Modelo de Reacciones Químicas

MODELO DE REACCIONES QUÍMICAS
Trabajo de investigación presentado como requisito para la nota del curso
Araque Farfan Jhon William
Ortiz Gomez José Esneyder
Reyes Mora Cristian Andres
Director
Msc. Diego Armando Morales Mosquera
Departamento de Matemáticas y Estadı́stica
Facultad de Ciencias Exactas.
Universidad SURCOLOMBIANA
Neiva
USCO
1
Matemática Aplicada
Índice general
0.1. Modelo De Reacciones Quı́micas . . . . . . . . . .
0.1.1. Deducción del Modelo . . . . . . . . . . .
0.1.2. Solución del Modelo . . . . . . . . . . . .
0.1.3. Análisis Cualitativo y Analı́tico del Modelo
0.1.4. Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.1.5. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . .
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. 6
. 6
. 7
. 8
. 12
. 19
introducción
El presente trabajo tiene como finalidad mostrar el proceso que se lleva a cabo al reaccionar
dos sustancias quı́micas, mediante un modelo matemático que está representado por una ecuación diferencial autónoma.
A su vez haremos un análisis detallado del modelo, para ser más especı́ficos se desarrollará
un análisis cualitativo y analı́tico donde se podrá evidenciar el comportamiento de dicha reacción en un tiempo dado, además se realizarán ejemplos que ilustrarán el funcionamiento del
modelo.
USCO
3
Matemática Aplicada
Marco Teórico
Las reacciones Quı́micas
Las reacciones quı́micas como ya sabemos, podemos distinguir entre cambios fı́sicos y
quı́micos. Los cambios quı́micos, en los cuales se modifica la naturaleza de las sustancias que
intervienen, reciben el nombre de reacciones quı́micas. En general, las sustancias o compuestos presentes antes de que ocurra la reacción quı́mica se llaman reactivos y las sustancias que
aparecen tras la reacción son los productos.
Las reacciones quı́micas ocurren continuamente en la Naturaleza y también pueden reproducirse en el laboratorio de forma controlada. Ello nos ha permitido estudiar cómo y por qué se
producen, y extraer provecho de ellas. En ocasiones no es fácil detectar el transcurso de una
reacción quı́mica. Algunos hechos pueden servirnos como indicativos de un cambio quı́mico;
la aparición repentina de sustancias sólidas (precipitados); el desprendimiento de gases, el aumento o disminución bruscos de la temperatura y los cambios de color son, quizás, los más
destacados. Pero ¿qué sucede realmente durante una reacción quı́mica? Tomemos como ejemplo la oxidación del hierro. Lo que observamos es la transformación del metal en herrumbre:
”desaparece el hierro” y “aparece el óxido”. ¿Dónde está el misterio?
Actualmente sabemos que las sustancias están formadas por átomos enlazados en unas determinadas proporciones. Durante una reacción quı́mica, lo que sucede es una reorganización
de los átomos que forman los reactivos para dar lugar a los productos, sin que, en realidad, aparezca o desaparezca nada. Los átomos del hierro y los del oxı́geno del aire se combinan para
producir óxido de hierro. Se conocen millones de reacciones quı́micas diferentes, y cada dı́a se
Figura 1: Reacciones de sustancias
Tomado de: https://www.lamanzanadenewton.com/materiales/
aplicaciones/lrq/lrq_rq.html
descubren algunas más. Muchas son de enorme importancia vital o industrial. El objetivo de los
quı́micos es, por un lado, clasificarlas y dilucidar la forma en que ocurren y, por otro, intentar
aprovechar el potencial que nos ofrecen. En ocasiones no es fácil detectar el transcurso de una
reacción quı́mica. Algunos hechos pueden servirnos como indicativos de un cambio quı́mico;
la aparición repentina de sustancias sólidas (precipitados); el desprendimiento de gases, el aumento o disminución bruscos de la temperatura y los cambios de color son, quizás, los más
destacados.
USCO
4
Matemática Aplicada
Por otra parte, siendo
dx
= kx
∗
dt
una reacción de primer orden, en quı́mica, unas pocas reacciones se comportan de acuerdo
con la misma ley empı́rica: si las moléculas de una sustancia A se descomponen en moléculas
más pequeñas, es natural suponer que la rapidez con la que está descomposición tiene lugar es
proporcional a la cantidad de sustancia inicial que no ha experimentado conversión. Esto es, si
x(t) es la cantidad de sustancia A restante en un instante cualquiera, entonces la ecuación (*)
es válida.
En la ecuación (∗), k es negativa, porque x(t) es decreciente. Para la siguiente reacción que
corresponde a la conversión de cloruro de ter-butilo en alcohol ter-butı́lico.
(CH3 )3 CCL + N aOH −→ (CH3 )3 COH + N aCL
La rapidez de la reacción es controlada sólo por la concentración de cloruro de Ter-butilo.
Ahora bien, en la reacción.
(CH3 )3 CL + N aOH −→ (CH3 )3 OH + N aCL
Se tiene que por cada molécula de cloruro de metilo se consume una molécula hidróxido de
sodio formándose ası́ una molécula de alcohol metı́lico y una molécula de cloruro de sodio.
En este caso, la rapidez con la cual la reacción se desarrolla es proporcional al producto de las
concentraciones de CH3 CL Y N aOH restantes. Si x(t) es la cantidad de CH3 OH formado,
y si α y β son las cantidades dadas de las dos sustancias quı́micas originales A y B, entonces
las cantidades instantáneas que no se convierten en la sustancia quı́mica C son α − x y β −
x, respectivamente. En consecuencia, la rapidez de formación de C está dada por siguiente
ecuación diferencial.
dx
= k(α − x)(β − x)
dt
∗∗
En donde k es una constante de proporcionalidad. Se dice que una reacción descrita por la
ecuación (∗∗) es de segundo orden.
USCO
5
Matemática Aplicada
0.1.
Modelo De Reacciones Quı́micas
0.1.1.
Deducción del Modelo
Las reacciones quı́micas pueden denotarse por una ecuación estequiométrica:
αA + βB + · · · = α1 P + β2 Q + · · ·
en la que los sı́mbolos A y B son formulas quı́micas que representan las sustancias que reaccionan para dar productos P y Q. Los números α, β, α1 y β2 , significan que α moléculas de
A reaccionan con β moléculas de B para dar α1 moléculas de P y β moléculas de Q. Estas
ecuaciones pueden ser escritas como:
0 = −αA − βb + · · · + α1 P + β2 Q + · · · = vA A + vB b + · · · + vP P + vQ Q + · · ·
y a los números −α, −β, α1 , α2 se les llama números estequiométricos.
La velocidad de reacción es la variación de concentración, dividida por el correspondiente
número estequiométrico. Esta cantidad de velocidad es la misma para cada sustancia y por lo
tanto para una reacción general de la forma (1) tendrı́amos:
v=−
1 d[B]
1 d[P ]
1 d[Q]
1 d[A]
=−
=
=
= ···
α dt
β dt
α1 dt
β1 dt
(1)
En las llamadas reacciones elementales del tipo
αA + βB + · · · −→ Productos
la velocidad de reacción tiene la forma:
v = k[A]φ [B]λ · · ·
(2)
donde k es la constante de velocidad de la reacción y los números φ y λ representan el orden
de la reacción. Se dice que el exponente φ representa el orden con respecto al reactivo A y λ
representa el orden respecto al reactivo B y la suma de φ + β + · · · es el orden de la reacción.
De esta manera una reacción de segundo orden con un solo reactivo seria de la forma:
2A −→ Productos
y una reacción de segundo orden con dos reactivos, seria:
1A + 1B −→ Productos
Ası́, teniendo en cuenta las ecuaciones (1) y (2) la ecuación diferencial que describe una reacción de este tipo es:
v=−
USCO
d[B]
d[A]
=−
= v = k[A]1 [B]1 = k[A][B]
dt
dt
6
Matemática Aplicada
de forma que si llamamos x(t) a la concentración de [A] o [B] que han reaccionado hasta el
instante t y las concentraciones iniciales de A y B son [A]0 = α y [B]0 = β, resulta que
[A] = (α − x(t)) y [B] = (β − x(t)). En consecuencia:
d[B]
d[A]
=−
dt
dt
d(α − x)
d(β − x)
=−
=−
dt
dt
dx
= k(α − x)(β − x)
=
dt
v=−
0.1.2.
