UNIDAD N°8 LAS FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS 08 DE JULIO DE 2015

República de Panamá
Ministerio de Educación
DIRECCIÓN NACIONAL DE EDUCACIÓN MEDIA PROFESIONAL Y TÉCNICA
Tel.: 958-5804
Instituto Profesional y Técnico de Veraguas
Nombre del Alumno(a): __________________________________________ Grupo: 12º _________
Sección:  Bachiller  S. C. Industrial
Especialidad: _______________________________
UNIDAD DE APRENDIZAJE Nº 8
Las Funciones y sus Gráficas
8.0 OBJETIVO GENERAL: Que el alumno o la alumna sea capaz de:

Determinar, en el plano cartesiano, si una curva corresponde a la gráfica de una función, e
identificar los diferentes tipos de funciones, mediante sus notaciones y gráficas.
8.1 OBJETIVOS ESPECÍFICOS: Que el alumno o la alumna sea capaz de:
 Graficar funciones reales, identificando su dominio y codominio.
8.2 INTRODUCCIÓN
Uno de los conceptos más importante de la Matemática es, el concepto de “función”; ya que en
casi todas las ramas de la Matemática Moderna, la investigación se centra en el estudio de las
funciones.
Existen numerosas funciones con nombres especiales, ya sea por los símbolos que expresan, por
sus aplicaciones o por su origen; y que reciben un nombre específico. Entre estas, tenemos las
funciones lineales y las funciones cuadráticas que tienen mucha aplicabilidad y utilidad dentro de
la propia Matemática y de otras ciencias, como lo es: la Física, la Biología, la Química, entre
otras. Hoy en día se acepta la amplia definición de función, dada por el matemático alemán
Dirichlet, por allá por el Siglo XIX, y que dice lo siguiente: “Función es toda correspondencia
entre dos conjuntos de números cualquiera que sea el modo de establecerla”.
8.3 CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES REALES f : RR
Las funciones reales se clasifican en funciones elementales y funciones no elementales. Las
funciones elementales o funciones analíticas son aquellas funciones en que la correspondencia
entre los valores dados de la variable independiente “ x ” y los valores de la variable dependiente “
y ” vienen dados por fórmulas matemáticas.
Además, estas se dividen en funciones: algebraicas y trascendentes (o trascendentales).
Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V.
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Se dice que una función es algebraica cuando la variable independiente “ x ” puede expresarse
en términos finito de sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, potenciaciones y radicaciones, y
cuando no es algebraica se le llama función trascendente.
Las funciones algebraicas, a su vez se clasifican en: funciones racionales y funciones
irracionales, y las racionales; a su vez en funciones enteras (las polinómicas) y funciones
fraccionarias.
A continuación un esquema sobre la clasificación de las funciones reales:
En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable
independiente x son: la adición, sustracción, multiplicación, potenciación y radicación.
Las funciones algebraicas pueden ser funciones: explícitas e implícitas.

Las funciones explícitas: son aquellas funciones en donde se pueden obtener las
imágenes de x por simple sustitución, por ejemplo: f x  3x  1.

Las funciones implícitas: son aquellas funciones en donde no se pueden obtener las
imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones, por
ejemplo: 3x  y  1  0 .
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8.4 LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN
Si x e y son números reales, entonces el par ordenado x, y  o bien x, f x para x  X está
identificado con un punto en el plano cartesiano. El conjunto de todos esos puntos en el plano
que forman la representación, es la gráfica de función f x  ; y proporciona una representación
geométrica de la función.
Observación: La gráfica es una herramienta muy útil para visualizar propiedades y
comportamientos de una función.
8.4.1 REGLA DE LA RECTA O REGLA DE LA LÍNEA VERTICAL
Existen criterios visuales para decidir si una gráfica en el plano cartesiano representa una función
o no. Según el teorema: “Si toda recta paralela al eje Y , intercepta o corta a la gráfica a lo más
en un punto, dicha gráfica será la representación de una función”.

