Subido por ordjose1964

Geometria - Moise Downs

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EDUCATIVO IN TE R A M E R IC A N O S.A.
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Dtá —Böerfos A ire s -C a ra c a s - M é x ic o — Panana — San Juan - San José — S antiago - Sao Pau'
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EDITO RIAL NORMA
C a li, C o lo m b ia
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Edición distribuida por
EDITORIAL NORMA en Colombia, Ecuador, Perú, Costa Rica, El Salvador, Guatemala, Honduras
Nicaragua y Panamá
y por
FONDO EDUCATIVO INTE RAM ERICANO en todos los demás países.
Nueva adaptación en español, autorizada, de la obra en inglés GEOMETRY por Edwin E. Moise y
Floyd L. Downs, Jr„ publicada por Addison-Wesley Publishing Company de Reading, Massachusetts,
EE. UU. La primera edición en español fue publicada por Addison Wesley. La segunda fue
publicada por Fondo Educativo Interamericano, S.A.
© 1972 por FONDO EDUCATIVO INTERAMERICANO, S. A.
Todos los derechos han sido reservados.Ni todo el libro ní parte de él pueden ser reproducidos en forma
alguna sin permiso escrito de su editor.
%
Prefacio
El objetivo de M a tem á tica I V , G eom etría, de la S erie M a tem á tica M oderna,
es sup erar la enseñanza trad icio n al de la geom etría en el nivel secundario, tenien­
do en cuenta las evaluaciones y los estudios llevados a efecto por diversas C om i­
siones de M atem áticas.
D urante v ario s años de trab ajo , reflexión y experiencia, se pudieron crear
num ero sas innovaciones en los m étodos de enseñanza y se llegó a consolidar el
plan general de esta o b ra cuyas características principales son las siguientes:
(1) Los conceptos de la geom etría del espacio se introducen pronto, en la U n i­
dad 3, y se utilizan de a h í en adelante. A parecen no solam ente en las unidades
posteriores que tratan acerca de la g eom etría del espacio, sino tam bién en los
problem as de las unidades de la geom etría del plano. P o r consiguiente, el e stu ­
d ian te ya h a tenido una experiencia in tu itiv a prolongada y v ariad a con la geo­
m etría del espacio, cuando volvem os a su estudio sistem ático en la U nidad 8 .
(2) Los sistem as de coorden ad as en una recta se introducen en la U nidad 2 y
el álgebra se utiliza librem ente de a h í en adelante. Las d istancias y los ángulos se
m iden con n úm eros y p ara tra b a ja r con ellos se utilizan los m étodos algebraicos.
Esto facilita el in tro d u cir las coorden ad as en el plano, en la U nidad 13, tan pronto
com o el estu d ian te conoce el teorem a de P itág o ras y sabe algo acerca del con­
cepto de sem ejanza.
(3) La teo ría sobre áreas se enseña corrientem ente al final de un curso de
geom etría. A quí presentam os este tem a apro x im adam ente a m itad del curso, en
la U nid ad I I . H ay dos razones p ara ello. En p rim er lugar, el concepto de área
debe tra ta rse lo an te s posible, porque es fácil de entender, excepto por la exigencia
del em pleo de las técnicas algebraicas. (E stas técnicas deben practicarse, de todos
m odos.) En segundo lugar, el concepto es útil en el resto del estudio: da una de­
m ostración sencilla del teorem a de P itág o ras (p á g in a 306) y una dem ostración
sencilla del teorem a fundam ental de la proporcionalidad (página 330), del cual
depende la teo ría de la sem ejanza.
(4) En casi todos los casos, los conceptos se explican de m anera intuitiva m e­
diante an álisis inform al y generalm ente m ediante figuras, antes de definirlos
form alm ente. Véase, p o r ejem plo, la definición de conjunto convexo en la pá­
gina 63.
(5) Las figuras se utilizan am p liam en te en la exposición y se m arcan para que
indiquen ta n ta inform ación com o sea posible. Véase la página 114, donde se
explica el em pleo de m arcas p a ra in d icar congruencias. Véase, tam bién, la pági­
na 128, donde está explicado el em pleo de los signos de exclam ación en las figuras.
Estos se utilizan p ara d e n o ta r conclusiones. A sí, la figura de la página 134 indica
el contenido com pleto del teorem a del trián g u lo isósceles. Al final de la página
135 hay una figura que expresa, de la m ism a m anera, el recíproco del teorem a.
La figura central de la página 4 4 5 nos indica que un ángulo inscrito en una sem i­
circunferencia es un ángulo recto.
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Prefacio
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A f nomb/ es a un g fan nüm ero de teorem as, para que
haga m as fácil recordarlos y referirse a ellos. Véase, por ejem plo, el teorem a
la charnela, en la pagm a 203, y el postulado de la regla, en la página 34
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propósitos fundam entales, ap a rte del de enseñar G eom etría
E sta no es
m atem ática > ’ tam bié"- a escrib ir sobre ella!
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estudiantes han de aprender a u tilizar el lenguaje
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r co,nviene. ProP ° r a onarles los térm inos y las notaciones que
S
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' significación rapida y precisa. N o se acostum bra hacer esto P or
ejem plo, en v a n o s libros, el m ism o sím bolo A B se utiliza para d e n o ta r (a) la
recta y e contiene a A y a 5 , (b) el segm ento desde ^ hasta B . (c) d íay o qoe
Sue en un lib ro ^ P
Y (d) 13 dÍ,Stancia entre A >' B T am bién, es frecuente
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e PrJ m er° í distinción cntre ™ segmento y una recta
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CaS° ° miS0
CSa d lslinción- C uando se utiliza el lenguaje tan
descuidadam ente, es p robable que el alum no concluya que el texto no me rice
siendo ó° ST ° ; H eT ° S tra ta d ° de g a n a r la aten c'ó n cuidadosa del estudiante
hiendo consistentes, claros y precisos.
el
eSí f lraducción se ha Procurado unificar la term inología y
D r M ^ rifn n r m ,CH í n °
C° rrÍente en A m érica L atina y el traductor!
d efo rm é n
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ü n iv e rs>dad de Puerto Rico, ha tratad o de superar las
o r íginales
i r i n a t e ddel
ne T idiom
i d ! o a.
m fATsi,
' PÍ p o r ejem
■ plo, es frecuente
h aS ta lo
m á sunión
Po sib le
s no™ as
decir
de laconjuntos
nifirarf
l ? VI“ lm cnte la frase en in 8 lés’ olvidando que el verbo unir tiene un sig-
a d ecir amueaStr e e n e
'° máS C° rrCCt° es de“ r reunión, l.o m ism o sucede
a d ecir que tres o m as puntos son copianares. Lo correcto es decir que son coplanarios (com o se form a te rn a rio , cu aternario, etc.)
Se han u tilizado sim ultáneam ente el sistem a m étrico decim al y el sistem a andusT am en^m n
n T
'° S estudiantes de habla esPañ o la fam iliarizados exL a m ism a L a l L n
“
° s',stem a; Puedan ■valerse de esta o b ra con provecho.
u tiIi^ Z % n í
r rS,8Ue , que la m ay° ría de los Problem as incluidos sean
S e n d r J ^H
m a l an g
ÍCan0 y m élrÍC 0 decim al’ in d istin tam en te.n P rtl h
la tradición h ispanoam ericana, se em plea la com a para separar la
de la p arte e n í r a 1!" nUmera' ’ y * PUnt°
de trCS en £res los díSit0S
Finalm ente, conviene a c la ra r que en el texto, un asterisco (*) frente a un
ejercicio identifica un problem a de dificultad m oderada y una cruz ( + ) corres­
ponde a un problem a suplem entario.
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P r e fa c io de lo s e d ito r e s
Al igual que en los demás libros de la Serie Matemática Moderna, hemos utilizado para esta
nueva versión española la terminología y el lenguaje matemáticos de uso más corriente en
América Latina; tratando siempre de emplear las formas y los términos más correctos.
Hemos usado simultáneamente el sistema métrico decimal y el sistema angloamericano,
a fin de que los estudiantes de habla española familiarizados exclusivamente con uno u otro
sistema, puedan valerse de esta obra con provecho. La misma finalidad persigue el que la
mayoría de los problemas incluidos sean utilizados en los sistemas angloamericano y métrico
decimal, indistintamente, mientras que la mínima parte de ellos contienen datos que pueden
ser aplicados en uno solo de dichos sistemas.
Para el algoritmo de la división hemos presentado simultáneamente las dos. formas en
que suele desarrollarse, para que el estudiante utilice la que le sea más familiar y, si lo
cree conveniente, aprenda a trabajar con ambas.
Siguiendo la tradición hispanoamericana, hemos utilizado la coma para separar la parte
decimal de un numeral, y el punto para agrupar de tres en tres los dígitos de la parte entera.
LOS EDITORES
IL U S T R A C IO N E S
14
Fotografía por Ewing Galloway
54
Cortesía de la Universidad de Harvard
70
Cortesía del Museo Británico, Londres
74
Cortesía de R. Buckminster Fuller
182
Cortesía del Laboratorio Lincoln del Instituto Tecnológico de Massachusetts
212
Cortesía de Cenco Educational Films,
228
Fotografía por A. Devaney
268
Cortesía de la General Motors, Inc.
290
Cortesía de Shin Koyama
320
Fotografía por Harold Lambert
420
Reproducida con el permiso de los autores del libro The Feynman Lectures in Physics,
por R. P. Feynman, R. B. Leighton y M. Sands. Reading, M ass.: Addison-Wesley
Publishing Company
512
Cortesía del Museo Británico, Londres
556
Colección Smith, Biblioteca de la Universidad de Columbia, Nueva York
Chicago
Indice de materias
1
E L SENTIDO COMÜN Y E L RAZONAM IENTO EXACTO
1-1
1-2
2
1
8
CONJUNTOS, NÚMEROS R EA LES Y RECTAS
2-1
2-2
2-3
2-4
2-5
2-6
2-7
3
Dos clases de p r o b l e m a s .............................................................................
U n desarrollo lógico sistemático de la g e o m e t r í a ...................................
E u c l i d e s ..................................................... ............................................... 11
C o n j u n t o s .....................................................................................................15
Orden en la recta n u m é r i c a ....................................................................... 21
Valor a b s o lu to ............................. ................................................................. 26
Reglas y unidades de d i s t a n c i a ............................. ...................................28
Postulado 1. Postulado de la d i s t a n c i a ....................................‘ .
31
U na regla i n f i n i t a .........................................................................................33
Postulado 2. Postulado de la re g la ............................................................34
El postulado de colocación de la regla, interposición, segmentos y rayos 38
Postulado 3. Postulado de colocación de la r e g l a .............................. 38
Postulado 4. Postulado de la re c ta ............................................................41
Cambios en la unidad de d i s t a n c i a ...........................................................46
/ RECTAS, PLANOS Y SEPARACIÓN
3-1 I n t r o d u c c i ó n ................................................................................................ 55
3-2 Rectas, planos y representaciones.................................................................. 56
Postulado 5 ............................................................................................... 57
3-3 Rectas, planos y representaciones (c o n tin u a c ió n ).................................... 59
Postulado 6 ............................................................................................... 59
Postulado 7. Postulado del p l a n o ............................................................60
Postulado 8 ............................................................................................... 60
3-4 Conjuntos c o n v e x o s ....................................................................................63
Postulado 9. Postulado de separación delplano .
........................ 64
Postulado 10. Postulado de separación del e s p a c io ..............................65
3-5 Los siete puentes de K ö n ig sb e rg ..................................................................68
Leonhard E u l e r ......................................................................................... HO'
x
ín d ic e de m aterias
4 /
ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS
4-1
4-2
4-3
4-4
4-5
4-6
Definiciones f u n d a m e n ta le s ......................................................
Algunas observaciones acerca de los ángulos
Medida a n g u la r....................................
Postulado 11. Postulado de la medida de ángulos
Postulado 12. Postulado de la construcción del ángulo
Postulado 13. Postulado de la adición de ángulos
Postulado 14. Postulado del suplemento . . . .
Ángulos rectos, perpendicularidad, ángulos congruentes
George David B irkh ofF ................................................
Teoremas enunciados a base de hipótesis y conclusión
Redacción de demostraciones sencillas
75
80
81
82
82
82
83
87
93
95
97
CONGRUENCIAS
5-1
5-2
5-3
El concepto de c o n g r u e n c ia ....................................
Congruencia de triángulos................................................
Los postulados de congruencia para triángulos....................................
Postulado 15. Postulado L A L ..............................
Postulado 16. Postulado A L A .......................................... '
Postulado 17. Postulado L L L ..............................
5-4 Redacción de dem ostraciones..........................................
5-5 Bisectriz de un á n g u lo .....................................................
5-6 Triángulos isósceles y equiláteros................................................
5-7 Triángulos parcialmente superpuestos. Empleo de la figura para obtene
inform ación................................................
5-8 Cuadriláteros, cuadrados y re ctán g u lo s..........................................
6
105
112
119
119
120
120
122
132
134
138
143
UN EXAM EN MÁS PRECISO D E L A DEMOSTRACIÓN
6-1
6-2
6-3
6-4
6-5
6-6
6-7
6-8
Cómo funciona un sistema deductivo......................................................
Demostraciones indirectas .
Teoremas sobre rectas y planos
Perpendiculares........................
Introducción del empleo de conjuntos auxiliares en las demostraciones
El empleo de la palabra “sea”
Cómo prescindir del postulado ALA
Cómo prescindir del postulado LLL
Interposición y separación .
153
153
157
161
169
174
175
177
D ESIG U A LD A D ES GEOM ÉTRICAS
7-1
7-2
7-3
Formulación de conjeturas plausibles................................................
Desigualdades para números, segmentos y ángulos........................!
El teorema del ángulo externo.............................. 187
¡83
'
185
Vvi\
ín d ic e d e m ate ria s
0
7-5
7-8
7-9
8
191
195
198
200
203
206
RECTAS Y PLANOS PER PE N D IC U L A R E S EN E L ESPACIO
'8 - 1
8-2
ly§-3
8-4
8-5
9
Teoremas sobre congruencia basados en el teorema del ángulo externo
Desigualdades en un mismo t r i á n g u l o ................................................
R e c íp r o c o s ...............................................................................................
La distancia entre una recta y. un punto. La desigualdad del triángulo
El teorema de la charnela y su r e c í p r o c o ..........................................
Alturas de triángulos .................................................................. .....
•
La definición de perpendicularidad para rectas y p l a n o s ....................... 213
U n l e m a ........................................................................................................... 215
El teorema fundamental sobre perpendiculares......................................... 216
Existencia y u n i c i d a d ...................................................................................218
Rectas y planos perpendiculares: r e s u m e n ............................................... 222
RECTAS PA R A LELA S EN UN PLANO
\ ¡ 9-1
•y9-2
p-9-3
Condiciones que garantizan el p a ra le lism o ............................................... 229
Ángulos correspondientes.............................................................. 236
El postulado de las p a r a le la s ....................... ................................... 238
Postulado 18. Postulado de las p a r a le la s ................................................ 233
y 9-4
T r i á n g u lo s .......................................................................... 242
9-5
Cuadriláteros en un plano .............................................................. 245
^ 9 -6
Rombo, rectángulo y c u a d r a d o .......................... ............................. 251
9-7 Algunos teoremas relacionados con triángulos rectángulos . . . .
254
9-8
Secantes a varias rectas p a ra le la s........................................................ 256
9-9
Cómo Eratóstenes midió la T i e r r a ............................. .....
261
E r a t ó s t e n e s ......... ......................................................................................262
10
RECTAS Y PLANOS^ PARA LELO S
10-1Propiedades fundamentales de los planos paralelos .................................. 269
10-2 Ángulos diedros, planos p e rp e n d ic u la re s................................................ 275
10-3
P r o y e c c io n e s ................................................ .....
281
Nikolai Ivanovitch L obachevsky............................................................289
11
REGIONES POLIGONALES Y SUS Á REA S
11-1
Regiones p o lig o n ales.............................................................................
291
Postulado 19. Postulado del á r e a .......................................................... 293
Postulado 20. Postulado de la co n g ru e n c ia ........................................293
Postulado 21. Postulado de adición de á r e a s ..................................294
Postulado 22. Postulado de la unidad
...... ....................................... 294
[
ín d ic e de m ate ria s
11-2
11-3
11-4
12
298
312
SEM EJA N ZA
12-1
12-2
12-3
12-4
12-5
12-6
12-7
12-8
12-9
13
Áreas de triángulos y cu a d riláte ro s..............................
..............................
El teorema de Pitágoras . .
p itág o ras................................................ ' í ?
Triángulos esp eciales..........................................
El concepto de semejanza. Proporcionalidad . .
32,
Semejanza de triá n g u lo s .......................................... ....................................326
El teorema fundamental de la proporcionalidad y su recíproco .
330
Los teoremas fundamentales de la s e m e ja n z a .....................................’ 336
Semejanzas en los triángulos rectángulos . . . .
345
Areas de triángulos semejantes
349
Las razones trigonométricas
353
Trigonometría numérica. Empleo de las tablas
357
Relaciones entre las razones trigonométricas
363
G EO M ETRÍA CARTESIANA E N E L PLANO
13-1
13-2
]
13-4
13-5
13-6
13-7
„
Introducción ..............................
Sistemas de coordenadas en un plano
René D e sc a rte s..........................................
^P resen tació n de un sistema de coordenadas en papel cuadriculado
La pendiente de una recta no vertical
Rectas paralelas y perpendiculares
La fórmula de la d i s t a n c i a ........................
La formula del punto medio. El punto que divide a un segmento en una
razón d a d a ..........................................
371
371
377
378
383
389
392
396
El empleo de sistemas de coordenadas en la demostración de teoremas
g e o m é t r i c o s ..............................
..................................................................402
13-9 La gráfica de una condición
13-10 La representación de una recta mediante¡ una
i
e c u a c i ó n ........................ 410
13-8
14
CIRCUNFERENCIAS Y SU PE R FIC IE S ESFÉRICAS
14-1 Definiciones básicas .
14-2 Rectas tangentes a las circunferencias . . . i . . ' . ’
U 4-3 Planos tangentes a las superficies esféricas . . . . . .
VÍ4-4 Arcos de circunferencias..........................................
’
H 4 - 5 Ángulos inscritos y arcos interceptados
i-i4-6 Arcos congruentes..................................................
........................ ^
^ 7
Segmentos secantes y tangentes. La potencia de un’punto con respecto a
una circunferencia...................................................
14-8 Circunferencias en un plano coordenado . . . .
.
. ’ ’
425
434
442
453
46,
Indice d e m ateria«
15
xiii
CARACTERIZACIONES Y CONSTRUCCIONES
15-1
IS-2
A 5-3
. / 1 5-4
15-5
C aracterizaciones..........................................................................................475
El empleo de caracterizaciones en la geometría cartesiana . . . .
479
Teoremas de c o n c u r r e n c i a .......................................................................481
Las bisectrices de los ángulos de un triá n g u lo ......................................... M& k
El teorema de concurrencia de las m e d i a n a s ......................................... 489
Construcciones con regla y c o m p á s ............................................................491
15-7 Construcciones e le m e n ta le s ....................................................................... 493
15-8 Construcciones elementales (continuación) . . ' .......................................497
15-9 Circunferencias inscrita y c irc u n s c rita .....................................................502
15-10 Los problemas de construcciones imposibles de la antigüedad . . . 504
16
Á REA S D E CÍRCULOS Y SECTORES
16-1 P o líg o n o s .................................................................................................... 513
16-2 Polígonos r e g u l a r e s ...................................................................................517
16—3 La longitud de una circunferencia. El número n ....................................521
16-4 El área de un c ír c u lo ........................................................................ ..... . 524
16-5 Longitudes de arcos y áreas de sectores.....................................................528
17
LOS CUERPOS SÓLIDOS Y SUS VOLÚMENES
17-1
17-2
17-3
17-4
17-5
P rism a s.......................................................................................................... 537
P ir á m id e s .................................................................................................... 543
Volúmenes de prismas y pirámides. El principio de Cavalieri .
. 548
Postulado 23. Postulado de la u n i d a d ................................................ 549
Postulado 24. Principio de C a v a lie ri......................................................550
A rq u ím ed es................................................................................................556
Cilindros y conos ........................................................................................ 557
El volumen y el área de la superficie de una esfera..................................562
Í N D I C E ^ L F A B É T I C O .............................. ..................................................... 571
LISTA D E S Í M B O L O S .................................................................................... 577
1 | El sentido común y el
razonamiento exacto
I
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Mftrinm
ti T t o l m e u s
1 Geometría
THE ELEMENTS
oF
G E O M B T R I B
o f the moft auncienc Philofopher
E r C L Ifr E
Ar/ffii
Aitroncmia
1 -1 .
DOS CLASES D E PROBLEM AS
Considérense los siguientes problem as:
(1) U n rectángulo m ide 6 centím etros por
8 centím etros. El área de su interior se des6 cm.
com pone en dos partes, m ediante u n segm ento
rectilíneo. Si el área de una p a rte es 20
centím etros cuadrados, ¿cu ál es el á rea de la
o tra parte?
(2) E n un cierto rectángulo, la sum a de su
largo y ancho es 14 unidades. U n segundo rectángulo tiene de largo cinco vecesel largo
del prim ero y de ancho tres veces el del prim ero. El perím etro del segundo rectángulo
es 91. ¿C uáles son las dim ensiones del p rim er rectángulo?
La respuesta al problem a 1 puede obtenerse sin m ucho esfuerzo. La respuesta es
28 centím etros cuadrados, p orque 6 ■8 = 48 y 48 — 20 = 28. D esde luego, podría­
m os resolver este problem a algebraicam ente, si quisiéram os, form ulando la ecuación
20 + x = 6 • 8
y, luego, resolviéndola, p a ra obtener x = 28. P ero esto parece u n poco trivial, por
ser innecesario. Es probable que el lector haya resuelto problem as m ás difíciles que
éste, m ediante la aritm ética, antes de estudiar el álgebra. Y si to d as las ecuaciones
algebraicas fueran ta n superfluas com o la que hem os form ulado, ninguna persona
seria se preocuparía p o r ellas.
El problem a 2, sin em bargo, es o tra cosa. Si designam os con x y y el largo y el ancho
del prim er rectángulo, entonces el largo y el ancho del segundo rectángulo serían
5x y 3y. P or tanto,
5x + 3y =
porque la sum a del largo y del ancho es la m itad del perím etro. Sabem os, tam bién,
que
»
x + y ,= 14.
Esto nos d a u n sistem a de dos ecuaciones con dos incógnitas. P a ra resolverlo, m ulti­
plicam os cada térm ino de la segunda ecuación p o r 3, obteniendo
3 x + 3j = 42,
+
2
E l sentido com ún y el razo n am ien to exacto
y. luego, restam os térm ino a térm ino esta ecuación de la prim era. Esto nos da
2 x = 45* - 42 = 3 i = i ,
es decir,
x = i = 11
En consecuencia,
y = 14 - 1 | = 12*.
Es fácil, ahora, co m probar que nuestra respuesta satisface las condiciones del pro­
blema.
En cierto m odo, estos dos problem as parecen análogos, pero, en un sentido muy
im portante, son b astante diferentes. El prim ero es lo que llam aríam os un problem a
de sentido com ún. Es fácil an ticipar cuál debe ser la respuesta y, adem ás, es fácil
co m probar que la contestación prevista es tam bién la correcta. P or o tro lado,
adivinar la respuesta al segundo problem a es prácticam ente imposible. Para resol­
verlo, necesitamos saber algo acerca de los m étodos matem áticos.
H ay casos parecidos en la geom etría. C onsidérense los siguientes enunciados:
(1) Si un triángulo tiene lados de longitudes 3, 4 y 5, entonces es un triángulo
rectángulo y tie n e .u n ángulo recto opuesto al lado m ayor.
(2) Se da un trián g u lo con lados a, b y c. Si
el triángulo es rectángulo y tiene un ángulo recto opuesto al lado mayor.
El prim ero de estos enunciados era conocido de los antiguos egipcios. Lo com pro­
b aro n m ediante la experim entación. El lector puede verificarlo, dibujando un
triángulo de lados 3-4-5 ta n exactam ente com o le sea posible y, luego, m idiendo con
un tran sp o rtad o r el ángulo opuesto al lado m ayor. D eberá tenerse en cuenta, sin
em bargo, que esta clase de com probación es aproxim ada. Supongam os, p o r ejemplo,
q u eel ángulo es realm ente 89° 59' S9\" (es decir, 89 grados, 59 m inutos y 59 j segundos),
en vez de exactam ente 90° 0' 0". En este caso, difícilm ente podría notarse la diferencia
Dos clases de problem as
3
con un transportador, p o r muy afilado que esté nuestro lápiz y por cuidadosa que
sea nuestra figura. Sin em bargo, el "m éto d o egipcio" es un m étodo de sano sentido
com ún p ara com probar un hecho experimental.
Los egipcios tenían gran destreza para m edir objetos físicos. Las aristas de la
base de la G ran Pirám ide de G izeh tienen cerca de 230 m etros de largo y las longitudes
de estas cuatro aristas coinciden, salvo un erro r de unos dos centím etros. Nadie parece
saber, hoy día, cóm o los constructores lograron tal grado de exactitud. (M ientras
m ás piense el lector sobre este problem a, más difícil le parecerá, probablem ente.)
El segundo de los enunciados anteriores era desconocido para los egipcios; fue
descubierto m ucho m ás tarde, por los griegos. Es imposible com probar este enun­
ciado m ediante la experim entación, por la sencilla razón de que habría que considerar
una infinidad de casos. Por ejem plo, habría que construir triángulos y to m ar m edidas
con un transportador, para todos los casos siguientes:
y asi sucesivamente, sin acabar nunca. Así, sería inútil la verificación de nuestro
enunciado general m ediante experim entos, ni siquiera en torm a aproxim ada. Por
eso, una persona razonable no qued ará convencida de que el segundo enunciado es
cierto en todos los casos, hasta que vea alguna razón lógica que im plique su certeza
en to d o s los casos.
En realidad, por eso fueron los griegos, y no los egipcios, quienes descubrieron que
nuestro segundo enunciado es cierto. Los egipcios eran muy buenos en to d o lo
concerniente a m edidas e hicieron unas conjeturas m uy ingeniosas, que m ás ta rd e se
verificaron com o ciertas. Pero los griegos descubrieron un nuevo m étodo m ucho
más p oderoso: el del correcto razonam iento geom étrico. M ediante este m étodo,
convirtieron conjeturas plausibles en conocim iento firme y aprendieron algunas cosas
asom brosas que nadie hubiera creído sin ver su dem ostración. D e esta m anera, los
griegos sentaron las bases de la m atem ática m oderna y,.por consiguiente, de la ciencia
m oderna en general.
4
El « e a t^ o
t
el razo n am ien to exacto
C onjunto de problem as 1 -1
I. Ensáyese el siguiente experimento: Tómese un trozo de cordel,
como de 2 metros de largo, y coloqúese en el suelo, formando
un lazo con sus extremos sueltos:
Luego, tírese de los extremos del cordel, estrechando el lazo hasta que parezca ser del
tamaño de la cintura. Márquese el cordel donde se cruza consigo mismo y compruébese
el calculo, midiendo la cintura con el cordel. Después de hacer esto, léanse las observa­
ciones sobre el problema 1, al final de este conjunto de problemas.
2. Una pagina de papel de periódico no es muy gruesa, sólo tiene 0.003 centímetros de es­
pesor. Con frecuencia, vemos montones de periódicos. Supóngase que colocamos un
pliego de papel de periódico en el suelo. Luego, colocamos otro pliego sobre el primero;
despues, dos pliegos más: luego, cuatro; y así sucesivamente, formando un montón de
periódicos. Cada vez, se añaden al montón tantos pliegos como ya hay. Después de la
décima vez, el montón tendrá, aproximadamente, 3 centímetros de espesor. Si continuá­
semos hasta añadir pliegos por quincuagésima vez, ¿cuál sería la altura delmontón?
Una de las respuestas de la (a) a la (d), a continuación, es la correcta; todo lo que hay
que hacer es elegir o calcular cuál es ésta:
(a) Aproximadamente, la altura de un salón de clases.
(b) Aproximadamente, la altura de un edificio de cuatro pisos.
(c) Aproximadamente, la altura de un edificio de cien pisos.
(d) Más de dos veces la altura de un edificio de cien pisos.
Después de elegir, léanse las observaciones sobre el problema 2, al final de este conjunto
de problemas.
3. La primera pregunta, a continuación, puedecontestarse por “sentido común” . Dése
solamente la respuesta. La segunda requiere algúnproceso aritmético o algebraico para su
resolución. Muéstrese toda la labor necesaria para encontrarla.
(a) ¿Cuánto es un sexto de 12?
(b) ¿Cuánto es un sexto de 5.255.622?
4. Síganse las mismas instrucciones que para el problema 3:
(a) Un tercio de la distancia entre dos ciudades es 10 kilómetros. ¿Cuál es la distancia
entre ellas?
(b) La distancia entre dos ciudades es 10 kilómetros más que un tercio de la distancia
entre ellas. ¿Cuál es esa distancia?
D os clases d e p roblem as
*
5
5. Síganse las mismas instrucciones que para el problema 3:
(a) Si un trozo de alambre de 5 centímetros se corta en dos partes, de manera que el largo
de una parte sea cuatro veces el de la otra, ¿cuál es la longitud de la parte más larga?
(b) Si un trozo de alambre de 5 centímetros se corta en dos partes, tales que el cuadrado
formado doblando una parte tiene cuatro veces el área del cuadrado que se forma
doblando la otra, ¿cuál es la longitud de la parte más larga?
6. Si, independientemente uno de otro, dos alumnos miden con cuidado el ancho de un
salón, mediante reglas, y uno mide de izquierda a derecha y el otro de derecha a izquierda,
es probable que obtengan distintos resultados, i Ensáyese esto! ¿Cuál o cuáles de las
siguientes son explicaciones plausibles de la discrepancia?
(a) Las reglas tienen longitudes diferentes.
(b) Los objetos son más largos (o más cortos) de izquierda a derecha que de derecha a
izquierda.
(c) Los errores resultantes del cambio de posición de la regla se acumulan y la suma de
esos pequeños errores representa una diferencia discernible.
(d) Un alumno puede haber perdido la cuenta.
7. Muéstrese que n2 - 2n + 2 = n es cierto si n — 1. ¿Será cierta la ecuación cuando
n = 2? ¿Será siempre cierta, es decir, será cierta' para cualquier número natural n i
8. Una parte importante del aprendizaje de las matemáticas consiste en reconocer leyes
generales que sugieren propiedades válidas. Por ejemplo, una ojeada a los enunciados
3 + 5 = 8,
9 + 5 = 14,
11 + 17 = 28,
puede hacernos pensar que la suma de dos números impares es un número par. ¿Puede
el lector pensar en dos números impares cuya suma sea un número impar? ¿Demuestra
la respuesta que dos números tales no existen?
9. Considérense los siguientes enunciados:
12 = 1,
32 = 9,
52 = 25,
72 = 4 9 .
(a) Trátese de conseguir una ley acerca de números impares y redáctese uñ enunciado
general a base de esa observación.
(b) Justifiqúese la validez de ese enunciado general.
10. Divídanse 32, 52 y V por 4.
(a) ¿Cuál es el resto en cada caso ?
(b) ¿Qué ley general es evidente aquí?
(c) ¿Cuántos enteros impares habría que elevar al cuadrado y dividir por 4 para garanti­
zar que las divisiones den siempre el mismo resto?
6
E l sentido com ún y e l ra zo n a m ie n to exacto
11. Considérense las siguientes figuras y la ley sugerida:
©6
Número d e regiones
que se form an:
2
4
8
16
?
(a) En el lugar del signo de interrogación debajo del 6, póngase el número que se crea
correcto.
(b) Trácese una circunferencia y únanse seis puntos cualesquiera en ella de todas las
maneras posibles. ¿Cuántas regiones se forman? ¿Concuerda la respuesta con la
contestación a la parte (a)?
(c) ¿Que nos indica este problema sobre la demostración de que una generalización sea
cierta o falsa ?
12. Las siguientes ilusiones ópticas demuestran que n.o siempre podemos juzgar por las
apariencias:
(a) ¿Será CD una continuación de
AB1 Compruébese la respuesta,
mediante una regla.
(b) ¿Tienen los segmentos X Y y YZ
la misma longitud? Compárense
las longitudes, mediante regla o
compás.
(c) ¿Son M N y PQ segmentos recti­
líneos?
(d) ¿Qué recta a la derecha del
rectángulo es la continuación de
la recta a la izquierda ?
(e) ¿Cuál es más largo, el segmento
A B o el segmento C D I
A
D
B
D os clases d e problem as
7
13. Considérese la expresión n2 — n + 11. Si hacemos n — 1, la expresión es igual a II.
Para n = 2, la expresión es igual a 13. Para n — 3, la expresión da el valor 17. Los
números 11, 13 y 17 son todos números primos. (Un número primo es un número
natural mayor que uno que sólo es divisible por 1 y por sí mismo.) ¿Se obtendrá siempre
un número primo al sustituir n por números naturales en la expresión ?
14. (a) Muéstrese que la expresión
n2 - n + k
se comporta como
ii 1 — n
+ 11
(véase el problema 13) cuando k es 3 ó 5.
(b) ¿Qué regla general sugiere (a) ? ¿Es cierta o falsa ?
(c) ¿Cuál es el próximo número natural k mayor que 11 que podríamos considerar?
¿Qué sucede cuando k = 41 ?
15. El piloto de un avión de retropropulsión desea hacer un viaje de 1000 kilómetros a una
velocidad media de 1000 kilómetros por hora. Si los primeros 800 kilómetros se re­
corren a 800 kilómetros por hora, ¿a qué velocidad deberá recorrerse la distancia
restante?
4
5
.' V
16. Utilícese una regla para comprobar la exactitud de las medidas de la figura. Si las
medidas son correctas, demuéstrese mediante cálculos que la suma de las áreas de las
cuatro partes del rectángulo es mayor que el área del rectángulo, i Extraño!, ¿no es así?
¿Puede explicarse esto?
O b s e r v a c i o n e s s o b r e e l P r o b l e m a 1.
Casi todo el mundo escoge un lazo cerca del doble
de lo que debiera ser. Se podrán obtener resultados muy satisfactorios, si se razona de la
manera siguiente: La longitud de una circunferencia es w veces el diámetro y n es, aproxima­
damente, igual a 3. Por tanto, el diámetro es como un tercio de la longitud de la circun­
ferencia. Por ejemplo, si el tamaño de cintura es 60 centímetros, el diámetro del lazo deberá
ser de unos 20 centímetros. Esto podrá parecer increíblemente pequeño, mas, si hemos ana­
lizado el problema matemáticamente, sabremos que nuestro razonamiento es confiable.
Este es uno de los muchos casos corrientes en que es preferible tratar el problema en forma
matemática, no importa lo tosca que ésta sea, a dar palos ciegamente.
8
El sentido com ún y el razo n am ien to exacto
O b s ír v a c i o n e s s o b r e e l P ro blem a 2. É ste e s, ta m b ié n , u n o d e los m u c h o s c a s o s c o rrie n ­
tes en que un análisis m a te m á tic o n o s a y u d a a d e s c u b rir c ie rta s p r o p ie d a d e s q u e d ifíc ilm e n te
averiguaríamos d e o tr a m a n e ra . El a s p e c to d e d e s c u b rim ie n to e n la m a te m á tic a es ta n
predominante y ta n im p o r ta n te c o m o s u u s o e n la re s o lu c ió n d e p ro b le m a s.
Puesto que cada vez que añadimos al montón, doblamos el número de pliegos, después de
50 veces, tendríamos 2S0 pliegos. Una tabla de potencias de 2, o la aritmética corriente, nos
indicará que tendríamos 1.125.899.906.842.624 pliegos. Un poco más de aritmética nos dirá
que el montón tendría más de 85 millones de kilómetros de altura; esto es, más de la mitad
de la distancia entre la Tierra y el Sol.
A u n c u a n d o u n a p e rs o n a r a z o n a r a q u e (d ) e s la re s p u e s ta c o rre c ta , e s p r o b a b le q u e n o se
d ie ra c u e n ta d e q u e la a lt u r a e s m u c h o m a y o r d e lo q u e p a re c e in d ic a r (d).
1 -2 .
UN DESARROLLO LÓGICO SISTEMÁTICO D E LA GEOM ETRÍA
Si nos detenem os a pensar, nos darem os cuenta de que ya poseem os m uchos co n o ­
cim ientos geom étricos. P or ejemplo, sabem os cóm o determ inar las áreas de varias
figuras simples y conocem os la relación pitagórica para los triángulos rectángulos.
A lgunas de nuestras nociones son ta n evidentes que nunca se nos hubiera ocurrido
expresarlas con palabras y, menos, considerar por qué son ciertas. La siguiente es
u na de ellas:
Dos rectas no pueden corlarse en más ele un punto.
Pero otras, com o la relación pitagórica, no son evidentes en absoluto. En esté
libro, organizarem os ordenadam ente nuestro conocim iento de la geom etría, de
m anera que los enunciados m ás com plicados puedan deducirse de los más sencillos.
Veremos que la geom etría está basada en unos pocos enunciados sencillos y evidentes.
Esto nos sugiere la posibilidad de hacer una lista de lo que sabem os de geom etría,
en un orden tal que cada enunciado en la lista pueda deducirse de los anteriores
m ediante razonam iento lógico.
L a verdad es que llevaremos a cabo el siguiente program a: Enunciarem os defini­
ciones p ara las ideas geom étricas, ta n clara y exactam ente com o podam os, y dedu­
cirem os los principios de la geom etría m ediante dem ostraciones lógicas. Llam arem os
teoremas a los enunciados que dem ostrem os.
A unque dem ostrarem os casi todas las afirm aciones que hagam os sobre la geo­
m etría, h ab rá algunas excepciones. Los enunciados m ás sencillos y más fundam entales
U n desarrollo lógico sistem ático d e la ge o m e tría
9
se ofrecerán sin dem ostración. A éstos los llam arem os postulados. A nálogam ente,
em plearem os los térm inos m ás sencillos y m ás fundam entales de la geom etría, sin
in tentar definirlos. A éstos los llam arem os términos no definidos.
A prim era vista, parecería m ejor definir todos los térm inos que em pleem os y
dem ostrar to d a afirm ación que hagam os. Pero es bastante fácil ver que eso es
imposible.
C onsiderem os, prim ero, la cuestión de los teorem as. G eneralm ente, cuando dem os­
tram os un teorem a, lo hacemos señalando que se deduce lógicam ente de otros ya
dem ostrados. Pero no siem pre pueden hacerse las dem ostraciones de esa m anera.
En particular, no es posible hacer así la prim era dem ostración, porque, en este caso,
no hay teorem as dem ostrados previam ente. Pero tenem os que em pezar en algún
punto. Esto significa que debem os aceptar algunas afirm aciones sin dem ostrarlas.
E stas afirm aciones no dem ostradas son los postulados.
El m ism o principio se aplica a las definiciones. La m ayoría de las veces, al ofrecer
u n a definición de un nuevo térm ino, lo hacem os em pleando otros térm inos ya defi­
nidos. Pero las definiciones no pueden siem pre form ularse de esa m anera. En
particular, la primera definición no puede enunciarse así, porque, en este caso, no
hay térm inos definidos con anterioridad. Esto significa que debem os introducir
algunos térm inos geom étricos sin definirlos. P o r consiguiente, em plearem os los más
sencillos y fundam entales sin in te n ta r definirlos. Estos térm inos no definidos serán
punto, recta y plano.
Los postulados, desde luego, n o se fabrican a capricho. (Si así fuera, ninguna
persona sensata les prestaría im portancia.) Los postulados describen propiedades
fundam entales del espacio. A nálogam ente, las ideas punto, recta y plano están
sugeridas p o r objetos reales. Si se hace una m arca en una hoja de papel con la punta
de un lápiz, se obtendrá una representación bastante fiel de un p unto. La representa­
ción será m ejor, cu an to m ás afilado sea el lápiz. El dibujo siempre será aproxim ado,
pues la m arca ten d rá algún área, m ientras que un punto carece de área. Pero si se
piensa en m arcas más y más pequeñas, hechas p o r lápices cada vez más afilados, se
obtendrá una buena idea del térm ino punto en la geometría.
C uando em pleam os la palab ra recta, tenem os siempre en la mente la ¡dea de una
linea recta. U na recta se extiende indefinidam ente en am bos sentidos. Por lo regular,
indicarem os esto en las ilustraciones, m arcando flechas en los extrem os de las
porciones de rectas que dibujem os, así:
Las puntas de flecha servirán p a ra recordarnos que la recta no term ina en los puntos
donde finaliza el dibujo.
10
E l sentido c o m ú n y el ra zo n a m ie n to exacto
Em plearem os la palab ra segmento p ara u n a figura com o é sta :
U n cordel fino bien estirado es una buena aproxim ación a un segmento. U na cuerda
delgada de piano, tirante, m ediante u n a Fuerte tensión, es una aproxim ación aún
m ejor; y así sucesivamente.
Si se piensa en una superficie perfectam ente lisa que se extiende indefinidam ente
en todas las direcciones, se ten d rá una buena idea de lo que se supone sea un plano.
D ebem os tener presente que ninguno de los enunciados anteriores es una definición.
Son sencillamente explicaciones de las ideas que la gente se im aginaba, cuando se
redactaron los postulados. Al com enzar a dem ostrar teorem as, la inform ación
ofrecida en los postulados será la única que tendrem os en la m ente acerca de los
puntos, las rectas y los planos.
Finalm ente, hacem os dos advertencias.
En prim er térm ino, hay ciertos límites de lo que la lógica puede hacer por nosotros.
La lógica nos perm ite co m probar nuestras conjeturas, pero no nos ayuda m ucho a
hacerlas. En el estudio de las m atem áticas, nunca se llega á la etapa de prescindir de
la ingeniosidad o de la intuición.
En segundo lugar, los prim eros teorem as que dem ostrarem os no van a impresio­
narnos m ucho; podría pensarse en p o r que no los llam am os postulados, y seguimos
adelante. E sta prim era parle, en cualquier caso, será fácil; el alum no debe estudiar
el texto lo necesario y, luego, hacer los problem as.
Al com ienzo del próxim o capítulo, presentam os una corta explicación de la idea
de conjunto y repasam os brevem ente el álgebra de los núm eros reales. D u ran te el
curso, utilizarem os los conjuntos y el álgebra. Éstos no constituirán parte integrante
de nuestro sistem a de postulados y teorem as sino que pensarem os en ellos como
cosas con las cuales trabajam os y no sobre las cuales trabajam os. Suponem os que
contam os con ellos desde el principio; algunos de nuestros postulados com prenderán
núm eros reales y, tam bién, utilizarem os el álgebra en algunas dem ostraciones. De
hecho, la geom etría y el álgebra están estrecham ente relacionadas y será más fácil
aprender las dos si señalam os sus relaciones lo antes posible.
U n desarrollo lògico sistem ático d e la geom etría
11
E u c l id e s (S ig l o n i A . d e J . C .)
Euclídes es, probablemente, el escritor científico de más éxito que jamás vivió. Su famoso
libro, los Elementos, era un tratado de geometría y de teoría de los números. Durante más de
dos mil años, todo estudiante que aprendía geometría, lo hacía siguiendo el libro de Euclides.
Y durante todo ese tiempo, los Elementos sirvieron de modelo para el razonamiento lógico.
Nadie sabe, hoy día, cuánta de la geometría en los Elementos fue desarrollada originaria­
mente por Euclides. Una parte puede haberse basado en libros anteriores, y se supone que
algunas de las ideas más importantes de la obra se deben a Eudoxio, quien vivió más o menos
en la misma época. En todo caso, de los libros que lian llegado hasta nosotros, los Elementos
es el primero que presenta la geometría de una manera organizada y lógica, comenzando
con algunas suposiciones simples y desarrollando los teoremas mediante el razona­
miento deductivo.
Éste ha sido el método fundamental de la matemática desde entonces. Es verdaderamente
extraordinario que fuera descubierto tan temprano y utilizado tan bien. La lógica juega el
mismo papel en las matemáticas que los experimentos en la física. En la matemática y la
física, puede ocurrírsenos una idea que creemos es correcta. En la física, vamos al laboratorio
a ensayarla; en la matemática, pensamos un poco más e intentamos obtener una demos­
tración.
Aunque el método de Euclides perdurará, sus postulados y la teoría basada en ellos ya no
se utilizan en forma corriente. Con el desarrollo del álgebra, el empleo de los números para
medir cosas ha adquirido una importancia fundamental. Este método no aparece en los
Elementos, ya que en la época de Euciides, el álgebra era prácticamente desconocida.
El sentido com ún y e l razo n am ien to exacto
C onjunto de problem as 1 -2
1. Un alumno, a quien interesaba conocer el significado de la palabra dimensión, la buscó
en un diccionario. Éste ofrecía como sinónimo la palabra medida, cuya definición el
estudiante inmediatamente buscó. Hizo el siguiente esquema:
tamaño
o
largo-dimensión mayor
dimensión—medida
dimensión
medida
(a) Señálese en el esquema una lista circular de tres palabras, cada una de las cuales tiene
a la siguiente como sinónima. (En una lista circular, el primer término sigue al
último.)
(b) Hágase una lista circular que contenga cuatro palabras con esa propiedad.
2 . Preparar un esquema parecido al del problema 1, comenzando con cualquier palabra del
diccionario.
3. ¿Qué está mal en las siguientes “definiciones” defectuosas?
(a) Un cuadrado es algo que no es redondo.
(b) Una circunferencia es algo que es redondo.
(c) Un triángulo rectángulo es un triángulo cuyos ángulos son ángulos rectos.
(d) Un triángulo equilátero es cuando un triángulo tiene tres lados del mismo largo.
(e) Un diámetro de una circunferencia es una recta que pasa por el centro de la cir­
cunferencia.
4. Contestar como en el problema 3 :
(a) El perímetro de un rectángulo es donde se toma la suma de los largos de sus lados.
(b) La longitud de una circunferencia es cuando se multiplica el diámetro por ir.
(c) Una figura plana con cuatro lados es un rectángulo, si sus lados opuestos tienen igual
longitud.
(d) Un triángulo equilátero es un triángulo con tres lados y tres ángulos y cuyos lados
tienen todos el mismo largo y cuyos ángulos tienen todos la misma medida.
(e) Un triángulo es cuando tres rectas se intersecan entre sí.
U n d esarrollo lógico sistem ático de la g eom etría
13
5. Indicar si cada uno de los siguientes enunciados es cierto o falso:
(a) Es posible definir cada término geométrico, empleando términos geométricos más
sencillos.
(b) Los teoremas se demuestran solamente a base de definiciones y términos no definidos.
(c) El razonamiento geométrico preciso conduce a verdades geométricas que, no pueden
deducirse de la medición.
(d) La rrtejor manera de aprender a demostrar teoremas es observar a otras personas
demostrarlos.
(e) Si se está dispuesto a describir todos los pasos, cada teorema puede deducirse de
postulados y términos no definidos, sin hacer referencia a otros teoremas.
(f) Todo enunciado que parece ser cierto debe tomarse como postulado.
6. Supongamos que sea posible ajustar perfectamente una banda de hierro alrededor de
una esfera, digamos la Tierra en su ecuador. La circunferencia de la banda sería de,
aproximadamente, 40.000 kilómetros. Supongamos que se intercala en la banda una
lámina adicional de hierro de 180 centímetros de largo, de manera que la banda no se
ajuste ahora a la esfera. La bafida ampliada sobresaldría de la esfera y tendría un radio
ligeramente mayor que el radio de la banda original. Aproximadamente, ¿cuánto mayor
será el nuevo radio? [Si es necesario, puede suponerse que el radio de la Tierra es de
6400 kilómetros.]
2 | Conjuntos, números
reales y rectas
2-1.
CONJUNTOS
Quizás, el alum no nunca haya visto la p alab ra conjunto em pleada en las m ate-,
m áticas, pero la idea es m uy conocida. La fam ilia del alum no es u n conjunto de
personas que consiste en el alum no, sus padres y sus herm anas y herm anos (si los
tiene). Estas p ersonas constituyen los miembros del conjunto. La clase de geom etría
es un conjunto de personas. Se dice que un m iem bro de un conjunto pertenece al
conjunto. P o r ejem plo, el alum no pertenece a su fam ilia y a su clase de geometría.
C on frecuencia, llam am os a los m iem bros de un conjunto sus elementos; en la m ate­
m ática, los dos térm inos significan lo mism o. Se dice que un conjunto contiene a
sus m iem bros. P or ejem plo, am bas, la: fam ilia y la clase de geom etría, contienen al
alum no. Si un conjunto contiene todos los elem entos de otro conjunto, entonces
decim os que el segundo conjunto es un subconjunto del prim ero. P or ejem plo, la
clase de geom etría es u n subconjunto del alum nado de la escuela, y el alum nado
contiene la clase de geom etría. Decim os que un subconjunto está contenido en el
conjunto que lo contiene.
Obsérvese que al definir un subconjunto, perm itim os la posibilidad de que éste y
el conjunto que lo contiene sean idénticos. Así, to d o conjunto es un subconjunto de
sí mismo.
C uando decim os que dos conjuntos son iguales, o cuando escribimos la igualdad
A = B entre dos conjuntos A y B, entendem os sim plem ente que los dos conjuntos
contienen exactam ente los m ism os elem entos. P or ejemplo, supongam os que A es
el conjunto de todos los núm eros naturales en tre 9]~ y 14yo, y B el conjunto de todos
los núm eros naturales entre 9po y 14-]- Entonces, A = B , porque cada uno de los
conjuntos A y B contiene precisam ente los núm eros 10, 11, 12, 13 y 14. En efecto,
ocurre casi siem pre que el m ism o conjunto puede describirse de dos m aneras dife­
rentes. P o r ta n to , si las descripciones parecen diferentes, esto no significa que los
conjuntos sean distintos. Algo parecido sucede e n el álgebra. Las expresiones
3 • 17 y 39 + 12 parecen diferentes, pero representan el mismo núm ero; y esto es lo
que significa el enunciado 3 • 17 = 39 + 12.
D os conjuntos se intersecan si hay uno o m ás elem entos que pertenecen a am bos.
Por ejem plo, el conjunto de la fam ilia del alum no y el conjunto de su ciase de geo­
m etría se intersecan, porque el alum no pertenece a los dos. (C on to d a probabilidad,
el alum no es la única persona que pertenece a am bos conjuntos.) L a intersección de
dos conjuntos es el conjunto de to d o s los objetos que pertenecen a am bos conjuntos.
Pasando a tem as m atem áticos, vemos que el conjunto de to dos los núm eros positivos
pares es el conjunto cuyos elem entos son
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 1 8 , . . .
El conjunto de to d o s los m últiplos positivos de 3 es el conjunto cuyos elem entos son
3, 6, 9, 12, 15, 18,.
15
16
C onjuntos, n ú m ero s reales y rectas
L a intersección de estos dos conjuntos es el conjunto cuyos elem entos son 6, 12,
18. . . . (Éste es el conjunto de los m últiplos positivos de 6.)
En la figura de la derecha, cada u n o de
los rectángulos es un conjunto de puntos y
su intersección es un conjunto que contiene
exactam ente dos puntos. A nálogam ente, cada
u n a de las regiones rectangulares es un con­
ju n to de p un to s y su intersección es la pequeña
región rectangular en el m edio de la figura.
En la figura siguiente, cada una de las dos
rectas es u n conjunto de puntos y su inter­
sección contiene exactam ente un p unto:
En to d o este libro, considerarem os
que las rectas y los planos son con­
ju n to s de puntos. (Si se quiere, puede
considerarse esta afirm ación com o
nuestro prim er postulado.) D e hecho,
todas las figuras geom étricas se con­
siderarán com o conjuntos de puntos.
En la figura de la derecha, vem os dos
conjuntos de puntos, ca d a uno de los
cuales es u n a región rectangular con­
ten id a en u n plano. Su intersección
es un segm ento, contenido en una
recta.
L a reunión de d os conjuntos es el conjunto de todos los objetos que pertenecen
a uno de los conjuntos o a los dos.
R
P or ejem plo, en la figura anterior, vemos u n a región rectangular grande R que es la
reunión de d os regiones rectangulares m ás pequeñas, A y B. El segm ento vertical
cerca del m edio de la figura es la intersección de A y B. Los puntos de este segmento
pertenecen a la reunión p o r dos razones.
Conjuntos
17
Para tres o m ás conjuntos, la intersección y la reunión se definen de m anera
análoga. Asi, un triángulo es la reunión de tres conjuntos, cada uno de los cuales
es u n segmento. U n rectángulo es la reunión de cuatro conjuntos, cada uno de los
cuales es un segmento.
A veces, es conveniente utilizar la idea del conjunto vacio o nulo. El conjunto
vacio es el conjunto que n o contiene m iem bro alguno. Esta idea puede parecer algo
extraña al principio, pero, en realidad, es m uy parecida a la idea del núm ero cero.
Así, las siguientes tres afirm aciones significan exactam ente lo m ism o:
(1) N o hay elefantes blancos en San Juan.
(2) El núm ero de elefantes blancos en San Ju a n es cero.
(3) El conjunto de los elefantes blancos en San Juan es el conjunto vacío.
U na vez introducida la idea del conjunto vacío, podem os hablar de la intersección
de dos conjuntos cualesquiera, teniendo en cuenta que la intersección puede ser el
conjunto vacío. Por ejem plo, la intersección del conjunto de todos los núm eros
impares y el conjunto de todos los núm eros pares es el conjunto vacío. En la figura
anterior, la intersección del triángulo y el rectángulo es el conjunto vacío.
El conjunto vacío se denota p o r el sím bolo 0.
Una advertencia: Si com param os las definiciones de los térm inos intersecar e
intersección, vemos que podría surgir confusión en el em pleo de los mismos. C uando .
hablam os de la intersección de d os conjuntos, adm itim os la posibilidad de que ésta
sea nula, pero cu an d o decim os que d os conjuntos se intersecan, siempre entendem os í .
que contienen un elem ento com ún, p o r lo menos.
Otra advertencia: L a idea del cero y la del conjunto vacío están estrecham ente rela­
cionadas, pero no son la m ism a cosa. P or ejemplo, la ecuación
x + 3= 3
tiene a cero com o solución única y, p o r tan to , el conjunto de las soluciones n o es
vacío; el to n ju n to de las soluciones tiene exactam ente un elem ento, a saber, 0. Por
o tra parte, la ecuación
A' + i = x + 2
no tiené soluciones. E n consecuencia, el conjunto de las soluciones es 0.
C onjuntos, n ú m ero s reales y rectas
18
C onjunto do problem as 2 -1
1. En cada uno de los siguientes ejercicios, determinar si el conjunto A es igual al con­
junto B :
(a) A es el conjunto de los números naturales entre f y -j5-. B es el conjunto cuyos ele­
mentos son 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
(b) A es el conjunto de todos los nombres de mujer que empiezan con la letra J. B es el
conjunto que consta de los nombres Juana, Josefa, Julia, Juliana, Joaquina, Jovita.
(c) A es el conjunto de todos los países de Centro América cuyos nombres empiezan con
la letra P. B es el conjunto de todos los países de Centro América que pueden cru­
zarse pasando por un canal.
(d) A es el conjunto de todos los estudiantes de la clase de geometría que tienen menos
de 10 años de edad. B es el conjunto de los meses del año cuyos nombres empiezan
con la letra R.
(e) A es el conjunto de todos los números que satisfacen a la ecuación x + 7 = 12. B es
el conjunto de todos los números que satisfacen a la ecuación x 2 = 25.
(f) A es el conjunto de todos los números que satisfacen a 5x -I- 8 = 8. B es el conjunto
de todos los números que satisfacen a l( x 2 + 2) — 5 — 9.
2. Sea
P = {2, 5 ,7 ,1 0 ,1 4 , 17,19}.
[Nora: Se lee “Sea P el conjunto cuyos miembros son 2, 5, 7, 10, 14, 17 y 19” .]
Sea
Q = {2,4, 6, 8, 10,12}.
¿Cuál es la intersección de los conjuntos P y Q? ¿Cuál es la reunión de los conjuntos
p
y fi?
3. Considérense los siguientes conjuntos:
S, es el conjunto de todos los alumnos de una escuela.
.S2 es el conjunto de todos los varones en
el alumnado de
la escuela.
S i es el conjunto de todas las niñas en el
alumnado de la
escuela.
es el conjunto de todos los miembros del profesorado de la escuela.
S5 es el conjunto cuyo único miembro es un alumno de la escuela.
(a) ¿Qué p a r « de conjuntos se intersecan?
(b) ¿Qué conjunto es la reunión de
y S3?
(c) ¿Qué conjunto es la reunión de S t y S j?
(d) Describir la reunión de S , y S4.
(e) ¿Cuáles de los conjuntos son subconjuntos de S¡ ?
Conjuntos
19
4. En las siguientes figuras, considérense la recta y la circunferencia como dos conjuntos
de puntos. En cada caso, indicar cuál es su intersección.
5. En la siguiente figura, ¿cuál es la intersección del triángulo A B C y el segmento AC1
¿Cuál es la reunión?
c
A
B
6. Considérense el conjunto P de todos los números naturales pares y el conjunto I de todos
los números naturales impares.
(a) Describir la reunión de P e I.
(b) Describir la intersección de P e í .
7. Considérese un conjunto de tres niños {A, B, C}. Cualquier subconjunto de este con• junto se llamará un comité.
(a) Hacer una lista de los subconjuntos de {A, B, C }.
(b) ¿Cuántos comités de dos miembros pueden formarse del grupo de los tres niños?
(c) M ostrar que dos comités cualesquiera nombrados en la respuesta al ejercicio (b) se
intersecan.
(d) ¿Qué significa la palabra “intersecar” ?
8. Sea A el conjunto de los pares de números (x, y) que satisfacen a la ecuación 3x -f- y = 15.
Sea B el conjunto de los pares de números (x , y) que satisfacen a la ecuación 2x + y = 11.
¿Cuál es la intersección de los conjuntos A y B?
9. Sea
A = {(1,12), (2,9), (3, 6), (4, 3), (5,0)}.
Sea
B = {(1, 9), (2, 7), (3, 5), (4, 3), (5, 1)}.
Obsérvese que los elementos de los conjuntos A y B son pares de números. ¿Cuál es la
intersección de A y B'í
<
20
C onjuntos, n ú m ero s reales y rectas
10. Sea A el conjunto de todas las soluciones de 5r + s = 11. Sea B el conjunto de todas las
soluciones de 3r — s — 5. ¿Cuál es la intersección de A y B?
11. Sea A el conjunto de todas las soluciones de 7x — y = 28. Sea B el conjunto de todas las
soluciones de 3x 4- 2y = 12. ¿Cuál es la intersección de A y B t
12. Sea A el conjunto de todas las soluciones de 2m + n = 8. Sea B el conjunto de todas las
soluciones de 4m + 2n = 12. ¿Cuál es la intersección de A y A?
13. Considérese el conjunto de todos los números naturales divisibles por 2. Considérese el
conjunto de todos los números naturales divisibles por 3.
(a) Describir la intersección de los dos conjuntos y hacer una lista de sus primeros cuatro
miembros.
(b) Escribir una expresión algebraica para representar la intersección.
(c) Describir la reunión de los dos conjuntos y hacer una lista de sus primeros seis
miembros.
14. Imaginemos un punto A, en la pizarra o en una hoja de papel. ¿Cuántas rectas del plano
de la pizarra o del papel contienen el punto A ? Las rectas que contienen el punto A
forman un conjunto. Cada recta es un elemento del conjunto. ¿Cuántos elementos
tiene el conjunto?
15. (a) Dados dos puntos diferentes A y B, ¿cuántos elementos hay en el conjunto de todas
las rectas que contienen a A y a B1 Con frecuencia, expresamos esta pregunta de
manera diferente, así: ¿Cuántas rectas pueden trazarse por dos puntos A y fl?
(b) Dados tres puntos, A , B y C, que no están en una recta, ¿cuántas rectas hay que
contienen pares de esos tres puntos?
(c) Dados cuatro puntos, A , B, C y D, tales que cada tres de ellos no están en una recta,
¿cuántas rectas hay que contengan pares de esos puntos? Si se da un quinto punto
que cumple las mismas condiciones, ¿cuántas rectas habrá que contengan pares de
los cinco puntos ?
* (d) En las partes (a), (b) y (c), se hace la misma pregunta con respecto a diferentes
números de puntos. Contestar la pregunta, si se dan n puntos.
16. Al hacer una lista de los subconjuntos de un conjunto dado, se incluyen el conjunto
mismo y el conjunto vacio como subconjuntos del conjunto dado. Así, el conjunto
la, b} tiene los siguientes subconjuntos:
{a,b},
{a},
{b},
0.
Es decir, un conjunto con dos elementos tiene cuatro subconjuntos.
(a) Hacer una lista de los subconjuntos de {a, b, c}.
(b) ¿Cuántos subconjuntos tiene un conjunto de cuatro elementos?
(c) ¿Cuántos subconjuntos tiene un conjunto de cinco elementos?
(d) ¿Cuántos subconjuntos tiene un conjunto de ti elementos?
O rden e n la re c ta n u m érica
2 -2 .
21
O RD EN E N LA R EC TA NUM ÉRICA
L os prim eros núm eros que conocim os son los “ núm eros naturales” ,
1,2, 3, 4, 5 , . . .
L os núm eros naturales nunca se acaban, p orque d ad o cualquiera de ellos, siempre
podem os añadirle 1 p a ra o btener o tro . N os im aginam os los núm eros naturales
com o dispuestos en u n a recta, de izquierda a derecha, en esta fo rm a :
1
2
3
4
5
•••
1
2
3
4
5 •••
A la izquierda del 1, colocam os el núm ero 0:
0
Entonces, colocam os los núm eros enteros negativos, de derecha a izquierda:
• ■ ■ —5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
L os núm eros que tenem os h a sta a h o ra son los núm eros enteros (positivos, nega­
tivos y cero). L os núm eros naturales son, desde luego, los enteros positivos y, con
frecuencia, nos referim os a ellos m ediante ese nom bre.
Obsérvese que hay m uchos p u n to s de la recta que todavía n o están asociados con
núm eros. N ecesitam os, p o r lo m enos, colocar las fracciones
-J f ,
—y , —§•, y
así sucesivamente. Entre dos núm eros enteros cualesquiera, hay u n a infinidad de
fracciones. P o r tan to , en u n a figura, to d o lo que podem os hacer es representar
algunas de ellas, com o p o r ejem plo:
- 5
2
—
------- 5
-5
3
_?
3
I------- 1-------- H — H— II
-4
-3
-2
-1
I
2
1
0
3
2
7
3
I I 1
1
II
2
1-------- 1------- b —
3
4
5
L os núm eros que hem os m encionado hasta a h o ra son los núm eros de la form a
plq, dond e p y q son núm eros enteros y q n o es cero. Éstos se llam an los números
racionales. (Este térm ino n o pretende sugerir que los dem ás núm eros no son razona­
bles. Simplem ente, se refiere a que los núm eros racionales son razones de núm eros
enteros.)
Es evidente que los núm eros racionales n o llenan totalm ente la recta num érica.
H ay m uchos núm eros q u e n o pueden expresarse com o razones de enteros. P or
ejem plo, J ' l n o es un núm ero racional. Lo m ism o ocurre con y/3 y y/5 y, tam bién,
con núm eros tan “especiales” com o n.
22
C onjuntos, n ú m ero s reales y rectas
Si colocam os to d o s estos núm eros de m anera que a cada p u n to de la recta se le
haya asignado un núm ero, entonces tendrem os el conjunto com pleto de los números
r e a le s :
------5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-
El alum no debe fijarse en que estos núm eros aparezcan en la figura aproxim ada­
m ente en los sitios que les corresponden.
L os núm eros reales se utilizarán am pliam ente en lá geom etría. D e ah o ra en
adelante, convendrá que pensem os en ellos com o dispuestos en u n a recta.
U n núm ero x es menor que u n núm ero y , si x está a la izquierda de y en la recta
num érica, com o se m uestra a co n tin u ació n :
X
.. _ 3
_2
-1
y
o
2
3
Esto se indica escribiendo x < y . Evidentem ente, todo núm ero negativo está a la
izquierda de to d o núm ero positivo. P o r consiguiente, todo núm ero negativo es
m enor que cualquier núm ero positivo. P o r ejemplo.
-1 .0 0 0 .0 0 0 < iV,
aunque el núm ero —1.000.000 puede, en cierto m odo, parecer m ás grande.
L as expresiones en las cuales se em plea el signo < se llam an desigualdades. C ual­
quier desigualdad puede escribirse al revés: y > x significa lo m ism o que x < y .
A sí, pues, y > x , si y está a la derecha de x en la recta num érica.
L a expresión x < y significa que x < y o x = y . Así, —2 < 1, porque —2 < 1;
y 2 < 2, p orque 2 = 2.
E n sus estudios de álgebra, ya el alum no h a aprendido m ucho acerca de cóm o se
com p o rtan los núm eros reales respecto de la adición y de la m ultiplicación. E n reali­
d ad, el álgebra puede estudiarse de la m ism a m anera que estudiarem os la geom etría
en este curso. E s decir, to d a el álgebra q u e el alum no sabe puede deducirse de unos
pocos enunciados simples. Sin em bargo, es probable que n o haya estudiado el
álgebra de esta m anera, p ero no tenem os tiem po ahora de volver a estudiar el álgebra
nuevam ente. P o r tan to , en este curso, utilizarem os casi to d a el álgebra que el alum no
conoce, sin com entarios especiales.
Orden en la recta numérica
23
N o obstante, debem os ser cuidadosos con respecto a las desigualdades y las raíces
cuadradas, pues, con frecuencia, hay confusión en cuanto a su em pleo. La relación
< se llam a una relación de ordenación. Sus propiedades fundam entales son las
siguientes:
0 -1 .
Tricotomía
P a ra to d o p a r de núm eros x , y , u n a y solam ente u n a de las siguientes condiciones
se cum ple: x < y , x = y , x > y .
0 -2 .
Transitividad
Si x < y y y < z , entonces x < z .
0 -3 .
Propiedad aditiva
Si a < b y x < y , entonces a + x < b + y .
0 -4 .
Propiedad multiplicativa
Si x < y y a > O, entonces a x < ay.
T odas las propiedades corrientes de las desigualdades se deducen de las cuatro
propiedades anteriores.
Finalm ente, necesitarem os la siguiente propiedad de ios núm eros reales:
R -l.
Existencia de raíces cuadradas
T o d o núm ero positivo tiene p o r lo m enos una raíz cuadrada positiva.
H ay u n detalle u n poco engañoso en relación con las raíces cuadradas. C uando
decim os con palabras que x es una raíz cuadrada de a, sencillam ente entendem os
que x 2 — a. P o r ejemplo, 2 es una raíz cuad rad a de 4, po rq u e 22 = 4. —2 es, tam ­
bién, u n a raíz cuad rad a de 4, p o rq u e ( —2)2 = 4. Pero, cuando escribimos con
sím bolos que x = J a , esto significa que x es la raíz cuadrada no negativa de a. En
consecuencia, las siguientes afirm aciones son ciertas o falsas, según se indica:
C ierta:
F alsa:
—2 es una raíz cu ad rad a de 4.
—2 = J A .
El po rq u é de este convenio es sencillo. Si J a p udiera den o tar lo m ism o la raíz
no negativa que la n o positiva, entonces, n o tendríam os un sím bolo para representar
la raíz n o negativa de 7. E l colocar u n signo m ás antes de la expresión
a nada
nos conduce, p o rq u e u n signo m ás n u n ca altera el valor de u n a expresión. Si ~Jl
24
C onjuntos, n ú m ero s reales y rectas
fuera negativa, entonces +
tam bién lo seria. P o r esta razón, convenim os en que
N a d en o ta siempre la raíz no negativa de a. La raíz n o positiva de a es — ~Ja\ y
N 0 = 0.
Q uizás, sea conveniente referirse a las siguientes propiedades al exponer las razones
p ara algunas afirm aciones que se hagan en razonam ientos algebraicos:
Propiedad aditiva de la igualdad
Si a = b y c = d, entonces a + c = b + d.
Propiedad de la igualdad con respecto a la sustracción
Si a = b y c = d, entonces a — c = b — d.
Propiedad multiplicativa de la igualdad
Si a = b y c = d, entonces ac = bd.
C o n ju n to de p roblem as 2 -2
1. Construir una tabla cuyas columnas tengan los siguientes titulares: “Números reales”,
“ Números racionales”, “Enteros” , “ Números irracionales” . Debajo del titular “N ú­
meros reales”, escríbanse los siguientes números:
7, i ,
V 2
T *
V T Í, 0,02,
V 4,
¡3
lí,
14.003,
-3 ,
19
" V i ’ ° ’ ! ’414’ “ V i s *
w-
Complétese la tabla, colocando cada número debajo del nombre de cada subconjunto de
los números reales a que pertenece.
2. Indicar si cada uno de los siguientes enunciados es cierto o falso:
(a) Los números negativos son números reales.
(b) La recta de los números reales tiene al menos un extremo.
(c) —a: es un número negativo para todo x.
(d) El punto que corresponde a g en la recta de los números reales está entre los puntos
correspondientes a f y f .
(e) Existe un punto en la recta de los números reales que corresponde a V i , el cual es
diferente del punto que corresponde a 1,414.
(f) Si x es un número negativo, entonces —x es un número positivo.
(g) Si x > y , entonces x — y > 0.
Orden en la recta numérica
25
3. Indicar el orden en que dispondríamos sobre una recta numérica en la cual los
números positivos están a la derecha del cero, los puntos correspondientes a los números
de los siguientes conjuntos:
i
(a) i Ü , l f .
(c) -1 ,3 , - 0 ,7 , -2 ,1 4 .
(b) 4,1, 4,06, 4,012.
(d) | , - l f , - l i
4. Escribir los siguientes enunciados, utilizando los símbolos de ordenación (es decir, < ,
> , etc.):
(a) x es un número mayor que 0.
(b) y es un número entre —1 y 2.
(c) w es un número entre —1 y 2, inclusive.
(d) k es un número positivo.
(e) m es un número negativo.
( 0 n es un número no negativo.
5. Escribir con palabras cada uno de los siguientes enunciados:
(a) A B > CD.
(b) m < n .
(c) —11 < 5 < 8.
(d) —2 < ,k < 2 .
(e )x < 0 .
(f) >>>0.
6. ¿Cuáles de los siguientes enunciados son ciertos ?
(a) V Í6 = 4.
(b) V25 = —5.
(c) - V 64 = - 8.
(d) - VÓ.36 = - 0 ,6 .
(e) - V0,04 = 0,2.
7. ¿Para cuáles de los siguientes enunciados será cierto que V x 2 ■ x l
(a) x = 3.
(b) x = —3.
(c) x = 0.
(d) x = 1.
(e) x = - l .
(g) x > 0 .
(h )^ > 0 .
(f)je < 0 .
8. Sobre una recta numérica, marcar intervalos unidad de I centímetro y colocar correcta­
mente los siguientes números:
0,
9.
1,
V4,
-V 4 ,
V9,
—V9,
V 16,
—V25.
Si r y í son números reales distintos de 0 y r > ,v, indicar si los siguientes enunciados son
ciertos para todo r y todo í (C), son ciertos para algunos r y s solamente (A), o nunca son
ciertos (N ):
(a) s > r.
(b) r - s > 0.
(c) - > 1.
s
(d) í 2 < r 2.
* 10. Seguir las instrucciones del problema anterior en los siguientes ejercicios:
(a) - > - /•
s
(b) r 3 > f 3.
(c) —r < —s.
(d) r — 2 < í — 2.
:
''
•'
.
¡Á
26
2 -3 .
C onjuntos, núm eros reales y rectas
VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto de un núm ero x se denota por |x |. El significado del sím bolo |x|
se com prende rápidam ente, si se exam inan algunos ejem plos:
121=2,
- 2 | = 2,
m =
1,
II
oo
|- 8 1 = 8 ,
OO
101=0,
1-951=95,
|- V I 3 | = VI3,
y así sucesivamente. E n los ejemplos anteriores, utilizam os las siguientes reglas:
(1) Si X > 0, entonces |x | = x.
(2) Si x < 0, entonces \x\ es el núm ero positivo correspondiente.
Si un núm ero determ inado se escribe aritm éticam ente, es fácil ver cóm o se escribe
su valor absoluto. Si no hay u n signo menos antes del núm ero, n o hacem os cam bio
alguno. Si hay u n signo m enos antes del núm ero, om itim os dicho sím bolo para
obtener el valor absoluto.
P ero cuando trabajam os algebraicam ente con expresiones com o |x |, \a — b\, etc.,
es conveniente tener u n a form a algebraica de la condición (2) anterior. Así, dad o u n
núm ero negativo x , nos interesa tener u n a m anera algebraica de describir el núm ero
positivo correspondiente. Si el núm ero negativo se denota p o r x , entonces n o pode­
mos “ om itir el signo m enos”, p o rq u e n o hay tal signo menos que om itir. Podem os
resolver esta dificultad m ediante u n sencillo artificio: si x < 0, entonces el número
positivo que le corresponde es - x . H e aq u í algunos ejem plos:
x = —2,
—x =
—( —2) = 2,
x — -3 ,
-x =
- ( - 3 ) = 3,
y así sucesivamente.
A h o ra, podem os d a r una segunda descripción de |x |, com o sigue:
(1) Si x > 0, entonces |x | = x.
(2) Si x < 0, entonces |x| = —x.
E sta segunda form a es m ás difícil de com prender al principio, pero es m ás fácil de
em plear m ás tard e. El alum no debe tra ta r de aplicarla a varios núm eros hasta que se
convenza de que realm ente dice lo que pretendem os.
1
Valor absoluto
27
C o njun to de p roblem as 2 -3
1. Evaluar cada uno de los siguientes:
(a) |5|.
(b) 1—61.
( c ) - M |.
( d ) |2 | + ( - 2 ) .
( e ) |2 | + | - 2 | .
( 0 |8 — 5|.
( g ) |5 - 8 |.
( h ) |5 |- |8 |.
(i) | - 8 - 5 | .
2. Indicar cuáles de los siguientes enunciados son siempre ciertos:
(a) I —3| = 3 .
(b) |3| = —3.
(c) |7 — 9| = |9 —'7|.
(d) | 0 - 4 | = | 4 - 0 | .
(e)
|A:| = k para todo número real k.
3. ¿Cuáles de los siguientes enunciados son ciertos para todos los valores de las variables?
(a) | —«| = —n.
(c) | x - 3 | = | 3 - x | .
(b) |a'2| = n 2.
(d) \ a - b \ = | 6 - a | .
(e) \d + l|- = \d\ + 1 .
4. Completar cada uno de los siguientes enunciados:
(a) Si k > 0, entonces \k\ = ---------------(b) Si k < 0, entonces \k\ = ---------------(c) Si k = 0, entonces |A:| = ___í----------5. Cada una de las figuras siguientes es la gráfica en la recta numérica del enunciado alge­
braico escrito a su izquierda:
x < 2 ->
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3
-2
-1
0
1
2
3
!x| = 2 ^
1*1<2
!>2
Construir gráficas para los siguientes enunciados:
6.
(a) x = 1.
(b) x es un número negativo.
(c) x > \ .
(d) * > 0 .
(e) |*| = 1.
(f) N < 1 -
(g) \x\ > 1.
( h ) |* |> 0.
(a) ¿En qué se diferencia la gráfica de .x < 0 de la gráfica de x < 0 ?
(b) ¿En qué se diferencia la gráfica de |->r| = 1 de la gráfica de jx| < 1 ?
(c) ¿En qué se diferencia la gráfica de —1 < x < 1 de la gráfica de |x| < 1 ?
28
C onjuntos, n ú m ero s reales y rectas
7. Si consideramos enunciados algebraicos con dos variables x y y, donde x y y son números
reales, podemos construir gráficas de dichos enunciados en el plano xy. Por los estudios
anteriores de matemáticas, se recordará que representamos gráficamente el conjunto
de todos los pares ordenados (x, y) que hacen cierto el enunciado algebraico. Asi, la
gráfica de x — y = 1 se muestra a la izquierda y la gráfica de x — y < 1 se muestra a la
derecha.
y
y
(a) Trazar la gráfica de y = |x|.
(b) Trazar la gráfica de y > |*|.
8. Utilizar el ejercicio anterior como una introducción para este problema:
(a) Construir la gráfica de |x| + \y\ = 1.
(b) Construir la gráfica de |x| + |j>| < 1.
2 -4 .
REG LA S Y U N ID A D ES D E DISTANCIA
Si la distancia entre dos p u n to s P y Q no es m ayor que un pie, podem os m edir dicha
distancia m ediante u n a regla ordinaria:
p
i
\
;i
i
2
i
■i
i
4
i
5
i
6
o
T
7
i
8
i
9
i
10
i
11
12
.
En la figura, la distancia es de 7 pulgadas. Desde luego, n o necesitábam os colocar el
p u n to cero de la regla en P. L o m ism o podíam os haber colocado la regla así:
o
r
4
-T6
7
10
11
12
E n este caso, hallam os que la distancia entre P y Q, m edida en pulgadas, es 9 - 2 = 7,
igual que antes.
R eglas y unidades d e d istan c ia
29
Q
I
10
Z\ 11
' __ L
01
8
I
12
T
14
16
“I
1
I
1
T
20
22
24
26
28
/
I
30
l
M uchas reglas tienen u n bord e m arcado en centím etros. U tilizando la escala de
centím etros, podríam os h ab er colocado la regla com o se indica en la figura anterior.
Esto nos d aría una distancia aproxim ada de 18 cm ., donde cm. significa centím etros.
Desde luego, un pie es equivalente a 12 pulgadas, y u n a yarda es equivalente a
36 pulgadas. U n m etro (m .) equivale a cien centím etros. U n m ilím etro (m m .) es u n a
milésim a de u n m etro. P o r consiguiente, podem os m edir la distancia entre P y Q al
m enos de estas seis m aneras: 180 m m ., 18 cm ., 0,18 m ., 7 pulgadas, t t pie, Te yarda.
Así, el número que obtenem os com o u n a m edida de la distancia depende de la unidad
de medida.
C onjunto de p roblem as 2—4A
1. La distancia del punto H al punto K, medida en metros, es 4. Si elegimos el centímetro
como unidad, ¿qué número representará la medida de la distancia entre H y K l
2. La distancia entre K y M , medida en pulgadas, es 9. ¿Qué número da la medida en pies
de la distancia entre K y M I
P
O
R
T
(a) Se utilizaron reglas marcadas con varias escalas para medir las distancias PQ , PR,
PT y QT, y se tabularon los resultados. Completar la tab la:
Unidad de medida
Pulgada
Pie
Yarda
Centímetro
PQ
PR
PT
2
i
18
i
i
9
5,08
50,8
Milímetro
0,0762
Metro
0,364
Cuarta
Palma
QT
0,54
(b) ¿Cuál es-la razón de PQ a P R 1 ¿Y de PQ a P T t
(c) ¿Cambia la razón de PQ a P T cuando se utilizan diferentes unidades?
(d) ¿Cuánto mide QR en pulgadas?; ¿en centímetros?; ¿y en cuartas?
30
C onjuntos, n ú m ero s reales y rectas
4. Comentar acerca de las siguientes preguntas:
(a) ¿Por qué tenemos tantas unidades diferentes para medir distancias?
(b) Supongamos que pudiéramos establecer una sola unidad universal para medir
distancias. ¿Qué ventajas ganaríamos? ¿Qué desventajas resultarían?
5. Completar cada uno de los siguientes enunciados con los números apropiados:
(a) 6 pulgadas = ______ pies = _______ yardas.
(b ) _____________________ pulgadas = 7¿ pies = ____yardas.
(c) ______ pulgadas = _______ pies = I yardas.
6. Completar cada uno de los siguientes enunciados con los números apropiados:
(a) 2 m. = ______ cm. = _______ mm.
(b) ____________ m. = 50 cm. = _mm.
(c) ______ m. = _______ cm. = 1 mm.
A
7.
B
C
----------------------- -------------------------------- ------ ►
A, B y C son tres puntos de una recta dispuestos como se muestca en la figura. Calcular
AC, si se da que:
(a) A B = 6 cm. y B C = 12 cm.
(b) A B = 6 metros y BC = 1 2 metros.
(c) A B = 6 Km. y B C = 12 Km.
9
_
8. A, B y C son tres puntos de una recta dispuestos en el orden que se indica en la figura
para el problema anterior. Determinar AC, si se da que:
(a) A B = 6 pies y BC = 12 pulgadas.
(b) A B = 6 pulgadas y BC = 12 pies.
(c) A B = 6 yardas y BC = 12 pulgadas.
9. Obsérvese que en los problemas 7 y 8 aparecen solamente los números 6 y 12. Explicar
por qué en el problema 7 las respuestas a las tres partes son el mismo número, aunque
las unidades son distintas, mientras que en el problema 8 todas las respuestas son
diferentes.
Lógicam ente hablando, u n a unidad es tan buena com o otra. Sin em bargo, utilizar
varias unidades en un m ism o problem a podría causar dificultades innecesarias.
Elijamos, pues, u n a unidad y convengam os en utilizar esa unidad en todos nuestros
teorem as. (N o im p o rta qué unidad elijamos. Si se prefieren pulgadas, codos o leguas,
estam os en libertad de considerar que son ésas las unidades que em plearem os. Todos
nuestros teoremas serán ciertos para cualesquiera unidades.)
R eglas y unidades de d istan c ia
31
Asi, u n a vez elijam os una unidad, p a ra cualquier par de puntos P , Q, h a b rá un
núm ero que nos diga cu án to dista P de Q. A este núm ero le llam am os la distancia
entre P y Q.
Expondrem os esto en fo rm a m ás precisa, enunciando un postulado y u n a defini­
ción.
PO STULADO 1.
Postulado de la distancia
A cada par de puntos diferentes corresponde un número positivo único.
D e fin ic ió n
L a distancia en tre dos p u n to s es el núm ero obtenido m ediante el postulado de
la distancia. Si los p u n to s son P y Q, entonces indicam os la distancia p o r PQ .
A dm itim os la posibilidad de que P = Q, es decir, de que P y Q sean el m ism o punto.
E n este caso, P Q = 0. L a distancia se define sim plem ente con relación a u n p a r de
puntos y n o depende del o rden en que se consideren los puntos. E n consecuencia,
siempre tenem os que P Q = QP.
E n algunos de los problem as presentados en el texto, se utilizan varias unidades,
tales com o centím etros, pies, kilóm etros, etc. Según indicam os anteriorm ente, todos
nuestros teorem as serán aplicables a cualquiera de estas unidades, siem pre que
consistentemente se utilice sólo una unidad cada vez que se aplique un teorema. E n otras
palabras, puede hacerse la elección que se prefiera, siem pre q u e se m antenga, pero no
podem os cam biar las unidades e n m edio de un teorem a.
C onjunto de p roblem as 2 -4 B
1. Alberto, Braulio y Carlos midierón, en centímetros, la distancia entre dos puntos, P y Q,
marcados en la pizarra. Alberto dijo que PQ = 27, Braulio dijo que PQ = 27,5 y Carlos
dijo que PQ = 26,75. ¿Cuántos de los niños pueden estar en lo cierto? ¿Por qué?
¿Tenía que ser necesariamente correcta alguna de las respuestas? Justifiqúese esto.
2. Si la distancia PQ es 135 cm., ¿cuánto es PQ medida en metros? ¿Y medida en kiló­
metros?
3. Si la distancia R S e s 15 pies, ¿cuánto es R S medida en pulgadas? ¿Y medida en yardas?
32
C onjuntos, n ú m ero s reales y rectas
4. Eduardo y Francisco calculaban las distancias entre los mismos puntos A, B y C.
Eduardo dijo: “Si AB 1, entonces BC =2.1”. Francisco dijo: “Si A B = 12, entonces
BC = 30”. Si ambos niños estaban en lo cierto, explicar cómo pudieron obtener dife­
rentes números para las mismas distancias. ¿Está esto de acuerdo con el postulado de
la distancia?
5. Si la distancia R S es jr pies, ¿cuál es RS medida en pulgadas? ¿Y medida en yardas?
6. La distancia AB medida en centímetros es 150 unidades mayor que 25 veces la misma
distancia medida en metros. ¿Cuál es la distañcia AB en metros ? .
7. El perímetro de un triángulo medido en pulgadas es 10 más que 10 veces su perímetro
medido en pies. ¿Cuál es el perímetro en pies?
8. Si la longitud de cada lado de un cuadrado es de 4 metros, entonces su perímetro es de
16 metros y su área de 16 metros cuadrados. Puesto que 16 = 16, el enunciado, “ El
área de un cuadrado es igual a su perímetro”, es cierto para este cuadrado.
(a) ¿Será cierto el enunciado, si los lados de este cuadrado se miden en centímetros?
¿Y si se miden en kilómetros?
(b) Describir otros dos cuadrados para los cuales el enunciado es cierto.
(c) ¿Qué tienen en común los tres cuadrados para los cuales es cierto el enunciado ?
9. Si un rectángulo mide 6 pies de largo y 4 pies de ancho, el enunciado, “El perímetro del
rectángulo es la suma del doble de la medida de la longitud y el doble de la medida del
ancho”, es cierto para este rectángulo.
(a) ¿Será cierto el enunciado si la longitud y el ancho se miden en pulgadas? ¿Y si
se miden en yardas?
(b) ¿Depende la veracidad de este enunciado de una elección especial de los números?
¿Y de una elección especial de las unidades ?
10. El radio de una circunferencia es de 2 metros, la longitud de la circunferencia (C -- 2-nr)
es de 477 metros y el área del círculo asociado (A
nr2) es de 4tt metros cuadrados.
Entonces, el enunciado, “El área del círculo es igual a la longitud de la circunferencia
asociada”, es cierto en este caso.
(a) ¿Será cierto el enunciado si el radio se mide en centímetros?
(b) Describir otras dos circunferencias para las cuales el enunciado es cierto.
(c) ¿Depende la veracidad del enunciado de una elección especial de los números? ¿Y
de una elección especial de las unidades ?
11. En los problemas 8, 9 y 10, se observaría que algunos enunciados geométricos son ciertos
para un cierto número solamente, no importa qué unidad se utilice. Otros enunciados
son ciertos, no importa qué números o qué unidades se utilicen.
U na re g ia infinita
33
Verificar que cada uno de los siguientes enunciados es cierto. Luego, indíquese si cada
uno sigue siendo válido al medirse las longitudes en una unidad diferente. Indíquese,
además, qué enunciados siguen siendo válidos únicamente si se utiliza el mismo número,
o el mismo conjunto de números, para todas las unidades:
(a) El perímetro de un rectángulo de 3 metros de ancho y 4 metros de largo, es 14 metros.
(b) El perímetro de un cuadrado cada uno de cuyos lados mide 2 pies, es el doble del
área del cuadrado.
(c) El perímetro de un triángulo cada uno de cuyos lados mide 12 centímetros, es 36
centímetros.
(d) U n triángulo cuyos lados miden 3 metros, 4 metros y 5 metros, respectivamente, es
un triángulo rectángulo. (Utilícese la relación pitagórica.)
(e) U n triángulo cuyos lados miden 9 pulgadas, 12 pulgadas y 15 pulgadas, respectiva­
mente, es un triángulo rectángulo.
(f) El área de un círculo cuyo radio mide 4 pies es igual al doble de la longitud de la
circunferencia asociada.
2 -5 .
UNA R E G L A IN FIN ITA
Al com enzar la unidad, m arcam os u n a escala n um érica sobre una recta de la
m anera siguiente:
- v 's
V2
v
- ----------- t------- 1------- 14— 1------- 1---------1—I— I------U-------1------------4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
D esde luego, pudim os hab er utilizado u n a escala m ás g ran d e:
-V 3
-
2
Vi
-
1
0
1
2
o u n a escala m ás pequeña:
“ V3
---------------»------ 1— I......H - -I-4
-3
-2
-1
!■
V2
I II
0
1
2
r
II
I---------------------- --
3
4
Pero, convengam os en que, de a h o ra en adelante, cada vez que m arquem os una escala
num érica sobre u n a recta, utilizarem os la escala d ad a por el postulado de la distancia.
34
nú m ero s reales y re c ta s
Es decir, ei p unto m arcado 1 deberá estar a una distancia 1 del punto m arcado 0 ; el
p u n to m arcado —2 deberá estar a una distancia 2 del p u n to m arcado 0; y así sucesiva­
mente. En la figura, podem os leer directam ente las distancias
QR= 1,
Q S = 2.
Q T = 3.
R estando, obtenem os
R S = 2 - 1 = 1,
RT= 3 - 1 = 2 ,
P R = 1 - ( - 2 ) = 3.
E n efecto, parece que siem pre podem os obtener las distancias, calculando la dife­
rencia entre los núm eros correspondientes.
E sta afirm ación n o es totalm ente correcta. Si tom am os los p u n to s P y R en el
o rden inverso, obtenem os la respuesta errónea
RP= - 2 - 1 = -3 ,
q ue es el negativo de la respuesta correcta. E n efecto, la resta d a u n a respuesta nega­
tiva aproxim adam ente en la m itad de los casos.
Sin em bargo, es fácil elim inar esta dificultad: tom am os el valor absoluto d e la
diferencia de los núm eros correspondientes. C uando hacem os esto, todas nuestras
respuestas correctas siguen siendo correctas y to d as nuestras respuestas erróneas se
convierten en correctas. P o r ejemplo,
P f l = | l - ( - 2 ) 1 = 131 = 3,
y
R P = | - 2 - ,1| = | - 3 | = 3,
com o debe ser.
Vemos, pues, que la distancia entre dos puntos es el valor absoluto d e la diferencia
de los núm eros correspondientes.
El razonam iento an terio r se hace más form al resum iéndolo en form a de postulado.
P O S T U L A D O 2.
Postulado de la regla
Podemos establecer una correspondencia entre los puntos de uña recta y los números
reales de manera que
(1) a cada punto de la recta corresponde exactamente un número real;
(2 ) a cada número real corresponde exactam ente un punto de la recta; >'
(3) la distancia entre dos puntos cualesquiera es e l valor absoluto de la diferencia
de los números correspondientes.
U n a re g ia infinita
35
L lam am os a éste el p ostulado de la regla, porque, en efecto, nos proporciona una
regla infinita que puede colocarse sobre cualquier recta y, m ediante ella, podem os
m edir la distancia en tre dos p u n to s cualesquiera.
D e fin ic io n e s
U n a correspondencia com o la descrita en el postulado de la regla se llam a un
sistem a de coordenadas. El núm ero correspondiente a un p u n to dad o se llam a la
coordenada del punto.
p
Q
r
s
T
« ------------------- 1------- 1------- 1------- 1------- h-------1------- 1------------------- -- 3 - 2 - 1
0
1
2
3
P o r ejem plo, en la figura anterior, la co o rdenada de P es —2, la co ordenada de
Q es 0, la coordenada de R es 1, y así sucesivamente,
p
-----t------- 1
Si la coo rdenada de P es x y la co o rdenada de Q es y , entonces el postulado de la
regla nos dice que
P Q = \ y - x\.
Conjunto de problemas 2—5
N
MABCD
1*
EF
C H I J
I' I i Ii I-H1 * "l - H ►
3
4 56
ir
¿ vTT
-
O P
-
R
-«--- 1------------------ H-------- 1----------- 1'
-5
- 4 - 3 - 2 -1
0 1 2
~T
~V3
-5
í V2
En la figura anterior, se marcó un sistema de coordenadas en una recta, con el punto 0
en A y el punto 1 en C. Para hacer más fácil la lectura, se marcaron las coordenadas que
corresponden a números no enteros un poco más abajo que las correspondientes a
enteros. Determinar las distancias siguientes:
(a) A C
(b) A D
(c) E l
(d) PR
(e) R I
(f) A N
(g) B H
(h) QM
(i) A F
ü)
(k) N D
(1) PF
2. Simplificar:
(a) |6 —2|
DJ
(b) |2 — 6|
(c)
(d) |0 — 5|
(e) |0 — (—5)|
(f) | 4 - ( - 4 ) |
|5 —0|
(g) 14
(h) \x —0|
(i) | * - ( - x ) |
36
C onjuntos- n ú m ero s reales y rectas
1
S
E
S
E
E
"
™ °_y *
,
s \
y
re8 ,i " "
-
(b)8*°
7
n
(j) O y *
( e) ~ i y i
(f)
5
(0 0 y - 8
V 2 y V5
(i ) 2í7 y
una hoja de
Expliqúese.
P ~ de P m ,os con las
-o
el c e r o S ta * " '" ! ^ PUní° S marcados en
c la reS|a en uno de los puntos?
f e . 'í f é K S í - ' (a) Q corresponda a un número positivo,
(b) Q corresponda a un número negativo.
6
Escalo A - 4
Escala B
0
-2
1
2
R
3
4
5
q
P
6
los S U S S f c i S t S ^ . A y B Se UtÍ" ZÓ ,a “
ib!
s —
(c) ¿Cuál es la distancia P 0 en la escala A ?
7'
« * * . pero se marcaron
■ a?
la escala B ? '
supon8artos1que * ie
v*ene a ser el nuevo número
asignado a cada punto.
(a) Si la coordenada original de P p ra s
nada * ff „ - 2 ,. ¿c„á, será J
W IrS n a T a S
'* * * a,a A‘
*** “
“
* "* M
B
(c)s s i l afc*
l | |w
»
»• « u á le s » á „ su5 nu„ as
aunn“v°
(d) Demostrar que la fórmula
'
[(Nuevo número, asignado , „ „ punto) _ m „e ío número
¿c— ^—
¿|
.
da la distancia entre Jos dos puntos
<e>' S
S
g
coordenada de un punto? ¿Por qué?
z s
™ -
amarse a cada nuevo numero la
U n a re g la infinita
K
Escala A
3
2
M
37.
N
1 0 - 1
-------------1— I— H—t-H— |— |--------------------1------------------ (------►
8.
Escala B
- 2 - 1 0 , 1 2 3
x
y
En la figura anterior, utilizamos la misma unidad en las escalas A y B, pero se marcaron
los números de manera diferente.
(a) ¿Cuál es la coordenada de K en la escala A?
(b) ¿Cuáles son las coordenadas de M y N en la escala B?
(c) Si x
—6, ¿cuál es la coordenada de M en la escala B?
(d) Si la coordenada de N en la escala B es 91, ¿cuál será el valor de y l
(e) ¿Cuál es la distancia KM 1 ¿Y la distancia MN1
9. ¿Cuántos números reales hay? ¿Cómo lo sabemos? ¿Dice esto algo acerca del número
de puntos de una recta? ¿Cuántos puntos contiene una recta? ¿Qué papel juega el
postulado de la regla en nuestro razonamiento ?
10. En un cierto país, los pueblos Arroyo, Bonanza y Colinas están en línea recta, aunque
no necesariamente en ese orden. La distancia de Arroyo a Bonanza es 8 kilómetros, y
la distancia de Bonanza a Colinas es 14 kilómetros.
(a) ¿Será posible decir qué pueblo está entre los otros dos? ¿Qué pueblo no está entre
los otros dos?
(b) Utilizar un dibujo para determinar la distancia de Arroyo a Colinas. ¿Habrá más
de una posibilidad?
(c) Si sabemos, además, que la distancia de Arroyo a Colinas es 6 kilómetros, ¿qué
pueblo estará, entonces, entre los otros dos?
(d) Si la distancia entre Arroyo y Bonanza fuera k kilómetros, la distancia entre Arroyo
y Colinas m kilómetros, y la distancia entre Bonanza y Colinas k + m kilómetros,
¿qué pueblo estaría entre los otros dos ?
11. E, H, K son tres puntos de una recta. E y H están a 3 centímetros de distancia y H y K
están a 5 centímetros de distancia. ¿De cuántas maneras será posible disponer los tres
puntos? Explicar mediante un dibujo.
12. Se asignan tres sistemas distintos de coordenadas a la misma recta. A tres puntos fijos
A, B, C de la recta se le asignan las siguientes coordenadas:
En el sistema I, la coordenada de A es —6 y la de B es —2.
En el sistema II, las coordenadas de A y C son —4 y
3, respectivamente.
En el sistema 111, las coordenadas de C y B son 7 y 4, respectivamente.
(a) ¿Qué punto está entre los otros dos?
(b) Evaluar AB + A C + B C .
rr
38
C onjuntos, n ú m ero s reales y rectas
2 -6 .
E L POSTULADO D E COLOCACIÓN D E L A REG LA ,
INTERPOSICIÓN, SEGMENTOS Y RAYOS
El postulado de la regla nos dice que podem os, sobre cualquier recta, fijar un
sistema de coordenadas m arcando una escala num érica. Evidentem ente, esto puede
hacerse de m uchas m aneras diferentes. Por ejem plo, dad o un punto cualquiera P de
la recta, podem os colocar el cero en P y seguir m arcando el resto de la escala en
cualquiera de los dos sentidos, com o sigue:
p
-4
-3
—2
-1
0
1
2
3
4
P
4
3
2
1
o
-1
-2
-3
-4
P or tan to , si Q es o tro p u n to cualquiera de la recta, podem os m arcar la escala de
m anera que la coordenada de Q sea positiva, según se indica a con tin u ació n :
-4
-—
-3
-2
-1
0
1
2 x 3
4
H---------1— - M ------------------------------------ 1------ f ---------- 1----------- 1----------- 1-----4
3 x 2
1
0
-1
-2
-3
-4
E n cada caso, se m arcó la escala de m anera que x > 0.
H acem os esta observación m ás form al, enunciándola com o un postulado.
PO STULADO 3.
El p o stu la d o d e colocación d e la regla
Dados dos puntos P y Q de una recta, se puede escoger e l sistema de coordenadas
de manera que la coordenada de P sea cero y la coordenada de Q sea p o s i t i v \
\
T odos sabem os lo que significa decir que u n p u n to B está entre dos puntos A y C.
Significa que los tres p u n to s están en u n a recta y que están colocados de esta m anera:
8
o de esta o tr a :
c
Colocación d e la re g la , interposición, segm entos y rayos
39
H asta ah o ra, to d o va bien. N o creem os que nadie tenga dificultad alguna en
com prender el significado de la palabra entre, una vez se hayan presentado varios
dibujos. Pero, en el C apítulo 1, prom etim os que definiríam os todos nuestros térm inos '
geométricos, con la excepción de punto, recta y plano. Así, pues, debem os cumplir
nuestra prom esa, d a n d o una definición m atem ática de entre que conlleve la idea que
tenem os en m ente. E sto se hace con facilidad.
D e fin ic ió n
B está entre A y C, si (1) A , B y C son p u n to s distintos de una m ism a recta, y
(2) A B + B C = A C .
Es fácil co m p ro b ar que esta definición, en efecto, describe la idea que se trata de
describir.
Sin em bargo, hay un detalle u n ta n to sutil en la m anera de enunciar la definición.
C onsiste en el em pleo de la palabra si. C uando en una definición se enlazan dos
cláusulas m ediante la p alab ra si, las dos cláusulas deben considerarse com pletam ente
equivalentes. A sí, si sabem os que B está en tre A y C, podem os concluir que las con­
diciones (1) y (2) se cum plen; y si sabem os que (1) y (2) se cum plen, podem os concluir
que B está entre A y C. Este em pleo de la palab ra si es especial, porque es diferente
del em pleo que se le d a en el lenguaje corriente. T am poco se em plea de ese m odo en
los postulados y teorem as. Solam ente en definiciones la p alab ra s i significa es equiva­
lente a.
Conjunto de p roblem as 2 -6 A
1 . C o n s id é re s e u n s iste m a d e c o o r d e n a d a s e n u n a re c ta . L o s p u n to s R y S tie n e n c o o rd e n a ­
d a s x y y, re sp e c tiv a m e n te . S e a p lic a el p o s tu la d o d e c o lo c a c ió n d e la re g la , e s d e c ir, se
■ a lte ra la e sc a la , d e m a n e r a q u e la c o o r d e n a d a d e R se a 0 y la c o o r d e n a d a d e 5 se a u n
n ú m e r o p o s itiv o . I n d ic a r c u á l s e r á e se n ú m e r o p o sitiv o , si lo s v a lo re s d e x y y so n los
s ig u ie n te s :
<
(a) x = —3, y = 4 .
(c)
x = 8, y = —2.
(e )x
= 5,2, y = 6,1.
(b)x=-4,
'
(d ) x
y = - 10.
= f , y = -4 .
(f) x = a, y = b.
2. A , B y C son tres puntos de una recta. A C = BC = 5. La coordenada de C es 8 y la
coordenada de A es mayor que la coordenada de B. ¿Cuáles son las coordenadas de
A y B1
40
C onjuntos, n ú m ero s reales y rectas
3. A, B y C son tres puntos de una recta. AC = BC = 10. La coordenada de C es 8 y la
coordenada de A es mayor que la coordenada de B. ¿Cuáles son las coordenadas de
A y B?
(4) M , N y P son tres puntos de una recta. M N = 7, NP - 9 y MP
M es 3. Indicar cuáles son las coordenadas de N y P, si:
(a) la coordenada de M es menor que la de /V,
(b) la coordenada de M es mayor que la de N.
2. La coordenada de
5. Supongamos que R, S y T son tres puntos de una recta. ¿Qué relación debe existir entre
RS, S T y RT, si R está entre S y T I
6. P, Q y R son tres puntos de una recta. Si PQ = 12, PR = 7 y QR = 5, ¿qué punto está
entre los otros dos? ¿Qué postulado o definición sirve de fundamento a la respuesta?
7. G, H y K son tres puntos de una recta. Las coordenadas de G y H son 4 y —3, respec­
tivamente. Si H e stá entre G y K, y GK = 13, ¿cuál esla coordenada de K t
8. A, E y K son tres puntos de una recta. Las coordenadas de A y K son
respectivamente. Si A E = EK, ¿cuál es la coordenada de E r!
V 2 y —V 18,
9. A, B y C son tres puntos de una recta y sus coordenadas son a, b y c, respectivamente.
Si \a —c| + |c - b\ = \a — b\, ¿qué punto está entre los otros dos? Justifiqúese la res­
puesta.
*
10. ¿Es el siguiente enunciado una definición de interposición para ios puntos de una recta?
F, G y H son puntos distintos de la misma recta y FG + GH —FH, si G está entre
F y H.
¿En qué difiere este enunciado de la definición presentada en el texto ?
11. Si A, B y C son tres puntos de una circunferencia, ¿puede
decirse qué punto está entre los otros dos? Comentar
esto.
Las dos siguientes afirm aciones son evidentes:
(1) Sean A , B y C tres p u n to s de u n a recta, con coordenadas x, y y z:
A
8
C*
x
y
Z
Si x < y < z , entonces B está entre A y C.
Colocación de la regla, interposición, segm entos y rayos
41
(2)
Si A , B y C son tres puntos distintos de la m ism a recta, entonces exactam ente
uno de ellos está entre los otros dos.
A
c
b
B
A
C
B
C
A
En efecto, las dos afirm aciones anteriores pueden dem ostrarse m ediante el postu­
lado de la regla. Sin esta dem ostración, pueden considerarse las dos afirm aciones
com o postulados.
A hora, hemos llegado a una etap a en la cual necesitam os el siguiente postulado:
P O S T U L A D O 4.
P ostulado d e la recta
Dados dos puntos distintos cualesquiera, hay exactamente una recta que los contiene.
A
B
La recta que contiene los puntos A y B se denota p o r A B . A quí, la raya con dos
p u ntas de fincha sobre las letras A y B se supone que nos recuerde la figura que
utilizam os para representar rectas. La notación sugiere que la recta se determ ina
al nom brar los puntos A y B, y esto es exactam ente lo que nos acaba de decir el postu­
lado de la recta. D esde luego, algunas veces, es m ás sencillo den o tar la recta por
una letra com o L , W , u o tra cualquiera.
U n segm ento de recta se representa así :
a______________________
g
U n a descripción m ás precisa se d a m ediante las siguientes definiciones:
D e fin ic io n e s
P ara d os p u n to s cualesquiera A y B, el segmento A B es el conjunto de los puntos
A y B, y de todos los puntos que están en tre A y B. Los puntos A y B se llaman
los extrem os de A B.
En el sím bolo A B , la raya horizontal sobre las letras se supone que nos recuerde
la figura que utilizam os p ara representar un segm ento. Obsérvese que hay una gran
diferencia entre el segm ento A B y la distancia A B . En efecto, -son conceptos
com pletam ente diferentes: A B es una figura geom étrica, es decir, un conjunto de
42
C onjuntos, n ú m ero s reales y rectas
puntos, m ientras que A B es un núm ero que da la m edida de la distancia entre los
extremos.
D e fin ic ió n
El núm ero A B se llam a la longitud del segm ento AB.
U n rayo es una figura que se representa así:
A
B
M ediante la figura, se indica que el ray o em pieza en A , pasa por B en linea recta, y
sigue indefinidamente en el m ism o sentido. En el sím bolo para representar un rayo,
la flecha siem pre se dibuja a p u n tan d o h acia la derecha, no im porta cuál sea el sentido
del rayo. P or ejem plo, todos los rayos representados a continuación se d en o tan por
ÁB:
H abiendo explicado intuitivam ente lo que es un rayo, procedem os a dar una
definición m atem ática.
D e fin ic io n e s
Sean A y B d os puntos de una recta L. El rayo A B es el conjunto de puntos que
es la reunión de (1) el segm ento A B y (2) el conjunto de todos los puntos C para
los cuales es cierto que B está entre A y C. El punto A se llam a el extrem o de AB.
Las dos partes del ray o se representan así:
(i)
A
(2)
B
C
Si A está en tre B y C en L , entonces los dos rayos A B y A C “ ten d rán sentidos
opuestos” :
Colocación d e la re g la , interposición, segm entos y rayos
43
D e fin ic ió n
Si A está entre B y C, entonces A B y A C se llam an rayos opuestos.
Obsérvese que un p ar de puntos A y B determ ina, por lo m enos, seis figuras geo­
métricas y un núm ero. Las seis figuras geom étricas son:
ti;
L a recta A B
a
b
•
El
s e g m e n to
AB
El
rav o
El
r a y o o p u e s to a
•
í
AB
f
a
b
•
AB
*
¿
El rayo BA
*
El rayo opuesto a B A
a
B
2
b
Desde luego, el núm ero determ inado p o r A y B es la distancia A B.
Conjunto de problemas 2 -6 B
y;
A . A, B y C son tres puntos de una recta con coordenadas 7, 3 y 12, respectivamente. ¿Qué
punto está entre los otros dos?
/
2. P. Q y R son tres puntos de una recta con coordenadas —5, —V 4 y —V i 2, respectivamente. ¿Qué punto está entre los otros dos?
3. G. H y K son tres puntos de una recta. ¿Cuáles delos siguientes enunciados pueden ser
| /\ciertos?
(a) K está entre G y H, y H está entre G y K.
-(b) H está entre K y G, y H está entre G y K.
(c) G está entre H y K, y K está entre G y H.
(d) K está entre H y G, y G está entre K y H.
(e) G está entre K y //, y G está entre H y K.
/ \ , y 4. Si tres puntos están en una recta, ¿cuántos de ellos no están entre los otros dos?
^
5. Tres puntos de una recta, R, S, T, tienen coordenadas a, b y a + b, respectivamente;
a > 0 y a > b. Indicar qué punto está entre los otros dos, s i:
(a) b > 0.
(b) b < 0.
(c) b = 0.
C o n ju n to s n ú m ero s reales y rectas
44
1/
6. D. E ;. /"so n tres puntos que no están en una recta. ¿Cuántas rectas determinan?
.Cuáles son?
7. D. E. F y G son cuatro puntos tales que tres cualesquiera de ellos no están en una recta.
¿Cuántas rectas determinan? ¿Cuáles son?
1 ^ 8 . P. Q y R son tres puntos. ¿Cuántos segmentos determinan? ¿Cuáles son? ¿Cuántas
rectas determinan?
9. (a)
(b)
¡y
Y
(c)
10. ¿Es
¿Es AB
«o.
AB? ¿P orqué? ¿Qué es/ I B?
t / 1 * . (a) '
,
\ S
si lo hay: X Z contiene los puntos Y y V, pero X Z no contiene ni a Y ni a V. V pertenece a XZ, pero no así Y. Y Z + Z V = YV.
.
'
(b) Hacer un dibujo que muestre la posición relativa de los cuatro puntos nombrados en
la parte (a).
1 /f/
-*
-*
* 12. Si R S es opuesto a RT, ¿cuál de los puntos R, S. T está entre los otros dos?
13. ¿Cuál es la intersección de CD y DC? ¿Y la de CD y DC?
m
*
14.
Si A, B y C son tres puntos de una recta tales que AC + BC
de CB y BA ? ¿De^4CyAf i ? ¿Y la de C4 y CB?
-AB,
¿cuál es la intersecció
*-15. ¿Es el siguiente enunciado una definición correcta del rayo
AB?
El rayo A B es el conjunto de todos los puntos D de A B para los cuales no es cierto
el enunciado "A está entre D y B”.
El siguiente teorem a es una consecuencia del postulado de colocación de la regla:
T e o re m a 2 - 1 .
El teorem a d e localización d e p u n to s
Sea A B un rayo y sea .y un núm ero positivo. Entonces, existe exactam ente un
pun to P de A B tal que A P = x.
Demostración. P o r el postulado de colocación de la regla, podem os elegir un sistema
de coordenadas en la recta A B , de m anera que la coordenada de A sea igual a 0 y la
coordenada de B sea u n núm ero positivo r.
Colocación de la re g la , interposición, segm entos y rayos
45
Sea P el p u n to cuya co o rdenada es el núm ero d ad o x. Entonces, P está en A B ,
porque x > 0; y A P = |x - 0| = |x| = x . (P or definición de valor absoluto, |x| = x
cuando x > 0.) C om o solam ente un p u n to del rayo tiene coordenada x , sólo un
pu n to del ray o estará a una distancia x de A.
(Obsérvese que esta dem ostración es análoga al procedim iento que utilizaríam os si
dibujáram os el ray o en una hoja de papel y localizáram os el punto P con una regla.
Colocaríam os el p u n to cero de la regla en A y entonces m arcaríam os el punto corres­
pondiente al núm ero x en la escala.)
D e fin ic ió n
U n p u n to B se llam a punto medio de un segm ento A C , sí B está entre A y C y
A B = BC.
T e o re m a 2 - 2
T o d o segm ento tiene exactam ente u n p u n to m edio.
Demostración.
diciones:
N os interesa obtener un p u n to que satisfaga las siguientes con­
A B + B C = A C , A B = BC.
L as dos ecuaciones n os dicen que
AB =
AC
P o r el teorem a anterior, hay exactam ente un p u n to B del rayo A C que está a la
distancia A C /2 de A . P or consiguiente, A C tiene exactam ente un p u n to medio.
D e fin ic ió n
Decim os que el p unto m edio de u n segm ento biseca al segmento.
Conjunto de problemas 2-6C
1.
i_______
r v
En ST, S, T y V son puntos distintos. ¿Será posible que S T = S V ? ¿Por qué?
16
Conjunto«, núm eros reales y recta«
2. P es un punto de una recta y n es un número positivo. ¿Cuántos puntos de la recta están
a una distancia n de P1 ¿Qué definiciones o teoremas sirven de fundamento a la res. puesta?
- 3. A. B y C son tres puntos de una recta. La coordenada de A es 0 y la coordenada de C
es 6. Si B es el punto medio de AC, ¿cuál es la coordenada de fl?
- 4 . A, B y C son tres puntos de una recta. Las coordenadas de A y B son —2 y 8, respectiva­
mente. Si C biseca a AB, ¿cuál es la coordenada de C?
5. La coordenada de B, el punto medio de AC, es 5. Si la coordenada de A es mayor que
la coordenada de C, y si BC — 9, ¿cuáles son las coordenadas de A y C?
- 6 . ¿Puede definirse el punto medio de una recta?
7. (a) Si las coordenadas de P y Q son 4 y 10, respectivamente, y M biseca a PQ, ¿cuál es
la coordenada de M I
(b) ¿Qué palabra (o palabras) completa el siguiente enunciado?
Si M es el punto medio de PQ, entonces la coordenada de M es la __________ de
las coordenadas de i5 y Q.
8. ¿Por qué no constituye el siguiente enunciado una definición del punto medio de un
segmento ?
Un punto B se llama el punto medio de un segmento AC, si AB = BC.
9. (a) Si A, B y C son tres puntos distintos y A B + BC — AC, ¿cuál es la relación entre los
tres puntos?
(b) Si A, B y C son tres puntos distintos, ¿podrá ser cierto que A B + B C > AC? Si no
puede ser cierto, explicar por qué. Si es cierto, ¿cuál es la relación entre A, B y C?
2 -7 .
CAMBIOS EN LA UNID A i) D E DISTANCIA
En la sección 2-4, explicam os que al tra ta r problem as de geom etría podem os elegir
una unidad cualquiera de distancia, siempre que en un problem a particular utilicemos
consistentem ente la unidad elegida. P or o tra parte, estam os en libertad de em pezar
de nuevo, utilizando una nueva unidad en cualquier m om ento.
Por ejemplo, supongam os que la distancia dada p o r el postulado de la distancia
viene medida en yardas, de m anera que para dos puntos cualesquiera, P y Q, el
núm ero PQ es el núm ero de yardas entre P y Q. Si decidimos que es m ejor utilizar
Cam bios e n la unidad d e distancia
47
pies, debem os m ultiplicar to d as las distancias p o r 3. Es decir, si (P Q )' [se pronuncia
“PQ p rim a” ] es la nueva distancia entre P y Q, entonces
(P Q )' = 3 PQ .
La nueva distancia es ta n correcta com o la o tra. El postulado de la regla aú n es
válido p a ra la nueva distancia, com o lo e ra p a ra la otra.
-9
-6
-3
0
x'
3
6
y'
9
E n cada recta L , hay un sistem a de coordenadas e n el cual
PQ = \y -x \.
Para obtener un sistem a de coordenadas que sea ap ropiado para la nueva distancia,
lo único que hacem os es m ultiplicar p o r 3 cada u n a de las coordenadas originales.
Así, en la figura, x ' = 3x y / = 3y . P o r tanto,
|y ' - x'\ = |3.y - 3x|
= 3 b > -x |
= 3P Q
=
(PQ)',
tal com o debe ser.
De hecho, em pezando con dos puntos A y B cualesquiera, podem os elegir una
nueva distancia de m anera que (A B )' = 1 . Lo que hacem os es dividir p o r A B todas
las distancias originales, es decir.
(PQ )' = — .
v
AB
Entonces,
( A B )' = — = 1,
AB
que es lo que deseábam os. P ara obtener u n sistem a de coordenadas en u n a recta,
48
C onjuntos, n ú m ero s reales y rectas
que sea apropiado p a ra la nueva distancia (PQ )', dividim os por A B to d as las coor­
denadas originales. E s decir,
P or tanto,
1/ " *'l =
_y____ x_
AB
AB
\y -* \
AB
= PQ
AB
= (PQ)',
com o debe ser.
Conjunto de problemas 2—7
A
B
C
D
E
F
----------------- ---------- ---------- -------------------- ---------
1.
En la figura, si A B = 3 y A B = BC = CD = D E = EF, entonces A F = 15. Si (A B )' es la
nueva1distancia entre A y B para la cual se empleó A B como unidad, ¿cuál será la
distancia (AF)'?
2. En el problema I, si (AC)' es la distancia entre A y C para la cual se emplea AC como
unidad, ¿cuál será la distancia (AE)'?; ¿la distancia (AF)'?; ¿y la distancia (AB)'?
3. Considerar los siguientes dos enunciados y, para cada uno, decidir si la validez del
enunciado depende de una elección especial de la unidad de distancia:
(a) Si A , B, C, D, E y F son puntos distintos de una recta tales que AB = BC = CD =
D E = EF, entonces A C = BD = CE = DF.
(b) Si A, B, C, D, E y F son puntos distintos de una recta tales que AB = BC = CD =
D E = EF, entonces A F es exactamente divisible por 5. (Es decir, AF/5 es un entero.)
¿Cuál de los enunciados podría considerarse más “utilizable” ?
4.
0
0,1
0,2
0,3
0 ,4
0,5
0,6
0,7
0 ,8
0 ,9
1
1,1
1,2
M ■___ i___ i___ i___ i_____________________________________ i__i_______ i ____
El sistema de coordenadas indicado en la figura funciona cuando la distancia se mide en
metros.Copiar la figura en una hoja de papel y, colocando numerales debajo de la recta,
indicar un sistema de coordenadas que funcione cuando la distancia se mide en decí­
metros. Hacer lo mismo si la distancia se mide en centímetros y en medios centímetros.
Cam bios en la a n id a d de distancia
5.
49
A ----------------- B M ----------------------- — N
0
1AB
3 AB
2A B
4 AB
5AB
6 AB
-
'* - + ------- — I-------------------------------------------------1---- 1----------- 1----------- 1----------- 1----------- 1—►
0
1MN
2MN
3MN
4MN
En la figura, la recta está marcada con dos escalas. En la escala superior, se utiliza la
longitud de A B como unidad; en la escala inferior, se utiliza la longitud de M Ñ como
unidad. Obsérvese que 6A B = 4M N.
(a) ¿Cuál es la razón de A B a M N ?
(b) ¿Cuál es la razón de M N a AB?
(c) ¿Cuántas veces A B es igual a 3M N?
(d) ¿Cuántas veces M N es igual a 4AB?
(e) Completar la siguiente tabla:
\A B =
MN
1M N —
A fí
2A B =
MN.
2M N
AR
3AB =
MN.
3M N —
AB
4AB =
MN.
4M N =
AR
5A B =
...
MN.
xM N =
AB.
6A B =
MN.
xA B =
MN.
6. Al excavar en las ruinas de una antigua civilización, un grupo de arqueólogos encontró
trozos de dos reglas viejas marcadas con símbolos numéricos, pero en cada una se utili­
zaba una unidad de medida diferente. Los arqueólogos llamaron una de las escalas la
“escala Zeta”, porque en la regla aparecía tallado un símbolo parecido a una “Z” .
Después de experimentar con las dos reglas, determinaron que la longitud de la diagonal
de un cuadrado de lado 1 zeta era la unidad de medida de la otra escala. Así, pues,
llamaron esta escala la “escala Diag”. Entonces, utilizando la relación de Pitágoras para
un triángulo rectángulo, supieron que 1 d ia g = V i zetas. A continuación, se presenta
un diagrama de las dos escalas:
■j— ------1------ —*-------- 1---------- 1---------1_____ ■
0 Z etas 1
2
3
4
5
ó
7
■+---------------- 1---------------- 1---------------- i---------------- L__________ '
o D iag s
1
2
3
4
5
(a) ¿Cuál es la medida en zetas de un segmento cuya medida en diags es 1 ?; ¿2?; ¿5 ?■
¿n?
(b) Hacer una tabla para pasar de diags a zetas, que llegue hasta 10 diags.
(c) ¿Cuál es la medida en diags de un segmento cuya medida en zetas es 1 ?; ¿4?; ¿5?;
¿8 ?; ¿ni
50
C onjuntos, n ú m ero s reales y rectas
(d) Completar la siguiente tabla para pasar de zetas a diags, hasta 10 zetas.
