límites y derivadas 02

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II.
LÍMITE:
01. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA:
CAPÍTULO I: LÍMITES
I.
NOCIONES GENERALES:
01. VENCINDAD
Se llama vecindad o entorno de radio r>0 y centro
x0   x / x  x0  r
 x0  r; x0  r 
al
que
intervalo
se
abierto
denota
por:
Vr ( x0 )  x0  r; x0  r  .
02. VECINDAD REDUCIDA: llamado también
vecindad con exclusión de
x0 se refiere a una
02. DEFINICIÓN MATEMÁTICA:
x0 y se denota por
Vr* ( x0 )  x0  r; x0  r   x0 
vecindad sin el elemento
PRIMERA FORMA: definición rigurosa
  0,   0 / x  D f 
lim f ( x)  L  
x  x0
0  x  x0    f ( x)  L  
SEGUNDA FORMA: definición en términos de
vecinades.
V ( L), V* ( x0 ) /
a. lim f ( x)  L  
*
x  x0
 f  D f  V ( x0 )   V ( L)
03. PUNTO DE ACUMULACIÓN: un punto x0 es un
punto
de
acumulación
de
un
  0,   0 / x  V* ( x0 ) 
b. lim f ( x)  L  
x  x0
 f ( x)  V ( L)
conjunto
S  R  V ( x0 ) y r  0, se cumple que
 x
0
*
r
 r; x0  r   x0   S   .
03. LÍMITES LATERALES
A. LÍMITE POR LA IZQUIERDA: Sea f una función
definida al menos en un intervalo de la forma
a; x0  Df , siendo x0 un punto de
acumulación, entonces:
04. PUNTO AISLADO: Es cualquier punto x  S
pero que no es un punto de acumulación de S.
DAMF

   0,   0 / si x  a; x0  Df
lim f ( x)  L1  
x  x0
 y si x0   ; x0  f ( x)  L1  
1
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
  0, N  0 / Si x  N
lim f ( x)  L  
x 

 f ( x)  L  
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA:
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA:
B. LÍMITE POR LA DERECHA: Sea f una función
definida al menos en un intervalo de la forma
x0 ; b  Df , siendo x0 un punto de
acumulación, entonces:
B. LÍMITES AL INFINITO CUANDO X TIENDE A 

   0,   0 / si x  x0 ; b  Df
lim f ( x)  L2  
x  x0
 y si x0 ; x0    f ( x)  L2  
Sea f una función definida en el intervalo
; x0 entonces diremos:
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA:
  0, N  0 / Si x   N
lim f ( x)  L  
x 
 f ( x)  L  
  0, N  0 / Si x  N

 f ( x)  L  
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA:
III.
LÍMITES AL INFINITO
A. LÍMITES AL INFINITO CUANDO X TIENDE A 
Sea f una función definida en el intervalo
x0 ;  entonces diremos:
DAMF
2
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IV. LÍMITES INFINITOS:
Son límites que tienen la siguiente forma
lim f ( x)  
x  x0
Para ello, sea f una función definida en una
vecindad reducida V* ( x0 ) podemos decir que
cuando x tiende a x0 f(x) crece o decrece sin
a.
límite por tanto tendremos dos casos:
LÍMITES INFINITOS CUANDO F(X) TIENDE A 
Definición:
M  0,   0 / x  Df y si
lim f ( x)    
x  x0
0  x  x0    f ( x)  M
V.
De la misma manera con respecto a los límites
laterales tenemos:
LÍMITES INFINITOS AL INFINITO
Son límites que tienen la siguiente forma
lim f ( x)   y lim f ( x)  
lim f ( x)  
Lo que nos induce a denotar simplemente
Para ello, sea f(x) una función definida para
todos los valores x mayores o menores que un
cierto número, y cuando x alcanza valores
bastante grandes, f(x) crece o decrece sin
límite, por tanto de lo anterior tendremos
cuatro casos:
LÍMITES INFINITOS CUANDO F(X) TIENDE A 
Y X TIENDE A 
x  x0
x 
x  x0
como: lim f ( x)  
x  x0
a.
Sea f una función definida en un intervalo
I  c;   entonces diremos:
M  0, N  0 / si x  I y
lim f ( x)    
x 
 x  N  f ( x)  M
Interpretación geométrica figura 01 (a)
b.
LÍMITES INFINITOS CUANDO F(X) TIENDE A 
Definición:
b.
LÍMITES INFINITOS CUANDO F(X) TIENDE A
 Y X TIENDE A 
M  0,   0 / x  Df y si
lim f ( x)    
x  x0
0  x  x0    f ( x)   M
Sea f una función definida en un intervalo
I  c;   entonces diremos:
M  0, N  0 / si x  I y
lim f ( x)    
x 
 x  N  f ( x)   M
De la misma manera con respecto a los límites
laterales tenemos:
M  0, N  0 / si x  I y

