Manual Diseños Experimentales con el paquete NCSS

U niversidad
V eracruzana
________________ ___________________________________________ L
FACULTAD DE E STAD ISTIC A E INFORM ATICA
ESPECIALIZACIÓN EN M É T O D O S ESTADÍSTICOS
M A N U A L D E A P L IC A C IÓ N D E L O S D IS E Ñ O S
E X P E R IM E N T A L E S B Á S IC O S E N E L
PAQUETE N CSS.
TRABAJO RECEPCIONAL
(P R A C T IC O E D U C A T IV O )
QUE COMO REQUISITO PA R C IA L P A R A OBTENER EL
D IPLOM A DE ESTA E SPEC IA LIZACIÓ N
PRESENTA:
Mercedes\León Salazar
TUTOR:
L.E. JULIÁN FELIPE D ÍAZ CAMACHO
XALAPA, V E R ., N OVIEM BRE DE 2002
El Comité Académico de la Especialización en Métodos Estadísticos y el
Tutor de este trabajo recepcional, autorizan la impresión y la constitución del
jurado para la defensa.
COMITÉ ACADÉMICO
M. C. C. Alma Rosa García Gaona
ESPECIALIZACIÓN
DIRECTORA DE LA FACULTAD DE
ESTADÍSTICA E INFORMÁTICA
D ATO S D EL A U T O R
Mercedes León Salazar nació en Coatzacoalcos, Veracruz, el día 2 de Mayo
de 1976. Cursó sus estudios básicos en la población de Coatzacoalcos y de nivel
medio superior en la población de Xalapa, Veracruz, perteneciente al municipio
del mismo nombre. En el año 200 egresó de la carrera de Licenciado en
Estadística de la Universidad Veracruzana. En 1998 apoyo al Grupo de
Evaluación Institucional,
en el procesamiento de los datos de una evaluación
aplicada a educandos de telebachilleratos de la DGEMS Y S, a través del
Laboratorio de Investigaciones y Asesoría Estadística (LINAE).
GENERACIÓN :2002
SEDE: Xalapa
TÍTULO:
Manual de aplicación de los diseños experimentales básicos en el
paquete NCSS.
AU TO R :
Mercedes León Salazar
TUTOR:
L.E. Julián Felipe Díaz Camacho
TIPO DE T R A B A JO :
Reporte
Monografía o TPE
Desarrollo
RESUMEN:
En este trabajo se presenta una breve descripción de la aplicación del paquete NCSS en
los diseños experimentales básicos, como son: el diseño completamente al azar,
bloques al azar y cuadrado latino. Así mismo se expone el tema de comparación
múltiple de medias para cada unos de los diseños mencionados. En cada uno de los
temas mencionados se presenta una breve descripción del diseño y se presenta un
ejemplo manual acompañado de los resultados que nos proporciona el paquete NCSS.
Realizándose encada caso las conclusiones pertinentes.
M E T O D O L O G ÍA ESTAD ÍSTICA:
a) Diseño
Muestreo
Experimento
Estudio observacional
b) Análisis
Exploratorio
Descriptivo básico
Inferencia Básica
Métodos multivariados
Regresión
A N O V A y MANO V A
Control de calidad
Métodos no paramétricos
Modelos especiales
Técnicas avanzadas
Series de tiempo
X
A G R A D E C IM IE N T O S
A DIOS:
Por que nunca me abandonaste
y me diste la oportunidad de
llegar hasta este momento.
A MIS PADRES:
Por haber creído en mi
dándome la oportunidad de
seguir adelante y por ese
gran esfuerzo, dedicación y
amor que me han brindado.
Los quiero mucho.
A MI HIJO:
Por ser el tesoro más grande de
mi vida y por hacerme muy feliz.
Te quiero mucho Rolis.
A MIS HERMANAS:
Por que en las buenas y en
las
malas
nunca
nos
abandonamos.
Sigan
adelante.
A MI NOVIO:
Por haberme acompañado en esta
etapa de mi vida, por haberme
motivado para seguir adelante y
por tu cariño.
AL MAESTRO:
Julián Felipe Díaz Camacho
por
su
incondicional
dedicación y apoyo, por su
gran y bonita amistad y por
ser un gran maestro y amigo.
Mil gracias.
A MIS AMIGOS:
A todos mis amigos queme
han dado su amistad y
compañía. Un cordial saludo
a todos mis maestros y
amigos de la especialidad.
CONTENIDO
Pag.
1
[INTRODUCCIÓN
II. PRINCIPIOS BÁSICOS DEL DISEÑO DE
EXPERIMENTOS
3
1.1 Introducción
3
1.2 Elementos básicos de un diseño experimental
9
II. DISEÑOS COMPLETAMENTE AL AZAR (D.C.A.)
14
II. 1
Diseño Completamente
repeticiones.
11.1.1 Descripción
al
azar
con
igual
número
de
14
15
11.1.2 Análisis de varianza
16
II. 1.3 Ejemplo.
17
11.2 Diseños completamente al azar con desigual numero de
repeticiones
11.2.1 Descripción
22
22
11.2.2 Análisis de varianza
23
11.2.3 Ejemplo
24
[II. DISEÑOS DE BLOQUES COMPLETAMENTE AL AZAR (D.B.C.A.)
28
111.1 Descripción
28
111.2 Análisis de varianza
29
111.3 Ejemplo
31
IV. DISEÑOS CUADRADO LATINO (D.C.L.)
39
IV .l Descripción
39
IV.2 Análisis de varianza
40
IV. 3 Ejemplo
42
V. COMPARACIONES MÚLTIPLES (ANÁLISIS DE
TRATAMIENTOS)
'
V. I Diferencia mínima significativa (D.M.S.)
MEDIAS DE
V .l.l Descripción para un
D.C.A.con Igual número de
repeticiones por tratamiento
V.1.2 Ejemplo
48
48
48
50
V.2 Prueba de Tukey
V.2.1 Descripción para un D.C.A.con igual número de
repeticiones por tratamiento.
51
V.2.2 Ejemplo
52
54
V.3 Prueba de Duncan
V.3.1 Descripción para un D.C.A. con igual número de
tratamiento.
V.3.2 Ejemplo
repeticiones por
54
55
REFERENCIAS
ANEXOS
Tabla 1. Distribución F
63
Tabla 2. Distribución t de Student
69
Tabla 3. Prueba de Tukey
70
Tabla 4. Prueba de Duncan
62
INTRODUCCIÓN
En años recientes la computadora ha tenido un gran afecto en casi todos los
aspectos de la vida. El campo de la estadística no es la excepción, en la estadística
se emplean técnicas repetitivas: fórmulas utilizadas para calcular magnitudes
estadísticas descriptivas, procedimientos para obtener representaciones gráficas
de datos, métodos para formular inferencias estadísticas. La computadora es muy
útil en la realización de tales operaciones repetitivas. Es muy común que alguien
que necesite analizar un conjunto de datos busque la ayuda de otra persona que
sepa emplear una computadora. Si en esa computadora esta instalado
programa de análisis estadístico, será
algún
fácil llevar acabo los cálculos deseados
mediante algunos de los programas (en paquetes) más conocidos, tales como:
MINITAB, SYSTAT,tSTATA, STATISTICA, NCSS, SPSS Y SAS.
No obstante, los análisis estadísticos deseados serán fáciles de realizar si se
tiene conocimiento de la operatividad del paquete que se pretende utilizar. En
este sentido, y con el propósito de ilustrar el uso del paquete NCSS en una
introducción a los Diseños Experimentales Básicos, se elabora el presente trabajo.
El presente trabajo esta compuesto de cinco capítulos. En el primer
capítulo, se presentan los principios básicos del diseño de experimentos donde se
mencionan
los
elementos
más
importantes
que
describen
a
los
diseños
experimentales. En el segundo capítulo se presenta el diseño completamente al
azar con igual número de repeticiones y desigual número de repeticiones, estos
diseños se presentan con una pequeña introducción cada uno, se da una
descripción sobre el desarrollo y se ilustra mediante un ejemplo con su respectiva
salida en el paquete NCSS. En el tercer capítulo se presenta el diseño de bloques
completamente al azar co n la misma presentación del segundo capitulo. En el
1
cuarto capitulo se presenta el diseño cuadrado latino con igual desarrollo que los
capítulos dos y tres. En el ultimo capítulo cinco se presenta el tema de
comparación múltiple de medias. Entre ellas la diferencia mínima significativa,
Tukey
y Duncan. Estas pruebas se presentan con
una pequeña descripción y
desarrollo, se ilustran mediante la elaboración de ejemplos con sus respectivos
resultados en el paquete NCSS. Finalmente se incluye un apéndice que contiene
las tablas de la distribución F, t de Student, Tukey y Duncan, así como la
bibliografía consultada para la realización del presente trabajo.
2
I. PRINCIPIOS BÁSICOS DEL DISEÑO DE EXPERIMENTOS
I .l Introducción
Antes de comenzar el experimento se debe especificar claramente el problema
y las preguntas que la investigación debe contestar; es decir, lo que podría
denominarse las “pruebas de interés” . Por otro lado, es necesario hacer una
reflexión sobre los aspectos anteriores estructurándolos mediante una serie de
preguntas cuyas respuestas ayudan a diseñar correctamente el experimento.
Diversos autores han presentado su visión sobre este tema, de modo
que un
conjunto mínimo de ellas citan a continuación:
1. ¿Qué uariables(s) identifican el problema? Se debe decir cuantas y que
variables definen el problema propuesto. En primer lugar, cuántas; es
decir, si se trata de un problema de una o varias variables. Si, por ejemplo,
se está haciendo una tipología de las mieles de una cierta región del estado
de Veracruz en relación a su calidad, la variable “calidad” se identificará
con varias variables, como color, humedad, acidez libre, presencia de
azúcares, etc. En otro caso, podría definirse un caso univariado el resultado
de un
panel de degustadores. Si se está estudiando
la gravedad de un
ataque de hongos sobre una fruta, debe decidirse si se medirá el diámetro,
área o el número total de lesiones mayores de un cierto grado.
2. ¿Cómo debe cuantificarse la variable? Definida(s) la(s) variable(s), es
necesario dotar la(s) de unos valores que podrán ser cuantitativos o
cualitativos. Así, en el caso del panel de degustación es necesario definir el
rango de puntuaciones deseado. Si se determina la densidad óptica de un
estudio serológico, es necesario determinar
que correcciones se deben
3
establecer sobre el valor observado de un pocilio en una placa con objeto de
hacerlo comparable a otros pocilios de otras placas. Si la variable es
categórica, deben definirse sin ambigüedad el número y características de
las clases; si es cuantitativa, las condiciones experimentales en las que se
efectúa la medición, así como la precisión deseada.
3. ¿Qué factores influyen sobre la variable? Este es un punto fundamental
dentro del proceso. En él, el experimentador debe hacer una lista lo más
exhaustiva posible de todos y cada uno de los factores (causas) que pueden
tener influencia
sobre la variable (medición) que se va a estudiar.
Posteriormente se clasificarán en los tres puntos siguientes.
a) ¿Cuáles de ellos son importantes e interesantes para la investigación?
Esto es sencillo, pues es el objetivo de la investigación tal como se ha
definido en la fase de concepción.
b ) . ¿Cuáles son importantes, pero no interesantes para la investigación? En
este punto el investigador reconoce la existencia de una serie de causas
que influyen de forma importante sobre la variable, pero en principio
no está interesado en estudiarlas, pues no es un objetivo prioritario de
su investigación, o no puede evaluarlas experimentalmente, o son
demasiado costosas, etc.
c) ¿Cuáles no son importantes? Estos factores no están considerados en el
diseño, pues se sabe que su influencia s pequeña. Sin embargo, es
necesario
reconocer
que pueden
representar un
ruido
de fondo
relativamente importante que no permita detectar estadísticamente la
influencia de los diferentes niveles de los factores definidos en a).
4
datos para que puedan ser considerados como una muestra representativa
de la población bajo estudio.
