Solucionario Geometría Analítica de Charles H. Lehmann ( PDFDrive.com )

y
LEHMANN
SOLUCIONARIO
Por : R. FIGUEROA G.
II
P~OLO GO
l'RHIERA EOICION :
Febrero 1983
SEGutH>A F.OIC I OII : Oc t ubre 1985
TERCERA F.OI CION:
.~ bril 19&7
Relmpres1Ón de la
TERCERA EDICION: Octub re 1990
Al p;:hli::~-!· este JtO:ro, ha. f"in.: rn ! ir:téneión, cont.r:.buir Ft d~sp~r~a.r pl ! nts.rés y 1~ :.:1:·1 ; iin del oat.u¿i_i:!"".tt:;
~o-r al es~uiio de la :;f:;OJ:~ t?~{a .J...r..l:.J {t ... ::~. O~~o .aá.7a!--tlr
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~r;ibJ'. jo no t:..cnt: }?i"a te!l~i6n. g.Jrn:::-'l
dét ser un 1:.. h""o d~dá·:!~i co o tle ~.ns.-~fit-.;iz11 ts.órice..
Cc1Jt;;id~:-o q,.~ e] libro e!~ C!f.IT. L~:,.:i:ar.n as eait·.fntcill.én Ld ildácti_ ce, pcr el 1 a t. e p-e~:r.i ti ext.:.~!H:? r, eri c,..¿:'i a.~
pítttlo .. ~l "hH!l~:J ~c.:n..12....,!i.S_y delilos """ ~~rlo:;. r..H3.ra des!n~Js r1
sol11::,: !:::~ pr,:-Clenie3 d ~- catle gl"'t:po. ?&r t i~ula?"m~.._.,ta m~
L#: e ~-... Ol"Ze,.do ~ar~"l qH1:t -~" p;t<>. bleit:1.u 1~;.essn re:H•!!!l :.o.s -:1.r.
foTDa : J a.l'a y ~r.n ci.~la 7 ds m.an-Qrs :¡ u;. !tO ee .:1n <Jst.01·hadt)!.
por c.par~cio:ic:;.
l:+T'1. t;;;.tioa.o
e-ngc•r-r,:; L~ :J.
Al ,fi:ic.l de e<,é.[,. c " i:,ítiü.o '.lni:'luyri pi·obl e=.a s re31Jel,;os
:1,~·- los propu estos
€t?'!
el te:<to da lvs
!"1e1·n.a.I!C1P
De La Bc!'"-
1
bol ' a, por f"on s id9l'"ai-1os , da JlH\;to:r g ra do dz rfi ( i cul t-a.d 4'
lü~'> Oe lehme.nn. E s .lndudábl.e qye ·,s to p~roi t irá ¡J es-:u-
El método de plantear y resol ver los p roblemas ,
a s ! como la diagr-ama ci ón y dispos i ción del libro s o n de pro pledad d·e J • a u tor.
Todo~ l os DERECHOS RESERVADOS en c u mpl i ~iento
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del cu~so d: ~oom~ t r.!a Ar-Afí t ics.
F-in~wen:ic . Jti !lgra dac i.)üe ct~ !I to:Í!l.s I os µi:,r,mr ;¡s, q 1
nen ana •;alion a s a11gBr e u cÜ-1 s hi~1.itrcr:. 1)0Si óle 1.u. ~~f:11 iz11
•
r
-
~ión de esta ºf~n. n~ aep,~~a.1,a ~~ joven ee~udian t e , a
t u d e:1eo cls ad~t:iri:r .~ayo r d<>;¡¡~Fº en s! tnna y a la ac.F.>J
tación :i::q d e t.u :urrt.g ~a:e,g.,0al es°í1e n o-de,:;;to tta ba ..j o.
El &.utor
PROBLEMAS y EJERCICIOS
de
GEOMETRIA
ANALITICA
Sol ucionario del Texto de:
CHARLES H. LEHMANN
Incluye un.a Seleccion d~ Problemas. Resueltos
del Texto ele F.J.Oe La Borbolla
K
TERCERA E 01 C I ON
'
R. FIGU EROA G.
V
I'I
1 NOIC: E GENER AL
1.
1.1
1,2
1.3
Sistema11 de Coordenadas
Segme~to ~octiJ{r,eo Di~i&ido
S18tcoa Coorden.ado Lineal
S.t:,itt,mas de Coordem,das ,;n el plano
3
4
5
6
PKOBLEH/\5 t!ESUi:I. TOS. Cz,upo l.
1. 1
1.5
QuUn. e<1tá d ¿,./:uP-dO a ,:.,e ali.za" rtf.vo,
Aal(.,:v,..á ic4 r.,edl<,A.
Ouiln n.o t~n.ga gana~ d~ AaeP--<-~, encon
:tAa.-,&
'-=
1. 6
1.7
d ¿.;c1d.pa<1 ,
1.8
Di&tll!lc ia !!ntre dos puntos
División de un .;¡eg::;en;.o en una :>azón dadu.
12
PROBLEHAS RESUELTOS. Crupo 2 .
13
Pencli ente de una recta.
Ar.g"1a POtre dos rectas.
23
PROBLEM:\S RESUELTOS, Crup o 3.
25
23
Demostracjones de teorema s geométricos por el
ti~todo analítico,
32
PROBLEHAS ijESUELTOS. Cr upo 4.
2. Gráfi c a de una Ec ua ció n
2, 1
2. 7
\
2.6
Gráfica ele \!na i,.c,uación. I:-rcerceptos
EY.ton,;ión • Asíntotas.
40
PSlOOLEMM 1RESUEl TOS,
ó,
L6
PROBLE14AS ) RESUELTOS, Cru,¡,o 7,
57
rupo
Ecuacion'.?9 ra.ct<:>rillab ea
Ecullción ae un Lugar Goom/trico .
PR08L(KAS RESUELTOS, Crup¡ 8,
\
3. L s
3, 1
J. 2
). 3
Lí n e a Recta
Formas de la ecuaci6n de una 1Ínc~ recta.
GrUP¡O ?.
67
PR-OBL[IIAS SlfSUfLTOS.
68
Forma Generrtl de l/l ocuao.i6n óc Unll racta.
Posicione~ relativas de ctroa rectas.
76
76
??
Pll 08l Et:AS RESUELTO S. Gr~o 10 ,
\
60
3. 4 Forma Normlll de l a e c uac¡6n de una T'tlct.a..
87
Co11t en. ¿do
PílOOIHIAS RCSUELIOS. Crupo Zl
'.l. 5
PHO!l.LE~~S RESUELTOS.
3.é
sci-
R>JCIUeci:fo a la foz·:i:a Normal
Crupo
11.
Aplica.clon'e!l· ..:e la forn:r:. :,oroal.
Pll06LENAS 11!:SUH rOS.
3. 7
:_rea de un t'rihl:.r:ul~ ..
J.e
,ami11& de r~ctac.
Grup<> 12,
s9
Si!T';)l.l.f;..canión de una e~u,;.ción po::- trens!orrao.ción :::e coo1•den ..uas.
<}J
PROBLEHAS RSUEL TOS .
95
Crupo 13
Crupo H
107
i 1~
f'ilOfllEWIS AOlCIONALU
4.
4• 1
4.2
'
d
•
130
Fo.r:n1i General de l&. ecuación d~ una Cir.:n;lll,~Tencia
131!
PROBLEMAS
1,:19
Crupo 16,
4~4
Fasllia d~ Cira~nferenaiaa
.;;,.$
Eje
l'ROBLtM\S E!CSL"tl
!.• 7
r,·s.
r.
, é?
7,:,
1f:7
Ec·H,~:é n de l
ll.
Oc• la Sorh,>1!,)
tang':>nt.c a en,. ¡,a.:-á~lc
Crupo 25
17J
Ditfi11ició:i >
? • 2 EcunniÓ.n do la Alip ~c.
:·. ;
t:-i't.c.cié~ tl~ i.;e:1: Coc1·de.r.c..'J!>f;.
1
22)
247
25i
259
Gru~o 28
1
r:eu.1ci6'1 de le t1m1; ,rnte
una ffl ip11c.
P?D'LE~AS RFSUELTOS. Grduo ¿9
La
1
J
1 279
Hipérbola
Jal .. niciér. . El e111en':-c s ¡¡ ., wi:, 1-, i¡,trbol ,:.
PROaLEHAS RFSUELTOS.
C~'fº 20,
2::;.1
249
Crupo 27
3:-c·.ieaión de l" él lp3J con véi·tic" c:i (b, Id .
3~~ación r,en~ral, dJ ~~ elirne
8.
:,. 1
:'-r~!:la.c1lt ·l~ Ej<. r-: Cc .... r-d-.:. .. -dc3.
215
La Elipse
(TPxto: F. Oe La k~rbu ll~J
Transformaelón de Coorden•das
PROBL.ttAS RESUFL10S.
Cro¡,o 2'+
f.>:10:JLEi•W, llllICIO/lALES,
AOlCIONALCS,
1
5.
21~
P:rn·\LEHi\S P.CSUfl ros.
~el~tivos a la c_rsu~ ~lt,nc~3.
ºROBlEK~S RfSUELTOS. Cr~pv 19
(l,,xto:
PHORLEil~S PFSUEL TOS.
P,<OULFll1\S RESl.lEL TOS.
7.~
Teor9mnG 'i Pro bleTa.S C.i:: •11 gert:~ ge!>rr:St.t!~vs
nROSLEMAS
214
1.
7.)
Crupo !S
E~t.6.CiÓ:, éc la p;;:.:-áool ~ con ,1ér,. :.ca "n {h, :.,:) ..
3c ,acién Ger.~ral do i..t111 Pa1·!bolo..
ADICIGllALES
(fnxto, F, De LA Ao c boll~)
152
Ta11~ent,, a Jllf. Circunférenc:ta,
el -:-r5.een
PllODI.EMAS
·7. 1
Grupo 17
l''.'.l
Crupo ?J
PRDULEMAS RESUELTOS .
1.;< 1
'ª U.cal.
PIWlllEHAS R(SUEL TOS,
L. 6
6. ~
Def1nic_lón y Ecuaci~'lC ~ •.
P?09t-E1t.,s R[StlE:l TOS. C.:rupo 15.
O,;finiclón
Ec;.i.;~d., f.e lu pa.ábol:1 con v"rtice
PRC!3LEll~S HESU[LíCIS,
6. 4
.L• Circ1r-nfere~da
RESUELTOS.
6. 1
6.~!
6.)
( r ..xta: F. lh, :;,;;. .E.:rt>-.>llnl
196
197
Grupo U
6. la Parábola
105
1C6
PROBLEM,s RE~UElTOS.
Pf<'H1LfHAS fltSUl:i ros.
S./.
188
c~~po JO
287
2'!8
3
Conicn i dc
2
H.,(
Aa!,,tota;; deo u:,;a hir,ér bo 111
.:,.. 5
E ... pé:~:. tt
1; ...
t.~~·!-.-nr!"',
PROSLWAS rESUEETUS.
s. 7
Crupo 31
S&~1md~ t::'!Ouaci&:n o.t"dlnar ia :;.e
'RU~!..EIMS RESUELTOS.
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8.,6 H!.;Jér:x>;.e.s eor.j:.>t:P-daz
i:;C':U'd) i Ón
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304
l,rupo 32
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295
296
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PA03l~M~S AO!CIO~!lfS (Te~to : F,
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1
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Sistemas de Coordenadas
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o~ La B~rbolla)
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l. l
SECIIEllTO RECT! ll tlEO DIRICIOO
? -:,:· la g¡¡om e Lr ía elemental sa bell!os que ls. porción de una
r ect a coopre~di d~ e~ tre dos pu~tos A y E se l ls.as ~ ~gQ~nio. Pe r o e~ ella nos~ hacía la distinci6n en~rc los &cgc e::tos } 3 y BA, porque noa inte::-aa<ibo. solamen te la longitu d
a~: ae~ ~cto . E.~ e: est~:iio de la Geo~etrí~ klal!tica es nec!
s~:-io ::,-;n tll d erar ~a!l to la longitu d co:co el :,é ;o: °tido. Cua:nc:o
;,os :·e.f'iraa:os a J.a longitud de un segmento, l o con3i ciera remos
cono une eAntidac ~cla tlua . Cuanjo n~a ::-efirazos tAnto e la
:.ct.¿¡:_:;u:i co=o el :;ct.tido ,ie u~ ·segao~to de. ra~-:a, l e ll=er emo,1 ¿"?'"en to Cltú.n.i ad.o. Entonc~s. entend(!)mOG por n gsento or ientado s:¡uel c·:;;o sell.~ido po3it1vo 21e . sido &legido. In eer,tid ~ pos'tivo se lnd!ca u3ual ~ente c olocando ~na flooh~ en :.J
g:'.~ l uga r d &l seg:i en.to .
1 1 ~~~
9 ..
1
9.3
Intr"-d!l:.:ciÓt! .
4. 2 Zr-c.~afo t-~~c ién _pcr 5 Q~O:l6n .
Tlpos de C6n.ie~~. 9.4 Inv~riant~ u .
PROOU:'.tlo\S RESUELTOS.
Crupo }4
3~7
na
32'1
Oefir.:lc i ÓL zn,e1<al. de la cónic a .
3/,0
PROCIL EMAS Rf SUEl TOS .
Cr· upo 35
31.1
9 . 6· 1 an~e n~ a la cónica g e n~ ra! .
PRO~L EHAS RESUELTOS.
Gr up o 36
3¡7
9, 5
1 O. 1 .5 i i, t e :nn. de c::>ordena::.11 s p e J.
347
:iy: s .
:-1. 2 Pa.r~Ja de ~co.,.de!ladat p an: ..in p ".lD~.,;, .
.; ?~, ~e coo~cezadas po2~res r. ~e~tar~rtü.are~
')5 7
'.; 57
~
·, l~ •1ers e..
Pfl{18l. Ei'<A S ll~Sl/!:1. ros .
1
Grl,upo 37
358
.359
1~ . ... 7~a~ito de ccrv~~ en zo=r~ ~~añ~ s pcl*re s
PROBL EMAS
~ESU8.. TOS.
crtp~
35
1
366
5
l:, ~erc ccc _one ~ d6 e~.L:va. 2 ffr~ ao:,r i~?l.?.d1 a poltt.res .
.. ~. 6 r,( 3:t?:t.n::ia --ir.~l"e d.oa ¡,1.a:to
PílOJ I E~ AS MCS UlL TOS, Grupo 3 ~
10 .
·; "'. '"! E=~nc::,.6 n d~ u.:aa :oc~s er: co~r ~en ado.~ pc lar~'- 4
10.' .:: - •uav.:1!l ."~ :ir.i
~). 9·
r:r.~ .10.r:ién
!x:-·.1~::c~e:1cis s-~ t:cer -;. . ;ol.1.::~s
ge'1~I'"cl e.le la=- cén .i ,~as en noor d .. ·.,ol er?.s
ríi0!3LfHAS AHUELHJS.
Gr upo 40
1
379
3S7
38~
389
39~
Figura 1
L ~3t' orisntad:. c:nao l o i c dics. 1;:. !lecl:c • lo·
cual si gnifica q~o cual1uie::- longi tui oedidn de izquierSa a
de re cha s::>b!'e 111 re ut a se consid.¡¡re. en ~ent1do pos1 t i ve. D<& o;
~os entcr.ce~ q~~ al segag~ to I'§' as positivo, en t~ ~to ~ua s i
E••f e::to Jrr es 1. -;1g11 t ivc. :n con~ido d e un sog:ia:1to aer~ ind l calc por el orden s n q ue oo escriben l.:is· oxtreno-s del s~g:n,¡11.S.:i!. la r ec ~
t o. Por tnnto, ten$~Os la rel ación:
n = -3.t
5
4
recta y los ndmeros reales, Tal esque11a ,;e llaoa un
Consld~re=o& la poeictón ac un tercer pu..~to C, eobro el ec3nento orlent,•do, cor. relnción !l. loe pun.toi.: A y B.
A
.e
H
-----e
~-
A
B
A
.... o
'
L+
I'igur ,.
Figi.::ra J
!"igure ?.
3
~
D& lo figuro. 2, tsne;c;oa:
= AC
+ CB
(1)
Do la. :figure 3~
AB· = ~c-..e +· ci
~=Tc+c'B
oea~ento di ri~ido que une dos puntos dadcs ae cbtieno, en ~a g:útud y signo, restando la eoordenada del ori•
¡¡on de la coordenada d-sl éxtre110.
Dcn:ostruci611:
De la fieura 4:
En efoc~o, sea la rec.a orientada l'X
Ail. ·= Tc; ~ :§e
+
Coc refsreceta a la figura 5. la recta l'X r,~ ll¡¡,¡¡¡a ~;e y sl
·punto ·o es el Mlg= dol sist!)ma coordenado lilleal. U .PUllto
P con su coordenada. (x) es la ~cpre~enteci6n geométrice o
gr~fics. del DÚll~ro real JC, y la coordenada (x) es la 11..t,,,.ic•
h&niaci6n anclltica del punto P. Juntos se es~ribe: P(x).
foorema 1. En un s:it1te!lla coordenado lir.cal, 1s. longitud del
J!.
+
Afi'. = Tc. + 'BB
P,n tanto, p1u•a lais trea, pooicionet1 ilu~traduo, es v,l.lida. la
xis~a roleci6n Gntre loo see~entos. Esta relaci6n puede escrt
bi '!'se on la torua, a4s conveniente:
Xc'+ci3+Bi,:o
X'
O
SISTEMA COllROENAOO LHIEAL
(O)
Según la relac1.6n ( ·¡) d,;l ar.tí culo 1 .1,
OP1 .. l5"iP2 = éW2
de dunde:
COb3idereQOS ur.a rcc~a !'X c~ya d.ireec1Ón positiva 68 ie
1zquie~d!l ~ ücreeh~, y se~· O un p~t.o !ijo ~obre ~sta línon,
--Pa
X'
Í 1'2)
o
¡¡
(O} ('T)
Pi
p
(x,)
ü:)
-x
Jieurs. 5
Si f, es w, ¡,unto ñe ,;•x rdt1.a<lo a lr, d&reeh~ de o. ls lone1.
tud OA pue.ic ccnoid;,1·=00 c,.,no u:iirl'-d de :.ougi tud En..onee:i
t•l r,u.1-to P, situo.;lo um1h1á., n · la dc~·ed1:i. ha O, contiHe -.. ve..
et>~ la :.u1id.a ::dop-ti1ó:"! !l- l .. :,g:.Lttd .Y ó.'t'¿¡~,~n nite c1 p·.'i...nto •.
c.c:~.1t.t:.1>.t:.·•Vuie l 1u'{noro p::r."'tJ.v~ Y'. }41:álog:.ui<!n;;b r.1 P~ e~ ~1
•;U!!to ;:•tt.~do -r,. la i:1..:,u •. :>rda ao O, eni.r>!'ce:r, dl.I'<,moll que 1,l
,=t"-;o F~ e,· ,~.,;,t.r..r.t.:. ~ .D1-~ (1. 12.-.."a.t-ü.~ ;¡;_¡_.
!..,
~ú
,)8 l:..
<:1,-t , b1-1.:10~ .t.nn~t,.11:!.dc
d!t'I
·;ui,
d(l2,"",l¡lO.OJt1J<CÍl1
il-1\
·t;c,!t:.cr;a pcr m~d..l.'o del cucl ~6
c,l\;.r:ÍVO<)tl enf,,,3 ¡,1i11'1,v~ do UJ.ll.i
l'2
P1
~~~~~-..~~~~~o-~~~~-a--~~~~-4,,,¡
+
· l, 2
¿,:-ó~a
eoo,,d¿¡-¡ado ·l.úu.af:.
X1 +'Í>1P~
F;F;, =
X.a -
tenelllo&:
X2
x1
En a~bos ea.sos, la longitud del segaento óirigido se ob.le•
ne reatando la coordenada. del punoo il:J.icial de le coordeoaóc
del pun.~ Cinal.
S1 1·9pre~er,tamou por d la d1.otanci..t ,to ai.,d gida entre P, y
Pa. &acribiremos:
o bien:
1,3
SISTEHA COOROENAOO EH EL PLANO
La estructuro del siste~a de coordenc.daa an el plano
consiste en un par dA rectas orientadas porpendicularea, 11!
ma.do 19 ejes coord11nado1I. La 1·ecta hol:'1:i:on~al es el eje X, la
S ú,J "'"'~ d.c Coo~denacia
6
~ lx1+2l=9 ....
x,T2=9
..-.. x,~7
vertioal el eje T, y :'>U 1nteraccci6o ol OA.i.f!M
}'..as cu11t¡•o partea en que el plano
qucd~ diviciido por lo~ ejoD ooory
deaados 60 llaoan ,~~ Y se
II(-,t)
I(+, t}
doeig~an p~r I. lI, III y IV ~n
ll --- - -,- P(x,y)
se~tido contr=io 111 de las 11anecilles del reloj. (Figura 6)
Un p"!lllto 3e indica dnndo au sentido y diotencia re3pecto a los ejes
!V(+,-)
uoordenadoa. El ner~ento orientado III(-,-)
oi~ru> se ropr~s~nta por x y oc 11~
na at4ci4a del p~nto P. ll segnento orientado OB•ii:P se reprooenta
Fi¡ura 6
por~ y se llama o~denada de P. i~
t1s dos c~ntidadee ae deno~!3an cooA.dc.n.ada~ del punto P y se
repre&ente por {x,y).
Si un punto est, a la derecha del eje Y, su 11bsciea es positin,, si est.t a lit izquierd11. o.el eje !, st: nbscise. es nee;att
v~. Si el p~~~o est, arriba del eje X, au ordene.da e, posit1
va, si está ab~jo dol eje X, su orden~de es negativa.
7
X2T2;- 9
6
6
1
Xz•-11
Por tonto, los p•ir,tos buscedcs son: P,(7) ó Pi(-11)
6.
En ur: s.!.st.ua eoo:rier• .:d= 11:teal, ?i(xi) '/ .? 2 (x 2 ) son los
p1.!11 tos oxtl'ono.s do.dos de un gcgnento dirigido. Demo3trar
que la eCOl'dtto3da {x) ie un pa:-ito P qu• di vio.e a J- 1p 2 en
:!.a raz6r. r- (P,?):(Pl',); u:
x _ x, + rx,
- 1+r
,
= x~-x
de dond<i:
7.
•
Er, efecto, por el teor~;a.
Dc1>.o.ái.r.ar:i.ór..
?1P • x-x, :, PP,
4
rr-1
X
• Lu!lgo, oi r ;
_
hl
:'~2
se tie:.e:
+
r,, x-x,
X2•X
x 1 + rx,
4
1+r
' xr- 1
Lll.Cieodo r~1 eJ lo f6 ·•41.a obtanida e, e: cjerciclo 6, d~
11:os~!'a.r qu~ la coor-it<nll.da del punto ned.!.o de un aag1e;to
r•ctilír,~o 03 h. t>c<l.io e ri. tmé t:I ca de ::.ae coordenad:,! de
lon p~~.os cx;r~==3.
tJcMOdi.1t,,ci6n..
[.EJERCICIOS. Crupo l
En efo1cto , si r.rl, en la fór:iiula ant1Jrior
X= x 1n1
se t.iena :
"'x¡;.x!
Halla~ les pun~cs de trisección y el FU~to ~edio del seg
dirigido cJyoa extrexoo son loo )>1,t.tos (-?) y (-19).
1:11J11t,o
9.
~allar la tliG~~ncia entre los puntoo cuy&u coordonade.e
son, (-5) y (6); (3) y ( -?); 1-8) y (-12).
Scl,,ci6n, Por el teore11a 1 se tie:ne:
Sotucl/.o,
Se~n P:(-7) , P,(-19) y
los pur.tos de Lri$ecciún (-7)
?(x,) 'I Q(x,)
Pa.-ra loe puntos ?1(-5) y P1(6): rl(Pi,P:)=lx 1 -xd.,l6-(-5)le11
Si P1(3) y Pa(-7)
d(F1,!'2)=lx1-x:l=l(-7)-JI- -101=10
P1(-8) y ?~(-12) .,. d(Pi.P2)=lxz-x1 '=I (-12)-(-8)1=1-41-(
Si ?
5.
,
Le dlstanci~ ontre doo pw,tos 8$ 9. Si uno de los punto~
ea (-2), hallar ~l o,ro punto. (Do~ casos.)
Soluc.:611.
Fntonces,
!IÍ
Suponecmon quo P 1 (-2l y P 2 (x 1 )
d(P 1 ,P 3 )=9 -
1Xz-(-:t} f•9
r
t.or,o,, s ,
Q
<i!.,:.con
P!:' •
r,-z
H
al sei;,iento P 1P 0 '.!n -:.reo pu·tea i¡ulllei,
7) - 1
x,-(d d d
-1':/-:<J
;¡ ,
e e:: e: x,•-11
l2 -
e:; pJ:1to c~d.io Ue
:-1 IIP p:n:.c - - Jlo de
?o 1' lo t,.n to:
?
( l( ' )
Wi ...
¡-;p;
x,;: -1ltl-19) ~ -15
x ~ - 7219
~ ( -11 ) , Q( - 15) y M( -1J)
-1J
=-
8
'.:l.
1/n extremo il:' 1m s-egnento diri¡;ido ::.s el pu:,to (-8) ,' su
pu:i.t,:i medio .,,., (3) . Hall.ar la coorclenatl.a af:11 otro ,01<treu.o
$i>luc-Ur. .
de dor,de:
J ; -8
§e
Ali
y
= 3-(-1) = 4
.
Sei,n P1(-8) , M(}) ;¡ Pz('X"~)
Según la ~órmula del ejoreici~ 7:
9
Análogamente:
e
y-(-1)
;
Si iñ=BO ... 4=yt-1
de donde: ;;r~3
Por lo que: D(.2, .3)
a.{AJ3CD) = [ÁBJxfBcf
" 51e4 ;- 20 u 2
2
Xg
:. ?,(1.i)
···r---1
1
X
A
.,r
10. Los ertre~os de un segmento dirig~do son l os ptllltos P1(4}
y P~ (-2). Hallar la r.ni6u (.P"';F): (PP i) en que "'1 punto
?(7) divide ¿ esté oegmento.
Sotuci&n,
S.olu.ci&tr.., Por el 'l'eore.1n:t 1, se tiene:
lilif lxa- • x_~ 1
IJ:fül - l;1c - .Yal
;
r~-3
ll. Un cuadrado , tle l a_do igual a 2a, tiene su centro ~n el origen y sus l ados .son paralelos a los ejes coordenado$ ,
ITalla,r l as cot>:rdenada.s d e aus cuatro .v,htic,e,s.
Sotui;Un, E'r, la interpre tt<oi6n grái'ica dol p-i•ob:l.e,aa podemos o-hs-erv,u, quo~
y
Alil lifcl leje Y. luego, J,n abecis-a de
!!
A
A y J es a, (derecha del eje Y) y la
de E y O e~ -a (iÑqui e r da ciel eje Y)
~ I IBDI [eje X, luego, li;. orcl-enacla de
X
-~
/!
ó
A y a es a (ci,bre el ej& .X:) ,¡ la de
C y D es -n (d.,btijo del eje X) .
e
D
Por tanto, las coordenadas de lo$ 4
-v-&r,ices del ci:Rdrado son:
A(a,a) , B(-a,a) , C(-a.,-a) y D(a,-a)
-
Entonc~s~ a(AABC)
y
14-1 I "' 3
foluci.6n,
Por el Teorema
----- - .9
12-(-2)1 ; 4
= iJABjxjr,cJ
Por Fit6.~orae; IA'cl 1 =liaJ 2 +1 ac1
6 u..2
2
11.°"'cl : 5
X
o
= 9+1b
A
B
14. Bn el triáng\llo rectángulo del ejercicio 13, déterminar
primero los puntos medios de ios catetos y, después, al
punto rned.io de la hip.otenusa ••
S. o l.u.c i.611,
Si M(x,y) es punto m~dio de
; j( 1+4) : -i
i<-2-2) ~-2
AB
=
_ {x~-
1
2 (4+4)
N(x,y) es punto medio de Be+
1,
y ; 2 '?-2
P(x,y) es punto nedio de AC •
12. Tre<: V'ár-':.ice$ de- un re-ctángulo son l()s puntos (2, -1 },
(7,-1) Y (7,3). ~allar el cuarto vértice y ou nrea,
13
13. Los vórtices de un triángulo rectángulo son A(l,-2) ,
B{l,-2) Y C(4,2). Determinar les longitudes de los catetos, el área del~ y la longitud de la hipotenusa.
entonoas por el teorema 1:
r e ~ , de donde:
e
D
y+1
x
{ y
Por lo tanto:
M(i,O) , N(4,0}
y
)
4
o
= 1(H4)
: 2
2
2
= Í(-2+2) ; O
P(1,D)
S-ee.n A(2, - 1), B(?,-1), C(7,J) y D(x,y)
AB
5c
~
7-2
= 7-x
=5
5=7-x , d.t donde,: x=2
15. Ballar la distancia del origen al punto P(a, b) .
So~uciéq, En la figura se tiene:
OA
AP
abscisa de P = a
ordenada de P = b
yt--·_7:
P(a,b)
~ X
11
Como CM 11 eje Y, la. abscisa. de C y-
e• es xc:1. tiil(.,(J-(-1) 1=4
+ (Aii-j:2
Si el A!BC es equiJ.átero, entonces:
A(6, 0} y .&(0.. - 8).
Kn ln .Cigurn •1e:moe que ;
OA = abscina de~~ &
OE : or denada ~e a = 1-BI = S
Por Pitá go':'a.s : 1.Gf'= lfü¡ªJ. Jo§/2
IACl=(Afijc4
En el AAMC: IA"c:J 2 =liMJ 2 +(MCl 2
+
(4) 2 c(2) 2 +(icJ 2 +JMCl .. (MC'le2,/J
iuego, la.e ordenadas de los vért1C$8
e y o•
y 1-2/3 •
:. 0(1,1+2,IJ) y c•(1.1-21J)
son: 1+2,IJ
~ (6F"- ra>2 =100
C'
; . !!(.!i.,31=10
17. Lo¡¡ v.Sr tic<>a de un cuadriláter o
3(7. 3), C(9, 8J
y
lj. De~ostrar que los punt os A(-5.0), B{0,2) y C(0,-2) son
los vét"t.ices do un tJl.i~!o is6$cel,e.s y ea}.c111ar su -'rea
,....e
D{J,8).
..
~
•:
...
JI51 .. (9-(-5) J=5 , (oBJ=(2-0(c2
y!ocl=lo-(-2)J ..2
IIBlª=JKóJ 2 t(o'Bl 2
En el AAOB:
+
IAB)s~
~(5) 2 +(2) 2229 +
tACJ~
=(5) 2 t(2)~=29
Rn e1. AAOC:
IAC p .. l.@ l 2~ loé! .t
Por lo tanto, ·el
a(Al,J3C)
A.ABO ea is6sc-eles.
"'i~B'clxfoll
e
j<(4~{5)
= 10
v.l.
20 , Deiaostrar qua los punt.oa 0(0,0), !(3.~), B(8,4} Y c(,,O)
son los vértices de un rombo. y caJ.cular sn área.
D~mo4t4aei6n. Easta:rá deQOStrar que !IUil= IABlstCBJ;JOCJ
efecto: IABl=l 8-3(;5
IOCl=l 5-0l=5
Las proyacciones de A y B sobre el
En
eje X son: A' (3,0) y B' (8,0).
EntoM-es:
Luego:
lói•f~l3-ok3- y lc'B•J .. ls-51=3
IOAl 2 =(J} 2 i(4)ª=25
+
!OA(a5
ICBj2=0) 1 +(1.)h25 + ICB1=5
Por lo t.anto, el cuadri1ltero OABC es
a(OABC) =
1111
IOC lxlAA'I r (5)(4) = 20 u 2
rombo.
(j.e.vaei.A.la Anal!t i.ca JJ t<m a
12
l. 4
Entonces, por e.l te:orema 1 se tiene:
DrSTAtlCIA EHTRE OOS l>IJNiOS !Ul)OS
., r
TeoreRl ct 2. La dilltancia
e11trE
dos puntos .1' 1 (x;,y 1 ) y
P: (xi,Y2) está élada por lz. fórmul a:
d(P1, P2 ) =
/(x,-x:a.P +
Cyi-y~ )2
Déll!04t,iaci.&,u
y
En efecto , por P1?a tracemos lus
Pz
Luego, por el teorema 1, se tiena·
P1E=C!<=X1-X2 .• EP~=-ruJ=y1-12
-·
En el 6P1BP2, por él teorema de P.1.·&f~ar~
ª
-..
~o
JPiP:1
2
= IF°;EI~
+
IEP1f 2 ,
(e
lSé
'tiene:
donde:
d(Pi. Pt} ,,. /(xl-.i:.2P+{y1~Y2P
l. 5
~
RP
;
r.
+
+
\
p (
1,yi,2_
i >l.,a,.y~}
~= r
y-y2
+ ?J't
de dondet y ,: Yl Hr
1Jcm.9~l11.a cUm:
.
.
ri'-1
r#-1
:En el caso p,articular en que r"1 tenemos el siguiente
Corolario, Lea cooraenadas del punto m~io de un segmento dirigido de extrel!los P 1 ÚCi,Y 1 ) y P 2 (x~,y 2 ) sen:
"' = Yi 2+ Y•
Ob~rvaciones. (1) Les razones de las rórmulas deX teoreoa 3
deben ser consid,erados con su signo, ya
que est"a~os tratando con ssgmentca r~ctilíneos dirigidos.
(2) Al usar las fórmulas del teorema 3, debe cuidarse de que
le sustitu<;:i6n de las coordenada• sea correcta . Por esta
raz~n freou4ntemente es preferi ~le no eusti tuir en e etas
f'Órnuláa sino ss·cribir directamente los valores de las rj!
zona~, tal como se da en {G).
(3) Si el pwt'to de división P B"a. externo al segmento dirigido
P 1P1, 1a ra~6n r ·es nega.U,ra~
1E,)ERCICIOS.
CrupG
21·
l.
Ha.Llar el perímetro del cuadril.átero cuyos v6rtices son
A(-3,-1), B(0,3), C(3,4) J D(4,-1).
Por la fórmula deI t.110rf!'1Da 2:
Sotuci.fm.
e
!Altl = /(0+3) +(3+1} 2 =19*16 = 5
1:ac1 = /0-0}2+(4.3)2 = 19+1 = /'TU
!cDI /(4.3) 2 +<-1-4) 2 =/1+25 =126
IADI lxn - XA 1 ,. l 4- (-J)I 7
A-------al)
pé.rímetro ~ 12 + ,l'fU + /i6 = 20,26
2
En efecto, por los punto& P,.P Y P.
traz:-r:¡os paralele e a los ej ei. coor
ñ~naaos, que se i~terceptan en lo;
puntos Q Y R, tal co~o se indica
en la i'ig.ura adjunta.
t:.F 1QP : APRP:
¡;-; "-~
X
·so.n los extrélllOi! de
un. seg~ento P1P2, las co~rdenan.a~ íx,y) de un
punto p que divide a est.e $egmsnto en la rá~6n ~=P2P:PP2
x ., x¡+rx 2
h±!:Y~
l+r
• r; · ~ , rJ-1
E:.toi,c:cs:
rx¡
de donde:
O!VlS.IOH DE Utf SECMENTO Et/ UNA RA!ON O/i.OA
Téore...a ). Si p 1 (x
.. X¡ i+r+
x-X1 ,.. r
X11'-l<
B
.perpendicularas P1-A y PaD a ruibos
ejes coordenados, y sea E su punto de intersección. Lae coordensa~s de los pies de las perpendicu
lares a los eje~ coordenados son:
A(x1,Q) , B(O,yi), C(xa ,O) , D{O,y,)
~!
(a)
1 - - - -' ~ ...
L
.R
,- 2
X
15
2.
D~ros~rar que los p~nto$ A(-2.-1), 8(2,2)
Y C(5,-2) sor.
los verticea de u~ trilL~gul-0 is6s~elús,
iJll.i;! o,l,l,ta_c idn •
En efi;,:~to, las longi T.Utlen
t;::--:c-:--::,-,.--t-riát.g-ulo son:
1AB/ ~ ,/(2+2)2+(2+1)2 = 116+9 = 5
lact
=
de lo~ lados dsl
IC5-21•+<-2- 2 J2 = 19+16 = 5
lli'il=!BC! ,
~r:,~-....!......+--,-
Y.
el óABG os isóscele~.
e
3,
D-ezostrar que len P:ltltoa A(2,-,!), B(-8, i)
(
)
é t·
~ 'I C 5, 3 son
v r ices de u11 /J rectánQ"Jllo, · v h•J.'1•:r
~
c..
St:. área.
los
...
,?
Ve~c~t4aci6~. ~n efecto, las loneit~des
~
de cada laca son:
/IR¡ ~ l(-8-2)2+( 4 n)• = ~
tiic/ = lcs-2) 2 +0+2)2 ~ ,r-;¡
IEG/ = lé.5+S}2+(3.4)2 = /Pro
Aho':; ~ien, fAB/'= 136' /Xc¡•,. .3_.\....,_---~~~-,...~-Í......;,.);
Y 1a~1 : 110 = 136+34 = IA6J2t/BCIª
Se c:,mple el Ct!OreJl1a do Pi t,
·1_
ago~as, por lo que ºl 'A3C
·· '·
""-"61Jlo e.n A. a(A~BC) _ 1 ¡ -¡ _
oe rett1
.
- 2 AB x/AC( = ,(/i36)(1}¡)
= 34 ui
:+.
D
t
anos re, que lo.~ trss puntos
son aolinsale~, e¡¡ deci~
~ A(1~, 1), B(-J,-2) y C(2,-1)
·• GU- est<ai.r. sotre un~ nisma r~ ••
De.f!/OM
·,i
,
~c,<1
.
M1c~ n'
S&gun la i:-e1aC':.6n ( 1) del
t'
ar 1eulo 1.1 pa
ra oualquier po-sición do l
.
• C sohr; una !{nea
os p~n~os A, By
rcctn,
se
deb~
ve:r·r1
_
_
• - ·
1
car <:?Ut;:
ÍA3/ = (AC( t /C3f
En t1fecto, pcr- la .f'ón,ula
c!e d.is~a.ncies,
/ABf = l<-J-12)2+{-2-1)~ = /225+9
f Ac/ "1(2-12)' +( - 1-1)2 - ¡ ~
/OBI
_
~_!(it~Z+(-H2)2
-
=
100.¡.4
h5+1 -:
~ 3~26
~
Demostrar- qu-e los puntos .A(O, 1 ) •. B(J. 5), C(?,2) y D{4,-2)
~OJl lo~ vértice& de un cuadrado.
~o,¡;vuzei6n.. l!astará probar que las 1ongi tode11 ele los 1~
dos son igualas y las diagonales tllllbién.
/(5,+2)2+(-2+1)': /49+1 " :;/2
Sie~io
5.
-
2./26
-.'26
Co~o /AB/~l4Cj+je§j, los tres pw:~o~ ~on
coli.neale s,
IABJ
1(3-0) 2 +(5-1)2
1rsc1
/(7-J)2t(2-5)Z; 5
5
jCDI " /(4-7)2+(-2-2)" "' 5
IDA!
I/\Cf
= l(-0-4}ª+{1+2) 2
= l(7-D} +(2-1)Z
2
~ 5
/50
D
+(5+2) = /so
Por l o tllllto, el cuadrilátero A.BCD os un cuadrado.
tDBI
=
ICJ-4)
2
2
Los vértice.s de un triángulo
SOi!:
A.(3,8), 8(2,-1} y C(6,-1)
Si D es el punto medio del lado BC, aal.cu1ar la l.ongi tud
da la oedia»a AD.
Sol#ei6n .
Sea D(x,y) el punto aedi.o de BC.
Entonces: x = ;<2+6) = 4
Luego, IAiif
7.
y" Í(-1-1)
= /(4-3} 1 +(-1-8)ª
2
0
-1
• D(4,-1)
182
n~mostrar que loe cuat~o puntos A(1,1), B(J,5), 0(11,6)
y D(9,2) son los vértices de on pa.r!llelograJ110.
Eh. efecto:
fABI = /(3~1) 2 +(5-fr2
e
= /20
1001 = /(11-9) 2 ~(6-2} 1 "12a
fiicl /(11-J>'+(6-5) 2 = m
1.rn1 1<9-1>2 +<2-n 2 ;
Luego, f:ni!=l!iél Y IBCl=liilf, Con
m
lo cua.l queda demostrado
que el coadrilÁtero ABCD es un paralelograao.
16
C.s.1.c'llar d árec del tdán1;ulo cuyos v,rtices son los pu~
tos A(O,O). B(1,2) 1 C(J,-4). (Sugest1ón. Use la fóroula
del 3emlJ)t'rÍoctro).
S.
Scluri§rr.
r(~;2)
?orla fór..,ula de di9ta.cc:1ila obt.eneoo:,:
o. c1,AEcJ
B
~
+
{
•
y •
?,
2
3
p
'j· 1)
,o
t<1 + 6 ) "3
. Q(,i, -1)
i<~-3) _,
Mes punto zeóio de -P1~i v. M(-2+6
2 • .1:.1)
2
!{(2,0)
t1c0+2,m+ s> c0+5-2mi c21"io-J.0- 5) c2m+s-/s)
Q
12.
Uno do los extreooe da ~n soglllento rectilíneo de londltue
5 es ol pun~o A(J,-2). Si la abscisa del otro ~xtreao es
6, hnll1tr &~ ordenada. (Doe solucion~a.)
.i.g,luci6n.
2
l(6-J) +(y+2) 2
Si A!J,-2), B(6,y)_ y IIB/ .. 5 , e.o tieno:
r
5 + 9+(y!~)i=25
-
Y"'2
ó
rle 11n segmento eon P t ( 2 • 4) ,~
~ Pt(S,-4)
Loi ptmto-s extremos
. .d
eta ca""e:ito en dos
. JI·) que a<- vi e a e
.. Rallt.r el. pun t o P( x,
pnrtes tales qi:.c (P,P): (P?i)a-2,
S0lu.c;i/J11:
rx-8 = -2
,:· p ,P • -2
..
~
~i
+
lr--:2:x = -2
y•-6
P(-4, 12)
-y
Solución.
10. Dsterl!!inar la ecuac:!.6n o.l¡¡ebraice qu.e expresa. el h"cho
"
p t (7 ' 8) • H(4,3) ~- P,(>ez,y¡)
uea~
Si M bisaca al aegniento P-lp•
de que el puuto P(x,y) equ:l.lliat.a d~ los puat.os A(-3.5) y
B(?,-9).
S,;{,.,_.-_,,..,..
x~+6x+9+yt.10y+25
-. Sx-7:,-2,.. 0
~4
= x 2 -14.~+49+y 1 +18y+81
?:J:1to11
de tr:'..ancc1ón y
X2"'1
>; J(s+y 2 )
Yt~-2
+
en~o oon
lo5
puntos
P1(7,4)
y
)
ua el punto
en q
P( 1,-2 ) divi~e al segmento .
e
Lo11 or.tr(Ol!OS de un 'al f!:lll
S0luci61t:
l l. Ildlo.r lov µ1.ntos de t1•isecci6n y el punto tiedio del
!llcnto n•1yoc extrel!os son Pi(-::1,J) y "'2(6,-3).
Eean r y Q los
4 "_21(7+,c,) +
• Pz(-1,-4), Mellar~~ raz6n (P1P):(PPz
Ln ec~ñclón reaul~te cÓ l a ~eiiatria ie l~I.
S oluci~.,.
·>
.·. P 2 (1 , -2)
Si ? equt cií~ta de A y ll enwr•ces:
IBPI - l(:x+JP+(.r-5F = l(x-7F+{yt9P
+-
x=-4
.
d e .un se¡¡monto es el (7, 8) Y
Uno Ü" los pur. tos ox.i:.1·e11100
~io --~~~A<o oc (4,)). 3alla.r e1 otro eiCT.reno.
13 . su pun"
-. (y+2)~~,6 ..... yt2=4 6 y+2=-L
=
Q
Y.
y •
2
+
..
IAfll
X -
¡(
• Vc,o.15-,0><10+1Dl3)
,. V10oci0-1)(0+1)
.\
• •. eÍllAEC) = 5 u 1
~.
=
1·,,._., - 1
+
/se/- a = 2,;ro , IA°c l• o ; 5, /4B/- e "'IJ
:u~go, p ~ i(~t2/lUt5) ; p-a a j(v'5t.5-2.ITO)
:;,-:: - ~c.r1+urtr-:) : ¡,- r. "';c5+.2rro-0J
Er.t.onces, ai a(~AilC) - lp(p-a)(p-h)(p-c) , se ~iene:
p
P1
l{
'>l
ºº.!
Si~j~
15..
+
r · xx-11:1
r x -- 1.;1...
-1-1 , do dondr,: r=J
~os ~odios de los lados de un trio.ngu
•
1 0 son (2. 5)
Los
•dee de los 3 v8rtices .
y {,,1). Uallar lav coorden~
( 4,l!)pun.
19
19
B
/MAi
lf«!I
= l /1?0
1(2+3/2) 2 +(-2- 7/2) 2
/(s+JnP~c3. 7/2P = ~ IT'iO
Vemos que {iiBf=IHAl=IMél. por lo qua. el punto M equidista de
los troe vérticee.
P
e
(4)
18. Demo,trer que los se¡uentoe que unen lo& punteo medio1 de
los lados sucesivos del cuadrilátero del ejercicio 1 torman un paralAlograJ110.
Tene~os A(-3,-1), 3(0,3), G(J,4), n(,,-1)
De.aodu«1.ci6n.
ol:,tenoitos:
Si K, H,P
ya
son
ª"
,
l IS. Lo¡¡ ,,~,. t.·i ce
e, ( 7, - -1 -) • - Si e!J -ls
- Uf! tri ~eu J o eoii A( - 1 ~) B ( ~ • 5) "
,,¡
_
' •
;,
,
J;U!JvO llt'-'dio dtc>l l d O to ~e~o del la~o §c d
a
A3 Y~ os el pun
• e10oct.-,u· q
l
,
1rei:. to i5'! e>1 la ,d tf.d .
'
a ... oníitud del seg-
i;"
.Soluc i6r,.
'""'i D
,>
ot:t~Z:Ch · D'1 3 - 1 ~ )
•
~·
Luego,
2
/Rj~ /Pi1Jrt(-1.3p ~ /a,j"" -
~
lfü ..
.,
T
1Jividien1o: /DE 1 _ 20
-~
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ue dor.d•:
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~
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• aneulo reot!n.,ulo d l l .
"'
'
e· ere! 0.1 0
- punto med!o de I~ ~ipo•e
"
J , deD03trar qu•
e,
•.,:i
"' r,u:1a eq"..lidist
~ efecto, Sl. H
ontoncea, M( ~ ~ )
1 7
2 , 2 . ++ H(-2•2)
Lueeo,
Jiiñ¡
•
".l(-6+-Jl2}2 t(~-7/2)'
2
lci • ~)~+c - 1-1>2 .
ei;;
. i•
,111,
liiil~IIB>'
~
A
R
IiP 1ª /i'"'
c1..._-1.,...)-.-~-(1~-.. ,-)-ª: ~
22
/c~-i>
2
2
IÑPI•
+(~-~) = ,111
liii'tf:fH'PI, por lo truito •l
2
2
y
1,. Loe vértices de un triángulo son !(2,-1), B(-4,7) y C(8.0)
l.J • !:n el 'ri.'
!Jt,x:o,.¡_ ,ac.it,,.
2
~ D
cuadrilátero ~NPR es un pa~alelogramo ,
i;'.
•• z • 2-J
;Xc¡ - ~ ,
22
IMfll
....., ~(l,4)
E(5.2)
2""5
_
AC .
Hemos de~ostrado que
(l:!:2 ~ 1
lt>:;/~ /("-1J2L(2 •)Z
=
~ ..-20 ..
E ~llnto l'lsdio do
.
ne la. lo12g1 tud del la<io
tle pi.nto i.od!o de A3,
-
....~, •<-l.,i. •<H>. •<H> ,
R{i,- 1) • Demostraremos que :
IMiil~iRi>I y l!iil.l•lfiPJ. En efecto:
1irn 1 /e1 ~ lp +(1 - 1 ) • ,, l m
< ,
e
los pu~ os nedios
do los lo.dos .!el cundrilétero, on-
pur.t
• O llledfo tle
,IT'fü
.....
a da los vértices.
Be,
Hallar, Far~ cada une de las medianas, el punto do trise~
ci6n más cercano al punto medio del lado correspondlonte,
Demostrar que eEt.e punto es el misJDo , dra cada una de las
oedianas y, por lo tanto , que las eedilUlas concurren en
un punto. Es ~e punto se llama l.cvtic.f.A t llo del triángulo.
llN11odt1Lae,6n,
En efecto, sean M,
N y P 101 puntos aadios de los lados
dol trián~ula y C su baricen~ro.
Para ls Hd1$1\a AH:
MC
1 x-2 _ 1
r ; GA • 2 • 2-x - 2
de donde: x•2 , y·~
B
X
20
Pura. la modiana D:
r
~ fil!
GB
=
12 • -4-x
...!:.Í. -- l2
Pera la aediana
r =
~ =1
•
y?i/:2
-y = J
~
y
,
1(JERCIC!OS
(Texto: F.J. De La 3orbolle)
CP:
~
"' ~
Y
~ =~ ,
de donde: x•2 , y-2
1. Calcular ln dis.ancie entre los pur.toa ~(E,n) ~
ntnl;J)
..., t-m-n./J
- r , -y-.
Soluuén.
20. En el triángulo cuyos virticea son A(x 1 ,y 1 ), B(x 2 ,y 2 ) y
C(x 3 ,y 1 ) , deaoatrar que las c~ordenadas del baricentro
son:
cx1+32+x,.11+~,+i,)
De•96t..l.aei6n,
bricentro. Si
Hes
En efecto, sean O(x,y) las coordenadas del
punto •odio de ic + M(x1 x , . ~ )
Ceometrre ele•ental snbeaoa gue
11edianas de un triángulo ne cor
en un ~iGeo punto eituarlo a 2/3
vért.ice y a 1/J de le baiJe de
2
1,fa,
Por li,. fór.auln de dis~mche se t1cni1:
/cB.:p - 0)2+(!!.±p :. !Kili :
X-l(2
X\!X>
-
.,
o
2
X
IBC!=!ABI
Se~~ C(x,y) las coord~na¿as del tercer ,é~t!ce.
1
•
:. 0(2,2)
IEC l• IAB j
l(x+1lª+Cy+1) 2 ~ /(3+1) 2 +(1+1) 2
+
x 2 +y 2 ·12xt2y:1E,,.O
Conprobaci6n pera el ejercicio 19:
y• 1(-1+7t0)
y
(2)
su.tituye~éo (1) en (2), obtene¡¡¡os: x 1 -2x-2=0.,. x~l
o ble~: x1=1+,/J ó x 1 ~1-,IJ , en (1): y1=-~./j ó Y2=2.f!
:. G{x,+:3¡,+x, ,r1+)a+Yf)
j(2-4t8) "2
/:s2+n•
s1 /ACl•J.BCI .. /(~-.3)'t(y-1) 2 "' /(x+1)'-1-(y+1) 2
dE" :::on:l.e: 2x+y-2e0 + y=2-2x
( 1)
ci'- donde:
X:
/4111 2 +1..n 2
2. A(3, 1) ? B{-1 ,-1 ) sor:. vértiaei: de n trlá::i¡ulc equildtero.
Calc:,ulc.r el tercer vértice y 91 lado del triángulo.
nr.:.fi car: IAC
+
E~
Pn~a un triángulo oquilf-ero se debe
Luego , para la •adiana 3H , se tiene:
2
n)' "~ /(-n/;-::i)h(i:/J-d 1
~ IOn 1 12mn/3+ir. 2 ) + ()m 2 -?rtn,0+r:.')
Soluciln.
cada media.na.
r " ~ " 2,/3 :
VM
17J"
1
ADICION'\LES
de donde: x~.2. y ..2
Queda de~ostrado que el ptlllto G{2. 2) en el mis~o para oada
una de las sedianas.
Por
las
tan
del
21
S il,J;.o.a.i. de Coo.tde-u.:da-!
,•, C(1+/J,-2fj)
2
i
,IJ
G{i-/J,2./J)
6
3. A(-5,-2} y d{4,-5) aon des vártice~ ac ur. tri{ngulo. El
terco.r ,·értice C(x,y) ea hl c:n: l~l-4/3 Y liicl~51'.
DQ'tc1·m.:n2r C.
Sotuciln.
S~
IAC)•4>',
+
l(x+5} 2 T{y+2) 2 = 4.13
Elevendo al c:.10.drs.do ootenemos: x 2 +y~+i0x+4y-51"'0
(1)
s. liicl-512 ~ l(x-5) 1 +(yf5) 2
(2)
= 5,/2
+
x 2 fl 2 -8xt10y-9~0
Ho3ts.ndo (1)-(2} se tiene: Jx-y-7=0 • y=Jx-7
(J)
2J
1. 6
.A:!. i:,u.;tltu.!.r (,) en {::) y el111¡>lh:ar rc:rnlt,~:
x 2 -~x-J10 ~ x 1:J ó x2--1
c(~.2)
i..
yi=2 6 y-2 2 -10
6 -c--,-10}
Calcular .,¡ cirC'ur.c:>ntro 0 1 y e: radio do Ia cLrc...niercnc'a circ"!.!loer~ta al t:iángul.o ac vé=ticc~ A(12,2),B(-J,5)
y
0(8,A).
~r~ánll!lo
temor todos
o:}'lidis~a t9 le,; ;.1·i;ss vértices.
F.n~m,e.:.c, ei f(ií¡; 1~ lO'ÍÍ · •e tidns:
5x-y- 19;0
positivn r.omo para la recta
(1)
11x+JrJ.'ir.O •
f2)
f!eMlvi;,,·,o (1}-¡ (2) "bt~ne!::~11: x~~, :,=1 • • • 0'(4,1)
P.adlo J,., la c.:.rctu1J>,ronoia: r'-]6"i'il•IC&+J)2+(~
=165
Tcore11a 4,
c~s .
Ytiy,•y ,~J0) - 9
(2}
a
En <;l t.,.'il3Cr : x 1 fx 2 t:;:=J(4}~1'2
+
X¡ •x 2 ;í0
7,•;,+J•J(6)•1 8 • y,+y,=15
{J)
o~moóutuc,6~.
•
xh.
l
l
En efecto, proyect~mos
.(zii"X1•x1 y !11',=y,-ya
14)
A
S11~•.1tuy13ndo (J) y {.0 .:-t1 (í) y (2)
resul~•, x,--t , :,,=-6 . .·• C(-4,,-6)
~~ •] ~ACG: ~1~x3f2=3(3)=9 + x,~11 ; y,+y,+J-3(-l)~J
.'. 1,( 11.0 1 . "'n (3) y (4): x,=-1 , :ra~15
:. Bí-1,15)
m,,'ll"h
X1 - X:i
F1 y Po »cbre el oje X de tal mol: ~ue
A1(x1,0) y A1 (x~.o). Po:- P 2 tre.,~~o•
,;na pa:alela al eJ e .I que int.e:-c<>p,ta a
P,A1 en B, entonce5 B(x,.y 1 ) . Luego,
r.or el Teoreoa 1:
S""" .\(x 1 ,¡r:), S(ii: 2 .y,) Y C~x.,i~>
( 1)
Si ?1(x,,y .} )' ?,(x,,ya) sen dos p¡¡i;tos d:d'eren-
teij cualeRquiera de una récta, la pendiente d~
e; 1 (3, -1) t:r. le" l:,9.!"icer;t.ros da doe tr.i.<Í.n¡u:ton i'o:ne.dos
uni<>r.d:> G :o!'.! lo6 ,,,í,..iices A, B,ll. iJeterclniu· •stos 7érti-
X¡IT.¿fX3-'3(,;>)-6
de le t'iJura (Tga 1>0}
la recta es:
5. G(2,J} e~ e: uaricer.tro de un éri.&!. 6~lo ASC. C,(!,6) y
t,A]J(l:
~1
(Tga 2 <0)
(4) Cuando a~~oº, la r~ndiante no está definida, y~ que
Tg90º= c•1yo sig:,.ifi,:edo no os uo n..:i::aro.
Je don5":
Par:l ::l
valores reales.
(3) Sj a ~s op,usc, ~cmo psrs 11 , la p~odiente ea ~egativa.
IQ'íal e I c'é 1 + ,.:"(;Z+;} il +(y- ; )2 = /~?-x---e"")""l-+{""y---8"")"'1
.;&li.:c,6.,,
103
(2) Si a es .,,gcrio, la p~ndien.t.e es
/(::,:.1~) 2 T(y-2)l : /(x7Jjlf(;{•5)i
de done:.,;:
Ot>s.. rvaciones,
recta esta dada por: O<a<1aoº
Según esto la ;endiectc puede
~= h~llc en
la i~terc~cci6n
0 ~ 1s~ r.iodi,;;t.•1.<!~!I de los lndoi> y
El
Se denonlna p,:,ndiente o coeficiente ~g1Jlar de uaa recta a la iar:gent.. de s,, ángulo do incliniCi~n. Se tl4mcta
por~. de tsl 2odo q~9:
»
Tg«
(1) r1 interv lo cia ~ariación del
ér.gulo de inclint<C16n de una
E;. cilccnean•1·0 CA ~
5,..f,,cil-:! -
POIOIEN Tf OE Ull.\ RECTA
4
y,=D
P:n el ll.P 1BP 1 : Tga •
~
P2B
+
m "
L.l:Z!
x1•Xz
y
25
24
1 E3ERCICIOS.
Teore~• 5,
Un án.g11lo eepeei!icado 6 far•ado por do&.
re~ta oetá dáda por la !6nu.üa
'!'¡0 "
tl ;l~i},
,
111,!Ja
~
Los v~rtices de un triángulo son l~s puntos A(2,-2),
3{-1,4) y C(4,5). Calcular la pendiente de cada uno d~
~ -1
sus la<io:1~
Deao4~,u+.S11..
e.
á,tgulo nte:t'io~ a un trih~lo •• JI
igual a l"'l Jll:l!4 da low Úg'\lllJ• 11}
t
J
te!;'ioTe$ A~ ~d,~centee. )ffltoni>a'a
ea el .l~~ <l!" ¡_.0,1
O 98&.t
&. a1t ª••<l-1
..l.pltee.11élo tan.gu~ se tifUH 1
T~¡Tgth
P,e:.o e 1 c!l'tta.~ y ma"taoa, l¡¡e~1
Ccyrolarlo 1,
TgO."
mt •
,
¡¡i,
,
•
, 1111 • '-t ,.. ,
11 .:
1 91
t,a eoadieió11 nu:&euia. y rntriciente pera que
,loe re,ou.• seu JJ0..1t.ahta.J> "4 que ~us pendien t,,ss
e..an -1 g1,1a,.les. ea.to e.s. •:t L I I ILt - illc1 "' 111-.
~ ~teet~, doe r8ot&d aDn par!l.l.ol&~ ou,aodo·Q¡ úigL\lo Ior~•do
po.L' ella• ,u,
~
bacemoa1
1'11
~
Pendiente de AC:
lll •
=~
- --1
2
tiono:
y
e
-2
ff,r = s'
1
Del!!ostrar i,or medio de pendiante11 que los punto.a A(9,2),.
B(11,6), C{3 , 5) y D(1,1} aon v6rtices d~ un paraldlog,
En afecto, probarecos que
6-2
mA!l : 11-9 º 2 ;
"'ne
Si mAB = mDC
iñ / IDC
6- 5
mOB = 11-.3 "'
Si
60
.i
08
= m0 A
+
1
8 ;
+
=
AiiJIDé, cll!!'JA
5-1
3::T = 2
2-1
"'oA = N
1
=8
CB I ID,\
?orlo ·t~nto, el cuadrilátero ABCD ea un par!\l~log~amo.
oº 6 180°, en t.oo~es si en la lf1ttüa dtol t.aol'el!ls
&..o0 tsnira1lo11:
1111 -
éorolnh 2.
~
Pondiente ele §ü,
i>,,_,.,o,5:t,.ae-i.611,
H
-t§)
m1
r,.
T.ill- ª T&~~ i 'l'¡ta.i
4
Afl:
Pe::idien-::.e de
!'1)r ~o,H,t.da sl~•eJi.ta.l ·eabau, g11e tod·3
Por el t.eorena 4,
Soiu;ión ,
en dondt p, 1 eg l& ¡,endinte i;dc'i.al 'i mt ·u la pendiim-
te final co7respondiente al 4agulo
Grupo 3 1
7.
1t1
= O '*
Jll.1 "IIJ 1-
1:,s eonilo16n neetcarla ¡ 11ufii::teot.e pars: que
dos reetia-1 $e&n trl6Jt.fJe1llilc."'twi.&..s 1m tre si, F;-!f
qua el p~du0-t;o <loa .sus p•11di.st1tA>• ""' i.g12al a •11 .ato e111
· L.1.I. loa ..... li ~-ss • • 1
En ,r.~1;.ci. si doe n.ch11 son J>ér~d.tmd•ill·e• e.l ifu¡11lo com-
~r•nd;l.do sa\r-o ell4i~ •~ 90º~
1111~ees
p~a qu41"
fg9
no ast&
a.f:1.ni.<l,. en le fdntula, <te1 tecrnlllA 5. •a tle~ Cttlllpl.il' qua:
1+~2.mz.
e ......... · 1
Une recte. de pendiente 3 p.aaa. por el punto (3; 2). Le.. ab$ciaa d~ otro punto da la recta ea 4. Rallar su ordenada.
_Sr,l'.uc U>n,
Por definición:
·s.
Una recta de. prmq1,;n.te -2 pasa por el punto (2, 7) y por
los punto$ A Y B. 3! la orde~atla de A es 3 y la,absciea
d.e B es 6. .:uáJ. es la absciaa de A y c11Íl lia: ordenada de
~?
Sotu,:,:6n,
Sean m=~2 , P-(2,7), A{x,3) y B(6,y)
5;,./,..iw.1; .t.r. Coc-td.er..:,á.rH
26
lo• punt.{le eol111 •lll•••
i:1
• -2'
. i:t·
•
<!• donde:
-, +
,.
11. !)e:30:t:rar r;ue oa J:L~tos .,(1, 1) , :(5,J). C(E,O) • (4,-Z)
son ,,~t·t1ces de un paralolo,::rono, '! hallar su Úof\:lo nb-
•• debe nriticu que.:
t1,so.
X".(
Er efecto, desostrereaos
¡.,=-t
DA 1a.
?ree v,rti~e~ da un panslelo¡ramo son 4(-1.4), B(1,.1J
.1.::..1
y
C(6,1), Si la ordonud8 del ouaPto vlrtice ea 6. eu!l &e
au ordenada!
Jgtuc{l!•
See al vlrtica D(x,6)
mA.B
1
Si 111A:I • m0 ::
1:1
JA
BA I ICD
do dende: x•4
los reeul tadoa.
rario) del ,ngulo de cada •'rtice.
&egui1a dep1cn~moa por,
"1
~~
l'g.\
. *i. •3
'·1 i
. ;n.
-~
&1--•1
+
D
En
¿
12. Dexostrar que los puntoa A(1,1), 3(5,J) y C(6,-4} aon ver
tice; de un tr!áns.lo is6scelea y ~allar o;da ur.o de loe
En efecto:
B
2
jACI= /(6-1) +( -4-1)
2 •
fBCI= l(6-5P t (-4-3) 2
'ma•aA8
m- •
• m(fB)•i:({D}=10S0 26'
án¡:ulos 1g-1ale s.
pemo1t4aciJn . BocLar~ prob~r que
Primeramente oll"i~fitamoa
la :i1noci6n podtiva (unUdo antiho•
••••cA
e
1-!
~ " _ o.-:a¡ - -1 • 1/2 : -3
.go - 1+~1.~2 - 1 + 1/2
B
10, llf.llar loe lnguloa 1utorj.oreu del triángulo cu:,oa v~:Lio~a son loa puntos A(-2,l}, B{J,,} 7 C(S,-2), Coaprobar
~1•:r,!'
A!Í 11 fic
+
Pa:ra dsts~~1nar el én¡ulo obtuso B. designe~os por ~1ªnAB Y
a 2 =~c~, e:1tonce3, por el ~eore~& 5 se tiene:
•
~l!J$id~.
ITJ IGC :r
B
ªne - 8-4 - 2
:lli~.1;
Si CID.A. mcB
(:011:0
_ 0+2 _ 1
= 5-1 = 2
ql!'!
y
•
IICl•I.BCI
3
/50
/50
Luego, el AABC es is6sceles,
H2
.T-3
;n~qAB
e
~ ~ =Í
;
lltªªCB =
~-
-7
i,,..tor.cos:: '?gil
13, Ha.ll&r los
&n
6ulo8 del cuadrilát~ro cuyos v6rt1c~a son
lcr Jl'lr.;oa A(2,5), 8(7,J), C(6,1), D(O,O). Comprob«r be.
!'et _1 tsdos.
Sclu.u6n. La ortent.. ció:i pnsitiva del úgul:, é.e cad ..
v6rr.1 oo ee tne11 tra. "'" la i'ir,;1,ra.
1-0
1
m1=moc - "(;:o : b
s,;cOA:
Í .
:
J-1
a.,~mC.:l "'"'¡:"6
e
2 : lil1~mBA
5-3
" ""'f7i:.
5~
L~eg,, por el ~ao~•ma 5 se ti•~·:
29
~'A°clx15ill, poro lfffiJ•Ji\!ISenA
E:,toaces: ,:i{ilABC)" Í IAC I lr!ils.,nA
(1)
2
IACI· /(6-1) +<-1+.:l}i "ff9
lnl i· /c3-1)'tl3+3l 2 - um
a(AA3C ) -
TgC • ~ ,. 1/6•2
H2/6
Oi,&¡
.-
1'
,
• -l.J75
:. c.. 126º2 •
TgB •
m2••1
~
T+a~.~, • 1-4/S º 12
+
X
B•85º14•
J
29
S
·---~
:~
ºf-!. ____ _
Suat.i tuyendo en ( 1) ae ti ene:
X
:
s{M,l:IC) • ~(/29)(2.t10 ) ( ~ ) = 13 u
2
A
Como •1,n• ••1, enton~-001 A•90º
Collprobaci6n 1
17, Por nedio de pendientes de=u,sureee que loe tr~s p~c~cs
A(6,-2), B(2,1) y C(-2,4) son co~iueales.
Oos ~ect,e se oor~an !oreando un án¡ulo de 135º ~ b'
lic que la recia final tlen, un• pendiente
• ·ª. 18!1•
la peodicnte de la recta io1c1 l
de .J, aa.cular
•
111
i..~luei&r.. Tenemos: 9•135º
v
J
•
Dv,0AL1gci6n,
En efecto:
•1••J I ~oP el Teor~~a S:
:ll.!.9
= ~ ..
BaGtarA probar qua las p~nd1et1tes ds lo~
?~n,oa to:itados dos• dos son •¡r~ala~.
,.
m
-~4
Por lo tan to, los ;,lll'lto II A, B y
15. roo
rectas se cortlJll torm.ando un án
o
Lnicial pase por los p ,
P(
fUlo de 4S • La recta
un.os
-2 , 1):, ~( 9 ~}
f1nal pasa por el p::nto IO, )
• • Y la recta
9
c!sa es -2 Rallar 1•
d
1 por el punto A cuy~ eb9
•
-~ or en~d& de A,
Si :'€45º :
de don~e:
aBt D2
4!j•Cl
1
1 +o, i , l!I~
1>
..
1::.J.
-2-3
e
dena.da?
J;oiue,U«.
Si i(-2,-3), B(~.1) y P(lO,y) os~ár
1:U
~
4+ = 10•4
2
•
'1
3
e.'\
,m;. •1!
-
:,
19, !!elle le. eccaci6r: :itbe sati fa~r cualquier punto P(x, y)
9•Y
q'.Jtl ¡,ertenezcit. a la. recta. qua ps.H por loa pu"'"ºª A(2,- l)
,
l • (9-y )! S • 6/11
, +
:r••B
°"'~>
7 B(7,J).
ioiuqi6n,
99· lli• )O
55+S4-6y
Hallar el áre4 u1l tr1iin
B(J,3) y r.(6,-1)
¡ulo cuyos v6rti:ea IOD A(1,~3),
eaple8Jldo •l teno 1el {agulo BAC.
:l:.!l!~.
l.
f.
- ~ . rf
P~nil~nte de
4., ,1; .1
19. üoa rech paoa 1>0r los puntos A(-2,-J}, D{4,1). Si un
punto do aoaci1>!!. 10 porteaeoo a la recta, ci.;.ál es :m o--
oa ,.ecta, ent-0nc.es: mi.B = lilAP -
.fo Cuc, 4a. Ses A (-2. )')
7. 1
.:'e;id::.ente je p:¡ 1 , 11 1
~
BC
~
C son ool!.netles.
Seao1 mz =1t ,U!
y
l:11•111
AO
•
~l+J
1
~· 5
Si P(x,y), 1(2,·1) y B(7,J) pet-te~ec•n ~ ~a
~iaca recta, ontonees:
H1
,,+1
mAB ~ ~AP ..... 7~ • 'i'=2,
de donde, 4x-5y-1J:O
21. Ce~cstra~ que la raot~ que pliSa por los pun~es A( -2.J) y
B ( l., 1) ";;; r,orpend:l. cular " la recta que pau. p~r lo e :¡:,i;.,-
tos C(-1,1) y 0(3,7),
1lc•<>tl11.,;ci61t.
Sea L 1 la recte. que pa3.-. por A y B,
31
1'r9bare.nos prilllsra:mente que le.s lo .l'lg:i tucica de los 4 laaoa son < gual e a .
Üe..r/to~i#u¡ci 6n.
Si L 2
Luego.
.
la recta que pasa ~:r C ;1 D •
e9
111. 1 .111 1
C-JH~} "
-=
7.1
11, "'
1
3+1 = 2
En efecto,
-1
22. Una re eta t 1 pasa por lo.g punto• (J,2) y ( • 4.-6) y otra
recta t.~ p~M por el p1u,to (.?.1) y 41 pu.n.o A cuya ord§
nada es -6, /!~lle.r la abeaisa de A, sabiendo qué L 1 ti!
perpaodicular a L~.
S.1 L1.J..t,
l!I-!"
:6:1
nP-,
~ "
cl ..diA
hnclhn~ ti" ~:
TgC
+
e
U•lll1
~
,.
11 1 ,.
mAC
m_
or " ~ "
y
J~é •!
"
s
C • •rcTg(1.5) • ,~19•
T¡¡ll • ..J~,..!::.~L : • 1/!i+l ª ~ • 8•ara'l'g(2/3)
TI"mt.li1
1 t 1/ 5
.,
a.
e
-i ; mlié = ~ = 5 ;
ºJro. mw"--1
+
=
- l+.2
1-b =
DA .i...IB
-51
y
ÍÍC
J. cjj
= ~ = -~ '
~D3
=~
33º41 1
2,. Domostrar quo los cuatro pl.ll'lt<>s A(2,4), B(?,3). c{6,-2}
T 0{1,-1) son v,rtj,cee ds UJl cuadre.dQ y qua sus diagon~
le3 aon perpendioúl&r&s y ee dividen autumente en par~s
iguales,
=
j
Vemos que m!C'ºDB~-1 , ento~oes: ACJ..DB.
Como M=M
t+1/S ' a ~
1-1/5
= 126
io
1,
M( 2 ; 6.~)-++ M(4,1 )
+
Si M' es p,mto oedi.o de fili
-1
Como 11;~.m,
•1 •
Lueg·~. el 6.A'BC ee reot&ngulo e!l P..
9
= ; ;
Si Mes pm:rt.o cedio de
!n ef~ato, ~endi&nt~
111> •
B
Por lo tanto, el cued:ilátero ABCD o.:i ,m cuadrado.
Finalmente, las pendian-:es de las diagon,ües oon:
eu_e án g;,iloe ·a¡¡udoa .
Pen.dümta :le
.4.
Ahorá demostraremos que sus ledos
son perpendiculares. En efecto~
Como tl)}A. mÁB : -1
23. J)Qmo~trar que loa tres pu.ntos A(2,5), B(S,•1) y C(-2,1)
son lo~ v,rticsa de un triángulo rectánElllo, y bel.lar
ucaa4~~asi6a,
y
126
mmy
1t1.m2"•1 +-+ (~)(~} " -1 , de donde1 x•~
-+
= /(2- 1)Z+(~+1)l
= .126
126
8
=:a=1 • "'1
~
11,.0 7+'1; 'i+7
Pend1ent,e d-e L1:
•
d e 1,a:
Pe11a!-e.1!,t&
IDAI
mtil , ~.
Saa A(x,-6)
-"t.-2
/(7.2)2+.(J-4) 2
lül = 1(6-7)2+(-z-.:l-)2
JC'ñ l ; /(1 - 6) 2 +(-1+2)~
Por tanto. ~or el corolario Z dal teore11a 5: L1~Lz.
Sotuc~~q.
liBI=
+
M'[1t1,~> ++ M1 {4,1)
las diagona1es ¡;e biseeen mu1;1.1at1ente.
2 5. Demostrar o_oe los 4 pun.tos -~ (2', 2), B{5, 6), C(9. 9) y D( 6. 5)
son vértices aa un rombo y que &ua diagonele~ son per9en
diculsres.
iJe,ro4J.,r;ac.iótt.
Eu efe e to, por 111 fdrmu.la de- di stnraciaa
se demueetra ~ne:
e
l Ali 1"'¡ne¡~ l lilll ~ 1AD{ =:5
, 0 ,iB=
t~
e
Í;
moc=
t:i "' j
9- 6 - ..2 • Cl - 5-2 - 2
·ac-- T-3
- 4 • .-1.n- b-Z - 1¡
-
Luego: AB!JDG y 3é!IAD, Por t=to el
cuadrilátero ABCD as un. ro~bo.
....,o'*"--'~~"-'~~"-..._x
ºA.e~:=~ ;
1 ; m0 B 2
~-=
-1 , enb:rnce~: !CJ.ÍIB
l. & OEHOSTílACTOH
llTICO.
oc
TE:OREHAS CEOMETRIC:05 POR H
j EJERCICIOS.
J.
D~•o,!,:/~aci/",
ª"
Sue-:.i ti.yendo en (1) ••
Punto cadio de
1
Cru¡:,o lt
Lttc dia.1;nr.alc3 de tm paralelogTiu,¡o
~n partes iguale~.
Hl TODO -~NA-
= b'-:..'
atb !i)
ºª: •Hz'
2
• -1
. ?un.to medio de AC: M' (1;2
,!)
Vemos qns ·os pun~os ~edjoa ,..e 1 11• diagon,.loo co~~id.,•• :o
cual del!lu9atra qu'e "'staa ~• cor'!;an en s~ punto medio.
::!i viden outu,ioecte
,.,
1a pos~cl6n náa oe~-
cilla, con r~l~c16~ a los cJen coordc-
!l2.i:,2
lt:1.112
!J. segmento de recta que Wle lo. Punteo ~•dios d• do~ l~
dos cu&leaquiera de un tr~ángulo es ?&rslolo al te~eer
lado
Y
O
tgu&J.
~
DC594i54ei6n.
nado e, pare tu. parr 1 elograoo cualquiera
ea el d-e la fi&4.c..1~n adj 1ln!.2:. iDpe.a:a.aoo
Pendie.n.to J~
OB:
au ml~ad,
Sea
m1
el t.OhB
B(l.:,c}
={
por oalgnn lon vértii;i..s A.(c.,O) y
C(b,c). Co~o CB os p~rnlclo e igual a
OA, entcncee, la orden,.Ja do B es i¡;ual
a
!a ordenad11 de e ;¡ wa ab&e1ea
~3-
a u-
nidades ~ayor ~ue l~ abscisa de C; lueio, E(~•b,c).
IOBI
?ar:, o.leooatre.r que las dia;;cnales se bloecar. au•.11a:u1r: '9, b._.l!
ta:.i detentir.4::- q~c loe pon~º" medj_oa de dichan di1tgon'llti2
coinctdcn. Eu erecto:
l~I
F=to 111,dio de
:cra: H'ª1b,j).
Pm'!;o :,odio ue .~: M'(~,j)
5,
Co1no H,,1'/ 1, qu,,(\a denost:-itdo el ,;oore,Q~.
El punto m~fo de la hipotenusa d e un tr16ngulo reetáng~
lo equidista de. loa tres várt1ceet.
3.
tac di,;gona.1.os d!I ur. ro:!ioo son perpo,idicularen en tre si
y so eortan on nu pl!r!t.o modio.
VUlódi,,,ac 16n.
Ca efect:>, aea el ¡,aralelo1;:-1U10
coordenada t!e s.i3 11htic~3 i:,c
deter11i~an como en el ejercicio 1.
o~c.
éTif:
y
nQb~os probar que: /KOl•JKBl=[IIAI
A(a,c)
81 M 0 ~ punto med.J.o do 0B • M(b,O)
Luego: fMOJ•IO-l>J•b : Jifüf .. l2b-,b-l"b
;,110
Pendie.:ita de
cL-
De<>?:<12c¿6n •
En ereeto, design~mos los vSrtieea
A(a,o} ~ B(2b,O).
e (b. e)
Jiil ..,l(a-b)'+c• ~ ¡,.1_2ao+b1te2 {1)_.¿t;,_ _¡,,...~i-,..,-~';:::-7,
0
Fe::~: l]Jt¡ 2 •f CRlx liffil
Entonces: n2~a(2b-n)~2ab-a 2
~.(a,O)
Cono el ro~bo e" un pnrnlelograso de ladoe igua..leo, en el
AODC se ticno, por Pitñ1roras: 1~/2=/oélt-lODIª + 2,_a•-bi
0
SiHl~ituyendo an (1): JM.Bf '"/cª-:2a.b+b 2 : 2ab-"- 1 ~ b
Por lo tanto, k ~qu1d1sts de los tras vértice&.
35
l~I
6.
Loe énguloa opuestos a loe lndos iguales de un triángulo
is6sceles son iguala&,
U#AOhLA.aci6n.
~ebemos pro'\>ar quo
o=B
Pero: Smrr-8
+
Entonces: 'IgS
lllz
=~
a-..:a
Tg8
5
TgS • ?g(s-9}
-(- .2)
a
~
8.
+
le~ -
IMél
028
f,
"'
e)•
!i•+(~)¡ ~ ~ /4a 2 -'-b 2 ~c 2 -4ab
IM°cl = 1m¡
v,h· tJ.oes oc i!I
dican en la figure.
b>2+<~
/4a 2 +b 2 +c 2 -4eb
/(a -
• /(a-b) 1 +ci
y
Punto medio d.e OC: 11(} , ~)
Sea ol paral11lograD1o cuyos
y IM°:I
lmi!•llll
Punto 11edio de AB: M(2a;b.í)
gl!ra es un roctkgu.lo.
[éBJ • l(atb} 2 +c 2
(2)
so dan en la figure. .
Si las diagonaloo do un paro.lelogra~o son iguales, la f!
DVIIOhl.A.oc i6n.
+ bl
Sea el pare.lelogrago OABC cuyos v,rticea
lJ.e.lflO 6i1t-aS i 611.,
(2)
= TgB
/f.z
pues~os do un p~ral.ologrs~o cor. loa puntoo ~edios ne doc
lados opuestos son iguales y p~raleloo.
-Tg6
De {1} y (2) se doduee que: Tgo
1
11. Los dos segmentos que so obtionen uniendo nos vérti~ea o-
=__ga
= 2a
/(2e. - ¡)Z~(b-0)'
De (1) y (2) se dedace que:
!n erecto, designemos loe vértices
A(2a,O} y B(a,b).
Pendiente de OE: ~1 = Tga = ~
(1)
Pendiente de AB:
z
Osnoetra rellloe ahorP. que: MC 11Aii
y¡
En efecto. pendiente de ~C: ~ 1 ~
Si ló'3l=IACI+ /(o+b) 2 +c• • /(a-h) 2 +c 2
de donde: ab = O
Cono aiO + b=O . Si esto ocurre, en- ....,,/1,1:.;...~~~..:..4-~,,. x
0
ter.ces las coordenadas de C y a scr!n:
C(O,c) y B(a , c), ee decir, loo ladoo del paralelogramo B<lrán
paralelos y ccinc11er.tes con los ojea coordenados.
Por tanto, ln fig~ra resultante es un reot..ngulo.
b
Pendiente de ÁU: m2
Si D1=m:
+
a
c-c/2
2atb
- --r
e
= t:,;.
c/2 - O e
t/2 - a - D-2&
iicl 1n:
17. Sl eegaento que une los pun~o1 ~ed1oa de los ladoo no P!
ral alos do un trapecio os paralelo a las b1.1oos e igual 1t
su se11is~a.
~-
eedianas correspondientes a ~oa lados iguales de un
t.riángulo io6acelei! oon iguales.
~es
~rdcl6n.
Sea el óOAB cuyos vértices se indican en
la figura,
Debemos probar que:
:'.n efocto:
1~ es p,.mto medio de
i<IT!l=IANI
DR.•o ~t,:,ac i.6n..
y ouyas coordenad1.1r, ¡e eua v,rtic, s ~
indican en la figur~. Las coordenadas
do loa puato3 aedioa de los lados OC y
AB oon:
AB ..
M(Jl!l,
b)
;e
ff(.!< S) v JJ('!iibtc S)
2'2 •
2 '2
Venos que le ordecada do N y N son
X
(1)
Sita ::1 tr11,peoio OABC cuyos lados paralelos
~1den a y h unijodes,
J6
37
d)
.!1.
"(a+b+c d)
{
Mi
'2 y" ~ · i
Vemos que las ordenadas de M y N son iguales, por lo que la
fond1ente de MN es cero, o sea qua HN ea paralelo al eje X,
MÑI 161] /EB
esto aei
.. 1 oen.e;
..
¡,¡,¡
e
F1.na
,.,. ¡ ,. atbtc
- - 1
2
Sea. ol cuadrilátero OABC, cuyas coordena-
D=o,1,.t,.acil.,,..
das ce su:;vértices 3e imiici.r. en
=2a.+b
de u.n trapecio es lg 11ü a la m.i tad de la i!lfe?anaia. de
las longitudes .;ie los lao.loa paralelos.
1
Se~ el trapecio OJSG, cuyas coordene.da.s de
sus vértices se inrli.can en la fig,.1r,;..
-¡ ~ ~
~-b
.
Jebepos probar que: 1~N
misso p:Jnto,
En ef~cto, las coordenad~s da los
puntos mgcios de los laáo5 del CU!
drils ..;ir:, son:
· a +· b+d)
o(º r¡ R(ª b)
?(2'2 : · 2'2 • 2'2 •
º(c+e d+f)
., 2 ' ·2
En eree,;o:
Las coordenada.a de los puntos medios
de las diagonales son:
~(b¿c,!)
Entonces:
N(ª~c.1)
y
¡m;,¡
~
rª;º _ b;c1
-
Si ~~ ~s 9:1nto o:ie:dio de PQ
Si 1" 1 es ~unto inedio cl.t'.?
Como M"M, , los se1;nar.tos PQ y
gocalP.s,
I fil J-= 1cii / "a
/b 2
7
y
un trapecio isÓscel~s son igu~
l.ss.
S<ia
fJe.,o.6t1t.,1ci6n..
el
tnapeeio i.s6sceles OABC, cuyos 1"--
aie de B.
OA:6iit5EiEi,
+c 2
- +
OE=ÓDtDE
2
IAC /-=
IOiifl+/iIT:Iª
&e bisecar, an tre si.
dos paralelas nider- a f b unidad'.:_'.:.
+JAiiJ2+fCBfª+jóef '=
- J,:;:_ _ _ _.;;,,1._ _ _ l(
0
~ a 2 +b~+c 1 +a 2 +b 2 tc• • 2(aªthz+c2)
A(a,O)
+
a~
E
Sea el vértice A(a,0). Como CBf IOA, y
en·tonoes la ordenada de C e11 la rtl§
se ind l~an en la figura.
- /OAl
'f'
2 +rl
' (a+c+f>,h+d
2
~
RS
~ ~
14. La suma cle loa cuadr~aoa de los lados ce un paralelograno
cualquiera es i~ual a la suma de . los cuadrados de aua d.i!
loe 1= / AB 1-=
,,catete b+dtf)
·•
2 • 2
+
18. Los a.~g
'
ulos ~e
• !a base
En+.oncee:
'I
la fi 6 1.ra. !}abemos proba:- que los
segm~::¡¡03 RS y PQ .,~ coi·tan en un
!3. 81 segmento que une loa pun~ós neaio~ de las diagonales
v~mo~~~~ei6n.
15• los s~gmectos cue uner; los pu.~tos n~~ios de cada dos la· · un ~,.•
dos or,ues t os a&
v . ;¡.drilátero se biseca11 entra si.
X2=
oc:
El
Pend.:.~r.:.te de AB :
lt~
Pe~d!~ntC! de
~ 2(a~+b 2tc2)
Cor:1par1Utdo con l.a i·guald?,d ao terio:r , ese de\!,uce que 1
loitl 2 +IIlli•+lfüll 1 +/0GI' ~ IOF.i l 2 +1AC] 2
e.-b + ¡,
-2-
Xi=
.. r.~=
2&-b
a+!:,
2
a'b
Por 1~ tar.:.to: C ( a-b
~,e ) y B(+,c)
l(a-b)2tc'
= {a+b)Ztc 2 +(a-b} 1 +c 2
a.:x 1 fbtx 1 +
+
De ( 1) y (2)
6C
-
Tgt!
2,e
e
,._
X¡ = c.... b
_e_~
Tge
X2-II.
dedcce q_ue: Tgo
n
D
;
a
2c _
b-a -
(1)
2c
- a-h
= -Tg6 = -tg-(11- e)
(2)
Tgl3
J6
37
d)
"(an+c j)
{.!1.
M 2 '2 y" ~ ' 2
Vemos que las ordenadas de M y N son iguales, por lo que la
15. los s"-gmer.tos "~ug. une".·,. los pu.~tos n~~ios de cada dos lados opuestos de- un ~,.•
v . ;¡.drilátero se biseca11 entra si.
MNllóIJ/EB
. . 1 oen,e;
..
¡1m
¡
a+b+c
e = a.+b
F1.na
,.,., ,. - - 1
2
esto aei
das éie su:;vértices 3e imiici.r. en
la fi 6 1.ra. !}abemos proba:- que los
2
!3. 81 segmento que une loa pun~ós neaio~ de las diagonales
de u.n trapecio es lg111ü a la m.i tad de la elfe?anaia. de
las longitudes .;ie los lao.loa paralelos.
Se:.i. el t.i-a¡,ecio OJSG , cuyas coordenadas de
sus vértices se in élican en la fig,.1r,;..
-¡ ~ ~
~-b
.
Jebepos probar que: 1~N
son:
. (a +z btd)
? T•T
o(2. f)
: ·
2•2
R(ª b)
2•2 '
•
º(e+e d+f)
., 2 ' ·2
En eree,;o:
Las coordenada.a de los puntos medios
de las diagonales son:
&¡
·~(~
2 . 1)
, 1 N(a+c
2 '2
Entonces:
¡m;,¡
~
rª;º -
- /OAl
J.dem,b:
+
•
'f'
2 +rl
' (a+c+f>,h+d
2
~
RS
'- ª
b•se
~
d=
-~ un 't:t<a))_ ec.io isÓscel<:<s son igu~
l.ss.
S<>n
Ls¡¡'sceles OABC, cuyos la~- ·el t=an~e1·0
~ ,,v
Demru,i:11.,1c,.·6"·
ar
7
OA:6ii+5EiEi,
'=
-
2(aªthz+c2)
~-~----_;;,,,,__ _ l(
0
A(a,O)
/(e+b}2+c 2
IAC/-= l(a-b)2+c'
IOiifl+/iIT:Iª = {a+b)Ztc 2 +(a-b} 1 +c 2 ~ 2(a~+b2 tc 2 )
Cor:1par1Utdo con l.a i·guald?,d ao terio:r , ese de\!,uce que 1
loitl 2 +IIlli•+lfüll 1 +/0GI' ~ IOF.i l 2 +1AC] 2
G(x¡,c)
aie de B.
+
a.:x 1 +btx 1 +
- - + X 2= -e.-b
OE=O(J+DE
2-
+JAiiJ2+JCBfª+jóef
IOOI~
Si M' es ~1,1nto medio cl.t'.?
,,catete b+dtf)
·•
2 • 2
+
dos paralelas niderb unidad'.:_'.:.
Sea el vértice A(a,0). Como CBf IOA, y
en·tonoes la ordenada de C e11 la rtl§
+c 2
~ a 2 +b~+c 1 +a 2 +b 2 +c 2
~s 9:1nto o:ie:dio de PQ
18. Los a.~g
'
ulos ~e
•
se ind loan en la figura.
En+.oncee: I fil J-= 1CB / "a y
2
~r
~ ~
gooalP.s ,
loe 1= / AB 1-=
Si
Como M"M, , los se_gnar.tos PQ y RS &e bisecar, an tre si.
b;c1
14. La suma cie loa cuadr~aoa de los lados ce un paralelograno
cualquiera es i~ual a la suma de . los cuadrados de aua d.i!
/b 2
'I
segm~::¡¡o3 RS y PQ .,~ coi·tan en un
misso p:Jnto,
En ef~cto, las coordenad~s da los
puntos mgcios de los laáo5 del CU!
drils ..;ir:,
íYe.,110~.l11.a.ei6n.
Sea. ol cuadrilátero OABC, cuyas coordena-
D=o,1,.t,.acil.,,..
fond1ente de MN es cero, o sea qua HN ea paralelo al eje X,
+
"
V
Xi=
.. r.~=
2&-b
a+!:,
2
a'b
Por 1~ tar.:.to: C ( a-b
~,e ) y B(+,c)
oc,
El
Tgt!
Pend.:.~r.:.te de AB :
lt~
Tge
Pe~d!~ntC! de
De ( 1) y (2)
6C
2,e
e
,._
X¡ = c.... b
_e_~
X2-á
dedcce q_ue: Tgo
n
;
a
..k ..
b-a
(1)
2c
- a-h
= -Tg6 = -tg-(11- e)
(2)
Tgl3
39
19. -:Ooe pu1•toe :¡¡,;dios de das lado" bp=.tastos de cuelq1er cue.-
Cooparando las dos iguald~des se deduce que:
Jnp¡i+tfilil" .,
drilá ~e::eo y 1.o s :,unt,oa :nodioa d~ la& d.i.aginia :..as so>' -.rar01 ees de un p~.:.""t;.l9-1cgri1.wo.
jAPl ..+ICPl 2
600 los ,,értices &ueea.ivoa de-un parn.lelogr.§
mo, y D y N los puntos ~édios de los la.dos AO y sé, ros-
2:,, S1 O,.lt,B y C
ti~l1 -de sus vé!'ti.c.es B& indica. en
p.ectivanent'i', l(>e segmentos DB ¡¡ ~ tM seean a la di&go-
1~ ficu:-s..
nal iic.
Debc:nos pro bar qt;I!: PÍI ! [ ~ y OHI !ÍlP
Rn ~d\H:to, le.~ coc,:!7'i.eo~ii.as de loa.
Junto con las CO(>rden.adao de su.a
y
vérticec; .
E punto medio dé cá + E(ª+~h_ e)
puntos :nO"dioo u~ !ott l~dca :: las
üíag~nal~s del c&ad~il~~cro, son!
y
0A
D punto Elédio do
Hf'
P,sndi enta de ..,,, '. m-1
º1Q="1,
-
T
'7.le
-i
- 2f =.!?
Sr.
:e
a
su:r,i. d~ 1:>s e11adradoa. de las di:.tancia$ dn cualquier
punto de un pleno a dos v,rtiDes op.ueewe de .::Jalgui":
rcc~áneulc e~ igual al"- s~~a d~ l-03 cuadrados de s~s
d.J.s ter eit:..s r. los <")t..""'os de-a v-,.;rticcs ..
!l.c.f!l.rJ-:j~tr...ri.f!!i6r1..