Esto significa que, no son funciones (en sentido estricto) aquellas gráficas que son
cortadas más de una vez por alguna línea vertical.
En conclusión, la gráfica de una función está formada por todos los puntos x, f x , del plano
donde x pertenece al dominio de f y se denota por f x  .
La gráfica de una función f es la representación geométrica de los pares ordenados que
pertenecen a la función Gra  f  
x, y  R
2
: y  f x; x  Dom  f  .
¿Cuáles de éstas gráficas no corresponden a una función? y ¿Por qué?
Explicación: Las gráficas 2 y 3 son funciones, porque son cortadas una sola vez por una
línea vertical, además, para cada valor de x (variable independiente) le corresponde un único
valor imagen y (variable dependiente). Y las gráficas 1 y 4 no son funciones, porque son
cortadas en más de un punto por una línea vertical. Además, los valores de la variable
independiente x , le corresponde más de un valor de la variable dependiente, lo que contradice
la definición de función.
Para representar una función se debe considerar: el dominio o campo de existencia, los cortes
con los ejes de coordenadas (puntos de intersección), el signo de la función, las regiones de
existencia, la simetría de la gráfica, los intervalos de crecimiento y la relación con otras funciones
conocidas.
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8.5 FUNCIÓN POLINÓMICA
Sea “ n ” un entero, la función: a n x n  a n  1 x n  1  a 2 x 2  a1 x  a0 se llama polinomio de grado n .
Los números a n se llaman coeficientes dominantes y a 0 se denomina término constante del
polinomio. Las funciones polinómicas son de la forma: f x   a n x n  a n  1 x n  1  a 2 x 2  a1 x  a0 ó
f x   a 0  a1 x  a 2 x 2    a n  1  a n x n en donde a0 , a1 , a 2   a n son números reales.
El dominio de una función polinómica es cualquier número real, es decir, son todos los
números reales. A continuación, la notación de algunas funciones polinómicas de orden bajo:
GRADO
NOTACIÓN
Cero
f x   a0 ó
Uno
f x   a1 x  a0 ó
Uno
f x  a1 x
Uno
f x   x
Dos
f  x   a 2 x 2  a1 x  a 0 ó
Tres
f  x   a3 x 3  a 2 x 2  a1 x  a 0
FUNCIÓN
f x   a ó f x   k
ó
Constante
f x  ax  b ó
f x   ax ó
f x  mx  b
f x   mx
Lineal afín
Lineal
Identidad
f x   ax 2  bx  c
f x   ax 3  bx 2  cx  d
ó
Cuadrática
Cúbica
8.5.1 DOMINIO DE UNA FUNCIÓN POLINÓMICA
Sea “ f ” una función que a cada elemento de x  R se le asocia una función. El dominio de una
función polinómica (ya sea lineal, cuadrática, cúbica, etc.) es todo el conjunto de los números
reales.
El dominio implícito de la función es el que se sobrentiende de la función; mientras que el
dominio explícito de la función es el que proviene de ella, el que se asigna o se da, tal como se
muestra en la siguiente tabla:
EJEMPLO
DOMINIO
IMPLÍCITO
  ,  
DOMINIO
EXPLÍCITO
4 x5
 2  x 1
Cúbica
  ,  
  ,  
Racional
R   2 
FUNCIÓN
f  x   3x  4
Lineal
f x   x 2  7 x  12
Cuadrática
f x   2 x 3  4 x 2  2 x  1
x2
f x   2
x 4
1  x  2
 6  R  6    2
Para representar una función en el plano cartesiano, se debe considerar: el dominio o campo de
existencia, los cortes con los ejes de coordenadas (o puntos de intersección), el signo de la
función, las regiones de existencia, la simetría de la gráfica, los intervalos de crecimiento y
la relación con otras funciones conocidas. A continuación la representación de algunas funciones
polinómicas básicas:
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8.6 CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES ALGEBRAICAS
8.6.1 LAS FUNCIONES POLINÓMICAS
Las funciones polinómicas o polinomiales se clasifican a su vez en: función constante, función
lineal afín, función idéntica, función cuadrática, función cúbica.
1. FUNCIÓN CONSTANTE: es una función Ejemplo 1: Dada f x   3 , determine su
+6+polinómica de grado cero, es de la dominio, codominio y grafíquela.
forma: f x   a0 ó f x   c ó f x   k en Solución:
donde a 0 ó c ó k es un número real.
El
dominio de la función constante son todos
los números reales (todo R) ó  ,   ; y el
codominio es el valor del número c ( a 0 ó k ).
La gráfica de una función constante es una
recta horizontal paralela al eje X que pasa
por el número c ( a 0 ó k ).
2. FUNCIÓN LINEAL O FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA: es una función
polinómica de grado uno, es de la forma: f x   a x ó f x   mx ; con a  0 ó m  0 . Su
dominio y codominio son todos los números reales (todo R) ó  ,   . Su gráfica es
siempre una línea recta que pasa por el origen.
Como su nombre indica, la función de proporcionalidad directa o función lineal
f x   mx relaciona dos magnitudes directamente proporcionales, es decir, tales que su
cociente es constante.
En donde dicho cociente m recibe el nombre de constante de proporcionalidad. Si
m  0 la función es creciente y si m  0 la función es decreciente.
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Ejemplo 2: Dada f x   3x , determine su
Ejemplo 3: Dada f x   2 x , determine su
dominio, codominio y grafíquela.
dominio, codominio y grafíquela.
Solución:
Solución:
3. FUNCIÓN LINEAL AFÍN: es una función polinómica de grado uno, es de la forma:
f x   a1 x  a0 ó f x  mx  b ; en donde m y b son números reales. Siendo m una
constante que se denomina pendiente y b una constante denominada ordenada en el
origen. Su dominio y codominio son todos los números reales (todo R) ó  ,   . Su
gráfica es una línea recta cuya pendiente es m , que pasa por el punto 0, b , pero que no
pasa por el origen.
Ejemplo 4: Dada f x  3x  6 , determine su dominio, codominio y grafíquela.
Solución: 1) Buscando el punto de intersección con el eje Y , haciendo x  0
y  f 0  30  6  0  6  6
 P0, 6
2) Buscando el punto de intersección con el eje X , haciendo y  0
0  3x  6
 6  3x
3x   6
x
6
 2
3

P 2, 0
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Ejemplo 5: Dada f x  6 x  3 , determine su
Ejemplo 6: Dada f x  4  2 x , determine
dominio, codominio y grafíquela.
su dominio, codominio y grafíquela.
Solución:
1)
Buscando
el
punto
de
Solución:
1)
Buscando
el
punto
de
intersección con el eje Y , haciendo x  0
intersección con el eje Y , haciendo x  0
y  f 0  60  3  0  3   3
y  f 0  4  20  4  0  4
 P0,  3
2) Buscando el punto de intersección con el eje
X , haciendo y  0
2) Buscando el punto de intersección con el
eje X , haciendo y  0
0  6x  3
3 1
6x  3  x  
6 2
 P0, 4
1 
 P , 0 
2 
0  4  2x
2x  4  x 
4
2
2
 P2, 0
4. FUNCIÓN IDÉNTICA O FUNCIÓN IDENTIDAD: es una función lineal especial de la forma:
f x   x ó y  x . Su gráfica es una línea recta que divide en dos partes iguales al primer y
tercer cuadrante, es decir, es bisectriz del primer y tercer cuadrante. El nombre idéntica se
debe a que, el mismo valor que recibe x , lo recibe y .
Ejemplo 7: Dada f x   x , determine su dominio, codominio y grafíquela.
Solución: Su dominio y codominio son
todos los números reales (todo R) ó
 ,   .
Es una función creciente y
siempre pasa por el punto 0, 0 . Es una
función simétrica con respecto al origen (es
una función impar).
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5. FUNCIÓN CUADRÁTICA: es una función polinómica de grado dos, es de la forma:
f x   a 2 x 2  a1 x  a0 ó f x   ax 2  bx  c , con a  0 . La gráfica de la función cuadrática
es una parábola vertical, que tiene como eje de simetría la recta que pasa por el vértice y
es paralela al eje Y . Su forma (hacia arriba, hacia abajo, más ancha, más estrecha,...)
2
depende del coeficiente de x ,es decir depende de “ a ”, del siguiente modo:

Si a  0 (si a es positivo), la gráfica de parábola abre hacia arriba, es decir, es
convexa (o cóncava hacia arriba), y el vértice es un mínimo absoluto.

