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# metodo demostracion matematicas

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```M&Eacute;TODO GENERAL PARA LA DEMOSTRACI&Oacute;N DE
PROPOSICIONES MATEM&Aacute;TICAS
Carlos Alberto D&iacute;ez Fonnegra
[email protected]
por el t&iacute;tulo de matem&aacute;tico
Director: Ing. Pervys Rengifo Rengifo
RESUMEN
Se ha desarrollado un m&eacute;todo general para demostrar proposiciones matem&aacute;ticas, que est&aacute; basado en
estrategias metacognitivas. Para esto, se hace detallada descripci&oacute;n de las t&eacute;cnicas de demostraci&oacute;n m&aacute;s
comunes y de los errores l&oacute;gicos que se suelen cometer al demostrar. Tanto las primeras como los
segundos se integran en el m&eacute;todo, dando as&iacute; estructura al proceso demostrativo matem&aacute;tico.
ABSTRACT
General method to proof mathematical statements:
A general method based on metacognitive strategies has been developed to proof mathematical
statements. For this, there is a detailed description of the most common proof techniques and logical
mistakes that are usually commited when proving. The first ones as well as the second ones are
integrated in the method, giving structure to the mathematical proving process.
2
&Iacute;NDICE GENERAL
INTRODUCCI&Oacute;N ........................................................................................................................................... 4
1. PRELIMINARES ......................................................................................................................................... 9
1.1. &iquest;POR QU&Eacute; UN M&Eacute;TODO GENERAL PARA DEMOSTRAR? ......................................................................................... 9
1.2. &iquest;CU&Aacute;L ES LA DIFERENCIA ENTRE UNA PRUEBA QUE PRUEBE Y UNA QUE EXPLIQUE? ................................................... 10
1.3. &iquest;CU&Aacute;L ES LA DIFERENCIA ENTRE ESCRIBIR UNA DEMOSTRACI&Oacute;N Y PENSAR UNA DEMOSTRACI&Oacute;N?................................ 11
1.4. &iquest;CU&Aacute;L ES LA DIFERENCIA ENTRE ESCRIBIR BIEN LAS DEMOSTRACIONES Y SABER DEMOSTRAR? .................................... 11
2. CONCEPTOS DE BASE ............................................................................................................................. 12
2.1. &iquest;QU&Eacute; ES DEMOSTRAR UNA PROPOSICI&Oacute;N MATEM&Aacute;TICA? ................................................................................... 12
2.2. &iquest;CU&Aacute;LES SON LOS PRELIMINARES L&Oacute;GICOS Y DE LENGUAJE MATEM&Aacute;TICO QUE SE NECESITAN PARA COMPRENDER EL
PROCESO DE DEMOSTRACI&Oacute;N? ............................................................................................................................. 13
3. T&Eacute;CNICAS DE DEMOSTRACI&Oacute;N ............................................................................................................... 17
3.1. DEMOSTRACI&Oacute;N POR REDUCCI&Oacute;N AL ABSURDO. ................................................................................................ 17
3.2. DEMOSTRACI&Oacute;N POR CONTRARREC&Iacute;PROCO. ..................................................................................................... 18
3.3. DEMOSTRACI&Oacute;N POR INDUCCI&Oacute;N................................................................................................................... 19
3.4. DEMOSTRACI&Oacute;N REGRESIVA- PROGRESIVA. ...................................................................................................... 20
3.5. DEMOSTRACI&Oacute;N POR DISTINCI&Oacute;N DE CASOS. .................................................................................................... 23
3.6. DEMOSTRACI&Oacute;N DE EXISTENCIA. .................................................................................................................... 24
4. ERRORES L&Oacute;GICOS COMUNES AL HACER DEMOSTRACIONES ................................................................. 27
4.1. USAR LA TESIS COMO HIP&Oacute;TESIS Y DEMOSTRAR LA HIP&Oacute;TESIS. .............................................................................. 27
4.2. DEMOSTRAR DANDO SALTOS DEMASIADO LARGOS ENTRE LAS PROPOSICIONES. ....................................................... 27
4.3. USAR PROPOSICIONES FALSAS COMO SOPORTE DE LA DEMOSTRACI&Oacute;N................................................................... 27
4.4. DEMOSTRACI&Oacute;N VERBAL. ............................................................................................................................. 27
4.5. USAR UNA L&Oacute;GICA INCORRECTA. ................................................................................................................... 28
4.6. HACER SUPOSICIONES INCORRECTAS............................................................................................................... 28
4.7. SOBRE LAS DEFINICIONES. ............................................................................................................................ 28
5. CONTEXTOS DE USO DE LAS T&Eacute;CNICAS DE DEMOSTRACI&Oacute;N................................................................... 29
5.1. DEMOSTRACI&Oacute;N POR INDUCCI&Oacute;N................................................................................................................... 29
5.2. DEMOSTRACI&Oacute;N POR REDUCCI&Oacute;N AL ABSURDO ................................................................................................. 30
5.3. DEMOSTRACI&Oacute;N POR CONTRARREC&Iacute;PROCO ...................................................................................................... 31
5.4. DEMOSTRACI&Oacute;N REGRESIVA-PROGRESIVA........................................................................................................ 31
6. M&Eacute;TODO GENERAL PARA DEMOSTRAR PROPOSICIONES MATEM&Aacute;TICAS .............................................. 32
7. CONCLUSIONES ...................................................................................................................................... 39
8. RECOMENDACIONES .............................................................................................................................. 41
3
INTRODUCCI&Oacute;N
La demostraci&oacute;n matem&aacute;tica, concebida como proceso de pensamiento, da base a la construcci&oacute;n de la
teor&iacute;a matem&aacute;tica. Sin embargo, no es posible concebirla de esta forma sin tener antes un dominio de
las t&eacute;cnicas, tanto algor&iacute;tmicas como heur&iacute;sticas, involucradas en &eacute;sta.
Esto es reconocido por numerosos escritos como los producidos por Solow [Sol93], Velleman [Vel94]
y otros m&aacute;s. Sin embargo, todos estos materiales hacen &eacute;nfasis en los aspectos puramente matem&aacute;ticos
de la demostraci&oacute;n, sin profundizar en los aspectos ling&uuml;&iacute;sticos y sin integrar las t&eacute;cnicas en una
estructura que permita la selecci&oacute;n eficiente por medio de sus contextos de aplicaci&oacute;n. Este es el aporte
de este trabajo al conocimiento de la t&eacute;cnica demostrativa matem&aacute;tica.
Este escrito se desarrolla en seis cap&iacute;tulos principales, a saber: el cap&iacute;tulo de los preliminares argumenta
la necesidad de un m&eacute;todo general para demostrar proposiciones matem&aacute;ticas y resalta la importancia
de comprender que la forma de pensar una prueba es diferente a la forma de escribirla.
El cap&iacute;tulo sobre los conceptos de base hace una descripci&oacute;n r&aacute;pida pero completa de los conceptos
l&oacute;gicos que son prerrequisitos para hacer y comprender las demostraciones matem&aacute;ticas: los conceptos
estructurales de una teor&iacute;a matem&aacute;tica, las operaciones l&oacute;gicas y los cuantificadores, se explican all&iacute;.
Adem&aacute;s se hace una caracterizaci&oacute;n de los tipos de lenguaje en los que est&aacute;n escritas las proposiciones
matem&aacute;ticas y los diferentes niveles que los componen, para que sirva como herramienta de
comprensi&oacute;n metacognitiva de los teoremas a demostrar. No obstante esta herramienta no se usa
expl&iacute;citamente en el m&eacute;todo por considerarse que lo puede hacer bastante dispendioso, s&iacute; se convierte
en un excelente marco de pensamiento de la construcci&oacute;n de la demostraci&oacute;n.
El cap&iacute;tulo sobre las t&eacute;cnicas de demostraci&oacute;n presenta cada una de &eacute;stas con su procedimiento
expl&iacute;cito y ejemplos que ayudan a su comprensi&oacute;n. Es seguro que en &eacute;l, un matem&aacute;tico formado y, m&aacute;s
aun, en formaci&oacute;n encontrar&aacute; elementos &uacute;tiles para estructurar su conocimiento, que algunas veces (por
no decir la mayor&iacute;a de las veces) es m&aacute;s que intuitivo.
En el cap&iacute;tulo posterior a las t&eacute;cnicas se presentan algunos errores l&oacute;gicos que se cometen com&uacute;nmente
al hacer demostraciones. Este cap&iacute;tulo se escribe como un intento de advertir sobre estos errores, pero
lo m&aacute;s probable es que se pueda usar como lista de chequeo posterior a la escritura de la demostraci&oacute;n.
4
Antes de presentar el m&eacute;todo, objetivo de este trabajo, se presenta un cap&iacute;tulo que describe los
contextos de uso de cada uno de las t&eacute;cnicas m&aacute;s comunes de demostraci&oacute;n. Este es, al parecer del
autor, uno de los aportes m&aacute;s valiosos de este trabajo al conocimiento de la t&eacute;cnica demostrativa
matem&aacute;tica, pues provee un algoritmo para seleccionar eficientemente la t&eacute;cnica m&aacute;s propicia para cada
tipo de proposici&oacute;n, sin necesidad de hacer uso del m&eacute;todo de ensayo y error.
El cap&iacute;tulo central del trabajo es el que se refiere al m&eacute;todo, sin embargo, este cap&iacute;tulo no funcionar&iacute;a
sin la integraci&oacute;n con los mencionados anteriormente. Haber escogido esta forma de presentaci&oacute;n
(dejar de &uacute;ltimo este cap&iacute;tulo) evidencia la l&oacute;gica inductiva del trabajo. En este cap&iacute;tulo se da un
algoritmo general para pensar demostraciones matem&aacute;ticas; dicho m&eacute;todo se basa en la metacognici&oacute;n
de los procesos de comprensi&oacute;n de las proposiciones involucradas en los teoremas, y provee una
estructura para la selecci&oacute;n eficiente de las t&eacute;cnicas de demostraci&oacute;n.
Por &uacute;ltimo, es importante anotar que por la vocaci&oacute;n pedag&oacute;gica y educativa del autor, las
recomendaciones que se proponen al final de este trabajo se inclinan exclusivamente en este sentido,
con el fin de que este m&eacute;todo sirva para apoyar la formaci&oacute;n de futuros matem&aacute;ticos en esta
competencia fundamental para su desempe&ntilde;o profesional.
5
Por ser excelentes ‘conejillos de indias’ y permitirme ense&ntilde;arles el m&eacute;todo
que desarrollo en el trabajo, a Mar&iacute;a Paula Baquero y Germ&aacute;n Hern&aacute;ndez.
Por oficiar como mis supervisores para lograr que reuniera suficiente de mi capacidad
ejecutiva como para hacer este trabajo, a Ana Milena Matallana y Mar&iacute;a Luisa Ramirez.
Por ‘dejarme ser’, creer en m&iacute; y darme excelentes ideas,
no s&oacute;lo para este trabajo, sino para la vida, a Pervys Rengifo.
