EJERCICIOS DE DISTRIBUCIONES MUÉSTRALES DISTRIBUCIÓN MUESTRAL PARA LA MEDIA 1. Un estudio reciente de un organismo de vigilancia determinó que la cantidad de contaminantes en los lagos de Minnesota (en partes por millón) tiene una distribución normal con media de 64 ppm y varianza de 17.6. Suponga que se seleccionan al azar y se toman muestras de 35 lagos. Encuentre la probabilidad de que el promedio muestral de contaminantes sea: a) mayor que 72 ppm, b) entre 64 y 72 ppm, c) exactamente 64 ppm, d) mayor que 94 ppm. 2. Considérese una población en la que se estudia una característica X que sigue una distribución normal con una media μ = 12 y varianza σ2 = 16. Se pide: a) la probabilidad de que un elemento de esa población, elegido al azar, tenga la característica superior a 14, b) considérese una muestra aleatoria de tamaño 9, ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral tenga un valor superior a 14? 3. En un servicio de atención al cliente, el tiempo de espera hasta recibir atención es una variable normal de media 10 minutos y desviación estándar 2 minutos. Se toman muestras aleatorias del tiempo de espera de los clientes que llegan un día concreto. Se pide: a) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de espera de una muestra de 25 clientes no supere los 9 minutos? b) ¿Cuál es la distribución de la media muestral, si se toman muestras aleatorias de 64 clientes? 4. La edad a la que contraen matrimonio los hombres de una determinada Ciudad es una variable aleatoria que se puede aproximar por una distribución normal de media 35 años y desviación estándar de 5 años. Se elige aleatoriamente una muestra de 100 hombres de Ciudad. Sea la media muestral de la edad de casamiento. a) ¿Cuáles son la media y la varianza de la media muestral? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la edad media de casamiento de la muestra esté comprendida entre 36 y 37 años? 5. La duración de las baterías de un determinado modelo de teléfono móvil tiene una distribución normal de media 34.5 horas y desviación estándar 6.9 horas. Se toma una muestra aleatoria simple de 36 teléfonos móviles. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la duración media de las baterías de la muestra esté comprendida entre 32 y 33,5 horas? b) ¿Y de que sea mayor de 38 horas? 6. Una fábrica de coches lanza al mercado el modelo “Mathe” del que se sabe que sus pesos siguen una distribución normal de media 3100 kilos y una desviación estándar de 130 kilos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que, al comprar un coche Mathe, pese más de 3.130 kilos? b) ¿Qué distribución seguirán las muestras de tamaño 100 de coches Mathe? c) Cuál será la probabilidad de que al comprar un coche pese más de 2900 kilos y menos de 3500? 7. Las estaturas de 1000 estudiantes se distribuyen aproximadamente de forma normal con una media de 174.5 centímetros y una desviación estándar de 6.9 centímetros. Si se extraen 200 muestras aleatorias de tamaño 25 de esta población y las medias se registran al décimo de centímetro más cercano, determine: a) la media y la desviación estándar de la distribución muestral de x̅ b) el número de las medias muéstrales que caen entre 172.5 y 175.8 centímetros c) el número de medias muéstrales que caen por debajo de 172.0 centímetros. DISTRIBUCION MUESTRAL PARA LA MEDIA, MUESTRAS PEQUEÑAS 1. Calcular el valor t con 14 grados de libertad que deja un área de 0.025 a la izquierda, y por tanto un área de 0.975 a la derecha. 2. Calcular P(−t 0.025 < 𝑇 < t 0.05 ) 3. El precio de venta de una casa nueva en Mérida se distribuye Normal con media 450000 pesos. De una muestra aleatoria de 20 casas nuevas de esta ciudad se obtuvo que la desviación estándar era de 60000. ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral de los precios de venta sea menor de 460000? 