Sr?ts. ~l ~e{.!tfugulo A8CD y ? :in punto ·::?t:.al-
Por h. :1"6:::mu1n. ria Ci1:;tac.ciae:
jOPJ
= /xa+(y-h)2;
... pw¡ z+ ¡:ar¡
IJ..!'i 1
~
2
~ /x 2 +y 2
y
H!?I ~ ~T~+yz D(¡,;,b),(11',,-.,.:..~._,:¡;,
= "''+C;--bP+(,c-e.P+y•
: 2.,•+2y'1-sz+h'-2(~x+by)
;
jcliJ ~ /(x- .. )Z+(j-b)~
IAPl 2 +IEP!~- x 2 +y•+x.2 - 2ax+a 2 ~y 2 -2b¡r+b-2
= 2x 2 +2y 2 tu, 2 Tb 2 -2{1<Xtby)
A
... n<!,o>
r-,
X
la d.ia~onal AC.
En e.feci.o, /.l~ ·F(x.~·) l¡1s coord.enaéla~ de
2a+b
X =
a-x
i
te.
B(a+b,c)
Denostrareiooa que l>B brisea-a a
s· CP
23.
La figura m-uestra el. _paral~logramo -OIBC
fJ,..11ttui.-1.acion,
PA
e
2
~= 2
+
+
-f.%y
2
F:·:l
e
y
2
p1,1nto P&AC.
-:T
+
y
=i
;,. i
+
X
• 2atb
---y-
2
~e
ll.ll
+
y
P{2a;b,j)
.
p(2a+b ~}
3 •}
=j
Como e.nbos puntos ooin.cfden, e,ntonees P es punto dc¡, ir;I.Geeción de la diagonal ie.
Análogamente se demuestra que Q es puot. de triseéción de CA.
iO
41
l.3
~
·n~ercepclQ~ea oon loa [Jes Coordenados,
a) Con
el e je l. Se obtiene haciendo y•O on la eeuaci6n
• de la eurva y reaolrlendo la ecuaci6n
~osultan~e f(x,O)•O.
,
Gráfica de una Ecuación
Lugares Geométricos
l. l
OOS PROBLEMAS f'OHOAltENTALES DE LA Cf:OMtTRIA ANAUHCA
Por ejemplo, dada la ecuac16n E(x,y)1x 2 +yz-2x-2y-14=0, hallar
los ioterceptos con el eje X.
Para y=O ae tiene ~(x,0):x 2 -2x-14•0
+ (x-7)(xt2)=0 ++ X1=7 ó x,·-2
Por ~an~o. los puntos sobre el eje X donde la ordenada eu ceP~(?,O) y Pz(-2,0)
ro son:
Solución .
el
b) Con
2,?
I,
Dada \lila eouaeió~ interpretarla goométricaQonte, ·~
decir, co¡¡otruir la gr&Cioa eorreapondiente.
TI .
Dalia ~na fig,,ra geoaétrica, o la condición que do•
ben cumplir loa pll.l'llos de la •lema, determinar su
ec,aci6n,
f'R lMEII ¡.ROBLEM.t. FllNOAMENTAL.
CRAl'ICA
~
UH,. E:CUAC 1011
eJ& X.
Se obttene haciendo en la ecu~ción xcO
y reaolviendo la ecuaci6n r(O,y)~O
Por ejemplo, ballar les intercepciones de 1~ curva de ecuación y 2 -2x-8y~12e0 con el eje Y.
Solución.
+ f(O , y) :y 2 - 8y+12•0
{y-2)(y-6)=0 ++ Y1•2 6 y,=6
Para x=O
+
Por tanto, loo puntos sobre el eje Y donde la absciaa es cero
son:
Pi(0 ,2 ) y P~(0,6)
!n la diaeu1ión'7 el tra1ndo de la gr&tioa de una ecu~c16n da doe Tariables x • y, de la forma
f(x,y) , O
intervienen loa •i~e~tec p.aaoar
1, Intercepoiooea con los e¡a, ooorden~doa
2. Si•etr!a con re,pecto a loa ejes ooordenadoo y con el
orica11.
~- net•r•1nao1Ón de la extena!6n de la curva.
4. Detel'llinac!Ón de la• acuaeionea de laa aaíntotae vertical.ea, bo:ri~ontalea u oblicuas que la cu~va puede
t.eoar.
s. talNlac16n de an n~aero suficiente de puntoe p•ra obttn•~ ~• 1r'1ica adecuada.
6. ?rallado de la cana.
al Sitnetría con respecto ;¡l i,je X.
Si la ecuación de
una curva no se a tara cuando la va.riable y es rec~Dla;ado por -y, euto
es, r(x,y}=f(x,-y), la curva es s1aétr1ca con respecto al eje X.
•
Por 6jemplo, sea la ecuación f(x.y):4.xt+31•.12
Háciendo y:-y se tiene r(x,-y) : 4X 1 +3(- y) 1 •4x 1 +Jy 2 x12
Como f(x,-y}•f(x,y). la curva as simétrica reapacto al eje X.
b) Si•ctrfa con respecto al cJe Y,
Si la ecuación de
una curva no se altera cuando la variable x es reen•
pla11add. por -x, es~.o es, t'(x,y)~t(-x,y), la curva cainétric.a con respecto al eje Y.
4 .•
t'f.J<r 1-•,,e:!J.~1 ..,> ;.:;ee.. la :::cue.'!iÓ!t r(x,7):9x 1 -4:,¡ 1 -..J6
L3.-cic~do x- .. x ~~ tlftr.:e f{--x~:¡):9(-x)$-4y'2:9x 2 -4: !-. 3~
+
3;y ....
-4x~+ax+ 12:.0
ComtJ .:( .. x,y) - i'(x1y)> l b c:trt 1· t:s Oilié'"",-~ea r<:Jsp~r.:t:;
4-+
a.:._
ñJ~ t ..
Por lo ta.nto, el dominio
cu1·vc !lO -ee alter~ al re-t:1~ple.~ar le.s variable~ x por .. x
~sto os, f(x , yi • f(-x,-y}
la cu~va
iH.
~
•
gc:n.
3x
++
;y2
-8yt7~0
++
{y-4)~~9
++
Los ínter-v~los ir.fln::.'tos 'indican que la curvs se extiende
in.definidal!l'<lnte a lo largo del eje Y.
Mod~ante es t e p a5o se cte .er~i n1
~~ales .. E.sth infor~~~i6t ~s úvil por la~ sigu~e~te s r~~
2
X~ -9 t / $1t§(y -8y-2) • 1 ! /y2-8yf7
++ y?-7
Co~Q f( x,yi-f(-~,-y}, la c urvA e~ slmé t r ic1 rcs~soto ~l or~-
e.1 iri t ervalo o lvs ~n te-r :v~las
= [-1, 3]
Y-4~3 6 y-4~-3
6 y,1
Luego, el rango de la ecuaci6n e1S: <-.,,1] o [7, +...>
+
í ' ( - x, - :;) :e,. •- y"'O
1
-2~x-11.,2
-1~x~.3
Soluc.i6n. Debemos despejar Jl=g(y)
Oredenando ia ecuación se tiene: 9x'+18x-{y~-8y-2 )c0
·¡ - -y se t ~er,e f(-'>",-y):8(-x)'-{-y)•-Sx,+,i =O
d e ,,a.ri .H1-i6r. pa~a l os cuqlss J. ós v alcn;• r. s d9 x e y aon
......
.....
(2) Hallar el rango de la ecuaci6o! y 2 -9x'-18x-8y-2=0
. ,
8"111':,.-
P~i· '51~eoplo , e ea la r.eu&dÓn i'(x,l):8x l-y~O
P.scie !'!do ic=-x
::t 2 -2x-:i~o
++ (.x-1) 2 ~4
1
2, 6
Si para una curva dada, eld-i,te une. recta tal=
que, a medida que un punto de la cu-rva ne aleja indefinidamente del origen, la distancia de ese pun
to a la recta decrece continuamente y tiende a cero, dicha recta so l l ama ~!ntota de la curva.
Existen tres c l ases do asíntota$:
A:.!ntotas.
a) Asíntotas Horizontales.
Son rectas paralel as o coin~iden-
tes con el eje X, y tienen por ecuaaión :
r=k
Para determinar las asíntotas horizonte.les se ordena la ccuaci6n f(x.y)=O en potencias decre ....1.entes de x y se igaala a cero ~l coeficlente de mayor potencia de x.
Ejemplo ,
Ballar las asíntotas hor12ontal-G-S de la ecuación
2
2
x y -y 2 -4x 2 +2x-4=0.
t 1i l!E'lla.r t•l c,0:11.i.d o dé h
Soh1ci61•.
eoi:ac!é~... ~~f.y'-2x-16:,+1)-~
Dc-b~aos de!p~j.qr
,-f(;t)
01·dcn11.,ici.o l;, llcuaoi6n ts ticr~: Ly~-l&y+(~f 2 -.2x~l,'3}cD
_ e ~ /64-d:io·-2-.:-13) ,,, s ± l."7x::ax_:!-E_
1
Soluci6n.
Ordenamos la ecuación en potencias deereoient~s
de x: (y 2 -4)x 2 +2J1-{y 2 +4)~0
La potencia más alta de ;x ea x 1 , y su coeficiente es y 2 - 4.
Entonces: y 2 - 4"'0 ++ r-2 6 yc-2 ., :ron las asíntotas bori¡!;OJ!,
te.les de la curva dada.
'on rec.~n patul.el& o coir~ide~t-s
11tl ej ti\ ":. y 1e--.dc por o.' sci. '!l
b)
~JERC1CIOS, C!"'u;,o 6
,, l.
XY-2)'-3-0
Sol.u.c.i.6n,
r(x ,y},xy-'-y-J"O
Sea
I) Ir.terccpcicr.e ••
llallal' J.aa 4.r.íntotAn ·,"rtioalee ee la curva de
e~u:,.:ü.5r:.: x 2 .v 2 -y~-1.x 2 +2x- ·1 =0
Soluci6n. Ordr=-m'!lo ln ecuad!n er.:. potc:1cie.s dcc.r cie:itea
de y~ (x2.-1)y 2 -(.:.X"-2x+1;-íl
2
1,a povencia ,tia alttt de y ea y 1 , y Stl 001:1!.i.ciente e~ x -1,
p;Jemplo.
L-~"º' x 2 -1-0...,. x~t ó x=-1 , ~nr. las asínto~ao vcrticnJ.eo
••
de la curv& aad~.
e) A~!ntotas O~llcua~.
Son re.e L!i.ft ,pie ne son piu•e.l lll.1 e. nin
gtl.!lo de los ej g.s cool"der sdos y ti ener.
yea:xfk • ¡¡¡[O
Para deter~-n~r la9 u.~;ntota~ oclic~as, B& r&empls~e el v~
lor yeJJx+I:: ,m la .. cttu.oi6n dadn; ce ordena l.a !Hl'.1aci6n re-
a) Ce>n el eje X: Si y~O .,
b) Con el ~je Y:
0-2(0)-J=O
r•O
.. -J=O
h
~y interoac~ióc
::. x~o .. -2;¡-.3.,:-, ~ y-.3/2 :. P(O,-J/2)
~,:
•
II) SimotrÍ'I.:
a) Co:i el e.e
1 X• f(x,-y):x{-y)-2(-yJ·-xyt2:,-3-0
•J'(x,-v)/.f(>c·)
•
·•Y
.
• · !.o
03
d::!Jtric.2
b} Con el ~je I : -~( -x, Y ) , (-x)y-2y- J•. xy-2y- .J=O
+ f(-x,y)}
t(x,y)
e) Con bl o~igen:
:u l .E'xtar.11ión.
s~l te.nts s, ~ot~acl~s decrecion~ec de x, luego, se irizala
a ce~o las dos pot~nciaa oás ~1 Aq de x.
Ej<,01r,lo.
Iiall"r la1:1 a1J.Ín ,at,,, nbl1cua¡¡ de J.a curvA füi ,,_
~u3clÓa A'-xy~+2y~=O.
Sol.ció~. su~tituyendo y~ux+k en la ecuación dada:
x 3 -x(D3fk} 2 t2yZzQ
( 1-m• )x 1 -2:r..az.:;r~+2y1 =0
,.¡.,, <!o:ide:
t 11.~ pote:.:ciu.s itle :1l.tae Ce
A
0011
x3 y x1
xc:1-(2) :. Dominio =
(-oo,
2> U <2, T»>
h} Rango a~ la cc11ac.!.6n: x•f'(y)
X
a
1:i...1
¡
+
ycP.-{O} ,', Rc.r.go
<-°',C> IJ<O,+o,>
IV) .4síntotnti.
•
uego, EegÚ!l,la regl~. 1 -~'=0-+ ~=±1
-2::;k=O + k~O
Por tanto, le.a ae!ntota6 obl.icu,1t1 aon: y•:!x
a) AcÍL,o:~s hOri•
,
'
.on ta.es:
YX-2Y-3•0
b} .l.s.ínto•,.:,,s Ve r~i ~aies:
V) Tabla de ·,alorea.
3
-~
y -
Si X>2 - y ss (-1)
&f:·1,:'{_;i':B
+ y~o e3 une A.?.
(x-2)y- 3~o ~ ·x•2 -S
~ \U.R ,\.[,
VI) Trn~~do de la grÍfica
l
{i1túlica d,:. ""'' ér.uaci(J11
.
~-
7.
12,l«c ,!n.
x::-,y-:.=0
fo!Jt.<'.<.ón.
3~,;, r{x,y) ,c,:;;-J~-1(-0
a) Ce~ el e;e ¡, Sl y=O
~
~e
)
5ea " x.y :xy-2x-2y~2•0
I • Tri ~er •"cc:.cn~s.
A(1,0)
o-o-x=O • x=O
B(C,1)
t) Con el ej•l !: $l x=: • C-31-:l-O - ;¡=0
•• L11 c,urva r/\s& por .,:,_ ~rie;an
ll.
f
..l Con el " Jo X. f(x, -;r) :-xy-2..l-2yt2~0
... 1·(x,-:,l .,,. t ( x,7. )
ª
1I ) Sim11tri o..
a) coe d ;;je X: .. (.-:,-~·):x( -:,)- :3(-y) -x~-x:r+'.)y-x= O
b) Con f>1 9,oY.í'(-Jty)•
•
'
, ·XY7_,2 x-2y+2-0
• f{x,-:,) f ~ix,r)
No •• si11,t r .u:11.
e) Con ol orig~n. t'(-x, -y) :xyt2x-r2y+2=0
r{-x,-y) I t(x ' 1J· ••
. . •.0 oa oi•étrica
"!>) -Con el eJ9 Y: .(-x,)'/: ;-:"'Y-J;r-(-x)->-xy-3;,+x~C
+ f(-x,;.) F f(x,:,r)
••• No e:i sio1H.r:.=a
e} Con e'- ~r'l.g:;,:. t( - ,:,-:,~:'-x)'-:r)-J(-)1)-(-,.;)~x-;1-J,+x='.l
.,. :f{··X, -Y) f, f{.:<, y)
:. }fo eii ei:,,6tric.:a
III • ~xten,dÓ!l.
.l) Do::inio de la e cuaoi ón,
r:1) ,xto+r.sión-
y
a) Doa!.nio <'.ic la ccua.ci6n. ,"f(x)
;. iJominio
- i
·• xc.F'.-\:3)
'I
x- 3
x -
_1¡
y-1
+
X:
IV.
lV) Asín-te L,,s.
a) lts!ntco; 11 iloriiont.al.,s. (,-')x-3-;='.) ·> y-1 ea unA A-"·
b) Asir.toU.fl v.,rticale~. {x-3br-x=O + x;;:} a¡; una A.V .
;, . i1
¡,,i X., 1, le (!'.ll"'II. S'> Aittia¡¡
de ellcioa e~ ~a rec~a y~i
Sl x<3, la otJr·1:1 ¡¡~ extlei:;
,le dob:ijo do la r.;cta ¡;,=1
•
xcR-{2)
b) Re.n"O do la eoua.ción
y~R-{1}
•) ~c~la de valoreu.
2x-2
~ ~
'J
---
--- ----'
._
1'-_
-+- ---
'•1
1
1
1
':
2y-§
y-
+
:. Do•inio=<-"' • 2>u<:?, '"'>
x=.t(y)
ycR-{2}
f.3Í11tot11s.
it) Asíntot&a "norizont6 les, (y- 2 }
b) AsÍn'to~~
x-2y+2c0 + '~ - 2= 0 + ::~2
-~ 3 V9t>t.i cale 11.
•
V T bl
~~-2)y -2x~2 c0 • x-2-"0 • •
á
a ae Valores
X·2
•
VI. Xra1ado
y. 2x-2
da la ~rárica
.~
~
X
'i
J
6
5/2
_,
4/3
J/2
-2
/\___
--r-------
'
48
¡
9.
(,,i&/., cu ti~ u.na. lcuct:i.lm
(i.eo ..a.t,r.ln ,1.natl.:lica P l.ano.
11.
x~+lxy+y 2 +2x-2y·1=0
[oCuc.,.6n.
io. 3+:r'-~)
II. Sime"'ría.
SCl!l f(x,y) :xJ+y~-4y•4=0
fol1u.itr..
S(IQ f(x,y) ,xit2xy+y 2 ~2x-2y-l=O
I. 1nterseccíonea.
a) Con el eJc l . Sj 1~0 + :< 2 +2x-1c0 +¡ x=-12.12
l:t) Con el eje 'í. Si x 0 0 + y 2 -2y-1=0 •-• y=Hfl
:.-o
l. T ~e!"s.c~~o:i~o.
x.
3i Y"O
, a) Con ..1 eje
b) Coi: c:2 e_'c 'í.. !',i x~Cr
X 1 t/.-0
+
-
t. ( 31::7,, O]
+ x- 1/-4
yj-4y.a.4,:C
1
..
.S(0,2)
·¡=2
l. S1netr.ée..
a) Con el oj~ X. f{x,-y):x 1 -2x:y+y1 +2xt2y-1;0
~ f(x, y) 1- f(x,y)
••. No r.s siz6T.r1c..
1\) Ccn
e:
eje X.
..
f(x,-::} :.x: 3 +y 2 +4y=C
f(x,-:,) I f(;.,y)
f.o en s .. .Jttr1c~
+
f(-x,y) :-x 3 •y 2 -Ly+4=)
f(-x,y) Jr f(x, y)
No
b) Con el eje Y. f(-x,y):x 2 -2xyty 2 -2x-2y-1ff0
.,. f(-x,y} f f(x,y}
.•. tlo es sinhrica
t,) Con ~1 eje 1.
e) Con el orígen. t
e) Con sl cr1gon, r(-x,-y):-x,ty't4y+L-0
,-y):x~+2,cy+y 2 -2x+2y-1=0
f(-x,-y) ~ f(x,y) .•. No eo aimchrica
l(>I!
r.ii:ót.ri ~e.
0
...
L I. füctensión.
y 2 +2{x-1)ytx 2 +2x-1o0
•y= -(x-1)i /<x-1) 2 -(x 2 +2x-1) & (1-x)!l2-4x
+ :l; 2 4 .>O +-. x,1/2
••• Dominio • <-oo, i/2J
b) Rácgo de lá ecuación.
x 2 l2(y:1)xty~-2y-1=0
~ -(y+1)! ,/(y+1l2-(¡, 1 -2y-i) = -(y+1)2 l4y 2
3x ++ 4)1i2::.D ..... ;v~-1/2
;, Rango- .. [-1/2,4.,>
... :<
Il/ · ;\eíntotns.
a 1 • 800 const;:,n
tes, le. cur•,a óe eeue.ci6n dada no tifmo a~í~
totao horizout~les y vertic~leo.
/
-
Cnrio :tos eoe!'i~1entes de
V. Tabl~ de VP.loraa
1/L
1~ 7/4 -1/4
r2
VI. 7razado dn la Gráfica
\ yA
Y = (1-x}i ~
¡-;i¡ 1/4
f
f(ic,y)
••• !lo es :;i~átr!.~a
·r:. Ex':ensió,.. .
e} Dominio de lo ecuaci&i.
+
• -"(-x,-:r)
-1/2
-1/2
'1/2
-1/2
a) !lodr.io de le. ec·~acl.ón . y=i'(x)
(y-2) 2 ~x• + y=.2!xM
+ :iy .- -x>O x<O
••• Domin1 o
b) F_ango de la ecuacióx: . X"-t'(y}
x
l/ly-¡ 1-4 + JJ-y, x es renl.
=
<-:o, O]
~an~o
?
Iií. Aaío ~ota~.
Co~o ~o• cacf~ciectec ~- las variatlcs x' ~ y: son con§
tantcs, 18 curva no tiene asíntotaa horizontales ni veK
tlcdae.
V, !~bla de V~oco5.
VI. T'r .. zc.d~ e.e l~ gd!'ica
y - 2±x,/:X
R-11-1 ,-, ! -2 ,-2
;
¡
.3
-O.a2
1..n
1
50
.51
y 3 -x 2 +3.yc,?+2'x+3y;o0
12.
Sotucion,
La acuaoión podemos tr.~ñai~:rm&r.la del si•
guiente .modo:
(y~~ 3:,z tJy+i}. (x.2 ,24+1)
ªº . . i(x. y): (y+i Jl=(x-1 )2
.I) ·rnterseccion¡t,-s.
,,
a) Con ·el eja ,,. _ . Si :,::O
++ .. ~2
b) Con el ajo 1. ~i x..-0
rr.
b) ,lon e.l ej ~ ~'.. Si x=O + y~O
..
(:;;;.1} ¿;;t +<+
6
+
i] .Co.n el a-.f a X-. S:. ;,; ~ff • x-0
x-·J=:1 ó x-1=-1
.. ~\2,0)
'
X-'Ü
(;¡r+1} S., -¡
;r::O
+
S:!.me-tda.
f
a} Ck,n el aje X.
f(:,i;, • y): (•:,+1P=íx•1-) 2
/. L,ii c~~va P,;l·Sa p:-:,t"" ~.:.. ·o rigcm ,
'/ 0(0,0)
..
II ~ Simctr.{11..
:J(O,Oi
a) :}on •el e::;e X.
::'(x,-y}:-x 2 y+t:r-x=.O
+ f'
b) Don al aje Y.
,', ilo es sit1étrice.
i'(•x,y):(y+1'),::(G:{-1)2
:x, -y )
f :.'(x, y)
No c·a s.lo10tdnE,
~(-x,y):x'y-ly+x•O
"'f(x, -~,) ,- 'f.(-it,y)
b} Con e'.l. &Je Y,
f(.:i.,¡r) /, t(J!.,y) ·
+
e) Go:1: >;?l (;r::.géir. f( - x~ -y.) : .. x~y+4y+x
.'. !lo es sim~·l;:i-ica
e) Con él o;rigl')n., f(~.i::,-yh(- y+1)ª=(sx-1)
i'~.<,•y) F f(x,y)
2
+ f'(- x,-y} ~ f(x-'yJ
rrr .
• Ro es simétrica
=
R 2 }'- ,ty-~=O,
..._,,
!. Si e-0 s~u)étri<:n
Ezt':ll1:1 t 6-:i. ~
e) llomí~i.c rl-a 1.t;L eGU,'1:;i:i. 6-n. · y=f'(>:)
-,.
:r
UI. EX>tenaión.
a) Dol!!inio !ie la eeuaciÓrL.
y'l-1 "'
3
/fiZ-"Zr ...
lly,-'h~.i.
r..r.
Asintot.aá,
..
b) R.~ngo de l.;, ec:uaciór~.
ilx
•·+ :rH>.,D,....
y
1 -1
J
c,uii'e lcie co...ii':l.c.:i.entea de x 2
'
hl.lgó=[··1,+«>,
"
y1
son o~n~t.aQ
cr. 58
. '. R:,w¡go : R - {O}
a) Adntc>tn.s F.o.:-i zontaltes: yxt-x- ~.y=O ... :,;~o
V) .1s~ntot~u Vcr't.i.cslíts ... (.~: 7.-4.)y-.x-o + x; 2 - 'f,=O +. x-=::2
X·/
,-~
_
o. ,-a
yx 2 -x-ky~6
rl . .(',¡~Íil.1,o va 3.
y,<•1
' j. --
1
+
x=.f{y)
V. ':'abls.
~
x~f:(y)
,•, Dominio ·= R
·<-+ ':;)C .
b.) •Ran¡o d:c;,· la. ecuaci6n.
x-1 ../(:,n)~
;11=.f'(x)
:I
1 , µs
,le
V11.J ore.s
X
x:Z~,1,
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315 j-J/ 5
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X •
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¡,
1
52
5)
IG,
x ~y-x y-2y-l=0
18-.
Stta t'{x,y) ,x•y-xy-2.y-1=0
Sol.oci.6n .
X :r-xy .. 5y .,t)
Sea f(x.yJ ::>( 2 -xy+5y;0
.J.•lud6,¡;,
I. Tn"ter saccione:sSi ro -,., -1!:0 ;. No hay in.~urGocción
a) Con el tije
b) Oon e1 eje Y. Si xoO + -2y-1=0 -,. y=-1/2 .'. A(0,-1/2)
I. Intcrsecoióner, .
x.
Como :?.a ecuación caree~ de términ-o incl:-;,«ndiE<u t.e, Ja curvit pa:ia por .,¡ or•-
gen.
II. Si111.e-crí:,_.
Il. Sioetrfa.
8 ) Con ñl eje X.
h) Ccn el eje Y.
f(x,-y),-x 2 y+xy+2y-1-0
f(x,-y). / f(r.,y)
llo ee sioétr:;.c¡¡.
a) Con el ej e X.
f(··x,y) :x 2 ytxy-2y-1=0
!>} Con al e;je Y.
f(-x,y)
!
f(x.-y) f f(x,y)
No ea si~ét~ica
f(x,y)
1'
.f(-x,y)
t'(x,y)
•
f(-x,-y)
f f(x,y)
No. es 5irnétriert
!II. Extenaión.
a) :Jm,;inia de la ec:oia-ción, :r=r·(x)
-+
;;y ~ #2 , x;,l-1
1
.'. flOlllil).iO " R- { 5}
:. Dominio ; R-{2, -1}
h) ri<Ulgo (le 1:,, ecuación .
2
b} Rango de la e;,cua.cí.Ón, x~t(y) + yx: -yx-(2yt1)=0
!Je
..
dO!l,;8 :
X
,,, y!:.
2
1'9:r
-y 44'l.
2
+ 3 _~ ......
Y$-4/9
= -<-cc,:4{9]u<G,+n::..,_
:. .Rango
Ilf . .~sír, ~otas .
a) Aa;ntota,; !!ori,t,o:rtt·a l-,s.
IV. Asíntotas.
a) Asíntotat Eo~izottP..l~s. y;c -yx-.2y~1=0 + y:O
::,) !s.Í:ntc,tar; Ver"..; ce.les. (x' -x-.2):/-·l=O + x ª-.i--.2:0
_,_ l(=- i
:rabla d~ 'lillore$,
y
1
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- 1/2 ij,.¡
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oJ 11 (.20, ~~>
'lo tiene
Su:d,i tuy"'ndo en 1.a eci:ac.ión dada y . orij-tn<>ndo téniir.os
2
'H' tiolle : (í-ia}x t(.5m-k)x+5k=O yf
. \ , \__
+ 1-a=O ·• :.~1
y 5n-k;Q -> k=$
'
Luagó. an (1): y~x+5
6 X"2
VI·; T1·e2ado d-a la gr!i:.r:tca
t.x-2Hx+t1
=
b) Asíntotas Vei,tioalos, (5-li)ytic'=O , 5-x=O + x-5
e) As:Íl1to'tas Oblicu:,,,, y-=:i,;,.:tlt
( l)
2
,¡ ..
r
x=f y}
,,,.,o
9yz+•,.-~o,.
"'•
~ t"
_.. ::,,>O ó
Rango·
...
a} Do~inlo de la at,uación. y=f(x)
Y ~ (x-2){:,+1)
+
No eo 9i~étric¡¡,
e) Con ol origen. f(-x,-y):x'-;,.:y-5"¡=0
.:. 'uo "11 s:i.mJtl'ic!l.
f(-x,-y) f, ~{x.y)
!fo e,; 3.1.:éi'.rica.
r( -x.y) :xz+Jcy+5y=O
+
e) Con el c,rigen, f{-x,-y) :-x•y-xyt2y-1=0
·>
f(:,.. , -y) : x 2 +){y-5y"O
V.
Tabla d-o- Valo~ec
y
~-¡::-5
l,
/6
,
20
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1
I
¡:¡
.:;,
-5
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~--;¡-:¡.('5
_,\,J.----:'
6
-~--·_LJ_6J_64::./..:3L-....:L:'../.:.7i:l-~5~i2:J. ~
X
55
54
Sea f(x,y) :x 2 y-x 2 -!;:qt/_y<J
Soluú.fr..
C~tto la ecuaci6r_ ca!'ece U.a t.é1~m:.no in-
I) Jnt,r.:l"$t:l'.!Cicne!l.
a) :oti e :. eje
OepU-ndivnte, la curva p ase ?Or el origen.
I I) Sitte-trÍA.
al Con el eje X.
f (x,-y):-;, 2 y-x'-+4x:;- 4y:O Ufo<,.$ s.:.r...)
' f(-x, .. }') = f(xt~· )
I II} Ex-:ensi.6n.
a} Dominto de 1~ e~uación . yef(x)
:. !Joüni.o
.. \
!L. St.rr ~~rí~ .
,;:;
sl~, J~r.i.c:a
III. li.:J(i..e:1!l1Ón.~
±2x
¡;;-~¡
Do1!! lni:::
yz>4 ~ y~2
= [Ci,f.,,
VL
9 ·y<- 2.
·•.:.. flan.ge,-~ <-<·~-> -2~.l.1<2~~ ~;,
IV . ,iefn ta t as,
(y.•2 - 4 );,: '·- 4:t:,:~{Jy2- ·,4.=::0 '
'I're.z!id \"l de l a er-( fj.ca
1-2
9/ 4 1Í 4
pectd dd ! os ~jes X e Y, y ~ l origec.
•
e,)
yl
-y
L-ér:ninos ce ~e cG~:::tclÓn cl.-~,ifl.
~o:t de Jr~rlo par. ln c~:f·ie. 1::<.l r:,i.n;étri va l" se
Do rs,() t,odos l o.i..~
x=f(y) .. (y-1)x2-~.yx+t.y=O
a), tsír,tots.s t!ei-:-izóntale~ . (y-1)x 2 -4yx+!,y=ü + y=1
b) ft-ij:í:ntote.s Ve..r.ti ~al e s, (.x-2) 1 y-x 2 "'0 ... · x-2=0 ... -x~2
T,,_:,1~ el.o 1.i-c.l o!"e.s
a. la g1·áflca ..
(x-2)?.
= R-{ 2 }
2y± /4y ~·-(y-1 ){4y) ~ 2 y± ;;v/:"
,/
6
'J"'O
y =.
+ Jo:
.-_ Rar.go
}lo es sirn.át,.ric.,
II!. ;¡-;;;fr,totRs.
v_
+
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de la e~'1r.r.ién.
i=
::::0 ·~ ;i•O
eCUi'!Cl.0!! •
•)
l{;¡{'lg-<>
:> :lx -.. y;i.O
2
/ . ¡i;J. o.t:l .gell es·"nn p~n'":,c c_ue . pé::"tnuP.:\3
e) Cnn el origen. f(-x,-y):-x 1 y-x'-4xy-4y=O
h)
~-={) - ~ ...{:(
-~ ) Con ;,: aj" ~- Si x=:) -. -,'.;¡ 2 -él
b) Con •l ejo Y•. f(-x,y):x 2 y-x 2 +txyT47- 0
-> 'r(-x,y) f. f (x,y)
:. Jfo
+ :iy,~x#2
·x ..f> .i.
j•
1
1
1
1
P.dntc,:t.<is Ve1'j;ica.lo-~ .
,(-x'-4}y
2
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.y ~2 .ó y ~-2
-;.X:'"º
_J'J
.,_ ! ~t- -~
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1
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>X
--- -\: =r-~;;:~·1:
1
l
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{i1t1i/.i~ d.e w,.11 f cuac i (,n
• 211,
2. 7 CCUACIONES íACTORIZA8LES
x ª -xy•+2y~..--O
Solucdu,.
Soa
;·(x,y):x'-xy 2 t2y 2 .-0
Son aqu.ellas eeuaciones que ptHHlen escribirse en forma
del producto de dos o más factores variables igi.oala~os
I. Int.ersecc1on-:,s.
8 )
Co-n el ojo X. Si y=O
+
x 3 =0 • x=O
a e.ero. Est-o es:
b} r.on el <'.ie Y, Si x~o + 2y' =v .. y:{}
Si F{x.y) : u.v.z, y si F(x,_y)=O, entonces:
u
II. Stmevría.
Cvno la va~iab:a y
ed
de grado par, la cu~ve
III. .Éxtenai6r,.
~
=
y
ecuaeibnea obtenidas al igualar a cero cada uno de los
factores .
J-x
'x-2
= <-"', D]U<2, to>>
Dom,
-,¡.
:':x
!EJERCICIOS, Grupo
Así'n-t;otas.
a) AS-Íri~cts.$ Ror.i.zoiüaleo.
+
·•
2-x~o
x:::-2
Ec c~da uno de los ejercicios del 1-10, factorizar la ecuao16n oo'rrespond1ente y trazar su gráfica.
Sustjt~yaa46 ~n la ecuación da~a y orden~nño términos
se tiene: (1-,L 2 )x'+2(m 2-rnk)x 2-(k 2-/.xk:¡x+2k·LO
cEntoi:ees: 1-n,'=O...,. m1 =1. 6 n 2 Q-1
o 2 -mk:O -
k ,-=1
, l.
Si ?(1<.,y)=O
Luego, en ( 1), la,; aeínt,otas oblicuas ci.e la curva son
L, :y:x+1 , 1, :y:-x-1
'f.
Jx-2
-í
y
Jt-.2y=O
(.2)
1
1
(1) ~ .
/
'
/ / L,
/
/
GEE
/1
/1
{2).00
1
1
±.5-2 :t.!i.6l ;.0.5? .tl.41
~
(2)
-j
xz-4y1.
(1)
~
Tablas de Valores y &rÁ.fioa
1
y'
-2
Soa F(x,y)
. ~ {x+2y:0
'V,Á/
i/
X
x 1 -4yz=o
Solusi6n.
ó ·k.i=-1
V. Tc.bla dei 'l11lores y C"áfica.
1¡
No tiena.
Asíntotas Ver·~iealoa. (.2-x)y 2 +x 3 ~o
e) Asíntotas Obliet:an. y=::nx+:C
{1)
b)
tx
O
z = f(x;y) = O
La gráfica QO F(x,y)=O constará de las trá~ioas rlo las
s~ sicétrica ~6lo coj el ~je X~
-0.) Dominio de ls 11c1;a,;:iÓn, J-,,.f(x)
f(x.y)
v "' r(x.y) = o
- @mj
ILiillJ (') Li:.lI[JJ
-~
.,.
q,,.a...,,i,,,.I,; A,,all:l.ica 1'la.na
58
I
4.
x2
r' 7.
+2xy+yi=l
Solación.
Sea F(x,y},:(xty}Z-1=0
+
,.3_><":--xy.-yz~o
(x+ytí)(.x+;t-1)=0
Sol,ic.J..6n.
Sea F'{x: ~') =x •-x 2 y-xyty •::x2 (x-y )-y (ir-~;)
(1)
'-'(x-")(xZ-y)
x 2 -y=O
Tab~a de Valores y Grlficaa .
~
~
ffiffi
EHHI3 [; 1
B.
Sea
F(x,y)=6xltxy-2y 2 +7x+?~-j=O
3x
2y
X
2
Sob.u;i6n.
-1
F{x, y)= ( Jx+Zy-1} (2x-y+ J)
Si F(x,y)=O - {
.3x+2v-1 "0
( 1)
2x-y~Jee0
(2)
.
(2)
fffl
Effiffi
6.
Sea
·> F{x,y)
O)
(1)
{
~
~
.~
so l!.1.,c.í.l,,,.
S&a F(x,y) ~ xl~xz+2xy2+2y2-Áx-4
xbr=O
( 1j
x 2 +y~4
(2)
X~ {x+1) +2y~ (Jt•1 )-4{xfj}
(x+y )(x 2 ty~-.o
( x+ 1) (x 2 t2y2- ,1)
Si F(x,y)=O
y
+
(1
Tabla :le VaJ ores y Grá!icns
( 1)
(2)
GTIDJ
(3)
(2)
GTI:J1l [ITITD [illI,l
Sea F{x,y)=x~+y•+x•y+xy 2 -4.>t-4y
+
y
Tablaa de Valoras y Gráficas
= (x+y}(x 2 -xy+.,'Jtxy(-x+y}-4(x+y)
St F(x,y)eO
F(x, y }=x'- (7 2 -4,c)-y • (y•- 4x) =(x2-yz) (y•- x)
4
~ (xty){x-y}(y2-~~)
(1)
(2)
~•+y'+~!Y4X.l'~-~~-4y:O
Solu.tJ,:,5a,
1±:1
y
'i'abla de Yalorea y Gráf; ca¡¡
(1)
±~
(1)
y 2 -4xª+4xy 2 -y''=O
2xX-y.><,
3n l.oaces
(2)
Tabla de 'l'11lore11 y GrÁficas
!'I)
(2)
{2)
{ 1)
(1)
Si F(x,y)=O +[x-y=O
(2)
f:d1"'0
(1)
lx1+2y2-4~a
(2)
Tabla de Valeros de (2)
• X
~
1
J
61
6J
2.8
se llana ~cuación de "n lugnr geo~Gtric<> plano a una e-
m,H>lf'9 de t.al manera que su distancia al or~ca su lu6ar
. _1 a 2 • He.llar la ecuación
g.an ea si empre J.fiU~
,, • .
geométrico Y da.r- su in-l.erpret_aci6n geometrica •.y ..,
~u~oión de la fo~uar
Solue¿l,11..
4.
ECUACION DE UN L UGI\R CEOHETR!CO
f(x.y):cO
( 1)
~uy.as aoluc:ion~s reales pa!"a ,,.alo!"es corra1;;pondi&nte,;
de x e y ~on todaa la~ coordenadas dG aquel1o~ puntos
~ue ~a~isfaccn l& condición o condiciones §Oooétricas
Un pu:ito ae
i) g 9 a p(l(,y) ~n puoto del L.G.
/
1
1
-¡ =2
ii) IOP·
,
lii) /x,?+y• = ;~ + :c•i:,'=4
El lugar geom~trico ea una oirounferetteia
,,-r){'
1/ \
º¡'e
!1 >x
',_t...,.,
di!ld,¡,s gu,.. ,le='int+:i el ltlgar georuétricn.
i;l
proc~dimiento papa obta11ar la oc1iación da
!lll
Uil r;,u:nto ee :r.ueve de tal man.era que su distancia al punto
lugar
A.(2~ )) ee siempre i~Jal a 5, Hallar le. ecuación 4e su lu,
·
gar geo~etrico
y aar
su interpretaci6n r,eo;nétrica.
gaoaétrico es como s1gue!
i) Se supone que el punto P . de coordenados (x,y), es u~
~UAto Qualqui~ra que sct1sfaoe la condici&n o con<lici2
nes dndss, y, pcr lo tanto, un punto col ~.G.
ii) !'k expresa., ahslít:.c11l1lente. la <londici6n o condiciones
geomhtrier+o dadas~ por ~edio de una ecuttción o ecllaciQ
ne s en lae c.oordenade.;; v11rii.bles x e y .
iii) Ss simpli!lca, M . ea n,eceaar1c, la ecuaci.Ón obtenida en
el paoo i~) de ~!12 nanera que tone la ~orm& (1).
1EJEnercros .
3.
Gcupo
S,oluei6n.
i) Sea P(x, ~) un punto del L.rt.
ii) IAPI = 5
iii) /(x-2)'+(y-J)' = 5
(le· d<>itde : x 2 +y 2 -J.x-6y- 12 =0
El L . G. es una oirc'.m:fe renaia de
raoio 5 y centro A(2., 3) •
' d e.1 · L• G• de un punto que se mueve de
P.allar la ecuaci. on
· ¡:re cqui·distante de los
tal manera oue se con-s erva siom
·
puntos ,l,(1,-2)
y B{5,:¡I,). Id,mti!ioar el L,G, y cons trui~
-
6.
n
un punt.o se mueve de tal lllil?>era qu,;, su di stc.ncia al t1je
Y dis,?:inuina an J as siecnpre igual el dohle t!,l su dis',an
datl aje; r. Billar la ecullción !;le su lugar ·goenétrjco y
ci.e.r .su 1nt.erprets.c.ión g:t1ométcice .
>X
lo graficuonte.
y
Sofoc<6n,
:í) Sea ¡>(x, y) :.in put1to del L. G.
,
IAJIJ=l~I (Con.d.ición de equidista.'loie, _ 04...;_,1-_;..,._~
iii) /(x-1) 2 t{y+2) 2 = /(x•5) 2 :<:r- 4)'
u)
i) 8aa P(x, ;¡,) un punto
del L.r..
11) Pg
3 ~ ~ pi,j
i.i:!) Y.
3 = 2y ...... x-2:,-:,-o
ta ecuación dél L.O. es un~ .recta.
-
y
X
Q
--ºf--
.....
/
-
Da donde: 2x~3~-9=0
~l t.G. es una recta ~ediRtri~ del seg~ento AB,
.? .....
y
X
7,
Bna racta contiene a los puntos A(-1,5) Y B(1,J). Expresar anal!tica~ente, ol ~echo de que un punto acalquie?'a
P(x,y) está sohre 1& recta. Deducir la ecuBción de le re~
ta.
6)
ll, Un punta se mueve da tal aanera que au distancia al oJe
X ea siempre igual a au distancia del ~unto A{0,4). Hallar la ecuee~6, de ,u lugar neoa,tr1co.
i) Sa" P(x,y) ·1n· pur.,,c r.!H L.G.
y
i5) Cooo L l3 y t ,on co1illt"e2es,
"A" iii) xIT
~
s.
&.l..uei.6n.
¡¡¡/¡l)
.,.1.:2
Hl
li!>I
+-+
'
' ,_
x2 -8yt16•0
! l L.G. es une parábola.
•
pJ.:nc cwl !..";..
:.l(x-4)•+(7-i)~)2
1.1..
O
y= lx 2 t(y-4Ji
iii)
::.j EJa. P(:x,,, u
ii) IAP! ~ - !~ i
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IQPI
.i1)
Hr.llar l:i
se EU:::V
al p;wto
&,hcil11.
,.
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o1
, ti~ dcnrla: x,y-4-0
'\,
:
P(:r..,¡)
'
A
,:.
o
donde: ,:ify'-9X-2¡iT17~0
12. Hallar la ecuac16n del lugar geoaétrico de un punto que
•• aueve de tal manera que le auaa de los cuadrados de
sus diatancia• a loe doe puntos A{),5) y B(-4, 2) ea eie!
pt'e igual a )O,
Sotuei.6n.
X
t) Sea
P(x,y) un punto del L, G.
iil IKPl 2 +lfil>l 2 = 30
recta 1, e¡-, ;:esa por ~- ,:iunto ,\( 51 1}
.
cular a e 1wrn. -,. c ta da
.., :
~~ !,e.rpr.• :t_•
9
'
· "~dier.te 1/2 • .:.)Qrt>ear 111v.1Ht1ca1111>1,.e, el l,;ech;;i de q!ia un punto c.1alcplera P(:it v) e ,•á
sot.rc 1~ re-:~a I,, 'l dei.:~i.r a·· • .,·.ui,
,
• ...
i J se"..ls.ción.
ll•1a
•
q
:::;¡
\ol.u.c.ién.
,i., dc,r.de1
de dondo,
2
=)0
x 2 +y 1 +x-7y+12=0
13, Hallar la acuac16n del lugar geométrico de un punto qoe
se mueve de tal manera que la diferencia de los cuadrados de sus distancias a los puntos A(2,-2) y B(4,1) es
sieapre igual a 12, (Doe casos)
= ."
111~0 del L.G. y z, =1¡2
i) So, P(x,y)
•
1 ._.) Jlt.lCAf' : -1 ., .:iAf'~-2
1ii) ,;nLonCAIH .:i.:J....
-~· •
>..,.5
111) (/(x-j) 1 +(y-5) 1 ) 2 t{/Cx+L) 2 t(y-2) 2 )
S0tuci611,
2:dy~9-0
i) Sea P(x ,y) un punto del L.G.
10. !!:111 circ1 !1:e1·c,ncla de rad.io 3 ti ene
~i.: r.r.ntro en el pw,to C(-3,-2). A ,artir de la ae~l·1~16n,
•
u
hall.!r l,;. ecu,ic i6n de ~~ta circunra~o~cic.
J.:l!.ue/ 6B.
~) 3 ~a P(x,y) un punto de1 t.~.
i¿) .&n c~ol~1 ier pos!ci6n ie ?: j~J=~
1 .i.l)
l(x+3¡a·H,~2i• - J
di! 5ond": x'+y"t6xHy+4-c
"r
--~¡J
,.
¡' cr,,1
\
' ' ....__ ,,,,,.,.,, ..
/
ii)
IKP l 2- IBP l 2212
liiPl 2 - l.i:Pl 2 ~12
(PTber caso)
(Segundo caso)
iii) (/(x-2) 2 +(y+2) 2 ) 2 -(/(x-4) 2 +(y-1 ) 2 ) 2 •12 ++ 4X+6y-21:0
(/(x-4)~+(y-1) 2 } 2 -(/(x-2) 1+(y+2) 1 ) 2 =12
++
4x+6y+)•O
14. Un punto se mueve do tal manera que su distancia al punto A(2,4) e~ siempre igual a au distancia de1 eJe Y auaentoda en), Hallar la ecuaci6n da au lugar geoa6trico.
Solucl611,
¡;,,.,...,_t.c..t.a. Anattti.c.a Plana
i} Sea l'{x,y) <.:n :¡.LllltO del L.G,
ii)
65
ii) Si~ es un punto do la circunferencia de centro C(1,-1)
!:Gil " lfQI + ::
entonce:s:
iii) /(A-2) 2 +(y-~); ~ x+)
do dond~! y 2 -10x-8y+11•0
15. Hallar lá ecuaoi6n dol lu&ax eoo~6trico de un punto qie
8 ~ nueva de tal car,era que la s,u,,a de sus dist-0.ncias a
los do11 pu:itoa ~{3.0) y P.(-3,0) es oloop1·e igual a 8.
luego,
ICPi•2
JO . Un punto se mueve de ~al oanera que ~u dlstancia al punto
A(3, 1) es stcopre igual~ la m!tad de su distancia al eje
Y. Ballar la ecaación de ~u l~gar gaooétrlco.
•
J.o tuel611.
So l.uci6ri,
1) Sea P(x,y) un pw:to cualquier~ dwl ~.G.
1n !:A'.PI
1ii)
l~i=4;
iii) /(x-1)'+(yt1) 2 ' • 2
de don1e: x 2 fy 2 -2x+2y-2•0
+ lal>J " q
/(x-3) 2 ~y 1 + /(x:Jl 2 +y· - 8 • /(x-J)'+y• • B-l(x+J)'+¡•
i) Saa P(x. y)
ii)
iiJ.)
¡;:1evondo sl e uad:-ado y simpli ti cando rooul ta:
y
un punto del L.Q. ,
JKPJ • iJQ1>1
A/•P
o
X
/(x - 3) 1 +(y-1)~ • ~
de donde:
Jxi+4y 2 - 21.Jt-8y+40~0
JC
Q
4 /x'+6xt9~y 2 ~ Jxi16
Elevando nuev~men'.:.e tl c11adra!io y siapli:f'ic:uido se cbt.::.!l
Le:
7i. 2 +16yt:112
17. 'Jn pu:ito so mue•1e de tal manera qu& la difsranoia de sus
diotru:.ciao A loe do~ puntos A(0,3) y B(0,-3) es 'lÍR~prw
igual a 4 ílal 1.e.r lo. ecuaci6n cie. su lugsr geométrico.
S,. lcCL6.'t.
i) Sea P(x,y) Jn punto del t.G,
if\
i?I - !fil"' :
Soluci611.
y
i) Sea ?(x,y) un p1into del L.C.
ii) IAP 1 • 21.PQI
iii) /(x+1) 1 +(y-2) 2 • 2 1
dP donde: xZ-Jy 1+2x- 4y+,•O
X
L
i1i} /(:v:-:n~+y• - i(x+3l'+y 2 • 4 + /(.:.-J)2+y 1
r:1,n.,,ndo nl cundrado y elmplificando re8ult11!
~ /x 1 t6x+9+y 2
21. Un p~nto se ~uevc de tal manera qua au di,tancia al punto
A(-1 , 2) as s.ic;;pre el dobl9 de cu ü1s~ano1a al sje X. Hall8r la ecuación do su lugar geouétrlco.
e
Zl, Un seg!llen~o rect1tíneo de longit~d, se aueve de talmanere aue uno de los puntos extrends erw~r.ece siearre ag
{+Jx
tro ,¡1 ej o X
5x 2 -4y '· ~20
19. lir. círculo de rr.dio 4 tiene :su centro en el punto C(1,-1;
Hallar le.. ocueción del lu¡:er geomd trico do loo puntos medio~ d~ todos ~us r~~ico.
Solu.cl&n,
i) E:c" P(x,y) un rnr.';,o del L.G.
y .,¡
r.
o~ro per!llane ce 31 eiipre sobre el aj e
Ha.llar la ecuaci6n del L.G. del :;:un+o ;;ccio del sega.. nto.
Solur:.ibi,
Elc'land? ol cuer.l.rndo se obtione .tinalaPnte:
i) Sra P(x,y) ~n punto del L.~ .
Seen A(O,y,) y B(x1,0)
ii)
IÁF-1 •
A
~
ili} ~ ~ l , pero: x1:2x. y1~2y
• /(2x) 1+(2y) Z
•
4
++
xz+,~=4
B
x
67
66
23. Dns de los v,~,.t!.eos de un ~rinnguJ.o son les p-;mtos fijoe
,1(-1,3) y B(5,1), Hall.ar l:i. .,,,uaci6n del L.G. del t,;rcer
3
v~rtiee G ~i "e .:ueve d.i ttl :m,nc.,.A que le 1.:enc.:.ente :!el
lado AC as sioopre al doble do 1~ del lad~ iffi.
i) Sef. C(x,y) >.m
1:.) m1ic
p\!111:.0
:iel L.G.
2 mnc
iii) ~- 3 - ,.,¡·.::,'
~tl_:j_,
m -
de -i<>ndec: .it¡¡ ,x+'ly-17~0
:?.<;..
·+::!·''
--+=·-X
La Línea Recta
3,1 FORHAS DE LA ECUACION Df UNA LJHEA RECTA
(1) forma Punto-Pendiente.
La r1'cta que pasa por un PUU
to dado P 1 (xi,y·¡) y tiene la
tiene por ecuaci6n:
])os d..- los vérticc,s ds, t.n trik!gulo aon log puntos fijos
A{1,0) y B(5,0). Hallar la oeua.c.ión del L; Q. del Mrcer
;r,9ri.ic~ C s:.. se cu.e vn de. tal ~or-.sr~ q~e l~ diferencia e~
t, e lao loiogi tudee Je loa lafüia P.C y BC el.' :;ieopro igual
a la mitad de la lo~git~d del laóo AB.
ii}
e(,,.,}
, ,--t
!Kcl-iBCI : 2
iii) /(x-1)2+y2
->-
1!'9,
- ,-lf.x- 5} ª+y•
~
m{x - x1)
La recta c~ye pendiente &6 m Y cuya ordenada en el Q
rigen os b, tiene por ecueci6n:
y
un tiunto dec1 1.0.
Y - Yl •
(2} Fo_rma ~endiente-Ordenada en el o rigen.
Soe,,-cUm,
i) Saa
pendiente dada 11,
Y~ mx+b
;1 s-1 I
-~o..¡.."=---...;¡,...- >-
lxz-2.x+1+y' = 2+h. 2 -~0x!25fy 2 -
• Íi.
de donda: /x 2 -10xl·2.5+y.1.· ~ 2x-7
El11ve.ndo al cQac1rado rcsuJ.tl!.: . J-.c'-r'-1Sx+2·4=0
()) Recta que pasa por dos puntos .
3
25, !.-Os extrem~e ds.lE he~s de un triár,guJ.o son I9s pU!Itos
A.(0,0) :{ E(J,O). H.tll!l.r la ecue.c.dn !iel. L.G. ,fol vérti~e
opu,e.,t,o C si ec t:tu<'lire de tal rue.ner-« que el é.ngulo cie 1s.
base G(B es siemp:e i ei;.al al doble del. ángulo en la be..ae
La recta qua pasa por dos puntos dedos P1{xt,yi} y
Pa(x,,y2) tiene por ecuación:
Y - Y1
= ~~=i:{x • xi) • xih.~
La ecuo.ción (3) puede escribir,se ta.cbi&n en
dete~nante:
forma de
o
.:;BA.
_Sof1,,r.i.ór~.
:!.) Sea c(:x,y) un p=t<> del. 1.,0.
(4) íormo S!~étrlca.
+
Tga;:
~
iii) 'fgjl " "AC
=~ :
mBC ='l'gB~·-1'¡:;c.= x;J -A+.;.;.--.J,;;:B~..4.x
;i.i) Si p=2n
(1}
2
2
Su~tituyeudo en (-i) .N,sult.i.: .3x ~y -1Z:x;9~0
La recta cuyas intereepQi<l!U)S con
los -ejes X e y ooo o. Y b, respect;
vamente, tiene por ecuaci6n ;
l.a Llri.e.a íkc:f.a.
68
69
J.>e segmentos que una rec1.a .deteJ:mina sob1·e 2os ejes X e
[EJlRCICIOS .• Gruµo
r
!11
son 2 y -.3 respectivamente. Ha.lJ.ar
Soluei6n,
ecuaci6n.
Tenemos: a=2 y b=-J, ent~nccs por la ~or~s
{_4):
!follar la ecuaci6n de 111. recta que pasa por el punto
l.
S1.I
! + :J =
1
+->
L:Jx-2y-6~o
A{1,5) y t.1.ene pendiente 2,
sotn~i6n.
ee:
2,
1.
según la ~orma (•), lo ecU>.ccjÓn de la recta
y-5=1(:<-1)
++
L:2x--yH=O
Solución,
Halle la ec•1acl6n rle 1-,:, ¡·eeta. que pasa :por el punto
SclncL6n.
Como o=Tgá
+
Dividiendo entre -4 se tiene, L : -~ +
8-,
Una recta de pendiente -2 pasa por el punto A(-1,4). Ha1·1e su e-ovación en la foril!a. simétrica.
Por la :forma (1): y-4=-·2(x+1) +-+ L:2x+y"2
!ls.:la.r 1a ec11aciór. ile la recta cuya pendiente es -3 Y C1!
.SolucUm.
ya intersccc~6n con el eje Y eG -2.
~ividiendo ontre 2 se tiene, L:
2-.~1,,eiór..
T
t
Í =1
Tenenos: m~-3 y b--2
'J .
Según la formá (2): y~-3x-2 ++ L:3x+y+2=0
I
Halle la ecuac.i6n de la mediatriz del segJDen·~o A( - .3,2),
:B(1, ó}.
Si P(x,y) es un punto de
Halle la ecuación de la recta que paee. por los punt.-0s
Soluci.6n.
A(4,2) y B(-5,'1).
la mediatriz, en cualquier
posición.de P se debe verificar que:
Sofocl6n,
::f = 1
m=Tgl5°= 1
Según la fo~~n (1): yt)c1(x+6) ++ L~x-y+3=0
Según la iorm.a .(3):
y-2
2-7
4+5 {x-,t)
J.U>HBPI
de donde:
5
Según la forma (3): y+1
de donde; L:xty=-4
A(-6, -3) y t.ü;ne un áng,llo de incl.inaeión da 45°.
3.
lfna recta pasa por los .J:untes At-J,-1) y B(2,-6) . .'falle
~u acuae16n en la for~a simJtrica.
Los v~-rtieee de un cuadrilá~ar.o s-on A(0,0), B(2,,;).c(6,7)
'KtB
)/}_L
+-/(x+-J)it(y-2)' ~ /(x-1)2+{¡,-6) 2
de do~de: x+1 -3=0
of
y :D( 8, O). Halle las e cuacionea d,a s;,1$ lados.
Solue-i~n.
S-egüo la f6rnrula (J)
AB: y-O = 'f.i(x-0) ++
l;.10
AB:2x-y~o
31:: ;¡- 7 : ~{x-6)
++
ne :J:x-4¡1+10=0
0-7 ( x-8 )
CD: y-O = 8-b
++
CD:7x+2y-56=0
AD: y=O {Et:uaaiÓn del eje X)
- ~/
•
t,iene:
y
e
10, Una recta pasa por el punto A(7,8) y es paralela a la rec
ta que pata por C(-2,2) y D(J, -4). Hallar 5U ecuación. -
Soluc;.ón .
Si L1 es la recta que pasa por C y D, entonces
m1
S1
LI IL 1
de donde :
2
~ =- ~
+ b 2 111 1 ~-6/5
, luego: y-S ; -1(x-7)
L:6xt5y-82~0
70
La Llnea ~eta
71
11. He.l.l.&r la ecuación de la recta que pasa po~ 61 puo"'>
A(-2,4) y dete-Nlina sobre el eje X el seguer.to .q.
La reo~a buscada paa~ vor A(-2,~} y B(-9,01
Soluc~6A,
Luago, por la fol"'lla (J)
,i,.. uonde,
$11
•C'llfl~6n es: y-4 :_~(x+2)
15, Hallar la ccua.ci6n de la reota que pasa
por el vértice A
y es paralela al lado opue&to OO.
L, 4X-7yt J!rsO.
S;,lu.c.i64
J.2. De!ilostra.r q11e los puntoe !(-;..,a), B(1,A) y C(4,5) .!Ion 11~
liallecr•>lf la
A y 6, Sagd~
Si A,B y C
y-2
(J):
&CU!l.~ÓD.
y-
•• L:x-Jy+11~0
30n
º"°
Sean
AP
13, 4All~t la acuaei~n de la a.acUatr1~ d~l ság;aeato qae los
ajea coordenados detet"llll.n~.l'l. •n la_ recta L-,:Sx+Jy-15•0.
. S-i ~
i
%
1
Q ·{lo:+~t;s
y quepas~ por A es
= 2....
RQ: 1-7
~ - 2
.}'::J
1
•
x.=2/3
~,;;:y; 2
+
Y,:-1/J
/(>c-3)A+y2 " /xª"(y.51f
de donde, L:Jx•~y+8•0
n.
Los 1:jetcicios 14.z,
&;8 l'6f1ar&n al. trián.gulo cuyos v6r.icae
aon A(~2.1) , B(4,7} J C(6.-3),
= 7+5/3 (x-
4-10/J
B
de ttiseoaióc de
Pe.
Po:r la í'orrn-e. (J), BP: y-7
4
1Q
2
Q( 3•-3>
A
= ::J.l.1:::!(x-i,,)
2/ 3- ,
Q
.......
Aplioan~ la fórmula (J) para ~ada lado se tit
Alh 1•1 "fü(x+i) ...,. Ilhx-;y-+3=0
\
e
BP: T1 x- 5:y- 9=0
.
"
4 } +-+ 11Q:i.3x-y-45'=0
llalJ.11:r los vértioe·s del triifu l
que Pasan ¡:,or los , t .
gu e formado nor las rectas
.
ver ices A,B G
lado~,opues-tos.
' Y son P~ralelas a los
So luc<.6n. H 2 1 )
' ' - '
• B(4,7) y C(6,-3)
Re~ta que pasa por
A Y es paral-'a
"C : :Y-1~-.5(x+7.)
""" a .,
·'· L 1: 5x+y+9;0
Recta que pasa Por
8 y es pai:~lela 8 AC: y-7 " - :}(x-4)
.'. L,:x+2y-t8=0
Recta :i:110 pasa por
C y es paralela a AB: Y~3=Hx-6)
1~. Hallar lu eéuac16n de eua lados.
n~:
urn
L:5x+y+9&0
++
Entonceo: Q(2/5+6, -14-3) _
~
1
Luego, asJ y b~5 + A(~,OJ 1 B(0,5)
Si P ll II tt~ pun.to de la taeii.1,atr11,
¡;e deoo •1<n•iticar :¡us• :At¡ .. ¡¡¡p¡
joll,c¿6n..
~ ,~
Q es punto medio de
Pasando 11 a su ~er~a 5im4triea ae tiene:
+
-S{x+2)
A(-2,1) • B(4,7) 'I C{6,-J)
Sot..uci61l.
Por tant<S, A, a 'I C s.on col iA••l" a .
L1: )
=
16. ltalla.r la,:i ecuaciones_ de laa rectas
tice By tris
que p~san por el v6~
ee4n al lado opuesto J.C.
.aoll.n~a.lé6, bll•ta~á probar ~ua C€L.
En efeoto, si CEL + 4•3(5)+1t~o
+ 4.15+11~0 ·~
l.21_uci~.
= _5
Luego, la ecuación de la recta· LI
1
de la reeta que pau poi:-
= ~(xt5)
Tene~os: A(-2, 1), B( 4, 7 ) , C( 6,-J)
Pendiente de Be: m = ~
lin~ales hnlJ.a.ndo la ecuaei6u te la recta qwe paaa por 2
d-o esto e puntos.
¡cd.u.f:i.6:a,
,
73
I.a 1x~y.9..o
t,,,, l.t•C•4, 11)
!.u-ego~
1
L1 ..
La .. (O.-i'r
-f
1~1=1BRI
.t., A L,a(1'2.)l
+
/f,it2)2t(y-1)Z ~ /(x-~)~:{y-7)"
C:s donde, la ecuac16n de la mediatl."iz del lado iÍii as: x+:r-5=0
13, Hallar las eo~acionea is l&o median~, y lae coord$ba4aa
de su
~llll~
L'<ego, (2x-f•.5"'0) t> (x+y-5:0) = I(~Í)
de 1ater,ecci6n.
,fo,
Las coordenada& dt loe
cacla lado :lon:
puntos
medios de
Sol:u;,i612 .
M(1,4), 11(2,•1) 'l P(5,2}.
ff,
A...._ _...._ _~.._
11
t1!.~"
e
tt(lt-6} -
m5 g=2
11·,J.---.,-----.:::bc
y s us ec1.1acione-s, según la i'orr1a ( 1). son:
Altura CF : y+~:.i {x-6} ++ fü<:xty-J.=O
Ci!l7it+5y•27•0
Coo:rdenaau del baricen\ro, (K-7)'+9-0) a (41r.1 .9.. o} •
G{J,i>
++
~(j-,,j)
s& llama u:•c1111~0.
:t- ·7=2<xM4}
Ka
ea:
j_,3)
y C(6,.J)~
(Ej .14)
1
E(i,-1)
2
1uego, a(óABC)
·
(EJ.20)
h=IEBJ= /(4-2/5) 2 +(7+1/5}ª 18~
A.
E
¡
C
IAlll~ /{6+2)~+(-3-1) 2 =4/5
= flA'é!h = ~(4v3){ 18~)
a
36 uZ
Be)
l2. Hallar la e~~ao~6n da la recta de pendi~nte -4 y quepa•
.1<;•6}~+(1 +J)*
de, <londe, l• aediatrh del l.l.do
(2x-y-1c0) = lI_(
B(4,1J
A(-2,1),
+ (:r.+2r 0 ) t.. {2x-y-1m0) "'
5y+5"0
&
A
Ecuaci 6n de BE!2X-y-1=0
de dond.u
(Med1.a.tr1• del lit.do
ADb~5yf.7"0
BE:2x-:y-1•0
<4
Por :!.o tanto. ( x+y~ 3•0)
l2J..~ .
/(x-4}•+(y.1)•.~r.(x-·..,.60-,}•=-+"""(rt
__3,_)1
li\Ql•IB'QI • l(x+2)•+(7-1}ª
BE:
Ec ue.ci6n de J:li!x~2y=O
A(.,:2,1), -8(4,7) y e(6.. •.3)
la11•1~1 •
ll'•
Alt.ura
21 , Hallar laa eo~rdenadao del pie de la altura oorreapnndie¡:¡
te al lado Ké. A pa~tir de estas coordenadas hÁlle.aa la
l ongitud do la altura y luego al área del triángulo.
19. Ra1l~r laa ecuaciones de les mediatricea de los lados y
laa coord,rnad&• de su pwito de inte.rHani611. !lst& punto
S•3n (~,y) lae aoor&ett~&s de ~ada ut!O
ñe l<,;a pu:ntl:ls P,Q y R de lM! med.iatri~&a
del tr.lLngulo J.J3C.
Por d41llini c16n de llled.i&. tri'.!, u tiene 1
y
AJ.tura iñ : ,Y- 1~1/5(x+2) -
Co.a.o ~omprob&eión podeiso¡r hallar ias oac¡.l'denadas del barloeo tr~ apli~ando la t6rcula del ZJBrcicio 20, Cr~po 21
!:C-2+,+6, H~-J¡
1 , 111B!l"·5 y 11lAc"'·1/2
nc, ~-1 , fl}J/'-1/5
Mediana §!Ir y-'I. • ~(¡¡:.'-) ._ 6ii!4JC•y•,9"0
~ i l .'
B
i:.u~go, las pqndiente-s de las alturs:s
co:-1· e$ponciientes a. cadQ lado son t
y•1 • ~ ( x+.c) -• APrx-7yt9•0
Vadiana CÑ: f"+) '"
A(-2', 1), .8(4,7) y C(6,-3)
I.as pendientes de ceda lado son:
Luego, la~ ecuaoionen de los ~edianaa,
u.g'fu¡ la f 6n iil a (3), 10111
)le,fiana
Rallar las e.cu.acionae de lás alturas y su pWlto d,; .il\t,n··
IHtci:i6n, Este pun t.o se 1.lá!Ba c1tioce11.t.Jtó
i;o por- el punto da intel;'aeoción de le.& roct.as L ,!2Xty=8
.211-r· s-o
y La: 3x-2y+');0.
/
·
la lúui.a ~et.a
Soluef411,
Sea Pt(La" Li)
+
:.1Jei:o, por J.& t61'11ul.a (1): 1·.,...-4(x-1} -
L:4X+y-lO=O,
b) Si L.LLt ·';_.11J1=~/1, • 11iy-6~ i(x-2) .....,. L 1 ; J .:•4yt1 8a()
c) LAL1 " ( 4XiJ y-12•0 ) " (3x-4y+18.,0} :: p 1 (
•
Z). Lne acuac1onea de los ?udos de u.n cuadrilátero son:
3x-8y+J6~o , x+y-10 ~0, )x-87-19=0, x+y+1=0. De•ostrcr
q~e la figura es un paralslograoo y h~llar las coorden§
dsa de suE v, r t 1ces,
Soluc!6n. Pasesn3 cada una de las ecu~clones e la forma
J'"EX+b
Seso L1 :3x-~yt36eO ++ L1•Y = jx •
+
•1~
i
t. 2 rxi-y-10=0 •• L2:y•-x+10
L•:Jx-ey-1 9•0 .... L, :y
L.,:x+y +1=0 ••
+
= lx
L-:yc-x-1
•
Í
m.... 1
· 1i •
11,•
8'1
Inta~sectando 14 recta eun loe eJae coordens•
do11, ee tiene:
Sl y~O • 5x•20 2 0 - x,s•v-4 y si x•O • 4y+20=0 • y•ba-5
Ílabl ~ il(-4)(-!i)I • 10 uª
25, tea coordenadas de un puntQ P son (2,6), y la ecuaoi&n de
una recta Les J.Jt+3y=12. Rallar la distancia del punto P
s la recta L •i~iendo en orden loa airuien~ea paaoa:
a) R..ilt.r la pendiente de L. b) tiallar la acuaai&n d~ la
• recta L1 qua pasa por P y es perpendicular a L. e) Ballar
l•• coordenada• da P,, pur.to de iateraaeei&n de L y t 1 •
Hall.-.r la lon¡itud del segsento PP1,
l,fJac{f~.
a) L14X+Jy~12
++
de do11de:
/(2 +.J>2+(6-~)'.•
ri l(S6 )1t (~2P
d(P ,l) .. ~
2ó. E~ punto P' de orc!eo3da 10 oat,í s obre la re cte euyn p,an-
dientc OG 3 y que
absei:ia de P .
Sotuc,'.6n.
p!18a por el pLUlto A(7,-2), Cal ~ular la
L_. ccu11ci6n de la rec tn que l)asa por A cr.:
~+
t:3x•y•23=0
•
111,.,.1
jot..c,6n.
.e
,!PPif=
6 108}
-n,
°25
Si P(x,10)cL .. 3x-10-23<>0 • xc11
ffallsr el &rp11 del triángulo re~t4ngulo rornado po. los
ejes eoordensdoe 1 la recta cuya eeuaci&n es 5x+4yt20•0.
lrea dd triúgulo
d) d(P,L) •
y +2=3(x-7)
Vecoa quer lll¡"D1 + !:.1IIL1 y a,•11, 4 Lzlft,
Lueso, al c~edrilátero cuyos lados est,n coct.enidoe en las
reetall dadas es un par,.l,,lo~uo.
!.1 • t.2"A(4,6) l La A L,•6(9, 1) : L,,.. L~"C(1,-2)1Li"L••D(•4,3)
z•.
75
(2x+y .. 8)" (Jx-2yt9=0} .. P(l, 6)
L:~-.(-4/3)~+4
+
a ~-4/J
27. Determinar ~l valor de los eoetieicr.tes A~
n
~
¡
6
·
,, " ..e a ecu11.
ci n Ax-By+4~0 de una recta, si debo pasar por loa pur.to/1
C(-3, 1) .Y D{1,6).
Soluc,§.a_,
Sea la recta t,Ax-By+4..o
Si C(-3,1)cL + -JA-B+4=0
(1)
D(l,6)~L • A-6s•,=O
(2)
llffolvienc!o (1) y (2) se obtiene: A " 20
19
'
B
16
• ·19
28. Las ee uRciones de los lados de
UD tri1fo g,1lo IIOL 5x-7y~.27
9x-2y-15=0, 4x+5yt11c0, Hallar su.; ~ngulos './ eomproliu
los N/l'Jlt~oc.
,fotual~n.
9x-2y-15~0 .-
'!1
3. 2
1EJERCICIOS.
f"OID!A CEtl(lt~ O~ 1.A ECUAClON 0€ lltUI IIECl A
La
ecu9.ción L1Ax+By+c-.o s~eiupre
represec.ta1
•
•
IJJlll. recta,~ condición Jo ~Q~ a~boo A~ B no
feor~a S.
z.
¡¡clul cero.
En la demostración ~e czte teorc~~ ~onsiderem?~ los ei-
1
)
Hallar la eCU9~i6n ~e l~ r~c~a. determioenao loa coe~iciente1;1 de la. •~:>rl!l.a ""'Bll"l"tll
• qu e pase.- por el ,PlUlto (-2, 4)
1 ~lene wia per-dience igual~ -3,
Solu¡;,4,1t..
¡,1i=tes caaos:
e
-A
Si ;;~e, la ecua:;i.5o ª'" -~onvie.rto era x:
6 x.. h, y es :ia·t.ist'echa po,:, pun.tos sobra lo reet.a q"o ..st1 a h unldadO-$
1e1 eje Y, ea decir, ln recta Les pe-Ea.lela Bl eje~.
b) 31 BiO, po<l~~os resolver la eeuación oespe!anqo y, obte-
Grupo 10]
Se9. h
neta L:A1<rBy+C=O
Si P(-2,4)Et • -2A+4EiC~O
l:'endie11h de L:n
2
{1)
-f~-.3
A.=JB
(2)
StJ<J.t,i tuyén~o (2) en (1}: -6llt/Jl+G=O +-C=2B
R~mplazando (2) Y (J) en L: JBxt3yt23=0 +-+
(J)
L:3x+;+z~o
Ballar la e~uaci611 d~ uoa rect~. determinando. los coeficientes de la tor~a ~ne~!!.l, si ¡os aag~entcs GUe de~ar mina s obre loa ejeJ!I X e Y, es deci-r , sus inti.n-~epcial'Jes,
Expresión c¡ •1e es de la forlllS 7=mxlb :¡, por lo tanto, e:, La
eo.1aciÓn d~ 11na rect!\. oYya p~•iürnte es ~· =.• .!l.A Y ouy'l. o.:i:-
.
d!mula en el origen
,e¡;
t ~ ,-
son J y ·5, ~eepectivamente ,
~
¡
~2ts~i6~.
Si y=,-0 • x,.
3.3 POS[CIONES RELAllVÁS DE OOS RCCTAS
:X:0 • yu
Teo_re111a 6.
Uada las ao\l'<Oione,.¡ de dos reetas L 1 rAx+$y+C
~o 1 L2 :A'x+8 1 y+C 1 ttO, las rela.ei~nes aiguier_
t-e~ son c-ondieionee n<;cesal"ias /f sui'1eiente11 pa"l·a:
A =s•
B
al l'aral.ellsmo: T•
,
o
!iCS,
En e.recto~
a) Si L1 11 !.2 ...
m)-=1!12
~
b) Si L1.lLt + ni,mo2=-1
¡¡ ~ B'
+
+
A
B.
1"i • B'
t-ftH-~)-=-1
B
¡r,
++ AlP-A'B-"0
1
++ AA 1 +8B =0
e -~·
o) &i L1 y L~ coinciden. ~ntonoes ~1:b2 + •¡;
1,
A
C
T,
AB.
o a=: TI •,i!i . !!.tnbian: m1,..,2 ... ,r," Ti
Luego;
i," ¡,~ ~,, ;e ..... J\"'kA', B=k8' ,
( 1J
+
C=5B
(2)
- J.ó=5B
+
9,. -~A
(;l)
++ L: 5J<"-3y•H=O
oie~nes d~ l.a fara.a general, qui! ea perpe!ldicula-:r
recta L l:~x-4y+11=0 y pe.aa por ~1 pu.nto P(-1.-3).
S,;;t.uci.&11.
C.:.kC', k,IO
+
(
~liA¡rlJ
l
4
•
1
•
d e aond~! l.,t _
- ~a
)
Si P(-1.-J)i;L ... ·A•JB~C-=O
+
Sustituyet'!.do ( 1) y (2)
L, jB,¡+lly+
de donde:
5,
II
la
Sea L'l recta •. :Ax+By+C;{)
Si l.-~Ll .,. :<,101•-.1
A'
C:z- JA.
~el.lar la ect.taci~n de le recta. deter~iDa~do 1-03 coefi-
y solaue.n te un plUltO: .p f,
A
-
Sustityyendo (1) y (3) en L: A.x-iAy-3,\"'0
AB'-A'!l:0
A
ll!I<>
-f = J
-i ,._ 5
De (1) y (2) ~e deduce quei
b} P-l!;q:•endioularidad: M. '+B8'"º
e) Cotnoideooia: ~=kA'
8-=JcB' , C«kO' , k/0
d) Intersección en
Sea 1~ recta L:AxtBy-+C;Q
-.,::¡
( 1)
-j.5-JB+C=O .,. ,; • -1iB
1ia " O
L, 4x,. 3y••:i~o
liaUe el valor de k ¡uu-a 1ue l n .;-a c;;a k;.;l-(k• 1 )y-18"'0
P~rai~la a ld recta 4.~+Jy~7=0 .
W t;.
?8
?ti..."'ltO
-.., ¡•rE-L
- ; ;)
m!:di.=> ci'~t ~Ftg:n,.nto li.JJ;
"· .;r, ~
a~~ t,o. dem .') ~trac •.p.l~ ~.ft.:~
,, ·-
~,
~ ulL~ ... .,.,
c!I ~fr:t:J..o:
..!-(- 5i - 5•0
+
0-0
l?. :C-emcctrer qua la.s .-e:t"-e L1i2x-;;-1"0, L~:x-[;7: J'/.oC, 1s 1
2::-:-:,, - 16,,0 y l,.:x-3:,,1·7~0 .f'ornEcn . u.n par~10:ogrs.,;,c, r h&.ll:,.:·
1as ccur~eior:.es de ca!> dis.aons.le.s .
9,
::let.er.:1.in<>r ol •,alor de}: ?,'~11 que la recta. L;4x,.5Y:;.;=O for
me con los e,j .,$ coordsnados un tri5ngulo rects.neulo de é.-
5/.2 unidade-,,- cu!i~>l.d1<8,
1•sa. ~.(!Ull.l a
s ~tuc i.6n .
n~: aj_ .y zO
·1
:;:l x=O
+
Irrv~~c~ptc1td.o r., ::on lor;
!.i_!
4x·~k=O· -,. ¡c:<i= -'k/ l.
5:H!=O > ,-.b= -k/5
Aras del t,:,iá:igulo- =
de ~oade:
.cJ es coordewat:.oa se
k 2 - 100
1
1i"hl
. ....... 2
z
=
·1 1(-7;1
k, ( :.:) 1
2
-3
Eo11at>:t.611 de la d,iagonal
AG :
=e~aeióa ue la dt~gonsl :.B:
-,..;. k•:10
10, En las
z·a<.:~llll' .Li:ax+(2-l));\'-23=0 y L,da.·l.)x+i;,y~·1·5=0, ha12.ar 1~8 valores rt~ a) b µa ~a que reJresenter. rectag ~~e
ps.s1tn :por &l .pun to (2,-J),
13. liAmoe Lr:1,;- :J.'lP. las 1-e..,t.aa L 1 : !íx-y-6~:J. :. 2 ex+-.Sy-22s0, !.1:
5x-~-32-=C -,- 1,:x.t51+-.:"o for,,nn.. u:i cu,ui'r::.do.
t, -·
Soluci.l·r.,
Si {2,-3)cL3
(1)
( 2)
Y
11 . Deooct:rnr que l!l.: recta que- pasa. poc 1011, puntos A(4·, - 1) ':f
B-'(7,2), .biseca :u..uegaento ·c,i;/cS eY.":.retios s.or los pm:ito&
C(B,-3)
y
So~.
115) ~-1 -> :.1...LL2
in,_m.,~(5 )(- 1/ 5) =-1 > L~...Li:.a
k'i.a, .. (5)(-
2r¡,t(2-b}(-3)-ZJrG ...... 2d31'-29=0
(-2 , .. 3 ) eL2 + { i;.-1.) (:l) Hi(-J)il-.15~0 .,..., 2a.-3b 11-)=0
!ieeol,ier.d,~ 01 siato.)a l1) y (2) r-e11ul ,a: a=4
b-~7
+
D(-L,-J).
-~
]l.eut1.ei6n de 11,1. -ec,t11 q1ic pane ¡,:-or A :; Il.
L:yt1 • m(x-~ ) .- T :x-y-·;-p
de los ~ e.<.lo s de.1. Ct!adr ¡¡,~ ;;ero son ~ gualeo,. Ll" .Lt<=P.{2, !_) , Lz ., L-,=D-(7,.3)
,AA!= ,/~ 7-2} 2 +0-4l" ; /8
ICDI = .,.,z:¡:-6P+(-1+2J.2 " /u
la<::!= ./(f,-7¡-2-t(--~,~3>2 ./20
lfül= /(2-1)':~¡+1)2 /f6
La l lr. e.a. P.e c:ta
14. De,~ost:,;.r ,¡y."' los ,fo,.:ilos :rnpl0me:n L>trios i',n-:nadoi; p or l,i.\ d<:1$ -r~c~,u Li ,Ax;B:;+C-<0 -¡ :.., , .;¡•x+J ',+c• =D, astf.ll dados
por le~ r6~oul~s:
~~ ~ _
t At3
'G' -
.º9-.,r,,c.Ai.1t~ci4ll,
•
u~d~ti son:
71=-
-·fi
oi Tge
Tge
.AR' -A'B
,+
AB'
t
OB'
....
-·tn efecto~ las pen dion ~es de ls.s rectas
=
A 'l:-.~B 1
- hA'tJ:íi
5x-y-1 í"'O
Paro o.-,r-8 ~ 1'.gtt·
I'g(v-6) " - Tg& (2)
Por tn.r.t,;: ~ s::iú u. .(1 ) y (2), lo n ln.gul,s. s,1plam1'rterioa e$t~r..
w t
A'E - AB'
.0.• + BR'
15. dnl:a.r ,;, l ,ín,?ulo s.gudo J.'onaco por lae rectas 4X-9~·+11 =ü
y. Jxt2y - '7-0.
S n f.,u, i.6r. •
ó x+ 5;·t3'•0
C.:re t'i cando
II mb11 s
'°-
t2:A 'x~~·y~C '=O ~o cor~~r an u.ce y sol~c~tc u~ puoto:
Gecw,~.dc<,oez~tc, aabeir.r,ss· qi.:e ,¡ 03 rec~as Si!I eo,.·
ta::: en uno y sol/lmonto an punto e'.!l ,il ca~o de
qua no sean pa.rs.lel::t&, e&to ~·:";
Sbt.uci6n,
Gi
n1
=- i
,., y
-n 2 ~
- '=~"-~,'
A•
8 r-B, •-
+ 11 ,r1t2,
,
!> 3\1&: - A~
l,B•-t.•H¡lO
y L 2 :,~-::r~+1-1-'0 + m,=!,/9
m,-:ci ~ 419 + J/';! - · ~
0 1 · '" 2
fürnte, se Di!1;ue que i
r:>c i..:.s
Lue;¡o, Tge: -
-~, 1 f. o
E'
12
J.(). ·Si tr ea t·e ctas se. cor,¡;an en un punte collÚn ea dica que
X
1 - 12/18 -
P.=ecº1s•
,son concu4,:en.t...A. S1
1
as ~rt>8 r<:cta. :::. 1 :A 1·x+B 1:ytG,-O ,
1·2 :-A2xlBzy+G2~0 Y L,:A,.x:Ta1y,(:,=O son concurre~tes, ee-
mné:streco c.ue ~u
~ctrfi· ...1en
• · •... c:1 na t·ia!.• ~ac: la :!<)li.~l-:!iori.:
'
~ • ....
6
1.-;. Hqllar lai< P.Cuacion.e~ ·el". 'La s ::-ei,tao q~,., p;,31v1 por <:>l pua-
to ?(2 , - '1) y qu~ fot•rue!'I cada unn u.n ingulo do 45° con l'\
recta 2x- .3y:1-7,.o.
SolucJó-..
ci,k n~oesa
ria Y su~ic:Oente para qu-e l:i.s dos ~sc-:s.a t 1 :!.i.i.B~+C:0
de tl~nde, escribiendo el prim~r miembro en for~~ Je dc~oroi-
y or::..,ntemlo pot:.thcnen'te "l ángulo e
o.educimos qur: , L 1 :;;xt2,-1-() + mi~ -J/2
T~s • 5.eJ3 ~
lll"- l/5
19. Po!' r.i¡¡d~o ::le (ceterminru1·te~ obtén¡¡;ase 111. e.o,:,ri~
(1)
:fados por:
6
Por ta:1to~ l~~ ecu~~lon~.,s de ~as recta~ ~~r~ndnc ~on:
, ~í ~ 5(x-2) Ó Y:1 = -7/5(x-2)
A'
-~,
a,I\.
1 + M.'.
. ªª'
Tg6
J.2n!+JI - IJo-? I ...,. 2:n1J=J:n-2 ó 2.!L;.-3 .. _.3:11+2
· - o=5
A'
y m2=-31
TgO
= AA' :S3'
AA'
Do'.'1-:ie l""' L>,u·n,:;; d~ v,t101· ebso1.uto climin11 la d1Jd1.1 ""' ~ab,,r
t.;la..l es :a pendiente inicial o cur.il es Ja ?indie:ite .Cln~l.
J,ucgo, fr45º = 1 rr- 2/3 ¡ + ·1 ,. ¡ 3o-?. I
2x
1+(Z/3)x
Sen m ;.a ¡¡endient«.<l:1. ttn!I de las ractao bu.ica1la,i,. 1 ¡mponeo.mo,; q u,;, !, , : 2.x- .3y-f 7,0 ... in:'?./3
La,:; J.'Órllrulaa del '1j g rci.cio 14 puode1t sar :-.103•.1:nlllas ¡>ar ln ror
0
~1,b
l
J12
Si ?i(x,.y?) es el _pun~o. oomwi., &ebe s..tig
facer a la~ tre~ rcctee, 03~0 ea:
f.1,1a 4 B1y , + C1 = O
(1)
o
(2)
.(J)
8.3
62
U·), p,,r sl ri,hoJ:c ,le de-
La solución· d-:. las ~,uacion.es (2) ::
te :rü'l,-i:.sn.te"S t e!;: ·
1-:~
X1
;
3.21
•v l
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1A2
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1 ),
SouMi6n de AÑ: y
+
+ C:
= ;{;
=O
- -<-+
x
2
Á}f:c~-(atb}y=O
{ 1)
e-O (
Ecu~oión de ñiil. l
~
-e' ·1 ·1 C,. 1-~,
·
,n~ra fil• d el dcte:::'ri.l.n a nt.;,:
1
·3
·~1
1 A,
l
B, l
/
,
b-a/2 x-a ;¿.,
BM:?.cx+(a-2b}y-ao=O
(2)
t:,
G,
o
B;
tie!'1e:
At(·~ ~ ) + 111( A, -G a )
ll2
~•
= 1 ·~'
. A,-
Sustitu1en4o r,n 111. écua.~iÓz• i.1 l
.,. I
~
/¡
L
B.2
!L,
( CY.)
_por l:s e.?~11.er:tos de l '~ ;"J?:"}
~·::l·-r-
(l (a+b º)
·Luegc, las coortlenadas de] bar-ic.e ,ltro son:
C1
c.
Sea. G{x. y) e (Af! ,-, CÍ'), e n ton ces, .rea Lnndo (:¡¡ )- ( 1)
(2{>o-b)yt(t1i;h)y-ac=O , de dono.e: ;¡=c/'3
a+b
Su~tÚ,1yend-O- en (1 ): ex-(¡+.b)} .-. ·o ·>
o
3'3
S;i ~O)l)probarn,,s .,;¡,u.e. Gemí, . habremos d:emosj,r:,;do qv,, la.i tres m.;di~na~ co4ou1·ren en un mismo punto';- ~n efecto:
G'
Si
G{ª?•i).e:BH
21. DeJCo;it:,·s.r C:"" lo.e ~~etas !.i:J,,-5y+7~o, L,,2x•3y~8.=0 -:r
.L 3 : 6x-7)·+8=0 , i:.:on ·o-..::nc,t;rre-tl'tas •.
S,;,14,h ln ·aondi.ci.Sn ;Jallada. e.::i rel e j src.:.cin
2b s~ ie :le cu~plir que ,\~O; e:n efecto~ .ie ear·roll;ihdo ·el rleter:ninar;t1> por io.s elemen t,03 -<le 19 ?rtoera
·>
2c(~) + (,,_•2h)J " M
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1.q.q.rl.•
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i1!,:.. o4,;aei§.a.,
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1~
·81~
~
7 ,· 2
6
.31
-7
·- '
3(24-::t>)
+ 5(16+48) + 7(-14.-18)
3 (- J:.! l
5 ( 64) + 7 (- 32)
j,
2'4. Deaostrar n.nv~lÍtic~111.snte que lo.a a.l t u: ·c.!J de _.~ua.lquier .ó
:Jon concur.ren"h-es.
-96 + 3.20 • Ú4; " O
Sea el LJ.A.BC cuyas coordenadas rte su,; v6rt%
ce¡¡ ss i nóiean e:i 1~ N.gurta.
L-1.s p~ndientea da los 1~~os son:
b
b-d
lllAlf'
mBC"
"'AO~ e
a'
3i
Be J..!-;q
w '
+ mAQ" -
.a
~=J
.IfüuaciÓn d-e AQ: y ~ -(tg)x
2·2.. Demostrar enalí tica.men Lr: que l.at1 ~edit1rias dé ~ua1quier
triázlgu-l,o ·son con'!u.1·1:e.;1t~s.
o.amo .. tt:,u. ./,&n.
L~s coordenadae- de lós·. p,i.nt,o.,. ,iedios dé
Qe frOil~e; .ÍÍQ:(a-c)x+(b-d)yeO
IDí!..~
{1)
+ n¡EH"'~:c/d
(2}
Li+ .Ll.n.ea Recta.
B4
mi J. A1· + ec~· ~!!-tb
E.cciaci6n ele éP: y..,~,, ,~ !ü•c)
Demo:d,ra.z·e:cos ¡;,uc: G( 1
2
~ i_u~b:,1-(M+tiiO=O
++
OJ
r,
q~~
á.,.ste,rf ¡:rcib.1tr
En efecto.,
·(>ti
(
3o-a'd'. .
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l :ps~t~aee!!i
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Re-eol;V1&¡id¡;¡ &i!4ul.tán,¡aa¡;n,.t,e (2) y·· O? obt,enecoit
·
·
,:{1',ciiJ (~etbd.) ' {a-cJ iec.+:'taii)
85
coli--
}l son
ncalcs.
2.7. De sde el pw:t <:> A(6,0) s.é tn,211).l'l P"l'p0ndicula.t·e~ " lo:, ls
dos L¡.:5x-¡-4=U,· L.:y,;,1 y Ls:ir-y-4~0 éir;, Ull t .z:itingulo. ,D em
_ ost.rar q:.Le los pi-er,; de estas perl)ew:li<:'\JJ.are.s són eolir,o~
les.
Les vertioej de ,w. tri!ngulo un R(1,,}, B_{417} '/ 'l'(é,J).
·~e,;Qstr~r ·que e-l. bal'ieentM (p,tntO' de ir.te~sea:oJ.&!1 dl!I
ed1si:uu) , .sl c1rl•tmosntro (pwito ifq illt9t'9~c;.o:t$n de ha
111
~e41at,ria.as) 'I el Qrtociintl'o f.punt&. de l.nt,;necr;ión d.Ei
ltB
:L!t!i
·$.l.J;1r asl son colineales.,
So~uei..é.n.
que pasa
La ecuad..Sn de la re.e.ta
por· A
y-O ~ -4,{x-6)
'J
':{
y perpeo,lic~lar a 11 es:
+~
.
x+5y-6,.0
.,. (5x-y-4=0)" (x+5y-6=0) = Pt{i, 1)
Ecuaci1ln de 1~ r.e·cta ctne pasá pot• A y
p~rpendicular ~ 12, es: x-6:0.
+ (y-1=0) A (:;:-6~0) " r2U,, 1)
Ecuaci6r. de la rectD. que )Salla :,:o.r A y ·ea pé?'per!dicula:r
E.
L~:
• .,.-o=-1 (x-6) ++ x+_Y-6"'0 ; l.uego, {x-y-4,.0) >' {x·fy,.6,,0)=P·, (5, 1)
:Ve.mos que Pt ,i't y P, tieuet. la :r.Í:¡tm(). erdenada , e i, d·ecü·, ee:tín sobre una linea . horizontal a ui;.a unid.i d del 1'> je X; por
tanto. son coli~sal~s.
~~. lfolla1• le e
ct~"(:.i,fo de la. r.ec.ta qu"' pasa por el p~ilW
A(a, !:i ) y P<lt' l a ii:rters.ecci6n ::te 1.f(a rectar; L 1 ~~ 4
)f
12
:f t !
So(y.<:.i.6n,
t
~
= 1.
Tenemos, L 1 : bx+ay=ab
('!)
1 2 :ax+by~ab
(2}
Re.11olvi.cndo e i rault.Ín;.aro,mte (1) y (2), ol:>tei)EOmo:H P{¡;{,
,:~)
2
ú, LlnPá R,i,:.l.o.
86
b2
.Eounc:.ón de la :rec•.a c11scaea: ;¡-b ~ a 2 (.x-a)
J. 4
íORM,\ NOR MAL OE LA ECIIAClOH OE UNA RECTA
La .foraa i:or;¡¡aJ. de la eeu~ción da >>na :-acta
Teoreora 7.
es:
29. :ha r~ct~ 39 aueve de t~l na.,era qua la s~'llla Je los r~cfprocos de los segientos que deternina sob~e loa ejes coor
donado3 eo c~ecpre ig~~: a una cor-stante k~b. 0e%ostra:r
~~el& rec~a pasa síc~p:rc por el punto P(i,i>Sof.u,,i6n..