Por haberme tra&iacute;do al mundo (en complicidad con Dios)
y dejarme alguna herencia gen&eacute;tica de su inteligencia, a mi mam&aacute;.
6
Alfa: He descubierto una nueva verdad matem&aacute;tica.
Alfa: Para cada entero x, si x es par, entonces x2 es par.
Beta: Hmm. . . &iquest;Est&aacute;s seguro de que esto es cierto?
Alfa: Claro, &iquest;no es obvio?
Beta: No, no para m&iacute;.
Alfa: Bien. Dame un entero x, y yo te mostrar&eacute; que lo que te digo es cierto.
Beta (con actitud suspicaz): Listo. Probemos con x = 17.
Alfa: Es f&aacute;cil. 17 no es par, entonces la proposici&oacute;n ‘si 17 es par, entonces 172 es par’ es trivialmente
cierta. Dame uno m&aacute;s dif&iacute;cil.
Beta: Listo, probemos con x = 62.
Alfa: Dado que 62 es par, debo mostrarte que 622 es par.
Beta: As&iacute; es.
Alfa (contando con sus dedos): De acuerdo a mis c&aacute;lculos, 622 = 3844, y 3844 es claramente un par…
Beta: Espera. No es tan claro para m&iacute; que 3844 es par. La definici&oacute;n dice que 3844 es par si existe un
entero y tal que 3844 = 2y. Si t&uacute; quieres ir por ah&iacute; diciendo que 3844 es par, tienes que producir un
entero y que funcione.
Alfa: &iquest;Qu&eacute; tal y = 1922?
Beta: S&iacute;, t&uacute; tienes un punto en eso. Entonces t&uacute; has mostrado que la proposici&oacute;n ‘si x es par, entonces
x2 es par’ es verdad cuando x = 17 y cuando x = 62. Pero x podr&iacute;a ser uno entre billones de enteros.
&iquest;C&oacute;mo podr&iacute;as saber que es cierta para cada uno de &eacute;stos?
Alfa: Sea x un entero.
Beta: &iquest;Cu&aacute;l entero?
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Alfa: Cualquier entero de todos. No importa cu&aacute;l sea. Voy a mostrarte que, usando s&oacute;lo el hecho de
que x es un entero y nada m&aacute;s, si x es par, entonces x2 es par.
Beta: Perfecto… dale.
Alfa: Entonces sup&oacute;n que x es par.
Beta: Pero, &iquest;y si no lo es?
Alfa: Si x no es par, entonces la proposici&oacute;n ‘si x es par, entonces x2 es par’ es trivialmente cierta. El
&uacute;nico caso que hay que tener en cuenta es cuando x sea par.
Beta: Muy bien, &iquest;entonces qu&eacute; se hace si x es par?
Alfa: Por la definici&oacute;n de ‘par’, nosotros sabemos que existe por lo menos un entero y tal que x = 2y.
Beta: S&oacute;lo uno, de hecho.
Alfa: Yo tambi&eacute;n pienso eso. De todos modos, sea y un entero tal que x = 2y. Elevando al cuadrado a
ambos lados de la ecuaci&oacute;n, tenemos x2 = 4y2. Ahora para probar que x2 es par, tengo que mostrar un
entero que multiplicado por dos sea x2.
Beta: &iquest;y no funciona 2y2?
Alfa: S&iacute; funciona. Entonces est&aacute; hecho.
Beta: Y como t&uacute; no has dicho nada sobre lo que es x, excepto que es un entero, t&uacute; ya sabes que
funciona para cualquier entero.
Alfa: Correcto.
Beta: OK, ahora entiendo.
Alfa: Entonces, ac&aacute; hay otra verdad matem&aacute;tica. Para cada entero x, si x es impar, entonces x2 es…
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1. PRELIMINARES
En esta secci&oacute;n se hacen algunas consideraciones necesarias antes de entrar de lleno en el aspecto
t&eacute;cnico de la demostraci&oacute;n matem&aacute;tica.
1.1. &iquest;Por qu&eacute; un m&eacute;todo general para demostrar?
Se ha considerado la demostraci&oacute;n matem&aacute;tica como una v&iacute;a formal para expresar formas particulares
de razonamiento y justificaci&oacute;n; se podr&iacute;a pensar que s&oacute;lo se es capaz de entender las matem&aacute;ticas si se
es capaz de razonar en t&eacute;rminos de demostraciones.
Actualmente, el uso de la demostraci&oacute;n en las matem&aacute;ticas se ha limitado a la verificaci&oacute;n. Pero la
demostraci&oacute;n tiene un rol m&aacute;s amplio que la sola verificaci&oacute;n matem&aacute;tica; este rol pasa por la creaci&oacute;n
de nuevo conocimiento matem&aacute;tico, la educaci&oacute;n de los procesos de pensamiento y la comprensi&oacute;n de
las ideas matem&aacute;ticas ya existentes. Se podr&iacute;a pensar incluso que la demostraci&oacute;n es m&aacute;s importante
que los mismos teoremas, porque ayuda a desarrollar y aprender estrategias, formas de pensamiento y
m&eacute;todos que est&aacute;n incorporados en la verificaci&oacute;n.
Y aunque hay variedad de textos que presentan t&eacute;cnicas para demostrar, no hay uno que presente un
m&eacute;todo general para demostrar, que permita integrar cada t&eacute;cnica existente en un solo algoritmo
eficiente y comprensible.
Por eso, se hace necesario disponer de un m&eacute;todo general de demostraci&oacute;n que permita a los
matem&aacute;ticos tener criterios claros de selecci&oacute;n de las mejores estrategias para cada tipo de proposici&oacute;n.
Este algoritmo se constituye adem&aacute;s en uno de los pilares de una tecnolog&iacute;a autom&aacute;tica de
demostraci&oacute;n, pues permite sistematizar en alguna medida los heur&iacute;sticos involucrados en el proceso
demostrativo.
Es necesario aclarar que el m&eacute;todo que se presenta ac&aacute; tiene un trasfondo pedag&oacute;gico importante; en
de generar comprensi&oacute;n de &eacute;stas por parte de quien las demuestra, pero no fue dise&ntilde;ado para refutar
proposiciones falsas (aunque en una versi&oacute;n m&aacute;s adelante se podr&iacute;a desarrollar esta parte), ni mucho
menos para determinar si una proposici&oacute;n es indecidible.
9
1.2. &iquest;Cu&aacute;l es la diferencia entre una prueba que pruebe y una que explique?
En numerosos trabajos sobre el aspecto did&aacute;ctico de la demostraci&oacute;n se hace &eacute;nfasis en que uno de los
usos m&aacute;s productivos de &eacute;sta es generar comprensi&oacute;n sobre los objetos matem&aacute;ticos. Por eso, al
ense&ntilde;ar a demostrar hay que hacer la diferencia entre probar y probar explicando porque de esto depende
que se le saque el mayor partido, pedag&oacute;gicamente hablando, al proceso de razonamiento para la
demostraci&oacute;n.
Para lograr esto hay que definir con claridad tres t&eacute;rminos que se suelen confundir en el argot
matem&aacute;tico: explicaci&oacute;n, prueba y demostraci&oacute;n.
Llamamos explicaci&oacute;n a un discurso que trata de hacer inteligible el car&aacute;cter de verdad, adquirido por el
locutor, de una proposici&oacute;n o de un resultado. Las razones expuestas pueden ser discutidas, refutadas o
decisi&oacute;n puede ser objeto de un debate cuya significaci&oacute;n es la exigencia de determinar un sistema de
validaci&oacute;n com&uacute;n a los interlocutores.
En la comunidad matem&aacute;tica s&oacute;lo pueden aceptarse como pruebas las explicaciones que toman una
se reconoce como verdadero cuando es deducido a partir de los que lo preceden con ayuda de una regla
de deducci&oacute;n tomada en un conjunto de reglas bien definido. Llamamos demostraciones a estas pruebas.
Por otra parte, se reserva la palabra razonamiento para designar la actividad intelectual, en su mayor&iacute;a no
expl&iacute;cita, de manipulaci&oacute;n de informaciones para, a partir de datos, producir nuevas informaciones.
Cuando las informaciones proceden del &aacute;mbito matem&aacute;tico, se habla de razonamiento matem&aacute;tico.
As&iacute; pues, una demostraci&oacute;n matem&aacute;tica, usada para prop&oacute;sitos did&aacute;cticos, debe hacer expl&iacute;cito, en
primer lugar, su car&aacute;cter de explicaci&oacute;n, de modo que por v&iacute;a de la comprensi&oacute;n cabal, el estudiante
acceda a su car&aacute;cter de prueba. Esto es esencial como elemento program&aacute;tico de la ense&ntilde;anza de la
demostraci&oacute;n. No se puede permitir que lo que es com&uacute;n en todos los niveles y contextos: que los
estudiantes aprenden matem&aacute;tica que es nueva para ellos pero que consiste de resultados conocidos.
10
1.3. &iquest;Cu&aacute;l es la diferencia entre escribir una demostraci&oacute;n y pensar una
demostraci&oacute;n?
Una de las falacias m&aacute;s comunes que se le presentan al matem&aacute;tico aprendiz es creer que el orden en
que se escribe una demostraci&oacute;n es el mismo orden en el que se piensa.
En el proceso de demostraci&oacute;n matem&aacute;tica siempre se conocen (aunque no necesariamente se
comprendan cabalmente) el principio y el fin, sin embargo no se conoce el camino para ir de uno a
otro. Este camino no se descubre ‘camin&aacute;ndolo’. Es necesario planearlo antes de recorrerlo y esto es
una de las particularidades que hace dif&iacute;cil realizar una prueba: la necesidad de pensar recursivamente.
La dificultad del pensamiento recursivo radica en que es necesario proponer las causas o consecuencias
de una proposici&oacute;n, sin conocer a fondo aun de d&oacute;nde vienen o hacia donde van, respectivamente.
Esto se puede comprender mediante la analog&iacute;a de la construcci&oacute;n de un puente [Che04], proceso en el
cual siempre se cuenta con los dos terrenos a conectar, pero es necesario comenzar en ambos sentidos:
desde el inicio hacia el fin y desde el fin al inicio, con el objetivo de encontrarse en el medio con el
avance en las dos v&iacute;as.
1.4. &iquest;Cu&aacute;l es la diferencia entre escribir bien las demostraciones y saber
demostrar?
En algunos entornos matem&aacute;ticos se ha filtrado la idea de que hacer demostraciones es escribir con
rigor.
Es cierto que la escritura rigurosa es uno de los mayores pilares de las matem&aacute;ticas, dado su car&aacute;cter
deductivo y exacto; sin embargo, no quien sabe escribir rigurosamente, sabe demostrar proposiciones
matem&aacute;ticas. No, el orden de causalidad no es ese.
Se propone, m&aacute;s bien, que el orden de causalidad se d&eacute; a partir de la comprensi&oacute;n de la prueba. Es
decir, la escritura rigurosa debe ser consecuencia de haber entendido la estructuraci&oacute;n y elementos de
una demostraci&oacute;n.
