Tarea2 2007 1

UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
SEGUNDA TAREA:
Fecha de entrega: Mayo 22 2007
17:00 hrs
Pregunta 1
Se sabe que el siguiente sistema:


uxx



 u(x, 0)

u(0, t)



 u(1, t)
= ut ; t ≥ 0, 0 ≤ x ≤ 1
= g(x); 0 ≤ x ≤ 1
= a(t); t ≥ 0
= b(t); t ≥ 0
(1)
modela la distribución de la temperatura en una varilla de longitud 1. Supongamos que
las funciones g, a, b son funciones dadas. Una principal estrategia para resolverlo numéricamente es usando el método de Diferencias Finitas, para esto se empieza discretizando
el dominio como sigue:
tj = j · k;
j ≥ 0;
(2)
xi = i · h;
0 ≤ i ≤ n + 1;
(3)
El paso siguiente es seleccionar algunas fórmulas simples para aproximar las derivadas
que aparecen en la ecuación diferencial. (ver Burden Faires cap.Sol. Num. para E.D.P).
1) Probar que es posible llegar a la siguiente relación vi,j+1 = s·vi−1,j +(1−2·s)vi,j +s·
vi+1,j donde vi,j es la aproximación de la temperatura u en la posición (i, j). Deducir
la expresión de s.
2) Escriba en forma amtricial (Matriz A) al relación dada en la parte (1).
3) Si λj = 1 − 2 · s(1 − cos ϑj ), ϑj =
jπ
;1
n+1
≤ j ≤ n, son los autovalores de la matriz A,
ecuentre una restricción para s de manera que se tenga ρ(A) < 1 (sistema estable).
4) Obtenida la matriz en (2) es posible escribir A = I − sB ¿Qué relación existe entre
los autovalores de la matriz A y los autovalores de la matriz B?.
5) Dado h = 10−1 de un valor adecuado para k de manera que el sistema sea estable.
6) ¿Es posible encontrar un ωopt para la matriz B obtenida con los datos en (5)? De se
ası́ ¿Cuál es este valor?.
1
7) Considere
u(0, t) = u(1, t) = 0
(4)
1
u(x, 0) = cos(π(x − ))
2
(5)
Resolver el problema:

1

u

π 2 xx


 u(x, 0)

u(0, t)



 u(1, t)
usando h = 0,1;
= ut ; t ≥ 0, 0 ≤ x ≤ 1
= g(x); 0 ≤ x ≤ 1
= a(t); t ≥ 0
= b(t); t ≥ 0
(6)
k = 0,04 y compare sus resultados con la solución real:
u(x, t) = e cos(π(x − 12 )),
en t = 0,24
−t
0≤x≤1
Pregunta 2: Funciones Spline
Considere la malla a = x0 < x1 << . . . xn = b. Para m ≥ 1, s(x) es una función Spline
de orden m en ] − ∞, +∞[ si:
i) s(x) es un polinomio de grado ≤ m en cada subintervalo ]−∞, x0 ], [x0 , x1 ], . . . [xn , +∞[,
ii) s(r) (z) es una función continua en ] − ∞, +∞[ para 0 ≤ r ≤ m − 1.
El Spline interpolante cúbico s(x) que interpola la tabla {(xi , yi )}, i = 0, 1, . . . n es el
Spline de orden 3 tal que:
s(xi ) = yi , i = 0, 1, . . . n
(7)
Denotaremos el Spline interpolante cúbico en cada subitervalo:
s(x) = ai + bi x + ci x2 + di x3 , xi−1 ≤ x ≤ xi , i = 1, 2 . . . , n
(8)
1) Demuestre que la relación (7) y las restricciones de continuidad
s(j) (xi + 0) = s(j) (xi − 0)
i = 1, 2, . . . , n − 1,
j = 0, 1, 2
(9)
dan dos grados de libertad para la elección de los coeficientes de (8), en el sentido que
hay dos condiciones menos que incógnitas. Si se define Mi = s00 (xi ), i = 0, 1, 2, . . . , n,
hi = xi+1 − xi , establezca que para xi ≤ x ≤ xi+1 :
s00 (x) =
(xi+1 − x)Mi + (x − xi )Mi+1
;
hi
2
i = 0, 1, 2, . . . , n − 1
(10)
2) Utilizando (7) y (10) pruebe que:
s(x) =
(xi+1 − x)3 Mi + (x − xi )3 Mi+1 (xi+1 − x)yi + (x − xi )yi+1 hi [(xi+1 − x)Mi + (x − xi )Mi+1 ]
+
−
6hi
hi
6
(11)
xi ≤ x ≤ xi+1 ,
0≤i≤n−1
Observe que de (11) se tiene que s(x) es continua en [a, b] y de (10) que s00 (x) es
continua en [a, b].
3) Para determinar las constantes M0 , M1 , M, . . . , Mn , se utiliza la continuidad de s0 (x)
en x1 , x2 , . . . , xn−1 en la forma:
lı́m s0 (xi − 0) = lı́m s0 (xi + 0),
x→xi
x→xi
i = 1, 2, . . . n − 1
(12)
Calcule s0 (x) en [xi , xi+1 ] y en [xi−1 , xi ] y usando (12) pruebe que:
hi−1
hi + hi−1
hi
yi+1 − yi yi − yi−1
Mi−1 +
Mi + Mi+1 =
−
6
3
6
hi
hi−1
i = 1, 2, . . . n (13)
De la relación (13) se obtiene un sistema de n-1 ecuaciones y n+1 incógnitas
M0 , M 1, . . . , Mn . Especificando condiciones en los puntos x0 , x1 se remueven los
grados de libertad dados en (7).
Hay tres formas para ello:
Caso 1 (Spline Natural)
Si M0 = Mn = 0
Probar que se obtiene el sistema AM = D en que:
¸
yn − yn−1 yn−1 − yn−2
y2 − y1 y1 − y0
−
,......
−
; M T = [M1 , M2 , . . . , Mn−1 ]
D =
h1
h0
hn−1
hn−2
(14)
·
T
3