Número de zetas
Número de diags
Aproximación decimal
1
W2
V2
0,707
2
1,414
ÍV 2
3
4
Repaso de la unidad
1. Sea A el conjunto de todos los meses del año cuyos nombres empiezan con la letra J.
Sea B el conjunto de todos los meses del año que tienen exactamente 30 días.
Sea C el conjunto de todos los meses del año cuyos nombres empiezan con la letra F.
(a) ¿Cuál es la intersección de A y B?
(b) ¿Cuál es la reunión de A y C?
(c) ¿Cuál es la intersección de B y C?
(d) ¿Es C un subconjunto del conjunto A l ¿Del conjunto B? ¿Y del conjunto C?
2. (a) ¿Cuál es la intersección de FD y BE?
(b) ¿Cuál es la intersección de A E y el triángulo FGE?
(c) ¿Cuál es la reunión de ED y DC?
(d) ¿Cuál es la reunión de BG y BE? ■
f <——
3. (a) ¿Cuántos cuadrados tiene un número positivo dado ?
(b) ¿Cuál es el cuadrado de 4?
(c) ¿Cuántas raíces cuadradas tiene un número positivo dado?
(d) ¿Es V4 negativo?
4. Expresar los siguientes números sin el símbolo de valor absoluto:
(a) | —6|
(b) |5 — 7|
( c ) |5 |- |7 |
(d) | —5|
(e) |n|
(f) | —«I
(g) !« + (-« )!
( h ) H + l-» l
(b)Si a = b, entonces a — b es
(c) Si a > b, entonces a — b e s
^
/ ______ ——^ c
b
(e) ¿Cuál es la intersección de AB
y EG?
5. (a)Si a < b,‘entoncesa — b es
^
A
Repaso de la unidad
51
6. (a) ¿Qué ecuación define las posiciones rela­
tivas de los puntos P, M y Q1
(b) ¿En qué condiciones sería M el punto
medio de R S1
7. Cuatro puntos A , B, C y D se disponen a lo largo de una recta de manera que A C > AB y
BD <BC . Hacer un dibujo de los cuatro puntos colocados de ia manera indicada.
¿Habrá más de un orden posible ? Expliqúese.
8 . G es el conjunto de todos los pares de números enteros x y y cuya suma es 21. H es e
conjunto de todos los pares de números enteros x y y cuya diferencia es 5.
(a) ¿Pertenece a G el par 15 y 6?
(b) ¿Pertenece a H el par 9 y 4?
(c) ¿Cuál es la intersección de G y H1
P
O
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
----- 1------ 1------ 1------ 1------ 1------ 1------ 1-------1------ 1------ 1------ 1------►
9
-4
-3
-2
-
1
0
1
2
3
4
5
6
(a) ¿Cuál es'la coordenada de W1 ¿Y la de 5?
(b) ¿Cuál es el nombre del punto cuya coordenada es
¿y cuya coordenada es 5 ?
(c)
0?; ¿cuya coordenada es —3?;
Evaluar RT, VZ, TÍV,TQ, RW , PZ, X S, YQ.
10. Se da un sistema de coordenadas en una recta. La coordenada de A es 6 , la de B es —2,
la de C es 1, la de D es x , y la de E es y.
(a) ¿Qué punto tiene que estar entre otros dos puntos, y
(b) Evaluar AB, BC, A D, CE, B E y DE.
cuáles son
éstos?
(c) Si x — 6 > 0 y y —(—2) < 0, ¿en qué orden están dispuestos los cinco puntos en la
recta?
11. Se da un sistema de coordenadas en una recta. La coordenada de P es 7 y la coordenada
de Q es —12. ¿Cuál es la coordenada de M, si M P = M Q ?
12. Indicar si cada uno de los siguientes enunciados es cierto o falso:
(a) - 5 es un entero.
(b) f es un número real.
(c) 0 es un número racional.
(d) V 8 es un número racional.
(e) V 9 es un entero.
31
(f) — —es un número racional.
6
V2
(g) - 7 - es un número racional.
4
...
W
_
4
es un número racional.
(h) —x es un número negativo para todo número
real x.
(j) |x[ = x.
13. Si la distancia de A a B, medida en centímetros, es k , ¿cuál será la distancia A B medida
en metros?
52
C onjuntos, n ú m ero s re a le s y rectas
14. Si la distancia de P a M , medida en yardas, es t, ¿cuánto es PM, en pulgadas?
15. Los pares de letras en el siguiente párrafo representan o bien números, o rectas, o seg­
mentos de recta o rayos. Copiar el párrafo, colocando los símbolos apropiados.
A B + BC --=AC. DB contiene los puntos A y C, pero DB no contiene ni el punto A
ni el punto C. A pertenece a DB, pero C no.
Hacer un dibujo que muestre las posiciones relativas de los cuatro puntos.
«—>
<—>
16. Si A, B, C y D son puntos distintos tales que A C contiene a f i y BD contiene a C, ¿cuáles
de los siguientes enunciados tienen que ser ciertos ?
<—
>
(a) B está entre A y C.
(b) BC contiene a A.
(c) A C — BD.
(d) A C y BD se intersecan en B y C solamente.
(e) AD y BC no se intersecan.
(f) A C es opuesto a DB.
17. Se da un sistema de coordenadas en A B tal que A B es el conjunto de todos los puntos
cuyas coordenadas x satisfacen la condición - 5 < x < 7. La coordenada de A es
menor que la coordenada de B.
(a) ¿Cuál es la coordenada del extremo de A B ? ¿Del extremo de BA ? ¿Y del extremo
del rayo opuesto a BA?
t
(b) ¿Cuál es la coordenada del punto medio de AB?
18. (a) Dibujar dos segmentos A B y C D para los cuales la intersección de A B y CD es el
conjunto vacio, pero la intersección de AB y CD es exactamente un punto.
(b) Dibujar dos segmentos TQ y 1RS para los cuales la intersección de PQ y R S es el
conjunto vacío, pero PQ = RS.
19. La primera numeración de los puntos de la recta siguiente representa un sistema de
coordenadas. Basándose en el postulado de la regla y en el postulado de colocación de
la regla, determinar cuáles de las numeraciones dadas en (a) a (e) no representan sistemas
de coordenadas.
—4
-3
-2
(a)
-4
3
2
(b)
-6
(c)
0
(d) - 1 0
(e)
-5
1
1
-9
5 ■ 4
-4
2
-8
3
-1
1
-3
3
-7
2
0
1
2
3
-3
4
-4
5
-5
6
-6
0
-1
-2
-2
-1
0
1
2
3
4
6
7
8
9
0
4
-6
1
5
-5
0
-4
1
-3
2
-2
3
-1
4
0
5
R ep a so d e la u n id a d
53
20. Para cada uno de los siguientes enunciados, considerar el conjunto de puntos de una
recta cuyas coordenadas x satisfacen la condición dada:
(a) * < 3 .
(b) x = 1.
(c) 5 > x > 0.
(d) x ;> 1.
(e) x = —4.
(f) x < - 2 o x > 2 .
(g) |x| < 2 .
(h) |x| > 0 .
¿Cuáles de los conjuntos es un rayo?; ¿un punto?; ¿una recta?; ¿y un segmento? Hacer
un dibujo de cada una de las figuras.
3 Rectas, planos
y separación
5 -1 .
INTRODUCCIÓN
En el capítulo anterior, hablábam os sólo acerca de rectas y la m edida de distancias.
D e hecho, hablábam os acerca de las rectas individualm ente, sin estudiar ninguna
relación entre ellas. Em pezarem os a h o ra el estudio de las rectas y los planos en el
espacio. Recordem os que nuestros térm inos fundam entales no definidos son punto,
recta y plano-, las rectas y los planos son conjuntos de puntos.
D e fin ic ió n
El conjunto de to d o s los p u n to s se llam a espacio.
E n la siguiente sección, explicarem os algunos de los térm inos que habrem os de
utilizar en el estudio de las rectas y los planos y enunciarem os algunos principios
fundam entales referentes a ellos. L a m ayor p arte de estos principios se enunciarán
com o postulados; o tros com o teorem as. En un capítulo posterior, verem os que
todos los teorem as de este capítulo pueden dem ostrarse a base de los postulados.
Pero, aquí, no nos ocuparem os de las dem ostraciones, excepto en un caso muy fácil.
T odo lo que nos proponem os p o r el m om ento es puntualizar algunos principios
fundam entales y aprender a d ib u jar representaciones de figuras en el espacio.
Conjunto de problemas 3 -1
[Nota: Cuando se estudian relaciones entre puntos, rectas y planos en el espacio tridi­
mensional, a menudo, es conveniente utilizar hojas de cartulina para representar planos, y
un lápiz para representar una recta.]
1. Manténgase un brazo extendido hacia el frente. Considérense un punto A en la punta
del dedo índice, y un punto B en la esquina superior derecha del frente del salón. ¿Cuán­
tas rectas contienen a los puntos A y B1 ¿Qué postulado justifica la respuesta?
2. Tómese un libro o una lámina de cartón duro. ¿Sepodrá mantenerel libroen una posición
fija, si se coloca sobre las puntas de dos lápices? ¿Cuál es el número mínimo de lápices
necesario para sostenerlo en esa forma?
3. ¿Pueden estar tres puntos en una sola recta? ¿Tendrán tres puntos que estar en una sola
recta?
4. Sea la esquina de un escritorio, representación de un punto P, el conmutador de la luz
en la pared, representación de un punto Q y una esquina del salón, representación de
un punto R. ¿Habrá un plano que contenga los puntos P, Q y R7
5. ¿Cuál es el número mínimo de puntos necesario para determinar un plano? ¿Será cierto
que tres puntos siempre determinan un plano?
55
56
R ectas, p lanos y separación
6. En el esquema de una tienda de campaña,
¿qué segmentos de recta hay que imaginar
a fin de completar el dibujo? ¿Cuál es la
intersección de los planos que contienen
los dos lados de la tienda?
7. L a tienda representada por el esquema de
la derecha tiene piso cuadrado. ¿Qué seg­
mentos de recta completarán el dibujo de la
tienda?
8. Manténganse dos lápices juntos por sus puntas afiladas entre los dedos pulgar e índice.
Si los lápices representan dos rectas que se intersecan, ¿cuántos planos contienen estas
dos rectas?
9. ¿Cuál de los dos siguientes dibujos constituye una mejor representación de un libro?
¿Cómo habría que sostener un libro para que se viera como en el esquema (a)?; ¿y como
en el esquema (b) ?
(a) | ceoMETaift m|
(b)
10. Se hizo una marca en el medio de una tabla de 4 metros de largo, es decir, se hizo la
marca a 2 metros de cualquiera de los extremos de la tabla. Una persona aserró la tabla
exactamente por la marca; no obstante, ninguno de los dos trozos resultantes midió
2
metros de largo. Aún más, la suma de las longitudes de los dos trozos no resultó igu
que la longitud original de la tabla completa. ¿Cómo puede explicarse esto?
3 -2 .
RECTA S, PLANOS Y REPRESENTACIONES
El dibujo de la izquierda en la página 57 es una representación de u n a pirám ide
triangular. Los segm entos A B , AC , A D , B C , BD y CD se llam an las aristas. O bsér­
vese que la arista 1ÍD se representó m ediante una recta de trazos; esto se debe a que
la arista q uedaría oculta si la pirám ide fuera sólida. Si la figura se dibujara com o se
m uestra a la derecha, parecería un conjunto de puntos en un m ism o plano.
Los puntos A , E, B , C y F están to d os en un m ism o plano, a saber, el plano que
contiene la cara superior delantera de la pirám ide. Los puntos de un conjunto ta l se
dicen coplanarios. D esde luego, los puntos A , B, C y D no son coplanarios.^
Los puntos A . E y B están todos en una misma recta, a saber, la recta AB. Tales
puntos se dice que son colineales o que están alineados. Desde luego, los puntos A , B
R ectas, p ianos y representaciones
57
y C no están alineados. A nálogam ente, A , F y C están alineados, pero, A , F y G no
lo están.
A hora, presentarem os estas ideas m ás form alm ente.
D e fin ic ió n
Los puntos de un conjunto están alineados o son colineales, si hay una recta
que los contiene a todos.
D e fin ic ió n
t
®
Los puntos de un conjunto son coplanarios, si hay un plano que los contiene
a todos.
[Pregunta: E n la figura anterior de la izquierda, los puntos E, F y G no están en
una sola c ara de la pirám ide. ¿Podría deducirse que E. F y G no son coplanarios?]
Para em plear la geom etría a base del esquem a descrito en l;t l 'nielad 1, necesitamos
postulados que expresen el significado real de nuestros térm inos no definidos: punto,
recta y plano. Para las rectas, ya lo hemos hccho. El postulado de la regla constituye
una buena descripción de cóm o se ven las rectas cuando se las m ira uña por una.
Tam bién, en el enunciado del postulado 4 en la página 41, hem os dicho que dos
puntos cualesquiera determ inan u n a recta.
P O S T U L A D O 4.
El postulado de la recta
Dados dos puntos distintos cualesquiera, hay exactam ente una recta que los contiene.
A hora, querem os enunciar postulados que describan los planos y el espacio. El
prim er paso consiste en un postulado que garantiza la existencia en nuestra geom etría
de figuras del tipo representado al com ienzo de esta sección.
PO STULADO 5
( a ) Todo plano contiene a l menos tres puntos que no están alineados.
( b ) E l espacio contiene d i menos cuatro puntos que no están en un plano.
58
R ectas, planos y separación
Esto es sim plem ente o tra m anera de decir que los planos son am plios y que el
espacio n o es llano.
Finalm ente, observam os que el postulado de la recta da alguna inform ación acerca
de la intersección de rectas.
T e o re m a 3-1
Si dos rectas diferentes se intersecan, su intersección contiene un punto sola­
mente.
Demostración. Si dos rectas diferentes se intersecaran en dos puntos diferentes
P y Q, entonces h abría dos rectas que contienen a los puntos P y Q. Pero, el postu­
lado de la recta nos dice que esto no puede suceder.
De ah o ra en adelante, siempre que hablem os de dos rectas, o dos planos, entendere­
mos que las rectas o los planos son distintos. Es decir, cuando hablam os de dos
cosas, entenderem os siem pre que son, en realidad, dos cosas distintas. Pero, si deci­
m os simplemente que P y Q son puntos, se adm ite la posibilidad de que P = Q.
•
Conjunto de problemas 3—2
1. Mediante la inspección del siguiente dibujo de una figura tridimensional, decidir si los
puntos de los conjuntos indicados a . continuación (1) están alineados, (2) no están
alineados, pero son coplanarios, o (3) no son coplanarios:
(a) {A, B, C, D ).
(b) {A, D ,B ).
(c) [P, D, Q).
(d) {P, B, C).
(e) { A ,B ,C ,Q } .
2 .
O
¿Cuántas rectas pueden contener un punto dado?; ¿dos puntos dados?; ¿y tres puntos
dados cualesquiera?
3. Datos: P y Q son puntos distintos. La recta L¡ contiene a P y a Q. La recta L 2 contiene
a P y a Q.
¿Qué podemos asegurar acerca de L , y ¿ ¡ ? ¿Qué postulado o teorema justifica la con­
clusión ?
4. Datos: L , y L 2 son rectas distintas. El punto P está en L , y en L¡. El punto Q esta en
L , y en
¿Qué podemos asegurar acerca de P y {?? ¿Qué postulado o teorema justifica la conclu­
sión ?
R ectas, p lanos y representaciones (c o n tin u ac ió n )
59
5. Enunciar una definición precisa de un conjunto de puntos no alineados.
6. Indicar cuántas rectas pueden dibujarse pasando por pares de los puntos distintos
A, B, C y D , si:
(a) A , B y C están alineados;
(b) cada tres puntos no están alineados;
(c) los puntos no son coplanarios.
/
*
7. Dada una recta L, ¿cuántos planos en el espacio pueden contenerla?
8. Construir un modelo de la figura en ei problema 1, utilizando palillos y cola.
3 -3 .
RECTAS, PLANOS Y REPRESENTACIONES [CONTINUACIÓN]
El siguiente postulado describe la condición de "llaneza" de los planos:
PO STULADO 6
S i dos punios de una recta están en un plano, entonces la recta está en e l mismo
plano.
El siguiente teorem a describe la intersección de las rectas y los planos:
T e o re m a 3 - 2
Si una recta interseca a un plano que no la contiene, entonces la intersección
contiene un solo punto.
(M ás adelante, verem os que el teorem a 3 -2 no ofrece inform ación nueva, pues
se deduce del postulado 6 de la m ism a m anera que el teorem a 3-1 se deduce del pos­
tulado 4.)
En la figura, vemos una recta L que interseca a un plano E de la m anera que indica
el teorem a 3-2. Veremos varias figuras com o é sta ; tales figuras deben exam inarse
cuidadosam ente a fin de aprender a dibujarlas. D esde luego, para representar una
recta, dibujamos, prim ero un segm ento de la recta y, luego, dibujam os puntas de
60
R ecias, planos y separación
flechas en los extrem os del m ism o para indicar que la recta continúa indefinidamente.
P or lo regular, se indica un p lan o m ediante un rectángulo dibujado en el plano.
C uando m iram os u n rectángulo oblicuam ente, com o se supone que lo hagam os en
la figura anterior, el rectángulo parece un paralelogram o. A nálogam ente, una circun­
ferencia, vista en perspectiva, parece una elipse, com o se indica a continuación, en la
figura de la izquierda. Si nuestros ojos estuvieran en el plano del rectángulo, éste
se vería simplemente com o un segm ento, según indica la figura de la derecha, y el
dibujo sería correcto desde el p unto de vista de la lógica, pero no sería instructivo.
El postulado 4 nos dijo que dos puntos determ inan una recta. P a ra determ inar
un plano, se necesitan tres p u n to s n o alineados.
P O S T U L A D O 7.
El p o stu lad o del plano
Tres puntos cualesquiera están al menos en un plano, y tres puntos dualesquiera
no alineados están exactamente en un plano.
M ás brevem ente, tres puntos cualesquiera son coplanarios, y tres puntos cualesquiera
no alineados determinan un plano.
T e o re m a 3 - 3
D ad a u n a recta y un p u n to fuera
de ella, hay exactam ente un
p lan o que contiene a am bos.
T e o re m a 3 - 4
D adas d os rectas que se inter­
secan, hay exactam ente u n plano
que las contiene.
Finalm ente, enunciam os el siguiente p ostulado:
PO STULADO 8
S i dos planos diferentes se intersecan, su intersección es una recta.
R ecias, planos y representaciones (c o n tin u ac ió n )
61
Quizás, parezca que habrem os de co n tin u ar enunciando postulados indefinida­
m ente, p ara describir nuestras ideas intuitivas acerca del espacio. Sin em bargo,
resultará que no es necesario hacer esto. En este libro, estudiarem os la geom etría del
espacio basándonos en sólo veinticuatro enunciados fundam entales. T odo lo demás
puede deducirse de estos enunciados y, en este texto, aprenderem os cóm o hacerlo.
N o debem os considerar veinticuatro enunciados com o un núm ero grande de
datos fundam entales. E n realidad, es ta n pequeño que hace la geom etría com pleta­
m ente distinta de una ciencia com o, p o r ejem plo, la biología. En la biología, veinti­
cuatro d ato s no nos llevarían a ninguna p a rte ; p ara obtener los miles de otros datos
que se necesitan saber, tenem os que tra b a ja r en el laboratorio, exam inando plantas y
anim ales reales. En vez de un labo rato rio , la geom etría em plea el razonam iento
lógico, com enzando con un núm ero m uy pequeño de datos fundam entales.
C onjunto de problem as 3 -3
1. ¿Cuántos planos pueden contener un punto dado?; ¿dos puntos dados?; ¿y tres puntos
dados?
2. En un piso liso, a veces cojeará una mesa de cuatro patas, mientras que una de tres patas
siempre estará firme. Expliqúese.
3. ¿Qué postulado ilustra la figura de la derech;
4. Completar el enunciado: Dos rectas diferent
dos planos diferentes pueden intersecarse en__
y
5. D ato: El plano E contiene los puntos R y T. ¿Qué puede concluirse acerca de RT?
¿Qué postulado o teorema justifica la respuesta? Dibújese una figura para ilustrar este
ejercicio.
6. Dibújese un plano E, utilizando un paralelogramo para indicar el mismo. Dibújese un
segmento de recta que esté en el plano E. Dibújese un segmento de recta que interseque
al plano E en un solo punto, pero que no interseque al otro segmento.
7. Si Á B y el plano F tienen los puntos comunes K y M , ¿qué puede concluirse acerca de
A B y F? ¿Por qué?
8. Una recta puede denotarse mediante dos de sus puntos. ¿Cuántos puntos de un plano
tienen que emplearse para denotar el plano ?
9. Se da que los puntos A, B y C están en el plano E y que los puntos A, B y C están en el
plano F. ¿Se podrá concluir que E y F son un mismo plano? Expliqúese.
*
62
R ectas, planos y separación
10. Datos: L , y L¿ son dos rectas distintas. L¡ está en el plano E. L 2 está en el plano F.
L , y L 2 se intersecan en el punto P. El punto Q, distinto de P, está en L , y en F. El
punto R, distinto de P, está en L 2 y en E.
¿Qué puede concluirse acerca del plano E y del plano F1 ¿Qué postulados o teoremas
justifican la respuesta?
11. Examínese la figura de la derecha, de un
sólido rectangular, hasta darse cuenta de
cómo se dibujó para que se viera como una
figura tridimensional. Entonces, ciérrese
el libro y dibújese de memoria una figura
como ésta. Practíquese hasta obtener resul­
tados satisfactorios.
12. Después de completar el problema 11, dibújese una figura de un cubo.
+ 13. La figura que es la reunión de todos los seg­
mentos cuyos extremos son cuatro puntos
no coplanarios, se llama pirámide triangular,
o tetraedro. Los cuatro puntos son los
vértices del tetraedro.
_
(a) Redactar una definición de una arista
de un tetraedro.
(b) ¿Cuántas aristas tiene el tetraedro? ¿Cuáles son?
(c) ¿Habrá algunos pares de aristas que no se intersequen ?
(d) Una cara es una región triangular determinada por tres vértices cualesquiera.
Nómbrense las cuatro caras. ¿Habrá algunos pares de caras que no se intersequen?
+ 14. La figura de la derecha representa una
pirámide cuadrada cuya base, un cuadrado,
se supone que esté más cercana al lector.
N ombrar los planos que determinan sus
vértices. (Deberán indicarse siete planos.)
* * 15. Considérense las siguientes definiciones:
El espacio M es un conjunto cuyos únicos elementos son cuatro puntos no copla­
narios A, B, C y D. Una recta es un par de puntos cualesquiera que pertenecen
al espacio M. Un plano es una terna de puntos cualesquiera pertenecientes al
espacio M.
Mediante un examen cuidadoso de todos los pares y las ternas de puntos, muéstrese que
el espacio M satisface a los postulados 4, 5, 6. 7 y 8, y a los teoremas 3-1, 3-2, 3-3 y 3-4.
Un sistema tal se llama una geometría de cuatro puntos.
¿Qué postulado se incluyó en el texto, que nos asegura que el espacio corriente contiene
una infinidad de puntos ?
C onjuntos convexos
3 -4 .
63
CONJUNTOS CONVEXOS
Un conjunto de puntos se llam a convexo, si nunca hay que salir del conjunto para
tom ar u n atajo. P or ejemplo, los conjuntos indicados a continuación son convexos:
C ada uno de estos conjuntos es u n a región com pleta del plano, no sim plem ente la
frontera. En cada u n o de ellos, siem pre se puede pasar de un punto P cualquiera a
o tro pun to Q cualquiera, m oviéndose a lo largo de una recta, sin salir del conjunto.
Exam ínense los ejem plos presentados anteriorm ente.
P o r o tra parte, ninguno de los siguientes conjuntos es convexo:
Hemos indicado p o r qué no lo son, d an d o ejemplos de pares de puntos P y Q, que
no pueden unirse m ediante segm entos que estén totalm ente en ei conjunto.
Enunciam os to d o esto en u n a form a m atem ática m ejor, m ediante la siguiente
definición:
D e fin ic ió n
U n conjunto A se Jla m a convexo, si p ara cada dos puntos P y Q del conjunto,
to d o el segm ento P Q está en A .
L os conjuntos acerca de los cuales hemos
estado h ablando h a sta a h o ra son “ pequeños” ,
pero u n conjunto convexo puede ser m uy
extenso. P o r ejemplo, to d o p lan o es un con­
ju n to convexo; y una recta de n n p lan o divide
al plano en dos .conjuntos, cada u n o de los
cuales es convexo y se extiende indefinida­
m ente. Estos d os conjuntos, / / , y H 2, se llam an semiplanos o lados de la recta L ,
y L se llam a la arista o el borde de cada uno de ellos.
64
R ectas, planos y separación
Los sem iplanos son convexos, p orque si dos puntos están al m ism o lado de la
recta, el segm ento que los une nunca cruza la recta.
P or o tra parte, si T y U son p u n to s en lados opuestos de la recta, el segm ento T U
siempre interseca a la recta.
A hora, resum im os las observaciones anteriores en un postulado y algunas defini­
ciones.
P O S T U L A D O 9.
El postulado de separación del plano
S e da una recta y un plano que la contiene. Los puntos del plano que no están en
la recta fo rm a n dos conjuntos tales que
( 1 ) cada uno de los conjuntos es convexo, y
( 2 ) si P está en uno de los conjuntos y Q en e l otro, entonces e l segmento P Q
interseca a la recta.
D e fin ic io n e s
D a d a u n a recta L y un p lan o E q ue la contiene, los dos conjuntos determ inados
p o r el postulado de separación del plano se llam an semiplanos o lados de L , y L
se llam a la arista o el borde de cada uno de ellos. Si P está en uno de los semi­
planos y Q está en el o tro , entonces decim os que P y Q están a lados opuestos de L.
El p ostulado nos dice dos cosas acerca del m odo que u n a recta separa al plano en
d os sem iplanos:
(1) Si d os p u n to s están en el m ism o sem iplano, entonces el segm ento que los une
está en el m ism o sem iplano y, p o r tan to , nunja interseca a la recta.
(2) Si dos puntos están en sem iplanos opuestos, entonces el segm ento que une los
d os p u n to s siempre interseca a la recta.
M ientras que una recta tiene solam ente dos lados en un plano dado, to d a recta
tiene una infinidad de lados en el espacio. En la siguiente figura, áe presentan cinco
C onjunto» convexos
65
de la infinidad de sem iplanos en el
espacio que tienen la recta L com o
arista.
[Pregunta: ¿H ab rá alguna diferen­
cia entre los siguientes dos enuncia­
dos?
(•) P y Q están en lados distintos
de L.
(2)
P y Q están en lados opuestos
de L.]
Un plano separa al espacio exactam ente del m ism o m odo que una recta separa a
un plano.
p
Los dos conjuntos en que un plano separa al espacio se llam an semiespacios, o
lados del plano. En la figura anterior, estos lados son //, (encima del plano) y H 2
(debajo del plano). C ada uno de los dos semiespacios es convexo. Si R está en uno
de ellos y S está en el o tro , el segm ento R S siempre interseca al plano.
N uevam ente, resum im os lo que hemos dicho, m ediante un postulado y algunas
definiciones.
P O S T U L A D O 1 0.
El postulado de separación del espacio
L o s puntos d e l espacio que no están en un plano dado form an dos conjuntos tales
que
( 1 ) cada uno de los conjuntos es convexo, j
( 2 ) si P está en uno de los conjuntos y O está en e l otro, entonces e l segmento P Q
interseca a l plano.
D e fin ic io n e s
L os dos conjuntos determ inados p o r el postulado de separación del espacio se
llam an semiespacios, y el p lan o d ad o se llam a la cara de cad a u n o de ellos.
Obsérvese que m ientras to d a recta en el espacio es la arista de una infinidad de
sem iplanos, to d o p lan o en el espacio es c ara de solam ente dos semiespacios.
66
R ectas, planos y separación
C o n ju n to de problem as 3 - 4
[Nota: Al resolver los problemas de este conjunto, utilícese el conocimiento intuitivo en los
casos en que no se aplica nuestra estructura axiomática.]
1. El alumno deberá estar preparado para analizar las siguientes preguntas oralmente:
(a) ¿Es una recta un conjunto convexo? Expliqúese.
(b) ¿Es convexo un conjunto que consiste solamente en dos puntos? ¿Por qué?
(c) Si le quitamos un punto a una recta, ¿formarán los puntos restantes un conjunto
convexo?
(d) ¿Es una circunferencia un conjunto convexo?
(e) ¿Es el interior de una circunferencia un conjunto convexo?
( f ) ¿Es una superficie esférica un conjunto convexo?
(g) ¿Es convexo el espacio encerrado por una superficie esférica?
(h) ¿Separa un punto a un plano?; ¿al espacio?; ¿y a una recta?
(i) ¿Separa un rayo a un plano? Y una recta, ¿lo separa? ¿Y un segmento?
(j) ¿Pueden dos rectas en un plano separarlo en dos regiones?; ¿en tres regiones?; ¿en
cuatro regiones?; ¿y en cinco regiones?
2. Todo punto de A B está contenido en el con­
junto K. ¿Quiere decir eso que K es un con
junto convexo? Expliqúese.
3.
¿E s
todo plano un conjunto convexo? Expliqúese.
¿ Q u é
postulado es indispensable én
la explicación?
4. ¿Cuáles de las regiones marcadas con le­
tras mayúsculas son conjuntos convexos ?
5. Si le quitamos un punto a un plano, ¿será convexo el conjunto resultante?
6. Los interiores, C y D, de las dos circunferencias son
cada uno un conjunto convexo.
(a) ¿Será su intersección un conjunto convexo?
(b) ¿Será su reunión un conjunto convexo ?
7. Si L es una recta en el plano E, ¿será convexo el conjunto de todos los puntos de E que
están a un lado de L1
C onjuntos convexos
67
8. Dibujar un cuadrilátero (una figura con cuatro lados) plano cuyo interior sea convexo.
Dibujar uno cuyo interior no sea convexo.
9. ¿Será convexo el conjunto que consiste en todos los puntos de lina superficie esférica y
todos los puntos en el interior de la superficie esférica?
10. ¿Es un toro (una figura que tiene la forma de una rosquilla) un conjunto convexo ?
11. Dibujar dos semiplanos que tengan una arista común y que sean coplanarios. Dibujar
dos que tengan una arista común, pero que no sean coplanarios.
12. Dibujar dos semiplanos que sean coplanarios, pero que no tengan una arista común.
13. H , y H z son dos semiplanosque están contenidos en un plano. Indicar si la reunión de
H i y t i 2 es todo el plano cuando
(a) H , y H , tienen la misma arista. Expliqúese.
(b) la arista de H , interseca a la arista de H , exactamente en un punto. Expliqúese.
14. (a) ¿En cuántos conjuntos separa a una recta, un punto de ella ? ¿Qué nombre podría
dársele a cada uno de estos conjuntos?
(b) Utilizando la terminología desarrollada en la parte (a), redáctese un enunciado de
separación de la recta parecido a los postulados 9 y 10.
15. ¿En qué difiere un rayo de una semirrecta?
16. ¿Podrán tres rectas en un plano separarlo en tres regiones?; ¿en cuatro regiones?; ¿en
cinco regiones?; ¿en seis regiones?; ¿y en siete regiones?
17. ¿En cuántos conjuntos separan al espacio dos planos que se intersecan ? ¿Y dos planos
paralelos ?
18. ¿Cuál es el número mayor de conjuntos en que tres planos distintos pueden separar al
espacio? ¿Y el número menor?
19. ¿Es el siguiente enunciado cierto o falso ? La reunión de dos conjuntos convexos cuales­
quiera, que tienen al menos dos puntos comunes, es un conjunto convexo. Justifiqúese
la respuesta.
20. Redactar una explicación rigurosa de por qué es cierto el siguiente enunciado: La
intersección de dos conjuntos convexos cualesquiera, que tienen al menos dos puntos
comunes, es un conjunto convexo. [Sugerencia: Sean P y Q dos puntos comunes
cualesquiera. ¿Qué conjuntos deben contener a PQ ?]
21. Dibujar cualquier cuerpo geométrico limitado por superficies planas, tal que el conjunto
de puntos del interior de la figura no sea convexo.
a - i ;JLOS SIETE PU EN TES D E KÖNIGSBERG
Q uizás. el alum no piense que no hay nada com plicado en relación con la idea de
crH zar calles, puentes, e tc .; pero, en efecto, hay un problem a fam oso en m atem áticas
q ue tra ta acerca de la idea de cruzar y apenas contiene alguna o tra idea.
La ciudad de K önigsberg está en la costa del m ar Báltico, en la desem bocadura del
rio Pregel. En el río, hay d os islas com unicadas entre sí y con las m árgenes del río
m ediante siete puentes, com o se ilustra a continuación:
Las personas que paseaban alrededor de las islas descubrieron que si p artían de la
m argen sur del río, no podían proyectar su paseo de m anera que se cruzara cada uno
de los puentes exactam ente una vez. Parecía que tenía que dejar de cruzarse un
puente, p o r lo m enos:
o cruzarse alguno de los puentes dos veces:
L a gente estaba convencida de que no podía cruzarse cada puente exactam ente una
vez, pero nadie estaba seguro de ello. Finalm ente, en el año 1735, alguien propuso
el problem a al gran m atem ático suizo, L eonhard Euler. Euler descubrió que los
paseantes harían bien en ab an d o n ar su em presa y presentó el siguiente análisis del
p ro b lem a:
Log siete puentes de K önigsberg
69
Prim ero, considérese la isla del este:
/
1
H ay tres puentes que conducen a ella. Puesto que se p artió de la orilla sur, com o
requiere el problem a, debió haberse p artid o de un p u n to fu e ra de la isla del este.
C om o se hace cada u n o de los tres cruces exactam ente u n a vez, se term ina en la isla
del este. (A nálogam ente, si las luces están apagadas y se le da al conm utador tres
veces, las luces estarán encendidas.)
A hora, considerem os la isla del oeste:
H ay cinco puentes que conducen a ella, y cinco es u n núm ero im par. P o r tan to ,
com o se p a rtió de u n lugar fu era de iä isla del oeste, deberá term inarse en la isla del
oeste. (E sto es análogo a darle al conm utador de la luz cinco veces: si la luz estaba
apagada al com ienzo, estará encendida al final.)
Pero esto significa que el “ Paseo de K önigsberg” es imposible, porque no se puede
term inar en dos lugares al m ism o tiem po.
La solución de Euler a este problem a fue u n suceso m uy im portante e n la historia
de la rnatem ática, p orque constituyó la prim era vez que alguien resolvía este tipo
de problem a. Obsérvese que si se d ibujara el m apa de las islas en una hoja de caucho,
po d ría estirarse el caucho de cualquier m an era que se quisiera, sin que se altere el
problem a.
P artiendo del análisis de Euler del “ Paseo de K önigsberg” , se desarrolló una ram a
com pleta de la m atem ática, llam ada topología combinatórica, que se ocupa de p ro ­
blem as de esta clase.
Incidentalm ente, si se quiere encontrar la ciudad de K önigsberg en el m apa, h ab rá
que buscarla e n ,u n m a p a antiguo. L a ciudad está e n la U nión Soviética y se ha
cam biado el nom bre p o r el de K aliningrado. N adie se h a ocupado de cam biarle el
nom bre al problem a.
R ectas, planos y separación
L e o n h a r d E u l e r (1 7 0 7 -1 7 8 3 )
La solucion de Euler al problema de los siete puentes de Königsberg era típica de su saber
e ingenio. Antes de su época, a nadie se le había ocurrido que este tipo de problema pertenecía
a la matematica. Desde entonces, la matemática ha crecido rápidamente y en muchas direc­
ciones insospechadas. El análisis de Euler al problema de los puentes de Königsberg fue
d p ? n n T Pa$? f
nUCVa r3ma de 13 matemática 0ue ahora se conoce con el nombre
de topología, la cual ha llegado a su mayor desarrollo en el siglo veinte y aún sigue creciendo
tu te r no solo era muy inteligente, sino también muy perseverante; produjo trabajos
ongmales en la matematica en tal cantidad que muy difícilmente se ha igualado. La colección
f v f h
S
"i3* d£ SCSenta vo,úmenes Brandes. A la edad de veintiocho años, perdió
la vista de un ojo y, a los cincuenta, quedó casi totalmente ciego. Pero su memoria eraasomS S S *
mT ° rÍa t0da la Endda de Virgili0 y siempre había P°did0 efectuar cálculos
deTu v 3 f ° S menta
nte' Asi- pudo seguir trabajando de la misma manera durante el resto
R ep a so d e la u n id a d
71
R epaso de la unidad
1. (a) Los puntos de un conjunto están alineados, s i ________________________________
(b) Los puntos de un conjunto son coplanarios, s i ________ ;________:______________
(c) ¿Pueden estar alineados 4 puntos?
(d) ¿Tendrán que estar alineados 2 puntos?
(e) ¿Tendrán que estar alineados 4 puntos?
( f ) ¿Pueden estar alineados n puntos?
(g) ¿Tendrán que ser coplanarios 4 puntos?
(h) ¿Pueden ser coplanarios n puntos?
2. Indicar si es cierto cada uno de los siguientes enunciados. Expliqúese:
(a) Si 3 puntos están alineados, entonces son coplanarios.
(b) Si 3 puntos son coplanarios, entonces están alineados.
3. Comentar el siguiente enunciado: “El tablero de la mesa es un plano”.
4. Estúdiese la figura tridimensional (en la cual A, B, C y D son coplanarios), y contéstense
las siguientes preguntas:
E
(a) ¿Están E, D y F alineados'
(b) ¿Son E , C, B y Fcoplanari
(c) ¿Se intersecan A C y ~BD1
C
(d) ¿Se intersecan A C y ~DF1
(e) ¿Son E, B y P coplanarios'
( f ) ¿Son F, B, G y D coplanar
F
5. Hacer una lista de todas las condiciones que hemos estudiado, que determinan un plano.
Por ejemplo, “ Una recta y un punto fuera de la recta determinan un plano” (Teorema
3-3).
6. ¿Cuántos planos contendrán tres puntos dados, si no todos están en la misma recta?
7. La recta L¡ interseca al plano E en P, pero, no está en E. La recta L 2 está en el plano E,
pero no contiene al punto P. ¿Será posible que L , interseque a i ¡ ? Expliqúese.
8. Dos planos E y F se intersecan en AB. Cada uno de los puntos P y Q está en los planos
E y F. ¿Tendrán que estar en A B los puntos P y g ? Expliqúese.
pianos y separación
Scar si los siguientes enunciados son ciertos o falsos:
<a> El espacio tridimensional contiene, por lo menos, cuatro puntos.
<b) Todo semiplano contiene su arista.
(c) I In rayo separa a un plano.
(d) Todo plano separa al espacio en dos conjuntos convexos.
(e) Si la recta L separa al plano E en los semiplanos
y H z> y si P es un punto de
H¡ y Q es un punto de H 2, entonces PQ interseca a L.
(f) Dos semiplanos cualesquiera son coplanarios.
10. ¿Cuáles de las regiones marcadas con letras
mayúsculas son conjuntos convexos ?
11.
¿Qué propiedad común tienen los semiplanos y los semiespacios ?
12. Redactar una definición de un conjunto convexo.
13. ¿Es la reunión de dos semiplanos siempre un plano? ¿Podrá alguna vez ser un plano?
Expliqúese.
14. Completar los siguientes enunciados acerca de la figura de la derecha:
En la figura, ____
E separa al
espacio en ______ H¡ y
Sabemos que A y _____ _ están al
mismo lado d e l_______, puesto que
___ ;__ no interseca al plano E. Tam­
bién, B y D están __________
----------------de E, puesto q u e ______
_______________________ Podemos
demostrar que A C _______________
------- , mostrando que A y ______ e stán _____________________ del plano E.
15. Dibújese una recta L que separe al plano en dossemiplanos. Denótense los planos por
H¡ y H 2. Elíjanse dos puntos, D y K, de H¡ y un punto F d e H¡.
(a) ¿Cuál es la intersección de DK y L ? ¿Por qué?
(b) ¿Cuál es la intersección de K F y i ?
¿Por qué?
16. Cada uno de los planos E, F y G de la
figura interseca a los otros dos, como se
indica. ¿En cuántas regiones convexas
separan al espacio ?
R epaso d e la unidad
73
17. En este problema, el alumno “gana” , si puede cruzar cada uno de los segmentos de la
figura exactamente una vez, sin levantar el lápiz del papel. Copíense las figuras en una
hoja de papel y trátese de descubrir en cuáles dos de las cinco figuras es posible “ganar”.
¿Habrá una manera de construir figuras con las cuales siempre se “pierda” ?
18. D e las tres figuras presentadas a continuación, dos pueden dibujarse sin tener que levantar
el lápiz del papel o volver a pasar por encima de algún segmento de recta, mientras que
resulta imposible hacerlo con la tercera. ¿Cuáles dos pueden dibujarse de esta manera?
Trátese de reproducir cada figura en una hoja de papel, sin levantar el lápiz o pasar de
nuevo por encima de algún segmento. ¿Habrá una manera más fácil de llegar a una
conclusión ?
I
A
4 Angulos V triángulos
4 -1 .
D EFIN ICIO N ES FUNDAM ENTALES
U n ángulo es u n a figura com o u n a de éstas:
D e fin ic io n e s
Si dos rayos tienen el m ism o origen o
extrem o, p ero n o están en la m ism a recta,
entonces su reunión es u n ángulo. L os
dos rayos se llam an los lados del ángulo
y el extrem o com ún se llam a el vértice.
Si los rayos so n A B y A C , entonces el ángulo se indica con L B A C o con L CAB.
É s indiferente q u é lado se nom bre prim ero. M ás aún, p o im porta q u é p u n to se
n om bra en cada u n o de los d os lados. El ángulo e n la figura siguiente, a la izquierda,
puede designarse p o r L B A C , L D A E , L B A E , y así sucesivamente. P a ra abreviar,
podem os escribir sencillam ente L A , si conocem os los lados a q u e nos referimos.
E n figuras com o la anterior, a la derecha, podem os escribir núm eros y letras dentro
de los ángulos; así, p o r ejem plo, podem os.escribir L 1 p o r l B A C , L a p o r L C A D ,
y así sucesivamente.
L os lados de u n ángulo son rayos y no segm entos. P o r tan to , la figura siguiente,
a la izquierda, no es u n ángulo:
D esde luego, la figura determina un ángulo, com o se indica a la derecha. (D e la m ism a
m anera, un segm ento determina u n a recta sin ser u n a recta.)
75
76
Á ngulos y triángulos
U n triángulo es una figura com o una de las siguientes:
8
6
B
D e fin ic io n e s
Si A , B, C son tres p u n to s cualesquiera no alineados, entonces la reunión de !os
segm entos A B . A C y BC. se llam a un triángulo, y se indica con A A B C . Los
puntos A , B y C se llam an vértices, y los segmentos AB, A C y B C se llaman
lados. T o d o triángulo A A B C determ ina tres ángulos: L B A C , L A B C y L A C B ..
A éstos los llam am os los ángulos del A A B C . Si está claro a qué triángulo nos
referimos, frecuentem ente podem os designarlos p o r L A , L B y L C .
Se n o ta rá que cuando dibujam os u n triángulo, no necesariam ente hem os dibujado
sus ángulos. Lo m ism o que u n a escuela no contiene a sus graduados, así, un triángulo
no contiene sus propios ángulos. Si querem os dibujar los ángulos, debem os pro­
longar los lados y utilizar flechas, com o se indica en la figura siguiente, a la izquierda.
G eneralm ente, n o hay necesidad de hacer esto, porque sabem os claram ente cuáles
deben ser los ángulos.
El interior y el exterior de un ángulo son com o se indica en la figura anterior, a la
derecha.
D e f in ic io n e s
Sea L B A C u n ángulo en el plano E. U n punto P está en ei interior del L BAC,
si ( l) P y B están del m ism o lado de la recta A C , y (2) P y C están dei mismo lado
<—
^
de la recta A B . El exterior del L B A C es el conjunto de todos los puntos de £
que no están en el ángulo y que tam poco están en su interior.
D efiniciones fun d am en tales
77
D ebe exam inarse esta definición, com parán d o la con la figura, para asegurarnos de
que dice realm ente lo que tenem os en mente. Por ejem plo, P está en el interior,
porque satisface a am bas condiciones ( I) y (2). Q s no está en el interior, pues satisface
a (1), pero no a (2). Q 2 n o está en el interior, porque no satisface ni a (1) ni a (2).
satisface a (2), pero no a (1).
Se n o tará que hemos definido el
interior de un ángulo com o la inter­
sección de dos sem iplanos. U no de
ellos está del lado de A C que con<■
—
>
tiene a i? y el otro del lado de A B
que contiene a C.
El interior y el exterior de un triángulo son com o se indican en la figura siguiente:
B
D e fin ic io n e s
Un pun to está en el interior de un triángulo, si está en el interior de cada uno
de los ángulos del triángulo. U n pun to está en el exterior de un triángulo, si
está en el p lan o del triángulo, pero no está en el triángulo o en su interior.
Debe exam inarse esta definición, com parándola con la figura, com o anterior­
m ente, p ara asegurarnos de que dice realm ente lo que pretendem os. (Si exigimos
solam ente que un pun to esté en el interior de dos de los ángulos, en vez de los tres,
¿sería esto suficiente p ara describir el interior?) Las definiciones son más fáciles de
aprender si las exam inam os de esa m anera. De hecho, cuando no las recordam os,
es p o r haber tratad o de aprenderlas de m em oria, sin pararnos a considerar hasta
qué pun to expresan las ideas que se supone deben expresar.
78
A ngulos y triángulos
En ocasiones, utilizarem os el sim bolism o X - Y -Z para indicar que “ Y está
en tre X y 2 ” , com o en el problem a 21 de la página 79.
C onjunto de problem as 1-1
1. Completar la siguiente definición:
U n ángulo es la ______ de d o s _______ que tienen el mismo
están en la m ism a_______
. ' . pero que no
2. Completar la siguiente definición:
Un triángulo es l a ______ de los tr e s _______ que unen, dos a dos, tres puntos_______
3. En la figura, los puntos K, P y H están
alineados. Nombrar los cinco ángulos.
4. Se da el A ABC. ¿Son A C y A B los lados del L A ? Expliqúese.
5. ¿Cuántos
la figura
¿Cuántos
utilizando
ángulos están determinados por
de la derecha? Nombrarlos.
de ellos sería posible nombrar
solamente la letra del vértice?
6. ¿Pueden dos ángulos de un triángulo tener un lado común? Expliqúese.
7. ¿Cuántos ángulos hay en esta figura? (Hay
más de seis.)
8. ¿Es cierto el siguiente enunciado? El A ABC es la reunión del L C A B y el LC B A .
¿Por qué?
9. ¿Qué puntos de la figura están en
(a) el interior del LC B A 1
(b) el exterior del LE B C 1
(c) el interior del L A B D I
(d) el interior del L A B Q 1
Definiciones fun d am en tales
79
10. ¿Está el vértice de un ángulo en el interior del ángulo?; ¿en su exterior?
11. ¿En cuántas regiones separa un triángulo al plano del triángulo?
12. ¿En cuántas regiones separan los ángulos de un triángulo al plano del triángulo?
13. N om brar todos los triángulos de la figura siguiente, a la izquierda: (Hay más de cuatro.)
M
K
P
14. ¿Cuántos triángulos hay en la figura anterior, a la derecha ? (Una manera fácil de abordar
el problema es escribir PRH M D K y, luego, escribir todas las posibles combinaciones de
tres letras y cotejar cada combinación con la figura.)
15. ¿Será el interior de un ángulo un conjunto convexo? ¿Y el exterior?
16. ¿Será un triángulo un conjunto convexo?
17. ¿Será el interior de un triángulo un conjunto convexo? ¿Yel exterior?
18. Se da el A A BC y el punto P en el interior delL A y. también, en el interior del ¿_C.
¿Qué se puede concluir acerca de P?
19. (a) ¿Podrá un punto estar en el exterior de un triángulo y, también, en el interior de un
ángulo del triángulo? Ilustrar la respuesta.
(b) ¿Podrá un punto estar en el exterior de un triángulo, pero no en el interior de ninguno
de los ángulos del triángulo? Ilustrar la respuesta.
20. Se da el & A B C y un punto P. P y A están del mismo lado de BC. P y B están del mismo
lado de AC.
(a) ¿Está P en el interior del ¿_ACB?
(b) ¿Está P en el interior del A ACB?
21. Se da el A A B C y, además, A-D-B, B-E-C, C -Ü -F y D-G-E.
(a) ¿Está G en el interior o en el exterior del A ABC?
(b) ¿Interseca BG a AC?
(c) G y F están en lados opuestos de ________
(d) ¿Cómo podemos estar seguros de la respuesta a la parte (a) ?
80
A ngulos y triángulos
4 -2 .
ALGUNAS OBSERVACIONES ACERCA D E LOS ÁNGULOS
Según los hem os definido en este capítulo, los ángulos son sim plem ente conjuntos
de puntos. P o r ejem plo:
Es indiferente el ord en en que se n o m b ran los lados de un ángulo.
É sta es la fo rm a m ás sencilla de la definición de un ángulo. Es la idea que necesita­
m os p a ra los propósitos de este curso. M ás adelante, sin em bargo, en el estudio de la
trigonom etría, la definición de ángulo aparecerá en una form a diferente. En la
trigonom etría, im p o rta qué lado del ángulo se nom bre prim ero:
E sto es, en la trigonom etría, distinguim os entre el L C A B y el L B A C . E n el L CAB,
A C es el lado inicial y ~AB es el lado terminal. E n el L B A C , A B es el lado inicial y
~AC es el lado term inal. Á ngulos com o éstos se llam an ángulos orientados. C uando
utilizam os ángulos orientados, perm itim os los “ ángulos cero" y los “ ángulos llanos” .
En este curso, los ángulos orientados n o se em plearán, porque n o se necesitan en
la geom etría elem ental. P o r ejemplo, los ángulos de u n triángulo jam ás son ángulos
cero ni ángulos llanos y no hay m odo
razonable alguno de decidir qué
orientación deben tener. P a ra asig­
narles orientación, tendríam os que
proceder al azar, y estas orienta­
ciones de los ángulos no tendrían
utilidad p ara nosotros, porque nó
estarían relacionadas con los proble­
m as que tratásem os.
M edida a n g u la r
4 -3 .
81
M ED ID A ANGULAR
A sí com o m edim os segmentos con u n a regla, m edim os los ángulos con u n tra n s­
portad o r.
El núm ero de grados de u n ángulo se llam a su medida. Si hay r grados en el L P Q R ,
entonces escribim os
m L P Q R = r.
D e las m arcas del tran sp o rtad o r, vem os que
m L C A D = 30,
m L C A F = 90,
m L C A E = 45,
m L C A G = \ 00,
y así sucesivamente.
Se n o tará que n o necesitam os em plear el signo p a ra grados cuando escribimos
30, 45, y así sucesivamente, p orque la letra m se encarga de ello: m L P Q R es el
número de grados e n el L PQ R.
D e la m ism a m an era que hallam os distancias m ediante sustracción, utilizando una
regla, podem os em plear la sustracción p a ra hallár las m edidas de los ángulos. P or
ejem plo, tenem os que m L D A E = 15, p o rq u e 15 = 45 - 30 = m L C A E - m L CA D.
P o r el m ism o artificio, tenem os
m L G A D = 100 - 30 = 70.
Se n o tará que 180 no es la m edida de ningún ángulo en la figura. (N o existe un
ángulo L B A C , p orque A B y A C soncolineales.) Sin em bargo, podem os todavía restar
de 180, p a ra obtener
m L B A I = 1 8 0 - 150 = 30,
m L B A H = 1 8 0 - 130 = 50,
y así sucesivamente.
82
A ngulos y triángulos
L os siguientes postulados resum en los principios acerca de los transportadores
que hem os estado utilizando. E n las figuras que ilustran estos principios, escribim os
r \ s°, y así sucesivamente, p ara recordar que esos núm eros son las m edidas de los
ángulos en grados.
P O S T U L A D O 1 1.
y
El postulado de la medida de ángulos
A cada ángulo L B A C le corresponde un
número real entre 0 y 180.
m
D e fin ic io n e s
¿ BAC=r.
/
r„
/
>
a
c y
t ____ ►
El núm ero dado p o r el postulado de la m edida de ángulos se llam a la medida
del L B A C , y se escribe m L B A C .
Siem pre que lo deseemos, pode­
m os construir u n ángulo con cual­
quier m edida entre 0 y 180. Claro
está, si com enzam os con un rayo en
el p lan o y el núm ero r, podem os cons­
tru ir el ángulo en cualquiera de los
lados de la recta que contiene al rayo.
A si, tenem os las condiciones p a ra el
siguiente p o stu la d o :
PO STULADO 12.
El postulado de la construcción del ángulo
Sea A B un rayo de Ia arista del
semiplano H , Para cada número
r entre 0 y ISO, hay exactam ente
tih rayo A P , con P en H , ta l que
m i_ P A B = r.
Podem os calcular m edidas de ángulos p or adición y p o r sustracción, utilizando
el siguiente p o stu la d o :
P O S T U L A D O 1 3.
El postulado de la adición de ángulos
S i D está en e l interior del L B A C ,
entonces m L B A C = m L B A D + m L D A C .
D e ahí, obtenem os m L C A D ‘= m L C A B — m L DAB.
^
M edida a n g u la r
83
D os ángulos form an u n p a r lineal, si son com o éstos:
P ara ser m ás precisos, tenem os la siguiente definición:
D e fin ic ió n
Si A B y A D son rayos opuestos, y A C es o tro rayo cualquiera, entonces ¿_BAC
y L C A D fo rm an u n par lineal.
L a siguiente definición tra ta sim plem ente de m edida an g ular; n o dice n ad a acerca
de cóm o so n los ángulos:
D e fin ic ió n
Si la sum a de las m edidas de dos
ángulos es 180, entonces decimos
q ue los ángulos son suplementarios,
y que c a d a uno es el suplemento del
o tro .
L os ángulos pueden, sin em bargo, fo rm ar u n p a r lineal y, en ese caso, son siempre
suplem entarios.
PO STULADO 14.
El postulado del suplemento
S i dos ángulos fo rm a n un p ar lineal, entonces son suplementarios.
P a ra abreviar, podem os referirnos a estos postulados com o P M A , P C A , P A A y
P S . É stas son, naturalm ente, abreviaturas del postulado de la m edida d e ángulos,
del postulado de la construcción del ángulo, del postulado d e la adición de ángulos
y del p ostulado del suplemento.
Se reco rd ará que, al tra ta r la m edida de distancias, encontram os que podíam os
em plear cualquier unidad. Si decidim os cam biar la unidad de distancia, entonces
sim plem ente m ultiplicam os to d as las distancias p o r u n cierto núm ero, y to d o s los
postulados p a ra la distancia continúan siendo válidos. E sto no es cierto, sin em bargo,
p a ra la m edida angular, p orque el p o stu lad o del suplem ento determ ina la unidad.
E n virtud de n u estra definición de ángulos suplementarios, el postulado 14 nos dice
que si dos ángulos fo rm an un p a r lineal, entonces la sum a de sus m edidas es 180.
E sta condición deja de ser válida si duplicam os la m edida de cad a ángulo, o si divi­
dim os la m edida de cada ángulo p o r 2.
84
Á ngulos y triángulos
C onjunto de p roblem as 4 -3
1. Si m¿_A = 63 y m /_B = 117, entonces L A y L B son .
2. Si en la figura, m¿_QPS = 41 y m L Q P M = 31, ¿cuál es m L M P S I
justifica la conclusión ?
¿Qué postulado
3. Se da la figura, con Y, P, W alineados y m ¿ X P Y = m L Z P Y .
(a) Nombrar dos pares lineales.
(b) Nombrar tres conjuntos de ángulos suplementarios.
<—
>
4. Se da que A-K-F y D no es un punto de AF.
(a) L A K D y L F K D forman |S-------------(b) m L A K D + m L F K D =
-A -
'
¿Qué postulado es esencial para la respuesta?
5. En la figura, G H y PQ se cortan, formando cuatro
ángulos.
(a) Si b — 52, ¿cuál es el valor de a?
(b) Si a = 110, ¿cuáles son los valores de b, c y d i
6.
Utilizando la figura, evaluar cada uno de los siguientes:
(a) mLAPC..
(b) m L E P D . (c) mLG PA.
(d) m L D P B .
(e) m¿.FPC.( f ) n iL A P B + niLBPE.
(g) m L H P G 4- m LFPC .
(i) m L F P A — m L D P A .
(h) m L A P C + m L C P H .
(j) m L F P H - mLFPG.
Medida a n g u la r
85
7. Utilizar el transportador para evaluar cada uno de los siguientes:
(a) m /_RPS.
(b) m /_ VPR.
(c) m L V P S .
(d) m ¿ J P R .
(e) m L X P R .
(f) m¿_XPY.
(g) m L WPS.
(h) m /_XPW .
(i) m¿_XPS.
(j) m ^ T P R + m /LSPW .
P
Y
R
8. Con práctica, se podrá aprender a calcular con bastante precisión el tamaño de los
ángulos, sin necesidad de utilizar un transportador. 'En los ejercicios a continuación,
no debe emplearse un transportador para decidir cuáles de los ángulos de la figura tienen
las medidas anotadas. Aparear los ángulos a la derecha con las medidas indicadas en la
columna de la izquierda.
(a) 80 < x < 95.
(b) 55 < * < 7 0 .
(c) 40 < x < 60.
(d) 9 0 < * < 105.
(e) 2 0 < * < 4 5 .
(f) 110 < * < 1 2 5 .
9. Empleando una regla y un transportador, construir ángulos que tengan las medidas
angulares 30, 60, 15, 90, 100 y 135.
10. Utilizando solamente una regla, y no un transportador, trazar ánguios cuyas medidas
sean, aproximadamente, 10, 30, 45, 60, 90, 120, 135, 150. Deberá utilizarse el transpor­
tador, después, para comprobar las figuras.
+ 11. Sobre la arista de un semiplano, tomar los puntos M , K, A tal que M-A-K. Dibujar A T
tal que m¿_TAK = 35. En el mismo semiplano, tom ar A V tal que m¿_M AV = 85.
Medir TA V con un transportador. ¿Concuerda el resultado con un cálculo correcto ?
12. En la figura plana,
(a) m L C A B + m D A C = n i L __ L
(b) m /_E A D + tn¿_DAC = m ¿___ I
A
(c) m ¿_E A D + m¿_DAB = m ¿___ 1
(d) m /_E A C — m¿_DAC —
0
?
B
C
13. Determinar la medida del suplemento del ángulo cuya medida es:
(a) 80.
(e) n.
(b) 48.
(f) n + k .
(c) 144.
3
(g )1 8 0 -n .
(d) 25,5.
(h )9 0 -n .
6*J «
S F R - m / OPO = m /
(b) m _ R S Q -f
. .?
?
= m¿_RSP
<c) m ^P O Q + m¿.POS = _ ?
<d) m L S R Q - m /_S R O =
(e) m /_R O Q = 180 (O SO + O Q =
7
?
7
15. Si dos ángulos suplementarios tienen medidas iguales, ¿cuál es la medida de cada ángulo?
►
16. Si la medida de un ángulo es tres veces la medida de su suplemento, ¿cuál es la medida
del ángulo?
17. La medida de un ángulo es 24 más que la medida de su suplemento. Hallar la medida
de cada ángulo.
18. Dos veces la medida de un ángulo es 30 menos que cinco veces la medida de su suple­
mento. ¿Cuál es la medida del ángulo ? ■
19. Si en un plano, m /_B A D = 65 y m¿_DAC = 32, ¿cuánto es m¿.CAB1
20. Se da la figura, con M N y PQ, que se intersecan en A. ¿En qué postulados o definiciones
se fundamenta cada uno de los siguientes enunciados?
(a) ¿_PAM y Z Q A M forman un par lineal.
(b) L P A M y ¿ .Q A M son suplementarios.
(c) m ¿_PAM + m L Q A M = 180.
(d) m ¿_Q A M + m L Q A N = 180.
21. Si rn ¿ _ A B C + m ¿ _ D B C = m y m ¿ .M A S + m ¿_N A S= 180, ¿será m¿_ABC +
m /_D BC = m /_ M A S + m /_N A S1 ¿Por qué? Si, también, decimos que m L D B C —
m /_N A S, ¿qué podemos concluir? ¿Porqué?
PROBLEMA OPTATIVO
¿Por qué es cierto el siguiente enunciado?
Si una recta L corta a dos lados del A A BC en los
puntos D y E (siendo D y E diferentes de A , B y C),
entonces L no corta al tercer lado.
[Sugerencia: Refiérase a la sección 3-4 y demuéstrese que
B y C están del mismo lado deL .]
Á ngulos rectos, perpendicularidad, ángulos congruentes
4 -4 .
87
ÁNGULOS RECTOS. PERPENDICULARIDAD, ÁNGULOS CONGRUENTES
D e fin ic ió n
Si los ángulos de un par lineal
tienen la misma medida,4 entonces
cada uno de ellos se llama un ángulo
recto.
En este caso, tenemos r + r = 180, por el postulado del suplemento. Por tanto,
podemos escribir igualmente la siguiente definición de ángulo recto:
D e fin ic ió n
\90°
U n ángulo recto es un ángulo cuya
medida es 90.
iA
I
I
I
t
D e fin ic io n e s
Si A B y A C forman un ángulo recto, entonces se llaman perpendiculares, y
escribimos
~Á*B±.~AC.
Empleamos el mismo término y la misma notación para rectas y segmentos;
así, pues, si el l B A C es un ángulo recto, escribimos
T B 1 .A C ,
AB1AC,
AB1AC,
y así sucesivamente, para cualquier combinación de rectas, rayos o segmentos.
D e fin ic io n e s
Si la suma de las medidas de dos ángulos es 90, entonces los ángulos se llaman
complementarios y cada uno de ellos se llama el complemento del otro. Un
ángulo con medida menor que 90 se llama agudo. Un ángulo con medida mayor
que 90 se llama obtuso.
\
tt
Asenlo* y triándolo«
D e fin ic ió n
D os ángulos con la misma medida se llaman
ángulos congruentes.
Así, L A B C y L D E F son congruentes, si
m L A B C = m L D EF
y, en este caso, escribimos
L A B C = LDEF.
El sím bolo s se lee “es congruente co n ” .
Se n o tará que la igualdad m L A B C = m L D E F y la congruencia L A B C = L D E F
son equivalentes, pues significan exactam ente la m ism a cosa. Podem os sustituir uno
de los enunciados p o r el o tro siem pre que queram os.
Conjunto de problemas 4 -4 A
V
1. En este problema, los segmentos que parecen ser perpendiculares deben considerarse
como perpendiculares. Identificar los pares de segmentos perpendiculares. Si se cree
que un par no es perpendicular, explicar por qué.
(c)
(a)
■Q
(d)
(e)
2. En la figura, los ángulos tienen las medidas indicadas.
(a) N om brar un par de ángulos complementarios.
(b) ¿Qué postulado permite asegurar que
m¿_DAG = 105?
Á ngulos rectos, perpendicularidad, á n g u lo s congruentes
89
3. Se da la figura, con el vértice V/ del ángulo recto ¿_SM T en AB. y n iL T M B = 50.
(a) Nombrar un,par de rayos perpendiculares, si hay alg u n o .3 f"lT
(b) Nombrar un par de ángulos complementarios, si lo hay^.íM) T \ a
(c) Nombrar un par de ángulos congruentes, si hay alguno.
"‘
(d) Nombrar un par de ángulos suplementarios, si lo hay. La/'*
4 .
M-
El punto A es el extremo de los dos rayos perpendiculares AB y AC. D está en el interior
del ¿_BAC y f e s un punto del exterior del ¿'_BAC, tal que AD _L AE.
(a) Nombrar un par de ángulos complementarios, si hay alguno.
(b) Nombrar un par de ángulos suplementarios, si lo hay.
(c) Nombrar un par de ángulos congruentes, si hay alguno.
5. Completar cada uno de los siguientes enunciados para que resulten ciertos:
(a) Si m ¿ M P S = 39 y rn/_THN = 39, entonces L M P S es —
(b) El suplemento de un ángulo agudo es un ángulo
¿T H N .
' ' ::
(c) El complemento de un ángulo agudo es un ángulo
(d) Si ¿_ADK s L B E H , las medidas de los ángulos son
-ViVA_A\.
6. Si la medida de un ángulo es dos veces la medida de su complemento, ¿cuál es la medida
'1
de cada ángulo?
^ y , :
Cn
7. Determinar la medida del complemento del ángulo cuya medida es:
(a) 20
(b) 68
(c) 46.5
(d) n
(e) 90
n
( f ) 45 I n
8. ¿Cuál es la medida de un ángulo, si se sabe que la medida de su suplemento es 39 más
que dos veces la medida de su complemento ?
Es fácil darse cuenta de que los siguientes teorem as son ciertos, una vez recordemos
claram ente el significado de las palabras em pleadas:
T e o re m a 4—1
Si dos ángulos son com plem entarios, entonces am bos son agudos.
T e o re m a 4 - 2
T odo ángulo es congruente consigo mismo.
(Siem pre tenem os que
= m L A .)
H
Á ngulos y triángulos
Teorem a 4 - 3
D os ángulos rectos cualesquiera son congruentes.
Teorem a 4 - 4
Si dos ángulos son a la vez congruentes y suplementarios., entonces cada uno
d e ellos es un ángulo recto.
[Sugerencia: Si son congruentes, tienen la m ism a m edida r. D em ostrar que r
tiene que ser 90.]
Teorem a 4 - 5
L os suplem entos de ángulos congruentes son congruentes.
D e otro m odo: Si (1) L A = L B , (2) L A y L C son suplem entarios, y (3) L B y
L D son suplem entarios, entonces (4) ¿_C = L D.
Demostración. Sea r = m L A , com o se indica en la figura anterior. Presentam os
el resto de la dem ostración en u n estilo tal que p u eda utilizarse com o p a tró n p a ra
escribir otras dem ostraciones.
A firmaciones
R azones
1.
r + m L C = 180.
L A y L C son suplem entarios.
2.
r = mLB.
LA £ LB.
3.
r + m L D = 180.
L B y L D son suplem entarios.
4.
m L C — 180 — r.
A firm ación 1.
5.
m L D — 180 — r.
Afirm ación 3.
6.
m L C = m /_ D y
LC s ld .
Afirm aciones 4 y 5.
Tiene ventajas el estilo de doble colum na p a ra escribir dem ostraciones. Si se hace
así, es m ás fácil organizar el trab ajo y recordar que siempre que hacem os u n a afirm a­
ción en la dem ostración, estam os obligados a d a r u n a razón.
Se n o tará que antes de com enzar la dem ostración de este teorem a, lo enunciam os
de o tra m anera. Éste es u n artificio que será m uy útil en el futuro. Siem pre que
Á ngulos recto s, perpendicularidad, ángulos cong ru en tes
91
podariios, enunciarem os el teorem a con palabras, em pleando m uy poca notación,
si hubiera alguna. Entonces, los teorem as serán fáciles de leer y de recordar. E n el
nuevo enunciado, introducim os la n otación que será utilizada en la dem ostración.
L a figura em pleada en esta dem ostración presenta u n caso m uy especial: dos
ángulos pueden ser suplem entarios sin estar alineados en tal form a que parezca
evidente que son suplem entarios. L os ángulos suplem entarios p o d rían verse así:
Generalm ente, u n a figura es sólo u n a ilustración de u n teorem a o problem a.
N o debem os creer que las figuras dad as en este libro son, en cada caso, las únicas
correctas.
Teorem a 4 - 6
L os com plem entos de ángulos congruentes son congruentes.
L a dem ostración es m uy parecida a la del teorem a 4-5 y el alum no deberá estar
dispuesto a hacerla él m ism o. D e hecho, debe hacerla. La figura anterior le ayudará.
El alum no deberá ofrecer su p ropia redacción del teorem a.
C uando dos rectas se intersecan, form an
cuatro ángulos. E n la figura, ¿.1 y Z_3 se
llam an ángulos opuestos por el vértice y
L 2 y Z-4 se llam an ángulos opuestos por el
vértice. E sto es:
D e fin ic ió n
D o s ángulos son opuestos p or e l vértice, si sus lados form an dos pares de rayos
opuestos.
E n la figura, parece que los pares de ángulos opuestos p o r el vértice son congruentes;
en efecto, ése es siem pre el caso, com o se dem uestra en el siguiente teorem a:
92
A lígalos y triángulos
T e o re m a 4 - 7 .
Teorema de los ángulos opuestos por el vértice
Los ángulos opuestos p o r el vértice son congruentes.
Demostración.
Sabem os que ¿ 1 y ¿ 2 son opuestos p o r el vértice; esto es,
(1) A C y ~AE son rayos opuestos, al igual que A B y A D . P o r tan to ,
(2) L 1 y Z-3 fo rm an u n p ar lineal, al igual que L 2 y ¿ 3 .
(3) ¿ 3 S ¿ 3 .
(4) L \ y L l son suplem entos de ángulos congruentes. P o r el teorem a 4 -5 , esto
im plica que
(5) Z . l S Z . 2 .
Teorem a 4 - 8
Si dos rectas que se cortan fo rm an u n ángulo recto, entonces form an cuatro
ángulos rectos.
Demostración. E n la figura, el cu adrado pequeño en el vértice del L 1 indica que
¿_1 es u n ángulo recto. E sto es un d ato. D ebem os dem ostrar que Z_2, ¿ 3 y Z_4
son ángulos rectos. Los pasos fundam entales son los siguientes: (D ebe justificarse
cada afirm ación.)
.
(1) L 3 es u n ángulo recto.
(2) L 2 y L \ son suplem entarios.
2
(3) m L l + 90 = 180.
"
(4) L 2 es u n ángulo
recto.
(5) L 4 es un ángulo
recto.
“
3
~
4
_ 1
~
L as afirm aciones 1 y 5 están basadas en u n teorem a. La justificación de
la afirm a­
ción 2 es u n postulado. Las afirm aciones 3 y 4 están basadas en definiciones.
Á ngulos rectos, perpendicularidad, ángulos congruentes
93
G eorge D avid Birkhoff (1884-1944)
G. D. Birkhoff fue uno de los matemáticos más hábiles y fecundos de su generación.
Escribió ciento noventa memorias en varios campos de la matemática pura y aplicada. Sus
obras constituyen tres volúmenes grandes. También, escribió varios libros acerca de la
matemática y la teoría de la relatividad.
Los postulados para la geometría utilizados en este libro son modificaciones del conjunto
de postulados de Birkhoff. Durante varios siglos, el concepto de medida, tanto para segmentos
como para ángulos, ha sido una idea central en geometría. Los postulados de Birkhoff
introducen este concepto desde el principio; describen los métodos que todo el mundo emplea.
Así, aun cuando los postulados de Birkhoff no están entre sus grandes contribuciones al
conocimiento matemático, ellos, no obstante, contribuyeron grandemente a un entendimiento
mejor de la geometría.
94
Ángulo« y triángulos
Conjunto de problemas 4 -4 B
1. ¿ A B C ^ ¿_DEH y ¿ A B C es el suplemento del ¿_DEH. ¿Qué conclusión resulta?
¿Qué postulado, definición o teorema justifica esa conclusión?
2. Si el ¿ M es el suplemento del ¿ K , el ¿ P e se ] suplemento del ¿ Q , y ¿ Q £ ¿ A /,¿ q u é
se deduce acerca de ¿ K y ¿ P 1 ¿Qué enunciado justifica la conclusión ?
3. Si ¿_PAM y ¿_MAJ son complementarios y ¿ K A J
y ¿_MAJ son complementarios, ¿por qué es
¿_KAJ^ ¿ P A M 1
4. (a) Si dos rectas se cortan, ¿cuántos pares de ángulos opuestos por el vértice se forman?
(b) Si la medida de uno de los ángulos en la parte (a) es 62, ¿cuál es la medida de cada
uno de los otros ángulos?
(c) Si los cuatro ángulos de la parte (a) son congruentes, ¿cuál es la medida de cada uno ?
5. En la figura, tres rectas se cortan en el mismo punto
Se da que a = 85 y e = 30. Hallar b, c ,d y f.
6. Si uno de un par de ángulos opuestos por el vértice tiene medida x, escribir fórmulas
para las medidas de los otros tres ángulos que se forman.
7. Demostrar el teorema 4-3.
8. Demostrar el teorema 4-4.
^
*
y
9. Se da la recta AB, separando a dos semiplanos H i y H 2. P es un punto de H¡ tal que
m ¿ P A B = 30. Si Q es un punto de H 2 tal que ¿ QAB £ ¿P A B , entonces B está en el
_________ del ¿ P A Q y m ¿_P A Q = _________ Si A Q es opuesto a AP, entonces
¿ P A B e s _________ ¿ Q A B y m ¿ Q A B = --------------- .
• 10. En el semiplano H, BA y B E son rayos opuestos,
¿ _ A B G ^ ¿ K B G y ¿ K B D s ¿ D B E . Hallar
m ¿G B D . [Sugerencia: Sean m ¿ A B G = x y
m¿_DBE = y.\
A
t
e
T eorem as enunciado« a base d e hipótesis y conclusión
95
11. En la figura, el plano E interseca al plano
*-* *-*
o
_
F e n A B . G H y KM , ambas en el plano F,
■*-»
intersecan a A B en P.
(a) N om brar dos pares de ángulos opuestos por el
(b) N o m b ra rlo s pares de ángulos suplementarios.
(c) Si G H A. AB, nom brar dos pares de ángulos complementarios.
12. En la figura, AB, QR, G H y K M se inter­
secan en P, QR está en E, y G H y K M
están en F. A B es la intersección de los
planos E y F.
(a) ¿Cuáles dos ángulos son suplemen­
tarios del LAPG 1
(b) ¿Cuáles dos ángulos son suplemen­
tarios del Z_HPM?
(c) Si L B P R = LKPG , ¿qué otros ángu­
los tienen que ser congruentes?
(d) Si LP P G es un ángulo recto, ¿qué otros ángulos tienen que ser rectos?
4 -5 .
TEOREMAS ENUNCIADOS A BASE D E HIPOTESIS Y CONCLUSIÓN
Todo teorema es una afirmación de que si una cierta cosa es verdadera, entonces
otra cosa es también verdadera. Por ejemplo, el teorema 4-8 dice que si dos rectas
que se cortan forman un ángulo recto, entonces forman cuatro ángulos rectos. La
parte s i de un teorema se llama la hipótesis; enuncia lo que se supone. La parte
entonces se llama la conclusión -, enuncia lo que hay que demostrar. Podemos expresar
el teorema 4 -8 de la manera siguiente:
Teorem a 4 - 8
Hipótesis: L ¡ y L 2 forman un ángulo recto.
Conclusión: L¡ y L 2 forman cuatro ángulos rectos.
Análogamente, podemos escribir el teorema 4 -3 com o sigue:
Teorem a 4—3
Hipótesis: L A y ¿_B son ángulos rectos.
Conclusión: L A = L B .
96
Á ngulos y triángulos
L os postulados son com o los teorem as, excepto que n o van a ser dem ostrados.
L a m ayor p arte de ellos pueden ponerse en la form a s i . . . entonces, al igual que los
teorem as. P o r ejem plo, el p ostulado de la adición de ángulos puede redactarse com o
sigue:
PO STULADO 13.
P ostulado d e la adición d e ángulos
Hipótesis: D está en e l interior del L B A C .
Conclusión: m L B A C = m L B A D + m /_ D A C .
E n algunos casos, la form a de hipótesis-conclusión n o es natu ral o útil. P o r ejem­
plo, si querem os decir que el espacio contiene cu atro puntos n o coplanarios, no
hab ría ventaja alguna en expresarlo así:
Hipótesis: S es el espacio.
Conclusión: S contiene c u atro puntos n o coplanarios.
N o es necesario, desde luego, que todos los teorem as se enuncien en la form a de
hipótesis-conclusión. N o im p o rta en q u é fo rm a esté redactado el teorem a, debe
estar claro qué es lo que se d a o se supone y lo que se va a dem ostrar. E n la m ayoría
de los casos, sin em bargo, debem os estar dispuestos a enunciar u n teorem a en la
fo rm a de hipótesis-conclusión, porque, de lo contrario, lo que probablem ente ocurre
es que n o entendem os exactam ente lo que dice el teorem a.
Conjunto de problemas 4—5
1. Identificar la hipótesis y la conclusión en cada uno de los siguientes enunciados:
(a) Si dos ángulos son complementarios, entonces cada uno es agudo.
(b) Si a = b y b = c, entonces a = c.
(c) Si
b, entonces a + c = b 4- c.
(d) Si dos ángulos son a la vez congruentes y suplementarios, entonces cada uno de ellos
es un ángulo recto.
(e) Si las dimensiones de un rectángulo son a y b, entonces su área es ab.
(f) Si dos planos se cortan, entonces su intersección es una recta.
2. Escribir cada uno de los siguientes enunciados en la forma s i . . . entonces:
(a) Los suplementos de ángulos congruentes son congruentes.
(b) El área de un triángulo de altura a y base b es lab.
(c) La intersección de dos planos es una recta.
(d) Tres puntos cualesquiera no alineados están exactamente en un plano.
(e) Dos ángulos que forman un par lineal son suplementarios.
R edacción de dem ostraciones sencillas
4 -6 .
97
REDACCIÓN D E DEMOSTRACIONES SENCILLAS
M uy p ro n to , la redacción de dem ostraciones constituirá una gran p a rte de nuestro
trabajo. Conviene, pues, tener m ás práctica en la redacción de dem ostraciones
fáciles, antes de a b o rd a r las m ás difíciles en el siguiente capítulo. Probablem ente,
la m ejor form a de indicar cóm o deben ser las dem ostraciones es poner m ás ejemplos.
En los ejem plos y problem as, p o d rá suponerse que las figuras están en un mismo
plano, a m enos que se indique lo co ntrario.
E jem p lo 1
Datos: A A B C y A A B D , com o en la
figura de la derecha, con L D A B s
¿ .D B A y L C A D ^ L C B D .
Demostrar: L C A B = L C B A .
Demostración
A firmaciones
R azones
1.
m L D A B = m L D BA.
D ato.
2.
m LC A D = m LCBD.
Dato.
3.
m L DA B + m L C A D
= m LD BA + mLCBD.
Propiedad aditiva de la igualdad.
4.
in L C A B = m L CBA.
Postulado de la adición de ángulos.
5.
L C A B £ LCBA.
Definición de congruencia de ángulos.
E jem p lo 2
M
D atos: L os puntos A , B, C, D,
com o en la figura de la derecha,
con A D = CB.
Demostrar: A C = DB.
Demostración
A firmaciones
R azones
1.
A C + CD = AD.
D efinición de estar entre.
2.
C D + D B = CB.
Definición de estar entre.
3.
A D = CB.
D ato.
4.
A C + C D = C D + DB.
Sustitución, en las afirm aciones 1, 2 y 3.
5.
AC=DB.
Propiedad de ia igualdad con respecto a la
sustracción.
98
A ngulos y triángulos
E jem p lo 3
D atos: L os rayos A B , A C y A D , con C en el
d
in te rio r del l B A D , y con
C
m L B A C + m L C A D =90.
B
Demostrar: A B 1 A D .
Demostración
A
R azones
f ir m a c io n e s
1.
m L B A C + m L C A D = 90.
D ato.
2.
m L B A C + m L C A D = m LBAD .
P ostulado de la adición de ángulos.
3.
m L B A D = 90.
Afirm aciones 1 y 2.
4.
L B A D es u n ángulo recto.
D efinición de ángulo recto.
5.
A B A .7 b .
Definición de rayos perpendiculares.
C o n ju n to de problem as 4—6
1. Copiar lo siguiente y completar la demostración:
D atos: m /_A = 38, m¿_B = 52.
Demostrar: L A es el complemento d elZ .8 .
Demostración
R azones
A firmaciones
1.
9
1
m LA =
:
•
m ¿__ij
/ R=
r
i
——_i—¡----<
*+,/ A -L. m / fí = ’
4. L A es el complemento del L B .
Dato.
•5 , 'l
2. Copiar y desarrollar una demos­
tración:
D ato: La figura, con PQ = RS.
Demostrar: PR = QS.
J~j
/ \\
// \X
/ \
P
3. Copiar y desarrollar una demos­
tración :
D atos: La figura, con
A.
O
R
s
rL
m LC A B = m LCBA,
m LD A B = mLD BA.
Demostrar: m L C A D — m L C B D .
A
v B
R edacción d e dem ostraciones sencillas
99
4. C o p ia r y c o m p le tar la d e m o s tra c ió n :
D a to : L a figura, c o n ¿ P M N = ¿'_PNM.
D e m o stra r: L C M P g ¿_D NP.
Demostración
A
R
f i r m a c io n e s
1. ¿ _C M P es el su p lem en to del ¿_P M N .
2 . ¿_D N P ey
" p / <?U
3.
z
o
'V 1
azones
D o s án g u lo s q u e fo rm a n u n p a r lineal so n
suplem entarios.
1-
r P
D a to .
4. L C M P ^ L D N P .
5. C o p ia r y d e sa rro lla r u n a d e m o stra c ió n :
D a to s : L a figura, c o n
¿ D B C £ Z fC ñ .
D e m o s tra r: ¿ .A B C s ¿_ACB.
6. C o p ia r y d ete rm in a r las ra z o n e s:
D a to s : A B , C D y E F se c o rta n e n K ;
a = c.
D e m o stra r: b = c.
Demostración
R
A f i r m a c io n e s
azones
n
2. ¿ A K E y
¿_B K F so n
o p u esto s p o r el vértice.
án g u lo s
3. Z .4 K E £ L B K F .
4. o = /».
5. a = c.
6. b = c.
7. C o p ia r y d e sa rro lla r u n a d em o strac ió n :
D a to s : L a figura, c o n ¿ _ A B C = ¿_ACB.
D e m o stra r: ¿ D B F ~ ¿ E C G .
8. C o p ia r y d e m o stra r:
D a to s : A D ± F B y ¿ B A C £ ¿_D AE .
D e m o stra r: ¿ D A C £ L F A E .
A
B
100
A ngulos y triángulos
R ep aso de la unidad
E n los p ro b lem as del 1 a l 15, c o m p le ta r cad a u n a d e las afirm aciones d ad a s:
1. A to d o á n g u lo c o rresp o n d e u n n ú m ero re a l e n tre
m edida del ángulo.
y
■
q u e se llam a lá
2. E l in stru m e n to u tilizad o p a ra m ed ir á n g u lo s e s e l _________
3. Si la sum a d e la s m ed id as d e d o s á n g u lo s es 90, en to n ces c a d a á n g u lo es el _ _ _ _ _ del
o tro .
4. U n án g u lo c u y a m ed id a es m e n o r q u e 90 se llam a -
-
5. U n án g u lo cu y a m edida e s m a y o r q u e 9 0 se llam a ' :
6. D o s án g u lo s fo rm ad o s p o r la re u n ió n de d o s ray o s o p u esto s y u n tercer ray o , lo s tre s con
el m ism o ex trem o , se llam an u n 1 ■
7. L os án g u lo s q u e tienen m edidas iguales se llam an á n g u lo s _________
8. D o s ángulos q u e so n co m p lem en tario s tienen q ue se r ca d a u n o
1
••
9. Si d o s án g u lo s so n co n gruentes, sus suplem entos so n / ,(
' __.
10. D o s áng u lo s a la vez co n g ru en tes y su p lem en tario s so n cad a u n o
11. T o d o trián g u lo tien e ------------- lad o s y ________
________ , p ero n o co n tie n e s u s _________
■' : :
án g u lo s; u n trián g u lo
.
co n tie n e sus
12. L a sum a d e las m edidas d e d o s án g u lo s co m p lem en tario s e s ________ ; la su m a d e las
m edidas d e d o s án g u lo s su p lem en tario s e s _________
13. L a sum a d e las m ed id as d e d o s á n g u lo s ________ es siem p re m e n o r q u e 180, y la sum a
de las m edidas d e d o s á n g u lo s ________ es siem p re m e n o r q u e __________
14. Si los la d o s d e d o s á n g u lo s so n ra y o s o p u esto s, los á n g u lo s se ll a m a n _________
15. U n p u n to M está e n el in te rio r del /_ G H K , si M y
;
y si M y _________están a l m ism o la d o d e __________
están a l m ism o la d o d e H K
L os p ro b lem as del 16 a l 25 se refieren a la figura d e la p a rte su p e rio r d e la p á g in a siguiente.
'L o s p u n to s q u e p arecen alineados, e stán alineados.)
16. ¿Cuántos triángulos hay en la figura?
17. ¿Es m ./ BFC = m /_ BFD ?
R e p a s o d e la unidad
18. ¿E s L B F C = L B F D 1
19. ¿E s L F D B S L E D C 1
20. N o m b ra r el á n g u lo su p lem en tario del L A B F .
2 1. m ¿ _ A G B + m /L B G F = — l—
,
22. m ¿ .G F C + m L D F E =
Figura para los problem as del 16 al 25
—
23. N o m b ra r u n c o n ju n to d e án g u lo s o p u esto s p o r el vértice.
. •„ a 0\ / F fíF en to n ces G B y B É tie n en q u e s e r ------------- •
24. Si ¿ _ G B F es co m p lem en tario del ¿ .F B h , en to n ces
25. ¿ C u án to s án g u lo s e stán in d icad o s e n la fig u ra?
*
La med.da de »n Snsuio es cinco v e c e s m e d i d , de su compiemen.o. H ai.ar ,a medida
de c a d a ángulo.
„
L , medida de! suplemento de «n íngulo » cinco veces i , medida de! compiemen.o de>
m ism o án g u lo . H a lla r la m e d id a del ángulo.
2g, ¿Es ia suma de las m edid,, de dos i n d i o s siempre igual . 1» medida de o«o
E xpliqúese.
29 S e d a la figura, c o n G A o p u esto a G E y G B _L G C . C o m p le ta r
' la d em o stració n d e q u e L A G B e s c o m p lem en tario del L .E G C .
g
Demostración
R azones
A firmaciones
1. GA es o p u e sto a GE.
2. L A G B es e l su p lem en to del Z.BGE.
P o stu la d o del suplem ento.
3. m L A G B + m /L B G E = \M 4. GBA.-GC.
5. m ¿_B F C = 90.
6. m L B G E = m ¿ E G C -¡r 9 °.
7. m¿_AGB + m /_E G C + 9 ° — 18°8. m¿_AGB + m¿_EGC = 90.
9 ¿ ^A G B es el co m p lem en to del Z.EG C .
D efinición
de
p e rp en d icu larid ad
y
de
án g u lo recto.
S u stitu ció n
afirm ación 3.
de
la
afirm ación
6 en
la
102
A ngulos y triángulos
30. A B y A C son rayos opuestos; los puntos E , F y H están al mismo lado de AB; los puntos
E y H están a lados opuestos de BF; los puntos A y H están al mismo lado de BF;
BF X AC; B E X BH; m /_FBE = 20. D ibujar la figura y hallar:
(a) m¿_EBA.
(b) m/_FBH.
(c) m/_EBC.
31. ¿H abrá un punto en el plano de un triángulo que no esté ni en el exterior ni en el interior
del triángulo, ni tam poco en el interior o exterior de cualesquiera d e los ángulos del
triángulo?
4-*
32. Se da el A A BC y el punto P en el mismo plano. P y A están del mismo lad o d e BC.
P y B están del mismo lado de AC.
(a) ¿En el interior de qué ángulo está el p unto P ?
(b) ¿Tiene que estar P en el interior del A ABC?
33. Si se da q u e L a es com plem entario del L y , L b es com plem entario del L x , y L x s L y ,
¿qué postulado o teorem a se utilizaría p ara dem ostrar que L a s L b ?
4—
>
<►
34. ¿Es el siguiente enunciado cierto? Si PQ y R S se intersecan en O, entonces ¿ P O R =
LQ O S.
35. D ato s: E n el plano E. AB, CD, PQ y R S se
intersecan en O, y CD X AB. C om pletar la dem os­
tración de que
b + g + d — a.
Demostración: Aplicando dos veces el PAA, tenemos que m L C O B = b + c + d. Pero,
com o C D
'
, m L C O B = a.
Por tan to , a f= ------------- Además, ¿_POR y
Sustituyendo c por g, concluimos
_______ son á n g u lo s________ ; luego, c = ------q u e ----------------------------------
36. ¿Es correcta la siguiente redacción del postulado de la construcción de á n g u lo s? __^
D ado el ray o R S y un núm ero k entre 0 y 180, existe exactam ente un rayo RP tal
que m¿_SRP = k.
37. D ato s: L a figura, con B E X A C y L A B G s LC BD .
D em ostrar: ¿ _G B E s L D B E .
K e p a v i tic la u n id a d
103
38. Se d a la figura, con ¿_2 y Z.3 suplem entarios. D em ostrar que ¿_ \ s Z. 4.
39. Si, en la figura, L b £ L e , dem ostrar que L a £ Ld.
40. En la recta L, se tiene A-B-C. Los puntos D y E están en lados opuestos de L tal que, al
trazar BD y BE, resulta L C B D £ LC B E . D em ostrar que
n iL A B D — m L A B E .
41. Jaim e y Jorge deseaban escribir el siguiente enunciado en la form a s i . . . entonces:
“ D os recias que se intersecan se cortan exactam ente en un p unto” .
Jorge escribió: “ Si P es un punto, entonces L , y L 2 se cortan exactam ente en P". Jaime
escribió: “L , y L 2 se cortan exactam ente en un punto, si se intersecan y son diferentes” .
¿Lo hizo bien Jaim e? ¿Y Jorge?
+ 42, Si OA, OB y OC son tres rayos distintos en el plano, tales que ningún par de ellos son
opuestos, ¿será cada uno de los siguientes enunciados cierto o falso?
(a) m L A O B + m L B O C = m L A O C .
(b) m L A O B + m L B O C + m L A O C = 360.
+ 43. ¿Podría el interior de un triángulo definirse com o la intersección de tres sem iplanos?
Expliqúese. Si el punto X es cualquier punto en el interior del A ABC, escríbase una
definición del interior del A ABC. (Refiérase a la definición del interior de un ángulo en
la sección 4-1.)
+ 44. ¿Está el interior del L A B C com pletam ente determ inado por la intersección d e los
interiores de dos cualesquiera de sus ángulos? Ilústrese esto y formúlese una definición.
¿Es ésta equivalente a la definición anterior?
* + 45. Explicar por qué es cierto el siguiente enunciado: Si la recta
L corta al L A B C en un punto D tanque A-D-B, y L no corta
a BC, entonces L tiene que co rtar a A C en un punto E tal que
A-E-C.
5 Congruencias
A
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5 -1 .
EL CONCEPTO D E CONGRUENCIA
E n el lenguaje corriente, diríam os que dos figuras geom étricas son congruentes
si tienen exactam ente la m ism a form a y el m ism o tam año. P o r ejem plo, los tres
triángulos representados a continuación son congruentes:
U n a m anera de describir la situación es decir que u n o cualquiera de estos triángulos
puede colocarse sobre cualquier o tro de m an era que coincida con él exactam ente.
A sí, p a ra ilu strar lo que entendem os al decir que dos triángulos son congruentes,
debem os explicar qué puntos h a n de superponerse dos a dos. P o r ejem plo, p a ra
llevar el A A B C sobre el A DFE, debem os colocar A sobre E, B sobre F, y C sobre D.
Podem os escribir así los pares de vértices correspondientes:
A <-*E,
B*->F,
C<->D.
P a ra describir la congruencia del prim er triángulo y el tercero, debem os ap arear
los vértices de esta m anera:
A <->G,
B++ H ,
C<->¡.
¿Cóm o aparearíam os los vértices p a ra describir la congruencia del segundo triángulo
con'el tercero?
U n apaream iento com o cualquiera de los descritos se llam a u n a correspondencia
biunívoca entre los vértices de los dos triángulos. Si los triángulos coinciden al aparear
los vértices de la m an era descrita, entonces la correspondencia biunívoca se llam a
u n a congruencia entre los dos triángulos. P o r ejem plo, las correspondencias que
acabam os de p resentar son congruencias. P o r o tra parte, si escribimos
A<->F,
B*-+ D,
C*->E,
105
106
C ongruencia»
obtenemos una correspondencia biunívoca, pero no una congruencia, pues los trián­
gulos primero y segundo no pueden hacerse coincidir mediante este apareamiento
particular. Esta correspondencia da lugar a muchas dificultades. AB es demasiado
corto para que pueda coincidir con FD, A C es demasiado largo para que pueda
coincidir con FE, y así sucesivamente.
Todavía podemos escribir más brevemente estas correspondencias. Por ejemplo,
la correspondencia
A++E,
B*-*F,
C*-*D,
que ofrecimos com o primer ejemplo, puede escribirse en una sola línea así:
A B C «-»EFD.
Aquí debe sobrentenderse que la primera letra de la izquierda corresponde a la
primera letra de la derecha, la segunda corresponde a la segunda, y la tercera corres­
ponde a la tercera, según se indica a continuación:
A
B
* t1
E F D
______________
.
f1
Tomemos otro ejemplo más. Las dos figuras siguientes tienen la misma forma y el
mismo tam año:
A
B
E
F
Para mostrar cóm o la una puede colocarse sobre la otra, debemos aparear los vértices
com o sigue:
A*-*F,
B*-*E,
C*-*H,
D*-*G.
E l concepto d e congruencia
107
Este correspondencia es una congruencia; esto es, las figuras pueden hacerse coincidir
si los vértices se aparean en la forma dada. Abreviadamente, esta congruencia
puede escribirse en una sola línea así:
A B C D <-* FEHG.
Se observará que no importa el orden en que se escriban las parejas de puntos. Pudi­
mos haber escrito nuestra lista de parejas de este modo:
D*->G,
B *-*E ,
A<~*F;
y pudimos también haber descrito nuestra correspondencia biunívoca en una sola
línea, así:
D B C A *-* GEHF.
Todo lo que importa es saber qué puntos se aparean entre sí.
Es posible que dos figuras sean congruentes de más de una manera. Aquí, la
correspondencia
A B C *-*F D E
es una congruencia, y la correspondencia
*
A B C <-*FED
es una congruencia diferente entre las mismas
dos figuras.
Evidentemente, el A A B C coincide consigo mismo. Si convenimos en aparear
cada vértice consigo mismo, tendremos la congruencia
ABC*-* A B C .
Ésta se llama la congruencia identidad. Sin embargo, hay otra manera de aparear los
vértices de este triángulo. Podemos emplear la correspondencia
A B C *-* A C B .
M ediante esta correspondencia, la figura se hace coincidir con ella misma, pero se
intercambian los vértices B y C. Esto no es posible en m odo alguno para todos los
triángulos; vale solamente cuando dos lados del triángulo, al menos, tienen la misma
longitud.
108
Congruencias
C onjunto de problem as 5 -1
En algunos de los ejercicios de este conjunto de problemas, el lector ha de determinar con­
gruencias por simple inspección. Dicho de otro modo: Las correspondencias que parecen ser
congruencias, al medir las figuras con cierto cuidado, se supone que son congruencias. (No
hay truco alguno en el modo de dibujar las figuras.)
1. ¿Cuáles de los siguientes pares de figuras son congruentes?
(a)
(b)
(c)
(d)
(c)
(0
(g)
(h)
2. ¿Cuáles de las siguientes figuras no tienen una con la cual aparearse?
A 7
E l concepto de congruencia
109
3. Obsérvense las figuras a continuación. Escríbanse tantas congruencias como puedan
determinarse entre esas figuras. Deberán encontrarse seis congruencias. (Se puede
prescindir de la congruencia identidad en todas las figuras, pero deberá incluirse la
congruencia, diferente de la congruencia identidad, entre un triángulo y él mismo, si
el triángulo tiene dos lados congruentes. Una congruencia es ACB+->LMN.)
4. Seguir las instrucciones del problema 3 para las figuras a continuación:
B
C
M
V
W
5. (a) ¿Es una figura congruente-consigo misma?
(b) Si dos figuras son cada una de ellas congruentes con una tercera, ¿serán congruentes
entre si?
(c) ¿Son congruentes los lados de un cuadrado?
(d) ¿Son congruentes los lados de un rectángulo ?
(e) ¿Son congruentes dos caras opuestas de un cubo?
(f) ¿Son congruentes dos caras adyacentes de un cubo?
(g) ¿Son congruentes dos caras opuestas de un bloque rectangular, tal como un ladrillo?
(h) ¿Son congruentes dos caras adyacentes de un ladrillo?
11#
CoogrncncUs
6. Los triángulos en cada uno de los siguientes pares de figuras son congruentes. Escríbanse
las congruencias para cada par. (La primera es AED — BEC.)
7. ¿En qué condiciones serían congruentes los siguientes pares de figuras ?
(a) Dos segmentos.
(b) Dos rectas.
(d) Dos circunferencias.
(e) Dos cuadrados.
(c) Dos ángulos,
(f) Dos triángulos.
8. La figura a continuación es una estrella de cinco puntas ABC DE. Escríbanse todas las
congruencias que admite la estrella consigo misma, comenzando con ABC D E — ABC DE.
9. El triángulo A BC es equilátero; es decir, A B — BC AC. Escríbanse todas las congruen­
cias posibles del triángulo consigo mismo, comenzando con la congruencia identidad
A B C * -A B C . (Hay más de cuatro.)
E l co n cep to 4 e co n g ru en cia
111
10. ¿Cuáles de las siguientes figuras planas pueden coincidir con otras? Para cada par de
ellas, indíquese qué movimientos (dar una vuelta en el espacio a una de las figuras, o
deslizaría, o girarla en el plano) son necesarios para que las figuras coincidan:
(a)
(b)
L _ L
(C)
L _ L
(d)
(e)
(0
11. ¿Cuáles de estas figuras tridimensionales son congruentes?
(a)
(b)
(c)
í
<d)
(D
12. Supongamos que el friso ornamental de la figura se extiende indefinidamente en ambas
» direcciones, como es el caso de una recta. Consideremos una traslación horizontal del
friso que transformaría cada pestaña en la pestaña siguiente del mismo lado de la recta.
Podríamos decir que este movimiento da una congruencia del friso consigo mismo.
(a) Descríbanse movimientos de tipo diferente que den congruencias del friso consigo
mismo. ¿Cuántas de esas congruencias hay?
(b) Descríbanse dos tipos de movimientos que den congruencias del friso a continuación
consigo mismo:
112
5 -2 .
C ongruencias
CONGRUENCIA D E TRIÁNGULOS
En la sección anterior, dimos una explicación intuitiva de lo que es una congruencia.
Veamos ahora algunas definiciones, con el propósito de tratar la idea matemática­
mente.
En el caso de ángulos y segmentos, es fácil expresar exactamente lo que queremos
decir.
D e fin ic io n e s
D os ángulos son congruentes, si tienen la misma medida. D os segmentos son
congruentes, si tienen la misma longitud.
Desde luego, la primera de estas definiciones es una repetición de la que se dio en
la sección 4-4.
Teorem a 5-1
Todo segmento es congruente consigo mismo.
La demostración es evidente, porque un segmento tiene su misma longitud. En
demostraciones futuras, nos referiremos a este teorema mediante la frase congruencia
idéntica.
D e la misma manera que escribimos L A s L B para indicar que L A y L B son
congruentes, escribimos
Tb ^
cd,
para indicar que A B y CD son congruentes. Así,
y
AB ^ CD
significa que
LA £ LB
significa que
AB = CD,
m L Á = mLB.
*
Cada una de las igualdades de la derecha es una igualdad entre números. Cada una
de las congruencias de la izquierda es una congruencia entre figuras geométricas.
N o escribiremos = entre dos nombres de figuras geométricas, a menos que queramos
decir que las figuras son exactamente una misma,
y esas ocasiones serán muy pocas. U n ejemplo
se presenta a la derecha. Aquí, es correcto
Escribir que
lbac
=
lead
,
porque L B A C y L E A D son, no solamente
congruentes, sino exactamente el mismo ángulo.
D e manera análoga, AB y BA son siempre el
mismo segmento y, por eso, es correcto escribir,
bién A B = BA.
C ongruencia d e triángulos
113
Consideremos ahora una correspondencia
ABC*-*.D EF
entre los vértices de dos triángulos A A B C y
A DEF. Esto automáticamente nos da una correspondencia entre los lados de los
dos triángulos:
J b <->d é ,
BC+-*EF,
y también nos da una correspondencia entre los ángulos de los dos triángulos:
LA
LD,
L B <-* L E ,
¿ c « lf.
Podemos ahora enunciar la definición de una congruencia entre dos triángulos.
D e fin ic ió n
Sea
ABC ^ DEF
una correspondencia entre los vértices de dos triángulos. Si los pares de lados
correspondientes son congruentes, y los pares de ángulos correspondientes son
congruentes, entonces la correspondencia A B C *-* D E F se llama una congruencia
entre los dos triángulos.
*
Cuando escribimos A A B C = A DEF, queremos decir que la correspondencia
A B C «-*■ D E F es una congruencia. Ésta es una taquigrafía muy eficiente, pues una
sola expresión com o A A B C £ A D E F nos dice a la vez seis cosas, a saber:
A B ^ D E,
0
A B = D E,
A C = DF,
0
A C = DF,
B C ^E F ,
o
B C = EF,
L A z LD ,
0
tn L A — m L D ,
L B s l e ,.
o
m LB = mLE,
A C S LF,
o
m L C - mLF.
114
C ongruencias
En cada u n a de las seis líneas anteriores, la congruencia de la izquierda significa lo
m ism o que la igualdad de la derecha. Podem os, p o r tan to , utilizar una u o tra notación,
según nos convenga. G eneralm ente, escribirem os A B — D E en vez de A B £ DE,
porque es m ás fácil de escribir. P o r la m ism a razón, corrientem ente escribirem os
L A = l D en vez de m L A = L m D . C on frecuencia, nos referirem os a las seis partes
de la definición an terio r m ediante el en u n c iad o : “ Partes correspondientes de triángulos
congruentes son congruentes.”
E n las figuras, a veces conviene indicar congruencias entre segm entos y ángulos
del m odo siguiente:
B
E
E n este caso, las seis congruencias indicadas p o r las m arcas nos dicen que
A A B C z z A DEF.
E n la figura a continuación, las m arcas n os dicen m en o s:
b
e
En efecto, es b astante fácil darse cuenta de que esos dos triángulos no son congruentes
m ediante correspondencia alguna.
E n algunos casos, aún con inform ación parcial solam ente, podrem os deducir que
u n a correspondencia es una congruencia.
B
*
E n la correspondencia A B C *-* DEF, se da que los tres pares de lados correspon­
dientes son congruentes y dos de los tres pares de ángulos correspondientes son con­
gruentes. Evidentem ente, debe ser cierto que ¿ C s L F y, p o r tan to , A A B C £
A D E F . En efecto, deberíam os pod er llegar a la m ism a conclusión aú n con menos
C ongruencia d e triá n g u lo s
115
inform ación. E n la p a rte final del siguiente conjunto de problem as, el alum no
descubrirá las condiciones en las cuales puede concluirse que u n a correspondencia
entre dos triángulos es u n a congruencia. Las propiedades de estas relaciones no son
difíciles de im aginar, según se verá m ás adelante.
D e fin ic io n e s
U n lado de u n triángulo se dice estar comprendido p o r los ángulos cuyos vértices
so n los extrem os dej segm ento.
U n ángulo de u n triángulo se dice estar comprendido p o r los lados del triángulo
que están en los lados del ángulo.
P or ejem plo, en el A A B C anterior, A C está com prendido p o r los ángulos L A y
L C , y el L A está com prendido p o r los lados A B y AC.
C onjunto de p roblem as 5—2
1. Si L A B E g L D C F , complétense los siguientes enunciados
con los símbolos que faltan: L a correspondencia
A íl¡2_ <-*■__ CF es una congruencia.
L A ^ LD .
AB~
L B % ___
~ÁE
Z .E S
.....
' í
S _ ÍL i_
BE~
.. :
2. Se da que A M Q P S A NQ P. Hacer una lista de los seis
pares de partes correspondientes congruentes de estos dos
triángulos.
3. Para cada una de las congruencias indicadas a continuación, hacer una lista de los seis
pares de partes correspondientes congruentes:
(a) A R Q F s L A B X .
Puede utilizarse una figura, si se desea.
(b) L F H W ^ L M R K . N o debe utilizarse una figura.
(c) A A Z W = A B W Z . N o debe utilizarse una figura.
116
C ongruencias
4. Escribir la congruencia para dos triángulos, determinada por los siguientes seis pares de
partes congruentes:
___ ___
A K zB W -,
k t
^ W r -,
AT^BR;
L A ^ L B .
l k
%lw .
LT^LR-
5. (a) En el A ABC^ ¿cuál es el ángulo comprendido por los
la d o sfiC y AS?
(b) ¿Cuál es el lado comprendido por los ángulos L A y
LC?
(c) ¿Qué lados comprenden el L C ?
(d) ¿Qué ángulos comprenden el lado B C t
6. Considérese el A G1IK. Sin dibujar una figura, ¿puede descubrirse un método fácil para
decidir qué lados y qué ángulos son lados comprendidos y ángulos comprendidos?
(a) ¿Está el ¿ H comprendido por los lados GH y H K ?
(b) ¿Está el lado C¡K comprendido por los ángulos ¿ G y L K 1
(c) ¿Cuál es el ángulo comprendido por GH y GK1
(d) ¿Cuál es el lado comprendido por ¿ G y / H ?
[Nota: En los problemas del 7 al 13, deben utilizarse un transportador y una regla para
construir los ángulos y segmentos.]
7. Construir el A RST, en el cual R S - 2A cm., R T ^ l i cm. y m /_R = 35.
8. Construir el A ABC, en el cual A B ^ l pulgadas, m L A = 45 y m L B - 60. Si se cons­
truyen varios triángulos con las medidas dadas, ¿qué característica común tendrán todos
esos triángulos?
9. Construir el A MNP, en el cual M N = 3 cm., NP - 2 cm. y PM - 31 cm. Quizás, sea
necesario utilizar un compás para completar la construcción.
10. Utilizando solamente una regla, constrúyase un triángulo cualquiera que no tenga dos
lados congruentes. Luego, constrúyase un segundo triángulo congruente con el primero
y descríbanse los pasos efectuados. ¿Existe más de una manera de obtener el segundo
triángulo del primero? ¿Cuántas de las seis partes del primer triangulo se utilizaron para
construir el segundo triángulo? ¿Cuál es el número mínimo de partes congruentes nece­
sario para asegurar que los dos triángulos son congruentes?
C ongruencia de triá n g u lo s
117
11. Construir el A ABC, en el cual m /_A = 40, A C — 3 pulgadas y CB = 2 pulgadas. Luego,
construir el A DEF, en el cual m/__D = 40, DF - 3 pulgadas y FE = 2 pulgadas.
¿Deberán ser congruentes los triángulos A ABC y A DEFl
12. En el problema 8, debió concluirse que todos los triángulos cuyas partes tienen las medidas
dadas son congruentes, esto es, todas las partes correspondientes son congruentes.
Cuando sucede esto, decimos que las tres partes dadas determinan un triángulo. En él
problema 11, deben haberse hallado dos triángulos que no son congruentes, pero que
tienen las medidas dadas. En el problema 7, ¿se determina un triángulo o más de uno?
¿Y en el problema 9? ¿Será posible asignar medidas a ángulos o segmentos de tal modo
que ningún triángulo esté determinado?
13. Construir el triángulo determinado por cada conjunto de medidas dadas a continuación.
Si la información determina dos triángulos, construir ambos. Si pueden construirse más
de dos triángulos, o no puede construirse ninguno, explicar por qué.
(a )w A M = 3 0 ,
(b)
M O = 2, m /_ 0 = 90.
m¿_B = 55,
(c) m L G = .'5,
G H = 6,
A B = 5,
BC = 3.
H¡ - 4.
(d) A B = 5, B C = 3, A C = 4.
(e) m¿_M — 80,
M O = 2, m /_ 0 = 120.
(f) D E = 8, E F = 3,
DF — 4.
(g) D E = 4,
m¿_D = 60.
D F = 8,
(h) m¿_A = 70,. m /_B = 60,
« Z C = 50.
14. (a) Los triángulos A-4flC y A DEF no se intersecan y M es un punto entre B y C. ¿Cuál
de los dos símbolos - o = corresponde colocar en cada uno de los espacios en
blanco para completar un enunciado que tenga sentido y que posiblemente sea cierto ?
(i)
A A B C ______ A DEF.
(v)
¿_E______ ¿_F.
(ii)
m /_ B ---------- m¿_E.
(vi)
A A B M ______ ¿.ABC.
(iii)
B C ----------EF.
(vii) m ¿_A B M _______ m LD E F .
(iv)
A B ______ 5 1 .
(viii)
A B ______ DE.
(b) ¿Qué espacio en blanco se pudo llenar con cualquiera de los dos símbolos ?
(c) Si A B hubiera sido el mismo segmento que DE, pero C fuera un punto diferente de
F, ¿en qué caso se cambiaría ^ por = ?
15. Se da el triángulo AA B C . Si
A A B C ^A B A C
y
A A B C I AACB,
¿qué conclusión se puede obtener acerca del A A B C ! ¿Cómo se demostraría que la
conclusión es válida ?
118
* 16. Se da PC _L K M con K-P-M. Los puntos A y £ están del mismo lado de K M que C, pero
A y B están en lados opuestos de PC. A está del mismo lado de PC que K. A ACP =
L\BCP. Demostrar que LK P A = ¿_MPB.
* 17. Si
A A B C ^A D E F
y
A D E F ^A G H K ,
¿qué conclusión se puede obtener acerca de los triángulos A A B C y A GHK1 ¿Cómo
se demostraría que la conclusión es válida? Enuncíese un teorema que generalice esta
situación.
PR O B LEM A OPTATIVO
Una relación de equivalencia se define como una relación * entre los elementos de un
conjunto, que tiene las siguientes propiedades:
Si a, b, c son elementos cualesquiera del conjunto, entonces
(i) a* a.
(Reflexiva)
(ii) Si a * b, entonces b* a.
(Simétrica)
(iii) Si a * b y b * c, entonces a t e . (Transitiva)
Al aplicar esta definición a una relación particular, debe remplazarse el asterisco (*) por
la relación. P or ejemplo, considérese la relación “tiene el mismo lugar de nacimiento
que”, definida en el conjunto de todos los niños nacidos en el Hospital San Antonio.
Tendríamos:
(i) a tiene el mismo lugar de nacimiento que a.
(ii) Si a tiene el mismo lugar de nacimiento que b, entonces b tiene el mismo lugar
de nacimiento que a.
(iii) Si a tiene el mismo lugar de nacimiento que b y b tiene el mismo lugar de
nacimiento que c, entonces a tiene el mismo lugar de nacimiento que c.
Como todas las afirmaciones anteriores son ciertas, decimos que la relación es una rela­
ción de equivalencia.
(a) Demostrar que lá congruencia de triángulos es una relación de equivalencia. Debe
explicarse por qué cada una de las tres afirmaciones es cierta. En la explicación, puede
utilizarse el problema 17.
(b) Elegir un conjunto apropiado para cada una de las siguientes relaciones y, luego,
determinar cuáles son relaciones de equivalencia:
“es menor que” , “es igual a” , “es el recíproco de” , “es condiscípulo de”, “es un
residente del mismo pueblo que”, “es más alto que”, “es más rápido que”, “es tan
húmedo como” .
L os postulados d e c ongruencia p a ra trián g u lo s
5 -3 .
119
LOS POSTULADOS D E CONGRUENCIA P A R A TRIÁNGULOS
Sin duda, el alum no h ab rá descubierto que hay p o r lo m enos tres casos e n los
cuales podem os concluir que u n a correspondencia entre dos triángulos es u n a con­
gruencia.
E n el prim er caso, A B C *-* D E F se llam a u n a correspondencia L A L ; con esto,
querem os decir que d os lados y el ángulo com prendido del prim er triángulo son
congruentes con las p artes correspondientes del segundo triángulo. (“ LA L” repre­
senta “lado-ángulo-lado” .) E n este caso, se deduce que A A B C s A DEF.
B
E
E n el segundo caso, A B C * -* D E F se llam a una correspondencia A L A ; con esto,
querem os decir que dos ángulos y el lado com prendido del prim er triángulo son
congruentes con las partes correspondientes del segundo triángulo. (“ A L A ” repre­
senta “ ángulo-lado-ángulo” .) En este caso, tam bién, se d ed u c e que A A B C — A D E F .
E
Finalm ente, en el tercer caso, A B C <-> D E F se llam a u n a correspondencia L L L ;
con esto, querem os decir que los tres lados del prim er triángulo son congruentes con
los lados correspondientes del segundo trián g ulo. (“L L L ” representa “lado-ladolad o ” .) A quí, debem os ten er A A B C s A D E F .
E
H acem os oficiales estas observaciones en los siguientes po stu lad o s:
P O S T U L A D O 15.
El p o stu la d o LAL
Toda correspondencia L A L es una congruencia.
12#
C ongruencias
PO STULADO 1 6 .
El postulado ALA
Toda correspondencia A L A es una congruencia.
P O S T U L A D O 1 7.
El p o stu lad o LLL
Toda correspondencia L L L es una congruencia.
L a m ayor p arte de las veces, aplicarem os esos postulados a correspondencias
entre d os triángulos diferentes. H em os visto, sin em bargo, que en algunos casos,
podem os establecer una correspondencia de u n triángulo consigo mismo, y los tres
postu lad o s anteriores valen en esos casos. Así, pues, una correspondencia LA L
p o d ría ilustrarse de este m o d o :
6
A ABC S
A D EF.
o posiblem ente com o se indica en la figura de la dere­
cha. A quí, las m arcas n os dicen que A B C *-* A C B es
u n a correspondencia LA L. Podem os, entonces, apli­
c a r el postulado L A L y concluir que A A B C S A ACB.
Advertencia: ¡N o hay tal cosa com o u n postulado LLA !
E n la figura anterior, A B C *-* D E F es una “ correspondencia LLA ” ; dos lados y
un ángulo no com prendido del A A B C son congruentes con las partes correspon­
dientes del A D E F . Pero la correspondencia, evidentem ente, no es una congruencia;
L os postulados d e c o n g ru en c ia p a r a triá n g u lo s
121
de hecho, D F es dem asiado largo, L E es dem asiado grande y L F es dem asiado
pequeño.
D esde luego, si los ángulos correspondientes son congruentes, sim plem ente se
deduce que los dos triángulos tienen la m ism a fo r m a -, pero no necesariam ente tienen
el m ism o tamañá/:
L os triángulos relacionados en esa form a se llam an semejantes.
En lo sucesivo, n os referirem os a nuestros tres postulados de congruencia m ediante
las abreviaturas L A L , A L A y LLL.
Conjunto de problemas 5—3
1. En cada par de triángulos dibujados a continuación, si las marcas semejantes indican
partes congruentes, ¿qué triángulos son congruentes en virtud del postulado LAL?
I
1—
Congruencias
2. Para cada par de triángulos dibujados a continuación, si las marcas semejantes indican
partes congruentes, citar el postulado de congruencia (LAL, ALA, LLL), si lo hay, que
demostraría la congruencia de los triángulos:
(c)
(e)
(0
(g)
(h)
(¡)
5 -4 .
REDACCIÓN D E DEMOSTRACIONES
A estas alturas, ya el alum no cuenta con suficiente inform ación fundam ental para
poder redactar verdaderas dem ostraciones geom étricas. D e ah o ra en adelante, la
ic d a c a ó n de dem ostraciones constituirá u n a parte m uy im portante de este curso,
p a n e q a e confiam os sea tam bién del agrado del alum no.
R edacción de dem ostraciones
123
Veam os u n p a r de ejem plos p a ra indicar lo que se hace p a ra en co n trar u n a dem os­
tració n y, luego, redactarla.
E je m p lo 1
Si d os segm entos se bisecan, entonces los segm entos que unen los extrem os de los
segm entos dados son congruentes.
A l em pezar a tra ta r un problem a com o éste, se debe, prim ero, dibujar u n a figura
y ponerle letras, em pleando u n a m ayúscula p a ra cad a vértice. Entonces, se enuncian
la hipótesis y la conclusión en térm inos de las letras de la figura.
D ato: A R y B H se bisecan en F.
Demostrar: A B ^ R H .
B
Se indican, con m arcas en la figura, las partes congruentes dadas.
Luego, se divide la página en d os colum nas, com o de costum bre, y se escriben
sus encabezam ientos, “ Afirm aciones” y “ R azones” .
T odo esto de n a d a nos servirá, desde luego, a m enos que se nos ocu rra u n a dem os­
tració n p a ra redactarla.
C om o n u estra finalidad es d em o strar que dos segm entos son congruentes, debemos
reco rd ar lo que sabem os acerca de segm entos congruentes. L as m arcas en la figura
indican que F B £ F H , y esto es cierto, en virtud de la definición de p u n to medio.
P o r la m ism a razón, A F £ RF. Si se quiere dem ostrar que A B = R H , lo m ejor es
dem o strar que son partes correspondientes de triángulos congruentes. P ara ello, se
necesita establecer u n a correspondencia entre los triángulos de la figura y, luego,
dem o strar que se tiene u n a correspondencia L A L, u n a correspondencia A L A o una
correspondencia L L L . P o r la figura, parece q u e esta correspondencia debiera ser
A F B <-» R F H .
D os pares de lados son congruentes, porque
A F s íR F -
y
F B s FH .
¿Y qué hay de los ángulos com prendidos? Si tam bién son congruentes, entonces
podem os aplicar el p ostulado LA L. Y son congruentes, pues son ángulos opuestos
p o r el vértice. P o r tan to , en v irtu d del p o stu lad o L A L . nuestra correspondencia es
124
Congruencias
una congruencia. L os lados ~AB y 1RH son lados correspondientes y, por tan to , son
congruentes. E sto es lo que deseábam os dem ostrar.
E scrita a h o ra en la form a de doble colum na, nuestra dem ostración resultaría así:
H
Demostración
A
1
R
f ir m a c io n e s
azones
D ato.
A R y B H se bisecan.
2.
AF=RF.
D efinición de “ bisecar” .
3.
F B = FH.
Definición de “ bisecar” .
4.
LAFBs l r f h .
L os ángulos opuestos p o r el vértice son
congruentes.
5.
AAFB s A RFH.
P ostulado LAL.
6.
Á B ^R H .
Definición
gulos.
de congruencia de
trián­
E sta dem ostración es sencillam ente u n a m uestra de cóm o se podría presentar el
trab ajo . H ay un lím ite en cuanto al “ tipo” que esperam os vaya a tener la form a de
u n a dem ostración. P or ejem plo, en los pasos 2 y 3 anteriores, hem os indicado con­
gruencias de segm entos, escribiendo
AF = RF
y
F B = FH.
y
FB s FH ,
Pudim os igualm ente h ab er escrito
A F ^R F
porque, en cada caso, la congruencia de segm entos y el enunciado de la igualdad de
sus longitudes significan lo mism o.