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2. CONCEPTOS DE BASE
2.1. &iquest;Qu&eacute; es demostrar una proposici&oacute;n matem&aacute;tica?
Demostrar una proposici&oacute;n matem&aacute;tica implica convencer a otras personas, mediante el recurso de la
argumentaci&oacute;n, de la veracidad de dicha proposici&oacute;n [Hut]. Detr&aacute;s de esta afirmaci&oacute;n se puede ver el
car&aacute;cter de construcci&oacute;n comunitaria que tiene la demostraci&oacute;n. Es decir, demostrar es ‘crear’ verdades
que se constituyen como tal por la aceptaci&oacute;n de una comunidad matem&aacute;tica o, de manera contraria,
reglas.
Lograr esta aceptaci&oacute;n depende de algunos factores que son inherentes a la demostraci&oacute;n.
En primer lugar, la persona que convence y las personas que se pretenden convencer deben hablar el
mismo idioma. Y esto est&aacute; m&aacute;s all&aacute; de que s&oacute;lo compartan el mismo lenguaje verbal, sino que ambas
partes deben compartir los
mismos lenguajes l&oacute;gico y conceptual, que les permita llevar la
argumentaci&oacute;n sobre las mismas bases y por caminos conocidos y aceptados.
Es necesario ampliar lo formulado en el anterior p&aacute;rrafo para sentar las bases conceptuales de lo que es
una demostraci&oacute;n, sobre las cuales se construir&aacute; el cuerpo de este trabajo.
Para que ocurra la demostraci&oacute;n matem&aacute;tica debe suceder que se compartan tres tipos de lenguaje, a
saber:
-
Lenguaje verbal: se trata del lenguaje en el que est&aacute;n escritas las palabras por medio de las
cuales se comunica la prueba.
-
Lenguaje l&oacute;gico: se trata de la estructura que subyace a la argumentaci&oacute;n y que depende de la
-
Lenguaje conceptual: se trata de los significados de los t&eacute;rminos (verbales y matem&aacute;ticos) que
se usan para construir la prueba.
M&aacute;s aun, cada uno de los anteriores lenguajes tiene tres niveles, que las dos partes deben compartir:
-
Nivel sint&aacute;ctico: se refiere a los signos, s&iacute;mbolos y se&ntilde;ales de las que est&aacute; constituido cada tipo
de lenguaje.
12
-
Nivel gramatical: se refiere a la forma de organizar los elementos del nivel sint&aacute;ctico para dotar
de sentido las estructuras. Este nivel tiene asociada la caracter&iacute;stica del rigor, que facilita los
procesos en el siguiente nivel.
-
Nivel sem&aacute;ntico: se refiere a los significados de las diferentes estructuras construidas en el nivel
gramatical.
Entonces, compartir los tres tipos de lenguaje en sus tres niveles permite que se puedan construir y
comunicar argumentaciones matem&aacute;ticas que se constituyan en demostraciones.
En t&eacute;rminos procedimentales, una demostraci&oacute;n matem&aacute;tica es una serie de proposiciones, cada una de
las cuales se sigue l&oacute;gicamente de las anteriores; que empieza desde algunas proposiciones que se asume
(o se conoce) que son ciertas; y que termina con la proposici&oacute;n que contiene el hecho que se busca
probar [Che04]. De esto se puede deducir que una demostraci&oacute;n matem&aacute;tica tiene tres partes
secuenciadas en su escritura: un inicio, un desarrollo y un cierre; sin embargo, estas partes no est&aacute;n
necesariamente secuenciadas as&iacute; en el proceso de pensamiento para la construcci&oacute;n de la prueba.
2.2. &iquest;Cu&aacute;les son los preliminares l&oacute;gicos y de lenguaje matem&aacute;tico que se
necesitan para comprender el proceso de demostraci&oacute;n?
general, las proposiciones matem&aacute;ticas son el sujeto de la demostraci&oacute;n, que como ya se dijo, es un
proceso por el cual se determina la veracidad de una proposici&oacute;n, llamada tesis, a partir del
Axioma: es un principio b&aacute;sico que es asumido como verdadero sin recurrir a demostraci&oacute;n alguna. En
esta medida son las proposiciones iniciales de una teor&iacute;a deductiva, de las cuales pueden derivarse otras
proposiciones mediante demostraciones.
Teorema: es una forma de referirse a una proposici&oacute;n que es central en la construcci&oacute;n de una teor&iacute;a.
Corolario: es una verdad que se deriva inmediatamente de la veracidad de un teorema, por lo tanto no
necesita una demostraci&oacute;n particular.
13
Lema: es un teorema que es necesario para la demostraci&oacute;n de otro y que, por lo tanto, debe ser
demostrado con anterioridad. Regularmente los lemas no pertenecen a la l&iacute;nea central de la teor&iacute;a.
Definici&oacute;n: en matem&aacute;ticas, proposici&oacute;n o conjunto de proposiciones que describen tautol&oacute;gicamente
un t&eacute;rmino matem&aacute;tico; por lo tanto, una demostraci&oacute;n no requiere demostraci&oacute;n y puede ser usada en
ambos sentidos: desde el t&eacute;rmino hacia las proposiciones o del conjunto de proposiciones hacia el
t&eacute;rmino.
Una forma de representar gr&aacute;ficamente el sentido de los &uacute;ltimos cinco t&eacute;rminos definidos es:
TEOREMA
D
E
F
I
N
I
C
I
&Oacute;
N
LEMA
TEOREMA
COROLARIO
TEOREMA
AXIOMA
Figura 1. Representaci&oacute;n de la relaci&oacute;n entre axioma, teorema, lema, corolario y definici&oacute;n.
Proposici&oacute;n rec&iacute;proca o rec&iacute;proco: es una implicaci&oacute;n cuyo consecuente es el antecedente de otra
(llamada implicaci&oacute;n directa) y cuyo antecedente es el consecuente dicha implicaci&oacute;n directa. El valor
de verdad de la proposici&oacute;n rec&iacute;proca no necesariamente es el mismo de la proposici&oacute;n directa.
Proposici&oacute;n contrarrec&iacute;proca o contrarrec&iacute;proco: es una implicaci&oacute;n cuyo antecedente es la
negaci&oacute;n del consecuente de la implicaci&oacute;n directa y cuyo consecuente es la negaci&oacute;n del antecedente
de la implicaci&oacute;n directa. El valor de verdad de la proposici&oacute;n contrarrec&iacute;proca necesariamente es el
mismo de la proposici&oacute;n directa.
Negaci&oacute;n: sea una proposici&oacute;n p, entonces ‘no p’ o ‘negaci&oacute;n de p’ se define como:
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Conjunci&oacute;n: sean p y q dos proposiciones, entonces la proposici&oacute;n compleja ‘p y q’ se define como:
Falsa, cuando p es falsa o q es falsa o ambas son falsas.
Disyunci&oacute;n: sean p y q dos proposiciones, entonces la proposici&oacute;n compleja ‘p o q’ se define como:
Falsa, cuando p y q son ambas falsas.
Implicaci&oacute;n: sean p y q dos proposiciones, entonces la proposici&oacute;n compleja ‘p entonces q’ se define
como:
Falsa, cuando q es verdadera y p es falsa;
Si en las implicaciones p es falsa, se dice que su valor de verdad es trivialmente verdadero.
Equivalencia: sean p y q dos proposiciones, entonces la proposici&oacute;n compleja ‘p equivale a q’ se define
como:
Falsa, en cualquier otro caso.
particulares. La forma l&oacute;gica de poner en evidencia esta condici&oacute;n es mediante los cuantificadores.
Si una proposici&oacute;n es cierta bajo toda circunstancia de las variables en las que est&eacute; definida, se dice
justamente as&iacute;: que para todo caso de la variable, la proposici&oacute;n es verdadera. En s&iacute;mbolos: sea p ( x )
una proposici&oacute;n cuya variable es x , que se cumple para todo valor de x , entonces se dice ∀x, p( x) .
Si una proposici&oacute;n es cierta s&oacute;lo bajo algunas circunstancias de las variables en las que est&eacute; definida, se
dice: que existe algunos casos de las variables para los cuales la proposici&oacute;n es verdadera. En s&iacute;mbolos:
sea p ( x ) una proposici&oacute;n cuya variable es x , que se cumple para algunos valores de x , entonces se
dice ∃x, p( x)
Cuando se combinan cuantificadores hay que tener en cuenta que el orden en que afectan a la
proposici&oacute;n es muy importante. No necesariamente tiene el mismo valor de verdad (∀x)(∃y), p( x)
que (∃y )(∀x), p( x) .
15
Negaci&oacute;n de cuantificadores: en algunas t&eacute;cnicas de demostraci&oacute;n es necesario hacer negaci&oacute;n de
proposiciones compuestas de cuantificadores, por eso se presenta ac&aacute; la forma de hacerlo.
Para negar ∀x, p( x) se dice ∃x,
p( x) ; es decir que la negaci&oacute;n de que si para todo x se cumple
p ( x ) , es que existe x que hace que se cumpla la negaci&oacute;n de p ( x ) .
De manera an&aacute;loga, para negar ∃x, p( x) se dice ∀x,
p( x) ; es decir que la negaci&oacute;n de que si existe
x que hace que p ( x ) se cumpla, es que para todo x se cumple la negaci&oacute;n de p ( x ) .
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3. T&Eacute;CNICAS DE DEMOSTRACI&Oacute;N
3.1. Demostraci&oacute;n por reducci&oacute;n al absurdo.
Seg&uacute;n Daniel Solow [Sol93], la t&eacute;cnica de demostraci&oacute;n por reducci&oacute;n al absurdo parte de la negaci&oacute;n
de la tesis dada (siendo la tesis dada B y la negaci&oacute;n NO B), y la inclusi&oacute;n de esta negaci&oacute;n en la
hip&oacute;tesis general A, de modo tal que se asumen A y NO B como verdaderos. A partir de entonces se
trabaja progresivamente desde la nueva hip&oacute;tesis (que incluye a A y a NO B), hasta llegar a una
Analog&iacute;a de esta t&eacute;cnica:
Un hombre quiere probar a su esposa que desde que eran novios a &eacute;l le gustaba el f&uacute;tbol. Ella no le
cree porque no recuerda que &eacute;l fuera as&iacute; de apasionado por este deporte. Entonces &eacute;l le dice que si a &eacute;l
no le gustara tanto el f&uacute;tbol, &eacute;l no sabr&iacute;a qui&eacute;nes juegan en todos los equipos del campeonato y no se
acordar&iacute;a de los marcadores que ha obtenido su equipo preferido… e inmediatamente procede a decir
marcadores y alineaciones y a pedirle a ella que los confirme en internet, lo que hace que &eacute;l demuestre
que tiene la raz&oacute;n.
Pasos para aplicar la t&eacute;cnica de demostraci&oacute;n por reducci&oacute;n al absurdo:
1. Incluir como otra hip&oacute;tesis la negaci&oacute;n de B.
encontrar al comparar una proposici&oacute;n derivada de la nueva hip&oacute;tesis (que incluye a A y a NO
B), con A, con una proposici&oacute;n derivada en la demostraci&oacute;n o con una verdad establecida.
