CONJUNTOS

MATEMÁTICA
1° DE SECUNDARIA
PROGRAMACIÓN VIRTUAL
2020
Profesor:
TEMA:
CONJUNTOS
Ejemplo:
A = {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes, Sábado, Domingo}
B = {Jorge, Alberto, Mario, Manuel, Néstor, Ricardo}
C = {3; 5; 12;18}
Relación de pertenencia (∈)
Si un elemento está en un conjunto o es parte de él, diremos que "pertenece" a dicho conjunto y lo
denotaremos con el símbolo "∈", en el caso de no pertenecer por "∉".
Ejemplo:
Dado el conjunto: A = {2; 5; 7; 8}
Entonces:
2∈A ;4∉A
;7∈A
Determinación de conjuntos
Existen dos formas de determinar un conjunto:
Por extensión
Cuando se nombran todos los elementos que conforman el conjunto.
Ejemplo:
A = {a; m; o; r}
B = {1; 3; 5; 7; 9}
Por comprensión
Cuando se menciona una o más características comunes a todos los elementos del conjunto.
Ejemplo:
A = {x / x es una letra de la palabra aroma}
B = {x / x es un número impar menor que 10}
Relaciones entre conjuntos
1. Igualdad: Dos conjuntos "A" y "B" son iguales si y solo si, tienen los mismos elementos y el
mismo cardinal. Se denota por A = B.
Ejemplo:
A = {2; 3; 4}
B = {x / x ∈ Ν , 1 < x < 5}
A = B, pues: B = {2; 3; 4}
2. Inclusión: Diremos que "A" está incluido en "B" o es subconjunto de "B"; si y solo si, todos los
elementos de "A", son también elementos de "B". Se denota por:
"A ⊂ B" y se lee: "A está incluido en B" ó "A es un subconjunto de B".
La negación de A ⊂ B se escribe A ⊄ B
Ejemplo:
Dados los conjuntos:
A = {1; 2; 3}
B = {0; 1; 2; 3; 4; 5}
⇒A⊂B
Dado el conjunto: A = {3; {6}; 9; 10}
Entonces se cumple:
{3} ⊂ A
{3; 9} ⊂ A
{{6}} ⊂ A
{3; 6} ⊄ A
Clasificación de conjuntos
Según la cantidad de elementos, los conjuntos se clasifican en: finitos, infinitos, unitarios y vacíos.
1. Conjunto finito Un conjunto es finito, cuando podemos contar o nombrar todos sus
elementos.
Ejemplo: P = {x/x N ;2 ≤ x < 9}
Q = {x/x es un país latinoamericano}
2. Conjunto infinito Un conjunto es infinito, cuando no se puede contar o nombrar todos sus
elementos.
Ejemplo:
R = {x / x  ℝ ;0 < x < 1}
S = { x/x es un múltiplo de 3}
Conjuntos Especiales
1. Conjunto Unitario: Al conjunto que consta de un solo elemento se le llama conjunto unitario o
Singletón.
Ejemplo: T = {x/x N ; 5 < x < 7}
V = {x/x es un número primo múltiplo de 2}
2. Conjunto Vacío o nulo: Un conjunto es UNITARIO, cuando no posee ningún elemento.
Ejemplo:
Y = {x / x  𝑁 ; - 6 < x < -1}
Z = { x/x es un perro con alas}
3. Conjunto referencial o universal (U)
Es aquel conjunto que se toma como referencia, para un determinado problema, y en el que
se encuentran todos los elementos con que se está trabajando. Se le denota por la letra U.
Ejemplo:
Si : A = {1; 2; 3} B = {–1; 0; 4}
Un conjunto universal para "A" y "B" podría ser: U = {–1; 0; 1; 2; 3; 4}, pues los elementos de
"A" y "B" están en U.
Cardinal de un conjunto
Sea "A" un conjunto finito, el cardinal de un conjunto es el número de elementos diferentes que
posee dicho conjunto. Se denota por: n(A)
Ejemplo:
A = {3; 4; 7; 9; 13} ⇒
n(A) = 5, se lee: "el cardinal de A es 5"
B = {a; b; c; b; a; a} = {a; b; c} ⇒
n(B) = 3
Conjunto Potencia P(A)
• Subconjuntos
Sea el conjunto: A = {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17}
Es correcto indicar:
{2; 3} ⊂ A
{17} ⊂ A
• Conjunto Potencia
Es el conjunto de conjuntos que está
formado por todos los subconjuntos:
{3; 7; 13} ⊂ A
• Cantidad de subconjuntos
Sea n(A) = n → "A" tiene 2𝑛 subconjuntos
Ejemplo:
Ejemplo:
Sea el conjunto: A = {2; 3; 5}
El conjunto potencia es:
Sea el conjunto: A = {2; 3; 5}
Son en total: 23 = 8
P(A)={ φ; {2}; {3}; {5}; {2; 3}; {2; 5}; {3; 5}; {2; 3; 5}}
Desarrollamos:
Ejercicios del CT
PÁGINA 266
BLOQUE 1
PÁG.266
1. Marcelo y Joaquín, aprovechando sus vacaciones de verano, asistieron a una academia de natación durante
el mes de febrero (2016). Marcelo iba a sus clases los días lunes, miércoles y viernes, mientras que Joaquín
solo lo hacía los días viernes. Se pide:
a) Determine por extensión el conjunto que contenga todas las fechas de los días que asistía Marcelo a sus
clases de natación
b) Determine por comprensión el conjunto que contenga las fechas de los días que asistía Joaquín a sus
clases de natación.