6. ¿Cuántas veces y de que forma repetirá el experimento? Esta suele ser una
pregunta
muy repetida en la conversación
investigador estadístico. Es
necesario determinar el tamaño mínimo del experimento con objeto de que
el diseño sea eficiente. Sin embargo, la contestación ansiada por el
investigador no es siempre fácil. A esta pregunta contesta el estadístico, a
su vez con una serie de preguntas: cuál es la variabilidad de los datos, que
diferencia mínima se quiere detectar, conque probabilidad, cual es la
comparación de mayor interés o más critica. Después de esa lluvia de
preguntas, el investigador, queda descorazonado, pues a una sencilla
y
vital pregunta no le da una respuesta concreta a no ser que, a su vez, haya
contestado de forma concreta a la que le han planteado a él. Si el
investigador conoce las respuestas, el cálculo es sencillo. Si no dispone de
respuestas, lo normal es llegar a un compromiso basado en el número
máximo de unidades experimentales que es capaz de manejar
de forma
homogénea, siempre que el presupuesto del proyecto lo permita. Dentro de
este apartado es oportuno hacer un par de matizaciones. Primero, cuando
se está hablando de número de repeticiones puede interpretarse como 2
conceptos totalmente diferentes. Por un lado, se trata de repetir
el
conjunto del experimento varias veces: esta definición está unida al
concepto de bloques o tandas. Por otro lado, tal como, lo entendemos aquí,
se refiere a obtener más de una observación por unidad experimental
igualmente tratada. La repetición permite interpretar las diferencias entre
unidades tratadas de forma diferente al compararlas con la variación entre
unidades igualmente tratadas. No debe confundirse esta interpretación con
el hecho de tomar submuestras dentro de las unidades experimentales. Por
ejemplo, si se está estudiando diversos factores que afectan la presencia de
6
microorganismos en el champiñón enlatado al repetir la determinación a
base de tomar 2 muestras de un mismo bote, no debe considerarse como
una repetición. La segunda matización se refiere a una llamada de atención
para los experimentos que estén basados en mediciones expresadas
en
porcentajes. Supongamos que se está estudiando el porcentaje de botes que
han resultado contaminados después de haber aplicado dos tratamientos
distintos. Si se parte de 10 botes por tratamiento, un simple
bote
contaminado en más en menos en u tratamiento dado, se traduce en un
salto de un 10% en el valor medido. Ello implica que el error de medida es
como mínimo del 10%. En esta situación, cómo se puede pretender detectar
diferencias pequeñas entre los tratamientos si partimos
de un error
intrínseco del 10%. Si se hubieran tomado, por ejemplo, 100 muestras por
tratamiento, este error sería sólo del 1%.
7. ¿ Que
trascendencia
tendrán
las conclusiones? De
acuerdo
con
la
importancia de rechazar la hipótesis nula cuando es cierta el investigador
debe fijar
el nivel de
significación con que realizará
las
pruebas
estadísticas. Esta decisión ha de ser previa a la adquisición de cualquier
dato, no posterior a la vista de lo que más interese. Si por ejemplo, se está
estudiando el nivel de contaminación de un alimento, uno debería tener
una lata probabilidad de no equivocársela decir que no está contaminado,
cuando
sí
que
lo
está,
aunque casos
de
no-contaminación
fueran
diagnosticados como contaminados. En este supuesto habría que elegir un
nivel
de
significación
muy bajo (1 ó
0.1%).
En otras
situaciones
experimentales interesa aumentar el nivel de significación al 10 ó 15% para
protegerse contra el error de aceptar la hipótesis nula cuando es falsa.
7
8.
¿Cómo se tomarán los datos? Aun que podría pensarse que la adquisición
de los datos es una tarea sencilla y sin problemas, esto no es así. Debe
tenerse en cuenta que los análisis estadísticos se realizan sobre datos y la
presencia de una dato erróneo puede dar al traste con una buena
realización del experimento. Hay que evitar el trasiego y copia de datos de
un documento (cuaderno de campo) a otro. Deben diseñarse las hojas de
adquisición
de
forma
que
inequívocamente
identifiquen
la
unidad
experimental que se esté registrando y que sea utilizada directamente para
introducir los datos en el ordenador. Más aún, existen en el equipo de
computo disponible.
El objetivo
final de todo experimento es proporcionar el máximo de
información sobre el problema estudiado. Sin embargo, esta información debe ser
obtenida de una forma eficiente tanto practica como estadísticamente. Mediante
un buen diseño se puede maximizar la cantidad de información con un mínimo
uso de recursos. Una forma de mejorar la eficiencia es considerar el análisis de
los datos incluso antes de haber sido obtenidos. Un conocimiento previo de qué se
va a hacer con los resultados del experimento conducirá a evitar un diseño
absurdo.
Una vez decidido el experimento se describirá en forma matemática mediante
un modelo estadístico que dará lugar a un análisis de los datos. Tal como se ha
indicado anteriormente, este
análisis retroalimentará la fase de diseño para
probar su eficiencia. Por tanto, existe una cadena fundamental problema-diseñomodelo-análisis-diseño. Por ello se ha de señalar el peligro que encierra la
utilización “a ciegas” tanto de los diseños clásicamente descrito (bloques al azar,
cuadrado latino, etc.) como de los programas enlatados de ordenador. Cada
investigación trata de resolver un problema muy especifico, y tan especifico como
8
BIBLIOTECA
UNIDAD ACADEMICA ECONOMIA
ESTADISTICA E INFORMATICA
2 4 ENE. 2003
es el problema será sü diseño. Si el problema coincide en su estructura con alguno
de los que originó un diseño clásico, debe usarse tal diseño, de lo contrario, no.
1.2 Elementos básicos de un diseño experimental
Las tres columnas básicas de los diseños experimentales son:
1. Repetición
2. Control de la variación
3. Aleatorización
4. Confusión
Este último surge de la consideración conjunta de los dos últimos.
A continuación se presenta brevemente una descripción de cada uno de
ellos.
Repetición
Por repetición se entiende obtener más de una observación por combinación
de tratamiento; es decir que la combinación de tratamientos más amplia se aplica
a más de una unidad experimental. Otra forma de entender “repetición” es que se
repite el experimento entero (en otro bloque, localidad, año, etc.), no es éste el
enfoque de este apartado. Las razones por las que es recomendable la repetición
son las siguientes:
9
1. Permite tener una estimación de la varianza del error experimental. Esta
varianza actúa como unidad de medida de la variación no controlada con la
que, en general, comparar la variación controlada por los factores del diseño.
De todas formas, hay veces en que no es necesaria la repetición, sin embargo,
esos casos implican un conocimiento previo del problema que se está
estudiando.
2. Permite obtener estimaciones más precisas de las medias de los tratamientos
y, por tanto, de las diferencias entre los tratamientos que es, en definitiva, el
objetivo final del estudio. Recordemos que la varianza de una media esta dada
por = 0 p = o y/n por lo que cuanto mayor sea n, menor será Op.
3. Aunque ya se ha hecho hincapié en el error experimental al hablar de tipos de
causas que influyen en una variable, sería conveniente aclarar más lo que
implica el concepto de error experimental. Este error expresa el hecho que dos
unidades igualmente tratadas (las dos han recibido la misma combinación de
c
tratamientos) no produzcan exactamente el mismo resultado. En el error
experimental se incluye una serie de causas (que no necesariamente errores)
entre la que se pueden citar:
a) Errores de medida
b) Errores de observación
c) Las causas tipo 3
d) Aquellas causas tipo 2 que se decidió actuar por aleatorización
e) El conjunto de causas que desconocemos que influyen sobre la variable y,
por tanto, fueron incluidas en la lista inicial.
El error experimental se puede reducir de diferentes formas, siendo estas las
siguientes
a) Usando material más homogéneo
10
b) Teniendo cuidado en la obtención de los datos
c) Utilizando un diseño más eficiente; por ejemplo empleando bloques para
controlar la variación de unidades experimentales (fertilidad, inclinación de
terreno, insolación, etc.)
d) Utilizando
información
de
variables
concomitantes.
Por
ejemplo,
el
rendimiento final de un cultivo puede estar influenciando por el porcentaje
de nascencia.
Control de la variación
Representa el “diseño” del experimento en lo que se refiere a la localización,
asignación
y
disposición especial
de
las unidades
experimentales.
En si
representa las agrupaciones, bloques y el equilibrio del diseño.
Por agrupación se entiende la colocación de las unidades experimentales en
grupos de modo que cada grupo de unidades recibe una combinación diferente de
tratamientos. Por ejemplo, si se tienen 14 parcelas y queremos efectuar 4
tratamientos diferentes de herbicidas, efectuaremos cuatro lotes o grupos por
sorteo de forma que dos tendrán tres parcelas y tros dos, cuatro parcelas; por
sorteo se asignarán al primer lote un tipo de herbicida; al segundo, otro, y así
sucesivamente.
Cuando se hacen bloques, se quiere indicar que se asignan las unidades
experimentales a unos lotes o bloques de tal manera que dentro de cada bloque
las condiciones experimentales son más homogéneas y la mayor parte de la
variación de las unidades experimentales se encuentra en variación entre los
bloques. Con ello, se reduce el error experimental, teniendo un diseño más
eficiente. Supongamos, por
ejemplo, que una industria farmacéutica esta
estudiando la facilidad de asimilación y efecto de un cierto medicamento. El
11
experimento consistió en inyectar cuatro dosis diferentes del mismo a unas ratas.
Si se dispone de 12 ratas y se sabe que cuatro de ellas pertenecen a una camada;
otras cuatro a otra, y otras cuatro a una tercera, sería natural efectuar tres
bloques de cuatro rayas de modo que las camadas actuaran como bloques.
Posteriormente, se asignarían al azar las dosis a las ratas dentro de cada bloque.
El equilibrio implica que después de efectuar las agrupaciones y bloques, el
esquema del diseño tiene una configuración compensada. El ejemplo de los
herbicidas presentaba un diseño desequilibrado; por otro lado, el de las camadas
era equilibrado con respecto a los bloques, si en cada bloque había las mismas
cuatro dosis, era completamente equilibrado. En lo posible es recomendable un
diseño equilibrado; sin embrago, con la disponibilidad de herramientas de cálculo,
es cada vez menos preocupante el desequilibrio.
Aleatorización.
La suposición más importante para que las pruebas que hemos citado y se
verán
en
próximos
temas,
sean validas
es
que
las
observaciones
sean
independientes. ¿Cómo podremos asegurar que las observaciones, y por tanto, los
errores experimentales, sean independientes?. En general no se puede asegurar
pues, como mínimo, comparten u mismo terreno, mano de obra, etc. Sin embargo,
si se aleatoriza la toma de muestra y se asignan aleatoriamente los tratamientos
a las unidades, las pruebas actúan como si la anterior suposición fuera cierta. No
es que la aleatorización asegure la independencia sino que permite actuar como si
lo fuera.
Hay casos que la total aleatorización del experimento no solo es imposible
sino, además no recomendable. Los grave no es restringir la aleatorización si no
12
tenerla en cuenta en el análisis de los datos y en las conclusiones que se obtengan
del
análisis.
Una
gran
parte
de
los
diseños
clásicamente
empleados
y
ampliamente descritos en las publicaciones como los bloques al azar, parcela
dividida “cross-over”, etc., tienen
existen diversos
algún tipo de falta de aleatorización; incluso
diseños totalmente sistemáticos. Estos últimos, los análisis
basados en la descomposición de la variación
y la posterior prueba
de
significación mediante la distribución F, no son aplicables.
Confusión
Como consecuencia
de las agrupaciones, bloques y aleatorización puede
ocurrir que algún efecto clasificado con el diseño esté “fundido” o confundido con
otra causa no diseñada que puede invalidar los resultados de los diseños. Por
ejemplo si se está estudiando diversos tipos de cubierta de invernadero sobre el
crecimiento de unas plantas y se utiliza un solo invernadero por cada tipo de
cubierta, se estará confundiendo el efecto “cubierta” no solo con el efecto
“invernadero” si no también con las circunstancias experimentales de ubicación,
riego, etc.
Como consecuencia de las contestaciones obtenidas en las tres fases
definidas
anteriormente,
se
decidirá
un
diseño
optimo
que
responda
eficientemente a las preguntas intrínsecas al problema. El diseño se plasmara de
acuerdo con unas normas que más adelante se explicaran, en un modelo
matemático. Este modelo dictará de forma sencilla el proceso de análisis
matemático a seguir. Este análisis servirá para
cuestionar la eficiencia del
diseño. Por lo tanto, se puede decir que: “Para cada problema un diseño, para
cada diseño un modelo y para cada modelo un análisis”
13
II. DISEÑOS COMPLETAMENTE AL AZAR (D.C.A.)
Los tratamientos en un diseño completamente al azar son asignados
aleatoriamente a las unidades experimentales y
esto también se da en caso
contrario. En la distribución de los tratamientos a las unidades experimentales,
el
diseño
no
pone
restricciones.
El diseño
completamente
al azar es
ampliamente usado gracias a que es un diseño simple de realizar, su aplicasión
se da cuando se estudian más tratamientos y su uso se limita a las siguientes
situaciones:
> Donde las unidades experimentales son relativamente homogéneas, tal
como laboratorios, invernaderos, etc.,
> En caso de que una parte del experimento se pierda y puede decirse que
las unidades experimentales deben tener la misma
capacidad
de
respuesta.
> Si se tiene un experimento pequeño y donde la mayor presición de otras
distribuciones no compensan la perdida de grados de libertad del error.
