MATEMATICA FINANCIERA - UNI 1 - Fundamentos basicos

Unidad 1: Fundamentos Básicos
Tasa de interés: concepto. Unidad de tiempo y unidad de capital. Plazo.
Operaciones en base a interés simple: características fundamentales de la
operatoria.
Aplicaciones. Operaciones en base a interés compuesto: Cálculo de los elementos.
Aplicaciones.
SITUACIÓN PROBLEMÁTICA
La señora Ahorro es propietaria, desde hace 5 años, de un comercio ubicado en
un barrio de la ciudad de Córdoba. Tiene varios clientes habituales, a los cuales
les vende mercadería a crédito. Sin embargo, en los últimos meses ha notado que
algunos de ellos se atrasan en el pago de sus deudas, por lo que ha decidido
cobrarles intereses por mora. Se pregunta ¿cómo calcular esos intereses?
Los conocimientos que desarrollaremos a continuación le ayudarán a dar
respuesta a la situación planteada.
La Matemática Financiera, como rama de las ciencias matemáticas destinada a
resolver problemas de naturaleza económicos-financieros comprende el estudio
analítico y sistemático de las operaciones financieras.
Una operación financiera “es una operación que consiste en un intercambio no
simultáneo de capitales, a título oneroso”.
Es decir, estamos hablando de una operación, o de una relación entre dos partes
intervinientes opuestas, en este caso, deudor y acreedor.
El intercambio consiste en que una parte cede un bien a otra que lo recibe con
capacidad para producir nuevos bienes o servicios. Este bien es el capital.
El hecho que el capital varía en función del tiempo, es decir, el intercambio se
efectúa en distintos momentos del tiempo, hacen que este intercambio sea no
simultáneo.
La Matemática Financiera se basa en dos conceptos o pilares fundamentales:
1. La Capitalización: trata de estudiar y explicar los procesos de traslado de
valores del presente al futuro.
2. La Actualización: permite estudiar y explicar los procesos de traer los
valores del futuro al presente.
1
CAPITALIZACIÓN: Trasladar valores
PRESENTE
FUTURO
ACTUALIZACIÓN: Traer valores
1) Postulado Fundamental de la Matemática Financiera
El Postulado fundamental de la Matemática Financiera es un principio que no
requiere demostración y que se enuncia de la siguiente manera:
“El capital crece con el transcurso del tiempo aplicado a una operación financiera.
Ese crecimiento del capital, en sentido positivo, se produce en forma continua,
progresiva y acumulativa, y es lo que se conoce como Interés”.
Entonces, podemos considerar al capital como una función continua de la variable
tiempo, f t  .
Si suponemos que a partir del momento “t”, han transcurrido “n” unidades de
tiempo, tendremos el valor del capital al momento “t+n”.
f(t)*
t
* Valor del capital en el momento t.
f t  n  f t 
2
f(t+n)
t+n
t (tiempo)
f t  n  f t   interés
Estos intereses se producen en forma continua, y no de golpe, pero por razones
prácticas, en la realidad, dicho crecimiento se mide en intervalos discretos de
tiempo. De esta manera, surge el concepto de Unidad de tiempo:
Unidad de Tiempo, es el período al final del cual se calculan los intereses, ya sea
para ser pagados y/o capitalizados.
2) Tasa de interés
Podemos decir que la tasa de interés es el crecimiento, incremento, o interés de
una unidad de moneda inicial en una unidad de tiempo.
Es decir, la tasa de interés contiene los siguientes elementos:
1) Unidad de moneda: el rendimiento financiero o el interés se expresa en la
misma moneda que el capital. De esta manera, si la unidad de moneda en
una operación financiera es el peso ($), la tasa de interés me indicará el
interés de $1.
Es común en la realidad mencionar como tasa de interés el interés por cada
cien (100) unidades de capital (%).
2) Unidad de tiempo: si la unidad de tiempo es el mes, la tasa es mensual; si
los intereses se pagan cada 60 días, la unidad de tiempo será 60 días. La
tasa de interés es la que corresponde al período de pago o de
capitalización de los intereses.
i
Interés (de la unidad de tiempo)
I

 para la unidad de tiempo considerada.