T am bién, tenem os bastante libertad de elección p a ra decidir cuántos detalles se
incluirán en una dem ostración. A m edida que el alum no adquiera m ás conoci­
m ientos y práctica, p o d rá escribir dem ostraciones con menos detalles. El m aestro
d eberá decidir cu án d o el alum no esté listo p a ra hacer esto y cuántos detalles podrán
omitirse.
R edacción de dem ostraciones
125
Puesto que ya el alum no debe tener idea de cóm o se procede, ofrecemos un
segundo ejem plo, en form a incom pleta. El problem a consistirá en llenar los espacios
en blanco, de m anera que se logre u n a dem ostración.
E jem p lo ( 2 )
D atos: A H ^ F H , L Á H B £ L F H B .
Demostrar: L A £ ¿_F.
Demostración
A
R
f ir m a c io n e s
1.
A H s l FH.
2.
L A H B ^L F H B .
3.
H B ^H B .
4.
AAHB s A
5.
L A £ LF.
azones
D ato.
T o d o segmento es congruente consigo
mismo.
_____________ •
Conjunto de problemas 5—4 A
(íy b o p ia r el siguiente problema en una hoja de pape! y llenar la información que falta:
D ato: La.figura, con
CD ± A B y AD £ BD.
Demostrar: A A D C £ ABDC.
Demostración
A
R azones
f i r m a c io n e s
1. A D £ BD.
Dato.
„ U
2. C D ± l B .
3. L A D C z L B D C .
Definición de perpendicularidad y de ángulo recto.
4. CD 2 CD.
Identidad (Todo segmento es congruente consigo mismp.)
5. A AD C ~ £
.
1. A l '
126
Congruencias
2. Copiar el siguiente problema en una hoja de papel y llenar la información que falta:
D atos: A M K P y A X Y Z tales que ’ Z .M = L Y,
L M K P £ L Y X Z y M K = XV.
Demostrar: P K s
D em ostración
A
1.
R azones
f i r m a c io n e s
L M ^LY.
M K = X Y.
LM KP
S
L YXZ.
2. A M K P £ ____
Partes correspondientes de triángulos congruentes son
congruentes.
3. En la figura, A E interseca a BD en C, tal que A C — DC
y BC = EC. Demostrar que L A = L D , copiando la
siguiente demostración y supliendo las razones que
faltan:
D em ostración
A
R azones
f ir m a c io n e s
1. A C = DC.
2.
L A C B s LD C E.
3.
BC = EC.
Dato.
4. A A C B ^ AD CE.
5.
LA g LD .
Partes correspondientes de triángulos congruentes son
congruentes.
[Nota: Aun cuando los enunciados 2 y 4 son muy parecidos, uno se refiere a ángulos y el
otro a triángulos. Esto deberá tomarse en consideración al presentar las razones corres­
pondientes.]
4. En la figura de la derecha, A B = CD y m L x = m L y
Demostrar que m L A C B = m L D A C .
R edacción de dem ostraciones
127
5. Copiar el siguiente problema y completar la demos­
tración de que si, en la figura, GK = H K y M es el
punto medio de GH, entonces /_G s /_H.
Demostración
A f ir m a c io n e s
R
azones
1. GK = HK.
2. M es el punto medio de GH.
Dato;
3 . ____________________
Definición de punto medio.
4 . ____________________
Identidad.
5. A G M K s A H M K ,
6 . ___________________
6. Demostrar que si en el A GHK, GK == H K y G-M-H
tal que ¿ G K M = ¿_HKM, entonces M es el punto
medio de GH.
7. Demostrar que si los segmentos A E y D F se bisecan en P, entonces AP D A 'S APFE.
(Deberá construirse una figura.)
8. D atos: Un segmento R S y los puntos 7'y U en lados opuestos de R S tales que TR = UR,
T S = US y UR < US.
D em ostrar: m ¿_T=m ¿_U .
9. D atos: DG = CH, ¿ Z ) £ ¿_C,
Demostrar: /1Z> = B C
10. Datos: Los puntos A , C, D y E están alineados con A-E-D y A-D-C. B es un punto
que no está en AC, tal que A B = CB, EB — DB y A E = CD.
&, C ;
Demostrar: Z_ABE£ Z.DBC.
$
•
* + 11- Se^ sabe que BQ biseca a PA en R , pero BQ PA. B y Q están en lados opuestos de
PA. S y C son puntos en P R y A R, respectivamente, tales que R S = RC. BC_LPA p"
y Q S ± P A . También, ¿_BAR ^ ¿_QPR. Demostrar que P A biseca a BQ y que
¿ .A B C s Z P Q S.
* * 12. Se da el A H RE, con R H = RE. Los puntos M y K están en los lados del ¿_HRE de tal
manera que R-H-M y R-E-K. E M y H K se intersecan en T. ¿_HRT S ¿_ERT. Demos­
trar que A M T H s AK TE.
*
133
Congruencias
D espués de haber term inado u n a dem ostración, a m enudo se encontrará que la
figura puede hacerse m ás instructiva colocando m arcas adicionales en ella.
L a figura an terio r ilustra el ejemplo 1 y su dem ostración. L as m arcas en A F y F R
indican que la congruencia A F s . F R es u n dato. Igualm ente, las m arcas en F H y
F B indican que F H £ FB es u n dato. Las m arcas en el ¿_AFB y en el L R F H , con
signos de exclam ación, indican que la congruencia L A F B s L R F H se dedujo. Y
las m arcas en A B y R H indican que A B s R H se dedujo.
A nálogam ente, las m arcas en la figura de la derecha
nos indican los datos y lo que se dedujo e n el ejemplo 2.
D e igual m anera, nuestros tres postulados de congruencia, LAL, A LA y LLL,
justifican los signos de exclam ación en las siguientes figuras:
LAL
ALA
LLL
R edacción de dem ostraciones
129
E n general, es una buena idea m arcar las figuras de tal form a que puedan indicar la
m ayor inform ación posible. A veces, podem os dibujar una figura que es u n cuadro
com pleto de un teorem a. P or ejem plo, las siguientes figuras son cuadros de teorem as
estudiados en la U nidad 4. ¿Cuáles son esos teorem as?
U n erro r frecuente al redactar dem ostraciones es que el alum no supone ser cierto
precisam ente aquello que tra ta de demostrar. O tro e rro r corriente es el de presentar
com o una razón en la dem ostración de un teorem a, o tro teorem a que es e n realidad
u n a consecuencia del principio que se tra ta de dem ostrar. Este tipo de razonam iento
constituye lo que llam am os círculo vicioso y carece de valor com o argum entación
lógica.
U n ejem plo particularm ente desacertado de círculo vicioso es el que utiliza el
teorem a que se va a d em ostrar com o una razó n en una de las etapas de la “ dem os­
tración” .
C onjunto de p roblem as 5—4B
1. Las figuras a continuación están marcadas de tal manera que indican la hipótesis y la
conclusión. Escribir, para cada una, los datos y lo que hay que demostrar.
(a)
(b)
A
E
8
F
D
C
C
2. Seguir las instrucciones del problema 1 para las figuras a continuación:
130
Congruencias
3. Copiar el siguiente problema y completar la demos­
tración : Se da la figura, con A C — BC, D C = EC, G es
el punto medio de DC, H es el punto medio de EC,
Z_ACE £ ¿1BCD. Demostrar que AG — BH.
Demostración
R
A f ir m a c io n e s
azones
1. A C = BC.
2. D C = EC.
___
G es el punto medio de DC.
es el __________________
3. DG = GC = ID C.
Definición de punto medio.
4. E H = H C = \EC.
Pasos 2, 3 y 4 y sustitución.
5. GC — HC.
6.
m ¿ A C E = m ¿BC D .
Dato y definición de congruencia de ángulos.
7. m ¿ A C G + m /_G CH =
m ¿BC H +m ¿G C H .
Postulado de la adición de ángulos y _______
_____________en el paso 6.
8.
m LGCH
=
m¿_GCH.
9. m ¿ A C G = m/_BCH.
10. A A G C z A BHC.
Principio de la igualdad respecto de la sus­
tracción.
Pasos 1, 5 y 9 y el postu lad o ------------------
11. AG = BH.
4. En la figura de la derecha, si A E = BC, A D = BD y
D E — DC, demostrar que ¿_E s LC .
5. En la misma figura, si A E — BC, AD = BD y ¿.EAD £
L C B D , demostrar que L B D E £ ¿_ADC.
6. En la figura anterior, si A E = BC, A D — BD y ¿ .E £
Z C, ¿se podrá demostrar que ED = CD1 Si se puede,
hágase la demostración. Si no se puede, expliqúese por
qué.
Figura para los problemas 4,
5, 6, 7
7. En la figura anterior, si L E £ L C , ED = CD y Z. BDE £ L A DC, ¿se podrá demostrar
que A E = BC? Si se puede, hágase la demostración. Si no se puede, expliqúese por
qué.
8. Datos: La figura de la derecha, con A B . MK, y B el
' punto medio de MK.
Demostrar: L x £ Ly-
M
8
R edacción de dem ostraciones
131
9. Se sabe que el rayo A E biseca a BK en R tal que AB = AK. Demostrar que A E _L BK.
10. En la figura de la derecha, CF = CM, ¿ \ = ¿ 2
y ¿ 3 s ¿4.
Demostrar que ¿.5 £ Z.6.
11. Se sabe que PQ y R S se intersecan en T, con P-T-Q y R-T-S, tal que R T - Q T ,
P R ± R S y S Q 1 PQ. Demostrar que ¿_P £ Z.S.
12. Demostrar que si, en la figura, P 5 = Q S ,P V Q V y ¿_x £ Z..V, entonces S V 1 P Q .
13. En la figura de la derecha, si A B = CB,
¿_MAE £ L N C D y A E = CD, demostrar que
A A B E £ ACBD .
14. En la misma figura, si ¿.EAB £ /_DCB, L E B A £
L D B C y L E £ Z . ¿ s e podrá demostrar que
A A B E £ A C B D ? Expliqúese.
15. En la misma figura anterior, si A B = CB, m L M A E = m L N C D y m L A B D =
m L C B E , ¿se podrá demostrar que B £ = ¿JD? Si la respuesta es afirmativa, desarrollar
una demostración.
16 En la figura siguiente de la izquierda, se sabe que A, B, C y_D son puntos no coplanarios,
y que B, C y D están en el plano E. Si A B ± BC, A B ± B D y B C = BD, demostrar que
A C = AD.
-A
8
17. En la figura anterior de la derecha, si L A B P £ LCBP, BP L A P y B P 1 CP, demostrar
que A B = Cfi.
132
5 -5 .
C ongruencias
B ISE C T R IZ D E UN ÁNGULO
Las m arcas en la figura de la derecha indi­
can que A D biseca al L B A C .
c
E n la siguiente figura, A D ' n o biseca al L B A C , po rq u e “ señala e n el sentido
contrario ” .
A sí, llegam os a la siguiente definición:
D e f in ic ió n
Si D está en el interior del L B A C , y L B A D = L D A C , entonces A D biseca al
L B A C , y A D se llam a la bisectriz del L B A C .
T e o re m a 5 - 2
T o d o ángulo tiene exactam ente u n a bisectriz.
Dem ostración: (1) E n la figura siguiente de la izquierda, tóm ense B y C en los lados
del L A , de m anera que A B = A C . Sea D el p u n to m edio de BC. Entonces, AD B*-*
A D C es u n a correspondencia LLL. P o r el postulado LLL, A A D B ^ A A D C . P o r
tan to , L B A D 'S . L C A D , pues son ángulos correspondientes. Luego, L A tiene una
bisectriz.
(2)
Supongam os que A D biseca a l L B A C , com o se indica en la figura anterior
d e la derecha. Sea r = m L D A C . Entonces, r — m L D A B , po rq u e estos ángulos son
congruentes. P o r el postulado 13, r + r — m L B A C y, así, r = \m L B A C . Pero,
tam bién, sabem os que D está del m ism o lado de A C que B. (¿ P o r qué?) E n virtud
del postulado de la construcción del ángulo, existe solam ente u n rayo “ que está en el
lado debido de A C ” y que “ da u n ángulo con la m edida correcta” .
B isectriz de u n ángulo
133
Conjunto de problemas 5 -5
1. Decidir si los siguientes enunciados son ciertos o falsos y explicar la respuesta:
(a) La bisectriz de un ángulo está enteramente en el interior del ángulo.
(b) La bisectriz de un ángulo forma dos ángulos agudos con los lados del ángulo.
2. Se sabe que AP biseca al ¿ B A C y que A C = AB.
Demostrar que PC = PB.
3. Los puntos A y B están en lados opuestos de C Y,
C está en el interior del ¿ A X B , y C-X-Y. Si
¿_A X Y = ¿ B X Y , demostrar que .^Cbiseca al ¿ A X B .
4.
Se sabe que dos ángulos forman un par lineal. Demostrar que sus bisectrices son perpen­
diculares.
5. D atos: AD , B E y CF se intersecan en K, y KC
biseca al ¿ D K B . Demostrar: KF biseca a l¿A K E .
6. M N y PQ se intersecan en O, con M -O -N y P-O-Q. S y T son puntos en el interior del
¿ Q O N , tales que ¿ T O Q £ ¿ T O N y ¿_SOQ s ¿.SO N. OR biseca al ¿P O M .
Demostrar que R, S y T están alineados.
7. En la figura de la derecha, los planos E y F s e intersecan
<■> <■—
>
<
en la recta A B. PK está en el plano F y corta a A B en
D.' P A — PB, ¿ P A B = ¿ PBA y O es el punto medio
de AB. Demostrar que P K biseca al ¿_APB.
* 8. En la figura de la derecha, P, B, D y C son puntos
en el plano E, y A no está en el plano E. ñ A B C
y A P B C son isósceles, con A B = A C y PB = PC,
respectivamente. Si A D biseca al ¿ B A C , demos­
trar que PD biseca al ¿_BPC.
1M
Congruencias
S -i.
TRIÁNGULOS ISOSCELES Y EQUILÁ TEROS
AI final de la sección*5-l, m encionam os la posibilidad de ap arear los vértices de un
triángulo A A B C en el cual p o r lo m enos dos lados son de igual longitud. Éste es,
efectivam ente, el caso con el cual trabajam os en el prim er teorem a de congruencia.
El teorem a del triángulo isósceles
T e o re m a 5 - 3 .
A
Si dos lados de un trián g u lo son congruentes, entonces
los ángulos opuestos a estos lados son congruentes.
O de otro m odo:
L B g LC.
Dem ostración:
Se da el A A B C . Si A B s A C , entonces
Considérese la correspondencia
A B C *-* A C B
del A A B C consigo mism o. En esta correspondencia, tenem os que
A B +-+AC,
AC*->AB,
L A *-* L A .
É sta es una correspondencia L A L y, en virtud del postulado LA L, se tiene que
A A B C £ A ACB,
esto es, la correspondencia A B C < -*A C B es u n a congruencia. P o r la definición de
congruencia de triángulos, todos los pares de partes correspondientes son congruentes.
P o r tan to , L B s l C, p orque estos ángulos son partes correspondientes.
Veremos a h o ra cóm o resultaría la dem ostración en la form a de dos colum nas.
Se utiliza la m ism a figura anterior.
Demostración
A
1.
R
f ir m a c io n e s
A B sA C .
a zones
D ato.
A C £ A B.
2.
L A S LA.
C ongruencia idéntica.
3.
i —ABC £ A ACB.
Pasos 1 y 2 y LAL.
4.
_ S s¿C .
Definición de congruencia de triángulos.
T riángulos isósceles y equiláteros
135
D e fin ic io n e s
U n triángulo con dos lados congruentes se llam a isósceles. E l o tro lad o es la
base. L os dos ángulos asociados con la base son ángulos en la base. El ángulo
opuesto a la base es el ángulo en e l vértice.
U tilizando estos térm inos, podem os enunciar el teorem a 5-3 de la siguiente m a n e ra :
“ L os ángulos e n la base de u n triángulo isósceles so n congruentes” .
D e fin ic io n e s
U n triángulo c o n sus tres lados congruentes se llam a equilátero.
U n triángulo p a ra el cual dos lados cualesquiera n o son congruentes se llam a
escaleno.
U n triángulo es equiángulo, si sus tres ángulos son congruentes.
U tilizando los térm inos equilátero y equiángulo, enunciam os ah o ra u n teorem a que
se deduce fácilm ente del teorem a 5-3. Llam arem os a este teorem a el corolario 5-3.1.
U n corolario es u n teorem a que se deduce fácilm ente de o tro teorem a.
C orolario 5-3.1
T o d o triángulo equilátero es equiángulo.
D e otro modo: Se d a el A A B C . Si B C = A C = A B , en­
tonces l a = l b = l c .
P a ra d em ostrar el corolario, aplicam os el teorem a 5-3 dos veces. Los detalles se
dejan al alum no.
El siguiente teorem a se parece al teorem a 5-3, pero, en realidad, es diferente.
U n a ojeada al teorem a enunciado de o tro m o d o dem uestra esto co n bastante claridad.
Obsérvese tam bién la diferencia en las m arcas de las figuras.
Teorem a 5 - 4
Si d os ángulos de u n trián g u lo son congruentes, entonces los
lados opuestos a estos ángulos son congruentes.
De otro modo:
Se d a el A A B C . Si L B = L C , entonces A B = AC.
136
Congruencias
Dem ostración:
C om o ¿ f l s L C , B C ^ C B y ¿_C s L B , la correspondencia
ABC *-+ACB
es u n a correspondencia A LA . P o r ta n to , es u n a congruencia y se tiene
A A B C S AACB.
Luego, A B = A C , p orque los lados correspondientes son congruentes.
C o ro la rio 5 -4 .1
T o d o triángulo equiángulo es equilátero.
Se p o d rá red actar el teorem a de o tro m odo y
desarrollar una dem ostración.
Conjunto de problemas 5—6
1. Elegir la alternativa que completa correctamente cada uno de los siguientes enunciados:
(a) La bisectriz de un ángulo es un
(i) segmento.
(ii) rayo.
(iii) plano.
(ii) es escaleno.
(iii) no es isósceles.
(b) Un triángulo equilátero
(i) es isósceles.
(c) Un corolario es
(i) una definición.
(ii) un postulado.
(i) una definición.
(ii) un corolario.
(iii) un teorema.
(d) Si dos ángulos de un triángulo son congruentes, podemos concluir que el triángulo
tiene dos lados congruentes, en virtud de
(iii) un teorema.
2. En la figura de la derecha, el A P R S es isósceles, con PR = PS.
Demostrar que ¿ x s ¿_y.
i
En la figura de la derecha, si ¿_m s L n , demostrar que
® ~G H K es isósceles.
T riángulos isósceles y equiláteros
137
4. D atos: La figura plana ADBC, con A D = B ü y A C = BC.
Demostrar: ¿ _ C A D s /_CBD.
5. D atos: La figura plana ADBC, con A C = B C y L C A D s
Z_CBD. Demostrar: A D — BD.
6. En los problemas 4 y 5, ¿será necesario especificar en la
hipótesis que la figura está en un plano ? Expliqúese.
F ig u ra pa ra lo s p ro b le m a s
4, 5, 6
7. Demostrar el corolario 5-4.1:
Todo triángulo equiángulo es equilátero.
8. Se da la figura de la derecha con las marcas indicadas.
Demostrar que el A M N K es isósceles.
concluir que el A ABC es
(a) escaleno.
(b) isósceles.
(c) equilátero.
10. Se da el A ABC en el cual la correspondencia A BC «-*■CAB es una congruencia. Podemos
concluir que el A ABC es
(a) escaleno.
(b) isósceles.
(c) equilátero.
11. Demostrar que la bisectriz del ángulo opuesto a la base de un triángulo isósceles biseca
y es perpendicular a la base.
c
/ l í . j E n la figura, A C = BC, ¿_A £ y, y ¿_B s ¿'_x.
V — 'D em ostrar que el A C D E es isósceles.
*
13. En un plano, los puntos C y D están en lados opuestos de AB de tal modo que el A ABC
es un triángulo equilátero y el A ABD es un triángulo equiángulo. Demostrar que
¿_D.
p
14. Se sabe que en la figura de la derecha, PQ j_ MQ,
P Q ± NQ y M Q = NQ. Demostrar que el A MNP
es isósceles.
15. En la misma figura, si L P M N £ /_PNM y
/_M PQ £ L N P Q , demostrar que ¿JPMQ s
LP N Q .
138
5 -7 .
C ongruencias
TRIÁNGULOS PA RC IA LM EN TE SU PERPU ESTO S. EM PL EO D E LA
F IG U R A P A R A O B TEN ER INFORMACIÓN
C on frecuencia, necesitam os tra b a ja r con triángulos que no aparecen com pleta­
m ente separados en las figuras, sino que en p a rte están superpuestos. Así ocurre
con el A A F M y el A F A H en la figura de la derecha.
P a ra evitar confusiones y equivocaciones al tra ta r estos
casos, es m uy im p o rtan te escribir las congruencias correcta­
m ente :
A A F M S A FAH .
C om probam os prim ero que la correspondencia A F M * -* F A H es realm ente una
congruencia y, luego, n os referim os a la congruencia A A F M = A F A H cuando
deseam os concluir que dos lados correspondientes (o dos ángulos correspondientes)
son congruentes. C onsiderando sólo la congruencia A A F M = A FAH , sin m irar la
figura, sabem os que
AF=FA,
FM — AH,
A M = FH ,
p orque son lados correspondientes en la correspondencia
A F M
-- ------ ►
F A H
-------------------- H
E sta m anera de a b o rd a r el problem a es m ás confiable que volver la cabeza p a ra dar
u n a m irada de soslayo a la figura con la esperanza de que n o nos confundirá.
C onsiderem os u n caso en que esta situación surge al dem ostrar u n teorem a.
Datos:
H A = HF\
D em ostrar:
H M — HQ.
F M = AQ.
U na m anera corriente de dem ostrar que dos segm entos son congruentes es la de
■ o s r a r que son lados correspondientes de triángulos congruentes. Si este m étodo puede
T rián g u lo s p arcialm ente superpuestos. E m pleo de la figura p a ra obtener inform ación
139
utilizarse con éxito aquí, entonces, debem os prim eram ente indicar los triángulos que
contienen a T M y a A Q . Son éstos el A H M F y el A H Q A , que coinciden parcialm ente.
El problem a a h o ra consiste en d em o strar que los dos triángulos son congruentes. La
dem ostración, escrita en form a de doble colum na, se d a a continuación:
Demostración
R azones
A firmaciones
1.
HA ~H F.
D ato .
2.
L H s LH .
U n ángulo
m ismo.
3.
HM=HQ.
¿Por q u é?
4.
A H M F Sí A H Q A .
¿Por q u é?
5.
FM =AQ.
¿Por qué?
es
congruente
consigo
U n a dem ostración estrictam ente lógica no debe depender de u n a figura, sino ser
consecuencia de los postulados, las definiciones y los teorem as ya establecidos. Pero
los geóm etras suelen utilizar figuras librem ente com o taquigrafía p a ra explicar en
prim er lugar en qué consistía el problem a. C o n este espíritu fue com o enunciam os
el ejem plo 1 al com ienzo de la sección 5 -4 de la siguiente m a n e ra :
D atos: A R y B H se bisecan e n F.
Demostrar: A B = R H .
Explicam os luego que to d o el teorem a p o d ría ser expresado m ediante m arcas adi­
cionales en la figura, sin em plear u n a sola palabra, com o se indica a co n tin u ació n :
H
Si prescindiéram os de u n a figura, tendríam os que volver a enunciar el ejem plo 1
e n la siguiente fo rm a:
14®
Congruencias
Ejemplo 1
Sean A , B , F, H y R cinco p a n to s no alineados en un plano. Si (1) F está entre
A y R , (2) F está entre B y H , (3) A F = FR y (4) B F = F H , entonces (5) A B = R H .
‘ R
P
.
i:r.
.
*
M ediante el em pleo de figuras, las prim eras dos redacciones del ejemplo son
seguram ente m ás fáciles de leer que la tercera y son igualm ente exactas, una vez
que se entienda el m odo de utilizar las figuras com o una taquigrafía. U tilizarem os
figuras p ara indicar la colinealidad de puntos, el orden de los puntos en una recta, la
localización de u n p u n to en el interior de un ángulo y, en general, las posiciones
relativas de puntos, rectas y planos. P or o tra parte, a base de figuras no debe inferirse
congruencia de segm entos, o de ángulos, sencillam ente porque se ven así. P ara
o btener esta clase de inform ación m ediante una figura, debem os marcarla en la
fo rm a usual.
P o r ejem plo, la figura de la derecha nos dice que D E ^ EF, pero la figura de la
izquierda no nos dice que A B = B C , aun cuando una m edición cuidadosa sugiere
que éste debiera ser el caso.
A
C
B
A
D
C
B
D
A nálogam ente, la figura an terio r de la izquierda nos dice que A B ± C D , pero no
así la figura de la derecha.
T riángulos p arcialm en te superpuestos. E m pleo d e la figura p a ra "obtener inform ación
141
C onjunto de p roblem as 5—7
1. En la figura, R V = S T ,R Q = S P y L V R Q s LTSP.
Completar la demostración de que Q V = PT.
R
p
q
s
Demostración
A
R azones
f ir m a c io n e s
1. R V = ST.
2. L VRQ s L T SP .
Dato.
3. ________________
4. A R Q V S .
5. _________
2. En la siguiente figura de la izquierda, si KG_LGH, L H G H y ¿_KHG = ¿LG H ,
demostrar que K H g LG.
3. En la figura anterior de la derecha, A C = B C y ¿L C A E s Z.CBD. Demostrar que
A A C E £ A BCD.
4. En la figura, A C = BC, DC = E C y A D = BE.
Completar la demostración de que
L A C E s LBC D .
■£.
8
Demostración
R azones
A f ir m a c io n e s
1. A C = BC.
Datos.
DC = EC.
2. AD = BE.
3. D E = DE.
4. A D + D E = B E + DE-
Propiedad aditiva de la igualdad.
5. Á E = BD.
Definición de “estar entre” y paso 4.
6. __________________
7. L A C E S LBC D .
142
C ongruencias
5- En la figura, PM = QN, PS = Q R y M R = NS.
Demostrar que
/_ P S N z L Q R M .
6. En la figura de la derecha, si A F = BG, ¿_A = L B y A E =
BD, demostrar que E F = DG.
* 7. En la figura de la derecha, si L A g /_B, AD = B E y
L A D G = ¿_BEF, demostrar que ¿'_CFE = ¿_CGD.
' Figura para los problemas 6 y 7
* 8. En la siguiente figura de la izquierda, A D = BC, A C = BD, A K = BN y AG = BH.
Demostrar que KG = NH.
9. Se da la figura plana anterior de la derecha, con w = x y y = z. Demostrar que R V = ST.
10. Se sabe que en la figura de la derecha,
¿_rv = ¿_n. Demostrar que A C = BC.
x s Ly y
11. En la misma figura, si D F = E F y ¿'_x = ¿_y, demos­
trar que el A AFB es isósceles.
12. Si, en la misma figura anterior, AC = BC y D C = EC,
demostrar que DF = EF. ■
Figura para los problemas 10,11 y 12
13. En la figura de la derecha, si M K — M Q , ML =-MP
y KL = QP, hallar el ángulo congruente con el ¿_KML
y justificar la respuesta.
14. Si, en la misma figura, M K = M Q , ¿.K = Q,
P M \_ M K y L M _L M Q , demostrar que ¿_L 2 ¿_P.
Figura para los problemas 13 y 14
C uadriláteros, cuadrados y rectángulos
143
15. En los lados del L A , se toman los puntos B y C de tal modo que AB = AC. Una recta
por B es perpendicular a A C en D. Análogamente, una recta por C es perpendicular
a A B en E. Si A D = AE, demostrar que BD = CE.
■'* 16. La recta L es perpendicular a X Y y biseca a X Y en 5. Los puntos R y T son los puntos
medios de XS y YS, respectivamente. Los puntos A y B se toman en L en lados
opuestos de X Y de tal modo que A X = B Y y A T = BR. Demostrar que A S ^ BS.
A
K
D
17. Se da la figura de la derecha. Demostrar que si ¿ A s
L D K M y K M = CM = TM, entonces A D = BC.
N
C
18. En la figura de la derecha, B, D y H están en el plano E,
pero A y C no están en el plano E. Si A B ± BD,
C D ± H D , A B = H D y CD = BD , demostrar que A D =
HC.
19. (á) Dem ostrar que si, en la siguiente figura de la
derecha, X es el punto medio de M N , M Z = N Y
y X Z = X Y , entonces L Y s L Z .
(b) ¿Será necesario que M , N , X , Y y Z sean coplanarios?
'*
*
20. (a) En la misma figura, si M , N , X , Y y Z son coplanarios, X es el punto medio de M N , L M ^ ¿_N y
L M X Y £ L N X Z , demostrar que L 7 = L Z .
(b) ¿Será necesario que M , N, X, Y y Z sean coplanarios? Expliqúese.
5 -8 .
r
b
c
t
E/
/
/■
\
y
M
D/
Z
f
N
Yx
*
N
Figura para los problemas
19 y 20
CU A D RILÁ TERO S, CUADRADOS Y RECTÁNGULOS
U n cuadrilátero es u n a figura p lan a de cuatro lados. A lgunos ejem plos son:
B
144
Congruencias
U n a figura com o la siguiente de la izquierda no es un cuadrilátero:
B
\ c
A
D
A dem ás, los lados de u n cuadrilátero no deben cruzarse u n o al o tro. La figura
an terio r de la derecha no es u n cuadrilátero.
L as siguientes definiciones están enunciadas de ta l form a que incluyen solam ente
los casos que deseam os incluir:
D e f in ic io n e s
Sean A , B , C y D cuatro p u n to s coplanarios. Si tres cualesquiera de ellos n o ,
están alineados, y los segm entos A B , BC, CD y D A se intersecan solam ente en
sus extrem os, entonces la reunión de los cuatro segm entos se llam a cuadrilátero.
L os c u atro segm entos se llam an lados, y los puntos
A , B, C y D se llam an vértices. Los ángulos L D AB,
L A B C , L B C D y L C D A se llam an ángulos del
cuadrilátero, y pueden indicarse brevem ente por
LA, LB, L C y LD .
b
c
a
d
Si los cuatro ángulos del cuadrilátero son ángulos
rectos, entonces el cuadrilátero se llam a rectángulo.
.
B
__________ C
E
Si los cu atro ángulos son ángulos rectos y los cuatro
lados son congruentes, entonces el cuadrilátero es un
cuadrado.
A
El cuadrilátero m ism o se indica p o r O A B C D .
'
d
C uadriláteros, cuadrados y rectángulos
145
E n la figura de la derecha, las m arcas nos dicen
que A D es una mediana del A A B C . Esto puede
'enunciarse form alm ente com o sigue:
D e fin ic ió n
U n a mediana de u n triángulo es un segm ento cuyos extrem os son u n vértice
del triángulo y el p u n to medio del lado opuesto.
T o d o triángulo tiene tres m edianas, una p a ra cada vértice.
A
L as m arcas en la figura de la derecha indican que
A E es la bisectriz de u n ángulo del A A B C .
D e fin ic ió n
U n segm ento es u n a bisectriz de un ángulo de un triángulo, si (1) está en el rayo
que biseca ál ángulo del triángulo, y (2) sus extrem os son el vértice de ese ángulo
y un p u n to del lado opuesto.
Conjunto de problemas 5 -8
1. Construir un triángulo escaleno grande. Construir sus tres medianas y las bisectrices
de los tres ángulos.
r
2. D atos: A ABC, con la mediana A D perpendicular al
lado TC.
Demostrar: A D biseca al ¿_BAC y el A ABC es
isósceles.
3. Demostrar que la mediana correspondiente a la base de un triángulo isósceles es perpen­
dicular a la base y biseca al ángulo opuesto a la base.
4. Se sabe que \JM OPQ es un cuadrado con R punto medio de
M Q . Demostrar que el A ROP es isósceles.
146
Congruencias
5. En el ¡JGKHM, ¿_G y Z_H son ángulos rectos, GK = M H y GH MK. Los puntos
*
<■—
>
G y H están en lados opuestos de MK. Demostrar que \JGKHM es un rectángulo.
6. En el DABCD, A C ± BD en F, A C = BD y FD =
FC. Demostrar que A A C D 3 A BDC.
7. Demostrar que las medianas correspondientes a los lados congruentes de un triángulo
isósceles son congruentes.
8. Demostrar que en un triángulo isósceles, las bisectrices de los-ángulos en la base son
congruentes.
9. El O ABC D es un cuadrado y P, Q, R y S son los puntos medios
de AB, BC, CD y DA, respectivamente. Demostrar que
Z.PQR 3 /LPSR.
A
S
O
10. El D ABFH es un cuadrado. X es un punto en AH, y Y es un punto en BF tal que
A X = B Y. Demostrar que A Y = BX.
11. A P biseca al ¿_BAC. D es un punto en AB, y £ es un punto en A C tal que AD = AE.
Demostrar que PD = PE.
* 12. Se da la figura de la derecha, con K M bisecando
a ambos /_HKG y ¿_HSG. Demostrar que
K M \H G .
13. En la figura de la derecha, si XU = X V y
Al £
¿ 3 3 Z.4,
demostrar que
L 5 3 Z.6 y
A 7 s ¿8.
P roblem as suplem entarios
PR O B LEM A OPTATIVO
C
(a) Sobre la base de los teoremas demostrados hasta
■ahora, ¿se podrá demostrar que si A C £ MP,
BC ^ N P y la mediana AD s la mediana M Q,
entonces A ABC £ A M NP? Si se puede, hacerlo.
Si no se puede, explicar por qué.
(b) Sobre la base de los teoremas demostrados hasta
ahora, ¿se podrá demostrar que si A C g MP,
A B £ M N y la mediana A D s la mediana M Q ,
entonces A ABC s A M NP? Si se puede, hacerlo.
147
A
8
P
í
?.x )
X ?
/
N
M
D
P rob lem as su p lem entarios
1. D atos: D C = B C y
D K = BK.
D em ostrar: A D —AB.
M
a
/ T
- r
<
\
\
■1f t - - J >
C
i
B
2. Dados dos triángulos congruentes, la mediana de un lado de uno de los triángulos es
congruente con la mediana del lado correspondiente del otro.
3. En la figura de la derecha, si M Q = PQ = P R = NR,
demostrar que el A M N P es isósceles.
4. Se da el A R S T , con S-X -T de modo que S X = SR. Q es un punto tal que R-Q -T y SQ
biseca al Z_RST. Dibujar QX. ¿Qué ángulo es congruente con el /_R? Demostrar la
congruencia.
s
5. En la figura de la derecha, X W —Z Y , A X = B Y y
AZ. = BW . ¿Qué ángulo es congruente con el ¿_A ?
Demostrar la congruencia.
6. Se da la siguiente figura de la izquierda, en la cual Q S y R T se bisecan en P. Demostrar
que A P = BP.
7. En la figura anterior de la derecha, si A B = AC, A D = A E y ¿_x% ¿_y, entonces
AG = AH.
Congruencias
8. Demostrar que la bisectriz de cada ángulo de un triángulo equilátero es una mediana del
triángulo.
9. (a) En la figura de la derecha, A D = BC, A B - PC
y M N biseca a A C en K. ¿Biseca A C a MiV? Jus­
tificar la respuesta.
D
M
(b) ¿Tienen que ser todos los puntos de la figura coplanarios?
N
B
10. (a) En la figura de la derecha, N K = M L y M K = NL.
Demostrar que ¿_MNK ^ /_NM L.
(b) ¿Tienen que intersecarse K M y NL?
11. D atos: La figura de la derecha, con A B = A C y
¿_RCB £ LTBC .
Demostrar: R C = BT.
12. Se dan dos triángulos congruentes. Demostrar que la bisectriz de un ángulo de uno de
los triángulos es congruente con la bisectriz del ángulo correspondiente del otro.
13. En la figura de la derecha, A, P y C están en el plano
E, y R y S están en lados opuestos de E. Si APJ_ RS,
RP = S P y RC = SC, demostrar que
(a) C P ± R S ,
(b) ¿_ACR g L A C S .
^
14. En AB, se tiene A-C-B y CD J AB. El punto P está en el interior del ACD y el
punto Q está en el interior del ¿ B C D tal que ¿P C A =
QCB. Si CD \ PQ , entonces
PC = QC.
15. Si AP y BC se bisecan en N, y A C y BQ se bisecan en K, demostrar que PC - QC.
16. Se da el A A B C , con A B = BC. Sea D un punto en el lado de A B opuesto a C
tal que el A ABD es equilátero. Sea E un punto en el lado de BC opuesto a A tal que el
A BCE es equilátero. Demostrar que A E = CD.
A
17. Se da el t í A BCD como en la figura, con A B = DC y AD
BC. Demostrar que A C y BD se bisecan.
0
P roblem as suplem entarios
149
18. En la figura de la derecha, los puntos G y B trisecan a MR,
y los puntos G y P trisecan a AC. Si AG BG, demostrar
que L R = /_C. [Nota: Trisecar significa dividir en tres
partes congruentes,]
19. Redactar una definición cuidadosa de lo que significa “ C y D trisecan a AB".
20. Si X Y es perpendicular a cada uno de tres rayos diferentes XA, XB, XC, y XA = X B =
XC, demostrar que A Y = B Y = CY.
M
21. Datos: El A KVL es isósceles, con K V = LV , y M P con­
tiene la mediana VP del A KVL.
Demostrar: S T = RT.
22. (a) Si AB y CD se bisecan en K, demostrar que A C = BD y que AD = BC.
(b) Si también EFes bisecado en K, ¿se podrán hallar seis pares desegmentos congruentes,
ninguno de los cuales contiene a K ?
(c) Si EF no está en el mismo plano con A B y CD, ¿cómo afectaría esto a las conclu­
siones en la parte (b)? Trátese de imaginar la figura, o hágase un croquis o un
modelo de ella.
23. Se da el L B A C tal que A B ----- AC; R está en A B y T está en A C de tal modo que R C TB. Con esta información, ¿se podrá demostrar que A R = A T I Si se puede, hacerlo. Si
no se puede, explicar por qué.
24. Los triángulos L P A B y L Q A B están en planos
diferentes, pero tienen el lado común AB. Si
A P A B ^ A QAB y X es cualquier punto en AB,
entonces L X P Q £ L X Q P .
25. Completar la demostración de Euclides para el teorema: Los
ángulos en la base de un triángulo isósceles son congruentes.
Datos: L B A C , con A B = AC.
Demostrar: L A C B ^ L A B C .
[Sugerencia: Primeramente, tómese un punto E tal que A-B-E
y un punto F tal que A-C-F y A E = AF. Dibújense BF y CE.]
13#
Congruencias
Repaso de la unidad
1. Indicar si cada uno de los siguientes enunciados es cierto o falso:
(a) Si en la correspondencia ABC ** KLM , AC £
la correspondencia es una congruencia.
AB £ KL y L A £ ¿_K, entonces
(b) Si A C = BD, podemos concluir que o bien A = B y C = D, o A = D y B = C.
(c) Dos triángulos son congruentes, si los tres ángulos de un triángulo son congruentes
con los tres ángulos del otro.
(d) Si en el A DEF, m L D — m L E = m/_F, entonces el A D E F es equilátero.
(e) Una mediana de un triángulo biseca a un ángulo del triángulo.
(f) Si A X Y Z £ A B A C , entonces ¿_X £ L A .
(g) En el A ABC, si L A £ L C , entonces A B = AC.
(h) Si A A T Z £ A Z X Y , entonces el A X Y Z es equilátero.
(i) Dos triángulos son congruentes, si dos lados y un ángulo de uno son congruentes
con dos lados y un ángulo del otro.
(j) N o hay un triángulo A ABC en el cual L A = L B .
*
2. Definir “segmentos congruentes”.
3. Definir “bisectriz de un ángulo” .
4. Definir “bisectriz de un ángulo de un triángulo” .
5. Completar: Si la bisectriz de un ángulo de un triángulo es también una mediana, entonces
el triángulo e s ________
6. Completar: U n cuadrilátero que tiene cuatro ángulos rectos se llam a________
7. Completar: En el A P R Q , el L Q está comprendido p o r _______ y p o r ________ , y
L P y L R com prenden________
8. Se dan los triángulos A A BC y A P Q R , cada uno de los cuales tiene dos lados de longi­
tud 7 y un ángulo cuya medida es 40. ¿Son congruentes los triángulos? Expliqúese.
s
9. Si, en la figura, A B = A C y A R biseca al L B A C , demostrar
que
(a) R B = RC,
(b) A R contiene la bisectriz del LB R C .
c
Repaso de la unidad
151
10. Demostrar que si el A ABC es equilátero, entonces A A B C = A CAB = A ACB.
11. Escribir una hipótesis y una conclusión para la
figura de la derecha, tal como está marcada.
12. Escribir el teorema que nos sugiere la siguiente figura de la izquierda:
C
c
13. En la figura plana anterior de la derecha, A C = BC y A K = BK. Hacer una lista de
todas las conclusiones que se deducen. (Se deberá demostrar cada una.)
14. En el triángulo isósceles A PQR, la bisectriz de un
ángulo en la base, L Q, interseca al lado opuesto en S.
T es un punto en la base PQ tal que S T = PT. S V
biseca al /_PST. Demostrar que ¿_TSV = Z.RQS.
15. En la figura de la derecha, A, B, C y D son no coplanarios
y A B = A C — A D = B C = BD = CD. Q y R son los
puntos medios de A C y AD, respectivamente, y P es
cualquier punto en AB. Demostrar que el APQ R es
isósceles.
C
16. Sea L la arista de dos semiplanos, H , y H 2. A y B son dos puntos de L , M es un punto
en H u y R es un punto en H 2 tal que /_M A B z /LRAB y A M = AR.
(a) Demostrar que el A M R B es isósceles.
(b) ¿Será necesario que M R corte a i ?
(c) ¿Requiere la respuesta a la parte (a) que H¡ y H 2 sean coplanarios?
6 Un examen más
preciso de la
demostración
6 -1 .
CÓMO FUNCIONA U N SISTEM A DEDUCTIVO
En la U nidad 1, tra ta m o s de explicar en térm inos generales cóm o se d esarrolla­
ría nuestro estudio de la geom etría. D espués de la experiencia adquirida desde en­
tonces, deberá ser m ás fácil entender la explicación.
La idea de conjunto, los m étodos del álgebra y el proceso de razonam iento lógico
son cosas con las cuales hem os estado trabajando. Sin em bargo, sobre lo que hemos
tra ta d o es justam ente la geom etría m ism a. Em pezam os con punto, recta y plano
com o térm inos no definidos y, h a sta ah o ra, hem os utilizado diecisiete postulados.
E n algunos casos, los nuevos térm inos se definieron a base de los postulados. (Por
ejem plo, se definió la distancia P Q com o el núm ero positivo dad o por el postulado
de la distancia.) En o tro s casos, las definiciones se han fundado solam ente en los
térm inos no definidos. (P o r ejem plo, un conjunto de puntos es de puntos alineados,
si to d o s sus p u n to s están en una m ism a línea recta.) Pero en todo m om ento, cons­
truim os las definiciones m ediante térm inos que eran, de alguna m anera, conocidos
con anterioridad. A estas alturas, hemos am o n to nado definiciones sobre definiciones
con ta n ta frecuencia que nuestra lista es m uy larga; y, de hecho, ésta es una de las
razones principales p o r las cuales, desde el principio, tenem os que m antener claros
los procedim ientos.
A nálogam ente, todas las afirm aciones que hacem os acerca de la geom etría se
basan, en últim o térm ino, en los postulados. H asta ahora, a veces hem os dem ostrado
teorem as deducidos directam ente de los postulados, y o tras veces hemos basado
nuestras dem ostraciones sobre teorem as ya dem ostrados. Pero en cada caso, la
cadena de razonam ientos se origina en los postulados.
En este m om ento, quizás sea conveniente leer nuevam ente la segunda m itad de
la U nidad 1. Se en tenderá m ejor ah o ra que la prim era vez. Es m ucho m ás fácil
m ira r hacia atrás y entender lo que se ha hecho, que entender una explicación de lo
que se va a hacer.
6 -2 .
DEM OSTRACIONES INDIRECTAS
En la U nidad 1, señalam os que la m ejor m an era de aprender acerca del razo n a ­
m iento lógico es practicándolo. En general, esto es cierto. Pero hay un tipo de de­
m ostración que requiere estu d io 'esp ecial. En el teorem a 3-1, utilizam os lo que se
llam a una dem ostración indirecta. El teorem a y su dem ostración eran los siguientes:
T e o re m a 3-1
Si dos rectas diferentes se intersecan, su intersección contiene un punto sola­
m ente.
153
^
154
U n exam en m á s preciso d e la dem ostración
Dem ostración: Si dos rectas se intersecaran en dos puntos diferentes P y Q, entonces
h abría dos rectas conteniendo los p u n tos P y Q. El postulado de la recta nos dice
que esto n o puede ocurrir.
Probablem ente, el alum no ya h a b rá visto em plear este tipo de razonam iento.
Quizás, conoce la dem ostración de que yj2 es u n núm ero irracional, que tam bién es
u n a dem ostración indirecta. D e cualquier m odo, seguram ente h a b rá oído afirm a­
ciones de este tip o en la conversación corriente. Las siguientes dos observaciones
son ejem plos de dem ostraciones indirectas:
E jem p lo 1
“ N o debe estar lloviendo afuera.
Si estuviera lloviendo, entonces esas personas que entran p o r la puerta
estarían m ojadas, pero n o lo están” .
E jem plo 2
“ H oy no debe ser el d ía del juego de fútbol.
Si se estuviera celebrando el juego hoy, entonces el estadio ya estaría lleno
de gente, p ero los únicos que estam os a q u í som os nosotros dos” .
En cada caso, el que h ab la quiere dem ostrar q u e una cierta prem isa es cierta.
Com ienza su d em ostración,suponiendo que la prem isa es falsa; entonces, observa
que esto conduce a u n a conclusión que contradice u n dato conocido. En el prim er
caso, el que habla em pieza suponiendo que está lloviendo; esto conduce a la conclu­
sión de que las personas que entran p o r la p u erta estarían m ojadas, lo cual contradice
el d a to conocido de que n o están m ojadas. D e m odo parecido, en el segundo caso,
el que habla em pieza suponiendo que el juego de fútbol va a celebrarse hoy; y esto
conduce a una contradicción con el d ato conocido de que en el estadio hay dos
personas solam ente.
En la dem ostración del teorem a 3 -1 , em pezam os suponiendo que algún par de
rectas diferentes se intersecan en dos p u ntos diferentes. E sto contradice el postulado
de la recta. P o r tan to , el supuesto es erróneo, y esto significa que ¿1 teorem a es
correcto.
C on frecuencia, nuestras dem ostraciones indirectas en la geom etría serán ta n
cortas y sencillas com o é sta ; equivaldrán sencillam ente a observaciones de sentido
com ún. Pero esas observaciones de sentido com ún son parte del A BC del razo ­
nam iento m atem ático y sería m uy difícil trab a ja r sin ellas.
D em ostraciones in d ire cta s
135
Conjunto de problemas 6 - 2
1. Para fines de argumentación, acéptese cada una de las siguientes hipótesis y ofrézcase
después un final lógico para cada conclusión:
(a) Hipótesis:
A todos los niños les gusta jugar, al fútbol. Mi hermano tiene catorce
años.
Conclusión: A mi hermano.
(b) Hipótesis:
Solamente las personas descuidadas cometen errores. Nunca soy
descuidado.
Conclusión: Yo_
(c) Hipótesis:
Juan siempre se ríe cuando dice un chiste. Juan está diciendo un chiste.
Conclusión: Juan_______________________ -— _ —-----------------------------------------(d) Hipótesis:
En cualquier triángulo isósceles, los ángulos en la base son congruentes.
En el A ABC, A C = BC.
Conclusión:
2. ¿Cuáles de las siguientes argumentaciones son ejemplos de razonamiento indirecto?
(a) L a temperatura afuera debe estar por debajo de 0"C. Si la temperatura no estuviera
por debajo de 0°C, los cristales de la ventana no tendrían una capa de hielo. Pero
tienen una capa de hielo. Por tanto, la temperatura debe estar por debajo de 0°C.
(b) Tiene que ser la hora del almuerzo. S» no fuera la hora del almuerzo, no tendría
hambre. Sin embargo, tengo mucha hambre. Por tanto, tiene que ser la hora del
almuerzo.
(c) El concierto debe haber terminado. El público abandona la sala de conciertos sola­
mente cuando el concierto ya ha terminado. El público está abandonando la sala
de conciertos. Por tanto, el concierto ha terminado.
3. Debe ser más tarde de las 4 P.M. Si no fuera más tarde de las 4 P.M ., estaría oyendo el
ruido de los obreros trabajando en la construcción. No oigo ruido alguno.
. En este ejemplo de demostración indirecta, señálense:
(a) la afirmación que se va a demostrar,
(b) el supuesto que se hace,
(c) la conclusión que resulta del supuesto, y
(d) el dato conocido que contradice a (c).
4. La Sra. Atiles compró un juego de utensilios de cocina anunciado como hecho de acero
inoxidable. Después de utilizarlo durante unas cuantas semanas, notó que algunos de
los utensilios empezaban a oxidarse. Decidió, pues, que el juego no era de acero
inoxidable y lo devolvió para reembolso.
Síganse las instrucciones para el problema 3.
156
U n e x am en m ás preciso de ia dem ostración
5. Demostrar que la bisectriz de un ángulo cualquiera de un triángulo escaleno no puede
ser perpendicular al lado opuesto.
6. Demostrar que un triángulo escaleno no tiene ningún par de ángulos congruentes.
7. ¿Qué conclusiones pueden deducirse de las siguientes hipótesis, en las cuales p. q y r
representan diferentes enunciados?
Si p es cierto, entonces q es cierto.
Si q es cierto, entonces r es cierto.
El enunciado p es cierto.
8. ¿Qué conclusiones pueden deducirse de las siguientes hipótesis, en las cuales p, q y r
representan diferentes enunciados?
Si p es cierto, entonces q es cierto.
Si r es cierto, entonces s no es cierto.
Si q es cierto, entonces s es cierto.
El enunciado p es cierto.
¿Se utiliza razonamiento indirecto en algún momento? Expliqúese.
/
9.
Si K es azul, entonces M es rojo.
Si K s s verde, entonces M es amarillo.
Si M es rojo, entonces J es azul.
(a) K es azul; por tanto, M e s _________ y J e s _________ .
(b) M e s amarillo. ¿Será posible deducir una conclusión referente a K ? Si lo e s, ¿qué
conclusión se puede deducir?
(c)
no es azul. ¿Será posible deducir una conclusión referente a K ? Si lo es, ¿qué
conclusión se puede deducir?
J
10. ¿Qué conclusión se deduce de la siguiente información?
(a) A nadie se le permite ingresar en el club de natación, a menos que sepa tocar el
flautín.
(b) Ninguna tortuga puede tocar el flautín.
(c) A nadie se le permite usar pantalones cortos rayados en la piscina del club, a menos
que sea miembro del club de natación.
(d) Yo siempre uso pantalones cortos rayados en la piscina del club.
[Sugerencia: Conviértase cada enunciado a la forma “si . . . entonces" y preséntese el
razonamiento como en los problemas 7 y 8. Por ejemplo, sea p "alguien es un miembro
del club de natación", etc.]
11. ¿Qué conclusión se deduce de las siguientes hipótesis?
Los leones domesticados tienen dientes afilados.
Los leones que comen gente nunca se enferman.
Los leones que nunca comen gente tienen dientes mellados.
Mi león domesticado tiene pulmonía.
..Se utiliza razonamiento indirecto? Expliqúese.
T eorem as so b re re c ta s y planos
6-3.
157
TEOREMAS SOBRE RECTAS ¥ PLANOS
Ahora, resulta fácil demostrar los otros teoremas del Capítulo 3. Por conveniencia,
presentamos nuevamente los postulados que sirven de base a las demostraciones.
P O S T U L A D O 4.
P o stu lad o d e la recta
Dados dos puntos diferentes cualesquiera, hay exactamente una recta que ¡os
contiene.
PO STULADO 5
(a) Todo plano contiene al menos tres puntos que no están alineados.
(b) E l espacio contiene al menos cuatro puntos que no están en un plano.
PO STULADO 6
S i dos puntos de una recta están en un plano, entonces la recta está en el mismo
plano.
P O S T U L A D O 7.
P ostulado del plano
Tres puntos cualesquiera están al menos en un plano, y tres puntos cualesquiera no
alineados están exactamente en un plano.
Ahora, demostraremos el siguiente teorem a:
L
T e o re m a 3 - 2
Si una recta interseca a un plano que no
la contiene, entonces la intersección con­
tiene un solo punto.
Demostración:
Se nos dan una r e c t a l y u n plano E. Por hipótesis, tenemos:
(1) L interseca a E en un punto P, por lo menos, y
(2) E no contiene a L.
Presentaremos una demostración indirecta y, por tanto, comenzamos suponiendo
que
(3) L interseca a £ en algún otro punto Q.
Debem os mostrar que (3) conduce a-una contradicción con un dato conocido, y
así es: Si P y Q están en E, entonces se deduce, por el postulado 6, que L está en £ .
Esto contradice a (2). Por tanto, (3) es falso. En consecuencia, el teorema 3 -2 es
cierto.
158
U n exam en m ás preciso d e la dem ostración
D esde luego, la figura p a ra esta dem ostración es algo rara. Indicam os u n punto
Q, sencillam ente p a ra reco rd ar la n otación de la dem ostración. L a dem ostración
m ism a m uestra que ta l p u n to no puede existir. E n efecto, las figuras p a ra las dem os­
traciones indirectas siem pre tienen u n aspecto extraño, p o r la excelente razón que
describen situaciones im posibles. Si hubiéram os hecho u n a figura p a ra el teorem a
3-1, se h u b iera visto peor aún:
í s t a es u n a figura de u n a situación im posible, en la cual dos rectas se intersecan en
d os p u n to s diferentes.
T e o re m a 3 - 3
D ad a u n a recta y u n p u n to fuera de ella,
hay exactam ente u n plano que contiene
a ambos.
S ean L la recta d ad a y P el p u n to dado. P a ra dem ostrar el teorem a, tenem os que
verificar dos cosas:
(1) H ay u n p lan o E que contiene a P y a L .
(2)' H ay solam ente u n p lan o E que contiene a P y a l .
L os enunciados (1) y (2), considerados ju n to s, nos dicen que hay exactam ente un
plan o que contiene a P y a l .
Demostración de (1): Sean Q y R dos p untos cualesquiera de L . P o r el postulado 7,
hay u n p lan o E que contiene a P, a Q y a R . P o r el postulado 6, E contiene a L.
Así, E contiene a P y a l
Dem ostración de (2): E sta dem ostración será indirecta. Supongamos que hay otro
plano E ' que contiene a P y a l . Entonces, FJ contiene a P , a Q y a R.
P ero P, Q y R n o son p u n to s alineados, pues L es la única recta que contiene a
Q y a R (¿p o r qué?), y L n o contiene a P.
Así, tenem os dos planos diferentes E y E ' p o r los puntos no alineados P, Q y R.
Esto contradice el p o stu lad o 7.
T eorem as acerca d e re c ta s y p lanos
159
Obsérvese que este teorema y su demostración se dividen de manera natural en
dos partes. Esto ilustra la distinción entre existencia y unicidad. La primera mitad
de la demostración nos da la existencia de un plano E que contiene a P y a L. La
segunda mitad nos asegura la unicidad del plano que contiene a P y a L. Cuando
demostramos la existencia, demostramos que hay al menos un objeto de una cierta
clase. Cuando demostramos la unicidad, demostramos que hay a lo sumo uno.
Si ocurre que podem os demostrar ambas, entonces sabemos que hay exacta­
mente uno.
Sin embargo, la existencia y la unicidad no siempre van juntas, de ningún m odo;
en muchos casos, podemos tener una sin tener la otra y, a menudo, no tenemos nin­
guna de las dos. Por ejemplo, para las pulgas de un perro vagabundo, generalmente
podemos demostrar la existencia pero no la unicidad. (Es muy afortunado el perro
que realmente tiene una sola pulga.) Análogamente, si x es un número racional,
entonces existen dos enteros p y q tales que
Pero estos enteros no son únicos, porque también tenemos
2p_3p
2
q
3q '
y así sucesivamente. Para la hija mayor de una cierta familia, es evidente que tenemos
unicidad, pero no necesariamente existencia; en algunas familias, todos los niños son
varones. Para los puntos comunes a dos segmentos diferentes, no tenemos necesaria­
mente existencia o unicidad; la intersección puede contener un segmento completo,
o exactamente un punto, o ninguifb:
La frase “uno y sólo uno” se utiliza con frecuencia en vez de “exactamente uno”
para recalcar el doble valor de la afirmación.
El siguiente teorema se divide en dos partes, de la misma manera que el an­
terior:
160
U n exam en m ás preciso de la dem ostración
T e o re m a 3 - 4
Dadas dos rectas que se intersecan, hay exactamente un plano que las contiene.
y L 2, que se intersecan en el punto P. D ebem os demostrar
Se nos dan las rectas
dos cosas:
(1) Existencia. Hay un plano E que contiene a i , y a L 2.
(2) Unicidad. Hay un solo plano E que contiene a L , y a L 2.
Presentamos las demostraciones en forma de doble columna.
Demostración de (1)
A
R
f ir m a c io n e s
1. X , contiene un punto Q diferente deP.
2.
3.
azones
Por el postulado de la regla, toda recta
contiene una infinidad de puntos.
Q no está e n L 2-
Por el teorema 3-1, L¡ interseca a L 2
sólo en P.
Hay un plano E que contiene a Q y a
Teorema 3-3.
L2.
4.
Por el postulado 6, puesto que E contiene
aPyag.
E contiene a Z,,.
Demostración de (2)
A
5.
R
f ir m a c io n e s
Supongamos que otro plano E' con­
tiene a I , y a I 2.
azones
Comienzo de la demostración indirecta.
,
6.
E' contiene a Q.
Q está en L x.
7.
Cada uno de los planos E y E ‘ con­
tiene a Q y a L 2.
Pasos 3, 4, 5 y 6.
8.
E es el único plano que contiene a L¡
y a L 2.
El paso 7 contradice el teorema 3-3.
1
Obsérvese que la demostración de (2) nos da un ejemplo a seguir para presentar
demostraciones indirectas en la forma de doble columna. Estrictamente, la frase
“ Comienzo de la demostración indirecta” no es una “razón” ; es, sencillamente, una
explicación de lo que teníamos en la mente al escribir el paso 5.
P erpendiculares
161
Conjunto de problemas 6 -3
1. Indicar qué teorema puede expresarse así: “Dos rectas que se intersecan determinan un
plano” .
*
2. Si las tres rectas de la figura de la izquierda, a continuación, no están todas en el mismo
plano, ¿cuántos planos determinan ? Nómbrese cada plano, indicando las rectas que lo
determinan.
3. En la figura anterior de la derecha, cada tres rayos no están en el mismo plano. ¿Cuántos
planos determinan? Denotar cada plano mediante los puntos que lo determinan.
4. ¿Qué postulado o teorema presentado en la sección 6-3 asegura la unicidad de un punto
del cual no se puede asegurar existencia?
5. Como se indica en la figura de la derecha, los puntos
A y B están en el plano E, y el punto P está por encima
del plano E. ¿Qué postulado o teorema asegura que
A B está contenida en E t En la figura, hay implícito
un segundo plano. Nombrarlo. ¿Cuál es su inter­
sección con E l Si un cuarto punto, Q, está por debajo del plano E, pero no está en la
misma recta que P y A o que P y B, nombrar los planos que quedan determinados.
Dibújese la figura.
6. Explicar el empleo de la frase “uno y solamente uno”.
7. Supongamos que se quiere demostrar que en un plano, y por un punto dado de una recta
dada, pasa a lo sumo una recta perpendicular a la recta dada. ¿Se demostraría existencia
o unicidad? Si la demostración es indirecta, ¿qué supuesto se haría para comenzar el
razonamiento?
6 -4 .
PERPENDICULARES
U tilizando una regla y un transportador,
es fácil dibujar la perpendicular a u n a recta
d ad a en un p u n to d ad o de ella. Simple­
m ente, m arcam os u n ángulo de 90°, com o
en la figura, con el vértice en el p u n to d ad o
m
Y
P1
H
X
j
P, uno de los lados, P X , sobre la recta
d ad a L y el o tro lado en u r o de los semiplanos determ inados p o r L . L a perpendicular tiene que ser única, porque en el
tran sp o rta d o r hay u n a sola m arca p a ra indicar 90°.
162
U n exam en m ás preciso de la dem ostración
Ahora, describirem os esta situación m ediante u n teorem a, y lo dem ostrarem os a
base de nuestros postulados.
T e o re m a 6 -1
E n u n p lan o d ad o , y p o r u n p u n to dado de u n a recta dada, pasa u n a y solam ente
u n a recta perpendicular a la recta dada.
D e otro modo:
Sea E un plano, sea L u n a recta en E , y sea P un p u n to de L . Entonces,
(1) hay u n a recta M en E ta l que M contiene a P y M l ¿ ; y
(2) hay u n a sola recta M de esa clase.
Sea H u n o de los dos sem iplanos de E determ inados p o r L , y
sea X u n p u n to cualquiera de L , diferente de P. (V. la figura anterior.) P o r el
Demostración de (1):
p ostulado de la construcción del ángulo, h a y u n rayo P Y , con Y en H , ta l que
m L Y P X = 90. Sea M = P Y. Entonces, M 1 L en P.
Demostración de (2): A h o ra, supongam os que am bas M t y M 2 son perpendiculares
a L en P. D em ostrarem os que M x — M 2.
M ¡ y M 2 contienen los rayos P Y t y P Y 2, con F , y Y2 en H . P o r la definición de
“ perpendicular” y el teorem a 4 -8 , los dos ángulos L Y xP X y L Y 2P X son ángulos
rectos, com o se indica e n la figura. P o r el postulado de la construcción del ángulo,
esto significa que P Y l y P Y 2 son el m ism o rayo. C om o M ¡ y M 2 tienen más' de un
p u n to com ún, no pueden ser rectas diferentes. P o r ta n to , M , = M 2.
Obsérvese que p a ra d em ostrar la unicidad de las perpendiculares a L en P, tenem os
que restringirnos a u n p lan o dado. E n el espacio, to d a recta tiene u n a infinidad de
perpendiculares en cada u n o de sus puntos. Así, en u n a carreta, ca d a rayo de la rueda
es perpendicular al eje.
___
Las m arcas en la siguiente figura indican que L es la m ediatriz de AB:
P erpendiculares
163
Definición
E n u n plano dado, la mediatriz de un segmento
es la recta perpendicular al segm ento en su punto
medio.
T o d o segm ento A B tiene u n p u n to m edio C, y solam ente u n o ; y p o r C, pasa una
recta, y solam ente una, perpendicular a A B . P o r tan to , la m ediatriz existe y es única.
El siguiente teorem a d a o tra descripción de la m ediatriz:
T e o re m a 6 - 2 .
El teo rem a d e la m ediatriz
L a m ediatriz de u n segm ento en un plano, es el conjunto de to d o s los puntos
del plano que equidistan de los extrem os del segmento.
D e otro m odo: Sea L la m ediatriz de A B en el
plan o E . Entonces,
(1) si P está en L , P A = PB, y
(2) si P A = PB, entonces P está en L.
B
Éste es u n ejem plo de lo que se llam a un teorem a de caracterización. P a ra carac­
terizar un conjunto de p untos, enunciam os u n a condición tal que (1) la satisfacen los
puntos del conjunto d ad o , y (2) n o la satisfacen otros puntos. En este caso, el con­
ju n to de p u n to s es la m ediatriz de A B , y la condición es P A = PB. P o r tan to , al
expresar el teorem a de o tro m odo, éste se divide naturalm ente en dos partes y lo
m ism o ocurre con la dem ostración.
Demostración de (1): Sea C el p u n to m edio de A B , y
sea P u n p u n to cualquiera de L . Si P = C, entonces es
evidente que P A = PB. Supongam os, pues, que P es
diferente de C, de m an era que P no está en A B . Tenem os
P C = PC , p o r identidad; L P C A £ L P C B , p o rq u e am ­
bos son ángulos rectos; y C A = CB, porque C es el
punto m edio. P o r L A L , tenem os que A PCA = A PCB.
Asi, PA = PB.
¡6 4
U n exam en m á s preciso de la dem ostración
Demostración de (2):
Se nos dice que P está en el
plano E, y que PA = PB. Si P está en AB, entonces
P = C. p orque A B tiene un p unto medio solamente.
p
Si P no está en A B , sea L ' la recta PC. Entonces,
P C = PC, C A = C B y PA = PB. (¿P or qué?)
P or LLL, tenem os
A PCA s A PCB,
A
C
B
com o anteriorm ente. E n consecuencia, p o r defini­
ción, L P C B es ufi ángulo recto y, en virtud de esto, L ' 1 A B en C. P or el teorem a
6-1, las perpendiculares son únicas. Luego, L ‘ = L . D e m odo que P está en L, como
queríam os dem ostrar.
C o r o la r io 6 -2 .1
Se d a n un segm ento A B y una recta L en el m ism o plano. Si dos puntos de L
equidistan de A y de B , entonces L es la m ediatriz de AB.
D em ostración: P o r el teorem a 6-2, L contiene dos puntos de la m ediatriz de AB.
C om o dos puntos determ inan una recta, esto significa que L es la m ediatriz de AB.
H em os encontrado que, en realidad, no hubo dificultad al construir la perpendicu­
lar a u n a recta que pasa p o r un p u n to de la recta: sim plem ente, m arcam os u n ángulo
de 90°. Si el p u n to no está en la recta, la construcción requiere o tra idea.
Se nos dan u n a recta L , y u n p u n to P, fuera de L. Querem os construir una recta
p o r P, perpendicular a L. (Desde luego, estam os trab ajan d o en un plano E que con• tiene a l y a P . )
Sean Q y R dos p u n to s cualesquiera de L . P a ra obtener la perpendicular, prim ero
trazam os el rayo Q P y m edim os el L P Q R - Entonces, dibujam os un rayo Q S, con
S
del lado de L opuesto a P , com o se indica en la figura, de m anera que
LSQ R £ l p q r .
P erpendiculares
165
(¿Q u é p ostulado perm ite esto?) Luego, m arcam os un p u n to T en Q S ta l que TQ =
P Q . Entonces, T P interseca a £ en un p u n to U. (¿ P o r qué?) A hora, Q U = QU,
L P Q U £ L T Q U , y T Q = P Q . E n consecuencia, p o r L A L, A P Q U £ A T Q U , y los
ángulos L.PU Q y L T U Q son rectos. P o r ta n to , TP 1 L , y hem os trazad o la perpen­
dicular a £ que p asa p o r P.
C o n este análisis com o base, se debe estar capacitado p a ra com pletar la dem ostra­
ció n del siguiente teorem a m ediante la fo rm a de doble colum na:
Teorem a 6—3
D esde u n p u n to externo dado, hay al m enos u n a recta perpendicular a u n a recta
dada.
D e otro m odo: Sea £ u n a recta, y sea P un p u n to fuera de £ . Entonces, hay u n a
recta que es perpendicular a £ y contiene a P.
Demostración
A
R
f ir m a c io n e s
azones
1.
£ contiene dos p u n to s, Q y R.
E l p o stu lad o de la regla.
2.
H ay u n rayo Q S, co n S del lado de
£ opuesto a P , ta l que L S Q R =
9
3.
H ay u n p u n to T de Q S ta l que T Q =
lpq r
.
PQ4.
T y P están a lados opuestos de L .
P y S están a lados opuestos de £ , y S
y T están al m ism o lad o de £
5.
T P interseca a £ en u n p u n to U.
?
6.
A P Q U = ATQ U .
?
7.
L P U Q es u n ángulo recto.
?
8.
P U A .L .
9
C b exam en m ás preciso de la dem ostración
dem ostración, en la form a que la presentam os, no adm ite la posibilidad de
Q - U. C uando elegimos el pun to Q al azar en la recta L , es posible que ocurra
PQ 1 L . Pero, desde luego, si esto ocurre, n ad a h a b rá que dem ostrar, porque
j b tenem os nuestra perpendicular, a saber, la recta PQ .
Así, existe la perpendicular a una recta desde un punto externo. A hora, dem os­
trarem os que la perpendicular es única.
Teorem a 6 -4
Desde un p u n to externo d ad o , h a y a lo sum o u n a recta perpendicular a u n a recta
Demostración: L a dem ostración es indirecta,
com o la m ayoría de las dem ostraciones de uni­
cidad. Supongam os que L¡ y L 2 son d os rectas
distintas que p asan p o r P , ca d a u n a de ellas
perpendicular a L . Sean A y B los p u n to s donde
L¡ y L 2 intersecan a L . Sea Q el p u n to del rayo
opuesto a A P , p a ra el cual A Q = AP. (Esto es
posible, en virtud del teorem a de localización de
puntos.) P o r LA L, tenem os
A P A B £ A QAB.
(N o parece así en la figura, p ero recordem os que la figura es u n a representación
de una situación im posible; nuestra tarea, en la dem ostración, es m o stra r que la
situación representada es imposible.)
^ P o r tan to ,
L P B A £ L Q B A , p o rq u e son ángulos correspondientes.
Luego,
BQ 1 L en B. P o r consiguiente, h a y dos rectas L 2 y B Q que son perpendiculares a
en
E st0 contradice el teorem a 6-1, el cual afirm a que en u n plano dad o y por
un pun to dado de u n a recta d ad a en el plano, pasa u n a y solam ente u n a recta perpen­
dicular a la recta dada. P o r ta n to , nuestro supuesto de que h abía dos perpendiculares
a L p o r P , es falso.
C orolario 6-4.1
N ingún triángulo tiene dos ángulos rectos.
D em ostración: E n el A A B C , si am bos L A y l B fueran
ángulos rectos, entonces h ab ría dos perpendiculares desde C a
A B . P o r el teorem a 6 -4 , esto es imposible.
P erpendiculares
167
D e fin ic io n e s
U n triángulo rectángulo es u n triángulo uno de cuyos ángulos es recto. El lado
opuesto al ángulo recto se llam a hipotenusa, y los otros dos lados son los
catetos.
D esde luego, el corolario an terio r es el que n os perm ite referirnos al ángulo recto
de u n triángulo rectángulo.
C o nju n to de p ro b lem as 6—4
1. Si, en un plano M , el punto A está en la rectaL , A T J_ L y A Q J_ L , ¿a qué conclusión se
<-> *-*
,
puede llegar en relación con A Q y A T I ¿Por qué?
2. ¿Qué teorema nos dice que el vértice opuesto a la base de un triángulo isósceles está
en la mediatriz de la base?
3. En la figura de la derecha, L es la mediatriz de AB.
Si los segmentos tienen las longitudes indicadas,
hallar x , y y z .
---------
4.
—
...
Si D es el punto medio de BC y A D i . BC, demos­
trar que el A ABC es isósceles. No deben utilizarse
triángulos congruentes en la demostración.
G
5. En la figura de la derecha, GE = KE, G M — KM,
y H está en EM . Demostrar que G H = KH , sin
utilizar triángulos congruentes.
6. La recta L es la mediatriz de QT. P es un punto que está al mismo lado de la recta L que
Q. P T interseca a L en R. Demostrar que P T = P R + RQ.
168
U n exam en m ás preciso de la dem ostración
7. (a) En un plano, ¿cuántas perpendiculares hay a una recta dada en un punto dado de la
recta?
(b) En el espacio, ¿cuántas perpendiculares hay a una recta dada en un punto dado de la
recta?
8. Cópiese la figura de la derecha. Utilizando una
regla y un transportador, constrúyanse per< y
pendiculares a DB desde A y C. Constrúyanse
la perpendicular desde B a DC y la perpendicular
desde A a BC.
9. Indicar qué teorema nos permite decir:
"la perpendicular a una recta desde un punto externo dado” .
Q
10. (a) En el Ù.PQR, si el /_R es un ángulo recto, entonces
PQ se llam a_____________, y RQ y RP se
llam an________
(b) En el A ABC, si el ¿_C es un ángulo recto, la
hipotenusa es _____________ , y los catetos son
11. Demostrar que si la mediana correspondiente a la hipotenusa de un triángulo rectángulo
es perpendicular a la hipotenusa, entonces el triángulo es isósceles.
* 12. Se nos da el A ABC, con A C — BC. Las bisectrices de los ángulos en la base, ¿.A y ¿_B,
---se cortan en el punto F. Demostrar que CF es perpendicular a AB. (No es necesario
utilizar triángulos congruentes en la demostración.)
* 13. U na de las diagonales de un cuadrilátero biseca a dos ángulos del cuadrilátero. Demos­
trar que biseca a la otra diagonal.
14. Los puntos A , B y C están en el plano E. P y Q
están a lados opuestos de E _ Dado que PB = QB,
A es el punto medio de PQ y ¿_PBC £ L QBC,
demostrar que PQ 1.A C .
C onjuntos auxiliares. E m pleo d e la pa la b ra “ sea”
6 -5 .
169
INTRODUCCIÓN D EL EMPLEO D E CONJUNTOS AUXILL4RES EN LAS
DEMOSTRACIONES. E L EMPLEO D E LA PALABRA “ SEA”
Probablem ente, se h a b rá notad o que en algunas de las dem ostraciones, hemos
introducido p u n to s y rectas que n o se d a b a n en el enunciado del teorem a. Recordem os,
p o r ejem plo, el caso de la sección 6 -4 d o n d e queríam os dem ostrar que siempre hay
u n a perpendicular a u n a recta dad a, desde un p u n to externo dado.
Se d a b a n solam ente la recta £ y el p unto P, pero, p a ra obtener la perpendicular TP,
tuvim os que introducir los p u n to s Q y R , los rayos Q P y Q S, y el p u n to T.
E n ca d a p aso de -la dem ostración en form a de doble colum na de este teorem a
(teorem a 6-3 ), las afirm aciones decían que realm ente hab ía puntos y rayos del tipo
que necesitábam os. Y si se dieron las razones correctam ente, entonces en cada paso
nos referim os a un p ostulado (o quizás a un teorem a) que justificaba la afirm ación.
Sin em bargo, la m ayoría de las veces, las razones en tales casos son m uy sim ples;
y al presentar dem ostraciones m ediante frases lingüísticas, frecuentem ente utilizam os
un lenguaje m ás inform al. En los p árrafo s que preceden el teorem a 6-3, hem os visto
un ejem plo de esto. D ecíam os:
“Sean Q . y R d os p u n to s cualesquiera de L . P a ra obtener la perpendicular, p ri­
m ero trazamos el rayo Q P . .
Los m atem áticos frecuentem ente h a b la n de esta m anera, y n o hay razón p o r la
cual no deban hacerlo. P ero si n o se h a seguido atentam ente el hilo de lo que se ha
estado haciendo, este tip o de lenguaje puede fácilm ente conducir a interpretaciones
incorrectas. A veces, parece que los m atem áticos sim plem ente hacen que las cosas
“ sean” lo que ellos quieren que sean. D esde luego, esto no es lo que están haciendo.
C uan d o decim os, “ sean Q y R dos p u n to s cualesquiera de L " , estam os afirm ando que
L contiene dos p u n to s y que sabem os p o r qué. U n a vez hayam os dem ostrado los
teorem as 6 -3 y 6-4, sabem os que las perpendiculares existen y son únicas. P or
tan to , tenem os derecho a decir: “ Sea L ' la perpendicular a L desde P ”. É sta es una
m anera abreviada de referirnos a los dos teorem as a la vez. [Pregunta: Si conociéra­
m os el teorem a 6-3, p ero n o el teorem a 6-4, ¿qué enunciado abreviado podríam os
em plear ?]
170
U n exam en m á s preciso de la dem ostración
En las dem ostraciones en fo rm a de doble colum na, al in troducir conjuntos auxi­
liares, tenem os que. utilizar postulados y teorem as com o razones. A continuación,
presentam os u n a lista de postulados y teorem as a los cuales nos referirem os para
este propósito. Éstos son los enunciados que nos dicen que algún p u n to , recta o
p lan o existe, o es único, o am bas cosas.
PO STU LA D O 4.
El p o stu la d o d e la recta
Dados dos puntos distintos cualesquiera, hay exactamente una recta que los contiene.
PO STULADO 5
(a) Todo plano contiene a l menos tres puntos que no están alineados.
(b) E l espacio contiene al menos cuatro puntos que no están en un plano.
Teorem a 2 -1 .
El teorem a d e localización d e puntos
Sea AB un ray o y sea x u n núm ero positivo. Entonces, existe exactam ente un
p u n to P d e A B ta l que AP = x.
Teorem a 2 -2
T o d o segm ento tiene exactam ente un p u n to medio.
Teorem a 3-1
Si dos rectas diferentes se intersecan, su intersección contiene un p u n to sola­
mente.
Teorem a 3 -2
Si u n a recta interseca a u n p lan o que n o la contiene, entonces la intersección
contiene u n solo punto.
PO STU LA D O 7.
El p o stu lad o del plano
Tres puntos cualesquiera están al menos en un plano, y tres puntos cualesquiera no
alineados están exactamente en un plano.
Teorem a 3 -3
D ad a u n a recta y u n p u n to fuera de ella, hay exactam ente u n plano que contiene
a ambos.
C onjuntos auxiliares. E m p leo d e l a p a la b ra “ sea”
171
Teorem a 3 - 4
D ad as d os rectas que se intersecan, hay exactam ente u n p lan o que las contiene.
PO STU LA DO 12.
El p o stu la d o d e la co n stru cció n del ángulo
S ea A B un rayo de la arista del semiplano H . Para cada número r entre 0
180,
h ay exactam ente un rayo A P , con P en H , ta l que m L P A B = r.
Teorem a 5 -2
T o d o ángulo tiene exactam ente u n a bisectriz.
>
Teorem a 6-1
E n u n p lan o dado, y p o r u n p u n to d ad o de u n a recta dada, p a sa una, y solam ente
un a, recta perpendicular a la recta dada.
Teorem a 6 -3
D esde u n p u n to externo d ad o , hay al m enos u n a recta perpendicular a u n a recta
dad a.
Teorem a 6 -4
D esde u n p u n to externo dado, hay a lo sum o u n a recta perpendicular a u n a
recta dada.
E n tre los teorem as y postu lad o s que hem os presentado h a sta ah o ra, éstos son los
que se u tilizarán cu an d o se intro d u zcan conjuntos auxiliares. P ero los teorem as
ciertam ente de n a d a n os servirán p a ra dem ostrar otros teorem as, a m enos que pense­
m os en u n conjunto que convenga introducir. D e hecho, pensar en conjuntos que
convenga in tro d u cir es la p a rte m ás difícil e interesante de nuestro tra b a jo ; citar
teorem as es sim plem ente u n a m anera de asegurarnos que nuestro tra b ajo está en
orden.
N o hay reglas fijas p ara elab o rar dem ostraciones; aprendem os m ediante la prác­
tica. V eam os algunos ejemplos.
Ejem plo 1
Dato:
L a figura p lan a, con A D = A E y C D = C E
Demostrar:
L D ^L E .
172
U n exam en m ás preciso de la dem ostración
Puesto que to d o s nuestros postulados y teorem as relativos a la congruencia han
versado sobre triángulos, parece razonable que nuestra figura deba contener algunos
triángulos. Podem os lograr esto fácilm ente, introduciendo A C o DE. A
Supongam os que introducim os D E , de m odo que resulte
la figura de la derecha. E sto nos perm ite com pletar la dem os­
tración, ya que m L A D E — m L A E D y m L C D E = m L C E D
nos da m L A D C = m L A E C , p o r el p ostulado de la adición de
ángulos.
Advertencia: A ntes de “in tro d u cir” algo, asegurém onos de que existe. N ad a es
m ás fácil que describir objetos im aginarios m ezclando palabras a la ligera. C on­
siderem os, p o r ejem plo, el siguiente “ teorem a” y su “ dem ostración” :
"T e o re m a "
En u n triángulo A A B C cualquiera, tenem os que ¿ f i s L C .
“ Demostración” : Sea D un pun to entre B y C, tal que
BD = D C y A D 1 BC. Entonces, L A D B £ L A .D C , porque
am bos son ángulos rectos. P o r tan to , A D B *-> A D C es una
correspondencia LA L. En consecuencia, A A D B = A A DC,
y L B £ LC.
Este “ teorem a” es ridículo, de m odo que su dem ostración tiene que ser falsa.
N o es difícil darse cuenta de que la dem os­
tración está equivocada desde el principio,
con el m al em pleo de la palabra “ sea” . A
A
m enos que o curra que L B = ¿ C , e 1 pun to
m edio de B C y el pie de la perpendicular
desde A son d os puntos diferentes. Así,
en m uchos casos, el pun to D que preten­
dem os exista, n o existe en realidad. O bsér­
vese que esto hubiera sido evidente, si el
au to r de la dem ostración errónea hubiera
utilizado un triángulo escaleno y su representación. Figuras bien construidas no
garantizan la ausencia de errores, pero son de gran ayuda.
C onjuntos auxiliares. E m pleo de la p a la b ra “ sea”
173
Conjunto de problemas 6—5
1. Demostrar el teorema enunciado en el ejemplo 1 de la página 171, trazando AC.
Q
2. D ada la figura de la derecha, demostrar que L M £ ¿_P.
3. D ada la figura, con
A D = C B y AB=CD,
demostrar que A K = CK.
4. En una hoja de papel, hacer una lista de los postulados y teoremas dados en las páginas
170 y 171, utilizando 4 para el postulado 4, 2-1 para el teorema 2-1, y así sucesiva­
mente. Si un postulado o teorema asegura existencia, escríbase una E después del
número correspondiente en la lista; si asegura unicidad, escríbase una U. Si asegura
ambas, existencia y unicidad, escríbase EU. Por ejemplo, el postulado 4 debe aparecer
en la lista como “4EU”.
5. Se dan los puntos A y B en el plano E y los puntos P y Q
a lados opuestos del plano E de manera que PA = QA
y ABA- PQ. Demostrar que B equidista de P y Q.
¿Cómo se utiliza el teorema 3-4 en la demostración ?
6. Datos: Q, R, S y T son coplanarios, QR — Q T y
m¿_R =
Demostrar que S R = ST.
¿Será válida la demostración si Q, R, S y T no están en el
mismo plano?
7. Hallar el error en la siguiente “ demostración” : En los lados del L A , se toman los puntos
B y C de manera que A B = AC. D es un punto cualquiera en el interior del L A . Trácese
el rayo que biseca al L A y contiene a D. Trácense
DC y DB. Por la definición de bisectriz de un
ángulo, L D A C £ L D A B . AD -= AD, por identi­
dad. Por tanto, A A D C £ ¿S.ADB, por LAL, y
DB = DC. Así, D equidista de B y C.
174
U n e x am en m á s preciso d e la dem ostración
8. D atos: A B —P Q y
B P = AQ.
Demostrar que (a) L A s ¿_P,
(b) A A B M s APQ M .
9. D atos: A H = RD , L A £ L R , y H, A , R y D
son coplanarios.
Demostrar que L H = L D .
A
10. Bosquejar una segunda solución al problema 9, introduciendo segmentos auxiliares
distintos de los que se utilizaron anteriormente.
11. Redactar dos demostraciones para el siguiente ejemplo e
indicar cuál de las demostraciones no depende del requisito
que los puntos A, B, C y D sean coplanarios:
D atos: A B = A C y B D = CD en la figura.
Demostrar que L A B D £ L A C D .
12. En la figura de la derecha, los planos R y T se
intersecan en M N . E está en T, S está en i? y
M N contiene a A y a Y. Si E Y = E A y S Y = 5/1,
demostrar que L E A S = L E Y S .
6 -6 .
CÓMO PR E SC IN D IR D E L POSTULADO ALA
E n el capítulo anterior, basam os nuestro estudio de la congruencia de triángulos
e n los tres postu lad o s LA L, A L A y L L L . D e hecho, el único de éstos que realm ente
necesitam os acep tar com o u n p ostulado es L A L ; si suponem os solam ente LAL,
pueden dem ostrarse los o tro s dos. C onsiderem os prim ero el caso de ALA.
Cóm o prescindir del postulado TXT.
175
Sea d ad a u n a correspondencia A L A de la form a
ABC*-* DEF,
com o se indica en la figura an terio r, de m anera que
LA £ LD,
(1)
A C = DF,
L C S LF.
D ebem os dem ostrar que A A B C £ A DEF.
Demostración
A
R
f ir m a c io n e s
azones
2.
A B contiene un p unto B ' ta l que
A B ' = DE.
El teorem a de localización d e puntos.
3.
A B 'C «-»D E F es u n a correspondencia
LAL.
Pasos 1 y 2.
4.
A A B 'C m A DEF.
LA L.
5.
L A C B '^ L D F E .
Á ngulos correspondientes.
6.
CB' = CB.
El p ostulado
ángulo.
7.
B ' = B.
D o s rectas diferentes se intersecan a lo
sum o en u n punto.
8.
A A B C = A DEF.
Pasos 4 y 7.
6 -7 .
de la construcción del
CÓMO PR E SC IN D IR D E L POSTULADO LLL
A hora, m ostrarem os que L L L tam bién puede dem ostrarse com o un teorem a.
Prim ero, recordam os que al dem ostrar el teorem a del
triángulo isósceles, to d o lo que utilizam os fue LA L. Puesto
que A B C *-*ACB es u n a correspondencia LA L, sabemos
que A A B C £ A A C B y, p o r tanto,
¿ f l S LC.
D e m o d o que podem os utilizar el teorem a del triángulo isósceles al dem ostrar LLL,
sin com eter el e rro r de razo n ar en círculo.
176
U n exam en m á s preciso d e la dem ostración
A h o ra, supongam os que se d a u n a correspondencia L L L de la form a
A B C *-* DEF.
E
Demostración
A
R
f ir m a c io n e s
azones
1.
A B = D E, A C = D F, B C = EF.
D atos.
2.
H ay u n p u n to G del lad o opuesto de
El postulado de la
A C que B, ta l que L C A G £ L D .
ángulo.
3-
H ay u n p u n to H de A G ta l que A H =
DE.
El teorem a de localización de puntos.
4.
AH C *-* D E F es u n a correspondencia
LA L.
Pasos 1, 2 y 3.
5.
AAHC=
LAL.
A
DEF.
construcción
del
A sí, tenem os u n a copia congruente del A DEF, en el lad o inferior del A A B C .
E sto com pleta la prim era p a rte de la dem ostración. E n la segunda parte, m ostrare­
m os que A A B C ^ A A H C . L a siguiente dem ostración se aplica a l caso indicado
__
>
en la figura, e n el cual B H interseca a
e n u n p u n to entre A y C.
Demostración (coni.)
A
R
f ir m a c io n e s
^ lah b.
a zones
Teorem a del triángulo isósceles.
6.
l a b h
7.
L H B C zé l c h b .
Teorem a del triángulo isósceles.
8.
L A B C zl l A H C .
P ostulado de la adición de ángulos.
9.
A B C <-* A H C es u n a corresponden­
cia LA L.
Pasos 1, 5 y 8.
10.
A A B C £ A AHC.
LAL.
U.
AABC £
Pasos 5 y
A
DEF.
1 0.
Interposición
y separación
177
D esde luego, hay o tro s d os casos p o r considerar:
B
E n estos casos, las dem ostraciones se dejan al estudiante.
6 -8 .
INTERPOSICIÓN Y SEPARACIÓN
Si el alum no h a estudiado con atención, quizás
h a b rá n o tad o dos casos en los cuales nuestras
dem ostraciones n o estaban com pletas. E n la de­
m ostración del teorem a 5 -2 , en realidad, necesitá­
bam os saber que el p u n to m edio D de B C estaba
en el interior del L B A C .
N ecesitábam os esta inform ación p a ra saber que A D satisface a la definición de
bisectriz de u n ángulo.
A nálogam ente, en la dem ostración de L L L , en la sección anterior, para em plear
la adición de ángulos en el paso 8, era necesario saber que el p u n to K estaba en
el interior del L A H C .
Estrictam ente, estas afirm aciones requieren dem ostraciones, pero éstas se om iten
en casi to d o s los libros, incluyendo el de Euclides y la m ayoría de los libros de texto.
E sto n o es necesariam ente perjudicial. L a geom etría se guía m ás bien p o r el sentido
com ún, y es el sentido com ún el que n os dice que nuestros postulados eran razonables
en prim er lugar. L a geom etría se h ab ía estudiado du ran te m ás de dos mil años antes
que se en unciaran postulados que fueran realm ente adecuados p a ra las dem ostra­
ciones de teorem as geom étricos.
Sin em bargo, u n a vez que tengam os los postulados y hayam os aprendido a em plear­
los, debem os o rd en ar m ejor nuestro trab ajo , enunciando y dem ostrando los teorem as
que necesitamos.
T e o re m a 6 - 5
.
.
.
A
M
Si M está en tre los p u n to s ^ y C de u n a
recta L , entonces M y A están al mismo
lad o de o tra recta cualquiera que contenga
a C.
178
U n exam en m á s preciso de la dem ostración
Demostración: Sea L ' la o tra recta que contiene a C y supongam os que A y M
están a lados opuestos de L '. Entonces, A M contiene un punto D de L '. Pero A M
está en L , y L c o rta a U solam ente en C. E n consecuencia, C — D. P o r ta n to , en
virtud de la definición de segm ento, C está entre A y M , lo cual es im posible, porque
M está entre A y C. [V. la afirm ación (2) en la página 41.]
E sto conduce fácilm ente al teorem a que necesitábam os en las dem ostraciones del
teorem a 5-2 y del teorem a LLL.
T e o re m a 6 - 6
Si M está entre B y C, y A es u n punto
< )
cualquiera fuera de BC, entonces M está
en el interior del L B A C .
Dem ostración: P or el teorem a anterior, sabem os que (1) M y B están al m ism o
4—
>
r
lad o de A C . A plicando de nuevo ese teorem a, sabem os que (2) M y C están
al m ism o lado de A B . P or la definición del interior de u n ángulo, esto significa que
M está en el interior del L BAC.
Conjunto de problemas 6—8
[Nota: En este conjunto de problemas, no se deberá tomar información alguna de las figuras.] .
1. Dibujar una figura para la siguiente afirmación y justificar su validez: En un triángulo
cualquiera, cada punto de un lado del triángulo, distinto de los extremos, está en el
interior del ángulo opuesto al lado.
<—y
2. Se dan la recta AC, con un punto R tal que R-A-C, un punto B fuera de AC, y los puntos
P y Q en BC y BA tales que B-P-C y B-Q-A. Completar cada una de las siguientes
afirmaciones y estar preparado para justificar las respuestas:
(a) P está en el interior del ¿_________
<r~>
(b) Q y B están en e l ________lado de AC.
O,
(c) P y B están e n _________ de AC.
X>
(d) Q y P están e n _________de AC.
(e) R y P están e n _________ de AB.
M
3. Demostrar que si M está entre los puntos A y C de una
recta L, entonces A y C están a lados opuestos de otra
recta cualquiera que contenga a M .
C
L
In terposición y separación
4. Dados los puntos A, B, C, D, E y H en el mismo
plano, tales que A, B y C no están alineados,
B-C-D, A-E-C y B-E-H, demostrar que A y H están
al mismo lado de BD.
C
D
c
D
179
S. Demostrar que, en un plano, si una recta corta a un lado
de un triángulo en un punto que no es un vértice, entonces
corta, al menos, a otro lado del triángulo.
[Sugerencia: Sean H t y H z los dos semiplanos cuya arista
común es L , con C en H ,. Hay tres casos por considerar:
B está en L, B está en H x y B está en H 2.]
6. Se dan los puntos A , B , C, D, E y H en un mismo
plano, tales que A , B, C no están alineados, B-C-D,
A-E-C y B-E-H\ demuéstrese que H está en el interior
del ¿_ACD. [Sugerencia: Por la definición del in­
terior de un ángulo, debe demostrarse que A y H están
al mismo lado de CD (V. el problema 4) y que D y H
están al mismo lado de AC.]
7. El siguiente teorema, cuya veracidad parece
evidente, a menudo se acepta sin demostración:
Si K es un punto en el interior del
entonces B K interseca a AC.
ABC,
Después de contestar las preguntas que siguen,
se debe poder presentar una demostración.
Pueden utilizarse otros problemas de este con­
junto de problemas para justificar el razona­
miento.
(a) Sean H¡ y H 2 los dos semiplanos cuya arista común es BC, con el punto A en H¡.
Tómese un punto D cualquiera en el rayo opuesto a BA. Trácese DC formando el
A DA C. ¿Por qué está O e n W ,?
(b) ¿Por qué está K en H¡ ? ¿Qué teorema justifica que cada punto de BK, excepto B,
está en / / , ?
(c) ¿Por qué está en H 2 cada punto de DC distinto de C?
(d) ¿Por qué no interseca D C a BK1
(e) ¿Por qué no interseca DC al rayo opuesto a BK1
__
«—>
(f) ¿Por qué no interseca DC a BK?
<-> ----
(g) ¿Por qué tiene que intersecar B K a AC?
(h) ¿Por qué no interseca el rayo opuesto a BK, a AC?
(i) ¿Por qué interseca BK a AC?
180
U n e x am en m ás preciso de la dem ostración
PR O B LEM A OPTATIVO
L a siguiente argumentación falsa que trata de demostrar que un ángulo obtuso es
congruente con un ángulo recto recalca la importancia de saber a qué lado de una recta
está un punto dado. Supongamos que el [2ABCD es un rectángulo y que el lado B C se
mueve hacia afuera de manera que B C ' = B C y el ¿'_ABC' sea obtuso. Supongamos que
__
__
<
lá mediatriz de A B interseca a la mediatriz de D C ' en X . Si X está por debajo de AB,
como se indica en la primera figura,
tenemos que
A A X D £ A BXC ',
por el teorema LLL y, en consecuencia,
m L D A X — m L C 'B X .
También, A E A X z ¿SEBX, por el teorema LLL, de modo que m L E A X = m L E B X .
Restando, obtenemos que m L D A E = m L C 'B E . Si X está por encima de AB, como se
indica en la segunda figura, obtenemos, igual que antes, que
m L D A X — m L C 'B X , m L E A X = m L E B X , y la igualdad
requerida m L D A E = m L C 'B E se obtiene mediante adición.
¿Qué es incorrecto en la argumentación anterior?
[Sugerencia: Trátese de dibujar una figura exacta para repre­
sentar el caso en el cual m L A B C ' es un poco menor que 180.
¿Qué parte de la demostración es válida en este caso?]
Repaso de la unidad
1. Supongamos que se va a tratar de demostrar las siguientes afirmaciones mediante el
método indirecto. Para cada afirmación, indicar con qué supuesto se comenzaría la
demostración.
(a) Si un triángulo no tiene dos ángulos congruentes, entonces no es isósceles.
(b) D ada una recta y un punto fuera de ella, hay a lo sumo una recta que pasa por el
punto y es perpendicular a la recta dada.
(c) Si un punto equidista de los extremos de un segmento, está en la mediatriz; del.,
segmento.
(d) Si dos rectas de un mismo plano son perpendiculares a una misma recta, son paralelas.
(e) En un plano, hay a lo sumo una recta perpendicular a una recta dada en un punto
dado de la misma.
(f) < /l no es un número racional.
(g) Cero no tiene recíproco.
Repaso de la unidad
181
2. Definir la “mediatriz de un segmento”.
3. Enunciar el teorema de la mediatriz.
4. Copiar los siguientes triángulos escalenos. Constrúyase la mediatriz de cada lado de
cada uno de los triángulos. ¿Biseca alguna de las mediatrices a alguno de los ángulos?
F
D
E
5. Indicar si cada una de las siguientes afirmaciones es cierta o falsa:
i
(a) En un plano, hay a lo sumo dos perpendiculares a una recta en un punto de la misma.
(b) Demostrar que “hay exactamente uno” significa demostrar existencia y unicidad.
(c) El lado más largo de un triángulo cualquiera se llama la hipotenusa.
(d) En un triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo recto se llama la hipótesis.
r
6. En la figura, A E = BC, ED = CD, G es el punto medio de
A B y ¿_E = ¿_C. Demostrar que
D G ±AB.
A
7. La recta L es la mediatriz de BC y A es el punto medio de BC. Los puntos K y G están
al mismo lado de BC. K está al mismo lado de L que B, y G está al mismo lado de L
que C, de modo que ¿_BAK = ¿_CAG. La perpendicular a BC en B interseca a A K en D,
y la perpendicular a BC en C interseca a AG en E. Demostrar que B E y CD se intersecan
en L.
8. A B y CD están en un mismo plano y son congruentes. La mediatriz de A D y la de BC
se intersecan en X. Demostrar que & A B X £ A DCX.
7 | Desigualdades
geométricas
7 -1 .
FORMULACIÓN D E CONJETURAS PLAUSIBLES
H a sta ah o ra, en nuestro estudio de la geom etría del triángulo, hem os venido
tra ta n d o solam ente con casos en los cuales podem os decir que dos segm entos son
de igual longitud, o que dos ángulos tienen igual m edida. Procederem os ahora a
estudiar casos en los cuales podem os decir que u n segm ento es más largo que otro
(es decir, que tiene m ay o r longitud), o que u n ángulo es m ay o r que otro (esto es,
tiene m ayor medida).
Sin em bargo, no em pezarem os dem ostrando teorem as. M ás bien, harem os prim era­
m ente algunas conjeturas plausibles acerca del tipo de afirm aciones que deben ser
ciertas. (N o deberem os llam ar teorem as a estas afirm aciones hasta que se de­
m uestren.)
Exam inem os el siguiente ejem plo: D ad o u n triángulo con dos lados de longitudes
diferentes, ¿qué podem os decir acerca de los ángulos opuestos a esos lados ? O bsér­
vese que este problem a viene sugerido de m odo n atu ral p o r el teorem a 5-3, que dice
que si d os lados de u n triángulo tienen la m ism a longitud, entonces los ángulos
opuestos a esos lados tienen la m ism a m edida.
Puede investigarse esta situación, dibujando un triángulo con dos lados de longi­
tudes evidentem ente desiguales, com o el siguiente:
A
A quí, B C es m ayor q u e A B y m /_ A es m ayor que m¿_C. D espués de d ib u jar algunos
triángulos m ás, probablem ente nos convencerem os de que el siguiente enunciado es
cierto:
1 ,
S i dos lados de un triángulo tienen longitudes desiguales, entonces los ángulos
opuestos a ellos tienen medidas desiguales, y e l ángulo m ayor es e l opuesto al
lado mayor.
Ensayem os, ah o ra, el m ism o procedim iento con los siguientes problem as:
C o n ju n to d e p roblem as 7 -1
1. En cada uno de los siguientes triángulos, m¿_A > m¿_B. ¿Qué conjetura puede hacerse
acerca de los lados opuestos a los ángulos L A y ¿_B1
184
D esigualdades geom étricas
2. Considérese un triángulo cualquiera y designemos sus vértices con A , B y C. ¿Parece
ser cierto que A B + BC > A C ? ¿Qué relación hay entre BC + AC y A B l ¿Qué podría
decirse acerca de BC y A C + AB1 ¿Qué afirmación general sugieren las respuestas?
3. Consideremos varios triángulos escalenos de diversas formas. Para cada triángulo,
indíquese cuál es el lado mayor y cuál es el ángulo mayor. ¿Qué conjetura parece ser
cierta? ¿Demuestran los ejemplos que dicha conjetura es cierta?
4. Dibújense dos triángulos A R S T y A A B C tales que
RS = AB,
S T = BC
y
m /_ R S T > m/_ABC.
Compárense R T y AC.
5.
¿Qué conjetura relativa a m /_CBD y m /_BAC sugieren los triángulos anteriores? En
la tercera figura, si se trasladara el vértice C muy hacia la izquierda de A y B, ¿seguiría
siendo válida la conjetura? ¿Puede pensarse en una manera de demostrarla?
6. Dibújese un triángulo cualquiera, A MOP. Sea K un punto entre'Ai y el punto medio de
MP, y trácese KO. Para los triángulos A MOP y &KOP, tenemos que PO = PO,
¿ P g ¿_P y M P > K P . Una persona irreflexiva podría conjeturar que M O > K O .
Demuéstrese que no siempre es esto válido.
7. Se dan una recta L y un punto P fuera dé L. Sea Q el pie de la perpendicular desde P a
L y sea A otro punto cualquiera de L. ¿Qué conjetura relativa a PQ y PA parece ser
válida?
8. ¿Es válido el siguiente procedimiento para trisecar un ángulo cualquiera? Háganse
algunos dibujos como ayuda para llegar a una decisión.
En los lados de un ángulo Z A cualquiera, tómense los puntos B y C de manera que
A B = AC. Trácese BC y triséquese mediante los puntos D y E de manera que
BD = DE = EC. Trácense AD y AE. Entonces, AD y A E trisecan al L A .
d esig u ald ad e s p a ra nú m ero s, segm entos y ángulos
+
185
9. QC y QB son segmentos no colineales en el plano
E ; P e s un punto fuera de E tal que el /_PQ B y el
L P Q C son ángulos rectos; y QC < QB. Escri­
bir un enunciado cüya conclusión se refiera a
P B y a P C y que se considere cierto.
* + 10.-4 es un punto en el plano E, A B es un rayo que
no está en E, y A Ces un rayo en E. Considerando
posiciones diferentes de AC, describir con tí/da
la precisión que se pueda, la posición de A C que
haga m /_B A C lo más grande posible, y la que
haga m L B A C tan pequeña como sea posible.
N o se espera una demostración, pero se pide la
respuesta a base de los conocimientos del espacio.
7 -2 .
D ESIGUALDADES P A R A NÚM EROS, SEGMENTOS Y ÁNGULOS
L as desigualdades en tre segm entos y ángulos se definen' m ediante los núm eros
que constituyen las m edidas de los segm entos y los ángulos.
D e fin ic ió n
A B < C D , si A B < CD.
C on p alab ras: U n segm ento es menor que (o m ás corto que) o tro, si su longitud es
m enor. A nálogam ente, tenem os la
D e fin ic ió n
L A < L B , s\ m L A < m L B .
A ntes de proseguir el estudio de Jas desigualdades entre segm entos y ángulos,
debem os recordar, de la sección 2-2, las propiedades de las desigualdades entre
núm eros.
0 -1 .
Tricotom ía
P a ra to d o p ar á e núm eros x , y , uno y solam ente un o de los siguientes casos
se cum ple: x < y , x = y , x > y .
0 -2 .
Transitividad
Si x < y. y y < z , entonces x < z .
*
186
D esigualdades geom étricas
0 -3 .
Propiedad aditiva
Si a < b y x < y , entonces a + x < b + y.
0 -4 .
Propiedad multiplicativa
Si x < y y a > O, entonces a x < ay.
E l álgebra que utilizarem os al tr a ta r co n desigualdades geom étricas será muy
sencilla. N i siquiera necesitarem os la p ropiedad 0 -4 . Sin em bargo, necesitaremos
el siguiente teorem a:
Teorem a 7-1
S i a = ¿> + c y c > 0 , entonces a > b.
Demostración:
P uesto que a — b — c, tenem os a — b > 0. P o r tanto,
(a — b) + b > O + b
y
a > b.
Conjunto de problemas 7 -2
1. Para cada uno de los siguientes ejemplos, indicar la propiedad de ordenación que pone
de manifiesto:
(a) Si m > 7 y n < 7, entonces n < m.
(b) Si 4 < 6, entonces 14 < 21.
(c) Si A B < 13, entonces A B ^ 13.
(d) Si x —y = 7 y y < 3, entonces x < 10.
(e) Si ¿_A < ¿_C y ¿_B > ¿_C, entonces ¿_A < ¿_B.
(f) Si R S < GH y S T < HK, entonces R S + S T < GH + HK.
2. En la figura de la derecha,
A B < GB
y
B C < BH.
Demostrar que A C ^ GH.
3. Se sabe que A, B y C están alineados y que G, H y K también están alineados. Los
puntos están distribuidos de manera que A B < GH y BC < HK. ¿Se deduce de esto
que A C < GK1 ¿Por qué sí o por qué no?
4. Se da la figura, con
¿_D AB< LD BA
y
DAC<LDBC.
Demostrar que Z.CAB < ¿_CBA.
E l teo rem a del án g u lo externo
187
5. Explicar detalladamente por qué el teorema 7-1 tiene las siguientes consecuencias:
Si D es un punto en el interior del ¿_ABC, entonces ¿.A B C > ¿_ABD y
¿.ABC >¿_CBD.
6. En la figura, BD = CD. Demostrar que
¿_ABC > ¿_DCB.
R
7. Se da la figura de la derecha, donde M es el punto
medio de los segmentos P S y RQ . Demostrar que
L R Q T > ¿LR.
p
o
8. Utilizar la propiedad 0 -2 para demostrar que un número negativo cualquiera es menor
que un número positivo cualquiera.
9. Supongamos que se hubiera expresado la propiedad 0-3 simplemente así:
Para todo a, b y x , si a < b, entonces a + x < b + x.
Demostrar que la otra parte de 0 -3 se deduciría como el siguiente teorema:
Para todo a, b, x y y , si a < b y x < y, entonces a + x < b + y.
[Sugerencia: Obténgase a + x < b + x , y x + b < y + b, y utilícese 0-2.]
10. Refiérase a la figura del problema 7, y utilícese solamente la siguiente hipótesis: S y P
están en lados opuestos de RQ , P-Q-T, y S y R están al mismo lado de PT.
Demuéstrese que S está en el interior del ¿_RQT.
7 -3 .
E L TEO REM A D E L ÁNGULO EX TERN O
E n las siguientes figuras, el L \ se llam a ángulo externo del A A B C :
D e f in ic ió n
Si C está en tre A y D, entonces el L B C D es u n ángulo externo del A A B C .
188
D esigualdades geom étricas
Todo triángulo tiene seis ángulos externos, com o se m uestra en la siguiente figura:
Estos ángulos fo rm an tres pares de ángulos opuestos p o r el vértice y los ángulos de
c a d a p a r son congruentes, com o se indica en la figura.
T o d o ángulo externo de u n triángulo fo rm a u n p a r lineal con uno de los ángulos
del triángulo m ism o. P o r ejem plo, en la figura, el L 1 y el L C del A A B C form an un
p a r lineal. L os otros d os ángulos del triángulo se llam an ángulos internos no contiguos.
D e fin ic ió n
El L A y el L B del A A B C se llam an ángulos internos no contiguos de los ángulos
externos L B C D y L A C E .
'
A nálogam ente, el L A y el L C son los ángulos internos n o contiguos de los
ángulos externos L A B E y L C B G .
El siguiente teorem a es la clave p a ra el estudio de las desigualdades geom étricas.
T e o re m a 7 - 2 .
El teorema del ángulo externo
U n ángulo externo de un triángulo es m ayor que ca d a un o de sus ángulos internos
no contiguos.
O de otro modo: Se d a el A A B C .
está en tre A y D, entonces
Si C
LBCD > l b .
Prim ero, observam os que esta segunda m anera de enunciar el teorem a realm ente
expresa to d o su contenido. N o s dice que L \ > L B . M ediante u n cam bio de n o ta ­
ción (intercam bio de A y B ), concluim os que L 2 > L A . Puesto que L \ S L 2 , se
deduce que L l > L A . P o r tan to , el L 1 es m ayor que ca d a un o de sus ángulos
internos no contiguos.
E l teo re m a d el án g u lo externo
189
Procedem os a d em ostrar la segunda versión del teorem a:
D
Demostración
A
R
f ir m a c io n e s
azones
1.
Sea E el p u n to m edio de BC.
?
2.
Sea F u n p u n to e n el ray o opuesto
a E A , ta l que E F = EA.
?
3.
L B E A £ LCEF.
?
4.
A B E A s ACEE.
?
5.
m L B = mLECF.
?
6.
m LB C D = m LE C F + m LFCD .
El p o stu lad o de la adición de ángulos.
7.
m LBC D = m L B + mLFCD.
A firm aciones 5 y 6.
8.
m LBCD > m LB.
T eorem a 7-1.
9.
LBCD > l b .
Definición de > p a ra los ángulos.
El teorem a del ángulo externo tiene u n corolario sencillo :
C o ro la rio 7 -2 .1
Si u n triángulo tiene u n ángulo rectG; entonces los otros
ángulos son agudos.
(Si el L C es u n ángulo recto, entonces tam bién lo es el L 1■
E l teorem a del ángulo externo nos dice que L 1 > L B y
L l > L A . P o r tan to , m L B < 90 y m ¿_A < 90.)
B
c
Si hubiésem os conocido el teorem a del ángulo externo en el capítulo anterior,
hubiéram os p o d id o concluir m ás fácilm ente
que la perpendicular a u n a recta desde
u n p u n to externo es única. Si hubiera
dos perpendiculares a L desde P , entonces
el L l sería congruente con el L P Q R , lo
cual es im posible, pues el L 1 es u n ángulo
externo del A P Q R , y el L P Q R es uno
de sus ángulos internos n o contiguos.
WO
D esigualdades geom étricas
C onjunto de p roblem as 7—3
1. (a) Nombrar los ángulos internos no contiguos
del L A B E de la figura.
(b) Indicar qué ángulo externo tiene a los ángulos
L A B C y L B A C como internos no contiguos.
2. (a) En la figura de la derecha, ¿qué ángulos son
ángulos externos del triángulo ?
(b) ¿Qué relación hay entre m /_D A C y m /_ B l ¿Por
qué?
(c) ¿Qué relación hay entre m /_D A C y m L B A E l
¿Por qué?
d
a
(d) ¿Qué relación hay entre m /_D A C y m /_ B A C l ¿Por
qué?
3. Utilizar la figura de la derecha solamente para explicar la notación, y completar cada
enunciado a base de los teoremas ya demostrados:
(a) Si x = 40 y y ==30, entonces w ~>
(b) Si a: = 72 y y = 73, entonces w
R
.
.
(c) Si y = 54 y z = 68, entonces w - - '
(d) Si w = 112, entonces x '
(e) Si w = 150, entonces z ________
(f) Si x = 25 y z = 90, entonces tv___
(g) Si z = 90, entonces * _______ y y
4. Dada la figura de la izquierda, a continuación, demostrar que ¿_CAK> ¿_C.
5. La figura anterior de la derecha ilustra el siguiente enunciado: Un ángulo externo de un
cuadrilátero es mayor que cada uno de sus ángulos internos no contiguos. ¿Es cierto
este enunciado ? Expliqúese.
6. (a) En la figura de la derecha, P S biseca al ¿_RPM.
Demostrar que L S C M > ¿_SPM.
(b) Demostrar que si ¿ S C V £ ¿_PRV, entonces
LPRT> LS.
T eorem as sobre congruencia basados e n e l teo rem a del ángulo externo
191
7. Se dan dos segmentos cualesquiera A B y DE. ¿Podremos hacer una afirmación que
relacione A B con D E y que sea siempre cierta? ¿Cuál es la afirmación? Justifiqúese
la respuesta.
8. Indicar por qué las marcas de la figura de la derecha
indican una situación imposible.
9. Demostrar el siguiente teorema:
La suma de las medidas de dos ángulos cualesquiera de un triángulo es menor que
180.
O de otro modo: Si los ángulos de un triángulo tienen
medidas como las que se indican en la figura de la
derecha, entonces,
a + b < 180,
b + c <180,
a + c < 180.
10. Demostrar el siguiente teorema:
Los ángulos en la base de un triángulo isósceles cualquiera son agudos.
[Sugerencia: Utilícese el teorema del problema 9.]
7 -4 .
TEO REM A S SOBRE CONGRUENCIA BASADOS EN E L TEO R EM A D E L
ÁNGULO EX TERN O
D e f in ic ió n
Si un p ar de lados correspondientes son congruentes y dos pares de ángulos
correspondientes son congruentes, entonces la correspondencia se llam a u n a
correspondencia L A A . (Desde luego, aq u í LAA significa Lado Á ngulo Á ngulo.)
\
192
T e o re m a 7 - 3 .
El teorem a LAA
T o d a correspondencia L A A es u n a congruencia.
Si los lados congruentes están com prendidos entre los ángulos congruentes, ya
sabem os, p o r ALA, que la correspondencia es una congruencia. P o r ta n to , al enunciar
el teorem a de o tro m odo, podem os suponer que tenem os el tipo de congruencia
sugerido p o r la figura anterior.
O de otro modo:
Se d a n los triángulos A A B C y A DEF. Si
L A ^L D ,
L B ^L E
y
A C ^D F ,
entonces
A A B C £ A DEF.
Dem ostración:
H ay sólo tres posibilidades p a ra A B y DE:
(1)
A B = DE,
(2)
A B < DE,
(3)
A B > DE.
Si el enunciado (1) es válido, entonces se deduce el teorem a, porque, en este caso,
A B C -*• D E F es una correspondencia L A L . D em ostrarem os que los enunciados (2)
y (3) son imposibles.
F
S upongam os que el enunciado (2) es válido: A B < DE. Sea B ’ el p u n to de A B
ta l que A B ' = DE. Entonces, A A B 'C ^ A DEF, en virtud del postulado LAL.
P o r ta n to , L A B 'C = L D E F y, en consecuencia, L A B C = L A B 'C . (¿ P o r qué?)
Pero esto es im posible, p o rq u e el teorem a del ángulo externo nos dice que L A B C >
L A B 'C .
D e m an era análoga, podem os d em ostrar que el enunciado (3) A B > D E es im po­
sible. Los detalles se dejan al estudiante.
C om o los enunciados (2) y (3) son im posibles, el enunciado (1) tiene que ser válido,
y A A B C £ A DEF, p o r el postulado LAL. E sto com pleta la dem ostración.
T eorem as sobre congruencia basados en el teo rem a del ángulo externo
193
En el capítulo anterior, encontram os que n o hay. un teorem a LLA. Es decir, una
correspondencia LLA no es necesariam ente una congruencia. Sin em bargo, en el
caso de triángulos rectángulos, podem os d em ostrar un teorem a de está clase.
T e o re m a 7 -4 .
El teorem a d e la h ip o ten u sa y el c ate to
Se da una correspondencia entre d os triángulos rectángulos. Si la hipotenusa
y un cateto de u n triángulo son congruentes con las partes correspondientes del
segundo triángulo, entonces la correspondencia es u n a congruencia.
O de otro m odo:
Se d a n los triángulos A A B C y A DEF, tales que
m ¿_A = m l_ D =
AB = DE
y
90,
B C = EF.
Entonces,
A A B C £ A DEF.
Demostración
A
R azones
f ir m a c io n e s
1.
H ay un p unto G, en el rayo opuesto
a D F, tal que DG — AC .
?
2.
A DEG £ A ABC .
1
3.
EG
?
4.
L G ^L C .
?
5.
EG
Paso 3 y dato.
6.
LF ^L G .
7.
A D E F zé
8.
A A B C ^ A D E F '.
=
=
BC.
EF.
?
A
DEG.
Pasos 5. y 6, y el teorem a
Pasos 2 y 7.
LA A.
194
D esigualdades geom étricas
Conjunto de problemas 7 - 4
1. Resumir todos los métodos estudiados hasta ahora para demostrar que dos triángulos
son congruentes.
2. D atos:
PT±RT,
S V ± QV,
R T = QV,
PQ = SR.
Demostrar que P T = SV.
3. En la figura de la izquierda, a continuación, CD biseca a A B y ¿_C ~ L D . Demostrar
que A B biseca a CD.
4.. En la figura anterior de la derecha, ¿ .K £ ¿_J y M R — NR. Demostrar que M K — NJ.
í~5j Desde el punto medio de uno de los lados de un triángulo, se trazan segmentos per­
pendiculares a los otros dos lados. Demostrar que si los segmentos son congruentes, el
triángulo es isósceles.
6.
D atos: E es el punto medio de AB, A D L A B ,
BC L A B y L A D E £ ¿_BCE.
Demostrar que L E D C £ ¿_ECD.
7. Los puntos K y M trisecan a GH, y G-K-M. Los puntos / e I, al mismo lado de GH,
están en las perpendiculares a GH en G y H , respectivamente, de manera que J M = IK.
J M e l K se intersecan en P. Demostrar que el A PKM es isósceles.
8. Se da la figura de la izquierda, a continuación, en la que los ángulos ¿_D y L C son
ángulos rectos y t\A P R = [\BQ T. Demostrar que A A D F % ABCE.
9. Los puntos A , B y Q están en el plano E, A Q ± P R , BQ ± P R y /LPAB £
Demostrar que Z_PAR £
PBR.
PBA.
D esigualdades e n u n m ism o triángulo
7 -5 .
195
DESIGUALDADES EN UN MISMO TRIÁNGULO
A hora, procederem os a d em ostrar algunos de los teorem as que conjeturam os al
com ienzo de la unidad.
T e o re m a 7 - 5
Si dos lados de u n triángulo n o son congruentes, entonces los ángulos opuestos
a estos lados no son congruentes y el ángulo m ayor es el opuesto al lado m ayor.
O de otro modo:
L C > lb .
E n u n triángulo cualquiera A A B C , si A B > A C , entonces
A
kD
Demostración: Sea D u n p u n to de A C , ta l que A D = AB. Entonces, L A B D = L D ,
porque los ángulos en la base de un triángulo isósceles son congruentes. Com o
A D = A B > A C , C tiene que estar entre A y D. P o r tan to , en virtud del postulado
de la adición de ángulos,
m LABD = m LA B C + mLCBD.
E n consecuencia,
m LA B C < mLABD .
(¿ P o r qué?) Prescindiendo ah o ra de las m edidas de los ángulos, podem os expresar
lo an terio r sim plem ente com o
L A B C < LABD .
Puesto que L A B D s L D , se deduce que
LA B C < LD .
Pero, p o r el teorem a del ángulo externo, sabem os que
LD < lac b.
P o r tan to ,
LABC < l a c b .
En consecuencia, e n el A A B C tenem os que L B < L C , com o queríam os dem ostrar.
196
D esigualdades geom étricas
Teorem a 7 -6
#
Si d os ángulos de un triángulo n o son con­
gruentes, entonces los lados opuestos a estos
ángulos no son congruentes y el lado m ayor
es el opuesto al ángulo m ayor.
O de otro modo:
A B > AC.
Demostración:
E n u n triángulo cualquiera A A B C , si L C > L B , entonces
H ay sólo tres posibilidades p a ra los núm eros A B y AC :
(1)
AB<AC,
(2)
A B = AC,
(3)
A B > AC.
Si el enunciado (1) fuera cierto, entonces se deduciría del teorem a an terio r que
L C < l_B , y esto es falso. P o r consiguiente, (1) es imposible.
Si el enunciado (2) fuera cierto, entonces L B y L C resultarían los ángulos en la
base de u n triángulo isósceles y, en consecuencia, ¿ S s ¿_C, lo cual es falso. P or
ta n to , (2) es imposible.
L a única posibilidad restante es el enunciado (3). E sto es lo que queríam os
dem ostrar.
Lo an terio r es sim plem ente u n a m anera conveniente de escribir u n a dem ostración
indirecta. Pudim os h ab er dicho lo m ism o, m ás form alm ente, así:
“ Supongam os que el teorem a es falso. Entonces o bien A B = A C o
A B < A C . A B = A C es im posible, porque . . . ; A B < A C es imposible,
p orque . . . . P o r ta n to , el teorem a n o es falso. E n consecuencia, el teorem a
es cierto” .