En este diseño puede probarse cualquier número de tratamientos, pero no
es obligatorio asignar el mismo número de de unidades experimentales a cada
tratamiento, ya que puede ser un diseño con igual número de repeticiones o con
desigual número de repeticiones.
Cabe aclarar que las fórmulas de la suma de cuadrados medios cambia para
cada caso.
II. 1 Diseño Completamente al Azar con igual número de repeticiones
14
Es aquel diseño en el que el número de unidades experimentales por
tratamiento es igual para todos los tratamientos, esto es en n¡ = n.
I I .l.l Descripción
El modelo lineal de un diseño completamente al azar esta dado por
Yij = p + x i + eij
para
i = 1, 2, ...,t
j = 1, 2, ...,ni
donde
yij = Observación correspondiente a la j-ésim a unidad experimental que
recibió el i-ésimo tratamiento
p = Media general
x i = Efecto del i-ésimo tratamiento
eij = Error aleatorio
La hipótesis de interés en este diseño se plantea como:
H0: Tl= X2 =...= Tk
H l: Al menos uno de los tratamientos es diferente.
La aplicación de un D.C.A. requiere que se cumplan los siguientes supuestos:
S Normalidad
S Independencia
✓
Homocedasticidad
15
I I .l .2 A n á lisis de v a ria n z a
En la Tabla 2.1 se presentan
las fuentes de variación, los grados de
libertad, la suma de cuadrados, el cuadrado medio
y el estadístico de la
distribución F para un análisis de varianza de un diseño completamente al
azar con igual número de repeticiones.
Tabla 2.1. Análisis de varianza para un diseño completamente al azar.
F u en te de
G ra d os
v a r ia c ió n
de
Sum a de c u a d ra d o s
C u a d ra d o
Fc
m e d io
lib e r ta d
Tratamientos
t-1
SC Tra, = Z
« . ( i 7,.
-
C M t„,
y - f
CMe
i-l
Error
N-t
sc, =
t ( y u- y , )
i
<=1
N -l
Total
7=1
'
/
CM, = 5C ‘
N-t
\2
SCTol
,=1 v=l
Regla de decisión:
Si Fc > FiTa hipótesis nula Ho se rechaza.
Para fines prácticos se recomiendan las fórmulas siguientes:
SCm = £
¡= '
£
7= 1
y ,; - z l i
N
16
SC
°Wra( -
se
error
,
2
¡-i
2
J.T
«,
N
=scri - se ,,
Tot
trat
donde
FC =
N =t,n,
1=1
fi
y ■ ■ • t t yt
>•=1 2=1
X . 'V
í=\
II. 1.3 E je m p lo
E je m p lo 2.1 Considere el problema de un ingeniero, que desea comparar los
efectos relativos de
particular
de
cuatro tratamientos respecto a la vida activa de un tipo
baterías
térmicas.
experimentación de 20 baterías
Suponga
que
se
dispone
para
la
relativamente homogéneas obteniéndose los
datos que se presentan en la Tabla 2.2.
Tabla 2.2 Tiempo de activado de veinte baterías térmicas.
R e p e t ic io n e s
T ra ta m ie n to s
1
2
3
4
74
68
71
T ota l
1
73
. 2
73
74
69
71
3
73
74
69
72
4
74
69
72
5
75
/
75
75
70
73
T o ta l
369 '
371
345
359
•
1.444
BIBLIOTECA
UNIDAD ACADEMICA ECONOMIA
ESTADISTICA E INFORMATICA
17
ENE. 2003
Solución
Las hipótesis a probar son:
Ho = TI = T2 —X3 = t4 = 0
H i = Al menos un ti * 0
Cálculo de la suma de cuadrados:
F = (144f ) - = 104256.8
c
20
SC„ = [(73)2 + (73 )2 +... + (73)2j - Fc = 95.2
5C,ra( = M
2 +(37l)2 + (345)2 + (359)2l ^ = g4 g
SCError =95.2-84.8 = 10.4
Cálculo de los cuadrados medios:
CMrrat =—
= 28.27
CMe = - ^ 1 = 43.29
£
.65
sustituyendo los cálculos obtenidos en la Tabla 2.1, se obtiene la Tabla 2.3
18
Tabla 2.3. Análisis de varianza del tiempo de activado de veinte baterías
térmicas
Fuente De Grados de Suma de Cuadrado
Fc
Fa
Variación
libertad
cuadrados
medio
Variedades
3
84.8
28.27
43.49
Error
16
10.4
0.65
.65
total
19
95.2
3.24
Regla de decisión
Puesto que Fc = 43.49 > F.o5(3.i6) = 3.24, la hipótesis nula Ho se rechaza y
se concluye que existe diferencia en el tiempo de activado en, por lo menos,
una batería térmica con una significancia del 5%.
□
Solución con el paquete NCSS
En la Figura 2.1 se aprecia la forma como se crea la base de datos
19
El análisis de varianza de un diseño completamente al azar se obtiene
ubicándonos en Análisis y seleccionamos GLM ANOVA, tal como se muestra
en la Figura 2.2
Figura 2.2
Posteriormente damos un click izquierdo y obtendremos la ventana que
se presenta en la Figura 2.3
20
En F a c to r s - 1 ubicándonos en Response Variable(s) se selecciona la
variable respuesta y en Factor 1 Variable (A) la variable de los tratamientos.
En R ep o rte, como se muestra en la Figura 2.4, se puede seleccionar el
tipo de prueba o estudio que se desea, en nuestro caso solo ANOVA
Figura 2.4
Damos Run y obtendremos los resultados que se presentan en la Tabla
2.4.
Tabla 2.4. Análisis de varianza del tiempo de activado de veinte baterías
térmicas
Analysis of Variance Table
Sum of
SourceTerm
DF
A (C2)
3
Mean
Squares Square
84.8
28.26667
0.65
S
16
10.4
Total (Adjusted)
19
95.2
Total
20
Prob
Power
F-Ratio
Level
(Alpha=0.Q5)
43.49
0.000000*
* Term significant at alpha = 0.05
21
Regla de decisión
La probabilidad level de 0.000000 indica que la hipótesis nula
Ho se
rechaza y se concluye que existe diferencia en el tiempo de activado en, por
lo menos, una batería térmica con una significancia del 5%.
II. 2
Diseños
completamente
al
azar
con
desigual
número
de
repeticiones
1
En este diseño las n¡ unidades experimentales se sujetan al enésimo
tratamiento (i = 1... t), es decir que el número de unidades experimentales por
tratamiento no es el mismo.
II.2.1 Descripción
El modelo lineal de un diseño completamente al azar esta dado por:
Yij = [i. + x i + Cij
para
i = 1, 2,..., t
j = 1, 2,..., m
donde
yij = Observación correspondiente a la j-ésima unidad experimental que
recibió el i-ésimo tratamiento.
p = Media general
x i = Efecto del i-ésimo tratamiento.
Cij = Error aleatorio.
22
La hipótesis de interés en este diseño se plantea como:
Hc>: T1= X2 =... = Xk
Hi: Al menos uno de los tratamientos es diferente.
En la aplicación de un D.C.A. es necesario que se cumplan los siguientes
supuestos:
S Normalidad
S Independencia
‘
S Homocedasticidad
II.2.2 A n á lisis de v a ria n za
En la Tabla 2.9 se muestra la fuente de variación, los grados de libertad,
la suma de cuadrados, el cuadrado medio y el estadístico de la distribución F
para un análisis de varianza de un diseño completamente al azar con desigual
número de repeticiones.
Tabla 2.5 Análisis de varianza para un diseño completamente al azar.
F u en te de
G ra d os de
v a ria ció n
lib erta d
Tratamientos
t-1
S um a d e cu a d ra d o s
i- 1
~y-f
N-t
sc e = H
(y& - y i )
,=i j=\
Total
Fe
m e d io
SCTra,
Error
C u a d ra d o
C M Trat
CA^ ' = 7 f f
CMe
C M S = SC e
e N -t
N -l
SCTo, = É Z k - J 7,")
(=1 j =1
23
Regla de decisión:
Si Fc > Ft por lo tanto la hipótesis nula Ho se rechaza
Para fines prácticos se recomiendan las fórmulas siguientes:
S C „ = ± ± y , ' - y
N
SCTm= t ^ - ^ r
m
se
error
~
nt
Tot
N
~
SC ¡rai
donde
N = '¡ r n¡
i=1
fc
=
N
n¡
> v = ¿ y¡j
¡=1
>-=2 Z y,
II.2.3 Ejemplo
Ejemplo 2.2 Se desea evaluar sí para una zona dada existen diferencias
significativas en el crecimiento en altura de cinco variedades
de plantas de
Pinus Montezumae. Para tal efecto, se plantó material de cada una de las
variedades en seis parcelas de igual superficie. Las mediciones se hicieron a
los diez años de efectuada la plantación, observándose que para entonces se
habían perdjdo dos parcelas de la variedad 1 y una parcela de la variedad 5.
Los datos obtenidos se presentan en la Tabla 2.6.
24
Tabla 2.6 Crecimiento en altura de cinco variedades de plantas de Pinus
Montezumae.
Tratamientos
Repeticiones
1
2
3
4
5
1
8.4
12.3
4.3
8.2
5.1
2
7.6
15.2
5.6
10.1
7.2
3
8.2
10.6
4.7
10.4
6.7
4
10.8
11.7
4.9
12.6
6.5
5
12.5
6.1
9.8
6.3
6
15.6
5.2
11.7
77.9
31.1
62.8
Total
35
31.8
Total
238.6
Solución
Las hipótesis a probar son:
Ho =
T l = T2 = 1 3 = X4 = X5 = 0
H i = Al menos un ti * 0
Cálculo de la suma de cuadrados:
Fr =
(238.ó)2 _
= 2108.52
27
SC„
= [ M ! + (7.6)2 +... + (6.3)! ]- F„ = 272.3
SC,„,
=
S C Error =
(35>2 '
, (31.8)’
- F
’ =229.59
272.3 - 229.59 == 42.71
BIBLIOTECA
UNIDAD ACADEMICA ECONOMIA|
ESTADISTICA E INFORMATICA
25
Cálculo de los cuadrados medios:
CM Trat
CMe
229.59
4
42.71
22
57.39
1.94
Sustituyendo los cálculos antes realizados en la Tabla 2.5 obtenemos la
Tabla 2.7
Tabla 2.7 Análisis de varianza para del crecimiento en altura de cinco
variedades de plantas de Pinus Montezumae.______________________ ____________
Suma de
Cuadrado
Fa
Fuente De Grados de
Fc
Variación
libertad
cuadrados
medio
Variedades
4
229.59
57.39
Error
22
42.71
1.94
total
26
272.30
29.58
2.82
Regla de decisión:
Puesto que Fc = 29.58 > F
0.05(4,22)
= 2.82 la hipótesis nula Ho se rechaza y
concluimos que por lo menos existe una variedad de pino diferente a las demás,
con una significancia del 5%.
□
Solución con el paquete NCSS
26
El análisis de varianza y la captura de la base de datos de un diseño
completamente al azar con desigual número de repeticiones se obtiene
de
manera similar a la de un diseño completamente al azar con igual número de
repeticiones.
Los resultados obtenidos para el Ejemplo 2.2 se presentan en la Tabla
2 . 8.
Tabla 2.8 Análisis de varianza para del crecimiento en altura de cinco
variedades de plantas de Pinus Montezumae. _______ ________________________
Analysis of
Variance Table
Sum of
Source
Mean
Prob
Power
Level
(Alpha=0.05)
0.000000*
1
FTerm
DF
Squares
Square
A (VARIEDADES)
4
229.891
57.47274 29.81
S
22
42.412
1.927818
Total (Adjusted)
26
272.3029
Total
27
Ratio
* Term significant
at alpha = 0.05
Regla de decisión:
El p-level de 0.000000 indica que Ho se rechaza y concluimos que por lo
menos existe una variedad de pino diferente a las demás, con una significancia
del 5%.
27
III. Diseño en bloques completamente al azar (D.B.C.A.)
Es el diseño experimental de mayor uso ya que tiene grandes ventajas si
él número de tratamiento no excede de 15, se pueden agrupar las unidades
experimentales en estratos o bloques uniformes logrando que la variabilidad de
las unidades experimentales sea mínima a un que la variabilidad entre los
estratos
y
bloques
sea
alta,
en
este
diseño
el número
de
unidades
experimentales dentro de un bloque tiene que ser igual al número de
tratamientos por investigar.
El diseño en bloques completamente al azar se usa en los casos
siguientes:
> Cuando el número de tratamientos es de 3 a 15.
> Cuando el número de tratamientos es de 3 a 5, en cuyo caso deben
tenerse como mínimas seis repeticiones
para contar con suficientes
grados de libertad del error experimental.