Si a  0 (si a es negativo), la parábola abre hacia abajo, es decir, es cóncava hacia
abajo, y el vértice es un máximo absoluto.
Observación: Cuanto mayor sea a , más estilizada es la parábola.
En f x   ax 2  bx  c el parámetro c indica el único punto de intersección (o de corte) de la
parábola con el eje Y , que es el punto 0, c  .
Para graficar la función cuadrática son suficientes tres puntos estos son: La intersección con
el eje X , la intersección con el eje Y , y las coordenadas del vértice de la parábola.
 La intersección con el eje Y , se hace x  0 y se calcula f 0  c entonces el punto es 0, c  .
 La intersección con el eje X , se hace y  0 y se resuelve el trinomio f x   ax 2  bx  c .
Para resolver el trinomio, se resuelve la ecuación: ax 2  bx  c  0 por cualquiera de los
métodos conocidos (factorización), o se puede utilizar la fórmula general de la ecuación
cuadrática: x 
 b  b 2  4ac
2a
, y las soluciones o raíces que se obtienen son: x1 y x 2 que
nos dará las abscisas de los puntos de intersección con el eje X , es decir los puntos: x1 , 0 y
x2 , 0
x1 
.
Si aplicamos la fórmula general de segundo grado, las raíces serán:
 b  b 2  4ac
2a
y x2 
 b  b 2  4ac
2a
.
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Observación: En el eje X , cuando se busca la intersección, puede haber dos puntos, uno o
ninguno, según que la ecuación ax  bx  c  0 , dos, una o ninguna solución real.
2
Para la representación de la parábola, escogemos sobre los ejes unas escalas adecuadas que
nos permitan plasmar la información obtenida. El signo de la parábola, serán aquellos valores
del dominio para los cuales la función será positiva o negativa.
 El vértice de la parábola es el único punto en que la tangente a ella, es una recta paralela
al el eje X . Es un punto crítico, porque puede ser el punto más bajo (mínimo) o más alto
(máximo) de la parábola.
 Para encontrar el vértice de la parábola determinamos su abscisa con la fórmula: x  
b
y
2a
la ordenada, la obtenemos evaluando en la función cuadrática el valor de la abscisa; es
 b 
decir: y  f    la reemplazamos en: y  f x   ax 2  bx  c
 2a 
2
 b 
 b 
 b 
y  f     a     b    c
 2a 
 2a 
 2a 
 b2  b2
b2 b2
b 2  2b 2  4ac  b 2  4ac 4ac  b 2


y  a 2  
c

c


4a 2a
4a
4a
4a
 4a  2a
Esto significa que podemos obtener la ordenada del vértice, sustituyendo los valores a , b
y c en y 
4ac  b 2
; luego las coordenadas del vértice de la parábola serán:
4a
 b 4ac  b 2 
 . De manera general las coordenadas del vértice se pueden expresar
V    ,
2
a
4
a


como el punto: V h, k 
El dominio de la función cuadrática son todos los números reales (todo R) ó  ,   , y el
codominio dependerá de la ordenada del vértice de la parábola.

Si a  0 , el codominio de la función cuadrática es el intervalo que va desde la ordenada
del vértice hasta el infinito positivo, es decir, k ,  

Si a  0 , el codominio de la función cuadrática estará formado por el intervalo que viene
desde el infinito negativo hasta la ordenada del vértice, es decir,  , k 
Observación: En conclusión, podemos decir que para encontrar el dominio y el codominio de
la función cuadrática, debemos recordar lo siguiente:
 k ,    si a  0
Dom( f )  R ; Cod ( f )  
siendo k la ordenada del vértice de la parábola.
   , k  si a  0
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Ejemplo 8: Dada f x   x 2  2 x  3 , determine su dominio, codominio y grafíquela.
Solución: 1) Buscando el punto de intersección con el eje Y , haciendo x  0
y  f 0  0  20  3  0  0  3   3
2
 P0,  3
2) Buscando el punto de intersección con el eje
X , haciendo y  0
0  x 2  2x  3
0  x  3x  1
x30;
 P3, 0 
x 1 0
x3
 P 1, 0 
x  1
3) Buscando las coordenadas del vértice: V h, k 
Si a  1 , b   2 y c   3
xh
 2  2  1
b

2a
21 2
y  k  f h 
k  f 1  1  21  3  1  2  3   4  V 1,  4
2
4ac  b 2
Otra forma de encontrar la ordenada del vértice es utilizando la fórmula: y 
4a
4ac  b 2 41 3   2
 12  4  16
y



 4
4a
41
4
4
2
Ejemplo 9: Dada f x   x 2  4 x  3 , determine su dominio, codominio y grafíquela.
Solución: 1) Buscando el punto de intersección
con el eje Y , haciendo x  0
y  f 0  0  40  3  0  0  3  3
 P0, 3
2
2) Buscando el punto de intersección con el eje
X , haciendo y  0
0  x 2  4x  3
0  x  3x  1
x30;
x3
x 1 0
 P3, 0 
x 1
 P1, 0 
3) Buscando las coordenadas del vértice:
V h, k  Si a  1 , b   4 y c  3
xh
 4  4  2
b

2a
21 2
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y  k  f h 
k  f 2  2  42  3  4  8  3   1
 V 2,  1
2
Otra forma de encontrar la ordenada del vértice es utilizando la fórmula: y 
4ac  b 2
4a
4ac  b 2 413   4 12  16  4
y



 1
4a
41
4
4
2
Ejemplo 10: Dada f x   4  x 2 , determine su
dominio, codominio y grafíquela.
Solución: 1) Buscando el punto de intersección con el
eje Y , haciendo x  0
y  f 0  4  0 2  4
 P0, 4
2) Buscando el punto de intersección con el eje X ,
haciendo y  0
0  4  x2
0  2  x 2  x 
2 x0;
 P2 , 0 
2 x0
x2
 P 2 , 0 
x2
x2
3) Buscando las coordenadas del vértice: V h, k  Si a   1 , b  0 y c  4
xh
0  0  0
b

2a
2 1  2
y  k  f 0  4  0  4  0  4
2
 V 0, 4
Ejemplo 11: Dada f x   x 2  1 , determine su
dominio, codominio y grafíquela.
Solución: 1) Buscando el punto de intersección
con el eje Y , haciendo x  0
y  f 0  0  1  0  1   1
2
 P0,  1
2) Buscando el punto de intersección con el eje X ,
haciendo y  0
0  x2  1
0  x  1x  1
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 P1, 0 
x 1 0 ; x 1 0
x 1
 P 1, 0 
x  1
3) Buscando las coordenadas del vértice: V h, k  Si a  1 , b  0 y c   1
0  0  0
b

2a
21 2
xh
y  k  f 0  0  1  0  1   1
2
vértice es utilizando la fórmula: y 
 V 0,  1 Otra forma de encontrar la ordenada del
4ac  b 2
4a
4ac  b 2 41 1  0
4


