 100mm x (1m / 10 3mm) = 0,1m
Fx = 60. 551,25 w / 2. 3,14. 800rp. 0,1m. 0,5 = 131,6N =13,43Kp
4.-Dos ruedas de fricción giran entre sí sin deslizamiento. Sabiendo que la relación de transmisión vale i
= ¼ y que la distancia entre ejes es de 400mm, determinar el diámetro de ambas ruedas.
i = R2 / R3 = ¼ R3 = 4R2
R2+R3 = 4004R2+R2=4005R2=400R2= 400/5=80mm
Rueda 2D = 2.R2 = 160mm.
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R3=4.80 = 320mm
Rueda 3D = 2.R3 = 640mm.
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5.-Dos ruedas de fricción interiores tienen un relación de transmisión i =1/5, la distancia entre sus centros
es de 800mm.Calcula los diámetros de las ruedas.
i= 1/5 = R2 /R3 R3 = 5.R2
C =R3-R2 =800
800 =5R2-R2=4R2R2=800 / 4 = 200mm
R3 = C+R2 = 1000mm.
Luego los diámetros serán:
Rueda 3 D = 2.R3 = 2000mm
Rueda 2 D = 2.R2 = 400mm.
6.-Una máquina dispone de dos ruedas de fricción troncocónicas para transmitir el movimiento desde el
motor (que gira a 1200rpm y se acopla directamente al piñón) hasta el árbol final, cuyo número de
revoluciones debe ser de 1000rpm.Calcula el diámetro de la rueda conducida si el piñón sed de 50mm.
i= d / D = N /n 50 / D = 1000 / 1200 D = 1200. 50 / 1000 = 60mm.
-Sistema de transmisión por cadena-
Este tipo de transmisión es muy parecido a la transmisión por correa, en este caso las dos ruedas poseen
una serie de dientes que se encajan perfectamente en la cadena. Puesto que la cadena no se desliza, cada
vez que la rueda conductora avanza un diente también lo hará la conducida , siendo la relación de
transmisión:
i= ω s / ω i = v s / vi = Z i / Z s i = Z1 / Z2
La rueda pequeña se llama piñón y la grande rueda. Un ejemplo característico de este tipo de
mecanismos existe en la bicicleta, que disponen por regla general, de dos ruedas o catalinas y 6 piñones.
Actividades:
1.-El plato pequeño y el grande de una bicicleta de montaña tienen, respectivamente ,4 y 56 dientes. Por
otro lado, el piñón más pequeño tiene 14 dientes, y cada piñón consecutivo tienen dos dientes más que el
anterior. Sabiendo que en la rueda trasera hay 5 piñones, determina las vueltas que dará por cada pedaleo
completo en los siguientes casos:
a) Plato pequeño y piñón grande.
b) Plato grande y piñón pequeño.
c) Plato grande y segundo piñón.
Z2 =14
Z1=44
Z 2 =16
Plato motriz
conducida
Z2 =18
Z1 = 56
Z 2 =20
Z2 =22
a) ¿N2?
Z1 =44
Z2 =22
i = Z1 / Z2 = N2 / N1N2 = Z1 / Z2. N1 = 44 / 22. 1rpm =2rpm.
b) Z1 = 56
Z2 = 14
N2 = Z1 / Z2. N1 = 56 / 14. 1rpm = 4rpm.
c) Z1 = 56
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Z2 = 16
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N2 = Z1 / Z2. N1 = 56 / 16. 1rpm = 3,5rpm.
2.- Una bicicleta tiene dos platos de 54 y 42 dientes, y 6 piñones de13, 15, 17, 19,21 y 25 dientes. Si das
siempre 60 pedaladas por minuto y el radio de la rueda de la bicicleta es 40 cm, calcula las velocidades
máxima y mínima a las que puede ir.