> Cuando se conoce el gradiente de la variabilidad, en cuyo caso los
bloques
deben
orientarse
perpendicularmente
al
gradiente
y
las
unidades experimentales deben tener su mayor dimensión en la misma
dirección y sentido que dicho gradiente.
III. 1 Descripción
El modelo lineal de un diseño en bloques completamente al azar esta dado por
yij = p + x ¡ + 6j +eij
28
para
i = 1,
(tratamientos)
j = 1, 2,..., b(bloques)
donde
yij = Es la observación o respuesta del i-ésimo tratamiento asociada al j-ésimo
bloque.
p = Media general.
x i = Es el efecto del i-ésimo tratamiento.
Bj = Efecto del j-ésimo bloque,
eij = Error aleatorio.
La hipótesis de interés en este diseño se plantea como:
H o • Ti= T2 =...= X x
H l: Al menos uno de los tratamientos es diferente.
III.2 Análisis de varianza
En la Tabla 3.1 apreciamos el análisis de varianza de un diseño de
bloques completamente al azar, se presentan las fuentes de variación, los
grados de libertad, la suma de cuadrados, el cuadrado medio y el estadístico de
la distribución F con sus respectiva fórmulas.
29
Tabla 3.1. Análisis de uarianza para un diseño por bloques completamente al
azar
Fuente de
Grados
Suma de cuadrados
Cuadrado
Fc
variación
de
medio
libertad
Tratamientos
t-1
C A Í „ ,= ^ '
s ç „ , = b t l {ÿ r -ÿ -Y
i-4
Bloques
b-1
CMc
CMmoq
5 Q ,^ = í¿ (p .j -r - ) 2
i-l
Error
CMTral
(t-l)(b -l)
sce =Y L fa -ÿ r -ÿ -j-ÿ -)
/=! 7=1
CMe
CM ' (< -# -!)
tb-1
Total
SCTot
«=1 y=l
Regla de decisión:
Si Fc < Ft por lo tanto Ho no se rechaza
Para fines prácticos se recomiendan las fórmulas siguientes:
t
b
s c lol = ' Z T . y , j 2 - F c
i=1 7=1
SCr r « = t r r - F c
/-i b
S C „„
b y .
= t , ^ — Fc
7-1
5Cc„ r =SCr„,-S C „,,-S C e%
30
donde
* = I » .
I
b
II
J
-V
<=1 J=I
y
I II.3 Ejemplo
Ejemplo 3.1 Una química desea probar el efecto que tienen cuatro agentes
químicos sobre la resistencia de un tipo particular de tela. Como puede haber
variabilidad entre un rollo de tela y otro, decide utilizar un diseño aleatorizado
por bloques, considerándolos rollos de telas como bloques. Ella selecciona
5
rollos y les aplica los cuatro agentes químicos en orden aleatorio. A
continuación, se proporcionan los resultados de la resistencia a la tensión.
Tabla 3.2 Efecto que tienen cuatro agentes químicos sobre lá resistencia en
cinco rollos de un tipo particular de tela._________________________ _______
T ra ta m ien tos
B loq u es
T ota l
M edia
IÎ
Ì
III
V
IV
A g en tes q u ím ic o s
(T I)
(ñ
1 (A )
73
68
74
71
67
353
70.6
2 (B )
73
67
75
72
70
357
71.4
3 (C )
75
68
78
73
68
362
72.4
4 (D )
73
71
75
75
69
363
72.6
294
274
302
291
274
1435
71.8
73.5
68.5
75.5
72.75
68.5
Total bloque
(Tb)
Media del bloque ( T )
9
31
Solución
Las Hipótesis a probar son:
Ho = TI = t 2 —X3 = X4 = 0
Hi = Al menos un n * 0
Cálculo de la suma de cuadrados:
c
= (1435) =1Q2961 3
20
SC,ot = [(73)2 + (73)2 + ... + (69)2J- FC = 103153 - 1 02961.3 = 19 1.7
SC^ =
(353
y + (357 y +...+(363 )2
5
SCüloq ~
(294)2 + (274)2 +... + (2743Ó3)2
4
- F C = 102742 - 102961 . = 129
- F C = 103118.3 -102961.3 = 157
SCError = 191.7-12.9-157 = 21.8
Cálculo de los cuadrados medios:
12 9
CMTral = ^
= 4.3
157
CMBhg= - ^ - = 393
CM = — = 1.82
e
12
Fc
4 3
F0(l) = —
0(,)
39.3
= 2.36
F o(b ) -
1.82
21.6
1.82
Sustituyendo los cálculos obtenidos en la Tabla 3.1, se obtiene la Tabla
3.3.
T abla 3.3. A n á lisis d e va ria n za p a r a un d ise ñ o d e b lo q u es co m p leta m en te a l a z a r d e l efecto
q u e tien en c u a tro a g en tes qu ím icos s o b r e la re siste n c ia en cin co ro llo s d e un tipo
p a r tic u la r d e tela. _____________ ____________________________ ______________________ -
F u e n te De
G ra d os de
Sum a d e
C u a d ra d o
V a r ia c ió n
lib erta d
c u a d ra d o s
m e d io
Tratamientos
3
12.9
bloques
4
Error
total
Fc
Fa
4.3
2.36
3.49
157
39.3
21.6
12
21.8
1.82
19
191.7
Regla de decisión:
Ya que Fc
= 21.6 > Fo.o5(3.i2) = 3.49, por lo tanto Ho se rechaza y
concluimos que al menos uno de los tratamientos químicos son diferentes con
un a = 0.05
□
Solución con el paquete NCSS
En la Figura 3.1 se aprecia la forma como se crea la base de datos.
BIBLIOTECA
UNIDAD ACADEMICA ECONOMIA
ESTADISTICA E INFORMATICA
24 ENE.2003
-
■
33
Figura 3.1
Como podemos observar en la Figura 3.5, para obtener nuestro análisis
de bloques, nos vamos a la opción Analysis y seleccionamos MANOVA
34
Al dar Run en MANOVA obtenemos la ventana que se presenta en la
Figura 3.3.
Figura 3.3
En
esta
ventana,
seleccionaremos
nuestras
variables,
Respofase
Variables nos indica seleccionar nuestra variable respuesta, en Factor Variable
(A) nos pide nuestra variable factor 1, es decir, de los tratamientos y en Factor
Variable (B) nuestra variable del segundo factor, es decir, de los bloques.
Donde aparece la opción Type hay que seleccionar Random, ya que al no
seleccionarlo no aparecerán los valores de F-Ratio y Prob. Level
En la opción M odel, Write model in no se tomara en cuenta al igual que
Custom model, solo en Which model seleccionamos Full model como se aprecia
en la Figura 3.4
35
Figura 3.4
Posteriormente la opción R ep o rts nos promociona una
variedad de
pruebas que se deseen realizar ver Figura 3.5.
Figura 3.5
36
Üna vez que se han seguido las indicaciones anteriores, damos Run y
obtendremos los resultados de la Tabla 3.4
Otra manera de obtener un diseño de bloques completamente al azar es
ubicándonos en Analysis e irnos a ANOVA y seleccionar Analysis o f Variance
apareciendo la ventana que se presenta en la Figura 3.6.
Figura 3.6
Si seleccionamos en Type, Random en los tratamientos, y Randorn en los
bloques del efecto que tienen los cuatro agentes químicos sobre la resistencia
en cinco rollos de un tipo particular de tela, se obtienen los resultados que se
presentan en la Tabla 3.4.
37
Tabla 3.4 Análisis de Varianza del efecto que tienen los cuatro agentes químicos sobre
la resistencia en cinco rollos de un tipo particular de tela. _______
Analysis of Variance Table
\
for R E SIS T E N C IA
Sum of
M ean
DF
Squares
Square
A (A G E N T E .Q J
3
12.95
4 .3 1 6 6 6 7
B (ROLLOS)
4
157
3 9.25
Source
Term
J
21.8 ■ S
0
C^o~
Total (A d ju ste d ^
19
Total
20
F-Ratio
Prob
Power
Level
(Alpha=0.05)
2 .3 8 ^
21.61
0 .371724
o .o o o o g i* )
0 .99 9 98 2
1.816667
-
191.75
* Term significant at alpha =
0.05
Regla de decisión:
(
El p-level dejQ.000021* nos indica que Ho se rechaza y concluimos que ál
menos uno de los^íratamientos químicos son diferentes con un a = 0.05
38
IV. DISEÑO CUADRADO LATINO (D.C.L.)
Este
diseño
tiene
grandes aplicasiones en la industria y en la
agricultura, es muy eficiente cuando el número de tratamientos está entre 4 y
10. Nos permite delimitar con segurirdad los efectos relativos de varios
tratamientos, esto cuando se impone
a las unidades
experimentales una
restricción de tipo doble bloqueo. Desde este punto de vista el diseño cuadrado
latino es una extensión lógica del diseño en bloques al azar.
IV. 1 Descripción
El modelo lineal de un diseño en cuadrado latino esta dado por
yijk = p + ai + 6j + x ¡k +eijk
para
i = j = k = l , 2,...,t
donde
y^k = La respuesta al i-ésimo renglón, de la j-ésima
columna del k-ésimo
tratamiento,
p = Media general
cti = Efecto de i-ésimo renglón
Bj =. Efecto de la j-ésima columna
x i = Es el efecto del k-ésimo tratamiento,
eijk = Error aleatorio.
39
La hipótesis de interés en este diseño se plantea como:
H0: x i= X2 = ...= Tik= 0
H l: x k^ 0
IV.2 Análisis de varianza
%
En la
Tabla 4.1 se presenta el análisis de varianza para un diseño
cuadrado latino y nos muestra las fuentes de variación, grados de libertad, la
suma de cuadrados, el cuadrado medio y el estadístico de la distribución F
Tabla 4.1 Análisis de varianza para un diseño cuadrado latino
Fuente de
Grados
variación
de
Suma de cuadrados
Cuadrado
Fc
medio
libertad
Hileras
t-1
CMTrat
th -y -'f
j
Columnas
cm £
t-1
CMcot = SCco!
C0‘
t- 1
£ ¡ » - y J
i
Tratamiento
t-1
CM _ SCtra¡
trat
t- 1
i
Error
(t-l)(t-2)
Z Z Z
i j k
Total
J
V
+
2*")
CM K
(t~ 1X/-2)
t2-l
i
i
É É G 'i » - y - )
j k
40
Regla de decisión:
Si Fc > Ft por lo tanto Ho se rechaza
Para fines prácticos se recomiendan las fórmulas siguientes
Suma de cuadrados:
■ sc„= ¿
t í y » ~ Fc
j
i
k
t
S C e r r o r ~ S C tQt
S C Mera
-scC
0l-sctr
at
donde
* = 2>,
yi
1=1
í= i
j=i
Cuadrados medios:
S Ç iilera s
C M ulera~
t- 1
c" » '=7 r f
CM = -~ 'raItra'
t- 1
CMc
41
CM Trat
- CMr
Fc =
nos permite probar la hipótesis de igualdad de efectos de
tratamientos.
IV .3 E jem p lo.
E jem p lo 4.1 Un experimentador quiere estudiar el efecto de cinco fórmulas
diferentes de la mezcla de dinamita sobre la fuerza explosiva observada. Cada
fórmula
se prepara usando un lote de materia prima, lo suficientemente
grande para que solo de hagan cinco mezclas. Más a un, las mezclas las
preparan
varios operadores, pudiendo existir una diferencia sustancial en
habilidad y experiencia entre ellos. El diseño apropiado para este problema
consiste en probar cada fórmula exactamente una vez, utilizando cada lote de
materia prima, y en que cada fórmula sea preparada exactamente una vez por
cada uno de cinco operadores.
Tabla 4.2. Efecto cTe cinco fórmulas diferentes de la mezcla de dinamita sobre la
fuerza explosiva observada
/
L otes de
O p e ra d o re s (colu m n a s)
T o ta l d el
m a teria p rim a
1
2
3
4
5
(h ilera s)
.5' .
T ota l d e la
C = 19 D = 24
E = 24
111
B = 17
C = 24
Ö
i¡
00
o
'
/'
B = 20
E = 27
A = 36
134
C = 18
E = 26 A = 27
B = 21
130
D = 26
E = 31
A = 26
B = 23
C = 31
128
>
ii
00
o
' 3'
■'A
/ 4
A = 24
B = 20
C = 29
D = 31
132
143
121
130
134
635
E = 22
107
----- 1
2
(Tx)
00
00
II
Q
\'
tra ta m ie n to
h ilera (Th)
42
Solución
Las Hipótesis a probar son:
Ho = XI = T2 =T3 = U = X5 = 0
Hi = Xk * 0 para al menos un k
Cálculo de la suma de cuadrados:
SC,„ =
scu =
5Cco, =
+ (l 7 )2 + ... +
(3 1)2 ] - FC = 1 6 8 0 5 - 1 6 1 2 9 = 676
(lll )2 + (134 )2 + ... + (132 )2
- FC = 16197 - 16129 = 68
5
(107)2 +(143)2 +... + (l34)2
- F C = 16279-16129 = 150
Tabla 4.3. Totales de los tratamientos.
