CLASE--MAT-2---VECTORES----36D

VECTORES
Vector es un desplazamiento, un cambio de ubicación. Una
descripción del desplazamiento incluye una dirección y una
distancia. Una cantidad que tiene magnitud y dirección se
denomina cantidad vectorial y esta cantidad vectorial se
puede representar por un segmento de recta con dirección,
llamado vector.
Vector de R n.- Un vector en R n es una n-upla de números reales v = (v1 , v2 ,..., vn )
Un vector de R 2 , es un par ordenado de números reales v = (v1 , v2 )
Un vector de R 3 , es una terna ordenado de números reales v = (v1 , v2 , v3 )
Vector aplicado .-Geométricamente se llama vector aplicado, a un segmento de
recta PQ, en el que se distingue el punto inicial
Q
u origen P y el punto final o extremo Q, la cual de denota por
v = PQ = Q − P
PQ
1.- Punto de aplicación u origen P.
2.- Dirección, que es aquella con el que recorre el segmento
P
cuando se va desde el origen P hasta el extremo Q.
3.- Módulo o longitud del segmento PQ, se designa con la notación
v = PQ
Vectores equivalentes.- Dos vectores aplicados v = PQ, w = RS
son equivalentes si tienen igual módulo y la misma dirección
PQ  RS
Pueden tener distinto punto de aplicación) .
Un vector aplicado y todos los equivalente a el, constituyen una
clase de vectores equivalentes entre si, cada una de las cuales
se denomina vector.
Vector nulo  .- Cuando el módulo de un vector es cero, el extremo
coincide con el origen, el vector se llama vector nulo.
En el vector nulo no esta definida la dirección.
v
Radio vector o vector posición.- Es el vector cuyo punto inicial u origen
coincide con el origen de coordenadas del sistema de referencia. Un radio
vector está determinado por su punto extremo.
Si v = OP , entonces:
v=P
IGUALDAD DE VECTORES .Si v = (v1 , v 2 ,..., v n ) y w = (w1 , w 2 ,..., w n ) 
n
, entonces:
v = w s.s.s vi = wi  i = 1, 2,..., n
La igualdad de dos vectores v y w significa que ambos tienen el mismo
módulo y la misma dirección.
n
Suma de Vectores.- Si v = (v1 , v2 ,..., v n ) y w = (w1, w 2 ,..., w n )  ,
entonces v + w = (v1 + w1 , v2 + w 2 ,..., v n + w n ) 
n
.
v+w
w
v
Propiedades:
1. Conmutativa:
v+w = w+v
2. Asociativa: (v + w) + u = v + (w + u)
v
u
w+u
w
w
v+w
v
v
3. Existe un único vector  / v +  = v ;  v, 
4. Para cada v  n ,  un único vector −v 
llamado vector opuesto de v
w
n
n
/ v + (−v) = 
v
-
Si v = (v1 , v2 ,..., vn )  − v = (−v1, −v2 ,..., −vn ) es su opuesto.
−v
DIFERENCIA DE VECTORES
Si v = (v1 , v 2 ,..., v n ) y w = (w1 , w 2 ,..., w n ) .
n
Entonces:
v − w = (v1 − w1 , v2 − w 2 ,..., vn − w n ) 
Los vectores v y w están construidos con el
mismo punto inicial. Geométricamente
v−w
w
v−w
es el vector cuyo origen es el punto final de
y cuyo extremo es el punto final de
v
n
v
.
w
v
−w
Teorema.- Si v = PQ entonces v = Q − P
Demostración. Si tenemos el punto O, origen de un sistema de referencia,
en el gráfico tenemos que OP y OQ son vectores posición.
v = PQ = OQ − OP = Q − P . Por tanto v = Q − P
Q
v
P
Ejemplo:
O
Dados los puntos P(3, − 7, 9, 6) y Q(8, 5, 1, 10) , hallar las componentes de
los vectores v = PQ y w = QP .
Solución:
a)
v = PQ = Q − P = (5, 12, −8, 4) b) w = QP = P − Q = (−5, −12, 8, −4)
MULTIPLICACIÓN DE UN VECTOR POR UN NÚMERO REAL
Si
v = (v1 , v2 ,..., vn ) 
n
, r
Geométricamente, el vector
rv
 rv = (rv1, rv 2 ,..., rv n ) 
tiene por módulo el
producto del valor absoluto de r 
por el módulo de
v , y por dirección la de v o su opuesto, según r sea
positivo o negativo, esto es, r v = r v
Propiedades:
1. r (s v) = (r s) v ,
v 
2. r (v + w) = r v + r w,
3. v = 1v
n
n
, r
 v, w 
n
, r
v
rv
-rv
MODULO, LONGITUD O NORMA DE UN VECTOR
Definición.- Si v = (v1 , v2 ,..., v n ) 
es el número real, denotado por v
n
, entonces, el módulo o la longitud o norma del vector
y definido por:
v
Y
v = v12 + v22 + ... + v2n
Si
v = (v1 , v2 ) 

