Asignatura
Datos del alumno
Fecha
Apellidos: MARCILLO PINCAY
Métodos Numéricos
Avanzados en
Ingeniería
14/04/2017
Nombre: ARIEL NATHAN
Actividades
PLANTEAMIENTO:
De acuerdo a lo solicitado se establece construir el planteamiento para deducir la
ecuación de la braquistócrona que parte del punto (0,0) y acaba en el punto (3,-2).
Partiendo de las ecuaciones de energía cinética y potencial, tenemos:
𝐸𝑐 = 𝐸𝑝
1
𝑚𝑣 2 = 𝑚𝑔𝑦
2
1 2
𝑣 = 𝑔𝑦
2
𝑣 = √2𝑔𝑦
Esta ecuación describe el movimiento propio de la partícula.
Luego;
𝑆
𝑡= ;
𝑉
𝑑𝑠
𝑣
𝑑𝑡 =
De acuerdo a; 𝑑𝑠2 = 𝑑𝑥 2 + 𝑑𝑦 2, dividiendo para 𝑑𝑦 2 , tenemos:
𝑑𝑠2 𝑑𝑥 2 𝑑𝑦 2
=
+
𝑑𝑦 2 𝑑𝑦 2 𝑑𝑦 2
𝑑𝑠2 𝑑𝑥 2
=
+1
𝑑𝑦 2 𝑑𝑦 2
𝑑𝑠 2
𝑑𝑥 2
( ) =( ) +1
𝑑𝑦
𝑑𝑦
2
𝑑𝑥
𝑑𝑠 = √(𝑑𝑦) + 1 𝑑𝑦
Reemplazando e integrando:
𝑏 𝑑𝑠
∫ 𝑑𝑡 = ∫𝑎
𝑣
2
=
𝑏
𝑑𝑦
∫𝑎
𝑏 √𝑦 ′
√2𝑔
𝐹=
√𝑦 ′ 2 +1
TEMA 1 – Actividades
√𝑦
= √
𝑑𝑦
√2𝑔𝑦
1
Haciendo que;
2
√(𝑑𝑥) +1
∫
𝑎
2
𝑦
𝑏
1
∫
√2𝑔 𝑎
√(𝑑𝑥) +1
𝑑𝑦
√𝑦
𝑑𝑦
+1
√𝑦
𝑑𝑦
2
2
𝑦 ′ +1
=
= (
𝑦 ′ +1
𝑦
1/2
)
y derivando:
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Datos del alumno
Apellidos: MARCILLO PINCAY
Métodos Numéricos
Avanzados en
Ingeniería
2
𝐹𝑦´ =
14/04/2017
Nombre: ARIEL NATHAN
𝑦′
−1/2
1 𝑦′ +1
(
)
2
𝑦
Fecha
2𝑦´=
2
√𝑦(𝑦 ′ 2 +1)
aplicamos ahora la ecuación de Euler;
𝑭 − 𝒚´𝑭𝒚´ = 𝑪
√𝑦 ′2 + 1
𝑦′
−
√𝑦
√𝑦(𝑦 ′2
2
1 + 𝑦′ − 𝑦′
2
√𝑦 (𝑦′
1
2
𝑦(𝑦 ′ +1)
2
=𝐶
+ 1)
2
=𝐶
+ 1)
= 𝐶 2 ; 𝑦(𝑦 ′2 + 1) = 12 y 𝐶1 = 12
𝐶
𝐶
2
𝑦(𝑦 ′ + 1) = 𝐶1
𝑦=
𝐶1
2
𝑦′ + 1
2
Utilizando las funciones trigonométricas, hacemos que: 𝑦´ = 𝑐𝑡𝑔 ∝ ; 𝑦′ + 1 = 𝑐𝑠𝑐2 ∝∶
𝐶
1
1
𝒚 = 𝑐𝑠𝑐12 ∝ ; 𝑦 = 𝐶1 𝑠𝑒𝑛2 ∝ = 𝐶1 (2 − 2 𝑐𝑜𝑠2 ∝) =
𝑦=
𝐶1
(2
2
− 𝑐𝑜𝑠2 ∝)
𝑪𝟏
(𝟐 − 𝒄𝒐𝒔𝟐 ∝)
𝟐
𝑑𝑦 = 2𝐶1 𝑠𝑒𝑛 ∝ 𝑐𝑜𝑠 ∝ 𝑑 ∝
Luego:
𝑦´ =
𝑑𝑦
𝑑𝑦
2𝐶1 𝑠𝑒𝑛 ∝ 𝑐𝑜𝑠 ∝ 𝑑 ∝
; 𝑑𝑥 =
=
= 2𝐶1 𝑠𝑒𝑛2 ∝ 𝑑 ∝
𝑐𝑜𝑠 ∝
𝑑𝑥
𝑦´
𝑠𝑒𝑛 ∝
∫ 𝑑𝑥 = 𝐶1 ∫ 2𝑠𝑒𝑛2 ∝ 𝑑 ∝= 𝐶1 ∫(1 − 𝑐𝑜𝑠2 ∝)𝑑 ∝
1
2
𝑥 = 𝐶1 (∝ − 𝑠𝑒𝑛2 ∝) + 𝐶2 =