A=








h0 +h1
3
h1
6
0
..
.
0
0
h1
6
h1 +h2
3
..
.
...
0
h2
6
..
.
...
0
0
..
.
...
0
0
0
0
...
0
..
.
hn−2
6
hn−2 +hn−1
3
hn−2
6


















Observaciones:
1) La matriz A es simétrica definida positiva y diagonal Dominante.
2) Para estimar una cota para el error se tiene el siguiente resultado: sea h = max{hi } y
suponga que f ∈ C 4 [a, b], sea s(x) la función Spline Natural Cúbica que interpola a f (x)
en x0 , . . . xn . Entonces existen xa , xb con a ≤ xa < xb ≤ b y una constante K > 0, tal que:
max|f (j) (x) − s(j) (x)| ≤ Kh4−j ,
j = 0, 1, 2
(15)
xa ≤ x ≤ xb
Los puntos xa , xb satisfacen a − xa = °(h ln h);
b − xb = °(h ln h)
Caso 2
Condición de derivada en los puntos extremos de [a, b]
s (x0 ) = y00 ,
s0 (xn ) = yn0
0
Probar que dichas condiciones determinan dos ecuaciones que se agregan al sistema (13):
h0
h0
y1 − y0
M0 + M1 =
− y00
3
6
h0
hn−1
yn − yn−1
hn−1
Mn−1 +
Mn = yn0 −
6
3
hn−1
(16)
(17)
Caso 3 (Condiciones de frontera periódicas)
s(x0 ) = s(xn ); s0 (x0 ) = s0 (xn )
(18)
Determine las ecuaciones que se agregan al sistema (13) haciéndole perder su condición
de tridiagonal.
4
NOTA: DEBE PROBAR TODOS LOS PUNTOS EXCEPTO LOS CASO
2 Y 3 DE LA PREGUNTA 2 FUNCIONES SPLINE
Pregunta 3
Considere la función que describe una cierta propiedad del titanio en función de la
temperatura y cuyos valores f (T ) en Ti = 858 + 10i
i = 1, 2, . . . , 49 se determinan
experimentalmente y están dados en la tabla siguiente:
.644 .622 .638 .649 .652 .639 .646 .657 .652 .655 .644 .663 .663 .668 .676 .676 .686 .679
.678 .683 .694 .699 .710 .730 763 .812 .907 1.044 1.336 1.881 2.169 2.075 1.598 1.211 .916
.746 6.72 .627 .615 .607 .606 .609 .603 .601 .603 .601 .611 .601 .608
Usando solo los datos para i impar
a) Determine la Spline cúbica que interpola f .
b) Determine la polinomial cuadrática por tramos que interpola f .
c) Determine la polinomial cúbica por tramos que interpola f .
d) Compare los resultados de los tres interpolantes entre los puntos correspondientes
a Ti para i par. Grafique.
R.A. / W.B/1-2007
5