3° medio Funciones

FUNCIONES
FUNCIÓN

Definición:
 Sean A y B conjuntos no vacíos. Una función de A en B es una
relación que asigna a cada elemento x del conjunto A uno y
solo un elemento y del conjunto B.
Se expresa como:
f: A
x
B
f(x) = y
Se dice que y es la imagen de x mediante f, y que x es la
pre-imagen de f(x) = y
FUNCIÓN

Conceptos:

Dominio: es el conjunto de todos los valores de la variable
independiente (x) para los cuales está definida
la función y se denota Dom f.

Rango o recorrido : es el conjunto de todos los valores que
toma la variable dependiente (Y), y se
denota Rec f.
FUNCIÓN

Conceptos Fundamentales:

La variable x corresponde a la variable independiente y la
variable cuyo valor viene determinado por el que toma x, se
llama variable independiente. Se designa generalmente por y o
f(x) [se lee “f de x”]. Decir que “y” es función de “x” equivale a
decir que “y” depende de “x”.
A
f
B
a
b = f(a)
x
f(x)
FUNCIÓN
o
Conceptos Fundamentales
Se dirá:
 f:A
B
 b € B es la imagen de a € A bajo la función f y se denota por
b= f(a)
Dom f =A
 Si (x, y) € f ^ (x, z) € f

y = z (Unívoca)
Toda función es relación, pero no toda relación
es función.

la función f denotada:
A
f
a
b
c
d
e



Dominio de f = Dom f
Codominio
Rango o Recorrido de f = Rec f
B
1
2
3
4
5
6
7
= A = {a, b, c, d, e}
= B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
= {1, 2, 3, 4, 7}
Los elementos {5, 6} no son imagen de ninguna
preimagen en A, luego no pertenecen al rango de f .
FUNCIÓN
La Respuesta correcta es B
FUNCIÓN
La Respuesta correcta es D
FUNCIONES INYECTIVAS,
SOBREYECTIVAS Y BIYECTIVAS

La inyectividad, sobreyectividad y biyectividad dan información acerca de como se
relacionan los elementos del conjunto inicial X con el conjunto final Y.

Cabe recordar que una función f es una relación que asigna a los elementos de un
primer conjunto (conjunto inicialX) un elemento de un segundo conjunto (conjunto
final Y).
FUNCIÓN INYECTIVA
La función f es inyectiva si cada elemento del conjunto final Y tiene como
máximo un elemento del conjunto inicial Xal que le corresponde. Es decir,
no pueden haber más de un valor de X que tenga la misma imagen y.

En términos matemáticos, una función f es inyectiva si:
Ejemplo de función inyectiva
La función f(x) = 2x+1 es inyectiva.
Veamos que se cumple la condición de inyectividad:
En efecto, si x y y tienen la misma imagen, necesariamente deben ser el
mismo elemento. Por lo tanto, f es inyectiva.
Función sobreyectiva
Una función f es sobreyectiva (o suprayectiva) si todo elemento del conjunto final
Y tiene al menos un elemento del conjunto inicial X al que le corresponde.
Es decir, una función es sobreyectiva si el recorrido de la función es
el conjunto final Y.
En términos matemáticos, una función f es sobreyectiva si:
Ejemplo de función sobreyectiva
La función en los números reales definida por f(x) = x+1 es sobreyectiva.
Esta función si que es sobreyectiva. Vamos a verlo demostrando que
el recorrido de la función son todos los números reales.
El recorrido de la función es el mismo que el conjunto final Y, por lo
que la f es sobreyectiva.
Función biyectiva
Una función f es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva. Es decir, si todo
elemento del conjunto final Y tiene un único elemento del conjunto inicial X al que le
corresponde (condición de función sobreyectiva) y todos los elementos
del
conjunto
inicial X tiene una única imagen en el conjunto final Y (condición de función
inyectiva).
Teóricamente, una función f es biyectiva si:
Ejemplo de función biyectiva
La función f(x) = 2x definida en los números reales es biyectiva.
Para comprobarlo, veamos que f es inyectiva y sobreyectiva. Empezaremos
por la condición de inyectividad:
Se cumple la condición de inyectividad, por lo que ahora
nos quedaría demostrar la sobreyectividad. Para ello, tenemos que
demostrar que el recorrido de la función son todos los números
reales.
FUNCIÓN INVERSA
Función Inyectiva:
Función Sobreyectiva:
Función Biyectiva:
Función Inyectiva + Función Sobreyectiva
FUNCIÓN INVERSA
MÉTODO ALGEBRAICO PARA
DETERMINAR LA INVERSA DE UNA
FUNCIÓN
I. FUNCIÓN AFÍN

