UNIVERSIDAD DEL BÍO-BÍO
FACULTAD DE CIENCIAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Listado 4 (Parte 2)
Diferenciabilidad y Aplicaciones
Cálculo 3 (220134-220024)
1. Dada la función f (x, y, z) = ln(x2 + y 2 ) + ez y los puntos P1 = (0, 1, 0) , P2 = (−4, 2, 3) .
Hallar la derivada direccional D⃗v f (P1 ), donde
−−→
Departamento de Matemática - Universidad del Bío-Bío - 2019
a) ⃗v es el vector unitario en la dirección P1 P2 .
b) ⃗v es el vector unitario tal que D⃗v f (P1 ) es máxima .
xy 2
(x, y) ̸= (0, 0)
2. Considere la función denida por f (x, y) =
x2 + y 2
0
(x, y) = (0, 0)
√ √
2 2
a ) Usando la denición de derivadas direccionales, calcular D⃗u f (0, 0), donde ⃗
u=(
,
).
2 2
( √2 √2 )
,
.
b ) Calcular ∇f (0, 0)
2 2
c ) Justicando adecuadamente, indique porqué los valores en a) y b) no coinciden?
3. Determinar los valores de a, b y c para que la derivada direccional de f (x, y, z) = axy 2 +
byz + cz 2 x3 tenga en (1, 2, −1) un valor máximo de 64 unidades en la direccion del eje Z .
4. Si la temperatura de una esfera sólida de radio 3 con centro el origen está dada por la
función T (x, y, z) = yz + zx + xy , encuentre la dirección en la cual la temperatura aumenta
más rápidamente en el punto (1, 1, 2).
5. Usando la regla de la cadena, muestre que la función denida por u(x, y) = f (x − at) +
g(x + at) satisface la ecuación:
2
∂ 2u
2∂ u
−
a
= 0,
∂t2
∂x2
donde f y g son funciones arbitrarias, dos veces diferenciables y a es constante.
6. Sea f : R2 → R, (u, v) 7→ f (u, v) una función de clase C 1 tal que la ecuación
f (x2 − y 2 , y 2 − z 2 ) = 0,
dene implicitamente una función z = z(x, y). Suponiendo que
sión E = yz
∂z
∂z
+ zx
y compruebe que no depende de f .
∂x
∂y
∂f
̸= 0, calcular la expre∂v
7. Probar que en una vecindad del punto (−3, 2, 3) la ecuación
z 4 − x2 z + 9y = 72,
dene implicitamente una función z = f (x, y) tal que f (−3, 2) = 3. Encuentre la ecuación
de la recta tangente a la curva de nivel f (x, y) = 3, en el punto (−3, 2).
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8. Considere el sistema de ecuaciones no lineales en las variables (x, y, u, v)
4x + x2 y + euv = 0
x sin y + u2 v + u = 2
a)
Probar que existe una función implícita G(x, y) = (u, v) denida en un entorno del
punto (x, y, u, v) = (1, 0, 2, 0).
b ) Determine la Matriz Jacobiana de la función G en el punto (1, 0) y justique que
existe la función inversa local G−1 entorno al punto (2, 0). Hallar JG−1 (2, 0).
−1
c ) Encuentre la aproximación afín de G
entorno del punto (2, 0).
9. Probar que cerca del punto (1, 1, 0, π/2, 0) se puede resolver el sistema
x2 − y cos(uv) + z 2 = 0
x + y − sin(uv) + 2z 2 − 2 = 0
xy − sin(u) cos(v) + z = 0
2
2
de manera única para x, y , z como funciones de u y v . Calcular
∂x
(π/2, 0).
∂v
10. Dada la función f : R2 → R2 denida por f (x, y) = (ex cos y, ex sin y).
a)
Probar que para todo punto (x0 , y0 ) ∈ R2 existe una vecindad abierta V tal que la
función f : V → f (V ) admite una inversa g de clase C 1 sobre f (V ).
2
2
b ) Es f : R → R inyectiva?
c ) Para cada par (u, v) ∈ f (V ) encontrar la matriz jacobiana [dg(u, v)].
11. Demostrar que el sistema
{
2x2 − u + y = 0
2xz + x − z = 0
dene a las variables x e y como funciones de clase C 1 de las variables z y u en una vecindad
del origen. Si estas funciones son x = g1 (z, u), y = g2 (z, u), demostrar que g = (g1 , g2 ) es
invertible en una vecindad del origen.
12. Encuentre el desarrollo de Taylor de orden dos de la función f (x, y) = xy 2 + 2x − 1 en un
entorno del punto (2, 1).
13. Determinar los puntos críticos de la función f y clasicarlos como máximos relativos,
mínimos relativos o puntos de silla
f (x, y) = x3 + y 3 + 9x2 − 3y 2 + 15x − 9y.
Diga por qué la función f no tiene extremos absolutos en R2 .
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14. Hallar los extremos de f : R2 → R donde
f (x, y) = x4 + y 4 − 2x2 + 4xy − 2y 2
15. Hallar los valores extremos de la función
2
f (x, y, z) = x2 z + y 2 z + z 3 − 4x − 4y − 10z.
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16. Se desea determinar los valores extremos de la función f (x, y) = ln(x2 + y 2 + 1) sobre la
región acotada por la elipse 2x2 + 3y 2 = 12
a)
Justicar por qué existen tales valores.
b ) Determinar los puntos de máximos y mínimos absolutos.
17. Una placa circular en el plano tiene la forma de la región D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 9}
y la temperatura en cada punto (x, y) de la placa es obtenida por la función
T (x, y) = x2 + y 2 − 4x − 4y + 8
Determine los puntos de mayor y menor temperatura. Cuál es la temperatura en cada uno
de ellos.
18. Use multiplicadores de Lagrange para determinar la distancia mínima entre el origen y el
plano 6x + 3y + 2z − 28 = 0.
19. Usando multiplicadores de Lagrange encontrar los puntos de la elipse x2 + 4y 2 = 4 que se
encuentra a la mayor y menor distancia de la recta x + y = 4
20. Dada la función f (x, y, z) = 2x − 2y + z . Hallar los extremos absolutos de f sobre la curva
C de intersección del plano z − x + y = 1 y el cilindro x2 + z 2 = 1.
21. Encontrar las dimensiones de la caja rectangular de mayor volumen que puede ser inscrita
en el elipsoide de ecuación
x2 y 2 2
+ +z = 1, cuyos lados sean paralelos a los ejes coordenados.
9 4
22. Un consumidor gasta US600 en dos artículos, el primero de los cuales cuesta US20 por
unidad y el segundo US30 por unidad. Suponga que la utilidad derivada por el consumidor
de x unidades del primer artículo y de y unidades del segundo artículo está dada por
la función de utilidad U (x, y) = 10x0,6 y 0,4 ¾Cuántas unidades de cada artículo debería
comprar el consumidor para maximar la utilidad?
MU/mu
4 de julio de 2019
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