UNIDAD N°7 LAS FUNCIONES TIPOS Y VALORIZACION 04 DE JULIO DE 2015

República de Panamá
Ministerio de Educación
Tel.: 958-5804
DIRECCIÓN NACIONAL DE EDUCACIÓN MEDIA PROFESIONAL Y TÉCNICA
Instituto Profesional y Técnico de Veraguas
Nombre del Alumno(a): __________________________________________ Grupo: 12º _________
Sección:  Bachiller  S. C. Industrial
Especialidad: _______________________________
UNIDAD DE APRENDIZAJE Nº 7
Las Funciones Reales
(Valorización y Tipos)
7.0 OBJETIVO GENERAL: Que el alumno o la alumna sea capaz de:

Utilizar, explicar y aplicar con seguridad y confianza los conceptos fundamentales de la
Matemática para la comprensión e importancia del concepto función y su aplicabilidad en
situaciones que ocurren en la vida cotidiana.
7.1 OBJETIVOS ESPECÍFICOS: Que el alumno o la alumna sea capaz de:
 Valorizar funciones reales y estudiar algunas de sus propiedades más importantes.
 Conocer los tipos de funciones y reconocer sus elementos principales.
7.2 INTRODUCCIÓN
Una de las grandes inquietudes de los seres humanos a través de la historia ha sido la de
describir los fenómenos naturales, sus cambios y las relaciones entre unos y otros. Desde hace
tiempo, el hombre ha estudiado ciertos fenómenos naturales y ha expresado este conocimiento a
través de fórmulas que interrelacionan las magnitudes que caracterizan a dichos fenómenos; por
ejemplos:
1) Para una cierta dosis de x centímetros cúbicos de una droga la presión sanguínea
2
3
resultante P está dada por la expresión: B  0,5x  0,3x . Aquí, la presión sanguínea
B depende de la dosis de x , y podemos concluir, que la presión sanguínea B está en
función de x .
2) El interés sobre una inversión de B / 4000,00 a razón de 40% anual está dado por la
expresión: I  0,40 4 000t donde t es el número de años.
Entonces, el interés
depende del número de años t , y eso significa que el interés I está en función de t .
Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V.
1
3) La ley de Boyle establece que para un gas ideal, a temperatura constante, si el
volumen es de v unidades, la presión P es igual a:
P
k
v siendo k un número fijo. En
este ejemplo, la presión P del gas depende de las unidades del volumen v , y eso
significa que: la presión P del gas está en función de v .
Ejemplos como los anteriores descritos de diferentes tipos de relaciones, motivaron el origen del
concepto de función, y por esta razón es común llamar a: x , t , v variables independientes y a
B , I , P variables dependientes respectivamente.
El mundo en que vivimos, debido al gran desarrollo actual, utiliza la tecnología más avanzada
para el análisis de las relaciones de todo tipo al igual que interpreta, valora y predice los
fenómenos que en él se manifiestan, o se pueden manifestar, a través de modelos matemáticos
que se describen con funciones.
Las palabras: función y relación implican la idea de una correspondencia entre los elementos de
dos conjuntos, es decir, la formación de parejas ordenadas de objetos cualesquiera: personas,
números, figuras geométricas y muchas más.
Las funciones1 sirven para describir fenómenos físicos, económicos, biológicos, sociológicos o,
simplemente, para expresar relaciones matemáticas.
Generalmente se hace uso de las funciones reales 2 , (aun cuando el ser humano no es
consciente de su uso), para el manejo de cifras numéricas en correspondencia con otras, debido
a que se están utilizando subconjuntos de los números reales.
7.3 ALGUNOS EJEMPLOS DE FUNCIONES
Tanto en un contexto matemático, como en la vida cotidiana, nos encontramos a menudo con
funciones. Se pueden construir diferentes tipos de funciones, como por ejemplo:
1. La función que relaciona el año y la cantidad de habitantes del planeta, que se utiliza en las
estadísticas poblacionales.
2. En la industria, las funciones que expresan la producción alcanzada; por ejemplo la cantidad
de petróleo extraída en diferentes períodos de tiempo; o la cantidad de azúcar o de café que
se produce en el país, en un año.
3. En la industria farmacéutica, la cantidad de medicamentos que se producen en cada jornada
laboral.
4. La presión atmosférica es función de la altura, porque a cada altura le corresponde una
presión atmosférica.
1 La función es una regla matemática que asigna a cada valor de entrada un y sólo un valor de salida.
2 Una función real de variable real es una aplicación f : A  B con A , B  R.
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5. El peso medio de los adolescentes depende de la edad, esa es una función, porque a cada
persona le corresponde un peso corporal, y a cada persona le corresponde su edad.
6. La posición de un móvil es función del tiempo, porque a cada tiempo le corresponde un
espacio recorrido (a una velocidad determinada).
7.4 CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE UNA FUNCIÓN
El conjunto de valores posibles que puede tomar la variable independiente se llama dominio de
la función y los valores correspondientes de la variable dependiente forman el conjunto de
imágenes de la función o rango de la función.
Ahora daremos algunas definiciones
importantes:
FUNCIONES: Dados dos conjuntos no vacíos A y B , llamamos función de A en B , a toda
relación que hace corresponder a cada elemento del conjunto A un elemento del conjunto B y
nada más que uno. Se anota f : A  B y se lee “función del conjunto A en el conjunto B ”.
En la gráfica siguiente, se representa la función de A en B
Además, en ella se tiene que:
f : es el operador, determinado por la formula,
regla de correspondencia o ley que nos permite
relacionar los elementos del conjunto A con
los del conjunto B .
A : es el dominio de la función que es igual al conjunto de partida.
B : es el codominio de la función o conjunto de llegada.
C : es el Rango o recorrido de la variable que es el conjunto formado por todas las
imágenes del dominio.
DOMINIO DE UNA FUNCIÓN: Sea f , una función de A en B , llamaremos dominio de f , al
conjunto de los elementos de A que están relacionados por f con un elemento de B .

