Las Funciones Reales (Aspectos Fundamentales) UNIDAD DE APRENDIZAJE Nº 6

República de Panamá
Ministerio de Educación
Tel.: 958-5804
DIRECCIÓN NACIONAL DE EDUCACIÓN MEDIA PROFESIONAL Y TÉCNICA
Instituto Profesional y Técnico de Veraguas
Nombre del Alumno(a): _____________________________________ Grupo: 12º _________
Sección:  Bachiller  S. C. Industrial
Especialidad: _______________________________
UNIDAD DE APRENDIZAJE Nº 6
Las Funciones Reales
(Aspectos Fundamentales)
6.0 OBJETIVO GENERAL: Que el alumno o la alumna sea capaz de:

Utilizar, explicar y aplicar con seguridad y confianza los conceptos fundamentales de la
Matemática para la comprensión e importancia del concepto función y su aplicabilidad en
situaciones que ocurren en la vida cotidiana.
6.1 OBJETIVOS ESPECÍFICOS: Que el alumno o la alumna sea capaz de:
 Conocer el origen del concepto de función, y estudiar las propiedades más importantes de
las funciones y reconocer sus elementos principales.
6.2 INTRODUCCIÓN
En la Matemática existe un concepto fundamental, que se presenta en casi todas las actividades
cotidianas del hombre, y que en muchas ocasiones, lo utiliza sin tener conocimiento de su
existencia, ese es el concepto de función1. La palabra “función” es utilizada en nuestro lenguaje
común para expresar que algunos hechos dependen de otros. Así, la idea matemática de función
no es un concepto nuevo, sino una formalización de nuestra idea intuitiva.
Durante varios siglos se estudiaron expresiones algebraicas en las cuales implícitamente se
involucraban la idea de lo que hoy se denomina función, sin que el concepto se hubiera formulado
en aquel entonces.
Muchas construcciones matemáticas, como el número, por ejemplo,
evolucionaron de esa misma forma, al principio fueron utilizadas ampliamente y sólo mucho más
tarde surgió una reflexión acerca de la definición formal de esas construcciones. En el caso
específico de las funciones, ya en el siglo XVI, cuando los algebristas buscaban soluciones para
las ecuaciones polinómicas de grado 3 y 4 estaban utilizando la idea de función, en el sentido
1 Es uno de los conceptos fundamentales, de las Matemáticas, e indica la relación o correspondencia entre dos o
más cantidades.
Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V.
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siguiente: la expresión 2 x 3  3x 2  x  1 tomará un valor numérico preciso cuando la x sea
sustituida por un número cualquiera. Resolver la ecuación: 2x 3  3x 2  x  1  0 es descubrir para
cuáles números ocurre que al sustituir la x por esos números, se obtiene el valor numérico cero.
La necesidad de resolver este tipo de ecuaciones tenía su origen en el interés por conocer las
leyes que rigen el movimiento. Había que explicar, por ejemplo, por qué los objetos se mantenían
en la superficie terrestre, y no quedaban flotando atrás, mientras que la Tierra giraba en torno a sí
misma y alrededor del Sol.
A fines del siglo XVI y comienzos del siglo XVII, Copérnico y Galileo habían transformado la
concepción que se tenía entonces de la Tierra inmóvil en el centro del Universo. Uno de los
problemas que inquietaban a los científicos de la época, era precisamente el hecho de que
hubiera estabilidad de los objetos en la superficie de nuestro planeta en movimiento.
6.3 BREVE RESEÑA HISTÓRICA
Ya en el siglo XVII comenzó a surgir entre los matemáticos la idea de formalizar una definición de
eso que hoy llamamos función. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el
matemático francés René Descartes para designar una potencia x n de la variable. Pero, a fines
del siglo XVII, en 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término para
referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente.
En el siglo XVIII, el matemático suizo Leonhard Paul Euler, fue el primero en usar la notación
f (x) . De manera que el concepto de función nace ligado al fenómeno del movimiento, y se
convierte con el tiempo, en una herramienta fundamental para el estudio de los fenómenos
naturales a través de la Matemática.
Hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático
alemán, Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859), quien perfeccionó la definición de función
como una variable y , llamada variable dependiente, cuyos valores son fijados o determinados de
una forma definida según los valores que se asignen a la variable independiente x , o a varias
variables independientes x1 , x2 ,, xn
A partir de los siglos XVIII y XIX el concepto de función se hace el eje central de las
matemáticas, su estudio a través del cálculo y sobre todo de las ecuaciones diferenciales se