Tratamientos
Total de
tratamientos
SC.,
A
y.i. = 143
B
y.2 . =101,
C
y.3.
D
y .4=149
E
y .5=130
(l43)2 + (l 07 )2 +... + (l30)2
5
-112
-F C = 16459 -16129 = 330
SCerror = 6 7 6 -6 8 -1 5 0 - 330 = 128
43
Cálculo de los cuadrados medios:
,...
CM
¡ --
150-V 7 <
-3 7.5
CM
=—
= 82.5
4
CMe = —
e
12
82.5
= 10.7
= 7.7
Fe: 10.7
Sustituyendo los cálculos obtenidos en la Tabla 4.1 obtenemos los
resultados de la Tabla 4.4
Tabla 4.4. Análisis de varianza del efecto de cinco fórmulas diferentes en cinco
mezclas de dinamita sobre la fuerza explosiva observada.______________________
TABLA ANVA PARA UN D.C.L.
Fuente De
Grados de
Suma de
Cuadrado
Variación
libertad
cuadrados
medio
Lotes(hileras)
4
68
Operadores(coL)
4
Tratamientos
Fe
Fa
17
1.59
3.26
150
37.5
3.5
4
330
82.5
7.7
Error
12
128
10.7
total
24
676
Regla de decisión:
Como Fe = 7.7 > F
0.05 (4.12)
= 3.26, la hipótesis nula Ho se rechaza y
podemos concluir que existe diferencia significativa entre la fuerza explosiva
media en por lo menos una de las cinco fórmulas diferentes.
44
□
Solución con el paquete NCSS
En la Figura 4.1 podemos observar como crear la base
de datospara un
diseño cuadrado latino
Una ves creada la base de datos, damos un click a Analysis y seleccionamos
GLM ANOVA y veremos la ventana que se presenta en la Figura 4.2.
45
En la Figura 4.2 elegiremos nuestras variables, en Response Variable(s)
seleccionamos la variable respuesta, en Factor 1 Variable (A) elegimos a los
tratamientos, Factor 2 Variable(B) nos pide la variable columna, en nuestro
caso OPERADORES y en Factor 3 Variable(C) la variable hileras en nuestro
caso LOTES.
Si damos click en M od el,
en
Which Model Terms seleccionaremos la
opción Custom Model y en Custom Model, abajo, daremos el modelo que se
aprecia en la figura 4.3
Figura 4.3
damos Run y obtendremos los resultados que se presentan en la Tabla 4.5
Tabla 4.5 Análisis de varianza del efecto de cinco fórmulas diferentes en cinco
mezclas de dinamita sobre la fuerza explosiva observada
________ ___________
R e sp o n se
FUERZA
A n a ly s is o f V a r ia n c e T a b le
Sum of
S o u rce
DF
T erm
M ean
P rob
P ow er
S q u a r e s S q u a r e F -R a tio
L evel
(A lp h a = 0 .0 5 )
A (FORM ULA)
4
330
82.5
7.73
0 .0 0 2 5 3 7 *
0 .8 7 1 3 9 5
B (OPERAD O RES)
4
150
37.5
3.52
0 .0 4 0 3 7 3 *1
0 .5 0 9 8 4 3
C (LOTES)
4
68
17
1.59
S
12
128
1
10.66667
Total (Adjusted)
24
676
Total
25
0 .2 3 9 0 5 9
0 .2 4 4 7 6 5
-
* Term significant at alpha = 0 .0 5
Regla de decisión:
Se concluye que con p-level = 0.002537* Ho
se rechaza y podemos
concluir que existe diferencia significativa entre la fuerza explosiva media en
por lo menos una de las cinco fórmulas diferentes.
47
V. COMPARACIONES MÚLTIPLES. (ANÁLISIS DE MEDIAS
DE TRATAMIENTOS)
Cuando la prueba del ANOVA resulta significativa, es decir, que Ho: Los
efectos de los tratamientos son iguales, no se acepta, quiere decir que se tienen
medias iguales y diferentes, ya que se puede dar el caso que en una serie de
tratamientos la prueba nos indique diferencias en el conjunto, pero igualdad en
un par en particular.
Cuando Ho se rechaza y se utilizan varios tratamientos, es necesario realizar una
comparación
de las medias de los tratamientos
para poder elegir el mejor de
ellos.
Para identificar que tratamientos deben considerarse iguales o diferentes,
se realizan pruebas de significancia de diferencias entre las medias de los
tratamientos, para lo cual estudiaremos los métodos siguientes.
> Diferencia mínima significativa D.M.S.
> Prueba de Tukey
> Prueba de Duncan
V .l Diferencia mínima significativa (D.M.S.)
V .l .l Descripción para un D.C .A con Igual número de repeticiones por
tratamiento
Esta prueba es una alternativa de la prueba t de estudent, se aplica cuando
las medias son independientes y las comparaciones son planeadas antes de ser
examinados los datos, es adecuada para hacer comparaciones de tratamientos con
un tratamiento estándar.
El número de comparaciones se obtiene aplicando la expresión
aja - 1)
2
donde a es él número de tratamientos.
Suponga
que
interesa
probar la
siguiente
hipótesis
de
medias
de
tratamientos por pareja:
Ho:
= |ij
Ha: pi ^ pj
para toda i í j ; i,j = 1,2,3,...t
La fórmula para calcular la D.M.S. esta dada por:
D .M .S.
252
n
*
t
a g.l. error
donde
t = Es un valor de tablas. Se obtiene con el nivel de significancia y el número de
grados de libertad del error.
S2 = Varianza o cuadrado medio de error experimental
n = Número de repeticiones
49
La regla de decisión para este tipo de pruebas es la siguiente:
1. Sí IY¡ ~YJ/> DMS, las medias de los tratamientos son estadísticamente
diferentes
2. Sí /Y¡-Yj / < DMS, las medias son estadísticamente iguales.
Si tenemos igual número de repeticiones por tratamiento aplicaremos la
siguiente fórmula:
t
g.l. error a
/2*Sd
donde
Sd = ^ S 2(l/n,. + 1 / « , ) = ^ S 2(ni + n J/nixnj )
Ejemplo 5.1 Realizar la comparación de medias para los datos del Ejemplo 2.1.
Solúción:
Del Ejemplo 2.1 se tienen los datos siguiente:
n —5
G.L.error = 16
S 2error =
0.65
a= 4
t.05(i6) = 2.120 (Tabla A2)
por lo tanto se obtiene que
D.M .S.~ j
* t a g.l. error =
= 0 .5 0 9 9
50
D .M .S. = 0.599 * 2.120 = 1.081
El número de comparaciones que se tienen que realizar para los datos del
ejemplo 5.1 resulta ser igual a
A continuación se presentan los resultados de las seis comparaciones para
el presente ejemplo:
x 4 - x 3 = 71.8 - 6 9 = / 2.8 / > 1.081, entonces son estadísticamente diferentes
x 4 - x 2 = 71.8 -7 4 .2 = /-2.4 / > 1.081, entonces son estadísticamente diferentes
x 4 - x, = 71.8 - 73.8 = 1-21 > 1.08, entonces son estadísticamente diferentes
x 3 - x 2 = 69 - 74.2 = /-5.2 / > 1.081, entonces son estadísticamente diferentes
x3-
= 69 - 73.8 = / -4.8 / > 1.081, entonces son estadísticamente diferentes
x 2 - x¡ = 74.2 - 73.8 = /.4 / < 1.081, entonces son estadísticamente iguales
Conclusión:
Se concluye que las medias de los tratamientos 1 y 2 con respecto a la vida
activa de un tipo particular de batería térmicas son estadísticamente iguales
resultando ser diferentes en las comparaciones restantes.
V.2 Prueba de Tukey
V.2.1 Descripción para un D.C.A. con igual número de repeticiones por
tratamiento
51
Para realizar todas las posibles comparaciones con a tratamientos se aplica
la siguiente fórmula:
D = q S j = w ; w = q a ( P, m )S¿
donde
S2 = Varianza del error experimental,
n = Número de repeticiones.
q
= Valor de tablas que se busca con el número de tratamientos
a = P y los
grados de libertad del error experimental = n 2 para un Q igual al nivel de
significancia.
El número de comparaciones se obtiene aplicando la expresión
a{a - 1)
2
'
donde con a es el número de tratamientos
La regla de decisión para este tipo de prueba es la siguiente:
1. Sí /Yl■- Yj / > q.osS j, entonces la diferencia entre las medias es significativa
2. Sí /Y¡-Yj/> q.oiS j, entonces la diferencia entre las medias es altamente
significativa
3. Sí /Y¡-Yj /< q.oi S j , entonces la diferencia entre las medias se consideran
iguales y es estadísticamente no significativa
E je m p lo 5.2 Realizar la comparación de medias para los datos del Ejemplo 2.1
52
~~~
bíb C1o t o 5 a ~~
~
UNIDAD ACADEMICA ECONOMIA
ESTADISTICA E INFORMATICA
Solución
Del Ejemplo 2.1 se tienen los datos siguientes:
P=a=4
X , = 73.8
n2 = l
A 2 = 7 4 .2
n= 5
6
X 3= 6 9
S 2error
'error = 0 . 6 5
X 4=71.8
a = 0.05
qo.o5(4, i 6) = 4.05 ( Tabla A3)
por tanto
D = q Sjp= 4.05 * .361 = 1.46
El número de comparaciones que se tienen que realizar para los datos, del
ejemplo 5.1 resulta ser igual a:
2
2
A continuación se presentan los resultados de las seis comparaciones para
el preste ejemplo:
x 4 —x 3 = 71.8 - 69 = / 2.8 / >1.46, entonces son estadísticamente diferentes
x 4 - x 2 = 71.8 -7 4 .2 = /-2.4 / > 1.46, entonces son estadísticamente diferentes
x 4 —x x = 71.8 - 73.8 = 1-21 > 1.46, entonces son estadísticamente diferentes
J 3 - J 2 = 69 - 74.2 = /-5.2 / > 1.46, entonces son estadísticamente diferentes
* 3
—x { = 69 - 73.8 = / -4.8 / > 1.46, entonces son estadísticamente diferentes
53
x 2 - X\ = 74.2 - 73.8 = /.4 / < 1.46, entonces son estadísticamente iguales
En conclusión no hay diferencia significativa entre las medias de los
tratamientos 1 y 2 respecto a la vida activa de un tipo particular de baterías
térmicas y se detecta diferencia significativa en las comparaciones restantes.
V.3 Prueba de Duncan.
V.3.1 Descripción para un D.C.A. con igual número de repeticiones por
tratamiento.
La prueba de Duncan permite efectuar
puede aplicarse aún cuando la prueba F no sea significativa. En su apliación se
usa un valor t tabulado por Duncan para a = 0.05 y
a = 0.01 y n 2 grados de
libertad del error experimental.
El procedimiento para este tipo de prueba es el siguiente:
1. Ordenar las medias de los tratamientos de manera ascendentes.
2. Calcular Sj por medio de
donde
S2 = Cuadrado medio del error,
n = Es el número repeticiones
54
= Es el error estándar de las medias
ta = t múltiple obtenida de las tablas de Duncan para a = 0.05 y a = 0.01, se
obtiene con los grados de libertad del error = n 2 y él número de tratamientos.
3. Se calcula el número de medias en la serie que separan a las dos medias que
se están comparando.
4. Calcular t múltiple (tablas) a = 0.05 y a = 0.01
5. Calcular L.S,. aplicando la fórmula siguiente
L.S. = t a ^ -
6. Regla de decisión para este tipo de prueba es el siguiente:
1. Se consideran diferentes o significativas dos medias cuando su diferencia es
mayor que el L.S. calculado.
2. Se consideran estadísticamente iguales o no significativas en caso contrario
(N.S.)
Para el caso de desigual número de repeticiones por tratamientos se realiza
lo siguientes:1
2
1. Se calculan los valores de t múltiple (Tabla A4)
2. Se multiplican por S en lugar de
para el tratamiento
i con el j y
finalmente por -J\/2{\/n¡ +1 /n j ) es decir:
L.S. = t a * S * V 1/2 (l/w i
y)
E je m p lo 5.3 Realizar la comparación de medias para los datos del Ejemplo 2.1.