f

y
notación, será: Dom ( f ) y se define así: Dom ( f )  x/  x  A,  y, y  B x 
Su

Ejemplo 1: Dados los conjuntos A   1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y B  3,4, 5, 6,7, 8, 9, 10 Sea la función f ,
definida así: f  ( 2, 4 ), ( 3, 6 ), ( 4, 8 ), ( 5, 10 ) el dominio de f será: Dom f  2, 3, 4, 5
Representamos el ejemplo con diagramas de Venn - Euler:
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3
CODOMINIO DE UNA FUNCIÓN: Llamaremos codominio, al conjunto de llegada, al conjunto
B . Su notación, será: Cod ( f ) y se define así:
C od ( f )   y / y  B En el ejemplo anterior,
el codominio será: Cod ( f )  3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
RECORRIDO O RANGO DE UNA FUNCIÓN: Llamaremos recorrido de f , al conjunto de los
elementos de B que son imágenes de los elementos de A . Su notación, será: Rec ( f ) ó Ran
( f ) y se define así:
Re c ( f )   y, y  B / y  f x En el ejemplo anterior, el recorrido será:
Re c ( f )   4, 6, 8, 10
7.5 LA NOTACIÓN FUNCIONAL
Con frecuencia es necesario representar las funciones por medio de símbolo de tal modo que
cuando ésta es nombrada sabemos a qué función nos referimos. El símbolo más usual para
representar una función es la letra f , y el símbolo f x  se usa para representar el elemento
asociado a x que se lee “ efe de equis ”; algunas veces se dice que f x  es el valor de f en x .
También, es costumbre escribir la terna  f , A, B por f : A  B o bien f : A  B tal que
f
a  A, !b  B : f a   b .
f
Y las expresiones: f : A  B o bien f : A  B Se leen:
“Función de A en B ”.
Gráficamente, tenemos:
No deben confundirse los símbolos f y f x  ; f
representa la función no está ni en el dominio x ni en
el rango y . Sin embargo f x  es un elemento de y .
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4
7.6 ORIENTACIONES PARA IDENTIFICAR UNA FUNCIÓN
1. Analiza si lo que aparece indicado es una correspondencia de un conjunto X en un conjunto
Y.
2. Determina si para cada elemento del conjunto X le corresponde un único elemento del
conjunto Y .
Un ejemplo donde se establece la relación entre un número y su respectivo cuadrado, utilizando
la regla de correspondencia es: y  x 2
o bien
f x   x 2 .
El dominio de esta función es
A   2,  1, 0, 1, 2 de manera que las imágenes de los elementos del A se obtienen o expresan
como sigue: B   0, 1, 4
f  2   2  4 y se lee: “cuatro es la imagen de menos dos”
2
f  1   1  1 y se lee: “uno es la imagen de menos uno”
2
f 0   0   0 y se lee: “cero es la imagen de cero”
2
f 1  1  1 y se lee: “uno es la imagen de uno”