Ejemplo:
Demostremos por reducci&oacute;n al absurdo que si n y m son enteros tales que n + n 2 + n 3 = m + m 2 ,
entonces n es par.
1. Incluir como otra hip&oacute;tesis la negaci&oacute;n de B: n es impar ( n no es par).
encontrar al comparar una proposici&oacute;n derivada de la nueva hip&oacute;tesis (que incluye a A y a NO B),
con A, con una proposici&oacute;n derivada en la demostraci&oacute;n o con una verdad establecida: como n es
impar, entonces n 2 y n3 son ambos impares, de donde n + n 2 + n 3 es impar (ya que es la suma de
tres impares). Entonces, como m + m 2 = n + n 2 + n 3 , se tiene que m + m 2 es impar. Sin embargo
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m + m 2 es siempre par (ya que m + m 2 = m(m + 1) y necesariamente alguno de los n&uacute;meros m o
m + 1 es par). Hemos llegado a una contradicci&oacute;n. De all&iacute; se tiene que n es par, que es lo que
quer&iacute;amos demostrar. En este caso tuvimos una contradicci&oacute;n con una verdad establecida: que al
multiplicar un n&uacute;mero impar por un n&uacute;mero par, el resultado es un n&uacute;mero par.
3.2. Demostraci&oacute;n por contrarrec&iacute;proco.
En esta t&eacute;cnica se empieza por negar la tesis (B), para convertirla en hip&oacute;tesis y as&iacute; cambiar la hip&oacute;tesis
inicial A por NO B, as&iacute; mismo se niega la hip&oacute;tesis (A), para convertirla en tesis; entonces se trabaja
progresivamente &uacute;nicamente desde NO B, con el fin de llegar a probar NO A. Esto es posible pues el
valor de verdad de A implica B es el mismo valor de verdad de NO B implica NO A.
Analog&iacute;a de esta t&eacute;cnica:
Un joven le asegura a su madre que si llueve, &eacute;l no saldr&aacute; con su novia en la noche. Su madre sale al
mercado y vuelve en la noche y no encuentra a su hijo en casa, es decir que supone que sali&oacute; con su
novia, de lo que puede deducir que cerca de su casa no llovi&oacute; en este d&iacute;a.
Pasos para aplicar la t&eacute;cnica de demostraci&oacute;n por contrarrec&iacute;proco:
1. Cambiar la hip&oacute;tesis A por la negaci&oacute;n de B (NO B).
2. Cambiar la tesis B por la negaci&oacute;n de A (NO A).
3. Proceder mediante la t&eacute;cnica de demostraci&oacute;n regresiva-progresiva para demostrar NO A.
Ejemplo:
Demostremos por la t&eacute;cnica de demostraci&oacute;n por contrarrec&iacute;proco que: si x y p son dos n&uacute;meros
enteros donde x + p es par, entonces x y p tienen la misma paridad.
1. Cambiar la hip&oacute;tesis A por la negaci&oacute;n de B: x y p son dos n&uacute;meros con paridad opuesta.
2. Cambiar la tesis B por la negaci&oacute;n de A: la suma de x y p debe dar como resultado un
n&uacute;mero impar.
3. Proceder mediante la t&eacute;cnica de demostraci&oacute;n regresiva-progresiva para demostrar NO A:
asumimos que x y p tienen paridad opuesta. Esto implica que uno de estos n&uacute;meros enteros
es par y el otro impar, no perdemos la generalidad si suponemos que x es par y p es impar.
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Entonces hay n&uacute;meros enteros k y m donde x = 2k y p = 2 m + 1 . Ahora, computamos la
suma x + p = 2 k + 2 m + 1 = 2( k + m ) + 1 , resulta un n&uacute;mero entero impar por la definici&oacute;n,
lo que demuestra NO A.
3.3. Demostraci&oacute;n por inducci&oacute;n.
“Existe una forma muy especial de B para la cual se ha desarrollado separadamente una t&eacute;cnica de
demostraci&oacute;n conocida como inducci&oacute;n matem&aacute;tica, esta inducci&oacute;n debe considerarse cuando B tiene
la forma: Para todo entero n &gt; 1 , ‘algo sucede’, donde algo que sucede es alg&uacute;n enunciado que
depende del entero n . Cuando se considera la t&eacute;cnica por inducci&oacute;n, las palabras claves que deben
buscar son ‘entero’ y ‘ &gt; 1 ’” (P&aacute;g. 63, [Sol93]).
Pasos para aplicar la t&eacute;cnica de demostraci&oacute;n por inducci&oacute;n:
1. Verificar que P (1) es verdadero.
2. Suponer que P ( n ) es cierta.
3. Demostrar que P ( n + 1) es cierta.
Analog&iacute;a de esta t&eacute;cnica:
(Esta t&eacute;cnica no es aplicable en sentido estricto en la vida diaria, puesto que depende de procesos
infinitos; sin embargo, se podr&iacute;a bosquejar una analog&iacute;a en un proceso de larga duraci&oacute;n)
Un d&iacute;a, sin m&aacute;s ni m&aacute;s, un aguacero cay&oacute; en la ciudad: “lleg&oacute; el invierno”, pens&oacute; Fabiana, la mayor de
las Fern&aacute;ndez, que hab&iacute;a vivido suficiente para ‘oler’ este tipo de aguaceros y reconocerlos como
iniciadores del invierno, que en aquellas tierras era un suceso inolvidable.
En efecto, al siguiente d&iacute;a y m&aacute;s o menos a la misma hora, volvi&oacute; a llover torrencialmente, y parece que
fue s&oacute;lo para que Fabiana pensara: “Me estoy volviendo vieja, ya hasta puedo predecir con certeza los
fen&oacute;menos que no la tienen”.
De hecho, ella pudo suponer que como todos los a&ntilde;os, en el desfile de la Virgen iba a llover y que
seguir&iacute;a as&iacute; por mucho, mucho tiempo…
Ejemplo:
Demostremos por la t&eacute;cnica de demostraci&oacute;n por inducci&oacute;n que si a1 , a2 ...an son n&uacute;meros reales y
a1a2 ...an = 0 , entonces ai = 0 para alg&uacute;n i con 1 ≤ i ≤ n .
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1. Verificar que P (1) es verdadero es trivial porque s&oacute;lo a1 podr&iacute;a ser cero.
2. Suponer que P ( n ) es cierta: es lo mismo que decir que si a1a2 ...an = 0 entonces ai = 0 para
alg&uacute;n i con 1 ≤ i ≤ n .
3. Demostrar que P ( n + 1) es cierta: para esto suponga que a1 , a2 ...an , an +1 son n&uacute;meros reales
tales que a1a2 ...an an +1 = 0 . Dado que ( a1a2 ...an ) an +1 = 0 , se sigue que a1a2 ...an = 0 o
an +1 = 0 .
Si a1a2 ...an = 0 , entonces por P(n), ai = 0 para alg&uacute;n i con 1 ≤ i ≤ n ., y estar&iacute;a probado, o
si no, an +1 = 0 , lo que tambi&eacute;n probar&iacute;a la proposici&oacute;n.
3.4. Demostraci&oacute;n regresiva- progresiva.
Es importante hacer ac&aacute; una anotaci&oacute;n acerca del sentido del nombre de esta t&eacute;cnica. El hecho de que
se haya invertido y se llame ahora regresiva-progresiva y no progresiva-regresiva es debido a que el
m&eacute;todo general para demostrar proposiciones matem&aacute;ticas tiene una l&oacute;gica estrat&eacute;gica, es decir, una
l&oacute;gica que piensa primero en los productos que hay que conseguir y luego piensa en los insumos que se
necesitan para hacerlo; esto permite hacer una selecci&oacute;n m&aacute;s adecuada y precisa de los insumos con
relaci&oacute;n a los productos.
Partiendo de la base de que A es todo aquello que se presupone como verdadero (la hip&oacute;tesis) y que B
es todo lo que se est&aacute; demostrando (la tesis), Solow [Sol93], explica que cuando se busca determinar
c&oacute;mo llegar a la conclusi&oacute;n de que B es verdadero, se est&aacute; realizando el proceso regresivo, y cuando se
hace uso espec&iacute;fico de la informaci&oacute;n contenida en A, se est&aacute; haciendo uso del proceso progresivo.
Analog&iacute;a de esta t&eacute;cnica:
El pensamiento usado en esta t&eacute;cnica es muy usado en la planeaci&oacute;n estrat&eacute;gica, en la que se comienza
haciendo una caracterizaci&oacute;n detallada del producto a conseguir, para luego pensar en el m&eacute;todo
necesario para alcanzarlo; este m&eacute;todo se piensa de adelante para atr&aacute;s, con el fin de que todos los
pasos dispuestos sean suficientes y necesarios para alcanzar el producto.
Pasos para aplicar la t&eacute;cnica de demostraci&oacute;n regresiva-progresiva:
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1. Realizar la pregunta de abstracci&oacute;n: Iniciar con la pregunta: “&iquest;c&oacute;mo o cu&aacute;ndo puedo concluir
que la proposici&oacute;n B es verdadera?” (P&aacute;g. 24). Esta pregunta ser&aacute; nombrada pregunta de
abstracci&oacute;n, caracterizada por la ausencia de s&iacute;mbolos o notaciones del problema espec&iacute;fico en
consideraci&oacute;n.
2. Contestar correctamente la pregunta de abstracci&oacute;n
2.1 D&eacute; una respuesta abstracta: explique l&oacute;gica y verbalmente c&oacute;mo podr&iacute;a demostrar que B es
verdadero sin hacer uso de s&iacute;mbolos, datos o notaciones matem&aacute;ticas.
2.2 Aplique la respuesta abstracta a la situaci&oacute;n espec&iacute;fica: responda la respuesta abstracta haciendo
uso de los datos, s&iacute;mbolos o notaciones que sean necesarios para obtener una respuesta
espec&iacute;fica. Esta nueva respuesta proporciona una nueva proposici&oacute;n, B1, con la propiedad de
que si se pudiese demostrar que B1 es verdadero, entonces B ser&iacute;a verdadero.
2.3 Contin&uacute;e dando respuesta a la pregunta abstracta a partir de la primera proposici&oacute;n derivada de
B que obtuvo (B1). Repita este ciclo hasta que sea posible.
3. Hacer uso del proceso progresivo para derivar algor&iacute;tmicamente proposiciones de A que
permitan llegar a proposiciones de las que B se deriva.
3.1 Identifique la proposici&oacute;n A que se supone como verdadera.
3.2 Obtenga proposiciones derivadas de A, partiendo de teoremas e integraci&oacute;n de proposiciones
anteriores.
3.3 Escoja una de las proposiciones derivadas de A obtenidas (A1, A2, A3), que permita ayudar a
comprobar B.
Ejemplo:
Sea A: el tri&aacute;ngulo XYZ de catetos de longitud x e hipotenusa de longitud z is&oacute;sceles, y sea B: el
tri&aacute;ngulo XYZ tiene por &aacute;rea
z2
.