Solución del Modelo
dx
= k(α − x)(β − x),
dt
con α, β > 0 sustancias quı́micas y con k > 0, una constante de proporcionalidad.
dx
= k(α − x)(β − x)
dt
1
dx
=k
(α − x)(β − x) dt
Z
Z
dx
= kdt
(α − x)(β − x)
(3)
(4)
Para solucionar el miembro derecho de la ecuación (1) utilizamos fracciones parciales, esto es:
1
A
B
=
+
(α − x)(β − x)
(α − x) (β − x)
1 = A(β − x) + B(α − x)
1 = Aβ − Ax + Bα − Bx
1 = (Aβ + Bα) + (−B − A)x
(5)
De (5) tenemos:
Aβ + Bα = 1
⇐⇒
−B − A = 0
Aβ + Bα = 1
−A = B
(6)
(7)
Reemplazando (7) en (6), se obtiene:
1 = Aβ − Aα = A(β − α) ⇐⇒
1
1
= A =⇒ B = −
β−α
β−α
Luego la ecuación (4) queda:
USCO
7
Matemática Aplicada
Z
Z
Z
A
B
dx +
dx = kdt
α−x
β−x
Z
Z
1
1
1
1
dx −
dx = kt + c
⇐⇒
β−α
α−x
β−α
β−x
1
1
ln |α − x| +
ln |β − x| = kt + c
⇐⇒ −
β−α
β−α
1
⇐⇒
(ln |β − x| − ln |α − x|) = kt + c
β−α
β−x
1
⇐⇒
ln
= kt + c
β−α
α−x
β−x
⇐⇒ ln
= kt(β − α) + c(β − α)
α−x
β−x
= ekt(β−α) · ec(β−α)
⇐⇒
α−x
β−x
= Cekt(β−α) , con C = ec(β−α)
⇐⇒
α−x
⇐⇒ β − x = Cekt(β−α) (α − x)
dx
=
(α − x)(β − x)
Z
(˜∗)
⇐⇒ β − x = αCekt(β−α) − xCekt(β−α)
⇐⇒ β − αCekt(β−α) = x − xCekt(β−α)
⇐⇒ β − αCekt(β−α) = x 1 − Cekt(β−α)
β − αCekt(β−α)
= x(t)
1 − Cekt(β−α)
La ecuación (8) es la solución del modelo de reacciones quı́micas.
⇐⇒
0.1.3.
(8)
Análisis Cualitativo y Analı́tico del Modelo
Para encontrar los punto de equilibrio de nuestro modelo, hacemos
dx
= 0, esto es:
dt
dx
= 0 ⇐⇒ k(α − x)(β − x) = 0
dt
⇐⇒ α − x = 0 ∨ β − x = 0
⇐⇒ x = α ∨ x = β.
Ahora, observaremos la clasificación de los puntos de equilibrio de nuestro modelo. Como el
modelo es una EDO Autónoma, esto significa que
dx
= g(x), donde g(x) = k(α − x)(β − x)
dt
Reescribiendo g(x) = k(α − x)(β − x) = kαβ − kαx − kβx + kx2 .
Luego, como g(x) es una función diferenciable continua, y además x = α y x = β son puntos
USCO
8
Matemática Aplicada
de equilibrio, entonces utilizamos el teorema de linearización.
Derivamos la función g(x), de tal forma que:
g 0 (x) = −kα − kβ + 2kx
Para x = α, tenemos:
g 0 (α) = −kα − kβ + 2kα = kα − kβ = k(α − β)
Donde resultan 3 casos:
Caso (i). Si k(α − β) < 0 −→ k < 0 ∨ α < β.
Pero, como para el modelo k > 0, entonces tenemos que α < β. Luego, g 0 (α) = k(α − β) < 0
es un sumidero.
Esto significa que para el punto de equilibrio x = α la reacción tiende a estabilizarse cuando
t −→ ∞, es decir, la velocidad de reacción va hacer más rápida ocasionando que la cantidad
sustancia obtenida tiende asintóticamente alrededor de x = α para que la ecuación quı́mica se
mantenga en equilibrio.
Figura 2: Para α < β
Caso (ii) . Si k(α − β) > 0 −→ (k > 0 ∧ α < β) ∨ (k < 0 ∧ β > α) > 0.
