Ampliación de Métodos Numéricos: primera
relación de ejercicios
Juan José Jarque Megías
April 1, 2020
1
Ejercicio.
2. Halle el polinomio p ∈ P5 que verica:
p(−1) = 6, p(0) = 2, p(1) = 0
0
0
0
p (−1) = −13, p (0) = 0, p (1) = −5
Disponemos de datos de tipo Hermite, es decir, de los valores de
la función f y de sus derivadas en los puntos -1, 0 y 1. Tenemos 6 datos
de interpolación, por lo que, por teoría, existe un polinomio p(x) de grado
menor o igual que 5 que interpola los datos de interpolación de Hermite.
La tabla de diferencias divididas es la siguiente:
Solución.
x
-1
-1
0
0
1
1
y
6
6
2
2
0
0
DD1 DD2 DD3 DD4 DD5
-13
-4
0
-2
-5
9
4
-2
-3
-5
-3
-1
1
1
0
Por lo tanto, el polinomio de interpolación en forma de Newton sería:
p(x) = 6 − 13(x + 1) + 9(x + 1)2 − 5(x + 1)2 x + (x + 1)2 x2
Ejercicio.
cúbico:
s(x) =
3. Determine a, b y c para que la siguiente función sea un spline
s0 (x) = x3
s1 (x) = 21 (x − 1)3 + a(x − 1)2 + b(x − 1) + c si 1 ≤ x ≤ 3
si 0 ≤ x ≤ 1
Para que s(x) sea un spline cúbico ha de vericarse que s, s y s
sean funciones continuas en los extremos, es decir, en 0 y 3. Por lo tanto
para poder hallar ese polinomio cúbico tenemos que cumplir una serie de
condiciones que pasamos a vericar ahora. Es decir, tiene que vericarse
que:
0
Solución.
s0 (1) = s1 (1)
2
00
0
0
00
00
s0 (1) = s1 (1)
s0 (1) = s1 (1)
De la primera condición, obtenemos que c = 1. Las condiciones que se
tienen que cumplir es la función evaluada en el punto medio del primer trozo
coincida con la del segundo, lo mismo con la primera derivada e igualmente
con la tercera derivada. Hay dos trozos por que son tres nodos, entonces la
división a trozos nos salen dos trozos, uno que va del 0 al 1 y otro del 1 al 3.
Por otra parte, tenemos que:
0
s0 (x) = 3x2
3
0
s1 (x) = (x − 1)2 + 2a(x − 1) + b
2
00
s0 (x) = 6x
00
s1 (x) = 3(x − 1) + 2a
De la condición s0 (1) = s1 (1) obtenemos que b = 3. Finalmente, de la
00
00
condición s0 (1) = s1 (1) obtenemos que a = 3.
El spline cúbico nos queda de la siguiente manera:
0
s(x) =
0
s0 (x) = x3
s1 (x) = 21 (x − 1)3 + 3(x − 1)2 + 3(x − 1) + 1 si 1 ≤ x ≤ 3
Ejercicio.
si 0 ≤ x ≤ 1
4. Obtenga el spline lineal que interpola los siguientes datos:
x
-1 0 1 2 3 4
f (x) -2 0 2 3 2 4
Tenemos 6 datos, y como queremos obtener un spline lineal, no
necesitaremos ningún dato extra. Usaremos una base de potencias truncadas
en los nodos intermedios.La base tendrá entre las potencias truncadas al
0,1,2,3 porque son los valores centrales.
Por lo tanto, la base de potencias truncadas de S1 (−1, 0, 1, 2, 3, 4) es:
Solución.
{1, x, (x − 0)+ , (x − 1)+ , (x − 2)+ , (x − 3)+ }
3
El spline s(x) que queremos hallar es de la forma:
s(x) = a0 + a1 x + b1 (x − 0)+ + b2 (x − 1)+ + b3 (x − 2)+ + b4 (x − 3)+
Tenemos los datos siguientes:
s(0) = 0 → a0 = 0
s(−1) = −2 → −a1 = −2 → a1 = 2
s(1) = 2 → 2 + b1 = 2 → b1 = 0
s(2) = 3 → 4 + b2 = 3 → b2 = −1
s(3) = 2 → 6 − 2 + b3 = 2 → b3 = −2
s(4) = 4 → 8 − 3 − 4 + b4 = 4 → b4 = 3
Finalmente, hemos obtenido el spline lineal que interpola los datos anteriores:
s(x) = 2x − (x − 1)+ − 2(x − 2)+ + 3(x − 3)+
Ejercicio.