Es de la forma f(x) = mx + n
con
m : Pendiente
n : Ordenada del punto de intersección entre la recta y el
eje Y (coeficiente de posición).
Ejemplo:
La función f(x) = 5x – 3, tiene pendiente 5 e intersecta al eje Y en
la ordenada -3.
2. FUNCIÓN LINEAL

Es de la forma f(x) = mx
con
m : Pendiente
pasa por el punto (0,0)
Ejemplo:
La función f(x) = 3x , tiene pendiente 3 e intersecta al eje Y en la
ordenada 0
ANÁLISIS DE LA PENDIENTE
Para saber con qué tipo de función se está trabajando, se debe
analizar el signo de la pendiente.
•
•
•
Si m < 0, entonces la función es decreciente.
Si m = 0, entonces la función es constante.
Si m > 0, entonces la función es creciente.
ANÁLISIS DE LA PENDIENTE
Y
Y
I)
II)
m>0
n>0
n
n
m<0
n>0
X
X
Y
Y
III)
IV)
m>0
n<0
m<0
n<0
X
n
X
n
TIPOS DE FUNCIONES ESPECIALES:

a) La función de forma f(x) = x, se reconoce como función
identidad y su gráfica es:
f(x)
2
1
-1
1
-1
2
x
TIPOS DE FUNCIONES ESPECIALES:

b) La función de la forma f(x) = c, con c: Constante Real, se
conoce como función constante y su gráfica es:
f(x)
f(x)
con c > 0
c
con c < 0
●
x
x
c
●
3. FUNCIÓN CUADRÁTICA

Son de la forma:
f(x) = ax² + bx + c

Gráfica:
Siempre es una parábola, dependiendo su forma y
la ubicación de sus coeficientes a, b y c.
3. FUNCIÓN CUADRÁTICA

Concavidad:
El coeficiente a de la función cuadrática indica si la parábola es
abierta hacia arriba o hacia abajo.
y
0
y
x
a > 0, Abierta hacia arriba
0
x
a < 0, Abierta hacia abajo
3. FUNCIÓN CUADRÁTICA

Intersección con los ejes
 Intersección con el eje Y
El coeficiente c nos da el punto en el cual la parábola corta al
eje Y.
Sus coordenadas son (0, c)
y
c·
0
x
3. FUNCIÓN CUADRÁTICA

Intersección con el eje X
para determinar el o los puntos donde la parábola corta al
eje X, es necesario conocer el valor del discriminante de la
función cuadrática.
Se define el discriminante como:
D = b² - 4ac
3. FUNCIÓN CUADRÁTICA

Tipos de soluciones
Dependen del valor del Discriminante
D = b² - 4ac
a)
Si D = 0, 2 soluciones reales iguales
b)
Si D > 0, 2 soluciones reales distintas
c)
Si D < 0, 2 soluciones imaginarias distintas
3. FUNCIÓN CUADRÁTICA

a) Si el D = 0, la parábola corta en un solo punto al eje X.
Y
a>0
(x = x , 0)
1
2
0
·
a<0 X
3. FUNCIÓN CUADRÁTICA

b) Si el D > 0, la parábola corta en dos puntos al eje X
Y
a>0
(x ,0) y (x , 0)
1
2
0
·
·
X
a<0
3. FUNCIÓN CUADRÁTICA

c) Si el D < 0, la parábola no corta al eje X.
Y
X
0
a<0
EJEMPLOS:



3. FUNCIÓN CUADRÁTICA

Eje de simetría y vértice:
El eje de simetría es aquella recta paralela al eje Y y que pasa
por el vértice de la parábola.
El vértice está dado por:
Vértice = -b , f
2a
-b
2a
=
-b , 4ac – b²
2a
4a
3. FUNCIÓN CUADRÁTICA
Además, la recta x = -b , corresponde al Eje de simetría.
2a
y
y
a<0
a>0
-b
2a
_ b² - 4ac
4a
·
·
_ b² - 4ac
4a
-b
2a
x
0
x