Si 𝐶2 = 0, 𝜃 = 2 ∝, 𝑎 =
𝐶1
(2 ∝ −𝑠𝑒𝑛2 ∝) + 𝐶2
2
𝐶1
2
𝒙 = 𝒂(𝜽 − 𝒔𝒆𝒏𝜽)
{
𝒚 = 𝒂(𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝜽)
TEMA 1 – Actividades
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Apellidos: MARCILLO PINCAY
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Avanzados en
Ingeniería
14/04/2017
Nombre: ARIEL NATHAN
Ahora, tomando como referencia los puntos dados (0,0) y (3,-2).
Encontramos a partir de aquí la pendiente con:
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏;
𝑏=0
𝑦 = 𝑚𝑥 ≡ −2 = 𝑚(3)
𝑚=−
2
3
Determinamos 𝜃, a partir de:
𝑚 = 𝑡𝑎𝑛𝜃
2
= 𝑡𝑎𝑛𝜃
3
2
𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1 (− ) = −33,7°
3
−
Calculamos el tiempo que tarda la particula en llegar hasta el otro extemo, a partir de:
2
𝑡 = √2
(𝑥𝑝 ) + (𝑦𝑝 )
𝑔|𝑦𝑝 |
2
= √2
(3)2 + (−2)2
= √1.3 = 1.14𝑠
10|−2|
Acontinuación encontramos el desplazamiento S:
𝑆 = √𝑥𝑝 2 + 𝑦𝑝 2 = √32 + (−2)2 = √13 = 3,06 𝑢𝑛𝑖𝑑.
Encontramos la velocidad de la partícula:
𝑣 = √2𝑔𝑦 = √2 ∗ 10 ∗ 2 = √40 = 6,32 𝑚/𝑠
Calculamos la constante 𝐶1 :
2
𝑦(𝑦 ′ + 1) = 𝐶1
𝐶1 =
2
𝑦 (𝑦′
+ 1) = (−2) ((
−2 2
) + 1) = −2,88
3
De donde determinamos 𝑅 = 𝑎;
TEMA 1 – Actividades
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Avanzados en
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Datos del alumno
Fecha
Apellidos: MARCILLO PINCAY
14/04/2017
Nombre: ARIEL NATHAN
𝑎=
𝐶1 2,88
=
= 1,44
2
2
Finalmente, definimos las ecuaciones de la braquistócrona en función de los valores
encontrados.
{
𝒙 = 𝟏, 𝟒𝟒((−𝟑𝟑, 𝟕°) − 𝒔𝒆𝒏(−𝟑𝟑, 𝟕°))
𝒚 = 𝟏, 𝟒𝟒(𝟏 − 𝒄𝒐𝒔(−𝟑𝟑, 𝟕°))
Se obtuvo información de diferentes páginas de la web.
http://www.vimeoinfo.com/video/52369527/la-cicloide-braquistocrona-tauto.crona
TEMA 1 – Actividades
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