Moviment Harmònic Simple

M.H.S.
Diem que es dona un moviment periòdic quan un cos realitza un moviment que es repeteix
de forma idèntica en successius intervals iguals de temps.
Un cas paticular de moviment periòdic és el moviment harmònic simple (M.H.S.)
Diem que es dona un M.H.S. quan una partícula realitza una trajectòria rectilínia tot
oscil·lant al voltant del punt mig del segment, i amb l’acceleració directament proporcional a
la posició de la partícula respecte del punt mig del segment.
El període és el temps que triga la partícula en fer un cicle complet.
La freqüència és el nombre de cicles complets que fa la partícula per segon.
La freqüència angular ≡ pulsació és la velocitat angular de la partícula.
L’elongació és la posició de la partícula relativa al centre de vibració.
L’amplitud és el major valor, en mòdul, que pot pendre l’elongació.
La fase inicial.
T = 2π
√
m
k
φ(t) = φ0 + ω t
k = mω 2
ω=
√
k
m
F = − k ·x
T ω = 2π
Tf = 1
x(t) = A cos(φ)
x(t) = A cos(φ0 + ω t)
v (t) = x′(t) = − ω A sin(φ0 + ω t)
v (x) = − ω √A2 − X 2
a(t) = v ′(t) = − ω 2 A cos(φ0 + ω t)
a(x) = − ω 2 x
E p(x) = 12 kx2
W (x) = 12 kΔx2
E m = 12 kA2
Fixa’t que en el M.H.S. la velocitat varia forma sinusoidal, mentre que l’acceleració ho fa de
forma cosinuidal.
Demostració de la llei de Hooke
a(x) = − ω 2 x → m·a = − (m·ω 2 )·x →
F = − k ·x
on k = mω 2
Estudi del moviment del pèndol
P = mg
P x = P sin(φ) ≃ P φ
(Aproximació a un M.H.S,)
P y = − T y ≡ − T = P cos(φ)
∑ F = Fx + Px + Py − Ty = Fx + Px
( F x es tractaria d’una força externa)
Considerem que la gravetat és negativa.
Considerem que la massa del cos de longitud l és negligible.
Considerem que el fregament del sistema amb l’aire és negligible.
Considerem que φ és prou petit (<30º) com per afirmar que sin(φ) ≃ φ , i alhora que
la trajectòria de la partícula no és circular, sinó lineal i horitzontal.
És amb aquestes consideracions que podem obtenir resultats aproximats del
moviment d’un pèndol, que no resultats exactes, mitjançant unes matemàtiques
aptes per aquest curs; tractarem el moviment d’un pèndol com si fos un M.H.S.
T ≃ 2π
√
∣l ∣
−∣g ∣
ω≃
√
−∣g ∣
∣l ∣
x(t) ≃ ∣l∣ φ(t) ≃ ∣l∣ · φ màx · sin(ωt)
x(φ) ≃ ∣l∣ · φ
φ(t) ≃ φ màx · sin(ωt)
φ(x) ≃
x
∣l ∣
(Si ∑ F = 0 + P x , llavors φ màx = φ0 )
(Considerem que la trajectòria es lineal)
v (t) = x′(t) ≃ ∣l∣ · φ màx · cos(ωt) · ω
v (φ) =/ x′(φ)
a(φ) ≃
a(t) ≃
(Això passa perquè no estem utilitzant les expressions reals)
∣g ∣
φ
∣l ∣
∣g ∣
·
∣l ∣
φ màx · sin(ωt)