NUMEROS COMPLEJOS-MARCO TEORICO

TEMA: NÚMEROS COMPLEJOS
SUCESIVAS AMPLIACIONES DEL CAMPO NUMERICO


Naturales " N" 


Cero " O"

 Números
 Enteros " Z" 



Números




Negativos " N -" 
 Números

Racionales " Q"
Números


Fraccionar ios 


y Decimales 
 Números
 Reales " R"

Números

Irracional es " I" 
Números
Números



 Números
 Complejos " C"



Imaginario s 
NUMEROS COMPLEJOS
En el conjunto de los números reales no es posible obtener las raíces de índice par y
radicando negativo. Ejemplo.
 25  +5 por que (+5) 2 = +25
 25  -5 por que (-5) 2 = +25
No hay ningún número tal que elevado al cuadrado de por resultado el número -25. Para
resolver estas operaciones se amplía el conjunto de los números introduciendo nuevos
números llamados imaginarios.
Por ejemplo:
25  5i
49  7i
NUMEROS COMPLEJOS (FORMA BINOMICA)
Son expresiones (a+bi), done a y b son números Reales.
El número “a” se llama parte o componente Real. El número “b” se llama parte o
componente Imaginaria.
Ejemplo:
 5+3i  5 Componente Real, 3 la Componente Imaginaria.
 -7+4i  -7 Componente Real, 4 la Componente Imaginaria.
 -1-i  -1 Componente Real, -i la Componente Imaginaria.
1
CASOS ESPECIALES
 Si b=0, el Número Complejo se reduce a un Número Real, ya que a+0i=a.
Por Ejemplo: (7; 0i)
 Si a=0, el Número Complejo se reduce a: 0+bi=bi; es un Número Imaginario puro.
Por Ejemplo : (0;3i)
 Si a=0 y b=1, resulta el Número Complejo 0+1i, que es el Número Imaginario puro
cuya componente imaginaria es 1.
 Si a=0 y b=0, resulta el Número Complejo 0+0i, que es el Número Complejo cero,
y se escribe 0.
EL CONJUGADO DE UN NÚMERO COMPLEJO
Dos números complejos se dicen conjugados cuando tienen la misma componente real y la
componente imaginaria de igual valor absoluto pero de distinto signo.
Simbólicamente.
Se llama complejo conjugado de a+bi al complejo a-bi
Ejemplo.
 3+2i3-2i
 -45-8i-45+8i
 4+ 5 i4- 5 i
Se cambia sólo el signo de la componente imaginaria.
LA UNIDAD IMAGINARIA “i”
Llamamos unidad imaginaria “i” que es igual a la raíz cuadrada de menos uno
De esta manera, tenemos:
2
i=  1  i2 =
 1  = -1
i2 = -1
1 .

REPRESENTACION GRAFICA DE LOS NUMEROS COMPLEJOS
Como los números complejos son pares de números reales podemos efectuar una
representación de los mismos mediante el plano R. En esta representación se le dice eje
real (Re) al eje de las
y eje imaginario (Im) al eje de las .
2
Ejemplos:
z1 =–1+2i;
z2 =–2–3i;
z3 =4–1i;
z4 =–5;
z5 =3i;
SUMA DE NUMEROS COMPLEJOS
Se llama suma de dos o más números complejos al complejo que tiene como componente
real la suma de las componentes reales y como componente imaginaria la suma de las
componentes imaginarias de los números sumandos.
En símbolos:
(a+bi)+(c+di)+(p+qi)=(a+c+p)+(b+d+q)i
Ejemplo 1°:
(2+3i)+(1-i)+(-5+4i)=(2+1-5)+(3-1+4)i=-2+6i
Ejemplo 2°:
 1  1 i  +  3-2i  =  1  3i    1  2i  = 7  5 i
2 3
2
3
2 3
SUMA DE NUMEROS COMPLEJOS CONJUGADOS
La suma de dos complejos conjugados da por resultado un número real que es el duplo de
la componente real.
Simbólicamente:
a  bi   a  bi)  a  b i  a  b i 2.a
Ejemplo 1°:
(8+0,7i)+(8-0,7i)= 2. 8= 16
Ejemplo 2°:
( 5  4i)  ( 5  4i)   2 5
3
RESTA DE NUMEROS COMPLEJOS
La diferencia entre dos números complejos es el complejo que tiene por componentes real
e imaginaria, respectivamente, la diferencia entre las componentes reales y entre las
componentes imaginarias del minuendo y del sustraendo.
En símbolo:
a  bi   c  di
  a  c   b  d i
Ejemplo 1°:
(11+5i)-(7+2i)= 11+5i-7-2i=4+3i
Ejemplo 2°:
(-3+i)-(0,5-5i)=-3+i-0,5+5i=-3,5+6i
RESTA DE NUMEROS COMPLEJOS CONJUGADOS
La resta de dos números complejos conjugados es un número imaginario que es el duplo de
la componente imaginaria del minuendo.
Simbólicamente:
a  bi   a  bi
  a  bi  a  bi  2  bi
Ejemplo 1°:
Ejemplo 2°:
(4+5i)-(4-5i)=2.5i=10i
6
3
1 3  1 3 
  i    i  2 i  i
5
5
2 5  2 5 
MULTIPLICACION DE NUMEROS COMPLEJOS
Para multiplicar dos números complejos se aplica la propiedad distributiva como se tratara
de números reales.
No olvides que i 2 = -1
Simbólicamente:
(a+bi)+(c+di)=ac+adi+bic+bidi=ac+adi+bic+bd i 2 =ac+adi+bic+bd(-1)
=ac+adi+bic-bd=(ac-bd)+(ad+bc)i
Ejemplo 1°:
(3+4i)(2-5i)=3.2-3.5i+4i.2-4i.5i=6-15i+8i-20i2 =6-15i+8i-20(-1)=6-15i+8i+20=26-7i
Ejemplo 2°:
2
2
2 4
2 4
2