Pero, como para nuestro modelo k > 0, entonces nos queda que k > 0 ∧ α > β.
USCO
9
Matemática Aplicada
Luego, g 0 (α) = k(α − β) > 0 es una fuente. Esto significa que la ecuación estequiométrica
no va a estar balanceada para el punto de equilibrio x = α.
Figura 3: Para α > β
Caso (iii) . Si k(α − β) = 0 −→ k = 0 ∨ α = β.
Pero k = 0 no puede ser, debido a que es una constante de proporcionalidad, además el teorema
de linealización no garantiza la clasificación para este punto.
Para x = β, tenemos:
g 0 (β) = −kα − kβ + 2kβ = −kα + kβ = k(β − α)
Donde resultan tres casos
Caso (i). Si k(β − α) < 0 −→ k < 0 ∨ β < α.
Pero, como para nuestro modelo k > 0, entonces queda que β < α.
Luego, g 0 (β) = k(β − α) < 0 es un Sumidero.
Esto significa que para el punto de equilibrio x = β la reacción tiende a estabilizarse cuando
t −→ ∞, es decir, la velocidad de reacción va hacer más rápida ocasionando que la cantidad
sustancia obtenida tiende asintóticamente alrededor de x = β para que la ecuación quı́mica se
mantenga en equilibrio.
USCO
10
Matemática Aplicada
Figura 4: Para β < α
Caso (ii) . Si k(β − α) > 0 −→ (k > 0 ∧ β < α) ∨ (k < 0 ∧ α > β).
Pero, como para nuestro modelo k > 0, entonces nos queda que k > 0 ∧ β > α.
Luego g 0 (β) = k(β − α) > 0 es una Fuente. Esto significa que la ecuación estequiométrica no
va a estar balanceada para el punto de equilibrio x = α.
USCO
11
Matemática Aplicada
Figura 5: Para β > α
Caso(iii) . Si k(β − α) = 0 −→ k = 0 ∨ α = β.
Pero k = 0 no puede ser, debido a que es una constante de proporcionalidad, además el teorema
de linearización no garantiza la clasificación para este punto.
0.1.4.
Problemas.
Ejemplo 1
Dos sustancias quı́micas A y B se combinan para formar una sustancia quı́mica C. La
reacción que resulta entre las dos sustancias quı́micas es tal que por cada gramo de A se usan
4g de B. Se observa que se forman 30g del compuesto C en 10 minutos. Determine la cantidad
C en un instante cualquiera si la rapidez de la reacción es proporcional al producto de las
cantidades de A y B restantes y si en un principio hay 50g de A y 32g B. ¿Qué cantidad de
compuesto C hay después de 15 minutos? Interprete la solución cuando t −→ ∞.
Solución.
Sea x(t) el número de gramos de compuesto C presentes en un instante cualquiera. Se sabe
que x(0) = 0 y x(10) = 30.
Suponiendo que hay 2 gramos de compuesto C habrá α gramos de A y β gramos de B. Por
USCO
12
Matemática Aplicada
2
tanto, α + β = 2, β = 4α. De esta manera, se tiene que utilizar α = gramos de sustancia A
5
8
y β = gramos de B.
5
x
4
Para x gramos de C se deberán emplear gramos de A y x gramos de B. Las cantidades
5
5
4
x
restantes de A y B en un instante cualquiera son 50 − y 32 − x.
5
5
La rapidez con que el compuesto quı́mico C se forma satisface la ecuación
x
4
dx ∝ 50 −
32 − x
dt
5
5
1
4
Se factoriza del primer término y del segundo, luego se introduce la constante de propor5
5
cionalidad
dx
= k(40 − x)(250 − x)
dt
La ecuación anterior representa un caso particular de la ecuación (2) que modela una reacción
quı́mica de segundo orden donde α = 40 y β = 250, por lo tanto, haciendo uso de la ecuación
(8) que soluciona el modelo y además aplicando las condiciones iniciales x(0) = 0 y x(10) =
30, tenemos:
β − αCekt(β−α)
1 − Cekt(β−α)
250 − 40Cek(0)(210)
x(0) =
1 − Cek(0)(210)
250 − 40C
x(0) =
1−C
250 − 40C
25
0=
=⇒
=C
1−C
4
x(t) =
USCO
13
Matemática Aplicada
Ahora, conocido el valor de C y utilizando x(10) = 30, se encuentra el valor de la constante
de proporcionalidad k:
x(10) =
30 =
30 −
250 − 250ek(10)(210)
1 − 25
ek(10)(210)
4
250 − 250e2100k
1 − 25
e2100k
4
375 2100k
e
= 250 − 250e2100k
2
375 2100k
220 = 250e2100k −
e
2
125 2100k
220 =
e
2
88
= e2100k
25
88
ln
= 2100k
25
k = 0.000599268
Sustituyendo el valor de k resulta que
1 − e0.1258t
x(t) = 1000
4 − 25e0.1258t
La ecuación anterior nos indica la cantidad de compuesto C en cualquier instante t.
