analis

Universidad Mayor de San Simon
Facultad de Ciencias y Tecnologa
Carrera de Matematicas
Primer A~no de Analisis
Hans C. Muller Santa Cruz
Cochabamba, 1998.
Contenido
I.-
Prefacio : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
Nociones Fundamentales : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
1.- Conjuntos : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
2.- Aplicaciones : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
3.- Relaciones de Orden : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
4.- Ejercicios : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
II.- Los Numeros : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
1.- Los Naturales : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
2.- Los Enteros : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
3.- Los Racionales : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
4.- Los Reales : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
5.- Los Complejos : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
6.- Ejercicios : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
III.- Sucesiones y Lmites en los Reales : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
1.- Conceptos Basicos : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
2.- Reglas de Calculo : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
3.- Sucesiones Monotonas : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
4.- Algunos Lmites Importantes : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
5.- Sucesiones de Cauchy : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
6.- Ejercicios : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
IV.- Series : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
1.- Conceptos Basicos : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
2.- Series a Terminos Positivos : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
3.- Seriea a terminos positivos y negativos : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
4.- Ejercicios : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
V.- Topologa de la Recta Real : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
1.- Abiertos y Cerrados : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
2.- Algunos Puntos y Conjuntos Particulares : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
3.- Ejercicios : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
VI.- Funciones Continuas : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
1.- Lmites : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
2.- Continuidad : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
3.- Ejercicios : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
VII.- Diferenciacion : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
1.- Derivadas : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
2.- Comportamiento de Funciones : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
3.- Ejercicios : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
VIII.- La Integral de Riemann : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
1.- Construccion de la Integral de Riemann : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
iii
1
1
3
5
8
11
8
15
16
19
30
33
37
37
41
44
47
50
51
55
55
60
65
69
73
73
76
80
83
83
89
98
101
101
106
116
119
119
ii
Contenido
2.- Propiedades de la Integral : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
3.- Los Teoremas Fundamentales del Calculo Integral : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
4.- Integrales Impropias : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
5.- Ejercicios : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
IX.- Suceciones y Series de Funciones : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
1.- Sucesiones de Funciones : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
2.- Series de Funciones : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
3.- Series de Potencias o (Series Enteras) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
4.- Ejercicios : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
X.- Algunas Series Particulares : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
1.- La Funcion Exponencial : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
2.- La Funcion Logaritmo : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
3.- Funciones Trigonometricas : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
4.- Funciones Trigonoetricas Inversas : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
5.- La Serie Binomial : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
6.- Ejercicios : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
XI.- Series de Taylor : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
1.- Series de Taylor : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
2.- Ejercicios : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
XII.- Funciones en Varias Variables : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
1.- Espacios Reales Finito Dimensionales : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
2.- Aplicaciones en Varias Variables : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
3.- Ejercicios : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
XIII.- Ecuaciones Diferenciales Ordinarias : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
1.- Terminologa Basica : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
2.- Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
3.- Problemas de Existencia y Unicidad : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
4.- Ecuaciones de Orden Superior : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
5.- Ejercicios : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
XIV.- Funciones Diferenciales : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
1.- Derivadas Parciales de una Funcion : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
2.- Diferenciabilidad de una Funcion a Varias Variables : : : : : : : : : : : : : : : : :
3.- Ejercicios : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
XV.- Integrales Dependientes de un Parametro : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
1.- Integrales Dependientes de un Parametro : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
2.- Ejercicios : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
XV.- La Integral de Riemann en los Espacios n Dimensionales : : : : : : :
1.- Construccion de la Integral : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
2.- Funciones Integrables : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
3.- La Integral de Riemann sobre Conjuntos Acotados : : : : : : : : : : : : : : : : : :
4.- Integrales Iteradas e Integral de Riemann : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
126
132
137
142
147
147
151
154
161
163
163
166
170
174
176
180
183
183
192
195
195
200
203
205
205
207
218
223
239
245
245
248
256
259
259
262
265
265
269
272
269
Prefacio
El Analisis es una de las ramas fundamentales de las Matematicas por un lado, porque
es herramienta de trabajo imprescindible en otras areas de las matematicas como la
Geometra, el Analisis Numerico, las Estadsticas y otras por otro lado, el Analisis en si
constituye una de las almas que le dan la fuerza a las matematicas.
El texto de Analisis esta inscrito dentro el desarrollo que pretende dar la Carrera de
Matematicas en su nueva formulacion. Este texto contiene lo mas importante dentro lo
que es el Analisis, dando el vocabulario y conceptos de base para una buena utilizacion,
presentando los razonamientos de manera rigurosa y en lo posible elegante. El texto esta
dise~nado para seguirlo durante un a~no academico con 4 horas semanales de teora.
Para un buen asimilacion de los conocimientos y razonamientos de este texto las
deniciones y conceptos mas signicativos estan escritos en negrillas, estos deberan ser
memorizados y manipulados uidamente. Los resultados mas importantes estan expresados en los teoremas, corolarios y proposiciones, estos deberan tambien ser memorizados
para manejarlos de manera uida. Las demostraciones de este texto deberan ser trabajadas, con la nalidad de adquirir las diferentes tecnicas de demostracion que se emplean
en el Analisis. Con nes pedagogicos, en algunos paragrafos se presentan los resultados
fundamentales que seran tratados en el paragrafo en cuestion, estos estan escritos en
caracteres italicos.
La practica del curso, es una fuente para practicar los conocimientos adquiridos y as
mismo como un medio de adquirir conocimientos adicionales. Por lo tanto, una resolucion
en gran numero de estos ejercicios, podra medir el grado de asimilacion del estudiante.
Captulo I
Nociones Fundamentales
I.1 Conjuntos
El estudiante para seguir este primer curso de analisis debe manejar y manipular
uidamente los elementos basicos de la logica matematica. Es importante que distinga y
utilise correctamente los smbolos logicos.
Denicion I.1.1.- Un conjunto A es una coleccion de objetos bien determinados, que
se los llama sus elementos.
Se escribe a 2 A para expresar que a es elemento del conjunto A. Los elementos de un
conjunto A se los reconoce, expresando:
A = fa b : : : cg por una lista.
A = fxjregla para denir los elementos de Ag:
Ejemplos
1.- N = f1 2 3 : : :g el conjunto de los numeros naturales.
2.- Z = f0 1 2 3 : : :g el conjunto de los enteros.
3.- Q = f 10 11 21 : : :g el conjunto de los racionales.
4.- R + = fx 2 R jx > 0g el conjunto de los reales positivos.
5.- el conjunto vacio.
Subconjuntos
Denicion I.1.2.- Se dice que B es subconjunto de A, y se denota B A si
x 2 B ) x 2 A o dicho de otra forma 8x 2 B x 2 A:
Proposicion I.1.3.- Se tiene:
i)
ii)
iii)
A A para todo conjunto A, (reexividad):
A B y B C ) A C (transitividad).
A = B () B A y A A (antisimetra).
2
I Nociones Fundamentales
Demostracion.- Ejercicio.
Ejemplo
6.- Intervalos de R , sean a b 2 R con a < b
a b] = fx 2 R ja x bg intervalo cerrado:
]a b= (a b) = fx 2 R ja < x < bg intervalo abierto:
Operaciones con Conjuntos
A continuacion denimos algunas de las operaciones mas importantes entre conjuntos
que seran vistas a menudo en el curso.
Denicion I.1.4.- El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto
A B = f(a b)ja 2 A y b 2 B g
los elementos (a b) se llaman pares ordenados y
(a b) = (a b ) () a = a y b = b :
0
0
0
0
Suponemos la existencia de un conjunto U que lo llamamos conjunto universo, Sean
A B U conjuntos, tenemos:
Denicion I.1.5.- La union de dos conjuntos A y B es el conjunto
A B = fx 2 U jx 2 A o x 2 B g:
Denicion I.1.6.- La interseccion de dos conjuntos A y B es el conjunto
A B = fx 2 U jx 2 A y x 2 B g:
Denicion I.1.7.- Sea A E , se llama complemento de A respecto E al conjunto
ACE = fxjx 2 E y x 62 Ag
si E = U es el conjunto universo, se puede denotar AC .
Denicion I.1.8.- La diferencia de dos conjuntos A y B es el conjunto
A ; B = AnB = fxjx 2 A y x 62 B g:
Proposicion I.1.9.- La union, la interseccion y el complemento de conjuntos verican:
conmutatividad:
asociatividad:
distributividad:
reglas de Morgan:
A B = B A A \ B = B \ A
A (B C ) = (A B ) C A \ (B \ C ) = (A \ B ) \ C A (B \ C ) = (A B ) \ (A C )
A \ (B C ) = (A \ B ) (A \ C )
(A \ B )C = AC B C (A B )C = AC \ B C :
3
I.2 Aplicaciones
Demostracion.-Ejercicio.
I.2 Aplicaciones
Sean M y N dos conjuntos no vacios, tenemos
Denicion I.2.1.- Una relacion de M a N es un subconjunto R M N . (Ver gura
I.1)
R
Figura I.1.- Representacion de una Relacion.
Denicion I.2.2.- Una funcion o aplicacion de M en N es una relacion R de M en N
tal que:
8m 2 N 9!n 2 N
con (m n) 2 R:
Es usual representar por f : M ! N una funcion y f (m) = n cuando (m n) 2 R. Se
llama imagen de la funcion al conjunto N y dominio o preimagen al conjunto M .
Denicion I.2.3.- Sea f : M ! N , A M , se llama imagen de A por f , o simplemente
imagen de A al conjunto
f (A) = fy 2 N j9x 2 M con f (x) = yg:
Denicion I.2.4.- Sean f : M
N , B N , se llama preimagen de B por f , o
simplemente preimagen o imagen inversa de B al conjunto
!
f 1(B ) = fx 2 M jf (x) 2 B g:
;
Denicion I.2.5.- Se dice que la aplicacion f : M ! N es inyectiva si
f (m) = f (n) ) m = n:
4
I Nociones Fundamentales
Denicion I.2.6.- Se dice que la aplicacion f : M ! N es sobreyectiva si
8n 2 N 9m 2 M
con f (m) = n:
Denicion I.2.7.- Se dice que la aplicacion f : M ! N es biyectiva si f es sobreyectiva
e inyectiva.
Ejercicio.- Mostrar que f : M
N es inyectiva si y solamente si para todo n 2 N
existe a lo mas un m 2 M tal que f (m) = n.
Ejercicio.- Mostrar que f : M ! N es sobreyectiva si y solamente si para todo n 2 N
existe al menos un m 2 M tal que f (m) = n.
Ejercicio.- Mostrar que f : M ! N es biyectiva si y solamente si para todo n 2 N
existe solamente un m 2 M tal que f (m) = n.
Por el ejercicio precedente, cuando f : M ! N es biyectiva, para todo n 2 N existe
exactamente un m 2 M tal que f (m) = n, de donde tiene sentido denir la aplicacion
!
f
f
1
;
1:N !M
;
n 7! m
se llama aplicacion inversa y solamente existe cuando f es biyectiva.
Composicion de Aplicaciones
Sean f : M ! N y g : N ! P aplicaciones, denimos la composicion de g con f a la
aplicacion
gf :N !P
m 7! g(f (m)):
Proposicion I.2.8.- Sea f : M ! N biyectiva, entonces
i)
ii)
f 1 f = idM f f 1 = idN ;
;
donde idM : M ! M es la aplicacion identidad (idM (m) = m para todo m 2 M ), idem
para idN .
Demostracion.- Ejercicio.
Proposicion I.2.9.- La composicion de funciones cada vez que tenga sentido, es
asociativa es decir
f (g h) = (f g) h:
Demostracion.- Ejercicio.
Proposicion I.2.10.- Sean f : M ! N y g : N ! P , entonces:
i) f y g sobreyectivas ) g f sobreyectiva.
5
I.3 Relaciones de Orden
f y g inyectivas ) g f inyectiva.
f y g biyectivas ) g f biyectiva.
g f sobreyectiva ) g sobreyectiva.
g f inyectiva ) f inyectiva.
Demostracion.- Demostremos i). Por hipotesis, f y g son sobreyectivas, por consiguiente:
ii)
iii)
iv)
v)
8n 2 N 9m 2 M tal que f (m) = n
8p 2 P 9n 2 N tal que g (n) = p:
I.1
I.2
Debemos mostrar que 8p 2 P 9m 2 M tal que g f (m) = p. Ahora bien, sea p 2 P
dado, por (I.2) existe n 2 N tal que g(n) = p, para este n por (I.1) existe m 2 M tal que
f (m) = n, de donde
p = g(f (m)) = g f (m):
ii), iii), iv) y v) en la practica de ejercicios.
I.3 Relaciones de Orden
Retomando la denicion I.2.1, sea R M N una relacion de M a N , caso interesante
cuando M = N .
Denicion I.3.1.- Una relacion R M M se llama relacion binaria sobre M . Si
(a b) 2 R se dice que a y b estan en relacion, a esta relacionado con b y es usual denotarlo
por aRb.
Denicion I.3.2.- Diremos que una relacion binaria R sobre M es reexiva si 8a 2 M
aRa.
Denicion I.3.3.- Diremos que una relacion binaria R sobre M es simetrica si aRb )
bRa.
Denicion I.3.4.- Diremos que una relacion binaria R sobre M es transitiva si
aRb y bRc ) aRc:
Denicion I.3.5.- Diremos que una relacion binaria R sobre M es antisimetrica si
aRb y bRa ) a = b:
Denicion I.3.6.- Una relacion
que es reexiva, simetrica y transitiva se llama
relacion de equivalencia. Es costumbre denotar una relacion de equivalencia por el smbolo
en lugar de R, es decir (a b) 2 R () a b.
Denicion I.3.7.- Una relacion R sobre M que es reexiva, antisimetrica y transitiva
se llama relacion de orden y en este caso se dice que M es un conjunto ordenado
R
6
I Nociones Fundamentales
Es costumbre denotar una relacion de orden por el smbolo en lugar de R, es decir
(a b) 2 R () a b. Y a b () a b y a 6= b.
Los diagramas de Venn son utiles para visualizar, no para demostrar, operaciones
con conjuntos. Similarmente los diagramas de Hasse son comodos para visualizar algunos
conjuntos ordenados. En la gura I.2 observamos que los elementos que estan relacionados
son aquellos que se conectan mediante las aristas y la relacion esta dada en sentido
vertical, el elemento e esta relacionado solamente consigo mismo.
h
g
f
e
d
c
b
a
Figura I.2.- Diagrama de Hasse.
Ejemplos
1.- Sobre el conjunto Z de los enteros, la relacion
ab
()
b ; a es par
es una relacion de equivalencia. Vericarlo.
2.- Sobre M = fdjd es una recta del planog, la relacion
d1 d2
()
d1 k d2
es una relacion de equivalencia.
3.- Sobre M = fAjA es un conjunto nitog, la relacion
AB
es una relacion de equivalencia.
() 9f
: A ! B biyectiva
7
I.3 Relaciones de Orden
4.- La relacion sobre N denida por
ab
()
b = ka con k 2 N
es una relacion de orden.
5.- Sobre M = fk 2 Zjk es divisor de 48g, la relacion
ab
()
b = ka con k 2 Z
es una relacion de orden.
6.- Sobre P (E ) = fAjA E g la relacion
AB
()
AB
es una relacion de orden.
7.- Sobre N , o Z, o Q , o R, la relacion
ab
()
a b (en el sentido normal)
es una relacion de orden.
8.- Sobre M = R R , la relacion denida por
(a1 a2) (b1 b2)
()
a1 < b1 o (a1 = b1 y a2 b2)
es un orden. Este orden se conoce como orden lexicograco.
9.- Sobre M = Q Q , la relacion denida por
(a1 a2) (b1 b2)
()
a1 b1 y a2 b2
es un orden.
Ejercicio.- Mostrar que los ejemplos son correctos.
Denicion I.3.8.- Un orden se llama total sobre un conjunto M , si para par de
elementos a b 2 M , se tiene siempre sea a b, sea b a. Se dice entonces que M
es totalmente ordenado.
Remarca.-Es usual utilizar el simbolo cuando el orden es total.
Denicion I.3.9.- Sea M un conjunto ordenado, A M . Se dice que a 2 A es un
elemento maximal si 6 9x 2 A tal que a < x.
Denicion I.3.10.- Sea M un conjunto ordenado, A M . Se dice que a 2 A es un
elemento minimal si 6 9x 2 A tal que x < a.
Denicion I.3.11.- Sea M un conjunto ordenado, A M . Se dice que a 2 A es un
elemento maximo o mas grande si 8x 2 A x a.
Denicion I.3.12.- Sea M un conjunto ordenado, A M . Se dice que a 2 A es un
elemento mnimo o mas peque~no si 8x 2 A a x.
8
I Nociones Fundamentales
Denicion I.3.13.- Sea M un conjunto ordenado, A M . Se dice que x 2 M es un
mayorante de A si 8a 2 A a x.
Denicion I.3.14.- Sea M un conjunto ordenado, A M . Se dice que x 2 M es un
minorante de A si 8a 2 A x a.
Proposicion I.3.15.- Sea A M , donde M es ordenado. Si A tiene un elemento maximo
(mnimo), entonces este es unico.
Demostracion.- Ejercicio.
Proposicion I.3.16.- En un orden total maximo y maximal signica lo mismo, de la
misma manera mnimo y minimal son conceptos equivalentes.
Demostracion.- Ejercicio.
Denicion I.3.17.- Sea M un conjunto ordenado, A M . El supremo de A si existe
es el mayorante mas peque~no, denotamos por sup A.
Denicion I.3.18.- Sea M un conjunto ordenado, A M . El nmo de A si existe es
el minorante mas grande, denotamos por inf A.
I.4 Ejercicios
1.- Si X y Y son subconjuntos del conjunto A, mostrar que
(X Y )CA = X CA \ Y CA :
2.- Sean A y B subconjuntos de un conjunto X . Demostrar que las cuatro propiedades
siguientes son equivalentes:
AB
A \ B CX = B CX ACX
ACX B = X
i)
ii)
iii)
iv)
3.- Sean A y B subconjuntos de un conjunto E . Vericar las propiedades de la funcion
caracterstica
A : E ;! R
( 1 si x 2 A
A (x) =
0 si x 2 X ; A
i) C = 1 ; A donde C = AC
ii) A B = A B .
iii) A B = A + B ; A B .
\
9
I.4 Ejercicios
4.- Dadas las funciones f g h : R ! R denidas por
f : x 7! x3 ; x
g : x 7! x3 + x
h : x 7! x2 ; 4:
Analizar la inyectividad, sobreyectivdad y biyectividad de cada una de estas funciones.
5.- Demostrar que si ' : N ! P y : M ! N son aplicaciones, se tiene
a) ' y inyectivas ) ' inyectiva.
b) ' y sobreyectivas ) ' sobreyectiva.
c) ' y biyectivas ) ' biyectiva.
d) ' inyectiva ) inyectiva.
e) ' sobreyectiva ) ' sobreyectiva.
6.- Sean ' : N ! P y : M ! N biyectivas. Denotamos ' 1 y 1 sus inversas.
a) Demostrar que ' 1 admite una inversa y que
;
;
;
(' 1 ) 1 = ':
;
;
b) Demostrar que ' admite una inversa y que
(' ) 1 =
;
1 ';1 :
;
7.- Sea A un conjunto y P (A) el conjunto de sus subconjuntos. Mostrar que una
aplicacion f : A ! P (A) no puede ser Sobreyectiva.
Indicacion: Considerar el subconjunto A = fx 2 Ajx 62 f (x)g y mostrar que no
existe ningun b 2 A tal que f (b) = A .
8.- Se considera M = Q Q con los ordenes siquientes:
0
0
i)
ii)
(a1 a2) (b1 b2)
(a1 a2) (b1 b2)
()
()
a1 < b1 o (a1 = b1 y a2 b2 )
a1 b1 y a2 b2:
Se dene los subconjuntos
A = f(x1 x2) 2 M jx21 + x22 2g
B = f(x1 x2) 2 M jx21 + x22 < 1g:
Para ambos ordenes, >Cuales son los mayorantes y minorantes de A y B ? Determinar
tambien sup A, inf A, sup B , inf A.
9.- Demostrar que la union de subconjuntos es distributiva respecto a la interseccion es
decir
E (F \ G) = (E F ) \ (E G)
10
I Nociones Fundamentales
Mostrar tambien que la interseccion tiene la misma propiedad
E \ (F G) = (E \ F ) (E \ G):
10.- Considerar el conjunto de las sucesiones (ai)i N donde ai = 1 o 0. Se dota al conjunto
de tales sucesiones del orden siguiente, (llamado orden lexicograco).
2
(ai)i
2N
(bi )i2N ()
8 a = b 8i 2 N >
<i i
o
>
: 9l 2 N j ai = bi (i = 1 : : : l ; 1) y al < bl:
Mostrar que este orden es total.
11.- Determinar los mayorantes, minorantes, elementos maximales y minimales, supremos,
nmos, mas grandes y mas peque~nos elementos de A (si existen) en los casos
siguientes
a)
b)
c)
con el orden usual, A = f2kjk = 1 2 : : :g
N con el orden a b si a divide b A = f10k jk = 2 3 : : :g
Q con el orden usual, A = fx 2 Q j0 x 1g
Z
12.- Sean L M N conjuntos, y L M , L 6= M . Sea ' : M ! N . Demostrar
a) Si ' es inyectiva, 'jL tambien es inyectiva.
b) Si 'jL es sobreyectiva, ' tambien es sobreyectiva.
Captulo II
Los Numeros
II.1 Los Naturales
Sin hacer una presentacion axiomatica rigurosa de los numeros naturales, presentacion
que se vera en uno de los cursos de algebra abstracta, estudiaremos el conjunto de los
numeros naturales con sus propiedades mas importantes.
Suponemos la existencia del conjunto N de los enteros naturales, cuyos elementos
son 1 2 3 : : : con las propiedades siguientes:
i.- N esta provisto des operaciones internas:
adicion : N N ! N
(m n) 7! m + n
multiplicacion : N N ! N
(m n) 7! m n
que son:
a) asociativas
a + (b + c) = (a + b) + c
a (b c) = (a b) c
b) conmutativas
a + b = b + a
a b = b a
c) es distributiva respecto a +,
a (b + c) = a b + a c
d) el entero 1 tiene la propiedad
1 a = a 8a 2 N :
12
II Los Numeros
Remarca.-Es usual prescindir del smbolo para expresar la multiplicacion es decir,
en lugar de a b, se escribe ab. El elemento 1 por d) es un elemento neutro para la
multiplicacion.
ii.- N es un conjunto totalmente ordenado con la relacion de orden denida por
a<b
()
si 9c 2 N tal que b = a + c:
tiene la propiedad expresada por el Axioma de induccion (AI) dado por:
Si E N con E 6= satisface
a) 1 2 E ,
b) n 2 E ) n + 1 2 E entonces E = N .
Proposicion II.1.1.- La relacion de orden es compatible con + y en el sentido
siguiente:
a+c < b+c
a b c 2 N y a < b )
ac < bc:
iii.-
N
Demostracion.- Por hipotesis se tiene b = a + k para algun k
por lo tanto
(a + k)+ c = b + c. Aplicando la asociatividad y conmutatividad de la adicion, obtenemos
(a + c) + k = b + c, de donde
a + c < b + c:
Para la multiplicacion, tenemos (a + k)c = bc, utilizando la distributividad, obtenemos
ac + kc = bc, de donde
ac < bc:
La compatibilidad de la adicion y multiplicacion en el caso en que a = b es trivial.
Proposicion II.1.2.-
2 N,
es generado por el elemento 1 es decir, cualquier elemento
n 2 N se obtiene adicionando 1 consigo mismo una cantidad nita de veces.
Demostracion.- Sea E el conjunto de los naturales que son generados por 1, E 6= por
que 1 2 E . Supongamos que n 2 E , entonces
N
n = 1| + 1 +{z + 1}
nita
de donde
n + 1 = 1| + 1 +{z + 1} +1 = |1 + 1 + {z + 1 + 1}
nita
nita
por el axioma de induccion E = N .
Convencion.- n = 1| + 1 +{z + 1}
n veces
13
II.1 Los Naturales
Corolario II.1.3.- Se tiene 8n m 2 N
nm = m
| + m +{z + m} :
n veces
Demostracion.- Ejercicio.
Remarca.- El resultado del corolario precedente, puede servir para denir la multiplicacion en los naturales, es una propiedad que sera muy util posteriormente.
El Principio del Buen Orden
Denicion II.1.4.- Se dice que un orden total sobre un conjunto M es un buen
orden si todo subconjunto no vacio de M tiene un elemento mnimo. Si este es el caso
se dira que M es un conjunto bien ordenado.
Teorema II.1.5.- Principio del Buen Orden (PBO). N con el orden es un conjunto
bien ordenado.
Demostracion.- Por el absurdo, supongamos que existe un conjunto F
que no tiene un elemento mnimo. Sea
N
no vacio
E = fnjn 2 F C y n < m 8m 2 F g
1 2 E en efecto, por la proposicion III.1.2 1 n para todo n 2 N , 1 62 F , sino 1 sera el
mnimo.
Supongamos que n 2 E , por consiguiente para todo m 2 F n < m es decir, para todo
m 2 F , existe km 2 N tal que m = n + km . Ahora bien, ningun km puede ser igual a 1,
porque sino n + 1 2 F y sera un elemento mnimo. De donde, 1 < km y n + 1 < m, por
lo tanto n + 1 2 E , de donde E = N , con lo que llegamos a una contradiccion.
Remarca.- En realidad el Axioma de Induccion y el Principio del Buen Orden son
equivalentes, la demostracion de la implicacion en el otro sentido la dejamos como
ejercicio. Muchas veces es mas comodo tratar N como un conjunto bien ordenado.
Por otro lado, el Axioma de Induccion es utilizado a menudo para hacer demostraciones en el contexto siguiente: Se quiere demostrar una proposicion dependiente de un
entero positivo n. Para mostrar que P (n) es cierto para todo n 2 N , es suente mostrar
que:
a) P (1) es cierto, y
b) Si P (n) es cierto para un cierto nN , entonces P (n + 1) es tambieen cierto.
Esto es una consecuencia del Axioma de Induccion en efecto, consideremos
E = fn 2 N jP (n) ciertog
Por el inciso a) 1 2 E , b) da n 2 E ) n + 1 2 E , de donde E = N .
Ejemplo
1.- Demostrar que la suma de los n primeros enteros positivos es igual a n(n2+1) .
14
II Los Numeros
Dicho de otra manera, se trata de mostrar que P (n) cierto 8n 2 N donde
1 + 2 + 3 + + n = n(n2+ 1) :
Se muestra:
a) P (1) es cierto en efecto, P (1) arma que
1 = 1(1 2+ 1) :
b) P (n) cierto signica que
1 + 2 + 3 + + n = n(n2+ 1) es cierto.
P (n + 1) se escribe
1 + 2 + 3 + + n + n + 1 = (n + 1)(2 n + 2) podemos rescribir P (n + 1) as
(1 + 2 + 3 + + n) + n + 1 = (n + 1)(2 n + 2) :
Si P (n) es cierto P (n + 1) escribimos
(n + 1)(n + 2) + (n + 1) = (n + 1)(n + 2) :
2
2
lo que se demuestra facilmente, el lado izquierdo se escribe
(n + 1)( n2 + 1) = (n + 1)( n +2 2 )
que es bien igual al lado derecho de P (n + 1).
15
II.2 Los Enteros
II.2 Los Enteros
En N la ecuacion a + x = b tiene solucion que si a < b, no existiendo solucion en los otros
dos casos es decir, a = b o a > b.
En esta seccion construiremos Z el conjunto de los enteros, en base al problema
planteado al inicio de este paragrafo. Agregamos a N los smbolos 0, lease cero, y
;1 ;2 , ;n lease el opuesto de n con las siguientes propiedades:
i.- 0 es la solucion de la ecuacion a + x = a, a 2 N .
ii.- Si a 2 N ;a es la solucion de a + x = 0.
En este nuevo conjunto Z = N f0g f;njn 2 N g denimos las operaciones + y
, de manera que estas operaciones restringidas a N den lo que se conoce ya y ademas
satisfagan:
a) asociativas
a + (b + c) = (a + b) + c
a (b c) = (a b) c
b) conmutativas
a + b = b + a
a b = b a
c) es distributiva respecto a +,
a (b + c) = a b + a c
d) el entero 0 tiene la propiedad
0 + a = a 8a 2 Z:
e) el entero 1 tiene la propiedad
1 a = a 8a 2 Z:
Remarca.-Con y +, Z es un anillo unitario (con 1) conmutativo para la multiplicacion.
Ejercicio.- Mostrar que es posible denir la multiplicacion y la adicion en Z con las
propiedades dadas mas arriba ademas que solamente hay una manera de denirlas.
Sobre Z denimos la relacion de orden a<b
() 9k 2 N jk
+ a = b:
Proposicion II.2.1.- La relacion sobre Z es una relacion de orden total.
Demostracion.- Ejercicio.
16
II Los Numeros
Remarca.- La sustraccion en Z se la dene como a ; b = a + (;b). Por consiguiente
el smbolo ; se lo puede utilizar de manera indistinta, dependiendo el contexto, como
smbolo de sustraccion o bien de opuesto.
Remarca.- La relacion de orden sobre Z restringida a N es la misma relacion denida sobre N .
Proposicion II.2.2.- La relacion sobre Z es una relacion de orden compatible con y +, en el siguiente sentido
a b c 2 Z y a b
)
a b c 2 Z y a b
)
a + c b + c
8 ac bc si c > 0
>
<
ac = bc si c = 0
>
: ac bc si c < 0
Demostracion.- Ejercicio.
Este pasaje de N a Z se llama extension por extensiones sucesivas se obtendra Q ,
R y nalmente C .
Historicamente, se ha calculado primero en N , luego en Z, despues en Q , en R y por
ultimo en C . Cada una de estas extensiones se motivo por la preocupacion de resolver
ciertas ecuaciones, hasta entonces posibles solamente en ciertos casos particulares:
i.- Para resolver a + x = b, incluso cuando a b, se extiende N para obtener Z.
ii.- Para resolver ax = b con a b 2 Z, incluso cuando ajb, se extiende Z para obtener Q .
II.3 Los Racionales
Denicion II.3.1.- En Z, se dice que a divide b, se nota ajb, si existe un unico c 2 Z
tal que ac = b. Sino, se nota a 6 jb.
Ejemplos
1.- 1ja, porque a = 1a.
2.- Si a 6= 0, aj0, porque 0 = 0a 8a 2 Z con a 6= 0.
3.- 0 no es divisor de ningun entero a, inclusive si a = 0. La denicion indica que c tal
que 0 = c0 debe ser unico.
4.- 12j144 porque 144 = 12 12.
5.- 13j17 porque 6 9c 2 Z tal que 17 = c 13.
Por consiguiente, en Z ciertas ecuaciones ax = b no tienen solucion. Extendemos Z
para obtener un nuevo conjunto Q donde toda ecuacion ax = b con a 6= 0 admite una
solucion. Si a b 2 Z y a 6= 0, se denota por
b 2Q
a
17
II.3 Los Racionales
la solucion x de ax = b.
Proposicion II.3.2.- Si a b c d 2 Z, con a 6= 0 y c 6= 0, entonces:
b = d en Q
a c
()
ad = bc en Z:
Demostracion.- Ejercicio.
En Q , se dene la adicion + y la multiplicacion , de la manera siguiente:
a + c = ad + bc b d
bd
a c = ac :
b d bd
Se dene el orden sobre Q a partir del orden que se conoce sobre Z, planteando
a c si b > 0 d > 0 y ad bc:
b d
Remarca.- Siempre se puede llevar al caso en que b > 0 y d > 0 multiplicando, si es
necesario, el numerador y denominador por ;1 en razon de la proposicion precedente.
Constatamos inmediatamente que el orden que se acaba de denir sobre Q es un
orden total.
Denicion II.3.3.- Se dice que un conjunto K es un cuerpo, si esta provisto de dos
operaciones internas, que las denotamos + (adicion) y (multiplicacion) con las siguientes
propiedades
i.- a + (b + c) = (a + b) + c asociatividad de la adicion.
ii.- 90 2 K , llamado cero que verica
8a 2 K iii.iv.v.vi.-
a + 0 = 0 + a = a:
llamado opuesto que verica a + (;a) = (;a) + a = 0.
a + b = b + a, conmutatividad de la adicion.
(a b) c = a (b c) asociatividad de la multiplicion.
91 2 K , llamado uno que verica
8a 2 K , 9 ; a 2 K ,
8a 2 K 1 a = a 1 = a:
con a 6= 0, 9a 1 2 K llamado inverso multiplicativo o simplemente
inverso que verica a a 1 = a 1 a = 1.
viii (a + b) c = a c + b c distributividad de la adicion.
Denicion II.3.4.- Se dice que K es un cuerpo conmutativo si K es cuerpo tal que
la multiplicacion es conmutativa, es decir
vii.- 8a
2 K
;
;
;
a b = b a:
18
II Los Numeros
Denicion II.3.5.- Se dice que K es un cuerpo conmutativo ordenado si K es un
cuerpo conmutativo y K es totalmente ordenado como conjunto con el orden compatible
con las operaciones en el siguiente contexto:
a b c 2 K (
si a b ) a + c b + c
a > 0 y b > 0 ) a b > 0:
Teorema II.3.6.- Q es un cuerpo conmutativo ordenado.
Demostracion.- Ejercicio.
Proposicion II.3.7.- Q es denso en Q es decir, si a b 2 Q con a < b, entonces existe
c 2 Q tal que a < c < b.
Demostracion.- Suciente tomar por ejemplo
c = 12 (a + b):
Esta propiedad que acabamos de demostrar para Q , Z no la tiene.
Descubrimiento de los numeros irracionales
El teorema de Pitagoras, enuncia que en un triangulo rectangulo de catetos que
miden b y c e hipotenusa que mide a, se tiene
a2 = b2 + c2 :
La identidad
(x2 ; y2)2 + (2xy)2 = (x2 + y2)2
da esencialmente todas las soluciones de a2 = b2 + c2 en funcion de dos parametros x y
y. De esta manera se encuentra todas las soluciones enteras de esta ecuacion, como ser
la mas conocida b = 3 c = 4 y a = 5. Puede vericarse sin dicultad que son tambien
soluciones de la ecuacion los enteros de la forma 3k, 4k y 5k, como tambien los racionales
3k 4k y 5k :
p p
p
Podriamos enunciar que dados b y c racionales, existe a racional tal que
b2 + c2 = a2 sin embargo, todos los intentos de mostrar que existe un racional a tal que 12 + 12 = a2
fueron vanos, hasta que
Proposicion II.3.8.- No existe a 2 Q tal que a2 = 2.
Demostracion.- Por el absurdo, suponemos que existe a 2 Q tal que a2 = 2. a 6= 0,
porque 02 = 0. Podemos suponer que a > 0, sino ;a tambien es solucion. De la manera
que Q esta denido, a admite una representacion de la forma
a = pq II.4 Los Reales
19
con p q 2 N primos entre si. Por lo tanto
p2 = 2
q2
de donde p2 = 2q2 . Esto signica que p2 es par. Utilizando la implicacion, cuya
demostracion la dejamos como ejercicio,
p impar ) p2 impar
deducimos que p es par es decir p = 2k. Observamos enseguida que 4k2 = 2q2, de donde
2k2 = q2 , dando por lo tanto que q es par. Contradiciendo el hecho que p y q son primos
entre si.
Este resultado fue demostrado por los Griegos, mostrando que Q es en cierto sentido
incompleto. Es en el siglo XIX que se lleno de manera rigurosa estas lagunas mediante
los trabajos de Kronecker, Dedekind y Cauchy
II.4 Los Reales
Una alternativa para llenar estas lacunas, consistira en agregar
p nuevos elementos a Q ,
tal como se hizo en las extensiones precedentes. Por ejemplo 2 como aquel numero x
que satisface x2 = 2, sera un elemento a agresarse a Q , sin embargo este procedimiento
no es nada practico.
p
Comencemos retomando la expresion de 2 en un contexto diferente, aquel del
supremo en un conjunto (de los racionales). En Q , consideremos el subconjunto
G = fq 2 Q jq < 0 o q2 < 2g:
Proposicion II.4.1.- El conjunto G no admite supremo en Q .
Demostracion.- Hemos visto que no existe q 2 Q tal que q2 = 2. Denamos
D = fq 2 Q jq > 0 y q2 > 2g:
Se tiene G D = Q y G \ D = .
Si G tuviera un supremo racional, este supremo estara, sea
i en G, sera entonces el elemento mas grande.
ii en D, sera entonces el elemento mas peque~no de D, por que cada d 2 D es un
mayorante de G y el sup es el mayorante mas peque~no.
Se va demostrar que G no tiene elemento maximo, ni que D tiene elemento mas
peque~no. En efecto, consideremos las desigualdades siguientes:
2r + 2 2
2
2
r < 2 ) r < r + 2 < 2 y 2rr++22 2 Q 2r + 2 2
2
r > 22 ) 2 < r + 2 < r2:
20
II Los Numeros
Cortaduras
p
Se ve que el numero irracional 2 puede ser construido realizando una particion de Q
en dos subconjuntos G y D, (G D = Q y G \ D = ) tales que G no tiene elemento
maximo, ni D tiene elemento mnimo. Este es un ejemplo de lo que Dedekind llama una
cortadura.
Denicion II.4.2.- Una cortadura del conjunto Q es un subconjunto A Q no vacio,
tal que
1.- Si a 2 A y si x 2 Q es tal que x a, entonces x 2 A
2.- A no tiene elemento maximo, es decir 8a 2 A, 9a 2 A tal que a < a .
0
0
Los axiomas de R
Segun la intuicion que se tiene, R es un cuerpo conmutativo ordenado, (Q tambien, de
acuerdo a lo que precede). Hay que arreglarse para que R no presente lagunas como
aquella que se constato en Q .
Se muestra que es suciente para esto agregar a los axiomas de cuerpo conmutativo
ordenado, un axioma adicional.
Axioma de Dedekind.- Si R = G D con G y D no vacios y si 8g 2 G foralld 2 D
g d, entonces 9 2 R tal que g d 8g 2 G 8d 2 D.
Remarcas.1.-
no satisface al axioma de Dedekind, se lo ha constatado considerando
G = fq 2 Q jq < 0 o q2 < 2g:
G se llama cortadura segun Dedekind, se puede obtener un nuevo numero, tomando
todava
D = fq 2 Q jq > 0 y q2 > 2g:
Se descubre un tal que g d (8g 2 G 8d 2 D), pero 62 Q , ya que 2 = 2. El
axioma de Dedekind muestra que haciendo cortaduras en R , no se encuentra ningun
elemento nuevo.
2.- En el axioma de Dedekind es unico, ver ejercicios.
3.- Segun el ejemplo que se considere, se puede tener 2 G, o 2 D o bien 2 G \ D.
El ejemplo G = fq 2 Q jq < 0 o q2 < 2g muestra que existe subconjuntos mayorados
de Q que no admite supremo en Q . El axioma de Dedekind implicara que este fenomeno
nunca se producira en R.
Denicion II.4.3.- Un cuerpo K conmutativo ordenado, se dira que es completo si
todo subconjunto no vacio de K que es mayorado, admite un supremo en K .
Si bien Q es un cuerpo ordenado, Q no es completo. En cambio R consecuencia del
axioma de Dedekind es un cuerpo completo en efecto
Teorema II.4.4.- Si A R , A 6= es mayorado, entonces A admite un supremo en R .
Demostracion.-Sean D el conjunto de los mayorantes de A (D R ) y G el complemento
de D en R por lo tanto
D = fx 2 R j8a 2 A a xg
G = fx 2 R j9a 2 A x < ag:
Q
21
II.4 Los Reales
G y D satisfacen los axiomas de Dedekind en efecto:
G D = R por construccion.
D 6= , por hipotesis A es mayorado.
G 6= , por hipotesis A 6= , 9a 2 A, luego a ; 1 < a y por lo tanto a ; 1 2 G.
Por lo tanto existe 2 R que separa G y D es decir 9 2 R tal que g d
8g 2 G 8d 2 D.
Ahora bien, mostraremos que 2 D en efecto, si se tuviese que 2 G, se tendra
un a 2 A tal que < a, planteando = 21 ( + a), se tendra < < a y por consiguiente
2 D, de donde a 8a 2 A, llegando a la contradiccion para el a de mas arriba que
<a .
Por lo tanto, 2 D, observando que
1) es un mayorante de A, porque 2 D.
2) es el mnimo de D.
De donde = sup A y 2 R .
De la misma manera, se demuestra:
Teorema II.4.5.- Todo subconjunto no vacio y minorado de R admite un nmo en R .
Remarca.- Se ha elegido el sistema de axiomas siguiente para R : \R es cuepo ordenado
que satisface el axioma de Dedekind". Se podra haber elegido el sistema siguiente: \R es
un cuerpo ordenado completo". Los dos sistemas son equivalentes, se acaba de demostrar
que el axioma de Dedekind implica que R completo.
Ejercicio.- Demostrar que si R es un cuerpo ordenado completo, entonces R es un cuerpo
ordenado que satisface el axioma de Dedekind.
Proposicion II.4.6.- Sea A R no vacio, sean m M 2 R , entonces:
i.- M es supremo de A (en R ) si y solamente si
a M 8a 2 A
8 > 0 9a 2 A tal que M < a + :
1)
2)
0
0
ii.- m es nmo de A (en R ) si y solamente si
m a 8a 2 A
8 > 0 9a 2 A tal que a
1)
2)
0
0
;
< m:
Demostracion.- Mostremos el inciso i). 1) equivale a decir que M es mayorante de A.
2) equivale a decir que todo M 2 R con M < M no mayora A, es decir existe a
con a > M por que todo M < M puede escribirse como M = M ; con > 0.
El inciso ii) dejamos como ejercicio para el estudiante.
0
0
0
0
0
0
0
2
A
En resumen, el metodo de las cortaduras permite, a partir de Q , alargar nuestro
conjunto de numeros. Se denota R el nuevo conjunto. Este nuevo conjunto es un cuerpo
ordenado completo. Se demuestra que R es isomorcamente unico, la situacion se expresa
por el teorema de existencia y unicidad de los numeros reales.
22
II Los Numeros
Teorema II.4.7.- a) Existe un cuerpo ordenado completo.
b) Si K 1 y K 2 son cuerpos ordenados completos, entonces existe una biyeccion ' : K 1 !
K 2 tal que
'(x + y) = '(x) + '(y)
'(x y) = '(x) '(y)
x < y ) '(x) < '(y):
c) El isomorsmo ' es unico.
Algunas Propiedades Importantes de los Numeros Reales
La propiedad arquimediana
Proposicion II.4.8.- Sean x y 2 R con y > 0, entonces existe n 2 N tal que ny > x,
donde ny = y| + {z + y}.
n veces
Demostracion.- Consideremos A = fnyjn 2 N g. Si la conclusion fuese falsa, A estara
mayorada por por x y admitira un sup, digamos M . Pero entonces, se tendra M ; y < M
por que y > 0 y por la denicion de sup existira a 2 A con
M ; y < a M
ahora bien, a = ky para un cierto k 2 N , por lo tanto se tendra
M ; y < ky
y de esta manera
M < (k + 1)y
lo que es contradictorio con el hecho que M sea el sup A.
Corolario II.4.9.- N no es mayorado en N .
Demostracion.- Tomar y = 1, esta propiedad arquimediana dice que 8x 2 R , 9n 2 N
tal que n > x.
La parte entera de un numero real
Proposicion II.4.10.- Para todo x 2 R existe un unico entero, que lo denotamos x] y
llamanos parte entera de x, tal que
x] x < x] + 1:
Demostracion.- Unicidad. Supongamos que m y n enteros satisfagan m x < m + 1
y n x < n + 1. Si m < n, se tendria m + 1 n, de donde x < m + 1 n x, es decir,
x < x lo que es absurdo. Por lo tanto m < n es imposible.
Lo mismo si n < m. Solo queda la posibilidad que m = n.
23
II.4 Los Reales
Existencia. Consideremos primero el caso x > 0. Sea
A = fk 2 N jx < kg
A 6= , por la propiedad arquimediana. Ahora bien A 6= y A N , por el principio del
buen orden, existe k0 = min A.
Veamos que se tiene k0 ; 1 < x en efecto, sino se tendra k0 ; 1 > x > 0 y k0 ; 1 2 N ,
por lo tanto k0 ; 1 2 A, lo que contradecera que k0 = min A.
Por consiguiente, se tiene que k0 ; 1 x < k0 . Denotando x] = k0 ; 1, se se obtiene
lo que se quera.
La proposicion es cierta cuando x > 0. Para x 0, se plantea
x] =
(
x si x 2 Z
; ;x] ; 1 si x 62 Z
el caso cuando x 2 Z es evidente, en el otro tenemos
;x] < ; x < ;x] + 1
;;x] ; 1 < x < ;;x]:
Remarca.- x] es el entero mas grande que es menor o igual a x.
Proposicion II.4.11.- Q es denso en R es decir, si x y 2 R con x < y, entoces existe
r 2 Q tal que x < r < y.
Demostracion.- Sean x y 2 R con x < y, por lo tanto y ; x >, por la propiedad
arquimediana existe n 2 N tal que n(y ; x) > 1, por consiguiente
y > x + n1 > x
planteemos r = nxn] + 1 , se tiene r 2 Q y observemos que
nr = nx] + 1 nx] + 1 de donde r x + n1 < y
nr = nx] + 1 > nx de donde r > x:
Mas generalmente, si E es un conjunto ordenado y A E , se dice que A es denso en
E , si 8x y 2 E , 9a 2 A tal que x < a < y.
Proposicion II.4.12.- R ; Q es denso en R .
p
p
Demostracion.- Sean x < y dos numeros reales,
tenemos
x
;
2
<
y
;
2p
por la
p
p
proposicion precedente, existe r 2 Q , tal que x ; p2 < r < y ; 2, luego x < r + 2 < y.
En los ejercicios del captulo, se muestra que r + 2 2 R ; Q .
24
II Los Numeros
Valor Absoluto de un numero real
Es una aplicacion de R en R +
f0g,
denida por
j j : R ! R + f0g = fx 2 R jx 0g
x 7! jxj donde absx = maxfx ;xg.
Proposicion II.4.13.- La funcion valor absoluto verica las siguientes propiedades:
i) jxj 0 y jxj = 0 () x = 0.
ii) jxj = j;xj.
iii) ; jxj x jxj.
iv) jxyj = jxj jyj.
v) Si y 6= 0, se tiene xy = jjxyjj
vi) jx + yj jxj + jyj
vii) Para a 0, entonces jxj a () ;a x a.
Demostracion.- i), ii), iii) y iv) ejercicio. v) Si y 6= 0, tenemos jyj 6= 0. Utilizando iv)
se puede dividir
x = jxj x
jy j
y
por jyj.
vi) Si x + y 0, iii) da jx + yj = x + y
jx + y j = ;x ; y jxj + jy j.
vii) ejercicio.
jxj
+ jyj. Si x + y < 0, se tiene
Corolario II.4.14.- Consecuencia de v) son:
jx ; y j jxj + jy j.
jx ; y j jxj ; jy j.
jx ; y j jy j ; jxj.
jx ; y j jjxj ; jy jj.
Demostracion.- i) jx ; yj jxj + j;yj = jxj + jyj.
ii) jxj = jx ; y + yj jx ; yj + jyj.
iii) jx ; yj = jy ; xj jyj ; jxj.
i)
ii)
iii)
iv)
iv) concecuencia de ii) y iii).
Proposicion II.4.15.- Desigualdad de Bernouilli. Si x ;1 y si n 2 N , entonces
(1 + x)n 1 + nx:
Demostracion.- Ejercicio.
Proposicion II.4.16.- Si b > 1, entonces 8c > 0, existe n 2 N tal que
bn > c:
II.4 Los Reales
25
Demostracion.- Sean b > 1 y c > 0 arbitrario, planteemos x = b ; 1 por lo tanto x > 0
y la desigualdad de Bernouilli
bn 1 + nx = 1 + n(b ; 1):
Como x > 0, por la propiedad arquimediana, existe n 2 N tal que nx > c ; 1. De donde
para este n, se tiene
bn 1 + nx > c:
Proposicion II.4.17.- Si 0 < b < 1, entonces 8 > 0 9n 2 N tal que
0 < bn < :
Demostracion.- Como 0 < b < 1, se tiene 1b > 1, por la proposicion precedente existe
n 2 N tal que
1 n 1
b > bn < :
Intervalos
Denicion II.4.18.- I R es un intervalo si
x y 2 I y x < z < y ) z 2 R :
Tomemos a b 2 R con a < b, entonces
I = fx 2 R ja x bg
es un intervalo en efecto si a x < y b y x < z < y, se tiene a x < z < y b y por
lo tanto a z b, de donde z 2 I .
Un intervalo de este tipo se dice cerrado, se lo denota
a b] = fx 2 R ja x bg:
Siempre para a b 2 R con a < b, se verica que los subconjuntos siguientes son
intervalos:
2.- fx 2 R ja < x < bg intervalo abierto, se lo denota (a b) o ]a b].
3.- fx 2 R ja < x bg intervalo abierto a la izquierda, se lo denota (a b] o ]a b].
4.- fx 2 R ja x < bg intervalo abierto a la derecha, se lo denota a b) o a b.
En los cuatro casos anteriores, a y b son las extremidades del intervalo y la
longitud de estos es el numero b ; a.
Son tambien intervalos , fag y R .
La desigualdad jxj a dene el intervalo ;a a] y la desigualdad jxj < a dene el
intervalo (;a a).
26
II Los Numeros
La Recta Real Acabada
Muy a menudo es util disponer de los simbolos ;1 e +1 que son dos objetos distintos
que no pertenecen a R . Denimos
R
=R
f;1g
f+1g
y la llamamos la recta real acabada.
La relacion de orden usual sobre R se la prolonga as:
;1 < +1
Reglas de Calculo
y
; 1 < x < +1 8x 2 R :
Sobre R podemos prolongar algunas de las operaciones aritmeticas de los reales:
i.- ;1 + x = ;1 y +1 + x = +1, 8x 2 R .
ii.- ;1 + (;1) = ;1 y +1 + (+1) = +1.
x = x = 0, 8x 2 R .
iii.- ;1
+1
si x 0 x 2 R .
iv.- ;1 x = ;1
+1 si x < 0
1 si x 0
v.- +1 x = +
x 2 R.
;1 si x < 0
1 si x 0
vi.- x0 = +
;1 si x < 0
vii.- (;1) (;1) = +1.
viii.- (+1) (+1) = +1.
ix.- (;1) (+1) = ;1.
No estan denidas las siguientes operaciones:
i.- 00 .
ii.- 1
.
1
iii.- +1 + (;1)
iv 0 1.
Remarca.- Para no recargar la notacion es usual utilizar simplemente 1 en lugar de
+1. En particular + y no son leyes de composicion interna sobre R , lo que hace que
no sea un cuerpo, ni siguiera un grupo aditivo. Sin embargo la estructura de orden
R
mantiene las propiedades de orden de R .
Proposicion II.4.19.- R con el orden es completo es decir, todo subconjunto no
vacio y mayorado admite un supremo.
Demostracion.- Sea A R , A 6= y supongamos que A es mayorado. Si +1 2 A, se
tiene +1 = max A y por lo tanto +1 = sup A.
Si +1 62 A, distinguimos dos casos:
i.- A es mayorado por un c 2 R es decir a c, 8a 2 A, por consiguiente existe un
sup A 2 R , por lo que se sabe ya.
ii.- 8c 2 R 9a 2 A tal que a > c, en este caso +1 = sup A.
27
II.4 Los Reales
Remarca.- La nocion de intervalo igualmente es extendida a R . R y R son intervalos y
se los denota
R
= (;1 +1) R = ;1 +1]:
Numerabilidad
Denicion II.4.20.- Un conjunto E es nito, si existe n
y una biyeccion
f : f1 2 : : : ng ! E . Se dira que E tiene n elementos, que se los puede escribir
e1 e2 : : : en tomando ej = f (j ). Sino E es innito si no es vacio.
Denicion II.4.21.- Un conjunto E es numerable, si existe una biyeccion ' : N ! E .
Si E es numerable, puede escribirse como E = fe1 e2 : : :g = fej gj N .
Denicion II.4.22.- Un conjunto E se dice a lo mas numerable, si es nito o
numerable.
Proposicion II.4.23.- Si E es numerable y si A E , con A 6= entonces A es a lo
mas numerable.
Demostracion.- Si A es nito, no hay nada que demostrar. Supongamos por lo
tanto A innito. La demostracion se basara en la siguiente idea: \E se escribe como
E = fe1 e2 : : :g, A puede obtenerse eliminando ciertos de los ej , por ejemplo:
2 N
2
e=1 e2 e=3 e=4 e5 e=6 e7 se escribe entonces a1 = e2 , a2 = e5 , a3 = a7 y A = fa1 a2 : : :g.
Hagamos la demostracion formalmente. Sea fn 2 N jen 2 Ag 6= porque A E y
A 6= , por lo tanto admite un elemento mnimo m1 . Sean por consiguiente:
n1 = minfn 2 N jen 2 Ag y a1 = en1 n2 = minfn 2 N jn > n1 y en 2 Ag y a2 = en2 ..
.
nk = minfn 2 N jn > nk 1 y en 2 Ag y ak = enk :
;
De donde A = fa1 a2 : : :g y f : N ! A dada por f (k) = enk es una biyeccion.
Se ve facilmente que si A y B son numerables, entonces A B tambien es numerable. El
esquema siguiente muestra como construir una biyeccion N ! A B .
a1 a2 a3 a4 # %# %# %# %#
b1 b2 b3 b4 eliminando eventuales repeticiones si A \ B 6= .
Proposicion II.4.24.- Sea Mk una familia numerable de conjuntos, donde cada Mk es
numerable entonces
Mk es numerable:
1
k=1
28
II Los Numeros
Demostracion.- Cada Mk puede escribirse como
Mk = fmk1 mk2 mk3 : : :g k 2 N :
Formando una matriz innita, cuya k-sima la es Mk ,
M1 : m11 !m12 m13 !m14
.
%
.
# %
.
%
.
%
M2 : m21 m22 m23 m24
%
M3 : m31 m32 m33 m34
M4 : m41 m42 m43 m44
# %
donde el itinerario echado indica como construir una biyeccion N
1
!
k=1
Remarca.- El ejercicio II.16 da de manera explcita una biyeccion N
es lo mismo
N !N N
Mk .
! fmij g,
lo que
= f(i j )ji j 2 N g:
Corolario II.4.25.- Q es numerable.
Demostracion.- Sea n 2 N dado, se considera
An = f nk jk = 0 1 2 : : :g
Bn = f ;nk jk = 1 2 : : :g:
Tanto An como Bn son numerables. Por consiguiente Cn = An Bn lo es tambien. La
proposicion precedente da que
1
n=1
Cn es numerable.
Ahora bien,
1
Q Teorema II.4.26.- R no es numerable.
n=1
Cn :
29
II.4 Los Reales
Demostracion.- Supongamos lo contrario, por consiguiente R se puede escribir como
R
= fx1 x2 x3 : : : g
Construyamos los subconjuntos A y B inductivamente como sigue:
{ a1 = x1 + 1 y b1 = x1 + 2, por lo tanto a1 < b1 y x1 62 a1 b1].
{ Si x2 21 (a1 + b1 ), se plantea a2 = a1 y b2 = 41 (3a1 + b1),
Si x2 < 21 (a1 + b1 ), se plantea a2 = 14 (a1 + 3b1) y b2 = b1 Se verica que x2 62 a2 b2] y tambien que
a1 a2 b2 b1 :
Supongamos que se tiene denidos an y bn , construyamos an+1 y bn+1 de la manera
siguiente:
{ Si xn+1 21 (an + bn ), se plantea an+1 = an y bn+1 = 41 (3an + bn ),
Si xn+1 < 12 (an + bn ), se plantea an+1 = 14 (an + 3bn) y bn+1 = bn Se verica que xn+1 62 an+1 bn+1] y tambien que
a1 a2 an an1 bn+1 bn b2 b1:
En consecuencia A R y B R son no nulos y verican a b 8a 2 A, 8b 2 B , la
vericacion es inmediata. Por el ejercicio II.9, existe 2 R tal que a b, 8a 2 A,
8b 2 B y en particular an bn 8n 2 N . Como 2 R , existe k tal que xk = ,
obteniendo ak x bk , pero esto es imposible de la manera como los an y bn han sido
construidos.