4
1. Realizar la pregunta de abstracci&oacute;n: &iquest;c&oacute;mo puedo concluir que el &aacute;rea de un tri&aacute;ngulo is&oacute;sceles
2. Contestar correctamente la pregunta de abstracci&oacute;n:
2.1 D&eacute; una respuesta abstracta: esto lo puedo demostrar si soy capaz de demostrar que multiplicar
la hipotenusa al cuadrado y dividirla entre cuatro es igual a usar la f&oacute;rmula est&aacute;ndar para
obtener el &aacute;rea de cualquier tri&aacute;ngulo.
2.2 Aplique la respuesta abstracta a la situaci&oacute;n espec&iacute;fica:
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z 2 xx
=
4
2
2.3 Contin&uacute;e dando respuesta a la pregunta abstracta a partir de la primera proposici&oacute;n derivada de
B que obtuvo (B1). Repita este ciclo hasta que sea posible: si abstraemos B1:
z 2 xx
=
4
2
obtenemos que B2: z 2 = 2 x 2 , de modo que esta es otra respuesta algor&iacute;tmica a la pregunta de
abstracci&oacute;n; sin embargo, no es posible seguir abstrayendo z 2 = 2 x 2 , por lo que hay que
empezar a hacer uso del proceso progresivo.
3. Hacer uso del proceso progresivo para derivar algor&iacute;tmicamente proposiciones de A que llegar
a z 2 = 2x2 .
3.1 Identifique la proposici&oacute;n A. En este caso que A es el tri&aacute;ngulo is&oacute;sceles XYZ de catetos de
longitud x e hipotenusa de longitud z .
3.2 Obtenga proposiciones derivadas de A, partiendo de teoremas e integraci&oacute;n de proposiciones
anteriores.
A1: De A podemos deducir el teorema de Pit&aacute;goras: x 2 + y 2 = z 2 , puesto que XYZ es un
tri&aacute;ngulo rect&aacute;ngulo.
A2: Como XYZ es adem&aacute;s un tri&aacute;ngulo is&oacute;sceles, tendr&iacute;amos: x 2 + x 2 = z 2
A3: la f&oacute;rmula anterior simplificada quedar&iacute;a: 2x 2 = z 2
3.3 Escoja una de las proposiciones derivadas de A obtenidas (A1, A2, A3), que permita ayudar a
comprobar B: en este caso escogemos la proposici&oacute;n A3 que concuerda con B2.
La anterior demostraci&oacute;n se puede representar de la siguiente manera:
A: XYX tri&aacute;ngulo rect&aacute;ngulo is&oacute;sceles de
hipotenusa z
Hip&oacute;tesis
A1: x 2 + y 2 = z 2
Teorema de Pit&aacute;goras
A2: x 2 + x 2 = z 2
A3=B2: 2x 2 = z 2
Por ser XYZ is&oacute;sceles
z 2 x2
=
4
2
2
z
B: A =
4
Reescritura algebraica
Reescritura algebraica
B1:
Puesto que A =
22
x2
2
3.5. Demostraci&oacute;n por distinci&oacute;n de casos.
De acuerdo con Balaguera [Bal04], “en muchas ocasiones la situaci&oacute;n que propone una demostraci&oacute;n
es tal que se puede clasificar en un n&uacute;mero finito de casos posibles, o bien en un conjunto infinito de
clases de casos y cada uno de ellos se puede tratar mediante alg&uacute;n truco diferente para obtener la
conclusi&oacute;n a la que queremos llegar” (P&aacute;g. 36).
Analog&iacute;a de esta t&eacute;cnica:
Se quiere demostrar que las personas que han afrontado p&eacute;rdidas grandes se vuelven m&aacute;s tolerantes a la
frustraci&oacute;n. Para esto, se piensa que las variables de g&eacute;nero, edad y clases social pueden influenciar los
efectos, y por eso, se decide armar muestras de personas que se diferencien en estas variables.
Pasos para aplicar la t&eacute;cnica de demostraci&oacute;n por distinci&oacute;n de casos:
1. Identificar casos en los cuales se cumpla la tesis propuesta.
2. Demostrar la tesis para cada uno de los casos.
Ejemplo:
Demuestre que para dos n&uacute;meros naturales cualesquiera x e y es imposible que se verifique
3x 2 = y 2 + 1
1. Identificar casos en los cuales se cumpla la tesis propuesta: puesto que el primer t&eacute;rmino es
m&uacute;ltiplo de 3 es claro que y no lo puede ser. Por lo tanto y es de una de las dos formas
posibles:
Caso a: y = 3h + 1
Caso b: y = 3h − 1
2. Demostrar la tesis para cada uno de los casos:
Para el caso a: (3h + 1) 2 = 9h 2 + 6h + 1 = 3(3h 2 + 2h) + 1 = 3k + 1
Para el caso b: (3h − 1) 2 = 9h 2 − 6h + 1 = 3(3h 2 − 2h) + 1 = 3k + 1
En cualquier caso y 2 es de la forma 3x + 1 que nunca puede ser igual a 3x 2 .
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3.6. Demostraci&oacute;n de existencia.
Solow [Sol93] explica que los problemas que tienen cuantificadores de tipo ‘existe’ que surgen de
manera natural en muchos postulados matem&aacute;ticos, deben ser resueltos haciendo uso de la t&eacute;cnica de
demostraci&oacute;n por existencia ya que su proposici&oacute;n tendr&aacute; la forma b&aacute;sica: existe un ‘objeto’ con una
‘cierta propiedad’ tal que ‘algo sucede’.
Analog&iacute;a de esta t&eacute;cnica:
“Yo no creo que exista un pol&iacute;tico limpio”, dijo Camilo.
“Pues creo que si lo hay, y estoy dispuesto a demostr&aacute;rtelo”, contest&oacute; Mariana, y se dedic&oacute; a buscarlo.
Pasos para aplicar la t&eacute;cnica de demostraci&oacute;n de existencia:
1. Identificar el cuantificador ‘existe’ en la tesis; si &eacute;ste no lo tiene expl&iacute;cito debe escribirse
nuevamente para que lo contenga expl&iacute;citamente.
2. Identificar las caracter&iacute;sticas del elemento del cual se quiere demostrar su existencia.
3. Crear un elemento que cumpla las condiciones de la proposici&oacute;n.
*Nota: A veces es &uacute;til usar la t&eacute;cnica de reducci&oacute;n al absurdo o la t&eacute;cnica regresiva para hacer
demostraciones de existencia.
Ejemplo:
Si a , b , c , d , e, f son n&uacute;meros reales con la propiedad de que ( ad − bc ) ≠ 0 , entonces las dos
ecuaciones lineales ( ax + by ) = e y ( ex + dy ) = f tiene soluci&oacute;n para x e y .
1. Identificar el cuantificador ‘existe’ en la tesis; si &eacute;ste no lo tiene expl&iacute;cito debe escribirse
nuevamente para que lo contenga: si a , b , c , d , e, f son n&uacute;meros reales con la propiedad de
que ( ad − bc ) ≠ 0 , entonces existen x e y que son soluci&oacute;n de las dos ecuaciones lineales
( ax + by ) = e y ( ex + dy ) = f .
2. Identificar las caracter&iacute;sticas del elemento del cual se quiere demostrar su existencia: x e y
deben cumplir simult&aacute;neamente las ecuaciones ( ax + by ) = e y ( ex + dy ) = f .
3. Crear un elemento que cumpla las condiciones de la proposici&oacute;n: hay dos formas posibles para
encontrar el elemento que cumpla las condiciones: la primera, que depende de la habilidad de
quien est&aacute; demostrando, es la de intento y verificaci&oacute;n. Esta forma es perfectamente v&aacute;lida
24
pero puede ser dispendiosa; la segunda se basa en la construcci&oacute;n de los elementos, ya sea por
v&iacute;as algebraicas, geom&eacute;tricas, anal&iacute;ticas, etc.
Usando la segunda forma, se multiplica la ecuaci&oacute;n ax + by = e por d , y la ecuaci&oacute;n
cx + dy = f
por b , y efectuando la diferencia entre las dos ecuaciones, obtiene
( ad − bc ) x = ( de − bf ) . A partir de la hip&oacute;tesis, ( ad − bc ) ≠ 0 y, por tanto, dividiendo
entre ( ad − bc ) se tiene x =
(de − bf )
(af − ce)
. Un argumento similar muestra que y =
.
La t&eacute;cnica de demostraci&oacute;n de unicidad est&aacute; relacionada con la tesis o como se ha venido diciendo, con
la proposici&oacute;n B. En este caso no s&oacute;lo se requiere demostrar la existencia de un objeto con cierta
propiedad tal que algo sucede, sino tambi&eacute;n que el objeto es &uacute;nico. Se sabe que hay que utilizar esta
t&eacute;cnica cuando la tesis contiene la palabra ‘&uacute;nico’ as&iacute; como el cuantificador ‘existe’.
Analog&iacute;a de esta t&eacute;cnica:
“&iexcl;Yo conoc&iacute; a una persona que med&iacute;a 2,65 metros!”, dijo uno. “Qu&eacute; casualidad, yo tambi&eacute;n conoc&iacute; una
persona de esa altura”, dijo dos. “Era calvo y se llamaba Antonio”, replic&oacute; uno. “Extra&ntilde;o, la persona de
la que habl&oacute; tambi&eacute;n era calvo y tambi&eacute;n se llamaba Antonio; &iquest;acaso era profesor de matem&aacute;ticas?”,
dijo dos. “S&iacute;, de geometr&iacute;a anal&iacute;tica”, contesto uno. “Entonces era el mismo, porque con esas
caracter&iacute;sticas s&oacute;lo puede haber uno”, termin&oacute; dos.
Pasos para aplicar la t&eacute;cnica de demostraci&oacute;n de unicidad:
1. Demostrar que el objeto existe haciendo uso la t&eacute;cnica de demostraci&oacute;n de existencia o por la
t&eacute;cnica de demostraci&oacute;n por reducci&oacute;n al absurdo.
2. Demostrar la unicidad del elemento que existe; para esto hay dos formas comunes:
Forma 1:
Suponga que hay dos elementos diferentes que comparten cierta propiedad com&uacute;n.
Use esta propiedad y la informaci&oacute;n en A para demostrar que los dos elementos son iguales
entre s&iacute;.
Forma 2:
25
Suponga que hay dos elementos diferentes que comparten cierta propiedad com&uacute;n y para los
cuales algo sucede.
Llegue a una contradicci&oacute;n usando la informaci&oacute;n en A, la propiedad com&uacute;n y lo que sucede
*Nota: En la forma 1 usted puede hacer uso de la t&eacute;cnica regresiva-progresiva para demostrar que los
elementos son iguales.
Ejemplo:
Si r es un n&uacute;mero real positivo entonces existe un &uacute;nico n&uacute;mero real x tal que x 3 = r .
1. Demostrar que el objeto existe haciendo uso la t&eacute;cnica de demostraci&oacute;n de existencia o la
t&eacute;cnica de reducci&oacute;n al absurdo: se va a suponer que esta parte est&aacute; demostrada, pues no es el
centro de esta t&eacute;cnica de demostraci&oacute;n.