"
,
..,egctZ e
1
/la.~ la rect.a
¡-1
, d
C!nu?Y~At. <":
Su~t1tuyenio en
(
+ t1 -
X
a+
l) :
T.:! t " 1
-
a 7
=
A,;.-1
e
er~cto, si P~L
+
f~
(ak-1)f
ll
ucducirei:io(J la ecua2i611 evaluando la
pendiente de la rec.1:le. L y las coord~
n:sdas (~1 ,Y1 i del punto Pi sobre la
=n
-
i
+a -
~
a
R
a
i
e
a
l.q. q .d
L:Ax+:ly+c..o. De11ostra:r, a partir de
esto , que 1~ dis~aLcia d dol pu~~o ? t a la :recta L est,
?dx1,y1) a le recta
s~f.,,r:it>n,
d ª JA:t1 t 8y1 + C 1
IA• f B 2
:.o.
pr,l'pend.ioulc.r a L
os: J-7 1 • j(x-x1)
recta l!ln téminoo di., p y w, suatJ t.uyé!!
dolá.1: en la fo.ra:a punto~pendicnte.
l'or Tr•.gonom'etrío., para cunl.qu1er P2
Gioién de la recta L, exoopto aquellos en que le .reotn pesa por el orJ
gen, ten ea os:
Cosw = ~ 1
?
..
p~sa por P i(.x 1 , yi)
~ :.1:Bx-Ay+Ay 1 -Bx 1 ~0
A¡,
•Q(ll2.....c1-ABy1--~C , -ABx,+A 2 y 1 -AC)
A2 + B~
!.uego, drd(P,,L}ajQ?I
A2
~
una recta ts,neaos:
~ lcx~-x,) 2 +(71 ~;,2)"
(~•+3:) 2
!'<~32
(A'+B 2 ) 2
et
0
. Cosw
g.., - - Seow
{A 2 •B 2 ) 2
:,-pSenc.i ,. - ~~;:<x-pCosw)
ySenw-pSenw = -xCoaw+~Coaw
xCo~w+ySell(J-p(Sen 2 wtCoe 2 ~}~0
2
Se n ~+Cos ' aJ• l ,le. úl tina ecuación so redu·ce a:
xCoe\11 • ySen~, - P· = O
+
+
-
(.Ax 1 +By 1 +C) z
T~w • -
Por tanto, seg-Jn la fo.rae ?unto-pendiooite de la eouación de
B2
n.ix,-ABy1-A~ 2 t L-;' 1 - -ABx1M'Y'1-A~~
•
A2 +B 2
A2 Bt
L 2 (Axi+Br.+~) 2 + 3 2{Ax1+B~1+C) 2 • (Ax,+By¡fC) 2(A 2+B 2)
[X l
x1=pCosw
1
ll .. -
.. L,
y
SonW:: Z1 ·> Y1"!)Senw
?
Luego, l~s coordecedas del p1UJ.to P 1 son (pCoSt.>,pS.nw)
Pue-a-to c¡ue ls recta es porpendioul11.r a su norma..!, su pendiente es la recí~roca nego.tiva de la pendiente de le nor~a-, ~s -
ecuac16n de l:s rectE.
gll"
psr'tü de la parle p0-ai tiva del eJ e X a ln nol'!ilal.
DeJ11lMÚtac i6n.
)O . ñallnr lR longitud de la perpendicuiar b~Jnd~ del punto
dadn por,
+ ySenw - ? • O
e5
y
E.k-1
--a-
de el ende , L :x·f { O-k-1) 7=a
Oebezon probar ·1• ~ I. pasa por el p~nto P.
R,
xCosw
un número po•itivo, numéricam~r.te igual a
.l.u lor.gitud de la normal t:-azada dasde ol Ol'ige~ a la
recta , y w es el tÚigulo poo1t1vo Eonor q:1e .:¡60º :iredido
en dondo p
(1)
i
b1
K
87
C0110
~).
~
ifna: rect..?,.. es t.arr~::11te a
2.
riE1:il'CCIOtl A I.A fOft/.tA NüRNAI ,
':Á::r.;~Q r.ie· ee!.. ti-~ e~ etl or':'_gen
·u."'l
:; radio 3. Si el ~U!fto de t -a:r. .::.a.n.~& es P(2, .. /;'J llállesc
TeOt'ea~ .. i'! ~
la Bcua,t::5.Ón de 1-A t.. ar:~-er.te cr: ln for'~~ a-01~::J~l.
i.2. forna ge!le.:·a1 d~ l.f. ecuac:..ón de un~ "'~c+.,.s..
L;J1:~+B:,r+G..:Q
puede 't"~cl11,iir.s-e. a la fo.r·.:a~ nori'lal ,
~~l~::o~ qit.e -al .~:1Cic
:xCc$w+ySer..l~-p.:n
diVi,;l,l~u,d o c~dc.. ténnir:o :'J.e L poi· ·; ·=!IA 2 +Bz·, e.q tto.nda e-1
sign~ q·.1.e .pre~eCe al - 1...a.dit:,~l :· se e3aQ;.e como ~i~ue:
;:t) Si C~O ,. r es cle S.lgnci co11tr¡.n •i9 a. C,
b) Si C=O y -B#'J, r '/ Il t1,~na:1 al mismo sign.o.
e) Si ~E~o, r y
ti~nen. el sismo eig~o.
a.
~
t~11~t.e
Fo1· t \~ni!:, ·ti::J
fQr.:.-:±
'
.t
~ fl
µe~· el ~·u::~t(1
~
:.
Si r~pr-z.s.e11ta.mos.. ,sl valer c.o.·oÚn de est,e. s .razone s p,,t' k,, t e11t.:~.amos ant :;;11.ce-~:
kC
l
i
t ,.;,e g ~"
.!.f).
s:.
'
ª·'·
U!ltt,. J't;-Ci;:a
m=60" ·> Cosw ·- ·;;o1
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:t/~ 2+i:l'1
t,cuao'iÓn b <.Z :-:: :.! ;S; j?_ B .:::~
S.en~
""
x~o~t,.1+
-'~'
,!S:
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~:!,tT.i,f;"iis'
~ ;4:3
t ,s n2'~n.tí.vo ,. drStH;t~os .e l.e~ir r==-íJ. L·1ego.,
$ •. 3:,,_ 1:{~r4ae:i6n de L en. su f~.r.o':". no-~r.~'; as:.
:., : #;{ - ~:r •
~
~t;
.t;;.~Í-a,~1.~f ;~:_§,;,~t.a · .f..lhS~
·
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D:e UccHhi , p~,4 • C.oi:-o Ccsla>O y 5en~-t0
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i!li:rt,e,~.~""ª·' ;:-,,,,:,ti2
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Si iaul ti-pli~~rno:; oad.s. Illi~m b:-n de la. ecuaclÓ'1 de l. P·:tr e s tt:
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C:-co lae e-cub.ci.o,1as ..Ax+B~+C:,J y xG~.awf.:,Se~t•J""? -={} .c·ef i:·e-oeri_~-=1n
1~ ml$n~ r~cta~ debemos t~nerr
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Si p~d{O,Í)
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13 • Hallu· ln forrn:i. noc1111ü ce lo. ec•~ación r!e la recta qu a pao • punto~ A(- 1, 7) y E(L,2) .
sa por l -~
.,. ..¡¡i¡jl
P<?n:i::.en ,u de
+-+
l,;,. oc Jnr.iór.. da .e,. l'\>c:·~ c~,y,. cti tr\.lt~t>l.«. dc1 c:>iten
¡.a\G~ p.:,r el ~·:11d,o l'{1.'iL ( Do!t ilOlucl:>r;,e;t;)
~ell u
5 y qu,;,
Ol'J
l~ C>e:.E.ci~!l. ~e .lo. : •et.a q~ ¡,.cu.
~!u.~i611,
++
J)0,1'
~ ,
1~-1
;r
.r.i~;,
al euc.~ clo y otl!!O.°t!.e."ldo t:¡>ot'l¡.ctom~ ee t.i.w• 1
t2o "'~·12"'0 ._ ri• /4 6 Q'l>. :.f'J
Si:e (;! tu.;r11nde &n f., oHenE<-:io ~ 1
~43173.lc!O
1
:!:/i'+S2 :
L:x+,-6~0
;:;,ff';.i' •t/2 ,
CODO
í. <0 + r·i'2°
Dividiendo cada. tSrr:a1 nn de L ent 1·tt r .. ohtcnernoE;
L: -1- x + _.l_y - _i.,, O
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lQ ,11 &". ÜC d~ 1.ll.o.i!t,,¡,d6si d• ·.ru;:.. :- a(i''M
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t~t.412'
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ou
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/ 9i 4
1) s o ~~.or--e.:
L: J;,; •2yt8/1 ) =0
16. H(illa1 ::e for;ra n..,rroal de l A. ccaación do lti .recv;:., c¡u r- ('}fl
perp ondicu la.r a lo rec t.a L, : :? x-3y+7= 0 , dobermi::ia sotii·e
e l eje X el sagzer.to -9,
SolJ: cif>n .
tJO
Ji?,.i:"
+
a;; \ ~&; f1
•. ~ew,-oi&A. :fe 1r. ;,a~ti ,: :i-l'l+'b "! L1 3.~J:·~3
1~1· •
Si J.,:;x+2y - 9=0
d:-l.a rec~I!
Si d(O,T.) =8 •
Sud,i tu:;,er,.do
i2.
"!'
rcc~a L1:x-5y.-11=:J y pasa por· !(-7,2).
Si L.,: x- 5y+ t ~ .. o· ·• u 1 ~1 f 5
Só tuc).(m.
E.cuaclón de J
J.!l.
t:3i:-~y+H"º
~.
-1
l 4'. H~.l lar le. fo::-e"- noru.'. d~ la ecuaciÓr: de la re.:,t~ c;·.ie
• i •u'i.7t';'Z
s!.íi'TI .. 11~ .. 1•
1~-1
~
P0,7) \'
da pt>ttdlc-,ti, e SI /"1w\1 (JC•1)
Llli'IC•:,,i 'i~--i~O , {•.~ d~~::: " i, lh-•1 'I 9•?...r¡
~1 d{O.! ) "
2- 7
iii: :c=0
Ec uac:.pn d,, 1:L rect.a que "~esa por Av
• B: y-7•-1(x +1)
1~!
-t"Hk¡
~
f
.r "
11.
9'1
Si L1::2x- Jyi-7=0 + :t i :2/.3
L.1 -1cuación da L.LL 1 , y que pace. por ( - 9,0) o;:
La. .l. ltu.a. &t. cta. ·
·~ )
a'-Ci :: ~ 2(:<:"9
-+
r " ±IA z+:S i ,,.99.;.4 -J:·/./ 3
l\Lego., en ( 1 ) se ~iena,
. Coni:
19, :fallar la d.ie;t11D.cfa del á,:1 g~ a ~a.da ·tma de la1:1 rectaa
paralela.:, ~ ¡.: 2x+Jy~ 4;,c0 y L,:6x.+9y+11.,,0. á. p$rlf.r ~h¡ esto
r:e-ffl
/:>O
+
~=-2-x
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+
_..,
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2-?.
::,u ooi&r
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la <li.s t =c.ia en trs l as d-o s rtlietil-a.
Eh L 1 •1emo-1> que C-, <:O • r ,,.,t/~ 1 tB-~~,,rm
Sol.ue {ón . .
li. L~e. .v -ér-t-:t.c ¿ s .d~ · e1-l t.:::::i..á•t¡;~u.I-o s :,r.. A(-/~.,.~) , Bf-1i5) Y
0 ( 2 , - ·j ) ... Edll onss ls.s.. '9.cue;c:iolte~:; (1..$ la$ <llt:,¡1>~u~ 9m 1 a: i'o,r
En L1, é 1 >0 ... t-:1 =-l:'\ ltll.~ :
,,,. nt o nces:
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na no~m.:11.
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-~..,.lJ e .go. . .fii 'J. !
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1 ;;,.,
·l?t
i-O, La ecuaci6o de una rect,, L es xt:l¡r-6.eíl, ·1 l tiil eoord'e~.a<:ia11
de lL~ pun t o P son (4,7), 8all~r la ecua~i óe de lá recta
q~ paila po.r P y es r,ar.! llal-a. a .r.. A p.it!'ti:-· de <?stt· ?'t!SOJ •
ta-do. hallar 1?. distancia de E'
L.
. .2.y--:-1.= o
,¡7-
(?.
a
Rcuao.ión d,; , l a tlt.i.n•a. ~J.M! ;¡-2 ;
Como G>O ~ ~=-ifi • +e2 =
•13
_
= -!,
2y - _J_ =
:f2a- 2y ·Hl=O
-·/T+.i,:
.'. ll~ ; -.J.. x
? e:nd il;.!nte- d e ~: n ·~
~{ x.+4 ) ....,,
·!
15
~ ~- !
;21-4 - 2
Soluci6n.
51 Lix :3y•&=O
+
O
15
Er.toM~a: . d(O,L) =
,
Ecuación de 1 2. al bura i:°i?-LAC: y-!3'=2(X+t) ~ 11!:2,.:- y ~'"l~O
Como G?O + .1:=•fA 2 +B 2. = -/Zt1 ~ -/3
.
¡Q¡ : _i__
y
/m
r
:It1,..1,l a r la c1io-iia.E..eia de l orig en ~ eazia...
U..l ?...
d·e las reet~s
para l el.as L1!J>:+§y- 1i-=O ~ 1.. 2 :6x+! Oy-5e-0 .. Dadocir de este
resulta.do. l.t.1. 4i.s 4ncia e:1t!"'a l a,.s :i:;.s re ct-as.•
J_9t.u.ci..é:~ ~ E:t L1 v: 1:10.a ·:iu~ O< O
->
l:'-=·/A1+,e 2 ::1/ ~::IJ4
filn L ~ t aribién. C<O ,, -r =lii 2 +~~=/J6+100=-2,04
2'::itor:.ees : c;. (O,L, )
fc.1 1= -1.l
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d{ G,L,. )
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4
2/34
d(O,Ld
L:;ego, d(P.L) " d(L,Li} • _·d(O,L,)-d(O,t } "
-~
d (} ; ~ ~ 1
r.e.
~=- 1/3
?fouaeién. de 1 e. r'lcta. L l> 11 L: y - 7»-1 / .J f Jt• 4) ..... r.,: x+ 3¡.-~-5°--o
En t y L 1 veco.s qu e eco + r~41! 2 ~~i ·~ /1+9 ~ /to ·
3, 6
Q:;1"
= lg;,I
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22 • í
ITil
IW
APLIC'ACl ONES DE LA F OllMi\ NOR11AL
a) Ca.l é ulo efe .l a (lb.ta nch de -..n.a re c ta a .un '1UOto dada,
La diatimcia no rii.ttig <da d (le u.na re eta
L :Ax+B:r+c .. ~ a ur, punto Pi(:t¡,y .} ptte·de o~ten11.r
s o c-usti tuyondo ·1áa co.it;i,de:u..d.4-s del p\lA.t.O' ~ll- $l ¡n1~r ~~
t '.l'e'Olo da la t -o:111a n or.saal de l a !:'<O.US.IU Ó'II:' lb lo r eote..
El -va lor ei,. ~,i dad<> entonces por:
Teorema 9.
d ª
+.CJ'
jAx 1 + By1
+ B"
o.•·
........,.
T~orema 10,
La dt~ta~ei~ d!4iqld~ ~dela r~~ta a~dn ·
L.1Ax+~y+c:~o a.1 p~to .P1{x1r;,,) $>? ol>tifltre
po:r la !'Ó:tilr,ila:
E~! RC I CIO$ . Gr upo 12j
l.
H'?.lle;- la dl s t anda '.ie 1.a rea t o L; 4it~ 5y + w~o al pun to
?(2,-J ) .
en dond~ el signo dol.rádioal ee oligG de ac.'fuerdo aoa el
Po t' el ".'eor,;,.:n~ ·~, s e ti ~ne !
'i1eor-e.1?11t 8.
Si la recta~ qo pa.aa )O? el origen, dos po~itiva o ~~tt
tiva ~~gur. ~11.e el ~mito P1 y ei o~igen están en lad~p ·~~uestos G ~el mi~mQ l~cto ds la roct4..
Si la reét>J. .1 ¡.H1Em pa:t· ~l ol"ifl':>n·, _d o$ positiva o ;:,~gati•·
va s4gún ~ue el punto Pt $~il ar~iba o abajo t1é lú ~&c~a
2,
!S'+ 15HO 1
l4(2)- 5(. 3) +~01
//.'+ 52
d (P,r,)
/?;T
: · J J/TI
-
41
~allar ls distancie ·~ i rigi c ~ d~ l a
';)Uf,~:'l
P{1, 4) ,
Ii,
a un mismo lado qe ln rcor..~ L, l uégO
a~gún el Teo rema 10 , 3e _tien.-.:
U l ~:; UJ t7
-IN
3.
Los ,,~r t ices pe :m t r :!..in$ulo s ,:in A( - ~. H. B(-J, :¡) ;·
f',ü lar l a ¡:,ng1s1,\:l di> J..a a.Í·t,1Jr!l •1el v ér t ice .~
JO bre e l l~,do sé :¡ el ár,;,a del t. t'iilng ulo.
::;o._•.3).
b) Oet~r~1naci6~ de las ecu~cion~s i,.e l~a blseotricea del~~
ángulos s.uplementarioa for11ado.$ por dos l'ecta.s que 11• ear
tari.
i.'3s OO'l.;11.c:1:one.s ~~ l~~ biae~t.!'ioeo de l1>s
!n~
gulJ>a su~lemettt~~~to~m&dQ$ por dos. ~e~ta6
que se ~orbn., L, 1!xt.i¡¡¡-t,O"O 7 !. 2 :A 'xtlFytC
AxtBy+C
AtxtB ~·ytC'
tfA 2 +¡;¡l
:.ífr.;ffe
'"º• ,¡on;
i e d ó nde: a (!l!\.EC ) =9 u"'
'i
A:x.t9ztC .
~A 1f!P
11
4
/;l'x~•
.:/Á a!.,,B 1 ~
an dondé los sigo-os c1.. lol!I l'll.<itcol.eo s~ ei,oegl!!l de. a(i,«tr.dó ·
co11 el '!'eo:ro:na a.
4.
Hall.a'!' l a dis t a n ~i;, collp r er.-di1a •rn t re l a s r a e tas paralelas L 1 ~ Jx- ! y.,.s~o -¡ Li : 6x-S;¡-1·1=\J.
1-G.~1. :i.1 - 1hl"~ 1
E
,h+16 -
9
~
"
_;¡.
10
97
C/Ó
5.
[""11..:.r l ~? t.1.:. c ~¡,¡ncla cnt.r(:
y L 2 ! XT2 l'1c;:[}.
5 ,./,,cí/;11. ~ .Ef!. 1~ ¡p:á fl~o.
la..5 J"C~ttHi
{;Z
J:arnle lt>~S ·.,, >. x+ 2:,;=10
!nte~ceptando L1
y B{}.o). Co~o L
d(L1, L ,)=d{ O, L:)-d(O,L1)
)
=
1
:6-(-10}1
&1
~
:.i;x-,:.y-12b~o
Si d(L, ,L )=~ ~
P(}, o)
1
·•
de donde: lbi2l=~2 ._ kt~2-,,52
S>'.'.!
6
de donde:
:Ct12=-52
Si dfP,L}~·¡, e.egún el Teorema 10, se tiltne:
k,
= -1
... /k1+9
= 2k-l
...... 3k2-4k-8=0
.
~~
va -elegilll0/3,
ó
L:Si-+·12y-64-o
ee -3. B1 la a bsc_¡¡,. d& P es 2, Ji.{l:!.ese
Colll'O para k>O, l.'.l d(P,L)
03
negnt,j,
. .f'f
k -- 2+32
_ U. tialJ.a,l' la ecuac:l6n de la recta que pasa por el punto
¡;11
ord,uud.!l,
P(3,1) y tal que l~ distancia de esta recta el. punto
A(-1 , 1) sea igual a 212. (Dos 301.ucicnos.)
S o.t,, e Um,
Si 1'(2,y) y <l(?, L )=-3, ento!lce« ¡¡cr el Teore~r,
2(2)+,y-10 ~ -3
t/ ,,+2 5
La ecuación de 1 a r1>-c.t ,a que paii:.. por P _( 3, i )
ee.: y-1=m(x-3)
Si d(A,L)=2"'2 +
+-+
L: mx-y+ -Jm~o
(1)
J-m-1+1-Jol = 2./2
,1;2+ 1
de donde: 'J ~ it6-3129)
5,
Sol.,,,c:i()n.
-lk 2 +9
La dis~.atH•i~ ,,1,-< gio.a de b. reoL:i :.:?.:<J 5y-10=0 a1 punto?
HI, ¡¡,. t.i!!ne :
L:24x-10y.--;l~O
tienn:
L:5x112y+~o~o
S o €,rc,(>n,
i> . _.
10 . En la ecuaoi&u L:kx+3y+5=0, hallar "el valot' del ecct"icic![
k(2)t3(-2)t5
ó )c:-6/,
-+ k=40
p,istit.uyendo en ... (1)
(1)
lk-(-12)1 : ¿_
¡/;¡5+144
.
.
~(x-
representa al punto P(2,-2) , sea. igu&L á -1.
=- }r + b
1
o oifm, r.:.?<~12:yfl.:=O
lk;Lj = 4
y L2
te k de m/,ll1ers que la. distancia diriglia de la recta 4ue
Li:5;;+12;,--12-0 .. oc-5/12
i,a ncuacién :1 .. la reot~ :.JIL 1 ea: y
......
A(-¡,O)
to A:S, esto oa:
ffall!lr l:;¡ cr:·1a-,rhr. de la va..rtlela a le. rcci;a 1 1 : sx+12y-c l ?
y diS"tn..,t.- 4 t.-nid¡:\ti.ee de e:!.ll!, (Dos aoluciones.)
Sr;.t,,,eUHt ,
L
1
equidista de L1
Ecuac-iqn di, L:y-0 6~
L2 con
1>n·t oncos, eJ. pl.lni;o P biso ea al segrnen,
'?,C1/4 + 1/2 ,O) d(L.,1 2
y
el eje t se tiijtOh los puntos
Y9 y la 4(0,L,) eu "poei t iv2.
IC, -.C1I
Hallar la ecuación :Ie la .recta cuyoa puntos ~,qui distan di:
las dos 1·ectas pal:'alela.s L1: 12ic- 5y+J=O y Lz: 17.x·· "iy-ó~O,
51/llu~ión.
:;;b:;~rve
Guc la d ( !}.,. { 1; ) e s ne g.a t~
+
'1,
de donde: m2 ~1 ....... o=1 6
Luego, en {1), L:ic-y-2=0
JG=-1
ó
L~x+;,-4~0
La cll 11l.<tr.üs. de la rec:;• L:Lx-.3y+1:() al punto r' -0s 4. S.:.
12 . Rallar l:aa ecuaoio?tea de !e<a bit,e,;trice¡¡ da los ángi;los
lu or-ecnRd~ rie Pea), ~álle~e a~ nb~r.isa.
Srd,,cifm.
Bl l'(x,3) y d(?,i,)=J,, er,to:ic-ee p-c~· el T<1,¡rems.
9. :;e t i ene: f,>l<-J(3}ti}
./1b"t9
J_ t..,. 14:c-aj ..20
'""' 4x-8 =20
.....+
x=-7
ó
Ó
x:;;,._J
4..x-8:-.20
fo;rmail.0s por lae rectas L,:x+y-1=0 y L 2 :2x-y+1=0, 7 damostrar que so.:i parpendicul>li·a;S .antre Ei.
Soluci.6t1.
Si F(x,y} es
11n
punto de uno d1a l~s hise ct:i:-l-
c.: l.· lea
i (
..!<I
~;.1
T'{-
6
¡1
" ,'212:.::
!J:Lc
SJ. ,lii
B,
3C
d: b,; s;ir igt1
j
:n,
P·!'
_ 2,,-1Vi
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. _!7,:+1
U:;'-<,r.5).x-(fl l:Jy ·f·(l2-V3')
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=O
:.:+·:
iii: r /s"':2,:-;:1xt c,s->12)y+9.-::=-.o
..-
-/i+i
!:.!_:t " 4x+?y tQ ...-. •Ú,: (JIJH,·2)1<t{3/5+'iv'2'),.79'/2c1J
t/2
- 3./5
...,.
1e-rp~ildicuJ.aré.!I, ..1 producto ¿,, s.rn pendienu~
a - ·¡ , en efe e Lo:
- . ...
~i ,1 1, 1ll y R, s ,~~ cor.aucri!'!t~,a~ , ent-0110,¡;i el ~-a-te-:-~ir.acLe li"
1:3 t,9rminos cv!:s~s.n-t.es de.La B'I.::: cer,:; (;i.je'!'. .2· ft'!'tipO 1'1)
-.5
J:::: e.J:ecto:
B-5
m ·" (.2,•'2-.t5; (~;.'l. f/;) "=2-5•-1
.,rrr,,,5 '1-.f7i
o t-s.~lto,
=
.Fc=-11 l a bif.e-c',l'iz ~cü EÍ.ng..110 C: -d,--o,
y-1) - _r-,(:ac y+
B'i, \2/~-./5J--(.,l".2W;í)y+i.'2'v5)
B
p,:r!t la l•iaer!t::-j. c'.e l i;t gulo B: -d~"- C:
jd(P L~)
)¡ -
ir··/,
Lt!!lnr.
r~ fan.u
t, -
B 1 _.. "f51
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•'°5-,-1
;15·.V~
3,'5+7,/'l
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l'i.,tcr izando 9 f.:'> lá t.fl•e,;ra p ' •1,n11, 1,;c¡¡;a - ·.:!. t\:il i ~a:ilo
13. 1{.sJ.lar la ccuac.t6n de I a b.1. sectrit, aal ir. ulo agudo fot·~·'!
6
clo po:r la.J l'tH:l.a& Ii::.-;:y-.1..,,0 y L 2 :4J!-:,-- 4 "'0
Fe~ - J l.ll 2d~ fih y sti:::;;:i1Q -e1. re-O§ o'!.i.,.to a · ~ t,,.r:l~~~ r1~"
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l ':"Jee o ,
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cOnourren et'.._
t1:J .t\~t.U:rO
pu:;tc~
15. Deooe-traT., S!ls.l!t-t~netttil , !lP9- e;.~ u_., tri2!:"gul~ c'J-a1::¡u5.-er:J
14, E!! ,,:;. trl11r. ~~
"''e de·
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as l:i--::-c riceB d~ ,_,,.s
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1.-as bist,clr.lc7s da los. i!1-g~J os ir. t.1¡.riorer. So;! !:?Ori;.an on U'.1
pu..'lto -qae ag·~~dista de l :u ~---..s ! w'lo.\<. Ef-~ ¡:.11ntu su. l. l •" ;¡ Lft ce.,Ll,i 1).
B(-:,3) y C ;·, J)
U~mohl/!:PGión.
Sea el ~ARC . un~ d?
c·! ¡as bi-sectsict•r coi.n.:iae ..!~r1 ~l e--~~ Y.
Ec::1d6n d9 Hi: y-O ~ S(xh)
a
c!"1 donde, L,:t,~-·:r+all=O
z~'-laci.ón u" l3G: ·,-O
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L~tw.+e.y-ab-0
E~·!a<?:.Ón de
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.-c.ra l~ bisect,r.: ..
-J
¡ l'r:gu .. e C:
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l.ii)
... _?:·,~~- ;¡ = F1 ,bx+(af-/;; 2 tb~};¡-ab-O
l4X- Jy+i2J
;rm
i<xl • 2l .lx- 3y, 12I
~
.,-/a 2 H,'
+-+
- 5x
2(4x-31+12)-5x 6 2{.{x- 31+12)=-5r.
x-2y+8:0 ó 1Jx - óy~2i=~
,.,"':. l·,. ~~.r.:trt"' ae: E..nguJ..:, B t·ane: ¡;or eciJ2'c:6:,.. ~l:x:-:0
T'.""l.,err'i::pl,!~lo
"f1 :, !i'"'i
se ...ion'!!~ IíO,,
~b
19. _ün punto ae :nuavs d.- t al maner:,. q u e l.!l s uma c e su s distancias de las do-2 reo ~as L 1: !x+oy +C=O y L2 : A. 1 x+B 1y+C 1 =O
)
at/all-b 2
Cot10 1&~, a11t.c~as~ !:u; tr..ns hi .:1eotr¡ce!S a~ ~o~i¡ah en ·~n solo
JH.,1tíl, D,ib,mos cr-0bs.r ahtir,,. que, jd.[=ld 7 -íctd. En ,;f ~,;~o:
aZb
lo
o
d (r
- '1- /e.Y+ ti
+ abl
Iº
X,)
,1!.;:-¡
7
"t-/~ •+o~
/{<.'H,z
ord:ent11ci.P..
C:-:?1
~;:,
1
~ ~b~
/e 2+bi
d.Ü, Li)
d,
"'ª
1
d CL Li}
e:
- ªºI
ab
- --
es ur.a cc:ista~te . D.;mostrar ~ue el L.G. ~s una rect.s.
Sol.u.e i.6n..
i) Saa P(x,y) un punto del L,G.
ii) d(P,Li ) t d(P,L,) = k
AxtBytC t A'x+B'y+C' = k
iiil
r
r'
+ (Ax+By+-:: ) r ' + {A ' x ~B'yt C')r
de donde : ( a.r I TI\ 1 r) x t
at~
bc.1-:!. cen t,ro
r
sq,uii'.11.:?t~ tie loe> tr~e l ~don d~l triá11gul o ..
1 7 . gula!'"" le. c~::aa,~:..d:.;-- ~e-1 L.G. da u.r1 p-unt\l C'lU~
Sil
Só i.uei61,..
i) Soa ?(:<:,;r) ·1r -aT,tti cc;alqu::.e:ra oal L.G .
.1:) o.(P,1} ,,_ ;;(,¡• 3+.,.nc:.e '11 ejG Ji:)
iii)
,JJ.!...?Zc..J.::1/iTt~>-
2:; _. j1,;,-J;:,-f2j
,..,
~
20. Hallar la ecuación del L,C, de un punto 4ue se mueve de
tal m~nere que su dista.~cia de la recta L,xt2=0 es ~ie~-
m_u~ve ds
t¡¡.l :rsn<H'9 ::¡!.l-Z n ,;.L~-:.an<:la de .ia r,:;cl .a L:4x·3¡.-tl2~.:i !sS
aie n;;.re • ~u~., !'.\1 rlohle do, su ti.ia~,u:.ci!i de'.:_ e,j, ;(.
pre igual a su distancia de-1 -punto
Sotuc-ién.
i) Sea P(x,y) ur. punto del L,G.
ii) d(P,L) ~ d(A,Pj
iti) lx•2 f • /(x-2) ~+y 2
de donde: y•= Bx
1Cl,r
:.X<yI 12 ; 1 O¡r
Ó
4X- 3~r+12=-10~/
• 21.
~x..-7y-12=C
e~. !Jn pu.e.to c¡u~ :;:e ~·~ev... dA
q ie r.n d'.:.8Ge.n<:i.a. C-0 ~e 1"'::::cta r. J..: .\•,,. ,(;,Q
tdl ::i lC': -.it.s:d. de 1; c!_s'.,,~'?~'!.P ~~J. -~e y
~G:t'Je1·3
'31 zp::-r i.
í) Sea P(x. y) ~n puato del L.G.
il) d(P,L)
.)_o ~e ·J.r1.
<;"'. ;,f, ,y)
,..~
'l ;Hnt..,
iii)
a 11.
l)
" " wueve de
tal mánera que su distancia de la r ecto. y+2=0 es Si<l'llpre i gual a ~u distancia del punto A(0,2) .
Hallar l a ecua ci 6n da! L. G. e.e un ¡:, Jn t o q J•
S o.l.,i ci 6n. ,
L1e..1· .la ""C~Jf:1..'"":.Ó:,J. Ja"' ..... G=
t.~:..
.t
o
.nw'tt ~+b"
P.o--r· lo ta.::it.c,
l:l,
krr'
)y t o~•+c•r - kr::- 1
El lugar geométrico ea u:io. reeta.
ab
'-
~
( Br' +3 1 r
o:
ii(.A.F)
Jyt2 f = /x2~(y-2 ) Z
de r.io'lde. x 3 =él:;,
102
2¿ . H:s.lla::- la nct'.t,c.iln
rl._F.l
L.t. de !lr~ 1.i l~,¡ .,',) qus se
tt-:.Je7e
de
tal m~r; ara que su distar.cia d9 ln r~ct, a x-2=0 ~s aiamp~~
~ u-1:id-ad~s !.u.ya-i:· .qu= :JlJ dist an cia. d ::. P pt.illto A(..,. ·l :-J).
iguScl. al t riple d':'
i)
s~~
P(x,y)
~t) d(!, P}
• • • 'lo
; :1. 1.;
lx-2 l 13
c1:.st.nnni« a :;:a r é c t,11. L:y+4:0 .
,in
p;,nt:; e.el L.G.
= }~(?,L)
liil /(x+21 2 +(y-1l 1 ~ J lyt1I
de dond~: x 2 -8y~:4X-'i4y-139-=0
i) Se~ :P(:t,y)
i i } d(P,L)+;
SLl
J.2lu~ . .
= .-,--.,...,......,.--,-,~
d(A,P)
- v'(x·:-·¡) 2 .-;-(~,.,.3} 2
a} S:: :e>?. +
• x~1 ~
J:,-2 {..x-2
l(x~•) ª +(y+J)
26~ Ut1 punto . s-e me:a,,e de t<:i.l man ~l'~ (!Ue su. di s t an~ia del p 1..1n
to !L(1,-1J es sismr,:"e i@'ual al doble de su tlis ·; ahcia d e
2
1« :ri! :i té. L : Jx-2;,r+ 6=0. Hallar la :ca:ic.ión de ;su I,. C.
do ,ioi¡,de: y.?..J=O
$c•laci.6n .
i) Soa P(x,y) un punto ~el L . G.
ii) ¿ (1,, P) = 2 d (P , L)
.23". Un pun~c s~ nue~J"e de tal :?E.nera quo :3,u di-s tancia de la
recta L:xi'y"1-{l es s:.empr~ igual a ·s;,,1 distancia. :iel · p u11t-0
A{-2to - 1 ). Ja.11ar la ect.u1ci.6n_de1 l .1ga1· ge0Jh~ t1:-i c::> .
}:.Q!:_G!_c. i:.6n_~
i:ii) /(x- 1 )t+{y+i)2· = 2 l3x- 2y+6 j
l'9+7.
de donde:
2.7. El f ngu lo de in.cEnación de ;:.da una de dos rectas para-
iJ Ses P{.,c,.;ri v.r. ¡,1:nto del 1.-:'.',
lelas es a ..Si una d.a e llas pa:rn. p-or el pu:i ~o ?(s, b) y la
ot,ra por el p,:1 to Q(r,, k) , deoo st'!'a:r quo l '-1. óh-::mcia que
.1.i) d(P,L) "'d (.4.,,P)
Hi)
?..3Y. 2 - 48xytjy'2 +170x- 1:22f: 118'=0
[:d·yf11
)13.y entre ell as es:
,l'lTf
! (h-a ) Sena• (k-b)Co-s-o; 1,
So-Cucü\n,
se·r,ct(
Ecua..ción de 1. 1 :y-b = Cosa :.:-a
2:4.. !Ialla:r la eµu.a.cíón d~Í L~'G.. fi& uu pi.!n'tv qu~ sa i!lUe 'l~ de
.tal r::i~uera ::¡u~ F;U dist;an~ia tlzi l.a r..aov.a L:.x+J::C !:!a .s ·L&rn- •
pre l.g?le.l e1. t ripl e C.e S"'~ Uist~nei.a. d.Bl punt!i A (2. -l.} .
)
L 1 :;.-Se:in:-yCosl'l+bCoa:>-aSer:ci " O
·
~enCL
'
Seuaei6n di!> i.2 t'¡-'L = Goso;(x-'.'1.)
+
+ L2 :xSea.•:t-¡Cos·:t':°d:G'~.::n·- hSena = O
d.(0 Iq)
i) 9eD ?{r:,.71) un Fta·~t.o del 1·.. ü ..
ii) <l_(P,L) " :M{A.,P)~ ,
H:!.)'
7
bCosa-a.Senn
d(O,L, )
tx~Ji
=- 3 /{,t- .?.)2 +(y+~,)~
de, dode: ·sx '_!9.y º -42xt72;r..-'171-0
.
2.). :Ia:.1.a!" la. .aüuaciÓ-:n ri:.el t~G .. tj;:. u~ pt}nti:: c;i.te c:c
C! ~ bCc-s::-.-!:lSe.urt
r1
Y S.sn 2 a.+Cos 2 ~
+ ·! ( i:. 1 ,1 1 ) "
1µ11.~;,a
d.e
f..-'ll FJ.9.Ite :·a Cl'..i-O -t,U dist.~..I1c:.a th:1 pl.t!lio t.{-2.1) Bl:i ~ieuaprr
ji(O,L.i.)-d (O ,L 2 )
¡,.
!bC.osü-11Sen a-kCo~a.H,Senc.f
; , ci(L,, L.2) = 1 (b-s)Sana'-(t..;-o)Co.,'li
1
104
28, H~lls.r ~l á!·ea. tlol i: rs.psci() foroa.do por las rnc~ns:
L1:3X-.Y-5"0 , !.2:!t-2y+5=0 • L3::,.i3y-'20::J , L~rn-2y-C.
.~
I""
Soe. ol t-rs.pe ,;;io A.BCD ir:di CtidO a:i
le. figura ~dj1111ta.
:;.,.., L• = ).(2, í)
I.1
L:-" t, = C(;, ;) ; L,
;.T,~=
B(3,1;.)
~
J/3
·/iJ
Altu'!"a del trapecio: h <t(l3,L~)
0
}<!IS!llBCl).h ~
IJ-Z(4) 1 : 15
;TI¡
1<315 + 15)/5 = 10
~
u-"
BC: y
Ll:cx+(a-b)y-ac-O
lado opuaeto.
E(O, b)
Sea el AA3C cuy?s v~rtice.s .!:5 inC.ica.:a
er. la figur~. y sea F(i,O) un punto
cuaJ.quiera de :a ba~e P.C.
Ecuaci6n de .Í3, 7 = ](x+a)
,\'.!
y =
La:h:;,:fa;¡-a!:=0
e
/bl+a:.J
JPNI
d(P L)
2
'
l.u;,¡¡o:
lb(a/'.}-aol
•
f~I ~ IPiil
{b 0 +a•
b y e son
A
P l!,0)
-r1
,Ta._
De donde obtenenos la ecuéción fte la bisectriz BP
BP: e (ri +1:2 ).i,- ( br l tbr2 -ar i}y-a~r 1 =O
ar 1
luego , pe
= AJ' = Fi+r2'
2
2
!.J. = l.c +b
Entonces-; AP
.PC
r2 /c 2 +(a-b} 2
i',;,r d.istancis.s: AS e /t;~+cª y 5C
y=O ·•
X
= a-x. ,.
..
~
=
A(-a,0)
2,/a.2.,.1,2
ub
- 2la"1-bi
2!'.l.b
.3ab
+ f.b
- 2/r.'+0 2
2/e.-Z+b 2 ~ la¿+b¿
º1
3, 7
nr2
r 1+r,
{J)
~
(2)
./(a-b):+c 1
AP
Fi~eloente, ~e (1) y (2) deduclbos que·
,3a!,.
C(a,o)"
• 0 1 = -ch + _ ex- ·o;; = • ex+ (,:,.b).; r-t-c
E!ltQhCeo=
-.S(it-i)
a
cl(P,Li) ~ lb(a/2)+abl
&; 7
h-:-a le bisectrü del nng:ilo B
L1: bx- a;¡tab=O
ffü:
'iT:
,l ......
!lodnce quo:
nÚ:,ero.s p-0si tí ves, se tiene:
S.l.
y
De.•t.:>.6.t..:.ac~ó11.
:JG
(2)
la~1-o•
r-E. (x-a.)
'f.g"rtieudo en cu2nta que
a.~
IPH°I
>"'~'+a 2
·&CUsid6n d e
2!'1. Desda un pui:t.o oualqu.iere. ce la b.:,.Ee a.e un trilingulo t~f,
c~les ..s.e tr.t:.z.s.r_ per¡,-a~dtcula!"es e. los lados· iguales , D~mostrf>.r, ime.líticm='l,e, que la su11a.
las longitud2~ i~
estas per?endiculares es coneiante a ~g~al e. la longitud
de la al t1.1re. <;lo uno de los vé:r,ti~es de la l>1<se sobre el
Ecuaci6:1 da
•
30~ DemosLrar. ~~~l!tio~men~c, quo la bioact~i$ de oualc~i~r
.áng!llo dt'.: un ti·iá.ngu.!o d-1 vid~ c.l lado opi:.esto en se~ii'lan~os prcpor~i~nale~ a lo~ otros dos ledos contíg~oa a lot
rB&peotivos saimentos .
Demo~t1U1e.i6n. Sea el óABC cuyos v~rtic~s e e ind~cE22 en
la figq..ra.
B(b,c)
Ecu11ci6n <le .iia : y
y
~X + L1: c.x-br-,O
"t•= t'(S,!1 )
/cs-2) 2 ... ,,,-1) 2
:. a(ABCD) -
·
t,mto, de (,) y (~~)
S,>lue.i6n..
!Koi
- dA,,,,) ~ J:~;;:_a.E.l_, - ~
<
PO
AREA DE UN TRIANCULú
Tcore111a l~.
.E:l áree del trilr,gulo que tier,c pn vértices lDs puotos A (x 1, y 1 ), B(., 2 , ;¡:) ,C(~~. y 3 )
'(1)
E.{~,AqG} -
11 ;~ ;:
X'
y
~
1
lJ
(.!,.' i-lnef,!. ile..c.lt.1
107
106
ol valor abseluto oi~l
¿,;bieado tol!le.a:I!
b) fami l ia de rectas perpencicuia r es
, tcr1:1l11,;n +,e.
R.., efecto. el
:i.t! r,( daiG 'J)'Jl" la .r?r....-nlil!
•
X1-:<3
Ei:too ce 9 , h=d(B,L)
? or -~an.:o e:, (1):
=
L: 1>·1-:u).x-(:, 1-x,Jr+x ~vs-x,n~o
~' (,Y1-fs) 2 +(x1 - Ksi 1
a(t.,.~ilC) .= ll(y1 - Ya)x~-(::.: 1•>: , )y , +x111~·:Y.a\•1 I
Xt
Y2.
: X¡
-y~
qt..i::
en donde el 'parámet ro k pu;o;do toma r todos los valores reales. La importancia de la form~ (J ) está en q ue nos per~1
te obtener ls e-0uaci6n <le uns recta q ue pasa por la inters~cción do lae Nlctaa dadaa au. t ener que bu~car 1a3 coordanadas del punto de intersecci6n.
3
B(.:a,Y·a ) y C(:--:,rr3i, se<'.n coli.:11Sal :;;,;,1 <?B :·Jso:
y,
~.e
FAHII..IA
Yt
1Y.,
ta
o
j EJE'RCH:~os.
o;: P.!:C1'AS.
:ll
tottl.lid.o.tl <le la¡, -rect~a que ae.t-i~ t·aec r. ~n:i. cond.lciÓ!,
geomO'"tricc. :O:·!l ll!!.11~ t-an¿(¿o. o haz t},e ~~P..ef.a ..~ ..
Entre la~ ~és impor~¿ctss pod~Qa$ citar!
a) Fa ill ~ ~- r~otaa paralela• a Jna Eecta dada.
"e:
lh 1:A.x'b,+G=t>
1,ne. r~,,ta d,,_r:,a.,
¡z- fa3t.llla d ract~s p,i~e.lel.a.s e.
!, ae
:-tpl~t:a por 2.e. ~nua.e~.ón.r
x+!!_y+k=O
( 1)
re ctas dad .as~
(3)
u~c.. condici6t1 n*'-~--ett:I:ria y s1,;.L".l.cia-r1-+.e .f.tora
l':l.
1
s::>n l,i.s e cu!!.c!ones de dos rei::tas dadas,
ento~ces el ca~ d e rectas qu~ pasan por
L1 L,, vien e dada por la ecuaci6n:
1,u..ltos d.i.Z~1..e:1.tes~ C.e coorden.a<l.as A(.x-1,-:,r;;.) •
1x,
1
Si L1 :A 1x+ú1;¡+C 1=0 y L 1 :A 2:<+3 1 y+C 2 =0
Y!
A 1
1
¡11 L, '¡=·3 Ir.\
(2)
e) Rt!cta~ que pa~an por ln inter-secctón· de do !.
lél detoro ix.:.s.nt~-·:
11
1
Vemos en (1) y (i} que una recta da una familia puede obti¡
nersc asigne..~do un valor particular a la con~ta~te a rr i~;
::-ia k, razÓ!l por la cual, k recibe el nombre d~ pawze.i11.o
dci la f emiliE.•
Le. e,q,rcsi Ón ~r.-:.re b&r!'r:.a es e:.. va.lor a b-so l ut.o ti.~ 1 -dasa r? o.11
Ccrolai--~ "~
f
k: l i!~2 k:J ¡¡~¿
!(Y1-y,}r.>.-(~1-X3)y, ~X1Y •-x, y1I
z(ii.kBC)
i,:Axtf.y+C- 0 - ·-
Bx~Ay+k=O
d;.-wia: b= li:C - 1fr1-x,lª"'{Y1-v•)'
la ecu~chlr. ir: 1 la clo t-:é eu:
'Y-"1 .- :rt- Y,(;:-x,) -
51 :. :Ax+By+c .. o ~s la re.eta rl ad~.
l:. r a ,.i l.'..« ¿,. r i: c t a .,: p~rp en::lictil~res & L SE expreaa p or la eeua
~i..Ón:
("t)
:!1 b.h
a ( AA ilC)
u~ e rect~ dada.
3
5,
r.,.:.:.
I,:3
L,------~
j
D'eterminar e l val or del parámetro k de manera que l a r ezoá d~ la raDil i P. r.x-y+B~D que le co~r esponda pe.se por el
pun to P(- 2,4), Hal l e la ec~a ción de l a : ~ct a .
Sotuc<6r. ..
Sea ls. ecuación da la flltJJl!ia, t:)cr... ;¡t}l;;:Q
S! ? (-;>,4;ci.
L~~----
Crupo 13
+
(1)
k(-2)-(4)+.9<i , d e clon:fo: ic=:.>
So~t.;t~-ye;.Jdó ~n {1) obtan-:\.lou el miem-'rc 1e lé! re1:Ji1i.a.
L 1 :2r.-:,-t.:J=O
108
109
.Detijrra!Tthr el valor de: pa::-á~~1,ro 4- de ?::e.ne.1a que l&. t-~:: ..
-:.n de 1.l'l f't.mil~a .3Y.-4.y-7=fl que le co,:responda. sel'.c perpe-:
cie111ar a l,1 ,,,eta Lz:7x+4;,-1:=C. :Ial!;,do a~. purlr,etro,
n3e~íb~sc l¿ eouaclón de la recta~
Sclue.J.()",
=1
Saca el haz, L.!.3l:.-ky-?=0 .,. ·111
.k
Si un miembro i& Las perpendi-0ular a L1 ~
-~
?
<tH·¡l = -1
+
c.~ ~-1
1
10. Gsaudo el método del pará~etro, hall~r le. ac~acióo dn la
roota que pa$A por el pU!lto A(2,~3) y es pa.ralela a 1~
recta L1:5x-y+11=0.
Se-a la ocuaci6n de le famil:.a, :.:5;.:-ytk=C
(1)
11. Por al gátodo del parámetro hallar la ecuación de !a recta q~e pasa por el punto A(l,-1) y es perp~nd!culnr a la
recta L~:7x-9i+$=(l.
${)lu.c-i.ón.
t:-cx f.3y-9=0
c(-!,)·+ ;l(0}-9::0 , de donde: c=·-9/4
Su~titu;¡cr.oo cm L ,rn t!i;ae: -J:t+3y-9"0 -
L 1 ,Jx-4y+·12=0
:Jet,,..:tn:ir~l.' el v,üor del pa"ámetrc k correspondiente ;,, la.
:acta oie l:2e f;;r.ii.lia 5:>:-12ytk~D cuya dist.ar,cia del o~·:g,m
es i gt.:&<1 a 5, T.9ni~ndo s>l Pilrá:i:;;tro, J:€1.11,ae le. ecuación
La acmaci6n q1ic rapreso:ite: a.l ha;, de rectas
perpend1cu1ares a L 1 e~. L:9Y.~7ytk~O
(1}
Si A(2,-1)EL ·• 9(2)+7{-1)+k=O , de dondti: k=-11
Su,it.ituycndo en (1) re11tÜ.t.a, L:9x+7r-1·1=0
12, ia suma de lo~ aeg.¡entos que u.na rocta ~ot~roinc ao~r~
do le re~~a. (Do3 aolu~iones.}
lo~ ejes coord~nados e~ igual a J. Por el ~átado de! p~ rámstro bal1r~ la ecuación de la rActa cabiendo ~ue corti ~ne al punto ~(2.10) . (Dos so1ueionas.)
Soluc.i.!Jn ..
So,l;te,.ión.:
Si d(O.L)
3,os l¡¡
5
+
ec~e.ci6r. de U¡ .Ls._milj a L: 5x - l2y+-k~o
/kj
/25+144
=5
...
lkl:65
++
ffa..ci,a,nd-o uso da la form-a. s.imét::-j~~a., l~ ec u.e..-
k=65 ó 1{;-65
L: .!k
9.
L,,Zx+Jy-12=0
31 }.(2,-})d; + 5(..2)-(-.3)+k~O • de don.de: k-13
Ldt-.y-13,,,0
ª"
¡¡,
ó
J,uego, en ( 1) se tier.e,
D,..t.;r,,,; ne:c- ..-!l VIJ:i.or deJ. par§11.etro e I'ttl'a que la ro cta.
la .f'!l!l:ilito. cit+3y-9=0 que l.i cor:-oeponaa, d1>ter:n111e ¿¡obre
el eje X u.n :rn¡:1;1.ento i.¿¡t:i:rl a -4 •.!if.tlla.t· le. flcuac.l.6n ó.e
la r3nta..
Si P(-4,0)d
L1:2x+)y+1?.:0
S0P.1tc.i.6a,
·•
S8.a e-l haz
kt=12 6 k, ~-12. Sustituyendo en L se tiene:
, i!.e donde: ~'-'21/ 4
Luego, ~n L ea tiene: '.h:-Zf.;>:-'7--0 .,... L¡: l2x-21y-ZS~o
~~-
~
"'a~il.:.n d,; reo,¡,P.e es 2:d3y+k=O. El crod., loa ee;rz:tento.- que U111 .rect.a de la i'ami.li 11 detor-
La e,:,•J!i<Oi!Ín i"' la
"°
cluc
min~ nob1'"B los :e;cr; ooord~ne.d'js i:s 2~ .. Ji611tose la ceua"ión de lo. ::-e,·ta, (Des soluej.ones.)
Joluci,~11,.
ri<:a f:!l haz. d~ rgct1ts,. L!2X+Jy4-!!.=0
Intal"cept~tin -, r.;on loe ejes coordt·H1adoa obtBnt;oos:
x--k/2 o y=-Jr/'3
S:. x.)""24 ~ (-~) (-1)=24
++
k•'-Í 4
4
&J. A(2, 10)cr.
+
+ ..2...
3-k
¡ + :3~~ = 1
+
= 1
(1)
ktt5:<+6=-0 +-> kl-"-2
6 k,=-3
Su~tituyendo en (1) obtcno~os las sc:i.aeionss de lo~ dos
mienbro.3 de la 'faitllie- L 1 : 5Y-2:,t10=0 ó Lz:2:.:-y+6=0
l}. L~ diferencia üe los a?-gwantos qua unM rec-!,e. deteraina sg
are los ~jea coordonadoa ~a igual a 1. Por el método del
partm~tro hallar la ~cuación de la ra~ta quepas~ por el
pon.to A(6,-4), (Dos soluciones.)
r
111
la l lnu1. lle.e.ta.
1í0
t
su aeu11ción.
Soluc.i.6n.
Sar.rti t uyenrlc .-_, -, ,,.. t' ,ine:
Sea 11). ec'J li.c i6n L~
Si A{2,4/3 ) cL +
L1 :l,x+3y-12~0
ó L1 :xt2y~2~c
! +i
¡
+ ~ "'
=1
de donde, t,a+.6b=Jab
{1}
1
~
aibtc=12 + a+b=12-c
(2)
Elevando ~1 cuadrado tene~oe :
o.
J>et'O!
11. El pr.:}duoto de l
.
or e 11)~ "-! ~ii
,
..L
o"' seglllt!cntoa q U& una r , cta det,-r!lli nt. socoon:l.n1.dos e;; i,>ua.l , 6 p
- .
f"¡I
""'-
-
a
O!:"
pa:-:irne ,i-o :mllAr la ac.1iélci611 d& la re-etc
•
·
.,
ie•ial a
id
6
3
e l método dc.J.
11u
pendi ente'
a'·+b 2 -l-2a,b " 1J.4-24c+c
~,
~1
2
Por Pltágore.$: cz.,a 2 -fb 2
--º""i>----a--::o..."',--x
+ 2ab=14.L-24c + ab=12{6- c)
(J)
Sustituyendo en (1): 4a+6baaJ6(6-e) + 2e.+)ba18(6-c )
~ b,<((21-4e ) {4)
Sustituyendo (4) en (2): a=12-o-(B4-l6c).,J(5-0-2i}
(5}
)ieemplazando (4) y (5) en (.3): 12(21-,1.-c}(5it-24)et,2(6-c)
de donde: 10c 2-101c+2.25=0 ~ Ct"'5 ó 010 51 / 10
Sustituyendo en Ci) y (5)~
a,=3 . 6 a,~9/2
b1=4 . ó b2= 12/5
Finalmente en L obtenemos:
Li:4.x+Jy-12=0 ó Li:Sx+15y-J6~o
+ 2(s+o)+'b=1a(6-e) + 2(12-o)+b<>18(~-c)
17. La distf).fl.cia de una r ecta al origen &S 3. La r~cta pasa
por ~l punt o A{J/5, -J). ff/i;llar su ecuación .
Solu~i6n.
L~ ecuación d~ 1á
recta quo pasa por A y d~
pendieo~e me$: y+J=n(x-3"'5) ++
l 315int3 1 =-
S!. d.(O,L):J +
L:lltX-y- (315TI+3)~o
J +J/511+ 1 I
lm 1 +1
.,
3:lcvo.ndo 61 cuad.n1.do resulta:: 21l 2
iuago, an (1 ) se tiene: L 1 tyTJ=O
( 1)
~ / m2T 1
-W: -~ G -+-
e 1 =0 Ó
m,~-
q
ó L2: v'5x+2y-9~0
18. La auna de lo» segnentos que una rec t a det errd.na s o bre
lou ojos e::i-ordenedo,s es igual a ·10. lls.1:Í:a :i: la eeua ui .Sn de
la :z:-ect.'1 si forllla con J.oa ejes ooor dene.do i; un ttiéngulo
q.e.
área 12 u 1
Solucl6n .
Además
•
Si a+b~íO
1¡e.(10-a) 1~ 12
2
+
b:10-a , luego; L: ; t 1;_ 8
++
a 2 -1Qa._2 4=0....,.
a1=4 ó
=1
r<2=6
le. !. lne.a íu,. ci.12
112
sus t i tuye.i:;do C'n
r,
Si uro :r.ienorc de L
o bte:nemos la~ solueio,;,~s~
L1 :3x+2y-12- o 6 L1:2x+3y-12=G
0
19. Ur.~ recu. p~a~ por el origer. J po. la ints.&ección d& les
rectaB4L,:Jxn:,-14.. o 'I Lz.:x-3;¡-1.a-O. Ballar su ~cu!lci6n,
oin di,hr:.inar el punto do i:it,&rSAce16n.
Solu;<'.61!,•
!,a U."lll~lie de rcc-;,s.s
l'[UJ pli!5t'
L:1xl2;y-~4H:(x,.3y-1}•0 ·
!:i O{O,D)d. ~ MC-~4+k(O- C- 1)~c
1
Lue!'!O, en (1): 3x:2:,-14-H(x-3y
por L1" 1.11. e;s.
{1}
d& do:tié : k:r-H
o~c
+
l:x-4y~O
( 1)
Si A(-2,3)E1 ~ - 2tl5•21k(-6t12-5) + k--í5
Luegu, ,;e (1): ~,+5¡+2-150,..t,\y-~) -O ++ L:4,:15:-7"'0
21. Ur;;a. roet~ !'.nrn pn~ 1e intfJrsec·:ión :i: las rer.tas di11 e,cu~
:1 Li ::2x-9y-5=0. hallar su. t>cuución ll~
1,1.,no.o qc.<' ,11s p>,n.lel:? a la recto. 1'..,r6.~-2y~1~."º·
\'olJ,rJ~.•.
Li ¡1,,,,,
entot'l~ rio: w. ..,
o <1ea.:
_J...t_:a~" ~, d~
- '2"'!'9:ic·
on¿e, , ..9¡i5
Lu~go,
2J. Fi.!!.llllr la ecaación de J.A recta que pasa po::- la itii.,erse<:•
ción ,i e las !"ectas I, 1 :Jxty-9"0 "I L::4x.:3y•1•0, y ClllY"- di!!
t8.llc1a del origen •s 2.
Scl,ui6n.
1.a
ecU&.o.1"1 ~e la .l'allili" de
?"ee"tu:
(1)
!k-9!
m2
/( 3+4]c)2+ ( 1- 3k)~
de donde, elevando ~1 cuadreio resulta!
2,, Rallar 1a eeuaci~n de la ~ecta que pasa por la intor3SC•
ción de l~,; rectas I, 1 ,)11-4¡=0 y L.:r:2x-5J+'i'•O y ::"orl!I!\ con
les E>Jeu coordenados un tr:L!Úlgulo d;, i.re~ 8 u 2 •
S<>luc1.6n_
!l.,s. 1a oeU.!ile.1Óa. de la familia de rectco:
(1)
L:(J+,~}x-(4tSkJy+7k•O
IntcrcE1ptando con loe ejes ~oordenados se tione:
11a.
X
:
&
7k
=- ~
Area di:'l ·l •
7
1
2 labl
= :)• •
.22. ~Jna r cla.. p!'LCn ~o- ls. _nte~r.o iloióc. d~ la.'J ~eet.as de 6~~4c1onaG L 1 : 7x-27"'0 1 Lz:l.J:~y-1-0 y e~ perp9ndicular a lA
!"eetD. T,,:3x+8y-19•0. ;.¡_..¡1,-::.- su oouaci.6n.
(1 l
71:
;'.f5k.
. 7k
7k
+a." l2(3+2k)(H5%)
do dotde: i11k 2 +36~k+í92-C
•• r,. Sx- y+ :Í"O
~B !A ecu~~l&n de K fa;i11ia de reet~a:
L: '/y-;',yH:(4,.r.-y-1)"0 + (7tU}:,;-(2+k)y-k"O
Sea
Si d(O,~)e2 ~
o bien:
en (1) ""
s~l.b~~6n.
Suatituyendo en (1) s~ obvier.e: L:8x-Jy+5~0
L:.3x-4yH:(2x-Sr+7)~0
!le,~ ln o•uc: ~.S,. j., la !:milla <iil roct-~u:
(1)
L:;xf2y;,2+k(;>x-9:r- 5)-o
Si wi miembro d.c
-1 , de donde : ~~-5/ /,
99k 2 +90k-41 =0" + (Jk-1 )(33k+,41 )•O +-+ k•1/.3 6 ?<~-41/33
r'ilu1.l11en';o , suet.it'll,c!ldo 1m (1) ceda Uno de estoa va!o:es
se ob"tienec:
L:x-2=0 6 i:Sx-1?.y~26=C
J:,.~ la fa•.ilil. ele r•ot.ae:
··•.on ·, ;, 1 : ;;c+:?y+S-0
¿$~) (-i> -
o bien, L:(3+4k)x~(1 ·3k)y~k-9•0
ci6n ~in ~et,,ra ~~ar s; puntad~ •nt sroeeel6n.
L:x+::>y~~H: (3x~ 4y- 5}=0
(
L, + l!l.l'..=-1
)x+y-9+~(4,.-3yt1)~0
1 -un'o
• • t(-2,1',
. y por.lo intcr~ección
20. rna recta pasa ~or e,le la1< n,cti. 11 ·., :iri 5yn-o y L:: 3~+4,- s~o. !la Lla? ¡¡u OJcua-
Solu.cUm.
~ea:
J.
7
++
ka-8/J
6 k= 24/J?
Snstituyendo cada uno de esto¡¡ v:i.lo1•es on ( 1) se obHenr.n
k:x-Ly ~e;o 6 L:qx-87-~lcO
punto de intar2eoc16n ae l~n recta3
L , : 2x-3y-5•0 y I.i ,·x+2y-1,3s0 3 el segraonto q1.a ibtolr:air'I
eob:e t1l e,í<'I res igual al dobl& de !lit pendlente. P.llllnr
la ecuoci6n d~ :11cha rect11.
2>. Ons recta pa~n por &l
~
la llnea il.u:.ta
J.
Sea 1~ ecuación de•la familia
( 1)
t: 2x- '3y- 5+k (x+2:,-13l =O
L:(2+kJx-(J-2kJy-(~+1Jk)~o
o bion:
Si y=O
+
+
ti •
_?_+ji.
ll"2lll
!i;~!k
+
= :.!( 3:~~)
Coord~,adas del barienntro:
2
de donde: 4k -Jk-1•0 .... k•l ó k=•1/L
SUet1tuyendo eato;a valores en ·(l}! ae nht19nen:
L:Jx-y-18•0 6 L:x-2y-l~Q
( EJERCICIOS. Grupo l4
l,
-1+,+5 •+4-1¡ ...... c(1 lJ
G( -y-•
3
:3"3
1
Por~ doter~inar el clrcuncent~o k, t~l&~os la~ eeu~cicnes de las ciodiatrio"'s oorrespondle:it"s a los l'<dc:,; f!l y
l
AC.
fAMl= !iiMI
Hallar. por trea a,todoa diferentes, el área del
lo cuyos v,rtioee son A(-1,1), B(3,4) 1 0(5,•1).
se tucs "",
e(AUC) •
t ,
3
·:
~
/(x-'-1)'dy- j)'-1Cx-J)Z+(y-!,)2
+
de donde:
L 1: 8x+6y:23~0
de donde:
T,~!'3x-y-ó"'O
Luego:
a) Por el •'todo da dat• r11ina.11tee:
-1
°Zlfnecos: A(-1,1), E(J,4), C(.5,-1)
Ln recta da Euler e~ ~quella que pasa po: la interaecc~ón
de las 1edic.:111.n (r.ariceot!'o). 'l!editricos (circt.:ncent.ro) y
las al t~ras ( orto centro), de un ~ri lng,110.
X = a :
Seg~n ol problnar
He.lJ 11r la ecuación de l a recta do Eule:r para el t:-ié.gulo
del ejercicio 1.
jtll.ueil>n.
"'l-7k
115
L L, = H{~i,*)
1A
t.)
l'nrn dotr.rru.11<1!º el ortocet1lro B, :'!&ll•u11'ls ias eeu1;.c!ones
~,· las ,iltura:i corrcsj'.>onJientss
vJrtlcu A y B.
1
Deaa.rrollando por lo• ele•antoa
de la ~rí•era tila, ,e tiene:
hA: y-.
los
2
e
5Cx+1) - ºA :2x- 5yt7='3
,.
e
a(AABO) • ~i-1(-1.4).1(5.3)+1()0+3)1
ll
e
de dond•• a(aABC) • 13 uª
b) Por le !6rmul.a1 &(6&BC) • Í(liclJ~h
l.lci • /(5+1)*+(-1-,,· = 211a
Eeueci,n del lado le, y-1 • -i~~(x+1i
b•d(B,L) • f3+~-2f •
+9
Luego. en (1):
Para ~nll~r 1& rect~ d~ Eu~er~ u~amc
(1)
P<>"ndlvo ~e de G'I:
+
L1x+3y-220
i.uego,
..!l.
1
-
los puntoa G y
:-1.
Al
'
l1
7
3 = 5 (x- 3 ) _. Ei41x-5y:89•0
I
Ln comproba~i6n de que K€E Ge deja p~ra e: e~tudie.nte.
.rrn-
a(AABC) ~
:;-
:¡¡
U1/1J)-Ci/3l =
(J2/Jl -{7/3)
(21"f<¡J(-1!) • 13 ul
~-rn
e) Por el 11•todo del; all111iper!~" t.ro:
e(AABC) • /p(p-a)(p-b)(p-c) , Se deja a car~o ~el est.u<Uanta.
5,
lína rectq JHtl,\a poi" el ¡,unto de 1nter¡¡ecc::..ón da
T,1:2x:+3y+-1=0 y r.,:3x-5y~11=0, -,- Lambión p,n• 14
-c!ón d~ laa r~ctas r,,:x-;;y,7;0 , r.,,4x~y-f1üO,
ceuaoi6u de la i-eot.,. s.in doterm1nar lo~ punt<.>1<
lF.s raotac
intercccHi:acsc lq
d~ intc;s.
116
.S~l1y;i,fo.
~ bien:
r' a rattilia
.
d !9 L'6Cte.¡¡ que f'1'San DOr L " L
9,; !
1
2
L:2xt3:Y+1+ k(3i:-5y+l1):Q
(1j
L: (2Hlr h +( J-5k J:,r i. ( 1+1 ils:)=O
l:.11 :familia de rectas que paee¡¡ J10:?'
t
1
Como f1) Y (2) representan la mf~wa
·•
9
va~or de t 1 h, entanceE:
2+Jk
J-5k
1+11k
ae
(3}
Y• a.nt-0ncea, se wer'.:ficará pera
(4)
( .3_), C.t)
L'6flUlta
"
:recta..
:Id:!:!s ,M,
.L) Sta B(x,y) un p,.uito
do:l. L . G.
il} a) IDB/ª·l~I"• b.2
J) ABI· ¡oap .. t,1
y ( .5)
~
obt~ne-
da <fonda:
;le dondG:
,.
L2:A.2.x1+B1y1+•:;.,.,o
¡,:;.:~1
e r-Yt• ~st.o es:
la misma eoiu.c:l.óo :
i ntersacc1Ón de L 1 y Lz.
Por tanto, las tres reotas L 1 ,L 2 y Ls aon concurrentes,
10. Sin hallar su p~nto de interoeccíón, deQ03tr~~ qua 1as 3
rectas L 1 ,Jx+4t:14-0, 1 2 :2x-y-9=0 y L 3 :7x+)yt1"0 so!l co~
currentee ..
ile1t<>,$t1t.al,i.6n.•
0
6
áastnrá probar que el dcterminant~ de los tér~inos constn~tes
de l~a 3 rectas dsdag es igual a cero. En e~aoto:
3
4 14
t, :
2
7
-.3'
-9
Jr: -:,-,.,: -:1
3(-1+27) - 4(2+63)
+ 162 = O
+ ¡4
1: ·:,
+ i,,(Gt7)
78 • 260
1 l.} ~aso .n}:
Caso b);
y
k ¡ (A ~ l +B1Y 1+C a·)"'º ; como k ,¡.o· .,. ,\ .~ 1+S ,., 1+C~=O
Lo que det1u,:,atre que La pasa p.or el punt.o P 1 (x¡,yi}, P'J.!lto de
{ 5]
!.a baae d.i un t •án 1
r+ gi; ¡¡, tiene un& pouicidn f:I.Ja. 1 flli lo_n
b'1tud aa eo~a'
·
· .an t e e ;¡g~l
e. c. !.a d11'e~ncia de ltae ciu,-<h:ados ele 1.1u1 longitud.:a de _loo o•ror dot~ ludaa 9s oonot-«nte e igue.l s b1 • Domostrar n"e
,
1 L
6•
~~
. G.· del v0rtic
es
WI&
.L1!A1x1+'B1Y1+C.1=0
~e uanera que en la ecuación de la tanilia de rectas da.de:
k1 (O) +k.2(0) +k, (A 3lCtB sy+C ,)=O
:nos:
:: b. n (.:.!) ·,
L a--2¡.,+ l-'-li
y, d,;mués.:rase
Como e·sta ecuac16n ,;e veri:fi ca pare. todos los v:tlcreG ae :( e
e~~acionaa
k•-7 y h=>1/9
SUBtituyendo k en (1)
6
1;
Supongamos que eJ:. punto P,(xr , y,} p<;>rteneca a las rscta 11 Y
1~. entonces:
r,,ct..a ¡:,ar.t un dete,•u !'Jc<!do
2+3k :- r(1+!,i:)
;- 5.k " r(b.- 3)
1+11k " 1'{7-í 1il}
Re~olviendo el aisteoa
se •,erifica para +.odos los ,·al.o:::-es de x
que la~ tres :::-octe.s eon coneurrantes.
!)cJflOólt?aci6fl.
T+4Ii '" ""'ñ-3 " T-Tra " . r
de :iond.e;
k 1 (A 1x+B1y+C 1 )+k 2 (A zx+B,.:;¡ +C1 )+k, (A ,x+B ,y+G,) =0,
Ar..,,, .<?s:
L:x~J:,+7+h{l,.xty-11 ):O
L:{1+4}!)xt(h-J)yT(7-lih);O
s.
117
la .Linea .i4e.:la
11. Determinar el Vlllor de la constan-e"' b :r,s.ra que la,; t1·s¡¡
rectas: L¡:Bx+3y-1~D
La:311:+by-;~o ~· L 3 :x-5';r+16=0
sei'i.n concurrentes.
Serluci.6(!.•
t,:J! ~=;J
1
-5
161
r.¡b-31
3 J
-31 - ., /'
_;¡
1
-~ 1.f•
J1 . 1 (,
8{16b-15) - 1(4B+J) - ( 1~ b)
...
~--"
119
,,,. l lllC.it ,?c..c.i.o.
Si
6-0
+
129b-2~&0 • de donde, l)a,2
16, In c!=culo ticrn
~~
•43nt"t·::i tin ,., ¡,11:-1-:.c C(-2,-4>, S:1b1-.11..:.o
L:xlyll2•C, caJculnr el &ron
~uc er tan~ente a lh rcota
14, Lae ecuaoioou de loa lado• ,de llD tri'°slllo eoo
L1 ~,•ex - ~ , La 1y=bx- !§ , L, 11•0•- ~
Demostrar q~• al ,rea del tri'1igulo eat, dada por,
(11-b) (b-o) (o-a) 1
ii
dbl círculo.
Sr,tud6n,
El =a.:.io <1el cí=culo es r~d(C,I,) '"
1.2-4+12 t
¡,:n
Depo4trnci6n.
Se lución.
ae la ecuación
for la :"ormt1 n Arcal
~
de una recta AAb~mon que :
C1
<1>
:. liBI • 11rt 11+a•
b"
d(o,L2)
Si L1ty=u- ; -.,.. L1:2ax-2y-bcs0
+
~
•
d(C,Li). l2•(-a/2)+e(b+c)-boj •
l-a 1 +abtEc•boJ
/41. 1 +4
:!/a•+1
= f{a;~)I
.'. b
ft
Por l o ta.nt.o:
l o,
De t,~rm..n· ar 101< wi.loros de le, Y k2 piu-a qua 1,;u¡ doo ecua-1
,
.
repres1,>nwn n
cione~. L,:k,x-7y+18=u y ~1:8x-~27i 9 ~,~ 0 ,
ei cir.ll.
15, De•oat~~r quo la recta Lz4x+Jy-40•0 •• tMngente t.l. e!rou•
lo cuyo radio ee 5 y c~n ce~tro ee el punto 1(),1), li&•
llar las co~rdaJ!adaa del punto d" t.ane·~ncia.
r-eo,;,a,
s~tut"'.l611.
Si Li 'i
.,1
En-:.once:s !
so>1 -e<:t.,u: ~oinc.identes
t.;
~
!j
En 11fecto,
lir+9
5
e
5 •
r,
Le eouaci6n da la °recta gud contiene al radio
y porpandicular a L.~s,
y-1 ª i<:t:3)
Luego,
L 11.L 1
..
T('/,,0
..-+
Li •3X•(.Y•5•0
li:> 1-Pi 1
(2)
~fllfh .. a(AA.BG) "il(a-b){b-it){o•a)f
a·(C,L),. 140)+3(1)•401 ., (15•401
-!~/J~A=2•+8~2='"
l'Etro , d(i.1,t,2)
º
De (1) 7 (2), e(tABC) ..
C2
= Y•
;>Q, Ser..- 01,
t.cre!I ~e
el irlzulo
?,r¡
kt • '6 -
k1
¡.20
Aplioando cosenos a ~mbos ~iembros
EJERCI CIOS ADICIONALES¡
se ti~ne:
Coa3
~
~&ro
~1
Coa~,.Cos~~ + s~r.a,.Senc 1 (1)
y B1son sompla~Gntarioa
Sanr..1
=
J.
Cos:6 1
J1de,,.l:a, Sen(i80°- a 1 }-Cosa, (cc.,ple.i.
... S1i1;t1~1
"
(Texto. F •.J. Do T,a nor bolle.)
J
Cosl!a
Soi.ucih, .
Lu.¡,gc,, en (1):
~ Coeai. c,,sr. 2
Oose
S1 P{5, 4)EL
+ Cod~!. Coss~
coorde
L 0011 t·2e-ne ,:;l punto l'1\X 1,y~), demuéstrese que .;a ecuación pueda
!,.ados, Y ~e~r. e Y E sen á?iu~los directoras ~
_
Q
-'Scril.:ír se ~ l&
~ ~~
.f<,J..;ne,:
;
~-x1
Q
Li-OS:)'.
¡·Y•
et.a
Pe.:-o Se~ (r:-n)-Oosl!
). Sana
=
•
~~n
2,
g:::rx-:ici)
{')
Si P ( 4, 6) cL
Luego, L:
co·ff
24. r1..z.oo strar "
'
•
':i 1e e l e:e.:¡
"ªl
ir1á11gulo i'ormado po:r eJ eJe
,.
v, b l
.... laa rect.e. L,-·-'/-"
-u,.,..'T'
Y L 1::y=t:ax+-b2 e tá dada pol':
3.
r
0
l (b -b¡J_
z f¡:¡!-01 I • m,,¡m,.,
L
lJiñlx/filil
4.
( 1)
~bts~e~o~· ~{O,~¡) 1 C(O,b,) •
~" oln,es: IACI " ltl.i~brÍ
(~)
& a
ur" r¡¡ ,;,s la. 11!;,s,:iae de L1 f\ 12
" ( 2 ) Y{'.!)
(2)
4a+5b~ab
i
t
~ = 1
1 + _;¡_
1
2
!
t _ir.
2a
= 1 , de doude : a=7
+->
L :2x ty-14~0
">
2
2
pc~di~nte n=- 4/S, s e ti~na: p tb :~1. H~
1)..ar ln ecm1ción de d.icl:u~ r ec:t a . (Dog aoJucionee.)
Rp. L 1: 4xt 5y- 2-0=0 , L2 ~ 4X; 5y+2-0=0
&i u~a rec,n de
21 punt.o P(8,9) d1·,".dc al 1,egner1t o de .r·!óc-:s. inter::a¡;tad0
po::• 1or eje$ según la ra.s6n -r=(PÁ) · (PB):-;1/2. lialhr ls'
Scl.uc,6,~
(J)
ll (•), o t·
Si b: Zn, entonce s , sea la recta L ·a
·Z
osa l& r~ta L :
¡ +'E'"' 1
n)
L~s i.ntP.~cepto3 ao ~ con :os ~jes son A(a,0) y B(O,b).
~1
D-X b2 +,+:,: - ':-2-l:,L
- -1~lllz
+
~cuaciÓn de la rsats.
T~te~cep,!!.lldo Li Y L, co~ el ~ie y
+ lll•a•b, -
1
Una re cta pasa por P( 4, 6 ) y su orden~dá en el origen ee
doble des~ abscisa en el miapo , aiendo ambo s po~itivos .
So t uci 6n .
"!-=·..t;Jl.:::Jl..l.
En e:,,,to, a{,:.t::SC) -
"
Hallar la e c·Jac'.1.Ón de l a r e cta.
{Conple,rnnt.)
Losa:
a
(,}
u ee~pi azand-0 est os va.loreE en (1 ) o bteneooe la~ rectas :msc~
das:
L, : 2x-y- é =O ó L 2 :2x-5;,+1 0 ; 0
GcsS
:.ueg.o, e¡¡ (1):
2 + i,"
¡ + i· =
01=-6 6 b~=2
s1·
iJcr.icA:l:A.flci On
.::c·Jacl 6n de L: ;¡-y 1 ~
+
Sea la recta L :
Por eondici 6n del problexa: a~ b,,-} + b=rJ-a
(3)
Snotituyendo (3) en (2) r esult~: a 1 +2a- 15;0 ...... air3 6 a~=-5
21. Se-a L un~ 'l"rit:~a uc ~a:-tl'9lcs. a nio.guno O.e las ejes
cla c.on:l,e:
3n ciert.. recta qve pasa po~ P(5,4), a+b~- 3, tillar la e~uaeién d<' l.a rau:.e.. {Do s s oluciones.)
.J;;; •
a(4.A.í;;C "
"'!
3
'fli.
= -1r • c:1to:tMS!
e-B
.1
ü=8 = - 2
Y
0-9
°b-"9'
J
= -;¿
de d~nda: ~=-20 y b~í5,
Sustituyendo ,m (1) obtenMot:, L:3x+~.y-60=0
122
5.
Ballar el centro da gz,a..,e,fad r1el. ár~a del cudrilátero cg
yos viírt.lces son A(-7.J), B(18,-17). C(5, 1S), D(.,71), 15).
h. e"ei&ri-
$:. y-O
a:1 baricentro d.e ur.. cuadril&ter(i se
balla en la intersección de las re~
tás que unen los bar!oeatros de los
trilÍ!Jgulos qll\'! tienen oowo lado colll1n '..!!le. de la.a diagor,alee del cua._~
di<ilátero. Entonces:
Be..ricentro del OADC
s.
ie donde:
fh
y
.{. 1 1<i.2.,
l/.3(X··1/J)
13/J - f/3
i:i&ll&r el ot>.ntro di!' gr&'l'lldad del l"a del cuAdrilital"o
c:uyos 1r<ll:'tic:u aon A(-·¡6,11). a(-6, 72), C(8,2i, D{-1.2.-,é),
TJn mÓviJ. parte de A(2,3} para llegar
11 B(10,9J. Detiirmt123.r P(x, O) p/1.l'a que, ·-l recol!'rido sea
,&J.~.
cli~tenc_e ~,s oorta •ijtr~ do@ punto~
es lr. líne4 rscte quo lon u~&.
!ntoncee, conBtruimo$ A'(2,•])
tdilo
1),-r;p
cie A, n1.sp."cto dfll
RP
F,p-..¡Jp
~JG
.i'iB m+PB.. üi+Pl
I,
nim,.
/(10-2}'i(9tJ)•: 4v"'l3
1Tn aÓYil parte de A(2,3) para ir a B(9,8) debiendo to~;,r
: ~
1JS.I'f.
Yt
1
A'
°'"
'
?
J+!!, 2)
!fousiei6l1 de ft- 'B': Y-3 ~ T-"91X+
de donde, A' B' :x+y-1:0
Si
+ x~1
:. Q(1,0)
x:O + y~1
• •. ? (O, 1)
-ro
Míni~-0 re~orrido:
cC.3.:)}
f0cr georie trí-a elemesJ-11° l;:¡~IIIQ6 que le
~
Constraimos A'(-2,J) si~étrico de A
roíl,pecto del eje 'L Luego B 1 {9,-3)
sim,tr:.co ue 5 t·eeFecto del eje X.
C<>mo AP=A 1p ;,r -::in=QB r , ent.onces el
m!iii~o recorrido sari A'B'.
ll.p. G{-6, iD/.::l
7,
~
IA ,TII
.'. P(4,0)
fol.u.ci611 .
9.
6,
Jx-12:0, de dor,de: x-=l.
A'E:3:,c-.?y-12-0
P(O,y) y Q(x,O) ;;obre los ejes. Deter~inar l
a,., r-113"' lJ/J
i.,x-y~o
·1&:~(x-10) '-+
que el r.eco1•rido sel!. míni:c.o y •:aluár es Le•
de donde:
.Recta que pii.aa por
+
MiniT-o roco=riio:
B
?orlo tanto,
Ecuaei6n de t.•B: y-9
IA•ill
=
/(-2-9)l+(3+8J2 "~í,-¿
,-'
i
1
'
1
""".
1
'
',¡
1
F'
~res b~ndas d 9 Ulla mesa de billar coi~aidJ~, raupootiv~cgnte, cc,n OY, cor el G~g:;;nnto OQ..:e; aobre OX-, ;1 co.'1 la
rocta QR(x>'g). rn~ üe las bo:as ~stá en ?(2 , ) Y 4 ~te
CM>car co'l. otre. 'bol,;. e:, P¡(l, 15}. Co-'ar.<!Q li.'1 l:a:-uidta
li.i.cb.~ "e_ los ,-WJ.tos B. A,
nar ~.1c.s p11iit-o,s.
S<>fNc ~:tn.
P
Ilf10,9)
:-especto ds OI:P~ (-2, 6)
d~ 0:{=?1(-2,-6)
d·a !J,R~?.(1:2, '15-)
GB ox-.P,(12, -15)
3~ ea~~no r:~o~~:do por la bola dP bi124~ desd~ h~sta l:.e~Ar ~ Pl rs•
.?3 fil~(iC+C.?!J
11
fsro '?B=?~. ,~ifri',:=f::··c?.11~..t?s
125
La. l tn.t>.,a, ll..2.c.ia.
124
12 . EaJ.lar las bitect!'i:tss de l,;,• ,n.¡¡ulo3 :'orr,,-,.,k,3 pc:r 2.as
PB+filt(AG+CP¡)
Luego:
= P2B+fil.·l·A.Ps ·= P2Ps
-.
+")
Ecuaci Ó11 de P2.1'1:
y- 6 -_ • 6+12(
2 .:. 12 x ~
i,sctas L 1 : 13:c-9y-10=0 y L 2 ox+3y-b=,O . '!~rif' ce..r
..... L 1: J1<,«y-v=
L·• <- o
I11tarce;,ta.ndo L 1 con lQs. liljea X .e Y, se U!lrt~: ~{2,0), B(0,3)
Ecuación
de P 3 P,:
= ~(x+2)
y+6
s~a
L2:Jx-2y-6°0
P(x,y) un punto cc1a1q,.tlera de una
1
U
•
...+
J,e ecuación de la :-ec1.a que pi,sa por P(2,2) y <1-,, pendi,~nte "'
(1)
es: y-2;m(x-2) +~ L·ox-yn-2m"O
+
x=.a. = 5(m-1)
x~o
~
y=b
a
13x-9y-10
ilabJ
+
=
1
1 )(1-m)J
- 1~(m2 i;i
~
+
1
= ¡l{m-1)
1
m
2
1 = 2.(11!-1)2
..+
(2m'·5m-r2n0) v (2m 2 -.3!l+2.,0) ++ (t11-'2 Ó 11!2=1/2) , ( <> )
ó L2:x-2y+2=0
111
t~&
ta ~et a q1Je pa3a pal' P(9,5) 1· es
tangsn te !'; 1, d ..,.,ur i'el·t1r: eia de e entro C ( - 1 , • 5) y :-a.dio
~=2.ITil'. (Dos solucion~a.)
p
Jo-tuci6n.
Bcuoción de lo tangente: y-5;m(x-9}
L:mx.-y+5-~m~O
31 t"=d(C.L) +
U'ro' .,.·
[-m+5+5-9i:l
=
t· =. 1
y
m2 :
1~ - J.+
(j)(-:J)
C1 . m2 "'
B1l..B2
las distanc.iaa dl'!l :l.n1?ent.ro a cada uno
Susti;uyendo on {1) obt~n9mo~ : L1 · 2x-y-2=0
11. Hallar la ecua.c1.6n
1:11
= 5(x+Jy-6} 6 13x-9y- 10· = -5(xf.3y-6)
ó 'ii. ,9x+3y-20=0
3 1 ,2x-6:y+.5=0
Corno el o'.l'igen estl d~nt-0. del txiát:gulo,
, 1 : i(o-1) 2
-.
l.'l
.Si
= 5lx+Jy-61
Í1+9
i3, Lo~ lados ~e un t:iángulo son .fa, L1:?x-4Y+41~0; BC,l2!
:<·~By+ 53'=0; CA, L,: 8xty- 98=0. C~lculax la!! bis<lctrices .:.ntortoros y el !ncehtro J.
SotucUm.•
= 2(1-~)
Area del trláng:\lo ;
las bisa<!trices.
ix+.3y-61 ++ l13x-9y-10I
l13x - 9v-10'I
/169+81
d,e e.onde:
Si y=O
ee
a~ 1' se debe verifit:ar qi.e:
ld(P,L,)I • ld(P,L2) 1
10. Hallar la ecuaei~n d~ l a rec;.a qua paso por P ( 2,2) Y fo~
ma con los ejes un .cl.:u1gulo .le áree
Li
/111'•1
2¡¡;r.¡-;j ~ ITiiJm-11, de dondei
3m 2-10m+J=v++ m1°J 6 m~sl/3
Valo~es que sus~ituidos e~ (1) ¿an las éolucione&:
Li~Jx-y-'22::0 ó Lz:x-Jy+-6=0
¡¡en
i':n cualr;,'1:.1er posición
Intercept~ndo L2 con la recte x=8, cbr.eneno~: C(8,9)
2
!J.UZ
pvrpcndicu.1ares.
Sol,u.¿(in..
de los lados $Dn negativas.
!'ara la bisectriz de.t a'.n,rulo A:
-d{l,L1) = -d(I,L,)
+ _ ?x-4yr41 = _ Sx+y-98
-11.9+10
+lt,4~1
as cionda.:
B1 : :5x-;,-19=-0
PaTa J.,; biseci;riz del ángulo B:
-d(-,L1Í
~
.<i(J,f.,)
~ _ ?x- 4:,+41. = • x+~.:::?:' , de :ioode: ·ila :x-2y-2=0
./4qr16
-11+64
Para la biiectrh d.el. ángulo C: -d(Ltd ~ -d(i~r,,)
xHJy+53
8x-f-·v:-68 , de don,fo: B3 :1rty-5={l
-/1+64
v64-.1
r (4, , )
12!,
127
La Llr,"" &cJ.a
g~ot.:t,/..r. la. 11.n,,ILi.ic.a Plw,a
-~· Lo~ vér~icos d~ un t-ifu:gulo aon loa pun~a A{4,3l,
B(-4,-1) y C( - ?, ' 5) ; ...~ e._~ar
11
las ecuecion<>s
de las bi' r.o
' .
i +
..,.
• e ... r1ces ~ ...~:io-ree Y lea .,.,orú~n11das del ir,cent~o.
lip. B1 ·x.7,,~,.,-0
.• .. 0 , -e
·
" ,- ' "ói
~,.;;x-y+,1
.l!1:3x+4;¡+1~0, l(-3,:? )
t7. Dadoa :ü punto !(2. 3) '1 la recta L:x-:,,+9=0; buscar .:obre
l!!. raetll. L loo pwi ios B y C que con A deturcd.nen un tri~
gu.lo ~quil,taro.
L
Altu.ru del <l!BC: n=d(A,L)
15. El á¡oea de ur, t.!'i..l'n¡ulo
6d
150 u•, 3(-5,9) ¡. C(-10,-6)
A<
¡'>,
dos d'? BU.': vérti ~"ª• ~-lallar é'.!. l•J¡:,;r g~oc&tri:,o aosc•l to po't el t~r~ 9 r v~r~ice A.
.
30'1
~
º¡~·:~•l L.G.
,:; •;•¡ ~-r·Y; ~
un
-10 -6
iii) ~
1
V
~
12-3+91 .. 4.r!
=
-ñ.
IAB1Cq)
Pero h
B
/
e'));:'/
lx(9+6)-y(-5~tO) i1(30+90)I ~ 300
• l 15x-5y+1201 ~ .300
++ 15~-5y+12U~JOO ó 15x SJT12C:-30C
•+ 3x-¡-)é~o ~ Jx-;¡+~4=0
•
~
!•
•IIBI
16. T~oa vér-1ce~ ie un para1 elo¡raoo son: A(1,1), B{ ,_ ) i
5 2
) Culcu1ar el cuarto vértico.
C(.3 ,4,
D 1
So(ucL6.~.
~
\\
'
l~J = ~
= /(x-2> 2 ~(y-])~
<!lb
• ~
(1)
tie ::.:x-1*9""0, c:sspej,uaoc: y=x-t9
(2)
Su::itituycnda (2) en { 1), :ic tiime: ,!"'(_x___
;a.,..)~.,..T-.l,-x-~""'(,Tj""i
i!e donde:
•
-6~WÍ
3:~·+12x-L-C ..... x
3
- -.t t
S.t1$UV.. ~t!l!do en (2): y - 7 t ~
Lt:.260, los \-é::Uce3 bua ·a.ioH se·~=
i;(
El L.G. dol •,értici, A son trayectori.l~ paralelas al la.de
Be.
-+:
2t1-°'J,
7+tlJ)
y
C(-2-~, 7-t")
1u1 c?>orill) a:ia;; <.le uu p'1!1,- :-(x,yl •i é-rieo de
Q(-4,2) rd pócto de lP- recta L:3xl~y=21.
15. Cal~>.i.lar
La ec.a•i6n d~ l~ r~cta L1 quo p~sa 1or
~ 1 pcrpcndic~lar ~ L,
Enton•ec: ~Jx+,¡-21=0)
Cono M
-1
e
c,~
~LX-
,Jr'
¡f22=3)" 11(-1,6)
\
p·Jn o :rodio el" PQ, ~tonc,>11:
1
2(x-L)
+ x-2
.'. P{2, 'O)
19 , Obttln<:r lao coordenP.da.s d:, un p,m~c P(x,¡) :,i;¡¡étrico cíe
0(8,~) reep~cto du ia recta L:2x-y-1=G:
i
'0,-5)
Rp.
;(o:?l
20. Ballar la Pcuaci6c de la reeta qu& pac~ ;or P{7,n) y forraa un LriÚncoU1o is6aceles con las rectas L 1 :12x-5y-9~0 y
L,: 3x-4y-1c0.
S~.::e :, ,
u~
per..dtento
=i:
Sea C(h,k) ol centtto de la c!.rr.:11nferencia
!e :rec-c.a
.,.
~<c,L,)
_______
i+(1:'./5)n
.. Jkl~+6
IIT9
(;./ 1.)-cr
m-(1M5)
']4(3/4)a:
y,1
de a~~d~: tJm 2 -J..;.;n-63-o
-,. rnF-7/9 6 m,=9/7
Luego,. las reot.~c; con, y-&
r-
+-+
L:7xt%,-12 1 =0
::-a= ~(Y-7) ...:,. L:9:;:-7·;r-7=0
A'C~A3 1
+
Tg~ 1 =!gC
m--J:J,
Da (1),
yt
(1)
(2}
~ = 1.101 .. 02
ic-(12/5) __ (1:?./~)-(3/4)
'-(1~!/5)m
i+(36/20)
u1i!
1.t:.-3k:ti)j
20
f¡. )k+6~20
6 1:-:.k·'Ó;-~í)
~+ h•3k•14~0 Ó h•JkT?é~o
Co§o C(h.k)tL, • h-k-4~0
P-.,r lo qu<>:
1
(b- lt- '.=0) ~ (<,.3i:-14 .. o) .. Cd•!,-5)
{h-.l<-4"'~) ~ {h-3kT2ó,:O) ~ C,(19 .. 1;;)
~1. La recta L 1 :J~+4t=O as bisectriz de uno da l~il &A~uloe
fo-roadoa !)-Or t, t2;cl-:y+5=D ooo Li:2J<,."1y-25-'). Eh ,.,, r.unt,o
de ls bisacti'l.Z como ~entro, y co11 !'ndio .r, se trina vr,s
cir::unfe.l'encla tan1t111H~ 'i lag J a.:i'la ,i,,¡ ñ.··,e:•,lc;>. (;,«lculllr
1_4~:....-""".?--
l'li-T•
d(C,L2J
+
1
-i(x-7)
~
...
toe triánrru!.!l!I in.Ór¡celet; rortllados tson: .~.Be y it•B•c
~ay ot=~s do~ ~c1~~iones indicadas en le. L'lgie•a adJunte..