P ero el esquem a que utilizam os la prim era vez probablem ente es m ás fácil de
seguir, y lo utilizarem os de nuevo m ás adelante. L a idea es hacer u n a lista de todas las
“ posibilidades” relacionadas con u n a situación d ad a y, luego, dem ostrar q u e sola­
m ente una de ellas es realm ente posible..
Conjunto de p roblem as 7 -5
1. En el A ABC, A B — 12, BC — 1 y A C = 9. N om brar el ángulo mayor y el
ángulo menor.
2. En el A PQR, m /_P = 72, m /_Q = 37 y m /_R = 7 1 . Nombrar el lado mayor y
el lado menor.
D esigualdades e n u n m ism o triá n g u lo
3. En la figura de ia izquierda, a continuación, ¿_ABD >
197
DBC. Demostrar que A D > BD.
4. Nombrar los lados de la figura anterior de la derecha en orden de menor a mayor.
5. Se da la figura de la izquierda, a continuación, las medidas de cuyos ángulos se indican.
Demostrar que P R es el segmento mayor.
6. En la figura anterior de la derecha, si los ángulos tienen las medidas indicadas, ¿cuál es
el segmento más largo?
7. En la figura de la izquierda, a continuación, si los ángulos tienen las medidas indicadas,
¿cuál es el segmento más corto?
s
8. En la figura anterior de la derecha, A B y CD se intersecan en E, L C > L A y
¿_D > L B. Demostrar que A B > CD.
9. En el triángulo isósceles A K G H , KG = K H ; P es un punto cualquiera de GH que no
está en GH. Demostrar que PK es siempre mayor que KG o KH.
* 10. Si los ángulos de la figura de la derecha tienen
las medidas indicadas, ¿cuál es el segmento más
corto ?
*
198
D esigualdades geom étricas
7 -6 .
RECÍPROCOS
Los teorem as 7 -5 y 7 -6 están relacionados de u n a m anera particular; son recí­
procos uno de otro. L a relación entre ellos se verá m ás fácilm ente, si los redactam os
así:
T e o re m a 7 -5 '
Se da el A A B C . Si A B > A C , entonces L C > ¿_B.
T e o re m a 7 - 6 '
Se d a el A A B C . Si L C > L B , entonces A B > A C .
H em os tenido anteriorm ente varios casos de teorem as recíprocos. P o r ejem plo:
T e o re m a 5 -3
Si dos lados de un triángulo son congruentes, entonces los ángulos opuestos
a estos lados son congruentes.
T e o re m a 5 - 4
Si dos ángulos de u n triángulo son congruentes, entonces los lados opuestos a
estos ángulos son congruentes.
Tam bién, aquí, la relación se ve m ás clara, si redactam os los teorem as de otro
m odo.
T e o re m a 5 - 3 '
Se da el A A B C . Si A B = A C , entonces L C = L B .
T e o re m a 5 -4 '
Se d a el A A B C . Si A C s A S , entonces A B = A C .
D espués de d em ostrar u n teorem a que tiene la form a simple “ s i . . . , entonces . ,
generalm ente es una buena idea investigar el enunciado recíproco. Tenemos que
considerar cada caso separadam ente, p orque puede fácilmente suceder que el recí­
proco de un teorem a cierto no sea cierto. P o r ejem plo, sabem os que*si dos ángulos son
opuestos p o r el vértice, entonces son congruentes. El recíproco diría que si dos
ángulos son congruentes, entonces son opuestos por el vértice; y no solam ente es
esto falso, sin o 'rid ícu lo . A nálogam ente, si x = y , entonces x 2 = y 2. El recíproco
diría que si x 2 = y 2, entonces x = y . El recíproco es falso, pues n o considera la
posibilidad x = —y .
Si ocurre que un teorem a y su recíproco son am bos ciertos, entonces podem os
com binarlos en un sólo teorem a, utilizando la frase, “si, y solamente s i”. P o r ejem plo,
podem os com binar los teorem as 7 -5 y 7 -6 de la siguiente m anera:
*
Recíprocos
199
T e o re m a
Se d a el A A B C . A B > A C si, y solam ente si, L C > L B .
T am bién, podem os com binar los teorem as 5-3 y 5-4 de la m anera siguiente:
T eo re m a
D os ángulos de un triángulo son congruentes si, y solam ente si, los lados opues­
to s a estos ángulos son congruentes.
Conjunto de problemas 7 -6
1. Escribir el recíproco de cada uno de los siguientes enunciados y decidir si cada enunciado
y cada recíproco es cierto o falso:
(a) Si una persona tiene más de 20 años de edad, entonces tiene derecho a votar.
(b) Vemos leones y elefantes, si estamos en Africa.
(c) Todo el que tiene fiebre escarlatina está enfermo de cuidado.
2. Para los ejercicios a continuación, síganse las instrucciones del problema 1:
(a) Si dos ángulos son congruentes, son ángulos rectos.
(b) Si dos ángulos forman un par lineal, entonces son suplementarios.
(c) U n punto en la mediatriz de un segmento equidista de los extremos del segmento.
(d) Dos ángulos son ambos agudos, si son complementarios.
3. Cuando se le pidió el recíproco del enunciado, “Si sostengo en mi mano un fósforo
encendido por mucho tiempo, me quemaré”, Juan contestó: “ Me quemaré si sostengo en
mi mano un fósforo encendido por mucho tiempo” . ¿Dio, realmente, el enunciado
recíproco? Coméntese esto.
4. (a) ¿Será cierto el recíproco de todo enunciado cierto? Justifiqúese la respuesta.
(b) ¿Podrá ser cierto el recíproco de un enunciado falso? Justifiqúese la respuesta.
5. Combinar las dos afirmaciones siguientes en un solo teorema, utilizando la frase “si, y
solamente si” :
Todo triángulo equilátero es equiángulo.
Todo triángulo equiángulo es equilátero.
6. Separar el siguiente teorema en dos teoremas de la forma “s i . . . , entonces . . . ” :
U n triángulo es equilátero si, y solamente si, la bisectriz de cada ángulo del triángulo
es la mediatriz del lado opuesto.
¿Cuál de los dos teoremas corresponde a la parte “solamente si” del teorema que aca­
bamos de enunciar?
200
D esigualdades geom étricas
7 -7 .
L A DISTANCIA ENTRE U NA RECTA Y U N PUNTO. LA DESIGUALDAD
D EL TRIÁNGULO
T e o re m a 7 - 7 .
El prim er teorema de m ínim a distancia
El segm ento m ás corto que une un punto
a u n a recta es el segmento perpendicular
a la recta.
O de otro modo: Se dan u n a recta L y u n p u n to P fuera de ella. Si P Q 1 L en Q,
y R es o tro p u n to cualquiera de L , entonces P Q < P R .
Demostración: P o r hipótesis, m L Q = 90. En virtud del corolario 7-2.1, el ¿_R es
agudo. Así, m L R < m L Q - P o r el teorem a 7 -6 , P R > PQ .
L a distancia entre u n p u n to P y u n a recta L debe ser la mínima distancia entre P
y los puntos de L . En virtud del teorem a anterior, sabem os que existe u n a tal mínim a
distancia y sabem os d ó n d e ocurre. P or ta n to , enunciam os nuestra definición así:
D e fin ic ió n
L a distancia entre u n a recta y u n p u n to fuera de ella es la longitud del segmento
perpendicular desde el p unto a la recta. La distancia entre una recta y un punto
de la m ism a se define com o cero.
El siguiente teorem a n os dice que, com o es de esperar, ningún desvío resulta ser un
a ta jo :
T e o re m a 7 - 8 .
La desigualdad del triángulo
L a sum a de las longitudes de dos lados cualesquiera de un triángulo es m ayor
que la longitud del tercer lado.
O de otro modo:
E n un triángulo A A B C cualquiera, tenem os
A B + BC > AC.
D
D ista n c ia e n tre u n a re c ta y u n p u n to . L a desigualdad del triá n g u lo
201
Demostración: Sea D u n p u n to del ray o opuesto a BC, tal que BD = BA, com o se
indica en la figura. Entonces,
DC = DB + BC,
porque B está entre D y C, P o r tan to ,
(1)
DC = AB + BC.
A hora,
m L D A C = m¡_DAB + m LBAC ,
po rq u e B está en el interio r del L DAC. E n consecuencia,
m L DAC > m L DAB.
Pero
m L D — m L DAB,
puesto que BD =BA. P o r consiguiente,
(2)
mLDAC > m L D .
A plicando el teorem a 7 -6 al A ADC, obtenem os
(3)
DC > AC.
C om binando (1) y (3), tenem os AB + BC > AC, com o queríam os dem ostrar.
C onjunto de p roblem as 7 - 7
1. Para la figura de la izquierda, a continuación, podemos afirmar que CD < _
CD < _____ , y que B E < _____ y B E < ______ Enunciar el teorema implicado.
2. Utilizando las medidas de ángulos indicadas en la figura anterior de la derecha, colo­
qúense PS, P R y PQ en orden de menor a m ayor: _____ < _____ < ______ Enúnciense
los teoremas que justifican la conclusión.
202
D esigualdades geom étricas
3. Demostrar que la suma de las longitudes de las diagonales dé un cuadrilátero es menor
que el perímetro del cuadrilátero.
D ada la figura de la derecha, demostrar que
EP + P M + M K > E K .
5. El siguiente problema puede resolverse mediante experimentación o, quizás, mediante
razonamiento: Supongamos que se va a dibujar un triángulo con un lado de longitud
3 cm. y un lado de longitud 7 cm. El tercer lado deberá tener longitud menor q u e _____ ,
y mayor q u e _____
6. Dos lados de un triángulo tienen longitudes j y k, respectivamente. Si ] < k, ¿qué res­
tricciones se imponen entonces a la longitud x del tercer lado ?
7. Se dan una recta L y dos puntos P y Q al mismo lado de L. Determinar el punto R de L
para el cual la distancia PR + RQ sea la más pequeña posible. [Indicación: Esto re­
sultará fácil, si se ha resuelto el problema 6 del Conjunto de problemas 6-4.]
I
•Q
•P
8. Se dan dos segmentos, A C y BD, que se intersecan
en P. Demostrar que si X es un punto cualquiera
del plano de A C y BD, distinto de P, entonces
XA + X B + X C + XD
> P A + PB + P C + PD.
¿Será válido este resultado si X nó está en el plano de A C y BD?
* + 9. Sean A , B y C puntos, no necesariamente distintos. Demostrar que AB + BC > AC.
(Hay que considerar varios casos.)
* + 10. Dem ostrar que elcamino poligonal más corto de un punto a otro es el segmento que los
une.
Ai
O de otro modo: Dados n puntos A¡, A¡, . . . , A„, demostrar que
A ¡A 2 + A 2 A 3 + ••• + A,,-¡A„ > A¡A„.
El teorema de la chamela y su reciproco
r
7 -8 .
203
O -
E L T EO R EM A D E L A CH A R N ELA Y SU RECÍPROCO
C onsiderem os d os varillas, articuladas m ediante
u n a ch am ela en A y co n los extrem os B y C co­
nectados p o r u n a cin ta de goma.
A m edida que aum en ta la ab e rtu ra en la
charnela, la cinta de gom a deberá estirarse
m ás.
Si expresam os esto m ediante el lenguaje de la geom etría, obtenem os el siguiente
teorem a: (Q uizás, el estudiante crea que la segunda m anera de enunciar el teorem a
es de m ás fácil lectura que la redacción original.)
T e o re m a 7 - 9 .
El teorema de la charnela
Si d os lados de u n trián g u lo son congruentes, respectivam ente, con dos lados
de u n segundo triángulo, y el ángulo com prendido en el prim er triángulo es
m ayor que el ángulo com prendido en el segundo, entonces el tercer lad o del
prim er trián g u lo es m ayor que el tercer lado del segundo.
O de otro modo: Sean A A B C y A D E F dos triángulos, con A B = D E y A C = DF.
Si L A > L D , entonces B C > EF.
Dem ostración: Paso 1. Prim eram ente, cons­
truim os el A A K C , co n K e n el interio r del
L B A C , de m an era que A A K C £ A DEF:
--- >
P a ra ello, prim ero tom am os el ray o A Q , c o n Q del m ism o lado de A C que B , tal
q u e L Q A C ^ L D (p o r el p ostulado de la construcción del ángulo). Entonces,
tom am os u n p u n to K de A Q , ta l que A K = D E (p o r el teorem a de localización de
punto s). E n v irtu d del p ostulado L A L . tenem os que A A K C = A D E F com o querí­
amos.
204
D esigualdades geom étricas
Paso 2. A hora, bisecam os al L B A K . Sea M el
p unto donde la bisectriz co rta a iBC.
Y a casi hem os term inado. Por el postulado
LA L, tenem os que
AA M B s AAM K.
P or consiguiente, M B = M K . A plicando la desigualdad del triángulo (teorem a 7-8)
al A C K M , obtenem os
C K < C M + MK.
P o r tan to ,
C K < C M + M B,
pues M B = M K . C om o
CK = EF
y
C M + M B = BC,
se deduce que
E F < BC,
com o deseábam os.
El recíproco del teorem a de la charnela es tam bién cierto.
T e o re m a 7 - 1 0 . El recíproco del teorema de la charnela
Si dos lados de un triángulo son congruentes, respectivam ente, •ion dos lados
de u n segundo triángulo, y el tercer lad o del prim er triángulo es m ayor que el
tercer lado del segundo, entonces el ángulo com prendido del prim er .triángulo
es m ayor que el ángulo com prendido del segundo.
O de otro m odo: Sean A A B C y A D EF dos triángulos, con A B = D E y A C = DE.
Si BC > EF, entonces L A > ¿_D.
P ara deducir este teorem a del teorem a de la charnela, utilizam os el m ism o método
que se em pleó p ara deducir el teorem a 7-6 del teorem a 7-5. Es decir, m ostram os
que L A < L D y L A ^ L D son im posibles, de m anera que la única posibilidad
restante es L A > L D . P ara la prim era p a rte de esta dem ostración, necesitam os el
teorem a de la charnela; y p ara la segunda parte, necesitarnos el postulado L A L .
Los detalles se dejan al estudiante.
E l teo rem a d e la c h arn e la y su recíproco
205
Conjunto de problemas 7 -8
1. En la figura de la derecha,
A D = CD
y
L A D B > LCD B.
Demostrar que A B > BC.
2. En un triángulo isósceles APQ R, S es un punto de la base, distinto del punto medio.
Demostrar que P S no biseca al ¿_RPQ.
3. Se da el A ABM , con la mediana M K y /_M KB > ¿_MK/f.
Demostrar que A M < M B.
4. Los triángulos A A BC y A ABD tienen el lado común
AB, y A C = AD . Si C está en el interior del Z_Í)AB,
demostrar que BD > BC.
5. En el A RST, R T > S T y M e s el punto medio de RS. ¿Será el ¿ T M R , agudo u obtuso?
Expliqúese.
^
Se da la figura de la derecha, según está marcada. Demos­
trar que
w
L W > ¿ .V .
7. En la figura de la izquierda, a ctíntinuación, FH = ■AQy
.
A H > FQ. Demostrar que A B > FB.
^
8. Se da la figura anterior de la derecha, con A D = BC. Demostrar que A C > DB.
*
9. En el A ABC, A-F-C y A-D-B, de manera que FC — DB. Si A B > A C , demostrar
que FB > CD.
206
Desigualdades geom étricas
7 -9 .
ALTURAS D E TRIÁNGULOS
E n cada u n a de las siguientes figuras, el segmento B D es u n a altura del A ABC:
A C . Obsérvese que el pie de esta perpendicular no cae necesariam ente en el segmento
A C . Pero, la siguiente definición to m a en consideración todos los casos posibles:
D e fin ic ió n
U n a altura de un triángulo es u n segm ento perpendicular desde u n vértice del
triángulo a la recta que contiene al lado opuesto.
[Pregunta: ¿Será posible que u n a altura de u n triángulo coincida con uno de lo
lados del trián g u lo ? Si es posible, ¿cuándo sucede esto?]
En la figura, B D es la altu ra desde B, A F es la altura desde A , y (JE es la altu ra desde
C. Obsérvese que en este caso p articular, aunque dos cualesquiera de los segmentos
B D , A F y C E no tienen p u n to alguno com ún, las rectas q u e los óontienen parecen
intersecarse en un pun to G.
—
D esafortunadam ente, la m ism a palabra “ altu ra” se utiliza de otras dos m aneras
(I)
A lgunas veces, a la longitud de u n a altu ra tam bién se le llam a altura. P or
ejem plo, si la distancia BD es 6, podem os decir que-fó altu ra desde B es 6.
A lta ra s d e triá n g u lo s
207
(2) A u n a recta que contiene a una altu ra, se le llam a tam bién altura. Así, en la
> <>
<>
figura anterior, podem os llam ar altu ras a las rectas B D , A F y CE. U tilizarem os la
palabra de esta m anera en la U nidad 15, cuando dem ostrem os que las tres “ altu ­
ra s” de un trián g u lo siem pre se intersecan en un punto. Si u n a altura tuviese que
consistir en un segm ento, este teorem a sería falso, com o m uestra la figura anterior.
Este triple uso de la m ism a p alab ra p udiera causar confusión, pero generalm ente
n o la causa, ya que en la m ayoría de los casos el contexto nos aclarará el significado.
C onjunto de p roblem as 7 -9
1. Cópiese el A ABC. Obsérvese que es escaleno. Dibújese la
bisectriz del ¿_C. Ahora, trácese la mediana desde C a AB.
Finalmente, dibújese la altura desde C a AB. Si se ha
trabajado cuidadosamente, se podrá observar que estos
segmentos son distintos. ¿En qué tipo de triángulo coinci­
dirán los tres segmentos indicados?
2. Copiar el triángulo obtusángulo, A P Q R , y dibujar sus
tres alturas.
. 3. Demostrar que la altura correspondiente a la báse de un triángulo isósceles es también
una mediana.
4. Demostrar el siguiente teorema:
Las alturas correspondientes a los lados congruentes
de un triángulo isósceles son congruentes.
(La figura anterior muestra el caso para m¿_C < 90. Considérense, también, los casos
en que m /_ C = 90 y m ¿_C > 90.)
5. Demostrar que las alturas de un triángulo equilátero son congruentes.
6. Demostrar el reciproco del teorema del problema 4:
Si dos alturas de un triángulo son congruentes, el triángulo es isósceles.
208
D esigualdades geom étrica«
c
7. Demostrar el siguiente teorema:
Se da una correspondencia ABC<-+DEF. Si
A B = DE, BC = EF, y la altura desde C es
congruente con la altura desde F, entonces la
correspondencia es una congruencia.
A
g
8
F
Datos: A B = D E y B C = EF, las alturas CG y FH,
y CG = FH.
Demostrar que A A BC s A DEF.
8. Demostrar que el perímetro de un triángulo es mayor que la suma de las tres alturas.
Repaso de la unidad
1. Para cada uno de los siguientes ejemplos, identificar la propiedad de ordenación que
expresa: '
(a) Si r > 6 y 'é > t, entonces t < r.
(b) Si M P = J y R S = 7, entonces M P + R S = 10.
(c) Si D K i 1 y D K ¿ 1 1 , entonces D K = 11.
2. Si D es un punto en el interior del ¿_ABC, explicar por qué ¿_ABC > ¿LDBC.
3. Si a = 20, entonces x _
Si b — 65, entonces x _
Si c = 100, entonces x
4. Definir la distancia entre un punto y una recta. Definir altura de un triángulo.
5. Demostrar que si una mediana de un triángulo no es per­
pendicular al lado que corta, entonces al menos dos lados
del triángulo no son congruentes.
Repaso de la unidad
209
6. Tres cables atirantados se utilizan para sostener un árbol recién plantado en un terreno
llano. Si se atan los tres al árbol a la misma altura, ¿quedarán fijos al terreno a distancias
iguales del pie del árbol? ¿Porqué?
7. En un triángulo equilátero, se dibujaron una mediana, una bisectriz de un ángulo y una
altura, desde vértices diferentes. ¿Qué relación hay entre sus longitudes ?
8. D ada la figura de la derecha, demostrar que ¿ ,A D B > ¿_C.
9. En el A ABC, A O A B . Demostrar que si D es un punto cualquiera entre B y C
entonces A D < AC.
10. Demostrar el siguiente teorema:
Un punto cualquiera de la bisectriz de un ángulo equidista de los lados del ángulo.
D atos: A P biseca al /_BAC,
PE±~AB,
PF±AC.
Demostrar que P E = PF.
11. Si las medidas de los ángulos en la figura de la
derecha son las indicadas, ¿cuál es el segmento más
corto? Expliqúese.
Demostrar que CA = DB.
210
D esigualdades geom étricas
13. Los segmentos trazados desde un punto del interior de un triángulo a sus tres vértices
tienen longitudes r, s, t. Demostrar que r 4- s + t es mayor que la mitad del perímetro
del triángulo.
14. Demostrar que si A M es una mediana del A ABC, entonces los segmentos desde B y C,
*-*
perpendiculares a A M , son congruentes.
15. En la figura de la derecha, P T = T R = RQ. Demostrar que
P R > RQ.
16. Demostrar el siguiente teorema:
Si desde un punto en una perpendicular a una recta se dibujan dos segmentos
oblicuos (no perpendiculares) a la recta, el segmento cuyo extremo en la recta esté
más alejado del'pie de la perpendicular será el segmento mayor.
17. D ado que A C = BC, A B < A C y A-C-D, demostrar
que el A A B D es escaleno.
18. Demostrar que la suma de las distancias desde un
punto en el interior de un triángulo a los extremos de
un lado es menor que la suma de las longitudes de los
otros dos lados; es decir, demostrar que, en la figura,
a + b > c + d.
19. En el A A B C , el L C es un ángulo recto. $>ym ¿ B = 2m/LA,
entonces A B = 2BC. [Sugerencia: Utilícese la bisectriz del
L B .)
20. (a) Se da el A ABC, con B C = a, A C = b y AB = c. Demostrar que
|a - b\ <lc.
(b) Enunciar con palabras el teorema que consiste en la generalización de la parte (a).
21. La suma de las medidas de los ángulos de un triángulo es menor que 270.
Repaso de la unidad
211
+ 22. Basándonos en los postulados que hemos enunciado y los teoremas que hemos estudia­
do hasta ahora en este curso, es imposible demostrar que la suma de las medidas de los
ángulos de un triángulo es 180 (algo que el estudiante sabe bien desde hace algún tiempo).
Sin embargo, podemos fácilmente construir un triángulo especial y demostrar que la
suma de las medidas de sus ángulos es menor que 181. Sea el L B A C un ángulo con
medida 1 (postulado de la construcción del ángulo). Sobre A B y AC, tómense puntos
K y M tales que A K = A M . La suma de las medidas de los ángulos del A A K M es menor
que 181. ¿Por qué? Si construimos el A de manera
que m /_ A = ^i, ¿qué podríamos decir acerca de la
suma de las medidas de los ángulos?
A
PRO BLEM A OPTATIVO
Sean BD y A C dos rectas que se intersecan en B, un punto entre A y C. Las perpendi­
culares a BD desde A y C intersecan a BD en P y Q, respectivamente. Demostrar que
P y Q no están al mismo lado de AC.
8 Rectas y planos
perpendiculares en
el espacio
8 1*
LA DEFINICIÓN D E PERPENDICULARIDAD PARA
RECTAS Y PLANOS
En esta unidad, nos ocuparem os de figuras que no están en un m ism o plano. Por
tan to , antes de em pezar la lectura del m ism o, sería conveniente repasar la U nidad
3, donde se introdujeron las ideas fundam entales acesca de la geom etría del espacio.
L a perpendicularidad en tre rectas y planos se define así:
D e f in ic ió n
U na recta y un plano son perpendiculares,
si se intersecan y si, adem ás, to d a recta en
el plano que pase p o r el p unto de inter­
sección es perpendicular a la recta dada.
C u an d o la recta L y el plano E son per­
pendiculares, entonces escribim os L I E
o E 1 L. Si P es el p u n to de intersección,
entonces decim os que L 1 E en P.
E n la figurá anterior, hem os presentado tres rectas de E que pasan p o r P. D e
acuerdo con n u estra definición, las tres deben ser perpendiculares a L en P , aunque
quizás n o se vean así. (E n u n d ibujo en perspectiva, las rectas perpendiculares no
tienen necesariam ente que verse form ando ángulo recto.) Obsérvese que si solam ente
exigimos que una recta de E sea perpendicular a L , esto poco significaría: el alum no
puede convencerse fácilm ente de que todo p lan o que pase p o r P contiene u n a tal
recta. P o r o tra parte, resu ltará que si E contiene dos rectas que sean perpendiculares
a L en P , entonces L 1 E en P. E n la próxim a sección, estudiarem os esta idea.
Conjunto de problemas 8 -1
1. La figura a la derecha representa el plano E:
(a) ¿Pertenecerán al plano E algunos puntos fuera de la
figura ?
(b) ¿Debemos suponer que E contiene todo punto fuera de
la figura?
2. (a) Dibujar un plano perpendicular a una recta vertical.
(b) Dibujar un plano perpendicular a una recta horizontal.
(c) En cada uno jle los planos de las partes (a) y (b), dibujar tresrectas que pasen por
el punto de intersección con la recta original. Enuncíese en cada caso, larelación
entre cada una de las tres rectas y la recta original.
213
214
R ectas y planos perpendiculares e n el espacio
3. Léase nuevamente ia definición de perpendicularidad entre una recta y un plano y
decídase si, en virtud de esa definición, es cierto el siguiente enunciado:
Si una recta es perpendicular a un plano, entonces es perpendicular a toda
recta que esté en el plano y que pase por el punto de intersección.
4. Si el ¿_KPM es recto y P M está en E, ¿se podrá concluir que E es perpendicular a PK?
¿Por qué sí o por qué no ?
5. Dado que G ,H ,J y P están en el plano E, y que AB±_ £ e n P, indicar cuáles de los siguientes
ángulos deberán ser rectos:
L GPH, •-
LAPJ,
GPB,
L HPB,
L HPA.
• \
F
6. En la figura de la derecha, H, K y R están en el plano
E y F no está en E.
X
(a) Nómbrense los planos determinados por los puntos
de la figura.
(b) Si H R es perpendicular al plano HKF.’, ¿qué ángulos de la figura deberán ser rectos?
7. En la figura de la derecha, los puntos A, B, C, D y G están
en el plano vertical E, y A P ± E . Nómbrense todos los
ángulos que tienen que ser rectos.
\
8. Se da la figura, con A, B y C en el plano E, P A ± E y PC = PB. Demuéstrese que
A C = AB.
p
/
__i.
Q
A £/
\
/
/
/
f
U n lem a
215
9. Los puntos A , G y C están en eI_plano vertical E, y
P es un punto “delante” de E. Si PA ± E y AG = AC,
demuéstrese que PG = PC.
4-
10. Los puntos A, B y X están en el plano E, y los puntos
P y Q están al mismo lado de E. Si PB = QB y
PA = QA, demuéstrese que P X = QX. ¿Seria válida
la demostración si P y Q estuvieran a lados opuestos
de £ ? ¿Y si P y Q estuvieran en £ ?
8 -2 .
U N LEM A
Al final de la sección anterior, dijim os que si E contiene dos rectas que son perpen­
diculares a L e n P , entonces E ± L en P . L a dem ostración de este teorem a es bastante
larga. P ara facilitar su desarrollo, dem ostrarem os prim ero u n teorem a prelim inar
que nos sirva de ayuda en la dem ostración principal. Tales “ teorem as auxiliares"
se llam an lemas. Este térm ino proviene de una p alab ra griega que significa rama.
A sí, u n lem a es una ra m a de u n a dem ostración larga.
N uestro lem a es fácil de dem ostrar.
T e o re m a 8 -1
Si B y C equidistan de P y Q, entonces to d o
p u n to en tre B y C tam bién equidista d c P y Q.
L a figura ilu stra o tra m anera de expresar el
teorem a. Obsérvese que P , B , X y C tienen que
estar en un m ism o plano, p ues X está en B C y hay u n plano que contiene a B C y a P.
Pero puede m uy bien suceder que el A B P C y el A B Q C estén en planos distintos y,
e n efecto, éste es precisam ente el caso p ara el cual vamos a necesitar el teorem a.
Demostración: (1) Se d a que B P = B Q y que CP = C Q , com o está indicado en la
figura. P o r el teorem a LLL, se deduce que A B P C £ A BQC.
(2) P o r ta n to , L P B C = L QBC.
(3) D el p ostulado L A L , se deduce que A P B X £ A Q B X .
(4) E n consecuencia, P X = Q X , y X equidista de P y Q, com o queríam os dem ostrar.
T am bién, necesitarem os el C o ro lario 6-2.1 de la U nidad 6.
R e cias y planos perpendiculares e n e l espacio
216
C o ro la rio 6 -2 .1
Se d a n u n segm ento A B y u n a recta L en el m ism o plano. Si dos puntos d e L
equidistan de A y B , entonces L es la m ediatriz de AB.
Se necesitará este coro lario solam ente en el caso especial que sugiere la figura
siguiente:
B
i ’
/
A
8 -3 .
E L TEO REM A FUNDA M EN TA L SOBRE PER PEN D IC U LA R ES
T e o re m a 8 -2
jL
Si una recta es perpendicular a dos rectas que se intersecan en su p u n to de inter­
sección, entonces es perpendicular al plano que contiene las dos rectas.
D e otro m odo: Sean L y y L 2 dos rectas
e n el plano E, que se intersecan en A . Sea
L u n a recta perpendicular a L ¡ y L 2 en A .
Entonces, L es perpendicular a to d a recta
L 3 que esté en £ y contenga a A .
t
p
Dem ostración: (1) Sean P y Q dos puntos
de L que equidistan de A . Entonces, L , y
L 2 son mediatrices de PQ (en dos planos
distintos, desde luego).
(2) C a d a una de las rectas L , y L 2 contiene puntos a cada fado de L } en E. Sean
B y C dos puntos de i., y L 2, que están a lados opuestos de L 3 en £ . Entonces, L¡
contiene a un punto X , que está entre B y C.
(3) P o r la parte (!) y el teorem a 6-2, cada uno de los puntos B y C equidista de P
(4) En virtud del teorem a 8-1, X equidista de P y Q.
(5) Así, L 3 contiene al pun to medio de PQ y contiene, adem ás, a otro punto X
que equidista de P y Q. Del corolario 6-2.1, se deduce-que L¿ 1 ¿ , com o queríam os
dem ostrar.
E l teo rem a fu n d a m e n ta l sobre perpendiculares
217
Conjunto de problemas 8—3
1. Se^dan los puntos A, G, H, K, J y M en el plano E.
A P ± A G , A P ± AJ, y A, G y J no están alineados.
,
<-*■
O
Demuestrese que AP es perpendicular a A K y a AM .
2. ¿Cuál es la relación entre L, la recta de intersección de dos paredes del salón de clases,
y F, el plano del piso ? , Expliqúese. ¿Es L perpendicular a toda recía de 'F? ¿Cuántas
rectas de F son perpendiculares a, L ?
3. En la figura, A B ± BC, D B ± B C , y A B = D B .
Demuéstrese que A ABC s A DBC.. ¿Es Zfi_L £ ?
¿Por qué sí o por qué no ?
. . . I
■
'Á
L ti
4. El cuadrado Q ABC D está en el plano E. P es un punto fuera de E tal que P A ± A B .
(a) Nómbrense todos los planos determinados por
pares de segmentos.
p
(b) Al menos uno de los segmentos es perpendicular
a uno de los planos mencionados en la parte (a).
¿Cuál es el segmento? ¿Cuál es el plano? ¿Cómo
nos ayuda el teorema 8-2 a dar una respuesta
correcta ?
5. En el problema 3, ¿qué segmento y qué plano son
perpendiculares?
„—, i
F
.
. J,
6. Se sabe que K es el punto medio de DG, A D = AG
y K P ± A K , siendo P un punto que no está en el
plano ADG. Si hay un segmento perpendicular a un
plano, nómbrense el segmento y el plano. —
r !<■ i
^ ~ í ) E n la figura, P Q ± M P , P Q ± T Q , y M P 1 M T .
¿Será perpendicular a algún plano de la figura,
algún segmento de la misma? Nómbrense todos los
pares, si hay alguno.
8. A B y CD son segmentos congruentes que se bisecan en M . La recta L es perpendicular
a cada uno de AB y CD en M . P es un punto cualquiera de L. Dibújese una figura >
demuéstrese que P equidista de A , B, C y D.
218
R e ctas y p lanos perpendiculares e n e l espacio
9. Se da el cubo de la derecha, con BK = BM. Demués­
trese que H equidista de K y M . [En la demostración,
pueden utilizarse las siguientes propiedades de un cubo:
(a) Las doce aristas de un cubo son congruentes.
(b) Dos aristas cualesquiera que se intersecan son
perpendiculares.]
* 10. Si A, B, C y D no están en un mismo plano.
La p a rte difícil de esta u n id ad se com pletó cuando dem ostram os el teorem a 8-2.
Los o tro s resultados que necesitam os saber se deducen fácilm ente.
T e o re m a 8 - 3
P o r u n p u n to d ad o d e u n a recta dada, pasa u n plano perpendicular a la recta
dada.
E xistencia y u nicid ad
219
Sean L y P la recta y el p u n to dados.
Demostración:
(1) Sean M y N dos planos distintos cualesquiera que contengan a la recta L.
[Pregunta: ¿Cóm o sabem os que hay dos planos diferentes que contienen a
L 1 Refiérase al p ostulado 5 y al teorem a 3-3.]
(2)
(3)
(4)
(5)
H ay
H ay
H ay
E 1
u n a r e c ta L ¡ en M , perpendicular a l e n P (Teorem a 6-1).
u n a recta L 2 en N , perpendicular a t e n ? (Teorem a 6-1).
un p lano E que contiene a las rectas L x y L 2 (Teorem a 3-4).
L en P [en virtud de los enunciados (2), (3) y el teorem a 8-2].
T e o re m a 8 - 4
Si una recta y un p lan o son perpendiculares, entonces el plano contiene to d a
recta perpendicular a la recta d ad a en su p u n to de intersección con el plano
dado.
O de otro modo: Si la recta L es perpendicular al plano E e n el p u n to P , y L¡ es
u n a recta perpendicular a i e n P , entonces
está en E.
Demostración
A
1.
R
f ir m a c io n e s
azones
, •*•
L y L ¡ están en u n p lan o F.
?
L a intersección de F y E es una recta
2.
?
3.
L 2 1 L en P.
Definición de E L L.
4.
L , l i e n P.
D ato.
5.
L , y L 2 son la m ism a recta.
P or el teorem a 6-1, hay u n a sola recta
de F que es perpendicular a L en P.
6.
L r está en E.
P o r el paso 2, L 2 está en E ; p o r el paso
5, L i = L 2.
2.
l
220
R ectas y planos perpendiculares e n el espacio
El teorem a 8 -4 nos perm ite d em ostrar que el plano perpendicular dad o p o r el
teorem a 8 -3 es único.
T e o re m a 8 - 5
P o r u n p u n to dado de una Vecta d ad a pasa solam ente un plano perpendicular
a la recta.
D em ostración: Si existieran dos planos perpendiculares distintos, entonces su i n t e r ­
sección sería u n a sola recta. E sto es im posible, porque cada uno de ellos c o n t i e n e
todas las rectas que son perpendiculares a la recta d a d a en el p u n to dado.
Sabem os que la m ediatriz de u n segm ento, en un plano dado, se caracterizo c o m o
el conjunto de todos los puntos del plano que equidistan de los extrem os del s e g m e n t o .
P ara el plano bisecante perpendicular o plano m ediador de un segmento en el e s p a c i o ,
tenem os un teorem a de caracterización exactam ente del m ism o tipo.
T e o r e m a 8—6 .
El teorema del plano bisecante perpendicular
El plano bisecante perpendicular de un segm ento es el conjunto de t o d o s los
p u n to s equidistantes de los extrem os del segmento.
O de otro m odo: Sea E el p lan o bisecante
perpendicular de A B . Entonces,
(1)
(2)
si P está en E, tendrem os PA = PB\
si PA = PB, será cierto que P está en
E.
E n la figura, C es el p u n to m edio de AB.
Obsérvese que esta m anera de expresar el
teorem a contiene d os partes, com o e ra de
esperar, tratán d o se de u n teorem a de carac­
terización.
P ara dem ostrar la p arte (1), se necesita saber la definición de perpendicularidad
en tre una recta y un plano y la caracterización de las m ediatrices en un plano. Para
dem ostrar la p arte (2), se necesita tam bién el teorem a 8-5. Los detalles de estas dos
dem ostraciones se dejan al alum no.
'
J
\
I
.
_
__________— ^ -
7 - 7 ------------------------------- —
^
--------—
— ----------- .
Conjunto de problemas 8—4
1. (a) ¿Cuántas rectas son perpendiculares a una recta en un punto dado de la misma?
(b) ¿Cuántos planos son perpendiculares a una recta en un punto dado de la misma?
E x isten cia y unicidad
221
2. Se sabe que A P es perpendicular a cada uno de los rayos AK,
A M , A S, A P y A T. ¿Cuántos planos están determinados por
rayos que se intersecan? ¿Habrá más de tres puntos de la
figura que sean coplanarios? Si es así, expliqúese por qué.
(Supóngase que cada tres de los puntos dados no están ali­
neados.)
3. Los planos E y F se intersecan en KQ. A B ± E, siendo
B un punto de KQ. R está en E y C está en F.
¿Es ABJ_BR? ¿P orqué?
¿Es A B X KQ ? ¿Porqué?
¿Es AB±_ BC? ¿Porqué?
4. En la figura, G H ± E , M G —M H , y P Q ± G H en
M . ¿Contiene el plano E al segmento PQ ? ¿Por qué?
Con respecto a GH, ¿qué término se aplica al plano E?
5. Dos segmentos, A B y CD, son perpendiculares y se bisecan en K. Un plano Z contiene
a AB, pero no contiene a CD. ¿Será Z el plano bisecante perpendicular de CD ? Dibújese
una figura para ilustrar la conclusión.
6. El plano E es el plano bisecante perpendicular de
PQ, como muestra la figura.
(a) P R = ________
TQ = ________
P S = _______ _
L P T M £ ________
A P T M z ________
(b) ¿Es M R = M S = M T1 Expliqúese.
7. Se da la figura de la derecha, en la que no todos los puntos
son coplanarios. Si A W = B W , A X = B X , A Y = B Y , y
A Z = BZ, demuéstrese que W, X , Y y Z son coplanarios.
8. Demuéstrese el teorema 8-6.
222
*
R e ctas y p lanos perpendiculares en el espacio
9. Escribir los teoremas 8-3 y 8-5 como un solo teorema, utilizando la expresión “exacta­
mente uno”
* 10. Escribir el teorema 8-6, utilizando la expresión “si, y solamente si”.
* 11. ¿Podría haberse demostrado el teorema 8-5 antes que el teorema 8-3 ? Expliqúese.
+ 12. Demostrar el siguiente teorema:
Si L es una recta que interseca al plano E en el punto M, hay al menos una recta
L ' de E tal que L '± L .
* 13. ¿Será cierto el siguiente enunciado? Demuéstrese la respuesta.
Cuatro puntos, cada uno equidistante de dos puntos fijos, son coplanarios con los
dos puntos fijos si, y solamente si, los cuatro puntos están alineados.
+ 14. En la figura, E es el plano bisecante perpendicular
de A B en C. H está al mismo lado de E que B,
y K está al mismo lado de E que A, de modo que
K-C-H, H B ± A B y KA ± AB.
Demuéstrese que
(a) A K y B H son coplanarios, y que
(b) A H = BK.
8 -5 .
RECTAS Y PLANOS PE R P E N D IC U L A R E S: RESUM EN
L os siguientes teorem as constituyen u n resum en de algunas de las propiedades
fundam entales de rectas y planos perpendiculares. A lgunas de las dem ostraciones
son fáciles, p ero otras son largas y no nos detendrem os a hacerlas todas. N o obs­
tante, presentarem os un ejem plo del tip o de razonam iento que se requiere, dando
algunas indicaciones detalladas de la dem ostración del siguiente teo re m a:
T e o re m a 8 - 7
D os rectas perpendiculares al m ism o plano
son coplanarias.
P a ra lo g rar una idea de cóm o debe ser la
dem ostración, considerem os prim ero cuál es
la situación si el teorem a es cierto; es decir,
suponiendo que las d os rectas realm ente están
en u n plano, ¿cuál será ese p la n o ?
Se sabe que L¡ i . E en A y que L 2 1 E en
B \ y suponemos que L , y L 2 están en u n .
p lan o F.
F
/
/
é
/
/
A ,
E /
p<-
Á
‘,
B
/
R ectas y p lanos p erpendiculares: resu m en
223
E n la figura, indicam os el p u n to m edio M d e A B y, tam bién, indicam os u n segmento
P Q de E ta l que A B y P Q se bisecan form ando ángulo recto.
Ciertam ente, parece que P Q i F en M . Si esto es cierto, entonces F es el plano
bisecante perpendicular de PQ .
D esdé luego, h a sta ah o ra n a d a hem os dem ostrado, pues hem os estado suponiendo
que el teorem a es cierto. Pero ya tenem os la clave de cóm o debe ser la dem os­
tració n : Prim ero tenem os que situ ar a P Q en E de m anera que P Q y A B s s bisequen
form ando ángulo recto ; y, entonces, debemos m ostrar que L x y L 2 están en el plano
bisecante perpendicular de P Q .
E sta idea funciona. L os pasos m ás im portantes de la dem ostración son los siguientes:
(1)
A P = A Q (com o se indica en la figura).
(2)
ACAP £ ACAQ.
(3)
CP = CQ.
(4)
C está en él p lan o bisecante perpendicular de P Q . Sea F el plano en cuestión.
(5) L ¡ está en F.
D e la m ism a m anera, concluim os que
(6) L 2 está en F.
P o r tan to , el plano que buscábam os es, e n efecto, el p lan o bisecante perpendicular
de P Q . Este p la n o contiene a las rectas L ¡ y L z y , en consecuencia, L¡ y L 2 son
coplanarias.
Quizás, el alum no considere que el análisis que condujo a esta dem ostración será
m ás valioso p a ra él que la dem ostración. U n a dem ostración, después de lograda, es
lógica, p e ro el proceso m ediante el cual se obtiene, raras veces es lógico. C ad a cual
debe hallar u n m étodo com o m ejor pueda. U n a de las m ejores m aneras de lograr
esto es utilizando el “ m étodo de la feliz idea” que ilustram os al com ienzo de esta
sección.
H asta ah o ra, los teorem as de este capítulo d a n inform ación incom pleta acerca de
las rectas y los planos perpendiculares. L os siguientes teorem as am plían dicha
inform ació n :
224
R e ctas y p lanos perpendiculares e n e l espacio
Teorem a 8 -8
Por u n p u n to d ado, p asa u n plano y solam ente u n o , perpendicular a u n a recta
dada.
Teorem a 8 -9
P o r u n p u n to dado, p asa u n a recta y solam ente u n a , perpendicular a u n plano
dado.
E stos teorem as contienen m ucha inform ación e n m uy pocas palabras. C a d a uno
de ellos tiene dos casos, que dependen de si el p u n to dad o está o no en la recta d ad a
o e n el p lan o d ado. E n ca d a u n o de los cuatro casos, los teorem as nos dicen que
tenem os existencia y unicidad. E sto significa que necesitam os u n to ta l de ocho
dem ostraciones. D os de ellas ya se p resentaron e n los teorem as 8-3 y 8-5.
E l teorem a 8 -9 n os asegura la existencia de u n a recta única perpendicular a u n
plano d ad o desde u n p u n to externo. P or ta n to , está justificada la siguiente definición,
an álo g a a la que dim os después del teorem a 7 -7 :
D e fin ic ió n
L a distancia a u n p lan o desde u n p u n to que n o está situado e n él es la longitud
del segm ento perpendicular desde el p u n to al plano.
Teorem a 8 -1 0 .
El segundo teorema de mínima distancia
El segm ento m ás corto desde u n p u n to
a u n p lan o que n o lo contiene, es el
segm ento perpendicular.
L a dem ostración es m uy parecida a la
del teorem a 7 -7 . D ad o s el segm ento per­
pendicular P Q y o tro segm ento P R cualquiera desde P h a sta E , em pezam os la dem os­
tració n , considerando u n p lan o que contenga las rectas P R y P Q . E l resto de la
d em ostración se deja a l alum no.
Conjunto de problemas 8—5
1. Desde un punto A fuera del plano E, se traza eL seg­
mento más corto a E, que interseque a E en B. L y L '
son rectas en E tales que L contiene a B y l ' l I . Si se
traza L" de manera que L " ± L y L " ± L ', demuéstrese
que U y A B son coplanarias.
Repaso de la unidad
225
2. Demostrar el siguiente caso especial del teorema 8-9:
^
Por un punto que no está en un plano dado, pasa a lo más una recta perpendicular
al plano.
3. P y Q están a lados opuestos del plano E, pero
equidistan de E. Las perpendiculares desde P y
Q al plano E intersecan a dicho plano en los
puntos R y S. respectivamente.' Demuéstrese que
(a) PQ interseca a S R en un punto T, y que
(b) T es el punto medio de SR.
Repaso de la unidad
1.
Determinar si cada uno de los siguientes enunciados es cierto o falso, utilizando una
figura, si fuese necesario:
/ (a) Si dos planos se intersecan, su intersección es una recta''/
>-
(b) Tres rectas pueden intersecarse en un punto común de manera que cada recta sea
perpendicular a las otras dos.
(c) Si una recta es perpendicular a cada una de dos rectas, es perpendicular al plano que
contiene estas dos rectas.
•
~3.
(d) La intersección de dos planos puede ser un segmento.
(e) En un punto de un plano, hay exactamente una recta perpendicular al plano.
(f) Dados cuatro puntos cualesquiera, hay un plano que los contiene.
(g) Si una recta interseca a un plano en un solo punto, hay al menos dos rectas en el
plano que son perpendiculares a la recta dada.
(h) Por un punto dado, podemos trazar solamente una recta perpendicular a una recta
dada.
(i) Si tres rectas se intersecan dos a dos, pero no hay ningún punto que pertenezca a
las tres, entonces las tres rectas son coplanarias.
(j) Tres planos pueden dividir al espacio en ocho regiones.
2.
Completar el siguiente enunciado: El conjunto de todos los puntos equidistantes de los
extremos de un segmento es el f - . ■
del segmento.
3.
Completar el siguiente enunciado: La distancia a un plano desde un punto que no está
en el plano es _____________________________________________
5
226
4.
R e ctas y planos perpendiculares e n el espacio
Completar el siguiente enunciado: Si una recta es perpendicular a cada una de dos
rectas_____________ e n ________________________________ , entonces es perpendicular
a l _____________________que las contiene.
5. En_la figura, el A ABC es equilátero en el plano E, y
CD biseca al L B C A . Si H D es perpendicular a CD,
al menos un segmento de la figura será perpendicular
a uno de los planos. ¿Cuál es el segmento y cuál es
el plano?
6. El_pIano E contiene a los puntos A y K; JA ± E ,
C K ± E , pero A ^ K . ¿Cuántos planos están
determinados por A , K, C y J1 Expliqúese.
7. Si los postes de la portería de uno de los extremos de un campo de fútbol son perpendi­
culares al terreno, entonces estarán en un plano sin necesidad de que los sujetemos con
un travesaño. ¿Qué teorema justifica esa conclusión? Si no son perpendiculares al
terreno, ¿podrán estar también en un mismo plano? ¿Garantizará que siempre sean
coplanarios el sujetarlos con un travesaño?
8. A P es perpendicular al plano vertical E, y A, B, C, D, G
y H son puntos de E. Determínese
m L D A P + m LCAP.
Si el L C A B es un ángulo recto, al menos un rayo distinto
de AP, y un plano distinto de E son perpendiculares. N óm ­
brense esos pares.
9. El A A BC está en el plano E. P es un punto fuera
de E tal que PA _L AB, P A ± A C y P D ± B C ,
siendo D un punto de BC. ¿Cuál de los siguientes
enunciados es cierto ? PA > PD, PA = PD,
PA < P D . ¿Porqué?
10. El A H M T está en el plano E. H M = T M y K M L
E. ¿Cuál de los siguientes enunciados es cierto?
L K H T > LK TH ,
/_K H T S L K T H ,
L K H T < LK TH .
¿Por qué?
Repaso de la unidad
227
11. D atos: El plano E contiene al A ABC. La recta
L i_ h en T. T equidista de A, B y C. X es
un punto cualquiera de L.
Demostrar que X equidista de A, B y C.
12 p y ™ * ™ QUe SÍ A y B equidistan d e / ) y 2 - entonces cada punto de A B equidista de
13. D atos: B C y BD están en el plano E; el plano
F ± B D en B; el plano G ± B C en B; G
y F se intersecan en AB.
o
Demostrar que A B ± E.
14. En la figura, el A R SQ está en el plano E y P R ± E.
Si L P Q R £ L P S R , entonces L P Q S £ LP SQ .
15. En la figura, si P R ± E , P R > R S , S Q ± R Q , y
S Q ± P Q , demostrar que PQ > QS.
Figura para los problemas 14 y 15
* 16. Se da el cubo de la figura, en el cual B K = B M y P es
el punto medio de K M Demuéstrese que el plano
H D P es el plano bisecante perpendicular de KM.
[Pueden utilizarse las propiedades de un cubo dadas en
el problema 9 del Conjunto de problemas 8-3.]
* 17. Demostrar que cada uno de los cuatro rayos AB, AC,
AD y A E no puede ser perpendicular a los otros tres.
PROBLEMA OPTATIVO
D atos: A P ± P Q , A P ± PC, P Q ± B C , Q-B-C.
—-
Demostrar que A Q ± B C .
<—y
[Sugerencia: Tómese R en B C de manera que
Q R ^ Q B .]
I
9 Rectas paralelas
en un plano
9 -1 .
CONDICIONES Q U E G A RA N TIZA N E L PARALELISM O
D os rectas en el espacio pueden estar situadas de tres distintas m aneras:
(1) Pueden intersecarse en un punto. En este caso, el teorem a 3-4 nos dice que
tienen que ser coplanarias.
(2) Pueden no intersecarse y no ser coplanarias. En este caso, se llam an rectas
alabeadas. Por ejem plo, considerem os la recta L , trazada desde la parte de atrás hasta
el frente en el piso del salón de clases y la recta L2 trazada de lado a lado en el techo.
Ésas son dos rectas alabeadas.
(3) Finalm ente, las d os rectas pueden estar en un mismo plano sin intersecarse. En
este caso, decim os que las dos rectas son paralelas.
D os rectas que no están en un m ism o plano se llam an rectas alabeadas.
D e fin ic ió n
D os rectas son paralelas, si (1) están en u n m ism o plano y (2) no se intersecan.
El siguiente teorem a nos perm ite h a b la r del p lano que contiene dos rectas paralelas:
Teorem a 9-1
D os rectas paralelas están exactam ente en u n plano.
Demostración: Si L¡ y L 2 son paralelas, sabem os p o r la definición que están en un
plano E . N ecesitam os dem ostrar que están solam ente en u n plano.
Sea P cualquier p u n to de L 2. P o r el teorem a 3-3, sabem os que hay solam ente un
plan o que contiene a L , y a P . Luego, hay solam ente un plano que contiene a L , y
a L 2, p o rq u e to d o p lan o que contiene a L 2 contiene a P.
Escribirem os
L , |\L 2
p a ra indicar que L , y L 2 son paralelas. Si dos segm entos A B y C D están en rectas
paralelas, entonces direm os, p ara abreviar, que los segm entos son paralelos, y escri­
birem os A B || CD .
229
230
R ectas paralelas e n u n plano
A nálogam ente, hablarem os de dos rayos paralelos, un rayo y un segmento paralelos,
v así sucesivamente.
P or ejem plo, si se d a que A B || C D , podem os tam bién escribir
A B || C D ,
A B || CD,
B A || CD,
y así sucesivam ente, p a ra doce casos adicionales análogos.
M ediante la definición, no parece fácil decidir si dos rectas son paralelas. C ad a recta
se extiende indefinidam ente en dos sentidos y, para decidir si se intersecan o no, parece
que tendríam os que exam inar las dos rectas en to d a su extensión. E n algunos casos,
sin em bargo, podem os asegurar que dos rectas son paralelas m irando sólo un
pequeño segm ento de cada una, com o indica el siguiente teorem a:
T e o re m a 9 - 2
D os rectas en u n p lan o son paralelas, si am bas
son perpendiculares a la m ism a recta.
o
T"
Se d a n d os rectas coplanarias, £ , y L 2, tales que L , 1 L en P y L 2 1 L
en Q. N ecesitam os dem ostrar que L , y L 2 n o se intersecan.
Demostración:
Supongam os que L¡ interseca a L 2 en
el p u n to R . Entonces, hay d os perpendi­
culares desde R a L . P o r el teorem a 6-4,
esto es im posible. P o r tan to , L ¡ \\L 2.
[Pregunta: ¿Q ué tip o de dem ostración se
h a utilizado aquí?]
E l teorem a 9 -2 nos perm ite dem ostrar
la existencia de rectas paralelas.
T e o re m a 9 - 3
,
Sea L u n a recta y P u n p u n to que no
está en L . Entonces, hay al m enos una
recta que pasa p o r P y es paralela a L.
Condiciones que g a ra n tiz a n el paralelism o
231
Demostración: Sea Z., la perpendicular desde P a l . Sea L 2 la perpendicular a L , en
P (en el plano que contiene a L y a P ). P or el teorem a 9-2, L 2 || L .
Parecería p ro p io in ten tar una dem ostración de que la paralela del teorem a 9-3 es
única. E sto es, podríam os tra ta r de d em ostrar lo siguiente:
Por un punto dado que no esté en una recta dada, pasa solamente una paralela a la
recta dada.
Se sabe, sin em bargo, que este enunciado n o puede dem ostrarse com o un teorem a,
a base de los postulados que tenem os h asta ahora. P o r tan to , hay que aceptarlo como
un nuevo postulado. Este p ostulado tiene una larga e interesante historia. D u ran te
unos dos mil años, el texto típico de geom etría fue el de los Elementos de Euclides,
escrito alrededor de 300 a. de J.C . E n los Elementos, Euclides utilizaba u n postulado
que decía que las paralelas eran únicas. G eneralm ente, a los m atem áticos les gusta
suponer lo m enos posible y d em ostrar lo m ás posible. P o r esa razón, m uchos de ellos
trataro n de convertir el postulado de las paralelas de Euclides en u n teorem a. Todos
fracasaron. Finalm ente, en el siglo X IX , se descubrió que el postulado de las paralelas
no puede dem ostrarse a base de los otros postulados.
Volveremos a esta cuestión m ás adelante. M ientras ta n to , investiguemos un poco
m ás las condiciones en las cuales podem os decir que dos rectas son paralelas.
En la siguiente figura, a la izquierda, la recta T es u n a secante a las rectas coplanarias
L x y L 2:
En la figura a la derecha, T n o es u n a secante. M ás precisam ente:
D e fin ic ió n
U na secante a dos rectas coplanarias es una recta que las interseca en dos pantos
diferentes.
■ O % r#fi
OTiflJS
232
R ectas paralelas e n u n plano
En cada una de las siguientes figuras, L \ y L l son ángulos alternos internos:
Se observará que las rectas cortadas por la secante pueden ser paralelas o no. Las
m arcas en las figuras sugieren cóm o' debem os describir los ángulos alternos internos
m ediante una definición.
D e f in ic ió n
Se dan d os rectas L , y L 2 cortadas p o r una secante T en los puntos P y Q. Sea A
un p unto de L , y B un p u n to de L 2, tal que A y B están en lados opuestos de T.
Entonces, el L A P Q y el L P Q B son ángulos alternos internos.
T e o re m a 9 - 4
Si dos rectas son cortadas p o r una secante, y si dos ángulos alternos internos son
congruentes, entonces los o tro s dos ángulos alternos internos son tam bién con­
gruentes.
Esto es, si L a = L a ' , entonces L b = L b ' . Y si L b = L b ' , entonces L a = L a ' .
La dem ostración se deja al alum no.
Condiciones que g a ra n tiz a n e l paralelism o
233
El siguiente teorem a es u n a generalización del teorem a 9-2. E sto es, incluye el
teorem a 9 -2 com o caso especial. Puesto que puede aplicarse e n u n m ayor núm ero de
casos que el teorem a 9 -2 , resulta m ás útil. Las letras A IP en el nom bre del teorem a
significan “ alternos internos paralelas” . A nálogam ente, el recíproco del teorem a 9-5,
que vendría a ser el teorem a 9-8, se llam ará “ el teorem a P A I” .
T e o re m a 9 - 5 .
El teorema AIP
Se d a n dos rectas cortadas p o r u n a secante. Si dos ángulos alternos internos son
congruentes, entonces las rectas seirp aralelas.
Demostración: Sea T u n a secante, que interseca a L , y a L 2 en P y Q, respectivam ente.
Se supone que d os ángulos alternos internos son congruentes. P o r el teorem a anterior,
tenem os que
(1) ambos pares de ángulos alternos internos son congruentes.
A hora, supongam os que L¡ interseca a L 2 en u n p u n to i?. D em ostrarem os que esto
nos lleva a u n a contradicción de (1).
Sea S u n p u n to de L { situado a u n lad o de T distinto de aquel en que está R . En­
tonces, el L S P Q es u n ángulo externo del A P Q R , y el ¿_PQR es u n o de los ángulos
internos no contiguos. P o r el teorem a del ángulo externo,
j
(2) L S P Q > L P Q R .
E sto contradice el enunciado (1), puesto que el L S P Q y el L P Q R son ángulos
alternos internos. P o r ta n to , L x no interseca a L 2, y L x || L 2, com o queríam os dem ostrar.
234
R ectas paralelas e n u n plano
Conjunto de problemas 9 -1
[Nota: En los conjuntos de problemas de este capítulo, cuando los problemas se enuncian
mediante figuras, éstas se suponen planas, a menos que se indique otra cosa.]
1. ¿Cuáles de los siguientes enunciados son ciertos?
(a) Si dos rectas no están en un mismo plano, pueden ser paralelas.
(b) La definición de rectas paralelas establece que las rectas deberán mantenerse a la
misma distancia una de otra.
(c) Si dos rectas son perpendiculares a la misma recta en puntos diferentes de ésta, son
paralelas.
(d) Si dos rectas en un plano son cortadas por una secante, los ángulos alternos internos
son congruentes.
1.) Datos: AD biseca al ¿_CAB y CA = CD.
<-> <-*■
Demostrar que CD\\ÁB.
3. ¿Se deduce que L¡ ||L2, si se cumplen las siguientes condi­
ciones?
(a) raZ.<? = 100 y
m ¿_r — 100
(b) m /_p = 80 y
m /_r = 100
(c) m ¿ s = 120 y
m¿_p = 60
(d) m¿_r - 90 y
m¿_p = 90
4. ¿Será posible hallar dos rectas en el espacio que n>
n paralelas ni se intersequen?
5. Demostrar el siguiente teorem a:
Si dos rectas son cortadas por una secante, y dos ángulos internos que contienen
puntos a un mismo lado de la secante son suplementarios, las rectas son paralelas.
Datos: L ,, L¡ y T. El ¿_p es suplementario del ¿_r.
-*---------
Demostrar que L , '\L2.
6. Se dan una recta L y un punto P que no está en L. Indíquese cómo se podrían utilizar un
transportador y una regla para dibujar una recta por P paralela a L.
Condiciones que g a ran tiz a n el paralelism o
235
7. En la figura, P, Q y R son tres puntos
no alineados en el plano E, P K ± E y
R M X E. Demuéstrese que P K || RM.
En la figura, A B y CD se bisecan en E. Demostrar que
A D || CB.
9. Se da el cuadrilátero O ABCD, con los ángulos rectos
L A y ¿_B y A D = BC. Demostrar que /_D s L C .
[Sugerencia: Trácense A C y BD.] ¿Puede demostrarse
también que los ángulos L D y ¿_C son rectos?
10. En la figura. A , B y C están alineados, AP =
AQ , BP = BQ, B X = B Y y C X = C Y .' Demos­
trar que PQ || X Y.
p
c
§>
Q
2 A -L
11. D atos: El Q ABCD , con H punto medio de AB, G
punto medio de DC, A D = B C y ¿_A £ L B .
Demostrar: G H l.D C , J
GHS_~AB^
iB W 'D C .''
12. Se da el A ABC, con
AP = PB = RQ,
BQ = QC = PR,
A R = RC = PQ .
Demostrar que m /_ A + m ¿ .B + m /_ C = 180.’
¿Por qué no demuestra esto que la suma de las medidas de los ángulos de un triángulo
cualquiera es 180?
4
^ J ^
-
c
PROBLEMA OPTATIVO
Supongamos que se aceptan las dos definiciones siguientes:
U na recta vertical es una recta que contiene al centro de la Tierra.
Una recta horizontal es una recta perpendicular a alguna recta vertical.
(a) ¿Podrían ser paralelas dos rectas horizontales?
(b) ¿Podrían ser paralelas dos rectas verticales ?
(c) ¿Podrían ser perpendiculares dos rectas verticales?
(d) ¿Podrían ser perpendiculares dos rectas horizontales?
(e) ¿Será toda recta vertical una recta horizontal?
(f) ¿Será toda recta horizontal una recta vertical?
(g) ¿Podría ser una recta horizontal paralela a una recta vertical?
(h) ¿Será horizontal toda recta ?
9 -2 .
ÁNGULOS CORRESPONDIENTES
En la figura siguiente, los ángulos m arcados a y a' se llam an ángulos correspondientes.
A nálogam ente, b y b ' son ángulos correspondientes, lo m ism o que c y c' y, tam bién,
d y d'. D e m anera precisa:
D e fin ic ió n
Z
Si d os rectas son cortadas p o r u n a secante de
m odo que el L x y el L y son ángulos alter­
nos internos, y los ángulos L y y L z son
opuestos p o r el vértice, entonces el L x y el
L z son ángulos correspondientes.
Á ngulos correspondientes
237
Se deberán dem ostrar los dos siguientes teo rem as:
T e o re m a 9 - 6
Se d a n dos rectas cortadas p o r u n a secante. Si dos ángulos correspondientes son
congruentes, entonces dos ángulos alternos internos son congruentes, y
(Refiérase al teorem a de los ángulos opuestos p o r el vértice.)
T e o re m a 9 - 7
Se d a n d os rectas cortadas p o r u n a secante. Si dos ángulos correspondientes son
congruentes, entonces las rectas son paralelas.
Parece com o si los recíprocos de los teorem as 9-5 y 9-7 debieran ser ciertos. Esto
es, cuando dos rectas paralelas son co rtad as p o r u n a secante, entonces los ángulos
altem o s internos debieran ser congruentes y los ángulos correspondientes tam bién.
Sin em bargo, las dem ostraciones de estos teorem as recíprocos requieren el postulado
de las paralelas. P o r ta n to , enunciarem os este p ostulado en la siguiente sección, p a ra
utilizarlo en lo sucesivo.
C onjunto de problem as 9 -2
1. En la figura siguiente de la izquierda, A C = B C y /_D CE s L B . Demostrar que CE IIZfl.
4
2. En la figura anterior de la derecha, se dá el A K M J, con K J = M J , GJ = H J y
LH G J ~ LH M K.
___
Demuéstrese que G H || KM.
3. En la figura siguiente de la izquierda, el /_B y el ¿_D son ángulos rectos y D C — AB.
Demostrar que A D || BC.
C
4. En la figura anterior de la derecha, ¿por qué es PQ \\AB7; LAC\\ QRT; ¿PS\\BC 1
238
R ectas paralelas en u n plano
9 -3 .
E L POSTULADO DF, LAS PA R A LELA S
P O S T U L A D O 1 8.
El p o stu lad o d e las paralelas
Por un punto externo dado hay solamente una recta paralela a una recta dada.
Se observará que el postulado necesita solam ente decir que la paralela es única, ya
que hem os d em ostrado que la paralela existe. Es la unicidad de las paralelas la que
n os d a los recíprocos de los teorem as de la sección anterior. Com enzarem os con el
recíproco del teorem a 9-5.
T e o re m a 9 - 8 .
El teorem a PAI
Si dos rectas paralelas son cortadas por una secante, entonces los ángulos alternos
internos son congruentes.
Dem ostración: Se dan las rectas paralelas
L , y L 2 y una secante T, que las corta en
P y Q, respectivamente.
t
Supongam os que los ángulos L a y L b no son congruentes. Sea L una recta que pasa
p o r P, tal que los ángulos alternos internos son congruentes. Esto es, en la figura
siguiente. L a £ L e . P o r el postulado de la construcción del ángulo, existe exacta­
mente una recta tal L ; y esto quiere decir tam bién que L / L¡.
Entonces, L || L 2, por el teorem a 9-5. C om o L # L u se deduce que hay dos rectas
que pasan p o r P, paralelas a L 2. Esto contradice el postulado de las paralelas. Por
tanto.
L a £ Lb,
com o queríam os dem ostrar.
E l postulado de las paralelas
239
Las dem ostraciones de los cuatro teorem as siguientes son co rtas y bastante fáciles;
p o r eso, se dejan p a ra el alum no:
T e o re m a 9 - 9
Si dos rectas paralelas son co rtad as p o r u n a secante, ca d a dos ángulos corres­
pondientes son congruentes.
t
T e o re m a 9 -1 0
Si d os rectas paralelas son co rtad as p o r u n a secante, los ángulos internos a un
m ism o lado de la secante son suplem entarios.
D e otro modo: Se d a n L , || L 2 y una secante
T. Entonces, los ángulos ¿_b y L d son suple­
m entarios y los ángulos L a y L e son suple­
m entarios.
T e o re m a 9 -1 1
*
E n u n plano, si dos rectas son paralelas a u n a tercera recta, entonces son p a ra ­
lelas entre sí.
El m ism o teorem a es válido p a ra el caso en que las tres rectas n o son coplanarias.
(V. el corolario 10-4.2.) Pero el teorem a no puede dem ostrarse en el caso general por
los m étodos de este capítulo.
T e o re m a 9 -1 2
'
I
E n u n plano, si u n a recta es perpendicular a u n a de dos rectas paralelas, es per­
pendicular a la o tra.
"—U n a dem ostración ráp id a de este teorem a
viene sugerida p o r la figura de la derecha. (U n
ángulo es u n ángulo recto, si, y solam ente si,
es congruente al ángulo con el cual form a un
p a r lineal.)
U n a observación final: Si se utiliza una
dem ostración indirecta p a ra el teorem a 9 -9 , la ta re a n o es tan fácil. Véase la
definición de ángulos correspondientes y refiérase al teorem a de los ángulos opuestos
p o r el vértice.
240
R ectas paralelas e n u n plano
c
l
C onjunto de p roblem as 9—3
f ( 1. Se da la figura de la derecha, con J _ C D E 3 L A
y L ± A B . Demostrar que L ± DE.
nA ’r \ r
FK
r
\
B
A
2. Se da el cuadrilátero □ E A S Y , con los ángulos rectos L E ,
L A y LS.
Demostrar que E Y 1 S Y .
'Se.----------------e
/
a
3. Demostrar que una recta paralela a la base de un triángulo isósceles y que inter­
seca a los otros dos lados del triángulo en puntos diferentes, determina otro triangulo
isósceles.
/ 4 S Í / 1 5 ||Z>Cy m L B A D = 115, ¿cuánto es m L A D C l
''- '- 'S i, también, A D || BC, ¿cuánto es m L B C D l
5. Datos: En la figura, R T = RS y PQ \\RS.
Demostrar que PQ = PT.
6. En la figura, ¿ x £ L y y L a % L b .
Demostrar que L ,\ \ L 3.
Demostrar que L x — Ly-
,
r
.Jwi J a¿
E l postulado de las paralelas
241
8. Se da que AC y DB se intersecan en E, con A-E-C y D-E-B, tal que A D — B C y AD || BC.
Demostrar que A C y DB se bisecan en E.
9. Se da el APM N; M X biseca al ¿ M ; N X biseca al /_N; y
QR, que pasa por X, es paralela a M N.
Demostrar que los triángulos A Q M X y A R X N son isósceles.
10. Demostrar el siguiente teorema por el método indirecto L
Se dan dos rectas paralelas L , y L 2. Si, en el
mismo plano, una tercera recta, L ¡, interseca a
una de las rectas, digamos L 2, entonces inter­
seca a la otra.
11. Si dos rectas paralelas son cortadas por una secante, entonces las bisectrices de dos
ángulos correspondientes cualesquiera son paralelas.
12. Demostrar el siguiente teorema:
En un plano, si los lados de un ángulo son paralelos a los de otro ángulo, los ángulos
o bien son (a) congruentes o son (b) suplementarios.
[Nota: La figura indica solamente dos casos, pero se pueden dar, de manera análoga,
demostraciones fáciles para los demás. Como indicación, véase el problema 7 de este
conjunto de problemas.]
(b) a + b = 180 .
13. En_el A ABC, la bisectriz del L A interseca a BC en D. La mediatriz de AD interseca a
AC en G. Demostrar que GD || AB.
14. En el AFGH, la bisectriz del Z_Fy la bisectriz del L G se cortan en C. La recta que pasa
por C y es paralela a FG corta a FH en A y a GH en B. Demostrar que el perímetro del
A A B H es igual a la suma de FH y GH.
15. Se da el A ABC. Demostrar que si A está en una recta paralela a BC, entonces m¿_A +
mLB+mLC=m .
242
R e ctas paralelas e n u n plano
16. Si el teorema 9-8 se acepta como postulado en lugar del postulado de las paralelas,
entonces sería posible demostrar este último como un teorema.
Se dan una recta L y un punto P que no está
en L. Entonces, hay a lo más una recta, L u
que contiene a P y que es paralela a L.
[Indicación: ¿Es a = c = b ?]
17. Demostrar que si el teorema 9-12 se acepta como
postulado, el postulado de las paralelas se deduce
como teorema.
9 -4 .
TRIÁNGULOS
T e o re m a 9 -1 3
P a ra to d o triángulo, la sum a de las m edidas de los ángulos es
D em ostración: S ed a el A A B C . Sea L larecta
que p a sa p o r B, paralela a A C . Sean los
ángulos L x , L x ', L y , L y ' y L z com o se
indican en la figura.
A
R
f ir m a c io n e s
azones
1. m L x = m L x ' .
Son ángulos alternos internos.
2. m L y = mLy'-
Son ángulos alternos internos.
3. m L A B D = m L z + m L y ' ■
P ostulado de la adición de ángulos.
4. m L x ' + m L A B D = 180.
P ostulado del suplem ento.
5. m L x ' + mLz-+ m L y ' = 180.
Pasos 3 y 4.
6. m L x + m L z + m L y = 180.
Pasos 1, 2 y 5.
D e este teorem a, obtenem os algunos corolarios m uy im portantes.
T riángulos
243
C o ro la rio 9-13.1
Se d a u n a correspondencia en tre dos triángulos. Si dos pares de ángulos corres­
pondientes son congruentes, entonces los ángulos correspondientes del tercer p a r
son tam bién congruentes.
C o ro la rio 9 -1 3 .2
L os ángulos agudos de un triángulo rectángulo son com plem entarios.
C o ro la rio 9 -1 3 .3
E n to d o triángulo, la m edida de u n ángulo externo es la sum a de las m edidas de
los ángulos internos no contiguos.
Es evidente q u e utilizam os el postulado de las paralelas p a ra d em o strar el teorem a
9-13. E sto no fue sólo cuestión de conveniencia; de hecho, el teorem a no puede
dem ostrarse sin utilizar el p o stu lad o de las paralelas. Se descubrió e n el siglo X IX
que hay un tip o de geom etría (ah o ra llam ada geom etría hiperbólica) en la cual el
p ostulado de las paralelas de Euclides n o es válido. L a geom etría hiperbólica es no
solam ente u n a ra m a im portante de la m atem ática, sino tam bién m uy útil en la física.
E n la geom etría hiperbólica, el teorem a 9-13 no puede dem ostrarse y, de hecho, es
fa lso . Y ocurren o tras cosas m uy raras. P o r ejem plo, en la geom etría hiperbólica,
los m odelos a escala son im posibles, p orque d os figuras no p o d rá n tener exactam ente
la m ism a fo rm a a m enos q u e ten g an exactam ente el m ism o tam año.
L a geom etría euclídea es, s in ‘em bargo, u n a excelente aproxim ación del espacio
rea l; y es, desde luego, el tip o de geom etría que to d o el m undo debe estudiar prim ero.
C o n ju n to de p roblem as 9 - 4
1. Hallar la medida del tercer ángulo, si las medidas de los otros dos ángulos de un triángulo
son las siguientes:
(a) 64 y 59.
(b) 26 y 134.
(c) k y 2k.
(d) u y v.
(e) 90 y n.
(f) 60 + a y 60 - a.
2. Las medidas de los ángulos de un triángulo están en la razón 1 : 2 : 3 . Hallar la medida
de cada ángulo.
244
R ectas paralelas e n u n plano
3. La medida de un ángulo de un triángulo es 25 más que la del segundo ángulo, y la medida
del tercer ángulo es 9 menos que dos veces la medida del segundo ángulo. Hallar
cada medida.
4. Determinar la medida de cada ángulo de la figura
de la derecha.
5. Dado que L A s /_D y ¿ B s L E , explicar
por qué podemos concluir o no que:
(a) Z C s Z f .
(b) A B £ DE.
A
6. L a medida de un ángulo de un triángulo es cinco veces la del segundo ángulo, y la medida
de un ángulo externo en el tercer vértice es 120. Hallar la medida de cada ángulo del
triángulo.
En la figura, PR _L RQ, S T _lR Q , y S Q L PS.
Demostrar que L P ^ L Q -
F T 7
8. En el A ABC, el L A C B es un ángulo recto y C D l AB. \
Demostrar que L A = LB C D .
9. Demostrar que si la bisectriz de un ángulo externo de un triángulo es paralela a un lado
del triángulo, éste es isósceles.
10. Demostrar que si una recta que contiene al vértice de un triángulo isósceles es paralela
a la base del triángulo, entonces biseca a cada ánguto externo en el vértice.
11. ¿Por qué es indispensable el postulado de las paralelas para demostrar el teorema 9-13 ?
12. Se da la figura de la derecha.
Demostrar que a + b —x + y.
[Sugerencia: Trácese MH.]
F - el A ABC, el L C es un ángulo recto, y M es un punto de la hipotenusa tal que A M =
CM. Demostrar que M equidista de A , B y C.
C uadriláteros e n u n p lan o
245
14. Datos: En el A P Q R , el L R es un ángulo rect0j
Q T = QVy y'P S = PV.
Demostrar que x = 45. [Sugerencia: Sea m L P = fl. Redáctense fórmulas para
las medidas de los otros ángulos.]
sr zss?¿7ZéíriüS.“
—
demostrar que la conjetura es falsa ? ¿Puede demostrarse que e s S a f CJemPl°
U%
3
9 -5 .
Í Í Í É
/))
t
'
a
UC
i
~
PUm° ^ ^
C0" * * * y- ^ es un punto de
' ¿)£' lnterseca a /íC e n F. Demostrar que w ¿ C í E ==
CUADRILÁTEROS E N U N PLANO
Enunciam os nuevam ente la definición de cuadrilátero que dim os en la sección 5-8:
D efinición
Sean A B, C y D c u atro p u n to sc o p k n a rio s. Si tres cualesquiera de ellos no están
1
^ BQCD?152*
sus exfremos
intersecan solam ente en
Los'cu í r T í c
tnCCS n reUm° n dC 105 CUatr° seSm entos se llam a cuadrilátero
Los cuatro segm entos se llam an lados, y los p untos A , B , C y D s e llam an vértices.
látero.nSU ° S L
AB> L A B C ’ L B C D y L C D A se llam an ángulos del cuadri-
246
R ectas paralelas e n u n plano
E l cuadrilátero m ism o se indica p o r \J,ABC D . Los ángulos del \3 A B C D se indican
brevem ente p o r ¿_A, L B , L C y L D .
E n la figura anterior, el cuadrilátero de la izquierda se llam a convexo, pero el de la
derecha no lo es. P a ra ver cóm o podem os describir la diferencia entre estos cuadriláte­
ros, tracem os las rectas que contienen los lados de cada un o de ellos.
L a siguiente definición describe la propiedad de convexidad:
D e fin ic ió n
U n cuadrilátero es convexo, si d os cualesquiera de sus vértices n o están en
lados opuestos de u n a recta que contiene a un lado del cuadrilátero.
L a figura an terio r de la izquierda satisface estas condiciones, pero la de la derecha,
no . (¿ P o r q u é? ¿Q ué se necesita señalar para dem ostrar que u n cuadrilátero no es
convexo ?)
D e fin ic io n e s
D os lados de un cuadrilátero son opuestos, si n o se intersecan. D os ángulos son
opuestos, si no tienen com ún u n lado del cuadrilátero. D os lados son consecutivos,
si tienen un extrem o com ún. D os ángulos son consecutivos, si tienen com ún un
lad o del cuadrilátero. U na diagonal de u n cuadrilátero es un segm ento deter­
m inado p o r dos vértices no consecutivos. ~
A sí, en el Q A B C D , los siguientes pares de lados y de ángulos son opuestos: A B y
C D , ~BC y Ä D , L A y L C , L B y L D . A lgunos de los pares consecutivos son:
A B y BC , B C y C D , L D y L A , L A y L B . L as diagonales del □ A B C D son
A C y BD .
■C uadriláteros e n u u plan o
247
D e fin ic ió n
U n trapecio es u n cuadrilátero que tiene dos lados paralelos.
Se observará que la definición perm ite la posibilidad de que ambos pares de lados
opuestos sean paralelos. Si esto sucede, tenem os un paralelogramo.
D e fin ic ió n
Un.paralelogramo es un cuadrilátero en el cual am bos pares de lados opuestos son
paralelos.
Las dem ostraciones de los siguientes teorem as son directas:
T e o re m a 9 -1 4
C a d a diagonal descom pone a un paralelogram o en dos triángulos congruentes.
E sto es, si el H A B C D es u n paralelogram o, entonces A A B C £ A C D A.
T e o re m a 9 -1 5
E n un paralelogram o, dos lados opuestos cualesquiera son congruentes.
C o ro la rio 9 -1 5 .1
Si dos rectas son paralelas, entonces todos
los puntos de cada recta equidistan de la
o tra recta.
p
o
------- 1-------------------- “ 1------¡
¡
J
'
'
------ --- --------■ ^
Ml¡l2
R ecordam os, de la sección 7 -7 , que la distancia de un punto a una recta es la
longitud del segm ento perpendicular desde el punto a la recta. A lgunas veces,, nos
referim os al corolario 9-15.1 diciendo que “ las rectas paralelas equidistan en to d a su
extensión” .
D e fin ic ió n
La distancia entre dos rectas paralelas es la distancia de cualquier punto de una
de ellas a la otra.
T e o re m a 9 -1 6
En un paralelogram o, d os ángulos opuestos cualesquiera son congruentes.
248
R ectas paralelas en u n plano
T e o re m a 9—17
E n un paralelogram o, dos ángulos consecutivos cualesquiera son suplem entarios.
T e o re m a 9—18
Las diagonales de u n paralelogram o se bisecan.
Si sabem os que el U A B C D es un paralelogram o, los teorem as anteriores nos per­
m iten llegar a varias conclusiones relacionadas co n sus propiedades. Considerem os
a h o ra el problem a recíproco. ¿Q ué necesitam os saber del \Z\ABC Ó para concluir que
es u n paralelogram o?
T e o re m a 9 -1 9
Si am bos pares de lados opuestos de u n cuadrilátero son congruentes, entonces
el cuadrilátero es u n paralelogram o.
y*
T e o re m a 9 -2 0
Si dos lados de u n cuadrilátero son paralelos y congruentes, entonces el cuadri­
látero es u n paralelogram o.
T e o re m a 9 -2 1
Si las diagonales de u n cuadrilátero se bisecan, entonces el cuadrilátero es un
paralelogram o.
El siguiente teorem a n o es m uy evidente, ni tam poco su dem ostración. Presentare­
m os la dem ostración com pleta.
T e o re m a 9—22
El segmbnto en tre los p u n to s m edios de dos lados de u n triángulo es paralelo al
tercer lad o y tiene la m itad de su longitud.
A
D e otro modo: Se d a el_ A AB C . Si D y E son los puntos m edios de A B y BC, res­
pectivam ente, entonces D E || A C y D E = }A C .
C uadriláteros e n u n plan o
249
Demostración: Sea F el p u n to del rayo opuesto a E D tal que EF = DE. A hora,
tenem os la situación descrita p o r las m arcas en la figura. La notación en la dem ostra­
ción siguiente corresponde a la figura:
A
f ir m a c io n e s
R
1. E F = DE.
azones
Definición de F.
2. E B = EC.
■D efinición de p u n to medio.
3. A.v = L y .
Á ngulos opuestos p o r el vértice.
4. A E F C ^ i A ED B.
LAL.
5. L v £ L >t’.
Á ngulos correspondientes.
6. A B || CE.
A IP (teorem a 9-5).
1. D B = FC.
L ados correspondientes.
8. A D = DB.
D efinición de punto medio.
9. A D — FC.
Pasos 7 y 8.'
10. £1 \J A D F C es un paralelogram o.
T eorem a 9-20.
11. "5 £ || a c .
Definición de paralelogram o.
12. D E = \D F .
Paso 1.
13. D E = \ A C .
P aso 12 y teorem a 9-15.
C o n ju n to de p ro b lem as 9 -5
1. La medida de un ángulo de un paralelogramo es 45. ¿Cuáles son las medidas de los
otros ángulos?
2. Dos ángulos consecutivos de un paralelogramo tienen medidas (x + 30) y (2x - 60)
respectivámente. Determinar la medida de cada ángulo del paralelogramo.
3. En la figura siguiente de la izquierda, el □ ABCD y el U A K R S son paralelogramos.
¿Cuál es la relación entre el
D y el ¿_R1 ¿Y entre el ¿_R y el ¿ C ? Justifiqúese la
respuesta.
r c
o
c
4. En la figura anterior de la derecha, el O A K M J y el í~\BMJK son paralelogramos.
Demostrar que si K J = KM, entonces el A ABC es isósceles.
250
R e ctas p a ralela s e n u n piano
5. Se dan un paraielogramo y una de sus
diagonales. Demostrar que si se trazan
segmentos desde los vértices opuestos,
perpendiculares a la diagonal, entonces
dichos segmentos son paralelos y con­
gruentes.
6. El O P Q R S es un paraielogramo.
PW = PS
y
R U —.RQ.
Demostrar que el D S W Q U es un paralelogramo.
7. Se da un triángulo isósceles y un punto, P, en la base, distinto de sus extremos. Si se
' dibujan rectas que pasan por P paralelas a los lados congruentes, entonces (1) se forma
un paraielogramo y (2) el perímetro del paraielogramo es igual a la suma de las longitudes
de los lados congruentes del triángulo.
8. ¿Es cierto el siguiente enunciado? Expliqúese.
U n trapecio es un paraielogramo, si, y solamente si, sus diagonales se bisecan.
9. En la figura plana, el □ ABCD y el OBEFC son
' paralelogramos. Demostrar que el O AEFD es un
paraielogramo.
A
10. En el APQ R, A y B son los puntos medios de PQ
y RQ , respectivamente. Si RP = 1 6 , m /_P = 58, y
m L Q = 38, obténganse A B y m /_ABR.
11. Se da cualquier A A B C y los puntos medios de los lados, P, Q y R. Demostrar que el
perímetro del A PQ R es la mitad del perímetro del AABC.
12. (a) ¿Se intersecan siempre las diagonales de un cuadrilátero?
(b) Dibujar un cuadrilátero □ ABCD en el cual B y D están al mismo lado de la diagonal
le .
13. Las diagonales A C y BD del paraielogramo □ ABCD
se cortan en M. Demostrar que si los puntos X , Y
están en lados opuestos del paraielogramo. y X Y
contiene a Ai,"entonces M biseca a X Y .
R om bo, rectán g u lo y c uadrado
251
14. Enunciar y demostrar un teorema sugerido por las siguientes figuras, donde P, Q, R y S
son puntos medios: [Sugerencia: Trácese una diagonal del O ABCD .]
A
15. Demostrar que los segmentos determinados por los puntos medios de lados opuestos de
un cuadrilátero cualquiera se bisecan. [Sugerencia: V. el problema 14.]
16. En la figura, el O A B C D es un trapecio, con DC < AB.
Demostrar que si AD = BC, entonces L A s L B .
[Sugerencia: V. el corolario 9-15.1.]
17. Un trapecio que tiene al menos un par de lados opuestos congruentes se llama un
trapecio isósceles. Demuéstrese que todo paralelogramo es un trapecio isósceles. ¿Será
cierto el recíproco ?
18. Demostrar que si dos ángulos consecutivos de un trapecio son congruentes, pero no
suplementarios, el trapecio es isósceles.
+ 19. Demostrar que si el D ABC D es un paralelogramo, entonces D está en el interior del
LABC.
‘
* + 20. Demostrar que las diagonales de un paralelogramo se intersecan. [Sugerencia: Utilícense
los resultados del problema 19 anterior y del problema 7 del Conjunto de problemas
6- 8 .]
9 -6 .
ROM BO, RECTÁNGULO Y CUADRADO
D e fin ic io n e s
U n rombo es u n paralelogram o cuyos lados son to dos congruentes entre sí.
U n rectángulo es un paralelogram o cuyos ángulos son todos rectos.
U n cuadrado es u n rectángulo cuyos lados son to d o s congruentes entre sí.
252
R ectas paralelas en a n p lan a
C o m o anteriorm ente, dejam os al alum no las dem ostraciones de los siguientes
teorem as :
T e o re m a 9 -2 3
Si un paralelogram o tiene u n ángulo recto, entonces tiene cu atro ángulos rectos,
y el paralelogram o es u n rectángulo.
T e o re m a 9 -2 4
En un rom bo, las diagonales son perpendiculares entre sí.
[Sugerencia: V. el corolario 6-2.1.]
T e o re m a 9—25
Si las diagonales de un cuadrilátero se bisecan y son perpendiculares, entonces el
cuad rilátero es u n rom bo.
Conjunto de problemas 9—6
1. Indicar si cada uno de los siguientes enunciados es cierto o falso :
■ix-'
(a) U n rectángulo es un trapecio, v /
(b) Un cuadrado es un paralelogramo.
(c) U n rombo es un cuadrado.
f(d) Un rectángulo es un cuadrado. / .
(e) U n cuadrado es un rectángulo, l /
(f) Un cuadrado es un rombo. '/'
(g) Las diagonales de un rombo se bisecan. ^
(h) Las diagonales de un rectángulo son perpendiculares entre sí. X -P
(i) Las diagonales de un cuadrado son perpendiculares y se bisecan. y
(j) Si las diagonales de un cuadrilátero son perpendiculares, el cuadrilátero es un rombo.
2. Demostrar: Las diagonales de un rectángulo son congruentes.
3. Demostrar: Las diagonales de un rombo bisecan a los ángulos del rombo.
4. D atos: El A ABC, con A C = BC; P, Q y R son puntos medios.
Demostrar: El D PQCR.es un rombo.
c
5. Datos: El rombo O M P Q S r G, H, I y K son puntos medios.
Demostrar: El Q G H IK es un rectángulo.
R om bo, rectán g u lo y cu ad ra d o
253
6. ¿Para qué cuadriláteros (paralelogramo, rectángulo, rombo, cuadrado) se podría demos­
trar cada una de las siguientes propiedades?
(a) Las diagonales se bisecan.
(b) Las diagonales son congruentes.
(c) Los ángulos consecutivos son congruentes.
(d) Las diagonales bisecan a los ángulos del cuadrilátero.
(e) Las diagonales son perpendiculares.
(f) Los ángulos opuestos son congruentes.
(g) Las diagonales son congruentes y perpendiculares.
7. Indicar si sería suficiente imponer cada una de las siguientes condiciones a un cuadrilátero
para demostrar que es un paralelogramo; un rectángulo; un rombo; un cuadrado.
* Considérese cada cuestión por separado.
(a) Tiene dos pares de lados paralelos.
(b) Tres de sus ángulos son ángulos rectos.
(c) Es equilátero.
(d) Sus diagonales son congruentes y perpendiculares.
(e) Cada dos ángulos consecutivos son suplementarios.
(f) Dos lados son paralelos.
(g) Sus diagonales se bisecan.
(h) Sus diagonales son congruentes, son perpendiculares y se bisecan.
8. Demostrar: Si en el □ ABCD, ¿_A = Z.C y ¿ f i s Z D, entonces el HABCD es un
paralelogramo. [Sugerencia: Trácese una diagonal. Utilícense el teorema 9-13 y el
problema 7 del Conjunto de problemas 9-1.]
9. Se da el paralelogramo'Cl/ÍBCO, con AD > AB. La bisectriz del L A interseca a BC en
G, y la bisectriz del ¿.B interseca a AD en H. Demostrar que el O A B G H es un rombo.
10. D atos: El Q P Q R S es un cuadrado. Los puntos J, K, L , M
dividen a los lados en segmentos, como en la figura, de
longitudes a y b.
Demostrar: El □ JK L M es un cuadrado.
11 . Un cuadrilátero en el cual exactamente una diagonal es la mediatriz de la otra diagonal
se llama una cometa. Demostrar que una -cometa tiene dos.pares de lados congruentes,
pero que sus lados opuestos no son congruentes.
12. En el cuadrilátero convexo □ ABCD , A D es el lado más corto y BC es el lado más
largo. Demostrar que ¿_D >
[Sugerencia: Trácese una diagonal.] ¿Será cierto el
teorema si no se requiere que el □ ABCD sea convexo?
254
R e ctas paralela» e n u n plano
9 -7 . ALGUNOS TEO REM A S RELACIONADOS CON TRIÁNGULOS
RECTÁNGULOS
N uestros conocim ientos acerca de los cuadriláteros nos dan alguna inform ación
acerca de los triángulos rectángulos.
T e o re m a 9 -2 6
La longitud de la m ediana correspondien­
te a la hipotenusa de un • triángulo
rectángulo es la m itad de la longitud de
la hipotenusa.
D em ostración:
Se d a el A A B C , con ángulo recto en C y M el punto medio de A B .
Tóm ese un p u n to D,e n C M , ta l que el □ A D B C sea u n paralelogram o. ( ¿Cóm o puede
determ inarse este p u n to ? ) Entonces, el \Z\ADBC es u n rectángulo. (¿Por qué?)
Luego, C D = A B . (¿P o r q u é?) E n consecuencia, C M - \A B , com o queríam os.
El teorem a siguiente nos dice algo relacionado con la form a de ciertos triángulos
especiales:
T e o re m a 9 - 2 7 .
El teorema del triángulo 30-1
Si un ángulo agudo de u n trián g ulo rec­
tángulo tiene m edida 30, entonces la longitud
del lado opuesto es la m itad de la longitud de
s la hipotenusa.
Demostración: Se da el A A B C , con ángulo recto en C y con m L Á = 30. Sea M e 1
p unto m edio de la hipotenusa A B . P o r el teorem a 9-26, sabem os que
A M = B M — MC,
com o se indica en la figura.
A hora, m L B = 60. (¿ P o r q u é?) P or ta n to , r = 60, en virtud del teorem a del
triángulo isósceles.
Pero,
r + 5 + 60 = 180.
P or consiguiente, s = 60, y el A M B C es equiángulo. E n consecuencia, el A M B C es
equilátero. Luego,
B C = M C = \A B ,
com o queríam os dem ostrar.
A lgunas veces, nos referim os a este teorem a diciendo que “ en un triángulo 30-60-90,
la longitud de la hipotenusa es dos veces la longitud del cateto más corto” .
A lgunos teo rem as relacionados con triángulos rectán g u lo s
255
El reciproco del teorem a 9 -27 es tam bién cierto.
T e o re m a 9 -2 8
Si la longitud de u n cateto de u n tri­
ángulo rectángulo es la m itad de la
longitud de la hipotenusa, entonces el
ángulo opuesto tiene m edida 30.
Demostración: Se d a el A A B C , con ángulo recto e n C, y BC = \A B . Sea M el punto
m edio de A B. E ntonces, A M = M B = BC . E n virtud del teorem a 9-26, M C = M B.
(A hora hem os justificado las m arcas e n la figura.)
C om o el A M B C es equilátero, es equiángulo. P o r ta n to , m ¿ .B = 60. P o r el
corolario 9-13.2, m L A = 30, com o queríam os dem ostrar.
C onjunto de p roblem as 9—T
1. En el A ABC, el ¿ C es un ángulo recto,
A C = 6, y la longitud de la mediana CD es
5. ¿Cuánto es AB?
C
2. En la figura siguiente de la izquierda, RQ = 2RP. Entonces, ¿cuánto es m/_R?
R
3. En la figura anterior de la derecha, A C ± A B y AD ± BC. Si BC ~ 12, hallar DB.
4. En el triángulo equilátero A GHK, la longitud de la altura G M es 9. Pasando por M ,
se trazan segmentos perpendiculares a los otros dos lados. Demostrar que esos segmentos
son congruentes y calcular sus longitudes.
5. Demostrar el recíproco del teorema 9-26:
En un triángulo, si la longitud de una mediana es la mitad de la longitud del lado
que biseca, entonces el triángulo es un triángulo rectángulo y el lado'es su hipotenusa.
Datos: El A ABC, la mediana AD , A D = \BC.
Demostrar: El A ABC es un triángulo rectángulo y BC es
su hipotenusa.
{Sugerencia: Demuéstrese que x + y = 90.]
256
R ectas paralelas e n n n plano
6. En la figura, F es el punto medio de AE, y los ángulos
L A B E , L A C E y A DE son rectos. Demostrar que F
equidista de A, B, C, D y E.
7. El A PQR es isósceles, con PR = QR = a. L es cualquier recta que pasa por R pero que
no contiene a P ni a Q. X y Y son dos puntos de L a una distancia a de R. Demostrar
que X P J_ YP %que XQ J_ YQ.
8. En cualquier triángulo rectángulo, la altura corres­
pondiente a la hipotenusa divide a ésta en dos seg­
mentos. Demostrar que en un triángulo 30-60-90, las
longitudes de estos segmentos están en la razón 1:3.
9. Se da un triángulo equilátero, A ABC. En el rayo opuesto a BA, tómese el punto D tal
que BD = AC. Demuéstrese que m L B C D = 30.
A
10. En la figura, el A A BC es equilátero, AD
y P y Q son puntos medios de A C y AB.
respectivamente. Demostrar que el A PDQ
es equilátero.
9 -8 .
SECANTES A VARIAS RECTAS PARALELAS
D e fin ic io n e s
' ?
Si una secante co rta a dos rectas L ¡, L 2 en
los p u n to s A y B , entonces decim os que
L x y L 2 determinan o marcan el segmento
A B en la secante.
Supongam os que tenem os tres rectas d adas L ¡,
L2, L 3, y u n a secante que las interseca en los
puntos A , B y C. Si A B = BC , entonces decimos
que las tres rectas determinan segmentos con­
gruentes en la secante.
Secantes a v arias re c ta s paralelas
257
D em ostrarem os que si tres rectas paralelas determ inan segm entos congruentes en
u n a secante, entonces determ inan segm entos congruentes en cualquier o tra secante.
N uestro p rim er p aso es d em o strar el siguiente te o rem a:
T e o re m a 9 -2 9
Si tres rectas paralelas determ inan segm entos congruentes en u n a secante T,
entonces determ inan segm entos congruentes en cualquier secante T paralela a T.
D em ostración: Prim eram ente, observam os que el H A G E D y el O G H F E son paralelogram os. (¿ P o r q u é?) Se d a que A G = G H. E n virtud del teorem a 9-15, A G = D E
y G H = EF. P or tan to , D E = EF.
A h o ra, pod em o s'd em o strar el teo rem a en el caso general.
T e o re m a 9 -3 0
Si tres rectas paralelas determ inan segm entos congruentes en una secante, en­
tonces determ inan segm entos congruentes en cualquier o tra secante.
D em ostración: Sean L ¡ , L 2 y L 3 tres rectas paralelas, y sean 7 1, y T2 dos secantes. En
la notación de la figura, se da que A B = B C , y querem os dem ostrar que D E = EF. Ya
sabem os que esto es cierto si T¡ || T 2. P o r consiguiente, podem os suponer que T¡ y T2
no son paralelas.
258
R e ctas p a ralela s e n u n plano
Sea T3 la recta que pasa por A paralela a T2 y sea T4 la recta que pasa por B paralela
a T2. (Refiérase al teorema 9-11.)
A
R azones
f ir m a c io n e s
1, A B = BC.
D ato.
2. L x ^ Ly.
Teorema 9-9.
3. ¿ v s Lw.
Teorema 9-9.
4. A ABG
A B C /.
ALA.
5. AG = BI.
Lados correspondientes.
6. 5 / = Gtf.
Los lados opuestos de un paralelogramo
son congruentes.
7. ¿ G = G ií.
Pasos 5 y 6.
8. DE = EF.
Teorema 9-29.
La misma conclusión será válida para un número cualquiera de rectas paralelas. -
C o ro la rio 9 -3 0 .1
Si tres o más rectas paralelas determinan segmentos congruentes en una secante,
entonces determinan segmentos congruentes en cualquier otra secante.
Es decir, dado que
A ±A 2 — A 2 A 3 — A 3 A 4 — ' * ■*
se deduce que
Bl B2 = B2B3 = B3Ba = • • • >
y así sucesivamente. Esto se demuestra mediante repetidas aplicaciones del teorema
que acabamos de demostrar.
Secantes a v arias re c ta s paralelas
259
Conjunto de problemas 9—8
1. D atos: AB = BC,
APWBQWCR,
P X \\Q Y \\R Z .
Demostrar: X Y = YZ.
<->
¿Tendrán que ser coplanarias A C y X Z para que la demostración sea válida?
2. Demostrar el siguiente teorema:
Si una recta biseca a un lado de un triángulo y es paralela a un segundo lado,
entonces biseca al tercer lado.
3. En la figura,
D E \\A B ,
E F W lC ,
y D es el punto medio de AC. Demostrar que
A C DE s A EFB.
4. Si una secante corta a las paralelas L t y L 2 en D y A, y otra secante corta a L¡ y a ¿ 2
en C y B, entonces el Q ABC D es un trapecio.
D ado que L 3 ||L 1, ¿por qué esL 3 también paralela
a L 2 ? Si E 3 contiene a E, el punto medio de A D ,
¿por qué contiene L 3 a F, el punto medio de BC !
¿Contiene L ¡ a £ F ? ¿Porqué? El segmento EF
se llama la mediana del trapecio O ABCD , y los
lados paralelos A B y CD se llaman bases del
trapecio.
(a) Demostrar que la mediana de un trapecio biseca a ambas
diagonales.
(b) Demostrar que la longitud de la mediana de un trapecio
es la semisuma de las longitudes de las bases; esto es.
demostrar que
E F = b (A B + CD).
[Sugerencia: Trácese una diagonal y utilícese el teorema 9-22.]
260
R e ctas paralelas e n u n plano
5. E! ljA B C D es un trapecio, con A B ¡j DC. E F es la mediana. (V. el problema 4.)
(a) Si A B = 12 y DC = 7, entonces E F
?
d
c
(b) Si A B = 14 y D C = 14, entonces E F = ?
(c) Si D C = 6 y E F = 14, entonces A B = ?
(d) Si ,46 = 27 y E F — 18, entonces DC
A
8
6. Demostrar que en un paralelogramo, los dos segmentos determinados por un par de
vértices opuestos y los puntos medios de un par de lados opuestos trisecan a una diagonal.
D atos: El ¡JABCD es un paralelogramo. P y Q
son los puntos medios de A D y BC,
respectivamente.
Demostrar: A R = R S = SC.
[Indicación: ¿Es D Q paralelo a RB1]
7. E n el problema 6, si K es el punto medio de DC y M es el punto medio de AB, ¿contienen
B K y D M a los puntos S y R ? ¿Por qué?
8. En el problema 6, si DB y A C se intersecan en E, demostrar que E S = i AC.
9. En la figura, las rectas paralelas son equidistantes y dividen a A C en 7 segmentos con­
gruentes. Si A B = 2 y BC = 1 |, entonces 7 es el
número menor de segmentos congruentes en que
a
un conjunto de rectas paralelas puede dividir a
----------- _ L ------------ G
AC, si las paralelas han de incluir a AG, B H
y CX. En las mismas condiciones, ¿cuál será el
número mínimo de segmentos congruentes, si
se tienen los siguientes datos?
-------------------------------------------^ ---------C
(a) A B = 4,
BC = 1
(b )/ÍB = 3.5,
BC = 1
(c) A B = 15,
BC = 3
(d ) /lf í= l,3 ,
SC = 0,8
(e) A B = 1,414,
BC = 1
(f) ¿IB = V2,
BC = 1
(g) /4B = V3,
BC = 2V I
(h )^ B = V 2 ,
BC = V 3
PR O B LEM A OPTATIVO
Utilícese la figura como ayuda en la demostración del siguiente teorema:
Las medianas de un triángulo se intersecan en
un punto cuya distancia a cualquier vértice es
dos tercios de la longitud de la mediana trazada
desde ese vértice.
Cóm o E rató sten es m idió la T ierra
9 -9 .
261
CÓMO ERATÓSTENES MIDIÓ LA TIERRA
L a longitud de la circunferencia de la T ierra, en el Ecuador, es alrededor de 24.900
m illas o 40.000 kilóm etros. E n el siglo XV, se creía que era m ás pequeña que esto.
P o r consiguiente, cuando C olón salió p a ra las Indias y desem barcó en u n a de las
islas Baham as, pensó que estaba ya realm ente en las Indias. Así, su erro r fue
m ayor que el ancho de los E stados U nidos de N orteam érica m ás el del océano
Pacífico.
E n el tercer siglo a. de J.C ., sin em bargo, los griegos sabían más. E n esa época,
u n m atem ático griego, E ratóstenes, m idió la longitud de la circunferencia de la Tierra,
y su resultado tu v o un erro r de solam ente u n o o dos p o r ciento. Ideó el siguiente
m é to d o :
Se había observado que en A suán, en la rib era del N ilo, al m ediodía en el solsticio
de verano, el Sol estaba exactam ente en el cénit. E sto es, al m ediodía de ese d ía p ar­
ticular, un m ástil vertical no p roducía so m b ra alguna y el fondo de u n pozo profundo
quedaba com pletam ente ilum inado.
E n la figura, C es el centro de la T ierra. A l m ediodía en el solsticio de verano en
A lejandría, E ratóstenes m idió el ángulo m arcado L a en la figura, es decir, el ángulo
form ad o p o r un m ástil vertical y el rayo que pasa p o r el extrem o superior de éste y
po r el extrem o de su som bra. E ncontró que dicho ángulo era aproxim adam ente
7o 12', o alrededor de t q de u n a circunferencia completa.
A h o ra bien, los rayos solares, observados en la Tierra, son casi paralelos. Suponien­
d o que, efectivam ente, son paralelos, se deduce, entonces, que cuando las rectas
L , y L 2 en la figura son cortadas p o r u n a secante, los ángulos alternos internos son
congruentes. P o r ta n to , L a ú L b . E n consecuencia, la distancia de A suán a Ale­
ja n d ría ten ía que ser yo de la longitud de la circunferencia de la Tierra.
Se sabía que la distancia desde A suán a A lejandría era, aproxim adam ente, 5000
estadios griegos. (U n estadio e ra u n a unid ad de longitud antigua.) Eratóstenes
concluyó que la longitud de la circunferencia de la T ierra era alrededor de 250.000
estadios. Al convertir esto en kilóm etros o en m illas, de acuerdo con lo que nos dice la
historia antigua referente a la longitud de u n estadio, obtenem os 39.689 kilóm etros o
24.662 millas.
262
R ectas paralelas en u n plano
Asi, el erro r de E ratóstenes fue m enor que dos p o r ciento. M ás tarde, cam bió su
cálculo p o r u n o m ejor, 252.000 estadios, pero nadie parece saber p o r qué hizo ese
cam bio. D e acuerdo con los datos conocidos, algunos historiadores creen que no
sólo era inteligente y cuidadoso, sino tam bién que tuvo m ucha suerte.
D esde los prim eros tiem pos, la geom etría ha jugado u n papel im portante en las
m atem áticas aplicadas. L os egipcios la necesitaban con urgencia, porque el N ilo se
desbordaba to d o s los años, borran d o las lindes de las tierras cultivadas y creando
problem as difíciles de agrim ensura. Así, la p alab ra geometría se deriva de dos palabras
griegas que significan tierra y medida. M ás tarde, resultó que la “ geom etría” podía
em plearse n o sólo p a ra m edir cosas en la Tierra, sino literalm ente p a ra m edir la
Tierra m ism a. E sto ilustra u n a regla general: C uando se ha desarrollado buena
m atem ática p o r u n a cierta razón, generalm ente resulta tam bién buena, por otras
razones inesperadas.
E ra tó sten es
(276-194 A . de J.C .)
Muy poco se conoce sobre la obra de Eratóstenes (276-194 a. de J.C.). Tenemos algunos
fragmentos de sus libros, en forma de citas por otros autores antiguos, pero ninguno de sus
propios libros ha sobrevivido. Los informes que se tienen indican, sin embargo, que escribió
sobre casi todo: geometría, astronomía, teoría de los números, historia y literatura. También
fue poeta. Los griegos le llamaban Beta (la segunda letra de su alfabeto), dado que era el
segundo en todo, aunque nunca el mejor en cosa alguna.
Su logro de medir la Tierra, no obstante, resultó ser tan espectacular, que fue propagado
detalladamente por otros y acreditado con toda justicia a él.
R epaso de la unidad
C onjunto A
1. Indicar si cada enunciado es cierto o falso:
'(a ) En un plano, si una recta es paralela a una de dos paralelas, es paralela a la otra.
(b) Las diagonales de un rombo bisecan a los ángulos del rombo. •.
(c) Si la mediana correspondiente a la, hipotenusa de un triángulo rectángulo tiene
longitud de 7 cm., entonces la hipotenusa tiene 14 cm. de largo.
(d) Un paralelogramo es un trapecio.
(e) Si dos rectas son cortadas por una secante, los ángulos correspondientes son con­
gruentes. \
(f) Cualquier diagonal de un paralelogramo forma, con los lados, dos triángulos con­
gruentes.
(g) Las diagonales de un rombo son congruentes.
Repaso de la unidad. C onjunto A
263
(h) Si la longitud de un lado de un triángulo 30-60-90 es de 8 cm., entonces la hipotenusa
tiene 16 cm. de largo.
(i) Dos rectas o son paralelas o se intersecan.
(j) En un plano, si una recta interseca a una de dos rectas paralelas, interseca a la o tra .''
2. Completar cada enunciado:
(a) Si dos rectas paralelas son cortadas por una secante, los ángulos internos a un
mismo lado de la secante son
1 ■” - ' .
(b) Si dos ángulos de u n triángulo son congruentes con dos ángulos de otro triángulo,
entonces
!■ b££L •(c) Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son
•;
(d) El largo de la hipotenusa de un triángulo 30-60-90 es 13. El lado opuesto al ángulo
de — \-------es congruente con l a
■' correspondiente a la hipotenusa, y el
largo de cada uno es
.
(e) Si tres o más paralelas determinan segmentos _______________en una secante,
......
!
,.
entonces
(f) El postulado de las paralelas establece la ___ :_____ ■ de una recta que
pasa por un punto y que es
1 ■a una recta que no contiene al punto.
3. Para cada ejemplo, elegir la alternativa que hace cierto el enunciado:
(a) Si las diagonales de un cuadrilátero se bisecan, el cuadrilátero es:
(i) un rombo,
(ii) un cuadrado,
(iii) un paralelogramo,
(iv) un rectángulo.
(b) La figura formada al unir consecutivamente los puntos medios de los lados de un
cuadrilátero cualquiera es:
(i) un rectángulo, (ii) un paralelogramo,
(iii) un rombo,
(iv) ninguno de éstos.
* (c) Las bisectrices de los ángulos opuestos de un paralelogramo que no es un rombo son:
iaralelas, , (ii) colineales,
(iii) perpendiculares,
(iv) alabeadas.
4, (d) Las bisectrices de los ángulos internos a un mismo lado de la secante a dos rectas
paralelas
(i) son paralelas,
¿ii) son perpendiculares,
(iii) se intersecan, pero no son perpendiculares,
(iv) son alabeadas.
4. Indicar si serían suficientes las siguientes condiciones impuestas a un cuadrilátero para
demostrar que es un trapecio; un paralelogramo; un rombo; un cuadrado. Considérese
cada cuestión por separado.
(a) Los cuatro lados son congruentes.
(b) Dos lados son paralelos.
264
R e ctas paralelas e n u n plano
(c) Dos lados son congruentes.
(d) Sus diagonales se bisecan.
(e) Sus diagonales son congruentes y se bisecan.
( f ) Es equiángulo.
(g) Sus diagonales son congruentes y perpendiculares.
(h) Es equilátero y equiángulo.
(i) Cada dos ángulos opuestos son congruentes.
(j) Cada diagonal biseca a dos de sus ángulos.
5. Indicar, mediante las letras T, A o N , si cada enunciado es cierto en t o d o s los casos,
si es cierto en a l g u n o s casos y falso en otros, o si n o es cierto en ningún caso:
- (a) En un plano, dos segmentos de recta que no se intersecan son paralelos.
(b) Si dos rectas son cortadas por una secante, los rayos que bisecan a un par de ángulos
alternos internos son paralelos.
(c) Las diagonales de un rombo se bisecan.
(d) Las diagonales de un cuadrilátero son paralelas.
/ - (e) Los ángulos opuestos de un paralelogramo son suplementarios.
(f) Un cuadrado es un rectángulo.
(g) Si una diagonal de un cuadrilátero forma con los lados dos triángulos congruentes,
,
el cuadrilátero es un paralelogramo.
■ (h) Si una mediana de un triángulo tiene una longitud igual a la mitad de la longitud del
lado que biseca, el triángulo es un triángulo rectángulo.
(i) Si dos lados opuestos de un cuadrilátero son paralelos y los otros dos lados son
congruentes, el cuadrilátero es un paralelogramo.
(j) Si dos ángulos opuestos de un cuadrilátero son ángulos rectos, el cuadrilátero es un
rectángulo.
C o n ju n to B
1. Se da la figura, con D y E puntos medios de A B y AC,
respectivamente.
(a) Si m /_a = 33 y m /_c -- 45, determinar m /_CBF y
m/_CED.
(b) Si BC = 6, entonces D E - ?
(c) El ¡JDBCE es u n __________________
2. Si en el A ABC, A B = 12, BC=^9, A C 13, y P, Q y R son los puntos medios
de los lados, calcular el perímetro del A PQR.
3. D atos: El O G H K M es un paralelogramo y
'
M Q = IIP.
Demostrar que GK y PQ se bisecan.
i
Repaso de la unidad. C onjunto B
265
4. En la figura, el D f lf S F e s un paralelogramo y A E =
CF. Demostrar que el O ABC D es un paralolegramo.
5. Demostrar: Si las bisectrices de dos ángulos consecutivos de un paralelogramo se
intersecan, son perpendiculares.
6. Se da que À C , ÈD. Las bisectrices de los ángulos
Z_CAB y Z.DBA se intersecan en P y
A B = 2PB.
Hallar x y y.
7. ¿Por qué no es válido el siguiente razonamiento?
Por el teorema 9-11, sabemos que en un plano, dos rectas paralelas a la misma recta
son paralelas entre sí. Por tanto, si A P L, BP \L, y AP, BP y L son copla<
y
<—y
narias, entonces AP BP. Esto demuestra que dos rectas que se intersecan, en
efecto, pueden ser paralelas.
8. En la figura de la derecha, determinar la medida de
cada ángulo.
9. Demostrar: En un plano, si una recta es perpendicular a una de dos rectas que se inter­
secan, no es perpendicular a la otra.
10. Datos: ¿_a = ¿_b,
L p 3 Z<?.
Demostrar: El ¿ x es un ángulo recto.
11. En el A MPK,¿_K es un ángulo recto
y m ¿_P 30. Si K H ± M P , H R ± M K ,
PQ M P y MP = 80, determinar M Q.
Q
H
12. Demostrar: Si un trapecio tiene dos lados no paralelos cada uno congruente con uno de
los lados paralelos, entonces las diagonales bisecan a los ángulos en el otro lado paralelo.
266
R ectas paralelas e n u n plano
13. Cuando un rayo de luz es reflejado por una superficie lisa, el ángulo formado por el rayo
incidente y la superficie es congruente con el ángulo formado por el rayo reflejado y la
superficie.
En la figura, m¿_ABC = 90, m/_BCD 75, y el rayo
de luz forma un ángulo de 35" con RA. Copiar la
figura y completar el trayecto del rayo de luz a medida
que se refleja por AB, por BC, por DC, y otra vez por
AB. ¿Con qué ángulo se refleja el rayo por A B la
segunda vez?
14. Demostrar la verdad o falsedad del siguiente enunciado:
Si un cuadrilátero tiene un par de lados paralelos y un par de lados congruentes, el
cuadrilátero es un paralelogramo.
15. En la figura, ED [| BC, E D BC, y P, Q y R son puntos
medios. Demostrar que QD biseca a PR.
[Sugerencia: Trácense PQ y EB.]
/ -P
* 16. Demostrar la verdad o falsedad del siguiente enunciado :
Si las diagonales de un cuadrilátero son congruentes y perpendiculares, el cuadri­
látero es un cuadrado.
* 17. Demostrar la verdad o falsedad del siguiente enunciado :
Si las diagonales de un cuadrilátero son congruentes y se bisecan, el cuadrilátero es
un rectángulo.
* 18. En la figura, A C X A E , y las bisectrices de los ángulos
Z DCB y ¿IEBC se intersecan en P. Hallar m/_P, justifi­
cando cada paso.
19. Demostrar: Si cada diagonal de un cuadrilátero biseca a dos ángulos del cuadrillero,
el cuadrilátero es un rombo.
V
♦ 20.
Las diagonales del Q ABC D son perpendiculares
en M , y P, Q, R y S son puntos medios de los
lados. Demostrar que el doble de la suma
MP -i- M Q + M R + M S es igual al perímetro del
DABCD.
I
Repaso de la unidad. C onjunto B
267
21. Demostrar que la suma de las longitudes de las perpendicu­
lares desde cualquier punto de la base de un triángulo isósceles
a los lados congruentes, es igual a la longitud de la altura
correspondiente a cualquiera de los lados congruentes.
[Sugerencia: Trácese una paralela a A C que pase por P e
interseque a BT en Q. Demuéstrese que RP 4- P S = BT.]
* 22. Se da el triángulo isósceles A MPQ, con M P = MQ. Por cualquier punto A entre M y
r
X
_____
_____ (
^ y
Q, trácese una perpendicular a PQ , cortando a P f i e n S y a PM en C. Demuéstrese que
el A MCA es isósceles.
* 23- En un triángulo cualquiera A ABC, una recta por A es perpendicular a la bisectriz del
L B en K. O tra recta por K es paralela a S C y corta a ~AB en M . Demostrar que M es el
punto medio de AB. ¿Puede también demostrarse que M K biseca a AC?
* 24. El A ABC es un triángulo cualquiera, con G y H los puntos medios de A C y BC, respec­
c
r
tivamente. En el rayo opuesto a HA, tómese ./? S_____
tal que HR = HA. Análogamente, en el rayo
opuesto a GB, tómese S tal que G S = GB. Demués"gJ
trese que R, C y S están alineados y que CR = CS.
'h^
10 I Rectas y planos
* M
1 0 -1 .
P R O PIE D A D E S FUNDAM ENTALES D E LOS PLANOS PARALELOS
D e f in ic ió n
D os planos, o un p lan o y una recta, spn paralelos, si no se intersecan.
Si los planos E¡ y E 2 son paralelos, escribimos E , || E2. Si la re c ta L y el plano E son
paralelos, escribim os L || E o E || L .
C om o verem os, el paralelism o en el espacio se com porta de m anera parecida al
paralelism o en el plano. N o obstante, hay varias diferencias im portantes. U na de
ellas es que n o hay planos alab ead o s: cada dos planos en el espacio o se intersecan o
son paralelos. M ás aú n , si dos rectas están en planos paralelos, no se puede deducir
q u e las rectas sean paralelas. (V. la figura de la izquierda, a continuación.) Tam bién,
si dos rectas son paralelas, siempre podem os e n co n trar dos planos que las contienen
y que no son paralelos. (V. la figura de la derecha, a continuación.)
En el siguiente teorem a, se describe u n a situación corriente en la cual planos para­
lelos y rectas paralelas aparecen en la m ism a figura:
T e o re m a 1 0 -1
Si un p lan o interseca a dos planos paralelos, entonces la intersección consiste en
dos rectas paralelas.
269
270
R ectas y planos paralelos
D emostración: Se da un plano E, que interseca a dos planos paralelos E Ly E2. P or
el postulado 8 (pág. 60), tenem os que
(1) E interseca a E¡ en u n a recta L ¡ , y
(2) E interseca a E 2 en una recta L 2.
Evidentem ente,
(3) L , y L 2 son coplanarias
(pues am bas están en E ) y
(4) L¡ y L 2 no tienen p unto com ún alguno
(porque E¡ y E 2 n o tienen p u n to s com unes). Las afirm aciones (3) y (4) nos dicen
que
(5) L ¡ || L 2.
T e o re m a 1 0 - 2
Si u n a recta es perpendicular a uno de dos planos paralelos, es perpendicular al
otro.
D em ostración: Se d a n E2 || E¡ y L 1 E¡. Sea A un p u n to cualquiera que está en E2
pero no en L . Entonces,
(1) L y A están en u n p lan o E (¿p o r qué?),
(2) E interseca a E¡ y a E z en las rectas L , y
L 2 (¿ p o r qué?),
(3) L , || L 2 (en virtud del teorem a 10-1),
(4) L l L i (porque L _L E¡),
(5) L L L 2 (p o r el teorem a 9-12).
Así, tenem os una recta en E 2 que- es perpendicular a L . Si repetim os todo el razona­
m iento, em pezando con o tro pun to B , obtenem os otra recta en E2, perpendicular a
L . Se deduce ah o ra que L 1 E 2, en virtud del teorem a 8-2.
El siguiente teorem a es análogo al teorem a 9-2:
Propiedades fun d am en tales de los p lanos paralelos
271
Teo rem a 1 0 -3
D os planos perpendiculares a la misma recta son paralelos.
Dem ostración: Se d a que E , L L e n P y que E 2 L L en Q. Q uerem os dem ostrar
que £ , || E2. Si esto n o fuera cierto, entonces E¡ intersecaría a E 2 en un p u n to R , al
menos.
< -■>
(
y
A h o ra bien, R P L L y R Q L L , p orque L es perpendicular a to d a recta en E¡ que
pasa p o r P y tam bién a to d a recta en E2 que p asa p o r Q. E sto nos d a dos perpendi­
culares desde R a L , lo cual es im posible. (V. el teorem a 6-4.) P o r tan to , E , y E 2 son
paralelos.
