Cónicas en coordenadas polares

CÓNICAS EN COORDENADAS POLARES
Introducción
Las ecuaciones rectangulares de la elipse y la hipérbola se simplifican mucho cuando el
origen de coordenadas es su centro.
En la práctica, hay muchas aplicaciones importantes de las cónicas en las que es más
conveniente usar uno de los focos como origen del sistema de referencia. Por ejemplo,
el sol está situado en uno de los focos de la órbita de la tierra. De forma similar, la
fuente de luz de un reflector parabólico está en su foco.
Vamos a ver que las ecuaciones polares de las cónicas toman formas simples si uno de
los focos está en el polo.
Definición
Cónica es el lugar geométrico de los puntos del plano cuyo cociente de distancias a un
punto fijo F (llamado foco) y a una recta fija (llamada directriz) es una cantidad
constante e (llamada excentricidad). Además, la cónica es una elipse si 0 < e < 1, una
parábola si e = 1 y una hipérbola si e > 1.
Ecuación polar de una cónica (elipse, una rama de hipérbola ó parábola)
1) Si el polo se sitúa en el foco, el eje polar es perpendicular y va en dirección opuesta a
la directriz (cuya distancia al foco es d), y la cónica está en el mismo semiplano que el
foco respecto de la directriz, entonces la ecuación de la cónica en coordenadas polares
p
es ρ =
, donde p es el parámetro focal, p = e.d (longitud de la semicuerda
1 − e cosα
focal).
Demostración
d
P
ρ α
F
d ( P , F)
ρ
=
⇒
d (P , dir ) d + ρ cosα
ρ = ed + eρ cosα ⇒
ρ(1 − e cosα ) = ed ⇒
ed
p
ρ=
=
, siendo d la distancia del foco a la
1 − e cosα 1 − e cosα
directriz.
e=
2) Si, con el mismo sistema polar de coordenadas que en el caso anterior, la cónica y el
−p
foco están en distinto semiplano respecto de la directriz, la ecuación es ρ =
.
1 + e cosα
3) Si el polo sigue en el foco, pero, el eje polar va hacia la directriz, y la cónica y el foco
p
están en el mismo semiplano respecto de la directriz, la ecuación es ρ =
.
1 + e cosα
4) Si, con el mismo sistema polar de coordenadas que en el caso3, la cónica y el foco
−p
están en distinto semiplano respecto de la directriz, la ecuación es ρ =
.
1 − e cosα
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
1
Paso de cartesianas a polares
x2 y2
x2 y2
Dadas las ecuaciones canónicas y = 2 p` x , 2 + 2 = 1 , 2 − 2 = 1, de una
a
b
a
b
parábola, una elipse y una hipérbola, respectivamente, en coordenadas cartesianas,
¿ quiénes son p y d en cada una de ellas ?
2
En la parábola: p = p`.
En efecto, p = d e = d = p`, ya que e = 1 y d es la distancia del foco a la directriz lo
mismo que p`.
b2
b2
En la elipse: p =
y d=
.
c
a
a2
a2
c
En efecto, d = − c = − ea , ya que e = . Por tanto,
a
c
ea
1
1− e2
d = a( − e) = a
.
e
e
a 2 − c2 b2
c2
Así, p = de = a (1 − e 2 ) = a (1 − 2 ) =
=
.
a
a
a
b2
2
p
a b
=
.
Por otra parte, d = =
c
c
e
a
F C
d
a2
c
c
b2
b2
y d=
.
c
a
La demostración es análoga al caso de la elipse.
En la hipérbola: p =
Paso de polares a cartesianas
Nos planteamos ahora el problema recíproco: Conocido p ¿quiénes son p`, a, b ?
En la parábola: p`= p.
p
p
.
2 , b=
1− e
1 − e2
b2 a 2 − c2
a 2 − c2
c2
p
2
=
=a
=
a
(
1
−
En efecto, p =
2
2 ) = a (1 - e ) ⇒ a =
a
a
a
a
1 - e2
p
p2
De este modo, b 2 = ap =
, por tanto, b =
.
2
1− e
1 − e2
En la elipse: a =
p
p
, b=
.
2
e −1
e −1
Se demuestra dando los mismos pasos que arriba.
En la hipérbola: a =
2
2
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