A continuacion damos un ejemplo de un conjunto que no es numerable, que es
ilustrativo.
Proposicion II.4.27.- El conjunto de las sucesiones (a1 a2 : : :) con aj = 0 o 1 es un
conjunto no numerable.
Demostracion.- La tecnica de demostracion que utilizaremos se llama procedimiento
diagonal utilizada por Cantor.
Supongamos lo contrario es decier que el conjunto de dichas sucesiones es numerable.
Por consiguiente este conjunto puede numerarse s1 s2 : : :. Se construye la sucesion c de
la manera siguiente: Si
s1 = (a11 a12 a13 : : :)
s2 = (a21 a22 a23 : : :)
s3 = (a31 a32 a33 : : :)
..
.
c = (c1 c2 c3 : : :)
donde
(
0 si ajj = 1
cj =
1 si ajj = 0
30
II Los Numeros
por lo tanto, cj = 1 ; ajj . Ahora bien, es imposible que c haga parte de la lista s1 s2 : : :.
Por lo tanto el conjunto en cuestion no es numerable.
Denicion II.4.28.- Un 2 R se dice algebraico si es raiz de un polinomio
p(x) = an xn + an 1 xn 1 + + a1x + a0
;
;
a coecientes enteros no todos nulos. Se denota por A al conjunto de los numeros
algebraicos.
Remarca.- Q A en efecto, si r 2 Q , r se escribe r = ab con a b 2 Z b 6= 0 es raiz de
bx = a.
Proposicion II.4.29.- A no es numerable.
Demostracion.- Ejercicio II.16.
Corolario II.4.30.- R ; A no es numerable.
Demostracion.- Sino A (R ; A ) sera numerable.
Se llama A (R ; A ) el conjunto de los numeros transcendentes. , e son ejemplos
de numeros transcendentes.
II.5 Los Complejos
Se construye un cuerpo conmutativo de la manera siguiente. Sus elementos son los pares
ordenados (x y) 2 R R y se dene dos leyes de composicion interna.
adicion:
multiplicacion:
(x1 y1) + (x2 y2) = (x1 + x2 y1 + y2 )
(x1 y1) (x2 y2) = (x1 x2 ; y1y2 x1y2 + x2 y1):
Estos pares se llaman numeros complejos y C al conjunto de los numeros complejos
provistos de la adicion y multiplicacion denidas mas arriba.
Teorema II.5.1.- (C + ) es un cuerpo conmutativo.
Demostracion.- Dejamos como ejercicio, aunque debemos hacer hincapie en:
(0 0) es el elemento cero (neutro para la adicion).
(1 0) es el uno (neutro para la multiplicacion).
;(x y ) = (;x y ).
Si z = (x y) 6= 0, entonces
x
z = 2 2 2;y 2 :
x +y x +y
1
;
31
II.5 Los Complejos
Podemos observar que:
(x 0) + (y 0) = (x + y 0)
(x 0) + (y 0) = (xy 0)
de donde, se puede identicar R con el subconjunto f(x 0)jx 2 R g C .
El Numero i
Denotemos i = (1 0), se tiene entonces
(x y) = (x 0) + (0 y)
= (x 0) + (0 1)(y 0)
= (x 0) + i(y 0)
Con la observacion hecha sobre la relacion de R con C , podemos escribir
(x y) = x + iy
pensando x como (x 0) e y como (y 0). Hecha esta aclaracion, todo z 2 C puede escribirse
como
z = x + iy x 2 R e y 2 R se llama a x la parte real de z y a y la parte imaginaria de z, se las denota:
x = <(z) y = =(z):
Recordemos que R es un cuerpo conmutativo ordenado es decir, el orden es
compatible con la adicion y la multiplicacion.
Proposicion II.5.2.- La ecuacion x2 = ;1, no tiene solucion en R .
Demostracion.- Supongamos lo contrario, es decir existe x 2 R tal que x2 = ;1. x 6= 0,
sino x2 = 0. Ahora bien, si x > 0 se tiene x2 > 0 > ;1 por la compatibilidad del orden
esto es absurdo, por consiguiente x < 0, pero x2 > 0, lo que conduce nuevamente a un
absurdo.
En C , la ecuacion x2 = ;1 tiene solucion en efecto x = i es una solucion por que
i2 = ;1.
Conjugado, Modulo
Denicion II.5.3.- Si z 2 C , z = x + iy, su conjugado, denotado por z, es el numero
complejo
z = x ; iy:
Su modulo, denotado por jzj, esta dado por
jz j =
p
x2 + y 2 :
32
II Los Numeros
Proposicion II.5.4.- Se tiene:
1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.-
z1 + z2 = z1 + z2 z1 z2 = z1 + z2 z = z
z + z = 2<(z) y z ; z = 2i=(z)
zz = jzj2 de donde si jzj 6= 0 : z 1 = z2 jz j
jz j 0 y jz j = 0 () z = 0
jz j = jzj jz1 z2 j = jz1 j jz2 j jz j j<(z )j y jz j j=(z )j jz1 + z2 j jz1 j + jz2 j :
;
Demostracion.- Ejercicio.
Ahora disponemos los conjuntos de numeros siguientes:
N ZQ R C:
La extension de R a C permite resolver ecuaciones que no tienen solucion en R . Citemos
sin demostracion.
Teorema II.5.5.- Fundamental del Algebra.- Todo polinomio
anxn + an 1 xn 1 + + a1 x + a0
;
;
a coecientes complejos y de grado n, (an 6= 0), admite exactamente n raices en C
contando su multiplicidad.
Citemos como ejemplo, el polimonio x2 +1 admite en C como raices x = i y x = ;i.
Al contrario, hemos visto que este polinomio no tiene raices en R , por que x2 0 para
todo x 2 R . Esta propiedad se pierde en C .
Proposicion II.5.6.- C no es un cuerpo ordenado.
Demostracion.- Supongamos lo contrario, es decir que existe sobre C un orden
compatible con las operaciones.Por otro lado, debemos remarcar que existen ordenes
totales sobre R 2 , ver los ejercicios. Volvamos a la demostracion. Si el orden fuese
compatible, tendramos i < 0 o i > 0. Si i < 0, se tendra (;i)2 = i2 = ;1 > 0, lo
mismo si i > 0. Ahora bien ;1 sera > 0, lo que dara 1 < 0. Ahora bien (;1)2 = 1, lo
conduce a una contradiccion, porque es imposible que 1 > 0 y ;1 < 0 al mismo tiempo.
33
II.6 Ejercicios
Representacion Geometrica
Retornamos a la escritura (x y). La adicion z1 + z + 2 equivale a sumar los vectores de
componentes (x1 y1) y (x2 y2). El modulo jzj de z es la longitud del vector z = (x y). z
es la simetra de z respecto al eje real. Ver gura II:1.
Eje Imaginario
z + z2
z
1
2
z
1
Eje real
_
z
2
Figura II.1.- Representacion geometrica de los Complejos.
II.6 Ejercicios
1.- Demostrar la identidad
n+1
x
1 + x + x2 + + xn = 1 ;
1;x
x 6= 1:
2.- Coecientes binomiales (Pascal, Traite du Triangle Arithmetique, 1665).
Para n entero (n 0) se dene n! por
n! =
; y nk por
(
1 si n = 0
n(n ; 1)! si n 1:
8
n < n! si 0 k n
k!(n ; k)!
k = : 0 sino.
34
II Los Numeros
Mostrar
que ; ;
n
+1
a) k = k n 1 + nk
; b) nk es entero.
; c) nn k = nk .
d)
;
;
(x + y)n =
n n
X
k=0
k yn k :
x
k
;
3.- Demostrar las identidades:
n + 1) (n 1):
12 + 22 + 32 + + n2 = n(n + 1)(2
6
1
1
1
(1 ; 4 )(1 ; 9 ) (1 ; 2 ) = n2+n 1 :
n
2
13 + 22 + 33 + + n3 = n(n2+ 1)
1 + 1 + +
1
4 28
(3n ; 2)(3n + 1) :
4.- Demostrar las identidades:
1 + cos x + cos 2x + cos nx = sin(n + 1=2)x
a)
2
2 sin x=2
2nx
b)
cos x + cos 3x + + cos(2n ; 1)x = sin
2 sin x
para n 1 y x 6= 0.
5.- a) Sean x 2 R ; Q y r 2 Q mostrar que x + r 62 Q y que xr 62 Q si r 6= 0.
b) Si a b c d 2 Q y r 2 R ; Q , entonces
ax + b 2 Q
cx + d
6.- Se considera la aplicacion f : N
!N
()
ad = bc:
denida por
8 3n + 1
>
<
si 2 6 jn
f (n) = > n 2
: si si2jn
2
Tome n = 7 e itere esta aplicacion. >Que constata?. La misma pregunta para
n = 1 2 : : : 100.
Intente demostrar la ley general que parece despejarse de estos ejemplos
35
II.6 Ejercicios
7.- Si x 2 R , denotamos x] su parte entera. Demostrar las propiedades siguientes:
a) x + m] = x] + m, si m 2 Z.
x] + ;x] =
b)
(
0 si x 2 Z
; 1 sino.
c) x] + y] x + y] x] + y] + 1.
d) x ; y] x] ; y] x ; y] + 1.
8.- En el axioma de Dedekind (Si R = G D con G 6= , D 6= y g d 8g 2 D,
8d 2 D, entonces existe 2 R tal que g d 8g 2 G, 8d 2 D demostrar que
es unico.
9.- Sean A R y B R no vacios y tales que a b, 8a 2 A 8b 2 B . Demostrar que
sup A y inf B existen y que sup A inf B .
10.- Determinar los sup y inf (si existen) de cada uno de los subconjuntos siguientes.
A =f2 k + 3 m + 5 n jk m n 2 Zg
B =fx 2 R j3x2 ; 10x + 3 < 0g:
;
11.- >Para cuales x 2 R , se tiene?
;
;
x + 2 = 3:
2x + 5
La misma pregunta para
>Para que (x y) 2 R R , se tiene
2x ; 5 < 3:
x;6
jx ; 1j ; jy ; 2j < 5?
12.- Demostrar las desigualdades siguientes:
i)
ii)
iii)
(1 + a)n 1 + na (a ;1 n 2 N )
1 ; na (1 ; a)n 1 +1 na 0 < a < 1 n 2 N
2n > n3 para n 10 n 2 N
13.- Sean A y B subconjuntos no vacios y acotados de R .
Demostrar que
sup(A B ) = max(sup A sup B ):
>Se puede formular un resultado correspondiente para A \ B ?
Sea C el conjunto denido por
C = fa + bja 2 A b 2 B g
36
II Los Numeros
demostrar que sup C = sup A + sup B .
>Se puede formular un resultado correspondiente para el conjunto
D = fabja 2 A b 2 B g?
14.- Sea A un conjunto y f g : A ! R aplicaciones. Se dice que f es mayorado, minorado
o acotado, si el conjunto f (A) es respectivamente mayorado, minorado o acotado.
Si f es mayorado, se plante
sup f = sup f (A):
Si f es minorado, se plantea
inf F = inf f (A):
Mostrar que se tiene
i) f acotado ) inf(;f ) = ; sup f .
ii) f g mayorados ) sup(f + g) sup f + sup g.
iii) f g minorados ) inf(f + g) inf f + inf g.
iv) f mayorado, g acotado ) sup f + inf g sup(f + g).
v) f mayorado, c 2 R ) sup (f (x) + c) = sup f + c.
x A
vi) Si A es un producto A1 A2, entonces
sup (f (x1 x2)) = sup ( sup f (x1 x2)):
2
x1 A1 x2 A2
(x1 x2 )2A1 A2
15.- Mostrar que la aplicacion f : N N
2
!N
2
dada por
f (m n) = m + 21 (m + n ; 1)(m + n ; 2)
esta bien denidda y es biyectiva.
16.- Sea n 2 N , se dene el conjunto Pn como el conjunto de los polinomios de grado n
a coecientes enteros es decir los polinomios de la forma
p(x) = an xn + an 1 xn 1 + + a0
donde los ai 2 Z y an 6= 0.
a) Mostrar que Pn es numerable.
b) Mostrar que P = Pn es numerable.
;
n
2N
;
c) Sea A = f 2 R j9p 2 P tal que p() = 0g. Mostrar que A es numerable.
17.- Vericar que la multiplicacion de los numeros complejos es asociativa.
18.- Demostrar que la igualdad tiene lugar en la desigualdad del triangulo, si y solamente
si, z1 = 0 o bien si exite 1 0 tal que z2 = 1 z1 .
19.- a) Describa el conjunto de los z 2 C para los cuales se tiene:
z2 + zz + z2 = 0
b) La misma pregunta para
1;z =i 1+z :
j1 ; z j
j1 + z j
Captulo III
Sucesiones y Lmites en los Reales
III.1 Conceptos Basicos
Denicion III.1.1.- Una sucesion en R o sucesio real es una aplicacion
a : N ! R:
Se denota por tradicion a(n) = ak y la sucesion fan gn=1 o (an)n=1 .
1
1
Ejemplos
an = 1, 8n 2 N , es una sucesion constante.
an = (;1)n+1 .
an = n2.
an = n1 , fan gn=1 = f1 1=2 1=3 : : :g.
n
5.- an = ;n1 , fan gn=1 = f1 ;1=2 1=3 : : :g.
Denicion III.1.2.- Se dice que la sucesion fan gn=1 admite el lmite l 2 R , si
1.2.3.4.-
1
1
1
8
> 0 9N 2 N tal que n N ) jan ; lj < :
Si este es el caso, se dira que fan gn=1 es convergente o converge hacia l cuando n tiende
a 1.
Notacion.- nlim an = l o bien an ! l (cuando n ! 1).
1
Remarcas.-
!1
1.- jan ; lj < () ; < an ; l < () l ; < an < l + .
2.- La denicion de lmite puede interpretarse como \Todo intervalo abierto de centro en
l, contiene todos los terminos de la sucesion, excepto un numero nito de terminos".
3. N depende, en general, de .
38
III Sucesiones y Lmites en los Reales
Ejemplos
6.- an = 8n 2 N , sucesion constante, admite el lmite l = ya que, 8n 2 N se tiene
jan ; j = j ; j = 0 <
8
> 0:
7.- an = n1 . Se tiene an ! 0. En efecto, vericamos
8 9N
Suciente tomar un N
arquimediana.
(
;1)n
8.- an = n , tenemos
2 N
tal que n N ) n1 ; 0 < :
tal que N > 1= y esto es posible por la propiedad
nlim = 0:
!1
Mismo razonamiento que en el ejemplo precedente.
9.- an = 12 , se tiene an ! 0. En la denicion, suciente tomar N > 1= 2 . Mas
n
generalmente
1 k = 1 2 3 : : :
lim
n
nk
!1
Denicion III.1.3.- Si la sucesion fangn=1 no admite un lmite real, se dira que diverge
1
o es divergente.
Ejemplo
10.- La sucesion fan gn=1 dada por an = (;1)n+1 diverge. En efecto, si esta sucecion
convergiese existira l 2 R tal que 8 > 0, 9N 2 N tal que
1
n N ) (;1)n+1 ; l < :
Ahora bien, si n fuese par se tendra j;1 ; lj < y si n fuese impar se tendra
. Estas desigualdades son incompatibles, pues tomando por ejemplo = 1,
se obtendra, utilizando la remarca precedente l < ;1 + < 1 ; < l, lo que es
absurdo.
Proposicion III.1.4.- Una sucesion a : N ! R admite a lo mas un lmite.
Demostracion.- Si se tuviera an ! l y an ! l , con l 6= l , se podra aplicar la denicion
tomando = 21 jl ; l j, ya que jl ; l j > 0 si l 6= l .
Por lo tanto, existira N0 y N1 tales que:
j1 ; lj <
0
0
0
0
0
n N0 ) jan ; lj < n N1 ) jan ; l j < 0
39
III.1 Conceptos Basicos
planteando N = maxfN0 N1g y utilizando la desigualdad del triangulo, se obtendra
n N ) jl ; l j jan ; lj + jan ; l j < 2 = jl ; l j :
0
0
0
Pero esto es imposible. Por consiguiente l = l .
0
Proposicion III.1.5.- Todo numero real es lmite de una sucesion de racionales.
Demostracion.- Ejercicio.
Remarca.- No se modica el caracter de convergencia de una sucesion, ni su lmite si
este existe, modicando un numero nito de sus terminos. Es decir, si a : N ! R y
b : N ! N son tales que an = bn 8n N , entonces an converge () bn converge. Y si
an ! l, entonces bn ! l.
Subsucesiones
Denicion III.1.6.- Una subsucesion de la sucesion a : N ! R es una restriccion de a
a un subconjunto innito E de N . Es decir fan gn E es una subsucesion de fan gn=1 .
1
2
Ejemplo
11.- Son subsucesiones de fangn=1 :
1
fa1 a3 : : :g = fa2k+1 g1
k=0 1
fa2 a4 : : :g = fa2k gk=1 :
Proposicion III.1.7.- Toda subsucesion de una sucesion convergente es convergente y
converge hacia el mismo lmite.
Demostracion.- Sea fang1 convergente y l 2 R su lmite. Sea fangn E una subsucesion
de fan g1 . an ! l, por consiguiente 8 > 0, 9N tal que 8n N se tiene jan ; lj. En
particular 8n N y n 2 E se tiene jan ; lj lo que signica que fangn E converge y l es
su lmite.
1
2
1
2
Remarca.- Una sucesion divergente puede tener subsucesiones convergentes por ejemplo, (;1)n+1 admite como subsucesiones
f1 1 1 : : :g lim = 1
f;1 ;1 ;1 : : :g lim = ;1:
Sucesiones Divergente
Se distingue dos modos de divergencia: por valores innitos o por oscilacion.
Denicion III.1.8.- Una sucesion fan g1 diverge por valores innitos si:
1
8A 2 R 9N 2 N tal
que n N ) an > A
40
III Sucesiones y Lmites en los Reales
si este es el caso an ! +1. O bien, si:
8B 2 R 9N 2 N tal
que n N ) an < B si este es el caso an ! ;1.
Denicion III.1.9.- Una sucesion fan g1 diverge por oscilacion, si diverge pero no por
valores innitos.
Proposicion III.1.10.- Toda subsucesion de una sucesion que diverge por valores
innitos, diverge por valores innitos y en el mismo sentido.
Demostracion.- Similar al caso de una sucesion convergente.
1
Ejemplos
p
12.- La sucesiones fam = ng1 y fbm = ;2m g divergen por valores innitos y
1
lim an = +1 nlim bn = ;1:
n
!1
!1
13.- Las sucesiones fang1 , fbn g1 y fcn g1 denidas por:
1
1
1
an = (;1)n+1 bn = (;1)n+1 n
h i
cn n ; 3 n3
divergen por oscilacion.
Sucesiones Acotadas
Denicion III.1.11.- fbn g1 es una sucesion mayorada si existe B 2 R tal que bm B
1
8m.
fbn g1
1
fbn g1
1
es una sucesion minorada si existe b 2 R tal que bm b 8m.
es una sucesion acotada, si es mayorada y minorada es decir, si existen b B 2 R
tales que
b bn B 8n 2 N :
Proposicion III.1.12.- Sea fbng1 una sucesion, entonces
1
fbn g1
1
acotada
() 9
> 0 tal que jbn j 8n 2 N :
Demostracion.-( evidente.
)
b bn B da jbn j maxfjbj jB jg.
Proposicion III.1.13.- Una sucesion convergente es acotada.
41
III.2 Reglas de Calculo
Demostracion.- Supongamos que nlim an = l. Entonces 8 > 0 existe N ( ) tal que
!1
n N ( ) ) l ; < an < l + :
Tomemos por ejemplo = 1, existe N (1) tal que l ; 1 < an < l + 1, 8n N (1), por lo
tanto faN (1) aN (1)+1 : : :g es acotada.
y a1 : : : aN (1) 1 son en numero nito, por lo tanto
;
fa1 : : : aN (1);1 g
es acotado
por consiguiente la sucesion fang1 es acotada en tanto que union de conjuntos acotados.
Remarca.- puede ser acotada, pero divergente (por oscilacion). Por ejemplo an =
(;1)n+1 .
1
III.2 Reglas de Calculo
Proposicion III.2.1.- Si an ! 0 y fbng es acotada, entonces
an bn ! 0:
Demostracion.- Como fbn g es acotada, existe > 0 tal que jbn j 8n y an ! 0
implica 8 9N 2 N tal que n N ) jan j < .
Tomemos = = , entonces existe N0 tal que n N0 ) jan j < = por consiguiente,
jan bn j < 8n N0 .
Por lo tanto 8 > 0, existe N0 tal que n N ) jan bn j < .
0
0
Proposicion III.2.2.- Si an ! a y bn ! b, donde a b 2 R , entonces:
1.- an + bn converge y an + bn ! a + b.
2.- an bn converge y an bn ! ab.
3.- Si ademas bn 6= 0 8n y si b 6= 0, entonces ab n converge y ab n
n
n
Demostracion.- Comenzemos mostrando 1. Se tiene:
!
a:
b
an ! a da 8 > 0 9N1 tal que n N1 ) jan ; aj < 2 bn ! b da 8 > 0 9N2 tal que n N3 ) jbn ; bj < 2 :
Planteando N = maxfN1 N2g, se obtiene que
n N ! jan ; aj + jbn ; bj < 42
III Sucesiones y Lmites en los Reales
de donde, utilizando la desigualdad triangular, hemos mostrado que
> 0 9N tal que n N ) j(an + bn ) ; (a + b)j :
Como consecuencia de 1), tenemos trivialmente que an ; a ! 0, tomar bn = a. Mostremos
2), se tiene
an bn = (an ; a)bn + a(bn ; b) + ab
ahora bien, por la proposicion precedente, tanto (an ; a)bn ! 0 y a(bn ; b) ! 0, puesto
que bn es convergente y por lo tanto acotada y a es una sucesion constante, luego acotada.
Finalmente por 1) tenemos que
an bn ! ab:
Para el punto 3) es suciente mostrar que b1 ! 1b cuando bn 6= 0 y b 6= 0, luego se aplica
n
2) y se obtiene ab n ! ab cuando bn 6= 0 y b 6= 0. Mostremos primero que
8
n
1
bbn
es acotada. En efecto, planteando = 21 jbj, existe N tal que
n N ) jbn ; bj < 12 jbj de donde jbj ; jbn j < 12 jbj 8n N . Por lo tanto, 8n N , se tiene jbn j > 21 jbj > 0 esto
signica que
1 < 2
8n N
jbn j
jbj
para n < N , 1= jbn j son en numero nito son acotados. De donde,
bn b 1 8n:
Mb
Utilizando la proposicion anterior y el hecho que bn ; b ! 0, se obtiene
b ; bn = 1 ; 1 ! 0:
bn b
bn b
Utilizando 1), se tiene
1 = b ; bn + 1 ! 1
bn
bn b b b
Remarca.- Puede suceder que nlim (an + bn ) exista, sin que an y bn sean convergentes.
Por ejemplo an = n y bn = 1 ; n.
!1
43
III.3 Sucesiones Mono tonas
Corolario III.2.3.- Si an ! a y bn ! b, con a b 2 R y si 2 R , entonces
an + bn ! a + b:
Proposicion III.2.4.- Para sucesiones que divergen por valores innitos, se tiene:
1.- Si an ! +1 y bn acotada o bn ! +1, entonces
an + bn ! +1:
2.- Si an ! +1 y bn ! b con b 6= 0, entonces
an bn ! (+1) b:
3.- Si an ! +1 y an 6= 0 8n, entonces
1
an
! 0:
4.- Si an > 0 8n y an ! 0, entonces
1
an
! +1:
Demostracion.- Ejercicio.
Comparacion de lmites
Proposicion III.2.5.- Si sn ! s y tm ! t, y si sn tn 8n, entonces s t.
Demostracion.- 8 , 9N0 tal que
n N ) s ; < sn < s + y t ; < tn < t + :
Puesto que sn tn , se tiene s ; < sn tn < t + , por lo tanto s ; t < 2 , de donde
s ; t 0.
Remarca.- Incluso si sn < tn 8n, no se puede armar que s < t. Por ejemplo considerar
sn = 1 y tn = 1 + 1=n.
Proposicion III.2.6.- Sean fan g, fbn g y fcn g tales que an
!
l y cn
an bn cn entonces fbn g converge y bn ! l.
Demostracion.- Como an ! l y cn ! l, se tiene 8 > 0, 9N tal que
Por consiguiente, 8
n N ) l ; < an bn cn < l + :
> 0, 9N tal que
n N ) l ; < bn < l + :
!
l y que
44
III Sucesiones y Lmites en los Reales
Es decir bn ! l.
Remarca.- La proposicion precedente es valida incluso si an y cn divergen por valores
en el innito (en el mismo sentido).
III.3 Sucesiones Monotonas
Denicion III.3.1.- Una sucesion fang es creciente si an an+1 8n y estrictamente
creciente si an < an+1 8n.
La sucesion es decreciente si an an+1 8n y estrictamente decreciente si an > an+1 8n.
fan g es monotona si es crecionte o es decreciente, es estrictamente monotona si es
estrictamente creciente o es estrictamente decreciente. Denotamos
an % fan g crece
an & fan g decrece:
Teorema III.3.2.- Una sucesion creciente (decreciente) y mayorada (minorada) con-
verge su lmite es el supremo (inmo) del conjunto de sus valores.
Una sucesion creciente (decreciente) y no mayorada (no minorada) diverge hacia +1
(;1)
Demostracion.- Demostremos para an % y mayorada. El conjunto fa1 a2 : : :g R
es mayorado y no vacio, por lo tanto admite un supremo, denotemos por el supremo.
Veamos que
lim an = :
n
!1
Se tiene:
an 8n, por que es un mayorante.
8 > 0, 9aN tal que ; < aN , por que es el supremo. Como an
8n N aN an , de donde
8
%,
se tiene
> 0 9N tal que n N ) ; < an < + :
Ahora mostremos que an % y no acotada, entonces an ! +1. Como an no es
mayorada, 8M , existe N tal que an > M y por lo tanto 8n N an > M .
Principio de los Intervalos Encajonados
Teorema III.3.3.- Se considera 2 sucesiones fang y fbn g que satisfacen las siguientes 3
propiedades:
i.- an % y bn &.
ii.- an bn 8n 2 N .
45
III.3 Sucesiones Mono tonas
iii.- bn ; an ! 0, cuando n ! 1.
Entonces lim an y lim bn existen y se tiene
lim an = nlim bn :
n
!1
!1
Demostracion.- Por hipotesis an % y an bn b1 8n por lo tanto fan g es mayorada
por b1. De donde por el teorema precedente lim an existe.
Por otro lado bn = (bn ; an ) + an , entonces bn es convergente por que es suma de
dos sucesiones convergentes y
lim bn = lim(bn ; an) + lim an = lim an :
Remarca.- La hipotesis ii) del teorema del principio de los intervalos encajonados es
superua, es una consecuencia de i) y ii). Ver el ejercicio III.8.
Un ejemplo Importante
Jacques Bernouilli, matematico suizo estudio el interes compuesto. El problema que
analizo, fue el siguiente \Un interes anual de x donde 0 x 1 sobre un capital
inicial a, calculado n veces al a~no a intervalos regulares en un a~no da
x n
a 1+ n la pregunta que se planteo fue que sucede cuando n se incrementa arbitrariamente es
decir,
n
> nlim a 1 + nx
existe?"
Consideremos el problema con x = 1 es decir la sucesion
!1
n
sn = 1 + n1 :
Veamos que lim sn existe cuando n ! 1. Primero se considera la sucesion tn dada por
n+1
tn = 1 + n1
:
Se tiene sn < tn y tn = (1 + 1=n)sn, por lo tanto si lim tn existe, sn = 1 +tn1=n y pues
lim sn existe tambien e incluso
lim sn = nlim tn :
n
!1
!1
46
III Sucesiones y Lmites en los Reales
Veamos que lim tn existe. tn & y es minorada. En efecto, se tiene tn > 0 y
; n+1
tn = n+1
n
tn+1 n + 2 n+2
n+1
n + 1 n+1 n + 1 n+2
= n
n+2
(n + 1)2 n+2 n
= n(n + 2)
n+1
n
+2
n :
= 1 + n(n1+ 2
n+1
Aplicando la desigualdad de Bernouilli, da
tn 1 + 1 n = 1:
tn+1
n n+1
Por lo tanto tn tn+1 y tn &.
En consecuencia lim tn existe y por lo tanto lim sn existe. Denotemos
1 n
e = nlim sn = nlim 1 + n :
Puesto que tn & se tiene tn e y de la misma manera se muestra que sn % y de esta
manera sn e.
!1
!1
Raices k-simas
Teorema III.3.4.- Si x 2 R y x > 0 ypsi k 2 N , entonces existe un unico y 2 R y > 0
tal que yk = x. y se denota por x1=k o k x y se lo llama raiz k-sima de x.
Demostracion.- Unicidad. Si y1k = y2k con y1 > 0 y y2 > 0 y k 2 N , entonces y1 = y2 sino y1 < y2 da y1k < y2k o bien y2 < y1 da y2k < y1k . En efecto, si y1 < y2 se tiene
y12 < y1y2 < y22
y se continua de manera inductiva.
Existencia. El caso x = 1 es trivial, y = 1. Veamos cuando x > 1. Denimos la sucesion:
a1 = x
1
an+1 = k (k ; 1)an + kx 1 8n 2 N :
an
;
Mostremos por induccion que akn x. Para n = 1, se tiene xk > x > 1. Suponemos cierto
para n. Escribamos an+1 diferentemente,
x
; akn
x
; akn
an+1 = an + k 1 = an 1 + k :
kan
kan
;
47
III.4 Algunos Lmites Importantes
Por consiguiente
x ; ak k
k
k
an+1 = an 1 + k n kan
ahora bien, (x ; akn )=akn = x=akn ; 1, de donde por hipotesis de induccion, se tiene
x ;1
akn
1
Suponemos k 2, k = 1 es trivial, entonces applicamos Bernouilli a akn+1 , obteniendo
x ; ak
k
k
an+1 an 1 + k n
an
= akn + x ; akn
Por lo tanto an es una sucesion minorada por 1, por que akn x > 1.
La sucesion an es & en efecto
k
an ; an+1 = an ;k x 0:
kan
De donde la sucesion es convergente y an ! y 1. Tenemos que
k
y = y + x ; ky = 0
ky
en consecuencia yk = x.
El caso x < 1, lo resolvemos planteando z = (1=x)1=k , se verica facilmente que
y = 1=z.
Denicion III.3.5.- Si x > 0 y p q 2 N , se dene
x0 = 1
xp=q = (x1=q )p 1 :
x p=q = p=q
x
;
III.4 Algunos Lmites Importantes
Teorema III.4.1.- Se tiene:
48
III Sucesiones y Lmites en los Reales
1.- Si a 2 Q + , entonces
8 0 si jaj < 1
>
>
< 1 si a = 1
n
2.- nlim a = >
>
: + 1 si a > 1
1 = 0:
lim
n
na
!1
!1
diverge por oscilacion, si a ;1:
3.- Si a > 0, entonces
1=n
nlim a = 1:
!1
4.- nlim n1=n = 1.
5.- Para b 2 Q y a > 0,
!1
b
n = 0:
lim
n
(1 + a)n
!1
Demostracion.- 1) n1a ! 0, por denicion del lmite 8 > 0, 9N tal que
n N ) n1a < :
Suciente tomar N = (1= )1=a).
2) Para a = 0 y a = 1 trivial. Si jaj < 1 y a 6= 0, tenemos dos casos: ;1 < a < 0 y
0 < a < 1. Si 0 < a < 1, se tiene
1 > 1
a
escribiendo a1 = 1 + x, x > 0, se obtiene
an = (1 +1 x)n
1 1 + nx
por la desigualdad de Bernouilli, de donde
1 ! 0:
0 < an leq 1 +1nx < nx
Si ;1 < a < 0, entonces 0 < jaj < 1 y jajn ! 0, luego an ! 0.
Si a > 1, se tiene a = 1 + x con x > 0, por consiguiente
an = (1 + x)n 1 + nx > nx ! +1:
Para a = ;1 la sucesion es f;1 1 ;1 : : :g. Para a < ;1, las subsucesiones
a2n ! +1
a2n 1 ! ;1:
;
49
III.4 Algunos Lmites Importantes
3) Mostremos que 8 > 0, 9N tal que
n N ) a1=n ; 1 < es decir, 1 ; < a1=n < 1 + .
Ahora bien, se tiene 0 < x < y < z implica que 0 < xn < yn < zn suponiendo que
< 1 hay que mostrar que existe N tal que 8n N , se tiene
(1 ; )n < a < (1 + )n :
Por el punto 2) (1 + )n ! +1, cuando n ! 1 y (1 ; )n ! 0. Por consiguiente, existe
N tal que
n N ) (1 ; )n < a < (1 + )n :
4) Para x > 0, se tiene
(1 + x)n = 1 + nx + n(n2; 1) x2 + xn > 1 + n(n2; 1) x2 :
Planteando x = n1=n ; 1, y como n 1 se tiene n1=n 1, se obtiene
n 1 + n(n2; 1) (n1=n ; 1)2
1 12 n(n1=n ; 1)2 2 (n1=n ; 1)2
r n
2 + 1 n1=n:
n
De donde
1 < n1=n 1 +
por 1).
5) Si b 0, es trivial, porque
b
0 < (1 +n a)n
r
2 ! 1
n
1
(1 + a)n
!0
por 2).
Supongamos que b > 0, se tiene 0 < b < b] + 1, de donde
1 < nb < n b]+1:
Escribimos
nb = (n1=n)b n (1 + a)n
1+a
50
III Sucesiones y Lmites en los Reales
y
1 < (n1=n)b < (n1=n) b]+1
donde la ultima sucesion es b] + 1 productos de sucesiones del tipo 4) por lo tanto
lim (n1=n)b = 1
n
!1
tomando = a2 , existe N0 tal que
n N0 ) nb=n < 1 + a2 :
De donde
1 + a=2 n
b
n
n N ) 0 < (1 + a)n < 1 + a ! 0:
III.5 Sucesiones de Cauchy
Proposicion III.5.1.- Toda sucesion en R admite una subsucesion monotona.
Demostracion.- Consideremos una sucesion a : N ! R . Llamemos pico de esta sucesion
un n 2 N tal que
m n ) am an :
Sea P el conjunto de los picos de fan g. Si P es un conjunto innito:
fan gn2P
es una subsucesion
&
de fan g1 :
1
Si P es nito o vacio, entonces existe n1 2 N tal que n n1 ) n 62 P . n1 62 P implica
que existe n2 > n1 tal que an2 > an1 . Luego n2 62 P implica que existe n3 > n2 tal que
an3 > an2 , continuando indenidamente de esta forma. Obtenemos por consiguiente una
subsucesion creciente de fang1 .
1
Denicion III.5.2.- Una sucesion fang1 en R es una sucesion de Cauchy, si 8 > 0,
1
9N 2 N
tal que
n
0
N
yn
00
N ) jan0 ; an00 j <
:
Proposicion III.5.3.- Una sucesion convergente es una sucesion de Cauchy.
Demostracion.- Sea fan g1 convergente y l 2 R su lmite. Se tiene 8n n 2 N
1
jan0 ; an00 j jan0 ; lj + jan00 ; lj :
0
00
51
III.6 Ejercicios
Puesto que an ! l, se tiene 8 , 9N tal que
Tomemos n
0
N
yn
00
N,
n N ) jan ; lj < 2 :
entonces
jan0 ; lj + jan00 ; lj <
de donde absan
0
; an00
< , si n
0
N
yn
00
N.
2 + 2
Teorema III.5.4.- Toda sucesion de Cauchy converge.
Demostracion.- La demostracion esta basada en los:
i.- Una sucesion de Cauchy es acotada.
ii.- Una sucesion de Cauchy admite una subsucesion convergente.
iii.- Si una sucesion de Cauchy admite una subsucesion convergente, entonces ella misma
converge y hacia el mismo lmite.
Para el punto i) la demostracion es similar a la proposicion: \Sucesion convergente,
entonces sucesion acotada".
El punto ii) es consecuencia de la proposicion III.5.1 es decir, la sucesion admite una
subsucesion monotona y como es acotada, es convergente.
El punto iii). Sea fan g1 la sucesion de Cauchy, fan gn E la subsucesion convergente y
l 2 R el lmite de la subsucesion. Ahora bien, 8 > 0, 9N1 N2 2 N tal que
1
2
2
n N2 y n 2 E ) jan ; lj < 2 n n
0
0
N1 ) jan ; an0 j <
0
0
planteando N = maxfN1 N2g, se tiene 8n N y 8n N y n
jan ; lj jan ; an j + jan ; lj < :
De donde an ! l, cuando n ! 1.
0
0
Remarcas.-
0
2 E:
0
1.- Podra tomarse como axioma para R , que es un cuerpo ordenado, donde toda
sucesion de Cauchy es convergente. Se puede mostrar que un cuerpo ordenado donde
toda sucesion de Cauchy es convergente, implica que el cuerpo es completo.
2.- Q es un cuerpo donde existen sucesiones de Cauchy que no son convergentes en Q .
III.6 Ejercicios
1.- Demostrar que todo numero real es lmite de una sucesion de numeros racionales.
52
III Sucesiones y Lmites en los Reales
2.- Mostrar que si nlim an = a, entonces nlim jan j = jaj que la recproca es falsa en
general, pero cierta si a = 0.
3.- Supongamos que una sucesion a : N ! R se descompone en 2 subsucesiones b y c
es decir que b = a E1 y c = a E2 , donde N = E1 E2 y E1 \ E2 = . Mostrar que si
b y c convergen y tiene el mismo lmite l, entonces a converge y nlim = l.
!1
!1
j
j
!1
4.- Mostrar que las tres subsuceciones (x2k ), (x2k+1 ) y (x5k ) de una sucesion (xk )
convergen, entonces (xk ) converge.
5.- Determinar el caracter de convergencia de cada una de las suceciones:
an = (;1)n + 1 + n1
n
bn = 1 + (;2 1) a)
b)
c)
d)
n p
cn = n + 1 ; n
dn = 2nn+ 1 3n 2
en = n + 4 fn = fn 1 + fn 2 (n 2) con f0 = f1 = 1
gn = 12 + 14 + 81 + + 21n :
p
e)
f)
g)
;
;
6.- Construir ejemplos de suceciones fang y fbn g tales que an
ilustrar cada una de las posibilidades siguientes:
i) lim anbn = +1.
ii) lim an bn = c, donde c es un real arbitrario.
iii) an bn es una sucesion acotada pero divergente.
7.- Se considera las tres sucesiones de termino general
q
! 1
y bn
!
0 para
r
n ; pn:
an = n + 1000 ; n bn = n + n ; n cn = n + 1000
p
p
p
p
Demostrar que an > bn > cn para 1 n < 106 , y calcular lim an , lim bn , lim cn
(n ! 1) si estos existen.
8.- (Respecto al teorema de los intervalos encajonados). Si las sucesiones fan g y fbn g
son tales que:
i)
ii)
an an+1 y bn bn+1 n 1
lim (bn ; an ) = 0:
n
!1
entonces se tiene tambien: an bn para n 1.
53
III.6 Ejercicios
9.- Decidir, para cada una de las suceciones siguientes, si esta converge. En caso de
convergencia, determinar el lmite.
p
p
an = (n + 1)3 ; n3 n
bn = 2n n
cn = 2 2;n 1 n;1
2
dn = 3n n
en = 3 2;n 1 3n + (;2)n fn = n+1
3 + (;2)n+1
p
p
gn = 2gn 1 n 2 con g1 = 2:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
;
10.- a) Demostrar que
y que
n
para n 1
n! > ne
n
n! < n2
para n 6
n
donde e designa nlim 1 + n1 .
b) Examinar la convergencia de las sucesiones:
!1
un = nnn!
n2
2
wn = n!
2=3
n!)
yn = n n sin(
+1
n
vn = an! (a 2 R )
1)
xn = 1 32 54 :6:: ::(2: n2;
n
zn = sin(n!x) x 2 Q :
11.- Se dene una sucesion fbn gn=1 por la relacion de recurrencia
1
b1 = 1 y bn+1 = bn + n (n 1)
donde es un numero real tal que jj < 1. Demostrar que es una sucesion de Cauchy.
>Cual es su lmite?
Captulo IV
Series
IV.1 Conceptos Basicos
Denicion IV.1.1.- Sea fan gn=0 una sucesion real. La serie de termino general an es
1
la sucesion fsn gn=0 , donde
1
sn = a0 + a1 + + an n = 0 1 2 : : ::
Se la denota
X
1
n=0
an
y se llama sn la n-sima suma parcial de esta serie.
Se dice que la serie converge, si
lim sn
n
!1
existe, sino diverge.
Si la serie converge, se llama a
s = nlim
!1
la suma de la serie y se denota
s=
De la misma manera,
X
1
n=0
an :
P designa la sucesion
1
k=N
fsn ; sN ;1 g1
n=N es decir la sucesion
y su lmite si este existe.
faN aN
+ aN +1 : : :g
56
IV Series
Remarca.- En el captulo III, se denio una sucesion como una aplicacion a : N
! R.
Esta denicion puede ampliarse a conjuntos del tipo fk 2 Zjk k0g es decir considerar
aplicaciones a : fk 2 Zjk k0g ! R o utilizando la notacion tradicional fangn=k0 . Los
resultados del captulo III son validos para esta ampliacion del concepto de sucesion,
peque~nas modicaciones en las demostraciones bastan.
Proposicion IV.1.2.- Sea fangn=0 una sucesion, entonces para un N 0 entero dado
se tiene
X
X
an converge ()
an converge.
1
1
1
1
n=0
n=N
Demostracion.- Para n > N denotemos
sn =
sn =
0
n
X
k=0
n
X
k=N
NX1
;
k=0
:
Se verica facilmente para todo n > N ,
sn = + sn :
0
Aplicando los resultados para suma de sucesiones del captulo precedente, se obtiene la
equivalencia de la proposicion.
Ejemplos
1.- La serie de termino general ak = 1, diverge por valores innitos, por que la n-sima
suma partial es
sn = n + 1:
2.- La serie
diverge por oscilacion.
3.- La serie
converge en efecto,
X
1
(;1)k
k=0
X
1
k=1 k(k + 1)
1
ak = k(k 1+ 1) = k1 ; k +1 1 57
IV.1 Conceptos Basicos
de donde
n
X
Por lo tanto
n 1
X
1
1 =1; 1 :
sn = k(k + 1) =
;
n+1
k=1
k=1 k k + 1
n
X
1 = 1:
k=1 k(k + 1)
Proposicion IV.1.3.- Si
X
1
k=0
ak converge, entonces
lim ak = 0:
k
Demostracion.- Si
X
1
k=0
!1
ak , denotemos
n
X
s = nlim sn = nlim an :
k=0
!1
!1
Se tiene tambien
lim sn 1 = s
y an = sn ; sn 1 . Como estamos tratando con sucesiones convergentes, se tiene
n
;
!1
;
lim an = nlim sn ; nlim sn 1 :
n
!1
!1
!1
;
Remarca.- La recproca de la proposicion precedente no es cierta en general. Puede
suceder que an ! 0, sin que
X
1
n=0
Por ejemplo
an sea convergente.
P 1 diverge aunque
n=1 n
1
lim n1 = 0:
n
!1
Proposicion IV.1.4.- La serie armonica
X1
1
n=1 n
58
IV Series
diverge por valores innitos.
n
Demostracion.- La sucesion sn = P es estrictamente creciente por que
k=1
sn+1 = sn + n +1 1 > sn:
Mostraremos que sn no es acotada, de donde
X1
1
= +1:
n=1 n
Consideremos las sumas parciales s2m con m 2, se tiene
1 1
1
1
s2m = 1 + 2 + 3 + 4 + + m 1 + + 21m
2 +1
0
1
k
m
2
X
X
1
1A
@
= 1+ 2 +
k=2 j =2k 1 +1 j
;
;
m 2k 1
X
1
= 1 + m2 :
> 1+ 2 +
k
k=2 2
;
Por consiguiente la subsucesion s2m > 1 + m2 no es acotada.
Proposicion IV.1.5.- Si la serie P an converge, entonces
1
n=0
lim
N
!1
X
1
n=N
an = 0:
Es decir la cola de una serie convergente tiende a cero.
Demostracion.- Por la proposicion IV.1.2 las series
X
1
k=N
ak
P
convergen. Denotemos por sN = k=N ak sus sumas. Se tiene
1
0
s = sN 1 + sN ;
0
P
1
donde sn es la n-sima suma parcial de la serie an . Aplicando las reglas de lmites de
n=0
sucesiones, se deduce
lim = Nlim (s ; sN 1 ) = 0:
N
!1
!1
;
59
IV.1 Conceptos Basicos
La Serie Geometrica
Se llama serie geometrica de razon x 2 R a la serie
X
1
k=0
ak donde ak = xk .
Proposicion IV.1.6.- Se tiene
X
1
k=0
xk converge
() jxj < 1:
Demostracion.- Si jxj < 1, se tiene
n+1
sn = 1 ;1 ;x x
1 cuando n ! 1:
1;x
Mostremos ahora, que cuando jxj 1, la serie geometrica diverge en efecto para x = 1,
se tiene
sn = (n + 1)
que es una sucesion divergente.
Si x = ;1, se tiene sn = 0 o sn = 1, por lo tanto la serie geometrica diverge por oscilacion.
Si x > 1, las sumas parciales
!
n+1
sn = 1 ;1 ;x x
!
1
1;x
divergen por valores innitos, porque xn+1 ! +1 cuando x > 1. As mismo, cuando
x < ;1, la serie geometrica diverge por oscilacion.
Remarca.- No se modica el caracter de convergencia de una sucesion, modicando un
numero nito de terminos, por lo tanto la misma remarca se aplica a una serie, pero si
la serie es convergente puede modicarse la suma.
Reglas de Calculo con Series Convergentes
A partir de las reglas de calculo
lim (sn + tn ) = nlim sn + nlim tn nlim (sn ) = nlim sn n
!1
!1
!1
!1
!1
si sn y tn son convergentes, se tiene la proposicion.
Proposicion IV.1.7.- Sean P an y P bk dos series convergentes, entonces
1
1
n=0
n=0
60
1.- La serie
IV Series
P (a + b ) converge y
n n
n=0
1
X
1
(an + bn ) =
n=0
2.- Para 2 R , la serie
P (a ) converge y
n
n=0
X
1
an +
n=0
X
1
n=0
bn :
1
X
1
(an ) = n=0
X
1
n=0
an :
Criterio de Convergencia de Cauchy
Teorema IV.1.8.- La serie P an converge si y solamente si
1
n=0
8
> 0 9N tal que n m N ) jsn ; sm j = jam+1 + + an j < :
Demostracion.- Simplemente aplicar criterio de Cauchy a la sucesion de sumas par-
ciales.
Ejemplo
P
1 es divergente, es aplicar el criterio
4.- Otra manera de ver que la serie armonica
n
n=1
de Cauchy. En efecto
s2n ; sn = n +1 1 + + 21n < 2nn = 12 :
1
IV.2 Series a Terminos Positivos
En esta seccion consideraremos solamente series cuyos terminos son no negativos, es decir
ak 0 a menos que se diga lo contrario.
Proposicion IV.2.1.- Criterio de la Serie Mayorante. Si an bn 0 para todo n, y si
P a converge, entonces P b converge y se tiene
n
n
1
1
n=0
n=0
X
1
n=0
bn X
1
n=0
an :
61
IV.2 Series a Terminos Positivos
Demostracion.- Denotamos por sn y tn las sumas parciales de P an y P bn respectivamente. Se tiene
tn sn 8n:
1
1
n=0
n=0
P
sn % y es convergente, entonces sn s donde s es la suma de la serie an . Ahora bien,
n=0
tn tambien es creciente y acotada por s, por consiguiente convergente y si denotamos t
el lmite, se tiene t s.
1
Teorema IV.2.2.- Criterio del Cociente. Si an > 0 y si existe N 2 N y l < 1 tales que
an+1
an
entonces
X
1
Si por el contrario,
n=0
an+1
an
l 8n N
an converge.
1 8n N
X
1
n=0
an diverge.
Demostracion.- Mostremos que cuando
an+1
an
P
1
1
la serie an diverge. En efecto, an+1 an 8n N , por consigueiente an aN > 0
n=0
8n N , de donde an 6! 0 y por la proposicion IV.1.3, la serie en cuestion diverge.
Mostremos ahora que cuando existe N y l < 1, se tiene
aN +1 laN aN +2 laN +1 l2aN ..
.
aN +k lk aN :
Por consiguiente,
X
1
m=N
am aM
Xk
1
k=0
l
y 0 < l < 1 conduce a que la serie geometrica de razon l converga. Por el criterio de la
serie mayorante y la proposicion IV.1.2, la serie en cuestion converge.
62
IV Series
Corolario IV.2.3.- Si an > 0 y nlim
P a converge.
n
n=0
P
2.- Si > 1 la serie a diverge.
!1
1.- Si < 1 la serie
1
1
n=0
an+1 = existe, entonces:
an
n
3.- Si = 1 no se puede armar nada.
Demostracion.- aann+1 ! conduce a que 8 > 0, existe N tal que
n N )abs aan+1 ; < n
; < aan+1 < + :
n
Si < 1, tomar tal que + < 1 y aplicar el criterio del cociente con l = + . Para
> 1 razonamiento analogo.
Ejemplo
5.- Cuando = 1 no se puede armar nada en efecto, la serie
X1
1
n=1 n
diverge y = 1. La serie
X
1
n=1 k(k + 1)
1
convege y = 1.
Teorema IV.2.4.- Criterio de la Raiz. Si an 0 y existen N
tales que
n N ) pn an r
entonces la serie
P a converge.
n
n=0
2R
y r 2 R, 0 r < 1
1
P
n an 1 la serie
Si por el contrario p
an diverge.
n=0
Demostracion.- Mostremos la convergencia, se tiene
1
0 an rn 8n N
mayorando por la serie geometrica de razon r < 1, se obtiene
X
X
an rn = rN rn < +1:
n=0
n=N
n=N
1
X
1
1
n an 1, conduce a que an 1, por lo tanto an 6! 0, de donde
Mostremos la divergencia p
la serie en cuestion es divergente.
63
IV.2 Series a Terminos Positivos
Corolario IV.2.5.- Si an 0 y si = nlim pn an existe, entonces:
P
1.- Si < 1, la serie an converge.
n=0
P
2.- Si > 1, la serie a diverge.
!1
1
1
n=0
n
3.- Si = 1, no se puede concluir nada.
Demostracion.- Ejercicio.
Por los ejemplos precedentes, se tiene que
X1
diverge
n
n=1
X1
2 converge
n=1 n
1
1
P
1 . En los dos casos, los
esta ultima serie converge por que es mayorada por
n
(
n
n=1 +1)
corolarios de los criterios del cociente y la raiz no conducen a nada. En efecto, = 1 y
= 1.
Mas generalmente, se quiere estudiar la serie
X1
2 Q cualquiera.
n
n=1
1
1
Tenemos que para = 1 hay divergencia y para = 2 hay convergencia. Utilizando
el criterio de la serie mayorante, se deduce que la serie es convergente para 2 y
divergente para 1. Por ejemplo si > 2, se tiene n1 < n12 , de donde
X1
n converge:
1
n=1
>Que sucede si 1 < < 2? Para discutir este caso, tenemos otro criterio para series a
terminos positivos.
Teorema IV.2.6.- Cauchy. Si an 0 y an &, entonces
X
1
n=1
an converge
Demostracion.- Denotemos
X
1
()
sn =
tn =
n
X
k=1
n
X
k=0
n=0
2n a2n converge.
an 2k a2k :
64
IV Series
Si n 1, existe un unico m 2 N tal que 2m m < 2m+1. Veamos entonces que
1t s t :
2m n m
En efecto, 2m n < 2m+1 implica que 2m n 2m+1 ; 1, de donde
s2m sn s2m
1
;
por que los an 0. Por lo tanto,
sn s2m 1 = a1 + (a2 + a3 ) + (a4 + + a7) + + (a2m + + a2m+1 1 )
a1 + 2a2 + 4a4 + + 2m a2m = tm :
;
;
En el otro sentido,
sn s2m = a1 + a2 + (a3 + a4) + (a5 + + a8) + + (a2m
tm :
1
a1 + a2 + 2a4 + + 2m 1 a2m =
2
2
;1
+1 + + a2m )
;
Utilizando el mismo argumento que el criterio de la serie mayorante, se obtiene el
resultado del enunciado.
Corolario IV.2.7.- La serie
X1
1
n=1 n
converge, si y solamente si > 1.
Demostracion.- Por lo que precede para an = n1 , se tiene
X1
n converge
1
n=1
X
1
m=0
m
2m (2m1 ) converge
X 1
m
1
1
m=0 2
m
;
converge
m
> 1:
IV.3 Series a terminos positivos y negativos
IV.3 Series a terminos positivos y negativos
65
P
1
Los criterios precedentes no se aplica a una serie que tiene una innidad de terminos
n=0
de cada signo.
Denicion IV.3.1.- Una serie alternada, es una serie de la forma
X
1
(;1)n an
n=0
con an 0, 8n.
Una condicion suciente de convergencia para tales series esta dada por:
Teorema IV.3.2.- Criterio de Leibnitz. Si an & y an ! 0 (n ! 1), entonces la serie
X
1
(;1)n an
n=0
converge.
Demostracion.- Sea sn = a0 ; a1 + + (;1)n an , se tiene
s2n+1 = s2n ; a2n+1
por lo tanto s2n+1 s2n. Por otro lado
s2n+2 = s2n ; (|a2n+1 {z
; a2n+2 ) s2n
}
0
s2n+1 = s2n 1 + (|a2n ;{za2n+1}) s2n
;
1
;
0
de donde s2n & y s2n+1 %. Se tiene tambien
lim (s2n+1 ; s2n) = nlim a2n+1 = 0:
n
!1
!1
Por consiguiente aplicando el principio de los intervalos encajonados, se tiene que las
sucesiones fs2ngn=0 y fs2n+1 gn=0 tiene el mismo lmite s. Por lo tanto
1
1
X
1
n=0
(;1)an = nlim sn = s:
!1
66
IV Series
Remarca.- La serie
X (;1)n+1
1
n
converge por el criterio de Leibniz, mientras que la serie
n=1
X1
1
n=1 n
diverge. Aqu la convergencia se pierde, si se pasa de
X
1
n=1
X
1
an a
n=1
jan j :
No siempre es el caso, por ejemplo las series
X (;1)n+1 X 1
1
n=1
convergen.
Convergencia Absoluta
1
n2
2
n=1 n
Denicion IV.3.3.- Se dice que la serie P an es absolutamente convergente, si P jan j
converge.
1
1
n=0
n=0
Teorema IV.3.4.- Si P an converge absolutamente, entonces converge.
n=0
Demostracion.- Utilizaremos el criterio de convergencia de Cauchy. Sean n
1
tiene
n , se
0
jsn00 ; sn0 j = jan0 +1 + an0 +2 + + an00 j
jan0 +1 j + jan0 +2 j + + jan00 j :
Por hipotesis,
P ja j converge, por lo tanto, 8 > 0, 9N tal que
n
n=0
1
n
00
Por lo tanto,
00
n0 N ) jan0 +1 j + jan0 +2 j + + jan00 j <
:
P a satisface tambien el criterio de Cauchy, de donde P a converge.
n
n
n=0
n=0
1
1
Denicion IV.3.5.- Se dice que P converge simplemente o converge condicionalmente
1
n=0
si esta serie converge pero no absolutamente.
Denicion IV.3.6.- Una permutacion de P an es una P a(n) donde : N
biyectiva.
1
1
n=1
n=1
!N
es
67
IV.3 Series a terminos positivos y negativos
Remarca.- P bn es una permutacion de de P an si existe una biyeccion : N
1
1
n=1
tal que bn = a(n) .
n=1
!N
Teorema IV.3.7.- Si P an es absolutamente convergente, entonces cada una de sus
1
n=1
permutaciones lo es tambien y tiene la misma suma.
Demostracion.- Sea P bn una permutacion de P an . Mostremos primero que P jbn j
n=1
n=1
n=1
converge. Sea : N ! N la biyeccion tal que bn = a(n) . Se tiene
1
1
1
n
X
P
k=1
jbn j =
n
X
1
a(n)
k=1
X
n=1
jan j :
Por lo tanto, la sucesion nk=1 jbn j es creciente y acotada, y por consiguiente convergente.
