Matemática Básica
INECUACIONES DE PRIMER
GRADO, SEGUNDO GRADO Y
APLICACIONES
Un empresario de una constructora está en duda
entre alquilar o comprar una camioneta y le
solicita ayuda a uno de sus ingenieros civiles. El
ingeniero hace las siguientes investigaciones:
a)La renta es de 5 000 dólares mensuales, el
mantenimiento diario y pago al chofer es de
50 dólares.
b)Si opta por comprar tendrá una inversión
48 000 dólares y mantenimiento diario y pago
al chofer de 70 dólares.
Sabiendo que la obra se terminará en un año y
que el ingeniero tomó la decisión de alquilar.
¿Qué tipo de análisis matemático utilizó el
ingeniero para tomar esa decisión? Y ¿por qué?
Un fabricante puede vender todas las unidades de un producto a $25
cada uno. El costo “C” (dado en dólares) para producir las “ x”
unidades a la semana está expresado por: C = 3000 + 20x – 0,1x2
Determine: ¿Cuántas unidades deberán producirse y venderse a la
semana; de manera que el fabricante obtenga ganancia?
Recordar
Ecuaciones lineales.
Propiedades de las desigualdades.
Intervalos
Simplificar expresiones algebraicas.
Resolver ecuaciones cuadráticas.
Verificar las soluciones de una ecuación
cuadrática.
Encontrar las ecuaciones del costo total, del
ingreso total y de la utilidad total.
Logros de Aprendizaje
Al finalizar la sesión, el estudiante resuelve problemas
aplicados a la ingeniería y gestión empresarial sobre
inecuaciones lineales y cuadráticas, aplicando propiedades y
criterios de solución.
Temario
Inecuaciones lineales
Inecuaciones Cuadráticas
Técnica para resolver una I.C.
Caso1: Factorizable
Ejemplos
Caso 2: No factorizable
Ejemplos
Aplicaciones a la gestión-inecuación lineal
Ejemplos de Aplicaciones de las I.C.
Inecuación
Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que aparecen
una o más incógnitas en los miembros de la desigualdad. Si la
desigualdad es del tipo mayor o menor se denomina inecuación en
sentido estricto y si es del tipo mayor igual o menor igual se
denomina inecuación en sentido amplio.
Ejemplos
a ) 2 2 b) x 3 8 c ) x 3 8
x
3
2
2
Inecuación lineal
Una inecuación lineal es de la forma
ax b 0 ; a 0
ax b 0 ; a 0
ax b 0 ; a 0
ax b 0 ; a 0
Pasos a seguir para resolver una inecuación lineal:
Simplifique cada lado de la desigualdad , tanto como sea posible,
utilizando la propiedad distributiva para eliminar los signos de
agrupación y mediante la combinación de términos semejantes.
Utilice la propiedad de la adición de la desigualdad para
expresarla convenientemente; los términos que tengan variables
queden a un lado y los términos independientes estén al otro
lado.
Use la propiedad de la multiplicación para llegar a la desigualdad
de la forma x < k.
Se sugiere representar gráficamente la solución y escribir el
intervalo correspondiente, como conjunto solución.
Resolver
2
1
x
2 x 3 2
3
2
2
Solución
2x
4 3
x
6
3 2
2
8 9 36 x
2x
6
2
19 x
2x
6
2
x
19
2x
2
6
4x x
19
2
6
3x
19
2
6
19
x
9
x
-19/9
C.S . 19 ;
9
Resolver
Solución
4(2 x 1) x 4
x
2(2 )
3
4
3
INECUACIONES CUADRÁTICAS
Son inecuaciones que se reducen a cualquiera de las formas:
ax bx c 0
2
ax bx c 0
2
ax bx c 0
2
ax bx c 0
2
Observación : a; b; c
Observación: 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ , 𝑎 ≠ 0
pero a 0
2
a
x
bx c : Factorizable 0
CASO 1.