Adjuntamos como dato el siguiente cuadro:
Solución:
𝒂) 𝑀 = 1; 3; 5; 8; 10: 12; 15; 17; 19; 22; 24; 26; 29
𝒃) 𝐽 = 7𝑥 − 2/𝑥 ∈ 𝑁 ; 1 ≤ 𝑥 ≤ 4
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2. Sean los conjuntos:
A ={a; {b}; c; d; e; f}
B ={b; d}
C ={a; e}
D ={b; c; d}
Escribe ∈; ∉; ⊂ 𝑜 ⊄ según corresponda
∉
⊂
⊄
⊂
⊄
⊄
∉
∉
⊂
∈
⊂
⊂
⊄
⊂
⊂
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𝑨 = {𝟎; 𝟐; 𝟒; 𝟔; 𝟖; 𝟏𝟎; 𝟏𝟐; 𝟏𝟒; 𝟏𝟔}
𝑩 = {𝟐; 𝟒; 𝟖; 𝟏𝟔}
𝑪 = {𝟒; 𝟏𝟎; 𝟏𝟔}
1
𝑫 = {𝟏}
𝑼 = {𝟎; 𝟏; 𝟐; 𝟑; 𝟒; 𝟓; 𝟔; 𝟕; 𝟖; 𝟗; 𝟏𝟎; 𝟏𝟏; 𝟏𝟐; 𝟏𝟑; 𝟏𝟒; 𝟏𝟓; 𝟏𝟔; }
Conteste verdadero (V) o falso (F) a cada una de las relaciones de pertenencia e inclusión.
(F)
(F)
(V)
(F)
(F)
(F)
(F)
(F)
(F)
(V)
(V)
(V)
(V)
(F)
(F)
(V)
(F)
(F)
(V)
(F)
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4. Relacione cada pareja de conjuntos iguales:
<
x
5. Clasifique cada conjunto como finito, infinito, vacío y unitario según corresponda:
I = { ( x + 1)/x ϵ N / x es par }
(
infinito
)
j = { (−1)𝑥 / x es impar }
(
unitario
)
K = { 5x / x  N; 0 ≤ x < 21000 }
(
finito
)
L = { x / x  N; 2< x < 3 }
(
vacío
)
6. Sean los conjuntos:
𝑴 = {𝟐; 𝟒; 𝟔; 𝟖; 𝟏𝟎}
𝒏 𝑴 =5
𝑵 = {𝟎; 𝟒; 𝟏𝟔; 𝟑𝟔}
𝒏 𝑵 =4
𝒏 𝑷 =3
𝑷 = {𝟎; 𝟏; 𝟒}
Calcule el cuadrado de la suma de los cardinales de M, N y P
(5 + 4 + 3)2 = 122
= 𝟏𝟒𝟒
7. Si: M={3a + 1; 25 ; 5b +10} Es un conjunto unitario, calcule el valor de (𝑎 − 𝑏)2
Solución:
• Si M es un conjunto unitario entonces:
3a + 1 = 25 = 5b +10
• Reemplazamos a y b:
(𝑎 − 𝑏)2
= (8 − 3)2
= (5)2
3a + 1 = 25
a=8
25 = 5b +10
b=3
= 𝟐𝟓
8. Si: 𝐴 = {𝑎2 − 5; 16} y 𝐵 = 𝑏2 + 3𝑎; 11 son conjuntos iguales, calcule el valor de (𝑎 − 𝑏 2 )3
Solución:
• Si A y B son conjunto iguales entonces:
(𝑎 − 𝑏 2 )3 = (4 − 22 )3
𝐴=𝐵
{𝑎2 − 5; 6} = 𝑏2 + 3𝑎; 11
𝒂𝟐 − 𝟓 = 𝟏𝟏
𝒂𝟐 = 𝟏𝟔
𝒂=𝟒
• Reemplazamos a y b:
𝒃𝟐 + 𝟑(𝟒) = 𝟏𝟔
𝒃𝟐 + 𝟏𝟐 = 𝟏𝟔
𝒃𝟐 = 𝟒
𝒃=𝟐
= (1)3
=𝟏
9. Sea el conjunto: P = {(x²– x) / x  N; - 4 ≤ 2x ≤ 7}, calcule el número de subconjuntos propios que
tiene P.