5. Halle, si es posible, s ∈ S2 (−1, 0, 3, 4) tal que:
−s(−1) = s(2) = s(4) = 1, s(0) = s(3) = 0
Queremos obtener un spline cuadrático que interpole los datos del
enunciado. Como dim(S2 (−1, 0, 3, 4)) = n + 2 = 5 necesitaremos 4 datos
más uno adicional, que será s(2) = 1.
La base de potencias truncadas de S2 (−1, 0, 3, 4) es:
Solución.
{1, x, x2 , (x − 0)2+ , (x − 3)2+ }
El spline s(x) que queremos hallar es de la forma:
s(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + b1 (x − 0)2+ + b2 (x − 3)2+
Tenemos los datos siguientes:
s(0) = 0 → a0 = 0
s(−1) = −1 → −a1 + a2 = −1
s(3) = 0 → 3a1 + 9a2 + 9b1 = 0
4
s(4) = 1 → 4a1 + 16a2 + 16b1 + b2 = 1
Además, tenemos un dato adicional:
s(2) = 1 → 2a1 + 4a2 + 4b1 = 1
Resolviendo el sistema de ecuaciones, obtenemos que a1 = 32 , a2 = 12 , b1 =
−1 y b2 = 3.
Finalmente, hemos obtenido el spline cuadrático que interpola los datos
anteriores:
1
3
s(x) = x + x2 − (x − 0)2+ + 3(x − 3)2+
2
2
Ejercicio.
6. Calcule el spline cuadrático que interpola los siguientes datos:
x
-1 0 1 2 4
f (x) -2 0 2 3 4
y tal que s (1) = 0.
0
Queremos obtener un spline cuadrático que interpole los datos del
enunciado. Como dim(S2 (−1, 0, 1, 2, 4)) = n + 2 = 6 necesitaremos 5 datos
0
más uno adicional, que será s (1) = 0.
La base de potencias truncadas de S2 (−1, 0, 1, 2, 4) es:
Solución.
{1, x, x2 , (x − 0)2+ , (x − 1)2+ , (x − 2)2+ }
El spline s(x) que queremos hallar es de la forma:
s(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + b1 (x − 0)2+ + b2 (x − 1)2+ + b3 (x − 2)2+
Tenemos los datos siguientes:
s(0) = 0 → a0 = 0
s(−1) = −2 → −a1 + a2 = −2
s(1) = 2 → a1 + a2 + b1 = 2
s(2) = 3 → 2a1 + 4a2 + 4b1 + b2 = 3
s(4) = 4 → 4a1 + 16a2 + 16b1 + 9b2 + 4b3 = 4
Además, tenemos un dato adicional:
5
0
s (1) = 0 → a1 + 2a2 + 2b1 = 0
Resolviendo el sistema de ecuaciones, obtenemos que a1 = 45 , a2 = −6
, b1 =
5
= 3 y b3 = −99
.
20
Finalmente, hemos obtenido el spline cuadrático que interpola los datos
anteriores:
4
,b
5 2
6
4
99
4
s(x) = x − x2 + (x − 0)2+ + 3(x − 1)2+ − (x − 2)2+
5
5
5
20
Ejercicio.
7. Obtenga el spline cúbico s(x) con nodos -1,0,1 que verica:
00
00
s (−1) = s (1) = s(−1) = s(1) = 0, s(0) = 1
Queremos obtener un spline cúbico que interpole los datos del enunciado. Como dim(S3 (−1, 0, 1)) = n + 3 = 5 necesitaremos 3 datos más dos
adicionales.
00
00
Estos datos adicionales s (−1) = s (1) = 0 hacen que queramos hallar
un spline natural.
La base de potencias truncadas de S3 (−1, 0, 1) es:
Solución.
{1, x, x2 , x3 , (x − 0)3+ }
El spline s(x) que queremos hallar es de la forma:
s(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + b1 (x − 0)3+
Tenemos los datos siguientes:
s(0) = 1 → a0 = 1
s(−1) = 0 → 1 − a1 + a2 − a3 = 0
s(1) = 0 → 1 + a1 + a2 + a3 + b1 = 0
Además, tenemos dos datos adicionales. Calculamos la segunda derivada
de s(x):
00
s (x) = 2a2 + 6a3 x + 6b1 (x − 0)+
Por lo tanto:
6
00
s (−1) = 0 → 2a2 − 6a3 = 0
00
s (1) = 0 → 2a2 + 6a3 + 6b1 = 0
, a3 =
Resolviendo el sistema de ecuaciones, obtenemos que a1 = 0, a2 = −3
2
= 1.
