Números Reales y Potencias: Guía Práctica de Matemáticas

C u r s o : Matemática
Material N° 04
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 4
UNIDAD: NÚMEROS Y PROPORCIONALIDAD
NÚMEROS REALES
POTENCIAS EN _
DEFINICIONES
a · a · a · a · a · a · a … · a = an,
con a ∈ _ – {0} y n ∈ ]
n factores
a0 = 1 , a ≠ 0
a-n =
1
an
, a ∈ _ – {0} y n ∈ ]
OBSERVACIONES
2
2
2
0n = 0, si n ≠ 0
1n = 1
00 no está definido.
Signos de una potencia:
an =
Positivo,
si a ≠ 0 y n es par.
Negativo, si a < 0 y n es impar.
EJEMPLOS
1.
-20 – 32 =
A)
B)
C)
D)
E)
2.
(-3) (-2)2 + (-3)3 : 9 =
A)
B)
C)
D)
E)
3.
10
8
-8
-9
-10
-15
-9
1
7
33
-2-4 =
A)
B)
C)
D)
E)
1
24
8
24
-42
1
24
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE POTENCIAS
Sean
a y b ∈ _ – {0},
m y n ∈ ]
Multiplicación de potencias de igual base
an · am = an + m
División de potencias de igual base
an : am = an - m
Multiplicación de potencias de distinta
base e igual exponente
an · bn = (ab)n
División de potencias de distinta base
e igual exponente
an : bn = (a : b)n
(an)m = an · m
Potencia de una potencia
EJEMPLOS
1.
-38 ⋅ 32 =
A)
B)
C)
D)
E)
2.
58 : (-5)2 =
A)
B)
C)
D)
E)
3.
-510
-56
54
56
510
(-4)2 : 22 =
A)
B)
C)
D)
E)
4.
-316
-310
-36
310
(-9)16
16
4
2
-2
-4
(35 · 85)2 =
A)
B)
C)
D)
E)
245
247
2410
2420
2450
2
NOTACIÓN CIENTÍFICA Y ABREVIADA
2
2
Un número está escrito en notación científica si se escribe de la forma k ⋅ 10n, en
que 1 ≤ k < 10 y n ∈ ] .
Un número está escrito en forma abreviada, si se escribe de la forma p ⋅ 10n, en que p
es el menor entero y n ∈ ] .
EJEMPLOS
1.
150.000.000 expresado en notación científica es
A)
B)
C)
D)
E)
2.
La notación científica de 0,00627 es
A)
B)
C)
D)
E)
3.
1,5 · 10-8
15 · 107
1,5 · 107
0,15 · 109
1,5 · 108
627 · 10-5
62,7 · 10-4
6,27 · 10-3
0,627 · 10-2
6,27 · 103
El número 0,000180 escrito en forma abreviada es
A)
B)
C)
D)
E)
180 · 10-6
18 · 10-5
1,8 · 10-4
0,18 · 10-3
18 · 105
3
NÚMEROS IRRACIONALES (I, Q')
Son aquellos números decimales infinitos no periódicos.
Los números
π = 3,141592 …,
2 = 1,414213 … son ejemplos de números irracionales.
La definición y algunas propiedades de las raíces cuadradas,
números racionales no negativos, son:
OBSERVACIÓN:
para
a y b
a = b ⇔ b2 = a
DEFINICIÓN:
PROPIEDADES
2
a ⋅
b =
ab
2
a
b
=
a
b
2
a b =
a2b
EJEMPLOS
1.
2.
¿Cuál de los siguientes números es irracional?
A)
4
B)
9
C)
16
D)
27
E)
0,25
Si a = 2 y b = 8, entonces ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) número(s)
irracional(es)?
A)
B)
C)
D)
E)
3.
I)
ab
II)
III)
ab2
a b
Sólo I
Sólo III
Sólo I y II
Sólo II y III
Ninguna de las anteriores
Al ordenar en forma creciente los números a = 4 2 , b = 3 3 y c = 2 7 , se obtiene
A)
B)
C)
D)
E)
a, b, c
a, c, b
b, c, a
c, a, b
b, a, c
4
NÚMEROS REALES (lR)
La unión del conjunto de los racionales ( _ ) y los irracionales ( _ ’) genera el conjunto de los
números reales el cual se expresa como lR.
Es decir
lR = _ ∪ _ ’
OPERATORIA EN lR
2
El resultado de una operación entre racionales es SIEMPRE otro número racional
(excluyendo la división por cero).
2
La operación entre números irracionales NO SIEMPRE es un número irracional.
2
Por otra parte, la operación entre un número racional ( _ ) y un irracional ( _ ’) da como
resultado un irracional, EXCEPTUÁNDOSE la multiplicación y la división por cero.
OBSERVACIÓN
No son números reales las expresiones de la forma n a , con a < 0 y n par.
EJEMPLOS
1.
La expresión
I)
II)
III)
5 − x es un número real para:
Cualquier valor de x.
x=5
x<5
Es(son) verdadera(s)
A)
B)
C)
D)
E)
2.
Sólo I
Sólo II
Sólo I y II
Sólo II y III
Ninguna de ellas
1
y
2
irracional(es)?
Si q =
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
q’ =
2 , ¿cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) número(s)
q2 · q’
q’2 · q
q’ : q
Sólo I
Sólo II
Sólo I y III
Sólo II y III
I, II y III
5
EJERCICIOS
1.
(-1)0 + (-2)1 + (-1)2 + (-2)3 =
A)
B)
C)
D)
E)
2.
5 – {-22 – [16 : (52 – 33)]} =
A)
B)
C)
D)
E)
3.