55
Del Ejemplo 2.1 se tienen los datos siguientes:
P = a= 4
n 2 =g.l.= 16
n=5
S2error = 0.65
a = 0.05
Siguiendo el procedimiento descrito se tiene que:
1. Ordenamiento de medias de los tratamientos de manera ascendente
Tratamientos
3
4
1
2
X
69.0
71.8
73.8
74.2
2. Se calcula S^ , resultando
3. Cálculo del número de medias en comparación
« M )
4 (4 -1 )
2
2
Una vez que se tiene el número de comparaciones a realizar se procede a
obtener el número de medias que se para a cada comparación. Para saber cuantas
medias separan a la comparación 2 y 3, contamos, en la Tabla de las medias
ordenas, el tratamiento 2, considerando este, hasta el tratamiento 3 el cual
también se considera, dando como resultado 4 medias que las separan, de esta
56
forma obtenemos el número de medias que se paran a la siguiente comparación
así sucesivamente obteniéndose los resultados que se presentan en la tabla
siguiente:
C o m p a r a c ió n d e
N ú m e ro de m ed ia s
m e d ia s
q u e las sep a ra n
2y 3
4
2y 4
3
2y 1
2
1y 3
3
ly 4
2
4y3
2
4. Cálculo de los valores de t múltiple (Tabla A4)
t.o5(4,16) ( Tabla A4 ) = 3.23
t.05(3,16) (Tabla A4 ) = 3.15
t.05(2,16) (Tabla A4 ) = 3.00
5. Calculo de L.S.
L.S. = t a S ¿= 3.23 * .361 = 1.16
L.S. = t a S ¿= 3.15 * .361= 1.13
L.S. = t a
= 3.0 * .361= 1.08
6. Para decidir en las comparaciones correspondientes se realizan los cálculos
siguientes
57
BIBLIOTECA
UNIDAD ACADEMICA ECONOMIA
ESTADISTICA E INFORMATICA
24 ENE.2003
4
3
2
3.23
3.15
3
1.16
1.13
1.08
N ú m e ro d e
m e d ia s
t m ú ltip le
(ta b la s) a = 0.05
L.S. e n tre d o s
m e d ia s
x 2 - x3 = 74.2 - 6 9 = I 5.2 / > 1.16, entonces son estadísticamente diferentes
x 2 - x 4 = 74.2 - 71.8 = / 2.4 / > 1.13, entonces son estadísticamente diferentes
x 2 - x x = 74.2 -7 3 .8 = / 0.4 / < 1.08, entonces son estadísticamente iguales
x { - x3 = 73.8 - 69 = / 4.8 / > 1.13, entonces son estadísticamente diferentes
J 1-Jé4 = 7 3 . 8 - 7 1 . 8 = / 2 /
>1.08, entonces son estadísticamente diferentes
x 4 - x 3 = 71.8 - 69 = / 2.8 /
> 1.08, entonces son estadísticamente diferentes
En conclusión podemos decir que no hay diferencia significativa
entre las medias de los tratamientos 1 y 2 respecto a la vida activa de un tipo
particular de baterías térmicas y son estadísticamente diferentes las demás
comp ar aciones.
□
S o lu c ió n c o n el p a q u e te NCSS
En la Figura 5.1, se observa la base de datos del Ejemplo 2.1.
58
tS-".».-.ni>-.~«W
Figura 5.1
Una vez capturada la base de datos nos dirigimos a Analysis, después a
ANOVA y seleccionamos la opción Analysis o f Variance como se puede ver en la
Figura 5.2
Figura 5.2
Luego damos un click en esta opción y nos despliega la Figura 5.3
59
En Response Variable(s) se selecciona la variable respuesta de nuestro
problema y en Factor 1 Variable (A) seleccionamos la variable de los tratamientos.
Al dirigirnos a R e p o r ts podemos seleccionar el tipo de prueba que se desee como
se aprecia en la ventana de la Figura 5.4
Figura 5.4
60
En nuestro caso seleccionamos las opciones Fisher’s L.S.D. (Diferencia
Mínima significativa), Tukey y Duncan’s y damos al opción Run, .obteniéndose los
resultados que se presentan en las Tablas 5.1, 5.2, 5.3 y 5.4.
Tabla 5.1 Análisis de varianza del tiempo de activado de 20 baterías térmicas
Response
T IE M P
A n a ly s is o f
V a r ia n c e T a b le
Sum o f
S ou rce
M ean
T erm
DF
Sq u ares
S q u are
F -R a tio
A (TRATA)
3
84.8
2 8 .2 6 6 6 7
4 3 .4 9
0.65
S
16
10.4
Total (Adjusted)
19
95.2
Total
20
P rob
P ow er
L evel
(A lp h a = 0 .0 5 )
0 .0 0 0 0 0 0 *
1
* Term significant at
alpha = 0.05
Tabla 5.2
F is h e r 's L S D M u ltip le -C o m p a r is o n T e s t
Alpha = 0 .05 0
Error Term = S
D F = 16
M S E = 0.65
Critical Value = 2.1199C
D iffe r e n t
G roup
Count
M ean
F rom G rou p s
3
5
69
4, 1 .2
4
5
7 1.8
3. 1. 2
1
5
73.8
3 ,4
2
5
74.2
3 ,4
Tabla 5.3
T u k e y -K r a m e r M u ltip le -C o m p a r is o n T e s t
Alpha = 0 .05 0
Error Term = S
DF = 1 6
M S E = 0 .6 5
Critical Value = 4.0461
D iffe r e n t
M ean
F ro m G roup s
5
69
4, 1 ,2
5
71.8
3, 1, 2
1
5
. 73.8
3 ,4
2
5
74.2
3 ,4
G roup
Count
3
4
61
Tabla 5.4
D u n c a n 's M u ltip le -C o m p a r is o n T e s t
Alpha = 0 .0 5 0
Error Term = S
D F = 16
M S E = 0 .65
D iffe r e n t
G rou p
Count
M ean
F rom G rou p s
3
5
69
4, 1 ,2
4
5
71.8
3, 1, 2
1
5
73.8
3 ,4
2
5
74.2
3 ,4
Como se puede observar todas las pruebas nos arrojan el mismo resultado y
podemos decir en forma general que el tratamiento 3 es diferente a los
tratamientos 4, 1 y 2, el tratamiento 4 es diferente a los tratamientos 3, 1 y 2, él
tratamiento 1 es diferente a dos tratamientos 3 y 4 y por último el tratamiento 2
es diferente de los tratamientos 3 y 4. En conclusión los tratamientos 1 y 2 son
los mejores ya que no presentan diferencias entre ellos y podemos observar que
las medias de estos dos son las más altas. El mejor método para la comparación
de medias es aquel que declara menos diferencias entre los tratamientos.
' ■'
'
•fe
Cabe aclarar que en él capitulo 2 éste análisis se realizó en la opción GLM
ANOVA, como podemos observar
cualquiera de las dos opciones Analysis o f
Variance y GLM ANOVA nos permite realizar este tipo de análisis obteniendo el
mismo resultado.
62
R E F E R E N C IA S
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Tabla A - 1. Valores para la Distribución F
G.L. del numerador
G.L. del
denomi­
nador
Probabi­
lidad
1
2
3
4
5
6
2 2 4 .6
5 625
230.2
5 764
234.0
5 859
1
05
01
2
05
01
18.51
98.50
19.00
99.00
19.16
9 9 .1 7
19.25
9 9 .2 5
19.30
99.30
19.33
99.33
3
05
01
10.13
34.12
9.55
30.82
9 .2 8
2 9 .4 6
9 .1 2
28.71
9.01
28.24
8.94
27.91
4
05
01
7.71
21.20
6.94
18.00
6 .5 9
16.69
6 .3 9
15.98
6.26
15.52
6 .1 6
15.21
5
05
01
6.61
16.26
5.79
13.27
5.41
12.06
5 .1 9
11.39
5.05
10.97
4.95
10.67
6
05
01
5 .9 9
13.75
5 .1 4
10.92
4 .7 6
9 .7 8
4 .5 3
9 .1 5
4 .3 9
8.75
4 .2 8
8.47
7
05
01
5.59
12.25
4 .7 4
9.55
4 .3 5
8 .4 5
4 .1 2
7 .8 5
3.97
7 .4 6
3.87
7 .1 9
8
05
01
5.32
11.26
4 .4 6
8.65
4 .0 7
7 .5 9
3 .8 4
7.01
3.69
6.63
3.58
6 .3 7
9
05
01
5.12
10.56
4 .2 6
8.02
3 .8 6
6 .9 9
3.63
6 .4 2
3.48
6 .0 6
3 .3 7
5 .8 0
10
05
01
4.96
10.04
4 .1 0
7 .5 6
3.71
6 .5 5
3 .4 8
5 .9 9
3.33
5.64
3.22
5 .3 9
11
05
01
4 .8 4
9.65
3.98
7.21
3 .5 9
6 .2 2
3 .3 6
5 .6 7
3.20
5.32
3.09
5 .0 7
12
05
01
4.75
9.33
3 .8 9
6.93
3 .4 9
5 .9 5
3 .2 6
5.41
3.11
5.06
3 .0 0
4 .8 2
13
05
01
4.67
9.07
3.81
6 .7 0
3.41
5 .7 4
3 .1 8
5.21
3.03
4 .8 6
2 .9 2
4 .6 2
14
05
01
4.60
8.86
3.74
6.51
3 .3 4
5 .5 6
3.11
5 .0 4
2.96
4 .6 9
2.85
4 .4 6
161.4
199.5
2 1 5 .7