Platos
54
42
N1 = 60rpm
Piñones
13
15
17
19
21
25
R de la bicicleta =40cm
a) Velocidad máximaplato 54piñón 13
b) Velocidad mínima plato 42 piñón 25
a)
i =Z1 / Z2 = N2 / N1 = 54 / 13 = 4,15
N2 = Z1 / Z2. N1 = 4, 15. 60rpm = 249 rpm
V = ω. R ω = 2π / 60. N = 2π / 60. 249rpm = 26, 06 rad / s
R = 40 cm = 0,4m ; V = 26, 06 rad / s .0, 4 m = 10, 42 m / s 37, 5 Km /h maxima
b) i = Z1 / Z2 = N2 / N1 = 42 / 25 = 1,68
N2 = Z1 / Z2 .N1 = 1,68. 60 rpm = 100,8 rpm
ω=2π / 60 .N2 = 10,55 rad / s ;
V = 10,55 rad / s. 0,4 m = 4,22 m / s15,19 Km / h minima
-Engranajes-
La transmisión por engranajes se utiliza para transmitir un momento de rotación de un eje a otro. Este
sistema consta de dos ruedas o cilindros con una serie de dientes y huecos que encajan perfectamente en
los dientes de la otra rueda, Así, la transmisión del movimiento se realiza por empuje de los dientes que
encajan en los huecos de la otra rueda.
La rueda de menor número de dientes se llama piñón, y la de mayor número de dientes rueda.
La relación de transmisión es: i = ωs / ωi = Zi / Zs
Este tipo de mecanismos se utiliza cuando las potencias que se quieren transmitir son elevadas y la
distancia entre los ejes no demasiado grande.
Los dientes tallados en las ruedas pueden ser de dos tipos: Dientes rectos, Dientes helicoidales.
- Dientes rectosEn este caso los dientes se encuentran dispuestos paralelamente al eje de giro del engranaje. Son los más
sencillos de fabricar. Se utilizan para transmitir pequeñas potencias.
Con este tipo de dentado la transmisión sólo es posible entre ejes paralelos.
En el dentado de tipo recto se definen los siguientes parámetros.
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Circunferencia primitiva de diámetro d.
Circunferencia exterior o de cabeza de diente diámetro de.
Circunferencia interior o de fondo diámetro df.
Paso circular (p) Es la distancia entre dos puntos iguales de dos dientes consecutivos,
medida sobre la circunferencia primitiva.
Altura de cabeza de diente (ha) Es la distancia desde la circunferencia primitiva hasta
la parte más exterior del diente
ha = de – d / 2
-
-
Altura de pie de diente (hf) Es la distancia desde la circunferencia primitiva hasta la
parte más interior del diente.
hf = d – d f / 2
Altura del diente (h) Es la suma de la altura del pie y de la cabeza del diente
h = ha + hf
-
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Espesor del diente(s) Es el grosor del diente medido sobre la circunferencia primitiva.
Ancho del hueco del diente (s’) Es la longitud del hueco del diente medida sobre la
circunferencia primitiva. Se cumple que: p = s + s’
Ancho del diente (b) Es la longitud del diente en anchura.
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A lo largo de la circunferencia primitiva (de diámetro d) existen Z dientes separados entre sí por el paso
circular (p), de tal forma que:
p. z = π. d  p = π. d / z
Para que dos ruedas dentadas puedan engranar deben tener igual el paso circular. Así se cumple:
P2 = π. d2 / Z2 ; P3 = π. d3 / Z 3 P2 = P3 d2 / Z2 = d3 / Z3
Esta relación se denomina módulo del engranaje, se representa por la letra m, y se mide en mm.
m =d2 / Z2 = d3 / Z3 P2 = P3 = π. m
Una condición equivalente a la de igualdad de pasos circulares para que dos ruedas con dentado de tipo
recto engranen es la condición de igualdad de módulos.
Para adquirir fácilmente repuestos para los engranajes tanto el módulo como los números de dientes y el
ancho de los mismos se encuentran normalizados.
Teniendo en cuenta que las circunferencias primitivas se definen considerando que la transmisión
mediante engranajes cilíndricos es equivalente a una transmisión entre ruedas de fricción, se tiene:
i= d2 / d3 = m.Z2 / m.Z3 = Z2 / Z3 i = d2 / d3 i = Z2 / Z3
La distancia entre los centros de rotación en una transmisión por engranajes cilíndricos de dentado recto
es:
a = (d2 + d3) / 2 = (m. Z2 + m. Z3) / 2
Por tanto este tipo de engranajes tiene distintas limitaciones:
 Al estar el nº de dientes y el módulo normalizados la distancia entre los centros está bastante
limitada.