 1
4a
41
4
2
y
Ejemplo 12: Dada f x   2 x 2  5x  3 , determine su dominio, codominio y grafíquela.
Solución: 1) Buscando el punto de intersección con el eje Y , haciendo x  0
y  f 0  20  50  3  0  0  3   3
 P0,  3
2
2) Buscando el punto de intersección con el eje X , haciendo y  0
0  2 x 2  5 x  3 Aplicando el método de aspa simple:
2x
3

6x
x
1

x
ó
2x
x
 2x 2
3
1
 3
6x  x



5x
5x
Los factores se obtienen en cruz: x  32x  1
Aplicando la fórmula general:
x
b 
x
x
b2  4 a c
2a
b
b2  4 a c
2a
 5  25  24
4
Entonces: x1 
x2 


 5  5 2  4 2 3
2 2
 5  49  5  7

4
4
5  7 2 1
 
4
4 2
y
 5  7  12

 3
4
4
0  2 x 2  5x  3
0  x  3 2 x  1
Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V.
12
1 
 P  , 0
2 
x  3  0 ; 2x  1  0
x3
x
 P  3, 0
1
2
3) Buscando las coordenadas del vértice: V h, k  Si a  2 , b  5 y c   3
xh
5   5
b

2a
22
4
2
25 25
 5
 5
 5
 25  25
y  k  f     2    5    3  2  
3

3
8
4
 4
 4
 4
 16  4
25  50  24 25  74
49
49 
 5
yk


 V ,  
8
8
8
8 
 4
4ac  b 2
Otra forma de encontrar la ordenada del vértice es utilizando la fórmula: y 
4a
4ac  b 2 42 3  5
 24  25
49
y



4a
42
8
8
2
6. FUNCIÓN CÚBICA: es una función polinómica de grado tres, es de la forma:
f  x   a3 x 3  a 2 x 2  a1 x  a0
ó
f x   ax 3  bx 2  cx  d , con a  0 .
codominio son todos los números reales.
Su dominio y
Es una función creciente, y su gráfica es
simétrica con respecto al origen. Es una función impar, y pasa por el punto 0, 0 .
Ejemplo 13: Dada f x   2 x 3  3x 2  12 x , determine su dominio, codominio y grafíquela.
Solución: Generamos una tabla de valores y verificamos su domino y codominio.
x
4
3
2
1
0
1
f x 
 32
9
20
13
0
7
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13
PRÁCTICA N°1
I. Dadas las siguientes funciones elementales, determine su dominio, codominio y grafíquelas:
1) f x   4  2 x
4) f x  5x  3
7) f x   2  4x
2) f x  3  x
5) f  x  
8) f x   6 x  9
3) f x  3x
6) f x    2 x
4x
9) f x  3x  1 2
II. Dadas las siguientes funciones cuadráticas, determine su dominio, codom inio y grafíquelas:
1) f x   x  x  6
4) f x   x  2 x  5
7) f x    2 x  4 x
2) f x   4  x
5) f x    2 x  4 x  3
8) f x   x  6 x  5
6) f x    2 x  x  1
9) f x   8  2 x  x
2
2
2
2
2
3) f x   x  4 x
2
2
2
2
8.6.2 LAS FUNCIONES RACIONALES
Sean g y h dos funciones polinomiales de R en R. Diremos que f : RR es una función
racional1 si: f x  
g x 
;
h x 
hx   0 donde g x  y h x son funciones polinomiales.
Si el grado de g x  hx la función racional es impropia, pero si es g x  hx la función
racional es propia.
El dominio de la función racional es el conjunto de todos los números reales, excepto aquellos
valores donde el denominador hx  no se hace cero al denominador D = {x  R / hx   0 }
El codominio de la función racional se encuentra valorizando el valor x (excluido del dominio)
en la función factorizada.
Ejemplo
determine
14:
Dada
su
f x  
dominio,
x 2  2x  8
,
x4
codominio
y
Ejemplo
determine
15:
Dada
su
f x  
dominio,
x 2  x  12
,
x4
codominio
grafíquela.
grafíquela.
Solución: Para el dominio: x  4  0
Solución: Para el dominio: x  4  0
x40
x  4  D f    , 4  4,   
Para el codominio:
x 2  2 x  8 x  4x  2

x4
x4
f x   x  2
y
x40
x   4  D f    ,  4   4,   
Para el codominio:
x 2  x  12 x  4x  3

x4
x4
f x   x  3
f x  
f x  
f 4  4  2  6
f  4   4  3   7
1 Esta función se origina como la razón de dos polinomios.
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14
C
f
   , 6  6,   
C
f
   ,  7    7 ,   
El punto P  4, 6 es un punto abierto, se
El punto P   4,  7 es un punto abierto, se
excluye de la gráfica.
excluye de la gráfica.
Para graficar la función factorizada:
Para graficar la función factorizada:

Buscando el punto de intersección con

el eje Y , haciendo x  0
f 0  0  2  2

eje Y , haciendo x  0
 P0, 2
f 0  0  3   3
Buscando el punto de intersección con
el eje X , haciendo y  0
Ejemplo 16: Dada f  x  

 P0,  3
Buscando el punto de intersección con el
eje X , haciendo y  0
 P 2, 0
0  x  2  x  2
Buscando el punto de intersección con el
0  x 3 x 3
 P3, 0
1
, determine su dominio, codominio y grafíquela.
x
Solución: Esta función es una función racional de proporcionalidad inversa, también se le
conoce como función recíproca, en donde su dominio no puede ser cero, ya que la división por
cero no existe, además su codominio no puede ser cero, puesto que el valor de la función nunca
es cero. La gráfica de esta función recibe el nombre de hipérbola equilátera. Su dominio y
codominio son respectivamente: D
Para la gráfica de f  x  
f
   , 0   0,    y el C
f
  , 0  0,    .
1
, daremos valores a la variable “ x ”, así:
x
f  3 
1
  0,3
3
f 1 
f  2  
1
  0,5
2
f 2 
1
 0,5
2
f  1 
1
 1
1
f 3 
1
 0 ,3
3
1
1
1
Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V.
15
De acuerdo a la forma como está definida la función y observando su representación gráfica,
podemos concluir lo siguiente:
i)
Como
1
 0 para todo número
x
real x , la curva no corta al eje
X.
ii) Como f 0 no existe, la curva
no corta al eje Y .
iii) El dominio y codominio es
Dom
f
 Cod
f
 R  0
iv) Conforme le damos valores a
x cada vez más pequeños, a
través de valores mayores que
cero, los valores de f crecen
sin límite.
v) Conforme le damos valores a
x cada vez más grandes, a
través de valores mayores que
cero, los valores de f decrecen sin límite.
vi) Si x crece, los valores de f se aproximan a cero.
vii) Los ejes X e Y son asíntotas de la curva.
Ejemplo 17: Dada f x  
8
, determine su dominio, codominio y grafíquela.
4x  9
Solución: Esta función es una función racional de proporcionalidad inversa, es racional propia,
luego buscando el punto de intersección con el eje Y , haciendo x  0 , observamos que f 0  
8
9
8
1
 8
lo que significa que la gráfica corta al eje Y en el punto P  0,  y como
 0  0 para
x
4x  9
 9
todo número real x , la curva no corta al eje X . Si simplificamos (dividiendo todos sus miembros
entre 4) la función nos quedará así: f x  
función f es una traslación vertical
de f x  
2
9
x
4
, por lo tanto la representación gráfica de la
9
unidades hacia la izquierda, de la representación gráfica
4
2
9
en la cual se observa que el eje X y la recta cuya ecuación es x   son las
x
4
asíntotas de la curva.
Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V.
16
Para la gráfica de f x  
8
, daremos valores a la variable “ x ”, así:
4x  9
f  8 
8
8
8