hace totalmente indispensable para llevar adelante todo el desarrollo científico y tecnológico,
primero al servicio de la Física y luego de otros campos del conocimiento.
Un problema muy importante surgido en el siglo XIX relacionado con el movimiento de vibración
de un muelle, fue el de definir el significado de la palabra función. Diferentes matemáticos
intervinieron en el problema donde se destacaron Euler, Lagrange y Fourier, pero fue Dirichlet
quien propuso su definición en los términos en que hoy se conoce.
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La definición moderna del concepto de función se la debemos al matemático francés Agustin
Louis Cauchy (1789 – 1857), quien inició la sistematización de la teoría de grupos,
imprescindibles en el Álgebra Moderna y fue uno de los precursores del rigorismo en
Matemáticas.
El mundo en que vivimos, debido al desarrollo actual, utiliza la tecnología más avanzada para el
análisis de las relaciones de todo tipo al igual que interpreta, valora y predice los fenómenos que
en él se manifiestan, o se pueden manifestar, a través de modelos matemáticos que se describen
con funciones.
Las palabras: función y relación implican la idea de una correspondencia entre los elementos de
dos conjuntos, es decir, la formación de parejas ordenadas de objetos cualesquiera: personas,
números, figuras geométricas y muchas más.
6.4 APLICACIONES DE LAS FUNCIONES REALES
La interpretación correcta de expresiones tan simples y cotidianas como lo son: el crecimiento o
decrecimiento lineal, el salto exponencial de la economía, los procesos continuos o discontinuos,
la optimización del área de siembra y su afectación se comporta como una progresión
geométrica; todos estos ejemplos llevan consigo, el dominio por parte del hombre actual de la
teoría de funciones y sus aplicaciones 2. Por ello, su estudio en los diferentes niveles de
enseñanza es una necesidad y un requerimiento.
Las funciones3 sirven para describir fenómenos físicos, económicos, biológicos, sociológicos o,
simplemente, para expresar relaciones matemáticas.
Generalmente se hace uso de las funciones reales 4 , (aun cuando el ser humano no es
consciente de su uso), para el manejo de cifras numéricas en correspondencia con otras, debido
a que se están utilizando subconjuntos de los números reales.
Tanto en un contexto matemático, como en la vida cotidiana, nos encontramos a menudo con
funciones. Se pueden construir diferentes tipos de funciones, como por ejemplo:
1. La función que relaciona el año y la cantidad de habitantes del planeta, que se utiliza en las
estadísticas poblacionales.
2. En la industria farmacéutica, la cantidad de medicamentos que se producen en cada jornada
laboral.
3. La presión atmosférica es función de la altura, porque a cada altura le corresponde una
presión atmosférica.
2 Para resolver problemas de la vida diaria, problemas de Finanzas, Economía, Estadística, Ingeniería, Medicina,
Química, Física, Astronomía, Geología, y de cualquier área social donde haya que relacionar variables.
3 La función es una regla matemática que asigna a cada valor de entrada un y sólo un valor de salida.
4 Una función real de variable real es una aplicación f : A  B con A , B  R.
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4. En la industria, las funciones que expresan la producción alcanzada; por ejemplo la cantidad
de petróleo extraída en diferentes períodos de tiempo; o la cantidad de azúcar o de café que
se produce en el país, en un año.
5. El peso medio de los adolescentes depende de la edad, esa es una función, porque a cada
persona le corresponde un peso corporal, y a cada persona le corresponde su edad.
6. La posición de un móvil es función del tiempo, porque a cada tiempo le corresponde un
espacio recorrido (a una velocidad determinada).
6.5 ALGUNAS DEFINICIONES DEL CONCEPTO DE FUNCIÓN

Una función 5 es una regla que produce una correspondencia entre dos conjuntos de
elementos, tal que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y solo un
elemento del segundo conjunto. El primer conjunto se llama dominio, y el conjunto de todos
los elementos que corresponden al segundo conjunto se denomina rango (conjunto imagen).

Una función es una relación entre los elementos de dos conjuntos, en la que a cada elemento
del primer conjunto (conjunto de partida o conjunto de definición “dominio” o campo de
existencia), se le asigna uno y sólo un elemento del segundo conjunto (conjunto de llegada o
conjunto imagen o “codominio” o contradomio o rango o recorrido).