 Otro inconveniente es que el desgaste de los dientes del piñón es mayor que el que sufren los de la
rueda.
Si el desgaste es muy grande se puede acabar rompiendo un diente, llegando a la destrucción de la
transmisión. Para evitarlo, el piñón debe tener un número de dientes mínimo, por eso no hay piñones con
menos de 12 dientes.
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-Medidas en función del módulo-
Altura de cabeza de diente (ha) 1. m
Altura de pie de diente (hf)  1,25. m
Como se puede comprobar, la altura del pie es mayor que la cabeza, lo cual es necesario para que exista
juego entre ambos.
De igual manera el ancho del hueco del diente (s’) ha de ser mayor que el espesor del diente(s).
S’ = 21 / 40. p
S = 19 / 40 . p
Actividad:
1.-Calcula todas las dimensiones geométricas de un engranaje cilíndrico de ruedas dentadas en el que el
piñón tiene 29 dientes, la rueda 40 dientes, el módulo de ambos sea 10 mm y los dientes sean rectos de
tipo normal.
La altura de la cabeza del diente para ambas ruedas es:
ha = 1 . m = 10mm.
La altura del pie del diente para ambas ruedas es:
hf = 1,25 . m = 12,5mm
Los diámetros primitivos del piñón y de la rueda valen:
d2 = m. Z2 = 10mm. 20 = 200mm
d3 = m. Z3 = 10 mm. 40 = 400mm
La distancia entre centros es:
a = d2 + d3 / 2 = 200mm + 400mm / 2 = 300mm
La relación de transmisión es:
i= Z2 / Z3 = 20 / 40 = 0,5 o también i = d2 / d3 = 200mm / 400mm = 0,5
Los diámetros de las circunferencias exteriores valen:
de2 = d2 + 2ha = 200mm + 2. 10mm = 220mm
de3 = d3 + 2ha = 400mm + 2. 10mm = 420mm
Los diámetros de las circunferencias interiores serán:
df2 = d2 – 2hf = 200mm – 2. (12, 5) = 175mm
df3 = d3 –2hf = 400mm – 2. (12, 5) = 375mm
El ancho del diente es:
S = 19 / 40. p = 19 / 40 .π. m = 14,9mm
El ancho de hueco del diente es:
S’ =21 / 40 .p = 21 / 40 .π. m = 16,48mm
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2.- ¿Es posible el engranaje entre dos ruedas dentadas; una de 36 dientes y 90mm de diámetro primitivo,
y otra de 22dientes y 55 mm de diámetro primitivo? ¿Y si la segunda tuviese 26 dientes y 78 mm de
diámetro primitivo?
Para que dos ruedas dentadas engranen es preciso que sus módulos sean iguales.
90mm / 36 = 55mm / 22 Las dos engranarán
En el segundo caso:
90mm / 36 = 78 mm / 26 El engranaje no sería posible
3.-sabiendo que un engranaje es de módulo 3 y tiene 30 dientes, determina:
a)
Paso, b) diámetro interior; c) diámetro exterior.
b) P = π. m = 9,42mm
c)
dinterior = dprimitivo – 2 hf = 90mm – 2. (3,75) = 82,5mm
hf = 1,25 . m = 3,75mm
dprimitivo = P. Z / π = π. m. Z / π = m . Z = 90mm
También se puede calcular como:
di = m ( Z – 2,5 ) = 3· (30 – 2,5)= 82,5mm
d) Diámetro exterior.
de= dprimitivo + 2ha = 90mm + 2. 3mm = 96mm; o también de= m (Z+2) = 3(30+2) = 96mm
Características del diente:
hf = altura del diente (pie de diente) = 1,25. m
ha = altura de cabeza de diente = 1 . m
h = altura de diente = hf + ha = 2,25. m
b = longitud del diente = 10 .m
S = grueso del diente = 19 / 40. P
S’ =hueco del diente = 21 / 40 .p
Paso = π. m
4.- Calcula las dimensiones de una rueda dentada de dientes rectos, suponiendo que tiene 60 dientes y un
módulo m = 6.