4 052 4 999.5 5 403
63
Tabla A - 1. (Continuación)
G.L. del numerador
7
2 3 6 .8
5 928
8
9
10
238.9
5 982
2 4 0 .5
6 022
2 4 1 .9
6 056
12
15
2 4 3 .9
2 45.9
6 106 16 157
20
2 4 8 .0
6 209
G.L. del
denomi­
nador
1
19.35
9 9 .3 6
19.37
9 9 .3 7
19.38
9 9 .3 9
19.40
9 9 .4 0
19.41
9 9 .4 2
19.43
99.4 3
19.45
9 9 .4 5
2
8 .8 9
27.6 7
8 .8 5
2 7 .4 9
8.81
2 7 .3 5
8 .7 9
27.23
8 .7 4
27.05
8 .7 0
26.8 7
8 .6 6
2 6 .6 9
3
6 .0 9
14.98
6 .0 4
14.80
6 .0 0
14.66
5 .9 6
14.55
5.91
14.37
5 .8 6
14.20
5 .8 0
14.02
4
4 .8 8
10.46
4 .8 2
10.29
4 .7 7
10.16
4 .7 4
10.05
4.681
9 .8 9
4 .6 2
9 .7 2
4 .5 6
9 .5 5
5
4.21
8 .2 6
4 .1 5
8 .1 0
4 .1 0
7 .9 8
4 .0 6
7 .8 7
4 .0 0
7 .7 2
3 .9 4
7 .5 6
3 .8 7
7 .4 0
6
3 .7 9
6 .9 9
3.73
6 .8 4
3 .6 8
6 .7 2
3 .6 4
6 .6 2
3 .5 7
6 .4 7
3.51
6.31
3 .4 4
6 .1 6
7
3 .5 0
6 .1 8
3 .4 4
6.03
3 .3 9
5.91
3 .3 5
5.81
3.28
5 .6 7
3 .2 2
5 .5 2
3 .1 5
5 .3 6
8
3 .2 9
5.61
3.23
5 .4 7
3 .1 8
5 .3 5
3 .1 4
5 .2 6
3.07
5.11
3.01
4 .9 6
2 .9 4
4.81
9
3 .1 4
5 .2 0
3 .0 7
5 .0 6
3 .0 2
4 .9 4
2 .9 8
4 .8 5
2.91
4.71
2.85
4 .5 6
2 .7 7
4.41
10
3.01
4 .8 9
2 .9 5
4 .7 4
2 .9 0
4 .6 3
2 .8 5
4 .5 4
2 .7 9
4 .4 0
2 .7 2
4 .2 5
2 .6 5
4 .1 0
11
2.91
4 .6 4
2 .8 5
4 .5 0
2 .8 0
4 .3 9
2 .7 5
4 .3 0
2 .6 9
4 .1 6
2 .6 2
4.01
2 .5 4
3 .8 6
12
2.83
4 .4 4
2 .7 7
4 .3 0
2.71
4 .1 9
2 .6 7
4 .1 0
2 .6 0
3 .9 6
2 .5 3
3 .8 2
2 .4 6
3 .6 6
13
2 .7 6
4 .2 8
2.70
4.14
2 .6 5
4 .0 3
2 .6 0
3 .9 4
2.53
3 .8 0
2 .4 6
3 .6 6
12.39
3.51
14
64
Tabla A - 1. (Continuación)
G.L. del numerador
G.L. del
denomi­
nador
1
Probabi­
lidad
24
30
40
05
01
249.1
6 235
250.1
6 261
251.1
6 287
60
2*2.2
6 313
120
X
253.3
254.3
6 339 6 366
2
05
01
19.45
9 9.46
19.46
9 9 .4 7
19.47
99.47
19.48
99.4 8
19.49
99.4 9
19.50
9 9 .5 0
3
05
01
8.64
2 6.60
8 .6 2
2 6 .5 0
8 .5 9
26.41
8 .5 7
26.32
8.55
26.22
8 .5 3
26.13
4
05
01
5.77
13.93
5 .7 5
13.84
5 .7 2
13.75
5 .6 9
13.65
5 .6 6
13.56
5.63
13.46
5
05
01
4.53
9 .4 7
4 .5 0
9 .3 8
4 .4 6
9 .2 9
4.43
9 .2 0
4 .4 0
9.11
4 .3 6
9 .0 2
6
\
05
01
3.84
7.31
3.81
7 .2 3
3.77
7 .1 4
3 .7 4
7 .0 6
3 .7 0
6 .9 7
3 .6 7
6 .8 8
7
05
01
3.41
6.07
3 .3 8
5 .9 9
3 .3 4
5.91
3 .3 0
5.82
3.27
5 .7 4
3.23
5 .6 5
8
05
01
3.12
5.28
3 .0 8
5 .2 0
3 .0 4
5.12
3.01
5.03
2 .9 7
4 .9 5
2.93
4 .8 6
9
05
01
2.90
4.73
2 .8 6
4 .6 5
2.83
4 .5 7
2 .7 9
4 .4 8
2.75
4 .4 0
2.71
4.31
10
05
01
2.74
4.33
2 .7 0
4 .2 5
2 .6 6
4 .1 7
2.62
4 .0 8
2.58
4 .0 0
2 .5 4
3.91
11
05
01
2.61
4.02
2 .5 7
3 .9 4
2.53
3 .8 6
2 .4 9
3.78
2 .4 5
3 .6 9
2 .4 0
3 .6 0
12
05
01
2.51
3.78
2 .4 7
3 .7 0
2.43
3.62
2.38
3 .5 4
2 .3 4
3.45
2 .3 0
3 .3 6
13
05
01
2.42
3.59
2 .3 8
3.51
2 .3 4
3.43
2 .3 0
3 .3 4
2 .2 5
3 .2 5
2.21
3 .1 7
14
05
01
2.35
3.43
2.31
3 .3 5
2 .2 7
3 .2 7
2.22
3.18
2 .1 8
3 .0 9
2.13
3.00
Tabla A - 1 . (Continuación)
G.L. del numerador
G.L. del
denomi­
nador
Probabi­
lidad
1
2
3
4
5
6
15
05
01
4 .5 4
8 .6 8
3 .6 8
6 .3 6
3 .2 9
5 .4 2
3 .0 6
4 .8 9
2 .9 0
4 .5 6
2 .7 9
4 .3 2
16
05
01
4 .4 9
8.53
3.63
6 .2 3
3 .2 4
5 .2 9
3.01
4 .7 7
2.85
4 .4 4
2 .7 4
4 .2 0
17
05
01
4 .4 5
8 .4 0
3 .5 9
6.11
3 .2 0
5 .1 8
2 .9 6
4 .6 7
2.81
4 .3 4
2 .7 0
4 .1 0
18
05
01
4.41
8 .2 9
3 .5 5
6.01
3 .1 6
5 .0 9
2 .9 3
4 .5 8
2 .7 7
4 .2 5
2 .6 6
4.01
19
05
01
4 .3 8
8 .1 8
3 .5 2
5 .9 3
3*13
,5 .0 1
2 .9 0
4 .5 0
2 .7 4
4 .1 7
2.63
3 .9 4
- 20
05
01
4 .3 5
8 .1 0
3 .4 9
5 .8 5
3 .1 0
4 .9 4
2 .8 7
4 .4 3
2.71
4 .1 0
2 .6 0
3 .8 7
21
05
01
4 .3 2
8 .0 2
3 .4 7
5 .7 8
3 .0 7
4 .8 7
2 .8 4
4 .3 7
2 .6 8
4 .0 4
2 .5 7
3.81
22
05
01
4 .3 0
7 .9 5
3 .4 4
5 .7 2
3 .0 5
4 .8 2
2 .8 2
4.31
2 .6 6
3 .9 9
2.55
3 .7 6
23
05
01
4 .2 8
7 .8 8
3 .4 2
5 .6 6
3 .0 3
4 .7 6
2 .8 0
4 .2 6
2 .6 4
3 .9 4
2.53
3.71
24
05
01
4 .2 6
7 .8 2
3 .4 0
5.61
3.01
4 .7 2
2 .7 8
4 .2 2
2 .6 2
3 .9 0
2.51
3.67
25
05
01
4 .2 4
7 .7 7
3 .3 9
5 .5 7
2 .9 9
4 .6 8
2 .7 6
4 .1 8
2 .6 0
3.85
2 .4 9
3.63
26
05
01
4 .2 3
7.72
3 .3 7
5.53
2 .9 8
4 .6 4
2 .7 4
4 .1 4
2 .5 9
3 .8 2
2 .4 7
3 .5 9
27
05
01
4.21
7 .6 8
3 .3 5
5 .4 9
2 .9 6
4 .6 0
2 .7 3
4.11
2 .5 7
3.78
2 .4 6
3 .5 6
28
05
01
4 .2 0
7 .6 4
3 .3 4
5 .4 5
2 .9 5
4 .5 7
2.71
4 .0 7
2 .5 6
3.75
2.45
3.53
Tabla A - 1. (Continuación)
G L . del
denomi­
nador
Probabilidad
¡5
05
01
16
05
01
17
05
01
18
05
01
19
05
01
20
05
01
21
05
01
22
05
01
23
05
01
24
05
01
25
05
01
26
05
01
27
05
01
28
05
01
G J j . d e l num erador
7
8
9
2.71 2.64 2.59
4.14 4.00 3.89
2.66
2.59 2.54
4.03 3.89 3.78
2.61 2.55 2.49
3.93 3.79 3.68
2.58 2.51 2.46
3.84 3.71 3.60
2.54 2.48 2.42
3.77 3.63 3.52
2.51 2.45 2.39
3.70 3.56 3.46
2.49 2.42 2.37
3.64 3.51 3.40
2.46 2.40 2.34
3.59 3.45 3.35
2.44 2.37 2.32
3.54 3.41 3.30
2.42 2.36 2.30
3.50 3.36 3.26
2.40 ¿34 2.28
3.46 3.32 3.22
2.39 2.32 2.27
3.42 3.29 3.18
2.37 2.31 2.25
3.39 3.26 3.15
2.36 2.29 2.24
3.36 3.23 3.12
10
12
15
20
2.54
3.80
2.49
3.69
2.45
3.59
2.41
3.51
2.38
3.43
2.35
3.37
2.32
3.31
2.30
3.26
2.27
3.21
2.25
3.17
2.24
3.13
2.48
3.67
2.42
3.55
2.38
3.46
2.34
3.37
2.31
3.30
2.28
3.23
2.25
3.17
2.23
3.12
2.40
3.52
2.35
3.41
2.31
3.31
2.27
3.23
2.23
3.15
2.33
3.37
2.28
3.26
2.23
3.16
2.19
3.08
2.16
3.00
2.20
2.12
2.22
3.09
2.20
3.06
2.19
3.03
3.09
2.18
3.03
2.15
2.98
2.20 2.13
3.07 2.93
2.18 2.11
3.QT 2.89
2.16 2.09
2.99 2.85
2.15 2.07
2.96 2.81
2.13 2.06
2.93 2.78
2.12 2.04
2.90 2.75
2.94
2.10
2.88
2.07
2.83
2.05
2.78
2.03
2.74
2.01
2.70
1.99
2.66
1.97
2.63
1.96
2.60
67
Tabla A - 1. (Continuación)
GJL. del
j
aenominador
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
GX. del numerador
íTOOdOl^
lidad
05
01
05
01
05
01
05
01
05
01
05
01
05
01
05
01
05
01
05
01
05
01
05
01
05
01
05
01
24
2.29
3.29
2.24
3.18
2.19
3.08
2.15
3.00
2.11
2.92
2.08
2.86
2.05
2.80
2.03
2.75
2.01
2.70
1.96
2.66
1.96
2.62
1.95
2.58
1.93
2.55
1.91
2.52
30
40
60
120
2.25
3.21
2.19
3.10
2.15
3.00
2.11
2.92
2.07
2.84
2.04
2.78
2.01
2.72
1.96
2.67
1.96
2.62
1.94
2.58
1.92
2.54
1.90
2.50
1.88
2.47
1.87
2.44
2.20
3.13
2.15
3.02
2.10
2.92
2.06
2.84
2.03
2.76
r.99
2.69
1.96
2.64
1.94
2.58
1.91
2.54
1.89
2.49
1.87
2.45
1.85
2.42
1.84
2.38
1.82
2.35
2.16
3.05
2.11
2.93
2.06
2.83
2.02
2.75
1.96
2.67
1.95
2.61
1.92
2.55
1.89
2.50
1.86
2.45
1.84
2.40
1.82
2.36
1.80
2.33
1.79
2.29
1.77
2.26
2.11
2.96
2.06
2.84
2.01
2.75
1.97
2.66
1.93
2.58
1.90
2.52
1.87
2.46
1.84
2.40
1.81
2.35
1.79
2.31
1.77
2.27
1.75
2.23
1.73
2.20
1.71
2.17
00
2.07
2.87
2.01
2.75
1.96
2.65
1.92
2.57
1.88
2.49
1.84
2.42
1.81
2.36
1.78
2.31
1.76
2.26
1.73
2.21
1.71
2.17
1.69
2.13
1.67
2.10
1.65
2.06
68
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Tabla A - 2. Distribución t de Student
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69
Tabla A • 3. Prueba de Tukey.