  0,3
4 8  9  32  9  23
f  6 
8
8
8


  0,5
4 6  9  24  9  15
f  4 
8
8
8


  1,1
4 4  9  16  9  7
f  2 
8
8
8

 8
4 2  9  8  9 1
f  1 
8
8
8

  1,6
4 1  9  4  9 5
f 0 
8
8
8

  0,9
40  9 0  9 9
f 1 
8
8
8


 0,6
41  9 4  9 13
f 2 
8
8
8


 0,5
42  9 8  9 17
f 4 
8
8
8


 0,3
44  9 16  9 25
f 6 
8
8
8


 0,2
46  9 24  9 33
8.6.3 LAS FUNCIONES IRRACIONALES O FUNCIONES RAÍZ DE POLINOMIO O FUNCIONES
CON RADICALES
Esta función tiene la forma: f x   n P( x) donde P x  es un polinomio, n representa un número
natural tal que: n  2 En este tipo de funciones existen dos casos:
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17
1) Si n es un número par las raíces sólo existirán si el polinomio que está dentro del signo
radical es cero ó positivo. Por lo tanto para encontrar el dominio debemos tener presente
que:

Si f x   g x  , y g x es una función lineal, el dominio es resolver la desigualdad
lineal g x  0 , y el codominio es el intervalo 0,  .

Si f x   g x  , y g x es una función cuadrática, el dominio es resolver la
desigualdad cuadrática g x  0 y el codominio puede variar.
2) Si n es un número impar, tanto el dominio como el codominio estarán formados por el
conjunto de todos los números reales.
A la función irracional, también se le conoce como función raíz de polinomio o función de
dominio restringido.
Ejemplo 18: Dada f x   x  1 , determine su dominio, codominio y grafíquela.
Solución: Para el dominio:
x 1 0
x  1
 Dom f   1,   y por definición: Cod f  0,  
Para la gráfica de f x   x  1 , debemos darles valores a la variable “ x ”, considerando el
dominio:
f  1   1  1  0  0
f 0  0  1  1  1
f 3  3  1  4  2
f 8  8  1  4  2
Ejemplo 19: Dada f x   x  1 , determine su dominio, codominio y grafíquela.
Solución: Para el dominio:
x 1 0
x 1