P
P
Veamos que bn = an .
1
1
n=1
n=1
P
Como jan j converge, se tiene 8 > 0, 9N tal que
n=1
1
X
1
N +1
jan j <
:
Elegimos M 2 N de tal manera que
fa1 a2 : : : aN g fb1 b2 : : : bM g
remarcando que M depende de N , en general M N , por consiguiente depende de .
Ahora bien, 8m M y 8n N , se tiene
m
X
k=1
bk ;
n
X
k=1
ak
X
1
N +1
jan j <
porque a1 : : : aN aparecen en cada una de las dos sumas de la izquierda, dejando una
suma (nita) de an con n > N .
As, 8 > 0, 9N 2 N y 9M 2 N tales que
nN ymM )
haciendo n ! 1, se tiene
m
X
k=1
bk ;
m
X
k=1
X
1
k=1
bk ;
n
X
k=1
an < ak < 68
IV Series
lo que signica
lim
m
m
X
!1
k=1
bk =
X
1
k=1
an :
Remarca.- Este teorema ya no es verdadero, si P an converge condicionalmente. Por
1
n=1
ejemplo, consideremos la serie alternada
X (;1)n+1
1
n=1
n
:
Esta serie es simplemente convergente, denotemos por s su suma, una vericacion muestra
que s 6= 0. Se tiene:
s = 1 ; 12 + 13 ; 41 + 1s = 1 ; 1 + 1 ; 1 + 2 2 4 6 8
1s = 0 + 1 + 0 ; 1 + 0 + 1 + 2
2
4
6
3s = 1 + 1 ; 1 + 1 + 1 ; 1 + 2
3 2 5 7 4
viendo de esta manera que la ultima serie es una permutacion de la serie alternada en
cuestion. Como s 6= 0, sus sumas son diferentes.
Teorema IV.3.8.- Sea P an una serie que converge condicionalmente, entonces
1
n=1
permutando sus terminos, se puede obtener una serie que converga a cualquier lmite,
incluso que sea divergente.
Demostracion.- Ejercicios.
Producto de dos series
Si
P a y P b 2 series. Consideremos todos los productos
n
n
n=1
n=1
1
1
P
ak bk con k l 2 N 1
ordenemos los ak bl en una serie cn es decir, demos una biyeccion ' : N N :! N tal
n=1
que '((k l)) = n:
Teorema IV.3.9.- Sean P an y P bn dos series absolutamente convergentes de sumas
1
1
n=1
n=1
s y t respectivamente. Entonces toda serie producto
convegente y su suma vale st.
P a b es igualmente absolutamente
k l
69
IV.4 Ejercicios
Demostracion.- Colocamos los ak bl en un tablero innito
a1 b1
a1b2
a1b3
:::
a2b3
..
.
"
a2 b1
!
a2b2
a3 b1
!
a3b2
P
"
!
"
a3b3
"
"
Se puede disponer en serie ak bl de una innidad de maneras, en particular: por
diagonales o producto de Cauchy, es decir
a1b1 + (a1b2 + a2b1) + (a1b3 + a2b2 + a3b1 ) + por cuadrados, como indica las echas del tablero,
a1b1 + (a2b1 + a2b2 + a1 b2) + :
Si mostramos que una de estas series productos es absolutamente convergente, el teorema
sera valido por el teorema IV.3.7. Consideremos por lo tanto, la serie producto ordenada
por cuadrados.
X
1k ln
jak bl j =
P
X
n
X
X
X
n
k = 1 jak j jbl j k = 1 jak j jbl j :
l=1
l=1
1
1
de donde ak bl es absolutamente convergente. As mismo con la misma suma por
cuadrados se tiene que
X
1
k l=1
ak bl = st:
IV.4 Ejercicios
1.- Demostrar la convergencia de la serie
X
1
n=1 n(n + 1)(n + 2)
1
y calcular su suma.
70
IV Series
2.- >Para que valores del parametro positivo b la serie
X
n
1
b+ n
1
n=1
es convergente? Responder a la misma pregunta para
X
1
n=1
n1=nbn y
X
bn :
n
2
n=1 (b + 1)
1
3.- Determinar si las series de termino general siguientes convergen:
23n+1 2n ; 1p n2 + 1 (3n + 2) n2
n3 + 2
32n ; 1
(1 + 1=n)n 1 ; 1 n 2n n! n n+1
nn
(3 + 1=n)n
1 donde f es el n-simo numero de Fibonacci.
n
f
n
1
=n
n ;1 n
n+1
n2
n
4.- Determinar si las series de termino general siguientes convergen, convergen absolutamente:
1
n
1
1
=
2
n
1
an = (;1) n bn = (;1)
1+ n n
cn = (;1)n+1 (n +2n1)(+n3+ 2) dn = pn (+ 1)(;1)n n 2:
;
;
;
;
5.- Demostrar que si an > 0 para todo n 2 N , entonces
X
X an
an y
n=1
n=1 an + 1
1
1
convergen o divergen al mismo tiempo.
6.- Demostrar que la serie
X 1
1
2
p
n=1 2
converge.
7.- Sea
P a convergente, pero P ja j divergente.
n
n
1
1
n=1
n=1
P
1
a) Demostrar que la serie formada de los terminos positivos de
an y aquella
n=1
formada de sus terminos negativos divergen.
71
IV.4 Ejercicios
b) Demostrar la existencia de una permutacion de los an tal que la serie obtenida
de esta manera converga hacia un 2 R arbitrariamente elegido.
c) Demostrar que se puede permutar los an , de manera que se pueda obtener una
serie que diverge tanto por valores innitos, como por oscilacion.
8.- Mostrar que el producto de Cauchy de la serie convergente
X (;1)n+1
1
n=1
por si misma es una serie divergente.
p
n
Captulo V
Topologa de la Recta Real
V.1 Abiertos y Cerrados
Se utilizara a menudo la siguiente remarca:
Remarca.- Sea E R , si x 2 R es tal que 9 0 > 0 con la propiedad siguiente:
8 > 0 con 0 < < 0 , se tiene
(x ; x + ) \ E 6= entonces existe una sucesion fyn g1 tal que y 2 E y yn ! x cuando n ! 1.
En efecto, se elige la sucesion n ! 0 con 0 < n < 0 y n &, luego por cada n,
elegir un yn 2 (x ; n x + n ) \ E . Por lo tanto, 8 , 9N tal que
1
nN )0< n<
por lo tanto
jx ; yn j < n
es decir x = nlim yn .
< 8n N !1
Subconjuntos abiertos de R
Denicion V.1.1.- O R es abierto si 8x 2 O, 9 > 0 tal que
(x ; x + ) O:
Ejemplos
1.- Son abiertos de R los siguientes subconjuntos:
Proposicion V.1.2.- Se tiene:
R
(a b) = fx 2 R ja < x < bg:
74
V Topologa de la Recta Real
1.- Si O1 y O2 son abiertos, entonces O1 O2 y O1 \ O2 son abiertos.
2.- Si fOi gI es una familia de abiertos, entonces
i=I
O es abierto:
Demostracion.- Ejercicio.
Remarca.- Por induccion, se puede mostrar que la interseccion de un numero nito de
abiertos es abierta. Esta situacion no sucede cuando la familia de abiertos es innita. En
efecto, consideremos la familia de abiertos On = (; n1 n1 ), pero
\ 1 1
(; n n ) = f0g
n=1
1
que no es un abierto.
Denicion V.1.3.- Se dice que E R es vecindario de x 2 R si existe > 0 tal que
(x ; x + ) E .
Para efectos practicos del curso, cuando se mencione un vecindario de x, nos
referiremos a intervalos abiertos de la forma (x ; 1 x + 2 ) con 1 2 > 0.
Subconjuntos cerrados de R
Denicion V.1.4.- La adherencia A de un A R, es el conjunto de las x 2 R que son
lmite de una sucesion en A.
Remarca.- Se tiene siempre que A A, por que si x 2 A, la sucesion constante an = x
tiene como lmite x. Pero en general A 6= A. Por ejemplo, Q = R , porque todo numero
real es lmite de una sucesion de numeros racionales.
Denicion V.1.5.- E R es cerrado, si E = E es decir, si toda sucesion en E que
converge tiene su lmite en E .
Ejemplo
2.- Son cerrados
R
a b]:
Remarca.- Un subconjunto nito A R es cerrado, porque toda sucesion en A para
converger debe terminar por ser constante.
Proposicion V.1.6.- Se tiene:
1.- Si F1 y F2 son cerrados, entonces F1 F2 y F1 \ F2 son cerrados.
2.- Sea fFi gi I una familia de cerrados en R , entonces
2
\
i I
2
es cerrada.
Fi
75
V.2 Algunos Puntos y Conjuntos Particulares
Demostracion.- Ejercicio.
Remarcas.-
1.- Por induccion, se muestra que la union de un numero nito de cerrados es un cerrado.
2.- La union de una familia innita de cerrados puede no ser cerrado. En efecto,
consideremos la familia Fk = f k1 g con k 2 N y
E=
1
n=1
Fk ahora bien, la sucesion 1 1=2 1=3 : : : converge a 0 y 0 62 E .
3.- Un subconjunto de R puede ser ni abierto, ni cerrado, por ejemplo (a b].
Proposicion V.1.7.- Sea E R , entonces
E cerrado
()
E CR abierto.
Demostracion.- Denotemos por M = E CR, Si M = o E = la proposicion es
trivialmente cierta. Por consiguiente excluyamos estos dos casos.
Mostremos que M abierto implica E cerrado. Tomemos una sucesion f ng1 convergente
con n 2 E , veamos que nlim n 2 E . Denotemos este lmite, si 62 E , se tendra
2 M , como M es abierto, existira > 0 tal que ( ; + ) M , pero el intervalo
( ; + ) contendra una innidad de n porque = nlim n . As, si se tuviese 62 E ,
se tendra n 2 M , lo que contradice que f n g sea una sucesion en E .
Para mostrar que E cerrado implica M abierto, mostraremos que M no abierto implica E
no cerrado. Como M 6= y M no abierto, existe x 2 M tal que 8 > 0 (x ; x + ) 6 M ,
por lo tanto 8 > 0
(x ; x + ) \ E 6= :
Por la observacion hecha al inicio del captulo, existe una sucesion fyn g con yn 2 E y
yn ! x. En consecuencia x 2 E , con lo que E no es cerrado.
1
!1
!1
Proposicion V.1.8.- Sea A R , entonces A es un conjunto cerrado, es decir A = A .
Demostracion.- Es suciente mostrar que ACR es abierto. Es decir, si x 2 ACR, entonces
existe > 0 tal que (x ; x + ) ACR. Excluyendo los dos casos triviales, tomemos
x 2 ACR, por lo tanto existe > 0 tal que
(x ; x + ) \ A = porque sino se tendra 8 > 0 (x ; x + ) \ A 6= y por consiguiente existiri a una
sucesion fan g con an 2 A cuyo lmite sera a, lo que contradecera que a 62 A.
Denotando I = (x ; x + ), se tiene que A \ I = y I abierto implica A \ I = . Por
que sino existira y 2 I \A y como I es abierto, existira > 0 tal que (y; y;) I , pero
por otro lado existira una sucesion fan g en A tal que an ! y, por lo tanto (y ; y + )
76
V Topologa de la Recta Real
contendra un a 2 A, de donde a 2 I \ A lo que es absurdo. Por lo tanto, se tiene
A \ I = . Acabamos de mostrar que si x 62 A, existe > 0 tal que (x ; x + ) ACR,
es decir que ACR es abierto.
V.2 Algunos Puntos y Conjuntos Particulares
Punto de Acumulacion
Denicion V.2.1.- Sea E R . x 2 R es punto de acumulacion de E , si todo vecindario
de x contiene un punto de E diferente que x es decir 8 > 0, 9y 2 E tal que
0 < jx ; yj < :
Remarca.- x puede ser punto de acumulacion de E sin que pertenezca a E . Por ejemplo,
todo irracional es punto de acumulacion de Q , por que es lmite de una sucesion en Q .
Notacion.- E el conjunto de los puntos de acumulacion de E .
0
Puntos aislados
Denicion V.2.2.- x 2 E es un punto aislado de E , si no es punto de acumulacion de
E . Es decir, si existe > 0 tal que
(x ; x + ) \ E = fxg:
Puntos Interiores
Denicion V.2.3.- x
E es un punto interior de E si existe > 0 tal que
(x ; x + ) E . Se denota E al conjunto de los puntos interiores de E y se llama
interior de E .
Proposicion V.2.4.- Si es un punto de acumulacion de E , entonces cada vecindario
de contiene una innidad de puntos de E .
Demostracion.- Si un cierto ( ; + ) contuviese solamente un numero nito de
elementos de E , existira un vecindario ( ; 0 + 0 ) sin contener ningun punto de ,
salvo si 2 E . En efecto, sean e1 e2 : : : en los elementos diferentes a que estan
dentro el vecindario, tomando
1
je ; j 0 = 2 1min
j n j
se tendra el vecindario sin elementos de E diferentes a , lo que contradice que es un
punto de acumulacion.
2
77
V.2 Algunos Puntos y Conjuntos Particulares
Corolario V.2.5.- Si es punto de acumulacion de E existe una sucesion en E , cuyo
lmite es .
Proposicion V.2.6.- Se tiene
E cerrado
E
()
0
E:
Demostracion.- Supongamos que E es cerrado, x 2 E , por el corolario precedente,
0
existe una sucesion fxn g1 en E tal que limn xn = x como E es cerrado x 2 E .
Supongamos que E E , tomemos una sucesion fxn g1 en E convergente, denotemos por x su lmite. Mostremos que x 2 E . Ahora bien, x = xn para cierto n con lo que
x 2 E o bien x 6= xn para todo n, en este caso x es un punto de acumulacion de E , por
lo tanto x 2 E .
1
!1
0
1
Proposicion V.2.7.- Sea E R , entonces E es abierto si y solamente si E = E .
Denicion.- Ejercicio.
Proposicion V.2.8.- Se tiene para E R ,
E = E E :
0
Demostracion.- E E
.
E
Si x 2 E o x 2 E , entonces existe una sucesion fxn g con
xn 2 E y xn ! x en efecto, si x 2 E tomar la sucesion constante x = xn , si x 2 E el
corolario VIII.2.5 asegura la existencia de una tal sucesion.
E E E . Sea x 2 E , entonces existe una sucesion fxn g en E tal que xn ! x. Tenemos
dos casos: si para cierto n x = xn , se tiene que x 2 E , sino x 6= xn para todo n, en este
caso x es un punto de acumulacion de E y por consiguiente x 2 E , de donde x 2 E E .
0
0
0
0
0
Subconjuntos acotados de R
Denicion V.2.9.- Un conjunto E
0
R es acotado, si existe c 2 R c > 0 tal que
E ;c c] es decir, tal que jxj c, 8x 2 E .
Proposicion V.2.10.- Todo subconjunto innito y acotado de R admite al menos un
punto de acumulacion.
Demostracion.- Sea E R innito y acotado. Como E es acotado, existe I0 = ;c c]
con c > 0 tal que E I0 .
Dividamos I0 en 2 subintervalos de longitud igual, es decir ;c 0] y 0 c], uno al
menos de estos dos subintervalos contiene una innidad de puntos de E . Tomemos el
primero que se presente y lo nombramos I1 , se tiene I0 I1 . De la misma manera
dividamos I1 en dos subintervalos de la misma longitud, en uno al menos de los 2
subintervalos existe una innidad de puntos de E . Elegimos uno que tenga esta propiedad
y lo nombramos I2 . Tenemos
I0 I1 I2 :
78
V Topologa de la Recta Real
Continuando con el mismo procedimiento, se crea de esta forma una sucesion de intervalos
I0 I1 I2 Ik tales que fx 2 R jx 2 Ik \ E g es innito para todo k. Por otro lado si lk es la longitud de
Ik , se tiene
lk = l0k 2
de donde lk ! 0, cuando k ! 1. Por consiguiente, existe un unico
a2
\
1
k=0
Ik :
Veamos que a es un punto de acumulacion. En efecto, 8 > 0, tomar k 2 Z tal que lk < .
Para este k tomamos x 2 Ik \ E , con x 6= a. De donde
0 < jx ; aj lk < :
Proposicion V.2.11.- Sea E R , entonces E es abierto es decir, cada punto de E
es punto interior de E .
Demostracion.- Una primera demostracion consiste en utilizar el ejercicio V.3 (ACR =
(ACR) ), plantear A = E CR, se tendra
E = ACR
de donde E es abierto, por que A siempre es cerrado y el complemento es abierto.
Otro demostracion consiste en mostrar primero que A B implica que A B .
En efecto si x 2 A , existe > 0 tal que
(x ; x + ) A B
por lo que x 2 B .
Luego se debe mostrar que E (E ) . En efecto, sea x 2 E , por lo tanto existe
I = (x ; x + ) E . Por lo mostrado anterioremente I E , pero como I es abierto,
se tiene I = I , de donde 9 > 0 tal que (x ; x + ) E , por lo tanto x 2 (E ) .
Trivialmente se tiene (E ) E . Por consiguiente, (E ) = E y E es abierto.
Denicion V.2.12.- A R es denso en R si A = R .
La Frontera de un Conjunto
Denicion V.2.13.- Sea E R. La frontera Fr(E ) es el conjunto de las x 2 R tales
que cada vecindario (x ; x + ) contiene al menos 1 punto de E y 1 punto de E CR.
Remarca.- Es claro que Fr(E ) = Fr(E CR).
V.3 Ejercicios
79
Ejemplo
1.- Fr(Z) = Z, Fr(Q ) = R
Proposicion V.2.14.- Fr(E ) = E ; E .
Demostracion.- Mostremos primero E ; E Fr(E ). Si E ; E = es trivial,
supongamos que E ; E 6= , sea x 2 E ; E . Como x 2 E , x es el lmite de una
sucesion de E , por lo tanto cada vecindario de x contiene al menos un punto de E . Como
x 62 E , ningun vecindario de x esta incluido en E , por lo tanto todo vecindario de x
contiene al menos un punto de E CR.
Ahora mostremos que Fr(E ) E ; E . Cierto si Fr(E ) = , sino sea x 2 Fr(E ). Si
x 2 E , entonces x 2 Fr(E ) implica que todo vecindario de x contiene al menos un punto
de E CR, por lo que x 62 E y x 2 E E . si x 62 E , trivialmente x 62 E y cada vecindario
de x contiene al menos 1 punto de E , por lo que x es un punto de acumulacion de E ,
por consiguiente x 2 E . En resumen hemos mostrado que x 2 E ; E .
Subconjuntos Compactos
Denicion V.2.15.- E R es compacto en R , si toda sucesion admite una subsucesion
convergente, cuyo lmite esta en E .
Teorema V.2.16.- Bolzano y Weirstra . Un subconjunto E R es compacto si y
solamente si E es cerrado y acotado.
Demostracion.- Mostremos que E cerrado y acotado implica E compacto. Sea fan gn=1
una sucesion de E . De fan g se puede extraer una sucesion monotona, ver captulo III,
sea fank g tal sucesion, como E es acotada, la sucesion es acotada, por lo tanto fank g
es monotona y acotada, por consiguiente convergente. Como E es cerrado, el lmite de
fank g pertenece a E , luego E es compacto.
Ahora mostremos que E compacto es cerrado y acotado, para tal efecto, mostraremos
que si E es no acotado o no es cerrado, E no es compacto.
Si E no es acotado, existe una sucesion de E que diverge por valores innitos. Luego toda
subsucesion de la sucesion que diverge por valores innitos, tambien diverge por valores
innitos.
Si E no es cerrado, existe una sucesion de E convergente, cuyo lmite no pertenece a E ,
por lo tanto toda subsucesion de tal sucesion es converge y el lmite no esta en E .
Lo que signica que en ambos casos E no es compacto.
1
Subconjuntos conexos de R
Denicion V.2.17.- E R no es conexo, si existen U y V subconjuntos abiertos de R
tales que:
i) E U V .
ii) E \ U 6= y E \ V 6= .
iii) U \ V = .
Proposicion V.2.18.- Si E R es conexo, entonces E es un intervalo.
Demostracion.- Ejercicio.
80
V Topologa de la Recta Real
V.3 Ejercicios
1.- Sea E el conjunto de los puntos de acumulacion de un conjunto E R . Demostrar
que E es cerrado.
2.- >Los subconjuntoss siguientes de R son abiertos, cerrados, acotados, compactos,
densos en R ? >Tienen puntos aislados, puntos interiores?
0
0
Z Q
1 jn 2 N n m jm n 2 N o :
n
2n
Nota: E R es denso en R , si E = R .
3.- Demostrar que si A R , entonces
ACR = (ACR) :
4.- El conjunto de Cantor. Sea I = 0 1]. Se plantea
I0 = 0 1=3] I2 = 2=3 1]
I00 = 0 1=9] I02 = 2=9 1=3] I20 = 2=3 7=9] I22 = 8=9 1]
inductivamente si ai = 0 o 2 (i = 1 : : : n) se plantea
"X
n a X
n a
i
i
#
Ia1 :::an =
+ 31n :
i
i
i=1 3 i=1 3
Sea (ai)i 1 una sucesion de 0 o 2, es decir ai = 0 o 2.
Mostrar que:
Ia1 :::an Ia1 :::an+1 :
i)
ii) Existe a 2 I tal que
Se considera la aplicacion
\
1
n=1
Ia1 :::an = fag:
c : f(ai)i 1 jai = 0 o 2g I
(ai) 7! a denido en ii):
La imagen de c se llama el conjunto de Cantor K.
81
V.3 Ejercicios
Mostrar que:
iii)
K=
(
x 2 I jx =
X ai
1
i
i=1 3
)
ai = 0 o 2 :
iv) K es no numerable.
5.- Sea K el conjunto de Cantor, ejercicio 4. Mostrar que:
i) K es cerrado.
ii) K no es denso en ninguna parte, es decir 8x y 2 K x < y, 9a b 2
x a < b y tales que (a b) \ K = .
iii) Cada x 2 K es un punto de acumulacion de K.
Un subconjunto L R no vacio que satisface i), ii) y iii) se llama perfecto.
iv) Mostrar que un conjunto perfecto es no numerable.
R
con
Captulo VI
Funciones Continuas
VI.1 Lmites
El nombre de \funcion" esta reservada a las aplicaciones
f : M ! R
donde M R , como el nombre de sucesion esta reservada a las aplicaciones a : N ! R .
Denicion VI.1.1.- Sean f : M ! R funcion, x0 2 M , l 2 R . Se dira que l = xlimx0 f (x),
si 8 > 0, 9 > 0 tal que
0
!
x 2 M y 0 < jx ; x0j < ) jf (x) ; lj < :
Remarcas.-
1.- Otra notacion, f (x) ! l, cuando x ! x0 .
2.- En general dependera de y de x0 .
3.- El conjunto de las x para las cuales jf (x) ; lj < no comprende necesariamente
x0 , solo se exige que x0 sea un punto de acumulacion, incluso no es necesario que
x0 2 M , por lo que no necesariamente f esta denida en x0.
4.- La denicion concierne el comportamiento de f (x) cuando x se aproxima de x0, no
dice nada respecto de f (x) en x0 .
Proposicion VI.1.2.- El lmite si existe, es unico.
Demostracion.- De acuerdo a la denicion f : M R ! R funcion, x0 2 M punto
de acumulacion de M . Supongamos que f (x) ! l1 y f (x) ! l2 cuando x ! x0. Por lo
tanto para todo > 0, 91 > 0 y 92 > 0 tales que:
0
x 2 M y 0 < jx ; x0 j < 1 ) jf (x) ; l1j < 2
x 2 M y 0 < jx ; x0 j < 2 ) jf (x) ; l2j < 2
(VI.1.1)
(VI.1.2)
84
VI Funciones Continuas
Sea x 2 M tal que 0 < jx ; x0 j < minf1 2 g, este x existe porque x0 es punto de
acumulacion de M . Utilizando (VI.1.1) y (VI.1.2), obtenemos
jf (x) ; l1 j + jf (x) ; l2 j <
y por la desigualdad del triangulo, se tiene
jl1 ; l2 j <
por lo tanto l1 ; l2 = 0, por que sino se tiene un absurdo.
Ejemplos
1.- Consideremos f : R ! R denida por f (x) = x2 . Mostremos que, 8x0 2 R , se tiene
2:
lim
f
(
x
)
=
x
0
x x0
!
En efecto,
f (x) ; x20 = x2 ; x20 = jx + x0 j jx ; x0j
(jxj + jx0 j) jx ; x0 j :
Supongamos que 0 < jx ; x0 j < 1, por lo tanto, 1 > jx ; x0 j jxj ; jx0 j, de donde
jxj < 1 + jx0 j, si 0 < jx ; x0 j < 1. Por consiguiente obtenemos
f (x) ; x20 (jx0 j + 1 + jx0 j) jx ; x0 j = (2 jx0 j + 1) jx ; x0 j
cuando jx ; x0 j < 1.
Sea > 0 y planteamos
= min 1 1 + 2 jx j + 1 0
se ha mostrado que 8 > 0, 9 > 0 ( = min(1 =(1 + 2 jx0 j)) tal que
x 2 R y 0 < jx ; x0 j < 1 ) jf (x) ; f (x0)j < :
2.- En el ejemplo precedente, se ten i a
f (x0) = xlimx0 f (x):
!
Sea x0 2 R dado, consideremos la funcion g : R ! R , denida por
(
x2 si x 6= x0
g(x) = 2
x0 + 1 si x = x0
Se demuestra con el mismo razonamiento que el ejemplo 1, que
lim = x20
x x0
!
85
VI.1 Lmites
aunque g(x0) 6= x20 .
3.- Sea f : R ! R , dada por
8 ;1 si x < 0
>
<
f (x) = > 0 si x = 0
: 1 si x > 0
lim f (x) no existe, porque si existiese l = xlim0 f (x), se tendra que 8 > 0, 9 > 0
tal que
0 < jxj < ) jf (x) ; lj < :
Por consiguiente, si x es tal que 0 < x < se tiene j1 ; lj < si ; < x < 0 se tiene
j;1 ; lj < :
Por lo tanto, se tendra 8 > 0 a la vez
x 0
!
!
j1 ; l j <
de donde, 8 > 0
j;1 ; lj <
> j1 ; lj + j1 + lj 2
lo que es absurdo.
4.- Consideremos Q la funcion caracterstica de Q , recordemos que
Q =
(
1 si x 2 Q
0 si x 2 R ; Q
limx x0 Q (x) no existe para ningun x0 2 R .
Supongamos que existe l con l = limx x0 Q (x) para cierto x0 2 R se tendra que
8 > 0, 9 > 0 tal que
!
!
x 2 R y 0 < jx ; x0j < ) Q (x) ; l
Como Q es denso en R , existe un x 2 Q tal que 0 < jx ; x0 j < , de donde jl ; 1j < .
Como R ; Q es denso en R , existe x 2 R ; Q tal que 0 < jx ; x0j < , de donde
jlj < . Al igual que el ejemplo 3, el hecho de tener al mismo tiempo
jl ; 1j <
jl j <
es un absurdo.
Proposicion VI.1.3.- Sean M R , M abierto y x0 2 M . Sea f : M ; fx0g ! R . Si
l = xlimx0 f (x) y si l > 0, entonces existe un vecindario I = (x0 ; x0 + ) M tal que
f (x) > 0 8x 2 I , x 6= x0.
Demostracion.- Por hipotesis l = xlimx0 f (x) > 0. Tomando = l=2, existe > 0 tal
que
x 2 M y 0 < jx ; x0 j < ) jf (x) ; lj < 2l !
0
!
0
86
VI Funciones Continuas
de donde para x 2 M \ (x0 ; x0 + ) x 6= x0, se tiene
0
0
;
l < f (x) ; l
2
l < f (x):
2
Ahora bien O = M \ (x0 ; x0 + ) es abierto, por que es interseccion de dos abiertos,
luego existe I = (x0 ; x0 + ) O con f (x) > 0, 8x 2 I , x 6= x0 .
0
0
Lmites de funciones y lmites de sucesiones
Proposicion VI.1.4.- Sean f : M ! R , M R y x0 2 M . Sea l 2 R , entonces:
0
x x0
lim f (x) = l
(VI.1.3)
nlim f (an ) = l
(VI.1.4)
lim an = x0 y an 6= x0 8n 2 N :
(VI.1.5)
!
si y solamente si
!1
para toda sucesion a : N
!M
tal que
n
!1
Demostracion.- Supongamos que (VI.1.3) tiene lugar por consiguiente, 8 > 0, 9 > 0
tal que
x 2 M y 0 < jx ; x0j < ) jf (x) ; lj < :
Tomemos una sucesion fan g1 que satisface (VI.1.5), por lo tanto 8 > 0 9N 2 N tal que
1
n N ) jan ; x0 j < como an ; x0 , se tiene tambien 0 < jan ; x0 j. De esta manera 8 > 0, 9N 2 N tal que
n N ) an 2 M y 0 < jan ; x0 j < :
Por lo tanto, 8 > 0 9N 2 N tal que
n N ) jf (an) ; lj < es decir, nlim f (an) = l.
Supongamos que (VI.1.3) no es cierto, mostremos que existe una sucesion que
satisface (VI.1.5) tal que (VI.1.4) no es cierto. En efecto, si (VI.1.3) no es cierto, 9 > 0
tal que 8 > 0, 9x tal que
!1
x 2 M y 0 < jx ; x0 j < y jf (x) ; lj :
87
VI.1 Lmites
Tomemos con este una sucesion n ! 0 cuando n ! 1 y a cada n le corresponde un
an 2 M tal que
0 < jan ; x0j < n y jf (an) ; lj :
De aqu, constatamos que an ! x0 cuando n ! 1, pero f (an) 6;! l.
Criterio de Cauchy para lmites de funciones
Proposicion VI.1.5.- Sean f : M ! R , M R , x0 2 M . Entonces
0
lim f (x) existe
x x0
!
si y solamente si
8
> 0 9 > 0 tal que (x1 x2 2 M y 0 < jxi ; x0j < i = 1 2 ) jf (x1) ; f (x2)j <
(VI.1.6)
Demostracion. Supongamos que xlimx0 f (x) = l existe. Por consiguiente 8 > 0, 9 > 0
!
tal que
x 2 M y 0 < jx ; x0 j < ) jf (x) ; lj < 2 :
De donde, para x1 x2 2 M con jxi ; x0j < i = 1 2, se tiene
= 2 + 2 > jf (x1) ; lj + jl ; f (x2)j jf (x1) ; f (x2)j :
Por lo tanto, se ha vericado (VI.1.6).
Supongamos que (VI.1.6) es cierto. Tomemos fang1 sucesion tal que an 2 M ,
an 6= x0 y an ! x0 . (VI.1.6) implica que la sucesion ff (an)g es una sucesion de Cauchy,
por consiguiente convergente. Denotemos l = lim n ! 1f (an). Ahora bien, 8 > 0,
9N 2 N y 9 > 0 tales que
1
n N ) jf (an) ; lj < 2
n N y x 2 M 0 < jx ; x0 j < ) jf (x) ; f (an)j < 2 remarquemos que esta ultima armacion es correcta, porque es suciente tomar N =
maxfN N g, donde N es para f (an) ! l y N es para an ! x0. Aplicando la
desigualdad del triangulo, se obtiene
0
00
0
00
jf (x) ; lj jf (an ) ; lj + jf (x) ; f (an )j <
8x 2 M
con 0 < jx ; x0 j < .
88
VI Funciones Continuas
Lmites innitos y lmites cuando x ;! 1
Denicion VI.1.6.- Sea f : M R ! R y x0 2 M . xlimx0 f (x) = +1 si 8A 2 R ,
0
9
> 0 tal que
!
x 2 M y 0 < jx ; x0 j < ) f (x) > A:
Denicion VI.1.7.- Sea f : M
9
> 0 tal que
R ! R
y x0
2
M . xlimx0 f (x) = ;1 si 8A 2 R ,
0
!
x 2 M y 0 < jx ; x0 j < ) f (x) < A:
Denicion VI.1.8.- Sea f : M
R ! R
grandes, l 2 R . Se dira
donde M contiene reales arbitrariamente
lim f (x) = l
x +
!
si 8 > 0, 9A 2 R tal que
1
x 2 M y x > A ) jf (x) ; lj < :
Denicion VI.1.9.- Sea f : M
peque~nos, l 2 R . Se dira
R ! R
x
donde M contiene reales arbitrariamente
lim f (x) = l
!;1
si 8 > 0, 9A 2 R tal que
x 2 M y x < A ) jf (x) ; lj < :
Denicion VI.1.10.- Sea f : M
grandes. Se dira
R !R
lim f (x) = +1
x +
!
si 8M , 9A tal que
donde M contiene reales arbitrariamente
1
x 2 M y x > A ) f (x) > M:
Remarca.- De manera analoga, se puede denir las otras posibilidades que se tiene
cuando se maneja lmites innitos.
Limites a la izquierda y lmites a la derecha
Notacion.- x ! x0 + 0, si x ! x0 con x > x0 . x ! x0 ; 0, si x ! x0 con x < x0 .
Denicion VI.1.11.- Sea : M R ! R , x0 2 M , de manera que en el caso especico
0
> 0 9x 2 M con 0 < x ; x0 < (; < x ; x0 < 0), l 2 R , entonces se puede denir:
1.- x lim
f (x) = l, si 8 , 9 > 0 tal que
x0 +0
8
!
x 2 M y x0 < x < x0 + ) jf (x) ; lj < :
89
VI.2 Continuidad
2.- x lim
f (x) = l, si 8 , 9 > 0 tal que
x 0
!
0;
x 2 M y x0 ; < x < x0 ) jf (x) ; lj < :
Proposicion VI.1.12.- Sea f : M
R ! R , x0 punto de interior de M, entonces
lim
f
(
x
)
existe
si
y
solamente
lim
f (x) y x lim
f (x) existen y son iguales.
x x0
x x0 +0
x0 0
Demostracion.- Ejercicio.
!
!
!
Operaciones con lmites
Proposicion VI.1.13.- Sean f g : M
existen, entonces:
1.- xlimx (f + g)(x) existe y
!
;
R ! R,
x0
2
M . Si xlimx0 f (x) y xlimx0 g(x)
0
!
!
0
lim (f + g)(x) = xlimx0 f (x) + xlimx0 g(x):
x x0
!
!
!
2.- xlimx (fg)(x) existe y
!
0
lim (fg)(x) = xlimx f (x) xlimx g(x):
x x0
!
3.- xlimx jf j (x) existe y
!
!
0
!
0
0
lim jf j (x) = xlimx0 f (x) :
x x0
!
!
4.- Si ademas g(x) 6= 0 8x 2 M y xlimx g(x) 6= 0, xlimx (f=g)(x) existe y
0
0
lim f (x)
x x0
:
lim
(
f=g
)(
x
)
=
x x0
lim
g
(
x
)
x x0
!
!
!
!
!
Demostracion.- Como para las sucesiones. Ejercicio.
VI.2 Continuidad
Denicion VI.2.1.- Sean f : M R ! R y x0 2 M se dice que f es continua en el
punto x = x0, si 8 > 0, 9 > 0 tal que
x 2 M y jx ; x0 j < ) jf (x) ; f (x0)j < :
Remarcas.-
90
VI Funciones Continuas
1.- En la denicion de continuidad, es necesario que x0 2 M .
2.- Si x0 es un punto aislado de M , entonces para > 0 lo bastante peque~no
(x 2 My jx ; x0 j < ) x = x0 ) y si x = x0 se tiene obviamente jf (x) ; f (x0)j < ,
por lo tanto f es continua en x0 , si x0 es un punto aislado de M .
Proposicion VI.2.2.- Si f : M ! R y si x0 2 M y x0 es un punto de acumulacion,
entonces f es continua en x0 si y solamente si
lim f (x) = f (x0):
x x0
!
Demostracion.- Ejercicio.
Denicion VI.2.3.- f es continua sobre M , si f es continua en todo punto x 2 M .
Proposicion VI.2.4.- Sean x0 2 M R y f : M ! R . Si f es continua en x0 , y si
f (x0) > 0, entonces 9 > 0 tal que
f (x) > 0 8x 2 M \ (x0 ; x0 + ):
Demostracion.- Ejercicio.
Proposicion VI.2.5.- Sean f g : M R ! R, x0 2 M R . Si f y g continuas en el
punto x = x0, entonces
f + g fg jf j
lo son tambien y f=g es continua en x0 si g(x0) 6= 0.
Demostracion.- Ejercicio.
Remarca.- g(x0) 6= 0 y g continua en x0 , por la proposicion VI.2.4, g(x) 6= 0 para cierto
vecindario de x0, por consiguiente f=g esta bien denida en el mencionado vecindario.
Corolario VI.2.6.- Toda funcion polinomial real es continua sobre R y toda funcion
racional f (x)=g(x) donde f (x) g(x) 2 R x] es continua sobre
E = R ; fceros reales de gg:
Demostracion.- Suciente mostrar que f (x) = x es continua y f (x) = c es continua,
luego aplicar los resultados de la proposicion precedente.
Proposicion VI.2.7.- Sean x0 2 M M y f : M ! R . Entonces f es continua en x0
si y solamente si para toda sucesion fxn g con xn 2 M y nlim xn = x0, se tiene
lim f (xn) = f (x0):
n
!1
!1
91
VI.2 Continuidad
Demostracion.- Ejercicio.
Remarca.- En la proposicion precedente, no se exige que xn 6= x0.
Composicion de Funciones Continuas
Teorema VI.2.8.- Sea f : A ! R y g : B ! R con A B R y f (A) B . Sean a 2 A
y b 2 B tales que xlima f (x) = b y g continua en el punto b. Entonces
!
xlima g (f (x)) = g (b):
!
Demostracion.- Debemos mostrar que 8 > 0, 9 > 0 tal que
x 2 A y 0 < jx ; aj < ) jg(f (x)) ; g(b)j < :
(VI.2.1)
Se sabe que: xlima f (x) = b es decir, si 8 > 0 9 > 0 tal que
!
x 2 A y 0 < jx ; aj < ) jf (x) ; bj < :
(VI.2.2)
g continua en el punto b, es decir 8 > 0, 9 > 0 tal que
y 2 B y jy ; bj < ) jg(y) ; g(b)j < :
(VI.2.3)
En (VI.2.3) se puede tomar y = f (x) con x 2 A. Por lo tanto por (VI.2.3) se tiene 8 > 0,
9 > 0 tal que
x 2 A y jf (x) ; bj < ) jg(f (x) ; g(b)j < :
Para este > 0 dado existe > 0 dado por (V I:2:2), vericando de esta manera (V I:2:1).
Corolario VI.2.9.- Si ademas de las hipotesis del teorema, f es continua en x = a,
entonces g f es continua en x = a.
Teorema VI.2.10.- Si f : M ! R es continua y M R es compacto, entonces f (M )
es compacto.
Demostracion.- Sea fan g1 una sucesion en f (M ), sea fbng1 la sucesion en M tal
que f (bn ) = an . Como M es compacto, de fbn g1 se puede extraer una subsucecion
fbnk gk=1 convergente con bnk ! b 2 M . Pasemos a f (M ), sea a = f (b) 2 f (M ). Como
f es continua, en particular en a, se tiene f (bnk ) = ank ! a 2 f (M ). Por lo que
f (M ) es compacto, ya que de toda sucesion en f (M ) se puede extraer una subsucesion
convergente, cuyo lmite pertenece a f (M ).
1
1
1
1
Corolario VI.2.11.- Una funcion continua f sobre un compacto M es acotada y alcanza
sus cotas es decir, existen a b 2 M tales que
f (a) f (x) f (b) 8x 2 M:
92
VI Funciones Continuas
Demostracion.- Por el teorema f (M ) es compacto. Es suciente mostrar que f (M )
admite un elemento maximo y un elemento mnimo. Como f (M ) es compacto, es
mayorado, sea 2 R el supremo de f (M ). Por la denicion de sup, se tiene
f (x) 8x 2 M
8 9x 2 M tal que f (x) > ; :
Eligamos una sucesion f n g1 con n > 0 y n ! 0, obtenemos una sucesion fyng con
yn 2 f (M ) y yn ! , de donde 2 f (M ) y por lo tanto existe b 2 M tal que f (b) = .
Para el nmo el razonamiento es analogo.
1
Remarca.-
1.- a b del corolario, no son unicos en general. Ver gura VI.1.
b
b’
a
a’
Figura VI.1.- Maximos y Minimos de una funcion.
2.- La conclusion es falsa en general, si f no es continua, o M no es compacto.
Funciones Continuas sobre Intervalos
Intuitivamente se maneja el concepto de continuidad al hecho de poder trazar una curva
sin levantar el dispositivo con que se graca (un lapiz). La intuicion enga~na muchas veces
y este es uno de los casos.
Ejemplo
1.- Consideremos la funcion f : (0 1) ! R denida por
f (x) = sin(1=x):
Observamos que jf (x)j 1 y alcanza sus cotas en los siguients puntos:
f (x) = 1 () x = =2 +1 2n f (x) = ;1 () x = 3=2 1+ 2n 93
VI.2 Continuidad
donde n 2 N . Por consiguiente esta funcion alcanza sus cotas una innidad de veces
en el intervalo (0 1), con lo que es imposible gracar el grafo de f . En la gura VI.2.,
se tiene un intento de gracacion del grafo.
Figura VI.2.- Intento de gracacion de una funcion ingracable.
Teorema VI.2.12.- Bolzano. Sea a b] compacto y f : a b]
f (a):f (b) < 0, entonces existe x0 2 (a b) tal que f (x0) = 0.
Demostracion.- Consideremos el caso en que f (a) < 0 < f (b). Sea
! R
continua. Si
E = fx 2 a b]jf (x)g:
E no es vacio por que a 2 A, E es mayorado por b, por lo tanto E admite un supremos,
denotemoslo por x0 . Mostraremos que f (x0) = 0. En efecto, de acuerdo a la denicion
de sup, 8 > 0, 9x 2 E tal que
x0 < ;x x0 este x satisface f (x) < 0. Tomando una sucesion f n g1 con n ! 0, se puede obtener una
sucesio fxn g1 en E tal que xn ! x0. Por la continuidad de f , se tiene f (xn) ! f (x0).
Ahora bien como f (xn) < 0, se tiene f (x0) 0.
Por otro lado, se tiene que x0 2 E , pero x0 6= 0 por que f (x0) 0 y f (b) > 0, por
lo tanto x0 < b, de donde
x 2 (x0 b] ) f (x) 0:
Tomemos una sucesion fxn g1 con xn 2 (x0 b] tal que xn ! x0 . Por continuidad se tiene
f (x0) 0. De donde
1
1
1
f (x0) = 0:
Corolario VI.2.13.- Sea f : (a b) ! R continua y sean:
= (inf
f = inf ff (x)jx 2 (a b)g
a b)
= sup f = supff (x)jx 2 (a b)g
(a b )
94
VI Funciones Continuas
a b 2 R . Entonces
( ) f ((a b)):
Demostracion.- Sea < y0 < . Por la denicion de y existen a1 b1 2 (a b) tales
que
< f (a1) < y0 < f (b1) < :
Supongamos que a1 < b1 . Consideramos f1 : a1 b1] ! R con
f1 (x) = f (x) ; y0:
f1 es continua porque f lo es. Ahora bien f1 (a1) < 0 < f1(b1) y por el teorema de
Bolzano existe x0 2 (a1 b1) (a b) tal que f1(x0 ) = 0, de donde f (x0) = y0. Por lo
tanto ( ) f ((a b)).
Remarca.- f ((a b)) segun el caso, es uno de los 4 intervalos:
] ) ( ] ( ):
En efecto, por la denicion de no existe x 2 (a b) tal que f (x) > . Idem para .
Corolario VI.2.14.- Si a b] compacto y f : a b] ! R continua, entonces f (a b]) =
] donde
= min
f = max
f:
a b]
a b]
Demostracion.- Utilizando la demostracion del corolario precedente, se tiene f (a b]]) ( ). La remarca precedente indica que f (a b]) ]. Ahora bien por que f continua sobre un compacto alcanza sus contas.
2
f (a b])
Corolario VI.2.15.- f continua sobre un intervalo I , entonces f (I ) es un intervalo.
Demostracion.- Se visto para (a b) y a b] compacto, demostracion analoga para (a b]
y a b).
Continuidad Uniforme
En la denicion de continuidad de una funcion f en el punto x0 , el > 0 depende en
general de , como x0 .
Denicion VI.2.16.- Sean M R y f : M ! R . Se dice que f es uniformemente
continua sobre M , si 8 > 0, 9 > 0 tal que
x1 x2 2 M y jx1 ; x2 j < ) jf (x1) ; f (x2)j < :
Demostracion.- La continuidad uniforme sobre M es una propiedad global, que implica
la continuidad en cualquier punto de M en efecto, suciente dejar jo el punto x0 y jugar
con la denicion.
95
VI.2 Continuidad
Ejemplos
2.- La funcion f : 0 +1) dada por f (x) = x2 no es continuamente uniforme, aunque
sea continua. En efecto, si lo fuese, 8 > 0, 9 > 0 tal que
x1 x2 0 y jx1 ; x2 j < < ) jf (x1) ; f (x2)j < :
Ahora bien, se tiene:
> jf (x1) ; f (x2)j = x21 ; x22 = jx1 ; x2 j jx1 + x2 j :
Consideremos x1 > x2 > N con N > 0. Se obtiene
> 2n jx1 ; x2 j :
Es decir, es necesario que
jx1 ; x2 j <
2N si se quiere que jf (x1) ; f (x2)j < para x > N . Por lo tanto, es imposible que un
mismo > 0 sirva para todo el intervalo 0 +1).
3.- Consideremos la funcion f : 0 a] ! R dada por f (x) = x2. En el ejemplo 1 de la
seccion VI.1, se vio que
= min 2 jx j + 1 1 0
para la continuidad uniforme es suciente tomar
= min 2a + 1 1 :
Teorema VI.2.17.- Sea f : M
! R continua y M R compacto. Entonces, f es
uniformemente continua sobre M.
Demostracion.- Supongamos la conclusion falsa, es decir que la continuidad de f no
es uniforme. Por lo tanto 9 > 0 tal que 8 > 0 9x x 2 M con jx ; x j < y
jf (x ) ; f (x )j .
Tomando una sucesion fn g1 con n ! 0 y n ,se puede obtener dos sucesiones fxn g
y fxn g en M con jxn ; xn j < n y jf (xn ) ; f (xn)j .
Como M es compacto se puede extraer una subsucesion fxnk g convergente cuyo
lmite esta en M , digamos a . Por otro lado
0
0
00
0
00
1
00
00
0
00
0
0
00
0
xnk ; xnk < nk ;! 0
00
0
se ve inmediatamente que xnk ;! . Por la continuidad de f en particular en , se tiene
00
f (xnk ) ;! f ( )
f (xnk ) ;! f ( )
0
00
96
VI Funciones Continuas
de donde f (xnk ) ; f (xnk )
0
00
;! 0,
contradiciendo que
f (xnk ) ; f (xnk )
0
00
:
Funciones Inversas
Denicion VI.2.18.- Sean M R f : M ! R . Una inversa de f : M ! f (M ) es una
funcion g : f (M ) ! M , tal que g(f (x)) = x 8x 2 M y f (g(y)) = y 8y 2 f (M ).
Remarca.- En el captulo I, se ha visto que f : M ! f (M ) admite inversa si y solamente
si f es biyectiva y la inversa es unica. En esta nueva denicion es suciente que f sea
inyectiva, por que f : M ! f (M ) es automaticamente sobreyectiva.
Denicion VI.2.19.- Sea f : I ! R es creciente, respectivamente estrictamente
creciente, sobre el intervalo I si x1 < x2 ) f (x1) f (x2), respectivamente x1 < x2 )
f (x1) < f (x2).
La funcion es decreciente, respectivamente estrictamente decreciente, sobre el intervalo
I si x1 < x2 ) f (x1) f (x2), respectivamente x1 < x2 ) f (x1) > f (x2).
Si f es creciente o es decreciente, se dira que f es monotona.
Si f es estrictamente creciente o estrictamente decreciente, se dira que f es estrictamente
monotona.
Teorema VI.2.20.- Sea I R un intervalo. Sea f : I ! R continua y estrictamente
monotona. Entonces f admite una inversa g : f (I ) ! que es tambien continua y
estrictamente monotona en el mismo sentido que f .
Demostracion.- Demostramos el caso en que f es estrictamente creciente sobre I .
Veamos que existe g : f (I ) ! I inversa de f . f es estrictamente creciente, por lo tanto
x1 6= x2 ) f (x1) 6= f (x2), es decir f es inyectiva y por consiguiente f : I ! f (I ) es
biyectiva. Por la remarca precedente f admite inversa, que la denotamos g : f (I ) ! I .
Remarquemos que f (I ) = J es un intervalo por el corolario VI.2.15, ya que f es continua.
Ahora veamos que g : J ! I es estrictamente creciente. Sean y1 < y2 2 J , existen
x1 x2 2 I tales que f (x1) = y1 y f (x2) = y2 . Se tiene que x1 < x2 , por que las otras
posibilidades contradeceran el hecho que f sea estrictamente creciente. Por otro lado
x1 = g(y1) y x2 = g(y2), de donde g es estrictamente creciente.
Mostremos la continuidad de g. Supongamos lo contrario, es decir que existe 2 J donde
g no sea continua. Sea = g( ) o lo que es lo mismo f ( ) = . Si g no es continua en el
punto , existe > 0 tal que 8 > 0, existe y 2 J con 0 < jy ; j < y jg(y) ; j .
Tomemos una sucesion fn g con n > 0 y n ! 0, por lo tanto podemos obtener una
sucesion fyn g1 en J con yn 6= ,
1
yn ! y jg(yn) ;
j
8n 2 N :
Como fyng1 es convergente, es acotada luego existe 2 J tales que
1
yn :
97
VI.2 Continuidad
Por lo tanto la sucesion fg(yn) = xn g es acotada en I . Mas precisamente, si denotamos
a = g() y b = g( ), y como g es estrictamente creciente, se tiene
xn 2 a b] I:
Ahora bien, a b] es compacto, por lo tanto se puede extraer una sucesion convergente
fxnk g cuyo limite pertenece a a b] I . Por la denicion de lmite 6= . Pero como
f es continua e inyectiva, la sucesion fyn g debera converger hacia f ( ) 6= lo que es
absurdo.
0
0
0
Remarcas.-
1.- Si f admite inversa g, entonces sus grafos
f(x y )jy = f (x)g
f(x y )jx = g (y )g
son simetricos respecto a la recta y = x. Ver gura VI.3.
Figura VI.3.- Grafos de una funcion y su inversa.
2.- Puede suceder que f : I ! R tenga una inversa g, sin que f sea estrictamente
mootona ni continua. Se sabe que para que f admita inversa es suciente y necesario
que f sea biyectiva. Por ejemplo, f : 0 1] ! 0 1] denida por
f (x) =
(
x si x 2 Q
; x sino
En efecto, si x 62 Q , se tiene f (x) = 1 ; x 62 Q y
f (f (x)) = f (1 ; x) = 1 ; (1 ; x) = x:
Si x 2 Q , se tiene f (f (x)) = f (x) = x. Por lo tanto la propia inversa de f es f
misma. Se puede mostrar que f es continua solamente en x = 1=2.
98
VI Funciones Continuas
VI.3 Ejercicios
1.- Calcular los lmites siguientes:
x2 ; 3x + 2 lim
x 1 x3 ; 3x2 + 2
p
p
1
+
x
; 2x
p lim p
x 1 1 + 2x ; 3
!
!
lim
x 10
!
p
p
1 + x ; 1 ; x
x
lim x1=x]:
x 10
!
2.- Sean
P (x) = a0 + a1x + + anxn an 6= 0
Q(x) = b0 + b1x + + bmxm bm 6= 0
dos polinomios a coecientes reales.
Mostrar que:
8 0 si m > n
>
>
>
< an si m = n
P
(
x
)
lim Q(x) = > bn
x
+ 1 si m < n y signo(a ) = signo(b )
>
>
: ; 1 si m < n y signo(ann) = ; signo(nbn)
!1
3.- Encontrar los puntos de continuidad de las funciones
( 1 si x 62 Q
f1 (x) =
(funcion de Dirichlet),
0 si x 2 Q
8
>
< 0 si x 62 Q
f2 (x) = > 1
: q si x 2 Q y x = pq con mcd(p q) = 1 q > 0
4.- Demostrar que si g : a b] ! R es continua y admite cada valor real a lo mas una
vez, entonces g es estrictamante mononotona.
5.- a) Demostrar que f : ;1 1] ! R , con f (x) = x1=3 es uniformemente continua.
b)Sea = 1=10, encontrar > 0 tal que
jx1 ; x2 j < y x1 x2 2 ;1 1] ) jf (x1) ; f (x2)j < :
6.- Sean ;1 a < b +1, y I un intervalo cualquiera de extremidades a y b. Una
funcion g : I ! R es una funcion en escalera, si existe un entero n 1, reales
99
VI.3 Ejercicios
xi 2 a b] con xi < xi+1 i = 0 1 : : : n x0 = a, xn+1 = b y reales c0 : : : cn tales
que
g(x) = ci si xi < x < xi+1 :
No se impone nada respecto los g(xi).
Demostrar que si a b] es compacto y f : a b] ! R es continua, entonces 8 > 0
existe una g : a b] ! R en escalera, tal que
jf (x) ; g (x)j 8x 2 a b]:
Ademas, se puede elegir g de tal manera que g (x) 0 sobre a b], si f (x) sobre
a b].
Captulo VII
Diferenciacion
VII.1 Derivadas
Sean M R , M abierto y x0 2 M . Sea f : M ! R . Se considera el cociente de Newton:
q : M ; fx0g ;! R
f (x0) :
x 7! q(x) = f (xx) ;
;x
0
Si l = xlimx q(x) existe, se dice que f es derivable en el punto x0 , l es su derivada en este
0
punto. Se denota en general (en vez de l) esta derivada por
!
df (x ):
f (x0) dx
0
0
Remarcas.-
1.- Si x0 2 M y M es abierto, entonces x0 no es un punto aislado, es decir x0 es un
punto de acumulacion y por lo tanto se puede pasar al lmite x ! x0 con x 2 M .
2.- La interpretacion geometrica que se da usualmente a la derivada, cuando M es un
intervalo, esta ligada a la nocion de tangente de una curva. En la gura VII.1, se tiene
el grafo de una funcion f (x). El cociente de Newton en el punto x da la pendiente
de la secante a la curva que pasa por los puntos P (x0 f (x0)) y Q(x f (x)). Hacer
x ! x0 en la curva es hacer Q ! P , lo que da una recta lmite llamada tangente.
La pendiente de esta recta es igual a f (x0 ).
0
102
VII Diferenciacio n
Figura VII.1.- Interpretacion Geometrica de la Derivada.
Ejemplos
1.- f (x) = xn con n 2 N es derivable en toda la recta real. En efecto
n ; xn
x
q(x) = x ; x 0 = xx 1 + x0 xn 2 + + xn0 2 x + xn0
0
;
=
;
;
nX1
;
1
;
x| k0 xn{z 1 k} ; ;
k=0 xn
0
;1
!
si
x x0
!
de donde f (x0) = nxn0 1. Si n = 0, q(x) = 0 y por lo tanto f (x0 ) = 0.
2.- A continuacion una funcion que es continua, pero que no es derivable en un punto.
Consideremos f (x) = jxj. Se tiene
;
0
0
q(x) =
(
1 x > 0
;1 x < 0
de donde
lim q(x) = 1 xlim0 q(x) = ;1:
Por lo tanto no existe lim q(x) cuando x ! 0. Lo que signica que f no es derivable
en x = 0.
Teorema VII.1.1.- Sea x0 2 M R , M abierto y f : M ! R . Si f es derivable en x0 ,
entonces es continua en ese punto.
Demostracion.- f (x0) existe, por lo tanto
x 0+
! ;
!
0
f (x) ; f (x0) = f (x )
lim
0
x x0 x ; x
0
!
0
103
VII.1 Derivadas
existe. Por lo tanto la funcion g : M ! R
8 f (x) ; f (x0)
<
si x 6= x0
g(x) = : x ; x0
f (x0 ) si x = x0
0
es continua en x0 .