C o ro la rio 1 0 -3 .1
Si cada u n o de dos planos es paralelo a u n tercer plano, los planos son paralelos
en tre sí.
(El alum no deberá seguir la dem ostración sin necesidad de u n a figura.)
Dem ostración:
Se d a n E , II E 3 y E 2 || E¡. Sea L una recta perpendicular a E 3. Entonces,
(1) L L E ¡ (por el teorem a 10-2),
(2) L L E 2 (p o r el teorem a 10-2),
(3) E t || E 2 (por el teorem a 10-3).
i.
T e o re m a 1 0 - 4
D os rectas perpendiculares al m ism o
plano son paralelas.
<
y
-
/
A
i
ñ
h
t
r <
1
-------- ------------ --------- ------ ’
V
‘ - 'l
J
l/
¿ - 'I
coplanarias. C om o L¡ L E , L { L A B . P uesto que L 2 L E , L 2 l T b . En virtud del
teorem a 9-2, L \ \\L2.
272
R ectas y planos paralelos
C o ro la rio 1 0 -4 .1
U n plano perpendicular a u n a de dos rectas
paralelas es perpendicular a la otra.
Demostración: Sean L , || L 2 y L , _L £ . Sea L 3 u n a recta perpendicular a £ y que pasa
p o r u n pun to A cualquiera de L 2. L 3 existe, en v irtu d del teorem a 8-9. Entonces, por
el teorem a 10-4, L , ||L 3. D el p ostulado de las paralelas, se*deduce que L 3 = L 2, es
decir, L 3 y L 2 tienen que ser la m ism a recta. C om o L 3 _L E , tenem os que L 2 1 E.
/
C o r o la r io 10—4 .2
Si cada u n a de dos rectas es paralela a una tercera, entonces las rectas son
paralelas entre sí.
Demostración:
Se d a n L¡ || L 3 y L 2 || L 3. Querem os dem ostrar que L¡ || L 2.
Sea E un plano perpendicular a L 3. P o r el corolario anterior, L¡ i . E y L 2 X E. En
virtud del teorem a 10-4, L¡ || L 2.
T eorem a 1 0 -5
D os planos paralelos equidistan en to d a su
extensión.
O de otro modo: Si £ , || £ 2, entonces todos los
p untos de £ , equidistan de E 2.
R ecordem os que la distancia entre un p u n to P
y un plano E es la longitud del segm ento perpendicu­
lar desde P a £ .
Demostración: Sean P y Q dos puntos cualesquiera de £ , , y sean P R y Q S los segmen­
tos perpendiculares desde P y Q a £ 2. Entonces, (1) PR\\ Q S (por el teorem a 10-4),
(2) P, Q, R y S son coplanarios, p orque estos puntos están en dos rectas paralelas,
(3) PQ || R S (en virtud del teorem a 10-1),
(4) el Q P Q S R es un paralelogram o, p o r los enunciados (1), (2) y (3),
(5) P R = Q S, porque los lados opuestos de un paralelogram o son congruentes.
Propiedades fundam entales de los planos paralelos
273
P o r el teorem a 10-2, sabem os que los segm entos desde £ , , perpendiculares a £ 2,
son precisam ente los segm entos desde E 2, perpendiculares a £ , . En consecuencia,'
sabem os m ás de lo que nos dice el segundo enunciado del teorem a; es decir, sabemos
lo siguiente: S i dos planos son paralelos, entonces todos los segmentos perpendiculares
desde uno de los planos al otro tienen la misma longitud. D e ah o ra en adelante, inter­
pretarem os el teorem a 10-5 con este significado.
Obsérvese que el ¡J P Q S R es, en efecto, un rectángulo, pero este d ato n o se necesita
en la dem ostración.
Conjunto de problemas 1 0-1
1. D atos: Los planos E y F son paralelos, E contiene a
AB, F contiene a CD, A C ± F y B D ± F.
Demostrar que AD y ~BC se bisecan.
2. Si el plano K ± L en P y el plano M ± L en T, ¿qué se
podrá concluir acerca de K y Ai? ¿Por qué?
3. Demostrar que el siguiente enunciado es cierto o que
es falso:
Si £ y F s o n planos paralelos y E contiene a la recta L , y £ contiene a la recta L 2,
entonces L, || L 2.
4. El plano G contiene a los puntos A, B y C, y el
plano H contiene a los puntos D, E y £ , de manera
que A D ± G . A D L H y A B
DF. ¿Cuáles de los,
siguientes enunciados deben ser ciertos ?
(a) A F - BD.(b) BC EF.
(d) G H. (€) A C ± A D .
(g) A F y BD se bisecan.
gramos. Demostrar que
(a) E K I! AD |l ~BC, y
(b) ¿_KAB s ¿_EDC.
(c) A A B C z ADFE.
(f) L A F D ^ ¿_DBá .
(h) A C I! DF.
• C
* E
• F
274
R ectas y planos paralelos
6. Se da el plano M paralelo al plano K. A y C son puntos de M , y B y D son puntos de
K, tales que A D 1. K y B C M. Demuéstrese que AB = CD.
7. Demostrar lo siguiente:
Si dos rectas paralelas son cortadas por dos planos paralelos, entonces éstos deter­
minan segmentos congruentes en las dos rectas.
8. En la figura, las rectas alabeadas L¡ y L 2 intersecan
a los planos paralelos E, F, G, y A R interseca a F
en X . Si A B = BC, demuéstrese que PQ = QR.
9. En el problem a^, demuéstrese también que
B Q < K A P + C R ).
10. En la figura, los planos M y N se intersecan en
AB, y M y N intersecan a los planos paralelos
E y F en AD, BC, A H y BC. Si A D = BC y
A H — BG, demuéstrese que
Z D AH 3 ¿C B G .
y 7 *<
Mle
/
B<
í G /
11. Indicar si cada uno de los siguientes enunciados es cierto o falso. Dibújese un diagrama
pequeño para ilustrar cada enunciado cierto, o preséntese un contraejemplo, si el enun­
ciado es falso.
(a) Si una recta está en un plano, una recta paralela a ella es paralela al plano.
•
(b) Si una recta y un plano son paralelos, toda recta en el plano es paralela a la recta dada,
t*» '
(c) Dos rectas paralelas al mismo plano pueden ser perpendiculares entre sí. .
(d) Si dos rectas son paralelas, todo plano que contenga a una sola de las rectas es
paralelo a la otra recta.
✓ (e) Si un plano interseca a dos pjanos paralelos, las rectas de intersección son paralelas.
'v (f) Si un plano interseca a dos planos que se cortan, las rectas de intersección pueden ser
paralelas.
12. Indicar la manera de determinar un plano que contenga una de dos rectas alabeadas y
que sea paralelo a-la otra. Justifiqúese la construcción.
^
Á ngulos diedros, p lanos perpendiculares
275
i-
* 13. Datos: P M y P S están en el plano E. P, M y S
no están alineados. K M ± P M , Q S . PS, y
K M QS.
Demostrar que K M ± E y que Q S A. E.
[Sugerencia: Trácese otro segmento paralelo a K M y
a QS.]
* 14. F y E son planos paralelos. A , B y C están en E,
P está en F y P A ± F. R , T y V son los puntos medios
de PB, PA y PC, respectivamente. Demuéstfese que
el plano R T V es paralelo a F.
+ 15. Demostrar el siguiente teorem a:
Hay una recta, y sólo una, que es perpen­
dicular a cada una de dos rectas alabeadas dadas.
[Sugerencia: La figura de la derecha indica la
manera de obtener una perpendicular común.
Las rectas y segmentos de trazos representan^conjuntos auxiliares.]
1 0 -2 .
ÁNGULOS D IE D R O S, PLANOS PER PEN D IC U LA R ES
Sabem os que cuando dos rectas en un
plano se intersecan, form an cuatro ángulos,
así:
Considérense, ah o ra, dos planos en el espacio, que se intersecan en una recta, com o
en la figura de la izquierda, a co n tin u ació n :
Los planos y la recta form an cuatro figuras, cada u n a de las cuales se ve com o la
figura an terio r de la derecha. U na figura com o ésta se llam a un ángulo diedro, y la
recta P Q que se m uestra en la figura se llam a su arista.
t
276
R e ctas y planos paralelos
D e fin ic io n e s
Si dos sem iplanos tienen la m ism a arista, pero no están en el m ism o plano,
entonces la reu n ió n de los dos sem iplanos y su arista com ún es un ángulo diedro.
L a recta que es la arista com ún de los dos sem iplanos se llam a la arista del
ángulo diedro. L a reunión de la arista y cualquiera de los dos sem iplanos se
llam a u n a cara del ángulo diedro.
P ara describir un ángulo diedro, necesitam os decir qué recta constituye la arista
y cuáles son sus caras. G eneralm ente, hacem os esto nom brando dos puntos P y
Q de la arista y dos p u n to s A y B que estén en las dos caras. (V. la figura de la
derecha al final de la p ág in a anterior.) Entonces, denotam os el ángulo diedro por
L A -P Q -B .
P odem os h ab lar del interior y el exterior de un ángulo d ie d ro ; y, tam bién, podem os
h ab lar de ángulos diedros opuestos p or el vértice. A quí, las ideas son m uy parecidas
a las ya fam iliares acerca de ángulos en un p la n o ; el alum no deberá elaborar p o r sí
m ism o las definiciones de esas ideas.
Sería m uy conveniente decir que los ángulos diedros opuestos p o r el vértice son
congruentes. Pero prim ero debem os explicar lo que se entiende p o r la medida de un
ángulo diedro. H acem os esto de la siguiente m anera:
D e fin ic ió n
Sean dados u n ángulo d iedro y u n plano
perpendicular a su arista. L a intersección
del plano perpendicular con el ángulo
diedro se llam a ángulo rectilíneo del ángulo
diedro.
En la figura, las m arcas indican que el L P Y C y el L P Y D son ángulos rectos. E sto
significa que el plano que contiene al L C Y D es perpendicular a P g en Y. B asándonos
en la definición que acabam os de dar, esto significa que el L C Y D realm ente es un
ángulo rectilíneo del L A -P Q -B .
Parece natural definir la m edida del L A -P Q -B com o la m edida del L C Y D . Pero
esto no tendría sentido, si ángulos rectilíneos diferentes, del m ism o ángulo diedro,
tuvieran m edidas diferentes. P or tan to , necesitam os dem ostrar el siguiente teorem a:
Á ngulos diedros, planos perpendiculares
277
T e o re m a 1 0 -6
T odos los ángulos rectilíneos de un m ism o ángulo diedro son congruentes.
Demostración: Sean Y y Z los vértices de dos ángulos rectilíneos del L A -P Q -B .
T om am os los p u n to s C, D , F y G, en los lados de los ángulos, de m anera que Y C =
Z F y Y D = Z G , com o se indica en la figura de la derecha. A hora, tenem os:
(1) El □ Y C F Z es u n paralelogram o. ( Y C y F Z son congruentes y, adem ás, son
paralelos, p orque están en el m ism o p lano y son perpendiculares a la m ism a
recta. Véase el teorem a 9-20.)
D e igual m anera, obtenem os que
(2) el □ Y D G Z es un paralelogram o.
P o r consiguiente,
(3) D G || C F (am bos son paralelos a 7 Z ) ,
(4) D G = C F (porque DG = Y Z = CF),
(5) el U D G F C es un paralelogram o (porque D G y C F son congruentes y
paralelos),
(6) D C = G F ( ¿p o r qué?),
(7) A C Y D £ A FZG (p o r el teorem a LLL),
(8) L C Y D s L F Z G .
D esde luego, el enunciado (8) es lo que deseábam os.
A h o ra, podem os enunciar las siguientes definiciones:
D e fin ic io n e s
L a medida de u n ángulo diedro es u n núm ero real que es la m edida de cada uno
de sus ángulos rectilíneos. U n ángulo diedro recto es aquel cuyos ángulos recti­
líneos son ángulos rectos. D os planos son perpendiculares, si contienen un ángulo
diedro recto.
278
R ectas y planos paralelos
L os siguientes teorem as son fáciles de dem ostrar, basándonos e n las definiciones:
T e o re m a 1 0 -7
Si u n a recta es perpendicular a un p lano dado, entonces todo plano que contenga
a la re c ta es perpendicular al plano dado.
O de otro m odo: Sea L una recta, perpendicular al plano E en el p u n to A , y sea F
u n p lan o cualquiera que contiene a la recta L. Entonces, F L E .
[Indicación de la demostración: Sea PQ
la recta en que F interseca a E. Tóm ese
A B L P Q en E . A hora, recuérdense las
definiciones de los enunciados L L E y
F L E , y dem uéstrese que F y E son p er­
pendiculares.]
T e o re m a 1 0 - 8
Si d os planos son perpendiculares, entonces u n a recta cualquiera de uno de ellos,
perpendicular a su recta de intersección, es perpendicular al o tro plano.
Puede utilizarse la m ism a figura que p a ra el teorem a anterior. Sea L la recta dada,
perpendicular & P Q en A , y tóm ese A B L P Q , com o anteriorm ente. E sta vez se da
que E L F , y querem os d em o strar que L L E .
Conjunto de problemas 1 0-2
1. Nombrar todos los ángulos diedros en la figura de la izquierda, a continuación:
T - f t k - v~
Q .-K K .
-'1
Ar
2. Nombrar todos los ángulos diedros en la figura anterior de la derecha. (Hay más de
tres. Obsérvese que E es el nombre de un plano y no de un punto.)
A ngulos diedros, planos perpendiculares
3. Nombrar los seis ángulos diedros en el tetraedro de la
derecha.
- ñ C- O
279
A
h~-bC -(h
C - A t>-<2>
\
____- > D
4. Demostrar el siguiente teorema:
\
'
Los ángulos diedros opuestos por el vértice son
congruentes.
5. Demostrar el siguiente teorem a:
Si dos planos son cortados por un tercer plano,
los ángulos diedros alternos internos son con­
gruentes.
[Sugerencia: Trácese otro plano.]
6. En la figura de la derecha, A M ||BK y B K ± E. D es
el punto medio de B C y
A C = AD.
Determínese la medida de cada uno de los ángulos
de la figura.
M K. S es el punto medio de M K y m ¿_R ST = UQ, determínese m LT-M K -R .
Determínese, también, m¿_T-MK-Q + m¿_R-MK-P.
8. En la figura, AP, BP y CP son perpendiculares entre sí.
A C = BC y D, E y F son puntos medios. Demuéstrese
que
/LD E F s A.PAB
y determínese su medida común.
9. Definir el interior de un ángulo diedro.
10. Indicar si cada uno de los siguientes enunciados es cierto o falso. Se debe hacer un
pequeño dibujo para ilustrar cada enunciado cierto, o presentar un contraejemplo, si el
enunciado es falso.
(a) Cada uno de los lados de un ángulo diedro contiene la arista común.
(b) Dos ángulos diedros son congruentes, si un ángulo rectilíneo de uno es congruente
con un ángulo rectilíneo del otro.
280
R ecias y p lanos paralelos
(c) Si un plano y una recta son perpendiculares, todo plano que contiene a la recta es
perpendicular al plano.
(d) Dos planos perpendiculares al mismo plano son paralelos entre sí.
11. Se da el cubo que se muestra a la derecha. Deter­
mínense:
m LD H E,
m/_DEH,
m¿_HGD,
m/_EGD.
[Pueden utilizarse las siguientes propiedades de un
cubo: (1) Las doce aristas son congruentes; (2) Dos
aristas cualesquiera que se intersecan son perpendicu­
lares.]
12. Si A, B, C y D son cuatro puntos no coplanarios, y tres cualesquiera
ellos no
están alineados, la reunión de AB, BC, CD
y 1X4 se llama un cuadrilátero alabeado.
Demuéstrese que la figura que se forma al
unir consecutivamente los puntos medios
de los lados de un cuadrilátero alabeado
es un paralelogramo.
13. Demostrar lo siguiente:
Si dos planos que se intersecan son per­
pendiculares a un tercer plano, su inter­
sección es perpendicular al tercer plano.
[Sugerencia: En el plano E, trácense PA J_ M K y QA _L RS. Utilícense los teoremas
10-8 y 8-2.]
* + 14. Demostrar lo siguiente:
Si tres planos E u E2 y E } se intersecan en las tres
rectas L ¡2, L a y L , 3, entonces o bien las tres rectas
se intersecan en un punto o cada recta es paralela a
las otras dos.
[Sugerencia: La figura muestra a E , y E 2 intersecándose en ¿ 12. Considérense dos
posibilidades para E 3: (1) E 3 ¡|L j 2; (2) E¡ interseca a L u -]
Proyecciones
281
PROBLEMA OPTATIVO
T eorem a d e D esa rg u es
Se dan dos triángulos en planos no paralelos, de manera que las rectas que unen sus
vértices correspondientes se intersecan en un mismo punto. Si las rectas que contienen
lados correspondientes de los triángulos se intersecan, los puntos de intersección están
alineados.
D
O de otro modo: Se dan los triángulos A A BC y A A 'B 'C ' en planos no paralelos, de
<-> <->
*-* «-»
<— >K
v
<->
manera que AA , BB
y CC se intersequen en D. Si
A B yA 'B ' se intersecan en X, BC
y B 'C ' se intersecan en Y y A C y A ’C se intersecan en Z , entonces X, Y y Z son colineales.
1 0 -3 .
PROYECCIONES
D e fin ic ió n
L a proyección de u n p u n to sobre u n p lan o es el pie de la perpendicular que va
del p u n to al plano.
P o r el teorem a 8-9, hay u n a perpendicular y sólo una. En cada una de las figuras
anteriores, P ‘ es la proyección del p u n to P sobre el plano E. A dm itim os la posibilidad
de que P esté en E. En dicho caso, la proyección de P es P mismo.
282
R ecta* y p lanos paralelos
D e f in ic ió n
La proyección de u n a recta sobre un plano es el conjunto de to dos lo's puntos del
plano que son proyecciones de los puntos de la recta.
E n la figura anterior, P ' es la proyección de P, Q' es la proyección de Q, S '
es la proyección de S , y así sucesivamente. L a figura sugiere que la proyección de una
recta es siem pre u n a recta; y, en efecto, esto es
siem pre cierto, excepto cuando la recta y el plano
p?
son perpendiculares, com o en la figura de la derecha.
A quí, A es la proyección de todo punto P de la
re c ta 'y , p o r tan to , A es la proyección de to d a la
recta. P ara obtener u n teorem a cierto, necesitamos
elim inar esta posibilidad.
T e o re m a 1 0 - 9
Si u n a recta y u n p lan o no son perpendiculares, entonces la proyección de la recta
sobre el p lan o es u n a recta.
Dem ostración:
Se da u n a recta L que no es
al plano £.
Sean P y Q dos p u n to s cualesquiera de L , y sean P ' y Q' sus proyecciones. E n<--- >
tonces, P ' =£ Q . (¿ P o r qué?) A dem ás, P P ' y Q Q ' son coplanarias, pues am bas son
perpendiculares al m ism o plano (teorem a 8-7). Sea F el plano que contiene a las
rectas PP' y Q Q '; y sea L ' la recta en que F interseca a E. A h o ra bien, L está en F,
P royecciones
283
P p
‘ene ?? PUnt° S
L ' D em ostrarem os <iue L ' es b proyección de L
sobre E. Puesto que L es una recta, se com pletará así la dem ostración del teorem a.
A h o ra tenem os que F 1 E . E sto es cierto p o r dos razones: todo plano que contenga
a la recta P P ' es perpendicular a E , y tam bién lo es todo plano que contiene a la
recta Q Q ' (teorem a 10-7).
D em ostrarem os lo siguiente:
(1) Si R es u n p u n to de L , entonces su proyección, R ', está en L ';
(2) si T e s u n p u n to d e L \ entonces T es la proyección de algún p u n to de L.
D em ostración de (1 ):
Sea J d pie de la perpendicular desde R a L en el plano F
única E
F n consecuencia,
te ° rem a 10~8'
R T ±enE L '.L " eE° ' r " K - POT<lue las P e l i c u l a r e s son
únicas.
R ' está
D em ostración de (2 ):
el p lan o F
Si T es un p u n to de L , sea T W la perpendicular a L ' en T, en
E n virtud del teorem a 10-8, T W 1 £ . P o r ta n to , T W y L n o son p a ra ­
lelas. (¿ P o r q u é?) Sea R el p u n to en que T W interseca a L . E ntonces T = R '
H em os dem ostrado que to d o p u n to de la proyección está en L ', y que todo punto
de L esta en la p ro y ecao n . P o r ta n to , L ' y la proyección so n exactam ente el mismo
dem ostrar
PUnt° S' ^
COnSeCuenda’ la Pr °yección es u n a recta, com o se quería
L a idea de u n a proyección puede definirse m ás generalm ente, p a ra u n conjunto
cualquiera de p untos.
J
D e f in ic ió n
Si A es un conjunto de p u n to s cualquiera en el espacio, y £ es u n p lan o , entonces
la proyecaon de A sobre E es el conjunto de to d o s los p u n to s que son proyecciones
d e los p u n to s de A sobre E.
P or ejemplo, la proyección de un segm ento es generalm ente un segm ento, aunque
en algunos casos puede ser un p u n to . A nálogam ente, la proyección de un triángulo
es generalm ente un triángulo, au n q u e puede ocurrir que sea un segmento.
284
R ectas y planos paralelos
La segunda posibilidad surge cuando el plano del triángulo es perpendicular a E,
com o en la figura de la derecha.
Conjunto de problemas 1 0-3
1. En la figura, el plano F e s perpendicular al plano E
en AB, C está en F y CDA_AB. ¿Cuál es la pro­
yección de A C ?; ¿de BC1\ ¿y del A ABC?
2. Si una diagonal de un rombo es perpendicular a un plano en uno de sus extremos, ¿qué
clase de figura es la proyección del rombo sobre el plano?
3. En la figura, los planos E y F se intersecan en PQ;
A B está en F y su longitud es el doble de la longitud
---<—
>
de su proyección, BC; y PQ±_ plano ABC. Deter­
minar m¿_A-PQ-C.
4. P, Q, R y S son las proyecciones de A , B, C
y D sobre el plano E. Si B y C trisecan a ~AD,
¿por qué trisecan Q y R a P S t
5. El alumno debe estar preparado para justificar sus respuestas a las siguientes preguntas:
(a) ¿Será siempre un punto la proyección de un punto ?
(b) ¿Será siempre un segmento la proyección de un segmento ?
Proyecciones
285
(c) ¿Podrá ser un rayo la proyección de un ángulo? ¿Podrá ser una recta?; ¿un seg­
m ento?; ¿y un ángulo?
(d) ¿Podrá ser un ángulo obtuso la proyección de un ángulo agudo?
(e) ¿Podrá ser un ángulo recto la proyección de un ángulo recto?
(f) ¿Podrá ser la longitud de la proyección de un segmento mayor que la longitud del
segmento? ¿Y menor que la longitud del segmento?
6, Contestar como en el problema 5:
(a) ¿Podrá consistir en dos rectas paralelas la proyección de dos rectas que se cortan ?
(b) ¿Podrá consistir en dos rectas paralelas la proyección de dos rectas alabeadas ?
(c) ¿Podrá consistir en dos rectas que se cortan la proyección de dos rectas alabeadas ?
(d) ¿Consistirá siempre en dos rectas paralelas la proyección de dos rectas paralelas?
7. Una de las caras de un ángulo diedro agudo contiene un cuadrado.. ¿Qué clase de figura
es la proyección del cuadrado sobre la otra cara ?
8. Se dan dos planos paralelos, E y F. El A A B C está
en F. Demuéstrese que la proyección del A A B C
sobre E es un triángulo congruente con el A ABC.
9. L a figura siguiente de la izquierda es un tetraedro. La figura de la derecha es la pro­
yección del tetraedro sobre el plano BCD. Hágase un esquema de las proyecciones sobre
los planos A BC y ACD.
10. Si una diagonal de un cubo es perpendicular a un plano, hágase un diagrama de la
proyección sobre el plano de todas las aristas del cubo.
* 11. En el plano E, M es el punto medio de AB.
C es un punto que no está en E, pero su pro­
yección, D, está en la mediatriz de AB. De­
muéstrese que el A ABC es isósceles.
6
E /
P
286
R ectas y planos paralelos
12. En un dibujo de ingeniería, la vista desde arriba o “planta” de un cuerpo geométrico
puede considerarse como la proyección de los varios segmentos del cuerpo sobre un
plano horizontal situado por encima del cuerpo, como se ilustra en la figura siguiente
de la izquierda. L a vista desde arriba, tal como se dibujaría en la práctica, aparece a la
derecha. (No se ha tratado aquí de obtener una escala apropiada.)
la derecha
T
>
Vista desde
arriba
(a) Dibújese una vista frontal del cuerpo, es decir, hágase un esquema de la proyección
de los segmentos del cuerpo sobre un plano paralelo a la cara del frente.
(b) Dibújese una vista de perfil de la derecha del cuerpo.
13. Datos: R S está en el plano E, el ¿_PRS es un
ángulo recto, y 2 es la proyección
de P.
Demostrar que el
Q R S es un ángulo recto.
[Sugerencia: Trácese R T , la perpendicular a
E en i?.]
14. Datos: AQ es la proyección de A R sobre el
plano E.
A P es otro rayo cualquiera desde A
en E.
Demostrar que m /_Q A R < m¿_PAR.
[Sugerencia: En AP, tómese un punto K tal que A K = A R '. Trácense K R ' y KR.]
Repaso de la unidad
1. N om brar los ángulos diedros en la figura,
suponiendo que dos cualesquiera de los tri­
ángulos indicados no son coplanarios.
R e p a s o d e la u n id a d
2. D atos:
E±AC,
F±AC,
287
F±BD .
Demostrar que E ± BD y que A C \\BD.
3. Se da la figura anterior de la derecha. El A A BC está en el plano F; el APQ R está en el
plano E; el O ABQ F es un rectángulo y A P J_ E. Determinar cuáles de los siguientes
enunciados son ciertos:
(a) B Q ± E .
4.
(b) A Q = BP.
(c) F \\E.
(d) PQ es la proyección de A B sobre E.
(e) A ABC S APQ R.
(f) P C = QC.
(h) A P A C z A BBC.
(g) B C \\R Q .
Indicar mediante las letras T, A o N si cada enunciado es cierto en to d o s los casos,, si es
cierto en algunos casos y falso en otros, o si no es cierto en ningún caso:
(a) Dos rectas paralelas al mismo plano son perpendiculares entre sí.
(b) Si un plano interseca a cada uno de dos planos paralelos, las rectas de intersección
son alabeadas.
(c) Si dos planos son paralelos a la misma recta, son paralelos entre sí.
(d) La intersección de un plano con las caras de un ángulo diedro es un ángulo rectilíneo
del ángulo diedro.
'' (e) Si dos rectas son perpendiculares al mismo plano, las rectas son paralelas.
\ ' (f)
í
Si dos rectas son paralelas al mismo plano, las rectas son paralelas.
(g) Si una recta es perpendicular a un plano dado, todo plano que contiene a la recta es
perpendicular al plano dado.
(h) L a proyección de un ángulo puede ser un punto.
(i) Dos rectas son paralelas, si ambas son perpendiculares a la misma recta.
(j) Si cada uno de dos planos que se intersecan es perpendicular a un tercer plano, su
recta de intersección es perpendicular al tercer plano.
5. AB es la arista del A S -A B -T y P está en AB.
Si m /_SPT = 90, ¿será el /_S-AB-T un ángulo
diedro recto? Expliqúese.
288
R e ctas y planos paralelos
6. Los planos E y F se intersecan en K M ; Á B y PQ están en E; A C y PR están en F.
Si m /_M A B = 90 y m¿_KAC = 90, ¿es el Z_BAC un ángulo rectilíneo del ¿.B-KM -C?
Si m /_RPQ = 90, ¿es PQ \\AB7
7. En_ la figura, PQ = \P C = iP A , A B = BC, y
PQ.L E. ¿Cuál de los siguientes enunciados es
cierto ?
m LP -A C -Q < 30,
m LP-AC-Q = 30,
m LP -A C -Q > 30.
8. D atos: Los planos paralelos E, F y G, con Q en
G, el A K M P en £ y el A ABC en £ ;
AK=KQ.
Demostrar que el perímetro del A A BC es el
doble del perímetro del A KMP.
9. En la figura, el paralelogramo \3ABCD no es •
paralelo al plano E. K, L, M y N son las pro­
yecciones sobre E de los vértices A, B, C y £>,
respectivamente.
Demostrar que
A K + CM = BL + DN.
[iSugerencia: Sea Q la proyección de P sobre E
y trácese PQ.]
10. Dibujar una figura que muestre la intersección de un plano con las seis caras de un cubo.
Entonces, imagínese la intersección, proyectada sobre un plano paralelo al primer plano,
pero que no interseque al cubo, y dibújese un esquema del resultado.
R ectas y p lanos paralelos
N
ik o l a i
289
I v a n o v it c h L o b a c h e v s k y (1 7 9 3 -1 8 5 6 )
D urante la primera mitad del siglo XIX, tres hombres, trabajando independientemente en
tres países diferentes, descubrieron la geometría no euclídea. Éstos fueron C. F. Gauss, en
Alemania; János Bolyai, en Hungría; y Nikolai Ivanovitch Lobachevsky, en Rusia.
Hasta esa época, todos creían 'en la unicidad de la paralela como un simple hecho, lo
mismo en la geometría que en la física. Los tres hombres mencionados trataron de suponer
lo contrario: supusieron que por un punto externo pasa más de una recta paralela a una
recta dada. Esto condujo a una nueva clase de geometría que, desde el punto de vista mate­
mático, tenía la misma validez que la geometría familiar de Euclides. Y esta nueva geometría
resultó de gran valor en la física, después de presentar Einstein su teoría de la relatividad.
Generalmente, se atribuye a Lobachevsky la prioridad del descubrimiento de la geometría
no euclídea. Desarrolló su teoría más que Bolyai y, al contrario de Gauss, tuvo el valor de
publicar su trabajo. Parece que Gauss tuvo miedo de aparecer ridículo. A él se le consideraba
el más grande de los matemáticos de su época y, por tanto, su prestigio hubiera sufrido mucho.
)
1 1 1 Regiones poligonales
y sus áreas
R egiones poligonales
293
E n este capítulo, estudiarem os las áreas de regiones poligonales y aprenderem os a
calcularlas. P a ra este propósito, utilizarem os cuatro postulados nuevos.
P O S T U L A D O 1 9.
El postulado del área
A toda región poligonal le corresponde un número positivo único.
D e fin ic ió n
E l área de u n a región poligonal es el núm ero que se le asigna según el postulado
19. E l á rea de la región R se d en o ta p o r aR. E sto se lee área de R.
D e aquí en adelante, en este capítulo, cuando hablem os de u n a región, se entenderá
siem pre que nos referim os a u n a región poligonal.
C laro está, el área de u n a región debe depender del tam año y la form a de la región
solam ente y no de la posición de la región en el espacio. Enunciam os esta idea com o
un postulado, p a ra el caso de regiones triangulares.
P O S T U L A D O 2 0.
El postulado de la congruencia
S i dos triángulos son congruentes, entonces las regiones triangulares determinadas
por ellos tienen ¡a misma área.
Si dividim os una región en d os partes, entonces el área de la región debe ser la
sum a de las áreas de las dos partes.
r2
Ri
aR —aR] + a /? 2 •
\/
E n cada u n a de las figuras anteriores, la región to tal R es la reunión de dos regiones
y & 2 - E n cada caso, / í , y R 2 se intersecan, a lo m ás, e n u n núm ero finito de seg­
m entos y puntos. C on éstas condiciones, podem os calcular aR m ediante adición.
294
R egiones poligonales y gas á reas
P O S T U L A D O 21.
El postulado de adición de áreas
Supongamos que la región R es la reunión de dos regiones R , y R 2. Supongamos
que R , y R 2 se intersecan a lo sumo en un número finito de segmentos y puntos
Entonces, aR = aR¡ + a R 2.
H ay casos simples en los cuales una región es la reunión de otras dos regiones pero
p a ra ellos no es válida la fórm ula anterior. Si R , y R 2 son regiones triangulares como
en la íigura y R es su reunión, entonces aR es m enor que a R l + aR 2. (A l sum ar
contam os dos veces el área de la región en form a de diam ante d é la parte central de la
figura.) P o r tanto, necesitam os la segunda cláusula “ Supongam os . . . ” en la hipótesis
del postulado de adición de áreas.
De la U nid ad 2, recordam os que la unidad de distancia puede elegirse a rb itra ­
riam ente. Lo m ism o es cierto con relación a la unidad de área. S in em bargo debe­
m os ser consistentes al elegir n uestras unidades: si m edim os distancias en m etros
entonces debem os m edir áreas en m etros cuadrados; si utilizam os pies p a ra m edir
istancias, entonces debem os u tilizar pies cuadrados para m edir áreas: y así suce­
sivam ente. E sta es la idea que sirve de base al siguiente postulado:
P O S T U L A D O 2 2.
El postulado de la unidad
E l área de una región cuadrada es el cuadrado de la longitud de su lado.
aü=e2
De a h o ra en adelante,.para abreviar, nos referirem os al área de u n cuadrado, al área
de un triangulo, y asi sucesivamente. E n cada caso, entendem os, desde luego, que se
R egiones poligonales
29S
tra ta del á rea de la región correspondiente. Tam bién, hablarem os de la base y la
a ltu ra de u n rectángulo, p o r lo cual entenderem os la longitud de la base y la longitud de
la altura. E sto es m uy conveniente y, en cada caso, el alum no deberá decidir, a base
del contexto, si nos referim os a un segm ento o a l núm ero que constituye su m edida.
A hora, podrem os, m ediante u n simple artificio, determ inar el área de un rectángulo.
L
Teorem a 11-1
r
El área de u n rectángulo es el producto
de su base y su altura.
r
"1
b
oR= bh
b
IT
L
r
b2
Demostración: Considérese la figura de
la derecha.
A quí, A denota el área desconocida
del rectángulo. Las áreas de los dos
cuadrados son b 2 y h2, p o r el postulado
22; y el área de to d a la figura es
(b + h)2. P or tan to , m ediante aplica­
ción repetida del postulado de adición
de áreas,
h
A
r
---------------
te
A
.....
b2 + 2 A + h 2 = (b + h)2
= b2 + 2 bh + h2
y
A = bh,
com o queríam os dem ostrar.
Si el alum no se pregunta cómo
sabem os, a base de los postulados, que
los d os rectángulos de la figura tienen
la m ism a área, debe exam inar la figura
de la derecha. L os c u atro triángulos
son congruentes y, p o r tan to , tienen
la m ism a área; y el área de cada rec­
tángulo es dos veces el área de cada
triángulo.
b
.
b
|
—
h
/
=h
,
—
'
2%
R egiones poligonales y su s áreas
C onjunto de problem as 1 1 -1
1. Mostrar que cada una de las siguientes regiones es poligonal, dividiéndola en regiones
triangulares, según la definición de región poligonal; trátese de obtener, en cada caso,
el menor número posible de regiones triangulares:
2 . En la figura de la izquierda, a continuación, si aR , — 50, oR2 = 25 y
es la reunión de
R¡ y Rz, ¿cuál será aR? Cítese un postulado o teorema que justifique la conclusión.
3. En la figura anterior de la derecha, si aR¡ = 30, aR2 = 30 y R es la reunión de R¡ y R i,
¿será aR - 60? Cítese un postulado o teorema que justifique la conclusión.
4. Calcular el área de un rectángulo de 16 metfos de largo y 10Í metros de ancho.
5. Un cuadrado y un rectángulo tienen áreas iguales. Si el rectángulo mide 25 qm. por
16 cm., ¿cuál es la longitud de un lado del cuadrado?
6. ¿Cómo varía el área de un cuadrado si se duplica la longitud de un lado? ¿Si se triplica?
¿Y si se reduce a la mitad ?
7. (a) Si se duplica la altura de un rectángulo y no se altera la base, ¿cómo varía el área?
(b) Si se duplica la base de un rectángulo y no se altera la altura, ¿cómo varía el área?
(c) Si se duplican ambas, la altura y la base de un rectángulo, ¿cómo varía el área?
8. ¿Cuántas losetas cuadradas de 4 pulgadas de lado se necesitarán para cubrir una pared
rectangular de dimensiones 7 pies y 15 pies con 8 pulgadas?
Regiones poligonales
297
9. Demostrar lo siguiente: Si dos rectángulos tienen la misma base, />, entonces la razón de
sus áreas es igual a la razón de sus alturas.
R2
R,
b
b
D e m o s tra r q u e a R \ ¡ a ñ i = h \¡ h ^ .
10. En un terreno rectangular, se van á sembrar semillas de césped. Las dimensiones del
terreno son 22 yardas y 28 yardas. Si se necesita un saco de 2 libras de semillas para cada
750 pies cuadrados de terreno, ¿cuántos sacos se necesitarán para todo el terreno?
11. La figura de la derecha representa
la cara de una parte de una máquina.
Para calcular el costo de pintar un
cierto número de estas partes, es
necesario saber el área de cada cara.
Las regiones sombreadas no se van
a pintar. Determínese el área de la
región que debe pintarse. ¿Qué
postulados y teoremas se emplean
al calcular el área?
12. Calcular el área de un rectángulo de base h y altura /;, dadas las siguientes medidas:
(a) 6 = 1 7 y h = 12
(b) b = l j
y h - 5|
(c) A = 3
y h= V5
(d) b = VÍO
y h = V 15
_
13. Calcular el área de un cuadrado de lado s, dadas las siguientes medidas:
(a) s = 24
(b) s = 3 Í
(c) s.= V i
(d) i = 4 Vó
14. Indicar si cada uno de los siguientes enunciados es cierto o falso, justificando las res­
puestas :
(a) Un cuadrado es una región poligonal.
-
f >.
(b) A todo número positivo le corresponde una región poligonal única.
r ^ %' ‘'
i? c-J
y ,.<-
(c) Si dos triángulos son congruentes, entonces las regiones triangulares correspon­
dientes tienen la misma área.
(d) Una región triangular no incluye el triángulo que la determina.
_u
(e) El área de la reunión de dos regiones poligonales es la suma de sus áreas.
(f) Una región triangular es una región poligonal.
(g) Existe un cuadrado cuya área es V i 7.
t-'.
o. l
:
(h) Existe un rectángulo con área 4 ^ 5 y tal que la medida de su base es un número
racional.
298
R egiones poligonales y sus á reas
15. En la figura de la. derecha. A, B, C, £>, E, F y
G se llaman vértices; AB, BC, CD, £>£, EG, GA,
EF, FD y FB se llaman lados; y las regiones
poligonales ABE, FED y B C D F se llaman rams.
El exterior de la figura también se considera una
cara. Sea c el número de caras, v el número de
vértices y I el número de lados. Un teorema descubierto por Euler, un famoso
matemático suizo, relaciona c, v y I mediante la expresión c - / + v.J g j e x p r e s a s e
refiere a una clase amplia de figuras de las que la antenor esuna posibilidad^ Calculemos
c - l + v para esa figura. Tenemos c = 4, / = 9 y v = 7; por tanto, 4 - 9 + 7 - 2.
(a) Para cada una de las figuras que siguen, calcúlese c - t + v Obsérvese que losTados
no tienen necesariamente que ser segmentos. La figura de la derecha podría ser una
parte de un mapa en que se muestran distritos.
(b) ¿Qué regla se observa en los resultados de los tres cálculos ?
' (c) En la figura anterior de la izquierda, márquese un punto en el interior del cuadrilátero
(C> y trácenle segmentos desde el punto a cada uno de los vértices oComo influye esto
en el cálculo de c - / + v? ¿Puede el alumno explicar por que .
(d) Tómese un punto en el exterior de cualquiera de las figuras y únase a los dos vértices
más cercanos. ¿Cómo influye esto en el cálculo de c 1+ v.
1 1 -2 .
Á R EA S D E TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS
Calculem os ah o ra algunas áreas, basándonos en nuestros postulados.
T e o re m a 11—2
El área de un triángulo rectángulo es la
m itad del p ro d u cto de sus catetos.
Á reas de trián g u lo s y c u ad rilátero s
299
Demostración: Se da u n triángulo rectángulo con catetos a y b. Sea A su área. F o r­
m am os un rectángulo O U V W X (com o el que se m uestra e n la figura de la derecha),
dos de cuyos lados son los catetos del tri­
ángulo rectángulo. Entonces,
b
V
(1)
A VU XSí A X W V ,
(2)
aAXW V=A,
a
(3)
A + A = ab,
U 1
(4)
A — %ab.
X I X
b
aR = a b = 2 A .
¿Cuál es la justificación de to d o esto ? (Q uizás, se necesite hacer m ás de u n a cita para
algunos de los pasos.)
D e este teorem a, podem os obtener una fórm ula p a ra el área de u n triángulo
cualquiera. U na vez hagam os esto, no necesitarem os el teorem a 11-2, po rq u e nuestro
teorem a general lo incluirá com o caso especial.
T e o re m a 1 1 - 3
El área de u n triángulo es la m itad del producto de cualquiera de sus bases y la
altura correspondiente.
Dem ostración: Sean b y h la base y la altura dadas, y sea A el área del triángulo. H ay
que considerar tres casos:
R
R
(1) Si el pie de la a ltu ra está en tre los extrem os de la base, entonces la altura divide
al triángulo d ad o en d os triángulos co n bases b¡ y b2 y, adem ás, b x + b2 = b. P or
el teorem a anterior, las áreas de los dos triángulos son \ b {h y \ b 2h. P o r el postulado
de adición de áreas,
A — $b,h + \ b 2h.
P or tanto,
A = 4(6, + b2)h = \b h ,
com o queríam os dem ostrar.
(2) Si el pie de la altu ra es un extrem o de la base, entonces nuestro triángulo es un
triángulo rectángulo y A = \b h , p o r el teorem a anterior.
.
300
>
R egiones poligonales y sus á reas
(3) Si el pie de la altu ra está fuera de la ba;¡e, com o en la tercera figura, tenem os
±b¡h + A =
+ b)h,
y
A = | bh,
com o anteriorm ente. (¿C u ál es la justificación de esto?)
Obsérvese que el teorem a 11-3 puede aplicarse a cualquier triángulo, de tres
m aneras: podem os elegir cualquiera de
los tres lados com o base, m ultiplicar
p o r la altu ra correspondiente, y dividir
p o r 2. Obsérvese que, e n la figura,
i V 'i ,
ib ih i
y
IM s
tienen que representar el m ism o nú­
m ero, porque cada uno de ellos d a la
respuesta correcta al m ism o problem a.
A h o ra que sabem os determ inar el área de u n triángulo, lo dem ás es sencillo: para
determ inar el á rea de u n a región poligonal, la dividim os e n triángulos y sum am os sus
áreas. E ste procedim iento es particularm ente fácil en el caso de los trapecios.
T e o re m a 1 1 - 4
El área de u n trapecio es la m itad del producto de su altura y la sum a de sus
bases.
D em ostración: Sea A el área del
trapecio. C ualquier diagonal d i­
vide al trapecio en d os triángulos,
c o n bases b t y b2 y la m ism a altura
h. (¿ P o r qué es P V = T R C
¡) P or
el p ostulado de adición de áreas,
A = \ b xh + \ b 2h
= í^(^i + ^2)»
com o queríam os dem ostrar.
E sto nos da inm ediatam ente u n a fórm ula p a ra determ inar el área de u n paralelo
gram o.
Á reas d e triá n g u lo s y cuadriláteros
301
Teorem a 11-5
El área de u n paralelogram o es el p ro d ucto de u n a base cualquiera y la altura
correspondiente.
Dem ostración: Sea A el área del
paralelogram o. T o d o paralelogram o es un trapecio, con b¡ =
b2 = b. P or tanto,
A = \h {b + b)
fb h .
La fórm ula para el área de u n triángulo tiene dos consecuencias sencillas, pero muv
útiles.
3
T e o re m a 1 1 - 6
Si d os triángulos tienen la m ism a base b y la m ism a altura /;, entonces tienen
áreas iguales.
E sto es evidente, p orque el área de cada uno de ellos es \b h .
T e o re m a 1 1 - 7
Si d os .triángulos tienen la m ism a altu ra h, entonces la razón de sus áreas es igual
a la razón de sus bases.
Dem ostración:
E ntonces,
S ean b, y b2 las bases de los triángulos.
a_AABC = ib J b = b_ 1
aAPQ R
\b 2h
b '
302
R egiones poligonales y su s áreas
C onjunto de p roblem as 1 1 -2
1. En el A ABC, A C = S y la altura correspondiente a A C es 3. En el A DEF, EF - 6.
Si a A A BC = a A DEF, determinar la altura correspondiente a EF.
A
8
c
E
6
F
2. En el A PQR, el L P es un ángulo recto, PR = 16, PQ = 12 y RQ = 20.
(a) Determinar el área del A PQR.
(b) Determinar la altura correspondiente a la hipotenusa.
3. En la figurajfc la derecha, B es el punto
medio de AC, y E l) \\AC. Demuéstrese
que a ¿SABE = a&BCD.
(4.)e1 U KM PR es un paralelogramo. Dado
^ q u e m /_K = 30, K M =¿11 y KR = 8,
calcular aUKM PR.
30°
K
M
5. Un rombo tiene un lado de 12 unidades y la medida de un ángulo es 150. Determinar
el área del rombo.
6. Un triángulo rectángulo tiene catetos de 18 cm. y 14 cm., respectivamente. Otro triángulo
rectángulo tiene catetos de 15 cm. y 24 cm., respectivamente. ¿Cual es la razón de las
áreas de los dos triángulos?
7. Dos lados de un triángulo miden 15 pulgadas y. 20 pulgadas de
largo, yla altura corres­
pondiente al lado de 15 pulgadas mide 8 pulgadas. ¿Cual es la longitud de la altura
correspondiente al lado de 20 pulgadas?
8. En el A ABC, CD es la altura correspondiente a AB y A E es la altura correspondiente
a BC.
(a) Si A B — 8, CD — 9, A E = 6, determínese BC.
(b) Si AB = 1 1 , A E = 5, B C = 15, determínese CD.
(c) Si CD = /;, AB —c, B C = a, determínese AE.
(d) Si AB = 15, CD 14, BC = 21, determínese AE.
4
9. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 50 centímetros de largo, uno de los
catetos mide 14 centímetros de largo, y el área del triángulo es 336 centímetros cuadrados.
¿Cuál es la longitud de la altura correspondiente a la hipotenusa . ¿Cual es la longitut,
de la altura correspondiente al cateto dado ?
10. Un triángulo y un paralelogramo tienen áreas iguales y bases iguales. - ¿Cómo comparan
sus alturas?
Á reas de trián g u lo s y cuadriláteros
303
11. El U ABC D es un paralelogramo, E H ± DC, C F ± A B y BG ± £&.
(a) Si A B = 18, E H = 10 y BG = 15,
¿Cuánto es A D I
(b) Si AD = 22, BG = 7 y E H = 14,
¿cuánto es DC?
(c) Si C F = 1 2 , ¿ÍG = 16 y 5 C = 1 7 ,
entonces A B — ?
(d) Si BG = 24, A D = 28 y A B = 32,
entonces £ / / = ?
(e) S i/lS = v'50, C F = 6 y G B = V Í8,
entonces B C = ?
12. En ia figura de la derecha, el U ABC D es un
cuadrado y los segmentos que forman el
contorno de la estrella son congruentes.
Determínese el área de la estrella en tér­
minos de í y b.
13. Demostrar lo siguiente: Las dos regiones en las cuales una mediana de un triángulo
divide a la región triangular tienen áreas iguales.
c
14. En la figura anterior de la derecha, el D M P R T es un paralelogramo y T S = S R = RO
Indicar cuál es la razón de:
(a) a A P R S
(c) a& PM Q
a
a& PRQ
a
aAPQ S
(b) alXPMQ
a
aO M P R T
(d) a A P Q R
a a O M P ST
15. El U ABC D es un trapecio con lados paralelos ~ABy CD.
(a) Si A B = 18, DC = 12, h = 9, en­
tonces a U A B C D = ?
(b) Si aU ABC D =- 84, A B = 17, CD =
11, entonces h = ?
(c) Si aU A B C D = 375, h = 15, A B =
38, entonces CD = ?
| (d) Si A B = 15, DC = 8, BC = 10, y m¿_B = 30, entonces a U A B C D = ?
I (e) Si A B = 13, h = 5, aD /í5C Z ) = 65, entonces CD = ?
304
R egiones poligonales y su s área s
17. U n agrimensor iba a determinar el área
de un terreno representado por la figura
A BC DE. Marcó una recta en dirección
norte-sur pasando por E y otras rectas en
dirección este-oeste pasando por A, B, C y
D respectivamente. Encontró que A O = 37
pies, B R = 47 pies, CQ = 42 pies, DP = 28
pies, PQ = 13 pies, QE = 7 pies, E R = 19
pies y RO — 18 pies. Entonces, calculo el
área requerida. Determínese el área con
la aproximación de una yarda cuadrada.
N.
♦
I
S J 8 . Demostrar el siguiente teorema:
Si las diagonales de un cuadrilátero
convexo son perpendiculares, entonces
el área del cuadrilátero es igual a la
mitad del producto de las longitudes
de las diagonales.
¿Sería cierto este teorema si no se
exigiera que el cuadrilátero fuera convexo?
s
£
19. El □ P Q RS es convexo y PR i QS(a) Si P R = 12 y QS = 16, ¿cuánto es aO PQ RS?
(b) Si aD P Q R S = I53 y PR = ,7 ’ ¿cuánt0 es QS1
problema 18?]
21. Demostrar lo siguiente : Si las diagonales de un rombo son d y «f, entonces el t o a del
rombo es dd'¡2.
22. El á re . de » . rombo es 3 « y >• longitud de una diagonal es 24. Determina, la longitud
de la otra diagonal.
Á reas de trián g u lo s y c u ad rilátero s
23.
305
En la figura de la izquierda, a continuación, A C ± B D . Si A C = 13 y BD - 8, ¿podría
determinarse a d A B C D l
* 24. En el DABCD, de la figura anterior de la derecha, A C biseca a BD. Demuéstrese que
a A A B C = aA A D C .
* 25. Se da que el O ABC D es un paralelogramo y que P, Q, R y S son los puntos medios de
los lados. Dem ostrar que a O P Q R S = ia¡JA B C D .
g
* 26. Dado un triángulo cualquiera A M Q R , con dos
medianas R S y M T, que se intersecan en P,
demuéstrese que a A P M S = a&PRT.
* 27. El O ABC D es en trapecio, DC || AB,
E es el punto medio de AB, F es el punto
medio de D E y G es el punto medio
de CE. Demuéstrese que a&AFD =
aABGC.
28. Se da el segmento A B en el plano E. Para todo número positivo k , hay al menos un
punto P tal que aA A B P = k . ¿Habrá más de un punto? ¿Cuántos? Descríbase el
conjunto de todos los puntos P en el plano E tales que a A A B P = k . Descríbase el con­
junto de todos los puntos P en el espacio tales que aA A B P = k.
* 29. El
es un paralelogramo. J e s un punto de R S tal que R J < ¿RS. K es un punto
de RQ tal que R K < 'iRQ. Una recta que pasa por S y es paralela a PK interseca en M
--- <~>(
__
a una recta que pasa por K y es paralela a PJ. PJ interseca a S M en L. Demuéstrese que
a O P Q R S = aVjPKML. [Indicación: ¿Interseca RQ a SM?]
* +J>30. Demostrar lo siguiente: Si una recta L
separa a una región limitada por un paralelogramo en dos regiones de áreas iguales,
entonces la recta L contiene al punto de
intersección de las diagonales del paralelogramo.
306
R egiones poligonales y su s áreas
1 1 -3 .
E L T EO R EM A D E PITÁGORAS
A h o ra que sabem os tra b a ja r co n áreas, es bastante fácil dem ostrar el teorem a de
Pitágoras.
T e o re m a 1 1 - 8 .
El teo rem a d e Pitágoras
E n u n triángulo rectángulo, el
cuadrado de la hipotenusa es
igual a la sum a de los cuadrados
de los catetos.
Dem ostración: P rim ero, tom am os u n cuadrado cada uno de cuyos lados tiene longitud
a + b. E n este cuadrado, dibujam os cuatro triángulos rectángulos co n catetos a y b.
(1) P o r el postulado L A L , cada
uno de los cuatro triángulos es con­
gruente con el triángulo dado. P or
tan to , to d o s tienen hipotenusa de
longitud c, com o m uestra la figura de
la derecha.
(2) E l cuadrilátero form ado p o r las
cuatro hipotenusas es u n cuadrado.
E n la notación de la figura, tenem os
que
r + 5 = 90,
p orque los ángulos agudos de u n tr i­
ángulo rectángulo son com plem en­
tarios. Com o
r + s + t = 180,
se deduce que I = 90. Lo m ism o ocurre para los otros ángulos de nuestro cuadrilátero.
(3) P o r el postulado de adición de áreas, el área del cuadrado m ayor es igual al
área del cu adrado m enor, más la sum a de las áreas de los cuatro triángulos congruen­
tes. E sto da
(a + b)2 = c2 + 4 • \ab.
P or tanto,
a2 + la b + b2 = c2 + 2 ab,
com o queríam os dem ostrar.
y
a2 + b2 = c2,
E l teo rem a d e P itág o ra s
307
E l recíproco del teorem a de Pitágoras es tam bién cierto.
T e o re m a 1 1 - 9
Si el cu ad rad o de u n lado de u n triángulo es igual a la sum a de los cuadrados de
los o tro s d os lados, entonces el triángulo es u n triángulo rectángulo, con su
ángulo recto opuesto a l'la d o m ás largo.
Dem ostración: Se d a el A A B C y a2 + b2 = c2, com o en la figura. Sea el A A 'B 'C un
triangulo rectángulo con catetos a y b, c hipotenusa d. Entonces, c = d, porque
d - a +¿> = c2. P o r el p ostulado L L L , A A B C ^ A A 'B 'C '. Luego, ¿ C s ¿ C '
C om o el L C ' es un ángulo recto, tam bién lo es el A C.
P it á g o r a s
Pitágoras es generalmente considerado como
el primero de los grandes matemáticos griegos,
pero se sabe muy poco acerca de su persona.
Nació alrededor del año 582 a. de J.C. y vivió
primero en la isla de Samos, en el m ar Egeo, y
más tarde en el sur de Italia.
Pitágoras y sus discípulos se dedicaron al
estudio de la matemática, la astronomía y la
filosofía. A ellos se les atribuye el haber conver­
tido la geometría en una ciencia. Demostraron
el teorema de Pitágoras y descubrieron la exis­
tencia de los números irracionales. Sus cono­
cimientos de la astronomía fueron muy valiosos:
en el siglo VI a. de J.C ., sabían que la Tierra era
redonda y que giraba alrededor del Sol. N o dejaron escritos de sus trabajos, y nadie sabe
cómo lograron ootener estos conocimientos, ni cuáles de sus descubrimientos se debían a
Pitágoras mismo.
308
R egiones poligonales y su s á reas
C onjunto de p roblem as 11—3
)rl. En un triángulo rectángulo A ABC, c es la longitud de la hipotenusa y a y b son las
longitudes de los catetos.
(a) Si a — 12 y b = 16, entonces c = ?
(b) Si a = 24 y c
25, entonces b = ?
(c) Si a = I y b = 2, entonces c = ?
(d) Si b = 18 y c = 20, entonces a = ?
(e) Si a = 7 y b - 7, entonces c = ?
(f) Si a = 6 y c — 12, entonces b = ?
2. Una persona camina 7 kilómetros hacia el norte, después 3 kilómetros hacia el este y,
luego, 3 kilómetros hacia el sur. ¿A qué distancia está del punto de partida?
3. Una persona camina 1 milla hacia el norte, 2 millas hacia el este, 3 millas hacia el norte
y 4 millas hacia el este. ¿A qué distancia está del punto de partida?
H
G
4. En el cuerpo rectangular mostrado a
la derecha, cada dos aristas que se
intersecan son perpendiculares. Si
A E = 3, A B - 4 y B C - 12, deter­
mínense las longitudes de las diago­
nales B E y BH.
$
5. La longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es 17 y la de uno de los catetos
es 15. Calcular el área del triángulo.
6. Los lados de un triángulo miden 6 cm., 9 cm. y 11
cm., respectivamente.¿Es
triángulo rectángulo? Si lo es, ¿cuál de los lados es la hipotenusa?
7. (a) Demostrar lo siguiente: Si m y n son números naturales y m > n, entonces m 1 + n2
será la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos tienen
longitudes m 2 — n 1 y 2mu. ¿Qué teorema se utiliza para demostrar esto?
(b) Construir una tabla con columnas que tengan los siguientes títulos:
\m\n\ml — nl \2mn\m2 + n2\
Utilícese el método de la parte (a) para anotar en la tabla las longitudes expresadas
con números enteros de los lados de los triángulos rectángulos en los cuales la
longitud de la hipotenusa sea igual o menor que 25. Hay seis ternas de esa clase,
llamadas "ternas pitagóricas” .
8. Si p y q son las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo y r es la longitud de la
hipotenusa, demostrar que para cualquier número positivo k, los números kp, kq y kr 'son
también las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo.
ésteun
E l teo rem a d e P itágorág
309
9. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos de números podrían ser las longitudes de los lados
de un triángulo rectángulo?
(a) 30, 40,60.
(b) 16, 30, 34.
(c) 10,24,26.
(d) I , 1, l i
(e) 1,4,4,8, 5,0.
(f) l í , 2 # 3 |.
10. En el A ABC, el A C es un ángulo recto, A C = 20
y BC =-15. Determinar:
(a) &AABC
Y5
(b) A B
i
(c) la altura correspondiente a la hipotenusa.
A
. 11. La longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es 51 y la longitud de un cateto
es 24. Calcular el área del triángulo.
Q i
En la figura de la derecha, QR = 5, RP - 12,
R T = h, y QR RP, R T ± PQ. Determínese el
valor de h.
¡ 13. Si las longitudes de los catetos dé un triángulo
rectángulo son a y b, determinar la longitud, h,
de la altura correspondiente a la hipotenusa, en
términos de a y b.
14. Las longitudes de los catetos de uh triángulo rectángulo son 24 y 32. Determinar la
altura correspondiente a la hipotenusa.
15. En un rombo, cada lado mide 10 pulgadas de largo y una diagonal mide 12 pulgadas de
largo. Determinar el área del rombo. Determínese, también, la altura correspondiente
a un lado cualquiera.
16. Un ángulo de un rombo tiene por medida 60 y la longitud de uno de los lados es 5.
Determinar la longitud de cada diagonal.
17.
El □ ABCD es un trapecio, con AB DC.
Si los segmentos tienen las longitudes indi­
cadas en la figura, determínese el área del
trapecio.
18.
(a) Si los ángulos rectos y las longitudes de
los segmentos son los indicados en la
figura, determínense PB, PC y PD.
(b) Si se continuara la construcción indicada
en la figura, tomando m /_ P D E ^ 90 y
D E — 1, ¿cuánto sería P E I ¿Cuál sería
la longitud del siguiente segmento desde
P? El alumno deberá descubrir una regla
interesante.
\
D
12
C
310
R egiones poligonales y su s á reas
19. Una demostración del teorema de Pitágoras, a base de
la figura de la derecha, fue descubierta por el General
James A. Garfield varios años antes de llegar a ser
Presidente de los Estados Unidos. Se publicó alrededor
del año 1875 en el New England Journal o f Education.
Demuéstrese que a2 + b2 = c2, expresando algebraica­
mente que el área del trapecio es igual a la suma de las
áreas de los tres triángulos. El alumno deberá incluir
una demostración de que el /_EBA es un ángulo recto.
D
o
£
20. Se da el trapecio O ABCD , con A B || DC, A C _LBC
y BD ± A D . Si A B = 25, AD = \5 y 5C = 15,
¿cuál será el área del trapecio ?
21. En el A ABC de la figura siguiente de la izquierda, A C = 13, AB = 14 y BC = 15.
(b) Determinar la altura hb, correspondiente al
(a) Determinar la altura hc.
lado AC.
22. En el APQ R de la figura anterior de la derecha, el ¿_Q es obtuso, PQ = 1 1 , QR = 25
PR = 30. Determinar la altura correspondiente a PQ y, también, aAP Q R .
M
23. En el A M O Q , M O ± O Q ,
M O = OP = 1
y
M P = PQ.
Determinar M Q , m¿_Q y tn/_QMO.
24. La figura de la derecha representa un tetraedro
ABCD con todas sus aristas congruentes y cada
una de longitud 2. R y S son los puntos medios
de DC y AB, respectivamente.
(a) Demostrar que R S es perpendicular a ambos
A B yD C .
(b) Determinar RS.
~ --7 c
E l teo rem a d e P itá g o ra s
311
25. Los antiguos griegos conocían el teorema de Pitágoras en la siguiente forma:
El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es
igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.
oDACSR = oD A M O P .
La figura de la izquierda ilustra el teorema; la figura de la derecha se utiliza en la demos­
tración. Las siguientes preguntas, junto con las respuestas del alumno, sugieren una
demostración:
(a) ¿Por qué es ¿.R A B s ¿_CAM?
(b) ¿Por qué es A RAB £ A C A M 1
(c) ¿Por qué es a A R A B = a A C A M I
(d) ¿Es una altura del A R A B igual a AC?
(e) ¿Por qué es a D /fC S # = 2a A RAB?
(f) ¿Es aO A M Q P = 2aA C A M ?
(g) ¿Por qué es aCJ/lCSV? = aU A M Q P ?
(h) ¿Es aU BH G C = aUPQKB?
(i) ¿Es aU A M K B = aU A M Q P + aO PQ KB? ¿Porqué?
PROBLEMA OPTATIVO
El □ ABCD es un cuadrado; H , I, J y K son los puntos medios de sus lados, como se indica
en la figura; y el □ P Q RS es un cuadrado. Deter­
D
J
c
minar la razón
aU P Q R S
aO ABC D
312
R egiones poligonales y sus área s
1 1 -1 .
TRIÁNGULOS ESPECIALES
%E1 teorema de Pitágoras nos da información acerca de algunos triángulos especiales.
T e o re m a 1 1 -1 0 .
El teo rem a del triángulo rectángulo isósceles
En un triángulo rectángulo isósceles, la
hipotenusa es ~Jl veces el largo de un
cateto.
La demostración se deja al alumno.
El recíproco es también cierto.
c= ov"2 .
T e o re m a 1 1 -1 1
Si la base de un triángulo isósceles es
veces el largo de cada uno de los dos
lados congruentes, entonces el ángulo
opuesto a la base es un ángulo recto.
La demostración empieza con la observación de que a2 + a2 = (a^Jl)2.
En la sección 9-7, aprendimos que en un triángulo 30-60-90, el lado opuesto al
ángulo de 30° tiene una longitud igual a la mitad de la longitud de la hipotenusa, y,
también, sabemos que el recíproco es cierto:
El teorema de Pitágoras ahora nos da la relación entre la hipotenusa y el lado más
largo, para un triángulo 30-60-90.
T e o re m a 1 1 -1 2
En un triángulo 30-60-90, el lado más
largo es ^ 3 /2 veces el largo de la
hipotenusa.
T rián g u lo s especiales
313
Dem ostración: Sea c í a longitud de la hipotenusa y sea b la longitud del lad o más
largo. E ntonces, la longitud del lado m ás corto es c/2. P o r el teorem a de Pitágoras,
D espejando b, obtenem os
[Pregunta: ¿Será cierto que en un triángulo 30-60-90, la longitud del lado más
largo es
veces la longitud del lado m ás corto ?]
C o n ju n to de p roblem as 1 1 -4
1. Determinar la longitud de la diagonal de un cuadrado, si la longitud de su lado es 6 ’ 978; V 2 ; V I .
2. Determinar la longitud del lado más largo de un triángulo 30-60-90, si la hipotenusa es 4;
18; 9 8 ;2 V 3 ; 13.
C
3.. El A ABC es equilátero. Si la longitud de cada lado es
8 cm., ¿cuál es la longitud de la altura correspondiente
a AB? ¿Cuál es el área del A ABC?
8
^
8 cm
®
4 . Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son congruentes y la longitud de uno de
los lados congruentes es 15. ¿Cuál es la longitud del tercer lado?
5. En el APQ R, m¿_P = 30, P R = 8 y PQ =
11. Determinar la jo n g itu d de la altura
correspondiente a PQ y el área del A PQR.
P
11
Q
6. La medida de cada uno de los ángulos en la base de un triángulo isósceles es 30, y cada
uno de los dos lados congruentes tiene longitud 14. ¿Cuál es la longitud de la base?
¿Cuál es el área del triángulo?
7. Las longitudes de dos lados de un paralelogramo son 18 y 8, y la medida de un ángulo es
30.
Determínese el área del paralelogramo.
8. Determinar el área de un triángulo isósceles cuyos lados congruentes tienen cada uno
longitud de 20 y cuyos ángulos en la base tienen medidas de 30; de 45; y de 60.
9 . En el AA B C , el ¿.A es un ángulo recto y m¿_B = m L C = 45. Dado que BC = 6,
determínese AB.
314
R egiones poligonales y sus á reas
C
10. Demostrar lo siguiente: Si la hipotenusa
de un triángulo rectángulo isósceles tiene
longitud m, entonces cada uno de los dos
lados congruentes tiene una longitud de
¿mV2.
11. Determinar el área del triángulo isósceles, cada uno de cuyos lados congruentes mide 12
pulgadas de largo, si los ángulos en la base tienen medidas de:
(a) 45
(b) 30
(c) 60
12. Determinar el área de un triángulo isósceles cuya base tiene longitud 12, si los ángulos en
la base tienen medidas de:
(a) 45
(b) 30
(c) 60
13. En el trapecio D ABCD , las medidas
de los ángulos en la base son 45 y 30,
como se indica; BC = 16 y D C = 5.
Determínese
aO ABCD .
14. La altura de un triángulo equilátero es 12. Determinar la longitud de un lado y el área
del triángulo.
15. Demostrar que el área de un triángulo equilátero
S2 '
cuyo lado tiene longitud S, viene dada por — V3.
16. El lado de un triángulo equilátero es igual a la altura de un segundo triángulo equilátero.
¿Cuál es la razón de sus áreas?
17. El área de un triángulo equilátero es 25 V3. Determinar las longitudes de los lados y las
alturas.
.18. U n cuadrado cuya área es 81 tiene su perímetro igual al perímetro de un triángulo
equilátero. ¿Cuál es el área del triángulo?
T riángulos especiales
315
19. En la figura de la derecha, el A ABC
está en el plano E y PA ± E .
PB = BC = 8,
PC = 4V6
y
m¿_BPA = 3 0 .
Determínense las medidas de tantos otros ángulos y segmentos como sea posible. Tam­
bién, determínese aAPBC .
20. En el cubo que se muestra a la derecha, las aristas
son congruentes y son perpendiculares, si se inter­
secan. Si un lado tiene longitud 6, determínense
aO AC G E y aAACF.
* 21. En el A ABC, m /_A = 30, A C = 4 y A B =
3V3. Determínese BC. ¿Es el ¿_C un ángulo
recto? ¿Cómo se sabe?
* 22. En el A PQR, el ¿_Q es obtuso,
m¿_P = 45, PR = 10 y PQ = 3.
Determínense R Q y a A PQR.
+ 23. En la siguiente figura, m¿_ K-PQ-M = 60. El cuadrado Q ABCD está en una cara, con
AB ¡| PQ, y se proyectó en la otra cara, resultando el UEFGH. Si A B = V26, determínese
aUEFGH.
316
R egiones poligonales y sus áreas
* + 24. En la figura de la derecha, m LK -P Q -M
= 45. El cuadrado □ ABCD está en
una cara, con BD PQ , y se proyectó
en la otra cara, resultando el OEFGH.
Si A B = 8, determínese aOEFGH.
** 25. Los planos E y F se intersecan en AB,
formando un ángulo diedro. En F,
<—
*■
..
CD es la mediatriz de AB. También,
CK _L E. Dado que A C _L BC,
m/_ CBK = 30 y BC = 6, determínense
m/_ C -A B -K y atSABK.
«
R epaso de la unidad
1. Completar el siguiente enunciado: Una región poligonal es l a ________de un número
------------------------------ de -------------------------------- en un plano, tales que si dos
cualesquiera de ellas_____________________, s u _____________________ es o bien un
__________ o u n ______________________
2. En la figura, A C X DB. Si D E = 8 y BE — 12,
¿cuál es la razón de a A A C D a a A A B C ?
3. Si la longitud de un lado de un cuadrado es tres veces la longitud de un lado de un segundo
cuadrado, ¿cuántas veces el área del segundo cuadrado será el área del primero ? (Debe
tratarse de resolver este problema sin utilizar fórmula alguna de área.)
R
4. En el A PQ R, P T y R S son dos alturas. Dado
que P R = 13, P S = 5 y m Q = 45, determí­
nese PT.
P
s
o
5. Si la diagonal de un cuadrado mide 18 metros de largo, ¿cuál es la longitud de cada lado ?
¿Cuál es el área del cuadrado ?
R e p a s o d e la u n id a d
317
6. Un triángulo tiene lados que miden 25, 25 y 48. Determinar su área.
7. Una mediana de un triángulo equilátero mide 15 pulgadas de largo. ¿Cuál es el área del
triángulo?
8. El O ABC D es un paralelogramo, CK _L AB
y el ¿_ M es un ángulo recto.
(a) Si BC — 12, D M = 15 y KC
mínense DC y CM.
9, deter­
(b) Si K C = V -24, A K = V Í8 y KB = V 8,
determínense /)Z> y DM.
9. La longitud de un lado de un rombo es 13 y la de una de sus diagonales es 24. Determinar
el área del rombo.
10. En el A ABC, AB = 14, la longitud de la mediana CD es 8 y m /_A D C = 60. Calcular
a AABC.
11. Deducir una fórmula para el área de la figura
de la derecha, en términos de a, b y c.
I
12. Un trapecio tiene lados paralelos de 13 cm. y 21 cm. de longitud. El lado más largo de los
lados no paralelos mide 17 cm. y el más corto es perpendicular a los lados paralelos.
Calcúlese el área del trapecio.
13. En el paralelogramo ¡JABCD, M es el punto medio de AD y K e s el punto medio de AB.
Demuéstrese que
aU A K C M = J ü Q ABCD.
H
G
14. En el cuerpo rectangular representado a la
derecha, AG y E C son diagonales. Si A B = 9,
BF = 1 2 y AD = 8, determínense AG y EC.
15. ¿Cuál es la longitud de la diagonal de un cubo cuya arista tiene longitud 6 ?
F
318
R egiones poligonales y sus áreas
16. En el paralelogramo DABCD, las bisec­
trices de los ángulos ¿_A y ¿ C intersecan a
la diagonal DB en E y F, respectivamente.
Demostrar que las regiones A BCFE y A EFCD
tienen la misma área.
17. Un segmento dado es un lado de un cuadrado y, también, la hipotenusa de un triángulo
rectángulo isósceles. Demuéstrese que el área del cuadrado es cuatro veces el área del
triángulo. (Debe tratarse de resolver este problema sin m ilia r fórmula alguna de área.)
18. El área de un triángulo equilátero es 100\/3. ¿Cuáles son las longitudes de sus lados y
alturas?
19. El \JABC D es un trapecio, con AB || CD.
m /_ A = m /_ B = 60 y A B = 12. También,
BC = 8. Determínese aQABCD.
20. El Q ABCD es un cuadrado. E está en A D y F
está en DC, de modo que EB _LFB. Si a \JABCD
= 256 y a¿\EBF = 200, determínese CF.
21. El O P Q R S es un trapecio, con PQ |[ SR . m/_P
= 45 y /« ¿Lf? = 120. Si PS = 12V2 y PQ = 27,
¿cuál es a n P Q R S ?
22. En un triángulo, dos lados tienen longitudes a y b. La altura correspondiente al tercer
lado divide a éste en segmentos de longitudes c y d, respectivamente. Demuéstrese que
(a + b)(a - b) = (c + d)(c - d).
23. D atos: El D ABC D es un trapecio, con A B || CD; M y K son los puntos medios de AD
y BC, respectivamente; P K || AD.
Demostrar que a& APD = aO PBCD = iaO A B C D .
Repaso de la unidad
319
24. Se dan dos paralelogramos cualesquiera en un plano. Explicar cómo se puede dibujar
una sola recta que divide a cada una de las regiones limitadas por los paralelogramos en
dos regiones de igual área.
PROBLEMA OPTATIVO
La figura de la derecha consiste en cuatro triángulos rectángulos, cuatro rectángulos y
un “agujero” cuadrado de lado una unidad.
(a) Determinar la suma de las
áreas de las ocho regiones.
(No deberá contarse el agu­
jero.)
(b) Determínense lá longitud de
la base, DE, y la de la altura
desde A hasta DE. Calcúlese
la mitad del producto de esos
dos números.
(c) ¿Puede el alumno explicar
por qué los resultados de las
partes (a) y (b) son iguales, a
pesar del agujero?
12 I Semejanza
\
1 2 -1 .
EL CONCEPTO D E SEMEJANZA.
PROPORCIONALIDAD
En térm inos corrientes, d os figuras geom étricas son semejantes, si tienen exactam ente
la m ism a form a, pero no necesariam ente el m ism o tam año. P o r ejem plo, dos circun­
ferencias cualesquiera son sem ejantes; dos cuadrados cualesquiera son sem ejantes;
dos triángulos equiláteros cualesquiera son sem ejantes; y dos segm entos cualesquiera
son semejantes.
O tra m an era de expresar esto es decir que dos figuras son sem ejantes, si una de ellas
es u n m odelo a escala de la otra.
L as m arcas e n las figuras siguientes indican que los dos triángulos deben ser
sem ejantes;
D ebe ser posible “estirar” el p rim er triángulo, duplicando su tam año sin alterar su
form a, p a ra que coincida con el segundo triángulo. El esquem a del “estiram iento”
puede representarse m ediante la correspondencia
ABC*-* A 'B 'C '.
Desde luego, esta correspondencia n o es u n a congruencia, po rq u e la longitud de cada
lado del segundo triángulo es d os veces la del lad o correspondiente del prim ero.
Llam am os semejanzas a las correspondencias de este tipo. M ás adelante, en este
capítulo, se d a rá una definición precisa de una semejanza.
E n ve? de estirar las cosas, las semejanzas tam bién pueden contraerías.
Por
ejem plo, la correspondencia
A 'B 'C '* -* A B C
contrae el segundo triángulo p a ra hacerlo coincidir con el prim ero.
321
322
Sem ejanza
Obsérvese que las longitudes de los lados de nuestros dos triángulos form an dos
tem as de núm eros positivos, a, b, c y a ', b', c'. E ntre estas dos ternas existe una
relación especial: cada núm ero de la segunda te rn a es exactam ente el doble del nú­
m ero correspondiente de la prim era terna. Así,
a ' = 2a,
b' = 2b,
c' = 2c.
O , dicho a la inversa, cada núm ero de la prim era terna es exactam ente la m itad del
núm ero correspondiente de la segunda terna:
a = \a !,
b = \b ',
c — \ c '.
Luego,
a
b
c’
p orque cada una de estas fracciones es igual a 2 ; y
a
b
e
ai ~ b ' ~ c”
p o rq u e cada u n a de estas fracciones es igual a
de esta m an era se dicen ser proporcionales.
L as ternas que están relacionadas
D e fin ic ió n
Sean dad as d os sucesiones de núm eros positivos a, b, c , ... y p , q, r, . . . . Si
a _ b _ c _
p
q
r
entonces las sucesiones a, b, c, ... y p, q, r, ... son proporcionales.
Evidentem ente, esta definición n o depende del o rd en en que se nom bren las dos
sucesiones; pues, si
a
b
e
p~ q~ r
entonces
a
y recíprocam ente.
b
e
E l concepto de sem ejanza. P roporcionalidad
323
T ratarem os la proporcionalidad con los m étodos corrientes del álgebra. La
proporcionalidad m ás fácil de m anejar es la que com prende solam ente cuatro n ú ­
m eros. A m enudo, llam am os a una proporcionalidad de este tipo una proporción.
A continuación, se d a n algunos ejemplos de propiedades que el alum no m ism o
p o d ría descubrir, sabiendo que a, b y p , q so n proporcionales.
Se da:
(1)
P
- =
<?
p o r la definición de proporcionalidad. M ultiplicando am bos m iem bros p o r pq,
obtenem os
(2)
aq = bp.
D ividiendo am bos m iem bros p o r bq, obtenem os
\b - P~q .
(3)
A quí no hay peligro de división p o r 0, pues todos los núm eros de u n a proporcionalidad
tienen que ser positivos. A h o ra, sum ando 1 a am bos m iem bros y simplificando,
obtenem os
(4,
b
q
iMSI®S
. '
R estando 1 de am bos m iem bros de la ecuación (3), obtenem os
(5,
'
f e f e * .
b
q
Éstas son solam ente las m ás útiles de las igualdades que se pueden deducir de la
proporción (1); hay m uchas o tras. N o es necesario que el alum no se aprenda de
m em oria estas ecuaciones. Si tra ta de aprender de m em oria cosas com o éstas, en­
tonces a m enudo se le olvidarán cuando m ás las necesita. L o que debe recordar es el
m étodo algebraico em pleado p ara o btener u n a ecuación de la otra.
D e fin ic ió n
Si a, b y c son núm eros positivos y
a
b
b
c’
entonces b es la media geométrica de a y c.
E s fácil calcular que b = -Jac.
324
Sem ejanza
Conjunto de problemas 1 2 -1
1. Indíquense los números que harán una proporcionalidad de cada uno de los siguientes
enunciados:
<a) 1 = ? = _? = 2 x _
3 6
15
?
1,5'
792
m
n
3960
■
(b)
198
91 ~
?
5 _ !0
4
? _ 28
?
1' - i
495 ~ ? ?
?
5V2
?
0^04
2. Completar cada enunciado:
, > o- 5 15
(a) Si - = — , entonces 9-15 = 5(b)
^ — y >entonces 7a — — i—
(c) Si
^ , entonces 8jc
3. En cada una de las siguientes proporciones, determinar el valor de
«H2
4
Slil
x
4
1
13
4. Completar cada enunciado:
«
(a) Si í = - , e n t o n c e s x = _ J _ - ^ .
3
7
/ i >.• 3
(c) Sl a
12
**
(b) S i f = — , entonces — = — .
7
16
9
12
a.
= 7 2 ’ entoncesT = T •
Jo
4
18’
r
10
18
n
(d) Si 7 = - . entonces - = 7
i
b
d
c
5. Determinar la media geométrica de 4 y 9; de 7 y 14; de 15 y 60.
6. Completar cada enunciado:
(a) Si 3a = 2b, entonces - =
b
7
(b) Si 4/h = 15, entonces - =
5
?
(c) Si 6x 5-9. entonces — =
5
7
y- =
2
y- =
* 3
3x
7
7
■
v —=
7
-------------
<d:)s¡If-B• f
7. Para dos números positivos cualesquiera a y c, la media geométrica es b = Vac, y la
media aritmética es d = \ ( a + c). Construyase una tabla para la media geométrica y la
media aritmética de cada uno de los siguientes pares de números:
<a> 2 V 8
(d) 4 y 9
(b) 3 y 12
(e) 9 y 16
(c) 5y 45
(f)12 y 15
E l concepto de sem ejanza. P roporcionalidad
325
8. Completar cada enunciado:
, ,
5
15
5+12
(a) Si — = — , entonces-------12 36
12
15+ ?
——— .
36
7 98
7
(b) Si - = — , entonces - = ;
9 36
2 36-?
..
a 6 .
a+ b
(c) Si - = - , entonces ———=
b 5
b
,
•
...
a + c 11
a
(d) S i------ = — , entonces - =
e
l
c
a —b
y ——— •
b
n
•
c
y- =.
a
9. Considérense las tres cuaternas siguientes. ¿Qué pares de cuaternas son proporcionales?
(a) 3, 8, 12, 17.
(b) 9, 24, 36, 51.
(c) i , ¥ , 15,
Es fácil ver que las cuaternas (a) y (b) son proporcionales, puesto que cada número de
(b) es tres veces el número correspondiente de (a). Pero comparar (a) y (c) o (b) y (c) no
es sencillo. Una manera eficaz de hacerlo es convertir cada cuaterna en una cuaterna
proporcional que empiece con 1, asi:
(a) 1 ,1 , 4, ¥ .
(b) 1,
4,
ó 1, f , .
(c) l , i4 ________
Contéstese ahora la pregunta.
10. ¿Cuáles de los siguientes pares de temas son proporcionales? Quizás, el alumno desee
emplear el método del problema 9 como ayuda.
(a) 5, 7, 9.
(b) 1, 2, 3.
(c) 2 Í, 3 Í, 4 |.
(d) 8, 15, 17.
(e) 15,30,45.
(f) 16, 30, 34.
(g )i,t,l.
(h) 1,25, 1,75, 2,25
11. Si x/40 = y ¡50 =30/20, ¿cuáles son los valores de x y y t
12. Si 3¡p = 5/g = W26 = q/20, ¿cuáles son los valores d e p ,q y r?
13. ¿Cuáles de los siguientes enunciados son ciertos para todos los valores de las variables
utilizadas, salvo, desde luego, los valores que podrían hacer cero algún término de una
sucesión ?
326
Sem ejanza
+ 14. (a) Considérese la proporcionalidad I = £ = £ = A = i f . Verifiqúese que
2-j-4 + 6 + 8 + 1 8 _ 2
3+ 6+ 9+12 +27 ~ 3 ‘
¿Es apropiado el mismo procedimiento para otra proporcionalidad cualquiera?
Trátese con alguna.
(b) Demuéstrese que si
b
d
= -^= f
h'
entonces
a + c + e + ff a
b + d + f + h = ~b'
[Sugerencia: Sea a/b = k. Entonces, a = kb. También, c = k d ,e = k f g = kh. ¿Es
g ± c + g + g - A,,
b + d + f+ h
1
PR O B LEM A OPTATIVO
Demostrar el siguiente teorem a:
La media geométrica de dos números positivos diferentes es siempre menor que su
media aritmética.
[Sugerencia: Tómese a > b > 0. Muéstrese que Vab < i(a + b). Supóngase primero
que la desigualdad propuesta es válida y dedúzcase de la misma una desigualdad que
sabemos es cierta. Esto le indicará al alumno cómo iniciar la demostración.]
1 2 -2 .
SE M E JA N Z A D E TRIÁNGULOS
A hora, enunciam os la definición de una semejanza entre dos triángulos. Supon­
gam os que se nos da u n a correspondencia ABC*-* A 'B 'C ' entre los triángulos A A B C
y A A 'B 'C ’. C om o se acostum bra, a
designa la longitud del lado opuesto
a A , b designa la longitud del lado
opuesto a B, y así sucesivamente.
Si los ángulos correspondientes son
A
b
congruentes y
a _ b
c
a '~ b ' = ¿ ’
entonces decim os que la correspon­
dencia A B C <-» A 'B 'C ' es u n a seme­
janza, y escribimos
A A B C - A A 'B 'C '.
Sem ejanza de triángulos
D e fin ic ió n
327
,
Sea d ad a u n a correspondencia entre d os triángulos. Si los ángulos correspon­
dientes son congruentes y los lados correspondientes son proporcionales, entonces
la correspondencia se llam a una semejanza y decim os que los triángulos son
semejantes.
L a situación aquí es com o en el caso de la congruencia: A A B C ~ A A 'B 'C ' sig­
nifica no solam ente que los triángulos son semejantes, sino tam bién que la corres­
pondencia particular ABC*-* A 'B 'C ' es u n a semejanza. Así, dad o que A A B C ~
A A 'B 'C ', podem os inm ediatam ente escribir la proporcionalidad
/
a
a'
—
b_
A ''ncL'jie-i CO-,
b'
sin ten er que referirnos a u n a figura. Si las longitudes de los lados no están indicadas,
estas igualdades tom an la form a
A , ..
BC
AC
B ’C
ÁC'
_ XKLCíJL'
AB
A 'B '■
L a definición de sem ejanza exige dos cosas: (1) los ángulos correspondientes deben
ser congruentes, y (2) los lados correspondientes deben ser proporcionales. P ara el
caso de los triángulos, resultará que si se cum ple u n a de las dos condiciones, tam bién
se cum ple la o tra. Es decir, si los ángulos correspondientes so n congruentes, entonces
los lados correspondientes son proporcionales, y recíprocam ente. Estas relaciones se
presentan en el teorem a de semejanza A A A y el teorem a de semejanza LLL, que se
dem ostrarán m ás adelante en este capítulo.
Al exigir las condiciones (1) y (2), nos aseguram os de que existe la sem ejanza, y esto
es m uy conveniente, p orque los triángulos son las únicas figuras para las cuales el
concepto de sem ejanza es m uy sencillo. C onsiderem os, p o r ejemplo, un cuadrado y un
rectán g u lo :
J
L
J
i
1
L
- ......... í :
r
E n la correspondencia A B C D <-» Á B 'C 'D ', los ángulos correspondientes son con­
gruentes, p o rq u e to d o s los ángulos son rectos. Pero los lados correspondientes no son
proporcionales y, desde luego, ninguna de las d os figuras es un m odelo a escala de la
otra.
328
Sem ejanza
P a ra o tro s cuadriláteros, puede cum plirse la condición (2) y no la (1). Considerem os
u n cu adrado y un rom bo :
E n la correspondencia ABCD +-> A'B'C'D ', los lados correspondientes son p ro p o r­
cionales, p ero las figuras tienen form as bien diferentes.
C onjunto de problem as 1 2 -2
1. Dado que A ABC ~ A DEF y que las longitudes de los lados son las indicadas, deter­
mínense x y y.
2. Un trozo de cartulina se recortó, como muestra la figura anterior de la derecha, de manera
que sus bordes interiores y exteriores formaran cuadriláteros semejantes. Si las longitudes
de los lados son las que se indican, determínense los valores de r, s y t.
3. En la figura de la derecha, AA B C ~
A ADE. Si
A D = 5, A E = 6, SC = 1 2
y
A B = 15,
determínense A C y DE.
4. Si A A B C = A A 'B 'C ', ¿podrá deducirse que A A B C ~ A A 'B 'C 'l ¿Porqué?
5. Se sacaron dos copias de un negativo, una natural y la otra ampliada. En la copia
natural, un objeto tiene 5 centímetros de ancho y 6 centímetros de alto. En la copia am­
pliada, el mismo objeto tiene 19 centímetros de ancho. ¿Qué altura tiene el objeto en
la copia ampliada?
Sem ejanza d e trián g u lo s
329
6. Juan puede obtener una buena aproximación de la altura de un árbol mediante el pro­
cedimiento siguiente: Primero, se coloca junto al árbol y hace una señal en él a 1,5 me­
tros del suelo. Entonces, se aleja 40 pasos (30 metros) del árbol, y, volviéndose hacia él,
manteniendo vertical una regla de 15 centímetros frente a sus ojos, la mueve hasta lograr
que la regla le tape exactamente la vista de la parte del árbol que queda por encima de
la señal. Mediante una cuerda, pasando por un agujero en el extremo inferior de la regla,
mide en centímetros la distancia AB, desde su ojo a la regla. Después, resulta ya fácil
calcular la altura del árbol por medio de la fórmula
C'
h =
(a) Explicar por qué la fórmula da la altura del árbol. ¿Cuál es la unidad de medida?
(b) Si la cuerda mide 20 centímetros, ¿cuál es la altura del árbol?
7. Demostrar lo siguiente: Si, en el A A B C , D y E son los puntos medios de A C y BC,
respectivamente, entonces A C D E ~ ACAB.
8. Demostrar que el triángulo cuyos vértices son los puntos medios de los lados de un
triángulo dado es semejante al triángulo dado.
9. Se da la figura de la izquierda, a continuación, con A P M K ~ A KLR. Demuéstrese que
¿-Q £ L M K L .
R
8
10. Se da el trapecio □ ABCD, con AB || CD y A AED ~ A BEC.
Demostrar que A D — BC.
[.Sugerencia: ¿Qué otros triángulos son semejantes?]
330
Sem ejanza
1 2 -3 .
E L TEO REM A FUNDAM ENTAL D E LA PROPORCIONALIDAD
Y SU RECÍPROCO
Considérese u n triángulo A A BC , y u n segm ento de recta transversal D E paralelo
a la base 5 C . Parece que la correspondencia A B C «-* A D E debe ser u n a sem ejanza.
E n efecto, es bastante fácil d em ostrar que
los ángulos correspondientes son congruen­
tes. (¿C óm o se deduce esto?) D em ostrar
que los lados correspondientes son p ro ­
porcionales es u n poco m ás difícil. E m ­
pezam os con el siguiente teorem a, que
dice que los lados inclinados de la figura
de la derecha son proporcionales:
T e o re m a 1 2 - 1 .
El teorem a fundam ental de la proporcionalidad
Si u n a recta paralela a un lado de u n triángulo interseca en puntos distintos a los
o tro s dos lados, entonces determ ina sobre ellos segm entos que son proporcionales
a dichos lados.
O de otro modo: E n el A A B C , sean
D y E p u n to s de A B y A C tales que
D E || BC. Entonces,
A B _ AC
AD ~ AE'
Dem ostración:
E n los triángulos
A A D E y A B D E , tom em os a A D y
B D com o bases, respectivam ente.
Entonces, estos triángulos tienen la
m ism a altu ra. (¿P or qué?) E n con­
secuencia, p o r el teorem a 11-7, la
razó n de sus áreas es igual a la razón
de sus bases y tenem os que
aABD E
( ’
BD
aA AD E ~ A D '
A nálogam ente, en los triángulos
A A D E y A C D E , considerem os a A E
y C E com o bases, respectivam ente.
P uesto que estos triángulos tienen la
m ism a altu ra, concluimos, com o antes,
que
aACD E
CE
(2)
= — •
aAAD E
AE
E l teo rem a fu n d a m e n ta l de la proporcionalidad y su recíproco
331
A hora bien, los triángulos A B D E y A C D E tienen la m ism a base D E. (Véase la
figura a la derecha del segundo enunciado del teorem a.) Tam bién, tienen la m ism a
altu ra, pues D E y B C son paralelas. P o r tan to , en virtud del teorem a 11-6,
(3)
a A B D E = aAC D E.
D e las tres ecuaciones (1), (2) y (3), obtenem os
(4)
AD
AE
Sum ando 1 a am bos m iem bros de la ecuación (4), obtenem os
...
BD + A D ' C E + A E
-----A77
D — = — 777
A E— ’
AB
AC
0 sea’ A D T 7A; E
= TF >
com o queríam os dem ostrar.
El recíproco del teorem a fundam éntal de la proporcionalidad es m ás fácil de
dem ostrar.
T e o re m a 1 2 - 2
Si una recta interseca a dos lados de un triángulo y determ ina sobre dichos lados
segm entos proporcionales a ellos, entonces es paralela al tercer lado.
O de otro modo: Se d a el A A B C . Sea
D un p u n to en tre A y B, y E u n punto
entre A y C. Si
AB
AC
AD
AE’
entonces D E || BC.
Demostración:
Sea B C ' la recta que pasa p o r B, paralela a D E , y que interseca a
A C en C . P o r el teorem a anterior,
AB
AC
AD ‘ A E '
Puesto que, p o r hipótesis,
AB
AC
A D ~” A E ’
tenem os que
A C __ A C
AE
AE’
y A C ' = A C . P or tanto, C = C ' y D E |¡ BC.
332
Sem ejanza
C onjunto de problem as 12—3
1. En el A ABC, D E || AB.
(a) Si A C = 12, CD = 4 y B C = 24, determínese
CE.
(b) Si A C = 15, A D = 3 y B C = 25, determínese
BE.
(c) Si AD = 6, CD = 4 y CE = 1, determínese
BC.
(d) Si CD = 8, /fC = 18 y BE = 6, determínese
CE.
(e) Si AD = CE, C D = 4 y EB = 9, determínese
*4C.
2. Sabiendo que ST || B g en el A PQR, complétense los siguientes enunciados:
R
RP = —1
(a) —
RS
?
*
(c)
(e)
?
RS
RT
SP
RP
?
/?/>
?
3. En cada uno de los siguientes triángulos, se trazó un segmento paralelo a una base y se
indicaron las longitudes de ciertos segmentos. En cada caso, determínese x en términos
de las otras letras.
4. En el A J M K ,m /_ M = m ¿ _ H G K = x.
(a) Si JH = 1, JK = 21 y G K = 10, deter­
mínese MG.
(b) Si H K = MG, M K = 6 y J H = 8, deter­
mínese GK.
(c) Si GK = 7, HK = 2MG y J H mínese JK.
4, deter-
(d) Si KJ = 24, H K = M K y KG = 4, deter­
mínese MK.
T eorem a fu n d a m e n ta l d e la proporcionalidad y su recíproco
333
5. Si los segmentos de la figura de la izquierda, a continuación, tienen las longitudes in­
dicadas, ¿será PQ || A B ? Justifiqúese la respuesta.
6. Si los segmentos de la figura anterior de la derecha tienen las longitudes indicadas,
¿será UV || R 71 Justifiqúese la respuesta.
7. ¿Para cuáles de los siguientes conjuntos de longitudes será FG ü BC1
(a) A B = 14, A F = 6 , A C = 7, AG = 3.
(b) A B = 12, FB = 3, A C = 8, AG = 6.
(c) A F = 6, FB = 5, AG = 9, GC = 8.
(d) A C = 21, GC = 9, ,4 5 = 14, ^ F = 5.
8. Dada la figura de la derecha, con las
propiedades indicadas, determinar todos
los valores de x para los cuales será
DE |! AB.
3x -
9. Demostrar el siguiente teorema:
La bisectriz de un ángulo de un triángulo divide al lado
longitudes son proporcionales a los lados adyacentes a
O de otro modo: En el A ABC, si AD biseca
al L A y D está en BC, entonces
BD BA
CD _ CA
-*—>
__
[Sugerencia: Trácese CE paralela a AD y
demuéstrese que AC = AE.]
10. Utilícese el teorema del problema 9 para contestar las siguientes preguntas:
(a) Las longitudes de los lados de u h triángulo son 15,20 y 28 . ¿Cuáles son las longitudes
de los segmentos en que la bisectriz del ángulo mayor divide al lado opuesto?
Contéstese esta misma pregunta para el caso del ángulo menor.
(b) Las longitudes de los lados de un triángulo son 12, 18 y 24 . Determínense las longi­
tudes de los segmentos en que la bisectriz de cada ángulo divide al lado opuesto.
334
Sem ejanza
11. En la figura de la derecha, P S || AD , SR ¡I DC
RQ || BC. Demuéstrese que PQ || AB.
12. Demostrar el siguiente teorema:
Si tres o más rectas paralelas son cortadas cada una por dos transversales, los seg­
mentos de las transversales determinados por las paralelas son proporcionales.
O de otro modo: Si las transversales T¡ y T2
cortan a las rectas paralelas L t; L 2 y L ¡ en
A , B, C y D, E, F, respectivamente, entonces
AB DE
B C ~ EF '
[Sugerencia: Trácese D C o AF.}
13. Tres solares se extienden desde la calle Central
hasta la calle Sol, como muestra la figura a la
derecha. Los .lindes laterales son segmentos
perpendiculares a la calle Sol. Si el frente total
de los solares en la calle Central mide 120
metros, determínese el frente de cada solar en
dicha calle.
Calle Sol
14. Se dan los planos paralelos E, F y G, intersecados por las transversales Ti y T2, como se
indica en la figura.
_
AB
PQ
Demuestrese que — = — .
BC QR
[Sugerencia: Trácese AR.]
15. Demostrar lo siguiente: Las diagonales de un trapecio se intersecan en un punto tal que
las longitudes de los segmentos de una de las diagonales son proporcionales a las longitudes
de los segmentos correspondientes de la otra diagonal.
E l teo rem a fu n d am en tal de la proporcionalidad y su recíproco
+ 16. Un impresor quiere hacer una tarjeta de 6 pulgadas
de largo y de ancho tal que al doblarla por la mitad,
como se indica en la figura, tenga la misma forma
que antes de hacer el doblez. ¿Cuál deberá ser el
ancho de la tarjeta ?
335
w
* + 17. Demostrar el siguiente teorema:
Dado un triángulo cualquiera A ABC, si las bisectrices de los ángulos interno y
extemo en A intersecan a BC en los puntos D y D', respectivamente, entonces
BD _ CD
B D ' ~ CD'
[Sugerencia: Trácese CE paralela a A D ' y utilícense el teorema 12-1 y el problema 9 de
este Conjunto de problemas.]
* * 18. (a) En el problema 17, si A C = 9, A B = 15 y B C = 16, determínense BD, DC y CD'.
(b) En el problema 17, si m ¿.B A C = 90, A C = 6 y A B = 8 , determínense BD, D C y
CD'.
* * 19. ¿Será válido el teorema del problema 17, si A B < A C ? Póngase un ejemplo y expliqúese.
¿Cómo cambia el teorema si A B = AC7
m * 20. Un triángulo tiene lados de longitudes 6, 12 y 16. Las bisectrices del ángulo interno
mayor y del ángulo externo menor intersecan a la recta que contiene al lado opuesto en
los puntos X y Y, respectivamente. Determínense las distancias de X y de Y al vértice
del ángulo menor del triángulo.
PRO BLEM A OPTATIVO
Se da el A ABC con A B > AC. Las bisectrices de los ángulos interno y externo en A
intersecan a BC en los puntos D y E, respectivamente. Demuéstrese que
V Á D 2 -f A E 2
CD
V A D 2+ A É 1
BD
2
336
Sem ejanza
1 2 -4 .
LOS TEOREM AS FUNDAM ENTALES D E L A SEM EJA N ZA
T e o re m a 1 2 - 3 .
El teorema de la semejanza AAA
Sea d ad a una correspondencia entre dos triángulos. Si los ángulos correspon­
dientes son congruentes, entonces la correspondencia es u n a semejanza.
O de otro modo:
Si L A = L D,
Sea d ad a u n a correspondencia ABC*-* D E F entre dos triángulos.
L E y ¿ _ C s L F , entonces A A B C ~ A DEF.
D em ostración: C om o sabem os p or hipótesis que los ángulos correspondientes son
congruentes, lo que hay q u e d em o strar es que los lados correspondientes son propor­
cionales. Es decir, debem os m o strar que
AB
A C _ BC
DE ~ D F ~ E F '
Verificaremos que la primera de estas igualdades es válida. M ediante la m ism a
dem ostración, con u n sim ple cam bio de notación, se deducirá que la segunda igualdad
tam bién es válida.
Pasam os a la dem ostración de que
AB
AC
D E ~ DF'
Sean E ' y F ' dos puntos de A B y A C , tales que A E ' = D E y A F ' = DF. P o r el p o stu­
lado LA L, tenem os que
A A E 'F ' s A DEF.
P o r tan to , L A E 'F ' £ L E . C om o L E £ L B , se deduce que
L A E T s LB.
C onsideram os dos casos:
( l)
Si £ ' = B, entonces A A E 'F ' y A A B C son el m ism o triángulo. E n este caso,
A A B C = A DEF y
A B _ AC
D E~ DF’
pues cada una de esas fracciones es igual a 1. (¿Por qué?)
L os teo rem as fun d am en tales de la sem ejan za
337
(2)
Si E ' es diferente de B , entonces E 'F ' y B C son paralelas. (¿Por qué ?) E n virtud
del teorem a fundam ental de la p ro porcionalidad, tenem os que
AB
AC
A E '~ AF'~
C om o A E ' = D E y A F ' = DF, se deduce que
AB = AC
DE ~ DF ’
com o queríam os dem ostrar.
D el corolario 9-13.1, recordam os que si dos pares de ángulos correspondientes son
congruentes, entonces los ángulos del tercer p a r tam bién so n congruentes. (La razón,
desde luego, es que e n u n triángulo cualquiera, la sum a de las m edidas de los ángulos
es 180.) E sto nos da él siguiente corolario:
C o ro la rio 1 2 -3 .1 .
El corolario AA
Sea dada una correspondencia entre dos triángulos. Si dos pares de ángulos
correspondientes son congruentes, entonces la correspondencia es una semejanza.
A hora, podem os dem ostrar u n a versión m ás precisa del teorem a fundam ental de la
proporcionalidad, justificando así los com entarios que se hicieron a l com ienzo de
la sección anterior, en la página 330.
C o ro la rio 1 2 -3 .2
Si u n a recta paralela a u n lado de un triángulo interseca a los otros dos lados en
p u n to s distintos, entonces determ ina u n triángulo sem ejante al triángulo dado.
A
B
Demostración: C u an d o las rectas paralelas D E y B C son cortadas p o r la transversal
A B , los ángulos correspondientes son congruentes.
C om o L A = L A , se deduce, del corolario A A, que
A A D E ~ A ABC.
P or tan to ,
¿_ADEg¿ ¿_B.
338
Sem ejanza
C onjunto de problem as 1 2 -4 A
( l.ySe da_ja figura de la derecha, con
A C \\B D .
Demostrar que: (1) AA C E ~ &BDE
(2) A E ■ED — CE ■EB
*
S
,
U
,
R
2. Datos: El \3PQ RS con S R \\PQ y diagonal
SQ \-U y V son los puntos medios de S R y PQ,
respectivamente. Demuéstrese que U S-M Q =
VQ ■ MS.
3. Sea dada la figura de la derecha, con AD = 14,
ED = 12, BC = 1 5 y E B — 4. Determinar AC,
A E yA B .
4. En el A GHK, GK = HK, PR _L GK y PQ J. HK.
Demuéstrese que
GR ■PQ = P R ■HQ.
5. Demostrar el siguiente teorema:
Dos alturas correspondientes cualesquiera de dos triángulos semejantes están en la
misma razón que los lados correspondientes.
6. En el A ABC, ¿_C es un ángulo recto y CD es la
altura correspondiente a la hipotenusa.
(a) Nombrar al menos un ángulo congruente con el
LA C B .
(b) Nombrar un ángulo congruente con el ¿_z.
(c) Nombrar un triángulo semejante .al A ABC.
Indíquese la semejanza entre los dos.
L os teorem as fu n d a m e n ta les d e la sem ejan za
339
T
1. En la figura de la derecha, RQ \_PQ, PQ ± P T
y S T _LPR. Demuéstrese que
ST - RQ = P S ■PQ.
8. Dada la figura de la derecha, expresar x en
términos de a, b y c.
9. En la figura, el □ DEFG es un cuadrado y el
L C es un ángulo recto.
Demuéstrese que: (1) AAD G ~ A GCF.
(2) A AD G ~ A FEB.
(3) A D ■EB = DG ■FE.
(4) DE = V A D ÉB.
10. Demostrar el siguiente teorema:
Las bisectrices de dos ángulos correspondientes cualesquiera de triángulos semejantes están en la misma razón que los lados correspondientes.
*
11. En la figura de la derecha, se da que Z,, \\L 2
y que A P , BQ y CR se intersecan en K.
(a) Nombrar tres pares de triángulos semejantes
e indicar las tres semejanzas.
(b) Demostrar que
AB
PQ
A C BC
P R ~ RQ
12. Se da la figura de la derecha, con las perpen­
diculares indicadas.
(a) Demostrar que A BFC ~ AAD C .
(b) Demostrar que
ADBC
BF = ---------- .
AC
(c) Demostrar que
BE_ __ CD A C , A D BC
AB AC AB ' AC AB'
340
Sem ejanza
* 13. Se da un paralelogramo O ABC D con sus diagonales. Una recta que pasa por B interseca
a ~AC en E, a 1)C en G y a AD en F. Demuéstrese que (1) AAEF ~ A CEB y (2) EB es
la media geométrica de EG y EF.
* -i! 14.En la figura de la derecha, P A ,Q B y R C sofi perpendiculares a AC.
(a) Complétese el siguiente enunciado:
A PAC ~ A_________ y
A ABQ
P
R
A' \ Q >
(b) Indíquese cuál de los siguientes
enunciados es correcto :
- =—
x m
o
x
v .
A
m+ n
m
B
n
c
(c) Indíquese cuál de los siguientes enunciados es correcto:
z
y
z
m
—= •
o
n
(d) Demuéstrese que
1^
x
y
* + 15. “Una persona puede completar una tarea en 6 horas y otra persona la puede completár en
3 horas. Si trabajaran juntos, ¿cuánto tardarían en completar la tarea ?” Este problema
puede resolverse mediante la ecuación
6
3
n
Resuélvase la ecuación geométricamente. [Sugerencia: Véase el problema 14.]
PROBLEMA OPTATIVO
Un problema que ocurre frecuentemente al tratar con circuitos eléctricos es el siguiente.
Tenemos un circuito que consta de dos hilos en paralelo, con resistencias R i y R¡. ¿Cuál
es la resistencia del circuito ?
R.
La resistencia, R , del circuito viene dada por la ecuación
R
R¡ R 2
Resuélvase esta ecuación respecto de R en términos de R¡ y Ri-
L os teorem as fun d am en tales d e la sem ejan za
341
U tilizam os el siguiente esquema para hallar R cuando conocemos R , y R ,- Se marcan
esca.as numéricas sobre tres rayos, com o se m uestra en el diagram a S coloTa ^ a
regla pasando p o r R , y R 2 en las escalas externas y se lee R en la tercera escala.
Por ejemplo, si R , - 1 2 y R 2 = 6, entonces R = 4 ; si R t == 10 y R 2 = 10, entonces R = 5.
^
T
-
y«“
^ y t = 7 a l0 r ^ * ’ dad° ^
= **
= 12; QUe
= 6y
= 3 ; y que
' : É ? S 2 £ ' ;“ p"'9ue“ p o r q u é d d e s c r i , ° “ • « » » « «
El siguiente teorem a será m uy útil, y es fácil de dem ostrar:
T e o re m a 1 2 -4
Si A A B C - A DEF, y A D B F * A C H I, entonces A A B C - A G H I.
E sto se deduce inm ediatam ente de las definiciones de congruencia y semejanza.
342
Sem ejanza
Te o re m a 1 2 - 5 .
El teorema de la semejanza LAL
Sea dada u n a correspondencia entre dos triángulos. Si dos pares de lados
correspondientes so n proporcionales y los ángulos com prendidos son congruentes,
entonces la correspondencia es una semejanza.
D e otro modo:
Se d a n los triángulos A A B C y A D E F , y la correspondencia
ABC*-* DEF.
Si
AB_AC
D E ~ DF
y
entonces
L A S LD ,
A A BC ~ ADEF.
Demostración: (1) Sean E ' y F ' los p u ntos de A B y A C tales que A E ' = D E y A F ' =
DF. P or el postulado LA L, tenem os que
A A E 'F ' s A D E F .
P o r tanto,
AB
AC
AE’~ AFr
(2) D el teorem a 12-2 (el recíproco del teorem a fundam ental de la proporcionalidad),
tenem os que E 'F 1 || BC.
(3) E n consecuencia, L B ^ A E ' F ' . (¿ P o rq u é ? )
(4) C om o L A = L A , del corolario A A se deduce que
A A B C ~ A A E 'F '.
(5) Pero A A E 'F ' s A D E F . P o r consiguiente, en virtud del teorem a 12-4, tenem os
que
A A B C ~ ADEF,
com o queríam os dem ostrar.
Los teo rem as fun d am en tales de la se m ejan za
343
Finalm ente, tenem os una especie de recíproco del teorem a de la semejanza A A A .
T e o re m a 1 2 - 6 .
Teorema de la semejanza LLL
Se d a u n a correspondencia entre dos triángulos. Si los lados correspondientes
son proporcionales, enfonces la correspondencia es una semejanza.
O de otro modo: Se dan los tri­
ángulos A A B C y A DEF, y la
correspondencia
ABC*-* DEF.
Si
AB _ AC
BC
DE ~ DF ~ EF ’
entonces
A A B C - A DEF.
Demostración: C om o acostum bram os en este capítulo, sean E ' y F ' los puntos de
A B y A C tales que A E ' = D E y A F ' = DF.
A firmaciones
1.
2.
3.
AB _ AC
BC
D E~ D F~ EF'
A E ' = D E ; A F = DF.
AB
AC
AE'
AF'
R azones
1.
D ato.
2.
D ato.
3.
Sustitución.
4.
LA £ LA.
4.
Identidad.
5.
A A B C ~ A A E 'F '.
5.
El teorem a de la sem ejanza LAL.
6.
Definición de semejanza.
6.
E 'F '
AE'
BC
AB '
7.
E 'F ' = B C ^ = B C ~ .
AB
AB
7.
Afirmaciones 2 y 6.
8.
E F= BC ~.
AB
8.
A firm ación 1.
9.
E 'F ' = EF.
9.
Afirmaciones 7 y 8.
10.
A A E 'F ' £ A DEF.
10.
Afirm aciones 2 y 9 y teorem a LLL.
11.
A A B C ~ A DEF.
11.
Afirmaciones 5 y 10 y teorem a 12-4.
344
Sem ejanza
Conjunto de problemas 12—4B
1. Para cada uno de los siguientes pares de triángulos, indíquese si los dos triángulos son
semejantes o no y, si lo son, cítese el teorema o la definición que justifica la conclusión.
. Indicar cuáles de los siguientes teoremas de semejanza no tienen un teorema comparable
de congruencia: LAL, LLL, AAA, AA.
3. Demostrar el siguiente teorem a:
Dos medianas correspondientes cualesquiera de dos triángulos semejantes están
en la misma razón que los lados correspondientes.
4. Se da la figura de la derecha, con
AE
EC
BE
ED'
Demostrar que: (1) A AEB ~ ACED,
(2) A B i| DC.
5. Demostrar que si, para dos triángulos isósceles cualesquiera, los ángulos opuestos a la
base son congruentes, entonces los triángulos son semejantes.
Los teo rem as fundam entales de la se m ejan za
345
6. Indíquese si es posible que dos triángulos sean semejantes cuando se cumplen las si­
guientes condiciones:
(a) Dos ángulos de uno de los triángulos tienen medidas de 60 y 70, mientras que dos
ángulos del otro tienen medidas de 50 y 80.
(b) Dos ángulos de uno de los triángulos tienen medidas de 45 y 75, mientras que dos
ángulos del otro tienen medidas de 45 y 60.
(c) Un triángulo tiene un ángulo de medida 40 y dos lados cada uno de longitud 5,
mientras que el otro tiene un ángulo de medida 70 y dos lados cada uno de longitud 8.
(d) Uno de los triángulos tiene lados con longitudes 5, 6 y 9, mientras que el otro tiene un
perímetro de 8.420.000.
7. D ada la figura de la izquierda, a continuación, demuéstrese que PQ || AB.
8. En la figura anterior de la derecha, x , y y z son las longitudes de MB, M A y MC.
(a) ¿Cuál deberá ser la longitud de M D para que los triángulos sean semejantes?
(b) Si z = 2x, ¿deberá ser m -£D = 2m/_A ?
9. En la figura siguiente, A A D C - A PSR, y CD y R S son medianas. Demuéstrese que
A A B C ~ APQ R.
10. Tres rectas que tienen un punto
de intersección común, P, inter­
secan a los planos paralelos E y
F en R y K, S y M, y T y.
H , respectivamente. Si K P = 4,
M P = 6, HP = 7, R P = 10, S P =
15 y TP = 17,5, demuéstrese que
A H M K ~ ATSR.
346
Sem ejanza
11. Si el siguiente enunciado es cierto, demuéstrese que lo es; si es falso, construyase un
contraejemplo:
D ada una correspondencia entre dos triángulos tal que las longitudes de dos lados
de un triángulo son proporcionales a las longitudes de los lados correspondientes del
otro triángulo, y el ángulo opuesto a uno de los lados de un triángulo es congruente
con el ángulo correspondiente del otro, entonces los triángulos son semejantes.
+ 12. En la figura, P Q = PR y PQ IIAC. ¿Cuáles
de los siguientes enunciados son ciertos?
(a )^ =^ .
BC A C
(C)
BC
A.C
RP
PR
(b) — = — .
BC A C
¿ P B Q s L C B A y A PBQ ~ A C B A .
j
(d) — = — , L P B Q % L CBA y APBR ~ A C B A .
BC A C
*
PR O B LEM A OPTATIVO
__
__
<—>
En el A A B C , D es el punto medio de A B y £ es un punto de A C tal que A E > EC. DE
y BC se intersecan en F. Demuéstrese que FB CE = FC EA. [Sugerencia: Trácese la
recta que pasa por C paralela a AB y que interseca a E F en P.]
1 2 -5 .
SEM EJA N ZA S EN LOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
T e o re m a 1 2 - 7
E n u n trián g u lo rectángulo cualquiera, la altu ra correspondiente a la hipotenusa
divide al triángulo en otros dos que son semejantes entre sí y sem ejantes tam bién
al triángulo original.
O de otro m odo: Sea el A A B C u n tri­
ángulo rectángulo con el ángulo recto
en C y sea C D la altura desde C a A B.
Entonces,
A A C D ~ A A B C - A CBD .
(Obsérvese que, en este caso, el nuevo enunciado nos dice m ás que el prim ero, porque
indica qué correspondencias son semejanzas.
Sem ejanzas e n los triá n g u lo s re ctán g u lo s
347
Observese tam bién que es fácil determ inar (y recordar) cuáles son estas correspon­
dencias. E n la correspondencia entre el A A C D y el A AB C , hay que tener A ~ A
po rq u e el L A es co m ú n a los dos triángulos. Tam bién, hay que tener D ^ C , porqué
estos son los vertices que corresponden a los ángulos rectos y, finalmente,’ C ^ B
porque ya C n o puede aparearse con ningún o tro vértice. E sto nos d a A C D *-*A B C
T «® m os u n a situación análoga p a ra el caso de la segunda correspondencia, A B C ~
Dem ostración: Evidentem ente, L d £ L c ,p o rq u e am bos son ángulos rectos; tam bién,
= L A ;. P or ta n t0 ’ en la correspondencia A C D *-*A B C , dos pares de ángulos
A + 3 C °n
eS SOn COngrUentes- P o r eI “ rolario A A , tenem os que A A C D ~
L a dem ostración de la o tra m itad del teorem a es exactam ente la m ism a: Com o
= L c y l - B = L B , el corolario A A nos dice que
A A B C ~ A CBD.
T e o re m a 1 2 - 8
Se d an un triángulo rectángulo y la altu ra correspondiente a la hipotenusa.
(1) La altura es la m edia geom étrica de los segm entos en los cuales dicha altura
divide a la hipotenusa.
(2) C ada cateto es la m edia geom étrica de la hipotenusa y el segm ento de ésta
adyacente al cateto.
° dC — 0 ,m0?0: Sea el A A B C u n ^ á n g u lo rectángulo con su ángulo recto en C
y sea C D la altura correspondiente a la hipotenusa A B . Entonces,
(1)
A D = CD
CD
BD'
(2a)
— = á£
AC
AB'
(2b)
™ =
BC
BA'
Dem ostración:
P or el teorem a 12-7, tenem os las siguientes sem ejanzas:
(1)
A A C D ~ A CBD,
(2a)
A A C D ~ A ABC,
(2b)
A C B D ~ A ABC.
L as igualdades que aparecen en el nuevo enunciado del teorem a describen p ro p o r­
cionalidades p a ra pares de lados correspondientes.
348
Sem ejanza
Conjunto de problemas 12—5
[Nota: Exprésense los números irracionales en forma radical simplificada.]
1.
En la figura de la derecha, CD _LA B y el
O CFD E es un rectángulo. Indíquense
todas las semejanzas para los triángulos
semejantes al A ABC. Recuérdese que
deben establecerse las correspondencias
correctas.
2.
En la figura, CD es la altura correspon­
diente a la hipotenusa del AA B C .
c
(a) D ado que r = 4 y s = 9, determinar h.
(b) Dado que r = 7 y 5 — 28, determinar h.
(c) Dado que r = 9 y s = 3, determinar a.
(d) Dado que r = 7 y s = 21, determinar b.
(e) Dado que r = V3 y í = V Í2 , determinar h, a y b.
3. En la figura, R S es la altura correspondiente a la hipotenusa PQ del A PQR(a) Si m = 27 y n = 3, determinar a , p y q.
‘
R
(b) Si’m = 24 y n = 6, determinar a , p y q.
(c) Si m = V Í8 y n = V8, determ inara, p y q.
(d) Si p — 15 y n = 9, determinar m y q.
(e) Si a = 8 y m = 16, determinar n, p y q.
*
4.
En la figura, A K es la altura correspondiente a la hipotenusa del A ABC.
(a) Si e = 5 y h = 15, determinar/ , b y c.
(b) Si b = 4 V3 y e = 4, determinar / , h y c.
(c) Si c = 6V2 y e = 4, determ inar/, b y h.
(d) Si b = 3 VÍO y / = 13, determinar e, h y c.
(e) Si b = / = 8, determinar e, h y c.
5. La altura correspondiente a la hipotenusa de un triángulo rectángulo la divide en dos
segmentos cuyas longitudes son r y s. Demuéstrese que el área del triángulo es igual al
producto de la media geométrica de /• y í y la media aritmética de r y s.
Á reas de triá n g u lo s sem ejantes
349
6. Determinar el área de un triángulo rectángulo, sabiendo que la altura correspondiente
a la hipotenusa divide a ésta en segmentos de longitudes 9 y 16; de longitudes 7 y 21 .
7. El teorema de Pitágoras. En Ja sección 11-3, dedujimos el teorema de Pitágoras utili­
zando una demostración basada en fónnulas de área. El teorema 12-7 sugiere
otra
sugiere otra
demostración de esta relación importante.
En la figura de la derecha, el ¿_ACB es un
ángulo recto y CD es la altura correspondiente
a la hipotenusa. Por el teorema 12-8, tenemos
que a = V es y b = Ver. Partiendo de estos
datos, complétese la demostración de que
a2 + b2 = c2.
C
A
D
c
B
8. Se da el A ABC con CD como altura correspondiente a la hipotenusa AB. Demostrar que
A C 2 - B C 2 = A D 2 - BD 2.
* 9. Se da la figura de la derecha, en la cual el
U PRH Q es un rectángulo y H P _LGK.
Demuéstrese que
P
K
10. El A A B C e s un triángulo rectángulo y C es el vértice del ángulo recto. La bisectriz del
L B interseca a A C en D, y la bisectriz del ángulo exterior en B interseca a AC en E. Si
BD = 15 y B E = 20, ¿cuáles son las longitudes de los lados del A ABC?
1 2 -6 .
Á R E A S D E TRIÁNGULOS SEM EJA N TES
D ad o
segundo
fácil ver
segundo
u n cuadrado de lado a y u n cu adrado de lad o 2a, es fácil ver que el área del
cu adrado es cuatro veces el área del prim ero, pues (2a)2 = 4a2. (Tam bién es
esto geom étricam ente, sin utilizar fórm ula alguna de área.) E n general, si el
cuadrado tiene lad o ka, entonces la razó n de las áreas es k 2, porque
{ka)2 _ k 2a2
.2
7
— k
,
U n resultado análogo es válido p a ra los triángulos semejantes.
350
Sem ejanza
Teorem a 1 2 -9
Si dos triángulos son sem ejantes, entonces la razón de sus áreas es el cuadrado de
la razón de dos lados correspondientes cualesquiera.