Figura 6: Convergencia para x(t) cuando t −→ ∞.
En la figura se muestra que x −→ 40 cuando t −→ ∞. Esto significa que se forman 40
gramos de compuesto C y que quedan
USCO
14
Matemática Aplicada
1
50 − (40) = 42g de sustancia A
5
4
32 − (40) = 0g de sustancia B
5
Ejemplo 2
Obtención del producto C en una reacción de dos sustancias A y B.
La reacción que utilizaremos es:
A + B −→ C
que es derivada de la ecuación de equilibrio.
Tomemos la siguiente reacción en particular para ilustrar lo anterior
2Na (s) + Cl1 (s) −→ 2NaCl(s)
Tomando en cuenta datos experimentales podemos establecer las condiciones iniciales
Condición inicial
t = 0;
x(c) = 0
Despues de cierto tiempo
t = 30min;
x(c) = 1kg
Cantidad inicial de cada sustancia
Na (α) = 5kg
Cl(β) = 8kg
De acuerdo con los datos anteriores determine la cantidad de sal que se producen al transcurrir
360 minutos de la condición inicial t = 0.
Solución.
Trabajemos con nuestra solución general del modelo
β − αCekt(β−α)
x(t) =
1 − Cekt(β−α)
Reemplazando nuestros valores iniciales después de cierto tiempo t y tomando a C = 1 en
nuestra solución general tenemos que
USCO
15
Matemática Aplicada
8 − 5ek(30)(8−5)
1 − ek(30)(8−5)
8 − 5ek(90)
1=
1 − ek(90)
1 − ek(90) = 8 − 5ek(90)
x(30) =
7 = 5ek(90) − ek(90)
7 = 4ek(90)
7
= ek(90)
4
7
ln = 90k
4
k = 0.0062179532
Ası́, podemos deducir que nuestra constante de proporcionalidad es k = 0.0062179532 y entonces aplicando las constantes anteriores y nuestras condiciones iniciales podemos encontrar
que tan rápido es la producción de sal cuando hayan transcurrido 360 minutos desde nuestro
tiempo inicial.
8 − 5e(0.0062179532)(90)
1 − e(0.0062179532)(90)
8 − 5e0.56
=
1 − e0.56
−0.7534
=
= 1.0036 kg de sal
−0.7507
x(360) =
Con los datos experimentales que decidimos tomar la producción de sal es muy lenta ya que
han pasado 5.5 horas más que lo que tenı́amos cuando el tiempo era de 30 minutos y apenas
genero 1.0036kg más de sal.
Ejemplo 3
Dos sustancias quı́micas A y B se combinan para formar una sustancia C. Inicialmente hay
40 gramos de A y 50 gramos de B, y por cada gramo de B se usan 2 gramos de A. Se observa
que se forman 10 gramos de C en 5 minutos. ¿Cuánto se formará en 20 minutos? ¿Cuánto
quedará de A y B sin reaccionar después de un tiempo largo?
Solución
x(t) = cantidad de C en el instante t;
α = 40; α(t) = cantidad de A usada en el instante t
β = 50; β(t) = cantidad de B usada en el instante t
La Ley de Conservación de la Masa de Lavoisier garantiza que la cantidad de sustancia C
USCO
16
Matemática Aplicada
creada en el instante t coincide con la suma de las cantidades usadas de A y B. De otra parte,
sabemos que por cada gramo de B se usan 2 gramos de A, esto es, la cantidad de sustancia A
usada en el instante t es el doble B.