-7
-3
-1
1
17
79 ⋅ 11-18
7-3 ⋅ 11-6
A)
B)
C)
D)
E)
4.
-5
-8
-9
-10
8
=
1
9
76 · 11-12
712 · 11-24
712 · 11-12
56 · 86 · 2-7 · 20-7 =
A)
B)
C)
D)
E)
40-1
40-2
40-42
401
4013
6
5.
34 · 92 · 274 =
A)
B)
C)
D)
E)
6.
¿Cuál es la tercera parte de 36?
A)
B)
C)
D)
E)
7.
16
32
35
37
318
55 + 55 + 55 + 55 + 55 =
A)
B)
C)
D)
E)
8.
39
315
320
336
2710
55
56
525
255
2525
¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es(son) siempre verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
114 · 115 = 119
411 + 45 = 416
411 · 511 = 2011
Sólo I
Sólo I y II
Sólo I y III
Sólo II y III
I, II y III
7
9.
39 − 33
33
A)
B)
C)
D)
E)
10.
B)
C)
D)
E)
3-2
4-2
;
-3-1
4-1
;
30
40
;
-31
41
; ... , el valor del sexto término es
27
16
27
64
9
16
9
12
27
64
-
La luz recorre aproximadamente 300.000 kilómetros en un segundo. ¿Cómo se expresa
esta distancia en notación científica?
A)
B)
C)
D)
E)
12.
0
33
39 – 1
39
36 – 1
En la serie:
A)
11.
=
300 · 103 km
30 · 104 km
0,3 · 106 km
3 · 105 km
3 · 106 km
4-2 + 2-3 – 2-4 =
A)
B)
C)
D)
E)
1
8
1
6
1
4
-6
-8
8
13.
(0,4)-2 : (0,2)-2 =
25
4
1
1
25
1
4
A)
B)
C)
D)
E)
14.
3-2 + 3-2
3-3
A)
B)
C)
D)
E)
15.
6-1
2-1
6
17
27
28
9
(0,2-1 – 0,1-1)-1 =
A)
B)
C)
D)
E)
16.
=
1
10
1
5
5
1
5
-5
⎛
⎞
1
⎟⎟
1 – ⎜⎜
⎝ 1 − 2-1 ⎠
A)
B)
C)
D)
E)
-1
=
3
2
4
3
1
2
-1
9
17.
La masa de un electrón, que es aproximadamente 0,000091083 · 10-23 gramos,
expresada en notación científica corresponde a
A)
B)
C)
D)
E)
18.
5 · 10-3 – 2 · 10-4 =
A)
B)
C)
D)
E)
19.
48 · 10-3
48 · 10-4
4,8 · 10-4
3 · 10-7
3 · 10-1
El valor de (103)-3 · (10-3 · 0,5)-2 =
A)
B)
C)
D)
E)
20.
9,1083 · 10-29 gramos
0,91083 · 10-27 gramos
9,1083 · 10-27 gramos
91083 · 10-32 gramos
9,1083 · 10-28 gramos
2·
4-1
4·
4·
4·
10-3
· 10-3
10-3
10-12
10-15
(0,1)5 ⋅ (0,01)-2
1004 ⋅ (0,001)5
A)
B)
C)
D)
E)
=
10-8
10-6
10-2
100
106
10
21.
La expresión
A)
B)
C)
D)
E)
22.
5 · 1010
5 · 1012
5 · 1011
0,5 · 1011
2 · 1011
¿Cuál de los siguientes números es racional?
A)
B)
C)
D)
E)
23.
5
5 5
25 5
5
25
0·
5
¿Cuál(es) de los siguientes números es(son) irracional(es)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
24.
0,08 · 16000000
escrita en notación científica es
0,0004 ⋅ 0,064
Sólo
Sólo
Sólo
Sólo
Sólo
3 ⋅
12
2 +2 2
5
125
I
II
III
I y III
II y III
Al ordenar en forma decreciente los números a = 3 5 , b = 4 3
A)
B)
C)
D)
E)
c, b, a
a, b, c
b, a, c
c, a, b
b, c, a
11
y c = 5 2 , se obtiene
25.
¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) siempre verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
26.
27.
Al dividir dos números irracionales el cuociente es irracional.
Al multiplicar un número real con un número racional, el producto es
racional.
Al sumar dos números irracionales, la suma es un número real.
Sólo II
Sólo III
Sólo I y III
Todas ellas
Ninguna de ellas
¿Cuál es el valor de (-1)n?
(1)
n es par.
(2)
n + 1 es impar.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
a2 = (2a)0 si:
(1)
a=1
(2)
a = -1
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
12
28.
29.
30.
Se puede afirmar que 2,37 < M < 5,11 si:
(1)
2,4 < M
(2)
M < 48 ⋅ 10-1
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
a es irracional si:
(1)
a es primo.
(2)
a es múltiplo de 3.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
Sean r = x 2
y s=x+
2 . Los números r y s son racionales si:
(1)
x es un número irracional negativo.
(2)
x es el inverso aditivo de
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
2.
13
RESPUESTAS
Ejemplos
1
2
3
1
E
A
E
2
B
D
B
3
E
C
B
4
D
D
C
5
D
C
Págs.
CLAVES PÁG. 6
4
1.
2.
3.
4.
5.
C
B
D
E
A
C
6.
7.
8.
9.
10.
C
B
C
E
B
11.
12.
13.
14.
15.
D
A
E
C
D
16.
17.
18.
19.
20.
D
E
B
C
E
21.
22.
23.
24.
25.
A
E
B
A
B
26.
27.
28.
29.
30.
D
D
C
A
B
DSIMA04
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14