 x  N  f ( x)  M
lim f ( x)   y lim f ( x)  
x  x0
x  x0
Lo que nos induce a denotar simplemente
Interpretación geométrica figura 01 (b)
como: lim f ( x)  
x  x0
DAMF
3
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VI.
TEOREMAS
Sean “f” y “g” dos funciones reales tales que:
lim f ( x)  L ; lim g ( x)  M y k=constante
entonces tenemos los siguientes teoremas:
01.lim k  k
02.lim kf ( x)  k .lim f ( x)  kL
03.lim  f ( x)  g ( x)   lim f ( x)  lim g ( x)  L  M
04.lim  f ( x).g ( x)   lim f ( x).lim g ( x)  L.M
c.
 1 
1
1
05.lim 

 ; Si M  0, g ( x)  0

 g ( x)  lim g ( x) M
 f ( x)  lim f ( x) L
06.lim 
 ; Si M  0, g ( x)  0

 g ( x)  lim g ( x) M
LÍMITES INFINITOS CUANDO F(X) TIENDE A 
Y X TIENDE A 
Sea f una función definida en un intervalo
I  ; c  entonces diremos:
07.lim  f ( x)    lim f ( x).   L  ; n entero positivo.
n
M  0, N  0 / si x  I y
lim f ( x)    
x 
 x   N  f ( x)  M
d.
n
n
08.lim n f ( x)  n lim f ( x)  n L ; n entero positivo
09.lim f ( x)  lim f ( x)  L
Interpretación geométrica figura 02 (c)
10.lim  log f ( x)   log  lim f ( x)   log  L 
LÍMITES INFINITOS CUANDO F(X) TIENDE A
 Y X TIENDE A 
11.lim  Lnf ( x)   Ln  lim f ( x)   Ln  L 
NOTA: no se puso la tendencia de x dado que son
teoremas generales válidos para una constante o
infinitos.
Sea f una función definida en un intervalo
I  c;   entonces diremos:
M  0, N  0 / si x  I y
lim f ( x)    
x 
 x   N  f ( x)   M
M  0, N  0 / si x  I y

 x  N  f ( x)  M
TEOREMA 01: DE LA UNICIDAD DE LÍMITE:
El límite de una función si existe, es único, es decir:
Si lim f ( x)  L1 y lim f ( x)  L2 entonces L1  L2
x  x0
x  x0
TEOREMA 02:
Si “f” y “g” son dos funciones reales tales que:
Interpretación geométrica figura 02 (d)
f ( x)  g ( x), x de un intervalo con x  x0 , y
lim f ( x)  L; lim g ( x)  M entonces
x  x0
x  x0
lim f ( x)  lim g ( x) es decir L  M
x  x0
x  x0
TEOREMA 03:
Si lim f ( x)  L entonces existe un   0 , tal que:
x  x0
x  x0   ; x0   ; x  x0 se tiene f ( x)  k
para algún k real positivo.
Proposición:
DAMF
4
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Si x  R, x     0, entonces x  0

k      , con k 
constante ;
Proposición:

k      , con k 
constante ;


                 ;
                 ;
k      , con k  constante y

k      , con k 
constante y k  0 ;
, g, h tres funciones tales que x V* ( x0 ),   0, se

k      , con k 
constante y k  0 ;
cumple que:

k      , con k 
constante y k  0 ;
i. h( x)  f ( x)  g ( x)
ii. lim h( x)  lim g ( x)  L  lim f ( x)  L

Si lim f ( x)  L y a  L  b , entonces existe un
x  x0
  0 , tal que: a  f ( x)  b

x  Df y ;0  x  x0   .
TEOREMA04: DEL SÁNDWICH:
Sea V* ( x0 ) una vencindad restringida en x0 , y sea f
x  x0
x  x0
x  x0
TEOREMA05: DEL LÍMITE COMO PROPIEDAD LOCAL
DE LA FUNCIÓN.
Sea x0  R un punto de acumulación de las
funciones f y g, y f ( x)  g ( x), x V* ( x0 ). Si
existe el límite de g(x) cuando x  x0 entonces el
  

  

k
  

k
  
 0, con k 
constante ;
 , con k 
constante y k  0 ;
 , con k 
constante y k  0 ;
 , con k 
constante y k  0 ;
k
límite de f(x) también existe y es:

  
 , con k 
constante y k  0 .
k
lim f ( x)  lim g ( x)  L
x  x0
k
k0
x  x0
TEOREMAS PARA LÍMITES AL INFINITO
TEOREMA06: DE LOS LÍMITES LATERALES
TEOREMA07:
Si n es cualquier número entero positivo, entonces se
cumplen:
Una función f(x) tiene límite en x0 , si los límites
laterales en x0 son iguales, es decir
 1 
 1 
i) lim  n   0 ; i i) lim  n   0
x  x
x  x
 
 
lim f ( x)  L  lim f ( x)  L y lim f ( x)  L
x  x0
x  x0
x  x0
OBSERVACIONES IMPORTANTES PARA LÍMITES
INFINITOS
TEOREMA 08:
Sea f una función cuya variable x crece o decrece
indefinidamente, entonces se cumplen las propiedades:
Recordemos que en los números reales los símbolos
 ,   e  no son números, pero que juntos
1

i ) lim f ( x)  lim f ( )

x

u 0
1 
u
si x   
1
u 
ii ) lim f ( x)  lim f ( )
u 0
 x
u
constituyen un nuevo sistema numérico llamado “el
sistema ampliado de los números reales” y en el que
se cumplen las siguientes reglas, k es una constante:

         ;         ;

  
p

  
p
DAMF
TEOREMAS PARA LÍMITES INFINITOS
TEOREMA09:
Si n es cualquier número entero positivo, entonces se
cumplen:
 1 
i ) lim  n   
x 0  x 
 1  , Si n es par
i i ) lim  n   
x 0  x 
, Si n es impar
  ;
 si p es par

;
 si p es impar
5
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;
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TEOREMA10:
Sean f y g dos funciones y
x0 
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
ab  
a b  
a b  
a b  
a b 
un punto de
acumulación suponiendo que
lim f ( x)   y lim g ( x)  M , entonces se
x  x0
x  x0
cumplen para todo x próximi a
lim  f ( x)  g ( x)  ;
x0 :
x  x0
lim  f ( x).g ( x)  ; Si M  0
lim  f ( x).g ( x)  ; Si M  0
x0 
ab 
un punto de
acumulación suponiendo que lim f ( x)  L, L  0 y lim g ( x)  0
x  x0
, entonces se cumplen para todo x próximos a
, Si

f ( x) , Si
lim

x  x0 g ( x )
, Si
, Si
3
a3
3
a3
4
a4
5
a5
n

x  x0
TEOREMA11:
Sean f y g dos funciones y

a b 
x  x0
x  x0
x0 :

n

n

L  0 y g ( x)  0
L  0 y g ( x)  0

a b


b 

a  b  FR (a, b)
ab  b    a  b  FR (a, b)
a b  ab  b    a  b  FR (a, b)
3
a 2  3 ab  3 b 2 
3
3
a 2  3 ab  3
3
4
a 3  4 a 2b  4
5
a 4  5 a 3b  5
2
2
a  3 b FR (a, b)
3
3
4
5
2 2
4
3
5
4
4
5
5


a  n b  n a n 1  n a n 2b  n a n 3b 2  ...  n ab n 2  n b n 1 


n tér min os



n

a  n b FR(a, b) para n par oimpar


a  n b  n a n 1  n a n 2b  n a n 3b 2  ...  n b n 1 


n tér min os


  a  b  FR(a, b) para n impar
a b 
L  0 y g ( x)  0
L  0 y g ( x)  0

b 
b 
b 
b 
a b




a  n b  n a n 1  n a n 2b  n a n 3b 2  ...  n b n 1 


n tér min os



n

a  n b FR(a, b) para n par
Cálculo de límite del factor racionalizante
lim  FR(a, b)   n lim  a 
x  x0
n 1
x  x0
 n lim  b 
n 1
x  x0
PROPIEDADES BÁSICAS PARA LA RESOLUCIÓN
MECÁNICA DE EJERCICIOS DE LÍMITE:
Propiedades algebraicas para racionalizar:
Transformaciones de radicale simples a dobles:
a 2  b 2   a  b  a  b 
i) a  b 
a 3  b3   a  b   a 2  ab  b 2    a  b  FR (a, b)
ac
ac