Dom f  1,   y por definición: Cod f  0,  
Para la gráfica de f x   x  1 , debemos darles valores a la variable “ x ”, considerando el
dominio:
Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V.
18
f 1  1  1  0  0
f 2  2  1  1  1
f 3  3  1  2  1,4
f 4  4  1  3  1,7
f 5  5  1  4  2
Ejemplo 20: Dada f x  4  2 x , determine su dominio, codominio y grafíquela.
Solución: Para el dominio:
4  2x  0
 2x   4
 1  2 x   4
2x  4
4
x
2
x2
Entonces, Dom f   , 2 y por definición: Cod f  0,  
Para la gráfica de f x  4  2 x , debemos darles valores a la variable “ x ”, considerando el
dominio:
f 2  4  22  4  4  0  0
f 1  4  21  4  2  2  1,4
f 0  4  20  4  0  4  2
f  1  4  2 1  4  2  6  2,4
f  2  4  2 2  4  4  8  2,8
Ejemplo 21: Dada f x   x 2  3x  10 , determine su dominio, codominio y grafíquela.
Solución: Para el dominio:
x 2  3x  10  0
 x  5  x  2   0
Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V.
19
Buscando, los puntos críticos: x  5  0
x  5
;
x20
x2
Los puntos críticos son:  5 y 2
Entonces el dominio y el codominio serán, respectivamente:
Dom f   ,  5  2,   y Cod f  0,  
Para la gráfica de f x   x 2  3x  10 , debemos darles valores a la variable “ x ”, considerando el
dominio:
Para el intervalo:  ,  5
f  5 
 52
 3 5  10  25  15  10  25  25  0  0
f  6 
 62
 3 6  10  36  18  10  36  28  8  2,8
f  7  
 7 2
 3 7   10  49  21  10  49  31  18  4,2
Para el intervalo: 2,  
f 2 
22
 32  10  4  6  10  10  10  0  0
f 3 
32
 33  10  9  9  10  18  10  8  2,8
f 4 
42
 34  10  16  12  10  28  10  18  4,2
Ejemplo 22: Dada f x   1  x 2 , determine su dominio, codominio y grafíquela.
Solución: Para el dominio:
1  x2  0
1  x  1  x   0
Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V.
20
Buscando, los puntos críticos: 1  x  0
;
x  1
1 x  0
 x  1
x 1
Los puntos críticos son:  1 y 1
Si x   4
Si x  0
Si x  2
1  x 1  x  0
1   4 1   4  0
1  4 1  4  0
 3 5  0
1  x 1  x  0
1  0 1  0  0
1  1   0
1  x 1  x  0
1  2 1  2  0
3  1  0
1 0 V
3 0 F
 15  0 F
Para la gráfica de f x   1  x 2 , debemos darles valores a la variable “ x ”, considerando el
dominio:
Para el intervalo:  1, 1
f  1  1   1  1  1  0  0
2
f 0  1  0  1  0  1  1
2
f 1  1  1  1  1  0  0
2
PRÁCTICA N°2
I. Dadas las siguientes funciones racionales, determine su dominio, codominio y grafíquelas:
1) f x  
x2  x  6
x3
2) f x  
x2  9
x3
3) f x  
4) f x  
x 2  x  12
x2
5) f x  
x 2  7 x  10
x5
6) f x  
7) f x  
x 2  16
x4
8) f x  
6x 2  7x  2
3x  2
x 2  x  12
x3
x 2  7 x  18
x9
1
9) f  x  
2x
II. Dadas las siguientes funciones irracionales o función raíz de polinomio, determine su dominio,
codominio y grafíquelas:
1) f x   x  2
2) f x   x 2  4
3) f x   x 2  7 x  10
4) f x  2 x  1
5) f x   16  x 2
6) f x   9  x 2
7) f x   x  2
8) f x   x  3
9) f  x  
x
Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V.
21
8.6.4 LAS FUNCIONES VALOR ABSOLUTO O FUNCIONES MÓDULOS
La función valor absoluto2 se define: f x  x ó también se define de la siguiente manera:
 x,
f x   x  
  x,
si x  0
si x  0
De acuerdo con la definición, x puede ser cualquier número real, por lo tanto, el dominio está
representado por los números reales.
Mientras que el codominio o las imágenes de x ,
corresponden a los números reales no negativos, por lo que el rango está determinado por todos
reales no negativos.
La función valor absoluto mantiene el signo de las imágenes positivas y cambia el de las
negativas.
El dominio de la función valor absoluto es  ,   , o sea todo R. Su codominio es: 0,  
La gráfica de la función valor absoluto consta de dos
semirrectas, cuyas pendientes son 1 y -1 respectivamente,
que se intersectan en un punto llamado vértice de la
función, y tiene la forma de la letra V.
En f x   x , el vértice coincide con el origen. Además
su dominio es: Dom f   ,   , y su codominio:
Cod f  0,   .
Analíticamente las funciones valor absoluto son en realidad funciones definidas a trozos.
Ejemplo 23: Dada f x   x  4 , determine su dominio, codominio y grafíquela.
Solución: Por definición el dominio de esta función es  ,   , y el codominio es: 0,   Para
expresar está función sin la notación de valor absoluto se escribe de la siguiente
manera:
si x  0
x4
f x   
 x  4 si x  0
Para el vértice: x  4  0
x4
Entonces f 4  4  4  0  0
 V 4, 0
Para la gráfica de f x   x  4 , debemos darles valores a la variable “ x ”, considerando el dominio y las
coordenadas del vértice:
f  1   1  4   5  5
f 0  0  4   4  4
2 Esta función, asocia a cada número su valor absoluto, es decir, su valor sin tener en cuenta el signo.
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22
f 1  1  4   3  3
f 2  2  4   2  2
f 3  3  4   1  1
f 5  5  4  1  1
f 6  6  4  2  2
f 7  7  4  3  3
f 8  8  4  4  4
Ejemplo 24: Dada f x   x  5 , determine su dominio, codominio y grafíquela.
Solución: Por definición:
Dom f   ,   , Cod f  0,  
Para el vértice: x  5  0
x  5
f  5   5  5  0  0
 V  5, 0
Para la gráfica de f x   x  5 , debemos darles valores a la variable “ x ”, considerando el
dominio y las coordenadas del
vértice:
f  8   8  5   3  3
f  7   7  5   2  2
f  6   6  5   1  1
f  4   4  5  1  1
f  3   3  5  2  2
f  2   2  5  3  3
f  1   1  5  4  4
f 0  0  5  5  5
f 1  1  5  6  6
Ejemplo 25: Dada f x  x  2  1 , determine su dominio, codominio y grafíquela.
Solución: Por definición: Dom f   ,   , pero el codominio va a variar
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23
Para el vértice: x  2  0
x 2
f  2   2  2  1  0  1   1
 V  2,  1
Para la gráfica de f x  x  2  1 , debemos darles valores a la variable “ x ”, considerando el
dominio y las coordenadas del vértice:
f  6   6  2  1   4  1  4  1  3
f  1   1  2  1  1  1  1  1  0
f  5   5  2  1   3  1  3  1  2
f 0  0  2  1  2  1  2  1  1
f  4   4  2  1   2  1  2  1  1
f 1  1  2  1  3  1  3  1  2
f  3   3  2  1   1  1  1  1  0
f 2  2  2  1  4  1  4  1  3
8.6.5 LAS FUNCIONES DEFINIDAS POR VARIAS FÓRMULAS O FUNCIONES DEFINIDAS A
TROZOS (O FUNCIONES POR PARTES O POR INTERVALOS O POR SECCIONES)
Hasta aquí, ya hemos estudiado funciones definidas por una sola expresión algebraica para todo
su domino, pero también podemos encontrar una función definida por intervalos, una función
que usa distintas fórmulas para diferentes partes de su dominio, y se conoce como funciones
definidas a trozos3 (o funciones definidas por partes).
Definir una función a trozos es construir una nueva función a partir de trozos de otras
funciones.
Su dominio dependerá tanto de la forma de cada una de las funciones que componen los trozos,
y es la unión de los dominios de cada trozo de la gráfica, y por lo general está definida en toda la
recta real, es decir: Dom f = R ó D f    ,    ó D f  R . Su codominio dependerá del
conjunto de los valores de f x  , evaluando la función en cada uno de los trozos.
3 También se les conoce como función por partes y están compuestas por varias funciones en diferentes
intervalos,
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24
2 x  3 si x  0

Ejemplo 26: Dada f  x    x 2
si 0  x  2 , determine su dominio, codominio y grafíquela.
1
si x  2

Solución: Esta función está definida por tres tramos de funciones, una función lineal afín, una
cuadrática y una constante, y para cada uno estableceremos su tabla de valores:
f 1 x   2 x  3
f 2 x   x 2
f 3 x   1
si x  2
si 0  x  2
si x  2
Observación: En esta gráfica sí x  0 entonces f x  2x  3 , esto significa que para x  0
la gráfica de f coincide con la gráfica de la recta y  2 x  3 . Si 0  x  2 entonces
f x   x 2 , por lo tanto esta parte de la gráfica coincide con la gráfica de la parábola y  x 2 ,
que tiene vértice en 0, 0 . Si x  2 entonces la gráfica de f es una semirrecta horizontal
separada por una distancia de 1 unidad del eje X .
 x  2 si x  2

Ejemplo 27: Dada f  x    x 2
si  2  x  2 , determine su dominio, codominio y grafíquela.
 2
si x  2