Luego: x(t) = α(t) + β(t) y α(t) = 2β(t), asi, x(t) = 3β(t) entonces:
1
β(t) = x(t)
3
2
α(t) = x(t)
3
La cantidad de sustancia C creada en el instante t verifica la ecuación diferencial ordinaria
dx
2
1
= k 40 − x
50 − x
dt
3
3
dx
= k (120 − 2x)(150 − x)
dt
Ahora, utilizando la ecuación (˜∗) podemos conocer el valor de las constantes C y k partiendo
de las condiciones iniciales x(0) = 0 y x(5) = 10:
150 − x(t)
= Cekt(30)
120 − 2x(t)
Para x(0) = 0 tenemos:
150 − x(0)
= Ce30k(0)
120 − 2x(0)
5
150
= =C
120
4
Para x(5) = 10 y C =
5
obtenemos:
4
150 − x(5)
5
= e150k
120 − 2x(5)
4
5
150 − 10
= e150k
120 − 20
4
7
5
= e150k
5
4
28
= e150k
25
28
ln
= 150k
25
k u 0.000756
Por lo tanto, reemplazando los valores de k y C en la ecuación (8) se tiene,
1 − e0.02268t
x(t) = 600
4 − 5e0.02268t
USCO
17
Matemática Aplicada
La cantidad de C que se formará transcurridos 20 minutos será:
x(20) = 600
1 − e0.02268(20)
u 89 gramos
4 − 5e0.02268(20)
Figura 7: Convergencia para x(t) cuando t −→ ∞.
En la figura se muestra que x −→ 120 cuando t −→ ∞. Esto significa que se forman 120
gramos de compuesto C y como
1
β(t) = x(t)
3
2
α(t) = x(t)
3
entonces podemos concluir que transcurrido un tiempo largo quedan sin reaccionar:
2 · 120
= 80g de sustancia A
3
120
50 −
= 10g de sustancia B
3
40 −
USCO
18
Matemática Aplicada
0.1.5.
Conclusiones
Para que una ecuación quı́mica este balanceada (estequiométrica), en nuestro modelo las
cantidades de sustancia dependen del orden de las sustancias iniciales, α < β o β < α.
La velocidad de reacción con las que se obtienen los productos, es más rápida cuando
una de las dos sustancias quı́micas tiene cantidad inicial mayor o menor que la otra.
El desarrollo del modelo nos permite realizar una aproximación a largo plazo, para saber
con exactitud cuanta es la cantidad de sustancia máxima alcanzada.
El modelo de reacciones quı́micas de segundo orden nos sirve para evidenciar la velocidad de reacción con la que interactúan las variaciones de concentración en dichas
sustancias.
USCO
19
Matemática Aplicada
Bibliografı́a
[1] B ENITO J. G ONZ ÁLEZ RODR ÍGUEZ, D OMINGO H ERN ÁNDEZ A BREU, M ATEO M.
J IM ÉNEZ PAIZ, M. I SABEL M ARRERO RODR ÍGUEZy A LEJANDRO S ANABRIA G ARC ÍA
Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.Departamento de Análisis Matemático. Universidad de La Laguna
[2] D ENNIS G. Z ILL; Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. Novena Edición.
[3] A N ÓNIMO; Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias.(Referenciado en
webgrafia item 1.)
Webgrafia
1. https://www.academia.edu/32387203/3_APLICACIONES_DEL_M%C3%89TODO_
DE_SEPARACI%C3%93N_DE_VARIABLES_PARA_RESOLVER_LA_ECUACI%C3%
93N_DIFERENCIAL_QUE_MODELA_UN_SISTEMA_F%C3%8DSICO
2. https://campusvirtual.ull.es/ocw/pluginfile.php/6024/mod_resource/
content/1/tema5/ME5-ecdiferenciales.pdf
3. ttps://www.geogebra.org/m/QJ79IWCL
4. https://cutbertblog.files.wordpress.com/2019/01/zill-d.g.-ecuacionespdf
5. https://www.lamanzanadenewton.com/materiales/aplicaciones/lrq/
lrq_rq.html
6. http://www.ehu.eus/izaballa/Ecu_Dif/Apuntes/lec7.pdf
20