Ademas, se tiene que
f (x) = f (x0) + (x ; x0)g(x):
Pasando al lmite, los dos terminos del lado derecho son continuos y por lo tanto admiten
lmite, de donde
lim f (x) = xlimx f (x0) + xlimx (x ; x0 )g(x) = f (x0):
x x0
!
!
0
0
!
La funcion derivada
Si f : M ! R, M R abierto y si f (x0 ) existe 8x0 2 M , se puede denir la funcion
derivada de f denotada por f .
f : M ;! R
x 7! f (x):
En los casos que sea posible, se puede continuar, si f es derivable en todo punto de M ,
se dene su derivada (f ) denotada por f llamada derivada segunda.
0
0
0
0
0
0 0
00
Operaciones racionales
Proposicion VII.1.2.- Sean x0 2 M R , M abierto y f g : M ! R derivables en x0 ,
entonces:
1.- f + g es derivable en x0 y (f + g) (x0 ) = f (x0) + g (x0).
2.- Si c 2 R , entonces cf es derivable en x0 y (cf ) (x0) = cf (x0).
3.- fg derivable en el punto x0 y
0
0
0
0
0
(fg) (x0 ) = f (x0)g(x0) + f (x0)g (x0 ):
0
0
0
4.- Si ademas g(x0) 6= 0, entonces f=g es derivable en x0 y
f
f (x0)g(x0) ; f (x0)g (x0) :
(
x
)
=
0
g
(g(x0))2
0
0
0
Demostracion.- Mostremos 4). Es suciente mostrar que si g (x0 ) existe y g(x0) 6= 0,
entonces
luego se utiliza el punto 3.
1
0
;g (x0 )
:
=
g
(g(x0))2
0
104
VII Diferenciacio n
g (x0) existe, por lo tanto g es continua y como g (x0) 6= 0 existe un abierto N M
con x0 2 N tal que g(x) 6= 0 8x 2 N . De esta manera, el cociente de Newton para 1=g
es q : N ; fx0 g ! R , dado por
0
0
g(x) ; g(x0) 1 :
; 1=g (x0)
=
;
q(x) = 1=g(xx) ;
x
x ; x g(x)g(x )
0
0
0
Como g es continua en x0 y g es derivable en x0, se obtiene
;g (x0 )
lim
q
(
x
)
=
:
x x0
(g(x0))2
0
!
Teorema VII.1.3.- Leibniz. Supongamos que x0 2 M R , M abierto, f g : M ! R
cada una n veces derivable en el punto x0. Entonces fg es n veces derivable en el punto
x0 y
n n
X
(k) (x )g (n k) (x )
(fg)(n)(x0) =
f
0
0
k
;
k=0
con la convencion f (0) = f .
Demostracion.- Ejercicio.
Derivacion en la Composicion de Funciones
Proposicion VII.1.4.- Sean M N
R abiertos, f : M ! R y g : N ! R con
f (M ) N . Si f es derivable en el punto x0 2 M y g es derivable en el punto f (x0),
entonces g f : M ! R es derivable en x0 y
(g f ) (x0 ) = g (f (x0))f (x0):
0
0
0
Demostracion.- Se trata de considerar q : M ; fx0g ! R dada por
g f ( x0 ) q(x) = g f (xx) ;
;x
0
ver que xlimx0 q(x) existe y que vale g (f (x0))f (x0 ).
Introducimos la funcion h : N ! R , denida por
0
0
!
8 g(y) ; g(f (x0))
<
si y 6= f (x0)
h(y) = : y ; f (x0)
g (f (x )) si y = f (x )
0
0
0
h es continua en el punto f (x0) por construccion. Y se tiene
g(y) ; g(f (x0)) = h(y)(y ; f (x0)):
105
VII.1 Derivadas
Rescribiendo q, tenemos que
f (x) ; f (x )
0
:
x ; x0
Puesto que h es continua en f (x0) y f es derivable en x0 , ademas h f tambien es
continua, de donde
q(x) = h(f (x))
xlimx0 q (x) = xlimx0 h(f (x))f (x0 ) = g (f (x0 ))f (x0 ):
0
!
0
0
!
Derivada de la funcion inversa
Proposicion VII.1.5.- Sean I R intervalo f : I
! R estrictamente monotona y
continua g : f (I ) ! I la inversa de f . Si f es derivable en un punto interior x0 de I y
si f (x0 ) 6= 0, entonces g es derivable en el punto y0 = f (x0) y se tiene
g (y0) = f (1x ) :
0
0
0
0
Demostracion.- Denotemos J = f (I ). Tomemos una sucesion
con n 2 J y
n ! y0 , ademas podemos suponer que n 6= y0 . Sea fxin g la sucesion en I tal que
f ( n) = n . Por lo tanto n 6= x0 y n ! x0 por la continuidad de g, ya que f es continua
y estrictamente monotona. Se tiene:
g( n) ; g(y0) = lim
n ; x0 == 1 :
lim
n
n
f ( ) ; f (x0)
f (x0 )
n ; y0
Remarquemos que la suposicion de que n 6= 0 es necesaria, debido a que el cociente de
Newton, no esta denido para y = y0 .
!1
f ng
0
!1
Ejemplo
3.- Analizemos la derivabilidad de x con 2 Q .
i) Para n 2 N la funcion f (x) = xn es derivable en todo x 2 R y se tiene
f (x) = nxn 1 :
0
;
Cuando n = 0, f (x) = 0.
ii) Utilizando las reglas de calculo, para n 2 N , f (x) 6= 0, si x 6= 0. Por lo tanto 1=f
es derivable 8x 6= 0 y
0
1
;f (x)
nxn 1 = ;nx n 1 :
(
x
)
=
=
;
f
(f (x))2
x2n
Por lo tanto
0
0
;
;
(xn ) = nxn 1 0
;
;
106
VII Diferenciacio n
para todo n 2 Z, n 6= 0 y 8x 2 R si n 1 y 8x 2 R x 6= 0 si n ;1.
iii) Consideremos f (x) = xn con n 2 N y x > 0, f es estrictamente creciente y
continua, luego existe g inversa, denotada por g(x) = x1=n . Esta funcion es derivable
por lo que precede y
g (x) = (y1n ) =
0
0
1
nyn
1
;
1=n
= n1 x x = n1 x1=n 1 :
;
De donde (x1=n) = n1 x1=n 1 si x > 0 y n 2 R .
iv) Si 2 Q 6= 0, entonces existen m 2 Z m 6= 0 y n 2 N tales que mcd(m n) = 1
con = m=n. Ahora bien, para x > 0, se tiene
0
;
x = (1=n )m
por lo tanto x = g f (x) donde f (x) = x1=n y g(x) = xm . Aplicando el resultado
sobre la derivabilidad de la composicion de funciones, se tiene que x es derivable y
m=n 1 = x 1 :
(x ) = m(x1=n )m 1 n1 x1=n 1 = m
nx
0
;
;
;
;
VII.2 Comportamiento de Funciones
Denicion VII.2.1.- Sea x0 2 M
M abierto y f : M
creciente en el punto x0 , si existe > 0 tal que
R,
! R.
x 2 (x0 ; x0) ) f (x) < f (x0)
x 2 (x0 x0 + ) ) f (x0) < f (x):
f es estrictamente decreciente en el punto x0 , si existe > 0 tal que
x 2 (x0 ; x0) ) f (x) > f (x0)
x 2 (x0 x0 + ) ) f (x0) > f (x):
f es creciente en el punto x0, si existe > 0 tal que
x 2 (x0 ; x0) ) f (x) f (x0)
x 2 (x0 x0 + ) ) f (x0) f (x):
f es decreciente en el punto x0 , si existe > 0 tal que
x 2 (x0 ; x0) ) f (x) f (x0)
x 2 (x0 x0 + ) ) f (x0) f (x):
f es estrictamente
107
VII.2 Comportamiento de Funciones
Remarca.- f : I ! R con I intervalo. f puede ser estrictamente creciente en un punto
x0 sin que sea creciente en ningun intervalo abierto que contenga x0, ver ejercicio 3.
Proposicion VII.2.2.- Sean x0 2 M R , M abierto y f : M ! R . Si f es derivable en
el punto x0 y si f (x0) > 0, entonces f crece estrictamente en el punto x0 . Si f (x0) < 0,
entonces f decrece estrictamente.
Demostracion.- Demostremos para f (x0) > 0. Consideremos el cociente de Newton
0
0
0
; f (x0 )
q(x) = f (xx) ;
x x 6= x0 :
0
Puesto que f es derivable en x0, se tiene que xlimx q(x) = l > 0 existe. Utilizando la
0
proposicion concerniente a los limites > 0, existe > 0 tal que
!
q(x) > 0 8x 2 (x0 ; x0 + ) ; fx0 g
de donde f (x) ; f (x0) y x ; x0 tienen el mismo signo.
Extremos de una funcion derivable
Denicion VII.2.3.- Sean c 2 I R , I intervalo y f : I ! R . Se dice que f presenta
un maximo local en c, si existe un > 0 tal que
x 2 I \ (c ; c + ) ) f (x) f (c):
Se dene un mnimo local en c por la desigualdad opuesta.
Un extremo local es un maximo local o un mnimo local.
Proposicion VII.2.4.- Sea I R un intervalo abierto, sea f : I ! R derivable en el
punto c 2 I . Si f presenta un extremo local en el punto c, entonces f (c) = 0.
Demostracion.- En efecto, si f (c) > 0, f crecera estrictamente en c por lo que f no
podra presentar un extremo, si f (c) < 0, f decrece estrictamente por lo que tampoco
f puede tener un extremo local en c. Por lo que queda f (c) = 0.
0
0
0
0
Remarcas.-
1.- Puede suceder que f (c) = 0 sin que f presente un extremo local en el punto c. Por
ejemplo f (x) = x3 y x = 0.
2.- f puede tener un extremo local en un punto donde no exista la derivada. Por ejemplo
f (x) = jxj en x = 0.
3.- El criterio f (c) = 0, solo se aplica a los puntos de un intervalo abierto. Si f esta
denida sobre a b], puede suceder que f (a) y o f (b) sean extremos.
4.- El maximo de f sobre a b] con f es el mas grande de los maximos locales. El mnimo
de f sobre a b] es el mas peque~no de los mnimos locales.
0
0
108
VII Diferenciacio n
Condiciones de Rolle
Sea f : a b] ! R continua, derivable sobre (a b). Su maximo y su mnimo sobre a b]
deben buscarse en el conjunto
ff (a) f (b)g ff (c)jc 2 (a b) y f (c) = 0g:
0
Teorema VII.2.5.- Sea f : a b] ! R continua y derivable sobre (a b). Si f (a) = f (b),
entonces existe
2 (a b)
tal que f ( ) = 0.
0
Figura VII.2.- Condiciones de Rolle.
Demostracion.- f continua sobre un compacto a b], por lo tanto admite un maximo
y un mnimo sobre este intervalo. Si f es constante sobre a b], entonces f (x) = 0, para
todo x 2 (a b), por consiguiente tomar cualquiera en (a b).
Si f no es constante sobre a b], existe x 2 (a b) tal que f (x) 6= f (a). Sea
f (x) > f (a), sea f (x) < f (a). En el primer caso, f debe tomar su maximo en un
punto interior de a b] por que f (x) > f (b) llamemos 2 (a b) al punto de f alcanza su
maximo, como f es derivable sobre (a b), se tiene f ( ) = 0. En el caso f (x) < f (a) f
alcanza su mnimo en el interior de a b] y el razonamiento es analogo.
0
0
Corolario VII.2.6.- Si f es continua sobre a b], derivable sobre (a b), entonces entre
dos ceros de f existe al menos un cero de f .
Teorema VII.2.7.- Incrementos nitos de Lagrange.Sea f : a b]
derivable sobre (a b). Entonces existe 2 (a b) tal que
f (b) ; f (a) = (b ; a)f ( ):
0
0
y
a ξ
b
x
Figura VII.3.- Incrementos Finitos de Lagrange.
! R
continua y
109
VII.2 Comportamiento de Funciones
Demostracion.- Consideramos g : a b] ! R denida por g(x) = f (x) ; x donde 2 R
de manera que g(b) = g(a). Tomando
f (a)
= f (bb) ;
;a
g satisface las condiciones de Rolle, por lo tanto existe
2 (a b)
tal que
g ( ) = f ( ) ; = 0
f (a) :
f ( ) = f (bb) ;
;a
0
0
0
Corolario VII.2.8.- Si f : a b] ! R continua, derivable sobre (a b) y si f (x) = 0
0
8x 2 (a b)
entonces f es constante sobre a b].
Demostracion.- Mostraremos que f (x) = f (a) para todo x 2 a b]. En efecto, sea
x > a. Por el teorema de incrementos nitos de Lagrange, existe 2 (a x) tal que
f (x) ; f (a) = (b ; x)f ( ) = 0:
0
Corolario VII.2.9.- Si f : a b] ! R continua, derivable sobre (a b) y si f (x) > 0 para
0
todo x 2 (a b), entonces f es estrictamente creciente sobre a b].
Demostracion.- Sean x1 < x2 2 a b], por el teorema de incrementos nitos existe
2 (x1 x2 ) tal que
f (x2) ; f (x1) = (x2 ; x1 )f ( ) > 0:
0
Remarca.- Si f (x) 0, para todo x 2 (a b), entonces f es no decreciente sobre a b].
0
Puede suceder que una funcion sea estrictamente creciente y que f se anule en ciertos
puntos, incluso en una innidad de puntos de (a b).
Teorema VII.2.10.- Incrementos nitos de Cauchy. Sean f g 2 a b] ! R continuas y
derivables sobre (a b) y si g (x) 6= 0 8x 2 (a b), entonces existe 2 (a b) tal que
0
0
f (b) ; f (a) = f ( ) :
g(b) ; g(a) g ( )
0
0
Demostracion.- Remarquemos que g(b) ; g(a) 6= 0, porque sino por el Teorema de Rolle
existira con g ( ) =. Consideremos la funcion : a b] ! R denida por
0
; f (a)
(x) = f (x) ; fg((bb)) ;
g(a) g(x):
110
VII Diferenciacio n
Observamos que (a) = (b) = 0, por construccion es continua sobre a b] y derivable
sobre (a b), de donde por las condiciones de Rolle, existe 2 (a b) tal que ( ) = 0.
Obteniendo as lo que se quiere mostrar.
0
Sobre la condicion de derivabilidad
Proposicion VII.2.11.- Sean x0 2 M R , M abierto y f : M ! R . f es derivable en
el punto x0 si y solamente si existe c 2 R y una funcion ' : M ! R tales que se tenga:
f (x) = f (x0) + c(x ; x0 ) + '(x) con x';(xx)
0
!0
cuando x ! x0.
Si este es el caso c = f (x0 ).
Demostracion.- Supongamos la existencia de c y ' como en el enunciado. Se tiene que
0
q(x) = c + x';(xx) x 6= x0 :
0
Por hipotesis sobre ' se tiene que xlimx0 q(x) = c, de donde f es derivable en x0 y
f (x0 ) = c.
Supongamos que f sea derivable en el punto x0 , planteamos
!
0
'(x) = f (x) ; f (x0) ; c(x ; x0)
con c = f (x0), tenemos que
0
'(x) = lim f (x) ; f (x0) ; c = 0:
lim
x x0 x ; x0 x x0 x ; x0
!
!
Remarca.- La proposicion precedente puede interpretarse geometricamente de la manera
siguiente \f es derivable en el punto x0 si y solamente si f puede ser aproximada por
una funcion afn lineal g(x) = f (x0) + c(x ; x0) de tal manera que el error relativo
'(x)=(x ; x0) tienda a 0 cuando x ! x0.
Reglas de l'H^opital
Muy a menudo, debe determinarse lmites de la forma
f (x) lim
x x0 g (x)
!
donde f (x) ! 0 y g(x) ! O o f (x) ! 1 y g(x) ! 1. Por consiguiente, las reglas de
calculo para lmites no pueden aplicarse, porque nos encontramos ante operaciones que
no son denidas en R .
111
VII.2 Comportamiento de Funciones
Teorema VII.2.12.- Reglas de l'H^opital. Sean f g : (a b) ! R derivables sobre (a b),
donde ;1 a < b +1 y g (x) 6= 0 8x 2 (a b). Si sea
0
lim f (x) = x lim
g(x) = 0
b 0
(VII.2.1)
lim f (x) = x lim
g(x) = 1
b 0
(VII.2.2)
f (x) = l l 2 R
lim
x b 0 g (x)
(VII.2.3)
f (x) = l:
lim
x b 0 g (x)
(VII.2.4)
x b 0
! ;
sea
! ;
x b 0
! ;
y si
! ;
0
! ;
Entonces
0
! ;
Demostracion.- La demostracion la realizaremos para el caso en que b l 2 R , dejando
las otros casos como ejercicio.
Veamos primero que existe c 2 (a b) tal que 8x 2 (c b) g(x) 6= 0. En efecto, si
g(x) ! +1 cuando x ! b ; 0, existe > 0 tal que x 2 (b ; b) ) g(x) > 1, planteamos
c = b ; idem para g(x) ! ;1. Si g(x) ! 0, prolongamos g sobre (a b] con g(b) = 0,
por consiguiente se tiene que g es continua sobre (a b] y derivable sobre (a b), de donde
g(x) 6= 0 para todo x 2 (a b), porque sino por el teorema de incrementos nitos de
Lagrange, existira 2 (a b) con g ( ) = 0. Para efectos practicos nos restringiremos a
(c b).
Ahora mostremos, que 8 > 0, 9x1 ( ) 2 (a b) tal que
0
f (y ) ; l < 1 :
x1 x < y < b ) fg((xx)) ;
(VII.2.5)
; g (y )
2
En efecto, si a < x < y < b, entonces f y g cumplen sobre x y] las condiciones de los
incrementos nitos de Cauchy, por el teorema respectivo, existe 2 (x y) tal que
f (x) ; f (y) = f ( )
(VII.2.6)
g(x) ; g(y) g ( )
Por otro lado, se tiene f ( )=g ( ) ! l, si ! b ; 0, por consiguiente, 8 > 0,
9x1 ( ) 2 (a b) tal que
(VII.2.7)
x1 < < b ) fg (( )) ; l < 12
0
0
0
0
0
0
Por (VII.2.6) y (VII.2.7), se tiene (VII.2.5).
Ahora mostremos las reglas de l'H^opital. Veamos primero el caso en que g(y) ! 0
cuando y ! b ; 0. En (VII.2.5) jamos x y hacemos y ! b ; 0. (VII.2.5) se convierte en
8 > 0 9x1 2 (a b) tal que
x 2 (x1 b) ) fg((xx)) ; l
2< 112
VII Diferenciacio n
es decir
f (x) = l:
lim
x b 0 g (x)
! ;
En el segundo caso en que g(y) ! 1 cuando y ! b ; 0, se tiene
f (y) ; f (x) = f (y)=g(y) ; f (x)=g(y) g(y) ; g(x)
1 ; g(x)=g(y)
dejando jo x y haciendo y ! b ; 0, se tiene
f (x) ! 0 y g(x) ! 0
g(y)
g(y)
de donde (VII.2.5) se convierte
f (y) ; f (x) ; l 1 ; g(x)
fg((yy)) g(y) lg(x) ; fg((xy))
g(y) ; l +
g(y)
< 12 1 ; gg((xy)) < 12 1 ; gg((xy)) :
Aplicando la desigualdad del triangulo, se obtiene para x
sucientemente peque~no,
2
(b ; b) con > 0 lo
f (y) ; l < 1 1 ; g(x) + lg(x) ; f (x) < :
g(y)
2 | {zg(y)} | g{z
(y) }
!
1
0
!
Por consiguiente f (y)=g(y) ! l cuando y ! b ; 0.
Derivadas por la izquierda y por la derecha
Se ha considerado la derivacion subre abiertos de R , por ejemplo sobre intervalos abiertos
(a b) con ;1 a < b +1. A veces, es util el caso en que la interpretacion geometrica
sera el de la gura VII.4.
y
P
Q
x
Figura VII.4.- Derivadas por la izquierda y derecha.
113
VII.2 Comportamiento de Funciones
El grafo de y = f (x) no tiene tangente en el punto P (x0 f (x0), pero cuando x ! x0 + 0,
la cuerdas que unen P y Q(x f (x)) admiten una posicion li mite. O todavia en el caso
de las funciones
f : a b] ! R
se puede considerar el caso x0 = a o x0 = b realizando x ! a + 0 o x ! b ; 0
respectivamente.
Denicion VII.2.13.- Sean x0 2 M R y f : M ! R denidad a la derecha del punto
x0 es decir 9 > 0 tal que
(x0 x0 + ) M
Se considera q : M ; fx0g ! R dado por
f (x0) :
q(x) = f (xx) ;
; x0
Si el lmite a la derecha, x lim
q(x) existe, se llama derivada a la derecha de f en el
x0 +0
punto x0 y se lo denota f+ (x0 ).
De manera analoga se dene f (x0) = x lim
q(x), si f esta denida a la izquierda de
x0 0
x0.
Proposicion VII.2.14.- Si M R abierto, x0 2 M y f : M ! R , entonces f es
derivable en el punto x0 si y solamente si f+ (x0) y f (x0 ) existen y son iguales.
Demostracion.- Ejercicio.
Remarca.- Las reglas de l'H^opital dan el mismo resultado para
f (x)
lim
x a+0 g (x)
o para
f (x)
lim
x c g (x)
!
0
0
;
!
;
0
0
;
!
!
donde c 2 (a b).
Extremos y derivadas de orden superior
Teorema VII.2.15.- Sea f : (a b) ! R y c 2 (a b). Supongamos que para un cierto
n 2 se tenga
f (c) = f (c) = = f (n 1) (c) = 0 y f (n) (c) 6= 0:
Entonces, si 2jn, f admite un extremo local en el punto c y es un maximo local si
f (n) (c) < 0 y es un mnimo local si f (c) > 0. Si por el contrario 2 6 jn f no admite un
extremo local en el punto c.
Demostracion.- La existencia de f (k) (c) implica que f (k 1) este denida en un cierto
vecindario de c y por lo que existe un vecindario (c ; c + ) (a b) donde f es n ; 1
veces derivable. Consideremos la funcion F : (; ) ! R dada por
(n)
F (h) = f (c + h) ; f (c) ; hn fn! :
0
00
;
0
;
114
VII Diferenciacio n
Observamos que F es n ; 1 veces derivable sobre (; ) porque f (c + h) lo es
f (c) constante es indenidamente derivable y hn (f (n) (c)=n!) es un monomio que es
indenidamente derivable. Solo podemos asegurar que F es n veces derivable en el punto
h = 0.
Ahora bien, tenemos que para k = 1 : : : n ; 1
(n)
F (k) (0) = f (k) (c) ; hn k (fn ;(kc)!) = 0
;
por que f (k) (c) = 0 para k = 1 : : : n ; 1. Para n se tiene
F (n) (0) = f (n) (c) ; f (n) (c) = 0:
Aplicando la regla de l'H^opital n ; 1 veces, las hipotesis aslo permiten, se obtiene
F (h) = 1 lim F (n 1) (h) :
lim
h 0 hn
n! h 0 h
;
!
!
Por otro lado por la proposicion VII.2.11, se tiene
F (n 1) (h) = F (n 1) (0) + hF (n) (0) + '(h) = '(h)
;
;
('(h)=h) ! 0 cuando h ! 0, de donde
F (h) = 0:
lim
h 0 hn
!
Por lo tanto
f (c + h) ; f (c) = 1 f (n) (c) 6= 0
lim
h 0
hn
n!
!
por consiguiente, existe > 0 tal que 0 < jhj < implica que
signo
donde
f (c + h) ; f (c)
hn
signo(x) =
(
= signo(f (n)(c))
1 si x 0
;1 si x < 0
Ahora bien, si 2jn, se tiene hn > 0 cuando h 6= 0, por lo tanto si f (n) (c) > 0, se tiene
signo(f (c + h) ; f (c)) = 1, de donde para 0 < jhj < 1 se tiene f (c + h) ; f (c) > 0, es
decir f (c + h) > f (c). Por consiguiente f presenta un mnimo local en c. De la misma
manera si 2jn y f (n) (c) < 0, se muestra que f presenta un maximo local en c.
Si 2 6 jn hn cambia de signo cuando h cambia de signo, por lo que f (c + h) ; f (c)
cambia de signo cuando h cambia de signo.
115
VII.3 Ejercicios
Remarca.- La funcion f : R ! R denida por
(
1=x2 si x 6= 0
e
f (x) =
0 si x = 0
es tal que f (k) (0) = 0 para todo k 2 N , pero esta funcion admite un mnimo local en
x = 0, ver gura VII.5.
;
Figura VII.5.- Funcion no nula con sus derivadas nulas.
Convexidad
Denicion VII.2.16.- Una f : I ! R es convexa sobre el intervalo I , si 8x1 < x2 2 I
y 8 2 0 1], se tiene
f (x1 + (1 ; )x2 ) f (x1) + (1 ; )f (x2):
Denicion VII.2.17.- Una f :: I ! R es concava sobre el intervalo I si ;f es convexa.
Teorema VII.2.18.- Sean I R intervalo abierto y f : I ! R dos veces derivable. Si
f (x) 0 8x 2 I , entonces f es convexa sobre I .
Demostracion.- Sean x1 < x2 2 I y 2 (0 1). Denotemos x = x1 +(1 ; )x2, se tiene
x1 < x < x2 . Sobre I , f existe, por lo tanto f es continua sobre x1 x2] I , de donde
f (x) ; f (x1) = (x ; x1)f ( 1)
f (x2) ; f (x) = (x2 ; x)f ( 2)
para ciertos 1 2 (x1 x) y 2 2 (x x2).
Por otro lado (f ) = f y f (x) 0 conduce a que f sea creciente sobre I , por
consiguiente f ( 1 ) f ( 2). De donde
f (x) ; f (x1) f (x2) ; f (x) x ; x1
x2 ; x
obteniendo:
(x2 ; x)(f (x) ; f (x1)) (f (x2) ; f (x))(x ; x1)
(x2 ; x1 )f (x) (x2 ; x)f (x1) + (x ; x1 )f (x2)
f (x) xx2;;xx f (x1) + xx ;;xx1 f (x2)
2
1
2
1
f (x) f (x1) + (1 ; )f (x2) = xx ;;xx1
2
1
0
0
0
0
0 0
0
00
00
0
0
116
VII Diferenciacio n
VII.3 Ejercicios
1.- Calcular las derivadas de las funciones siguientes, precisando cuando y donde este
calculo es valido:
x2 ; 1 ax + b (x + a)(x + b) (x + a)n cx + d
xn
(x + b)m
x4 ; 1
r
1 m
a + bx p x x :
p
a ; bx
1;x
sin x
a + bx
2.- a) Sean x0 2 M R , M abierto, y f g : M ! R derivables en el punto x0 .
Demostrar que la funcion fg es derivable en x0 y que
(fg) (x0 ) = f (x0)g(x0) + f (x0)g (x0 ):
0
0
0
b) (Formula de Leibniz). Si f (k) (x0) y g(k)(x0) existen para k = 1 : : : n, entonces
(fg)(n)(x0) existe y
(fg)(n)(x0 ) =
n
X
=0
f ( )(x0 )g(n )(x0):
;
c) >Que identidad entre coecientes binomiales se obtiene planteando f (x) = g(x) =
xn ?
3.- i) Una f : R ! R puede ser en todo lado derivable, sin que su derivada no sea en
todo lado continua considerar f : R ! R denida por
f (x) =
(
x2 sin(1=x) si x 6= 0
0 si x = 0:
ii) Construir una g : R ! R tal que g (0) > 0, pero que no exista ningun intervalo
(; ) donde g sea creciente.
Indicacion.- Intentar g(x) = f (x) + x, donde 2 R y f es como en el inciso i).
4.- Demostrar que existe un unico x 2 R tal que
0
1 + 1 = 0:
(x + 1)3 (x ; 2)5
5.- Sean a0 : : : an 2 R . Demostrar que si
a0 + a21 + + nan+ 11 = 0
;
117
VII.3 Ejercicios
entonces el polinomio
a0 + a1 x + + an 1 xn 1 + an xn
tiene al menos una raiz en el intervalo abierto (0 1).
6.- Se sabe que f : (a b) ! R es continua y que es en todo lado derivable, salvo quizas
en el punto x0 2 (a b). Se supone que xlimx0 f (x) existe. Demostrar que entonces
este lmite debe ser f (x0).
7.- Calcular los lmites siguientes:
p
mxm+1 ; (m + 1)xm + 1 2x ; x4 ; x1=3 lim
lim
x 1
x 1
(x ; 1)2
1 ; x3=4
p
p
a +pbx + cx2 ; pa ; bx + cx2 lim
x 0
+ s ; ; x
2
a
1
b :
lim
; x
lim
;
a
x 0 x e ;x;1
x 1 1;x
1 ; xb
;
;
0
!
0
!
!
!
!
!
8.- Sea f : R ! R , dos veces derivable, y tal que
i) existe a y b, a < b, tales que f (a) = f (b) = 0,
ii) existe c, a < c < b, tal que f (c) > 0.
Demostrar que existe un x0, a < x0 < b tal que f (x0 ) < 0.
8.- Respecto las hipotesis del teorema de l'H^opital. Mostrar que si g : (a b) ! R es
derivable, si g (x) 6= 0 sobre (a b) y si x lim
g(x) = 0, entonces g(x) 6= 0 sobre
b 0
(a b).
9.- Teorema de Darboux. Sea I R un intervalo abierto y sea f : I ! R derivable.
Demostrar que f (I ) es un intervalo.
10.- Se considera la funcion f : 0 1] ! R , denida por
00
0
! ;
0
f (x) =
(
0 si x = 0
x sin(1=x) si 0 < x 1:
a) Demostrar que f es uniformemente continua sobre el intervalo 0 1].
b) Determinar un > 0, tal que
1
jx1 ; x2 j < ) jf (x1 ) ; f (x2 )j :
10
11.- Demostrar que cada uno de los polinomios siguientes tiene exactamente una raiz
positiva.
p1 (x) = 12x4 + 14x3 + 3x2 ; 5
p2 (x) = 12x4 ; 14x3 ; 3x2 ; 5
p3 (x) = 12x4 + 14x3 ; 3x2 ; 5
118
VII Diferenciacio n
Sugestion.- Para p3 (x) considerar p3 (x)=x2.
12.- Regla de Descartes. Se considera el polinomio
p(x) = an xn + + a1x + a0
donde a0 : : : an 2 R y an 6= 0. Se dice que la sucesion (a0 a1 : : : an ) presenta N
cambios de signo, si hay N pares k l k < l tales que ak al < 0 y ai = 0 para k < i < l.
Demostrar que el numero de ceros de p(x) sobre (0 +1) es a lo mas igual al
numero de cambios de signo de la sucesion (a0 a1 : : : an), cada cero se cuenta
con su multiplicidad.
Indicacion.- Induccion sobre N : Si N 1 y si ak al < 0 como arriba, se considera
xk+1 (x k p(x)) , como en el ejercico 11.
;
0
Captulo VIII
La Integral de Riemann
VIII.1 Construccion de la Integral de Riemann
En esta seccion solo consideraremos funciones
f : a b] ! R
donde f es acotada y ;1 < a < b < +1.
Denicion VIII.1.1.- Una division D de a b] en n partes es un conjunto de n + 1
numeros reales x tales que
D = fx0
con a < x1 < < xi < xi+1 <
subintervalo de D.
= a x1 : : : xn 1 xn = bg
;
< b. I = x 1 x ], = 1 : : : n es el -simo
;
= x ; x 1 = max se llama la norma de D, se lo denota tambien (D).
;
Anamientos
Denicion VIII.1.2.- D1, D2 divisiones de a b], D2 ana D1 , si cada punto de division
de D1 es igualmente un punto de division de D2, se denota por D1 D2 .
Sumas aproximantes
f acotada sobre a b], lo es tambien sobre cada I a b], denotemos:
m = xinfI f (x) M = sup f (x):
2
x I
2
Se dene la suma aproximante por defecto para f y
Darboux a
n
X
s = sf (D) = m :
=1
D
o suma peque~na de
120
VIII La Integral de Riemann
y la suma aproximante por exceso para f y D o suma grande de Darboux a
S = Sf (D) =
Puesto que m M , se tiene
n
X
=1
M :
sf (D) Sf (D):
Sumas de Riemann
Sean 2 I arbitrarios. La suma de Riemann para f y D es
= f (D) =
n
X
=1
f ( ) :
Puesto que m f ( ) M , se tiene
sf (D) f (D) Sf (D):
(VIII.1.1)
Denicion VIII.1.3.- Si f (D) admite un lmite real cuando (D) ! 0, se dice que
f es integrable en el sentido de Riemann sobre el intervalo compacto a b]. Su lmite se
denota por
Zb Zb
f o f (x) dx
a
a
y se llama la integral de f sobre a b].
Denicion VIII.1.4.- Se dira que f (D) ! I 2 R cuando (D) !), si 8 > 0 9 > 0
tal que para todo division D con (D) se tenga
jf (D) ; I j =
X
=1
nf (xi ) ; I <
cualquiera sea la eleccion de los 2 I ( = 1 : : : n).
Para simplicar el estudio del pasaje al lmite, consideremos primero las sumas de
Darboux.
Integral superior e inferior
Sean f : a b] ! R acotada, con ;1 < a < b < +1,
m = inf
f
a b]
M = sup f:
a b]
= fa x1 x2 : : : xn 1 bg division, I = x 1 x ], m , M como mas arriba. Se tiene
de manera trivial
m m M M = 1 2 : : : n:
D
;
;
121
VIII.1 Construccio n de la Integral de Riemann
por lo tanto
m m M M= nu = 1 2 : : : n:
luego pasamos a la suma, de donde
m(b ; a) sf (D) Sf (D) M (b ; a):
Cuando D recorre el conjunto de todas las divisiones de a b], el conjunto de las sf (D) es
mayorado por M (b ; a) y aquel de las Sf D) es minorarado por m(b ; a). Por consiguiente:
el conjunto de las sf (D) admite un sup,
el conjunto de las Sf (D) admite un inf.
Se denota:
Zb
sup sf (D) = f integral inferior de f sobre a b]
a
D
;
Zb
;
inf Sf (D) =
D
a
f integral inferior de f sobre a b]
Para mayor comodidad, denotamos por
j=
Zb
a
f
;
Zb
;
J=
a
f:
Proposicion VIII.1.5.- Si D2 ana D1, entonces
sf (D1) sf (D2 ) Sf (D2) Sf (D1):
Demostracion.- Mostraremos para las sumas grandes de Darboux.
Es suciente considerar el caso en que D2 se obtiene de D1 agregando un solo punto,
digamos x en I = x 1 x ]. Denotamos I = x 1 x ] y I = x x ], M = sup f y
I
M = sup f .
I
Ahora bien, una simple constatacion da:
0
0
;
;
0
00
0
0
0
00
00
M M M M :
0
00
De donde
M + M M + M = M :
0
0
00
00
0
00
122
VIII La Integral de Riemann
Teorema VIII.1.6.- Se tiene
j J:
Demostracion.- Mostremos primero que si D y D son dos divisiones de a b], entonces
0
00
sf (D ) Sf (D ):
0
En efecto, D~ = D
0
D00
00
es un anamiento de D , por la proposicion precedente se tiene
0
sf (D ) sf (D~ )
0
y de D , por la proposicion precedente
00
Sf (D ) Sf (D~ ):
00
(VIII.1.1) da sf (D~ ) Sf (D~ ), por lo tanto
sf (D ) Sf (D ):
0
00
(VIII.1.2)
Fijemos D , y denotemos por
0
A = fSf (D)jD division de a b]g
utilizando (VIII.1.2), se constata que sf (D ) minora A, de donde
0
sf (D ) J:
(VIII.1.3)
0
(VIII.1.3) es cierto cualquiera sea la eleccion de D por consiguiente
0
B = fsf (D)jD division de a b]g
es mayorado por J , lo que da
jJ
Remarcas.- Se tendra segun el caso, j < J o j = J :
1.- Si f (x) = c 8x 2 a b], se tiene M = c = m sobre cada I , por lo tanto
sf (D) =
obteniendo
n
X
=1
m = c(b ; a) = Sf (D)
j = J = c(b ; a):
123
VIII.1 Construccio n de la Integral de Riemann
2.- Consideremos g : a b] ! R , denida por
g ( x) =
(
0 si x 2 Q
1 si x 2 R ; Q
Sobre cada I , g toma los valores 0 y 1, por lo tanto
m = 0 M = 1
= 1 2 : : : n:
Esto signica que sf (D) = 0 y Sf (D) = 1 para toda division D de a b]. De donde
j = 0 < J = 1:
Teorema VIII.1.7.- Si Sf (D) ; sf (D) ! 0 cuando (D) ! 0, entonces f es integrable.
Demostracion.- Sabemos que Sf (D) J j sf (D), para toda division D de a b].
Una manipulacion de desigualdades conduce a
Sf (D) ; sf (D) J ; j 0:
Por lo tanto,
0 J ; j < del momento que (D) < ( )
esto es valido 8 . De donde
J = j:
Por otro lado Sf (D) J j sf (D) y j = J , da
Sf (D) ; sf (D) = |(Sf (D{z) ; J }) + (|j ; s{zf (D))}
0
0
como Sf (D) ; sf (D) ! 0, se tiene
Sf (D) ; J ! 0 j ; sf (D) ! 0
obteniendo de esta manera
Sf (D) ! J sf (D) ! j:
Ahora bien, sf (D) f (D) Sf (D), por lo tanto se tendra tambien
lim (D) = J
( ) f
D
por criterios de comparacion de lmites. Por consiguiente, f es integrable sobre a b].
Teorema VIII.1.8.- Si f : a b] ! R acotada es integrable, entonces Sf (D) ; sf (D) ! 0
cuando (D) ! 0
124
VIII La Integral de Riemann
R
Demostracion.- Denotemos I = ab f la integral de f sobre a b]. Su existencia signica
que 8 > 0, 9( ) > 0
n
X
f ( ) ; I < =1
para toda division D de a b] con (D) < ( ) y toda eleccion de 2 I .
Sea > 0 dado, sea D division de a b] de norma < ( ).
D = fa x1 : : : xn;1 bg
y sean M = sup de f sobre I , m = inf de f sobre I .
Los supremos e nmos sobre R verican:
9 2 I
9 0 2 I
De donde, por (VIII.1.4)
Sf (D) =
n
X
=1
M <
tal que f ( ) > M ; b ; a tal que f ( ) < m ; b ; a :
sf (D) =
n
X
=1
m >
(VIII.1.5)
0
n
X
n
X
(f (xi ) + b ; a ) =
< (I + ) + = I + 2
y por (VIII.1.5)
(VIII.1.4)
n
X
(f (xi ) ; b ; a ) =
0
> (I ; ) ; = I ; 2
n
X
f (xi ) +
f (xi ) ;
0
As, si > 0 y si (D) < ( ), se tiene
Sf (D) ; sf (D) < 4 :
Por lo tanto
lim S (D) ; sf (D) = 0:
( ) 0 f
D !
Corolario VIII.1.9.- La funcion g : 0 1] ! R , dada por
g(x) =
no es integrable sobre 0 1].
(
0 si x 2 Q
1 si x 2 R ; Q
125
VIII.1 Construccio n de la Integral de Riemann
Teorema VIII.1.10.- Darboux. Sea f : a b] ! R acotada, entonces:
Zb
;
lim S (D) =
( ) 0 f
a
f
(VIII.1.6)
lim s (D) =
( ) 0 f
a
f
(VIII.1.7)
Zb
D !
D !
;
Demostracion.- Ejercicio.
Teorema VIII.1.11.- Sea f : a b] ! R acotada, entonces f es integrable sobre a b]
()
Zb
a
Zb
;
f=
;
a
f:
Demostracion.- f integrable, el teorema VIII.1.8, da
lim S (D) ; sf (D) = 0:
( ) 0 f
D !
En la demostracion del teorema VIII.1.7, se ve que j = J cuando (lim) 0 Sf (D);sf (D) =
0.
j = J , por el teorema de Darboux, se tiene
D !
Zb
;
lim S (D) =
( ) 0 f
a
f
lim s (D) =
( ) 0 f
a
f:
Zb
D !
D !
;
Por consiguiente
lim S (D) ; sf (D) = 0:
( ) 0 f
D !
y nuevamente el teorema VIII.1.7 conduce a que f es integrable sobre a b].
Dos clases de Funciones Integrables
Proposicion VIII.1.12.- Sea f : a b] ! R continua, entonces f es integrable.
Demostracion.- f continua y a b] compacto, se tiene f es uniformemente continua
sobre a b]. Por lo tanto, 8 > 0 9( ) > 0 tal que
x x
0
00
2 a b]
y jx
0
; x00 j < (
) ) jf (x ) ; f (x )j < :
0
00
Sean > 0, D division de a b] tal que (D) < ( ). Si D = fa x1 : : : xn 1 bg,
denotamos I = x 1 x ], M y m el supremo e nmo de f sobre I ( = 1 : : : n).
;
;
126
VIII La Integral de Riemann
Por la continuidad de f , 9 2 I tales que
m = f ( ) M = f (xi )
0
0
y por lo tanto
Sf (D) ; sf (D) =
=
n
X
(M ; m )
=1
n
X
(f (xi ) ; f ( )) :
0
=1
Ahora bien, x ; x 1 < ( ) por eleccion de D, por lo tanto j ; j < ( ), de donde
jf ( ) ; f ( )j < .
Pn = (b ; a). Es decir,
Por consiguiente Sf (D) ; sf (D) <
0
;
0
=1
lim S (D) ; sf (D) = 0
( ) 0 f
D !
de donde, f es integrable.
Proposicion VIII.1.13.- Sea f : a b]
integrable.
! R
acotada y monotona entonce f es
Demostracion.- Demostremos para f creciente. Si D = fa x1 : : : xn 1 bg divide a b],
;
entonces sobre cada I = x 1 x ], se tiene
;
inf
= f (x 1
I
sup = f (x ):
;
I
De donde
0 Sf (D) ; sf (D) =
n
X
(f (x ) ; f (x 1))
=1
(D)
Por consiguiente
;
n
X
(f (x ) ; f (x 1)) = (D)(f (b) ; f (a))
=1
;
lim S (D) ; sf (D) = 0
( ) 0 f
D !
y f es integrable.
VIII.2 Propiedades de la Integral
127
VIII.2 Propiedades de la Integral
En la denicion de integral de Riemann se ha considerado solamente el caso en que a < b,
sin embargo el concepto de integral puede extenderse, se tiene:
Denicion VIII.2.1.- Sea f : a b] ! R acotada
Za
Z
b
a
a
=;
Zb
a
f si f es integrable,
f = 0:
Proposicion VIII.2.2.- Se tiene:
1.- Si f es integrable sobre a b] y si a < c < b, entonces f es integrable sobre a c] y
sobre c b].
2.- Si f es integrable sobre a b] y si a < c < b, entonces
Zb
a
Zc
f=
a
Zb
f+
c
f:
(VIII.2.1)
3.- Si a < c < b, y si f es integrable sobre a c] y sobre c b], entonces f es integrable
sobre a b] y (VIII.2.1) tiene lugar.
4.- Si f es integrable sobre a b] y 2 R , entonces f es integrable y
Zb
a
f = Zb
a
f:
5.- Si f y g son integrables sobre a b], entonces f + g lo es tambien y
Zb
a
(f + g) =
Zb
a
f+
Zb
a
g:
6.- Si f es integrable sobre a b] y si m f (x) M , 8x 2 a b], entonces
m(b ; a) Zb
f M (b ; a):
a
7.- Si f es continua (por lo tanto integrable) sobre a b], entonces
2 (a b)
tal que
Zb
a
f = (b ; a)f ( ):
8.- Si f es integrable sobre a b], entonces jf j lo es tambien y se tiene
Zb
a
f
Zb
a
jf j :
9.- Si f y g son integrables sobre a b], entonces fg lo es tambien
128
VIII La Integral de Riemann
10.- Si f : a b] ! R es acotada e integrable y si inf
jf (x)j > 0 entonces 1=f es integrable.
a b]
Demostracion.- La haremos punto por punto:
1.- Mostremos para a c], f integrable sobre a b] existe implica que 8 > 0, 9 > 0 tal
que si D es division de a b] de norma < , entonces 0 Sf (D) ; sf (D) < .
Denotemos f~ = f j a c].
Tomemos D~ una division de a c] de norma ~ < prolonguemosla en una division
D de a b], tambien de norma < . Por lo tanto, se tiene
0 Sf~(D~ ) ; sf~(D~ ) Sf (D) ; sf (D) < pues, en Sf (D) ; sf (D) se tiene, ademas de los terminos de Sf~(D~ ) ; sf~(D~ ) los
terminos ( 0) provenientes de c b].
2.- Sea D division de a b] en la cual c es un punto de division. Por consiguiente, para
las sumas de Riemann.
X
a b]
f ( nu) =
X
a c]
f ( ) +
X
c b]
f ( nu) :
Tomando siempre divisiones particulares que tiene c como punto de division, y
haciendo (D) ! 0, se obtiene
Zb
a
f=
Zc
a
f+
Zb
c
f
por que estas tres integrales existen, la primera por hipotesis y las 2 del lado derecho
por el punto 1). Lo que justica el pasaje al lmite haciendo una eleccion particular
de las divisiones.
3.- Es suciente mostrar que f es integrable sobre a b] y luego el punto 2. Se tiene
Zb
a
f=
;
Zb
a
f+
;
;
a
Zc
Zc
a
c
f
;
;
f=
Zb
Zb
;
f+
c
f
por consiguiente, por el teorema VIII.1.11, se tiene
Zb
a
f=
;
Zc
a
f+
;
Zc
a
Zb
a
f
Zb
;
f+
;
=
c
;
;
=
Zb
f:
c
f
129
VIII.2 Propiedades de la Integral
Nuevamente por el teorema VIII.1.11, f es integrable sobre a b].
4.- Se tiene f (D) = f (D) para toda division de a b] luego pasando al lmite se
obtiene la integrabilidad de f y la identidad correspondiente.
4.- Denotemos h = f + g. Para cualquier suma de Riemann, se tiene
n
X
=1
El pasaje al lmite (
! 0)
h( ) =
n
X
=1
g( ) +
n
X
=1
g( ):
da que el lado derecho tenga como lmite
Zb
a
f+
Zb
a
g
ya que, f y g son integrables por hipotesis. Esto implica que el lado izquierdo admita
lmite y por lo tanto h es integrable y se tenga la identidad correspondiente.
6.- Para cualquier suma de Riemann se tiene
m(b ; a) n
X
=1
f ( ) M (b ; a):
El pasaje al lmite respeta las desigualdades.
7.- Como f es continua sobre a b] compacto, f admite un mnimo (digamos m) y un
maximo (M ) sobre a b]. Por lo tanto
m f (x) M:
El punto 6) conduce
1
m b;a
Zb
a
f M:
Y f , continua sobre a b], da f (a b]) = m M ], de donde 9
Zb
1
2 a b]
tal que
b ; a a f = f ( ):
8.- Comencemos aclarando que jf j sea integrable sobre a b] no implica que f sea
integrable sobre a b]. Por ejemplo, consideremos f : 0 1] ! R, dada por
f (x) =
(
1 si x 2 Q
;1 si x 62 Q
no es integrable sobre 0 1], sin embargo jf j = 1 lo es.
Mostremos este punto. Se tiene para toda division D de a b]
0 S f (D) ; s f (D) Sf (D) ; sf (D)
j
j
j
j
130
VIII La Integral de Riemann
en efecto, sobre todo intervalo I , se tiene
sup f ; inf
f = sup f + sup(;f ) = sup(f (I ) + (;f )(I ))
I
I
I
I
ver ejercicios 13 y 14 del captulo II, y
sup(f (I ) + (;f )(I )) = supff (x) ; f (y)jx y 2 I g
= supfjf (x) ; f (y)j jx y 2 I g
supfjf (x)j ; jf (y )j jx y 2 I g
= sup(jf j (I )(; jf j)(I ))
= sup jf j ; inf
jf j :
I
I
De donde, en particular en cada intervalo I de D se tiene
sup jf j ; inf
jf j sup f ; inf f I
I
I
I
multiplicando por y luego sumando, se tiene lo que se quera.
Por consiguiente, si f es integrable, se tiene jf j tambien integrable. Puesto que
; jf (x)j f (x) jf (x)j por el corolario VIII.2.4 que es consecuencia del punto 6) ya demostrado, se tiene
;
Zb
a
jf j Zb
a
9.- Se tiene
f + g
2
f
Zb
a
f
Zb
a
Zb
a
jf j jf j :
f ; g
2
= fg:
2
2
En consecuencia, es suciente mostrar que f integrable, entonces f 2 es integrable.
Veamos esto, se va mostrar que para toda division D de a b] se tiene
;
Sf 2 (D) ; sf 2 (D) = 2M (Sf (D) ; sf (D)
donde M = sup jf j.
a b]
En efecto, sobre cada intervalo I , se tiene
2
sup f 2 = (sup jf j)2 inf
= (inf
jf j)2 I
f
I
I
131
VIII.2 Propiedades de la Integral
por lo tanto
2
sup f 2 ; inf
= (sup jf j)2 ; (inf
jf j)2
f
I
I
I
(sup jf j + inf
jf j)(sup jf j ; inf jf j)
I
I
I
I
2 sup jf j (sup jf j ; inf jf j):
I
I
I
Si ademas I a b], sup jf j M .
I
El siguiente paso de la demostracion es multiplica por y pasar a la suma.
10.- Mostrar que
S1=f (D) ; s1=f (D) 12 (Sf (D) ; sf (D))
m
donde m = inf
jf j, utilizando como modelo la demostracion del punto 8.
a b]
Corolario VIII.2.3.- Si f g : a b] ! R acotadas sons integrables sobre a b] entonces
f + g lo es tambien 8 2 R y
Zb
a
(f + g) = Zb
a
f+
Zb
a
g:
En consecuencia las funciones integrables sobre a b] forman un espacio vectorial real.
Corolario VIII.2.4.- Si f y g son integrables sobre a b] y f (x) g(x), entonces
Zb
a
f
Zb
g:
a
Demostracion.- Utilizando el punto 6) de la proposicion precedente con (g ; f ) como
funcion y m = 0
Corolario VIII.2.5.- Sea f : I ! R acotada, si f es integrable para todo subintervalo
compacto de I , entonce 8x1 x2 2 I , se tiene
Zx
2
x1
Demostracion.- Ejercicio.
f
Zx
2
x1
jf j
:
132
VIII La Integral de Riemann
VIII.3 Los Teoremas Fundamentales del Calculo Integral
Sea f : a b] ! R acotada e integrable se dene F : a b] ! R para todo x 2 a b] como
F (x) =
Zb
a
f (t) dt:
Teorema VIII.3.1.- F es continua sobre a b].
Demostracion.- Si x0 2 a b] y si h es tal que x0 + h 2 a b], se tiene
F (x) ; F (x0 ) =
Zx
Za
jF (x) ; F (x0 )j =
f (t) dt ;
x
x0
f (t) dt
Tomemos x = x0 + h, de donde
jF (x0 + h) ; F (x0 )j 0
a
0
x0
f (t) dt
intxx0 jf (t)j dt :
Z x +h
jhj
jhj sup jf (t)j :
Zx
jf (t)j
sup
x0 x0 +h]
dt
jf (t)j
a b]
Por lo tanto, 8 > 0, 9( ) > 0 tal que
jhj < ) jF (x0 + h) ; F (x0 )j <
planteando
( ) = sup jf j si jf j 6= 0:
a b]
sino trivial.
Teorema VIII.3.2.- Primer Teorema Fundamental. Sean f , F como antes y x0 2 (a b).
Si f es continua en el punto x0 , entonces F es derivable en este punto y
F (x0) = f (x0):
0
VIII.3 Los Teoremas Fundamentales del Calculo Integral
133
Demostracion.- Se quiere mostrar que
F (x0 + h) ; F (x0 ) ; f (x ) = 0:
lim
0
h 0
h
!
Sea h 6= 0, se tiene, si x0 + h 2 (a b)
F (x0 + h) ; F (x0) ; f (x ) = 1 Z x0 +h f (t) dt ; f (x )
0
0
h
h x0
Z x0 +h
1
=h
(f (t) ; f (x0) dt
x0
F (x0 + h) ; F (x0) ; f (x ) 1 Z x0 +h jf (t) ; f (x )j dt :
0
0
h
jhj x0
La continuidad de f en x0 conduce a que 8 > 0, 9 > 0, tal que 0 < jhj < implica
jf (t) ; f (x0 )j < , de donde, para 0 < jhj < F (x0 + h) ; F (x0) ; f (x )
0
h
Por lo tanto
Z x0 +h
1
dt = :
jhj x0
F (x0 + h) ; F (x0 ) ; f (x ) = 0:
lim
0
h 0
h
!
Corolario VIII.3.3.- Si f : a b] ! R es continua y F (x) =
Entonces F es derivable sobre (a b) y
R x f (t) dt para a x b.
a
F (x) = f (x) a < x < b
0
F es contina sobre a b].
Denicion VIII.3.4.- Sean f : a b]
! R tales que es continua sobre a b] y
derivable sobre (a b) y que (x) = f (x) 8x 2 (a b).RSe dice entonces que es una
primitiva de f o una integral indenida, que se denota f .
Proposicion VIII.3.5.- Si y son primitivas de f sobre a b], si y solamente si
; = constante.
Demostracion.- Si es una primitiva de f y si = + cons con cons 2 R entonces
es constante sobre a b] y derivable sobre (a b), ademas
0
0
(x) = ( + cons) (x) = 0:
0
Por otro lado, si y son primitivas de f sobre a b], se tiene
( ; ) = 0
0
134
VIII La Integral de Riemann
por lo que ( ; ) = cons.
Teorema VIII.3.6.- Segundo Teorema Fundamental. Sean f : a b] ! R acotada e
integrable, : a b] ! R una primitiva de f . Entonces se tiene
Zb
f = (b) ; (a):
a
Demostracion.- Sea Dfa x1 : : : xn 1 bg una division de a b]. Se tiene
;
(b) ; (a) =
n
X
((x ) ; (x 1 )
;
=1
y por el teorema de los incrementos nitos aplicado a cada x 1 x ]
;
n
X
(b) ; (a) =
|=1
( )(x ; x 1)
;
{z
}
:
Suma de Riemann para f en a b]
R
Como f es integrable, el lado derecho tiende a ab f cuando (b) ; (a) =
Zb
a
! 0.
En consecuencia
f:
Notacion.- jba = (b) ; (a)
Remarca.Si se puede encontrar, bajo forma explcita, una primitiva se pued calcular
Rb
a f sin recurrir a la denicion de la integral.
Funciones Continuas por Trozos
Denicion VIII.3.7.- Se dice que f : a b] ! R acotada es continua por trozos si existe
una division a = x0 < x1 < < xn 1 < xn = b tal que
i) f es continua sobre cada (x x +1),
ii) los lmites siguientes existen
;
lim f (x) x lim
f ( x)
b 0
x a+0
!
y para 1 n ; 1
! ;
lim f (x) x lim
f (x):
x +0
x x 0
!
;
!
VIII.3 Los Teoremas Fundamentales del Calculo Integral
135
Remarca.- Puede suceder que f (x ) no sea igual a x lim
f (x), ni sea igual a
x 0
!
lim f (x). Ver la gura VIII.1.
x x +0
;
!
Figura VIII.1.- Graca de una funcion continua por trozos.
Proposicion VIII.3.8.- Una funcion continua por trozos sobre a b] es integrable sobre
a b]
Demostracion.- Se distingue 3 casos:
i) h : a b] ! R con
h(x) =
(
0 si x 6=
c si x =
R
R
para un cierto 2 a b]. Entonces ba h existe y ab h = 0. En efecto para una division
D = fa x1 : : : xn g de a b] se tiene,
Sh(D) ; sh(D) = jh( )j ( ) si x 1 < < x Sh(D) ; sh(D) = jh( )j ( + +1) si = x :
;
por lo tanto jSh (D) ; sh(D)j 2 ! 0 cuando que
lim S (D) = 0:
0 h
!
0. Ademas se ve facilmente
!
R
De donde h es integrable y ab h = 0.
ii) Sea g : a b] ! R continua sobre (a b), tal que
l1 = x lim
g(x) y l2 = x lim
g ( x)
a+0
b 0
!
R
! ;
existen, entonces ab g existe.