2
f 2  2  4 y se lee: “cuatro es la imagen de dos”
2
7.7 VALORIZACIÓN DE UNA FUNCIÓN
La notación para las funciones y  f x  ; tiene su ventaja porque permite identificar claramente la
variable dependiente como f x  ; al mismo tiempo que nos indica que x es la variable
independiente y que la propia función se denota así: “ f ”.
La expresión: f x  se lee: “efe de equis” y nos facilita ahorrar palabras cuando buscamos el
valor de la función, ya que en lugar de pedir “el valor de y ” que corresponde a x  1 , podemos
decir “hallar f 1 ”, es decir, “hallar efe de uno”.
Para evaluar una función, escrita en forma de función, debemos generalmente aislar la variable
dependiente en la parte izquierda de la ecuación, por ejemplo: en x  2 y  3 , quedará así:
2 y  3  x entonces y 
3 x
3 x
. Utilizando la notación de función será: f  x  
ésta notación
2
2
tiene una ventaja, porque facilita identificar claramente la variable dependiente f x  y la variable
independiente x .
Evaluar numéricamente la función f x  2x  1 y en vez de pedir el valor de y que corresponde
a: x  3 , podemos decir “hallar f 3 ”, quedando así:
f ( x)  2 x  1
f (3)  23  1
f (3)  6  1
f (3)  5
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5
Observación: Evaluar numéricamente una función es encontrar el valor de la función para un
valor numérico de sus variables. Para realizar la evaluación se sustituye el valor numérico en
cualquier parte de la función en que aparezca la variable y se realizan las operaciones
aritméticas necesarias.
Ejemplo 2: Dada f ( x)  x 4  x 3  11x 2  9 x  18 , evaluar o hallar f 4 y f  1 .
Solución:
f  x   x 4  x 3  11x 2  9 x  18
f  x   x 4  x 3  11x 2  9 x  18
f 4   4   4   114   94   18
f 4   256  64  1116   36  18
f 4   256  64  176  36  18
f 4   338  212
f 4   126
4
3
f  1   1   1  11 1  9 1  18
f  1   1   1  11 1  9 1  18
f  1  1  1  11  9  18
f  1  28  12
f  1  15
2
4
Ejemplo 3: Dada g ( x)  x 2  4 , Hallar a) g 1 ,
g a  2 , g) g x  h , h)
b) g 0 ,
3
c) g 3a  ,
2
d) g a  1 ,
e) g 2x ,
f)
g x  h   g x 
2 g  x  h   2 g  x   g 2 x   12
h  0 , i)
h0.
h
2h
Solución:
a) g 1  1  4  1  4  5
b) g 0  0 2  4  0  4  4
c) g 3a   3a   4  9a 2  4
e) g 2 x   2 x   4  4 x 2  4
2
2
2
d) g a  1  a  1  4  a 2  2a  1  4  a 2  2a  5
2
f) g a  2  a  2  4  a 2  4a  4  4  a 2  4a  8
2
g) g x  h   x  h   4  x 2  2 xh  h 2   4  x 2  2 xh  h 2  4
2

 

g x  h   g x  x 2  2 xh  h 2  4  x 2  4
x 2  2 xh  h 2  4  x 2  4 2 xh  h 2
h)



h
h
h
h
h 2 x  h 

 2x  h
h
i)
2 g x  h   2 g x   g 2 x   12 2x 2  2 xh  h 2  4  2x 2  4  4 x 2  4  12