Una función f de una variable x es una regla que asigna a cada número x en el dominio de
la función un único número f x  . La palabra “único” en esta definición es muy importante.

Una función es una relación entre dos variables, en general x e y , en donde “ x ” es la
variable independiente, y “ y ” la variable dependiente. La función asocia cada valor de x un
único valor de y . Se dice que y es función de x y se escribe y  f x  .

Una función es una terna ordenada  f , A, B  donde f es una ley o regla que asigna a todo
elemento a de A un único elemento b de B . Es decir, una función es una relación que le
asigna a cada elemento del conjunto de partida A le asigna un único elemento del conjunto de
llegada B .
6.5.1 OTRAS DEFINICIONES DEL CONCEPTO DE FUNCIÓN

Una relación es una correspondencia de un primer conjunto llamado Dominio, con el
segundo conjunto, llamado Codominio o Contradominio o Rango o Recorrido o
Imagen, de manera que a cada elemento del primer conjunto (dominio) le corresponda
uno o más elementos del segundo conjunto.

Una relación es un conjunto de parejas ordenadas x, y  . El conjunto de valores de x es el
dominio y el conjunto de valores y es el codominio (rango).
5 Todas lasfunciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones.
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
La regla de correspondencia: Sea X e Y dos conjunto. Una correspondencia entre el
conjunto X y el conjunto Y significa una regla, según la cual para cada número x del
conjunto X se elige uno, varios o infinitos elementos y del conjunto Y . Es aquella que
nos permite relacionar los elementos del dominio con los elementos del codominio (rango).

Variable independiente se refiere a la variable que representa los valores posibles en el
dominio, la x , y la variable dependiente se refiere a la variable que representa los valores
posible en el codominio o rango, la y .

En una ecuación con dos variables, si a cada valor de la variable independiente le
corresponde exactamente un valor de la variable dependiente, entonces la ecuación define
una función, en caso contrario la ecuación no define una función.
6.6 ELEMENTOS DE UNA FUNCIÓN

Dominio de una función f es el conjunto (o subconjunto) de valores de x para los que la
función f x  existe (valores para los cuales tiene sentido), es decir, donde f x  está definida.
Lo representamos por Dom f ó D  f  . También se le conoce como preimagen o conjunto
origen o campo de existencia.

Codominio o contradominio (rango o recorrido o imagen) de una función f es el conjunto de
valores que toma la variable dependiente y. Lo representamos por Cod f ó C  f  , Ran f ó
Im f .
En conclusión el dominio es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente de
tal forma que la función quede completamente definida, el codominio es el conjunto de valores
que, dependiendo de los valores de la variable x , puede tomar la función. El codominio o rango
de la función se puede determinar, también, utilizando la
representación gráfica de la función.
Sean A y B dos conjuntos no vacíos. Una función f de
A en B ( f : A  B ) es un conjunto de pares ordenados tal
que todos los elementos de A debe tener un único
elemento en B .
Por ejemplo: y  x 3  1 ( x es la variable independiente y
la y es la variable dependiente).
Dom f  x / x, y   f  y
Cod f  y / x, y   f 
f  x, y  / x  A 
y  B  f  1, 2; 2, 9 ; 3, 28 ; 4, 65
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6.7 FORMAS EN QUE SE PUEDE REPRESENTAR UNA FUNCIÓN
Una función se puede representar a través de distintas maneras, de forma:

verbal (con una descripción en palabras, o un enunciado),

numérica (con una tabla de valores),

visual (con una gráfica o red de puntos), y

algebraicamente (con una fórmula explícita o una ecuación).
1) Verbal: (en un enunciado) En nuestra vida cotidiana hay muchas situaciones en las que
encontramos relaciones entre dos conjuntos, como por ejemplo: “A cada círculo le corresponde
un área“, “a cada cuadrado le corresponde un área“, “a cada alumno le corresponde una banca”,
“a cada asignación le corresponde una calificación ”, “a cada artículo de un almacén le
corresponde un único precio”, “a cada automóvil le corresponde un número de placa”, “a cada
persona le corresponde un número de identidad personal”, “a cada número le corresponde su
cuadrado”, “a cada número le corresponde su cubo”, etc.
2) Algebraica: (su expresión analítica o su fórmula o ecuación) “El área de un círculo
depende del radio r del mismo“, es decir, el área de un círculo es función de su radio y se
2
calcula a través de la expresión A   r ; la variable independiente es la medida del radio
(usamos la letra r para esta variable) y la variable dependiente es la medida del correspondiente
área, la letra A .
La expresión analítica es la forma más precisa y manejable de dar una función, pero a partir de
ella el estudio posterior y la obtención de su gráfica es una tarea minuciosa si se quiere obtener
una gráfica lo suficientemente real de la función.
f x   x ,
2
2
Otros ejemplos: A  l ,
C
puntosobtenidos
 4 1
puntostotales
,
f x   x 3 .
3) Numérica: (a través de una tabla de valores) Por ejemplo representemos por y la cantidad
bacterias de una colonia en x horas
x horas
0
1
2
3
4
5
6
7
8
y miles
3
6
12
24
48
96
192
384
768
El valor de la variable y depende del valor de la variable x
Al observar los datos de la tabla de valores, nos damos cuenta que corresponden al número
aproximado de bacterias, en miles, de una colonia a lo largo del tiempo medido en horas.
La variable independiente es el tiempo medido en horas y la dependiente el número de bacterias
en miles.
Los datos recogidos en esta tabla podrían representarse en un sistema cartesiano y con ello
conseguir, al menos, de forma aproximada, la gráfica de la función que mide las miles de
bacterias en cada hora.
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4) Visual: (un diagrama o una gráfica)
Diagramas de Venn – Euler
Una gráfica
La gráfica muestra la función representada por la cotización en bolsa de un determinado producto
en los primeros 10 días en que se sacó a la bolsa.
Como mejor podemos apreciar el
comportamiento global de una función es mediante su representación gráfica, por eso, siempre
nos será de mucha utilidad conseguir representar la función si no nos la dan ya representada.
La variable independiente sería el tiempo en días y la variable dependiente el valor de cotización
del producto en miles de Balboas.
Cuando una función se presenta en forma gráfica su dominio corresponde al intervalo del eje X
donde la función comienza hasta donde termina.
En este ejemplo, el dominio de la función sería el
intervalo comprendido entre - 3 y 5, lo que se
escribe así: Dom( f )   3, 5 , con los corchetes van
hacia adentro, o sea cerrado, ya que esto indica que los
valores - 3 y 5 son parte del dominio.
El
codominio
o
recorrido
sería
el
intervalo
comprendido entre -1 y 3, esto lo escribimos, así:
Cod( f )   1, 3
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En este ejemplo el dominio son todos los
números reales (R) ya que la gráfica tiene
flechas a cada esquina lo que muestra que la
gráfica es continua, pero hay un tramo que no
tiene grafica el tramo entre el 0 y el 2 por lo que
este
intervalo
no
es
parte
del
dominio.
Dom( f )  R  0, 2
El codominio o recorrido sería en este caso
desde el -1 hasta el infinito positivo (ya que la
gráfica nunca termina y se extiende para el lado
positivo del eje X )
Cod( f )    1,  
6.8 NOTACIÓN DE FUNCIÓN
1. Es costumbre escribir la terna
 f , A, B 
f
por f : A  B o bien f : A  B tal que
a  A,
!b  B : f a  b
f
2. Las expresiones: f : A  B o bien f : A  B Se leen: “Función de A en B ”.
Observaciones:
1. Un elemento cualquiera del dominio se representa con la letra x (variable independiente).
2. Un elemento cualquiera del codominio se representa con la letra y (variable dependiente).
3. El elemento y de B correspondiente a un elemento x de A recibe el nombre de “imagen de
éste”.
4. Por la definición de función, el dominio de una función coincide con el conjunto de partida; es
decir, si f : A  B , entonces Dom f  A
5. Si f : A  A , entonces a f se le llama función definida en A .
6. Si f : A  B se tiene que Im f  B
7. El elemento y de B que es imagen de un elemento x de A , se simboliza así y  f x  ; que
se lee: “Ye es imagen de equis según la función efe”, o simplemente de manera más sencilla,
se lee: “ye es igual a efe de equis”. Entonces f x  no es más que otro nombre para la variable
dependiente.
8. Dado que y  f x  ; el par ordenado
x, y 
se puede expresar de la siguiente forma:
x, y   x, f x
Las funciones que estudiaremos son las que a cada número de un cierto conjunto le asignaremos
otro número: Las funciones numéricas que llamaremos simplemente funciones.
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