En efecto, consideremos ' : a b] ! R con ' = g + h1 + h2 , donde
(
(
l ; g(a) si x = a
l ; g(b) si x = b
h1 (x) = 1
h2 (x) = 2
0 sino
0 sino
R
' es continua sobre a b], por lo tanto ab ' existe. Por i) h1 y h2 son integrables y
como g = ' ; h1 ; h2 , g tambien es integrable.
136
VIII La Integral de Riemann
R
continua por trozos, por ii) las integrales xx+1 f
iii) El caso general. Sea f : a b] ! R
existen para = 0 : : : n ; 1. De donde por el punto 3 de la proposicion VIII.2.2, f
es integrable sobre a b] y
Zb
a
f=
nX1 Z x +1
;
f:
=0 x
Busqueda de Primitivas
Integracion por Partes
Teorema VIII.3.9.- Sean I R intervalo abierto, u v : I ! R derivables, tales que u
0
y v continuas sobre I . Entonces, 8a b 2 I
0
Zb
a
uv
0
= uvjba ;
Zb
u v:
0
a
Demostracion.- Sobre a b] I u v son continuas. por lo tanto u v lo son tambien y
0
0
por consiguiente uv + u v son integrables. Ahora bien, uv + u v = (uv) y
0
0
0
Zb
a
(uv) =
0
Zb
a
uv+
0
Zb
0
0
uv :
0
a
uv es primitiva de (uv) y por el segundo teorema fundamental
0
Zb
a
Luego
Zb
a
uv
0
(uv) = uvjba :
0
= uvjba ;
Zb
a
u v:
0
Substituciones
Teorema VIII.3.10.- Sea I R un intervalo abierto, sea ' : I ! R tal que ' existe y
0
sea continua sobre I . Sea f continua sobre '(I ). Entonces 8a b 2 I , se tiene
Zb
a
f ('(t))' (t) dt =
0
Z '(b)
'(a)
f (t) dt:
Demostracion.- Tomemos a b 2 I , denotemos ] = '(a b]). f continua sobre ],
por lo tanto
F (x) =
Zx
f (t) dt
137
VIII.4 Integrales Impropias
es derivable y F (x) = f (x) 8x 2 ( ).
Ahora bien, F ' es derivable y se tiene
0
(F ') (x) = F ('(x))' (x)
0
0
0
para todo x 2 (a b). De donde F ' es una primitiva de (f ')' . El segundo teorema
fundamental conduce a
0
Zb
a
'jba = F ('(b)) ; F ('(a)) =
f ('(x))' (x)dx = F
0
R
Z '(b)
'(a)
f (t) dt:
Remarca.-Se calcula ab f ('(t))' (t) dt haciendo la substitucion '(t) = x con ' (t) dt =
0
0
dx.
Ejemplo
Z b dt
t log t b > a > 0:
a
planteando '(t) = log t, ' (t) = 1=t. Por lo tanto,
0
Z b dt Z '(b) dt
'(b)
=
=
log
jtj j'(a) :
t log t
t
a
'(a)
VIII.4 Integrales Impropias
R
Hasta aqu se ha considerado integrales ab f donde a b] es compacto y f acotado sobre
a b].
Vamos a extender, en ciertos casos, la nocion de integral de Riemann a f : a b] ! R
con f no acotado o a b] no compacto.
Intervalos no compactos
Denicion VIII.4.1.- Si para un a 2 R y 8x a la integral
I (x) =
Zb
a
f (t)dt existe
R
si ademas l = xlim I (x) existe. Entonces se dice que a f (t) dt existe o converge y se
plantea
Z
Zx
f (t) dt = x lim
f (t) dt:
+
!1
1
a
!
1
a
1
138
VIII La Integral de Riemann
La denicion de este tipo de integral hace intervenir un doble lmite, puesto que I (x)
es tambien un lmite.
De la misma manera, si f es integrable sobre x a], 8x a, se dene
Za
;1
Za
f = x lim
x
!;1
f si este lmite existe:
R
R
En n, se dene, si a f y a+ existen,
1
;1
Z+
1
;1
f=
Za
f+
;1
Z+
1
a
f:
R + f = R a f + R + no depende de la
a
Proposicion VIII.4.2.- La denicion de
1
eleccion de a.
1
;1
;1
Demostracion.- Ejercicio.
R
Proposicion VIII.4.3.- La denicion dada de + f es equivalente a
1
Z+
;1
1
!
! +1
y
! ;1
Demostracion.-Ejercicio.
Ejemplos
f
1
!1
;1
donde
f = lim
+
Z
independientemente el uno del otro.
1.- Consideremos la function f (t) = 1=t2 denida sobre a +1] con a > 0. Para x a,
se tiene
Z x dt ;1 x 1 1
= t = a ; x:
a t2
a
Ahora bien
1 1 1
lim a ; x = a x +
!
por lo tanto
1
Z+ 1
1:
dt
=
a
a t2
1
2.- Si f (x) = x, entonces
R + f no existe. En efecto, tomemos = ; 2, se tiene
2 4
Z
1
;1
lim
+
!
1
;
2
x dx = lim
+
Pero, si se toma = ; , se tiene
!
1
2
;
R x dx = 0 8 ,
;
4 = ;1:
139
VIII.4 Integrales Impropias
Dos criterios de convergencia
Proposicion VIII.4.4.- Criterio de Comparacion. Si f1 y f2 integrables sobre a x],
8x a
y si 0 f1 (x) f2 (x) 8x a, entonces
Z+
1
a
Demostracion.- Si Fi (x) =
Z+
f2 converge )
a
R x f se tiene
a i
0 F1 (x) F2 (x) R
R
1
f1 converge:
Z+
1
a
f2 +1:
(VIII.4.1)
Si a+ f2 converge, se tiene que a+ f2 < +1, puesto que f2(x) 0.
Por lo tanto F1(x) es acotada y crece con x, ya que f1 (x) 0, en consecuencia
lim
F (x) existe.
x + 1
!
1
1
1
Proposicion VIII.4.5.- Criterio deR Cauchy.
Sea f : a +1) ! R integrable sobre todo
+
intervalo a x] con x a. Entonces a f converge si y solamente si 8 > 0 9x0 ( ) a
tal que
Z x2f
x2 x1 x0 )
< :
1
x1
Demostracion.- Suciencia. Por hipotesis, la sucesion
cn =
Zn
a
f
es de Cauchy, por lo tanto converge. Si x > a
Zx
a
f=
y por hipotesis
Z
x]
a
f+
lim
x
en efecto, 8 > 0 9x0 tal que
!1
Zx
x]
Zx
x]
f = 0
x2 x1 x0 )
tomar x1 = x] y x2 = x.
f = c x] +
Zx
Zx
2
x1
f < x]
f
140
R
VIII La Integral de Riemann
Necesidad. Supongamos que a+ f converge es decir,
1
Zx
lim
x +
!
1
f = I:
| a{z }
F (x)
Por lo tanto, 8 > 0, 9x0 tal que
x x0 ) jF (x) ; I j < 2 :
Ahora bien,
Zx
2
x1
f = jF (x2) ; F (x1 )j jF (x2) ; I j + jF (x1) ; I j < si x2 x1 x0.
Ejemplo
3.- Para todo a > 0, se tiene
Z + dt
converge
xk
1
a
Z x dt
El calculo de
()
k > 1:
t1 k x cuando k 6= 0:
=
a tk 1 ; k a
Ahora bien, x lim
= 0 existe cuando k > 1 y diverge cuando k < 1.
+
Para k = 1
Z x dt Z b
= (log t) dt = log x ; log a ! +1
a t
a
cuando x ! +1.
!
;
1
0
Intervalo Compacto, Funcion no Acotada
Denicion VIII.4.6.- Sea f : (a b] ! R (;1 < a < b < +1) integrable sobre cada
intervalo x b] con a < x b. Sea
I (x) =
Si l = x lim
I (x) existe, se escribe
a+0
!
Zb
Zb
a
y se dira que la integral converge o existe.
a
f (t) dt:
f =l
141
VIII.4 Integrales Impropias
Ejemplos
p
4.- Consideremos f : (0 b] ! R con b > 0, donde f (t) = 1= t esta funcion no es
acotada en el vecindario de t = 0. Se tiene
Z b dt
p
t
x
y
Z b dt
0
5.- Para todo b > 0
p
p
= 2( b ; x)
p
p
p
= xlim0+ 2( b ; x) = 2 b:
p
t
!
Z b dt
tk
0
converge
k < 1:
()
Criterio Serie Integral (Mac Laurin-Cauchy)
Teorema VIII.4.7.- Sea f : 1 +1) ! R positiva y decreciente. Entonces:
X
1
1)
n=1
2)
f (n) converge
lim
n
!1
X
n
k=1
f (k) ;
Z
()
Zn !
1
1
f (t) dt converge:
1
f = l y 0 l f (1):
Demostracion.- Demostremos 1). Sea n 2 N , n 2 y tomemos x con n ; 1 x n.
Se tiene f (n ; 1) f (x) f (n) e integrando sobre n ; 1 n] se obtiene
f (n) Zn
n 1
;
f (x) dx f (n ; 1)
luego hacemos la suma, para obtener
ZN
N
X
n=2
Supongamos que
1
f (x) dx NX1
;
n=1
R f converge, se tiene:
1
ZN Z
N
X
f (n):
(VIII.4.2)
1
n=2
f (n ) 1
1
1
PPN f (n) es acotada para N > 1 y crece con N por que f (n)
de donde
n=2
consecuencia
N
X
lim
f (n) existe:
N
!1
n=2
0 en
142
VIII La Integral de Riemann
por lo tanto
X
1
De la misma manera, a partir de
n=1
f (n) converge:
ZN X
N
1
R
P
n=1
f (n)
se muestra que f (n) converge ) 1 f converge.
n=1
Para el punto 2), se considera la funcion
1
g(n) =
1
n
X
k=1
f (k) ;
Zn
1
f:
Se tiene g(n) 0 y se muestra que g es una funcion decreciente. De donde
l lim
n g (n) 0:
!
Ejemplo
6.- La serie
diverge por que
cuando x ! +1.
X 1
1
n=2 n log n
Z x dt
t log t = log(log x) ; log(log 2) ! +1
2
VIII.5 Ejercicios
1.- Sean f g : a b] ! R , f continua g no negativa, acotada e integrable. Demostrar la
existencia de un 2 a b] tal que
Zb
a
f (x)g(x) dx = f ( )
Zb
a
g(x) dx:
143
VIII.5 Ejercicios
2.- Sea f : a b] ! R . Demostrar que si a < c < b, entonces
Zb
a
f=
;
Zc
a
f+
;
Zb
c
f:
;
3.- Demostrar el teorema de Darboux. Sea f : a b] ! R acotada, entonces:
Zb
;
lim S (D) =
( ) 0 f
a
f
lim s (D) =
( ) 0 f
a
f:
Zb
D !
D !
;
4.- Calcular utilizando como lmite de sumas:
Zb
a)
Za
b)
0
xk dx k 2 N sin x dx:
Indicaciones: Para a) dividir a b] en n partes siguiendo una progresion geometrica
para b) dividir 0 ] en porciones iguales. >Por que se puede calcular la integral
eligiendo una division particular?
5.- Desigualdad de Cauchy-Schwarz
a) Si f y g son funciones integrables en el sentido de Riemann sobre a b], entonces
Z b !2 Z b !Z b !
R
a
fg
f2
a
a
g2 :
Indicacion: ab (f + g)2 0 para todas las elecciones de y .
ii) Deducir la desigualdad de Cauchy:
Si a1 a2 : : : an b1 b2 : : : bn son 2n numeros reales, entonces
X
n
i=1
ai bi
!2 X
n !X
n !
2
2
i=1
ai
i=1
bi :
6.- Demostrar que si f : a b] ! R es continua, y si
Zb
a
xf (x) dx =
Zb
a
f (x) dx = 0
entonces f tiene al menos 2 ceros distintos en el intervalo (a b).
144
VIII La Integral de Riemann
Indicacion.- Sino alguna combinacion lineal de las dos integrales no sera nula.
7.- Demostrar que si f : a b] ! R es continua y derivable sobre (a b), y si f (a) =
f (b) = 0, pero f no es identicamente nula, entonces existe un 2 (a b) tal que
Zb
4
f ( ) > b ; a f (x) dx:
a
0
8.- Demostrar que la funcion f2 : 0 1] ! R ,
8
1 si x = p con q > 0 y mcd(p q) = 1
<
q
q
f2(x) = :
0 si x 62 Q
es Riemann integrable sobre 0 1].
9.- Formula de Wallis. Sea
Im =
Mostrar que:
Z
=2
0
(sin x)m dx m = 0 1 : : ::
2n I2n = 2
n 2
2n
;
I2n+1 =
22n
2
n
(2n + 1) n
I2n 1 > I2n > I2n+1 n 1:
;
Deducir que
24n
= lim
2 n (2n + 1) 2n :
n
!1
10.- a) Integrando por partes, o de otra forma, demostrar que
Z b sin x
dx
a x
b) Decidir si
2 si b > a > 0:
a
Z sin x
x dx
1
0
converge o no.
11.- a) Demostrar la existencia de nlim an , donde
!1
n 1
X
an = 2 n ; p
k
p
k=1
146
VIII La Integral de Riemann
y mostrar que 1 nlim an 2.
b) Calcular
1
1 + + 1 :
lim
n
+
2
n
(n + 1) (n + 2)2
(2n)2
c) Mostrar que si m es un racional positivo,
!1
!1
m + 2m + + nm
1
lim
= m 1+ 1 :
m
+1
n
n
!1
12.- Intercambio de lmites.
a) Calcular
m ) lim ( lim (;1)m m )
lim
(
lim
m
n
m+n m n
m+n
luego, en los 2 casos, lo que se obtiene intercambiando el orden de los lmites.
b) Se considera
f (x) = mlim nlim (cos(2m!x))2n:
!1
!1
!1
!1
!1
!1
Mostrar que f esta bien denida para todo x 2 R , y calcular f (x). >Que sucede si
se intercambia los lmites?
Captulo IX
Sucesiones y Series de Funciones
IX.1 Sucesiones de Funciones
Denicion IX.1.1.- Sea fn : E ! R , con E R , n 2 N . Se dice que f : E ! R es el
lmite puntual o lmite simple de la sucesion ffn g sobre el conjunto E si 8x 2 E
lim fn (x) = f (x)
n
!1
denotando nlim fn = f o fn ! f (cuando n ! 1).
Remarca.- Si 8x 2 E , la sucesion ffn (x)g1 admite un lmite, denimos f : E
planteando
f (x) = nlim f (x) 8x 2 E !1
1
! R
!1
se tiene que fn ! f .
Cuando se trata con sucesiones de funciones y estas sucesiones son convergentes,
uno espera que la funcion lmite herede algunas de las propiedades que podran tener
las funciones de la sucesion, como ser: continuidad, derivabilidad e integrabilidad. La
respuesta en general es no.
Ejemplo.
1.- Para que fn continua en el punto
2E
implique que f continua, sera necesario que
lim (nlim fn (x)) = f ( ):
x
!
!1
Si fuese permitido el intercambio de intercambiar los dos lmites del lado izquierdo
de la expresion precedente, se tendra
lim (nlim fn (x)) = nlim (lim
fn (x))
x
= nlim fn ( ) por continuidad de los fn
= f ( ):
x
!
!1
!1
!1
!
148
IX Sucesiones y Series de Funciones
Ahora bien, este tipo de intercambio de lmites debe hacerse con precaucion. Eh
aqu, un ejemplo donde fn es continua, pero no f .
fn : 0 1] ! R
x 7! xn
Cada fn es continua sobre 0 1], pero f es discontinua en el punto x = 1: En efecto
(
0 si 0 x < 1
lim
f
(
x
)
=
n
n
1 si x = 1
!1
Convergencia Uniforme de una Sucesion de Funciones
Denicion IX.1.2.- Sean fn : E ! R , n = 1 2 : : : y f : E ! R con E R . Se dice
que la sucesion ffn g converge hacia f , uniformemente sobre E , si 8 > 0, 9N ( ) tal que
n N ) jfn (x) ; f (x)j 8x 2 E:
Remarcas.-
1.- N es independiente de x, el mismo N actua para todo x 2 E .
2.- La nocion depende de E todo, una modicacion de E puede alterar el caracter de
uniformidad.
3.- La convergencia uniforme implica convergencia simple, la recproca es falsa en
general.
4.- La interpretacion geometrica de la convergencia uniforme sobre E puede verse como
\para n N el grafo de y = fn (x) se encuentra dentro la banda de ancho 2 de
centro el grafo y = f (x), ver gura IX.1.
Figura IX.1.- Interpretacion Geometrica de la Convergencia Uniforme.
149
IX.1 Sucesiones de Funciones
Criterio de Cauchy para la Convergencia Uniforme
Teorema IX.1.3.- Sea E R , fn : E R , n = 1 2 : : :. Entonces fn converge
uniformemente sobre E , si y solamente si 8 > 0, 9N 2 N tal que
n m N ) jfn (x) ; fm(x)j < 8x 2 E:
Demostracion.- Ejercicio.
Cuando se conoce f tal que fn ! f cuando n ! 1 puntualmente y que se quiere
ver si esta convergencia es uniforme, se puede intentar de aplicar el criterio siguiente.
Proposicion IX.1.4.- fn f : E ! R y fn ! f para n ! 1. La convergencia de fn ! f
es uniforme sobre E , si y solamente si
sup jf (x) ; fn (x)j ! 0
x E
2
cuando n ! 1.
Demostracion.- Ejercicio.
Continuidad de la funcion lmite
Teorema IX.1.5.- Sean fn : E ! R , n = 1 2 : : : f : E
y supongamos que
fn ! f , cuando n ! 1, uniformemente sobre E . Entonces, si cada fn es continua en el
punto x0 2 E , f tambien es continua en x0 .
Demostracion.- La convergencia uniforme de ffn g sobre E da que 8 > 0, 9N 2 N tal
que
n N y x 2 E ) jfn (x) ; f (x)j < 3 :
(IX.1.1)
Eligamos n N , la continuidad de fn en x0 , da que 8 > 0, 9 > 0 tal que
! R
x 2 E \ (x0 ; x0 + ) ) jfn (x) ; fn (x0)j < 3 :
(IX.1.2)
Remarcamos que (IX.1.1) tiene lugar para x 2 E \ (x0 ; x0 + ), de donde, utilizando
la desigualdad triangular (IX.1.1) y (IX.1.2), se tiene 8 > 0, 9 (el n jo de (IX.1.1)),
tal que
x 2 E \ (x0 ; x0 + ) ) jf (x) ; f (x0)j jf (x) ; fn (x)j
+ jfn (x) ; fn (x0)j + jf (x0) ; fn (x0)j < :
Por lo tanto f es continua en x0.
Integrabilidad de la funcion lmite
Teorema IX.1.6.- Sea I = a b] compacto. Si fn : I ! R y f : I ! R son integrables
sobre I , y si fn ! f , cuando n ! 1, uniformemente sobre I entonces
Zx
a
fn (t) dt ;!
Zx
a
f (t) dt (n ! 1)
150
IX Sucesiones y Series de Funciones
uniformemente sobre el intervalo I . En particular
Zb
a
fn !
Demostracion.- Denotemos Fn (x) =
Zb
a
f n ! 1:
R x f (t) dt y F (x) = R x f (t) dt. Se tiene
a n
a
Zx
jF (x) ; Fn (x)j =
a
(f (t) ; fn (t)) dt (IX.1.3)
porque f y fn integrables. Aplicando la desigualdad triangular para las integrales
obtenemos
Zx
jF (x) ; Fn (x)j =
jfn (t) ; f (t)j dt 8x 2 I:
a
Como fn ! f uniformemente convergente sobre I , por consiguiente 8 > 0, 9N tal que
t 2 a b] y n N ) jfn (t) ; f (t)j < 2(b ; a) :
Con (IX.1.4) y (IX.1.3), obtenemos
Zx
x;a < :
dt
=
2(b ; a)
a 2(b ; a)
Con lo que hemos mostrado que Fn ! F converge uniformemente sobre I .
jFn (x) ; F (x)j (IX.1.4)
Remarcas.-
1.- Si I no es acotado, la conclusion es falsa en general sin hipotesis suplementarias.
2.- f integrable es en los hechos una consecuencia de que fn integrable 8n 2 N y fn ! f
uniformemente convergente sobre I .
Derivabilidad de la funcion lmite
Teorema IX.1.7.- Sean fn f g : I
! R , n = 1 2 : : : con I = (a b) acotado.
Suponemos fn continuamente derivable sobre I , 8n. Si fn ! f simplemente sobre I
y fn ! g uniformemente sobre I entonces
0
f = g:
0
Demostracion.- Tomemos un c 2 (a b) cualquiera, se tiene
Zx
c
fn (t) dt = fn (x) ; fn (c)
0
8x 2 I:
Hagamos n ! 1, por lo tanto
fn (x) ; fn (c) ! f (x) ; f (c)
8x 2 (a b):
151
IX.2 Series de Funciones
Ahora bien, por el teorema precedente, se tiene
lim
Zx
n
!1
Por la unicidad del lmite, se tiene
c
fn (t) dt =
0
f (x) ; f (c) =
Zx
Zx
derivando, obtenemos
c
c
g(t) dt:
g(t) dt
Zx
d
f (x) = dx g(t) dt
c
como g es continua, por el primer teorema fundamental del calculo integral,
d Z x g(t) dt = g(x):
dx c
De donde la conclusion deseada.
0
IX.2 Series de Funciones
Denicion IX.2.1.- Sea ffng1 una sucesion de funciones fn : E ! R , donde E R .
1
La serie de termino general fn , denotada por
X
1
fn (x)
n=1
es la sucesion fsn(x)g1 , donde
1
sn (x) =
n
X
k=1
fk (x):
La serie converge en el punto x0 2 E , si la serie (numerica)
X
1
n=1
fn (x0 )
converge.
La serie converge absolutamente en x0 2 E , si la serie (numerica)
X
1
n=1
fn (x0 )
152
IX Sucesiones y Series de Funciones
converge absolutamente.
La serie converge uniformemente sobre E , si la sucesion
fsn (x)g1
n=1
converge uniformemente sobre E .
Cuando la sucesion fsn (x)gn=1 converge 8x 2 E , la funcion lmite
1
s(x) = nlim sn (x)
!1
P
1
se llama la suma o la funcion suma de la serie fn (x).
n=1
Los tres teoremas ya mostrados para las sucesiones de funciones, se expresan para
series de la menera siguiente.
Continuidad de la suma
Teorema IX.2.2.- Si los fn son continuas en x0 2 E y si P fn (x) converge uniforme1
n=1
mente sobre E , entonces su suma s(x) es continua en x0 . Escrito de otra manera
xlimx0
!
X
1
k=1
fk (x) =
X
1
k=1
fk (x0 ) =
X
1
k=1
xlimx0 fk (x):
!
Integracion termino a termino
Teorema IX.2.3.- Sean fn : a b] ! R integrable para todo n y a b] compacto. Si
P f (x) es uniformemente convergente sobre a b] y si su suma s(x) es integrable sobre
n
n=1
a b], entonces
Zx
Zx
1
lim
n
!1
donde sn (x) =
Pn f (x).
k=1
a
sn (t) dt =
a
s(t) dt
8x 2 a b]
k
Demostracion.- P uniformemente convergente sobre a b], con su suma s(x) signica
1
n=1
sn ! s uniformemente sobre a b].
Ahora bien,
sn (x) = f1(x) + f2 (x) + + fn (x)
es integrable, porque es suma de funciones integrables y por hipotesis s(x) es tambien
integrable. El teorema de la integrabilidad de la funcion lmite conduce
lim
n
!1
Zx
a
sn (t) dt =
Zx
a
s(t) dt
8x 2 a b]:
153
IX.2 Series de Funciones
Corolario IX.2.4.- Mismas hipotesis que el teorema precedente, entonces
XZ x
1
n=1 a
fn (t) dt =
Z x X
!
1
a
n=1
fn (t) dt:
Demostracion.- Por el teorema precedente, tenemos
lim
n
por consiguiente
lim nlim
Zx
!1
Z x X
n
!1
a
k=1
Z x X
n
Por otro lado
a
a
y pasando al lmite obtenemos
k=1
XZ x
1
n=1 a
sn (t) dt =
!
Zx
a
fk (t) dt =
!
fk (t) dt =
fn (t) dt =
s(t) dt
Z x X
1
a
n Zx
X
k=1 a
Z x X
1
a
n=1
n=1
!
fn (t) dt:
fk (t) dt
!
fn (t) dt:
Derivacion termino a termino
Teorema IX.2.5.- Si fn es continuamente derivable sobre el intervalo acotado I = (a b),
P
P
1
1
para todo n. Si fn (x) converge sobre I (con su suma s(x)). Si fn (x) converge
n=1
n=1
uniformemente sobre I ( con su suma t(x)). Entonces s es derivable y (x) = t(x)
8x 2 (a b). Escrito de otra manera
0
0
!
d X f (x) = X f (x):
n
dx n=1 n
n=1
1
1
0
Criterio de Weirstra
Teorema IX.2.6.- Sean fn : E ! R . La serie P fn (x) es uniformemente convergente
1
n=1
sobre E , si existe una sucesion real fcn g1 tal que
1
X
1
n=1
cn converge
154
IX Sucesiones y Series de Funciones
y que jfn (x)j cn 8n y 8x 2 E .
Demostracion.- Remarquemos que P cn es una serie con terminos positivos, porque
1
1
P
cn jfn (x)j 0. La serie cn es convergente, existe 8 > 0 9N 2 N tal que
1
1
X
1
k=n
Por otro lado, denotamos sn (x) =
X
1
k=1
ck < 8n N:
Pn f (x). La serie
k=1
k
jfk (x)j
converge 8x 2 E
por el criterio de la serie mayorante. De donde sn (x) converge 8x 2 E . Denotemos s(x)
su funcion suma. Veamos ahora que la convergencia de sn ! s es uniforme sobre E . En
efecto
X
X
X
js(x) ; sn (x)j =
fk (x) jfk (x)j ck por lo tanto
del momento en que n > N .
1
1
1
k=n+1
k=1n+1
n+1
js(x) ; sn (x)j <
8x 2 E
IX.3 Series de Potencias o (Series Enteras)
Denicion IX.3.1.- Una serie de potencias o entera es una serie
X
1
n=0
anxn donde fan gn=0 es una sucesion real.
1
Ejemplo
P
1.- La serie geometrica xn es una serie de potencias con an = 1 para todo n. Es
n=0
convergente si y solamente si
jxj < 1:
1
155
IX.3 Series de Potencias o (Series Enteras)
En el caso en que es convergente, su suma es
1 = X xn :
1 ; x n=0
1
Teorema IX.3.2.- Supongamos que P an xn converge para x = x1, con x1 =6 0.
1
n=0
Entonces la serie es
1.- absolutamente convergente sobre el intervalo abierto jxj < jx1 j.
2.- uniformemente convergente sobre todo intervalo cerrado ;h h] con h > 0 y tal que
h < jx1j.
Demostracion.- Mostremos la convergencia absoluta. Si P an xn1 converge, se tiene que
1
n=0
n
nlim an x1 = 0:
0 tal que jan xn j M para todo n 0. Por otro lado
!1
De donde existe M
1
an xn = an xn
1
x
x1
n
:
Por lo que, si jxj < jx1j, se tiene
X
X
jan xn j M
n=0
n=0
1
1
x n:
x1
Ahora bien, jx=x1j < 1, serie geometrica y el criterio de la serie mayorante dan
X
1
n=0
jan xn j
convergente si jxj < jx1 j.
Para la convergencia uniforme utilizamos el criterio de Weirstra#. Tomemos h con
0 < h < jx1 j. Por el punto 1),
X n
jan j h
1
n=0
converge y jan xn j jan j hn si jxj h y por el criterio de Weirstra#la serie
X
1
n=0
an xn
es uniformemente convergente sobre ;h h] si 0 < h < jx1 j.
156
IX Sucesiones y Series de Funciones
Radio de Convergencia
Teorema IX.3.3.- Una serie P an xn es sea:
1
n=0
1.- convergente si y solamente si x = 0
2.- convergente 8x P
2R
3.- 9 > 0 tal que n=0 an xn es absolutamente convergente si jxj < y divergente si
jxj > .
Demostracion.- Sea
1
E = fr 0j
X
1
n=1
jan j rn
convergenteg:
E 6= porque r = 0 2 E .
Si E = f0g estamos en el primer caso. Si E = 0 +1) es el segundo caos, sino sea
= sup E , se ve con el teorema precedente que tiene las propiedades anunciadas.
Denicion IX.3.4.- Se llama radio de convergencia de la serie P an xn al real no
1
n=0
negativo que satisface el punto 3) del teorema precedente. Convenimos = 0 si la serie
satisface 1) del teorema precedente y = +1 si la serie satisface el punto 2) de dicho
teorema.
Ejemplos
2.- La serie geometrica
P xn tiene como radio de convergencia = 1.
1
n=0
P
3.- La serie n!xn tiene como radio de convergencia = 0, en efecto utilizando el
n=0
1
criterio del cociente se tiene
(n + 1)!xn+1 = (n + 1) jxj ! +1 si x 6= 0:
n!xn
4.- Utilizando el mismo criterio del cociente, se tiene que la serie
X xn
1
n=0 n!
es convergente 8x 2 R .
157
IX.3 Series de Potencias o (Series Enteras)
Comportamiento en x = Los cuatro casos posibles se presentan:
X
1
n=0
xn = 1 divergencia en x = 1 y x = ;1:
( divergencia en x = 1
X xn
1
n = 1 convergencia en x = ;1
( convergencia en x = 1
X (;1)n n
x = 1
divergencia en x = ;1
n=1 n
X xn
2 = 1 convergencia en x = 1:
n=1 n
n=1
1
1
Teorema IX.3.5.- Sea P an xn , con el radio de convergencia > 0. Sea $(x) su suma,
1
n=0
$(x) =
X
1
n=0
an xn jxj < :
Entonces $(x) es continua sobre el intervalo abierto (; ).
Demostracion.- an xn es u producto continuo y
X
1
n=0
an xn
es uniformemente convergente sobre ;h h], si 0 < h < . Por lo tanto su suma $(x)
es continua sobre el intervalo ;h h], 8h con 0 < h < . De donde su suma $(x) es
continua sobre (; ).
Teorema IX.3.6.- Supongamos que P anxn tenga un radio de convergencia y
1
n=0
P na xn 1 tenga un radio de convergencia
. Entonces = .
n
n=1
1
;
0
Demostracion.- Mostremos que 0
,
0
se tiene
jan xn j = jxj an xn;1 jxj
nan xn
1
;
por lo tanto por criterio de serie mayorante, se tiene
X
X
nan xn 1 converge ) janxn j converge:
n=1
n=0
1
1
;
158
IX Sucesiones y Series de Funciones
De esta manera .
Mostremos que . Escribimos
0
0
n 1
x
n x
:
1
;
nanxn 1 = an xn1 1
;
;
Tomemos un x tal que jxj < , luego x1 tal que jxj < jx1j < . Como jx1j < , se tiene
X
1
n=0
jan xn1 j
convergente y por lo tanto janxn1 j < C para un cierto C > 0. Por consiguiente
X
1
n=1
nanxn 1 ;
C Xn x n
jx1 j n=1 x1
1
1
;
convergente si jx=x1 j < 1, utilizar el criterio del cociente. De donde jxj < , se tiene
X
1
n=1
convergente y en consecuencia 0
nanxn
1
;
.
Teorema IX.3.7.- Si P an xn tiene un radio de convergencia y la suma es s(x) =
1
n=0
P a xn, jxj < , entonces
n
n=0
1
s ( x) =
0
X
1
n=1
nan xn 1 jxj < :
;
Demostracion.- Se aplica el teorema sobre la derivacion termino a termino. En efecto
i.- Si 0 < h < ,
ii.-
P a xn converge para jxj h.
n
n=0
1
P na xn 1 converge uniformemente sobre ;h h].
n
n=1
1
;
i) y ii) son las hipotesis sucientes para poder derivar termino a termino.
Ejemplo
5.- Por derivacion termino a termino, se tiene
X n n k
1
=
x (1 ; x)k+1 n=k k
1
;
jxj < 1:
159
IX.3 Series de Potencias o (Series Enteras)
En efecto
1 = X xn jxj < 1
1 ; x n=0
X n1
1 = 1
=
nx jxj < 1
1;x
(1 ; x)2
n=1
X
2 =
1
=
n(n ; 1)xn 2 jxj < 1
3
2
(1 ; x)
(1 ; x)
n=2
1 = X n xn 2 jxj < 1
2
(1 ; x)3
Luego por induccion se muestra el resto.
1
1
0
;
1
0
;
;
Teorema IX.3.8.- Sea el radio de convergencia de P bn xn y s(x) su suma. Entonces
1
X bn n+1
n + 1x
n=0
1
n=0
tiene un radio de convergencia y
X bn n+1 Z x
n + 1 x = s(t) dt jxj < :
1
0
n=0
Demostracion.- Los dos teoremas precedentes aseguran que ambas series tienen el
mismo radio de convergencia y denotanto t(x) =
P b =(n + 1)xn+1, jxj < , se tiene
n
n=0
1
t (x) = s(x) jxj < :
Como s(x) y por lo tanto t (x) es continua para jxj < , se tiene
0
Zx
0
0
s(u) du =
Zx
0
t (u) du = t(x) ; t(0) = t(x) jxj < :
0
Los coecientes de una serie de potencias y su suma
P
Supongamos que an xn de radio de convergencia > 0, sea f (x) la suma de esta serie
n=0
para jxj < . Por el teorema sobre la serie derivada, f es indenidamente derivable y se
P
puede calcular f (k)(x) derivando k-veces dentro el smbolo , lo que da f (k) (0) = k! ak n=0
es decir,
( n)
an = f n!(0) para n = 0 1 2 : : ::
1
1
160
IX Sucesiones y Series de Funciones
Por lo tanto, si una funcion f : I ! R , I un intervalo que contiene el origen, admite una
representacion de la forma
X
f (x) = an xn 1
n=0
para jxj < , con > 0, entonces, se tiene para todo n 0.
(n)
(IX.3.1)
an = f n!(0) :
Se dira que f admite un desarrollo en serie de potencias, sobre un vecindario del origen
0. Se ve que si un tal desarrollo existe, este es unico por (IX.3.1). Ademas, para que
f : I ! R , I intervalo abierto con 0 2 I , es necesario que f sea indenidamente derivable
en x = 0 y que la serie
X f (n)(0) n
n! x
1
n=0
tenga un radio de convergencia positivo. Ahora bien, estas dos condiciones no son
sucientes para que f admita un desarrollo en serie de potencias. En efecto, consideremos
(
1=x2 si x 6= 0
e
f (x) =
0 si x = 0
;
Se verica que f (k) (0) = 0 para todo k 0, de donde obviamente
X f (n)(0)
1
n=0
n
x
n!
y su suma es la funcion identicamente nulla, y ademas
X f (n)(0)
1
n=0
n 6= 0 si x 6= 0:
x
n!
Producto de Cauchy de 2 series de potencias
Teorema IX.3.9.- Supongamos que P an xn y P bn xn tengan respectivamente los
1
1
n=0
n=0
radios de convergencia 1 y 2 y las sumas sean s(x) y t(x). Entonces
X
1
n=0
cn xn con cn =
n
X
k=0
ak bn k
;
converge al menos para jxj < min(1 2) y su suma es
s(x)t(x) =
X
1
n=0
cn xn si jxj < min(1 2):
161
IX.4 Ejercicios
Demostracion.- Aplicando el teorema sobre el producto de 2 series absolutamente
convergente.
Remarca.- min(1 2) no es necesariamente el radio de convergencia de P cn xn , puede
1
n=0
ser mas grande.
IX.4 Ejercicios
1.- a) Demostrar el criterio de Cauchy para la convergencia uniforme de una sucesion
de funciones.
b) Demostrar que la sucesion fn : E ! R converge uniformemente sobre E hacia
f : E ! R si y solamente si
sup jf (x) ; fn (x)j ! 0 n ! 1:
x E
2
c) Sea fn : 0 1] ! R , donde
3=4
f (x) = n 2x 2 :
1+n x
Demostrar la existencia de una funcion lmite f : 0 1] ! R y determinar si la
convergencia fn ! f es uniforme.
2.- Sea fn : a b] ! R una sucesion de funciones integrables sobre el intervalo compacto
a b]. Demostrar que si fn ! f uniformemente sobre a b], entonces f es integrable
sobre a b].
3.- Se dene una sucesion de funciones fn : 0 1] ! R ,
8 2n
>
2 x si 0 x 21n
>
>
< 2n 1
fn (x) = > 2 2n 1 ; x si 21n x 2n1 1
>
>
: 0 si x n1 1
2
Gracar fn (x).
Demostrar la existencia de una funcion lmite f : 0 1] ! R . >Se tiene
;
;
;
lim
n
!1
Z1
0
fn (x) dx =
Z1
0
f (x) dx?
162
IX Sucesiones y Series de Funciones
4.- Mostrar que la serie
X xn+1
x2n+1
n=0 2n + 2 2n + 1
converge simplemente, pero no uniformemente sobre 0 1].
Indicacion.- Para x = (1=2)1=N , minorar
1
2N
X
n=N
por C
2P
N
xn+1
;
1
2n + 2
;
xn
2n + 1
1
, con C > 0 independiente de N .
n=N n
5.- Sea el radio de convergencia de la serie
X
1
n=2
(;1)n n(nn;+11) xn = 2 1 3 x2 ; 3 2 4 x3 + 3 3 5 x4 ; a) Determinar .
b) Decidir si la serie converge en x = .
c) Calcular s(x), la suma de la serie, precisando para que valores de x este calculo
es valido.
Captulo X
Algunas Series Particulares
X.1 La Funcion Exponencial
Denicion X.1.1.- La funcion exponencial exp : (; ) ! R esta dada por la serie
exp(x) =
X xn
1
n=0 n!
:
(X.1.1)
donde es el radio de convergencia de la serie.
Teorema X.1.2.- La funcion exponencial, satisface:
1.- El radio de convergencia = +1.
2.- exp es derivable sobre R y
(exp(x)) = exp(x):
3.- Para todo x e y reales se tiene
0
exp(x + y) = exp(x) exp(y):
4.5.6.7.-
exp(0) = 1.
exp crece estrictamente sobre R .
La imagen de exp es R + = (0 +1).
exp tiende hacia +1 mas rapidamente que cualquier potencia de x cuando x ! +1
es decir
xr lim
x + exp(x)
con r 2 Q .
Demostracion.- Demostremos punto por punto.
1.- Fijemos cualquier x 2 R . Aplicamos el criterio del cociente a la serie
!
1
X jxjn
1
n=0
n! 164
X Algunas Series Particulares
obteniendo
jxj
lim
n
n + 1 = 0
por lo tanto, la serie (X.1.1) converge absolutamente para cualquier x 2 R , de donde
= +1.
2.- Como = +1, exp es derivable sobre R y podemos derivar termino a termino.
!1
(exp(x)) =
0
X n ! X n
x
nx
0
1
=
n=0 n!
3.- Sean x y 2 R jos, las series
exp(x) =
1
n=1
X xn
1
n=0 n!
X
1
n
x = exp(x):
=
n!
n=0 n!
1
;
exp(y) =
X yn
1
n=0 n!
convergen absolutamente, por lo tanto cualquier serie producto de las dos converge
absolutamente y a la misma suma exp(x) exp(y). Utilizando la serie producto de
Cauchy obtenemos
X X xnym
exp(x) exp(y) =
1
k=0 n+m=k n! m!
=
X X (n + m)! xnym
1
k=0 n+m=k (n + m)! n! m!
X 1 X n + m n m
= k!
n xy
k=0 n+m=k
X (x + y)k
1
=
1
k!
= exp(x + y):
k=0
4.- exp(0) = 1, remplazar x = 0 en la serie.
5.- Se tiene para todo x 2 R , exp(x ; x) = exp(x) exp(;x) = 1. de donde exp(x) 6= 0
8x 2 R . Como exp(x) es continua, se tiene exp(x) > 0 para todo x, lo contrario
conduciria la existencia de un x con exp(x) = 0, ya que exp(0) = 1 > 0. Ahora
bien exp (x) = exp(x) > 0, de donde f crece estrictamente en cada x 2 R y por
consiguiente sobre R.
6.- En el punto precedente hemos mostrado que exp(R ) R + . Tomemos x > 0, se tiene
0
exp(x) > 1 + x ! +1
cuando x ! +1. Por otro lado
1 = 0:
lim
=
lim
exp(
;y ) = lim
x
y +
y + exp(y )
!;1
!
1
!
1
165
X.1 La Funcio n Exponencial
Como exp es continua, se tiene bien exp(R ) = R + .
7.- Suciente considerar el caso r > 0, el otro es trivial. Sea n 2 N tal que n ; 1 < r n.
Si x > 1 se tiene
xn 1 < xr xn por lo tanto
xr xn
exp(x) exp(x)
+1
si x > 0, de donde, para x 1, se tiene
y exp(x) > (xnn+1)!
;
xr xn < (n + 1)! ! 0
exp(x) exp(x)
x
cuando x ! +1.
Remarca.- exp : R
! R+
es biyectiva y es un isomorsmo de grupos con R grupo
grupo multiplicativo.
El numero e
Si bien en el captulo III, hemos denido el numero e, utilizaremos otra manera de denir
e.
Denicion X.1.3.- El numero
aditivo y
R+
e = exp(1) =
X1
1
n=0 n!
:
Proposicion X.1.4.- Para r 2 Q , se tiene
er = exp(r):
Demostracion.- Para n = 1, es la denicion. Para n 2 N , se tiene
n
exp(n) = exp(1| + {z + 1} = exp(1)
| {z exp(1)} = e :
n veces
n veces
Para n = 0, e0 = 1 por convencion y exp(0) = 1. Para ;n 2 N , se tiene
exp(n) = exp(1;n) = 1n = en e
;
de donde el enunciado es cierto 8n 2 Z.
Para r 2 Q , digamos r = p=q con p q 2 Z y q > 0, se tiene
(exp(r))q = exp(qr) = exp(p) = ep 166
X Algunas Series Particulares
por lo tanto
exp(r) = er :
Potencias Irracionales
Hasta aqu sabemos lo que es xr cuando r 2 Q y x > 0.
Denicion X.1.5.- Para x 2 R , ex = exp(x).
Remarca.- La denicion precedente es un resultado demostrable cuando x 2 Q . Esta
denicion decreta que la funcion R ! R + , x 7! ex es continua sobre R , por la funcion
exp(x) lo es y Q es un subconjunto denso en R .
X.2 La funcion Logaritmo
Denicion X.2.1.- log : R + ! R es la funcion inversa de exp : R ! R + .
Proposicion X.2.2.- La funcion log satisface:
1.2.3.4.-
exp(log(x)) = x, 8x 2 R + .
log(exp(x)) = x, 8x 2 R .
log es una funcion continua y estrictamente creciente.
log es derivable sobre (0 +1) y
(log(x)) = x1 :
log e = 1.
log 1 = 0.
log(xy) = log x log y:
log(x) = +1 y xlim0+ log(x) = ;1.
x lim
+
log x tiende a +1 mas lentamente que cualquier potencia racional positiva de x
cuando x ! +1 es decir
log x = 0 8r 2 Q :
lim
x + xr
0
5.6.7.8.9.-
!
1
!
!
1
Demostracion.- 1) y 2) son consecuencia de la denicion de funcion inversa.
3) Por que la inversa de una funcion continua es continua.
4) log es derivable por que exp es derivable y exp (x) = exp(x) > 0. Aplicando la formula
de derivacion correspondiente
1 = 1
log (x) = exp1(y) = exp(
y) x
0
0
0
167
X.2 La funcio n Logaritmo
con y = log x.
5) y 6) por que exp(1) = e y exp(0) = 1.
7) Se tiene que x = exp(log x) e y = exp(log y), por otro lado
exp(log x + log y) = exp(log x) exp(log y) = xy
y exp(log xy) = xy, de donde log x + log y = log(xy):
8) Para el primer lmite suciente ver que log no es acotada, como es estrictamente
creciente, se tiene el lmite deseado. En efecto, exp es estrictamente creciente de donde
log x A
exp(log x) exp A
()
()
x exp A:
Para el otro lmite, se tiene
log(1=x) = ; log(x)
y planteando y = 1=x y la continuidad de log y 1=x da
lim = ; y lim
log(y) = ;1:
+
x 0+
!
!
1
9) Aplicar la regla de l'H^opital, da
x = 1 lim 1 = 0:
lim log
r
x
r x xr
x +
!
1
!1
Potencias irracionales
Hasta aqu las expresiones ax estan bien denidas cuando x 2 Q y a > 0 o a = e. Pero
no tenemos claro que signica cuando a es diferente de e y x es irracional.
Proposicion X.2.3.- Se tiene para a > 0 y r 2 Q
ar = er log a = exp(r log a):
Demostracion.- Suciente mostrar que log ar = r log a para r 2 Q . Supongamos que
r = p=q con p q enteros y q > 0. En efecto, por un lado
log((ar )q ) = q log(ar )
por otro lado
log a((ar )q ) = log(ap) = p log a
de donde
log(ar ) = pq log(a) = r log a:
168
X Algunas Series Particulares
Denicion X.2.4.- Para a > 0 y x 2 R ,
ax = ex log a :
Remarca.- La denicion que acaba de formularse es compatible con lo hecho anterior-
mente gracias a la proposicion anterior.
Proposicion X.2.5.- Se tiene las siguientes propiedades, ya mostradas cuando el o los
exponentes son racionales,
1.- log ax = x log a.
2.- ax ay = ax+y .
3.- (ax )y = axy .
Demostracion.- 1) y 2) ejercio. Para 3), se tiene
log((ax)y ) = y log(ax ) = yx log a:
Proposicion X.2.6.- Para a > 0 dado, la funcion ax es derivable y
(ax ) = ax log a:
0
Demostracion.- Ejercicio.
El numero e
Proposicion X.2.7.- Se tiene
x lim
+
!
1
x
1 + x1 = exp(1):
Demostracion.- Por continuidad de la funcion 1=x sobre (0 +1) y por que log es
derivable, en particular en el punto 1, se tiene
x
1
lim log 1 + x = xlim0+ log (1 + x)1=x
x +
= xlim0+ log(1 + xx) ; log 1
log (1) = 1:
= ddx
Como la funcion exponencial es continua, se tiene
!
1
!
!
lim
x +
!
1
x
1 + x1 = exp(1):
169
X.2 La funcio n Logaritmo
Desarrollo en serie de potencias del logaritmo
Teorema X.2.8.- Para x con ;1 < x 1, se tiene
log(1 + x) =
X
1
n=1
n
(;1)n+1 xn :
Demostracion.- La serie geometrica de razon ;x
X
1
n=0
(;1)n xn
tiene radio de convergencia = 1, por lo tanto para jxj < 1 se tiene
X
1
n=0
(;1)n xn = 1 +1 x :
Utilizando el teorema IX.3.8 relativo a la integracion de series de potencias se tiene
Zx 1
X (;1)n 1 n
ds
=
1+s
n x jxj < 1
1
0
y
;
n=1
Zx 1
s=x
1 + s ds = log(1 + s)js=0 = log(1 + x) jxj < 1:
0
Por lo tanto el teorema es valido para jxj < 1. Cuando x = 1, la serie
X (;1)n
1
n
n=1
1
;
= 1 ; 21 + 31 ; 14 + es convergente, se puede utilizar el criterio de Leibniz para series alternadas. Mostremos
que
X n1
log 2 = (;1)n :
1
;
n=1
En efecto, para 0 x < 1 y N 2 N se tiene
N
X
N +1 N +1
(;1)k xk = 1 ; (;11)+ x x k=0
de donde
N
1 =X
(;1)N +1 xN +1 (
;1)k xk +
1 + x k=0
1+x
170
X Algunas Series Particulares
integrando, se obtiene
Zx 1
NX
+1
k Zx
N +1
x
k
1
log(1 + x) = 1 + s ds = (;1) k + (;1)N +1 s1 + s ds
;
0
por lo tanto
log(1 + x) ;
NX
+1
k=1
0
k=1
k
(;1)k 1 x
;
k =
Z x sN +1
1 + s ds 0
Zx
0
sN +1 ds = N 1+ 2 xN +2 :
Haciendo x ! 1 ; 0, se tiene
log 2 ;
NX
+1
(;1)k 1
;
k
k=1
1 :
N +2
Ahora, hacemos N ! 1 y obtenemos
log 2 ;
X (;1)k
1
k
k=1
1
;
=0
X.3 Funciones Trigonometricas
Denicion X.3.1.- Las funciones cos sin : R ! R estan dadas por:
cos x = C (x) =
sin x = S (x) =
X
2n
(;1)n (2xn)!
1
n=0
X
1
2n+1
(;1)n (2xn + 1)!
n=0
Teorema X.3.2.- Las funciones cos y sin satisfacen:
1.- El radio de convergencia de las series (X.3.1) y (X.3.2) es = +1.
2.- cos y sin son continuas sobre R .
3.- cos y sin son derivables sobre R y
cos (x) = ; sin(x)
sin (x) = cos(x):
0
0
(X.3.1)
(X.3.2)
171
X.3 Funciones Trigonometricas
4.- cos es una funcion par es decir, cos(;x) = cos x y sin es una funcion impar es decir,
sin(;x) = ; sin x.
5.- Para x = 0, cos 0 = 1, sin 0 = 0.
6.- Se tiene
cos2 x + sin2 = 1:
7.- xlim0 sinx x = 0.
8.- sin y cos verican las formulas de sumacion siguientes:
!
sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y
cos(x + y) = cos x cos y ; sin x sin y:
Demostracion.- 1) similar a la funcion exponencial, 2) la continuidad de que el radio
de convergencia es +1.
3) El radio de convergencia +1 conduce a que sin y cos sean derivables y que se pueda
derivar termino a termino en las series respectivas. Por lo tanto
2n 1
X n x2n+1
x
cos (x) =
(2n ; 1)! = ; n=0(;1) (2n + 1)! = ; sin x
n=1
2n
X
sin (x) = (;1)n (2xn)! = cos x:
n=0
X
1
0
(;1)n
;
1
0
4) remplazar ;x por x y se obtiene lo que se desea.
5) Remplazar x = 0 en las series respectivas.
6) Se tiene cos2 0 + sin2 0 = 1 por 5). Ahora bien, se tiene
(cos2 x + sin2 x) = ;2 cos x sin x + 2 sin x cos x = 0
0
de donde cos2 x + sin2 x = cos2 0 + sin2 0 = 1.
7) Utilizar la regla de l'H^opital.
8) Dejamos jo y y consideramos
f (x) = sin(x + y) ; sin x cos y ; cos x sin y
g(x) = cos(x + y) ; cos x cos y + sin x sin y:
Vericamos que
f (x) = g(x)
g (x) = ;f (x)
de donde ((f (x))2 + (g(x))2) = 0 para todo x 2 R , por lo tanto
0
0
0
(f (x))2 + (g(x))2 = const
pero f (0) = g(0) = 0, lo que implica que f (x))2 + (g(x))2 = 0 y por consiguiente
f (x) = g(x) = 0, 8x 2 R .
172
X Algunas Series Particulares
Ceros de sin x y cos x
p
p
Proposicion X.3.3.- Existe 2 R con 2 < < 3 tal que cos = 0 y cos x > 0 si
0 < x < .
Demostracion.- Tenemos cos 0 = 1 y cos x = ; sin x. Veamos que sin x > 0 para
0
0 < x < 2, lo quep implica quepcos es estrictamente decreciente sobre 0 < x < 2, enseguida
se vera que cos 2 > 0 y cos 3 < 0. En efecto,
3
5
5
X x4k+1
x4k+3 :
sin x = (x ; x3! ) + ( x5! ; x5! ) + =
;
k=0 (4k + 1)! (4k + 3)!
1
Ahora bien,
x4k+1 ; x4k+3 = x4k+1 1 ;
x2
(4k + 1)! (4k + 3)! (4k + 1)!
(4k + 2)(4k + 3)
y
(4k + 2)(4k + 3) 6 > 4 > x2 si x < 2. Veamos lo que sigue,
X 22k 2
cos 2 = (4k)! 1 ; (4k + 1)(4
k + 2) > 0
k=1
X 32 k 1 p
3
3
cos 3 = (1 ; 2 + 8 ) ; (4k ; 2)! 1 ; (4k ;3 1)4k < 0:
| {z } k=2
p
1
1
=
;
;1
8
Notacion.- = =2 es el cero positivo mas peque~no de cos x.
Corolario X.3.4.- sin(=2) = 0 y es el cero positivo mas peque~no de sin x.
Demostracion.- Se tiene sin2(=2) + cos2 (=2) = 1 y cos(=2) = 0, da sin2 (=2) = 1,
como sin x > 0 para 0 < x < 2, se tiene neceriamente que sin(=2) = 1 y
sin(x + =2) = sin(x) cos(=2) + sin(=2) cos(x) = cos x > 0
si 0 < x < =2. Por lo tanto sin x > 0 para 0 < x < y sin() = 0.
Denicion X.3.5.- Una funcion f : R ! R es periodica si existe c > 0 tal que
f (x + c) = f (x)
. c se llama periodo de f . Se dice que c es periodo minimal de f si 0 < c
de f entonces c = c.
0
0
c
y c perido
0
173
X.3 Funciones Trigonometricas
Corolario X.3.6.- sin y cos son periodicas de periodo 2 es decir
sin(x + 2) = sin x
cos(x + 2) = cos x:
Ademas, 2 es el periodo minimal de sin y cos.
Demostracion.- Sabemos que cos(=2) = 0 y sin(=2) = 1. Por formulas de adicion, se
tiene
sin(x + =2) = cos x
cos(x + =2) = ; sin x
en particular, para x = =2,
sin(x + ) = ; sin x
cos(x + ) = ; cos x:
Obtenemos por consiguiente sin(2) = 0 y cos(2) = 1, de donde
sin(x + 2) = sin x cos(2) + sin(2) cos x = sin x
cos(x + 2) = cos x cos(2) + sin x sin(2) = cos x:
2 es el periodo minimal, sino existira C > 0 con C < 2, lo que dara sin(C ) = 0 y
C = pero esto es imposible, por que se tendra
sin(x + ) = ; sin(x)
8x 2 R :
El mismo argumento se tiene para cos.
Area de una circunferencia
Proposicion X.3.7.- El area de una circunferencia de radio 1 es .
Demostracion.- El area es invariante por traslacion, por lo que suponemos que el centro
es el origen. La ecuacion de la circunferencia de centro el origen es x2 + y2 = 1. El area
de la circunferencia es igual a 4 veces el area del sector ocupado por el primer cuadrante.
Denotando A el area se tiene
A=4
Z 1p
0
1 ; x2 dx
mediante la substitucion x = cos ', se obtiene
A=4
Z0
=2
sin ' (; sin ') d' = 4
Z
0
=2
sin2 ' d' = 2
Z
0
=2
(1 ; cos 2') d'
= 2(' ; 12 sin 2') 0 =2 = :
174
X Algunas Series Particulares
Una desigualdad util
Proposicion X.3.8.- Para 0 < x < =2, se tiene
2 < sin x < x:
Demostracion.- Como sin (x) = ; sin x < 0 para 0 < x < , se tiene que sin x es
00
concava sobre 0 =2], lo que da
La otra desigualdad, ejercicio.
sin x > 2 x:
Tangente y Cotangente
Denicion X.3.9.- Se plantea:
tan : R ; f(2k + 1) 2 jk 2 Zg ;! R
sin x
x 7! cos
x
cot : R ; fkjk 2 Zg ;! R
x
x 7! cos
sin x
Proposicion X.3.10.- Para las funciones tangente y cotangente, se tiene:
Formulas de Derivacion:
tan x = 12
cos x
cot x = ; 12
sin x
Formulas de Adicion:
x + tan y
tan(x + y) = 1tan
; tan x tan y
0
0
Demostracion.- Ejercicio.
X.4 Funciones Trigonometricas Inversas
La funcion sin crece estrictamente de ;1 a 1 sobre ;=2 =2] y es continua, por lo tanto
sin j =2 =2] : ;=2 =2] ! ;1 1]
;
admite una inversa g : ;1 1] ! ;=2 =2] denotada arcsin.
X.4 Funciones Trigonometricas Inversas
175
Igualmente, cos decrece estrictamente de 1 a;1 sobre el intervalo 0 ] y es continua,
por lo tanto
cos j 0 ] : 0 ] ! ;1 1]
es biyectiva y admite una inversa denotada arccos.