2. Demostrar la unicidad del elemento que existe: en este caso vamos a usar la forma 2.
Suponga que hay dos elementos diferentes que comparten cierta propiedad com&uacute;n y para los
cuales algo sucede: entonces se supone que existen x e y tales que x 3 = r y y 3 = r y
Llegue a una contradicci&oacute;n usando la informaci&oacute;n en A, la propiedad com&uacute;n y lo que sucede
para
llegar
a
una
por
consiguiente,
x3 = y 3
y
entonces
0 = x3 − y 3 = ( x − y )( x 2 + xy + y 2 ) . Dado que x ≠ y , entonces x 2 + xy + y 2 = 0 . De la
f&oacute;rmula se deduce que: x =
− y &plusmn; ( y 2 − 4 y 2 ) − y &plusmn; −3 y 2
=
y puesto que x es un
2
2
n&uacute;mero real, y debe ser cero, pero entonces r = y 3 = 0 contradiciendo as&iacute; la hip&oacute;tesis de
que r es positivo.
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4. ERRORES L&Oacute;GICOS COMUNES AL HACER DEMOSTRACIONES
En esta secci&oacute;n se presentan algunos errores l&oacute;gicos comunes al demostrar proposiciones matem&aacute;ticas.
Estos errores se extrajeron y adaptaron del documento How to write proofs: a quick guide [Che04]. Esta lista
de errores se puede usar como una lista de chequeo para el paso final del m&eacute;todo general para
demostrar proposiciones matem&aacute;ticas.
4.1. Usar la tesis como hip&oacute;tesis y demostrar la hip&oacute;tesis.
Esto es un error porque la implicaci&oacute;n p ⇒ q no necesariamente tiene el mismo valor de verdad de la
implicaci&oacute;n q ⇒ p .
4.2. Demostrar dando saltos demasiado largos entre las proposiciones.
Esto incluye:
-
No justificar una afirmaci&oacute;n que no es obvia.
-
No hacer expl&iacute;citos demasiados pasos entre dos afirmaciones.
-
Usar un teorema sin demostrarlo.
-
Usar un teorema sin mencionarlo.
4.3. Usar proposiciones falsas como soporte de la demostraci&oacute;n.
Cada una de las afirmaciones que se hagan al demostrar una proposici&oacute;n matem&aacute;tica debe tener
sustento en afirmaciones cuya veracidad ha sido demostrada, por eso es importante ir paso por paso
verificando que as&iacute; sea.
4.4. Demostraci&oacute;n verbal.
Aunque no es un error como tal, s&iacute; es una mala pr&aacute;ctica escribir en palabras no matem&aacute;ticas (o por lo
menos no ‘muy matem&aacute;ticas’) afirmaciones sobre una demostraci&oacute;n; esto es se&ntilde;al com&uacute;n de que se
tiene la idea sobre la demostraci&oacute;n, pero hace falta depurarla aun m&aacute;s.
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4.5. Usar una l&oacute;gica incorrecta.
Este error es muy com&uacute;n y es grave. En esta categor&iacute;a se incluye:
-
Negar una afirmaci&oacute;n incorrectamente.
-
Probar el rec&iacute;proco de una proposici&oacute;n en vez de la proposici&oacute;n.
4.6. Hacer suposiciones incorrectas.
Las suposiciones correctas aligeran el peso de una prueba y pueden ayudar a entender mejor el proceso
de demostraci&oacute;n; sin embargo, las suposiciones incorrectas pueden aligerar este peso demasiado y hacer
que la demostraci&oacute;n sea err&oacute;nea.
4.7. Sobre las definiciones.
Es normal que se usen definiciones correctas, pero mal usadas; no obstante, es m&aacute;s normal que se usen
malas definiciones.
Pero este es un error muy evitable, pues s&oacute;lo requiere de una cuidadosa lectura de las definiciones para
hacer una justa correspondencia con las circunstancias de la demostraci&oacute;n que se est&aacute; llevando a cabo.
En el caso de que no se sepa si usar algo o no porque no se ha confirmado que sea cierto, el consejo es
hacer uso de prudencia (que hace verdaderos sabios) y probarlo antes de usarlo.
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5. CONTEXTOS DE USO DE LAS T&Eacute;CNICAS DE DEMOSTRACI&Oacute;N
Antes de presentar el m&eacute;todo general para demostrar proposiciones matem&aacute;ticas, es necesario describir
los contextos de cada una de las t&eacute;cnicas de demostraci&oacute;n que van a estar articuladas en &eacute;ste.
Sobra decir que disponer de una buena cantidad de t&eacute;cnicas de demostraci&oacute;n es absolutamente in&uacute;til si
no se dispone de una caracterizaci&oacute;n detallada de los contextos en que son aplicables, pues de lo
contrario la elecci&oacute;n de dicha t&eacute;cnica demostraci&oacute;n ser&iacute;a un juego de intento y error que, aparte de
causar frustraci&oacute;n, se convertir&iacute;a en una mecanizaci&oacute;n absurda que no implicar&iacute;a ning&uacute;n tipo de
pensamiento.
No obstante, de las siete t&eacute;cnicas de demostraci&oacute;n que se presentan en este escrito, s&oacute;lo cuatro merecen
una descripci&oacute;n detallada de su contexto de aplicaci&oacute;n, puesto que en las tres restantes el contexto es
obvio, &eacute;stas son: demostraci&oacute;n por distinci&oacute;n de casos, para la que el contexto se da cuando la tesis
tiene diferentes casos que componen una sola proposici&oacute;n; y las demostraciones de existencia y
unicidad, que se hacen en el caso de que sea expl&iacute;citamente determinado en la proposici&oacute;n.
Los contextos de las cuatro t&eacute;cnicas restantes se presentan a continuaci&oacute;n.
5.1. Demostraci&oacute;n por inducci&oacute;n: esta t&eacute;cnica es muy poderosa, pues en realidad no s&oacute;lo
permite demostrar la veracidad de una proposici&oacute;n, sino de infinitas. Sin embargo, como ya se vio, es
una t&eacute;cnica que encapsula otra demostraci&oacute;n, y de esta manera, implica que se haga la selecci&oacute;n y
aplicaci&oacute;n de otra t&eacute;cnica de demostraci&oacute;n.
Esta t&eacute;cnica se debe usar cuando se quiera demostrar una proposici&oacute;n que se cumple para un conjunto
de infinitos n&uacute;meros enteros, que tiene m&iacute;nimo.
Como ejemplos se pueden considerar los siguientes:
1. Para todo entero n ≥ 1,
n
∑k =
k =1
n(n + 1)
; n&oacute;tese que existe una proposici&oacute;n cada vez que n
2
es un entero diferente, comenzando desde n = 1 .
29
2. Para cada entero n ≥ 4 , n ! &gt; n 2 ; ac&aacute; tambi&eacute;n hay una proposici&oacute;n cada vez que n es un
entero diferente, pero esta vez comenzando desde n = 4 .
3. Existe un entero n ≥ 0 tal que 2 n &gt; n 2 ; esta no es una demostraci&oacute;n que se pueda hacer por
inducci&oacute;n, puesto que la proposici&oacute;n no est&aacute; dada para todos los enteros a partir de alguno,
sino que se trata de encontrar el entero que cumple la condici&oacute;n. Por eso, esta es una prueba de
existencia.
5.2. Demostraci&oacute;n por reducci&oacute;n al absurdo: esta t&eacute;cnica se usa cuando la negaci&oacute;n de la
tesis d&eacute; alguna informaci&oacute;n &uacute;til; o cuando la tesis sea dicot&oacute;mica, es decir que la negaci&oacute;n de la tesis usa
t&eacute;rminos que son m&aacute;s significativos que la tesis en forma afirmativa; o cuando la tesis est&aacute; expresada en
forma negativa, en este caso hay que tener cuidado con las negaciones impl&iacute;citas; o cuando hay que
hacer pruebas de existencia en las que es dif&iacute;cil caracterizar el elemento que cumple las condiciones.
Como ejemplos se pueden considerar los siguientes:
1.
2 es irracional; esta proposici&oacute;n se demuestra cl&aacute;sicamente usando la t&eacute;cnica de reducci&oacute;n al
absurdo, pues la negaci&oacute;n de la tesis provee informaci&oacute;n m&aacute;s &uacute;til que en la forma como es
2 es racional, ya que as&iacute; se podr&iacute;a expresar de la forma
a
con a
b
y b enteros y b ≠ 0 .
2. Si n es un entero y n 2 es par, entonces n es par; ac&aacute; la negaci&oacute;n de la tesis dice que n es
impar, de modo que es una tesis dicot&oacute;mica que provee informaci&oacute;n &uacute;til al ser tomada como
hip&oacute;tesis.
3. Ninguna cuerda de un c&iacute;rculo es mayor que un di&aacute;metro; en este caso, usar la t&eacute;cnica de
reducci&oacute;n al absurdo hace que se pueda incluir en la hip&oacute;tesis la proposici&oacute;n: existe una cuerda
mayor que un di&aacute;metro.
30
4. Sea XYZ un tri&aacute;ngulo rect&aacute;ngulo is&oacute;sceles con &aacute;ngulo recto en Z, entonces el &aacute;rea de XYZ de
puede dar por
z2
; en este caso, en cambio, no es prudente aplicar la t&eacute;cnica de reducci&oacute;n al
4
absurdo puesto que al negar la tesis tendr&iacute;amos que A ≠
z2
, lo que no nos dice exactamente a
4
qu&eacute; equivaldr&iacute;a el &aacute;rea.
5.3. Demostraci&oacute;n por contrarrec&iacute;proco: esta t&eacute;cnica se usa cuando tanto la hip&oacute;tesis como
la tesis son f&aacute;ciles de negar y expresadas de esta forma proveen informaci&oacute;n m&aacute;s &uacute;til para la
demostraci&oacute;n.
Por ejemplo:
1. S es un subconjunto de un conjunto T de n&uacute;meros reales. Si S es no acotado, entonces T es no
acotado; en este caso es mejor usar el concepto de conjunto acotado, y por esta raz&oacute;n es mejor
usar la t&eacute;cnica de demostraci&oacute;n por contrarrec&iacute;poco para expresar la implicaci&oacute;n as&iacute;: si T es
2. Si c es un entero impar, entonces la soluci&oacute;n de la ecuaci&oacute;n n 2 + n − c = 0 , no es un entero
impar; en este caso la negaci&oacute;n de ambas partes de la implicaci&oacute;n produce proposiciones con
sentido que permiten aplicar la t&eacute;cnica de demostraci&oacute;n por contrarrec&iacute;proco, quedando la
proposici&oacute;n compuesta expresada as&iacute;: si la soluci&oacute;n de la ecuaci&oacute;n n 2 + n − c = 0 es un entero
impar entonces c es un entero par.