A
D
b
c
Demostración: Se da que A A B C ~ A A 'B 'C '. Sean A , y Á 2 sus áreas. En la notación
habitual, tenem os
a' b' _ c'
a
b
c
Sea k el valor com ún de estas tres fracciones. Q uerem os verificar que
Sean B D y B 'D ' las altu ras desde B y B ' en los dos' triángulos; y sean h y h'
sus longitudes. A hora bien, L A S . L A ', porque A A B C ~ A A 'B 'C '. Tam bién,
L A D B s L A 'D 'B ', p orque am bos son ángulos rectos. D el corolario A A , se de­
duce que
A A B D ~ A A'B'D'..
P o r tanto,
dado que los lados correspondientes son proporcionales. E sto da
b' = kb,
W = kh.
Pero
A ¡ = ib /t,
A 2 = \b 'h '.
P o r tanto,
A 2 - \b 'h ' = \{kb)(kh) = \ k 2bh,
y
com o queríam os dem ostrar.
Á reas d e triá n g u lo s sem ejan tes
351
Conjunto de problemas 1 2 -6
1. ¿Cuál es la razón de las áreas de dos triángulos semejantes cuyos lados más largos tienen
longitudes de 3 centímetros y 4 centímetros, respectivamente?
C'
2. En la figura, /_A £ ¿ A ' y
¿_B\
¿Cuál es la razón de las áreas de los
triángulos, si * = 5 y * ' = 7?; ¿si
y = 4 y y ' = 3V 3?; ¿y si x = 6, y =
2 V 5 y y '= x ?
3. Un lado de uno de dos triángulos semejantes tiene 5 veces el largo del lado correspon­
diente del otro. Si el área del triángulo más pequeño es 6 centímetros cuadrados, ¿cuál
es el área del triángulo mayor?
R
4. En el APQ R, G es el punto medio de P R y H es el
punto medio de QR. ¿Cuál es la razón de aA G H R
a a A P Q R ? ¿ y de aA G H R a aQPQHG?
5. Las áreas de dos triángulos semejantes son 16 y 25. ¿Cuál es la razón de un par de lados
correspondientes ?
6. El área del mayor de dos triángulos semejantes es 9 veces el área del menor. Si un lado
del triángulo menor mide 5 centímetros de largo, ¿cuál es el largo del lado correspon­
diente del triángulo mayor?
7. Las áreas de dos triángulos semejantes son 144 y 81 . Si la base del triángulo mayor es 30,
¿cuál es la base correspondiente del triángulo menor?
8. En elA_ABC, D es un punto de A C tal que A D = 2CD. E está en B C de manera que
D E i| AB. Compárense las áreas de los triángulos A CD E y A ABC. Si a u A B E D = 40
¿cuál es a A A B C ?
9. Los triángulos A A BC y A A 'B 'C ' son
equiláteros. Una altura del A A 'B 'C ' es
de la misma longitud que un lado del
A ABC. Demostrar que
a A A 'B 'C ' = j a A ABC.
10. tQué longitud deberá tener un lado de un triángulo equilátero para que su área sea dos
veces el área de un triángulo equilátero cuyo lado tiene longitud 10?
352
Sem ejanza
11. Se dan los cuadriláteros indicados a la
derecha, con ¿_x £ L x ', L y = L y ’ y
Demuéstrese que
a U P 'Q ’R 'S '
aU P Q R S ■ =
¡< 2
12. Se doblaron dos trozos de alambre de la misma longitud; a uno se le dio la forma de un
cuadrado y al otro la de un triángulo equilátero. ¿Cuál es la razón de las áreas de las
regiones determinadas por los alambres?
13. En el A ABC, ^CD es la altura correspondiente a la base AB. Se desea trazar una recta
L paralela a AB, que determine un triángulo semejante al A A BC, pero cuya área sea
sólo la m itad del área del A ABC. Si L interseca a CD en un punto M y si CD = 1, ¿cuál
es la longitud de CAÍ?
14. El teorema de Pitágoras. El teorema 12-9
proporciona otra manera de demostrar el
teorema de Pitágoras. El alumno deberá
indicar las razones en que se fundan las
afirmaciones de la demostración.
En la figura, el L A C B es un ángulo recto y
CD es la altura correspondiente a la hipo­
tenusa.
1. a A A B C -= a A A C D + aA C B D .
2.
1=
a A A C D , aA C B D
a A ABC ~ aA A B C
3. A AC D ~ A A B C ~ ACBD.
4.
5.
1=
A B 2 = A C 2+ B C 2
o
* 15. Se da el tetraedro ABCD cuya base es el
A ABC. U n piano paralelo a la base
interseca a las caras del tetraedro en el
A RST. D Q es la perpendicular desde D
al plano del A A B C y DQ interseca al
plano paralelo en P.
Demuéstrese que
a A R ST
aAABC
l DP
\D Q
c2 = b2 + a2
L a s razo n es trigonom étricas
353
PR O B LEM A OPTATIVO
C
Un solar triangular tiene lados de longitudes
130 metros, 140 metros y 150 metros, como se
indica en la figura. La longitud de la perpendi­
cular desde una esquina al lado de 140 metros
es 120 metros. Se va a construir una verja per­
pendicular al lado de 140 metros de manera
que el área del sqlar quede dividida en dos
partes iguales. ¿A qué distancia de A sobre
A B deberá construirse la verja?
1 2 -7 .
LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Considérense dos triángulos rectángulos con un p a r de ángulos agudos congruentes.
P or el corolario A A , sabem os que
A A B C ~ A A 'B 'C '. En consecuen­
cia,
a _b _ c
a '~ b '~ 7 ''
D e estas igualdades, es fácil ver que
- =—
b b”
- =c
c 'y
«
c ~ c ''
P o r tanto, las razones a/c, b/c y a/b n o dependen del tamaño del triángulo. U na
vez
que sabem os m /_ A , podem os
determ inar estas razones, las cuales se llam an razones
trigonométricas. (La palab ra trigonometría proviene del griego. U n trigon es un
triángulo, y la trigonom etría es la m edición de triángulos.)
L a razó n a/c se llam a el seno del L A , y escribim os
sen L A —
a
c
Si m L A — r, entonces podem os escribir
a
sen r° = - .
c
E sto tiene sentido, p o rq u e a/c queda determ inado si conocem os el L A o r.
A nálogam ente, b/c se llam a el coseno del L A , y escribimos
. b
eos L A = c
o
eos r = - .
b
c
354
Sem ejanza
L a razó n a/b se llam a la tangente del L A , y escribimos
♦on
a
/
a ------
a
r\
t a n rr° — —
B
eos L A = eos r° =
a
c
A
ta n L A = t a n /-0 = 7 .
o
b
C
P ara algunos ángulos y algunos núm eros r, las razones trigonom étricas son fáciles,
de calcular. Tom em os, p o r ejem plo, el
B
caso de r — 45. C o m o las razones n o
/
dependen del tam año del triángulo,
/ 4S°
podem os utilizar cualquier triángulo
_
/
rectángulo A A B C con u n ángulo de 45°
./
0=1
en A . Entonces, el triángulo es isósceles,
/
co n a = b. T om am os a = b = í . P o r el
/
teorem a de P itágoras, c = y fl , com o
A‘
° ■■— --------indica la figura. A hora, tenem os
fa=1
a
1
ta n L A = t a n 45° = 7 = 7 = 1.
b
I
{Pregunta: Si tom am os a = b = 3, ¿se alterarían las razones trigonom étricas? ¿Por
qué sí o p o r qué no ?)
E l caso e n que r — 30 no ofrece m ayores dificultades.
B
a
A
b
C
£
Sabem os, p o r el teorem a 9-27, que a =
Puesto que el tam año del triángulo no
L as razones trigonom étricas
355
tiene im portancia, podem os elegir cualquier tam año. Asi, p o r ejem plo, tom am os
c = 2, a = 1, com o se m uestra en la figura. El teorem a de Pitágoras nos da
b — c — a = 4 — 1 = 3 . A hora podem os, sin m ás, leer los valores:
sen 30° = - = - ,
c
2
eos 30° = - = — ,
c
2
tan 30° = ^ = 4 = = — •
b
73
3
Advertencia: Obsérvese que hem os utilizado el signo de grados en las expresiones
sen r°, eos r° y ta n r°. L a razó n es que m ás tard e se utilizará o tra unidad de m edida
p a ra ángulos llam ada radián. P ara saber cuál es el seno de u n núm ero, hay que saber
qué unidad se está utilizando.
Conjunto de problemas 1 2 -7
1.
8V5
D ados los triángulos rectángulos anteriores cuyos lados tienen las longitudes indicadas,
determínense las siguientes razones trigonométricas:
(a) sen L A
(b) eos L A
(e) sen L N
(i) eos
LP
(c) tan L A
(d) sen Z D
(f) eos L D
(g) tan ZW
(h) tan L P
(j) eos L N
(le) tan L D
(I) sen L E
Dados los triángulos anteriores cuyos lados tienen las longitudes indicadas, determínense
las siguientes razones trigonométricas:
(a) eos L G
(b) sen L H
(e) tan L T
(d) sen Z W
(e) eos L T
(f) tan L G
(g) sen L X
(h) eos ¿ F
356
S em ejanza
3. En el triángulo rectángulo A ABC, la hipotenusa mide 25 centímetros de largo.
(a) Si sen L A — í , ¿cuál es la longitud de BC?
(b) Si eos L A = 0,60, ¿cuál es tan L A , expresada en forma decimal?
(c) Si tan L A = 3 f, ¿cuáles son las longitudes de AG y BC?
4.
En el AG K M , G M = 30, GK = 50 y eos L G =
0,80. Determinar la altura correspondiente a
G K y el área del AG KM .
5. En el trapecio O ABCD, D C || AB,
AD = 20 y BC = 26. Si sen L A =
0,5, ¿cuál es la altura del trapecio y
cuál es sen L B?
6. Determinar sen 60°, eos 60° y tan 60°.
7. Verificar que sen 30° = eos 60°.
8. ¿Cuál es la relación entre tan 60° y tan 30o?
9. En el A PQR, sen L P = 1 ^ 2 y eos L Q =
Determinar m L R ■
10. En el A ABC, tan L A = V3 y tan L C = V3/3. Determínese m/_B.
11. En el A GHK, tan L H = 2 eos L G = 1. Determinar m¿.K.
12. En el paralelogramo O ABCD , la diagonal BD
es perpendicular a AB- Si A B = 5 y tan L A = 1,
¿cuál es aU A B C D I
13. Demostrar el siguiente teorema:
El seno de un ángulo agudo es igual al coseno de su complemento
14. Demostrar el siguiente teorema:
El producto de ia tangente de un ángulo agudo y la tangente del complemento del
ángulo es 1.
15. Verificar que tan Z.A = ^ 4 4 Para todo ánSul° aSudo
eos L A
16. Verificar que (sen L A ) 2 + (eos L A )2 = 1 para todo ángulo agudo L A .
17. Demostrar que el área de un triángulo equilátero con lado de longitud 1 viene dada
por (sen 60°)(cos 60°).
T rigonom etría nu m érica.
E m pleo d e la s tablas
357
PR O B LEM A OPTATIVO
Demostrar el siguiente teorema:
D ado el A ABC con el L A agudo, entonces a2 = b2 + c2 — 2 be eos L A .
1 2 -8 .
TRIGONOM ETRÍA N U M ÉRICA .
EM PLEO D E LAS TABLAS
E n la sección antérior, calculam os elseno, el coseno y la tangente de 30°, 45° y 60°
Expresam os estas razones en térm inos de
y 7 3 . L os valores de estos núm eros!
con la aproxim ación de una milésima, son:
\ / 2 = 1.414,
-y= = y
= 0,707,
7 3 = 1,732,
±
= 0,577.
= ^
P o r tan to , tenem os
sen 30° = i = 0,500,
_no
73
1.732
eos 30° = — = - j - = 0,866,
tón3°O=^l=í =0’577D e igual m odo, podem os calcular las razones trigonom étricas correspondientes a 45°
y 60 °. A sí, obtenem os la siguiente tabla:
Ángulo
Seno
Coseno
Tangente
30°
45°
60°
0,500
0,707
0,866
0,866
0,707
0,500
0,577
1,000
1,732
358
Sem ejanza
É stas son las razones trigonom étricas que hem os aprendido a calcular. M ediante
m étodos algo m ás com plicados, es posible calcular el seno, el coseno y la tangente de
un ángulo cualquiera con la exactitud que se desee. (D e hecho, los antiguos griegos
construían tablas de este tipo, p o rq u e las necesitaban en sus estudios de astronom ía.)
E n la página 362, el alum no en co n trará u n a ta b la de los valores de las razones trig o ­
nom étricas p ara ángulos cuyas m edidas son grados enteros. L a tabla contiene valores
correctos c o n tres cifras decimales, lo cual es suficiente p a ra nuestro objetivo.
E stas tablas tienen m uchas aplicaciones im portantes. Supongam os, p o r ejemplo,
que u n agrim ensor quiere determ inar la distancia entre dos p u n to s situados a lados
opuestos de u n lago. N o puede m edir B C directam ente, pero puede m edir A B y r.
Supongam os que halla que A B = 305 m etros y r = 32. A hora,
sen r =
BC
AB'
P o r tanto,
B C = A B sen r°.
El agrim ensor busca en su tab la y halla
que sen 32° = 0,530. P o r consiguiente,
B C = 305 x 0,530 = 151,65 m etros.
Los agrim ensores, cuya tarea es resolver problem as de este tipo, utilizan el m étodo
descrito.
E stas tablas pueden em plearse tam bién para otros tipos de mediciones indirectas.
U n a m anera de m edir el asta de una bandera, sin subir a ella, sería m edir u n a cierta
distancia, digam os, la de u n p unto a 100 m etros de la base y, después, m edir el L A
indicado en la figura. A quí, B C representa el asta y m L A = 22. C om o
BC
ta n 2 2 ' - - .
tenem os que
B C = A C ta n 22°
= 100 x 0,404
= 40,4 m etros.
Obsérvese que en los problem as de este tip o , siem pre podem os lo grar que los cálculos
aritm éticos necesarios sean fáciles. C om o podem os m edir cualquier distancia desde
la base del asta, escogemos un p u n to A para el cual A C sea u n núm ero conveniente.
T rigonom etría nu m érica.
E m pleo de las tab las
359
Conjunto de problemas 1 2 -8
1. Utilizando la tabla de razones trigonométricas, indíquese la forma decimal de los
siguientes números:
(a) sen 12°
(b) eos 35°
(c) tan 20”
(d) eos 66°
(e) sen 50°
(f) eos 40:
(g) tan 82°
(h) sen 3°.
(i) tan 3°
(j) eos 60°
2. Determinar >n¿_A, sabiendo que:
(a) sen L A = 0,309.
(c) tan L A = 0,306.
(b) eos L A = 0,208.
(d) eos L A -0 ,9 6 1 .
(e) tan L A = 2,904.
(f) sen L A -0 ,961.
(g) sen L A = 0,454.
(h) eos L A =0,731.
(i) tan L A =8,144.
(j) tan L A = 0,554.
3. Dado que la hipotenusa AB del L A B C mide
20 metros de largo y que m L A = 38, determí­
nense BC y AC.
4 ^ J c f ABC' d
^ Un án8Ul° reCt0’ m L A = A Z y A C = 1. ¿Cuál es la longitud
5. En el A PQR, m L P = 54, P R = 15 y PQ = 18.
Determinar^ la longitud de la altura correspon­
diente a PQ -, a PR.
18
Q
6. En el A GHK, ni L G — 70,, GK — 12 y GH = 20. Determinar la longitud de la altura
correspondiente a G H y el área del AGHK.
7. Calcular el área del &ABC, sabiendo que
A B = 30,
BC = 16 y m¿_B = 47.
8. Determinar las medidas, con la aproximación de un grado, de los ángulos agudos de
triángulo 3-4-5.
*. Determinar las medidas, con la aproximación de un grado, de los ángulos agudos de un
triángulo 8-15-17.
360
Sem ejanza
10. La base de un triángulo isósceles mide 8 metros de largo y el ángulo opuesto a la base es
de 30°. Calcúlense las longitudes de las tres alturas del triángulo.
B
11. En el A ABC, el A C es un ángulo recto y A B = 9. Sabiendo
también que tan ¿_A = 1,111, determinar BC y AC.
12. Búsquese en la tabla de razones trigonométricas los valores de sen 53°, sen 54°, sen 55°
y sen 56°. Expliqúese por qué 0,814 es una buena estimación de sen 54°30'. ¿Cuál sería
una buena estimación de sen 55°30'? 0,811 es una buena estimación de sen 54° 12'.
¿Por qué? Hállese una buena estimación de sen 54°6'. Expliqúese por qué cada uno de
los siguientes números constituye una buena aproximación de la razón correspondiente:
sen 30°30' = 0,508
sen 76°30' = 0,972
sen 30°20' = 0,505
sen 76°45' = 0,973
Este método de hallar valores aproximados que no aparecen explícitamente en la tabla
se llama interpolación.
13. Interpolar en la tabla de razones trigonométricas para obtener estimaciones de los
siguientes números (V. el problema 12):
(a)
sen 37°30'
(b) sen 65°30'
(c) sen 63,5°
(d)
sen 56,3°
(e)
sen 47°20'
(f) sen 45°40'
(g) sen 73,4°
(h)
sen 20,5°
(i)
sen 17°30'
(j) sen 41°15'
14. Interpolar en la tabla de razones trigonométricas para obtener estimaciones de los
siguientes números (V. el problema 12):
(a)
eos 33°30'
(b) eos 36,6°
(c) eos 18°24'
(d) tan 31°30'
(e)
tan 42°20'
(f) eos 61°40'
(g) tan 58,5°
(h) eos 67°15'
(i)
tan 66°30'
(j) tan 63°45'
15. Al hacer mediciones para la construc­
ción de una nueva carretera, un inge­
niero colocó dos postes, A y B, en lados
opuestos de un río para marcar las
posiciones de los lindes de un puente.
Entonces, desde un punto O, a 100 metros de B y tal que O B 1 A B , midió
el ¿-AOB. Si m L A O B = 73, ¿cuál es la
ia a través del río desde A hasta B?
T rigonom etría n u m érica .
E m pleo d e la s tablas
361
16. La escalera de un camión de bomberos puede extenderse hasta una longitud máxima de
68 pies cuando-se levanta a un ángulo máximo de 70°. La base de la escalera se colocó
en el camión, a 7 pies sobre el suelo. ¿Qué altura sobre el suelo podrá alcanzar la
escalera ?
17. Un guardabosques vi-------- ,— .— ■*gila los fuegos desde
"'“•«/ 7°
una torre situada
¿r~
en una colina. Este
Á.
lugar está 800 metros
'
&
más alto que la mayor parte de los terrenos colindantes y la torre mide 25 metros de
alto. Si el guardabosques ve un fuego en una dirección que forma un ángulo de T
con la horizontal, calcúlese, con la aproximación de medio kilómetro, a qué distancia de
la torre está el fuego.
18. Un avión, volando a una altura de 21.000 pies, se está acercando a un aeropuerto (Supón­
gase que el aeropuerto está casi al nivel del mar.) El piloto tiene órdenes de descender
según un ángulo constante de 6° mientras se acerca para el aterrizaje. Calcúlese con la
aproximación de media milla, a qué distancia de fe pista deberá el piloto comenzar a
descender.
19. U na torre alta de radio está sujeta al suelo
mediante cables de retención como el que
representa A B en la figura. Si A está a 80
metros de la base de la torre y si m /_B A C =
59, ¿cuál es la longitud del cable de reten­
ción? ¿A qué distancia del suelo estará
sujeto el cable a la torre? Si m /_ D A C = ll,
¿cuál es la altura DC de la torre ?
PROBLEMA OPTATIVO
En el A ABC, CD es la altura correspondiente a A B y A B — c.
(a) Verificar que la altura h vien e dada por
la fórmula
,
tan a° tan b°
h = c ------------------- .
tan a° + tan b°
(b) Calcular h, dado que c = 68, a = 35 y
¿>= 45.
362
Sem ejanza
T
abla d e
R a z o n e s T r ig o n o m é t r ic a s
/•
sen r
eos r
tan r
r
sen r
eos r
tan r
1°
2°
3o
4°
5o
0,017
0.035
0,052
0.070
0,087
1,000
0.999
0,999
0.998
0.996
0,017
0,035
0.052
0,070
0,087
46°
47°
48°
49°
50°
0,719
0.731
0.743
0.755
0.766
0,695
0,682
0,669
0,656
0,643
1,035
1,072
1,111
1,150
1,192
6o
7°
8°
9°
10°
0,105
0,122
0,139
0,156
0,174
0.995
0.993
0,990
0.988
0,985
0,105
0,123
0,141
0,158
0,176
51°
52°
53°
54°
55°
0.777
0,788
0,799
0,809
0,819
0.629
0.616
0,602
0.588
0,574
1,235
1,280
1,327
1,376
1,428
11°
12°
13°
14°
15°
0,191
0,208
0.225
0,242
0,259
0.982
0.978
0.974
0,970
0.966
0,194
0.213
0,231
0,249
0.268
56°
57°
58°
59°
60°
0,829
0,839
0,848
0.857
0,866
0,559
0,545
0.530
0,515
0.5
1,483
1,540
1,600
1,664
1,732
16°
17°
18°
19°
20°
0,276
0,292
0.309
0,326
0,342
0,961
0,956
0.951
0.946
0.940
0,287
0.306
0,325
0.344
0,364
61°
62°
63°
64°
65°
0,875
0,883
0,891
0,899
0.906
0,485
0,469
0.454
0,438
0,423
1,804
1,881
1,963
2,050
2.145
21°
22°
23°
24°
25°
0,358
0,375
0,391
0.407
0,423
0.934
0,927
0.921
0,914
0,906
0.384
0,404
0,424
0,445
0,466
66°
67°
68°
69°
70°
0.914
0.921
0,927
0,934
0,940
0,407
0.391
0,375
0.358
0.342
2,246
2,356
2,475
2,605
2,747
26°
27°
28°
29°
30°
0.438
0.454
0.469
0,485
0,5
0,899
0,891
0,883
0,875
0.866
0.488
0.510
0,532
0,554
0.577
71°
72°
73°
74°
75°
0.946
0,951
0.956
0.961
0.966
0,326
0.309
0.292
0.276
0.259
2,904
3,078
3,271
3,487
3,732
31°
32°
33°
34°
35°
0.515
0.530
0,545
0.559
0,574
0,857
0.848
0.839
0,829
0,819
0,601
0,625
0,649
0,675
0,700
76°
77°
78°
79°
80°
0.970
0,974
0,978
0.982
0,985
0,242
0,225
0.208
0,191
0.174
4,011
4,331
4,705
5,145
5,671
36°
37°
38°
39°
40°
0,588
0,602
0.616
0,629
0,643
0.809
0,799
0.788
0,777
0,766
0,727
0.754
0.781
0,810
0.839
81°
82°
83°
84°
85°
0.988
0,990
0,993
0,995
0,996
0.156
0.139
0,122
0.105
0,087
6,314
7,115
8,144
9,514
11,430
41°
42°
43°
44°
45°
0,656
0,669
0,682
0,695
0,707
0.755
0.743
0,731
0,719
0.707
0.869
0,900
0,933
0,966
1,
86°
87°
88°
89°
0.998
0,999
0.999
1,000
0.070
0.052
0,035
0.017
14,301
19.081
28,636
57,290
R elaciones e n tre la s razo n es trigonom étricas
1 2-9 .
363
RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
E n un triángulo rectángulo, com o el de
la figura, tenem os que
a2 + b2 = c2.
D ividiendo p o r c2, obtenem os
C om o
sen L A = —
c
tenem os el siguiente teorem a:
y
T e o re m a 1 2 -1 0
Para to d o L A , (sen L A ) 2 + (eos L A ) 2 = 1.
G eneralm ente, denotam os el cu adrado del seno del L A m ediante la expresión
sen L A , que es m as fácil de escribir que (sen L A ) 2, y hacem os lo m ism o en el caso
del coseno del L A . U tilizando esta notación, la igualdad an terio r tom a la form a
sen2 L A + eos2 L A = \
0
sen2 /-° + eos2 r° = 1,
si m L A = r. Las tres igualdades m encionadas dicen lo mismo.
E n el triángulo anterior, leem os que
ta n L A = - .
b
Com o
a _ a/c
b
b /c ’
obtenem os el siguiente teorem a:
T e o re m a 1 2 -1 1
P ara to d o L A,
ta n L A =
sen L A
eos L A '
E n la notación p ara las m edidas e n grados, el enunciado anterior dice que para
todo r,
tan r° =
sen r°
eos r°
364
Sem ejanza
F inalm ente, exam inando el triángulo rectángulo adjunto, observam os que
sen L B = - = eos L A
c
eos L B = - = sen L A .
c
C om o los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son com plem entarios, tenem os
que
s = m L B = 90 — r.
T e o re m a 1 2 -1 2
Si los ángulos L A y L B son com plem entarios, entonces
sen L B = eos L A
y
co£ L B = sen L A .
P a ra las m edidas en grados, estas igualdades to m an la form a
sen(90 - r)° = eos r°,
cos(90 - r)° = sen r°.
L a p alab ra coseno, según se utiliza en estas expresiones, es u n a abreviatura de la
expresión latin a complementi sinus, que significa seno del complemento. D e hecho, el
coseno de u n ángulo es el seno de su com plem ento.
Conjunto de problemas 1 2 -9
Utilícense las relaciones fundamentales enunciadas en los teoremas 12-10,12-11'y 12-12
para demostrar las siguientes identidades:
1.
tan r°
tan s°
sen r eos s
sen s eos r
2. tan r° + tan s° =
3. tan r° =
sen r° eos s° + eos r° sen / '
eos r eos s
sen r
V i - sen2 r ° '
4. 1 — (eos r° — sen r°)2 = 2 sen r° eos r°.
R elaciones e n tre lag razo n es trigonom étricas
5. La cotangente de un ángulo es el recíproco de la tangente de ese ángulo; es decir,
cot L A = ---- í---- .
tan L A
(a) Demostrar que tan(90 — r)° = cot r°.
(b) Demostrar que cot(90 — r)° = tan r°.
, 1 — sen r°
o.
eos r°
7.
g
eos r°
1 + sen r° '
2 sen r° eos r°
eos2 r° — sen2 r°
sen r:
1 — eos r°
2 tan r°
1 — tan2 r ° '
1 + eos r°
sen r°
9. L a secante de un ángulo es el recíproco del coseno de ese ángulo; es decir,
sec L A = — -— .
eos L A
Demuéstrese que tan r° = sen r° sec r°.
10. 1 + tan2 r: = sec2 r°. (V. el problema 9.)
11. sec r° - eos r° = tan r° sen r°. (V. el problema 9.)
,
,2 T
1 — tan2 r"
T ^ = 1 - 2 s e n V °-
, J3 1 — tan r° tan 5° _ eos r° eos 5° - sen r° sen 5°
tan r° + tan s°
sen r° eos s° + eos r° sen j° ’
, , . sec r° 2 eos r°
14.
------------ -- = tan r - cot r°.
sen r
sen r
PROBLEMAS OPTATIVOS
(a) Verificar que
(eos2 r° — sen2 r ')1
eos4 r° - sen1 r°
1 — tan2 r°
1 + tan2 r°'
(b) Verificar que
tan r° , cot r"
; + ----------- - = 1 + tan r° + cot r°
1 - cot r° 1 - tan r°
365
366
Sem ejanza
Repaso de la unidad
1. Completar cada uno de los siguientes enunciados:
(a) Si 5x = 8>-, entonces - = —
x
( b ) S ir
(c) Si — p
(d) Si 48 = I6k, entonces - = .
= — , entonces - = .
l ' entonces4 = f 8 -
2. Las quinas 2, a, 6 ,5 ,b y 5, 10, c, d, 9 son proporcionales. Determínense los valores de a,
b ,c y d.
3. Indicar la media geométrica y la media aritmética de cada uno de los siguientes pares de
números:
(a) 6 y 24
(b) 12 y 20
(c) 7V3 y 2lV 3
(d) 4 i y 6 f
4. Dibujar dos figuras cuyos lados correspondientes sean proporcionales, \
semejantes.
-jue no sean
5. Dibujar dos figuras cuyos ángulos correspondientes sean congruentes, pero que no sean
semejantes.
6. En el A ABC, H K II AB.
(a) Si A H = 3, B K = 5, C K = 12, entonces
(b) Si A C = 14, A H —6, OT = 12, entonces
e c = ___ .
(c) Si C H = 9, A H = 4, H K = 3, entonces
/1B = ____
(d) Si -47/ = 4, CH = BK, BC = 48, entonces
CH = ____
7. Los lados de un triángulo tienen longitudes 5, 8 y 11. U n triángulo semejante tiene un
perímetro de 60. ¿Cuáles son las longitudes de los lados de este triángulo?
8. A C y BD se intersecan en E de manera que AB || CD y A B — 3CD. Si A C —21, calcú­
lense A E y EC.
9. Los lados de un triángulo tienen longitudes 7, 9 y 14. ¿Cuál será el perímetro de un
triángulo semejante cuyo lado mayor tiene longitud 21 ?
R e p a s o de la u n id a d
367
10. En e! A PQR, AB \\QRy~BC |! PR.
(a) Si PA = 4, A R = 6 y PQ = 25, entonces
s e = ____
(b) Si RC = 3, C Q = S y P Q ^ 24, entonces
= ____
(c) Si PA = 2 , A R = 8 y /ÍC = 3, entonces
c e = ____
(d) Si P B = 4, BQ = 5, PR = 15 y /?<?
entonces
= ___ y CQ = _____
18,
11. En la figura, el \Z\AEFD es un paralelogramo.
Hágase una lista de todas las semejanzas entre
triángulos y verifiqúese que
A
A E -A D
B E -C D ~
12. Dada la figura de la izquierda, a continuación, con ¿'_MGÑ = LH G K, G H = 8, GK = 12,
GM — 10 y K N = 3, demuéstrese que /_HKG s
N.
N
13. Se da la figura anterior de la derecha, con las longitudes de los segmentos como se indica.
Demuéstrese que A C biseca al /_ DAB.
14. La altura correspondiente a la hipotenusa de un triángulo rectángulo divide a la hipo­
tenusa en segmentos cuyas longitudes son 15 y 5. Determínense la longitud de la altura y
las longitudes de los catetos del triángulo.
15. Dada la figura indicada a la dere­
cha, determínense los valores de i’,
w, x , y y z.
16. Si A A B C ~ A D/SF y A DEF ~ A ACB, ¿qué clase de triángulo es el A DEF1
368
Sem ejanza
17. Se sirve una bola de tenis desde una altura de 2 metros y pasa justo sobre una red de
1metro de altura. Si la bola se sirvió desde una distancia de 12 metros de la red y va en
línea recta, ¿a qué distancia de la red dará la bola en el piso?
18. Se dan los triángulos APQ R y AS T V
indicados a la derecha. ¿Cuál es la
razón de sus áreas?
19. El A A BC es un triángulo rectángulo isósceles con el L A recto. E y D son puntos a
lados opuestos de AC, y E está del mismo lado que B de AC, de manera que los triángulos
AACD y A BCE son ambos equiláteros. Determínese la razón de las áreas de los
triángulos A ACD y A BCE.
20. Un lado de un triángulo equilátero es congruente con una altura de otro triángulo
equilátero. ¿Cuál es la razón de las áreas de los triángulos?
* 21. Se da la figura de la derecha, con AD, HG y
B C cada uno perpendicular a AB. Demués­
trese que:
(a) A H GB = H B -DG.
(b) A H GC = H B AG.
(c) A H -B C = H B - AD .
* 22. Sean P, Q, R y X puntos tales que tres cualesquiera de ellos no estén alineados y X esté
en el exterior del A PQR. Trácense los segmentos XP, XQ y XR- Sea A un punto cual­
quiera de X R y tracemos una recta que pase por A paralela a P R j_que interseque a XP
en B. Tracemos, además, una recta que pase por B paralela a PQ y que interseque a
X Q en C. Trácese A C y demuéstrese que
& ABC ~ A RPQ-
23. En el A ABC, ¿_B es un ángulo recto,
m L A = 54
Determínense A B y BC.
y
A C = 11.
R e p a s o de la u n id a d
369
24. Determinar, con la aproximación de un grado, las medidas de los ángulos agudos de un
triangulo 7-24-25.
25. Un avión de retropropulsión sale de un aeropuerto y se eleva manteniendo un ángulo
constante de 8o hasta que adquiere una altura de 9.000 metros. ¿A qué distancia hori­
zontal estará entonces del aeropuerto? (Calcúlese con la aproximación de un kilómetro )
PROBLEMA OPTATIVO
Explicar de qué manera dos triángulos pueden tener 5 partes (lados y ángulos) de uno
congruentes con 5 partes del otro y aún así no ser congruentes.
13 I Geometría cartesian;
en el plano
1 3 -1 .
INTRODUCCIÓN
ciencia en la cual
“ 'a “ * *
cuando u n a generación descubre algo en el c a m o o rfel ^ T ' ESt° iIeV3 C0nsi“° ^
co n tin u ar adelante co n nuevas i n v « t . W m p o d e la m a ]tematica, la siguiente puede
errores serios en las cosas que creían c o n o c e r '’ ^
^
^
detenerse a correg'>
désairollada p o r los antiguos
fu ^ e l'c fe a rro ík )1^ u n ^ u e v o ^ ^ o d o ^ H a m a d o
de los griegos,
com o cada una de ellas puede ilum inar a la o tra F ge° m etn a y eI algebra e indica r
breve introducción a la g eo m etría cartesiana- S i n i"
* Un,dad’ ofrecerem os una
de lo que es y cóm o funciona.
’
suficiente p a ra d a r una idea
13-2.
J a
SISTEMAS D E COORDENADAS E N UN PLANO
sabemos, por la v „¡dad j_ cóm 0 ^ J
j ^ ^
g
-1
1
^^pS'Sr^nS^núfc
reCt3’ ^
u n pun to y
H arem os a h o ra lo m ism o en u n
plano. A quí, u n p u n to n o corres­
pon d erá a u n solo núm ero, sino a un
par de núm eros. E l esquem a consiste
en lo siguiente: Prim ero, tom am os
u n a recta X en el p lan o y construi­
m os u n sistem a de coordenadas en X .
E sta recta se llam ará el eje x . Al
d ib u jar figuras, acostum bram os p o ­
n e r una p u n ta de flecha e n el eje *,
p a ra distinguir el sentido positivo
en X .
Vi
-i
-2
-3
^
•— (. 2
DÚm
er°
corresPonde a
o
-3 -2 -1
371
... •
372
G eom etría c a rte s ia n a e n el plano
A hora, elegimos o tra recta Y que sea perpendicular al eje x y pase por el p u n to con
coordenada 0. E n Y, fijamos un sistem a de coordenadas de tal m odo que el punto
cero e n Y sea el p u n to cero en X . (Esto es posible, en virtud del postulado de colo­
cación de la regla.) L a recta Y se llam ará el eje y . C om o anteriorm ente, indicarem os
el sentido positivo con u n a p u n ta de flecha. El punto donde la recta X interseca
a la recta Y se llam a el origen. Éste se denota p o r 0, para recordarnos que es el punto
cero en cada eje.
Y
A hora, podem os representar cual­
4
quier pun to del p lan o m ediante un
3
p ar de núm eros, com o sigue: D ado
2
u n p u n to P, trazam os desde P una
y»
i
perpendicular al eje x . Sea el punto
, t ;m .
M el pie de esta perpendicular y sea x
-4 -3 -2 -1 0
1 2X3 4
X
-1
la co o rdenada de M en la recta X .
-2
E l núm ero .y se llam a la coordenada x
-3
de P . E n la figura, x = 2 \, aproxi­
-4
m adam ente.
L uego, trazam os una perpendicu­
lar al eje y . Sea N el pie de esta
perpendicular y sea y la co o rdenada de N en la recta Y. El ni*-”®'” • v se llam a la
dd, indicamos
coordenada y de P . E n la figura, y = H , aproxim adam ente. P or t .
que P tiene esas coordenadas, escribiendo P (2 \, 1 |).
V eam os o tro s ejem plos. E n la figura,
podem os leer lo siguiente:
Pi(l, 3)
Pii-2,4)
p-l
fP|
-f
p3
9 -
P 3( —4 , 2)
-*— — h— <
-5
P 4 Í-3 , -2 )
P¿- 1, - 4 )
Ps(3, - 2 )
-------- b
- 4 -3
- 2 -]
A .-.
P4
!->
1—2
I
! —3
I
’-Til
Ps*~
í3
I
I
4
5
X
. -5
¿»7(3, 1)
Obsérvese que es esencial el orden e n que se escriben las coordenadas. El punto
de coordenadas (1, 3) es P x, y ese punto es diferente del punto P 7 de coordenadas
(3, 1). Así, las coordenadas de un p u n to form an un p ar ordenado de núm eros reales,
Sistem as d e coordenadas en u n plan o
373
y no se puede determinar dónde está localizado dicho punto, si no se sabe qué número
se considera el primero.
Resumimos todo esto en las siguientes definiciones:
D e fin ic io n e s
p
La coordenada x de un punto P es la
coordenada del pie de la perpendicular
desde P al eje x. La coordenada y del punto
P es la coordenada del pie de la perpen­
dicular desde P al eje y. Si P tiene coorde­
nadas x y y, entonces escribimos P(x,y).
I
I
r - ¡ M
o
Lo mismo que una recta separa al plano en dos partes (cada una de las cuales es un
semiplano), los dos ejes separan al plano en cuatro partes, llamadas cuadrantes. Los
cuatro cuadrantes se designan con números, com o se indica a continuación:
y
II
i
o
X
III
IV
Hemos demostrado que mediante el esquema que acabamos de explicar, todo
punto P determina un par ordenado de números reales. ¿Podremos invertir el
procedimiento? Esto es, ¿determina un punto todo par ordenado (a, b) de números
reales? Es fácil ver que la contestación es “ Sí”.
t
i
i
i
i
O
b------------- - t í
b
1
1
1
1
h
Y
___________ H L _______ _
r1
1
\
En el punto del eje x con coordenada x = a, trazamos una perpendicular. Hacemos
lo mismo en el punto del eje y con coordenada y = b. El punto en que esas perpen­
diculares se intersecan es el punto de coordenadas (a, b).
374
G eom etria c a rte s ia n a e n el plano
A sí, tenem os u n a correspondencia biunívoca entre los puntos de u n plano y los
pares ordenados de núm eros reales. U n a tal correspondencia se llam a u n sistema de
coordenadas. P ara describir un sistema de coordenadas, necesitam os elegir (1) u n a
recta X , com o eje x , (2) una recta Y, com o eje y , (3) un sentido positivo en cada eje.
U na vez efectuadas estas tres elecciones, los sistem as de coordenadas en am bos ejes
q u ed an determ inados y éstos, a su vez, determ inan las coordenadas de to dos los
p u n to s del plano.
E n este libro, nunca hablarem os de dos sistem as de coordenadas al m ism o tiem po.
M ientras considerem os u n solo sistem a de coordenadas, to d o p u n to P determ ina un
p a r ordenado (a, b) y to d o p ar o rdenado (a, b) determ ina u n p unto. P o r consiguiente,
no h ab rá confusión si pasam os p o r alto la diferencia entre puntos y pares de núm eros.
E sto nos perm itirá abreviar, utilizando frases convenientes tales com o “ el p u n to
(2, 3)” y “/> = (3, 4)” .
C onjunto de problem as 1 3-2
1. (a) D ar las coordenadas de cada punto P de
la figura como un par ordenado de
números.
6
(b) ¿Qué ternas hay de puntos alineados?
¿Cuáles son sus coordenadas?
(c) Cuáles puntos están en el cuadrante 1?;
¿cuáles en el cuadrante IV ?
4
p\ o f
i
i
-
p2 ;
2
P9
1 P4
++ H + -+~h - h
—
2
i4
-4 ii-2 V..
l -2
P3 I
l
l I
Pgl- - 4 y - ~ U p s
-
6
-
2. ¿Cuáles son las coordenadas del origen?
3. ¿Cuál es la coordenada y del punto (3, —5)?; ¿del punto (5, —3)?; ¿y del punto
( - 5 ,3 ) ?
4. Considérese el punto C(4, 7). ¿Cuáles son las coordenadas de su proyección, A , sobre
el eje x ? ¿Cuáles son las coordenadas de su proyección, B, sobre el eje .y?
5. Contestar las preguntas del problema 4 para el punto £>(—4, 7).
6. N om brar el punto que es la proyección del punto (0, 6) sobre el eje x .
7. N om brar el punto que es la proyección del punto (—1,0) sobre el eje y.
Sistem as d e coordenadas e n u n plano
375
8. Completar: La coordenada x de todo punto del eje y e s _____________
9. Completar: La coordenada y de todo punto del eje x e s _____________
10. Considérense los puntos
A(5,2),
B(4 , - 3 ) ,
C(—4 ,4 )
y
£ > ( - 3 ,- 5 ) .
(a) Escríbanse sus nombres, A , B, C, D, en el orden (de izquierda a derecha) de sus
proyecciones sobre el eje x.
(b) Nómbrense en el orden (de abajo arriba) de sus proyecciones sobre el eje y.
11. Las rectas por P(5 ,7) que son perpendiculares al eje * y al eje y forman un rectángulo con
los dos ejes. Calcular el perímetro del rectángulo.
12. Determinar el perímetro del rectángulo formado por los ejes y las perpendiculares a los
ejes que pasan por el punto (—4, —2).
13. Seguir las instrucciones del problema 11 para el punto P ( ~ i , 3); para el punto
P ( - V 2 , 1 ) ; para el punto P(a, h), donde a y b son números reales cualesquiera.
14. Indicar en cuáles de los siguientes pares de puntos están éstos más cerca uno del otro:
(3, 0) y (7, 0) ó (3, 0) y ( - 2 , 0)
15. Indicar en cuáles de los siguientes pares de puntos están éstos más cerca uno del otro:
(2 , 1) y ( 1, 2) ó (2, 1) y (2, 0)
16. Un sistema de coordenadas en tres
dimensiones.
Si trazamos una recta perpendicular al
eje x y ai eje y en su punto de inter­
sección, podemos construir un sistema
de coordenadas en el espacio. En este
sistema, tenemos una correspondencia
biunívoca entre los puntos del espacio
y las ternas ordenadas de números
reales.
En la figura, las puntas de (lechas indican
el sentido positivo en cada eje y las líneas de trazos son las perpendiculares que proyectan
cada punto P sobre los ejes respectivos. La proyección de un punto sobre un eje es su
coordenada respecto de ese eje. Así, un punto está completamente determinado por sus
tres coordenadas, y escribimos P(x, y , z).
376
G eom etría c a rte s ia n a en el plano
En la figura de la página anterior, P es un punto en el plano xy, de manera que su proyec­
ción (no indicada) sobre el eje z es 0. Su proyección sobre el eje x es 2 y su proyección
sobre el eje y es 3. Por tanto, podemos escribir P(2, 3, 0).
(a) P , es un punto en el plano yz. Escríbanse sus coordenadas como terna ordenada de
números reales.
(b) Los puntos P2 y P i están ambos en el plano xz. Escríbanse sus coordenadas como
ternas ordenadas.
(c) ¿Cuáles dos puntos están en un plano paralelo al plano x y ? ¿Puede demostrar
esto el alumno? ¿Qué puede observarse en relación con las coordenadas de los dos
puntos ?
17. Si un punto P está descrito por P(x,y, z), ¿en qué eje está cada uno de los siguientes puntos ?
A(0, 3, 0),
B ( - 2, 0, 0), C(0, 0, 5)
18. Si un punto P está descrito por P(x, y, z), ¿en qué plano está cada uno de los siguientes
puntos?
A (4 ,0 ,2 ),
5 ( 3 ,- 2 ,0 ) ,
T(0, 1,5)
19. Al representar un punto en un sistema de
coordenadas en tres dimensiones, se
acostumbra considerar primeramente su
proyección sobre el plano xy. En la figura,
P ' es la proyección de P(2, 3, 4) sobre el
plano xy. ¿Cuáles son las coordenadas de
/>'?
(a) ¿Cuál es la distancia del punto P al
plano xy?; ¿al plano xz?; ¿y al plano
yz?
(b) ¿Cuál es la distancia del punto A al
plano xy?; ¿al plano xz?; ¿y al plano
yz?
20. (a) ¿Cuál es la distancia del punto (3, 2, - 2 ) al plano xy?; ¿al plano xz?; ¿y al plano
yz?
(b) Contestar la parte (a) para el punto (x, y, z), donde x , y, z son números reales cuales­
quiera.
S istem as de coordenadas e n u n plano
377
R e n é D esc a r tes (1 5 9 6 -1 6 5 0 )
Descartes fue un hombre famoso en dos campos completamente separados: entre los filóso­
fos, fue uno de los más grandes y entre los matemáticos, se le consideró un gran matemático.
Su contribución principal a las matemáticas fue el descubrimiento de los sistemas de coorde­
nadas y su aplicación a los problemas de la geometría. Desde entonces, el álgebra y la geome­
tría han laborado juntas, para beneficio de ambas. Los sistemas de coordenadas utilizados
en este libro se conocen con el nombre de sistemas de coordenadas cartesianas, en honor a
su inventor. (La palabra cartesiana viene de Cartesius, que es la forma latina del nombre de
Descartes.) El concepto de las coordenadas fue la primera contribución realmente funda­
mental a la geometría después de la época de los griegos.
Parte del crédito para el descubrimiento de Descartes se le debe dar a Pierre Fermat, quien
tuvo casi las mismas ideas en la misma época. Fermat fue uno de los pocos grandes mate­
máticos aficionados. Fue un alto funcionario del gobierno francés y se dedicaba a las mate­
máticas en su tiempo libre. Escribía cartas a sus amigos relacionadas con sus descubrimientos,
pero nunca publicó éstos en otra forma. El contenido de las cartas de Fermat está ahora
incluido en los libros corrientes sobre la teoría de los números.
El desarrollo del sistema de coordenadas sirvió de fundamento al cálculo infinitesimal,
inventado poco después por Newton y Leibniz. De modo que, Descartes debe haber sido
uno de los hombres en que Newton pensaba cuando dijo que estaba apoyado sobre los
hombros de gigantes.
378
13-3.
G eom etría c artesia n a e n el plano
R EPR ESEN TA C IÓ N D E U N SISTEM A D E COORDENADAS EN
P A P E L CUADRICULADO
A l dibujar figuras referidas a sistem as de coordenadas, es conveniente utilizar papel
cuadriculado, e n el cual están ya im presas rectas equidistantes paralelas a los ejes
coordenados; lo dem ás es p ara dibujarlo nosotros.
y
J
7
P
1
—4
-5
-3
-2
-1
0
-1
1
2
3
4
5
-2
-3
E n la figura anterior, las rectas en rojo representan las rectas tal com o aparecen
corrientem ente im presas en el papel cuadriculado. T odo lo dem ás hay que dibujarlo
a plu m a o co n u n lápiz. Obsérvese que el eje x se m arca x en vez de X ; ésta es la
costum bre. A quí, el sím bolo x no es el nom bre de cosa alguna, es sim plem ente u n
recordatorio de que las coordenadas en este eje se denotan p o r la letra x ; y análoga­
m ente p a ra el eje y.
Se recordará que, antes de com enzar el estudio de los sistem as de coordenadas,
estábam os en libertad de dibujar figuras utilizando cualquier escala que deseáram os.
P o r ejemplo, cada una de las siguientes figuras es u n a buena im agen de u n cuadrado
de lado 1:
J
i
1
j
L
r
i1
i
J
L
i
r
■ r
i
2__
r
D el m ism o m odo y, p o r la m ism a razón, podem os representar la escala que queram os
R epresentación de u n sistem a d e coordenadas
379
en u n papel cuadriculado. P o r ejem plo, pudim os haber m arcado la m ism a ho ja de
papel an terio r a s í:
y
2
P
1
-3
-2
0
-1
2
1
3
-1
i
-2
E n virtud de esta libertad de elección, es absolutam ente necesario decir cuál hacem os,
m arcando con núm eros los ejes p a ra indicar la escala. Si no hacem os esto en la
figura anterior, no se p odría decir si P representa el p u n to (1, 1) o el punto (2, 2) o el
p u n to (n, n).
Repitiendo: P a ra definir un sistem a de coordenadas en u n papel cuadriculado,
necesitam os dibujar los ejes e indicar la escala.
N ótese que podem os dibujar los ejes en cualquiera de las siguientes (u otras)
posiciones:
y
y
Ninguna de estas figuras es lógicamente incorrecta. Sin em bargo, resulta m ás fácil leer
gráficas cualesquiera, si se conviene en que el eje x será horizontal, con coordenadas en
orden creciente de izquierda a derecha, y el eje y será vertical, con coordenadas en
orden creciente de abajo arriba.
380
G eom etría cartesia n a e n e l plano
Una advertencia fin a l: Probablem ente, el alum no h a visto m uchas gráficas en las
cuales las escalas horizontal y vertical han sido elegidas independientem ente u n a de
otra.
P o r ejem plo, si se quiere dibujar u n a gráfica para representar cóm o el precio del
queso (en S por kilogram o) aum entó desde el año 1900 h a sta el 1960. no es necesa­
rio que h ay a alguna relación p articu lar entre las escalas del eje horizontal y del ver­
tical. (L as escalas m iden diferentes clases de cosas.)
P o r otra.,parte, cuando dibujam os u n sistem a de coordenadas para tra z a r u n a figura,
ésta se deform ará, si las escalas en los ejes son diferentes. La razón es que las escalas
se utilizan p a ra m edir distancias.
E n la figura, las escalas nos dicen que P Q = 2 y P R = 2. P o r tan to , el A P Q R es
isósceles. Pero, desde luego, no parece isósceles y los ángulos L Q y L R ciertam ente
n o parecen congruentes. E sto quiere decir que hem os trazado u n a figura deform ada.
P a ra evitar estas deform aciones, generalm ente utilizam os la m ism a escala en am bos
ejes.
-
R epresentación d e u n sistem a d e coordenadas
381
Conjunto de problemas 1 3-3
[Nota: En este conjunto de problemas, se verá que el papel cuadriculado servirá de gran ayuda,
aunque no es esencial. En los problemas del 1 al 12, trácese un sistema de ejes para cada uno.]
1. Elegir una escala apropiada en un sistema de ejes y situar cada uno de los siguientes
puntos: A(2, 3), 3(3, 2), C(4, —3), £>(—3, —4). ¿En qué cuadrante está cada punto?
2. Situar cada uno de los siguientes puntos: A(0, 0), 5(5, 0), C(5, 3), D(0, 3). Calcular:
(a) el perímetro del HABCD.
(b) aU ABCD .
3. Situar cada uno de los siguientes puntos: P(0, 0), Q(3, 0), 5(0, 4). Calcular:
(a) el perímetro del APQR.
(b) a&PQR.
4. Situar cada uno de los siguientes puntos: F(0, 0), G(8, 0), H(8, - 6 ) .
(a) Calcular aAFG H .
(b) ¿Cuál es la longitud de F H ?
5. El A A B C tiene sus vértices en los puntos (0, 1), (0, 6) y (12, I). Calcular a A A B C y el
perímetro del A ABC.
6. Situar cada uno de los siguientes puntos: A( 1, 0), 5(7, 0), C(10, 4), D(4, 4). Calcular el
perímetro y el área del □ ABCD.
7. ¿Cuál es el área de un triángulo cuyos vértices son los puntos (0, 5), (4, 0) y (—4, 0)?
8. Situar cada uno de los ju n to s K ( - 2 , 5), M ( - 2, - 3 ) , L(4, - 3 ) . Calcular a AKM L.
¿Cual es la longitud de KL ?
9. Un triángulo tiene sus vértices en (0, 0), (0, 12) y (10, 0). Determinar la longitud de la
mediana correspondiente al lado más pequeño.
10. Situar cada uno de los puntos A ( - 3, - 4 ) , B ( - 3,6), C (4,6). Determinar las coordenadas
de un punto D tal que el [2ABCD sea un rectángulo.
11. Los vértices de un triángulo son los puntos (1, 8), (4, 1) y (7, 1). Calcular el área del
triangulo.
12. Los extremos de la base de un triángulo isósceles son los puntos (3, 0) y ( - 3 , 0). Deter­
minar las coordenadas del otro vértice, de manera que el área del triángulo sea 15.
382
G eom etria c artesia n a e n e l plano
13. “¿Cuándo no es un cuadrilátero un cuadrado?” . En las siguientes figuras, la escala
en cada eje x es, a propósito, diferente de la escala en el eje y correspondiente, para
deformar intencionadamente la figura. ¿Cuál es, en cada caso, la figura en la cual se
pensaba?
14. Se da la siguiente figura dé la izquierda. Determinar el perímetro del HABCD.
Z
15. En el problema 14, ¿cuál es la longitud de la proyección de A C sobre el plano x y l
16. Se da la figura anterior de la derecha, tal como está marcada. Determinar BE.
17. Dibújese un sistema de coordenadas en tres dimensiones. Elíjase la misma escala en los
ejes y y z. En el eje x (el que se dirige hacia uno), utilícese una escala que sea alrededor
de 0,7 de la escala e n jo s otros dos ejes. Localícese el punto A ( 1, 3, 2) y el punto
B( 1 ,- 3 , 2). Trácese AB. ¿Cuál es su longitud?
[Indicación: Véase el problema 19 del Conjunto de problemas 13-2.]
18. Dibujar la figura del problema 19 del Conjunto de problemas 13-2, pero, en vez de
proyectar P sobre el plano x y primero,
(a) proyéctese P sobre el plano yz,
(b) proyéctese P sobre el plano xz.
L a p endiente d e u n a recta n o vertical
1 3-4.
383
L A PE N D IE N T E D E UNA RECTA NO VERTICAL
El eje * y todas las rectas paralelas al m ism o, se llam an rectas horizontales. El eje
y y todas las rectas paralelas al m ism o, se llam an rectas verticales.
Y
o
ii
r
O
b
*
h
E n la figura, es fácil ver que todos los p u n to s de la recta horizontal L¡ tienen la
m ism a coordenada y , igual a a, puesto que el p u n to (0, a) es el pie de todas las per­
pendiculares a l eje y desde p u n to s de L ¡. A nálogam ente, todos los puntos de la recta
vertical L z tienen la m ism a coordenada x , igual a b. D esde luego, u n segm ento se
llam a horizontal, si la recta que lo contiene es h o rizo n tal; y u n segm ento se llama
vertical, si la recta que lo contiene es vertical.
L a idea de pendiente de un segm ento está insinuada p o r cada u n a de las siguientes
figuras:
L a pendiente del p rim er segm ento es 2 ; la pendiente del segundo es - 2 ; la pendiente
del tercero es i ; y la pendiente del cu arto es 0. M ás precisam ente:
D e fin ic ió n
Si P¡ = ( x ¡ , y t) y P2 = ( x 2, y 2)
y P XP2 n o es vertical, entonces
la pendiente de P¡P2 es
m = y t-y i
X2 - X i
384
G eom etria c artesia n a e n el plano
A lgunas propiedades referentes a pendientes^e deducen fácilm ente de la definición:
(1) Si los p u n to s P , y P 2 se intercam bian, la pendiente no varía, porque
y i - y i _ y i - y i ^ - ( y i - yi)
X¡-X2
X2 - X j
- ( X ! - X 2) '
C o n o tras p alabras, la pendiente de u n segm ento n o depende del orden en que se
n o m b ren sus extremos.
(2) P o r o tra p arte, es indispensable no m b rar las coordenadas en el m ism o o rd en en
el n u m e ra d o r y e n el denom inador. L a fórm ula
no es co rrecta p a ra la pendiente.
(3) P a ra segm entos no verticales, la fórm ula de la pendiente siem pre nos da u n
núm ero , p orque el denom inador x 2 — x x n o puede ser cero.
(4) P a ra segm entos verticales, la fórm ula de la pendiente nunca nos da u n núm ero,
pues e n este caso, el denom inador x 2 — x¡ es igual a 0. E n realidad, u n segmento
vertical no tiene pendiente.
(5) Si u n segm ento es h o rizontal, su pendiente es 0. (El num erador y 2 - y¡ es 0,
y el d enom inador x 2 — x ¡ es distinto de 0.)
(6) Si u n segm ento no es horizontal (o vertical), entonces su pendiente no es 0.
(7) Si u n segm ento asciende de izquierda a derecha, su pendiente es positiva. Si el
segm ento desciende de izquierda a derecha, su pendiente es negativa. (V. la siguiente
figura de la izquierda.)
O
x
x2
O
x
m > 0.
Si u n segm ento tiene pendiente positiva, entonces dicha pendiente es la razón de dos
distancias, com o e n la figura an terior de la derecha. A quí, p o r ser x , < x 2 y
< y 2,
tenem os P 1R = x 2 - x ¡ y R P 2 = y 2 - y t . (¿P o r qué?) E n consecuencia,
L a p e n d ie n te d e u n a re c ta n o vertical
385
Si u n segm ento tiene pendiente negativa, entonces dicha pendiente es el negativo
de la razón de dos distancias.
A quí, p o r ser x l < x 2 y y 2 < y , , tenem os
P ¡R = x 2
X |,
com o anteriorm ente, pero
RP2 = y y - y 2 = ~ (y2 - y ,) .
P or tanto,
X2 -
X ,
P y R
Estas ideas relacionan las pendientes con la geom etría, y hacen fácil ver p o r qué el
siguiente teorem a es c ie rto :
T e o re m a 1 3-1
Todos los segm entos de una recta n o vertical tienen la m ism a pendiente.
Dem ostración: Si la recta es horizontal, esta afirm ación es evidente, po rq u e todos los
segm entos en la recta tienen pendiente igual a 0. Los casos interesantes están indicados
p o r las siguientes figuras:
C a s o 1.
386
G eom etría cartesia n a e n el plano
E n el caso 1, tenem os
A P x R P i ~ A P \R ’P'2.
Luego,
RPi
p \R
____
R'P'2
P'xR1’
RP2
R'P'i
P ¡R
P 'iR 1'
P or ta n to , P \F 2 y P [P ¡ tienen la m ism a pendiente.
E n el caso 2, tam bién tenem os
A P iR P 2 ~ A P[R'P'2.
Así, obtenem os, com o anteriorm ente,
R P 2 _ R 'P '2
P ,R
P'tR'
Este resultado es el que deseábam os, pues las pendientes de los dos segm entos son los
negativos de esas dos razones.
U n a vez establecida la validez del teorem a 13-1, podem os hablar no solam ente de
las pendientes de los segmentos, sino tam bién de las pendientes de las rectas.
D e fin ic ió n
L a pendiente de una recta no vertical es el núm ero que es igual, a la pendiente de
to d o segm ento de la recta.
Así, en la figura, la pendiente de L es
' 1 —3 _
2
5 -2
3
C ualquier o tro segmento de la m ism a recta nos daría la misma pendiente.
L a pendiente de u n a recta n o vertical
387
Conjunto de problemas 13—4
1. Contestar para cada figura las preguntas siguientes:
/
y
A
1 2
3 4
1
5
2
3
4
5
I
(a) ¿Cuáles son las coordenadas de A, B y C?
(b) ¿Cuánto es BC? ¿Cuánto es A B ?
(c) ¿Cuál es la pendiente de AC?
2. Dibujar un sistema de ejes coordenados. Situar cuatro puntos A, B, C, D, que tengan 3
como coordenada x. Situar cuatro puntos P, Q, R, S , que tengan —2 como coordenada y.
Márquese cada punto con sus coordenadas.
3. Obtener la pendiente de cada segmento indicado en la siguiente figura:
Y
F
1 2
3
4
5
6
7
8
H
9
10 11 12 13 14 15 16 1 7 1 8
19
4. ¿Qué pares de puntos dados a continuación determinarán rectas horizontales? ¿Cuáles,
rectas verticales?
(b) (2, 4)
(a) (5, 7) y ( - 3 , 7 )
y ( 2 ,- 1 )
(c) (5, 2) y ( - 3 , 5)
(d) (0, - 1 )
y
(e) (3, 3)
(f) (4, 7)
y
y (3,0)
y (c, b)
y ( - 3 , 3)
(g) (0, 0) y (0, 5)
(h) (0, 6)
(i) (a, b) y
(j) (a, b)
(a, c)
( 4 ,- D
( - 2 , 6)
5. Calcular la pendiente de la recta que contiene cáda par de puntos dado a continuación:
(a) (0,0)
y (8,4)
(b) (10, 5)
y (6, 8)
388
G eom etría c a rte s ia n a e n el plano
(c) (2, - 2 )
y (4, 2)
(e) ( - 2 , 0) y (0, 6)
(d) (0, 3)
y ( - 2 , 3)
(f) (15, 6) y ( - 2 , 23)
6. Calcular la pendiente de la recta determinada por cada par de puntos dado a continuación:
(a) ( - 5 , 7)
y (3, - 8 )
(b) (4, i )
y (-¥ , ¥)
(c) (5V2, 6V3)
y ( V s , VÍ2)
(d) (63, 49)
y ( - 7 ,9 )
(e) (2a, 3b)
y ( - a , b)
(f) (0, n)
y (n, 0)
7. Los vértices de un triángulo son los puntos A ( - 2, 3), 5(5, - 4 ) y C (l, 8). Calcular la
pendiente de cada lado.
8. Los vértices de un paralelogramo son los puntos i?(l, 4), 5(3, 2), 2"(4, 6) y V(2, 8). Deter­
minar la pendiente de cada lado.
9. Determinar la pendiente de cada lado de un cuadrilátero cuyos vértices son los puntos
-4(5, 6), 5(13, 6), C (ll, 2) y D( 1, 2). ¿Puede decirse qué clase de cuadrilátero es?
10. U n cuadrilátero tiene como vértices los puntos M(a, b), N(c, b), 0 (c + d, e), P(a + d, e).
H allar la pendiente de cada lado.
11. C es el punto medio de AB, A es el punto ( - 3 , - 2 ) y B es el punto (2, 8). ¿Cuál es la
pendiente de BC1
12. Se dan los puntos D(—4, 6), E( 1, 1) y F(4, —6). Determinar las pendientes de D E y EF.
¿Están alineados D, E y F? ¿Por qué?
13. Dibújese un sistema de coordenadas y márquese el punto (2,0). Luego, márquense otros
tres puntos cuyas coordenadas x sean mayores que 0 y menores que 8, y que estén en
la recta de pendiente igual a 2, que pasa por (2, 0).
14. U na recta que tiene pendiente —1 contiene al punto (—2, 5). ¿Cuál es la coordenada y
de un punto de la recta cuya coordenada x es 8 ?
15. Dibújese un sistema de coordenadas. Trácese la recta que pasa por el origen y por el
punto (93000000, 62000000). Nómbrense tres puntos de esta recta cuyas coordenadas x
sean menores que 10.
16. Dibújese un sistema de coordenadas y márquese el punto (—3, 1). Luego, márquense
otros tres puntos cuyas coordenadas x sean mayores que 0 y menores que 10, y que estén
en la recta de pendiente igual a —y , que pasa por (—3, 1).
R ectas paralelas y perpendiculares
1 3 -5 .
389
RECTAS PA R A L E L A S Y PER PE N D IC U LA R ES
M ediante las pendientes, podem os decir con bastante facilidad si dos rectas no
verticales son paralelas.
(1) Si dos rectas no verticales son paralelas, entonces tienen la m ism a pendiente.
E sto se deduce de que
A P 1R P 2 ~ A P [R 'P '2.
(2)
Si d os rectas distintas n o verticales se intersecan, entonces sus pendientes son
distintas.
Si las dos rectas se intersecan en P l} com o en la figura, entonces sus pendientes son
y2 - y i
m= •
x2- x 1
y3
yi
m ', p o rq u e los denom inadores son los mismos y los num eradores son
A quí, m
distintos.
C om binando estos dos enunciados, obtenem os el siguiente teorem a:
T e o re m a 1 3 -2
D os rectas n o verticales son paralelas, si, y solam ente si, sus pendientes son iguales.
390
G eom etría c artesia n a e n e l plano
Supongam os a h o ra que tenem os dos
rectas perpendiculares que se inter­
secan e n P. Supongam os, tam bién,
que ninguna de ellas es vertical.
T om am os u n p u n to Q, e n u n a de
las rectas, encim a y a la derecha de P,
y com pletam os el triángulo rectángulo
A P R Q . Luego, tom am os u n p unto Q ',
en la o tra recta, encim a y a la izquierda
de P , de m anera que P Q ' — P Q . C om ­
pletam os el triángulo rectángulo A Q 'R'P.
D ebem os ah o ra com probar si se justifican las m arcas en la figura, Éstas nos dicen
que
A P R Q £ A Q 'R'P.
P o r tanto.
RQ
R 'P
P R ~ Q 'R ' '
Pero la pendiente de L es
m
RQ
PR'
y la pendiente de L ' es
P o r consiguiente,
E s decir, para dos rectas perpendiculares, la pendiente de una es el recíproco negativo
de la pendiente de la otra.
L a m ism a construcción vale a la inversa.
Sabiendo que m ' = —l/m , construim os el A P R Q com o anteriorm ente. Entonces,
tom am os R ' tal que R 'P = R Q , y com pletam os el triángulo rectángulo A Q 'R'P,
R e ctas paralelas y perpendiculares
391
con Q ' en L '. Luego, tenem os
A P R Q s A Q 'R'P ,
com o antes. P o r tan to , los ángulos ¿ 1 y ¿ 2 son com plem entarios, y L ± L '.
Resum im os esta discusión en el siguiente teorem a:
T e o re m a 1 3 - 3
D os rectas no verticales son perpendiculares, si, y solam ente si, la pendiente de u n a
de ellas es el recíproco negativo de la pendiente de la otra.
N inguno de los dos últim os teorem as se aplica al caso en que una de las dos rectas
dadas es vertical. Pero este caso es sum am ente simple. Si L es una recta vertical,
entonces las rectas paralelas a L son sencillam ente otras rectas verticales. Y las
rectas perpendiculares a una recta vertical son las horizontales.
C onjunto de problem as 1 3-5
1. Las rectas L¡, L 2, L¡ y
tienen pendientes f , —4, —1t, i , respectivamente. ¿Qué
pares de rectas son perpendiculares?
2. Considérenselos puntos A ( - 1, 5), 5(5, 1), C(6, - 2 ) , D(0, 2). Calcúlense las pendientes
de AB, BC, CD y AD. ¿Es el \3ABCD un paralelogramo ?
3. Sin marcar los puntos, determinar cuáles de los cuadriláteros cuyos vértices se dan a
continuación son paralelogramos:
(a) A (—2, - 2 ) , B(4, 2), C(9, 1), D(3, - 3 ) .
(b) K ( ~ 5, - 2 ) , ¿ ( - 4 , 2), M(4, 6), N(3, 1).
(c) 5(5, 6), 0(7, - 3 ) , R ( - 2 , - 1 2 ) , S ( - 4 , - 3 ) .
4. Los vértices de un triángulo son ,4(16, 0), 5(9, 2) y C(0, 0).
(a) ¿Cuáles son las pendientes de sus lados?
(b) ¿Cuáles son las pendientes de sus alturas ?
5. Se dan los puntos £ ( —4,0), <7(3, 5) y AY8, —2). Verificar que el producto de la pendiente
de EG y la de GK es —1.
6. Demostrar que el cuadrilátero de vértices A ( - 2, 2), 5(2, - 2 ) , C(4, 2) y £>(2, 4) es un
trapecio con diagonales perpendiculares.
7. Se dan los.puntos W(0, 3), X((>, 4), >'(12, - 3 ) y Z ( - 2 , -1 2 ). ¿Cuáles dos rectas deter­
minadas por esos puntos son perpendiculares? Justifiqúese la respuesta.
392
G eom etría c artesian a e n el plano
8. Cuatro puntos tomados dos a dos determinan seis segmentos. Para cada conjunto de
cuatro puntos dado a continuación, averiguar qué segmentos son paralelos. [ ¡Advertencia!
Dos segmentos que tienen la misma pendiente no son necesariamente paralelos.]
(a) AQ , 6), 0(8, 2), C(5, 9), D(6, - 1 ) .
(b) P(0, - 8 ) , <2(3, - 2 ) , R(4, 0), 5(7, 6).
9. Demostrar que el triángulo cuyos vértices son H (—12, 1), Á'(9, 3) y M {\\, —18) es un
triángulo rectángulo.
10. Demostrar que la recta que pasa por los puntos (3n, 0) y (0, In) es paralela a la que pasa
por los puntos (0, 21«) y (9n, 0).
11. Si la recta que contiene a los puntos (—8, ni) y (2, 1) es paralela a la recta que contiene
a los puntos (II, —1) y (7, m + 1), ¿cuál debe ser el valor de m i
12. ¿Para qué valores de k será la recta determinada por los puntos (k, 3) y (—2, 1) paralela
a la que pasa por (5, k) y (1, 0)?
13. En el problema 12, ¿para qué valores de k serán perpendiculares las dos rectas?
14. Se dan los puntos P (l, 2), Q(5, —6) y R(b, b). Determinar el valor de b tal que el
sea un ángulo recto.
PQR
15. Calcular las pendientes de las seis rectas determinadas por los puntos A (—5, 4), fi(3, 5),
C(7, —2) y Z>(—1, —3). Demuéstrese que el UABCD es un rombo.
* 16. U n rayo PQ forma un ángulo de 30“ con el eje x. QR _LPQ- Si P, Q y R son los puntos
( —4, 0), (5, 3V3) y (x, 0), respectivamente, determínense el perímetro y el área del APQR-
1 3 -6 .
LA FÓRM U LA D E LA DISTANCIA
Si conocem os las coordenadas de dos puntos P¡ y P2, éstos quedan determ inados.
P o r tan to , la distancia entre ellos está tam bién determ inada. (V. el C apítulo 2,
postulado de la distancia.) A hora, obtendrem os una m anera de calcular la distancia
P ¡P2 en térm inos de las coordenadas ( x „ y ¡ ) y (x 2, y 2).
L a fó rm u la d e la distancia
393
Sean M ¡ , N u M 2 y N 2 los pies de las perpendiculares desde P , y P 2, com o se indica
en la figura. Sea R el p u n to de intersección de la recta horizontal que pasa p o r P l con
la vertical que p asa p o r P 2. Entonces,
PP >2 = (P R + {RP2)\
C
1 2
1
)2
en virtud del teorem a de Pitágoras. P ¡R = M ,M 2, porque los lados opuestos de un
rectángulo son congruentes. R P 2 = N ¡ N 2, p o r la m ism a razó.n. E n consecuencia,
sustituyendo, resulta
( P ,P 2)2 = (M ¡ M 2)2 + (N x N ,)2.
Pero sabem os, p o r el postulado de la regla, que
M ¡ M 2 = \x2 — x ,|
y
^1^2 = 1^2 - j' i l.
Por tan to ,
(P1P2)2 = \x2 - x .!2 + \y2 ~ y i \ 2Com o el cuadrado de u n núm ero es el m ism o que el de su valor absoluto, esta expresión
puede escribirse en la form a
(P¡P2) 2 = ( x 2 - - x x)2 + (y z - y j 2.
Y a casi hem os term inado. Puesto que P ¡P2 ^ 0, obtenem os
P\P2 = -J(x2 - x ¡)2 + (y2 - y i)2.
É sta es la fórm ula que buscábam os. Al deducirla, hem os dem ostrado el teorem a
siguiente:
T e o re m a 13—4.
La fórm ula d e la distancia
L a distancia entre los p u n to s ( x ,, >>,) y (x 2, y2) es
•J(x2 - x ,)2 + (y2 - y ¡)2.
Por ejem plo, si P , = (3, 4) y P 2 = ( —2, 1), la fórm ula nos dice que
P XP 2 = V ( - 2 - 3)2 + (1 — 4)2
= v /(-5 )2 + ( - 3 ) 2
= \^ ÍT 9
= x/34.
394
G eom etría c a rte s ia n a en e l plano
Se n o tará que pudim os h ab er obtenido
este resultado de la figura, sin utilizar
la fórm ula. Tenem os a = 5 y b = 3.
P o r el teorem a de Pitágoras,
y
P,{3. 4)
b
P tP 2 = V a2 + b2
P2(-2 , 1)
a
= \¡52 + 32
2
3
4
x
= V34.
Sin em bargo, se observará que p a ra ver esto, tenem os que seguir el m ism o razona­
m iento que utilizam os p a ra deducir la fórm ula. Lo im portante al deducir una fórm ula
general es que seguimos el cam ino del razonam iento solam ente una vez y, luego,
aplicam os los resultados siem pre que .necesitamos hacerlo, en vez de repetir u n a y otra
vez el m ism o razonam iento.
C onjunto de problem as 1 3-6
1. Utilizar la fórmula de la distancia para determinar la distancia entre los siguientes pares
de puntos:
(b) (0, 0)
y (3, - 4 ) .
(a) (0, 0)
y
(3, 4).
(d) (8, 11) y (15, 35).
(c) (1, 2)
y
(6,14).
(e) (3, 8)
y ( - 5 , -7 ).
(f) (—2, 3) y ( - 1 ,4 ) .
(g) (5, - 1 )
y ( - 3 ,- 5 ) .
( h ) ( - 6 ,3 )
y ( 4 ,- 2 ) .
2. Determinar el perímetro del triángulo cuyos vértices son A(5, 7), 5(1, 10) y C(—3, —8).
3. El A PQR tiene vértices 5(8, 0), Q(—3, 2) y 5(10, 2).
(a) Determinar la longitud de cada lado.
*
(b) Calcular aAPQR-
4. El A KLM tiene vértices K (—5, 18), ¿(10, —2) y M ( - 5, — 10).
(a) Determinar su perímetro.
(b) Determinar aA K LM .
5. Los vértices de un cuadrilátero son £>(4, —3), E (l, 10), F(—8, 2) y G(— 1, —5). Determi­
nar la longitud de cada diagonal.
6. Demostrar que el triángulo cuyos vértices son A(2, 3), 6 ( —1, —1) y C(3, —4), es isósceles.
7. Un triángulo tiene vértices G(0, 7), H(5, - 5 ) y K(10, 7). Determinar la longitud de la
altura correspondiente al lado más pequeño.
L a fó rm ala d e la d ista n c ia
395
8. Un triángulo tiene vértices M (—6, 0), P(0, 6) y Q(2, —2).
(a) Calcular el perímetro del A M P Q .
* (b) Determinar la longitud de la altura correspondiente al lado más largo.
* (c) Calcular el área del triángulo.
* 9. Determinar los valores de b tales que el triángulo cuyos vértices son (—6, 0), (0, 6) y
(b, —b) sea equilátero.
10. Se dan los puntos A (— 1, 6), 2?(1,4) y C(7, —2). Determinar A B y BC. Demuéstrese que
B está entre A y C.
11. Demostrar que si D , E y F son los puntos ( - 4 , - 6 ) , ( - 1 , - 2 ) y (3, 1), respectivamente,
entonces E no está entre D y F.
+ 12. En el siguiente cuerpo sólido rectangular de la izquierda, un vértice está en el origen y
A , B y C están en los ejes x , y y z, respectivamente. P ' es la proyección de P sobre el,
plano xy.
(a) Calcular OP'.
(b) Calcular OP.
(c) Calcular CP'.
13. Para la figura anterior de la derecha,
(a) hallar A B, BC, AC , DC y AD .
(b) demostrar que A D 2 = (5 — 0)2 + (8 + 4)2 + (4 + 2)2.
+ 14. Calcular la distancia desde el origen al punto P(a, b, c). ¿Cambia la fórmula que se
obtiene, si a, b o c es un número negativo ? [Sugerencia: Utilícese la figura del problema
anterior como ayuda.]
* + 15. Demostrar, mediante un diagrama análogo a la figura del problema 14, que la distancia
PQ entre P(x¡, y¡, z¡) y Q(x2, y 2, z2) viene dada por la fórmula
PQ = V (x, - x 2)2 + (>’, - j 2)2 + (z, - z¡)2.
396
G eom etría c artesian a e n e l plano
16. Calcular la distancia PQ, si las coordenadas de P y Q están dadas por:
(a) P(4, —1, —5);
Q(7 ,3 ,7 ).
(b) P(0, 4, 5);
Q ( - 6 ,2 ,3 ).
(c) P(3, 0, 7);
g ( —1 ,3 ,7 ).
(d) /»(—3, 4, - 5 ) ;
{3(6, —8, 3).
(e) P( 1 ,2 ,3 );
2(2, 3, 4).
17. Demostrar que el triángulo con vértices A(2, 0, 8), B(8, —4, 6) y C(—4,
celes.
18. Demostrar que si A (2 ,4 , 1),¿?(11,
éste es un triángulo rectángulo.
2, 4), es isós­
8,1) y C(2,4,21) son los vértices del &ABC, entonces
19. La figura ABCD tiene vértices A(3, 2, 5), 5(1, 1, 1), C(4, 0, 3) y D<6, 1,7).
(a) Demostrar que los lados opuestos son congruentes.
(b) ¿Es ABCD necesariamente un paralelogramo ?
20. En una ciudad muy bien proyectada, las
calles han sido trazadas como avenidas
numeradas que van de norte a sur y como
calles numeradas de este a oeste, de la
manera indicada en la figura, formando
cuadrados congruentes. Si se toma un
taxi en la esquina de la segunda calle y la
sexta avenida y se instruye al chofer que se
dirija a la esquina de la calle 10 y la avenida
12 por la ruta más corta, ¿qué distancia
(número de cuadras) se recorre? ¿Es ésa
la distancia más corta ? Expliqúese.
1 3 -7 .
Calle 10
Calle 9
Calle 8
Calle 7
Calle 6
Calle 5
Calle 4
Calle 3
Calle 2
D ^
gj V U 11 U
> >
<> <> <> <> <> <
<
LA FÓRM ULA D E L PUNTO M ED IO . E L PUNTO Q UE DIV ID E
A UN SEGMENTO E N UNA RAZÓN DADA
Considérese un segm ento P ¡P2, en el eje x:
Pi
XI
p2
-t—
*2
Sea P el p unto m edio; sean las coordenadas de los tres puntos las indicadas en la
figura y supongam os que x , < x 2. Entonces, es bastante fácil expresar x en térm inos
/
L a fó rm u la del pun to m edio
397
de Xj y x 2. D eseam os que
P tP
=
P P 2.
Com o
P lP = \ x - x l \ = x - x l
y
P P 2 =
1*2 ~ X \ = X 2 - X ,
nuestra prim era ecuación im plica que
x - xt = x2 - x
X, + x .
o
x = —
E sta fórm ula tam bién sirve cuando x 2 < x , . (Dem uéstrese esto. Si perm utam os
x , y x 2, el problem a no cam bia, ni la fórm ula tam poco.)
U na vez que se tiene la fórm ula p a ra el p u n to m edio de u n segm ento en el eje x
es fácil p asar al caso general.
’
A quí, sí P es el p u n to m edio de P XP 2, entonces M es el p u n to medio de W J T „
( ¿Por qué ?) E n consecuencia,
X, + x .
x = ■
D el m ism o m odo, obtenem os
y =
y¡ + y 2
P ara resum ir, enunciam os el siguiente teorem a:
T e o re m a 1 3 - 5 .
La fórm ula del p u n to m edio
Si P 1 = (x ,, y ¡ ) y P 2 = (x 2, y 2 ), entonces el p u n to m edio de 1 \F 2 es
p—
(Xi x2
l
2
’
J'i +
2
y2
398
G eom etría cartesia n a e n el plano
Considerem os ah o ra un problem a más general. Sea P XP2 un segm ento en el eje x ,
y r u n núm ero real positivo.
p,
p
P2
*2
Q uerem os hallar las coordenadas del p u n to P que divide a P XP 2 en la razón r a l .
E s decir, querem os
P P
— = r
PP2
o
P ,P = rPP2.
1
2
Si x , < x 2, com o en la figura, esto significa que
x — x¡ = r(x2 — x )
o
x + r x = x t + r x 2,
o sea,
x, + rx2
1+r
Observemos que p ara r = 1, esto debiera dar la coordenada del p u n to m edio. (¿Es
así?)
E n el caso x 2 < x ,, la fórm ula es exactam ente la mism a, pero la deducción es un
poco diferente. (U tilizam os P lP = x l — x , P P 2 = x — x 2, y obtenem os la misma
respuesta.)
Lo m ism o que en el caso del p unto m edio, podem os fácilm ente pasar al caso
general. Si
P tP ■
= r,
PP
entonces
M. M
MM2
= r,
puesto que A P XPQ ~ A P lP 2Q 2. P or tan to , se deduce que
X
* i + rx2
l+ r
E xactam ente de la m ism a m anera, obtenem os
L a fó rm u la del p u n to m edio
399
Así, tenemos el teorema siguiente:
T e o re m a 1 3 - 6
Si P está en tre P , y P 2 y
PP.
— r,
entonces
¡ x , + r x 2 y x + ry2\
\
l + r
’
1 + r /■
C onjunto de problem as 1 3 -7
1. Determinar las coordenadas del punto medio de cada segmento en la figura:
y
2. Utilizar la fórmula del punto medio para calcular las coordenadas del punto medio del
segmento determinado por cada uno de los siguientes pares de puntos:
(a) (6,0)
y (10,2)
(b) (5,7)
y (11,17)
(c) (12,3)
(e ) ( V 2 ,- V 3 )
(g) (a, 0)
y (3,2)
y (V Í8 , V75)
y (0, b)
(d) (—5 ,6 ) y
(f) ({ , - f ) y
( 6 ,- 5 )
& f)
(h) (a, b)
(c, d)
3. Si A(3, 15) y C(I3, 0) son los extremos de un
segmento y B es un punto de AC, determínense
las coordenadas de B> sabiendo que la razón
AB/BC es igual a:
(a) 4
(b) I
(c) i
(d) I
y
400
G eom etria c artesia n a e n el plano
4. Se dan los puntos P(5, 2) y R(20, 14) y Q está entre P y R. Determinar las coordenadas
de Q, si PQ /Q R es igual a:
(a) i
(b) 2
(c) i
(d) 4
5. ¿Cuáles son las coordenadas de los dos puntos que trisecan al segmento cuyos extremos
son (2, - 3 ) y (8, 9)?
6. Si los vértices de un triángulo son A(5, —1), B( 1, 5) y C(—3,1), ¿cuáles son las longitudes
de sus medianas ?
7. Los vértices de un cuadrilátero son A(0, 0), 3(5, 1), C(7, 4) y D(2, 3). Demostrar que
las diagonales tienen el mismo punto medio. ¿Es el cuadrilátero un paralelógramo?
¿Por qué?
8. Se dan P (—3, —4), M(b, — 1) y. Q(7, b). Determinar b de manera que M sea el punto
medio de PQ.
9. Se dan G(—5,8), K(2, á) y H(b, 1). Determinar a y b de manera que K sea el punto medio
de GH.
10. Un segmento tiene el punto medio M (3, —5) y un extremo es A(2, —4). ¿Cuáles son las
coordenadas del otro extremo B ?
11. Se da el cuadrilátero cuyos vértices son A(3, —2), B (—3, 4), C (l, 8) y D (l, 4). W, X,
Y y Z son los puntos medios de AB, BC, CD y DA, respectivamente.
(a) Calcular las coordenadas de W, X , Y, Z.
(b) Calcular el perímetro del □ W X YZ.
(c) Calcular las pendientes de W X y YZ.
\
12. Demostrar que si P(2, 1), Q(7, 4), R(4, 9) y S (— 1, 6) son los vértices de un
entonces sus diagonales tienen el mismo punto medio y son perpendiculares entre sí.
y
13. Mediante coordenadas, demostrar que dos
de las medianas de un triángulo con
vértices en (m, 0), (—m , 0) y (0, 3m) son
perpendiculares entre sí.
14. A (— 3,2) y B(5 , 12) son dos vértices del A ABC. U na recta que pasa por G, punto medio
de AB, y es paralela a AC , interseca a BC en H ( 10, 2). Determinar las coordenadas del
tercer vértice C.
L a fo rm u la del p u n to m edio
+ 15. En la figura dada, determinar las coor­
denadas del punto medio de cada uno de
los segmentos AO , BO, CO, A B ,B C y AC.
401
Z
C(0, 0, 4)
Y
8(0, 4, 0)
x
16. En la figura, P 'Q ' es la proyección de PQ sobre el plano xy, P K || P 'Q ', W 1 || eje y,
A Q ' 11eJe *, M es el punto medio de PQ , M ' es la proyección de M , H e s el punto medio
de QK, y B y C son los puntos medios de A P ' y AQ ', respectivamente.
z
0 ( 1 , 9 , 9)
P(7, - 3 ,
x
(a) ¿Por qué es PP' || M M ‘ [| Q Q '?
(b) ¿Por qué es M ' el punto medio de P 'Q ' ?
(c) Calcular las coordenadas de P', Q ', A y K.
(d) Calcular las coordenadas de B , C , H y M '.
(e) Calcular las coordenadas de M , el punto medio de PQ.
17. Enunciar una fórmula general para las coordenadas del punto medio M del segmento
determinado por P (x¡, y¡, z¡) y Q (x2, y 2, z 2), basada en observaciones sobre la resolu­
ción del problema 16.
18. Hallar las coordenadas del punto medio del segmento determinado por los siguientes
pares de puntos:
(a) (3,5,0)
(b) (8, 5, 3)
(c) ( - 6 , 2 , 4 )
(d) (3V2, 2 V I 5 ,
y
(1,1,8)
y
( 0 ,0 ,- 5 )
y ( 6 ,- 2 ,- 4 )
5V3) y (—V 2, 0, V27)
402
G eom etría c artesian a e n e l plano
19. En el problema 16, calcular las coordenadas de los dos puntos que trisecan a PQ.
20. En el problema 16, calcular los perímetros de los triángulos A B M M ' y A A Q Q ’. ¿Es
A B M M '~ A A Q Q "!
1 3 -8 .
E L EM PL E O D E SISTEMAS D E COORDENADAS EN LA
DEMOSTRACIÓN D E TEO REM A S GEOMÉTRICOS
Veremos a h o ra cóm o los sistemas de coordenadas pueden ser utilizados en la
dem ostración de teorem as geom étricos. El propósito de esta se c c o n es .lu strar un
cierto m étodo de trabajo en la geom etría. E l m étodo sera fac.l de entender si los
prim eros ejemplos que tratam o s son sencillos. P o r esta razón, com enzarem os
algunos teorem as que ya conocemos.
T e o re m a A
El p u n to m edio de la h ipotenusa de
u n triángulo rectángulo equidista de
los vértices.
El p rim er paso al aplicar el m étodo de las coordenadas es la elección de u n sistema
de coordenadas de tal m odo que el álgebra que em pleem os sea lo m as s,m Ple P ° s,b1^
U n a buena elección p a ra el problem a que tratam o s es la indicada en la ^guíente
figura. E sto es, colocam os el origen e . i y ü y C « . l .s p o rc o n e s pos.trvas,d,= los
dos ejes. Así, B = (a, 0), y C = (0, b), com o se indica en la figura. P or tan to , D
(al2, b/2), en virtud de la fórm ula del punto m edio. A hora,
de la definición de p u n to medio.
S istem as d e c o ordenadas y teo rem as geom étricos
403
N uestra elección de los ejes no es la única adecuada. L a siguiente figura sugiere
otra disposición que es igualm ente sencilla:
Sin em bargo, si tom am os al a zar ejes cualesquiera, podríam os convertir u n problem a
fácil en o tro sum am ente com plicado.
P ara iniciar u n a dem ostración, de acuerdo con esta figura, tenem os que hallar el m odo
de decir, algebraicamente, que el A A B C tiene un ángulo recto en A. E sto puede
hacerse, pero no parece m uy fácil.
Al utilizar sistem as de coordenadas para d em ostrar propiedades relacionadas con
paralelogram os, casi siempre colo­
cam os los ejes com o se indica a la
derecha. D ado el paralelogram o
O A B C D , tom am os el origen en A,
B en (a porción positiva del eje x y C
> D en el sem iplano superior. A hora,
' nte de A B es 0, y ~AB || CD.
. la pendiente de C D
404
G eom etría c artesian a e n el plano
Si A D y B C n o son verticales, entonces tienen pendientes, y éstas son iguales. Así,
pues,
c —0 _ c —0
b —0
d —a
b = d — a, y d = a + b. Si A D y B C so n verticales, entonces
6 = 0,
d = a,
y
d = a + 0 = a + b,
com o anteriorm ente.
P or consiguiente, podem os m arcar
nu estra figura com o se indica a la
derecha.
U n a vez conocido lo relacionado
co n este esquem a, m uchos teorem as
acerca de paralelogram os resultan
m uy fáciles.
T e o re m a B
Si las diagonales de u n paralelogram o son congruentes, entonces el paralelogram o
es u n rectángulo.
Demostración: E n la n otación de la figura an terior, se nos da que A C = BD . P o r la
fórm ula de la distancia, esto quiere decir que
s](a + b ~ O)2 + (c - 0 ? = \J(a - b)2 + (0 - c ) \
o
(a + b)2 + c2 = ( a - b)2 + c2,
o
a2 + la b + b2 + c2 = a 2 — la b + b2 + c2.
E n consecuencia,
4 ab = 0.
C om o a > 0, se deduce que b = 0, y esto significa que D está en el eje y . Luego, el
L D A B es u n ángulo recto, y el □ A B C D es un rectángulo.
E l siguiente conjunto de problem as está preparado p a ra ofrecer práctica en el
em pleo de los sistem as de coordenadas. E n la resolución de los problem as, p o r tan to ,
debe tratarse de lo g rar que el álgebra haga la m ayor p arte del trab ajo , to m ando com o
m odelos los ejem plos ilustrativos de esta sección.
Sistem as d e coordenadas y teo re m a s geom étricos
405
Conjunto de problemas 1 3 -8
Dem ostrar los siguientes teoremas, utilizando los métodos de la geometría cartesiana:
1. Las diagonales del rectángulo de la izquierda, a continuación, tienen longitudes iguales.
2. El segmento que une los puntos medios de dos lados del triángulo anterior de la derecha
es paralelo al tercer lado y su longitud es la mitad de la longitud del tercer lado. [Sugeren­
cia: Como tenemos que determinar las coordenadas de los puntos medios y la mitad de
la longitud de la base, es conveniente, pero no necesario, procurar que las coordenadas
de A , B y C sean como en la figura],
3. Las diagonales de un rombo son perpendiculares entre sí. [Sugerencia: Tómense los
puntos (0, 0), (a, 0), (a + b, c) y (b, c) como vértices. Verifiqúese que las pendientes son
recíprocas y opuestas entre sí.]
4. La mediana de un trapecio es paralela a las bases, y su longitud es la semisuma de las
longitudes de las bases.
5. El segmento que une los puntos
medios de las diagonales de un
trapecio es paralelo a las bases, y su
longitud es la semidiferencia de las
longitudes de las bases.
6. Los segmentos determinados, en
orden, por los puntos medios de los
lados consecutivos de un cuadri­
látero forman un paralelogramo.
[Nota: Podemos elegir los ejes de
manera que un vértice sea (0, 0) y
un lado de la figura esté en el eje x.]
7. Los segmentos determinados, en orden, por los puntos medios de los lados consecutivos
de un trapecio isósceles forman un rombo.
8. En el A ABC, si C M es la mediana correspondiente a AB, entonces
A C 2 + BC2 = \ A B 2 + 2 C M 2.
[Sugerencia: Tómese el punto medio de A B en (0, 0).]
406
i
G eom etría c a rte s ia n a e n el plano
9. En un triángulo cualquiera, el cuadrado
del lado opuesto a un ángulo agudo es
igual a la suma de los cuadrados de los
otros dos lados menos el doble del producto
de uno de esos lados y la proyección del
otro sobre él. Demuéstrese que A C 2 =
A B 2 + BC2 - 2 A B - DB. ¿En qué parte
de los cálculos se necesita la hipótesis de
que el ¿ f i e s agudo?
y
10. La suma de los cuadrados de los lados de un paralelogramo es igual a la suma de los
cuadrados de las diagonales.
11. En un cuadrilátero cualquiera, la suma de los cuadrados de los lados es igual a la suma
de los cuadrados de las diagonales más cuatro veces el cuadrado de la longitud del seg­
mento determinado por los puntos medios de las diagonales.
12. Demostrar que las cuatro diagonales de un cuerpo sólido rectangular son congruentes
y se intersecan en el punto medio común.
1 3 -9 .
LA G RÁ FICA D E UNA CONDICIÓN
P o r u n a gráfica entendem os sim plem ente u n a figura en el plano, es decir, u n co n ­
ju n to de p untos. A sí, ángulos, triángulos y sem iplanos so n gráficas y, tam bién, lo son
segm entos, rayos y rectas.
E l térm ino gráfica se utiliza generalm ente cuando representam os u n a figura definida
m ediante u n a condición que se satisface p o r to dos los puntos de dicha figura y no por
otro s p untos. H e a q u í algunos ejem plos:
C
G
o n d ic ió n
r á f ic a
1.
y >0
El sem iplano sobre el eje x
2.
x > 0
E l sem iplano a la derecha del eje y
3.
x = 0
E l eje y
4.
x>0yj>>0
El p rim er cuadrante
5.
x= 1
L a recta vertical que pasa p o r (1, 0)
6.
x = 3
L a recta vertical que p a sa por (3, 0)
7.
1< x < 3
L a b anda infinita entre las rectas que satisfacen a las
condiciones 5 y 6
L as siete gráficas aparecen en la página 407.
L a gráfica de u n a condición
C:: nw \
407
408
G eom etría c artesia n a e n e l plano
E n cada u n o de estos casos, decim os que la figura es la gráfica de la condición que
la define. Así, cada u n a de las siete figuras en la página 407 es la gráfica de la condición
indicada.
Repitiendo: L a gráfica de una condición es el conjunto de to d o s los puntos que
satisfacen a esa condición.
E ste térm ino se utiliza a m enudo cuando la condición está enunciada algebraica­
m ente en función de coordenadas, com o en los ejem plos anteriores. C uando la
condición está enunciada en form a de ecuación, nos referim os a la figura com o la
gráfica de la ecuación. P or ejem plo, la recta vertical que pasa p o r (1 ,0 ) es la gráfica
de la ecuación x = 1. A nálogam ente, la prim era de las siete figuras se llam a la gráfica
de la inecuación y > 0.
C onjunto de p roblem as 1 3 -9
1. En el mismo sistema de ejes coordenados, dibujar las gráficas de las siguientes condiciones:
(a) x = 5
(b) x < —2
(c) ^ > 4
(d ) y = 0
2. Dibujar en un sistema de ejes coordenados el conjunto de puntos definido mediante
cada una de las siguientes condiciones:
(a) |*| = 2
(b) \y\ < 1
(c) |*| > 3
3. Dibujar la reunión de las gráficas d e x = 3 y > = 2. ¿Cuál es su intersección?
4.
Se dan las condiciones: (i) * es un número positivo y (ii) y es un número positivo.
(a) Dibujar la reunión de las gráficas correspondientes.
(b) Dibujar la intersección de las gráficas.
5. Dibujar la intersección de las gráficas de las cuatro condiciones que siguen:
x>0,
x<6,
Descríbase la intersección verbalmente.
6. Enunciar las condiciones que definen la
región indicada a la derecha.
y ^ : 0,
y < , 4.
y
L a g rá fic a de u n a condición
409
7. Dibujar la gráfica y determinar el área de la intersección de los conjuntos de puntos que
satisfacen a las condiciones
y
—2 <>■ <; 5.
8. L a distancia del punto -4(1, 0) a P(x, >•) es igual a la distancia de P a B (l, 0). Escríbase
una ecuación que exprese esta condición. ¿Cuántos puntos P hay ? Dibújese el conjunto
de todos esos puntos P.
9. Escribir una ecuación para el conjunto de todos los puntos P(x, y) equidistantes de los
puntos A(0, 6) y B(6, 0). Dibújese la gráfica.
10. Trazar la gráfica de y = |jc|.
11. Trazar la gráfica de y = — |x|.
12. Un punto P (x, y) está entre el punto A ( 1, 3) y el punto B(8, 6). Utilícese la fórmula de la
distancia y la definición de “estar entre” para escribir una ecuación que exprese esta
condición en P.
13. Si P = (x, y), A = (a, c) y B = (b, d), ¿qué condición para los puntos P, A y B está ex­
presada por la siguiente ecuación ?
~J(x — a)2 + ( y - c ) 2 + J ( x - b ) 2 + ( y - d ) 2 = y/(a - b)2 + (c — d )2
14. En el mismo sistema de ejes coordenados, dibujar el conjunto de todos los puntos
P (x, y) que satisfacen a las condiciones que siguen:
(a) V (x~— 3)2 + ( y + 2)2 + y/(x - T)2 + ( y - l ) 2 = 5.
(b) V ( * - 3 ) 2 F O + 2)1 = J ( x - l ) 2 + ( y - l ) 2.
15. En la figura, el plano E es paralelo al plano x z y el plano F es paralelo al plano yz. E y F
se intersecan en AB. CG está en el plano E,
<-»
C H está en el plano F, y ambas rectas
están en el plano xy.
(a) ¿Cuáles son las coordenadas de C?
(b) ¿Qué ecuación da la condición en
virtud de la cual el plano E es su
gráfica?; ¿cuál da la condición cuya
gráfica es el plano F ?
(c) ¿De qué condición es A B la gráfica?
(d) ¿De qué condición es el punto C la
gráfica?
410
G eom etría c artesia n a e n e l plano
16. ¿Cuáles son las gráficas de cada una de las siguientes condiciones en un sistema de
coordenadas de tres dimensiones ?
(a) z = 0
(b) * = 0
(c) y = 0
(d) y = 3
(e) z = 5
(f) \y\ = 2
(g )x = 0
y y =0
(i) \y \= 2 y
1 3 -1 0 .
z=0
(h) x = 3
y z= 0
(j) jc = 3 y y = 2
LA R EPR ESEN TA C IÓ N D E U NA RECTA M ED IA N TE
UNA ECUACIÓN
E s fácil describir u n a recta vertical
m ediante u n a ecuación.
Si la recta interseca a l eje x en
(a, 0 ), entonces dicha recta es la
gráfica de la ecuación x = a.
P a ra rectas no verticales, necesitam os utilizar el concepto de pendiente. Suponga­
m os que la recta L pasa p o r el punto
P , = (x ¡, _y,) y tiene pendiente m. Si
p = (x , 7 ) es cualquier otro p u n to de
L , entonces
y - y
1
X — X,
= m,
puesto que to d o s los segm entos de L
tienen pendiente m . D esde luego,
esta ecuación no se satisface cuando
x = Xj y y = y ¡ , pues, en ese caso, la fracción se convierte en la expresión 0 / 0 , que es
indeterm inada. Pero esto puede arreglarse fácilm ente, m ultiplicando am bos miem bros
de la ecuación an terio r p o r x — x ,. Así, obtenem os
y - y t =/m (x - x , ) .
E sta operación añade un punto a la gráfica; la nueva ecuación se satisface p o r todo
p u n to de L distinto de P x y, tam bién, p o r el m ism o P u porque cuando x = x , y
y = y , , obtenem os 0 = m ■0 , lo cual constituye un enunciado cierto.
L a represen tació n d e u n a re c ta m ed ia n te u n a ecuación
411
E n u n c ia m o s este re su lta d o co m o u n te o re m a.
T e o re m a 1 3 - 7
Sea L u n a recta con pendiente m , que p a sa p o r el p u n to ( x ,, >>,). Entonces, todo
p u n to (x, y ) de L satisface a la ecuación
y - y t = m [x _ x ¡ ).
Se observará que este teorem a no dice que L es la gráfica d e la ecuación. E n efecto,
todavía n o hem os d em ostrado esto p o r com pleto, sino sólo a m edias. C uando decimos
que L es la gráfica de la ecuación, esto significa dos cosas:
(1)
to d o p u n to de L satisface a la ecuación, y
(2)
to d o p u n to q u e satisface a la ecuación está en L.
H asta el presente, hem os d em ostrado el enunciado (1). D em ostrarem os a h o ra el
enunciado ( 2).
Supongam os que P (x, y ) es u n p u n to p a ra el cual
y - y i = m ( x - x ,).
Si x = Xj, entonces y = y J t y p está en L . Si x # x „ entonces P 1P no es vertical y su
pendiente es
J '- J 'i
--------- = m.
x —x,
P o r tan to , P lP y L tienen la m ism a pendiente. Luego, estas rectas o son paralelas, o
son la m ism a recta. A ho ra bien, no pueden ser paralelas, po rq u e (x j, y ¡ ) está en
am bas. E n consecuencia, P tP es la m ism a recta L , y P está en L.
412
G eom etría c artesia n a e n e l plano
Esto nos da un teorem a m ás sencillo y, tam bién, nos dice m ás que el teorem a
anterior.
Teorem a 13—8
L a gráfica de la ecuación
y - y l = m ( x - x i)
es la recta que p a sa p o r el p unto ( x ¡ , y ,) con pendiente m.
La ecuación dada en este teorem a se llam a la form a de punto y pendiente de la
ecuación de u n a recta.
Si conocem os las coordenadas de dos puntos de u n a recta, es fácil determ inar su
ecuación.
Supongam os, p o r ejem plo, que la recta pasa p o r los puntos
P ¿ 2 , l)
y
P a( 5 ,3).
Entonces, su pendiente es
3 -1
2
m = ~5 — 2 ~ 3 '
U tilizando P ¡( 2, l ) y m = | , ía form a de p u n to y pendiente da
(1)
y - l=K *-2).
Podem os simplificar esto p a ra obtener u n a ecuación equivalente:
3y - 3 = 2 x - 4,
(2)
2 x — 3 y = 1.
■
Se observará, sin em bargo, que aun cuando la ecuación (2) es m ás sencilla que la
ecuación (1), no es ta n fácil de interpretar. E n virtud del teorem a 13-8, podem os decir
inm ediatam ente que la gráfica del enunciado ( 1) es la recta que p asa p o r ( 2 , 1) con
pendiente f . E sto n o es ta n evidente en la form a simplificada (2).
L a represen tació n d e u n a re c ta m ediante u n a ecuación
413
D a d a u n a ecuación en la fo rm a de p u n to y pendiente, es fácil dibujar su gráfica.
Tom em os, p o r ejemplo,
y - 3 = 2{x + 1).
Puede verse inm ediatam ente que la
gráfica contiene al p u n to ( —1,3).
P a ra trazar la recta, necesitam os
conocer o tro p u n to m ás en ella.
( ¿ P o r q u é ? ) H aciendo X = 0, o b te­
nem os
y - 3 = 2(0 + 1),
o sea,
y — 5P o r consiguiente, (0, 5) está en la gráfica. A h o ra, podem os utilizar u n a regla, porque
sabem os desde el principio que la gráfica tiene que ser u n a recta. E n la práctica, sin
em bargo, es m uy bu en a idea verificar nuestro trabajo, calculando las coordenadas de
u n tercer p u n to . P o r ejem plo, p a ra y — 0, obtenem os
0 - 3 = 2(x + 1),
lo cual nos da
x = -f.
P o r tan to , ( —f , 0) está en la gráfica, justam ente com o sugiere la figura.
E l siguiente teorem a se deduce fácilm ente del teorem a 13-8:
T e o re m a 1 3 - 9
L a gráfica de la ecuación
y = mx + b
es la recta que p asa p o r el pun to
(0, b) con pendiente m.
L a razó n de ello es que dicha ecuación puede escribirse en la form a
y - b - m (x - 0).
L a ecuación y = m x + b se llam a la form a de ordenada en el origen y pendiente.
E n m uchos casos, resulta ser la fo rm a m ás conveniente.
r
■
.
414
G eom etría c artesia n a e n e l plano
Podem os a h o ra d ib u jar la gráfica de la ecuación
y = \x\
del m o d o siguiente: Prim ero, dibujam os a continuación, a la izquierda, las gráficas de
las ecuaciones y — x y y = —x :
R ecordam os que |x| está definido m ediante las siguientes condiciones:
(1)
P a ra x > 0,
|x| = x.
(2)
P ara x < 0,
|x| = —x.
E sto significa que a la derecha del eje y, nuestra gráfica está en la recta L¡, pero no
en L 2- A la izquierda del eje y, nu estra gráfica está e n la recta L 2, pero n o en L x. La
gráfica, p o r consiguiente, se parece a la que está arriba, a la derecha.
E s fácil ver que los dos rayos son perpendiculares. Luego, la gráfica de y = |x| es un
ángulo recto.
Conjunto de problemas 13-10
1. Las ecuaciones siguientes están escritas en la forma de punto y pendiente; para cada
ecuación, determinar la pendiente y las coordenadas de dos puntos de su gráfica y
dibujar ésta:
(a) y — 3 = 2(x —4).
(b) y - 1 = f ( x - 6).
(c) ^ + 6 = - i ( x - 8).
(d) 7 — 5 = 3x.
(e) y = —2(x + 3).
2. Escribir la ecuación de la recta que pasa por el punto P y tiene pendiente m en cada uno
de los siguientes casos:
(a) P = (4, 1)
y m = 3.
(b) P = ( i , - 4 )
y m = -2 .
(c) P = ( 8 ,2 )
y m = f.
(d )i° = ( - 4 , 0 )
y m = |.
(e) P = f—6 ,5 )
y m = 0.
L a representación d e u n a re c ta m ed ia n te m ía ecuación
415
escribir la ecuación de la recta:
(a) (5, 2)
y
(b) (2, 4)
y (4, 5).
(2, 8).
(c) (0 , 0)
y
(d) (2, 7)
y ( - 8 , 5).
(e) ( - 6 , 0)
y
(f) (9, - 1 5 )
y
(g) ( - 4 , - 1 3 )
(h) (V 2 , V8)
(1, 5).
(0, 4).
(12, -1 8 ).
(19, 33).
y
y ( - V 8 , - V i).
4. Juan y Alberto estaban comparando sus soluciones a un problema de la tarea asignada.
El problema era:
“Escribir la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2, —5) y (8, 7)” .
Juan tenía la ecuación y +. 5 = 2(x - 2) y Alberto tenía y - 7 = 2 ( x - 8). ¿Cuál de las
respuestas es correcta? Expliqúese.
5. Para cada una de las siguientes ecuaciones escritas en la forma de ordenada en el origen
y pendiente, determinar la pendiente, la ordenada en el origen, y dibujar la gráfica:
(a) y = 2 x + 6
(b )y = - 2 x + 6
(c) y
(d)
=
ix
y
=
2x — 6
(e) y = f x - 6
6. Determinar la ecuación de la recta cuya pendiente es igual a —5 y que contiene al punto
(0,4).
7. Escribir la ecuación de la recta que pasa por el punto (7, - 6 ) y es paralela a la recta de
ecuación
y ^ x + l.
8. Escribir la ecuación de la recta que pasa por el punto ( - 2 , 0) y es perpendicular a la
recta de ecuación
y = - f x + 6.
9. En un sistema de ejes coordenados, dibujar las gráficas de las ecuaciones
= 3,
y = x + 3,
j--3 = -f(x -8 ).
(a) ¿Cuáles son las coordenadas de los tres puntos en que las rectas se intersecan?
(b) Calcular el área de la región triangular limitada por las tres rectas.
416
G eom etría c artesia n a en el plano
10. En un sistema de ejes coordenados, dibujar las gráficas de las siguientes ecuaciones:
y = - i x + 4, y = $ x + 4, y + 1 = - f ( x - 10)
(a) ¿Cuáles son las coordenadas de los tres puntos en que las rectas se intersecan?
(b) Calcular el área de la región triangular limitada por las tres rectas.
11. Dibujar la gráfica de x = |v |.
12. Dibujar la gráfica de |x| + |.y| = 4.
13. Utilizando la forma de punto y pendiente de la ecuación de una recta, demostrar que la
ecuación de la recta que pasa por (a, 0) y (0, b) puede escribirse así:
2+ Z -1
a
b
{ a ,b * 0).
Explicar por qué esta forma se dice que es la forma de intersecciones con los ejes.
14. Utilizar el problema 13 para escribir la ecuación de la recta cuya intersección con el eje
x es (5, 0) y cuya intersección con el eje y es (0, 3). Cotejar la ecuación, utilizando la
forma de ordenada en el origen y pendiente o la forma de punto y pendiente.
15. En un sistema de coordenadas de tres dimensiones,
3x + 6 y + 2 z = 12
es la ecuación de un plano. ¿Cuáles son las coordenadas de las intersecciones con los
ejes ?
16. En la figura de la derecha, el plano K
interseca a los ejes en los puntos
indicados. La ecuación del plano K
es
6x + 4y + 9z = 36.
(a) Determinar la ecuación de la
intersección del plano K con
cada plano coordenado.
(b) Demostrar que la ecuación de K
puede ponerse en la forma
x
6
y- + Z
-=
9
4
\.
17. Escribir la ecuación del plano determinado por los siguientes puntos:
(a) (5, 0, 0), (0, 3, 0) y (0, 0, 4)
(b) (12, 0, 0), (0 ,4 , 0) y (0, 0, - 3 )
(c) (5, 0, 0), (0, - 3 , 0) y (0, 0,10)
[Sugerencia: Véanse los problemas 13 y 16 anteriores. NO es necesario demostrar que
las ecuaciones son correctas.]
L a representación d e u n a re c ta m ed ia n te u n a ecuación
417
18. Para cada una de las siguientes ecuaciones, determinar las intersecciones con los ejes y
dibujar la gráfica en tres dimensiones de cada ecuación:
(a) 4 x + 3 y + 2 z = l 2
(b) I4x + 3 5 y + 10z = 70
(c) 9 * - 7 j - + 2 1 z = 63
(d) 6 x + 5 z = 30
19. En la figura, AB, CD y E F son las proyecciones de PQ sobre el plano x y , el plano y z
y el plano x z , respectivamente.
(a) Determinar las coordenadas de A , B, C, D, E y F.
(b) Determinar las ecuaciones de AB, CD y E F en sus planos coordenados respectivos.
PR O B LEM A OPTATIVO
Se da el A ABC con vértices A(a, a-), B(b, b') y C(c, c'), siendo 0 < a < c < b y
0 < a ' < b ' < c '.
y
Demuéstrese que
a& A B C = \[a{b' - c') + b(c’ - a') + c(a' - b')].
¿Qué sucedería con la fórmula de la derecha, si A y B se intercambian?; ¿si A y C se
intercambian?; ¿y si B y C se intercambian?
418
G eom etría c artesia n a e n e l plano
Repaso de la unidad
1. ¿Cuáles son las coordenadas de la proyección del punto (5, 2) sobre el eje xT; ¿sobre el
eje y?
2. Determinar el cuarto vértice de un rectángulo que tiene tres vértices en (—1, —1), (3, —1)
y (3, 5).
3. Se da un triángulo con vértices (3, 2), (3, - 4 ) y (9, - 4 ) . Calcúlese su longitud y el área
de la región triangular correspondiente.
4. Se da el A ABC con vértices A (—3, —5), 5 ( 3, 3) y C(13, —9).
(a) Determinar las coordenadas del punto medio de cada lado.
(b) Calcular la longitud de cada mediana.
(c) Escribir la ecuación de la recta que contiene a cada mediana, en la forma de punto y
pendiente.
5. Los vértices de un cuadrilátero son los puntos A (—l , 1), 5(4, 3), C(6, —2) y Z>(1, —4).
(a) Demostrar que el U ABC D es un paralelogramo.
(b) Demostrar que sus diagonales son perpendiculares.
(c) ¿Son congruentes sus diagonales?
»
6. Una recta tiene pendiente t y contiene al punto (0, —6). ¿Cuál es la coordenada y del
punto de la recta cuya coordenada x es 12?
7. Utilizando los métodos de la geometría cartesiana, demostrar que las diagonales de un
trapecio isósceles son congruentes, si el trapecio no es un paralelogramo.
8. Demostrar que el triángulo cuyos vértices son A (—3,7), 5(2, —2) y C (ll, 3), es un trián­
gulo rectángulo isósceles.
9. Un extremo de un. segmento es el punto ( - 1 , 8) y el punto medio del segmento es (4,2).
Determinar las coordenadas del otro extremo.
10. Un triángulo tiene vértices A (5, 7), 5 (2 ,0 ) y C(5, - 3 ) . Determinar la altura correspon­
diente al lado más largo. Calcular el área del triángulo.
11. Un segmento tiene extremos (4, - 2 ) y (13,13). Hallar las coordenadas de los puntos que
trisecan al segmento.
12. Escribir una ecuación para el conjunto de todos los puntos P(x, y) equidistantes de los
puntos A(0, 8) y 5(12, —8).
13. Escribir la ecuación de la recta que pasa por el punto (0, 5) y es paralela a la recta y =
2 x - 13.
K epa>o d e la u n id a d
419
14. Escribir la ecuación de la recta que pasa por el punto (6, —1) y es perpendicular a la
recta y = 3x + 1.
15. En un sistema de ejes coordenados, dibujar las gráficas de las ecuaciones x = 9, y = x,
y - 1 = - j ( x - 1).
(a) Determinar las coordenadas de las intersecciones de las rectas.
(b) Calcular el área de la región triangular limitada por las rectas.
14 | Circunferencias y
superficies esféricas
1 4-1.
DEFINICIONES BÁSICAS
E n térm inos generales, u n a circunferencia es la frontera de u n a región red o n d a en
un p lan o ; y una superficie esférica es la superficie de u n a bola en el espacio.
E n las siguientes definiciones, se expresan estas m ism as ideas con un lenguaje más
preciso:
#
D e fin ic ió n
Sea P u n p u n to de u n plano d ad o y sea r u n núm ero positivo. L a circunferencia
con centro P y radio r es el conjunto de todos los puntos del plano que están a la
distancia r d el p u n to P.
D e fin ic ió n
Sea P u n pun to y sea r u n núm ero positivo. L a superficie esférica con centro P y
radio r es el conjunto de todos los p u n to s del espacio que están a la distancia r del
p u n to P.
D os o m ás superficies esféricas o circun­
ferencias con el m ism o centro se llam an
concéntricas.
En la figura, P es el centro com ún de
las tres circunferencias concéntricas.
U n a cuerda de u n a circunferencia es un
segm ento cuyos extrem os están en la cir­
cunferencia.
E n la figura, A B es u n a cuerda.
U n a recta que co rta a la circunferencia
en dos p u n to s se llam a una secante a la
circunferencia.
Así, pues, cada cuerda determ ina una secante, y cada secante contiene u n a cuerda.
421
422
C ircunferencias y superficies esféricas
A nálogam ente, u n a cuerda de una super­
ficie esférica es u n segm ento cuyos extremos
están en la superficie esférica; y una secante
a u n a superficie esférica es u n a recta que
interseca a la superficie esférica en dos
puntos.
U n diámetro de una circunferencia o de u n a superficie esférica es u n a cuerda que
contiene a l centro.
U n radio de u n a circunferencia es un
segm ento que va desde el centro a u n punto
de la circunferencia (y análogam ente para
las superficies esféricas). E l p u n to A se llama
el extrem o del radio P A .
Obsérvese que estam os em pleando la pa­
lab ra radio en dos sentidos, p ara designar
o bien u n segm ento o u n núm ero. En cada
caso p articular, el contexto aclarará a cuál
de los dos significados nos referim os. A nálogam ente, si u n a circunferencia tiene
radio r, nos referirem os al núm ero 2r com o el diámetro de la circunferencia. D esde
luego, el núm ero 2r es la longitud de to d a cuerda que pase por el centro.
__E n la figura de la derecha, r es el radio;
P B es un radio; P A es otro radio; 2r es el
diám etro; A B es un diámetro y P C es un
radio cuyo extrem o es C.
T e o re m a 1 4-1
L a intersección de u n a superficie esférica con u n plano que pasa por su centro es
u n a circunferencia con el mismo centro y el mismo radio.
D efiniciones básicas
423
P a ra ver p o r qué esto es así, sólo es necesario recordar las definiciones de u n a super­
ficie esférica y de u n a circunferencia. Sean dados u n a superficie esférica S con centro
P y radio r, y un plano E. Entonces, 5 es el conjunto de todos los puntos del espacio
que están a la distancia r de P. L a intersección de S y E es el conjunto de todos los
pun to s de E que están a la distancia r de P y es, efectivamente, u n a circunferencia con
el m ism o centro P y el mismo rad io r que la superficie esférica 5 .
Sabiendo esto, podem os enunciar la siguiente definición:
D e fin ic ió n
L a intersección de u n a superficie esférica con un plano que pasa p o r su centro
se llam a circunferencia m áxim a de la superficie esférica.
H ay o tra razó n p a ra el em pleo de
este térm in o : las circunferencias máximas
so n las circunferencias de mayor longitud
en la superficie esférica. P o r ejem plo, si
dibujam os m eridianos y paralelos de la
m anera acostum brada, com o en los globos
terráqueos, entonces el ecuador es una
circunferencia m áxim a, p ero los demás
paralelos de latitud no lo son. Los otros
paralelos de latitud tienen u n a longitud
m enor que la del ecuador, y van siendo
cada vez m ás pequeños a m edida que nos
acercam os al Polo N o rte o al Polo Sur.
Conjunto de problemas 14—1
1 .‘'Completar: El conjunto de todos los puntos
de un punto dado se llama una
® _____
2' ? ^ ' etar: Un diámetro de una circunferencia es una
i
— de la circunferencia.
que están a una distancia fija
G-ol/vA p
que contiene al
424
C ircunferencias y superficies esféricas
3. El siguiente enunciado contiene la palabra “ diámetro” dos veces. Expliqúese cuál es el
significado de “ diámetro” en cada caso.
Aunque una circunferencia sólo puede tener un diámetro, en realidad, tiene una
infinidad de diámetros.
4. En el enunciado del teorema 14-1, ¿qué significa la palabra “radio” ?
5. Indicar si cada uno de los siguientes enunciados es cierto o falso:
V (a) Un diámetro de una circunferencia es una secante a la circunferencia.
( b ) Todos los radios de una superficie esférica son congruentes.
(c) Todo diámetro de una superficie esférica es un diámetro de una circunferencia
máxima.
f (d) Un radio es una cuerda de una circunferencia.
i (e) Una secante a una superficie esférica corta a la superficie esférica solamente en un
punto.
\/ (f) Una cuerda de una circunferencia contiene exactamente dos puntos de la circun­
ferencia.
J (g) U na superficie esférica y una cualquiera de sus circunferencias máximas tienen el
mismo centro y el mismo radio.
V/
6. ¿Cuáles de los siguientes enunciados son ciertos?
v (a) Si un radio biseca a una cuerda de una circunferencia, entonces es perpendicular a
la cuerda.
■(b) L a intersección de una recta y una circunferencia puede ser vacía,
f (c) D os circunferencias pueden intersecarse exactamente en tres puntos.
(d) U na recta puede cortar a una circunferencia exactamente en un punto.
(e) Dos superficies esféricas pueden intersecarse exactamente en un punto.
(f) La intersección de dos superficies esféricas puede ser una circunferencia.
(g) La secante que es mediatriz de una cuerda de una circunferencia contiene al centro
de la circunferencia.
(h) Si una recta corta a una circunferencia en un punto, la interseca en dos puntos.
D
A
7. Si AB y CD son dos diámetros de una circunferencia,
entonces A C £ BD y A C || BD.