Proposicion X.4.1.- arcsin y arccos son continuas sobre ;1 1] y derivables sobre
(;1 1). Ademas
arcsin x = p 1 2 1;x
arccos x = ; p 1 2 1;x
para jxj < 1.
Demostracion.- Tanto arcsin y arccos son continuas por el teorema concerniente
funciones inversas del captulo VI. Mostremos la derivabilidad de arcsin. Se tiene
y = arcsin x () x = sin y jxj 2 :
arcsin x es derivable si y solamente si sin y 6= 0, si y solamente si y 6= ;=2 o y 6= =2,
si y solamente si x = ;1 o x = 1. Utilizando el teorema de la derivada de la funcion
derivada, se obtiene
arcsin x = cos1 y = p 1 2 1;x
porque cos y > 0 si jyj < =2.
Para arccos se procede de la misma forma.
0
0
0
0
Si restringimos la funcion tangente al intervalo (;=2 =2),
tan j( =2 =2) : (;=2 =2) ! R
;
es biyectiva, estrictamente creciente y continua por lo tanto inversible. Se denota
arctan : R ! (;=2 =2)
su inversa.
Proposicion X.4.2.- La funcion arctan es derivable sobre R y
arctan x =
0
Demostracion.- Ejercicio.
Se tiene
1 :
1 + x2
Z x dt
= arctan x:
1 + t2
0
176
X Algunas Series Particulares
lo que permite obtener la serie para arctan. Considerando la serie geometrica de razon
(;t2 ), se obtiene
1 = X(;1)k t2k si jtj < 1:
1 + t2 k=0
1
Se puede integrar bajo el simbolo
P sobre 0 x], si jxj < 1. De donde
arctan x =
X (;1)k x2k+1
1
k=0
(2k + 1) si jxj < 1:
(X.4.1)
Utilizando una astucia semejante a aquella empleada para log(1 + x) cuando x = 1, se
muestra que el desarrollo en serie de potencias (X.4.1), tambien es correcto para x = 1 y
por lo tanto para x = ;1. Lo que da
arctan x =
X (;1)k x2k+1
1
k=0
(2k + 1) si jxj 1:
(X.4.2)
Planteando x = 1, se tiene el resultado siguiente
= 1 ; 1 + 1 ; 1 + 1 ; :
4
3 5 7 9
Remarca.- La serie (X.4.2) es valida para x con jxj 1, lo que no impide calcular
arctan x para jxj > 1. En efecto, se puede utilizar la identidad
arctan x + arctan(1=x) = 2 signo x:
X.5 La Serie Binomial
P
Para desarrollar en serie de potencias an xn la funcion arcsin x, se puede intentar de
n=0
integrar
arcsin x = p 1 2 jxj < 1
1;x
integrando
Z x dt
p 2 jxj < 1
0
1;t
p
luego de haber desarrollado 1= 1 ; t2 en serie, lo que todava no sabemos hacer. Mas
generalmente
1
0
177
X.5 La Serie Binomial
Problema.- Desarrollar (1 + x) con 2 R en serie de potencias
X
1
n=0
bn xn :
p
Para = ;1=2, remplazando x por ;t2 dara una serie para 1= 1 ; t2.
Sabemos para 2 N , digamos = n, se tiene
n n
X
n
(1 + x) =
xk k
k=0
remarcando que bk = 0, para k > n.
Coecientes Binomiales Generalizados
Denicion X.5.1.- Para 2 R , k 2 Z el coeciente binomial
8 ( ; 1)( ; 2) ( ; k + 1)
si k > 0
<
>
k!
k =>
: 10 sisi kk =< 00:
Ejemplo
1.-
;2
3
= (;2)(;3!3)(;4) = ; 4 3!3 2 = ; 43 :
Proposicion X.5.2.- Los coecientes binomiales verican para 2 R y k 2 Z.
1.2.3.4.-
;
= (;1)k
+ k ; 1
k
k
+ 1
k ; 1 + k = k
; 1
= k k ; 1 si k 6= 0
k
;k ;1
k + 1 = k + 1 k ; 1 si k 6= ;1
Demostracion.- Ejercicio.
Teorema X.5.3.- Para 2 R y jxj < 1, se tiene
X
(1 + x) =
k=0
1
k
k x:
178
X Algunas Series Particulares
Demostracion.- Si 2 N , la serie tiene un numero nito de terminos no nulos, por
consiguiente convergente para todo x 2 R y el resultado es cierto. Supongamos 62 N y
6= 0 porque sino el resultado es evidente. La serie
X 1
k
k x:
k=0
tiene un radio de convergencia = 1. En efecto, aplicando el criterio del cociente, se
obtiene
k+1
k+1 x
k = k +; 1k jxj ;! jxj k x
cuando k ! 1 por lo tanto, la serie converge si jxj < 1 y diverge si jxj > 1.
Denotemos
X k
P(x) =
k x
1
k=0
con 2 R y jxj < 1. Vamos a vericar que
P (x) = 1
(1 + x)
para 2 R y jxj < 1. Suciente ver que
P (x)
0
(1 + x)
= 0 y P (0) = 1:
En efecto, aplicando las reglas de derivacion, obtenemos que
P (x)
0
(1 + x)
; P (x)(1 + x) 1 (1 + x)P (x) ; P (x)
=
:
(1 + x)2
(1 + x)+1
= P (x)(1 + x)
0
;
0
P
Ahora bien, derivando bajo el signo , obtenemos
P (x) =
0
X 1
k=1
k
X
kxk 1 = k
k=1
1
;
Por lo tanto
si 2 R
; 1
k 1 = X
kx
k;1
k=0
1
;
P(x) = P 1(x)
y jxj < 1. Remplazando en la derivada, obtenemos
0
P (x)
(1 + x)
0
;
= (1 + x)P 1(x)+1; P (x) :
(1 + x)
;
; 1
k
xk :
179
X.5 La Serie Binomial
Calculemos
(1 + x)P 1(x) = (1 + x)
;
=
X ; 1
1
k
k=0
X ;1
X
xk +
k=0
1
k=0
1
k
=1+
X ; 1
=1+
X De donde,
xk+1
xk
k = P (x):
x
k
k=1
P (x)
(1 + x)
Por otro lado,
k
+ k;1
k
k=1
; 1
; 1
1
1
xk :
0
= 0:
P (0) = 1:
(1)
Serie para arcsin
Por lo hecho antes, se tiene
Z x dt
arcsin x = p 2 0
1;t
para jxj < 1.
La serie binomial para (1 + x) 1=2, esta dada por
;
(1 + x)
1=2 = X ;1=2
k
k=0
1
;
xk
jxj < 1:
Remplazando x por ;t2 , obtenemos
X k ;1=2 2k
1
p 2 = (;1) k t jtj < 1:
1 ; t k=0
Utilizando el punto 1 de la proposicion X.5.2, se tiene
X k ; 1=2 2k
1
p 2=
t jtj < 1:
k
1 ; t k=0
1
1
Calculemos
k ; 1=2
k
= (k ; 1=2)(k k;! 3=2) 1=2 = (2k ; 1)(2kk ; 3) 1
2 k! = 2(2k k)! 2 = 12k 2kk :
2 (k!) 2
180
X Algunas Series Particulares
Por lo tanto
p
X 1 2k 2k
=
t jtj < 1:
2
22k k
1
1
1 ; t k=0
Por consiguiente, integrando termino a termino, obtenemos
X 1 2k 2k x2k+1
arcsin x =
2k k t 2k + 1 jxj < 1:
k=0 x
1
X.6 Ejercicios
1.- La irracionalidad de e. Demostrar que para todo entero m 1,
X 1
1
<
n=m+1 n! m(m!)
1
y deducir que e 62 Q .
2.- Calcular para x ! 0, luego para x ! +1
x x
lim log(1x+ ax) lim acx ;; dbx donde a b c d son positivos y c 6= d.
3.- Estudiar la convergencia de las series de termino general:
e
p
2n;1 ; 1
1
;
n
1
1; p
n
log(n + 1) ; log n (n 2)
(log n)2
;pn2 + 1 ; n2 sin n donde jj < 1
n sin(1=n3)
sin(=n)
sin(n=2) + sin(1=n) :
n
4.- Demostrar que para todo x 2 R + , se tiene
3
x ; x3!
2
1 ; x2!
sin x x
cos x 1
181
X.6 Ejercicios
y mas generalmente,
2N
x2n+1 x2n+1 sin x X
(
;1)n
(2n + 1)!
(2n + 1)!
n=0
n=0
2N
2X
N +1
2n
2n
X
x
x
n
n
(;1) (2n)! cos x (;1) (2n)! n=0
n=0
2X
N +1
(;1)n
para x 2 R + , N = 0 1 2 : : : .
Indicacion.- Integrar.
5.- Mostrar que para x 2 R.
arctan x =
n
X
(;1)
=0
x2 +1 + (;1)n Z x t2n+2 dt:
2
2 + 1
0 1+t
y deducir que
= 1 ; 1 + 1 ; 1 + :
4
3 5 7
6.- (Calculo de con una serie rapidamente convergente).
a) Demostrar que
+ tan :
tan( + ) = 1tan
; tan tan Luego, que si
2
entonces
y:
arctan x + arctan y = arctan 1x;+xy
b) Deducir la identidad de Machin (1706):
= 4 arctan 1 ; arctan 1 :
4
5
239
c) utilizar b) para obtener un desarrollo innito para . >Despues de cuantos
terminos, se tiene con una precision de 10 12?
7.- Para 2 R y k 2 Z, mostrar:
jarctan x + arctan y j <
;
a)
b)
c)
; 1
= k k ; 1 k 6= 0
k
; k k + 1 6= 0
=
k + 1 k+1 k + 1
k;1 + k =
k
182
X Algunas Series Particulares
8.- (Transformacion en suma de un producto de funciones trigonometricas).
a) A partir de las formulas de adicion, transformar en suma cada uno de los
productos:
sin x sin y sin x cos y cos x cos y:
b) Calcular las integrales siguientes, donde m n 2 N y m 6= n:
Z
Z0
0
(sin mx)2 dx
sin mx sin nx dx
Z
0
cos mx cos nx dx
Z
Z0
0
(cos mx)2 dx
sin mx cos nx dx
Captulo XI
Series de Taylor
XI.1 Series de Taylor
En el captulo X vimos que funciones como: ex , sin x, cos x, arctan x y arcsin x se escriben
X
1
n=0
anxn con un cierto radio de convergencia 6= 0.
La funcion logaritmo se escribe
log(1 + x) =
X
1
k
(;1)k+1 xk k=1
jxj < 1:
Remplazando x por x ; 1, se obtiene
log x =
X
1
k=1
k
(;1)k+1 (x ;k 1) jx ; 1j < 1:
P
Sabemos que si f admite un desarrollo en serie de potencias f (x) = an xn para jxj < ,
n=0
con 6= 0, entonces
(n)
an = f n!(0) :
De la misma manera, se muestra, que si
1
g (x) =
entonces
X
1
n=0
bn (x ; x0 )n jx ; x0j < rho 6= 0
(n)
bn = g n(!x0 ) :
184
XI Series de Taylor
Suciente derivar n veces la serie, luego plantear x = x0 .
Por lo tanto, para que exista un desarrollo
f (x) =
X
1
n=0
an xn jxj < con 6= 0, es necesario que f (n) (0) existe para todo n 0. Pero esta condicion no es
suciente. En efecto:
1.- Puede suceder que las f (n) (0) existan, pero que
X f (n)(0)
1
n
x
n!
n=0
diverga para x 6= 0.
2.- Puede suceder f (n) (0) existan y que
X f (n)(0)
1
n
x
n!
n=0
tenga un radio de convergencia 6= 0, pero que su suma no sea igual a f (x) aparte
que x = 0. Por ejemplo la funcion f : R ! R denida por
(
1=x2 si x 6= 0
e
f (x) =
0 si x = 0
;
es tal que f (n) (0) = 0 para n = 0 1 2 : : :, por lo tanto la serie correspondiente es
X
1
n=0
0xn cuya suma es la funcion identicamente nula, de donde su suma es diferente de f (x)
si x 6= 0.
Denicion XI.1.1.- Sea f : I ! R , x0 2 I punto interior y f indenidamente derivable
en el punto x0. Se llama Serie de Taylor de f en el punto x0 a la serie
X f (n)(x0)
1
n!
n=0
(x ; x0)n :
Denicion XI.1.2.- Cuando x0 = 0, la serie de Taylor se llama serie de Mac Laurin de
f.
Problema.- Sea f : a b] ! R , a b] compacto, indenidamente derivable en x0 2 (a b).
>Cuando se puede armar que
f (x) =
X f (n)(x0)
1
n=0
n!
(x ; x0)n
185
XI.1 Series de Taylor
para jx ; x0 j < con cierto > 0?
El problema data a nes del siglo XVII, principios del siglo XVIII y la razon era para
hacer calculos. Escribamos
nX1 f (k) (x )
0 (x ; x )k + R (x)
f (x) =
(XI.1.1)
0
n
k=0 k!
;
suponemos por lo tanto que f es n ; 1 veces derivable en x0 . Es decir, se dene
Rn : a b] ! R por
nX1 (k)
Rn(x) = f (x) ; f k(!x0) (x ; x0)k :
(XI.1.2)
k=0
Esperamos que Rn (x) sea peque~no en un cierto vecindario de x0 , de tal manera que el
polinomio de grado menor o igual a n ; 1
;
nX1 f (k) (x )
0
;
k!
k=0
(x ; x0 )k
de en un cierto vecindario una buena aproximacion de f (x). Situacion deseable, los valores
de un polinomio son facilmente calculables.
Pedir que se tenga
X (k)
f (x) = f k(!x0) (x ; x0 )k
1
k=0
para jx ; x0 j < con 6= 0, es pedir que
n f (k) (x )
X
0 (x ; x )k ;! f (x)
0
k
!
k=0
cuando n ! 1 para todo x tal que jx ; x0j < , 6= 0.
Observando (XI.1.1) la respuesta es inmediata:
X (k)
f (x) = f k(!x0) (x ; x0 )k
k=0
1
para jx ; x0 j < con 6= 0, si y solamente si
lim Rn (x) = 0
n
!1
8x
tal que jx ; x0 j < .
El primer objetivo sera mayorar Rn (x). Comencemos por demostrar el:
Teorema XI.1.3.- Taylor. Sea f : a b] ! R tal que f (n 1) sea continua sobre a b] y
que f (n) exista sobre (a b). Sea x0 2 (a b), entonces para todo x 2 a b], x 6= x0, existe
un en el intervalo abierto de extremidades x0 y x tal que
;
f (x) =
nX1 f (k) (x )
0
;
k=0
k!
(n)
(x ; x0)k + f n!( ) (x ; x0 )n :
(XI.1.3)
186
XI Series de Taylor
Remarcas
1.- El teorema de Taylor da una forma explcita, otra que (XI.1.2), del resto Rn (x). Se
puede escribir
(n)
Rn (x) = f n!( ) (x ; x0 )n
con cierto entre x y x0 .
2.- Para n = 1, el teorema es f (x) = f (x0) + f ( )(x ; x0 ) es el teorema de los
incrementos nitos.
3.- Como esta entre x y x0, se puede escribir
0
= x0 + (x ; x0 )
para cierto 0 < < 1.
4.- (XI.1.3) se llama un desarrollo limitado a n terminos de f en el punto x0 .
5.- Otra notacion para x ; x0 , la diferencia entre x0 (jo) y x (punto variable), se
escribira h = x ; x0 por lo tanto, x = x0 + h y (XI.1.3) se rescribe
f (x + h) =
nX1 f (k) (x )
0 hk + f (n) ( ) hn n!
k=0 k!
;
(XI.1.4)
para un cierto entre x0 y x0 + h y h 6= 0. Es con esta notacion con la que se hara
la demostracion.
Demostracion del teorema.- Supongamos h > 0. Consideremos : 0 h] ! R , dada
por
nX1 (k)
n
(XI.1.5)
(t) = f (x0 + t) ; f k(!x0 ) hk ; C tn!
;
k=0
donde C 2 R es elegida de manera que (h) = 0.
Vamos a aplicar el teorema de Rolle n-1 veces. Primero, constatamos que (0) = (h)
implica que existe h1 2 (0 h) tal que (h1 ) = 0. Ahora bien, verica las condiciones
de Rolle a causa de las hipotesis hechas sobre f . Continuando, se tiene:
0
(0) = ' (h1 ) = 0
0
0
(n 1) (0) = (n 1) (hn 1 ) = 0
;
;
;
) 9h2 2 (0 h1 )
tal que (h2 ) = 0
) 9hn 2 (0 hn )
tal que (hn ) = 0
..
.
00
00
En particular hn 2 (0 h) por que h > h1 > > hn > 0. Por otro lado,
(n) (t) = f (n) (x0 + t) ; C
de donde
C = f (n) (x0 + hn )
187
XI.1 Series de Taylor
x0 +hn esta entre x0 y x0 +h. Si se denota = x0 +hn , se tiene C = f (n) ( ) y remplazando
en (XI.1.5) t = h, se deduce, porque (h) = 0 que
nX1 f (k) (x )
0 hk + f (n) ( ) hn :
f (x0 + h) =
n!
k=0 k!
;
La forma del resto que se tiene en (XI.1.3) se llama resto de Lagrange.
Regresando al teorema de Taylor, se tiene
(n)
Rn (x) = f n!( ) hn (x ; x0)n
donde esta entre x0 y x. De donde la mayoracion, si f (n) es acotado sobre a b],
jRn (x)j =
Ejemplo
jx ; x0 jn
n!
sup f (n) (t) :
a t b
P
(XI.1.6)
1 . Una estimacion grosera da 0 < e < 3. En efecto,
1.- Calculo de e = exp(1) =
k
k=0 !
k! 2k 1 para k 1, de donde
1
;
e < 1 + 1 + 21 + 12 + = 3:
|
{z2 }
=2
La serie de Mac Laurin, con resto de Lagrange, para ex hacia x = 0 da
nX1 xk xn
x
x
e =
+
e
k=0 k! n!
;
con 2 (0 1). Tomemos x = 1, obtenemos
e=
nX1 1
;
k=0
1 e 1
+
k! n!
con 0 < < 1. De donde
0<e;
nX1 1
;
k=0
e < 3:
<
k! n! n!
188
XI Series de Taylor
Dos corolarios del teorema de Taylor
Corolario XI.1.4.- Sea f 2 C a b], es decir f y todas sus derivadas existen y son
1
continuas sobre a b] y sea x0 2 (a b). Supongamos que existe una constante M > 0, tal
que se tenga
f (n) (x) n! M n n = 1 2 : : : 8x 2 a b]:
Entonces se tiene
f (x) =
X f (k)(x0)
f (x) =
X f (k)(x0)
1
( x ; x0 ) k
!
k=0
para todo x 2 a b] \ (x0 ; 1=M x0 + 1=M ).
Demostracion.- Recordemos
8x
1
k=0
k!
(x ; x0)
con jx ; x0 j < y 6= 0, si y solamente si
Rn(x) = f (x) ;
nX1 f (k) (x )
0
;
k=0
k!
(x ; x0 ) ! 0
cuando n ! 1, 8x con jx ; x0j < y 6= 0.
Se puede escribir
(n)
Rn (x) = f n!( ) (x ; x0 )n esto 8x 2 a b] x 6= x0 con un cierto entre x y x0. Por las hipotesis de este corolario, se
tiene por lo tanto
f (n) ( )
n
n
n! jx ; x0 j (M jx ; x0 j) de donde jRn (x)jn ! 0 cuando n ! 1, si M jx ; x0j < 1 y x 2 a b]. Esta ultima
condicion es equivalente a x 2 a b] \ (x0 ; 1=M x0 + 1=M ).
jRn (x)j Corolario XI.1.5.- Sea f : a b] ! R n veces continuamente derivable sobre a b] sea
x0 2 a b]. Entonces, para todo x 2 a b]
f (x) =
n f (k) (x )
X
0
k=0
donde "(x) : a b] ! R es tal que
n
k! (x ; x0 ) + "(x)(x ; x0)
xlimx0 (x) = 0:
!
189
XI.1 Series de Taylor
Demostracion.- Por el teorema de Taylor, se tiene 8x 2 a b], se tiene
f (x) =
nX1 f (k) (x )
0
;
k!
k=0
(n)
(x ; x0 ) + f n!( ) (x ; x0 )n :
Agregando la n-sima derivada en x0 , se obtiene
f (x) =
n f (k) (x )
X
0
k=0
k!
(n)
(n)
(x ; x0) + f ( ) ;n!f (x0 ) (x ; x0)n planteamos
(n)
(n)
"(x) = f ( ) ;n!f (x0 ) remarcando que (x x0 n) es tal que ! x0 , cuando x ! x0 . Como f (n) es continua, se
tiene f (n) ( ) ! f (n) (x0) cuando x ! x0 .
Remarca.- En el corolario que acabamos de demostrar, hemos supuesto que f (n) es
continua, hipotesis no contemplada en el teorema de Taylor.
Ejemplo
2.- Determinemos
lim
n
q
!1
p
p
n+ n; n :
Reescribiendo la expresion, obtenemos
lim
n
!1
q
p
p
p
n + n ; n = nlim n
!1
q
p
1 + 1= n ; 1 :
p
Consideremos f : (;1 +1) ! R dada por f (x) = 1 + x. Por el corolario
precedente f (x) = f (0) + f (0)x + x"(x), donde "(x) ! 0 cuando x ! 0, por
consiguiente:
f (x) = 1 + 12 x + x"(x)
p
p
"
(1
=
1
f (1= n) = 1 + p + p n)
2 n
n
de donde
q p p
p
n + n ; n = 12 + "(1= n) ! 12 0
cuando n ! 1.
La notacion O y o
Denicion XI.1.6.- Sean f g : I
g(x) 6= 0, 8x 2 I ; fag. Entonces
! R,
I
R
intervalo y a
f (x) = o(g(x)) cuando x ! a
2
I . Supongamos que
0
190
XI Series de Taylor
signica
f (x) = 0:
lim
x a g (x)
!
Denicion XI.1.7.- Sean f g : I
g(x) 6= 0, 8x 2 I ; fag. Entonces
! R,
I
R
intervalo y a
2
I . Supongamos que
0
f (x) = O(g(x)) cuando x ! a
signica que el cociente f (x)=g(x) es acotado en el vecindario de a es decir, existen > 0
y C > 0 tales que
x 2 I y 0 < jx ; aj < ) fg((xx)) < C:
Ejemplos
3.- El corolario XI.1.5 puede reescribirse como:
f (x) =
f (x) =
n f (k) (x )
X
0
k=0 k!
n f (k) (x )
X
0
k=0
k!
(x ; x0)k + o(1)(x ; x0 )n cuando x ! x0
(x ; x0)k + o((x ; x0 )n ) cuando x ! x0 4.- Bajo las condiciones del corolario XI.1.6, la conclusion puede reescribirse como:
NX1 f (k) (x )
0
;
(x ; x0 )k + O(1)(x ; x0 )n cuando x ! x0 k
!
k=0
nX1 f (k) (x )
0 (x ; x )k + O((x ; x )n ) cuando x ! x f (x) =
0
0
0
k=0 k!
f (x) =
;
Desarrollo limitados y calculo de lmites
Para ilustrar la utilidad del desarrollo limitado a un numero nito de terminos, consideremos el calculo de
sin2 x ; x2 cos x lim
x 0 x2 (1 ; cos)
que puede hacerse con 4 aplicaciones de la regla de l'H^opital. Sin embargo es mas simple
utilizar desarrollos limitados de numerador y denominador en en el vecindario de x = 0.
Despues de derivar 4 veces en x = 0, se obtiene:
!
sin2 x ; x2 cos x = 61 x4 + x4"(x) ("(x) ! 0)
x2(1 ; cos) = 12 x4 + x4 (x) ( (x) ! 0)
191
XI.1 Series de Taylor
de donde
1 4
1
4
6 x + x "(x) = 6 + "(x) ! 1 ::
1 x4 + x4 (x) 1 + (x) 3
2
2
Este metodo no sera mas ventajoso que la regla de l'H^opital, si fuese necesario calcular
estos desarrollos limitados derivando. Para evitar el calculo de derivadas, se puede utilizar
series (conocidas) para sin x y cos x. De esta manera obtenemos:
3
sin x = x ; x6 + x3"0 (x)
2
cos x = 1 ; x2! + x2 0 (x)
3
3
(sin x)2 = (x ; x6 ) + 2(x ; x6 )x3"0 (x) + x6"20 (x)
4
6
6
= x2 ; x3 + x36 + 2x4"0 (x) ; x3 "0 (x) + x6 "20 (x)
4
= x2 ; x3 + x3 "1 (x)
4
x2 cos x = x2 ; x2 + x4 0 (x)
sin2 x ; x2 cos x = 16 x4 + x4 "(x)
donde "0 (x) "1 "(x) 0(x) ! 0, cuando x ! 0.
sin2 x ; x2 cos x =
x2 (1 ; cos)
El resto en forma de integral
Teorema XI.1.8.- Sea f : a b] ! R n veces continuamente derivable sobre a b], n 1.
Entonces, se puede escribir el desarrollo limitado a n terminos de f en el punto x0 2 (a b)
bajo la forma
nX1 f (k) (x )
0 (x ; x )k + R (x x )
f (x) =
0
n
0
k!
;
k=0
con
1
Rn (x x0) = (n ; 1)!
Zx
x0
(x ; t)n 1 f (n) (t) dt
;
para todo x 2 a b].
Demostracion.- Induccion sobre n.
Para n = 1, como f es continua y utilizando el primer y segundo teorema
fundamental del calculo, se tiene
0
f (x) = f (x0) +
Zx
x0
f (t) dt:
0
Supongamos cierto para m con 1 m n ; 1, mostremos que el teorema es cierto para
m + 1. Por hipotesis de induccion se tiene
Zx
mX1 f (k) (x )
1
0
k
f (x) =
(XI.1.7)
(x ; x0 ) + (m ; 1)! (x ; t)m 1f (m) (t) dt:
k
!
x0
k=0
;
;
192
XI Series de Taylor
Como f (m) es continuamente derivable, tambien lo es (x ; t)m 1, se puede integrar por
partes, de donde
Zx
Zx
1
1
m
1
(
m
)
m
(
m
)
x
(x ; t) f (t) dt = ; m (x ; t) f (t)jx0 + m (x ; t)m f (m+1)(t) dt
x0
x0
;
;
remplazando en (XI.1.7), se obtiene
f (x) =
m f (k) (x )
X
0
k=0
k!
(x ; x0)k + 1
Zx
m (m+1) (t) dt:
m! x0 (x ; t) f
Para decidir si una f dada admite, en un punto x0, un desarrollo de Taylor o para
un desarrollo limitado, el calculo de las f (k)(x0 ) no es siempre el medio mas simple. En
la medida de lo posible intentar utilizar desarrollos ya conocidos yP
propiedades de series
de potencias, por ejemplo integrando o derivando bajo el smbolo .
Ejemplos
5.- Serie para log(1 + x) integrando la serie pde 1=(1 + x),
serie para arcsin x integrando la serie 1= 1 ; x2 .
+3
6.- Serie para (1 + 34xx)(1
por fracciones simples.
; 2x)
+ x) , multiplicar 2 series por 1 y por log(1 + x).
7.- Serie para log(1
1+x
1+x
2
8.- Serie para (arcsin x) , en lugar de multiplicar la serie de arcsin x por si misma,
utilizar el hecho que
(1 ; x2 )y (x) ; xy = 2
si y(x) = (arcsin x)2.
00
0
XI.2 Ejercicios
1.- Calcular
lim
x +
!
1
x3
log(1 + x) ; log x ; 2x 2+ 1 :
2.- Para x ! +1, >cual de las tres funciones
p
f (x) = x 1 exp( x)
g(x) = x2 exp((log x)1=2)
h(x) = x exp((log x)2 )
;
193
XI.2 Ejercicios
crece la mas rapidamente, la mas lentamente?
Coloquelas en relacion utilizando los sbolos o y O.
3.- Desarrollar las funciones siguientes en serie de Taylor en el punto x = 0, precisando
cada vez las condiciones de valides del desarrollo:
+3
a)
f1(x) = (1 ; 24xx)(1
+ 3x) b)
f2(x) = e2x x2 c)
f3(x) = log1(1++x x) d)
f4(x) = (arcsin x)2 :
Indicacion.- Para f4 , observar que
(1 ; x2)f4 (x) ; xf4(x) = 2:
;
00
0
4.- Formula de Stirling. Demostrar que
n!
= 1:
2nnn e n
Indicacion.- Para mostrar la existencia de este lmite, se considera la sucesion
un = log((n)), donde
(n) = n+1n=!2 n n
e
y se demuestra que para n 2,
un 1 > un > 23 (1 ; log(3=2))
R
para la desigualdad de la derecha, se compara 3n=2 log t dt con la suma de los
trapecios:
nlim
!1
p
;
;
;
y
y=log x
k-1/2 k
k+1/2
x
Para ver que este lmite vale 1, se aplica la formula de Wallis, vista en el captulo
de Integracion, a
(2n) :
2(n)
194
XI Series de Taylor
5.- Desarrollar x3 + 3x2 + 4x + 5 en serie de Taylor en el vecindario del punto x = 0, y
del punto x = 1.
6.- Se considera f : R ! R ,
( 1=x2
si x 6= 0
f (x) = e
0 si x = 0
Mostrar que f (k) = 0 para todo k 0.
7.- Demostrar que
tan x 1=x2
lim x
= e1=3:
x 0
;
!
8.- >De cuantas maneras se puede pagar una cuenta de 10 Bs, utilizando monedas de
10, 50 centavos y 1 Bs?
Indicacion.-Tomar como unidad 10 centavos y mostrar que si se desarrolla la funcion
1
(1 ; x)(1 ; x5 )(1 ; x1 0)
en serie de potencias
P a xn en el vecindario de x = 0, entonces
n
n=0
1
an = #f(a b c) 2 N 3 ja + 5b + 10c = ng:
Captulo XII
Funciones de Varias Variables Reales
XII.1 Espacios Reales Finito Dimensionales
Rn
es el espacio vectorial de los vectores
x = (x1 x2 : : : xn ) xi 2 R (i = 1 : : : n)
con la adicion vectorial:
x + y = (x1 + y1 x2 + y2 : : : xn + yn ) si x = (x1 : : : xn) e y = (y1 : : : yn)
y la multiplacion escalar
x = (x1 x2 : : : xn) 2 R y x = (x1 x2 : : : xn):
El numero real xi se llama la i-sima componente de x.
Se considera el espacio euclidiano R n , que no es nada mas que el espacio vectorial R n
provisto del producto escalar
n
X
hx y i =
xk yk y la norma
k=1
v
u
n
X
u
t
x2i :
kxk = hx xi =
p
k=1
Proposicion XII.1.1.- Se tiene:
i)
ii)
iii)
iv)
kxk 2 R , 8x 2 R n .
kxk 0 8x 2 R n y kxk = 0 ()
kxk = jj kxk.
kx + y k kxk + ky k.
Demostracion.- Ejercicio.
x = 0.
196
XII Funciones de Varias Variables Reales
Remarca.- Para n 3, kxk es la \distancia" del punto (x1 : : : xn ) al origen (0 : : : 0).
kx ; y k
es la distancia del punto (x1 : : : xn ) al punto (y1 : : : yn).
Bolas en R n
Denicion XII.1.2.- Dados x 2 R n y r 2 R , r > 0, el conjunto
B (x r) = fy 2 R n j kx ; yk < rg
se llama bola abierta de centro x y radio r.
Denicion XII.1.3.- La bola cerrada de centro x 2 R n y radio r 0, es el conjunto
B (x r) = fy 2 R n j kx ; yk rg:
Sucesiones y Lmites en R n
Denicion XII.1.4.- Una sucesion de R n es una aplicacion
a : N ! Rn :
Bajo la notacion tradicional, la sucesion a es:
fa(j ) = (aj 1 aj 2 : : : ajn ) 2 R n jj
= 1 2 : : :g:
En lugar de considerar una sucesion de R n , como una aplicacion N ! R n , se puede
considerar como n aplicaciones fi : N ! R (i = 1 2 : : : n) como sigue:
fi (aj ) = aji :
Por lo tanto, se tiene la relacion siguiente entre a y los fi , remarcando que aji = pi (a(j )),
donde
pi : R n ;! R
(x1 : : : xn) 7! xi
es la proyeccion sobre la i-sima componente, de donde
fi = pi a (i = 1 : : : n):
Denicion XII.1.5.- La sucesion a : N ! R n admite el lmite l 2 R , si 8 > 0, 9N 2 N
tal que
es decir
m N ) ka(m) ; lk < X
n
((pi a)(m) ; li )2
!1=2
< i=1
donde l = (l1 l2 : : : ln) y pi : R n ! R es la proyeccion sobre la i-sima componente.
Proposicion XII.1.6.- El lmite de una sucesion de R n es unico, si es que existe.
197
XII.1 Espacios Reales Finito Dimensionales
Demostracion.- Ejercicio.
Proposicion XII.1.7.- Una sucesion convergente de R n es acotada.
Demostracion.- Sea l 2 R n el lmite de la sucesion a : N ! R n . Sea = 1, por
consiguiente existe M 2 N tal que
m M ) kam ; lk < 1
aplicando la desigualdad triangular, se obtiene para m M
kam k < klk + 1
Denotando C = m=1max
::: M
fkam k klk + 1g,
1
;
Proposicion XII.1.8.- Una sucesion a : N
se tiene que la sucesion es acotada.
! Rn
converge si y solamente si cada una
de las sucesiones pi a : N ! R converge.
Demostracion.- Supongamos que a converge, entonces 8 > 0, 9M tal que
m M ) ka(m) ; lk =
X
n
i=1
(pi a(m) ; li )2
!1=2
< :
Ahora bien, se tiene
n
X
i=1
(pi a(m) ; li )2 <
(pi a(m) ; li )2 para i = 1 : : : n
de donde, tomando Mi = M para cada i = 1 : : : n la sucesion pi a es convergente.
Supongamos que cada sucesion pi a es convergente con li como lmite. Entonces
8 > 0 y 8i = 1 : : : n, 9Mi 2 N tal que
m Mi ) jpi a ; li j < p1 n
de donde tomando M = i=1
max
M y utilizando la desigualdad de Cauchy Scharwz, se
::: n i
tiene
m M ) kam ; lk < con l = (l1 : : : ln).
Corolario XII.1.9.- Toda subsucesion de una sucesion convergente de R n es convergente
y converge hacia el mismo lmite.
Criterio de Convergencia de Cauchy
Denicion XII.1.10.- Una sucesion a : N ! Rn es una sucesion de Cauchy, si 8 > 0,
9M 2 N
tal que
m2 m1 M ) ka(m2 ) ; a(m1 )k < :
198
XII Funciones de Varias Variables Reales
Proposicion XII.1.11.- Una sucesion de R n es convergente, si y solamente si es de
Cauchy.
Demostracion.- La condicion es necesaria. En efecto, supongamos que a : N ! R n sea
convergente con lmite l 2 R n . Sea > 0, entonces existe M 2 N tal que
m M ) ka(m) ; lk < 2 con la desigualdad del triangulo, se tiene si m1 m2 M
ka(m1 ) ; a(m2 )k ka(m1 ) ; lk + ka(m2 ) ; lk <
:
La condicion es suciente. Sea a : N ! R n sucesion de Cauchy. Ahora bien, si a es
Cauchy, entonces cada sucesion pi a es una sucesion de Cauchy, por que
ka(m1 ) ; a(m2 )k j(pi a)(m1 ) ; (pi a)(m2 )j :
Sabemos que una sucesion de Cauchy en R es convergente, de donde cada sucesion pi a
es converge, por lo tanto a tambien es convergente.
Conjuntos abiertos, Conjuntos cerrados
Denicion XII.1.12.- A R n es abierto, si 8x 2 A, 9r > 0 tal que B (x r) A.
Denicion XII.1.13.- E R n es cerrado, si cada sucesion a : N ! E de E que converge
tiene su lmite en E .
Denicion XII.1.14.- Sean x 2 R n y A R n . Se dice que x es un punto de acumulacion
de AR, si 8r > 0
(B (x r) ; fxg) \ A 6= es decir, si cada bola abierta centrada en x contiene al menos un y 2 A diferente a x.
Denicion XII.1.15.- Sea A R n . La adherencia de A, denotada por A, es el conjunto
de todos los puntos de R n que son lmite de una sucesion de A.
Remarca.- Se tiene A = A fpuntos de acumulacion de Ag. La demostracion es
parecida al caso n = 1. Por consiguiente
A cerrado
() fpuntos
de acumulacion de A A:
Denicion XII.1.16.- Sea A R n y x 2 A, x es un punto aislado de A, si existe r > 0
tal que
B (x r) \ A = fxg:
Denicion XII.1.17.- Sean E R n y x 2 E , x es un punto interior, si existe un r > 0
tal que
B (x r) E:
XII.1 Espacios Reales Finito Dimensionales
199
Ejemplos
1.- B (x r) es un conjunto abierto, (r > 0).
2.- B (x r) es un conjunto cerrado.
Proposicion XII.1.18.- Se tiene:
i) La union de una familia de conjuntos abiertos, es un conjunto abierto.
ii) La interseccion de una familia nita de conjuntos abiertos, es un conjunto abierto.
iii) La union de una familia nita de conjuntos cerrados, es un conjunto cerrado.
iv) La interseccion de una familia de conjuntos cerrados, es un conjunto cerrado.
Demostracion.- Similar al caso n = 1. Ejercicio.
Denicion XII.1.19.- La frontera de un conjunto A R n , denotada por Fr A es
A \ ACRn es decir, el conjunto de los puntos x 2 R n tales que cada B (x r) contiene
un punto de A y punto de ACRn .
Proposicion XII.1.20.- Se tiene
Fr A = A ; A donde A es el conjunto de los puntos interiores de A.
Demostracion.- Ejercicio.
Proposicion XII.1.21.- A R n es abierto, si y solamente ACRn es cerrado.
Demostracion.- Ejercicio.
Conjuntos Compactos
Denicion XII.1.22.- E R n es acotado, si existe r > 0 tal que E B (0 r) es decir
si kxk r, 8x 2 E .
Denicion XII.1.23.- A R n es un subconjunto compacto de R n , si toda sucesion
a : N ! A de A admite una subsucesion que converge y cuyo lmite esta en A.
Remarcas
1.- Si E es acotado en R n , la imagen de cada proyeccion pi (E ) es acotada en R , porque
kxk jxi j, si x = (x1 : : : xn ).
2.- Puede suceder que A sea cerrado en R , pero no todas sus proyecciones en R .
Teorema XII.1.24.- Sea A R n , entonces
A es compacto
()
A es cerrado y acotado:
Demostracion.- Mostremos que A compacto implica A cerrado y acotado. Para tal
efecto mostraremos la contrarecproca. Si A no es cerrado, existe una sucesion en A que
es convergente, cuyo lmite no esta en A, por lo que cualquier subsucesion de esta es
convergente y su lmite no pertenece a A, de donde A no es compacto.
A si no es acotado, 8m 2 M , existe am 2 A tal que kam k m, por lo que ninguna
subsucesion es acotada y por lo tanto no es convergente, luego A no es compacto.
200
XII Funciones de Varias Variables Reales
Mostremos la suciencia es decir, A cerrado y acotado implica A compacto.
Consideremos una sucesion a : N ! A. Como A es acotada la sucesion a tambien es
acotada, por lo que
p1 a : N ! p1 (A) R por la remarca 1 precedente es acotada. Sabemos que de toda sucesion acotada de R
se puede extraer una subsucesion monotona (y convergente), por lo tanto convergente.
Digamos que la subsucesion en cuestion es
(p1 A)jA 1 con A 1 subconjunto innito de N .
Ahora bien, consideramos la subsucesion ajA 1 de a y luego la proyectamos con p2 .
Utilizando el mismo argumento, existe una subsucesion de (p2 A)jA 1 , digamos
(p2 A)jA 2 con A 2 A 1 subconjunto innito de N , que es convergente.
De esta manera, se puede construir una coleccion de subconjuntos innitos de N
A n A n;1 A 1 N
con (pk a)jA k convergente, k = 1 : : : n. En particular las subsucesiones
(pk a)jA n : A n N
!R
son convergentes, de donde la subsucesion aA n es convergente. Como A es cerrado el
lmite de aA n esta en A. Por consiguiente A es compacto.
Conjuntos Conexos
Denicion XII.1.25.- A R n es no conexo, si existe U V
1) A U V:
2) A \ U 6= y A \ V =
6 .
3) A \ U \ V = .
Rn
abiertos tales que:
XII.2 Aplicaciones en varias variables
Sea A R n , una aplicacion f : A ! R m hace corresponder a cada x = (x1 x2 : : : xn ) 2
A un unico y = (y1 : : : ym) 2 R m , se denota
f (x) = y = (y1 y2 : : : ym):
201
XII.2 Aplicaciones en varias variables
Por otro lado pk f (x) = pk (f (x)) = pk (y) = yk . Planteando fk : A ! R como fk = pk f ,
se tiene
f (x) = (f1(x) : : : fm(x)):
1.- Consideremos la funcion
f : R2 ! R
(x ) 7! x2 + y2:
En lugar de expresar f como mas arriba, es usual escribir
z = x2 + y2:
De esta funcion se puede estudiar las curvas de nivel, que son los conjuntos
f(x y )jx2 + y 2
= cg
con c 0 dado las curvas de nivel en este caso son circunferencias centradas en el
origen. Por otro lado, las secciones cortadas por planos verticales que pasan por el
eje 0z son parabolas.
2.- La f : R ! R 2 , dada por f (t) = (cos t sin t), 8t 2 R es la parametrizacion o ecuacion
parametrica de una circunferencia de radio 1 y centro 0.
Lmites de Funciones
Denicion XII.2.1.- Sean A Rn , a un punto de acumulacion de A y F : A ! R m .
Se dice que F admite un lmite en el punto a, si existe l 2 R m tal que 8 > 0, 9 > 0 tal
que
(0 < kx ; ak < y x 2 A) ) kF (x) ; lk < :
Si F admite como lmite l en el punto a, se escribe
xlima F (x) = a
!
las otras notaciones tambien son validas.
Proposicion XII.2.2.- Sean A R n y f : A ! R m , a un punto de acumulacion de A.
Entonces f admite el lmite l 2 R m en el punto a, si y solamente fi admite en el punto
a el lmite pi (l), para i = 1 : : : m.
Demostracion.- Ejercicio. (Semejante a la demostracion de la proposicion analoga para
sucesiones.
Proposicion XII.2.3.- xlima F (x) es unico, si existe.
Demostracion.- Ejercicio.
!
Continuidad
Denicion XII.2.4.- Sean a 2 A R n y f : A ! R m . Se dice que f es continua en el
punto a, si 8 > 0, 9 > 0 tal que
(kx ; ak < y x 2 A) ) kf (x) ; f (a)k < :
202
XII Funciones de Varias Variables Reales
Demostracion.- Un a 2 A es, sea un punto aislado, sea un punto de acumulacion. La
denicion implica, que en un punto aislado, f es necesariamente continua. En cambio,
en un punto de acumulacion, f continua es equivalente a
f (x) ! f (a) cuando x ! a:
Para no deber considerar separadamente los puntos aislados, es a menudo comodo
restringirse a conjuntos abiertos A.
Proposicion XII.2.5.- Sean a 2 A R n y f : A ! R m , entonces f es continua en el
punto a si y solamente si cada fi = pi f (i = 1 : : : m) lo es.
Demostracion.- Ejercicio.
Proposicion XII.2.6.- Sean a 2 A R n , f : A ! R m . Entonces f es continua en el
punto a, si y solamente si f (xk ) ! f (a) para todo sucesion (xk ) de A tal que xk ! a.
Demostracion.- Ejercicio.
Teorema XII.2.7.- Sean A R n compacto, y f : A ! R m continua sobre A, entonces
f (A) es compacto.
Demostracion.- Ejercicio.
Corolario XII.2.8.- Una funcion f : A ! R continua sobre un conjunto compacto
A R n admite un maximo y un mnimo.
Demostracion.- Por el teorema, f (A) es compacto, por consiguiente f (A) es acotado y
cerrado. Denotemos
M = sup f (x)
x A
2
m = xinfA f (x):
2
Por la denicion de sup, se tiene M 2 f (A), ya que 8 > 0, 9x 2 f (A) tal que
0M ;x< :
Ahora bien, f (A) = f (A), por lo tanto M
f (b) = M . Lo mismo para m.
2
f (A), y por lo tanto existe b 2 A tal que
Remarca.- La continuidad de una funcion f : A ! R m , donde A R n con n 2 es una
propiedad mas fuerte que su continuidad respecto a cada una de las n variables, cuando
las n ; 1 otras variables son jas. Para verlo, consideremos f : R 2 ! R dada por
8 2xy
< 2 2 si (x y) 6= (0 0)
f (x y) = : x + y
0 si (x y) = (0 0)
f es continua en x, cualquiera sea y 2 R jo y en y, cualquiera sea x jo pero en tanto
que funcion de 2 variables f es discontinua en el origen.
203
XII.3 Ejercicios
En efecto. Fijemos y = y0 , si y0 6= 0, se tiene
g(x) = f (x y0) = 22xy0 2
x + y0
es continua 8x 2 R . Y si se ja y = y0 = 0, se tiene f (x) = 0, por lo tanto continua para
todo x. Lo mismo si se ja x.
Ahora bien, f (x y) es discontinua en (0 0). Par verlo, planteamos
x = r cos '
y = r sin '
con r 0 y 0 ' 2. Se tiende a (0 0) a lo largo de una recta que pasa por este
punto. Se tiene
(
sin 2' si r > 0
f (x y) =
0 si r = 0:
Se ve si (x y) ! 0 a lo largo de la recta de pendiente tan '0 , entonces f (x y) ! sin 2'0 ,
lo que no es independiente de '0 .
Continuidad Uniforme
Denicion XII.2.9.- Sea f : A ! R m , con A R n . Se dice que f es uniformemente
continua sobre A, si 8 > 0, 9 > 0 tal que
kx ; x0 k < y x x
0
2 A ) kf (x) ; f (x0 )k <
:
Teorema XII.2.10.- Si A R n es compacto y f : A ! R m es continua, entonces f es
uniformemente continua sobre A.
Demostracion.- Ejercicio.
XII.3 Ejercicios
1.- Sean E R n y E el conjunto de los puntos de acumulacion. Mostrar que E es un
subconjunto cerrado de R n .
2.- Mostrar que la proyeccion
pi : R n ! R
(x1 : : : xn) 7! xi
de un subconjunto cerrado de R n no es necesariamente cerrado.
Indicacion.- Para n = 2 y el conjunto f(x y) 2 R 2 j0 < x 1 y = 1=xg.
0
0
204
XII Funciones de Varias Variables Reales
3.- Utilizando la desigualdad de Cauchy vista en los ejercicios del captulo VII, mostrar
la desigualdad del triangulo para la norma euclidiana en R n :
kx + y k kxk + ky k :
4.- Mostrar que una bola abierta, respectivamente cerrada, de R n es un subconjunto
abierto, respectivamente cerrado, de R n .
5.- >Son continuas las siguientes funciones?
8 sin(xy)
>
<
si x 6= 0
h(x y) = > x
: y si x = 0
8 x2 + y 3
>
< 2 2 si (x y) 6= (0 0)
k(x y) = > x + y
: 0 si (x y) = (0 0)
8 xy(x2 ; y2
>
< 2 2 si (x y) 6= (0 0)
l(x y) = > x + y
: 0 si (x y) = (0 0):
6.- Se dene g(x y) para (x y) 2 R 2 , x 6= y, por
sin y :
g(x y) = sin xx ;
;y
>Como se debe denir g(x x) de manera que la aplicacion g : R 2 ! R obtenida as
sea continua en todo lado?
Captulo XIII
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
XIII.1 Terminologa Basica
Una ecuacion diferencial es una ecuacion en la que aparecen una funcion incognita y y
ciertas de sus derivadas. Por ejemplo
y = f (x):
0
Problemas
1.- Encontrar una, todas las y con esta propiedad.
2.- >Existe soluciones?, >se las puede explicitar?
Si la funcion incognita y es una funcion de una variable, se habla de ecuacion diferencial
ordinaria. Si la funcion incognita es funcion de varias variables, se habla de ecuacion
diferencial a derivadas parciales.
Denicion XIII.1.1.- El orden de una ecuacion diferencial, es el orden de derivacion
mas elevado de la funcion incognita que aparece en la ecuacion diferencial.
Ejemplos
1.- Para n = 1, la ecuacion y = f (x), donde f (x) es una funcion conocida es una
ecuacion diferencial que por cierto, ya resuelta en Calculo I. La solucion se la conoce
con el nombre de primitiva o integral indenida. Por consiguiente,
0
Z
y(x) = f (x) dx:
Las ecuaciones algebraicas f (x y) = 0 son ecuaciones diferenciales de orden 0.
y + y = 0, es de orden 2.
(y )3 = y2 es de orden 1 o primer orden.
y + y y = 1 es de orden 2.
Denicion XIII.1.2.- Una ecuacion explcita de orden n, es una ecuacion diferencial
de orden n de la forma
y(n) = f (x y y : : : y(n 1))
(XIII.1.1)
2.3.4.5.-
00
0
00
0
0
;
206
XIII Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
donde f es una funcion continua.
Soluciones de una Ecuacion Diferencial Ordinaria
Consideramos la ecuacion diferencial (ordinaria y explcita)
y(n) = f (x y y : : : y(n 1))
donde f : A R n+1 ! R es continua.
Una solucion o solucion particular de esta ecuacion diferencial es una funcion
' : I ! R , con I R intervalo, n veces derivable, tal que
'(n) (x) = f (x '(x) ' (x) : : : '(n 1) (x)) 2 A 8x 2 I:
La solucion general de una ecuacion diferencial es el conjunto de sus soluciones
particulares.
0
0
;
;
Remarcas
1.- Si bien, la solucion general de una ecuacion diferencial es un conjunto de funciones,
es costumbre denotar la solucion general bajo la forma de una funcion que depende
de un parametro o constante.
2.- La ecuacion diferencial puede ser dada en forma explcita, sin que se pueda hacer lo
mismo para sus soluciones. Por ejemplo
;2(y + 2)2
y =
((y + 2)2 ; (x ; 1))2
cuyas soluciones estan dadas por
2 + C C 2 R log(y + 2) = 2 arctan xy +
;1
y no puede ser expresado como composicion de funciones elementales es decir, las
funciones estudiadas en los captulos precedentes.
0
Problemas Diferenciales
En general, las ecuaciones diferenciales estan ligadas a ciertas condiciones impuestas:
Denicion XIII.1.3.- Un problema diferencial a valor inicial o problema diferencial
de Cauchy es darse una ecuacion diferencial de orden n
y(n) = f (x y y : : : y(n 1))
y los valores iniciales (x0 y0 y1 : : : yn 1) 2 R n+1 buscando una solucion ' de la
ecuacion diferencial propuesta, tal que
'(x0 ) = y0
' (x0) = y1
..
.
(
n
1)
'
(x0) = yn 1 :
0
;
;
0
;
;
207
XIII.2 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Remarca.- Los problemas diferenciales a valores iniciales son muy importantes, pues
una vasta cantidad de problemas en mecanica, qumica y otras ciencias son problemas
a valores iniciales. Por otro lado, en Analisis Numerico, los metodos de solucion de
ecuaciones diferenciales comtemplan este tipo de problema. Por lo tanto, es importante
responder a: >Dada una ecuacion diferencial, se puede resolver un problema de Cauchy
para esta ecuacion?, >la solucion de este problema de Cauchy es unica?
Los problemas diferenciales a valor inicial no son los unicos problemas diferenciales,
existen problemas diferenciales mas generales, conocidos como problemas diferenciales
con valores en la frontera o valores en los bordes.
XIII.2 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Estudiaremos los metodos de resolucion de las ecuaciones de primer orden bajo la forma
explcita, mas usuales.
Ecuaciones Lineales
Denicion XIII.2.1.- Una ecuacion diferencial de primer orden lineal es una ecuacion
del tipo
y = a(x)y + b(x)
(L)
donde a b : I ! R continua e I R intervalo.
Convencion.- Para no rescribir cada vez, utilizaremos (L) para referirnos a una ecuacion
diferencial lineal (de primer orden).
Denicion XIII.2.2.- Se dira que una ecuacion diferencial lineal de primer orden es
homogenea, si b(x) = 0 8x 2 I en (L). Es decir
y = a(x)y:
(LH)
0
0
Solucion de una ecuacion lineal homogenea
Teorema XIII.2.3.- La solucion general de la ecuacion lineal homogenea de primer
orden
y = a(x)y
(LH)
con a : I ! R es continua, esta dada por
y(x) = CeA(x)
(XIII.2.1)
donde A(x) es una primitiva de a es decir, A (x) = a(x).
Demostracion.- Primero mostremos que, toda funcion de la forma CeA(x) es solucion
en efecto, derivando obtenemos
0
0
CeA(x)
0
A(x) =C e
0
= CeA(x) A (x) = CeA(x) a(x) = a(x)
0
CeA(x)
:
208
XIII Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Ahora mostremos que toda solucion '(x) de (LH) es de la forma CeA(x) , donde A es una
primitiva de a. En efecto, si ' es solucion, consideremos
(x) = 'A((xx)) e
derivemos , lo cual conduce a
(x) = ' (x)e
0
0
A(x) ; '(x)(eA(x) )
a(x)'(x)eA(x) ; '(x)eA(x) A (x) = 0:
=
(eA(x) )2
(eA(x) )2
0
0
Como (x) = 0 para todo x 2 I , se deduce que (x) = C .
0
Remarcas
1.- La hipotesis del teorema precedente que a(x) es continua, asegura la existencia de
una primitiva A(x). En efecto, el primer teorema fundamental del Calculo Integral
lo asegura.
2.- Por el primer teorema fundamental del calculo, la existencia de A(x) esta asegurada,
lo que no signica que A(x) pueda expresarse como la composicion de funciones
elementales. Por ejemplo,
Zx 2
A(x) = et dt
0
es primitiva de ex , pero es imposible expresar A(x) como la composicion de funciones
elementales.
Corolario XIII.2.4.- Las soluciones particulares de una ecuacion diferencial ordinaria
lineal homogenea de primer orden forman un espacio vectorial real de dimension 1.
Demostracion.- En el curso de Algebra Lineal, se vio que el conjunto de las funciones
f : I ! R , denotado por I R es un espacio vectorial para:
2
(f + g)(x) = f (x) + g(x)
(f )(x) = f (x) 2 R
Para mostrar que la solucion general de (LH) es un subespacio vectorial, se debe vericar
que existe al menos una solucion de (LH), lo que es cierto porque '(x) = 0, 8x 2 I es
solucion. Luego, dadas dos soluciones ' y de (LH), entonces cualquier combinacion
lineal de las dos soluciones es solucion de (LH) es decir
'
soluciones ) ' + solucion 8 2 R :
En efecto,
(' + ) (x) = ' (x) + (x)
= (a(x)'(x)) + (a(x) (x))
= a(x)('(x) + (x)) = a(x)(' + (x)):
0
0
0
XIII.2 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
209
Por el teorema precedente eA(x) genera la solucion general o subespacio vectorial de
soluciones particulares de (LH), lo que muestra que la dimension es 1.
Corolario XIII.2.5.- Un problema de Cauchy, para una ecuacion lineal de primer orden
homogenea, y = a(x)y y (x0 y0) 2 R 2 , admite siempre una solucion unica.
Demostracion.- Mostraremos que el problema diferencial
y = a(x)y
y(x0) = y0
0
tiene solucion unica. En efecto, sea A(x) una primitiva de a(x). (XIII.2.1) indica que
toda solucion de (LH) es de la forma
y(x) = CeA(x) :
En particular, para el problema a valor inicial se tiene
y0 = CeA(x0 ) obteniendo de manera unica
C = Ay(0x0 ) :
e
Ejemplos
1.- La solucion general de y = cos(x)y, es
0
y(x) = Cesin x porque sin x = cos x.
2.- La solucion general de y = ay, con a 2 R , es
0
0
y(x) = Ceax :
3.- La solucion del problema y = a(x)y, y(x0) = 0 es
0
y(x) = 0:
Solucion de una ecuacion lineal (no homogenea)
Consideremos la ecuacion lineal de primer orden
y = a(x)y + b(x)
0
(L)
210
XIII Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
donde a(x) y b(x) son funciones continuas denidas sobre un intervalo I . Como ya hemos
visto el caso (LH), supongamos que b(x) no es identicamente nula. A la ecuacion (L), le
asociamos
y = a(x)y:
(LH)
0
Proposicion XIII.2.6.- Sea una solucion particular de (L) y ' cualquier solucion de
(LH), entonces
+'
es una solucion de (L).