Solución: Esta función está definida por tres
tramos de funciones, una función lineal afín,
una cuadrática y una constante, y para cada
uno estableceremos su tabla de valores:
f1 x   x  3
f 2 x   x 2
si x  2
si  2  x  2
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25
f 3 x   2
si x  2
Observación: En esta gráfica sí x   2 entonces f x   x  2 , esto significa que para
x   2 la gráfica de f coincide con la gráfica de la recta y  x  2 . Si  2  x  2 entonces
f x   x 2 , por lo tanto esta parte de la gráfica coincide con la gráfica de la parábola y  x 2 . Si
x  2 entonces la gráfica de f es una semirrecta horizontal separada por una distancia de 2
unidades del eje X .
 x 2 si x  2
Ejemplo 28: Dada f x   
, determine su dominio, codominio y grafíquela.
4
si
x

2

Solución: Esta función está definida por dos tramos de funciones, una función cuadrática y
una constante, y para cada uno estableceremos su tabla de valores, según sea su
condición:
f 1 x   x 2
si x  2
f 2 x   4
si x  2
 x  4 si x  3

Ejemplo 29: Dada f x   2
si  3  x  1 , determine su dominio, codominio y grafíquela.
  x
si x  1
Solución: Esta función está definida por tres tramos de funciones, una función lineal afín, una
constante y una lineal, y para cada uno estableceremos su tabla de valores, según
sea su condición:
f1 x   x  4
f 3 x    x
si x  3
f 2 x   2
si  3  x  1
si x  1
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26
  x 2  x  5 si x  2
 2
si  2  x  1
x  x  3
Ejemplo 30: Dada f x    2
, determine su dominio, codominio y grafíquela.
 x  x  5 si 1  x  2
  x 2  x  3 si x  2
Solución: Esta función está definida por cuatro tramos de funciones cuadráticas, y para cada
uno estableceremos su tabla de valores, según sea su condición:
f1  x    x 2  x  5
si x  2
f 2 x   x 2  x  3
si  2  x  1
f 3 x   x 2  x  5
si 1  x  2
f 4 x    x 2  x  3
si x  2
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27
 x 2  4 si x  3
Ejemplo 31: Dada f x   
, determine su dominio, codominio y grafíquela.
2 x  3 si x  3
Solución: Esta función está definida por dos tramos de funciones, una función cuadrática y
una lineal, y para cada uno estableceremos su tabla de valores, según sea su
condición:
f1 x   x 2  4
si x  3
f 2 x   2 x  3
si x  3
PRÁCTICA N°3
I.
Dadas las siguientes funciones valor absoluto o función módulo, determine su dominio,
codominio y grafíquelas:
1) f x   x  3
2) f x   x  1
3) f x   x  5
4) f x   x  4
5) f x  x  2  1
6) f x   x  2  3
7) f x  x  1  2
8) f x   x  2  4
II. Dadas las siguientes funciones a trozos o función por partes, determine su dominio, codominio
y grafíquelas:
2 x  4 si x  1

1) f x   2 si  1  x  2
 x
si x  2
2 x  6 si x  2

2) f  x    x 2  1 si  2  x  2

4 si x  2

 3 si x  3

3) f x    x si  3  x  3
 3 si x  3
 2 x si x  1

4) f x     2 si  1  x  3
 x  5
si x  3
 x  2 si x  3

5) f  x    x 2  2 x  7 si  3  x  2
 7
si x  2

 x  1 si x  1

6) f  x    x 2 si  1  x  1
 2  x si x  1

7)
 x2
f x   
si x  2
6  x si x  2
8)
 x 2  1 si x  2
f x   
 3 si x  2
9)
 x 2  1 si x  0
f x   
 x  3 si x  0
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28
8.7 CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES TRASCENDENTES
8.7.1 LAS FUNCIONES EXPONENCIALES
Las funciones exponenciales son aquellas funciones en que la variable independiente está en
x
el exponente. Su ecuación es de la forma: f x   a con a  0 y a  1 .
x
La función f x   a , donde a es un número real positivo ( a  0, a  1 ) que a cada número real x
x
le hace corresponder la potencia a se llama función exponencial de base a y exponente x .
Según el valor de a , pueden darse dos clases:

Si a  1 entonces la función es estrictamente creciente en todo su dominio, y la
función se llama exponencial creciente.

Si a  1 entonces la función es estrictamente decreciente en todo su dominio, y la
función se llama exponencial decreciente.
Las funciones exponenciales presentan las siguientes características:

Todas las funciones exponenciales pasan por los puntos 0, 1 y 1, a  .

Son funciones siempre continuas en todo su dominio.

Son funciones siempre cóncavas hacia arriba. Y siempre son inyectivas (  a  1 )

Tienen como asíntota horizontal al eje X , y jamás la gráfica corta a ese eje.

Su dominio son todos los números reales, o sea Dom f = R ó (-, +).

Su codominio son todos los valores reales positivos, o sea Cod f = R+ ó (0, +).
Ejemplo 32: Dada f x   2 x , determine su dominio, codominio y grafíquela.
Solución: Esta función por definición ya tiene establecida su dominio y rango, los cuales son:
Dom f   ,   y Cod f  0,   , respectivamente.
Ahora para graficar la función, estableceremos una
tabla de valores, según sea su dominio, así:
f  2  2  2 
f 0  2 0  1
1 1
  0,25
22 4
f  1  2 1 
f 1  21  2
1 1
  0,50
21 2
f 2  2 2  4
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29
x
1
Ejemplo 33: Dada f  x     , determine su dominio, codominio y grafíquela.
2
Solución: Esta función por definición ya tiene
establecida su dominio y rango, los cuales son:
Dom f   ,  
y
respectivamente.
Cod f  0,  
Ahora
para
,
graficar la
función, estableceremos una tabla de valores,
según sea su dominio, así:
1
f  2    
2
1
f  1   
2
2
1
2
2
    22  4
1
1
2
    21  2
1
0
1
f 0      1
2
1
1
f 1     0 ,50
2
2
1
1
f 2       0 ,25
4
2
Observación: En los ejemplos 31 y 32 las gráficas son curvas simétricas con respecto al eje
x
1
Y y ambas pasan por el punto 0, 1 , la función f x   2 es creciente y f  x     que
2
también se puede expresar como: f x   2  x es decreciente.
x
8.7.2 LAS FUNCIONES LOGARÍTMICAS
Son funciones de la forma y  log a x , donde a es la base y es una constante positiva, es decir
a  0 y a  1 . Son funciones inversas o recíprocas de las funciones exponenciales, y su
gráfica es una curva simétrica a la función exponencial, con respecto a la bisectriz del primer y
tercer cuadrante.
Según el valor de a , pueden darse dos clases:

Si a  1 entonces la función es creciente en todo su dominio.