5.4. Demostraci&oacute;n regresiva-progresiva: a pesar de que en la mayor&iacute;a de manuales sobre
demostraci&oacute;n esta t&eacute;cnica se presenta en primer lugar, en aras de la determinaci&oacute;n de su contexto de
uso es mejor pensar en &eacute;sta en &uacute;ltimo lugar. As&iacute;, se debe usar la demostraci&oacute;n regresivo-progresiva
cuando no se ha podido usar ninguna de las t&eacute;cnicas anteriores.
Sin embargo, hay que advertir que la t&eacute;cnica de demostraci&oacute;n regresiva-progresiva est&aacute; incluida de
alguna manera en todos las t&eacute;cnicas anteriores, salvo en la demostraci&oacute;n por reducci&oacute;n al absurdo.
31
6. M&Eacute;TODO GENERAL PARA DEMOSTRAR PROPOSICIONES
MATEM&Aacute;TICAS
El n&uacute;cleo del presente escrito est&aacute; expresado en esta secci&oacute;n. En ella se hace una articulaci&oacute;n
metacognitiva de todos los elementos que se han presentado anteriormente en &eacute;ste.
El m&eacute;todo general para demostrar proposiciones matem&aacute;ticas es:
1. Identifique la proposici&oacute;n de la que se compone la tesis (tenga en cuenta si dicha tesis tiene
diversos casos).
2. Identifique las proposiciones que componen la hip&oacute;tesis.
3. Aseg&uacute;rese de comprender cada una de las proposiciones que componen la tesis.
4. Aseg&uacute;rese de comprender cada una de las proposiciones que componen la hip&oacute;tesis.
5. Escoja la t&eacute;cnica de demostraci&oacute;n m&aacute;s apropiada. Para esto, tenga como referencia la anterior
secci&oacute;n de este escrito y lleve el siguiente orden:
a.
Demostraci&oacute;n por casos (esta demostraci&oacute;n puede incluir cualquiera de las t&eacute;cnicas
que van a continuaci&oacute;n)
b. Demostraci&oacute;n de existencia.
d. Demostraci&oacute;n por inducci&oacute;n.
e. Demostraci&oacute;n por reducci&oacute;n al absurdo.
f.
Demostraci&oacute;n por contrarrec&iacute;proco.
g. Demostraci&oacute;n regresiva-progresiva.
6. Aplique la t&eacute;cnica escogida.
7. Lea la demostraci&oacute;n escrita para:
a.
Revisar que no se hayan cometido errores l&oacute;gicos o disciplinares.
b. Resumirla o resecuenciarla, si hay necesidad.
A continuaci&oacute;n se hacen algunas anotaciones necesarias para la mejor comprensi&oacute;n del m&eacute;todo.
Se puede notar que antes de analizar la hip&oacute;tesis, se analiza la proposici&oacute;n que compone la tesis, esto se
debe a que, desde el punto de vista estrat&eacute;gico, la comprensi&oacute;n de la tesis permite tener posteriormente
32
una ‘comprensi&oacute;n dirigida’ de la hip&oacute;tesis, es decir, permite leer la hip&oacute;tesis con preguntas claras que le
dan mayor significado a las proposiciones que la componen.
La comprensi&oacute;n de las proposiciones que est&aacute;n incluidas en la tesis y la hip&oacute;tesis requiere que se
entiendan los tres tipos de lenguaje en los que est&aacute;n escritas (verbal, l&oacute;gico y conceptual) en los tres
niveles (sint&aacute;ctico, gramatical y sem&aacute;ntico). De esta comprensi&oacute;n dependen los tres mecanismos que se
presentan como indispensables para llegar a demostrar una proposici&oacute;n: escoger la t&eacute;cnica m&aacute;s
Adem&aacute;s, el conocimiento de que existen tres tipos de lenguaje con tres niveles cada uno que es
necesario comprender en cada proposici&oacute;n a demostrar ayuda a una persona a determinar en cu&aacute;l de
ellos puede tener falencias, de modo que se las pueda solventar particularmente.
La re-lectura de la demostraci&oacute;n es vital no s&oacute;lo para la detecci&oacute;n de errores, sino para profundizar en
su comprensi&oacute;n. Esta profundizaci&oacute;n en la comprensi&oacute;n se evidencia cuando la persona que est&aacute;
demostrando la proposici&oacute;n es capaz de expresarse m&aacute;s claro y con menos palabras.
Los siguientes ejemplos ilustran el m&eacute;todo usando diferentes t&eacute;cnicas de demostraci&oacute;n; en ellos se
escriben de nuevo los pasos del m&eacute;todo y se muestra c&oacute;mo se aplicaron en la demostraci&oacute;n.
Primer ejemplo
Proposici&oacute;n: Para todo entero x , x ( x + 1) es par.
1. Identifique la proposici&oacute;n de la que se compone la tesis (tenga en cuenta si dicha tesis tiene
diversos casos).
La tesis est&aacute; compuesta de la proposici&oacute;n: x ( x + 1) es par. Esta proposici&oacute;n se puede probar para
cuando x es par o para cuando x es impar, por lo tanto hay dos casos que demostrar.
2. Identifique las proposiciones que componen la hip&oacute;tesis.
La hip&oacute;tesis est&aacute; compuesta de la proposici&oacute;n ∈ o mejor aun ∀, ∈ 33
3. Aseg&uacute;rese de comprender cada una de las proposiciones que componen la tesis.
La comprensi&oacute;n de esta tesis pasa por implicar que x + 1 es el siguiente de x , y que el hecho de que un
n&uacute;mero sea par implica que sea divisible por 2 o que se pueda escribir como dos multiplicado por un
entero cualquiera. (Puede haber otras proposiciones que se pueden implicar de la tesis; mientras m&aacute;s se
encuentren, es mejor, sin embargo la profundidad de estas implicaciones depende del nivel de
4. Aseg&uacute;rese de comprender cada una de las proposiciones que componen la hip&oacute;tesis.
Garantizar esta comprensi&oacute;n, como ya se dijo, pasa por hacer implicaciones, tales como que si ∈ entonces x puede ser par o impar, o x puede ser un n&uacute;mero positivo, negativo o cero. Esta &uacute;ltima
implicaci&oacute;n, no tiene relevancia a la luz de lo que ya se hab&iacute;a comprendido de la tesis; esta es la utilidad
de comprender primero la tesis.
5. Escoja la t&eacute;cnica de demostraci&oacute;n m&aacute;s apropiada. Para esto, tenga como referencia la anterior
secci&oacute;n de este escrito.
Ya se determin&oacute; que esta demostraci&oacute;n es por casos ( x es par o impar), sin embargo hay que
determinar con qu&eacute; t&eacute;cnica se va a proceder para probar cada caso.
Esta proposici&oacute;n no determina que debamos probar existencia ni unicidad, por lo tanto se piensa si ser&aacute;
posible usar la t&eacute;cnica de demostraci&oacute;n por inducci&oacute;n; sin embargo se nota que aunque se trata de
demostrar para un conjunto de n&uacute;meros enteros (pues x es entero), &eacute;ste no tiene m&iacute;nimo, entonces no
se puede usar esta t&eacute;cnica.
Entonces se piensa en la posibilidad de usar la t&eacute;cnica de demostraci&oacute;n por reducci&oacute;n al absurdo, lo
cual es posible pero no pr&aacute;ctico pues la negaci&oacute;n de la tesis no produce informaci&oacute;n &uacute;til para la
demostraci&oacute;n. Por la misma raz&oacute;n, y por el hecho de que negar la hip&oacute;tesis es muy dif&iacute;cil, se concluye
que no se debe usar la t&eacute;cnica de demostraci&oacute;n por contrarrec&iacute;proco.
Entonces se nota que s&oacute;lo queda la t&eacute;cnica de demostraci&oacute;n regresiva-progresiva para ambos casos.
6. Aplique la t&eacute;cnica escogida.
34
Caso 1: sup&oacute;ngase que x es par. Por lo tanto debe existir un n&uacute;mero entero que al multiplicarse por
dos tenga por resultado x . Este entero se llamar&aacute; k , de modo que x = 2k . Entonces remplazamos en
la expresi&oacute;n x( x + 1) , as&iacute;: x ( x + 1) = 2 k (2 k + 1) . Ac&aacute; se puede notar que la expresi&oacute;n tiene una parte
que es factor de dos. Se llamar&aacute; a esa parte y , as&iacute;: y = k (2 k + 1) ; as&iacute; entonces y es un entero y
x ( x + 1) = 2 y , y por lo tanto x ( x + 1) es par.
Caso 2: sup&oacute;ngase que x es impar. Por lo tanto debe existir un n&uacute;mero entero que al multiplicarse por
dos y sumarle uno tenga por resultado x . Este entero se llamar&aacute; k , de modo que x = 2k + 1 .
Entonces remplazamos en la expresi&oacute;n x( x + 1) , as&iacute;: x ( x + 1) = (2 k + 1)(2 k + 2) . Ac&aacute; se puede notar
que la expresi&oacute;n tiene una parte que es factor de dos cuando factorizamos as&iacute;: 2(k + 1)(2k + 1) . Se
llamar&aacute; a esa parte y , as&iacute;: y = ( k + 1)(2 k + 1) ; y entonces y es un entero y x ( x + 1) = 2 y , por lo
tanto x ( x + 1) es par.
7. Lea la demostraci&oacute;n escrita para:
a.
Revisar que no se hayan cometido errores l&oacute;gicos o disciplinares.
b. Resumirla o resecuenciarla, si hay necesidad.
La demostraci&oacute;n resumida (nos damos cuenta de que no conviene unir los casos) queda as&iacute;:
Caso 1: sup&oacute;ngase que x es par. Esc&oacute;jase un entero k tal que x = 2 k . x ( x + 1) = 2 k (2 k + 1) . Sea
y = k (2 k + 1) ; entonces y es un entero y x ( x + 1) = 2 y , por lo tanto x ( x + 1) es par.
Caso 2: sup&oacute;ngase que x es impar. Esc&oacute;jase un entero k tal que x = 2k + 1 .
x ( x + 1) = (2 k + 1)(2 k + 2) . Sea y = (2 k + 1)( k + 1) ; entonces y es un entero y x ( x + 1) = 2 y , por
lo tanto x ( x + 1) es par.
Segundo ejemplo
Proposici&oacute;n: El elemento identidad e de un grupo es &uacute;nico.
1. Identifique la proposici&oacute;n de la que se compone la tesis (tenga en cuenta si dicha tesis tiene
diversos casos).
El elemento identidad, e , de un grupo es &uacute;nico.
35
2. Identifique las proposiciones que componen la hip&oacute;tesis.
e es el elemento identidad de un grupo.
3. Aseg&uacute;rese de comprender cada una de las proposiciones que componen la tesis.
Del hecho de que e sea el elemento identidad de un grupo se deduce que e * a = a * e = a para
cualquier elemento a del grupo. Adem&aacute;s hay que comprender que no puede haber otro elemento
4. Aseg&uacute;rese de comprender cada una de las proposiciones que componen la hip&oacute;tesis.
Ac&aacute; no hay nada relevante que entender m&aacute;s all&aacute; de que estamos trabajando en una estructura de grupo
y que, por lo tanto, se aplican las propiedades que la definen: clausurativa, asociativa, elemento
5. Escoja la t&eacute;cnica de demostraci&oacute;n m&aacute;s apropiada. Para esto, tenga como referencia la anterior
secci&oacute;n de este escrito y lleve el siguiente orden:
No es una demostraci&oacute;n por casos, ni de existencia, pero s&iacute; es una demostraci&oacute;n de unicidad porque
hay que probar que un elemento es &uacute;nico.