2h
2h
2
2
2 x  4 xh  2h  8  2 x 2  8  4 x 2  4  12 4 xh  2h 2


2h
2h
2h 2 x  h 

 2x  h
2h
Ejemplo 4: Dada h ( x)  3 x  5 , Hallar a) h1 , b) h0 , c) h 1 , d) h2 , e) h2 x  , f) h 2 , g)
hx  d  , h) h3a  , i) ha  1 , j)
h x  d   h x 
2h x  d   2 h x 
d  0 , k)
h0
d
3d
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6
Solución:
a) h 1  31  5  3  5   2
b) h 0  30  5  0  5   5
c) h  1  3 1  5   3  5   8
d) h 2  32  5  6  5  1
e) h 2x  32x  5  6x  5
f) h  2  3 2  5   6  5   11
g) h x  d   3x  d   5  3x  3d  5
h) h 3a  33a  5  9a  5
i) h a  1  3a  1  5  3a  3  5  3a  8
j)
h  x  d   h x  3x  3d  5  3x  5 3 x  3d  5  3 x  5 3d



3
d
d
d
d
k)
2h  x  d   2h x  23x  3d  5  23x  5 6 x  6d  10  6 x  10
6d



2
3d
3d
3d
3d
7.8 FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL

La Función Real es aquella función cuyo dominio y codominio (o recorrido) son
subconjuntos del conjunto de los números reales, tal que a cada elemento x de D le
corresponde uno y sólo un elemento y de R :
f :DR
x  f  x   y ; x de la variable independiente y

y la variable dependiente.
Una función real de variable real f es una aplicación: f : R  R o bien de D en R ,
f : D  R siendo D un subconjunto de R distinto del conjunto vacío D    .
Al conjunto D se le denomina dominio de la función f . Llamaremos Cod f ó Im f o recorrido
de f al conjunto siguiente:  f x  R; x  D. Evidentemente se verifica Im f  R . Además, una
función f queda determinada conociendo su dominio y su criterio de asignación de imágenes.
Sin embargo, en la práctica, al referirnos a una función, en muchas ocasiones indicamos
exclusivamente cuál es su criterio de asignación de imágenes. Cuando esto suceda, es decir
cuando al referirnos a una función no se indique cuál es su dominio, consideraremos que éste es
el más amplio posible, de acuerdo con el criterio de asignación de imágenes indicado.
Por
ejemplo, si consideramos la función f x   x 2  5 x  4 y no mencionamos su dominio, éste será
el más amplio posible, de acuerdo con el criterio de asignación citado. Es decir, estará formado
por todos los números reales tales que sustituidos en la x hacen que
x 2  5 x  4 sea un número
real. Por tanto el dominio de f será el siguiente conjunto:   ,1  4 , 
Observación: Las funciones reales de variable real se suelen representar en el plano,
utilizando un sistema de referencia.
7.9 COMO QUEDA DEFINIDA UNA FUNCIÓN REAL
Para que una función quede correctamente definida es necesario determinar:
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7
 El conjunto inicial o dominio de la función.
 El conjunto final o imagen de la función.
 La regla por la cual se asigna a cada elemento del conjunto origen un solo elemento del
conjunto imagen.
Así, por ejemplo, la función definida por:
f :r  R
x  x 2 Asigna a cada número real su cuadrado.

Tiene por conjunto origen o campo de existencia todos los números reales, pues dado
cualquier número real x , siempre es posible calcular su cuadrado, siendo el resultado otro
número real.

Tiene por conjunto imagen todos los números reales positivos, puesto que el cuadrado de
un número siempre es positivo: Im f  R 