Si a  1 entonces la función es decreciente en todo su dominio.
Las funciones logarítmicas presentan las siguientes características:

Todas las funciones logarítmicas pasan por los puntos 1, 0 y a , 1 .

Son funciones siempre continuas en todo su dominio.

Son funciones inyectivas (Ninguna imagen tiene más de un original)

Tienen como asíntota vertical al eje Y , y jamás la gráfica corta a ese eje.

Su dominio son todos los números reales positivos, o sea Dom f = R+ ó (0, +).
Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V.
30

Su codominio son todos los números reales, o sea Cod f = R ó (-, +).
Ejemplo 34: Dada y  log 4 x , determine su dominio, codominio y grafíquela.
Solución: Esta función por definición ya tiene establecida su dominio y rango, los cuales son:
Dom f  0,  
respectivamente.
función,
Cod f   ,  
y
,
Ahora para graficar la
estableceremos
una
tabla
de
valores, según sea su dominio, así:
y  log 4 x  x  4 y
y   1  x  4 1 
1
 0,25
4
y   0,5  x  4 0 ,5  4

1
2
1

4
1
2

1
1
  0,50
4 2
y  0  x  4 1
0
1
y  0,5  x  4 0 ,5  4 2  4  2
y  1  x  41  4
Ejemplo 35: Dada y  log 1 x , determine su dominio, codominio y grafíquela.
4
Solución: Esta función por definición ya tiene establecida su dominio y rango, los cuales son:
Dom f  0,   y Cod f   ,   , respectivamente.
Ahora para graficar la función,
estableceremos una tabla de valores, según sea su dominio, así:
1
y  log 1 x  x   
4
4
y
1
1
1 4
1
y  1  x    
  4
1
4
1 1 1
 
4
1
y   0,5  x   
4
0 ,5

1
1
 
4
1
2

1 1 2
  2
1 1 1
2
0
1
y  0  x    1
4
1
y  0,5  x   
4
0 ,5
1
1 1
 1 2
  
  0,50
4 2
4
Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V.
31
y  1  x  41  4
1
1 1
y  1  x      0,25
4 4
PRÁCTICA N°4
I. Dadas las siguientes funciones exponenciales, determine su dominio, codominio y grafíquelas:
1) f x   3 x
2) f x   4 x
3) f x   5 x
4) f x   6 x
5) f x   2 2 x
6) f x   2 2 x1
7) f x   2 x1
8) f x   3 x
II. Dadas las siguientes funciones logarítmicas, determine su dominio, codominio y grafíquelas:
1) y  log 2 x
2) y  log 3 x
3) y  log 5 x
4) y  log 1 x
2
5) y  log 1 x
7) y  log 3 x  1
6) y  log 6 x
3
8) y  log 1 x
6
8.7.3 LASFUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Las funciones trigonométricas son aquellas que asocian a cada número real x , el valor de la
razón trigonométrica del ángulo cuya medida en radianes es x .
Una función trigonométrica es aquella que se define por la aplicación de una razón
trigonométrica a los distintos valores de la variable independiente, que ha de estar expresada en
radianes.
Las funciones trigonométricas surgen de estudiar el triángulo
rectángulo y observar que las razones (cocientes) entre las longitudes de
dos lados cualesquiera dependen del valor de los ángulos del triángulo.
Se distinguen seis tipos de funciones trigonométricas, las cuales cada una
de ellas tiene su dominio, rango, periodo y su gráfica es distinta.
A partir del círculo trigonométrico unitario4 de radio uno se puede obtener las seis funciones
trigonométricas.
Consideraremos
las
tres
funciones trigonométricas principales:
Se denomina función seno, y se denota por
f x   sen x , a la aplicación de la razón
trigonométrica
seno
a
una
variable
independiente x expresada en radianes.
4 Llamaremos así, a una circunferencia, cuyo centro coincide con el origen de un Sistemas Cartesiano Ortogonal, y
su radio mide una unidad.
Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V.
32
La función seno es periódica, acotada y continua, y su dominio de definición es el conjunto de
todos los números reales.
La función coseno, que se denota por
f x  cos x , es la que resulta de aplicar la
razón trigonométrica coseno a una variable
independiente x expresada en radianes.
Esta función es periódica, acotada y continua, y
existe para todo el conjunto de los números
reales.
Se define función tangente de una variable
numérica real a la que resulta de aplicar la
razón
trigonométrica
tangente
a
los
distintos valores de dicha variable.
Esta función se expresa genéricamente
como f x  tan x , siendo x la variable
independiente expresada en radianes.
Propiedades o características importantes de las funciones trigonométricas:

Las funciones seno, coseno y tangente son de naturaleza periódica, de manera que el
periodo de las funciones seno y coseno es 2 y el de la función tangente es: 

Las funciones seno y coseno están definidas para todo el conjunto de los números reales,
es decir, el dominio de las funciones seno y coseno es R o sea Dom f   ,   .

Las funciones seno y coseno están acotadas, ya que sus valores están contenidos en el
intervalo  1,1 y la función tangente no está acotada.

Las funciones seno y tangente son simétricas con respecto al origen, ya que
sen  x  sen x y tan  x   tan x .
En cambio, la función coseno es simétrica con
respecto al eje Y , ya que: cos  x  cos x
8.7.4 LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS
Se llaman funciones hiperbólicas, porque de alguna manera tienen propiedades similares a las
funciones trigonométricas y se relacionan con la hipérbola en la forma en la que las funciones
circulares (funciones trigonométricas) se relacionan con el círculo.
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33
Veamos ahora las gráficas de las tres primeras funciones hiperbólicas directas, al igual que
algunas de sus características más importantes:
Función seno hiperbólico
Función coseno hiperbólico
Función tangente hiperbólico
Dom f   ,  
Dom f   ,  
Dom f   ,  
Cod f  0,  
Cod f  1,  
Cod f   1,1
Punto de corte: 0, 0
Punto de corte: 0,1
Punto de corte: 0, 0
Paridad: Impar
Paridad: Par
Paridad: Impar
Asíntota: no tiene
Asíntota: no tiene
Asíntota: si tiene
Asíntotas horizontales en:
y  1  y  1
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34