1.B-B~ ~ 'IgA=!.gC
'J
S-e dcb9 ~ul!lplir qu-e:
bJsceda. Se t-e:nd..r~: /i=ll .~ Ts-AeTg5
.u .
l&e r.oorn~nadas lcl ~o~tro.
56
o.¡¡ donde:
//4 0 A(1, 1} y C(3, 5) ao!l extrem06 de la i.l.i;,goca.i. l.- •..n cua:lr~
1
do. Ca.loi.lbr los otro e v~rt.ioe2 r, /f ? •
1:a37x+116y-67&7=0
º"36/323
Sot1:+,l"i!·
Sea 8(K,y) uno uo loa vét~i~ee ~uueodo~.
e
Oomo el AABC as ra~tár.gulo 1$Ós~eles en
2!. iiallu.- la ::cun.ci6n d.~ ln. 1"·::·ct;i gt!i=J ~a~s. pe,..,.~(;_;.;) y fo.z·n::a L1l t.?"16-i;u:o i,:.Ót,~~11,."):'.} ~r"JTI. las 1~~1:1.:th.S L1:x-~.r-1eQ y
L,2:x - 7:;-1""."0 .. {Ct!td;:ra so"lue:..Q.~-é~~)
R..:..~. x .. <'yt1=0 ., 2x+~t-~3~fJ ., 17:..3}1y-l78:-0,, 7x-y-32=0
22- I.e recta L, :x-y- 4=0 .. a :::::~ec-.;ri s. dt> w, ~ ,Jo loa fu,g,l.os
fortnadCS. ~~,,n:,• l.t;!Y-,3;,¡':"6.o!~ ;!-0.Jl :.~:J)C-J~22=-Q. $0°0!"~ la biSti'_Q
triz ~..'l'I1:.") ~en~r~r,. y :'~dJ...o :~J'io sil traza. l.!.71/i clr~:1.1.fersnaia
-...ang~n!e r1 1 oG l~·d:oe ri.sl át.1gulo. Ccl.e1ila:: las e.ou=c!1:.:1u6i!.i1>
'~fjl
CEl\~:.!'O .
B,
+
!.«lit# líBl~+l!c!•~ ?.fi31~
(J.1)'t(5.1)1 ~ 2f(..c-1)2+(y-1)'J
de ionde: x 2 +y'-2x•2y-~=O
{1)
P1mto !lládlo de AC: H{li-J,~J ~· H(2,;j)
Pendiellte <ie (e,
111
S y D astan ,sobre 4
=-ft e
2 -
'1!BD~ ··1/2
m1tdistrh de
AC ..
y-3 •-i(x,.!)
de don~e: ~t2y-6=Q
{~)
Rssolvhttdo zii11ult~ean11mta {1' y ( ..¡¡'¡, obt.on~mocu
B(.1,,2) y D(0,4)
1
0
131
[JERCIClOS. Crupo
/
1s)
y."" Eocrtbir
l:i. acuación de La c1rcLU1Í"lrcn:L11. 1~ c11ntro
:i-J,-5) y ~e.d~o 7.
er ne;~
Sol,¡c:t6n.
For ,1 :¿,or.tr.a 1, ls c,c'.lación p;,dida ,n,:
(xt;) 1 ~':•5J
1
4~
i.. l
/ . Loe extrnn:;~ de un ,jiÍ:net'!'o de un, ~ir-::'Jrtfci'encla son ~oo
puntos A(2. j) y B(-., 5). Hallar la eou~~i6n ~e le cl.irv4,
Sv f,,,;tt ....
~l c9rtro C biseca ~l n1Ámetro AB.
Entonca3;
r ~
Le ec,~c 6 d~ u~a circ,htercnc1a con :on
tro en C(h .) Y radio iau&.l 4 r ee:
(x-h)'+(y k}~
'/0
,~ -·
r
e d
I•)
/'nJ
:a
/. p~nto C(7,-6)
~allar
'ª
~.uec1&n ce la :ircun!a- ne
~a 1 0 c•ntro es •l
y que ;asa ~or el un•o A(2,,.J.
,)'o lu q ~ll •
?or ,afini~lón: r• el!: /(7-2) 1 +(-6~2) 2 ~ ~
¡,,,. ...,. por al ie-cre1u. 1, l!i e~·J1..:15n e lo ~i!',::un1ere c:ia ,:s:
(x-7) 2 ·Cy+6) 2 ~ 6~
:-~
o
o
•
(xt1) 1 t(y-,) 2 ~ 10
.t'eréncia
l>: h)~+
~ l(?tiJ
C(-1.~)
2 t(J-~lt
l.:1ego, la ecua:icSn t1,sc.iuie eo;
12
• P(x y) w: punto
,;-1,¡
ic(
2-' 1•;
C("2"·"r')
._
;;:'Hallarla ecusci~n de 1A oitcunfa~ancia de cen•ro C(2,-4)
y 1ue es tan~an:, &- eJe ,.
e 1
,S:~ <v"étt.
Como h ~1Stl\lleie da O al 3Je ! • 'l""=lh -2
LIJ"e~. la e,!uec¡Ón dti la cirl':unf'erencla eo1
{x-2) 2 +(yHJI-~
,(.
J~a ctrcunf~rencia tiene au oentro en al pwito C(0.-2) 1
e3 ~on!ente a la recta Li5K-12y+2=0. liallar a~ oouación.
,
l
Sol.,,~.
,.,.10-~ Una eusrda de la eiNlunterencia x 2 +7'=2S eatá · aobr~ la
recta cuya eouaci6n es x-7y+a?..0, liáll~•ij la longitud de
la cuerda.
S.11.t11.c,U,n.. T&nDlllPIH x•~r-':25
( 1)
Po:c uc,a pro;dec!ad de la~ t.nngentes:
r
,, d (C,L) ,,
l 5(0)-i?.(-2) +2 j
= 2f _ ?.
/25+144
13
XP-7y-25
Luego • .la ecuac-t.Sn de la circunf6l"e.hci,J. es:
(x-~) 1 í(yt2) 2 = 4
Sustituylll!do (2}
/ . 11.allar J:, ecu2ci~" de. la cireun:'erencia cu:yn oenf,ro es el
punto C{-4,-1) y que dS tangent~ a la re~~a JA+2y-12 =0 .
Rp. (x+4)'~(y,1)•~52
,,.;r:·
La ecvaci~n de \!ne circun:t'err,ncia és (x-:3)~·(;1 t4)'-.36.
Del!io,;trar quo el pu.ato A(2,-5) es i11teri.or a la circ-.illfe:ªncia y que el punto B(-~.1) es exterior.
Se éu.e.l~.
En erecto:
ffcf
l(.3-2P+(-t~t5l2
Cooo
IA°Gl<r,
Como
lifül = l(.,+4P+(-~-n· " ffl>6
::::icl>r, eui.o~o'<'s 13 es un p'l.mto extcrio,·
.,>·
e~t.onceB cJ put1to A es 1ntarior a ls c.:..r.:unf.
110
(2)
t1er:ie:
--------
{7y-25)2+yª ..2, · - y~-7y+12s0 ..- Y1•3 6 Yc"4
++ X1" -,\ 6 X:=)
Lue¡o, loe extremQz d~ lA eu~rdR
1ongi~ud1
!IBI =
/{3~4}!~(4.3jt
BOllt
A(•i,3) 1 a(3,4) 1
6U
= ,;,:
/1:1a11ar la eeua.c16n de la udiatr.iz do la oue:rda dtrl ~jercioio iO, y tte~oatrar qus pasa. por el eentTo de la etrctq,
i'erer..cia,
Soti,i;d,6,11.
/';!<6
(1)
&n
Sea P(x,y) un punto de la m.-.diatn.11 de.Ali.
En aualquiar posicián d& P se 4ebi!o v~rifio~ que~
li?l=fáPI ...
a ld circLaf.
Hallar la ,·cullc16n d(: la circt:nl'eTencia dt; ral!io ; y c1.,yo
c~n t.ro es el pun t.o de ;l.nteraección rte la.s -reeta. 3 1, 1 : Jx-2:v
-2!=0 y L~:~,,íy+9=0,
l(x+4) 1 +(y.3¡ll "'l(x-3)~+(y-4F
de donds obhnomoa la. ecuación de 1i. 111ed:Latri.»: ?x+y,,.O
La recta ~~ea por al origen, centro de la circunferencia
x 1 +yt~25,
Los sjercioioo 12-16 ~e refier~n al tri!Íl!.g_µlo cuyoa v6r\i-
cei e~n A(-1,0} 1 B(2,9/4) y C(5,0).
~liellar la ecuación de le (tire\Ulfarenein cuyo coutro ~n el
vértice A y que
&S
t.angonte al lado 3~.
Spiµ¡:;i61t.
Ecu,oh~n de BC:
/'
~allar ia ccu~~ién
d~ ln
~i
~
•
v
rcun ,;,:.-en c:I ,, q·~e paea ~or el
.PUll~o A(7,•5) y cuyo centro e:; el pw:to
into:ru:ee:!.6.
de las rec ~.!s L 1 ~7;,-~y- lO"O y .L: :2:r-,;y+2,a-Q.
ª"'
~r,.(,'J.,
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Si C(h,1<)dL1A J:) + C(.(.,2)
IGAI ~ /f¡:'"1)2+(2+5)l -
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LtJx+JJ-15=0
R&dio de la ciroun.ferenoia.t r=d(A.L):
Luegc, ·1a G.cue.e14n Puocada ·eo·
1
18
U(-;}Mio.)~t5l -_ 91
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~ c(x+1)2+{y-O)t,. 2;¡
~}
~Kal:.J.ar la eo~aoi&n de la oirounfereuoia o,irounaorits al
trH.ngulo.
\
'
18. Ballar la ecuación de la oirct1J1f•?1ane1a euy~ CGDtro ea~&
sobre el el~ Y y que,pa,ea por loa piu.to~ !(2.2} Y ij(6.-4)
Soluei.lir,,
See P(h,k) el oircunoentrc.
lifl
135
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Sotueí.611.
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lfil>J
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~ /(ht1)~,{~-0)ª
/(h-2)~•(k-9/4)2
di! donde_:: 9ób+72k=129
·
Entoaeees r • IÁCI ~ l~I
.. /(o• .1)2+{1t•:?> 1 =/(0- 6) 2 +(1!:-+4) 2
Lueey, r
IAl>l=léPI • /tn+1J 2 tk:. l(b•5,i+k•
S- el eentro C(C , k)
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d" cLon:te; he,! • 81l (1): k•-7í8
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IAPI
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/(2+1)ª+ (49/64) .. 25/a
=
.=
,
i
Luego, la ecuación de la circutif•renei.3 aa;
1
de ao,1;de: k"·11/3
= •
'"
~
Una <1ire11n!er11noi.a paaa por los punt911 A( 3,;J) 'I 'ii(l,41 Y
eu centro está aabi:-a la re~ta t : 3~-2y-23~0, Hálle,e au e•
~' ,~-2)ª+(y+7/8)ª ., ~
cua!d,~n.
Si C(b, k)cL ~ 3h-2k•23=0
Sotucl6n,
1/o, llallar la e ceu.ción d• 1 4 cireW1t'0-1'$?1Cia. in&cri ta al t.l'i~:ll
gul.o.
$o!u.ción.
"i
d • 1 ~jaro1eio 13, tenemoe:
~ -i;-,:; l ª~gura
Ade1l!áe el c;,ntro se eneagntra sobra la
~ad1etriz del. ~egiaento Ali. eet~ es:
Eouaci¿n de i.o: y~o (Eje X)
Ecuación de Be, L:Jxi 4,.1~~o
+ /(h+)) 2 +0L-)) 2 •
~ • Jx+4y-15
f/ +1 •• x+3y-Sc0
9 6
EcueojÓn de lo ~jsec,riz del ángulo 5: x~2
(x+3y•S-=0) A {x~2) • 0 1 (2,1.) • Centl'O "'a
}a
Q
.. ~iro;uif. intcriLa.
re d(G',L) • J¿(2)+4(1).15j
Pu,.. la Maectrii'.í del ángulo
19+16
o, y
"
1
l'c>r 1.anto, la e e Ul.iCil. ón d e la cireun!'arencla ln.s.crlta ea,
...t:(x-2) 2 +(y-1)i~1
(1)
t
11c1 .. 1wr
l(h-1),,t(k.~)
2
de dónde: 8h+2k+,~o
{2)
ne (1} y (2), ontijna~o~, h~2 y k=•17/2
l,u".lgO,
r
"/(2+3) 2
= li:cl
+(4 •3)1 ={9¡¡l
!. A:1(x-2) 2 +(yt1?/2) 2 =
~
20~ Lue eo1111cione ~ :l\> loe iadoo da un tl:'ilngulo son L,: '?X 4 2y
+1 )-,O. In: Jx+ey-4 7oc0 -y 1,,:,:-y-1~0. !lolla:r 1& ~CUIHll Ai. ,,~
ia oircmiterencia cirounserita .
/fH,,llar la ec11oc:!.6n de la eircu.ni'er.,ncia cuyo oer,tN esté.
aolJ,-9 el 11je X Y que pasa por loa puntos A{ 1,J) y :s( 4 ,6).
fotuc,Jn.
•
Sea el c,eutro C(b,0)
-
y
ACl"'l~f {!'t1d.iosl
... l(h- 1 l~+(o-JF ... >rn-4>2~(0-6)"
entones:
ri<" .fordet h .. 7
-
1" 1AG f»
?-1 ) ~ t-9 -
1,
2
=.A(•J, 7), t211.L1=-13(5 , 4) , L11\L1,)'.<1l(.1.-2)
Gumo e.l ceilt:ro e(h,k) equidicta de 1.oa
v,rtiee~ del 4AJD, ee tLe~e1
1re1
.
,'45
: . •idx-7P+yª
L¡"
ll;te~CQp1,lllldo laP rectas teneP.oa1
t=
1rc1
.. l"'"<1i-,.-3""")i...+""'{11;---.,-)~ ., /(1;¡-f¡2+(1<-4>2
de donde s
16h-Q+17:0
(1)
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r,;--,r (
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S9tuet64,
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,~, "' ioci
y
.,.-·-r--...
1%
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Al r•solver (1) y (2) obtenemos: ñ=1/22
r
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2
+{~-+2)1
~
y
(2)
k 65/22
0
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••• ,&:{x- n>2~(y~)1
•
1
6"
6s~
2 l. La ec•-<aoión de un~ oi:l"cw:ii'erenei& &8 .~+yi.,50. El p\mt.o
mediv de uns cue:!'da de @B"ta circu1:1ferencia es ll(-:!.4).
Hallex le ocuaei6n de la c~er~a.
hl.fu._~.
0-4.
Pendie11t." dt' OM, 111 "
Cuno OH .l AB + ª.AB"
~
00 "'
-2
donde: 4mª=1
++
o=±1/2
v'
21( :' Ffallar l:i ecua'aión ,i.., la :;iT~1:r.t"erM, °'1-a cuyo centro Es.tá
sobre .a N!cta L:6>;i?y:16~ y es t!logen<;e
li
eada
un11 de
las .-eetaa L 1 :HX"·15:r.-7"'0 ; L2:Jx-!,;:-Hl=O.
S~lucl&~.
Si C(n.,)EL
Ade~,s: ~: 4(C,Ll)
6)¡+7~-16:0
+
= ~{C,Lt}
1Sh+15h71 = jJh-411.-18!
19+16
17j 3!!-4k-11l
l
40h+75k+35=51h-ó8k-JQ6 ó
y
mi •
= l5rol, de
/64+225
21, ta ecuaci6n de uca oircunferenci& •e (x-4)t+(y-3)~=20.
qallar la eeuaci6n de le tangente a eato círculo en el
pw:ito P(6, ?)
CP:
/5(~i~1)
5l8b+l5k+71 =
!cuac16n de la o~rda ii'.B:
y-1' " t(x12) +-+ I,:x-2y+1Qa0
i>end1.,nt~ dt<
+
'/alr,re~ que sustituidas en (1) dan pot. s-0luciones:
·
L,:x-2;rt3:0 ó L,:x+2;r-9=0
-f-1" 2
'·~De al radie. ~s pe?-pendiculer a la
to0ngr.ntc, «n el punto d!!I tq,1ge>nci11..
~-m1 ° -1 , de dondsr a~-1/2
E 01;nción de la tongo1ne:· :t·7"- iCx-6} -:d'--....,,-.:::::-=....__ _
40h+ ?.5lr+ 3S=- 51 h+68H 30t!
( 1¡
h•"l3k-31=0
(2) é 91h+7k-.??l-O
Jasol viendo, sirtul 7,ér,!!,;..mer, :;<: ( 1) cor •',2). y (1) <:o!! ( H, ae
obtien.en res¡;ecUvao•rnt.a: C ¡( 5, -2) , C, {1, -2/"1)
J(,).4(.z)-18
Luego,
r2
d(Ca,Lz)
iJ0)-4;;2/'1}-1~1 = 1~
Poi- lo tanto, 1..e ectt.,,,d·,:mes ds l,<9 ~ir·1.v.feroncie.s ao'(l:
,61 :{x-5l2+(y+2)A=1
ó ,l:;1 :(x-J)=+(y<, 7P = 111/49
0
• '. L:x+.2y-:.'V•ú
2J, LR ecuaci6u de tlDa ~ircunfer~n~ia os (x+Z)ª+(y-J)'~S, Ra-
'la?- la 9cuaci60 ie ¡~ tangente a la circunfe~encia 1ue
:fallar .:.a ec,.¡uc:.<>n d" la ~.irc,.;n!· .. r':IJC~~ e.u~ Dli!P'I pcr sl
¡:ua,;o !1(7,-5) !f es tar.,¡11r.t& 3 l<:1 r .. o::ta L:>:-y-¡rO ,;o ,;,l
~unto 13(3,-1 ).
Sql¡¡t;i6,¡ •
p.!tea pvr 111 punto PO • .,¡. (Do!! u,luoi'ooes.)
Como Bc:l.L •
S•lecita.
de dond~: hTk-?.~O
Aoiemás: ac: 1 ~ 1 1
7P~e~o9 c1-2.J)
E.-•;,.c.!.ón de la tangellt,;, q ü" pe.ae por P(J,J):
y 3 = c>(:s-;I ._. t:u-y+J-:11-0
( 1)
S, r 3 d(C,L} -. ~ -
J:.2 m•;ll-J-)m[
/¡¡,'+1
"ae=-1
rc
2
~
id1
r.:-J"
-1
(1)
( z:a,1ios l
~ /(~-7) 2 +(~+~) 2
• d~ donde: h•k•ó~O
Ra~olviando (1) y (2i rcnulta: n~5 y t=-3 - C{5,-3)
• /(r.-3)2+(k+1}
6:(x-5}"+(y+3)ª • S
(2)
;J3
4.2
fOílM\ GO!Cf1/\I OE LA CCUIICION OE LA ClRCHMfFRrnCIA
,.,
LA CIRc1mrER(HCJA Y TRES CONOICION[S
Si je Gu~ri An loe pgrÓntesie un 1~ ecu~ci6n orlinar~R
Teor
de Wlº circu~fero~~ia, tene~os:
',)
Pdx1,J1).P2!xa.yz) y ?,(xJo:12). e
deterl:!in=te:
x•+ .Y,
Y.
j'
F.Gtc. ecunci~n tiBne l.1 1:dsro11 ~o.-xa que:
x·+y 2 !Dx+!y+F - O
La ~e~~ 15~ dd t:na =ircunfere~cia qu pa~a
por ':.re11 tllr,1.os dis~ir.tós no ccl jzi,.nl, ,
a 3.
(2)
[a ecuc.ci6n (2) a~ llana /a,u:,a ge.n.€.•at de la
ª" ·e.e' 6,1
da u~.a ci.:c2n:or~ncta.
r.a ecu11.r.i6r. x1 +y 1 TDxH:y,J-:J re¡;.:e.ientil. i:ne ei"'.:''1!)
L'~rci:c;.. a el" rF.dio rfG, sola;;i;,ntfl e:!.:
D'2-,-z 2 -4 11 > O
reore1:1d 2.
En Cdda. uno de. los
ti11.•!11
!!
c:.rcc¡nfec ncie;.
X
~
+
J.gtand"> c;n:dr&dos ""'& ...a les ·~·aria.":,lc.t x e y
• f n>) t (y 2+ y + ¡l':2) : -~ f ];oz t ..?
(x f ;,)
4
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í)
y
de cent.ro C(-~,·i) y ro.e.lo ,: =
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Lt.ll¡¡O >
2.
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s.r-clc1os 1-J, :·e i,1.0.e.r... 1..;.o la :t1.a1c.:.Ó!1 ~
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13p•e11 ni.a o
p·ze ta "" afir e • ~. !t ll
2
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' i Hyl.t29x-81• f )"O
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J.
ju~ o :~c!o t, ~a ,decir, no repr~c:c~~ un lugar ceccétrico.
x,
1
rad~o r,,,~.
~
n,dfts C(-í,·~).
4,y~
·o r, e-~ ,
i(x'-3x-1-¡)+"'{
2 /:,Z+ '-1.i
r
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.r= ~ ...o.
foi'u1.;t.,~,2.
(J)
~uad.n oc~rr!1 Lros CQ&os pare que ()) pJ~da o no _epres~uter
~a e rcu.afere~ci~.
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+:2-4F>O, ent.occPI! (3) -.e-resc:,::.i. •n11 circ•~'"Ére ch.
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Cow~Hran1~ con 1~ farna ordireria ve~c~
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l t..ndo c.edredoa 3a t
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9(x 1 +8x+16)t<J(y 2 •
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!r,,a d~l oírculor A~ur= • Aa~• u2
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Htllar le lohgitud de l•. oiro1,nferench c•ita ecusc1,5n u,s,
25x~+l5y 1 +J0x-20y-62•0
?n~ando al Corae ordinerie se t.1ene:
25(x 1 +
1x ~ rl)
+ 25(yl-
ft-t ~) \:t
ó2+9+4
+
(x+J/5} +(~-2/5) ~ J, d& dond&l r
Lon~ttud ae ls circ1r.feroncia1 Cc2-nr +
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6.
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(
r~/j
c-2~/J
( 1l
(2)
{J,
Demostrar que lms oireunf'ereneiaa t1l.'.-'<:+4y 1 -16x+U1 +1J:oJ
y _G1 :12x 2 +12y 2 -48x+,6i+s5e0 son ~on~éntrlcas.
Sotucl6o.
Pasando oade eo~a.o16u o ~u f~rma orJl~eria
ti•ner
4(x 1 -4.xt4)+4(;¡-~+3y+7)•-13•16+'i.. 12
+
.A,:{;,;• ) 1 -(y+J/:?J 2 • •
'2(x 1 -4.x+4,t12(:y 1 t)7 +!l•-55HB+i7=?.0 • ,M.:.: 'ic.a;tt(;y+
~~n
7.
01
i)ª'•
~
C~•C 2 c(2,•J/2), laa ctrcu~ferenc!ns son ~oúc6n~rl~45,
o bi4:1;-,,
De~oatrar que la~ circun.feronciaa .111~ ty 2 +4xt6y-23~c y
~,,x 2 +y 1-sx-10y+25•0 scc tancentc1,
,!'9l¡,«;é,dQ.
Tr1.11,tror1:18lldo oocta eouaaión a su forlllo. ori!.l.na•
e .. 6.P~ ,. r
'r111 o"bte!l.llaoa:
1
1
-'i:{xt?) +(r+)}ªaJ6 )" ~ia<x-4l2+(y-5) •16
Entor.cea, Ci(-2.,•3) '1 1•,.,6
C1(4, 5) 'i rz•4
1'
e ... J.
et
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Ht:.i ~ipl!c1tnda pcir ~! ... a ~~;; u1:!a .fil.:t y ettinn.ndo P.1 resul t.'1.do .s
tll9fO• loa ouatro puntos dado~ eaLt.n aob1'1.~una ~1reunf&reneio
1 por lo tanto, so~ conc!clicos.
l "-' to-,"e-,;. f'l " q ,,., c!a.:
1x~+y'-13
•+2
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1'* ll$aolver el ejerdoio H hllllawdo la oouaci.6n ,:fo la cir-
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!S.
,.,!.
joluel.6n.
7x"+?y -2.?:d 52yl?.1-0
rJ':dio do) ' ,:,or.tme J, de,1011t1·,;1r que ::..o3 -,ustrn pu:itcz
(-1,-1),. {2, S) , (5~7) '1 {7,))
::1. o='~,: l'1 :
R~.Jtn_'P'lño i~
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ir~ f!.:n., 1 tt .2:lr.t,
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cca.cíclic:>a.
Sea la d-r011nt111 ..ur.!a ,..4.;,.ªt;i; •»~~Ey-11''-..0
81 (-1, 1 )tA> + 1+1-D-l.+l'.. 0
(;'!,8)c~ +
2
{ie..r...0,,1,:!~r;.s.J.Ja..,
i::11riteren<>io qua J:lG.&4 fOr cualc,¡¡qutoro o.e leo pl.lllto~ 'I deao1traT daep~6o 1ue Jao coordanadaa 4J1 cuarto punto EB·
tistacen le scuani6".
'J
7
i;;I J) (H-bl) - ('!x'+7y'-91 - 22x-4.I.) • O
d<> ü:icd: :
.&l deterain~te tiene doP t1lao iguales, p~r ·o qua:
b u 24(0) • O
t+64+2D+8EiF=O
\ 1)
::¡)
U.7k.c, • :2.5t,19;5ot'IE1F=n
o)
Al l'UolTer (1). (2.) : (~), obt..,n<\1101<: r,.._4, .. •6- y F -1.c
~. ....& ::e' +1t-Lx- t.1°12•0
.Detioat.rarotoa 1:1horn quo ( ?. 3) •a.t& 11c,t.r1> -'·
t11 •f•ot.o1 11! (7~3)c.4 • ~9•9-L(7)-6()!- 1 ~ ~ O
.. ~a-ae.1a- 12 · o .... t'• 1
,4): 54(y 1 1f~ vyl',...
Ballu l• ctl.3.,;~ÓD 1e la ct'l'Clilú'~re,.,o.ie conr-lnt 1 e 1J1
eo taii¡cmt. a <:. r ch L15:l:~12,·~,.
11. La oc.;ac16 •d~ u~n c1reunferonoi~ ea
,trtuc¡61l,
S1 C(h,k)cL + 4h+7k+-~a0
(í}
IACI • JiIBI
r "'
• l(u+1) 2 +(k+4) 1 ~ l(h-2)l+(kt1) 2
de donde! htk+2•0
Al reeolver (1) y(?.) obt•n•~oa,
h~-3 1 ku1
da dc,r:do: r-3
Po~ tanlo, 1~ ecuaeí6n tu~cada es:
r
= IACI •
/(-Jf1)2+(1+J.P • ~
-
Co:t-<J
:_
j
M~l.
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~l..l!J.,;.j,f¡n.
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¡,or ..:
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l& ~seta L:x+-2y-3~0 oa el
punto A(5,9) Y es tan¡en.e s
·
pwit.o B{1, I ),
,So luci,6n.
S1
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Bé .L:. • (.k:.2.){-1):•
t,-1
.<:
Z•.
Hallar la ocuac16o ,~ la cir~w:.fert~el:s cuyo centro está
sobre la rocGa L:7Jl-2y-1~0 y ~u~ es tnngonte a cada una
de las r--etas L1 : ;x-12;r+ 5,.0 y 1 1 : u! )y- 3,.0.
,6,..
.ro C:'4s
St.O(h.k)cL ~ 7h-2k-1~0
de dende: h•2k-13=0
d(C.L1) • d(C,L~} ~ r
(2 )
Do ( 1 ) y (2) abteoomoe: h•3, k•5 • C(J. 5 )
¡ACi •
/(3-5)•-ns- 9 )
6 .-62:Cx-3) 2 +(y-ó)2=25
Bo:stnrí ~rohnr que d(C,P)<: .
r .. l i:cl = IBCI
• l(b-5)'t(k-9)1 ~ /(h-1)'~{k•;)'
Luego, :- =
(2)
C(C,)>) = l(-'.H1 )"; (J.5p ~ Is
Coao d(C,P}<: , ,mtonce·:s q11eda prob1:1d::, qu" no se p,ade tr!l.&at
tuceatee desde F e l.a circunfc.ro1.:tci.1.
La 1nterp:!!'tac:i?<. del reuul t~do ,is que el pWlto f e.e on.:uer,tlra en 41 interioc de la ~ircu:t.'erenc~a.
( 1)
da dondo: 2h~k-1•C
8
-~
• efecto, ¡,aocndo ia crn•Jacióa dad.a e a•J for12a ordiaa.ria obhll•aoe, .e, (.xn}2+()'-J)t=7
i:(-2.J) y r=l"I
C(-1,:,)
.
(¡)
Z7. Dll~oetrsr. ana1Ít1coment.e, ~ue cual~uier rqc~..a ·quw paeo
por P(-1, 5) .no puede oer tartgeaLe q la .:lrc·,c:.1·ereo,:ia ~:
xZ+y 2 +4.X-6y+6•0. Ioterprt-tar geo~~trieq~ente el r~su1ta1a
( 1)
25. Ballar le eeuac oo
f(h-7}2t(i;.J) 1
i1:(x-'4p+(:;-1H 2 =¿5
'
TC
-
7h+ll-27c0
. B;
De (1) y (2) resulta! h1=L ó h 2 ~3
Por tanto, lhs e~U'l.:iones ie l~s cir~un!eren~iae sor.:
la circunferencia B1: c~(-1,-1)
de
s~a el cen~ro C(a,k}
2
•
• J ~ t , . .!J~}k-31
25+144
-~
•
/16+9
Sl5b-12k+s¡. 13¡4n+Jk-JI
(1,
149
1/.6
5( 5h-12.i!J ~)e1J( 4o+ J.1:-)) 6 5(5h--1ll:+5}"· nC,hHJ:- 3J
2.?ht99Ji:(,;,-O 6 11h-Jl!•2.cU
Eutonnno: {'1'1-2k•1r.0},.. (2Toi99k l4=0)
...
32 , E~l~r las ecuacl()!lea f.;:, 11.!o re-0teo q¡¡e tíecr,en pend;'..,mt.e
5 y eon t.ar,gei:.r.r,,¡¡ a :.e ·~ire1rnferonc1!! r+;:'-Br+;>y.c-;n.
++
Sef;,;.dón.
L1<s ·ecuaciones de las tat1¡:t1>oten tierer 1,., jo;:-
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d(C' i.,La)
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de ,~oni!e: c(4.-1) y -r=/i'li
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(1). ooter..,;,!l!,.¡iJ la.s :rect~s ten.gente" p;i,H ..as:
L i ;,';x-y+-5=0 ó !.2: 5x-y.47,.J
2?. Ralli3 la ec,~a.ci6n tla la cl.rcnn~er0Aci2 :inaeritn
al t~i b~
g11lo c11yoa lsdoa :si:.n L 1 r4J<-)y=O, L2!4JrtJ;y-S;O Y La:,•Q.
Se.lu.ci6N.
:in¡ulo A;
4.h•3k
Soi,,;e,i~n.
4ht3k-8
=
f."'
~ ~ k. de dóndo1 h-~k=O + ~:1/2
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fJ,>terz:inar al vilor de le c,ons.taute k pa.n que le 1•.. ct.t.
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,,1;>,rt3v4k=O saa ~ngentg a la circuufarencis,xZ+y +6x • J,r~
ro.sandÓ ls ecuación dada a eu .for'ir.e c.r,Ur.a r "
2
2
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Si I, ec t•.r.¡¡;ente ~ ~.. :,e '1ebe eu.111plir Q\1'1-: .-=d(C,L)
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t.i.~n_;: (x' -6-l':+9). (¡•.4y+,l.)= 3+9 ·•.i1
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f~ren~ía ¿2+yz.6x-4y:J~o. Sl Bes e~ PU!l~o de :ont!ic: 1,::,,
lill..l.lal' 1~ longl.tud d~l seg.mento
•d{C,L¡) = •d{C,C.a)
·--::,~·
p¡,n¡
P~ra la bio9ctriA del
·Desd,: >'l punto A(-:?,-1}
• •• fAHILlAS DE CIRCUNFERENCIAS OUE PASAH POR LA lNTERSECCIO~ OE DOS CIRCUNíERENClAS,
ius~l +..l.!y~11C:o {-¡) f.n (2) se 't-i e:r~~ ·
9(1i-¿kj~~1okJ+21..kl11-ó~)-JlB(1'-8k;·14k~ss9~0
S1;i,plif.0ai1'1o re,;\ll+,t!: 8k 2+29::,_.3'7;Q-+ .,r~=' 6 kc-;,7/,!
¡;_.,,¡¡r,p1.o-::a'!'lil.o, P'I {1):
Si las eeuaelonaa .:le do6 circu11f~r&nci11.a tSA-·
daa eual.eequiere .&t y ,ta t'Oll
-'1 :xªtyll+D1x·t!if+F 1sO
; ..8 1 ,x~ty 2 +D 2 _i:t.Eay+F 2 <>0
· la. eoua.ei&n:
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¡.,;e.gp. loa, cmt,l:os <so!l:
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1:) Si A:1 '1 ..&-z &GD ta:aff..11tes eutre ei.,
ls. ecu¡¡:ei6n (í) rept:t1e .. nta·. -~-1,
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-l(h-5) t(i--,}Z
k•J-íh
tqdae la,; ci:rclQlfe;:e,:,;:io~e q11• e<1n
te.ngc0ntaa a- ~l y- .St an i;a pta1 to eo
(1)
= d(C,r..)
·• /{n+))~+(~+ 1 )z = ln+2~-12!
r,;¡
m1n~ Entonc$e aeur:re ~ne1
d{C,.Ca) e ~~+ra
~e dondA: 4t'+k¿-4hk+56A+~~k-119=0
(2)
e) Si ih y ..la uo ti&nari u1llgú.o. ¡:,1mto
Susl.,i·t,,Jye!.!:do (1) sn (2) se ti~ne:
4b 2 +(J-2h) 1 -4b(3-2h)+~Gh+62(3-2n)-119~0
S~mplifican1o resul.óa: 16h 2 -92h+76~o"""" h 1 ~2
~cr.;¡pl~;ando en (1):
k 1 ~1 6 k~c-1j/2
Luego, los e-entras son:
Re.di.os:
r 1 ~c;{C1,L)
C 1 ( 1.1)
11+2-HI
l'iTI
(1} ropre-
9C~~c..i6n
d(C¡,C2) < r1+r1
T&M!llo3, r~ 1ÁC ¡= 1fil: 1 =:! ( e ,L)
.'(h+3) 2 t(,¡+1)i
cert1U1 on dc, e pUll.toa
aon't.a ~.1, la;;, ctireuni"ez-enc).á.a q •
pas1t11 p.or loa Q~G p•.mtos ~e tnterseecj.dn de /,1 y ~a , Oc:urre que;
HB.ll~r la eou&ciÓ!l úe la oiréUDferenei~ quepa$~ por ~oE
pur.tos A(-J, -1) y 3(5,3) , es tangente a le recca L:
J. otw; i&i..
(1}
(J
ra~r~sfl<llt.i!. 'llj'Ul. flllllilia de eircunf&rt~oi~s tod.iul les our,¡•
_ les tiei:isa auo oontroo en la l';ct1<.de los eootrou e, 'S e,.
J34
e-r
Por lo tanto, las cci..,.cione! <:.E l'\S circu.nf'.,ti;i:,::ia5 so:><
)5
a
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h,=19/ 4
y e, (19/ 4, -13/2}
2/5
1(19/4)-13-131 ~
F+4 .
Por t=t", laG el"uaciones de la,:; cü·eun'fsrencias son:
o,ni~n la .ecueeiéa (1) repres~nta
tma ci!'"eatti"e;;;-Emcia para oada valor
qe k~~,. 1:.n eate oaeo eourre que:
d{C1,n;) > ri+ra
~. ~
EJE ~ADIC•L.
"
Si
lfD ( 1 ) hace11oa k=-1, J.a acuÓ.ci6n t.oba
l~ f-oriae. ~
L1.(D1-D-ajx + (E1-lil~)y. +- (FA·Fi: )•: 0
1
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(2)
Y napr.as@-t-a J.a e~us.ción de una raota. ll&11ada ei& 11.odl·
cal de A1 1 St•
AnaU.tlea P!,J/1,c,
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~i.6n.
S~a l.:1 fu1il te ~~ r.ircu!llel·auciall:
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R•~irplaz,:i11élo "'' (1) obten,rn10~ el ;;;i.i·brc 'hullcacio:
tro sob~e ln recta L:2x+y-1!;-0 y que pasa por l~ in-~rvc;
ción 1e las circunferenei..aa.x 2 +r 2 -8x-4y~11-0 y ~~~, 1 .47.+
l;y-8•0.
Sotucit".
Eea l~ ecu,,ción de lB fami.lia:
':x 2 +7 2 -8x-4y+1 1 +k(x•+y 2 - !;.x+4y-8) =O
o sea, .G: ( 1+k)x 2 +( 1 +k) yz-2 (4 nlt}x-2 (;!-2k)yT 11-Sk=O
.,.. x2ty2 _ Z( 4+~.c)x _ 2{2-2k)v + 11-8'... ,. 0
1+
-m-., ttF
st ce
+
J
~un.i'e~crci:u: de: e;t~l',a:.cio 6.
Sen 1~ r::.~ilt.!' 1e circLi.:u:-~renei.qs:
~ ::<z-'., !-3;,c-é,yt~ 7 H; ( x 1 +y 1 - 1 B~:-4y+6'7)s0
,~ :( 1llc)x 2•{'+k)y 2-2(4T9ic)x-2(Jt2k)y+17•67f-O
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d., :ionco: 3 2.k:O + !,,.. J/~
:lee~¡.l,..:;r.n,lo en ( 1) ob~~~o,~e,o 2-a circun!e:e-e:icia :l'-10.:ada:
~, 9k " O + 4t~n~~o + k=-J./9
lltllar la, ec1111ei6n de l.B c.irclUlf'erencia que t.:.ene su oeu-
(í)
2~H2k)+ 2-2k \
:lallar la ~.:.Jo::diSn ,.¡.., lo cLraw:;forencfa que .üme 8'.l co•,tro ~.,~....1 eje X y p:.ac. ;,or .l;i. ¡ntoHacció~ d11 las cl.r-
~;.~.
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~1. !.{-8, 5)ch ~ 64+2.5+54-JC+17+r.(6~+25T1J.-.-:w+67)-=0
+
140!k(280)-0 + k--1/2
'l'"k
Sustituyendo on la ecuación_ (1) deJ <>jeraic•o ?, bb~nu:os:
eirr.i::ií"~"nci.i,. q;.1e paaa pc,r el
-u~~~ A $,5' y por 1~~ intersecciones do lac circ!ID!ercn
~•~s ,, 2 ~y'--6x-6y+17-0 :, .x';.y 2 -18x-!.y 67=0.
!l!\11,.- la c,cuac:c~:, dlJ
~
.
Del ajercltio antt.rior: C( '1t~•T+'k)
miemb~o de.la !~~ilia tiene e~ c~ntro scbr
Ull
entonces:
9.
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t:.eue su r,or.-
circunfarePci.8.s c~dao en'el eJoreicio 6.
J.a
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Hollnr lg_ ~ouaci6n 'l~ la ci:-ouurerencia i;:i.
tro.cn el eje Y Y que pn.oa ~·or la inte1·,:rnce1Ón c;e 'as dos
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10. lle.lle.:- la eotiiici6n de ltt circunferencia de radio ~ y q'
pasa por la 1ntereecci6n. de l~a circunfer~~~ia~ x•+y 2t2x
-6y-Ur0 y x 2 +yt-fu:+2p0. (Dos soluc.:·roa.)
SolucL6ra.
Sea 1~ tamili~ de circun!erancias
4 :x2 +::,r 2 ~.,x-6y-16+k(,: 2 ty 2 -fu:+2y) •O
de aoo,dc:
x't~2.
2(~-~k)x2(1-Jk)y- ~
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15. i!allar la ec,1&ción de la drcur,f~r,mcil:. tanl7enl¡o a C 1 y
íl 2 iel eJ drci~i? 1) en su punto ~onGn y cuyo radio ee
.:.1¡u!i.l .1 ;]..,), (Dos soluciones.)
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Por ,e.ne.o , '.i es't4i, ao'!:lre la recta de los .!enr.r>l ,< ci~
l~. ne.llar ls e~uae1Ón de la circunferencia tang~nt~ a C1 y
Ci del &Jer-,::1d:i ·13 'l:l 3U punto co~ún y cuyo cen tro estd
a c ore l a n,e;a L::l.,+ y t 5=:.
( 1)
ivlucl6n. rGnemoe, ~:x!+y 2-~x-óytl0+k(x 2 +y 1-5)=0
(. 2 ~,--;, ;1;
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Ec·1ación ~" ls reeta ~ue ¡:ua por C1 1 C1: y-O ~ 312(x-O)
d~ donde , L:2x-y•Q
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La. C í..,u;un t.,1.11.2At!ia
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,i;¡:X 2 tyL-5X-10~t20•0
16, rle:llar l a 1>cuación :íe la circ•inferencia t.an¡¡ent.e a e, ¡
:: del ej~r~icio 13 e n su punto zo~ún y que ea t&ngente
• la re ~ta ::x-2y-1~0. (Jos aolucionos. )
i.2..!ucLd~.
Tenemos, .,;:xl+y 2-)x-6y+10+k{x 2 +y 2-5)s0
En el ejercicio an,erior o~tu~imos C{~,ífii)
(1)
1 57
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~(_!0-~ld. =
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Z?Of2-kíT1~1.j
?l. llit ll-'ir 11 ec·taoi6n '/ la longitud de l.a cuerdo c o,nún d e
la:,, drcr.mferen,cie.s C 1 : Y.:z.+y 1 -8Y+6~o y G2 :x 2 +¡ 2 -11.r. 6y+ 38·"0
Z(i+lc)
1.a.~.Jr:i
Re3t!Ul do C 1-C2, obt~nem oa la scuaci6n de la
y.::?x-16
(1)
5otuei¿n.
cuerda común, L:1x-y-1&:0
d& donda:: 2J:: 2 -.3k~,:!:--O ~ k.1 =2
Reemplaz~~do 11) ~ú C1, se tiene: x~t(7x-16} 2 -H(7x-16 )t6=0
de rlond"': 5:.c1-2Bx<39 =0 .._ .- 1 .. .3 6 X,2"13/5
~• Yl~5 6 12=11 / 5
kz-=--1/f?
6
~~.... ·,~"i 1:uy~ndo en ('i) :o oi>teaemos:
.l.~1.!x~+y'1 -x L;·~V
Lueg-,, l os extre:.03 d e la cue-rda son: ,1(3,5) y B(1J/5 , 11/'5}
.,.Ó~:x:!-i'y 7 --6,.- 1?.:Y.+25==D
{)
Su longi,;t:d e.>c :
!. 7 ,.
He-llú..r 1~
fJCtlr!eiSn
de- l e.
oir-r.!Ufl ..·~rí?:>.'7i
a ~tle:
p&.c;A
p1,1.>t,o .A{-10,-2) ;1 ;ior l a iat..,r~cci6n.d~ l ;,.
,ü rcn'1i'e,·eo-
Sea la. eeuac ión t1e ].a f ¡uaili a:
,€, :x ~,y 2 +2:<-2y- }2, k { ;;-y +.4) =O
~eotes son concént~!c.as. su 9je rad.leal no existe.
Dgq.¿l1tuc<.61l,
(1)
Sl i'{ - iO .'-Z}e;.& + '!OO+i-20+/.-J:.h~(-1~+~:4,)c O
d!:! e.onde, k =1,t • !::L ;,ti t;¡_yend,;, e; ( 1). o bt ane!llos ~
Restando i,1-lz , .:1bt.eneoos 1:s. ecuación ile.l eje ritdical:
L: {D1-D2)xt(E1-ia)p+(F1-F,J~D
..$ » :'-+y +16x- 16:,+24=0
19. Hall.ar 11' -ecuaci.on do l ~ j o r.e.di c,;l .le la.; Qircun.fcx~ncie.::i
::: ~ a~+y "-Z:.:- 10:¡-,1 il,.{) y r.~!i,ic 2 t4y 1 -.32 x-:?.y+J7~0 , y cí.emoa,re C,!iliJl.,
PC!1?endionlnr .a su ':"(:,eta de 1.tJ -s e-eontros .
~lul ti.pl.,tca:¡d.o p.,r
t..
la no1laoi6'l de C l se t ,1nnn
(11
uooróons.daE de los oentros de las cir-c unl'':ll!1:>nc.ti.s -éon,
:,¡1..3
UF.
En ef.e-l!~o. sean las <'ireunfertinC.illS..
i1:Y 2 fyZt D1xfF 1yfF1tO y ~:r 2+y 2+D1~ie2ytF2zO
2
trar q~e-
2n
22. Demostrar ane.1:1'.tiO.Gmente c¡u,:, si ¡jc,s cireun:feNUl•!ia3 dife-
cia . x• ¡y:a-+zx-2y-32 =0 '!! 1a :-eo-til L~x- :,T.t=--0.
SGluc. i. !Jf:.
IABI = /()-13/5) 2 +(5-11.ISF:
po.':" e l
Ca !
i,. ~-r.2}
Coa:o l1 1 J2 s o n concéntricas, entone.es: D1:I>a y Ei'"Et
Ji rsemplaz~mos estos ra~ultados en (1) se anulan los coefi-
~i~n~ee de l&e veria blee x e y, por &noto , no exl.sto el eje
1'!1dietl.
R..,~ts...1:1.do C 1 -C:!• obtene.no.s la u~u.a.ció:t.. ó.ol ·~j o, r!!dical;
2 J, flal l ar h. lon11i tud de J.a tan-gente •rezada dsl. pollto
L: 21,x-;>.8_;:r+)=O
"AD t._i dGi. e j n ....e.i:li0al: e ~
¡te;J•
~i
P( J, 4) a la circ~nfe:r'l;ncla: -':ñ•+ 3y'+12JC+4y-J~=-O.
Sotuc,dn.
c~o·t--.:o :x:; .1.-tt.~ cir.u1;.c:!'i:iri5Il~la.3 1 C 1 (1.,5) t C,(4 , 3/2)
fe¡¡;J.ientc do C1;:;2:
CC\1~:.,
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c.
11 -
5 "< ,.,
ini
,..
;~i-- ;--¡;7
(~).(--t} "'- ·! •
HE.!J..ar la ecuEc.:lSc dti
sa t;i.e11e.
aj·; 2·-:!dical de .la~ ~;i .. ,.1ll.!Jferen-t?"i e:~
l!s ea pt., j)~~~1 i 0u.l:-t:t" a cu r~ct::.. do. lee ~o.nt?-o
/o:fa+.:?) 2 +(y+2/3)•-= 145/9
de donde: C(-2,•2/J) 1 :
<':n-::.0110«:;; !..i.G1C2
C1:~,:l:.t-.;"-51,··--~l.l;{':~.4~0, G~:~ 2 _7!f8_,.11)yf'.:;')'=O. ,-
Pasando la e~uación dada a su for~a ord1nariR
~'.)1'u~t1oe1•
iRi
2
= /(3+ 2 l +(4+2h>2
'ºJ
= 5
• ~
E.t: el Af'TC : l l'c 1 •• 1CT 1 > t I PT-f 1
14c.
.
~ IPTf~. de donde:
l.,,
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158
159
24. 'sllar ls longftui de 1~ v.ui.gcntc trA~&·a del punto
P(-1, J) a l!i circunferencta C:3x 2 +J;r'-H.,--15yt2,3-0.
ap.
1ji>T
. ,-
4. 6
f'r la fü?tenlinacióu de 1n ecuaciór. de la tat1gonte a u:111
c1rcun~e-en:ia ~e consideran los cieuler:tes trc~ probl~-
/201
é
r.es fund~monta!('S,
25. Obtener lo;:: ,1oordenw.dal! ,ie un punto guft i;e ancUt1!lt.n, i.ob:-e el eJe !'adica.1 d1l eje~c'cio 19, y iec;o~tr11.r qi;e las
long!tudss ~e l~t tf..ngent~~ lrazac:.a~ de c5~ pJnto & !aw
Ces ci.l"c,z.?'if'erenclas son 1e:.talea.
Sotu,,~,.
?·~nio e~bsa ~cuaciones
se tler..~:
..;t1:(x-1)2+(y-5J:·16 + Ci(l,.5) y l'lº4
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Rli.llar 103 coorlenadnr, clel contro radicul d~ l~a tres clr
xª¿Y +2xo17¡136=0.
Scf.,.,c.JJ.a..
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ti.ece un.e. ¡¡an.:!i,:mto d1dn..
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Re:1tautlo C 1 -C 2 obt,,nom.->.< "l ejo rs.riir.HI de
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Pes~n~o C,·C: :c·e.ne~~s ol ej~ rodi~al ue c
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1EJERC1CIOS.
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111 oaua.:ii6n c:lo la +.nngonte a le1 cirounf'cre:wia
x•~y 2 -?.x-6y-3=0, ~n el pun~o P(-1.6).
c1:r:ftrcn·Ji~s G 1 :xi-;, 2+:?x-4y-6=:>, c 2 ;>;i+y•-ix-;>y-O , Co• 2
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28.
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¡unto do conta,to dado.
ll p,·oc.,:i:.rio., L<l para rcsol.v::r cada u110 ie o&to1o prcb :i, o.a
oo el aie~c. r cada ~aso ae da una condición, do a~usrdo con
e:~to oo oocrib.. primero la acuact6n de la fa.:ü.J.1.t rln rect~g
Q'"' sati3¡'ace ee ta condiciór.. q.,_ -1ust' t~e u.::i!!. dtt las vnrhbl~s d& la r~il!:i ée .-ectas en !a ~caa•i6n de la ciTc!Ulfcrc~
c.i.a dad1.1. ·.,, ocua.ci6u ?'f)nul~i.w.Le , que eoni'1.en.c un ¡iaránatro,
to.ta le .l'oi·ll&: llit•+:tix.tc"O •. cuya igualdad ,I~ ,'t.lltcc.1, (h 2 -~an-0)
ca una condic¿/~, ,le. ianu~J1cin.
S1 X"-1 +, -2 4-?.cyt ,J-O + y;. J/ 4
ruego, ,n oi;.n~o del ~ja :'Sdicc2 co
- (-1, -3/ 4)
.Se11n A "J D Jo,, puntos de ta:iee,Q1n.
/(4+1} 2 +(i+4;z
r..:i
~=-
Eje radical, L:24X <8¡+3=C
lr'czl=
da e~
t,} Rallar 11.1 2cua.eiór: dn la "tl:..llgente u 111u1 oil"rtJnfere:iciti do.•
e) Hallar la "º 11ción dft la tancc::t.e a ~na
~cunfere:ic.l.11
da y que paga por un IJUllto oxterior dad;; •
y·
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!!.) Hallor :.a eeua.ci.Ón rle J.a .angente a une drcuoft>l'encic <.la·
ordioRr'a
.e2:(x-4) +(y-~J'•9 + C2(1.,j) y r,•.3
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-,. ( 1+rn •) Y. 2 +2 (n.l +Jm- i }x t ( mi+6m-.J)-O
Condici,ín ele rnngcn~i:i: b' -hc•O
~t<>r.~es: L(g 2 t3~-1} 2 -4(1Tc 2 )(a 1 +6~-3)-0
D., donde: (;!:-:.!} 2 e0-+ c.,,2/J • De roc,ño ;iue cr: (1) Stt ti ne.
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L.a C.i4c11.¡1f.c11.e.noiu
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!!alla:r l.e:: acu:cci<,ner. de !a" t=¡:111,t::a i,, lit c1X"i:UJ!t'E>.r:m.d
i<'+y'+4x-10y+;.: 1:0, r¡ue 30:i. :,el·r.l<;J.rui " :i.c re·•t., L:
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e<:r~1ción da Langencia e3: 4(o-}j--4(2)(b?-10b+2-)e0
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Por cantv, e.i: {1), las ecna eta~eo le leo tang,at~s 6on:
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Su:n;! tu rendo e; ln ecu~o~ón cktd.l se t~e~e:
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1111:
I.11 ectu1~iór._ de lit r-~.:.J.1e de
a L:5x- 5y+J1~0 e8; y"'.X+b
Kal.l~r las ecu~cion~e de las •aagonLce a la c•rc!ll'-~6~é~2
ci~ x~+y +6x-8 O, que eo~ ¡>eryen~icl!J.aruo a ln :e~ta L:
lr-y+.;1~0.
Sota i4o,
ta eou~c1ó~ d~ la fdmili~ dB recLao purpRndicularcs a L ea: y= - {x-b
(1
s,..o,::: tuyendo en la ccuat!i6n dada "'" "ttenr,:
xª+(-¡x+bP ~6x-e=o
o ue1:
17x 2-e(~-12)x-'6{bl-&)=O
Co11dici6n de 1.a.n,one.iio.: 64(b-12) 2 -Ht7) (16) (b"-3) ..o
2~1 +Jh - }5..0 ....
ce donde:
01=-s
6 o,-7/2
PoL· tanto, tln (1), la~ O<>ll.a.cinncs d~ la:, tt.L .. nte,u s,-.n,
le. c~~cun!=r ncia
r ( '• , l
L~:xf47tLO=O
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P(6, ;i) os.
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2:~+~7-14=0
HclJo::- lna !.CU&cio!ltle d., las t1u1geotea. Lraza1U1e <le-1 pui,to
!'(6,.,0 ".la ch·c·~nr .. r~neta x 2 1;/Z-+2x-2y-35~0.
í.a fa"ilia do .rceta3 ~no p~~an por P(é,-4} os:
ky~4=m(x-6)
(1)
de do·da: y~;¡¡lt-6cr-.~ • H. eusti';ulr c.>n 1 ecua •ión thol< 3fl
1otueitn.
~!ene:
8
~!
x 2 •(m~-~m-4) 2 t2x-2(~x-6a-4)-)
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c , ,n i•Y.ión d6. tangaoci~: l,(6.~'~5P.-1J2-4{1•o 2 )()6~:fóü11-,1\-o
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r~1 e j er~icic ,4 t',!lbLtos.: .P( 6~·.3) 7 l.e ecuac.l ón
a~ lt:!. .;;:i.rc~l'~..t..~nc! :i 9-r'J su for~a ord:1.111tr.111 e r.
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t:t - 1
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Saii ti t.uyendo en 14 l)eus.é.ló-11 de le. ci i:e1u1f'Etra-11eb. ee t.l.t>oe:
9:t 2 +9(! +k)2+1tb:-12(f +k)-)2=0
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l.. L .,. ¡n_:-2/3
4 5x 1 +12()lr~ 4).x:t 4 ( 9k-'- - 1Zk-J:i/Je0
tu~go • .la eet:R-c.i.Ón d.: la. tt;.!tge!lt·e os:
O
y-;,
rondl~ien Je tangeneta, 144(Jk..f4Jª•4(4j)(4)(9kª-12k-32)20
d~ dlln·le, 9lr 2-21.k-4-4~0 •• k1"t1-/J 6 1t.,,,,._4/3
Po~ tanto, e11 (1), la~ ecua~ioa.ea d• iae ta.ngentee eon:
=-4(x-6)
..... u!2it+)y-21=0
_,
JO. D,)mor:tr:n· que la ecua<1-:!..Ór, de :.a t.ang•i::1t.e ~ la c.irc~:fsre;
cü1 x•+y1 ,.r 2 en 91 ;:ur>.to r.i:, con.t;,.ato ? 1 (x 1 ,;¡ 1 ) es:
E.1 i.!'acto, la ecuaaión da la tangente :iue pii.~n
:r
(1)
Pe~ücn.1;·c, de o¡.; 1:
Co~o 1 _!_0? 1
+-
th
-= .ll
•
L1 :Jx-~+22..0
JJ.
e:l a xJt+y 2 -10x+-'J=O. Hallar el ánguJ.o 4«udo q'-le .fa:rmau ea- t-a11 tao_geutas.
1
=- ~
yl
1
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"2
2
;¡-:,:= -;~,x-xi, ,..... ;..1x~y1y -' x,ty1
Pero P,(x:. y,}c.C,.,.
xhyI
(
. . rn " l 5•-0+4+511tf
2)
11. "'-'r d:ie attoclo<> rlif;,l·;:.1 .. «e, h.~ll'"l::'.' la" .-,.J>.>*ci<1na" ¡,_, l!l.s
~:111gent$<.1 o. la ci,·cur..f.i.rem:ia ~x~t9.,'+-1ax- ~¡r-J2-o. cu;:,a
pe."lÜO.l'l 'i.B .11--.; 1 /2. .,
?n.onrirln la e,;iuaci~n dad~
o d
J 1;
,t., ác.nde-: 41111 2+4Qg.t,.9 ....,. llla•-i
Ci 't g~
X1>t+v 1y ~ r'
... i.: .:..•
C(5,0} y ~
....
~
~ r'
'l. 3H
for'rna o:r,.HnarJJl
,'>./'J) ¡ r45
1.·a.)nllla di:? rr,~t~ ,; de pe:n-1i~1: t;.e í /2 os:
1•,:,:,i,J,ts: {x:f-1,
+
~actas ~.;.i.e p8$an p~r P(-5,4) e~:
y-4"'a(x+5.) ++ La1x-y+-4+5m=O
PO.r -~ru-1~0, en (2) • lt:. fjc;u~ci6n tte 1a tnnGon ho os:
... ~·~u.,~"!•
La ror11a ordi;narlA de 1.s ec,,;itc16ll. da.da ea:
~,(x-5)'+(y-0) 2 e1a
Lt1"~, ;;1¡s·ti tuye!!dc "n. ( 1) se ti,me:
·11'
6 L:r.:3x-6y-8"0
fér ~l punto P(-?,4) so traaan.. tangeutes a la. elrcunf~ren
.,U,./,¡!i._i,!aJ..
)( l
m.. ~·.,=:-·1 + :n
Blalft !
~t (y-2/:3F-5
> O(- l
~ j 2Ll::!.L 1
Hir-1,1!1~
+
6
'rg G. " ( ::.1:::.lilJ 1
1-1/41
••• A
lte(.2+1)
110.,+4¡
~~==,, 41
21
...26'
0
1.05
= 46<>24'
l(i. Dcati" 111 o.i-rcurlfereneia x.l+y 2 =5, hs.1fo.r los valorea ,te ).rara 103 ~~aJ,;:i,$ lae r~r.taa de la fanilia x-iy~k~O .
a) ccrtan o. !a ~ircunfarencia en d~s punuo~ dlferant"~
b) 0-on tangentes
~) no tiene~ oingÚ.O puuto eonún ~el~ eirc~nfo en~ia .
Soluoitn.
17. Hallar la ~cn:1.ci6n
De la faMilia do r~ctao; ~~2y-k
tkati~uy~ndo e:i la ecuaaiÓn d€ la circu.nl.'erencid ~e tiena:
(2y-1tP+;r 2 .:5 + 5y~-il:yrk 2 -5:0
:'.:i•cri.riinanta de la ec'.l1:.1J.i6n:
6 ~
a) Si ~>O, la reotr. 1 corta a
,t en
{4kP•4(.5)(k"-5}.,4(25-k1 }
dos punto-a diferenten. c11-
to es, si 25-k1 >0 ... k 2 <25 •·~ -5<k<5
h) Si !. e.i truigente 1\ .!!l. + t~C ; o oze. 25-kz:o ~-- Jt,.t5
e) Si
y JI. r.o tie-nen ningún pnnto oomón, ,mtono.es As!!, o ao¡¡,
25-k 2 <.:0 + lc 2 >25 -• 'Jr<-5 6 k>5
res d$
~
para :os cuales lns -ect~G de Ja f&AiliE y;mx+3:
a) corta a la eircuc!areuoi~ en, dos puntos di~erentes.
b) .::o:i ·~c.1,gen 1,e l
o) no tienen ningén púrto común 09~la cireu~!ereneia.
Sotuc i6n.
?~~~ndo a 2.a for:r.a ortlinari& la ~cL.a,.(!iÓn dad:1
pe tianó ·.,t;:(x-JF,(;15) 4 ~].3
G0,-5), .-=111
Co:i:o P(&,-J)t:.t:., la taJ'lg,.,ü" L .LC.P.
Soluci.ln..
Entonces: (-J+~)~ = -1 + n~-J/Z
o-/
~ue~o, .1~ ~~adientc de la normal es
o(5m+12)<D
!l,cO
=2/3 y su <'tcuaci6n y· 3 "
2
3 (:r-6
de donde,
L, :?x-Jy-21=0
Si C{J,-5)~L1 • 2(3)-3(-5)
)
21
., 6+15 = 21 .._ 2-1=21
Por t8.ll.to, la normal L1 pasa por el ~e~tro de la cl:eu.ni'ere~cia ..
Stteti tu1,~erido y=Iix+ J en la ecuaci6n rie lP- ci r--
ct.n:fe;-enoia ae tiene:
x 2 +(mx+ ))l<-6x-'2 (1!!:c+ .3) ,6,;0 + ( 1+1:1 2 ),; 2 +2 °( ;lm-J)x+9-=0
Diecriminan·ia de la e,maei6n1 A=J.{2m-3P-36(·rttni}:-,;.CJ(5a.-"12)
a) Si. 6>0 -~ -4m{5o+12)>0
o) Si.
la nw·a,aJ. a la circun:f...::-a-i:-,~j"
pasa por ,,1 contro dn l & cirowif'eroncü,.
¡¡¡.
15. Dada la cii·cunferencia x"~y.l-óx-2y+6~o. rutll;;t~ 101: vtlo-
!l.9
x~+y 2 -6x+í)yt21,.0 en al p'1nto ?(6,-)), y ic:;i:o:s-!.rkr c¡ue
++
-4tt ( 5111+12)~0
-·12/5 <
<·~ Ql-'0
11
<
o
6 ll=-12/5
e) Si i.\<0 + - 4,;, ( 5ro+12)<0 + m( 5il+12) )0
++
m>O
!,
!JJ<-1 2/ 5
16. Demostrar q~e J•s &cuacion~s d~ :as tangellt&s dw pendieM
te a a la oiro,it-1fet·&ncia x 2 +y-2 =r 2 s~n :,~mx±r/1+m~.
2 l. flgller · 91 .::.ngulo agudo. que formar: les c1..-cu-11..ra !'t<noias
.x 2 +y~ c17 y x 2 ty 2 -12x-/,y+11~0 ec sa i:nt.-rsécción.
In :.<1rcep~ane.o arnbas cir.::.inferoncias on-;,tmi<lllOa
los. puntos P(l,4) y Q(16/5,-1J/5)
Cooo los ár.gulo~ que forD.'.iI1 la~ t.angeute3 3on los ~i~oos e~
c~da punto de interl:lecr.i1.b, bastará. hn.lla.,. 1-.a cand:.entea de
,_;_
las tan;.entee en el punto ¡, ,
Cen~ros de lao circun~eranc~aa:
Solucl6n..
C1(0,0) V
Gi(6,2)
P.,,.nd::.en:;e ,fo ::: 1P =
4:-8- ~
J. +
.-------',.--1-----+-...._,c
lh Q - 1 ( L •
_s,.1.,,...¿1,,.,
Lt,. ta11i.lia d.a rectas de pet1clien~r., m co:
y~tix+:i
(1}
T,: lllX-y+ b=O.
d(C,L) + r =
lc+O+hl
R,'
2
+1
Tge
= 15/?.+1/il
1-5/e
~e donde: )bl=r/mi+·¡
h = !r/'11 2 +1
Por tarto, an (1), l~s ecuacione5 ñc las tangente$ son:
Y"111X~1','<J
+
:. s
~ : 7.JJJ
a2º1~1
•·+
22 .. :ialla.1· el á!l.gu.'!".c· :~gcdo qu.e fvr.ci~a_ la :r~c-c: L:2:-~ }y
la: .:!l ce:mferit11ci:1. x 2--ty ... +2-x-4,y- :r~o
Saiµ. .4°i'1µ.
Int.C:rcei-'taudo l.a ""oct~ y la
1,~ennhore,
t .;,
¡
se
11'7
166
-.7
lEORHl.\S ~ P~081EH\S
oe:
LOCl\lll!i G"EOHHR[COS
EL,nnos ,\
LA fIHCUttFERENCIA.
tteoe: P(-3,4) , Q(:>1/1J, 12/13).
y
Ccoo los ácgalos de lnte~aecclón en P
y Q son iguale&, ~ell~~-os la pen:iicntt
dn la t~~gente d 1a circunr~re~<::ia on
EJFRCICIOS. G r ~
el p·int.o P.
r.e~tro de ln circu.~tcroncis: C(- i.2)
..
r1cP
,!-2
= - !it i = -
u.•,01,i..iauó.,.
=1
Si L::l>:t3y-6-0 ... IF-2/3
00110
CP .L l
•
1 .;- - t
.
..
Luet:o: .ge
2>,
1
~ 1=
1-:i.
º
1
~n cf~c·~, Se P{x1,Y1i un oc.n~o ox eri~r
n l~ ~!rr.1.l!lfor•~~ia, C:z2,1 1.:r&
fo,· eJ. ~·P.o:r"J ~ ¡le Pi té.¡¡orfls:
1-2/J
6-"8º41 1
+
IAPlz~lfil>l'-IMl 2
~ f:Jil
{x{+y:)--·' + IAPJc ~+y~-"t' 1 (1)
,:r. el MilP: '@f~~lfil' 2 -jo;i'•= (xf•yi)-r'
d= ~: pu~~~ ex~erl~r ~ 3s trnr.n.:~ ta~~antea a uea circu~1crencla, ~lo 3~ento ~ue, re loa pu.~~~~ de contacto
!n ol .:lOi.P:
1•
~ llam&. tu.e.JL'.la á~ c.ord.1,cio áe r. Si P1(x,,y.) co uu }U~
0
to ex:cericr a ·,. cil·cil!lfflr~~~·a x•+:, 2 -r~, d,rc3t,·ar ql!e
ln c.~uaci6r- dt> la cu.crd!i di, <::ont!lc"'.:o de P 1
J1.1x+y ¡y-r
"''
l'
./r•v!-(x1+~!)(1 2 -xir 2 )
:r- 2 11-xirt ,•
-,-t-
+
t~zx!+y~-r
sasti,t:;c11dJ ,;n
(
)
1 :
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S~ ¡,_ 'f B a,.,a los ex:•ro
o. ,fo ·1n. a'á
f:.ro so l.> ·e 111 cj ¡, X, 1::z!:,nce R:
x~+yi
xi+y~;r 1 +t 2
fl"l!lostr.. tec;ia ¡ue:
P{x 1 ,;¡~) m, p"Jnw de
la cir~t:n.fi,r.,,1c.:e. G:x'+y2,.r2
r 4 y1 ~/x~!r~,-(,-·-!~-.;-.'~+--r-•""'")
:,:~+y~
ter~ IOPi 2 -IA<Íl 1 rliFJ 1 +
e1cJ_ar •~ nP-d 4 a croyo~~lor.al. ftn~ré lns lon~1Lwies de !e~
du~ seg~ó~toa ~n loG quo di7id~ el , ~ Ptr~.
!n .. r~::1>0,
( ·x~
12
Si de un pm::to cu:llqlüer11 de unn ci.,.cu:iferanoi'l r,n '"r!l;a
un:i P9?'1'·•mdic·.ua~ 1t ttn dltÍ.t1at.ro. la lor.¡;it·1d d.., h. pei·pen
D""~s'l-'!a~¡:~11.
i.(x2,Yi)~)l • xi+yi•r'
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2
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óe dond?:
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de donde:
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Pcr t:.r.1:0. de (·) ;- (.2), quuda d.e;i:o~":!"aúo q·Jc:
2
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cia. Por el eJercic~o 10, ia e~u.aci6n
ue lti tllr:¡:er.te i.f, ,.3 J,~x,,c+,,·,=1' 2
2
!'ero P 1 (xi.¡ 1 h~L .. x,,: 1+:,·ü• 1sr
-
,.,.
S!!an A(x~,:¡a) ) B(x,,) ,) !o, :¡,•1::it.o~ de s:o.nge;
Sct1.1.ci6".
~uer,o: y 2
!il'f-f~1
4
h:?/31_ 5
s~
_ ~•y1
DaM!ttra1e'-'vS q..:e:
ry11;)
xi.+yi ·
H-r,0) :: B(r,O), -¡ coció iI on al ¡;ic
11... J.:1 ;:e~?"n !CU:.... Pli + !!(x,.Qj
S- ?{:.:1.:r1)t.C ->- xf+yfa:.r 2 ,. Yi - ?- 1... xi
o sen: ·~¡ •.. r=-xt
(r+x 1 ) (r-xd
?'3:o: liiil "'x,-{-r) r-x1 , y liffil
A
(.)
r-xa
168
5.
169
n~masi.l-ar qua ei por los extre~oa de un diámetro se t~ss!ilDd(B,i) +
:.ian dos cu,;,rd!l.s JllU"P.lelas, ,/;at,:.i;. son igualar..
V;,tmos a de111oi.tr.s.r q1to
iJeso,t,:l.1tací.6ri,
3n ef'oe e.o, ses la circuru"ereneie ,g,x" i-y-2=r1
Entw.=si A(r,O) y ::l(-1•,0)
Xñ,
F.cur.ciqn de iIB,
EcUACiÓtt. de
!{r,O)EL1
Lu""go
Y
I,2
~
L 1 :y':':trz .... "'l.'¡r •
~
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L 2 : y2;:i;¡:x+mr
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n[C1-n ir, ~cr•,
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6.
/e:-rm•
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Por- tanto. de- (:t.)
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(J)
l.3) qnerla d.eiaoirtrar.l...
fA&fxf!i'él
7,
/i+iñ•
2:c·
/i+o2
=
<fllf.'I
!DD1xlil111
On oWI.~~ ~e •~ev.t d~ tal manera 1ue le sama de 1oe cnadr~
dos. de su~ distancian a ios .puu'vs• A(2,C) y B(-1,0) ea
sie.!llpre igual a 5. Heller e iaenti.flcar la ecuaci6n de au
lugar ~eom,trico.
So f.:, ciAJ..<-
Jfil:J
un\'< Oircuni'er-en::ia circunse~it&. a mJalquier
triángu1n ~ado. Demostrar qua el producto da !as longltp
~,e1; de dos !.3.doa ::u._1..squiora del t,riángulo eE i,gue.1 aJ.
producto de la longitud del di&~etro por la longit~d de
l,;. altura trazatlli al to~cer l:ldo.
Sn t:iene
ua9G4~4aci6~.
(2¡
/2r•+211r
2
, 1·-!"
/ABI -- '•l<f'>---·¡ f-¡¡¡2
,fa liL e1 reWU:erue.J.a}
~ .:r~fs+b+r[
hr'i'+2ar
2r1 /~ 2 tb 2 tr=+.2:ab+2i:r+2br
b2 ~-mr
Interceptando l.: y 1 2 con la cir,:,unterenc.La se tidne:
Entonces:
rlarbtr!
/2 7 A+2Ü
=----
;y=ta:tb,
o~-~r+b,
t
/1i•+(l.l.+r)~
!lult.J.plic,mclo t u..i1'1.dianda (1) por: .¡2r'+2ar , l!C ti.tr.e·
- ¡
a/(~2thr)(2r'nar)
.l.J"'~h.:>+2s.·.r.2t,r
1A'Bl,..IDc ,
•
-- ~
&:ic+..:?11.r
hr"+2eT
11 !)='l1~-!-b1
OcL'!rlb1 • b1'--mt·
+
E(-r.o)~L,
fñi: l ~2r (d1á.l!l..tro
/AÉl=liIBf
,o+(atr)rtb~l
lfili~ ~
De~ostraremos que:
1) Se~ P(x,~} un p~t.) del L.G.
Hl liFF-}Jiwl~· 5
,111) (/(1:-:zl"+(y-oJ 2 P+C/(:r.+1):t+C,1-o}ª·P·
t:i
ferer.cin,
) , pim~.> ¡¡;e¡ •rneve dt< .!.Al 11anerL que Sil dí11:ta::.c.ia d1' ,pll to A(,1,:::) e11 ..si,;,apr,, .l.g1uu «1 dot.l.e de :u dictaad de
'Wlto B(-t, ·;;. llallar e idqnt1f1Mir lP. c11&Gi' d 8 In•
J,~ñ1~1scr~liililxl3HI
EJ'l c,"eoto, s .. a 111 AASC :¡ la circ1mi'e~
-;
dr. donde: x 2 +yi-A~O. ta ecuan~6n de1 L.tl va
y
!itr ;:•c~trlco.
St>l,ic.U,.,
i' Séi, P(-.:,¡r) ~ p1n,u, cl11tl L.,G..
"
J'
·'2(aZH·,.2.+xz )+4br
.ero C(a, ::)e/.
->
a•+.i,•.,_r•
-;:~ "·1.6a da Af:: xir - ;~,.
·>
+
i.'
JABlx!BCl=~r/rt·tbr
L:bx+(ei·r)yillr~o
( 1)
.. :
A~,~ 2!DFl
l<x-<1;l'H,-2>' ~ :w'c:xt1} 2 -1:cy-3)i
~
onde, .3,:'~ )y: •1 f>x-21Jy+20°0 • is unr. cir<:::unf
<:Dei n.
171
170
~.
Un punto se mueve de tul :im.~~ra que $4 diotancin del pua
tn A(2.-2) ~ü aleurr,,, igual~~~ tcr~i~ d~ su di~tanoia
del punt<> 3(t-, 1). fi.:.lJ.ar e :l.d~Jltific.iu• le eou:icién de au
p~~t~
ll'l!lna.!"a
,iue n•J dietu e::!..;. <]r. un
fijo "s sie~pr~ igual~ k vece3 s
distan~i1
luger guco~t~ico,
·i-o .• unto i'i.jo. Lle¡¡¡oc;tr;ir ¡ue el !..G. ,:1,, E'
fereneio. ¡:,,u,r. valo:een apropia,:ws de k.
) P.!>"' i.lm.•
Sof.ud6n..
í) 3oa P(:ir,}') un ,.1>Unto del 1.G,
H)
12 • lJn p:m f.o P a,e mueve de tal.
o-
los punto~ ~ijos.
ii:!.l /(x-~)2t(y+2'i·
1
i1)
/(x-4)2Hy-!)2
z
iíi)
de dona.,,. s.~' +8;1'-.2a .. +J8y+!i5"-0 • .:,.s uua ci,·eul!.i'eritncia.
$iE
~
u a alicut:
;;,) 8,M .i'(x,y) un punte rlal L,G., y Pdx1,J1), P 2 (xz,y¡)
IAPI ~ J¡SP·
;;
10. ·ifn puntr-
E3
de ·~a.l 1m.U1era que el euadrndo éle
:-nc7U
l~l=
k
fp¡;;¡
/(x-xi) 2 +(y-yi)'
= 1'. l{x-x 2 )l+(y-y,)2
El~n·=do al •)ue.<i.r:;.do /f luec;l. agri.1pa.r.do tér!Ji.nos J:"et.:,1.11 ta;
( 1-!t2 ) x 2 t ( 1-k 2 );,,l.-2 (.e 1 +k"x 1 ,x-2 ( y 1 tk¿y 2 )y lx!• lc 2 ;,;~+;d-
su
k2 ;,.rf-0
dist.,mci.c del p:mto A(1,2) es <Jicnp;-c igual al d.G>ble d..a
2(.c.t~~,)~ _ 2(y1+kty,)Y ~ x~•yf-k 2 (r~+y~) _ ~
su rUstaneh: ót !~ recta L: }J(t/,y-1~0. !fr.lh.r e identifit:'.i:r la ec,.i.,~.ión de l!U lUgar geométrico.
-1"-k 2
1-k.2
1-.k 2
-
~
st>!µe.i<Sa.
i) Sen P(x.y) un punto del L.G.
ii) fAPI~ ~ 2 i(P,1)
l;h Un pun-;:,-;, s« 1!l1leve d" tal ll!l.tlera ou& «1 cuad:·e.cto ¿ 8 i;u cii¡:
~a.n.cia rl~ l;1 bas,e. de en tri'3ugu.lo is.ósc~les r.s sie111p-rd i-
2 l3x+4v-11
de donde:
~
gual al ¡.roducn,o de ;,wa ;l.iatar,cia.'.l :ie los ot::-os do.:l lados
Den,e>,;t':"ar qu.. 1=l lugar il'-'OIQEÍ,;rioo os •int.. c.ir1:wi.fcrcncie..
So la!Oi 6n,
5x'+5;·"-i&x-2By+.:n~o
ecuació~ de L.G. ee uua circunferencia.
-º"
11. U::i ¡:unto se r.rnove de tB.1 nanera q1¡e le at:ma de
c:1aclratlo,i do s':n ,:listan~ias d,., los t.!"&a pu!.l~Os A(O.J).B(3.o}
y Ci-2,-2) es siel!lpl'e ir:,u,l i· Jf). Hallar P idel".ti!iaa¡_:::. ecuación de ~, ", ,.?ar gen~1étrico ..
r;, i.yc.U,.-i.
i)
ns P(~.y) un piw~o dol L C.
':t l
, \P ~ + 1fil> 12 ¡.;r- ª
11.)
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C1 :x 1 ¿y 2-9-0 y G,:x 1 ty 2 -8x'i2-0. Si la longit~- Cª
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lontituá d~ le ta~g~nt~ trazadA ~ 0 2 , r.P. 1sr y co~~truir
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~.:~+Jy-7• es Eitap,~ -fQu' F 2. Hallar, 1d..:iLificar y
trazar el lu¡u.r reomátrico de P.
Sóiyc¿t,;.,
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c::~~das. Do11:os1:ru· q~~ e! lue:.r geo•étr.:c:i de lea p,n-.oa
nedio,s lle ost'l.s cu8rdas e~ una c1n.:w1f~renci3.
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l~ rec-a L:2.x-:y::::O.
;~se p~~ ~{2~-1).
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r¡= C 1 ~1~ /(5~.3) "0 .~ 2
a ttc~a-1):~\)n de !a circ~.1T1farenc.i.a es:
tangsnta s. la .:-e.et.a L 1 ;xfj-1~-0
'
(:'.")
G
~
~=n
1
A
~~eti~uyor.do (i) ~n (2) 3e ti~ne:
9 (5-21;) z + 1fücl-:? 4 k( 5· ?..::: cq(l ( 5-2k) +1&i.~C7~=0
de donde: k 2 -3k;0 +- k1~0 é k2=3
3n (1;:
h,=5 5 ~~~-1
1
Luago, l.:,;; s.,ire::,s d.-s la c.;ertia son ,t(:,,o) y !l(-1,8).
:'ur:: to ;i;-~d'_!.a .~ :c. c~;n· ·1:,. Afi:
C( ·1, 4)
Por tB.1!.to..
9h 2 ~16k'-2411k+,sihtt301·-~""-=i:l
Lueg-0, l~s ,;entl!o.s
.,-,. Y1~il 6 y,=8
(1):
•
+
0,(5,0) .;• c,.(.1,J)
-----
:-z=IC2.P ~= l(-i-J):t+9 - 5
~or ~anto, l~f e~uaeione~ de las circuafa~~nc;a~ go:QI
_,;J ,(,.-.5)•+·:_y-C)'-=!.
6 .d1.:{::t-.Jtt-(y-J)'-25
~aooui.AÚI An.alUi.c.a Plana
176
177
de ~onde~ h+4k+2~0
IACjsd(C,L}
+
+
ha..2-4k
(1)
/(~•5) 1 +{kJ6) 3 " !Jh-~kt:23!
19+25
25h 2 +9k 2 t,eh.k--479bi638.k-+1545=0
de d~nde:
{2)
Sustituyendo (1) en (2) ae tiene:
' ;l
25 (-1- 4k) it9k 1 +J0k(-2-4k)-4 78 (-2-4k) +638::+1545=0
!feetu,ndo operaciones resultar k 2 +10k+9=0 .-,. ki=-1 Ó kac-9
- h1"2 6 h2•J4
Luego, los centros aon, C1(2,-1} 1 C:(34,-9)
r1=IAC1 I= /(2-5) 2 t_(-H6)l "
2 +{-9+6) 2
(2 1
134
/850
r2=IACals l(J4-S)
&
Por tanto, los ecu~oio;es de las circunfercnoies ~on:
.-'1:Cx-2) 2 +(y+1)2=)4 . 6 ·..8a!(X•34>2+(y+9) 1 s850
a.
Hallar lo ecuación de la circunferencia cuyo centro está
en le rocta L:xt2y-4•0 y pasa por A(15,2) y B(7, 6).
Soluci.6n.
Si C(h,k)cL + h+2k-4=0
Adenás: r =.licl = !BCI
(1)
/(h-15) 2 t(k•2) 2 e /(h•7) 2 t{Jc•6) 2
do donde: · 2h•k•18•0
(2}
De (1) y (2) obteneaoa: h=8 y k=-2
+
r ..
,re,
~
l(s-15)•+(-2-2) 1
:
+
C(S,-2)
165
: . .l: (x-sP+ (y+2)& ..65
9.
Dados A(6,4), B(S,-1) y la recte L:~x-)¡~13=0, dct.6r.rinar
aobrc la recta UD puoto desde el cual se ve el segnen-;.o
AB bejo un ángulo 1r.áxi1110.
lE.Jv.c.l.Sr¡,
En la figura veaos que para cualquier
po,ic16n de P, tal como P1 ae tiene
que, el ángulo i!lacrito APB > ~ngulo
A?1B. El ~robl.oma so reduc~, puso, &
calcular la ecuaci6n <1u la circ11nf'.
,.
l'lrD "J.
r,..,,
1,. -.
- ,Jt
, l "~
!ilt tul/ ...
,
L:>
de 111. i·ed,!\
CCU'1ciOn
se¡¡11enLo AB ee..
pa~ a "º' .
--2( -1) y-L - ·•' X
(5 ·)
!.'.1ftgo:
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plana
e
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P<>rpendicular al
1) Sea. P(x,y) un punto dal
L:)x+C:.;-19=0
i.f) "'BP
P(-J.7)
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-
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•re~ ll v11 m.,.r11;c, 14. 11
Las :u-ees :aín:.:ia Y i.olix!.1!111 i;on, re • . •
39- ,u'
Haciendo: l..:Tga, se tlt"lle:
circunferencia que panR por e~
ecuación óo la
'··.:'x- y+5-o y L,:
p.mt,o P(1.4) ves tan&e~~o a l a~... !"IIC~llC - -'
11, :lallar
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ta L:x-q-2=0 e::, '1'(8.J) y que pasa por P(12, 7}.
Solucifu,
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do:ide: h-k-1•0 • h=kt1
de
/
-d(C,L1) - -díC,Lz)
3h-H5
~~k+¡
l, a.. ea ur,a e1r,,un.t'ereneia.
aL1 y""º T,a, 3:::to:ic<>S, pe.- ó.~ficic.oú
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la cireun:a~onei& eet1:trá.
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(x-4) 2 T(Y-11)t= 80
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Rllllar la ecuación de la elrcunrereneia tB.Lee.n~e a los e;es coordenados y que p11s4 po,- P().6).
&lue-¿6n.
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• dor.e.. ,:;e
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.,
( O) lo~ ¡:ur.to!1 e:.ae
bajo un iD18
• l'lO fu¡¡ulo a ·
ve t:n s• ª:l ..• ~'to A(-a,O), B e.,
s,:. r,, r i.lu,.
1¡12-4p¡.<1-,,p ..
Por tanto, l~ e ..<1.ción de la circ1mi'erene1a es:
la Clrcunrel'enein ~s tangente~ l!!~bos ejea + t~k-r
Luego, ln "ci.a.ci611 h11aca.1& es de la f'or.zra.: ( 1t-;¡•P f (¡Si PCJ,6)t¿~. (3-r)2+(1 i) 2 "'i·•.,.... ~•-1sr+45..
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15, Ifa.11,.r la. ecu•N!Ór, de .1'1 cil·c•1n!°erdr.cia. 'ti.l!lg\'Ont.?. a 1~ Hl<
ta L;S;.-Jy-1=0 -n T(;í,") ;¡ de n,rlic, ,IJT.,
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Se:t C{h,k) e: cetitiro ta .. ~
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C~trD TGJ.l..,
•l -l"C\.!~~er-eTJClll.
-1
( 1)
~?l+ 5:.C• 55= O
A~~más: d(C,L) = r
.,. l 5'o- J:< -1 1 = ,r,¡ + 1;h. Jlt -1
,¡;¡ 5+9
~h- Jk-1 =:;4 ó 5~. Jk-1 ~-:H
++ Sh- 3'1!·.35=Cl 6 5-h- ~k+ JJ=O
tl" donde:
L'..le¡¡o:
y
5
~/
//uv
\
Transformación de Coordenadas
e . J
5, l
(Jh+.s:~-55=0)" (S:1-3k-;'J=O) _. e 1 ( 10, 5)
(3h+5k-55~0)" (5h-J:~+JJ~O) = C2(C, 11l
ro:r t"-nto, las eeúacj c,r.eE ¿e l~z circu.r;~eret ... nie.a son:
)h: (x-10)1' (y-5}!=,!A
6 k2: {x-O)'+(y-11 f*=J1,
Una tranrorm.aci6b es una operat11Ón po!· la
cual ~na relactón se ca.nlua por c~ra Elguienao un~ ley d~da~
En est.e capít.ulo :im,e-Btigarem-os el e±'gcto qi.e t-1ene sobre •ma ecuación dos transform4cione~ fi..nd.'l'.!lctttalea:
T~a~lación de· eJes coordenados y rotaión de eje9 co~rd~
Def'1nición.
nadoS-,
,
tt la eiroU111"e,•enci{I &:
16. Eal.ar
,1 .\l ec::!aci· ó-" ·'e
" 1.a •a1,~er1~.n
• .,
_. 2;.y"-6x-10)·+17=0, pAralel11 a la ro-ct12 L1:x+4;i-:ll.
S6fo.ci./ift,
5. 2
TRASLACION DE EJES COORDEilAOOS_
Se d.l.ce q,ue l(l;s ej e:i ooorde11.ados aon :i.,,,r,~l.adad.04 o.i 1 ó:;
noevos eje~ son paralelcr, a los orig!na.J.ea y ori~nt~dos
~e fcr~z orclir.a~i~ de la e~uaoión d~da ~s:
.l/;:(x-3} 2 tiy-5)~-17 ·• C0,5) 'J r=ffi
f,a f,rnilia :;lt,, ~cC"TO"-E: paralelas a :.1 e,;, :..:x+4y+k=O
camo éato9 .
(~)
Si el origen O es trat:!ladado a O'fh,~) y si
Teorema l .
(x,y), (x',y ' ) aon las coorde:iad;;;:i de ur• p1<g
t.o P referidas a lo .s eJas original y nu~vo, resp1!ctiv!3.-
ca ~ande:
lk•23 J• 1? •• k+23=17
•• k~-6 6
~
k+iJ=-1?
\•-40
m6nte, entonces:
y
PoY t..un ... o, t1n (1),, l.1s E::cuaci•J..nes, de las i.11og-t:"r1~es ~or:
l:x+4y-6=0
o
:;¡
y•+.k
L:x+4,.4o~O
1
En ~te.et-o, en la figura t-anelQos:
17. Halh.r Ls. ,.c,2ac.'! 6n de le. tang.,nttl s. le. cir~,;r,ferenc:!;_e. _
x' iy 1 +2lt+10y- "11,=0 q\l~ os r,erpendicLiJ.ar a lt- :r-r:,ctr, ;ó.:-:+y•.i •
(Dos sol•Jcion,;s)
llp. x-Jr•b=O <> x-3:,-3.l=O
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s~etitayeede en la &ousoión o~igir.al &e
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Sustituyendo sn le ec•.aoión ot'"!~inal:
3(x '·2) ª J-2 (y- '+1) Zt,2(it'· .!}•4(r' !·1 )+6•0
dé do~d~: Jx 1 •+~ 1 2.,,,6
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BcuRcionea de .resl~~tón: ~~~·+1
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S11s. ¡·.i tu.yendo en la e i;ue.úÓ11 or:i,.giuü.:
4(x '+ 1l ª- (y'-5) ·-s(~ 1 +1 ) .. 1o(y 1 -s)-25..o
de douqB, 4A; 2 .~,i~L
o
\
Aº
P'
,:
183
-íc donde : y' •-x'
'>.
1 -.0
x.y-Jx+4y.1;,..o • 0 • 1-,,J)
J..E~.
0
Bc\¡acicnss de ";ra slac!Ón; x=~'-i!
y;;¡ I t )
Sustituyendo en la ec~aei5n ori!i~a.l;
Cx 1 -4)(y ' +3)-)(x 1 -4)+4(y 1 +J)-13•G
de donde:
x'z·~,
tn ende ~no d• lo~ e;ereicios 6~~C. por Tllle troslac!Ó1 d&
ej11.s, t'1"1u11.t'6t-11111ee la. ;,cu&ci.So <lada en .,tr-a c¡i.e c11re.zc6 -~"
tJ"in:>s de primer ;:rsdo. Usa las ecuec1o!'U!l1 de treala~'l.óo.
Sol¡,.cl~.
Ecuactor,eii ·h traslación: x=x ' +b. , y•y I flc
Suetituyendo en ~n ecuación dada ,e t.iene:
2(x'+h) 1 t(y 1 tkJ 1 +16(x•+h)-4(y'~k)+32=0
Lree~uqnio y ~grupendo t•rminoa reaul.ta:
2x' 2 +y•*+(4h+1ó)x 1 +(2k•4)7'+2b 1 +k 1 +16h-iÍ+J;;•O
Co:o or. la cueya 11cW1clóa: x'"Y'=O , t•ne11001
Lh+16=0 , 2k•4•0 , ~e donde: h• - ¡ 1 k•2
JuotitJydndo en (1), o~teaemonz 2x' 2 +y' 1 •4
i.
3x1 +<y 2 +18Jr-By+29=0
So la c;i6'!.
e!cuacionss Je tr&slsción: X"X '+h. y+:,' +k : S1u1t1 t.uy ..ado •R la
ecu~~i6n dada aa tienez 3(x'+b):+2(y'+k)•+18(x'~h)-6t7'+k)+
i9•0. O~ uon1e , ofeetuando y a¡rupando t'r•l..no• •• tlen&•
Jx 1 '•2y 12 • 6{h+ J)i: 'H 0.-2)::,, '+ 31/+2k 1 +18h- ilk+29•0
( 1)
Pnr& eliain&r loi t6rminoa linee.lee x 1 e p' , hagaoo••
~ ~ JcO , k-2•0 , de donde: ti.e-_; 'i ic•2
SustiáuyGndo e3tos vgloreo eo (1) roaulta:
)% '•+2y 11_,,?
1
ª"
5.
185
Jx 2 -2y~-l,2x-4y+1J3=0
En ca.da u:io de los eJer,11c1os 11 - 1.5, p·::>r !ma traslacü6n
j_o 4-uc..i. 611,
~cu~ciOll&S d~ traslaci6n: x~x•+h, Y"'l'+k
Sustituyendo en la. ~euae!Ór. dada ~e tisne.
)(7. 1 +0)
2
-l(y 1 tkjZ • .(.2(x'+~)-~(1 1 fk)+133~0
de donde. eíectuand~ operaciones y agrU?lil\do términos r~sulia
3:<' i.2y' -'+6(h- 7)x' • 4 (k-:-1 )¡ • .. 311•-2k1 -4Zh.- ...t+í ;:J=O
(1}
Haciendo h-'r-0 y k+1:0, " sea: J¡~7 .'{ k=-1, 'I reearplaz~"l.do en
{ 1 J. óbfa1neiuos ltt ecuac1.6n trnnstormada1
3x 12 -2-:,ll»12
9,
11. 4Xi+4y•~,2lt-ky+.~5;0
Sctuc. ión.
ir.,-x+2y.10~0
ne 2s ecue~ión d<!.d~ se tiene:
1.(:/ 2 -!f )'=-45
Completand,o cuadra.dos: 4(x 2 t8x+16)+/.{y 2 - ;¡
-45+6.t.+1
de donde: (x+4) 2 +{y-1/2)'=5
Hacie~do ls sustituci~n.: x+4~x 1 , y-1/2"Y' ; obtenemos la
Sofuci6G,
transí"ormada :
Sustituyendo 14S ecueoionea de traslae16n tenemos:
fx•+h}(y 1 +k)-(x 1 +h)+2(y 1 +k)-10QO
~o· donde: x•y•+(k-i)x•+(h+2)y'+hk-h+2k~10~0
(l)
?ara anular los t6rminos lineales haeeaos,
k-1~0 y h+2~0 , o sea: k#1 1 h~-2
0rdcnand~ :~s tf.r~~n~s
4( X 1 t 6X) t
+{J ".