La regla de asignación es “dado cualquier número real x , calcular su cuadrado para
obtener la imagen”.
7.10 EJEMPLOS DE HALLAR EL DOMINIO O CAMPO DE EXISTENCIA DE UNA FUNCIÓN
Sea y  f x  una función. Llamamos dominio (o campo de existencia) de la función al conjunto
de todos los valores x para los cuales y  f x  esté definida (sea un número real). Se le suele
escribir con la letra mayúscula D o simplemente: Dom
Para el cálculo del dominio de una función dada por su fórmula, hemos de tener en cuenta que:
1. No es posible la división por cero (0).
2. No es posible extraer raíces cuadradas, cuartas, sextas, etc., cuando el radicando es
negativo (pero sí es posible la raíz, cuando el índice es impar).
3. No es posible calcular el logaritmo de un número negativo, ni tampoco de cero (0).
Ejemplo 5: Hallar el dominio o campo de existencia de la función f definida por: f x  
Solución: La función será un número real, si el valor de la expresión
1
x2
1
está definida para
x2
todos los números reales, salvo para aquellos que anulen el denominador, puesto que la
expresión
1
no es un número real.
0
El denominador x  2 se anula cuando x  2 . Por tanto, el campo de existencia de la función
es C.E  R   2  . Y su representación mediante intervalos es Dom f    ,2  2 ,   .
Ejemplo 6: Hallar el dominio o campo de existencia de la función f definida por: f x  
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1
x 4
2
8
Solución: La función f x  sólo será un número real sí x 2  4 , no es cero (o). Resolviendo la
ecuación x 2  4  0  x 2  4  x   2 que son los valores que anulan al
denominador. Por tanto el dominio es D  R    2, 2 .
Ejemplo 7: Hallar el dominio o campo de existencia de la función g definida por: g  x   3 x  9
Solución: La función g x está definida sólo cuando sí 3x  9 , es mayor o igual que cero (o).
Resolviendo la ecuación 3x  9  0  3x   9  x   3 de donde deducimos que
el dominio es Dom g   3 ,  .
Ejemplo 8: Hallar el dominio o campo de existencia de la función h definida por:
hx   x  1  1  x
Solución: La función hx  está definida para aquellos x  R , que hagan los dos radicandos
no
negativos:
x 1  0
y 1 x  0  x  1 y
x 1  x 1
dominio de la función está formado únicamente por Dom h 
Por
tanto
el
1 .
Ejemplo 9: Hallar el dominio o campo de existencia de la función p definida por:
px  
1
x  x6
2
Solución: el valor de la expresión:
anula. Resolviendo:
1
está definida cuando el denominador no se
x  x6
2
x2  x  6  0  x 
1  1  24
2
x
1  25
2
 x1  3
x2   2
Por tanto, el campo de existencia de la función pertenecen todos los números reales excepto
el 3 y el -2, así:
R    2, 3  y su representación mediante intervalos es
Dom p    ,  2   2, 3  3,   .
7.11 TIPOS DE FUNCIONES
En los ejemplos tratados de funciones, observamos ciertas características
que las hacen distinguirse unas de las otras. Por ejemplo: a elementos
diferentes del dominio le corresponden diferentes imágenes, y a cada
elemento del codominio es imagen de por lo menos un elemento del
dominio, o la combinación de ambas características. Esto nos indica que
existen varios tipos de funciones: inyectiva, sobreyectiva, biyectiva y la función inversa.
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9
1. Función inyectiva: una función f : A  B es inyectiva si
 a, b de A implica que
f a   f b  o lo que es lo mismo, sí f (a)  f (b)  a  b .
Dicho en otras palabras, una función es inyectiva si cada elemento del codominio es imagen
de, cuando más, un elemento del dominio.
A la función inyectiva también se le llama “función uno a uno”.
Un ejemplo de función
inyectiva, es el que se muestra en el diagrama de la derecha.
Ejemplo 10: Comprobemos que la función: f  x   3 x  4 es inyectiva
Solución: debemos verificar si
f es inyectiva, porque cada preimagen (dominio) tiene una sola
imagen (codominio). Entonces eso implica que: f a   f b 
O sea: 3a  4  3b  4 , ahora si restamos - 4 a ambos lados de la expresión, quedará:
3a  3b luego si dividimos por 3, nos resultará: a  b , es decir, f es inyectiva.
Observación: para que una función sea inyectiva, se debe demostrar que si dos imágenes son
iguales, las preimágenes también deben serlo. Para ello, la incógnita
x se reemplaza por una “
a ” y esta se iguala a la misma función, y luego la incógnita es sustituida por una “ b ”. Después