Finalmente, hemos obtenido el spline cúbico natural que interpola los
datos anteriores:
−1
, b1
2
1
3
s(x) = 1 − x2 − x3 + (x − 0)3+
2
2
8. Calcule el spline cúbico s(x) ∈ S3 (1, 2, 3, 4) natural que interpola los siguientes datos:
Ejercicio.
s(1) = 1, s(2) = 2, s(3) = −1, s(4) = 3
Queremos obtener un spline cúbico natural que interpole los datos
del enunciado. Como dim(S3 (1, 2, 3, 4)) = n + 3 = 6 necesitaremos 4 datos
más dos adicionales.
00
00
Estos datos adicionales son s (1) = s (4) = 0, por tratarse de un spline
natural.
La base de potencias truncadas de S3 (1, 2, 3, 4) es:
Solución.
{1, x, x2 , x3 , (x − 2)3+ , (x − 3)3+ }
El spline s(x) que queremos hallar es de la forma:
s(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + b1 (x − 2)3+ + b2 (x − 3)3+
Tenemos los datos siguientes:
s(1) = 1 → a0 + a1 + a2 + a3 = 1
s(2) = 2 → a0 + 2a1 + 4a2 + 8a3 = 2
s(3) = −1 → a0 + 3a1 + 9a2 + 27a3 + b1 = −1
s(4) = 3 → a0 + 4a1 + 16a2 + 64a3 + 8b1 + b2 = 3
Además, tenemos dos datos adicionales. Calculamos la segunda derivada
de s(x):
7
00
s (x) = 2a2 + 6a3 x + 6b1 (x − 2)+ + 6b2 (x − 3)+
Por lo tanto:
00
s (1) = 0 → 2a2 + 6a3 = 0
00
s (4) = 0 → 2a2 + 24a3 + 12b1 + 6b2 = 0
511
, a2 =
Resolviendo el sistema de ecuaciones, obtenemos que a0 = 0, a1 = 141
−185
185
−671
787
, a3 = 141 , b1 = 141 , b2 = 141 .
47
Finalmente, hemos obtenido el spline cúbico natural que interpola los
datos anteriores:
s(x) =
787
511
185 2 185 3 671
x−
x +
x −
(x − 2)3+ +
(x − 3)3+
141
47
141
141
141
9. Halle el spline cúbico periódico s(x) ∈ S3 (1, 2, 3, 4) que interpola los siguientes datos:
Ejercicio.
s(1) = 1, s(2) = 2, s(3) = −1, s(4) = 1
Queremos obtener un spline cúbico periódico que interpole los
datos del enunciado. Como dim(S3 (1, 2, 3, 4)) = n + 3 = 6 necesitaremos
4 datos más dos adicionales.
0
0
00
00
Estos datos adicionales son s (1) = s (4) y s (1) = s (4), por tratarse de
un spline periódico.
La base de potencias truncadas de S3 (1, 2, 3, 4) es:
Solución.
{1, x, x2 , x3 , (x − 2)3+ , (x − 3)3+ }
El spline s(x) que queremos hallar es de la forma:
s(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + b1 (x − 2)3+ + b2 (x − 3)3+
Tenemos los datos siguientes:
s(1) = 1 → a0 + a1 + a2 + a3 = 1
s(2) = 2 → a0 + 2a1 + 4a2 + 8a3 = 2
s(3) = −1 → a0 + 3a1 + 9a2 + 27a3 + b1 = −1
8
s(4) = 1 → a0 + 4a1 + 16a2 + 64a3 + 8b1 + b2 = 1
Además, tenemos dos datos adicionales. Calculamos la primera y segunda
derivada de s(x):
0
s (x) = a1 + 2a2 x + 3a3 x2 + 3b1 (x − 2)2+ + 3b2 (x − 3)2+
00
s (x) = 2a2 + 6a3 x + 6b1 (x − 2)+ + 6b2 (x − 3)+
Por lo tanto:
0
0
s (1) = a1 + 22 + 3a3 = a1 + 8a2 + 48a3 + 12b1 + 3b2 = s (4)
00
s (1) = 2a2 + 6a3 = 2a2 + 24a3 + 12b1 + 6b2
De estas dos ecuaciones, obtenemos:
6a2 + 45a3 + 12b1 + 3b2 = 0
18a3 + 12b1 + 6b2 = 0
Resolviendo el sistema de ecuaciones, obtenemos que a0 = −2, a1 =
2, a2 = 2, a3 = −1, b1 = 4, b2 = −5.
Finalmente, hemos obtenido el spline cúbico periódico que interpola los
datos anteriores:
s(x) = −2 + 2x + 2x2 − x3 + 4(x − 2)3+ − 5(x − 3)3+
Ejercicio.
10. Obtenga el spline cúbico s(x) ∈ S3 (−1, 0, 2) que interpola:
s(−1) = −6, s(0) = −3, s(2) = 33
0
0
0
s (−1) = 9, s (0) = 0, s (2) = 48
Solución.
9