2
v
= v12 + v12
v = v12 + v22
Igualdad que se demuestra aplicando el Teorema de Pitágoras
Si v = (v1 , v2 , v3 ) 
3

v2
v = v12 + v22 + v32
v1
O
X
Igualdad que se obtiene aplicando el Teorema de Pitágoras dos veces
Z
Ejemplo
Hallar el módulo del vector
Solución
C
v
v = (2, −1,3,1)
O
v = (2, −1,3,1)
v3
v1
v = 4 + 1 + 9 + 1 = 15
A
X
v2
B
Y
Propiedades.- de la norma de un vector:
1.
v 0
2.
v = 0 s.s.s v = 
3.
rv = r
4.
v+w  v + w
v
VECTOR UNITARIO
Es aquel vector cuyo módulo es igual a uno.
El vector unitario que tiene las misma dirección del vector dado v   ,se llama vector
o
unitario del vector v (versor del vector v ) y se le denota por v .
o
Determinación del vector unitario de un vector dado. Como v  v se tiene que
vo = r v para algún r  0 , entonces r = r .
o
Como v = 1 
r v =1 
r v =1  r v =1  r =
1
v

1
v = rv =
v
v
o
o
De aquí se tiene que todo vector se puede representar como v = v v
Observación.- Al vector v o también se le denota por u = v
v
Ejemplo. Hallar el vector unitario del vector v = (3,5, 4)
Solución.
v = 32 + 52 + 42 = 50 = 5 2  v o =
5
4 
 3
(3,5, 4) = 
,
,

5 2
5 2 5 2 5 2 
1
PRODUCTO ESCALAR
Definición.- Dados los vectores v, w 
n
, el producto escalar o producto interno o
producto punto de los vectores v y w , denotado por v.w, se define como la suma de
los productos de las componentes correspondientes de los vectores v y w .
Si v = (v1 , v 2 ,..., v n )
y w = (w1 , w 2 ,..., w n ) 
n
, entonces v.w = v1w1 + v2 w 2 + ... + vn w n
Ejemplo.Hallar el producto escalar de los vectores v = (2, 4, −1) y w = (3, −2,7)
Solución-.
v.w = (2, 4, −1).(3, −2, 7) = (2)(3) + (4)(−2) + (−1)(7) = 6 − 8 − 7 = −9
Nota.- El producto escalar de dos vectores, es un número real
Propiedades.- Para v, w, u 
n
y r
, se tiene:
1. v.w = w.v
2. (r v).w = v.(r w) = r (v.w)
3. v.(w + u) = v.w + v.u
4. v.v = v
2
5. v.v  0
6. v.v =  s.s.s v = 
Ejercicio.Si v, w 
n
demostrar que v + w = v
2
2
+ 2v.w + w
2
VECTORES ORTOGONALES
Definición.- Dados los vectores v, w 
v ⊥ w s.s.s
n
:
v+w = v−w
v+w
w
v−w
v
Teorema.- v ⊥ w
v.w = 0
s.s.s
v, w 
n
Demostración
v ⊥ w s.s.s
v+w = v−w
v ⊥ w s.s.s
v+w
= v−w
2
v ⊥ w s.s.s
v+w − v−w
2
v ⊥ w s.s.s
v
2
2
2
+ 2v.w + w
v⊥w
s.s.s
4 v.w = 0
v⊥w
s.s.s
v.w = 0
Teorema.-
v⊥w
s.s.s
=0
2
− v
2
v, w 
v
2
+ 2v.w − w
2
=0
n
+ w
2
= v+w
v+w
w
v
2
PROYECCIÓN ORTOGONAL
Definición.- Dados los vectores v, w 
n
, con w  
, la proyección ortogonal de v sobre w es el vector
denotado por Pr oyw v, se define como Pr oy w v =
v
w
Proy w v
v.w
w
2
w
COMPONENTE DE UN VECTOR
Definición.- Dados los vectores v, w 
n
, con w   , la componente de v
en la dirección de w es el número real denotado por Compw v , se define
v.w
como Comp w v =
w
Relación entre la proyección y la componente:
Pr oy w v =
v.w
w
2
 v.w  w
w = 
= (Comp w v)w o

