CÓNICAS EN COORDENADAS POLARES Introducción Las ecuaciones rectangulares de la elipse y la hipérbola se simplifican mucho cuando el origen de coordenadas es su centro. En la práctica, hay muchas aplicaciones importantes de las cónicas en las que es más conveniente usar uno de los focos como origen del sistema de referencia. Por ejemplo, el sol está situado en uno de los focos de la órbita de la tierra. De forma similar, la fuente de luz de un reflector parabólico está en su foco. Vamos a ver que las ecuaciones polares de las cónicas toman formas simples si uno de los focos está en el polo. Definición Cónica es el lugar geométrico de los puntos del plano cuyo cociente de distancias a un punto fijo F (llamado foco) y a una recta fija (llamada directriz) es una cantidad constante e (llamada excentricidad). Además, la cónica es una elipse si 0 ≤ e < 1, una parábola si e = 1 y una hipérbola si e > 1. Ecuación polar de una cónica (elipse, una rama de hipérbola ó parábola) 1) Si el polo se sitúa en el foco, el eje polar es perpendicular y va en dirección opuesta a la directriz (cuya distancia al foco es d), y la cónica está en el mismo semiplano que el foco respecto de la directriz, entonces la ecuación de la cónica en coordenadas polares p es r = , donde p es el parámetro focal, p = d e (longitud de la semicuerda 1 − e cosα focal) se obtiene para α=π/2. Demostración d P r = e α r = e ⋅ d + e ⋅ r ⋅ cosα U. D. de Matemáticas de la ETSITGC ⇒ r(1 − e cosα)=e ⋅ d ⇒ e⋅d p , = r = 1 − e cosα 1 − e cosα siendo d la distancia del foco a la directriz. F 2) Si, con el mismo sistema polar de coordenadas que en el caso anterior, la cónica y el foco están en distinto semiplano respecto de la directriz, la −p ecuación es r = . 1 + e cosα (corresponde a una rama de la hipérbola) d(P, F) r = ⇒ d(P, dir) d + r cosα d F1 F2 1 CÓNICAS EN COORDENADAS POLARES 3) Si el polo sigue en el foco, pero, el eje polar va hacia la directriz, y la cónica y el foco están en el mismo semiplano respecto de la directriz, la ecuación es p r= 1 + e cosα 4) Si, con el mismo sistema polar de coordenadas que en el caso3, la cónica y el foco están en distinto semiplano respecto de la directriz, la ecuación es −p . (corresponde a una rama r= 1 − e cosα de la hipérbola) P r d α F d F1 F2 Paso de cartesianas a polares x2 y2 x2 y2 + = 1 , − = 1, de una a2 b2 a2 b2 parábola, una elipse y una hipérbola, respectivamente, en coordenadas cartesianas, ¿quiénes son p y d en cada una de ellas? Dadas las ecuaciones canónicas y 2 = 2 p` x , En la parábola: p = p`. En efecto, p = d e = d = p`, ya que e = 1 y d es la distancia del foco a la directriz lo mismo que p`. b2 b2 En la elipse: p = y d= . c a a2 a2 c − c = − ea , ya que e = . Por tanto, a c ea 2 1 1− e . d = a( − e) = a e e c2 a 2 − c2 b2 2 Así, p = de = a (1 − e ) = a (1 − 2 ) = = . a a a b2 2 p a =b . Por otra parte, d = = c e c a En efecto, d = F C d a2 c c U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 2 CÓNICAS EN COORDENADAS POLARES b2 b2 y d= . c a La demostración es análoga al caso de la elipse. En la hipérbola: p = Paso de polares a cartesianas Nos planteamos ahora el problema recíproco: Conocido p ¿quiénes son p`, a, b? En la parábola: p`= p. p p . 2 , b= 1− e 1 − e2 c2 a 2 − c2 b2 a 2 − c2 p 2 . En efecto, p = = =a = − a ( 1 2 2 ) = a (1 - e ) ⇒ a = a a a a 1 - e2 c2 b 4 b 2 b 2 b 2 (a 2 − c 2 ) b2 2 Del mismo modo p = ⇒ p2 = 2 = = = − b 1 ( ) = b 2 (1 - e 2 ), a a2 a a2 a2 p p2 2 luego, b = . 2 , y, por tanto, b = 1- e 1 − e2 En la elipse: a = p p . , b= 2 e −1 e −1 Se demuestra dando los mismos pasos que arriba. En la hipérbola: a = 2 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 3