Altura cabeza de diente ha = 1 .m = 6mm
Altura de pie de dientehf = 1,25 .m = 7,5mm
Altura del dienteh= ha + hf 0 6 + 7,5 = 13,5mm
Longitud del dienteb = 10. m = 60mm
PasoP = π. m = 3,14. 6 = 18,84mm
Diámetro primitivodp = m. Z = 6. 60 = 360mm
Diámetro exteriorde = 2ha + d = 2. 6mm + 360mm =372mm, o también de = m(Z+2) =6(60+2) =372mm
Diámetro interiordi=d-2hf= 360mm-2.7, 5mm = 345mm, o también di = m (Z-2,5)=6(60-2,5) =345mm
Ancho de diente S = 19 / 40 .p = 8,95mm
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Hueco de dienteS’ = 21 / 40. p = 9,89mm
A continuación veremos un atabla en la que se relacionan los diámetros en función del módulo y del
número de dientes.
Diámetro
Primitivo
Interior
Exterior
Para la rueda
L = π. Dp= P. Zr Dp=m. Zr
Di=Dp-2hf=m.Zr – 2.1,25m=m (Zr-2,5)
Di=m (Zr-2,5)
De =Dp+2ha = m. Zr + 2m = m . (Zr+2)
De = m (Zr + 2)
Para el piñón
dp = m . Zp
di = m (Zp-2,5)
De = m (Zp+2)
5.-Suponiendo que la rueda dentada de módulo m = 6 y número de dientes 60, engrana con un piñón de
Zp 0 40 que gira a n=1500 rpm, determina:
a) nº de revoluciones con que girará la rueda.
b) distancia entre ejes.
c) diámetro exterior del piñón.
a)
n1. Z1 = n2. Z2n2 = n1. Z1 / Z2 = 1500 rpm .40 / 60 =1000rpm
b) m1 = m2 = 6
C = d1 + d2 / 2 = (m1 .Z1 + m2 .Z2) / 2 = (6 . 40 + 6 . 60 ) / 2 = (240 + 360) / 2 = 300mm
b) Diámetro exterior del piñón.
De = m (Zp + 2) = 6(40+2) = 252mm
6.-Un piñón cuyo módulo es de 2mm y su diámetro primitivo de 90mm, engrana con una rueda de 60
dientes .Calcula:
a) Número de dientes del piñón.
b) Diámetro primitivo de la rueda.
c) Velocidad de la rueda si el piñón gira a 1000rpm.
a) d1 = m1. Z1 Z1 = d1 / m1 = 90 /2 = 45
b) m1 = m2 = m = 2
d2 = m2. Z2 = 2. 60 = 120mm
c) n1. Z1 = n2. Z2n2 = n1. Z1 / Z2 = (1000. 45 ) / 60 = 750 rpm
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- Caja de velocidades-
La caja de velocidades, o caja de cambios, es un tren de engranajes con dentado helicoidal, que se utiliza
para variar la relación de transmisión entre dos ejes de rotación. Consta básicamente de dos ejes: el
motriz llamado primario, asociado al motor; y el de salida acoplado a las ruedas, que se denomina eje
secundario. Las cajas de velocidades, además de llevar engranajes fijos, también llevan engranajes que se
pueden deslizar. Estos engranajes están pareados y unidos entre sí.
Actividades:
1.-Si el número de dientes de cada uno de los engranajes es el que se muestra en la figura y el número de
revoluciones del motor es de 1800, determina el número de revoluciones para el árbol III, dependiendo de
la combinación de engranajes.
Z1=30
Z3=50
I
Z5 =60
Z2=50
Z4=30
Caja de velocidades con
engranajes desplazables.
Z7=20
II
III
Z6=30
Z8=70
a) Cuando Z1 engrana con Z2 y Z5 con Z6:
Z1 Z2 Z5 Z6
n1.Z1 = n2.Z2 n2 = 1800.30 / 50 =1080 rpm
n5.Z5 = n6.Z6  n6 = 1080 .60 / 30 = 2160 rpm
También se puede hacer: N = (30.60).1800 / (50.30) = 2160 rpm
b) Cuando Z1 engrana con Z2 y Z7 con Z8:
Z1Z2Z7Z8
N = (30.20).1800 / (50.70) = 308,57 rpm
La expresión de arriba se obtiene aplicando las ecuaciones
n1.Z1=n2.Z2......