Demostracion.- En efecto
(' + ) (x) = ' (x) + (x)
= a(x)'(x) + (a(x) (x) + b(x))
= a(x)(' + )(x) + b(x):
0
0
Proposicion XIII.2.7.- Sea
0
una solucion particular de (L), entonces cualquier
solucion de (L) es de la forma
+ '
donde ' es solucion de (LH).
Demostracion.- Sea una solucion de (L), suciente ver que
En efecto
(
; )0 (x) =
; es solucion de (LH).
(x) ; (x)
= (a(x) (x) + b(x)) ; (a(x)(x) + b(x))
= a(x)( (x) ; (x)):
0
0
Por lo tanto, para conocer la solucion general de (L), es suciente conocer una solucion
particular de (L) y la solucion general de (LH), algo que ya sabemos hacer. Este resultado
lo expresamos, mediante la siguiente regla memotecnica.
Solucion general de (L) = Solucion general de (LH) + Una solucion particular de (L)
Proposicion XIII.2.8.- El problema a valor inicial
y = a(x)y + b(x)
y(x0) = y0
0
tiene solucion unica.
Demostracion.- Ejercicio.
XIII.2 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
211
Determinacion de una solucion particular de (L)
La determinacion de la solucion general de una ecuacion linea de primer orden pasa:
por la determinacion de la solucion general de la ecuacion lineal homogenea asociada
a la ecuacion en cuesti'on (algo que ya sabemos hacer) y por la determinacion de una
solucion particular.
Ahora bien, podemos determinar una solucion particular mediante:
i.- Al tanteo. Este procedimiento es producto de la experiencia y la genialidad de la
persona que lo utiliza sin embargo, en algunos casos se puede encontrar la solucion,
sobre todo, cuando b(x) la parte no homogenea de (L) es un polinomio, una funcion
sin o cos y cuando es exponencial.
Ejemplos
4.- Consideremos la ecuacion y = y + x2 . En este ejemplo b(x) = x2 y planteamos
como solucion particular y(x) = + x + x2 un polinomio del mismo grado
que b(x). Remplazando en la ecuacion obtenemos
0
+ 2x = + x + x2 + x2 de donde, planteando las respectivas ecuaciones, obtenemos = ;1, = ;2 y
= ;2. Por lo tanto
y(x) = ;2 ; 2x ; x2
es la solucion particular buscada.
5.- Consideremos la ecuacion y = y + cos 2x. Podemos intentar con una solucion
de la forma y(x) = cos 2x + sin 2x. Remplazando obtenemos
;2 sin 2x + 2 cos 2x = cos 2x + sin 2x + cos 2x
resolviendo las ecuaciones algebraicas que se deducen, se obtiene
y(x) = ; 15 cos 2x + 52 sin 2x
como solucion particular.
6.- Consideremos la ecuacion y = 2y + ex , la solucion particular que estamos
buscando, puede ser de la forma y(x) = ex . Remplazando obtenemos
ex = 2ex + ex de donde = ;1 y la solucion particular es
y(x) = ;ex :
0
0
ii) Variacion de Constantes. Cuando no es posible adivinar las soluciones particulares, se tiene el metodo de variacion de constantes. Sabiendo que la solucion general
de (LH) es y(x) = CeA(x) , donde A(x) es una primitiva de a(x), la idea del metodo
es plantear como solucion particular de (L)
y(x) = c(x)eA(x)
(XIII.2.2)
212
XIII Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
donde c(x) depende de x. Remplazando en la ecuacion (L), se obtiene
c (x)eA(x) + c(x)eA(x) a(x) = a(x)c(x)eA(x) + b(x)
0
de donde
c (x) = b(x)e A(x) :
c(x) se obtiene de c (x) por integracion.
Ejemplo
0
;
(XIII.2.3)
0
7.- Consideremos la ecuacion diferencial
y = y + ex 0
la solucion general de la ecuacion lineal homogenea asociada es
y(x) = Cex :
Planteando la solucion particular buscada como y(x) = c(x)ex , variacion de
constantes da
c (x) = ex e x = 1
de donde c(x) = x y la solucion particular sera y(x) = xex . La solucion general
0
;
y(x) = Cex + xex :
Remarca Variacion de constantes es un metodo que nunca falla,
Ecuaciones de Tipo Bernouilli
Son ecuaciones diferenciales de primer orden de la forma
y = a(x)y + b(x)y
0
(B)
con a 6= 0 y a b funciones continuas.
Remarcas
1.- La expresion y, con 2 R , esta denida por
y = e log y (XIII.2.4)
por consiguiente, tendra sentido cuando y > 0. Cuando es entero o racional y puede
tener un dominio de denicion mayor, por lo que debe tratarse de acuerdo al caso.
2.- En la ecuacion de tipo Bernouilli, debera suponerse b(x) es no identicamente nulas,
porque sino estaramos en el caso de las ecuaciones lineales de primer orden ya vistas.
3.- En la ecuacion de tipo Bernouilli, debera tambien suponerse que 6= 0 y 6= 1,
caso contrario estaramos en el caso linal ya visto.
Con las remarcas hechas, supongamos que (x) es una solucion de (B ), planteamos
'(x) = ( (x))1 :
;
(XIII.2.5)
213
XIII.2 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Derivando ', se obtiene
' (x) = (1 ; )( (x)) (x):
Como es solucion de (B), se tiene
0
;
0
' (x) = (1 ; )( (x)) (a(x) (x) + b(x)( (x)))
= (1 ; )a(x)( (x))1 + (1 ; )b(x)
= (1 ; )a(x)'(x) + (1 ; )b(x):
0
;
;
Hemos mostrado el:
Teorema XIII.2.9.- Sean ' y dos funciones, si
'(x) = ( (x))1 2 R 6= 0 1
;
entonces es solucion de la ecuacion de tipo Bernouilli
y = a(x)y + b(x)y
(B)
0
con a b continuas y no identicamente nulas, si y solamente si ' es solucion de la ecuacion
lineal de primer orden
z = (1 ; )a(x)z + (1 ; )b(x):
(L)
0
Regla Memotecnica.- Cada vez que se encuentre una ecuacion de tipo Bernouilli,
introducir la variable z = y1 .
;
Ejemplo
8.- Determinemos la solucion general de la ecuacion diferencial
y = y + y2:
0
Planteamos z = y1 2 = 1=y, de donde zy = 1. Derivando, so obtiene z y + y z,
multiplicando la ecuacion por z, se tiene
;
0
zy = zy + zy2 0
remplazando, se obtiene
;z 0 y
= 1 + y
dividiendo por y, obtenemos la ecuacion lineal para z
z = ;z ; 1
0
la solucion general para esta ultima ecuacion es
z(x) = Ce x ; 1
;
0
214
XIII Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
y por consiguiente la solucion general para la ecuacion de Bernouilli es
1 y ( x) =
Ce x + 1
teniendo cuidado que el denominador no se anule.
Corolario XIII.2.10.- Un problema diferencial a valor inicial para una ecuacion de tipo
Bernouilli
y = a(x)y + b(x)y
y(x0) = y0
tiene solucion unica, si esta existe.
Demostracion.- Ejercicio.
;
0
Ecuaciones Separables
Las ecuaciones diferenciales separables, son ecuaciones diferenciales de primer orden, que
pueden escribirse como
y = fg((yx)) (S)
0
con f y g funciones continuas y g(y) 6= 0.
Antes de determinar y estudiar las soluciones de la ecuacion (S), analizemos f y
sobre todo g. Como f y g son funciones continuas, por el primer teorema fundamental
del Calculo Integral, ambas admiten primitivas, que las denotamos por F (x) y G(y)
respectivamente. Por la denicion de primitiva, se tiene
F (x) = f (x) G (y) = g(y):
0
0
Por otro lado, como g es continua y por hipotesis g(y) 6= 0, se tiene, sea g(y) > 0, o sea
g(y) < 0. Por consiguiente, si g(y) > 0, se tiene que G(y) es estrictamente creciente, y
por lo tanto G(y) es inyectiva y continua. En el otro caso, si g(y) < 0, se tiene que G(y)
es estrictamente decreciente, y por lo tanto G(y) es inyectiva y continua.
Ahora bien, una funcion que es continua e inyectiva, admite una inversa que es
continua en nuestro analisis la inversa de G, la denotaremos por G 1 , de donde
;
G 1 (G(y)) = y
;
8y:
Supongamos que '(x) sea una solucion de (S), se tiene por consiguiente
g('(x))' (x) = f (x)
0
con g('(x)) 6= 0. La regla de la cadena, da
(G('(x)) = (F (x)) 0
de donde
0
G('(x)) = F (x) + C
'(x) = G 1 (F (x) + C ):
;
215
XIII.2 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Acabamos de mostrar el:
Teorema XIII.2.11.- Sea la ecuacion de primer orden separable
y = fg((yx)) (S)
0
con f g continuas y g(y) 6= 0 para todo y entonces la solucion general de (S) esta dada
por
y(x) = G 1 (F (x) + C )
(XIII.2.6)
donde F y G son primitivas de f y g respectivamente y G 1 denota la funcion inversa
de G.
Regla Memotecnica.- Cuando se tiene que resolver una ecuacion separable colocar en
un lado de la ecuacion todo lo que depende de y e y , en el otro lado lo que depende de
x. Luego integrar.
;
;
0
Ejemplo
9.- Resolvamos la ecuacion
y = x(1 + y2):
Esta ecuacion es separable y tenemos
y = x
1 + y2
integrando, se obtiene
arctan y = 12 x2 + C
y = tan( 21 x2 + C ):
Corolario XIII.2.12.- Un problema diferencial de Cauchy para una ecuacion diferencial
de tipo separable, con las misma hipotesis del teorema precedente, admite una sola
solucion.
Demostracion.- Ejercicio.
0
0
Remarcas
1.- Es posible en las ecuaciones separables (S), debilitar la hipotesis sobre g(y) 6= 0. El
procedimiento de resolucion sera el mismo, pero puede suceder que la solucion que
se encuentre no contemple toda la solucion general de la ecuacion en cuestion, ni
tampoco que los problemas a valores iniciales tengan solucion unica. Este aspecto lo
veremos en la siguiente seccion.
2.- En general, la funcion G 1 no puede ser expresada como la composicion de funciones elementales, por lo que resulta mas conveniente expresar la solucion general
implcitamente es decir, dejar la solucion general como
;
G(y) = F (x) + C:
216
XIII Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Ecuaciones de tipo Homogeneo
A no confundir con las ecuaciones lineales homogeneas. Una ecuacion diferencial de tipo
homogenea, es una ecuacion diferencial de primer orden que puede escribirse como
(H)
y = f ( xy )
donde f es una funcion continua y x 6= 0.
Para resolver este tipo de ecuaciones, la substitucion que salta a la vista consiste en
plantear
z = xy :
De donde zx = y y derivando obtenemos
0
y = z x + z = f (z):
0
0
Hemos obtenido por consiguiente una nueva ecuacion diferencial dada por
z = f (z)x; z 0
que es una ecuacion de tipo separable.
Ejemplo
10.- Resolvamos la ecuacion diferencial
;2y 2
:
y 2 + x2
Esta ecuacion es de tipo homogeneo, si la escribimos de la manera siguiente
2
y = ;2(y=x) 2 1 + (y=x)
planteando z = y=x, obtenemos la ecuacion diferencial separable
y =
0
0
2
2
xz = ;2z 2 ; z = ;z 1 + 2z +2 z
1+z
1+z
0
de donde
1 + z2 z = ; 1 x
z(1 + z)2
descomponiendo en fracciones simples o parciales obtenemos
0
1
z
;
2
z = ; x1 2
(z + 1)
0
2
= ; z(z + 1)2 1+z
XIII.2 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
integrando, se tiene
217
log z + 1 +2 z = ; log x + C:
Remplazamos z = y=x y efectuamos operaciones algebraicas, obteniendo
log y ; log x + 2 y +x x = ; log x + C
de donde la solucion general, esta dada por
log y + 2 y +x x = C:
Otras Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Una forma de resolver ecuaciones diferenciales de primer orden, consiste en excluir los
diferentes tipos de ecuaciones mas precisamente lo que se hace es:
i) Vericar si es una ecuacion diferencial lineal, si lo es resolverla, sino.
ii) Vericar si es una ecuacion diferencial de tipo Bernouilli, si lo es resolverla, sino.
iii) Vericar si es una ecuacion separable, si lo es resolverla, sino.
iv) Vericar si es una ecuacion de tipo homogeneo, si lo es resolverla.
Cuando se han excluido los cuatro casos anteriores, lo que se podra hacer es: intentar una
substitucion o cambio de variable que sea lo sucientemente evidente para que la nueva
ecuacion sea mas simple. La eleccion de la substitucion correcta es fruto de la experiencia,
la madures y la genialidad de la persona que esta resolviendo. Esto se consigue con la
practica.
En el caso en que no se pudiese encontrar una substitucion o cambio de variable
que permita resolver la ecuacion se puede intentar aproximar la solucion mediante algun
metodo numerico. Los rudimentos los veremos en la siguiente seccion.
A manera de ilustracion consideremos los siguientes ejemplos.
Ejemplos
11.- La ecuacion diferencial
y = sin(x + y)
no pertenece a ninguno de los tipos de ecuaciones estudiadas mas arriba, sin embargo,
la substitucion que se ve facilmente es
0
z = x + y
con lo que la ecuacion diferencial se convierte en
z = sin z + 1
0
que es una ecuacion de tipo separable.
12.- En general las ecuaciones que se escriben bajo la forma
y = f (ax + by + c)
0
218
XIII Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
con a b c 2 R y a b 6= 0, con la substitucion z = ax + by + c, se convierte en una
ecuacion de tipo separable. >Cual es la nueva ecuacion?
13.- Ecuaciones diferenciales de primer orden, de la forma
ax + by + r
y = f cx + dy + s con ad ; bc 6= 0 y (r s) 6= 0. Este tipo de ecuaciones pueden convertirse en ecuaciones
de tipo homogeneo, mediante las substituciones
u = x ; x0
v = y ; y0
donde (x0 y0) es la interseccion de las rectas:
ax + by + r = 0
cx + dy + s = 0:
Ejercicio.- Determinar la ecuacion de tipo homogeneo que resulta de estas substituciones.
0
XIII.3 Problemas de Existencia y Unicidad
La resolucion de ecuaciones diferenciales no tienen mayor utilidad, si no van acompa~nadas
con la solucion de un problema diferencial. En esta seccion veremos la importancia de las
condiciones o hipotesis que van con los problemas diferenciales para evitar de cometer
errores absurdos.
Comenzemos ilustrando con el siguiente ejemplo, consideremos el problema diferencial a valor inicial
p
y = 3 y2
(XIII.3.1)
y(a) = 0
donde
a 2 R . Para hacer un uso mas eciente de exponentes, escribamos y2=3 en lugar
p
3 2
de y .
Recordemos en la seccion precedente, con las hipotesis dadas para cada problema
diferencial a valor inicial, la solucion era unica. Para el problema planteado deberiamos
esperar que la solucion tambien sea unica.
Resolvamos (XIII:3:1), la clasicacion de ecuaciones diferenciales, nos muestra de
manera evidente, que esta es una ecuacion de tipo separable, la resolvemos ingenuamente,
sin jarnos en las hipotesis que debe cumplir dicha ecuacion. Se tiene por lo tanto
y = 1
y2=3
3y1=3 = x + C
1 (x + C )3 y = 27
0
0
XIII.3 Problemas de Existencia y Unicidad
219
ahora introduzcamos la condicion inicial, lo que da C = ;a, por lo que la solucion
encontrada es
1 (x ; a)3:
y(x) = 27
(XIII.3.2)
La graca de esta solucion puede apreciarse en la gura XIII.1.
Figura XIII.1.- Soluciones del problema (XIII.3.1)
Por otro lado, si no hubieramos resuelto ingenuamente, una vericacion sencilla muestra
que
y(x) = 0
(XIII.3.3)
es tambien solucion del problema (XIII.3.1), con lo que evidenciamos que el problema no
tiene solucion unica. Mostraremos a continuacion que dicho problema tiene una innidad
de soluciones, en efecto, para b a
8 = 0 si x b
<
y(x) = : 1
3
27 (x ; b) si x b
es tambien solucion de (XIII.3.1). Para c a,
81
< si x c
y(x) = : 27
0 si x c
es tambien solucion de (XIII.3.1). Por ultimo, para c a b,
81
>
>
< 27 si x c
y(x) = > 0 si c x b
>
: 1 (x ; b)3 si x b
27
220
XIII Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
es tambien solucion del problema (XIII.3.1). Estas soluciones pueden apreciarse en la
gura XIII.1.
El problema (XIII.3.1) a primera vista era un problema completamente sencillo, sin
embargo acabamos de mostrar que tiene una innidad de soluciones, sin poder elegir
aquella que pueda convenirnos para satisfacer nuestros requerimientos de solucion del
problema.
Condiciones sucientes para la existencia y unicidad de soluciones
Denicion XIII.3.1.- Se dice que una funcion f : I U ! R continua, con I U
intervalos satisface una condicion de Lipschitz si para todo subintervalo compacto J de
I , existe una constante CJ > 0 tal que 8x 2 J y 8y z 2 U , se tiene
jf (x z ) ; f (x y )j CJ jz ; y j :
(I.3.4)
Ejemplos
1.- Consideremos
f (x y) = a(x)y + b(x)
donde a b son funciones continuas. f satisface una condicion de Lipschitz por que
jf (x z ) ; f (x y )j = ja(x)j jz ; y j max ja(x)j jy ; z j :
x J
2
2.- Consideremos
f (x y) = sin y
satisface una condicion de Lipschtiz en efecto, aplicando el teorema de los incrementos nitos de Lagrange, se tiene
jsin y ; sin z j = jcos j jy ; z j 1 jy ; z j :
Teorema XIII.3.2.- Supongamos que f : I U ! R continua satisface una condicion
de Lipschtiz y x0 2 I , y0 2 U , entonces el problema a valor inicial
y = f (x y)
y(x0) = y0
0
(XIII.3.4)
admite una unica solucion.
Demostracion.- Mostremos primero la unicidad. Si '1 y '2 son soluciones de (XIII.3.4),
se tiene
'1(x) = f (x '1(x)) y '2 (x) = f (x '2(x))
(XIII.3.5)
por un lado y por el otro
'1 (x0) = '2 (x0 ) = y0 :
(XIII.3.6)
obteniendo
Zx
'1 (x) ; '2 (x) = (f (t '1(t)) ; f (t '2(t))) dt
0
0
x0
221
XIII.3 Problemas de Existencia y Unicidad
pasando al valor absoluto
j'1 (x) ; '2 (x)j Zx
x0
jf (t '1 (t)) ; f (t '2(t))j
dt la condicion de Lipschitz para x 2 J , con J dado conduce
j'1 (x) ; '2 (x)j CJ
Zx
x0
j'1 (t) ; '2 (t)j
dt
(XIII.3.7)
Como '1 '2 son derivables, son por consiguientes continuas, sea
MJ = sup j'1(t) ; '2 (t)j :
t J
2
Utilizando la desigualdad (XIII.3.7), se tiene
j'1 (x) ; '2 (x)j CJ MJ jx ; x0 j 8x 2 J:
Iterando, se obtiene susesivamente 8x 2 J
j'1 (x) ; '2 (x)j MJ j'1 (x) ; '2 (x)j MJ CJ jx ; x0 j jx ; x0 j2
2
C
j'1 (x) ; '2 (x)j MJ J
..
.
j'1 (x) ; '2 (x)j MJ CJn
2
n
jx ; x0 j
n! ! 0 si n ! 1:
Por consiguiente, el problema (XIII.3.4) admite a lo mas una solucion sobre J , pero J I
es arbitrario, de donde (XIII.3.4) admite a lo mas una solucion. Remarquemos que hemos
elegido J con x0 2 J .
Ahora mostremos la existencia. Sea J I , con J compacto y x0 2 J . Denimos la
sucesion de funciones denidas sobre J por
'0 (x) = y0
Zx
'n+1 = y0 + f (t 'n(t)) dt n = 0 1 2 : : ::
x0
f'n g1
n=0
es una sucesion de funciones que verican las siguientes propiedades:
i 'n (x0 ) = y0 .
ii 'n es continua en efecto, '0 (x) es constante y en consecuencia continua, supongamos
'n continua se tiene f (t 'n(t) es continua e integrable sobre J , por lo tanto 'n+1
es tambien continua. Lo que signica que 'n es continua 8n.
222
XIII Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
iii Al igual que en la parte de unicidad, se muestra que
con
jx ; x0 jn
n
j'n+1 (x) ; 'n (x)j ACJ
n! 8x 2 J:
A = sup j'1 (t) ; '0(t)j :
t J
2
iv De donde, denotando jJ j la longitud de J , se obtiene
(CJ jJ j)n :
n!
v) La sucesion 'n converge uniformemente sobre J . En efecto, es suciente utilizar el
criterio de Cauchy para la convergencia uniforme de funciones. Sea m > n. Se tiene
j'n+1 (x) ; 'n (x)j A
j'm (x) ; 'n (x)j =
mX1
;
k=n
mX1
;
('k+1 (x) ; 'k (x))
j'k+1 (x) ; 'k (x)j
k =n
mX1 (C jJ j)n
J
A
n! ! 0 si n ! 1:
k=n
;
Denotemos por ' la funcion lmite de la sucesion 'n . Se tiene
'(x0) = nlim 'n (x0) = y0 :
!1
La convergencia es uniforme sobre cada J , de donde ' es continua. Ademas
lim f (t 'n(t)) = f (t '(t))
n
!1
uniformemente sobre todo J compacto, a causa de la condicion de Lipschtiz impuesta a
f.
Por lo tanto
'(x) = lim
' (x)
n n+1
!
= y0 + lim
n
Zx
!
= y0 +
= y0 +
= y0 +
Zx
x0
f (t 'n(t)) dt
lim f (t 'n(t)) dt
Zx0x n
!
Zx0x
x0
f (t lim
' (t)) dt
n n
!
f (t '(t)) dt:
223
XIII.4 Ecuaciones de Orden Superior
La continuidad de f implica que '(x) sea derivable, de donde
' (x) = f (x '(x)):
0
Por lo tanto ' es solucion del problema a valor inicial o Cauchy sobre todo compacto
J I , por lo tanto tambien es solucion sobre I .
XIII.4 Ecuaciones de Orden Superior
Teorema de Existencia y Unicidad
Teorema XIII.4.1.- Sea I
un intervalo. Sea f : I R n ! R continua y que
satisface una condicion de Lipschitz sobre cada intervalo compacto J I es decir 8J I
compacto, 9Cj 2 R tal que 8x 2 J y 8y z 2 R n , se tiene
R
jf (x y0 y1 : : : yn;1 ) ; f (x z0 z1 : : : zn;1 )j CJ ky ; z k :
|
{z
y
}
|
{z
}
z
Entonces, para todo x0 2 I y todo (y0 y1 : : : yn 1) 2 R n , existe una sola solucion ' de
la ecuacion diferencial
y(n) = f (x y y : : : y(n 1))
tal que
'(x0 ) = y0 ' (x0) = y1 : : : '(n 1) (x0 ) = yn 1 :
;
0
;
0
;
;
Demostracion.- Similar al caso n = 1, ejercicio.
Reduccion del Orden
Consideremos la ecuacion diferencial de orden n, en forma explcita,
y(n) = f (x y y : : : y(n 1))
0
;
con f continua.
Partimos del supuesto que mientras el orden de la ecuacion diferencial es mayor, la
resolucion es mas dicil. Por consiguiente, si se puede convertir la ecuacion a resolver en
una de orden mas peque~no, la resolucion se habra \simplicado".
La reduccion de orden es posible en los siguientes dos casos:
1.- La ecuacion diferencial de orden n es de la forma
y(n) = f (x y y y(n 1))
0
00
;
(XIII.4.1)
224
XIII Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
es decir, en la ecuacion no interviene la variable y de manera explcita. Planteando
z(x) = y (x)
0
la ecuacion (XIII.4.1), se convierte en la ecuacion
z(n
1)
;
= f (x z z : : : z(n 2) )
0
;
(XIII.4.2)
que es una ecuacion de orden n ; 1.
2.- La ecuacion diferencial de orden n es de la forma
y(n) = f (y y : : : y(n 1))
0
;
(XIII.4.3)
es decir, en la ecuacion diferencial no interviene explcitamente la variable x.
Planteamos
y = u(y):
A diferencia del primer caso, en el segundo y se expresa en funcion de y. El siguiente
paso es expresar las otras derivadas de y, en funcion de y, para lo que derivamos
utilizando la regla de la cadena.
0
0
dy = u du :
y = (y ) = du
dy dx dy
00
0 0
Pasamos a la siguiente derivada.
d (u du ) dy = u2 d2u + u( du )2:
y = (y ) = dy
dy dx
dy
dy2
000
00 0
Observamos que tanto y , y han bajado de un orden cuando se expresa en funcion
de y. Continuando con el mismo procedimiento se llega a obtener la ecuacion
00
000
u(n
;
1) = g (y u : : : u(n;2) )
donde las derivadas de u son respecto a y.
225
XIII.4 Ecuaciones de Orden Superior
Ejemplos
1.- Resolvamos la ecuacion
y = cos x:
Mediante la substitucion z = y , se obtiene la ecuacion diferencial de primer orden
00
0
z = cos x
0
cuya solucion general es
z = sin x + C:
Por consiguiente y satisface la ecuacion diferencial
y = sin x + C
0
de donde
y(x) = ; cos x + Cx + D:
2.- Resolvamos la ecuacion diferencial de segundo orden
y + y = 0
00
en esta ecuacion x no interviene explictamente, por lo que planteando y = u(y), da
la ecuacion diferencial de primer orden
0
u u + y = 0
0
que es una ecuacion de tipo separable, la solucion de esta ecuacion es
u2 + y2 = C:
Suponiendo y 0 y C 0, se tiene
p
y = C 2 ; y2
0
ecuacion de tipo separable, cuya solucion es
arcsin(y=C ) = x + D
es decir
que se convierte en
y = C sin(x + D)
y(x) = C1 cos x + C2 sin x:
Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior
226
XIII Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Una ecuacion diferencial lineal de orden n es una ecuacion que puede escribirse de la
forma
y(n) + an 1 (x)y(n 1) + + a1 (x)y + a0 (x)y = b(x)
(L)
con a0 : : : an 1 y b funciones continuas sobre un intervalo I .
Teorema XIII.4.2.- Los problemas a valor inicial para una ecuacion lineal de orden n
;
;
0
;
y(n) + an 1 (x)y(n
;
1) + + a
;
1 (x)y
+ a0 (x)y = b(x)
0
(L)
con ai b : I R ! R , i = 0 : : : n ; 1 continuas, tiene una sola solucion.
Demostracion.- Suciente vericar que las hipotesis del teorema XIII.4.1 se cumplen
para una ecuacion (L). En efecto, en la notacion del teorema XIII.4.1, se tiene
f (x y0 y1 : : : yn 1 ) = b(x) ;
;
nX1
;
k=0
ak (x)yk y por lo tanto
jf (x y0 y1 : : : yn;1 ) ; f (x z0 z1 : : : zn;1 )j = j
nX1
;
k=0
nX1
ak (x)(zk ; yk )j
;
jak (x)jjzk ; yk j
k=0
nX1
M
jzk ; yk j
k=0
p
;
M
n ky ; zk :
donde M = k=0max
(max ja (x)j). Habiendo vericado que se cumplen las condiciones
::: n 1 x J k
del teorema (XIII.4.1), se deduce que las ecuaciones (L) tiene solucion unica para los
problemas a valor inicial.
;
2
Ecuaciones Lineales Homogeneas
Se dira que la ecuacion (L) de orden n, es homogenea si b(x) es identicamente nula, es
decir si la ecuacion puede expresarse como
y(n) + an 1 (x)y(n
;
1) + + a
;
1 (x)y
0
+ a0(x)y = 0:
(LH)
El estudio de las ecuaciones lineales homogeneas de orden n sigue el mismo camino que
el seguido para las ecuaciones lineales de primer orden.
Proposicion XIII.4.3.- La solucion general de una ecuacion lineal homogenea de orden
n, es un subespacio vectorial de dimension n.
Demostracion.-Al igual que en caso de primer orden, puede vericarse que la solucion
general de (LH) es un subespacio vectorial.
227
XIII.4 Ecuaciones de Orden Superior
Ahora mostremos que la dimension es n. Elegimos x0 2 I y consideramos la familia
de soluciones de (LH) f'k gnk=1 que satisfacen
(
1 si k = l + 1
=
k
0 si k 6= l + 1
'(l)
l = 0 : : : n ; 1 k = 1 : : : n:
Tal familia existe por el teorema de existencia de soluciones para problemas a valor
inicial de ecuaciones lineales de orden n. Veamos que '1 '2 : : : 'n son linealmente
independientes. Supongamos que para ciertos k 2 R , se tenga
n
X
k 1
k 'k (x) = 0
8x 2 I:
;
En particular x = x0, conduce a que
1 '1 (x0) = 0
de donde 1 = 0. Derivando se tiene
n
X
k 1
k 'k (x) = 0
8x 2 I:
0
;
En particular x = x0, conduce a que
2 '2 (x0) = 0
0
de donde 2 = 0. Derivaciones sucesivas mostraran que k = 0, para k = 1 : : : n.
Mostremos que '1 '2 : : : 'n engendra la solucion general de (LH). Sea ' una
solucion de (LH), tomemos un punto x0 2 I . Consideremos la funcion dada por
(x) = '(x) ;
n
X
k=1
'(k 1) (x0)'k (x):
;
Observamos que es solucion de (LH) por que es combinacion lineal de otras soluciones
de (LH). Por otro lado, una inspeccion da que
(k) (x ) = 0
0
k = 0 1 : : : n ; 1:
de donde es solucion del problema a valor inicial para la ecuacion (LH)
y(x0) = y (x0) = = y(n 1) (x0) = 0
0
;
pero tambien y(x) = 0 es solucion del mismo problema. Por la unicidad de la solucion
deducimos que (x) = 0, de donde '1 : : : 'n engendran la solucion general.
228
XIII Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Al ser la solucion general de (LH) un espacio vectorial real de dimension n, para
determinar cualquier solucion de (LH) es suciente conocer n soluciones linealmente
independientes.
Denicion XIII.4.4.- Se llama sistema fundamental (SF) de la ecuacion diferencial
lineal homogenea de orden n
y(n) + an 1 (x)y(n
1) + + a
;
;
1 (x)y
+ a0(x)y = 0
0
(LH)
a un conjunto f'1 '2 : : : 'n g de soluciones de (LH) que sean linealmente independientes.
Proposicion XIII.4.5.- Sean '1 '2 : : : 'n soluciones de (LH). Entonces se tiene
equivalencia entre:
a) '1 : : : 'n son linealmente independientes.
b) Para x0 2 I dado, los vectores:
0 '1(x0)
B '1(x0)
W1 (x0) = B
@ ..
0
1
0 '2(x0)
CC W (x ) = BB '2(x0)
A 2 0 @ ..
0
.
'(1n 1) (x0 )
son linealmente independientes.
c) Para x0 2 I , la matriz
.
'(2n 1) (x0 )
;
1
0 'n(x0)
CC : : : W (x ) = BB 'n(x0)
..
n 0 @
A
0
.
'(nn 1) (x0 )
;
W (x0) = ( W1 (x0) W2(x0 )
;
Wn (x0 ) )
0 '1(x0)
'2(x0 )
'2(x0 )
B '1(x0)
=B
.
@ ..
'(1n 1) (x0) '(2n 1) (x0 )
1
C
C
A
0
0
;
;
'n (x0 ) 1
'n (x0 ) C
C
..
A
.
(
n
1)
'n (x0)
0
;
es inversible.
Demostracion.- Ejercicio.
Denicion XIII.4.6.- Se llama a
0 '1(x)
B '1(x)
W (x) = B
@ ..
0
'2(x)
'2(x)
.
'(2n 1) (x)
0
'(1n;1) (x)
;
'n (x) 1
'n (x) C
CA
..
.
'(nn 1) (x)
0
;
la matriz wronskiana del sistema f'1 : : : 'n g y det W (x) el wronskiano del sistema
f'1 : : : 'n g.
Corolario XIII.4.7.- Sea f'1 : : : 'n g n soluciones de la ecuacion (LH) de orden n
y(n) + an 1 (x)y(n
;
1) + + a
;
1 (x)y
0
+ a0(x)y = 0
229
XIII.4 Ecuaciones de Orden Superior
entonces f'1 : : : 'ng es un sistema fundamental de (LH), si y solamente si W (x) es
inversible para todo x, si y solamente si det W (x) 6= 0 para todo x.
Demostracion.- Consecuencia directa del Algebra Lineal.
.
Ejemplo
3.- Consideremos la ecuacion diferencial lineal homogenea de segundo orden
y + y = 0
00
por ejemplo 2, se tiene que cos x y sin x son soluciones de la ecuacion en cuestion.
El wronskiano esta dado por
cos x sin x
det W (x) = det sinx cos x = 1
de donde cos x y sin x es un sistema fundamental, por lo que la solucion general esta
dada por
y(x) = c1 cos x + c2 sin x:
Determinacion de Sistemas Fundamentales
Habiendo visto que para determinar la solucion general de una ecuacion diferencial lineal
homogenea es suciente conocer un sistema fundamental de soluciones, de la misma
manera sabiendo reconocer si un conjunto de soluciones particulares de una ecuacion
(LH) es un sistema fundamental, el siguiente paso es conocer los metodos que permitan
encontrar tales sistemas.
Lastimosamente no existe un metodo general para poder determinar sistemas
fundamentales de una ecuacion lineal homogenea. Sin embargo podemos resaltar las
siguientes situaciones en las que se puede determinar un sistema fundamental:
1.- Si la ecuacion es de segundo orden y se conoce una solucion no nula.
Sea
y + p(x)y + q(x)y = 0
y '(x) una solucion no nula. Suponemos que la otra solucion del sistema fundamental
a determinar es de la forma
y(x) = c(x)'(x)
donde c(x) es una funcion no constante, caso contrario tendramos dos soluciones
linealmente dependientes. Derivando, se obtiene
00
0
y (x) = c (x)'(x) + c(x)' (x)
y (x) = c (x)'(x) + 2c (x)' (x) + c(x)' (x)
0
0
00
00
0
0
0
00
remplazando en la ecuacion diferencial, se tiene
'(x)c (x) + (2' (x) + '(x)p(x))c (x) + |c(x)(' (x) + p(x{z
)' (x) + q(x)'(x))} = 0
00
0
0
00
0
=0
230
XIII Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
de donde c (x) es solucion de la ecuacion de primer orden lineal homogenea, que ya
sabemos resolver,
z (x) + 2' (x) '+(x')(x)p(x) z(x) = 0
0
0
0
por consiguiente
c (x) = eA(x) donde A(x) es una primitiva de ; 2' (x) '+(x')(x)p(x) , por lo tanto
0
0
c(x) =
Zx
x0
eA(s) ds:
Ejemplo
4.- Consideremos la ecuacion de segundo orden
x2 y
00
; xy 0 ; 3y
= 0
se verica que y(x) = x3 es una solucion particular no nula de la ecuacion diferencial de segundo orden en cuestion. Determinemos otra solucion linealmente
independiente. Planteamos
y(x) = c(x)x3
derivando y remplazando en lae cuacion diferencial, se obtiene
x5c + (6x4 ; x4 )c (x) = 0
0
00
es decir c (x) es solucion de la ecuacion diferencial
z = ; x5 z
por lo que c (x) = 1=x5, de donde
c(x) = ; = 41 x 4 La solucion de la ecuacion diferencial, esta dada por
y(x) = c1 x3 + cx2 :
0
0
0
;
2.- La ecuacion diferencial lineal es a coecientes constantes.
Es decir, la ecuacion (LH), tiene la forma
y(n) + an 1 y(n
;
;
1) + + a y 0 + a y = 0:
1
0
Para poder encontrar un sistema fundamental para este tipo de ecuaciones, hagamos
un peque~no repaso de variable compleja.
231
XIII.4 Ecuaciones de Orden Superior
Un poco de Variable Compleja
Recordemos que C el plano complejo es R 2 provisto de una adicion y una multiplicacion que hacen de C un cuerpo conmutativo. Un elemento z 2 C puede escribirse
de la manera siguiente
z = x + iy con x y 2 R :
Una funcion f : I R ! C admite la representacion siguiente
f (x) = u(x) + iv(x)
donde u v : I ! R .
Ahora bien, si u y v son derivables, f es derivable y
f (x) = u (x) + v (x):
0
0
0
Proposicion XIII.4.8.- Sean f g : I R ! C , a 2 C , entonces, se tiene:
i) (f + g) (x) = f (x) + g (x).
(I.4.6)
ii) (af ) (x) = af (x).
(I.4.7)
(I.4.8)
iii) (f (x)g(x)) = f (x)g(x) + f (x)g (x).
Demostracion.- Ejercicio.
Remarca.-Las reglas de calculo para derivadas son las mismas que para las
funciones reales.
Denicion XIII.4.9.- Sea a = + i 2 C , x 2 R , se dene
0
0
0
0
0
0
0
0
eax = ex (cos x + i sin x):
(I.4.9)
Proposicion XIII.4.10.- Se tiene:
i) Dados a b 2 C , se verica
ii) Para a 2 C , se verica
e(a+b)x = eax ebx :
(I.4.10)
(eax ) = aeax :
(I.4.11)
0
Demostracion.- El punto i) ejercicio. Demostremos el punto ii). Se tiene
(eax ) = ex (cos x + i sin x)
= ex (cos x + i sin x) + ex (; sin x + i cos x)
= ex (cos x + i sin x) + iex (cos x + i sin x)
= ( + i )ex (cos x + i sin x) = aeax :
0
0
Reconsideremos nuevamente la ecuacion diferencial lineal homogenea de orden n a
coecientes constantes
y(n) + an 1 y(n
;
;
1) + + a y 0 + a y = 0:
1
0
232
XIII Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
y planteamos
L(y) = y(n) + an 1 y(n 1) + + a1y + a0y:
(LH)
Remarcamos que L es una aplicacion lineal y resolver la ecuacion (LH), es encontrar
y(x) tal que L(y) = 0.
Ahora bien, en lugar de considerar solamente soluciones reales, podemos prolongar
nuestras soluciones a soluciones y : R ! C .
Utilizando las reglas de calculo para derivadas, se tiene para r 2 C
;
;
0
L(erx ) = (erx )(n) + an 1(erx )(n 1) + + a1(erx ) + a0erx
= rn erx + an 1rn 1 erx + + a1rerx + a0 erx
= erx (rn + an 1 rn 1 + + a1r + a0)
= erx l(r):
;
;
0
;
;
;
;
Denicion XIII.4.11.- El polinomio l(r) = rn + an 1 rn 1 + + a1r + a0 es
el polinomio caracterstico (PC) de la ecuacion diferencial lineal homogenea a
;
;
coecientes constantes de orden n
y(n) + an 1 y(n
;
;
1) + + a y 0 + a y = 0:
1
0
(LHC)
Acabamos de demostrar el:
Teorema XIII.4.12.- y(x) = erx es solucion de la ecuacion (LHC) si y solamente
si r es una raiz de l().
Remarca.-La ecuacion (LHC) admite al menos una solucion de la forma y(x) = erx
debido al Teorema Fundamental del Algebra que asegura de al menos una raiz r 2 C
del polinomio caracterstico de (LHC).
El siguiente paso es estudiar las soluciones de la forma erx , teniendo en cuenta que
nuestro objetivo es determinar un sistema fundamental de soluciones \reales" de
(LHC). Sea r 2 R , se tiene dos casos:
1) r 2 R . En este caso erx es una funcion real, por lo que y(x) = erx es una solucion
\real" de (LHC).
2) r = + i con =
6 0. Como el (PC) es a coecientes reales r = ; i es tambien
raiz del (PC), por lo que obtenemos las siguientes soluciones \complejas"
'(x) = ex (cos x + i sin x)
(x) = ex (cos x ; i sin x):
Como la solucion general es un subespacio vectorial, se tiene que
y1 (x) = 21 ('(x) + (x)) = ex cos x
y2 (x) = 21i ('(x) ; (x)) = ex sin x
son soluciones de (LHC), pero y1 (x) y y2 (x) son soluciones \reales" de (LHC).
233
XIII.4 Ecuaciones de Orden Superior
Ejercicio.- Mostrar que y1 (x) y y2(x) son linealmente independientes. (Utilizar
el wronskiano).
En resumen, para cada raiz r 62 R obtenemos un par de soluciones linealmente
independientes.
Con lo desarrollado mas arriba estamos en la posibilidad de enunciar nuestro primer
resultado.
Teorema XIII.4.13.- Si el polinomio caracterstico de la ecuacion diferencial
(LHC) de orden n, tiene sus n raices diferentes, entonces se tiene un sistema
fundamental para (LHC). Ademas si r 2 R es raiz del (PC), erx hace parte del
sistema fundamental si r = + i con 6= 0 ex cos x y ex sin x hacen parte
del sistema fundamental.
Demostracion.- Efectivamente cada raiz aporta con una o dos soluciones para
conformar el sistema fundamental, si la raiz es real se tiene una solucion si la raiz
no es real, esta y su conjugada aportan con dos soluciones. En resumen se tiene n
soluciones no nulas. Utilizando el wronskiano se puede vericar que son linealmente
independientes.
Ejemplo
5.- Consideremos la ecuacion diferencial de orden 4.
y(4) ; y = 0:
El polinomio caracterstico esta dado por
l() = 4 ; 1 = (2 + 1)( + 1)( ; 1):
Se deduce a partir de la factorizacion que las raices son:
1 ;1 i ;i
todas diferentes, por lo que el sistema fundamental estara dado por
ex e x cos x sin x:
;
La solucion general de esta ecuacion es
y(x) = c1 ex + c2e x + c3 cos x + c4 sin x:
;
Polinomio caracterstico con raices multiples
El teorema precedente no es aplicable cuando el polinomio caracterstico de la
ecuacion (LHC) tiene raices multiples o multiplicidad mayor a 1, ya que faltan
soluciones para completar un sistema fundamental.
Introduciendo los operadores o aplicaciones lineales
D(y) = y
I (y) = y:
0
234
XIII Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
y utilizando la convencion Dk (y) = D(Dk 1 (y)) = y(k) , el operador L dado mas
arriba, se puede escribir como
;
L = Dn + an 1 Dn 1 + + a1 D + a0I:
;
;
Como l() el polinomio caracterstico de la ecuacion (LHC), puede factorizarse en
C , sin importar el orden de los factores como
l() = ( ; r1)n1 ( ; r2 )n2 ( ; rm)nk donde r1 : : : rm son las raices diferentes de l() y los nj son las multiplicidades de
cada una de las raices rj . Observamos que nj 1 y n1 + n2 + + nm = n el orden
de la ecuacion (LHC).
La factorizacion de l, permite factorizar por lo tanto L de la manera siguiente
L = (D ; r1I )n1 (D ; r2 I )n2 (D ; rm)nm :
Proposicion XIII.4.14.- Si '(x) es solucion de (D ; rj I )nj , donde rj es una raiz
del polinomio caracterstico de (LHC) y nj es la multiplicidad de la raiz, entonces '
tambien es solucion de (LHC ).
Demostracion.- Como el orden de los factores no importa, L puede escribirse como
Y
L = ( (D ; ri I )ni )(D ; rj I )nj i=j
6
de donde
Y
L('(x)) = ( (D ; ri I )ni )((D ; rj I )nj ('(x)))
i=j
Y
6
= ( (D ; ri I )ni )(0)
i=j
=0
6
Ahora veamos las soluciones con las que aporta (D ; rj I )nj al sistema fundamental.
Proposicion XIII.4.15.- Son soluciones linealmente independientes de (D ;
rj I )nj (y) = 0 las funciones
erx xerx : : : xnj 1 erx :
;
Demostracion.- Por inducccion sobre nj . Para nj = 1, er1 x es solucion de la
ecuacion, la vericacion es trivial. Suponemos cierto para nj ; 1 con nj > 1. Por
hipotesis de induccion, son soluciones erj : : : xnj 2erj x , porque
;
(D ; rj I )nj = (D ; rj I )(D ; rj I )nj 1 :
;
235
XIII.4 Ecuaciones de Orden Superior
Solo debemos vericar que xnj 1 erj x es solucion, en efecto
;
(D ; rj I )nj (xnj 1 erj x ) = (D ; rj I )nj 1 (D ; rj )(xnj 1 erj x )
= (D ; rj I )nj 1 ((nj ; 1)xnj 2 erj x )
=0
;
;
;
;
;
Remarca.- Si rj es una raiz no real de multiplicidad nj , entonces rj es una raiz de
multiplicidad nj y contribuyen ambas raices con 2nj soluciones al (SF), las cuales
son
ex cos x xex cos x : : :
ex sin x xex sin x : : : xnj 1 ex cos x
xnj 1 ex sin x
;
;
Finalmente enunciamos:
Teorema XIII.4.16.- Sean r1 : : : rm las raices diferentes de una ecuacion (LHC)
de orden n y la factorizacion del (PC) esta dada por
l() = ( ; r1)n1 ( ; r2 )n2 ( ; rm)nk entonces las contribuciones de soluciones para el sistema fundamental de (LHC) esta
dada de la manera siguiente, si rj 2 R , rj contribuye con
erx xerx : : : xnj 1 erx ;
si rj = + i con 6= 0, rj y rj contribuyen con
ex cos x xex cos x : : : xnj 1 ex cos x
ex sin x xex sin x : : : xnj 1 ex sin x:
;
;
Demostracion.- Un peque~no ejercicio de conteo mostrara que hay exactamente n
soluciones. El wronskiano vericara la independencia lineal.
Ejemplo
6.- Consideremos la ecuacion diferencial (LHC)
y(6) ; 2y(5) + 3y(4) ; 4y(3) + 3y
00
; 2y 0 + y
= 0
el polinomio caracterstico de la ecuacion esta dado por
l() = 6 ; 25 + 34 ; 43 + 32 ; 2 + 1 = ( ; 1)2(2 + 1)2:
Deducimos que 1, i y ;i son raices del polinomio caracterstico, las tres de
multiplicidad 2, por lo que el sistema fundamental buscado esta dado por las
soluciones:
ex xex cos x sin x x cos x x sin x:
236
XIII Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
La solucion general, sera por consiguiente
y(x) = c1ex + c2xex + c3 cos x + c4 sin x + c5 x cos x + c6 x sin x:
3.- Si laa ecuacion lineal homogenea es de la forma
xx yn + an 1 xn 1 yn 1 + + a1 xy + a0y = 0
la substitucion x = et , convierte esta ecuacion en una (LHC). Ver ejercicios.
4.- Utilizacion de Series Enteras.- Recomendable para determinar la solucion que
satisfage un problema a valor inicial.
;
;
;
0
Solucion de Ecuaciones Lineales (no Homogeneas)
Consideremos la ecuacion diferencial lineal de orden n
y(n) + an 1(x)y(n 1) + + a1 (x)y + a0 (x)y = b(x):
(L)
donde las ai (x) y b(x) son funciones continuas denidas sobre un intervalo. Suponemos
que b no es identicamente nula, el caso cuando b es la funcion nula ya ha sido estudiado.
A la ecuacion (L) le asociamos la ecuacion
y(n) + an 1 (x)y(n 1) + + a1 (x)y + a0(x)y = 0:
(LH)
Proposicion XIII.4.17.- Sea una solucion particular de (L) y ' cualquier solucion
de (LH), entonces
'+
tambien es solucion de (L).
Demostracion.- Similar al caso de primer orden.
Proposicion XIII.4.18.- Sea una solucion particular de (L), entonces cualquier
solucion de (L) es de la forma
'+ donde ' es solucion de (LH).
Demostracion.- Similar al caso de primer orden.
Por lo tanto, para conocer la solucion general de (L), es suciente conocer una
solucion particular de (L) y la solucion general de (LH), algo que ya sabemos saber en un
gran numero de situaciones. Este resultado lo expresamos, mediante la regla memotecnica
Solucion general de (L) = Solucion general de (LH) + Una solucion particular de (L)
;
;
0
;
;
0
Proposicion XIII.4.19.- El problema a valor inicial
y(n) + an 1 (x)y(n 1) + + a1 (x)y + a0 (x)y = b(x)
y(x0) = y0 y (x0) = y1 ..
.
y(n 1) (x0) = yn 1
;
;
0
;
;
0
237
XIII.4 Ecuaciones de Orden Superior
tiene solucion unica.
Demostracion.-Ejercicio.
Determinacion de una solucion particular de (L)
Podemos determinar una solucion particular mediante:
i) Al tanteo Es posible adivinar una solucion en algunos casos, por ejemplo cuando
b(x) es un polinomio, se puede intentar la solucion particular con otro polinomio si
b(x) es sin o cos se puede intentar con una expresion que contenga sin y cos si b(x) es
una funcion exponencial, la solucion particular debera ser otra funcion exponencial.
En todo caso el procedimiento es el mismo que en el caso de primer orden.
ii) Variacion de Constantes. Sea f'1 '2 : : : 'n g un sistema fundamental de soluciones de (LH). Al igual que en el caso de primer orden se supone que la solucion
particular es de la forma
n
X
(x) = ck (x)'k (x):
k=1
Derivando , se obtiene
0
(x) =
suponiendo
n
X
k=1
n
X
k=1
se tiene
0
Derivemos
ck (x)'k (x) +
0
0
y obtenemos
00
(x) =
suponiendo
k=1
se tiene
00
n
X
k=1
ck (x)'k (x):
0
ck (x)'k (x) +
k=1
0
0
0
n
X
k=1
ck (x)'k (x)
ck (x)'k (x) = 0
(x) =
n
X
n
X
0
n
X
k=1
ck (x)'k (x)
00
ck (x)'k (x) = 0
0
(x) =
0
n
X
k=1
ck (x)'k (x):
0
Repetimos el proceso de derivacion hasta determinar (n 1) , suponiendo por lo tanto
;
n
X
k=1
ck (x)'(kj) (x) = 0 j = 0 1 : : : n ; 2:
0
238
XIII Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
y obteniendo por consiguiente
(j ) (x) = X c (x)'(j ) (x)
k
k
k=1
n
Finalmente introducimos los valores de
obteniendo
n
X
k=1
ck (x)'(kn 1) (x) +
;
0
n
X
k=1
j = 0 1 : : : n ; 1:
(j )
ck (x)'(kn) (x) +
en la respectiva ecuacion diferencial,
nX1
;
j =0
aj (x)
X
n
k=1
!
ck (x)'(kj) (x) = b(x):
Reagrupando los terminos, se obtiene
1
0
nX1
ck (x)'(kn 1) (x) + ck (x) @'(kn) (x) + aj (x)'(kj) (x)A = b(x)
j =0
k=1
k=1
|
{z
}
n
X
n
X
;
0
;
=0 solucion de (LH)
Resumiendo hemos obtenido n ecuaciones lineales para c1 c2 : : : cn,
c1 (x)'1(x) + c2 (x)'2(x) + + cn (x)'n (x) = 0
c1 (x)'1(x) + c2 (x)'2(x) + + cn (x)'n (x) = 0
..
..
.(n 1)
.
(
n
1)
(
n
1)
c1 (x)'1 (x) + c2 (x)'2 (x) + + cn (x)'n (x) = b(x)
que escrito de manera matricial
0 '1(x)
'2 (x) 'n (x) 1 0 c1 (x) 1 0 0 1
'2 (x) 'n (x) C
BB '1(x)
CA BB@ c2(..x) CCA = BB@ 0.. CCA
..
@ ...
.
.1)
.
(
n
1)
(
n
1)
(
n
b
(
| '1 (x) '2 {z(x) 'n (x) } | cn{z(x) } | B{z(xx)) }
C (x)
W (x)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
;
0
0
0
;
0
0
;
0
0
0
0
0
0
;
;
;
0
0
es decir
W (x)C (x) = B (x):
Ahora bien, como f'1 '2 : : : 'ng es un sistema fundamental de (LH), W (x) es
inversible, por lo que
C (x) = (W (x)) 1B (x)
obtenemos las funciones ck (x) integrando las respectivas ck (x).
0
0
;
0
Ejemplo
9.- Hallemos la solucion general de
y + y = sin1 x :
00
239
XIII.5 Ejercicios
La ecuacion (LH) asociada, admite como sistema fundamental fcos x sin xg.
La aplicacion de variacion de constantes conduce a considerar el sistema de
ecuaciones
cos x sin x c (x) 0
1
; sin x cos x
c2 (x) = 1=over sin x :
Resolviendo el sistema, por ejemplo por determinantes obtenemos:
x
c1 (x) = ;1 c2(x) = cos
sin x
de donde
c1 (x) = ;x c2 (x) = ln(sin x):
La solucion general esta dada por consiguiente
0
0
0
0
y(x) = c1 cos x + c2 sin x ; x cos x + ln(sin x) sin x:
XIII.5 Ejercicios
1.- Encontrar una solucion particular, luego la solucion general, de cada una de las
ecuaciones diferenciales siguientes:
(c) y ; y = ex
(d) y + 2y = sin x
(a) y + y = e2
(c) y + y = x2
0
0
0
0
2.- Resolver la ecuacion diferencial de Bernouilli
(1 ; x2 )y
0
; xy
= axy2
donde a es un parametro real.
3.- Encontrar la solucion general de cada una de las ecuaciones diferenciales siguientes:
a)
b)
c)
y = (x + y)2
(1 + x2 )y + xy ; xy2 = 0
y + y + (ex + sin x)y3 = 0:
0
0
0
4.- Dar la solucion general de la ecuacion
y(4) ; 2y(3) + 2y(2) ; 2y + y = 0:
0
240
XIII Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
5.- Encontrar la solucion general de
y
000
;y
6.- Resolver
= 2x3 + 7:
(1 ; x2)y ; xy + n2 y = 0
sobre el intervalo ;1 1] haciendo la substitucion x = cos t.
7.- Se considera la ecuacion diferencial
00
0
x3y + 2x2 y
000
00
; xy 0 + y
= 0:
a) Mostrar que la substitucion
t = ln x
la transforma en una ecuacion a coecientes constantes.
b) Resolver de esta manera la ecuacion propuesta.
8.- a) Mostrar que si G(x) es una funcion integrable sobre a b], entonces 8 2 R
existe una unica solucion f de y = G(x) tal que f (a) = y f (b) = .
b) Supongamos que (b ; a) = 2! n, n un entero entonces existe una innidad de
soluciones f de la ecuacion y = ;!2 y tales que f (a) = f (b) = .
c) 8 , existe una unica solucion f de y = 2 y tal que f (a) = y f (b) = .
9.- Resolver la ecuacion diferencial
y + y = sin1 x :
00
00
00
00
10.- Resolver el problema a valor inicial
y + y(y )3 = 0
y( 61 ) = 1
y ( 16 ) = 2:
00
0
0
11.- Resolver la ecuacion diferencial
g (x) ; 2xg (x) ; 4g(x) = 0:
00
0
buscando una solucion de la forma
g(x) =
X
1
n=0
an xn :
241
XIII.5 Ejercicios
>Cual es la solucion mas general de esta forma?
>Cual es la solucion de esta forma con g(0) = 0 y g (0) = 1?
12.- Comprobar que cada una de las siguientes ecuaciones es homogenea y resolverla:
(a) x2y = 3(x2 + y2) arctan xy + xy (b) x2 y ; 3xy ; 2y2 = 0
p
(c) x sin xy y = y sin xy + x
(d) xy = x2 + y2
0
0
0
0
0
13.- Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales
y = (x + y)2 y = sin2 (x + y ; 1):
0
0
14.- Resolver las siguientes ecuaciones
+y+4
y = xx ;
a)
y;6
b)
y = xx++4yy;+12 y + 4:
c)
y = xx +
+y;6
0
0
0
15.- Haciendo el cambio de variable z = y=xn y escogiendo un valor adecuado de
n, mostrar que las ecuaciones diferenciales siguientes pueden transformarse en
ecuaciones separadas y resolverlas:
1
; xy 2
y = 2 2x y
2
y = 2 + 32xy 4x y
y
; xy 2
:
y =
x + x2 y
a)
0
b)
0
c)
0
16.- Resolver la ecuacion diferencial
3
y = 2xy + xy + x tan y2 :
x
0
17.- Determinar la solucion general de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales:
xy + y = x4 y3
xy2y + y3 = x cos x
a)
b)
0
0
18.- Una solucion de y sin 2x = 2y +2 cos x permanece acotada cuando x ! =2. Hallarla.