C
8. Demostrar que los diámetros de una circunferencia son las cuerdas más largas de la
circunferencia. [Indicación: Si c representa la longitud de otra cuerda cualquiera, ¿es
c < 2r1]
R ectas tan g e n tes a las circunferencias
425
9. Si A B y CD son dos diámetros de una superficie
esférica, entonces la figura ACBD es un rectángulo.
/fefc-o d / ' í
. ' -
_2.-j
ú
cl< '
x-
e i,
-i~t-
10. Demostrar lo siguiente: Si dos cuerdas congruentes de una circunferencia tienen un
extremo común con un diámetro y, además, intersecan a la circunferencia en puntos a
distinto lado del diámetro, entohces las cuerdas determinan ángulos congruentes con el
diámetro.
14-2.
RECTAS TANGENTES A LAS CIRCUNFERENCIAS
E n to d a esta sección, considerarem os circunferencias en un plano fijo.
D e fin ic io n e s
El interior de u n a circunferencia es el con­
ju n to de todos los puntos del plano cuyas
distancias del centro son m enores que el
radio. El exterior de una circunferencia es
el conjunto de todos los puntos del plano
cuyas distancias del centro son m ayores que
el radio.
E x te r io r
Así, pues, to d o p u n to del plano o está en el interior de la circunferencia, o en el
exterior de la circunferencia, o en la circunferencia. E n los dos prim eros casos,
direm os frecuentem ente, p a ra abreviar, que un p u n to está dentro o fu e ra de la circun­
ferencia. (Recuérdese que 0 < r, p o rq u e r > 0. P o r tanto, el centro está en el interior.)
D e fin ic io n e s l
U na tangente a una circunferencia es una
recta (en el m ism o plano) que co rta a la
circunferencia en u n solo p u n to . Este
p u n to se llam a punto de tangencia o punto
de contacto. D ecim os que la recta y la
circunferencia son tangentes e n el p unto
de contacto.
T oda circunferencia tiene una tangente en cada u n o de sus puntos. Esto lo podem os
deducir del teorem a siguiente:
426
C ircunferencias y superficies esféricas
T eorem a 1 4 -2
U na recta perpendicular a un radio en su
extrem o es tangente a la circunferencia.
Dem ostración: Sea L la perpendicular al radio
P Q e n Q. H ay que dem ostrar que ningún otro
p u n to de L está en la circunferencia.
Sea R o tro p u n to cualquiera de L. En virtud del prim er teorem a de m ínim a dis­
tancia (teorem a 7-7), el segm ento más corto desde P a L es el segm ento perpendicular.
P o r tan to , P R > PO . Luego, P R > r y R no está en la circunferencia, pues R está
en el exterior.
El recíproco de este teorem a tam bién es cierto.
T eorem a 1 4 -3
T o d a tangente a u n a circunferencia es perpendicular al radio trazado p o r el
p unto de contacto.
L a figura an terio r de la izquierda representa este caso exactam ente com o ocurre.
L a figura de la derecha ilustra la dem ostración indirecta ofrecida a continuación:
Demostración: Se da que L es tangente a la circunferencia C en el punto Q. Suponga­
m os que L no es perpendicular a PQ . D em ostrarem os que esta suposición conduce a
una contradicción.
Sea F el pie de la perpendicular d e s d e P a L . Entonces, F =£■ Q. Sea R un p u n to del
rayo opuesto a FQ , tal que FR = FQ . Entonces, A P F R = A P F Q . (¿P o r qué?)
E n consecuencia, P R = P O = r y R está en la circunferencia. P or consiguiente, L
corta a la circunferencia en dos puntos en lugar de uno. Pero, esto es imposible,
pues L es una recta tangente a la circunferencia. Luego, nuestra suposición es falsa
y L 1 ~PQ en Q, com o queríam os dem ostrar.
R e ctas tan g e n tes a las circunferencias
427
En la figura de la izquierda, a continuación, las dos circunferencias son tangentesinteriormente. En la figura de la derecha, las dos circunferencias son tangentes exteriormente.
D e fin ic ió n
D os circunferencias se dicen tangentes, si son tangentes a la misma recta en el
m ism o p u n to . Si dos circunferencias tangentes son coplanarias y sus centros
están al m ism o lad o de su tangente com ún, entonces las circunferencias son
tangentes interiormente. Si dos circunferencias tangentes son coplanarias y sus
centros están a lados opuestos de su tangente com ún, entonces las circunferencias
son tangentes exteriormente.
C onjunto de p roblem as 14-2A
1. Dibújese una circunferencia con centro P y radio PQ = ly centímetros. Marqúense
un punto A tal queP A = 2 centímetros y un punto B tal que PB = I centímetro. Ahora,
complétense los siguientes enunciados:
(a) A está en el
de la circunferencia, porque
(b) B está en el
de la circunferencia, porqué
(c) Las circunferencias con radios PA, PQ y PB se llam an __
m„ A. ,n_.
, ■■
-. • <
_____
2. Describir cómo puede construirse una tangente a una circunferencia en un punto dado de
ésta, si se da el centro de dicha circunferencia.
3. E es un punto en el exterior de una circunferencia. ¿Cuáles tangentes a la circunferencia
contienen al puntó £ ? Hágase un dibujo.
4. Demostrar lo siguiente: D adas dos circunferen­
cias concéntricas, toda cuerda de la circunferen­
cia mayor que es tangente a la circunferencia
menor es bisecada en su punto de tangencia.
[Sugerencia: Trácense PA, PQ y PB.]
>-V
5. Demostrar que las tangentes a una circunferencia en los extremos de un diámetro son
paralelas.
428
C ircunferencias y superficies esféricas
6. En la figura, se muestra una disposición de
tres circunferencias que tienen radios dife­
rentes y tal que cada circunferencia es tangente
a las otras dos. Dibújense por lo menos otras
tres disposiciones análogas.
7. Demostrar el siguiente teorema:
Si dos circunferencias son tangentes, sus centros están alineados con el punto de
tangencia.
[Sugerencia: Trácese la tangente común.]
Gaso 1
Caso 2
/\
8. Demostrar qúesidos circunferencias con radios congruentes son tangentes extenormente,
y un punto cualquiera equidistante de sus centros está en su tangente común.
í \
j 9 .' La distancia de un punto E al centro, A , de una circunferencia es 20. El radio de la circunferencia es 5. Una recta que pasa por E es tangente a la circunferencia en B. Deter­
mínese EB.
ÍOj En la figura, cada una de las circunferencias con
centros A, B y C es tangente a las otras dos. Si
A B = 10, A C = 14 y BC — 18, determínese el
radio de cada circunferencia. [Sugerencia: Sea x
el radio de una circunferencia.]
11. Se da la figura de la derecha, en la cual las
circunferencias son tangentes, P y P' son sus
<-->
k—y
centros, y P B y P'A son tangentes en B y A,
respectivamente. Sabiendo que los radios son
9 y 6, determínense PB y P'A.
12. Dos circunferencias concéntricas tienen diámetros de 10 y 26. Considérense tangentes a
la circunferencia menor que pasan por los extremos de un diámetro*de la circunferencia
mayor. Determínese la longitud del segmento de cada tangéijte que tiene un extremo en
cada circunferencia.
S e c ta s tan g e n tes a la s circunferencias
429
la figura de la izquierda, a continuación, A B es un diámetro de la circunferencon centro P; L es tangente en T a la circunferencia; AD y BC son perpendiculares
L. Demuéstrese que PD = PC.
* 14. En la figura anterior de la derecha, las circunferencias con centros P y S son tangentes a
la recta L en Q. U na secante a la circunferencia mayor pasa por P, es tangente a la circun­
ferencia menor en T y corta a L en R. Si los radios de las circunferencias son 8 y 3,
determínese QR.
__
* 15. En una circunferencia con centro P, A B es un_diámetro y A C es otra cuerda cualquiera.
U na secante que pasa por i5 y es paralela a A C interseca en un punto D a la tangente en
C. Demuéstrese que DB es tangente a la circunferencia en el punto B. [Sugerencia:
Trácese PC.]
Los siguientes teorem as son fáciles de
dem ostrar:
T e o re m a 1 4 - 4
L a perpendicular desde el centro de una
circunferencia a u n a cuerda biseca a
ésta.
T e o re m a 1 4 - 5
E l segm ento desde el centro de una
circunferencia a l p u n to m edio de una
cuerda es perpendicular a ésta.
T e o re m a 1 4 - 6
E n el plano de u n a circunferencia,
la m ediatriz de u n a cuerda p asa p o r el
cen tro de la circunferencia.
D em uéstrese esto. (Si el alum no n o se da
cuenta de cóm o em plear alguno de los
teorem as anteriores, deberá tra ta r de utilizar
el teorem a 6-2.)
430
C ircunferencias y superficies esféricas
C o ro la rio
N inguna circunferencia contiene tres puntos alineados.
LA
/ L\
s
o
/
«
X
M
O
i1"!
I
I ¡H i- r 1* s
R
t
Dem ostración: Si tres p u n to s Q, R y S de u n a circunferencia estuvieran alineados,
entonces las m ediatrices de las cuerdas Q R y R S serían paralelas. Pero, esto es im ­
posible, p o rq u e dichas m ediatrices pasan p o r el centro.
D e fin ic ió n
D os o m ás circunferencias co n radios congruentes se llam an congruentes.
Obsérvese que esta definición de circunferencias congruentes está de acuerdo con el
em pleo de la p alab ra congruente p a ra segm entos, ángulos y triángulos. L a idea básica
en cada caso es que dos figuras son congruentes, si tienen el m ism o tam añ o y la misma
form a.
T e o re m a 1 4 - 7
E n la m ism a circunferencia o e n circunferencias congruentes, las cuerdas equi­
distantes del centro son congruentes.
D em uéstrese esto. (E n las figuras anteriores, algunas de las m arcas están basadas
e n el teorem a 14-4.)
R e ctas tan g e n ti» a las circunferencias
Te o re m a 1 4 -8
drCUnferencia ° en circunferencias congruentes, dos cuerdas cc
gruentes cualesquiera equidistan del centro.
Demuéstrese esto.
Finalmente, tenemos:
T e o re m a 1 4 - 9
Si u n a recta interseca a l interio r de una
circunferencia, entonces co rta a la circun­
ferencia exactam ente e n dos puntos.
Demostración: Según se indica e n la figura, sea
C u n a circunferencia de rad io r, sea L u n a recta
y supongam os que L contiene u n p u n to R del
interio r de C. Entonces, P R < r. Sea F el pie
de la perpendicular desde P a L y sea P F = í.
(1) Si Z e s t á en L y en C, entonces el A P F X tiene un ángulo recto en F y , así,
D 4
P o r tanto,
r2 = s 2 + F X 2.
F X = \¡r 2 - s 2.
(2) Si X es u n p u n to de L y F X - 4 r ^ 7 \ entonces i" está e n C. pues
PX2 = PF2+ FX2
= s2 + (r2 - s2)
= r 2.
Pero r2 - s 2 > 0, p orque , > 5 . Luego, en virtud del teorem a de la localización
de pu n to s, hay exactam ente dos p u n to s * de L tales que F X = J ? ~ - 72 p o r tanto
exactam ente dos p u n to s de £ están en C, com o se q u L dem ostrar.
‘
’
432
C ircunferencias y superficies esféricas
Conjunto de problemas 14 -2 B
1. Enúnciese el teorema o corolario que justifica cada una de las conclusiones siguientes
relacionadas con la figura, en la cual P es el centro de la circunferencia:
(a) Si P Ñ L C D , entonces C N = ND.
^
(b) Los puntos A , Q y B no están alineados.
(c) Si P M = P N , P M L A B y P Ñ L C D , entonces
A B S íC D .
(d) Si A B ^ C D , P M L A B y P Ñ L C D , entonces
P M = PN.
c\
(e) Si P T es una tangente, R T L PQ(f) Si M está en el interior de la circunferencia, entonces MQ interseca a l/circunferencia
exactamente en un punto distinto de Qr
©
l i En una circunferencia con radio de 10 centímetros, una
cuerda dista 6 centímetros del centro. ¿Cuál es la lon­
gitud de la cuerda ?
3. Un diámetro y una cuerda de una circunferencia tienen un extremo común. Si la longitud
del diámetro es 40 y la longitud de la cuerda es 24, ¿a qué distancia del centro de la circun­
ferencia está la cuerda?
4. Una cuerda de 16 centímetros está a 15 centímetros del centro de una circunferencia.
¿Cuál es el radio de la circunferencia?
5. En la figura, P es el centro de la circunferencia,
PDLAC,
JE LB C ,
y
PD = PE.
Demuéstrese que ¿.DBA = LE A B .
6. Demostrar lo siguiente: En una circunferencia
cualquiera, los puntos medios de todas las cuerdas
congruentes con una cuerda dada forman una cir­
cunferencia concéntrica con la circunferencia dada
y de radio iggal a la distancia de una cualquiera de
las cuerdas al centro.
7. Demostrar lo siguiente: En una circunferencia, si dos cuerdas que tienen un extremo
común forman ángulos congruentes con el diámetro que pasa por dicho extremo, entonces
las cuerdas son congruentes.
R ectas tan g e n tes a las circunferencias
433
8. Si se da un arco de una circunferencia, como en la
figura de la derecha, expliqúese cómo se pueden
determinar el centro y el radio de la circunferencia.
9‘
U" a f p r e n d a una cuerda de 12 centímetros es paralela a una tangente y biseca
al radio trazado por el punto de tangencia. ¿Cuál es la longitud del radio?
I0' d ^ L r T ^ H 6, 18 Centímetros es Perpendicular a un radio de una circunferencia. La
Z ,r n n ,
intersección de la cuerda y el radio al extremo del radio es de 3 centí­
metros. Determínese la longitud del radio.
11. Contestar cada parte del siguiente problema, según se explica a continuación:
Escríbase "superílua", si se da más información que la necesaria para obtener una
respuesta numérica. Escríbase "no es suíicienic", si no se da suficiente información. ’
estribase suficiente , si se da justamente la suficiente información para lograr una
solucion numérica. Escríbase "contradictorio", si los datos son contradictorios.
ímpoííbTndad ]N° ^ neCeSarÍ° rCSOlVCr Cada Pa,te> solamcn,e deddir su posibilidad o
En la figura, P es el centro de la circunferencia y
¿ CD.
(a) A F — 5, A B = _____ (b) PB — 7, CD '=___________
(d) CF = 3, FP
(e) PB= 13, P F = 5, A B —_____
(f) A B
(g )
16, CD
(C) A C = 9 , PB
2, PD - 6, CD = _
20, CF
C
4, PB = .
C F = 1, PB - 17, FB - 10, CD - .
(h) CD
30, A B
(i) PB - 25, FB
24, A C ~ _____
20, CF
10, A C -
( j) PD = 12, CF = 6, A B _____
12. Demostrar lo siguiente: Si dos cuerdas (que no
sean diámetros) congruentes de una circunferencia
se intersecan en un diámetro, forman ángulos
congruentes con el diámetro.
13. Dos circunferencias^ de radios desiguales, se intersecan en los puntos R y S. M es el
punto medio de P P \ el segmento definido por los centros de las circunferencias. Una
recta que pasa por R es perpendicular a M R y corta.a las circunferencias nuevamente en
A y en tí. Demuestrese que A R = BR.
I
14. Demostrar el siguiente teorema:
Tres puntos no alineados Cualesquiera están en una circunferencia.
434
C ircunferencias y superficies esféricas
1 4 -3 .
PLANOS TANGENTES A LAS SU PE R FIC IE S ESFÉRICAS
Si el alum no h a entendido lo expuesto en la sección an terio r, no encontrará difi­
cultades en la presente, pues la relación entre superficies esféricas y planos e n el
espacio es m uy parecida a la relación entre circunferencias y rectas e n u n P,a n o - P<£
consiguiente, hay u n a estrecha analogía entre las definiciones y los teorem as de la
sección an terio r y las definiciones y los teorem as de ésta.
D e fin ic io n e s
E l interior de u n a superficie esférica es el
conjunto de to d o s los p u n to s del espacio
cuyas distancias al centro son m enores que
el rad io . El exterior de u n a superficie es­
férica es el conjunto de todos los puntos
del espacio cuyas distancias al centro son
m ayores que el radio.
Así pues, to d o p u n to del espacio está o en el interior de la superficie esférica, o en
el exterior de la superficie esférica, o en la superficie esférica. E n los dos prim eros
casos, direm os frecuentem ente, p a ra abreviar, que u n p u n to está dentro de la super­
ficie esférica o fu era de la superficie esférica.
.
(Recuérdese que 0 < r, p orque r > 0. P o r tan to , el centro esta en el interior.)
D e fin ic io n e s
U n plano tangente a u n a superficie esférica es u n plano que interseca a la super­
ficie esférica en u n solo p u n to . E ste p u n to se llam a punto de tangencia o punto de
contacto. D ecim os que el plano y la superficie esférica son tangentes en el punto
de contacto.
E n la figura anterior, el p lan o E es tangente a la superficie esférica en Q. Observese
que Q no parece estar en la fro n tera de la superficie esférica. (C uando u n a bola esta
colocada sobre u n a m esa y la m iram os desde arriba, no podem os ver el p u n to e n el
cual se apoya.)
P la n o s tan g e n tes a la» superficies esféricas
435
T o d a superficie esférica tiene u n p lan o tangente en cada un o de sus pu n to s. P ode­
m os deducir esto del siguiente teorem a:
T e o re m a 1 4 -1 0
U n p lan o perpendicular a u n radio
en su extrem o es tangente a la
superficie esférica.
D em ostración: Sea E el p lan o perpendicular al radio P Q en Q. H ay que dem ostrar
que ningún o tro p u n to de E está en la superficie esférica.
Sea R o tro p u n to cualquiera de E. E n virtud del segundo teorem a de m ínim a
distancia (teorem a 8-10), el segm ento m ás co rto desde P a i ; es el segm ento perpendicu­
lar. P or ta n to , P R > P Q . L uego, P R > r y R no está en la superficie esférica, pues R
está en el exterior.
E l recíproco de este teorem a tam bién es cierto.
T e o re m a 1 4 -1 1
T o d o plano tangente a u n a su­
perficie esférica es perpendicu­
lar al ra d io trazad o p o r el pun to
de contacto.
Demostración: Se d a que E es tangente a 5 en el p u n to Q. Supongam os que E no es
perpendicular a P Q . Verificarem os que esta suposición conduce a u n a contradicción.
L a figura an terio r ilustra la dem ostración indirecta.
Sea F el pie del segm ento perpendicular desde P a E . Entonces, F
Q . Sea R un
p u n to del rayo opuesto a F Q ,\& 1 q u e F R = F Q . Entonces, A P F R s A P FQ . (¿Por
qué ?) Luego, P R = P Q = r y R está en la superficie esférica. P o r tan to , E corta a la
superficie esférica e n u n p u n to distinto de Q. Pero, esto es im posible, po rq u e E es un
plano tangente.
E n esta dem ostración y en varias ocasiones anteriores, hem os dibujado figuras en
las cuales la intersección de u n plano y u n a superficie esférica ap aren ta ser u n a circun­
ferencia. A ntes de proseguir co n nuestro estudio de los planos tangentes, señalam os
que esas figuras son correctas.
436
C ircunferencias y superficies esféricas
T e o re m a 1 4 -1 2
Si u n p lan o interseca al interior
d e u n a superficie esférica, en­
tonces la intersección del plano
y la superficie esférica es una
circunferencia. El cen tro de la
circunferencia es el pie del seg­
m ento perpendicular desde el cen­
tro de la circunferencia al plano.
D em ostración: L a n otación es la de la figura. Se sabe que el plano £ interseca al
interio r de la superficie esférica S en un p u n to R. Sea F el pie de la perpendicular
desde P a E . H ay que d em o strar que la intersección de E y S es u n a circunferencia
co n centro F.
A h o ra bien, P R < r, p o rq u e R está en el interior. P o r el segundo teorem a de m ínim a
distancia, P F < P R. Luego, P F < r. Sea P F = 5.
(1) Sea X un p u n to cualquiera de la intersección de £ y 5 . Entonces, el A P F X
tiene u n ángulo recto en F. Luego,
í 2 + FX2 = r2
y
F X = 4 ^ - s2.
P o r tan to , X está en la circunferencia con centro F y radio t = vV2 - s2. f t
Así, pues, la intersección de £ y S está en la circunferencia con centro ^ y radio
t = ~Jr2 — s 2.
E sto n o significa necesariam ente que la intersección es la circunferencia. P ara
com pletar la dem ostración, debem os verificar que todo p u n to de la circunferencia
está e n la intersección.
(2) Sea X u n pun to cualquiera de la circunferencia en £ con centro F y radio
t = -Jr2 — s2. P o r el teorem a de Pitágoras,
P X 2 = t2 + s2
= (r
2 - s
2)
+ í2
= /-2.
Luego, P X = r y X está en la superficie esférica.
T e o re m a 14—13
El segm ento perpendicular desde el centro
de u n a superficie esférica a u n a cuerda biseca
a la cuerda.
(L a dem ostración es análoga a la del teorem a 14-4.)
P la n o s tan g e n tes a las superficies esféricas
437
Teorem a 14-14
E l segm ento desde el centro de una super­
ficie esférica al p u n to m edio de una cuerda
es perpendicular a la cuerda.
La dem ostración es parecida a la del teorem a 1,4-5.
Conjunto de problemas 1 4-3
1. Completar el siguiente enunciado: Si un plano interseca a upa superficie esférica la
intersección es o bien
f p ________________o
u \r\ bM-O
2. Com pletar el siguiente enunciado: Si una recta interseca a una superficie esférica la
intersección es o bien t-'H?»
0
1) i/~'i j-. fo______
3. ¿Podrán estar alineados tres puntos de una superficie esférica ? Expliquée.
4. La superficie esférica S es tangente al plano
E en A ; P es el centro de S; y B, C y D
están en E. ¿Cuál es la relación entre P%
y AB, AC y A D I Expliqúese.
5. En una superficie esférica de radio 15, la distancia desde una cuerda al centro es 9. ¿Cuál
es la longitud de la cuerda ?
6. Una cuerda de una superficie esférica mide 12 centímetros de largo y dista 6 centíme­
tros del centro de la superficie esférica. Determínese el radio de la superficie esférica.
7. Demostrar lo siguiente: Si dos diámetros de una superficie esférica son perpendiculares,
la figura formada por los segmentos que unen sus extremos en sucesión es un cuadrado.
8. Calcular el radio de la circunferencia determinada por un plano que dista 4 centímetros
del centro de una superficie esférica de diámetro 10 centímetros.
9. Se dan una superficie esférica y tres puntos de la misma. Expliqúese cómo determinar el
centro y el radio de la circunferencia que contiene los tres puntos y, también, cómo
determinar el centro y el radio de la superficie esférica.
10. Explicar por qué dos circunferencias máximas cualesquiera de una superficie esférica se
intersecan en los extremos de un diámetro de la superficie esférica.
438
C ircunferencias y superficies esférica*
11. Demostrar el siguiente teorema:
Si dos planos cortan a una superficie
esférica y sus distancias al centro son
iguales, entonces las intersecciones son
o bien dos puntos o dos circunferencias
congruentes..
12. D atos: El plano E interseca a la superficie esférica S; P es el centro de S; los puntos A,
B, C y M están en E; A y B están en S.
PM ±E.
AM AM B.
A C = BC.
A M = PM.
A B = 5.
Calcular el radio de la superficie esférica, m¿_APB y PC.
13. D os circunferencias máximas son perpendiculares, si están en planos perpendiculares.
Demuéstrese que para cada dos circunferencias máximas, existe otra circunferencia
máxima perpendicular a ambas. Si dos circunferencias máximas sobre la Tierra son
meridianos (es decir, pasan por los polos), ¿cuál es la circunferenc||páxim a perpendicular
a las dos?
14. En la figura de la derecha, P y P ' son los
centros de las superficies esféricas S y
S '. A y B son dos puntos de la intersec­
ción de las dos superficies esféricas. AB
<—
►
«-»•
y P P ' se cortan en M . PA es tangente a
S ' en A.
(a) Descríbase la intersección de las
superficies esféricas 5 y S'.
(b) Si el radio de S es 12 y PA = AB, determínese el radio de S ' y la distancia entre los
centros de las superficies esféricas.
1 4 -4 .
ARCOS D E CIRCUNFERENCIAS
E m pezam os este capítulo co n u n estudio de las circunferencias y, luego, procedim os
a hacer u n estudio análogo de las superficies esféricas. E n el resto del capítulo, sin
em bargo, nos ocuparem os solam ente de las circunferencias, porque la teoría corres­
pondiente p ara las superficies esféricas es m uy com plicada p a ra u n curso inicial de
geom etría.
A rcos d e circunferencias
439
E n la figura siguiente, el L A P B es u n ángulo central de la circunferencia C.
D e fin ic ió n
U n ángulo central de u n a circunfe­
rencia es u n ángulo cuyo vértice es
el centro de la circunferencia.
E n la figura de la derecha, la línea roja
es e l arco menor A B y la negra es el arco
m ayor A B . E n cada caso, A y B son los
extrem os del arco.
D e fin ic io n e s
Sea C u n a circunferencia con centro P y sean A y B dos puntos que están en C,
pero que no son los extrem os de u n diám etro. Entonces, el arco m enor A B es k
reunión de A J Í y todos los p u n to s de C que están en el interior del L A P B . El
arco m ayor A B es la reunión de A , B y to d o s los puntos de C que están en el
exterior del L A P B . E n cada caso, A y B son los extrem os del arco AB.
Si A y B son los extrem os de un
diám etro, entonces obtenem os dos
arcos, cada uno de los cuales se
llam a u n a semicircunferencia.
D e fin ic ió n
Sea C u n a circunferencia y sean A y B los extrem os de un diám etro. U na semicir­
cunferencia A B es la reunión d e A , B y los p u ntos de C que están en u n sem iplano dado de arista A B . L os p u n to s A y B son los puntos extrem os de la sem icircun­
ferencia.
Obsérvese que la notación A B p a ra arcos es
siem pre am bigua, p o rq u e cada dos p u n to s A y B
de una circunferencia son los extrem os de dos
arcos distintos de la circunferencia. L a m anera
m ás fácil de evitar esta am bigüedad es elegir
o tro p u n to X del arco y d en o tar dicho arco p o r
AXB.
440
C ircunferencias y superficies esféricas
P o r ejem plo, en la figura anterior, A X B es el arco m enor, dibujado en rojo, y A Y B es el
arco m ayor, d ibujado en negro. C u ando está claro p o r el contexto a que arco nos
referim os, podem os escribir sim plem ente A B .
A h o ra, definirem os las medidas en grados de los arcos de la m anera sugerida por
las m arcas en las figuras siguientes:
Obsérvese que la m edida e n grados de u n arco no depende del tam año de la circun­
ferencia. E n los pares de circunferencias concéntricas anteriores, los arcos correspon­
dientes tienen la m ism a m edida. Obsérvese, tam bién, que a m edida que u n arco
aum en ta (en u n a circunferencia dada), su m edida aum enta. Asi, u n arco m ayo
siem pre tiene una m edida en grados m ayor que 180.
L a siguiente definición se relaciona con
estas ideas:
mAXB = r .
D e fin ic ió n
(1) L a medida en grados de u n arco
m enor es la m edida del ángulo central
correspondiente.
180.
(2) L a medida en grados de u n a semi­
circunferencia es 180.
(3) L a medida en grados de un arco m ayor
es igual a 360 m enos la m edida del arco
m enor correspondiente.
Arcos d e circunferencias
441
D e ah o ra en adelante, nos referirem os a la m edida en grados de un arco sim plem ente
com o su m edida. L a m edida de u n arco A B se d en o tará p o r m A B.
E l siguiente teorem a parece plausible, pero
su dem ostración es asom brosam ente tediosa:
T e o re m a 14—1 5. El teorema de la adición de arcos
Si B es u n p unto de A C , entonces
m A B C = m A B + mBC.
O m itim os la dem ostración de este teorem a, y lo consideram os com o u n postulado.
Obsérvese que cuando A B C es u n arco m enor, nuestra fórm ula se deduce inm ediata­
mente del postulado de la adición de ángulos. N o obstante, hay otros casos que
tendríam os que considerar en u n a dem ostración com pleta.
C o njun to de p roblem as 14—4
1. En la figura, A y B son los extremos de un
diámetro.
(á) Nómbrense las semicircunferencias.
(b) Nómbrense los arcos menores.
(c) Nómbrense los arcos mayores.
(^2-jEn la figura de la izquierda, a continuación, P es el centro de la circunferencia y RQ = PS.
Determínense mRQ, mRS, mSRQ y mRSQ.
3. En la figura anterior de la derecha, los diámetros A B y CD se intersecan en P. Si m /_A BC
= 40, determínese la medida de cada uno de los arcos menores de la circunferencia.
4. Demostrar lo siguiente: Si CH y M K son dos diámetros de una circunferencia, entonces
mGK = niHM.
442
C ircunferencias y superficies esféricas
5. En la figura de la derecha, ¿cuál de los arcos tiene la
medida mayor ?
6. Demostrar lo siguiente: La bisectriz de un ángulo central de una circunferencia biseca
al arco menor correspondiente.
7. D atos: AB es una semicircunferencia con
centro C; PQ es concéntrica con AB;
E C _L A B y D C _L CF.
Demostrar que mÁD + m Q T —m EF -f niRS.
8. Dos puntos de una circunferencia determinan un arco menor y un arco mayor. Si la
medida del arco mayor es 40 menos que 4 veces la medida del arco menor, determínese
la medida de cada uno.
p (L i A S
T& * I »
1 4 -5 .
ÁNGULOS INSCRITOS Y ARCOS INTERCEPTADOS
^ 0
E n cada u n a de las siguientes figuras, el ¿ x se dice que está inscrito e n el arco
rojo.
V
E sta idea se describe con palabras, rápida y fácilm ente.
D e fin ic ió n
U n ángulo está inscrito en u n arco, si
(1) los lados del ángulo contienen los extrem os del arco y
(2) el vértice del ángulo es un p u n to , pero no un extrem o, del arco.
D esde luego, si D es un p u n to cualquiera del arco A B C , distinto de A y C, entonces
A B C = A D C y, así, el l A D C está tam bién inscrito en el m ism o arco. E n la figura
Á ngulos inscritos y a rco s interceptados
443
de la derecha, to d o s los ángulos indicados
están inscritos en el arco A C que se dibujó
en rojo y parecen ser todos congruentes. E n
efecto, esto es lo que siem pre sucede, com o
verem os pronto.
E n cada u n a de las figuras que aparecen a continuación, el ángulo intercepta el
arco r o jo :
P ero en la figura que sigue, no decim os que el ángulo intercepta el arco r o jo :
E n la definición siguiente, adm itim os los prim eros cuatro casos, pero descartam os
el q u in to :
D e f in ic ió n
U n ángulo intercepta u n arco, si
(1) los p u n to s extrem os del arco están e n el ángulo,
(2) to d o s los o tro s p u n to s del arco están e n el interior del ángulo, y
(3) cada lado del ángulo contiene u n extrem o del arco.
444
C ircunferencias y superficies esféricas
T e o re m a 14—16
L a m edida de u n ángulo inscrito es la m itad de la m edida de su arco interceptado.
O de otro modo:
Sea el L A un ángulo
inscrito en u n arco B A C de u n a circunfe­
rencia, y que intercepta el arco B C . E n­
tonces,
m L A — \m B C .
Demostración: Caso 1. C onsideram os prim ero el caso en que el L A contiene un
diám etro de la circunferencia. E n virtud del
coro lario 9-13.3,
r = s + t.
P o r el teorem a del triángulo isósceles, t = s.
Luego,
r
S= 2‘
E sto dem uestra el caso 1 del teorem a, p o rq u e s — m L A y r = m BC .
A h o ra, sabem os que el teorem a es válido en el caso 1. U tilizarem os esto para
dem ostrar que es válido en to d o s los casos.
Caso 2. Supongam os que B y C están a
lados opuestos del diám etro que pasa p o r A,
com o m uestra la figura:
P o r el caso 1, sabem os que
\
E n consecuencia, p o r adición,
t + u = \ ( r + s).
P ero
t + u = m LA
y
_
r + s = mBDC.
(¿Cuál es la razó n de cada p aso ?) P o r consiguiente, m L A = \m B C , com o anterior­
mente.
A ngulos inscritos y a rco s interceptados
445
Caso 3. Finalm ente, supongam os que 5 y C están al mismo lado del diám etro que
pasa p o r A . Entonces,
r + s = mBCD
y
t + u = m L BA D.
P or el caso 1,
t + u = $(r + s)
y
W— 2
Luego,
t = ir
y m L A = > 5 ? , com o anteriorm ente. (¿Cuál es la razón de cada paso?)
El teorem a 14-16 tiene d os corolarios im portantes.
C o ro la rio 1 4 -1 6 .1
U n ángulo caulquiera inscrito en una semi­
circunferencia es un ángulo recto.
L a dem ostración es evidente, pues un tal ángu­
lo siem pre intercepta una semicircunferencia y
90 = 4 -1 8 0 .
C o ro la rio 1 4 -1 6 .2
Dos ángulos cualesquiera inscritos en el mismo arco son congruentes.
Tam bién, la dem ostración es evidente, pues los ángulos interceptan el mismo
arco.
D e fin ic io n e s
Un cuadrilátero está inscrito en una circunferencia, si los vértices del cuadrilátero
están en la circunferencia. Si cada lado del cuadrilátero es tangente a lá circun­
ferencia, entonces el cuadrilátero está circunscrito a la circunferencia.
446
C ircunferencias y superficies esféricas
C onjunto de problem as 14—5
1. Sea dada la figura de la derecha.
(a) Nombrar el arco en el cual está inscrito el Zz.
(b) Nombrar el arco interceptado por el L x .
(c) Nombrar el arco interceptado por e l , / z.
(d) Nombrar el ángulo inscrito en el BCA.
(e) Nombrar el arco interceptado por el £ B A D .
(f) Nombrar el ángulo inscrito en el CBD.
2. Sea dada la figura de la derecha, con /tS
tangente en S.
(a) Nombrar el arco (o los arcos) intercep­
tados por el ¿_x.
(b) Nombrar el arco (o los arcos) intercep­
tados por el ¿_z.
(c) Nombrar el arco (o los arcos) intercep­
tados por el ¿_y.
3. En la figura de la izquierda, a continuación, P es el centro de la circunferencia. Si
m¿_B = 35, determínense m¿_A y m/_P.
4. En la figura anterior de la derecha, si m /_ M - 75, m M K = 90 y mGH
las medidas de todos los arcos y ángulos.
5. Si nt/_R Q S = 45 y P es el centro, demuéstrese
que RPJ_SP.
/í 6.j AB es un diámetro de una circunferencia y C y D son
puntos de la misma a lados opuestos de AB tales que
BC = BD. Demuéstrese que
A ABC i &ABD.
70, determínense
A ngulos inscritos y a rco s interceptados
447
7. Datos: P es el centro de la semicircunferencia
AB; PR biseca a A C y PQ biseca a BC.
j Demostrar que ~PR±T q .
8. Demostrar lo s.guiente: Si dos circunferencias son tangentes interiormente de manera
qfie la circunferencia menor contenga el centro de la circunferencia mayor, entonces una
cuerda cualquiera de la circunferencia mayor que tenga un extremo en el punto de tangencia, es bisecada por la circunferencia menor.
9 JS e da la figura de la derecha, con niAG =
Demuéstrese que
111
BG.
A M H B ~ &MAG.
10. Demostrar lo siguiente: En una circunferencia cualquiera, las cuerdas paralelas intercep­
tan arcos que tienen medidas iguales.
11. Demostrar el siguiente teorema:
En una circunferencia, un diámetro perpendicular a una cuerda biseca a cada uno de
los arcos determinados por los extremos de la cuerda.
12. Demostrar lo siguiente: Si un ángulo inscrito en un arco circular es un ángulo recto el
ateo es una semicircunferencia.
,3 '
^
J ñ m D ' Demuéstresec<uc « «
la mediageomé-
14. Se da la figura de la derecha.
(a) Si A D - 9 y DB = 4, determínese CD.
(b) Si A B —25 y A D — 5, determínese CD.
(c) Si AD = 32y CD = 8 ,determínese DB.
(d) Si AD - 3 y DB = I, determínese CD.
(e) Si A B
25 y CD - 12, determínense A D y DB.
" * * ? • * * * « ■«
F ig u ra pa ra lo s p ro b le m a s
1 3 y 14
\
™ «> v Minués—
- ■—
w--_ 7
Ü.S
16. Demostrar el siguiente teorema:
Los ángulos opuestos de un cuadrilátero inscrito
en una circunferencia son suplementarios.
17. En la figura de la derecha, si m /_P = 60 y 111P SR = 128,
¿cuáles son m /_Q , m¿_R y m¿_5?
F ig u ra pa ra lo s p ro b le m a s
1 6 y 17
448
C ircunferencias y superficies esféricas
En la figura, /¡B es un diámetro de la más pequeña
de dos circunferencias concéntricas. A P y BQ son
tangentes a la circunferencia más pequeña en A y B,
respectivamente. Demuéstrese que AB y PQ se
intersecan en el centro de las circunferencias.
19. Si un triángulo isósceles está inscrito en una
circunferencia, la medida del arco interceptado
por el ángulo en el vértice es dos veces la
diferencia de las medidas del ángulo externo
en la base del triángulo y de un ángulo en la
base.
20. El A-4SCestá inscrito en una circunferencia. La cuerda A E LBC y la cuerda CD _L AB.
Demuéstrese que BD = BE21. Dos circunferencias congruentes son tangentes exteriormente en T. El diámetro PQ es
paralelo al diámetro SR, con S y Q en lados distintos de PR. Demuéstrese que el □ PQRS
es un rombo.
1 4 -6 .
ARCOS CONGRUENTES
D e fin ic ió n
E n la m ism a circunferencia, o en circunferencias congruentes, dos arcos se
llam an congruentes, si tienen la m ism a medida.
Obsérvese que aquí, com o de costum bre, el significado intuitivo de la palabra
congruente es que las dos figuras tienen el mismo tam añ o y la m ism a form a; u n a puede
moverse hasta coincidir con la otra.
T e o r e m a 14—17
E n la m ism a circunferencia, o en circunferencias congruentes, si dos cuerdas son
congruentes, entonces tam bién lo son los arcos m enores correspondientes.
-
A rcos cong ru en tes
449
D em ostración: L a n otación de la dem ostración es la de la figura. H ay que verificar
que r = s. P o r el p ostulado LLL,
A A P B s A A 'P 'B '.
P o r tan to , m L A P B = m L A 'P 'B '. C om o m A B = m ¿_A P B y m A^B' = m L A 'P 'B ',
tenem os r = j y A B s A 7]}'.
T e o re m a 1 4 -1 8
E n la m ism a circunferencia, o en circunferencias congruentes, si dos arcos son
congruentes, entonces tam bién lo son las cuerdas correspondientes.
En la dem ostración, es necesario considerar tres casos, po rq u e los dos arcos con­
gruentes pueden ser arcos m enores, arcos m ayores o semicircunferencias. Las figuras
siguientes sugieren la dem ostración p a ra el segundo de los casos m encionados:
O btenem os A B = A 'B ', utilizando el postulado LA L.
T e o re m a 1 4 -1 9
Se d a u n ángulo con el vértice en u n a circunferencia, form ado por un rayo
secante y un rayo tangente. L a m edida del ángulo es la m itad de la m edida del
arco interceptado.
Demostración:
U tilizando la notación de la figura, tenem os
x + j = 90,
y deseam os dem ostrar que
2 y + z = 180;
450
C ircunferencias y superficies esféricas
C o n ju n to de p roblem as 14—6
1. En la figura de la izquierda, a continuación, A B s CD. Demuéstrese que A C = BD.
2. En la circunferencia anterior de la derecha, con centro P, P M = P K y PM y PK son per­
pendiculares a las cuerdas R S y QT, respectivamente. Demuéstrese que R S ^ QT.
3. En la siguiente figura, K H y KG son tangentes a la
circunferencia en H y G . Si la medida del arco mayor
GH es 242, determínense m /_D G H y m ¿G H K .
4. En la figura para el problema 3, ¿por qué es
LK H G = ¿_KGH?
5. En la figura para el problema 3, si m /_ K = 60,
demuéstrese que la medida del arco mayor GH es dos
veces la medida del arco menor GH.
11*
6. Demostrar lo siguiente: Si dos tangentes a una circunferencia se intersecan, forman un
triángulo isósceles con la cuerda que une los puntos de tangencia.
7. Demostrar el siguiente teorema:
Si dos arcos son congruentes, entonces un ángulo cualquiera inscrito en uno de los
arcos es congruente con un ángulo cualquiera inscrito en el otro.
8. En la figura de la izquierda, a continuación, A D = CB. Demuéstrese que el ¡3ADBC
es un trapecio isósceles.
9. En la figura anterior de la derecha, el cuadrado U A B C D está inscrito en una circunferen­
cia y es un punto cualquiera de AB, distinto de A y de B. Demuéstrese que PC y PD
trisecan al /_APB.
Arcos congruentes
451
<y
<-—
>
la figura, P A y PD son tangentes en A y D,
Si
m AD = 70;
mBC = 170
w ¿7>L e = 40,
determínese la medida de cada ángulo y cada arco
menor de la figura.
11. A B es un diámetro de la circunferencia en la cual
la cuerda DE es paralela a la tangente CB.
(a) Si mBD = 64, determínese la medida de cada
ángulo y de cada arco menor de la figura.
(b) Si A E = 16 y el radio de la circunferencia es
10, determínese la longitud de cada segmento.
(c) Utilizando la información de la parte (b),
determínese el área del {JADBE.
¡y 12. Se da un ángulo con el vértice en una circunferencia, formado por un rayo secante y un
rayo tangente. Demuéstrese que el punto medio del arco interceptado equidista de los
lados del ángulo.
*
13. Dos circunferencias no congruentes son tangentes en un punto T. Una secante, L, que
pasa por T, interseca a la circunferencia mayor en A y a la menor en B. Demuéstrese que
las tangentes en A y en B son paralelas. {Nota: Hay dos casos: (a) Las circunferencias
son tangentes interiormente; (b) Las circunferencias son tangentes exteriormente.]
14. En la figura de la derecha, PR y Q S son
tangentes y PQ es un diámetro. Dado que
mM Q
120 y RQ = 8,
determínese el radio de la circunferencia.
15. Demostrar el siguiente teorema :
La medida de un ángulo formado por
dos secantes a una circunferencia, que
se intersecan en un punto del interior de
la circunferencia, es igual a la semisuma
de las medidas de los arcos interceptados
por el ángulo y su opuesto por el vértice.
[Sugerencia: Demuéstrese que m¿_DKB = k(w D B + mAC). Trácese primero BC.}
452
C ircunferencias y superficies esféricas
16. Refiérase a la figura para el problema 15.
(a) Si mDB = 40 y m A C = 90, determinar m¿_AKC.
(b) Si mAD = 100 y mBC = 170, determinar m'LBKC.
(c) Si m AC = 130 y m¿_DKB = 75, determinar mDB.
(d) Si mACD = 310 y mBC = 200, determinar m/_AKC.
(e) Si mBAC = 180 y m /_D K B = 57, determinar mAD.
17. Demostrar el siguiente teorema :
La medida de un ángulo formado por
dos secantes a una circunferencia, que
se intersecan en un punto en el exterior
de la circunferencia, es igual a la mitad
de la diferencia de las medidas de los
arcos interceptados.
[Sugerencia: Demuéstrese que m¿_K = {(mBD — mAC). Primero, trácese BC.)
18. Refiérase a la figura para el problema 17.
(a) Si mBD = 70 y m AC = 30, determinar m¿_K.
"4 O - $ c -
(b) Si mBD = 126 y m A C = 18, determinar m/_K.
^
- i''*
(c) Si m A C = 50 y m /_K — 22, determinar mBD.
(d) Si mAB = 80, mBD = 80 y mCD = 190, determinar m/_K.
(e) Si m /_K = 28, mABD = 166 y mACB —290, determinar mCD.
19. Verificar que el teorema del problema 17 es válido si las palabras “dos secantes”
reemplazan por “una secante y una tangente" o por “ dos tangentes".
20. Dos tangentes a una circunferencia forman un ángulo cuya medida es 72. ¿Cuál es
número de grados de cada arco interceptado ?
21. En la figura de la derecha, K S es tangente a
<■>
la circunferencia en T y la secante KR
contiene al punto P, centro de la circun­
ferencia. Si m ¿_K — 35, determínense mQ T
y m/_STR.
Segm entos secantes y tan g e n tes. L a poten cia d e u n p u n to
453
22. Se dan dos tangentes a una circunferencia que se intersecan en K. Si la medida de uno
de los arcos interceptados es 4 veces la medida del otro, ¿cuál es la medida del ¿_K?
*+ 23.
K
En la figura, si m fíD = 70 y m¿_DMB = 4m/_K, determínense m AC y m/_K,
25. Se dan una circunferencia y un punto en su exterior. Una recta que pasa por P es tangente
a la circunferencia en T. Una secante que contiene al punto P corta a la circunferencia
en Q y en R, estando Q entre R y P . La bisectriz del Z QTR interseca a RQ en 5. Demuéstrese que
P T = PS.
26, Datos: A D y DB son diámetros de circunferencias
congruentes y tangentes; B C es una tangente
en C.
Demostrar que m AC = m D C + mDE.
1 4-7 .
SEGMENTOS SECANTES Y TANGENTES. LA POTENCIA D E UN
PU N TO CON RESPEC TO A UNA CIRCUNFERENCIA
D e fin ic ió n
Si Q Á es tangente a u n a circunferencia
en A , entonces Q A se llam a u n seg­
m ento tangente desde Q a la circun­
ferencia.
Q
\
\
454
C ircunferencias y superficies esféricas
T e o re m a 1 4 -2 0
Los dos segm entos tangentes a una
circunferencia desde un punto
exterior son congruentes y deter­
m inan ángulos congruentes con el
segm ento que une el pun to ex­
terio r al centro.
O de otro modo: Sea C una circunferencia con centro P y sea Q un p u n to del exterior
de C. Si QA y Q B son tangentes a C en A y B, respectivam ente, entonces Q A = Q B
y LP Q A s LPQ B.
Demostración: PA = P B, porque A y B están en la circunferencia; tam bién, P O = PQ .
E n virtud del teorem a 14—3, los ángulos L A y L B son ángulos rectos. P o r el teorem a
de la hipotenusa y el cateto (teorem a 7-4), tenem os
A PQ A s L P Q B .
E n consecuencia, QA = Q B y L P Q A = L P Q B , com o se quería dem ostrar.
Considerem os a h o ra el caso de dos rectas secantes a una circunferencia, que pasan
p o r el m ism o p u n to del exterior.
E n la figura anterior, O S y Q T se llam an segmentos secantes a la circunferencia. A
continuación, se da una definición más precisa de este térm ino:
D e fin ic ió n
Si un segm ento co rta a u n a circunferencia en dos puntos y precisam ente uno de
éstos es un extrem o del. segm ento, entonces el segm ento se llam a segmento
secante a la circunferencia.
El teorem a de m ás adelante establece que en la figura anterior, siempre tenemos
Q R - Q S = Q U ■ QT.
E s decir, el producto de las “ dos distancias” desde Q a la circunferencia está com ­
pletam ente determ inado p o r la circunferencia y el punto Q , y queda inalterado cuando
elegimos diferentes rectas secantes.
Segm entos secantes y tan g e n tes. L a potencia d e u n p u n to
T e o re m a
1 4—21.
455
El teorema de la potencia de un punto
Se d a n una circunferencia C y un p u n to Q de su exterior. Sea L x una secante
que p asa p o r Q e interseca a C en los p u n to s R y S ; y sea L 2 o tra recta secante que
p asa p o r Q e interseca a C en los p u n to s U y T . Entonces,
QR-QS^QU-QT.
Dem ostración: Considerem os los triángulos A Q S U y A Q T R . Estos triángulos tienen
com ú n e l_ A 0 . T am bién, L Q S U £ L Q T R , p orque están inscritos en el m ism o arco
R S U = R TU . P or el corolario A A (12-3.1), tenem os
A Q S U ~ A Q TR.
P o r tanto,
QS^OU
QT
QR
y , así,
Q R - Q S = Q U ■ QT,
com o queríam os dem ostrar.
Así, pues, el producto Q R ■ Q S queda determ inado cuando se dan la circunferencia
C y el p unto exterior Q. Este núm ero se llam a la potencia de Q con respecto a C.
El teorem a 14-22 nos d irá que en la siguiente figura, en la cual g r e s u n segm ento
tangente, tenem os
Q R - Q S = Q T 2.
E sta igualdad significa que
qt=4 qítqs.
P o r tanto, Q T es la m edia geom étrica de Q R y QS.
Este teorem a es m ás fácil de enunciar que el anterior.
T e o re m a 1 4 -2 2
Se da u n segm ento tangente Q T a u n a circunferencia, y una recta secante q u e pasa
p o r Q e interseca a la circunferencia e n los puntos R y S . Entonces,
Q R - Q S = Q T 2.
C on otras palabras, el cuadrado de la longitud de un segm ento tangente es la
potencia con respecto a la circunferencia del extrem o del segm ento distinto del punto
de contacto.
456
C ircunferencias y superficies esféricas
Dem ostración: T R es el arco interceptado por los ángulos L Q S T y L Q TR . L os pasos
principales de la dem ostración son los siguientes:
(1)
m L Q S T = %mTR
(2)
m L Q T R = {m T R
(3)
L Q S T Sí L Q T R
(4)
L Q ^ L Q
(5)
A Q S T ~ A QTR
(6)
^ = ^
QT
QR
(7)
Q RQ S=Q T2
¿Cuál es la razón de cada p aso ?
El teorem a a continuación afirm a que en la figura siguiente, tenem os
Q R ■Q S = Q U ■ QT.
T e o re m a 1 4 -2 3
Sean R S y T U cuerdas de la m ism a circun­
ferencia que se intersecan e n Q. Entonces,
Q R - Q S = Q U - QT.
D e nuevo, presentam os solam ente los pasos principales de la dem ostración:
(1)
LUSLR
(2)
LSQ U ^LTQ R
(3)
A SQ U ~ A TQ R
(4)
^ = ^
QT
QR
(5)
QR - Q S= QU - QT
Este teorem a nos perm ite definir la potencia de un p u n to co n respecto a una circun­
ferencia en el caso de que el p unto está dentro de la circunferencia. H em os encontrado
que el producto Q R • Q S se determ ina cuando se dan la circunferencia C y el punto Q;
y este núm ero queda inalterado cuando elegimos diferentes cuerdas que pasan por Q.
P o r tan to , podem os definir la potencia de Q con respecto a C com o el núm ero Q R ■Q S.
Segm entos secan tes y tan g en tes. l a potencia de u n p u n to
457
Conjunto de problemas l i ^-7
4. Datos: Las circunferencias C y C ' son ambas
tangentes a l e n í ; P j s un_punto cualquiera
de £ , distinto de T; PA y i>8 son segmentos
tangentes.
p ^^l-O
Demostrar que PA = PB.
I
5. Los lados dei QABCD son tangentes a una circunlerencia, según se indica en la figura de la derecha.
Demuéstrese que
AB + D C = AD
BC.
7’ P 0 ° S 3 T ! ° S tan,ger!tes mencionados en el problema 6 determinaran un ángulo de
- , ¿cuales serian las longitudes de dichos segmentos?
. En la figura de la derecha, QR y QS son segmentos
tangentes a la circunferencia cuyo centro es P. QP
corta a la circunferencia en M . Demuéstrese que
M equidista de los segmentos tangentes.
cuerda'son'4 t r
« q u ^ d l^ ro s
in[^secan. Las longitudes de los segmentos de una
^
81 Ud ^ Un Se8mCnt° ^ 'a ° !ra CUCrda 6S 3’
la
di
L.
458
C ircunferencias y superficies esféricas
10. Determinar la potencia de Q con respecto a C (véase la figura), si se da la siguiente
información:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
05 = 9
05 = 3
QU = 7
e r= 1
QR = 4
QR = 5
5 /? = 12
QT=5
TU = 13
5 « - 14
II. En una circunferencia de 37 centímetros de diámetro, un diámetro corta a una cuerda
de tal modo que el punto de intersección está a 4 centímetros de un extremo de la cuerda
y a un centímetro de un extremo del diámetro. ¿Cuál es la longitud de la cuerda?
12. En la figura, A B = 25, A E - 18 y D C -^21.
Determínense EB, DE y EC.
13. Determinar la potencia de 0 con respecto a C (véase la figura), si se da la siguiente
información:
(a) QR = 4
y 0 5 -1 3
(b) QR = 6
y RS - ' 8
(c) Q T = 17
y U T= 9
(d) 0 í / = V I 4 y Q T = V 56
(e)
(35 = 23
y
R S = 17
14. En la figura de la derecha, si PA
y PC =-$, determínese /’£*.
6, PB = 15
15. En la figura de la derecha, si PB = 24, A B 16 y PD = 16, determínese PC.
16. En la figura de la derecha, si PD = 20,
CD = 12 y AB - 21, determínese PB.
F ig u ra pa ra lo s p ro b le m a s 1 4 , 1 5 y 1 6
17. En la figura de la derecha, Q T es un segmento tangente. Determínese la potencia de Q
con respecto a C, si se da la siguiente información:
(a) QR = 4, g 5 = 9 y Q T = 6
(b) Q S = 13
y «5 = 9
(c) Q T = 8
y
(d) 0 « = V 6
y0 5 = v'54
(e) Q S = V Í 1
y Q 7 = VÍ3
R S = 12
S.
c
18. En la figura de la parte superior de la página 459, PA es un segmento tangente. Si PB = 5
y PC = 20, determínese PA.
Segm entos secantes y tan g e n tes. La potencia de u n p u n to
459
19. En la figura de la derecha, PA es un segmento
tangente. Si PA — 8 y PB = 7, determínese
PC.
20. En la figura, PA es un segmento tangente. Si
PA = 16 y BC 24, determínese PC.
Figura para los problemas 18, 19 y 20
21. Se da la figura de la derecha, a continuación, con ambas circunferencias tangentes a
L en T. P es un punto cualquiera de L distinto de T. Demuéstrese que
PM - P R = P K PS.
E
22. En la figura anterior de la izquierda, A es un punto cualquiera de L distinto de T, el
punto de tangencia común de las dos circunferencias. Demuéstrese que
A B = AC
AD
AE
23. Si una tangeníe común a dos circunferencias interseca a la recta de los centros en un
punto situado entre dichos centros, se dice que es una tángeme común interna. Si no
interseca a la recta de los centros en un punto situado entre los centros, se dice que es
una tangente común externa.
En la figura de más adelante, AB es una tangente común externa y CD es una tangente
común interna.
Si se dan dos circunferencias, indíquese cuántas tangentes comunes externas y cuántas
tangentes comunes internas habrá en cada uno de los siguientes casos:
(a) Las circunferencias no se cortan,
como en la figura.
(b) Las circunferencias son tangentes
exteriormente.
(c) Las circunferencias se intersecan en
dos puntos.
(d) Las circunferencias son tangentes
interiormente.
(c) Las circunferencias son concén­
tricas.
460
C ircunferencias y superficies esféricas
24. Dos circunferencias tienen radios de longitudes 5 y 17 y una tangente común externa de
longitud 16. ¿Cuál es la distancia entre sus centros?
Los radios de dos circunferencias tienen
longitudes 3 y 8, respectivamente, y la
distancia entre sus centros es 13. Deter­
mínese la longitud del segmento tan­
gente común externo.
[Sugerencia: Trácese una recta que pase
por Q y sea perpendicular a AP.]
í 26. j La distancia entre los centros de dos
circunferencias de radios 3 y 6, es 18.
¿Cuál será la longitud del segmento
tangente común interno?
27. Demuéstrese que los segmentos tangentes comunes externos a dos circunferencias son
congruentes.
28. Demostrar lo siguiente: Si dos circunferencias y una recta se intersecan en un punto, o
en dos puntos, entonces la recta biseca a cada segmento tangente común externo a las
circunferencias.
C aso 1
C a so 2
+ 29. Demostrar lo siguiente: Las tangentes
comunes internas a dos circunferencias que
no se cortan y la recta de los centros de las
circunferencias se intersecan en el mismo
punto.
[Sugerencia: Utilícese una demostración indirecta. Dibújense los radios y empléense
semejanzas y proporciones.]
30. Demostrar que los segmentos tangentes comunes internos a dos circunferencias que no
se intersecan son congruentes.
462
C ircunferencias y superficies esféricas
Si el centro es el pun to Q{a, b), entonces la circunferencia viene definida p o r la
condición
r
Q P = r.
A lgebraicam ente, tenem os
y j(x - a)2 + ( y - b)2 = r
I
\
\
0
/
Q(o, b)
l
/
i
( x - a)2 + (y - b)2 = r2.
o
•
X
T e o re m a 1 4 -2 4
L a gráfica de la ecuación
(x - a )2 + { y - b)2 = r2
es la circunferencia con centro (a, b) y radio r.
Podem os aplicar este teorem a de d
m aneras:
(.1) Si sabem os cuáles son el cen­
tro y el radio, podem os escribir una
ecuación p a ra representar la circun­
ferencia. P o r ejem plo, la circunferen­
cia con centro (3, 1) y radio 2 es la
gráfica de la ecuación
( x - 3)2 + (y - l ) 2 = 4.
(2)
Si se da una ecuación del tipo
presentado en el teorem a 14-24,
podem os decir cuáles son el centro
y el radio de la circunferencia. P or
ejem plo, si se da la ecuación
{x + l) 2 + (y - 2)2 = 9,
sabem os que el centro es ( —1 ,2 ) y
el radio es 3.
H asta ah o ra, to d o va bien. Pero, supongam os que la segunda ecuación para la
circunferencia cae en m anos de alguien que gusta de “ simplificar” todas las ecuaciones
(
464
C ircunferencias y superficie» esféricas
E sta ecuación tiene la form a
x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0,
donde
A = -2 a ,
B = -2 b
y
C = a2 + b 2 - r2.
A sí, pues, tenem os el siguiente teorem a:
Teorem a 14—25
T o d a circunferencia es la gráfica de u n a ecuación de la form a
x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0.
Tal vez, parezca razonable suponer que el recíproco de este resultado tam bién es
cierto. E s decir, p odríam os pensar que la gráfica de to d a ecuación de la form a indicada
es u n a circunferencia. Pero esto n o es cierto. P o r ejem plo, considerem os la ecuación
x 2 + y 2 = 0.
A quí, A = B = C = 0. Si x y y satisfacen a esta ecuación, entonces am bos son cero.
P o r tan to , la gráfica contiene un solo p u n to , a saber, el origen.
A hora, considerem os la ecuación
x 2 + y 2 + 1 = 0.
A quí, A = B = 0 y C = l. C om o x 2 > 0 y y 2 > 0 para to d o x y to d o y , se deduce
q ue x 2 + y 2 + 1 > 1 p a ra to d o x y to do y. P or consiguiente, x 2 + y 2 + 1 será dis­
tinto de 0 p a ra valores a rb itrario s de x y y . Así, pues, la gráfica de nuestra ecuación
no contiene punto alguno-, la gráfica es el conjunto vacío.
El siguiente teorem a nos dice que, en efecto, las únicas gráficas posibles son la
circunferencia, com o corrientem ente se espera, y las dos posibilidades inesperadas
que acabam os de considerar:
T e o re m a 1 4 -2 6
L a gráfica de la ecuación
x 2 + y 2 + A x + By + C = 0
es o bien (1) una circunferencia, o (2) u n p unto, o (3) el conjunto vacío.
Dem ostración:
E n la ecuación general, com pletarem os el cuadrado en los térm inos
C ircunferencias e n u n plano coordenado.
465
en x y, tam bién, en los térm inos e n y, tal com o hicimos en el ejem plo anterior. T ene­
m os, pues,
x2 + Ax
+ y 2 + By
= -C ,
A hora, hay tres posibilidades:
(1)
Si la fracción de la derecha es positiva, tiene u n a raíz cu ad rad a real. L a gráfica
es, entonces, la circunferencia con centro
y radio
r= y
~A2 + B 2 - 4C.
(2) Si la fracción de la derecha es 0, entonces la gráfica es el punto
(3)
Si la fracción de la derecha es negativa, entonces la gráfica es el conjunto
vacío, p o rq u e el m iem bro de la izquierda nunca puede ser negativo.
Conjunto de problemas 14—8
[Noia: Los ejercicios en este Conjunto de problemas deben resolverse mediante métodos de
la geometría cartesiana, en lo posible.]
1. En cada uno de los siguientes casos, escribir la ecuación de la circunferencia cuyo centro
está en el origen y cuyo radio se da a continuación:
(a) 4
(b) 7
(c) |
(d) 11
(e) V l5
(f) ti
2. Dada la circunferencia cuya ecuación es x 2 + y 2 = 25, ¿cuáles de los siguientes puntos
están en la circunferencia?
(a) ( 0 , - 5 )
(b) (3, —4)
(c) (3,
2)
(d) (24, 1)
(e) (V8, - V i l )
(fj (2V 3, V l3)
466
C ircunferencias y superficies esféricas
3. Se da la circunferencia cuya ecuación es x 2 + y 2 = 36. Indíquense cuáles de los si­
guientes puntos están en su interior, cuáles están en su exterior y cuáles están en la
circunferencia:
(a) (3, 3V3)
(b) (4, - 5 )
(c) ( - 6 , 0)
(d) (5, - 3 )
(e) ( - 4 , - 4 )
(f) (2V2, 2v/7)
(g) (1, l )
(h) ( - 2 V 6 , 4)
4. En cada uno de los siguientes casos, determinar el radio y escribir la ecuación de la
circunferencia con centro en el origen y que contiene al punto dado:
(a) (0, - 4 )
(b) (3, 5)
(c) ( - 2 , 7)
(d) (2, VÍ7)
5. Escribir la ecuación de cada una de las circunferencias cuyo centro y radio se dan a
continuación:
(a) (2, 5); 4
(b) ( - 3 , 0); 6
(c) ( - 4 , - 6 ) ; v T l
(d) (0, 7); 1
6. Una circunferencia cuyo centro es el punto (2, 3), contiene al punto (6, 6). Escríbase su
ecuación.
7. Una circunferencia con centro ( - 4 , 0 ) pasa por el punto (2, - 1 ) . Escríbase su ecuación.
8. Los extremos de un diámetro de una circunferencia son ( - 6, 2) y (6, —2). Determínense
el centro y el radio de la circunferencia y escríbase su ecuación.
-9. Escribir la ecuación de la circunferencia que tiene un diámetro con extremos (5, 8) y
( - L -4 ).
10. Determinar el centro y el radio de la circunferencia representada por cada una de las
siguientes ecuaciones:
(a) x 2 + y 2 = 16
(b) x 2 + y 2- 9 = 0
(c) (x - 3)2 + ( y - 7)2 - 8
(d) (x + 4)2 + ( y - 5)2 = 36
(e) (x - 2)2 + j’2 - 13
(g) 9x2 + 9y 2 - 25 = 0
(f) 4*2 + 4y2 = 36
(h) 3*2 + 3(y - l ) 2 = 12
(i) 2(x + 5)2 + 2 0 - 4)2 - 14 - 0
(j) 5*2 + 5>-2 - 7 = 0
11. Determinar el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación es
x 2 — 6x + 9 + y 2 — 8y + 16 = 4.
12. Determinar el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación es
x 2 + y 2 + 8x - 2y - 8 - 0.
13. Dibujar la gráfica de la ecuación
x 2 + y 2 — 8x + 6^ — 11.
C ircunferencias e n u n plan o coordenado
467
14. Dibujar la gráfica de la ecuación
x 2 + y * - 4 x + 8 y + 4 = 0.
15. Dibujar la gráfica de la ecuación
x2
+y +
2
6
x - 2 y = - 10.
16. Escribir la ecuación de la circunferencia con centro (—3, 4) y que es tangente al eje x.
17. Escribir la ecuación de la circunferencia tangente al eje at y ai eje y, si se sabe que su radio
es 3 y que su centro está en el cuarto cuadrante.
18. Identificar las figuras geométricas representadas por las siguientes ecuaciones:
(a) x 2 + *2 = 15
(b) x 2 + y 2 + Í 4 x - 1 6 ^+ 1 0 4 = 0
(c) x 2 + 6 x - 2 y - x
2
+
2
=Q
(d) x 2 + y 2 + \0 x — 4y + 33 =
0
(e) 2 x 2 + 2y 2 + 12a: + 9 = 0
(f) x I + y 2+ 4 x - 1 0 y + 2 9 = 0
19. En la circunferencia cuya ecuación es x 2 + y 2 = 49, una cuerda es perpendicular a un
diámetro en el punto (0, 4). Determínense la longitud de la cuerda y las coordenadas de
sus extremos.
20. Demostrar que la mediatriz del segmento cuyos extremos son (a, 0) y (0, a), contiene al
centro de la circunferencia cuya ecuación es x 2 4- y 2 = a2.
21. Se dan la circunferencia cuya ecuación es x 2 + y 2 = 225 y los puntos A ( - 1 5 , 0) y 5(9,12).
(a) Demuéstrese que A B es una cuerda de la circunferencia.
(b) Determínese el punto medio de AB.
(c) Determínese la ecuación de la mediatriz de ~AB.
(d) Demuéstrese que la mediatriz de AB contiene al centro de la circunferencia.
22. Se dan la circunferencia cuya ecuación es
¿> (-1, 2) y £(8, 5).
a: 2
+ y 2 — 8 a: - 4y — 5 = 0 y los puntos
(a) Demuéstrese que D E es una cuerda de la circunferencia.
(b) Demuéstrese que la mediatriz de DE contiene al centro de la circunferencia.
(c) Determínese la distancia del centro de la circunferencia a DE.
468
C ircunferencias y superficies esféricas
23. Determinar el área de un cuadrado inscrito en la circunferencia cuya ecuación es x 2 +
y 2 = 144.
24. Determinar el área de un cuadrado inscrito en la circunferencia cuya ecuación es x 2 +
y 2 + 8 x - 10y+ 5 = 0 .
* 25. U na cuerda de la circunferencia x 2 + y 2 = 72 es tangente a la circunferencia x 2 +
y 2 — 18. Determínese la longitud de la cuerda.
* + 26. Si la cuerda del problema 25 es tangente a la circunferencia más pequeña en el punto
( —3, - 3 ) , obténgase la ecuación de la recta determinada por la cuerda, y hállense las
coordenadas de los extremos de la cuerda.
27. Determinar las longitudes de los segmentos tangentes desde el punto (13, 0) a la circun­
ferencia cuya ecuación es x 1 + y 2 = 25.
28. Determinar las longitudes de los segmentos tangentes desde el punto (16, 12) a la cir­
cunferencia cuya ecuación es x 2 + y 2 = 100.
* 29. Determinar las longitudes de los segmentos tangentes desde el punto (—8, 3) a la circun­
ferencia cuya ecuación es x 2 + y 2 — 14x + lOy + 10 = 0.
* + 30. Se da la circunferencia cuya ecuación es x 2 + y 2 = 36. ¿Para qué valores de a estará
el punto (a, a + 4) en el interior de la circunferencia?
* + 31. Demostrar que las dos circunferencias cuyas ecuaciones son x 2 + y 2 = 16 y x 2 +
y 2 — 20x + 64 = 0 son tangentes exteriormente. ¿Cuáles son las coordenadas del punto
de tangencia?
* + 32. Demostrar que las dos circunferencias cuyas ecuaciones son x 2 + y 2 + 8x + 6y = 0 y
x 2 + y 2 _
j f o — \2y = 0 son tangentes exteriormente. Determínese la ecuación de la
recta que pasa p o r el punto de contacto y que es la tangente común.
* + 33. Se da la circunferencia cuya ecuación es x 2 + y 2 + \6 x + I2y = 125.
(a) Determínese la ecuación de la circunferencia de radio 5 que e$ tangente interiormente
a la circunferencia dada en el punto (4, 3).
(b) Determínese la ecuación de la tangente común a las dos circunferencias.
34. Determinar la ecuación de la circunferencia que es tangente a-cada una de las cuatro
circunferencias representadas por las siguientes ecuaciones:
x2 + y 2 + 10x = 0
x 2 -j- y 2
lOx = 0
x 2 + y 2 + 10r = 0
x 2 + y 2 - lOy = 0
Repaso de la unidad
469
* + 35‘ io deíaílado de Ini3 apr° Xf¡madamente de 1 « ««ím «ro = ' “n¡dad, para hacer un dibu­
jo detallado de las circunferenc.as cuyas ecuaciones son las siguientes:
(* - l) 3 + (y - l) 2 =
1
(* + l ) 2 + O - l) 2 =
]
( A r - l^ - t- O - + ! ) * = !
C *+ l)* + 0 '+ l ) * =
d ™ " f~
l
•» - —
(b> d e T ™ S ™ “
interiormente , cada una
“ i“
<™
R epaso de la unidad
1. El alumno deberá cerciorarse de que sabe definir cada uno de los siguientes términos:
s u n e ír^ r '
superficie esférica
“
'
;
circunferencia máxima
extremo de un radio
Punto de contacto
interior de una circunferencia
tangente interiormente
arco interceptado
ánguk, central
arco mayor
arco menor
semicircunferencia
«
S
segmento tangente
O
T
~
“ K
2-szrLn,;rrm
:r ci,do:D“
con
3. Completar el siguiente enunciado: La intersección de un plano y una superficie esférica
.o
4. Completar el siguiente enunciado: La intersección de una recta y una circunferencia es
-----------------o __________ __________ o ____________________
5‘ S á e f * 61 SÍ8UÍente enunciad0: Un punf « t á en el exterior de una circunferencia, si
e n -------------------------------- y su distancia al centro e s _________ ____________
&
d SÍgUÍ" ,e " " " i “ 0 ’ U ” ÍngU' ° ‘n“ r¡,° “
“
* ™ »■«>■» - siempre m
, ~ :----- r ’ y un ang 0 *nscrito en un arco menor es siempre un ángulo _____ •
un ángulo inscrito en una semicircunferencia es un ángulo_______
7‘ e n T n r í 1“ '6 enun(f do: S¡ d0S cuerdas de “" a circunferencia se intersecan
un punto de su interior, la potencia del punto con respecto a la circunferencia
’
470
C ircunferencias y superficies esféricas
8. En la figura, A B es tangente a la circunfe­
rencia. Si mBD = 128, m D E = 38 y m CE =
104, ¿cuáles son las medidas de los seis
ángulos?
9.
En la misma figura anterior, A B es tangente
a la circunferencia. Si A C — 9 y CE = 7,
calcular AB.
10. En la figura anterior, si BD = CD = 15 y
mBC — 120, ¿cuál es el radio de la circun­
ferencia?
11. En la figura de la derecha, si RP = 8, M P = 6
y PQ = 3, calcular KQ.
12. En la misma figura anterior, si M R = MK,
m M K = 140 y rnMQ = 26, calcular m/_RPK.
13. Indicar cuáles de los siguientes enunciados son ciertos y cuáles son falsos:
(a) La medida de un ángulo central es igual a la medida del arco interceptado.
(b) Si dos arcos son congruentes, un ángulo inscrito en uno de los arcos es congruente
con un ángulo inscrito en el otro.
(c) Si dos ángulos que están inscritos en dos arcos son congruentes, entonces los arcos
son congruentes.
(d) U n punto que es punto medio de dos cuerdas de una circunferencia es el centro de
la circunferencia.
(e) En una circunferencia, si mAB = \rríÁC, entonces la longitud de la cuerda correspon­
diente a A B es la mitad de la longitud de la cuerda correspondiente a AC.
(f) Una secante que biseca a dos cuerdas de una circunferencia es perpendicular a cada
una de ellas.
(g) Si una recta biseca a una cuerda de una circunferencia, entonces biseca al arco menor
correspondiente a la cuerda.
(h) Si dos cuerdas de una circunferencia no son congruentes, la cuerda más corta está
más cerca del centro.
(i) U na tangente a una circunferencia en el punto medio de un arco es paralela a la
cuerda correspondiente al arco.
(j) El centro de un arco es el punto que biseca al arco.
(k) Dos tangentes a una circunferencia en los extremos de un diámetro son paralelas.
(1) Dos tangentes a la misma circunferencia pueden ser perpendiculares entre sí.
Repaso de la unidad
471
14. Ste d a j a circunferencia con centro P y, además,
CBJ\PQ. Si m/_BCP = 55, determínense mBQ y
mAD.
15. Si AB es un diámetro_de una circunferencia con centro P , y X y y son puntos de la cir­
cunferencia tales que X Y biseca al L A X B , demuéstrese que P Y ± AB.
16. Demostrar que es imposible que las longitudes de
los segmentos determinados en dos cuerdas de una
circunferencia, que se intersecan, sean cuatro nú­
meros enteros consecutivos.
1?' ^ Í ^ ^ a í a n o S r 8 mÍnaf ant¡f UaS’ Un arqueól°S ° encon‘ró un trozo del borde de
una rueda. Para poder reconstruir la rueda, necesitaba conocer el diámetro A tal fin
rs zrp siá
b c>i?elb,ordedem
aneraqueiacuerdas
me,™
H
‘5 “ nt'metr°? ' BC " 24 “ » « » « r o , ¿Cuél e „ el d¡4-
18. Escribir la ecuación de la circunferencia con centro (0, 0) y radio 4.
19. Determinar el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación es
+
1 0
x + y *+
20‘ son
ÍnSCrf “ Una CÍrCunferencia- Si las ^ i d a s de dos de sus ángulos
son 68 y 143, ¿cuales son las medidas de los otros dos ángulos?
2 L metro Í t n ^ madeni ¡f ^ a á a ' ha°e U" agujero circuIar de 40 centímetros de diá­
metro y en el agujero se coloca un globo esférico de 50 centímetros de diámetro ¿Cuánto
sobresaldrá el globo por debajo del tablero?
¿cuanto
22 . La circunferencia que tiene como diámetro el lado
A B del triángulo equilátero A A B C interseca a los
otros dos lados del A A B C en D y en E, según se
indica en la figura. Si el diámetro de la circunferen­
cia es 16, determínese el área del cuadrilátero inscrito
OABED.
472
C ircunferencias y superficies esféricas
23. En la figura de la derecha, AB es un diá­
metro de la circunferencia. Si AB = 8,
AQ = 4 y PQ = 12, determínense PB y
PR.
Q
24. Demostrar que los segmentos tangentes a todas las circunferencias que son tangentes a
una recta en el mismo punto, trazados desde otro punto cualquiera de la recta, son con­
gruentes.
25. Se sabe que A , B, y C son puntos de una circunferencia tales que mAB = m AC =
m B C = 120. P es un punto cualquiera de AB. Demuéstrese que PA + PB = PC. [Su­
gerencia: Trácese una recta por A paralela a PB ]
26. En la figura de la derecha, PA es tangente a la circun, ferencia en A; AP = P X — XB. Si PQ = 1 y QR = 8,
calcular A X.
PROBLEMAS OPTATIVOS
(a) Uno de los primeros datos que aprende un estudiante de astronomía es que la latitud de
un lugar en la Tierra es la misma que el ángulo de elevación de la estrella Polar sobre
el horizonte, cuando se observa desde dicho lugar. Demuéstrese por qué esto es así,
probando el teorema de más adelante. La situación real se describe mediante el siguiente
simbolismo: NS es el eje terrestre, la circunferencia es un meridiano, C es el centro, E
está en el ecuador, O es el observador, O H es el horizonte, y m Z.POH es la altura de
la estrella Polar.
D atos: La circunferencia con centro C ;
radio CE _LNS;
OH es la tangente a la circunferencia en O ;
OP || NS.
Demostrar que mOE = m¿_POH.
(b) Dos circunferencias no congruentes se intersecan en dos puntos X y Y. U na secante que
pasa por X corta a la circunferencia mayor en A y a la circunferencia menor en B. Una
secante que pasa por Y interseca a la circunferencia mayor en C y a la circunferencia
menor en D. Demuéstrese que A C || BD.
R ep a so d e la u n id a d
473
(c) Sobre el puente de un barco que navega
en el océano, el capitán pide a un joven
oficial nuevo que determine la distancia
al horizonte. El oficial toma papel y
lápiz y a los pocos instantes presenta su
respuesta. En el papel, había escrito la
fórmula d = j;Vh. Demuéstrese que esta
fórmula da una buena aproximación de
la distancia en millas al horizonte, si h es la altura en pies del observador sobre el nivel
del mar. (Puede suponerse que el radio de la Tierra es 4000 millas.) Si él puente estaba
a 88 pies sobre el nivel del mar, ¿cuál era la distancia al horizonte?
15 Caracterizaciones
y construcciones
1 5 -1 .
CARACTERIZACIONES
Ei alum no recordará que en la U nidad 6, d em ostram os un teorem a de caracteri­
zación referente a la m ediatriz de un segm ento en un plano.
T eorem a 6 -2
La
no,
del
del
m ediatriz de un segm ento en u n pla­
es el conjunto de todos los puntos
plano que equidistan de los extrem os
segmento.
M ás brevemente, decim os que los p u n to s de la m ediatriz L están caracterizados por
la condición P A = P B. C on esto, entendem os que (1) todo p u n to de L satisface a la
condición P A = P B, y (2) to d o p u n to del p lan o que. satisface a la condición P A = P B
está en L .
A nálogam ente, d em ostram os en la U nidad 8 que el plano bisecante perpendicu­
lar de un segm ento A B e stá caracterizad o por la condición P A = PB. (D esde lue­
go, aquí P puede ser un punto cualquiera del espacio.)
Las caracterizaciones aparecen no solam ente en teorem as, sino tam bién en defini­
ciones. P o r ejem plo, la superficie esférica con centro P y radio r es, p o r definición, el
conjunto de todos los puntos Q tales que P Q = r. Así, pues, decim os que la superficie
esférica está caracterizada p o r la condición
P Q = r.
Advertencia: En la figura p lan a presentada a continuación, todo punto de CD
equidista de A y B :
Pero el segm ento C D no está caracterizado p o r la condición P A = P B, po rq u e esta
condición la satisfacen m uchos puntos que no están en CD, a. saber, to d o s los puntos
475
476
C aracterizaciones y construcciones
de la recta C£>. A nálogam ente, en la figura siguiente, todo p u n to del arco A B dista
1 unidad del p u n to P . Pero A B no está
A
caracterizado p o r la condición P Q = 1,
p o rq u e todos los dem ás puntos de la circun­
ferencia satisfacen a la m ism a condición.
É sta es la razó n p o r la cual, al expresar de otro m odo un teorem a de caracterización,
generalm ente el nuevo enunciado consta de dos p a rtes:
(1) T odo pun to del conjunto d ad o satisface a la condición dada.
(2) R ecíprocam ente, to d o p u n to que satisface a la condición d ad a está en el
conjunto dado.
Véase, p o r ejem plo, cóm o se redactaron de o tro m odo los teorem as 6-2 y 8-6.
Conjunto de problemas 1 5-1
En los problemas del 1 al 8, se acompaña cada enunciado de caracterización con una figura
representativa. El alumno deberá decidir si cada enunciado es, efectivamente, una caracteri­
zación. Si lo es, contéstese “ Cierto” . -Si no lo es, corríjase el enunciado y construyase una fi­
gura correcta. En las figuras presentadas, el conjunto de puntos que se pide está indicado
mediante líneas de trazo lleno, mientras que las líneas de trazos corresponden a las condiciones
dadas o a figuras necesarias para la explicación.
1. El conjunto de todos los puntos del plano E que equidistan de dos rectas paralelas en E
es la mediatriz, en E, de un segmento cualquiera perpendicular a las dos rectas, que tenga
un extremo en cada una de ellas.
2. El conjunto de todos los puntos que son puntos medios de los radios de una circunferencia
dada es una circunferencia concéntrica con la dada y cuyo radio es igual a la mitad del
radio de la circunferencia dada.
C aracterizaciones
477
3. El conjunto de todos los puntos de un plano que están a 1 centímetro de una recta dada
es una recta paralela a ella y a una distancia de 1 centímetro de la misma.
4. El conjunto de todos los puntos que están a 1 centímetro de una recta dada es una
superficie cilindrica de radio 1 centímetro y que tiene como eje la recta dada.
5. El conjunto de todos los puntos que son centros de circunferencias tangentes a una recta
dada en un punto dado de ella, es un rayo perpendicular a la recta en el punto dado.
6. El conjunto de todos los puntos que son centros de superficies esféricas de radio r, tan­
gentes a un plano dado, es un plano paralelo al dado y a una distancia r de éste.
7yEl conjunto de todos los puntos de un plano que son
vértices de ángulos rectos de triángulos rectángulos que
tienen el mismo segmento como hipotenusa, es una
circunferencia con la hipotenusa comcT diámetro^ ex­
ceptuando los extremos de éste.
8. El conjunto de todos los puntos de un plano que distan
de un punto dado menos de 2 centímetros, es la reu­
nión de una circunferencia de radio 2 centímetros con
centro en el punto dado, y su interior.
En cada uno de los problemas del 9 al 20, descríbase el conjunto de puntos mencionado y
hágase un dibujo para representarlo:
9. El conjunto de todos los puntos que equidistan de dos puntos dados.
10. El conjunto de todos los puntos que son puntos medios de todas las cuerdas de una
circunferencia, que tienen una longitud dada.
<-
478
C aracterizaciones y construcciones
11. El conjunto de todos los puntos que son puntos medios de las cuerdas de una circunferen­
cia que tienen un punto dado de la circunferencia como extremo común.
12. El conjunto de todos los puntos que están a 1 centímetro de un segmento dado de longitud
4 centímetros y que, también, distan 2 centímetros del punto medio del segmento.
13. El conjunto de todos los puntos A , de un plano, para los cuales el A/4SC,. que tiene el
segmento dado B C como base, tiene un área dada.
14. El conjunto de todos los puntos de un plano que son centros de circunferencias tangentes
a una circunferencia dada en un punto dado de la misma.
conjunto de todos los puntos del exterior de una circunferencia de diámetro 6 que son
extremos de segmentos tangentes de longitud 4.
16. El conjunto de todos los puntos de un plano que están a \ centímetro de un segmento AÜ
de longitud 2 centímetros.
17. El conjunto de todos los puntos que están a
2 centímetros.
2
centímetro de un segmento A B de longitud
18. El conjunto de todos los puntos de un plano que son centros de circunferencias de radio
dado y que pasan por un punto dado.
19. El conjunto de todos los puntos de un plano que distan 3 centímetros de dos puntos cuya
distancia es 5 centímetros.
20. El conjunto de todos los puntos que distan 3 centímetros de un plano dado y que, además,
distan 5 centímetros de un punto dado del plano.
21. Se dan una circunferencia C, con centro P, y
un punto A en el plano de C. Sea B el punto
de intersección de A P y C tal que P no esté
entre A y B. Entonces, A B es la distancia del
punto A a la circunferencia C.
Descríbase el conjunto de todos los puntos de un plano cuyas distancias a una circun­
ferencia son iguales al radio de la circunferencia.
22. Describir el conjunto de todos los puntos de un plano cuyas distancias a una circunferen­
cia son un mismo número, menor que el radio.
+ 23. Algunas veces, para resolver un problema de caracterización, es necesario analizar
varios casos. Consideremos, por ejemplo, el siguiente problema y su resolución, que el
alumno deberá completar, llenando los espacios en blanco:
E l em pleo de caracterizaciones e n la ge o m e tría c artesia n a
479
Descríbase el conjunto de todos los
puntos de un plano a una distancia
fija de un punto dado y que equi­
distan de dos rectas paralelas dadas.
Resolución:
(1) El conjunto de todos los puntos
a una distancia r del punto P es
la
<3
~ C con centro P y
radio r.
(2) El conjuntq de todos los puntos equidistantes de las rectas paralelas L, y L¡ es AB,
la ■■
: 'U
------------------------ de un segmento entre
y L 2 y perpendicular
a las dos rectas.
<J
(3) Ei conjunto en cuestión es la intersección de C y A*B.
(i) Si C y A B no se intersecan, el conjunto es
'
___ '
(ii) Si C y A B son - Í / 2 '------ , el conjunto contiene solamente un punto. •
(iii) Si A B contiene un punto en el ¿ i\
■ - de C, el conjunto contiene exacta­
mente
puntos.
scribir el conjunto de todos los puntos de un plano que equidistan de dos puntos dados
y, también, de dos rectas paralelas dadas.
25. Describir el conjunto de todos los puntos de un plano que están a una distancia fija de
un punto dado y a una distancia fija de una recta dada.
26. Describir el conjunto de todos los puntos de un plano que son centros de circunferencias
tangentes a una recta dada en un punto dado de la misma y que son centros de circun­
ferencias de radio dado, tangentes a la misma recta dada.
27. Describir el conjunto de todos los puntos que están a una distancia fija de un plano
dado y a una distancia fija de un punto dado de dicho plano.
1 5 -2 .
E L EM PL E O D E CARACTERIZACIONES EN LA GEOM ETRÍA
CARTESIANA
E n la geom etría cartesiana, constantem ente utilizam os caracterizaciones. P or
ejem plo, en la figura, la recta L es la
gráfica de la ecuación
x + y = 1.
(¿P o r q u é?) E sto significa que la
recta está caracterizada p o r . la con­
dición x + y = 1; to d o p u n to (x , y )
de L satisface a la condición y ningún
o tro p u n to (x, y ) la satisface.
*
480
C aracterizaciones y construcciones
A nálogam ente, en la próxim a figura, la circunferencia está caracterizada p o r la
condición
( * - l ) 2 + J»2 = l .
(¿Por qué?) D e hecho, cada vez
que decim os que una figura es la
gráfica de cierta ecuación, im pli­
cam os que la ecuación es una carac­
terización de la gráfica. E n la
m ayoría de los casos, nuestro trabajo
en la geom etría cartesiana depende
de que las figuras que estam os tra ta n d o estén caracterizadas p o r ecuaciones
simples.
Conjunto de problemas 15—2
[Nora: La siguiente notación se utiliza frecuentemente para describir conjuntos en la geometría
cartesiana:
{ { x ,y )\x + y = \ y x = l ¡ .
Esto significa “El conjunto de todos los pares ordenados (x, y) tales que x + y = 1 y x = 1".
Desde luego, el conjunto consiste en el par único (1, 0). Por tanto, podríamos escribir
{(*,jO |x + j » = l y * = I } = { ( l , 0 ) } . ]
1. Hacer un esquema de los siguientes conjuntos (es decir, dibujar sus gráficas):
(a) {(x, y ) \ x = 3}
(b) {(x, y ) \ y = - 2}
(c) { (x ,y )\y = x - 2 }
(d). {(x, y) \ x + y = 0}
2. Hacer un esquema de los siguientes conjuntos:
(a) {(x, y ) \ x > — 1}
(b)
, (c) { ( x ,y ) \ x < y )
(d)
{(*, y ) \ y < 0 \
{(x, y ) \x + y ;> 1}
3. Hacer un esquema del conjunto de todos los puntos P(x, y) que equidistan de los puntos
A(5, 0) y B (\, 0) y describir dicho conjunto mediante una ecuación.
4. Hacer un esquema del conjunto de todos" los puntos P(x, y) que equidistan de los puntos
C(2, 2) y D(2, —8) y describir dicho conjunto mediante una ecuación.
5. Hacer un esquema del conjunto de todos los puntos P(x, y) que equidistan de las rectas
x = —2 y x = 1 y describir dicho conjunto mediante una ecuación.
6. Hacer un esquema de cada uno de los siguientes conjuntos:
(a) { ( x ,y ) \x 2 + y 2 =25}
(b)
{(x, y ) \ x 2 + y 2 =%}
(c) {(x, y) | (x - l) 2 + y* = 4}
(d) {(x, y) | x 2 + (y + l) 2 = 9}
7. Hacer un esquema del conjunto de todos los puntos P(x, y) que equidistan de los puntos
A(0, 5) y B(5, 0) y describir dicho conjunto mediante una ecuación.
T eorem as d e co n currencia
481
8. Hacer un esquema de cada uno de los siguientes conjuntos y describir el conjunto de la
manera más breve posible:
(a) { ( x ,y ) \x
=
3y y
=
6}
(b) { ( x ,y ) \x = y y x = 5}
(c) {(x, y ) \ x 2 + y 2 = 1 6 y x = - 4 }
(d) {(x, y)\ x* + y 2 = 25 y y = 3}
(e) i ( x ,y ) \y = - 2 y \ x \ = 7 }
tf) {(-*,y)lkl = 3 y | y | = 5}
* 9. ¿Cuál es la diferencia entre los dos conjuntos siguientes?
(a) {(*, >01* = 4 y y = 5}
(b) {(x, ;y)|x = 4 o y = 5}
+
10. Hacer un esquema de todos los puntos P(x, y) que distan de (8 ,0) dos veces lo que distan
de (2, 0).
+
11. Hacer un esquema del siguiente conjunto: {(x, >•) | - 1 < x < 5
+
12. H acer un esquema del siguiente conjunto:
{(*, y )\(x - 3)2 + y 2 = 2 5
1 5 -3 .
o
y
0 á y <,4 }.
. (x + 6)2 + y 2 = 52}.
TEOREMAS D E CONCURRENCIA
D e fin ic ió n
D os o más rectas son concurrentes, si hay un solo punto que esté en todas ellas.
El punto común se llama el punto de concurrencia.
Desde luego, es fácil que dos rectas de un mismo plano sean concurrentes. Esto
es lo que esperamos cuando dibu­
jam os dos rectas al azar; si ocurre
que dos rectas son paralelas y gira­
mos una de ellas aunque sea un
poco, se convierten en rectas con­
currentes.
482
C aracterizaciones y construcciones
A h o ra bien, que tres rectas sean concurrentes es otra cuestión. G eneralm ente,
esperam os que tres rectas de u n p lan o determ inen u n triángulo.
Si son concurrentes y m ovem os una de ellas aunque sea u n poco, es p robable que
dejen de ser concurrentes.
Sin em bargo, en ciertas condiciones, podem os dem ostrar que tres rectas tienen que
ser concurrentes. N uestro prim er teorem a de esta clase es el siguiente:
Í
T e o re m a 1 5 - 1 .
El teorema de concurrencia de las mediatrices
Las m ediatrices de los lados de
u n triángulo son concurrentes.
Su p u n to de concurrencia equi­
dista de los vértices del triángulo.
Dem ostración:
H
12
ti
Se da el A A B C . Sean L u L 2 y L 3 las m ediatrices de A B , A C y BC,
respectivam ente. Si L , y L 2 fueran paralelas, entonces A B y A C serian paralelas.
(¿ P o r q u é?) Pero A B interseca a A C . P o r tan to , L¡ c o rta a L 2 en u n punto P.
E n virtud del teorem a de caracterización de las m ediatrices (teorem a 6-2), tenem os
q ue PA = P B , p orque P está en L ,. P o r el m ism o teorem a, P A = PC, ya que P está en
L 2. E n consecuencia, P B = PC. P or el m ism o teorem a, esto significa que P está en
L 3.
Así, pues, las m ediatrices son concurrentes y su p u n to de intersección equidista de
los vértices.
C o ro la rio 1 5 -1 .1
Tres p u n to s n o alineados cualesquiera están en u n a circunferencia y sólo en una.
(E stán en la circunferencia co n centro P y radio P A = P B = PC.)
T eorem as de co n currencia
483
Corolario 15-1.2
D os circunferencias diferentes pueden intersecarse a lo más en dos puntos.
(En la dem ostración, se necesitan los corolarios 14-6.1 y 15-1.1.)
H asta ah o ra, hem os utilizado el térm ino altura (con referencia a un triángulo) en dos
sentidos: puede significar (1) un segm ento perpendicular desde un vértice del triángulo
al lado opuesto, o (2) la longitud de ese segm ento perpendicular. En el siguiente
teorem a, utilizam os la palabra altura en un tercer sentido; aquí, significa (3) una recta
que pasa p o r u n vértice del triángulo, perpendicular al lado opuesto:
T e o re m a 1 5 -2 .
El teorema de concurrencia de las alturas
Las tres alturas de un triángulo
so n siem pre concurrentes.
L a dem ostración es fácil, si se
utiliza el artificio indicado a la de­
recha.
Dem ostración: Se da el A A B C ; p o r cada u n o de los vértices, dibujam os u n a recta
paralela al lado opuesto. D os cualesquiera de estas tres rectas no son paralelas.
(¿ P o rq u é ? ) E n consecuencia, determ inan un triángulo A DEF.
Sabem os que los lados opuestos de u n paralelogram o son congruentes. A plicando
este- teorem a d os veces, obtenem os
A D = B C = AE.P o r consiguiente, la altura desde A a
■*—>
__
B C es la m ediatriz de D E. P o r las
mismas razones, las otras d os alturas
del A A B C son las m ediatrices de los
o tro s dos lados del A DEF. E n virtud
del teorem a 15-1, estas tres rectas son
concurrentes.
Obsérvese que este teorem a sería
falso si interpretáram os la palabra
altura com o u n segm ento. L os seg­
m entos perpendiculares n o necesaria­
mente se intersecan. S o n siempre las
rectas las que son concurrentes.
484
C aracterizaciones y construcciones
C onjunto de problem as 1 5 -3
1. Copíese cada uno de los siguientes triángulos en una hoja de papel, y construyanse las
tres mediatrices de sus lados y las tres alturas, indicando sus puntos de concurrencia:
2. El punto de concurrencia de las alturas de un triángulo se llama el ortoeentro.
(a) ¿En qué tipo de triángulo es el ortoeentro un vértice del triángulo?
(b) ¿En qué tipo de triángulo coincide el ortoeentro con el punto de concurrencia de
las mediatrices?
3. Tres puntos están en una circunferencia. Los puntos determinan tres segmentos que
forman un triángulo. ¿Cuál será el punto de concurrencia de las mediatrices de los
segmentos?
4. Dados tres puntos no alineados, ¿cuál será el punto del plano determinado por ellos, que
equidista de los tres puntos dados? ¿Por qué no deben estar alineados los puntos?
5. Hacer un esquema del conjunto de todos los puntos que equidistan de tres puntos no
alineados y describir dicho conjunto.
6. Dado un triángulo rectángulo, ¿cuál es el punto del plano del triángulo, que equidista de
sus vértices ?
7. La longitud de la altura correspondiente a la hipotenusa de un triángulo rectángulo
isósceles es 7. ¿Cuál es el área del triángulo ?
8. Se da un ángulo ¿'_BAC cualquiera. Descríbase el conjunto de todos los puntos de su
interior que equidistan de los lados del ángulo. Él alumno deberá justificar su respuesta.
(Advertencia: Este conjunto no es un rayo ni una recta.)
9. Decimos que un cuadrilátero es cíclico, si sus cuatro vértices están en una circunferencia.
Demuéstrese que las mediatrices de los cuatro lados y las mediatrices de las dos diagonales
de un cuadrilátero cíclico son concurrentes.
10. Se dan los puntos A(3,4), 5(5,8) y C(—1,10). Determinar las ecuaciones que representan
las mediatrices de los lados del A ABC (V. la figura de la izquierda en la parte superior de
la página 485) y verificar que dichos lados son concurrentes.
486
C aracterizaciones y construcciones
ángulos. L o que necesitam os es u n a caracterización y el siguiente teorem a nos la d a:
T e o re m a 1 5 - 3
L a bisectriz de u n ángulo, exceptuado su extrem o, es el conjunto de todos los
p u n to s del interior del ángulo que equidistan de los lados del ángulo.
O de otro m odo:
(1) Si P está en el interior del
*
^^
<■—
>
L B A C , y P equidista de A B y A C , entonces
P está e n la bisectriz del L B A C .
(i)
P
(2)
Si P está en la bisectriz del L B A C , y
A , entonces P está en el interior del
L B A C y equidista de A B y AC.
(2 )
L as figuras anteriores ilustran las d os p artes de la segunda redacción del teorem a.
L a n otación utilizada en las dem ostraciones es la m ism a que aparece en las figuras.
Demostración de la parte (1)
A firmaciones
Razones
1.
P está en el interior del L B A C .
D ato
2.
PM L A B y P Ñ 1 A C .
Definición de la distancia de u n p u n to a
u n a recta
3.
Los ángulos L M y L N son á n ­
gulos rectos.
D ato
4.
LM ^ LN
L os ángulos rectos son congruentes
5.
P M = PN
D ato
6.
A AM P £ A ANP
Teorem a de la hipotenusa y el cateto
7.
LPAM g LPAN
Partes correspondientes
8.
A P es la bisectriz del L B A C .
Pasos 1 y 7 y la definición de la bisectriz
de un ángulo
L as bisectrices d e los ángulos de u n triá n g u lo
487
Demostración de la parte (2)
A
R azones
firm a cio n es
1.
P está en la bisectriz del ¿ .A B C ,
y P ¥= A .
2.
P está en el interior del L B A C .
D ato
P aso 1 y la definición de la bisectriz de
u n ángulo
3.
LPAM s l p a n
4.
LM s LN
5.
P A = PA
Identidad
6.
AA M P ^ AANP
El teorem a LA A
7.
MP = NP
Definición de la bisectriz de u n ángulo
Los ángulos rectos son congruentes.
P artes correspondientes
L os pasos 2 y 7 son las conclusiones que deseábam os.
A h o ra, podem os d em ostrar el teorem a de concurrencia:
T e o re m a 1 5^ 4 .
El teorema de concurrencia de las bisectrices de los ángulos
B
L as bisectrices de los ángulos de un
triángulo son concurrentes en u n pun to
que equidista de los tres lados del tri­
ángulo.
A
Demostración.- E n el A A B C , sea P la intersección de las bisectrices de los ángulos
y L B . Entonces, P está en el interior del L A y en el interior del L B y , p o r tanto
en el in terio r del L C. E n consecuencia,
’
(1) P equidista de A C y A B;
(2)
P equidista de A B y BC ;
(3)
P equidista de A C y BC ;
(4)
P está en la bisectriz del ¿_ C.
y
¿Cuáles son las razones ?
Conjunto de problemas 15—4
1. Una recta interseca a los lados del ¿ B A C
envíos puntos P y Q. Obténgase un punto de
PQ que equidiste de A B y AC.
^ y
488
C aracterizaciones y construcciones
2. El O ABCD es un cuadrilátero convexo cualquiera.
(a) Explicar cómo hallar un punto que equidiste de AD y
<—
>
A B y que también equidiste de O y C.
(b) Explicar cómo hallar un punto que equidiste de AB,
A D yD C .
(c) ¿Coinciden los puntos descritos en las partes (a) y (b) ?
3. Describir el conjunto de todos los puntos que son centros de circunferencias tangentes a
ambos lados de un ángulo dado.
4. Describir el conjunto de todos los puntos de un plano que equidistan de dos rectas que
se intersecan.
5. Describir el conjunto de todos los puntos de un plano que equidistan de dos rectas que
se cortan y que distan 2 centímetros del punto de intersección de las mismas.
+ 6. Describir el conjunto de todos los puntos que equidistan de dos planos que se cortan.
+ 7. Describir el conjunto de todos los puntos del interior de un ángulo, que equidistan de los
lados de éste, y que están a una distancia fija de una recta dada.
8. Demostrar que las bisectrices de dos ángulos consecutivos de un paralelogramo se inter­
secan en ut) punto que equidista de un par de lados opuestos.
9. Demostrar el siguiente teorema:
Se dan el ángulo ¿_DAE y A-C-E y
. A-B-D. Entonces, las bisectrices de los
ángulos /_DAE, /_DBC y L E C B son
concurrentes.
* 10. Describir el conjunto de todos los puntos que equidistan de las tres rectas determinadas
por los lados de un triángulo.
+ 11. Dibújense varios cuadriláteros convexos diferentes y trácense con cuidado las bisectrices
de los ángulos. ¿Son concurrentes las cuatro bisectrices en cada caso? ¿Para qué tipo
especial de cuadrilátero son las bisectrices concurrentes? ¿Habrá una manera general de
describir los cuadriláteros tales que las bisectrices de sus ángulos sean concurrentes ?
* + 12. Se da un par de ejes coordenados. Demuéstrese que el conjunto de todos los puntos que
equidistan de los dos ejes es
{ ( x ,y ) \ y = x
o
y = -x }.
E l teo rem a d e co n currencia de las m edianas
1 5 -5 .
489
EL TEOREMA D E CONCURRENCIA D E LAS MEDIANAS
Una mediana de un triángulo es un
segmento que une un vértice y el punto
medio del lado opuesto. En la figura
de la derecha, D es el puntó medio de
BC, y AD se llama la mediana desde A
a BC.
Una figura dibujada con precisión
sugiere que las tres medianas de un
triángulo son siempre concurrentes. En
efecto, esto es cierto. Sin embargo,
será mucho más fácil de demostrar, si
utilizamos una figura auxiliar para
poder hacer una conjetura acerca de
dónde deberá estar situado el punto de
intersección. La figura de la derecha
sugiere que AP = 2PD, BP = 2P E y
CP = 2PF. En definitiva, esto también
es cierto.
T e o re m a 1 5 -5 .
El teorema de concurrencia de las medianas
Las medianas de todo triángulo son concurrentes y su punto de concurrencia
está en cada mediana a dos tercios de camino del vértice.
En la demostración, será conveniente utilizar un sistema de coordenadas.
A(6o, 6b)
3b)
Demostración: Tomamos los ejes com o se indica en la figura anterior. Utilizamos 6a,
6b y 6c para evitar tener que trabajar con fracciones más tarde. E es el punto medio
de AC; obtenemos sus coordenadas mediante la fórmula del punto medio (teorema
13-5).
Ahora, sea P el punto de la mediana BE tal que BP = 2 PE. Por el teorema 13-6
(que el estudiante deberá volver a leer), obtenemos
0 + 2(3a + 3c) 0 + 2 • 3b\
3
= (2a + 2c, 2b).
’
3
)
490
C aracterizaciones y construcciones
Sea Q el p u n to de la m ediana A D desde A a B C tal que A Q = 2Q D . C om o D =
(3c, 0), tenem os que
„
/6 a + 2 -3 c 6¿> + 2 - 0 \
Q=
= (2a + 2c, 2b).
E sto significa que P = Q, p ues u n p u n to viene determ inado p o r sus coordenadas.
A nálogam ente, se deduce que el p unto correspondiente de la m ediana desde C a
A B es el m ism o pun to P . Con esto, queda dem ostrado el teorem a.
D e f in ic ió n
El p u n to de concurrencia de las m edianas de u n triángulo se llam a el centroide o
baricentro del triángulo.
C o n ju n to lie problem as 1 5 -5
1. En la figura de la izquierda, a continuación, las medianas AE, B F y CD son concurrentes
en Q.
(b) Si QD = 5, ¿cuánto es C D ?
(a) Si A E = 9, ¿cuánto es AQ ?
(c) Si B Q = 12, ¿cuánto es QF?
(d) Si Q E = 4, ¿cuánto es A Q ?
2. Se da la figura anterior de la derecha, donde CD es una mediana y Q es el centroide del
A ABC.
Demuéstrese que la altura desde Q a A B es un tercio de la altura desde C a AB.
C onstrucciones con regla y com pás
491
3. Utilizando la figura para el problema 1, demostrar que a& A Q B = aQCEQF.
4. E n e [ A GKM, el centroide Q está en la mediana GR
y GH es una altura. Si QR = 4 y H R = 6,' ¿cuánto
es GH'l
* 5. Se da e! A ABC con vértices A(6, 0), B(0, 10) y
C(0, 0).
(a) _Determinar las coordenadas del punto de concu­
rrencia de las mediatrices de los lados.
(b) Determinar las coordenadas del ortocentro.
(c) Calcular la distancia del ortocentro al punto de
concurrencia de las mediatrices.
+ 6. Para el A ABC del problema 5, determínense las coordenadas del centroide y la distancia
del centroide al ortocentro.
+ 7. Se da el A P Q R con vértices P ( - 6, 0), Q(2, 0) y R(0, 6). Determínese la distancia entre
el centroide y el punto de concurrencia de las mediatrices de los lados.
+ 8. Para el A P Q R del problema 7, determínense las coordenadas del ortocentro y la distancia
del ortocentro al centroide.
1.5-6.
CONSTRUCCIONES CON REGLA Y COMPÁS
H asta ahora, hem os estado haciendo geom etría con u n a regla y u n tran sportador.
E n efecto, nuestros postulados nos dicen que tenem os u n a regla de longitud infinita,
con m arcas num éricas. U tilizam os esta “regla” p ara trazar rectas y m edir distancias.
A dem ás, tenem os u n tran sp o rtad o r. C on éste, podem os m edir ángulos y, tam bién,
m arcar ángulos con u n a m edida dad a, a p a rtir de un rayo dado.
Probablem ente, ésta es la m anera m ás sim ple de hacer geom etría. Sin em bargo, hay
o tra m anera m uy im p o rtan te, que consiste en hacer uso de regla y com pás. E n este
492
C aracterizaciones y construcciones
caso, no tenem os una regla con m arcas, sino una regla lisa (de longitud infinita,
desde luego), de m o d o que a u n cuando podem os trazar rectas, no podem os m edir
distancias. T am bién, tenem os u n com pás. C on éste, podem os dibujar circunferencias
con centro en u n p u n to cualquiera, y pasando p o r o tro punto dad o arbitrario. Pero no
podem os m edir ángulos, de igual m odo que no podem os m edir distancias.
Éste es el esquem a desarrollado p o r los antiguos geóm etras griegos. (D icho sea de
paso, los térm inos distancia y medida angular no se m encionan en los Elementos de
Euclides.) Este esquem a es de g ran interés p a ra los m atem áticos de hoy y conduce a
algunos problem as curiosos cuando tratam o s de averiguar qué tipo de figuras podem os
trazar con la regla y el com pás. Las resoluciones de estos problem as tienen valor
práctico en el dibujo m ecánico y, p o r eso, los dibujantes profesionales las conocen
bien.
N o im porta cóm o estudiem os la geom etría, tenem os ciertos instrum entos reales
p a ra dibujar y una teoría m atem ática correspondiente. E n todos los casos, la teoría
m atem ática es exacta, pero los resultados que se obtienen con los instrum entos reales
de dibujo son solam ente aproxim aciones.
Para justificar nuestras construcciones con regla y com pás, necesitam os u n teorem a
que describa la m anera de intersecarse las circunferencias. Supongam os que se nos
d a n d os circunferencias de radios a y b, y que c es la distancia entre sus centros.
a+b>c.
a+c>b.
b+c>cr.
o+c<b.
a+b<c.
b+c<o.
Si las circunferencias se cortan en dos puntos, com o en la figura superior de la
izquierda, entonces cada u n o de los núm eros a, b y c es m enor que la sum a de los otros
dos. O btenem os estas tres desigualdades, aplicando el teorem a de la desigualdad del
triángulo (teorem a 7-8) al A P Q R de tres m aneras. P or o tra parte, si u n a cualquiera
de las tres desigualdades funciona en sentido opuesto, las circunferencias no se inter-
C onstrucciones elem entales
493
£ 3 »
ilus,riln «
« ¡ f e . S¡ i» “ ">9 * <ta de los números es
■
?wa' al tercero, entonces las circunferencias son tangentes.
o -|-c= 6 .
b -f c = a .
En el siguiente teorema, se describe esta situación:
T eorem a 1 5 -6 .
El teorema de las d o s circunferencias
Se dan dos crcunferencas de radios a y b, siendo c la distancia entre sus centros
S. cada uno de los números a, h y c es menor que la suma de los otros dos
entonces las circunferencias se cortan en dos puntos, a distintos lados de la recta
determinada por sus centros.
3frnn,e, enUnCÍ! dr°
teorema’ P °rciue Puede demostrarse, si estamos dispuestos a
ción v con^de
^ embarg0’ en esta unidad> omitiremos la demostra­
ción y consideraremos el enunciado com o un postulado.
15-7.
CONSTRUCCIONES ELEMENTALES
En esta sección y en la siguiente, indicaremos cóm o se efectúan las construcciones
mas simples. Desde luego, todas se harán en un plano dado y más tarde aparecerán
com o pasos para llevar a cabo construcciones más complicadas.
494
C aracterizaciones y construcciones
CONSTRUCCIÓN 1.
\
Bisecar un
ánaulo dado.
Se d a el L A .
P aso 1. U tilizando A com o centro, trácese una circunferencia cualquiera. La
circunferencia intersecará a los lados del L A en los puntos B y C. Evidentem ente,
A B = A C , com o indica la figura anterior.
P aso 2.
Trácese la circunferencia con centro B y radio r = BC.
P aso 3.
Trácese la circunferencia con centro C y el m ism o radio r = BC.
P o r el teorem a de las dos circunferencias, éstas se cortan e n dos puntos que están
a distintos lados de BC . (La hipótesis del teorem a de las dos circunferencias se cum ple,
porque cada uno de los núm eros r, r y r e s m enor que la sum a de los otros dos.) Sea P
el p u n to de intersección que está a distinto lado de B C que A , com o en la figura.
P aso 4.
Trácese ^ / 3.
P or el teorem a LLL, tenem os que A P A B = A P A C . Luego, L P A B =. L P A C , y
A P es la bisectriz.
(Al trazar las dos circunferencias, en los pasos 2 y 3, pudim os haber utilizado
cualquier radio m ayor que \B C . N o tendrem os dificultades, a menos que utilicemos
un radio ta n pequeño que las circunferencias no se corten.)
CONSTRUCCIÓN 2 .
A
C opiar u n ángulo dad o a un lado dad o de un rayo dado.
D
Se dan el L A , u n rayo con extrem o D y u n sem iplano H , e n cuya arista está el rayo
dado. Q uerem os construir u n rayo DF, con F en H , de m odo que obtengam os un
segundo ángulo congruente con el prim ero.
C onstrucciones elem entales
P aso 2. Trácese la circunferencia con centro D \ radio r = A R - á r
ferencia intersecará al rayo d ad o en u n p u n to E .
P aso 3.
495
v ,
C'rCUn'
Trácese la circunferencia con centro E y radio j = BC.
T p " 1,ínlaS t r“ ” ferendaS “ QO,U,rÍn “ doS ^
" * * * distintos lados
{ f na: ¿
S3bemoS que cada u n o de los núm eros r í y r e s m enor
Paso 4.
Trácese ~DF.
Éste es el ray o que buscábam os. P o r el teorem a L L L
consecuencia, L F D E s L B A C , com o queríam os.
CONSTRUCCIÓN 3.
A F D E ~ A B A C Fn
=
• En
C op iar u n triángulo dado a un lado dad o de un rayo dado.
496
C aracterizaciones y construcciones
P aso 1. Prim eram ente, trazam os
u n a circunferencia con centro D y
ra d io b = A C . E sta circunferencia
c o rta al rayo dado en u n p u n to F, y
D F = AC .
P a so 2.
Trácese una circunferencia co n centro D y radio c.
P aso 3. Trácese u n a circunferencia co n centro F y radio a. E stas dos últimas
circunferencias deben intersecarse, com o se indica en la figura, en dos puntos a lados
distintos de DF. P o r el teorem a de las dos circunferencias, sabem os que, en realidad,
éste es el caso, p orque cada u n o de los núm eros a, b y c es m enor que la sum a de los
o tro s dos. (¿ P o r qué?) C om o se indica en la figura, sea E el p u n to de intersección
q ue está en H .
P aso 4. A hora, trácense los segm entos D E y EF. P o r el teorem a LLL, tenem os
que A D E F s A A B C , com o queríam os.
Si exam inam os de nuevo la sección 6—7, verem os que en la dem ostración del
teorem a L L L , teníam os casi la m ism a situación que en la construcción 3, a saber, la de
co p iar u n triángulo d ad o a u n lad o d ad o de u n rayo dado. Vale la pena com parar
los dos m étodos. (E n la sección 6 -7 , utilizam os u n a regla graduada y u n transportador,
en vez de una regla sin m arcas y u n com pás. Tam bién, allí utilizam os el postulado
L A L , en vez del teorem a L L L , p a ra dem ostrar que nuestra construcción era
correcta.)
C onstrucciones elem entales (c o n tin u ac ió n )
497
Conjunto de problemas 1 5 -7
C° nStrUCd? eS ÍndÍC3daS e" CSte C0njuntO de P^blem as deben hacerse con regla
y compás únicamente.]
^
*'
feCta horÍ^ ntaI en Ia Parte, superior de una hoja de papel. Utilizando la
S d f l í
h , qUe T rece máS adelante’ márc<uese una escala (con un comrresolver
i í i í los problemas que 80’
siguen.men0S‘ Utilícese la escaIa cuand° sea necesario para
A - --------B
Constrúyanse triángulos cuyos lados tengan las longitudes dadas a continuación(a) 5, 6, 8
2
(b) 3, 5, 7
(c) 4, 4, 5
(d) 6, 10, 8
á n S r Un trÍángU'° ° btUSángul° cua|quiera y trácese la bisectriz de cada uno de sus
3. Dibújese un triángulo escaleno cualquiera A ABC. Cópiese el triángulo a un lado dado
de un rayo dado, mediante un método que dependa del postulado ALA.
4. Constrúyase un triángulo equilátero con un lado de longitud 5.
5
b n g i t ^ d ? 2 U" trÍáDgUl° isósceles con la base de longitud 8 y dos lados congruentes de
6' S á É f T * QUe SÍ6mP? 65 P° SÍble construir un triángulo equilátero que tenga un seg­
mento dado como uno de sus lados.
7‘ S á n e l a t ' aS 1,°n8itudf df los ,ados congruentes y de la base, respectivamente, de un
triangulo isósceles que ha de construirse. ¿Qué condiciones deberán cumplir a y b para
que la construcción sea posible?
8. Trácese un cuadrilátero convexo cualquiera. Cópiese éste a un lado dado de un rayo
1 5 -8 .
CONSTRUCCIONES ELEM EN TA LES (CONTINUACIÓN)
CONSTRUCCIÓN 4 . C onstruir
u n a paralela a u n a recta d a d a p o r
u n p u n to exterior dado.
Se d an la recta L y el p u n to exte­
rio r P . Sean Q y R dos p u n to s cuales­
quiera de L .
P aso 1.
Trácese P Q .
P aso 2.
M ediante la construcción 2, trácese el L Q P S congruente con el L P Q R ,
de m odo que S y R estén a distintos lados de P Q . Entonces, los ángulos L Q P S y
L P Q R son ángulos altem o s internos y, p o r tan to , P S || QR, com o se quería.
498
C aracterizaciones y construcciones
CONSTRUCCIÓN 5.
D ividir u n segm ento en u n núm ero dado de segm entos
congruentes.
A
D ad o A B , querem os dividirlo en n segm entos congruentes. (E n la figura, se indica
el caso n = 5.)
P aso 1.
P artiendo de A , trácese u n rayo cualquiera que no esté en A B .
P aso 2. Sobre este rayo, m árquense sucesivam ente n segm entos congruentes
~AP~{, P ¡P 2, ..., P „ -,P n. (L a longitud de estos segm entos n o es im portante, con tal
que sea la ’ m ism a p ara todos los segm entos. P o r consiguiente, podem os elegir P ,
arbitrariam en te y, luego, con el com pás, m arcar los dem ás segm entos u n o a uno.)
P aso 3.
Trácese P„B.
P aso 4.
P o r los p u n to s P , , P2, . . . ,P „ _ „ trácense rayos paralelos a P„B que
corten a A B en los p u n to s Q ¡, Q 2, . ■ ■, Q „ -iC om o las rectas paralelas determ inan segm entos congruentes en la secante AP„,
tam bién determ inan segm entos congruentes en la secante A B . (C orolarió_9-30.1)
En consecuencia, los p u n to s Q u Q2, ■■ ■, Qn- \ dividen al segm ento A B en n
segm entos congruentes.
CONSTRUCCIÓN 6.
C onstruir la m ediatriz de u n segm ento dado.
Se da el segm ento A B.
P aso 1.
Trácese la circunferencia con centro A
y radio r = A B.
Paso 2. Trácese la circunferencia con centro B
y radio r = AB.
A hora, puede aplicarse el teorem a de las dos
circunferencias, p orque cada uno de le s núm eros
/•, r y r es m enor que la sum a de los otros d os. P or
tan to , las circunferencias se intersecan en dos p u n ­
tos, P y QP aso 3.
Trácese PQ.
r=AB.
C onstrucciones elem entales (c o n tin u a c ió n )
499
C o m o P equidista de A y B, P está en la m ediatriz de A B . P o r la m ism a razón,
Q tam bién e s tá e n la m ediatriz de A B . P ero, dos puntos determ inan una recta. En
consecuencia, P Q es la m ediatriz de AB.
D esde luego, n o e ra necesario utilizar circunferencias de radio r = A B ; cualquier
radio m ay o r h ubiera servido. E n realidad, hubiéram os po d id o utilizar cualquier radio
m ayor que \ A B . (¿ P o rq u é ? )
Evidentem ente, si podem os co n stru ir la.m ediatriz de u n segm ento, podem os cons­
tru ir el p u n to bisecante. (Éste es el p u n to R de la figura anterior.) C onsideram os esto
com o u n a especie de “construcción corolaria” .
CONSTRUCCION 7.
C o n stru ir el p u n to m edio de u n segm ento dado.
La m ediatriz n o s d a inm ediatam ente el p u n to medio.
CONSTRUCCIÓN 8.
p u n to dado.
C o n stru ir u n a perpendicular á una recta dada, p o r un
Caso 1. Se d a n u n a recta i , y un pun to P. Supongam os prim ero que P es u n p u n to
exterior. Sea Q u n p u n to cualquiera de L.
P aso 1. Trácese u n a circunferencia con cen tro P y radio r > P Q . C om o Q está
en el interior de la circunferencia, del teorem a 14-9 se deduce que L interseca a la
circunferencia en d os p untos, R y S.
P a so 2.
de R y S.
C onstrúyase la m ediatriz de R S . E sta recta pasa p o r P , ya que P equidista
Obsérvese que p ara tra z a r la m ediatriz, no es necesario efectuar todos los pasos de la
construcción 6; basta con trazar u n a p arte de cada una de las dos circunferencias para
obtener un p unto de intersección O diferente de P.
P o r tan to , P Q tiene que ser la m ediatriz, pues contiene dos puntos que equidistan
de R y S.
500
C aracterizaciones y construcciones
Caso 2.
Si el p u n to P está en la recta L , la construcción es m ás fácil.
(2 )
(i)
L
(i)
R'
P aso 1.
Trácese u n a circunferencia con centro P , que corte a L en los puntos R y S.
P a so 2.
C onstrúyase la m ediatriz de R S.
C o n esto, q u ed a term in ad a la construcción.
Conjunto de problemas 1 5 -8
'
[Nota: Las construcciones indicadas en este Conjunto de problemas se deberán efectuar con
regla y compás únicamente.]
j 1. Construir un triángulo rectángulo isósceles.
2. Construir un rombo, dadas las longitudes de sus diagonales.
^ 3. Construir un paralelogramo, si se dan uno de sus ángulos, la longitud del lado más corto
y la longitud de la diagonal más larga.