Solución:
• Hallamos por extensión P:
P = {(x²– x) / x  N; - 4 ≤ 2x ≤ 7}
- 4 ≤ 2x ≤ 7
- 2 ≤ x ≤ 3,5
Valores de x: 0; 1; 2; 3
𝑃 = {0; 2; 6}
• Calculamos el número de subconjuntos
𝑛 𝑃 =3
propios de P:
2𝑛(𝑃) − 1
= 23 −1
=𝟕
9. Dados los siguientes conjuntos iguales.
• 𝑉 = {b + 2; 4}
b+2=5
b=3
• 𝑇 = {b + 1; c + 1}
Calcula el valor de (a + b – c ) x ( a – b + c )
𝑇 = {4; c + 1}
Solución:
𝑅=𝑆
{𝑎 + 2; 𝑎 + 1} = 7 − 𝑎; 8 − 𝑎
c+1=5
c=4
• Calculamos: (a + b – c ) x ( a – b + c )
= (3 + 3 – 4 ) x ( 3 – 3 + 4 )
a+2=8−a
2𝑎 = 6
𝑎=3
𝑆 = {7 − 3; 8 − 3}
𝑆 = {4; 5}
= (2 ) x (4 )
=8
11. Determine por extensión los siguientes conjuntos:
𝑨 = {𝟏; 𝟑; 𝟓; 𝟕; 𝟗; 𝟏𝟏; 𝟏𝟑; 𝟏𝟓; 𝟏𝟕}
x: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8
𝑩={}
x: 7; 8; 9; 10; 11; 12
𝑪 = {𝟎; 𝟓; 𝟏𝟐; 𝟐𝟏; 𝟑𝟐 }
x: 2; 3; 4; 5; 6
𝐃 = {4; 5; 6; 7; 9; 12; 15; 21; 39}
x: 1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36
12. Observe el gráfico y conteste a las siguientes preguntas
a) Determine por extensión cada uno de los conjuntos
mostrados
𝑨 = {𝟏; 𝟐; 𝟑; 𝟒; 𝟓; 𝟔; 𝟕; 𝟖; 𝟗; 𝟏𝟎; 𝟏𝟏; 𝟏𝟐; 𝟏𝟑; 𝟏𝟒; 𝟏𝟓}
𝑩 = {𝟐; 𝟑; 𝟒; 𝟓; 𝟕; 𝟏𝟎; 𝟏𝟑; 𝟏𝟒}
𝑪 = {𝟏; 𝟒; 𝟔; 𝟏𝟎; 𝟏𝟐; 𝟏𝟒}
𝐃 = {1; 4; 9}
b) Determine por comprensión (forma simbólica) el
conjunto D
𝐃 = {1; 4; 9} 𝐃 = 𝒙𝟐 /𝒙 ∈ 𝐍; 𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟑
12. Observe el gráfico y conteste a las siguientes preguntas
c) Calcule:
𝒏
𝒏
𝒏
𝒏
𝑨
𝑩
𝑪
𝑫
= 𝟏𝟓
=𝟖
=𝟔
=𝟑
15 × 3 − 6
=
8
45 − 6
=
8
𝟑𝟗
=
𝟖
d) ¿Cuál o cuáles son los elementos que están presentes
en todos los conjuntos mostrados?
𝑹𝒑𝒕𝒂 = {𝟒}
e) ¿Cuál o cuáles de los conjuntos está incluido el
subconjunto { 2; 5; 9} ?
𝑹𝒑𝒕𝒂 = 𝑨
13. Determine por comprensión (forma simbólica) los siguientes conjuntos:
𝐄 = 𝒙/𝒙 ∈ 𝐍; 𝟖 ≤ 𝒙 ≤ 𝟐𝟖
𝐅 = 𝟐𝒙 + 𝟏/𝒙 ∈ 𝐍; 𝟔 ≤ 𝒙 ≤ 𝟐𝟔
𝐆 = 𝒙(𝒙 + 𝟏)/𝒙 ∈ 𝐍; 𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟕
14. Si
, calcula el cardinal de A
Solución:
• x: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8
• Reemplazamos en x en
3𝑥+1
2
• 𝐴 = 2; 5; 8; 11
• 𝑛(𝐴) = 4