4. Según algunos estudios la edad de los habitantes de una Ciudad se distribuye normal con media 35 años. De 25 habitantes seleccionados al azar se obtuvo que la desviación estándar era de 5 años, ¿cuál es la probabilidad de que la edad media de los 25 habitantes este por debajo de 38 años? 5. Un inspector investiga las acusaciones contra la fábrica de ron “Pepito” porque no llena bien sus envases. Una muestra de 25 botellas de ron indica una desviación estándar de 0.18 litros. Calcule e interprete la probabilidad de que el promedio muestral difiera de su media poblacional μ en menos de 0.085 litros. 6. El precio de los refrescos de dieta en cierta ciudad sigue una distribución normal cuyo precio promedio es de 10 pesos. Una regulación del gobierno establece que el precio de los refrescos de dieta no debe ser mayor a 9 pesos. Un estudio realizado en varios negocios de comida informal se registró el precio de una muestra de 22 refrescos, encontrándose que las mismos presentaban una desviación estándar de 2 pesos. ¿Cuál es la probabilidad de que el precio promedio de los refrescos no viole la regulación? FORMULA DE INTERPOLACIÓN LINEAL 𝑦= 𝑥 − 𝑥1 (𝑦 − 𝑦1 ) + 𝑦1 𝑥2 − 𝑥1 2 DISTRIBUCIÓN MUESTRAL PARA LA PROPORCIÓN 1. Se tiene que el 4% de las piezas producidas por cierta máquina son defectuosas. ¿Cuál es la probabilidad de que, en un grupo de 200 piezas, el 3% o más sean defectuosas? 2. Un nuevo tratamiento con rayos laser asegura que su eficacia en el 90% de los casos. Si se selecciona una muestra de 40 enfermos, ¿Qué probabilidad hay de que se presente una diferencia mayor del 8% en cuanto a su eficacia? 3. Según datos anteriores, se sabe que la efectividad de una vacuna es del 90%. ¿Cuál es la probabilidad de que al vacunar a 64 personas la proporción sea mayor del 95%? 4. Se ha demostrado, por reclamos que se han hecho, que el 20% de las encomiendas llegan averiadas al utilizar una compañía de transporte. ¿Cuál es la probabilidad al enviar 100 encomiendas de que la proporción sea menor del 25%? 5. BelLabs adquiere componentes para sus teléfonos celulares en lotes de 200 de una firma de Palo Alto. El componente tiene una tasa de defectos del 10%. Una política establecida recientemente por BelLabs establece que si el siguiente envió tienen: a) Más del 12% de defectos, definitivamente buscará un nuevo proveedor. b) Entre el 10 y el 12% de defectos, considerará un nuevo proveedor. c) Entre el 5 y el 10% de defectos, definitivamente no conseguirá un nuevo proveedor. d) Menos del 5% de defectos, incrementará sus pedidos ¿Cuál decisión es más probable que tome BelLabs? DISTRIBUCIÓN MUESTRAL PARA LA VARIANZA 1. Suponga que el número de horas semanales que los universitarios ven TV tiene distribución normal con una varianza de 3. Al escoger una muestra de 17 universitarios y registrar el número de horas a la semana que ven TV, calcule e interprete la probabilidad de que la varianza muestral de los tiempos obtenidos sea mayor que 5.4 (ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠)2 . 2. La duración de los transistores fabricados por una compañía tiene una media de 2000 horas y una desviación estándar de 60 horas. Se selecciona 10 transistores al azar, calcule e interprete la probabilidad que la desviación estándar muestral se encuentre entre 50 y 70 horas. 3. Se sabe que los pesos de ciertas latas de atún se distribuyen normalmente con una desviación estándar de 2 gramos. Si se toma una muestra de 12 latas, calcule e interprete la probabilidad de que la varianza de la muestra sea menor que 8.5 (𝑔𝑟)2 . 4. La duración de los focos producidos por una compañía tiene una media de 1500 horas y una desviación estándar de 80 horas. Se seleccionan 23 focos al azar, calcule e interprete la probabilidad de que la desviación estándar muestral se encuentre entre 60 y 100 horas. 5. La duración de transistores fabricados por una compañía tiene distribución normal con una media de 2000 horas y una desviación típica de 60 horas. Se selecciona 10 transistores al azar, calcule e interprete la probabilidad que la varianza muestral se encuentre entre 2500 y 4900 (ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠)2 .