se despejan las nuevas incógnitas y si éstas son iguales, como en este caso sucede, se
concluye que la función es inyectiva.
Ejemplo 11: Comprobemos que la función: g x   x 2  1 es inyectiva
Solución: debemos verificar si g es inyectiva, porque cada preimagen (dominio) tiene una sola
imagen (codominio). Entonces eso implica que: g a   g b 
O sea:
a 2  1  b2  1 ,
a 2  b2
luego si pasamos los términos al miembro izquierdo, nos resultará: a 2  b 2  0 ,
ahora si sumamos 1 a ambos lados de la expresión, quedará:
entonces se trata de una diferencia de cuadrados, a  b a  b   0 en donde,
a  b0 y
a  b  0 , lo cual implica que: a   b y a  b lo cual concluimos que g no es inyectiva.
Observación: aquí se realiza el mismo procedimiento anteriormente explicado, pero en este
caso las preimágenes tienen diferentes imágenes, por lo tanto la función “ g ” no es inyectiva.
2. Función sobreyectiva: una función f : A  B es sobreyectiva o
suprayectiva, si y sólo si
 b  B,  a  A tal que: f a   b , es decir, el
codominio (recorrido) de
f  B ó f a   B , o sea, una función es
epiyectiva si y solo si su recorrido corresponde a todos los números
reales.
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A la función sobreyectiva también se le llama “función sobre o función epiyectiva”. Un
ejemplo de función sobreyectiva, es el diagrama, de la derecha.
Ejemplo 12: Comprobemos que la función f   a, y ; b, x ; c, z  es una función epiyectiva o
sobreyectiva. En efecto, si lo es, ya que el codominio, o rango, o imagen, o recorrido son todos
los elementos del conjunto de llegada, es decir las imágenes son:
Cod f   x, y, z
Ejemplo 13: En el siguiente diagrama, el recorrido es: Cod f   x, z ,
entonces
f no es sobreyectiva.
Ejemplo 14: La función f x   x 2 no es una función sobreyectiva, porque su recorrido ésta
definido por Cod f  0 ,   
Ejemplo 15: La función g x   x 3 es una función sobreyectiva, porque su recorrido ésta definido
por Cod g   ,   
3. Función biyectiva: una función f : A  B es biyectiva, si y sólo si es
inyectiva y sobreyectiva a la vez. A la función biyectiva también se le
llama “función biunívoca”.
Un ejemplo de función biyectiva, es el
diagrama, de la derecha
Las funciones biyectivas son aquellas que cumplen con ser inyectivas y
sobreyectivas simultáneamente.
Por ejemplos:
a. La función f x   x 3 es una función biyectiva.
b. La función g  x   x  3 es una función biyectiva.
c. Todas las funciones lineales son biyectivas.
4. Función Inversa: sea la función f : A  B . Su inversa se designa por f
define por: f
1
1
: B  A y se
  y, x  / x  A  y  B, f x   y
Observación: una función tiene inversa o es invertible si su inversa también es una función.
Ejemplo 16: Sean A  a, b, c, d , e, h, B  1, 2, 3, 4, se define f como: f a  2 , f b  1 ,
f c  2 , f d   2 , f e  4 y f h  4 , entonces: f  a,2, b,1, c,2, d ,2, e,4, h,4
f 1 x   2, a , 1, b, 2, c , 2, d , 4, e, 4, h
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Observación: Para que
f 1
sea función debe suceder que f sea biyectiva. O sea, una
función posee inversa solo si es biyectiva.
Ejemplo 17: Sean A  a, b, c , B  m, n, r , se define f como: f a  m , f b  n , f c   r ,
entonces es invertible, ya que:
f n  b ,
f m  a ,
f r   c ,
f  a, m, b, n, c, r  y
f 1 x   m, a , n, b, r , c  lo cual demuestra que f 1 : B  A es también una función, luego f es
biyectiva si y sólo si es invertible.
Observación: Si
f : A B
es invertible, entonces
y  f x   x  f  1  y  .
Ejemplo 18: Sea la función real f x   3x  2
Para encontrar f
1
se hace f  x   y . Esto es:
Así la función inversa es: 3 x  y  2 
x
3x  2  y , para luego despejar “ x ”:
y2
3
Luego, sustituyendo “ y ” por “ x ”, se tiene: f
1
x   x  2
3
Ejemplo 19: Sea la función real g  x   3 x  2 , encuentre g 1 y represente gráficamente g y g 1
en un mismo sistema de coordenadas.
Solución: primero hallaremos a g 1 despejando a “ x ”en la ecuación
y2
 x
3
Luego, intercambiamos las variables: y 
de g  x   3 x  2
x2
3
por lo tanto
g  1 x  
y  3x  2 así:
3x  y  2
x2
es la función inversa
3
Observe en el gráfico siguiente que las curvas de g y g 1 son simétricas respecto a la bisectriz
del primer cuadrante.
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7.12 CARACTERÍSTICAS GLOBALES E IMPORTANTES DE LAS FUNCIONES
