Teoria de Exponentes variados

TEORIA DE EXPONENTES
x 3 y 5

y 5 x 3
DEFINICIONES PREVIAS
1. Exponente Natural
x
n

;n  N
x . x . x ... x
144
42 4443
5. Exponente Fraccionario
m
 Q  n a existe,
Sea
n
" n factores de x "
Observación.
Cuando vayas a aplicar un exponente a
una base negativa o fraccionaria, coloca
ésta entre paréntesis.
2
(5)2  5

m
an 
1/3
 1 
A)   
 27 
25
a
() ; n : impar
()n  
() ; n : par
;a0
Ojo: 00 No está definido
1

2


 
6
1
1
3

n
m
a
 3 
1

27
1
3
n
1 1
 n  
a
a
n
POTENCIACIÓN
Es aquella operación matemática,
que consiste en encontrar un número
llamado potencia, a partir de otros
dos números llamados base y
exponente.
2. Exponente cero
0
m
Observación.
Si tomamos sólo en cuenta los signos, se
cumple que:
a 1
a
Ejemplo:

25
n
entonces:
0
0
0
; No definido
3. Exponente Uno
1
a a
TEOREMAS
Ejemplos:
A)
B)
1
8  8
1. Multiplicación o división de bases
iguales.
1  5
(5)
n
4. Exponente negativo
a
n
1

a
n

1
 
a
a .a
3

1
4

3
1
64
a
n m
;
a
m
a
n
n
a
Ejemplo:
;a  0
2
A ) 3 .3
3
Ejemplos:
A) 4
m
3
5
 243
2
B ) (2)


1
(2)
B)
2
2
2
81
79
2
1
2
4
4
Nota que una expresión puede pasar
del numerador al denominador o
viceversa siempre y cuando se le
cambia de signo a su exponente.
81 79
2
2. Potencia de una potencia
 am n   an m
1
a
m .n
m n
Teoría de Exponentes
ASEUNI
A)
32 
3
3
2.3
3
6
1. Raíz de índices iguales de una
multiplicación o división
n a.b  n a n b
n
;
n
n
 a .b
n
a
 
b
;

a
b
3
n
 x 2 . x 3 6   x 5 
B)
6
30
3
3
64

En general se cumple que:
 a
 
64
3
27
4

3
m n
32
3
2
 2


9
2
26
27 . 64 .
 3.4
27
mn
b
 12
 x
a
a
3
3
27.64 
n
Ejemplo:
B)
n
Ejemplo:
A)
3. Potencia de una multiplicación o
división de exponentes iguales
a.b 

b
 729
n
n
a
2
2. Raíz de una raíz
n m
a 
nm
nk
a
a
mk

n
a
m
Ejemplo:
3
A)
RADICACIÓN
Es
una
de
las
operaciones
matemáticas
inversas
a
la
potenciación
cuyo
objetivo
es
encontrar una expresión llamada
raíz (b), conociendo otras dos
expresiones denominadas radicando
(a) e índice (n).
n
a bb
n
1)
m
2)
m
Impar
()  ()
Impar
() 
6
2
6 /6
2
n
p
an
b p c
x
x  x
a b c 
x
n
a
mn
b
nmp
c
(an  b ) p  c
mnp
x  x 
1.
n
x  .m x  . x  
p
x
Además se debe cumplir que:
Par
2
Regla Práctica:
Donde:
n = índice (n є R)
a = radicando (a є R)
b = raíz (b є R)
()  ()
6
RADICALES SUCESIVOS
a
Par
64 
2.
No existe
()  ()
n
 x
nmp
x  .m    p 

X  m X   X 
p
nmp
X  .m   p 
TEOREMAS ADICIONALES
3
A) 3 8  2 porque  2   8
TEOREMAS
Consideramos
expresiones
bien
definidas, entonces se cumple:
2
p
q
r
1.
n
x p m y q s z r  x n .y nm .z nms
2.
m
An .m An .m An L   m 1 An
Teoría de Exponentes
3.
m
ASEUNI
d) VFF
An  m An  m An  L   m 1 An
An
4.
A
m
m
m
2. Siendo m, n dos números enteros
diferentes de cero, cuáles son
verdaderas.
I.
Para “m” impar : am + (-a)m = 0
II. Para “n” par
: (ab)n = (-a)nbn
III. (am)1/n = (a1/n)m
A) Sólo I
B) Sólo III C) Ninguna
D) Sólo II
E) Todos
 m 1 A n
n
An
M

a  a  1  a  a  1  a  a  1  L    a  1
5.
e) FFV
3. Reduce:
 