2
  4i 1  2i    1   2i  4i  1  4i  2i   i  4i  8i   i  4i  8   1
3
3
3 3
3 3
3


2 4
26 8
 i  4i  8 
 i
3 3
3 3
4
MULTIPLICACION DE COMPLEJOS CONJUGADOS
El producto de dos complejos conjugados es igual a la suma de los cuadrados de las dos
componentes y da como resultado un número real.
Ejemplo 1°:
(2+7i)(2-7i)=2 2 7 2  4  49  53
Ejemplo 2°:
( 3  2i)( 3  2i)  ( 3) 2  (2) 2  3  4  7
DIVISION DE NUMEROS COMPLEJOS
Para dividir dos números complejos se multiplican el dividendo y el divisor por el
conjugado del divisor y luego se efectúan las operaciones indicadas.
Ejemplo 1°:
5  2i (5  2i)(4  3i) 20  15i  8i  6i 2 20  15i  8i  6(1) 20  15i  8i  6 14  23i





4  3i (4  3i)(4  3i)
16  9
25
25
4 2  32
14 23
 i
25 25
Ejemplo 2°:
6  3i
(6  3i)(2  i) 12  6i  6i  3i 2 12  6i  6i  3(1) 12  3 15




3

(2  i)(2  i)
4 1
5
5
2 2  12
2i
POTENCIACION DE NUMEROS COMPLEJOS
Potencias sucesivas de la unidad imaginaria “i”
i0  1
i1  i
i 2  1
i 3  i 1 .i 2  i.(1)  i
i 4  i.i.i.i  i 2 .i 2  (1).(1)  1
Regla : para elevar i a cualquier potencia hay que dividir la potencia de i por 4, y luego
elevamos la i al resto de la división.
Ejemplo:
i 322  i
322
02
resto de la división
 i 2  1
4
80
Siempre hay que dividir por 4, y queda siempre “i" elevada a lo que nos dió el resto de la
división.
5
CUADRADO DE UN NÚMERO COMPLEJO
Recordemos la fórmula del cuadrado de un binomio.
(a  b) 2  a 2  2ab  b 2
Ejemplo 1°:
(2  3i) 2  (2) 2  2(2)(3i)  (3i) 2  4  12i  9i 2  4  12i  9(1)  4  12i  9 
 5  12i
Ejemplo 2°:
(1  i) 2  (1) 2  2(1)(i)  (i) 2  1  2i  i 2  1  2i  (1)  1  2i  1   2i
CUBO DE UN NÚMERO COMPLEJO
Recordemos la fórmula del cubo de un binomio.
(a  b) 3  a 3  3a 2 b  3ab 2  b 3 
Ejemplo 1°:
(2  3i) 3  (2) 3  3(2) 2 (3i)  3(2)(3i) 2  (3i) 3
 1ro reemplazar
(2  3i) 3  8  3.4.(3i)  3.2.9i 2  (27i 3 )
 2do resolver potencias
(2  3i)  8  36i  54(1)  27(i)
 3ro resolver operaciones
3
(2  3i) 3  8  36i  54  27i
(2  3i) 3  46  9i
Ejemplo 2°:
(1  i ) 3  (1) 3  3(1) 2 .(i )  3(1)(i ) 2  (i ) 3
(1  i ) 3  1  3.1(i )  3(1)i 2  (i 3 )
(1  i ) 3  1  3i  3(i )  (i )
(1  i ) 3  1  3i  3i  i
(1  i) 3  1  5i
RAIZ CUADRADA
Al considerar los números complejos los radicales con índice par y radicando negativo
tienen solución.
 36  6i por que (6i) 2  36i 2  36(1)  36
 36  6i por que (6i) 2  36i 2  36(1)  36
Ejemplo 1°:
 8i
 64  
 8i
Ejemplo 2°:
 1
 i
1 
 2
 
4  1
 i

 2
Ejemplo 3°:
 2i
2  
 2i
6
Actividades
1) Realizar las siguientes sumas y restas de números Complejos
 3 5  7 2 
a)    i     i 
 4 2  4 3 
d) (
) (
)
b)  16  8i    3  7i 
(
(
e) 9  8i   9  8i 
2) Resolver los siguientes productos y cocientes de números complejos
2  3i
b) 4  2i
a) 2  3i 4  i 
(
3) Calcular:
(
4) Resolver el siguiente ejercicio combinado
i 20 . (3 + 2 i )
=
(6-4i)–(5–7i)
5) Dados los siguientes números complejos:
Z1  3  5i
Z 2  1  7i Z 3  4  i
Hallar: a) (
b )(
c) (
7