Capital inicial
f 0
Así por ejemplo, si se coloca un capital de $10.000 a plazo fijo y al final del
mes se pagan en concepto de intereses $500, ¿cuál es la unidad de tiempo de
la operación y cuál es la tasa de interés?
f 0  $10000
I  $500
unidad de tiempo  mes
i
I
500

 i  0,05 mensual
f 0 10000
3
A partir de la definición de tasa de interés sabemos que los intereses se retiran o
se capitalizan al final de cada unidad de tiempo.
Consideraremos para nuestro análisis un capital inicial de $1 colocado al 0,05 de
interés mensual. El período de análisis será de un año.
Vamos a hacer el análisis desde dos puntos de vista:
1) Los intereses se retiran o se cobran al final de cada mes:
Los intereses, calculados para este caso son:
I1  f 0.i  1x0,05  0,05
I 2  f 0.i  1x0,05  0,05
El comportamiento del capital y de los intereses durante los doce meses será el
siguiente:
Si observamos el gráfico vemos que al final de cada mes los intereses que se
retiran son siempre iguales e iguales a $0,05 y que el capital al comienzo de cada
mes es siempre el mismo ($1). Si sumamos los intereses, tendríamos:
4
0,05  0,05  ...  0,05  0,05x12  0,60
2) Los intereses se capitalizan al final de cada mes:
La evolución del capital inicial de $1 a la tasa de interés mensual de 0,05
quedaría reflejada en la siguiente tabla:
Unidad de
tiempo
(meses)
Capital
inicial
1
2
Intereses
acumulados
Capital al final de
cada unidad de
tiempo.
1
1,05
Intereses al
final de cada
unidad de
tiempo
0,05
0,0525
0,05
0,1025
I1  1x0,05  0,05
I 2  1,05x0,05  0,0525
3
1,1025
0,0551
0,1576
I 3  1,1025x0,05  0,0551
…
11
12
…
…
…
…
1,7104
0,0855
…
0,7104
0,7959
I12  1,7104 x0,05  0,0855
Podemos observar que los intereses a medida que transcurre el tiempo son cada
vez mayores al final de cada mes.
Por lo tanto, un capital de $1 produce un interés de $0,7959 al cabo de un año.
Es decir, que 0,7959 representa el interés de $1 en 12 meses.
3) Interés Simple e Interés Compuesto
Existen dos formas básicas de operar financieramente y son:
 Retirando los intereses al final de cada unidad de tiempo, “Interés Simple”.
 Capitalizando los intereses al final de cada unidad de tiempo, “Interés
Compuesto”.
A. INTERÉS SIMPLE
Es conveniente que complemente la explicación de este tema con
el video que está en el Aula Virtual
5
Si tomamos un capital inicial de f 0 , y trabajamos para “n” unidades de tiempo a
la tasa “i” de interés:
En este caso:
f (1)  f (0)  f (0).i  antes de retirar los intereses
Estos intereses se retiran y por lo tanto el valor del capital al finalizar la primera
unidad de tiempo, después de retirar los intereses, será el valor del capital al
comienzo de la segunda unidad de tiempo, o sea:
f (1)  f (0)  después de retirar los intereses
Al final de la segunda unidad de tiempo, tendremos:
f (2)  f (1)  f (1).i  f (2)  f (0)  f (0).i
Esta expresión representa el valor del capital al final de la segunda unidad de
tiempo antes de retirar los intereses.
6
Después de retirarlos se tendrá:
f (2)  f (0)
Esto representa el valor del capital al comienzo de la tercera unidad de tiempo.
Así podemos generalizar, diciendo:
f (n)  f (0)  f (0).i
Este es el comportamiento del capital en un período de análisis correspondiente a
“n” unidades de tiempo cuando se trabaja a INTERÉS SIMPLE.
Si queremos sumar los intereses retirados al final de cada unidad de tiempo:
I s  f (0).i.n
Y si a este valor le sumamos el capital inicial obtendremos la fórmula de Monto a
Interés simple, al final de las “n” unidades de tiempo:
f (n) s  f (0)  f (0).i.n
f (n) s  f 0
. 1  .i.n
Cabe aclarar que esta fórmula no tiene valor desde el punto de vista financiero ya
que surge de la suma de valores heterogéneos financieramente. Se la utiliza para
calcular intereses comerciales, judiciales o impositivos.