N  7 2
a  a  1  a  a  1  a  a  1  L   a
6.
A . A . A L4444444444444
"n "radicales3 
7. 144444444444442
m
p m
p m
p
mn

p m n 1
A
m 1
a) – 1
d) – 4
p
9.
10.
m
x
n
n
n
x
n
xx
p
y
n
mx
Z
n
y
A) 5
D) 512
c) – 3
a) 1
d) 4
Z
6. Reducir:
C) 10 56
B) 0
E) 5
5. Simplificar: W 

n N
nn n

xN
b) – 2
e) 0
2
26 factores
56
1
zc
yb
p
 m x  a n y b z  c
a
x
8.
0
24
p
n
 
 3  7   7 3
4. Efectuar: k  5.5.5.........5   5  25

" n " radicales
m
3
7510 . 24 16 .18 22
36 24 .10 20 .911
b) 2
c) 3
e) 5
3 n 1  3 n 3  3 n 5  3 n 7
3 n3  3 n5  3 n7  3 n9
n
A) 1/3
D) 1/81
nx  nn
b 9 . b11 . b13 .....b 99
A) b40
B) b42
D) b46
E) b44
5 n  3  2.5 n  2
8. Simplificar
3.5 n 1
A) n
B) 5
D) 2/3
1. Indique verdadero o falso :
I. ((-3)5)2 es negativo
9. Simplificar: R  n
II. Si : ((-5)3)n es negativo entonces n
es impar.
III. (xa)b = (xb)a es una definición
b) FFF
C) 1/27
7. Simplifique  b  0
b10 . b12 . b14 .....b100
PROBLEMAS PROPUESTOS
a) FVF
B) 1/9
E) 3
a) 1
d) 27
c) FVV
3
C) b45
C)1/5
E) 1
3 8 n . 36
27 2n 1  9 3 n 1
b) 3
c) 9
e) 6
Teoría de Exponentes
ASEUNI
10. Simplificar:
3
 
 x 3 2 . x 3 2 . x 3 2 . x 23 


 ;x  0
E

6
 x 23 . x 20 . x 3 1 




b) x-1
e) x3
a) x
d) x-2
A) 8
D) 11
17. Después de simplificar:
c) x2
P
11. Encuentre el exponente final de "x"
en:
 
x  x 2 x 3

 
 x5

a) 22
d) 26
4
 6 3
x y
3

;x  0
2
18. La expresión,
x  .x

b) 25
e) 28
b a
ab
5 a b
 15.
a b
2b
a
5 b
5 a b
es
C) 6
E) a+b
aab .b b  aa .b ab
a 2 b .b a  b 2 a .ab
A) a+b
B) 1/b
D) b/a
C)1/a
E) a/b
20. Indique el exponente de "a"; luego de
reducir:
3
a
4
a3
3
a
4
a3
4
a
3
a2
4
a
3
a2
1/3
E) 1




c) 5
19. Dar la expresión más simple de
x

x 2 3 x 4
3 8 2

x
14. Reducir:
x

2
32 x

A) 1
B) 2
D) 4
E) 5
15. Simplificar
Se obtiene:
equivalente a:
A) 4
B) 5
D) 16
c) 24
13. Simplifique:
2 x 5  2(2 x  3 )  6(2 x 1 )  4(2 x 1 )
R
36(2 x  2 )  2 x  4
A) 2
B) 1/5
C)
2y
x y
3 x y
b) 4
e) 7
4 5
 1 3  2 2  4 1 
          216
5
 11  
 3 
A) 2/3
B) – 3/2
C) 3/2
D) 1/2
E) 5/4
A) 5
D) 15
3
2x
x y
a) 3
d) 6
12. Hallar x en:
D) 3
715  7 n
7
7 n4  7 3
B) 9
C) 10
E) 12
8
A) 19/72
D) 72/13
x 2
B) 13/12
E) 13/72
C) 13/36
21. Hallar el valor de , si el exponente
final de "x" en :
C) 3
x
3
x
x
5
es la unidad. Además : 3   
5 n2  3n2
E = n 2 2n
3
 5 2n
B) 10
C) 20
E) 1
a) 10
d) 25
b) 15
e) 30

5
c) 20
22. Hallar el valor de n si:
x x x x 
16. Hallar el valor de n en la siguiente
igualdad
A) –3 1/5
D) 5/16
4
B) 5 1/3
1
xn
C) 16/5
E) -5/16
Teoría de Exponentes
23. Efectuar: M 
a) aa 2
d) a a 1
a
2
ASEUNI
 a  1 aa1
1a
b) a a 1
e) a a 1
ax y
24. Simplificar:
ay
A)1
B) x
D) z
E) a
x y
30. Simplificar:
1
z
ay
az