:~tZ+y•i~5
12. 2x 2 +5y 2 -2Sx+20y+108=0
Splu.c.i.6n..
Tenemos:
2(x 2 -14X)+5{y'+4y)
= -108
Completando cuadrados en 1oe p.:u•6otesia se tie.ne:
Por tanto, ari (1}, la '>C'tu1eió:i trani,for!!!ada &s:,
++
x 1 y 1 =8
2{x~ - 14x+49J+5(y 1 +4y+4) ".,oat98+20
2(x-7) 2 +5(y+2) 2 ~1ó
Ha:1ien !!o las susti tucioces: x-7"'::.' • y+2ry 1
10.
8x 3 +24::c~~4y 1 +:14;c-1.-!y•
•
obtenemos:
2x' 1 +5y' 2 ~10
l=O
So lud6n.
JJ. x'-3y 1 +óx~6y+J=O
Sus ti tuystido l& 3 e cue.c1ones de traalao.i~n. se t.eno:
S(x 1 +h) 1 +2!(x'+h) 1 -4(y'+~J 2 +24(x 1 +~)-12{y'~k)-1~0
fe donde. arectuando ¡
S<>luc..:611,
t~rllilnos reeult~:
1
ílx 1 -4Y I i +;a¿ (h+ 1) lt ,.i n4( t: i +2h+ 1) x '-~(~le+ 3).v t +Sh 3 t2 4h~+2,:,ll•frt
ngT"lp"l.ll~O
• l2k·1"'0
~&?a elimin~r los t6:tJ1inos linse;les hsceno~t
{b+l) 2 =0 y 2\+JxU, o ,e~: h:..1 'I k~-J/2
Por canto, en ( 1) • l.a ec<tati6n t,-an¡,formada
8x' '·4¡ 12 =0 ...., 2¡;;1 1 ay•i
'l>j
~jes ~oordenados tr~esf~roes~ la ecuapi6n aada en otra que ;~
i:-ezca. de té;:nir,o:i de p:·i:Der grado . üs-e el mé-¡;odo de comple~a.r
cuadrados.
C1)
Ag?upand.o táraú.nos: -'(x~+6x) - J(y 2 -2y)"'-,
Coopletando cua:d.rados: ( ,c- 2 +6x+9 )-:,<;· •-.:.y+ 1 ) ... 3+9- 3
-, {,: +J) 1 -J (y-1 P "'3. 1!ac.1endo las sus ti tuoionee:
.x+
,=x '· ,
y-í =-:r'
, o bteneoos la t,:,a.nsfor,l'.l.cla,
Jt, 2. Jy 1 1·., J
14, 12x 1 +l8y¿~12x+1.2y-1=-0
soeac<~.
AgrttpAndo tJrm1nos:
12(x2 -x)+18{y 2 +
Co.:i:pletaAdo 0;1a.drs.dos1
12(x 1 -x~
.,
JY)
a
1
1
( :, 2 t y+l
2
1) ,.ltJt2
¡)+18
' 181
186
1~.
~ 12(x-1/2) 2 +18(y+1/J)i=6
Hacier~o la su5tituc~Ón: x- ;/2=x' , y+1/J=y 1 , obtenemos la
tr.anoforuda: 12.x 12 ,· 1ily'~"6 ..... :.?x 12 +J¡r 1 '.t=1
S0tuc¿611,
tie?Jc: 12{x 2 •,d-18(y 2 + ~·)~5
Completando cnedradoG en los p~réntesis:
=
Agrupsndo téraino& sa tien•i (y 2 -2y)-6(x2 +4x)·
32
Oo~pletanqo cliadra'dos: (y 1 -2y+1)-ó(x*+4X+4) ~ 32+1•24
¡¡a
12(x 2 -x+¡)-16 ( y'+
+-+
20.
j_Y+Í)aS+.3•2 .... 12(x-i>2-18(y+iF=6
!hoiendo las irnstitucicnes: z-1/2=x 1
12x' 2 -18y' 2 =6
Solu.el6a,
de donde: (y-1F-6{x+2)le9
Baoiendo: y-l=y' , x+2•x' , ob~enemos la trans~ormada:
,.;,._6x ,2.9
15, 12x 2 -18¡ 2 -12x-17.y-5~0
Ágrupendo tér11inog
yl-6¡c.t.24x-2y-)2•0
,
Yt1/Jwy• , s;, tiene:
2x'~-.3y' 2 =1
30xy+24X-25y-80=0
SDitu.ión.
Suctítu~~ndo las ecuacrl.onee de traslaci6n en la ecuuci~n dada.
ae tiene: 30 (x 1 +h) (y I tk) +24(x '~h)-25(y 1 +k}-80><0
30x'y 1 +6(~~+4)x'-S{6h-5)y 1 +30hk+24h-2Sk-80~o
Haciendo: 5k-+·4=0 , 6h-5'=0 , o s.ia: k=-4/'J y ha5/6,
yendo en (1). obtenemos ia transformada:
16. x~48x-3y~10:0
.fr>luc.i6n.,
x•y•:2
Completando cuadradoe para le varieblo x ee tiene:
{x~48xt1ó)~y-10+16 +-+
(x+4) 2
(1)
:¡ 11ustity
=J(y+2)
asciendo: x+4~x• , y+2=y' , óbteae~os la tr!lllsformada:
5. 3
ROTACIOll DE LOS E3ES C00l10ENAD0S
x12-.::.~,r
17, 16x·2 +16y 2 i8x-48y+5=0
Sof.uci6n.
Completando ci1adr11.dos para lite variabl.es x e y, e,i tiene:
16(x'" ix
+·ft;)
t
16{yi-3y
+t)
Q
-5+HJ6 ~ 32
ffaciondo laG 3UGtituciones: xf1/4=x' , y-J/2=:y' • obtenemQs:
1fac •+16_,••~:32 - , x
1
12
t¡
11
c2
po-sici6n
~, la a!
per1111De-
ángulo
Si (x,y) 30'11 l,u noord1'nad.a• de un p>m'úo ,uil;es de
gir:u- lo.i ejee un. ~ulo a , -¡ si (x' ,'/') soro lao
ooordenadaa dss¡u¡,s de la rotaci6n, entoiceo,
TeorM>il 2,
x
1e. 72x 2 +3óy 2 -!8x+3Qy•55=0
~
x•Cos&-r'Sen8
y~ x'Sen&+y 1 Coo0
SolueUm.
Aerupando t.€~&1no~: 72(x 2 - Jx)+Jl(y 2 +y)
Completando c;,u:11:lrad~,,;, 72(x 2
= ~5
:.1x• i)+36(y +y +i)=55+8+9
2
0
?2(x-1/J) 2 +)6(y+1l2) 2
Ahora consideremoa el segundo tipo do CU11bio de
da los ejes coordenadoa. el cual se oaraoteriza
guienta definición.
Se <iice qu& lo¡¡ ejes coordtJ.nados son ret~_doe ¡¡j_
cieodo fijo el origen Ambo9 ejeo giran -el m1~mo
.alrededor del origen.
~
72
lfoeicndo: •-1/3~x:• , yt1/2=y' , obtenemos:
2x• 2 ty' 2 .=2
DULD.6J.11ac.i6n,
En e.recto, ls .ri ~ra se .il.a. con-st.ruido trs.$&ndo dile pare a de
ojee coordenado$ eon el ni,~o origen y form8.11do entre Gi Wl
ilngulo as:10°, Dee~e el pm;'-w l', de ooo.rde-ne.d.!ls (x,y) y
{x' ,y') C/On. respActo a los ejes original.ea y nuevos, tl!ljamoa
188
l&s porpendi~ul.aree PÁ y PB a loa
oJe5 l 1 %', 1 finnl.ac.nte uniao, O
'J f·, S1 a ea ol iillgulo POB, en ton•
eta, por trigocoaotr!a1
OAnx~OPoos(O+a)"T(CooeOosa-So~&Sena)
o oba: x•rCoeaCoe9-rBena8extil
(1)
Pero: x' "ºB,.rCosa, 1 • ,.SJ>•rSena
--"21F-~-~,.!---..11:
Luego, en (1): x•x'Cao0•7'Sene
An'1ogamenter .lf•y•rSan(e+a} • r(SeDeCoco+SenBCo,a)
+ y• rcos(Jlen8+rsen~Cc•6
+ ~ ª ~•sene+y•co~e
l
l.
EJERCICIOS.
~rupo 21
l
Ballar lae nueva~ coordeno~aa del punto P(3,-4) cuando
lo, eJed ocordenadoe eir an un án¡t,U.o d0 30°.
Se tye,6ri •
Por el teorel!A 21
lt a
x ' Coa6-y 1 5en6
x•s.ne+y'CooB
aeaolviondo el eioteaa para x' e y' obtsAemoe;
y~
x '" xCoelHyBon8
y'•
-xSen9+1Co~O
Luego: x 1 •)Coa)0°-48en;0° .. ~ 2
"
Y'"' ~)SeD)0:>.4Coe:30º"•;.-2/'3
.'. F(~2,-i • 2~)
2.
!uillar l&a ~n~vns c~~rdenad&a de 101 puntos P(1,C) 1
Q(0,1) CU.'»do !os o~eG coorde~ado1 giran un lnguln de s~~
§.:.~.
Eoeic,ndo u110 do la11 ,formulas .del ejercicio ll.nter1or n
PQ.l'a e! punto P(1,0): x••1Gos9o0 +oson90º•1(9)+0 • O
'.y 1a-1Se,n90º+ocoe90º•-1 ( 1 )+o-.,
:. :P(0,•1)
tieD(, r
189
Para el pll!lto Q(0. 1)1
x •0Coa90°+1Sen90º~o+1(1)•1
1
'I 'c.0San90"°+1Coa 90°a0+1 (O }•O
Q(1,0)
En cada uno do loa eJercic1os 3-8, ballar la trauutorma4a
de la ecuaci6u dad~, al girar loa eJea ooordeuadoe lJ!l !ngw.o
i¡u&l al iniicado.
3,
2.x~,1-J~o, 6carcT¡2,5
Sotu,i§a,
Si 9•aroTg(2.5) + '!'ge •
i ; 1ue¡o1 Sene .. ~ ,
Coae ..
k
Boua~ionea de rota<rl.6n1 x~x •coa9-y 1 Scne, • - 1-(2x•-,1')
Í29
1•x'Se116+y 1co,e .. - 1-{Sx'+2T1 )
129
&u,t t tuyendo en la ecuac16u or!¡inal dad!!. oe tieJ1et
..1.. c2x •-5y 1 ) ~ .2..(5~ 1 +2y 1 )
m
,.
m
x•-2xy+~~-o
l
·
-
J
a
O ++ ..,fl9't'-)-O
ea45º
i ei ..ci.611.
Jouacionea de rotación 1 x•x'Ooae-y•8eu6
.12
=~(x'·r')
ycx 1$an&ty 1 Co110 "q(:z: '. +;' )
luot1tuyendo eu la ecuación da~a sa tiene:
-1<x':r')J. i(X 1•y1)(X 1f¡ 1) t Í(x 1fy• ) Z •
ele dondes
4Y 1 , !~x•+,t¡,; 1 •0
tigure. EJorcicio J
+
!!ic~••y1) •
n,
-tex • .. Te
(y'+ t"i ) • -¡
8
Figura, !Jaro1olo
~
0
/j.t!.011t.11.t~lu A11alULi!tJ. Plana
190
5.
,']y 2
t )Xy• hO ;
e~Ulº
ycx'S9n6+y 1 Co,& •
Sptucl6n..
~=x·c~,e-y•sene •
E~uaci~nes de rotac!óni
y~x'Senety'CoaO
~(x•-/Jy 1 )
=f(,'Jx•+y•)
191
TA~n,I/.01U1ael&n d.& C~nf1611.a~
j(3x +4y
1
1)
Suetituyen~o en la ecuaci~n dada 1~ t1vn&l
n<,4,x'-31' }"~
H< 4X •.3,- ><1:ii•+,r· >.. rt"x, +41 'p.,o..o
1
,, ,sti tuyendo an 11! ecuaci6n ds.t!a sa tie11e 1
~ (ñx, +y, )i+ t(x '-1"5;· ')(.,,x •+y, )-1 •0
a.
x •-1cy •+6x•y• .. 3ii!c0
1
-9•4'º
S9lyc{6n,
a1, d:rnde:
.
j!e11a ciODe s de rotaci.Sn : x-,,x 1 Co"'B·"'Sen&, • ~(x 1 -y 1 )
"'
f=x 1 San9+y•Ooee ~ tJ<x•+y•)
6.
Sol1,1.c i(¡r¡,
é\i areSe:, (~)Re
Sene " ~
Cose =
y
Eeuaolonea de rot&ción: x•,c 1 Coa&-y'Sen9 ª
y=x'Sen6+y Cos&
1
J~
~Ox•-y•)
Q
Sua~tuyendo en la ecuac16n dada se t1ena:
}<~•-y
1} 4
+ ,tcx•+y 1 }~ +
1(x -y
1
1
)~(i 1 f.y 1 ) 2 -32 .. o
de dotJde 1
~(x'+Jy')
Sustituyendo en la eeu&ción daaa s~ ti~ne1
-Í( 'x'-y' )~+ _J(3x 1 -y 1 )(xqJ<- 1 ) + -1(x'+3;,') 1 -J.=O
10 ~
10
d~ donde:
'
lO
,1x•~+y•t.g
Figura. Ejeroieio 7
9.
Figura. ~é-rcio!o 8
Poi· .-otao:l..Sn de los eJea ooordenadoa. tranai'oJ'DaJ' ln •ou&oi.Sn 2x-y•2=-0 &n otl'a que carezc~ del t&rC'ino x•,
S:9tu.¡;,¡.6a,
Figura. EJerejcio 5
Figura. Ejercicio 6
Sustituye~do las eouscionea de rot.aoi6~ 011 1A ecu6ci.Sn dada
éo ti•ne:
2(~•oosG-y 1 Sen~)-(x'Sene~y 1 0ó"e&)~~,.O
o ·eee;t
Si it'"O + 2-Cos6•S&,¡1S=0 .. 'l'g'0"'i, lue¡¡O t Sen-&•
S&luc.Um.
~1 o~arcTg ( 3/ ~).
..
TgS
• i, lue,o!
(20ooa-San0 )x '- (~SenS+oos~ );y 1 '"'2«Q
1
Seo8•J/5 y Cos6•4/5
Eo."lacioncs <le rolaciór: x-=x•Coo.&•y•Sene "l~4X'-Jy')
•
5
En { 1):
-(..! + _j}y•-2...0:. ,.t;y 1 +2..o
~
~
( 1)
2 ,
13
Cose. •
-1
.;;
192
coorde.nad~. transforaar le e•
ouaoi6n xt2y-2~o en otra qoe eare11ce 4el ~J/'lliau, ea y•.
193
H>. Por r~tac1611 de lo, eJee
S~luc.i611,
Seluei~.
S1 y'•O + 2Cos8-s..na~o ~ Tg9w2, lue¡-o, Sen&•~' 001& •.,;
~~ ceda
(....1. + ~)x'·-2•0
,15
¡;
-b • ~ - • ;2;,.90º
AaJUlo de rotecJ.6n t ft~8 ::!e1:,.0SODH de
0
ifªX 'Se.ntHy 1(;0118·..
uno da los eJere1cioe 11-16, por una ro1.&oi6n de eJea
1Cx'•1'P+
~
1-Ts;'&
Coz o e ,90º
+
•
1
Tgfl ~
S1 eustitt1.i111oa
icx 1-1'H• 1 +r•)· + 1<x'*1q•... ~
de ,jon4e,
21x' 1 f15y'~•10
5lf't~2y1 "2
itµ!llc,t6n.
Sulrt.1tuyendo la, eeuacionea de rotac16n a, tiene:
4(x'Coe6-y'Sen6) 1 •4(x~Coa9-y 1 Sane){x•sane+y•Cos~)~
(xtsan8iy•Ooae)•+.rs(x 1 Coa8-y 1 Sene)•1
Daearro1lando y agrupa!!do terminoa obtcue~ou:
( 4Cos 1 6i 48en6Qos6tSe¡;¡.R &)x' ª+Ci.cos2a- JSon2 a )x 'Y 't
( 4Sen 2 8-.4Se119Coi,9+Cos 2 &)y 1 2 +."5x 1 0oe&-.,i'3y 1Sen6•1 ( 1l
Si x•y•~o + 4Cos2&-JSea28•0. de donde: Tg28=4/3
aee1
4(x' ., .;,_)
Su•tituyendo ea la teuaei,n dada ,e t.1eaet
H,
Sot,,el6ti,.
t•4Sº
+
rotacii6n1 X--x'C<lll'9-ylh~• iJ(•'-y')
..... "5x•-;i-o
ooordenadas. tr.n,r6rec,. la ecu~i&n dad4 en otr~ qu, Ca?'S!
ea dal término on x•y•.
n
9~ª+3111'y+9~ 22 ~.
!1,
SuBtituyando laa eou&cioaee de" roteci6n ,e tienes
(x•coa&-r'Sene)+2(x 1 S.n8~J'Oo~e)-2•0
o aea:
{Coee+2seo&)x•t(?Coee-s,ne}1'-2•0
(1}
Por tanto. en (1h
el tl~ino x•y•, 7 ea clon4e, A»ooeticieate de%•, B•t:(11)f1oie~
te de rey , Oaooet'1aiente de yª.
+
j,
' t.llto111
2rgª&+1?ge-2~0 .... Tg8•1/2
de doude: Sene "
-'n111lQ do rob.ci6n: T1129 • ~ • ~ •
o ttu
~
1-ri2e
si Tr&•1/2 •
•
1
J.:3 • n,gªe•~"'fi e-a•o .... 1,e-112 6
S~D9•1/~ 1 Coafe;/;ty
Eou1.Qion•• de l:'ot.a1:116b, ;1;•,•Coa&-y•"n& • ...l(2x••r')
~
~=X 'Sen 9+y•Oo«&. •
6 Tg8=-2
.J(x-•·+ay•)
IJ
Suat1tu19nlló en 1a •cnia11!6ll. .((ad•
.J. y Cocie • 2
13
,15
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1
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cons1d.'rtt.~n ;;ie\tl) Wil ei.st,1111,. ch! Ji-01, ·,a,ni11,¡¡;:l..~ll~il "'~ lsa
den lnn.ign:l:te;11 ll. • !)o y r. l's:ira. em.;lq1tia? W.Üi!l' de e;. d0 ..
01u-'st:re$G -quili l\l'l ti!t'lll'il'minCIJ:lti, :i) §St~ $6.4'1'1<~~- ~lil ;l.t .U•
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dndól ¡¡or t1·si.s.t'orme.e:i61; ¡fo ee,~¡;élan,,cl¡¡,~,
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FCUACIONES .'0:l TRANSF'OIUV.Ciot; i)t:. COQ~..
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x•i=xt-1 ,
Hu.ciendo J.r.s 111.wt.itu.eioo1111:
la t:!'ans.f<l'l'1l>.ada.i
ix"i ~ 3y 12,.6
1
:pµ1>1_,an ~v".p:.ijs=su ·... rut!'!d!;· n~ ,;at1 a ~ft'.:etu.a~ si.rni'_ tl,¡.1~c.¡¡¡c::1te uña -!;-..... ~.~1Le:.én 'f :.1:1a ,:v t,fl.CiÓ!l t -e~ 1,-a:'.l:;X"al~..en ie.~
w..l.s F.~!:
,::::i:leo., e-.f~'ctüRt' &·Bt:l:-J op~~-..;.cii)..'!1e::: s..:p:1ri~d.ament·e en doc p2.s{H:
J_._:·. -e:1t.et:
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~u.&o1 ,fo general dt: \!l'la rt:cta., llx~By+C=O, puede tr-an:,f'or~
marse en t'=O, q'lle ea l;i. u!u.ación del: oje XII,
llP.JitY:H,ittl10ffi1'1.• 1
'
Br. e:f'~ct.o, ,;uatittlyendo las ecu aci{)D<:s d.e t.!l'&slación en le
ec'Jeción áa4s,, ter.a mr,-;;: .i.(JC 1 +h)+B(y''+k)+a ... o
201
L: 4' til,Y 1 }/,ll+Jllr+C-0
Co1110 Mt -el eiirterna. K.'O''i' la ,-~eta !. ¡:eoa por 0',. entonces,
li«jgO, en ~8t6 sl3temn. la o~u~r.ión de le re~ta
,~ ,li,11de.'
~'
L:M:' tlly 1 ->!J
I
dot.an-lo ·1os .. j.,a X e Y 1 un ~r,gulo 6, sé
tíP.'líl,
SJ. :11""'0 + AC0setBS11n0m0
+
Co11e
( 1)
~ Jsan&
A1 T3'
s~11tituyi,ndo an (1) re11ulta: (-¡;-Sei,ú):, ... ~ O
2
1
Y" ~ D
x•-,!Jy"=-10
+
3 - x (.q}+y"(f)+5
-+
IJx"+y"=
{i)
0
4
(2)
P(-l- .'j ,
punto P, eeto ae:
~-1)
lZ, Hallar las uuevas coordenadas d~l puuto F(2,2) CWllldo
los ejes coordstados BOD girados priaero w,. á.nguJ.o da
45º y dsapu~s son trasladados al nuevo orlg~n a•{-1.t).
1
l Hl
Co1110 --;r-Sen&
!, O • entonces:
+
Re11olviend,:, {1) y (2) obtenemos las n.uev,s.a coartl~nedan d.,l
L: A (lC"Co:10-y"Se111J) +B (:{"il"n 6 t·y"Co,; a) :O
L:{JIGo.etHBSon&)x• + (!:ICnsl'•AS.. nll)y"
y .. x Sen0+y"CosS+k
11
1 ,q.4. d
SofocUm .
10. Ha.J.l~r l.na eoordenedas del nuevo orig60 ei
lo~ ejes coo_E
\/9ando las mis11a9 t&rmulas del eJ ercl cio anet.rior se t i elle:
denado3 :!e t;r,u:lad!rn de i:,ane.l'l' t¡ue la ecuaei6a h2-tExy+
Cy~+Ox+Ey+F~o se trR0$1or111a en otra gc~áci&n ~ue ce~ezca
x
= z•Cos5-y"Sen8+h
+
2
x"(~)-y"(~)-+ x•-y~~3{}
(1)
de t&roinos de ~rimar graJo.
y
e
X"Sea6+ywGos6tk
+
2 ~ K"(~)iy"('í)-+ x8 ly•~ /2
(?.)
Sotuei6';!,
Resolviendo (1) y (2} ob1.onemou x 11 =2~ , 1•=.íZ
.'. P(2~,n)
'.l.'raslad!ll:ldo los eJes lC e r al. .:iuevo orig&t 0' (h.k) so t.i-,néi
A(x•+h)'IE(x'+t)(y'+k)+C(y' fk}~tD(x 1 tb)tl(y'tk}tF • O
.:.fectuand::, o¡:rn1•a,;1one-t> y ,:¡grupa!ldo térndnos :re aul t& !
2
Ax •~+Bx •y• +Cy • 2 +( 2Ah+Blc+D )x' +(Bb t2Ck+F: )y' t ( IU1 2 +Bhlt +Clt tDhH'k
13. Pcir tral'!l.aci61l lle lo.a eje¡¡ coo.rdanado6 al .nuevo 01'igen
0'(3,3) y 4eapu6s rotaci6n sn un ingul.o ~e 30°, l.t~ ooor
denad.!1.8 de un cisrt-o pu.oto P se tre.ns.formB!'I rn (7,6), I!_!
llese las coo~dEtnadus da P con ra~pocto a ios ejes orig! •
H') " O
Si
x•~o • y 1 ee0
+
~Ah-t3k+D=O
{1)
(2)
ilb+2Ck-1 E:O
+
:i!esohienclo el sistema (1) y (2) para h ';/ :k. obtene11011 l~D
i)ooni-enad'ln d"l nuevo ·~rigen:
O' ¡2CD-B7';
w:--¡¡¡:
•
11. llallaT lan r,u~vae có-0rd,.1111da11 dsl ¡,unto P(-1,J) cuar,•lo
loe ejes. coorden~dos aon trasladadon p,im~ro al nuevo ~rJ
gen -0 1 (4,~) y ~-:'s9 .. és as lfla ¡;ira un !lngulo i.;P. 60°.
k~~~.l.i
l
111,n.l.en io Uf!!O de la~ róroula..s de 1•ot11ai6ri del horon& 3 "" t.iJ
n~:
nües,
Sol.ucidn,
Si x
2r-BP¡
i3 ~ 4:,.c
s
~
x•CosO-y"San()·H1
y - ,:"Senó+y"CosO+ic
X
+
y
P(t'J
'7(~)-6(q)+3 •
~
-J,IJ
~ -J/'J)
14. Po:t una Lrat<laf6n d.e ejco coordenados al. nue·/0 origen
0'(1,1)
y lucg~ ro~aci6rt de los ejes en un ánsulo de 45º,
la ecuac.ión ó.e cier~o lugar eeoir.étri co "" trgnsf"orc6 en
x" 2 -2y112 ~:?. Hallar la eouación de-1 L.G, e.on ra¡,,pacto a
202
.J.2lu«!l~·
Por laa eoue.cioneo reo!prooa~ da ~otael6n
:e"=
x'Cob6+y 1 S&!!O
tiene:
x•a ~(;,;•,i.:,,')
+
y"c -x'Stn6+y'Coee
3e
.. yn.,
'1<-z'+y• l
ilustJ. t.uysnélo sn :te. Pcuaci6n trentú'o.rm-11de. se tiene z
i<x•+y1 )2.2(y••x 1 P~2 , de dondet
Pero·¡ X"lC'+h-> x
Bntonot\3, en (1):
6x 1y 1•x 12 •Y' 1 .. 4
(1)
1
1 =x-1
j'";(l+Ji + y ry-1
6(x-))(y-1 )•(X•1P• (y.1)t"4
x=.6xy+y 2 +4x+4y"'O
de donde:
En Cdda uno de loe ejcro1c1os 16-20. h~ese la ecua(rl6~ d~l
lugar geon,trico d&l punto m6vi1 ~ nimplif{qu&s9 por tranetcr
iu.ci6n de coo~d¿nadne.
16. El punto se m~e~e d~ tat ,~n.era que su distancie d!,l P!I.U
to A{-2.,2) c,9 J&ielll'l)l'e igual a 1m diataneia a. l.á .recta L:
.z:-y+1:0,
So tw:.¿6n,
i) Se& P(x,y) un pllll.to d6l L.G.
~ ctCP,tl
u> IAPI
Hi) /(x+2}•+ y•2)i
de dond~1
.J.;:-y+1l
liIT
x 2 +2xy+y•}6x-6y~1~~o
"..J;..
• h"
...... 2&'290° ...
ll•U
1• 1
::t-=x'Cloa(l-y'Sen~ = q(lt'·y')
,1.ngulo de rotaci61u '.l!g26
Il!:uaciones 1le l'O°t$Ci~:i:
y=x•S.Oné+y'Co~O ~
9=45º
~(x 1 ty 1 )
S;ietituyendo •m 1a &euncoifu del 1.G. hallado, se den1;:
·1
2
.J.
• •
.
~(x•~1 • P+ ,<x •-y 1 )(x 1 +y '}+ 2 (x' +y') ª+3n'(~'~y'). :,/":l(x •-ty' )f
d.; dondo~
· ,\.lt; 2 .·12~:,,'+HeO
15:eO
o aaa:
4x1 2 =121:l(y'-
~)
,.
x~ª=~¡,,•
203
11. El punto se ouév• de ta¡ manora que l a ~ Ge uue diote~
e~ a loa do• pW1tos A(1,1) y B(-1,-1) tn aio•pre l~ual
ª·"·
ldt1t1U,11,
1) loa ~(x,y) un pun\9 d~l L,C,
11)
JtJ!i+ll!l'I•
4
t /'(xr1)l+(y11)' ~ t,
6o donde, obton.Boot )x•:2xy+,y 1 -8•0
1i1) l('.;.,}t+(y-1)•
Sidpltt'ioar•iao11 &hora la eeuaoión por rota~ de •Ju.
3:, "•.,
Angµl• d• roUcl6n! 1'g29 ~ ~ •
:?OA~cº
+
e~45<i
touko1ón81 4• rotaoi6n1 ~~x•Cose-y•sene • tf(a•-1 1 )
7cx 1 Sene+y'Cou8 • ~'+y•)
Sua\ituydndo en le eaueoi6n del t.G. se ti~t
Í(x '•Y' )t-
j(.c' ·Y' }(,e•+~··)+
1<x, +y' )•-a•Q
da don4é1
x t27 ª••
!Is la ocuaoicSn qh llillple del lu¡ar goodtrioe.
11
1
111. ! l punto •• 111u&'Ta 411 tal 11&.nen. que ñ Ul'kttm.cin del p•..nto A(2.1) •• eiempre igual. e.1 dobla de su diatanoia do la
recta L:x+2¡•2#0,
J'Qluc.J,:6a,
1) Sea .P (x,y)
Hl
111)
punto del L.C.
UD
IAPl • 2d(P,L)
1Tx-2) 1+(y-1) 1
o
2
lx~2l- 2 1
mT
d& do~d• rosul.ta: K2 -16xy-1 1y1 -~t22y•9eO
~1mpl1íionc16n d~ l~ eouact6n por ro~aaió;.de cjBfl.
1:!
-16
.i
'
1~,¡glilo de rote.c1,n: Tg2e • t=c •
o eee.:
2!lt.
.. -j
1
H'l'g 9
Ttfi • - ;J
+ 2Tg'&-JTg6-2•0 .... r,-0,,2
6
!'gllg-1/2
:
Si 1'g8=2 • en-toaces: Sen&=-2/.-'5 y CosB=1/tl';
Ecuaaionee d& rotaei6n: x~x'Cooe-y 1 San9 = ...l(x 1 -2y 1 )
~
;¡
Suni té1yi;ndn on la. conoa,~6.n dGl 1..G. se tiene:
6
-f,(x'-2y')2 1~(.x'-2:t'H?..<'+~·')- i31PY.'+v')z- ~(x' •2y•).:·"
':J
0
..
•
-r ~(2y'+v• )+';lu(1
,15
•
d.e donde l''lsul,a: 1'x'~-5;r 1 .1-B<0x'-6>0y 1 -9:.0
trasl&d>.tndo los eJes e: uu nue•,o o,:l"igE<l:l O 1 (h, ld
4
1:S(x''- ~x'.J.'*)·5{y' -~y•+!) =
9+1 · 9
Jis:ci;:ndo ls::i sustitucl.ones:
obLacoet10,i:
x'-~-=
t!~1:1e:
4.
.x•.
y, 1 - ~
Y"
1:5·,"'2-5y" 2 =!6./,;1 • ~ L5xr."--15y" 2 =i.6
:Ea. poot,o N jo i
ra~t ~ Zi ) a
plano de tel. lile do q 11& deL•do eiF>d&.
T.;,
La recta que pa sa por el ~oeo pa~pe ~
dieularlll&nte a l a dh·eotd z :.e 11all)a
-e;i.e. !l aeg111eS2i.o ile recta q11e ¡:,ar;«
por el f oco perp,.,ndicuJ..&~me~'ie ~i eje
" 3
.
.
~
" "' ., ;¡¡¡~90" ·• fi:,,J,'5o
Ee\1¡.¡d·o1Jes de rotAciÓr<,: ¡¡e,r'\losíJ-y'Sim&
y~xiaens+y 1 Coa~
12
=2
n
()¡'-¡¡· 1 )
G!,
~.l.
,.;, 2
T'~ ..9
3fi7
111 ecuao16n .m~s si mple d.e:J.
1·
l
ll.alila CJu;u<da~ e.ll p,n,tün.tlru-, .., lÉ. ei;~rdll. qua ps..i,. por
i'oeo. ttú. eóll,o :Al3, sp 11.il;la cu.,zMJ.a i"~.r,~.
1Ja
$i l' -es '. ti!. ftU'llto Gü"'1qui~ra (le 1$ ~:r~bo • a.., lt> re.c·~e. PP a,g_
l ~ c g l de P, o 1ti>.dio ve.ci.¡;¡,:.,
4(1t•+y 1 )
Sus f..: tu~end:l!i en la 00."taeíón ~el .L. G• .se tíe»~:
4(.;.'-1 ') (x•+y·• )-10 2(x •:.y• )4-?.( .x •i-y • )-19:eO 1
de donde:
4X'l.·0:~ 12 -13R:r't1212Y°'-19"=0
'
Co1,mlet,m&o Madra ño~ res uh~: L (x•-l'z) ~-4(,r 'Por tant.o,.
i
!
u1) >''Tll'-1;iHy-.l); - v(xi2) -t{;:,-iF ~ .3
i!e cfon<i.e: 8xy-20;;t ,1,y- l 9 •v
2
A~gulo de Nta:-ciou; Tg2G ,, ¡,,~() -=
~n :¡,unt;) í'iJo y
1j
i,ntercept~do por la parábóla
se llama L,u..,;.s 1t.eúu>,, o t.aac 11.itcto.
(ifoob oa 1mto:r1;1s lo lla.nan euerdn .not•
~le:et .? (r:~~,} nn pi1nte óel L ., G ~
,¡
1¡..___
ee lltim!i. to e.o, y l ,;.
di~ec:t..?.iz.
y •we e 'S
Sot.uci.fm.
JKPt. fBPI
-i;;i
r1roto . 1~$ diatwH::!aa no odeu:t2.dn:a
·une. -rect,a f1 j a son iguale-s..
lO. g1 put.1 to e-a k1tttHr.e d-~ ~.al ounera q u~ J.a di.f'~ren.cia d<! ~U3
dietanc,l,as a los do3 _p•~.::.tos :\(1,.1,) ;t li/{~2, 1} ¡¡~ sie!l!p.:t>e
igual. a .1.
H)
Lis. par.ibolá es e,l eonja~tc de ¡,·1.m'i,:,,1 aJ. tu'],
dos ,;,-n
E~ la ttcuaci.Ó!'t m-ás s.i:1:,p}t: d.eil luge~" g,eer¡¡éi;1•i.,oai
:,. j
m;f1,NlC! Of>(.
1,
= 1~
15{::c•-~l·- 5_(y'- )~p
,_
S41
li:CUACHlN OE LA PA~ABOL.\
EJE CÓOROE:U+\00
Te<;r-e>a~ L.
L.a .
j)(
Vf.:ene.e Ett tL Of!!C::N V E::rt UN
1,; ecuación de ur>a ¡::,a.rábol"' ,i., vó,:oti,::,¡¡ en al tiri¡;oll' y eje el eje X, es:
y'=4px
en do11die el foco
¡,,~
e,1 ¡:-.unto
íp.O) y
(1)
lto. eeuac:i~n d,¡¡ l« d irec-
tri,;,, as,. x"'-P• Si p1>0, le js.r~bcla -se a:.~e ll,;.cia ls, ._¡._..i"€1Cha1
206
al p<O, la parábola sa abro hacia la ~7,quierda.
Si el aje de una paníbola co1nolde con el eje I, y ol ~.lrtic<>
está en t:1 origen, ¡9u ecuación ea:
e) Lado r~cio: LR~J4pJ~ LRzf2
d) Como p>O, li,. c~rn se abre hacia le de1·e~. del g,Je 'I• y
su-eJo ccinol.de-~ ol ~J• X.
'
1
•
x =4p:,
(i)
<>n dund,, el foco GEi .il pu.nto (O,p), y ¡,., ec1u1c1.Ót1 dt> ls di'l'OQ
triz es Y·-P· Si p>O, la pe.rÁbola d~ ~br~ hacja arriba; ~1
p<O, la pa"ábola ~e abre hac1A SbüJo. En cad~ c~so, la long~t1i1i del le.do !"~et.o 0$Í-."i dado pcr ~l valor tthsoluto de 4?, q_u-e
es el co~flciente del t6ro.J.r.o de pri~~r gr~do.
lxtpl
L! •vani!o al c"..P.draeo
r
,3i:tplifis?a:1do
so tl;i¡ls!J..
obh,ti;,mos :
flota.
I.aa 1;,:,u;,.cior,.,~ (1) y (2) s,; llsmao, í!e!le.rt<J.11:e.ot':!, ¡;11.t.•
"'" •la "cuac ~6r, 011,U.nUA<a de 111 parát>oli..
1:E3ERCICIOS.
Er1 ~ada uuo dr,, los ej er~i cioi¡
Cru~
~-
, , hullar las coo:rd:ene.óas
4~1 foco, la ~cunci6n do la direc~riz y 1~ longitud del lad;
reC"to par01 la eCulloi6n d;ds. y di Acuti r el lugar g~o111ét2·ico ·
Si y 2 =-8• , lá curnra éB de la :oraa ¡&~4p~
+
4p•-8, de donde1 pe-2 (p~O)
a) Coorden6'l&~ del foc?; F(p,O} + F(•?.O}
b} Di:rect:ru I X"• P + ,x•.l
e) Lado recto, LRcl4~1 • L,q;a
d) Como p<O. l4 cu:tva ee n.bre h1tda 1-a
izqu1erda del ~Je Y, y au eje de elm~
tría coinai<J.e con e1 e~e x:.
4.
..:or,..,:--spo!ftiie.at.:e.
/l.
iftl.;H
e) Lado rector I,R.. f4pj + ta~12
d) Como,p>O, la curva•• abre hacia arriba
y su eje coin~ide ~ el eJe Y.
el rnLIJto :'(x,y) áebe Sl!ltb.i'acer 1a con
dicii;n:
•ty~
La eouací6n es d~ la terma ~:=4py
+ 4p•12. da dllildat p=3
{p>O)
a) Coo.rd,madas del fo~o F(O.p} ;.
b} bireot:ria: ~=·p + 1w•J
En ~recto, por dGfinioió~ de parÁbola,
+ /(x-p)
Sokci6n.
y 2 =12x
Sci.uci&n..
L>.! ecJac.i An es de i'a • !orm-a y.2.=4p)(.
lp~12 , da aoncJ.•:- .P.=3 (p>O)
,,) Goorcl~11,vlas dtü fo~o F{p.O) + F(J,O)
e) Er.uaci6n J..., 1~ direetriz: x=-p ~ x=-3
.~ ...zr«o
s,duc.i6n..
L
'I
S1 x 2 =-2y, la; co.rva ae de la. f'or11a Xa_"i?Y
¡p=-?. ; d¡, donde: p•-1 /.2
(p<O)
") Foc,;;: F(O.¡:,) + 1'(0,-1/2)
b} Direc.triZ! r•-p, + y:,1/2 ..:+ 21--1=0
e) t.e.do rRe'to : LR ;¡ !,pf + LRe2
1
d) Coito -p<O. la cu:rva"' se abl'e bacia abajo
jo3
c<>incido
y au
con >!Ü &¡e Y.
..
y
X
20 ..'!
J.J- !fallar h1 ,c,:e.ci6n d~ la parábola de ,,rt.
y ulreoL:r-i= 1 '""<.:t:. L:x~5=0.
,eu,ilqulora c11,
¡:,ar.,{h,fln, F(:J.¡,) c1 t'oco :¡ L au
!'·H1 l'(x.:1) 1,11, r•:r,f,,:i
11
Coma la. dir~ct:?"-it.. L::i... ~-5 e:s. unn ?"~et-e. var'tlt..1.1.,. :i ~e),. 1.::r.
e..e .l.!< p:u-é:iola, ce eJe ~.n·izontal, "'~ de l.:. ririll1t,
clL e<i,ü. Jor <letinci6n .;1,. parlit,_g
la ··l p·~nto !' de.ha se.~1Bf>sc&r la
· ,,1die,·, ~r:
1rP ..
• /(x-0) 2 f(y-p)A
c1{P
.r: .
=
fy+pj
1.1u-1
/
'Hn11a:;- ln oc'IP.ei.Ín de 1ft f-&rábob. '.le YH.-tic2 en el orig&n
y toco ol p,mw 10,0).
8.
so tu.e.ion..
SC>i!/H!U,f.!,
!loa 19. parábola l' :y 2 "'4PX
Coi:-o el ri:co 1'(3,0) est~ sobr11 i!l eJ .. X, le. rorlll" da lr, a,~~
clórt ie h: p!!r.Á oole es: y'- 4Px
( 1)
Adomís, r.:t l"(p,C) + P"3 , por lo tanto, &n (1): ;¡ 1 co'ilx
Si A(-2,4)~
::'i F(ü,J>l "" p~-3
}3~
.
por tanto, en (1} 1
longitud.
Sl x-2yf)=O -~ -;:'-'h¡- '} • :füs ti tuy•m,fo en fo. -cu,,ción d- fa r u!!
bo!e. ,., -tiene: y 1 -L(2;í•)}"O ... 1~-i!y+12"'0 .._.. y~z2 ó Y1.~6
/
~l
Ol"igen
++
Luego, 1.oe orlt"eao:; d!e la. ::rn~r-ja
l>or tanto:
Sif,n<io lú directriz '..ln-0 rec-ta J,o.rhontal, f!l 03e d, la par,Ób.Q'
,,. stir!Í vc!"i.ie1ol, p~1"1o q~e. su er.uaeHír. si.rt de la 1'or4Ia:
l<""~Apy
6U
So.iucU,,,.
( 1)
,-:t,,.12y
la oc:usr..i6"11 da la pe.ribola de vihtlc6 Oll
l directt12 lr., rscta 1: y- 5=0,
'Jna cue¡;-.da a.e la pra·lcola y 2 -4oc--O e:3 un sP;:¡~ento de,: la
recta 1:x-2y+3=0. H~llgr
!lnLonc,s la i>~uaci6n d¡¡
tO. lú,l.l. u
+
b) Coordonadaa ::lel .rooo, F(p,O) + Z,(-2,0)
e) Ecuae16n da la di~~tri~ L:~-=-p • L:~~2
d) !.ongitud tle1 laño recto· LR~ l 4p 1 ·> LR=S
§fltueifm.
El foco F(0,-3) 011tá aobre sl eje Y,
·:)l ~o.rilbolo 1"3 de 111 fo1'1lla: :x'•4py
( 1)
(4)l~4p(-2) , de don~o: ?;-2
a) Por t,i.nto, ~~ (!), l:y~=-8x
R&linr le ecuac16n da lo purilxlla de vérLi~ an el o~!g9n
y foco el ?Unto F(O,-J}
9.
17~ Una ;>arábola. cu;;o .véi·t,lcs 11stá en' el origen y cuy:.. cj ~
coincide eon el eje X ¡:,asa poi• el punto A(-2, L). 3:8.ll.e:r
la. 0)0.tlJ3ci6n <le J.a pa.rábolP.., .la« r.oc,rd,madas del fo-Jo, 1-r:.
ecuación de la directl"iz y la 101,gi ~ud ,!e su lado recto,
ÍllB) ~ l('?-1) 2 +(6-2)?.
$O;n:
e
X1~·
6
Xt
A(1,2) y B(9,.,)
!.,•'3
J4. ?l!ll~r ls lon¡¡-1 te1d ~"' 11'. cueria roca.L \l.E' .t,:e p..r&hol~
2
i:: +Sr-,0 qne ea paHur:la tla. t'Q~t9. L ·';)x+,.;- 7,·t'.
Sot.ic1l.5:.
,:1)
';oo;i::, I.:y"-P, entonce,; ¡,•-5, ¡;o.r tuto, en (1): :.:Z~-2oy
\
Si x~---!: 1
...
4~=.. ~ .;. 1,.,.
La. "~=et '.n ri
• I.ucgo: :o'(ü, ··2)
~ ·'U= ~c.l! r'cctl, -;; "t1lo.tá u !
x· e-~-
9
210
y+;¡ • -z(x-0) .... L: ;!xi 4;y+a..o
n1tonce1n (:,r 1 fl!y=O) ~ (~x+4y+-S•O) .. A(-2.-1/2) •
Por Lai:rto:
IAEJ •
:a(e,-e)
/{iH2)l+(-.st1/2)' = 25/2
18. E,tl.la~ la eo~ac16n de la circunfer•nc:i~ q~• pa a
wlriica 1 lo• ~w.top axn-e110e del 1-.dc ~QtO e 14 ~
bol.a •'-41-0.
l
&•
~4Lb . .
15, DemofitN·.r :¡,ue 1" lQngitud del rl!d1o ,,-eetcr ,fo cunl.~uier
punto P1(:z:1,Y1) de 111 paré.tola y 2 ~4f'1( e¡¡ igual ll, l~i+p,.
l}M!.c,1;tud 61>..
L(J2p¡.1}
En efeot~, el F(p.O) oon lat ceord!
1:111.;;io.11 :.illl r~co, eu.to•:ce":
r "
IFFi 1 "
/{r..1-v)ª-;-y!
Pero PtCx1.11)ci'
LUll(lO, fin (1 )1
L
(1)
n(- f2pJ,1)
+
L(2,1}
y
R(-2,1)
L{i,1}t_. • 4+1J2Jl+t~o • 2.D+~~-5
(1)
R( • 2 , 1)q.; • 4+ t-2ll+i•ll + -20+B-.,
{:2)
Reeol vten~o (1] y (2) o-btene•n•: D•O p E=•i
•• .éur•+,,.~y=-1)
~ r - /xí+2px;i+p• • /(;;;;1"pi'
lx,~¡:,¡
\,o
hi, Ha.llar la J.ongitu.::i d,r,'.\. radio 11eeto1· del ,pt1u\o
bb:J.a y te 9i.=0, a11¡ra ordon.ade eo 1g11al r.
¡¡¡.i la part
6.
S,;¡{,«r:.u,.~.
$l. P,{x,6)cF + (b) 1-S:Jt-0 • 1ie dond1u
4cnB~i B1 y 1 •9~ "4pe9 +... r,--9/4
1,. Loe extremo, del lado roatcr de 11na paribol& eualquie?s se
UJleo aon el punto de ~terceecj6n d•l e,• con la d1rt1a~riz
D• moátr~ que .. .,,a, r•~ta, son p~rP"1u1d.1 ouleres e11tr-i1 sl .
"""'"~~"~ll·
Jt¡c~
Ses(la 1~ !6~mula ~el -eJeroieio 15 se tiene;
re
:.+9/~I m 25/4
,1{.
y
Sea la oircaateronoia S;x"+y,+~x~Ey+F•O
S:l '\'(0,0}e-' + ll'.,,O
+ yfe4Px1
:t • ~,-_-2_Jl_x-,-.p-"".i+-4_P_l\'._1
:. r
Si r••·4$' • 4p•4 • s,•1
Cooi-de~d-a• dul !ooo- F(0, 1) y l u de
loa 11JttrS111oa del 1ado ~cto acvt
1>untc. cUll"lquiera de uni. ¡:,,n•!Íbol11 se ~rate un& pc¡o-
n~i~aln~ ~l ojá, De~oatra~ qu~ e#t~ pel'Jl&Ddtcular a n~
la pMJJOrc1Glt9 .. fl1tro o:t lado rectw '1 la poz,c-.1Ón d·
jc,
pr~nuida ent'I'& el v$:rdce -, e:. ple Q4 la ~rpi1lldico.er
En ehat.o, ea la pmbola ya~J,pic,
cuyo f ócc 98 P{p,O), y cuios &XtTeoos
de s u '-4do l't~ta •&n: L(p 2p). R(p,-2p)
! cuani6n d~ lH dlrú~tr!•• Lix~-p
Si Arl ~ A(-p,O)
P~na t~nte de il· ., ; ~~ • 1
pT¡,
~• ndlenta 1e
Vo1>oa
iit • • •
Q\i<,> mi.mi
u
-;~;º =
-1
-1 , entone&~:
il-'-iÍl
.l. •ll•-V.
Ds11ir;.4J~rJ~.
Vr,,11os a d,;,most~ar qu111t IAPil 2-lt.!!
~~
:ic!éiiil
ef cto, sea la ~ar,b·la ~:y o~px
Si Pa(x•,Yt}<F ~ Yi~4nx1
(1)
y¡~J&Pil, 4p=LR y x 1 ~foA
tero
1
\l
•
e~ ( 1)¡
f!P11
af¡J¡ Í>< IOA
i O. Una ctTaunferenci~ cuyo e.atril•• •l pl.l!ltc C(4.-1} asa
PO'r o,l focc l)e la pa1'4bo1a ,.•+tc:,y;(). Den~6tra.r que si, tq
gent,, a la ~hoetrh ,te 14 parÍ.bo1¡i.
Q¡~.._t..19~~ .
s. it;,r,4, proba:r qu., r;d(O,L), don<hl
I, &e
i.. U~ot.r
d
1
213
212
~a.rtihol a, Si
"!' 1 • · 16y
"" 4P"· 16
z4. v,rti~•~
+
Coo:rd~a3dss,del !oGc: F(O , -~)
_Si>,uci6/t.
B~u&c16n dé la <Ur,x,tr1~: 1=-p
Enton~as, ~:y-4•0
R&<l1o de la olrc.unfer&nola:
• r • ,r~~oP•(•Hl.) 1 -
Si P"-v, • J>...0-2-2,. Enue.ci~n d.e la dire-1:Uis-1 &•2•?"2.. (-2)
• :i.:x--4-0 •
,,.
Bn l'(:ihy) \Uf punte¡ de le -pa.ribola. ~tono-.•, poi' dat1Jlici6n1
rafO~I
5
~ 1-1·41 A 5
Como r=d(C,L}, 1111t1.mces la circunfer8lleia •g tengan" 11 1~. d.1,
reotri11 de la par/tbola.
IFPI •
d(C,L)
En ooda
W)O,d6
loa e)o,olcioo 22-~5, &plic1uuio la detizu-
c.16n de l• pa)·ibo.1.11., b&J.l.s.r l& 11Hi1.1e:cidn de J~ p•r&bt,lB n par•
~r de loa da.too dadoa. Radueir l.a e~i.Ó1! a la pri•aru
ma ori:l:l.l'u.171~ por tranafoT\118.ei&n da coordenada~.
d(P,L)
2}.
Fooo:1(-1,1)
{:,-4) 2 :oil,{x-2)
tru.if<11'11.adn1
D1r•ctr1-, ·t1x+1•S•O
,Eg&.$l61l, •
6ea:
1Y.P 1 •
d (P,L)
./(x+1>~+<1 -1>ª .. lx+z-~I
de donde:
mr
x 2 •2.l()'+y 1 +14x-t6y- 21•0
Angulo de rotaoI6n: 7g26 " ~ •
t,.
2iJ:r90°
-+
6a(5G
.q(.11:'-y')
Suet1t~y'"1do en la ac;¡eci6o or1(inál se tiene,
-i<x •-y 1) • . (x'-y 1 )(x•+y I j +
1<x •+y,) :1+7.'2'(x '•Y•)+ ;.12 (;i. +y• J-21 cO
1
~y•~+10.rt:r.•-4/iy•-2,co
2(y•~-2'2y•+2 ) .... 10"2x'+21+4.
so l.ul!i.611.
Be.el oad::, 1 y• -.12°oy• • x •.
li"Pl~d(P,1:)
o) sea,
/{x-))t+(y+5}•, • fy-1J ~ de donde• ll~•6.it+ ~2y•.' 3•0
l'loml)l6t8Jlcto cu•draóOtll (r-&i:+9·)-12y-.Bt9
·~ •{I~J) 1••12(y+2)
oot&ne~oa i
t!r " ., •
Trasladando los ajea al nue~o o~igen 0 1 (b,ÁJ ee tiene:
Foeor 1(3,-~)1 D11'9ctr12, Lr7-isO
,
.K-2•1:' , obt•~•·
S•a P(x,yJ un p1111to cual~ui«ra 4e la paral>cla.
d~ dondet
y''•4X'
la~iendoz x-3~x' , yt2•y 1
J
•
7 11 •-&i:'
'lª:t •sec,e+:, •cose • q(:t8ty')
;ir-2""'' , y-4·"!' ' • obtano11101t lo
Sl ?(x,y) ee u.n p~nto d•.l• parll,$16 •
4• dond•1 ~a~~x-,6~0
(y-O)~ ... a(x-2} • 'Bacie-Ado1 r.-0'"}' 1
.1"-1,x-S'y-+:?J•O
ao~p)atand.o eusdradoa ao t.J.ene~ (yª-a,~16)~4•-•4+16
~~.
lx1+1• • lx-4t.
tcwioionea de rotaci&n: xax 1 Co~i-y'S~n9
• /(~-)).1•(1-~i<t ••:b11
H,e1endo1
++
•o• la tr,.,•forJLadar
º
ttea P(.,y) un. pwito oudct12.1.~a ci,¡ ,l.a plt.!'&~l",, ~1 cual, ~or
~•fin1ai6~ de'be aati9facer 1-a isuaJ.ded1
d• do~ .. f'hl,,,11-,;ur:
na:
d{P/i..)
l'or det'inieitn 1
•
IFPI "
• 0
ror•
22. rooo1 P(),4)a 01.N>otria, ~:x-l•O
So~.i,,,t~ •
V{2,0) • Focoi F(o.o)
tranaforitad.a:
+-+
2(y•./2)ªc.t012(x 1 -
JI/. • x• ,
~)
obteQ'llDO!l la ee¡¡aci6o
7 n:t•-sr.?x•
x•••• ,;y•
..
214
6.)
215
ECUACIOII l>E UitA PARA80l,\ DE VEIHICE (n,k) Y E3E PAIIALE;lO
~
AxstCy'tDx+Ey+F~O
UN EJE COOROEUAOO
Teorema 2.
1
i) Si Cy •0xtEytFaO (D!O}, la ecueci6n :re.presenta una par,bole de eJe paralelo o coincidente con el eje X. S1 o~o,
la ee"oción representa dos r ectaa ~tralelas o coinoidento~ con el el eJs 1, o un conjunto vac!o, seg~n que las
ratees de Cy 2 iEy+F~O eean rea.lea y desiguales, reales e
LA ecu&ció~ de una par,bol& ooa vdrtica en (h,k),
toco en (h+p.k), y ej$ paralelo u eje X, ~a de
la tort1t&.:
(3)
(y-le) 1 so4p (.x-h)
Si p>O, la par&bol& ae abre baeia 1& derecho.t mi J:1<0, la par{
bola se abre baeia la i~quierda,
La eo\Ulei6n de 1« parábola de v6r~ico {h.k), foeo (h, k+p), y
aJe paralelo al eje Y, ea d~ l& tori:1a1
(4)
·
(x.hl ª•4p{y-ld
Si p>O, le pa.rábolt. se ahre hacia uribe.J ai p<O, la_ parábola
ae abre hacia abajo.
iguales o complejas.
Ji)
Si Ax'+Dx+Ey+F;O, (Z~O), la ecuaci6n representa una parl
bola de ej~ paral~lo o coincidente con el ~j5 Y. s1~E2-0,
la eeuaci6n representa dos recta4 pare.lelns ·o coincidentes con ei eja Y o un conJnnto vacío, s~gÚl:l que las ra!•
eos de la eou~ci6n .Ax~~Dx+?=O se&ll reales, dee1~ales ,,
reale9 e iguales o co•pl~ja,.
y
En efecto, t-aalndemoa loe •J•e coor
den.dos de aodp que el Ru&vo origen
-0' coinaid~ con el ~¿rtice (h,k). Se
gún el Teor~me 1, la ecuac16n de la
pa.t"Ób-~la r$farida a loa ejee 1 1 é l '
e:: t:á dada por:·
y 12 ~1,px•
(a)
hnora bien, pcr lao aouoofonea de
O
tro.'llec::i.6n:
ll"'X '+h , y•y 1+le
obtenemos: x•Ex•h, ytcy-k, que auatituidaa en (a) rae\Ütai
--4--...:.-----x
1E:lEllCICIOS.'
(x-h} 1 =4p(.y-k)
NotEI,
6.1¡
Lae aoua<J>ione!l (3) y {4) ee lle.man. géneral.menta,
aunda ~cuaci6n oñdi1104ia ~e la plli"&bola.
~~·
CCUACJOH GENEAAL. DE VII/\ fARÁBOLA
Teo.-e111a 3.
Una ~cuaoi6n cuadrática. @ las vs.riables x e '//•
s1n térJDino x7 pued~ escribirse de la formo,
y
1
toe ejereicios del 1 al 6 eon demoetraciGnas y deducciones ~e f6roulae que pueden eer fácilmen~~ probadav
Y deduéidas por el éstudiante, poz lo qu.e s~ deja como tarea
pus el lector.
Vota.
7.
(y•k l t.,.\J>(x-h)
.1.ni1og&menta, para la pa_rábcla de vértice (h,.k) y ouyo eje es
paralelo al eJ~ J, ee d¡imueetra gue tiene por eeuaci&~i
Crupo 2"1
lltllar ls eouaciiSn da la. parábola cuyos lfértice y foco
son loa- puntos V(-4, 3) y F(-l,3), l'el!lp'lctj,vsmente. !la•
ll~r ta~bién las ecupoionas de'su dir'eotr1~ y su ojo.
Sotuc'ib,i,
Co90 V Y F csdn llobre una l:fon horilOntal. (tien6n la mi~ ol'den•da), la,
•Cllación d~ la parábola ea de la for2a
(;,•lc)2 e4p(x•h)
(1)
8l Vt- 4, )) .. n.--4 --¡ k;3
lit$a,e P~i71=~1-{-i)= 3
· en (1): (yrJ) •~12(~+4)
ci6n do la di~ectrtz: x=b-p
1
~6n del eJe : y~k ~ Yª 3
~
+
x,.7
21 6
6,
lle.llar la ecuación de la parábola cuyos v,rtioo Y foco
oon ¡ 08 pw,toa V(},3) y F(J,1) 1 reepeotive.mer.te. BGllar
par6bola •• paralelo al eje X, y su aeuae16n es de la to:-ia:¡
tambi$n la ecuaei6o do su dir eotris y la longitud de
Si V(O.))
$U
(y-k) 1 =4p(x-~)
+
h•O 1 ~sJ. Adecaáe L1ic--h-p
lndo recto.
(1)
+
ñ-pa.5
~
o-p~-,;
+
p•5
Sol.uci.611 .
como v )' ll' estln solJre u:na. .l!nea ver
tioal , (tie1ten ln misma absoioa), al
aje de la parábola ea paralelo .al eje
Y, r eu eouactón es de la formas
l'il ca.da uno de lóa •J•Tcio1oe 11•1S. reousoaa~ la ecua~i5n
11<'igun~a tor111a ()'rdi.Llatia de la ilO-\!Soión ,a. l.a pal:'ábola, 7 hall.l.r l•a eoordeuadaa del vlrt1ce y del foco, 1 o•
cuacbne i, d.., lA 4iraotr1a '/f eje. 1 la longitud de.l lo.Jo 1·tcto
dada a l"&
{x-hJl-",!.p(y-k)
(1)
Si V().3) • b""k".3 1 p•V,.. 1.J•-2
Luego, eQ ( 1) s
(x-)) 1 ..•l!(y.J)
Eouae16n (!f.l lA directria: Y"'k-p + I;s:,,,•5 • 'Lad.o roe.to: I.R::S
.fglt.1C,l6¡¡.
Compl~taAdc ouadi-ado• »ara l a ~&P"i.abla Y•
9.
ta. di reetri.a de Wl& parábola 1,a la recta y-1-.0, 1 su foct·
ea el pWlto r(4,~3). aa.llar la eeueo16n de la p&r!bola
por do& ml~dos direrentes.
*otuc.l 6n.
Como la directi'i.11 ae una reoui hor:Ll!onte.J., el eje d~ la PEll"Í
bola es parlllalo al. aje l , r 6U eeuaei6n ea de 2a forma,
(x-hl2•4p(y-kl
Si F(h,k+p)•F(¿,.3) + h;4 1 ktps-3
Adamás L:r•k~p·y si L1y•1 + ~-~~,
(1}
10,
de don!{•:
12.
Re$olvlendo (2) y (3) obtene~os: kc-1 y p~~2
Por tanto, en .(1) ea tieMs (x-4) 1~-~(y+1)
2d~ M~todo. Sea P(x.y) un punto eualqulera de la psrábola,
·
se d&b9 v:erit1ei.r que: IFPI = d(P,!.)
o i;ea: /(x-4Pil~+3) 1 " 1;r-1 l
de donde obt.. nemo~,
(x•4l1"•8(yt1)
'
,
,._
La diraetriz de w,a par~bola
es la reata x+5=0, y su v~rtioe es el punto '11(0,)). Hal.J.ar la ecu~di6n de la p~rlbo•
la por doe mát9dóp,direrentea.
Solye.H1t.
Si~nda la direotri ~ L.x+s~o una reets vertloal, el eje de la
tiene:
)la-2 ,
Ir;, 5/2
, 4P- 12 .,. P")
a) Clo<>rden&daa de.! v,rtiee: V(h, k) + V(w2,§/2)
b) Coo~a m.AE1t1.a. de l toce: Y(h+p,lt.) • F{1,5/2)
e) ECllRei4n de la d.irootr1;, L:x=h-p • t:x~-~
d) Ecuacidn del sj•1 1~k + )~5/2
o) Longittttl dwl l~do rec~o: LR:l.q¡j+ LRn12
(2)
())
ae
4(y 2 -5i;r+, ~) . • ,4b-t-'1H25 .-. (y•S/2Jl .. i2{xt2)
~ll
2
+2 1tx+72y+l6ca0
Jetu,u...
Co~plotándo c\n,dr&eee F•ra :La ~r!.sbl~ x, ~o tienet
9Cx•+ix+ ~) • -721-1iií+16 ++ (¡i+4/3)l-.5{y-O)
e donde, b .... 4¡3, .~o, 4p~-a + p•-2
a} r oordenadaa del >ñrt1oe: V(h,k) + V(-4/3,0)
) roordéhadae d,al foeoc F(b,ktp) ~ F(-4/5~-2)
Eouaci~n de lo dirt".etri.z, L:yck•p + L~ya2
•' ou~c16n del eJe 1 ~"¡¡ ... X"'-413
•
e) Lo~g~tud del lQ\'µI re.,.to: Lnoj4pj + IP.~a
yLO~~la A.Aatltiea Plano
218
219
22.
Sol.uei.6n.
Reduciendo ln ecuación & l& segunda forma o~dinari~ ee tione:
4 (x it3x +
1) = -1.ay+159+9
Sotucl611;
+ (x+ J/2) '=--12 (y-7/2 l
Reduciendo~ eouaci6n a au forma ordi.tl41'1a
,;e t:j.en e1 y•4{x.t.+ll+'t)to-1
do donde: h=-3/2 , k=7/2 , 4p=-12 - p=·J
·a) Coordenadas del vértice: V(h,:lr) ·• V(~3/2, 7/2)
ll) Coordenada.e dal foco: F(h,k+p) + F(-3/2,1/2)
el tcue.ei6n de le direct:ri~. L,y=k-p + y;1J/2
d) :Eouaci ón del eje: ill=h + 'x=· J/2 ...-.. 2x+ 3=0
e) Longitud del lado recto: LR=~4PI ~ L~=12
18.
La ecuación de 1ma fa~ilia de pará.bol.e.e ee y:4,xz+4x+c.
Diecutil- c.o!IO v~!e el lugar geos&tr1oo cuando se hace
va.t,isr el valor del pará~etro c.
de donde: (x+1/2} 2 = t(y+1-e)
La ecuacién .represimta. una faciilia ie
pará.bola~ con vérti~ee sobre la reo~
(Eje de s~etr!a).
Si c~1, tl-Y,rtice está aob,r• el eje X (V 1 }
Si e<1, el 'i",rtice ee-ti{ qebajo del eje X (V:)
Si o>1, el. 'i"ért-ice está uriba del eje X (V a)
x=-1/2
Discutir la ecuación Ax .. iCy~+Dx+:Ey+F=O cuando A='E=?=O y
Ci!O, :0,0.
Sot«c.i6n,
Si AcE=F=O
l,a ecmioi6n dada ae reduce
at
2
Oy +Dx•O + y
La ecuaei6n repreGenta una parÁbola oon v~rtioe
y ejo de si~atría aQincid~nte coo el eje X.
tldemáe: 4:p
=-!
+
p
=-,
luego: LR=l4Pi"
e11
2
:: -
~x
el origen
~
Si~< O+ la ~arábol~ ee abre h~eia l& d~recha.
Si ~ :, O ... 1a p,u·!bol5.
20,
Ge
B.
abre hi:.cie la isquierda.
Sallar lao coordenad&e del fooo y el v,r.ice, laa ecuscionee d,1 11!. dire-ctri:. y d e.Je, y la longitud del lado
reoto de ln ~ar~bóla y2 +8Y.-2y-11=0.
so t.u c.jJ,11.
La eouaeión de une .fa¡¡ilia de p-.rthola.s ee Y"'ILX 2 +bx. Hj.
UctHl la eoua.ei6n jel elenumto de la f'a.iinlla que pasa
A(2.B) y B(-1,5).
Sea
So í=f.611.
..
ll' :y~a:x. ~+b:t
( a)
8:.4a.t2b
(1)
(2)
5=a-b
ResolYi~nde el eiet.es~ (1) y (2) Qbtene.!l!oa: e=3 1 h=-2
Luego, en (a ) se tiene~ P:y=3x 2 -2x
Si A{2, S}EP
B(-1, 5)d•
2~.
+
Ballar la ecuaci6n da la psr~bola cuyo eje es partU.elo
al ej_e J: y que pue po.r los tres pur .;os A(O,OLE(B,-.4}
y C(.3, t).
Sotaclén.
See la panábo1a
~:yzt~xt.E¡+F~O
~educi9ndo la ~ouaci&n d~da a la 2da forma ort1naria ae t1 ~1 ~
(yª-21~·1) ~. -8x+ 1 5+1 47 {y-1)a:.8{x.2)
de donde, h=Z, k~1 , 4p=-8 ~ p=- 2
a) CoordetJadu del' ?értice:. V(h,lc) .. \'(2, 1)
b) Coo~d.ena.das del f_oco: F(h+p,t) .. F(0·,1}
• (2_}
C{3,1 }€l' + 1~3D+J1,.,0 + JDtE = -1
R~s~lVieudo (1) y ~2). ob~&~emos: o~-1 • E~2
e) Ecuaci6n de 1~ lirectriz: x:h-p + L1x=l
Por ta~to, ~n («) ~n~~oee
d) Ecuac16n del eje: y=k • y~1 • e)
LR~14PI
+ LR:9
Si A(O,O}EI'
IJ(B,-4)~
+
+
~+O+O+T: O~ F~O
16+8D-4E:-O + W-R:-,t
P :yz.x+2~~0
(1)
{cr}
2:?1
l 5.
Hallar la ecuaciQ.!\ de la ¡,aribo.l.a da vér,ú ce el ¡:iunt.o
V(4,.1), eje la rec,a y+1 7 0 y qua pasa por el punt~
1) 5ea P(~,1) i.ui punto del L,G,
A(3,-3}.
o.>
Sal,tc..i.fa.
3ieodo el .ije una recta horí.zontal {y=-1), entonces la ect.:a.:li6.ri de la par:ábo.La es- de la for111a.:
P:(y-!c)l:4p(x-h) ++ :P:(y+1) 1 =4p(x-4)
Ji A(J,•J)cP
+
{-3+1) 1 =4p(3-4) • de· donde:
Luego, en (1):
27,
JO.
Coorde~adas del foco: F(otp , !c)
de donde: r ~ 1xi+h +pª-2h.x 1 +2~x 1 -2ph: l(x 1 -h+p)¿
,: .. 111'1-h+pl
,ta lución.
ii) En la figura:
ii!.) /x i-+:, 1
Hallar e identificar la ec~aei6n del L.G~ de un pun~o ~·
se muev~ de tal man~ra que su distancia de la recta L:
x+)=O es sie~pre 2 !tnidn~s mayor q~e su dista.nci~ del
punto A(1, 1).
"
01'-=3~d(.P.t)
3+ ! y-1 1
a) 51 y~1 + l¡-i l~y-1
+ /x~+, 1 = 3+y-1: l+2
de don.:!.e~ .i<. 7 -1.y•L=O (1}
b) Si y<,~ ly-1f=-y+1
¡:;r;;¡¡r ..
de donde:
3.i A(,c 1 , J)E:I?
29,
QP;QT+fli
+
P:¡ 2 ~4x+2y-19=0
9+4-"<tt6-19:0 , de donde: x,~1
Reducien:to la acuación a su t'<>r111e: ordinu·ia se tiece ~
y 2 +2y+1 • -4x+19+1 ++ ?:fyt1)22.4{x-5)
de ::!onde: h-= 5 , k=-1 , 4P"· 4 + p=-1
Baoiencio u30 de la !~roula del cje7cicio 27 obtenemos:
!:"'11-5-11=5 .
Rallar e identificar la ecuac~ón del lUgQr ~o~Jtrico .
del centrp de una circ~nfereneia ~ue es sie~pre tallg<;;Dte
~ la recta Liy-1~0 y a la eirc\Ul!era~cia xª+y 2 ~9.
i) Sea P(x,y) un punto del L,O.
Rallar la io~gitud del radio vec~or del nu.cto de la psr1
bola y 2 ~4x+2y-19=0, ci..y.a 1,í'dena~ efl igµal a 3,
Sea
x~5: /(x-1 ) 2 +(y-1}~
d~ :l.Qnó.e:
P, (;r+1 >1=-4-( x-1,)
2
Sol"ci6n.
j(r.1)+2 ,. .;__:.....,,..-,---,l iP 1
it+Jl+2, l(1t-1 ) 2 ; (y-1)i
g) Si x~-J +' x+Jl=x+3 +
(1)
S1 rmlfP1I
r : /(x¡•h-p)~t{yL-k)ª
(1}
Pero ?1(x 1,yi)cl? • (Yi-k)~=4p(x 1 -il)
Sustit~yendo en (1) se tiene: r = l(x 1 -n-p)t+4ptx 1 -h)
zs.
ili l
p~-,
Demostrar que l a longltuft 1el radio vector de cualquier
p1mt;o P dxi.,rd de 1" pará:bola (y-:CP;,!;p(Y.-!1) es igual
a lx 1•n+pl.
Soluci&n.
S 11 l.w:. L611,
6, ~
3•;.r +1 .. !.-y
x 2 +Sy-1ó~o
(2). Ea
ECUAC¡ON Dt LA TANGENTE 1\ UNA Pi>.fl!\80LA
.\l. :.,r.1sl que "" la circunferen~ia. _conPi d &.?'aE_QG 109 si-
g•iientes ee.soa.
~} r~ngonte en un punto d~ contacto dado.
b) Tan~ente con u.na pendionte dada.~
~) Tang~nte ~rs.zida d~$d~ un punto ~~-tori o_,
Teot>el!l.s ¡¡.~
Ln t.angeute a l.e pi¡:cábols. Yª '"4Pit on un 'J1li~'tc c ual..,
q,.1 ,ua. de .le curva tiaoe por acua.c:Lón t
y 1 y = 2p(x+x 1 )
Ds• <>4Ui>.i; ¡ d11 ,
1.
En efecto , sea Pd::t1,yd .m punt.o '10 le pe?'(hol2 P:y,.;4¡a
l.a ee,aei6n de la ~n.n¡rente que ;,asa por ? 1 , e;3:
'/·Y1,. ::i(x-xd .. Y-"'lllx+y,-mx1
("1)
, ust:t-1,i;yendo eri la ecuaci&n de la p11.ríbola obtsnecos:
X¡ll
1
-y,~+p•O ·~ m • ~v,
Per~ P1(x1.J1:cP • 7J•,PX1
!
(~¡
(2)
Lue~e en (ci: ~ • -1..1., su1tituy9ndo en (1) Sé tiene:
Y•Y1 ~ ~(x-x1l .... 2x11•11(x+x1)
-
:l.'
2x1
(::?):
•fts . Suat..1t-uyendo en())
(3)
Lon¡i h.~
obt,.néoo,; t'i-
t.on¡itud
Lo11,g!tod
í ftoreaa
s.
La tani•nte !e pendiente mala pal"'Íbola
y1 •4px
2.
~i•n• por
•aqa.e16nr
T • U + ll , ai'O
En electo, e•& le ecua:t6r. de la taµge~t.e: y•ax+b
••at.1 tu yendo ao la eeuac164 do !e. pa:d.bola ¡¡e tl.•n• r
<~x+b)~-,~x •• mix 1 t(2~•·4p)+b 1 •0
Por conoivi~~ de ~&D¡tQclas (2bm-4'1) 1 -4h 1 c 2 •0
(1)
1e d.onde I brp/m
:.u,lgo, on ( 1), la ee1¡ae1c51lc de le. tang10n te es:
D
T(-6, ))
ro
Cru~
En cad& IJZI.O d• loe eJerc1c1oa 1•::! ball~r· l.e.o ecuaeionea de
la t~ngente y la ncra&l Y laa lonlfitud@s _d• la tange~t3, nor
,-.!, subtll.t>ge11t.e 1 aubncr111.ll, para le parábola y punto de
l(y.6m.jl
D
,or condiei6a de ta.J:g:aoeia: 4(3+~)ª-4m(-1Z•l5s:•~
de donds: (2m+1) 1 •0 ... ~·-1/2
Ecu1'ci6a de la tang\\~te I y-J • • iCit+6) ..... .ir+?,ytO
Ecuaci6~ del& normal: y-Je2(x+6) ..... 2x-~15~
Lon¡itu4 de la uontl: n. •
1EJERCIClOS,
*~o
yª+ ,;(y-6e-3)+2y+'h0 ~+ my~t2{2+a)y+(-12•HUJ)•O
l.ongituO. de la to.n(l'ent.es t "
+ 2
Q
y 2 +4l<+Zy+!b0
lóuaoión de la tangente: y-3•a(x+6)
Su U t,:yendo e.n. !!1 eeu¡i,ot6n •i&.da•
fb!!!!.Hl.ci,.11:. • 611 •
f
l
. s. . tud.dn.
al
•
= lfl I) -+a 1 • ~ff+i • u2'
Je u no::-9!!1: n . .,. 1y 1 l ff+i'1 • 2alm o 2~
del~ uubt~g~ote: l3?lcl;11•
~ 2
de 1~ aubnore&li ISGJ•l•Y1l~ 1(2) • 2
t,ongi t.ud de la te.n¡¡en t'.!. · t
2xi
Pero -ia
x ~ ii7+s-2)
Por ~ondici6n de te.:i~encia: (-,)ª.4(0)(4)(2-m)=O
de '10¡¡,:te:
(o-1¡= .. o ... 111.•t • L<.1e¡¡e, "'· (1}. la éc:uaci6n de
la tangente ~o: r•<•1(x-1} ...... x-1+1~0
! cuaeiÓn d~ la noraal.: y-2,.-1'x-l) _. %t7-J=O
~
6}-.tox¡·
2is-
(1)
Ec1U1::lón. clt la ;;ruigont• que pas1.1.po 1: l"-<"'C(x-1)
sustit:i;¡onco "º la 'J•:u::·!16:i dada. se tiene-:
¡~- ,:trta:-~)"O •-+ my 1 -iy-r4(2-:n)=O
Po? condieJón de tangencia:
~e don<1_er
so l..,..c.idll.
de donie:
~ªx,+(¿gf1 -2s 1 x1-,p}x + 11l+a1~~-2=x,y1} • a
(2•y,.:m 1r.1-.r} 1 -4•1 (y!+cix1-2cx1y1) •
y~-lu~O ¡ T(l,2)
l.onri tud de b
tt4/1.,.m 1
•
lnfl1t21' •
11ubtaiieente:
l:"r72fltt1/4 ~
YH1/4 ..
s'1 • 1*'11 '"l':'if¿I
Jf'
4
I.on¡p.tu<l.de la aubnox·i:ialt ~,. jnyd •1(-1/2)0)¡ ..
0
acntauto d!ldoa.
l.
~z•6K+Sy-ll~O ¡ T( 2,-1)
~~-
ge...a~iCn del~ tangent
I
y+1• {xt2)
I
La Pa,,.&C.ola
rlr;. 1ondf:J: y=ox 4-2Jt• 1
na:
S·j2 t.1. :..!..:.-e.:i,:1o
x2-ó..x+5fn•,....:.2;i .. -; )-1 ~"::
ls .ccn:!ci ~n dacla
t:f_
f'~
-;_¡ ~
7.
225
tle11>ootrsr qus las ta.cgentes a ·1n;'l pru~t,r,l~ &,! lo,; _¡:4:: tos
cxt.re.~o~ dG !ni la.do recto son p~rpe.llf!;;.c!..:.arcs e~tr~ •si.
7~+(j:::i-o) x71C11 1-16~-;
?e-:- eor:.dicd(ri d•;;: ts.~1C!;:1:c:.n::: !5c-6)'-L('1 l('"Cs-16) -·0
(b1-2) ... =-0
.le éo,dc::
+
re;;.¿
En efeovo, ~e& ls parábola ~:y 2 =Lpx
Erna,~ión de 1~ t/!.ngfmie: ;,+1-2{'<t2) _,_ :Zlt-:,+J,,(.I
~~U~'.!l<fo le la !tOTI.l!i.l: y+1 =-J(x--.2}
"-+-
;,ongitud dó la tangttn~fi: t--l~1V .. +1t~
c.
.(12,:1•4=0
¡-Jllí+L ~
cuy, ~oeo s~ F(p,o).
Coa.e )'.,F.:oF·R<Zp, entor:Mn las coorda-
q
nsdas d~ lps exT.ranos del lado recto son, L(p,2_¡,) y lt(p -?.p)
"= 1:, 1I R =1-• j ,.r.fu - 13
V11 = ;,-_
_:>l
~~bt!!'-'h~~te: dT
= it"
- 1__1
_
2
'lOTHil,
11
nu b:-,.-, r1>1,ll o sir -
l my I
12 (-1 ) 1
J
Por el Teol'am>i 1,, las ecuaciones d::,
las tangantes en L y R son,
2¡:,y = 2p(x+p) .. ~-;x+p
?n 1 "1
2
-2py
f{...
~?!)r medlo de-.l ·.r~1-~?r.::a. :.;., !lallaT la &c:1.:!:lci.6n tle J..a tang~f
t,,, a la. parJ:.cle. y 2 -l.x=O ,in ,.:_ puato T(i ,2),
!l,
5..
1e"T,ostr,u· l;ue lR ec·.Ja,ción d~ le.
¡
2
:..áApx
él\ ?\{_x1,]1)
r10.1:·1:1al
a J.a parábola
= 2p(x+¡,)
Std.ueU,11.
'"' o~tcnce~ 1~ p~~j~euta tle 1a norraal so~l~
es mt; '2i"';•
2x 1
L
rx
mn;_Yl. "! a11 u.::,;ei<:r;: 'J_-y 1 =- -y~(x--l.' 1 )
,;+::::d
Si FsL-c1 ;;1)f.:~ 7 y~;:.,\px1 • ?.x 1
(1)
=-)).
..,p
.
(',1~ sa -:.ia~o?
.
,.,1
S·J~ ·4
t-... 1.uye-r.. c!<> er
·2pic~i
1y
.,?, t·;tl\~
;r..:,• ¿p'º'
Si y 2 =8.x
+
Lp.-8 ·• p=2
2
+ :-:¡-,
de donde: xty+2'c0
10. !lálh.r le cc1111,:1
61/ de
la tangente a l-a parábola x~ •·'.!ti J2y
-8'<0 guc es r,,,rtlela a li: recte L:;3xt9y- 11=-CI.
Sol.tu.i6A,
Su.st1 t:.ayendo en la ec:Jación da<la se t,j ,;n;;?:
x•+4x-,:(x+k)-8=-0
Por "" .it; lel 1•~,;aJ. t,,.é!,:,_ d.-J. ~jeroioio 5, h~ lls.r lr:,
-:ic CA le.. JtCl.'~Zl a la t,i·iiY).1a y= .. 4.x ('11 lfl{·lr ..~).
-.F--..-1.60.
~.i _. =--~x ,. l""i•, ..,_ ¡):,; ; x 1 :::· • y .;2
o
p&rpen
La fa~i li~ d~ recta para:elas a L e~té aada por la e~u~~•én:
x+3_;ttk~O ~- y= - j(xH.)
(-)
1
e
30U
le;_ ecuación de la tangei;a es: •v=rt,x + ~
n:
GG Y1X~2py~x2y ... +2p_y1.
r1
.2.-. 1:x:ty:y
m2 =-1
Hallar lP. ecuación de 1.a tangente de pendiente, -1 a la
pa.r6 bol a y•- SxeO _
y=-x
<!a ct,,:1de,
+ y,o•-x-p
Como n1.m2 - -1, entonces, la~ tangentea en L f H
di eulares.
~·
·-,~
++ x~ - /,k-8=0
Po-r eortdi l'.!1 Ób de tangencia.•
( OF-1. ( 1 H-4k-8) ~o .... kc-í'
Pg:i- ter.te, en (í), la ecuación de la t.&r.igenta e:a: x+Jy-i=C
11 • RallAr la ~cuación de lA stl!l~ertLe a la perinola y 2 -2x+2y
+3=0 que a-0 peepéndicul~r a la rec~~ l:2xty+7=0.
226
la Palf.&iola
-S.otr1.cilin.
12n ~4J,-1=0 .... m1 =-1/2 ó m,=i/6
oe donce:
Si .,.-& a
L& familia do r~ota perpendiculares o Les"~ dr.dn por:
x-2ytl<.e(j .,. :ra2y-k
l 1)
1 ""-0:1 1 ·> Tga ;
1+:,1.mi
--
condioiói: de t=zimcia; (-2 ) 2 --4(1 ){Zk+J)~o ?or t&nto. e~ (1) ten3mO~l x-2y-i"'°
12.
15.
":~- 1
Sot.,ui!m.
Rallar 1~$ ~cuacioues as laE ia.~gentos trazada.$ del punto P(1,4) e la pP.rábolA y 2 +3x-6,y+9=0
L.3
D;;l p~nt.o P(-1.-i), s~ trnM dos tangsnt..a a la pnábc11< ,'~-xi-4¡r-6zO. Rill.e.1· el IÍ.ng,lll') agudo forlllo.de !X)'l'.' eistae
rectas.
_LJue,'.1-\!:.
-'(ll1'1.
i!l de l·actaa qui) p.,.~= uor P, ~1na dnda po~:
1
•
~ ~ ~ ;;¡{y~1-m)
)~1-ro(xi1)
.:;~= U 'Jy!"'l'iii.O en :~ e "'t;F'i,CiÓn -~~a ~e t:1.eu.e:
%
.!.(.y.1-:i:Jf .. yib=Ú <-+ l!, i, (4m• \,-7a-.-1-J
...
y 2 +10yt2k19=0
D.i.ser:ail1ate de la écuactón: ~ = (10) 2 -4{2ktY) = é4-8k
a) Ocurra cuando ~>O , eo~o es; 64-Sk>O ,..,. k<~
h) Ocurre cusndo A=O , o;.se:1: 64-8k=O .._,_ k=8
a)
.1<0
o oca: 64- Bk<O +-> k>B
/
16.
•
Hal.lar al áng,.tlo agudo de intsrseeoión de le recti, L:
X•y- 4~0 y la parábola y 2 =2x en cadn 11no d.i! los ?Untos de
l :iw1·secci6n.
Soi~ci6n,
()r-}"- 4:0)"
14.
oc--2y-k . Sustituyendo en la eou~ci6n dada:
+
Y'~-:Z{-2y-k)+6yt9=0
uv~-{3+Bm)y+9+19~=0
Por eond.ici,ón d'> ;;ang~ncia.; (3+$111) 2 -.4JII (9+19n)-O
da de!tde: 4.:t2 -l,ro~·.3=0 ..-,,. 01=3/2 ó rr 2 =-1/2
?o.e tauto, en (1), 1<1.s ecmoeionee de la.e ·l;angentes son,
L 1~ ;-x-2y+ 15=0 6 r.,, :xt2y-J::O
Co.n rererencia a la per~bola yª -2x +óy+9=0 , hallar los·v~
loref.' de k p.<ra los cuRles las recta::; de la !.'aaiilia
_xt2y+k=O:
Si x+2y+k=u
~u3iit~yebdo et la Qcuación Oada s~ ti~no.
13,
TIa - o.·1·•1
"'
Sotuc¿Óll.
La f3milia de rectae que pasán por P aatá dada por:
y-J"m(x+.3)
x = 1(y-3-3m)
(l)
l1
+.-
1 12
1
a) ~ortan ~ la paribola en doa p~tos di!nr~~tes;
b) .roe tangentes " la par.fbo).;,.;
<::) no eorta.n a la pa,·ábola.
~allar 1as ecuacio~as da las ta..'lgent.ec tra7.adas del pu..~t.o P(-.3,J) a la ;¡.s.rábole. yi-3'11:~8y+10'-0,
yz- ~(y-J-3m)-8y+~C=O
¡ 1/6_ + ¡1/2¡
:.e=3ó0 2 1
$.r:lt:.it,uy-e.ncio <:t~ la eci..:a.ción datla se t±en.d:
y 2 -4y+2k+2y+3=0 y y'-2yt2k~J;0
.!'01·
227
2
g¡ y 1 =2x ~ 4?~2
(y 2 ,.2x} e
+
p~1/2
.F1(8,4) y P:(2,-2)
Po~ el teorema 4, la ecu~ción a~ ia ti,~gsnte es: y 1 y-2p(x+x 1 )
l'ar,c, P1(3,4i: l.y=l(i}(x,8) ++ L,:,c - 4yH,zO" m1-1/4
·¡
n
lara P,(2,-2): -;?y"',2(¡,)(x+Z)--+- L 2 :x+2;;+2;0 + :a,--1 /2
Lu.i¡,¡o, el ángulo agudo J:ormado por i, y L1
1:i:i-m,
11 - 1/41 - 15 = 0.6
1 + 1/.{
Y el ár:gulo agudo for111::.do per f, y L 2 es:
'f¡¡6:
¡;
h:11.1!11
Tg6 2
r
1/IHt, j ~
+r.;,lll•
¡ 1 + 1 /:? i
1 - 1/'?.
= 3
22f;
La. PQIIÁ.to la
!Ja!le.r el á.n~o e.guio de intHsecd.Ón J., h. circ:.r:üi'r"ll
~ta -xª+yl=.25 y ls. ps:é:i,,14. ;<·-*:,~-4,~0 E-11 W1i:l CU.Jl~l.li!o:l-li.
20.
itt 3us puntoQ ,if:5 it1tarsccc1.Ór••
229
Oaaostrar que la normal de pendient~ q a la parábola P:
yª=4?X ti~ne por ecunción: y~ID.lt-2pm-pm•.
SCI (t/1~¿&11.
\x"+·y 2 =25 ) "(.c'-4y-4=Dl = ?1 14,J) ;¡ Pd-i,3)
1.,,,, ccua.ción de lG -t..ange.i~to !l la p9.rábola ·1~e pasa por ?,. _,as
En efecto, la pendiente de 1~ tangente a la pnr&bola penal
punto P ifX 1, ;p ) es: "t" ~~ (l'eoreaa 4)
y-J=m(x-4) + ~=mx +3-~m
!:;us~itu.yendo en 1.s e,.~uactón ·:la.ds.
Entonces, la ecuaci6n de In oorDal en Pt es:
.;;e
tie-ne:
y-y 1 =-#{x- xi)
ir'-4bx .. ;-4JJ.)•4=0 -~·-• x 1 -I.MXT l6 'o-1 l=O
?·~r '?011.dtción de tar,,sfl'lda:
l'ero P1fx1,y1)ci>
:ie íoods: {o-Z) 2 :O + 0.1; =.2
.~ aco9..~iÓn :Je. la. ta.r g~r.. ve 'l ,:ia ."Í r:.1-i:11Z~rsnc1s. ea un PUJ to
? 1 (x,, :,d a.:3: x1x+y1:r•r 2 ('ler !!:erdcio 10. :l1'upo 1il)
En:;onces, p~ra 1~ cir:iunt'ereneic. i~d9.: 4Xt J:,=25 ·• m1=-4/3
O
•D
,
19.
¡m
2 f 4/J¡
6
O
"'2 .• ~= J :Z6
ls. t-aribo-1 .t ,;n el vér tica .
( 1)
!!I
32
i t
L~ e~ueci6~ da la ~eota o&rn"ndlcular
li
"" L¡:y-0 · - B(ic-p)
t")
.,il
?<:l!·o: Yi .. 4P,,..lr l~o:1go .
~""l
',!1
x~v : '1 jr
1
nr-ee1.sn.nan ·..;e 13 -ec~aci~a Je l::J. t!l..ni5;,-rt,
1
el .,~r .sl.:e ~1,l l
Far~bo.1 • for ta.!l.Lo., Pi(~" ""l) .qt'í. ao:Jr-e :l.ich.u t~r.g:.11"'
0
3
DeDostrar que cualquie~ tangente a una par~bola, excepto
la tangcnte en el v,rtice, corta a la dtreetr1z y al lndo recto (prolong~do si es necesario) en puntos q~e aon
equidistante_¡¡ deJ. foco.
vu.o.r,th.aci.,ón.
A[p.~{p+xi)J
Para x=~p (Ecuaci6n de la directriz) s& tiene: y= .!B{x -p)
Y1 1
F.ntonees, las c-ooi-denadas de B son: B[-P , ::{x ~p)]
1
":iene:
(J)i t)il-4.?:.·.\·-) -
ij.
Y"t:X-2pm-pn'
. . tiene ~ y = ~(p+~1)
Yt
Luego, J:as eoordcnadas ele A son:
L. que ~isa por e.i. C"I?º F(¡:,,C)
5usLlLu;r~:,,c!o tJ)
+ ;¡ 1 +
t o Y la directriz, respectivamante.
Por el Teorema ~. la ecuación de la
tangen te en P1(x1,y1} es: y,y=2?{xtx 1 )
Pllra x=p (Ecuaeíón del lado reato)
t'or el ~eo.r~ma L. l '!! ~a:"" ~'lnta ~n F 1
~
Pero n=- ~ , entonces!
=- ~
Bil erecto, aea la parábola F:y~"4PX,
Y sean A y B · los puntos de intersección de la tangente eon el lado r~c-
J:n ~fe~to, .ae-s. la t G-ré Dola iP:y 1 =~px
•u:va
nen,~
¡ envs es:
.
,-
SUtti tllyendo en ( 1) se tiene: y
Z!.
t.t><~ ·;11e el p=to le i:itersacd,Óll de osta5 r&,jtas <H1tlÍ.
:i
y{:4px 1 .. x 1 = ~
t
Jasde el toco de u.na yar!bol1t SP. tra~a ur..a rec~a parpaniicvi~ r a una ~an~en~e cual~ui~ra a la p&r~bola. ~emossobr" l.e .... angeDte
(1)
2
!.ool' - .((16):lT',-')=fJ
Por tant.o: T-ge: l1fL.;1 t "'
y =-~x+y 1 + ~
Por distancias~
•
IAYI "-
.
Í~(x 1 +p)'j
y
l
(1}
(Ordenada de A)
210
2J1
?orn ?1(x1,y1)EP
Yt•4px¡
+
z1+.
1
:.1....g,: lfil'I = /~[:.p:-,+(:t,-p}'l• / 4P (x1+p)'- =
yf
ii
;¡ I
D-111/10 •i.J?ac..i6n.
P,;ir Uni:.o, de (1j ;f la ,uth'l. igu1tliad, q~eia proDa:io r1.,¡:
En efecto. trasladando loa ejes coordenados a2 nuevo orig~n
IDI = 1.áF¡
n.