Factorizar por el método del aspa simple e igualar a cero cada factor
para obtener los puntos críticos o utilizar la fórmula general.
Ubicar en la recta real los puntos críticos, dividiéndose así la recta
real en varios subintervalos y asignar en cada subintervalo el signo
positivo y negativo de derecha a izquierda en forma alternada.(*)
En el gráfico del paso anterior, elegir aquel o aquellos intervalos
con
el mismo signo de acuerdo a la desigualdad dada ya que estos
formarán el conjunto solución de la inecuación cuadrática.
(*)Si el punto crítico se repite un número par de
veces, se repite el signo anterior.
Ejemplo 1
Resuelva la siguiente inecuación cuadrática:
x 2 x 72 0
Solución:
x x 72 0
2
x 9 x 8 0
P.C. 9;8
+
-
-9
C.S . 9;8
+
8
Ejemplo 2
Resuelva la siguiente inecuación cuadrática:
x 18x 81 0
2
Solución:
x 2 18 x 81 0
x 9 x 9 0
x 9
2
0
P.C. 9
+
+
9
𝐶. 𝑆. = ℝ − 9
CASO 2.
ax 2 bx c : No Factorizable < 0
CASO 2.1.
ax 2 bx c 20 > 0 < 0
ax
C.S .
bx c 0
C
𝐶. 𝑆. =.ℝS .
CASO 2.2.
ax 2 bx c 0 < 0 < 0
C.S .
Ejemplo 3
Resuelva la siguiente inecuación cuadrática:
𝑥2 + 𝑥 + 1 ≥ 0
Solución:
𝑥2 + 𝑥 + 1 ≥ 0
Pero: ∆=(1)2 −4(1)(1)= -3<0
Por el caso 2.1
C.S.= ℝ
Ejemplo 4
Resuelva la siguiente inecuación cuadrática:
x 2 x 11 0
Solución:
𝑥 2 + 𝑥 + 11 <0
Pero: ∆=(1)2 −4(1)(11)= -43<0
Por el caso 2.2
C.S.= ф
APLICACIONES LA GESTIÓN
Recordar las siguientes definiciones:
Ingreso = (Precio unitario)(Cantidad vendida)
Costo Total = Costo variable + costo fijo
Costo variable.
Es el costo que está relacionado de forma directa con la
producción. Ejemplo, materia prima, mano de obra, etc.
Se calcula, como el producto del costo unitario por la cantidad
producida.
Costo fijo.
Es el costo que no está relacionado de forma directa con la
producción. Ejemplo, Alquiler, vigilancia, etc.
Una compañía de publicidad determina que el costo por publicar cada
ejemplar de una cierta revista es de $1.50. El ingreso recibido de los
distribuidores es de $1.40 por revista. El ingreso por publicidad es
10% del ingreso recibido de los distribuidores por todos los
ejemplares vendidos por arriba de 10 000. ¿Cuál es el número
mínimo de revistas que deben producirse y venderse de modo que la
compañía obtenga ganancias?
Un elevador de un hospital no puede transportar más de 700 Kg de
carga. Si en el elevador hay una cama con un paciente que pesa 110
kg. Una enfermera de 60 Kg. y un médico con un peso de 80 kg.
¿cuántas personas de 70 kg. , como máximo, podrán ingresar al
elevador?
Se tiene una lámina de metal de dimensiones “x” metros de largo por
“x-1” metros de ancho. Si en cada esquina se recortan cuadrados de
0,5 m de lado y se doblan los bordes hacia arriba; formando así una
caja de volumen no menor de 1 m3. Calcular las posibles
dimensiones de la lámina de metal si se sabe que no exceden de 4
metros de largo.
Un peluquero tiene un promedio de 120 clientes semanales a un
costo actual de $8 por corte de cabello. Por cada incremento de 75%
céntimos en el precio, el peluquero perderá 10 clientes. ¿Cuál es el
precio máximo que puede cobrarse de modo que los ingresos
semanales no sean menores que los actuales?
GRACIAS
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