;
2
2
c  a 2  b ;(a 2  b) cuadrado perfecto
a 3  b3   a  b   a 2  ab  b 2    a  b  FR (a, b)
ii ) a  b  c  d  x  y  z
a 4  b 4   a  b   a 3  a 2b  ab 2  b3    a  b  FR (a, b)
a 5  b5   a  b   a 4  a 3b  a 2b 2  ab3  b 4    a  b  FR (a, b)
Donde :
x  y  z  a; 2 xy  b
2 xz  c ;


a n  b n   a  b   a n 1  a n  2b  a n 3b 2  ...  ab n  2  b n 1 


n tér min os


  a  b  FR(a, b) para n par o impar
2 yz  d
iii ) 3 a  b  x  y
Donde :


a n  b n   a  b   a n 1  a n  2b  a n 3b 2  ...  ab n 2  b n 1 


n tér min os


  a  b  FR(a, b) para n impar
4 x 3  3cx  a; y  x 2  c
c  3 a 3  b ;(a 3  b) cubo perfecto
Observaciones:

Para términos con radicales el objetivo es obtener el
primer miembro:
Si f y g son dos funciones polinómicas de
grado n y m; al tener lim
x  x0

DAMF
6
f ( x) 0
 ; la
g ( x) 0
indeterminación se levantará en
factorizando numerador y denominador.
Cuando se tenga términos irracionales la
indeterminación se levantará racionalizando
el numerador y/o el denominador,
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considerando siempre el criterio del factor
racionalizante.
Existen ejercicios con funciones que tienen

la forma f ( x) 
n
FUNDAMENTALES:
A) Identidades recíprocas
Csc 
x m x
, entonces si se
p
x a
B) Identidades por cociente:
Sen
Cos
Tg 
Ctg 
Cos
Sen
C) Identidades pitagóricas:
Sen2  Cos 2  1; Tg 2  1  Sec2 ; Ctg 2  1  Csc2
quiere evaluar en el punto del dominio se
debe hacer la siguiente sustitución x  z
r
donde r  mcm(m, n, p) .

Se puede realizar separación de cocientes,
denominadores homogéneos
Cambio de variables.
LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS

lim Sen( x)  Sen( x0 )
x  x0
lim Tan( x)  Tan( x0 )
x  x0
lim Sec( x)  Sec( x0 )
x  x0
D) IDENTIDADES AUXILIARES
a).  Sen 4  Cos 4  1  2Sen 2 Cos 2
b).  Sec 4  Tg 4  1  2Sec 2 Tg 2
c).  Csc 4  Ctg 4  1  2Csc 2 Ctg 2
lim Cos( x)  Cos( x0 )
x  x0
d ).  Sen6  Cos 6  1  3Sen 2 Cos 2
lim Cot ( x)  Cot ( x0 )
e).  Sec 6  Tg 6  1  3Sec 2 Tg 2
lim Csc( x)  Csc( x0 )
g ).  Sen8  Cos8  1  4Sen 2 Cos 2  2Sen 4 Cos 4
x  x0
f ).  Csc 6  Ctg 6  1  3Csc 2 Ctg 2
x  x0
h).  Sec8  Tg 8  1  4Sec 2 Tg 2  2Sec 4 Tg 4
Teorema
 Sen( x) 
i) lim Cos( x)  1 ii) lim 
Sen( x)  0
  1 iii) lim
x 0
x 0
x 0
 x 
Consecuencia del teorema anterior
iv) lim Tan( x)  0
x 0
vi ) lim Sec( x)  1
x 0
02. R.T DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE DOS
ÁNGULOS.
Sen( A  B)  SenACosB  SenBCosA
Cos ( A  B)  CosACosB
SenASenB
TagA  TgB
Tg ( A  B) 
1 TgATgB
.
 Sen( x) k 
xi ) lim 
 1
k
x 0
 x

Propiedades adicionales
1. Sen(   ).Sen(   )  Sen 2  Sen 2 
2. Cos(   ).Cos(   )  Cos 2  Cos 2 
Sen(   )
3.Tg  Tg  
Cos Cos 
Sen(   )
4.Ctg  Ctg  
Sen Sen

 1

Límites para funciones trigonométricas inversas

i ) lim ArcSen( x)  0;
ii ) lim ArcCos( x) 
x 0
x 0
2
ArcSen
(
x
)


iii ) lim ArcTg ( x)  0
iv) lim 
 1
x 0
x 0
x


ArcTan
(
x
)



v) lim 
 1 vi ) lim ArcCos( x) 

x 0
x 
x
2


PROPIEDADES TRIGONOMÉTRICAS
01. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
DAMF
l ).  (1  Sen  Cos ) 2  2(1  Sen )(1  Cos )
m).  Sec 2  Csc 2  Sec 2 Csc 2
n).  Tg  Ctg  Sec Csc
 1  Cos( x) 
 1  Cos( x)  1
viii ) lim 
 0 ix) lim 


x 0
x 0
x
x2



 2
 Tg ( x) k
xii ) lim 
k
x 0
 x
i ).  Csc8  Ctg 8  1  4Csc 2 Ctg 2  2Csc 4 Ctg 4
j ).  ( Sen  Cos  1)( Sen  Cos  1)  2Sen Cos
k ).  (1  Sen  Cos )(1  Sen  Cos )  2Sen Cos
ll ).  (1  Sen Cos ) 2  2(1  Sen )(1 Cos )
 Tan( x) 
v) lim 
 1
x 0
 x 
 x 
vii ) lim 
 1
x 0 Sen( x )