\1
t,l{!!. , k ), la ecuaeión ~a:da se transfor11.a en: y• 2 =4px 1
En c1Jalipier p,1.Il.to ? e!,, una p,arábol,;,, r,.o 2:..end- el ,:~r-J
ce, la tang,mte y la !'!Ot'm<'.l zortru: al ~je .o:l - .a pa.:-3110 a
<?'1 l¡,s p'.lhtoe- A y S, :-~apee ti vaoorr :.e. D.t111c:n::-r,r ~·k l ,,,
p4~~oa A,B :r? ea~ equ:1iatant2& del roco.
ÁQ>AfhOQ
= 2AO (¡ l
subnormal;
QB%l:n11I
QB
.J:1:n&..'110
Q
(1) y (2) se 'tier.ec:
~Q+·;iB ~ ?.(Act~) ... .ffi=2(;7ó+or)
j_,i..,1J1á<1,
~ s•·,i.:
= in-
]P.
dire
9
De-'T<Ui4'1ci6fl. •
Se• la parábol1t y:=4~•x, y P1{x1,y-¡),
P2 (x1,y.1; ) ·.os ax~emos d~ la cuerda
foeá.l ? l P,. l!es'tará demostrar que:
. ~,.,
r"'uC~h+p
IA'F!=li3-J
por e! eJ..,rcicic 15, grtlpo 23! r=IP?l=lx,+pJ
P.Fl-=l·~t,ftf.,,IAO~OF("l-~I
:. liFI = lñl = F'P
d.e,,ir:
Por media del result.a.do del ejarci.;::io 22, .c.eJJ1·.1ási:res<a
¡¡r,J.::udini,;nto pa.ra t:cn.lli!U' ln tangente y l~ nor:i:1;1l
D
En efecto-, los p·.1rcTioa A,,B y D ectan
•c'br11 la. Ltir.ectrin de la pai-ábo1a y
tin~en ~or ~hs~isa: x~-p.
Ento1.e1= s : AP 1 = ·lC1- {-p)
x,.;p
ÍSP2
? J.
y 1 =y-k
~~O
D~11tostre.r q_>Je toda circunfere-ccia que t.i~.na de diámetro
tl':i ~.
{.Z J
2p
x'-=-x-h
i,
ll!la cucrdn focal de una pa r{bcla, eg t¿ngo1t~ a
Luo¡o, A(-xi.J) y ooao Q{x1,Gl. .so- ....,.¡,a.....+-e-<1e-<,-....,..__-...-.,.".
t.on¡,;itu'.l de la
-+
25.
2:i~:<+x 1 )~1J~+ x=-x 1
+
Seg¡,;: l as acn<1ciones cte traal3ci.6n: x:;;; 't!t , Y"'Y- • t-Jc
de donde:
:n ~fect.o, r,or el T3or~oa L, la ~ci..~
,iSn m, lu eang~nte ?n P(xi.yt1 .lH!
,11 =2Pix'x1)
.;ooces: .!ÜJ,ÓQ
pqr- .:,l teorene 5, la ecuación de l.a tang&i:!te, de pentiie.nts ~.
ytc.:n"( f..&.! , r:r:/-0
( 1)
es~
Luego, $n (1) se tiene: y-k=m(x-h)~
:le" o ,J..t -w e i6,,
?ara y=•J -
Demo,,trar que la tangente a la parsbola {y-k)"'~4p(>:-!·t),
de pa:odi*nt~ n, tiene por &-C.\.tación y=rnx-mh+k ... ; . mt'O.
l~(pb,,J
"';°';c-(-p) = X2+p
~:i
~ti
~·.,ill1u:.cr punto da la ;iariboln de.da.
·¡
1
~a jl!m-:,s1;1·acioa ,fol ¡n·oc;;,di:..J.sir.to oo iat.1estra en l.;. f.:.;ru1·a d,l
'ljer~Lcio 2.2, .t oonaiiSte en t,rs.'3.s.r ~:Jne e~c:unferancia na :a.<1ic> r
0
f7.
'-!IL• irrterc¡:p,;;e s:J. oje ¡ en lna pun~ca A y B. U:tlc •
fo o?sl.;:$ O;)u:;tos eon ~l runto ? da cengertdn. , ·:1tc0odreocs l
:;::-,i:'.i..:, 0
i
la tan!fe!lte: y ne;,otl.
s¡
d&Sd8 'n.t pt:n.t.o &cX.t~i·ior p Só trazn. t-enc;-,:;i1 te.::?:
e
a un"- P!!
rlbol~1.. e: s-ag;,(,(nto de recvl'f- que WlC 1.os pm~tos de coo-
t g,c~9 5.e 11-'i.E!a ~u!!.tda de c.011,tact.Q -de P p11:"a esa parábol"~
si. l?,(x,,y,) ea un punto áY.terior a la p,;~,cil:101'& 7~-J.;,x,
233
{_a l'a,iril:.ola
232
r..o:cué--et.:es>i q:;e la e.c~.11.1~i6n de
t-.
:::·::!"da t~
~t>~
~::.ctt~ ·1~
¡.i
1
e
:r 1 ¡-2r>lx::r.
pQ ee.: y~y.,;¿p(x-p). Inie:copta:1110 ~on el eJa X se 1,l.6n<!:
si y~O + 2p(-x-p):O ; co~o p#O + x-p=O + x=-p , q~c ~s 2n r,bscii:a del ftico.
Er c~~~ctc ~
iH:-~---i
fo:r ;Lo tanto, la cuerda de contaceto PQ pasa por e~ f-oco.
Jo:; puntos d'."'.' 1:.-3.n~za
ci~; P{x2,y~) y Q(x,,y.).
Fo~ el t&or~o& A. la ~cuación te l'tang~n~e
DeE,0cstrar qu~ el lugar ffCO~étrioo de lon pimto3 mc1ios
z9.
de u.n si'ttema¡; de cuer:i!ls pa!'alelas_ cte una p¡,.rábol!!. e$
es: Y2Y~2p~x+x~) ,o s~q
Lit
una recta par~lala al eje. Esta recta ac llaaa diál'lLl4o
de l a pru:ábola.
L 1 :2px-y 1 yf2p~2;0
y 12 ecuao:1 61,. tic le li1.;::i.ga.11t1:: L~, e-s-:
y;.y~2p(x+.< 3 )
Li:2px-y3y+2px3~0
+
La'9 =c.uA:eion~c de lss rr.c.fa~ts qu<a: pa ..
En efezto, sea la parábola P:y~~4px
ssi.o ¡;oJ• P1 son! y-;.11-:n1(;,.-x,)
y-y 1-m1 (x->:-i}
o sos.:
e,OC<l
1.¡ :~1:<-y:y,-u11x1=0
~
L ,.,.L 1,
.,. 3E.
m~
Luego:
y SVli P(x,y) un pU-'\tO de·l l.G.
Le. fll.mi'.!.ia de c1Jardas pa::-alelas está
repr;,,so1dm.oa por la ecuación: y.:mx-b
~
:!ll
= ;u _ 2pxz
1 -
= y, ~
•
de donde i
2px
m.1.
y
Q(~.
m2
~1
a -
l1-G1¡X¡
m,
Et.uee16c de QP: Y-Y•"'
I'e::co P1(x~,.n)EL,
·>
Sust<itu~-e:ido en la ecuación ds la pa
r6bol~ se tiono: •v'= l2(yb)
l!I
~2
1P.
Fec<lieute d~ QP~
x 3= Li ::n1lS.l
...
Y1-aix1
p(Y1-s,x,, 2;;¡
.t:!1
Y1-r.l1X1
3
3E.)
:02
o s~a:
oy 2 -lpy+4br,;~
La s>~ma de lae raíca~ de 1a ecuación es: y,+y 1
e¡,
~.
y¡-1t2X. t
Dividiondo entN, 2 res u:. ta, ~ ~
- --n-~--
;~éx-x,) • L:y1.y~2?xty1y,-2px,
Y1y,=2¡;(x_h,)
+
Yffz-2pxz=2.-Jti
· .2¡,
a.m.
(-¡)
l'r>r ló t an;;o:
·
y
(2)
bol~ y es paralela Al ojo X.
4
:
~
( eo:i::n,ant.e)
,
• l
es 1 a eei..a<:-<>!l
~e
diáoetro de la parf
1
7in"'1m~nto, austltuyendo (2) ~n (1) obteu~woe;
L:;¡ 1Y"'2P (xlx1)
JO.
!iallit.r :.a ecuaoión del ,diámotN de
ra
28,
Dei¡°';3tre1,~ q:J.a 1~ cue!'rl.ii de conta.cto de o.ts..lqu.i~r
de la. 'iir-;">trlz ue lill>t ~,¡;r,bcl.a pasf. por su. foco.
J.hJt:~;)
tui
CJY'l' foco cs F(p,Q)
;t
ciil'ect,rh L::,::-11
S.i F1cL + Fd.;,,y1). iledn b. 16nula
fi~l ~jarci-ci1._ u.nt,crior lf- ecuaeión d,e
p
z,
SolurJ:1a.
2
3n tf'ecto, sea, 11:J. ~rát¡ola y-1 -4µ:<
,. paráboh y'=16x pr,,
nistj?me de cueNlas pa.ralelas de p<!!rdic,nte
Si Y =16x .. 4¡,=16 + P"4
Se~én la féro~la dsl ejercicio aoterior, la ecL~~Ó:l ci~l diá~etro da :a parábola~~:
y :;
¡!(fl
4
2.35
j EJERl'lCIUS AOTC!O•ims]
Sof..ucU,n,
(rextc; ?.J. J., La Bcrb:,11")
l.
H<lhr le ecuación cie la ¡¡,.r&bo_,;. c,1yo foco cG el yW'lto
:r;5,o), le.do rectil, 1R=1Z, J' s,l ,aj;, cc.i,1ci<fo con e;.. eje X.
Bo?·oa t!¡d~'.l de la a.::aación: (y - k)'"'<~¡,(x-c}
ó
Si :F.= 1 ~¡, 1=12 •+ 4p:12
;;' ( .5. G j .-,F (ht¡;; , i,:)
+
4?;-12
+~
p 1~ 3
(q)
Ó
;>;=-;
(«}
Sea lA parábola P:x 2 +Dx+Eytl"=O
Si A(-6. -1 }Ef + J6-6D-E+F=O
( 1)
B(-2, - 1)~f +
4-2D-E~F;Q
{2)
G(0, 5)Ef + 0+045E+F=O
(3)
R~stancl,o (1)-(2) se tl.ene1 Ji-1,D~o + D"a
R•sta.nd o (2 )-( 3): 4-2D-6E: 0 , de cl,onde: :E;a-Z
Rae11pla2-ando los ,,a1ores de D y E en (2) resulta: P•IO
Luego, e n {o) obbenemos:
k=O 'J h +p= 5
~.11ton~ea pa r:., p 1=J ... L+J;S "' h~d2
~.
Pz" •J + h-)=5 ·• !\,cS
:u~~u, en (n) , :as ecuec:ionez d~ las p,ur:í.bo l as ecn:
7-,
Ye.J lR.:- 1"" e,rnaoión :je la pará::rola sab.:.er.do qi..e: La=4, pa,.or ~ ( - 1, .;¡), a je p6rtlalc al eJ e X; vfr t i oe sob::-e 111.
(Jos so l uciones.)
'16.
! 01':1'<'
fo ls.
9CUS<:ii6n
Si V(h,k)e.L:~~.3 +
F':(1-'{)Z,c4p ( x-it)
h:j +
.Si c¡(-1,-2)e.P-+ (-.;-k)
Fer;; !.f=.;.
+
J
it':(y-k) 3 .clp(x~3)
1 sJ,p(-1-'.l)
• (k+2)'=-16p
(1)
*'"f' :+?= 4
Ó ¿p';'• 4
.._. p= 1 :S p =-1
¿p l 2!.
Rs e•;ije::ite que la 2:in altttrn.a'tive.
cati si'r, \'.'E: I
par1 p~-1 •
-
ti
e-0ua ():i 6n ( 1 ) : bago,
(k+2) : ~16 ..+ ,~2~~4
'.-1=2
Darlos, ~oc~r F(O,O) y directriz, L:xty+4~0 ; obte~er la
ec\laoión de· la parébola y los demás elei.enl;on.
Sotuci611.,
Sea P(x, y) un punto de la parábola .
Bn cudqu'i.u posición de P i,~ debe
11'8riri aar q-..ie: 1i,;, ¡=d (P, J,)
+
/xZc+y,,_ "'
,ñ
L
lle dor.tlo: x 2 -2xyty 1 -8x-8y-16~0
CO•ó el e je es perpendicular a la
dlr ao~rin y p~su FOr !(O.a), su
ec11aci6n es:
::. 1 :y;Y.
latoece s;: L AL 1 ~ D(-:!,-2)
L
El •érti<'~ es punte 13edio de Fil
:P ~
lvi'I
p
!x+y,;,1, 1
~ l((H-1) 2 +(0+1 ) 2
-
.. V(-1,-1)
,/;f • Luego: L,tcj.;pl;t,/2
Ce11b e l 1.a<lo re<1to es psrsl.el.o a la diroot.r•z, ~u ec~&ci6n
•• Y"'· X , fncerc'eptwuio con la curva ohtooie,.G3:
L(-2,2) y R(2.-~)
ó k;:<-6
Por t=to , la¡¡ 1,0Jaoio,1e5 de :!a s ;,arúoolas non:
(y.;:>}2:- 4{x- j) 6 (r,6) 2 =-4(x-))
3.
x 2 t8x- 2y+10~0
l'.s.llitr la e ol'!aeión de la r,.,-,-,bo l<:> ei,yn eje e¡¡ p11ro.' ,,1o "1
ojé Y, y q~e p~sa por lo s puntoo A(-6,-1),ü(-2 , .1).C{0.7)
Obte!li:,:7 la ecuaei6r, de .la parábola iit t'l8 ootl~cEon: Fcco,
F(5, 1) Y Yih·tice:V(3,2) . fiall~r tiallbiÓn lD:i i::.onlÍ~ elcqen
t o4 d~ la pa~lbole.
.Sot.u._..i~ri.. Seti. llfx,.,v,) <?l. punto de int~":<l!,d6· de ]o d:
2'&1:tri - ,, eJ
.
" •
'"J-'· Com.i V 1:-i~<ioa a.l s&gm.. :-itll Ji'D, -,n,,oucts:s:
La Pa11.&.fJ.ol-a
2Jo
- i<xi+S) •
237
Resol.viendo el s.iste111a oneontran:os! kit=-1 y p.,,.5
Por t !l.llto, en (a), las ecuaeiqnes de las parábolaa son:
X241
i<:;1+1) ... :.'l"'
(x-/,)1;4(:¡,+5)' Ó
(x-8}2:20(y.-1 )
L o.,:(I, t-(1,.3)
l''a'ndi" t.« .ie VF:
1-2
q
111•
1
=- 2
7,
g,,u11e.16n d~ la d:reetrb1
~-J,, 2(x-1) ...... L:2x-y~1=0
~J ?(x,s) es :m punto da la p~Thbola
so !!iaoo vo-rific·-i• quo : IPFl ..d(P,L)
S.o t.u.ei..dn. •
l]o'be lllO!I 001,siderar las dos formas
de l a oeu~eión de la plll'ábola.
• l(x-5)'+(y-1)ª ~ l 2:-yi~I
/4+1
d'!I donde obtcemo11,
1o; C11.-so. (y.k)'=J.p(x-h)
(1)
Ecuación de la directri~ L1!X=h-p
Un pwito sobre L 1 , a la misma al·
tura q ue P es Dt (h-p , 3) .
P:i:ª+J,:s.l•+,:y~ ·!>/r"l'.-8y +129~0
P " ~vtl "· IC5-J)1 t(-r.. 2p " ~ .. .iJicl4¡,I~ 4,1"5
i!cuaelS.11 dtsl ,.,3e; :¡-J "--i(:ir•-1) ._ L1;.x+2y-'i'a0
Se debo cumplir que:
Rcoae1Ón dP.I LRI jL, y-1,...:z(.x,.5) ++ L, :2x-y---9,:0
r. ..... 1 01 (L,l.,.. { e) L{'J, 5l y a0,-3}
Una per-áboltt p11sa po-r .&(-2,4)
y B(8,.-1).
~ /(h-p- 'i) t ( 3-3>2 = /('7-11) 2 +(3)'
(h- p- 7) ,Z=25 -,. h-p"7±5
Si 'F( h.+p , k).-;,F(11,0) + k,;O y h"'pe·t1
Kesolv~endq: h-p=12 y h+p:11, obt~nemoa: h~23/2 y p=-1/2
Res~l vienao; h-p=2 y h +p-11, obtenemos : h=13/2 y p=9/2
-+-i-
;?a ciiroctri2 eP
L2y+&.o•. Cuá.1 ea au ocoaciÓtS (no~ s,:,luciones.)
,
§yll.¡qtln .
I.Pni:'l=IPFI
2
=
,.
Una parábola paeci por P(7.3) y Q(.·t,-5) . Su foco es
F (11,0). Guél e$ au ecuaci6n? (Dos soluci~nes.)
Dea~ar~amos la 2da altern~ti~a tod~ vez que p>O ,
•or111a t:Íp1ea do Jo aa,sae.ié·:
(x-h)ll"J,p(:,.J;)
'J)
(y-0) 2 :-2(~-23/2)
++
ie;;, el fo<:~ F{x.y)
!cuación de ln. directri~: L~ !)'=~-p
U~ punto sobre L2, en la m!s~a lín e~ de Q es D2 (-1,k-p)
/cJ;121'+<r4P • J4-16f
l!b
nd,.
~= ..
ea:
lili'l "'
ti .tx-ay-30=0
( 1)
Reécl, e~.io .i.1 s:h t:1111'.l e11eonUt!l!l.OB: lt~"--5: 'y ¡; ,~ 1
~l !<(1' lítr,) -· F, Í B 4}
•
L2
S , lr2 tpz.s.4
·undcm d<a 1n :Urcctrt:.
~ l(-H1)'+(k-p+5} 1 = rc:iTt1F+(0+5) 2
• (t-pt5) 1 =169 +,• k-p:~~3-5
St :E'( h , kfp) = F(11,0) + ¡¡-,11 y k+p=O
Al r~soh,er k+p-0 'I k-p=B t'e:iulta: k=I, y p=-J.
Re,¡¡o¡vien~o klp""O y lt-p:.-18 obteneeos, ,;_9 y pQ9
!ambi;;n d.ee~nrti,.a:o.s la 2da alteln ... tiv~, s~ que: p>O
P-or l o tanto, er. (2), la aeg..indi,. eoluoióo ,:.,;
Si
..,(B,L)
• r'G-a)~t(:,+1}t • l-1+61. d.!> :101:d!I• x 1 +;,'-·futt2:;+l.O•U
R.lil ürlsi:do 1,1) y (2) Qbtft'-'~1;;1,1 F,(4.. -l)ry P~(B.t.}
SI P(h.idp) u
( : . -,4)
+
n 1 =.4 • k +p.,.,.--l
~,:a { -i2 le '1, e"'Lrh-, [.;'1-ll ·p + L 1 ·.:' 1 "'•6
1),- .
y1 +2x-2J~O
(2)
i''t ~., ini<>t6n1 lAF!s cl(A,L)
r."
4
Pol:' tao to, on ( 1), la prim-era solución e,s !
li.,·J)'z"-6
lt>.,Dz l:JQ~I
{:;c-"l1P=-1()(:r-4)
++
x 2 -22x,1 6y+57=0
La patt~l!.o la
2J9
Si p(x,y) es u~ punto cualquiera de la parábola, ~n~onces:
s.
1wt~d(P,L1)
li'F f=d(P ,L~)
(1)
I?: (z-1-,)~=.{p(y-:,:)
• (L-r..)"=!tp
(2)
10. Hallar la ecuaci6n de la parábola ~ue p~sn por A(7,5), e~
ya diraetri~ ns L:2x-y+1;0 y la ta:1~ente en el v.;rtice es
I.l:2x-y - 4=0 .
{ 3)
J:.·:::.di~i:do (2) ,.,r,tr...(~}:
~
[4-~)'
M»)1
Par~ h1=2
.....,.. n:~.2
ó
~ensrnos:
1
da l~,3 p~r"tÍ--~cl1ts so.a:
{K- Hl)~.. 1B(y+.,O
ecuc?.olo!·L'.f.-'
[x-,:)2=?.(y-,/,)
ó
Si L( - 9,3) y 2(-1,-5)
1.lnr >i e~ .,¡.-3.:1:.ón de l~
+
"ª
!'ceo
+
pu'll.t-o mfidi::i d,e LR
!7 +1 0+kf ~
3::>UZ(:ión éol Lf: :,r-3e
.•
:-f+-ttr.-
r:~tonoe.s <m ( 1):
l?F.f-= d(l',L}
S.i. dC,-,L)•2p
L:x+y+<="
~ 1- :i-i-·~j =
,'7
de <l..on.de:.:
( 1)
2[2/:f) -~ ¡1.-liJ=S ~ 1,:_..()~.S ó k-6--E.
<-+ ~1~1,. 6 ki~-2
en ('¡'). Ja~ ccu~e:.oucs d~ la.,; i.ii~ac.-¡¡ri:!"I!
!..;:x+r}1/,.=0
ó
lk+17l=1 0
ó
r. 3 :xt2y-7=0 ó
kf17--l0
lq=-7 ,5 l.2=--27
L • :xi ?v-2'1:0
br,go:
(L:ir,L3) = F1(5,1) y (::.2,.L.l e Fd9,9)
Si ?(x,y) es un punto du :a pa:rébola, antonce~:
0)
til.!,:+y+6-0
a lil ca:
+
-
La .rasril i ~ Ce _·€tzt.as P'a:r1t.le:~s
:!:,,1:¡,go,
2/5
13
~
dv1tc.&, ¡,=212
X
L2::2x-y- 9=:l
Copo d(A,L 1 }=2p +
Lt=i L¡,I~ v'(-1t9P+( - 5-3i 2 = sli
eo
.¡¡:¡::¡
Como d (A,l) = 2~(L 1 ,I), A ae nslls
en lB p~r~le:a s 1 y L1 que pasa
pox el foco ~ entonces: y-7=2(x-5)
F(-9~\,j~~).,..,. f(-5,.;)
"
;¡:¡::¡
= 2/5
d(A,L ) : _114.-5+ 1 1
La fam.il in d8 ~ectas perpan~icular~s
fl L e,::itá dada por: L,: x+2,--1 Jr;Q
( 1)
S()l.µ.ni6n.,
-:;:_1
d(11.L); 11-(-4)1 ~ ./5
h:i=10
(4-·1)'-=Sp >pi-'/?.. Si l).2~10 .. {4-1c) =Sp•µ2- -
+
en ( 1) .. la~
9.
$q!u, d6'1:,,
.._ h'-12h+?.1l·O
•\
,~
x1-2xy+y 2 +2l.x+8y+48=0
de donde ,
c(-2, f.)d .,. (-2-~i'r4p(L+d
• (';¿t!:t) '=32:P
{{x+5)~+(y+t)~; lx+y- 2 J
+
./2
r~-L
Si V(n,l)CT:7+4~0 • Y+4=~ R( 4,-z)c7 ~ 14- ¡:•lp(-i+C)
rI.
x 2 -2xy+y 2 -3x-24y-i44z0
dé donde:
Fo1..~zi t{p::.er.:. .1~ 2tt ,1eu-~ciiSu.•
-E~
/(x+5)2+(y+1)2
->
12:x+y-l=O
0011:
l?FzJ::
+
/(;;t 5 )'Hy-,¡•
x~+4xy_.4y~-54x-8y-t129:0
d(P,i) .,. l(x - 9) 2 +{y- 9) 2
l2x-yl·ll
0
f2x -yt11
,0
•
2LO
241
11, :·ad.o un .~nin t,(.• AÍ- 5,J) de L:ll"- ps.rf.bola, <'.i foco 7(-9.~) Y
tl."l pun+.o T(-2,··1) sobre 1" te11g,;11.e en "1 ,C:r~1 oc, ha¡:in
la e-0uacíón de la p1<-rlbola. (Das sol.u-ícne,;, l
Sot~U<'i:'W •
12.
Record.~~º~ ~~e ci k es un pu~to de
te e.
:.-a
~
e3 f,f)...r¡ger.-
So.!.ue(.6n..
tf-.!lgcn~e- e:i ,;l ·ie·1•Lice. S'§:
1
o-Úl". es-u:,. ar:: ti cnn-:
;,.1et.n ;¡¡e dio de fe, = G(- 7, 4)
_ =J.wt=
Si ;¡ =5x _,_ 4p=5 + p-5/4 + .F(5/4,0)
Sean P1(x1,¡,,) y P~(x2,Yal los extremos de la cuerda focal.
PiF "' f>";;¡l - X1- (-p) = X¡+p
l(-'J+:;V+U-3T2 ~ í5
le. eeu.aeión dtt Je te.ngc,.fltt:
ti.Uf;)
• t:n.x-y+2o-1~Q
( 1)
Coco¡_¡ r=d(G,t) .. I, "
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1.: +1
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Pero ~ 2 =4L~=16~ + 16p={x1+x2)+2p
da d onde : x1+Xe = 14p = 35
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P"or ta:lto ;,n {1), lus "'Juaciones ,j,i lits tc:1gcJ1t.-1< son:
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La
d!l lll d:.n,ct~iz L l ! 1\,, l
+
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L l :x+2y-k=O
fk-~¡-,5
+...
11-L=:i
+---
k-9
(2)
k-4-'·
6
+
Y'"U - 2.
· lll
4
jmP=
5x
t2>
2
,
_ 5(arn2
Suoa de i as ~,u.ces d o le ecuaci-. on:
x1+x2: J.O{s,i+2)
6m
1 2
2
L•,ego en (·1) : )5 = L"(o·'Fl
de donde: 11, 2 -1f3 + 11 e ./'J/3
2111
Como ~~Tgo
+
Tg~ ~ v'J/3
+
~~30º
L,,x+2y+9-0
La ~o:.1~:ción d~ la A~rectriz La• 1t-z. e-s L~ :=.!:-:+y+k:::O
!k-51-8
~~5=8
-~'>1 3
ó
ó
~
- - - ··1
= ,L(f .L1} ·- • (x +9)2"-{;-5)" -
.
,> :. l.::y+v 2 t 12.,c- ~ yt449-'1
~':_· 1- 91
.1 5
(J)
lJ, Quá ángulo debo formar la cuerda f nc~l con el eje de la
parábola yi=ax, para que la longitud. de 1tl cuu·da sea 5
veces l a del lauG recto.
k-;--5
k"-j
Par.;, ---J, en )). "''' Me~,o I:,2x+y"3-0
si :(x y) ~11 ·•'1 r·•nt<1 ,._., lé ¡:1¡1..·G:~01a, 1e:itonce11:
o.
cuerda! m " __;¡__
x-5/ ;..
_ f
~P:;.r:;. k-9, en (2), sei t.ieltB:
de d
,is la
Suetit uy.e),.do er, la ecueei6n de J.a parábola: (1:1:i.de don,:1,é: 16m 2 xz-4o(mi+2)xt25m'ao
_:i,,.d{F,,t,)
IJ
li>:· I
Pendiente
15
Pero p 1 =d(ii.L1)
»~
= P .. ~ x,-{-p) " x2+p
P 1F + 1' 2? = ?1P, = {x1+x2)+2p
P,li'
p-:.r T o~: yH=m[,:t2)
",!UflCl.Ol?
ángulo de.be f"or~:e,r la cuerda que pa¡¡., por el foco df>
2
la ".;aráhola y F el foca, ;,;i. oin:;¡g
:'::r~nc~s de diá!!li:tt:x·o
Q11~
1A parlÍbola y =5;c COJl su ejn, para que la :Longitud da la
eu&rda sea l veces ia del i~do recto.
li¡.. P o r e :i. foco de la parábola yi=4;>x paea una cuer<la que ro.r
:U. u n áng,ul,:, do 60° co .e:!. &je. Quf relación hay en~re la
l o ngitud do la cuerda y la del lado recto.
Sot~-eUm.
Pend ien te de
Si y 1 =4µ.t + ?(p,0)
pJ, 1 :
m'" x:p
.,.
Tg601>,..ry
y
e
,IJ{x-p)
la Par..&€.ol..'?
Coi l ó'.eb~ ser !1.t e>e::t~ien.e de lai, ~uo-rda,:; 1)eu-aleles, qu;;
Sustituyendo en la e cuación de 1~
parábóla se ti~ne : J(x•p)ª=Jrx
de óon<le :
3x 2 ·10px+3p =O
La somo d~ l~s raíces de la ~eua•
ci.611 as :
x1 •x.a
;ion l:isecadaa por el iiánetro y=1,
=~
:f;í2 ~x 1 +x 2 +2p
E),t.onaea, F;P.~ ~
Pero:
Si y 2 +2~--4x- 7=0 ++ fyt1)':4(x,2) , de dond,,: k~-1 'I ¡:,=1
(Ejer~icio 12)
+ 2p
l'lcUS·UÓn dr,l di.ámet:?"o: y~ ~+k
+
l'I
~ ~
~ +4;.,"º·
,¡_~lu." Um..
i) Sea l.' (x. ~) un ptmto del t . G.
y seso P2(x1,Y1) , P,{x2 , :;,)
los extromns do u~a cuerdt:.
25, ballaaoa la ec~e~i~n dei dlf
2
metro ( :, .. ~) pe.re una ¡:,at'.1: oola d!!I la to=a y •4pX,
Antloga~eate ee puede deao~lr&~ qu~ la ~~ua~idn del diá~etro
de la pal".Íbolo. de la !'orma )1~~4py , ea: x~:.>¡;111 , y de l& t'~rme
{:x.-it)'~4p(y- k) ei:: x:2pm+t.. E,¡ tod,;11 los i:ss.O.$
!l'
oa
Si I.1:5x+4y=O • rn,"'l!l~-5/4 .
La ecuaci,fo ·i«a en su foru. 01diJ.lei:-1.8
LU,;,go, !ti x-.?._p,:,th
a
+
ff&:
1..: pt1:1-
(:11-1/:?)ª 0 -t{y-
,t•
.Pero :
p=-1
= 2(-1)-(-1)
- _
t i } P1? " PP
t
Í.,.
2
+
o
{x = i<x1+x2).
-:r
1
2(71+yz)
iii} Si P1(x1,yi)cP -> Yi=&xi
P2 (x z. ~·z)cé'
y~~8x2
~eat~ndo : Y! - y~= 8{x 1 - x 2
dieote de lAs cuerdea pera.lelas.
d~ donce: n~1/2 1 Lp;-4
_¡ -• :J:1
hez da cuol"llas ~uo Jasan por A(8,0) del aje de la par~b~
:J:2tuu""'·
grupo
l3
1:a lr; y 2 ~8x ?
15. flallur ta 11eueci.Sn del tiU.uet.ro de la parát>o-le xª-xtJ,y,,. ,
sabiendo ~ue bise~a a la~ caardaa paralelas~ 1a recta L 1
En al e j ercicio 29 del
1 -
18. C:i.í'.l ·~:; el lugP.r e;eo:nétrioo dP.. los :;,1:P.t.o 6 medios .de un
.·. ~-~-1
)
sn la pe.r!Íool~i
yª L2y-4:x-7=0,
v-0
i-=-a
_x_
cx='ll')¡
)
+
=4
El L.1! . es ur.a parábola coaxial
'ti ce a-n e-1 i'oe?o de 1 a dada.
x,,,J
lió. 81 K(3,7J es ei punto medio de wta euerda de 1.a (.arábc-lll.
x2 - 1(br•t?.y-1H=0, hall.ar l(,.s ee1.1a<>ton"$ d"l di{lll~trc y
~
cttorda de dieht pi;.rábola.
D, l!r qué. punto del. a,'P.> ,'te 1,. oar¡lbo:.a il':,y•=o;c co!lcunen J.as
cui,r d,.13 q:u,: ¡¡e ven desda el- vén;ieo tmJo un ángtlo_ de 90°
.,.,...,-_%
/..,. I
y
Solu.cU,11..
Si. x•-1ox+12y-119;0' ++ (.x-5) ~-1;Z!iy-'.',2) ., ¡¡,,5 y 4P~-12 • r - - •
Co100 el diámetro-e~.para.lelo t l ej~ Y, '! fasn por "IP,':). ~~
1
0<'Ul\"1Ón 1!><5: ,
S1 ~~2pa+n
+
1(~1
J-.2(-J)~+5, de do~<le: ~:1/3
Eóaaci.6n d.e. 1t, c11erd.1J.: y-?o-1/.Hx-J) -
1<-3ytl<t~O
/
/
la A:1.1t&.A.ola
y P,(80'\-1:>.n)
a/m
t
e}l!.
~
,..r.:
¡-!! 2
?arh y:.: O,
1-'..e
1-o
22. Qué lugar ,?eonétrico describe el c'J1:tro de una e ;re .fe
rencía n6vil tan!5:ente a la cil•eu,¡f,.rgncia x 2 +;¡
b v " .La
racta L:x:S?
)
,
de don11e! x=8
•• R(8.C)
zo ..
Solu.ci6n.
El. vérLlc'i! <hl án~J e :-1¡ct<1 de un tri,b¡¡ul" re ct~nguJ o -.:;
el cxtrttrnc L del lsd"O X"eeto d~ la pt1..rábola 12-=Sx. :r1 se-
gunto v-értic& ~el triángulo es~- vártl ce je la per-ibol~.
Cuál es e2 tére~r v~rtice del t..riángu~o~
Son .A(x,O) l,;cs c,::,or:iene.da3 Jel t'1:ree~
v·8:r-ti--.cs. Si. y 2 =8:, 4- 4p=8 4- p~2
Coofdan adua d~} fooor F(2,0)
lii'L-j~2p=4 + L(2,4)
?~ndionte ~ OL: m•=
Í -
2 ,
i} Se.a P(x,;y) ur. punte del L.G.
0P ; 0T t r? • pero
n.
~11) /x 2 ty 2 ~ 4 t {8-x) : 12-x
+ x~ +y 2 e 144-24xix 2
de donde! y 2 =-24(x-6}
Soiueión.
,\[10,0)
Sofocif.!j,
/.lean A(x- 1 .~ 1 ) y B(x_ -y¡) 1,,:, oo:>rd~
~~~~~ de :es otro~ dos Y6r.~1c~s.
En'YV",,1:ee-:
..ll
X:
-
e~Tg3~ó
::23
+
1
~ ~
"1
• - Úx1
.:r
•
/.
ñ
.
8 ~ Av-.;1o:r,it:~ ~ y'f-4;:,x, • { xi)"-4rx:1
3
de :ionda: x 1 ~12¡:; • 11..e«o, e.n (1)< y, =4,''J?
M(.x,y)
i} Sea M(x,y) un punto del L,G.
ii) Ni = p¡.j , paro , TM = DM-OT
... BR - ilT -
m
Ui)
~ª
hª+y 2
~
cn:cue~1..r?in sl'lb!"'e la curva. Cnála.'l non?
QA:
I
2
21 vért::.ma ele la parábola y2.~~.px coinclda con el :!e '.l"ll
1:rlfntu.:o ¿qutláuero. Loe ~i.roo dos vértices itol 14ÍB"!IO
?e~dieg~e de
a~Fn.
+QP; OT.tPD
lJ , Qu€ l ugar geométrico describe un móvil :.f q11e equidlaia de
una cirounfe:rencio. fija y de un diá'netro, (i,¡, la :cisma? La
c~r~un~eraacia ~ija es xi+y 2 cJó; el difme~~o fijo, lA reg
de \'ls,x, d ,~: :.= 1C·
•
y
i:i)
Si Q-1,l...U, + m1 ill,i=-1 + :n2=-i/2
O.... fa -...
1
o sea:-~
I'':-. vJ. ~'
A(12p,4,lJp) y B(12p,-4/3p.
{:::-Bo'}
Sm -· -;~m2 {x-áit 2
tie!!e i
Por tanto, las cr..ordena:ia~ de l.os or,ros (ha
_r,
8/¡¡¡2-am~
2,
-
6 ~ ±x
-+
/x 2 +yt=6tx
x•+y 2 ~ 36t12x+x• + y 2 e36t12x
.'. y 2 .,12(x+3} ó y• ..-12(x-J)
Cal cular las tangan t.,,, co1>un~s a ,ia eirou,¡fo,enc_., xl ty'
1Ol!-20"0 y " la parábola :,2~2ax.
i
s~ l.u.c!:É!!_.
Ct+5P+(y-0) 2 -45
l''l 'tlfol'&ncia :lBcla:
l'Jfo
tJ. tµye!l.do
on 1
t.)¿:::20~
·>
bu~c!idaJ, _.•y~=
•e 1acion de la p •
de las ~ng :ita
m"
J
2{btl• JO ..,;
b
P~r eondlción da tb~f.e~nia:
da donde:
í2 l
bn=5
Si L:gx-y,!-b~U. ~(C,L)~r ' o
7
La Elipse
"''°'
P=a m!l~1/.l ~ :,_-±1/'l , sustit.uyandcs
(2): "t:='10
p 0 -,. c.illto, .,11 ("J), les e.:.ueaiorH1e o..e las ta.'1geLi;;es
1 1 :x-~y+:>o-o 6 L 2 :x,2,v+20-t)
)lúll:
1.1
DCíIIII CIOIL
Una elipse es ClJ. evnjao,o de puntos s::,b.,.,,,
pleno eolocado5 de ta] maneru quo la s~
de las d ~s +laneia.;; d~ ca.da uno da ello s a. dos pitil t~p
i"ij os es c-ouRtarrta ~
12n
2 5.
i!I'3.
L~s pw,tos ~ijoa se lla~an t oco~ da la sl~psc.
;,rt
Sol..uci6n.
.1. 2
s~e.n:
+6y-39~0 ....,. (x-0)'=-6(y-13/2)
/¡X'-9y-45=0 _p(U"¡,
(;,;-0) 2 = 't(y+5)
el c>.v«h-11.do ~CD
01;
qenento-s
( 1)
V1V~
(2)
?Jee~s:l.tn :i.:1e:
f.i.l"l = 1-Bcl
éomo laa orden!ldas de G i
vas, e.utoncas:
v
~o neget~
¡~
(.2)
BC ~ ordenAda el.o ( ·¡) .,. [-orcienada d<t (2)]
o se,i,,
Sl
AB
J--2~
3C = Yt-)-1 ; ~ -
~ §e
...
2x "'
+
Pnr- tanto!
_,
>l.(-3,;,) , B0,5·) , C(J,-1) , D(-3,-1}
1-~1-r~l~ir,ñi=JiiAI~
5
llla:¡or
l'!1B'2
EJe i:renor
rY.
... M stancte
'L'
2a
2b
local
= 2c
La rect~ L q~e pesa por loE focos-;-;-t---l~~~~!:--;/-~~~-<1...=Lse llaoa e)e /ocal. Los puntos V1 V
Vi
'l Va s0 lle.-¡i:-ruios ui-it ¿ce>.1 da la. ~
li,tse. El punto e del ejs foc3l,
a~ lL:,m;¡, 2.jc n Mnuil.. Loe punto s B1
J9-x2
r - 4:z29_¡5
5
un a Ellp se.
de lla;,:1 c.ent.11;0. Ltt ,t'ecta L 1 .L L
~
,¡
C.;) dond"s 1'1lt~+¡6x-207-0 _. x:=J
6 x~-69/11
E.l vs. .. o.r d.e .~;.:3 lata-rnnn B y C. y ~ue raisp&·=Y-ivos sireétri c•J
:,. y j).
Si. :x-J
Rje
de
Y B, eon l-0s ~xtremos cel e:e ~onor. i1 eeg~ento 1ue una 1os
P\Jltos diferentes, tal cono füt, se 11:a.¡i¡,'il. cll.,.,ula. Lu. c1.1erd11
que pasa por u.,c d~ los focos, taJ. coco tii;,, se ll~me. cu«Jtdu
/.0,:,.,1,, Le. cuerda focal .. erpe:1dicu:La,-, al e,js ro.cal s<> lh.11!4'
l.tzdo JU!c.t.o
(LR). La ouerd~ que péaa r,o~ el ~entro
áA
la ~liE
se, ti:4 co.mo fil.i •, aa 11:..a,a. d.i.fmei.,r.o. J,o,s segmentos PF 1 y P7e
Be l laci~1: 1t.a.d./..o,1, ¡.,e.c(o~.s di? P.
7.z.
Eeua~iÓn <ie lii ellpS'e de cene-ro en el ot'19e1 y <:j"~ de
coo rden~das los ejes de 1~ elip~~~
Jrotema l.
~e ecuaci61: d~ 11.n~ elipse d~ ce1:tr6 ~ne_ o~i?~~.
~je focal el eje X, rlistancln ~oc~l le~e.l a 2c,
248
cantidad oonat4J!.te igual a 2a ed:
x'
v2
a1•-;r"'
t f:JERC I CIDS .
( 1)
i:rupo z¡
J
SI el aje focal de la elipse coi ncioe co n al eje Y, d e lll4DeTa
que laa eoordenadae de los focos sean (O,c) y CO,•c), la ~CUQ
c16n de la olipee ea:
'S
y
la-
(2)
I,.G .
6.
!'ara cada elipse, ll es la long! tud del 3e:til!je ca¡,or, h la
del aeaieja aeaor, -¡ &, b y IJ están 11gn:los poi- la l'e!e;ció n:
111 '"
Soi1,u,,.t,,,.
4+
2
bi+ct
Tuhl&a, para cada el:.pae, la longitud de cada Indo r11cf.o ee
~
s y la excentriaiüad • eat, dada por l& i6rmula: ~=o / a (1 .
~nt-0n,cs: ~~J y b-2
1 C2'">1.2- b2~9.4_5 •
b} Fccoc: F(O,,c )
Ea efecto, 1ee la elipse de centro
en el ori1an '/ QUJOU focos tienen
por ooordanetl11a F1(c,O) y F 1 (-c,O)
Si P(x,y} •~ un punte de la elipse,
entonoaa por detin1c1Ón:
¡f;p¡ +
2
~-13'
el '/Jrt.i (•1ts.: V(O,+:i.) + Vi (O,J), Vz(0,-3)
+
F, (0 ,/'3') , Fi (0, -.13')
) .EJe :r,nor: 2a~i; • EJ o ,:, •-:10r: 2b= 4
d) v~~entr:la i dcd:
_ !!.
a
= {";¡
;I
(~< )
1
lado rocto. LR
1,-;e, •
/(x-c)t+yª + /(xtc)'+y 2
• 2&
/{x•o) 1 +y 1 • 2a • l(x+c} 1 +1ª
Blavando al caajrsdo y efe~tua.ndo operacl~~ee ohte4eaos:
+
+
ex t &1 • a l{x+c) 2ty 2
Elevando nue•. .ente a.l o~adrado ae tie~e:
2
~ x•+2aic~+8 2 • c 1 x 1 +2a 1 cx+s 1 c 2 +a 2 , ,
de dondet (a'-~')x 1 +-a 2 y• • e. 2 (sª-:ª) .
Pero b 1 •a1 -e 2 , entoocea: b 1 x 1 ~a 2 y 2 ~ a 2 b~
Oiwid1e.Ddo aotre e¿b', De obtiene, !ioslmenta:
S • 6,.,
~ota.
c..a /5
y
ce¡¡ : V(+a,IJ) + V¡(J , O) , ~2( - J, r.)
)
Fe>co •• • l? 1 .
. , :i:c, 0 - W:(1'3', 0), P2(-0 O)
eje na ~ r · ~ - 6
•
#
•
,;c:1• -:j \! CE!'10t' ; 2b=(
(Í¡
:tdo re .o! LR
n P,..'tr,ent.ri,.ld u • e
-~
P.
( <!<1}
Lae eeuacio.nea (1) y (2) ae lle:aan, genersl~ente , pA<a.c~a ctus~L64 o~d•n,~ia de ta alt~óc y aon coaoci ~e.
como la
or:nae con64iCG4 de la o~ue.ción de uua" elipee.
~º..
1•
Di ·d1
"'· ~nd~ c nt.,·e 400 '"' t • n
V~
l
- 5
t
lb -
1 • Eli pte d
la f rm
HO
IZ
.:ntoncoo; a•5 1 b=4
~':a 1 -oz= 25-16 • 9 • c•3
os: "(:t2, y
:-
a) VértiOGSI V(u,O) • Vi(5,0), 1:(-•,:)
b) Focos: !'(~e.o) + F10,0), F.f'-J,O)
el Eje mayor: 2aa10. LJe menor: 2b~8
~r ~contricidadl e ª ~
2b 2
B_
,;,) led-0 Recto, LR ~
5
3.
a "
""'
o
":ª
X, la el1r,se es de le foroa
( 1)
a
F(t],O)
-9.t,!' de
x' :C
9.,.
5
h. •lip11 •
s rocos están cob e el eje X, la ecu e
xz
x:_
ar
+ b2
Tane~oc: P{•3,0)
+
o ls relactón:
11 2. b «e• • n ~- bª=
9
-.lviendo (2) y O) ren lta: a~6 y b,.3-,l3
1,.
ti e.a11:
xl
,,e
36 + t'¡
~
H!l.ller la ecuació Y la e:zc.,..,,tricidad
a l.:a
ip é
tiene su centro en e
nri¡¡cn, uno d SU;; V'é -ticeo os
pu 4c (0,-?) Y p4ns
oi- el pt;nto 1>(~.
lpl.ltCl/)fl,
Sc(uc<-6tt.
c~co loa vértic,1 e5táa sobro el Aje 7,
xi
~
U rse e~ de lll foraia:
t1
~ ¡y = 1
~l
~
la
( 1)
Sl V(O,i6) • e•6 . y,! r(o.~4) • e·~
Je la rel&ci6n: aJ•a 2 -b'• 16•16-b 1 , de donrler b~•20
¿
+ Jó •
V 0,-7}
• a-7
Drll
.
y
t 3 • l>or +
49 '/
E:p
J
,
.1
f
v•
iiT =
.. i
-c.q, 1 i)EL
te, en (1}, 0 ~ t 1
~o
tJ
12. Rallar la &ouaci6n de la elipse cuyos focos non los pu1 •
tos (±2,0), y su excentr1c1d~d eo igual a 2/J.
Estando lo• tocos soqre el eje I, la e:u'lc!Ór.
J
l
tle la elipse 88 de la rormar
1
(1)
trlll\ vl:tpse
t
"'
~m
-?-
ca1>tro en e,
llar su
Sol.tci611.
fi +ti•
n de
.. 1
3 , LR~ 9 ~ ~
e - 9 ...,. 2b"'"-9a
0
Ior tanto, en (1) .,
Lue~o. en (1), ae tiene:
2
J
tfo 3'lil lado::i
~or tanto, en (1), reault4:
il. Los vértices de wta eltpaa son los punto• {J,:i), y aus
focos son loa puntos ( O, 14). Hallar eu !tc•;ación,
-+
aa con lo
111:0
do la t'or1111.:
•
h+
• E
a
llíl:
ellsr 111.
Sol~<!.i612,
~st~ndo los vártices sobr~ el
t
oa ~oco~ 1e u
+uci de
10. ~~llcr la eouac16n de la eli?se c~yos vérticoc so~ loe
puntos (4,0) y (·4,C), j cuyQS fo~os son los rcn~=4 (;,O)
y (.J,O),
•a~,,
..
e
(',)'
i 1
Si V(z4,o)
eci
E.ti.¡,4,,
b -1) ., Q(.2
a d
"l''
-e6-:
~
Si ?(í6,-1)cK
;
Q(?.Ji)::E
...
¡;.
O So3!!.!
(2)
b',..-(a+d (e-::}
(021) -',-,(V 2 F 1 ) (g1 )
l.q .q. :::
(3)
-f
19. Demostrar . 1ue .::i.:
_.,. ·do:!"'; -~1, ," psi,i, tienen 1 ~- sds!'I -
Resolviú~do (¿}Y{;) obten;,uo:·: a~~8 -¡ J:?=4
:,:1
B-+
Por tacto, ~n (1), sG tiehe:
d-1sQ., l.:i,; lcngi~udes d,1
pol"cionPJa..s ~
i::
= ·¡
4
ij\¡¡¡
11'.. l!tllnr la aetMc.iÓn \'.lq La "'11¡,se qu.; paS"- poz• el p=to
p{,'7/2,;}, tiene "'u o&nt:o •a!l el origan, i::;. ";:é ,¡eno:r
i;r.;cide con el aje X y la lon~itud de e~ oje mayor e~
00
,ali .e.ti trii:1.ssmie,ics nayor y ~e.:Gt"' z:ct. 1,1:9
fil-:~a1
~1 dcbl~ de la ó~ su eJo ~enor.
( 1)
Elevan<lo al cuadrl!l.do:
, o sea
a1
_
a~-b~
2
_ _ ,,
C.1
Si p(,fi'f/2.,~ ) r.E
.,.
_.J_l
4-b
o
+~ -
1
(2}
_idc!llá3: {2a.) = 2(2h) + c=2b
O)
;i.esol'lieJ:do (2) y O) obt-er,an>r,s. a=4 y b"-2
Por ,ti.llto, ~'IÍ ( 1), "" ·t.i
9!1.C:
11. Demostrar qua la lo~gitud del eje menor de una elipse es
madi"' p:oriocional entre le.a 1ong:l!·~udr-n de s.u eje a.ayor y
su 1.ado :re~to.
l:P.mo-4,tna..c.Ll>n.,
n_r, sre~to, s~an los focos de la
e;t. l pse, ]'1(c,O) Y F.2(-r.,O)
Por dist,;.ncias,
c11yo 11.!.dO nieto m.i.áe:
LR
=3!'.:,
P.
e s;,a:
de donde: 4-o 2 =(21t)LR
-. (2b} '=(2a)LR
(BlE1)ª~(V1V2)(LK)
1.q.,;,d.
16. D,,oos.tl'e1• rp:e la. Ion('itucr del &ern1 eje ;:.e,,o.r füa una c1i:¡:•s"'
es 11~<li.a proporciolltl ~ntre los (los :]egt.1"';if;cs del eje m:1.·
yr;,r doteT.tlns.d.o p.nr =o d,. .i.os fo~o(,.
~~5!±.J, _a_~.c.6r. ..
1
1\
l.
r
l(x1-c) 2 +y~
( 1)
/(x1+c) 2...y~
(2)
Si p 1 (x' • Yi).:E ~ b 2 xf+a 2 ..!
...
yi
!2
~
2-. l
0
~ .1>2 ~ ~
-
;q
(J}
i/-):d
25A
de do4de: r¡ = la-&x1l . e sea: 1."1•&•8X1
Análogamente-. au,tituyendo {}) en (2) , obteD&ll98t r~~a+ex,
Sumando ru11boe re.9ultndo.a se tiene· r1+.ra:02a I auyo siguificsdo es al ctguiente: 11 La eui:ta óe las iletaneiaa de llll punto
cualquiera da una al1p8Q es ig~al a la loDgi~~ del eje mayo1
Zl. Hallar loa radios voetoras del pwito f(J,7/~) qua e$t4 e2
bre la elipse 7::1 +16y1 a112.
-ii t- f "'
l
So.lu."'i,_tm..
~1 7xi+16y~.. ,12
2
2
de dond9J ª"4 .¡ 1),a,/'f .. e =aª-1;,:t..1&-•7,,,9
Exeentr!el.:la<'l. de le FJli¡isrn e "
+
1
co=J
¡ "' f
1'or las t'ór11mleu '1.tl ejsrcioto 1mte.l'iOr se tJa..1un
11'" n•(;T.l"'
r.1::r
,;~e.r. •. •
¡
1. + c{>O> "1
4-Cj)O) •
Te~e~oa : 2a~d(Y 1,V2)-/S-(-3) l~a ; e~~+ 1 - ~
a
z3; Si k <ll! un ii"i:11:,ro p;,Ditivo, . _d,1m:011trar ip;.e. lfl ~ctte!:16n
.3xt+4y 2 sk r-0:p-reei:,li.t~ úna :!'!!sil!.¡. áei e"J.1.,Pi1'111J.. eiuis. '\1Ii e )
las eu~\'8 t1om9 i,xcentcici · · 1/2 •.
D1v1diendc ent::-e l:
....
e,2•
s
U3 .. ..+ k/J
o -
'•
lffl
thlill:
L
k/3
I
L "
1
J;./1,
i
En onda imo d~ loe &jBteioioa 24-26. U$aiul.o l.e.. da~iniolón
de ulipse. halJ.ar la e~uaei.6n da 1~ Glipse e p ~ r d& l o~ &
tos dados. Red~zes.sa la eoo.aeión a la pr¡aera t~r~a ordin3 r a
por traslaci6n ds ~oordenads.e.
..
24, Focos F1(J,a) ¡r Fi(.3,2}1 lOllg~tud ~el tJe ma~o~=tO
.
Se~ P(T-,y) un punto .6un.1quiere de la dipse.
F,,i- ifoi'i11ici6n, . . JPJ'dflpp;f
,.
2a.
/(.x-JJlí+(¡r-s·>2 -+ /{.x-.3>2-+C;r-eF
10
¿ - I
,. C(í , -1)
2;6
11) En cua!quie.r ¡:ono:!6n de P
se de~e verificaTt Al': JS!í
iil) •
x=x1--+ x 1~~
1
~ J(y,+O) • Y1=2y
Si A(:,q,yi).:-' • x!+r1=9
o aea: (x)l+(2y)l~9
de dondé:
k
2
+~y 1 x9
• El L.G. 98 u.oa elipse.
la 11e?1ac16n del r•• a~ do loe p=-to.
qua a1 Viden a la¡¡ ordenada.a. d,;, los puntos de 111. d.x-i;unr~
2
r&Jloill. x +y •., 16 eri l~ ra.céu 1: 4 •. (Dos solucicne11.)
}.!!. Halls.T e idwntit'icar
r _ ci...t1c.~:o.t:o r~sU: '-":. !
i.'.:2
-1r,x ... 4y-t'i,=O
:,
Soe-uci.tln.
4(~-2)'~{y-2)'-16
, y-2-;·'
obl, ne:r.:Ja-
Prill!&1'· Ga~u>.
ii) Enten~s:
iii) + ~1=x;
1'<!nli"'ll.OS ..C:xlLtyª• 16
1) Sea P(x.y)
j
=
~=~: =¡ • Y1~:1Y
Si A(x1,;yi)i:..8
+-
1.:i. r.a otn r-- 3
~l p1.1 t,l"l • ( G' -<-
ptu1t" d;¡,l L.G.
m¡
f
+
1
xtt_y!~16
(x) 2 t(~)':16
de donde:
9x'+16y 1 =1G'
Sirgund-0, caso.
i) Sea Q(x,.y) 1m pw;ito del
i) S>.<a. p(-,y} ~~
L) J.(?,-;-) 1 ,
-
1 ~o
1 !
del L.G.
:f.i}
,.7,
2 ' /x- (::·t? )2
r..c .
e
4
1.l.i)
¡ ·-
- !
Si A(x1,~i)c.A •
Jrf-.~}~H, , e.ntance-1H Jt~i¡16y~f6
En ~abos oasoa el L.G. es
7,3
~Jta
el1~e..
Ecuac14n acuna ~l1p$~ ue centr~ (tr;k) ~ ej~~ Pi~4lelos
los coordanadus.
4
T~are•a 2.
La eeuaci6n de la ol.ipse da centro al y~to (h,k)
ej~ focal paralelo al eJe X, ~8t.& dQda por 16
y
y
"59
2S8
~i ~l eje !ocal eG parole1o al eje Y, s~
por 1 ~ 6 ~'1llaa forma oruinario:
(x-h)?
--;a-
ecuaol6n oatá dada
E:JERC !CIOS.
(2)
(y-k)1
Grupo 25
1
L~D vér~iceo je ll!la oli?se son los p~nlo~ V1 (7,1) y
( i. 1 ) y ;;1·1 'ex ,.,,nt::-icid:id ea 1/2. Rallnr b
ecuación de
ls e~ipse, le~ coorcer.ndaa ie sus ~oeos y :a3 longitudes
de sus e. e3 ll'la:;or y "'"r;or y do cada lado recto.
;t2
'l 1
So eucL611.
Coac los vér:ic9~ tienen la mls~a Q~d.,,nada, el e,e for.al de
_..J__ _ _ _ _ _ _ _..,..,.
:a elipJe er ;';€?'!!.l"1o ~l "Je X, y cu o.:uaci6n ea de 111. i'ona:
l(
E: (x-h)' t
a'
º\
~1
~escripctón de los elenentos de las fo~mas:
11 )
a) Vé::.-tí cell:
Vért.1 ces:
b) f,;,~1:1!
b) Focon
F1lh,~fc) 'fa(h,k-o)
Fi(h+c,~) , F2 (h-c,t)
e) ~xtremoa del eje ae"or
Bi(b:,k+b) , Bz0•,~-b)
d) LRdo recto· LR:
2b 1 ~
7,4
lt
~ h !
B1(h+b,k) , Ba(b-b,k)
2b1
a) Exoentricidad1 • •
e
e) EJ,-eeutricidad: e • -a
r) ~·!r ctrioa:::
e) !xtreoos 4el oje menor
d) tttdo RMt.o: LR "' T
-¡r-
Le.do recto, LR • ~b
2
-
11
1kJ
Los focoe do una elip~e soo los pu.ntos Fi{-i,-2) y
!
la ecuact6~ de la ~l!ps~ y su ox:vntric1dad.
!) Direct:1.c••• Y•~~ e
Süiu.ci.ó1h
0
~ª+c,•+D.xtty+F•O
unu el.irse d• ajea parsle1oa a loa 6j~s coor
iw
1
F,(-l,-6), y la'longitud de o~da l~:o ructo es 6. Rill•se
1
Si los coatiaiantea A Y e ecn del mico • ~
00 , le oc,,a~6n,
reprasent&
a.,nados, o bi1n1
,,,
Coor~enndes de los focos: F(b!::,k) + F 1 (5,1) y ? 1 (3,1)·
Longi!udes de los ajee ~eior 1 mercor: 2a~6 y ib~4~
1.
ECUAC10N CENERAI: DE LA t:L Tf>Si:
Teore11a .3.
y
2
9
!.t
!!,.1
2a:¡7-1~-t. a•J
E:: (x 4)' ~ ~
Va(b.k+a)' Ya(h,k-a)
V1(h+a,k) • V:(h-a,k)
+
(1)
c 2 •a 2 -b 1 + 1=1-b 2 , de dou1e: b 2 =8
El centro os i,u:n to M lio de v7f.,,
entone-a: c(,,1). Por tan~o,'en (1)
(Zl
(l)
1v.v.1~2a
(y-k)' . c
új
puuto, o un couJunto ve.cío.
Coao loa focos liendn la ~is~a ~bse1~a. el eje focel de la elips~ vs paral.olo al eje Y. y au ecua~i6o es del• for~a:
. E: lÁ-h)' t
.~
Si 2c:
=
a 2 -b 1 ~4
312..' • l.!!.:
"
,.i
{ 1)
• 2c:l-6-(-2)1•4
1 i:1
a 2 -b.:,.ó•
LR. =
(y-k)'
a
= 6
+
(2)
b~:a Ja
(3)
261
Reeolv1end~ (Z) 7 (J) obt..neneac •~4 1 b~2_,,
.,
El centro biaeaa lll ee~ell t o I 'i' i ~· C(-4,•4)
Lui,<go, en (1), ae tiene·
Ritceut..r1c1dad: o,
8,
z
~1
{it+,} 1
~
-t
Georden,ic:!as :fo los vé1llces: V(h,!,"'a.)
Excen~ric idad: ~ ~ ~
a
1qf12 = 1
e:
4
+
l.,
v,(J.10), \',( ,o)
3
10, fl centro da Ule elipse es e! pu~Lo C(-2,-1) y u~o d~ sus
¡ ~;
vérti<'!t'IG e~ el puu!o V (J, -1). i:li la lcagi tud de es.<h ln,io
r~cto
bS i, hállese la e~uac~Ón de la elipse, su excentrl
cidatl Y J •~ coo:-.ion11.da:; r,1> sus focos,
toe vihtic"o do u:.a el1pso 80ll loa p'liltoe V1(9,•6) 'J
Vz(1,-6) y la J..ong:ttud de et.da lado rooto es 9/2. R&llar
ta á~use.:i.6n.dU 1- elipae, Jae cooruenadaa de aue roc~s 1
au excentricidad.
J.oluc_L6n..
Forma de la et:uaci6n: (x-h)'
6 :
+ J.x.:."icJ.: ~
1.,2
1
(1)
• fi. • 2 ~ 2 +
L.at, le eeYaei6u do la elipse •• de le: forma:
~ l l + (y-11:)• ..
(1)
ª2
Si ;oclí;v,i
Lll " 2:
1
-
+
2a•l9-!lc8 • a 4
' ic :toad~: b2!!'10
2
!x~:ntricitie.d : e = .!l
f'ocos: F(iitc,k)
C($,-6)
(x-5 >2 (y-f_hl_ª
+
~
·>
e •
2§>~+ ~
2
=
m5
F·d-~t/f;',.1) y Fi(-2-ñ,,-1)
+
e:~
sa ~
5
.
oar Jo'( t
.rio.idll~I O
2 02
-
c •a -b'=2;-10:15 • c-li';;
do dondcz b•3
Lue o, ~n (1). ae ti
J::~
1
0
í "'~.
I
...
Luégo, en (1), se tier.e: {~
bª
a 2 •nª-b 2 c16-9=7. + c~./1
r, A pu:i~o medio de V1V2
~
...
Y•
1
c=IC•l=l3-(-2)j.5
e
q
11. .!.,
~
t
ce1.ro de U'1~ clips~ zs ~1 ?unto C(2,-~) r el vé:tic~
•; el foco de t.r. ci~110 l!ldo ,i.,1 e :itro so~ lo~ llllll.to:;
k) .... F( 1,/1/,-6)
(-2,-0 Y (-1,-L}, i-csr1ct.i.,,ameri~e. Ha.llar .... ecuar:•ón d~
la oU.p:ie, su cxcew:crio•ua.d J._ lon•l'ud d• s
j
,
,
h
"
:.1 e o maui;:,r
Y lg; d~ cad1 larlo re .. to.
i.;
9.
Sotz..e/..~I!.
llps
dad.
.
· ori ~ do le ACunci6n:
(1)
e
~,,. 88
lfc =12-{-l)f~J
·-f~l-12- '.-2} 1~4
,,.a2-b, .. ?"16-b2 -~ ::ª-7
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12.• Dilc u Ur la eeuac16n Ax 2 t C7 1 +DxH!y•F•O c1iaode A 1 O t on
4111bo1 po ei t 1Yoe y .l)&E•O.
So l1LeJJ.!l ,
:3i D,E• O, la e cu~e16o dada aa reduoe & la f ona•
u•+cy 1 +F•O
Si
r,o,
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( 1)
rop~allllta UIJ ce ~u to " ido.
rap:reo t.n
a lipH e
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F..
11)
a
1
)•l < -5
ideute co
la el pae ti ne eu eje toeal a 1nciclent
e e - Y.
En e da uno do l~c ojercicioa 1~-16, red~cir la eouao1~n
e la co¡¡unaa foua ordinar.1,11 de la cuaci&n do .'l!l.ll aU
y d +.er~inar lea coordenadas del e tro, v4rt1ooa 1 toe a
l , ongi tude
loa ejes aa70~
en r, y a de c~d
r
y la 9XC trieida.
edueoi6n, e - la
•3, k•-
Mi
e
, aa2 y b•1
c 2 ~s 2 -b2 - 4-1•J
e~,/g
+
e del ce tro: C{h,11:) .. C(3,-2)
adu& ~n 1~a vé tices: V(b~a,t) +
Ad
F (nc. lt} +
d +1',- ) :, 1 ( ~
de11 Ju ·los eju
yor Y m DI""
1
n itud dti o.!ldQ h:i e t. 1 E., -2h
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ni. l el da ll o
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lom¡,l t>t.and o cu.ittrll
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·
9{x-o)•+4( 2 ~
Y · -y+1 ) =)2 +l z 3S
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i s~e:
( v -1)ª
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º ºl'<i&r.,.<lae d e,l e ~
~
• e •:1. ·-b'-=9- 5eS ~
b) U ::- tices: V{1¡ k )~n,ro, u(?i,i·) • C(0 , 1)
e) or.os : <(L , ,).J.a .,. Vi(o,~) Y 'l :(O • •, ,
.. '~ "' .. e + F (
• - '
(1) Lc;z: .. · ~ d , ' o, T+v's .> :r ? ,(o 1 rcJ
bJ..
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11,l9S riay,,.r :: n ec c ••
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r ) F:xcentri c.idr.d :
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y ;i l).. ,:
ti
'
265
~l. Hftllar 1~ eo1aci6n da 1• ta~ilia de slipseo que tiene;:: un
cent~o oo~ún (2,3), ~n eJe local paralelo al eje :t. y la
ds1:H1 ext:on-;rícHad igual a l/2. Dibujar trtHI olec,mt.oa
ie h i'a111U • e.~ii:nandc tres valoree di far:tes i.l paréuotro.
:a ;:ua:!5n ie ia !a~1lia de el1pses oa:
~ + ( y - ) ) ' ..
a;
b2
~e aon1e:
•'
e
(1)
y
~b2
1
Sustitny,ndo en íi) ~es~lta:
E:J(x-2 J=~•fy-J)t=,~:
3i tr-:1 •
E1
2
-t
:J(x-2) 2 1 .:,(:,-3)ª"'4
b=2 + ~,:J(x-2) 1 ~4!y-J)ª~16
b•1 • Ea:?(x-11 2 +4{7-J) 2 ~ Jb
sl 3o ccr.o ·en
~
9
• ¿Lt• x
i
zz. La ec'.!aci~n :h, ui:.o !amilia d. eU¡;Blla ee 4i,;i+9y 0 +ax+by=i1
Rt1ll11r b o.; 1aci<Íll. •1'!11 ela;iento d" h tsll111a ,.uo ;:asa
cor lou pu~tos A(2,JI y B(5,1},
Soiu ~~ -
E(~.1 }cE
on 1 • elJ.P -.(~,
1(
.1
f
1
:E. x 1 t C:, t +C:-~, Ey•
• : ).:
1, !Jr.4'
11¡ r,{O,J --¡; '"-'
1 , 7.,+ll+'3',+F-0
.. 4"'-,óc-D+,.E·+'F-"
,11
:;lJ)(•T
+
Sea E:,x~•9y•~aKtby-11~n
100•9+~a+b-11•0
~t-+bx-98
e
.'. ll:::.{:x 2 ,+9y 2 -1é.x-18)'•1l·
(1)
(Z)
(j-1)$ + :
- ".)
O)
( l.)
lJ, t~ ecaación do una faRilte ~e eltpae' es 1cx•+~
+6:r-P.y•5.
Hel~,,_- la11 e-'ncione11 dl? a,:¡uellos elaEC:J"toas de l..a l'o :t1.li.1.
qmi t.ien,;n 11nr. excontr!e~d-5d 1/2.
( 1)
( 5)
l )
(7)
Pasando ta cci&uión a co 2da for~a ordi1arie "• tien91
k(,c:z .. ix+~} + .;.(l:·2y•1)
'.<(x •
n
2)
'ieool·,, mdo {1) y (2), obtone11oa: ll.•·1E: y \'1••1B
!)!
+ 4(y-1P
e
e
5+iH
i<t+1)
266
• 1o(x1-xz)+16(y)-J2)-6(x1-x1)-B(y1-r,J•Q
;?(yi-¡,) " -(it1-x:d
-Si e - ~
•
_xi-y,
X1-JC1
..
(2 J
~'- r,(~t í ) y
= m " - -1
2
Nc,;aci&n de .la n:1aráa: y-2 "'-1(:c-5)
b~• ¡t(k+1 )
<4>
L:xt2:,-9=0
2 6, Hallar e identHica¡:- la ec1.9ci&c d,ü 1:ugar geolllihrico de
:¡.:)
-i.m
tunto que~& ~uave ~e tal na11era que ~u d1st~ncia del
ejz Y es aie;npre etl dot>le d,; su dlitnt.r;,ia de,l punto (3,2)
Solución.
y
~} s~a A(3,Z) y P(xty) un
1n
iií)
l?'B,
~:.m~
del L.G.
e
2IF°Af
;{ - 2 /(.x-3F+ {:r-2 F
de ~on~e: Jx 2 +4y 2 -24Jé-16~+52~0
El L. G. e-s
UN.
elipss da :;a:1tro C ( k, 2 j
,c 2 t:r1 r4x.i1iy-8-0, ae
tre.za una perp~ridieuisr <11 üiái;t;,tro ¡:¡aral ..lo al eje -· II3
lle.r a ident, í'ica1• la ecuec.ión del L. G. d'!l los pmrto.s (!,;-
27- .Pesde ea~a punte c!e lR. circ11nfe-rianc::ia
dios de catas perpendicula~e$, Trazar $1 -,G,
St>"i.aci6n..
'i.'enemos
,g, [xt2)?t(y+2>2•16
+
C(-2,-2)
i) ·gga P(x,y) !lll pU!!tc del L.G,
J! ( x 1, yi) un ¡her.to cie .& y
B{x1,-2) el pie de 1~ pcrp~adic~
lar ~ diá:.e':ro de le. c!t·cu.'JL
ii) J AP /
;~~)
~ X=;: 3
- /PE</
,
;- :
1'.r2
;¿
+ y 1 =2yt-2
Si A.(x 1 ,y 1 )c_e 7 (x1t2) 2 t(7,i2J2=•16
e ae;:; (xt2)'+(2y+2t2) 1 =16 ~ (x+2.l 2 +4(¡r+2)~=1ó
:!;;1 :::..G, eG una elipn,;, do c,;nt.ro G(-2,-2)
ZS, !lesde: c;:.cia punto de la circl'.'lfer,mcia x 2 ty'-6:<-!¡+1=0, ,se
:;=-aze ur.n, per¡,en.clic'.11= al <iiÁilletro parelelo al a,1& Y, 1!-ª
llar e icl".:i~ificer lá eciaci&n !:!el L.G. d<? los p11t.tos mi;,é!ios de estn:; pe:-¡:uondicul,n·e.s. T1·a:ser sl L.G,
t
·· '
la. U.-t~,,.
Tennoe;
So~(.i6n,
A:(x-3)Z-t-(y--1}2~9
i11)
IAI> 1 = IBPI
Y:Yl ,
X "
~!? .-
O'(J,'f)
ii1)
~
i) Sean: P{x,y) un pu~to del L.G.,
A(x 1 ,¡i) un punto de
y B(3.yd
el ~ie de la perpendle~lar u~ A
sobre el <liímetro da Á;.
ü)
~
X:1-"21t•J ,
1ue el p-r,:¡dunt.o iie lato e.ngeotl!f8
las bases es eiampr~ igual a J,,.
111aoera
,;ls.
loa inguloa 1!el
iii) • 4"' lxª.,.(y-2)~ t i
i) Sea B(x,y} un punto del
J..
..
u) (';'era) ('.i.'ga)
:
L.$.
e
J - ./;;:¡;t
Elevando al euádrado rsa'lllt.ae
• fx
Jt
6 ~ ~ 4y+;, de 4ocde: )6/a:1 +20y 2 -40y-25'=0
En ambo.is ªª"º"• la eeuaei6n del L.G . ea 11Da elipse,
1. 5
(CU,~CION DC LA 'fANCENTE i\ UNi\ f:t.IPSE
a) tangente ~n uo punto dado de la elipae.
b) 7angente éOn .rna direc~ión dada.
~) Tangente trazada desde
4
de donde:
-24:,¡ ..o
f,a ec1.1ac.1Ón dal l,,G, u
4.xz+y1
--o-------1'~6-,0~ :t.
un& ellpte.
1
JO. l'l!!.lla: e 1d'l'r,~if'icar le. 1~ua<1iÓ>.1 del L.r.. del t111ntro de
unn dr::unfaroncia que, •e mantiene ten,:ente a l.i. e.Lrcunf'!
rr,ncia ,&1 :x 2 ty'-4y-12•0 )! .Í1 :.<i_ty 2 ,.1. (l>os &o.,1..111donos. )
Wl
punto exteJ.'.'ior a le elipe~.
La tftllgente a la elipse E:b~x 1 ta 1 y 2 ~a 2 b~.en cuaJ.qnier punto P1(x1 ,Y1) de la curva, tiene por acu~
üuto-sl,¡.aW!!,
:::ea P1(x1+h,¡i+l(} otro punto de la
eli~se. La pendiente de la a~cantc
SptJJ.l!l611,.
La c1rc~nr~rancia variable
<:on tienit 111. -'1 •
P1Pt es:~'~ Y¡+k-Y1 ~ ~
110
'i'enemos, ~ 1 ; (x-0}2+(y-2}' ...16 .,. Ci(0,2)
i) Ses P[x,y) un puct9 d~l t.a.
2
ii)
C 1P + PT • i•-ero 1 1Q=fl'
• c?f e C1P t p;i., ~t(~•OQ)
ra
+ /x•+y 1
2 t(y-2) 2
Al igual que para la circunf'erencia y la parébola consi
derenoe los siguientes caeos:
Sólacl~n.
Primer Caao,
=
Le. circu.ntorencla '#aria ble oG·nti.,ee a .,& •
1
i) S11e. P(x,,;) un punto (el L.G,
Y
ii) c';'T "' C iF + 'PT
EíP + PQ ~ Ci'P t (¡'l'¡j+~)
29. La base de 1m tril1ngulo .u, de longit:Jd fiJtt, Biendo su~
extre11u>a los pUhtoa (O,O) y {6,0). Rdl,~r e tdentHhnr
le el!Jl!.o.i6n de1 I...G. del l'•htice opuesto que u riuen ,je
t,;l
lx
1 t(7-2)~
4 • ,f,Z~t(y~2) 2 t /xz+y 1 ~1 •
5 - /~i+y•
Elsncdo r.l euadrccio se t16aa1 10 /x•+:,1" e .\y+21
d& ~onde: 100x1 •54y~-16oy-441•0
+
Segundo Caso.
P-Gro A(x1,yi)c,G • (K1•3)i+(:,1•1l2"9
o eea: (2x-é) 1 +(y-1)?~9
de donde: 4(x-JF+(.v-1P~9 , lil t..G. ee une. ..upse.
iU) (X)
(X
X•
2~9
g _ P1Ch1,y1)r~
x,+li-x 1
n
¿
b 2 x{ta 2 yt~a~b• (1)
+ b 2 {x 1 +h)t¡¡,i(y 1+k}2,.s 2 b 2
(:!)
Restando (2)-(1) ·reerulh. 2b 2 hx 1 +2a~ky 1 lb,h 2 +1., :1.l! 2 c0
EntonM~:
h(2b 1 .t 1 ~b 1 h) ~ -k(2a~~, +a"k)
1
Sl. Pdx1+hJy1-H:)r;i::
270
x¡+b h
f • - 2b
2aªyi+a 1t
2
2
.:.171
e
•
2
2.x•+J(•x-•-1}~-s + (2+Jm')x -6ia(.+1}x+J~t+6&-2=0
Por cond1ci6n de tangencia: 36ia 1 (a+1)i.,(2+Ja')(:,.•+6~-2)•0
de dondes (,S-2) 1 ~0 + •=2/3
·
Liwgo, la aouaci6n de la "Ulr..g-onte ea: y+1 ~ }Cx-1}
2
Cuando P, tienede a P1. ee decir. cuaado k•ko<O, entoncee la
pencliente de le necant.e PiPa· • pend.iente de le t.an1eate en f,
..
eeto eas
-~
2
, -'x-
lcuación de le normaJ.1 vtl •
Luego. le ecuac16n de la tlul¡oute ~n Pa ee1
b%x
f•J• • - --'(.x-.c,}
"-
2
++
• •
1>'x,.x+e'71)'" a•b
Longitud d, la t1mgen to: t
Y1
11
Teou1H !,,
Z.izg,
ecua11~ena.a de laa t&ngenha de J)8Hdln11ta • 11
la'elipae
B:b1 x 1
ta 2 y 2 •arb•,
•
DlU1D4Úft;i61t,
In efeot~. le fa&ilia de recta• de pond3ente m eet( dads por,
y~ nx+b
(1)
Su1tituyendo en ls eouaci6n da la elip11, ee ti&nea
.....
{a~m•ttt1 )x 9 +2a 1 kmxfa 1 (k1 -b~)
D
Pol' eond1ctón d·: i;angenela: (::a 2 o) 1 -4{a 1 a=t+b2 )a 2 (k*-b' )~O
de 1onde:
Po~ tanto, en (1}, las ecuac1ene~ de lae t:ang•ntea eon:
y • u
l:
la 2 s 2 +b'
r E:IEllCICIOS.
Cl'upo 29
subta.n¡onte I ST
.; l~I~ IS7JI ..
" •
SU8:JH11al: SIi "
J•yil•
P.
•"4>••, ••
i
fil
J
j
P(2.1)
2cuac16n 3e la t.an¡eata, Liy-1=s(x-2)
tongltu~ de la taageote:
"
..
Ecuaei6n de la tange~te an
da doade: ,~ax-a-1
Su11tiluyendo ea la ocuaci.S.: de la
/7¡f/1+m· • f-1 r.1n419 •
.
Fcuac16n d~ l~ no.Nial: y-l. ~(x-2) ..-. li:5x-9y-t~o
l
t
~ l~ll1ta'
ol_9j5I~; ~
l:nJl1ta 2 ..
11+"Jf- ~
•
• noraal1 n"'
•
• e\¡j¡tangente: ST.
"subnormal: SN.
2x 1 .. )y 1 •!i J P(l,-1)
Sot§G,40•
I
n
{1)
~· donde: y=!Rl(-2a+1
Buatituyando en la ocua~i6n de la elipAC se t1aaei
.(x •n (mt•?.a+ 1) ~-1:<+ (ax·2•+1 )- s,.o
~ 2(2im 2 }x'+(5a-ieª-7)gi-2{4'1'-~,) • 0
Condi<.:i.Sn da tange!leiu (5111 -smª-7)Z-16(2+a')(.ur.5a. 1 ) •
0
do doadet (5,111+9}ª=0 + c:.9/s
Luoic, en (1). as tienQ, y-1•·9/5(x-2) ++ L:9x+5y•23=~
!n cad.s uno de l.oe •J•reicioe 6 J 1 ballar la• enuacionet1
de la tu¡enta 1 1a normal. y l u looai t.udee de l• tangente.
11orinsl, euhtan¡Jente, ,&ubnormal , ¡,ara la el1pn JI pn1lt.o de oo¡¡
1
tacto dadoe.
,.
• lf!J/i+;' •li;jl~ .. .q1
•
Sotuci6,¡.
~
1) ++ L 1:3z~2:,-1•0
nontal:
"
4xª+2y 1 :7k+y-S•O
1.
3(
~
eon:
7 •ax~ la 1m2 +b2
bª•ª+a 1 (mxtk)l~a 2 b 1
.L:2x-J7-5'r0
++
8 J1
8,
1¡,!L •
lv 1 ~J
i
~ ~
l~s eeuaclonee óe lae ümgeotBa de pand19nte ,• a
L:y+l• a(x-1)
Ilallar
~iene1
Scluci.ln,
la élipse
E:4x•+,
, 1 ir. 8 ,
Las ec~ecionee de las tangeBtes e~ de la fer
u:
y:2rtlr
, (1)
(}ecu:br.l a llna l.Ulea P taJttt.
1272
273
Suetituyendo en la ecuaoi~n de la e1ipee se ti8)le:
~) no cortan a la e1ipse.
4X 2 +5(2x+k) 1 -a..CJ · - 2.4x'+201tx+5kt-s..o
S9t.u.r.i611.
Por oon~ioión de tangeneis< (20k) 1 -4(24)(§k'-S)•O
donde:
5kª·48"0 - k· .. ~
Luego. en (1), las aouaotones de 1ae tangente~
ii,e
Rallar lM ecu:.cionee de l.ás tangsrrtea e la elipse 3x~+r
~4:t-2y-3=0 que aon psr¡,e.o.dioulares a la r~eta.L:~+y-5~0.
Sotu.ci6n,
6
3x•.3¡,,+1Je0
·-· (3k•58)(k+7) O++ -7 < k
(Jk-5~)()(+7)=0
La f.l!l.l!lilia de rsetsn quo pna:i:n por Pes:
y+1=ia(x-.3) + Y"'m.:<-Jm-1
(1)
Su~ti~uyc~io en la ec~~ei6n de le elipse ~e tiene,
2x 2 H(mx-Jm-1 )'-+x- (m:11-.311-1 )-5::0.
.,., (2+3m 1 ).xt+( 1-71Jl-1&11~ )x+271:1 2 +21m-'i~O
Colldici<Sn d6 t~gerioia: (1-7m-18J11~)2-.4(2.+3ut)(27m 1 +21J11-1)"¡¡
di'> doi:idil.: 1910'+182:Ja-~O ++ !ll"-1°. 6 1,... 9/191
Por tanto,
(1). 1-s ecuaciones de las tangentes son•
~
9x-1~1y-21s~o;
11. Con refe:rend.11 -a. la a.lip.ec
ii:~x 2 +.3yi+.3x•
,
.4y• .3..o. h6J.l&r loe
de k para 10& ousles las %GC~QS de 1~ fa:aiJ.ia:
5x+2;¡+k"º•
a) eort&n a
alipae en d<>e pw:i~os d1fel"entee.
b) son tangectos a l a elipse,
V!I.Í0~&8
la
k=58/3
6
k=-7
e) Las Pectes no corti::.n a la elipse si 11<0, · esto es:
(Jk- 5!1}{k+7}>0 ...~ k<-7 6 k;>-58/3
12. Hallar el ánc111o agudo do interseeeión de las e1 tpae¡e
1
Sbeuei6~.
x:y-2=-0
+-+
l.!!
" 3
e::1 decir si ..
b) Leá r ectas cortan a la elips~ 6i A=O
3L:3x~-l'°4y =0 Y Ez:4x 2 +:, 1 -32x+5ó=O ec uno de sus uos pu1:
tos de intersección.
J.ll. !fo.llar la.ti eOUiiOionse de lao tenget!'t,$S ·traMda.s del punt.o
P{:,,-1) c. l'< elips•l E:2x1 ,3y'+:x-y-S,,,O.
e.,
= -~(k+5x)
y
de donde;
'i9xt+2(26l15k)x+3k'-+8l-12=0
Discr.illiinante de ls ~cuación , 0=4(26t151d 2 -4(7S)(3k 2 +8k-1:.!)
o S'ea :
li ~ 16(-3k2 t37k+406)
a) Le. reotu corta a la aJ Lpse s.i ll>D , esto es:
-Jk 2 +a?kt4D6>0 -r+ .3k~-3?k-406<0
La f11Jt!lia de reot~~ pe:i:pendioule.re, a L ticno
por eoullei6o •
¡=x+ k
( 1)
suati tuy.i11do en la eouaei6n de la dipee ee tl,et>e:
.3xZ+(x+J!P+4x-2(x+lt)-3;,0 4x 2 t2{k+1}dk 2 -~-i..o
.Poi• oondioi6ll dG tt1.ngenciai 4(k+1)ª-4(4)(k1 -2k-J),,cfl
do ~onde:
Jk 2 -10k+1J~o ++ k1=-1 ~ k~=13/3
Por ten·to, e; ( 1 ), le& ecuaoionee de la¡¡, tangen tea eon:
:x-y-1=0
+
x~+ t(k+5x) 2 +3x+2{k+5~)-3=0
B()nt
1 Ox-5y;t,V'iJ;O
!1,
3i 5x+2y+k~o
Susti-t.11yendo en la eouaciór1 de la elipse se tiene,
fo l.u e U,fJ-.
Interceptando .E1 y 1:2 obtcnaoorH P,(3,2) y P:0,-2)
Como 21 es una elipse de J:-4 forma b 2 x 1 +a 1 y 2 =a 2 b', por el teQ
~e~a {, la penlientc d~ la tangente en Pl(3.2) es:
m1
= - ~ ,, _ {43/ 4 ~ ( 3)
,. _ ~
(/¡.J/J)(.<!)
8
a Y1
2
Par.a 1~ ~liy~e Ez:<x: 4 )
2
...
(yij0)
2
=1
, t~ne&oa:
2
a •8, b =2, h=4 y k•O
1a pen6i('>nte de la ~angente a una elipse d~ la forma:
(x-hj_2
~
,
r
(y-~)¿_
2 (
a· -1. en ,ir. ¡:,uT!to· P1(x1,y 1 ) ee: 111 :..-.f!.. :<1-h/
b~ ( :,r ¡ le/
tt1tonces, par<'.< Ei S4' tiene: m, = -
L!Jego, TgS _
¡ 1Jil~-·•¡ I
+~1.m2
=
¡
:f?:á~ =
2 ...91!!_¡ _
1-1~Ta
••• e ; 6aº·r2 •
2 _
- 2 - 2 -S
2
274
14. Demostrar que la ecuación de La noraial al~ elipse
b'x 2 ia 2 y 2 ~a2 b2 en el punto P 1 {x1,Y1l es:
a 2 y ix-b 1x 1Y-~ 2 x 1Y1 +b 2 xi.v 1~0
los punúoa extremos de uno de sus l.ados roci:oa ;is n11;i,áriea~cnte igua.l a au oxeAntri~idnd.
./
i>~Jlfo"4i4gci6n,
~n efecto , la ecuación de la normal que paaa por P1(K1,Y1)
es:
y•y1; m(x-x1)
(1)
Por ;,l teorelDa J., la pendiente de la tan¡¡rente en di<::ho p,,nto
la p~niiente dé la normal será:
y-y 1 ~
ru
c7xi (x-xtl
cuya tangente en L{x1,Y1} es:
b t x 1:c+a/ y 1Y· ~ s. ~b~
5i eJ. ro~ es F(c,O)
y
si Ll! =
2b"-
-"¡-
Y1~
+
( 1)
J ;,. Oemos,.,rar que si eualqU1er nor~al t. la el;.pea, exoepto
su$ ejes, paaa ror el origen, la el~pse es una cire~nfe•
rencia.
\
x,~e
+
y,t
O
-
l>X
'~
ab~
1
1
Luego, el\ (1): b 2 c:{ta 2 {f)y
d" donde~
?¡1$·¡
'-
En efecto, aee. l.a o2ip~e E:~ 2 x 2 +a 2 yi~a 2 b 2
=a2 b2 ,
Pendiente de l,;,. tangente, m = -
¡
?.
d& donde: e:x:f,iy=,,_
= -e
For tanto, la penile!\ te de la ta:ngeota es numéri Mmentt', i¡¡;ua.l
a la excentrici~ad de la elipse.
i),i..,o,.Ltaei.6R,
en
efecto, según el ejercicio 14, la eoyaaión de 1~ normAl aa
L:a~ytX•h 2 X1Y•Bl~ ~y1tb 1 X1f1"°
~ s~y,(O)-b'x,(O)•x1f1(«'·bi)~o
o rte~: x¡y1(s'-b')=O, c~mo ~1Y1!0 • ai•b 2~0 + ~·~b' ~ a•b
~al& condición para ~ue una ~lip6& $&~ un& cirounferencia.
5~ (O,O)et
17, Demoatra.r que les tsngantea a wia elipse trazada~ 9n log
19, Dcnostrar que el producto do laa d.i~tanoi.as d~ l~s :ecos
d.e una elipse s (.us.lquier t.<tng1>nte e~ ooust=te o igm,1
.
a.l c.uadrt.do de la longitud. del 9ellliejc oe:10r.
D= o6t.lt.a.e i <111.
En efecto, see. la elip:;,e E: b 2 r. 2 +a 2 y 2 "'a 1 b~, ouyos foctJs tienen
por coo"",d-onadas; J.'1(e,O) y Fd-c,O).
n
t
L'Y
ro.r eJ. teore;-a 5, la ocu.aoion
,io la
• ,
extremoe de un diámetro son paralelss entrq s!. f
t!l!tgento, de pendienoe n, es:
i),a,. o4.t"-9S.t drt,
Y"':ll~orls. 'm 2 tb 2
Sea la 9lipse, bix1 +a 1 y 1 ~a 1 b 1
Como la curva e& si•át.r1 ca resped.:i
-iel origen, i,n tonees, ai P 1 (xi. YI l
es un extremo de
Ull
.,
L:mx~y+/azoz.+h"
~~tonees: d(F1,L)
1J.,me,ro, ~1 o-
tro extremo aerí: P2(~x1,-y1)
Por al teoreita 4, laa ecuacionea de las tangen ta, er, P 1 y P 2
(e~1t +b2)_,. 2,,1
Li.~go: d(F1,L) ,q(,·;,L)
~
c. z+"'
.r: 2 b 2 •b,2:
lll~+"
-b•x 1ir-a1 y 11••2 1>1
Cono llli"•s , li1 .tangent&11 110n para.l.&lae.
-_L, 2 -e.2.) 1·1'::'
m--1,.1
276
277
1
zo. Po.r el punto P(2, 7) ae tr&11_1m a 'la elipse 2x' t:, +2ir.•Jy:2.
Rall&r lns coorder:,adu d1;1 loe lJuntos do contacto.
Soti,s;+6n. .
-=
a 2 b 2 ;:-1
!
n.?x,/P. 2 y~+b 2 xi-a 2 0 2
it 'y~ t
t, 2 x i
Hací.enC-0 :- k - /a ?y~tb 2 x~-a 2 b 2
La familia do rectas ~ue pa6&t. por P(2,7) eo1 y-?=m(x-2) (1)
de d'onde: rmx +7- 2111 1 111Jati ~uyendo an la ocu&ción de 3.a el:LE
se se tie~ec 2xª+(sx+7-2~)i+2x-J(~~ 2 +?-2~)-i~-0
..... (2+111•)x'+{11r.-4.nli+2)~+4rn•-22s+~o~o
Por eondici6n de tang~Mie.o (1111'.-411 2 -+2)1-~(.?+1!1~)(,.1tt'--22rt+26)-=0
~e donde: 31~2 -27.0m+204RO •• m~b 6 ~=J4/J1
Luogo, on (1), lae ecu11.cion&11 de lus tangel!t~a son1
L¡t&K·y-S~O 6 tz1)4X-}1y+1~9=0
Por br.to1
12
(2..t 1 +yt+;¡x-Jy-~•O)
/.1
(2x 2 +y 1 ·nx~)y~2.,0) 1.1
y~ "~{:1.-"b~y,Ib 2x1k)
6
•
y r~a 2 y1+t~xit se tia~e:
y3= l<s•biy_- D~x,k)
r.uego, -re s t19.tcdo 1•i;.sul t!l: y ,- y, - Zl>ix1 (!:)
,..
S11s-t.iti¡y,irodo Y2 a ;•, en ( 1) se tian<" :
x2 •
~ (azb1 x1 - a 1 y1k)
~ 2-X• r
6
xa " ~(a 2 h'x 2 ta 2 y 1k).
- 2a 'y (~)
Ecua.:,ión de la cuerda de C?on.ta~tc : y-y¡ - }{1.-~ '(x-x 2 )
X2.-X,
·(6x-y-5;iJ) '" Pdl, 1)
C.Hx-31y·r149"0) "
l',(-~,a;)
21. Si dB sde un punto ilxterio-r P 1
Bfl tra2!1Jl tangentes e ,tm4
elipse, el sflgllli>r>to de reot:a que imo lon p,,ntoe de oonta!]
te
llama c11u.da. u co,,tac.to rlr,; E' 1 par~: ,;i;.a eLl:pee. S!.
"ª
?1(x1,,1) ee el punto extórlcr a lu elipse b~x 2+ni.y 2=ftbl
d.?11u.!st1'el!le que la. ecuaaiiSn de h. caordt. de ocntaatc dq
P, ~e: b2 x1x+a•y,y•1 1 b1 ,
Sc&M,-l6a.