S 


a) 3
d) 3 3
c) a a
z x
az
ax
C) y
S=
  
a) 3
d) 1
9 9.  13 
14
b) 1/3
c) 9
e) 27
a)7
d) 3 7
7



c)
e)
x x
6
7
xx
 1 x 2 x
M  (x 2 )x
A) 2
D) 8
A)1
D) x
C)  3
E)  1
B) 4
C) 1/16
E) 16
xy
2 x yxy
B) 2
y 2y
C)3
E) y
35. Expresa en términos de “b” la
expresión:
xx
29. El equivalente reducido de:
a
aa  aa
b) a a
e) a  a

x 1
34. Si: x y  y ,simplifique
16 16 n 16 16

42
n4 2
E
16 2
16 n 2 


A) 4
B) 1/2
C) 2
D) 16
E) 32
a) 1 / a
d) a a

n 1
n
33. Si: x x  2 . Halar el valor de
2 2
a
3 3 3
3
Donde n  Ґ (n  2005)
A) 
B)  2
D)  n
7
28. Reducir:




3
n 1
3 4 5
2 3 4
x
x

27. Simplificar: 

x
 x x  x x x 


Si: x > 0
a) x2
b) x3
c) x
d) x
e) 1
 2 aa
aa a
a
aa  a
E
a

3
b) 3 3
e) 3 2
6 1
7
b) 6
xx
3
32. Efectuar:
26. Calcular el valor de:
37
S  7

3
31. Sabiendo que: a + b + c = abc, se
pide determinar el equivalente de:
 a x b  c  b x a  c  c x a b 

x
x ab  x ac  x bc


A) x
B) x ab
C) x bc
D) x ac
E) 1
25. Efectuar la expresión
1 1
1  2
4
3





c) 3
x x 1 1
; siendo b = xx
A) b
B) bb
D) bb+1
E) b b
C) b b
b 1
36. Siendo:
; Para a  0
A 3 81  3 81  3 81  .........
c) a
B  12  13. 13. 13.........
El valor de A . B es:
5
b
Teoría de Exponentes
A) 3 7
D) 3 7
correcta
ASEUNI
B) 15
E)
C) – 15
más
de
37. Si: A  20  20  20  K
T
4
a)
una
es
d)
Además:
4
Calcular:
A)1
D)6
4
T4  T
B)2
E)8
C)4
R
B) n
E) 0
A) 1
D) n-n
39. Simplificar:
nn
2n
C) nn
x
2
x
x 1  1

2
 x x 

E






A) 1
B) x
C) xx
D) x x
E) x2
40. Proporcionar la raíz cúbica de “x” si:
1
1
 x
2 x
3
x
3
4
B) 2
C)
2
x 1
x
x
x
b) – 1.5
e) 0
5
4
a) – 2
d) – 1
5
x .
A) x
D) 6 x
B)
E)
5 8
c) 1
4
C)
3
x
43. Indicar el exponente final de x en:
5
9
2n  1
2n  1
2n
99 99
 98
99 99 99 1



C) 99
x 24
17
D)4
E)5
n
nn
n
n n
nn  n nn
1
 
n
nn  n
n
C)3
2 a 2 a 1
2 a b a
b a b
b
B) b
E) a a
8

8 87

8
8

8 
1 8 
V   8 8  8 8






A) 4
B) 8
D) 1
x . 8 11 x ...
x
x
B)2
A) a
D) b
48. Simplificar:
42. Dar el equivalente de:
E
E
A)1
W
E) N.A.
3
x x4
e)
2n
47. Si: b a  a dar la forma más simple de:
41. Indicar el exponente de «x»
3
2n  1
2n  1
46. Simplificar:
x x K K " x " radicales  64 32
A) 3
D)
c)
2
n 1
nn n
xx . xx .
2n  1
2n  1
2n


3   3 4  3 4  3 4  ... 


P
1
3

3
3
1   4  4  4  ... 


a) 2
b) 3
c) 4
d) 8
e) F.D.
38. Reducir:
x
b)
 99 99 99
9 9
44. Reducir: M  


A) 9
B) 99
99
D) 9
E) 911
45. El equivalente de:
A  11  A  11  A  11  L
4
2n  1
x 240 ..... «n» radicales
6
C)
4 83
 3






C) 2
E) 3
a