 1  Cos( x) 
x) lim 

x 0
x2


1
1
1
; Sec 
; Ctg 
Sen
Cos
Tg
03. R.T. DE ÁNGULOS MÚLTIPLES
A) R.T. DEL DOBLE UN ÁNGULO
1.Sen2  2Sen Cos ; 2. Cos 2  Cos 2  Sen2 ; 3.Tg 2 
2Tag
1  Tg 2
B) RT PARA EL TRIPLE DE UN ÁNGULO
7
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MG. AGUILAR ALTAMIRANO; Erick
1). Sen3  3Sen  4Sen3
Los ejercicios para efectos prácticos de
resolución se deberá expresarlo a la siguiente
forma:
2). Cos3  4Cos   3Cos
3
3). Tg 3 
3Tg  Tg 3
1  3tg 2

1 
e  1 

f ( x) 

Propiedades Adicionales:
a. Sen3  Sen  2Cos 2  1
f ( x)
1
; e  1  f ( x)  f ( x )
De la propiedad 10 y 11
b. Cos3  Cos  2Cos 2  1
c. Sen3  4Sen Sen(60   ) Sen(60   )
10.lim  log f ( x)   log  lim f ( x)   log  L 
d . Cos3  4Cos Cos (60   )Cos (60   )
e. Tg 3  Tg Tg (60   )Tg (60   )
11.lim  Lnf ( x)   Ln  lim f ( x)   Ln  L 
f .3Tg 3  Tg  Tg (60   )  Tg (60   )
PROPIEDADES EN LOS LOGARITMOS:
g . Cot 3  Cot Cot  60    .Cot  60   
01. log b A  X  A  b X
h. 4Sec3  Sec Sec  60    .Sec  60   
02. log b 1  0
i. 4Csc3  Csc Csc  60    .Csc  60   
04 log b ( AB)  log b ( A)  log b ( B)
C) RT. DE LA MITAD DE UN ÁNGULO.
1. Sen

2
2. Cos
3. Tg


2
2

1  Cos
2

1  Cos
2

A
05. log b ( )  log b ( A)  log b ( B)
B
06. logb An  n logb A
1  Cos
1  Cos
07. logb n Am  log bn Am 
04. TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS
 A B 
 A B 
1) Sen A  Cos B  2Sen 
 Cos 

 2 
 2 
 A B 
 A B 
2) Sen A  Sen B  2Sen 
 Cos 

 2 
 2 
 A B 
 A B 
3) Cos A  Cos B  2Cos 
 Cos 

 2 
 2 
 A B 
 A B 
4) Cos B  Cos A  2Sen 
 Sen 

 2 
 2 
08.logb A 
log k A
k  0  k  0
log k b
09. logb A 
1
A  0
log A b
(c.a)
n
11. blogb A  A
12. B logb A  Alogb B *
13.log b A  log b a1 log a1 a2 log a2 a3 ....log an1 an log an A
6) 2CosASen B  Sen ( A  B)  Sen ( A  B)
7) 2Cos ACos B  Cos ( A  B )  Cos ( A  B )
8) 2Sen ASen B  Cos ( A  B )  Cos ( A  B )
1
14. Co log b A  log b     log b A *
 A
A
15.Antilog b A  b
LÍMITES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
16.Anti log b  log b A  log b  Antilog b A  A
Nociones básicas: se tendrá en cuenta que:
log10 A  log A es llamado logaritmo
Observación 02:
Las funciones hiperbólicas:
decimal, vulgar o de Briggs

m
log b A
n
10.  logb A   logbn A  logb An
5) 2Sen ACos B  Sen ( A  B )  Sen ( A  B )

3).  log A A  1
loge A  ln A es llamado logaritmo hiperbólico
e x  e x
e x  e x
e x  e x
senhx 
;cos hx 
; tghx  x  x
2
2
e e
senhx.csc hx  1;cosh x.sec hx  1; tghx.coth x  1
o neperianos dónde e  2.718281......
Para el desarrollo de los ejercicios de la función
en el límite:
x
1
 1
lim 1    e ; lim 1  x  x  e
x 
x 0
x
 