02
Sru. h. &lip•• !1bªirz t11. 2 Y'"'a b 2 ,
los
'j
ie ttlflgenoia1 Pa('Jla , ,,} ':f P1(ar,,y,)
Por el Teorema 4, la ,ou1016n de la
tangente en P2 eet
L 1: ~·?x ,x+~ ~YlT" 1 1 b 2
P1CL1 - b 1 •a~1t& 1 Y1J1•a 1 b 1
( t)
Pero P2<t - hªil+a•y;•a1b 1
(2}
1
Xt "
De l a ecQación de 1~ ~l4r,sti obtena~os; ~~=2 y h2~1
Sag1n l,s. r6r-mu}:, del ejeroi(;iO '21, la e~uP.c16n d~ :..a cu;,z·•ia
de 09ntaoto, e ~:
2(1):; t (1)(})x e (2)(1)
F,
·•
2 J • .Datno,$trar qui! la ecuación uel lugar geomft,ico ,fa los ¡,:.1r~
-.:.os ne.dios is c-·!.lelrJ.l.J.el· sietema de ec~rcras -oa:talela~ tlc
pe!"!Qi~nte m de 1~ elipse J.; 2 .x 2 ta 2 y.t=a l~,:. (l S y= - a~x,, r.~O
Suat1tuyend.o (1) en (2), •• tiene• b 1f~:~Y'&)ª+nlyi~~1b1
1
1
9
de donde, (a y\+b ir!)rl•2a b 1 11ri+raJ-xfJb·•u
!ntonoa11, y 1 "
Sol.,{ ci.lin.
~-+-~~.............\"-+......... ~
r~ 'S•x11X,¡,u
de donde I
r,w,.t.f,
2?. Hallar l a ecuaci6~ de la cuer da de oonte(;to del FU.O~o
P0.1") para la eli¡:,fle x 2 t 2y 1 -"2.
i ) Se2 ?(X', y) >m punto oiú T,.G.
aªh ªy,
xª1 ){a 4x 1)b"
.,
.!
_ . t la'bª!f-(a~v1+b
•ª1tH1lx~
1
Í)q,.u.· ~.;:,t.,,!.a-~~
1
1
Y sean ?ifx1,yi) y P 2 (;:,,y 2 )
les ,,xtr":r.oe de , u,il. <:1ld'l'1'\a.
i;i, ) .S'.l debe v-,rific•i,•: ~ " ' Pi'!
y,ecHud.-'r.la llna.tlti..ea 'í'f.,¡_(,o
E.ntonceg: x1+z2=2x,
Y1+Y2-2y
EJERCICIOS AOlCIO!IALES
iil) S.i Pi{x,,),'iie:€.,. b 2 x~fa 2 yira 2 t 2
P 2 (x:,t~)Eg • bºx~+~~~=n 2c2
{'l'e~to: F .;r. Ile Le Bcrbol1a)
Rest~~do eobas acJaC1onas se tiene:
1)
1:'(x1+z,)(x,-,r,) ~ ,,_'(y1f Y2H;;1-y,)
->- b~(2x)(,:1-xd = -11 2 (.!y}(;-,-y,}
2
.b 2 (2x) __ Y1-h ~
'b
lti-Xz
-!!!, d e d on d;. : y= - ri.Tirx
s. 2 (2y)
1.
J:(eJlar J.a ecu"f.cíón d.e la elip_sE;c, cou centro en íO,O), en
W1 á!tzulo de 90º de~d" t!!l e-eg
tro d;, la eur"l/a~ Se- sabe adc-~ás qua el eje w:.er.or est.f G~
bre el -ejé Y y o ide 8 unida<ies.
la q_ue el LR a-s ~ls to bajo
~
lll
f,O
Sct~ci6n.
?5. Demo~trar qua si u:. il,matro j~ uua elipse ñ'é~-O~ todas
1&3 c:ll1rd:1~ partlel:is .2- ot.ro d..iámet?"o. al ~ef\;lldo niáraetro biso.ca e. toclc.G lc..s cuerdat: parelelas aJ. prime:--o . '111.tle,; c.•_,úet1'o9 s,; 11-aman d.iwúto.6 eor.Jr.ir¡ad.c.1, d,e, la l!llil)e~
Si
F~rna de la. ecuaeión:
o({LOR)~90º
-
see: LF=O? +
Da ta ~elación:
é
~r.. ef'e-cto, s..-7n -11 -oliJJ:Jc E:.bzx 2 +a. 2y~=:i.lb,.
Sn
?or el ejercicio ar.ti;!''ot•, l.e eci:,_~i5r
b;!
a
7 ds o ~ro dláue¡.1·0 sorá: L 1 :y: -
2.
J:oi·¡;¡a,
m.o 1 =-a2/b2.
E:a
2 :cz)b 2 y 2
=a b
2
2 ,
4ai:si
CU!)
( 1)
1
~e++ b2 %ac
(2)
c 2 =a 2 -b:, so sigúe
+
e~ -a ; a/5
, pero 2b=c8
~
b.:4
(i/5- 1) • e.e donde: ¡¡. =8(>"5+1)
tf.~:
o s&e- q !.le el difu!it>1,ro eonj i.:gadc de L se pu-*de e~ cr1 oi r dft 1"'
forna:
L:..:1=-0.x ; e-s~o ee, Ll "oi.noca a laa cu&rdee pt\.ralel~ t.
a I. ?ur ,an't;n¡, el !n y· m1 deai gnnn las p-endientes d~ dos di3~Atros. éstcó son uonjugadoz ~i 39 cumple: c.~ 1~-0 2 /a~
plir~e que;
f
~
;:
xz
8(/?+1)
Coü.o .L1 er. par~lcl:! 11
pnnt:..: ont.c 1il, cr1- bi 1,0~-a. T,, e~1to-11c1:t-e: !
Si 1~ ellpoo es de le_
16 =
~
Por tanto, en (1), la e~uaoiÓ-r:. bu~cada es:
x
1
l.:1:: c,.l.-7.rd.as, ..'.'19
Nota .
bi
(2 ) : b • ~ 2.,_z (/5-1)
L1>"i-"•
(1)
::
c({LOF)~45º
+
-
quo: c 2 ~aé-~i~o
de ua diáue tro et:, L: -:,• - - ~ x
1
y~
+16
Hallar la ecnsción de l u eli~sc, coo centro ec e l origen,
~ 1a q"-le el eje menor, se ve~ tajo un tÚigu2o de 90º de~
<i_e el ej,¡¡ F1 sobre el ej o X. Aplicación far~ a=6.
xi
vt
So lu-ei6n. Forma tia la elipse: al'+ h' = 1
( 1)
o se.-,: B¡O = ~ l ~' b"C
Si ~'=b 2 -1c_ 2 + a 1 :2t-' .,- b 2 e18
~ -
~-~x
Lu~go , er, ( 1):
'3,
3.
Hallar la éc~ación de l a elipse oon een~cc en (0,0), eje
f.oc.aJ en YY•, que pasa por P(1,4)
r
la rel.:.ción cel !,R a
14 semidía-:;;u;.~ia fo~al es /l..
S2fucig_n.
Si ?(1 ,4>e:,.·
I!>~oa de ln C(!.\-¡a,:::i,}n,
.... ¡;-; + 16
aT
+
:,1
E;,b' + Ji:
a.>
lC2
a'
a'-16
(1)
(2)
2lW
281
(3 )
s - lx'+(y-6)'
~ii)
= /x 2 +(y- 2) 2
Elevando al cuadrnao r~suloa :
4
d~ donda: ~ - 3>~2 +210=0
+-t-
de donde:
2
1
ó a =15
a ~18
vale> e:i que austi-t.uidoi< en (2) dan: b 2 e9
6
b.a=-1
Dados les roabs F,(2 , 3) , f,( - 2, I) y la longituct del eje
&.
La segun.da i..ltcrno;:,_..,,~ pe,•s b' es 5.na.irniá:. ble.
ne y or = 8 , ob;;e.n~r la ~cuadón y los elea,ent.as :le la el1¡:,
Lutl:_go,. en (1), cl:ii•,ene1:os:
1,.
1?.-y
Lx 2 rJy 1 - 24y;O
se.
Jt, l uci.0:f.
:x0 +y"-4x=O
Una cir<:u.:,l'e!'B::tci!i. v~-1'~.a:ile e¡i tange:ite a .B.1
,· ,1 _g1 :xZty 2-16x-.36~G. Qué lugar geomittríco describe el
cent,1·a
la :ii,cm1ferea:;ia ~16vil?
ª"
Sea P (x, y) un pur~o de la el lp~e.
Por da fi tü o!.6~: fff1l+1PF2J" 2n
+ l(x~2) 2 +(y- 1) ' = ~
2
2
~ 2 ) +(y - 3} = 8 - /(K+2) 21:y- 1) 2
• /(x-2} 2 +(y- 3) 2
0
'i\mamoi> : .G1,(::-. ·2J'+(y-O)~=L + 01(2,0)
.B::(2- 3) 2 t(y-O)ª =i00
~
C.a(a.a)
y
ir r\=2
r2~10
p
i) Se,i G (x.y) un puni.;, de.l L.C.
i1) E., ulll!'lq1i1er posíci6n d,: C ac
debe v&~ific~r qv~: GP ~ 1C!
o '1Je:i.: C,P-C;:ñ ~ G,C-G 1 T
-..
1.·t~ -G~C -
2XTy•1¿
5
U....,
l)te::iel:l•Jll:
-:::i. •• unferencil" :.e
E: í 2x 2 - Lxy+ 15y i+ax-60y- í 1ó=O
4
~- • t. ,.
-,
v , .t. f
2
1
1
3
.:::'..::.
L 1 ;x-2yt4=0
xt2 = 212
r. (H
2. • l.!J,,
6
b} E-o.ua:eión riel .;,je !'ocal:
e) ~cua-ción del aje menor: 3-2•-J(x-O) t
/'C 2 "'y 2 -4lt+4
,.,.,líe, Vq1·i"ble que ,:,ase por P(0,9-)
et ~ .. ~1,geüte iut.~r:.v_;.-~ent.r. a la circun::'erenci:1 .S1:x 2 +y 212;y-28=0. Hall.ar e! L.fl. que· -deeoribe el canti·o üa la ci.;¡:
c~n.fer,rnc.l.e. v2r!able.
L~:2x+y-2=0
,i) Di:; t an cia focal : :.: e = F 1 ? 2 = / ( 2t 2 )2 + O- 1 )' ~ 2..r;
!!) Ej ~ rienor: b 1 =a 2 - c 2 =1b- 5=·11 • t=.rIT. o sea: 21,;,2/'-fi
f ) 1o~gi tuñ 1e cada l~d~ r~cto : L~ -
201
11;¡
B
Ex-c-entri cidarl:
g)
7.
Cal c.ul .,r la longi +.,jd del e;ie focal dP. una elt,pse que pasa
PO'" {0.,0) y cuyo,-, t'ocos son F , (12.5) y F,(-8, i5). Cuál es
:.:t4 e ~u1tni6nf
Solu.eUm.
Si ..81~íx-0F+{y-ó)'=6.!. - C,(0,6) y
::.) s~:, c{",Y) 1..n ¡;=te d!ll r. a.
ii) cif' '-' c7,+c'!' , ,p<')r.o G':' =C?
+ r• • ~ :. ;;-;e i C!'
4 lx 2 +J~f/,.Jc- 2y+~
;ic) Centz-o di!! la ..1,;- p S·a.
..
+
da dc11.;'!e ·
~
ne111oe:
tii) 10-,/(x-8)~+yi~ /(x-2)•~y 2 -2
x',·7
2
.;tx1 .,.4;, '··JOs-JJ~v
Eleve.ndo 111 cuadrad-o 1:'Ssul i,u 1
E.levando nueva~A-;1 te al ouad r¿¡ do ., re 1uc!.e:hdo t-írmincr... o b-t,::1,.
~ - r1,
12.- /{;"-2) 2 +:r1 = l(x-3)'ty0
21,l,;vanilo 'l- c1,c<h· r..o ~-,;sult,,,_•
+
So foc iótt.
Sea
P{t,y) im ~un..o cuel~"lera de la elipse.
Por de fi n:íeió°r rie elipse :
:,
3
.es.~
iPF1 l+IPF',j •
2a
l(x - 12}2+(.y-5)2 + .l( ,c+SP+(y-15).2 "'
:;!¡¡
2112
2B.3
Como -1s olipse p.s.sft p~1· {0,0), ento!!,~OS!
9.
/(c-12i 1 +(o-,)~ + /(ota}"+(0-15)'
2n
la del lado raeto?
fo dor:de: 2:r]•J
Solu. c.U,1,.
•.1u~go:
2
+
+(:r· 51 - W - /(x,8) +(;:~
wav,.n,fo al cuatu·ádo y silllplitieando ?'Bs,.11 tE. :
2
/fx-1'.2) 2
.1110 de cuyoe f'ocos es P(-:,0).
!cuaeión rle la c~erd~ ro~al:
Y"m (x-c)
:?x-t+5, " 3 /,:'ty~+16x-30y+289
i.e
ti~na:
b2x 2 +a 1 (mx- cc} 2 ;albz, de donde:
(a 2 o• +b 2 )x 2 •2atm•cx+a¿c 2 c 2 - a 2 bz=o
Dos móvili;is M1 y M2 des c.1·íb~n n.en..ias. ci1·cu~ f'arar.:~ia:.s ccr.
o&.ntri.::s.s dlJ ~ti.dio;; r: y r 1•e:1p~ctiv!lmsr:l.e .. La vcloc~da.:l
Suma de l a~ r~!c~a= Xttx2
angi,1.a1" w ~11
Pe~o1 rt= PF 1
.,, 111006
es constante e igus.J., pero de scntico
contz-s.rio. Qué Lc.G. '2..a~cribe el p~Jnto 1ted.:!.o del a(jgir:an-:.:
l' 1 H1 ?
'!
y=m~-cm
+
susoi tuy~ndo en E,
5l'.1+4x·y+Sy l-ó0x-168y-Ci
ds dond~ obten~rno~,
6.
Qué á ngulo d~be formar la cuerda focal de un.i !i!lipJ;e., con
el ete de ésta, para que su longitud 3ea i~ua.l ü n venas
(A;,licac'lón, para ii=S y •"2)
Ez¡tonees,
2a m.ic
= aio•+l>2
2
= a. ~x,, ri= fF 1
r1+r2
= i>ir 2
Luego. si P1P2-nLR
s
~
a- ex,
2a• e(x t+x 2 )
2a
Sol.11ol6n..
~) s~a 11(;;.y) uri pw:.;c del L C.
y sea~ M fX! Yl) y Vi!2:,Y2)
¡<"':e extreo·~s
i:l) PaJ."' <>i ;,,.:vil
?i1..a .,·
x. 2 -;.
\!"tl segt1;1nr.~c H1~~z.
}'.1 s" tia~"~
10 . Hel l ar el ángulo qu~ debe rorm~r la cue~áa io~al d6 le i
l ipae x 2 +37~=)6, con el eje d~ ~~ta, de modo que 1s loni 1tud de la cuerda focal sea 1gwd . i dccle de &1.t ~R.
r,6vil H,:
y ca.-rt-:~ntJit
Osb
l
• ,,.,!l.:
2
(;:,e .s·"<t ~ -'tJoRwt)
::; - 2
d: laa cual~3:
v'll'. ,. al
'iSeuó:,
x -:
}(x
V
-}(y i+y.s_)
-
, '
' .
r.ctl
2 \B-'."i ·,Ca~.i
t'1
rSellwl \ - ,t{R-r) 3,¡,r.w~
~~~: Ccowt
-1:JL
R-r
e::
.:::.ulta:
2 ;.u::.,n;.
? 1Pa ~.21R • n."2
~or la f6rmu:l~ ~al ej~rcic1o 9
~ ~ j)6~2(12): ~
V ;16(2-í}
J
11. Dadpe los t'oc,os de
S$
tiene:
Tg~
U?J~
elipse, E' d-3, -2), F2 (9, tl
de 1-a c1.trva •
Sol.4ci6n.
Según el ejerc,icic 19, CT11po 29;
d-'
·· e.
&~
C.Ulición dil una t,m¡¡ente, L:2x'-3y-27~): hallar ln 'il,.'JtUaoiÓll
Ento () s:
b1
t,tcd(P\,L).o(
= l·<>-·ó--nl, 11a+3.27j
/4+g
~4+1
• _i39) !'.2}
13
r.as ára a s !!.í'.ni.l!<a y
11+. Se de. lt< alipae E:4X 2 -fy 1 =72 Y U/1 ocgmaJ•to c.;ios
Ses. P(x,v) lln p'W1to cua.lc;uie?"a dr.. le elipse.
;E¡¡toncss, por cefinic;i6n:
IPF1 1-1~ le2a
- l(x+:,)-1-;.(y+:2) 2 - /cx-9}'+(y-· )'
x
1;)
1;5 - /i;c-9)llt(y-1J2
15. Dada la p(l.l'lQola P:x~=16y, calcular la ecuación
lipse curo cen,;ro e::; el vértice de la parábola;
~o dol eje menor de 1~ elipse eea el toco de la
y sabiondo q ua anbes eurva4 se cor t.11.n en ~»g11lo
deccir, suo respec-tivas t irn gentes, en S\IIJ puntos
sscc.!.6n, ~orman IÚtgulos de 90° .
5 /x-2.+!~%- í Bx-2y+S2 = 49-/,:,.-y
de donde:
9:tt-8xy·'í:!4y'-56x+Ml;r-351=0
12. Dados los f'oct>s <le m:.c. elipse F1(8,2), F2(2,2) Y J..e eCtti;
eión de una t"1'1g~nte Lrxt~y-21=0. hal lar la ecua ci 6n de
J.:i eun·a. (P:;-onder en ·for111a. a,nlh>ga}.
np. -'x3V·'
+
(y29>
2
Elipse baseade. !
X¿
n>
+ :t.!.
b; --
(1)
Si x =1 6y + P'"I.. + F(O,I.)
Co~o p=:vF:b + b=4
Pendiente de l e. tangente e. la
bol~ en
~luc.ió,1-.
e
parábola
recta, es
da .1.nt('r--
2
tre,mo. (!~Ínimo o (tá;d.n:o)
18 + i
ce una eel i!Xtl'a-
Sowei6n.
2
13. Se rl1t l a elipse v ! /,.x l9y'='72 1 un ceg:tento c uyoe e xtremo:;
son: ~.(3, 6) y B(C, 8). r.dl. SS -el yunto da la el:.poo (¡U9 Unido a AB determina un -t.r.iáagu.lo cuya á.L·ea EtS un va.lar e~
TB!191"0S, !!::
un val or e1Ct~e~o. (?roceder en forne 8.!lálo€~).
Rpte.s: T,.(.3,6). T,(-J, - 6); a(l1AB? 1 )e15ui,a(M1lld~:5h,'
r si· plificando '.'"csu!. i.ti:
.Elevundo ~l cu,.,:u:ado
e:<1:rer.103
! (1 1, ÓJ Y ~(8,6). ~allar ~os PU.lltos aobre 1~ 8li9se
que uui4o~ con .üi detarrninen un trléngnlo ou¡a área ,en~on
$ª
/(x+·:,)l-<(y+2)~·
méxi lnA. son r6Spect.i VA:oent":
P1 :
m "'~
2p
Pendiente de la ta.~gent~ e; la elip,se en P 1 : m, ~ _ 0 ;x 1
.
1
-
I!. Y1
?"ra r¡u9· e.111'!¡as cut·vsu s.e> corten en ángulo recto, se ci<>be
plir ~ue :
oo donde: a:~1s y b 1 =S
I.:as ta.;1ge4t,ea par·alo1 r.n ".1 Et1grn~;it.o
(!.l:.\ (- bZX' 1) = -1 • de donde:
2p' .a.zyl
~<>do :o ,n·1:ilna.t1 lo~ !''Jnto" T 1 y T,
proble?ta.
(2)
Paro Pi( x:1,yl)E:P ·• x~~APY~• .l.uego er.
de dónd9: a2e2bz=2·(16')<=J2
.F.!.na.ll!lentt1 en ( 1) o o tenemos:
PDr sl
y _.
ID.:
KOr6~~
~
5, las
rai;;::~;,L
+
x 2 +2y 2 ~ .32
e 1..:~·:1tes t.i~11.er. por scua.ci ón=
y =
-jX
l:
/¡¡¡(~)fil
= -~~; ±
J&: R., s oJ.'ler E>:!. probl<j3t¡¡. 15 parú ~ 2 ~12x:
4.
llpta: .2.<1 +¡; =18
d" ,•onde: L1:2x+3y-1:.l;:J ;· r.,,2x-i'.3.rl-"12~J
é'o::' ta;.to: (L¡) "(B} = T¡.(3,?.) ·:¡_ (L.,}"(!'.)
--
,~U!t-
28é
28?
17. Da-\a la el.q)il:? -.:
-+
: )x ·•
; 12 • o;;,· t ei:;,r l " -<,cuac.i.Órt dol di_,i
!,,y i
me t.ro cue U:.sec:i, a 1.n-s ~uercla~ pür.;1le ... $.s a 1 ¿:_ re:?ta 1.: ..
1,x+Jy+;=O
8
?al:ar tai:biér. la e,;,uaci.Srt &el diámetro conj~
gado del a:i ,arior.
La Hipérbola
iJc la &cm;.,:iión úe l« .,11pso obte!lerao~:
:;•:4
y b 2 =3
$i t:4X1Jy+::?=O ~ m=-4/)
b'
É~uaciót1 del ,ulimetro L: 'J~ - iiYi" x
rrna hipérbola •a el aonJu,;,t.o de puntos loca
lizados on Ull plano de titt modo que le !Uf!
ranoia de las diststu:iae de ca.da une detiü dos pur,tos .f'J
8.1 DEFl~lCIQN.
(Ver E~ ercicio 2J. Gri¡po 29)
..
L: :¡
_..;;3__ x ..- L: 9x- 16'J=O
1,(-4/J)
Ecuación del difu-u,tro conj.igad-0, L; :y=mx • y:( - 4/3)x
++
11 · l.:d }¡y=-0
L.· 2--"=0 , L 1 :x+"y=O,
s on diánf!
18. Variftoar que l as r ~c+an
~
tros conj1,gados de la ;,lipso E:2x~+3:, 2 ~J.
y
y
~,
Solue,i6".
m"-Z y m1~-1/3 . Entonces :
:Je L y 1 1 , obtc1!c,nos:
ne la clise: a 2 =2
Con:o ru. tt 1
b·
= - ¡r
2
y ~ =h/3
+
~~~
=
1
ertcn~es: L ~ L. BQn diámd~ros conjugados
de ln elipse E.
19., Si. P\ .~. ~) e~ e.x't1~ertc d(J un d1.'11net::-o de la elipse E:.3x 2 -1
:5Yª"'~s. obto,1er :rn eeuac:,Ón y :tn cel dili,rebro co:'.ljug"-dc.
jor:, llamados foooa, es una co1<et-ante.
8.t O.scrl p,ci6n de los elee~ntos de una hipérboia.
Lo'll- pu11to V1 y V 2 deeigt¡ a:n a.
lt>e v~rUoe s y los puntoa F1 y 1'2
loe focoa de la l:lJ.perbola.
L& :r~t.a !, que ])6.S& por .loa focos
se llama ,¡,. ,lota t. La reot-4 Ji. 1.,J.. t
que pasa por el centro Cae llama
eje II OAlli:tl,
'v7v1 ~ eje tranever•o • 2a
JiiB2· • eje conJugadc = 2b
fi'F2 = di e tan~i-a fooal· = 2c
DD y D'l}• aon l 4s directriceai QG'~ouerd~¡ E'E•:euerda focal;
JJ!~lado r~oto o cuerda normal ¡ PF 1 ~~ed1o v€otor. ta y t 2 avn
lss a e!n totes ~& le hipérbola,
9.3
Sr>lu,r.i!J.2.
PRIH(RA ECUACIOH OROINARIA OE LA,HlPERBOLA
:)e la lllic,sa, •~-&B/J y b "'68/~
1
Teo,ema 1-.
~r,.. ::ai6n del diámetr,:1: y
foao s lon ¡,u.ntoe F 1 (c,O) ·y Fs{-e,0} es:
.
2
7<>rtCoh·nW. ria OP ~ 4
- 2
..,. L::~-2y=-O
!'~ro,
~ =- a~~:;¡
La ecuaci6n de la hipórtolu de et1a~ro e+ orJ
gen, e¡e focal co~oid~nta ccn el eJe l, y
( 1)
·+
-
11
~; = ;\, ,
de d,:,nrie ol>-ar12t1os: 0=~6/~
Ec:.c.::.i6r. del diámetro conj'.lga~c: 'J=l!lx -
L,: 1fo<+ Sy~O
Si el eje toettl ooincide ~n el eje Y, de maneta qu~ las
.<88
289
qua las coordenada, de los focos 3ean ~1(0,e) Y F2(0,-c), eE_
toncee la i,cuac::.ón ,;a:
(2)
a) ,,rtice~; V(!a,O) • V1(2,0) y V;(-1,0)
b) Focos: F(±c,Ol + F1(.ITJ,O) y Ft(-tr},O)
e) Eje tran~ve,rso: is.=<4 • Eje c<Jnjuea::!o: 2b"6
f/1,,1.0.,f,fi.,[U!¡ 6r..
d) Excentricidad, e "
i) Sea l'(x,;:;) ll.ll puuto del L.G.
y senn Flíc,O) y Fa(-c,O)
11
1- IPF, l "2ª
~-c)•}y 1
/(x+.c) '+;; 2 ~ 2s
I
21\
iii)
lx- e}] +y'
+ l(x+c) 2 +y 2
,fo{uci611,
El,;,van,fo a1 CURll:rJ\do, la e,cpra
ci6n se ~6dttci;; a: (cª-a'}x,.-'1 2 )',:=s!(e'-a')
Pero, en u.ca hip~~bola~ c 2 ~a 2 tb~ ~ b 2 ~c 2 -a 2
Por lo tan~~= b 2 x:-& 2 y 1 -a 2 0 1
Lm'tg~ tud de
++
~ade
e
=!TI.
2·
le.J.o !'P.ct-0: LR
,.,
~;
.
1
La ~isP.ugiÓD ~obre intarc~ptos, simetría y e~sen$1Ón del
Iu~ar geométrijO ae d~ja a cargo del ~stud~~n~e.
loa focos de 2~ ~l1p~e.
íi) Por det'in:i.ció:i: IPF.1
¡
f
x• - Y:.
¡I
02 ~ 1
~.as ecuscion1,o ("1) y {2i del T<:oro.'lla 1 so!l llamr.c:aa .,,,.,¡_..,,.,.t,;
eC1J.acl-0n 04d-lna4ia ~la hipin.P..ola. Por ser las más símpleo
,;e les conoce taa.bián co~o f.o,,cu,.J co.r,l,n ica-1> <ie la cc!.laci6n
de una hip~rb~la.
f "'
x' •
'r
'!'enemas:
i
t
de donde1 a:::3 , b"2 , . e"/,i.ª+b1"ffl
~
a) v6rt1eea: V(=a,O) • V1(J,O), v,(·J,O) ~ '
¡,) f ocos: l"{:tc,O) + Fd·l'i'!, O), t'1(-/TJ,C)
e) ~je tra.o~verso· 2a~6.
tj~ eonjuga~o: 2b=4
e =
d) Exoentri cidad.
!
ª
+ e
...
y¡·
,,;
¡
;.,.,_,;;t,'
"-.. : /
Jt
-{fI
:l.
1EJERCS(ro~.
Ct"u¡,o
30
En ~,da uno d.:, 1 os e.J ei-cici<:c· ó-9, peu--:1 l¡¡ -::cua_c.i6n dad-11 de
lt=. h.ipáx ~ia~ b_ "'Jar las cc.:s~e~n;,1:i~.s d.-¿;. !.os .-várt.icas )~ Eo::ot;,.
u.:
:r
co11jt,g(ldo, le. e;i¡cc!!
~I·-' eiia.d ls. ,..(\ngi-:ua. de ca.da. lado ra.cto. 'l'r.(C""$o y dJ.scútª',a ... 1_ 1-ugal:" 5~~ét1·ioo.
l>1!l 1
¡;itud~s
l~..; <Jjee trea,1zver,o
e
2.
.. yª
1~~·
~f ...
~
'hcemoa ~
¡;
x•
4
9 e 1
de donde: ~=2, b~3. c a ~ : , / f j
a)
v,rtices: V(O,±a)
+
Vi(0,2), Vr(0,-2}
b) Foeoii: F(O,tc-} • F1(0,/'i1), Ft(O.-ffl)
.,¿;
e} 2.a.=4, 2b=6
d) Ex~entrlcldad:
0
a
"
e} tongitucl de cada hdo r.icto: LP. = 2 ;~
V1
4 - "f'
~-
r su
!lc'J
ei~n y o•
1!lC:!!ID t."ic!lied.
2 ¡ ~-3
4-
9
O puntos V(~2.o). y
Sllf: foe-0s .ion. los P'.W.tos f(.t3,0). lis.
.X!
./.
= 2 =!'.'.:?1
10. Los v{rtiees de u~a hipérbola ~on
~lució
"·
Sptuci&..
l
>Ü)i4:é,.6n.
1-
la ecuación d
El>
,ll.lldc los vért• :!(1$
la .hlpé~bola ea de
¡
f.,~ e
& f~r
o ir
Oj
Ap
1)
,
290
.291
Si V(-;2,0) -~ a=.2 ; !o'(±.3,0) + c=J
~e la relacj6n: cs=~ 2 :b'
Por ~ante, en {1) ,
x,,.
2
-
¡4. Una hípérbol~ tiene su oen~ro en el orige~ y ss eje trllllt
verso Eobre el ej!c> X. !:fallar su aouaoión sah1endo ~ne su
exoen trl~idR<l es ~o y que pase por el .punto P(2,l}.
1
, : 4+b~. de donde: b =5
+
Y.:=
5
1 ++ H:5x'-4y
2
=io
sxce~tricida.á! e
ori¡1el:l, y su eje
foco
es el punLo
1m
tratsverEO aatá sobre alejo Y. Si
.,,11.ese
111. CC'JC:,.
a
F(0,5i y la e~~entrlcided ~s igual
11 - El centro e.e una hipéebD!a ~Dtá ~n el
..
c16n de la bip&rt~lc y le lon&itud de ceda lado recto.
-Soluc.{t!n.
Si F(0,5)
+
, r..
ª
J?o;:,r.ia de la e cur,.ci.or..:
~=S;
9
=¡
1~
3
+
De la releoiÓnt e~c~i+b 2
( 1}
2
i
a=
~ + b', de donde: b~~200/9
25
~
Oy2
le
?ol' twto, en (1): ~ • ,WO ,. 1 ..- !1:'/2y -9x =200
2
2
2b
L., ; -¡-·
-
Longitud de cada 1 •tio rsc toa
)'
Foril!a de J.a e w~ ción.:
2
Si B(O,;,:J) + b;,,J , L:l=6 • 2~
Luego , an (1):
't - r9 -- 1 .._.
~
-2
L
e~
...,i
(1)
~ 1
:'orm&. dt~ lt. ccu~c~ón:
~
J:
~
e~=¡
.í2
S.4
~
al"
-
X~bi";
Luego, er. (1):
•
fi' - ~O
,:- -
(2)
1
1.
.. ~
-¡- = 1
( 1)
~+
(3)
9:x1 .2yl~2
15, ~na hi{)4rtiQ1a tiene su centro en el origen y ou eJe conjy
gado está sobre a~ eje X. L& longitnd dó cada lado r~oto
e~ 2/}, Y la hipérbola pasa por el punto P(•1 , 2). HaJ.lar
.Forma de 1-a ecuaeióri. 1$;
Si •º(-1,2)~Ji
~
L.a
e
j
+
2
4
1
a1··1i1~1
!z. ~ i , de donr.e:
5~~"
1
( 1)
(2)
a~Jb 2
(3)
aesolviendo (2) y (J} obtenemoe~ a2:1 y bª~1/J
:'or t,anto, en {1), resulta: y1 • .3)(2=l
:LJ? t ...c i6n,
Foriaa ,1e l¡¡¡ a cuaei ón,
Ji A(J,-2 )E~
B(7,6)EB
(1J
c;6
i,deru,fo: c.1=11.~·+b..... 36=16th1 , de donde• b 2 ,.20
2
¡c1
~ueg~, en (1):
•
las eoord~nadaa e.a :;ua· ,i:,.co,i_
e "'.!< +
~ l
16. Sallar la e~uaci6n de la hip~rbola qué pasa nor ~l Pl.llltO
A(J,-2) Y por B(?,6), tiene su centro sn el orig$n y el
'!IJ o ~ran,warso coincide con el ej a X,
!!:x•-y~-9
13, Los vé:rtic~s de ur.a hi.p.ilrl:.ole. aon (0 0 !4J, y. ¡¡u exeent,ri.e;i
dad oe igu~l a 3/?. Hn1Jar la eeuaci6n de la hlp~~cola y
Si V{0,±4) ..,. :i-.=4 ;
¿
6 • d.,; donde: a=3
o":o. 2 tb l=9+9-18 ,, o;,J/2 . E~eentrieidad:
Solur..Un,
~
b2
¡t 2+t,ª
j
2
:
So lu-e.;dn.
F~ - j;z
1
ti
su s~uae·6n.
su eK.cen t.ri cidad.
Y.2
Solw: lón..
8
-2.
...
16
. 2
~- -
~
!i: al -
11(! ;ion-de: a2,.zt,-2
n• =
Resol?ier.do (2) y (J) obtenG~oac a~=2 y bª~1
~
3¡¡{l
-
12. Los extremos del tajé c.onj ~.gado de una hipérlwla eon loa
_p,iritos (0,±3), y le :ongltud d .. i;ada lado- recto es &. !f¡)
llar la e-c~a.~~Ón de la hipérbole.
Si ll(2, l)t1i
~
Forma de l$ eouaci-011 l
fotu.c.t-6n.
- 1 ~ H:5:,rt-4,x•,.ao. Focos! F(O,t6)
+
~ - ~. 1
~
_
~
•
1
!{:
¡!
- J.!
s• I>"
• 1
(1)
(2)
(J}
ñu~olviendo (2) y (J) o~tene~os, a•:4 y t,••16/!5
en ( 1) • S9 tiene: :< z
_É._2
ie; ~1 ++ H!4.,c2.:5,2,.,6
r -
i. ue.g,o-,
. Ea
. oada
,
· usando la datlniddn
· d e l o,a c.j.erci '.lio-.a 17-19,
,.,_,'
ª • ~ a r l a ecuac.i.Ón de dicha. curve a partir Je
datos á a tl os. Mad!&D.te un can.bio de coor4en.ada3, poner la
UI).Q
ae n1¡:,;,rbol
1 Os
(jso,u,;v.,la Ana.lUi.ea f>lana
eeua,,i¿n en 1~ pri~ora ~or~a orcinaria.
293
1si. vórtie~s! \'1(3,4) Y 1/20,-2); ev.cantricide.d: s>=2
17. Focoe: Fi(-1,-3), Fz(-7,3); longit¡¡d del eje trans·,r. "'4
$_<1L1u.i6n,
-~
Sotu.-.U,n.,
Saa ?(,c:,y) un p:into cualqu.iei<a de l"' hipérbole
ii.) :?or definici6:r.: ÍPl1 !-IPf':I= :ia
i)
iíi)
+
/(xt1Vt(y-¡,)Z - ((;,.;+7}-2{(.y-3) 2
+
l(x+1¡'1+(.v-.3J' = 4 + /~;i:+·7)'2 +(:r-3).2
4
e
2 ,Íx1 +;,r'+f4,x-6;;+5$ = -3x-16
de donde ra~·.>lta: 5x-Z-4y1-+40x+.24y+24"0
Reiuciendo a 1~ pri~o~a for~a o~din~ria se tiene:
,
y-3=y' , obten;, mos:
lS, 1/értic.es: -Vi(5,l.), V2 {1,4); longitud del. lado recto~5
I o ffie.i lut.
2s.
.2b~
+--
= 1;¡-;y;: 1 +
e-2 ~S:zf.b~"4+5~9 +
ª
De la re,le~i6n:
c:.=;I
"+1 ' ' 4
Coordena~ee. del oantrot e(~.~)+
C(3,4)
+
G~J,1)
i) S.-it P{x,:,) un :¡:unto. eueh1utera do 16. lLl.pérbolc.
IPF",.1-fPPil~2a
i:!.i) ·• /(~-J}"+(y.+5'}2 - /(x-3Jl+(y-7) • =- 6
:!'ro(fe.Jie::tdo eolito en al ej eraicio 17, obter.,emof!:
B :Jy 2 -x·2 +-6;c-6y-.3J=O
Redu~1~hdo e. la pri~era ~or~r. ordJ.caria se tiano:
2
.3(y: -Zy+1i-(x 2 -6x~9)."' J.3+3-9 - .3(y-1)"-(.x-JP=27
Mac<endo l?.s suetituciones~ y-1~y• , .x-J~x• obtenemos:
Ji,3y 1 ,._X' 2 =~7
20. Deltóstrar (lUe la loi1gituci del e;;e conjti¡¡aao de unn. ntpárbola as me di.a Pl"(rporcione.l Antr.e laa longl tude o <le su ej a
tra.n.sve¡r:;c y su lá.do reeto,
íl""'ª-"t...a.c.i6n..
En ef~cto, la L<>ügitua del lado recto d~ unn hipérbola co:
2
L~ "'
o sAe.: 2c 2=a{LR) + /,b 2 = (2 a)(U)
~2,
Coord.ene.da:; ¿., lea .roco11: F(.3-!:e,4} ·• Fi(6,4) y Fa(0,4)
i) Sec P(x,,-) u.r: p~::ito -:uali;uiera do la h:l..p~rbcle..
IPF2I - IW1f= 2a
~ ,/(x-o)•+(y-4)• - l(x-6) 2+(?-4) 2 =
01~.~J
Coord@n'1!.de.s · 110 loa .foco a.: F( 3, Üo) + F 1 (J, 7) y :,:t (:,,- 5)
ii) Pc,r d.ef'inici6n:
Jó:lavando ~l ~i.aJ..-ado, la ecuaci6n 13e rad:uce ,.:
:,{x.':8x+1o)-4(y 2 -6¡r+9] ~ -24+f>C-36
-+ 5(xf4)~- ,:.(y-3)~ = 20
E,:,.ciendo las eu,;titu~ion6a: x+4=x 1
5x' :.>._ 4y'" = .20
coordana~a~ del-centro:
·> (2b)2~ {:.!a) (Lft)
::.. (B1BíF~ (V1V2){Lft)
ii) 'Fo:- deflnicr6u :
iil:
4
Pro,::.ediBnd:., el~m.o en el !Jjor-eicio 1.'7, ob~eneuos:
íl:5~ 2 -4yi-30x+32y-39;0
Reduc1,01Hio n la ¡:¡rime,ti:t .to:.a-, o:;ün.a.rie. se tiene:
5Cx.~-6;.+<;l-4(y 2 -sy~16) = 39i-,t5-64
5(x-3l 2 -4(y-4) 2 =20
:!facicndo le.a sui<ti t.1iciones, :i:-3=x' , y-4=y' , resulta:
+
l!: 5x ' 2
-4y 1 ;%20
21 • .3i k e<1 un .!iÚll?cro cu.-'qu'
""" ·"'_i"=ren.;..e
'1..1.
~-.,•u...~
• ce caro, ao~oatrar
,¡.u .. la ecuación ;Jx'-3'(2 =",c "ªP~t>enta tilla fa..i;ilia de hH,Jr
bol.a.a :íe ox~eutricidn.d igual a ~-
ll.!.{lto.&t.tzaclón,
b2 =i{/J¡ c'=a'ib 1 = jk
e ; ,r;¿
294
La J{ .pi. ti.o t.a.
295
Si Pi(x,,yi} es un punt.o cualqu'era i.ln la h ... pérbola 3:
22,
b2x•-a•,2= ,.1b~. d~~ostrar que
dios vec"'.or11.s s:;r:: lex1hl Y
~~s longltud~a de sus r~
ex1-af •
/
/)c;,,o.u.ta.c.i. Ón.
cu o.tacto, l"s t'\Oordenarlns de lc,s focos 3or.: ?,(c,O). -,:(-e!, C,
f!r.to11c;-,s: rJ
Pera r
1
"'Wd=
se t1~11c:
l(x1-c>1+y 2 :¡ r2
=f~I= l(x1 4 c)'ty'
!"t = xi-2cx1+c'!Yi
Su<1Lituyeodo c.r, [ 1): r!
la ecu,ic:t.Sn .de1 L.G. del •;értine opuea "º 81 (,~ ¡:,::-edu..,to
(1)
y
= x~1 -2cx1+c2 +
i "
2
48 laB pcndi~nteo de loo lcdoa ~ariableo es s1eD·Ni ~gu~l
2
b x~-11. 'b'
--=--''-'-,. •
2
2
b x~-~ b
La bue do J:l tr1'ngulo es do long! ~Ud fiJll -::.~do Ut
panto~ extraaos A(J,O) Y B(-3,0). Hnllru: e iden~ifiear
a 4. Tratar el L,G.
/
2
P(x,y)
ui
un punto del L.G.
{a 1 +bz)x~-7a 2 c~1ia'(ct-b 2 )
a.?
cªxt-2a 2 ex1+a 2 (a')
112
i'<lro: e .. !:.1:1
·•
,.~ -
.. 2 xi-2aex1+1t 2
r1
leir1-llJ
AnalogaoenL~ sa dexuestra que:
'ª donde:
= (ex¡-a)'
n
L,G.
Oll
4x2 -y 2 ~36
unr. htp,frool.e.
I
I
r,=l~x,+el
ASlNTOTA5 1)1: UtlA HIPE~BOL•\
23. Eallar l•s loc 6 ltud~s da lo~ radios vec~orcs dal punto
P(6,5) de la nipérbol~
5x'-,y •30.
1
Teorema 2.
so w..c.i .!:.
¡., hli,érbola d~ c.-uaci6n lí:tzx"-.1ª:;' 4 2:,z,
tie110 por nn{ototaa la11 rer.te.s t,:bx-ey•O y
!.1: b'ittay-O.
De 11.l :iou~.ctóll do la h1;,~rbola. obtenenoc: a~=16 y b"=ZO
c'&e 2 +~'~16+2C=36 + c=6
Excentricid&d de le hip~rbo¡n: e=
D&JJ1.<>,t,i-:a.r. i du.•
i -j
r
1;
liC6>-4 I • 5 Y
r1~. 1?!6)+4f
Sotuc-i.~"•
i)
1oneuoa A(6,0} y L:2x-J~O
Sec P(x,y)° un p~~to del L.G.
11) li:PI - .::i(i',Ll
Y -
= 1J
24. l!al.h.r e ioentifiear la ect.c.ciá:i del. L.G. :ic un r.untc ~
oo mutt·,e dr, t.al m1u10H'a q>Je s·1 di»tancl .. del pWI-to A(6, OJ
e:i si~~pre iguel al ~o~ ~e su di~ta~~i~ ~ l~ rectu 2x•
~::;i:;r
la ecue.c~6n dada despej.u:os,
Po~· la:i i'órsulan del sjtt1·c!.cio =terlcr ~a tiene:
J!x
V1 - ~
11
x•
creec a~n l!a1te, la oxpresiÓG ~ ac a :ro~g
oua~.l.6n tiel:lde a l!! fc:,¡•a:a: y, ,.
a
•!!:x
ª• .
a
9Proeten1.!?n n laa l:'ec'tan, Li :b,;-ay~o· y .t. :bx.+ay:O
1•
IJno. i'oroa "t.cil d~ obter.,u· lc3 a.8 ,(,.,
0
33
d
.en
.·.(,r
crn,iiet.; en fe.ctorhar el p:r1. e,. uc ro Je .o. "'
1 11
~ e. igt:,:Har a e l:''> el stgundo ou.10.,bro, i:.~!:
ay)(~x.t~y)•a' b~ , llaclendo ait 1 ~0 + (bx y)(bc• ~)
0
llde:
Li: bx-By•O y :::. •, bx:+e.y"'O
bol
296
2.
La. !tipi.n/J..ot.a
Lo. g:rf.r'ícs c'ie 11na hi..¡:¡erbola pue!le ~sbozu c..e :f.'~a-1.1.a&tttl!
tr2:i,n1do s•.t.s v&rtice.- y
,:,¡rn.
as:Ú,-:otaa. La¡¡ as:fot.~ta.a ac-
~úan ~n la · g~áfica ecuo l!.n~r.4 9utD~.
8.;;
.,
2 ) pue<.!i; obtenerse de la ecu,rniór, (·¡} .;,a1cibi1?l' •.o ,sic,p l,;,oent,,
s.:.¡no é e " no :;ie 1013 'llieob!'os L\e (1 i.
ror ej<1~pl<> , si la ecuación de una hipé1·t).ola :is 3x. 2 -i)l=12,
8
fi1PER80L.A tQ.LJlLAlf.llA O RECT ,;.:iCIJU\fi.
Say un ces10 e,ipoc.!.tl d11 1.tJ. n'rt.roola que t'lerece .ne1>si6n .
B3 el caso en que log se~iejes ~r...-i&v~rso y conj~gti.d9 son d~
ieual longitud,
Rn~~no~s ei ~~P, la ~~u~~i6n b 1 4 2 -a 2 y 2 =e~b 2 t~me la ro~ma saD ~
,-,toJ:ceij , l a ecuecj,Ón ce e.u hlpirb!!la eor:j•igqd;;
:,y 2 -.'ix';" .!
fJl:RCTtJOS.. Grupo 31 ,
Halls.r 1-o,; puni;os de intersGcción de la re.::.ta :.::2.x.-9y-=-12
con l as a;:;!r.tot:,s do 1a hip-érbola H:J..;. 2 -9)'"=11.
J.
t:illa:
x~-y.i.,ei
"si.
(1)
Se fac.i.t,11..
Dehl.d.e a ls igualda d e.e 11us -,Jet , l a hipérbola (1) sa 1.J.ama
hlphr.4.ol.a ll.q.u.Ltá:i.~'t"-,
Ter,emos, 11 : (2¡¡+2y){2xsr)y)=11 • Igutla:1dn -a cero el pl'fo(!r
t:·amo de J ,i ec1taoi6n
tier.e :
Debido a 1~ ~erpe~dicttlal'itl~~ Je sus aníntotas , 18 h.ipérbola
(1) .se le c,01:0,.,, tamb:!.-:hl con el nombl'e de hipJ;:.t..ol:.a .u.e.tan y~
(2x+3;,r){zx- ~} =O Li_:2x'IJy:O ó L2:2x-3ys,O
Luego: ( ... • L1) "A(-9Í2, 1 )
(Lt.L 2 ) = 8.(_;,2)
fSX
ª"'
'-= ·
OTI"'6 i'O .rma da l.e ecuación de ~a ltipérbo1a ecuiláte.rt'l ea:~
!fallar l e ::,cue.ción ,¡e j_a bip.érbola .; .te, para por ~ 1 .punto
P.{3 , - ';) , !l!l centro e8tá en. el orig-er., su <;>_;e t?eno•1e:so
6,
xy:::iH"
dond.., kfO ~a
1;.n,1
e-on a>tan-:.e (k~::u 2 /2)
so bre :el eja X, y una :ic sus asíntoteJ, es 1~. ::-ect-a L:
.2x-'-31!y=O .
S,;, caract.e1•;lza p-;,r t.enar (\c>"lo a.:.(r.totas a J."s ejA~ co,n·<l.enn-
<lo;;.
S, 6
Sot.u cUm,
HIPEJ180LAS CO:JJUC/\D~S.
S.i !.11:?_¡c+J,..:Z:;=O ei; 1.;na &a:fr r,ot.a. de lr.. ti¡..,.;r!Jola hc,:;"ada, en-
ili do,a 11.!.p.é:-belr,.1' r,o!) L.::iea que el eje t.:-rut;,varso de e:.~
"ª
da ucw
i<Mntioo al ej;;, ccnju¡¡'l.do ti.a 1a 01. ·a. 311 lleoan Al
p,'r. !..rol.a;; c.onju.gada.,,. Cada bi¡:;~r· 00.1.s a'$ <10.tl>ncea 111 :15 p&.rbvl,:
')-0,¡Jugo;d.a ~6 la M,:r'il .
A,~i si ll?. É'e-aación de ,,na i,,;.¡:;h.•hol" as,
X.,¡
a"f
ton~eu, la otra asíntota Sftrá L¡:~x-3~y=O.
I.ue.go. Jlu '!léui«iió.n e~, I!: (2ict312y) (2x-J.-'2r} = '.{
o hie!I.!
H:4,(~-18y2 ; k
Sl P0. -1)e:K + ,;(3P- ,s(- ) '~k , do dondo:, r-18
~or tanto, ~rt (1), 4x'~18yª=18 +-+ H:2hi.9yz~9
(1)
y'-
"w;
1
<1}
<'!:ntonc~s, J.r hipérbola eon,i.;igad,:: de
(1) tien~ p~r ec~aci6n:
Y.~ 'J.
_
:,:
~-¡¡,~1
(2)
Comes~ ~uerie obaervar. la e~naeión
7.
lfo.11,.,· la ee:ueci6i, el.et la hlpérboh. <;_tt!' pane. por " l punto
.?(2, .3), .tie~e ,u ~entro e!, el origei,, st. o.;e tr=sva!'sO
3 9bre el e j e Y, y una <la sus ~.s:!'ntol.a.s &s la. ro ,rt.s L:
2y- ·1x~o.
~
ci&n ..
Ecu., oió-n d<1 ! n lü:;,,hl.:ola, H: (.'y--!'1x)(2¡¡+./7x)e:k
293
la II ipi. ..1..0 la
0
6
Hallar 1~ d iet,mcia del fóeo de la del'eclta de ln Lip.;:::-'b~
la 16x 2 -9y'2 =144 a una de
Te,,emos, E;
Solu.c.i6n.
x2
SU:$
dos ai,Ín,:,otn.s .
sür lai, bii,E<otri~;: do los ángulos formcdv~ ¡,or 'nr ¡;~!.1 t
Po.1· tan-r;o,' la (:J1"'!1J:e.ció!J. del ejo foc:al en la '::"'úc·f;h Y--:<
Entonc~s: (y=-x) "- (z;;,c-li) = Vi(-:Y'2,212) y v,(212,-21'.-~
Como 'k=-c' /2 + -$;.:a 2 / 2. , de donde: a~ 4
c 2 .aa 2 fb 2 ==2P•~,2 + ¡;;4/2
x 7 +yi=c 2 con el oj-o foca! yr;.-x: &sto es;
(:-..
2
+y 2 =32}
I\
(:r-x) = P1(-4,4¡ Y F2(4,.4)
OoordenedP.s del ioo<:1 de!'echo: F1(5,0')
Si R;(¿x-3y)(J.;c+3y)=144,
!.uego:
9.
para hellar las asíntotas hacemos:
+-> l1:l.x-3y~O 6 I. 2 : .µet Jy=O
!.,
d(F , ,11) = !4(5)-3(0)!:
t
116 9
H. De111ootrár que 1,a excantricidr.d de tod~ J-.<pérbola oJ.¡u1
raes igual & 12.
-~ue6o,
~1 e~ s
a
Solu.c.ión,
lll¡
=-¡ ..
m_z.
2a" •
-¡¡
·2
e=~
.l2. Deot:1Gi:.1.•er que e>l pro:tucto de las diai;anc.!.as de e·,s.l:-uier
punto de unn hi p,h-bola equil&tera a. eus aBÍnto+,,;,¡¡ ,1¡¡ una
CO:'!Sta!lte.
En oti'acto , ;,ea la hipérbola H:ll 2 x 2 -a 2 :,, 2 .,a 2 b 2
o eea, B:,(i:>it+a;¡)(bx-ay)=a 2 b 2
de donde!
2
~ª+b
;¡-: --¡r-
9~W ~·
p~ndieulares entre sí, la hipérholn es equílás::e.
b
ó r.~:bx-ei=O
=a
b
Si Li.J.L 2 v m1 ,m ? ~ -1-> (-b/a)('l>/e) = -1
&l e:!'e>cto, sea L,. r.ipé:fbol.a :í~b;.x 2-a 2yz"Stb2
+
a 2 =t. 2
....
2.=b
~ve te~~o, queda de~oetrado q~e sí L 1 ~L,, entonces la t..ipér
bo.l.a. E es eq l:il.átera.
o bien, P!(bx,;-"~)(bJt-ay).,a 2 b 2 • Si haccll!O$ :bx,·E'.y) (b:,-ay)=O
obten::m,~s: las ,h!u,¡,.el.or¡r,s de la.,¡ asín'i'.ota.a,
L i : ;,x f«y=O ó L ~: bx-a;,:~o
Ssa P 1 (:,e¡, y-1} u1, pllll to cuaJ.q ui-er,e de la • ~~~rl;;,¡.,,
sntor;c.:ea:
SofocU,n.
La. •:euaci6o d:ada as un& l:ipál"bol~
eq1>il!tera de la for;,¡a: xy=k
Como k<lJ, las raillas d·i la h!.ptr ('2
1.&. eet.á.:i on vl I! y- IV cuaa1·_qntoe.
S.!tr"do 1ns ~$Í ~.t:"Jt.&t.'? ... oa ~jeQ cax;.
~-;;-'l -i.;.~
.. o~ '9je <\? ........ Jt.i,:,..; "1t,,J..:
1
at~
Err efecto, saberoo¡¡ que en toda hipérbola eqttilát~~a n~b
D~aostrar que l>i .c~.s asin+,otas de ui:_a hip1frbola sor ?per-
Si ~aeecos (bx+ay)(bx-ay)=O + L1:bx+ay=D
r-
Lo¡¡ fooon ¡¡a. hallan ar: l.,,. lxüeraección d4 l¡¡_ cir~'!Ul'er•,.cci¡¡.
v2.
9 - Zl; = 1
de- donde; a 2 =9 y 1:>-<=í6; a•,.a'-+b 2 ;25 ·' c=5
(4x-Jy)(4:,t+Jy)=O
>'t
i;.uego,
?:(x:1,nle:Jf
+
b 2 xf
a~+o~
- a 2 yf • a 2 b 2
k \ conatl!'l"C~)
Le. 11 i!lltt.8.o lu
l'
lf'l:
lar
c.<fl
pun1:o
Clt.i:
3e ll!.:.e ,
d1..tJ uaa:.:i,., s
!iUS
gual
~
••
...,,l. .:isn«ra
a re,.".' ~·o "'ta:
'<"~ (.-
p.:.-rper1d1 ctla1·:.1s
r,uecgc.
rrco:.ie+~
"t'. 4
;,i_ ... ~
pr-:
i) Sa:e P(x,y) un punto del L,G.
y se!ln. laa rectas per penó.iótllart'S qa¡;c PF..SA:'1 pcr el e-1
IOP 1 12
+
(
=k
x+_:~J)(~~) • k, de donde: x 2 -m 2 y 2 =k{1+~ 2 )
li+x•
/1+1ü~
El lugi:,:r zao.ituitri co es una J:d.p&rbola.
1~. Ha1lar la ticu>.tcl6n d" 11! hipérbola e4uilátera que paa,;.
por el punto P(-1,•5) y tiene po1· asíntotas a los ejes
coordenado3.
(r1)(r,)
•
16. Eallar las eocrdcne4as de los vártic·a y :o~o~. y ~s exeent~icidad de la cipércola que es conJu~ada a la que ti~
~a por ecuaciÓn 9x 2 -4y'=)6~
So tu.e IA!!:,
gen~ L1 :x+cryeO • tz.:rnx-y:O
ii) d(P,L1),tl(P,~,)
{2)
?vr t~~to, de {1) y (2) ne d~d~ce q~e:
e.ria constant~.
í ,,t,,,,¿611.
il!)
(r¡)(r,.) = 2lti-aª
:;01
La nip5rbols c-0njuge.dc. de la da<'le. e..;: 4:r'-9x~=36
de donde: a~J, b=2 y c'~a'+b 2 =9+4=13
x2.
t- y=
~ .. 2
+
+ e=,l'iJ
a) ·irértic,;,e: '{(0,+a) + 'J,(0,3) y v~co.-J)
b} ?oc.os: F(O,±c) ~ F1(0,,ITJ) y F 2 {0,-,/'!J}
e) Exc a.rrtri e1.dad: e
e
~
a
"
e, - ,l'fJ
-
J
li. temostrnr que doe hipérbolas conj~gadas tie~en las ~~s~as
-as{nt0-ta$.
Soluc.l6n,
La hipérbola eq1,!ll{tera es de la forma,
xy =k
(1)
Si P(-1, -5)E(xy•k) • (-1)(-5)•k + k•5
Por tanto, er1 (1), la ecuación de la ld.pérbola es: xy=5
Ec ei'ncw, ,;ea 111 hl.p,hbola H 1 :b 2 x 2 -a 2 y 2 :.a'b2
15, Demostrar q~e la dist~~eia d? cualquier punto d~ una h'pérbola equilátera ar.u centro es ~edia proporciocal entre las longitudP-9 de los radlos vectores del punte .
~as asíntotas de E~ son:
Y~~
con.jugada Rz;a~y 1 -b 2 x 2 =a 2 b 2
Las asfniot~a de ~ 1 son: (bx-ay)(bx+ey)=O
+·> L t: bx-ay::O 6 L,z: bx_k1,v-=O
-
Va~os a d~mostr.ac qun fOP./';{ril(ra)
erecto, jOP d = l:x.~+y~ -. ¡op d "= xf+Y!
En
P~ro P 1 (x1,r , )eH + x}-y~=a~-+ y¡=:c!-a-i
, 1)
L·.,,:,go , jO!' d"~2x,-a 2
r,=lax,-;! y r,·l~r1+a
u........... z:,Srhol:, -.~· 'i é. t.B1
Ó
Lz: aytb-,:•0
L 1 ,bx-sy;Q
lS, llem,;,stra.t- qt.e J.oc +-oooa de un pe.!' d" t-ipérbo:!.as con;ju¡¡ed~s ~stán sobre nna ~írcunEeren~in.
E!·"94é.llrJ.cl6a.
Lo.~ radios vectore~ dt: ?1 e~ ,.,fu dadcn
e
L1: a.y-bi::=O
ó L; :b-:<+e:t~~
(2)
2or ,~nto, de (1) y (2) queda proba.do qu: R1 y H, t:en~n las
o bien:
Sea h. hlpérboh e(tuil(hre. H:x 2·-y~•o. 2
( 1)
(ey-bx)(aytbx)~o
tt
e-te;.;t,o, scPJÍ H1 y :! 2 dos hipér-bol.!Ht eonju¡adn~. cu:1os se-
tii-:-Je& b·anavnrso y CO!!.Jogado soi:_ respe0-t1V,1.l!!cnto: a,,h 1 y
a,, b.i. Et¡ lll'lba¡¡ .hipÁrbolas: c!"'Si+bt y c~~a~+b~
"
r
La I( ipü.f.ol.o
'.lO:,
<l P.S el ángulo agudo de in~lhHciÓn ce ur.a i:síntov,
d;a la i:.ipérb-ola t 2 x 2 -a 2 y'=a 1 b 1 , demostr11r que :-,:¡ e;:-:sn~ricid~d es ig~al 11 Sccu.
2J, Si
F(O,=c2)
2 2 85
2
2
ei.
20. La excentricidad dG li1 hl.cér.bola H11b :,•-a ;/=1i h
d-e
hipérbola
cor.jugad«
:li.2,
es
e
2,
;
6
Si la excentricidad
=
b:a
demostrar que e1:e2
iJeao,i:i.n.ac.L611.
$n efect.o, del e,erciclo acterior, la ecu~·ión da
asíntotM es 1 1 :bx-ay=O , d.e íionjc: illa~Tg~
b/e
y la excentricidad de H1 es: e2
62
= c/b
-=
:. r. = Seca
8~
e
=b
tiondc b ei el semieje tra.,,e•,erao
li
r,/a
b
tusgo:
es:
ij,
2&. neoostra.r que si una recta as paralola a
e.n
!l!tS a$Íntota de
uha l:dpé~ból~, co-ta al curva solaoente en un punto.
lh .
ª
En efecto, soa la hipérbola H:b 2xZ-a 2 yZ=s:b~
una de cuyas aeíntot&s es Li :bx-ay~O -+ !!l,:b/a
Una recta LI IL 1 tiane po1· ~cuaci6n I.:y= ~xtl(
7.1. Si las exce.ntricLdades de dos bipérb~las conJugad~s eón
e 1 y e,,• demo,itrar c_ue e~+et=e1 .e~
Ec efe e t:.o. las excentricidades de
c1
¡r
e•
t bl
c2b2+c•a1
a>o2
a1 y
r.2
son: o,=¡ Y••=
i
e' (a 2 ~b 1 }
ttl.I:to, queda proba<lo que ln recta L corta a K et un solo
p\Ult-O.
su semicj~ conjugado.
2.5.. llemos~rar que el producto de l.cs distan;,1.as de cutlquiar
punto de un..'l ojr,árbola e. a-"'3 asínto~$ as con.sf..a:rt~.
il2ao~t,,_acló1'.
En sfect~, .sea la hi~rbola R:b 2 x'-&ty~=e~b~
iJe.m.o¡,.J.,H1cU,n.
c1¡y1u a6Í1ttotaG 8'3lt, L1 ibx+a:y=O y 1~ :bll'.-e.t~G
~n ~f 9 cto, sea la ~ip~rbola H:b 2 X 2 -a 2 y 2 :a2 b 1 ;
cuyaG
li:s obteag~os haciendo: (bxtay){bx-ayl=O
L 1 ,bx+ay:,O ~ Li:bx-3y~O
Si F(c,O) 9s uno do los focos de R, entonces:
b(a}+a O
d ( F,L11 b'+n•
1
(!)
Sustituyendo en (1) se tiene: olx<•a 2 (~xtkJ'=a 2 b~
a
de dondo obtenemoa: x = -!(b 2 tkt)
~o~
á.?.bª
Demoatrar que la d,ist!Ulcia de uu J:oco s. una cualquiera de
l~s asfntotas de una h.lpÁrboln es igual e ln longitud de
-
de laD
?ero: Secta~T·¡¡ 2 a-1 + S!>c 1 ~= 1 f : :
Damo4L'laci.6n.,
En efecto , ¡~ excentricidad de
W1.a
~ ;
e
b
a~í~tQtas
Sea P-¡fY.1,Yd u?J p.i.nto :lutlqu1ors de la hlpérbc:1.s..
En tone~ 9! d (P i,L i). d (-P 1 , r,"') - ( bx,+u.y 1)(bx1-a.v)
/íí~+€.i
lb 2 +a.•
b.2x{•a 2
a2,b2
aib2
(
y1
= "
·i Pi,l1).d(F1,L2) -
e'
.?O 5
&. 7
SECUIIOA ECUACION OROltl-\RIA OF. U, HIPERBOLA
fORMI). G1:.NERAL DE LA ECUACION DE UNA HIPERSO_,\
1 eor;e11a 3.
La eeuaci6n· da una hipérbol& de centro a1
punto (h, t.) y e,Je fecal paralelo al e.j ~ ;¡
Te"Dreroa
!:...
có de lll forma.:
(.3)
Si el eje foclll es paralelo al eje Y, su ecuaci6n es:
( )
(y-k)Z
(x-h):> _
4
a•
- -,¡-r- - 1
-bi J.os coefi·~ientos A y e ~if.: .::i::",2;!1
tal qu<1 A:>O 7 G:>0, la e,·uec1·5,1:
·j~,
s.i_'.'D.o,,.
A.x" -Gy 2 mi,:+Ey+F'aO
(~)
ropreeenta· U11a hlpérbola de. ejes par!!:!.elos a ll)¡t co.:-n~
nadoap o ur. par -de rec.-tas que ae ccrta,,.
y
B8
~n efeeto, sí tr~sled.amos los ejes
coordenados a un nuevo ori¡en O'(h,k),
en este sistetl11. la pi:-iu-er·a forms. O!
dinaria de la ecuaci6n de la hipérbola es:
1~
-f,-=1
D~
'Si Uama¡aos: t ; 4A -
E'
C - F
4
t
D)2 C( y "•(~
~ . .2A -
~)Z. =
2C
t
;Ecuación qué p~.ede aor oquivalentc e las for•~-s (3) o
ppnd~end.c del v~lo:r q~e aeum.a ~-
(a)
(li, de
i) Si t>O, ln eouación (.5) :rcp1:'3ae;.t.a ll'.'1'1 hipé1·bc.lo, da eje
Pero: x=xlth ., y~:,r 1 +k
*
x•;x-h, y 1 =y-k
1
Sustituyendo en (a) obtene:ios: (x~})
t~aneverso paralelo o coí.n~id~nte con el ejo X.
-
{yb1¡)2
ii) Si t,.¡J, la ecuación (5) :represe~ta un p.1r da ~~cta 8
cu:rrentea.
EJcmentos de la hipérbolas de las formas:
f..r.e.n sv.erso pa..r-alalc o co-tr.u···~neti t.e con '31 ~je: l'.
{ 4-)
(3)
a) Centro: C(h,k)
b) Vértlces: V(h~a,k)
o) Focos: :'(ll±e,k)
e) Ext. del ej9 conj. B(h,k±b)
e) Lado ~eeto: Lfi
r) Ex.::-entrieidad:
iii) Si t<O, la. '!CUtl.ciÓn (5) rcpr,;senta unn hipiÍrbola. de
Zb
a
2
e=¡
rr) Directríco~: ~=o
a) Centro: C(h,k)
b) .V4rtic.es: V{l:.,l!:ta)
e) Focos: f(h.~tc)
d) Ext. del eje con.B(h_3 , ;.)
e) Lado :r~cto: LR - 21,'
a
f) ExcentricidaQt e=
g) D{roctrioop: y=k
f
[u- ~~CICIOS.
Grupo
n]
Los vért!~h~s de una :iioérbola 3011 l,
(
V -1, 3 l, y ¡¡u exei:n-i;ri_,.idad e~ J/ 2
.t 1a hi.,. ~r1>,; La, l.·u coo;·de.n:i.d",
.._.,._. "~
11t;;r,.
~ur,._:t , , ·
• - 0
(.3, 3
!Tal l.,..· l = e,, ,a,~
MO ' ,.
..,,....,
rl.tuden d~ s~1s eJ'?.J. 'tra.csverso y con.Ju~
IJ T,l-c ';o.
i,c-l!!.!'
iá,a.
f
1
G-ouo ion v;1·.,¡.lcc.n t.tP-~en. l., ·n' ..-,l'Jla
3 (-1)!-...
• ;.:-e
·9-4~b2
:r•2 ;
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- !::. •
< 1:.<l.,.: l:>'=5
"
y"'1:,n
y ,;L.... 9.d9 .. 1
)CO.'; t
Q
j
~:1
}06
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l,Oll1~~ tu·i d el aj~ conJ1.:g11c:.,) ! 2b:cl;,'7
Exc en tricidad:" - ;
'9,
= ,fJ
e = ~
4
Los tocoa do m•a hipé,·boln soa loa ,r._.n ,,,, l"
FCl { t.. -e), y
'-ª
.-:>
(
1
li=l.:r
la ec~a ciór, d~ la hip ór bol ~. la l ongitud de s~ ln~o .ecto
y su ex c_eu trici da,:!.
S<d .ttct~n..
Coa-.o los .fo-cos t i en" le lhiswa al:é'<'isa, h. eCUJ!.
. ' bo l
c·,,
.1.,;,:::i d ti l n ..
a l.por
excer.tricidad.
Sol~cit~,
!.R =-
+
(1
a=3
+
..,. ,, ~ . , b~")
cª"'a"+b.t=9•J~12 -> c:,2/;
¡
&
-2-2 _- -~,
.., k = 2-J.
coordanades
d~l o~ntr~: h =---;¡~ =-'i .- C(-2,-1)
~
Por tanto, e.n (1):
Focos, F(b,k±c)
+
·
Excentrici di.d: e
9
(xf.2)2 _
- - -,-- • 1
Fi(-2,-1t2/J)
= ae
.,.
J
C=3; oz~11 2 +b2 + 9=~~b 2
J.-;-L -2-- 8 ¡ -..+ C(4,-5)
Joordenadas de l cent r o : C( ~·---¿f'Or ta.:nto, e~ (1):
2a~l2-(.4)f=6
~
y
E
2
(x
-
t)' " 1
5
2
2b
~
e
en~ Focou es F(S,5)
10
=~
de su eje con; ugado y su excee ntricidad.
Coco 1;cl = nt:-o y el vé.rt1 ce tiecen la. a'.l..nn
Si la e xcant ~icidad
lu,;i~o, la
e~
BJ centro y
C C1JR.ciÓn
lfü-' f~ f a-1, 1~~
i e
el
l°()CC
ti<,natc la
t;
-=L+S-12 ....
l ,
n
( 1)
(l
= -ll
2-
+
1 ... ~,.2
a
c.2-a2 +02 ... 16-4+1:,1 ... b!~1z
rot< tanto, .:!.a ecu.ac icfo
do; Ja ldp,frbo.'le ec
o»gi °t.!":i..ie-s de J. 8 ej&-s
~-;g,u.c,vcr30
-o~ vér~iC$& d~ und ~ip6rbol-
2bi
= --;
-,-
longitud nr.
-2:/J
E'C .,
Q~
e
1~ hipérbola
de
-d
st
-je
hip~ - la,
.¡ .)
rt- ·· s t e .
ioma. 01den dec,
-a:e-
oui.<cada ea de ! a fc•cJ:Ja: (;,.
( 1)
2.0 ¡ ~;., ; LR ~ 2b"
a > 8
~ 5
as- 2, hallar t1L ecuación y las l or.r,1 t'lde~ ce e1J,¡ e.;:-.~
tr~~avcrso J conjugado.
~
y
,=!i7cl .. _..,,+
b'=5
10. !\°l cen t ro •1e una hl uér bola e~ el p un t o C{ 4 5) y .lno
Jo.tu.c.l-1,n...
--
{:;•:5)
+
{1,'
Ei<contrioi dad : e
21'3
e
+
Lo~giturl del latlo recto: LR
Fa( ·2,-1-2/J)
El ce,i;trn de mi~ h:lp.$rbo l!I é s ¡¡,1 ym,:to 0(2,·2) 'Y ur.o de
8 ..,_5 -.iír t.i cios el y 1.into '1(0,-2}, S~ la longit•)d d<' s u l~<lo
rec to es • 8 , -he.1 1-"-t' ,~a ~ el"= dón de la ou!'·, a, J n l ong:_ tuci
Solu.e.U,n..
a es ,.."e 1 ,.ft r orm,i: (y-~.)-•
a<
- (x-hj~
¡,z - "
2-c"f~l=l-z~(-B) /=6
Couo los vértice~ están sobre una línea verti•
{x-11)'
eal, la e,cuac!6n de 11:1 bip,h~ah ea: (y-k)2
--¡¡:-:- - ,
r - -_
7.a=IViV,I
lon¡;1tud de su aje trcmsver!rn e~
~
~.);t -
1
308
Lu. liiph,t,,ta
b) •,trtices: Y(l-,'·:ca) • V_(-4,.,) ,· V 2 (-4,•))
7a~l'/,1.'i'fnl;;-(:2) lc4 ... n-=2 ; ;n:.. 6-'- b<-J
~·~a 2 +b%e4+9~13
+
c=-IJJ
-3-1 2-2¡
Coordünadas d~l cealro: C ( ---:z~,-z-
~
C(·J,0)
Luego, li,. aeunoi6n dé la hi:pírbolll es :
Focos: F(h,i:"!"c) - F1{-J,/'fj)
f.xce:it.I'iciclad:
e
a
{
~-
y
=
(yi.0)1. ~ ~ 1
r
e) í.ong tuc da c~ds l~ao =ec.o: L~
f) Í\:<:Mntric1.d'l<l: o
F2(-J,./f))
=
.!1.,
a
~
:tn cada t!1lO de loe ejercicioo 14-18, ~educir 1~ aeuac16n d!
da 11 la segui.ñe. for11.11 o,•d.inarie de le. &ou11d6n de lt!. ,tip,rbo-
r .. cto, la cxcentrlcid.<.1rl ·¡ 1.s.s ect:aciones de :!.as así:itoras.
1'' 2
Co~ple+ar.do cu~drados aa tiano:
2
{x'-4x+4)-9{y~-l,y+¿)~t,1+4-.36=9 -• (x 2 )
9
•
1
(y 7.)
2
:, :2x-J:,+1, ..o
t) Excontricidnd: e = ¡ r
e
Solución.
(x - 2x+1)-L{y-OJtcO - (x-1} 2 -4!:y-U)'-O
I'ur 91 Teo:'e!ll.:i 4, el luwa; h·eo1:16t~;c,,
eªu u~ p~r .o
~ rectas coD
,_ currentes:
15.
c;/"flj
6
L, :x-2:;-2=~
C.omp.l~t111:¡/.o cuadrados teneoos:
?(x +6x+9)-L(y'-4¡+L) = -29+~1-16
=
16 ..... (x+3)'
~
-~/u_s\A
de donjo: h=-3, k•2; a=2, b~J ; c 2 ca 2 th•-t+9-1J ..,. c.,,.r.fj
c.) :::oo,·denada:i d,;,l eent.rr,: C(h,k)..,. Cf-3,2)
1:) \'Írtio11t:: H
!11,ki - '1 1 (-1.2). \' 2 (-5 • .2)
e) Fococ1 F(ñ•c,k)
+
~l(-Jt/1},~) y Fi(-3-"13,2)
,1,) 2na:/, '/ 2:i=6
I. 2 :xtJ)-8~0
t,x '-?y•+nx+J6y·>64-0
Soluci&n,
Solur.i&,1.
2
e) Lo!ieihd e,>
6
!.2 :2-,+:3t+2c0
2
1
~
g) Asíntotl"i.s: y-2=~(x-2) ..... L,:x-Jy+ 4•0
O
1 7.
2
c 2 ~c'+b 2 =9+1c10 +
de do~de: h=2, i~2 ; ~eJ, baa1 ;
a) Coord~~nda~ dal cent.ro: C(h,k) + C(2,2)
b) Vértlcos : V(h~~ . k) + V1(5,2) y V~(-1,2)
e) Focol!I, !'(h~c.k) ... r'1(2....rni,2) y i' 2 {2-~.2)
d) 2tt= y 2b:2
1
<>) Loneitud di!' cada lado recto: W! ~ 2b
2
a ~ J
9
a
{x-2+2y)(x-2-2y)=O .... L1 :xt2y-2-0
Sotu~¿fut,
,;,:?-,TI)
(
= ~~
ffl
,,.;i.11J.ow;..a; y-2,:!!(x•.o -
111 y rlsterltinar las ccordEms.da'J del centro, ,órti ces y fo~ofl,
l.a.; :!.ongi tcC:ef!- de los ej :, tra,,8.llorso y conj:i;rado y del l<tdo
:r
e) f'ocos, F(h,..c•c) + F 1i(- 4 ,2+.'D)
d) 2a-4 y 2b"6
a a ledo !'eo-:.:!: LR = 2h' • 9
f) F:xcentriclcl ,J: e
a
= ~t. • -.rll)
g) Ai,fnl.oL,,s, y-2-1?(x+J) ,._. l
1
:Jx-::y+1J-O
6 I,:3x+2yt5 o
Coaplet.anao c~adr~lo5 teoe»os:
iO, Uellar cl.~neulo M~udo d~ icter6ecat6n dn l•s asiuio.a~
4(x 2 +sx+16)-9(y 2 -4y~~)=-64+6~-J6·-36
D!.'lrtdiondo en-t,re -36 ste tiene:
~ - (x 4F _ 1
9
de dorde: lt=-4, k•2: .a•2, b~3 : c 2 .,&. 2 +b•n,+9~13 + c-=,ffJ
r) Coor~ ngd~~ dÓl cenlro! C(h.~) + C(-1,,2)
del~ t..i?irbole 'Jx 2 -y 2 -J6x-2y1L4=0.
Soluc,t~.
Coa;,lc-;;an::io C'>llarados s.;, t.1~ne:
9 (x' - .tx •·4)- ( yª+2n1) =· 1.1,• 36-1 =-9 Igualar.do n c.:,ro ol.
p1•i11<.11·
(y+1 J '-'J (x-2 p ..9
:r.iel!l,ro y é'.eapej1tr.do resuJ.-a:
311
310
(¡+1)'=9(x-2) 2
2~. La ba11-e de un tri&~gulo e.,~ ¡ongiyud fija, idendo aun
yt1=tJ{x-2)
+
extremos lo• puotoe t(O,OJ y t(4,0}, R~e.r e idect1t1car
la e,::u~e16n dal L.G. dsl vérthe o-piiuto ai une <l'J loa ~
gul.oa de le bau es eié!!!pl'é i¡Ul al dob.lll del etvo_.
De donde, las peo dientes de ls.a as!zit.ota'3 son r o,: J ¡ ~ t=- 3
Luego,·
rge
= 1...!!l.::!!.l..
ffm,~ii l
=
:.
l
l~I
=,l
1-7
4
0
>3 = % 52 1
.. 0.?5
sotai;i4~.
l. Hall.u la ecuaci6n de la hip,h-bol!l. 1ue pesa por al pu1i.t.o
!(4,6), tiene eje focal paralelo al ej~ X,¡ sus ~sí~t~taa aoo la.s rectas !.1:2.x+y-JaO y Z:. 2 :2x-y-1=0.
Soluc.i6n.
Se~ C(.r., y) Wl Pll.QtO del L. G.
ii) PriQeJ:'f. altern.at1v&i a~20 +TgS~T'2~
i)
o
i1i)
Se~ P(x,y) un punto c~aJ.~uior3 de la lúpórbo:~. enton~es por
una propie~ad: 1(P,L 1 ).d(P,L 1 )=k 1 (Ejerc.25, Crupo 31)
(2x+y-3)( 2x-"- 1 )
a
81181
ml •
fgl3 " 1
Tgo
Enti:i:tCH I
fgl! • - ~
15
l"5
o bién:
...L..
~~.
s
i~~)
_..!.....
,.(.t)t
•
H: (2x+:,-.3) (2x-y-1).,k
: ;)
Si A{4,6h:Il + (8H-3){8•6-·IJ=k .. ~ k=11
Sustituyendo en (1):
H:{2xJ·y-3)(2x-y-1)=11
de donde~
;1'
3x*-yi•8x=O
J.1) S~,tunde al hm&ti v&i o•28
2
-2y(x•.t.)
fl:4.X 2 -y -8xt2y- 830
de donde:
(1)
» ~ 1 m1='1' 6 (180-8}•~T¡8
Lu-.¡o, 1'n ( 1) ,
k1 ..... (2x+y-3) (2;t•y - l) =5k,
i.if°
(x-4)
Z2. Ballar e identi~icar la ec~aci6c del ~.G. ie un punto~·
so mueve dD tal annera que su distancie del punto a(J,2)
es siempre igual al triple da su distancia a ln rocta L:
y+1=0.
Sqtucúln.
i) Sea P(x.y) un punto del L.G.
11) IAPI
= 3d(P,L)
iil} /(x-J)ª+(y-2) 1 ~ Jly+1l
de donde:
x 1 ,8y~-6x-22yt~:0. El L.G. es una hipérbola
23. Rallar e identificar la ecuae.!.~11 del L. Q, ,le ,ul ;;unto q'
9G muev.. de tal manera ~~e au diatancie d~l ~unto é{2,-1 }
es sie~pre igual al doble de au diataneia ie la =eeta L;
xt2=0.
La poluei6n B9 dela pa.ra el lector, Rp, Jx 2 -y=~zox-2y+11=0
zs.
-io
•-y•
Tgu •
~
++
Un obe&vadoT o~taeionado en el punto Poye el est~~pido
le ·Ut rifle 1 al. golpe d~ la bala ,;otr el objetiYo en ol
mismo instante. Demostrar qua sl L.G, d$ P ~a wne hipór-
bola,
i'
l!e,:,Ml11.as.~611.,
i) Sea P un punto del L,G. (PWt~O
de ublcaci$n del obsev3.dot)
~=Puiito de ubicaei6n del t¡T~or
s~Pun.to de ubicación del objetivo
t,t1,t2. loa.tie~pos tr1U1e01UTidoa;
t y t 2 , lap del sonido.. y 'tu la
del proyo~til.
11.) En cu&lquie~ p<>e1o16n d~ ~. ae débe ~erif!cari t~t,+ti
AP
A!I
ll?
i U} Ent.onces.t V:
s V: t V:
s
p
a
312
la IU.p,!,11. €.o la
En doniia:
Luago:
V
•
9
~~
V~J.ooida4 del l!IO'!Udo
Tevre!Zül 6.
Las Q.::ua.:;J.ones de las t::.n~entea a l:J hip~rb(',la. H
Velocia•d del proyectil
s.P ·• ll? =
Va
~ 'P
J' J
oix~-~ 2 y 1 ~~ 2 0~, da ~&~diente m son:
y~
f~f-fBPI= ~fül
mx
''p
Dado ~ue los pti.ntoa A 1 B p•rirane cen fijoa , la aagnitud lilil
Vs¡-¡
as constante, &ato es. si haeem4s: v;MI
2a. entonce$:
1ÍP) • 1iiP 1 " 2a p
satLa!~C13 la def11lici6n 4• hip4TboL~.
Por lo tao.to, al L.G. descrito por P ae una bip~rbola.
=/a2m2-~:. 1~1~6.
En e f ecto, les ecuacio~es de las &angentos
y=Qxtk
~an
n~
l~ fo~na:
íl}
Sus t i t.u;,·ando en la e.ci:,-;t&.ión d.e la !cipé-rbcla se t.11>,ne.
!:l~x•-a 2 (-.i11:+k)!l~ éb' ..... (b.'-a 2 m2 }xZ-2a~¡;¡,u-a 2 (b 2 ;-,.'}"<'
Por co ndi1:üÓi:i; de :ta.c.gencia: 4a•111 1 k 2 +.{.(b 1 -at-0 2 la2(hlfl!2)~/J
¿~ aon1a , kz=a. 2 m2 -b~ k.,,;;/a~m 2 -b"
Teorema ~.
La ecuaci&n de la tangentes l a bipérboln 31
b 2x'--a.lr,.a'l! 2 , an cualquier pu~to P1(x1,Y. 1
EJER~ICIOS. Grupo 33
de la cu:t11a ea:
E:!l aa.d~ t¡;no ,fo loa ej 1:1rcicioe
~•o.-.l~.
El'. efecto, sea P 2 (x 1 +h , y 1 +1t) otr e
punto de la b1p&rbol4.
subt:ir.gcnte y subhórna:L. para la hipérbola ct::.da, en ?l pm:t~
de contecto indicado.
Entonces, o
~ Y1+k•x 1 ª ~
P1P 2 x1+E- :ic 1
h
Si P1(~l,Y1)€H . b 2xl-a'y1~atb 2 (1)
P2 (x ,+h,y 1+lt}€1f
• bª(x1~h) 1 ••~(71+k}ª;e~b1
(2)
!i, 3x 1 - y"=2
Soluci6n,
P~ l a ecunaién rle la hi~érbola.obtene~o~: a~=2/3 1 b 2 :2
P,r e' ~eoreoa 5, la e~uaci6n de la taDgante a~ p e 3 ,
2b 1 hx 1 -2a 2 ky 1 +b 2 h'-aik 2 =Ó, do donde :~
Q
2 b 2 xi+b~h .. ªP,Pi
2& 2 y 1 +a•k
Cuando P 2 tiende a P l • esto ea . eUMdo- h=k:O . l!nt 011-ees:
Pendiente de P ¡1' • ,. P-endient.e de la tcangente
•
'·
2.t>zx,
~ .?a 2 y 1
·=
de donde:
Y eo~~
(1)
e,¡
2
b .ll¡
a"; 1
~
6n de h. tangente en P1: y .. y ,
,,,;uec1.
b~x1x•~ªY1Y
= 4~f~·bªx~
s.. ti.ene;
b2 x 1 x.a 1 y 1y
P(l, 1)
--
Restando (2}-{1) , obtene~oet
•
5- 7, l!s.li"r las r;cui; oiorier. de
la tá.hgenfo Y nor1:1a:J. y laa long:. tudes do la ta.ngent;;,, nai"r.al.
P1
?. (í}x • Jc1)y:
&oue.oi 6n
zn
«~
¡
}<2) .,_..
a normal: y-1 : -
Lo1t 1· t ,,
F: u ~ de la; tangente: t
~ ab l K
y!(.x•xtl
ezbz
i
3 (x-i) -- x+Jy-4:ü
1
= l~l,11+:c' = ~
=~
In l¡:¡-:¡:;jT = 1/7+9 = ,0o
'' s,ibtangen t.e: ST = {f!-l ~ li 1 ~
"·u ~-ubnorul: sÑ = fmy·d=/3{1)1 >
Lon¡¡¡il.u á de la norm-itl: n
2
3x-y-2=0
314
11S
Sotu.ei.6n,
~ 2)
-431 --41:-12,
Completando e u adrados: 2 {x , - .>X+
'• - 3(-,.z+
,
· 9
*-4
~
.,
2(x-3/2}2-3(yt2/3)'=-5J/6 .._.. J(yt2/J}°'-2(.x-J/2)~=5J/6
do donde: r::J/2 • k--2/3 ' a•=,.3/18 "/ b:i.=53/12
, • n
~t..<:n
del teorema 5, la pcP.tlien te de la tanPor la g~nera_1~a~
~
+
gent@ ¡,s:
rn
=
._?{xt-h) - (5J/18)(4-}/?).
bqy ,-kT
(5.3/12)(":h2/3)
Ecuación ~e la tangen~e, y-2
Ecuacién de la nor11:al: y-2
!,ongitutl d~ la t~ngente: t
= ¡(x-4)
.+
= 12(~/2)
=
2
18(8/3)
a
5x-8y-4=0
=-!(x- t.) -+-> Bx+·5y-¿2=0
= l;1 l/1+o•, ;ai 139
= l,,IIHm 2 = ~9
~
aubtangentt' • ~·l' = li'.J
tu ', = 1 5
" subnor-mal: ::m = 1my, 1 =
•
Completando cuadrados: J{x'tx;-1)-2(y'+2y~1):12+t-2
3(xt1/2) ~ -2 ( y+ 1 ) ¿. - .4.z
~
.)e d(mde: h=-1/2, i<c-1 : a 2 =43/12 y b 2 =43/8
Por la gen&r~li~ación del t~oram~ 5. la pendiente de la tangonce ec;:
Scuac~ón ae la tRngente: y-1 =
1
norm~l! n
,,.
-1¡ ·
'
:subf..il.ngen,e:
11
subnoronl: SN
-ª-
sm
-- 15
' = JL!j
:¡¡
= IDY1I - ~
la
fB~
•'+,(
ltJ.111.1" 111 ,ngul1> to~liláll.o p11tr l&e \e,.;qt(I¡ tr1,1:;M;i:a .!el
R•~ª-yªt.x-a,-,"9.
t•E i,c~te• t•»g$otes tr12a~1;..11 de P(J.6} ooa de .1-. ~cl!'!ta1
J•,6,,•b~J) .. ,..,l!IX .. 6--)lt
(1'
™tituyondo -.n l.& <1cu.-ci~n dtClol. o• 11eau
x 1 -(mx+6-J~J!+4':-2(o~+ó,.Jm)-5•0
• (t-••)~ª+a{J~ 1 -7li¡+2}~+{,a~-9111 •S3) 0
P~r oa~e1.6n 4e tttigCJ1qi•2 t(JPª•'hs+~)*•4(1..e 1 }í4-itl•~m.13)
.. 1
~a
0
da •.foád•: i7!!. -70!1i+S?t0c ...... a¡cJ
Ltte¡o1 fge ,.
10. H.allu
~(x-7.) ...... 15x-8y-22;Q
=- ~{x-2) ++ 8x+15y-J1=0
t ,, 1!.'
'" l 1 /1 +m • ~ 111,.
,,..--..
= J y 1 j-,11+tt:
= 31?
"
,G
{1}
su,t1.tuyendo en la eeu.ción de 1, hip,7bo1a ~~ tifu~1
:i:*..z (;¡-tJ.:)'1 +41-8 (xO:)-tdO ++
Hh)1;+:.! (Jr.'-+,Ur·HJ•O
Po~ ~tmdici~ i!8 talll?*lloaiai 1,{1+t}ª-4(2)(k"+4kf;)•O
de lon~&J k~•1 ..... k<>1 é LQ•1
r,r ~~Q •n (íl, laa so~~cion•a de ia, t~entea ao,
L: :x~y+1 ..o d L, •i1:·1-1r.o
,
llla•1~/i 1
ll~~~I¡ • fi~~~ " ~ • O.US1
1011
vahr'll• de
f-H.l.ll4 }""IU-1 110111
11>
<>-
NfJ"l"J'
P'Sh, 10, ~.... lGS l'¡h,t&s
tu¡n~. - h
u
h
h:tp~lt>. ~•.9,a,.36.
l.•l.u~lda,
Ecuac¡ón q,. la nol·1tal: y-1
r,o,,g1 tnrl. de la t ;ang<'n t e:
,.-.+Ir
So.tu.e¿ 6,¡ •
Sf>lu,c i/11•.
1;¡~(.x,-h) _ (1,.J/8){?+1/2) = ~
ru = á~(y,-k) - (!,;J/ lZ)( 1+ 1 )
6(2)
J.as eo~aei01:1eg !e laa tangentta J:Hll'al•l&JI a L, a •
u:
p1U:;to P(),6) e la b.1.pá~•olé
t
-
s119~i.,6n,
t,
" normal, n
11
1~ lfallu lu •oi1acionsa de laa tai:i.,.11tee .a la ht;;tñiol~ -lit
-~~~,·~-'it-87-6•0 q~e aon pal'!lltla.a • :l.-! niet& Ls~~1l
81l~tey11.nt!f¡ ;r"*X-1 •n ltt HV1oú8.ii h
4Jt'•t(.x-t~
•b~
oot.lltei6-
••·dithd•;
2
a.
9-,L•,
1a h!~'rbol• ~e ·t_~muu.
f4-9m 1 )!~t11•r-,.4!*0
~~..ia, (..._>*-,ci-~2 >c-4~}"'°
... ; ~
D}6 ...
11. De1J:,o,;t.rar ~ue las c:::illt:iones liP. las tangentes de ¡x,:1die1;
Anéloge:;ente, 1.a ecuuc,í.Ón <'e le. tan;¡;e:i.tc
te m a la ltipé1•bola !!: b!.(¡<"-h) 1 -a 2 (y-:O:P=a 2 h 2 son:
y-i< = :n(x-!i)
t
2.
¡:¡ ~r. P¡(X:,y 1 )
82-X 1X-b,¿y ¡y:a 2 b 2
/a 2 a•-r,z, lml>~.
Lu.::,g.~, para P¡(2,12) so ti.;;ne: 1(2)x-Hñ)y=(1)(i.)
l!gm(r,st.1;,u.i&tt.
~" efecto, b:icieml.o las s:istil,uciOr,ei<: x-t=x' , y-k=y' • le.
a,rnaci6n ds la hipá1·bol!i
to.:11
la, for:r,a: :. 2
.ll'''-~ 1 y' 2 =11 e'
?or el Teor~na 6, las e~uacionea .de las ti.~gectes de per.die~
t?.
o
Ci
y'
$0!1:
= mx•
± /,,2¡¡¡2..b2
y-k = m(x-h) z (~'-r.: 2 -l',
sea:
Por lo tanto:
b•x:<x-x1l
de dor,de.:
1". Demost~ar que l!i i!>lipse F: 2x 2 +y ~=1 :l :· la hipérbola li:
il¡te.::
i)""'ºq&za.c.i.6r..
L¡-LLi
.!
'I !! so"l ortogonal~,; en ~os
De la el~pse E:x 2 +3y 2 =6 • resulta: aª=6 y bi=2
Entoncea: c 2 ,.a1 -b 1 =6-2=4
+
c;2. Si F{±c, O) • F(±2,0)
l'ara: la ~.i;¡~rbola fl:x2 -3y~=3 se tien~: a1.=3 ~- 0 1=1
c 2 :alTb~=3+1=4 + c~2. 3i F(±c,0)
?or tanto, E y H son homofoceles.
+
+
F(±2,0).
16. Oenostrar que el producto de las distancias da ¡ 05 focos
de lll'la hipé~bola a c~alquier tangente es consta.~t,,,, ~ i~~
a.l al oaadraclo de la longitud del se1i.eje conjugado.
il~<:r.&i:u¡ edm.
Er. efect.o, i~;e'!'eoptando la elipse y la tipérbola obtenecos
los puntos: :>i(2.l2), ?,(2,-fi), P 3 (-2,,'2), P,(-2,-12).