Cuando nos referimos a los aspectos globales de una función, estamos hablando de las
siguientes características: su dominio, codominio (contradominio, “rango o imagen”), sus
puntos de intersección con los ejes de coordenados, su curvatura, sus puntos de inflexión,
su continuidad, su monotonía, sus máximos y mínimos, su periodicidad, su simetría y sus
tendencias.
1. Ceros de una función: son los valores
de x que hacen que y sea cero. Los
ceros de una función
f son las
soluciones de la ecuación f  x   0 .
En la representación gráfica de una
función, son los valores donde la curva
“corta o toca o intercepta” al eje de las
eje
X . Si en la gráfica de una función f , se corta al
X en el punto a, 0  , entonces a se denomina un cero de f . En la gráfica, los valores -
2, 0, 3 y 5 son ceros de la función.
2. Simetría: una función es par ó simétrica respecto del eje
Y sí f  x   f  x  . Una función
Y cuando al plegarla por dicho eje el dibujo se superpone, es
decir, a cada valor de '' x '' y ''  x '' le corresponde el mismo valor de '' y ''.
es simétrica respecto del eje
Una función es impar ó simétrica respecto del origen sí f  x    f  x  .
simétrica
Una función es
respecto
coordenadas
al
0, 0 
origen
de
cuando
al
plegarla primero sobre un eje y luego
sobre
el
otro,
la
gráfica
se
superpone, es decir, al valor de '' x ''
le corresponde '' y '', y al valor de ''
 x '' le corresponde ''  y ''.
Una función que no es par ni impar
se dice que es no simétrica.
Dos funciones
f y g son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante si son
funciones recíprocas, es decir: f  x  y g x    f
1
x  .
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3.
Continuidad:
una
función
es
continua cuando se puede dibujar sin
levantar el lápiz del papel, o dicho de
otra forma, la variable independiente
(la “ x ”) puede tomar cualquier valor
numérico.
En caso contrario se dice
que es discontinua.
4. Periodicidad: una función es periódica si su gráfica muestra un comportamiento en la que se
repite cada vez que la variable independiente “ x ” recorre un cierto intervalo. A la longitud de ese
intervalo, se llama período.
5. Tendencia: la palabra tendencia en Matemática significa aproximarse progresivamente a
un valor determinado, sin
llegar nunca a alcanzarlo.
Este término se usa para
referirse a variables o a
funciones
(según
comportamiento
gráfica).
las
de
el
su
Hay funciones en
que,
aunque
solo
conozcamos un trozo de
ellas, podemos predecir cómo se comportarán lejos del intervalo en que han sido estudiadas,
porque tienen ramas con una tendencia muy clara.
asíntotas.
Estas ramas reciben el nombre de
Existen tres tipo de asíntotas: Las asíntotas verticales: x  a , las asíntotas
horizontales: y  b y las asíntotas oblicuas: y  mx  n
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6. Curvatura y puntos de inflexión: una
función es cóncava si su gráfica queda por
encima de las rectas tangentes a cada uno de
sus puntos. Una función es convexa si su
gráfica queda por debajo de las rectas
tangentes a cada uno de sus puntos.
Pero
las
funciones no siempre son cóncavas o convexas, sino que tendrán
tramos de una clase y de otra. Los puntos del dominio donde la
función cambia de curvatura, es decir, pasa de cóncava a
convexa o de convexa a cóncava, se les conoce como puntos de
inflexión.
7. Monotonía (Crecimiento y decrecimiento): una
función es monótona creciente cuando a medida que
aumentan los valores de '' x '', aumentan los valores
de '' y ''.
Una función es monótona decreciente cuando a
medida que aumentan los valores de '' x '',
disminuyen los valores de '' y ''.
8. Máximos y mínimos
Máximos: una función presenta
un máximo absoluto en un
punto cuando es el valor más
alto
de
su
representación
gráfica. Este punto debe de ser
del dominio.
Una función presenta un máximo relativo o máximo local en un punto cuando en dicho punto la
función pasa de creciente a decreciente. Este punto debe de ser del dominio.
Mínimos: una función presenta un mínimo absoluto en un punto cuando es el valor más bajo de
su representación gráfica. Este punto debe de ser del dominio.
Una función presenta un mínimo relativo o mínimo local en un punto cuando en dicho punto la
función pasa de decreciente a creciente. Este punto debe de ser del dominio.
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