0
DAMF
8
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i) lim f ( x)  k ; ii) lim f ( x)  k
x 
ASINTOTAS Y SU USO EN LAS
REPRESENTACIÓNES GRÁFICAS
La asíntota de una curva es la recta L cuya posición
está definida por el límite de la diferencia d de un
punto P de la curva a dicha recta, que es cero,
cuando P se aproxima a L hasta tocarla en el
infinito. De aquí que la misma definición nos
induce a pensar que los límites infinitos y al
infinito están íntimamente ligados al estudio de
las asíntotas. Geométricamente los límites de la
forma:
ASÍNTOTA OBLÍCUA
Sean f una función real. Se dice que la recta
y  mx  b; m  0 es una asíntota oblícua de la
gráfica de y=f(x) si se cumple los enunciados
siguientes:
 f ( x) 
i) lim 
 m ; ii ) lim  f ( x)  mx   b
x 
x 
 x 
 f ( x) 
iii ) lim 
 m ; iv) lim  f ( x)  mx   b
x 
x 
 x 
lim f ( x)   ; lim f ( x)  L
x  x0
x 
Indican la presencia de asíntotas verticales y
horizontales.
ASÍNTOTA VERTICAL:
Sean f una función real y
x 0 un
x 
punto de
acumulación del Dom (f). Se dice que la recta
x  x0
en una asíntota vertical de la gráfica de
y=f(x) si se cumple al menos uno de los
enunciados siguientes:
i) lim f ( x)   ; ii) lim f ( x)  ; iii) lim f ( x)  
x  x0
x  x0
x  x0
Obs: si una restricción no es una asíntota
sellamará punto ciego.
CAPÍTULO II: CONTINUIDAD
Una función f definida sobre un intervalo,
intuitivamente diremos que f es continua si su
gráfica no presenta interrupciones o rupturas
sobre dicho intervalo.
ASÍNTOTA HORIZONTAL:
Sean f una función real. Se dice que la recta y =k
es una asíntota horizontal de la gráfica de y=f(x)
si se cumple al menos uno de los enunciados
siguientes:
DAMF
9
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
DEFINICIÓN 01: Se dice que una función es
continua en x0  Dom( f ) si, y solo si:
x0  Dom( f ) y existe L  lim f ( x)
x  x0
lim f ( x)  f ( x0 )
x  x0
DEFINICIÓN 02: Se dice que una función es
continua en x0  Dom( f ) si, y solo si:
  0,   0 / si x  x0    f ( x)  f ( x0 )  
DEFINICIÓN 03: Una función f es continua en x0
DEFINICION 06:
si, y solo si, para x próximo a x0 , f(x) es próximo
Un punto x0 
a f ( x0 ) .
se dice que es discontinua
esencial o inevitable si se cumple que:
  0,   0 / si x V ( x0 )  f ( x) V ( f ( x0 ))
DEFINICIÓN 04: Una función f es continua en

x0  Dom( f ) si, y solo si, se satisfacen las tres
x0  Dom( f ) y no existe lim f ( x) ,
x  x0
donde los límites laterales existen pero
condiciones siguientes:
lim f ( x)  lim f ( x)
x  x0
i. f ( x0 ) está definida, es decir existe f ( x0 )

x  x0
x0  Dom( f ) y lim f ( x)   puede
x  x0
ser  o  
ii. Existe lim f ( x)
x  x0
iii. lim f ( x)  f ( x0 )
x  x0
PUNTOS DE DISCONTINUIDAD
Son puntos que provocan una interrupción, un
salto o ruptura en el trazado de la gráfica de una
función que son originados por dos motivos:
Primero: Que exista lim f ( x) pero que no
CONTINUIDAD LATERAL
x  x0
DEFINICIÓN 07:
Una función f se dice que es:
coincida con f ( x0 ) .
Segundo: Que no exista lim f ( x)
x  x0
Estos casos
definiciones:
nos
sugieren
las
siguientes
a. Continua por la izquierda en x0 
si, y solo si:
i. Existe f ( x0 )
ii. lim f ( x)  f ( x0 )
x  x0
DEFINICION 05:
Un punto x0 
se dice que es discontinua
removible o evitable si se cumple alguna de las
siguientes condiciones:

x0  Dom( f ) y existe L  lim f ( x) ,
x  x0
pero lim f ( x)  f ( x0 )
si, y solo si:
i. Existe f ( x0 )
ii. lim f ( x)  f ( x0 )
x  x0
DEFINICIÓN 08: Se dice que una función f es:
a. Continua por la izquierda en x0  Dom( f ) si, y
solo si:
  0,   0 / si  x0   ; x0 ]  f ( x)  f ( x0 )  
x  x0
DAMF
b. Continua por la derecha en x0 
10
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b. Continua por la derecha en x0  Dom( f ) si, y
solo si:
  0,   0 / si [ x0 ; x0    f ( x)  f ( x0 )  
CONTINUIDAD EN INTERVALOS
Una función f es continua sobre un conjunto
S  Dom( f ) si la función restringida, denotado por fs,
es continua en cada punto de S.
Caso I:
Si S  a; b  Dom( f ) , es un intervalo abierto,
entonces
la función f es continua para todo
x0  a; b si se cumple:
PROPIEDADES DE LA PRESERVACIÓN DE LA
CONTINUIDAD:
Si las funciones reales f y g son continuas en
x0  Dom( f  g ) , entonces:
1. La función suma f ( x)  g ( x) es continua en
x0
2. La
lim f ( x)  f ( x0 )
x  x0
función
diferencia
f ( x)  g ( x) es
continua en x0 .
Caso II:
Si S   a; b  Dom( f ) , es un intervalo cerrado,
3. La función producto f ( x).g ( x) es continua
en x0
entonces la función f es continua si se cumple:
f ( x)
es continua en x0
g ( x)
, siempre que g ( x)  0 .
a. f es continua para todo x0  a; b
4. La función cociente
b. lim f ( x)  f (a) f es continua por la derecha de a.
x a 
c. lim f ( x)  f (b) f es continua por la izquierda de b.
x b
Caso III:
Si S  [a; b  Dom( f ) , es un intervalo cerrado,
entonces la función f es continua si se cumple:
Si la funciones f es continuas en x0 , y si
a. f es continua para todo x0  a; b
lim g (c)  x0 donde
b. lim f ( x)  f (a) f es continua por la derecha de a.
x a
LÍMITE DE LA COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
CONTINUAS:
c c0

Caso IV:
Si S  [a; b  Dom( f ) , es un intervalo cerrado,
entonces la función f es continua si se cumple:
c0
es
un
punto
acumulación del Dom(fog), entonces:
lim f  g (c)  f  lim g (c)   f ( x0 )
 cc0

c c0
Teorema:
a. f es continua para todo x0  a; b
b. lim f ( x)  f (b) f es continua por la izquierda de b.
x b
Si g es una función continua en x0 , y f es
continua en g( x0 ),entonces la composición
fog es continua en en x0 .
DAMF
de
11
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DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
tangente L a la curva en P( x0 ; f ( x0 )) (viene
determinado por:
Si y =f(x) y si x0 , x0 +h son dos números que
pertenecen al Dom(f) con h  x  ( x0  h)  ( x0 )
f ( x0  h)  f ( x0 )
f
 lim
h 0 h
h 0
h
m  tg  lim
entonces: y  f ( x0  h)  f ( x0 ) es el incremento
Siempre y en cuando el límite exista.
de la variable dependiente “y” que corresponde al
Derivada de una función
x
incremento h de la variable independiente x en 0 , o
bien, incremento de la función f, en cuyo caso se
denota: f  f ( x0  h)  f ( x0 ) .
Sea f la función definida en un entorno del punto
y sea x un punto arbitrario de este entorno. Entonces la
derivada de f en x0 viene dado por:
f ´( x)  lim
x  x0
PENDIENTE DE UNA RECTA
x0 
f ( x)  f ( x0 )
x  x0
Notaciones: La derivada se puede denotar también por:
a. Recta secante a una curva:
dy df ( x)

 y '  f '( x)  D( f )  Dx ( f )
dx
dx
Derivabilidad y continuidad
La derivada
f ´( x)  lim
x  x0
f ( x)  f ( x0 )
existe si, y solo
x  x0
si, se cumple la igualdad de los límites laterales, es decir:
Si
De la gráfica podemos observar que:
La pendiente de la recta secante PQ viene
determinado por:
m  tg 
f ' ( x)  lim
f ( x)  f ( x0 )
f ( x0  h)  f ( x0 )
 lim
h