G.L. del
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5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
24
30
40
60
120
X
a - número de promedios de los tratamientos
a
2
05
01
05
01
05
01
05
01
05
01
05
01
05
01
05
01
05
01
05
01
05
01
05
01
05
01
05
01
05
01
05
01
05
01
05
01
05
01
05
01
05
01
05
01
3.64
5.70
3.46
5.24
3.34
4.95
3.26
4.74
3.20
4.60
3.15
4.48
3.11
4.39
3.08
4.32
3.06
4.26
3.03
4.21
3.01
4.17
3.00
4.13
2.98
4.10
2.97
4.07
2.96
4.05
2.95
4.02
2.92
3.96
2.89
3.89
2.86
3.82
2.83
3.76
2.80
3.70
2.77
3.64
3
4
4.60
5.22
6.97
7.80
,4.34 4.90
633
7.03
4.16 4.68
5.92
6.54
4.04 4.53
5.63
6.20
3.95
4.42
5.43
5.96
3.88 4.33
5.27 5.77
3.82 4.26
5.14 5.62
.3.77 4.20
5.04 5.50
3.73 4.15
4.96 5.40
3.70 4.11
4.89 5.32
3.67 4.08
4.83 5.25
3.65 4.05
4.78 5.19
3.63 4.02
4.74 5.14
3.61 k4.00
4.70 5.09
3.59 3.98
4.67 5.05
3.58 3.%
4.64 5.02
3.53 3.90
4.54 4.91
3.49 3.84
4.45 4.80
3.44 3.79
4.37 4.70
3.40 3.74
4.28 4.60
3.36 3.69
4.20 4.50
3.31
3.63
4.12 4.40
5
5.67
8.42
5.31
7.56
5.06
7.01
4.89
6.63
4.76
6.35
4.65
6.14
4.57
5.97
4.51
5.84
4.45
5.73
4.41
5.63
4.37
5.56
4.33
5.49
4.30
5.43
4.28
5.38
4.25
5.33
4.23
5.29
4.17
5.17
4.10
5.05
4.04
4.93
3.98
4.82
3.92
4.71
3.86
4.60
6
7
6.03
6.33
8.91
9.32
5.63
5.89
7.97 8.32
5.36 5.61
7¿7
7.68
5.17 5.40
6.96 7.24
5.02
5.24
6.66 6.91
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6.43
6.67
4.82
5.03
6.25 6.48
4.75
4.95
6.10 6.32
4.69 4.88
5.98 6.19
4.64 4.83
5.88
6.08
4.60 4.78
5.80 5.99
4.56 4.74
5.72
5.92
4.52 4.71
5.66 5.85
4.49 4.67
5.60 5.79
4.47 4.65
5.55
5.73
4.45 4.62
5.51
5.69
4.37 4.54
5.37 5.54
4.30 4.46
5.24
5.40
4.23
4J9
5.11
5.27
4.16 4.31
4.99 5.13
4.10 4.24
4.87
5.01
4.03
4.17
4.76 4.88
8
9
6.58
9.67
6.12
8.61
5.82
7.94
5.60
7.47
5.43
7.13
5.30
6.87
5.20
6.67
5.12
6.51
5.05
6.37
4.99
6.26
4.94
6.16
4.90
6.08
4.86
6.01
4.82
5.94
4.79
5.89
4.77
5.84
4.68
5.69
4.60
5.54
4.52
5.39
4.44
5.25
4.36
5.12
4.29
4.99
6.80
9.97
6.32
8.87
6.00
8.17
5.77
7.68
5.60
7.32
5.46
7.05
5.35
6.84
5.27
6.67
5.19
6.53
5.13
6.41
5.08
6.31
5.03
6.22
4.99
6.15
4.%
6.08
4.92
6.02
4.90
5.97
4.81
5.81
4.72
5.65
4.63
5.50
4.55
5.36
4.48
5.21
4.39
5.08
70
T abla A - 3. (Continuación)
10
11
12
13
7.47
7.32
6.99 7.17
10.24 10.48 10.70 10.89
6.92
6.79
6.49 6.65
9.49
9.65
9.10 9.30
6.43
6.55
6.16 6.30
8.71
8.86
8.37 8.55
6.18
6.29
5.92 6.05
8.18
8.31
7.87 8.03
5.98
6.09
5.74 5.87
7.91
7.78
7.49 7.65
5.83
5.93
5.60 5.72
7.48 7.60
7.21 7.36
5.81
5.71
5.49 5.61
7.25 7.36
6.99 7.13
5.62 5.71
5.40 5.51
7.06 7.17
6.81 6.94
5.53 5.63
5.32 5.43
6.90 7.01
6.67 6.79
5.46 5.55
5.25 5.36
6.54 6.66
6.77 6.87
5.40 5.49
5.20 5.31
6.44 6.55
6.66 6.76
5.26
5.35 5.44
5.15
6.56 6.66
6.35 6.46
5.31
5.39
5.11 5.21
6.48 6.57
6.27 6.38
5.07 5.17
5.27 5.35
6.41
6.20 6.31
6.50
5.04 5.14
5.23 5.32
6.14 6.25
6.34 6.43
5.01
5.20 5.28
5.11
6.09 6.19
6.29 6.37
4.92 5.01
5.10 5.18
5.92 6.02
6.11
6.19
4.83 4.92
5.00 5.08
5.76 5.85
5.93 6.01
4.74 4.82 4.91 4.98
5.60 5.69
5.77 5.84
4.65 4.73
4.81 4.88
5.45 5.53
5.60 5.67
4.56 4.64
4.72 4.78
5.30 5.38
5.44 5.51
4.47 4.55
4.62 4.68
5.16 5.23
5.29 5.35
14
15
16
17
18
7.60
11.08
7.03
9.81
6.66
9.00
6.39
8.44
6.19
8.03
6.03
7.71
5.90
7.46
5.80
7.26
5.71
7.10
5.64
6.%
5.58
6.84
5.52
6.74
5.47
6.66
5.43
6.58
5.39
6.51
5.36
6.45
5.25
6.26
5.15
6.08
5.05
5.90
4.94
5.73
4.84
5.56
4.74
5.40
7.72
11.24
7.14
9.95
6.76
9.12
6.48
8.55
6.28
8.13
6.11
7.81
5.99
7.56
5.88
7.36
5.79
7.19
5.72
7.05
5.65
6.93
5.59
6.82
5.55
6.73
5.50
6.65
5.46
6.58
5.43
6.52
5.32
6.33
5.21
6.14
5.11
5.%
5.00
5.79
4.90
5.61
4.80
5.45
7.83
11.40
7.24
10.08
6.85
9.24
6.57
8.66
6.36
8.23
6.20
7.91
6.06
7.65
5.95
^.44
5.86
7.27
5.79
7.12
5.72
7.00
5.66
6.90
5.61
6.80
5.57
6.72
5.53
6.65
5.49
6.59
5.38
6.39
5.27
6.20
5.16
6.02
5.06
5.84
4.95
5.66
4.85
5.49
7.93
11.55
7.34
10.21
6.94
9.35
6.65
8.76
6.44
8.32
6.27
7.99
6.14
7.73
6.03
7.52
5.93
7.34
5.85
7.20
5.79
7.07
5.72
6.97
5.68
6.87
5.63
6.79
5.59
6.72
5.55
6.65
5.44
6.45
5.33
6.26
5.22
6.07
5.11
5.89
5.00
5.71
4.89
5.54
8.03
11.68
7.43
10.32
7.02
9.46
6.73
8.85
6.51
8.41
6.34
8.07
6.20
7.81
6.09
7.59
6.00
7.42
5.92
7.27
5.85
7.14
5.79
7.03
5.74
6.94
5.69
6.85
5.65
6.78
5.61
6.71
5.50
6.51
5.38
6.31
5.27
6.12
5.16
5.93
5.05
5.75
4.93
5.57
19
20
8.12
8.21
11.81 11.93
7.51
7.59
10.43 10.54
7.09
7.17
9.55
9.65
6.80
6.87
8.94
9.03
6.58
6.64
8.49. 8.57
6.40
6.47
8.15
8.22
6.26
6.33
7.88
7.95
6.15
6.21
7.66
7.73
6.05
6.11
7.48
7.55
5.97
6.03
7.33
7.39
5 .9 0
7.20
5.84
7.09
5.79
7.00
5.74
6.91
5.70
6.84
5.66
6.76
5.54
6.56
5.43
6.36
5.31
6.17
5.20
5.98
5.09
5.79
4.97
5.61
5 .9 6
7.26
5.90
7.15
5.84
7.05
5.79
6.%
5.75
6.89
5.71
6.82
5.59
6.61
5.48
6.41
5.36
6.21
5.24
6.02
5.13
5.83
5.01
5.65
Tabla A - 4. Prueba de Duncan
G L . del
error
1
2
3
4
5
6
7
-
8
9
10
11
12
13
14
15
a
05
01
05
01
05
01
05
01
05
01
05
01
05
01
05
01
05
01
05
01
05
01
05
01
05
01
05
01
05
01
a= número de prom edios incluidos en el rango
2
4
3
5
6
7
8
18.0 18.0 18.0 18.0 18.0 18.0 18.0
90.0 90.0 90.0 90.0 90.0 90.0 90.0
6.09 6.09 6.09 6.09 6.09 6.09 6.09
14.0 14.0 14.0 14.0 14.0 14.0 14.0
4.50 4.50 4.50 4.50 4.50 4.50 4.50
8.26 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 8.9
3.93 4.01 4.02 4.02 4.02 4.02 4.02
6.51 6.8 6.9 7.0 7.1 7.1 7.2
3.64 3.74 3.79 3.83 3.83 3.83 3.83
5.70 5.% 6.11 6.18 6.26 6.33 6.40
3.46 3.58 3.64 3.68 3.68 3.68 3.68
5.24 5.51 5.65 5.73 5.81 5.88 5.95
3.35 3.47 3.54 3.58 3.60 3.61 3.61
4.95 5.22 5.37 5.45 5.53 5.61 5.69
3.26 3.39 3.47 3.52 3.55 3.56 3.56
4.74 5.00 5.14 5.23 5.32 5.40 5.47
3.20 3.34 3.41 3.47 3.50 3.52 3.52
4.60 4.86 4.99 5.08 5.17 5.25 5.32
3.15 3.30 3.37 3.43 3.46 3.47 3.47
4.48 4.73 4.88 4.96 5.06 5.13 5.20
3.11 3.27 3.35 3.39 3.43 3.44 3.45
4.39 4.63, 4.77 4.86 4.94 5.01 5.06
3.08 3.23 3.33 3.36 3.40 3.42 3.44
4.32 4.55 4.68 4.76 4.84 4.92 4.96
3.06 3.21 3.30 3.35 3.38 3.41 3.42
4.26 4.48 4.62 4.69 4.74 4.84 4.88
3.03 3.18 3.27 3.33 3.37 3.39 3.41
4.21 4.42 4.55 4.63 4.70 4.78 4.83
3.01 3.16 3.25 3.31 3.36 3.38 3.40
4.17 4.37 4.50 4.58 4.64 4.72 4.77
72
Tabla A - 4. (Continuación)
G L del
error
1
a = número de promedios incluidos en el rango
a
05
01
2
05
0.1
3
05
01
4
05
01
5
05
0!
6
05
01
7
05
01
8
05
- 01
9
05
01
10
0$
01
11
05
01
12
05
01
13
os
01
14
05
01
15
05
01
9
18.0
90.0
6.09
14.0
4.50
9.0
4.02
7.2
3.83
6.44
3.68
6.00
3.61
5.73
3.56
5.51
3.52
5.36
3.47
5.24
3.46
5.12
3.44
5.02
3.44
4.94
3.42
4.87
3.42
4.81
10
18.0
90.0
6.09
14.0
4.50
9.0
4.02
7.3
3.83
6.5
3.68
6.0
3.61
5.8
3.56
5.5
3.52
5.4
3.47
5.28
3.46
5.15
3.46
5.07
3.45
4.98
3.44
4.91
3.43
4.84
12
14
18.0 18.0
90.0 90.0
6.09 6.09
14.0 14.0
4.50 4.50
9.0 9.1
4.02 4.02
7.3 7.4
3.83‘ 3.83
6.6 6.6
3.68 v 3.68
6.1 6.2
3.61 3.61
5.8 5.9
3.56 3.56
5.6 5.7
3.52 3.52
5.5 5.5
3.47 3.47
5.36 5.42
3.46 3.46
5.24 5.28
3.46 3.46
5.13 5.17
3.45 3.46
5.04 5.08
3.45 3.46
4.% 5.00
3.44 3.45
4.90 4.94
16
18
20
18.0
90.0
6.09
14.0
4.50
9.2
4.02
7.4
3.83
6.7
3.68
6.2
3.61
5.9
3.56
5.7
3.52
5.6
3.47
5.48
3.46
5.34
3.46
5.22
3.46
5.13
3.46
5.04
3.46
4.97
18.0
90.0
6.09
14.0
4.50
9.3
4.02
7.5
3.83
6.7
3.68
6.3
3.61
6.0
3.56
5.8
3.52
5.7
3.47
5.54
3.47
5.38
3.47
5.24
3.47
5.14
3.47
5.06
3.47
4.99
18.0
90.0
6.09
14.0
4.50
9.3
4.02
7.5
3.83
6.8
3.68
6.3
3.61
6.0
3.56
5.8
3.52
5.7
3.48
5.55
3.48
5.39
3.48
5.26
3.47
5.15
3.47
5.07
3.47
5.00
73
Tabla A - 4. (Continuación)
a
G L . del
error
16
17
18
19
20
22
24
26
28
30
40
60
100
00
a
05
01
05
01
05
01
05
01
05
01
05
01
05
01
05
01
05
01
05
01
05
01
05
01
05
01
05
01
=número de prom edios incluidos en el rango
9
3.41
4.76
3.40
4.72
3.39
4.68
3.39
4.64
3.38
4.61
3.37
4.57
3.37
4.53
3.36
4.50
3.35
4.47
3.35
4.45
3.33
4.37
3.31
4.31
3.29
4.25
3.26
4.17
10
3.43
4.79
3.42
4.75
3.41
4.71
3.41
4.67
3.40
4.65
3.39
4.60
3.38
4.57
3.38
4.53
3.37
4.51
3.37
4.48
3.35
4.41
3.33
4.34
3.32
4.29
3.29
4.20
12
14
3.44 3145
4.84 4.88
3.44 3.45
4.80 4.83
3.43 3.45
4.76 4.79
3.43 3.44
4.72 4.76
3.43 ' 3.44
4.69 4.73
3.42 \3.44
4.65. 4.68
3.41 3.44
4.62 4.64
3.41 3.43
4.58 4.62
3.40 3.43
4.56 4.60
3.40 3.43
4.54 4.58
3.39 3.42
4.46 4.51
3.37 3.40
4.39 4.44
3.36 3.40
4.35 4.38
3.34 3.38
4.26 4.31
16
18
20
3.46
4.91
3.46
4.86
3.46
4.82
3.46
4.79
3.46
4.76
3.45
4.71
3.45
4.67
3.45
4.65
3.45
4.62
3.44
4.61
3.44
4.54
3.43
4.47
3.42
4.42
3.41
4.34
3.47
4.93
3.47
4.88
3.47
4.84
3.47
4.81
3.46
4.78
3.46
4.74
3.46
4.70
3.46
4.67
3.46
4.65
3.46
4.63
3.46
4.57
3.45
4.50
3.45
4.45
3.44
4.38
3.47
4.94
3.47
4.89
3.47
4.85
3.47
4.82
3.47
4.79
3.47
4.75
3.47
4.72
3.47
4.69
3.47
4.67
3.47
4.65
3.47
4.59
3.47
4.53
3.47
4.48
3.47
4.41
BIBLIOTECA
UNIDAD ACADEMICA ECONOMIA
ESTADISTICA E INFORMATICA
2i ENE.2003
75