0
242
XIII Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
19.- Resolver la ecuacion diferencial xy = 2x2 y + y ln y, utilizando la substitucion
z = ln y.
20.- Resolver las siguientes ecuaciones:
0
(a) yy + (y )2 = 0 (b) xy = y + (y )3 (c) y ; ky2 = 0 (d) x2 y = 2xy + (y )2:
00
0
00
00
0
0
00
0
0
21.- Hallar la solucion particular especicada para cada caso:
a)
b)
c)
(x2 + 2y )y + 2xy = 0 y(0) = 1 y (0) = 0
yy = y2 y + (y )2 y(0) = ; 21 y (0) = 1
y = y ey y(0) = 0 y (0) = 2:
0
00
00
0
0
00
0
0
0
0
0
22.- Una extension natural a las ecuaciones de tipo lineal y tipo Bernouilli es la ecuacion
de Riccati
y = a(x) + b(x)y + r(x)y2:
En general esta ecuacion no se puede resolver por metodos elementales. No obstante
si se conoce una solucion particular y1(x), la solucion general tiene la forma
0
y(x) = z(x) + y1 (x)
donde z(x) es la solucion general de la ecuacion de Bernouilli
z
0
; (q (x) + 2r(x)y1(x))z
= r(x)z2:
Demostrar esto y calcular la solucion general de la ecuacion
y = xy + x3y2 ; x5 que tiene como solucion particular evidente y1 (x) = x.
b) Mostrar que la solucion general tiene la forma de una familia uniparametrica de
curvas
cf (x) + g(x) :
y = cF
(x) + G(x)
0
23.- Aprovechando que y = x es solucion de cada una de las ecuaciones que se indican a
continuacion, hallar su solucion general.
a)
b)
c)
y ; x ;x 1 y + x ;1 1 y = 0
x2y + 2xy ; 2y = 0
x2y ; x(x + 2)y + (x + 2)y = 0:
00
0
00
00
0
0
243
XIII.5 Ejercicios
24.- Comprobar que y(x) = ex es solucion de
xy ; (2x + 1)y + (x + 1)y = 0
y hallar la solucion general.
25.- Hallar la solucion general de las siguientes ecuaciones diferenciales lineales homogeneas a coecientes constantes
a)
y ; 3y + 2y = 0
b)
y ;y = 0
c)
y +y = 0
d)
y(4) + y ; 3y ; 5y ; 2y = 0
e)
y(5) ; 6y(4) ; 8y + 48y + 16y ; 96y = 0:
00
000
0
00
0
000
000
000
00
0
000
00
0
26.- Determinar la solucion general de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales
lineales:
(a) y + 4y = tan 2x
(b) y + y = sec x tan x
2
2
2
(c) (x ; 1)y ; 2xy + 2y = (x ; 1) (d) x2 y ; 2xy + 2y = xe x (e) y ; 3y + 2y = (1 + e x ) 1 (f) y(6) ; y = x10:
00
00
00
00
0
0
0
;
;
;
27.- La ecuacion de Chebichef es
(1 ; x2 )y ; xy + n2y = 0
con n entero. Vericar que utilizando desarrollos en series de potencia, se puede
encontrar una solucion polinomial.
28.- Resolver la ecuacion utilizando series alrededor de x = 0,
4x2y ; 8x2y + (4x2 + 1)y = 0:
00
00
0
0
29.- La ecuacion del pendulo simple esta dada por
2
d
l 2 = ;g sin dt
lo que es lo mismo estudiar la ecuacion & + !2 = 0.
En el instante t = 0, se suelta el pendulo con un angulo = 0 respecto a la vertical.
Determinar el periodo del pendulo:
a) haciendo la aproximacion sin para peque~nos angulos.
b) sin hacer aproximaciones de sin .
Indicicaciones para b).- Mostrar primero que el periodo T esta dado por
Z x0
2
(sin2 (0=2) ; sin2(=2) 1=2d:
T=!
0
Hacer el cambio de variable sin(=2) = sin(0=2) sin y realizar el desarrollo de T
en funcion de = sin(0=2).
;
Captulo XIV
Funciones Diferenciales
XIV.1 Derivadas Parciales de una Funcion
Denicion XIV.1.1.- Sean U R n abierto, a 2 U y f : U ! R . La i-sima derivada
parcial de f en el punto a, si es que existe, es
f (a + tei ) ; f (a)
lim
t 0
t
donde ei es el i-simo vector de la base canonica de R n . Otro nombre usual para la i-sima
derivada parcial: derivada parcial de f (x1 : : : xi : : : xn ) respecto a xi en el punto a.
!
Notacion.-
@f (a) @f (a) D f (a):
i
@xi
@xi
Remarcas.-
@f (a) como derivada de una funcion ' de una variable,
1.- Se puede considerar @x
i
i
'i : x 7! f (a1 : : : ai 1 x ai+1 : : : an)
;
donde a = (a1 : : : an) 2 U jo. Por consiguiente, las reglas de calculo para las
derivadas parciales son las mismas que para las derivadas de funciones de una
variable.
2.- Si la derivada Di f : U ! R existe, para todo a 2 U , se denota por Di f , la aplicacion
Di f : U ;! R
x 7! Di f (x):
3.- La existencia de Di f (a) implica la continuidad, en ese punto, de f en tanto
que funcion de su i-sima variable. Incluso, si todas las Di f (a) existen, f no es
necesariamente continua en el punto a en tanto que funcion de n variables, pero
solamamente respecto a cada una de las n variables separadamente.
246
XIV Funciones Diferenciales
Derivadas parciales de orden superior
Sean a 2 U R n , U abierto y f : U ! R . Si Di f (x) existe 8x en un cierto vecindario
de a, uno se puede preguntar si Di f admite tambien derivadas parciales en el punto a,
si por ejemplo Dj Di f (a) existe, se la llama segunda derivada parcial de f en el punto a,
del tipo i j . Se la denota tambien
2f
@
Dj i f (a) @x @x (a):
j i
Si i = j , se escribe con la ultima notacion
@ 2f (a):
@x2i
Se puede continuar derivando las derivadas partiales obtenidas, si es que es posible
obteniendo derivadas de orden k, cuya notacion
Dik Dik
;1
Di2 Di1 f (a)
o
Dik ik 1 ::: i2 i1 f (a)
llamandola derivada de orden k del tipo (i1 : : : ik ) de f en el punto a.
Remarca.- Puede suceder que si j 6= i, se tenga
;
Di j f (x) 6= Dj i f (x):
Por ejemplo, consideremos la funcion f : R ! R denida por
8 2 2
>
< xy x2 ; y2 si (x y) 6= (0 0)
f (x y) = > x + y
: 0 si (x y) = (0 0):
Ejercicio.- Vericar que D1 2 f (0 0) y D2 1 f (0 0) existen,pero son diferentes.
Denicion XIV.1.2.- Sea f : U ! R , donde U abierto en R n . Se dice que f es de clase
Cr
sobre U , denotamos f 2 C r (U R). Si f y todas sus derivadas partiales de orden leqr
existen y son continuas sobre U .
Teorema XIV.1.3.- Sean a 2 U R n , U abierto y f : U ! R . Supongamos que
f 2 C 1 (U R) es decir f y Dk f existen y son continuas. Supongamos tambien que Di j f
y Dj i f son continuas en el punto a. Entonces
Di j f (a) = Dj i f (a):
XIV.1 Derivadas Parciales de una Funcio n
247
Demostracion.- La continuidad de Di j f y Dj i f en el punto a implica su existencia
en un vecindario de a, digamos B (a ) con > 0.
Para simplicar notacion, supongamos que n = 2. Denotemos a = (x0 y0). Por otro
lado planteemos, para h y k reales jos,
F (x y) = f (x y + k) ; f (x y)
G(x y) = g(x + h y) ; f (x y):
Sea
(XIV.1.1)
(XIV.1.2)
$ = F (x0 + h y0) ; F (x0 y0):
Una vericacion simple da
$ = G(x0 y0 + k) ; G(x0 y0)
ademas
$ = f (x0 + h y0 + k) ; f (x0 + h y0 ) ; f (x0 y0 + k) + f (x0 y0):
Remarcamos que U es abierto, se puede tomar h, k lo sucientemente peque~nos para que
los cuatro puntos se encuentren en U .
Aplicamos el teorema de los incrementos nitos a F , la vericacion de las hipotesis
la dejamos como ejercicio. Obtenemos
$ = h D1 F (x0 + 1h y0 ) con 0 < 1 < 1:
Utilizando (XIV.1.1), tenemos
D1 F (x y) = D1 f (x y + k) ; D1 f (x y)
de donde por los incrementos nitos, en un cierto vecindario de a, se tiene
D1 F (x y) = k D2 D1 f (x y + 2k) con 0 < 2 < 1:
Ahora bien, si planteamos x = x0 + 1 h e y = y0, se obtiene
$ = hk D21 f (x0 + 1h y0 + k2 ) con 0 < 1 2 < 1:
El mismo razonamiento aplicado a G, da
$ = hk D12 f (x0 + 3h y0 + k4 ) con 0 < 3 4 < 1:
Por lo tanto h k =
6 0, se obtiene
D21 f (x0 + 1 h y0 + k2) = D12 f (x0 + 3 h y0 + k4):
248
XIV Funciones Diferenciales
Haciendo tender h ! 0 y k ! k y la continuidad de D21 f y D12 f en el punto (x0 y0)
conduce a
D21 f (x0 y0) = D12 f (x0 y0):
Derivadas Direccionales
Sean U abierto de R n , a 2 U y f : U ! R . Sea v 2 R n un vector no nulo . La derivada
en el punto a de f en la direccion v es, si es que existe,
f (a + tv) ; f (a) :
lim
t 0
t
!
Se denota por Dv f (a) o fv (a).
Remarcas.-
1.- La denicion de derivada direccional es consistente, por que U es abierto y para t lo
sucientemente peque~no a + tv 2 U .
2.- Si v = ei el i-simo vector de la base canonica de R n , entonces
Dei f (a) = Di f (a)
la i-sima derivada parcial de f en el punto a.
Remarca.- Puede suceder que todas las Dv f (a) existan y sin embargo f no sea continua
en el punto a. Consideremos la funcion f : R 2 ! R dada por
8 2
>
< 4x y 2 si (x y) 6= (0 0)
f (x y) = > x + y
: 0 si (x y) = (0 0):
Esta funcion admite derivadas direccionales en el origen en toda direccion, pero f no es
continua en el origen.
Ejercicio.-Vericar la armacion de la remarca.
XIV.2 Diferenciabilidad de una Funcion a Varias Variables
Respecto al tema de la derivada de una funcion f : R ! R , sabemos que la existencia
de f (a) implica que f sea continua en el punto a. Pero para una funcion f : R n ! R ,
la existencia de todas las derivadas parciales de f en el punto a, incluso la existencia
0
249
XIV.2 Diferenciabilidad de una Funcio n a Varias Variables
de todas las derivadas direccionales de f en el punto a, no implican necesariamente la
continuidad de f en el punto a.
Por otro lado, la existencia, para una funcion f : R ! R , de f (a) nos permite
aproximar, en el vecindario de a, la funcion f mediante una funcion afn lineal, que esta
dada por
h 7! f (a)h + f (a)
ver captulo VII. Este hecho nos va guiar en la formulacion de la diferenciabilidad de una
funcion f : R n ! R m :
Denicion XIV.2.1.- Sean U R n abierto y 2 U . Sea f : U ! R m . Se dira que f es
diferenciable en el punto , si existe una aplicacion 2 L(R n Rm ), tal que se tenga
0
0
f ( + h) ; f ( ) ; (h) = 0
lim
h 0
khk
!
es decir
f ( + h) = f ( ) + (h) + o(khk)
si h ! 0.
Remarcas
1.- Para m = n = 1 se verica que se trata de la derivabilidad en el punto a de f .
2.- La condicion de diferenciabilidad de f en el punto puede tambien escribirse
x=h+ ,
f (x) = f ( ) + (x ; ) + o(kx ; k)
cuando x ! . El grafo de
x 7! f ( ) + (x ; )
es un hiperplano que pasa por el punto ( f ( )) y tangente del grafo de f .
Denicion XIV.2.2.- Si f es diferenciable en el punto de , se llama a la aplicacion ,
la derivada de f en o la derivada total de f en o el diferencial de f en o la aplicacion
tangente. recibe las siguientes notaciones.
f f (a) df ( ):
0
0
Proposicion XIV.2.3.- Si f es diferenciable en el punto , la aplicacion lineal f es
0
unica.
Demostracion.- Supongamos que 1 2 2 L(R n Rm ) son tales que
f ( + h) ; f ( ) ; i (h) = o(khk) cuando h ! 0
para i = 1 2.
Sustrayendo, se obtiene
1 (h) ; 2 (h) = o(khk)
250
XIV Funciones Diferenciales
es decir
(1 ; 2 )(h) = o(khk) si h ! 0:
En particular si planteamos h = tei , donde ei es el i-simo vector de la base canonica de
R n , se tiene
(1 ; 2 )(tei ) = 0:
lim
t 0
jtj
!
Si tomamos t > 0, obtenemos
(1 ; 2 )(tei ) = lim( ; )(e ) = 0:
lim
2 i
t 0
t 0 1
jtj
Por consiguiente 1 (ei ) = 2 (ei ) para i = 1 : : : n y por la unicidad de las aplicaciones
lineales 1 = 2.
!
!
Proposicion XIV.2.4.- Sean
U R n , U abierto, f : U ! Rm . Escribimos
f = (f1 f2 : : ::fm) donde cada fi : U ! R f es fi = pi f , con pi : R m ! R la
proyecccion sobre la i-sima componente. Entonces, f es diferenciable en el punto si y
solamente si cada fi es diferenciable en el punto .
Demostracion.- Ejercicio
2
Diferenciabilidad y Continuidad
Proposicion XIV.2.5.- Sean
2 U Rn , U
abierto, f : U ! R m . Si f es diferenciable
en el punto , entonces f es continua en ese punto.
Demostracion.- Si f es diferenciable en el punto , se tiene
f ( + h) = f ( ) + f (h) + o(khk) h ! 0:
Debemos mostrar que
lim f ( + h) = f ( ):
h 0
Observamos que
o(khk) = khk o(kkhhkk) ! 0
0
!
cuand h ! 0. Por otro lado, tenemos que f es una aplicacion lineal, continua en h = 0,
para ver esto, suciente considerar la matriz respecto a una base y pasar al lmite.
Finalmente aplicando reglas de calculo para lmites obtenemos lo que deseamos.
0
La matriz Jacobiana
La utilizacion de matrices para representar una aplicacion lineal permite efectuar el
calculo de las aplicaciones lineales de manera sencilla, ver curso de Algebra Lineal.
Teorema XIV.2.6.- Sean 2 U R n , U abierto y f : U ! R m diferenciable en el
punto . Entonces la matriz de f respecto a las bases canonicas de R m y R n es la matriz
@fi ( ) i = 1 : : : m j = 1 : : : n
A = ( aij ) con aij = @x
j
0
XIV.2 Diferenciabilidad de una Funcio n a Varias Variables
251
donde f = (f1 f2 : : : fm).
Demostracion.- Se tiene
f ( + h) ; f ( ) ; Ah = o(khk):
En particular
fi ( + h) ; fi ( ) =
n
X
j =1
aij hj + o(khk)
mas precisamente si h = tek donde ek es el k-simo vector de la base canonica de R n , se
obtiene
fi ( + tek ) ; f (ek ) = aik t + o(jtj)
que pasando al lmite obtenemos
@fi ( ):
aik = @x
k
Corolario XIV.2.7.- Si f es diferenciable en el punto , entonces todas las derivadas
parciales existen.
Uno se puede preguntar si la existencia de la matriz jacobiana de f en el punto
implica la diferenciabilidad de f en ese punto, dos ejemplos precedentes muestran que
no.
Teorema XIV.2.8.- Sean 2 U R n , U abierto y f : U ! R m . Escribamos
@fi existe en un vecindario B ( r)
f = (f1 : : : fm), donde los fi : U ! R . Si cada @x
j
de y es continua en , entonces f es diferenciable en .
Demostracion.- Sabemos que f es diferenciable en punto si y solamente cada fi lo es.
Por consiguiente, suciente mostrar el teorema en el caso en que m = 1. Para simplicar
notacion, supongamos que n = 2.
Supongamos que = (x0 y0) y que D1 f y D2 f existen en un disco B ( r) y
continuas en el punto . Puesto que si f es diferenciable en , la diferencial es unica, por
lo que es suciente mostrar que si planteamos
r(h k) = f (x0 + h y0 + k) ; f (x0 y0) ; D1 f ( )h ; D2 f ( )k
p
entonces r(h k) = o( h2 + k2 ) cuando (h k) ! (0 0): Tenemos
(f (x0 + h y0 + k) ; f (x0 y0)) = (f (x0 + h y0 + k) ; f (x0 y + k))+(f (x0 y + k) ; f (x0 y0))
aplicando el teorema de los incrementos nitos, se obtiene
r(h k) = h D1 f (x0 + 1h y0 + k) + k D2 f (x0 y0 + 2 k) ; D1 f ( )h ; D2 f ( )k
252
XIV Funciones Diferenciales
donde 0 < 1 2 < 1.
Ahora bien,
pr(2h k) 2 = p 2h 2 (D
1 f (x0 + 1 h y{z0 + k) ; D1 f ( ))}
h + k | h {z+ k } |
0 si (h k) (0 0)
acotado
!
!
k2) ; D2 f ( ))}
+ p 2k 2 (D
2 f (x0 y0 +{z
|
h
+
k
| {z }
0 si (h k) (0 0)
acotado
!
!
Reglas de Calculo
Si f g : R n ! R m , denotemos hf gi su producto escalar.
Proposicion XIV.2.9.- Sean f g : U ! R m , donde U abierto de R n . Entonces si f y
g son diferenciables en el punto 2 U las aplicaciones:
f + g : U ! Rm f : U ! R m hf g i : A ! R
lo son tambien en el punto y se tiene
(f + g ) = f + g (f ) = f hf g i = f g ( ) + f ( ) g 0
0
0
0
0
0
0
0
Demostracion.- Ejercicio.
Diferenciabilidad de una Composicion
Teorema XIV.2.10.- Sean U y V abiertos de R n y R m respectivamente. Si f : U ! V
es diferenciable en el punto 2 U y si g : V ! R p es diferenciable en el punto = f ( ),
entonces g f : U ! R p es diferenciable en punto y
(g f )x i = gf ( ) f :
0
0
0
Demostracion.- Consideremos:
q(h) = f ( + h) ; f ( ) ; (h) donde = f r(h) = g( + k) ; g( ) ; mu(k) donde = g :
0
0
Por hipotesis, q(h) = o(khk) cuando h ! 0 y r(k) = o(kkk) cuando k ! 0.
XIV.2 Diferenciabilidad de una Funcio n a Varias Variables
253
Debemos mostrar que si planteamos
s(h) = (g f )( + h) ; (g f )( ) ; ( )(h)
se tiene s(h) = o(khk) cuando h ! 0.
Mostremos primero que k(h)k c khk para cierto c > 0. En efecto, consideremos
B = B (0 1), B es un subconjunto compacto y como es una aplicacion lineal es continua,
de donde (B ) es compacto y en particular (B ) es acotado, es decir
k(x)k c
8x
con kxk = 1:
Para x 6= 0, se tiene
x x
k(x)k = (kxk kxk ) = kxk ( kxk ) c kxk :
El caso x = 0 es trivial.
Ahora mostremos
s(h) = r(q(h) + (h)) + (q(h))
en efecto:
s(h) = r((h) + (h)) + (q(h))
= r(f ( + h) ; f ( )) + (q(h))
= g( + f ( + h) ; f ( )) ; g( ) ; (f ( + h) ; f ( )) + (q(h))
= g(f ( + h)) ; g(f ( )) ; (q(h) + (h)) + (q(h))
= g(f ( + h)) ; g(f ( )) ; ((h)):
Para ver que s(h) = o(khk) es suciente ver que:
1.- u(q(h)) = o(khk)
2.- r(q(h) + (h)) = o(khk).
Para 1) por la primera armacion, existe c > 0 tal que
k(q (h))k c kq (h)k
y de donde
k(q (h))k
kq (h)k
c
!0
khk
khk
h ! 0:
Para 2) kr(k)k = o(kkk), signica que 8 > 0, 9 > 0 tal que
kr(k)k < kkk si kkk < :
Por lo tanto, 8 > 0, 9 > 0 tal que
kr(q (h) + (h)k < kq (h) + (h)k
254
XIV Funciones Diferenciales
si kq(h) + (h)k < . Pero
kq (h) + (h)k kq (h)k + khk lo que conduce a la existencia, de acuerdo a la primera armacion y el hecho que
q(h) = o(khk), de una constante C > 0 que satisface
kq (h) + (h)k C khk si khk < 2 . Luego si khk < C , se tiene
kr(q (h) + (h)k < khk :
Corolario XIV.2.11.- Denotemos h = g f , f : R n
! Rm ,
g : R m ! R p . Si f es
diferenciable en y g es diferenciable en el punto = f ( ) entonces la matriz jacobiana
de h en esta dada por
0D h ( ) D h ( ) D h ( )1
2 1
n 1
B@ 1 ..1
.. C
.
. A=
D1 hp ( ) D2 hp ( ) Dn hp ( )
0D g ( ) D g ( ) D g ( )10 D f ( ) D f ( )
2 1
m 1
1 1
2 1
B@ 1 ...1
B
.
.. C
. A @ ..
D1 gp ( ) D2 gp ( )
Dm gp ( )
D1 fm( ) D2 fm( )
1
Dn f1 ( )
.. C
. A
Dn fm( )
donde f = (f1 : : : fm), g = (g1 : : : gp) y h = (h1 : : : hp ).
Demostracion.- La composicion de dos aplicaciones lineales se traduce en el lenguaje
de matrices como multiplicacion, ver curso de Algebra Lineal.
El Gradiente
@g ( ), i =
Sea g : U ! R , U R m abierto. Supongamos que las derivadas parciales @x
i
1 : : : m existen en todo punto 2 U . Entonces denimos la aplicacion grad : U ! R m
por
@g ( ) @g ( ) @g ( ) )
grad( ) = ( @x
@x2
@xm
1
Consideramos el teorema precedente y su corolario en el caso particular n = p = 1 con
f : R ! R m y g : R m ! R . Entonces si h = g f se tiene
0f ( )1
1
B
C
h ( ) = |( D1 g( ) {z
Dm g ( ) ) @ ... A
} f ()
grad g(f ( ))
| m{z }
0
0
0
f()
0
XIV.2 Diferenciabilidad de una Funcio n a Varias Variables
es decir
255
h ( ) = hgrad g(f ( )) f ( )i
0
0
Proposicion XIV.2.12.- Sea f : U ! R diferenciable en el punto , U R n abierto,
sea v 2 R n con v 6= 0. Entonces
fv ( ) = hv grad f ( )i:
Demostracion.- Recordemos la denicion de derivada direccional.
fv ( ) = tlim0 f ( +t tv) si es que existe. Inmediatamente remarcamos que
!
fv ( ) = h (0)
0
si es que existe, donde h = f l con l : R ! R n dada por l(t) = + tv. Como l es afn
lineal, es diferenciable en todo t, en particular para t = 0 y f es diferenciable en , se
tiene que h es diferenciable en 0 y por lo hecho antes se tiene
h (0) = hv grad f ( )i:
0
Curvas de Nivel y Gradiente
Sea f : U Rn ! R , U abierto. Sea v
diferenciable en 2 U . Se tiene
2 Rn
con kvk = 1. Supongamos que f es
fv ( ) = hgrad f ( ) vi:
Utilizando la desigualdad de Cauchy, se obtiene
jfv ( )j kgrad f ( )k :
La desigualdad precedente, se convierte en igualdad, si grad f ( ) y v son linealmente
independientes. Si grad f ( ) 6= 0, v y grad f ( ) son linealmente independientes si y
solamente si
grad f ( ) :
v = kgrad
f ( )k
En el caso en que v y grad f ( ) tienen el mismo sentido, se tiene
fv ( ) = kgrad f ( )k > 0
y en caso en que v y grad f ( ) tienen sentidos opuestos, se tiene
fv ( ) = ; kgrad f ( )k > 0:
256
XIV Funciones Diferenciales
Denicion XIV.2.13.- Un camino en R n es una aplicacion continua
: I ! Rn con I intervalo.
Denicion XIV.2.14.- Sea f : U R n ! R continua, U abierto. El conjunto de nivel
c de f es el conjunto
f 1(c) = f
;
Proposicion XIV.2.15.- Sea f : U
2 U jf (
) = cg:
Rn ! R
diferenciable en todo punto de U ,
suponemos ademas que grad f ( ) 6= 0 para todo 2 U . Entonces, para todo 2 U ,
grad f ( ) es ortogonal al conjunto de nivel que pasa por .
Demostracion.- Sea 2 U , consideremos el conjunto de nivel c = f ( ).
Sean : R ! f 1(c) con (0) = un camino en el conjunto de nivel de c.
Trivialmente se tiene h(t) = c donde h = f , de donde h (0) = 0, por lo tanto
;
0
h 0 (0) grad f ( )i = 0:
Concluimos que todo vector tangente a la supercie de nivel es ortogonal al grad f ( ).
XIV.3 Ejercicios
1.- (Relacion de Euler). Se dice que una funcion f : R n ! R diferenciable es homogenea
de peso m, si
f (t ) = tm f ( ) 8t 2 R 8 2 R n :
a) Vericar que las funciones siguientes son homogeneas, del peso indicado:
tan( xy ) m = 0
p
x2 sin xy + y x2 + y2 log x +x y m = 2 y t 0
p
x2 + y2 + z2 m = 1 y t 0:
b) Si f es homogenea de peso m, entonces 8
2 Rn ,
se tiene
@f ( ) + + x @f ( ) = mf ( )
x1 @x
n @x
1
donde = (x1 : : : xn).
n
(XIV.3.1)
257
XIV.3 Ejercicios
c) Si f : R n ! R es diferenciable y (XIV.3.1) tiene lugar, entonces f es homogenea
de peso m.
Indicacion.- g(t) = tmf ( ) ; f (t ) es solucion del problema:
g(1) = 0 g (t) = m g(tt) :
0
2.- a) Si g : R ! R es tal que
g(x) =
(
x2 si x 2 Q 0 sino.
>Donde g es derivable?
b) Se dene enseguida f : R 2 ! R ,
f (x y) = g(x) + g(y):
>Donde las derivadas parciales
existen?
c) Mostrar que
@f @f
@x @y
@ 2f y @ 2f
@x@y @y@x
existen en (0 0) y son iguales.
d) Citar el teorema del curso que da condiciones sucientes para que
@ 2f = @ 2f en (x y )
0 0
@x@y @y@x
y explicar porque no se puede deducir el punto c).
3.- Sea f : a b] ! R + que verica para todo x y con a x < b,
f (x) < f (y):
f (x) < f (yy) ;
;x
Mostrar que existe c > 0 tal que f (x) = cex
Indicacion.- Mostrar que f es continua, luego derivable y que f = f .
0
Captulo XV
Integrales Dependientes de un Parametro
XV.1 Integrales Dependientes de un Parametro
En este captulo analizaremos el problema: \Sean dos intervalos a b] y c d] y una funcion
f : a b] c d] ! R . Supongamos que 8y 2 c d] la integral
Zb
a
f (x y) dx
existe. >Que condiciones sobre f son sucientes para que F : c d] ! R denida por
F (y) =
Zb
a
f (x y) dx
sea continua?, >sea derivable?
Proposicion XV.1.1.- Sean a b] y c d] compactos y f : a b] c d] ! R continua,
entonces F : c d] ! R denida por
F (y) =
Zb
a
f (x y) dx
es continua sobre c d].
Demostracion.- Para y0 2 c d] vamos a mostrar que 8 > 0, 9 > 0 tal que
jy ; y0 j < En efecto
e y 2 c d] ) jF (y) ; F (y0)j < :
jF (y ) ; F (y0 )j =
Zb
a
Zb
a
(f (x y) ; f (x y0)) dx
jf (x y ) ; f (x y0)j
dx
260
XV Integrales Dependientes de un Parametro
f es continua sobre el compacto a b] c d], por lo tanto es uniformemente continua, de
donde 8 9 > 0 tal que
jy ; y0 j < e y 2 c d] ) jf (x y) ; f (x y0)j < b ; a :
Por consiguiente, 8 > 0, 9 > 0 tal que
jy ; y0 j < e y 2 c d] ) jF (y) ; F (y0)j < :
Proposicion XV.1.2.- Sean a b] y c d] compactos.
R Sea f : a b] c d] ! R acotada y
tal que D2 f sea continua sobre a b] c d] y que ab f (x y) dx exista para todo y 2 c d].
Entonces
Zb
F (y) = f (x y) dx
a
es derivable sobre (c d) y
F (y) =
0
Zb
para todo y 2 (c d).
Demostracion.- Se quiere mostrar que
a
D2 f (x y) dx
F (y + h) ; F (y)
lim
h 0
h
!
R
existe 8y 2 (c d) y vale ab D2 f (x y) dx. Es decir, 8 > 0, 9 > 0 tal que
jhj < )
F (y + h) ; F (y) ; Z b D f (x y) dx < :
2
h
a
El cociente de Newton
F (y + h) ; F (y) = 1 Z b (f (x y + h) ; f (x y)) dx
h
h a
y las hipotesis sobre f permiten aplicar el teorema de los incrementos nitos, de donde
F (y + h) ; F (y) = Z b D f (x y + h) dx
2
h
a
con 0 < < 1. Por consiguiente
jhj < )
F (y + h) ; F (y) ; Z b D f (x y) dx
2
h
a
Zb
a
jD2 f (x y + h) ; D2 f (x y )j dx:
261
XV.1 Integrales Dependientes de un Parametro
Ahora bien, D2 f es continua sobre a b] c d], por lo tanto uniformemente continua,
de donde 8 9 > 0 tal que
k(x y 0) ; (x y )k < ) jD2 f (x y 0) ; D2 f (x y )j <
b ; a
Como jhj < jhj < , se tiene lo que se quiere.
Ejemplo
1.- Resolvamos la integral
Za
0
x2 cos x dx:
Un metodo consistira en aplicar integracion por partes. La otra alternativa es
plantear
Za
F (y) = cos(xy) dx
0
las condiciones de la proposicion precedente son aplicables, por lo que
F (y ) = ;
00
y en particular
Za
F (1) = ;
00
Por otro lado,
derivavando 2 veces, obtenemos
0
x2 cos(xy) dx
Za
0
x2 cos x dx:
F (y) = sinyay ay) ; sin(ay) F (y) = ; a2 sin(ay) ; 2 a cos(ay) + 2 sin(ay) F (y) = a cos(
y
y
y2
y2
y3
00
0
luego
por lo que
F (1) = (;a2 + 2) sin a ; 2a cos a
00
Za
0
x2 cos x dx = (a2 ; 2) sin a + 2a cos a:
Proposicion XV.1.3.- Sean a b] y c d] compactos. Sea : a b] c d] ! R continua y
tal que D2 exista y sea continua sobre a b] c d]. Sean f1 f2 : c d] ! a b] derivables.
Entonces
Z f2(y)
g(y) =
(x y) dx
f1 (y)
262
XV Integrales Dependientes de un Parametro
es derivable sobre (c d) y se tiene
g (y) =
0
Z f (y )
2
f1 (y)
D2 (x y) dx + (f2(y) y)f2(y) ; (f1(y) y)f1(y):
0
Demostracion.- Planteemos
G(x1 x2 x3) =
Zx
2
x1
0
(t x3) dt
con x1 x2 2 a b], x3 2 c d]. Entonces
g(y) = G(f1 (y) f2(y) y)
y por lo tanto
g (y) = D1 G(f1(y) f2(y) y)f1(y) + D2 G(f1(y) f2(y) y)f2(y) + D3 G(f1 (y) f2(y) y)
0
0
0
Calculemos las derivadas parciales
D3 G(f1(y) f2(y) y) =
Zx
x1
2
D2 (t x3) dt
por la proposicion precedente.
Por el primer teorema fundamental del calculo integral, se tiene
@
D1 G(f1(y) f2(y) y) = @x
Zx
;
x2
1
(t x3) dt = ;(x1 x3):
De donde la formula enunciada.
XV.2 Ejercicios
1.- a) Demostrar la identidad
Z x
0
b) Calcular
e
u2 du
;
2
Z
Z 1 e x2 (t2+1)
=4;
dt:
t2 + 1
0
;
1
e u2 du:
;
0
263
XV.2 Ejercicios
2.- Encontrar una primitiva de
f (x) =
Z
Calcular
Calcular
eax sin x dx y
0
Z
1
e
ax sin(bx) dx y
;
0
1
(x2 + a2 )2
Z
0
Z
0
a 6= 0:
xeax sin x dx:
1
xe ax sin(bx) dx
;
despues de haber determinado para que valores reales de a y b estas integrales
impropias convergen.
Captulo XVI
La Integral de Riemann en los Espacios n
Dimensionales
XVI.1 Construccion de la Integral
Recordemos que la construccion de la integral de Riemann de una funcion f : a b] ! R
acotada y a b] compacto, pasaba por:
i) construcciones de divisiones D de a b],
a = x0 < x1 < < xn = b:
ii) formando sumas de Riemann para f correspondientes a D
f (D) =
n
X
i=1
f ( i)i donde i = xi ; xi 1 y 2 Ii = xi 1 xi].
iii) formando peque~nas y grandes sumas de Darboux.
;
;
sf (D) =
n
X
i=1
mi i Sf (D) =
n
X
i=1
Mi i donde mi = xinfI f (x), M = sup f (x).
i
x Ii
iv) Para el resto repasar el captulo VIII.
La generalizacion a R n consistira en considerar una aplicacion f : A ! R donde A R n
compacto y f acotado.
Los subconjuntos compactos de R n mas simples, para n = 1 son los intervalos compactos, para n = 2 los rectangulos cerrados y acotados, para n = 3 los paraleloppedos,
estos subconjuntos tienen algo en comun.
Denicion XVI.1.1.- Sean I1 : : : In n intervalos de R , entonces, el conjunto
2
2
C = I1 I2 In
266
XVI La Integral de Riemann en los Espacios n Dimensionales
se llama celda.
Remarca.- Una celda C R n sera:
i.- cerrada, si y solamente cada Ik es cerrado
ii.- abierta, si y solamente si cada Ik es abierto
iii.- acotada, si y solamente si cada Ik es acotado
iv.- compacta, si y solamente si cada Ik es compacto.
Denicion XVI.1.2.- Sea C = I1 I2 In una celda acotada, con ai < bi
i = 1 : : : n extremidades del intervalo Ii , se dene el volumen (C ) de C como
=
n
Y
(bj ; aj ):
j =1
Denicion XVI.1.3.- Sea C R n una celda acotada, el diametro de C esta dado por
diam C = sup kx ; yk :
xy C
2
Division de una Celda Compacta
Sea C una celda compacta de R n ,
C = I1 I2 In :
Denicion XVI.1.4.- Una division D de C , es
D = D1 D2 Dn donde Dk es una division de Ik , k = 1 : : : n.
Una division de Ik podemos escribirla como
ak = xk 0 < xk 1 < < xk mk = bk :
Por consiguiente D divide la celda C en m1 m2 : : :mn subceldas
Cj1 j2 :::jn = x1 j1 1 x1 j1 ] x2 j2 1 x2 j2 ] xn jn 1 xn jn ]
;
;
;
donde 1 ji mi , i = 1 : : : n.
Denicion XVI.1.5.- La malla o norma de una division D de una celda C en R n , se
denota (D) esta dada por
(D) = 1max
(diam Cj )
j m
donde Cj es subcelda y m es el numero de subceldas de la division.
267
XVI.1 Construccio n de la Integral
Sumas de Riemann
Sea f : C ! R , C R n celda compacta y f acotada. Sea D una division de C en
subceldas C1 C2 : : : Cm. Una suma de Riemann para f y la division D esta dada por
f (D) =
m
X
j =1
f ( j )(Cj )
donde j 2 Cj
Denicion XVI.1.6.- f es Riemann integrable sobre la celda C si existe J 2 R tal que
8
> 0, 9 > 0 tal que
(D) < y D division de C ) jf (D) ; J j < :
Si J existe, es unico y se lo denota
Z
C
f
Z
C
f( ) d Z
C
f (x1 : : : xn ) dx1 dx2 : : : dxn en R2 , respectivamente en R 3 se escribe a menudo
ZZ
C
f (x y) dx dy
ZZZ
C
f (x y z) dx dy dz:
Sumas Peque~nas y Sumas Grandes de Darboux
Sea f : C ! R , C R n celda compacta y f acotada. Sea D una division de C en
subceldas C1 C2 : : : Cm. Se denen: la suma peque~na de Darboux como
sf (D) =
la suma grande de Darboux como
Sf (D) =
m
X
(inf f )(Ck )
k=1 Ck
m
X
(sup f )(Ck ):
k=1 Ck
Como en el caso de una variable se muestra:
i) un anamiento de D disminuye S y aumenta s. De donde
sf (D1 ) Sf (D2)
y D2 divisiones de C , (utilizar el hecho que D1 D2 ana D1 y D2.
Ademas es facil ver que inf Sf (D) y sup sf (D) existen en R y ademas
D1
D
D
sup sf (D) inf Sf (D):
D
D
268
XVI La Integral de Riemann en los Espacios n Dimensionales
Se denota
Z
;
inf Sf (D) =
D
f
C
la integral superior de f sobre C y
Z
sup sf (D) =
D
f
;
C
la integral inferior de f . Por lo tanto
Z
Z
;
f
;
C
f:
C
Se demuestra como para las funciones f de una variable, ver captulo VIII.
Teorema XVI.1.7.- f es Riemann integrable sobre C , si y solamente si Sf (D);sf (D) !
0, cuando (D) ! 0.
Teorema XVI.1.8.- f es Riemann integrable sobre C , si y solamente si
Z
Z
;
f=
;
C
C
f:
Proposicion XVI.1.9.- Se tiene:
1.- Si f es integrable sobre una celda C R n y si C = C1 C2 , C1 \ C2 = C1 y C2
celdas, entonces f es integrable sobre C1 y sobre C2 y se tiene
Z
C
f=
Z
C1
Z
f + f:
C2
2.- Si f : C ! R , C R n celda, C = C1 C2 con C1 \ C2 = . Si f es integrable sobre
C1 y C2 , entonces f es integrable sobre C .
3.- Si f es integrable sobre C celda en R n y 2 R , entonces f es integrable y
Z
C
Z
f = f:
C
4.- Si f y g son integrables sobre C , entonces f + g lo es tambien y
Z
C
(f + g ) =
Z
C
Z
f + g:
C
269
XVI.2 Funciones Integrables
5.- Si f es integrable sobre C y si m f (x) M , 8x 2 C , entonces
Z
m(C ) f M(C ):
C
6.- Si f es integrable sobre C , entonces jf j lo es tambien y se tiene
Z
C
f
Z
C
jf j :
7.- Si f y g son integrables sobre C , entonces fg lo es tambien
8.- Si f : C ! R es acotada e integrable y si inf
jf (x)j > 0 entonces 1=f es integrable.
C
XVI.2 Funciones Integrables
Proposicion XVI.2.1.- Si f : C
Rn ! R
entonces f es integrable.
Demostracion.- Suciente mostrar que
es continua, C celda, si f es continua,
Sf (D) ; sf (D) ! 0
cuando (D) ! 0. En efecto, como f es continua sobre C y C es una celda compacta,
f es uniformemente continua, de donde 8 > 0, 9 > 0, tal que
kx ; x0 k < y x x
2 C ) jf (x) ; f (x0 )j <
0
(C ) :
Sea C1 C2 : : : Cm una division de C con < . Cada Ci es compacto y f continua,
por lo tanto existen i 2 Ci y i 2 Ci tales que
mi = min
f = f ( i ) Mi = max
f = f ( i):
Ci
Ci
De donde
si < .
Sf (D) ; sf (D) =
m
X
i=1
(Mi ; mi )(Ci ) <
m
X
= (
C
)
i=1
270
XVI La Integral de Riemann en los Espacios n Dimensionales
Conjuntos Despreciables
Denicion XVI.2.2.- Un subconjunto E de R n es despreciable en R n si 8 > 0 existen
un numero nito de celdas compactas de R n , C1 : : : Cr tales que
E rk=1 Ck r
X
k=1
(Ck ) < :
Ejemplos
1.- Un intervalo (a b) de R no es despreciable en R , pero es un subconjunto despreciable
de R 2 .
2.- Una sucesion acotada fak gk=1 de R con un numero nito de puntos de acumulacion
es un conjunto despreciable en R .
En efecto, sean f1 : : : r g todos los puntos de acumulacion de la sucesion fak gk=1 ,
sabemos que al menos existe un punto de acumulacion porque la sucesion es acotada.
Tomemos r intervalos de longitud =(2r), cada uno centrado en cada uno de los i .
Queda un numero nito de N terminos de la sucesion. Coloquemos cada uno de
estos N puntos al centro de un intervalo de longitud =(2(N + 1)). Por consiguiente
fan g es recubierto por r + N intervalos, cuya suma de longitudes vale
1
1
r 2r + N 2(N + 1) < :
Proposicion XVI.2.3.- Se tiene:
1.- La unon nita de conjuntos despreciable es despreciable.
2.- Todo subconjunto de un conjunto despreciable es despreciable.
3.- Un conjunto despreciable es acotado.
4.- En la denicion de conjuntos despreciables las celdas Ck pueden ser abiertos o
cerrados.
Demostracion.- Ejercicio.
Teorema XVI.2.4.- Sean C celda compacta de R n y f : C ! R acotada. Si el conjunto
de discontinuidades de f es despreciable, entonces f es integrable.
Demostracion.- Sea D el conjunto de las discontinuidades de f , D C . Sea > 0,
como D es despreciable, existen D1 D2 : : : Dm celdas abiertas de R n tales que
D mk=1 Dk m
X
k=1
(Dk ) < :
Denotemos G = m
k=1 Dk , G es abierto porque cada Dk es abierto. Sea H = C ; G, H es
cerrado.
Tenemos que f es continua sobre C ; D, por consiguiente sera continua sobre H .
Ahora bien, H es acotado y cerrado, por lo tanto compacto, de donde f es uniformemente
continua sobre H . Es decir, 8 > 0, 9 > 0 tal que
kx ; y k < ) jf (x) ; f (y )j < :
XVI.3 La Integral de Riemann sobre Conjuntos Acotados
R
271
Mostremos que f existe, es suciente mostrar que
C
Sf (D) ; sf (D) ! 0 cuando (D) ! 0:
Tomemos una division de C de malla < , (el de la continuidad uniforme de f sobre
H ), La division se la ana prolongandola a las caras de los Dk , lo que da una division D
de C tambien de malla < .
, sea
D divide C en subceldas cerradas C1 C2 : : : Cl . Para cada i se tiene Ci G
Ci H . Denotemos ademas
m = inf
f
C
M = sup f
C
mi inf
f
Ci
Mi inf
f
C
i
Se tiene
Sf (D) ; sf (D) =
lo que se puede escribir
Sf (D) ; sf (D) =
X
Xl
i=1
(Mi ; mi )(Ci )
(Mi ; mi )(Ci ) +
Ci G
Procedamos por separado con cada suma,
X
Ci G
(Mi ; mi )(Ci) (M ; m)
X
Ci H
(Mi ; mi )(Ci ) As de esta manera, 8 > 0, 9 > 0 tal que
X
Ci G
X
Ci H
X
Ci H
(Mi ; mi )(Ci ):
(Ci ) = (M ; m) :
(Ci ) (C ):
Sf (D) ; sf (D) < (M ; m + (C )) para toda division D con malla < . Por lo tanto
Z
C
existe.
f
272
XVI La Integral de Riemann en los Espacios n Dimensionales
XVI.3 La Integral de Riemann sobre Conjuntos Acotados
Queremos extender la denicion de integral de Riemann a subconjuntos acotados de R n
cualquiera. Partimos de la denicion de integral sobre celdas compactas de R n .
Sean E R n acotado y f : E ! R acotada y se dene la prolongacion de f a R n
fE : R n ! R
como
(
f (x) si x 2 E
0 sino
Es decir fE = f E , donde E es la funcion caracterstica de E .
Entonces para todo celda C compacta de R n y en particular C E ,
fE (x) =
Z
;
fE
C
Z
fE
;
C
estan bien denidas.
Proposicion XVI.3.1.- Si C1 y C2 celdas compactas de R n que contienen E R y
f : E ! R acotado, entonces
Z
;
Z
Z
C2
;
;
fE = fE C1
Z
fE =
fE :
;
C1
C2
Demostracion.- Ejercicio.
Denicion XVI.3.2.- Si f : E ! R acotado, E R n acotado,
Z
;
E
Z
Z
C
;
;
f = fE Z
f = fE ;
E
donde C E celda compacta de R .
Si f : E ! R acotado, E R n acotado
Z
;
E
f=
Z
;
E
C
f
XVI.3 La Integral de Riemann sobre Conjuntos Acotados
273
se dira que f es integrable sobre E y
Z
E
Z
;
f=
E
f:
Teorema XVI.3.3.- Sean f : E ! R acotada, E R n acotado. Si Fr(E ) es despreciable
y el conjunto de discontinuidades de f es despreciable, entonces
Z
E
f
existe.
Demostracion.- Sea D el conjunto de discontinuidades de f , por hipotesis D y Fr(E )
son despreciables, por lo tanto D Fr(E ) es despreciable. Consideremos fE : R n ! R
fE (x) =
(
f (x) si x =2 E
0 sino
fE es continua sobre E CR, que es un abierto sobre el cual fE (x) = 0. fE es continua
sobre el conjunto E ; D, por lo tanto lo es tambien sobre E ; D, porque fE = f y f es
continua. De donde
fE : R n ! R
es continua, excepto quizas en un conjunto despreciable de puntos D Fr(E ). Por el
teorema XVI.2.4 fE es integrable sobre toda celda compacta C de R n , por consiguiente
Z
C
f
existe.
Proposicion XVI.3.4.- Sea A Rn un conjunto despreciable de R n . Entonces A es
integrable sobre A y se tiene
Z
A
A = 0:
Demostracion.- Sea > 0, A despreciable, entonces existen D1 D2 : : : Dr celdas
abiertas con
Tomemos C
A ri=1 Di r
X
(Di ) < :
i=1
n
celda compacta de R tal que C ri=1 Di , denotemos G = C ; ri=1 Di 274
XVI La Integral de Riemann en los Espacios n Dimensionales
Construyamos una division D de C prolongando todas las caras de los Di . Sean
C1 C2 : : : Cm las subceldas de C por la division D. Se tiene
SA (D) =
m
X
X
sup A (Ci ) =
i=1 Ci
sup A (Ci ) Ci G Ci
6
r
X
i=1
(Di ) < :
Por lo tanto 8 , existe una division D de C tal que
SA (D) <
lo que signica que
Z
;
A < C
por otro lado, porque A (x) 0, se tiene
Z
;
C
de donde
Z
C
A 0
A = 0:
para todo celda C A compacta, por lo que
Z
A
A = 0:
Teorema XVI.3.5.- Sea E R n acotado y sean f g : E ! R acotadas. Supongamos
R
que f = g salvo quizas sobre un conjunto despreciable A de C , Entonces si f existe,
E
R g existe tambien y
E
Z
E
Z
f = g:
E
Demostracion.- Consideremos h : E ! R denida por h = f ; g. Por hipotesis
A = fx 2 E jh(x) 6= 0g
es despreciable. Por lo tanto por la proposicion precedente
Z
A
A = 0:
275
XVI.4 Integrales Iteradas e Integral de Riemann
f y g acotadas, h es acotadas, digamos que m h(x) M para todo x
Introduzcamos hE : R n ! R denida como mas arriba. Se tiene por consiguiente
2
E.
mA (x) hE (x) MA(x)
para todo x 2 R n .
Tomemos una celda compacta C que contenga A. Se tiene
Z
Z
C
C
0 = m A =
Z
Z
Z
;
C
C
;
mA hE hE C
R
MA = 0
de donde hE es integrable sobre C y hE = 0, por lo tanto
C
Z
E
h = 0:
Como g = f + h, g es integrable sobre E y ademas
Z
E
Z
Z
Z
E
E
E
g = f + h = f:
Corolario XVI.3.6.- Si A E R n , A despreciable y E acotado. Si f : E ; A ! R
acotado y si
Z
E A
f
;
existe, entonces se puede denir
y decir que f es integrable sobre E .
Z
E
f=
Z
E A
f
;
XVI.4 Integrales Iteradas e Integral de Riemann
Sean I Rm y J R q dos celdas compactas, entonces K = I J es una celda compacta
en Rn con n = m + p.
276
XVI La Integral de Riemann en los Espacios n Dimensionales
Sea f : K
celda I , y
!R
acotada y suponemos que la funcion f ( y) es integrable sobre la
Z
(y) = f (x y) dx
es integrable sobre la celda J es decir
I
1
Z 0Z
@ f (x y) dxA dy
J
I
existe es una integral iterada.
De la misma manera, se podra integrar, si f (x ) es integrable sobre J , luego sobre
I y obtener la integrar iterada
1
Z 0Z
@ f (x y) dyA dx:
I
J
Si estas 2 integrales iteradas existen, >son iguales?. Y si
Z
K
f
existe, >cual es la relaci
R on entre estas 2 integrales iteradas y la integral sobre K ? >Que
relacion existe entre f y las integrales iteradas que se pueden formar descomponiendo
K
K?
R
En general, ninguna. Por ejemplo, puede suceder que f exista, pero ninguna de
K
sus integrales iteradas. O Rbien, puede suceder que las integrales iteradas existan e incluso
que sean iguales, sin que f exista.
K
A continuacion enunciaremos algunas proposiciones que nos permitiran determinar
condiciones sucientes para que encontrar relaciones entre la integral y las integrales
iteradas.
Teorema XVI.4.1.- Sean I R m y J R q dos celdas compactas y f : I J ! R
acotada tal que
Z
I J
F : J ! R dadas por
exista. Entonces las dos funciones F
F (y) =
F (y) =
Z
;
ZI
;
I
f (x y) dx
f (x y) dx
XVI.4 Integrales Iteradas e Integral de Riemann
son integrables sobre J y se tiene
Z
Z
F (y) dy =
J
F (y) dx =
J
Z
277
f:
I J
Demostracion.- Sea D una division de I J , esta division es de la forma D = DI DJ ,
donde DI es una division de I y DJ es una division de J .
Denotemos I1 : : : Ir las subceldas de I por la division DI y J1 : : : Js las subceldas
de J por la division DJ . Entonces D divide I J en subceldas de la forma Ik Jl .
Se tiene
Z
F (y) = f (x y) dx
;
I
jemos una de las subceldas Jl y un y 2 Jl , de donde
r
X
F (y) Sf ( y)(DI ) = sup f (x y)(Ik) = S1
k=1 x Ik
r
X
sup f(Ik ) = S2 :
I
k=1 k Il
2
Por lo tanto
X
sup F (y) sup f(Ik )
r
y Jl
k=1 Ik Il
para todo Jl . Multiplicando ambos lados por (Jl ) y observando que
2
(Ik )(Jl ) = (Ik Jl )
y luego adicionando, se obtiene
s
X
(Jl ) sup F
s X
r
X
l=1 Jl
es decir
sup f(Ik Il )
l=1 k=1 Ik Jl
SF (DJ ) Sf (D)
por lo tanto
Z
;
J
F (y) dy Sf (D)
para toda division D de I J , de donde
Z
;
J
F (y) dy inf Sf (D) =
D
Z
;
I J
f:
278
XVI La Integral de Riemann en los Espacios n Dimensionales
Como f es integrable sobre I J , se tiene obviamente
Z
;
J
F (y) dy Z
I J
f:
De la misma manera, partiendo de F y utilizando inf en lugar de sup, se obtendra
Z
F (y) dy ;
Z
;
J
Pero F
F ,
I J
F (y) dy Z
I J
Z
f F (y) dy:
;
de donde
Z
;
J
f:
J
Por consiguiente, se tendra
Z
J
Z
Z
;
J
;
F F F
J
lo que conduce a F y F sean integrables sobre J y se tenga la igualdad enunciada.
Remarca.- Se tiene siempre, para f acotada
Z
Z
;
f (x ) dx f (x ) dx:
;
I
Z
Z
I
El teorema muestra, incluso si
;
f (x ) dx < f (x ) dx
I
;
R
I
es decir f (x ) dx no existe.
I
Corolario XVI.4.2.- Supongamos que f ( y) sea integrable sobre I para todo y 2 J ,
entonces la conclusion del teorema se convierte en
Z
I J
Z Z
f = ( f (x y) dx) dy:
J I
279
XVI.4 Integrales Iteradas e Integral de Riemann
R
Si ademas de las otras hipotesis f (x y) dy existe para todo x 2 I , se tiene
Z
I J
Z ZJ
Z Z
J I
I J
f = ( f (x y) dx) dy = ( f (x y) dy) dx
Teorema XVI.4.3.-R Sean I R m y J Rq celdas compactas y f : I J ! R . Si
1.- f es acotada y f existe,
I J
R
2.- f (x y) dx existe para todo y 2 J ; A, A despreciable.
I
Entonces
Z
Z Z
f = ( f (x y) dx) dy:
I J
J I
Demostracion.- Si remplazamos la condicion 2) por
Z
;
I
f (x y) dx existe
R
R
;
se tiene el teorema XVI.4.1. Ahora bien f (x y) dx y f (x y) dx existen y son iguales
I
I
sobre J ; A. Por el teorema VI.3.5 son integrables sobre J y sus integrales son iguales.
Situacion Tpica
En la seccion precedente, hemos denido la integral de Riemann sobre conjuntos
acotados E de R n . La utilizacion de integrales iteradas constituyen un medio de calculo.
Por ejemplo, si se tiene 1 2 : a b] ! R continuas con 1 (x) 2 (x) para todo
x 2 a b]. E es el subconjunto compacto de R 2 denido por
E = f(x y)ja x b y 1 (x) y 2 (x)g:
φ1
φ
2
a
b
280
XVI La Integral de Riemann en los Espacios n Dimensionales
Se puede mostrar facilmente que Fr(E ) es despreciable, porque los i son continuas. Por
consiguiente, si f : E ! R es acotada e integrable
Z
E
f=
ZbZd
a
(
c
donde E a b] c d]. Observamos que
Zd
c
de donde
Z
E
Z (x)
2
fE (x y) dy =
f=
fE (x y) dy) dx
1 (x)
Z b Z (x)
a
(
2
f (x y) dy
f (x y) dy) dx:
1 (x)
XVI.5 Ejercicios
1.- Sean E R n acotado, y f : E
compacta C tal que C E ,
! R
tiene el mismo valor. Lo mismo para
Z
acotada. Demostrar que para toda celda
;
C
Z
fE
fE :
;
I
2.- Si : a b] ! R es continua y a b] compacto, el conjunto
f(x y ) 2 R 2 jy
= (x)g
es un subconjunto despreciable de R 2 .
3.- Denotemos I = 0 ] 0 1]. Se dene f : I ! R por
f (x y) =
(
cos x si y 2 Q 0 sino:
XVI.5 Ejercicios
R R
que 01 ( 0 f (x y) dx) dy existe, pero que ni
RMostrar
f (x y) dx dy no existen.
R (R 1 f (x y) dy) dx, ni
0 0
281
I
4.- Sea fpk gk=1 la sucesion creciente de numeros primos. Se considera el conjunto
A = k=1 Ak donde Ak = f( pm pn )jm n = 1 : : : pk ; 1g:
k k
1
1
a) Mostrar que A es denso en I = 0 1] 0 1], pero que toda paralela a uno de los
ejes de coordenadas contine solamente un numero nito de puntos de A.
b) Si f : 0 1] 0 1] ! R es tal que
f( ) =
mostrar que
Z1Z1
R
0
existen, pero no f .
I
(
0
(
f (x y) dx) dy
1 si 2 A
0 sino
Z1Z1
0
(
0
f (x y) dy) dx