De ll!. e¡i _p s~ i~2xz+y 2 ::-10, obtene.o~t: a 1 =íJ y b 2 =5
La ecuación riela taneer.t.e a la elipse e~ ?,(x!,yi) cs:á ::lada por la f'Órt!Jla: al.:,: 1x+:i'y 1,"azb2
Lusgr;,, pa:ra P1(2,/!) ,;e t~ene: lf3{2)x+5(•2hr=(1C)(;)
l. 1 :1.JC+.~y=10
+
eiu h.01110/.oca~.&.
Et: efecto, por el teoreme 5, la 9ondient~ de la
b 2x
P1 es: ¡¡¡t • ~ ; entones, li;. pendiente éc la nor,r.!il s;aré:
"- fl
a 2v
aZyl
•
ºn e - o%xi , y su ec uacio!l: y-:¡1 ,, _
dI; donde:
-1
15. Demostrar que la elips~ X:x 1t3y'=6 y la hip6~bola n:x•-Jyl
=3 tienen los mis,ros f'ocos. Tale a ourvas ee lla:Ja.n c.futi-
a 2y 1x+b 1x,r-a1z1y1·b 2XaJ1•0
3u¡; pu!JtOs ds
= {-2ñ}{1i) ~
Se dej1< al e,studiazn.e pro:iaT oue
del!lás pl.t.'1-tos.
loi~~
13. Deiws1;rr,r qua la ecua,;iÓ,n de la norJ1J:el ., la i:d.pérbola F.:
b~x~-a•,.t•.!!. 2b 2 en el p:mto P1{x1,,:;,} es:
4yt-x 1 ~1. aon O!'togonele,, er.tre sí .ir.
seceiói~.
1t1,:t.2
iuéda nT0bado que 1~ elipae y la bipérbcla son ortogollal.e~ en
e-1 punto ? 1 • •
1111" -
-± = •:?/!
~
Pera la hip~~boia H:¿yi-x~~4 , ee ti.ene: ,.2,., y b 2=4
En efecto, $ea la hi.p~r~ol¡¡ H:b 2 xl-a 2 y 2 ;s. 2 h"', cuyos focos
F1(0, O) y F2(•0,!l).
Po~ el Teoren:a 6, une de las ts.nge~tes, ~Q ~~ndicn~
por azu~ci6n: y~mxtl& 2 m2~b 2 ~ 1 1 :mx-y+/aig~-b¿~o
• d(Fl,LJ ) : Joc + /aªm 1 -b 2
~
f.
.
d(l!,,Li)
e
f-:,;o
t
4,
ti
2
tie~e
l.,'rll 2-b' f
.ta 2 +l
Íc 2 -a 1 )1b 2
ti: 21
Í
S()!I
la 1Up4.d.o to.
318
19, F.n un punto =ualq~iera r, excepto el vértice, de una bip,rbola equ.tlátere, se ~re_za unn noroal que cor~a al eje
focal en el p\Ulto Q. Si O ea o1 centro de la nipé~bola,
deouáatri,ce que ioJ>•,. IPQI.
J7. veiostra, qu~ le pendiente de una hipérbola en cuulquier
extrcco ,e cualqutera de sus lados roctoe es ruoérica•eg
te igual a su exceutricidad.
iJtt.llfo4t;r.ac.i6'1,
í)e.,ou.taci6a.
Zc efecto. ~ea 1a hipérbola a:btx 2-a 2y 2~a 1 b'. Por el Teoroma
5, 111 pendiente <ie la 1.angent.i:, en U!l p,u,t.o P1(x1,Y1) de li E<B:
E!l efecto, sea la hipárJole.
a:xi-y 2 =a 2 y P(x 1 ,y 1 )
{1)
9
OPf = lxt+y~ , lfi'Qf ;
:.!lego:
18. Dcmoet.rer que el punto de contacto do cualquier tangent9
, una hip6rbcla e» el punto 2edio dol oeg~en,o de tangen
•.a comprendido .. ntre las a:síntotcas.
Son la hip6rbola H:b 2 x 2 -a~yJ~a 2 b 2
cuyas asíntotas t.iene por ecueci6n,
L1:bx-ay•O, L2:h,c+ay•O y cuy~ tau
gente en P1(x1,;¡1) tistá de.·:'le. poT':
z
Lt" T
P(
(
a"b
ab2
a2b
-itb~
bx 1 -ay 1' bx 1-&}'1
q bx1+ey1'6x1+~y1)
20. Oocostrer que el triángulo formado por una tar.gentp c~al-
quie:a a ~na hi?éT'bo. a y aus as:ú,totas tiene lll\A área con
:itan se.
/)~no.&t1,aci611,
E~ erecto, ses la lapérbola b 2 x 2 -a2yª=a'b'
cuyas asíntotas sor.: I, 1 : bx~ay=O y
La : bx+ay=O , y la t!Ul~ente en P 1 :
!. 1
;.
~ = F(
¡,.~,..T
Q~
~lb
a b' )
bx 1-ay 1' bx 1-ay1
ntb
-abll
bx t+ay, '1:x. 1 +..y 1
o
+
)
o
~(APCQ)
1
M{x,y): P1(X1,Y1)
t'OJ' tanto, queda deooutrado que P 1 ea punto medio dol aognan
to PQ.
LUt!go:
Í,t X
/(2x 1 -x 1 )2+y;
r:b 1 x1x-azy1y=a 2 b7
)
o
.•. IOPHIJ7JI
T:b2 ~ 1 x-a 2 y 1 y~a 1 bª
L1"
HQUilátera
Si en el e3ercicio 1J hace~os a=b obt~
neaos la ecuaci6n de la nor~sl:
~:y1x+x1y-2x1y 1•0
Si y•~ + x=2x 1
Q{2x1,0)
Si P 1 (:i..¡.yi) 'JIS un ~irv:-et:?oa dol la.io recto, e!ltoncea:
x 1.:oc (abecioc del foco) ; Vi" Í(t.R) "~{;.>b'/n) = b1 /a
Por ~atto, Pn (1), se tiene:
.319
... a{APOQ}
La
(i11co•el,..1d.a IJ.n.<J-·lUJ.ca T•tan.a
27, Si desde un p'.lr.to ._.xteriol' P,, se t.ra:;;an T,/.lllgente;. ~ una
hJ.p.;rbola.,. e: :,o-gner.to que 1;:l'íe los puntos da contaevo ae
11.=a. cue,uJ.a de. co1•:i.a.do de p . para P.31:. bipérbolo.• Si
2 1
2
2
P (xi.y 1 ) or un p,mto de :a hi¡,Órbola h 1 it -a y•;a b , r!!!
1
mulst1·es<1 q,te la c1..erl" ,fo oon~act,o de P, os:
b'x1x-a 3y1y=a 2b 1
1I11c~1ei6n..
':!:n ef,;ct,o, por el tacrena 5, la
ecuación d3 la tanger, te en .? 1 es:
l3. Kalla.:r la eeuaci~n del• ~uorda de qqn~a4to del pt111.to
P1{•2, 4) de la hipírbola Bz~•-~ 2 ~3.
Sol<LcU,!! •
Dl!I la eouaci6n de la hipérbola tibt.i:tel!'>O,U a. 1 "1 y b'•)/2
§egán la fÓl'!:lula jel ejereic~Q a~terior
i<-2)x -
2
S::. F, (x:1,Y1h:t, ... 0 2x,x1-a•;;21,~e":i
(i)
_ a"(b'~
-· ~-i;,x 1
2
b"x~
{a 2 y{-bªxi)yt1>2a 2 h 2 yiy~+bL(a
J)ll'''1
_ -a 2 bª;p
2
-x1l
o
lh se t;:i.:.en~e_i- - - - .
/.a 2 yho. 2b'-b 1,: ~
P(x,y) un ~unto del L.G.
~.2.,r:!-b2)C 2:
._ ... 1
l
2
Lla'l'ando: r = /a'yf+n'b~-b"-x1 ¡ k;a 2 Y!-b x1, tene~-0s :
y:~ ic-a~b~1~b1 Y.1r)
6 p• 1(-aib-2 y 1 -b 2 x 1 r )
k
. Susti tayeado an ( 1) se t;Lene,
>:,~
i<~a. b~x +a y,r)
2
1
Pénciente ci:, P 2 P, t
2
1L
ó
x,= i(-a'b 2 x,-s}y,t)
~ ~~
: ~
.:i2-X3
a "/1
Ecuación de la ~uerdn de contacto: y-y 2
y
En ef,~to:
i) Sean P1bci,ytl '/ PzCh,)",d 1D11
$Y.tremo11 -is ·~na llU4>1"dt\ y llfl&
~ b~x1
Y~ -
1(0y • (1)(,) •• -Lt6lt+-$yt3•()
/)~lt04t~.
t:, •
2 (blt+y,yd'-a•y!'-a2b2
il.e solviendo
tie~e,
~"""
a
Obsérve3e que •l L.G. e~ i.ma l!nea recta ~ué pato por el
centro, su eeueei.6n e6, por lo ~to, 1~ e9nee16n de vn
d-i.1111.ttt-to d.,i. /,a lii!'d~ola.
?,íxz.y.)cif + b 2 :t~-a\1!~i; b' (2)
Sust.i t1qendo (2) co (1) se t1 e:tc:
da doade:
1$
~4. Oemost~ar q ue ~s eco~el~n del L,G. 4e loa puntoe ~~io~
de eu.:Lqui&r s1eteea cie cuerda¡ paralel~• ihi psnd!1>nte,
de la hipérbola. 8:b1xª-aªy'=111 1 b' a-el' ,. ~ )(, m/,0 ,rnJ S
L,:bªx2x-e~y,y~a•u•
de dcn!}e: x
1u,,,,,.Lo la
uJ
1)
rx1 +:iii ,.:bf
ra • w• .•.
l_y,+y~·2y
i:1.tl Si Pi(x1,:r,)t.ll
+
1
b 1x}-aªyf"'a·1 bi
P2(x2,Yi)~li .. 1:¡,ix:•ll 1 a<i"'otb~
Restando a!llbas eouacianea se t1e11111 b 1 (,,¡f-xV-a 1 (1t·rl)=O
o sea.! b 1 (x1+IaHx1-xi}-a~(y1+Yti '.11·1~)=0
+ b 1 (~x) (Xt• lla)=-.'(2yHv1-Y-t1
:
•
b 2x
~(x-x~)
a Yt
En ton ces:
:ii-ax
m = aly , dG -dondtt . 'I :
.,..
b2
.IJ..:.U
:~
bit:a~l
~ 1-Xt
-¡,¡- x
,
"'"º ,
mi
~
J22
323
[ ~JERClCIOS AOICIONALES
l
(Texto< P. ,i. JJe Le Borbolla)
l.
-lallar la ecuación de- la hipérbola con centro en e-1 ol"i;¡.en, aje focal soi:wo al cj o X, di otaucin. foc:'l.l=ó ~· dict~
cia en~.re etioi·e lato diteotric011-4 •
,.
fO'"ll& ¡je la ec11ac1on:
Sol.u.e.u,,..
31 2c~6
-: 2
c~J. d(D , D')=4
4
2.
(1
+
e
f - f =1
Hallar la 1ecuaei6" d<.t la h.ipé:-bolo. a.,n aentr<'J {O , O) , focos en F ( =4,0 ) , pená.ients d~ las as!:i.totas=J y e je fecal
aobre e::. ~j:) X.
Rpta;, ~'.,x 2 -:5r""72
5,
H:ülar l:a e-c·J.a.ción de la hi pir:iola ~on cen +.ro (0 , 0) , focoa aob:c XX', ~istanciP- ectr~ áii:-e~tri.ceG=4, y que f~sa
po-r el punto i:>(4, .3).
f!pta: ),; 2 -2y'=J
G,
Hallar el lag~: geométrico de~crito por e l cen~l.'o ~e ~na
circll!Jf~rencia móvil, ~'\llge~ta s ~tari o rmen te a las cireu~
ferenoias .&i :x2 ~y 2 :4 y ,t, !:< 1 •y 2 -1bx+48a0 ,
)
2 ªz~4, d~ donde; a'=6
=a 2 +b 2 ·> 9=6+b 2 ·> b~=J
Por ts.n,;o, en (í):
x2
X:
a• - b2 = 1
i..
H:x2 - 2 y 2 =6
Hallar la aouación tle :..a i1ipih-bol a con C!Sl1ti:-o en (0,0),
lado re-cto=.4/3, i;er..diente dt• las asfotota:t=t/J y eje focal sobra&! ej e Y.
So lucU,n.
Fo>'n)a de 1 a
e ,::uac16n:
,.g.:x 2 +y2 ;1_ .. Ci(O,O) , r 1 =2
~.:(x-8) 2 ty 2 ~ 16 T c ,(B,G), r2:4
i) Su. C(x.y} ;,n p~nto J.el L.G.
ii) En cualquier posición da C,
Ecuaciones de l~s a~Íntotas:
~
Luego, si m
LR
2b 2
=a
+
1
~
+
~
2b 2
j - .¡-
,
=
Solt¡ci.6rt,
( 1)
1
{2)
de donde ,
(3 )
se deba verificar que:
Re.solvíendo ( 2) y (3) obt,eneoos:
o sea:
3.
Ilallar la "~ui,.ci6n de la ni.pérbola con ~ntro (O , O). focos aobl.'e ltX 1 , dietaricia e11tre l.as direotrioe:;=2 , y que
pc.sa por P(4,6) .
Solacl6n.
Si ?(4,6)di
tl(D,D 1 )a2
Forma de la ecuación:
..
+
H,
ar - ~
2a
...
b'-..
:: -
~
Suati tuyendo en (2):
1
lx +y 2 - 2-, l(x-a)'+y 2 -4
• lx 2 ty 2 = /(x-:S) 2 +y' -2
a.: cudd!"ado resulta :
!levando
lia donde-:
1';'í"+r'-1 6x+64 ~ 4X-17
15x 2 -y 2 -1:'l0x+225=0
(1)
= 1
:3.ful!
{2)
ío-a•
1
e
ii'i)
CT:CP
1;,!:-~ ~ c';c-c';P
c;c - r,a ~ - r,
" 2
7-
Ballar el :ugar geomé~rico doserito por el cent.ro de unu
circ unf,;,renda n6vil, ta.ngente ex. eriornente a las circun
fere:1oia.s Si :x 2 t:, 2 -10l0+16=0 y .62 :x 2 +y'+11,.x+2,4 c0 .
Rp t s, 3sx•-y•+70x•O
(a~-4)(a'-13 ) =O++ a 2 c4
b 2 =12 6 bª=·156
6
a 2 =13
(i.eo'<<tt.JtfCl 4.r.al.(1.ica Pto.na
/¡,
la l!ir.l/1.e.o ta
1
2
~~da la eouación ~º ]9 ~ipÓ~bola H1:l.x -5y +24X+20y-,=0,
:,c:.ener la r:cuación de- 1.1u conj.igada y va?"ificar la 1;¡'0pi..,dad de sue sxcol''tl:'i cidades.
325
11. Eallnr la ecuación de l.a hip~bola. cuyas &$futota.s
30n
las rectas L1 :2x-,,+1 2 ~ó- '!! t 2 :2x.t.3y=O , y !l!!O de trua •rértices es ol pt:nto V(0,2j.
11-pb: 4x~-g;¡ 2 ~24'r+36;¡-J6=0
Soluci!u,.
12. El p r.oduct.o t!e l es r.endiiu'l tes de los se.gn,_en,:o,:, ~ue va:::
desde uu punto w,6vil P a dos p-w1tos. fij os A(-J,1 ) y
?.eduoiencto la cc-uacl.on 3.ada a su <'cia '"o;rma ordionr.i.a lle tleneo:
(~t3) 1
J.('t~+6xt9)-5(y"-1,y+4J=4+;36-20=20 ~ :!1, -
5
(y~2)~_,
- --y- -
0(5,J) es igual a 2/3. Qui lugar gea~~trico descrihe P?
Sot-ac.i6/I .
i) Sea P(x~y) un punto del L.G.
ii) mAP. mB? = 2/3
de do!:lde:
Tul lh: a1~/5 y i;,,=2·
En tia: &z"2 y b,-/5
:...1ego,
~
1=
...l
.13
2.1.
a~
•
c¡=lli.;l:!=5+4=9
0·1;,J
' c,=c;=3
iii } Enton ces:
ea= ~
~
ax
l
de donda: Zx 2 -3yi-4ic+12y-.39e0 • El L.G. es una nlp,rbols
2
e¡.e¡
o
2
("')(
5 4) =
8"1
w
13, Los semiejes de una hipérbol.3 son a=b;2/:2 y están rospe~
ti. "lamen be sob'!'e las re et1111 J;, 1 : x..-y+ 4=0 y L._ :x+y-4=0 . }fallar la ecueción. do la hip6rbola.
Dada la hipérbola P. 1 :9x 2 -1éy 2 -54x+160y-463=0, hallar la
ccUD.ción de su conj4gad~ y ve~iZicar l~ propiedad de sus
?.
cxcc~trícitladea.
Rpta:
So.lución,
hip6rbola:
/1+9
f1+9
Si A(.3, - dE:H
Sustituyendo
-+
,:,n
>--+
:I:(xt.3yf15)(x--3y- 9·)~k
(1)
Pil" d(P,Lz}; x+y-4
1/2
.PQ
«
e(P,L 1 )
:
~y+4
.n
Enton ces, ea (1): (.xty-4>2-{.x-y+4) 2 =16
(1 )
+-+
xy:4;,c-4~0
1~. Los ~emlcjes de uns hip4rbola son, ac2 , b=,12, y están
respec tiv~m enta sobre las rectas L 1 :x- Jy+J;Q y L 2 :Jx+y=11
He.llar ln ecuación de la hipér bola .
(3-12+15){J+12-9)·k , de donde: k;3'6
(1): {x+Jyt'l5) (x- 3y-9) i; :36
-
P~: -~.
Gómo á.=lJ;.2.12' ·• :i'M2 -pij•~s
Si P(x, y) as -an punto cualquiera de la hip-érbo:i.n. entonces:
d(P.Li).d(P.r,z)cki
(Ver Ejerce.do 25 , Grupo .31)
(x+Jv+15)(x-.3y-'J) ~ ,i: 1
y '
Sea P{x,y) un punte de la hipérbola.
Por la propiedad --1nt:dn,%ca de la
H,:16y'-9x'-16Sy+54x+175=0
10. Da<lttc las asíntotas de illl'l h' ¡,á,.bo1r, L 1 ,x.+3y+15 =-0 y L; !
x-3¡¡-9=0. l-.:-c.Jlar .:;·J ccnaciÓ!'.l sab:'..endo que pa.sa poi· el
punto ,\(.3,-~.).
+
{~)(f-{J : ~
n ,x.z.-9~·-'+6x:..n~·-171 ~o
•
l s. recta !.:6....:-5;,-16=:i e
to
, ,m;;e,nte a la cur v ,;; haj h.- .a
9
~~1:a~i6n O.e le. h:..}.lór bola.
Jt .t
v2
?-oi·i'lt.w de la ec1Jaci ón de 1.a hipérbol z: - ~ ~ - ~
( 1)
Ecuación General de Segundo Grado
9. l
INTRO-OUCCION.
En osw ee.¡:,ítulo d esar rollaremos una _fÓ!
mule pare. la a ~ter~inación dei ángulo e.
al que deben rotare~ los ejes coordenados para eliminar
el "érmino xy de la ecuación general de segundo gra do :
Por t a nt,o, e n (1) :
(í }
ló. Setul F 1 (?,,, ;1) './ .:' 2 (- 3, -· ;.) :.os .ro~,:,s ele un a hipérbola y!.:
Sx- 3:,,=18 la cc ua ol.Ón d,; 1 .. tange:ité a dlcna c u rva . Ra.11:..r
l a eci;e,c i6'1 e,;, la llip~rbola.
Demostraremos que por medio de c3ta rot ación siempre e s
J.)Oisible transf"or,;rnr le &cuación (1) en otra de l a fo.rma:
Rp. Híx 2 - 5y 2 - 6l~<t-54y-1~1 =0
(2)
H:!..<2 -J:., ~~36
17. Sea í!a la hlpé rb,;,la
y ¡¡e pide l a ocuaci6n dñ
J.e; c\le r d a ;,,, yo pun.;o .ne dio e s P ( L, 2) .
So t:r;.c l6i: ,
\ '1 ,.
)í,~"
.;onn .!'1(:.- 1,:n) y P2(x,.,yz) lo;;,
,;t1· omJ ~ •fo la c-uar ie ~ : .
:'(1,,2) ns punt-0 ll!edio ds P1P,
;,ntonccs:
:,1tx~;'.l( l,)=8
y, ~7,;;¿ (:.! ) - A
ai P1(x1,y1)~R
P,(,:;:,y,)EE
>
+
4~{-3yf~J6
'\
/'
en la q1.1e uno de 1·o s coeficiente~ /l 1 y C t, por lo m&nos,
e s dife·rente de cero, y no aparezca el .térmiho x'y'.
9. 2
Transformación de 1~ tcuaoión General , por rotación de
los ejes coordenados.
Teo~ena 1,
La ecuación gener~ de segundo grado
2
Á)e°
t:BxyiCy 1 t-Dx ~Ry+F; O
( 1)
on donde B!O, puede transformarse siempre en ot ra de la
.fOl'"-!D.a:
(2 )
4Xi··3y¡,.-,6
ll.tia!.'il:lé.:J anbni- t1ou:tcfo"~"'
= ~:,;,a~ :
4{x~-x;}-J(ytp:,,i)~o
4(x1 x2J(x , -x,}- Jfy1T:.,2)(y1-Y2)•C
•
'"•1...-¡ ... • -~-1-)'2
r~e
a._
.. c.e . x:1-zz
-
_m ;.
sin término e n x 1 y ' , haciendo girar
un ~lgulo agudo O tal que:
~
12
Tg2a:
y e..45º .
= A~C
, si
103
ejes coordenados
Ji#J
s:t. A=C .
Isa efecto, si sustituimos las ecuaciones. de iransí'ornaci6n por rotaci6n: x~x•Cos6-y 1 SenB, y~x•SenO+y'Cor.e, en
328
J.
"c,w oi&a ( 1J tene:nos:
~(x 'Ce>sl:l-y •sen 11) " +e (x •co~O-:; •s..oe} (Jt 'Sene ~l •cosil )t
+~{<'S~n&ty 1Co~e}'+D(x 1Cos3•y 1 Se~6)fE(5eoS~y ' Cos&)fF =O
,¡,. do:i d~ agrupawio zé-oin.:is re:rnlta :
llCos 2 9+BSe~acoa9+CSe~ 2 a )x 12 +
( - 2~~en6Co~6~BCos ~e-BSe 2 0¿2GS~n8Vus9 )x'y '+
( AS en 1 i3-.B5eni!CoeU+O,: os 2 6) y' ~+
(DCos&+ESen6 }x '+(-OSe ne •Eco~6)y ' + F ~ O
'!acj er.,lv,
ACosie +BSenSGos e +CSGn'e
8'
2 ( C-A)Seoaio 39+B(Cos 1 0-Sen•e)
(J )
r,Go~6+ESe11 ii
E'
EH0s8 ~DS0n6
y
.r
Obt eneaoa:
Luego para eliminar P.l t i ra1no x'y '. dgberaos teaa r B 1 =0, esto
es:
2 (0-A ) Sen6Cosa+B{Gos 2 S- Sen'el = O
B
-(A-C)Sen<B+BCosieEQ ++ Tg26 = A-n
A/C
Si A=C ~ Tg26""" • 28;90°, o ~e& &=~5°
Pe>r t antc, 1i :;e eel&eciou~ al á ngulo de ro tao1 6n 9 como l o
9 Bp e ei!'i ca &l Teor ee l, le. ecuaoi6n ( 4 ) to ma l a f'o r ma,
a
B~-UG
La ecuaci6n geeera.J. de segWldO grado
Teore•a 2.
Ai~~BxytCy 2 +Dx~Eyt?;0
(en 1a que A y C no son ambos cero) ?epre~enta w:a cónic,a J e
~~ne.ft elipse, parábola o hipérbola, seg~n que el í nd,icador,
I;B*•4AC, sea negati~o. c~~o o positivo.
9.4
INV~RIANTES.
Una rela~i6n de
l.Q~
GOefici ente~ de una e -
c~aeiÓn general qne no e~ aJ.~erada por ~na
trsnsformaci6n de l os eJEts coordenadoa, se ll&Ull i.ttuaJt ian.te
de la ecuaoi~~ ~elatiYe a e~e aambio de lo& ejes.
Así, lao in7a rianto~ por rotacj,6n &onz
a} B' 2 - 4A'C' = !1 1 -1,AO
b) A1 +<: 1 ~ A+C
A' x' ~+C'y 1 ~+D1 x 1 +e 'y 1 • F'=O
?, 3
(6)
Por taato, a nqnci~remoa el si.guiecte t eo ra~a:
C'
t
8' 1 ·4A'C' • B1 -4AC
Pero coao para l~ trans!or:aaei6n es neee9e.rio que B1~0. sato!
-cas la relsc16n (6) $e transforma en:
-4A'C' ; a 2 .,.411c
Como el produ cto -A'O' indica la n~tw:ale~a de l l ugar geo~étrioo dt la ,cueo16n {; ) , l~n11D.mos indlca.do4 9 este 1.J1varia~
te 1 f denotarenos por la letr a mayúecula 1, e a deeir i
I
A,
D'
trsandó ias ,elacion.e• ()) del Teoré~a 1 podemo$ daaoa~~ q ue
e} o•t+E'ª
d) F'
TIPO-S OE CONICAS
~
n•+s:
=F
1EJERCICIOS.
Ln e cus.ci6n :
Orupo ; •]
( 5)
repr9sen ta:
a ) Ona elips e si -A'C'<O , yQ que A' y
n•
s on de 1,ual signo
pnre una elipse .
b) Une. pa:r~hola si
-> 'fi '-0,
p11asto que A1 •> G' son
ca::-o para
una phrábo.l.a
e) 1Jna hipérbol a si -A I C 1 >O, r,nesto '1 1a P. 1 y C • 3on d0 signos
opuestos para una· htférholr,.
l,
Demostrar que la eanti~ad Bª·44C es invar iante por rotación, demostrando que B' 2 -4A'C 1 cB 2 - 4!C.
iJ1'.ao4f.A.aci.61>.,
En ofect~. de las relacione~
~ ·~ ACos ~tCSenªe7BSett6Co8~
1
+ 2A'
=
(3) del Teorema 1. se t i ene:
= iA'1+Co~2B)+
(A+C)+[(A-t )Cos26+Bsen2B]
je(1.Cos20}+
(11
!l..sen29
2
'.330
!euac.U,n {i6A1u.al d..e., S.e.g.uul.o fi,e.a:d.o
e• = 1,sen2.6+CCos'&-BS,meevse
~ 4<1-Coi!12S)+ -~(1+oos2&)- !scen2()
= (•+C)-[(A-C)CosZlltB8en2&)
(2)
Nul tifJli<?ando ( i) y (2):
l,A'C' = (A+C)'- [(A-G)t:os2C+BSan2e]•
= (1HOJ2· [{A-C}"Cot:2.2et2B{A-C)Sen2acos2e+B 2 3en2 2aJ (3)
+ 20'
= -2(A-C}Se~eco~S+3(Cos"'3-Sen'O)
51
=
31 t . 4~•c•
~
Col:lo 6<90°
(A-C) 2 Scn 2 2~-~B(A-C)Sen28Coe28+B 2 Cos 2 28
-{A~C)~t(A-C)~Oos 2 2$+¿~(!-C}Sen2aCos2e+o 2 Ser. 2 26
(A-C)l-(A+C)l+B~
Tglt-=- M3
1'g8,=.J/ 4 • de ®nde: 8~6=3/ 5 y C<ls6=4/5
!Co e 1 a+BSe.n&Coee.+csen 1 9
• (4>Cf ) 2 +(-.u.HiH1)+Ci1Hi> ' •
A' +<l' "Ate
-5t C1
~
ij-~·~
"·.S
4+11. de donde: 0•~20
= 10
z• • ECos6-DSene ~ - 58{1)·56(¡) = -ao
D'
DCoalH ESen.e " S6{1l•58(i )
.Por tanto, an ( 1) , la ecuaci~n s-em1-reduc1da es:
-5x''+20y 1 •+10x'-80y•+9,=0 ... x 11 - ,1.y • 1 - 2x•+161•-19eo
Demostrar qu~ l o car.tided AtC c o invariante po~ r otación ,
h~ciendo ver qua A1 +0'~!+C
dJ l!edu.o<!i&:n a l a tol"12& CBllÓnica.
e) Trazado de 1.& cu r v•-
C6mplet&ndo cuadrado •:
(x' 1 -2x 1 +1)• 4( y 1 •-~• t 4)~4
D<WlO<St1ta~.
• (x•-1} 2 .,cy1 -2) 1 =4
y ' ~2•y•
En afect o, por las relaciones ( 3} del t e o1•.et1e 1 s e t iene:
~
+
12Tg1 &+7Tg&.12=B ,... TgB='J/4 ó
e) Reducci 6o dá la eoua cián. Se~ l a B0lUl.cl4u i eatrre~ucida:
A•x 1 ~+C'y 11 +D 'x'+Ety•+F 1 =0
{1 )
(4)
B~-/,AG
2.
:i:~e"' ~ -
.!. '
-(A·O)Sen2e+B0of26
+
'!l 12~ (A-C)2·3er1 2~-2B(A- C)Slln26Co:!20~B 2 0o~ 2 28
Ea conaecu'ncio, r9a1,endo (4)-(3) m~ tiene qllo:
... 1
331
A' •AC?s~e+BSe~ecoae +CBen 2 e
C' = AS0~ 2 e-EsenecoeS+CCoa~s
A1 +C 1
h{Cosie+sen2 e) + C(Sen 2 G+Cos 2 e)
#
!"~C'
ñaciendo: x• -t~x• ,
obtenemos la .eo'!l&o16n r.edu~da:
x" 2 -41•'=4
.A+C
En l os ejArcioioa &- 1~, deteNDina~ la natu.rale~a de la cóque ropreaanta la eC1uaoJ.6n dada , y reduci r la ecuaci-0n .a
~u foron oan6nica. por tra.nsformaoi6n da ooordanadas, Trazar
el l~gar geom&trico , cuando exista, y todos los sistemas de
!JiOG.
ojos coorde~ado~ .
6-
Soluei.6n,
a) Hetur ala ~& de la 06nioa2 I=Bz•4AC
I•{-12 }1 - 4(4}(9}z144•144~0
:. La c6n.ica es de n aturaleza para bÓlics .
B • 7;:?J'
-12 • 12
b) Angulo de rotaci6n : Tt26 s ~
5
+
4x 2 -24xya lly<\+56x-5.!ly,.,95:0
So!.1,cUin.
n) Naturalaza de le c6nioa : I g B~-4.AC
I=(-24) 2 •4(4)(1}=576-176~400>0
:. La ~ónica es. d'-1 1;;1.turaleza hiperbólica.
2
b) Angulo de :eotaci6n: i'¡¡20 = A~C =
1 =
~z *
4
+
~
1-Tg"ll
•
Como 8<90°
~
;,
+
..
6Tg1 8+5Tg6•6=0.,.. Tg6~2/ ) 6 Tg&=•J/2
tga~2/J, de do~et Son&. 2/..-1') y Coe&;J /,/l)'
o) Ecuaei~n sellil"educid.a:
A'x' 1 ~C 1 y 11 ~D'x'+ll 1 :, '+F '"'O
(1)
J-.'3
A'
~
ACoste+BSenecooe+CSen?a
.. 4<1-}>:C-12H 1~)+9Cit>
A +C •A+C
1
D1
•
1
ª
E1
~~ + ~ ~ o
e~ -
O+C'•4+9 • C1 =13
DCose+il!Sene. .. -Bffl(:.1_) - '1!,ffl(2-)
m
-:52
m
ECoal! iJ3eIJ8 " -·J4{'fJ(..1_) .¡. B/1'(2-) = -26
m.
m
L~ego, en (1): 13y' 2 -52x 1 -26y'+1í7=0
O b1i,n:
.
1) lalaturalua de la oóni<Hl.t
1 .. s•-'1-c
(2)'-4(5) (10) • -196<0
Le. cónica on de n11t1u:'11le1111 el!ptica.
3
b) Angulo de rota.eión I Tg28 "' ~
•
y1Z.4xt.2y 1 19:0
d) ReduQeión a la for~a can6niea.
f.¡ l~i.,6a .
e) Tr~~aáo del~ curva
Oompletando cuadrÉdos:
y'ª-2y'+i ;; 4x'-9.t"?
- (v•-11•-,cx•-21
!;l,leiendo~ y'-1•y", x 1 -2=x•
obtenemos la eeuaci6n reducida ,
y"ª".4x"
\
\
~
1-Tg29
"' -
~,
.. +
Tg 2 \l•5Tg9•1"0 ++ Tg9 .,
-'12h-22k+17=-0
Si x 1 =y':O
a) ~eturalaza da 1& ~Óniea:
nature.J.eze hiperbÓlíca.
+
ne
Tg?.6 "
A:c
e
j.Í¡
=- ~
Tge
=7
,
~ = • 7 ++ 2Tg 2 9-?Tg6•2=0 Co'dlo la 'l'g8 no es
llll
ta el punto C(1,1),
~
2
m5
número l'!$Cional, se t.rata de un oa~o
doReneraQO. En efecto, faotoriza.~do se tiene:
3" 2 -.~y- .Iy 2 +16Jci 1 óy-12..:0
1x X
2y
+
ec e.l sis-tema l!'O'Y' la eeuit::ión (2} nprtH!lilt~a al pw:ito
(0,0) y anal si~te•s XOY, la eouaei6o original r~rese~-
I=B'•t.AC=(-4)'•4(j)(-4}=16+~8e64>0
b) Angulo lie rotaoié.zi.:
(1)
10~+2k- 12~0 y ~h+20k-22:0
Resol~1endo el s1etema obten•~os: h•l y ~=1
Sustituyendo en (1) resulta: 5x 12 +2x 1 y'•10y••---0
(2)
Vemos que x'=O e y 1 ;0 satisfacec la ecuaol&i (2), luego,
S,;,tuei6n.
~$
S \..n
Como ia Tg6 no ea u~ número racional, el lugar geóm&trit~
dado debe Der '.lll punto o ~n conjunto vaa!.P.
Para deterainar cual do e9tos oa$OS degene~adoe ~apresen•
ta el L.C., ~ebemo3 elimloar los t~niinoa de prime~ graio
sustitufendo las eouaoiCRes: x~~·+~. y~y'+k en la aeuación dada.1
j (x '+h) ª+2 (x '+h) (y' +k)t 10( y '-fk J1- l2 (:ir '+h}-22 (y 1 +k) + f7e0
de dcnd11:
5x• • +1 Oy' 2 +2x •y•+ ( 1Oh+::lk-12 )x 1 +- ( 2b+20.!r-22 }y•+ 5h1 +~hk+ 10Jc'
\
1n c6niea ee
2
.:
.. 5-TO • -5
_____..,..2
-2.y - - - - - 6
+ (3x+2y-2)(x'='2;y+6)=0 <-> L 1 :3x+2y-2,.Q 6 1 2 :x-2y+6"'0
,•. El lugat gcom&trioo ea ttn par d-e re-etaa coneurrente.6 •
10. x 1 +8xy•l6y 2 •4x•l6y•7=0
Sotuci.61t.
al N.atural.eza de la eónic1u T=8 1 •.4AC.,(8P-4(1 l(t6):r0
La cónios ffS de natural.eaa parabólica.
l,) Angulo.de rota.cicfo:
X.
• f~i~~§
ª •
,i -
Si fg9s4 +
Tg2é = ~
4Tg~&-1!1T$6•4"'0
=~
++-
0
-ñ
'rge•,
Seo&-4/IT7 y Coae~1J/T7
Ó
Tg$a.1/4
331.
0 )
:Ecueoión eemi:!"educida: A 'x 1 2 -1-c 'y' t+o 'x '+E 'y '+F
A'= A.Cos 2 8+BSen9Cos5+CSen 2 0
;
A •-1-c•
(1Hli>
:
~
E'
(1)
2xª-lZ:i:y+llly.2 ""~Jy-~O
12,
Solue.i:.fu.
8(~) + 16(~)· = 1?
11+0 .. 11+0' = ¡; ·16
DCose+ESen0
D'
'"'º
ECou8-DScne
+
a) ttat'\lrtlu a de la cónic~ I2B 2 ·.4AC•(-12 ) i.4(2) (18)-0
c.r,,o
:. La cónica ea de na~lU'~ea parabdl!i:a.
1-) - 16(....L)
-4(-
"11
./l'f
b) Angulo de !'otae16.ll.;
-16(-1-) + 4-{_i_)
.r-rr
=o
,íf'J
17x' 2 -41'l"ix 1 +7~o
(2)
C-Oll>O las raíces dra, la ecuación (2) son imAgina.l'iaa, la e cu;i.ci.Ón del lugar geométrico es un caGo degenerado, no ri
pre~entn unn pnr~bola Binó UD conjtlllto vacío.
Luego, en (1) tenemos:
+
~~+:j§ .,. ! -
Si rga~1/J
.
....L ..
la,28
• ~
3T~L&+8'1'¡¡8-J•O -
t'x 12 +C'y 11 +D 111: 1 +E'y'+F 1 c.0
A'• ACos 0+B:Sen0Coa.6+CSenªe~ 2(za)-12(~)t18(~) • O
O+c• ..2+l8 • C1 s20
•
1(..1...) - 3(...l...J
..1tf
b) Angulo de rotnc16n: mig2 e
+
~
T~alí
=
_g5
Si Tg8=2/3
++
6Tg?6+5Tg8-6=0
A'=AGos
A'+C 1
v
++
16+0'=1217
D'= DCos6+ESan0 ~
s•~ .ECosi,-DSone
-~(.2_) +
ó Tge=-3/2
TgS=i/J
6(~)
&
y•~-~
=
g¡ l1J8ar geo111étrieo ea
caso
degenerado, ~epreeenta un par de
rectas p&ralelas.
ª 16
=O
11>~1+ 11
.rtll..cAM•
y
a) Natureleza 4a l~ cónica: r~B 1 -4AC~E-2) 4 -1.(3)(.3)~-J2~0
:. La có11ica aa de ll&turaleze. alíptice..
b) Angul~ de ~otaci-0n; Como A:C • 9c45°
\
.e} .Ei>lll!r.ión sell!J.re1h1cida.~ 11•11: 1 •+c•y 12 +D'x'+E 1 y 1+F 1 "0
= 2./fj
16x 12 +3y- 12+2/13y 1 -1=0
d) Reducción a la forna canónica
Luego, en (1):
16xlZ+J(yt.1+ 2~y'+
(1)
... r'·~
\
C 1 :J
m
~ 6(..1..) + 4(--L.)
m
m
.fi3
Y\ '11
20y 1 ª-.rffly 1 -6.:.0
e = 12(°11)+1?.(~}+7(,j)
+
"1)
Sustituyendo ea (1) se tiene;
= 512
A1 x 12 +C'y 12 +D' x'+E'y'tF 1 =0
ótBSen&Cos0+0Sen 2
= !+C
12
= fT-:'7
llei:9=2/11]: 'íf Cos6=3/ffl
+
e) Ecuación oemjreducida:
2
B
="'i(":(;
lili
• .3(..2..) - 1(-,-) • •./TO'
ll'!f
,'ilr
(12) 2 -4(12)(7)=-192<0
:. La cónica. es de natura.le2"a elíptiea.
(1)
2
Sotu.c.L~n.
=
6 '.fgtl--J
'rgiJ_c.1(3
Seo&~1//'fl1, Cosa~3¡~
•
o) Ee~aeión aem~aduai1a1
!' +C 1 cA+C
s) Natul'aleu de la e.Ónice:. I~B 2 -4AC
r.-'f! "i"
=-1.L
y._
\
\
A•~. AC01 9+BSen~~oeO+cSon~9 = 3(i,)-2(¡)+3(Í} ª?
+ 2iC'~3+3 + c•~4
1
16;,•2+3(:,r•+ ~ ) 1 ; 1~
}'tC 1 c A+O
\
D'= DCose+ESen9 • 2~(¿¡).6~(~)
= -4
E'= ECose-,Sene: -6,/1(~)-2~(~). •8
2
2
(1)
(jeOm,tlttlU- ,t,,oeli icn Ptt.tt<rJ
:n6
.... x 12 +~y'~-2x'-4y 1 +1 ~
Lue o, en ( 1} : 2x ,•+•~_,,2-1.x1-ay•+2-o
,.
d.) !1edn~c16n a 111. io.·o ... ca116nica :
r.) '.i'rs.i:ado de la cui-""
-2x'-1)T¿(y 1 :-~ylf1)=-1•1t2
• (Y.•-1)•12(y 1 -1)'~~
Hac-Ando l~; s~stit~ciones:
(~1 1
.x 1 • 1=-x 11
•
33?
.'. La cónica es de natural na parabólica,
b) Angulo ge rotaci 6 n: Como A~C + 6=45 º + Sen8%Cos8=
e} Ecunei6n ~emireducida: A x' +C
2
1
! '=
y'-1=y"
ACos 2 9+8SeneCos8+<:Sen 2 ea
A1 +C 1
obter.e11oa:
= A+C
:i +e •=H 1 +
D'= DCose+ESen&
xª''*2;"""•:2'
/
E'• ECo36-DSen6
1y 1 2
n
~
+D x +E'y'+F •=O
1
( 1)
1
1(~+2(i}+1(})
=2
e •-o
2(q}-2{1) = O
• -2<'1> - 2(~}
a'
Luego, e n (1) ao tiene: 2x' 2 - 2"'2y 1 -1=0
d) Redu cción a la forma can6nica.
a} Trazado de ln curva
211 11 • 2ny•+1
de donde: (x ' -0)2=/!(y•t 12
-¡)
Sofac.i6".
a} Nat~raleza de la cónica: I•3'-4AC•( - 20) 2 -4(l)(25):Q
•• I,a có11:ca tol5 de 11:t.~uralna :;¡a. ab6lic:i .
b) Ang,;].o do rotrci6n: Tg2S
+ ~
1:.;,J;¡j20
=~
21
Si fg6A2/5
-
++
~
B
A-G
~
-20
4-?.5
10Tg2 0.i-21'l'g0-10-0
•
Sene 2/.f2/J
-
. 20
~
2~
Tga=2/ 5 6 T¡¡9•- 5/2
Couۥ5//:!j
e} Ecuaci6n tteg¡_redli.cida: A'x' +0'y' 1 fD'x'+E'y'H"c0
1
(1)
A'" ACos'B+E:1 n9Coai1+c•s.,n 2 e= l.'~)--20(~~)+25( 2 ~) • O
A'+C 1 • A+C + O+C's4+25 ~ C'~29
J:. 1 = DCoa9+ESenEI
z•~
4(.2..}
129
10(.3...) = O
v'iP/
-10(-5-) - 4(2-) - -2121}
~
~
Luego, AD (1): 29y 12 -2/29y 1+1=0 ++ ("29y'-1) 2=0
ECos9- »sen6
de donde: >Í29y' - 1=0
El lugar geom~trico repr~BADUl u.na recta .
Raciendo las sustituciones:
x'-O=x" , y'+ v';f = y•
4
obtone•os:
x"' = ny•
)7. Por una rotaci6n de ejes coordonados, transformar la ecuª
ci6n 9xt-24xy+16y 2 -40x-30y=O en otra ~ue ca.:-ezca ciel tér•1no x'y'. Trazar el L.G. y ambos s1~t9nas de ojea coord~
ne.dos.
So tuci61r.
n} ~aturaleza de la cónice : J • B2 -4AC=(-24) 1 -4(9)(1 6) =0
:. La c~ni ca ea de naturtlez:i peraból_oa,
b) Angulo de rotación: Tg26
~
2m e
i-f:2e
= ,U7
+-.
=~
1
=
9:f6 = ~
121g e+?rge-12=0-. Tge•J/4 6 Tge=-4/3
~1 Tge~3/4 • Sene=J/5 y Cose=,/5
e) Ecuación 3eaireducida: A1 ~ 12 +c•y•tto 1 x 1 +E'y'+F 1 •0
Sol.ucU,n .
a) r.atu.rale~a de le .c6nion: IaBz -,AC•(2} 2 -4( 1)(1}·0
A1 ~
2
ACos El~BSen&Co~e+CSente • ~(~~)-24(~;)+16{~)
A'+C 1 =AtC
+
O+C 1 ;9f16
+
C• =25
~ O
(1)
338
!j~olU.Í.Jt.la !foalJ.tica Plan.a
.339
D'c »Cose +ESene ~ -40{i)-80(1) n -50
E'= -~038-DSena ~ -30(!>+40(j)
19. Elevando al cctae.rade do-s v-eces, oliJú¡¡e.nse los radiceles
de la ecuación .rx+~~,. Demostrar q~e el. lugar geométrico el@ la eeuaeiÓl:I ra1Jul.ta1.rt" <lfl. una parábola. y detP.rili.-
o
G
Luego, en (1) se tiene: 25y' 2 -50x'=0
nar que ~orción de &sta curva ~epreae~ta. el lugar g~oméhico de :J.a aauación orig:f.nal.
.•. yt2:;.:izx•
Sof.11.é.Um,
18 . Por una transformación da coo;denadas. simpli.f'icar la ecuación Jxi-2xy~3y~-2x-10y+9=0. Trácese el lugar g~o~itri
coy todos loe sistemas de ejes coordenados.
SolucUm.
'1 ·
a) Naturaleza dts la cónica: I=B 2 -4AC=(-2) 2 - 4(3) (3)~-32.<0
:. La c6nica es de naturaleza el:Íptiéa .
b) Angttlo de rotación: Co~o A=C ~ 6=45º + Sen0=Con0=
e) Ecuación
sel!lireducida : A'x' 2 +C'y'~+D'x'+E'y'+F'=O
A'= AC0sªe+BS0nSC0a0+CSen 2 6
A'+C'=A+C
~
2+C'=J+3
, D'= DCosO+ESena
E'=
ECosO-DSane
+
~
e) Ecuaci6n . semiredu-e1da: A'x'
(1)
= J(i) •2(Í)f3(i) = 2
C'=4
-2("I)-10{~)
= -10("3)+2('1)
vx "·
En efecto:
1-./;i + x = 1-:2ry+y ·• 2.t.¡ = :,r-x+-1
!la donde, ...iev.ando al c.uad:i:ado el>tenemos:
2
X '-2'i¡+y. -2x-2:¡t'l-1 =0
...) Naturale,oa .dll. la cénioa~ I=3.2 -4AC' = (-2) 2 -4(1)(1}
o
: . La cóni..cs. e-s de 11atu-ral.w,~ parabÓI:ics..
b) AnguJ.o d.!. rotación: Co;;zo A=C +- 6=,t~º + Sezit'=C<>s8 =
-612
.'\
1
e
2
+C 1 y 1 ,.+D'x'i·E'y'tF•=G
2
ACos B+BSen6Co.s&tCSen1-a = 1 (f}-2(f)+1 (i)
A'Hl''~A+C
+ o+c.i.,1~1 +
n• = neosa+Ese.ne
E'·= ECosO-.DS.ene
(1)
~ O
C' =2
-2('1)-2('1°)
~
-2~
-iatJ) : 2<1> ; o
-412
e
Lu<agQ, en (1) ae tiene:. 2x 12 +4y' 2 -612x 1 -4"'2y 1 +9~0
d) Reducción a le. forota ea:nón;i.ca.
e) Trazado de 14 cu?"va
2(x''-3.12°x'f 1J+4(y -/2y•+ Í)=2
12
Y
tl) RaduecÁón a la for11a oan6nioa • .
2y' 2 = 212-{x•- ,í;f)
l.
... (y•-o)~-'2(x 1 -
e) Trazado de la curve.
'1}
Haciende las sus.ti üteiones:
2(x'- ~ ) 2 +4(y•- ~)'= 2
Raclendo las sustituciones :
x•-
37 ~
X"
,
Y'-
1:
obtenemos: yn 2 ;:;1~x-n
y"
:. EJ. L.G. as Unl:i pariíbola.
obteneoos:
x 112 +2y••=1
/
/
\
/
2 O, Si lo 11 ejes ooozdenados son· tracl ada:ios d$ -tal. nan ers. que
el nuavo Qrige~ sea el punto {h.k) •· doo~st::e'-'2: que la ecu!1,:
ci6n e-ene7:"e:l! :t'(x, .y~~Axª:Bxy+Cy2 +li,,c:E.if4~0 se t:rimst'o:rma
en otra ecue.ci.:S·n cu;ro tároino constante. es 1 gual a f(h,k)
:341
écau.c¿6,, {i.et.21/.a.l de. Se.pun.d.o 9,,_ado
J40
Conpletando cuadradoi1 •n x, pode,ros raducir (1) a h. i'o1·:!c,
canónica:
Er. ofoc.o, sust1~uy~ndo les aeuaciónes dP traslac~óc en la ecuación dada se tiene:
A(x +ñ) +B(x +h){y'+k)+C(y•+r.)l+~{x ' ,h)+E(y'tk)·•
1
2
1
=O
doc~e, efectu3.ndo y agT~~n~o tér~ir.oo, ob~ene~os:
.,x 1 'tBx' y 1 +Cy 1 2 t (2Jl.·o+llk+D )x 1 +(2Ct+B:!l •Z)y 1 +
+Ch+K'HF) • O
-2px+y 2 tpª-o + y 2 ~2p(x-p/2)
ecu&ci6c que ~•Pr•e.nta uDB psrábal~ con v-érti:e en
v cuyo eJe eoincide con el eje I.
( l)
ó'IUI:;ICTOII CENERAl OE COtllCA
Dada uno recte rija t y wi punto 1'1,1o F na contenido en
r~cte, se lleca ctn<ca el lurer feométrico de u~ p•.:n~o P
.. ,e s.-. !!lu'!v• •n e: plano de t y F de tRl ,:anera que lo. raz:Sr
-~,; au rli stancir, de r a au distancia de t se sie:.;pro teu11l a
.,1;.i eon stante poait1vs. ;.,& recta ftJ a se .Llaca d.ú,11.cJ,..¿z, el
"Ut,t:: fijo f, /oca, y 111 cone1.ante positi>'a, denotada por "•
~~n
Un~ cónica es una parábol:i, ura elipa,:: o un" J-ipérbole, se¡ún ~~e su exce3tricidad sea icual a,
or que, o ~a¡or que la r.ni~ad,
Tr,>rr.ma ~.
y
cl'e=t.n. con~ider~coa e! oje Y como
l
l!~rctriz de! toco F;p,0), p/0,
¡, s P(¡¡,;¡) un pun",o cJ.-1auiera r..el :...G.
p.,,. 11< <lefin1ción anterior, P c~be s~
tisf,c~~ la condici6n aeoxétrice:
py
PJ..
~
e
{x
/(::-u)•+y2
lxl
" e •
-b)2
p2 8 2
(1-s 2 )2
*
2
•
=1
(3)
e 2 -1
Evidenteaente , el lug~r geo•étrico de la ecuac16n (3) es
una npérbola .
Pera la elipse b 2 x 2 taty•=a 2 bª y la hip6rbola
b 2 x 2 -a1 y 2 =a 2 b 2 , cada urut de excentricidad e, los
focos (ae,0) y (-aa,0) ~ie~en como directrices correspondie~
Lea las rectas cuyas eouacionoo son x=a/c y xa-a/e, respect!
vi:,.mento.
Teorema 5,
A
EJERCICIOS. Crupo 35
o
F p,O
!o c~da •no de loa ejeroicioo 1-5, hallar la ecuación de
la có~ica re~~ectiva ~ par~ir de los dato~ dados.
1.
+
íJ,o)
b\ Si o<1, entonces í-11i>o y nmbes denow.nnc.ores e.o e! priai,r
aiémhro de la ecusc.ión (2) eon po&itivoa.
Por tanto, el lugar geoc~trico de la ucuación (2) es una
elipse.
e) Si e>1, entonces 1-eª<O. Con el fin de te.oer 1U1bos deno~i
nAdores positi,os, eseri~imos la ecl.4ci6n (2) en la forma
. rr"•,t1.,eidac!.
'M
(.2)
al Si e~1, la ecuación (1) toua 1~ for~a:
Pero, si f{x,y)=:.x'+Bx;r+C>·'+Dx Ey+F
+
f(h,k)"th 2 +3~k+~k 2 +Dh+!ktF
Po~ ~en~o, on (1), tBn~noa:
Ax' 2 +Bx'y'+Cy 11 +(2Ah+Bk+D)x 1 +(2Ck+Bh+E)y'+f{h,k)=O
:1. S
&>2
p•e2
(í-e 2 } '
De
+(Altt+BbkfCk 2
(x.
(1)
Foco F(O, O); directriz~ L:x 12y-.2=0: Mxaentrio1dnd=1
S.oluci61l,
Sea P{x,y) un yunto cualqulera 1e ln c6nica buscaca.
. !j,oaet>.la ,V.atllica P i <Ula
)42
é.c,u1.c:.Um (ie1u,1tal d.P. S~gu,id o (;,wclo
Por d~!L~1~1Óo de excentricidad1 e: d(P,F)
/ cx- 3F+ ~y-J)i
d(P,L )
.rxT.;?
lx+2:,+2
¡¡¡¡
!
+-+
lx +:.y+:Z I
•
.1)
l x+3y-J I
. /¡ +9
De donde, elcye.n:..o al euntbado, o b:.sne:1.oas:
lx•+yª
Jx• - 12xy-13y 1 -1 Sxt}6:,+7.2- 0
Ele~ando al cucdrado snbos ~ i e•br oa y s1npli!1ca.odo. re sulto:
J,.x 2 - 4xyi y 2 - .(x-ey-4~0
S.
2.
;14J
Poco, F(1,·2): dlr ctr1~, L:x-2y=O, oxeentric1dad">'3/3
Foco, F(1,-3) ; diree¡;riz , L:3.x iy-:1-"0; oxcsnt.deiC:ad"
4º-
,l"?lurU,~ ,
Seft ~(x , :,) un pu~to C~ft)q:.t.iera do la ~6n!ca.
S1 P(x,y) ea u n punto cualquie ra de la c6nicn, en t onces por
e . d(P,F)
daf1nic16n de excent ri cidad:
d{P,L)
,Is
J
e
/(x-1) 2 t(y+2)
lx-2yl
2
fx-2yJ = 3
+
/(x-1} +(y+2) 2
2
= /(x-l) ·(y+J)% .....,.
Jxty- JI
%
l .l(x-1 ) • +(y+3)~
1 J:c+y-J:
19+7,
De dende , e1ev~ndo al cuadr~do , obt9ne:oa :
{,+¡
7x 2 - 6xs +1 5;, 2 -14X + 102}•· ' 51•0
7:
Htll 11r las coordenads. s. del vérti ce de J a par ábola del c-
Foco, P(-1, - 1); directriz, L:.Lx+JJ,=121 excentr1 c1dada5
Jercic1o
So tucidn.
Solución .
Sl P(x,y) es un punto cualquiera de la c6nica, entouces por
d e!ini c !ón de excent rici dad :
+
,r:r¡r
4
2
de donde, elevando al cuadrado a•bos extre•oa, obtenemos:
Bx1 +4xy+5y 2 -1Bx+J6y+4~=0
3.
Por de fi n1ci6n de excenhricidhtl: e = 1-(F,F)
~
8
•
d (P,F)
d( P,L )
1.
Coco datos tencmn3: F(O,O), directri:, le re~
t a L: x+2y+2•0 y la p~rábola, P:,Lx 2 - 4xy+y•-4x-8y-4uo
í1)
El eje de le part.bcla, pa~pon~ic~lar a la dirs~tric, psi;a
por F{0, 0) , eLtonces su ec-.iación es de la rorma, y~~x. 0 &e~ :
¡, 1 ,y,,2x
5
Sustituyondo en (i) e~ t i ene:
4XJ - 4x(2x}+(2x) 2 -J_x - 1éx-4=0 , de donda: x• - 1/5
de donde, elevando al cuadrado, obteneaos:
2
17x -+2 4xyt8y 1 -98x-74y+1
ª '"º
O.
4.
y• -2/5
.•• V( - 1/5,-2/5)
Det.ercinar l aa coordenadas ~el c~ntro de l n c6u~ca q~e
Foco, F(3, 3} ; directr iz, L:x+JyaJ; excont ri ci dad=2
tiene por
So tu,;,6a.
x-y+1=0 y nce ::itr1ctded e~1/2 .
Sea P(x , y) un punto _cualquiera de la -06nica.
Sol.ur.i.611 .
Por defini c i6n de ex ce ntricidad: e ª d(P__,_FL)
cf(P;LT
Ss1t P(x, ;¡) un
roce
!)U.."l°to
el
pU!!to
F(-1,-2), dire ~t~iz 1~ r~~t2. I.:
cuiüqui crft de la c6i:1ca, • e •
af~,F~
,L
344
345
/(x+1 i'+(y+2}2
lx-y~1 I
e2(k-c)1
2>'7- /(x+1F+(y+2)~
m
1-e•
lx-yi11
es
~--
~i
a
a.
O"-m04.{.44c..i.611.
12
de donde, elev&ndo al cua~rado, ob~enornos:
i!:: 7x 2 +2x;¡·+7y 2 +14x-'-Jl;ytl9=il
Como el eje focal ea ?el·pancii,rnltu• e la di::-actriz L:x-y+1e0,
AU ecuación ee; y+2=-1(x+1)-<-+ L1:x+y+JzO
.F.ntor.ces: {L1) "{E) = V~(O.~J) y V;(-4/3,-5-/J)
El centro C bi~G~~ ~¡ ~eg~ento V1V 2 , entonce~:
,0-~./J
G\
~
i~"~l
1
-3-5/3)
2
En efecto, si k~~/a y ccae, entonces:
a 2 (k-c} 2
(1-e 2 )
eº(~ - as)'
2
(a-ae 2
) 2
{1-_e 2 l2
{1 -e-"-)•
"'(1-e 2 ) 2
(.1-e 2 )
2
"'-S.3'-1)
. _3
-H
V\;
En cad.a uno do l~s e jArcicio.s 12-16, hallar las ~:>o!'den<1d.'r."l
9.
i'<>"~G y las ecuaciones de les directrices cor~espondl.;,ntes de la cónica cuya couaci6n ;se da. Dibujm· una figura
~a.re ~nda ejercicio.
2
r,X + a 1-eZ
k-c¡-2
))eruost1·e,- c.¡ue la. ecuación:
e2 (k-¡,r
{1-e 2
se dr,,duco d-9 J.a e-cuación:
qe los
2
/(x-c)"+y>
e
z
lx-kl ·
Sowai.dn.
Form,;. típica de la. ,:;,eu,aeión:
da donds: •F3 y b~/5
Ec efecto, de la ecuación dada: /(x-c) 2 ty 2
z
elx-kl
Elevando al cuadrado y orden.a ndo terininos., obtenemo:r.
(1-e 2 )x 2 <'2{e 2 k--c)x+y: = r: 2 Jo: 2 -c 2
x•
t
l(tc.O)
+
~1(2,0), F2(~2,o)
2
.3J.e k-é)x. + y~ = e 2 k." -c' , e;,!1
1-e•
1-e 2
1-e 2
Co;,:ple.t&n.do cuadrados para la variable x ac tiene:
2
2•
x~+ 2(e k-c\ + (_e'k-c)•+
= e 2 k'-c 2
+ {~)·
1-cL
·1-e•
1-e 2
1-e 2
1·-e 2
2
"c
do
(x' + 2 -:¡::er
k-c)ª + T-:eT
Y 2 __ e 2 (k-o) 2
c.
. nde :
+
2
2
2
0 =a -~ m9-5c4 + c=2
Coordenadas de J.Qs i'ocoa:
±!!C
c
·Directricen: x=
.
+-+ L112X-9=0.
ó
+ xz
~
ó
"'
9
x.=·-2
L,.:2x+9=0
L
Forma típica de la ecueci:n:
Sol4cló~.
de donde : u~J y b=4
c 2 e,ai+b~=9:16:2$' ... c~5
o sea:
e• (!r-c) z
"
1
l.(!.q.d.
1-e•
JO. En la ecuación <lel .aj ,;rcicio 9, demos~rar qua ai k"a/e,
· d or ..CÍk-c~~
.
e 1 d enonana
(i-e 2
, e¡¡ igual a a• ;¡ ol denor.iinador
Coordenadas de los focos:
F(:tc,O) ->- 1" 1 (5,.0) y Fi(-5,.0)
Dire-:tr1cea:
2
;( = "}:..... x.~9/'5 6 x=-91,
++
L1:5x-9~o
6
L1.=5xt,9;0
2
9
+
V•
5
f.cu a ci 6n ye.n.,ual de. S<!.gundi:, y1>adc,
1 •
9.6
de donde: h:1, i< ~1 : a~5, bcJ
Le. acuacl6n ee la tangente a ¡a .cón ica gen~
ral:
t1
Ax1x
1
1
+ J(x 1yt:,1x) : Gy ¡y + ~(x-+x i) + j (y~y¡J + F = O
1-
1 EJERCICIOS .
Dir·ecLr i c es:
l.
17. Demostrar e l 'reore:i;a 5 r,ara la hi pEÓroole..
En efecto , sos l a hi pérbol a:
x1
al -
v1
b2 = 1
{1)
1º
e - - - -- --
1
lx-h 1 I
1
El evando el cuadr8do y ordenando
tirmnoa oote i:el!'.o:;:
2
(2)
Cor.i o le~ ec uacione s (1) y (2) representan un- <i:i sno lugar g e~
métrico , Unu hi pirbola con centro en el 01·igen, de la ecua-
ción (~) se sieu~ ~uo: c-e 1 h 1 =0
:_,
-
r:
,.{lil_ -- ~
e? - e
Por tanto, parn el fo cc F1{c O) de la hipérbol~ ( 1), 1~ direg
z;
es :lt= ;
•
ti·i:s es ; x=-!·
T:2xty-4=0
Ecuación de la normal: y-2
- /(x~~ ) l+y•
(e - i ) x 2 +2(c-elh1)x-y 1 =e 1 -e 2 ni
~or el Teorema 6, le ecnaci6n de la tangente es,
de donde:
x ~h 1, tone mos po.r d~ f inici ón :
h 1=
B~llar lae ecuaciones de la tangente y normal a la e6nica
x'-2xy+y 2 t }.x-y-:3=0, en el p unto P 1 (1,2 ) .
(1)(1)x - ~(y+2x) +{1}(2l~+ f (x+1)- Í(yi1)-J=O
y sean l as directl"icee: x=h 1 , x;h,, que
corre spon den II los focos : F 1 (e,O )
y F2 (- c,O) . ~e apec tivamente.
Para el foco F 1 (c, O) y eu di re ctri z
da don.-le:
Crup o 36
Sofoc.i.6n,
p...,.• ,u,t.,.ap. i.ón.
t.:r'
A..-Z+Bxy+Cy2.+Dx +Ey+F ~o
on c ualquier punto de contac to dado P1{xt .y 1 ) e~:
y
e 2 ~~ 2 ~b 2 - 25-~~16 + Cª4
Coordena,ia3 dtt los focos,
F(h:tc,k) + F¡(,5,1). 'F~( - J , 1)
TANCEHTE A LA toN r cA GENERAL
Te orem~ 6.
,
JL?
Análogamente, pera el .foco F 2 (-c. O), Is, di.re c-
2.
e
f{x-1) <-+ N:x-2y+J;0
Hallar las eC"..H:>.ciones de l&.s tangent~HI a l a cónica :
x 2 -ry+y 2 +2.:,:,-2y -1;Q, de pendiento J.
Sol=ilin.
Soa P i (x1,yi} o.no de los p1tn t oa de tangencia. entonce s, por
el Teorema 6, la e cuación de dicha ta.,~gente es:
X1X - f {x1y+y1X)~y1y+ ~(xtx1) - ~(y+y ,)-1=0
de donde:
(2x 1 -~1+2)x-(x,-2y1+2)y+2xt- 2Y 1-2;Q
Si l a :p-endiente de la tan gente ea 3, entonces:
2x1-p+2. _ .3
d , "
xi-:2yit!2 -.
, e aonue:
xi~ 5yr- 4
(1)
Ade m~s P1(x1,y1) pertenece a la c-0niea, entonces:
Xl-x L)/ 1-f yf+2;c t-2y 1-·1 =0
Resolviendo { í ) y (2) ootenemo~: P 1 i 1,1} y P,(-7/3,1/ 3)
Para .l?1 ( 1,1) , se t,iene: y-1=J(x-í)-... T 1 .,Jx-y-2=0
Para P~(-7/J, 1/3):
y-1/J : J(x+7/J) ._ T 2 :9x- Jy+22=0
( 2}
J.
flalle.r la<1 et:uaciorc_ee r.:;, ls.s uangont.e.s n. la .c¿niea
Por el Teorena 6, la ecuaci6n de la tangente ea:
1<x 1y+y 1x) -i(x+x ¡} ~ ~(~+yi}-1=0
x'-2r.;¡+y 2 J·2:<-6"'0 tl:'a"Za:ias po~ el pur.~o P(-3,-7).
·Sof.u.~6n,
Sea P 1 (xi,;r 1 ) ur,o de. los. ¡:nntos de te-ngencia, entonces,
el Teorema 6, le. ecuac!ón de la tangente es:
;¿
.PO'"
7,0r,cea:
2
.
de donde T: (3y1-2h+Ox1 +1 )y-2xi+;¡,-2=0
(1)
Sien<!o 1;, tan1?el'lte ;;"r~endicu+!U' a le. recta 1 1 :2x-2yt7eC, ª!:!
x 1 x- 2 (x 1yfy,x)~y 1 y+ 2{x 1 ~x)-6=0
de donde "'1 (x, -y1+·1)id·(y 1 -x¡}y+x,-ti=O
Pero P(~3,-?)cT • (x1-Y1+1)(-~)+(y,-x,)(:7)+x,-6,,o,
(1)
--+ 5>; ¡ - ~ i-"9">0
A.ti.e más, P 1 (x 1 , y·1 ) 'ptJrtenece a .la .cón·ioa, entonces:
(2)
x~-2x1y1+yf+2x,-~=0
(3)
Rei,olv.iendo (2) y (3) obtenemos: P1(1,-t) y P:d-15,-21)
Final.riente, suati t.uyendo eeda uno de estos puntos en (1),
las ecua,~i:mes de las tangontee son:
T,:.3x-2y~5=0 ó T 2 :7x-6y-2·a=o
-
~
e
Y1"JC1+1
-1
(2)
Adeoás, P 1 (x1, id pertenece a l>.1 cónicn, ,ntonci,s:
3X1y1-2x1+y1-1=0
(.3)
Résolviendo (2) y (3), obtec.emos: .P 1 (il,1) y t't(-2/J,1/3)
Sustituyendo le.s coo::-li.cnadas de P, y i', en (1) r ... sulta:
'f1:xty-1=!l ó 'í' 2 :Jx+Jy+"=1l
6.
Ballar el áng,.11:, agudo e.e int:e::-&ección de la I'B"eta 1:
2x-y-1=0 :¡ la cón:l.oa .x 2 -4xY:·4.Y 2 i 2y-2x-1~0 en cada uno d~
sus pu:itos do ~ntersac~i,Ón,
Sotacld . ..
lf,
Para ol punto P(1, 1) da la o6nica x 2 ·•2xy+¡r 2 +2x-6y=O, ha-
llar las ecuaciones. de la ta=igentc 7 do le. noroal y 1a.s
l<lngi tudca d" la tangente . normal, subtangente y subnc:rnal.
So li,ci Ót,.
Por el Teorema 6, la ecuación de la tangente en el pun·~o P es
...
~
(1)xi 1(y+x)+y+ f(x+1)-
EcJaci6n de
1,,
6
2 (y+1)=0
l;
.
'J°
il1tm 1
=~ ;
no.:-oal: n
l¡p/~ == /fil= ./fo
.;ubte.ngente: ST, = lt1 1 =
Longitud do la tangento: t""
1
!
eubnonel: 3lf
s.
/ my 1 1 = 3
Hall.ar l~s ~cua.ciones ñe las trrngentes a la cónica
3xy-:2x1y-1=0 que non p~rpe!ldiculsre:. a la r;-,ct~ Zx-2y+7==0
Soluei6r.,
Pot' al Teorema 6. las eouec.j.on.es de las tangentee en estos
-pu.ntoe oon , r~spéctivamente:
x-2(y+x}Hy-(x+1)+(y+1)-1~0 ._ T 1 12x- Jy+1-0 ·• m1 =2/j
1
1. ~
7
1
7
?
9x-2(.f,-ix)+;,(- )y-(x+ )t(y- )-1=0-> T2:6x-21y-17z0 .. :u 2 =?
9
9
9
P.demás, si L:2x-y-1=-0 .. 111~.2
....- T~3x-y-2=0
normal: y-1 = -1(x-1) ..... 1l:x+3y-,/,=O
Interceptando la recta t con la ~6nica obto~em.oa los puntos:
P,(1,1) y P2(1/9,-7/9).
Se:1 P·, (:, 1 ,y1) u:no de .los puntos de t!lngencia.
Lue 6 oi ':giJ 1=
f...E!..:J!!_;_I
1+m. m1
rr¡~Hr
!l!-lll~i
¡2 -2~7 ,
1+1.·7
Tg62"' 1
l+m,11!2
7.
Is.
7
12
11
.
a, ..29º ~ 5'
+
62~47°29'
Demost!"ar el '¡:'eore~a ó.
iJem<MtJtQci&n.
. in ef'ecto, se.a ?,(Jr,+l>,y1+k.) otro ;,unte do la eÓniM d1'da,
Entonces·. sus coordenadas deben so.-t1e1"accr dicña ecuación, C!!
to ea! A(:x:1+h) 2 +B(x1+l1) (y.1+lc.J+G(y1+k}~+D(x1 +h}+E{yl+k}+F=O
Dosarro11ando loa cuadrados y·orde~ando t6i-minos se obtiene:
l c<tac.i6" (jener.al c!.I'. S~ IJ.ind.o {¡,:.:,de
>.x:·J..Bx 1y I TC:,~., : ::- ,? i-"3~ rr:; .x 1 t( Hh+.::'kGTE) ¡ 1+.\h: +btk+cr '+DU •EJ.·+1·-c
P.1ro PtC xi,~ 1) ¡,~rt.~'le~~ '''l !u ::ó~i.:a, e;._t..,nce :
h;i~J:-<r:,1•C:ti !hcL+l::, 1 F-,J
Ri:ata.:,::'o a-!-.ae cc1>s..:_o~,s r:c l e~ ~:
i'?~ittaklx, l1• '~z< 1 1T.i.t'1n11::~ck 1 -Dh-Ek·O
OrJ:nan,w "'n ti,,.,,, -'"'· ole t, '/ 1t nt r.lJlt~ :
(:'!Axt+<ly:HJ;•_
de d::>:nc:!e:
(Bx,'2.iy: - J.;tE)li:
r
(·)
"'cu2.~i6n de h
lo>:.+.2Cy 1 + .~P•
A!,ora bon, 1'l pcr~ent11 ecl ~•.:;in l:1Lo P:?, ,. a, ~ ~ , ~·,;. a 9 -
di'1!l q ~e el p.i;ito P:í? 'tFl.;oT:::~ 111 cu::v-¡; Las1.a c ,,nfurdir:i c ~o:1
P1 , le. t<:nt:!ert;.., t!c f,f
J ...O
c.,,
Á.
J
+ Q t#·
3
4
t11ng:nte: y-7= ·t(x-5} . - T:Jx+4y-O~O
6~eieodo u,a del Taor~ma 6:
Saílundo ~,Lodo.
5x• ~(5yt?x)+7:,-2(xf 5)-J(:;+7)-1 2=0
: e.cer Yét:,:io.
;'.3
+-+
:':3x+!.y-4J=O
el o.ítodo del di:ierin;in:ui to . Se deja pa:,,:1
el leetor.
t t..-o, e1Jtor:c•·::. ttl. Vttl::r ie
osta p~ndi~~te es :
E<'uaciór. d.,
Ccnr.ro de ln circu.::iferanci~: C(2,3)
.:oin:'.!.l,¡, ce.:, l.• ¡.ien.lenu d: te t&.1
er-·1t.e en P1. ngtc, ea, cua1Jo
:,
~ri·c.r N~todo.
co~o l u lRnge~L• et parp&ndLcul~r al r~dio ttn?
~~~HD
k
ii
Solu,;.i611,
?a:,Jicr.t.e del r,idio CP: o -- 1:i
5_2
O
J 51
11, S1:poniendo oue k e~ U!la constar.te d.i.ferent.e de c"ro, damootra• que el triángulo i'Ol'll!l.do por loa ejes coorden11dt1~ y ::t.:ü~ut">r tar.gente a la h1.pá:-oola :<y-'s. tieni: uua
fnu con:o.ts.nt.e.
=
tan~er,tc:
'.ie clo11de. cf',sct11smlo <>poroclon a.i se t :cn" :
2.1.:< 1J<+I! (x 1;,+y I Y) ,.2c;, ,yfD( xh , )+.E (y .. y 1 )-./ ( ,\x~~ilx 1y 1 1Cyf IDx 1 +
!':, , r=íl
Di" idi trnón ent,1·e 2 y tnnicr.do p~e ~en to la ecua,,dn ( 1) llt! oh-
3r. c:'ecto, sea P,(xi,yt) un p:mto cuillquier'1 de la hipérbola.
?or el Teoro,::_q 6, la ocuec~ór. do le ta.ngcnt~ en ?1 es:
tie~~ final~er. •,., ,
J4 (Xl'JLYLY)-k
Ax!lc+i(x1y .. y:x)~c;ny+ ~(xfx , l, f (:,, +y 1 )t, - o
Si
9.
fi alla:-- l.a ec:i:sr.:i:Sn i.ic Ja bar1gent.e a l!t. ~ir..::'.1nrer·n:1~.la
1
7.
+;;:+Dxt-F,y -·:' ==:O,
e.!
J:,1 ,..n"t.o
Ue cor.-r. act-o P:.(x 1 ,¡· 1 ).
Snt<.:c.i6n.
.¡
O
1(it1:,r;¡
1~)
de do~ie:
lu. Por tri,i;
r
y
1:,-
f
r
"'
~l~+x¡)
+ -,(yiy
1)
t
J;'
e O
(2x,•n)~ff2¡ 1 1f)y+(Px 1T•:,.+?F)=O
ill~ t,:,<i~::i
f.!fenuit,,,s, tal.:!.'>?' 1a 61):laclóti ile 1~ ~a.n
get11o1c a !H. "'irc:mf-:rehcla ..6:x~Jy 1 .¿:'l'. - 6y-12-0 en ei pe,¡n't~
P(5,7).
""º
.,
+
2 ;c
x -- Yl
'
x:.D
+
2
y • x,,¡
Aron c:!al tri. ángulo: A - 21,2~)(2k)
1y, xi
?ero P1(A1,¡1)LF + X¡y 1=k
?or tan.o, en (•} ,e ti~ce:
Por ~l 'l',oorall!a. 6 , le. errns.ción :le la t....,ccmtc a.; .
-<,Y
++ f:y1XfX¡y:,2~
:ntarceptnndo con lon ejes coor<ler.ados se tie~e,
A~2~
( 1)
(constecte)
12. Si a es una constacte di:'erente de cero, d$l?Ootrar que
l~ su7~ elgebr~i cs de los eegoentos cua.l1uiera a la eón~
e~ x~-2xy-y 2 +3x-2ay+a 2 =0, detcr~1na sobre los ejos coordenados ·es igu.il a a,
¡)µ<tto.ttt.11.acl én.
~n efecto, sea P i (x1,y1) ~n punto eunlo~1era de ln c6nioa,
352
J5J
~nt;:-:'°C03, :,or el •ct1reac: 6, !~ "~·Ja-~ión d~ ln tJt'."'tg~:?-::; es:
x1x-{x1iTr1x)+ y,y -~(xtx,)-a(y~1 :)ta 1 =0
de donds: l~1-Y1·•lz•(nix 1 -y 1 Jy-~x 1-ay 1+n•Eo
(J}-(2):
x~y ~ n(2a."<,n.:i.:,· 1 -:!11.')
X~ -2;.-; ¡j' 1
Psro
P1(~1.y1)c
•
+J }-a1
12-7B-10C-2D-:,:=O
ca)
5+2B-9Ct!>-E~O
(9)
(10)
Suonndo {7)+(9}:
8-é3-4C-2D•O +. JB+2C+0=4
{11}
15-15c-5C-5D=O ~ ~B1C+D=J
{?)+'<s>'
EliJliMY'do C el~ (10) }' (11) resulta: D+73"'2
(12)
Resolv!endo (6} y (12) obtenemos: B=O y 0~2
Sustltuyer1do P!t ( 1í) :, luego •r. ( 7) se U ene: e~, y E"-2
Fin..l,ente e~ (i): 1 )6-2-12+1=0, do d~no~: ~r-23
Por tanto , en (tt) , la cón.i.ce. buseae& tieno po1· ecua.ció:,:
IntG!"(,,'c;,tendo ccc.: los ~Je~ coo~dtona¿o!l s,e t!sne:
,..
Reatsnd~ {5}-(l}:
(1)
xf-2x,y,•y!-2ax,-2;y,•~ª·D
o ,~a:
xf-2x1y,+y¡-a2 ~ 2ax,+2ay,-2a:
f'cr tanto, ,m ( ) sa +1,c••e: '<"Y"ª
x 2 +y 2 t2x-2y-2J=O
U. La ecuación a.e, t.na !'n111Hia do .c6nloa~ -~ :x~+xy-y'~axH.iyl
5~n. Eallnr !~ ecunc16n ~el ftla~ent.<'J d~ la f~n.lia q~e
paea por l.~ ~1.c~o~ ~{1,2) y B(-7/5,-26/5).
15. Halla r la ecuación de la p11rábolll que posa por 1011 cuatro
puntos: (1,0), (-1/4,.5/4), (4/9,-10/9), (-~,10).
Sea le. pa.rábola, a> :x' +Bxy+Cy 2 +nx+Ey+P=O
Se debo CW11pl1r qu~: B1 -4AC=O + Bi-4C=O
( )
(1)
2. 4.. a+:n+s'=o + 3 ~2~=--1.
( j)
7
fil 1 1 82
676
/.Óh +
+ 25
1f3' - 75- 5ª
s 5 •O
de dond•:
7a t261>=-64
(2)
'
~c5olvien3o {l) y (2) obteneocs: ~=2 y b~-J
LtH'.>f;:O, le. ecuacJ.6n d,ü ele,nent:> buac:atlo A~:
x'+xy-y 2 +2x-Jy+5=C
Si (1,0}EP
(2)
14- F.al 1ar la eou.1eiÓ11 de h .. cón1 Cfi. o·Jc pesa por lo~ cinco
(2)-(3): J·D-5C +4Dt4E=O
Res;lviendo las ezuo.ciones (1),(6),(7)
B1=2 , C1=1 , 01 -3 , !:1=-2
~o luri6p.
81 A( l. 2)tc_g
B(·
+
1
t,-"°1)¡: .G
"
26
-
Pd2. 5)€.á
4+lOE+2$r.+2n•sr+F·O
P,{J, 4)c,g ~ ?+;2:1+•f,r.+JDH;z+iu()
P,(4, 1k./l ·> 1f.+l!HC •41l•:,;+.F..,O
Fs(•!i 1,)!:.~ • .<5-20B,16C.5:;+1,P.+t=O
Rc3ta..,do (5)-{3): '6aJ21l-~D~O ., ~3~1).-,2
(2)
(3)
(!,)
(~)
(6)
(~)-(,): 9-?4R+15C-9D+J~~b + J-8315C-J~+E•O
o
O)
+ 16_~B+100~+1n _ 1ol F
( .L10)d'
9' 9
81 81
81 v 9
9 ~
o
( 4)
(-4, 10)e:P
B,=
(5)
(6)
(?)
16- l,OB+100C-4Dt10EH'=0
3-8Bt20C-D+2E=O
+
Restando (5)-(2):
(2)-(4):
~!LtlkJ.•
( 11 )
(l)
¡,·tlcP • 1l + ,tB + ijc -fn --¡E +r
<
pcnto:1 P1(-1,6), P2(2,5), P,(.¡,4), ? ,(~.1}. Ps(-5,l.).
fü,a la cónica -~=x' ..llxy+i:y•tnxH;y+f=O
st.'ri(.1,6)€-l + J-6BfJ6C-lli6B+:'=1)
Hlhr·= O
2
1Jt83-20C+9Dt18Ec0
,
1
TJ , e,,= 1b9,
D~.,
(B)
y (8) obtenecoe:
F,•-4
1b9. R2 = - lli
ffl ,
27
Fa= -
1.9.!?
ffi
ue
Suslltuyeneo cada :i:io
e~toa valoreu en {a) aa ~ieng:
P1:x 2~2xy+y 2~Jx-2y-4~0
P 2 , 169x~+26xy+y 2 >27x-146y-196•0 ·
.,
16. ~&llar la ccuaci6r. de la cónica. qUA pasa po~ los cinco
puntos (1, 1} , (2 , 0), (-1/7, 5/7), (0,0) y (2,-1).
(?J
Sol.ud.611.
Sea la cónica , );,x2.+Bxy+Cy 2 +DxH!71F=O
(o.)
!cuaci6n v.aru.n.al'. d.e. S't>gu.n.d.o
Como
(O,O)c:$ .,. F-0
( 1)
Si (1,1)t;lb ->
(2,0)t):; + ,:,2D=O + D~-2
c--71,27-ka
~ ),- ,~s~#,c-.;l;c-2i+f.E
f
!!
I
"t.l
"i 7
(
(2)
())
i<e,&r.>lvi•mdo (1 ), (2) y (3) obtete:no,a: !l=l:=1 , f>-1
l'or tanto, en (n), "n ticn<>:
+
(2-1)x 2 +(2-3)y'-5+5=0
++ L,:x+y:0
o sea: (xty)(x•y)~b
++
6
x~-yi•O
La:~-y:O
Es un par de r~ctee que se cortan en el origen.
o
'1<:1 d,>nde: B-5::-7"-3
(?,-l}c.G.,. ¿ 23+;;+2(-2)-.E=o, 2s-cn:=o
Si k--1
x'+xy+y 2 -2x-y~O
18. Hallar l;¡ H<.:wJ.ci 6n rl~ la cónica que p.1s11 por ol ¡:nmto
A(4,-2) y por la ir:ter,¡ec::ió~ ce lnn .cónicas :
x 2 +xy+:, 2 lx-3;¡-1:Q y 2x 2 -xy-2~+:,,=0
$ 0 i /,C. i/11, •
L.:.1 e:,cUflción r~presoutativa- del. ~is·L~;r.a de cónic.a~ e~:
x'+xyty'+x-3y-i+k(2x'-xy-?..x+y) = a
(1)
Si A(l.,-2) pertérae.:~ a u,i r.d«inhro de este ~iaLl;'oa, ento:aces:
1ó-8+4+4+6-1lk(32t8-B-2)=0 , ,ie dond.e , J..=-7/10
·
Sus;;.i·tuy<a11do en (1}. obtanenos: l¡x 2 -1·7xy -10/-24:<+37.y+10=0
19. Halla!' la nenaci6n de l:,, c6nlca que pasn por .,¡ punto
A{-2, 3} :! por 1,. 1-' Larsección de las cónicas:
x'+-2·1yty>-2x".3Y 11=0 -¡ J,cy+a-y:O
Lll «nl uilié11 se di, j a p-i;tr!l el l ei;t,Ol'.
_Lpt·a: 9x 1 -;-.JJxyf9y 2 -8,d22y-1=0
20. F.ecribl:r la ecuttei6n (\o la fo.1ülic. d-e curvs,; q11e µas,o
poi- 1a intorr,ccci6n de la circu!l.rere:-1c1 r, 2x 2+Zy 2=5 y la
elipse x'+3yz;5. Db!riostrar ,1uc, cuando el pa:áractrv et:1
21. Hallar la8 ecuaciones de laa parábol!l.S que pasan por l!t
intersacción de las e6nieas 4X 1 +y 2 -4=0 1 xy+Jx+5y+3"'-0,
Sofuci6n.
El aisteaa. de ~bolas queda definida por ln ecueoi6n:
4x 2 +yi-4+k(xy+3x+5;d3}~o
(1}
-~ sea: 4x 2 1-kxy+y 2 +3luct5ky+3k•L=O
En una parábola se debe verificar que: B2 -4.A0=0
... k 2 -4{4} (1)~0 - k"=16 ++ k=4 ó k"'-4
Sustituyendo en (1) obtenamoa las parábolas requeriiiaa:
4x 2 +4xy+y2+ 12x+20y+8,;.0 6 4x:1-4Xy+y 2 -12x-20y-16=0
22. ffallar las ecuaciones da laa p~bolae que pasen por lA
1
intarseoción de laa cónicas 2xy+2y 2 +~-y-l=O y xz-xy+2y
+x+y-JsO.
La soluoi6n se deja para el lector.
~pta: ix 2 -4xy+2y 2 -x+3y-5=0 6 2x 2 +12xyt18y 3 +2J~-5~·1JQO
23. Demostrar qu~ las raíces de la ecuación:
k 3 +(a 2 +b 1 •Xi-Y!)kta 2b 2 -b 2 x\-a 2
Q
son reales y desig,~ales d~~ostrllltdó que su discril!lin!U:lte
puede escribirse en la i'orme. da la canti:lad positiva:
yf:
{a 2.b2 ·x1 +y~ l 2 +·4x1Y~
D.cmo~t,,ac.i.6n.
i .g uul a -1, el elamer1t.o de r.sta fu1 1la c·onsie.te ci'J dos
En efecto, el d~scr1m1rui.n~a de la eouaci6n es:
1~ttctJas que se co4· lan.
t : (ai+b 2 -K~-7~)l.4(1)(a?b
Dl'm.<>.!.t"a~i ~!!.
En afoet.o, la ;"'ami.li.a de curvas cst.tÍ rert•e:rP.!lLada por
2l(t+;,y 2 - .5+¡, (X'+ J:,'--5)-0
o hiin:
(2+k)x~+(Z+Jk):; 2 -5"5k~O
355
(ilt<UÍO
2
-bªx~-a'yi)
~ .[(a 1 tbz). (x ~+y~)] 1 -4a 2 b 2 t,4btxt+4a 1 Y~
1
,. (a2 ~1.,2) 2-2(at+b2) (.c~+y\) +(xl+Y\) 2 • .i.a11:>a+4b~x\+4a y~
Agrupando ~ér1Dinos conveniente mea t.e i;e tiene:
2
1
!!. • [(a 2 +bª l2-4a tb 2 ] - [2{a •xt+a 2 y~+b 2 X !+ b yf ). 4b'X"i ·4B- Yfl +
(ici+y~~ 2
356
l;;ce,a_,,_f..da il11all:I.Lca }llana
357
11
[Ca 2 • b 2 ) ' ] - [2(a 2 :<j-~ 2 y~- ,h! ~ b 1 Yi)] +{x~ +1i )2.1,x :Yj "'4x ¡yf
- (a'-o~)z-~r{a 2 -b')x¡-(~! ~2 )y~]t(x!-y~) 2 +4x~y¡
= (a=-~z) 1 -2(e'-b2 )(x~-y~)
10
fx~-y~)',4x~y~
.- [Ía 2 -b 2 )-(:x~-y¡)] 2 +Lx~;d
•·.. A • (a~-b
2
-xi7:t)••:;,1.¡yf
iG. ~iec~;ir ~l sistt~a da cGnica• ~epras~ni~d~ por la ecuación:
x•
v•
9fk
+ 5+k ~ 1 • 11:.111::end.~ lota oisrnos ejes C50!'C.!1
r.ados, di~~jLr seis oleceoto~ e~ este sisveao corrcspondientee a los valores de k•0,7,16,-8,-7, - 6.
Soluc!Ór,.
En el. s.:.stoM <!e cónic::.s 01.ser•1uos q·10 : 'i#-9 y "<../-5
Pftra k>-5, el sie~ema ue cónicas rcp~eaont~ elipses, en don2
de: n =9tk y b2 =5+k + c=:~=i/( 7 ~k)-(5+k) = !~
~oto es, ~1 •lste~~ represe~"ª elipsas hcnofocale3, con focos en F(i2,0).
Pnra -9<k<-5, el sinte~a de c6r.icas ~eprdsenta hipérbo~as.
Si cs~.ibiDOS:
2
xª -5~
L
9+k.
~ 1
éo do~de: a =9+x y b 2•-5-k + ~-z/a'+b2 ·/(9+~}+(-5-k)
!2
El S.iGter<a re9resont.:. ~pérbol11s !:oo:iotocnles , con fo~os en
F(J:2.0L Como tod'1s ute.s cónico.s. tie-nen un eje común y un
eje normal CO"-Ún, se dice que 1or coadalc~.
k~-7
k•-8
k~-6
Coordenadas Polar9-$
10.l SISTEHA DE COOROCNADAS POLARES
Hasta este capítulo estamos ecostue bradoa e lor.alisar
puntos por aed.io de un sisteaa de coordenadas roctangularee.
Sin e•bargo, hay otros •'todos que S-On a&: prácticos en alg~
nas situaciones. Uno de ellos se conoce 001110 &1:&J.'-"'ª ~ coo:!
d.4.nada4 po~&,
9 o
Por gedio de eiri,e sisteaa, local.is~
moa un punto dando aJ d~~ancia u
P(r,O)
d<4~cci6n de4d~ un. punto dado &ol.4e.
una JU?-c.t.a dada. El punto dado se 11~
aa polo, y la recta dada se conoce
~~~~-4---'-~-...A
polar
como eje pOl(llf.. La distanciar dol
polo o:l. puntosa llama 4adio uccto~.
y el ángulo a del aje polar &l radio
~e~tor se llama ClllPt~tud, a~gu•~nio,
P'(-r,8)
o ánguto uccio~ial.. Las coordonadau
figura
de un punto P se escriben en l.k fo~
ma (r,6) coao llue$tra le figura 1 .
Al igua: que en :rigonoTetría, el radio vector puede girar a
cualq"uier fulgulo en 1u1ntiuo horario o en sant i do ·r:ti ho1•ario,
por tanto, a puodc tonar cualquier valor positivo o nagativo.
L~s distancies medidas a lo lar¡,o del rsdio vector desde el
polo se detjnen como po.,lU:vas y lao a.edidati en sentido o¡rntt!
~o. esto oa, e lo largo del radio vector hasta el polo, son
nog8tivas, por def1nici6n. Si un punto tie~c un radio v~ctor
negativo, so •ida pr¿•ero el !ngulo polar de la manera ordin~
ria, Y deRpués se to3a el radio vector en la prolongación del
409
408
Gc,mofCOf:/Pc)J - .._
y
ór! !CD,
el c:;.adril1tero COPTJ
e3
un
S:,?'!
¡rncio i:.ós1<>los. Sean Q y P. l as proyoc dcnes d;, O y ? s.9
hre CD. rezpaet1. ·7e.,..e~te ..
• 1";;1-liiQf+IQl{l~liÜll
2a - aGoce+/OP)+~Go~0
iil)
2a-2~Coo~L~
+
r:2~(i - :csa)
+
E! lvg~.. g~cm,i~ico es una ca.rdiode..
22. ~:ea
2:
!tt il6t~nc.i.!!- de un ;¡,,a•,ln :~i.1c; O a t:no. rc-~t1:t !':i:~ L.
.ill& r:!cte. cu.:..1quiLr:r· L 1 q,n ..:i ~or ·~s :;t L , en
~e L.r.a.z:.:,. ;;c • .;
el ¡:,u.:1t.o TI
So :,r·e. L • !H~ -:onA.n l'ios pitntos
-c,
y !' 1 a 1.1 de-
re~J-.. 3. 'J n. lfl.. 1,.~uic1"d,r1 Ch, B. r~r::i~ci..,iv!:f.iue;-ite ..
l=i?l ~IRP' l-b,
r~ • .. St s
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(2)
Este libro se terminó de imprimir en l a
Editor1.al AflERl-CA SR Ltda, en el mes de
Oot~bre de 1990, por encargo del i ngeoi~
ro RICARDO f l GUEROA CARCI A.
Tiraje de la edición , 3000 eje~plares •
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