UNIVERSIDAD DE GUAYAQUIL FACULTAD CIENCIAS ADMINISTRATIVAS MATEMÁTICAS APLICADAS Carrera: Negocios Internacionales Curso: NIN-S-MA-1-3N Fecha: 10/09/20 Docente: Walter Giovanny Villamar Piguave Integrantes Kenneth Aguas Mariño Luis Almeida Arteaga Joel Álvarez Pincay Lilibeth Andrade Gurumendi Jasmely Amaya Castillo Denisse Arreaga Santana Briggitte Bacilio Pluas Jean Pierre Zambrano Pinto UNIVERSIDAD DE GUAYAQUIL FACULTAD CIENCIAS ADMINISTRATIVAS MATEMÁTICAS APLICADAS Máximos, Mínimos y Puntos de Inflexión Los máximos y mínimos de una función son los valores más grandes o más pequeños de ésta, ya sea en una región o en todo el dominio. Los máximos y mínimos en una función f son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos) que toma la función, ya sea en una región (extremos relativos) o en todo su dominio (extremos absolutos). Los máximos y mínimos también se llaman extremos de la función. Máximos y mínimos absolutos Los extremos absolutos son los valores de una función f más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos) de todo el dominio. ▪ El máximo absoluto de la función f es el valor más grande en todo el dominio. UNIVERSIDAD DE GUAYAQUIL FACULTAD CIENCIAS ADMINISTRATIVAS MATEMÁTICAS APLICADAS ▪ El mínimo absoluto de la función f es el valor más pequeño en todo el dominio. Los extremos absolutos también reciben el nombre de extremos globales. Máximos y mínimos relativos Los extremos relativos de una función f son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos) de una región del dominio. Los extremos relativos también son conocidos como extremos locales. ▪ La función f tiene en M un máximo relativo si f(M) es mayor que sus valores próximos a izquierda y derecha. UNIVERSIDAD DE GUAYAQUIL FACULTAD CIENCIAS ADMINISTRATIVAS MATEMÁTICAS APLICADAS En términos de sus derivadas, sean f y f ’ derivables en M. Entonces M es máximo relativo de f si: También se puede decir que M es un máximo relativo en su entorno si a la izquierda la función es creciente y a la derecha decreciente. ▪ La función f tiene en m un mínimo relativo si f(m) es menor que sus valores próximos a izquierda y derecha. En términos de sus derivadas, sean f y f ’ derivables en m. Entonces m es mínimo relativo de f si: También se puede decir que m es un mínimo relativo en su entorno si a la izquierda la función es decreciente y a la derecha creciente. Ejercicio: • Comenzamos por encontrar la primera y la segunda derivada de la función dada: UNIVERSIDAD DE GUAYAQUIL FACULTAD CIENCIAS ADMINISTRATIVAS MATEMÁTICAS APLICADAS • Ahora encontremos los puntos críticos La ecuación, es decir • Las soluciones de esta ecuación son. • Finalmente se evalúa si • o en los puntos críticos . Tenemos entonces que Entonces por el criterio de la segunda derivada, la función local en y determinar y un máximo local en tiene un mínimo . Los valores correspondientes de la función son: La siguiente Figura muestra la gráfica de la función propuesta. UNIVERSIDAD DE GUAYAQUIL FACULTAD CIENCIAS ADMINISTRATIVAS MATEMÁTICAS APLICADAS Punto de Inflexión El punto que, en una función continua, separa la parte convexa de la cóncava, se llama punto de inflexión de la función. En ellos la función no es cóncava ni convexa, sino que hay cambio de concavidad a convexidad o al revés. Los puntos de inflexión donde la función es derivable, tienen la característica de tener una recta tangente que cruza la gráfica de f. Ejemplo: El punto x=1 es un punto de inflexión, puesto que antes de x=1 la derivada segunda es negativa (convexa) y después de x=1 es positiva (cóncava). UNIVERSIDAD DE GUAYAQUIL FACULTAD CIENCIAS ADMINISTRATIVAS MATEMÁTICAS APLICADAS Los extremos relativos (máximos, mínimos y puntos de inflexión), pueden ser los puntos que hagan que la derivada primera de la función sea igual a cero: Estos puntos serán los candidatos a ser un máximo, un mínimo un punto de inflexión, pero para ello, deben cumplir una segunda condición. Cómo saber si un punto es un máximo, un mínimo o un punto de inflexión Si el valor de la derivada segunda en ese punto es mayor que cero, entonces ese punto es mínimo: Si el valor de la derivada segunda en ese punto es menor que cero, entonces ese punto es máximo: Si la derivada segunda en ese punto es igual a cero, entonces ese punto es un punto de inflexión, siempre y cuando la derivada tercera en ese punto sea distinta de cero: UNIVERSIDAD DE GUAYAQUIL FACULTAD CIENCIAS ADMINISTRATIVAS MATEMÁTICAS APLICADAS Ejercicio Vamos a obtener los extremos relativos de la siguiente función: En primer lugar, vamos a obtener los posibles extremos relativos, obteniendo la derivada primera de la función e igualándola a 0. 1. La derivada primera de la función es: 2. La igualamos a cero para obtener los puntos que cumplen esa condición: 3. Para resolver la ecuación, la simplificamos previamente: Como es una ecuación de tercer grado, la descompongo en factores por la regla de Ruffini: ✓ Cuyas soluciones son: Que corresponden a posibles máximos, mínimos o puntos de inflexión. UNIVERSIDAD DE GUAYAQUIL FACULTAD CIENCIAS ADMINISTRATIVAS MATEMÁTICAS APLICADAS • Ahora vamos a comprobar a qué corresponde cada punto. Estudiando el signo de la derivada segunda. Para ello obtenemos la derivada segunda de la función: Y calculamos el valor de la derivada segunda para cada uno de los valores que acabamos de calcular y que hacen que la derivada primera sea cero (x=-2, x=-1 y x=1). 4. Empezamos calculando el valor de la derivada segunda para x=-2: 5. El resultado es mayor que cero, por tanto, en x=-2 hay un mínimo: 6. Calculamos el valor de f» (x) para x=-1: 7. El resultado es menor que cero, por lo que en x=-1 hay un máximo 8. Y, por último, calculamos el valor de la derivada segunda para x=1: 9. Cuyo valor es mayor que cero, por lo que en x=1 hay un mínimo: UNIVERSIDAD DE GUAYAQUIL FACULTAD CIENCIAS ADMINISTRATIVAS MATEMÁTICAS APLICADAS Con los valores de x obtenidos a partir de igualar la derivada primera a cero, no hemos tenido ningún valor de f» (x) igual a cero, es decir, no hemos encontrado ningún punto de inflexión. Por tanto, vamos a calcular los puntos que hace que la derivada segunda sea igual a 0: 1. Igualamos la derivada segunda a 0: 2. Resolvemos la ecuación, cuyos resultados son: Estos dos valores son posibles puntos de inflexión, siempre y cuando cumplan que la derivada tercera para esos puntos sea distinta de cero. 3. Calculamos la derivada tercera de la función: 4. Y hallamos el valor de la derivada tercera para x=0,21: 5. Que es distinto de 0, por lo que en x=0,21 hay un punto de inflexión: 6. Hacemos lo mismo con x=1,24: UNIVERSIDAD DE GUAYAQUIL FACULTAD CIENCIAS ADMINISTRATIVAS MATEMÁTICAS APLICADAS 7. El resultado también es distinto de cero, por lo que en x=-1,24 hay un punto de inflexión Resumiendo, los extremos relativos que hemos encontrado son: • Un mínimo en x=-2 • Un máximo en x=-1 • Un mínimo en x=1 • Un punto de inflexión en x=0,21 • Un punto de inflexión en x=-1,24 UNIVERSIDAD DE GUAYAQUIL FACULTAD CIENCIAS ADMINISTRATIVAS MATEMÁTICAS APLICADAS