Esta fórmula de Monto a Interés Simple supone que los intereses serán cobrados
al final de las “n” unidades de tiempo, por lo tanto se deduce que la “i” que
aparece en la fórmula no representa la tasa de interés de la operación por cuanto
no hay capitalización de intereses.
>Cálculo del Interés
Matemáticamente el interés simple se obtiene a partir de la siguiente fórmula:
I
f (0).R.T
100.ut
7
Donde:
I: Representa el interés.
f(0): Capital que devenga intereses.
R: Razón o tanto por ciento.
T: Tiempo durante el cual se calcula el interés.
ut: La unidad de tiempo: 1 si T está expresada en años.
12 si T está expresada en meses.
365 si T está expresada en días.
La fórmula citada puede reexpresarse:
I  f (0).
R T
.
100 ut
(1)
Donde R/100 es la tasa de interés i, que es el interés que gana un capital igual a
uno durante un período:
R
i
100
(2)
El tercer factor de (1) es el periodo n durante el cual se calcula el interés.
Haciendo:
T
n
t
(3)
Reemplazando en (1) por (2) y (3)
I  f (0).i.n
El factor n puede ser una entero o fraccionado:
Entero: Cuando la tasa de interés está expresada en los períodos a los que se
impone el capital
Fraccionado: Cuando el tiempo esta expresado en un periodo menor al de la tasa
Si “n” es ENTERO
8
Cuando el capital se impone:
- A una tasa anual durante una cantidad determinada de años
- A una tasa mensual durante un número establecido de meses
Los siguientes ejemplos explican cada una de estas situaciones:
a) Tiempo expresado en años y tasa de interés anual:
¿Cuánto ganará un capital de $15000 impuesto a un interés simple del 20%
anual durante un período de 2 años?
f(0) = 15000
i
20
 0,20 anual
100
n=2
I  15000 . 0,2 .2  6000
El interés ganado será de $6000
b) Tiempo expresado en meses y tasa de interés mensual
Calcular el interés que genera un capital de $12000 impuesto a un interés simple
del 2% mensual durante 7 meses.
F(0) = 12000
i
2
 0,02 mensual
100
n=7
I  12000 . 0,02 .7  1680
El interés ganado es de $1680
Si “n” es FRACCIONARIO
Cuando el tiempo está expresado en un período menor al de la tasa, n será una
fracción que:
- En el numerador se registra la cantidad de meses o días a las que se
impone el capital
- En su denominador se indica:
a) 12 Si la tasa es anual con periodos mensuales
b) 365 Con la tasa anual y períodos diarios
c) 30 Con tasa mensual y períodos diarios
Analicemos los siguientes ejemplos:
a)Tiempo expresado en meses y tasa de interés anual
9
Calcular el interés que ganará un capital de $ 30000 impuesto a un interés anual
del 24 % durante 8 meses
F(0) = 30000
i
I  30000 . 0,24 .
24
 0,24 anual
100
n
8
12
8
 4.800
12
El interés que ganará es de $ 4800
b) Tiempo expresado en días y tasa de interés anual
Calcular el interés ganado por un capital de $ 27500 impuesto a un interés del
15% anual durante 45 días
F(0) = 27500
i
I  27500 . 0,15 .
15
45
 0,15 anual n 
365
100
45
 508,56
365
El interés que ganará es de $ 508,56
c)Tiempo expresado en días y tasa de interés mensual
Calcular el interés que genera un capital de $ 6580 impuesto a un interés
mensual del 1,5% durante 50 días
F(0) = 6580 i 
50
1,5
 0,015 mensual n 
30
100
I  6580 . 0,015 .