 w  w
 v.w  w
Pr oy w v = 
= (Comp w v)w o = Comp w v w o = Comp w v

 w  w

Pr oy w v = Comp w v
Propiedades:
1. Pr oy w v y w tienen la misma direccion s.s.s Comp w v  0
2. Pr oy w v y w tienen direcciones opuestas s.s.s Comp w v  0
3. Si u   / w y u tienen la misma direccion s.s.s Comp w v = Comp u v
4. Si u   / w y u tienen direcciones opuestas s.s.s Comp w v = −Comp u v
5. Si u   / u // w  Pr oy w v = Pr oy u v
6. Si v // w  Pr oy w v = v
Ejercicio:
Si v = (5, −3, −1) y w = (1,0, 2). Hallar Pr oy w v
y Comp w v
ÁNGULO ENTRE VECTORES
Sean v, w  n , v, w   vectores con punto inicial en común, entonces el ángulo
determinado por ellos es  y se denota por  = (v, w)donde 0o    180
.o
w
w



v
v
Teorema.- Si

el ángulo entre los vectores v, w 
v.w = v
Aplicación.Si v, w 
n
w
n
v
,entonces
 v.w
w cos    = arccos 
 v w



, probar que v + w  v + w .
Demostración:
v+w
2
= v

2
+ 2v.w + w
2
 v
2
+2 v w + w
v+w  v + w
2
=( v + w
)
2
2
VECTOR ORTOGONAL A OTRO VECTOR DADO (en
Definición.- Para cada vector v = (v1 , v2 ) 
2
)
, definimos un
vector correspondiente, el vector denotado por v⊥ (Vector
Ortogonal de
v ) y definido por
v⊥ = (−v2 , v1 ) .
Propiedades.-
1. (v ⊥ ) ⊥ = − v
⊥
2. v .w = − v.w
⊥
3. v ⊥ .w ⊥ = v.w
4. (v.w) ⊥ = v ⊥ .w ⊥
5.
v⊥ = v
v⊥
90º
v
ÁREA DEL PARALELOGRAMO (en el Plano) .-
Consideremos el paralelogramo de lados no paralelos los vectores v, w 
área S del paralelogramo es S = v.w ⊥ .
Demostración:
w
Longitud de la base es B = w
Altura del paralelogramo h = u
Pr oy w⊥ v
⊥
v
u
u = Proy w ⊥ v = Comp w ⊥ v
S = Bh = w Comp w ⊥ v = w
S = v.w ⊥
v.w ⊥
w⊥
w
2
,
ÁREA DEL TRIÁNGULO EN
2
.-
El área del triángulo de lados los vectores v, w 
2
es A  =
1
v.w ⊥ .
2
Ejercicio:
Calcular el área del triángulo de lados los vectores v = (−3, −2) y w = (1, 4)
Solución:
v = (−3, −2), w = (1, 4)  w ⊥ = (−4,1)
1
1
1
1
⊥
A = v.w = (−3, −2).(−4,1) = 12 − 2 = 10 = 5 u 2
2
2
2
2
VECTORES CANÓNICOS DE
3
.-
Los vectores i = (1, 0, 0), j = (0,1, 0) y k = (0, 0,1)
se llaman vectores canónicos de
3
;
Z
están ubicados a partir del origen de coordenadas
además son unitarios y mutuamente ortogonales,
k
es decir i. j = j.k = k.i = 0 .
Cualquier vector v
3
O
Y
se puede expresar en
términos de estos vectores canónicos.
Si v = (v1 , v2 , v3 ) es un vector arbitrario de
,
entonces:
v = (v1, v2 , v3 ) = (v1,0,0) + (0, v2 ,0) + (0,0, v3 )
v = v1 (1,0,0) + v2 (0,1,0) + v3 (0,0,1)
v = v1 i + v 2 j + v3 k
i
X
3
j
COSENOS DIRECTORES DE UN VECTOR .-
 como
, v   , se definen
es el ángulo ente i y v , el
Definición.- Los cosenos directores de un vector v 
cos , cos  donde 
los tres números cos ,
3
ángulo entre j y v , y el ángulo entre k y v.
Determinación de los cosenos directores del vector
Si
v = (v1 , v2 , v3 ) 
3
, en términos de sus componentes y su módulo, se tiene
 v1 v 2 v3 
v
v =
= 
,
,

v
v
v 
 v
o
Aplicando el ejercicio anterior, se tiene:

cos  = i.v = (1, 0, 0). 


cos  = j.vo = (0,1, 0). 


o
cos  = k.v = (0, 0,1). 

o
v1 v 2 v3 
,
,
 =
v
v
v 
v1 v 2 v3 
,
,
 =
v
v
v 
v1 v 2 v3 
,
,
=
v
v
v 
v1 

v 

v2 
o
  v = (cos , cos , cos  )
v 

v3 
v 
v = v vo = ( v cos , v cos , v cos  )
 v = v (cos , cos , cos  )
Teorema.-
cos2  + cos2  + cos2  = 1
PRODUCTO VECTORIAL
Definición.- El producto vectorial o cruz o aspa de los vectores v, w 
3
, v = (v1 , v 2 , v3 ),
w = (w1 , w 2 , w 2 ) se denota por v  w y se define como un determinante.
i
v  w = v1
w1
j
v2
w2
k
v2
v3 = i
w2
w3
v3
v1
−j
w3
w1
v3
v1
+k
w3
w1
v  w = (v 2 w 3 − v3 w 2 , v3 w1 − v1w 3 , v1w 2 − v2 w1 ) 
Ejemplo.Hallar v  w si v = (−2,3,5) y w = (5,6, −3)
Solución
i
j k
v  w = −2 3 5 = (−39,19, −27)
5 6 −3
3
v2
w2
Propiedades.- Sean
1.
2.
3.
4.
5.
6.
v, w, u 
3
y r  , entonces se verifica:
v.(v  w) = 0
w.(v  w) = 0
v  w = −w  v
v v = 
v  (w + u) = v  w + v  u
(r v)  w = v  (r w) = r (v  w)
7.
v w = v
2
8.
v w = v
w sen 
2
w
2
− (v.w) 2
 = (v, w)
Dirección del vector
El vector
v w
v w
.-
es ortogonal al vector v y al vector w. Si v y w no son vectores
nulos, es posible mostrar que la dirección del vector v  w se puede determinar por
la regla de la mano derecha.
Si
 es el ángulo
formados
v, w y
si los dedos de la mano derecha se colocan de
tal manera que apunten en la dirección de la rotación (de v hacía w), entonces, el
dedo pulgar indica aproximadamente la dirección de v  w . Esta regla se puede
practicar con los productos vectoriales de los vectores canónicos de
v w
w