4. Construir un ángulo de 60°. ^
5. Construir un ángulo de 30°. ■
6. Construir un ángulo de 15°. ‘
7. Construir un ángulo de 75°.
j
8. Construir un triángulo isósceles, si se dan la base y la altura correspondiente.
i
9. Construir un triángulo equilátero, dada su altura.
10. Dado el ángulo del vértice de un triángulo isósceles, construir un ángulo de la base.
í
11. Construir un triángulo isósceles, dados un ángulo de la base y la altura correspondiente
a la base.
12. Trisecar un segmento dado.
13. Dado un segmento de longitud a, construir un segmento de longitud a V 2.
C onstrucciones elem entales (c o n tin u ac ió n )
501
14. Dado un segmento de longitud a, construir un segmento de longitud a V 3.
15. Dados dos segmentos cuyas longitudes son a y b, construyase un segmento cuya longitud
sea la media geométrica de a y b. [Sugerencia: Véase el problema 13 del Conjunto de
problemas 14-5.]
16. Dado un segmento cuya longitud es a, constrúyase un segmento de longitud aV6.
17. Construir un triángulo rectángulo, dado un ángulo agudo y la longitud de la hipotenusa.
18. Construir un triángulo rectángulo, dado un ángulo agudo y la altura correspondiente a
la hipotenusa.
19. Construir un triángulo, si se dan las longitudes de dos lados y la longitud de la mediana
correspondiente al lado más largo.
20 . Construir un paralelogramo, dados un ángulo, un lado y la altura correspondiente a
ese lado.
21 . Construir dos circunferencias tangentes interiormente, dado el radio de cada circun­
ferencia.
22 . Construir una circunferencia tangente a ambos lados de un ángulo, dados el ángulo y
el radio de la circunferencia.
r 23^)D ado el radio, constrúyanse tres circunferencias congruentes y tangentes entre sí dos
a dos.
24. Construir un triángulo equilátero, dado un segmento cuya longitud es igual al perímetro
del triángulo.
25. Construir una tangente a una circunferencia desde un punto exterior a ella. [Sugerencia:
Utilícese el corolario 14-16.1.]
* 26 . Construir un trapecio isósceles, dadas lasbases y una diagonal.
27. Construir un triángulo isósceles, dadas labase y laaltura correspondiente a uno de ios
lados congruentes. [Indicación: El problema 25 deberá servir de ayuda.]
28. Construir un triángulo rectángulo, dado un ángulo agudo y un segmento cuya longitud
es la suma de las longitudes de los catetos. [Indicación: ¿Cómo puede utilizarse un ángulo
de 45°?]
* 29. Se dan dos puntos, A y B, de una recta L.
Una circunferencia C es tangente a L en A.
Constrúyase una circunferencia tangente a
L en B y, también, tangente a la circun­
ferencia C. [Sugerencia: Analícese el dia­
grama, en el cual Q es el centro de la
circunferencia requerida.]
502
C aracterizaciones y construcciones
* 30. Construir un triángulo, dadas las longitudes de dos lados y la longitud de la mediana
correspondiente al tercer lado.
PR O B LEM A OPTATIVO
Dados un segmento A B y un ángulo Z_C, construyase el conjunto de todos los puntos P
de un plano tales que ¿_APB = ¿.C.
1 5 -9 .
CIRCUNFERENCIAS INSCRITA Y CIRCUNSCRITA
E n la figura de m ás adelante, la circunferencia C , está inscrita en el A A B C y la
circunferencia C2 está circunscrita al A ABC.
B
D e fin ic io n e s
Si una circunferencia es tangente a los tres lados de u n triángulo, entonces deci­
m os que la circunferencia está inscrita en el triángulo y que el triángulo está
circunscrito a la circunferencia. Si u n a circunferencia pasa por los tres vértices de
u n triángulo, entonces decim os que la circunferencia está circunscrita al triángulo
y que el triángulo está inscrito en la circunferencia.
E n realidad, to d o triángulo está circunscrito a u n a circunferencia e inscrito en o tra.
U n a m anera intuitiva de ver p o r qué esto es cierto es considerar u n a pequeña circun­
ferencia en el interior de u n triángulo, que va dilatándose gradualm ente. C uando ya
n o puede agrandarse m ás, tiene que quedar inscrita. A nálogam ente, considerem os una
cinta de acero ajustable, que va ciñéndose gradualm ente a u n triángulo en su interior.
C u an d o ya no p u ed a ceñirse m ás, tiene que q u ed ar circunscrita.
A hora, dem ostrarem os no solam ente que existen circunferencias inscritas y circuns­
critas, sino que tam bién pueden trazarse con regla y com pás.
C ircunferencias in sc rita y c ircunscrita
CONSTRUCCION 9.
503
C ircunscribir una circunferencia a un triángulo dado.
Se da el A ABC.
B
P aso i. C onstruyanse las mediatrices de A B
y A C . Estas rectas se intersecan en un pun to P.
Por el teorem a 15-1, P equidista de A, B y C.
P aso 2. Trácese una circunferencia con cen­
tro P y rad io r = P A. Puesto que P B = P C =
PA = r, la circunferencia contiene no solam ente
a A , sino tam bién a B y a C.
D e fin ic ió n
-ssrrsxíí:las
*ios—*»*■*»*>-—
Tam bién, podem os d ib u jar la circunferencia inscrita.
CONSTRUCCION 10.
Se d a el A ABC.
In scrib ir u n a circunferen cia e n u n triá n g u lo d ad o .
P a so 1.
Biséquese el L A .
P aso 2.
Biséquese el L B.
P o r el teorem a 15-4, estas bisectrices
se co rtan en u n pun to que equidista de
los tres lados del triángulo.
Paso 3. Trácese u n a perpendicular
desde P a A C . Sea D el pie de la per­
pendicular.
P aso 4. Trácese la circunferencia de
centro P y rad io r = P D ,
P o ^ a t ¡ ° f 7 ,an 8 “ ? “
P 0r‘>’'e T c
P ^ S c n k r al radio P D .
P o r la m ism a razón, la circunferencia es tam bién tangente a los otros dos lados. P or
consiguiente, hem os construido la circunferencia requerida.
D e fin ic ió n
El p u n to de concurrencia de las bisectrices de los ángulos de un triángulo se
llam a el mcentro del triánguló.
gu'° se
504
C aracterizaciones y construcciones
C o n ju n to de p roblem as 1 5 -9
[Nata: Las construcciones indicadas en este Conjunto de problemas deben hacerse con regla
y compás únicamente.]
I . Construir un triángulo equilátero. Después, construyanse sus circunferencias circuns­
crita e inscrita.
^ 2. Construir un triángulo rectángulo isósceles. Después, constrúyase su circunferencia
inscrita.
3. Dado un triángulo escaleno cualquiera, constrúyase su circunferencia circunscrita.
4. Dado un triángulo escaleno cualquiera, constrúyase su circunferencia inscrita.
5. Circunscribir una circunferencia a un cuadrado dado.
6. Dado un rombo, constrúyase su circunferencia inscrita.
7. Contéstese la siguiente pregunta, efectuando la construcción indicada; luego, comprué­
bese la respuesta:
¿Cuántas cuerdas, colocadas de manera que cada una con la siguiente sólo tenga un
extremo común, cabrán en una circunferencia, si cada cuerda es congruente con el
radio de la circunferencia ?
8. Construir un triángulo rectángulo, dado un ángulo agudo y el radio de la circunferencia
circunscrita.
9. Construir un triángulo isósceles, si se dan la base y el radio de la circunferencia inscrita.
10. Construir un triángulo rectángulo isósceles, dado el radio de la circunferencia circuns­
crita.
I I . Construir un triángulo equilátero, dado el radio de la circunferencia inscrita.
* 12. Construir un triángulo rectángulo, dados un cateto y el radio de la circunferencia inscrita.
* 13. Construir un triángulo isósceles, dados el ángulo en el vértice y el radio de la circunferencia
inscrita.
* 14. Dem ostrar que el perímetro de un triángulo rectángulo es igual a la suma del diámetro de
la circunferencia inscrita y dos veces el diámetro de la circunferencia circunscrita.
1 5 -1 0 .
LOS PR O BLEM A S D E CONSTRUCCIONES IM PO SIBLES D E LA
ANTIGÜEDAD
Los antiguos griegos descubrieron to d as las construcciones que hem os estudiado
h asta ah o ra y m uchas o tras m ás com plicadas. H u b o , sin em bargo, varios problem as
q ue los m ejores m atem áticos griegos tra ta ro n de resolver, durante m uchos años,
sin éxito alguno.
Los ProW enías de construcciones i n
í 2
de
a n tíg ¿ ed a d
50s
g r3 r Una ¡dea de lo difícil que
S6r u n P ^ b le m a de construcción
|
re j
, ^
; T
arfn ,
S d Pr°b,ema de dividir con
P3S UHa circunferencia en 17
c
contiguos’ de
el
arco
1
t
*
*
ei
siguiente. * Un eXtremo com ún ¿o n
C uando se dibujan las cuerdas correspon-
« ■ difici.es, e„ realldaí, |
m .
Se
J B
S g f f i C
- t í . P R O B L E M A DE LA T B .S E C C Ó N
da
un
ángulo
L BAC
re“ 'tar0" ra“ClM ” SS
DEL Á N G U LO
cualquiera-
dTe Z T T 'Td°Sray°STDy ®
que
S T
(con
° f d d L B A C ) de m anera
L B A D s L D A E s Z .^ C .
trazar jSC y, luego trisecar JiC <■
em piear una ^
y un « » i * ,
personas trata de hacer es to m a r A B — A C
L B A D " '’ SC PUede M o s t r a r que l o T á n g u l o f 3 “
* " * de ,a derecha- & * , no
íu n o dey^ £ A C T
pero nim
guno de estos ángulos es congruente con el
L x^ ' a
rea,ldad’ nadie ha encontrado
n m etodo que efectúe la construcción
(2)
LA D U P L I C A C I Ó N D E L C U B O
b 3 = 2a3
o
b = a$ !2 .
[In n h
a
506
C aracterizaciones y construcciones
T am poco, nadie h a podido resolver este fam oso problem a. H ay u n a leyenda curiosa
acerca de éste. Se cuenta que los habitantes de u n a cierta ciudad griega se m orían
en g ra n n ú m ero a causa de una plaga, y decidieron consultar al oráculo de Delfos p a ra
averiguar el dios que estab a enojado y p o r qué. L a respuesta d ad a p o r el oráculo fue
que A polo estaba enojado. E l altar dedicado a A polo en la ciudad consistía en u n cubo
sólido de o ro y A polo q uería que su a lta r fuese exactam ente el doble.
C u an d o la gente regresó de D elfos, construyeron u n nuevo altar, con u n a arista
doble que la del antiguo. Entonces, la plaga em peoró e n lugar de m ejorar, y la gente
se dio cu en ta de que A polo debió h ab er estado pensando en el volumen de su altar.
(D esde luego, al hacer la arista el doble, el volum en se m ultiplicó p o r ocho en lugar
de p o r dos.) E sto planteó el problem a de la duplicación del cubo, pero los m atem áticos
locales fueron incapaces de resolver el problem a. D e m odo que la prim era oportunidad
de aplicar la m atem ática a la salud pública fue u n fracaso total.
(3)
LA CUADRATURA DEL CIRCULO. D ado u n círculo (la reunión de una
circunferencia y su interior), querem os construir un cuadrado cuya área sea igual a
la del círculo.
J
"1
A = Tro2-
L
fe
r
A = b J.
A lgebraicam ente, esto significa que b = a j n .
D u ran te m ás de d os m il años, los m ejores m atem áticos tra ta ro n de resolver estos
problem as m ediante construcciones con regla y com pás. F inalm ente, se descubrió
e n tiem pos recientes que los tres problem as son imposibles de resolver con sólo regla
y com pás.
Imposibilidad en la m atem ática n o significa lo m ism o que im posibilidad en la vida
real y, p o r tan to , requiere u n a explicación.
F recuentem ente, cuando decim os que algo es im posible, querem os significar sim ­
plem ente que es m uy difícil, com o encontrar u n a aguja en u n pajar. A m enudo,
querem os decir que n o sabem os cóm o hacer algo y que dudam os de que se pueda
hacer. Así, la gente solía decir que era im posible construir u n a m áquina que volase y
estaban en lo cierto hasta que alguien construyó u n aeroplano y voló en él.
t o s p roblem as de construcciones im posibles d e la an tig ü ed ad
507
La im posibilidad m atem ática n o es así. E n la m atem ática, hay algunas cosas que,
efectivam ente, n o se pueden hacer, y es posible dem ostrar que n o se pueden hacer.
(1) P o r m u y capaz que u n a p erso n a sea, n o p o d rá encontrar u n núm ero natural
entre 2 y 3, p orque no existe tal núm ero.
(2) Si el p ro b lem a an terio r parece dem asiado trivial p a ra considerarlo seriam ente,
exam inem os la siguiente situ ació n : P artim os de los núm eros enteros positivos, negativos y cero. N os está perm itido efectuar la adición, la sustracción, la m ultiplicación y
la división (excepto p o r cero). D ecim os que u n núm ero " s e puede construir” , si
podem os obtenerlo a p a rtir de los enteros, efectuando las operaciones indicadas un
núm ero finito de veces. P o r ejem plo, el núm ero siguiente puede co nstruirse:
A hora, supongam os que se nos p lan tea el p ro b lem a de “ c o n stru ir” el núm ero
m ediante operaciones de ese tipo. E ste p ro b lem a es im posible, es decir, n o puede
resolverse. L a razó n es que los núm eros que “ pueden co n stru irse” de acuerdo con
estas reglas son los núm eros racionales, y J 2 no es un o de esos núm eros. N o vale
de n a d a tra ta r de encontrarlo entre los “ núm eros que pueden construirse” , po rq u e no
pertenece a este conjunto.
Los problem as referentes a construcciones con regla y com pás son m uy parecidos
a este segundo ejem plo. E m pezando con u n segm ento A B , vem os que hay ciertos
segm entos que podem os construir co n regla y com pás. P o r ejem plo, podem os cons­
tru ir segm entos cuyas longitudes sean 2A B , \ A B , J l A B y t q A B . Pero n o podem os
construir u n segm ento C D p a ra el cual se verifique
C D 3 = 2 A B 3.
E sto es lo que significa decir que la duplicación del cubo con regla y com pás es
im posible.
El problem a de la trisección de u n ángulo m erece algún análisis ulterior.
(1)
Algunos ángulos pueden trisecarse fácilm ente m ediante regla y com pás. P or
ejem plo, u n ángulo recto puede trisecarse de esa m anera y esto significa que la tri­
sección es posible p a ra los ángulos de 45°, de 22£° y m uchos otros. C uando decimos
que el pro b lem a de la trisección de u n ángulo es im posible, querem os significar que
h ay algunos ángulos p a ra los cuales n o pueden construirse rayos trisecantes.
508
C aracterizaciones y construcciones
(2)
E l problem a de la trisección del ángulo se convierte en u n o soluble, si perm iti­
m os hacer dos m arcas e n la regla.
A
Supongam os que se n os d a el l_B y u n a regla co n dos m arcas en ella. Sea r la
distancia entre las dos m arcas. Prim ero, dibujam os u n a circunferencia con centro B
y rad io r. É sta interseca al ángulo en dos puntos, A y C.
Se coloca a h o ra la regla de m anera que (a) pase p o r C. Luego, se desliza y se gira
de m anera que (6) u n a de las m arcas coincida con el p u n to Q de la circunferencia y (c)
la o tra m arca coincida c o n u n p u n to P del rayo opuesto a B A .
Tenem os así la situación indicada en la figura. C om o el A QBP es isósceles, con
Q B = Q P = r, sus ángulos en la base tienen la m ism a m edida a, según se indica;
análogam ente p a ra el A BCQ .
A h o ra, la m edida de u n ángulo externo de u n triángulo es la sum a de las m edidas
de los ángulos internos no contiguos. A plicando este teorem a al A Q BP, obtenem os
b = a + a = 2a. A plicando este m ism o teorem a a l A B C P , obtenem os c = b + a.
P o r tan to , c = 3a. E s decir, m /_ P — jm L A B C .
A h o ra, copiam os el L P dos veces en el interior del L A B C :
A
B
P
Hem os, pues, trisecado al ¿.A B C .
Desde luego, este procedim iento n o está de acuerdo con las reglas de los antiguos
griegos p ara hacer construcciones con regla y com pás.
L os problem as de construcciones im posibles de la an tig ü ed ad
509
C onjunto de p roblem as 1 5-10
1. (a) Determinar el número tal que al sumarle 5, la suma sea igual a 5 veces el número
buscado. Justifiqúese la respuesta.
(b) Determinar el número tal que 4 veces el número dividido por dicho número es igual
a 5. Justifiqúese la respuesta.
2. Explicar cómo trisecar un ángulo de 135° con regla y compás.
3. Demostrar que es imposible construir un triángulo dos de cuyos lados miden 2 y 3
centímetros de largo, respectivamente, y en el cual la altura correspondiente al tercer
lado sea de 4 centímetros.
4. Se da un cuadrado \3ABCD. M y N son los
puntos medios de DC y BC, respectivamente.
A M y A N intersecan a BD en R y S. Demués­
trese que A M y A N trisecan a BD , pero no
trisecan al ¿_DAB.
5. Un carpintero puede trisecar un ángulo cualquiera con el instrumento que se muestra en
la figura de la derecha, llamada una escuadra de
carpintero. Todos los ángulos son ángulos rectos
c ___
y E F = C D = IA B .
D
-----------------------------------------------------F — ---------------------------------------------------------------------------
Para trisecar a un ángulo Z.PRQ con esta escuadra, el carpintero emplea primero la
arista más larga para trazar un rayo S T paralelo a R P a una distancia £F de éste. Entonces,
coloca la escuadra de manera que D E contenga al punto R, A esté en ST, y B esté en RQ ;
así, sabe que RD y RA trisecan al ¿_PRQ. Demuéstrese que esto es cierto.
o
510
C aracterizaciones y construcciones
Repaso de la unidad
1. Describir el conjunto de todos los puntos de un plano que equidistan de dos rectas para­
lelas dadas.
2. Describir el conjunto de todos los puntos que son los centros de las circunferencias tan­
gentes a una circunferencia dada en un punto dado de ésta.
3. Describir el conjunto de todos los puntos del espacio que están a una distancia fija de
un punto dado.
4. En un plano E, se dan una recta y un punto que no está en la recta. Descríbase el conjunto
de todos los puntos de E que están a una distancia d de la recta dada y, también, a una
distancia r del punto dado.
5. Describir el conjunto de todos los puntos que están a una distancia dada de un punto
dado P y que, además, equidistan de P y de otro punto Q.
6. Hacer un esquema que represente cada uno de los siguientes conjuntos:
(a) {(*,?)! * = - 1 }
(c) { { x ,y ) \ y = 2}
(b) { ( x ,y ) \y = x}
(d) {(*,>01 >’ < x }
7. Hacer un esquema del conjunto de todos los puntos equidistantes de los puntos A (—5 ,0)
y B(3, 0) y representar dicho conjunto mediante una ecuación.
8. Hacer un esquema del conjunto de todos los puntos que distan 3 unidades de la gráfica
de la ecuación y = 0 y representar dicho conjunto mediante una ecuación. (No se permite
el uso del signo ± .)
9. Construyase un triángulo escaleno bastante grande. Luego, determínense, por construc­
ción, el ortocentro, el centroide y el incentro del triángulo.
10. Construir un rombo, dado un ángulo y un segmento cuya longitud sea igual a la longitud
del rombo.
11. Se da el A A BC con vértices. A (—4, 6),
B(0, - 3 ) y C(4, 6).
(a) Demuéstrese que el A ABC es isósceles
(b) Determínense las coordenadas de su
centroide.
12. Se da el APQ R con vértices P (—4, 7), Q(8, 7) y R(8, 2). Determínense las coordenadas
de su ortocentro.
Repaso de la unidad
511
13. Se da el A EFG con vértices E ( ~ 2, 0), F(4, 6) y G(10, 0).
(a) Determínense las coordenadas del circuncentro.
(b) Escríbase la ecuación de la circunferencia circunscrita.
+ M' ?(?S!yC¿S8)00rdenadaS dd Cemr°Íde dd trÍángUl°
CUy° S
Vértices 8011 ^(-5, 0),
15' S n i l T ' l t s c 3 C,rCr ferenCÍa COD radÍ° C ySeai? el centr° de
circunferencia
on radio b ambas circunferencias están en el mismo plano. Si a + b > A B /deberán
intersecarse las circunferencias ? ¿Por qué ?
’ 6
puntos e q u id S Í n te s ^ e l? , l [ y r! V UDa SeCaDte * Descríbase el conjunto de íodos 'os
•
18. Construir un par.lelogramo, si se dan un lado, un ángulo agudo y la di.gona] más larga.
* c k t a S S T ,rián8Ul° “ ,4nBUl° ' “ * d" “ * ■ * > ■ * ■ * > y « '» d io d e 1»circunferen-
w-X £
de ,a! “
2‘-.adfd^raSrs^rd?dclas“
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de-
*-
Ár
16 Areas de círculos
y sectores
------------
1 6 -3 .
POLÍGONOS
U n polígono es u n a figura form ada p o r la reunión de varios segm entos de m anera
que n o se crucen y solam ente se toq u en en los extrem os, así:
P ero n o a s í:
L a idea representada p o r las figuras se puede enunciar de m odo más preciso de la
siguiente m anera:
D e fin ic io n e s
Sean /*,, P 2, . . . , p n u n a sucesión de n p u n tos distintos de un plano con n > 3.
S upongam os que los n segm entos P ¡P 2, P~P¡, . . . , P ~ P n> P J \ tienen
las siguientes p ro p ied ad es:
(1) N ingún p a r de segm entos se intersecan, salvo en sus puntos extremos.
(2) N ingún p a r de segm entos con un extrem o com ún son colineales.
Entonces, la reunión de los n segm entos se llam a polígono. Los puntos P u
P 2>
son los vértices del polígono
y los segm entos P ,P 2, P j P ¡ , . . . , p — ¿r
P„Px son los lados. Los ángulos del
polígono son el L P nP¡P2, el L P lP2P3, y
así sucesivamente. P a ra abreviar, a m e­
n u d o d enotam os los ángulos p o r L P „
L P 2, etc. L a sum a de las longitudes
d e los lados se llam a el perím etro del
polígono.
513
514
Á reas d e círculos y sectores
A hora, el alum no debe volver a exam inar las siete figuras al principio de la sección
y asegurarse de que h a entendido bien p o r qué nuestra definición de polígono adm ite
las c u atro prim eras figuras, pero réchaza las o tras tres. (Recuérdese que los puntos
P u P 2, . . . , P„ tienen que ser to d o s distintos.)
U n polígono con n lados se llam a un n-gono. Así, pues, podem os referirnos a
los triángulos y cuadriláteros com o 3-gonos y 4-gonos, respectivam ente, aunque
estos térm inos casi nunca se utilizan. Los 5-gonos se llam an pentágonos, los 6-gonos
son hexágonos, los 8-gonos son octógonos y los 10-gonos son decágonos. A lgunos de
los o tro s w-gonos (p a ra valores pequeños de ri) tienen tam bién nom bres especiales
derivados del griego, p ero éstos raras veces se utilizan.
C ad a lado de un polígono está en u n a recta y cada recta, desde luego, separa a l
p lan o en d os semiplanos.
P uede ocurrir fácilm ente (com o en la figura anterior de la izquierda) que cada u n o de
estos sem iplanos contenga p u n to s del polígono. Si esto no ocurre p a ra ninguno de
los lados del polígono (com o en la figura de la derecha), entonces se dice que el polígono
es convexo. R edactarem os esta idea en fo rm a de definición.
D e fin ic ió n
U n polígono es convexo, si ningún p a r de sus puntos está a lados opuestos de
una recta que contenga un lad o del polígono.
E l em pleo del térm ino “convexo” es n atu ral: si u n polígono es convexo, entonces
el polígono, reunido co n su interior, form a u n conjunto convexo en el sentido de la
definición p resen tad a en la U nid ad 3. C uando hablam os del á rea de un polígono con­
vexo, querem os decir el á re a de la región poligonal convexa correspondiente.
Conjunto de problemas 1 6 -1
1. En esta figura, ningún par de segmentos se cortan, salvo en
sus puntos extremos, y ningún par de segmentos con un
extremo común son colineales. N o obstante, la figura no es
un polígono. ¿Porqué?
Polígonos
515
2. ¿Cuáles de las siguientes figuras son hexágonos? ¿Cuáles son hexágonos convexos?
<a'
(b)
(c)
(d)
3. D ar una explicación precisa de por qué la figura
de la derecha no es un polígono convexo.
4. Nombrar los ángulos de cada polígono:
5. ¿Tiene que ser necesariamente un cuadrado, un polígono que
tiene todos sus lados congruentes y cuyos ángulos son todos
ángulos rectos?
6. Un segmento cuyos extremos son dos vértices no consecutivos de un polígono se llama
una diagonal del polígono.
(a) Nombrar todas las diagonales de cada uno de los siguientes polígonos:
516
Á reas d e circuios y sectores
(b) Determinar el número de diagonales que tiene un polígono de 3 lados; de 4 lados;
de 5 lados; de 6 lados; de 7 lados.
(c) ¿Cuántas diagonales tiene un polígono de 103 lados? ¿Y uno de n lados?
7. Calcular las sumas de las medidas de los
ángulos de un pentágono convexo y de un
hexágono convexo. [Sugerencia: Trácense
todas las diagonales que parten de un vér­
tice.]
8. En un polígono convexo, se trazaron todas las diagonales correspondientes a un vértice.
Determinar el número de triángulos que resultan, si el polígono tiene 4 lados; 5 lados;
6 lados; 11 lados; 35 lados; n lados.
9. Verificar la siguiente generalización:
La suma de las medidas de los ángulos de un polígono
convexo de n lados es (n — 2)180.
10. Calcúlense las sumas de las medidas de los ángulos de un polígono convexo, si éste es
— y un octógono; un decágono; un 12-gono; un 15-gono; un 20-gono.
11. Determinar el número de lados de un polígono convexo, si la suma de las medidas de
sus ángulos es 900; 1260; 1980; 2700; 4140.
* 12. Utilizando la figura de la derecha, verifiqúese el enunciado
del problema 9.
13. Determínense las sumas de las medidas de los ángulos externos de un pentágono convexo
y de un octógono convexo.
Polígonos regulares
517
14. Verificar la siguiente generalización:
L.
' 15' .n«“r L
W. Conrentar
* & m ed¡ias *
U”
áligidoi « lm ¡ ¡ * „„ ^
de ' - « - « —
&
(Véase ,a * * * * . de,
d s ,a v a I ite „ f a ta ia d de ^
17. Se da una correspondencia /■,/■,/>,
P
n n
los lados correspondientes son congruentes v lo s á ™ ¡ '
° S P° lígonos' Si
gruentes, ¿tendrán que ser semejantes los dospolígonos“ ° $ "0rrespondlentes *on a m ­
perímetros? ¿Tendrán que determinar regiones o u t .Tn ' f
QUe ser ,guales *™
la respuesta con algún ¿ S S T f i T y l n J g C ?
PROBLEMA OPTATIVO
u
“ - * • - *■
demostrarse esf° . basándonos en
«I .eorem s e , í n ^ i ” í , a t a Í S í T
se van a conectar cada a2
‘ ‘ ’' f
suministro de « , C, „ tr, de aEoa, A , y o t a de
“ “ O“ “ “ *»' « n t t , u e * q ue
: Tres casas .V, , y z
j |
una para
nuestros postulados, aunque la demostrarlo ’
1 6 -2 .
*
y
G
A
POLÍGONOS REG U LA RES
D e f in ic ió n
á s » tx zs zs r ,2)tod“§ U 4 - g o n o 1 e g £ .’ ^
,
t” angul° equ,]atero es un 3-gono regular y un cuadrado es un
518
Á reas de circuios y sectores
Podem os construir n-gonos regulares con un núm ero cualquiera de lados, mediante
el siguiente m étodo: Em pezam os con una
circunferencia, de centro Q y radio r. Prim e­
ro, dividim os la circunferencia en n arcos
congruentes, de m anera que n o se crucen
y solam ente se toq u en en sus extremos.
Entonces, la m edida de cada uno de los arcos
es 360/«. (L a figura de la derecha representa
el caso n = 8.) P ara cada arco, dibujam os la
cuerda correspondiente. Así, se obtiene un
polígono con vértices P¡, P 2, . . . . p„. Es
fácil ver que el polígono es convexo. Los
lados son todos congruentes, p o rq u e los arcos
lo son.
Si trazam os los radios desde Q a los vértices, obtenem os un conjunto de triángulos
isoscdes. En virtud del teorem a LLL, todos esos triángulos son congruentes. Por
ta n to todos los ángulos del polígono son congruentes. (L a m edida de cada ángulo
e s ,e doble de la m edida de cada u n o de los ángulos en la base de cada triángulo
isósceles.) En consecuencia, el polígono es regular.
Es cierto que to d o polígono regular puede construirse m ediante este m étodo. Es
decir, to d o polígono regular puede inscribirse en una circunferencia. N o nos deten­
drem os a dem ostrar este enunciado, p orque no lo necesitarem os. U tilizarem os
polígonos regulares solam ente en el estudio de las circunferencias y todos los polígonos
regulares que considerem os estarán construidos m ediante el m étodo que acabam os de
explicar.
El centro Q de la circunferencia en la cual se inscribe un polígono se llam a centro
del polígono. C om o to d o s los triángulos isósceles de la figura an terio r son con­
gruentes, tienen la m ism a base e y la m ism a altura a. El núm ero a es la distancia del
centro a cada uno de los lados.
D e f in ic ió n
L a distancia a desde el centro de un polígono regular
a cada u n o de los lados se llam a apotema del polígono.
El perím etro del polígono se denota p o r /. Evidentemente,
/ = ne.
Es fácil calcular el área de la región form ada p o r el polígono, reunido con su interior
El area de cada uno de los triángulos es \a e . H ay n triángulos. P or consiguiente el
area es A n = n ■\a e = \ a l
Polígonos regulares
519
Conjunto de problemas 1 6-2
1. Nombrar un cuadrilátero que sea equilátero, pero no regular, si hay alguno. Nombrar
uno que sea equiángulo, pero no regular, si hay alguno.
2. Hágase un diagrama de un polígono cuyos ángulos sean todos ángulos rectos y cuyos
lados sean todos congruentes, pero que no sea un polígono regular.
3. La figura de la derecha representa parte de un /f-gono regular inscrito en una circunferen­
cia con centro Q.
(a) Calcular m £ P sQ P 6.
(b) Calcular m /_Q P 5P6 + m /_Q P6P5.
(c) ¿Por qué es ¿_QPñPs s ¿_QP,P4?
(d) ¿Por qué es m¿_PAP5P6 = m/_P¿PsQ +
m A Q P sP6?
(e) Verificar que m ¿ p 4p ¡p 6 = 180 - — .
n
4. Determinar las medidas de los ángulos de un polígono regular de 5 lados; de 9 ladosde 12 lados; de 15 lados; de 17 lados; de 24 lados. (Véase el problema 3.)
5. Determinar el número de lados que tiene un polígono regular, si la medida de un ángulo
externo es 72; 45; 36; 24; 17y.
6. Determinar el número de lados que tiene un polígono regular, si la medida de uno de sus
ángulos es 128?; 140; 144; 160.
7. ¿Cómo se podría construir un octógono regular, utilizando solamente un compás y una
regla sin marcas ?
8. ¿Cómo se podría construir un hexágono regular, utilizando solamente un compás y una
regla sin marcas?
9. El perímetro de un polígono regular es 48 y su apotema es 6. ¿Cuál es el área de la
región poligonal correspondiente?
'0 ‘
~
10. Determinar el área de un hexágono regular que tiene lado de 10 centímetros de largo.
11. La longitud de un lado de un hexágono regular inscrito en una circunferencia, es 4.
Determínense, el radio de la circunferencia y la apotema del hexágono.
12. Demostrar que el área de un hexágono regular de lado s puede expresarse mediante la
formula 2 V3 s2.
520
Á reas d e círculos y sectores
13. El QABCD es un cuadrilátero cada uno de cuyos lados es
tangente a una circunferencia de diámetro 9. Si el perí­
metro del L\ABCD es 56, ¿cuánto es aO A B C D l
A
14. Determinar el área de un polígono regular de 9 lados, sabiendo que la longitud de uno
de sus lados es 8, (Refiérase a las razones trigonométricas.)
15. Determinar el á'rea de un polígono regular de 15 lados, sabiendo que la longitud de uno
de sus lados es 4.
16. Demostrar que cada uno de los lados de un octógono regular inscrito en una circun­
ferencia de radio 1 tiene longitud igual a \ ¡ 2 — V i.
PROBLEMA OPTATIVO
Un problema que aparece corrientemente en los proyectos
arquitectónicos es el de cubrir una superficie con regiones
poligonales regulares. Por ejemplo, un plano se puede
cubrir con regiones cuadradas congruentes, con un
vértice común cada cuatro de ellas, como se indica en la
figura.
(a) ¿Cuántas regiones triangulares equiláteras tienen que colocarse alrededor de un
vértice para cubrir un plano?
(b) ¿Qué otras clases de regiones poligonales regulares pueden utilizarse para cubrir
un plano? ¿Cuántas se necesitarán alrededor de cada vértice?
(c) Dos octógonos regulares y un cuadrado pueden cubrir com­
pletamente la parte de un plano alrededor de un punto, si se
disponen como se indica en la figura. ¿Qué otras combinaciones
de tres regiones poligonales, regulares (dos de ellas iguales)
pueden hacer lo mismo? El alumno deberá encontrar otras
dos combinaciones.
(d) Averiguar si hay otras posibilidades de recubrimiento de un plano con regiones
poligonales regulares. Una tabla de medidas de los ángulos de polígonos regulares
puede servir de ayuda para obtener otras combinaciones posibles.
L a longitud de u n a circunferencia. E l n ú m ero tt
1 6 -3 .
521
LA LONGITUD D E UNA CIRCUNFERENCIA.
E L NÚM ERO 71
En esta sección y en la siguiente, considerarem os «-gonos regulares p a ra diversos
va ores de n. C om o es habitual, denotam os el lado, la apotem a y el perím etro de un
n-gono regular inscrito en una circunferencia de radio r p o r e, a y /, respectivamente.
Sea C la longitud de u n a circunferencia. Parece razonable suponer que si querem os
m edir C aproxim adam ente, podem os hacerlo, inscribiendo un polígono regular de
un gran núm ero de lados y m idiendo entonces el perím etro del polígono. Es decir,
el perím etro / debe ser una buena aproxim ación de C cuando n es grande. Con
otras palabras, una vez que decidim os cuán cerca de C querem os que esté /, podem os
lograrlo con sólo to m a r n suficientem ente grande. Expresam os esto con sím bolos
escribiendo
l-* C ,
y decim os que / se aproxim a a C com o límite.
Sin em bargo, no podem os dem ostrar esto, y la razón de ello es un tan to inesperada.
Consiste en que, hasta ahora, no disponem os de una definición m atem ática de lo que
significa la longitud de una circunferencia. (N o podem os obtener la longitud de ía
circunferencia sim plem ente añadiendo las longitudes de ciertos segmentos, com o
hicim os p a ra obtener el perím etro de un polígono, porque una circunferencia no
contiene segm ento alguno, ni aún segmentos m uy pequeños. En efecto, el corolario
14-6.1 nos dice que ninguna circunferencia contiene tres puntos que estén alineados.)
Pero el rem edio a esta dificultad es fácil. T om am os el enunciado
l-> C
com o definición de C.
D e fin ic ió n
La longitud de una circunferencia es el lím ite de los perím etros de los polígonos
regulares inscritos.
A hora, podem os definir el núm ero n, del m odo usual, com o la razón de la longitud
de la circunferencia a su diám etro. Pero, p ara estar seguros de que esta definición
tiene sentido, necesitam os prim ero saber que la razón C!2r es la misma p a ra todas las
circunferencias, n o im portando sus tam años. En efecto, esto es cierto
T e o re m a 1 6-1
L a razón de la longitud de una circunferencia a su diám etro es la misma para
to d as las circunferencias.
522
Á reas de circulo» y sectores
Demostración:
Se d a n una circunferencia con centro Q y radio r y o tra co n cen tro
Q ' y radio r'. En cada circunferencia, inscribim os u n «-gono regular.
En la figura anterior, m ostram os solam ente u n lado de cada «-gono con el triángulo
isósceles correspondiente. Los dos ángulos céntrales son congruentes, com o indican
las m arcas, p o rq u e la m edida de cada u n o es 360/«. T am bién, los lados incluidos son
proporcionales: r '/r = r'/r. P o r el teorem a de semejanza LAL,
A B Q A ~ A B 'Q 'A '.
P or tanto,
e _e
ne
ne
— = —,
r
r
7 '~ ~ r '
v_ = l
/■' y
y
donde / y / ' son los perím etros de los dos «-gonos. A hora bien,
/-» .C
y
l '- r C ,
p o r definición. En consecuencia,
L
—
r r '
1 V
Pufesto que - y — son iguales, sus límites son iguales. Así,
r r
C ^C
C __c_
r
2r ~ 2r”
r'
com o queríam os dem ostrar.
L a razón C/2r se d en o ta p o r n . C om o este núm ero es el m ism o p a ra to d as las cir­
cunferencias, la fórm ula
C = 2iir
es válida p ara todas las circunferencias.
El núm ero n no es racional y no puede calcularse exactam ente m ediante ninguno de
L a longitud de u n a circunferencia. E l n ú m e ro n
523
los m étodos ordinarios del álgebra. P or o tra p arte, puede aproxim arse con núm eros
racionales con la exactitud que se desee. A lgunas aproxim aciones útiles so n :
3,
3,14,
3y,
3,1416,
fff,
3,14159265358979
N o es difícil convencernos, m ediante m ediciones reales, de que n es un poco m ayor
que 3. Pero, p a ra obtener u n a aproxim ación más exacta, es necesario em plear técnicas
m atem áticas m uy avanzadas.
Conjunto de problemas 1 6-3
1. Un polígono regular se inscribe en una circunferencia; luego, se inscribe otro polígono
regular con un lado más que el primero, y así sucesivamente, teniendo cada polígono un
lado más que el anterior.
(a) ¿Cuál es el límite de la longitud de la apotema ?
(b) ¿Cuál es el límite de la longitud de cada lado?
(c) ¿Cuál es el límite de la medida de un ángulo del polígono?
(d) ¿Cuál es el límite del perímetro del polígono?
2. El diámetro de una rueda de bicicleta es 70 centímetros. ¿Qué distancia recorre la
bicicleta con cada vuelta de la rueda? (¿Qué aproximación de n■ hace más fácil el
cálculo ?)
3. ¿Qué aproximación de n es más exacta, 3,14 ó 3? ?
4. La longitud de la circunferencia de un tronco es 62,8 centí­
metros. ¿Cuál será la longitud del lado de una sección trans­
versal de la mayor viga cuadrada que puede recortarse del
tronco? (Utilícese 3,14 como valor aproximado de k .)
5. ¿Cuál es el radio de una circunferencia cuya longitud es
tt
'!
6. Se va a construir una cerca de forma cuadrada para encerrar una piscina circular cuyo
diámetro es 12 metros. Se requiere que la longitud total de la cerca sea el doble de la
circunferencia de la piscina. ¿Cuál será la longitud de un lado de la cerca?
7. La longitud del lado de un cuadrado es 8 unidades. Calcúlese la longitud de lacircun­
ferencia inscrita y la de la circunferencia circunscrita.
8. La longitud de un lado de un triángulo equilátero es 12. ¿Cuál será la longitud de la
circunferencia inscrita?; ¿y la de la circunferencia circunscrita?
9. La Tierra está a una distancia del Sol de 155.000.000 kilómetros, aproximadamente.
La trayectoria de la Tierra alrededor del Sol es casi circular. ¿Qué distancia recorremos
'en órbita” alrededor del Sol cada año'? ¿Cuál será una buena aproximación de la
velocidad de la Tierra en su órbita ?
Á r e a s d e c ír c u lo s y s e c to r e s
524
10. Hl radio de la Tierra es 6400 kilómetros aproximada­
mente. A medida que ia Tierra gira, los cuerpos en
su superficie se mueven constantemente a distintas ve­
locidades con relación al eje de la Tierra, dependiendo
de la latitud del lugar de cada cuerpo. ¿Cuál será la
velocidad aproximada, en kilómetros por hora, de un
cuerpo que esté cerca del ecuador? ¿Cuál será la ve­
locidad aproximada de un cuerpo que esté en una la­
titud de 45; N?
11. La longitud de un lado de un hexágono regular es 6 . ¿Cuál será la longitud de la
circunferencia circunscrita?; ¿y la de la circunferencia inscrita?
12. Los radios de tres circunferencias son I metro, 10 metros y 10.000 metros, respectivamente.
El radio de cada circunferencia se aumenta I metro, de manera que los nuevos radios
son 2, 11 y 10.001 metros, respectivamente. Determínese el aumento en Ja longitud de
cada circunferencia debido a la variación del radio.
13. Se da la figura, en la que el QABCD es un
cuadrado circunscrito a la circunferencia, el
□ W X Y Z es un cuadrado inscrito en la cir<—
>
cunferencia y A C y BD contienen las diagonales
de ambos cuadrados. El C P Q R S es un
cuadrado cuyos vértices son los puntos medios
de A W , BX, C Y y DZ. Determínese si el
perímetro del □ / ’0 WS es menor, igual o
mayor que la longitud de la circunferencia.
Tómese el radio de la circunferencia igual a I
y justifiqúese la respuesta mediante cálculos.
1 6 -4 .
E L Á R E A D E U N CÍRCULO
D e fin ic ió n
!
Un círculo o una región circular es la reunión de una circunferencia y su interior.
C uando hablam os del “ área de un círculo” , querem os decir el área de la región
circular correspondiente. (Este es el mismo m odo de abreviar que se utiliza cuando
hablam os del “ área de un triángulo” , queriendo decir el área de la región triangular
correspondiente.) A hora, obtendrem os u n a fórm ula para el área de un círculo.
E l á rea d e u n círculo
525
D ad a u n a circunferencia de rad io r, inscribimos
en ella un «-gono regular. C om o se acostum bra,
denotam os el área del w-gono p o r A„, su perím etro
p o r / y la apotem a p o r a. En la sección 16-2, página
518, obtuvim os que
= \al.
Esta form ula contiene tres cantidades, cada una de las cuales depende de n. Son
’ ° l A "' P ara o btener la fórm ula p ara el área de un círculo, tenem os que hallar a
que imites se aproxim an estas cantidades a m edida que n crece indefinidamente.
(a)
¿Que le sucede a A n? ,A„ es siem pre un poco m enor que el á rea A del círculo
porque siem pre hay algunos p u n to s que están dentro del círculo, pero fuera deí
«-gono regular. Sin em bargo, la diferencia entre A n y A c s m uy pequeña cuando n
es m uy grande, p orque entonces la región poligonal cubre casi com pletam ente el
interior de la circunferencia. Así, es de esperar que
( 1)
Pero lo m ism o que en el caso de la longitud de una circunferencia, esto no puede
dem ostrarse, puesto que n o hemos dado todavía una definición del área de un círculo.
A quí, tam bién, el rem edio es fácil.
D e fin ic ió n
El área de un círculo es el lím ite de las áreas de los polígonos regulares inscritos
en la circunferencia correspondiente.
Así, pues, A„ -> A , p o r definición.
(b)
¿Que le sucede a a? L a apo tem a a es siempre un po co m enor que r, puesto que
un cateto de un triángulo rectángulo es m ás co rto que la hipotenusa. Pero, la diferencia
entre a y r es m uy pequeña cuando n es m uy grande. As!, pues,
a -> r.
(2)
(c) ¿Qué le sucede a l? P or definición de C, tenem os
/- » C .
Reuniendo los resultados (2) y (3), obtenem os
( 3)
526
Á reas de círculos y sectores
P or tanto, com o A n = {al, tenem os
A n -* 2rCPero, p o r (1), sabem os que A n -> A ; en consecuencia,
A = \rC .
C om o C = 271r, esto n os da
A = \ r • 2nr = n r2.
Así, la fórm ula fam iliar se h a convertido en un teorem a.
Teorem a 16—2
'
El área de un círculo de radio r es n r2.
C onjunto de problem as 1 6 -4
1. Determinar la longitud de la circunferencia y el área del círculo correspondiente, si el
radio es 3; 5; V 2; 7T.
2. Determinar la longitud de la circunferencia y el área del círculo correspondiente, si el
diámetro es 6; 9; 2; ttV12.
3. Calcular el radio de un círculo cuya área es 49n; 20n; 25; 16; I 8773.
4. Calcular el área de un círculo para el cual la longitud de la circunferencia correspondiente
es 6 tt; 167r; 12; 2-jt.
5. Calcular el área de una cara de una arandela de hierro, si se sabe
que su diámetro es l i centímetros y que el diámetro del agujerees
2 centímetro. (Utilícese 3 t como valor de n.)
i
\
O
w
6. Demostrar el siguiente teorem a:
La razón de las áreas de dos círculos es igual al cuadrado de la razón de sus radios.
7. Los radios de dos círculos son 3 y 12, respectivamente. ¿Cuál es la razón de sus áreas?
8. Las longitudes de las circunferencias correspondientes a dos círculos son 7 y 4n. ¿Cuál
es la razón de las áreas de los círculos?
9. La longitud de la circunferencia correspondiente a un círculo y el perímetro de un
cuadrado son 20 unidades cada uno. ¿Cuál tendrá el área mayor, el círculo o el cua­
drado? ¿Cuánto mayor?
El á re a d e u n c irculo
*
d~
- * - * -
527
—
11. En la figura de la derecha, el diámetro de cada semi­
circunferencia pequeña es igual al radio de la semi­
circunferencia grande. Si el radio de la semicircunferencia
grande es 2, tcuál es el área de la región sombreada?
12. El O A B C D esu n cuadrado de lado s. X y Z son los puntos
medios de A D y BC, respectivamente. Los centros de los
d áarea
r e a 'ddeíl«
8K S° nsombreada.
*
respectivamen'e- Determínese
el
la ■región
13. En una superficie esférica de radio 10 centímetros, se
determinan dos secciones mediante dos planos que están
y 5 Cf n/ ímelr° S dd Centro- ¿Qué secc'ón
endra el area mayor? Calcúlese la razón de las áreas de
las dos secciones.
8*32532«^^
e h k s s s : ¡£¡£r*‘
™
—
u n f „
a „a
£ » £ » * < es igual a
* , p ro d M o ^
£
16. Las semicircunferencias trazadas en la figura tienen
como diámetros los catetos del triángulo rectángulo
A ABC. Las areas de las regiones son *, y, z, ni y «,
como se indica. Demuéstrese que * + y = z.
17. El 12-gono que se muestra a la derecha, tiene 8 de sus
vértices en una circunferencia. Todos sus lados son cong uentes y, ademas, todos sus ángulos son rectos. Si se sabe
que la longitud de cada lado es 4, determínese el área de la
parte de la región circular exterior al polígono
*
£
§
*
£
£
£
528
Á reas d e círculos y sectores
+ 18. Una circunferencia de longitud 4 tt se inscribió en un rombo cuyo perímetro es 20.
Calcúlese el área total de las regiones limitadas por la circunferencia y el rombo.
+ 19. Un trapecio isósceles cuyas bases miden 2 y 6 centímetros, respectivamente, sé circuns­
cribe a una circunferencia. Determínese el área de la parte de la región del trapecio que
está fuera de la circunferencia.
* + 20. U n blanco en el cual se supone que un aficionado dé en su
región central con tanta frecuencia como en cualquier
región anular, se construye de la siguiente manera; Se
toma como radio de la región central la distancia PA = r
entre dos rayos paralelos P M y AN- La circunferencia
con radio r y centro P interseca a PM en Q. La perpen­
dicular a P M en Q corta a A N en B. Entonces, se traza
una circunferencia con radio PB = r i y centro P. Este
proceso se repite, trazando perpendiculares a R y 5 y
circunferencias concéntricas con radios PC = r2 y P D = r 3.
Desde luego, pueden construirse más anillos.
(a) Exprésense r,, r2, r3 en función de r.
(b) Muéstrese que las áreas de la región central y de los anillos, representadas por a, b, c
y d, son iguales.
1 6 -5 .
LONGITUDES D E ARCOS Y ÁREAS D E SECTORES
P ara definir la longitud de u n arco circular, utilizam os el m ism o tipo 'de procedi­
m iento que p a ra definir la longitud de la circunferencia
com pleta. Prim ero, dividim os el arco dad o A B en n
arcos congruentes que no se crucen y sólo se toquen en
los extrem os. Entonces, trazam o s las cuerdas corres­
pondientes. C om o en el caso anterior, to d as las cuerdas
tienen la m ism a longitud <?, y la sum a de sus longitudes es
/ = ne.
L a longitud de A B se define com o el lím ite de / a medida
que n crece indefinidamente.En el estudio q u e harem os ahora, convendrá considerar una circunferencia com o
u n arco cuya m edida es 360. Así, podrem os considerar su longitud com o la de un
arco de m edida 360.
L ongitudes d e a rco s y á re a s d e sectores
529
Teorem a 1 6 -3
Si dos arcos tienen radios iguales, entonces sus longitudes son proporcionales a
sus medidas.
longitud A B _ longitud A 'B '
mAB
mALB'
E n casos sencillos, es m uy fácil ver que esto es cierto. Si duplicam os la m edida
4 e un a rc o, se d u plicará la lon g itu d ; si se divide la m edida p o r 7, se dividirá la longitud
p o r 7>y así sucesivam ente. Sin em bargo, u n a dem ostración de este teorem a es dem a­
siado difícil p ara este curso. P o r tan to , considerarem os el teorem a com o un nuevo
postulado.
A base de este teorem a, podem os calcular las longitudes de arcos.
T e o re m a 1 6 - 4
Si u n arco tiene m edida q y ra d io r, entonces su longitud es
T
Q
~
D em o stració n :
lio
Sea C la longitud de u n a circunferencia de radio r. P o r el teorem a
16-3,
L _
q
Pero C = 2nr. P or consiguiente,
C
360’
530
Á reas de cireulos y sectores
D e fin ic io n e s
Sea A B u n arco de u n a circunferencia con centro Q y radio
L a reunión de
to d o s los segm entos QP, donde P es u n p u n to cualquiera de A B , se llam a un
sector. A B es el arco del sector y r es el radio del sector.
D efinim os el á rea de un sector de u n a m anera análoga a com o definimos el área de
un círculo. U tilizando el m ism o tip o de dem ostración, obtenem os el siguiente
teorem a:
T e o re m a 1 6 - 5
El área de u n sector es la m itad del producto de su radio y la longitud de su
arco.
Expresado en form a breve,
A = \r L .
H ay u n a m an era fácil de reco rd ar esta fórm ula. El área de un sector de radio r
d ad o deberá ser p roporcional a la longitud de su arco. (E n efecto, esto es cierto.)
C u an d o el arco es la circunferencia com pleta, el área es n r2 = ¡Cr, donde C = 2nr.
En consecuencia, p a ra u n sector con arco de longitud L , y de área A , tendrem os
íg¡ > f *
U tilizando la fórm u la p a ra L del teorem a 16-4, obtenem os el teorem a siguiente:
T e o re m a 1 6 - 6
Si u n sector tiene radio r y su arco tiene m edida q, entonces su á rea es
Obsérvese que p a ra q — 360, el teorem a dice que A = n r2, com o debe ser.
L ongitudes d e a rco s y á re a s d e sectores
531
Conjunto de problemas 1 6-5
1. El radio de una circunferencia es 18. Calcúlese la longitud de un arco de 60°; de 90°
de 120°; de 150°; de 180°; de 270°.
2. ¿Cuál es el radio de una circunferencia,
si la longitud
de un arco
de 45°
es3 tt?
3. ¿Cuál es el radio de una circunferencia, si la longitud
de u n arco
de 72°
es4 n r!
o
v 4. Los arcos AB y CD son ambos de 60°, pero sus longi­
tudes no son iguales. P es ^el 'centro de ambos arcos.
Si P A = 6 y A C = 3, ¿cuáles son las longitudes de AB
y C D ? '''----------
5. La longitud de un arco de 60° es de 1 centímetro. Determínese el radio del arco y la
longitud de su cuerda.
6 . Expliqúese la diferencia entre el significado de la medida de un arco y la longitud del
arco.
7. Calcular el área de un sector de radio 10, cuyo arco es de 90"; de 72°; de 180"; de 216°;
de 324°.
8. El área de un sector de radio 2 es ir. ¿Cuál es la medida del arco del sector?
9. El área de un sector de radio 6 es 15ir. ¿Cuál es la longitud del arco del sector?
10. El minutero de un reloj en la torre de un edificio público tiene 2 metros de largo. Deter­
mínese la distancia que recorre la punta del minutero en 5 minutos. ¿Cuántos centí­
metros recorrerá la punta del minutero en 1 minuto?
11. Al proyectar edificios muy altos, los ingenieros deben tener en cuenta un movimiento
oscilatorio que es típico de todos los rascacielos. La altura del edificio Empire State has­
ta el piso 102 es 375 metros. Si el edificio a esta altura describe un arco de 3 °, ¿qué
distancia recorre al moverse de un lado a otro?
12.
Un segmento circular es una región determinada por un arco
de una circunferencia y la cuerda correspondiente. Descríbase
un método para calcular el área de un segmento circular.
532
Á reas d e círculos y sectores
13. Determinar el área de un segmento circular, si se sabe que el radio, r, y la medida del
arco, mAB, son los siguientes:
(a)r=12;
mAB = 60
(b)r=6;
mAB = 120
14. Determinar el área de un segmento circular, si se sabe que el radio, r, y la medida del
arco, mAB, son los siguientes:
(a|r=8;
m A B - 45
(b) r = 10; m A B = 30
15. Un octógono regular se inscribió en una circunferencia de radio 6. Determínese el área
de la parte de la región circular que está en el exterior del octógono.
I
’
I
16. El radio de cada uno de los arcos circulares que forman la
figura de seis pétalos es el mismo que el radio de la circun­
ferencia que contiene las puntas exteriores de todos los
pétalos. Si el radio es 1. ¿cuál es el área de la figura?
17. En la figura de la derecha, se representa una
correa continua en torno a dos ruedas. Los
radios de las ruedas son 3 centímetros y 15
centímetros, y la distancia entre sus centros
es 24 centímetros. Calcúlese la longitud de la
correa.
18. Una correa continua corre en torno a dos rue­
das de manera que éstas giren en sentidos opues­
tos. Las ruedas tienen radios de 3 centímetros
y 9 centímetros y la distancia entre sus centros
es 24 centímetros. Determínese la longitud de
la correa.
PROBLEMA OPTATIVO
Deducir una fórmula para determinar el área de un óvalo.
Constrúyase un óvalo de la manera siguiente: Sean A B y
CD diámetros perpendiculares de una circunferencia de
radio r. Con A como centro y A B como radio, trácese un arco
desde B que interseque a A C en G. Análogamente, con B
como centro y AB como radio, trácese A H de manera que
interseque a BC en H. Finalmente, con C como centro y
CG como radio, trácese GH. Determínese el área del óvalo
ADBGH.
R ep a so de la u n id a d
533
R ep aso de la unidad
1. ¿Es un polígono convexo un conjunto convexo?
2. Definir un polígono regular.
3. Un hexágono se circunscribió a una circunferencia de diámetro 10. Si el perímetro del
hexágono es 28, ¿cuál es el áíea de la región hexagonal?
4. Comparar la apotema de un polígono regular y el radio de la circunferencia inscrita.
V
5. Comparar la apotema de un polígono regular y el radio de la circunferencia circunscrita.
(Para justificar el resultado, puede suponerse que la longitud de una arista es <?.)
6. Un polígono convexo tiene 13 lados. ¿Cuál es la suma de las medidas de sus 13 ángulos
externos?
7. ¿Cuántos lados tendrá un polígono convexo, si la suma de las medidas de sus ángulos es
1080?
8. Determinar la medida de cada uno de los ángulos de un pentágono regular; de un
hexágono regular; de un octógono regular; de un decágono regular.
9. ¿Cuál es la apotema de un polígono regular cuya área es 225 y cuyo perímetro es 60?
10. Si la longitud de una circunferencia es C y su radio es r, ¿cuál será el valor de C/r?
11. ¿Cuál será el radio de una circunferencia, si su longitud es igual al área de la región
circular correspondiente?
12. El área de un círculo es 6 veces la longitud de la circunferencia correspondiente. ¿Cuál
es su radio ?
13. Los radios de dos circunferencias concéntricas son 5 y 13. Determínese el radio de un
círculo cuya área sea igual al área del anillo determinado por las dos circunferencias
dadas.
14. Si el radio de una circunferencia es 4 veces el radio de otra, ¿cuál será la razón de sus
diámetros?; ¿de sus longitudes?; ¿y de las áreas de las regiones circulares correspon­
dientes?
15. Las longitudes de dos circunferencias son 6 tt y 10rr. ¿Cuál es la razón de las áreas de
las regiones circulares correspondientes ?
16. Comparar las áreas de un triángulo equilátero circunscrito a una circunferencia y de
un triángulo equilátero inscrito en la misma circunferencia.
17. Demostrar que el área de un círculo puede expresarse mediante la fórmula irrd2 donde
d es el diámetro del circulo.
534
Á reas d e círculos y sectores
18. ¿Pasará más agua por tres tubos de 2 centímetros o por un tubo de 6 centímetros?
Justifiqúese la respuesta. (Un tubo se mide por su diámetro interior.)
C
19. Se sabe que la longitud de un lado de un triángulo equilátero
A ABC es 6 y que P, Q y R son los puntos medios de sus
lados. Los arcos PQ, P R y QR tienen como centros los
vértices del triángulo. Determínese el área y la longitud de
la frontera de la región PQR.
20. El área de un cuadrado es igual al área de un círculo de diámetro 2. ¿Cuál es la longitud
de un lado del cuadrado ?
21. El perímetro de un cuadrado es igual a la longitud de la circunferencia correspondiente a
un círculo. ¿Cuál tendrá el área mayor, el cuadrado o el círculo? Determínese la razón
del área del cuadrado al área del círculo.
22. En la figura, se muestra un cuadrado inscrito en un sector de
90° cuyo radio es r. Dedúzcase una fórmula para el área de la
región sombreada.
23. Cada uno de los vértices de la figura ABC es el centro del
arco opuesto. L a figura tiene la propiedad interesante de
que cuando se hace rodar entre dos rectas paralelas, siempre
tocará las dos rectas, como lo haría una circunferencia.
Tómese r como radio de cada arco y dedúzcase una fórmula
para el área de la figura A BC y otra para el perímetro de la
figura ABC.
PROBLEMA OPTATIVO
¿Ha visto el alumno alguna vez un taladro que haga un agujero
cuadrado? U n taladro de este tipo se inventó en 1914. Es
simplemente una modificación de la figura triangular indicada
en el problema 23 anterior. La figura se conoce con el nombre
de triángulo de Reuleaux, en honor de Franz Reuleaux (1829—
1905), quien fue el primero que advirtió su propiedad de an­
chura constante. El alumno puede proyectar muy fácilmente un
taladro que haga un agujero cuadrado. Empiécese de la manera
siguiente: D e un trozo de cartulina dura, recórtese un cuadrado
c
R ep a so d e la u n id a d
53S
con lado de 10 centímetros de largo, aproximadamente. El agujero resultante será el
agujero cuadrado de prueba. Ahora, en otro trozo de cartulina, constrúyase un triángulo
equilátero cuyo lado sea de la misma longitud que el lado del agujero cuadrado. Con un
compás, y tomando los vértices del triángulo como centros, trácense los arcos necesarios.
Recórtese este triángulo de Reuleaux. El alumno hallará que el triángulo gira en el
agujero, pero que siempre se mantendrá en contacto con cada lado del agujero cuadrado.
El proyecto del taladro está ahora en manos del estudiante.
17 Los cuerpos sólidos y
sus volúmenes
1 7 -1 .
PRISMAS
En las figuras, la región dad a, R , está en el p lan o E t.
m íZ
P im t° P dCí ’ tracem os u n a m e n t o P P ', perpendicular a £ „ que u n a el
p u n to P con un p u n to P del segundo plano. L a reunión de todos estos segm entos se
in d i“
^ regÍÓD * 56 ll3ma 13 baSe * * * » <>> simplemente, la Tase
m n Í T C°tnSld.e ra r un P B ? m rectq com o el cuerpo sólido engendrado p o r la base al
, m overse verticalm ente hacia arriba desde E¡ a £ 2.
t r a ^ m n 'T T SÓ1Íd° , C0I" ° ést^ se Uama Prism a recto, po rq u e los segmentos que
S 2 T
perp
iculares al P ^ n o de la base. Podem os fo rm ar prism as de otras
clases trazando los segm entos en una dirección fija cualquiera, que puede o n o ser
p o S a d
P
“
baSC'
E ° 18 Sig" le” ,e
c o n L e ra m o " e l
D e fin ic ió n
Sean E , y E2 dos planos paralelos, R una región poligonal e n £ , y l una recta
que interseque a £ , y a £ 2,p e ro no a R. P or cada p u n to P d e R , sea P P ' u n seg­
m ento paralelo a L y q u e u n a el p u n to P co n un p u n to P ' de E 2. La reunión de
to d o s los segm entos P P ' se Uama prisma.
537
538
Los cuerpos sólidos y su s volúm enes
(Obsérvese que en la definición anterior, n o podem os perm itir que L interseque a R ,
p orque, entonces, ningún segm ento que pase p o r el p u n to de intersección será paralelo
a L .)
D e fin ic io n e s
L a región poligoíial R se llam a la base inferior o, sim plem ente, la base del prism a.
L a p a rte del prism a que está en E2 se llam a la base superior. L a distancia entre
£ , y E 2 se llam a la altura del prism a. Si L es perpendicular a £ , y E 2, entonces
el prism a se llam a prism a recto.
O bsérvese que p a ra los prism as rectos, la a ltu ra es la distancia P P \ pero p a ra los
prism as n o rectos, la altu ra es siem pre m enor que PP'.
Los prishias se clasifican según sus b ases: u n prism a triangular es un o cuya base es
u n a región triangular, y así sucesivamente.
D e fin ic ió n
U na sección transversal de u n prism a es la intersección del prism a con un plano
paralelo a l p lan o de la base (con tal que la intersección n o sea vacía).
T e o re m a 1 7 -1
T odas las secciones transversales de un
prism a triangular son congruentes con
la base.
D esde luego, las secciones transversales y
la base son realm ente regiones triangulares,
m ás bien que triángulos. C uando decimos
que son congruentes, significamos que los
triángulos correspondientes son congruentes.
Dem ostración: C om o en la figura, sea la base la reunión del A A B C y su interior, y
sean D , E y F los p u n to s e n que la sección transversal interseca a A A ', B B ' y C C ',
respectivam ente. Entonces, A D || F C , porque estos dos segmentos son paralelos a L .
E n virtud del teorem a 10-1, Z )F || ~AC. P or tan to , el \Z\ADFC es un paralelogram o y,
en consecuencia, D F = AC.
[Pregunta: El teorem a 10-1 nos dice lo que sucede cuando dos planos paralelos son
intersecados p o r un tercer plano. A quí, los dos planos paralelos son los que contienen a
los triángulos A A B C y A DEF. ¿C uál es el tercer plano?]
P rism as
539
E n l á m e n l e de la m ism a m anera, dem ostram os que D E = A B v E F - f í r p
i
teorem a L L L , tenem os que A D E F = * A A B C m m r, c
<~
P or el
^ = ^ a ü c , com o se quería verificar.
C o ro la rio 1 7 -1 .1
Las bases superior e inferior de u n prism a trian g u lar son congruentes.
E sto es evidente, pues la base superior es una sección transversal.
T e o re m a 1 7 - 2 .
El teorema d e la sección transversal d el prisma
T odas las secciones transversales d e un prism a tienen la m ism a área.
sum a de las áreas de las regiones t r ia n e u la r í ™
triá n g u lo s c o n g ru e n te s tie n e n l a “
is ™
Z e t
tn anguiares- El área de 5 es la
C° r re S i’<>" d “ i" " s “
*
Com o
lo s
la sum a es la m ism a p a ra R y p ara S.
C o ro la rio 1 7 -2 .1
L as bases de un prism a tienen la misma
area.
Esto es así, p o rq u e la base superior es una
sección transversal.
¿¡xszztrz'™í;szprism
ascuyasbasM«»*-p*
polígono convexo y su interior. En tales c aso s^n n riT ’ en*e" dem os la reun,ón de un
vértice de la base.
’P
s h ab iar de u n a arista o de un
La figura an terio r nos recuerda ,a definición de un pristna. En „ fig„ ra , A , s son
540
Los cuerpos sólidos y sus volúm enes
vértices de la base y A B es una arista de la base. Los segm entos A A ' y B B ' se llam an
aristas laterales del prism a. L a región paralelográm ica determ inada p o r el Q A A 'B 'B
se llam a una cara lateral del prism a. E nunciarem os esto de m odo m ás preciso:
A / /
o /
0/
D e fin ic ió n
Si A es un vértice de la base de un prism a y A ' es el punto
correspondiente de la base superior, entonces A A ' es una
arista lateral del prism a. Si A B es u n a arista de la base y
F e s la reunión de to d o s los segm entos PP‘ p a ra los cuales
P está en A B y P ’ es el p u n to correspondiente a P en la base
superior, entonces F es u n a cara lateral del prism a.
T e o re m a 1 7 - 3
Las caras laterales de u n prism a son regiones paralelográm icas.
P a ra d em ostrar este teorem a, necesitam os saber que A A ’ \\B B ' y que A B \\ A 'B '.
Justifiqúese esto.
. (jr
y í
' ,■. ■,0
C o ro la rio 1 7 -3 .1
Las caras laterales de un prism a recto son regiones rectangulares.
La dem ostración se deja al alum no. (Sabem os que L I E , y que A A ' || L.)
D e fin ic io n e s
I
La reunión de las caras laterales de u n prism a se llam a su superficie latera
La reunión de las caras laterales y las dos bases se llam a su superficie to ta l
D e fin ic io n e s
U n paralelepípedo es u n prism a cuya base es una
región paralelográm ica.
,U n paralelepípedo rectangular es u n prism a
rectangular recto.
Así, pues, todas las caras (laterales, superior e inferior) de un paralelepípedo
son regiones paralelográm icas y to d as las caras de un paralelepípedo rectangular son
regiones rectangulares.
D e fin ic ió n
U n cubo es un paralelepípedo rectangular cuyas aristas son todas congruentes.
*
P rism as
541
Conjunto de problemas 17—1
1. (a) El prisma representado a la derecha se llama un
prism a_______________
(b) La región ABCD se llama
(c) A A ' se llama
_______
/.-■/■■
i
7 ----------- --------
(d) H H ' se llama __
(e) Si A A ' fuera perpendicular al plano de la base,
entonces el prisma se llamaría
■■■ ~■
(0 La región paralelográmica B B 'C 'C se llama
l
(g) La reunión de las caras laterales se llama
-
(h) S i el □ ABCD fuera un paralelogramo, el prisma se llamaría
T ’
’ 3 f nflnuación’ a s e n t a un prisma recto que descansa sobre
a r i L Í m r aS r SH erK
Sus„bases son re8¡ones trapezoidales. Las longitudes de las
aristas p a rd e as de la base son 4 y 9, las longitudes de las aristas no paralelas son 5y 6 y
I2- Determínese el área de la superficie lateral del prisma
3. La altura del prisma pentagonal recto representado por la figura anterior de la derecha
es 8 y las longitudes de las aristas de la base son 2, 5, 7, 7 y 8 i Determínese el área de la
superficie lateral del prisma.
//
«
4.
Un prisma recto tiene una arista lateral de longitud 3 y el perímetro de su base es 34
¿Cual es el area de su superficie lateral ?
5‘ S í m í ? - fe/“! 61 f 6?’ 5’ de 13 superficie lateral de un Prisma recto viene dada por la
formula 5 - hl, donde h es la altura del prisma y l es el perímetro de la base.
6. Determinar la altura de un prisma recto para el cual el área de la superficie lateral es 143
y ei perimetro de la base es 13.
542
L os cuerpos sólidos y su s volúm enes
7 . Si u n a c a ra lateral d e u n p rism a es u n rec tán g u lo , ¿se p o d rá d e d u cir q u e to d a s las caras
laterales so n rectán g u lo s ?
8. L as bases del p rism a rep re sen ta d o a la d e rech a son
trián g u lo s eq u ilátero s y sus c a ra s laterales so n
regiones rectangulares. S i se sa b e q u e la lo n g itu d de
u n a arista d e la base es 6 y la a ltu ra del p rism a es 10,
calcúlese el á re a d e la superficie to ta l del prism a.
/
9 . D e m o stra r q u e d o s arista s laterales n o consecutivas
cualesqu iera d e u n p rism a so n c o p la n a ria s y q u e la
intersección c o n el p rism a del p la n o d e term in a d o p o r
ellas es u n a reg ió n p aralelo g rám ica. (P rim eram ente,
exprésese el e n u n c ia d o a n te rio r u tilizan d o la n o tació n
d e la figura.)
h
Ás3~'
£ 10. ¿C uál e s e l á re a d e la superficie la te ra l d e u n cu b o c o n a rista d e lo n g itu d 5 ? ¿C uál es el
área d e su superficie to ta l ?
11. L as aristas d e u n a sección tran sv ersal d e u n p rism a tria n g u la r tienen long itu d es 3, 6 y
. j
3V 3. ¿C uáles so n las lo n g itu d es d e las arista s d e o tra sección tran sv e rsa l? ¿Q ué figura
geom étrica es ? ¿C uáles so n las m edidas de sus án g u lo s ? C alcúlese el á re a d e u n a sección
transversal del prism a.
12. L a lo n g itu d d e la d iag o n al d e u n cu b o es 16V 3. D eterm ín ese el á rea d e su superficie
total.
/
13. L a s dim ensiones d e u n p aralelep íp ed o re c ta n g u lar so n 4 , 7 y 12. C alcúlese el área d e su
superficie to tal.
'i * 14. L as dim ensiones d e la b a se d e u n paralelepípedo rectan g u lar
so n 5 y 8, y su a ltu ra es 12. U n ag u jero q u e va desde la base
su p erio r h a sta la b ase in ferio r, tien e la fo rm a d e u n prism a
tria n g u la r re cto , cu y as bases so n trián g u lo s e q u ilátero s co n
aristas d e lo n g itu d 3. D eterm ín ese el á re a d e la superficie
to ta l d e la figura.
* 15. L a b ase d e u n p aralelep íp ed o e s u n a región rec­
ta n g u la r d e d im ensiones 6 p o r 15. L as c aras''
extrem as so n regiones c u a d ra d as q u e fo rm a n u n
án g u lo d e 60“ c o n la base. U n p la n o p erp en d icu lar
a la arista m á s larg a d e la base interseca al
paralelepípedo según u n a reg ió n rectan g u lar.
D eterm ín ese el área d e la superficie total.
P irám ides
1 7 -2 .
¿
7
543
PIRÁMIDES
°
S 6 M ° K I l M ‘ ÍO i“
es u n , pirám ide con ¡,ase * y
L a pirám ,d e es ia reanión de to d o s los segmentos F & donde Q es „ „ p u n to c„ a Iq„ier,
D e f in ic io n e s
t
z i“ * \^zív: r r rq” «*.«*
los cuales O pertenece a R r a l
desde V a E
s | ^ a s t a ^ l vértice 3 es S i S í
constantem ente, fa s to to m ar el
,
° n de todos Ios segmentos VQ para
3 P' ram ' de 65 ,a distancia (perpendicular)
H
I Í f f “ m“™ h™
" 4
« Ü
T e o re m a 1 7 -4
T oda sección transversal de una pirám ide triangular entre la base v ol vn rf
333=3S ͣ**gK
1
544
Los cuerpos sólidos y s u s volúm enes
L a notación usada en la dem ostración es la que se indica en la figura. La base es la
región determ inada p o r el A A B C _ El triángulo A A 'B 'C ' es el triángulo correspon­
diente en la sección transversal. VP es el segmento perpendicular desde V a l plano de
la base, con VP = h: VP' es el segm ento perpendicular desde V a l plano de la sección
transversal, con VP' = k . L a figura de la derecha presenta los triángulos A V A P y
A V A 'P ' en su propio plano. Obsérvese que el L P y el L P 1 (es decir, el L V P 'A !) son
realm ente ángulos rectos, p orque VP es perpendicular a los dos planos paralelos al
plano de la base.
Demostración:
Los pasos principales son los siguientes:
(1)
A V A 'P '~ A V A P .
C om o los ángulos L P y L P ’ son ángulos rectos y L V ^ L V , la. sem ejanza se deduce
del corolario A A .
VA'
k
p orque estas son las longitudes de lados correspondientes.
Exactam ente de la misma m anera, utilizando los triángulos A VP B y A VPB,
podem os d em ostrar que
^
VB' k
VB~h
P or el teorem a de sem ejanza LA L, obtenem os
(4)
A V A 'B ' ~ A V A B .
Por tan to ,
A 'B ' ^ VA' _ k
<5)
A B ~ VA
h '
Pirám ides
545
Aquí, no hay nada especial acerca de A B en la has? v 7 ? = , i
las aristas B C y W C ' están
.. .
y ^ B en la sección transversal;
relacionadas de Ja misma m anera. P or consiguiente,
tenemos
(6)
O)
B 'C ' _ k _
BC
I,
A 'C ' _ k
AC
h '
D el teorem a de sem ejanza LLL, se deduce que
(8)
A A 'B 'C - A A B C .
defl°rt 7 S a
f t °traP8rte“ P“ dC
razón es siem pre k 2/h 2, com o anteriorm ente.
'*** ^
de la base’ la
T e o re m a 1 7 - 5
base es V ^ H o n d é V
»1 Plano d i
¿
i la’ d t u n u f c l í
v T ^ transversaI al área de ,a
' * * "
d d Vért'“
Demostración:
D escom ponem os la base en
regiones triangulares m ás pequeñas T , , T
■■• , Tn, com o en la definición de una región
poligonal. Sean a¡, a2, . . . , a„ las áreas de
esas regiones. En la figura, se presenta el
caso n = 3. Sean a \, a’2 , . . . , a ’n las áreas de
S
S
S
S
S
1®“ "
“
** sección transversal.
A — a¡ + a2 + ■ • • + an
y el área de la sección transversal es
En.onoes, el
546
Los cuerpos sólidos y sus volúm enes
P or el teorem a anterior.
k2
,
k2
En consecuencia,
com o se quería dem ostrar.
Este teorem a, a su vez, nos perm ite d em ostrar el siguiente:
T e o re m a 1 7 - 6 .
El teorema de la sección transversal de la pirámide
Si dos pirám ides tienen la m ism a altu ra y el área de sus bases es la mism a,
entonces las secciones transversales equidistantes de los vértices tienen la m ism a
área.
En la figura, presentam os pirám ides triangulares, para m ayor facilidad. Pero esto
no implica restricción alguna en la dem ostración, n i tam poco en la generalidad del
teorem a.
D em ostración: C om o se indica en la figura, sea A el área de la base de ca d a pirám ide,
h la altu ra de cada una, y A: la distancia entre ca d a sección transversal y el vértice
correspondiente. Entonces, las áreas de las secciones transversales son las m ismas,
pues cada una de ellas es igual a (k 2¡h2) A .
v
Conjunto de problemas 1 7 -2
1. Como en el caso de los prismas, las pirámides se
clasifican según las formas de sus bases. A la
derecha, se presenta un dibujo de una pirámide
rectangular. Dibújense algunas pirámides trian­
gulares y pirámides, cuadradas.
c
A
B
2. ¿Cuál es otro nombre para una pirámide triangular? (Véase el capítulo 3.)
3. Redáctense definiciones formales de arista lateral y cara lateral de una pirámide.
P irám id es
547
4. En la pirámide V-ABC, el A ABC es equilátero. Un plano
paralelo a la base interseca a las aristas laterales en D,
E y F; de manera que VE = -jEB.
(a) ¿Cuánto e s ---- ?
AV
(b) ¿Qué puede decirse acerca de los triángulos A D E V y
A A B V 1; ¿y acerca de los triángulos A A BC y A DEF1
DE
(c) ¿Cuánto es — ?
AB
(d) Si BC = 6, calcúlese aADEF.
5. La altura de una pirámide cuadrada es 10 y la longitud de un lado de la base es 15.
Determínese el área de una sección transversal que dista 6 unidades del vértice.
6. El área de la base de una pirámide pentagonal es 72 centímetros cuadrados. La altura
de la pirámide es 12 centímetros. ¿Cuál es el área de una sección transversal que dista
4 centímetros de la base?
7. Se da una pirámide cuya base tiene un área de 180 centímetros cuadrados. Una sección
transversal cuya área es 108 centímetros cuadrados dista 9 centímetros de vértice. De­
termínese la altura de la pirámide.
T
Las dos pirámides representadas aquí (la de la izquierda, una pirámide cuadrada), tienen
alturas iguales. Sus bases son coplanarias y las secciones transversales también lo son.
Si A B = 2v/6, A 'B ' = 3 V 2 y el área de la región poligonal S U V W X Y Z es 24, determínese
el área de la sección transversal de la pirámide de la derecha. .
A
9. U na pirámide cuya base es un polígono regular y cuyo
vértice equidista de cada uno de los vértices de la base,
se llama pirámide regular.
Demuéstrese que la altura desde el vértice' de una
pirámide regular a su base interseca a ésta en su circuncentro (es decir, en un punto equidistante de cada uno
de los vértices de la base).
548
Los cuerpos sólidos y su s volúm enes
__ _ >
10. Una arista de la base de una pirámide cuadrada regular tiene 10 centímetros de largo y
la altura de la pirámide es 12 centímetros. Determínese el área de la superficie lateral de
la pirámide.
11. Demostrar que las caras laterales de una pirámide regular están limitadas por triángulos
isósceles congruentes.
12. La altura de cada una de las carás laterales de una pirámide regular se llama la altura
oblicua o altura indinada de la pirámide. Verifiqúese que el área de la superficie lateral
es la mitad del producto de la altura oblicua y el perímetro de la base.
13. Determinar el área de la superficie total de una pirámide regular cuya altura es 15 y cuya
base es un cuadrado con lado de longitud 16.
14. Determinar el área de la superficie total de una pirámide
hexagonal regular, si la longitud de una arista de la
base es 8 y la altura de la pirámide es 12.
15. Se da una pirámide triangular ABCD cualquiera. Descríbase verbalmente un plano cuya
intersección con la pirámide sea una región paralelográmica.
PROBLEMA OPTATIVO
Se da un tetraedro regular (una pirámide triangular) con una arista de longitud 8.
Determínese el área de una sección transversal que contenga el punto de concurrencia
de las cuatro alturas de la pirámide.
1 7 -3 .
VOLÚMENES D E PRISMAS Y PIRÁMIDES.
EL PRINCIPIO DE CAVALIERI
A hora, aprenderem os cóm o hallar los volúmenes de varios cuerpos sólidos. Este
proceso em plea varias de las ideas que utilizam os al determ inar áreas de regiones
poligonales. S in em bargo, nuestro estudio será m ás inform al que el de la U nidad 11
y no incluirá un conjunto com pleto de postulados adecuados p a ra justificar todo
lo que h ag am o s en cada etap a. N o obstante, enunciarem os los dos postulados prin­
cipales que u tilizarem os p ara o b ten er respuestas num éricas.
V olúm enes de p rism as y pirám ides. E l principio de Cavalieri
549
El alum no reco rd ara que en la U nidad 11, tom am os la fórm ula p a ra el á re a de
un cuadrado, A = *.2, com o postulado y, luego, utilizam os un artificio p a ra ob­
ten er la form ula del a rea de un rectángulo, A = bh. P a ra el volum en de un cuerpo
solido, nuestro artificio no funciona y, p o r consiguiente, utilizam os un postulado
de la unidad m ás fuerte:
P O S T U L A D O 23 .
y
El p o stu lad o d e la unidad
h
E l volumen de un paralelepípedo rectangular es e l
producto de la altura y e l área de la base.
J
A
/■
a
w
V —Ah = abh
^ D esde luego, cualquier c ara de un paralelepípedo rectangular puede considerarse
com o base. Siem pre obtenem os la m ism a respuesta p a ra el volum en, porque, en
cada caso, Ah es el p ro d u cto de las longitudes de tres aristas con un extrem o com ún.
P ara com prender lo que sucede en el siguiente postulado, pensemos prim ero en
un m odelo real. Podem os hacer un m odelo aproxim ado de una pirám ide de base
cuadrada, form ando un m ontón de tarjetas cuadradas, recortadas del tam año
adecuado:
La figura de la izquierda representa la pirám ide exacta y la de la derecha es el m odelo
aproxim ado construido con tarjetas.
A hora, supongam os que taladram os un agujero en el m odelo, desde el vértice
hasta la base, e insertam os una varilla delgada de m odo que atraviese todas las
tarjetas. Podem os, entonces, inclinar la varilla en cualquier dirección que deseemos,
m anteniendo fijo su extrem o de apoyo en la base. Entonces, la form a del m odelo
cam bia, pero su volum en no. La razón de esto es que su volum en es sencillamente el
volum en total de las tarjetas, y este volum en total n o varía cuando las tarjetas se
deslizan unas sobre otras.
El mismo principio se.aplica de una m anera m ás general. Supongam os que tenem os
dos cuerpos sólidos con bases en el mismo plano. C onsiderarem os éste com o el plano •
530
Los cuerpos sólidos y sus volúm enes
horizontal. Si todas las secciones transversales de los dos cuerpos sólidos y al mismo
nivel, tienen la m ism a área, entonces los dos cuerpos sólidos tienen el m ism o volumen.
A= A'
Esto es cierto p o r la siguiente razó n : H agam os u n m odelo con tarjetas de cada un o de
los sólidos. Entonces, ca d a tarjeta en el prim ero tiene exactam ente el m ism o volumen
que la tarjeta correspondiente en el segundo m odelo. U tilizando tarjetas muy del­
gadas, podem os hacer m odelos que son aproxim acionés m uy buenas de los cuerpos
sólidos dados. En efecto, podem os hacer las aproxim aciones tan buenas como
queram os, utilizando tarjetas suficientemente delgadas. P or ta n to , los volúmenes
de los d os cuerpos sólidos originales son iguales.
El principio im plicado aq u í se llam a Principio de Cavalieri. N o lo hem os d e m o strad o ;
sim plem ente, hem os explicado p o r qué es plausible. P or consiguiente, lo enunciam os
en form a de p o stu la d o :
P O S T U L A D O 24.
Principio d e Cavalieri
Se dan dos cuerpos sólidos y un plano. Supongamos que todo plano paralelo al
plano dado que interseca a uno de los dos cuerpos, interseca también al otro y da
secciones transversales con áreas ¡guales. Entonces, los cuerpos tienen el mismo
volumen.
El principio de C avalieri es la clave de los cálculos de volúmenes, com o verem os
pronto.
F ig u ra para e l te o re m a 1 7 - 7
V olúm enes d e p rism as y pirám ides. E l p rincipio de C avalieri
551
T e o re m a 1 7 -7
El volum en de un prism a cualquiera es el producto de la a ltu ra y el área de la
base.
Sean h y A la altu ra y el área de la base del prism a dado. Considérese
un paralelepípedo rectangular con la m ism a altu ra A y la m ism a área A de la base y con
ésta en el m ism o p lan o que la del prism a d ado. Sabem os, p o r el teorem a de la sección
transversal del prism a, que to d as las secciones transversales p a ra am bos prism as
tienen la m ism a área. P o r el principio de Cavalieri, esto significa que los prism as
tienen el m ism o volum en. En virtud del p ostulado 23, el volum en del paralelepípedo
rectangular es A h, de donde se deduce la validez del teorem a.
D em ostración:
T e o re m a 1 7 -8
Si dos pirám ides tienen la m ism a altu ra y sus bases la m ism a área, siendo éstas
coplanarias, entonces tienen el m ism o volumen.
D em ostración: P o r el teorem a de la sección transversal de la pirám ide, las secciones
transversales correspondientes de las dos pirám ides tienen la m ism a área. En virtud
del principio de C avalieri, esto significa que los volúmenes son iguales.
T e o re m a 1 7 - 9
El volum en de una pirám ide triangular es u n tercio del producto de su a ltu ra y el
área de la base.
D em ostración: D ad a una pirám ide triangular, form am os u n prism a triangular con
las m ism as base y altura.
(Podem os utilizar u n prism a triangular recto, com o en la figura; esto no restringe la
validez del teorem a.)
552
Los cuerpos sólidos y sus volúm enes
A hora, descom ponem os el prism a en tres pirám ides, según m uestra la figura de la
derecha al final de la página anterior. D enotam os las pirám ides p o r el nom bre de sus
vértices en cualquier orden. A sí, las tres pirám ides nuevas son A D E F , A B E F y AFBC.
D ibujadas separadam ente, se ven de esta m anera:
c
A
(a)
(b )
(1) A D E F y A B E F tienen el mismo volumen.
D em ostración: Podem os considerar F com o vértice de cada u n a de las
pirám ides A D E F y A B E F . Entonces, sus bases son las regiones triangulares
d e t e r m i n a d a s p o r los triángulos A A D E y A A B E . C om o estos triángulos son
congruentes, sabem os que A D E F y A B E F tienen la m ism a área de la base y,
tam bién, la m ism a altu ra, p orque la altura de cad a u n a de ellas es la distancia
de F al p lan o que contiene sus bases. P o r ta n to , tienen el m ism o volumen.
(2) A B E F y A F B C tienen el m ism o volumen.
D em ostración: ' Podem os considerar A com o vértice de cada u n a de las pirám ides
A B E F y AF B C . Entonces, sus bases son las regiones triangulares determ inadas
p o r los triángulos A B E F y A F B C . C om o estos triángulos son congruentes,
sabem os que A B E F y A F B C tienen la m ism a área de la base y, tam bién, la
m ism a altu ra, p orque la altu ra de cada u n a de ellas es la distancia de A al plano
que contiene sus bases. E n consecuencia, tienen el m ism o volum en.
(3) A F B C y la pirám ide original P A B C tienen el mismo volumen.
(L a dem ostración es evidente, pues tienen la m ism a base y la m ism a altura.)
V olúm enes de p rism as y pirám ides. E l principio d e C avalieri
553
Y a casi hem os term inado. Sean a el á rea del A A B C y h la altu ra de PABC . En­
tonces, el volum en del prism a es ah. Si V es el volum en de cada una de las pirám ides,
tenem os 3 F = ah. P o r consiguiente,
V = \a h ,
com o se quería dem ostrar.
El m ism o resultado es válido p a ra las pirám ides, en general.
T e o re m a 1 7 -1 0
*
El volum en de una pirám ide es un tercio del producto de su altu ra y el área de la
base.
D em ostración: Se d a una pirám ide de altu ra h y área de la base a. Tóm ese una
pirám ide trian g u lar de la m ism a altura y la misma área de base, con ésta en el mismo
plano. P o r el teorem a de la sección transversal de la pirám ide, las secciones tran s­
versales al m ism o-nivel tienen la m ism a área. P or tanto, en virtud del principio de
Cavalieri, las dos pirám ides tienen el m ism o volumen. Luego, el volum en de cada una
de ellas es \a h , com o queríam os dem ostrar.
C onjunto de p roblem as 1 7 -3
1. La altura de un paralelepípedo rectangular es 7 centímetros y las dimensiones de la base
son 4 centímetros y 5 centímetros. Determínese su volumen.
/
2. Un recipiente rectangular, de I pie por I pie por I pie. se llenó con agua. Si I galón de
líquido tiene un volumen de 231 pulgadas cúbicas, ¿cuántos galones de agua caben en el
recipiente?
3. A ciertas barras de plata se les da forma de prisma recto
cuya base (un extremo de la barra) es un trapecio. Las
longitudes de las bases del trapecio son 7 centímetros y
10 centímetros. La altura de la barra es 5 centímetros y su
longitud es 30 centímetros. Si la plata pesa 10Í gramos
por centímetro cúbico, ¿cuánto pesará una barra ?
554
Los cuerpos sólidos y su s volúm enes
4. Al introducirse un trozo de metal en un tanque
rectangular, lleno de agua, de dimensiones 50
centímetros por 37 centímetros, el nivel del agua
subió 1 centímetro. ¿Cuál es el volumen del
trozo de metal?
5. Para calcular el costo de abastecimiento de aire acon­
dicionado a una estructura que se proyecta construir,
un contratista tiene que determinar el volumen de aire
contenido en un edificio rectangular como el que se
representa en la figura. El edificio tiene 130 pies de
largo y 42 pies de ancho. A ambos lados del edificio, los
aleros están situados a 9 i pies de altura y el punto más
alto del techo está a 15 pies del piso. Determínese el
volumen del edificio.
6. Un prisma rectangular recto tiene una altura de 18 centímetros y una base que mide 6
centímetros por 8 centímetros. El plano determinado por una diagonal de la base y un
vértice de la base superior forma una pirámide con las caras del prisma. Determínese el
volumen de la pirámide.
7. Determinar el volumen de una pirámide cuadrada regular
cuya altura es 12 y cuya base tiene una arista de longitud
12. Determínese, también, el área de su superficie lateral.
8. Deducir una fórmula para el volumen de una pirámide cuadrada regular cuyas caras
laterales son triángulos equiláteros de lado 5.
9. Si dos pirámides cuadradas regulares cuyas caras
laterales son triángulos equiláteros se colocan de
manera que sus bases coincidan, se forma un cuerpo
sólido de 8 lados llamado octaedro regular. Demuéstrese
que el volumen, V, de un octaedro regular con arista de
longitud e, viene dado por la fórmula V = i V l e 3.
10. Calcular el volumen y el área de la superficie total de un octaedro regular cuya arista
tiene longitud 3.
\
+ 11. Demostrar que el volumen de un octaedro regular viene dado por la fórmula V — \ d i d 2d 3,
donde d , , d 2 y d 3 son las longitudes de sus diagonales.
12. Una sección transversal de una pirámide determina una pequeña pirámide cuyo volumen
es 2 y cuya altura es 1. El volumen de la pirámide grande es 54. ¿Cuál es su altura?
<5
V olúm enes d e p rism as y p irám ides. E l principio de Cavalieri
555
P
13. La pirámide P-ABC DE es pentagonal y el área de su
base es 64. La altura PFes 12. V, W, X, Y y Z son los
puntos medios de las caras laterales, como se indica
en la figura. Determínese el área de la sección trans­
versal V W X YZ. (¿Por qué es una sección transversal?)
Determínese el volumen de la pirámide pequeña.
- ¿Cuál es la razón de los volúmenes de las dos pirá­
mides ?
14. La parte de una pirámide limitada por la base, una sección transversal y las regiones
trapezoidales de las caras laterales, se llama tronco de pirámide o pirámide truncada.
En la figura para el problema 13, los vértices del tronco son A, B, C, D, E, V, IV, X,
Y y Z . Determínese el volumen de este tronco.
*
15. El área de la base de una pirámide es 45 y el área de una sección transversal es 20. Si la
altura de la pirámide es 6, ¿a qué distancia de la sección transversal está el vértice?
¿Cuál es la razón de los volúmenes de las dos pirámides?
16. U n plano paralelo a la base de una pirámide cuadrada
regular interseca a la altura en un punto a tres cuartos de
la distancia del vértice a la base. La altura de la pirámide
- es 16 y la longitud de una arista de la base es 24. Deter­
mínese el área de la superficie lateral del tronco y el
volumen del mismo.
PR O B LEM A OPTATIVO
Verificar que el volumen de un tronco viene dado por la
fórmula
V = ih ( B + B ' + VBB'X
donde B y B ' son las áreas de las bases y h es la altura del
tronco.
Sugerencia: Sea h ' la altura de la pirámide pequeña. Obténganse los volúmenes de las
dos pirámides. Obsérvese que
h + h‘
VB
h'
VB”
de manera que
h
Vb - V b '
VB'
y
,,
hVF
h = •
VB - VB' ‘
556
L os cuerpos sólidos y sus volúm enes
A rquímedes (287-212 a. de J.c.)
A Arquímedes se le considera generalmente como el más grande de los matemáticos de la
antigüedad y como uno de los tres o cuatro más grandes de todos los tiempos. Fue el primero
en determinar el volumen de una región esférica. Hizo un cálculo muy aproximado de rr. Los
métodos que desarrolló para resolver problemas referentes a áreas y volúmenes lo colocaron
muchos siglos por delante de su tiempo. Podía calcular el área de regiones limitadas por
curvas muy complicadas y sus logros en este tipo de geometría no pudieron igualarse en mil
ochocientos años. El próximo paso importante de avance en el cálculo de áreas y volúmenes
fue el descubrimiento del cálculo infinitesimal por Newton y Leibniz, en el siglo XVII.
A diferencia de la mayoría de los matemáticos griegos, Arquímedes se interesó en las
aplicaciones de la matemática. Dice una leyenda que cuando los romanos atacaban su
ciudad natal de Siracusa, en Sicilia, él jugó un papel importante en la defensa de la ciudad,
aterrorizando a los invasores con armas que él mismo inventaba. Se dice que bombardeó
los barcos romanos con grandes piedras, lanzadas con las catapultas más grandes que
jamás se habían visto. También, se dice que incendió la flota romana, utilizando espejos
para concentrar los rayos del Sol sobre los barcos. Al convertirse el ataque en sitio, Arquí­
medes no pudo servir más de ayuda y volvió a su estudio y a sus trabajos de matemáticas..
Murió en su trabajo. Cuando los romanos finalmente capturaron a Siracusa, un soldado
lo encontró en su casa dibujando figuras geométricas en la arena del piso. “No estropee mis
círculos”, dijo Arquímedes. Éstas resultaron ser sus últimas palabras. El general romano
había dado órdenes de que no debía hacerse daño a Arquímedes, pero nadie sabe si el soldado
conocía o le importaba quién era su víctima.
Cilindros y conos
1 7 -4 .
557
CILINDROS Y CONOS
Si el alum no recuerda cóm o form am os un prism a con u n a región poligonal dada
com o base, verá que el m ism o procedim iento se aplica igualm ente con bases que no
son regiones poligonales. Supongam os, p o r ejemplo, que em pezam os con dos
planos paralelos E¡ y E 2, com o antes, p ero que utilizam os una región circular en E,
com o base.
D e igual m odo que anteriorm ente, utilizam os u n a recta L , que interseca a £ , y a E2,
pero no a la base, y form am os la reunión de todos los segm entos Q Q , donde Q está
en la base, Q está en E2 y Q Q ' || L. El cuerpo sólido resultante se llam a cilindro
circular. N o hay necesidad de repetir las definiciones de la altura, secciones tran s­
versales, etc., p orque son exactam ente las m ism as que las correspondientes p a ra los
prism as. Si L 1 E u entonces el cilindro se llam a cilindro recto.
D esde luego, pueden obtenerse otras clases de cilindros, utilizando otras figuras
com o bases. Sin em bargo, los cilindros circulares son los únicos que estudiarem os
en este libro.
A nálogam ente, el esquem a que utilizam os para form ar u n a pirám ide puede
utilizarse tam bién, cuando la base no es u n a región poligonal. Si tom am os u n a región
circular com o base, el cuerpo sólido resultante se llam a cono circular.
U tilizando la definición de u n a pirám ide com o m odelo, el alum no n o deberá tener
dificultades al red actar la definición de cono circular.
538
Los cuerpos sólidos y sus volúm enes
Los teorem as siguientes acerca de cilindros y conos son análogos a los teorem as
correspondientes acerca de prism as y pirám ides. Sus dem ostraciones son tam bién
parecidas, pues la fo rm a de la base no tiene gran im portancia. P o r ta n to , om itirem os
los detalles.
T e o re m a 17-11
T o d a sección transversal de un cilindro circular es
una región circular congruente con la base.
L a dem ostración se basa en q ue P¡ Q , = P Q = r; esto
es cierto, porque P Q y P ¡ Q i son lados opuestos del
paralelogramo*' O Q Q iP¡P-
T e o re m a 1 7 -1 2
T oda sección transversal de u n cilindro circular tiene la m ism a área que la base.
El teorem a siguiente es u n poco m ás difícil:
T e o re m a 17—13
Se dan un cono de altu ra h y una sección transversal form ada p o r un plano a
u n a distancia k del vértice. El área de la sección transversal es igual a k 2¡h2
m ultiplicado p o r el área de la base.
U tilizando la notación de la figura de la página siguiente, los pasos principales de
la dem ostración son los siguientes:
(1)
A V P T ~ A VP'T',
V P ' _ V T '_ k
(2)
(3)
(4)
VP ~ V T ~ h ’
A VP’Q ' ~ A VPQ,
P 'Q '
PQ
VP'
k
~ VP~ h
P 'Q ' = \ PQ-
Así, pues, si Q está en la circunferencia con centro P y radio r de la base, entonces
Q' está en la circunferencia con centro P ' y radio
Cilindros y conos
f c r * 3 »
u
559
~
E sto es igual a k 2¡h2 p o r el área de la base
T e o re m a 1 7 -1 4
H ™ lum en de „„.cilin d ro circ„lar es el -prod„cto de su altu ra , el área de la
La dem ostración es análoga a la del teorem a 17-7.
T e o r e m a 1 7 -1 5
dé S
Í *
* Un C0n0 drC U ,lr “ " " ,erci0 del Prod" « ° 0 ' su altu ra y el área
La dem ostración es análoga a la del teorem a 17-10.
C onjunto de p roblem as 17-4.
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de
560
L os cuerpos sólidos y sus volúm enes
3.
Los dos cilindros de la figura anterior son idénticos. Compárese el volumen del cono
inscrito en el cilindro de la izquierda con los volúmenes de los conos (la figura que
representa un reloj de arena) inscritos en el cilindro de la derecha;
4. ¿Cuál deberá ser la longitud de un tubo cuyo diámetro interno mide 1 pulgada para poder
contener un galón de agua? (El volumen de un galón es 231 pulgadas cúbicas. Utilícese
3y como valor de ir.)
5. Determinar el volumen de un cono circular cuya altura es
12 y cuya base tiene un radio igual a 3.2.
6. La figura de la derecha representa un cono circular recto.
Defínase un cono circular recto. Determínese su altura, si el
volumen es 48 ti y el diámetro de la base es 8.
7. Un estanque cónico tiene 10Í metros de hondo y su borde superior circular tiene un ra­
dio de 5 metros. ¿Cuántos litros de líquido podrá contener?
8. La altura de un cono es 9. U n plano paralelo
al plano de la base interseca al cono, determi­
nando un cono pequeño en la parte superior.
La distancia entre los planos es 5.
(a)
¿Cuáles la razón
de las alturas de los conos?
(b)
¿Cuáles la razón
de los radios de las bases?
(c)
¿Cuáles la razón
de las áreas de las bases?
(d)
¿Cuáles la razón de los volúmenes de los conos?
Cilindros y conos
561
9. La altura de un coho es 5 centímetros. Un plano a 2 centímetros del vértice del cono es
paralelo a la base del cono. Si el volumen del cono más pequeño es 24 centímetros cúbi­
cos, ¿cuál es el volumen del cono más grande?
10. Una pirámide cuadrada se inscribió en un cono circular, de manera que tengan el mismo
vértice y la base de la pirámide quede inscrita en la base del cono. La altura común es
18 y la longitud de un lado del cuadrado es 15. Determínese el volumen de cada cuerpo
sólido.
11. Un depósito tiene la forma de la figura de la derecha. El radio del
borde superior circular es 7 metros. La altura del depósito comple­
to es 26 metros y la altura de la sección cónica es 12 metros. Deter­
mínese la capacidad del depósito.
12. Dentro de una superficie cilindrica, hay una super­
ficie cónica. La base del cono coincide con la base
del cilindro y el vértice del cono está en la base
superior del cilindró. Escríbase una fórmula para el
volumen del espacio limitado por las dos superficies
y la base superior, en términos de r, el radio de la
base, y h. Ja altura del cilindro.
13. Un plano corta a la figura del problema 12 a mitad de camino entre las bases y es paralelo
a ellas. Hágase un esquema de una vista desde arriba de la intersección. Si el radio
del cilindro es 4, ¿cuál será el área de la intersección del plano con el espacio entre las
dos superficies?
14. En la figura de la derecha, la superficie cónica circular
recta está inscrita en el cilindro circular recto. El
plano E es paralelo a la base del cilindro y está situado
14 centímetros por encima de la base. La altura del
cono es 21 centímetros y el radio de la base es 6 centí­
metros. Determínese el área de la intersección del
plano E con el espacio entre las dos superficies.
15. U n tronco de un cono tiene de altura 8 y los radios de sus bases
superior e inferior son 4 y 6, respectivamente. ¿Cuál es el
volumen del tronco? (Véase el problema 14 del Conjunto de
problemas 17-3.)
562
1 7 -5 .
Los cncrpos sólidos y sos volúm enes
EL VOLUMEN Y EL Á R E A D E LA SUPERFICIE D E UNA ESFERA
P or volum en de. u n a esfera, entendem os el volum en del cuerpo sólido que es la
reunión de la superficie esférica y su interior.
H asta ahora, p ara calcular volúmenes, nuestro m ejor instrum ento ha sido el
principio de Cavalieri. Para utilizar este principio en el problem a de la esfera,
necesitarem os encontrar o tro cuerpo sólido co n las m ism as áreas de secciones tran s­
versales en to d o s los niveles. P or tan to , nuestro prim er paso debe ser determ inar las
áreas de las secciones transversales de la esfera. Esto es fácil. D ad a u n a esfera de
rad io /■, las secciones transversales son regiones circulares. Si la sección transversal
está a una distancia s del centro y su rad io es t,
entonces, sabem os, en virtud del teorem a de
Pitágoras, que
t2 = r 2 - s2.
P o r consiguiente, el á rea de la sección a la distancia
s es
As = 7 tí2
= n{r2 - s 2)
= n r2 - ns2.
E sta últim a fórm u la tiene un significado geom étrico:
es el área de la región anular que está dentro de
una circunferencia de radio r y fuera de una cir­
cunferencia de radio s, com o se indica a lá derecha.
Este tipo de figura se llam a anillo.
A = n r2 — ns2.
A hora, form arem os u n cuerpo sólido que tiene p o r secciones transversales regiones
com o la indicada:
E l volum en y e l á re a d e la superficie de u n a esfera
563
T om am os u n plano horizo n tal E , tangente a la esfera. En este plano, tom am os una
región circular de rad io r. U tilizando ésta com o base, form am os un cilindro circular
recto de altura 2r. Sea V el p u n to m edio del eje del cilindro, es decir, del segmento
vertical que une los centros de las bases. Form am os dos conos con vértice V y con
la ta p a y el fo n d o del cilindro com o bases.
El cuerpo sólido que está d entro del cilindro y fuera de los conos es precisam ente
del tip o que buscam os: cada una de sus secciones transversales es un anillo y la
sección transversal a la distancia i d e K tiene por área n(r2 - s2). En consecuencia,
el volum en de este cuerpo sólido es igual al volum en de la esfera.
Pero el volum en del nuevo cuerpo sólido es fácil de calcular; es igual al volumen
del cilindro m enos los volúm enes de los conos. Esto da
n r2 -2r — 2 - \n r 2r
= 2 nr3 —j¡nr3
Así, pues, hem os d em ostrado el siguiente teorem a:
T e o re m a 1 7 -1 6
El volum en de u n a esfera de radio r es f n r 3.
H ay un artificio que nos perm ite utilizar este resultado para calcular el área de
la superficie de la esfera. D ad a una esfera de radio r, form am os una esfera un poco
m ayor, de radio r + h. El cuerpo sólido que está entre las dos superficies esféricas
correspondientes se llam a cáscara o cápsula esférica, y su aspecto es el de la figura
de la derecha. Sean A el área de la superficie de la esfera y V el volumen de la cáscara
esférica. Entonces, V es A h, aproxim adam ente, y, si h es pequeño, la aproxim ación
es buena. (P o r ejemplo, si tuviéram os una bola corriente
y la p intáram os con u n a capa m uy delgada de pintura,
digam os de u n a centésim a de un centím etro de espesor,
entonces, el volum en to ta l de la p in tu ra seria alrededor
de two A .) Así,' V/'h es aproxim adam ente /(/c u a n d o h es
pequeño. A m edida que h -» 0, tenemos
Pero, podem os calcular Vjh exactam ente y ver a qué se aproxim a a m edida que
h -* 0. Obsérvese que V es la diferencia de los volúm enes de las dos esferas.
564
Los cuerpos sólidos y sus volúmenes
P o r tanto,
V = %n(r + h f - %nr3
= M ( r + h)3 - r 3]
+ 3r 2h + 3 rh2 + h3 — r 3]
=
= $n[3r2h
+ 3rh2 + A3].
[El alum no deberá co m p ro b ar q u e (r + h f es realm ente igual a r 3 + 3r 2h + 3rh1 + A3.]
En consecuencia,
T = M 3 r 2 + 3rh
n
+ h2)
= 4 n r 2 + h(4nr + %nh).
A m edida que h -* 0, el segundo térm ino com pleto se aproxim a a cero. P o r con­
siguiente,
y ►4nr
- .2 .
—
h
C om o sabem os tam bién que
se deduce que
A = 4nr2.
Así, pues, hem os d em ostrado el siguiente teo rem a :
T e o re m a 1 7 -1 7
El área de la superficie de u n a esfera de rad io r es
A - 4nr2.
Obsérvese la propiedad interesante de que el área de la superficie de u n a esfera es
exactam ente cuatro veces el área de la sección transversal que pasa p o r el centro.
C onjunto de p roblem as 1 7-5
1. Determinar el área de la superficie y el volumen de una esfera cuyo radio es 4.
2. Para una esfera de diámetro 4, ¿cuál es mayor, el área de su superficie o su volumen?
3. Para una esfera de diámetro 10, ¿cuál es mayor, el área de su superficie o su volumen?
4. ¿Cuál será el diámetro de una esfera tal que su volumen sea igual a su área de superficie?
E l volum en y el á re a de la superficie d e u n a esfera
5'
565
Üene Un radÍ° dE 7 metf0S' ¿Cuánt0S IUros P“ede contcner? (Utilí-
6. Un cono de helado tiene 12Í centímetros de hondo y 5 centímetros de diámetro
superior. Se echan en el dos cucharadas semiesféricas, también de diámetro 5 centí­
metros. Si el helado se derrite dentro del cono, ¿lo rebasará?
7. Un almacén grande tiene la forma de un hemisferio. Si se
necesitan 13 galones de pintura para cubrir el-piso, ¿cuántos
galones se necesitarán para pintar el exterior del almacén ?
8. Los volúmenes de una esfera y un cilindro circular son iguales y el diámetro de la esfera
es igual al diámetro de una base del cilindro. Determínese la altura del cilindro en
términos del diámetro de la esfera.
9. El diámetro de cierta esfera es igual al radio de una segunda esfera.
(a) ¿Cuál es la razón de sus radios?
(b) ¿Cuál es la razón de sus áreas de superficie?
(c) ¿Cuál es la razón de sus volúmenes ?
10. El diámetro de una esfera es un tercio del radio de otra. Contéstense las preguntas del
problema 9 con relación a estas esferas.
11. Arquimedes (287-212 a. de J. C.) demostró que el volumen de una
esfera es dos tercios del volumen del cilindro circular recto más
pequeño que puede contenerla. Verifiqúese esto.
12. El diámetro de la Luna es, aproximadamente, un cuarto del diámetro de la Tierra
compárense los volúmenes de la Luna y la Tierra.
13. Alrededor de tres cuartas partes de la superficie de la Tierra está cubierta de agua.
¿Cuantos millones de kilómetros cuadrados de la superficie de la Tierra constituyen
terreno seco? (Utilícense 12.800 kilómetros como diámetro de la Tierra y 3-14 como
valor aproximado de ir.)
14. En la figura, la esfera está inscrita en un cono circular
recto. A B es un diámetro de la base y C es el vértice del
cono. El A A BC es equilátero. Determínese el volumen
del cono en términos de r, el radio de la esfera.
566
Los cuerpos sólidos y su s volúm enes
15. El volumen de una esfera es la mitad del volumen de otra. ¿Cuál es la razón de sus
radios?
16. El ingeniero municipal, quien mide 6 pies de alto, marchaba a inspeccionar el nuevo
tanque esférico de agua. Cuando se colocó en un lugar a 18 pies del punto de contacto
del tanque con el suelo, su cabeza tocaba el tanque. Sabiendo que la ciudad gastaba
10,000 galones de agua por hora, inmediatamente calculó cuántas horas podría durar
un tanque lleno. ¿Cómo lo hizo y cuál fue el resultado?
17.
Utilizando el método mediante el cual se dedujo la fórmula
para calcular el área de la superficie de una esfera (teorema
17-17), verifiqúese que el área de la superficie lateral de un
cilindro circular recto es 2-nra, donde r es el radio de una
base y a es la altura.
PROBLEMA OPTATIVO
Una esfera y un cilindro circular recto tienen volúmenes iguales. El radio de la esfera
es igual al radio de la base del cilindro. Compárese el área de la superficie de la esfera
con el área de la superficie total del cilindro.
R epaso de la unidad
1. Sin referirse al capítulo, trátese de escribir e identificar todas las fórmulas para áreas y
volúmenes estudiadas en el mismo.
2. Completar cada uno de los siguientes enunciados con los términos apropiados:
(a) Las bases de todo prisma s o n ______ y _______
(b) Las caras laterales de un prisma son regiones_______
(c) La superficie lateral de un prisma es l a ______ de las _______ del prisma.
(d) Si la base de un prisma es un paralelogramo, el prisma se llam a_______
(e) Si dos pirámides triangulares tienen bases congruentes, los volúmenes de las pirámides
son proporcionales a su s _______
3. Completar cada uno de los siguientes enunciados con los términos apropiados:
(a) En un prisma recto, cada arista lateral e s _________ a la base.
(b) Una sección transversal de una pirámide es l a _________ de la pirámide y un plano
__________ a la base.
>/
Repaso de ia unidad
567
(c) Las áreas de dos secciones transversales de una pirámide son proporcionales a las
----------------de s u s -----------------al vértice de l a ___________
(d) Si un cono y un cilindro tienen bases congruentes y alturas iguales, el volumen del
cilindro e s --------------- - el volumen del cono.
(e) Los volúmenes de dos esferas son proporcionales a lo s __________ de sus radios y
las áreas de sus superficies son proporcionales a lo s__________ de sus radios.
4. La base de un prisma recto es una región hexagonal regular. Una arista de la base mide
2 centímetros de largo y una arista lateral del prisma mide 7 centímetros de largo.
Determínese el área de la superficie lateral del prisma. Determínese el área de una sección
transversal que dista 5 pulgadas de la base y es paralela a ésta.
5. En un estante de un colmado, hay dos tarros
de la misma marca de mermelada de fresa. El
tarro más alto tiene dobl? altura del otro,
pero su diámetro es la mitad del diámetro del
más bajo. El tarro más alto cuesta 23 cen­
tavos y el otro 43 centavos. ¿Cuál es la me­
jo r compra?
6. ¿Cuál es el volumen de un cono, si su altura es 6 y el diámetro de la base es 10?
7. El volumen de una pirámide cuadrada es 384 centímetros cúbicos y su altura es 8 centí­
metros. ¿Cuál es la longitud de una arista de la base? ¿Cuál es el área de la superficie
lateral de la pirámide? (Supóngase que 1a proyección del vértice es el centro de la base.)
8. Las bases de un hemisferio y un cono son
círculos congruentes y coplanarios. Un
plano que pasa por el vértice del cono es
paralelo al plano de las bases y tangente al
hemisferio. ¿Cuál es la razón del volumen
del cono al volumen del hemisferio ?
9. La base de un tetraedro es un triángulo cuyos lados tienen longitudes 10, 24 y 26. La
altura del tetraedro es 20. Determínese el área de una sección transversal cuya distancia
de ésta es 15.
10. Dado que el diámetro de una esfera es 18, determínense su volumen y su área de super­
ficie.
11. El volumen de un cono es 400 centímetros cúbicos y el radio de la base es 5 centímetros.
Determínese su altura.
12. Una bola esférica cuyo radio es 8 centímetros tiene un hueco central esférico de radio
5 centímetros. ¿Cuál es el volumen de la cáscara o cápsula esférica?
7*
568
Los cuerpos sólidos y su s volúm enes
13. Demostrar que el volumen de una esfera viene dado por'la fórmula z ^ d 3, donde d es el
diámetro.
14. El volumen de una pirámide cuya altura es 12 centímetros, es 432 centímetros cúbicos.
Determínese el área de la sección transversal 3 centímetros por encima de la base.
15. Se dan dos conos. La altura del primero es la mitad de la altura del segundo y el radio
de la base del primero es la mitad del radio de la base del segundo. Compárense sus
volúmenes.
16. Una esfera se inscribe en un cilindro circular recto, de manera que sea tangente a ambas
bases. ¿Cuál es la razón del volumen de la esfera al volumen del cilindro?
17. Un recipiente cilindrico de radio 12 centímetros y altura 25 centímetros, se llenó con
agua. En el recipiente con agua, se introdujo una bola con un diámetro de 20 centí­
metros y, después, se sacó. ¿Qué volumen de agua quedó en el recipiente?
* 18. U n paralelepípedo rectangular cuya base mide 12 por 20 se inscribió en una esfera de
diámetro 25. Determínese el volumen de la parte de la esfera que sobresale del para­
lelepípedo.
* 19. La base de un cono circular recto tiene un diámetro de 12 centímetros y la altura del co­
no es 12 centímetros. El cono se llenó con agua. Una bola se introdujo en el cono hasta
que quedó ajustada. Exactamente la mitad de la bola quedaba fuera del agua. ¿Cuánta
agua quedó en el cono, después de sacar la bola?
*
20. La altura de un cono circular recto es 15 y el radio de la base es 8. Se taladró un agujero
cilindrico de diámetro 4 en el cono, a lo largo de su eje, resultando un cuerpo sólido
como el que se muestra en la figura anterior de la derecha. ¿Cuál es el volumen de ese
cuerpo sólido ?
PROBLEMA OPTATIVO
Se"da un rectángulo UABCD. PQ es un segmento que no está en el plano del OABCD,
tal que fQ \\Á B . Trácense los segmentos PA, PD, QB y QC. La longitud de un seg­
mento perpendicular desde un punto cualquiera de PQ al plano del O A BCD es /;. Sean
AD = a, A B = b y P Q = c. Demuéstrese que el volumen del cuerpo sólido ABCDPQ es
igual a
iah(2b + c).
Indice alfabético
índice alfabético
Apolo, 506
agudo, ángulo, 87
apotema, 518
alineados, 57
arco(s)
alternos internos, ángulos, 232
congruentes, 448
altura
de un sector, 530
de un prisma, 538
de una circunferencia, 438
de un triángulo, 206
longitud de un, 528
de una pirámide, 543
mayor, 439
ángulo(s), 75
medida en grados de un, 440
agudo, 87
menor, 439
alternos internos, 232
área de
bisectriz de un, 132
un círculo, 524
central, 439
un paralelogramo, 301
complementarios, 87
un polígono convexo, 514
comprendido, 115
un rectángulo, 295
congruencia de, 88, 112
un sector, 530
consecutivos de un cuadrilátero, 246
un trapecio, 300
correspondientes, 236
un triángulo, 299
de un cuadrilátero, 144
una región poligonal, 293
de un polígono, 513
arista
de
de un triángulo, 76
un ángulo diedro, 276
diedro, 276
un semiplano, 64
diedro recto, 277
una pirámide, 56
diedros opuestos por el vértice, 276
Arquímedes,
556
en el vértice de un triángulo isósceles, 135
en la base de un triángulo isósceles, 135
exterior de un, 76
base de
externo, 187
un prisma, 537, 538
inscrito, 442
un trapecio, 259
interior de, 76
un triángulo isósceles, 135internos no contiguos, 188
una pirámide, 543
lados de un, 75
Birkhoff, George David, 93
medida de un, 82
bisecar un segmento, 45
obtuso, 87
bisectriz de un ángulo, 132
opuestos de un cuadrilátero, 246
bisectriz de un ángulo de un triángulo, 145
opuestos por el vértice, 91
Bolyai, János, 289
orientados, 80
borde, 64
rectilíneo de un ángulo diedro, 276
recto, 87
cara de
suplementarios, 83
un ángulo diedro, 276
vértice de un, 75
un semiespacio, 65
anillo, 562
571
572
Indice alfabético
cateto, 167
central, ángulo, 439
centro de
un polígono regular, 518
una circunferencia, 421
una superficie esférica, 421
centroide, 490
cilindro, 557
circular, 557
recto, 557
volumen de un, 559
circular
cilindro, 557
cono, 557
región, 524
circuncentro, 503
circunferencia(s), 421
circunscrita a un triángulo, 502
congruentes, 430
exterior de una, 425
inscrita en un triángulo, 502
interior de una, 425
longitud de una, 521
máxima, 423
radio de una, 422
tangentes, 427
circunscrito (a), 445
colineales, 57
cometa, 253
complementarios, ángulos, 87
complemento, 91
(
comprendido
ángulo, 115
lado, 115
concéntricas
circunferencias, 421
superficies esféricas, 421
concurrentes, 481
congruencia de
ángulos, 88, 112
arcos, 448
circunferencias, 430
segmentos, 112
triángulos, 105, 113
congruencia identidad, 107, 112
conjunto(s), 15
auxiliares, 169
convexo, 63
iguales, 15
intersección de, 15
nulo, 17
reunión de, 16
vacío, 17
cono, 557
circular, 557
circular recto, 560
construcciones con regla y compás, 491
convexo(s)
conjuntos, 63
cuadriláteros, 246
polígono, 514
coordenada, 35
coordenada *,373
coordenada y, 373
coplanario, 57
corolario AA, 337
correspondencia ALA, 119
correspondencia entre triángulos, 105
correspondencia LAL, 119
correspondencia LLL, 119
correspondientes, ángulos, 236
coseno, 353
cotangente, 365
cuadrado, 144, 251
área de un. 294
cuadrante, 373
cuadratura del círculo, 506
cuadrilátero(s), 144, 245
alabeado, 280
cíclico, 484
diagonal de un, 246
cuerda de
una circunferencia, 421
una superficie esférica, 422
decágono, 514
demostración indirecta, 153
Descartes, René, 371. 377
desigualdad del triángulo, 200
desigualdades, 22
diagonal de un cuadrilátero, 246
diámetro, 422
diedro, ángulo, 276
ángulo rectilíneo de un, 276
arista de un, 276
cara de un, 276
medida de un, 277
recto, 277
Indice a lfabético
distancia, 31
de un punto a un plano, 224
de un punto a una circunferencia, 478
entre dos rectas paralelas, 247
entre una recta y un punto fuera de ella,
200
fórmula de la, 393
postulado de la, 31
duplicación del cubo, 505
Einstein, Albert, 289
eje x, 371, 372
eje y, 372
elemento de un conjunto, 15
Elementos, 11, 231, 492
enteros, 21
entre, 39
equilátero, triángulo, 135
equivalencia, relación de, 118
Eratóstenes, 261, 262
esfera, 562
espacio, 55
Euclides, 11
Euler, Leonhard, 68, 70, 298
exágono, 514
existencia, 159
exterior de
un ángulo, 76