50
 164,50
30
El interés ganado es de $ 164,50
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
1) Calcular el interés simple:
a) f(0) = $ 112500
b) f(0) = $ 215500
c) f(0) = $ 8640
10
i = 0,25 anual
i = 0,015 anual
i = 0,015 anual
Plazo = 96 días
Plazo = 23 días
Plazo = 23 días
d)
e)
f)
g)
f(0) = $ 42380
f(0) = $ 9641
f(0) = $ 31615
f(0) = $ 63890
i = 0,26 anual
i = 0,01 anual
i = 0,22 anual
i = 0,23 anual
Plazo = 42 días
Plazo = 5 meses
Plazo = 55 días
Plazo = 8 meses
>Cálculo del capital, la tasa y el período
I  f (0).i.n
A partir de:
Se deduce que:
f (0) 
I
i.n
i
I
f (0).n
n
I
f (0).i
Veamos los siguientes ejemplos:
1) Determinar el capital
¿Qué capital se habrá impuesto a un interés del 2 % mensual durante 24 días,
habiéndose obtenido un interés de $ 406,40?
I = 406,40
i
2
24
 0,02 mensual n 
100
30
406,40
 25400
24
0,02 .
30
El capital impuesto a interés fue de $ 25400
f (0) 
2) Determinar la tasa
¿Qué tasa de interés anual se cobró para obtener un interés de $ 484,55,
habiéndose impuesto un capital de $ 13215 durante 2 meses?
I = 484,55
i
f(0) = 13215
n
2
12
484,55
 0,22
2
13215 .
12
11
La tasa cobrada fue 0,22 anual.
3) Determinar el periodo
¿A cuántos meses se habrá colocado un capital de $ 21140 que a un interés
simple del 2,5 % mensual generó un interés de $ 1585,50?
I = 1585,50
n
f(0) = 21140
i
2,5
 0,025 mensual
100
1585,50
3
21140 . 0,025
El capital se colocó a 3 meses.
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
2) Para los siguientes ejercicios a interés simple:
a) Determinar el capital
I. I = $ 42084
i = 0,28 anual
II. I = $ 5437, 80
i = 0,02 mensual
III. I = $ 420
i = 0,01 mensual
b) Determinar la tasa
I. I= $ 55368
f(0) = $61520
II. I=$ 535,35 f(0) = $17845
III. I=$9661,50f(0) = $96615
c) Determinar el periodo
I. I=$12490,40 f(0)=$31226
II. I=$816,40 f(0)=$20410
III. I=$ 7200 f(0)=$60000
Plazo = 2 años
Plazo = 2 meses
Plazo = 4 meses
i=0,20 anual
i=0,01 anual
i=0,02 anual
>Cálculo del Monto
12
Plazo = 2 años
Plazo = 6 meses
Plazo = 20 días
Tasa anual
Tasamensual
Tasamensual
Plazo ( años)
Plazo (meses)
Plazo ( meses)
Para calcular matemáticamente el monto a interés simple f(n)s, hay que sumar al
capital f(0), los intereses devengados por el mismo:
I  f (0).i.n
f (n) s  f (0)  f (0).i.n
f (n) s  f (0).(1  i.n)
Así, por ejemplo:
¿Cuál será el monto que se obtendrá al imponer un capital de $ 51200 a un
interés simple del 18% anual durante 6 meses?
F(0)= 51200;
i
18
 0,18 anual
100
n
6
12
6

F (n) s  512001  0,18 . 
12 

F(n)s = 55808
El monto a obtener será de $ 55808
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
3) Determinar el monto simple a obtener por las siguientes operaciones:
a) F(0) = $ 13600
b) F(0) = $ 43800
c) F(0) = $ 21200
i = 0,20 anual
i = 0,015 mensual
i =0,02 mensual
Plazo = 45 días
Plazo = 5 meses
Plazo = 70 días
>Determinación del capital, la tasa y el período en el monto a interés
simple.
13
A partir de
f (n) s  f (0).(1  i.n) se deduce que:
f ( n) s
1
f (0)
i
n
f ( n) s
f (0) 
1  i.n
f ( n) s
1
f (0)
n
i
Los siguientes son ejemplos de cada una de las fórmulas mencionadas:
1. Determinar el capital
¿Qué capital se impuso a un interés del 15% anual durante 73 días, produciendo
un monto a interés simple de $ 8404,80?
i
f(n)s = 8404,80
f (0) 
15
 0,15 anual
100
n
73
365
8404,80
 8160
73
1  0,15 .
365
El capital impuesto fue de $ 8160
2. Determinar la tasa:
¿A qué tasa mensual se habrá colocado un capital de $ 15600 que durante 3
meses produjo un monto a interés simple de $ 15974,40?
f(n)s = 15974,40
f(0) = 15600
n=3
15974,40
1
15600
i
 0,008 mensual
3
La tasa fue de 0,008 mensual
3. Determinar el período
¿Durante cuantos meses se colocó un capital de $ 53000 que a un interés del 0,9
% mensual produjo un monto a interés simple de $ 55862?
14
f(n)s = 55862
f(0) = 53000
i
0,9
 0,009 mensual
100
55862
1
53000
n
6
0,009
El capital fue impuesto a 6 meses
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
4) Resolver los siguientes ejercicios de monto a interés simple:
a) Determinar el capital:
I. F(n)s=$53016,25
i = 0,15 anual
Plazo = 3 meses
II. F(n)s=$13793,90
i = 0,012 mensual
Plazo = 45 días
III. F(n)s=$ 34851,32
i = 0,16 anual
Plazo = 146 días
I.
II.
III.
b) Determinar latasa:
F(n)s=$22170,40
F(n)s=$11687,60
F(n)s=$49650,30
f(0)=$21400
f(0)=$9580
f(0)=$46620
c) Determinar el plazo:
I. F(n)s=$17002,70
f(0)=$15950
II. F(n)s=$40000
f0)=$25000
III. F(n)s=$32984,16
f(0)=$31235
Plazo=3 meses (i Mensual)
Plazo=2 años
(i Anual)
Plazo=5 meses (i Mensual)
i=0,011 mensual (Plazo en meses)
i=0,20 anual (Plazo en años)
i=0,008 mensual (Plazo en meses).
5) ¿Durante cuántos días se colocó un capital de $ 33.000 que a un interés del
1,3% mensual produjo un monto a interés simple de $ 33.171,60?
15
B. INTERÉS COMPUESTO
Consideraremos un capital inicial “f(0)”, colocado en “n” unidades de tiempo, a la
tasa de interés “i”:
“f(1)” es el valor del capital al finalizar la primera unidad de tiempo i es igual a:
f 1  f 0  f 0.i
Sacando factor común f(o):
f 1  f 0
. 1 i
“f(2)” es el valor del capital al finalizar la segunda unidad de tiempo i es igual a:
f 2  f 1  f 1.i
f 2  f 1
. 1  i
f 2  f 0
. 1  i
16
2
Generalizando, podemos decir que:
f n  f 0
. 1 i
n
Esta fórmula nos permite calcular el Valor Final o Monto de un capital inicial “f(0)”,
al cabo de “n” unidades de tiempo, a la tasa de interés “i”:
“n” indica la cantidad de unidades de tiempo en el plazo considerado y se obtiene
a través del cociente entre:
n
Plazo
unidad de tiempo de la tasa " i"
Analizaremos los siguientes ejemplos:
1) Si depositamos a plazo fijo, en una entidad financiera, un capital de $3000,
durante 8 meses, a una tasa de interés mensual de 0,02. ¿Cuál será el capital
final o monto obtenido al cabo del plazo?
f (0)  3000
plazo  8 meses
i  0,02 mensual
unidad de tiempo  mes
n
8 meses
8
mes
f n  f 0
. 1  i
n
f 8  3000.1  0,02
8
f 8  3514,98
Esto significa que el monto obtenido al cabo de 8 meses es de $3.514,98.2) Se efectúa un depósito en una entidad financiera, durante un año, lográndose
formar un capital de $2985,13, a una tasa de interés bimestral de 0,03. ¿Cuál
fue el capital depositado?
17
f (n)  2985,13
plazo  12 meses
i  0,03 bimestral
unidad de tiempo  bimestre
n
12 meses
6
bimestre
f 0 
f 0 
f n 
1  i n
2985,13
1  0,036
f 0  2500
El capital depositado durante un año fue de $2.500.3) ¿Durante cuánto tiempo permaneció depositado a plazo fijo, en una entidad
financiera, un capital de $2000, para que, a una tasa de interés trimestral de
0,05, logre un monto de $2431,01?
f (0)  2000
f (n)  2431,01
i  0,05 trimestral
unidad de tiempo  trimestre
plazo  ?
n?