v
3
.
ÁREA DEL PARALELOGRAMO (en el espacio).Consideremos el paralelogramo de lados los vectores v, w 
3
, si h es la distancia
sobre la perpendicular desde el punto terminal de w hasta el lado
paralelogramo), entonces, el área S del paralelogramo:
S = v h,
h = w sen 
S = v w sen  = v  w
S = v w
w

h
v
v (altura del
AREA DEL TRIÁNGULO (en el espacio).El triángulo determinado por los vectores v, w 
es la mitad del paralelogramo
determinado por los vectores v y w , se tiene que el área del triangulo es dado
por:
3
1
A =
v w
2
Ejemplo.Hallar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos A(−2,3, 4), B(−3,5, 2) y
C(4,6, −2).
Solución.-
v = B − A = (−1, 2, −2)
w = C − A = (6,3, −7)
v  w = (−8, −19, −15)
1
1
5
A = v w =
(−8) 2 + (−19) 2 + (−15) 2 =
26 u 2
2
2
2
Teorema.- Dados los vectores v, w 
3
, v // w s.s.s v  w =  :
Demostración.-
v w =  
v w = 0  v w = 0  v w = v
2
v w = v w
2
 v // w
2
w − (v.w) 2 = 0
2
(Scvhwarz)
Ejercicios:
1. Averiguar si los vectores v = (3, −5,6) y w = (4, 2,3) son paralelos.
2. Si
v = 10, w = 20 y v.w = 12. Calcular
vw .
TRIPLE PRODUCTO ESCALAR O PRODUCTO MIXTO
Definición.- El triple producto escalar dev, w, u 
3
es el número real
denotado con  v w u  y se define como:
 v w u  = v.(w  u)
El triple producto escalar se representa en términos de un determinante, en la
forma:
v1 v2 v3
 v w u  = w1
u1
Ejemplo:
w2
u2
w3
u3
Si v = (−7, 4, 2), w = (3, −6,8) y u = (0, 4, 2); calcular  v w u 
Solución:
v w u =
−7
4
3
0
−6 8 =158
4 2
2
Ejercicio.-
Demostrar que  v w u  =  w u v  =  u v w 
Tres vectores forman una terna ordenada, si les señala un orden y se escribe en
3
el orden de su numeración, así la terna v, w, u 
indica que el vector se toma
como primer vector, w como el segundo y u como el tercero.
3
Los vectores v, w, u  constituyen una terna positivamente ordenada o una
terna de la mano derecha si  v w u   0, esto significa que, si los tres vectores están
situados con el mismo punto inicial, el dedo pulgar de la mano derecha apunta en
la dirección del vector v el dedo índice, de la misma mano, apunta la dirección
del vector w y el dedo cordial puede señalar la dirección del vector u .
Los vectores canónicos de
pues:
3
, forman una terna ordenada de la mano derecha,
 i j k  = i.( j  k) = i . i = i


2
=1  0
Ejercicio:
Demostrar que el volumen del paralelepípedo, de aristas los vectores v, w, u  ,
está dado por V =  v w u  u 3 .
3
Demostración:
Volumen: V = Bh
wxu
Área de la base:B = v  w
Altura:
h = Pr oy wu v = Comp wu v
h=
h
v
v.(w  u)
wu
V = Bh = w u

v.(w  u)
= v.(w  u) =  v w u 
wu
V = v w u u3
w
Ejercicio:
Determinar el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores v(2,3, 4),
w = (−3,6, 4), u = (1, −1, 2) .
Ejercicio:
Demostrar que el volumen del tetraedro de aristas los vectores v, w, u  3
esta dado por
1
3
V=
6
v w u u
Demostración:
1
V = Bh
3
Volumen:
1
B = v w
2
Área de la base:
h = Pr oy wu v = Comp wu v
Altura:
v.(w  u)
h=
wu
1
1 1
 v.(w  u)
V = Bh =  w  u 
3
3 2

V=
wu
1
1
v.(w  u) =  v w u 
6
6
1
 V =  v w u u3
6
wu
h
v
u
w