0
x  x0
h
f ' ( x)  lim
f ( x)  f ( x0 )
f ( x0  h)  f ( x0 )
 lim
h 0
x  x0
h
x  x0
f ( x0  h)  f ( x0 )
f

x
h
x  x0
f ' ( x)  f ' ( x)
TEOREMA: Si f es derivable en x0 , entonces f es
continua en x0 .
b. Recta Tangente a una curva:
Entonces se debe cumplir que
De la gráfica podemos observar que:
Si f es una función definida en un intervalo que
contiene a x0 , entonces la pendiente de la recta
DAMF
REGLAS BÁSICAS DE DERIVACIÓN:
12
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d
1 du  

Arcsenu 
;    Arcsenu  
dx
2
1  u 2 dx  2
d
1 du
20. Arc cos u 
; 0  Arc cos u   
dx
1  u 2 dx
01. PROPIEDADES FUNDAMENTALES
19.
dc
dc.x
0
02.
c
dx
dx
d
d
du
03.  c.x n   cnx n 1 04.  c.u   c
dx
dx
dx
d
du dv dw
05. (u  v  w  .....) 
 
 .....
dx
dx dx dx
d
du
dv
06. (u.v)  v
u
dx
dx
dx
d
dw
dv
du
07. (u.v.w)  u.v
 uw  vw
dx
dx
dx
dx
du
dv
v
u
d u
08.    dx 2 dx
dx  v 
v
d
du
09.  u n   nu n 1
dx
dx
dy dy du
10. 
.
regla de la cadena
dx du dx
du
1
11.

dx dx / du
du dy / du
12.

dx dx / du
01.
02.
DERIVADA
TRIGONOMÉTRICAS
DE
LAS
d
1 du  

Arctg u 
;    Arctg u  
2
dx
1  u dx  2
2
d
1 du
22.
Arcctg u 
;  0  Arc c tg u   
dx
1  u 2 dx
d
1
du
1 du
23.
Arc sec u 

2
dx
u u  1 dx
u 2  1 dx
21.
 

  si 0  Arc sec u  2 


  si   Arc sec u   

2

d
1
du
1 du
24.
Arc csc u 

2
2
dx
dx
u u 1
u  1 dx
 

  si 0  Arc csc u  2 


  si    Arc sec u  0 

2

04.
DERIVADA
DE
LAS
EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS
FUNCIONES
d
du
sen u  cos u
dx
dx
d
du
14. cos u   sen u
dx
dx
d
du
15. tg u  sec2 u
dx
dx
d
du
16. ctg u   csc 2 u
dx
dx
d
du
17. sec u  sec u. tg u
dx
dx
d
du
18. csc u   csc u. ctg u
dx
dx
13.
03.
DERIVADA
DE
LAS
TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
DAMF
FUNCIONES
log a e du
d
log a u 
a  0;1
dx
u dx
d
d
1 du
26. ln u  log e u 
dx
dx
u dx
d u
du
27. a  a u ln a
dx
dx
d u
du
28. e  eu
dx
dx
d v du v ln u
dv
29. u 
e
 ev ln u  v ln u 
dx
dx
dx
du
dv
 vu v 1
 u v ln u
dx
dx
25.
05.
DERIVADA
DE
LAS
TRIGONOMÉTRICAS HIPERBÓLICAS
FUNCIONES
FUNCIONES
13
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UNSCH ING. CIVIL
MG. AGUILAR ALTAMIRANO; Erick
d
du
senh u  cosh u
dx
dx
d
du
31. cos hu  senh u
dx
dx
d
du
32. tgh u  sec 2 u
dx
dx
d
du
33. ctg u   csc h 2 u
dx
dx
d
du
34. sec h u  sec h u. tgh u
dx
dx
d
du
35. csc hu   csc h u. ctgh u
dx
dx
30.
06.
DERIVADA
DE
LAS
FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS HIPERBÓLICAS INVERSAS
36.
d
1 du
Arcsenhu 
;
dx
1  u 2 dx
d
1 du   si 0  Arc cosh u; u  1
Arc cosh u 
; 

dx
1  u 2 dx   si 0  Arc cosh u; u  1
d
1 du
38.
Arctgh u 
;  1  u  1
dx
1  u 2 dx
d
1 du
39.
Arcctg hu 
; u  1 ó u  1
dx
1  u 2 dx
d
1
du
1 du
40.
Arc sec h u 

2
dx
u 1  u dx
u 2  1 dx
37.
  si 0  Arc sec hu; 0  u  1
  si Arc sec hu  0; 0  u  1


d
1
du
1 du
41.
Arc csc h u 

2
2
dx
dx
u u 1
u  1 dx
  si 0  u;
 si u  0
DERIVACIÓN IMPLÍCITA
DAMF
14
MG. AGUILAR ALTAMIRANO, ERICK E.