6. Aplique la t&eacute;cnica escogida.
La t&eacute;cnica de demostraci&oacute;n de unicidad consiste en suponer que hay dos elementos identidad
diferentes, as&iacute; e1 ≠ e2 y llegar a la conclusi&oacute;n de que son el mismo.
Si ambos elementos e1 y e2 son elementos id&eacute;nticos deben cumplir que pertenezcan al grupo y que:
e1 * a = a * e1 = a y e2 * a = a * e2 = a para todo a del grupo. Entonces e1 * e2 = e2 * e1 = e1 pero
e1 * e2 = e2 * e1 = e2 de modo que e2 = e1 as&iacute; que s&oacute;lo hay un elemento id&eacute;ntico.
7. Lea la demostraci&oacute;n escrita para:
a.
Revisar que no se hayan cometido errores l&oacute;gicos o disciplinares.
36
b. Resumirla o resecuenciarla, si hay necesidad.
Al revisar la demostraci&oacute;n se nota que para usar la transitividad de la &uacute;ltima parte de la prueba no es
necesario decir que e1 * e2 = e2 * e1 = e1 y e1 * e2 = e2 * e1 = e2 , sino que s&oacute;lo basta decir e1 * e2 = e1 y
que e1 * e2 = e2 , lo que acorta la demostraci&oacute;n y la hace m&aacute;s clara.
Tercer ejemplo
Proposici&oacute;n: La suma de un n&uacute;mero racional y un n&uacute;mero irracional es irracional.
1. Identifique la proposici&oacute;n de la que se compone la tesis (tenga en cuenta si dicha tesis tiene
diversos casos).
∈ ℚ′
2. Identifique las proposiciones que componen la hip&oacute;tesis.
Para todo x , ∈ ℚ; y para todo y , ∈ ℚ′
3. Aseg&uacute;rese de comprender cada una de las proposiciones que componen la tesis.
De que x + y sea irracional se deriva que x + y no se puede escribir de la forma
a
con a y b
b
enteros.
4. Aseg&uacute;rese de comprender cada una de las proposiciones que componen la hip&oacute;tesis.
Si x es racional, se puede escribir de la forma
a
con a y b enteros; pero como y es irracional, no
b
se puede escribir de esta forma.
5. Escoja la t&eacute;cnica de demostraci&oacute;n m&aacute;s apropiada. Para esto, tenga como referencia la anterior
secci&oacute;n de este escrito y lleve el siguiente orden:
37
Esta proposici&oacute;n no involucra casos; ni hay que generar un elemento para mostrar su existencia; ni pide
demostrar que un elemento es &uacute;nico; tampoco es una prueba sobre n&uacute;meros enteros, lo que hace que
no pueda seguirse una demostraci&oacute;n por inducci&oacute;n; como la hip&oacute;tesis es d&eacute;bil, ser&iacute;a provechoso
agregar la negaci&oacute;n de la tesis a dicho conjunto de hip&oacute;tesis, de modo que se proceda hasta llegar a una
contradicci&oacute;n, esto es usar la t&eacute;cnica de demostraci&oacute;n por reducci&oacute;n al absurdo.
6. Aplique la t&eacute;cnica escogida.
Lo primero es negar la tesis e incluirla como una hip&oacute;tesis m&aacute;s:
Existe un n&uacute;mero racional x y un n&uacute;mero irracional y tal que x + y es racional.
Luego se procede progresivamente hasta encontrar una hip&oacute;tesis:
Se puede ver que y = ( x + y ) − x , y como se asumi&oacute; que x + y y x son racionales, y como la
diferencia de dos n&uacute;meros racionales es un n&uacute;mero racional, entonces y debe ser racional, pero eso
contradice la hip&oacute;tesis, y eso demuestra la tesis.
7. Lea la demostraci&oacute;n escrita para:
a.
Revisar que no se hayan cometido errores l&oacute;gicos o disciplinares.
Al re-leer la demostraci&oacute;n se puede pensar que se us&oacute; demasiado de prisa el hecho de que la diferencia
de dos n&uacute;meros racionales es un n&uacute;mero racional. Por lo tanto, conviene dejar en claro que esto es
cierto, as&iacute;:
− =
que es un racional pues
b d
bd
∈ y d ∈ y d 0 puesto que tanto b
como d son diferentes de cero.
b. Resumirla o resecuenciarla, si hay necesidad.
Despu&eacute;s de haber hecho la precisi&oacute;n anterior, la demostraci&oacute;n queda suficientemente clara.
38
7. CONCLUSIONES
1. Es innegable que la demostraci&oacute;n es pilar de la construcci&oacute;n matem&aacute;tica, de hecho esto se
puede ver en los diversos usos que tiene. Demostrar proposiciones, incluso aquellas cuya
ya est&aacute; determinada, es tal vez la forma m&aacute;s eficiente de ganar profunda
comprensi&oacute;n sobre &eacute;stas; a trav&eacute;s de la demostraci&oacute;n, los matem&aacute;ticos en formaci&oacute;n
desarrollan los procesos de pensamiento matem&aacute;tico que les permitir&aacute;n desenvolverse en su
profesi&oacute;n; y, como es obvio, la demostraci&oacute;n es la forma como las matem&aacute;ticas ‘de punta’ se
desarrollan, conjeturando y probando cada vez m&aacute;s y m&aacute;s &uacute;tiles proposiciones que hacen
avanzar no s&oacute;lo a esta &aacute;rea del conocimiento, sino a todas aquellas que se nutren con su
2. Demostrar implica compartir cultura. El hecho de que una demostraci&oacute;n de una proposici&oacute;n
sea comprendida por varias personas, las involucra en una misma comunidad cultural que
3. La utilidad de las otras t&eacute;cnicas de demostraci&oacute;n diferentes a la regresiva-progresiva se hace
evidente en este escrito: no siempre es sencillo obtener una demostraci&oacute;n directa de una
proposici&oacute;n tal como est&aacute; propuesto. No obstante hay corrientes matem&aacute;ticas que desprecian
las otras t&eacute;cnicas (sobre todo la reducci&oacute;n al absurdo), el matem&aacute;tico se privar&iacute;a de poderosas
herramientas si, por un purismo est&eacute;ril, decidiera no utilizar m&aacute;s que la t&eacute;cnica regresivaprogresiva.
4. Aunque las demostraciones matem&aacute;ticas se escriben desde el inicio hasta el final, no
necesariamente se piensan en ese mismo orden. Las diversas t&eacute;cnicas expuestas en este escrito
hacen evidente que gestar una demostraci&oacute;n implica una l&oacute;gica diferente a la que se explicita
com&uacute;nmente en su escritura. Esto trae una derivada pedag&oacute;gica: en la ense&ntilde;anza de las
matem&aacute;ticas (que pocas veces es realmente ense&ntilde;anza de la l&oacute;gica demostrativa) los profesores
‘relatan’ las demostraciones tal como est&aacute;n escritas, ense&ntilde;ando pasivamente la falacia de que tal
como se escribe es como se piensa para demostrar.
5. Para demostrar una proposici&oacute;n es necesario comprender los tres tipos de lenguaje en los que
est&aacute; expresada: verbal, l&oacute;gico y conceptual, cada uno en sus tres niveles: sint&aacute;ctico, gram&aacute;tico y
39
sem&aacute;ntico, pues s&oacute;lo esto garantiza la posibilidad de generar implicaciones valiosas y
pertinentes que conduzcan a la demostraci&oacute;n de la tesis.
6. Los tres tipos de lenguaje son importantes para la demostraci&oacute;n de proposiciones matem&aacute;ticas,
sin embargo, el lenguaje l&oacute;gico es el que le da el armaz&oacute;n a la prueba, por eso es esencial. All&iacute;
radica la importancia de comprender la forma de funcionamiento de los principios l&oacute;gico
demostraciones.
7. El m&eacute;todo general para demostrar proposiciones matem&aacute;ticas resalta la importancia de los
lenguajes como vigas estructurales que sostienen la comprensi&oacute;n de las ideas; tambi&eacute;n explicita
los contextos de uso de cada t&eacute;cnica de demostraci&oacute;n y los ordena para facilitar su selecci&oacute;n;
por &uacute;ltimo, re&uacute;ne todas las t&eacute;cnicas de demostraci&oacute;n usuales y las articula en un solo algoritmo,
lo que hace que su comprensi&oacute;n y uso se faciliten. Por estas razones se justifica la val&iacute;a de este
m&eacute;todo como desarrollo de conocimiento matem&aacute;tico.
8. No obstante este texto presenta un m&eacute;todo general de demostraci&oacute;n que hace visibles todas las
‘cartas’ que permiten comprender e integrar las t&eacute;cnicas para probar proposiciones
matem&aacute;ticas, la destreza en este proceso s&oacute;lo se adquiere con la pr&aacute;ctica, que adem&aacute;s de
automatizar la habilidad, se conjuga con la metacognici&oacute;n para generar t&eacute;cnicas particulares y
personalmente efectivas.
40
8. RECOMENDACIONES
El m&eacute;todo general para demostrar proposiciones matem&aacute;ticas, tal como est&aacute; expuesto en este escrito,
se convierte en la ense&ntilde;anza nuclear de un curso para aprender a probar matem&aacute;ticamente. Por eso,
recomiendo a quien quiera basarse en &eacute;ste que integre esta ense&ntilde;anza con las de la l&oacute;gica para fortalecer
la formaci&oacute;n inicial de los matem&aacute;ticos.
El proceso demostrativo matem&aacute;tico requiere de altas dosis de creatividad, pero contrario a lo que
podr&iacute;a pensarse, dicha creatividad no surge espont&aacute;neamente, sino que es fruto de una profunda
comprensi&oacute;n (en los tres tipos de lenguaje y sus tres niveles) de las proposiciones que componen un
teorema. Por esto, sugiero a quien vaya a usar este m&eacute;todo de manera pedag&oacute;gica que ense&ntilde;e la forma
de identificar en una proposici&oacute;n cada uno de los tipos de lenguaje y sus niveles, de manera que sirvan
para hacer metacognici&oacute;n sobre la forma de pensar al formular la demostraci&oacute;n.
Con base en el m&eacute;todo estructurado en este escrito, ser&iacute;a posible hacer una investigaci&oacute;n sobre las
mayores dificultades que tienen las personas al demostrar proposiciones matem&aacute;ticas. Esto podr&iacute;a
ayudar a crear metodolog&iacute;as de intervenci&oacute;n para ayudar a los matem&aacute;ticos en formaci&oacute;n, e incluso
formados, a mejorar su comprensi&oacute;n de las matem&aacute;ticas y del proceso demostrativo.
41
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