f n  f 0
. 1  i
n
log
f ( n)
 log(1  i) n
f (0)
log
f ( n)
 n. log(1  i)
f (0)
18
 f ( n) 
log
 f (0) 



n
log(1  i )
2431,01  2000.1  0,05
n
n  4  plazo  4 unidades de tiempo  4 trimestres  1 año
4) ¿A qué tasa de interés bimestral se realizó un depósito a plazo fijo, en una
entidad financiera, si un capital de $ 4000, produjo durante 1 año y medio un
monto de $5219,09, siendo la capitalización bimestral de los intereses?
f (0)  4000
f (n)  5219,09
unidad de tiempo  bimestre
plazo  1 año y medio
n9
n
f n  f 0
. 1  i
f ( n)
 (1  i ) n
f (0)
i  n
f ( n)
1
f (0)
5219,09  4000.1  i 
9
i  0,03 bimestral
La tasa de interés fue de 0,03 bimestral.
Es conveniente que complemente la explicación de este tema con
el video que está en el Aula Virtual
19
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
6) Si depositamos a plazo fijo, en una entidad financiera, un capital de $2500,
durante 1 año y medio, a una tasa de interés bimestral de 0,04. ¿Cuál será el
capital final o monto obtenido al cabo del plazo?
7) Se efectúa un depósito en una entidad financiera, durante seis meses,
lográndose formar un capital de $ 5923,11, a una tasa de interés mensual de
0,015. ¿Cuál fue el capital depositado?
8) ¿Durante cuánto tiempo permaneció depositado a plazo fijo, en una entidad
financiera, un capital de $ 6800, para que, a una tasa de interés bimestral de
0,045, logre un monto de $10560.19?
9) ¿A qué tasa de interés mensual se realizó un depósito a plazo fijo, en una
entidad financiera, si un capital de $ 1500, produjo durante 8 meses un monto de
$2200, siendo la capitalización mensual de los intereses?
10) Complete el siguiente cuadro:
Tasa de
interés
a)
b)
c)
d)
0,04
0,06
0,09
Unidad de
tiempo
Mes
30 días
Bimestre
Trimestre
Cantidad de
u. de tiempo
(n)
15
5
8
Capital
inicial
$ 2000
$ 1.000
$ 1.510
Monto
$ 1.085
$ 2.290
$ 3.008,77
11) Una persona efectúa un depósito en caja de ahorro de $ 3560 en una entidad
financiera, por un lapso de 10 meses. Durante los primeros 5 meses, la tasa que
le pagaron fue del 0,013 mensual. Al final del quinto mes retira $ 1.300,
momento a partir del cual rige una tasa de 0,009 mensual. Tres meses más tarde
efectúa un depósito de $ 800, y en los últimos dos meses, la tasa retornó a su
nivel inicial. Averiguar cuánto retira esta persona a su vencimiento, o sea al cabo
de los 10 meses.
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12) Para comprar un automóvil, Mariana realiza la siguiente operación: $15.000
de entrega inicial y $ 25.000 un año después. ¿Cuál es el precio de contado que
debería pagarse si la tasa de interés que incluyó el vendedor en la cuota de $
25.000 es del 0,06 trimestral?
ACTIVIDAD INTEGRADORA: Al finalizar el texto encontrará la solución
de la misma.
La señora Ahorro decide verificar los saldos de cuentas por cobrar de su negocio,
y encuentra lo siguiente:
Cliente
Sr. Pérez
Sra. Martinez
Importe
adeudado
3.000,00
6.200,00
Tiempo
transcurrido
45 días
2 meses
Tasa de interés
acordada
0,025 mensual
0,35 anual
I.
Necesita calcular:
a) El interés que deberá abonar el Sr. Pérez (utilizando las
fórmulas de interés simple)
b) El importe total que tendrá que pagar la Sra. Martínez
II.
Con el importe total cobrado al Sr. Pérez realizó un plazo fijo en una entidad
financiera, a la tasa de interés de 0,012 para 30 días, recibiendo al
vencimiento un monto a interés compuesto de $3264,61. ¿Durante cuánto
tiempo estuvo depositado el capital?
Es importante complementar los estudios de esta Unidad realizando
los ejercicios de Autoevaluación previstos en el Aula Virtual de la
materia
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