Cónica y coordenadas polares Parábola En matemáticas, una parábola (del griego παραβολή) es la sección cónica de excentricidad igual a 1, resultante de cortar un cono recto con un plano cuyo ángulo de inclinación respecto al eje de revolución del cono sea igual al presentado por su generatriz. El plano resultará por lo tanto paralelo a dicha recta. Se define también como el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta llamada directriz, y un punto interior a la parábola llamado foco. En geometría proyectiva, la parábola se define como la curva envolvente de las rectas que unen pares de puntos homólogos en una proyectividad semejante o semejanza. La parábola aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadas debido a que su forma se corresponde con las gráficas de las ecuaciones cuadráticas. Por ejemplo, son parábolas las trayectorias ideales de los cuerpos que se mueven bajo la influencia exclusiva de la gravedad. La ecuación general de una parábola es y=ax2+bx+c HIPÉRBOLA Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva. ELIPSE La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. Coordenadas polares Las coordenadas polares, La coordenada , se definen de la siguiente manera: es la distancia del punto variar entre los valores La coordenada las . es el ángulo que forma el vector con el eje vertical de en sentido horario. Puede variar entre los valores radianes), o O bien Ejemplos al origen. Puede en centígrados. (en 1. Así, nuestro punto en coordenadas polares es . Gráficas de ecuaciones polares Espiral f( )= Cardioide f( )=3-3 sen Rosa f( )=3cos(2 ) Caracol f( )=2+4sen Funciones Función algebraica En matemáticas, una función algebraica es una función que satisface una ecuación polinómica cuyos elementos son a su vez polinomios o monomios. Por ejemplo, una función algebraica de una variable x es una solución y a la ecuación. Las funciones algebraicas pueden ser: Funciones explícitas Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución como en este ejemplo: F(x)=5x-2 Funciones implícitas Si no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es necesario efectuar operaciones, como en este ejemplo 5x - y - 2 = 0 COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Una función compuesta es la imagen resultado de la aplicación sucesiva de dos o más funciones sobre un mismo elemento x. Siendo f y g dos funciones, se define la composición de dos funciones (denotada por g o f) como: La composición de funciones se realiza aplicando dichas funciones en orden de derecha a izquierda, de manera que en (g o f)(x) primero actua la función f y luego la g sobre f(x). Funciones trascendentes El logaritmo y la función exponencial son algunos ejemplos de funciones trascendentes. El término función trascendente a menudo es utilizado para describir a las funciones trigonométricas ya que también son funciones trascendentes, o sea el seno, coseno, tangente, cotangente, secante, y la cosecante. Una función que no pertenece al conjunto de las funciones trascendentes se dice que es una función algebraica. Ejemplos de funciones algebraicas son las funciones racionales y la función raíz cuadrada. La operación de calcular la función primitiva (o integral indefinida) de una función algebraica es una fuente de funciones trascendentes. Por ejemplo, la función logaritmo surgió a partir de la función recíproca en un intento para calcular el área de un sector hiperbólico. Por lo tanto el ángulo hiperbólico y las funciones hiperbólicas senh, cosh, y tanh son todas funciones trascendentes. En álgebra diferencial se estudia como a menudo la integración crea funciones independientes en un sentido algebraico de una cierta clase tomada como 'standard', como por ejemplo cuando se consideran polinomios en los cuales las variables son funciones trigonométricas. Ejemplo de funciones trascendentes son: Veamos algunos ejemplos de funciones trascendentes: F(x) = ex F(x) = 2x F(x) = 10x F(x) = loga x F(x) = Ln x F(x) = sen x F(x) = cos x F(x) = tg x F(x) = cotg x F(x) = sec x F(x) = cosec x Propiedades de los logaritmos El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores: Ejemplo: 2 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor: Ejemplo: 3 El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base: Ejemplo: 4El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz: Ejemplo: 5 Cambio de base: Ejemplo: Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo Seno El seno del ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa. Se denota por sen B. Coseno El coseno del ángulo B es la razón entre el cateto adyacente o contiguo al ángulo y la hipotenusa. Se denota por cos B. Tangente La tangente del ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente al ángulo. Se denota por tan B o tg B. Cosecante La cosecante del ángulo B es la razón inversa del seno de B. Se denota por csc B o cosec B. Secante La secante del ángulo B es la razón inversa del coseno de B. Se denota por sec B. Cotangente La cotangente del ángulo B es la razón inversa de la tangente de B. Se denota por cot B o ctg B. Función trigonométricas en un triángulo rectángulo A partir de cualquier ángulo agudo α (menor de 90º) es posible construir un triángulo rectángulo ABC como el que puedes apreciar en la siguiente figura. Triángulo rectángulo Cualquier triángulo rectángulo posee dos ángulos agudos y uno recto. Teniendo en cuenta dicha figura geométrica y los ángulos formados en cada uno de sus vértices es posible obtener una serie de razones que reciben el nombre de razones trigonométricas conocidas como seno, coseno, tangente, cosecante y cotangente. seno El seno de un ángulo agudo α es el cociente entre la longitud del cateto opuesto (c) al ángulo y la longitud de la hipotenusa (a). Se representa como sen(α) o sin(α). sin(α)= cateto opuestohipotenusa=ca coseno El coseno de un ángulo agudo α es el cociente entre la longitud del cateto contiguo (b) al ángulo y la longitud de la hipotenusa (a). Se representa como cos(α). cos(α)= cateto contiguohipotenusa=ba tangente La tangente de un ángulo agudo α es el cociente entre la longitud del cateto opuesto al ángulo (c) y la longitud del cateto opuesto (b). Se representa como tg(α) o tan(α). tan(α)= cateto opuestocateto contiguo=cb De las definiciones anteriores es posible deducir que: tg(α)=sin(α)cos(α) Demostración: tan(α)= cb=⎧⎩⎨⎪⎪c=sin(α)⋅a b=cos(α)⋅a⎫⎭⎬⎪⎪=sin(α)⋅acos(α)⋅a=sin(α)cos(α) cosecante La cosecante de un ángulo agudo α es la relación inversa del seno, es decir el cociente entre la longitud de la hipotenusa (a) y la longitud del cateto opuesto al ángulo (c). Se representa como cosec(α) o csc(α). csc(α)=1sin(α)=hipotenusacateto opuesto=ac secante La secante de un ángulo agudo α es la relación inversa del coseno es decir, el cociente entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto contiguo al ángulo (b). Se representa como sec(α). sec(α)=1cos(α)=hipotenusacateto contiguo=ab cotangente La cotangente de un ángulo agudo α es el cociente entre la longitud del cateto contiguo al ángulo (c) y la longitud del cateto opuesto (b). Se representa como cotg(α) o cot(α). cotg(α)=1tg(α)=cateto contiguocateto opuesto=bc Límites de funciones de varias variables Un límite es un número al que se aproxima una función cuando su argumento se aproxima también a otro número. En una función de dos variables del tipo y = f(x), cuando x se aproxima al valor de a, la función se acerca al valor L que corresponde al límite. La notación es así: Cuando x tiende al valor de c, la funcion f tiende al valor de L. Algunos limites son obvios y corresponden al mismo valor de c evaluado en la función. Sin embargo, los límites no se usan en casos obvios sino en funciones más complejas donde el valor de una función puede ser desconocido o inaccesible. No se ahondará demasiado en este asunto. En una función con varias variables, un límite funciona igual. La función f tiende a un valor L. Sin embargo, la tendencia no depende solo de una variable, sino los valores a los que se aproximan todas las variables independientes que componen a la función. Se tiene el límite de la función: El siguiente límite es un poco más complejo: ón tendrá su limite exacto, es decir hasta donde esta o dará un resultado parecido a 0. Teoría de limites A veces algo no se puede calcular directamente, pero puedes saber cuál debe de ser el resultado si te vas acercando más y más. A esto lo llamamos ellímitede una función. Por ejemplo, ¿cuál es el valor de (x2-1)/(x-1) cuando x=1? (12-1)/(1-1) = (1-1)/(1-1) = 0/0 Pero 0/0 es "indeterminado", lo que significa que no podemos calcular su valor. En lugar de calcular con x=1 vamos aacercarnospoco a poco: (x2-1)/(x-1) x 0.5 1.50000 0.9 1.90000 0.99 1.99000 0.999 1.99900 0.9999 1.99990 0.99999 1.99999 ... ... Vemos que cuando x se acerca a 1, (x2-1)/(x-1) se acerca a 2, así que decimos: Ellímitede (x2-1)/(x-1) cuando xtiende(ose aproxima) a 1 es2 y con símbolos se escribe:
