La ecucacion de Dirac

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17 de marzo de 2015
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Hamiltoniano de Dirac
El hamiltoniano propuesto por Dirac es el siguiente:
HD = −i α
~ ·∇+βm
y conduce a la siguiente ecuación:
h
i
i ∂t + i α
~ ·∇−βm ψ =0
Los objetos αi y β satisfacen las siguientes relaciones:
β2 = 1
αi αj + αj αi = 2 δij
αi β + βαi = 0
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Dirac probó que, para partı́culas con masa, la mı́nima dimensión
para representar el álgebra mediante matrices era n = 4.
Representación de Dirac:
0 σi
αi =
σi 0
β=
1
0
0 −1
Para mostrar que este formalismo es invariante de Lorentz, multiplicamos la ecuación de Dirac por β (por la izquierda):
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iβ ∂t ψ + iβ αi ∂ i − β 2 m ψ = 0
Si llamamos γ 0 ≡ β, γ i ≡ βαi , y usando que β 2 = 1,
iγ 0 ∂t ψ + i ~γ · ∇ − m ψ = 0
Definiendo un cuadrivector γ µ = (γ 0 , ~γ ), la ecuación queda como:
(iγ µ ∂µ − m)ψ = 0
donde ψ es un vector de cuatro componentes.
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Matrices de Dirac
1
2
3
4
5
Al cuadrivector γ µ se le conoce como Matrices de Dirac
Dicho cuadrivector no transforma bajo Lorentz como lo hace
xµ
Satisface: {γ µ , γ ν } = 2g µν y γµ = gµν γ ν
A veces es útil definir γ 5 = γ5 = i γ 0 γ 1 γ 2 γ 3 , donde:
0 1
5
γ =
1 0
Mediante cálculo directo, γ µ† = γ 0 γ µ γ 0
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Relación energı́a–momentum
A la ecuación de Dirac en notación covariante, apliquemos el operador
(i γ ν ∂ν + m) por izquierda:
(i γ ν ∂ν + m)(i γ µ ∂µ − m)ψ = 0
(−γ ν γ µ ∂ν ∂µ − m2 )ψ =
Notar que:
1
γ ν γ µ ∂ν ∂µ = {γ µ , γ ν }∂ν ∂µ = g µν ∂ν ∂µ = ∂µ ∂ µ
2
Por tanto, los spinores de Dirac tambiém satisfacen K–G:
(∂µ ∂ µ + m2 )ψ = 0
∴ E 2 = p~ 2 + m2
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Ecuación adjunta y corriente conservada
Tomemos el hermı́tico conjugado de la ecuación de Dirac:
−i ∂µ ψ † γ µ† − mψ † = 0
−i ∂µ ψ † γ 0 γ µ γ 0 − mψ † =
.
· γ0
−i ∂µ ψ † γ 0 γ µ − mψ † γ 0 =
Si definimos el spinor adjunto ψ ≡ ψ † γ 0 , la ecuación queda escrita
como sigue:
i ∂µ ψγ µ + mψ = 0
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Ahora,
i γ µ ∂µ ψ − mψ = 0
.
ψ·
i ∂µ ψγ µ + mψ = 0
.
·ψ
y sumando,
i ψγ µ ∂µ ψ + i ∂µ ψγ µ ψ = 0
h
i
∂µ ψγ µ ψ =
∂µ µ =
y hemos encontrado una cantidad conservada. La corriente es:
µ = ψγ µ ψ
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Notemos que:
0 = ψγ 0 ψ = ψ † ψ ≥ 0
y la probabilidad vuelve a ser positiva definida.
La densidad lagrangiana para el campo spinorial es:
L = ψ(i γ µ ∂µ − m)ψ
La ecuación de Euler–Lagrange para ψ nos entrega la ecuación de
Dirac; para ψ, la ecuación adjunta.
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Spinores de una partı́cula libre
Como el spinor de Dirac satisface la ecuación de K–G, entonces admite
soluciones de onda plana:
ψ(x) = u(p) e−i pµ x
µ
donde u(p) es un spinor de cuatro componentes independientes de xµ .
Este spinor satisface:
(γ µ pµ − m)u(p) = 0
(I) Sistema de referencia con la partı́cula en reposo: En este caso,
pµ = (E, ~0 ).
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La ecuación de autovalores queda:
(Eγ 0 − m)u(E) = 0
m
0
uA
uA
=E
0 −m
uB
uB
donde hemos representado al spinor u (de cuatro componentes) mediante dos spinores de Weyl, uA y uB .
Los autovalores y autovectores son triviales. y los escribimos en función
de dos spinores de Weyl:
1
0
(1)
(2)
χ =
∧
χ =
0
1
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Ası́,
u
(1)
(3)
u
=
=
χ(1)
0
0
χ(1)
,
,
(2)
u
(4)
u
=
=
χ(2)
0
0
χ(2)
con E = m
con E = −m
(II) Sistema de referencia con la partı́cula en movimiento: En este caso,
p~ 6= ~0. Ası́:
.
(Eγ 0 − ~γ · p~ − m)u(p) = 0
γ0 ·
(E − γ 0~γ · p~ − mγ 0 )u(p) =
(E − α
~ · p~ − mβ)u(p) =
(~
α · p~ + mβ)u(p) = Eu(p)
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Escribiendo en forma matricial,
m ~σ · p~
uA
uA
=E
~σ · p~ −m
uB
uB
lo que se reduce a:
(~σ · p~ )uB = (E − m)uA
∧
(~σ · p~ )uA = (E + m)uB
∴ (E − m)uA =
(~σ · p~ )2
uA
E+m
2
Calculando, (~σ · p~ )2 = p~ y ası́:
2
E 2 = p~ + m2
→
p
E = ± p~ 2 + m2
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Volviendo al problema,
uA
(1)
=χ
(1)
=
1
0
,
uA
(2)
=χ
(2)
=
0
1
En este caso, el segundo spinor de Weyl satisface:
uB (s) =
~σ · p~ (s)
χ ,
E+m
s = 1, 2
la cual solo funciona para las soluciones con E > 0, ya que de otro
modo uB diverge en el sistema de referencia donde la partı́cula está en
reposo.
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El spinor de Dirac con E > 0 queda:


u(s) (p) = N 
χ(s)
~σ · p~ (s)
χ
E+m


 ,
s = 1, 2
donde N es una constante de normalización. Encontramos las otras
soluciones L.I. si tomamos:
1
0
(1)
(1)
(2)
(2)
ub = χ =
, ub = χ =
0
1
y por tanto,
uA (s) =
~σ · p~
~σ · p~
uB (s) = −
uB (s)
E−m
−E + m
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Por el mismo argumento anterior, para E < 0, el spinor queda:


u(s+2) (p) = N 
−

~σ · p~
χ(s)

−E + m
 ,
s = 1, 2
χ(s)
Estas soluciones de energı́a negativa se asocian a antipartı́culas de
energı́a positiva: se definen los spinores v para antipartı́culas en función
de −p:
µ
µ
u(3,4) (−p) e−i(−pµ )x = v (2,1) (p) ei pµ x
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Introduciendo la normalización u† u = 2E → N =
cuatro spinores son:
χ(1,2)

~σ · p~ (1,2)
χ
E+m



u(1,2) =
√

E + m
√
E + m, los
~σ · p~ (2,1) 
χ
√
 E+m

= E + m


v (1,2)
χ(2,1)
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Invariancia de Lorentz
Asociemos a cada punto del espacio–tiempo xµ la matriz hermı́tica:
0
x + x3 x1 − ix2
µ
X(x ) =
x1 + ix2 x0 − x3
El determinande de esta matriz es:
det (X) = xµ xµ
Consideremos un elemento M ∈ SL(2, C) y la matriz X 0 dada por:
X 0 = (M −1 )† XM −1 ↔ X = M † X 0 M
Notar que X 0 también es hermı́tica, y puede escribirse como:
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0
X =
x0 0 + x0 3 x0 1 − ix0 2
x0 1 + ix0 2 x0 0 − x0 3
Además,
det (X) = det (M † X 0 M ) = det (M † ) det (X 0 ) det (M ) = det (X 0 )
pues det (M ) = 1. Ası́,
2
ds0 = ds2
Entonces, los eventos x y x0 están relacionados por una tranformación
de Lorentz representada por M .
Ahora nos preguntamos, ¿cómo transforman las matrices de Pauli?
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Definamos la siguiente notación:
σ µ = (σ 0 , ~σ )
∧
σ
eµ = (σ 0 , −~σ )
Es fácil ver que:
X(x) = xµ σ
eµ
Del mismo modo,
eµ
X 0 (x0 ) = x0 µ σ
La relación M † X 0 M = X significa que:
eν
x0 µ M † σ
e µ M = xµ σ
eµ = Lµ ν x0 µ σ
y como los x0 µ son arbitrarios, descubrimos la forma en que transforman
las matrices de Pauli:
M †σ
eµ M = Lµ ν σ
eν
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De una manera similar, se puede definir la matriz
X1 (x) = xν σ ν
y verificar que también cumple con:
det (X1 ) = xν xν
Entonces, mediante un razonamiento análogo, podemos mostrar que
existe una matriz N ∈ SL(2, C) tal que:
N † σ µ N = Lµ ν σ ν
Es posible probar que ambas matrices están relacionadas mediante:
N −1 = M †
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Para estudiar cómo transforman los spinores bajo el grupo de Lorentz,
conviene introducir una nueva representación para las matrices de Dirac:
Representación Chiral:
−σ i 0
αi =
0 σi
Con ello,
0 σ0
0
γ =
,
σ0 0
i
γ =
β=
0 σi
−σ i 0
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,
0 σ0
σ0 0
5
γ =
−σ 0 0
0 σ0
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En la representación chiral, escribimos el spinor de Dirac de la siguiente
forma:
ψL
ψ=
ψR
Consideremos la ecuación de Dirac:
(i ∂t + i α
~ · ∇ − mβ)ψ = 0
Realizando las multiplicaciones matriciales, se llega a las siguientes
ecuaciones acopladas:
i σ 0 ∂t ψL − i σ k ∂k ψL − mψR = 0
i σ 0 ∂t ψR + i σ k ∂k ψR − mψL = 0
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Empleando la notación definida con anterioridad,
iσ
eµ ∂µ ψL − mψR = 0
i σ µ ∂µ ψR − mψL = 0
El lagrangiano correspondiente es:
L = i ψL † σ
eµ ∂µ ψL + i ψR † σ µ ∂µ ψR − m(ψL † ψR + ψR † ψL )
Ahora, demostraremos que el lagrangiano tiene la misma forma en
cualquier sistema de referencia: Sean x y x0 el mismo evento en el
espacio–tiempo, medidos en sistemas de referencia S y S 0 respectivamente:
µ
x0 = Lµ ν xν ,
∂ 0 µ = Lµ ν ∂ν ,
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∂µ = Lν µ ∂ 0 ν
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El lagrangiano expresado en el sistema S 0 es:
L
= i ψL † σ
eµ Lν µ ∂ 0 ν ψL + i ψR † σ µ Lν µ ∂ 0 ν ψR − m(ψL † ψR + ψR † ψL )
= i ψL † M † σ
eν M ∂ 0 ν ψL + i ψR † N † σ ν N ∂ 0 ν ψR
− m(ψL † ψR + ψR † ψL )
Ahora, hacemos las siguientes definiciones:
ψL (x) es un left-handed spinor si transforma como
ψL 0 (x0 ) = M ψL (x)
ψR (x) es un right-handed spinor si transforma como
ψR 0 (x0 ) = N ψR (x)
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Recordando que M † N = 1,
ψL 0 † ψR 0 = ψL † M † N ψR = ψL † ψR
ψR 0 † ψL 0 = ψR † N † M ψL = ψR † ψL
y por tanto, ambas cantidades son invariantes de Lorentz (escalares).
Entonces, el lagrangiano en el sistema S 0 queda:
L = i ψL 0 † σ
eµ ∂ 0 µ ψL 0 + i ψR 0 † σ µ ∂ 0 µ ψR 0 − m(ψL 0 † ψR 0 + ψR † ψL 0 )
con lo que queda demostrado que el lagrangiano se escribe del mismo
modo en cualquier sistema inercial.
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Simetrı́as discretas
Una manera alternativa de probar invariancia bajo Lorentz es la siguiente: considerar que la transformación del spinor está mediada por
una matriz, i.e.
ψ(x) → ψ 0 (x0 ) = S(L)ψ(x)
Ası́,
(i γ µ ∂µ − m)ψ(x) = 0
(i γ µ Lν µ ∂ 0 ν − m)S −1 ψ 0 (x0 ) =
.
S·
(i Sγ µ S −1 Lν µ ∂ 0 ν − m)ψ 0 (x0 ) =
(i γ ν ∂ 0 ν − m)ψ 0 (x0 ) =
La relación impuesta es:
Sγ µ S −1 Lν µ ≡ γ ν
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Paridad. La paridad espacial es la simetrı́a discreta más simple. Proponemos la siguiente transformación:
ψ(t, −~x) = Pψ(t, ~x)
De una forma similar, para que los nuevos campos también satisfagan
la ecuación de Dirac, se debe cumplir que:
Pγ µ P−1 Lν µ = γ ν
¿Cómo se relaciona la paridad con la definición de los spinores ψL y
ψR ? Para responder esta pregunta, notamos que:
~x 0 = −~x → ∇0 = −∇
Por tanto, se cumplen las siguientes igualdades:
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σ
eµ ∂ 0 µ = σ µ ∂µ
∧
eµ ∂µ
σµ∂ 0µ = σ
Si se utiliza lo anterior en el lagrangiano, se concluirá que será invariante cuando:
ψL p (~x 0 ) = ψR (~x)
∧
ψR p (~x 0 ) = ψL (~x)
Inversión temporal. En este caso, la relación viene dada por:
ψ(−t, ~x) = Tψ(t, ~x)
La naturaleza de T implica que las soluciones de la ecuación de Dirac
deberı́an ser mapeadas a soluciones de la ecuación compleja conjugada.
De un modo análogo al anterior, se puede ver que:
Lν µ Tγ µ∗ T−1 = −γ ν
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Conjugación de carga. El campo de Dirac posee carga, por lo cual
tiene sentido definir la conjugación de la misma. El mapeo viene dado
por:
ψ 0 (x) = Cψ ∗ (x)
tal que ψ 0 resuelve la misma ecuación que ψ. Sustituyendo,
∗
µ
0
µ
∗
µ∗
∗
0 = (i γ ∂µ − m)ψ = (i γ ∂µ − m)Cψ = (−i γ ∂µ − m)C ψ
La expresión anterior se anula si:
−γ µ = Cγ µ∗ C∗
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Covariantes Bilineales
De modo de escribir diferentes densidades langrangianas, será útil estudiar las propiedades de transformación bajo Lorentz de las siguientes
combinaciones bilineales de spinores:
(1) ψψ
† 0
ψψ = ψ γ ψ =
ψL
†
ψR
†
0 1
1 0
ψL
ψR
= ψL † ψR + ψR † ψL
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†
†
ψ 0 ψ 0 = ψL 0 ψR 0 + ψR 0 ψL 0 = ψL † M † N ψR + ψR † N † M ψL
= ψL † ψR + ψR † ψL
= ψψ
Ante paridad,
ψ p ψ p = ψL p† ψR p + ψR p† ψL p = ψR † ψL + ψL † ψR = ψψ
Por tanto, ψψ es un escalar bajo Lorentz y bajo paridad.
(2) ψγ5 ψ
ψγ 5 ψ = ψ † γ 0 γ 5 ψ = ψL † ψR − ψR † ψL
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Mediante un cálculo directo se puede probar que este bilineal transforma como escalar ante transformaciones de Lorentz propias, y que
cambia de signo ante paridad: se dice que es un pseudo-escalar.
(3) ψγ µ ψ
ψ0γ µψ0 =
=
=
=
†
†
ψL 0 σ
eµ ψL 0 + ψR 0 σ µ ψR 0
ψL † M † σ
eµ M ψL + ψR † N † σ µ N ψR
ψL † Lµ ν σ
eν ψL + ψR † Lµ ν σ ν ψR
Lµ ν ψγ ν ψ
y transforma como un cuadrivector bajo Lorentz. Ante paridad,
ψ p γ µ ψ p = ψR † σ
eµ ψR + ψL † σ µ ψL
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Lo anterior significa que las componentes espaciales cambian de signo
bajo paridad. Por tanto, a este bilineal se le dice cuadrivector.
(4) ψγ 5 γ µ ψ
ψ0γ 5γ µψ0 =
=
=
=
†
†
ψL 0 σ
eµ ψL 0 − ψR 0 σ µ ψR 0
ψL † M † σ
eµ M ψL − ψR † N † σ µ N ψR
eν ψL − ψR † Lµ ν σ ν ψR
ψL † Lµ ν σ
Lµ ν ψγ 5 γ ν ψ
y transforma como un cuadrivector bajo Lorentz. Ante paridad,
ψ p γ 5 γ µ ψ p = ψR † σ
eµ ψR − ψL † σ µ ψL
lo que significa que las componentes espaciales no cambian de signo:
hablamos de un cuadrivector axial.
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Definición.
i
σ µν ≡ [γ µ , γ ν ]
2
(5) ψσ µν ψ
i † µ ν
ψL (e
σ σ −σ
eν σ µ )ψR + ψR † (σ µ σ
eν − σ ν σ
eµ )ψL
2
i † † µ ν
=
ψL M (e
σ σ −σ
eν σ µ )N ψR
2
† †
µ ν
ν µ
+ ψR N (σ σ
e −σ σ
e )M ψL
ψσ µν ψ =
ψ 0 σ µν ψ 0
Recordando que M † N = N M † = M N † = N † M = 1,
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i † † µ
ψL (M σ
e M )(N † σ ν N )ψR
2
− ψL † (M † σ
eν M )(N † σ µ N )ψR
+ ψR † (N † σ µ N )(M † σ
eν M )ψL
− ψR † (N † σ ν N )(M † σ
eµ M )ψL
i † µ α ν β
=
ψL (L α σ
e L β σ − Lν β σ
eβ Lµ α σ α )ψR
2
†
µ
α ν
β
ν
β µ
α
+ ψR (L α σ L β σ
e − L β σ L ασ
e )ψL
i
ψL † (e
σασβ − σ
eβ σ α )ψR
= Lµ α Lν β
2
†
+ ψR (σ α σ
eβ − σ β σ
eα )ψL
ψ 0 σ µν ψ 0 =
= Lµ α Lν β ψσ αβ ψ
y transforma como un tensor de dos ı́ndices.
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