Superficies Diferenciables Definición Una superficie es un subconjunto de R3 con dos grados
de libertad (u, v) ∈ R2 que puede representarse de forma paramétrica S ≡ X = X(u, v) donde
X = (x, y, z), o a partir de una ecuación implicita S ≡ f (x, y, z) = 0 ó explı́cita a partir de una
coordenada S ≡ z = f1 (x, y) ó S ≡ y = f2 (x, z) ó S ≡ x = f3 (y, z) .
Regular Una superficie es regular si no tiene picos, es decir, si para cada punto de la curva, su
vector normal no se anula (y para ello tampoco puede anularse ninguna de sus derivadas)
⇔
regular
Xu Xv 6= 0
⇔
∇f 6= 0
De esta propiedad sacamos una conclusión importante, y es que el producto vectorial de las
derivadas parciales es proporcional (y por lo tanto paralelo) al gradiente de la ecuación
Xu Xv k ∇f
Toda superficie que sea regular en un entorno de un punto, puede expresarse de forma implı́cita
en ese punto.
Superficie de revolución Si tenemos una curva en 2 dimensiones z = z(x) ó z = z(y), y la rotamos
sobre el eje z, obtenemos las ecuaciones
X = ( z ) (u) cos vz(u) sen vu
Cuádricas Las cuádricas son las curvas que tienen como ecuación un polinomio de grado dos (si
es de grado 1 es un plano). Usamos las variables en estos dominios u, v ∈ R , la colatitud θ ∈ [0, τ ]
y el azimut ϕ ∈ [∓ τ4 ] y la distancia ρ ∈ R+
Paraboloide hiperbólico (reglado) Paraboloide hiperbolico
z=
x2 y 2
− 2
a2
b
≡
X(u, v) = ( a ) ub vu2 − v 2 ≡ ( a ) ·
u+v u−v
b·
uv
2
2
Paraboloide elı́ptico (no reglado) Paraboloide elı́ptico 2 hojas
z=
x2 y 2
+
a2 b 2
≡
X(u, v) = ( a ) ub vu2 +v 2 ≡ ( a )·
u + v u − v u2 + v 2
b·
2
2
2
≡
X(ρ, θ) = ( a ) ρ c(θ)b ρ s(θ
Elipsoide Elipsoide
x2 y 2 z 2
+ 2 + 2 =1
a2
b
c
≡
X(θ, ϕ) = ( a ) c(θ) s(ϕ)b s(θ) s(ϕ)c c(ϕ)
Hiperboloide de una hoja (reglado) Hyperboloide 1 hoja
x2 y 2 z 2
+ 2 − 2 =1
a2
b
c
≡
X(u, θ) = ( a ) c(θ) ch(u)b s(θ) ch(u)c sh(u)
Hiperboloide de dos hojas (no reglado) Hyperboloide 2 hojas
x2 y 2 z 2
+ 2 − 2 = −1
a2
b
c
≡
X(u, θ) = ( a ) c(θ) sh(u)b s(θ) sh(u)c ch(u)
Formas fundamentales Superficie reglada Es una superficie que para cualquier punto de ella pasa
una recta que está contenida completamente en la superficie.
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Superficie desarrollable Una superficie es desarrollable si representen una familia uniparamétrica
de planos (superficies tángentes, cónicas o cilı́ndricas).
Una superficie reglada es desarrollable si puede expresar como una ecuación paramétrica X(u, v) =
F (u) + vG(u), y tras hacer depender u = u(t) y cumple
[F 0 , G, G0 ] = 0
Plano tangente El plano tangente en un punto P = X(U0 )
TP S
≡
TP S
TP S
X = P + u Xu (U0 ) + v Xv (U0 )
≡
≡
∇f (P ) • (X − P ) = 0
[Xu , Xv , X − P ] = 0
Donde el gradiente se puede obtener de forma explı́cita de z = z(x, y) como ∇f = (zx , zy , 1)
Primera forma fundamental
I(a, b) = ( a ) b ( E ) F F G ( a ) b = Ea2 + 2F ab + Gb2
I(ut , vt ) = ( u )t vt ( | ) Xu |2 Xu • Xv Xv • Xu |Xv |2 ( u )t vt
I(ut , vt ) = |Xt |2 = |Xu ut + Xv vt |2 = |Xu |2 u2t + 2 (Xu • Xv ) ut vt + |Xv |2 vt2
Cabe destacar que es una matriz definida positiva, ya que sus diagonales y determinantes son
positivos. E, G > 0 por ser normas, y no singulares, |A| = EG − F 2 = |Xu Xv |2 > 0
La prueba de que EG − F 2 = |Xu Xv | es que EG − F 2 = |Xu |2 |Xv |2 − |Xu • Xv |2 = |Xu |2 |Xv |2 −
|Xu |2 |Xv |2 c(C) = = |Xu |2 |Xv |2 (1 − c(C)) = |Xu |2 |Xv |2 s(C) = |Xu Xv |2
Área
Z Z
(u, v) ∈ D
|Xu Xv |
Vector normal unitario Definamos la superficie en paramétricas X = X(u, v) ó de forma implı́cita