n2 = n1.Z1 / Z2 y por otro lado n7.Z7 = n8. Z8n8 = n7 .Z7 / Z8 = (n1. Z1 / Z2). Z7 / Z8
(n1.Z1.Z7 / Z2) / Z8 (Z1.Z7 / Z2.Z8). n1 (30.20).1800 / (50.70) = 308,57 rpm
c) Cuando Z3 engrana con Z4 y Z5 con Z6
Z3Z4Z5Z6
N = (50.60).1800 / (30.30) = 6000 rpm
d) Cuando Z3 engrana con Z4 y Z7 con Z8:
Z3Z4Z7Z8
N = (50.20).1800 / (30.70) = 867,14 rpm
2.- Una caja de velocidades dispone de cuatro árboles de transmisión y tres pares de engranajes fijos, tal
como la figura. Sabiendo que las relaciones de transmisión entre los tres ejes son i I-II = 1/2; iII-III = 1/3; i IIV = 1/5, calcula el número de revoluciones con que gira el árbol IV (N 4) si N1= 1200 rpm.
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N1=1200rpm
I
Motor
II
N2
III
N3
IV
N4
La relación de transmisión entre el primero y el último eje es igual a :
iI-IV = iI-II . iII-III . iIII-IV = 1/2 . 1/3. 1/5 = N4 / N1N4= N1 / 30 = 1200 /30 = 40 rpm
3.- Determina los diferentes números de revoluciones que se obtendrán en el último árbol de una caja de
velocidades si dispone de dos árboles. En el árbol número I están los engranajes Z 1 = 40 y Z3 = 80 y el
motor que gira a 800 rpm. En el árbol número II hay un par de engranajes deslizantes con los siguientes
dientes:
Z2 = 100 y Z4 = 60 dientes.
n1. Z1 = n2. Z2n2 = n1. Z1 / Z2 = 800 rpm. 40 / 100 = 320 rpm
n2 = n1. Z1 / Z2 = 800 rpm. 80 / 60 = 1066,67 rpm
4.- Un piñón cuyo módulo es de 2mm y su diámetro primitivo de 90mm engrana con una rueda de 60
dientes. Calcula: a) número de dientes del piñón (Z1); b) diámetro primitivo de la rueda (Dp) ; c) número
de revoluciones de la rueda(N) si n = 1000 rpm.
a)
Dp = m .Zp Zp = Dp / m = 90 mm / 2mm = 45 dientes
b) Dp = m. Zr Dp = 2. 60 = 120 mm La rueda y el piñón deben tener el mismo módulo
c)
n1. Z 1 = n. Zr n2 = 1000 rpm. 45 / 60 = 750 rpm
5.-Calcular la relación de transmisión para todas las velocidades en la caja de cambios de la figura y la
velocidad del eje secundario, si el primario gira a 1000 rpm. El número de dientes de cada engranaje es :
F
E
D
C
B
A
Eje primario
Eje secundario
L
Juan Carlos
K
J
I
H
G
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Engranajes
Nº dientes
A
12
B
12
Dpto.Tecnología
C
16
D
20
E
25
F
28
G
40
H
40
I
36
J
32
K
37
L
24
En la primera velocidad estarán engranadas Las ruedas A y G, con lo que la relación de transmisión será:
I = Zconductora / Z conducida = 12 / 40 = 0,3
Y la velocidad de giro del eje secundario será:
i = ωconducida / ωconductora ωconducida = i. ωconductora = 0,3. 1000 rpm = 300 rpm
Para las demás velocidades se repite la misma operación y los resultados son:
Velocidad
1ª
2ª
3ª
4ª
5ª
Marcha atrás
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Engranaje eje 1º
A
C
D
E
F
B
Engranaje eje 2º
G
I
J
K
L
H
i
0,3
0,44
0,625
0,926
1,167
0,3
ω(rpm)eje 2º
300
444,4
625
926
1167
300
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Dpto.Tecnología
6.- Suponiendo que el árbol I de la figura se conecta con un motor que gira a 2200 rpm y tenga una
potencia d 3cv, calcula el número de revoluciones con que girará el tercer árbol dependiendo de las
distintas combinaciones de engranajes de dientes rectos.
Los datos son Dp = 120mm, módulo m =6, iII-III = ¼ (cuando Z7 engrana con Z8) y Dp6 =300mm.
Juan Carlos
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