f (x, y, z) = 0,
c = Xu Xv = ∇f
N
|Xu Xv |
|∇f |
La orientación de la superficie dependerá del signo de N, ya que puede ser positivo o negativo
indistintamente, según escojamos nosotros durante el ejercicio que queremos que sea, porque el
producto vectorial es anticonmutativo Xu Xv = −Xv Xu
Campo normal unitario (Aplicación de Gauss) Sobre la normal, movemos el parámetro N (t) =
N • (x, y, z)
c ◦ X − (p)
N (p) = N
Si existe un campo normal unitario en toda la superficie diremos que la superficie es orientable
Operador de Weingarten Es el diferencial de vector normal unitario sobre una curva. Cogemos
una curva de la superficie C ≡ C(t) = (x(t), y(t), z(t)), y la introducimos en nuestra función
f (x, y, z) = f (C(t)) entonces podemos derivar la función respecto de t, es esta forma
−dN (C 0 (t)) = N 0 (t) = ∇f • C 0
2
Donde N es la aplicacón de Gauss. Y luego se le aplica sobre un vector concreto dN(v) para estudiar
sus propiedades.
Segunda forma fundamental
II(a, b) = ( a ) b ( e ) f f g ( a ) b = ea2 + 2f ab + gb2
II(ut , vt ) = ( u )t vt ( X )uu • N Xuv • N Xvu • N Xvv • N ( u )t vt
Direcciones asintóticas Son de la forma U1 = Xu + m1 Xv y U2 = Xu + m2 Xv donde m1 , m2 son
las soluciones de la ecuación
e + 2f m + g m2 = 0
Curvatura normal
kN =
II(ut , vt )
I(ut , vt )
Donde el vector curvatura normal es KN = kN N
Curvatura principal Son las soluciones k1 , k2 del sistema
kE − ekF − f kF − f kG − g = 0
Curvatura media
km =
k1 + k2
2
Teorema de Euler
kN = k1 cos2 (θ) + k2 sen2 (θ)
Curvatura total (de Gauss) Sirve para clasificar los puntos y sus direcciones asintóticas ayudándose
de la fórmula de Euler.
eg − f 2
= k1 k2
K(P ) =
EG − F 2
Punto elı́ptico si K(P ) > 0 (un punto mı́nimo) no hay direcciones asintóticas Punto hiperbólico
si K(P ) < 0 (un punto de silla) tiene dos direcciones asintóticas tan2 θ = − kk12 Punto parabólico si
k1 (P ) = 0 ∧ k2 (P ) 6= 0 (un folio doblado, da una parabola en el folio) Si la curvatura es cero, pero
uno de las curvaturas principales no son cero Punto plano si k1 (P ), k2 (P ) = 0 Punto umbı́lico Son
los puntos que satisfacen
F
G
E
=
=
e
f
g
Indicatriz de Dupin
kN1 x2 + kN2 y 2 = ±1
Geodésica Es una curva C(t) cuyos vectores tangentes C 0 son paralelos sobre la superficie, y esto
ocurre si su binormal C 00 es perpendicular al plano tangente a la superficie TC0 S
C 00 ⊥ TP S
≡
C 00 ∇f = 0
≡
C 00 (Xu Xv ) = 0
Envolvente Es una familia de curvas planas que cada uno de sus puntos es tangente a una curva
de la familia.
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De forma implı́cita se calculan a partir de una ecuación (que podrı́a verse como una superficie,
o como una familia de curvas planas en función de z) de forma que se obtiene al resolver el sistema
{ f (x, y, z) = 0fz (x, y, z) = 0}∩ ; x = x(z) ; y = y(z)
Para que exista, el jacobiano no puede anularse |Jac(f )| = |∂(x,y) (f, fz )| = fx fy
fzx fzy 6= 0 ni su segunda derivada fzz 6= 0.
De forma paramétrica X = X(u, v) ocurre al contrario que implı́cita, buscamos las soluciones
donde se anula el jacobiano |Jac(X, Xu )| = |∂u,v (X, Xu )| = Xu Xv
Xuu Xuv = 0.
Teorema de Olinde Rodrigues Una curva regular C, parametrizada por C(t) es una lı́nea de
curvatura de S si cumple
C0
N 0 = −kN 0 C 0
|C |
Teorema de Hopf-Rinow Sea S una superficie completa. Dados dos puntos p, q ∈ S existe una
geodésica mı́nima que une p y q.
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